Lignes d'Influence
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02/03/2011
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES 1 DEFINITION
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES 1 DEFINITION Ligne de d’incluence de la réaction d’appui V0 Pente -1/L
Σ
1
P=1 L- α
α
G0
G1
V0
ΣM / B = 0 ⇒ V0 L − P (L − α ) = 0
⇒ V0 = 1 −
G0
G1 Ligne d’influence de V0
α L
1
02/03/2011
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES 1 DEFINITION Ligne de d’incluence de la réaction d’appui V1 Σ P=1
Pente 1/L 1
L- α
α
G0
G1
G0
V1
Ligne d’influence de V1
ΣM / A = 0 ⇒ V1 L − Pα = 0
⇒ V1 =
G1
α L
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES 1 DEFINITION Ligne de d’incluence de l’effort tranchant dans une section Σ d’abscisse x Ligne d’influence de TΣ Σ
Σ
Σ
P=1
Pentes -1/L
TΣ , max = 1 − x / L
L- α
α
+ G0 V0
x
G1
G0
V1
Cas α < x (charge à gauche de Σ) Coupure par les efforts de droite : Cas α < x (charge à droite de Σ) Coupure par les efforts de gauche :
⇒ TΣ (α ) = −V1 = − ⇒ TΣ (α ) = V0 = 1 −
G1 TΣ , min = − x / L
α L
α L
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LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES 1 DEFINITION Ligne de d’incluence du moment fléchissant dans une section Σ d’abscisse x Ligne d’influence de MΣ Σ
Σ P=1 x- α
α
Σ
Pente 1-x/L
Pente -x/L
L-x +
G0
G1
x
V1
V0
Cas α < x (charge à gauche de Σ) Coupure par les efforts de droite : Cas α < x (charge à droite de Σ) Coupure par les efforts de gauche :
G0
x G M Σ ,max = x1 − 1 L
x ⇒ M Σ (α ) = V1 (L − x ) = α 1 − L
α ⇒ M Σ (α ) = V0 x = 1 − x L
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES 2 APPLICATIONS Utilisation pour calculer l’effet de plusieurs charges ponctuelles Σ Pi P Effet dans une section Σ de charges P1, Pi, 1 Pn α1 αi Pn placées en α1, αi, αn α n
TΣ = ∑ Pi .TΣ (α i ) G1
G0 TΣ (α1 )
TΣ (α i )
TΣ ,max = 1 − x / L
TΣ (α n )
i
M Σ = ∑ Pi .M Σ (α i ) i
+ Ligne d’influence de TΣ
G0
M Σ (α1 )
TΣ ,min = − x / L M Σ (α i )
x M Σ ,max = x1 − L
G1 M Σ (α n )
+
G0
Ligne d’influence de MΣ G1
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LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES 2 APPLICATIONS Utilisation pour calculer l’effet d’une charge répartie quelconque Σ p(α ) Effet dans une section Σ d’une charge α0 répartie quelconque p(α) entre les α α1 abscisses α0 et α1 G1
G0 TΣ (α 0 )
TΣ (α )
TΣ ,max = 1 − x / L
TΣ =
TΣ (α1 )
+
TΣ ,min = − x / L
M Σ (α 0 )
M Σ (α )
x M Σ ,max = x1 − L
∫ p(α ).T (α )dα Σ
α0
Si p est constant, TΣ correspond à p x l’aire délimitée par la courbe TΣ (α) entre α0 et α1
G0
α1
G1 M Σ (α1 )
MΣ =
+
α1
∫ p(α ).M
Σ
(α )dα
α0
Si p est constant, MΣ correspond à p x l’aire délimitée par la courbe MΣ (α) α0 et α1 G0
G1
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES 3 EFFET D’UN CONVOI – THEOREME DE BARRE Définition Un convoi est un ensemble de charges Pi dont les distances entre elles restent fixes (exemples : camions, trains). Le convoi peut être caractérisé par sa résultante
Π = ∑ Pi
Π P1
Pi
d1
di
dn
Pn
La position de chaque charge Pi peut être caractérisée par sa distance di à la résultante Π Objectif L’objectif est de déterminer la position du convoi qui donne le moment fléchissant maximal dans la poutre sur 2 appuis simples que parcourt le convoi et la valeur de ce moment maximal.
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LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES Σ
3 EFFET D’UN CONVOI – THEOREME DE BARRE
Π
Démonstration On note δ la distance de la résultante à l’axe la poutre.
P1
On calcule la réaction d’appui à gauche en écrivant l’équilibre en G1 :
V0 =
ΠL −δ L2
G0
Pi
d1
dn
δ
L / 2 + δ − di V0 =
di
Pn
L / 2 −δ
G1
ΠL −δ L2
On calcule le moment dans la section Σ au droit de la charge Pi
M Σ = V0 (L / 2 + δ − d i ) − ∑ Pg (d g − d i ) = Pg
MΣ
Π (L / 2 − δ )(L / 2 + δ − di ) − ∑ Pg (d g − di ) L Pg
Moment des provoqué par les charges à gauche de Pi = Constante
pour une position du convoi telle que :
dM Σ =0 dδ
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES Σ
3 EFFET D’UN CONVOI – THEOREME DE BARRE
Π
Démonstration
MΣ
P1 pour une position du convoi telle que :
dM Σ = 0 ⇒ −2δ + d i = 0 dδ
d dM Σ =0⇒δ = i dδ 2 Le moment est maximum en Σ lorsque la charge Pi et la résultante Π sont placées de manière symétrique par rapport à l’axe de la poutre.
G0
Pi
d i = 2δ
δ
L / 2 + δ − di
dn
Pn
L / 2 −δ
G1
ΠL V0 = − δ L2
MΣ =
Π (L / 2 − δ )(L / 2 + δ − d i ) − ∑ Pg (d g − di ) L Pg
Alors, le moment maxi vaut :
Π (L / 2 − d i / 2)2 − ∑ Pg (d g − d i ) = ΠL 1 − di − ∑ Pg (d g − d i ) L 4 L Pg Pg 2
M max =
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LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES 3 EFFET D’UN CONVOI – THEOREME DE BARRE Exemples de convois (EC1-3)
Convois routiers
Convoi ferroviaire UIC 71
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES 3 EFFET D’UN CONVOI – THEOREME DE BARRE Exemples de convois (BS)A
1.0m 1.0m
Position of HB Load to produce Maximum Moment
1.0m
A 1.8m
Maximum moment occurrs here
1.5m 1.5m
3.0m 1.8m
cL of HB cL of bridge 1.0m 1.0m 1.0m
Section A-A
Depends on judgement of designer. ~400mm
cL of bridge
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LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES 4 COURBES ENVELOPPES Définition La courbe enveloppe de l’effet F est la courbe des effets maximaux dans l’ensemble des sections Σ de la poutre lorsque la charge P=1 mobile évolue sur la poutre (ie c’est la courbe des maximums des lignes d’influence). Courbe enveloppe du moment fléchissant dû a une charge ponctuelle Σ
Pente 1-x/L
M env ,max =
Pente -x/L
+
+ x M Σ, max = x1 − L
G0
L 4
G1
G0
G1
Enveloppe des moments fléchissants
Ligne d’influence de MΣ
x Dans une section Σ d’abscisse x, le moment maximum en Σ vaut : M Σ , max = x1 − L La courbe enveloppe du moment fléchissant provoqué par P=1 est donc une x parabole d’équation : M env = x1 − . Le maximum de la courbe enveloppe L donne le moment maximum absolu dans la poutre.
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES 4 COURBES ENVELOPPES Courbe enveloppe de l’effort tranchant dû à une charge ponctuelle Enveloppe des efforts tranchants positifs Pentes -1/L + 1
Tenv = 1− x / L
TΣ , max = 1 − x / L
+ + G0
G1
TΣ , min = − x / L
G0
G1
Enveloppe des efforts tranchants négatifs
Ligne d’influence de TΣ
G0
− Tenv = −x / L
G1 -1
2 courbes enveloppes : + -Courbe enveloppe des efforts tranchants positifs : Tenv = 1− x / L
+ Tmax =1
+ - Courbe enveloppe des efforts tranchants négatifs Tenv = −x / L
− Tmax = −1
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LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES 4 COURBES ENVELOPPES Courbes enveloppes provoquées par un convoi (allures)
+ Tenv
+
+ -
G0
M env
G0
G1
G1
− Tenv
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES 4 COURBES ENVELOPPES Courbe enveloppe du moment fléchissant dû à une charge répartie d’étendue quelconque Problématique : on considère une charge répartie d’intensité p appliquée entre les abscisses variables α1 et α2. Question : quelle étendue donner à la charge (ie valeurs α1 et α2) pour qu’on obtienne les efforts tranchants et moments fléchissants maxi dans une section Σ puis dans la poutre ?
α1
Σ
p
Constat : la ligne d’influence MΣ est toujours positive. Cela signifie qu’on aura le moment maxi en Σ lorsqu’on charge toute la poutre et
α2
L
G0
G1 x M Σ ,max = x1 − L
M Σ (α1 )
0
M Σ (α n )
p x p x 1 − L = x ( L − x ) 2 L 2
La courbe enveloppe du moment est la p parabole d’équation y = x ( L − x)
2
+
G0
M Σ, max = p ∫ M Σ (α )dα =
provoquée par un chargement sur toute la poutree. G1
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LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES 4 COURBES ENVELOPPES Courbe enveloppe de l’effort tranchant T+ dû à une charge répartie d’étendue quelconque
α1
Σ
p
α2
G0 TΣ ,max = 1 − x / L
TΣ (α1 )
G1 TΣ (α 2 )
+
+ Tenv , max =
x
p x p (L − x )2 1 − ( L − x ) = 2 L 2L
G1
TΣ ,min = − x / L
pL 2
L
TΣ+, max = p ∫ TΣ (α )dα =
G0
Constat : la ligne d’influence TΣ est positive si on applique une charge à droite de Σ. Cela signifie qu’on aura l’effort TΣ+ maxi en Σ lorsqu’on charge toute la poutre à droite de Σ et
La courbe enveloppe du moment est la parabole d’équation : T + = p ( L − x) 2 env 2L
+ + Tenv =
G0
p (L − x )2 2L
G1
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES 4 COURBES ENVELOPPES Courbe enveloppe de l’effort tranchant T- dû à une charge répartie d’étendue quelconque
α1
Σ
p
α2
G0 TΣ (α1 )
TΣ ,max = 1 − x / L
G1
Constat : la ligne d’influence TΣ est négative si on applique une charge à gauche de Σ. Cela signifie qu’on aura l’effort TΣ- maxi en Σ lorsqu’on charge toute la poutre à gauche de Σ et
TΣ (α 2 )
x
TΣ−,max = p ∫ TΣ (α )dα =
+ G0
0
TΣ ,min = − x / L
− Tenv =−
p x p 2 x − x = − 2 L 2L
G1 La courbe enveloppe du moment est la p 2 − parabole d’équation : Tenv =− x 2L
p 2 x 2L
− Tenv , max = −
G0 G1
pL 2
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LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES 4 COURBES ENVELOPPES Courbes enveloppes de l’effort tranchant dû à une charge répartie d’étendue quelconque pL + Tenv,max =
2
+ Tenv =
+
p (L − x )2 2L
-
G0 − =− Tenv
p 2 x 2L
G1 − Tenv , max = −
pL 2
On remarquera que, contrairement au moment fléhissant, on n’obtient pas les effets maximaux de T en chargeant la poutre sur toute la longueur, mais en la chargeant en partie (à droite ou à gauche). En particulier, au milieu de la poutre :
pL − L Tenv =− obtenu par le chargement de la moitié gauche 8 2
pL + L Tenv = 2 8
obtenu par le chargement de la moitié droite L 2
Alors que si l’on charge toute la poutre, T = 0
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