Libro Variable

 

Variable Compleja Hans Cristian Muller Santa Cruz 2000

 

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´ Indice general Indice Prefacio

 

I. Variable Compleja I. I.1. 1. Los Los N´ umeros Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1 I.1.1. .1. El P Plan lanoo Co Compl mplejo ejo  C   . . . . . . . . . . . . . . . . I.1 I.1.2. .2. Con Conjug jugado ado de u un n n´ umero complejo . . . . . . . . . I. I.1. 1.3. 3. M´ oodulo dulo de un n´ umero complejo . . . . . . . . . . . I.1 I.1.4. .4. Sus Sustra tracci cci´´oon n y Divisi´on . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.5. Forma Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.6. Topolog opolog´´ıa del Plano Complejo   C   . . . . . . . . . . ¯  . . . . . . . . . . . . I.1.7. I.1. 7. El p plano lano comp complejo lejo acab acabado ado  C I.2. Funciones Complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2.1. I.2. 1. Repre Represen sentacio taciones nes Gr´ aficas de Funciones Complejas I.2.2. Funciones Complejas Remarcables . . . . . . . . . I.2.3. El Logaritmo Complejo . . . . . . . . . . . . . . . I. I.2. 2.4. 4. Funci uncion ones es Tri rigo gono nom m´eetri trica cass Comp Comple leja jass . . . . . . . I.3. Funciones Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3.1. Funciones Holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . I.4. Funciones Conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4.1. Homograf´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4.2. I.4. 2. Repre Represen sentaci´ taci´ on Conforme . . . . . . . . . . . . . . I.5. Int Integrac egraci´ i´ on Compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.6. Un Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V

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1 1 3 4 5 5 5 6 6 7 8 8 12 14 15 17 18 20 24 27 36

I. I.7. 7. F´ ormulas Integrales de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.8. Series Enteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. I.8. 8.1. 1. C´ alculos con Series Enteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.8.2. I.8. 2. Teorem eoremas as de Unici Unicidad dad y Prolo Prolongam ngamien iento to An´ alitico . . . . . . I. I.8. 8.3. 3. Otr tros os Resu Resulltad tados de las las Funci uncion ones es Ho Hollom omor orfa fass . . . . . . . . I.9. Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. I.9. 9.1. 1. Pun Puntos tos S Sin ingu gula lare ress A Ais isla lado doss d dee F Fun unci cion ones es Holo Holomo morf rfas as . . . . . I.10. R Reesiduos y Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.10.1. I.10 .1. C´ alculo de Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.10.2. I.10 .2. C´ alculo de Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.10.3. V Vaalor Principal de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.11. Funciones Meromorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I. I.11 11.1 .1.. Desa Desarr rrol ollo lo een nF Fra racc ccio ione ness P Par arci cial ales es d dee F Fun unci cion ones es M Mer erom omor orfa fass . I.11.2. N´ u umer meroo d dee Cero Ceross y Polos olos de Funci uncion ones es Me Mero romo morf rfas as . . . . .

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41 43 45 49 51 55 58 60 61 63 68 69 70 73

i

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ii

 

´ INDICE GENERAL

 

´ Indice de figuras Indice I.1.1. I.1.1. I.1.2. I.1. 2. I. I.2. 2.1. 1. I. I.2. 2.2. 2. I. I.2. 2.3. 3. I.2.4. I.2. 4. I.2.5. I.2. 5. I.2.6. I.3.1. I.3. 1.

Transf ransforma ormacione cioness de   R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proy Proyecci ecci´´oon n Estereogr´afica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gr Gr´´afica de los Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gr Gr´´aafica fica Transformaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gr Gr´´afica del Campo de Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . Funci´ on Lineal no Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funci´ on Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Imagen de una Banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funci´ oon n continua, Cauchy-Rieman, pero no   C-diferenciable

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2 7 8 9 9 10 11 12 16

I.4.1. I.4.1. I.4.2. I.4. 2. I.4.3. I.4. 3. I.8.1. I.8. 1.

Ejemp Ejemplo lo de F Funci unci´´on Conforme . . . . . . . . . . . . Transf ransforma ormaci´ ci´ on de Cayley . . . . . . . . . . . . . . Repre Represent sentaci´ aci´ on conforme de sin . . . . . . . . . . . 2 5 3  z   z3   +   z5   + +   z255  en   R  y Poli Polinomi nomioo de T Tayl aylor or z

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19 24 26 45

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46 47 51 54 72 74

−

···

. . . . . . . . . . . . en   C   . 2

I. I.8. 8.2. 2. Gr Gr´´aaficas ficas de parte real e imaginaria de (z ( z 1)   (z −21)  I.8.3. I.8. 3. Composi Composici´ ci´ on de Series . . . . . . . . . . . . . . . . . I.8.4. I.8. 4. Princ Principio ipio del Pro Prolong longamie amiento nto An´ alitico . . . . . . . . I.8.5. I.8. 5. Demos Demostraci traci´´oon n Teorema de la Aplicaci´on Abierta . . . I.11.1. Mapas de cot z  y csc z   . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 I.11.2. Indice de Cauchy para f  para  f ((z ) =   zez− −i . . . . . . . . . .

− −

iii

. . . .

3

+   (z−31) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n

  − · · · ±   (z−n1)   . . . . .

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iv

 

´ INDICE DE FIGURAS 

 

Prefacio

v

 

vi

 

PREFACIO 

 

Cap´ıtulo I Variable Compleja En lo que concierne la teor teor´´ıa del an´aalisis lisis complejo, tres puntos de vista predominan en la actualidad:   Integraci´oon n Compleja (Cauchy 1814-1830).

• •  Aplicaciones holomorfas   C → R  (Tesis de Riemann 1851).  Series enteras (Cauchy 1831-1846, Weirstraß).

• Comenzaremos este cap cap´´ıtulo por el c´ aalculo lculo diferencial y las funciones holomorfas seg´ u un n Riemann. Luego, seguiremos la evoluci´oon n de Cauchy (integrales complejas, f´oormula rmula de Cauchy). Veremos que cada funci´oon n holomorfa es anal anal´´ıtica (admite un desarrollo en serie de potencias). Estas series simplifican la teor teor´´ıa (punto de vistas de Weirstraß),

I.1.

Los N´ umeros Complejos umeros

Si bien los n´u umeros meros complejos son familiares para todos los que siguen este curso, se vio, por ejemplo, en el primer de a˜ n noo de An´aalisis, lisis, en esta secci´oon n abordaremos el plano complejo con una ´ooptica pti ca ggeom´ eom´eetrica, tri ca, para comprender y asimilar la riqueza y potencia que tiene esta teor teor´´ıa. Sabemos que el conjunto de los n´u umeros meros reales   R  provisto de la adici´oon n y la multiplicaci´oon n es un cuerpo completo con un orden compatible con dichas op operaciones. eraciones. Geom´eetricamente tricamente   R  asociamos a una recta, que la llamamos recta real. Como es de conocimiento de todos, la ecuaci´oon n x2 + 1 = 0, 0, no tiene soluci´oon n en   R. Nuestro objetivo ser´a construir un cuerpo que contenga   R  en el cual dicha ecuaci´oon n tenga soluci´oon. n. Como   R  est´a asociado a una recta, vamos a construir un cuerpo que este asociado a un plano (real); ya que la exten extensi´ si´ oon n inmediata de una recta constituye un plano. Consideremos 2

R

{

|

 ∈ R}.

= (x, y)  x, y

Este conjunto con la adici´oon n definida por  x2 , y1  + y (x1 , y1 ) + (x (x2 , y2 ) = (x1  +  + x  +  y2 ) y la multiplicaci´oon n por escalar λ(x, y ) = (λx, λx, λy) λy) es un espacio vectorial real. En el curso de Geometr Geometr´´ıa, se estudi´ o con detalle las propiedades de los diferentes objetos y las transformaciones que les est´aan n asociadas. 1

 

2

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

θ θ

Homotecia

Rotacion

Similitud

Figura I.1.1: Transformaciones de   R2 Para tener un cuerpo conmutativo, solamente nos falta definir una multiplicaci´oon, n, la cual provendr´a de 2 un tipo especial de transformaciones lineales del plano   R ; m´aass precisamente de aquellas transformaciones que conservan los ´aangulos ngulos en tama˜ n noo y orientaci´oon. n. Definici´ on I.1.1   Una  similitud on   similitud directa, directa, en tanto que aplicaci´  on lineal, es una aplicaci´  on lineal   s  : R2 R2 de la forma  s =  s  = h  h λ rθ , donde  h  h λ  es la homotecia de raz´  on   λ   (λ >  0)   y  r  r θ  es una rotaci´  on de ´  angulo angulo   θ.

◦

En la figura I.1.1, tenemos una representaci´oon n gr´aafica fica de una homotecia, una rotaci´oon n y finalmente una similitud. Como se vio en el curso de Algebra Lineal es m´as comodo trabajar con las matrices asociadas (respecto a las bases can´oonicas). nicas). Recordemos que toda aplicaci´oon n lineal est´a enteramente determinada por los elementos de las bases can´oonicas nicas y que existe un isomorfismo natural entre el espacio vectorial de las aplicaciones lineales L lineales L((R2 , R2 ) y M  y  M 2,2 (R) el espacio vectorial real de las matrices de 2 2 a coeficientes reales. En lo que sigue solamente consideremos como base la can´oonica nica o otra base ortonormal directa. Denotemos   H    λ > por λ  la matriz asociada a la homotecia de raz´on  on   0,  0,   hλ ;   Rθ  la matriz asociada a la rotaci´oon  n   rθ . Se tiene: cos θ sin θ λ   0 , Rθ  = H λ  = ; sin θ   cos θ 0   λ

×

 



 −



◦

por lo tanto, la matriz S  matriz  S λ,θ similitud  s λ,θ  =  h λ rθ , est´a dada por λ,θ  asociada a la similitud s S λ,θ λ,θ   =

  λ   0 0   λ

 −

cos θ sin θ sin θ   cos θ



λ cos θ λ sin θ

  −λ sin θ λ cos θ



.

 

(I.1.1)

Una simple inspecci´oon n da det S λ,θ  0. λ,θ  =  λ >  0. Ejercicio.- Verificar Ejercicio. Verificar que una matriz de la forma

  −  a b

b a



con (a, (a, b) = (0, (0 , 0), es la matriz asociada a una similitud directa. Teorema I.1.1  El conjunto de las similitudes (directas) de R2  forman un grupo abeliano abeliano para la composici´  composici´  on  de aplicaciones. Demostraci´ on.-  Ejercicio. on.- Ejercicio. 

 

´ I. I.1. 1. LOS LOS N UMERO UMEROS S COMPLEJOS  COMPLEJOS 

 

3

S 

Denotamos por + (R, 2) al grupo de las similitudes directas, que por cierto no solamente es un grupo abeliano para la compos composici´ ici´ on on de aplicacio aplicaciones, nes, sino tambi´en: en: Teorema I.1.2 + (R, 2) on    2   del espacio End( on  espacio  End(R2 )  de las  0   es un subespacio vectorial real de dimensi´  2 aplicaciones lineales en   R .

 S 

∪{ }

Demostraci´ on.-  Puesto que existe un isomorfismo natural (por la elecci´oon on.n de las bases can´oonicas) nicas) entre 2 End(R ) y   M 2,2 (R) el espacio de las matrices reales de 2 2 es suficiente ver que las matrices asociadas a las similitudes m´aass la matriz nula form forman an un subespa subespacio cio vector vectorial. ial. El resto lo dejam dejamos os como ejerci ejercicio. cio.

×



I.1. I. 1.1. 1.

El Pl Plan ano o Com Compl plej ejo o C

Hemos visto que   R2 es un espacio vectorial para la adici´oon, n, para que   R2 tenga la estructura de un cuerpo conmutativo, solo falta dotarle de una multiplicaci´oon. n. Consideremos la aplicaci´on ϕ on  ϕ  dada por ϕ  :

R2

(a, b)

−→ S +(R, 2) ∪ {0}   → ab   −ab .

 

Utilizando el ejercicio y la proposici´oon n precedentes, se demuestra (nuevamente otro ejercicio para el alumno)  ϕ  es un isomorfismo de espacios vectoriales reales. Denotamos por π R2 la aplicaci´ que ϕ que por  π  : + (R, 2) 0 oon n inversa de ϕ de  ϕ.. Se ve inmediatamente que

S 

π

   −    a b

b a

a b

=

∪{ } →

= (a, ( a, b).

 

(I.1.2)

Definamos la multiplicaci´oon n en   R2 de la siguiente manera. Sean  Sean   z1   = (a1 , b1 ) y   z2   = (a2 , b2 ) elementos de 2 R , planteamos z1 z2  =  π(  π (ϕ(z1 ) ϕ(z2 )) ))..   (I.1.3)

·

·

Desarrollando Desarro llando (I.1.3), se obt obtiene iene ex expl pl´´ıcitamente:

·

(a1 , b1 ) (a2 , b2 )

 

=  π =  π = (a ( a1 a2

 −

a1 b1 b1   a1

−



 −

a2 b2 b2   a2

 −

− −

 

a1 a2 b1 b2 a1 b2 a2 b1 a1 b2  + a  +  a2 b1   a1 a2 b1 b2

− b1b2, a1b2 + a  +  a2 b1 ) =



−

a1 a2 b1 b2 a1 b2  + a  +  a2 b1



 

(I.1.4)

Remarca.-   Utilizando Utilizando la notac notaci´ i´ oon n columna para elementos de   R2 , la mul multipli tiplicaci caci´´oon n de   z1   = (a1 , b1 ) y z2  = (a2 , b2 ) puede expresarse como

·

z1 z2  =



 −

a1 b1 b1   a1

  a2 b2

.

Teorema I.1.3   R2 con la adici´  on usual y la multiplicaci´  on definida m´  as arriba es un cuerpo conmutativo.

 

4

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

Demostraci´ on.-   En efect on.efecto, o,   R2 con la adici´oon n es un gru grupo po abel abelian iano, o, ya visto en un cur cursos sos ante anterio riores res.. (0,, 0) y el opuesto de (a (a1 , a2 ), (a1 , a2 ) = ( a1 , a2 ). Remarquemos que el elemento cero es 0R2   = (0 n, porque la multiplicaci´oon n definida m´aass arriba es R2 0R2  es un grupo abeliano para la multiplicaci´oon, una ley de composici´oon n interna, verificaci´oon n simple, y por que + (R, 2) es un grupo para la multiplicaci´oon. n.  ϕ y  φ son La distributividad de la multiplicaci´oon n respecto a la adici´oon n est´a asegurada por que que ϕ  y φ  son aplicaciones

 −

−{ }

− −

 S 

lineales.



Definici´ on I.1.2   R2 provistos de la adici´  on on y la multiplicaci´  on definida m´  as arriba se llama cuerpo de los  n´  umeros complejos o plano complejo y se lo denota por   C. Remarcas. i 2 = 1. 1C  = (1 (1,, 0), 0C  = (0 (0,, 0). Se define i define  i  = (0 (0,, 1). Un peque˜ n noo c´aalculo lculo da da i

−1

C

.

 →

 j   :   R   C,  j (a) = (a, 0) es compatible con la adici´oon 2. La in iny yecci ecci´on ´on natur natural al j n y la multiplicaci´oon, n, lo que hace que   R  sea un subcuerpo de   C. En el lenguaje algebraico, esto se llama extensi´on on de cuerpos.

 ⊂

 ⊂

 j (R)  C , pero 3. En re real alid idad ad j p ero para darle fluidez a la teor teor´´ıa, se acostumbra a sup suponer oner que   R  C , con lo que utilizamos los s´ımbolos 1 y 0 para referirnos al uno y cero de   R  o   C  dependiendo el contexto. Es frecuente utilizar la notaci´on on z  =  a  a +  ib,  + ib,

∈ R  para representar z representar  z  = (a, b). Este tipo de notaci´oon n facilita los c´aalculos lcu los arit aritm´ m´eeticos tic os en   C.  a +  ib,, z   =  a  es la parte real de   b,, la parte imaginaria de z Si   z   = (a, b) =  a  + ib de   z , z   =  b de  z .   R  se lo conoce como el eje real del plano complejo y  i R = {ia|a ∈ R}  el eje imaginario. El al alge gebr braa en   C  es id´eentica ntic a a la de   R, con adem´as i as  i 2 = −1. con a, con  a, b

4. 5.

I.1. 2. I.1.2.

Conju Co njuga gado do de un n´ umero complejo umero

∈

−

Sea  z  = Sea z  = a  a + ib C, se define z¯ = a  =  a ib ib el  el conjugado de z de  z.. Geom´eetricamente, tricamente, la acci´oon n de conjugar n´u umeros meros complejos, corresponde a la simetr simetr´´ıa resp respecto ecto al eje real. El conjugado satisface las siguiente siguientess propiedades. Proposici´ on I.1.1  Se tiene: on z + z¯ = 2 z,

 

(I.1.5)

z z¯ = 2i z, z z¯ =  a2 + b2 ,  = a z1 z2  = z¯1 z¯2 , z1  +  z2  = z¯1 + z¯2 ,  + z z  = z¯   z R, z  = z¯   z iR, z¯ = ( z ), z )−1 = (z (¯ ( z −1 ), z = 0. 0.

 

(I.1.6) (I.1.7) (I.1.8) (I.1.9) (I.1.10) (I.1.11) (I.1.12) (I.1.13)

− · ·



   

·

  ⇐⇒  ∈ −   ⇐⇒  ∈ − −

 

         

Demostraci´ on.-  Ejercicio. on.- Ejercicio. 

 

´ I. I.1. 1. LOS LOS N UMERO UMEROS S COMPLEJOS  COMPLEJOS 

I.1.3.

 

5

M´ o odulo dulo de un n´ umero umero complejo

 | | √ 

 a +  ib   C, el m´oodulo  Remarca.- El Sea   z   =  a Sea   + ib dulo de de   z   es z  = a2 + b2 .  Remarca. El m´oodulo dulo de de   z  es lo mismo que la 2 norma euclidiana de  de   z  visto como un elemento de   R . Cuando  Cuando   z   R, el m´oodulo dulo es lo mismo que el valor absoluto de   R. Proposici´ on I.1.2  El m´  on odulo verifica:

 ∈

 ∈

|z|2 = z z,z¯, |z| ≤ |z| , |z| ≤ |z| , |z1z2| = |z1| |z1 +  z2 | ≤ |z1 | + |z2 | .  + z

         

(I.1.14) (I.1.15) (I.1.16) (I.1.17) (I.1.18)

Demostraci´ on.-  Ejercicio. on.- Ejercicio. 

I.1. I. 1.4. 4.

Sustr Sus trac acci ci´ on y Divisi´ ´ on on on

Completando la construcci´oon n de los n´ u umeros meros complejos, la sustracci´oon n se la define como z1

− z2  =  z1 + (−z2).

La divisi´oon n se la define

z1 =  z 1 (z2 )−1 , z2 donde   z2 = 0. Utilizando la notaci´oon donde n de fracciones, las reglas de c´aalculo lculo para fracciones son v´aalidas lidas y su demostraci´ oon n es un simple ejercicio.

 

I.1.5. .5. I.1

Form orma a Po Polar lar

Tradicionalmente, la forma polar de un n´ u umero mero complejo es abordada como un t´oopico pico independiente. Sin embargo, en nuestra construcci´on on hemos asociado a cada n´u umero mero complejo a una similitud de ´aangulo  ngulo   θ   y raz´ on r on  r.. Por consiguiente, si z si  z = 0, se puede escribir como

 

z  = r  =  r(cos (cos θ  + i  + i sin θ),  r ,  θ  es u πk k ∈ Z |z| = r, unico ´ nico con una diferencia de 22πk

La forma polar es util u ´til para realizar multiplicaciones y divisiones. on I.1.3   Si  on Proposici´ z  = z (cos θ +  i sin θ ), w  = w (cos ϑ +  i sin ϑ),  + i  + i

||

se tiene 

·

| |

| |·| | | |·| | ||

z w   = z w (cos(  ϑ)) + i  ϑ)) (cos(θθ +  + ϑ + i cos( cos(θθ  +  + ϑ )),, z/w   = z w (cos(θ (cos(θ ϑ) + i + i cos( cos(θθ ϑ)) )),, n n z nθ)) + i nθ)) = z (cos( (cos(nθ + i sin( sin(nθ )),, n N.

−

La ultima ´  f´  ormula es conocida como F´  ormula de Moivre 

− ∈

Demostraci´ on.-  Ejercicio. on.- Ejercicio. 

 

6

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

Topolog opolog´ ´ıa del Plano Complejo   C

I.1.6.

El m´oodulo dulo  de   C  es la norma euclidiana de   R2 , los conceptos de conver convergencia, gencia, l´ımites, conjuntos abiertos, cerrados, compactos, puntos aislados, puntos de acumulaci´oon, n, etc, son los mismos, que ya han sido vistos en el curso de An´aalisis lisis de Primer A˜ n no. o.

 |·|

 C

 R

Por otro lado, el m´ oodulo dulo en se tiene el mismo comportamiento valor absoluto  en lo que respecta la multiplicaci´ oon. n. Por lo tanto, justifica recordar, complementardel y aclarar algunosde conceptos.  z k C  pueden ser vistas: como una sucesi´oon Las sucesiones zk  con  con z n propiamente compleja, o bien como zk  y zk . Por lo tanto, dependiendo la situaci´oon dos sucesiones reales, n y el contexto, se debe utilizar el punto de vista que m´aass convenga. Como   R   es un cuerpo ordenado, se tiene el concepto de sucesiones m´ onotonas onotonas y la divergencia por valores infinitos; en   C  eso no es posible, sin embargo esos conceptos y sus consecuencias pueden ser aplicados por separado a la parte real y la parte imaginaria de la sucesi´on. Una definici´ oon n que ser´a util posteriormente es la siguiente. Definici´ on I.1.3  Una sucesi´  on on  zk en  C diverge por valores en el infinito, si la sucesi´  on  zk en  R diverge  por valores en el infinito. Dicho de otra manera 

 { }  ∈  { }  { }

{ }

{| |}

l´ım zn  =

n→∞

∞ ⇐⇒

| |

  l´ım zn = + n→∞

∞.

Los conceptos de sucesiones, series, vistos en el Primer A˜n noo de An´aalisis, lisis, como convergencia absoluta, serie productos pro ductos se los ampl´ıa ıa al caso complejo sin ning´ u un n problema. Solamente hay que remplazar el valor absoluto absol uto por el m´ oodulo. dulo. Por lo tanto, las reglas de c´aalculo, lculo, criterios de convergencia son v´aalidos lid os tambi´en en para series complejas. En lugar de hablar de bolas abiertas, en   C, se prefiere hablar de discos abiertos.

{  ∈ C| |z − a| < a }.

D(a, r) = z

¯ El plan plano o comp complej lejo o acaba acabado do   C

I.1.7. I.1.7.

¯ , agregando dos elementos adicionales a   R; En el curso de An´aalisis lisis se defini´oon n la recta real acabada  R ¯ R

=R

∪{−∞, +∞},

definiendo algunas operaciones con los nuevos elementos y los reales, prolongando la relaci´oon n de orden. o on n El caso complejo tendr´a un desarrollo bastante similar. Como motivaci´oon, n, consideremos la  la   proyecci´ estereogr´ a afica, fica, que consiste en proyectar el plano complejo   C, sobre la esfera unitaria   S2 = (x, y, z) z) x2 + y 2 + z 2  con la proyecci´oon n de centro el polo norte (0 (0,, 0, 1). ver figura I.1.2. En la figura observamos que la  imagen del punto   P    C   se proyecta sobre la esfera en el punto   P    S2 . Tam Tambi´ bi´en en remarcamos que esta proyecci´oon n es inyectiva, pero no es sobreyectiva ya que el polo Norte no es imagen de ning´u un n punto del plano complejo. Si queremos que la proyecci´oon n esteogr´aafica fica sea biyectiva, debemos agregar un elemento a   C; por  z otro lado, no es dificil observar que N  que  N  es  es el l´ımite de la proyecci´oon, n, cuando cuando z . Definici´ on I.1.4  El plano complejo acabado es el conjunto on

}

 {

∈

 ∈

 → ∞

¯ C

=C

∪{∞}.

|

 

 

I.2. FUNCION FUNCIONES ES C COMPLEJA OMPLEJAS  S 

7

 N 



  

 

P

P’

Figura I.1.2: Proyecci´oon n Estereogr´aafica. fica. Explicitemos la proyec proyecci´ ci´oon n estereogr´ aafica, fica, uti utiliz lizand andoo un cor corte te tra transv nsvers ersal, al, ve verr figu figura ra , relaci relacione oness de tri´ aangulos ngulos semejantes, se obtiene:

¯ π  :  C 

  −→   S2 z   →



  |z |2 −1 2 z 2 z  |z2|   2  +1 , |z | +1 , |z |2 +1

(0 (0,, 0, 1)



  si   z C, si   z  =

 ∈

∞

¯  definimos:   definimos: Apartee de las operacione Apart operacioness hered heredadas adas de   C, sobre  C  a   si si a  a = 0, 0, 0 a  = 0 si a si  a =



 ∞, ∞ a · ∞ = ∞  si  a =  0,0 , a + ∞ = ∞. ¯ ,  C ¯  ya no es un cuerpo. Al igual que la recta acabada  R Lo interesante de la proyecci´oon n esteogr´aafica fica es que se pueden dotar de operaciones internas a   S2 a partir de las operaciones de  C ¯ , de donde, si ξ si  ξ , ζ  S2 se define

 ∈  ∈

ξ  + ζ   π (π−1 (ξ ) + π ), + π −1 (ζ ))),  +  ζ    =  π( − 1 − 1 ξ  ζ    =  π(  π (π (ξ ) π (ζ ))). ).

·

·

Ejercicio.-  Explicitar Ejercicio.- Explic itar anal anal´´ıticamente la adici´oon n y la multiplicaci´oon n en la esfera. Remarca.-En Remarca.En el curso de Topolog opolog´´ıa, se dice que la proye proyecci´ cci´ oon n estereogr´aafica fica compactifica   C  agregando un 3 elemento a   C, porque la esfera es compacta en   R .

I.2. I.2.

Func uncion iones es Com Comple plejas jas

El m´oodulo dulo  hace a   C   un espacio normado con norma id´ eentica ntica a la norma euclidiana de   R2 ; por lo que, los conceptos de l´ımite, continuidad, continuidad uniforme, conv convergencia ergencia simple de sucesiones de funciones,

 |·|

convergencia uniforme, etc son los mismos que en el Primer A˜ n noo de An´aalisis lisis y no es necesario repetirlos. Las novedades provend novedades provendr´ r´aan n del c´alculo alculo diferencial e integral de funciones complejas.

 

8

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

Figura I.2.1: Gr´aafica fica de los Grafos

 ⊂  ⊂   C →   C  puede ser vista como una

f   :   U  Sin embargo, podemos remarcar que una funci´oon n compleja compleja   f   R2 . Es decir, funci´ on f  on  f    :  U  R2

 ⊂  ⊂ →

 ⊂  ⊂ C   →   C z   →   f ( f (z )

f   :  U 

 ⊂  ⊂ R2 →   R2 (x, y )   →   (u(x, y ), v(x, y ))

f   :  U 

f (z )) =  u(  u(x, y ) y trivialmente, se tiene (f ( diferentes puntos de vista equivalentes.

 

I.2.1. I.2.1.

f (z )) = v =  v((x, y ). De acuerdo a la necesidad, se puede jugar con  (f (

Represen Repr esentac tacion iones es Gr´ aficas de Funciones Complejas aficas

Para poder comprender la acci´oon n de una funci´oon n compleja, es en muchos casos necesario visualizar graficamente. Recordando los cursos de C´aalculo, lculo, las gr´aaficas ficas de los grafos son recursos valiosos que permiten estudiar las funciones reales, pero en el caso de los grafos de funciones complejas no se los puede representar graficamente, porque hacen parte de un espacio de cuatro dimensiones. Sin embargo tenemos los siguientes recursos para representar la funci´oon n compleja en cuesti´on: on: 2   g  U  f , la parte   Gr´ aafica fica del grafo de la funci´on  on   :  R   R, donde  donde   g  es por ejemplo: la parte real de   f ,  f .. imaginaria de f  de  f ,, el m´oodulo dulo de de f 

•

 ⊂  ⊂

→

•   Gr´aafica fica de la transformaci´oon n o mapeo. Util para entender la acci´on on geo geom´ m´eetrica tr ica.. •   Gr´aafica fica del campo de vectores asociado. Util en aplicaciones ff´´ısicas. Ejemplos f (z ), 1. Consi Considere deremos mos la func funci´ i´ on f  on  f ((z ) = (z + 0,2)2 . En la figura I.2.1, vemos las gr´aaficas ficas de los grafos de f ( f (z ) y f  f ((z ) . En la figura I.2.2, la gr´aafica  z fica de la transformaci´oon. n. Si un punto punto z 1  comienza a moverse f (γ ); a lo largo de una curva   γ , entonces el punto imagen  imagen   w1  se mover´a a lo largo de la curva   f ( ); si un  z 2  est´a dentro una superficie  H ,, entonces el punto imagen w  f ((H )).. punto z punto superficie H  imagen  w 2  estar´a dentro una superficie superficie f   f ( z En la figura I.2.3 observamos la gr´aafica fica del campo de vectores asociado a la funci´oon f  n ( ).



I.2.2. I.2.2.

 |

|

 

Funcion unciones es Compl Complejas ejas Remarc Remarcables ables

Las funciones elementales estudiadas en los cursos de C´aalculo lculo y el Primer A˜n noo de An´aalisis lisis tienen su prolongaci´ oon n respectiva a una funci´oon n compleja. Esta prolongaci´oon n es de tipo an´aalitico, litico, que ser´a vista m´aass adelante. Por el momento, nos contentaremos en conocer estas prolongaciones y adentrarnos al esp´ııritu ritu mismo de lo que significa prolongaci´oon. n.

 

 

I.2. FUNCION FUNCIONES ES C COMPLEJA OMPLEJAS  S 

9

1

1

w =  f ( z)

V 

 z U 

 f 

v

w1 w

 z

1

 y

 f (γ) (γ)

 z  H 

 z2

 f ( H )

γ 

 x

w2 1

u

Figura I.2.2: Gr´ aafica fica Transformaci´ oon n

Figura I.2.3: Gr´aafica fica del Campo de Vectores

1

 

10

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

w = cz  

1

c

 z z

−1

c

1

1

−1

1

−1

−1

Figura I.2.4: Funci´oon n Lineal no Nula Funciones Polinomiales y Racionales Al igual que en el caso real, una funci´on p on p : : C C  es polinomial, si p si  p((z ) =  an z n + an−1 z n−1 + + a1 z + a0 , donde los   ai   C. Este tipo de funciones es siempre continua, porque solamente intervienen adiciones y multiplicaciones y las reglas de c´aalculo lculo aseguran continuidad. Ejemplo continuidad.  Ejemplo  f ((z ) =  cz   con  c = 0. Esta funci´oon 1. Consi Considere deremos mos la apli aplicaci´ caci´ oon n polinomial polinomial f  con c n es una aplicaci´oon n   C-lineal, y 2 2 vista como una aplicaci´oon n lineal de   R en   R es una similitud. Ver secci´oon n precedente y figura I.2.4.

···

→

 ∈



En la const construcc rucci´ i´ oon n de los n´ u umeros meros complejos, hemos visto que la multiplicaci´oon n est´a asociada a la composici´on on de similitudes del plano real. Por lo tanto, las aplicaciones lineales complejas, desde el punto de vista real, son similitudes. La interrogante es c´oomo mo reconocer si una una transformaci´oon n lineal del plano real lineal.. es una aplicaci´on on   C lineal

−

Proposici´ on I.2.1   Sea   f  on f    :   R2 la aplicaci´  on nula.

  R2

lineal. Entonces   f  f    es   C  lineal, si y solamente si   f  f  es  es una similitud o

→

 ⇐

Demostraci´ on.-  ya visto. on. f  = 0 est´a demostrado, sino la matriz de  f    es  Si  f  = de f 

⇒

  a b c d

,

 a,b,c,d no con a,b,c,d con  no todos nulos. La imagen de 1 = (1, (1, 0) es (a, (a, c) y la imagen de i de  i =  = (0 (0,, 1) es (b, (b, d). Como f  Como  f    es   C lineal, se tiene f ( f ( 1) =  f (  f (i2 ) =  if   if ((i), por lo que

−

  − −  −  −       a c

 d  y  b =  b  = de donde a donde  a =  = d

=

0 1

1 0

−c. Es decir f  decir  f  es  es una similitud.

b d

d

=

b

,

 

 

I.2. FUNCION FUNCIONES ES C COMPLEJA OMPLEJAS  S 

11

w 3

−1

=

 z

e

3

0

1

−1

−3

1/e

1

e

−3

Figura I.2.5: Funci´oon n Exponencial 

Las funciones racionales son de la forma f ( f (z ) =

  p(z ) , q (z )

donde   p(z ) y   q (z ) son funciones polinomiales. Son continuas sobre   C, excepto en los puntos donde   q (z ) se donde  anula. La Funci´ on Exponencial Compleja on Definici´ on I.2.1   La funci´  on on   expC  :

C

→ C, est´ adada por 

+ i sin( z )) ))..  +  i sin y) =  e z (cos( z ) + i exp C (x + iy  + iy)) =  ex (cos y + i



 ∈



Una verificaci´oon, n, nos muestra que si   z   R, se tiene expC (z ) = expR (z ), por lo que podemos escribir simplemente exp en lugar de exp C  o expR , e interpretar exp de acuerdo al contexto. En la figura I.2.5 vemos la acci´oon n de la funci´oon n exponencial. Observando la definici´oon n de la exponencial, se ve que es una similitud ngulo z . de raz´on e on  e z y ´aangulo

 

Proposici´ on I.2.2   La funci´  on on exponencial compleja satisface:

·

1.   exp(z  z2 ) = exp(z exp(z1  +  + z exp(z1 ) exp( exp(zz2 ), 2.   exp(z exp(z ) =, z

  ∀  ∈

C.

3.   exp(z  z 1 exp(z1 ) = exp(z exp(z2 )  si y solamente si  z

− z2  = 2iπk iπk,,   k ∈ Z.

 

12

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

Figura I.2.6: Imagen de una Banda on.-  Ejercicio. on.- Ejercicio. Demostraci´ 

La prolongaci´oon n a   C  de la exponencial, conserva casi todas las propiedades de la funci´on exponencial real, excepto la inyectividad. En el caso real la inyectividad asegura la existencia de una inversa continua. En el caso complejo nos debemos arreglarnos para construir una funci´oon n que cumpla el papel de funci´oon n inversa, tal como se hizo con las funci funciones ones arc cos, arcsi arcsin n en el Primer Curso de An´aalisis. lisis.

I.2.3. I.2.3.

El Log Logarit aritmo mo Com Comple plejo jo

Como se ha visto m´aass arriba, la funci´oon n exponencial no es inyectiva. Por lo tanto si queremos construir una inversa debemos restringir   C  a un dominio Ω donde exp sea inyectiva, pero al mismo tiempo la imagen exp(Ω) sea lo m´aass grande posible. Por el punto 3 de la proposici´on I.2.1, Ω debe ser una banda de ancho iπ,, sin los bordes, para la funci´oon 2iπ n inversa sea continua. La imagen del borde de Ω es una curva simple que une el origen con el infinito. Ver figura I.2.6. En consecuencia, sea Ω   C  una banda de ancho 2iπ 2 iπ sin  sin sus l  es biyectiva, donde l donde  l  es una curva simple que une  O   con . Tenemos bordes. De donde exp : Ω C

 ⊂

→ −

exp(z ) =  e z (cos( z ) + sin( z )) = w, exp(z =  w,



Pasando a los m´oodulos, dulos, se obtiene



 ∞

ez = w ,

| |

 

| | −  → ⊂

 

de donde z  = logR ( w ).  La determinaci´oon n de z , pasa por la definici´oon n de una nueva funci´oon. n.   deter minaci´o on n del argumento  es darse una curva simple   l  que une   O   con  Definici´ on I.2.2   Una  determinaci´ on una funci´  on  arg R C  continua tal que    arg : C l

 ∞   y   ∞

||

z  = z (cos(arg( (cos(arg(zz )) + i + i sin(arg( sin(arg(zz )) )),,

  ∀z ∈ C − l.

Remarcas

 − l  →   C   est´a enteramente determinada por el valor de

1. Una det determ ermina inaci´ ci´ oon n del argumento arg :   C arg(zz0 ), donde z arg( donde  z 0 C.

 ∈

 

 

I.2. FUNCION FUNCIONES ES C COMPLEJA OMPLEJAS  S 

13

2. La det determ ermina inaci´ ci´ oon n principal del argumento es aquella donde l  =]

− ∞, 0] ⊂ R  y arg(1) = 0.0.

3. A menos qu quee se diga lo con contrari trario, o, se toma llaa determ determinac inaci´ i´ oon n principal del argumento.

 ∈

4. Si ar argg1  y arg2  y z  y  z C en el cual ambas determinacio determinaciones nes est´aan n definidas, entonces una simple verificaci verificaci´´oon n iπk,, con k da arg1 (z ) arg2 (z ) = 2iπk con  k   entero.

−

Regresemos a la construcci´oon n de la inversa de exp. Tenemos

z = arg(w arg(w), donde arg : C

− l → R  es una determinaci´oonn del argumento.

Definici´ on I.2.3   Una  determinaci´ on   determinaci´ o on n del logaritmo  es darse una determinaci´  on del argumento   arg : l on   logC  : C l C C  y la funci´  C  dada por 

−  →

−  →

||

logC (z ) = logR ( z ) + i + i arg( arg(zz ),

z

 ∈ C − l.

Remarcas.1. La det determ ermina inaci´ ci´ oon n principal del logaritmo, est´a dada por la determinaci´oon n principal del argumento. A menos que se diga lo contrario, la opci´oon n por defecto es la determinaci´oon n principal del logaritmo. La determinaci´ on on principal prolonga al logaritmo real. 2. Pa Para ra no re recar cargar gar n nota otaci´ ci´ oon n se puede utilizar log para denotar la determinaci´oon n del logaritmo y o el logaritmo real. Todo depende del contexto.

Proposici´ on I.2.3   Una determinaci´  on on del logaritmo logaritmo log  log : C

− l → C, verifica:

 ∀  ∈ C − l.

1.   exp(log z ) =  z  z,, z

2.   log(exp(z  z +  i22πk πk,,  k   entero. log(exp(z )) =  z  + i

Demostraci´ on.-  Ejercicio. on.- Ejercicio. 

Potencias Recordamos: zn −n

z

· ···

∈ N;

   ·  ·· · · ·   

∈ N.

=  n n n, n n  veces   1  1  1 z, n =z z n  veces

 

14

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

Para α Para  α

∈ C, se define

z α = exp(α exp(α log z ).

Se puede mostrar que esta definici´on on es compatible con otras definiciones sobre potencias. Por ejemplo cuando α  es entero. α

Remarca.Remarca.- Si bien  z continuidad. Si bien z

 C

est´ a definida sobre un conjunto

− l, se puede prolongar a algunos puntos de  l   por

Ejemplo 3.-  Veamos el caso α caso  α =  = 1/2. Tenemos z 1/2 = exp(1/ exp(1/2log( 2log(zz )) =

||

= exp(1/2log z + (1/ (1/2)i 2)i arg( arg(zz )) z (cos((1 /2) arg /2) arg( (cos((1/ arg((z )) + i + i sin((1 sin((1/ arg(z ))). ))).

 | |

Ahoraa bien l´ım z 1/2 = 0, de donde podemos prolongar la funci´oon Ahor n   z 1/2 al punto   z   = 0, planteando z →0

01/2 = 0.

Funciones Exponenciales Siguiendo la misma linea del Primer A˜n noo de An´aalisis, lisis, definimos az = exp(z exp(z log a), donde log es una determi determinaci´ naci´ oon n del logaritmo, (para la cual el valor de log a  existe. Remarcas.1. A men menudo udo se en encuen cuentran tran ex expresi presiones ones de llaa form formaa  e z . Nosotros interpretaremos como ez = exp(z exp(z ). 2. Las definic definiciones iones del argume argumento nto,, logaritm logaritmo, o, potencia pasan por las defini definicion ciones es de deter determina minaci´ ci´ oon. n. Es decir, para obtener funciones continuas, es necesario quitar del plano complejo  C  una curva simple que Riemann  es posible construir une el origen con el infinito. Sin embargo, mediante las  superficies de Riemann es estass funci esta funciones, ones, sin nece necesidad sidad de hacer cortes en el plano Compl Complejo. ejo.

I.2.4.

Funciones Trigonom´ Trigonom´ etricas Complejas etricas

Definici´ on I.2.4 on iz

−e−iz 2i   , iz −iz   =   e +2e   , sinC z ,   =   cos C  z   cosC z   = sinC z ,   1 ,   = cos C  z   1 .   = sin C  z

sinC z   =   e cosC z tanC z cotC z secC z cscC z

 

 

I.3. FUNCION FUNCIONES ES DIFE DIFERENCIA RENCIABLES  BLES 

15

Proposici´ on I.2.4   Las funciones   sinC   y   cosC   verifican: on i)   sinC (z ) = sinR (z ),   cosC (z ) = sinR (z )  para todo z todo  z

 ∈ R.

ii)   sin2C (z ) + cos2C (z ) = 1.

Demostraci´ on.-  Ejercicio. on.- Ejercicio. 

Como las la s funcio funciones nes tri trigonom´ gonom´eetricas tricas complejas son pr prolongacio olongaciones nes de las fun funciones ciones ttrigonom´ rigonom´eetricas tricas reales, utilizaremos los s´ımbolos usuales para identifica identificarlas. rlas. M´ aass todav´ıa ıa las funciones trigonom´eetricas tricas conservan propieades de aditividad, etc. Funciones es Trigonom´ Trigo nom´ etri cas Inversa etricas I nversass Funcion En lugar de hablar hab lar de funcio funciones nes trigono trigonom´ m´eetricas tricas inversas, es preferible h hablar ablar de deter determinaciones minaciones d dee funciones trigonom´eetricas tricas inversas. Veremos m´aass adelante.

I.3. I.3.

Func uncion iones es Dif Diferen erencia ciable bless

Como para las funciones reales, se tiene para las funciones complejas varias maneras de definir la diferenciaC. Nosotros utilizaremos: bilidad de una funci´on f  on  f    :  U  C Definici´ on I.3.1   Una funci on funci´  ´  on   f   :  U  C,  U  C  abierto, es diferenciable en el punto z punto  z 0 U , si 

 ⊂  ⊂ →

 →  →

l´ım

z →z0

donde   f  (z0 )

 ⊂  ⊂

f ( f (z ) z

 ∈

f (z0 ) − f (  − z0 = f  (z0)

(I.3.1)

∈ C. O bien  f ( f (z ) =  f (  f (z0 ) + f  + f  (z0 ) (z

· − z0) + ρ + ρ((z, z0 ) · (z − z0 )

(I.3.2)

con  zl´ con   ımz0 ρ(z, z0 ) = 0. → Ambas definiciones son u utiles. ´ tiles. La primera tiene una ´ooptica ptica calculista, mientras que la segunda tiene una ´opti ca geom´eetrica. optica tri ca.  f  (z0 ) aparece como una aplicaci´oon n   C-lineal. Por otro lado, si vemos En la definici´oon n (I.3.2), la derivada derivada f  2 2 f   :  U  R R , para que f  que  f    sea   R-derivable en (x (x0 , y0 ), se debe tener

 ⊂  ⊂ →



f  f ((x, y ) =  f (  f (x0 , y0 ) + f  + f  (x0 , y0 ) con

l´ım

(x,y) x,y)→(x0 ,y0 )

−  x y

−

x0 y0

 − x0, y − y0) r((((x,x, y), (x0, y0))

+ (x

r ((x, ((x, y ), (x0 , y0 )) = (0, (0, 0). Escribiendo f  Escribiendo  f ((x, y ) = (u(x, y ), v(x, y )), se tiene ∂u ∂x ∂v ∂x

f  (x0 , y0 ) = Utilizando la proposici´on on (I.2.1), se tiene el:



∂u y ∂v y

.



(I.3.3)

 

16

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

u

u

 x

 x  y

 y

v

v

 x

 x

 y

 y

Figura I.3.1: Funci´oon n continua, Cauchy-Rieman, pero no   C-diferenciable

 →  →

f    :  U    C,   f  f    =  u  u +  iv,,   U  U  abierto  abierto de   C. Entonces  Teorema I.3.1 (ecuaciones Cauchy-Riemann)   Sea   f   + iv  f    es   C   derivable en   z0  U  f   U ,, si y solamente si   f  f    es   R-derivable en   z0   y   f  (z0 )   es   C-lineal, si y solamente   f  es   R-derivable en  z  z 0   y  ∂u   ∂v ∂x   = ∂y Ecuaciones de Cauchy-Riemann   (I.3.4) ∂u ∂v ∂y   = ∂x

 ∈

−



  ∂u   ∂v   ∂v Corolario I.3.1   Sea   f  f    :  U    C   C,   f  f    =  u  u +  iv.. Si   ∂u de   z0 , son   + iv ∂x , ∂y , ∂x   y  ∂y  existen en un vecindario de   continuas en   z0 y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Rieman, entonces  f    f   es   C-derivable en   C.

 ⊂  →  ⊂

Demostraci´ on.-  Ejercicio. on.- Ejercicio. 

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann por si solas no aseguran la   C   diferenciabili diferenciabilidad. dad. Ejemplo 1. La fu func nci´ i´ on on f (z ) =



  z5  z   si si z |z |4

 = 0,0 ,

 z  = 0. 0 si si z

es continua, tiene las derivadas parciales respecto a   x   e   y   y satisface en   z   = 0 las condiciones de Cauchy-Riemann. Sin embargo, no es   C-diferenciable. Ver figura I.3.1.  v((x, y ) =  e x sin y 2. La fu func nci´ i´ oon n exponencial exp es   C-diferencible en todo  C . En efecto, u efecto,  u((x, y ) =  ex cos y ,  v son funciones cuyas derivadas parciales existen y son continuas. Adem´as as exp (x, y) =



ex cos y ex sin y

  −exx sin y e cos y



 

 

I.3. FUNCION FUNCIONES ES DIFE DIFERENCIA RENCIABLES  BLES 

17

satisface Cauchy-Riemann. Por lo tanto exp (z ) = exp(z exp(z ). Se tiene las mismas reglas de c´aalculo lculo para la diferenciaci´ oon n de funciones complejas; es decir, suma de funciones, producto de funciones, composici´oon n de funciones, etc.

I.3.1. .1. I.3

Funci uncione oness Holo Holomor morfas fas

Definici´ on I.3.2  Una funci´  on on que es  C-diferenciable en un abierto U  abierto U  se  se llama  holomorfa en    holomorfa  en   U . U . Un funci´  on  es  holomorfa en   holomorfa  en un punto z punto  z 0  si es holomorfa en un vecindario  B (z0 , ).

on I.3.1   Sean   on Sean   Ω, Ω  C  abiertos,  abiertos,   f  f    : Ω  C   holomorfa. Supongamos que existe   g  : Ω Proposici´ g f   =  idΩ   y  f   f  g  =  idΩ . Si adem´  as  g  g   es   R-derivable, entonces  g  g  es holomorfa y   = id

◦

⊂

 ◦ ◦

 →

g (f (a)) = en particular  f   f  (a) = 0, todo   a 0 , para todo 



→  Ω   con 

  1 , f  (a)

∈ Ω.

Demostraci´ on.-  La derivada de la composici´oon on.- La n de funciones de   R2 en   R2 da   gf (  =  I R2 . f (a) f a  = I    Por lo tanto f  tanto  f a   y  g f  (a)  son inversibles en tanto que aplicaciones lineales del plano real. Como  f a   es   C-lineal,  tambi´´een n una similitud y por lo tanto es un similitud. Las similitudes forman un grupo, por lo que,  g f  f ((a)  es tambi C-lineal. En el lenguaje complejo esto se traduce a

g (f (a)) f  (a) = 1.

·



Ejemplo 3.-  Sea log : C l C una determinaci´ oon n del logaritmo. Planteando Ω = C l  y Ω = log(Ω  ), considerando la funci´oon n exponencial exp, mostrando que log es R-diferenciable (que dejamos como ejercicio), se tiene que log es holomorfa y  1   1   1  = .  = log z  =  z w) exp(w exp( exp (w)

−  →

−

4.-  Consideremos  z α . Se tiene  Consideremos z z α = exp(α exp(α log z ), composici´ oon n de funciones holomorfas, luego holomorfa. Determinemos su derivada. 1 α log z ) =  α exp( α log z )   =  αz α−1 . z α  = exp (α log z )( )(α exp(α z La tabla de derivadas de las funciones complejas es muy similar a la tabla de derivadas de las funciones reales.

 

18

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

diferencia enciable, ble, donde   Ω  ⊂   C   abierto y sea   f  f    : Ω  →   C  holomorfa. →   Ω, difer (f  ◦  ◦ γ ) (t) =  f  (γ (t)) · γ (t)

Proposici´ on I.3.2   Sea   γ  on γ    :] a, b[ :]a, Entonces  donde   γ  (t) =  γ 1 (t) + iγ  + iγ 2 (t). Demostraci´ on.-  Ejercicio. on.- Ejercicio.



I.4.. I.4

Func uncion iones es Con Confor formes mes

Suponemos conocidos los conc Suponemos conceptos eptos de ´aangulo ngulo orientado, Recordemos el concepto de ´aangulo ngulo orientado entre curvas. (0), β (0) ( 0) =   a, Sean   α, β ; [0 [0,, 1]   R2 contin continuamente uamente derivables. Suponemos   α (0) = 0,   β  (0) = 0 y   α(0), entonces por definici´on on

 

 →

 

α ∠(α, β, a) a) = ∠(α (0) (0),, β  (0))

(I.4.1)

β

Definici´ on I.4.1   f   :  U  R2 on R2 ,  U   U  abierto,  abierto, es conforme, si  f    f   es   R-derivable y si para todo α, todo  α, β  : : [0, [0, 1]   U  continuamente U  continuamente derivable con   α(0) = β  U    y   α (0), 0 , se tiene  (0), β  (0) = 0, =  β (0) (0) = a =  a U 

 ⊂  ⊂ →



∈

→

 ◦ ◦ α, f  ◦ ◦ β, f ( f (a)) ))..

a) = ∠(f  ∠(α, β, a)

Remarca.-   La definici´oon Remarca.-  n de aplicaci´oon n conforme, implica autom´aaticamente ticamente que que   f a  es inversible para todo a U , sino no se podr´ıa ıa medir los ´aangulos ngulos entre las curvas im´aagenes. genes. Como ejemplo de aplicaciones lineales que son conformes, tenemos las similitudes. La pregunta natural que surge, es saber si hay otras aplicaciones lineales que conservan los ´aangulos ngulos en medida y orientaci´oon. n.

∈

on I.4.1   A  :   R2   R2 isomorfismo lineal.  on lineal.   A  respecta los ´  angulos en tama˜  no y orientaci´  on, si y  Proposici´ solamente solam ente si  A  A  es una similitud.

→

 ⇐

Demostraci´ on.-  ya visto. on.. La matriz asociada a la aplicaci´oon n lineal es

⇒

A =

  a b c d

 A  son (a, Consideremos los vectores ortonormales (1, (1, 0) y (0, (0, 1), sus im´aagenes genes por por A (a, c) y (b, d) que son ortogonales por hip´ootesis, tesis, de donde ab ab +  cd =  + cd  = 0.

 

 

I.4. FUNCION FUNCIONES ES CO CONFOR NFORMES  MES 

19

 z

w =  f ( z) α6

α7

α7 α6

 H 

α8

α5 α8 α2 α4

α1

α1

 z4

 z1

w5 α3

 z5

α3

α2

α5

 f ( H )

α4

w4

w1

Figura I.4.1: Ejemplo de Funci´oon n Conforme Escribiendo esta u ultima ´ ltima condic´oon n como det

−

a c

d b

  − 

= 0, 0,

deducimos deduc imos que (a, c) y ( d, b) son linealmente independientes, por lo tanto

−d   = λa b   =  λc

La matriz es de la forma A  =



a c

λc λa

 −



.

Como   A   conserva la orientaci´oon, Como  n, se tiene det A >  0, de donde donde   λ <  0. Finalmente viendo las im´aagenes genes de λa)) y ( a +  λc, c λa λa)) son ortogonales, lo que se traduce (1, (1, 1) y ( 1, 1), se tiene que (a (a + λc  + λc,, c λa  + λc,

−

−

a2 + λ2 c2 de donde λ donde  λ =  =

−

−−

c2 + λ2 a2 = (λ ( λ2

a2 + c2 ) = 0, 1)( 1)(a

− − −  A  es efectivamente una similitud. −1. La aplicaci´oonn lineal lineal A 

 → R2 es conforme, si y solamente si   f f  es  →  es holomorfa y   f  (a)  todo   a ∈ U  U .. = 0  para todo 

Teorema I.4.1   f   :  U 

Demostraci´ on.-  f  es on.- f  ngulos en sentido y orientaci´oon n a  es conforme, si y solamente si  f a  respecta los ´aangulos  f   es holomorfa y f  y  f  (a) = 0 a C. si y solamente si f  si  f a  es un isomorfismo   C-lineal; si y solamente si  f  

  ∀ ∈

 ∀  ∈ U ;  U ; 

En la figura I.4.1, se observa la acci´oon n de la aplicaci´on  on   f (z ) = (z  + 0, 0 ,2)2 , apreciando la conservaci´oon n de los ´aangulos ngulos en tama` n noo y sentido. Como un ejemplo de familia de funciones conformes estudiaremso con m´aass detalle las homograf´ııas. as.

 

20

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

I.4.1.

Homogra Homograff´ıas

Definici´ on I.4.2   Una  transformaci´ on   transformaci´ o on n homogr´ a afica es fica  es una expresi´  on de la forma    az az +  b  + b w(z ) = cz cz +  d   con   det  + d

a c

b d

= 0. 0.

 

¯  as´  as´ı Remarcamos que las homograf homograf´´ıas pueden prolongarse al plano complejo acabado  C ¯ w  :  C

  −→   C¯ z   →

 ∞  

az+ az +b cz cz+ +d a   c

 

  si z si  z =  d/c si z si  z  =   si z si  z  = d/c.  =  d/c.

∞

Por otro lado, una homograf homograf´´ıa, puede ser inducida por una matriz de 2 A  =

a b c d



wA (z ) =

× 2 inversible

  az az +  b  + b . cz cz +  d  + d

En efecto, consideremos el siguiente diagrama

C2

− {(0 (0,, 0)} −−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−− −−−→ (u1 , u2 )   →   A

C2

  

  u1 u2

det A=0 =0 

− {(0 (0,, 0)} −−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−− −−−→  

(v1 , v2 )

 

→

 

¯ C =  z

  

w A (z )

¯ C

v1 v2

=  z

Es facil verificar que  wA  = w  =  wA

 λ =   ⇐⇒   A = λA  =  λA ,   con con λ  0.0 .

 

on I.4.2   Se tiene las siguientes propiedades: on Proposici´ 1. La comp omposi osici´  ci´  on de transformaciones homogr´  aficas es una transformaci´  on homogr´  afica. A  induce   wA A induce  w  w A 2.   wA  es inversible y su inversa  w  w A−1 .

⇒

A A  induce  w  w A

 ◦ wA.

(I.4.2)

 

 

I.4. FUNCION FUNCIONES ES CO CONFOR NFORMES  MES 

21

Demostraci´ on.-  El punto (1), sean on.- El A  =

  a b c d



,

A =

  a c

b d

.

Se tiene wA  =

  az az +  b  + b , cz cz +  d  + d

wA   =

  a + b . c + d

Por lo tanto

 ◦ wA(z)

wA

=  w A = =

  az+ az +b cz cz+ +d

+b +b   a az cz +d +b  c az cz +d +d

  (a a+b c)z +(a +(a b+b d)  (c a+d c)z +(c +(c b+d d)   =  w A ◦A (z ).

◦

 w I   =  wA wA−1 . El punto (2), es consecuencia de w de  w A◦A−1  =  = w 

Como consecuencia directa de la ´u ultima ltima proposici´oon, n, el conjunto de las homograf homograf´´ıas es un subgrupo de las funciones biyectivas de   C  en   C, que contiene otros subgrupos de transformaciones del plano complejo. Proposici´ on I.4.3  Un on  Una a homograf homograf´ ´ıa puede escribirs es cribirsee como composici´  on de:

•   Similitudes   z → az az,,  a =  0. 0.  c.. •   Traslaciones   z → z +  + c •  Inversiones complejas  z z  →   z1 . Demostraci´ on.-  Consideremos on.- Con sideremos una homograf´ıa ıa w(z ) =

  az az +  + b  b , cz cz +  + d  d

´esta esta se puede escribir como:

  B , cz cz +  d  + d f 1 , donde

w(z ) = A =  A +  +

 ∈ C. Por consiguiente, w consiguiente,  w  = f   =  f 5 ◦ f 4 ◦ f 3 ◦ f 2 ◦

 A, B con A, con

f 1 (z ) =  cz  similitud  similitud,, f 2 (z ) =  z +  z  + b  b traslaci´  traslaci´oon, n,  1 f 3 (z ) =   inversi´ inver si´oon n co compl mpleja eja,, z f 4 (z ) =  Bz  B z  similitud  similitud,, f 5 (z ) =  z +  z  + A  A traslaci´  traslaci´oon. n. 

Teorema I.4.2   Una homograf homograf´ ´ıa ıa env´ıa ıa circunferencias y re rectas ctas sobre circunferencias o rectas.

 

22

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

Demostraci´ on.-   Por la proposi on.proposici´ ci´ oon n que pre preced cede, e, es sufi suficie cient ntee mos mostra trarr que la in inve versi rsi´´oon n comp compleja leja env´ıa ıa circunferencias y rectas sobre circunferencias o rectas; ya que las similitudes y traslaciones conservan las rectas y circunferencias.  z   z¯ es una simetr Como z Como simetr´´ıa respecto a la recta real   R, es suficiente mostrar el teorema para la funci´oon n / z z 1 ¯.

 →

 →Ahora bien, f ( f (z ) =

 z  1  = 2 ; z¯ z

||

distinguimos los siguientes casos: i)  Recta por el origen

 

 

 

 

  

  

  

  

f (recta) f (recta) = recta. recta.

 z

ii)  Origen fuera de la circunferencia. OT ))2 =  OM  OM  (OT    OM    1 Of ((M ) = Of  = OM  OT  2

 · ·

 f(M)  f(T)

2 /OT  ⇒ f (M ) se obtie  M  por homotecia de raz´oon n 11/OT  obtiene ne a part partir ir de de M 

 M’ T   M  O

iii)  Circunferencia que pasa por el origen.

 A’

 M’  A  M 

 OM  es OM A es un tr´ııangulo ang ulo rect rect´´aangulo, ngulo, porque porque OM   es el di´aametro metro de la circunferencia.  OM  M  OM  = 1, de donde OA OA = 1 y  O

·

OM A ∼ OA M.

O

  ∠OM  A

recta. iv)  Recta que no pasa por el origen.

 →   z1¯  es biyectiva, aplicar el caso iii).

z

 · ·

es recto, luego la imagen de la circunferencia es una

 

 

I.4. FUNCION FUNCIONES ES CO CONFOR NFORMES  MES 

23

v)  Origen en el interior de la circunferencia.

 M"   M 

P  OQ = OQ  = λ  λ,, tamb  O M  OM  =  λ Fijamos Q,, tenemos O Fijamos Q tenemos  OP  ta mbi´ i´een n  OM   OM  M  OM  = 1, de donde f (M ) =  M  ,  O

 · ·

 · ·

 · ·

Q

OM  =

P

 M’

M ) = De donde f  donde  f ((M )

 1 OM  . λ

−λM  . 

¯   y   z1 , z2 , z3  otra terna de elementos distintos de  Proposici´ on I.4.4   Sean   z1 , z2 , z3  elementos distintos de   C on ¯ . Entonces, existe una sola transformaci´  on homogr´  afica   w  tal que  C w(zi ) =  w  w((zi ),

i  = 1, 2, 3.

Demostraci´ on.-  Primero, vamos a mostrar el caso en que z on.- Primero, que  z 1  = 1, z 1,  z 2  = 0 y z 3  =

  ∞,  z2 = ∞  y  z 3 = ∞

i)   z1 =

w(z ) = ii)   z1  =

iii)   z2  =

iv)   z3  =

∞ ∞ ∞

z −z2 z −z3 z1 −z2 z1 −z3

∞, se tiene tres situaciones:

.

− z2 . − z3

w (z ) =

 z z

w(z ) =

  z1 z

w (z ) =

 z z1

− z3 − z3

− z2 . − z2

Para la existencia en el caso general, consideramos las homograf homograf´´ıas:

 −→  −→ 1, 0, ∞  −→  −→ 1, 0, ∞

w   :  z1 , z2 , z3 w :  z1 , z2 , z3

ıa pedida pedida.. de donde (w (w )−1 w  es la homograf´ıa Para la unicidad, mostreremos primero que si   w(0) = 0,  0,   w(1) = 1 y   w( ) = efecto, la h homograf´ omograf´ııaa puede escribirs escribirsee   az az +  + b  b , w(z ) = cz cz +  d  + d

◦

∞  ∞, entonces  id. En entonces   w   =   id.

para  z  = 0, se tiene b/d para z tiene  b/d =  = 0, por lo tanto b tanto  b =  = 0, Para z Para  z  = , se tiene a/c tiene  a/c =  = w(1) = a/d =  a/d =  = 1, tomando d tomando  d =  = 1, se tiene w(z ) =  z.

∞

, de donde c donde  c =  = 0. Por u ultimo, ´ltimo,

∞

 

24

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

3

w  

2

z  z

2

1

1

−2

−1

1

2

−2

−1

1

−1

−1

−2

−2

2

3

−

Figura I.4.2: Transformaci´oon n de Cayley Ahora veamos el caso general. Sean   w, w :  z 1 , z2 , z3  z 1 , z2 , z3   dos homografias. Consideremos las homoz1 , z2 , z3 . Por cconsiguiente onsiguiente las homograf´ııas as grafias gra fias:: w ˜  : 0, 1, :  z 1 , z2 , z3   y w ˆ  : 0, 1,

∞→

∞→ w ˆ ◦ w ◦  w ˜  :  w ˜  : ˆ ◦ w ◦  w

 →

0, 1, 0, 1,

∞ → 0, 1, ∞. ∞ → 0, 1, ∞.

de dond dondee w ˆ w  w ˜  = id  =  id y  y w ˆ w  w ˜  = id  =  id,, que escrito de otra forma

◦ ◦

◦ ◦

w  = w ˆ −1  w ˜−1 =  w  .

◦



Ejemplo 1. Consi Considere deremos mos la trans transform formaci´ aci´ oon n de Cayley w(z ) = funci´ oon n ilustrada en la figura I.4.2

  z + 1 z 1

−

La acci´oon n de esta transformaci´oon n en el plano complejo es convertir el eje imaginario en la circunferencia unitaria y vice-versa.

I.4.2. I.4.2.

Represen Repr esentac taci´ i´ on Conforme on

Existen varios problemas de representaci´oon n conforme, entre los cuales tenemos:  f   : Ω  f (Ω). 1. Dada  f   C  holomorfa, inyectiva y Ω abierto, determinar  f (Ω). Para ilustrar este problema, estudiaremos un problema modelo. π , z >  0  y  f (  f (z ) = sin z . Consideremos Ω = z z < π, La restricci´oon n de sin z  a esta regi´oon n la convierte en una funci´oon n inyectiva y conforme. En efecto

→

{ | | |

sin z1  = sin z2

 

}

z1 − z2  +  z2   ⇐⇒   sin z1 − sin z2  = 0   ⇐⇒   cos( z1 + z   ) sin( sin(   ) = 0; 2 2

 

 

I.4. FUNCION FUNCIONES ES CO CONFOR NFORMES  MES 

25

z2 z2 sin( n( z1 − verificaci´ erificaci´ oon n de: dee donde cos( z1 + 2   ) = 0. Dejamos al estudiante, la v 2   ) = 0 o si

 kπ, k ∈ Z;   ⇐⇒   z =  kπ,   π/2 π/ 2 cos z  = 0   ⇐⇒   z  = +   kπ, k ∈ Z. sin z  = 0

Por lo tanto, sin z1  = sin z2

   ⇐⇒ 

z1

− z2  = 2πk,

o z1 + z  π(2 k + 1)  +  z2  =  π (2k

(I.4.3)

La equivalencia (I.4.3) nos asegura que la restricci´on on de sin a la semibanda superior Ω es inyectiva. Por otro lado, en el interior de la banda sin z  es conforme, por que cos z = 0, para todo z todo  z Ω.

 

 ∈

Ahora bien, la funci´on on sin z , en particular la restricci´oon n de sin z  sobre Ω, es la composici´oon n de cuatro funciones: f 1 (z ) =  iz, f 2 (z ) =  e z , f 3 (z ) =  z   z1 , f 4 (z ) =   21i z.

−

El comportamiento de sin z , ser´a analizado a partir del comportamiento de cada una de estas funciones. Denotamos Ω1  =  f 1 (Ω), como f  como  f 1  es una rotaci´oon n de un ´aangulo ngulo recto, deducimos inmediatamente

{  ∈ C| |z| < π  y  z  0.  0. t∈[a,b] a,b]

 | − t | < δ 0, se tiene  α |γ 1 (t) + γ  + γ 2 (t )| ≤ . 2

 δ 0  > 0  >  0 tal que t Afirmamos que existe existe δ 

En efecto

|γ 1 (t) + γ  + γ 2 (t )|

+ γ 2 (t ) + γ 1 (t ) γ 1 (t ) + γ    = γ 1 (t) + γ  γ 1 (t) γ 1 (t ) γ 1 (t ) + γ  + γ 2 (t ) α γ 1 (t) γ 1 (t )

| ≥|

| |

− |−| ≥ −| −

− | α/ 2,  >  0 tal que |t − t | < δ 0 , implica|γ 1 (t) − γ 1 (t )| < α/2, existe  δ 0  > 0 de  γ 1 , existe δ  Por la continuidad de γ  de  γ  , en particular de γ   de donde, para |t − t | < δ 0 , se tiene  α |γ 1 (t) + γ  + γ 2 (t )| ≥ . 2  p) ≤ δ 0 , se tiene Al igual que en (i), se muestra que si  δ ( p)  α  p)). δ (P  P )) ≥ δ ( p 2 γ  es inyectiva, la restricci´oon  γ  : : [a, b] → Γ es biyectiva, por lo tanto, utilizando el mismo procediComo   γ  es Como n de de γ  miento que (i), se muestra que γ  que  γ −1 : Γ → [a, b] es continua, es decir que ∀δ >  0,  ∃ >  0 tal que |z − z  | <   y z, z  ∈ Γ implica |t − t | < .  . En particular para δ  para  δ 0 , existe  existe   0 . 

Corolario I.5.1   Sea   γ  γ    : [a, b] [a, b]. Sea 

 →   C  arco simple,   p  =  {a  =  t o   < t1    0, dado. De donde

 |

|

 

|→

|  −

 −

n

 

 (b r(tk , tk−1 )δt k < (

k=1

Lo que significa significa,, de acuer acuerdo do al corol corolario ario precede precedente nte que

 →

− a).

n

l´ım

δ(P ) P )→0



r(tk , tk−1 )δt k  = 0.

k=1

Por otro lado, n 

f (γ (t k=1 f (



k−1 )) γ  (tk−1 )δt k ))γ 

es una suma de Riemann y por las hip´ootesis tesis de continuidad de f  de  f    y  γ  , se tiene n

l´ım

δ(P ) P )→0



 

 b



f ( f (γ (tk−1 )) γ  (tk−1 )δt k  = ))γ 

f ( f (γ (t)) γ  (t) dt. ))γ 

a

k=1



Corolario I.5.2

 

 f (z ) dz  f ( dz depende  depende solamente de   Γ  y del orden de   Γ.

γ 

 C

Definici´ on I.5.4   Un re on recorrido corrido   es darse arcos simples   γ i  : [ai , bi ] Escribimos   =  γ 1  + γ  γ k .  +  γ 2  +

 C  C

···

 C  C

Definici´ on I.5.5   Sea   =  γ 1  + γ  on  +  γ 2  +

  C

f ( f (z ) dz = dz  =

 → C ,   i = 1, . . . , k k   con   γ (bi ) = γ (  γ (ai+1 ).

· · · γ k  un recorrido, se define 

 

γ 1

f ( f (z ) dz + dz  +

 

γ 2

f ( f (z ) dz dz +  +

···+

 

f ( f (z ) dz.

γ k

Ejemplo f ((z ) = 1/z   y   γ (t) =   eit con 0 1. Con Consid sidere eremos mos   f 

 ≤   t ≤   2π   define un recorrido, no un arco simple. El

 

´ COMPLEJA I.5. INTE INTEGRA GRACI  CI ON

 

31

recorrido es la circunferencia unitaria, que es la suma de los arcos simples:

γ 1 (t) =  eit , t [0, [0, π ]; γ 2 (t) =  eit , t [π, 2π ].

∈∈

de donde

 

f  f ((z ) dz

 

|z |=1

=

      =

   

γ 2

f ( f (z ) dz

2π π f (eit )ieit dt f (eit )ieit dt + dt + π   f ( 0   f ( 2π dt  = 2iπ. = 0 e1it ieit dt =

Proposici´ on I.5.2   Sea   f  on f    : Ω f (z )  para todo z f ( todo  z

f ( f  z dz + dz + γ 1 ( )

  C  continua

tal que existe una funci´  on   F  F    : Ω

 C  holomorfa

con   F  (z ) =

F  se llama  primitiva  de    f  f ). ). Sea  γ  :  γ  : [a, b] → Ω  un arco → simple. Entonces   ∈ Ω. ( F  se  →   primitiva de  f ((z ) dz f  dz =  F ((B ) − F  F ((A),  =  F 

  γ 

donde   A  =  γ (a)  y   y  B  B  =  γ (b).  = γ   = γ  Demostraci´ on.-  Por un lado tenemos, aplicando la regla de derivaci´oon on.- Por n para la composici´oon n de funciones d F ( F (γ (t))  f (γ (t)) γ  (t).   =  F  (γ (t)) γ  (t) =  f ( dt

·

·

Por otro lado, el Segundo Teorema del C´aalculo lculo Integral da  b

F ( F (γ (b))

− F ( F (γ (a)) =

Definici´ on I.5.6   Sea   Γ =  γ 1  + on γ 1 (a1 ) =  γ (bk )

  a

 b

d F ( F (γ (t))   dt = dt  = dt

 

dt = f ( f (γ (t)) γ  (t) dt  =

a

·

 

f ( f (z ) dz.

γ 



· · · + γ k  un recorrido. Se dice que   que   Γ  es un recorrido cerrado o contorno si 

Corolario I.5.3   Si   Γ  es un contorno dentro de   Ω entonces 

  Γ

⊂ C  abierto y   f   : Ω → C  continua que admite primitiva,

f (z ) dz f ( dz =  = 0.

 

32

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

Demostraci´ on.-  Utilizando la definici´on on.- Utilizando on de integral para recorridos y la proposici´oon n precedente, se tiene

γ 3

f  f ((z ) dz   =

 

γ 1

f ( f (z ) dz + dz  +

 

Γ

γ 2

f ( f (z ) dz + dz  +

+

  −

γ k

f ( f (z ) dz

γ 2

 

· · · F (A2)) F (A1 )) + (F  = (F  ( F ((B1 ) F ( (F ((B2 ) − F ( F (Ak )) + · · · + (F  (F ((Bk ) − F (  F (Bk ) − F ( F (Ak ) = 0. =  F (

γ 

1

γ 4



Corolario I.5.4   La funci´  on  f    f   : C

− {0} → C  dada por  f (  f (z ) = 1/z /z   no admite primitiva.

Ejemplos 2.-  Consideremos la funci´on f   m  natural.  F ((z ) =  z m+1 /(m + 1) es una primiti primitiva va,, de donde con m  natural. F  on  f ((z ) =  z m con  z 0

 

z m dz = dz  =

Γ

  z0m+1 m + 1

Γ 

−{ }

2.-  Si bien, 1/z 1/z  no admite primitiva sobre Ω =   C 0 , podemos restringir Ω de manera que esta funci´ oon n , 0], la determinacion principal de log es admita primitiva. Por ejemplo, considerando Ω 1   =   C ]  π.. Por lo una primitiva. Tomando Ω2   :   C [0, [0, + [, la determinaci´oon n log2   : Ω2   C  con arg2 ( 1) =  π tanto, podemos evaluar z=1 z1 dz  tomando la circunferencia como el recorrido  γ 1  + γ   +  γ 2  donde

−

− −∞

∞

 →

−

  γ 1 (t) = e =  e it ,

t

π/22, π/ π/2] ∈ [−π/ 2]

γ 2 (t) =  e it ,

 

t

π/2, 3π/ π/2] ∈ [π/2 2]

por lo tanto 1

 

z =1

z

1

 dz  =

 

γ  γ1 

z

1

 dz +  dz  +

 

γ  γ2 

z

 dz  = log(i log(i)

log( i) + log2 ( i)

−

−

− −

log2 (i) = 2iπ.

 

´ COMPLEJA I.5. INTE INTEGRA GRACI  CI ON

 

33

continua,   g  :  U  →  →  C   continua,   →  Ω   holomorfa y   γ   : [a, b] →  U

Proposici´ on I.5.3 (cambio de variable)   Si   f  on f    : Ω arco simple, entonces 

 

f (z ) dz dz =  =

g ◦γ 

 

f (g(ζ ))g f ( ))g  (ζ ) dζ.

γ 

Demostraci´ on.-  Se tiene on.- Se

 

f ( f (z ) dz

g ◦γ 

=

 

b  f (g a  f (

◦ γ (t)) · (g ◦ γ ) (t) dt b  f (g (γ (t))) · (g (γ (t))) · γ  (t) dt = a  f ( b  ◦ g)()(zz) · g(z) dz. dt =  ◦ g)()(γ γ (t)) · g(γ (t)) · γ  (t) dt  = γ (f  ◦ a (f  ◦  

=

 

 

 



Ejemplo

 

4.-  Consideremos nuevamente la integral |z |=1 z1  dz . Planteamos g n holomorfa y Planteamos  g((z ) =  eiz que es una funci´oon γ   :: [0 [0,, 2π ] C  con  γ   γ ((t) =  t,  t , obtenemos

→

 

|z |=1

1 z  dz  =

1 iz dz  = i  i γ  γ  eiz ie dz =

 

g

dz =  iz  = iz γ  γ  dz

 

|

2π 0  

iπ. = 22iπ.

2π continua,   γ  : : [a, b] → Ω  arco simple. Entonces  → C   continua,  b  n  dt =  L   : longi l´ımδ(P   = L longitud tud del arco arco.. P ))→0 ( k=1 |zk − zk−1 |) = a |γ  (t)|  dt  f ((z ) dz ≤ M  ·  f  f ((γ (t))|  · L M   = m´ax axt∈[a,b   a,b]] |f  γ 

Proposici´ on I.5.4   Sea  f   on  f   : Ω

  

 

 

(I.5.4) (I.5.5)

donde   P  P    denota particiones o subdivisiones de   γ ([a, ([a, b]) Demostraci´ on.-  Demostraci´ on.- Demostraci´ o on.- El n.-  El punto I.5.4 ya ha sido visto en el curso de Geometr Geometr´´ıa, dejamos como ejercicio el repaso de la demostraci´oon. n. Demostremos el punto I.5.5. Por el teorema I.5.1, se tiene

 



Por otro lado f  f ((zk )( )(zzk



k=1

δ (P ) P )→0

n

n

 − zk−1) ≤

 

n

f ( f (z ) dz = l´ım

γ 

 

k=1

f (zk )( )(zzk

 − zk−1) . n

f ( f (z)

   k=1

Pasando al l´ımite ımite obtenemos ob tenemos la des desigualdad igualdad I.5.5.

· |zk − zk−1| ≤ M  |zk − zk−1| ≤ M  · · L.



k=1

 

34

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 



Proposici´ on I.5.5   Sea  Ω on  Ω

⊂ C  abierto,  abierto,   Γ =  γ 1  + · · · + γ k ⊂ C  un recorrido.

C  una sucesi´  i)   Si  f   f n  : Ω on de funciones continuas que convergen simplemente a  f    f   : Ω mente sobre   Γ, entonces 

→

 

f (z ) dz f ( dz   = l´ım

n→∞

Γ

×  →  →

 

→ C  y uniforme-

f n (z ) dz.

Γ

 ⊂  ⊂

 ∈ →  ∈

ii)   Si   F  F    : Ω U    C  funci´  on con   U    C  abierto tal que para todo  todo   u   U  U    fijo la funci´  on   z continua y si   F  F ((z, u) F ((z, u0 )  uniformemente sobre  Γ F   cuando   u u0 U  U    entonces   Γ  cuando

→

l´ım

u→u0

 

F (z, u) dz F ( dz =  =

Γ

 

 →   F F ((z, u)   es 

F (z, u0 ) dz. F (

Γ

 ∀

 ∃

Demostraci´ on.-  Mostremos el punto (i). La convergencia uniforme, significa que  >  0, N  tal on.- Mostremos   tal que n que  n z Γ f n (z ) f  f ((z ) < .  De donde

⇒ ∀  ∈  |

−

|

 

f n (z ) dz

Γ

−

    

(f n (z )

f ( f (z ) dz =

Γ

Γ

 ∀

≥ N 



− f ( f (z )) dz ≤ L.

 ∃

δ  implica que ∀z ∈ Γ  | − u0| < δ  implica

El punto (ii), la convergencia uniforme, significa que  >  0, δ >  0 tal que u F (z, u) F ( F (z, u0 ) < ,  , de donde se tiene F (

 |

−

|

 

F ( F (z, u) dz

Γ

  −

F ( F (z, u0 ) dz

Γ

Definici´ on I.5.7   Un rrec on ecorrido orrido   Γ =  γ 1  +

(γ i) =  C .

 ≤

L. 

· · · + γ k  se dice de tipo H-V (horizontal-vertical) si    (γ j ) =  C   C    o

 →

 →

 ∀  ∀

Proposici´ on I.5.6   Sea   f  on f    : Ω   C   continua,  continua,   γ ; [a, b]   C  arco simple, entonces   >   0, γ 1  + as  + γ k  tal que   γ 1 (a1 ) =  γ (a)   y   γ k (bk ) =  γ (b)  y adem´ 

···

  γ 

f (z ) dz f (

  −

H-V



f (z ) dz < . f (

 H-V 

γ  Ω K 

 ∃   recorrido H-V 

 

´ COMPLEJA I.5. INTE INTEGRA GRACI  CI ON

 

35

Demostraci´ on.-  Se requiere utilizar algunas propiedades top´oologicas on.- Se logicas del plano complejo, que en el momento  γ ([ a, b]) es se enunciar´a sin demostraci´oon, n, d dejando ejando ´eestas stas para el cur curso so d dee top topolog´ olog´ııa. a. Ut Utilizando ilizando el hecho que que γ  ([a, un compacto, se muestra mediante la noci´oon n de recubrimiento, que existe K  existe  K  Ω compacto, tal que Γ K ◦ . (Esta es la parte topol´oogica). gica). La demostraci´oon n asegura que existe   η >  0 tal que   D(z, η )   K ◦ para todo z Γ.

 ⊂  ⊂

⊂

 ⊂

 K  es   >  dado, existe δ   >  0 Como K  Como   es compacto, f  compacto,  f  es  es uniformemente continua sobre K  sobre  K , por lo tanto para para  existe  δ ( ) > 0 tal que z, z  K   y z z  < δ ( ) f ( f (z ) f ( f (z  ) <   .

 ∈

∈

 | − |

 δ ( ) < η . Podemos supo suponer ner tambi´en en que que δ  Ahora consideremos  consideremos   p   = a   =   t0   < t1   < donde

 {

{

⇒|

−

|

P ) ≤   δ ( ),  ··  · · ·   < tm   =   b}   una subdivisi´oonn de [[a,a, b] tal que   δ (P )

γ (tm ) =  zm }, definimos los · · · < γ ( zk  =  z k  + (zk+1 − zk ), k  = 0, . . . , m − 1.

P   P   = z0  =  γ (a)  < z1  = γ   = γ   =  γ (t1 ) <

 z k+1

P ), Por hip´ ootesis tesis sobre sobre   δ (P  ),   δ ( ) se tiene que los segmentos   zk zk   y z

 z’k 

 z k 

zk+1  est´aan  K .. n dentro dentro K 

k

P ), Si es necesario, reducir de taman`no δ  no  δ (P  ), se puede suponer que

  

m−1

f (z ) dz

γ 

 −

f ( f (zk )( )(zzk+1

k=0

El recorrido H-V es de la forma H 1  + V 1  +

− zk )

 

< 

(I.5.6)

· · · Hm−1 + Vm−1, deducimos que:

  −  −  ≤ |  − |    − −  ≤ | − |   −     ≤   −         ≤  − − −   − −  |  − | |  − | ≤  − −  ≤   | − | f ( f (z ) dz

Hk

f (z ) dz

Vk

f ( f (zk )( )(zzk

zk )

 zk

f ( f (zk )( )(zzk+1

zk )

 zk+1

zk

 

zk .

 

(I.5.7) (I.5.8)

Por lo tanto,

f ( f (z ) dz

f  f ((z ) dz

γ 

H−V

m−1 k=0

 f (  f (z ) dz

γ 

m−1 f (zk )( )(zzk+1 k=0   (f (

zk )

+ + 

m−1 f ((zk ) ((f  k=0   ((



m−1 k=0

Hk

f (z ) dz dz +  +

f ( f (zk )( )(zzk

m−1 k=0  (

zk

zk )

Vk

f ( f (z ) dz

f ( f (zk )( )(zzk+1

zk + zk+1

f ( f (zk ))(z ))(zk+1

zk ))

zk )

zk )) +  (1 + 2L 2L)

zk+1 zk +  (1 + 2L 2L)   (1 + 3L 3L).

≤

 /(1 + 3L L  es la longitud de γ     =  /(1 3L) se tiene la proposici´oon. n. de  γ .. Tomando Tomando  

 

36

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

I.6. I.6.

Un Teo eorem rema a d de e C Cau auc chy

Proposici´ on I.6.1   Sea  f   on  f   : Ω

→ C  holomorfa, R = {z ∈ C|a ≤ z ≤ b, c ≤ z ≤ d} ⊂ Ω. Entonces 

 

∂ R

f (z ) dz f ( dz =  = 0.

Demostraci´ on.-  Suponemos del con on.- Suponemos contorno torno (borde del rect´ aangulo) ngulo) en sentido positivo.

 R en cuatro subrectangulos iguales R1, R2, R3

Dividimos el rect´aangulo ngulo y 4 . Se tiene

 R

4

I   =

3

 

f ( f (z ) dz = dz  =

R

1

2

 

f ( f (z ) dz dz +  +

R1

 

f ( f (z ) dz dz +  +

R4

 

f ( f (z ) dz dz +  +

R3

 

f ( f (z ) dz.

R4

Se debe observar que las integrales de los lados comunes de los subrect´aangulos ngulos se anulan, porque tienen sentido opuestos, quedando para el c´aalculo lculo final los lados no compartidos.  j 1 Sea j Sea 1, 2, 3, 4  tal que

 ∈ {

}

  

f ( f (z ) dz

Rj1



f (z ) dz , i  = 1, 2, 3, 4.

Ri

 

 R1 este subrect´aangulo, I  ngulo,  I 1  = R  f (  f (z ) dz dz.. Por otro lado si p si  p  es el per perim´ im´eetro tro de R, se s e tiene t iene que el perim´eetro tro  p 1   de R1 es igual a p/  δ/ 2 es el diam´eetro a  p/22 y si δ  si  δ  es  es el di´aametro metro de R,  δ 1  =  δ/2 tro de 1 R. Denotando por

Una verificaci´on on senci sencilla lla da:

   ≥

1

4 I 1 ,

I 

| | ≤  R| |

., de manera que k+1 sea un Podemos construir una sucesi´oon n de subrect´aanguloes nguloes k , con   k   = 1, 2, . . .,  f (z ) dz dz,,  δ k ,  p k  el diam´eetro subrect´ aangulo ngulo que divide en partes iguales a k . Si denotamos por I  por  I k  = Rk f ( tro y el k se tiene peri pe rim´ m´eetro tr o de  p   δ  I  4k I k , δ k  = k , pk  = k . 2 2 Utilizando el principio de los intervalos encajonados del primer Curso de An´aalisis lisis en la parte real e imaginaria de la sucesi´oon n mostramos que l´ım k = z0 .

 R

 R

 R

 

| |≤ | |

k→∞

R

{ }

Por hip´ootesis f  tesis  f  es  es holomorfa, en particular f  particular  f    es   C  diferenciable en z en  z 0 , de donde podemos escribir f ( f (z ) =  f (  f (z0 ) + f  )(zz + f  (z0 )( Ahora bien para

 Rk , se tiene

 

 

Rk

f  f ((z ) dz = dz  =

Rk

f ( f (z0 ) dz + dz  +

 

Rk

− z0) + (z (z − z0 )r(z ),   con co n l´ım r(z ) = 0. z →z

f  (z0 )( )(zz

0

− z0) dz + dz +

 

Rk

r(z )( )(zz

− z0) dz dz =  =

 

Rk

r(z )( )(zz

− z0) dz

 

 

I.6. UN TEOR TEOREMA EMA DE CA CAUCH UCHY  Y 

37

f ((z0 ) y   f  (z0 )( f (z0 )z   y   f  (z0 )( por que   f  )(zz  z 0 ) tienen como primitivas   f ( )(zz integrales sobre contornos son nulas. Por otro lado

 − z0)2/2 respectivamente y sus

 −

|I k | =

  

r(z )( )(zz

Rk

− z0) dz

  >  0, entonces existe η Elijamos  Elijamos existe  η >  0 tal que

≤ 

 · z∈R |

 pk  m´aax )(zz xk r(z )(

− z0)| .

|z − z0| < η ⇒ |r(z)| < ,  K  ∈  ∈ N  tal que k m´ aass todavia, existe existe K  que  k  ≥ K  se   se tiene Rk ⊂ D(z0 , η ). Por consiguiente, para k para  k  ≥ K , se tiene |z − z0 | ≤ δ k   y |r (z )| ≤ , de donde , |I k | ≤ pk δ k  =   pδ  4k por lo que

|I | ≤ 4k ·  pδ    =  pδ. 4k  | |

Esto significa que I  = 0 y en consecuencia I  consecuencia  I  =  = 0. 

 C  C

Definici´ on I.6.1   Sea   =  γ 1  + on

· · · + γ k  un recorrido. Se dir´ a que  C  C  es un recorrido simple si  i=   j ⇒ γ i ([([aai , bi]) ∩ γ j ([([aaj , bj ]) = ∅,

excepto quiz´  as   γ 1 (a1 ) =  γ k (bk ).

 C  C

 C  C

Definici´ on I.6.2   Se dir on dira a que    es un contorno simple o recorrido cerrado simple, si    =  γ 1  + un recorrido simple con   con   γ 1 (a1 ) =  γ k (bk ).

· · · + γ k   es 

Interior de un Contorno Simple

 C

Sea  un contorno simple. En el curso de top topolog olog´´ıa se muestra que existe  R >  0 tal que

 ∈

 z 0

 C

 B (0,, R). Se dira que  Sea   z0  B(0 Sea  que   z  est´a en el interior de , si γ  continua) para todo camino γ  camino  γ    : [0, [0, 1]   C  (  (γ    continua) con γ  con  γ (0) (0) = z =  z  γ (1) = z y  γ (1) =  z0 , se tiene

 →

γ 

C  γ (([0, [0, 1])

∩ C = ∅  y  z 0 ∈ C .

 C Int C  = {z ∈ C|z  es un punto interior de C} .

El interior de  es el conjunto

La orientaci orientaci´´oon n o sentido de

 C

  se elige de manera que el

 C  C

interior de  est´e a la izquierda de .

 C ⊂ B(0 (0,, R)

 z

 

38

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

Definici´ on I.6.3 on

  dominio simple si  simple  si  D   D ⊂ C  es un  dominio  D  es de la forma  D  = C ∪ Int C ,

 C  C

donde   es un contorno simple. Ejemplos

 R es un dominio simple

1. Un re rect ct´´aangulo ngulo

 { | | − z0| ≤ r}  es un dominio simple.

2. Un dis disco co cer cerrad radoo z z

3. Un co coro rona na z r

z

z0

R  no es un dominico simple.

 { |  ≤ | − | ≤ }

Teorema I.6.1 (Cauchy)   Sea  f    f   : Ω

→ C  holomorfa, D ⊂ Ω  dominio simple, entonces 

 

f (z ) dz f ( dz =  = 0,

∂ D

D

∂   orientada dejando el interior a la izquierda.

Demostraci´ on.-  Utilizando la proposici´oon on.- Utilizando   >  0, existe un recorrido cerrado H-V tal que n I.5.6, para para 

 

∂ D

f (z ) dz = dz  =

 



f ( f (z ) dz < .

H−V

Si es necesario afinar H-V, se puede suponer que es un recorrido simple, lo que nos permite construir una cuadriculaci´ on on del interior de H-V en que los arcos de H-V son lados de alg´ u un n o algunos rect´aangulos. ngulos. Utilizando el mismo argumento que la propo proposici´ sici´oon n pre precedente, cedente, ssee tien tienee f ( f (z ) dz dz =  = 0,

f ( f (z ) dz dz =  = Ri

H−V

 

Ri

  

por la proposici´oon n precedente.

 

 

I.6. UN TEOR TEOREMA EMA DE CA CAUCH UCHY  Y 

Por consiguiente

 

39



f ( f (z ) dz < 

∂ D

  >  0, por lo tanto el teorema es cierto. cualquiera que sea sea  

 →

 D ⊂

Corolario I.6.1   Si   f   : Ω   C  holomorfa, simple,   z1 , z2  Ω   dominio simple,  con  γ (  γ (ai ) =  z 1   y   γ (bi ) =  z 2   con  i  i  = 1, 2. Entonces 

 

γ 1

 ∈ D,   γ i[ai , bi] → D  arcos simples,

f (z ) dz f ( dz =  γ γ  f ((z ) dz.  = γ  γ 2 f 

Demostraci´ on.-  Ejercicio. on.- Ejercicio. 

Notaci´ o on.- Como n.-  Como la integral solo depende de las extremidades es v´aalida lida la notaci´oon n

 

  z2

f ( f (z ) dz = dz  =

z1

Corolario I.6.2   Sea  f    f   : Ω

 

f ( f (z ) dz.

γ 1

 F   : D → C  holomorfa tal que  F   F  (z ) =  f   f ((z ). → C, D ⊂ Ω, entonces existe  F  

 ∈ D◦. Planteamos

Demostraci´ on.-  Fijemos z on.- Fijemos  z 0

 

 z

F ( F (z ) =

f (ζ ) dζ. dζ .

 z+∆ z

z0

 z



 f (z ). En efecto, conMostremos que F  que  F  es  es holomorfa y que   F  (z ) =  f ( sideremos el cociente de Newton  z0

q (z ) =

  F ( F (z  + ∆z ∆z ) ∆z

− F ( F (z )  

=  ∆1z

 

+∆z z +∆ z f (ζ ) dζ  z0

 −  −

=  ∆1z

 

 

z z0



f ( f (ζ ) dζ 

+∆z z +∆z   f ( f (ζ ) dζ  z

Supongamos que ∆ ∆zz   es lo suficientemente peque˜ n no, o, para que   z  + t∆z  t [0  para t  para [0,, 1]. Por otro lado

 ∈ D

∈

ζ  f  f ((ζ ) =  f (  f (z ) + f  )(ζ  + f  (z )(

 −  − z) + r + r((ζ )

con con ll´´ım

r(ζ )   = 00,, (ζ  z )

 −  − de donde para,  para,   >  0 dado, existe  existe   δ >  0 tal que si |∆z |  < δ  se   se tiene |r(ζ )| <  |z − ζ |. ζ →z

 z+∆ z  z

 z0

 

40

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

El cocien cociente te de Newto Newton n se con convier vierte te  1 q (z ) = ∆z

 

+∆z   z +∆ z

 1 f ((z ) dζ  + f  ∆z

z

 

+∆z   z +∆ z



 −  −

f  (z )( ζ  )(ζ 

z

 1 z ) dζ  + ∆z

= 12 ∆z f  (z )→0

=f (z )

     



 

+∆z   z +∆ z

r(ζ ) dζ ,

z

|·|≤|∆z |→ |·|≤ |→0 0

     

 → 0 y tomando como arco, el segmento que une  z   con  z + con z  + ∆z ∆z .

si ∆z



 D  dominio simple y  D  D  D1, . . . , Dk ⊂ D ◦ dominios simples con  D  Di ∩ Dj   = ∅   si   i =   j. k Ω ⊃ (D − Di)  abierto y   f   : Ω → C  holomorfa. Entonces  Corolario I.6.3   Sean 



i=1

 

 D

f (z ) dz f ( dz =  =

∂ D

 Dk 

 

∂ D1

f (z ) dz f ( dz +  +

  ···

f (z ) dz.

∂ Dk

 D2

 D1

Demostraci´ on.-  Realizamos un corte del dominio simple  en dos subdominios simples:   ˆ  y   ˇ  de manera on.- Realizamos que los bordes de ambos caminos cubran en su totalidad los bordes k. Por lo tanto del dominio  y los dominios i ,  i  = 1, . . . , k.

 D

 D

0=

  ˆ D

D D

 D

f  f ((z ) dz + dz +

  ˇ D

f ( f (z ) dz = dz  =

 D

 

k

f ( f (z ) dz + dz  +

D

 −   i=1

∂ Di

porque  f  es porque f   es holomorfa sobre los dominios   ˆ  y   ˇ  y la integrales se anulan en los bordes comunes (diferentes sentidos de integraci´oon) n)

D D

 Dk 

f (z ) dz  D2  D1



Ejemplo

 D   dominio simple con 0  ∈ D ◦ ,  D 1   =  { z | |z | ≤   r}   con con   r   lo suficientemente peque˜ n noo de ◦  D1 ⊂ D y por corolario que antecede deducimos que

4.-  Consideremos manera que

 

∂ D

1  dz  = z

 

|z |=r

1  dz  = 2iπ. z

 

´ I. I.7. 7. F ORMULAS INTEGRALES DE CAUCHY 

 C  C

 

41

∈ C , entonces: a ∈ Int C ⇐⇒ C z−1 a  dz  = 2iπ, a ∈ Int C ⇐⇒ C z−1 a dz  = −.

Corolario I.6.4   Sea   un contorno simple y  a  a

  

Demostraci´ on.-  Ejercicio. on.- Ejercicio. 

I.7.

Formulas ormulas Integrales de Cauchy ´

Teorema I.7.1   Sea   f   : Ω

→

◦.

simpler,  z 0 Ω  dominio simpler, z

C  holomorfa.

 D ⊂   1

f (z0 ) = f (

2iπ

 

∂ D

Entonces 

 ∈ D

f (ζ ) f ( dζ.. dζ ζ  z0

 −  −

Demostraci´ on.-  Utilizando el corolario I.6.8 y con  r >  0 lo suficientemente peque˜ on.- Utilizando n noo se tiene 1 2iπ

 

∂ D

f (ζ )  1 dζ   = = ζ  z0 2iπ

 −  −

 

|ζ −z0 |=r

f ( f (ζ ) dζ  ζ  z0

 −  −

La parametrizaci´on z on  z 0  + re  +  re 2iπt de la circunferencia de centro z centro  z 0  y radio r radio  r  da 1 2iπ

|ζ −z0 |=r

 1

f ( f (ζ ) dζ   = ζ  z0

 

 −

f ( f (ζ ) dζ   = = l´ım r→0 ζ  z0

 

f ( f (z0  + re  +  re 2iπt ) dt. 0

 

El valor de la segunda integral es independiente de   r, a condici´oon n que la circunferencia est´e dentro del dominio. Puesto que f  que  f    es continua, ssee pue puede de pa pasar sar aall l´ıımite r mite  r  0 y la independencia de la integral respecto a  a r nos conduce a que 1 2iπ

 

∂ D

 →

 −  −

 

 1

 1

f (z0  + re  +  re

2iπt

dt = ) dt  =

f ( f (z0 ) dt dt =  f ((z0 ).  = f 

0

0



Teorema I.7.2   Sea  f    f   : Ω C-derivable y 

→ C  holomorfa, D ⊂ Ω  dominio simple y  z z  ∈ D◦. Entonces  f    f   es indefinidamente  (n)

f 

  n! (z ) = 2iπ

 

∂ D

f (ζ ) (ζ  z )n+1  dζ .

 −  −

 

42

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

−

Demostraci´ on.-   Por inducci´oon; on.n; para para   n   = 0 es el teorema precedente. Suponemos cierto para   n 1, sea ◦ z0 que lo dejamos fijo. ◦  z 0 Como z Como , existe r existe r >  0 tal que D que  D((z0 , r) = z z z0 < r . Consideremos el cociente de Newton y apliquemos la hip´ootesis tesis de inducci´on on

 ∈ D

 ∈ D

}⊂D

(n−1)

(n−1)

f 

{ || − |

(zz)

(z0 ) =   (n2iπ1)!

−− zf 0

−

∂ D

D × D(z0, r)

Definamos la funci´on ϕ on  ϕ  : ∂   :  ∂ 

ϕ(ζ , z ) =

f ( f (ζ )

    − − →    −

(ζ   1 z )n

C  dada

 − (ζ   −  −1z0)n

por



  f ( f (ζ ) (ζ   −1z )n (ζ   −1z0 )n z  −1z0 hboxsiz =  z 0 . f ( f (ζ ) (ζ  −zn0 )n+1 hboxsiz  = z



 ∈ D(z0, r) − {z0}.

z  1 z0 dζ . z

−

 

si z si  z =  z0 ,

La funci´on ϕ on  ϕ  es continua, lo que conduce a que l´ım

z →z0

f (n−1) (z ) z

− f (n−1) (z0) − z0

= l´ımz→z0

(n−1)! 2iπ

 

=   (n2−iπ1)!

 

∂ D

 ϕ(  ϕ(ζ, z ) dζ 

 ϕ  ϕ(ζ, z dζ 

) ∂ D l´ımz →z0 ( =   (n2−iπ1)! ∂ D ϕ(  ϕ(ζ , z0 ) dζ    n! = 2iπ ∂ D (ζ −f z(0ζ ))n+1  dζ .

   

Teorema I.7.3 (Morera)   Sea   f   : Ω



→ C  continua tal que para todo recorrido simple  C  C ⊂ Ω

 

f (z ) dz dz =  = 0,

C

entonces  f  entonces   f    es holomorfa sobre  Ω.  Ω .

 ∈ Ω. Planteamos

Demostraci´ on.-  Fijemos z on.- Fijemos  z 0

F ( F (z ) =

 

f ( f (w) dw,

γ 

γ   arco simple con   γ (a) =   z0   y   γ (b) =   z . Por hip´ootesis  F (z ) no depende de   γ   γ   que une   z0   con   z . donde   γ   tesis   F ( 

f (z ), por el teorema I.7.2   F  es F  es indefinidamente derivable y por consiguiente Simostramos que   F  (z ) =   f ( F  (z ) =  f  (z ) y de donde f  donde  f  es  es holomorfa. Ahora verifiquemos que F  que  F  (z ) =  f (  f (z ). Considerem Consi deremos os el cocien cociente te de Newto Newton, n, para ∆ ∆zz  lo suficientemente peque˜ n no, o, F ( F (z + ∆z ∆z) ∆z

F (z )   1 − F (   =

∆z

≤ ≤

 

+∆z   z +∆ z

f ( f (ζ ) dζ dζ,,

z

integrado sobre el segmento z segmento  z  + t  +  t∆ ∆z , con 0 t 1.  f  es δ  implica que Como f  Como  es continua, para  para   >  0 fijo, existe δ existe  δ >  0 tal que δz < δ  implica

 | | f (z ) − f ( f (z  + t |f (  +  t∆ ∆z )| ≤ ;

de donde

   

f ( f (z )

−  ∆1z

 

+∆z   z +∆z

z

    

f ( f (ζ ) dζ  =

1 ∆z

+∆z   z +∆ z

z

f (z ) (f (

 ≤ 

− f ( f (ζ )))) dζ 

. 

 

 

I.8. SERI SERIES ES ENT ENTERA ERAS  S 

I. I.8. 8.

43

Seri Se ries es En Ente tera rass

En el primer a˜ n noo de an´aalisis lisis se estudi´o a profundidad la noci´oon n de series num´eericas, ricas, al igual que las series de funciones en el ´ambito ambito real. Las definiciones, propiedades son v´aalidas lidas si se remplaza   R  p  por or   C, exceptuando la noci´oon n de  C -derivabilidad que ser´a vista en esta secci´oon. n. Por consiguiente es conveniente que el estudiante no solo repase el curso de primer a˜n noo de an´aalis, lis, sino que lo domi domine. ne. La prim primera era noveda novedad d Teorema I.8.1 (Weistraß)   Sea  Ω on de funciones holomor Ω  un dominio simple, f n  : Ω C  una sucesi´   fas. Si   f n   f  f    uniformemente sobre   Ω  cuando   n , entonces   f  f    es holomorfa y   f n   f  uniformente  sobre   Ω  cuando  cuando n  n .

 →

 → ∞

→∞

 {

→ }

 →

Demostraci´ on.-  Consideremos Γ contorno simple de Ω, por la proposici´oon on.- Consideremos n I.5.5 se tiene

 

 

f ( f (z ) dz = dz  =

dz   = l´ım l´ım f n (z ) dz  ım

Γ n→∞

Γ

 

n→∞ Γ

f n (z ) dz dz =  = 0.

  f   f   uniformemente. Sea f   es holomorfa sobre Ω. Mostremos que   f n El teorema de Morera implica que   f   ◦ z Ω , de donde podemos encontrar r encontrar  r >  0 tal que D que  D((z, r) Ω. Aplicando la f´oormula rmula integral de Cauchy se obtiene

 ∈

 →

⊂

f  (z )

f  (z )

=

− n |f (z) − f n (z)|   =  21π

f  f ((ζ )

  1 2iπ

2

 dζ ,

  ≤

|ζ −z |=r (ζ −z ) f  f ((ζ )  1  dζ  |ζ −z |=r (ζ −z )2 r  sup |ζ −z |=r

 

Por consiguiente la derivada converge uniformemente.



f ( ζ )



− f n(zeta zeta)) . 

.   una sucesi´oon Recordemos lo que es una serie entera. Sea   a0 , a1 , a2 , . . .  n de coefientes en   C   y   z  una variable independiente, entonces ∞



an z n =  a0  + a  +  a1 z  + a  +  a2 z 2 +

n=0

···

 

(I.8.1)

entera. Sin ocuparnos de la cuesti´oon se llama una serie una  serie entera. n de convergencia, estas series forman el algebra C[[z [[z ]] de las series formales. Para la convergencia, tal como se dijo se retoma las definiciones dadas en el curso de Primer A˜ n noo de An´alisis, alisis, con los respectivos criterios y condiciones de convergencia. Solo agregamos una f´oormula rmula para el radio de convergencia.

{ } ⊂ C tiene como

Proposici´ on I.8.1 (F´ on ormula de Hadamard)  La serie de potencias con coeficientes  an ormula radio de convergencia 

R  =

| |

  ∞

1 limsupn→∞

n→∞

n

n

  | | ∞ | |

 si    limsupn→∞ n an = 0  si    si  si    limsupn→∞ n an = 0. 0.

{| | |  ≥ n}.

donde  limsup   limsup an = l´ım sup ak k n→∞

√ |a |

(F´ormula ormula de Hadamard)

Demostraci´ on.-  Ejercicio. on.- Ejercicio. 

 

44 ∞

Teorema I.8.2   Sea 



n=0 ∞

i) n=0

ii)

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 



an z n una serie entera de radio de convergencia  R convergencia  R >  0  0.. Entonces:

an z n converge uniformemente sobre  z

∞

n=0

 | | | ≤ r, ∀r < R. R.

an z n diverge sobre  z > R. R.

 | | |

∞

iii)   f  f ((z ) =

 

n=0

iv)   f  (z ) =

an z n es holomorfa sobre  z < R. R.

 | | |

∞

nan z n , converge uniformemente sobre  z

 | | | ≤ r, ∀r < R. R.

n=1

Demostraci´ on.-  Para los dos primeros puntos revisar el curso de an´aalisis on.- Para lisis de primer a˜n no. o. Los puntos iii) y iv) son consecuencia del teorema de Weirstraßenunciado m´a arriba. 

f   indefinidamente   C  derivable en   en   z0 , la serie de Taylor de   Ω ,   f    ⊂  C → R ,   z0 ∈  Ω,

Definici´ on I.8.1   Sea   f   on f   : Ω f  f  en  en el punto  punto   z0   es 

∞

ST f z0 (z ) =



k=0

Teorema I.8.3 ((Cauchy-Taylor))   Sea   f  f    : Ω Entonces 

f (k) (z0 )   (z n!

− z0)k .

 →   C  holomorfa,   z0  ∈   Ω,   R >   0   tal que  D¯ (z0, R)  ⊂   Ω.

∞

f (z ) = ¯ (z0 , R). uniformemente sobre  D Demostraci´ on.-  Sea on.- Sea





  



 

− z0)n

 D  un dominio simple que contiene  D¯ (z0, R), esto es posible por Ω es un abierto.



  

f (n) (z0 )   (z n ! n=0











Las f´oormulas rmulas integrales de Cauchy dan:



f ( f (z )



=

 

f (n) (z0 ) =  2niπ!



   

  1 2iπ

f  f ((ζ )  ζ , ∂ D ζ −z f ( f (ζ ) ∂ D (ζ −z0 )n+1

Por otro lado 1

 =

 

1 z0  + z  +  z0

 =

 

1 z0 )(1

  1   z −z0   = ζ  z0 ζ −z0 )

∞

   − −−  z ζ 

z0 z0

n

 − − z (ζ  −  −  − n=0  −  − z ζ  −  − −  − z0| y adem´aass la convergencia es uniforme sobre el disco centrado en z porque |z − z0 | < |ζ  − en z0 . Por consiguient consiguientee ζ 

se puede p uede integrar t´eermino rmino a t´eermino rmino garantizand garantizandoo la convergencia uniforme de la serie ∞

f ( f (z ) =

  

1 iπ 2 n=0

∂ D

f (ζ )n+1  dz  −  −f ( z0 )

(ζ 



(z

− z0)n.

 

 

I.8. SERI SERIES ES ENT ENTERA ERAS  S 

−1

0

45

1

Figura I.8.1: Polinomio de Taylor z Taylor  z

2

5

3

−   z3   +   z5   + · · · +   z255  en   R  y en   C 

Remarca.-Acabamos Remarca.Acabamos de ver que una funci´on on que puede expresarse como una serie de potencias es holomorfa y lo mismo una funci´ oon n holomorfa puede expresarse como serie de potencias. Las funciones que tienen esta propiedad se llaman funciones an´aaliticas; liticas; es decir que son indefinidamente derivables y que la serie de Taylor de la funci´oon n coincide con la funci´oon n en la regi´oon n de convergencia. Remarca.-Si Remarca.-Si   f  f    : Ω   C  es holomorfa, entonces el radio de convergencia de la serie de Taylor de  f   en el de   f  

 →

 z 0 punto z punto

 ∈ Ω, est´a dada por

dist(z0 , ∂ Ω), dist(z Ω),

verificaci´oon n que dejamos como ejercicio. Ejemplo

 −∞  ±

∞

  < x . y no se comp 1. La func funci´ i´ on on   y   = arctan x   es completamente lisa para comprende renderr´ıa porque el , polinomio de Taylor no funciona fuera de [ 1 1], pero visto en   C, recordando la secci´on on I.4 vemos que en la determinaci´oon n de arctan que no est´a definida para i.

−

2. Consi Considere deremos mos la deter determina minaci´ ci´ oon n principal del logaritmo, log z   =

   

 

z z z dζ  dζ  (ζ  1) + (ζ  (ζ  1+(ζ  ζ −1)   = 1  (1 1 ζ   ] 1 1+( 2 3   (z −1)4 = (z ( z 1)   (z−21)  +   (z−31) 4  

− −

−  −  −  −

En la figura I.8.2 se ve que la serie converge para z z  = 0 log no est´a definido.

 −  − 1)2 − · · ·) dζ  + ···

1   <   1, lo que no es sorprendente, porque en

 | − |

I.8.1.

Calculos alculos con Series Enteras ´

A continuaci´oon n se enunciar´a algunas propiedades de las series enteras. ∞

Proposici´ on I.8.2   Sean   on Sean   f  f ((z ) = respectivamente. Entonces 



n=0

∞

 

an z n y   g(z ) =

bn zn   dos series con radios de convergencia   convergencia   ρ1   y   ρ2

n=0

∞

f (z ) + g f ( + g((z ) = ∞

 bn )z n , (an  +  + b

 

(I.8.2)

zn,

 

(I.8.3)

n=0  n

f (z )g (z ) =

ai bn−i

  

n=0

i=0

las dos series, la suma y la producto, tienen un radio de convergencia  convergencia    ρ

≥ m´ın(ρ1, ρ2).

 

46

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

ℜw

n = 12

 

 y

 x

 y

ℑw

n = 12

 

 x

 x

ℜw

n = 24

 

 y

 x

 y

ℑw

 x

n = 24

 

 x

 x

 x

Figura I.8.2: Gr´aaficas ficas de parte real e imaginaria de (z (z

2

− 1) −   (z−21) 

+   (z−31)

3

  − · · · ±   (z−n1)

n

Demostraci´ on.-  Ver demostraciones en el curso de Primer A˜n on.- Ver noo de An´aalisis. lisis. 

f (z )/g /g((z ), es suficiente conocer la serie 1/g Para determinar los coeficientes de la serie cociente   f ( 1/g((z ) y se  g (0) = 0 y comenzar la serie   g(z ) por 1. Adem´aass podemos escribir los otros puede dividir  dividir   g(z ) por el  el   b0   =  g(0) coeficientes de la serie g serie  g((z ) con signo . Tenemos la proposici´oon: n:

   −

Proposici´ on I.8.3   Sea   g(z ) = 1 + on coeficientes   ci  de la serie 



∞ n=1

convergencia   ρ >   0. Entonces los  −bnzn una serie de radio de convergencia   ∞

1 cn z n ,  = g (z ) n=0



satisfacen    c0  = 1   y  satisfacen 

n−1

cn  =

ck bn−k  +  bn  + b

 

(I.8.4)

k=1

y el radio de convergencia es no nulo.



Demostraci´ on.- Para las relaciones recursivas dadas por (I.8.4) los productos de Cauchy de la serie producto on.- Para g (z ).(1 /g((z ) = 1 dar´aan (1/g n lo deseado. Mostremos ahora, que el radio de convergencia de la serie cociente es  ρ,aseg mayor o igual a 1/ 1/2ρ. La f´oormula rmula de Hadamard para el radio de convergencia  ρ ,asegura ura que la sucesi´ oon n

      3

|b1| , |b2|, |b3|, · · ·  | | ≤ q n. Insertamos sucesivamente esta mayoraci´oonn en (II.8.4) y tenemos |c1| ≤ q,2 2 2 |c2| ≤ q  3+ q  3= 2q  2 q  , 4 q 3 , |c3| ≤ 2q 4 + q  4+ q 3 4= 4q  8 q 4 2q  + q  + q 4 = 8q  |c4| ≤ 4q  + 2q 

ρ,, es decir bn son por q por  q > ρ

.. .  n-sima, q )).. De donde aplicando el criterio de la ra´ ra´ız ız n -sima, se tiene que 1/g 1/g((z ) converge para z <  1/  1/(2 (2q 

 | |

 

 

I.8. SERI SERIES ES ENT ENTERA ERAS  S 

47

F(w) 

 

w



z





 

O

 



ƒ( z)

ƒ

O

g

Figura I.8.3: Composici´oon n de Series 

Aparte de las op operaciones eraciones aritm´eeticas ticas con series, se tiene la composici´ oon n de series enteras. Para ubicar el problema, consideramos las series ∞

∞

n

n

f ( f (z ) =



k=0

an z

,

g (w ) =



k=1

bn w

,

observamos que  que   b0   = 0, para asegurar que   g (0) = 0 y buscamos determinar los coeficientes   cn  de la serie F ( F (w) =  f   f ((g (w)). Insertamos la segunda serie en la primera serie y se reordena la serie en potencias de  w  w:: F ( F (w) =   a0 +  a1 (b1 w + b  + a  +  b2 w2 + b3 w3 + ) + a + a2 (b1 w + b  + b2 w2 + b3 w3 +  a1 b1 w + (a =   a0 +  + a (a1 b2  + a  +  a2 b21 )w2 + (a (a1 b3  + 2a 2a2 b1 b2  + a  +  a3 b31 )w3 + 2 3 4  c1 w + c =   a0 +  + c  +  c2 w + c3 w + c3 w +

···

· · ·)2 + · · · ···

Observamos nuevamente que los coeficientes de la nueva serie son determinados recursivamente por expresiones finitas, gracias a que b que  b 0  = 0, de coeficientes conocidos. Para justificar que los reordenamientos son correctos y la prueba que la serie tiene un radio de conve convergencia rgencia no nulo, mediante el criterio de la serie mayorante. Nuevamente la formula de Hadamard conduce a que n

n

| | ≤ q  y   | | ≤  p .  z  =  pw  pw +  p w + p w + · · ·  = pw/  pw)) para |w|    0  tal que  z z0 < r f  f ((z ) = 0  z  =  z 0 .  = z

 ⊂

 ∃

 →  | | − |

 ≡  ⇒  

Demostraci´ on.- Mostrare on. f ,, entonces f  Mostraremos mos la co contrarec ntrarec´´ıproc ıprocaa “existe un cero n noo aislad aisladoo de de f  entonces f  es   es identicamente nula” Si   z0   el cero no aislado de   f , entonces para todo disco   D(z0 , r)   Ω   f  D(z0 ,r  0. En efecto, como ,r)) 2 D(z0 , r) Ω,  f  puede r . Se Ω, f   puede escribirse como serie f  serie  f ((z ) =  a 0  + a  +  a1 (z z0 ) + a + a2 (z z0 ) + , para z z0 < r.  k , sino sea k  a k = 0 obteniendo tiene quea queak  = 0 para todo  k, sea  k  el entero m´aass peque˜ n noo tal que que a

⊂

−

 ⊂

|

−   f ( f (z ) = (z − z0 )k (ak  +  ak+1 (z − z0 ) + · · ·) = (z − z0 )k g(z ).  + a

 ≡ ···

 | − |

g (z ) es holomorfa sobre el disco  disco   D(z0 , r) y   g (z0 ) =   ak . Por continuidad de  de   g g(z ) es diferente de 0 en un  z 0  no sea un cero aislado. Como vecindario de z de  z 0 , por lo tanto z tanto  z 0  ser  ser´´ıa un cero ai aislado, slado, lo que contradice que que z ak  = 0 para todo k todo  k,, se tiene f  tiene  f ((z ) = 0 sobre el disco D disco  D((z0 , r). Ahora mostremos que f  que  f ((z ) = 0 para todo z todo  z Ω. Sea z Sea  z 0 Ω un cero no aislado. Puesto que Ω es un abierto  γ  : : [0, R  un arco tal que γ   γ (1) = z conexo, tambi´een n es conexo por arcos. Sea Sea γ  [0, 1] que  γ (0) (0) = z =  z0   y  γ (1) =  z..

 ∈

→

 ∈

 

50

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

Consideremos el subconjunto













 

 

 

 

 

 

 

 

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 

 

 

 

 

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







 

 

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 

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 

 

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 

 

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 

 











 

 

 

 

 



I   = t

 



   ∅  



  

  

  

 

 

 

 

  

  

  

  

  

  

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  

  

  

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  

  

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  

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  

  

  

  



  



  

  



] ,t

{∈

[0, 1] [0, 1]..

0

|  ◦ |  ≡ } ⊂

I  =  porque 0   I . Por consiguiente al ser   I  I  no  no vacio y acotaτ ..   τ >  0, en efecto en un disco   D(z0 , r) do admite un supremo   τ  f  en la restricci´on on de  de   f   en la porci´on on del arco incluida en el disco es  z 1  =  γ (τ  τ )) es un cero de f  identicamente identicam ente nula. nula. z de  f  por  por la continuidad  γ  y  f ,, en efecto es suficente hacer tender t  τ  por de γ  de  y  f  tender  t a  a τ   por la izquierda. τ  = τ   z,, en cualquier disco  = 1, porque si τ si  τ <  1, se tend tendrr´ıa que  z 1 =  z D(z1 , r)   Ω   z1  no es un cero aislado, por lo que   f  f    es identica-



  

 ∈

[0, 1] f  γ  [0 [0,

  



 

 ⊂

mente nula en este disco y en particular en la porci´on on del arco  I .. incluida en ese disco y por lo tanto τ  tanto  τ  n  noo ser ser´´ıa el supremo de de I 





 ⊂

Si   E  E    = {z |f  f ((z ) =   g (z )}   →   C   holomorfas. Si   = ∅   y 

Corolario I.8.1   Sea   Ω   C  un abierto conexo,   f, g   : Ω contiene un punto no aislado en  E mismo,  E mismo, entonces   f  g.

  ≡≡ Corolario I.8.2   Sea   Ω ⊂ C  un abierto conexo, f  conexo,  f    : Ω → C   holomorfa. Si existe   z0 ∈  Ω  tal que   f (k) (z0 ) = 0 para todo  todo   k ≥ 0, entoces  f   f  ≡   ≡ 0.

En base al teorema precedente y el primer corolario se tiene las bases para el principio de prolongaf   : Ω   C  holomorfa, donde Ω es un abierto. Sea  z 0  Ω. Por miento an´aalitico. litico. Consideremos una funci´on  on   f    f  puede consiguiente, f  consiguiente,  puede escribirse como una serie entera alrededor de z de  z 0 ,

 →

 ∈

∞

f ( f (z ) =



− z0)n,   |z − z0| < ρ,

an (z

n=0

 | − z0| < ρ,ρ , entonces

donde  ρ >  es el radio de convergencia de la serie. Sea z donde ρ Sea  z 1 =  z 0  un punto dentro el disco z  z z1  + (z la substituci´ on z on  z z0  =  = z (z1 z0 ) en la serie permite

−

−

 

−

∞

f (z ) =

  

∞

an (z

n=0 ∞

=

− z0)

(z

− z1)n

bn (z

n=0

an (( ((zz1

=

 ∞

m=0 ∞

=

 −    n

z0 ) + (z (z

n=0

k=0

n +  k  + k n

an+k (z1

− z1))n

− z0)k



− z1)n.

Remarcamos que las series de la primera fila y la tercera fila son reordenamientos de la serie de la segunda fila que es una serie doble. El reordenamiento est´a permitido porque para z para  z  fijo con z1 z0 + z z 1 < ρ la serie doble converge absolutamente; en efecto

 | − | | − |

∞

|

n=0

| | − z1| + |z1 − z0|)∞

an ( z

 

 

I.8. SERI SERIES ES ENT ENTERA ERAS  S 

















51   

  

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

 

 

 

 

 

 

 

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 

 

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 

 

 

 

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 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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

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 

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  

  

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

 

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 

 



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

 



 

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

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 









 

 

 

 



 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 







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

 



 



 







 



 

 

 

 

 

 

 

 



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

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

 



 



 

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



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

 

  

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  







 

 

 



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  

 



 

 



 



  

 



 

  











Figura I.8.4: Principio del Prolongamiento An´aalitico litico converge conve rge absolutamen absolutamente. te.

∞

La concl conclusi´ usi´ oon n es que si z

z1   < ρ

 | − |

z1

bn (z

z0 , la serie

 n

−| − |

z1 )n converge y representa la misma

 − − | − |

funci´ on f  on  f ((z ). Pero es posible que el radio de convergencia sea mayor que  ρ z1 z0 y por lo tanto converga f (z ) ha sido prolongada de manera en una regi´on on fuera del disco inicial. Viendo la Figura I.8.4, la funci´oon  n   f ( u unica. ´ nica. Este procedimiento puede ser repetido y permite llenar una regi´oon n de m´aass en m´aass hasta llegar a un borde natural. La unicidad del prolongamiento se garantiza en tanto que los discos llenan un dominio simplemente conexo (sin huecos).

I.8.3. I.8.3.

Otross Resultad Otro Resultados os de las Func Funcion iones es Holomor Holomorfas fas

Por lo que se ha visto hasta ahora, las funciones holomorfas tienen un comportamiento ejemplar y previsible, nada que ver con la palabra compleja. A continuaci´on on presentamos una serie de teoremas que mostrar´aan n cu´aan np poderosa oderosa es la teor teor´´ıa de las funciones complejas. Teorema I.8.5 (Desigualdad de Cauchy)   Sea   f  f    : Ω donde   Ω   es un abierto,   z0   Ω,   C   holomorfa, donde   R >  0  con  D(  D (z0 , R) Ω  y   y  M  M >  0  tal que   f (z ) M  M  para  para todo z todo  z D(z0 , R).

⊂

 →

≤

f (z ) = f (

 ∞

n=0

an (z

 ∈

 ∈

− z0)n,   |z − z0| < R,

Entonces:

 | | ≤  RM n .

i) an

ii)  Si existe  n  n 0   con   an0   =

  M  , entonces   an  = 0  para todo n todo  n =  n0 , es decir  f (  f (z ) =  an0 (z Rn0



− z0)n . 0

Demostraci´ on.-  Sin perder generalidad podemos suponer que   z0  = 0. Sea  < ρ < R  y planteamos  on.- Sin planteamos   I (ρ) = 2 2π iθ dθ . Tenemos f  f ((ρe ) dθ. 0

   

f ( f (ρeiθ ) =

∞



n=0

an ρn eniθ ,

 

52

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

  

I (ρ) =

          

 ∞

  2π

0 ∞

 ∞

n niθ

n=0

m=0

an a ¯m ρm+n

=

 |

2π 0

∞

= 2π

an 2 ρ2n

|

n=0

→ R, se tiene

∞

|

an 2 R2

|

n=0

  2π

ei(n−m)θ dθ

0

m,n=0 m,n =0

 ρ Haciendo ρ Haciendo

am ρm e−miθ  dθ

an ρ e

 

si

 

m=n

sino

≤ 2πM 2,   ∀ρ < R.

≤ M 2 ⇒ |an| ≤  RM n .

Los c´aalculos lculos en la doble serie est´aan n justificados porque trabajamos con una serie absolutamente convergente. 

Definici´ on I.8.3   Una funci´  on on entera es una funci´  on   f (z )  holomorfa sobre todo el plano complejo   C.

Teorema I.8.6 (Teorema de Louiville)   Toda funci´  on entera y acotada es constante.

 |

| ≤ M   M  para  para todo z todo  z  ∈   C. Para todo R todo  R >  0 por la desigualdad

Demostraci´ on.-  Sea  M  on.- Sea  M  la f (z )  la cota es decir f ( de Cauchy se tiene, para n para  n 1

≥

|an| ≤  RM n ⇒ an  = 0,

de donde f  donde  f ((z ) =  a0 . 

Teorema I.8.7 (Teorema del Valor Medio)   Si  f  es  f  es holomorfa en un disco de radio r radio  r  y centro z centro  z , entonces 

   

 π

f (z ) = f (

π   12 12π

f (z  + f (  re iθ ) dθ.  + re

0

Demostraci´ on.-  Ejercicio. on.- Ejercicio. 

¯ . Si un punto c Proposici´ on I.8.5   Sea  f  holomorfa on  f  holomorfa en un disco abierto D abierto  D,, continua en  D punto  c m´  aximo de  f  f ((z ) , entonces   f  f  es  es constante en un vecindario de   c.

 | |

|

∈ D  es un punto

 

 

I.8. SERI SERIES ES ENT ENTERA ERAS  S 

53

 |

|

Demostraci´ f (c) = 0 el resultado es evidente. Sino planteamos   M   M   = f ( f (c) . La hip´ootesis on.-   Si   f ( on.tesis sobre   c iθ R  se tenga f ( f (z ) < M   M   para z  re , 0 θ 2π . implica que exista R exista  R >  0 tal que para todo 0 < 0  < r < R se para  z  = c  =  c +  + re

 |

|

≤  ≤



 









































¯ (0 Observemos la imagen de esta circunferencia ubicada en el disco  D (0,, M ). ). Mediante una rotaci´oon n llevamos iθ f (c) este punto se convierte el f  f ((c) al eje real y despues de la sustracci´on g  f (z ) f (c) =  f (  f (c + re ) f ( on  g((θ ) =  f ( origen, ver figura m´aass arriba. Por el teorema del valor medio

−

−

 

  2π

g (θ ) dθ = dθ  = 0.

0

), por lo que (g (θ ))  0, salvo si   g(θ) = 0. La continuidad de  de   g  y el valor de La curba  curba   g (θ )  D ¯ ( M, M ), ¯ ( M, M ) en la integral implican que (g (θ ) = 0 para todo θ todo  θ.. Ahora bien, el ´u unico nico punto, donde el disco  D f (z ) es constante sobre el borde de cuesti´ oon n toca el eje imaginario es   O. De esta manera   g (θ) = 0 y como  como   f ( D(c, r) la continuidad de f   f  implica  f  sea de  implica que f  que  sea constante en este disco.

 ∈ −

 

 

 ≤

−



→

 D ⊂ Ω  dominio simple,

Teorema I.8.8 (Principo del M´ aximo)   Sea  f   aximo)  f   : Ω C  holomorfa no constante, ◦ entonces para todo z todo  z 0 f ((z0 ) <   sup f  f  f ((z ) .

 ∈ D

|

|

z ∈∂ D

|

|

∈D f ( f (z ) . Si los puntos m´aaximos  ∂  , entonces el teorema Demostraci´ on.-   Sea on.-  ximos se encuentran sobre sobre ∂  Sea   M  =   = zsup ◦  M .. Consideremos el conjunto  f ( f (z ) =  f (  f (c) , ahora es correcto, sino existe   c con f (c)  =  M  conjunto   E   = z bien por la con contin tinuida uidad d de f de  f E  es   es cerrado en  y por la proposici´oon n precedente precedente E   E  es  es abierto en , como  E  =  f  no es un dominio simple, por lo tanto conexo,  E   =  lo que contradice la hip´ootesis tesis de que que f   no es constante.

 ∈ D

|

 |

|

|

 D

D  {  ∈ D|

D

 D

}

 D



Teorema I.8.9 (Fundamental del Algebra)  Todo polinomio de grado mayor o igual a   a   1  y coeficientes  complejos  P ((z ) =  a n z n + an−1 z n−1 + P  + a0

···

 ∈ C  tal que  p(  p (z ) = 0.

existe un   z

Demostraci´ on.-  Supongamos que el teorema no es correcto; es decir que existe un polinomio de grado on. p (z ) = 0 para todo z f (z ) = 1/p /p((z ) mayor o igual a 1  1   p(z ) que no admita raices. Por lo tanto  p( todo  z  y la funci´oon  n   f ( es entera.

 

 

54

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 



 z

g(z)

 

 p 

a p (∗) 







δ





∼ δ



ε

g

Figura I.8.5: Demostraci´oon n Teorema de la Aplicaci´oon n Abierta Por otro lado, se tiene que l´ım f (z ) = 0,

z →∞

¯ (0 f ( f (z )    0 tal que z  > R (0,, R) aplicamos el principio del maximo, con lo que la funci´on f  on  f ((z ) es acotada. El teorema de Liouville implica que f  que  f ((z ) es constante, lo que contradice que p que  p  sea un polinomio de grado mayor o igual a 1.

 | |

 ⇒ |

|



Teorema I.8.10 (Teorema de la Funci´ on Abierta)   Sea   Ω   un abierto y   on y   f  f    una funci´  on holomorfa no constante, entonces para todo abierto  abierto   U  Ω  f   f ((U )  es un abierto.

 ⊂  ⊂

 D((z0 , δ ) contiene un disco  D  D((f ( f (z0 ), ). En el Demostraci´ on.-  Se debe mostrar que la imagen de un disco  D on.- Se  n es biyectiva en un vecindario de  z 0  y el resultado es trivial. caso en que f  que  f  (z0 ) = 0, la funci´oon   f (z0 ) = 0 Sea a n 2) que  z 0  = 0 y  f ( El caso f  caso  f  (z0 ) = 0, si es necesario realizar traslaciones, suponemos que z Sea  a n  (  (n el primer termino no nula de la serie de Taylor de f  de  f  alrededor  alrededor de 0. Podemos escribir



≥

f (z ) =  a n z n (1 + b  b2 z 2 + + b1 z  +  + b

· · ·).

Veamos el caso en que todos los  b k  = 0. f  0.  f ((z ) actua sobre un disco de radio δ  radio  δ  convirti´  convirti´eendolo ndolo en un disco de n    = an δ  , recorriendolo n  D(0 radio  radio recorriendolo  n  veces. Es decir cada punto del disco  D (0,, ), a excepci´oon n del origen, tiene exactamente  n  preim´aagenes. genes. El caso en que existen  existen   bk  no nulos, para z   lo suficientemente peque˜ n no, o, utilizando la serie binomial de Newton, ver Curso Primer A˜n noo de An´aalisis, lisis, se tiene

 | |

 | |

(1 + b + b1 z  + b  +  b2 z 2 +

· · ·)1/n = 1 + c +  c1 z  + c  +  c2 z 2 + · · · ,

de donde f ( f (z ) = a =  a n (z (1 + c + c1 z  + c  +  c2 z 2 +

· · ·))n = an(g(z))n.

δ )   g(D(0 que   D(0 (0,, ˜ (0,, δ )). )). Por u ultimo, ´ ltimo, al elevar a la potencia   n Sea   δ >  0, como   g  (0) = 0, exite   δ˜ >  0 tal que  Sea  ˜n . estamos en el caso en que los  b k  son nulos. Por consiguiente  consiguiente    = an δ 

 

 ⊂

| |



 

 

I.9. SERI SERIES ES DE LA LAURE URENT  NT 

I. I.9. 9.

55

Se Seri ries es de La Laur uren entt

En la secci´on on precedente hemos estudiado el hecho que las funciones que son holomorfas sobre un disco, admiten admi ten desarrol desarrollos los en serie de potenc potencias. ias. En esta secci´ oon n se pretende generalizar este desarrollo en serie de potencias a regiones m´aass generales. Definici´ on I.9.1   Sean   on Sean   a   C,   0  r < R. La corona de centro  centro   a, radio inferior   inferior   r  y radio superior   R  es el  conjunto

 ∈

 ≤

{  ∈ Z|r < |z − a| < R }.

C (a,r,R a,r,R)) = z

Considermos una funci´on f  on  f ((z ) holomorfa sobre una corona C(a,r,R C(a,r,R), ), planteamos   

  

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

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 



 

 

 

 

 









 1 ak  = 2iπ

 

f ( f (ζ )  dζ , a)k+1 C  (ζ 

 

 −  −

(I.9.1)

 

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 

 

 

 

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



 C  es donde C  donde  es un recorrido cerrado dentro la corona,  a

∈ Int C .

 

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 

 

 

 

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 

 

 

 

 









ak  no depende de C  de  C ,, consecuencia de uno de los corolarios del teorema de Cauchy. La serie de Laurent de f  de  f  respecto a la corona C(a,r,R C(a,r,R)) es

ak (z

− a)

k

a−k (z

=

−k

− a)

ak (z

+

− a)k .

 

(I.9.2)







k=0

k=1

k=−∞

 ≤

∞

∞

k=+∞ =+∞

 ≤ ∞  ∈

Teorema I.9.1   Sean   Sean   0   R1   < R2   + ,   a   C   y  y    f  f    holomorfa sobre la corona   corona   C( a, R1 , R2 ). Entonces  C(a, para todo  todo   ρ1 , ρ2   con   R1  < ρ1 ρ2  < R2 , se tiene 

 ≤

k=+ =+∞ ∞

f (z ) = f (



k=−∞

ak (z

− a)k

 ≤ |z − a| ≤ ρ2.

uniformemente sobre  ρ  ρ 1

 ≤  ρ2  < R2, como la corona C(a, C(a, R1 , R2 ) es un conjunto abierto,

 R 1   < ρ1 Demostraci´ on.-  Sean   ρ1 , ρ2   con on.- Sean con R

 

56

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

existen  ρ 1   y  ρ 2  tales que existen ρ R1  < ρ1  < ρ1

 ≤< ρ 2  < ρ2  < R2.





z ρ1 z a   ρ2 . Para   r >   0 lo sufici Sea   z suficient entemen emente te a, ρ1 , ρ2 ). Por lo tanto, de acuerdo a otro peque˜ no   D(z, r)   C( no C(a, colorario del teorema de Cauchy sobre integrales, se tiene

  ∈ { |   ≤ ⊂| − | ≤

















 

Γ2

f (ζ ) f (  dζ  =  dζ   = ζ  z

 −  −

 

f (ζ ) f (  dζ  +  dζ   + ζ  z

 −  −

Γ1

 





f (ζ )  dζ . ζ  z

 

 −  −

|ζ −z |=r











Por otro lado, la f´ormula ormula integral de Cauchy da

 

 1 f ((z ) = f  2iπ

|ζ −z |=r

f (ζ ) f (  1  dζ  =  dζ   = ζ  z 2iπ

 −  −

 

Γ2

   −  −

f (ζ )  dζ  ζ  z

 −  −



f (ζ ) f (  dζ  . ζ  z

 −  −

Γ1





 a  y radio ρ Sobre Γ2 , es decir la circunferencia de centro centro a radio  ρ 2 , se tiene   1   −−1 z   = (ζ  −  −  a) −1 (z − a)   = (ζ  −  − a) 1 −   zζ −−aa



ζ  Como

  ≤ z −a ζ −a

  ρ2 ρ2



.

<  1, se tiene que 1

 −  −

ζ 

∞

−   −  −  −  −

  1  = z ζ  a

z ζ 

k=0

a a

k

¯ (a, ρ2 ), se tiene uniformente. Por consiguiente, al existir convergencia uniforme sobre el disco  D 1 2iπ

 

f (ζ ) f (  dζ  =  dζ   = ζ  z

 −  −

Γ2

∞

    − −    k=0

1 2iπ

f (ζ ) f (  dζ (z (ζ  a)k+1

Γ2

− a)k .

ak , k≥0

 a  y radio ρ Sobre Γ1 , es decir la circunferencia de centro centro a radio  ρ 1 , se tiene 1

 − z  −

ζ  Como

  ≤ ζ −a z −a

  ρ1 ρ1

 =

 

1

 − a) − (z − a)  −

(ζ 

−

 =

 

1

− a)

(z

 

−  1

  ζ −a z −a

.

<  1, se tiene que 1

 − z  −

ζ 

 =

 1 z a

− −

∞

   − −−  k=0

ζ  z

a a

k

 { | | − a| ≥ ρ1}, se tiene

uniformente. Por consiguiente, al existir convergencia uniforme sobre z z f (ζ ) f (

1 2iπ

 

Γ1

ζ 

 − z  −

∞

 dζ   =  dζ  

f (ζ ) f (

1

− k=1 2iπ

(ζ 

     − − Γ1

a)−k+1

a−k , k≥1

 dζ (z

  −

a)−k .



 

 

I.9. SERI SERIES ES DE LA LAURE URENT  NT 

57 

k=∞

Proposici´ on I.9.1   Si  f ( on  f (z ) =

a)k en una corona  C(a,r,R  C( a,r,R)), entonces 

Ak (z



k=−∞

−  1 Ak  = 2iπ

 

f (ζ ) f (  dζ , a)k+1 C  (ζ 

 −  −

donde   C  C  es  es un contorno simple en la corona   corona   C( a,r,R)), en cuyo interior se encuentra  a.  a . C(a,r,R Demostraci´ on.-  Dejamos al estudiante la justificaci´oon on.- Dejamos n de los c´aalculos, lculos, se tiene   1 al   = 2iπ =

 

f ( f (ζ )  dζ  a)l+1 C  (ζ 

 − −  − −     − − − − −        

  1 2iπ

k=∞

a)k   dζ  =  = l+1

Ak (ζ 

k=−∞

(ζ 

a) Ak (ζ  a)k  dζ  =  Al . 2iπ C  (ζ  a)l+1

C   k=∞ C k=−∞

=

  0   k =  l 2iπ k  = l  =  l



Al igual que las series enteras, con las series de Laurent, en lugar de utilizar la f´oormula rmula integral (I.9.1) para determinar la serie de Laurent de una funci´oon n es preferible utilizar propiedades de series y series ya conocidas. Ejemplos 1. Consi Considere deremos mos la funci funci´on f  ´on f ((z ) =

  1

 z =  i y  z = . Esta funci´oon n no est´a definida en en z  = i  y z  = i. Determinemos 2  z 1 + + z la serie de Laurent en la corona C(i, C(i, 0, 2) = z 0   < z i   <   2 , remarcando que existen otras tres coronas donde se puede desarrollar en serie de Laurent la funci´oon f  n  f ((z ). Se tiene

 { |  | − |

   − − −

  1   1  = z i (z  + i  +  i)( )(zz i)   1 1   1 = z i 2i 1 +   z2−i i

1   = 1 + z + z 2

−

−

}

  1 z i + 2i 2i

.

 | − i| / |2i|  1, se tiene

 | | |

1 z (z

I.9. I.9.1. 1.

−

  1  = 2 1) z (1

−

zk =

 1   1   = z2 z)

− z1 − 1 − z − z2 − · · · .



 1   1 1 +  + 2 + z z

 ···

=

 1  1  1  + 3 + 4 + 2 z z z

···.

Puntos Pun tos Singulare Singularess Aislados Aislados de Funcio Funciones nes Holomorf Holomorfas as

 {

| − a| < R}, sea

Consideremos una funci´oon n holomorfa sobre una corona de radio inferior 0, 0 < z k=−1

f ( f (z ) =



∞

ak (z

k=−∞

k

− a)

+



ak (z

k=0

− a)k

parte principal

    

la serie de Laurent respecto a la corona   C (a, 0, R). De acuerdo al comportamiento de la parte principal de la serie de Laurent, podemos clasificar el punto a punto  a:: i.-   ak  = 0 para k para  k <  0 (la parte principal de la serie de Laurent es nula), en este caso f  caso  f    es holomorfa sobre el disco D disco  D((a, R) y se dira que  a  es una singularidad suprimible. Por ejemplo sin z z tiene 0 como singularidad suprimible.

 

ii.-   Existe  Existe   k0   <  0 tal que  que   ak0 = 0 y   ak  = 0 para   k < k0 , (la parte principal contiene un n´ u umero mero finito de t´ eerminos rminos no nulos). En este caso, la serie de Laurent es ∞

a)k0 + ak0 +1 (z

f  f ((z ) =  ak0 (z

−

a)k0 +1 +

−

a)−1 +

a−1 (z

···

−

a)k .

ak (z



k=0

−

 −k0. iii.   Existe una infinidad de   k <  0 con  con   ak   = 0, (la parte principal contiene una infinidad de t´ eerminos rminos no  a  es una singularidad esencial. Por ejemplo, para 0  < |z | nulos). Se dir´a que que a Se dira que a que  a  es un polo de orden

∞

1/z

e

=

  k=0

 { |  | − |

1 k!

1 z

k

.

}→

Proposici´ on I.9.2   Sea   f  on f    : z 0  < z a  < r f    posee un polo de orden   orden   n   en   a   C  holomorfa, entonces   f  si y solamente si   1/f  /f  posee  posee un cero de orden   n  en   en  a  a..

Demostraci´ on.-  Se tiene on.- Se f ( f (z ) =  a−n (z

− a)−n + a−n+1(z − a)−n+1 + · · · = h(  h (z )( )(zz − a)−n .

 

 

I.9. SERI SERIES ES DE LA LAURE URENT  NT 

59

 

h(z ) es holomorfa sobre todo el disco  D(  D (a, r) y  h(  h (a) =  a −n = 0. Por consiguiente, f  consiguiente,  f  tiene  tiene un polo de orden n, si y solamente si h si  h((z ) es holomorfa y h y  h((a) = 0, si y solamente si



1   = ((zz f ( f (z )

− a)n h  (1a) ,

 n . si y solamente si 1/f  1/f  tiene  tiene un cero de orden  n. 

Corolario I.9.1   f  f    posee posee una singu singularid laridad ad esenci esencial al en  en    a, si y solamente si   si   1/f  /f    posee posee una singu singulari laridad  dad  esencial en  a.  a .

{|

 f  es acotada, entonces la singularidad es  | − a| < r } → C  holomorfa. Si  f  es

Proposici´ on I.9.3   Sea  f   on  f   : z 0 < z suprimible.

Demostraci´ on.-  Consideremos la serie de Laurent de  f  en on.- Consideremos  f  en la corona z 0  < z k=∞

f ( f (z ) =



k=−∞

  1 ak   = 2iπ

ak (z

 

k

− a) ,

|ak | =  21π

|ζ −a|=ρ

 k <  0, hacemos tender ρ Para k Para tender  ρ

| ≤ M , por consiguiente

  ≤

f ( f (ζ ) dζ  (ζ  a)k+1

 −  −

}

 −  −

 O < ρ < r. r . Si  f  es  M >  0, tal que f ( f (z ) con O con Si f   es acotada, existe existe M

   

| − |

f ( f (ζ ) dζ, (ζ  a)k+1

|ζ −a|=ρ

 |

 { |

a  0 tal que δ >  0, se tiene

 →

 ∀  ⇒ |f ( f (z )| ≥ . 0 < |z − a| < δ  ⇒

 →   a   tal que 

  →   a   verifica

Sino ser s er´´ıa p posible osible constru construir ir una sucesi´on on con las caracter´ıısticas sticas se˜n naladas. aladas. f   holomorfa sobre 0   < z a   < δ , se tiene que 1/f (z )      sobre Por lo tanto, tomemos   δ >   0 con   f   0   < z a   < δ , de donde 1/f  1/f    es acotada y  y   a  es una singularidad suprimible de acuerdo a la proposici´oon n

 | − |

 | − |

 |

|≤

precedente. Lo que conduce a una contradicci´oon. n. 

 

60

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

Corolario I.9.3   f  f    posee una singularidad esencial en   en   a, entonces para todo   c zn a  tal que   f (zn ) c.

 →

→

Demostraci´ on.-   Planteamos g on.-   f (z ) Planteamos  g((z ) =  f (

 ∈   C, existe una sucesi´ on 

− c  y aplicacmos la proposici´oonn precedente. 

I.10 I. 10..

Resi Re sidu duos os y Apl Aplic icac acio ione ness

El concepto de residuo y sus aplicaciones provienen de manera natural de las Series de Laurent. Consideremos ∗

f   : Ω D   C  holomorfa. Por lo∗ tanto, si   z es un un abierto Ω   C, un conjunto   D  Ω discreto y sea   f   f ,, entonces existe  f  es holomorfa sobre la corona C(z punto singular de   f  existe   r >  0 tal que  que   f  es C( z , 0, r) y la serie de Laurent respecto a esta corona es

 ⊂

 ⊂

−  →

k=∞

f ( f (z ) =



ak (z

k=−∞

− z ∗ )k ,

si z si  z ∗ D, entonces la serie de Laurent se confunde con la serie de Taylor alrededor de  x ∗ . Definici´ on I.10.1   Sea   f   on f   : Ω D   C   holomorfa, donde   D  es un conjunto discreto. El residuo de   de   f   f   en el  ∗ punto z punto  z Ω   es 

∈

∈

−  →

 

 1 f ) =  a−1 (z ) = Resz=z∗ (f ) 2iπ ∗

f ( f (ζ ) dζ,

|ζ −z ∗ |=ρ

con   ρ no. ρ > 0  lo suficientemente peque˜ 

− D →   C   holomorfa, donde   D  es un conjunto

f    : Ω Teorema I.10.1 (Teorema de los Residudos)   Sea   f  discreto C  discreto  C  Ω  contorno simple con   C  D = , entonces 

 ⊂  ⊂

 ∩  ∩

 

∅

f (ζ ) dζ  = f (  = 2iπ

C 

 

 

f )) Resz=z∗ (f 

z ∗ ∈D z ∗ ∈int  C int C

 

(I.10.1)

 ∩ int C   C   es un conjunto a lo m´aass finito. Por

Demostraci´ C   es un conjunto acotado, se tiene   D on.-   int C   on.-

 

 

I.10. RESIDUOS RESIDUOS Y APLIC APLICACIO ACIONES  NES 

consiguiente   D

61

∩ int C  =  = {z1 , z2 , . . . , zn }. Por corolario corolario del teor teorema ema de Cauc Cauchy hy se tiene  

n

f (ζ ) dζ  C  C  f (

 







  =

    

k=1 |ζ −zk |=ρk  n k=1







f ) . Resz=zk (f )

= 2iπ



f ( f (ζ ) dζ 





I.10 I. 10..1.

Calculo alculo de Residuos ´

Si bien, el resid residuo uo de una funci´ on f  on  f  en  en punto a punto  a est´  est´a definido mediante una integral, la utilizaci´oon n de residuos se justifica para el c´alculo alculo de integrales por medio del teorema del residuo. Por consiguiente, la determinaci´on del residuo en un punto singular pasa por la determinaci´on de la serie de Laurent alrededor del punto aislado. Polos Simples En este caso

∞

f ( f (z ) =  a−1 (z

− a)−1 +

Ahora bien, la funci´on on  z  = a es holom holomorfa orfa en en z  =  a,, de donde

(z



ak (z

k=0

− a)k .

f (z ) =  a−1  + a  +  a0 (z − a) + · · · − a)f ( a1  = l´ım (z − a)f ( f (z ). z →a

Ejemplos 1. Con Consid sidere eremos mos la ffunc unci´ i´ on f  on  f ((z ) = 1/ sin z , ´eesta sta tiene un polo simple en el origen, Resz=0 (

z  1   = 11.. ) = l´ım z →0 sin z sin z

2. Sup´oongamos ngamos que la funci´ on f  on  f ((z ) es de la forma f (z ) =

  P  P ((z ) , Q(z )R(z )

 P ((a) = 0,  R(  R (a) = 0,  Q(  Q (a) = 0 y Q con P  con y  Q  (a) = 0, en este caso, se tiene







P  P ((z )( )(zz a)   = l´ım z →a z →a Q(z )R(z )

f (z )) = l´ıım Resz=a (f ( m

−

P ( P (z ) Q(z )−Q(a) z −a   R(z )

=

  P ( P (a) .  Q (a)R(a)

 

62

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

 f ((z ) = cot z , esta funci´oon  z  = πk  k  entero, Como ilustraci´oon, n, consideremos consideremos f  n tiene polos simples en en z  =  πk   con con k z  z  πk , los residuos en los polos simples  = , est´ a an n dados por sabiendo que cot z  =   cos k sin z Resz=zk (cot z ) =

 cos(πk))  cos(πk   = 11.. πk)) cos(πk cos(

Polos de orden superior Supongamos que f  que  f  tiene  tiene un polo de orden n orden  n  en el punto a punto  a,, el desarrollo de la serie de Laurent alrededor de este polo est´a dada por f  f ((z ) =  a−n (z

 a1 (z − z0 ) + · · · . − a)−n + · · · + a−1(z − a)−1 + a0 +  + a

 f ((z )( La funci´on g on  g (z ) =  f  )(zz a)n es holomorfa alrededor de a de  a,, por que a que  a  es una singularidad suprimible para g . El desarrollo en serie de potencias alrededor de  a  de la funci´oon g n  g  es por consiguiente

−

g(z ) =  a −n  +

· · · + a−1(z − a)n−1 + · · · .

 n 1, por consiguiente El residuo buscado de f  de  f  es  es el co coeficiente eficiente del t´eermino rmino de gra grado do n n − d 1   1 f (z )) = (g(z ))z =a . Resz=a (f ( (n 1)! dz n−1

−

−

Ejemplo 3.-  Consideremos la funci´on f   n en  z = on f ((z ) = 1/(1 + z 2 )n , que tien tienee polos p olos de orden orden n  en z  =  z  = i en en z  =  i.. Se tiene g (z ) =   f ( f (z )( )(zz a−1   = =

±i. Calculemos el residuo

1   = ((zz + i  +  i))−n , − i)n = (z   +  i))n  + i

dn−1   1 (z + i  +  i))−n (n 1)! dz n−1 n 2)!   (2 (2n . i 2n−1 n 1)!)2 2 (( ((n

−

− −

 −





z =i

 =

  1 ( n) ( n (n 1)!

−

− · − − 1) · (−2n + 2)(i  i))−2n+1 , 2)(i +  + i

−

Ahora bien, calcular la n la  n 1-sima derivada de una funci´oon, n, generalmente no es una tarea simple por lo que tambi´en en es u util ´ til realizar desarrollos de series de Laurent limitados a un n´u umero mero finito de t´eerminos. rminos. Ejemplo 4.-   La funci´oon n csc3 z   tiene un polo de orden 3 en el origen. Realizando desarrollos en serie de potencias limitados a un n´ u umero mero finito de t´eerminos, rminos, se tiene /3! + csc3 z   = (z z 3 /3! + (z 5 ))−3 =  z −3 (1 z 2 (1 (1/ 3 − /3! + (z 2 )) + ) (1/ =   z −3 (1 ( )z 2 (1 1  1 . =   z −3 (1 + z + z 2 /2 + ) = z =  z −3 + z −1 + 2

−

−

O

O

···

···

de donde

− ···

 1 Resz=0 (csc z ) = 2 . 3

O(z2)))−3

 

 

I.10. RESIDUOS RESIDUOS Y APLIC APLICACIO ACIONES  NES 

I.10 I.10..2.

63

C´ a alculo lculo de Integrales

Una de las aplicaciones de los residuos est´a dada por el c´aalculo lculo de integrales definidas y/o impropias reales. A continuaci´oon n veremos algunas situaciones t´ııpicas, picas, en las cuales la utilizaci´ oon n de residuos permite facilmente evaluar integrales. evaluar 2π Integrale egraless del tipo: 0   R(cos θ, sin θ ) dθ 1.   Int  R((x, y) =  P (  P (x, y )/Q /Q((x, y ),  P ((x, y) y  Q(  Q (x, y) polinomios. Donde R Donde ), P   Q(cos Suponemos adem´aass que que Q (cos θ, sin θ ) = 0 para todo θ todo  θ [0, [0, 2π].

 



 ∈

 γ  la  la circunferencia unitaria, la integral se convierte Planteando  z  = e  =  e iθ y  γ 

 

  2π

R(cos θ, sin θ) dθ = dθ  =

0

   R

γ 

z  + z  +  z −1  z z −1   , 2 2i

−



dz  . iz

Ejemplo

 | |

5.-  Consideremos la integral, con a >  1,

 

  2π

0

1  dθ, a + cos θ

que mediante la transformaci´oon n dada m´aass arriba, se convierte en

 

  2π



0



 







−2i

  γ 

z2

1  dz + 2az 2az +  + 1

az + Ahora bien f  bien  f ((z ) = 1/(z 2 + 2az  + 1) tiene un polo simp simple le al interior de la circunferencia dado por   z1   = a + a2 1,  f (z ) en  z 1   es que dicho sea de paso es real. El residuo de  f ( en z



 

1  dθ  = a + cos θ



 −

f (z )) = Resz=z1 (f (

  1   1  = 2z1 + 2a 2a 2 a2

aplicamos aplic amos el teor teorema ema de los residuos y obten obtenemos emos

 

  2π

0

Integrale egraless del tipo: 2.   Int

 

√  − 1 = √   a22π− 1 .

  1 1  dθ =  dθ  = ( 2i)(2iπ )(2iπ)) a + cos θ 2 a2

∞ −∞ R(x) dx

−

√  − 1 ,

√  −

 

64

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 



 R((x) =  P (  P (x)/Q /Q((x),  P ((x) y  Q(  Q (x) polino  Q((x) = 0 para todo x Donde R Donde ), P  polinomios mios con con Q todo  x P ((x) + 2 Si por ejemplo deg P 

∈ R.

zP (z )/Q /Q((z ) = 0.  ≤ deg Q(x), se tiene zl→∞ ´ım zP (

Por consiguiente la integral impropia en cuesti´oon n existe y ademas 



 

  +∞

 r

R(x) dx dx   = l´ım ım

r→+∞

−∞





 

R(x) dx.

−r

γ   es el cont Observa Obser vando ndo la figura figura,, si   γ   contorno orno cerrado, cerrado,   C r   la mitad de la



circunferencia, se tiene

 

 r

R(x) dx dx =  =

−r

 

R(z ) dz

γ 

  −

R(z ) dz,

C r

Pasando al l´ımite, se verifica

≤ πr πr m´ P ((z )/Q /Q((z )| → 0 cuando r  m´ ax ax |P  cuando  r  → ∞ z ∈C 

R(z ) dz

r

C r

 

  

Para el contorno γ  contorno  γ ,, el teorema de los residuos da l´ım

r→∞ γ 

de donde

 

 

R(z ) dz = dz  = 2iπ



)),, Resz=zi (R(z ))

zi   polo zi >0

 ∞

R(x) dx dx =  = 2iπ

−∞



)).. Resz=zi (R(z ))

zi   polo zi >0

Ejemplo 6.-  La integral impropia

 ∞ −∞

−

n 2)!   (2 (2n 1  dx  π  = π  = n 1)!)2 22n−2 (( ((n (1 + x + x2 )n

 

 

(I.10.2)

−

porque   i  es un polo de orden   n, el u unico ´ nico que se encuentra en el semiplano complejo superior y utilizando el resultado del ejemplo 3 se llega al resultado enunciado.

 

∞

Integraless del tipo −∞ f  f ((x)eiax dx 3.   Integrale f ((z )  0 cuando z Donde   f  Donde cuando  z . Para resolver este tipo de integrales, al igual que se ha hecho en el caso precedente, la idea es construir un contorno en el semiplano superior o inferior, de manera que el recorrido que no se encuentra sobre la recta real tienda a O a  O  y aplicar el teorema de los residuos.

 →

 







 → ∞







 





 







Consideremos el caso en que a que  a >  0, usualmente se toma semicircunferencias para construir un contorno; esta vez, trabajaremos sobre un rect´ angulo, angulo, observando la figura de la derecha, se tienen   γ 1 ,  γ 2   y   γ 3  γ 1 , se tiene arcos simples que no est´aan n sobre la recta real. Para Para γ   1

 

γ 1

f ( f (z )eiaz dz

M ( M (R)

 ≤   0

−aR

e−aRt R dt dt =  M ((R) 1  = M 

− ae

 

 

I.10. RESIDUOS RESIDUOS Y APLIC APLICACIO ACIONES  NES 

|

|→

65

 →

donde  M ((R) = m´ax donde M  ax f (z )  0 cuando R cuando  R  0. De esta manera la integral sobre  γ 1  tiende a 0 cuando R . Similarmente la integral sobre γ  sobre  γ 3  tiende a 0. Para el arco  γ 2 , se tiene la mayoraci´oon n

→∞

 R

f ( f (z )e

iaz

γ 2

 R cuando R cuando

−R

→0

 



 

→ 0.

e−R dt dt =  = 2M (R)e−R R

≤ M (R)

dz

 a <  0 se procede de la misma manera, pero tomando el rect´angulo en el semiplano inferior. Para a Para Ejemplo 7.-   Determinar

   

 

 ∞

sin x  dx. x

−∞

La funci´on f  on  f ((z ) = sin z/z  tiene una singularidad (suprimible en z=0), por consiguiente

     ∞

−∞

sin x  dx   dx   = Rl´ıım m →∞ x δ→0 +

           −δ

 ∞

sin x  dx +  dx  + x

−R

δ

sin x  dx x

.

Ahora bien, en lugar de considerar el intervalo [ R, R] como habitualmente hemos hecho, consideramos el recorrido dado por γ  por  γ  =  = [ R, δ ] + C  + C δ  + [δ, [ δ, R], ver figura. Se tiene

−

− −

           −    





  −δ







−R

Por otro lado sin z  = (eiz

sin x  dx + x

 ∞

δ

sin x  dx =  dx  = x

γ 

sin z  dz x

C δ

sin z  dz . z

− e−iz )/2i, por lo que

     sin z  dz  = x

γ 

eiz  dz γ  2iz

−iz

− intγ  e2iz   dz.

γ  un Para   eiz /2iz   agregamos a  a   γ   un recorrido, de manera que obtengamos un rect´aangulo ngulo en el semi plano superior. Esta funci´oon n tiene un polo simple en z en  z  = 0, de donde eiz iz z =0 (e /(2  dz iπ iz))  = 2 Res (2iz )) = π =  π.. iz 2 γ 

 

iz agregamos Para  e −iz /2iz Para e  agregamos a γ  a  γ  un  un recorrido, de manera que obtengamos un rect´aangulo ngulo en el semiplano inferior, esta funci´on on no tiene polos en el interior del rectangulo, por lo tanto

 

e−iz   dz dz =  = 0 γ  2iz

Hacemos tender R tender  R

→ ∞  y  δ  →  → 0+, obteniendo

     ∞

−∞

sin x  dx  dx =  π.  = π. x

 

∞

Integraless del tipo 0   xα f  f ((x) dx 4.   Integrale f (z ) es una funci´oon Donde 1   < α <   1 y   f ( n holomorfa que no se anula sobre el semieje positivo real,

 −

1+ z α f  f ((z )

cuando  z  → ∞  y que satisface → 0 cuando z

f (xei2π ) =  βxf   β xf ((x). (xei2π )α f (

 

(I.10.3)

 

66

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

Para encontrar el valor de la integral, consideramos el recorrido

γ  =  γ 2  + γ   =  γ 1  +  + γ   +  γ 3  + γ   +  γ 4 ,  

 

donde  γ 1  es el segmento de origen δ donde γ  origen  δ >  0 y llegada R llegada  R >  0, γ   0,  γ 2  es la circunferencia de radio R radio  R,,  γ 3  es el segmento de origen R origen  R y  y llegada δ  y   y finalmente γ  finalmente  γ 4  es la circunferencia de radio δ  radio  δ . 1+α α f (  z 1+ f (z ) cuando z La condici´oon n sobre sobre z cuando  z  hace que la integral  γ 1  tienda a 0 cuando R sobre γ  sobre cuando  R . La condici´ on on 1  < α <  1 hace que la integral sobre  γ 4  tienda a 0  δ  0+ . cuando δ  cuando Aplicando el teorema de los residuos sobre el contorno γ  contorno  γ ,, se tiene





 

 



 →  →





→∞

 −

 → ∞



 

z α f ( f (z ) dz = dz  = 2iπ

γ 



f (z )) zi α Resz =zi (f ( )),,

 

(I.10.4)

zi   polo zi  =0 =0

tomando como determinaci´oon n del logaritmo, aquella en que  π . arg( 1) =  π.

−

 γ 3 , vale Gracias a I.10.3, la integral sobre sobre γ 

 

 δ

(xe

i2π α

i2π

f (xe ) f (

 R

dx = ) dx  =

R

Por lo tanto, haciendo tender R tender  R

− β )

β 

xα f (x) dx.

δ

→ ∞  y  δ  →  → 0+, y utilizando I.10.4, se obtiene

 

 ∞

(1

  −

xα f ( f (x) dx dx =  = 2iπ

0



zi α Resz=zi (f ( f (z )) ))..

zi   polo zi =0  =0

   

 β  = 0, se deduce facilemente que Suponiendo que que β 

 

 ∞

0

xα f ( f (x) dx dx =  =   2iπ 1 β  z

−



f (z )) zi α Resz=zi (f ( ))..

i   polo zi  =0 =0

Ejemplo 8.-  Determinar la integral de Euler

 

 ∞

0

xa−1  dx   0 < a < b. 1 + x + xb

 

(I.10.5)

Observando el contorno, para este tipo de integrales, la condici´oon  n   a >  0 asegura que la integral   δ  δ  tiende sobre   γ 4  tienda sobre 0 cuando  tiende a 0 y la n   a < b   asegura que la integral sobre la  R  tienda  R condici´ circunferencia dearadio R radio a 0 cuando R cuando . oon Sin embargo, es muy posible que en esta integral no se pueda cumplir la condici´oon n I.10.3; por lo

→∞

 

 

I.10. RESIDUOS RESIDUOS Y APLIC APLICACIO ACIONES  NES 

67

que, en lugar de elegir el contorno sugerido m´aass arriba, elegimos otro contorno.

 

 

La novedad consiste en tomar como γ  como  γ 3  el segmento de recta de direciθ  θ  = 2π/b π/b.. Existe un u  e donde donde θ unico ´ nico polo simple en el ci´ oon n dada por por e 2 iθ/ iθ/2 . interior del contorno dado por z por  z  =  e Haciendo tender δ  tender  δ    a 0 y  R  al infinito, se tiene







 



iθ iθ((a−1)

−e

(1



 

 ∞

0

)

1)θ/ θ/2 2 xa−1  e i(a−1)  dx iπ  = 2  = 1)θ/ 2 θ/2 1 + x + xb bei(b−1)

0

ibθ/2 2  e ibθ/ porque e porque =

Por lo tanto

 

 ∞





xa−1  dx  = 1 + x + xb

iaθ/2 iaθ/ 2

−2iπ e

b

−1. 2 iaθ/2 iaθ/

− b  1πe−e

i(a−1)θ

2i

=

  pi 1 . b sin aπ b

 

∞ xR((x) dx xR 0   log

Integraless del tipo 5.   Integrale  P (x)/Q /Q((x) es una funci´oon Donde   R(x) =  P ( Donde n racional que no se anula sobre el semi eje real positiovo y deg P   + 2 deg Q. Para resolver esta integral consideramos la funci´on on

≤

f ( f (z ) = log2 z R(z ),

 

 

(I.10.6)

−

con determinaci´oon n del argumento dada por arg( 1) =   π  y el contorno de la figura de la izquierda. Mayoremos las integrales sobre los diferentes arcos, sobre   γ 2  el arco de circunferencia de radio R radio  R,, se tiene





 

 

 







2

(log z ) R(z ) dz

γ 2



 R cuando R cuando De la misma manera

  

 → 0.  →

 

 R

2

dz  = (log z ) R(z ) dz =

γ 1

≤   (2 πR)(log 4π2 ) + O(R−2 ) (2πR )(log2 R + 4π = log2 R O(R−1 ) → O

πδ )(log  + 4π 4π2 )O(1) = log2 δ O(δ ) (2 (2πδ  )(log2 δ  +

≤

γ  γ4 

cuando  δ  cuando δ  Luego



→ 0.

(log z )2 R(z ) dz

 

 

0

→

x

log R(x)dx,

δ

 

 

 δ

2

dz =  = (log z ) R(z ) dz

γ 3

(log x + i  + i22π )2 R(x) dx.

R

Por consiguiente

 

2

dz  + (log z ) R(z ) dz +

 

dz  = (log z ) R(z ) dz =

γ 3

γ 1

 

 R

2

−2iπ

dx + log x R(x) dx  + 4π 4π

δ

2

 

 R

R(x) dx.

δ

 → 0 y  R → ∞, para obtener  →  ∞ R(x) dx. log2 (zi )Resz =z (R(z )) − iπ

Aplicamos el teorema de los residuos, hacemos tender δ  tender  δ 

 

 ∞

0

dx = log x R(x) dx  =

−

1 2

i

zi   polo zi =0 0 =

Ejemplo



  0

 

(I.10.7)

 

68

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

9.-  Calcular la integral impropia

 

 ∞

log x  dx. 1 + x + x2

0

Utilizamos las f´oormulas rmulas (I.10.7) y (I.10.2) con con   n  = 1. La funci´oon  n   R(z ) = 1/(1 + z +  z 2 ) tiene polos  i y simples en z en  z  =  i  y  z  = i, de donde

−

 

 ∞

0

log x  dx  = 1 + x + x2

 − 1 2

π 2   9π  + 8i 8i

−

−

 pi 2   i  = 0. 2

Integraless de otro tipo 6.   Integrale Referirse a textos de consulta, como Variable Compleja de la Serie Schaum.

I.1 I.10.3 0.3..

Valo alor r Princi Principal pal de de Cauch Cauchy y

En el curso de Primer A˜n noo de An´aalisis lisis se trato el concepto de integral impropia y la caracter caracter´´ıstica esencial era que el l´ımite de la integral no depend´ıa ıa de los l´ımites de las extremida extremidades. des. ∞ f (   R   continua. El valor principal de  −∞ Definici´ on I.10.2   Sea   f   on f   :   R a1 , . . . , an f (x) dx dx,, si existe, est´  a dado por 

 − {

 

 ∞

v.p

−∞

 

→0+ R→∞

 

f ( f (x) dx dx +  +

f ( f (x) dx dx +  +

a+ δ

−R

 

 R

  a2 −δ

  a1 −δ

f  f ((x) dx dx   = δl´ıım m

 

}→

··· +



f ( f (x) dx .

an +δ

 

(I.10.8)

Ejemplo 1. Se tien tienee

 

 ∞

v.p

−∞

1  dx =  dx  = 0. x

Remarca.-  La definici´on Remarca.- La on de valor valor princ principal ipal dada por (I.10 (I.10.8), .8), prese presenta nta dos l´ımit ımites, es, uno alre alrededor dedor de los puntos singulares y otro l´ımite en las extremidades. Esta definici´ oon n puede adaptarse a otras situaciones, donde el valor principal puede tener cierto rol. Remarca.-   Si una integral impropia existe, obviamente existe su valor principal y este es igual a la integral impropia.

 →

 { |  ≥ } ⊂

Sean   f  f    : Ω f    es holomorfa sobre   sobre   Ω, salvo en  Teorema I.10.2   Sean     C,   H   = z z  0   Ω   abierto. Si   f  , si   es un polo simple y si adem´  as  z1 , z2 , . . . , zn zk  = 0   zk

   

 

f (z ) f (

C R

entonces 

 cuando   R → ∞, → 0  cuando

C R  = Reit t

{

| ∈ [0[0,, π]},

 ∞

f (x) dx f ( dx =  = 2iπ

v.p −∞

 

f ((z )) + iπ Resz=zk (f  + iπ

f ((z )) Resz=zk (f 

zk punto singular 

zk polo simple

zk >0

zk =0





 

(I.10.9)

 

 

I.11. FUNCIONES FUNCIONES MEROM MEROMORF ORFAS  AS 

69

Demostraci´ on.-  Consideramos el contorno γ  on.- Consideramos contorno  γ  dado  dado por la semicircunferencia C  semicircunferencia  C R  de radio R radio  R,, los segmentos it  δ, ak+1 δ ] y las semicircunferencias C  [ak  +  + δ, semicircunferencias  C k  = z  =  ak  + δe  +  δe t [π, 2π].

−  

 



|∈

{

Para   R >  0 lo suficientemente grande y   δ >  0 lo suficientemente peque˜ no no se tiene, por el teorema de los residuos





 



 

  γ 





Resz=zk (f (z ))

(I.10.10)

zk punto singular zk >0

 zk  = 0, se tiene alrededor de  z k f ( f (z ) =

 g k  holomorfa, de donde con g con

 

f (z ))   Resz=zk (f ( + gk (z ) z zk

−

f ( f (z ) dz = dz  =

C k

Por consiguiente   a1 −δ −R





Por otro lado, si z si  z k  polo simple con

 

f ( f (z ) dz = dz  = 2iπ

  a2 −δ

f  f ((x) dx dx +  +

 

a+ δ

−iπ Resz=z (f (z))))..

 

k

(I.10.11)

 R

f ( f (x) dx dx +  +

··· +

 

an +δ

= 2iπ 2 iπ

f (x) dx



   =

γ 

f (z ) dz

−

+ iπ Resz=zk (f (z )) + iπ

zk punto singular zk >0

   C R

f ( f (z ) dz

−

     −

C k zk   polo simple zk =0

f (z )) Resz=zk (f (

zk polo simple zk =0

f (z ) dz f ( f (z ) dz.

C R

Pasando a los l´ımites se tiene el resultado deseado. 

I.11. I.1 1.

Func uncion iones es Mero Meromor morfas fas  C

D

 C

 D

Definici´ odiscreto n I.11.1y  para Sea   Ω Se polo dir´  a oque    f   f   : Ω  holomorfa es meromorfa, si  conjunto on todo   z   abierto, todo  D  z  es un singularidad suprimible. Denotamos por  M(Ω)  el conjunto de funciones meromorfas sobre   Ω. (Ω) el

 ⊂  ∈

Proposici´ on I.11.1   Sea   Ω on

−  →

 es un 

⊂ C  un abierto no vacio, entonces  M(Ω)  es un es cuerpo que prolonga   C. (Ω) es

Demostraci´ on.-  Ejercicio. on.- Ejercicio. 

Ejemplos 1.

  C(z )

 {

|

  }

 P (z )/Q /Q((z ) P, Qpolinomio = R(z ) =  P ( polinomio,, Q = 0  el conjunto de las funciones racionales sobre   C  es un subcuerpo de M(C). La verificaci´oon n es un simple ejercicio.

2. Las funciones trigonom trigonom´´eetricas tricas cos z , sin z , tan z , cot z , sec z  y csc z  son funciones meromorfas. De las cuales, excepto sin z  y cos z  tienen una infinidad de polos simples.

 

70

I.11.1. I.11. 1.

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

Desarro Desarrollo llo en F Fraccio racciones nes Par Parciales ciales de F Funcio unciones nes Merom Meromorfas orfas

Para las funciones racionales, la descomposici´oon n en fracciones parciales es conocida desde hace 300 a˜ n nos os y es muy u util, ´til, por ejemplo en integraci´oon. n. Consideremos la fracci´oon n 2

4

f ( f (z ) =   6z (z

+

4z 19 20z 20z3 + 4z 1) (z  + 2)2

−−

 

(I.11.1)

−

Tenemos un polo de orden 3 en z en  z  = 1 y uno de orden 2 en z en  z  = 2. Lass series de Laurent, alrededor de coronas de centros  z  = 1 y  z  =

−2 est´aann dadas por:  2   3 8  7   2   1  −  − (z − 1) + (x − 1)2 + · · · ,  + 2 3 z − 1 9 27 27 (z − 1) (z − 1)

f  f ((z ) = f  f ((z ) =

 

 17  14  −   − (z   +1 2)2   + z   +3 2 − 34 (z + 2) − (z  + 2)2 + · · · 81 27 27

 

(I.11.2) (I.11.3)

Denotando las partes principales de estos desarrollos por p1 (z ) =

  3   2  −  + 2 z−1 − (z − 1)

  1 (z 1)3

  y   p2 (z ) =

− (z   +1 2)2   + z   +3 2 ,

 

(I.11.4)

f ((z )  p 1 (z )  p 2 (z ) tiene ningu´ la funci´on on   f  un un polo y por consiguiente es holomorfa sobre todo   C, como l´ım f (z ) = 0 y por el teorema de Liouville, esta diferencia es 0. Por lo tanto, se tiene

z →∞

 −

 −

f ( f (z ) =

  3   1   3   2  −  −  +  + 2 2 z  + 2 z − 1 (z  + 2) (z − 1) −

  1 (z 1)3

 

(I.11.5)

que es un desarrollo en fracciones parciales de p de  p((z ). Caso de una infinidad de polos El resultado (I.11.5) nos hace pensar que es posible expresar funciones meromorfas en desarrollos de fracciones parciales, inclusive en el caso en que la funci´oon n en cuesti´oon n tenga una infinidad de polos.  k Z. Se tiene Este es el caso de cot z  y csc z  que presentan polos simples en z en  z  = kπ  =  kπ   con con k

 ∈

Resz=kπ (cot z ) = 1,   yResz=kπ (csc z ) = ( 1)k ,

−

 

(I.11.6)

de donde tomando las partes principales se obtendr obtendr´´ıa:

cot z   =

=

  1   1  1   1  + · · ·  +  +  +  +   · · · + z  +12π  +  π z z − π z − 2π 2 π z  + π

 

(I.11.7)

  1   1  1   1  −   · · · + z  +12π  + · · ·  +   +  −  +  π z z − π z − 2π 2 π z  + π

 

(I.11.8)

csc z   =

=

 

 

I.11. FUNCIONES FUNCIONES MEROM MEROMORF ORFAS  AS 

71

Ahora bien, (I.11.5) es correcto, porque trabajamos con un n´ u umero mero finito de terminos y por que la funci´oon n f  f  tiende  tiende a 0 cuando   z   tiende a infinito. En el caso de una infinidad de polos exite dos inconvenientes: el primero, tanto (I.11.7), como (I.11.8) no son sumas finitas, sino al contrario son series, por lo que es necesario  f ((z ) hacer un an´aalisis lisis de convergencia; segundo, segundo, f  0 cuando z cuando  z . f   : Ω   C   meromorfa. En consecuencia, es necesario proceder de otra manera. Sea   f   meromorfa. Consideramos una

→

 C n  tal que sucesi´ oon n de contornos contornos C   k Para k Para

 ∈ N  dado, planteamos

∞



n=1

Int C n  =

C  y

 → ∞

 →

 C n . para todo n todo  n  no hay polos de f  de  f  sobre  sobre C 



−

gk (z ) =  f (  f (z )

pj (z )

(I.11.9)

Int Ck

zj ∈

zj   polo

donde   pk   es la parte principal del desarrollo de Laurent alrededor del polo   zj . Puesto que  donde  que   C k  es acotado f    es meromorfa, la suma (I.11.9) es finita y la funci´on y   f  on   gk   es holomorfa en el dominio definido por   C k . Aplicando Aplic ando la f´ oormula rmula integral de Cauchy, se obtiene gk (z ) =

 

gk (ζ )  dζ , ζ  z

es decir f ( f (z ) =

C  Ck  

 

Int

zj ∈ Ck zj   polo

Ahora bien,

 

C k

gk (ζ )

pj (z ) +



gk (ζ )  dζ    =  dζ  ζ  z

 −  −

 

C k

  ∀z ∈ Int C k ,

 −  −

C k

z

ζ 

 −  − z

 −  −

Int C k ,

 

(I.11.10)

 

(I.11.11)

  ∀  ∈

  

f ( f (ζ )  dζ  ζ  z

 −  −

 dζ ,

Int

zj ∈ Ck zj   polo

C k

pj (ζ )  dζ , ζ  z

 −  −

 R >  0 arbitrariamente grande, se tiene y las integrales, para para R

 

C k

 R cuando R cuando

pj (ζ )  dz  = ζ  z

 −  −

 

pj (ζ )  dζ  z |ζ |=R ζ 

 → 0,  →

 −  −

→ ∞, de donde (I.11.10), puede escribirse como f (z ) =

pj (z ) +

 

C k

Int

zj ∈ Ck zj   polo

f ( f (ζ )  dζ , ζ  z

 −  −



  ∀z ∈ Int C k ,

 →

Teorema I.11.1 (Series de fracciones parciales)   Sea   f  f    :   C   C  una funci´  on meromorfa, denotamos  por pk  la parte principal del desarrollo de la serie de Laurent de  f  alrededor  f  alrededor del polo z polo  z k . Si existe una sucesi´  on  ∞

{C n}  de contornos, con 



C n  =

C,

 ∈ C  se tenga 

tal que para cualquier   z

n=1

l´ım

 

n→∞ C  n

 z entonces, para cualquier  z

 ∈ C, se tiene 

f (z ) = f (

f (ζ ) f (  dζ  =  dζ   = 0 ζ  z

 

 −  −



 pk (z ).

(I.11.12)

 

(I.11.13)

zk   polo

as para   M Si adem´ 

⊂ C  compacto, se tiene para todo  todo   z ∈ M f (ζ ) f (

  

Cn C   

cuando cuando n  n

ζ 

 − z  dζ  ≤ κn → 0  −



→ ∞, entonces la serie (I.11.13) converge uniformemente sobre   M.

 

(I.11.14)

 

72

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

Figura I.11.1: Mapas de cot z  y csc z  z  = kπ Ilustremos el teorema (I.11.1) con la funci´oon n csc z  = 1/ sin z . Esta funci´oon n tiene polos simples en en z  =  kπ con   k   C  y la serie en fracciones parciales conjeturada est´a dada por la f´oormula con rmula (I.11.8). Mostremos que esta formula es correcta. La segunda gr´aafica fica de la figura I.11.1 nos sugiere inmediatamente que contornos elegir. Elegimos como contornos los cuadrados   C n   de centro el origen, de lados verticales que pasan por π/22 + 2(n  i((π/ π/22 + 2(n (π/ 2(n 1)π 1)π) y lados verticales que pasan por  i 2(n 1)π 1)π). Utilizando el hecho que

 ∈

−

−

1

 −  −

ζ  se tiene

 

 

C n

  z  1 ,  =  + ζ  ζ (ζ  z ) z

 

csc ζ   dζ  =  dζ   = ζ  z

 −  −

 

 −  −

csc ζ    dζ  +  + ζ 

C N  N 

 

C N N  

z csc ζ   dζ . ζ (ζ  z )

ζ/ζ  es La funci´oon n csc ζ/ζ   es una funci´oon n par, por lo que

   

C N  N 

de donde es suficiente mostrar que l´ım

 

 −  −

csc ζ   dζ   = = 0, ζ 

n→∞ C  N  N 

(I.11.15)

(I.11.16)

 

(I.11.17)

z csc ζ   dζ    = 0  dζ  ζ (ζ  z )

(I.11.18)

 −  −

−

Ahora mayoremos csc ζ  sobre C    sobre  C n . Comenzemos por el lado vertical que pasa por (π/ (π/2+ 2+ 2(n 2(n 1)π 1)π), como csc π/2+2( n 1)π iy) = csc(π/ iy) y por consiguiente, utilizando identidades es 2π 2 π  peri´oodica, dica, se tiene csc(( csc((π/ 2+2(n 1)π ) + iy) csc(π/22 + iy) trigonom´eetricas, tricas, se obtiene

−

  1 , iy)) cos(iy cos( π   1  iy)   = csc(   + iy) 1. cosh y 2 1

 iy ) sin( π2   + iy)

 

 i((π/ π/22 + 2(n Para el lado horizontal que para por  i 2(n

 −

  =

 ≤

 

1)π 1)π) =  δ n , se tiene

iδ n ) + cos x sin( iδ n ) = sin x cosh δ n sin(x + iδ  sin(x  + iδ n ) = sin x cos( cos(iδ  sin(iδ 

− i cos x sinh δ n,

(I.11.19)

 

 

I.11. FUNCIONES FUNCIONES MEROM MEROMORF ORFAS  AS 

 

73

 ≤ sinh δ n ≤ sinh( π2 ),

cos2 x sinh2 δ n  + sin2 x cosh2 δ n

x + iδ  |sin( sin(x  + iδ n )|   = |csc( x + iδ  csc(x  + iδ n )| ≤

  1 sinh   π2

≤ 1.

 

(I.11.20)

 C n , csc ζ  Como csc z  es una funci´oon n impar, se tiene sobre el cuadrado cuadrado C 

 

C n

 → ∞

z csc ζ   dz ζ (ζ  z )

 −  −

 ≤

 |

| ≤ 1. Por lo tanto

  1 rn (rn

− |z|) → 0

cuando   n   donde   rn  es el radio de la circunferencia inscrita en   C n . Es facil, deducir que para un compacto M, se tiene (I.11.14). Por lo tanto (I.11.8) converge uniformemente.

I.11..2. I.11

N´ umero de Ceros y Polos de Funciones Meromorfas umero

 →

f    : Ω   C  una funci´oon γ  un contorno en Ω tal que   f  no f  no tenga, ni Sea   f  Sea  n meromorfa sobre un abieto Ω y   γ  un  γ . ceros, ni polos sobre γ  sobre . El campo de vectores Φ :Ω   C

 → z   →

  f (z ) |f (z )|

 f . En particular es continuo sobre el est´ a definido y es continuo sobre Ω, excepto sobre los ceros y polos de  f .  γ .. arco γ  arco Definici´ on I.11.2 (Indice de Cauchy)  El on  E l ´ıındice ndi ce de Cauc Cauchy, hy,  Ind( f, γ ), de la funci´  on  f  sobre  f  sobre el contorno  Ind(f, γ , es el n´  umero de vueltas, (tomando como sentido positivo el movimeinto de las manecillas de un reloj), que da el campo  campo   Φ  al recorrer el contorno  contorno   γ . Ver figurea I.11.2.

→

Para un contorno γ  contorno  γ  : : [a, b] Ω y una funci´on f  on  f    : Ω consideremos la funci´on on continuea Φ : [a, b] t

 →   R   →   ϑ

→ C meromorfa, sin polos, ni ceros sobe el contorno, |

f ( f (γ (t))   =  e iϑ . f ( f (γ (t))

 

|

(I.11.21)

a) y su c´aalculo Esta funci´oon n est´a bien definida si se conoce por ejemplo Φ( Φ(a lculo puede efect efectuarse uarse cam cambiand biandoo determinaciones del argumento. Se tiene Ind(f, γ ) = Ind(f,

 1 (Φ(bb) (Φ( 2π

− Φ(a Φ(a)) ))..

 

(I.11.22)

(I.11.22) muestra que Φ cumple el rol de una primitiva y por consiguiente nos permite pensar que es posible determinar Ind(f, Ind(f, γ ) utilizando una integral. Ahora bien, tal como se ha definido Φ, se utiliza de alguna manera determinaciones de arg, que no es holomorfa. Sin embargo las determinaciones de log si lo son y podemos utilizarlas y tendriamos Ind(f, γ ) = Ind(f,

 1 f (γ (b))) (log2 (f ( 2iπ

f (γ (a)))) ., − log1(f ( )))).,

 

(I.11.23)

 

(I.11.24)

donde log1  y log2  son determinaciones de log de manera que Φ sea continuea. Por otro lado, se tiene  b

  a

f  (γ (t))   γ  (t) dt = dt  = (f ( f (γ (b))) f ( f (γ (t))

Por lo tanto, tenemos el teorema siguiente

log (f (γ (a))). ))).

−

1

 

74

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

2

4  f (z ) =   zez− Figura I.11.2: Indice de Cauchy para  f ( −i .

 →  C  merormorfa y  y   C  C  un  un contorno en   Ω  en el cual no hay, ni polos, ni ceros 

Sean   f  f    : Ω Teorema I.11.2   Sean   de   f , entonces 

 1 Ind(f, Ind( f, C ) = 2iπ

 

f  (z )   dz. f ((z ) C  f 

 

(I.11.25)

on.-  Ejercicio on.- Ejercicio Demostraci´ 

Antes de enunciar el resultado principal de esta secci´on on es bueno recorda recordarr el siguien siguiente te resultado  f   : Ω Lema I.11.1   Sea  f  

→ C  meromorfa, entonces   →   C  meromorfa y holomorfa en   z0   tal  g (z0 ) =  0.0 .   (I.11.26)

a)   z0  es un cero de multiplicidad   m, si y solamente si existe   g   : Ω que 

− z0)mg(z), b)   z0  es un polo de orden   m, si y solamente si existe   g  : Ω → C  meromorfa y holomorfa en   z0  tal que  f ((z ) = (z − z0 )−m g(z ), g (z0 ) = f   0.0 .   (I.11.27) f (z ) = (z f (

Demostraci´ on.-  Ejercicio on.- Ejercicio 

 →

Teorema I.11.3 (Principio del Argumento)   Sea   f  f    : Ω   C  meromorfa y   C  C  un  un contorno sin ceros, ni  polos de   f , entonces  Z P = Ind(f, Ind(f, C )   (I.11.28)

−

donde   Z   es el n´  umero de ceros, contando su multiplicidad, de   f  f  en  en el interior de   C  C    y   P   es el n´  umero de  polos, contando su orden en el interior de   de   C .

 

 

I.11. FUNCIONES FUNCIONES MEROM MEROMORF ORFAS  AS 

75

f  es meromorfa y el interior de   C   C   es acotado, el n´ Demostraci´ on.-   Puesto que   f  es on.u umero mero de polos y ceros son en cantidad finita. Denotemos por z1 , z2 , . . . , zn  los ceros y polos, dos a dos diferentes. Con    >  0 lo suficientemente peque˜ n noo aplicamos el corolario 1.6.3 del teorema de Cauchy lo que da

 {

}

f  (z ) dz  = f (x)   dz = C  f (

 

n

f  (z ) f ( f (z )   dz.

  

k=1

|z −zk |=

 

(I.11.29)

 z k  un polo o un cero, veamos cada uno de los casos Sea z Sea

i)z i)zk  es un polo, supongamos de orden n orden  n k , por el lema precedente se tiene f  f ((z ) = (z

− zk )

−nk

⇒

g (z )

de donde

  f  (z )  = f ( f (x)

 

 g  (z )  −nk (z − zk )−n −1g(z) + (z 1 (z − zk )−n g  (z )  +   = −nk g (z ) (z − zk ) (z − zk )−n g (z ) k

k

k

 

|z −zk |=

f  (z )   dz = dz  = f ( f (z )

−nk 2iπ.

 

(I.11.30)

ii)z ii)zk  es un cero, supongamos de multiplicidad n multiplicidad  n k , por el lema precedente se tiene   f  (z )

nk

f  f ((z ) = (z

− zk )

g (z )

de donde

 

Por lo tanto

 

es decir

zk )nk −1 g (z ) + (z (z

  nk (z

f (x)   = ⇒ f (

−

   

|z −zk |=

(z

− zk )n g(z−) k

 

 g  (z )

1 =  nk (z

f  (z )   dz dz =  n k 2iπ.  = n f ( f (z )

f  (z )   dz = dz  = 2iπ( iπ(Z f (z ) C  f ( Z

zk )nk g (z )

− zk )  +

 

g (z ) (I.11.31)

− P),

− P = Ind(f, Ind(f, C ). 

 →   C

T I.11.4 (Teorema Rouch´ e)   Sean   e) Sean  f,  + g   g:  tienen  holomorfa,   C  C    un de contorno Ω Int C   del  Ω. Si eorema f ((z )  >I.11. f  g (z )4  para todo   z de C  todo   C , , entonces    f  f    y    f  el mismo n´  umero ceros encon  el  interior contorno   C . contorno

 | |

|  |

|

 ∈

Demostraci´ on.-  Consideramos la funci´oon on.- Consideramos  h((t, z ) =  f (  f (z ) + tg n definida por por h + tg((z ) con t con  t continua respecto a t a  t  y holomorfa respecto a z a  z . Por otro lado, se tiene

 ⊂  ⊂

∈ [0, [0, 1]. Esta funci´oon n es

f (z ) + tg f (z )| − t |g (z )| ≥ |f ( f (z )| − |g(z )| >  0. |h(t, z)| = |f ( + tg((z )| ≥ |f (  0 . Por lo tanto, est´a bien definido para todo  t ∈ [0, [0, 1]  1 h(t, z ), C ) = Ind(h Ind( 2iπ

 

(I.11.32)

 

h (t, z )   dz C  h(t, z )

 t est´ Considerando Ind(h Ind(h(t, z ), C ) como una funci´oon n respecto aa t  est´a es continua y que solo toma valores enteros, lo que significa que necesariamente es constante.



 

76

 

CAP ´ ITULO I. VARIABL ARIABLE E COMPLEJA

 

´ Indi Indice ce alfa alfab´ b´ et ico etic o ´ın ındi dice ce Cauchy, 73 ´angulo angulo orientado, 18 arco simple, 27 divisi´ oon, n, 28 partici´ oon, n, 28 argumento determinaci´ oon, n, 12 c´aalculo lculo de integrales residuos, 63 cambio variable, 33 Cauchy ´ınd ındice ice,, 73 desigualdad, 51 teorema, 38 valor principal, 68 Cayley transformaci´ oon, n, 24 cero, 49 orden, 49 complejos adici´ oon, n, 3 conjugado, 4 cuerpo de los, 4 divisi´ oon, n, 5 forma polar, 5 m´ oodulo, dulo, 5 multiplicaci´oon, n, 3 parte imaginaria, 4 parte real, 4 sustracci´ oon, n, 5 conforme funci´ oon, n, 18 contorno, 31 simple, 37 interior, 37 convergencia, radio, 43 6 corona, 55

cuerpo de los complejos, 4 desigualdad Cauchy, 51 determinaci´ oon n argumento, 12 principal, 13 logaritmo, 13 divisi´ oon n arco simple, 28 dominio simple, 38 ecuaciones Cauchy-Riemann, 16 f´ oormula rmula Hadamard, 43 F´oormula rmula de Moivre, 5 forma polar, 5 funci´ on on C-diferenciable, 15 conforme, 18 diferenciable, 15 entera, 52 exponencial, 11 holomorfa, 17 logaritmo complejo, 12 meromorfa, 69 parte compleja, 8 parte real, 8 polinomial, 10 representaci´ oon n gr´aafica, fica, 8 tri trigon gonom´ om´eetrica tr ica compleja, 14 inversa, 15 funciones complejas, 7 funciones exponenciales, 14 Hadamard f´ oormula, rmula, holomorfa, 1743 ho homog mogra raff´ıa, 20

77

 

78 homotecia, 2 integral recorrido, 30 sobre arco simple, 28 l´ıımit m ites es,, 6 logaritmo determinaci´ oon, n, 13 logaritmo complejo, 12 Louiville teorema, 52 m´ oodulo, dulo, 5 meromorfa funci´ oon, n, 69 Morera teorema, 42 parte imaginaria, 4 de una funci´oon, n, 8 parte principal serie de Laurent, 58 parte real, 4 de una funci´oon, n, 8 plano complejo, 3 compactificaci´ oon, n, 7 polo, 58 potencias, 13 primitiva funci´ oon, n, 31 Principio del M´aaximo ximo teorema, 53 proyecci´oon n estereogr´aafica, fica, 7 radio de convergencia, 43 recorrido, 30 H-V, 34 horizontal-vertical, horizontal -vertical, 34 integral, 30 simple, 37 representaci´ on on confo conforme, rme, 24 residuo, 60 residuos c´aalculo lculo de integrales, 63 polo de orden superior, 62 polo simple, 61 teorema, 60 rotaci´ oon, n, 2 Rouch ch´´e teorema, 75

 

´ ´ INDICE ALF ALFAB ABETICO 

serie entera, 43 Laurent, 55 Taylor, 44 serie de Laurent parte principal, 58 similitud, 2 singularidad esencial, 58 suprimble, 58 Taylor serie, 44 teorema Cauchy, 38 Cauchy-Taylor, 44 funci´ oon n abierta, 54 fundamental del ´aalgebra, lgebra, 53 Louiville, 52 Morera, Principio42del M´aaximo, ximo, 53 residuos, 60 Rouch Ro uch´´e, e, 75 valor medio, 52 Weistraß, 43 transformaci´ oon n Cayley de, 24 homogr´ aafica, fica, 20 valor medio teorema, 52 valor principal Cauchy, 68 Weistraß teorema, 43