Libro_Guia para enseñar y aprender matematica

Guías para Enseñar y Aprender

MATEMATICA

Gobierno de la Provincia de La Pampa Ministerio de Cultura y Educación

C

Guías para Enseñar y Aprender

Gobernador Ing. Carlos Alberto Verna Ministro de Cultura y Educación Prof. María de los Angeles Zamora Subsecretaria de Educación Prof. Berta Suarez de Delú Directora General de Educación Inicial y General Básica Prof. Raquel Fernández

MATEMATICA

C

Autores: Prof: Daniel A. Maldonado

Edición: Juan Montalvo

Los autores de la presente guía agradecen la desinteresada y valiosa colaboración de los docentes que participaron en la revisión del material. Carassay, María Celeste Fuentes, Juan Zánoli, Paula Valerga, Graciela

Guías para Enseñar y Aprender

Autores Prof. Daniel Maldonado Prof. Fani Citzenmaier Diseño y Edición Juan Montalvo

C

Para los docentes Estimado colega: Las Guías para Enseñar y Aprender, instrumento que acompaña y/o complementa las propuestas de enseñanza del docente, acercan una propuesta didáctica concreta, para los diferentes años que conforman el Tercer Ciclo de la EGB. El propósito de las guías consiste en brindar una selección de contenidos, una sugerencia de actividades alternativas para trabajar los mismos y una secuenciación u ordenamiento temático posible. Así, la articulación de los diferentes contenidos propuestos y la resolución de las diferentes consignas propician, en el alumno, el desarrollo de procedimientos y capacidades básicas. La búsqueda de fuentes adecuadas para completar los cuadros comparativos o las imágenes y esquemas hace que la información adquiera mayor significatividad. De este modo queda sujeto al trabajo del aula el grado de profundidad que se usará para desarrollar los diferentes temas, y la utilización de las actividades adecuadas al contexto áulico. Los autores

ACTIVIDAD 1 Resolviendo problemas 1) Un terreno rectangular mide 17,40 metros de frente por 30,60 metros de fondo. Se realiza un plano del terreno en un papel, reduciendo cada lado según una escala de 1:250. a) ¿Cuál es la superficie del terreno real? b) ¿Cuál es la superficie del terreno en el plano? c) ¿Qué relación encontrás entre ambas superficies? 2) El plano de una casa está dibujado a escala 1 cm :

1 2

m.

En el dibujo una de las habitaciones mide 6 cm por 7,5 cm. a) ¿Cuál es la medida real de esa habitación? 3) Se sabe que con 1 Kg de naranjas se obtienen

2 3

de litro de jugo.

a) ¿Cuántos Kg de naranjas hay que exprimir para obtener 6,5 litros de jugo? 4) Con 12 sobres de jugo se preparan 5 bidones de bebida que alcanzan para 32 personas. a) ¿Cuántos sobres se necesitan para preparar 7 bidones de jugo? b) ¿Cuántos sobres se necesitan para preparar jugo para 132 personas?

5

ACTIVIDAD 2 Jerarquía de las operaciones 1) El precio de la nafta común es de $ 1,932 por litro. Se calcula que un auto consume 11,5 litros cada 100 Km. La distancia entre Buenos Aires y General Roca es de 1.170 Km. a) ¿Cuánto dinero se gastará para viajar desde Buenos Aires hasta General Roca? 2) Del diario recortamos este aviso:

¡GRAN OPORTUNIDAD! Amplio depto. de 2 amb. (56 m2). Living y dormitorio alfombrados. Vest. y placards con interiores. Calefac. y agua por cald. indiv. Cocina con breakfast. PAGANDO SÓLO EL 15%... ¡YA PUEDE HABITARLO! U$S 65.000 Incluye I.V.A. Comisión 5% a) ¿Cuál es el valor, sin I.V.A., del departamento? b) ¿Cuál es el precio por m2? c) ¿Cuánto hay que pagar hasta la posesión? 3) Un estadio de fútbol está completo de público. La sombra da sólo sobre las plateas, y sólo la cuarta parte de las plateas están a la sombra. Los 23 de los espectadores están en las plateas. a) ¿Qué parte del total de los espectadores está a la sombra? 4) En un club hay 93 mujeres menores de 20 años, las cuales representan las partes del total de mujeres. Los varones superan en a) ¿Cuántas mujeres hay en el club? b) ¿Cuántos varones hay en el club? c) ¿Cuántos socios hay en el club?

6

1 7

a las mujeres.

3 7

ACTIVIDAD 3 Operaciones combinadas 1) A continuación de cada una de las siguientes expresiones, hay una serie de afirmaciones sobre ellas. Indicá si son verdaderas (V) o falsas (F). Justificá tu indicación. a)

0,5 − 0,75 +

( 6,25 − 32 )

1 1− 0,5

1 2 3− × 2 3

1 8÷ −2

( )

−3

=

I. La expresión tiene dos términos. II. El cálculo del numerador del dividendo de la expresión es − 18 . III. El cálculo del denominador del dividendo de la expresión es 4. IV. El cálculo del numerador del divisor de la expresión es -3. V. El cálculo del denominador del divisor de la expresión es 13 . VI. El cálculo de la expresión tiene como resultado

4 3

.

2 − 0,5 + 0,5 × 0,5 3 1− 169 4 b) − = 81 ⎞ ⎛3 ⎜ − 10 − 1 + 0,5 ⎟ (− 4,05)(− 5) ⎠ ⎝5 I. La expresión tiene dos términos. II. El cálculo del numerador del numerador del primer término de la expresión es 1. III. El cálculo del denominador del numerador del primer término de la expresión es 14 IV. El cálculo del denominador del primer término es 4,5. V. El cálculo del primer término es 149 . VI. El cálculo del segundo término de la expresión es

7 3

.

VII. El cálculo de la expresión tiene como resultado 9.

7

ACTIVIDAD 4 Potenciación y radicación 1) Se tienen tres cubos con las siguientes aristas: 1 m, ½ m y ¼ m. a) ¿Cuál es el volumen de cada cubo? b) ¿Cuál es el área de una cara de cada cubo? 2) Una botella de gaseosa contiene 1 litro. Se quiere depositar dicho contenido en una caja de cartón de forma cúbica. a) ¿Qué dimensiones exactas debe tener la caja para que pueda alojar todo el contenido?

8

ACTIVIDAD 5 Potenciación con exponente negativo 1) Recordá las propiedades de las potencias con bases iguales. a) Resolvé expresando el resultado como potencia, como fracción y como decimal:

37 ⋅ 35 = 7 5 ii. 3 ÷ 3 = 2 6 iii. 3 ⋅ 3 = 2 6 iv. 3 ÷ 3 = i.

b) ¿Qué resultado te dio la última división? c) ¿Qué significa numéricamente la potencia negativa? 2) El resultado de un cálculo es el siguiente:

1 24 .

a) Escribí ese mismo resultado como una potencia de exponente negativo. b) Escribí ese mismo resultado como número decimal.

9

ACTIVIDAD 6 Irracionales 1) La profesora te ha dado un cuadrado en una hoja milimetrada. Se supone que el lado del cuadrado mide 1. a) Marcá los puntos medios de los lados del cuadrado. Unilos con segmentos tal como se muestra en la figura.

b) Comprobá que el cuadrado que formaste tiene un área de ½. c) Doblá cada “punta” del cuadrado original de la siguiente manera:

Repetí la construcción de los dobleces tres veces más. d) ¿Cuánto vale el área del último cuadrado que construiste? e) ¿A qué parte del cuadrado original equivale cada uno de los cuadrados que construiste? f) ¿Cuánto mide el lado de cada uno de los cuadrados que construiste?

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ACTIVIDAD 7 Notación científica 1) ¿Cuántos dígitos tiene el resultado de multiplicar 36.000.000 por 12.000.000? Podés usar la calculadora. a) Hacé el cálculo utilizando una calculadora científica. Anotá todo lo que aparece en la pantalla. b) Hacé el cálculo en papel, escribiendo todos los números. c) Compartí los resultados con tu profesor y tus compañeros. 2) En el diario aparece el siguiente titular:

“El Banco Mundial el prestó a la Argentina tres mil millones de dólares” a) ¿Cómo escribirías este número como potencia de 10? 3) En una mercería utilizan las siguiente tabla para hacer la conversión de las unidades de medida: 102 101 100 10-1 10-2 10-3 103 1.000

100

10

1

1 10

1 100

1 1000

1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 El 1 representa el metro. a) ¿Cuántos metros o qué parte de metro son 102, 103, 10-1, 10-2 y 10-3? b) ¿Cuáles de las cantidades que figuran en la tabla se podrán dibujar en una hoja como esta? 4) El profesor de física anotó estos datos en el pizarrón:

“El peso del globo terrestre es aproximadamente igual al peso de la atmósfera.”

Peso de la Atmósfera

5,1 ⋅ 1015

Peso del Globo Terrestre

6 ⋅ 10 21

Horacio que es un alumno muy observador le dice a un compañero que el profesor se equivoca al decir que el peso del globo terrestre es similar al de la atmósfera. a) ¿Quién tiene razón, Horacio o el profesor? Justificá tu respuesta. 5) Se sabe que un virus que causa el sarampión mide 0,0000001 m y un glóbulo blanco mide 1,2 ⋅ 10

−2

mm.

a) ¿Cuál es más grande, el virus del sarampión o un glóbulo blanco?

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ACTIVIDAD 8 Geometría 1) él.

La figura ABCD es un rectángulo, D es el centro de un círculo y B es un punto de

a)

Calculá el área del rectángulo.

2)

El siguiente cubo tiene 1 cm de arista:

a)

¿Cuánto mide la diagonal?

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3) En la figura se ha construido un triángulo equilátero ABC de 9 cm de lado. Luego, un círculo inscripto en el triángulo. Después, un triángulo EGF inscripto en el círculo.

a) Describí cómo harías esa construcción. Justificá los procedimientos que describís. b) Calculá el área del triángulo ABC y el área del triángulo EGF. c) ¿Qué podés decir acerca del cociente entre el área del triángulo ABC y el área del triángulo EGF? d) Si el lado del triángulo ABC mide X: i. Expresá el área de ABC y de EGF en función de X. ii. ¿Qué podés decir acerca del cociente entre ambas áreas?

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ACTIVIDAD 9 Relaciones entre polígonos 1) Guillermina quiere sacar una fotocopia ampliada del certificado de un premio que ganó en un concurso de arte, para colocarlo en un marco que ya tiene. El certificado mide 20 cm por 26 cm y el vidrio del marco mide 32 cm por 38 cm. a) Dibujá sobre un afiche un rectángulo que represente el certificado de Guillermina. Luego, recortalo. b) ¿Con qué porcentaje conviene ampliar el certificado? ¿Por qué? Su hermano dice que lo mejor es ampliar el certificado a 30 cm por 36 cm para que, así, quede un margen de 2 cm alrededor. c) ¿Es acertado el consejo del hermano es acertado? ¿Por qué? 2) Al escribir en una computadora, es posible seleccionar, entre otras muchas opciones, el formato de la tipografía o fuente.

a)

b)

Compará en los siguientes tipos de letras la altura y el ancho.

Arial negrita

A

A

A

Tamaño en puntos

12

24

18

AA 36

48

Completá la siguiente tabla:

Puntos

Arial negrita Alto (en Ancho mm) (en mm)

12 24 18 36 48 c) El tamaño más grande que tiene el tipo Arial de letra es 72 puntos. ¿Cuál es el alto aproximado de un cartel con esa letra? d) Un punto equivale, aproximadamente a 0,35 mm. Si se disminuye 2 puntos el tamaño de la tipografía, ¿la altura de la letra se reduce 0,7 mm? ¿Por qué?

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ACTIVIDAD 10 Teorema de Tales 1) A partir de los datos que registraste en la tabla del apartado 2)b) de la actividad anterior, realizá los siguientes cálculos: a) Cociente entre el ancho de la letra de 24 puntos y el ancho de la letra de 12 puntos. b) Cociente entre el alto de la letra de 24 puntos y el alto de la letra de 12 puntos. c) Cociente entre el ancho de la letra de 36 puntos y el ancho de la letra de 18 puntos. d) Cociente entre el alto de la letra de 36 puntos y el alto de la letra de 18 puntos. e) Cociente entre el ancho de la letra de 36 puntos y el ancho de la letra de 12 puntos. f) Cociente entre el alto de la letra de 36 puntos y el alto de la letra de 12 puntos. g) Cociente entre el ancho de la letra de 48 puntos y el ancho de la letra de 24 puntos. h) Cociente entre el alto de la letra de 48 puntos y el alto de la letra de 24 puntos. i) Cociente entre el ancho de la letra de 48 puntos y el ancho de la letra de 12 puntos. j) Cociente entre el alto de la letra de 48 puntos y el alto de la letra de 12 puntos. 2) Escribí una conclusión sobre los cálculos que realizaste en el apartado anterior. 3) Considerando la conclusión que escribiste en el apartado anterior, ¿cómo definirías a dos figuras semejantes? El matemático y filósofo Tales nació en la ciudad de Mileto en Asia Menor (actualmente Turquía) en el año 625 a.C. y murió en el año 546 a.C.. Tales llegó a ser famoso por sus conocimientos de astronomía después de predecir el eclipse de sol que ocurrió el 28 de mayo del 585 a.C.. Tales fue capaz de medir la altura de la pirámide de Keops (en Egipto).

A partir de esta experiencia enunció su famoso teorema.

Teorema de Tales: Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos transversales, dos segmentos sobre una de ellas son proporcionales a sus correspondientes en la otra. 2) Sobre la ruta se encuentran dos lotes de tierra. El siguiente plano brinda detalles de sus medidas:

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a) Calculá los valores de m y n sabiendo que los laterales de los lotes son paralelos y que m + n = 90 metros.

ACTIVIDAD 11 16

Triángulos semejantes 1) En una fotocopiadora, se hace una ampliación del siguiente triángulo un 25% más que su tamaño:

a) Calculá las medidas del triángulo ampliado. b) Verificá que el triángulo que se obtiene mediante la ampliación es semejante al original. 2) Dibujá un triángulo en el cual uno de los ángulos mida 30° y otro 45°. a) Compará tu dibujo con el que dibujaron tus compañeros. ¿Dibujaron todos el mismo triángulo? b) Elegí un triángulo distinto al tuyo, dibujado por uno de tus compañeros. ¿Qué relación podés establecer entre los lados correspondientes entre tu triángulo y el de tu compañero? 3) A una hoja del tamaño A4 se le realizan los cortes que se indican en la figura:

Como observarás, se obtienen tres triángulos rectángulos. a) Comprobá que esos triángulos son semejantes. 4) A partir de los datos que aparecen en el bosquejo, determiná la altura de la montaña.

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5) En la actividad anterior te comentamos que Tales calculó la altura de la pirámide de Keops. Analizá el procedimiento utilizado en el apartado anterior y tratá de descubrir cómo hizo Tales para medir la altura de la pirámide.

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ACTIVIDAD 12 Homotecia 1) Observá como el reproductor de cine proyecta la imagen de una estrella sobre una pantalla.

a)

Dibujá la imagen de la estrella tal como se proyectaría en las otras dos pantallas.

2) Observá como este otro reproductor de cine proyecta una imagen la pantalla.

a) ¿Dónde ubicarías la pantalla para que el reproductor proyectara la misma imagen pero, a la mitad del tamaño original? b) ¿Dónde ubicarías la pantalla para que el reproductor proyectara la misma imagen pero, al doble del tamaño original?

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ACTIVIDAD 13 Transformaciones en el plano 1) A Matías le encanta dibujar usando su computadora. También, les da “efectos especiales” a los personajes que dibuja. Observá algunos de ellos. I II III IV V

Este es el efecto “sesgar”. Copió la figura y la desplazó a otro lugar de la pantalla.

Le dio efecto “espejado” a la figura copiada.

En este caso aplicó el efecto “lupa”.

a) ¿Cuáles de las imágenes anteriores, si se las recortan, coinciden plenamente al ponerlos sobre el original? Cuando dos figuras se corresponden en forma y tamaño entonces, se han movido a través de un “movimiento rígido”. 2) Indicá en qué casos las figuras F y F’ se corresponden en un movimiento. Justificá tus respuestas. F F’ a)

F

F’

F

F’

b)

c)

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ACTIVIDAD 14 Traslación 1) Susana le dio indicaciones al jardinero para desplazar el macetero de manera tal que quede frente a la ventana de su dormitorio.

Seleccioná la indicación que Susana debió darle al jardinero: ‰ Traslade el macetero 4 metros. ‰ Traslade el macetero 4 metros hacia al izquierda. ‰ Traslade el macetero 4 metros hacia el este. 2) Un barco de vela ha quedado a la deriva en el río como muestra la figura.

El viento sopla con dirección norte-sur a 20 Km/h y la correntada va de oeste a este a 30 Km/h. a) ¿Dónde se encontrará el velero al cabo de una hora? b) Dibujá el velero en su nueva posición considerando que 1 cm. del gráfico equivale a 5 Km. de la realidad.

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ACTIVIDAD 15 Simetría 1) Graficá las siguientes figuras: a) b) c) d)

Un Un Un Un

cuadrilátero cuadrilátero cuadrilátero cuadrilátero

que que que que

no tenga ejes de simetría. tenga un eje de simetría. tenga dos ejes de simetría. tenga más de dos ejes de simetría.

2) Dadas las siguientes figuras:

a) Marcá, cuando sea posible, ejes de simetría en cada una de ellas. b) Indicá los distintos tipos de cuadriláteros para los cuales las diagonales son ejes de simetría.

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ACTIVIDAD 16 Simetría central 1) La siguiente figura admitiría el punto A como centro de simetría pero, hay 7 errores. Marcá esos errores.

2) Dada la siguiente figura conformada por cuatro baldosas:

a) ¿Cuál sería el dibujo de la baldosa que falta para completar el esquema? b) ¿Por cuál movimiento podrías pasar de la figura que está en la baldosa ubicada en la fila superior y en la columna izquierda, a la figura de la baldosa que falta?

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ACTIVIDAD 17 Coordenadas para navegar 1) Un barco pesquero que navega por el océano se comunica por radio con una central que le indica la zona por la que debe navegar. Esta zona se registra en la central, sobre una pantalla:

En este momento el barco navega por el interior del polígono ABCDEF. Recibe luego la siguiente orden: Respecto de la posición actual, dejar fija la primera coordenada de cada punto y cambiar la segunda por su opuesta. El capitán anota el movimiento en su libro: Posición actual

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Posición nueva

A

(2 ; 2)

(2 ; -2)

A’

B

(3 ; 3)

B’

C

(5 ; 4)

C’

D

(7 ; 3)

D’

E

(7 ; 1)

E’

F

6 ; 2)

F’

a) b)

Completá la tabla y dibujá la nueva zona de navegación. ¿Por medio de qué movimiento se obtiene el polígono A’B’C’D’E’F’?

Las instrucciones posteriores le indican: Cambiar la primera coordenada de cada punto de la posición actual por su opuesto; no modificar la segunda. c) Escribí las coordenadas de los puntos correspondientes al nuevo movimiento: A”B”C”D”E”F”. d) ¿Qué movimiento debe aplicar al A’B’C’D’E’F’ para obtener el A”B”C”D”E”F”? e) ¿Por medio de qué movimiento se podría pasar del ABCDEF al A”B”C”D”E”F”? f) Escribí la instrucción necesaria que debería recibir el barco desde la central para pasar del ABCDEF al A”B”C”D”E”F”.

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ACTIVIDAD 18 Función lineal 1) Un globo aerostático lleva un alturas. Si se denomina X a la metros e Y, a la temperatura entonces, la siguiente fórmula determinada:

termómetro digital para medir la temperatura a distintas altura del globo respecto del nivel del mar medida en en grados centígrados correspondiente a cada altura, nos permite conocer la temperatura para una altura

y=− a) b) c) d)

1 x + 10 200

¿Qué temperatura marcará el termómetro a nivel del mar? ¿ Qué temperatura marcará el termómetro a un kilómetro de altura? ¿A cuántos metros de altura la temperatura es de 0° C? ¿Cada cuántos metros la temperatura disminuye 1° C? Tal vez te resulte de ayuda construir una tabla donde vayas calculando las diferentes temperaturas según la altura del globo. e) Graficá los valores de la temperatura en función a la altura. 2) Las últimas lecturas de un medidor de energía eléctrica registraron esto: 1 de abril 1 de mayo 1 de junio

120 Kwh 140 Kwh 165 Kwh

El importe de las facturas fue de $ 19,22 para el consumo de abril y de $ 19,72 para el consumo de mayo. El importe de las facturas se compone de un monto fijo en concepto de abono e impuestos, más un monto por cada Kwh consumido. a) Calculá el monto fijo que se paga en cada factura en concepto de abono e impuestos. b) Calculá el monto que se paga por cada Kwh consumido. 3) Dada la siguiente función lineal:

y=

1 x−3 3

a)

¿Qué punto se obtiene cuando x = 1?

b)

¿El punto ⎜ 8;− ⎟ pertenece a la recta?

c) d)

Indicá tres puntos que pertenezcan a la recta. Indicá tres puntos que no pertenezcan a la recta.

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⎛ ⎝

1⎞ 3⎠

ACTIVIDAD 19 Intersección de rectas 1) Una fábrica de estéreos tiene un costo fijo de $ 5.000 mensuales. Cada aparato que fabrica tiene, a su vez, un costo de $ 100. a) Calculá el costo mensual total de la empresa si fabrica 200 estéreos. b) Calculá el costo mensual total de la empresa si fabrica 345 estéreos. c) Escribí una fórmula que te permita calcular el costo mensual total de la empresa en función de la cantidad de estéreos que fabrica. d) Graficá en un par de ejes cartesianos la función determinada por la fórmula del apartado anterior. e) Calculá el costo mensual total de la empresa si fabrica 238 estéreos. La empresa vende cada aparato a $ 140. f) Calculá el resultado (ganancia o pérdida) de la empresa si en un mes vende 90 estéreos (considerando el costo de fabricación). g) Calculá el resultado (ganancia o pérdida) de la empresa si en un mes vende 150 estéreos (considerando el costo de fabricación). h) Escribí una fórmula que te permita calcular el resultado (ganancia o pérdida) mensual de la empresa en función de la cantidad de estéreos que vende. i) Calculá el resultado (ganancia o pérdida) de la empresa si vende 138 estéreos. j) Graficá en un par de ejes cartesianos la función determinada por la fórmula del apartado anterior. 2) Considerá los datos del problema 1). Identificá con la letra F al costo fijo mensual de la empresa; con la letra C al costo unitario de cada aparato; y con la letra P al precio de venta de cada estéreo. a) Escribí una generalización de la fórmula del apartado 1)c). b) Escribí una generalización de la fórmula del apartado 1)i). 3) Dos ferrocarriles privados transportan ciertas cargas de igual peso en el gran Buenos Aires. El ferrocarril “Ferrosur” cobra un monto fiijo de $ 30 y $ 8 por km. El ferrocarril “Ferronorte” cobra un monto fijo de $ 24 y $ 8,50 por km. a) Escribí una fórmula que muestre la relación entre el valor del transporte por el ferrocarril “Ferrosur” y la cantidad de km recorridos. b) Escribí una fórmula que muestre la relación entre el valor del transporte por el ferrocarril “Ferronorte” y la cantidad de km recorridos. c) Graficá en un mismo par de ejes cartesianos, las funciones cuyas fórmulas escribiste en los apartados anteriores. d) ¿Cuándo el ferrocarril “Ferrosur” es más barato que el ferrocarril “Ferronorte”? e) ¿Cuándo el ferrocarril “Ferronorte” es más barato que el ferrocarril “Ferrosur”?

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ACTIVIDAD 20 Función cuadrática 1) Cortá un trozo de cuerda que no ceda al extenderse. Su tamaño debe ser un poco mayor a 40 cm. Hacé un nudo, atando sus extremos, para formar una curva cerrada y quede de 20 cm.

Pinchalo con alfileres o escarbadientes sobre un trozo de telgopor. Formá distintos rectángulos y medí la base y la altura de cada uno de ellos.

a) ¿Varía el perímetro de los diferentes rectángulos que construiste? b) ¿Varía el área de los diferentes rectángulos que construiste? c) Compartí tus respuestas a las dos preguntas anteriores con tus compañeros. d) Todos los alumnos de tu curso construyeron los mismos rectángulos. ¿Algún compañero construyó un rectángulo que vos no habías hecho? e) Construí junto a tus compañeros una tabla que muestre la variación del área en función de la altura. f) ¿Hay algún valor que permite dibujar el rectángulo que tiene mayor área? ¿Cuál es? g) ¿Qué pasa cuando seguís aumentando el valor de la altura? h) Graficá en un par de ejes cartesianos la medida del área de un rectángulo en función de su altura. Utilizá los valores de la tabla que armaste en el apartado e). i) ¿Cómo se llama la figura que queda formada? Ahora viene lo difícil.... Escribí las cuentas que hiciste para calcular los valores de la tabla que construiste en el apartado e). Reemplazá los valores de la medida de las alturas por la letra H y los valores de la medida del área por la letra A. j) ¿Qué expresión te queda? Compartí tu respuesta con tus compañeros y con tu profesor/a.

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ACTIVIDAD 21 Optimización de la función cuadrática 1) Se tiene un cuadrante de círculo de radio 1 y un punto C variable sobre el arco de circunferencia MN. Tal como se muestra en la figura siguiente:

a) ¿Dónde ubicarías el punto C para que el área del rectángulo ABCD sea máxima? Conjeturá una respuesta. b) Tratá de validar la conjetura que hiciste en el apartado anterior utilizando una función como modelo. c) ¿Era verdadera o falsa la conjetura que hiciste en el apartado a)? 2) El triángulo ABC es isósceles. Su base es igual a su altura, y miden 2 cm. Para cada punto P sobre la altura se determina un trapecio como lo indica la figura.

El área del trapecio varía con la ubicación de P. a) ¿Para qué posición de P el área resulta máxima? Conjeturá una respuesta. b) Tratá de validar la conjetura que hiciste en el apartado anterior utilizando una función como modelo. c) Interpretá el resultado que obtuviste a través del gráfico de la función que utilizaste como modelo. d) ¿Qué otra información respecto al problema podés obtener de dicho gráfico? e) ¿Se pueden obtener otros modelos funcionales para esta situación? Justificá tu respuesta. f) ¿Era verdadera o falsa la conjetura que hiciste en el apartado a)?

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BIBLIOGRAFIA

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Chemello, G. (Coord.); Agrasar, M.; Crippa, A.; Díaz, A.. 2004.Matemática 9. Argentina. Longseller.

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Sadovsky, P.; Kass, M.; Panizza, M.; Reyna, M.. 1989. MATEMÁTICA 2. Argentina. Santillana.

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Brenta, B.; García, M.; Ríos, L. 1997. Matemática 9. México. Harla.

¾

Repetto; Linskens; Fesquet. 1968. Matemática moderna . Argentina. Kapelusz.

ACTIVIDAD 22 Aproximación, redondeo y truncamiento 1) Vicente tiene una calculadora con dos teclas “especiales”. Una tiene la inscripción “00” y, cuando es oprimida, redondea el resultado del cálculo a dos decimales. La otra tiene la inscripción “/.” y trunca el resultado al número entero. Usando su calculadora, realiza las siguientes operaciones. Primero suma 9,568 con 2,357. Luego, al resultado anterior lo multiplica por 4,259. Finalmente, al resultado anterior, lo divide por 3,674. a) Escribí el resultado que arrojó la calculadora de Vicente si no oprimió nunca las teclas “especiales”. b) Escribí el resultado que arrojó la calculadora de Vicente si, después de obtener cada resultado oprimió la tecla “00”. c) Escribí el resultado que arrojó la calculadora de Vicente si, después de obtener cada resultado oprimió la tecla “/.”. 2) En una estación de servicios (que identificaremos con la letra “A”) el litro de gasoil cuesta $ 1,991. En otra estación de servicios (que identificaremos con la letra “B”) el litro de gasoil cuesta $ 1,981. Completá la siguiente tabla:

Original

Redondeado a 2 decimales

Truncado a 2 Redondeado al decimales entero

Truncado al entero

Litros A

23

46

69

92

30

B

A-B

A

B

A-B

A

B

A-B

A

B

A-B

A

B

A-B

ACTIVIDAD 23 Múltiplos y divisores 1) Un grupo de 12 alumnos de 9° año fue seleccionado para participar en una “Olimpíada Matemática”. Están pensando en organizar equipos para entrenarse, de tal modo que todos tengan el mismo número de integrantes o, trabajar individualmente o bien, formar un único equipo. ¿Cuáles son todas las maneras en que pueden organizarse? 2) Suponé que hoy es viernes. Contestá las siguiente preguntas sin consultar el almanaque (sólo lo podés ver para verificar la correctitud de tus respuestas). a) ¿Qué día fue ayer? b) ¿Qué día será dentro de 8 días? c) ¿Qué día será dentro de 70 días? 3) En una bodega necesitan fraccionar vino tinto y blanco, sin mezclarlos. Desean repartirlos en barriles que contengan un número entero de litros (todos los barriles tienen la misma capacidad). Tienen 54 litros de vino tinto y 42 litros de vino blanco. a) ¿Qué capacidad deberían tener los barriles para que todos estén llenos y la cantidad de barriles utilizada sea la mínima? b) ¿Cuántos barriles de vino tinto se obtienen y cuántos de blanco? 4) La luz de un faro destella cada 8 segundos; la luz de otro cercano, cada 10 segundos, y la de un tercer faro, cada 15 segundos. Si a las 8 hs. destellan juntos, ¿a qué hora volverán a hacerlo simultáneamente? 5) Carlos recibió en su cumpleaños una caja de bombones. Un amigo le preguntó cuántos bombones había en la caja, y Carlos contestó: “Yo solamente recuerdo que había menos de 100 y que cuando yo los repartía en montones de 2 o, en montones de 3 o, en montones de 4, siempre me sobraba uno pero, cuando los ponía en montones de 5 no sobraba ninguno”. ¿Cuántos bombones recibió Carlos?

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ACTIVIDAD 24 Intervalos 1) Representá en la recta los siguientes números racionales: a) Aquellos cuya distancia al –0,75 es 3. b) Los que se encuentran a la misma distancia de 0,0001 y 0,0002. c) Aquellos cuya distancia al –1,5 es mayor que 3. d) Aquellos cuya distancia al 2,3 es menor que 5. 2) Completá las siguientes expresiones escribiendo los números enteros más próximos a cada uno de los siguientes números racionales.

12 < ___ 5 12 b) ___ < < ___ 5 9 c) ___ < < ___ 7 9 d) ___ < − < ___ 7 a) ___ < −

3) Considerá el conjunto de los números enteros x que verifican 2 < x < 5. a) ¿Cuál es el menor de los elementos de este conjunto? b) ¿Cuál es el mayor de los elementos de este conjunto? c) Representá en una recta a los números enteros que verifican 2 < x < 5. 4) Considerá el conjunto de los números racionales x que verifican 2 < x < 5. a) ¿Podés indicuar cuál es el menor de los números que pertenecen a este conjunto? ¿Y el mayor? b) Representá en una recta a los números racionales que verifican 2 < x < 5. 5) Indicá, cuando se posible: a) El mayor número entero x que verifica x ≤ 10,3. b) El mayor número entero x que verifica x ≤ 10. c) El mayor número racional x que verifica x ≤ 10,3. d) El mayor número racional x que verifica x ≤ 10.

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ACTIVIDAD 25 Potencias de base racional y exponente entero 1) Calculá el resultado de las siguientes expresiones utilizando una calculadora científica: a) b) c) d) e)

() (12 ) = (12 ) = (12 ) = (12 ) = 1 2

5

4

3

2

1

=

()= (12 ) = (12 ) = (12 ) = (12 ) =

f) (0,5)5=

k)

g) (0,5)4=

l)

h) (0,5)3=

m)

i) (0,5)2=

n)

j) (0,5)1=

o)

1 2

−1

−2

−3

−4

−5

p) (0,5)-1= q) (0,5)-2= r) (0,5)-3= s) (0,5)-4= t) (0,5)-5=

2) Considerá los resultados del apartado 1). a) Ordenalos de mayor a menor. b) ¿Qué características tienen las bases y los exponentes de aquellas potencias que dan los resultados mayores? c) Calculá otras potencias cuyas bases y exponentes tengan las características que enunciaste en el apartado anterior. d) ¿Qué características tienen las bases y los exponentes de aquellas potencias que dan los resultados menores? e) Calculá otras potencias cuyas bases y exponentes tengan las características que enunciaste en el apartado anterior. f) Volvé a leer lo que escribiste en los apartados b), c), d) y e); luego, escribí una conclusión. g) ¿Todos los resultados tienen coma? Si existen, escribí las potencias cuyos resultados no tienen coma. h) ¿Qué características tienen las bases y los exponentes de aquellas potencias que dan los resultados sin coma? i) Calculá otras potencias cuyas bases y exponentes tengan las características que enunciaste en el apartado anterior. j) Volvé a leer lo que escribiste en los apartados h) e i); luego, escribí una conclusión.

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ACTIVIDAD 26 Expresiones fraccionarias 1) Observá la siguiente expresión:

a 4 4 a × = × 2 3 2 3

a) ¿Es verdadera para cualquier valor de “a”? b) ¿Qué valor debería tener “a” para que el resultado sea un número entero? 2) Observá las siguiente expresiones

a ×5 3

a×

5 3

a 3× 5

1 a× ×5 3

¿Cuál de las anteriores expresiones es igual a la expresión 3) ¿Cuáles de las siguientes expresiones son verdaderas? a) b) c) d) e)

a×

3 5

a×5 ? ¿Por qué? 3

a×9 a 9 = × 7 7 7 a+5 a 5 = + 8 8 8 3 a ÷ = a×3÷ 2 2 3 1 a ÷ = a× 3 2 2 3 a ÷ = a ÷ 2×3 2

4) Indicá para qué valores de “n” (donde “n” representa un número natural), cada una de las siguientes expresiones representa una fracción irreducible. a)

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n × (n + 1) × (n + 2) 12

b)

5 5× n + 2

c)

n n +1

ACTIVIDAD 27 Juego de las operaciones 1) Te proponemos un juego. Se puede participar en forma individual o grupal. Hay que escribir expresiones en la que obligatoriamente aparezcan los símbolos de las operaciones adición (suma), sustracción (resta), multiplicación, división, potenciación y radicación, y los números 2, 3 y 5. Pueden aparecer (aunque no es obligatorio) los paréntesis. Cada expresión debe representar un número entero positivo o, un número entero negativo o, un decimal exacto o, un decimal periódico puro o, un decimal periódico mixto o, un irracional. Gana el equipo que pueda escribir una expresión para cada tipo de número. En el caso que varios equipos logren esto, gana el que más expresiones diferentes escribe.

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ACTIVIDAD 28 Proporcionalidad inversa 1) Dibujá todos los rectángulos posibles que ocupen 100 cuadraditos y que tengan como medida de sus lados un número natural de cuadraditos.

2) Completá la siguiente tabla con los datos de los rectángulos que dibujaste en el apartado anterior: Base Altura 3) Considerá los datos de la tabla del apartado anterior. a) Graficalos en un par de ejes cartesianos. b) ¿El gráfico obtenido es una recta o una curva? c) ¿Qué valor se mantiene constante? d) ¿Cómo varían la altura y la base de los rectángulos para mantener el mismo área? 4) Analizá si son o no proporcionales. En caso afirmativo, indicá si la proporción es directa o inversa. a) Los kilogramos de pan y su precio. b) La altura de una persona y su edad. c) Las bases y las alturas de los rectángulos de 24 cm2 de área.

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d) Las bases y las alturas de los rectángulos de 50 m de perímetro. e) El número de partidos de fútbol jugados por un equipo y los goles marcados. 5) Los organizadores de un campamento están realizando algunos cálculos para determinar las provisiones que deben llevar. a) Saben que 8 bidones de jugo de 5 litros cada uno se consumen en 6 días. ¿Cuántos bidones de jugo de 4 litros se consumirán en 15 días? b) Experiencias anteriores indican que 15 niños consumen 8 cajas de provisiones en 6 días. ¿Cuántos días durarán 24 cajas de provisiones si se agregan 3 niños? 6) Una empresa agropecuaria llena 24 contenedores de 15 toneladas cada uno para trasladar su producción. ¿Cuántos contenedores de 18 toneladas cada uno necesitará para trasladar la misma producción? 7) Para sembrar 120 hectáreas se necesitan 15 días de 8 horas diarias de trabajo. ¿Cuántas horas diarias de trabajo se necesitan para sembrar 144 hectáreas en 16 días? 8) Una suma de dinero alcanza para pagar, durante 3 meses, $ 450 mensuales a 8 personas. Si el número de personas se aumentara en 4 y se duplicara el número de meses, ¿cuántos pesos por mes recibiría cada uno? 9) Un auto tarda 5 días para recorrer 2.400 Km., andando 8 horas diarias. ¿Cuántos días tardará en recorrer, a igual velocidad, 3.360 Km. si marcha 14 horas diarias? 10) Un auto que marcha a 60 Km/h recorre cierta distancia en 3 días, andando 6 horas diarias. ¿Cuántas horas por día debe marchar si quiere recorrer esa misma distancia en 2 días y a 80 Km/h?

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ACTIVIDAD 29 Volumen 1) Calculá: a) La capacidad en litros de un cubo de 7 dm. de arista. b) La cantidad de decalitros que hay en un 1 m3. 2) ¿Caben 25 litros de agua en un cubo que tiene 3 dm. de arista? 3) En una botella de vino figura el siguiente dato: capacidad 750 cm3. a) ¿Esto significa que cabe en la botella el contenido de 750 cubitos de 1 cm. de arista? b) ¿Cuántas botellas como ésta completan una damajuana de 4 litros y medio? c) ¿El contenido de cuántos cubitos de 1 cm. de arista completan la damajuana? d) ¿El contenido de cuántos cubos de 10 cm. de arista caben en la damajuana? ¿Y en la botella? 4) Un depósito con forma de prisma tiene una capacidad para 1.000 litros. a) ¿Cuáles podrían ser sus medidas? b) Si duplicás esas medidas, ¿cuántos depósitos de igual capacidad que el primero obtenés? (Intentá calcularlo mentalmente). 5) En una receta médica se puede leer: “Jarabe: 1 dosis de 5 ml. Cada 6 horas durante 1 semana”. ¿Cuántos frascos habrá que comprar si cada frasco de jarabe contiene 60 cm3.? 6) El aire contiene aproximadamente 21% de oxígeno. a) ¿Cuántos cm3. de oxígeno se encontrarán, aproximadamente, en 10 litros de aire? b) ¿Cuánto oxígeno hay en tu aula? 7) Hay un cargamento de 5.632 ladrillos, cada uno con las siguiente dimensiones: largo = 20 cm., ancho = 10 cm., espesor = 6 cm.. a) ¿Cuántos kilómetros medirá la fila más larga que se pueda obtener con todos los ladrillos? b) ¿Cuál es la mayor superficie que podés cubrir con ellos? c) ¿Cuánto mide el cuadrado de mayor superficie que puedan cubrir estos ladrillos? d) ¿Cuántos ladrillos forman cada uno de los lados del cuadrado? e) Si apoyaras cuatro ladrillos de modo que cubran una superficie rectangular de 40 cm. por 20 cm., y los restantes los apilaras de la misma forma sobre éstos, de a cuatro, ¿qué altura tendrá la torre así formada? 8) Buscá un envase de leche de cartón y tomá sus medidas. a) ¿Cuántos cm3. cabrían dentro? b) ¿Cuántos dm3. representan? c) ¿Cuál es la capacidad que figura en el envase? d) En caso de diferir el resultado de tu cálculo con el que figura en el envase, ¿a qué lo adjudicarías?

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ACTIVIDAD 30 Teorema de Pitágoras 1) Dibujá en una hoja un triángulo cuyos lados midan 10 cm., 8 cm. y 6 cm.. a) ¿Qué clase de triángulo es? b) ¿Se reduce a la mitad la amplitud de los ángulos si se reduce a la mitad la medida de cada lado? c) ¿Sigue siendo la misma clase de triángulo si se reduce a la mitad la medida de cada lado? 2) Malena afirma que, si se construye un triángulo de modo que los valores de sus lados sean tres números consecutivos, siempre se obtiene un triángulo rectángulo. Para mostrar que lo que dice es cierto, Malena construyó un triángulo rectángulo cuyos lados miden 3 cm., 4 cm. y 5 cm.. ¿Estás de acuerdo con su afirmación? ¿Por qué? 3) Camilo afirma que tiene una manera de encontrar números que sirvan para construir un triángulo rectángulo y dic lo siguiente: “Hay que elegir un número, calcular el doble y al número que se obtiene sumarle 2 y 3. Por ejemplo, si se elige 5, su doble es 10 y, con 10, 12 y 13 se puede construir un triángulo rectángulo”. ¿Estás de acuerdo con su afirmación? ¿Por qué? 4) Construí en papel cuadriculado una familia de cuadrados de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 unidades de lado. Considerá como unidad la longitud del lado de un cuadradito del papel. a) Buscá tres cuadrados de ese grupo de modo que el más grande tenga un área equivalente a la suma de las áreas de los otros dos. Anotá las medidas de los lados de cada cuadrado y sus respectivas áreas. b) Buscá otros cuadrados que verifiquen la misma relación. ¿Cuántos podés encontrar? 5) Para cada item, los valores de m, n y t ¿pueden corresponder a los lados de un triángulo rectángulo? ¿Por qué? a) m = 7, n = 24 y t = 25. b) m = 15, n = 20 y t = 25. c) m = 11, n = 15,5 y t = 19. d) m = 7, n = 8 y t = 10. e) m =

2,n=

7 y t = 3.

6) ¿Es posible construir un triángulo rectángulo isósceles de modo que todos los valores de las medidas de sus lados sean números naturales? ¿Por qué?

7) ¿Cuántos metros de caño se necesitan para construir un arco de fútbol con una estructura como la que muestra el dibujo?

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ACTIVIDAD 31 Análisis de la función cuadrática 1) Observa el siguiente gráfico que muestra las horas de luz de un día en la ciudad de Barcelona durante un año.

17 16

Horas de luz

15 14 13 12 11 10 E

F

M

A

M

J

Jl

A

S

O

N

D

Meses

a) ¿Cuántas horas de luz hubo el 31 de enero, el 21 de junio y el 30 de noviembre? b) ¿Cuándo el día tiene 15 horas de luz? c) ¿Cuándo el día tiene 20 horas de luz? d) ¿Qué día hay más horas de luz? e) ¿Qué día hay menos horas de luz? f) ¿Cuándo el aumento de horas de luz es mayor? g) ¿Cuándo el aumento de horas de luz es menor? h) Describe la situación expresada por la gráfica. 2) Observa el siguiente gráfico que muestra las horas de luz de un día en la varias ciudades: una ubicada a los 10° de latitud norte, la otra a los 30°, la otra a los 40° y la otra a los 50°.

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19 18 17

Meses

16 15 14 13 12 11 10 9 E

F

M

A

M

J

Jl

A

S

O

N

D

Horas de luz 10°

30°

40°

50°

a) ¿Qué día el número de horas de luz es el mismo para todos los lugares? b) ¿Qué significan estos días? c) ¿En cuál de las curvas el aumento (o la disminución) de las horas de luz es mayor? ¿Sabrías explicar por qué? d) ¿Cuándo la diferencia de las horas de luz entre las distintas ciudades es mayor? e) ¿Cuándo la diferencia de las horas de luz entre las distintas ciudades es menor? f) Construí un gráfico que muestre las horas de noche, a lo largo de un año, para una de las ciudades representada en la gráfica. 3) El costo de una ventana cuadrada depende de su tamaño. El precio del vidrio es de $ 5 por dm2, y el marco $ 10 por dm.. a) ¿Cuánto costará una ventana de 7 dm. de lado? b) ¿Cuánto costará una ventana de 1 m. de lado? c) ¿Cuánto costará una ventana de 1,5 m. de lado? d) Completá la siguiente tabla. En la columna “Medida del lado” agregá tres valores: Medida del lado Costo del marco Costo del vidrio Costo de la (en dm.) (en $) (en $) ventana (en $) 7 10 15

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e) Graficá en un mismo par de ejes cartesianos los valores de la tabla anterior. f) Llamando “x” a la longitud del lado de la ventana e “y” al costo del marco de la ventana, escribí una fórmula que dé el costo del marco de la ventana a partir de la longitud del lado. g) Llamando “x” a la longitud del lado de la ventana e “y” al costo del vidrio de la ventana, escribí una fórmula que dé el costo del vidrio de la ventana a partir de la longitud del lado. h) Llamando “x” a la longitud del lado de la ventana e “y” al costo de la ventana, escribí una fórmula que dé el costo de la ventana a partir de la longitud del lado.

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ACTIVIDAD 32 Interpretación de funciones 1) Se desea vallar con alambre un jardín de forma cuadrada. a) ¿Cuánto alambre es necesario si el lado del jardín mide 12 m.? b) ¿Cuánto alambre es necesario si el lado del jardín mide 7 m.? c) ¿Cuánto alambre es necesario si el lado del jardín mide 33,5 m.? d) Completá la siguiente tabla. En la columna “Medida del lado” agregá tres valores: Medida Alambre del lado necesario (en m.) (en m.) 12 7 33,5

e) Graficá en un par de ejes cartesianos los valores de la tabla anterior. f) Si hemos utilizado 108 m. de alambre, ¿qué dimensiones tenía el jardín? Explicá cómo se hallan los metros de alambre necesarios si se conoce la longitud del lado del jardín. g) Escribí una fórmula que permita calcular los metros de alambres (que llamaremos “y”) necesarios para vallar un jardín de “x” metros de lado. 2) Un grupo de amigos quiere comprar una pelota de fútbol que cuesta $ 35. a) ¿Cuánto pagará cada uno de ellos si son 10 los chicos? b) ¿Cuánto pagará cada uno de ellos si son 25 los chicos? c) Completá la siguiente tabla. En la columna “Chicos” agregá tres valores:

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Chicos

Aporte (en $)

10 25

d) Graficá en un par de ejes cartesianos los valores de la tabla anterior. e) ¿Qué propiedad cumplen los pares de valores de la tabla? f) Escribí una fórmula que permita calcular lo que paga cada chico (representándolo con la letra “y”) a partir de la cantidad de chicos (representada con la letra “x”).

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BIBLIOGRAFIA

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