Licenciatura em Matemática - Cálculo I

Arnaldo Barbosa Lourenço Clício Freire da Silva Genilce Ferreira Oliveira

Cálculo I

Manaus 2007

FICHA TÉCNICA Governador

Eduardo Braga Vice–Governador

Omar Aziz Reitora

Marilene Corrêa da Silva Freitas Vice–Reitor

Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Planejamento

Osail de Souza Medeiros Pró–Reitor de Administração

Fares Franc Abinader Rodrigues Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários

Rogélio Casado Marinho Pró–Reitor de Ensino de Graduação

Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa

José Luiz de Souza Pio Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)

Carlos Alberto Farias Jennings Coordenador Pedagógico

Luciano Balbino dos Santos NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral

João Batista Gomes Editoração Eletrônica

Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico–gramatical

João Batista Gomes

Lourenço, Arnaldo Barbosa. L892c

Cálculo I / Arnaldo Barbosa Lourenço, Clício Freire da Silva, Genilce Ferreira Oliveira. - Manaus/AM: UEA, 2007. - (Licenciatura em Matemática. 2. Período) 125 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia. 1. Cálculo - Estudo e ensino. I. Silva, Clício Freire da. II. Oliveira, Genilce Ferreira. III. Série. IV. Título. CDU (1997): 517.2/.3

SUMÁRIO Palavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

07

UNIDADE I – Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

09

TEMA 01 – Função ou Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

UNIDADE II – Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA

Limites – Definição e Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Continuidade de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limites Infinitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limites Trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limites Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 28 30 33 36 37

UNIDADE III – Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA

Derivada de uma Função, definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Reta Tangente ao Gráfico de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estudo do Sinal de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Taxa de Variação e regra de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43 46 51 56 60 67

UNIDADE IV – Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA

02 03 04 05 06 07

08 09 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19 20

– – – – – –

– – – – – –

– – – – – – –

Integrais Primitivas e Indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cálculo de Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Área entre Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mudança de Variável na Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrais Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrais de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73 79 86 88 94 98 102

Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

PERFIL DOS AUTORES

Arnaldo Barbosa Lourenço Licenciado em Matemática - UFPA Licenciado em Ciências Contábeis - UFAM Pós-graduado em Ensino da Matemática - UFAM

Clício Freire da Silva Licenciado em Matemática – UFAM Bacharel em Matemática – UFAM Pós–graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática – UFF

Genilce Ferreira Oliveira Licenciada em Matemática – UFAM Especialista em Matemática – UFAM

UNIDADE I Função

Cálculo I – Função

Observação – Por simplificação, deixaremos, muitas vezes, de explicitar o domínio e o contradomínio de uma função; quando tal ocorrer, ficará implícito que o contradomínio é IR e o domínio o “maior” subconjunto de IR para o qual faz sentido a regra em questão.

TEMA 01 FUNÇÃO OU APLICAÇÃO 1.1. Definição, elementos

Exemplo: Entendemos por uma função f uma terna (A, B, a → b) onde A e b são dois conjuntos e a → b, uma regra que nos permite associar a cada elemento a de A um único b de B. O conjunto A é o domínio de f, e indica-se por Df, assim A = Df. O conjunto B é o contradomínio de f. O único b de B associado ao elemento a de A é indicado por f(a) (leia: f de a); diremos que f(a) é o valor que f assume em a ou que f(a) é o valor que f associa a a. Quando x percorre o domínio de f, f(x) descreve um conjunto denominado imagem de f e que se indica por Imf:

Dados os conjuntos M = {0, 1 ,2} e B={0, 1, 4, 5}, verificar se a relação binária R ={(x,y) Ax B/ y = x2} é uma função. Solução: M = {0, 1 ,2} N={0, 1, 4, 5} R ={(x,y) Mx N/ y = x2} x = 0 y = 02 = 0 x = 1 y = 12 = 1 x = 2 y = 22 = 4

Imf = {f(x)|x∈Df}

No diagrama de flechas, temos que:

Uma função de f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A B (leia: f de A em B). Uma função de uma variável real a valores reais é uma função f : A B, onde A e B são subconjuntos de IR. Até menção em contrário, só trataremos com funções de uma variável real a valores reais. Seja f : A B uma função. O conjunto Gf = {(x,f(x))|x∈A} denomina-se gráfico de f; assim, o gráfico de f é um subconjunto de todos os pares ordenados (x, y) de números reais. Munindo-se o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfico de f pode, então, ser pensado como o lugar geométrico descrito pelo ponto (x, f(x)) quando x percorre o domínio de f.

Observe que f(0) = 0, f(1) = 1 e f(2) = 4, então podemos afirmar que f é uma função ou aplicação, já que de cada elemento de M temos uma única correspondência com elementos de N. Veja também que D(f) = {0,1,2}, CD(f)= {0,1,4,5} e Im(f) = {0,1,4}. Gráficos de funções Dizemos que uma relação binária R: A B é função ou aplicação no gráfico, quando toda reta vertical tocar em um único ponto no gráfico, para todo x ∈ A. Exemplos: 1. Verificar se o gráfico abaixo representa uma função. 11

UEA – Licenciatura em Matemática

Observe que todas as retas verticais que traçarmos, tocarão em um e único ponto no gráfico. Logo g é uma função ou aplicação. 3. Dada a função f:IR IR com a regra x x3, temos que: • Df = IR 3 • Im(f) = {x / x∈IR} = IR 3 • O valor que f assume em x é f(x) = x . Esta função associa a cada real x o número real f(x) = x3.

Solução:

3 3 • f(–1) = (–1)3 = –1, f(0) = 0 = 0, f(1) = 1 = 1

Dado o gráfico, temos que:

• O gráfico de f é tal que Gf = {(x,y) / y = x3, x∈IR} Domínio de funções O domínio de uma função representa o conjunto de valores para os quais ela existe. Dentre os principais casos, temos: a) O domínio de uma função polinomial é sempre real. Observe que existem retas verticais que tocam em mais de um ponto no gráfico, daí podemos concluir que f não é função ou aplicação.

b) Para o domínio de uma função que possui variável no denominador, basta ser este diferente de zero.

2. Verificar se o gráfico abaixo é uma função ou aplicação.

c) Radical com índice par no numerador possui radicando maior ou igual a zero. d) Radical com índice par no denominador possui radicando maior que zero. Exemplos: 1. Qual é o domínio mais amplo para a função ? Solução: , então 1 – x 0 x 1. Logo o domínio

Solução:

é dado por D(f) = IR – {1}.

Dado o gráfico abaixo, temos:

2. Qual é o domínio da função

?

Solução:

→ 2x – 6 ≥ 0 → x ≥ 3. Logo o seu domínio será D(f) = {x∈IR/ x ≥ 3}. 3. Seja f: IR IR com a regra x → x3. Tem–se: a) Df = IR b) Im f = {x3|x∈IR}= IR, pois, para todo y em IR, existe x real tal que x3 = y. 12

Cálculo I – Função

c) O valor que f assume em x é f(x) = x3. Esta função associa a cada real x o número real f(x) = x3 . d) f(–1)=(–1)3 = –1; f(0) = 03 = 0; f(1) = 13 = 1. e) Gráfico de f: Gf = {(x,y)|y = x3, x∈IR} Suponhamos x > 0; observe que, à medida que x cresce, y também cresce, pois y = x3, sendo o crescimento de y mais acentuado que o de x (veja: 23 = 8; 33 = 27, etc.); quando x se aproxima de zero, y aproximase de zero mais rapidamente que x((1/2)3 = 1/8; (1/33 = 1/27 etc.). esta análise dá-nos uma idéia da parte do gráfico correspondente a x > 0. Para x < 0, é só observar que f(–x) = –f(x).

5. Considere a função g dada por

. Tem–se:

a) Dg = {x∈IR| x ≠ 0} b) Esta função associa a cada x ≠ 0 o real g(x) = 1/x c) d) Gráfico de g: Vamos olhar primeiro para x > 0; à medida que x vai aumentando, y = 1/x vai aproximando-se de Zero ; à medida que x vai aproximando-se de zero, y = 1/x vai-se tornando cada vez maior

4. Seja f a função dada por

Você já deve ter uma idéia do que acontece para x < 0.

. Tem–se:

a) Df = {x∈IR| x ≥ 0} b) Im f = {x∈IR/ y ≥ 0} c) f(4) =

=2 (o valor que f assume em 4 é 2).

d) e) f) Gráfico de f: A função f é dada pela regra . Quando x cresce, y também cresce sendo o crescimento de Y mais lento que o de x

Observação – Quando uma função vem dada por uma regra do tipo x |→ y, y = f(x), é comum referir-se à variável y como variável dependente, e à variável x como variável independente.

; quando x se aproxima de zero, y também aproxima-se de zero, só que mais lentamente que

6. Dada a função f(x) = – x2 + 2x, simplifique:

.

a) 13

b)

UEA – Licenciatura em Matemática

Solução:

9. Seja

a)

assim

Tem–se: a) Df = IR; Im f = {–1,1}

.

b) Gráfico de f

Observe: f(1) = –12 +2 = 1. b) primeiro, vamos calcular f(x + h). Temos f(x + h) = – (x + h)2 + 2(x + h) = –x2 – 2xh – h2 + + 2x + 2h. Então,

Observe que (0, 1) pertence ao gráfico de f, mas (0, –1) não. 1.2 Função composta ou seja,

= – 2x – h + 2, h ≠ 0.

Dadas as funções f: A B e g: B C, dizemos que existe uma função h: A C, tal que:

7. Função constante – Uma função f: A → IR dada por f(x) = k, k constante, denomina-se função constante.

h(x) = (gof)(x) = g(f(x)), x A. Representando essa situação por diagrama de flechas, temos:

a) f(x) = 2 é uma função constante; tem-se: (i) Df = IR; Im f = {2} (ii) Gráfico de f Gf{(x,f(x))|x∈IR} = {(x,2) | x∈IR}. O gráfico de f é uma reta paralela ao eixo x passando pelo ponto (0, 2).

8. g:] –∞;0] → IR dada por g(x) = –1 é uma função constante e seu gráfico é

Exemplos a) Dadas as funções f(x) = 2x – 1 e g(x) = 3 – 4x, calcular o valor de (fog)(x) – (gof)(x). Solução f(x) = 2x – 1 14

Cálculo I – Função

g(x) = 3 – 4x

f(x) = 2kx +1

(fog)(x) = 2.( 3 – 4x) – 1

g(x) = 2– 3x

= 6 – 8x – 1

fog(x) = gof(x)

= 5 – 8x

2k.( 2– 3x) + 1 = 2– 3.( 2kx +1)

(gof)(x) = 3 – 4(2x – 1)

4k – 6kx + 1 = 2 – 6kx – 3

= 3 – 8x + 4

4k = –1 k = –1/4

= 7 – 8x (fog)(x) – (gof)(x) = 5 – 8x – (7 – 8x)

3. Calcular o valor de f(–1), sabendo– se que f(2x –1) = 3 – x.

= 5 – 8x – 7 + 8x = –2

Solução f(2x –1) = 3 – x

a) Se (fog)(x) = 2x + 1 e f(x) = –2x + 3, então determine o valor de g(0).

2x – 1 = –1 x = 0

Solução:

f(–1) = 3 – 0

(fog)(x) = 2x + 1

f(–1) = 3

f(x) = –2x + 3

4. Determine o domínio da função

g(0) = ?

.

Solução:

(fog)(x) = 2x + 1 –2(g(x)) + 3 = 2x + 1

x+1=t x=t–1

g(x) = –x + 1. Logo g(0) = 1

3–x>0 x 0, então f será crescente. 15

UEA – Licenciatura em Matemática

Solução: a) O gráfico de f é a reta que passa pelos pontos (0, 0) e (1, 2).

Para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2). • Se a < 0, então f será decrescente;

b) O gráfico de g é a reta que passa pelos pontos (0, 0) e (1, –2).

Para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2). Observação – Uma função f : IR → IR dada por f(x) = ax, a constante, denomina-se função linear; seu gráfico é a reta que passa pelos pontos (0, 0) e (1, a):

y = –2x c) Primeiro, eliminemos o módulo

Se a = 0, o gráfico de f coincide com o eixo Ox. Exemplos: 1. Esboce os gráficos. a) f(x) = 2x. b) g(x) = –2x c) h(x) = 2 I x I 16

Cálculo I – Função

2. Esboce o gráfico de f(x) = I x – 1I + 2.

Gráfico

Solução:

O gráfico de uma função polinomial do 2.o grau, y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é uma curva chamada parábola.

Primeiro, eliminemos o módulo ou

• a > 0, então f terá concavidade voltada para cima; • a < 0, então f terá concavidade voltada para baixo.

Agora , vamos desenhar, pontilhando, as retas y = x + 1 e y = –x + 3 e, em seguida, marcar, com traço firme, a parte que interessa de cada uma:

Observação – A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando Δ, chamado discriminante, a saber: • quando Δ é positivo, há duas raízes reais e distintas; • quando Δ é zero, há só uma raiz real; • quando Δ é negativo, não há raiz real. Coordenadas do vértice da parábola Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.

para x ≥ 1, f(x) = x + 1 para x < 1, f(x) = –x + 3

Em qualquer caso, as coordenadas de V

Sempre que uma função for dada por várias sentenças, você poderá proceder dessa forma.

são

Um outro modo de se obter o gráfico de f é o seguinte: primeiro desenhe pontilhado o gráfico de y = I x I; o gráfico de y = I x – 1 I obtémse do anterior transladando-o para a direita de uma unidade; o gráfico de f obtém-se deste último transladando-o para cima de duas unidades.

. Veja os gráficos:

1.5 Função quadrática (função polinomial do 2.o grau) Definição Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2.o grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma Exemplo:

f(x) = ax2 + bx + c, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0.

(PUC) Determine as coordenadas do vértice da 17

UEA – Licenciatura em Matemática

parábola y = –x2 + 2x – 5. a) (1,–4)

b) (0,–4)

c) (–1,–4)

d) (2,–2)

Exemplo:

e) (1,–3) Solução:

(USP) Construir o gráfico da função f(x) = –x2 + 2x –1, no plano cartesiano.

1. y = –x2 + 2x – 5, então a = –1, b = 2 e c = –5

Solução: (1) f(x) = –x2 + 2x –1, então a = –1, b = 2 e c = –1

2. = b2 – 4ac = 22 – 4.(–1).(–5) = –16 3.

(2) = b2 – 4ac, então = 22 – 4.(–1).(–1) = 0, logo as raízes de f são

4. 5. Logo o vértice é dado pelo ponto (1,–4) Imagem

(3)

O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a ≠ 0 é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:

(4) (5) O vértice da parábola é dado pelo ponto (1,0) (6) f toca o eixo das ordenadas no ponto (0,–1) (7) Então o gráfico pode ser dado por:

a 0; por baixo se x < 0). À medida que x aproxima-se de zero, o grá-

direita.

fico de g vai encostando na curva

b) g(x) = (x – 1) é uma função polinomial de 3

grau 3; seu gráfico obtém-se do gráfico de

c)

.

é uma função racional com Domínio {x∈IR|x ≠ –2}. O gráfico de h é

2. Função racional – Uma função f é uma função

obtido do gráfico de y =

onde p e q são duas

dada por

duas unidades para a esquerda.

funções polinomiais; o domínio de f é o conjunto {x∈IR|q(x) ≠ 0}. a)

é uma função racional definida para todo x

0. Como

, transladando-o

, segue

que o gráfico de f é obtido do gráfico de y = 1/x, transladando-o uma unidade para cima (veja Ex. 3). 19

UEA – Licenciatura em Matemática

5. Determine o domínio das funções:

1. Calcule: a) f(–1) e

a)

b)

c)

d)

sendo f(x) = –x2 + 2x e)

b) g (0), g (2) e g(

) sendo 1.6 Função exponencial

sendo f(x) = x2 e ab ≠ 0

c)

Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente.

sendo f(x) = 3x + 1 e ab ≠ 0

d)

a) f(x) = x2 e p = 1

A função f:IR IR+ definida por f(x) = ax, com a IR+ e a 1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais), e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero).

b) f(x) = 2x + 1 e p = 2

Gráfico cartesiano da função exponencial

2. Simplifique

sendo dados:

Temos 2 casos a considerar:

c) f(x) = 1/x e p = 2 d) f(x) =

quando a>1;

e p = –3

quando 0 1, as funções exponencial e logarítmica são CRESCENTES. • Para 0 < a ≠ 1, elas são DECRESCENTES. • O domínio da função y = logax é o conjunto R+* . • O conjunto imagem da função y = logax é o conjunto R dos números reais. • O domínio da função y = ax é o conjunto R dos números reais. • O conjunto-imagem da função y = ax é o conjunto R*+. Observe que o domínio da função exponencial é igual ao conjunto-imagem da função logarítmica e que o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto-imagem da função exponencial. Isso ocorre porque as funções são inversas entre si.

22

UNIDADE II Limites

Cálculo I – Limites

quanto por valores x > 1 (à direita de 1). Do ponto de vista numérico, as tabelas abaixo mostram o comportamento da função f, para valores x à esquerda e à direita de x = 1.

TEMA 02 LIMITES: DEFINIÇÃO E LIMITES LATERAIS

Pela esquerda de x = 1 2.1 O papel dos limites de funções reais O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo:

Pela direita de x = 1

Nesse caso, dizemos L = 2 é o limite da função f quando x se aproxima de 1, o que denotaremos por:

Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais

lim f(x) = 2

x→1

Para entender os conceitos mais importantes da lista acima, que são os últimos, a Teoria de Limites é fundamental.

Esse resultado pode ser visto por meio da análise gráfica de f, cujo esboço vemos na figura abaixo:

O motivo para isso é que nem tudo o que queremos realizar ocorre no meio físico, e quase sempre é necessário introduzir um modelo que procura algo que está fora das coisas comuns, e essa procura ocorre com os limites nos estudos de seqüências, séries, cálculos de raízes de funções... Por exemplo, obter uma raiz de uma função polinomial de grau maior do que 4 somente é possível por meio de métodos numéricos que utilizam fortemente as idéias de limite e continuidade. Na verdade, esse cálculo depende do Teorema do Valor Intermediário (apresentado no fim), que é uma conseqüência do estudo de continuidade de funções.

2.3 Limite de uma função real Seja f uma função real definida sobre o intervalo (a,b) exceto talvez no ponto x = c que pertence a intervalo (a,b), Le e Ld números reais. Diz-se que o limite lateral à direita de f no ponto c é igual a Ld, se os valores da função se aproximam de Ld, quando x se aproxima de c por valores (à direita de c) maiores do que c. Em símbolos:

2.2 Idéia intuitiva de limite Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Para fixar idéias, consideremos a função f:R – {1} → R definida por:

lim f(x) = Ld

x→ +∞

O limite lateral à esquerda de f no ponto c é igual a Le, se os valores da função se aproximam de Le, quando x se aproxima de c por valores (à esquerda de c) menores que c. Em símbolos:

lim

Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e reescrita na forma mais simples: f(x) = x + 1.

lim f(x) = Le

Ao analisar o comportamento dessa função nas vizinhanças do ponto x = 1, ponto este que não pertence ao domínio de f, constatamos que a função se aproxima rapidamente do valor L = 2, quando os valores de x se aproximam de x = 1, tanto por valores de x < 1 (à esquerda de 1)

x→ +∞

Quando o limite lateral à esquerda Le coincide com o limite lateral à direita Ld, diz–se que existe o limite da função no ponto c e o seu valor é Ld = Le = L. Com notações simbólicas, escrevemos: 25

UEA – Licenciatura em Matemática

lim f(x) = L

x→ c

O que significa que, para qualquer e > 0 e arbitrário, existe um d > 0, que depende de e, tal que |f(x)–L| < e para todo x satisfizando 0 < |x–a| < d. No caso em que um dos limites laterais não existe ou no caso de ambos existirem, porém com valores diferentes, diremos que a função não tem limite no ponto em questão. O próximo resultado afirma que uma função não pode aproximar-se de dois limites diferentes ao mesmo tempo, e ele é denominado o teorema da unicidade, porque garante que se o limite de uma função existe, então ele deverá ser único.

Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1(x→1), y tende para 3 (y→3), ou seja: lim (2x + 1) = 3

x→1

Unicidade do limite – Se Lim f(x) = A e Lim f(x) = B quando x tende ao ponto c, então A = B.

Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3. Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x→1). Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x)→3), dizemos que o limite de f(x) quando x→1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3. De forma geral, escrevemos:

Demonstração – Se e > 0 é arbitrário, então existe d' > 0 tal que |f(x)–A| < e/2 sempre que 0< |x – a| < d'. Como também temos por hipótese que existe d">0 tal que|f(x)–B| < e/2 sempre que 0 |x – 2| < δ ⇒ |(3x + 4) – 10| = 3|x – 2| < 3δ = ε.

à

3. x→2 lim (x2 + 1) = 5. De fato, dado ε > 0, vamos procurar δ > 0 sob a restrição δ ≤ 1. Assim, |x – 2| < δ implica 1< x < 3 e, portanto, |x+2| < 5. Logo, se 0 < δ ≤ ε/5, temos 0 < |x – 2| < δ, então |(x2 + 1) – 5| = |x + 2||x – 2| < 5|x – 2|< 5δ ≤ ε.

Ora, x pode ser tomado tão próximo de 1 quanto quisermos, sem no entanto ser 1, pelo que o limite de f(x) é 2. 2.4 Generalização do conceito de limite Definição

Portanto basta tomar 0 < δ ≤ min{1,ε/5}.

Dados uma função f: B IR e um ponto de acumulação a de B, diz-se que um número ∈IR é limite de f em a, e escreve-se: lim f(x) =

x→a

ou f(x) →

4. x→a lim cos x = cos a. De fato, observemos que sempre |cos x1 – cos x2|≤||x1 – x2|; confira com a figura abaixo. Assim, dado ε > 0, podemos tomar δ = ε uma vez que, nesse caso:

, com x → a

quando vale a seguinte condição:

0 0, existe δ = δ(ε) > 0 tal que: x ∈ B, 0 < |x – a| < δ ⇒ |f(x) –

| < ε.

Exemplos: 1. Consideremos a função

à

Note que f não está definida no ponto x = 1. No entanto, para x ≠ 1 temos f(x)=2(x+1) e, portanto, é natural suspeitar que x→1 lim f(x) = 4. Mostremos por meio da definição que este é o caso. De fato, se x ≠ 1 podemos escrever |f(x)–4| = |2(x + 1) – 4| = 2|x – 1|. Assim, dado ε > 0, se escolhermos δ = ε/2

à 27

UEA – Licenciatura em Matemática

TEMA 03 1. Na função f definida por

CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO

temos:

3.1 Introdução 2

lim f(x)= x→1 lim+ (3 – x) = 2 e x→1 lim− f(x) = x→1 lim− (x – 4) = –3

x→1+

Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas:

Como os limites laterais são diferentes, dizemos que x→1 lim f(x) não existe. 2. Dada a função f definida por

∃f(a)

para to-

∃x→a lim f(x)

do x∈IR*, calcule x→0 lim+ f(x) e x→0 lim− f(x). Existe x→0 limf(x)?

lim f(x) = f(a)

x→a

Solução:

3.2 Propriedade das funções contínuas

, temos:

Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então: f(x) ± g(x) é contínua em a;

e

f(x) . g(x) é contínua em a; f(x) g(x) é contínua em a (g(a) ≠ 0).

Considerando que x→0 lim+ f(x) ≠ x→0 lim− f(x), concluímos que não existe x→0 lim f(x).

3.3 Generalização sobre continuidade de uma função

3. Calcule x→1 lim+ f(x) e x→1 lim− f(x), sendo

Dizer que uma função f é contínua em um ponto a significa que f(a) existe e que f leva pontos “próximos” de a em pontos “próximos” de f(a). Isso pode ser resumido precisamente na seguinte definição:

. Solução: lim f(x) = x→1 lim+ 2x = 2 e x→1 lim− f(x) = x→1 lim− x2 = 1.

x→1+

Definição: Uma função f : B → é contínua em um ponto a∈B se, dado ε, existe δ > 0 de modo que x∈B, |x – a| < δ ⇒ |f(x) – f(a)| < ε.

1. Calcule, caso exista. Se não existir, justifique. a)

Note que, se o domínio de f for um intervalo, B=(b,c), b 3, x→ limk f(x) = x→ limk 4 = 4 e f(k) = 4 Então, f é contínua em IR e não há ponto de descontinuidade. à

Em geral, restringimos a análise aos valores de x que não verificam as condições de existência

O limite de g(x) à medida que x se aproxima de 29

UEA – Licenciatura em Matemática

de f ou que “quebram” o domínio de f (neste exemplo, x = 3). 6. Verifique se a função

TEMA 04

é contínua

PROPRIEDADES DOS LIMITES

em x = 3.

4.1 Introdução

Cálculo de f(3):

Muitas funções do Cálculo podem ser obtidas como somas, diferenças, produtos, quocientes e potências de funções simples. Introduziremos propriedades que podem ser usadas para simplificar as funções mais elaboradas. Em todas as situações abaixo, consideraremos x→a.

Cálculo de x® lim3 f(x) =

Como x® lim3 f(x) = f(3), f(x) é contínua em x = 3

• Se f(x) = C onde C é constante, então Lim f(x) = Lim C = C. • Se k e b são constantes e f(x) = kx+b, então Lim f(x) = Lim (kx+b) = ka+b. • Se f e g são duas funções, k uma constante, A e B números reais e além disso Lim f(x)=A e Lim g(x)=B, então:

Verifique se a função f é contínua no ponto especificado.

(1) Lim(f ± g)(x)=[Lim f(x)]±[Lim g(x)] = A ± B (2) Lim(f·g)(x) = [Lim f(x)]·[Lim g(x)] = A·B

1.

(3) Lim(k·f)(x) = k·Lim f(x) = k·A 2.

(4) Lim(f)n(x) = (Lim f(x))n = An (5) Lim(f÷g)(x) = [Lim f(x)]÷[Lim g(x)] = A÷B, se B é não nulo.

3.

(6) Lim exp[f(x)]= exp[Lim f(x)] = exp(A) • Se acontecer uma das situações abaixo: Lim f(x) = 0.

4.

Lim f(x)>0 e n é um número natural. Lim f(x) 0 um número qualquer. Como lim f(x)=x→a lim h(x)= , existem δ1,δ2>0 de modo que x→a

6. 7.

x∈A, 0 0. Se a integral fosse

a

sec2θ – 1= tg2θ

substituição u = a – x poderia ser eficaz, mas, 2

como está,

2

é mais difícil. Se mudar-

mos a variável de x para θ pela substituição x = a senθ, então a identidade 1 – sen2θ = cos2 θ permitirá que nos livremos da raiz, porque

Exemplos: 1. Avalie Solução: Seja x = 3sen θ, onde

Note a diferença entre a substituição u = a2 – x2 (na qual uma nova variável é uma função da velha) e a substituição x = a senθ (a variável velha é uma função da nova).

então dx = 3cosθ dθ e

99

.

UEA – Licenciatura em Matemática

área do primeiro quadrante (veja a Figura abaixo).

Observe que cosθ ≥ 0 porque

. Então, a Regra de Substituição Inversa fornece

=∫(cossec2 θ – 1)dθ = cotg θ – θ + C Como esta é uma integral indefinida, devemos retomar à variável x original. Isso pode ser feito usando-se identidades trigonométricas para expressar cotθ em termos de

A parte da elipse no primeiro quadrante é dada pela função

ou pelo

0≤x≤a

desenho de um diagrama, como na Figura abaixo, onde θ é interpretado como um ângulo de um triângulo retângulo.

Como

Assim,

Para avaliar essa integral substituímos x = a senθ. Então dx = a cosθ dθ. Para mudar os limites de integração notamos que quando x = 0, senθ = 0, assim θ = 0; quando x = a, senθ = 1, assim

, denominamos o lado oposto

. Também

e a hipotenusa como tendo comprimentos x e 3. Pelo Teorema de Pitágoras, o comprimento do lado adjacente é ; assim, podemos ler o valor de cotgθ diretamente da figura:

já que

.

Portanto (Embora θ > 0 no diagrama, essa expressão para cotgθ é valida quando θ 0

, logo,

Solução: Seja x = asecθ, onde

ou

.

Então, dx = a secθ tgθ dθ e

Portanto, Agora, substituímos u = cosθ de modo que 101

UEA – Licenciatura em Matemática

du = –senθdθ . Quando θ = 0, u = 1; quando

,

TEMA 20

.

INTEGRAIS DE FUNÇÕES RACIONAIS

Portanto

20.1 Introdução Recorde que, se q é uma função racional, então

, onde f(x) e g(x) são polinô-

mios. Aqui estabeleceremos regras para o cálculo de ∫q(x)dx. Consideremos o caso específico

.

É fácil verificar que

A expressão à esquerda da equação é chamada decomposição em frações parciais de

1. Calcule:

. Para achar ∫q(x)dx, integramos cada uma

a)

das frações que constituem a decomposição, obtendo

b) c) d)

Teoricamente, é possível escrever qualquer expressão

e)

como uma soma de expres-

sões racionais cujos denominadores envolvem potências de polinômios de grau não superior a 2. Especificamente, se f(x) e g(x) são polinômios e se o grau de f(x) é inferior ao grau de g(x), então se pode provar que

f) g) h)

de tal forma que cada termo Fk da soma tem uma das formas ou

para reais A e B e n

inteiro não-negativo, onde ax2 + bx + c é irredutível no sentido de que este polinômio quadrático não tem zeros (isto é, b2 – 4ac < 0). Nesse caso, ax2 + bx + c não pode expressarse como o produto de dois polinômios do primeiro grau com coeficientes reais. 102

Cálculo I – Integrais

com ax2 + bx + c irredutível, a decomposição em frações parciais contém uma soma de n frações parciais da forma

A soma F1 + F2 +...+Fr, é a decomposição em frações parciais de

, e cada FK é uma

fração parcial. Não provaremos este resultado algébrico, mas estabeleceremos diretrizes para obter a decomposição.

, onde cada numerador Ak e Bk é um número real. Exemplos:

As diretrizes para achar a decomposição em frações parciais de

devem ser aplicadas

somente se f(x) tiver grau inferior ao de g(x). Se isso não ocorrer, teremos de recorrer à divisão para chegar à forma adequada. Por exemplo, dada

1. Calcule

.

Solução: Podemos fatorar o denominador do integrando como segue:

, obtemos,

por divisão;

x3 + 2x2 – 3x = x(x2 + 2x – 3) = x(x + 3)(x – 1)

Passamos, então, à decomposição de

Cada fator tem a forma indicada na Regra a), com m = 1. Assim, ao fator x corresponde uma fração parcial da forma

em frações parciais.

. Analogamente, aos

fatores x + 3 e x – 1 correspondem frações 20.2 Diretrizes para a decomposição de

parciais

em frações parciais

, respectivamente.

Portanto a decomposição em frações parciais .

tem a forma

1. Se o grau de f(x) não é inferior ao grau de g(x), use a divisão para chegar à forma adequada.

Multiplicando pelo mínimo denominador comum, obtemos

2. Expresse g(x) como o produto de fatores lineares ax + b ou fatores quadráticos irredutíveis da forma ax2 + bx + c, e agrupe os fatores repetidos de modo que g(x) seja o produto de fatores diferentes da forma (ax + b)n ou (ax2 + bx + c)n para n inteiro não-negativo.

4x2+13x – 9 = A(x+3)(x – 1)+Bx(x – 1)+Cx(x+3) (*) Em casos como este, em que os fatores são todos lineares e não-repetidos, os valores de A, B e C podem ser obtidos pela substituição de x por valores que anulem os vários fatores.

3. Aplique as seguintes regras:

Fazendo x = 0 em (*), obtemos

Regra a

–9 = –3A

Para cada fator (ax + b)ncom n ≥ 1, a decomposição em frações parciais contém uma soma de n frações parciais da forma

e

ou A = 3

Fazendo x = 1 em (*), obtemos 8 = 4C ou C = 2 Finalmente, se x = –3 em (*), temos

onde

–12 = 12B

ou B = –1

A decomposição em frações parciais é, pois,

cada numerador Ak é um número real. Regra b Para cada fator (ax2 + bx + c)n com n ≥ 1 e 103

UEA – Licenciatura em Matemática

Multiplicando ambos os membros por

Integrando e denotando por K a soma das constantes de integração, temos

(x + 1)(x – 2)3, obtemos:

= 3ln|x|–ln|x + 3|+2ln|x – 1|+k = ln|x3|–ln|x + 3|+ln|x – 1|2+k

(*) Duas das constantes incógnitas podem ser determinadas facilmente. Fazendo x = 2 em (*), obtemos 6 = 3D ou D = 2

Outra técnica para determinar A, B e C é desenvolver o membro direito de (*) e agrupar os termos de mesma potência de x, como segue:

Da mesma forma, fazendo x = –1 em (*), obtemos –54 = –27A ou A = 2

4x2 + 13x – 9 = (A + B + C)x2 + (2A – B + 3C)x – 3A

As demais constantes podem ser obtidas por comparação dos coeficientes. Atentando para o membro direito de (*), vemos que o coeficiente de x3 é A + B. Este coeficiente deve ser igual ao coeficiente de x3 à esquerda. Assim, por comparação:

Valemo-nos, agora, do fato que, se dois polinômios são iguais, então os coeficientes de iguais potências de x são os mesmos. É conveniente dispor nosso trabalho da seguinte maneira, a qual chamamos comparação de coeficientes de s.

coeficientes de x3: 3 = A + B

Coeficientes de x2: A + B + C = 4

Como A = 2, segue–se que B = 1

Coeficientes de x: 2A – B + 3C = 13 Termos constantes: –3A = –9

Finalmente, comparamos os termos constantes de (*) fazendo x = 0 o que nos dá:

Pode-se verificar que a solução deste sistema de equações é

termos constantes: – 4 = –8A + 4B – 2C + D Levando os valores já achados para A, B e D na equação precedente, temos

A = 3, B = –1 e C = 2

– 4 = –16 + 4 – 2C + 2

2. Calcular

que tem a solução C = 3. A decomposição em frações parciais é, portanto,

Solução: Pela Regra a), há uma fração parcial da forma que corresponde ao fator x + 1 no denominador de integrando. Para o fator (x – 2)3 aplicamos a Regra a) (com m = 3), obtendo uma soma de três frações parciais e

Para obter a integral dada, integramos cada uma das frações parciais do membro direito da última equação, obtendo

.

Conseqüentemente, a decomposição em frações parciais tem a forma

com k igual à soma das quatro constantes de integração. Este resultado pode ser escrito na forma

104

Cálculo I – Integrais

3. Calcular

4. Calcular

Solução:

Solução:

O denominador pode ser fatorado como segue:

Aplicando a Regra b, com n = 2, temos:

2x3–x2+8x–4=x2(2x–1)+4(2x–1)=(x2+4)(2x–1) Aplicando a Regra b) ao fator quadrático irredutível x2 + 4, vemos que uma das frações parciais tem a forma

Multiplicando pelo menor divisor comum (x2 + 1)2 temos:

. Pela Regra a), há

5x3 – 3x2 + 7x – 3 = (Ax + B)(x2 + 1)+ Cx + D também uma fração parcial

5x3 – 3x2 + 7x – 3 = Ax3 + Bx2 +(A + C)x +(B + D)

correspon-

Em seguida, comparamos os coeficientes:

dente ao fator 2x – 1. Conseqüentemente,

Coeficientes de x3: 5 = A Coeficientes de x2: –3 = B Coeficientes de x: 7 = A + C

Tal como em exemplos anteriores, isso conduz a (*)

Termos constantes: –3 = B + D Temos, assim, A = 5, B = –3, C = 7 – A = 2 e D = –3 – B = 0.

x2 – x – 21 = (Ax + B)(2x – 1)+ C(x2+4) Pode-se achar facilmente uma constante. Fazendo

Portanto

em (*), obtemos ou C = –5

As demais constantes podem ser achadas por comparação de coeficientes de x em (*):

Integrando, vem

Coeficientes de x2: 1 = 2A + C Coeficientes de x: –1 = –A + 2B Termos constantes: –21 = –B + 4C Como C = –5, segue-se de 1 = 2A + C que A = 3. Da mesma forma, utilizando os coeficientes de x com A = 3, temos –1 = –3 + 2B ou B = 1. Assim, a decomposição do integrando em frações parciais é 1. Calcule: a) b)

Pode-se, agora, calcular a integral dada integrando o membro direito da última equação, o que nos dá

c) d) 105

UEA – Licenciatura em Matemática

quadrado como segue:

e)

x2 – 6x + 13 = (x2 – 6x) + 13 (x2 – 6x + 9) + 13 – 9 = (x – 3)2 + 4

f)

Assim, g) Fazemos, agora, uma substituição:

h)

u = x – 3, x = u + 3, dx = du Então,

2. Calcule: a)

b) c) d)

e)

1. Calcule:

f)

a) 20.3 Integrais que envolvem expressões quadráticas

b)

A decomposição em frações parciais pode conduzir a integrandos que contêm uma expressão irredutível como ax2 + bx + c . Se b ≠ 0, é necessário, às vezes, completar o quadrado como segue:

c) d) e)

f) pode conduzir a uma

A substituição

20.4 Aplicações da integral

forma integrável. Calcular

Exemplos:

.

1. Joga-se uma pedra verticalmente para cima de um ponto situado a 45m acima do solo e com velocidade inicial de 30m/s. Desprezando a resistência do ar, determine:

Solução: A expressão quadrática x2 – 6x + 13 é irredutível, pois b2 – 4ac = –16 < 0. Completamos o 106

Cálculo I – Integrais

a) A distância da pedra ao solo após t segundos.

ou

b) O intervalo de tempo durante o qual a pedra sobe.

donde t = –1,24 ou t = 7,36.

4,9t2 – 30t – 45 = 0

A solução –1,24 é estranha, pois t é nãonegativo. Resta t = 7,36s, que é o tempo após o qual a pedra atinge o solo. A velocidade, nesse instante, é:

c) O instante em que a pedra atinge o solo, e a velocidade nesse instante. Solução: O movimento da pedra pode ser representado por um ponto numa coordenada vertical l com origem no solo e direção positiva para cima (veja a figura abaixo).

v = (7,36) = –9,8(7,6) + 30 ≈ –42,13m/s Nas aplicações à economia, se se conhece uma função marginal, então podemos usar a integração indefinida para achar a função, conforme próximo exemplo. 2. Um fabricante constata que o custo marginal (em reais) da produção de x unidades de uma componente de copiadora é dado por 30 – 0,02x. Se o custo da produção de uma unidade é R$ 35,00, determine a função-custo e o custo de produção de 100 unidades. Solução: Se C é a função-custo, então o custo marginal é a taxa de variação de C em relação a x, isto é,

a) A distância da pedra ao solo no instante t é s(t), e as condições iniciais são s(0) = 45 e v(0) = 30. Como a velocidade é decrescente, v’(t) < 0, isto é, a aceleração é negativa. Logo,

C’(x) = 30 – 0,02x Logo,

∫C’(x)dx = ∫(30 – 0,02x)dx e

a(t) = v’(t) = –9,8

∫C(x) = 30x = –0,01x2 + k para algum k.

∫v’(t)dt = ∫–9,8dt v(t) = –9,8t + C para algum C.

Com x = 1 e C(1) = 35, obtemos

Substituindo t por 0 e em vista do fato de que v(0) = 30 e, conseqüentemente,

35 = 30 – 0, 01 + k ou k = 5,01 Conseqüentemente, C(x) = 30x – 0,01x2 + 5,01. Em particular, o custo da produção de 100 unidades é C(100) = 3.000 – 100 + 5,01 = R$ 2.905,01

v(t) = –9,8 + 30 Como s’(t) = v(t), obtemos s’(t) = –9,8t + 30

∫ s’(t)dt = ∫(9,8t + 30)dt 3. Na comercialização, em reais, de um certo produto, a receita marginal é dada por R’(q) = –20q + 200, e o custo marginal é dado por C’(q) = 20q. Para o intervalo 1 ≤ q ≤ 5, obtenha:

s(t) = –4,9t2 + 30t + D para algum D. Fazendo t = 0, e como s(0) = 45, temos 45 = 0 + 0 + D ou D = 45. Segue-se que a distância do solo à pedra no instante t é dada por

a) A variação total da receita.

s(t) = –4,9t2 + 30t + 45

Solução:

b) A pedra subirá até que v(t) = 0, isto é, até que – 9,8 + 30 = 0 ou t ≈ 3.

A variação total da receita no intervalo 1 ≤ q 5 ≤ 5 será dada por ∫ 1 R’(q)dq = R(5) – R(1) ou seja, devemos encontar o valor de

c) A pedra atingirá o solo quando s(t) = 0, isto é, quando – 4,9t2 + 30t + 45 = 0 107

UEA – Licenciatura em Matemática

∫1 (–20q + 200)dq. 5

Logo,

∫(–40q

+ 200)dq = –20q2 + 200q + C. Obtendo o valor da integral definida:

Calculando, primeiramente, a integral indefinida correspondente ∫(–20q + 200), temos:

∫ 1 (–40q + 200)qd = [–20q2 + 200q]51 5

= 20 . 52 + 200 . 5 – (–20 . 12 + 200 . 1) = –10q2 + 200q + C

∫ 1 (–40q + 200)qd = 500 – 180 = 320

Logo,

Assim, a variação do lucro no intervalo é de R$ 320,00.

5

Note que tal valor também pode ser obtido fazendo a subtração da variação da receita e da variação do custo obtidas nos itens anteriores:

. Obtendo o valor da integral definida:

∫1 (–20q + 200)dq = [–10q2 + 200q]51 5

= –10 . 52 + 200 . 5 – (–10 . 12 + 200 . 1)

R$ 560,00 – R$ 240,00 = R$ 320,00

∫1 (–20q + 200)dq = 750 – 190 = 560 5

d) A interpretação gráfica da variação total do lucro obtida no item anterior.

Assim, a variação da receita no intervalo é de R$ 560,00.

A interpretação gráfica é dada pela área entre a curva da receita marginal, R’(q) = –20q + 200,

b) A variação total do custo. A variação total da receita no intervalo 1 ≤ q 5 ∫1 C’(q)dq = C(5) – C(1) ou seja, devemos encontar o valor de ∫20q dq.

≤ 5 será dada por

e a curva do custo marginal, C’(q) = 20q, no intervalo 1 ≤ q ≤ 5.

Calculando, primeiramente, a integral indefinida correspondente ∫20q dq, temos

Logo, ∫20q dq = –10q2 + C. Obtendo o valor da integral definida:

∫1 20q dq = [10q2]1 = 10 . 52 – 10 . 12 = 240 5

5

Assim, a variação da receita no intervalo é de R$ 240,00. c) A variação total da receita no intervalo 1 ≤ q ≤ 5 será dada por .

∫1 L’(q)dq = L(5) – L(1). Como 5

1. Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de 500m/s. Desprezando-se a resistência do ar, determine:

L’(q) = R’(q) – C’(q), devemos encontar

∫1 L’(q)dq = ∫1 (R’(q) – C’(q))dq. 5

5

a) sua distância no instante t;

Então, a integral procurada será

b) altura máxima atingida.

∫ 1 (R’(q) – C’(q))dq= ∫ 1(–20q+200–20q)dq 5 = ∫ 1(–40q+200)dq 5

5

2. Joga-se uma pedra diretamente para baixo com uma velocidade inicial de 5m/s. Determine:

Calculando primeiramente a integral indefinida correspondente ∫(–40q + 200)dq:

a) Sua distância do solo após t segundos. b) A velocidade ao cabo de 3 segundos. c) Quando o objeto atinge o solo. 108

Cálculo I – Integrais

3. Se um automóvel parte do repouso, qual a aceleração constante que lhe permitirá percorrer 150 metros em 10 segundos? 4. O processo rítmico da respiração consiste em períodos alternados de inalação e exalação. Para um adulto, um ciclo complexo ocorre normalmente a cada 5 segundos. Se V denota o volume de ar nos pulmões no instante t, então dV / dt é a taxa de fluxo. a) Se a taxa máxima de fluxo é 0,6L/seg, estabeleça uma fórmula dV / dT = a sen bt que corresponde à informação dada. b) Use (a) para estimar a quantidade de ar inalada durante um ciclo. 5. Na comercialização, em reais, de um certo produto, a receita marginal é dada por R’(q) = –10q + 100 e o custo marginal é dado por C’(q) = 2,5q. Para o intervalo 2 ≤ q ≤ 8, obtenha: a) A variaçao total da receita. b) A variaçao total do custo. c) A variaçao total do lucro. d) A interpretação gráfica da variação total do lucro obtida no item anterior. 6. Na comercialização, em reais, de uma peça automotiva, a receita marginal é dada por R’(q) = 3q2 e o custo marginal é dado por C’(q) = 27. Para o intervalo 1 ≤ q ≤ 3, obtenha: a) A variaçao total da receita. b) A variaçao total do custo. c) A variaçao total do lucro. d) A interpretação gráfica da variação total do lucro obtida no item anterior.

109

Respostas dos Exercícios

Cálculo I – Respostas dos Exercícios

UNIDADE I

UNIDADE II Limites

Função TEMA 02

TEMA 01

DEFINIÇÃO DE LIMITES LATERAIS

FUNÇÃO OU APLICAÇÃO

Pág. 28 Pág. 20

1. a. 1 b. Não existe

1. a) –3 e 3/4 b) 0 , 2/3 e

c. 1 d. Não existe

c) 4 2. Não, pois f não está definida para x = 1

d) 6/a 2. a) x + 1 a) 2

TEMA 03

b)

CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO

c) d) 0 Pág. 30 3. a) 2 b) 2x + h

1. contínua

a) –4x – 2h

2. descontínua

b) 0

3. descontínua

c)

4. descontínua 5. a = –1

4. Demonstração 5. Demonstração

TEMA 04 PROPRIEDADES DOS LIMITES

Pág. 32

113

1. b

2. d

3. c

4. e

5. c

6. c

7. b

8. e

9. d

10. c

11. b

12. e

UEA – Licenciatura em Matemática

TEMA 07

TEMA 05 LIMITES INFINITESIMAIS

LIMITES EXPONENCIAIS

Pág. 35

Pág. 38

1. c

1. e

2. a

2. d

3. b

3. a) e3

4. e

b) e– m

5. a. –

c) e4

b. + c. d. 0 e. 2/3

TEMA 06 LIMITES TRIGONOMÉTRICOS

Pág. 36 1. a) 3/2 b) b) 3 2. a) 2/3 b) b) 1/5 c) 1/3 3. a) 1 b) 1/16 c) 5 d) –1 e) 2 f)

114

Cálculo I – Respostas dos Exercícios

UNIDADE III Derivada

TEMA 09 A RETA TANGENTE AO

TEMA 08

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO, DEFINIÇÃO

Pág. 50 Pág. 36 1. a) 4 b) y = 4x – 4

1. a)

2. a) 1/2 b) b) 3. y – 4 = 5 (x – 4)

c)

4. a) y = 4x – 3

2. a) 6

5. a) 7

b) 10

b) –3

c) –1

6. –sen x

d) 2 3. a) f’(x) = 2x – 2 b) f’(x) = 1 c)

TEMA 10

d) f’(x) = 3

REGRAS DE DERIVAÇÃO

4. x = 1 5. 5

Pág. 53 1. a) f’(x) = 2x + 1 Pag. 45

b)

1. b

c) f’(x) = 15x4

2. b

d) f’(x) = 6x + 2

3. c

e) f’(x) = 2ax + b

4. b

f)

5. d 2. 6

6. d

3. y = 4x – 13 4. a’(x) = 3x2 + 1 115

UEA – Licenciatura em Matemática

b)

j)

c)

k) 3

d) d’(x) = 24x – 6x + 7 l)

5. e) 2x + y + 1 = 0 6. a) 11 m/seg

m)

b) 14 m/seg² 7. a) a (t) = 36 t

8. y = –x e y = x

b) a (2) = 72 km/h² 9. a)

8. π + 1 9. 32

b) c) Pág. 55

10.

1. a) contínua e derivável b) contínua, mas não derivável c) não é contínua nem derivável d) contínua e derivável

TEMA 11

2. 12x – 9y + 3 3 – 2π = 0 A REGRA DA CADEIA

3. a) f’(1) = 2 b) f’(3) = 15/16 4. d)

Pág. 58

5. b) 6. a) g’(2) = 80

1. 0

b) y = 80x - 128

2. 12x – 9y + 3 3 – 2π = 0

7. a) a’(x) = 5x4 + 4x3

3. b) 2

b) b’(x) = cos x + sen x

4. c) 41%

c) c’(x) = 5x4 ln x + x4

5. a)

d) d’(x) = (3x2 + 1)sen x + (x3 + x)cos x e) e’(x) = 5x4 sen x cos x + x5cos x – x5 sen2 x

b)

f) f’(x) = 36x3 g) g’(x) = 60x4 – 12x3 + 2

c)

h) d) i) e)

116

Cálculo I – Respostas dos Exercícios

b) t < 4

6. 3

2

2

8. 8 unidades, o custo médio será de R$ 53,00 e o custo total de R$ 424,00

3

7. f’(x) = sen x . sec x + 3x . cos x . tg x 8. coeficiente angular: 4 ; y = 4 (x – 2) 9. d) 22 m/s 10. R$ 25,00

TEMA 13

11. m (0) = 260 reais m (100) = 170 reais

TAXA DE DERIVAÇÃO E REGRA

m (400) = 20 reais

DE L’HOSPITAL

m (800) = 100 reais 12. b) 4m/s2 Pág. 70 1. 150 cm²/seg 2. 24 cm/s TEMA 12

3. 80πm3/s 4.

ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO

m/s cm² por hora

5. Pág. 66

m/s

6.

1. 100 cm² 2. Produto máximo para x = 15 e z = 15

7. a) 8/9

3. É um quadrado cujo lados medem em 8 m

b) sec2 a

4. f é decrescente em ]–∞, 1]. Os pontos críticos são x = 0, ponto de inflexão e x = 1, ponto de mínimo absoluto de f.

c) 1/2

5. crescente em

d) 0 e) 2

e decrescente em

f) 1 g) 1/2

6. a) crescente em (–∞,1]∪ [3,∞) decrescente em [1, 3] b) (1, 5 ) e (3, 1 ) c)

7. a) t > 4 117

UEA – Licenciatura em Matemática

UNIDADE IV

b)

Integrais

c) TEMA 14

d) π/4 e) π/6

INTEGRAIS PRIMITIVAS E INDEFINIDAS

f) Pág. 76

2. a) –cos x + k b)

1. a) 2x2 + 3x + C b) 3t3 – 2t2 + 3t + C

c)

c) d) d) 2u3/2 + 2u1/2 + C e) e) f)

f) 3x2 – 3x + x + C g)

g)

h)

h)

i)

i)

j)

j)

k)

k)

2. a)

l)

b) y = 3x + ln x – 1

m)

c)

n) –2 cos x + k

d)

o) p) 3. a) 3/4 b) 2

Pág. 78

c) 2/3

1. a)

d) π/4 118

Cálculo I – Respostas dos Exercícios

TEMA 15 CÁLCULO DE ÁREA

Pág. 85 1. a) 7/2 b) 4/9 c) 253/6

3. Área = 4/3

d) 20/3 e) f) 19/24 g) 7/3 h) 45/8

TEMA 16

4. Área = 32/3

ÁREA ENTRE CURVA

Pág. 87 1. Área = 20

5. Área = 4

2. Área = 14/3

119

UEA – Licenciatura em Matemática

6. Área = 1

9. Área = 1/2

7. Área = 23/3

10. Área = 5/2

8. Área = 21 TEMA 17 MUDANÇA DE VARIÁVEL NA INTEGRAL

Pág. 91 1. a) b) c)

2. a)

b) 120

Cálculo I – Respostas dos Exercícios

c) TEMA 18 d) INTEGRAÇÃO POR PARTES

e)

f)

Pág. 97 x

1. a) (x – 1)e + k g)

b) –xcos x + sen x + k c) ex (x2 – 2x + 2) + k

h) d) i)

e) x(ln x – 1) + k

j)

f) g) xtg + ln |cos x| + k

k)

h) l) i) x(ln x2) – 2x(ln x – 1) + k m) ln|ln x| + C j) n) l) o)

m) n) o) Pág. 94

p)

1. 14/3 2. 0

q) –x2 cos x + 2x sen x + 2cos x + k

3. 1/3

2. a) 1

4. 5/36

b) 2ln 2 – 1

5.

c)

6. 1 –

d)

7. 0

121

UEA – Licenciatura em Matemática

g)

TEMA 19

h)

INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS

2. a) Pág. 102 b) 1. a)

c)

b)

d)

c) e)

d) e)

f)

f) g) Pág. 106

h) 1. a)

b)

TEMA 20

c)

INTEGRAIS DE FUNÇÕES RACIONAIS

d) Pág.105 e) f)

1. a) b) c)

Pág. 108 d) 1. a) s(t) = –16t2 + 500t b) s(50) = 3,906m

e)

2. a) s(t) = –16t2 – 16t + 96 b) t = 2s

f) 122

Cálculo I – Respostas dos Exercícios

c) –80ft/sec 3. 3m/s2 4. a) b) 5. a) b) c) 6. a) b) c) d) 3A variação do lucro é dada pela área entre as curvas de receita marginal e custo marginal no intervalo 1 ≤ q ≤ 3

123

REFERÊNCIAS

BUCCHI, P. Curso Prático de Matemática. Vol. 3. São paulo: Moderna GRANVILLE,W.A. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Rio de Janeiro: Científica GUIDORIZZI, H.L. Um curso de Cálculo. Rio de Janeiro. Livros Técnicos e Científicos IEZZI, G. Fundamentos de Matemática Elementar. Vol. 8. São paulo: Atual LANG,S. Cálculo. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos. MACHADO,A.S. Temas e Metas. Vol. 6. São Paulo: Atual PAIVA,M. e outros. Matemática. Vol 3. São Paulo: Moderna. PISKOUNOV,N. Cálculo Diferencial e Integral. Moscou: Mir. DANTE, L.R. Matemática Contexto e Aplicações. São Paulo: Ática GIOVANNI, J.R. e outros. Matemática 3. São Paulo: FTD

125