Matemática
8
2º Básico - Grupo Utatlán Primer semestre - IGER
Matemática 8 Primer semestre
© Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. Es una obra producida por el Departamento de Redacción y Diseño, para el Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. 11 avenida 18-45, Ciudad Nueva, zona 2 Ciudad de Guatemala. PBX: 2412 6666 Fax: 2412 6704 Correo electrónico:
[email protected] Página web: www.iger.edu.gt Edición 2014 Impreso en IGER Talleres Gráficos
Código: 1110804201 ISBN 9789929804678
Reservados todos los derechos. Queda rigurosamente prohibida la reproducción total o parcial de este material educativo, por cualquier medio o procedimiento, sin la autorización del Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. Según artículo 42 de la Constitución Política de Guatemala que se refiere a la autoría.
Índice Índice................................................................................................................................................ I Nuestra orientación inicial ....................................................................................................... 1
Semana 1 Triángulo, circunferencia y círculo............................................... 13 ¡Para comenzar! El número (pi) ........................................................................................ 14 El mundo de la matemática 1. Los triángulos ......................................................................................................................... 15
1.1 Clasificación de los triángulos .................................................................................. 15
1.2 Perímetro y área de un triángulo ............................................................................. 17
a. Perímetro de un triángulo ..................................................................................... 17 b. Área de un triángulo ............................................................................................... 17 2. Circunferencia y círculo........................................................................................................ 19
2.1 Partes del círculo ............................................................................................................ 19
2.2 El uso del compás .......................................................................................................... 20
2.3 Perímetro y área de un círculo .................................................................................. 21
a. Perímetro de un círculo .......................................................................................... 21 b. Área de un círculo .................................................................................................... 21 Resumen ......................................................................................................................................... 23 Autocontrol .................................................................................................................................. 24 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 26 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 27 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 28
Semana 2
Cuadriláteros
................................................................................................................ 29
¡Para comenzar! Seguimos con los cuadriláteros ........................................................... 30 El mundo de la matemática 1. El rombo ................................................................................................................................... 31
1.1 Perímetro y área del rombo ...................................................................................... 31
a. Perímetro del rombo ............................................................................................... 31 b. Área del rombo ......................................................................................................... 33 2. El romboide.............................................................................................................................. 35
2.1 Perímetro y área de un romboide ........................................................................... 35
a. Perímetro del romboide ........................................................................................ 35 b. Área del romboide ................................................................................................... 36 Matemática − Índice
I
Resumen ......................................................................................................................................... 37 Autocontrol................................................................................................................................... 38 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 40 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 41 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 42
Semana 3
Polígonos regulares
........................................................................................... 43
¡Para comenzar! Los barriletes gigantes ............................................................................
44
El mundo de la matemática 1. Polígonos regulares .............................................................................................................. 45
1.1 Elementos de un polígono regular ........................................................................ 46
1.2 Polígonos regulares y triángulos isósceles ......................................................... 47
2. Perímetro y área de polígonos regulares ..................................................................... 48
2.1 Perímetro de los polígonos........................................................................................ 48
2.2 Área de los polígonos.................................................................................................. 49
Resumen ......................................................................................................................................... 52 Autocontrol................................................................................................................................... 53 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 56 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 57 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 58
Semana 4
El cubo ................................................................................................................................... 59 ¡Para comenzar! Fuego, aire, agua, tierra… sólidos platónicos...................................
60
El mundo de la matemática 1. El cubo ....................................................................................................................................... 61
1.1 Área del cubo ................................................................................................................. 62
1.2 Volumen del cubo ......................................................................................................... 64
Resumen ......................................................................................................................................... 67 Autocontrol................................................................................................................................... 68 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 70 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 71 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 72
II
IGER − Utatlán
Semana 5 El cilindro
............................................................................................................................ 73
¡Para comenzar! Un árbol en un cilindro de papel ........................................................
74
El mundo de la matemática 1. Los cilindros ............................................................................................................................. 75
1.1 Área total de un cilindro ............................................................................................ 76
1.2 Volumen del cilindro .................................................................................................... 79
Resumen ......................................................................................................................................... 81 Autocontrol................................................................................................................................... 82 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 84 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 85 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 86
Semana 6
La pirámide
...................................................................................................................... 87
¡Para comenzar! Construcciones curiosas .........................................................................
88
El mundo de la matemática 1. La pirámide............................................................................................................................... 89
1.1 Clasificación de las pirámides regulares .............................................................. 90
2. Área de una pirámide regular............................................................................................ 91 3. Volumen de la pirámide ..................................................................................................... 95 Resumen ......................................................................................................................................... 97 Autocontrol................................................................................................................................... 98 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 100 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 101 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 102
Semana 7 La esfera
............................................................................................................................. 103
¡Para comenzar! Esferas chinas de la salud ......................................................................
104
El mundo de la matemática 1. La esfera .................................................................................................................................... 105
1.1 Área de la esfera ............................................................................................................ 106
1.2 Volumen de la esfera ................................................................................................... 108
Resumen ......................................................................................................................................... 110 Autocontrol................................................................................................................................... 111 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 114 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 115 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 116
Matemática − Índice
III
Semana 8
Repaso semanas 1-7
...................................................................................... 117
El mundo de la matemática Triángulos, circunferencia y círculo........................................................................................ 119 Cuadriláteros: rombo y romboide.......................................................................................... 122 Polígonos regulares .................................................................................................................... 124 El cubo ............................................................................................................................................. 126 El cilindro ........................................................................................................................................ 128 La pirámide .................................................................................................................................... 130 La esfera .......................................................................................................................................... 133 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 134 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 135 Orientaciones sobre la prueba parcial ............................................................................ 136
Semana 9
La raíz cuadrada
....................................................................................................... 137
¡Para comenzar! Christoph Rudolff .....................................................................................
138
El mundo de la matemática 1. Radicación ................................................................................................................................ 139
1.1 Elementos de la raíz ..................................................................................................... 139
2. Raíz cuadrada ......................................................................................................................... 140
2.1 Cálculo de la raíz cuadrada exacta ......................................................................... 140
2.2 Procedimiento para extraer raíces cuadradas de cantidades grandes .... 142
Resumen ......................................................................................................................................... 145 Autocontrol................................................................................................................................... 146 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 148 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 149 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 150
Semana 10
Introducción a las ecuaciones
.......................................................... 151
¡Para comenzar! Evolución de los signos en matemática ...........................................
152
El mundo de la matemática 1. Lenguaje algebraico.............................................................................................................. 153
1.1 Término algebraico ....................................................................................................... 154
1.2 Términos semejantes.................................................................................................... 155
2. Ecuaciones de primer grado con una incógnita ....................................................... 156
IV
2.1 Partes de una ecuación ............................................................................................... 156
2.2 Resolución de ecuaciones ......................................................................................... 158
IGER − Utatlán
Resumen ......................................................................................................................................... 161 Autocontrol................................................................................................................................... 162 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 164 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 165 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................. 166
Semana 11
Ecuaciones II
................................................................................................................ 167
¡Para comenzar! Historia de las ecuaciones ............................................................................
168
El mundo de la matemática 1. Ecuaciones con varios términos ...................................................................................... 169
1.1 Ecuaciones con signos de agrupación .................................................................. 170
1.2 Ecuaciones con números decimales....................................................................... 172
Resumen ......................................................................................................................................... 174 Autocontrol................................................................................................................................... 175 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 178 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 179 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 180
Semana 12
Ecuaciones III
............................................................................................................... 181
¡Para comenzar! Practiquemos el mínimo común múltiplo (mcm)..........................
182
El mundo de la matemática 1. Ecuaciones con fracciones ................................................................................................. 183
1.1 Ecuaciones con dos términos fraccionarios ........................................................ 183
1.2 Ecuaciones con varios términos fraccionarios ................................................... 185
Resumen ......................................................................................................................................... 187 Autocontrol .................................................................................................................................. 188 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 192 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 193 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 194
Semana 13
Resolución de problemas con ecuaciones
.................... 195
¡Para comenzar! Resolver problemas nos hace competentes .....................................
196
El mundo de la matemática 1. Resolución de problemas con ecuaciones................................................................... 197
1.1 Problemas de edades .................................................................................................. 198
Matemática − Índice
V
1.2 Problemas de geometría ............................................................................................ 201
1.3 Problemas con números ............................................................................................ 204
1.4 Problemas de dinero ................................................................................................... 207
Resumen ......................................................................................................................................... 208 Autocontrol................................................................................................................................... 209 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 210 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 211 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 212
Semana 14
Sistemas de ecuaciones, método de igualación............................................................................................................................ 213 ¡Para comenzar! Seki Kowa ....................................................................................................
214
El mundo de la matemática 1. Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ........................................................ 215
1.1 Método de igualación.................................................................................................. 215
1.2 La importancia de saber plantear sistemas ........................................................ 220
Resumen ......................................................................................................................................... 222 Autocontrol................................................................................................................................... 223 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 226 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 227 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 228
Semana 15
Sistemas de ecuaciones, método de sustitución ....................................................................................................................... 229 ¡Para comenzar! Sofía Vasílievna Kovalevskaia ..............................................................
230
El mundo de la matemática 1. Método de sustitución ........................................................................................................ 231
1.1 Resolución de problemas aplicando sistemas de ecuaciones ..................... 235
Resumen ......................................................................................................................................... 238 Autocontrol .................................................................................................................................. 239 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 242 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 243 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 244
VI
IGER − Utatlán
Semana 16
Sistemas de ecuaciones, método de reducción ........................................................................................................................... 245 ¡Para comenzar! Charles Babbage .......................................................................................
246
El mundo de la matemática 1. Sistemas de ecuaciones, método de reducción ........................................................ 247 a. Números primos en la variable a eliminar ...................................................... 248 b. Signos iguales en la variable a eliminar........................................................... 249
1.1 Resolución de problemas .......................................................................................... 252
Resumen ......................................................................................................................................... 254 Autocontrol................................................................................................................................... 255 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 258 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 259 Desarrolle nuevas habilidades ............................................................................................ 260
Semana 17
Repaso semanas 9-16
................................................................................. 261
El mundo de la matemática La raíz cuadrada ........................................................................................................................... 263 Introducción a las ecuaciones ................................................................................................. 265 Ecuaciones con signos de agrupación y decimales ....................................................... 267 Ecuaciones con fracciones ....................................................................................................... 270 Resolución de problemas con ecuaciones ......................................................................... 272 Sistemas de ecuaciones, método de igualación .............................................................. 277 Sistemas de ecuaciones, método de sustitución ............................................................. 279 Sistemas de ecuaciones, método de reducción .............................................................. 281 Agilidad de cálculo mental ................................................................................................... 283 Razonamiento lógico .............................................................................................................. 284 Orientación sobre la prueba parcial ................................................................................ 286
Claves............................................................................................................................................. 287 Bibliografía............................................................................................................................... 324
Matemática − Índice
VII
Nuestra orientación inicial ¡Felicitaciones! Hoy continúa con su formación matemática en el grupo Utatlán. Si se esfuerza y practica todos los días, culminará con éxito y habrá conseguido un peldaño más en su competencia matemática. Una persona es “competente” cuando hace muy bien sus tareas, de manera precisa y en el tiempo adecuado. Además disfruta lo que hace y es un buen compañero, capaz de trabajar en equipo para su beneficio y el de los demás. En el IGER queremos que usted sea una persona competente en matemática. Así que durante este año pretendemos que: Desarrolle su habilidad para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y el razonamiento matemático tanto para producir e interpretar distintos tipos de información, como para ampliar su conocimiento y aplicarlos a la realidad de su vida cotidiana. Antes de seguir profundizando en las competencias que desarrollará durante este año de estudio, platiquemos sobre la portada de su libro. ¿Qué ve? El objetivo es que esta imagen nos transmita algunas ideas, sentimientos y sueños que debemos tener presentes. Por ejemplo: • El mundo nos recuerda que somos parte del planeta Tierra y que en él, la matemática es una herramienta que nos ayuda a descubrir, aprender y saborear las ciencias, las artes y la cultura. • La imagen de un grupo de manos alrededor de un corazón nos habla de establecer relaciones con las personas que nos rodean. Intercambiamos formas de sentir, pensar y ver la vida. La riqueza de estas relaciones y la manera en que aprendemos a resolver nuestras 3 diferencias nos convierte en mejores personas.
Matemática − ¡Bienvenida y bienvenido!
1
Llegar a ser matemáticamente competente es un proceso continuo que se perfecciona durante toda la vida. Este año en matemática debe trabajar especialmente en las competencias que se describen a continuación y que irá desarrollando en las diferentes secciones del libro. 1.
4.
Traducir información que obtiene de su entorno al lenguaje simbólico.
Convertir fracciones en decimales y viceversa aplicando la jerarquía de operaciones en el conjunto de números racionales.
El mundo de la matemática
Razonamiento lógico
2. Utilizar las relaciones y propiedades entre diferentes patrones (geométricos, algebraicos y trigonométricos) en la representación de información y resolución de problemas.
2
El mundo de la matemática Autocontrol
Razonamiento lógico
El mundo de la matemática Autocontrol
Razonamiento lógico
5. Calcular operaciones básicas y combinadas de los conjuntos numéricos con agilidad.
Agilidad de cálculo mental
3.
6.
Utilizar modelos matemáticos (relaciones, funciones y ecuaciones) en la representación y presentación de resultados.
Desarrollar estrategias de autoaprendizaje que aplica y verifica en el autocontrol y en el cuadro de la evaluación final de la semana.
IGER − Utatlán
El mundo de la matemática Autocontrol
Razonamiento lógico
Autocontrol
Revise su aprendizaje
¿Cómo es la estructura de cada semana? ¡Iniciando con buen pie! Cada semana inicia con la portada, en ella encontrará:
El número de la semana de estudio y el título del tema que aprenderá.
1
En ¿Qué encontrará esta semana? le indican los contenidos que trabajará en cada sección del libro.
y círculo ángulo, circunferencia
Tri
¿Qué encontrará esta El número
semana?
(pi) ia y círculo: perímetro
Triángulo, circunferenc
y área
al
Agilidad de cálculo ment Problemas de perímetro
ferencia y círculo
y área de triángulos, circun
Esta semana logrará:
ulos. altura en distintos triáng Identificar la base y la y de sus ángulos. la medida de sus lados Clasificar triángulos por os. círcul el área de triángulos y y etro perím el lar o. Calcu ferencia y de un círcul y el diámetro de una circun Identificar y medir el radio o. círcul un de ia ferenc Diferenciar una circun ás. ulos y Trazar círculos con comp etro y el área de triáng áticos aplicando el perím Resolver problemas matem círculos. s con él. y armar distintas figura Construir un Tangram
1 Matemática − Semana
2
13
Cuadriláteros ¿Qué encontrará esta
semana?
Seguimos con los cuadr iláteros Rombo y romboide: perím etro y área Agilidad de cálculo menta l Problemas matemáticos
Luego en Esta semana logrará, se describen los frutos que conseguirá al finalizar el estudio de cada semana. Para poder alcanzar los logros, léalos con atención, compréndalos y organice su tiempo.
Esta semana logrará: Recordar cómo calcular el perímetro y el área de cuadrados y rectán gulos. Calcular perímetros y áreas de rombos y romb oides utilizando correc las fórmulas. tamente Calcular mentalmente el perímetro de un romb o y el área de un romb oide. Resolver problemas relaci onados con el área y el perímetro de rombos y romboides. Reconocer patrones de secuencias lógicas.
Matemática − Semana 2
29
La lista termina con una línea en blanco para que se proponga un logro personal.
Matemática − ¡Bienvenida y bienvenido!
3
¡Para comenzar! Para entrar en el tema Un trampolín ayuda a los clavadistas a tomar altura y entrar con suavidad en el agua. La sección ¡Para comenzar! nos propone: • recordar conocimientos previos, • conocer datos curiosos relacionados con el tema, • presentar la vida de matemáticos destacados.
¡Para comenzar! El número
(pi)
Esta semana estudiarem os las características del triángulo, la circunferenc círculo. Antes de empe ia y el zar conozcamos un núme ro especial, el número pi. Pi se utiliza para calcul ar la longitud de la circun ferencia, determinar el ocupa un círculo y más área que adelante nos servirá para hallar el volumen de la y el cilindro. esfera El número pi tiene infinit os decimales. Un valor aproximado de este núme con sus primeras cifras ro, es el siguiente: ≈ 3.141592653589793 23846… Nosotros utilizaremos su valor con dos decim ales. Memorícelo. = 3.14
¡Para comenzar!
¡A trabajar!
Charles Babbage
Repase con su lapicero
tivo
el símbolo del número
Un espíritu inquieto y crea
pi: . Para trazarlo siga la indica
ción de las flechas.
niño ingeniero británico. Desde – 1871) matemático e universidad Charles Babbage (1792 Cuando ingresó en la s en la matemática. de esta agrupavo mostró especial interé objeti El . iantes ica junto a otros estud fundó La Sociedad Analít en Inglaterra. anza de las matemáticas ción era renovar la enseñ de la SoDurante una reunión e inquieta y creativa. os Babbage tenía una ment capaz de realizar cálcul ina ocurrió diseñar una máqu le se ica con esta o Analít d cieda diferencias”. Su trabaj llamó “máquina de las máquina analítica”, matemáticos, a la que “la como s ilidade rar otras posib ra máquina lo llevó a explo las bases de la computado ruir pero su diseño sentó que nunca llegó a const 14 IGER − Utatlán actual. de s y las especificaciones icos, siguiendo los dibujo cálcuEn 1991, científicos britán a la perfección haciendo n la máquina y funcionaba Babbage, construyero o era correcto. diseñ su que n straro s. Así demo s los exactos con 31 dígito do de www.dma.eui.upm.e Texto tomado y adapta
¡A trabajar! Responda las preguntas. n de la computadora? las bases para el orige de Babbage que sentó 1) ¿Cuál es el diseño ina de las diferencias?
máqu 2) ¿En qué consistía la
Estas actividades servirán “de acceso” y nos ayudarán a entrar con suavidad en el tema.
4
IGER − Utatlán
El mundo de la matemática El propósito de esta sección es aprender, practicar y aplicar los fundamentos de la matemática. Conoceremos especialmente la geometría, los fundamentos del álgebra y los principios básicos de estadística.
Aproveche el espacio vacío de la columna para hacer anotaciones, escribir ideas importantes, preguntas, etc.
ática
El mundo de la matem 1. La esfera
s objepelota de futbol y tanto que nos alumbra o una Las esferas chinas, el Sol . tienen forma de esfera e conoc usted que tos , cuyos por una superficie curva o geométrico formado distinguir La esfera es un cuerp En una esfera podemos a distancia del centro. puntos están a la mism estos elementos: a la interior que se encuentra Centro (C) es el punto d ficie. uier punto de la super misma distancia de cualq C de la cia del centro a un punto Radio (r) es la distan
También encontrará recuadros con recordatorios o explicaciones que enriquecen el contenido.
r
Segmento es la parte de una recta comprendida entre dos puntos, que se pueden representar con cualquier letra. B A
superficie esférica.
por el uier segmento que pasa Diámetro (d) es cualq s de la superficie. centro y une dos punto
Ejercicio 1
nda. a atención la esfera y respo A. Observe con much ento CF? la esfera forma el segm 1) ¿Qué elemento de la esfera 2) ¿Qué elemento de la esfera 3) ¿Qué elemento de
s que no B. Escriba tres objeto
es el punto C?
E
es el segmento EG?
hayamos nombrado y
que tengan forma de
H
C
F
b. Área del romboide
G
El área del romboide es la superficie que encie rra su perímetro. Se repre senta con la fórmula:
esfera.
a
h
A=bxh
1)
Se lee: el área de un rombo ide es igual a la base (b)
b
por la medida de la altura
2)
Ejemplo
3)
Calculamos el área de una ventana en forma de romboide. La base y la altura 50 cm. mide 70 cm Tenemos los datos b = Calculamos el área •
70 cm, h = 50 cm
Copiamos la fórmula
•
Sustituimos los datos
•
Operamos
•
Escribimos la respuesta:
Ejercicio 3
(h).
A=bxh A = (70 cm x 50 cm) A = (70 x 50)(cm x cm) A = 3500 cm2 la ventana tiene un área de 3500 cm2.
Practique el cálculo del
perímetro y del área de un romboide. 1) Una cooperativa de mujeres produce jaleas . Cada recipiente de jalea ma de romboide. El lado tiene una etiqueta en forde la base mide 5 cm y el lado inclinado 4 cm. de una etiqueta? ¿Cuál es el perímetro • Copiamos la fórmula P = 2a + 2b • Sustituimos los datos P = 2( cm) + 2( cm) • Operamos P= +
Resuelva los ejercicios y repítalos, así fijará en su memoria los conceptos nuevos y le dará seguridad en lo que aprende.
•
•
P=
cm
36
tas es de 3 cm y la base es de 5 cm, ¿cuál es el área de una etiqueta? Copiamos la fórmula A=bxh
•
Sustituimos los datos
•
Operamos
•
Anote sus dudas y resalte lo que debe recordar o prestar atención.
Escribimos la respuesta:
2) Si la altura de las etique
Escribimos la respuesta:
A=(
cm)(
A=(
x
cm) )(cm x cm)
A=
IGER − Utatlán
Matemática − ¡Bienvenida y bienvenido!
5
¿Cómo saber que está alcanzando los logros que le llevan a desarrollar las competencias? Resolver los ejercicios durante la clase radial con la ayuda de sus maestros locutores le permitirá comprobar si comprende los contenidos propuestos y por lo tanto si va alcanzando los logros.
Si la diagonal mayor del
Tenga presente que la matemática “entra por el lápiz”. Resolver todos los ejercicios y hacerlo cuantas veces sea necesario le permitirá ir ganando seguridad y agilidad.
techo mide 8 m y la meno
r 6 m, ¿qué superficie
•
Escribimos la fórmula
•
Sustituimos los datos en la
•
Operamos
del área
fórmula
A= A=
(
m)( 2
(
x
)(m x m)
m2
2
A= Escribimos la respuesta:
m)
2
A=
•
cubre el techo?
A = Dxd 2
m2
el techo cubre
m2 de superficie.
2) Amanda construye un papalote en forma de rombo. Cada lado mide 24 cm y la diagonal meno 13 cm, la diagonal mayo r 10 cm. r a.
¿Cuánta pita necesita
b.
Amanda para hacer el
•
Escribimos la fórmula
•
Sustituimos el dato
•
Operamos
•
Respuesta: Amanda neces
borde del papalote?
del perímetro
P= P =4x(
cm)
P= ita
¿Qué cantidad de papel
de pita.
utilizará para hacer el
•
Escribimos la fórmula
•
Sustituimos los datos en la
•
Operamos
del área
papalote?
A = Dxd 2
fórmula
A= A=
(
cm )( 2
(
x
mencm Resu A=
cm) )( 2
x
)
2
2
34
A= 1. Triángulos Escribimos la respuesta: Amanda utiliz s por tres lados y tres ángulos. son polígonos formado Los triángulos ará de papel. partes: la base y la altura. ir dos En todo triángulo podemos distingu
altura
•
IGER − Utatlán
base
1.1 Clasificación de los triángulos tomando en cuenta sus lados Triángulo equilátero, los tres lados iguales.
Triángulo isósceles, dos lados iguales y uno
según la medida de sus ángulos Triángulo rectángulo, un ángulo (90)° y dos ángulos agudos.
recto,
Triángulo acutángulo, los tres ángulos son agudos, miden menos de 90°.
diferente. Triángulo escaleno, los tres lados distintos.
sus Triángulo obtusángulo, uno de 90° y ángulos es obtuso, mide más de menos de 180°.
lo
1.2 Perímetro y área de un triángu fórmula
+
perímetro
P=
1
área
A=
bxh 2
2
+
3
se lee: a la suma de la El perímetro del triángulo es igual medida de sus lados. base por la altura, El área del triángulo es igual a la dividido entre dos.
2. Circunferencia y círculo
Otra sección que complementa el desarrollo de las competencias es el resumen. El Resumen recoge brevemente todo el contenido de la semana. Esta sección le ayuda a recordar de un golpe de vista, todo lo estudiado.
6
IGER − Utatlán
exterior de un círculo. El círculo La circunferencia es la línea curva la circunferencia. es la superficie que está dentro de (d) estos elementos: radio (r), diámetro En un círculo podemos encontrar y centro (C).
2.1 Perímetro y área del círculo fórmula perímetro
P=2 r
área
A = r2
d C r
se lee: a dos veces el producto El perímetro del círculo es igual de pi, por la medida del radio. la medida del radio al por pi a igual es El área del círculo cuadrado. Matemática − Semana 1
23
El autocontrol Practicar, practicar y practicar ¿Sabe manejar bicicleta? Si puede hacerlo, sabe que tuvo que practicar mucho y sufrir algún raspón para aprender la técnica y convertirse en un ciclista experto. Lo mismo sucede con la matemática. En el autocontrol encontrará dos secciones:
Autocontrol lo aprendido Actividad 1. Demuestre altura en los siguientes
Demuestre lo aprendido es una serie de ejercicios en los que practicará contenidos básicos con actividades sencillas.
lo.
triángulos. Tiene un ejemp
altura
y la A. Identifique la base
base
la B. Rellene el círculo de
respuesta correcta a cada
ulo de la figura?
el triáng 1) ¿Cómo se clasifica
para 2) ¿Cuál es la fórmula un triángulo?
calcular el perímetro de
ia?
3) ¿Qué es la circunferenc
ro pi?
núme 4) ¿Qué valor tiene el
de un la para calcular el área 5) ¿Cuál es la fórmu círculo?
para 6) ¿Cuál es la fórmula un círculo?
lo.
pregunta. Tiene un ejemp
de un la para calcular el área 0) ¿Cuál es la fórmu triángulo?
calcular el perímetro de
bxh 2 A=bxh A = r2
A=
acutángulo rectángulo obstusángulo P= 1+ 2+ P=bxh P = 2b + 2a
3
o el perímetro de un círcul el doble del diámetro C.troMida con su regla la mitad del diáme el radio y el diámetro de los círculos y deter ejemplo. mine el valor de ambo s. Tiene un 3 0) o C.círcul Mida con su regla el cambia para cada radio y el diámetro1)de los círculos y determine 2) ejemplo. 3.1416 aproximadamente el valor de ambos. Tiene un A=bxh A=2 r A = r2 P=bxh P=2 r P=4x
2
0)
2
radio
24
IGER − Utatlán
1)
2)
cm
2 cm
diámetro radio
cm
radio
4 cm
radio
diámetro
2 cm
diámetro
radio Actividad 2. Practique lo radio aprendido diámetro 4 cm A. Añada a cada figura el lado que le falta para diámetro diámetro forma r un triángulo. Hágalo y un lápiz. Luego identi con la ayuda de una regla fique la base y la altura . Tiene un ejemplo. Actividad 2. Practique
lo aprendido
altura
A. Añada a cada figura el lado que le falta para formar un triángulo. Hága y un lápiz. Luego identi lo con la ayuda de una fique la base y la altura regla . Tiene un ejemplo.
Practique lo aprendido le proporciona la práctica de diferentes ejercicios con distintos niveles de dificultad.
altura
base
B. Trace conbase el compás: 1) Un círculo con radio
de 1 cm
B. Trace con el comp ás: 1) Un círculo con radio
de 1 cm
3)
Un círculo con radio de
2.5 cm
3)
Un círculo con radio de
2.5 cm
Matemática − Semana 1
25
Matemática − Semana 1
25
Matemática − ¡Bienvenida y bienvenido!
7
Agilidad de cálculo mental Pensar rápido, pensar mejor
Agilidad de cálculo me
ntal
A. Complete las tablas . Calcule el perímetro y el área de los triángulos un ejemplo. con los siguientes datos . Tiene
Usted necesita dominar el cálculo mental y hacerlo muy rápido. La agilidad y la velocidad de cálculo son dos habilidades muy apetecibles en matemática.
perímetro del triángulo 1
+
2
+
1m 2m 3m
3
P=
1
+
2
+
área del triángulo respuesta
3
P=1m+2m+3m
P=6m
6 cm 5 cm 3 cm
h
bxh 2
respuesta
1 A= x3 2
A = 1.5 m2
A=
1 cm 3 cm 6 cm 2 cm 0.5 cm 2.5 cm
1. 5 cm 4 cm 6 cm
Si usted logra realizar operaciones básicas como la multiplicación, división, suma o resta, con agilidad, su cerebro se estará entrenando en pensar de forma ordenada y en hacer conexiones con más facilidad.
b
4m
12 m 18 m 36 m
4m
12 cm 6 cm
14 cm 23 cm 7 cm
9 cm 5 cm 10 cm 12 cm
10 cm 11 cm 15 cm
0.4 m 0.8 m
B. Complete las tablas . Calcule el perímetro y el área de los círculos con el resultado con 2 cifras los siguientes datos. Expre decimales. Tiene un ejemp se lo. r 1 cm 2 cm
perímetro del círculo P=2 r P = 2(3.14)(1 cm)
respuesta
P = 6.28 cm
área del círculo A = r2 A = (3.14)(1 cm)2
respuesta
A = 3.14 cm2
5 cm 6 cm 3 cm 1.5 cm 7.2 cm 10 cm
26
IGER − Utatlán
Razonamiento lógico sy y áreas de cuadrilátero aprendió de perímetros nte va a integrar lo que A. En el ejercicio siguie triángulos. área repartida como dos disponibles con un casa comprar una casa. Hay área, ¿cuál escogen, la La familia Matzar desea casa que tenga mayor Si deciden comprar la aparece en la ilustración. 2? C C 1 o la casa
Razonamiento lógico Resolver problemas
C2
C1
9m
7m 5m
9m
8m 12 m
6m 4m
2m
13 m
2m 5m 4m
3m
4m 1m
los resultados para de cada figura y sume calcule primero el área Para resolver el problema, s. compare las áreas totale obtener el área total, luego la semana. Aplique el contenido de emas en su cuaderno. B. Resuelva los probl 80 m. Un ciclista que ar con un diámetro de circul forma de de o de ciclism coloca justo al centro 1) Se construyó una pista su entrenador que se pista es obser vado por rtista? depo el y corre por la orilla de la hay entre el entrenador que cia distan la es la pista. ¿Cuál m de diámetro. de forma circular de 3 un corral para gallinas 2) Martina construye corral? el hacer para na ró Marti a. ¿Cuánta malla comp malla? metro, ¿cuánto gastó en la la malla es de Q12.00 por b. Si el precio de base, 20 m as siguientes: 25 m de medid las con ular o en forma triang 3) Antonio tiene un terren m. 24 y de altura tos metros de alamhiladas de alambre, ¿cuán r su terreno con cuatro a. Antonio quiere cerca rar? bre debe comp ar Antonio? , ¿qué área puede cultiv suficientemente plano b. ¿Si el terreno es lo el área de la cara? mente 2.8 cm. ¿Cuál es imada aprox es Q1.00 de moneda 4) El diámetro de una to os girar la cuerda, ¿cuán hacem y m 1.5 de a cuerd piedra al extremo de una 5) Si amarramos una piedra? la por ita descr ia mide la circunferenc 1 Matemática − Semana
8
IGER − Utatlán
27
Los expertos en educación nos indican que la resolución de problemas es el mejor camino para desarrollar competencias matemáticas ya que nos obliga a utilizar capacidades como: • leer comprensivamente, • reflexionar, • establecer un plan de trabajo y • verificar que la respuesta es correcta. La sección Razonamiento lógico le ayudará a entrenarse y a aplicar los conocimientos matemáticos a la resolución de problemas.
LGDGHV
'HVDUUROOHQXHYDVKDELO
V\FXDGULOiWHURV PEUHGH7DQJUDP RTXHVHFRQRFHFRQHOQR VFKLQ EH]D ade (VWHHVXQURPSHFD ilid ODV s FyUWH hab D\UH UWXOLQ nu QDFDs le HQXeva rol H]DV sar XVSL De GHV DXQD &RSLHFDG
'LYLpUWDVHFRQWULiQJXOR
Y por último la sección Desarrolle nuevas habilidades supone un reto porque debe aplicar su ingenio para adquirir nuevas destrezas. Para ello, debe combinar sus conocimientos previos con los que aprendió durante la semana.
ulos y cuadriláteros el nombre de Tangram. chino que se conoce con zas ecabe romp un es Este y recórtelas. piezas en una cartulina Copie cada una de sus
Diviértase con triáng
1 7
3 2
5
4 6 JXLHQWHV DVVL JXU VÀ DUOD IRUP DUD DPS 8WLOLFHODVSLH]DVGHO7DQJU las figuras siguientes. Utilice las 7 piezas del
Tangram para formar
su proceso de Revise cómo ha sido esta semana. aprendizaje durante
logrado
iento. mejor indique su rendim
en distintos triángulos.
LTXHVXUHQGLPLHQWR os. ODFDVLOODTXHPHMRULQG y de sus ángul 0DUTXHFRQXQFKHTXH la medida de sus lados Después de estudiar...
En este último apartado le proponemos que haga un alto y reflexione sobre su aprendizaje. Es muy importante que usted mismo evalué sus logros y determine en qué ha fallado para superarlo. Conteste con toda sinceridad y, posteriormente, consulte con su maestro orientador las dudas que tenga.
Identifico la base y la altura
no en proceso logrado
QR HQ ORJUDGR SURFHVR ORJUDGR
Clasifico triángulos por
DHQGLVWLQWRVWULiQJXORV círculos. ,GHQWLÀFRODEDVH\ODDOWXU el área de triángulos y Calculo el perímetro y ia y de un JXORV circunferenc una XViQ GHV de tro GRV\ XVOD diáme el y GHV el radio mido GLGD fico yDPH IdentiSRUO &ODVLÀFRWULiQJXORV
'HVSXpVGHHVWXGLDU
Evaluación final de la semana
la casilla que 5HYLVHVXDSUHQGL]DMH e Marque con un chequ
círculo.
FtUFX o.ORV QJXO un círcul ia deRV\ HWULi ferenc UHDG circun \HOi una HWURncio &DOFXORHOSHUtPDifere UFXQIHUHQFLD\GHXQ QDFL \HO ás. GHX DGLRos compHWUR RHOUcírcul conGLiP ,GHQWLÀFR\PLGTrazo de ndo el perímetro y el área aplica áticos matem FtUFXOR Resuelvo problemas círculos. XOR ulos y QFLD triángQIHUH QFtUF GHX 'LIHUHQFLRXQDFLUFX con él. Construyo un Tangram
y armo distintas figuras
V 7UD]RFtUFXORVFRQFRPSi HOiUHDGH 28 IGER − UtatlánWHPiWLFRVDSOLFDQGRHOSHUtPHWUR\ 5HVXHOYRSUREOHPDVPD WULiQJXORV\FtUFXORV pO DUPRGLVWLQWDVÀJXUDVFRQ &RQVWUX\RXQ7DQJUDP\ ,*(5î8WDWOiQ
Además le sugerimos que: • Busque un lugar tranquilo y programe su tiempo para estudiar sin interrupciones. • Haga resúmenes cortos de cada semana. Escribir sus conocimientos le ayudará a retenerlos mejor. • Escuche la clase radial. Sus maestros locutores le acompañarán y le ayudarán a resolver algunas actividades. • Anote los contenidos que no le hayan quedado claros. No se quede con dudas. Su orientadora u orientador voluntario le explicará con gusto. También puede consultar con nosotros por correo electrónico. Nuestra dirección es:
[email protected] • Antes de resolver los ejercicios, lea las instrucciones. • Al resolver los ejercicios, hágalo con orden y limpieza. ¡Que nada lo detenga! Estudie todos los días y esfuércese por aprender.
Matemática − ¡Bienvenida y bienvenido!
9
Libro, clase radial y reunión semanal ¡Su equipo de trabajo! El libro, con ser una buena herramienta, no lo es todo. Para que usted alcance el nivel de competencia deseado, como estudiante a distancia, nuestro sistema pone a su disposición un equipo infalible: el libro, la clase radial y la reunión semanal en el círculo de estudio. ¡Aproveche todos los recursos!
• El libro cumple tres funciones: a. Texto, en el que asimila el desarrollo de los contenidos, repasa ejemplos y resuelve ejercicios. b. Pizarrón, para que durante la clase radial subraye ideas importantes o realice distintas actividades. c. Cuaderno de trabajo, con ejercicios para practicar lo aprendido.
• La clase radial tiene como función principal explicar y facilitar la comprensión de los temas tratados en el libro.
• El círculo de estudio es el lugar de reunión semanal y cumple dos funciones: orientación y socialización.
10
IGER − Utatlán
Nuestra metodología paso a paso Para facilitar el estudio a distancia y aprovechar más y mejor el aprendizaje de los contenidos de cada semana, siga estos pasos.
1
Lea el contenido de la semana…
Leer el contenido nos permite tener una idea general del tema de la semana: qué sabemos, qué nos llama la atención, con qué lo relacionamos, etc. Este primer contacto también nos hará caer en la cuenta del esfuerzo que tenemos que realizar para aprender lo nuevo y nos pondrá “en onda” para la escucha de la clase radial.
2
Escuche la clase radial… Con los 5 sentidos
La clase radial es nuestra maestra. De ahí que el programa se llame "El Maestro en Casa". Los maestros locutores explican el contenido de la semana, nos proponen ejercicios y nos dan otros ejemplos para ampliar la explicación del tema.
3
Después de la clase radial, su trabajo personal… Estudio y autocontrol
Finalizada la clase radial y antes de llegar al círculo de estudio es el momento de su trabajo personal para aprender bien los contenidos de la semana. Distribuya su tiempo: es mejor un poco cada día, que todo la víspera.
Matemática − ¡Bienvenida y bienvenido!
11
4
Consulte sus dudas Un estudiante inteligente sabe cuándo pedir ayuda
Si después de estudiar en profundidad y resolver el autocontrol aún le quedan dudas, busque ayuda. De esta forma, no tendrá que esperar hasta el día de la orientación y podrá avanzar en su aprendizaje.
5
Asista al círculo de estudio Aprender juntos
El círculo de estudio es un espacio de encuentro para aprender y compartir el trabajo realizado durante la semana. Es también el momento para resolver sus dudas y reforzar lo aprendido. Además, es una oportunidad para intercambiar aprendizajes, pensamientos y sentimientos con sus compañeros y su orientadora u orientador voluntario.
Internet es una fuente de consulta que puede aprovechar en sus estudios. En nuestra página web tenemos un espacio para usted, con recursos y actividades que enriquecerán sus conocimientos. Podrá hacer consultas y compartir sus inquietudes con otros estudiantes, orientadoras u orientadores voluntarios. Le invitamos a que ingrese a www.iger.edu.gt y explore las secciones que ahí encontrará.
12
IGER − Utatlán
1 Triángulo, circunferencia y círculo ¿Qué encontrará esta semana? El número
(pi)
Triángulo, circunferencia y círculo: perímetro y área Agilidad de cálculo mental Problemas de perímetro y área de triángulos, circunferencia y círculo
Esta semana logrará: Identificar la base y la altura en distintos triángulos. Clasificar triángulos por la medida de sus lados y de sus ángulos. Calcular el perímetro y el área de triángulos y círculos. Identificar y medir el radio y el diámetro de una circunferencia y de un círculo. Diferenciar una circunferencia de un círculo. Trazar círculos con compás. Resolver problemas matemáticos aplicando el perímetro y el área de triángulos y círculos. Construir un Tangram y armar distintas figuras con él.
Matemática − Semana 1
13
¡Para comenzar! El número
(pi)
Esta semana estudiaremos las características del triángulo, la circunferencia y el círculo. Antes de empezar conozcamos un número especial, el número pi. Pi se utiliza para calcular la longitud de la circunferencia, determinar el área que ocupa un círculo y más adelante nos servirá para hallar el volumen de la esfera y el cilindro. El número pi tiene infinitos decimales. Un valor aproximado de este número, con sus primeras cifras es el siguiente: ≈ 3.14159265358979323846… Nosotros utilizaremos su valor con dos decimales. Memorícelo. = 3.14 ¡A trabajar! Repase con su lapicero el símbolo del número pi: . Para trazarlo siga la indicación de las flechas.
14
IGER − Utatlán
El mundo de la matemática 1. Los triángulos Recuerde que en la semana 33 del grupo Quiriguá estudiamos los polígonos. Los triángulos son polígonos formados por tres lados y tres ángulos. En todo triángulo podemos distinguir dos partes: la base y la altura. La base es el lado del triángulo en el que "se apoya". Observe:
base
base
base
altura
altura
altura
La altura es la línea perpendicular del vértice a la base o a su prolongación. Veamos:
Si la línea de la base es muy corta, podemos alargarla para que la línea de la altura sea perpendicular.
1.1 Clasificación de los triángulos Los triángulos se clasifican de acuerdo al tamaño de sus lados y según la medida de sus ángulos. Preste atención a la tabla: tomando en cuenta sus lados Triángulo equilátero, los tres lados iguales.
según la medida de sus ángulos Triángulo rectángulo, un ángulo recto, mide 90°, y dos ángulos agudos.
Triángulo isósceles,
Triángulo acutángulo, los tres
dos lados iguales y uno
ángulos son agudos, miden
diferente.
menos de 90°.
Triángulo escaleno, los tres lados distintos.
Triángulo obtusángulo, uno de sus ángulos es obtuso, mide más de 90° y menos de 180°.
Matemática − Semana 1
15
Ejercicio 1 A. Añada a cada figura el lado que le falta para formar un triángulo. Hágalo con la ayuda de su regla y su lápiz. Luego nómbrelos tomando en cuenta sus lados y el valor de sus ángulos. Tiene un ejemplo.
por sus lados
isósceles
por sus ángulos rectángulo
altura
B. Identifique la base y la altura en los triángulos siguientes. Tiene un ejemplo.
base
C. Rellene el círculo de la respuesta correcta a cada pregunta. Mida con su regla y su transportador antes de responder. Tiene un ejemplo. 0) ¿Cómo se clasifica un triángulo cuyos lados tienen la misma medida?
equilátero rectángulo acutángulo
1) Observe la figura de un triángulo isósceles. Por la medida de sus ángulos, ¿cómo se podría clasificar?
acutángulo rectángulo obtusángulo
2) La figura es un triángulo obtusángulo. Por la medida de sus lados, ¿cómo se podría clasificar?
equilátero isósceles escaleno
16
IGER − Utatlán
1.2 Perímetro y área de un triángulo a. Perímetro de un triángulo El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus lados. Se representa con la fórmula:
P=
1
+
2
+
3
Se lee: El perímetro de un triángulo es igual a la suma de la medida de sus lados. Por ejemplo: m
5c
Calculemos el perímetro de un triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 centímetros respectivamente.
4 cm
Sigamos los pasos: • Copiamos la fórmula
P=
• Sustituimos los datos en la fórmula
P = 3 cm + 4 cm + 5 cm
• Sumamos la medida de los lados
P = 7 cm + 5 cm
• Escribimos la respuesta
P = 12 cm
1
3 cm
+
2
+
3
b. Área de un triángulo
área del rectángulo:
A=bxh
altura
base altura
Si cortamos un rectángulo por la mitad con una línea diagonal, se forman dos triángulos iguales que comparten la misma base y altura que el rectángulo. Por eso, el área de un triángulo es la mitad del área del rectángulo.
base
Las unidades de longitud se miden en km, m, cm, mm y las unidades de área en km2 , m2 , cm2 , mm2 .
área del triángulo:
A=bxh 2
Se lee: El área de un triángulo es igual a la base por la altura, dividido entre dos. Por ejemplo: Calculemos el área de un triángulo que mide 12 cm de base y 5 cm de altura. • Copiamos la fórmula
A= bxh 2
• Sustituimos los datos en la fórmula
A = (12 cm)(5 cm) 2
• Operamos
A = (12 x 5)(cm x cm) 2 2 60 cm A= 2
• Escribimos la respuesta A= 30 cm2 Matemática − Semana 1
17
Ejercicio 2 • Copiamos la fórmula
P=
• Sustituimos los datos y sumamos
P=
1
+
2
+
cm
3
cm + 15 cm +
P =
21
15 cm
1) Calcular el perímetro de una escuadra si sus lados miden: 15 cm, 15 cm y 21 cm.
cm
15 cm
cm
• Respondemos: el perímetro de la escuadra es
cm.
2) La estructura metálica de un techo tiene forma triangular. Si la base mide 6 metros y 5 metros de altura, ¿qué área tiene la lámina que cubre la estructura? • Copiamos la fórmula
A=
• Sustituimos los datos
A=
• Operamos
A=
bxh 2 (
)( 2
(
x
A =
m2
2
A =
5m
)
6m
)(m x m) 2
m2
3) El jardín de un parque tiene las medidas de la figura:
11 m
a. Si se quiere cercar, ¿cuánta malla se necesita? •
Copiamos la fórmula
P=
•
Sustituimos los datos y sumamos
P=
1
+
2
10 m
3
m+
P = •
+
m+
m
m
Respondemos:
b. Si se quiere sembrar grama en todo el jardín, ¿cuál es el área que hay que cubrir? •
Copiamos la fórmula
A=
•
Sustituimos los datos
A=
•
Operamos
A=
A = A = •
18
Respondemos:
IGER − Utatlán
bxh 2 ( (
)( 2 x
)( 2
2 m2
) x
)
4m
• Respondemos:
2. Circunferencia y círculo
¿Cuál es la diferencia?
Circunferencia y círculo no son lo mismo. La circunferencia es la línea curva exterior de un círculo. El círculo es la superficie que está dentro de la circunferencia.
ci r c
unferencia
círculo
El círculo se define como una figura geométrica plana y cerrada formada por una línea curva.
2.1 Partes del círculo El círculo tiene unas partes especiales que no tienen otras figuras geométricas. Observe la ilustración de abajo. Centro: punto que se encuentra exactamente a la mitad del círculo. Se representa con la letra C. Diámetro: línea recta que pasa por el centro y que divide el círculo en dos partes iguales. Se representa con la letra d.
d C r
Radio: distancia que une el centro del círculo con un punto cualquiera de la circunferencia. Mide la mitad del diámetro. Se representa con la letra r.
Ejercicio 3 Mida con su regla el radio y el diámetro de cada circunferencia. Luego escriba su valor en el espacio correspondiente. 1)
2)
d
d
r r
r =
cm
d=
cm
r=
cm
d=
cm
Matemática − Semana 1
19
2.2 El uso del compás Durante las últimas semanas del curso de matemática de Quiriguá utilizó la regla y el transportador. Hoy aprenderemos a utilizar otra herramienta: el compás. El compás nos ayuda a trazar circunferencias exactas. Este instrumento está formado por dos patas. Una tiene un extremo punzante que sirve para fijar el compás al papel. Esta pata se coloca en lo que será el centro del círculo. La otra pata tiene una mina o un sujetador para insertar el lápiz y dibujar la circunferencia. Lo entenderemos mejor con un ejemplo. Para trazar una circunferencia necesita regla, compás y papel. Siga los pasos. 1. Dibuje una línea horizontal de 2 cm de longitud en el papel.
0
1
2
2. Coloque el extremo punzante del compás en el punto 0 y abra el compás hasta que el lápiz coincida en el punto 2. 0
3. Gire la manecilla con los dedos pulgar, índice y medio juntos, imagine que está haciendo migas un pedazo de pan.
0
Ejercicio 4 Dibuje un círculo en la cuadrícula de la derecha. Tome su compás y siga los pasos. 1) Mida 1.5 cm sobre el papel. 2) Coloque la punta del compás sobre el punto 0 y abra la punta con el lápiz hasta que coincida en el punto 1.5. 3) Gire la manecilla del compás. 4) Pinte la circunferencia con color negro y el círculo con rojo.
20
IGER − Utatlán
1
0
2
1
2
2.3 Perímetro y área de un círculo a. Perímetro de un círculo La circunferencia es el borde exterior del círculo. Para calcular el perímetro de un círculo, es necesario encontrar la longitud de la circunferencia. Esta se obtiene utilizando la fórmula: P=2 r Se lee: El perímetro del círculo es igual a dos veces el producto de pi por la medida del radio. Por ejemplo: Calculemos el perímetro de un círculo, cuyo radio mide 4 cm. • Copiamos la fórmula
P=2 r
• Sustituimos los datos en la fórmula
P = 2(3.14)(4 cm)
• Operamos
P = (6.28)(4 cm)
• Escribimos la respuesta
P = 25.12 cm
Recuerde el valor de (pi) = 3.14
b. Área de un círculo No olvide que el círculo es el área que está dentro de la circunferencia. La fórmula del área para el círculo es: A = r2 Se lee: El área del círculo es igual a pi por la medida del radio al cuadrado. Por ejemplo: Calculemos el área de un círculo cuyo radio mide 4 cm. • Copiamos la fórmula
A = r2
• Sustituimos los datos en la fórmula
A = (3.14)(4 cm)2
• Operamos
A = (3.14)(16 cm2)
Memorice las fórmulas P=2 r A = r2
• Escribimos la respuesta A = 50.24 cm2 Matemática − Semana 1
21
¡Un problema! No olvide que el radio mide la mitad del diámetro. r=
Un parque tiene forma circular con un diámetro de 200 m. Ernesto visitó el parque y desea saber: a. Si camina alrededor del parque y regresa al punto donde salió, ¿que distancia caminó? d • Primero obtenemos el radio r= 2 200 m r = 2 r = 100 m
d 2
•
Copiamos la fórmula para el perímetro P = 2 r
•
Sustituimos los datos
P = 2(3.14)(100 m)
•
Operamos
P = (6.28)(100 m)
P = 628 m •
Escribimos la respuesta: Ernesto caminó 628 metros.
b. ¿Cuál es el área del parque? •
Copiamos la fórmula para el área
•
Sustituimos los datos
•
Operamos
A = (3.14)(100 m)2
•
A = r2 A = (3.14)(10 000 m2) A = 31 400 m2
Escribimos la respuesta: el área del parque es 31 400 m2.
Ejercicio 5 Calcule el perímetro y el área de los círculos cuyo radio aparece en cada numeral. Tiene un ejemplo. 1) círculo con r = 10 m pasos para resolver
P=2 r
perímetro
área
A = r2
• Copiamos la fórmula
P=2 r
A = r2
• Sustituimos los datos
P = 2(3.14)(
m)
A = (3.14)(
m)2
• Operamos
P = (6.28)(
m)
A = (3.14)(
m 2)
• Escribimos la respuesta
P=
m
A=
m2
2) círculo con r = 5 m pasos para resolver
22
• Copiamos la fórmula
P=2 r
• Sustituimos los datos
P = 2(
• Operamos
P=(
• Escribimos la respuesta
P=
IGER − Utatlán
P=2 r
perímetro
área
A = r2
A = r2 )( )(
)
A=(
)(
)2
)
A=(
)(
)
A=
Resumen 1. Triángulos Los triángulos son polígonos formados por tres lados y tres ángulos. En todo triángulo podemos distinguir dos partes: la base y la altura.
altura
1.1 Clasificación de los triángulos
base
tomando en cuenta sus lados
según la medida de sus ángulos
Triángulo equilátero, los
Triángulo rectángulo, un ángulo recto,
tres lados iguales.
(90)° y dos ángulos agudos.
Triángulo isósceles, dos lados iguales y uno diferente.
Triángulo escaleno, los tres lados distintos.
Triángulo acutángulo, los tres ángulos son agudos, miden menos de 90°.
Triángulo obtusángulo, uno de sus ángulos es obtuso, mide más de 90° y menos de 180°.
1.2 Perímetro y área de un triángulo fórmula perímetro
P=
área
A=
1
+
2
bxh 2
+
se lee: 3
El perímetro del triángulo es igual a la suma de la medida de sus lados. El área del triángulo es igual a la base por la altura, dividido entre dos.
2. Circunferencia y círculo
La circunferencia es la línea curva exterior de un círculo. El círculo es la superficie que está dentro de la circunferencia.
d
En un círculo podemos encontrar estos elementos: radio (r), diámetro (d) y centro (C).
C r
2.1 Perímetro y área del círculo fórmula
se lee:
perímetro
P=2 r
El perímetro del círculo es igual a dos veces el producto de pi, por la medida del radio.
área
A = r2
El área del círculo es igual a pi por la medida del radio al cuadrado.
Matemática − Semana 1
23
Autocontrol Actividad 1. Demuestre lo aprendido
altura
A. Identifique la base y la altura en los siguientes triángulos. Tiene un ejemplo.
base
B. Rellene el círculo de la respuesta correcta a cada pregunta. Tiene un ejemplo. 0) ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un triángulo?
bxh 2 A=bxh A=
A = r2 1) ¿Cómo se clasifica el triángulo de la figura?
acutángulo rectángulo obstusángulo
2) ¿Cuál es la fórmula para calcular el perímetro de un triángulo?
24
P= 1+ 2+ P=bxh P = 2b + 2a
3
3) ¿Qué es la circunferencia?
el perímetro de un círculo el doble del diámetro la mitad del diámetro
4) ¿Qué valor tiene el número pi?
3 cambia para cada círculo 3.1416 aproximadamente
5) ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un círculo?
A=bxh A=2 r A = r2
6) ¿Cuál es la fórmula para calcular el perímetro de un círculo?
P=bxh P=2 r P=4x
IGER − Utatlán
C. Mida con su regla el radio y el diámetro de los círculos y determine el valor de ambos. Tiene un ejemplo. 0)
1)
2)
2
cm
2 cm
radio diámetro
4 cm
radio
radio
diámetro
diámetro
Actividad 2. Practique lo aprendido
altura
A. Añada a cada figura el lado que le falta para formar un triángulo. Hágalo con la ayuda de una regla y un lápiz. Luego identifique la base y la altura. Tiene un ejemplo.
base
B. Trace con el compás: 1) Un círculo con radio de 1 cm
3)
Un círculo con radio de 2.5 cm
Matemática − Semana 1
25
Agilidad de cálculo mental A. Complete las tablas. Calcule el perímetro y el área de los triángulos con los siguientes datos. Tiene un ejemplo. perímetro del triángulo 1
+
2
+
1m 2m 3m
P=
3
1
+
2
+
área del triángulo
b
respuesta
3
P=1m+2m+3m
1 cm 3 cm
P=6m
A=
bxh 2
respuesta
A=
1x3 2
A = 1.5 m2
6 cm 2 cm
6 cm 5 cm 3 cm
0.5 cm 2.5 cm
1. 5 cm 4 cm 6 cm
4m
12 m 18 m 36 m
4m
12 cm 6 cm 9 cm 5 cm
14 cm 23 cm 7 cm
10 cm 12 cm
10 cm 11 cm 15 cm
h
0.4 m 0.8 m
B. Complete las tablas. Calcule el perímetro y el área de los círculos con los siguientes datos. Exprese el resultado con 2 cifras decimales. Tiene un ejemplo. perímetro del círculo
área del círculo
r
P=2 r
respuesta
1 cm
P = 2(3.14)(1 cm)
P = 6.28 cm
2 cm 5 cm 6 cm 3 cm 1.5 cm 7.2 cm 10 cm
26
IGER − Utatlán
A=
r2
A = (3.14)(1 cm)2
respuesta
A = 3.14 cm2
Razonamiento lógico A. En el ejercicio siguiente va a integrar lo que aprendió de perímetros y áreas de cuadriláteros y triángulos.
La familia Matzar desea comprar una casa. Hay dos disponibles con un área repartida como aparece en la ilustración. Si deciden comprar la casa que tenga mayor área, ¿cuál escogen, la casa C 1 o la casa C 2? C1
C2 9m
7m 5m 9m
8m 6m
12 m
2m
13 m
4m
2m 5m 4m
3m
4m 1m
Para resolver el problema, calcule primero el área de cada figura y sume los resultados para obtener el área total, luego compare las áreas totales.
B. Resuelva los problemas en su cuaderno. Aplique el contenido de la semana. 1) Se construyó una pista de ciclismo de forma circular con un diámetro de 80 m. Un ciclista que corre por la orilla de la pista es observado por su entrenador que se coloca justo al centro de la pista. ¿Cuál es la distancia que hay entre el entrenador y el deportista? 2) Martina construye un corral para gallinas de forma circular de 3 m de diámetro.
a.
¿Cuánta malla compró Martina para hacer el corral?
b. Si el precio de la malla es de Q12.00 por metro, ¿cuánto gastó en la malla?
3) Antonio tiene un terreno en forma triangular con las medidas siguientes: 25 m de base, 20 m de altura y 24 m. a. Antonio quiere cercar su terreno con cuatro hiladas de alambre, ¿cuántos metros de alambre debe comprar? b. ¿Si el terreno es lo suficientemente plano, ¿qué área puede cultivar Antonio? 4) El diámetro de una moneda de Q1.00 es aproximadamente 2.8 cm. ¿Cuál es el área de la cara? 5) Si amarramos una piedra al extremo de una cuerda de 1.5 m y hacemos girar la cuerda, ¿cuánto mide la circunferencia descrita por la piedra? Matemática − Semana 1
27
Desarrolle nuevas habilidades Diviértase con triángulos y cuadriláteros Este es un rompecabezas chino que se conoce con el nombre de Tangram. Copie cada una de sus piezas en una cartulina y recórtelas.
1
3 2
7 5 6
4
Utilice las 7 piezas del Tangram para formar las figuras siguientes.
Revise su aprendizaje Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
Identifico la base y la altura en distintos triángulos.
Después de estudiar...
Clasifico triángulos por la medida de sus lados y de sus ángulos. Calculo el perímetro y el área de triángulos y círculos. Identifico y mido el radio y el diámetro de una circunferencia y de un círculo. Diferencio una circunferencia de un círculo. Trazo círculos con compás. Resuelvo problemas matemáticos aplicando el perímetro y el área de triángulos y círculos. Construyo un Tangram y armo distintas figuras con él.
28
IGER − Utatlán
en no logrado proceso logrado
2 Cuadriláteros ¿Qué encontrará esta semana? Seguimos con los cuadriláteros Rombo y romboide: perímetro y área Agilidad de cálculo mental Problemas matemáticos
Esta semana logrará: Recordar cómo calcular el perímetro y el área de cuadrados y rectángulos. Calcular perímetros y áreas de rombos y romboides utilizando correctamente las fórmulas. Calcular mentalmente el perímetro de un rombo y el área de un romboide. Resolver problemas relacionados con el área y el perímetro de rombos y romboides. Reconocer patrones de secuencias lógicas.
Matemática − Semana 2
29
¡Para comenzar! Seguimos con los cuadriláteros Usted ya conoce las características de los principales cuadriláteros porque las aprendió en la semana 33 del grupo Quiriguá. Recuerde:
rectángulo
cuadrado
romboide
rombo
También aprendió a calcular el perímetro y el área de cuadrados y rectángulos. Hagamos memoria: figura
perímetro
P=
+
+
área
+
P=4x
A = ( )( ) A=
2
cuadrado
a
P = 2b + 2a
b
A=bxa
rectángulo
Esta semana aprenderemos a calcular el área y el perímetro del rombo y el romboide.
¡A trabajar! Utilice una regla para medir los lados de las figuras y escríbalo sobre la línea. 1)
2)
3) a
a
b b
30
=
b =
b =
a =
a =
IGER − Utatlán
El mundo de la matemática 1. El rombo ¿Conoce los papalotes? Son barriletes que tienen forma de rombo.
ángulo agudo
El rombo es un cuadrilátero que tiene los cuatro lados ( ) iguales, dos ángulos agudos (menores de 90º) iguales y dos ángulos obtusos (mayores a 90º) iguales. Todos los rombos tienen dos líneas diagonales:
D 90°
d
ángulo obtuso
• La diagonal menor se representa con la letra d minúscula. • La diagonal mayor se representa con la letra D mayúscula. • En el punto donde se cruzan las diagonales del rombo se forman cuatro ángulos rectos (de 90º).
1.1 Perímetro y área del rombo a. Perímetro del rombo El perímetro de una figura es la suma de la longitud de todos sus lados. Como el rombo tiene los cuatro lados iguales, el perímetro mide cuatro veces el valor de un lado. P=4x Se lee: el perímetro de un rombo es igual a cuatro por la medida de su lado. Ejemplo ¿Qué perímetro tiene un rombo de 8 cm por lado? Tenemos el dato:
= 8 cm
Seguimos el procedimiento para calcular el perímetro: • Copiamos la fórmula
P=4x
• Sustituimos el dato en la fórmula
P = 4 x (8 cm)
• Operamos
P = 32 cm
• Escribimos la respuesta: el rombo tiene 32 cm de perímetro. Matemática − Semana 2
31
Otro ejemplo ¿Cuál es el perímetro de un azulejo en forma de rombo que tiene una longitud de 10 cm por lado? • Copiamos la fórmula
P =4x
• Sustituimos el dato en la fórmula
P = 4 x (10 cm)
• Operamos
P = 40 cm
• Escribimos la respuesta: el azulejo tiene un perímetro de 40 cm.
Ejercicio 1 Resuelva los ejercicios siguientes. 1) ¿Qué perímetro tiene un rombo de 12 cm por lado? Tenemos el dato:
=
cm
Calculamos el perímetro • Copiamos la fórmula
P=4x
• Sustituimos el dato
P=4x
• Operamos
P=
cm cm
• Escribimos la respuesta: el rombo tiene
cm de perímetro.
2) Calcule el perímetro que tiene un rombo de 9 cm por lado. Tenemos el dato:
=
cm
Calculamos el perímetro • Copiamos la fórmula
P=4x
• Sustituimos el dato
P=4x
• Operamos
P=
cm cm
• Escribimos la respuesta: el rombo tiene
cm de perímetro.
3) Un rótulo en forma de rombo mide 3 metros por lado. Si se le coloca un marco de madera, ¿cuántos metros se necesitarán? Tenemos el dato:
=
m.
Calculamos el perímetro • Copiamos la fórmula
P=4x
• Sustituimos el dato
P=4x
• Operamos
P=
• Escribimos la respuesta: se necesita
32
IGER − Utatlán
m m m de madera.
b. Área del rombo Si dibujamos un rombo dentro de un rectángulo, comprobaremos que las diagonales miden lo mismo que los lados del rectángulo. También observaremos ocho triángulos iguales de los cuales cuatro forman el rombo. Por lo tanto, el área del rombo será la mitad del área del rectángulo. El área del rombo se representa con la fórmula: A=
5
8
6 1
2
4
3
d 7
D
Dxd 2
Se lee: el área de un rombo es igual a la medida de su diagonal mayor por la diagonal menor, dividido entre dos. Ejemplo Calcular el área del techo de un toldo en forma de rombo. La diagonal mayor mide 7 metros y la diagonal menor mide 4 metros. Tenemos los datos: D = 7 m, d = 4 m Calculamos el área • Copiamos la fórmula
A = D x d 2
• Sustituimos los datos
A = (7 m x 4 m) 2
• Operamos
A = (7 x 4)(m x m) 2
Recuerde: Para multiplicar bases iguales, se copia la base y se suman los exponentes. m x m = m1 + 1 = m2
2 A = 28 m 2
A = 14 m2 • Escribimos la respuesta: el techo del toldo tiene un área de 14 m2.
Ejercicio 2 Aplique las fórmulas de perímetro y área de un rombo para resolver los ejercicios. 1) El techo de una bodega en forma de rombo tiene una longitud de 7 m por lado. Si hay que colocar un canal en toda la orilla, ¿cuántos metros de canal se necesitan?
La orilla del techo es el perímetro del rombo. •
Copiamos la fórmula del perímetro
P =4x
•
Sustituimos el dato en la fórmula
P =4x(
•
Operamos
P=
•
Respuesta: se necesitan
m)
m de canal. Matemática − Semana 2
33
Si la diagonal mayor del techo mide 8 m y la menor 6 m, ¿qué superficie cubre el techo? •
Escribimos la fórmula del área
A=
•
Sustituimos los datos en la fórmula
A=
•
Operamos
A=
Dxd 2 (
m)( 2
(
x
A =
Escribimos la respuesta: el techo cubre
)(m x m) 2 m2
2
A = •
m)
m2 m2 de superficie.
2) Amanda construye un papalote en forma de rombo. Cada lado mide 13 cm, la diagonal mayor 24 cm y la diagonal menor 10 cm. a. ¿Cuánta pita necesita Amanda para hacer el borde del papalote? •
Escribimos la fórmula del perímetro
P=
•
Sustituimos el dato
P =4x(
•
Operamos
P=
•
Respuesta: Amanda necesita
cm)
de pita.
b. ¿Qué cantidad de papel utilizará para hacer el papalote? •
Escribimos la fórmula del área
A=
•
Sustituimos los datos en la fórmula
A=
•
Operamos
A=
A =
Dxd 2 (
cm )( 2
(
x
2
cm) )( 2
x
cm2
A = •
34
Escribimos la respuesta: Amanda utilizará
IGER − Utatlán
de papel.
)
2. El romboide El romboide es un cuadrilátero que tiene los lados y ángulos opuestos iguales. Un romboide se parece a un rectángulo y a un rombo. No es un rombo porque sus diagonales no se cruzan formando ángulos rectos, y no es un rectángulo porque los ángulos de sus vértices no miden 90º.
a
h
b
El lado horizontal del romboide es la base b. La línea trazada desde el vértice superior izquierdo hasta la base forma un ángulo de 90º con el lado opuesto; se llama altura h. Al lado inclinado simplemente lo llamamos a.
¡Atención! La altura h no es igual al lado a.
2.1 Perímetro y área de un romboide a. Perímetro del romboide El perímetro de un romboide es igual a la suma de todos sus lados. Como son iguales dos a dos, se representa con la fórmula: P = 2a + 2b Se lee: el perímetro de un romboide es igual a dos por la medida del lado a más dos por la medida del lado b. Ejemplo Calculemos cuánto mide el perímetro de una lámina en forma de romboide, si el lado a mide 25 cm y el lado b mide 40 cm. Tenemos los datos: a = 25 cm, b = 40 cm Calculamos el perímetro • Copiamos la fórmula
P = 2a + 2b
• Sustituimos los datos
P = 2(25 cm) + 2(40 cm)
• Operamos
P = 50 cm + 80 cm
P = 130 cm • Escribimos la respuesta: la lámina tiene un perímetro de 130 cm. Matemática − Semana 2
35
b. Área del romboide El área del romboide es la superficie que encierra su perímetro. Se representa con la fórmula:
a
h
A=bxh
b
Se lee: el área de un romboide es igual a la base (b) por la medida de la altura (h). Ejemplo Calculemos el área de una ventana en forma de romboide. La base mide 70 cm y la altura 50 cm. Tenemos los datos b = 70 cm, h = 50 cm Calculamos el área • Copiamos la fórmula
A=bxh
• Sustituimos los datos
A = (70 cm x 50 cm)
• Operamos
A = (70 x 50)(cm x cm)
A = 3500 cm2 • Escribimos la respuesta: la ventana tiene un área de 3500 cm2.
Ejercicio 3 Practique el cálculo del perímetro y del área de un romboide. 1) Una cooperativa de mujeres produce jaleas. Cada recipiente de jalea tiene una etiqueta en forma de romboide. El lado de la base mide 5 cm y el lado inclinado 4 cm. ¿Cuál es el perímetro de una etiqueta?
•
Copiamos la fórmula
P = 2a + 2b
•
Sustituimos los datos
P = 2(
•
Operamos
P=
P =
•
cm) + 2(
cm)
+ cm
Escribimos la respuesta:
2) Si la altura de las etiquetas es de 3 cm y la base es de 5 cm, ¿cuál es el área de una etiqueta?
•
Copiamos la fórmula
A=bxh
•
Sustituimos los datos
A=(
cm)(
•
Operamos
A=(
x
A =
36
•
Escribimos la respuesta:
IGER − Utatlán
cm) )(cm x cm)
3) En una tienda de dulces hay un rótulo en forma de romboide, con medidas de 30 cm de base y 20 cm sus otros lados, la altura es de 18 cm. Para proteger el rótulo, le colocaron nailon transparente y un lazo delgado en el perímetro. a. ¿Qué cantidad de lazo utilizaron?
•
Copiamos la fórmula
P = 2a + 2b
•
Sustituimos los datos
P = 2(
•
Operamos
P=
+
P =
cm
•
cm) + 2(
cm)
Escribimos la respuesta:
b. ¿Con cuánto nailon protegieron el rótulo?
•
Copiamos la fórmula
A=bxh
•
Sustituimos los datos
A=(
•
Operamos
A=(
)(
)
x
)(cm x cm)
A =
•
Escribimos la respuesta:
Resumen El rombo es un cuadrilátero que tiene cuatro lados iguales, dos ángulos agudos iguales, dos ángulos obtusos iguales y dos diagonales. El romboide es un cuadrilátero que tiene los lados y los ángulos opuestos iguales. figura
perímetro
área
d 90°
D
Dxd 2
P=4
A=
P = 2a + 2b
A=bxh
rombo a
h b
romboide
Matemática − Semana 2
37
Autocontrol Actividad 1.
Demuestre lo aprendido
A. Rellene el círculo de la opción correcta. Tiene un ejemplo. 0) Cuadrilátero que tiene los lados opuestos iguales y sus cuatro ángulos rectos.
rombo romboide rectángulo
1) Cuadrilátero que tiene los cuatro lados iguales, dos ángulos agudos iguales y dos ángulos obtusos iguales.
rombo romboide rectángulo
2) Cuadrilátero que tiene los lados y los ángulos opuestos iguales.
rombo romboide rectángulo
3) Fórmula del perímetro de un rombo.
P=4x P = 2a + 2b 2 P=
4) Fórmula del perímetro de un romboide.
P=4x P = 2a + 2b 2 P=
B. Trace con lápiz y regla lo que se indica. 1) Las diagonales del rombo.
38
2)
La altura del romboide
IGER − Utatlán
Actividad 2.
Practique lo aprendido
Calcule el perímetro y el área de las figuras. 1) D = 30 cm
2) D = 20 cm
d =10 cm
d = 14 cm = 12 cm
= 20 cm
d D
D
d
3) a = 3 cm 4) a = 6 cm b = 5 cm
b = 10 cm
h = 2.5 cm
h = 5 cm
a
a
h
b
h
b
Matemática − Semana 2
39
Agilidad de cálculo mental A. Los ejercicios de agilidad de cálculo le ayudarán a resolver operaciones de manera rápida sin necesidad de escribir el procedimiento. Encuentre el perímetro de los rombos y el área de los romboides, según las medidas que aparecen en las tablas. Tiene un ejemplo para cada caso. rombo
romboide b
h
A=bxh
5 cm
10 cm
A = 50 cm2
2 cm
10 cm
4 cm
15 cm
15 cm
2 cm
25 cm
4 cm
25 cm
40 mm
10 mm
6 mm
20 cm
20 cm
8 cm
8 cm
6 cm
5 cm
P=4x P = 40 cm
10 cm
B. Multiplique por la unidad seguida de ceros. Recuerde cuando multiplicamos por la unidad seguida de ceros agregamos al número la cantidad de ceros que acompañan a la unidad. Para los decimales, desplazamos a la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad. Guíese por el ejemplo. =
1) 3 x 10
=
1) 0.01 x 10
=
2) 25 x 10
=
2) 0.68 x 10
=
3) 18 x 10
=
3) 0.536 x 10
=
4) 232 x 10
=
4) 3.2 x 100
=
5) 31 x 100
=
5) 8.32 x 100
=
6) 25 x 100
=
6) 0.036 x 100
=
7) 321 x 100
=
7) 16.98 x 100
=
8) 4 x 1000
=
8) 45.23 x 1000 =
9) 14 x 1000
=
9) 1.02 x 1000
10) 642 x 1000 =
40
25100
0) 251 x 100
IGER − Utatlán
0) 0.0016 x 1000 =
=
10) 12.350 x 1000 =
1.6
Razonamiento lógico Aplique el contenido de la semana para resolver los siguientes problemas. 1) ¿Cuántos cm2 de madera tiene un tablero en forma de un rombo si las diagonales miden 8 y 9 cm? 2) Andrés sabe que el lado de un terreno en forma de rombo mide 12 m. Si desea colocarle malla alrededor, ¿cuántos metros deberá comprar? 3) Estela quiere sembrar grama en su patio en forma de rombo. La diagonal mayor mide 3 metros y la diagonal menor 2 metros. ¿Cuántos metros cuadrados de grama debe sembrar? 4) Antonio necesita ladrillos en forma de rombo para circular un jardín también en forma de rombo de 5 metros por lado. Si cada metro tiene 20 ladrillos, ¿cuántos ladrillos necesita en total? 5) El salón comunal tiene forma de rombo y desean colocarle baldosa. La diagonal mayor mide 16 m y la diagonal menor 12 m. Si las baldosas miden 0.16 m2, ¿cuántas baldosas son necesarios para cubrir el salón? 6) Una artista de Santiago Atitlán pinta un cuadro con forma de romboide. La base mide 30 cm y la altura 25 cm. Si por cada centímetro cuadrado de superficie usa 1 mililitro de pintura, ¿cuántos mililitros de pintura tiene un cuadro ya terminado? 7) Ana elabora un marco para un cuadro en forma de romboide. El lado a mide 40 cm y el lado b, 60 cm. ¿Cuántos cm de madera utilizará para elaborar el marco?
31 a=
a. Calcular el número de árboles que puede plantarse, si cada planta necesita 4 m2 para desarrollarse.
m
8) José tiene un terreno en forma de romboide con 32 m de base, 30 m de altura y 31 m los otros lados que cierran el terreno.
b. Para cercar el terreno, José desea colocar un poste cada 1.5 m, ¿cuántos postes necesita?
h = 30 m
b = 32 m
9) Calcular el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 30 y 16 cm, y su lado mide 17 cm. 10) Un rombo se encuentra dentro de un rectángulo, como se observa en la figura. Encuentre: 25 cm
a. Perímetro y área del rombo.
30 cm
b. Perímetro y área del rectángulo. c. Compruebe que el área del rombo equivale a la mitad del área del rectángulo.
40 cm
Matemática − Semana 2
41
Desarrolle nuevas habilidades Series lógicas El razonamiento lógico se define como el conjunto de actividades mentales que nos permiten conectar unas ideas con otras de acuerdo a ciertas reglas, orden o patrón. Una forma de desarrollar el razonamiento es practicando juegos de razonamiento no verbal. Por ejemplo:
¿Cuál es la figura que sigue en la serie?
¡Efectivamente! un cuadrado blanco porque en la serie solo hay cuadrados blancos y sombreados que se alternan. Ahora le toca a usted. Observe cada serie y trace las figuras que corresponden hasta llenar el recuadro. Observe el patrón que sigue cada serie.
Revise su aprendizaje
Después de estudiar...
Marque con un cheque
42
la casilla que mejor indique su rendimiento.
Calculo el perímetro y el área de rombos y romboides. Calculo perímetros y áreas de rombos y romboides utilizando correctamente las fórmulas. Calculo mentalmente el perímetro de un rombo y el área de un romboide. Resuelvo problemas relacionados con el área y el perímetro de rombos y romboides. Reconozco patrones de secuencias lógicas. IGER − Utatlán
en no logrado proceso logrado
3 Polígonos regulares ¿Qué encontrará esta semana? Los barriletes gigantes Polígonos regulares: perímetro y área Tablas de multiplicar del 1 al 10 Problemas que se resuelven utilizando el área de polígonos regulares
Esta semana logrará: Reconocer polígonos regulares en artesanías guatemaltecas. Identificar diferentes polígonos regulares. Reconocer las partes de un polígono regular. Deducir el área de polígonos diferentes a partir de triángulos isósceles. Aplicar la fórmula de perímetro y área a polígonos regulares. Practicar las tablas de multiplicar del 1 al 10. Resolver problemas de perímetro y área en polígonos regulares.
Matemática − Semana 3
43
¡Para comenzar! Los barriletes gigantes
Sumpango y Santiago Sacatepéquez celebran el 1 de noviembre la festividad de “Todos los Santos y Fieles Difuntos” con la exposición y vuelo de barriletes gigantes. Esta tradición está relacionada con la idea de comunicación entre los familiares vivos y los difuntos. Los barriletes representan el “estado de sueño” o la elevación de las almas de los fallecidos. También son una clase de “telegrama” hacia el mundo de los espíritus. Una historia cuenta que los barriletes, con un zumbador instalado, alejan a los espíritus dañinos y aseguran un descanso tranquilo. En cualquier caso, son una muestra de amor y una expresión artística. Los barriletes miden entre 3 y 16 metros de diámetro. Si el viento lo permite, pueden volar los que miden hasta 6 metros. Tienen forma de polígono regular (todos sus lados son iguales). La estructura está hecha con cañas de bambú y forrada con papel de china de distintos colores. Cada barrilete tiene una decoración que combina dibujos geométricos detallados con imágenes que muestran la cultura maya. Texto adaptado de “Los barriletes gigantes”. Celso Lara y Roberto Chacón
¡A trabajar! Describa cómo celebran con su familia el Día de los Santos.
44
IGER − Utatlán
El mundo de la matemática 1. Polígonos regulares
lados y ángulos iguales
Un polígono es una figura plana y cerrada formada por líneas rectas. Decimos que es "cerrada" porque todas las líneas están conectadas. Los polígonos pueden ser regulares e irregulares. En los polígonos regulares, todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores son de la misma medida. Los polígonos irregulares tienen todos o algunos lados y ángulos de diferentes medidas. Esta semana estudiaremos los polígonos regulares que reciben nombres especiales según su número de lados. Fíjese en la tabla y memorícelos. pentágono
nonágono
5 lados
9 lados
hexágono
decágono
6 lados
10 lados
heptágono
endecágono
7 lados
11 lados
octágono
dodecágono
8 lados
12 lados
Los polígonos de 13 lados o más, se nombran según el número de lados, por ejemplo: el polígono de 15 lados se nombra polígono regular de 15 lados.
Ejercicio 1
Cuente los lados de cada polígono y escriba su nombre. Tiene un ejemplo. 0)
1)
octágono
2)
Matemática − Semana 3
45
1.1 Elementos de un polígono regular Conocer e identificar los elementos de un polígono le ayudará a construir polígonos regulares exactos y calcular su perímetro y área. Lea cada definición e identifíquela en la figura.
v C
• lados ( ): líneas rectas que forman el polígono y que tienen la misma longitud.
a
r
• vértices (v): puntos donde se unen dos lados del polígono. • centro (C): punto interior que está a la misma distancia de cada vértice. • radio (r): línea recta que va del centro a cada vértice. • apotema (a): distancia del centro al punto medio de uno los lados. • ángulos internos ( ): son aberturas que se forman entre los lados del polígono, todos tienen la misma medida.
Ejercicio 2 A. Repase con su lápiz los lados de cada polígono. Utilice la regla. 0)
1)
2)
B. Utilice regla y lápiz para trazar una apotema y un radio en cada polígono. Tiene un ejemplo. 0)
1)
2)
a r
C. ¿Qué diferencia hay entre el radio y la apotema de un polígono?
46
IGER − Utatlán
1.2 Polígonos regulares y triángulos isósceles
Observe cómo el pentágono de la derecha está dividido en 5 triángulos. La altura de cada triángulo corresponde a la apotema del pentágono y la base es la medida del lado, es decir:
6 cm
Los polígonos regulares tienen una característica en común: todos se pueden descomponer en triángulos isósceles iguales, tantos, como lados tenga el polígono.
7 cm Recuerde que un triángulo isósceles tiene dos ángulos y dos lados iguales.
• Si la altura del triángulo mide 6 cm, la apotema también mide 6 cm. • Si la base del triángulo mide 7 cm, el lado también mide 7 cm.
Ejercicio 3 Repase con su lápiz las líneas punteadas que van desde el centro al vértice de cada polígono, luego conteste las preguntas. 1) a.
¿Cuántos lados tiene el polígono?
b. ¿Qué nombre recibe el polígono?
c.
d. Si la altura del triángulo es de 5 cm, ¿cuánto mide la apotema?
¿Cuántos triángulos isósceles se forman?
e. ¿Cuánto mide la base del triángulo, si los lados del polígono
miden 4 cm?
2) a.
¿Cuántos lados tiene el polígono?
b. ¿Qué nombre recibe el polígono?
c.
d. Si la base de cada triángulo mide 8 cm, ¿cuánto mide cada
¿Cuántos triángulos isósceles se forman?
lado del hexágono?
e. ¿Cuánto mide la altura del triángulo, si la apotema mide 10 cm?
Matemática − Semana 3
47
2. Perímetro y área de polígonos regulares 2.1 Perímetro de los polígonos El perímetro de un polígono es la medida de su contorno, se representa por la letra P. Si n es el número de lados que tiene un polígono y es la medida de cada lado, el perímetro lo obtenemos multiplicando el número de lados por la medida del lado ( ). = 10 cm
P=nx
Se lee: el perímetro de un polígono es igual a n por la medida del lado. Por ejemplo Si el hexágono de la figura mide 10 cm por lado perímetro?
(
= 10), ¿cuánto mide su
Antes de aplicar la fórmula debemos responder las preguntas: • ¿Cuántos lados tiene un hexágono? un hexágono tiene 6 lados • ¿Cuánto vale n? n = 6 Con la información anterior calculamos el perímetro. • Copiamos la formula
P=nx
• Sustituimos los datos
P = 6 x 10 cm
• Operamos
P = 60 cm
• Escribimos la respuesta: el hexágono tiene un perímetro de 60 cm.
Ejercicio 4 Calculemos el perímetro de un heptágono que mide 3 cm por lado.
Respondamos las preguntas: •
¿Cuántos lados tiene un heptágono?
•
¿Cuánto vale "n"?
Calculamos el perímetro
48
•
Copiamos la formula
P=nx
•
Sustituimos los datos
P=
•
Operamos
P=
•
Escribimos la respuesta: el heptágono tiene un perímetro de
IGER − Utatlán
x cm cm.
2.2 Área de los polígonos Según aprendimos en el apartado 1.2 (polígonos regulares y triángulos isósceles), todos los polígonos regulares se pueden descomponer en triángulos isósceles iguales, así que para calcular el área de un polígono regular, multiplicamos el número de triángulos por el área de uno de estos. Veamos:
a
La base del triángulo es la medida del lado ( ) del polígono y su altura es la medida de la apotema (a). El área de este triángulo es: xa 2
A=
Recuerde que la fórmula del área de un triángulo es: A=
bxh 2
Ya vimos que n es el número de lados de un polígono, por lo tanto n también es el número de triángulos del polígono. Al multiplicar el número de triángulos por el área de un triángulo, obtenemos:
A=
nx
2
xa
primera fórmula
Esta es la fórmula para calcular el área de cualquier polígono y se lee: el área de un polígono es igual a la mitad del producto del número de lados por la longitud de un lado por la apotema. Si observamos la fórmula vemos que el producto “n x ” equivale al perímetro del polígono (P = n x ). Si en lugar del producto escribimos P, obtenemos: A=
nx
A=
2
xa
Pxa 2
segunda fórmula
Esta es otra fórmula para calcular el área de un polígono, se lee así: el área de un polígono es igual a perímetro por apotema dividido dos. Para resolver un problema, puede aplicar la fórmula que más le convenga, llegará al mismo resultado, pero tome en cuenta las recomendaciones siguientes: • Si el problema proporciona el número de lados (n), la longitud del lado ( ) y el valor de la apotema (a), conviene utilizar la primera fórmula. • Si el problema proporciona el valor de la apotema (a) y el valor del perímetro (P) o ya lo calculamos, conviene utilizar la segunda fórmula. Matemática − Semana 3
49
Ejemplo Laura necesita tela y encaje para elaborar un tapete en forma de octágono de 21 cm por lado y 25 cm de apotema. El encaje servirá para adornar la orilla. ¿Cuánto encaje y cuánta tela debe comprar? Para ayudarle a resolver este problema, le recomendamos utilizar el esquema siguiente. Extraiga los datos del problema y anótelos en una tabla: nombre del polígono
número de lados (n)
octágono
8
longitud del lado ( )
valor de la apotema (a)
21 cm
25 cm
Reflexionar: ¿cómo puedo resolver el problema con los datos anteriores? La cantidad de encaje se obtiene por medio del perímetro. • Copiamos la fórmula
P=nx
• Sustituimos los datos
P = 8 x 21 cm
• Operamos
P = 168 cm
• Escribimos la respuesta: Laura debe comprar 168 cm de encaje. Ahora calculemos la cantidad de tela por medio del área. Como ya conocemos el perímetro de la figura, podemos utilizar la segunda fórmula para calcular el área. • Copiamos la fórmula
A=
Pxa 2
• Sustituimos los datos
A=
(168 cm)(25 cm) 2
• Operamos
A=
(168 x 25)(cm x cm) 2
A =
4200 cm2 2
A = 2100 cm2 • Escribimos la respuesta: Laura debe comprar 2100 cm2 de tela.
50
IGER − Utatlán
Ejercicio 5 1) Un hexágono mide 10 cm por lado. ¿Cuál es el perímetro?
Extraemos los datos y los anotamos en la tabla: nombre del polígono
número de lados (n)
longitud del lado ( )
• Copiamos la fórmula
P=nx
• Sustituimos los datos
P=
• Operamos
P=
x cm
• Escribimos la respuesta: el perímetro del hexágono es
.
2) Los vecinos de una comunidad quieren construir un jardín en forma de pentágono regular que mide 15 m por lado y 10 m de apotema. Si desean colocar una baranda alrededor y cubrir la superficie con grama, ¿cuántos metros de baranda y cuántos metros cuadrados de grama deben comprar?
Extraemos los datos y los anotamos en la tabla: nombre del polígono
número de lados (n)
valor de la apotema (a)
longitud del lado ( )
Calculamos la cantidad de baranda con la fórmula de perímetro: • Copiamos la fórmula
P=nx
• Sustituimos los datos
P=
• Operamos
P=
x m
• Escribimos la respuesta: hay que comprar
m de baranda.
Calculamos la cantidad de grama con la fórmula de área: • Copiamos la fórmula de área
A=
• Sustituimos los datos
A=
• Operamos
A=
A=
A=
• Escribimos la respuesta: hay que comprar
Pxa 2 (
m)( 2
(
x
m) )( 2
x
)
750 m2 2 m2 m2 de grama. Matemática − Semana 3
51
Resumen 1. Un polígono regular es una figura de líneas rectas, plana y cerrada, cuyos lados y ángulos miden lo mismo. Reciben nombres especiales por su número de lados. Memorícelos:
pentágono
nonágono
5 lados
9 lados
hexágono
decágono
6 lados
10 lados
heptágono
endecágono
7 lados
11 lados
octágono
dodecágono
8 lados
12 lados
1.1 Elementos de un polígono regular • lados ( )
•
radio (r)
• vértices (v)
•
apotema (a)
C
• centro (C)
•
ángulos internos ( )
a
v r
2. Perímetro y área de polígonos regulares 2.1 Perímetro
El perímetro de un polígono es la medida de su contorno. El perímetro lo obtenemos multiplicando el número de lados por la medida del lado.
P=nx
2.2 Área Las fórmulas para calcular el área de un polígono son dos:
52
1) Para aplicar esta fórmula se necesita el número de lados del polígono, la medida de un lado y de la apotema.
A=
2) Para aplicar esta fórmula se necesita la medida del perímetro y de la apotema del polígono.
A=
IGER − Utatlán
nx
2
Pxa 2
xa
Autocontrol Actividad 1.
Demuestre lo aprendido
A. Escriba debajo de cada figura el nombre del polígono. Tiene un ejemplo. 0)
1)
3)
2)
pentágono
B. Trace la apotema en los polígonos. Tiene un ejemplo. 0)
1)
2)
C. Trace un radio en cada polígono. Tiene un ejemplo. 0)
1)
2)
D. Rellene el círculo de la respuesta correcta a cada pregunta. Tiene un ejemplo. 0) ¿Cómo se llama el polígono de cinco lados iguales?
cuadrado pentágono hexágono
1) ¿Cómo se llama el polígono de nueve lados?
decágono nonágono hexágono
2) ¿Cómo se llama el polígono regular de seis lados?
pentágono hexágono heptágono
3) ¿Cuántos triángulos isósceles se forman en un pentágono?
cinco diez no se sabe Matemática − Semana 3
53
Actividad 2.
Practique lo aprendido
A. Calcule el perímetro de cada polígono. Utilice las medidas indicadas. 1) Pentágono de 6 cm por lado.
•
Copiamos la fórmula
•
Sustituimos los datos
•
Operamos
2) Hexágono de 8 cm por lado.
•
Copiamos la fórmula
•
Sustituimos los datos
•
Operamos
n
polígono
P=nx
n
polígono
P=nx
B. Calcule el área de los polígonos. Utilice las medidas indicadas. 1) Octágono de 5 cm por lado y 6 cm de apotema. polígono
a
n
•
Copiamos la fórmula
•
Sustituimos los datos en la fórmula
•
Operamos
A=
nx
2
xa
2) Decágono de 3 cm por lado y 4 cm de apotema. polígono
a
n
54
•
Copiamos la fórmula
•
Sustituimos los datos en la fórmula
•
Operamos
IGER − Utatlán
A=
nx
2
xa
C. Calcule el perímetro y área de los polígonos regulares. Tiene un ejemplo. a = 4 cm
0)
polígono
n
pentágono
5
a 6 cm
4 cm
= 6 cm
P=nx
A=
Pxa 2
A=
(30 cm)(4 cm) 2
P = 5 x 6 cm P = 30 cm
(30 x 4)(cm x cm) 2 2 120 cm A= 2 A=
A = 60 cm2
polígono
n
a
polígono
n
a
a = 6 cm
1)
= 4 cm
a = 11 cm
2)
= 8 cm
Matemática − Semana 3
55
Agilidad de cálculo mental A. Ejercite las tablas del 1 al 10 con las siguientes multiplicaciones. No copie y trate de realizarlo lo más rápido posible. ¡Ánimo! 1) 3 x 2 =
9) 4 x 8 =
17) 5 x 6 =
2) 1 x 9 =
10) 2 x 6 =
18) 3 x 3 =
3) 5 x 3 =
11) 9 x 4 =
19) 7 x 9 =
4) 4 x 2 =
12) 7 x 6 =
20) 5 x 5 =
5) 2 x 9 =
13) 3 x 8 =
21) 9 x 8 =
6) 5 x 4 =
14) 8 x 6 =
22) 5 x 8 =
7) 8 x 5 =
15) 7 x 4 =
23) 9 x 6 =
8) 7 x 8 =
16) 5 x 7 =
24) 6 x 7 =
B. Complete la tabla. Escriba el número de lados de cada polígono. Luego, calcule el perímetro según la medida que se indica. Tiene un ejemplo. polígono
n
pentágono
5
6m
heptágono
8m
endecágono
4m
heptágono
4 cm
octágono
8 cm
dodecágono
3 cm
hexágono
9 pies
decágono
5 pies
56
IGER − Utatlán
P=nx
respuesta
P=5x6m
P = 30 m
Razonamiento lógico Resuelva los problemas. 1) Las 8 ventanas de una iglesia tienen forma de octágono y miden 1 metro por lado. Se desea colocar un marco de metal a todas las ventanas, ¿cuántos metros de metal se debe comprar? 2) Una mesa está formada por 7 hexágonos regulares. Cada hexágono mide 6 cm por lado y la apotema 10 cm. ¿Cuál es el área total de la mesa? 3) El telescopio Hobby–Eberly en Fort Davis, Texas, es el telescopio óptico más grande de América del Norte. El espejo principal del telescopio está formado por 91 espejos pequeños en forma de hexágono con longitudes de 0.5 metros por lado y 0.8 metros de apotema. Halle el área de uno de los espejos pequeños. 4) Todas las mañanas Verónica corre 12 veces alrededor de un parque en forma de hexágono que mide 5 metros por lado. ¿Qué distancia corre en total? 5) Cierta fábrica produce ladrillos con forma de hexágonos regulares. El lado de cada ladrillo mide 6 pulgadas y la apotema 5 pulgadas. a. ¿Cuál es el área de cada ladrillo? b. ¿Cuántos ladrillos se necesitan para cubrir un área de 4500 pulgadas cuadradas? 6) Una empresa fabrica sombrillas de playa. Para ello usa tela cortada en forma de polígono regular. Calcule la cantidad de tela que necesita para fabricar 36 sombrillas de 10 lados, cada lado mide 16 cm y la apotema 25 cm. 7) Una pequeña red está construida con cien hexágonos de 8 cm por lado y 10 cm de apotema. ¿Cuál es el área de la red? 8) Jorge se dedica a la elaboración de barriletes. Para mantener la forma de cada barrilete le coloca un hilo fuerte en su perímetro. Si debe entregar un pedido de 250 barriletes en forma de hexágono de 0.3 metros por lado, ¿cuántos metros de hilo debe comprar? 9) Un jardín tiene forma pentagonal de 2 metros por lado. A su alrededor se colocará una hilera de ladrillos, cada ladrillo mide 0.2 metros por lado. ¿Cuántos ladrillos se necesitan para rodearlo? 10) Un barrilete tiene forma de dodecágono, como muestra la figura. Está formado por cuadrados, triángulos equiláteros y un hexágono en el centro. El hexágono mide 90 cm de perímetro y 13 cm de apotema. a. ¿Cuánto papel se necesitó para elaborar los cuadrados? b. Si la altura de los triángulos es 13 cm, ¿cuánto papel se necesitó para elaborarlos? c. ¿Cuánto papel se necesitó para elaborar el hexágono? d. ¿Cuánto papel se necesitó para elaborar todo el barrillete?
Matemática − Semana 3
57
Desarrolle nuevas habilidades Mosaicos Los mosaicos son patrones repetitivos de polígonos regulares o irregulares que encajan uno con otro y cubren un plano sin superponerse y sin dejar espacios vacíos. Todas las culturas han utilizado mosaicos para recubrir suelos y paredes como forma de expresión artística: tapices, alfombras, bordados, etc. Observe los mosaicos.
Conviértase en un artista y elabore un mosaico. Necesita: una hoja tamaño carta en blanco, retazos de papeles de colores, lápiz, regla, tijeras y goma. Siguiendo como patrón la forma de los polígonos regulares que aprendimos en la semana, realice un mosaico en la hoja. Recorte tantos polígonos como necesite, en diferentes colores, y colóquelos en la hoja para formar un patrón repetitivo que la cubra totalmente.
Revise su aprendizaje Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
Después de estudiar...
Reconozco polígonos regulares en artesanías guatemaltecas. Identifico diferentes polígonos regulares. Reconozco las partes de un polígono regular. Deduzco el área de polígonos diferentes a partir de triángulos isósceles. Aplico la fórmula de perímetro y área a polígonos regulares. Practico las tablas de multiplicar del 1 al 10. Resuelvo problemas de perímetro y área en polígonos regulares.
58
IGER − Utatlán
en no logrado proceso logrado
4 El cubo ¿Qué encontrará esta semana? Fuego, aire, agua, tierra... sólidos platónicos Los cubos: área y volumen Agilidad de cálculo mental Problemas de área y volumen del cubo
Esta semana logrará: Identificar los sólidos platónicos. Identificar un cubo y sus partes. Calcular el área y el volumen de los cubos. Practicar las unidades cúbicas. Resolver problemas aplicando las fórmulas de área y volumen. Construir un cubo de papel. Desarrollar la agilidad de cálculo mental.
Matemática − Semana 4
59
¡Para comenzar! Fuego, aire, agua, tierra… sólidos platónicos
Hasta ahora hemos estudiado geometría plana, cuadrados, triángulos, rombos, romboides, polígonos regulares, etc, tienen dos dimensiones o medidas: longitud y altura. En geometría, los sólidos regulares son conocidos formalmente como poliedros (del griego polys que significa "muchas" y hedra que significa "cara"). Un poliedro es una región con tres dimensiones, largo, ancho y alto cerrado por polígonos regulares que ocupan un lugar en el espacio y en consecuencia tienen un volumen. El primero en hacer una descripción detallada de estos poliedros fue el filósofo griego Platón, de esta cuenta son conocidos como sólidos platónicos o sólidos de platón, quien asoció cada uno de los cuatro elementos: fuego, aire, agua y tierra a un poliedro, de la siguiente manera: fuego al tetraedro, aire al octaedro, agua al icosaedro y tierra al hexaedro o cubo. Finalmente asoció el último poliedro regular, el dodecaedro, al universo. ¡A trabajar! Observe detenidamente la ilustración de los poliedros.
tetraedro
60
hexaedro
octaedro
dodecaedro
icosaedro
Si quisiéramos meter un poliedro dentro de otro hasta quedarnos con uno solo, ¿cuál sería el orden en que deben colocarse? Analice las posibilidades y escriba el nombre de los poliedros en el orden que deben ir. Puede ser de adentro hacia afuera o viceversa.
IGER − Utatlán
El mundo de la matemática 1. El cubo
dados, cajas, bloques…
A nuestro alrededor hay muchos objetos con forma de cubo: dados, cajas, bloques… El cubo o hexaedro (hexa = seis, edron = caras) es un sólido limitado por seis cuadrados iguales. Un cubo tiene los siguientes elementos: • 6 caras: las superficies planas que forman el cubo, • 12 aristas: las líneas donde se encuentran dos caras, • 8 vértices: los puntos donde se unen las aristas.
cara
arista
vértice
Ejercicio 1 A. Dibuje un punto rojo en los vértices, repase con color azul las aristas y pinte con distintos colores las caras del cubo. Utilice su regla para trazar las aristas.
Matemática − Semana 4
61
1.1 Área del cubo
La superficie que ocupa
Si desdoblamos una caja en forma de cubo, podemos ver que está formada por seis cuadrados iguales que ocupan una superficie. Para calcular el área que cubre, se halla el área de un cuadrado y el resultado se multiplica por seis.
Sigamos el siguiente procedimiento: La fórmula del área de un cuadrado es: A =
2
• Como el cubo tiene seis cuadrados, entonces la fórmula para calcular el área del cubo es: A=6
2
La fórmula se lee: el área del cubo es igual a seis por el lado elevado al cuadrado. Ejemplo La fábrica “La luz” tiene un pedido de cajas de cartón en forma de cubo de 10 cm por lado. Necesitan calcular el área de cada caja para utilizar la cantidad exacta de cartón. • Copiamos la fórmula del área de un cubo
A=6
• Sustituimos el dato
A = 6 (10 cm)2
• Realizamos los cálculos
A = (6 x 10 x 10)(cm x cm)
A = (6 x 100) cm2
2
A = 600 cm2 • Escribimos la respuesta: para fabricar una caja se necesitan 600 cm2 de cartón.
62
IGER − Utatlán
¡Un ejemplo más! Antonio desea fabricar un contenedor de metal en forma cúbica de 2 m por lado. ¿Qué cantidad de metal necesita comprar Antonio para fabricar el contenedor? 2
• Copiamos la fórmula del área de un cubo
A=6
• Sustituimos el dato
A = 6 (2 m)2
• Realizamos los cálculos
A = (6 x 2 x 2)(m x m)
A = (6 x 4) m2 A = 24 m2 • Escribimos la respuesta: Antonio necesita comprar 24 m2 de metal para fabricar el contenedor.
Ejercicio 2 1) ¿Cuántos centímetros cuadrados de cartón se necesitan para construir un cubo de 5 cm por lado? 2
• Copiamos la fórmula del área de un cubo
A=6
• Sustituimos el dato
A=6(
• Realizamos los cálculos
A=(
x
x
A=(
x
) cm2
A=
cm2
)2 )(cm x cm)
• Respuesta: 2) Calculemos cuánto papel se necesita para forrar una caja de cartón de 30 cm por lado. • Copiamos la fórmula del área de un cubo A = • Sustituimos los datos A =
(
cm)2
• Realizamos los cálculos A = (
x
x
A=(
x
) cm2
)(cm x cm)
A= • Respuesta:
Matemática − Semana 4
63
1.2 Volumen del cubo
¿Cuánto espacio ocupa un cuerpo?
En la bodega de un almacén de electrodomésticos se reciben varias cajas parecidas en forma, pero no en tamaño. La caja que contiene un refrigerador ocupa más espacio que la caja que guarda una licuadora. Para saber si todas las cajas cabrán en la bodega, necesitamos averiguar el espacio que ocupan. La cantidad de espacio que ocupa un cuerpo se llama volumen. Para medir el volumen de un cubo regular se multiplican sus tres dimensiones, largo, alto y ancho.
Como las tres dimensiones de un cubo son de la misma longitud ( ), entonces la fórmula para calcular su volumen es: V=(
)( )( )
V=
3
La fórmula se lee: el volumen del cubo es igual a uno de los lados elevado al cubo. Ejemplo Sara es la encargada de la bodega de un almacén y quiere saber qué espacio ocuparán diez cajas de forma cúbica. Cada caja mide 0.5 m por lado. Ayudemos a Sara a calcular el volumen de cada caja. • Copiamos la fórmula del volumen de un cubo V =
3
• Sustituimos el dato
V = (0.5 m)3
• Realizamos los cálculos
V = (0.5 x 0.5 x 0.5) (m x m x m)
V = 0.125 m3 Hemos averiguado el volumen de una caja. Para saber el volumen de diez cajas, multiplicamos el volumen de una caja por 10. V = 0.125 m3 x 10 V = 1.25 m3 • Respondemos: diez cajas ocuparán 1.25 m3.
64
IGER − Utatlán
Otro ejemplo Un depósito para agua mide 4 m por lado y está lleno. ¿Qué cantidad de agua hay en el depósito? • Copiamos la fórmula del volumen de un cubo V =
3
• Sustituimos el dato
V = (4 m)3
• Realizamos los cálculos
V = (4 x 4 x 4)(m x m x m)
V = 64 m3 • Respondemos: en el depósito hay 64 m3 de agua. Un ejemplo más Una caja que mide 5 cm de lado, contiene dados. Calcule el volumen de la caja y la cantidad de dados que hay dentro, si cada dado mide 1 cm por lado. • Primero calculamos el volumen de la caja. • Copiamos la fórmula del volumen de un cubo
V=
• Sustituimos el dato
V = (5 cm)3
• Realizamos los cálculos
3
5 cm
V = (5 x 5 x 5)(cm x cm x cm)
V = 125 cm3 • Respondemos: el volumen de la caja es 125 cm3. Ahora calculamos el volumen de cada dado. • Copiamos la fórmula del volumen de un cubo V =
3
• Sustituimos el dato
V = (1 cm)3
• Realizamos los cálculos
V = (1 x 1 x 1)(cm x cm x cm)
V = 1 cm3 • Respondemos: el volumen de un dado es 1 cm3. Para saber cuántos dados hay dentro de la caja, dividimos el volumen de la caja entre el volumen de un dado. • Cantidad de dados =
125 cm3 1 cm3
• Cantidad de dados = 125 • Respondemos: en la caja hay 125 dados.
Recuerde: • Para dividir potencias de igual base, se copia la base y se restan los exponentes.
cm3 = cm3–3 = cm0 cm3
• Toda potencia 0 da como resultado 1. cm0 = 1
Matemática − Semana 4
65
Ejercicio 3 1) ¿Cuántos metros cúbicos de agua puede contener una pila, si sus dimensiones son 2 m por lado? • Copiamos la fórmula del volumen de un cubo V=
3
• Sustituimos el dato V = (
m)3
• Realizamos los cálculos V = (
x
V=
m3
• Respondemos: la pila puede contener
x
)(m x m x m)
de agua.
2) ¿Qué cantidad de tierra se debe extraer para construir una abonera que mida 3 m por lado? • Copiamos la fórmula del volumen de un cubo V =
3
• Sustituimos el dato
V=(
m)3
• Realizamos los cálculos
V=(
x
x
)(m x m x m)
V = • Respondemos: 3) Un depósito para agua de la comunidad mide 5 metros por lado. ¿Cuántos litros de agua se necesitan para llenarlo, si cada metro cúbico puede contener 1000 litros?
Primero calculamos la capacidad del depósito con la fórmula de volumen. • Copiamos la fórmula del área de un cubo • Sustituimos el dato • Realizamos los cálculos
V=
V = (5 m)3 V=(
V =
66
3
x
x
)(m x m x m)
m3
Ahora que sabemos la capacidad del depósito en metros cúbicos, aplicamos una regla de tres simple (como aprendimos en el grupo Quiriguá) para calcular la capacidad en litros.
IGER − Utatlán
La regla de tres es directa porque, a más metros cúbicos, más litros de agua.
• Planteamos la regla de tres
metros cúbicos 1 125
x=
• Operamos
litros de agua 1000 x
125 x 1000 = 1
• Escribimos la respuesta: se necesitan
litros de agua para llenar el depósito.
Resumen 1. El hexaedro o cubo es un sólido cerrado y formado por seis cuadrados iguales. Las partes que forman un cubo son: caras, aristas y vértices. cara
arista
vértice
1.1 El área de un cubo es la medida de su superficie, formada por seis cuadrados de igual longitud . Se calcula con la fórmula: A=6
2
1.2 El volumen de un cubo es la cantidad de espacio que ocupa. Se obtiene multiplicando largo, por alto y por ancho. Se calcula con la fórmula: V=
3
Matemática − Semana 4
67
Autocontrol Actividad 1.
Demuestre lo aprendido
Escriba en la línea del lado derecho la respuesta a la pregunta. Tiene un ejemplo. 0) ¿Cómo se llama la línea que se forma por la unión de dos caras en un poliedro?
arista
1) ¿Qué nombre reciben los puntos donde se unen las aristas? 2) ¿Cómo se llaman las superficies planas que forman el cubo? 3) ¿Cómo se llama el sólido geométrico limitado por seis caras iguales? 4) ¿Cuántas aristas tiene un cubo? 5) ¿Cuántos vértices tiene un cubo?
Actividad 2.
Practique lo aprendido
A. Encuentre el área y volumen de un cubo según las medidas que aparecen en las tablas. Tiene un ejemplo para cada caso. 2
A=6x 1m
A = 6 x ( 1 m)2 = (6 x 1 x 1) (m x m)
respuesta
A = 6 m2
4m 2 cm 3 cm 10 cm 5 mm V= 1m 2m 4m 3 cm 10 cm 5 mm
68
IGER − Utatlán
3
V = (1 m)3 = (1 x 1 x 1) (m x m x m)
respuesta
V = 1 m3
B. Calcule el área y volumen de los cubos, con las medidas indicadas. 2)
25 cm
1)
8 cm
3)
4)
1
m
2.5 m
Matemática − Semana 4
69
Agilidad de cálculo mental A. Escriba en la línea el resultado de la multiplicación. 1) 5 x 6 =
9) 8 x 3 =
2) 3 x 4 =
10) 2 x 4 =
3) 8 x 7 =
11) 9 x 3 =
4) 2 x 2 =
12) 6 x 6 =
5) 6 x 4 =
13) 8 x 4 =
6) 2 x 9 =
14) 4 x 9 =
7) 7 x 1 =
15) 1 x 6 =
8) 5 x 7=
16) 7 x 3 =
B. Resuelva las siguientes multiplicaciones. 1) 2 x
9) = 6
x 7 = 49
2) 8 x
= 72
10)
x 3 = 15
3) 7 x
= 42
11)
x 1 = 10
4) 3 x
12) = 9
x 6 = 36
5) 1 x
= 35
13)
x 9 = 81
6) 7 x
= 63
14)
x 6 = 12
7) 6 x
= 54
15)
x 8 = 40
8) 5 x
= 30
16)
x 10 = 100
C. También puede adquirir velocidad de cálculo con potencias, no utilice calculadora y trate de resolverlas en el menor tiempo posible. Recuerde que toda potencia 0 es igual a la unidad. Tiene un ejemplo.
70
1) 50 =
1 7) 72 =
13) 52 =
2) 32 =
8) 82 =
14) 40 =
3) 12 =
9) 43 =
15) 102 =
4) 02 =
10) 23 =
16) 42 =
5) 33 =
11) 90 =
17) 22 =
6) 13 =
12) 62 =
18) 103 =
IGER − Utatlán
Razonamiento lógico A. Observe cada figura y determine la respuesta mentalmente. 2) ¿Cuántos cubos pequeños de 8 cm3 de volumen caben en un cubo de 10 cm de lado?
2 cm
10 cm
1) ¿Cuántos cubos pequeños forman el cubo grande?
Respuesta:
Respuesta:
B. Resuelva los problemas en su cuaderno. 1) La empresa “Empaque feliz” fabrica cajas de cartón de 20 cm por lado. ¿Qué cantidad de cartón emplean para construir cada caja? 2) Un litro de pintura alcanza para pintar 10 m2. Amílcar quiere pintar un cubo de 0.5 m por lado. ¿Le alcanzará un litro de pintura? 3) De una cartulina de 0.65 m de largo y 0.40 m de ancho se quiere construir un cubo de 0.2 m de arista. ¿Cuánto mide la cartulina que sobra? 4) Las aristas de un cubo miden 10 cm. ¿Cuál es el volumen? 5) Se construye un depósito de agua en forma de cubo de 2.5 m por lado. Calcule la cantidad de agua que puede contener. 6) Se desea construir un estanque de 3 m por lado ¿Qué cantidad de tierra, en metros cúbicos, se debe extraer para fabricar el estanque? 7) Una empresa empaqueta recipientes plásticos de forma cúbica en cajas de 50 cm por lado, si cada recipiente mide 10 cm por lado, ¿cuántos recipientes caben en una caja? 8) ¿Cuántos metros cúbicos de aire caben en una habitación de 4 metros por lado? 9) ¿Qué cantidad de cartón se necesitará para fabricar 20 cajas de 10 cm por lado y qué volumen ocupa cada una? 10) Un litro de agua es equivalente a 1000 cm3.¿Con cuántos litros de agua se llena una pecera de 30 cm por lado? 11) Alejandro quiere construir un cubo de madera para depositar el frijol de su tienda. El cubo debe medir 0.9 m por lado. ¿Qué cantidad de madera necesita Alejandro para construir el cubo y qué cantidad de frijol puede depositar? Matemática − Semana 4
71
Desarrolle nuevas habilidades ¿Cómo construir un cubo? 1) Tenga a mano cartulina o papel grueso, regla, tijeras, pegamento y lápiz. 2) Observe con atención el dibujo.
3) Trace cuatro cuadrados iguales, uno seguido del otro (los formados por las líneas gruesas). 4) Luego dibuje dos cuadrados más a cada lado de uno de los que hizo anteriormente. 5) Trace pequeños espacios adicionales a los cuadrados (líneas delgadas), estos servirán para pegar el cuerpo geométrico. 6) Recorte la figura. 7) Doble las aristas de los cuadrados, las pestañas y forme el cubo. 8) Aplique pegamento en los espacios adicionales y únalos con los cuadrados.
Revise su aprendizaje Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
Después de estudiar...
Identifico los sólidos platónicos. Identifico un cubo y sus partes. Calculo el área y el volumen de los cubos. Practico las unidades cúbicas. Resuelvo problemas aplicando las fórmulas de área y volumen. Construyo un cubo de papel. Desarrollo la agilidad de cálculo mental.
72
IGER − Utatlán
en no logrado proceso logrado
5 El cilindro ¿Qué encontrará esta semana? Un árbol en un cilindro de papel Los cilindros: área y volumen Agilidad de cálculo mental Problemas de área y volumen del cilindro
Esta semana logrará: Identificar un cilindro y sus partes. Calcular el área y el volumen de los cilindros. Practicar el cálculo mental. Resolver problemas aplicando las fórmulas de área y volumen del cilindro. Construir un cilindro de papel.
Matemática − Semana 5
73
¡Para comenzar! Un árbol en un cilindro de papel
El artista Yuken Teruya nació en Okinawa, Japón, en 1973. Se especializa en tallar y construir con bolsas de papel, cajas, periódicos o cilindros de papel higiénico, formas y figuras que invitan a los espectadores a reflexionar sobre asuntos de la vida cotidiana. El consumismo, el agotamiento de recursos naturales y la pérdida de valores son temas recurrentes en su obra. Su trabajo se encuentra en museos de todo el mundo como el Centro de Arte Contemporáneo, el Museo Guggenheim, ambos en Nueva York, Estados Unidos, y en el Museo Nacional de Arte Moderno de Tokio. La escultura que vemos en la ilustración fue elaborada en un cilindro de papel higiénico y de él se desprende un árbol. Con esta imagen, Teruya busca crear conciencia sobre la tala inmoderada de bosques para la fabricación de papel. Tomado y adaptado de: www.yukenteruyastudio.com
¡A trabajar! Ahora construya un portalápices con el cilindro del papel higiénico, elabórelo con mucha creatividad, llévelo al círculo de estudio y realice un intercambio para celebrar el día del cariño.
74
Los materiales a utilizar son:
•
cilindro de papel higiénico
•
papel de regalo, periódico o de china
•
cartón para la base
•
lápiz, tijeras y pegamento
IGER − Utatlán
El mundo de la matemática 1. Los cilindros
cuerpos redondos
En nuestra vida cotidiana observamos objetos que tienen forma cilíndrica, por ejemplo: los toneles para líquidos y gases, tambores, frascos, tuberías, etc. Un cilindro se define como un cuerpo geométrico formado por un rectángulo que gira alrededor de un eje. Este rectángulo forma una superficie lateral curva y dos círculos iguales que forman las bases. En un cilindro podemos distinguir estos elementos: • Eje de giro es una línea imaginaria vertical fija sobre la cual gira la generatriz. • Generatriz (g) es la línea paralela al eje, que gira para formar el cilindro.
eje de giro b
• Bases (b) son los círculos perpendiculares al eje. • Altura (h) es la distancia entre las bases, tiene la misma medida que la generatriz.
g
• Radio (r) es la distancia entre el eje de giro y la generatriz.
h
r
b
Ejercicio 1 Identifique cada elemento señalado en el cilindro y escriba su nombre sobre la línea. Tiene un ejemplo.
5)
0)
4)
base (b)
1)
3)
2)
Matemática − Semana 5
75
1.1 Área total de un cilindro Para conocer el área de un cilindro necesitamos descomponerlo en sus partes. Si extendemos el cilindro sobre un plano, obtenemos un rectángulo y dos círculos, tal como vemos en la figura. El cálculo del área nos permite conocer la cantidad de material necesario para elaborar tubos, latas, etc.
r
Al
h Ab
2 r r
El cilindro tiene dos áreas: el área lateral y el área correspondiente a las dos bases. El área lateral (Al) es el área del rectángulo que forma el cilindro y la obtenemos con la fórmula que ya conocemos del área para un rectángulo. A=bxh
Recuerde: El perímetro de un círculo es P = 2 r El área es A = r2
Si observamos la figura, la base del rectángulo es igual al perímetro del círculo (P = 2 r) y la altura (h) corresponde a la altura del cilindro. Por lo tanto, el área lateral del cilindro es: A l = 2 rh
= 3.14
r = radio del círculo de la base
h = altura del cilindro.
El área de las bases (Ab) es el área de los círculos que cierran el cilindro. El área de un círculo es (A = r2), entonces para los dos círculos será: Ab = 2( r2) El área total es el resultado de sumar el área lateral y el área de las bases. At = Al + Ab A t = 2 rh + 2( r2) La fórmula se lee: el área total del cilindro es igual a dos por pi, por el radio y por la altura, más dos por pi por el radio al cuadrado.
76
IGER − Utatlán
Ejemplo Un tambor como el que vemos en la ilustración está construido de madera y cuero. Calculemos la cantidad de madera y cuero que se necesita para construir un tambor de 60 cm de alto y 20 cm de radio. La madera corresponde al cuerpo del tambor y si la extendiéramos observaríamos un rectángulo. Para calcular la cantidad de madera tomamos la información de altura y radio que nos proporciona el problema y trasladamos los datos a una tabla. altura (h) 60 cm
radio (r) 20 cm
Ahora ya podemos averiguar la cantidad de madera utilizando la fórmula de área lateral. • Copiamos la fórmula
A l = 2 rh
• Sustituimos los datos
A = 2 (3.14) (20 cm) (60 cm)
• Operamos
A = (2 x 3.14 x 20 x 60) (cm x cm)
A l = 7536 cm2
• Respondemos: la cantidad de madera que se necesita para construir un tambor es 7536 cm2. Nos falta por determinar la cantidad de cuero para las bases, por medio del área de las bases. • Copiamos la fórmula
Ab = 2 ( r2)
• Sustituimos los datos
A = 2 (3.14) (20 cm)2
• Operamos
A = (2 x 3.14 x 20 x 20) (cm x cm)
Ab = 2512 cm2 • Respondemos: se necesitan 2512 cm2 de cuero para construir el tambor. Si deseamos saber el área completa del tambor, sin importar con qué materiales se hizo, debemos sumar el área lateral más el área de las bases, o lo que es lo mismo, debemos aplicar la fórmula de área total. At = Al + Ab A = 7536 cm2 + 2512 cm2
A = 10 048 cm2
• El área total del tambor es 10 048 cm2. Matemática − Semana 5
77
Otro ejemplo Clara quiere construir una granero cilíndrico de hojalata para guardar maíz. La base del cilindro debe tener 1 metro de radio y 2 metros de alto. ¿Qué cantidad de hojalata necesita comprar Clara para construir el granero? • Escribimos los datos del problema en la tabla
altura (h) 2m
radio (r) 1m
• Copiamos la fórmula del área total del cilindro At = 2 rh + 2( r2) • Sustituimos los datos A = 2 (3.14) (1 m) (2 m) + 2 (3.14) (1 m)2 • Operamos A = (2 x 3.14 x 1 x 2) (m x m) + (2 x 3.14 x 1 x 1) (m x m) A = 12.56 m2 + 6.28 m2 A = 18.84 m2 • Respondemos: Clara necesita comprar 18.84 m2 de hojalata para construir el granero.
Ejercicio 2 1) Calcule la cantidad de plástico que se necesita para elaborar un vaso cilíndrico de 12 cm de altura y 4 cm de radio. (Atención para este problema solo debemos tomar en cuenta una base, por lo tanto la fórmula será A = 2 rh + r2 ). • Escribimos los datos del problema en la tabla • Copiamos la fórmula
altura (h)
radio (r)
A = 2 rh + r2
• Sustituimos los datos • Operamos • Respuesta: 2) Calcule la cantidad de hojalata que se necesita para elaborar un tonel cuya altura es 1.5 m y el radio 0.5 m. • Escribimos los datos del problema en la tabla • Copiamos la fórmula • Sustituimos los datos • Operamos • Respuesta:
78
IGER − Utatlán
altura (h)
radio (r)
1.2 Volumen del cilindro
medida del espacio que ocupa
El volumen de un cilindro nos es de utilidad cuando necesitamos saber el espacio que ocupa o la cantidad de líquido, sólido o gas que puede contener. Para calcular el volumen se multiplica el área de la base por la altura. El área de la base es A = r2 y la altura la representamos con h. Entonces el volumen de un cilindro será:
b
h
V = r2h La fórmula se lee: el volumen del cilindro es igual a pi por el radio elevado al cuadrado y por la altura. Ejemplo ¿Cuántos litros de jugo caben en una lata cilíndrica de 3 cm de radio y 12 cm de alto? (Tome en cuenta que 1 litro equivale a 1000 cm3). Para averiguarlo, debemos utilizar la fórmula del volumen. • Escribimos los datos del problema en la tabla
altura (h) radio (r) 12 cm 3 cm
• Copiamos la fórmula
V = r2h
• Sustituimos los datos
V = (3.14) (3 cm)2 (12 cm)
• Operamos
V = (3.14) (3 cm) (3 cm) (12 cm)
V = (3.14 x 3 x 3 x 12) (cm x cm x cm)
V = 339.12 cm3 • Respondemos: el volumen de jugo que cabe en el recipiente es 339.12 cm3. ¡Atención!, aún no hemos terminado. Hemos obtenido el resultado en cm3, pero el problema nos pide expresarlo en litros. Planteamos la regla de tres, sabiendo que 1000 cm3 = 1 l.
1000 cm3
1 litro
339.12 cm3
x litros
x=
x = 0.33912 litros
339.12 cm3 x 1 litro 1000 cm3
• Respondemos: en la lata caben 0.34 litros de jugo.
Siempre debemos presentar el resultado con dos decimales, a menos que el problema indique lo contrario. Cuando el tercer decimal es mayor que 5 se aproxima a la cifra superior. 0.33912 l = 0.34 l
Matemática − Semana 5
79
Otro ejemplo ¿Qué cantidad de gasolina cabe en un cilindro de 6 metros de alto y 2 metros de radio? • Escribimos los datos del problema en la tabla altura (h) radio (r) 6m 2m • Copiamos la fórmula del volumen de un cilindro
V = r2h
• Sustituimos los datos
V = (3.14) (2 m)2 (6 m)
• Operamos
V = (3.14) (2 m)(2 m) (6 m)
V = (3.14 x 2 x 2 x 6) (m x m x m)
V = 75.36 m3 • Respondemos: en el tanque caben 75.36 m3 de gasolina.
Ejercicio 3 1) Calcule la cantidad de agua que cabe en un tonel de 1 metro de alto y 0.5 metro de radio. • Escribimos los datos del problema en la tabla
altura (h)
• Copiamos la fórmula
V = r2h
• Sustituimos los datos
V = (3.14) (
m)2 (
• Operamos
V = (3.14) (
m) (
V = (3.14 x V =
x
radio (r)
m) m) (
x
m)
) (m x m x m)
m3
• Respondemos: 2) En algunas construcciones, columnas cilíndricas sostienen el techo de los edificios o puentes. Calcule el volumen de una columna de 4 metros de alto y 0.5 metro de radio. • Escribimos los datos del problema en la tabla • Copiamos la fórmula
V = r2h
• Sustituimos los datos
V = (3.14)(
• Operamos • Respondemos:
80
IGER − Utatlán
m)2 (
altura (h)
m)
radio (r)
3) Una lata para jugo mide 12.5 cm de alto y 3.25 cm de radio. ¿Qué cantidad de material utilizaron para su fabricación y cuánto jugo le cabe? Para calcular la cantidad de material aplicamos la fórmula de área total. altura (h)
• Copiamos la fórmula
radio (r)
A=
• Sustituimos los datos • Operamos • Respondemos: Para averiguar la cantidad de jugo utilizamos la fórmula de volumen. • Copiamos la fórmula del volumen
V=
• Sustituimos los datos • Operamos • Respondemos:
Resumen 1. En un cilindro podemos encontrar estos elementos: r
• altura del cilindro (h) • radio de la base (r) • área lateral (Al)
Al
h Ab
2 r
• área de las bases (Ab) r
At = Al + Ab Fórmula del área total: A t = 2 rh + 2( r2)
Fórmula del volumen:
V = r2h
Matemática − Semana 5
81
Autocontrol Actividad 1.
Demuestre lo aprendido
Rellene el círculo que corresponde a la respuesta correcta. Tiene un ejemplo. 0) Cuerpo geométrico formado por un rectángulo que gira alrededor de un eje formando una superficie lateral curva.
cuadrado cilindro poliedro
1) Línea paralela al eje que gira para formar el cilindro.
eje altura generatriz
2) Distancia que hay entre las bases del cilindro y de igual tamaño que la generatriz.
radio generatriz altura
3) Línea imaginaria vertical fija alrededor de la cual gira la generatriz.
apotema eje de giro radio
4) Círculos perpendiculares al eje.
área lateral volumen bases
Actividad 2.
Practique lo aprendido
A. Calcule el área de los cilindros con los datos de la tabla. Tiene un ejemplo.
82
r
h
2m
3m
1 cm
2 cm
2m
1m
3m
2m
1.5 m
2m
2.5 cm
3.5 cm
IGER − Utatlán
A = 2 rh + 2( r2) A = 2 (3.14) (2 m) (3 m) + 2(3.14) (2 m)2 A = 37.68 m2 + 25.12 m2
respuesta
A = 62.8 m2
B. Calcule el volumen de los cilindros con los datos de la tabla. Tiene un ejemplo. r
h
2m
3m
2m
2m
1 cm
3 cm
3 cm
2 cm
1 cm
2.5 cm
1.5 m
2.5 m
V = r2h
respuesta
V = (3.14) (2 m)2 (3 m) = (3.14) (2 m) (2 m) (3 m) V = (3.14 x 2 x 2 x 3) (m x m x m)
V = 37.68 m3
C. Calcule en su cuaderno el área y volumen de los cilindros. 2)
2m
25 cm
1)
10 cm
0.5 m
20 pies
4)
10 pies
3)
5 pies
10 pies
Matemática − Semana 5
83
Agilidad de cálculo mental A. Escriba en la línea el resultado de la multiplicación. 1) 4 x 9 =
8)
9x8=
15)
6x5 =
2) 2 x 4 =
9)
3x4=
16)
9x9 =
3) 3 x 6 =
10) 2 x 9 =
17)
6x1 =
4) 5 x 9 =
11) 5 x 5 =
18)
1 x 10 =
5) 1 x 1 =
12) 3 x 7 =
19)
5x4 =
6) 0 x 9 =
13) 1 x 4 =
20)
3x2 =
7) 5 x 2 =
14) 9 x 7 =
21)
6x4 =
B. Escriba el factor que completa la multiplicación. 1) 8 x
= 40
11) 3 x
= 9
21)
x 3 = 27
2) 9 x
= 54
12) 5 x
= 0
22)
x 4 = 20
3) 6 x
= 30
13) 7 x
= 35
23)
x 9 = 81
4) 7 x
= 49
14) 9 x
= 63
24)
x 5 = 10
5) 5 x
= 15
15) 5 x
= 45
25)
x 8 = 24
6) 10 x
= 10
16) 6 x
= 54
26)
x 2 = 20
7) 8 x
= 48
17) 3 x
= 3
27)
x 7 = 14
8) 2 x
= 6 18) 4 x
= 16
28)
x1=6
9) 8 x
= 72
19) 9 x
= 45
29)
x 6 = 36
10) 7 x
= 42
20) 1 x
= 0
30)
x 10 = 100
C. Mejore su capacidad de cálculo resolviendo las potencias.
84
1) 92 =
6) 90 =
11) 23 =
2) 20 =
7) 03 =
12) 52 =
3) 32 =
8) 72 =
13) 02 =
4) 62 =
9) 13 =
14) 22 =
5) 43 =
10) 102 =
15) 12 =
IGER − Utatlán
Razonamiento lógico Aplique lo aprendido y resuelva los problemas en su cuaderno. 1) Una pajilla mide 200 mm de largo, 3 mm de radio. ¿Cuál es el área lateral de la pajilla? 2) Calcule el área lateral de un tubo galvanizado de 1.5 m de alto y 0.1 m de radio. 3) Calcule la cantidad de hojalata que se necesita para fabricar 10 botes de forma cilíndrica de 5 cm de radio y 15 cm de altura. 4) Si se utilizan planchas de aluminio de 100 cm de ancho por 50 cm de alto para fabricar latas con las medidas: 10 cm de radio y 25 cm de altura, ¿cuántas latas se pueden fabricar con una plancha de aluminio? 5) Mariela y Andrés llevan cubetas cilíndricas llenas de agua para regar el jardín. La cubeta de Mariela mide 1.5 pies de altura y 0.5 pies el radio de la base. La cubeta de Andrés mide 1 pie de altura y 1 pie el radio de la base, ¿quién de los dos acarrea más agua? 6) Un camión cisterna transporta agua para distribuirla entre las personas de la comunidad, quienes la reciben en toneles. La cisterna tiene forma cilíndrica y mide 3 metros de largo y 1 metro de radio en la base. Si cada tonel se llena con 0.25 m3 de agua ¿cuántos toneles de agua se pueden llenar con el contenido de una cisterna? 7) Un pichel y un vaso tienen forma cilíndrica. El pichel mide 25 cm de alto y 8 cm de radio, el vaso mide 12 cm alto y 3 cm de radio, ¿cuántos vasos de agua puede contener el pichel? 8) La columna principal que sostiene un puente está construida de concreto y tiene forma cilíndrica. Si la altura de la columna mide 8 metros y el diámetro de la base mide 2 metros, ¿cuántos metros cúbicos de concreto utilizaron para construirla? 9) Una cooperativa compra bloques de parafina de 30 cm por lado para elaborar velas aromáticas. Si cada vela tiene forma cilíndrica con medidas: 9 cm el diámetro de la base y 12 cm de alto, ¿cuántas velas se pueden fabricar con un bloque de parafina? 10) Calcule la cantidad de agua que cabe en un vaso cilíndrico que mide son: 10 cm de altura y 6 cm de diámetro. Exprese el resultado en litros. (1litro = 1000 cm3) 11) ¿Cuántos metros cúbicos de tierra es necesario extraer para abrir un pozo de 2 m de diámetro y 8 m profundidad?
Matemática − Semana 5
85
Desarrolle nuevas habilidades ¿Cómo construir un cilindro? Reúna los siguientes materiales que le servirán para fabricar un cilindro: lápiz, regla, compás, cartulina, tijeras y pegamento. Observe el dibujo de abajo y trace en su cartulina, uno similar con las medidas indicadas, recorte, doble y aplique pegamento en las pestañas.
3 cm
pestañas
12 cm
19 cm
3 cm
Revise su aprendizaje
Después de estudiar...
Marque con un cheque
86
la casilla que mejor indique su rendimiento.
Identifico un cilindro y sus partes. Calculo el área y el volumen de los cilindros. Practico el cálculo mental. Resuelvo problemas aplicando las fórmulas de área y volumen del cilindro. Construyo un cilindro de papel. IGER − Utatlán
en no logrado proceso logrado
6 La pirámide ¿Qué encontrará esta semana? Construcciones curiosas La pirámide: área y volumen Agilidad de cálculo mental Completar series numéricas y problemas de área y volumen de la pirámide.
Esta semana logrará: Identificar una pirámide y sus partes. Clasificar pirámides por su base. Calcular el área y el volumen de las pirámides. Practicar el cálculo mental. Resolver problemas aplicando las fórmulas de área y volumen.
Matemática − Semana 6
87
¡Para comenzar! Construcciones curiosas Alrededor del mundo y en distintas épocas, se han construido edificios en forma de pirámide. Vámonos de viaje y conozcámoslas:
La pirámide de El Gran Jaguar está ubicada en la plaza central de Tikal, Petén. Fue construida por los mayas en honor a Garra de Jaguar, gobernante que rescató el poder de la ciudad, luego de ser invadida. El Gran Jaguar: templo I de Tikal, Petén http://worldraider.wordpress.com
Las pirámides clásicas de Egipto fueron construidas en el año 2500 a. C. Sus caras son lisas. Las más célebres son las pirámides de Keops, Kefren y Micerino, construidas en la meseta de Guiza, cerca de El Cairo. pirámide Kefren, Egipto http://egipto.travelguia.net
La Pirámide del Museo del Louvre está situada en el patio del Museo del Louvre, en París, Francia y sirve como entrada al edificio. Tiene una altura de 21.6 m y un total de 673 paneles de vidrio laminado transparente.
pirámide del Museo de Louvre, París www.giratodorecto.com
El edificio Noah, en Estados Unidos, está diseñado como una pequeña ciudad flotante resistente a inundaciones y huracanes. Tiene forma de pirámide y con espacio para 40,000 personas. edificio Noah, Estado Unidos www.informa2web.com
¡A trabajar! Responda en su cuaderno. ¿Qué objetos o construcciones conoce en forma de pirámide?
88
IGER − Utatlán
El mundo de la matemática 1. La pirámide Una pirámide se define como un cuerpo geométrico formado por un polígono llamado base y caras que son triángulos isósceles unidos en un punto llamado vértice.
v h
En una pirámide podemos distinguir estos elementos: • Base (b): polígono donde descansa la pirámide.
hc Cl b
a
• Caras laterales (Cl): triángulos que se unen en el vértice de la pirámide. El número de caras laterales es igual al número de lados de la base. • Vértice de la pirámide (v): es el punto superior donde se unen las caras laterales. • Altura de la pirámide (h): distancia del vértice de la pirámide al centro de la base. • Altura de la cara (hc): distancia del centro de un lado de la base hasta el vértice de la pirámide. • Apotema (a): distancia del centro de la base hasta el centro de uno de sus lados. Esta semana estudiaremos las pirámides regulares, es decir aquellas que tienen un polígono regular como base (todos sus lados iguales) y las caras son triángulos isósceles (dos lados iguales y uno desigual).
Ejercicio 1 Realice las actividades. 1) Dibuje con su lápiz un punto grueso en el vértice de la pirámide. 2) Pinte de color azul la altura de la cara. 3) Pinte de color rojo la altura de la pirámide. 4) Pinte de color negro la apotema de la base. 5) Pinte de color verde las caras.
Matemática − Semana 6
89
1.1 Clasificación de las pirámides regulares Las pirámides regulares se clasifican según la forma de la base. Veamos algunos ejemplos. pirámide
base
Pirámide triangular: 3 caras y la base formada por un triángulo.
Pirámide cuadrangular: 4 caras y la base formada por un cuadrado.
Pirámide pentagonal: 5 caras y la base formada por un pentágono.
Pirámide hexagonal: 6 caras y la base formada por un hexágono.
Ejercicio 2 Escriba el nombre de la pirámide según el polígono de la base. Tiene un ejemplo.
0)
pirámide
1)
2)
3)
cuadrangular
90
IGER − Utatlán
2. Área de una pirámide regular Al igual que el cubo y el cilindro, una pirámide se puede descomponer extendiéndola sobre un plano, como se muestra en la figura.
h
a
Su área es la cantidad de superficie que ocupa. Está formada por la base y las caras laterales. Para calcularla, debemos hacerlo en dos pasos, primero hallamos el área de la base (Ab) y después el área lateral (Al). Área de la base (Ab), siempre que la base sea un polígono regular, se utiliza la fórmula: Ab =
nx
2
xa
Área lateral (Al), se compone de las caras de la pirámide. Para hallarla, primero calculamos el área de una cara (Ac), como es un triángulo, entonces utilizamos la fórmula: Ac =
h
base (b)
bxh 2
Luego el resultado del área de una cara se multiplicará por el número de caras (n) que tiene la pirámide. Entonces la fórmula del área lateral es: Al = n • Ac Área total de la pirámide, es la suma del área de la base y del área lateral. At = Ab + Al Para simplificar el procedimiento del cálculo es mejor escribir n • Ac, entonces la fórmula de área total de la pirámide que utilizaremos es: At = Ab + (n • Ac ) La fórmula se lee: área de una pirámide es igual al área de la base más el área de una cara lateral multiplicada por el número de caras. Matemática − Semana 6
91
Ejemplo Una cooperativa fabrica velas con forma de pirámide cuadrangular y quiere empacarlas. Si la cara de la pirámide tiene una altura de 6 cm y el lado de la base mide 5 cm, ¿cuánto papel se necesita para empacar cada vela? Analicemos el problema respondiendo las preguntas: • ¿Qué nos pide el problema?
Calcular cuánto papel se utiliza para envolver cada vela. Para obtener el resultado, es necesario saber cuál es el área total.
• ¿Que datos tenemos?
pirámide
n
cuadrangular
4
hc
5 cm
6 cm
Con los datos anteriores calculamos el área total. Área de la base: • Como la base es un cuadrado, la fórmula es
Ab =
• Sustituimos el dato
Ab = (5 cm)2
• Operamos
Ab = (5 x 5)(cm x cm)
• Escribimos la respuesta
Ab = 25 cm2
2
Área lateral: bxh • Para hallar el área lateral, primero Ac = 2 calculamos el área de una cara (5 cm)(6 cm) 2 (5 x 6)(cm x cm) • Operamos Ac = 2 2 30 cm Ac = 2 • Sustituimos los datos Ac =
• Escribimos la respuesta
Ac = 15 cm2
Área total: • Copiamos la fórmula At = Ab + (n • Ac) • Sustituimos los datos At = 25 cm2 + (4 • 15 cm2) • Operamos At = 25 cm2 + 60 cm2 At = 85 cm2
• Escribimos la respuesta: para empacar cada vela se necesitan 85 cm2 de papel.
92
IGER − Utatlán
Ejercicio 3 Resuelva los problemas. 1) Se desea elaborar una pirámide de base octagonal con las medidas siguientes: el lado 3 m, la apotema 5 m y la altura de las caras 4 m, ¿qué cantidad de cartón se necesita?
Analizamos el problema con las preguntas: •
¿Qué nos pide el problema?
La cantidad de cartón necesario para construir una pirámide octagonal.
•
¿Qué datos tenemos?
pirámide
n
octagonal
3m
a
hc
5m
4m
Área de la base: • Copiamos la fórmula del área nx del octágono Ab = •
Sustituimos los datos y operamos
Ab =
(
Ab = •
Escribimos la respuesta
2
xa
)(
2
m)( 2
m)
m2
Ab =
m2
Área lateral: •
Primero calculamos el área de una cara
Ac =
•
Sustituimos los datos y operamos
Ac =
•
Escribimos la respuesta
Ac =
bxh 2 (
m)( 2
m)
m2
Área total: •
Copiamos la fórmula
At = Ab + (n • Ac )
•
Sustituimos los datos
At =
•
Realizamos los cálculos At =
At = •
Escribimos la respuesta: se necesitan
m2 + (
•
m2 +
m2
m2 )
m2
m2 de cartón.
Matemática − Semana 6
93
2) Se necesita pintar la carpa de un circo que tiene forma de pirámide dodecagonal, la base mide 5 metros por lado, la altura de una cara es 20 metros. Si un galón de pintura cubre 50 m2, ¿cuántos galones de pintura se deben comprar?
Analizamos el problema con las preguntas: •
¿Qué nos pide el problema?
Calcular la cantidad de pintura necesaria para pintar la carpa de un circo. Para resolverlo, solo necesitamos saber cuál es el área lateral.
•
¿Qué datos tenemos?
pirámide
n
hc
dodecagonal
Área de una cara: •
Escribimos la fórmula
Ac =
•
Sustituimos los datos en la fórmula
Ac =
•
Operamos
Ac =
Ac = •
bxh 2 (
m)( 2
(
x
2
Escribimos la respuesta Ac =
m) )( 2
x
)
m2 m2
Área lateral:
94
•
Copiamos la fórmula
Al = n • Ac
•
Sustituimos los datos
Al =
•
Operamos y obtenemos la respuesta
Al =
m2
• m2
Para calcular la cantidad de pintura, utilizamos una regla de tres simple.
área
galones de pintura
50 m2
1
600 m2
x
•
Operamos
•
Escribimos la respuesta: se deben comprar
IGER − Utatlán
x=
600 x 1 600 = = 50 50
galones de pintura.
3. Volumen de la pirámide
espacio que ocupa
El volumen de una pirámide es la cantidad de espacio que ocupa. La fórmula para calcularlo es: V=
Ab x h 3
h
La fórmula se lee: volumen de una pirámide es igual al área base por la altura de la pirámide, dividido tres.
b
Ab = área de la base (polígono regular)
h = altura de la pirámide.
Para aplicar la fórmula debemos calcular primero el área de la base. Atención: la altura de la pirámide es diferente a la altura de las caras. Ejemplo En la cooperativa donde fabrican velas tienen un pedido de velas con forma de pirámide cuadrangular. Si la base mide 10 cm por lado y la altura es de 12 cm, ¿qué cantidad de parafina se necesita para fabricar una vela? Analizamos el problema con las preguntas: • ¿Qué nos pide el problema?
Determinar la cantidad de parafina para elaborar una vela. Para esto, necesitamos saber cuál es el volumen.
• ¿Qué datos tenemos? pirámide
cuadrangular
h
10 cm
12 cm
Primero calculamos el área de la base: • Copiamos la fórmula del área del cuadrado
Ab =
• Sustituimos los datos en la fórmula
Ab = (10 cm)2
• Operamos
Ab = (10 x 10)(cm x cm)
• Escribimos la respuesta
Ab = 100 cm2
2
Matemática − Semana 6
95
Ahora sí calculamos el volumen: • Copiamos la fórmula:
V=
Ab x h 3
• Sustituimos los datos:
V=
(100 cm2)(12 cm) 3
• Realizamos los cálculos:
V=
(100 x 12)(cm2 x cm) 3
V =
1200 cm3 3
V = 400 cm3 Escribimos la respuesta: se necesitan 400 cm3 de parafina para fabricar una vela.
Ejercicio 4 Calcule el volumen de una pirámide cuadrangular de 5 cm por lado y 6 cm de altura. Anotamos los datos en la tabla: pirámide
h
cuadrangular Área de la base: 2
• Copiamos la fórmula
Ab =
• Sustituimos los datos
Ab = (
• Operamos
Ab = (
• Escribimos la respuesta
Ab =
)2 x
)(cm x cm)
cm2
Calculamos el volumen: • Copiamos la fórmula
V=
• Sustituimos los datos
V=
• Operamos
V=
V = V =
Ab x h 3 ( (
3 x
IGER − Utatlán
)
3
)(
x
cm3 3 cm3
• Escribimos la respuesta: el volumen de la pirámide es
96
)(
cm3.
)
Resumen 1. Una pirámide es un cuerpo geométrico formado por un polígono regular llamado base y caras que son triángulos isósceles unidos en un punto llamado vértice.
En una pirámide podemos distinguir estos elementos: v
• vértice de la pirámide (v) • altura de la pirámide (h)
h
hc
• altura de la cara (hc) • caras laterales (Cl)
Cl
• base (b)
b
a
• apotema (a) 2. El área total de una pirámide es la suma del área de la base más el área lateral: At = Ab + Al
Área de la base, siempre que la base sea un polígono regular, el área se calcula con la fórmula:
nx Ab =
2
xa
El área lateral se compone de las caras de la pirámide. Para determinarla, se calcula primero el área de una cara; como es un triángulo, entonces se utiliza la fórmula: bxh Ac = 2
Luego, el resultado se multiplica por el número de caras (n) que tiene la pirámide. Entonces la fórmula del área lateral es:
Al = n • Ac
Para simplificar el procedimiento en la fórmula de área total, sustituimos Al por n • Ac y obtenemos:
At = Ab + Al
At = Ab + (n • Ac )
3. El volumen de una pirámide es la cantidad de espacio que ocupa. La fórmula para calcularlo es:
V=
Ab x h 3 Matemática − Semana 6
97
Autocontrol Actividad 1.
Demuestre lo aprendido
Rellene el círculo que corresponde a la respuesta correcta. 1) ¿Cómo se llama la distancia que hay del centro de un lado de la base hasta el vértice de la pirámide?
altura altura de la pirámide altura de la cara
2) ¿Cómo se llama el punto más alto de una pirámide?
altura cara lateral vértice de la pirámide
3) ¿Cómo se llama la pirámide que tiene tres caras?
pirámide triangular pirámide cuadrangular pirámide pentagonal
4) ¿Cómo se llama la distancia que hay del centro de la base hasta el vértice de la pirámide?
altura de la pirámide apotema de la base altura de la cara
5) En una pirámide ¿cómo se llama la distancia del centro de la base hasta el centro de cualquiera de los lados?
apotema de la base altura de la cara radio de la base
6) ¿Qué tipo de triángulo forman las caras de una pirámide?
escaleno obtuso isósceles
7) ¿Cuál es la fórmula del área total de una pirámide?
A= A=
bxh 2 xaxn 2
A = Ab + (Ac • n) 8) ¿Qué nombre recibe la pirámide formada por cinco caras?
98
IGER − Utatlán
pirámide cuadrangular pirámide pentagonal pirámide hexagonal
Actividad 2.
Practique lo aprendido
A. Calcule el área total de las pirámides con las medidas indicadas. 1) Pirámide pentagonal 2) Pirámide cuadrangular
•
altura de las caras = 7 cm
•
altura de las caras = 2 m
•
apotema de la base = 3 cm
•
lado de la base = 1 m
•
lado de la base = 2 cm
B. Calcule el volumen de las pirámides con las medidas indicadas. 1) Pirámide cuadrangular 2) Pirámide hexagonal
•
altura de la pirámide = 6 cm
•
altura de la pirámide = 9 m
•
lado de la base = 5 cm
•
apotema de la base = 3 m
•
lado de la base = 3.5 m
Matemática − Semana 6
99
Agilidad de cálculo mental A. Resuelva mentalmente las operaciones y escriba su respuesta en la línea. Hágalo lo más rápido posible. 1) 4 x 5 =
6) 5 x 7 =
11)
6x3=
2) 3 x 8 =
7) 3 x 5 =
12)
9x5=
3) 4 x 4 =
8) 7 x 4 =
13)
6x8=
4) 7 x 8 =
9) 4 x 8 =
14)
5x7=
5) 6 x 4 =
15)
4x4=
10) 4 x 9 =
B. Resuelva mentalmente las operaciones y escriba su respuesta en la línea. Hágalo lo más rápido posible. 1) 8 x
= 48 6)
x 8 = 64 11)
x 6 = 42
2) 6 x
= 54 7)
x 5 = 35 12)
x 5 = 45
3) 4 x
= 32 8)
x 3 = 27 13)
x 8 = 56
4) 7 x
= 35 9)
x 7 = 42 14)
x 6 = 48
5) 4 x
= 28
x 9 = 36 15)
x 7 = 63
10)
C. Resuelva mentalmente las potencias y escriba su respuesta en la línea. Hágalo lo más rápido posible. 1) 22 =
6) 82 =
11) 13 =
2) 42 =
7) 60 =
12) 23 =
3) 12 =
8) 32 =
13) 33 =
4) 70 =
9) 102 =
14) 43 =
5) 52 =
10) 92 =
15) 50 =
100
IGER − Utatlán
Razonamiento lógico Una sucesión numérica es un conjunto ordenado de números que obedece a un criterio. A. En el espacio en blanco escriba el número que completa la serie numérica. Luego escriba a qué criterio obedece. Hay un ejemplo. 0)
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Criterio: cada número consecutivo es igual al número anterior más dos unidades. 1)
2
8
32
Criterio: 2)
6
12
24
36
Criterio: 3)
1/2
1/8
1/32
1/128
Criterio: B. Resuelva en su cuaderno los problemas siguientes. 1) El techo de una torre es una pirámide hexagonal. Los lados de la base miden 4 metros y la altura de sus caras es 6 metros. Si solo se pintaran las caras, ¿cuál es el área que se debe pintar? 2) La base de una pirámide regular es un cuadrado de 6 cm por lado. La altura de las caras es 4 cm. ¿Cuál es el área total de la pirámide? 3) Calcule cuántos centímetros cúbicos de plástico se necesitan para fabricar una pirámide pentagonal. La base mide 10 cm por lado, la apotema 8.5 cm y la altura de la pirámide es 30 cm. 4) La base de una pirámide cuadrangular mide 6 cm por lado, la altura de las caras es 10 cm y la altura de la pirámide es 8 cm. ¿Cuál es su área total y volumen? 5) Una empresa fabrica chocolates en forma de pirámide cuadrangular. Para cada unidad la base mide 2 cm por lado, la altura de la pirámide es 3 cm y la altura de las caras es 3.5 cm. ¿Qué cantidad de envoltura y qué cantidad de chocolate se necesita para diez unidades? 6) El techo de un gallinero tiene forma de pirámide octagonal, la base mide 2 m por lado y la altura de las caras es de 5 m, ¿cuál es el área lateral? Matemática − Semana 6
101
Desarrolle nuevas habilidades Construya una pirámide Prepare los materiales a utilizar: cartulina o papel grueso, lápiz, regla, tijeras y pegamento. Siga los pasos: 1) Trace un triángulo equilátero como la figura de abajo (mayor de 10 cm por lado). 2) Marque la mitad de cada lado. 3) Trace líneas uniendo la mitad de cada lado para formar otro triángulo interno (observe la figura). 4) Dibuje unas pestañas en los lados como en la figura. 5) Recorte el dibujo. 6) Doble la figura por las líneas marcadas. 7) Aplique pegamento en las pestañas y forme la pirámide.
Revise su aprendizaje
Después de estudiar...
Marque con un cheque
102
la casilla que mejor indique su rendimiento.
Identifico una pirámide y sus partes. Clasifico pirámides por su base. Calculo el área y el volumen de las pirámides. Practico el cálculo mental. Resuelvo problemas aplicando las fórmulas de área y volumen. IGER − Utatlán
en no logrado proceso logrado
7 La esfera ¿Qué encontrará esta semana? Esferas chinas de la salud La esfera: área y volumen Agilidad de cálculo mental Problemas de área y volumen de una esfera
Esta semana logrará: Conocer la aplicación de las esferas en la medicina oriental. Identificar las partes de una esfera. Calcular el área y el volumen de la esfera. Practicar el cálculo mental. Resolver problemas aplicando las fórmulas del área y el volumen de las esferas.
Matemática − Semana 7
103
¡Para comenzar! Esferas chinas de la salud
Para algunas culturas asiáticas, la esfera es el símbolo de la perfección porque se puede llegar a todas partes desde su centro. Las esferas chinas o Kung Fu Chio son dos bolas de metal recubiertas de una fina porcelana de variados colores y dibujos, con un pequeño instrumento dentro que hace que se produzca un sonido agradable al hacerlas rodar. Los chinos las utilizan desde hace muchísimos años para dar o darse masajes. Según la medicina asiática tradicional, las enfermedades son causadas por un bloqueo de la energía que fluye por el cuerpo. Estos bloqueos están ubicados en distintos puntos; al hacer girar las esferas sobre la mano, se estimulan estos puntos, activando la energía. Según la tradición china, los masajes estimulan la circulación de la sangre, aumentan la energía y la memoria, reducen la fatiga y la depresión, incluso aumentan la posibilidad de vivir más años.
Texto adaptado de wikipedia.org
¡A trabajar! A. Explique con sus palabras por qué se dice que la esfera es el símbolo de la perfección.
B. Según la tradición china, ¿qué beneficios se obtienen al realizar masajes con esferas?
104
IGER − Utatlán
El mundo de la matemática 1. La esfera Las esferas chinas, el Sol que nos alumbra o una pelota de futbol y tantos objetos que usted conoce tienen forma de esfera. La esfera es un cuerpo geométrico formado por una superficie curva, cuyos puntos están a la misma distancia del centro. En una esfera podemos distinguir estos elementos: Centro (C) es el punto interior que se encuentra a la misma distancia de cualquier punto de la superficie. d
Radio (r) es la distancia del centro a un punto de la superficie esférica.
Segmento es la parte de una recta comprendida entre dos puntos, que se pueden representar con cualquier letra. A B
r
C
Diámetro (d) es cualquier segmento que pasa por el centro y une dos puntos de la superficie.
Ejercicio 1 A. Observe con mucha atención la esfera y responda. 1) ¿Qué elemento de la esfera forma el segmento CF?
E
2) ¿Qué elemento de la esfera es el punto C?
C
F
H
3) ¿Qué elemento de la esfera es el segmento EG? G
B. Escriba tres objetos que no hayamos nombrado y que tengan forma de esfera. 1) 2) 3)
Matemática − Semana 7
105
1.1 Área de la esfera Si cortamos una esfera en dos partes iguales, de cada parte se obtiene un círculo de diámetro igual al de la esfera. Éste círculo recibe el nombre de círculo máximo.
c cír
ulo
xi má
mo
Si deseamos cubrir totalmente la superficie de una esfera, necesitamos el área de cuatro círculos máximos, de tal manera que la fórmula para calcular el área de la esfera es: A = 4( r2) La fórmula se lee: el área de una esfera es igual a cuatro por pi, por el radio al cuadrado. Veamos un ejemplo donde aplicaremos el área de la esfera. Una fábrica de dulces, tiene su presentación de dulces esféricos recubiertos con chocolate. ¿Cuánto chocolate es necesario para recubrir un dulce de 5 mm de radio? • Escribimos el dato del problema en la tabla
Recuerde: las unidades de área se miden en mm2 , cm2 , m2 , etc.
r 5 mm
• Copiamos la fórmula del área de la esfera
A = 4( r2)
• Sustituimos los datos en la fórmula
A = 4(3.14)(5 mm)2
• Operamos
A = (12.56)(25 mm2)
A = 314 mm2 • Escribimos la respuesta: se necesitan 314 mm2 de chocolate. ¡Otro ejemplo! ¿Cuánto nailon se necesita para fabricar una pelota de playa, cuyo radio es 30 cm? • Escribimos el dato del problema en la tabla
r 30 cm
• Copiamos la fórmula del área de la esfera
A = 4( r2)
• Sustituimos los datos en la fórmula
A = 4(3.14)(30 cm)2
• Operamos
A = (12.56)(900 cm2)
A = 11 304 cm2 • Escribimos la respuesta: se necesitan 11 304 cm2 de nailon para fabricar una pelota de playa.
106
IGER − Utatlán
¡Un ejemplo más! Una pelota de basket tiene un diámetro de 24 cm, ¿cuál es su superficie?
Recuerde que el diámetro es el doble del radio. Así que para averiguar el radio de la pelota debemos dividir el diámetro entre dos:
r=d÷2
r = 24 ÷ 2
r = 12
• Escribimos el dato del problema en la tabla
r 12 cm
• Copiamos la fórmula del área de la esfera A = 4 r2 • Sustituimos los datos en la fórmula A = 4(3.14)(12 cm)2 • Operamos A = (12.56)(144 cm2) A = 1808.64 cm2 • Escribimos la respuesta: la superficie de la pelota es de 1808.64 cm2.
Ejercicio 2 1) ¿Cuánto vidrio se necesita para fabricar una bombilla esférica de 3 cm de radio? • Escribimos el dato del problema en la tabla
r 3 cm
• Copiamos la fórmula del área de la esfera
A = 4 r2
• Sustituimos los datos en la fórmula
A = 4(3.14)(
cm)2
• Operamos
A = (12.56)(
cm2)
A = Escribimos la respuesta: se necesitan
cm2
cm2 de vidrio para fabricar una bombilla.
2) Una empresa fabrica pelotas de futbol de 11 cm de radio. Si el material que utiliza es cuero, ¿cuánto cuero se necesita para fabricar una pelota? • Escribimos el dato del problema en la tabla
r 11 cm
• Copiamos la fórmula del área de la esfera A = 4 r2 • Sustituimos los datos en la fórmula A = 4( • Operamos A = (
)( )(
A= • Escribimos la respuesta: se necesitan
cm)2 cm2) cm2
cm2 de cuero. Matemática − Semana 7
107
1.2 Volumen de la esfera Si queremos averiguar la cantidad de líquido para llenar este jarrón esférico, debemos conocer el volumen del recipiente. La fórmula para calcular el volumen de una esfera es: Otra forma de escribir la fórmula del volumen de la esfera es: V = 4 r3 3
V=
4 r3 3
Esta fórmula se lee: el volumen de una esfera es igual a cuatro por pi por el radio al cubo, dividido entre tres. Ejemplo ¿Qué volumen de agua cabe en un bidón de forma esférica, de 10 cm de radio? • Escribimos el dato del problema en la tabla
r 10 cm
• Copiamos la fórmula del volumen de la esfera
V=
4 r3 3
• Sustituimos los datos en la fórmula
V=
4 (3.14)(10 cm)3 3
• Operamos
V=
(12.56)(1000 cm3) 3
V = Recuerde: las unidades de volumen se miden en mm3 , cm3 , m3 , etc.
12 560 cm3 3
V = 4186.67 cm3 • Escribimos la respuesta: en el bidón caben 4186.67 cm3 de agua. Otro ejemplo ¿Cuántos litros de helado caben en un recipiente esférico de 8 cm de radio? • Copiamos el dato del problema en la tabla
r 8 cm
• Escribimos la fórmula del volumen de la esfera
V=
4 r3 3
• Sustituimos los datos en la fórmula
V=
4 (3.14)(8 cm)3 3
• Operamos
V=
(12.56)(512 cm3) 3
V =
6 430.72 cm3 3
V = 2143.57 cm3 • Escribimos la respuesta: en el recipiente caben 2143.57 cm3 de helado.
108
IGER − Utatlán
Para responder correctamente al problema debemos convertir los centímetros cúbicos a litros. (1 litro equivale a 1000 cm3)
1000 cm3
1 litro
2143.57 cm3
x litros
x=
x = 2.14357 litros
2143.57 cm3 x 1 litro 1000 cm3
• Respondemos: en el recipiente caben 2.14 litros de helado.
Ejercicio 3 1) ¿Cuántos cm3 de agua caben en un jarro esférico de 4 cm de radio? • Escribimos el dato del problema en la tabla
r 4 cm
• Copiamos la fórmula del volumen de la esfera
V=
• Sustituimos los datos en la fórmula
V=
• Operamos
V=
4 r3 3 4(3.14)( (12.56)(
V =
3
V =
cm)3
3
cm3)
3 cm3 cm3
• Escribimos la respuesta: el jarro puede contener
cm3 de agua.
2) ¿Cuánta plasticina se necesita para elaborar una esfera de 2 cm de radio? • Escribimos el dato del problema en la tabla
r
• Copiamos la fórmula del volumen de la esfera • Sustituimos los datos en la fórmula • Operamos • Escribimos la respuesta: Matemática − Semana 7
109
Relacione conocimientos. 3) Un cubo de vidrio de 10 cm por lado va a ser fundido para fabricar cincos de 2 cm de radio. ¿Cuántos cincos se pueden fabricar con la cantidad de vidrio fundido?
Para saber cuántos cincos se pueden fabricar del cubo debemos conocer el volumen del cubo. • Escribimos el dato del cubo en la tabla 3
• Escribimos la fórmula del volumen del cubo
V=
• Sustituimos los datos en la fórmula
V=(
• Operamos
V=
cm)3
Calculamos el volumen de cada cinco • Escribimos el dato del cinco en la tabla
r
• Escribimos la fórmula del volumen de la esfera
V=
• Sustituimos los datos
V=
• Operamos
V=
4 r3 3 4(3.14)( (
)(
V =
3
V =
3 3
cm)3
cm3) cm3 cm3
Si dividimos el volumen del cubo entre el volumen de cada cinco, obtenemos la cantidad de cincos que se pueden fabricar. cm3 Cantidad de cincos = Cantidad de cincos = cm3 • Escribimos la respuesta:
Resumen
1.1 El área de la esfera se calcula con la fórmula:
A = 4 r2
1.2 El volumen de la esfera se calcula con la fórmula:
V=
110
IGER − Utatlán
4 r3 3
d
1. La esfera es un cuerpo geométrico completamente redondo formado por los elementos marcados en la figura: diámetro (d), radio (r) y centro (C).
C
r
Autocontrol Actividad 1.
Demuestre lo aprendido
A. Rellene el círculo de la respuesta correcta. Tiene un ejemplo. 0) ¿Cómo se llama el cuerpo geométrico formado por una superficie curva cuyos puntos están a la misma distancia de un punto llamado centro?
cilindro
1) ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de una esfera?
A = r2
esfera cono
A = 4 r2 4 3 A= r 3 2) ¿Cómo se llama el segmento que pasa por el centro de la esfera y que a la vez toca dos puntos de la superficie?
radio centro diámetro
3) ¿Cuál es la fórmula para calcular el volumen de una esfera?
4) ¿Cómo se llama la distancia que hay del centro de la esfera a un punto de la superficie?
V=
1 2
r3
V=
1 3
r3
V=
4 r3 3
centro radio diámetro
B. Escriba sobre la línea el nombre de la parte señalada en la esfera.
Matemática − Semana 7
111
Actividad 2.
Practique lo aprendido
A. Calcule el área y volumen de cada esfera, tome en cuenta el valor del radio o diámetro señalado. Deje escrito su procedimiento. Área Volumen 1)
1m
R/
2)
R/
7 pies
R/
3)
R/
12 cm
R/
112
IGER − Utatlán
R/
B. Calcule la superficie de cada esfera, tome en cuenta el radio indicado en la columna izquierda. Tiene un ejemplo. A = 4 r2
r 7m
A = 4(3.14)(7 m)2 = (12.56)(49 m2)
respuesta
A = 615.44 m2
4m 11 cm 15 cm 3 mm 9 pies
C. Calcule el volumen de cada esfera, tome en cuenta el radio indicado en cada fila. Tiene un ejemplo. V=
r 2m
V=
4 r3 3
4(3.14)(2 m)3 (12.56)(8 m3) 100.48 m3 = = 3 3 3
respuesta
V = 33.49 m3
1.5 m
3 cm
2.5 mm
1 pie
4 pies
Matemática − Semana 7
113
Agilidad de cálculo mental A. Escriba en la línea el resultado de la multiplicación. 1) 2 x 9 =
8) 2 x 4 =
15) 8 x 3 =
2) 5 x 7 =
9) 2 x 6 =
16) 7 x 3 =
3) 4 x 5 =
10) 1 x 6 =
17) 9 x 8 =
4) 3 x 4 =
11) 8 x 4 =
18) 7 x 1 =
5) 8 x 7 =
12) 4 x 9 =
19) 6 x 6 =
6) 5 x 9 =
13) 5 x 6 =
20) 9 x 3 =
7) 6 x 4 =
14) 2 x 2 =
21) 4 x 4 =
B. Escriba el factor que completa la multiplicación. 1) 5 x
= 30 11)
x 3 = 18
21)
x 8 = 16
2) 6 x
= 42 12)
x 8 = 64
22)
x 9 = 63
3) 3 x
= 27 13)
x 9 = 27
23)
x 2 = 18
4) 9 x
= 45 14)
x 2 = 12
24)
x 5 = 50
5) 4 x
= 16 15)
x 1 = 10
25)
x 7 = 21
6) 9 x
= 63 16)
x 4 = 32
26)
x1=6
7) 8 x
= 40 17)
x 7 = 28
27)
x 9 = 81
8) 2 x
= 18 18)
x 5 = 45
28)
x 2 = 10
9) 6 x
= 54 19)
x 6 = 36
29)
x 4 = 20
10) 1 x
= 0 20)
x 4 = 0
30)
x 10 = 100
C. Desarrolle las potencias. 1) 72 =
7) 22 =
2) 53 =
8) 102 =
3) 30 =
9) 13 =
15) 43 =
4) 92 =
10) 82 =
16) 10 =
5) 33 =
11) 60 =
17) 02 =
6) 12 =
12) 42 =
18) 50 =
114
IGER − Utatlán
13) 23 = 14) 103 =
Razonamiento lógico Resuelva en su cuaderno los problemas siguientes. 1) Sara necesita cubrir con papel de china 5 piñatas en forma de pelota. Cada piñata mide 24 cm de diámetro, ¿qué cantidad de papel necesita Sara? 2) En una fábrica de bolitas de chocolate se calcula que la medida del envoltorio debe ser 3/2 partes del área de un caramelo, si éstos miden 1 cm de radio, ¿cuál es el área de cada envoltorio? 3) Una pelota de plástico mide 20 cm de diámetro. ¿Cuál es el área de la pelota y con qué volumen de aire se llena? 4) ¿Qué cantidad de acero se necesita para fabricar una esfera de 3 mm de radio? 5) ¿Qué cantidad de aceite cabe en un jarro esférico de 4 pulgadas de radio? 6) En un parque deportivo se desea colocar como monumento un balón de 0.6 metros de radio. Si el material que se utilizará es concreto, ¿qué cantidad de concreto utilizarán? 7) ¿Qué cantidad de vidrio se necesita para fabricar 100 cincos de 1 cm de diámetro? 8) ¿Cuántos litros de agua caben en un recipiente esférico de 15 cm de radio? Tome en cuenta que un litro de agua es equivalente a 1000 cm3 (1 litro = 1000 cm3). 9) Jacinto quiere envolver para regalo una pelota de futbol que le dará a su hijo. Si el radio de la pelota es de 10 cm, ¿cuánto papel de regalo necesita? 10) Jerónimo debe rellenar un cojín en forma esférica. Si el radio es de 11 cm, ¿cuánto material de relleno debe comprar? Relacione contenidos de semanas anteriores. 11) En una feria se necesita llenar una piscina inflable con pelotas de colores. Si la piscina es un cubo de 50 cm por lado y las pelotas tienen un radio de 5 cm; ¿cuántas pelotas se necesitan para llenar la piscina? 12) Para elaborar velas en forma de esfera de 3 cm de radio, Alfredo derrite cubos de parafina de 20 cm por lado. ¿Cuántas velas puede elaborar de un cubo de parafina?
Matemática − Semana 7
115
Desarrolle nuevas habilidades ¿Cuál pesa más? Lea con atención el problema y atrévase a resolverlo ¡Ánimo! El problema consiste en lo siguiente: • Tenemos dos cajas iguales en forma de cubo. Ambas miden 2 cm por lado. • En la primera caja colocamos una esfera de diámetro igual a la altura de la caja. • La segunda caja la llenamos de esferas de diámetro igual a la mitad de la altura de la caja. • Observe las figuras que ilustran el problema.
2 cm
1
2 cm
2
• Piense: si las esferas están hechas del mismo material, ¿cuál de las dos cajas pesa más? • Responda a la pregunta tentativamente sin realizar cálculos, luego compruebe su respuesta aplicando el tema de esta semana. Tome en cuenta: si dos objetos están hechos del mismo material y tienen el mismo volumen, entonces pesan lo mismo.
Revise su aprendizaje
Después de estudiar...
Marque con un cheque
116
la casilla que mejor indique su rendimiento.
Conozco la aplicación de las esferas en la medicina oriental. Identifico las partes de una esfera. Calculo el área y el volumen de las esferas. Practico el cálculo mental. Resuelvo problemas aplicando las fórmulas del área y el volumen de las esferas. IGER − Utatlán
en no logrado proceso logrado
8 Repaso: semanas 1 a 7 Esta semana logrará: Repasar los contenidos de la semana 1 a la 7. Resolver los ejercicios del repaso para evaluarse en la primera prueba parcial. Calcular el perímetro y el área de un triángulo, círculo, rombo, romboide y polígonos regulares. Calcular el área total y el volumen de un cubo, cilindro y esfera. Calcular el área lateral, el área total y el volumen de una pirámide. Resolver problemas aplicando los conocimientos aprendidos durante las semanas 1 a la 7. Prepararse bien para la primera prueba parcial.
Matemática − Semana 8
117
Querida y querido estudiante: Se aproxima la primera evaluación y para esto debemos prepararnos adecuadamente, repasando los contenidos de las semanas 1 a la 7. Para aprovechar este repaso le recomendamos: • Haga un plan de lo que estudiará cada día y trate de cumplirlo. Dedique más tiempo a los temas que le resulten difíciles. • Busque un lugar tranquilo, iluminado y silencioso para estudiar. • Lea los resúmenes de cada semana y escriba las ideas más importantes en su cuaderno. • Escuche la clase radial. Sus maestros locutores le acompañarán en este repaso y le ayudarán a resolver algunos ejercicios. • Compruebe que haya realizado bien los autocontroles. Si tiene dudas, vuelva a leer las semanas, ahí encontrará explicaciones y ejemplos.
¿Cómo será la prueba de evaluación? La prueba parcial evalúa los mismos contenidos y de la misma forma en que los trabajamos semana a semana. En la prueba encontrará: • Una serie de cálculo mental. En ella se mide su destreza y rapidez para la realización de operaciones básicas en un tiempo límite de tres minutos. • Diferentes ejercicios que evalúan lo aprendido en las siete semanas. Estos ejercicios serán semejantes a los que usted elaboró en las actividades del autocontrol. Se le pedirá: responder preguntas, rellenar el círculo de la opción correcta, resolver operaciones y resolver problemas. • Cuando resuelva ejercicios y problemas, debe dejar escrito en la prueba el procedimiento que utilice para llegar a la respuesta. • Muy importante: cada serie contiene instrucciones exactas de lo que debe realizar en cada apartado, así como la valoración asignada. Si usted se prepara con tiempo y dedicación, el resultado será satisfactorio.
118
IGER − Utatlán
El mundo de la matemática Triángulos, circunferencia y círculo 1. Triángulos altura
Los triángulos son polígonos formados por tres lados y tres ángulos. En todo triángulo podemos distinguir dos partes: la base y la altura.
base
1.1 Clasificación de los triángulos tomando en cuenta sus lados
según la medida de sus ángulos
Triángulo equilátero, los
Triángulo rectángulo, un ángulo recto,
tres lados iguales.
(90)° y dos ángulos agudos.
Triángulo isósceles, dos lados iguales y uno diferente.
Triángulo escaleno, los tres lados distintos.
Triángulo acutángulo, los tres ángulos son agudos, miden menos de 90°.
Triángulo obtusángulo, uno de sus ángulos es obtuso, mide más de 90° y menos de 180°.
1.2 Perímetro y área de un triángulo fórmula perímetro
P=
área
A=
1
+
2
bxh 2
+
se lee: 3
El perímetro del triángulo es igual a la suma de la medida de sus lados. El área del triángulo es igual a la base por la altura, dividido entre dos.
2. Circunferencia y círculo
La circunferencia es la línea curva exterior de un círculo. El círculo es la superficie que está dentro de la circunferencia.
d C
En un círculo podemos encontrar estos elementos: radio (r), diámetro (d) y centro (C).
r
2.1 Perímetro y área del círculo fórmula
se lee:
perímetro
P=2 r
El perímetro del círculo es igual a dos veces el producto de pi, por la medida del radio.
área
A = r2
El área del círculo es igual a pi por la medida del radio al cuadrado. Matemática − Semana 8
119
Ejercicio 1 A. Rellene el círculo de la opción que responde correctamente la pregunta. 1) ¿Cómo se clasifica el triángulo de la figura según sus lados?
equilátero isósceles escaleno
rectángulo
2) ¿Qué clase de triángulo es el de la figura según sus ángulos?
acutángulo obtusángulo
3) ¿Cómo se clasifica un triángulo cuyos lados tienen la misma medida?
isósceles equilátero escaleno
m
c 10
1) Triángulo rectángulo cuyos lados miden 6, 8 y 10 cm.
Perímetro
8 cm
•
Copiamos la fórmula P =
•
Sustituimos los datos P =
•
Operamos y escribimos la respuesta P =
1
+
2
+
3
cm +
cm +
cm
Área •
Copiamos la fórmula A =
•
Sustituimos los datos A =
•
Operamos y escribimos la respuesta
A=
A =
120
IGER − Utatlán
6 cm
B. Calcule el perímetro y área de las figuras que aparece en cada numeral.
bxh 2 (
cm)( 2 cm2 2 cm2
cm)
cm
2) Círculo de radio igual a 3 cm.
3 cm
Perímetro •
Copiamos la fórmula P = 2 r
•
Sustituimos los datos P = 2 (3.14)(
•
Operamos y escribimos la respuesta
P=(
cm)
)(
P =
cm) cm
Área •
Copiamos la fórmula A = r 2
•
Sustituimos los datos A = (
)(
cm)2
•
Operamos y escribimos la respuesta
)(
)
A=(
A =
cm2
C. Resuelva el problema. p 7.2
a. Si quiere colocarle un marco de metal, ¿cuántos pies necesita? •
Copiamos la fórmula
P=
•
Sustituimos los datos
P=(
•
Operamos
P=
•
Escribimos la respuesta: Susana necesita
1
+
2
+
ie s
4 pies
Susana debe elaborar un rótulo triangular cuyas medidas se observan en la figura.
6 pies
3
)+(
)+(
)
pies pies de metal.
b. Si quiere cubrirlo con nailon, ¿cuántos pies cuadrados necesita? •
Copiamos la fórmula A =
•
Sustituimos los datos A =
•
Operamos A =
bxh 2 (
)( 2
(
A =
x
) )pies2
2 pies2 2
A = •
Escribimos la respuesta: Susana necesita
pies2 de nailon. Matemática − Semana 8
121
Cuadriláteros: rombo y romboide El rombo es un cuadrilátero que tiene cuatro lados iguales, dos ángulos agudos iguales, dos ángulos obtusos iguales y dos diagonales. El romboide es un cuadrilátero que tiene los lados y los ángulos opuestos iguales. figura
perímetro
área
d 90°
D
Dxd 2
P=4
A=
P = 2a + 2b
A=bxh
rombo a
h b
romboide
Ejercicio 2 A. ¿Qué perímetro y área tiene un rombo cuyos lados miden 5 cm, diagonal mayor de 8 cm y la diagonal menor de 6 cm? D = 8 cm
• Anotamos los datos del problema. D
=
d
Perímetro • Copiamos la fórmula P = 4 • Sustituimos el dato P = 4( • Operamos y escribimos la respuesta
cm)
P=
cm
Área • Copiamos la fórmula A = D x d 2 • Sustituimos los datos A = • Operamos y escribimos la respuesta
A=
A =
122
IGER − Utatlán
d = 6 cm
(
cm)( 2 cm2 2 cm2
cm)
m
5c
B. ¿Qué perímetro y área tiene un romboide cuyo lado inclinado mide 4 cm, la base 7 cm y la altura 2.5 cm? •
a = 4 cm
Anotamos los datos del problema. a
h = 2.5 cm b = 7 cm
b
h
Perímetro • Copiamos la fórmula P = 2a + 2b • Sustituimos los datos P = 2(
cm)+ 2 (
• Operamos y escribimos la respuesta
P=
cm +
P =
cm
cm) cm
Área • Copiamos la fórmula
A=bxh
• Sustituimos los datos A = (
cm)(
• Operamos y escribimos la respuesta
x
A=(
A =
cm) )cm2
cm2
C. ¿Cuánto papel se necesita para elaborar un barrilete en forma de rombo cuya diagonal mayor mide 40 cm y la diagonal menor, 30 cm? • Anotamos los datos del problema. D
d
Área • Copiamos la fórmula A = D x d 2 • Sustituimos los datos A = • Operamos A = A =
(
)( 2
)
cm2 2 cm2
• Escribimos la respuesta:
Matemática − Semana 8
123
Polígonos regulares 1. Un polígono regular es una figura de líneas rectas, plana y cerrada, cuyos lados y ángulos miden lo mismo. Reciben nombres especiales por su número de lados. Memorícelos:
pentágono
nonágono
5 lados
9 lados
hexágono
decágono
6 lados
10 lados
heptágono
endecágono
7 lados
11 lados
octágono
dodecágono
8 lados
12 lados
1.1 Elementos de un polígono regular • lados ( )
•
radio (r)
• vértices (v)
•
apotema (a)
C
• centro (C)
•
ángulos internos ( )
a
v r
2. Perímetro y área de polígonos regulares 2.1 Perímetro
El perímetro de un polígono es la medida de su contorno. El perímetro lo obtenemos multiplicando el número de lados por la medida del lado.
P=nx
2.2 Área Las fórmulas para calcular el área de un polígono son dos: 1) Para aplicar esta fórmula se necesita el número de lados del polígono, la medida de un lado y de la apotema.
A=
2) Para aplicar esta fórmula se necesita la medida del perímetro y de la apotema del polígono.
A=
124
IGER − Utatlán
nx
2
Pxa 2
xa
Ejercicio 3 A. Use su regla para trazar un radio y una apotema en cada polígono, luego escriba sobre la línea qué nombre recibe. Tiene un ejemplo. 2)
1)
0)
3)
r a
dodecágono
a = 3 cm
B. Calcule el perímetro y área de un octágono que mide 2.5 cm por lado y 3 cm de apotema. • Anotamos los datos del problema.
= 2.5 cm
nombre del polígono
a
n
Perímetro • Copiamos la fórmula P = n x • Sustituimos los datos P = ( • Operamos y escribimos la respuesta
)(
P=
cm) cm
Área • Copiamos la fórmula A = P x a 2 • Sustituimos los datos A =
• Operamos A = • Escribimos la respuesta A =
(
cm)( 2
(
cm)
)cm2 2 cm2
Matemática − Semana 8
125
El cubo
cara
1. El hexaedro o cubo es un sólido cerrado y formado por seis cuadrados iguales. Las partes que forman un cubo son: caras, aristas y vértices.
arista
vértice
1.1 El área de un cubo es la medida de su superficie, formada por seis cuadrados de igual longitud .
Se calcula con la fórmula: A = 6
2
1.2 El volumen de un cubo es la cantidad de espacio que ocupa. Se obtiene multiplicando largo, por alto y por ancho.
Se calcula con la fórmula: V =
3
Ejercicio 4 A. Calcule el área y volumen de un cubo que mide 2 cm por lado. Área 2
• Copiamos la fórmula A = 6 • Sustituimos el dato A = 6(
)2
• Operamos A = (
x
x
A
x
)cm2
=(
• Escribimos la respuesta A =
)(cm x cm)
cm2
Volumen • Copiamos la fórmula V =
3
• Sustituimos el dato V = (
)3
• Operamos V = (
x
• Escribimos la respuesta V =
126
IGER − Utatlán
x cm3
)cm3
B. Resuelva los problemas. 1) Aníbal es artesano y elabora cofres de madera en forma de cubo. Tiene un pedido de 10 cofres de 2 pies por lado. ¿Cuántos pies cuadrados de madera debe comprar? Área 2
•
Copiamos la fórmula
A=6
•
Sustituimos el dato
A=6(
pies)2
•
Operamos
A = (6 x
x
A =
El resultado lo multiplicamos por 10.
•
Escribimos la respuesta: Aníbal debe comprar
)(pies x pies)
pies2
A = 10 x
pies2 =
pies2
pies2 de madera.
2) ¿Cuántos litros de agua se necesitan para llenar una piscina en forma de cubo de 2 metros por lado?
Para calcular la cantidad de litros, primero debemos saber el volumen en metros cúbicos, luego hacer la conversión por medio de una regla de tres simple. Volumen 3
•
Copiamos la fórmula V =
•
Sustituimos el dato V = (
m)3
•
Operamos V = (
x
•
Escribimos la respuesta V =
m3
x
)(m x m x m)
Ahora calculamos el volumen en litros • Planteamos la regla de tres directa y operamos. 1 m3
1000 litros
8 m3
x
x=
x = x = •
8 m3 x 1000 litros 1 m3 (8 x 1000) m3 x litros 1 m3 litros
Escribimos la respuesta: para llenar la piscina, se necesitan
litros de agua.
Matemática − Semana 8
127
El cilindro 1. En un cilindro podemos encontrar estos elementos: r
• altura del cilindro (h) • radio de la base (r)
Al
• área lateral (Al)
h Ab
2 r
• área de las bases (Ab) r
At = Al + Ab Fórmula del área total: A t = 2 rh + 2( r2)
Fórmula del volumen:
V = r2h
Ejercicio 5 A. Calcule el área total del cilindro de la figura según las medidas indicadas. Anotamos los datos del problema.
r
h
2 cm
5 cm
Área de las bases • Copiamos la fórmula
Ab = 2( r2)
• Sustituimos el dato
Ab = 2 (3.14)(
• Operamos
Ab = 6.28 (
cm)2 cm2)
Ab =
cm2
Área lateral • Copiamos la fórmula
Al = 2 rh
• Sustituimos los datos
Al = 2 (3.14) (
cm)(
• Operamos
Al = (
x
Al =
x
cm) x
) cm2
cm2
Área total • Copiamos la fórmula
At = Al + Ab
• Sustituimos los datos
At =
cm2 +
• Operamos
At =
cm2
• Escribimos la respuesta: el área del cilindro es
128
IGER − Utatlán
cm2.
cm2
B. Calcule el volumen del cilindro de la figura según las medidas indicadas. 3 cm
Anotamos los datos en la tabla.
h 8 cm
r
Volumen • Copiamos la fórmula
V = r2h
• Sustituimos los datos
V = 3.14 (
cm)2 (
cm)
• Operamos
V = 3.14 (
cm)(
cm)(
V = (3.14 x
x
V =
x
cm) ) cm3
cm3
• Escribimos la respuesta: el volumen del cilindro es
cm3.
C. Resuelva el problema. r = 1 pie
¿Cuál es la capacidad en galones de agua de una cubeta de forma cilíndrica cuyas medidas son: 1 pie de radio y 2 pies de altura? Tome en cuenta que un pie cúbico es equivalente a 7.5 galones de agua (1 pie3 = 7.5 galones) Anotamos los datos del problema.
r
h = 2 pies
h
Volumen • Copiamos la fórmula
V = r2h
• Sustituimos los datos
V = 3.14 (
pie)2(
• Operamos
V = 3.14 (
pie)(
V = (3.14 x V =
x
pies) pie)( x
pies) )pies3
pies3
Para calcular la cantidad de galones, aplicamos una regla de tres simple directa. Expresamos la relación directa y operamos.
1 pie3
7.5 galones
6.28 pies3
x
• Escribimos la respuesta: en la cubeta caben
galones de agua. Matemática − Semana 8
129
La pirámide 1. Una pirámide es un cuerpo geométrico formado por un polígono regular llamado base y caras que son triángulos isósceles unidos en un punto llamado vértice.
En una pirámide podemos distinguir estos elementos: v
• vértice de la pirámide (v) • altura de la pirámide (h)
h
hc
• altura de la cara (hc) • caras laterales (Cl)
Cl
• base (b)
b
a
• apotema (a) 2. El área total de una pirámide es la suma del área de la base más el área lateral: At = Ab + Al
Área de la base, siempre que la base sea un polígono regular, el área se calcula con la fórmula:
nx Ab =
2
xa
El área lateral se compone de las caras de la pirámide. Para determinarla, se calcula primero el área de una cara; como es un triángulo, entonces se utiliza la fórmula: bxh Ac = 2
Luego, el resultado se multiplica por el número de caras (n) que tiene la pirámide. Entonces la fórmula del área lateral es:
Al = n • Ac
Para simplificar el procedimiento en la fórmula de área total, sustituimos Al por n • Ac y obtenemos:
At = Ab + Al
At = Ab + (n • Ac )
3. El volumen de una pirámide es la cantidad de espacio que ocupa. La fórmula para calcularlo es:
130
IGER − Utatlán
V=
Ab x h 3
Ejercicio 6 A. Calcule el área total de una pirámide pentagonal cuyas medidas son: • lados de la base: 3 cm • altura de la cara: 6 cm
hc = 6 cm
• apotema: 2 cm Anotamos los datos: pirámide
= 3 cm
a = 2 cm
n
a
hc
pentagonal Área de la base •
Copiamos la fórmula Ab =
•
Sustituimos los datos Ab =
•
Operamos Ab =
Ab = •
nx
2
xa
5(
cm)( 2
5(
x
30 cm 2
cm) ) cm2
2
2
Escribimos la respuesta Ab =
cm2
Área de una cara •
Copiamos la fórmula Ac =
•
Sustituimos los datos Ac =
•
Operamos Ac =
Ac = •
Escribimos la respuesta Ac =
b x hc 2 3 cm ( (
x
2 2
cm) ) cm2
18 cm2 2 cm2
Área total •
Copiamos la fórmula At = Ab + (n • Ac )
•
Sustituimos los datos At =
cm2 + (5 •
•
Operamos At =
cm2 +
•
Escribimos la respuesta At =
cm2 ) cm2
cm2 Matemática − Semana 8
131
B. Calcule el área lateral de una pirámide decagonal cuyos lados de la base miden 5 cm y la altura de las caras es 8 cm. Anotamos los datos: pirámide
n
hc
b x hc 2
Área de una cara Ac = • Sustituimos los datos Ac =
(
)( 2
)
cm2
• Operamos Ac =
2
• Escribimos la respuesta: Ac = Área lateral • Copiamos la fórmula
Al = n • A c
• Sustituimos los datos Al = ( • Operamos y escribimos la respuesta
)(
)
Al =
cm2
C. Calcule el volumen de una pirámide cuadrangular cuya base mide 3 pies por lado y 6 pies de altura. Anotamos los datos del problema. pirámide
h
Área de la base 2
• Como es un cuadrado, la fórmula es
Ab =
• Sustituimos el dato
Ab = (
)2
• Operamos y escribimos la respuesta
Ab =
pies2
Volumen • Copiamos la fórmula
V=
• Sustituimos los datos V = • Operamos V = • Escribimos la respuesta V =
132
IGER − Utatlán
Ab x h 3 (
)( 3 pies3 3
)
La esfera
1.1 El área de la esfera se calcula con la fórmula:
A = 4 r2
1.2 El volumen de la esfera se calcula con la fórmula:
V=
d
1. La esfera es un cuerpo geométrico completamente redondo formado por los elementos marcados en la figura: diámetro (d), radio (r) y centro (C).
r
C
4 r3 3
Ejercicio 7 Calcule el área y volumen de una esfera de 1 cm de radio. Área r = 1 cm
• Copiamos la fórmula A = 4 r 2 • Sustituimos los datos
A = 4 (3.14)(
cm)2
• Operamos A = (12.56)(
)cm2
• Escribimos la respuesta
A=
cm2
Volumen • Copiamos la fórmula V =
• Sustituimos los datos V =
• Operamos V =
V = • Escribimos la respuesta
V=
4 r3 3 4 (3.14)(
(12.56 x
3
3
3
cm)3
cm)3
cm3
cm3
Matemática − Semana 8
133
Agilidad de cálculo mental Aumente la velocidad de cálculo realizando las siguientes operaciones. Hágalo lo más rápido que pueda, no utilice calculadora. Tome su tiempo, debe realizarlas en menos de tres minutos. A. Realice las multiplicaciones y escriba la respuesta sobre la línea. 1) 6 x 3 =
7) 4 x 9 =
13) 5 x 5 =
2) 4 x 5 =
8) 1 x 7 =
14) 8 x 9 =
3) 1 x 9 =
9) 6 x 6 =
15) 6 x 4 =
4) 7 x 4 =
10) 8 x 5 =
16) 0 x 9 =
5) 2 x 8 =
11) 4 x 7 =
17) 4 x 8 =
6) 6 x 7 =
12) 6 x 5 =
18) 2 x 6 =
B. Escriba el factor que falta para que la operación sea correcta. 1) 5 x
= 35 6) 3 x
= 9 11) 4 x
= 20
2) 6 x
= 18 7) 9 x
= 36 12) 6 x
= 54
3) 9 x
= 45 8) 6 x
= 48 13) 8 x
= 40
4) 8 x
= 64 9) 5 x
= 35 14) 9 x
= 72
5) 2 x
= 12
= 56 15) 7 x
= 49
10) 7 x
C. Escriba el factor que falta para que la operación sea correcta. 1)
x 3 = 27 6)
x 8 = 0 11)
x 4 = 28
2)
x 9 = 9 7)
x 6 = 30 12)
x 7 = 63
3)
x 4 = 12 8)
x 7 = 21 13)
x 5 = 30
4)
x 6 = 24 9)
x 5 = 45 14)
x 9 = 81
5)
x 9 = 18
x 2 = 16 15)
x 6 = 42
10)
D. Desarrolle las potencias. 1) 12 =
5) 82 =
9) 52 =
2) 42 =
6) 90 =
10) 23 =
3) 30 =
7) 72 =
11) 43 =
4) 62 =
8) 13 =
12) 33 =
134
IGER − Utatlán
Razonamiento lógico Resuelva en su cuaderno los problemas siguientes. 1) La superficie de un terreno tiene la forma y medidas que muestra la figura. ¿Cuánto mide el perímetro y área del terreno?
a = 10 m
h=8m b = 15 m
2) Daniela desea colocar una baranda alrededor de su jardín en forma de triángulo equilátero que mide 3 metros por lado. Si el metro de baranda cuesta Q40.00, ¿cuánto gastará en total? 3) La rueda de la bicicleta de Matías mide 50 centímetros de diámetro. ¿Qué distancia recorre cada vez que la llanta da una vuelta completa? ¿Qué distancia recorre si da 10 vueltas? 4) ¿Qué área ocupa un jardín circular cuyo diámetro mide 4 metros? 5) Carmen fabrica recuerdos artesanales en forma de rombo. Utiliza tela para el fondo y alrededor coloca un listón de colores. Si las medidas de cada recuerdo son: D = 60 cm, d = 40 cm y = 35 cm, ¿cuántos centímetros cuadrados de tela y cuántos centímetros de listón necesita para un recuerdo? 6) Un grupo de estudiantes de Utatlán quiere elaborar un barrilete en forma de dodecágono de 2 metros por lado y 4 metros de apotema. ¿Cuántos metros cuadrados de papel necesitan para elaborarlo y cuántos metros de pita necesitan para el borde? 7) Laura ha preparado 20 cajas llenas de abono orgánico para sus cultivos. Si las cajas son cubos de 0.5 m por lado, ¿cuántos metros cúbicos de abono tiene preparado? 8) Sabiendo que un mililitro es equivalente a un centímetro cúbico( 1ml = 1 cm3), ¿Cuántos mililitros de agua caben en una taza cilíndrica de 7 cm de radio y 8 cm de altura? 9) En la cúpula de una iglesia se desea colocar una pirámide pentagonal de 3 metros de altura, cuya base mida 1 m de apotema y 1.5 m por lado. ¿Qué cantidad de concreto se necesita para construirla? 10) Si se pinta el área lateral de la pirámide del problema anterior, ¿qué área se debe pintar, sabiendo que la altura de la cara es 3.2 metros? 11) José desea forrar con papel celofán, una pelota de 11 cm de radio. Para esto debe utilizar el doble de la superficie de la pelota, ¿cuántos centímetros cuadrados de papel necesita? 12) Para aprovechar el agua de lluvia, Ligia logró recolectar 10 tinajas de agua para uso doméstico. Considerando que las tinajas son esféricas de 2 pies de radio, ¿cuántos galones de agua logró recolectar? (Tome en cuenta que 1 galón de agua es equivalente a 7.5 pies3). Matemática − Semana 8
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Revise su aprendizaje Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
en no logrado proceso logrado
Después de estudiar...
Repasé los contenidos de la semana 1 a la 7. Resuelvo los ejercicios de repaso para evaluarme en la primera prueba parcial. Calculo el perímetro y el área de un triángulo, círculo, rombo, romboide y polígonos regulares. Calculo el área total y el volumen de un cubo, cilindro y esfera. Calculo el área lateral, el área total y el volumen de una pirámide. Resuelvo problemas aplicando los conocimientos aprendidos durante las semanas 1 a la 7. Me siento bien preparado (a) para la primera prueba parcial.
Orientaciones sobre la prueba parcial ¡Llegó el momento de la prueba! Ya está listo para su primera prueba parcial de Matemática. Le presentamos las últimas recomendaciones que pueden ayudarle a la hora del examen.
Al recibir la prueba, y antes de empezar a resolverla, escriba su nombre, número de carné, número de círculo de estudio y fecha. Lea atentamente las instrucciones antes de contestar. Si tiene duda, consulte a su orientadora u orientador voluntario.
Grupo: Utatlán Materia: Matemática Prueba: parcial A-2012
Círculo de estudio Nº:
i serie.
1 punto cada respuesta correcta. Total 6 puntos. INSTRUCCIONES: Rellene el círculo que corresponde al resultado correcto. 1) ¿Cuál es el resultado de (x + 3)(x – 3)?
x2 + 9 x2 + 6 x2 – 9
No se "atasque" en ningún ejercicio. Empiece por las preguntas que sepa mejor y le quedará más tiempo para pensar en las que tenga dudas. Al finalizar su examen, relea todas sus respuestas y vea si algo se le pasó por alto. Presente su prueba limpia y ordenada.
¡Ánimo! El resultado de su examen será el producto de su esfuerzo.
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IGER − Utatlán
9 La raíz cuadrada ¿Qué encontrará esta semana? Christoph Rudolff Radicación Agilidad de cálculo mental Resolución de problemas aplicando la raíz cuadrada
Esta semana logrará: Practicar el símbolo de la raíz. Identificar la raíz cuadrada como operación contraria a la potenciación. Identificar las partes de la raíz cuadrada. Resolver raíces cuadradas de diferentes cantidades. Practicar el cálculo mental. Resolver problemas aplicando el concepto de raíz cuadrada.
Matemática − Semana 9
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¡Para comenzar! Christoph Rudolff
Chrishoph Rudolff, matemático alemán, nació en 1499 y murió en 1545. Estudió en la Universidad de Viena, en Austria, y permaneció en ella como profesor de álgebra de 1517 a 1521. Mientras fue estudiante, pagaba los gastos de la universidad dando clases particulares de matemáticas a los niños de la ciudad. Durante sus años de profesor, pasaba horas en la biblioteca leyendo todos los libros que podía o platicando con estudiantes y profesores. En 1525 publicó el primer libro de álgebra escrito en alemán. En él aparece por primera vez el símbolo de la radicación ( ). Este símbolo no fue aceptado de inmediato, incluso en Alemania, su patria. Por fin, en 1655, el matemático John Wallis popularizó el uso de este símbolo. Adaptado de www.wikipedia.org
¡A trabajar! Practique con su lápiz el trazo del símbolo de la raíz. Siga la indicación de las flechas.
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IGER − Utatlán
El mundo de la matemática 1. Radicación
operación inversa a la potenciación
La radicación es la operación inversa a la potenciación. Consiste en averiguar la base cuando conocemos el resultado de un número que fue elevado a una potencia. Veamos un ejemplo En la potenciación multiplicamos un número por sí mismo las veces que indica el exponente: 52 = 5 x 5 = 25 En la radicación debemos encontrar el número que multiplicado por sí mismo nos dé el resultado que ya tenemos: 25 = 5 porque 5 x 5 = 25 Veamos detalladamente qué es la raíz cuadrada y en qué consiste.
1.1 Elementos de la raíz Las partes de la radicación son cuatro: 1. Índice, indica el grado de la raíz a calcular. En la raíz cuadrada el índice es 2, pero no debe escribirse. 2. Signo radical (
) se lee raíz cuadrada.
signo radical índice
2
25 = 5
raíz
radicando
3. Radicando es el número al que debemos extraerle la raíz, se escribe debajo del signo radical. 4. Raíz es el resultado de calcular la raíz cuadrada de una cantidad. En matemática se pueden calcular diferentes raíces. Nosotros estudiaremos solamente la raíz cuadrada.
Ejercicio 1 Escriba tres ejemplos de potenciación y tres ejemplos de radicación. Le ayudamos con el primero. potencia 72 = 7 x 7 = 49
raíz 49 = 7
Matemática − Semana 9
139
2. Raíz cuadrada Atención: la raíz cuadrada de 1 es 1 porque 1 x 1 = 12 = 1
La raíz cuadrada de un número consiste en buscar un número que elevado al cuadrado sea igual al número que tenemos. Por ejemplo ¿qué número elevado al cuadrado es igual a 4? ¡Efectivamente! La respuesta es 2, porque 2 x 2 = 22 = 4 Por lo tanto, la raíz cuadrada de 4 es 2 y lo expresamos así:
4= 2
Otro ejemplo ¿qué número elevado al cuadrado es igual a 16? ¡Claro! La respuesta es 4, porque 4 x 4 = 42 = 16 Por lo tanto, la raíz cuadrada de 16 es 4 y lo expresamos así: 16 = 4
2.1 Cálculo de la raíz cuadrada exacta Cuando la raíz de un número es un número entero, decimos que es una raíz exacta. Por ejemplo 81 = 9, 100 = 10 Si la raíz de un número es un decimal entonces la raíz es inexacta. Por ejemplo 2 = 1.41… 5 = 2.24…
Calculemos la raíz cuadrada de 36 • Buscamos un número que elevado al cuadrado sea igual a 36. • La respuesta es 6, porque 62 = 36. Por lo tanto, la raíz cuadrada de 36 es 6. • En lenguaje matemático se expresa así:
36 = 6 porque 62 = 36
Otros ejemplos
64 = 8
porque
82 = 64
25 = 5
porque
52 = 25
Ejercicio 2 Relacione sus conocimientos de potenciación y calcule las raíces exactas. Tiene un ejemplo. 0)
9 = 3
3) 81 =
6)
36 =
1)
49 =
4) 25 =
7)
16 =
2)
64 =
5)
140
IGER − Utatlán
4 =
8) 100 =
Problemas que se resuelven con raíces También podemos aplicar la raíz cuadrada para resolver problemas, veamos un ejemplo. Un grupo de 25 estudiantes están ordenados en filas y columnas formando un cuadrado, ¿cuántos estudiantes hay en cada fila y columna?
¿Cuál es el dato que tenemos? 25 estudiantes Razonemos, como cada fila y columna tiene el mismo número de estudiantes, entonces podemos calcular la raíz cuadrada de 25. • Planteamos la raíz
25 = 5
• Respondemos: cada fila y columna tiene 5 estudiantes.
Ejercicio 3 Resuelva los problemas aplicando la raíz cuadrada. Puede ayudarse del ejercicio anterior. Recuerde, al extraer la raíz al número también debe hacerlo a la unidad de medida. ( 100 cm2 = 10 cm) 1) Si un terreno cuadrado mide 49 m2 de superficie, ¿cuánto miden sus lados?
•
¿Qué dato tenemos?
•
Planteamos la raíz cuadrada
•
Respondemos: cada lado del terreno mide
metros.
2) ¿Cuánto mide el perímetro de un espejo cuadrado cuya superficie es 81 cm2?
•
¿Qué dato tenemos?
•
Planteamos la raíz cuadrada
•
Calculamos el perímetro del cuadrado con la fórmula
P=4x
P = 4 x P = • Respondemos: el perímetro del espejo es
cm cm
cm.
Matemática − Semana 9
141
2.2 Procedimiento para extraer raíces cuadradas de cantidades grandes Cuando las cantidades son pequeñas es fácil calcular su raíz si sabemos las tablas de multiplicar, pero cuando las cantidades son grandes, debemos seguir un procedimiento. La mejor manera de comprenderlo es con un ejemplo. Calculemos la raíz cuadrada de 1764. 1. Primero colocamos el número dentro del radical y lo separamos en grupos de dos cifras de derecha a izquierda.
17´64
2. Luego buscamos un número que elevado al cuadrado sea igual a la primera cifra de la izquierda, (17), o un valor menor lo más cercano. El número que más se aproxima es 4, porque 42 = 16. Luego escribimos: • El número 4 en el resultado.
142
IGER − Utatlán
•
Elevamos al cuadrado el 4 y el resultado lo escribimos debajo del primer grupo y restamos las cantidades (17 – 16 = 1)
17´64 4 – 16 1
•
Bajamos el siguiente grupo, 64 y lo escribimos a la par del residuo del primer grupo. Formamos el número 164.
17´64 4 – 16 1 64
•
El resultado parcial 4 se baja y se multiplica por 2, dando como resultado 8.
17´64 4 4x2=8 – 16 1 64
3. Buscamos un número que acompañe a 8, que multiplicado por ese mismo número nos dé 164 o un número inferior, el más cercano a esa cantidad.
17´64 4 8 – 16 1 64
4. El número buscado es 2 porque al agregárselo a 8 se forma el número 82, y 82 x 2 es igual 164. Escribimos el resultado y lo restamos de 164.
17´64 4 82 x 2 = 164 – 16 1 64 – 1 64 0
5. Subimos el 2 al resultado y obtenemos la raíz que buscamos (42). Como el residuo es 0, esta es una raíz cuadrada exacta.
17´64 42 82 x 2 = 164 – 16 1 64 – 1 64 0
x
Veamos otro ejemplo Calculemos la raíz cuadrada de 789. 1. Primero colocamos el número dentro del radical y lo separamos en grupos de dos cifras de derecha a izquierda.
7´89
2. Luego buscamos un número que elevado al cuadrado sea igual a la primera cifra de la izquierda, 7, o un valor menor lo más cercano a este. El número 2 es el que más se aproxima porque 22 = 4. Luego escribimos: •
El número 2 en el resultado.
•
Elevamos al cuadrado el 2 y el resultado lo escribimos debajo del primer grupo y restamos las cantidades 7 – 4 = 3
7´89 2 –4 3
•
Bajamos el siguiente grupo 89 y lo escribimos a la par del residuo del primer grupo. Formamos el número 389.
7´89 2 –4 3 89
•
El resultado parcial 2 se baja y se multiplica por 2, dando como resultado 4.
7´89 2 2x2=4 –4 3 89
3. Buscamos un número que acompañe a 4, que multiplicado por ese mismo número nos dé 389 o un número inferior, el más cercano a esa cantidad.
7´89 2 4 –4 3 89
4. El número buscado es 8 porque al agregárselo a 4 se forma el número 48, y 48 x 8 es el menor más próximo a 389. Escribimos el resultado y lo restamos de 389.
7´89 2 48 x 8 = 384 –4 3 89 – 384 5
5. Subimos el 8 al resultado y obtenemos la raíz que buscamos (28). Como el residuo es 5, esta es una raíz cuadrada inexacta.
7´89 28 48 x 8 = 384 –4 3 89 – 3 84 5
x
Para comprobar el resultado, hacemos el procedimiento siguiente: elevamos el resultado (28) al cuadrado y le sumamos el residuo (5). Si el resultado es correcto debemos obtener la cantidad inicial (789). 282 + 5 =
784 + 5 = 789 Matemática − Semana 9
143
Ejercicio 4 Ahora practique resolver raíces de cantidades grandes en espacios más pequeños y en menos tiempo. El ejercicio 0 le sirve de ejemplo. 0)
169 1) 256
1´69 13 1x2=2 –1 69 23 x 3 = 69 – 69 00
2)
3136 3) 965
4)
5476 5) 77
144
IGER − Utatlán
Resumen 1. La radicación es la operación inversa a la potenciación. 1.1 Elementos de la raíz
signo radical índice
2
25 = 5
raíz
radicando
2. Hallar la raíz cuadrada de un número consiste en buscar un número que elevado al cuadrado sea igual al número que tenemos. 2.2 Los pasos que debe realizar para resolver la raíz cuadrada de cantidades grandes son: 1. Primero colocamos el número dentro del radical y lo separamos en grupos de dos cifras de derecha a izquierda.
12´96
2. Luego buscamos un número que elevado al cuadrado sea igual a la primera cifra de la izquierda, (12), o un valor menor lo más cercano. El número 3 es el que más se aproxima, porque 32 = 9. Luego escribimos: •
El número 3 en el resultado.
•
Elevamos al cuadrado el 3 y el resultado lo escribimos debajo del primer grupo y restamos las cantidades 12 – 9 = 3
•
Bajamos el siguiente grupo, 96 y lo escribimos a la par del residuo del primer grupo. Formamos el número 396.
12´96 3 –9 3 96
•
El resultado parcial 3 se baja y se multiplica por 2, dando como resultado 6. En este paso el resultado parcial siempre se multiplica por 2.
12´96 3 3x2=6 –9 3 96
12´96 3 – 9 3
3. Buscamos un número que acompañe a 6, que multiplicado por ese mismo número nos dé 396 o un número inferior, el más cercano a esa cantidad.
12´96 3 6 –9 3 96
4. El número buscado es 6 porque al agregárselo a 6 se forma el número 66, y 66 x 6 es igual a 396. Escribimos el resultado y los restamos de 396.
12´96 3 66 x 6 = 396 –9 3 96 – 3 96 0
5. Subimos el 6 al resultado y obtenemos la raíz que buscamos (36). Como el residuo es 0, esta es una raíz cuadrada exacta.
x
12´96 36 66 x 6 = 396 –9 3 96 – 3 96 0
Matemática − Semana 9
145
Autocontrol Actividad 1.
Demuestre lo aprendido
A. Escriba sobre la línea el nombre de la parte señalada en la radicación.
2
64 = 8
B. Conteste las preguntas. 1) ¿Qué nombre recibe el símbolo
?
2) ¿Qué valor tiene el radicando en 9 = 3? 3) ¿Qué valor tiene el índice en 16 = 4? 4) ¿Qué nombre recibe el número 6 en 36 = 6? 5) ¿Qué nombre recibe el número 25 en 25 = 5? C. Escriba si la raíz es exacta o inexacta. Justifique su respuesta. Tiene un ejemplo. inexacta no hay un número entero que elevado al cuadrado sea igual a 2
0)
2
1)
4
2)
5
3)
10
4)
16
5)
9
6)
12
7)
20
146
IGER − Utatlán
Actividad 2.
Practique lo aprendido
A. Resuelva las raíces cuadradas exactas. Compruebe su respuesta elevando el resultado al cuadrado. Tiene un ejemplo. 0)
16 = 4 42 = 16 81 = 6)
1)
1 = 9 = 7)
2)
25 = 64 = 8)
3)
49 = 100 = 9)
4)
4 = 10) 144 =
5)
36 =
B. Resuelva las raíces cuadradas. Tiene un ejemplo. 0)
2678 1) 225
26´78 51 5x2 – 25 1 78 101 x 1 = 101 – 1 01 77 2)
484 3) 679
4)
1045 5) 3740
Matemática − Semana 9
147
Agilidad de cálculo mental A. Resuelva las multiplicaciones. Tiene un ejemplo. 0) 5 x 8 =
40
11) 6 x
= 30 21)
x9=0
1) 4 x 6 =
12) 3 x
= 27 22)
x 9 = 81
2) 3 x 7 =
13) 7 x
= 42 23)
x 4 = 16
3) 8 x 2 =
14) 7 x
= 35 24)
x 8 = 56
4) 6 x 5 =
15) 8 x
= 40 25)
x 6 = 36
5) 5 x 4 =
16) 2 x
= 18 26)
x 3 = 24
6) 3 x 8 =
17) 6 x
= 60 27)
x 7 = 28
7) 4 x 7 =
18) 4 x
= 36 28)
x 5 = 25
8) 4 x 9 =
19) 8 x
= 16 29)
x 3 = 18
9) 8 x 6 =
20) 10 x
= 100 30)
x 4 = 32
10) 11 x 6 =
B. Resuelva las potencias. Tiene un ejemplo. 1) 22 =
4
6) 42 =
11)
2
=9
2) 52 =
7) 82 =
12)
2
= 81
3) 90 =
8) 10 =
13)
2
= 49
4) 32 =
9) 02 =
14)
2
= 36
5) 62 =
10) 102 =
15)
2
= 25
C. Resuelva las raíces. 1) 4 =
16 = 5)
49 = 9)
2) 9 =
64 = 6)
100 = 10)
3) 1 =
36 = 7)
144 = 11)
4) 25 =
81 = 8)
121 = 12)
148
IGER − Utatlán
Razonamiento lógico Resuelva en su cuaderno los problemas que se le plantean. 1) Una habitación tiene una superficie cuadrada de 16 m2. ¿Cuánto mide por lado? 2) En un círculo de estudio, Mirna dispone de 36 escritorios para un salón de clases. Si desea colocarlos de tal forma que las filas y las columnas formen un cuadrado, ¿cuántos escritorios debe colocar en cada fila y columna? 3) Andrés desea cercar un terreno cuadrado. Si la superficie mide 81 m2, ¿cuántos metros de cerca debe comprar? 4) En un salón hay 100 sillas formando un cuadrado, ¿cuántas sillas hay en cada fila? 5) Una mesa cuadrada mide 7056 cm2 de superficie, ¿cuánto mide por lado? 6) La superficie de un parque ecológico es cuadrada y mide 1225 m2. Si se quiere circular con malla, ¿cuántos metros de malla hay que comprar? 7) Una plancha cuadrada de vidrio tiene un área de 225 cm2. ¿Cuántos cuadrados de 5 cm por lado se puede obtener de la plancha? 8) Se desea colocar baldosas en un salón cuya superficie cuadrada mide 81 m2. Si cuatro baldosas colocadas en fila (una tras otra) miden un metro, ¿cuántas baldosas se necesitan para cubrir todo del salón? 9) Marta quiere reordenar las casillas del rectángulo para formar un cuadrado. ¿Cuántas casillas debe colocar por lado? Pista: la superficie del rectángulo es igual a la superficie del cuadrado.
?
10) Un terreno rectangular mide 128 m2 de superficie. La medida del frente es el doble que el fondo. ¿Cuánto mide por lado? Pista: el rectángulo está formado por dos cuadrados.
128 m2
fondo
?
frente
Matemática − Semana 9
149
Desarrolle nuevas habilidades ¿Qué distancia recorre? ¡Lea el problema y anímese a resolverlo!
Fig. 1
6m
Ana y Francisco están situados en las esquinas opuestas de un terreno rectangular que mide 8 x 6 metros, como se muestra en la figura 1.
A
8m
Si Francisco camina en línea recta para llegar hasta Ana, ¿qué distancia recorre? • Para solucionar el problema dibujamos el camino que recorre Francisco. Es la diagonal de la figura 2, representada con la letra c. • La longitud de la diagonal es la distancia recorrida, se calcula con la fórmula: c = a2 + b2 • Sustituya los datos en la fórmula y resuelva el problema.
B
Fig. 2 c
a
b
Tome en cuenta: c representa la medida de la diagonal, a y b representan las medidas de los lados del rectángulo.
Nota:
Ahora compruebe su respuesta dibujando un rectángulo de 8 x 6 cm en su cuaderno, mida la longitud de la diagonal con una regla. Se sorprenderá al ver que la medida es la misma que obtuvo con la fórmula.
Revise su aprendizaje Marque con un cheque
la casilla que mejor indique su rendimiento.
Después de estudiar...
Practico el símbolo de la raíz cuadrada. Identifico la raíz cuadrada como operación contraria a la potenciación. Identifico las partes de la raíz cuadrada. Resuelvo raíces cuadradas de diferentes cantidades. Practico el cálculo mental. Resuelvo problemas aplicando el concepto de raíz cuadrada.
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IGER − Utatlán
en no logrado proceso logrado
10 Introducción a las ecuaciones ¿Qué encontrará esta semana? Evolución de los signos en matemática Lenguaje algebraico y ecuaciones Agilidad de cálculo mental Secuencias lógicas
Esta semana logrará: Identificar términos algebraicos y términos semejantes en una expresión algebraica. Transformar las expresiones escritas en lenguaje común a lenguaje algebraico. Definir una ecuación e identificar todas sus partes como una igualdad. Practicar cálculo mental. Resolver ecuaciones.
Matemática − Semana 10
151
¡Para comenzar! Evolución de los signos en matemática Hay una serie de signos matemáticos que ya reconocemos, como el de la suma (+) y la resta (–). Muchos pensarán que estos símbolos son tan antiguos como los números, sin embargo no es así. A medida que el estudio de la matemática fue progresando, los expertos fueron introduciendo nuevos símbolos para facilitar la escritura de las fórmulas y ecuaciones. Al principio, las ecuaciones matemáticas eran una especie de imitación del lenguaje hablado. Algo así como si en lugar de 40 + 3 = 43 escribiéramos: "40 más 3 igual a 43". Esta escritura se llamó cálculo literal. Conozcamos algunos ejemplos de la evolución de los signos. Los matemáticos egipcios utilizaron la barra (–) en posición horizontal para representar fracciones. Más tarde el inglés Augustus de Morgan la utilizó en posición oblicua para simplificar las fracciones en una sola línea. El matemático William Oughtred fue el primero en usar la letra x como signo para la multiplicación, mientras que el matemático alemán Leibniz utilizaba un punto (.) El signo de igualdad (=) se lo debemos al matemático Robert Recorde. Thomas Harriot fue el primero en utilizar los símbolos mayor que (>) y menor que (
