Libro Rm 2013 5sec

Razonam . Matemát . CESAR´S SECUNDARIA

MATEMÁTICA – 5to. año

Colegio Particular Integrado CESAR´S

I BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO

La isla de Perutize como todos sabemos, está habitada solamente por dos tribus de aspecto idéntico, pero de temperamentos muy distintos:

PERUTIZE TRILCIOUSSE

Los habitantes trilciousse, que dicen siempre la

LA BRAILLE

verdad, y los de Labraille que saben únicamente mentir. Desembarco, y tres aborígenes se aproximan hacia mi. Ignoro el origen preciso de cada uno.

Por favor, señor ¿Cuántos trilcianos hay entre ustedes?

Cra, cra, croncha croncha

Perdone, pero no comprendo su lengua ..

Ha dicho que solamente hay uno

No crea lo que dice dos plumas : miente. Pero venga a mi casa, porque no soy caníbal .

Venga mejor a mi casa porque yo no soy caníbal.

¿Qué invitación acepto: la del indio con dos plumas, o la del indio con tres plumas? AYUDADME , POR FAVOR

Colegio Particular Integrado CESAR´S

9

NIVEL: SECUNDARIA

SEMANA Nº 1

QUINTO AÑO

LÓGICA RECREATIVA En este primer capítulo del curso, las situaciones que se presentan son problemas comunes de la vida diaria, en muchos de los cuales no hay matemática que sirva para resolverlos. Se trata de resolverlos de manera lógica empleando el razonamiento para tal fin.

RECUERDA :

2. DE 1 AL 8 DISTRIBUCIÓN

“Sólo necesitas algo de ingenio y habilidad.

Distribuir los números del 1 al 8 en las ocho marcas (x) de la figura con la condición de que no puede haber dos números consecutivos en lugares adyacentes.

Hemos distribuido los problemas en 4 grupos: I.

Ubicación numérica

II.

Test de fósforos

III.

Lazos familiares

IV.

Días de la Semana

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

3.

x

x

x

x

x

x

x

x

EL CUBO DE PRIMOS En los vértices del cubo adjunto, colocar los números del 0 al 7 para que la suma de los dos

I.

UBICACIÓN NUMÉRICA

de cada arista sea un número primo.

Ahora tenemos el siguiente reto. Completar los cuadros y figuras mágicas.

¡Tu puedes …. Sólo necesitas constancia e imaginación 4. EL MARAVILLOSO 26

1. CUADRADO MÁGICO Colocando los números del 1 al 9 en cada uno de los cuadraditos. Hacer que la suma horizontal y vertical y diagonal de cada fila de 15.

Coloque los números del 1 al 12 en los círculos de esta estrella de manera que la suma de los que ocupan cada una de las seis líneas sea igual a 26.

6.

Solución .Observamos que ya tenemos 2 cuadrados formados consecutivamente de manera horizontal; ahora deslicemos hacia abajo las 2 cerillas verticales dentro de los 2 cuadrados mencionados, y completando adecuadamente con las 2 cerillas de afuera (encima), tendremos:

5. TRIÁNGULO MÁGICO Coloque los números del 1 al 9, uno por círculo, de manera que las sumas de los números de cada lado sea igual a 20.

¡Desafió!

Ahora

números

situados

tu en

logra las

que

La figura mostrada es un famoso: “Templo griego” que está hecho con once cerillas. Cambia de lugar 4 cerillas de manera que obtengas 5 cuadrados.

Habrás, notado lo fácil que es ….

los

esquinas

sumen 15 y uno de ellos sea el 5.

II.

7.

La llave está hecha con diez cerillas, cambiar de lugar cuatro de tal forma que resulten tres cuadrados.

8.

Una balanza, compuesta por nueve cerillas se halla en un estado de desequilibrio, es preciso cambiar la posición de 5 cerillas, de tal forma que la balanza quede en equilibrio.

TEST DE FÓSFOROS

Los fósforos, tienen 2 propiedades que las hacen idóneas para divertimentos matemáticos. Pueden servir de “cuentas” y también de segmentos de longitud unitaria.

En esta parte nos fijaremos en los trucos, juegos y acertijos, que se pueden realizar con fósforos...

He aquí entretenidos pasatiempos con fósforos:

9.

En la figura apreciamos una flecha construida con dieciséis cerillas. a) Mueve 7 cerillas, de tal manera que se formen 5 figuras iguales de 4 lados. b) Mueve 8 cerillas de la flecha de manera que se formen 8 triángulos iguales.

Solución .Podemos establecer el siguiente diagrama : Mamá del hombre del cuadro

De suegra a Nuera

De esposos 10. Un cangrejo de cerillas camina hacia arriba (ver figura) cambiar la posición de tres de tal forma que el cangrejo camine hacia abajo.

Mamá de Karina

Karina ∴ Karina concluye : “Este hombre es mi padre” 12. ¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre?. Rpta : III.

LAZOS FAMILIARES A continuación nos presentan situaciones de relaciones familiares (parentescos) en los cuales se debe tener en cuenta al momento de realizar la solución que c/u de los integrantes puede desempeñar en un mismo problema papeles diferentes. RECUERDA ¡! La clave esta en esquematizar el problema con un número mínimo de integrantes….. no lo olvides!!

13. Si el hijo de Daniel es el padre de mi hijo, ¿Qué parentesco tengo con Daniel?. Rpta :

La madre de ese hombre, que no es mí tío, era la suegra de mí madre.

Rpta :

PEPITO

.........................................................................

15. En una familia están presentes 2 abuelos, 2 abuelas, 3 padres, 3 madres, 3 hijos, 3 hijas, 2 suegras, 2 suegros, 1 yerno , 1 nuera, 2 hermanos y 2 hermanas. ¿Cuántas personas se encuentran presentes como mínimo?. Rpta : IV.

.........................................................................

DÍAS DE LA SEMANA Para este tipo de problemas se sugiere tener en cuenta que para el análisis; se debe partir de la parte final y seguir un procedimiento regresivo

Mamá … ¿Quién es ese hombre

KARINA

.........................................................................

14. En una cena familiar se encuentran 2 padres, 2 hijos y 1 nieto. ¿Cuántas personas como mínimo están compartiendo la cena?.

Veamos algunas situaciones diversas. 11.

.........................................................................

20. Si ayer hubiera sido como mañana, faltarían 2 días para domingo. ¿Qué día es hoy?.

Como veras hasta ahora sólo hemos recurrido al razonamiento para hallar la solución a los problemas … continua desarrollando tu ingenio y habilidad.

Rpta :

.........................................................................

TAREA DOMICILIARIA

Observemos el siguiente ejemplo : ¡¡ Ahora todo depende de ti!!

16. Siendo miércoles el pasado mañana de ayer, ¿Qué día será el mañana del anteayer de pasado mañana?.

Sólo aplica todo lo aprendido

¡ Tú puedes !

Solución .Ubicamos de manera lineal (horizontal) los datos : ayer ayer

I. hoy

mañana

Pasado mañana

El pasado mañana de ayer = miércoles ∴ Hoy = martes Ahora daremos respuesta a la pregunta con los datos obtenidos :

Completa las siguientes figuras mágicas.

1. CUBO MÁGICO EN PERSPECTIVA Un cubo mirado en perspectiva, nos muestra sólo tres de sus caras y siete vértices. En ellos es posible acomodar los números de 1 al 7, uno por vértice, de modo que los cuatro vértices de cada una de las caras sumen 15. ¿Sabrás tu colocarlos?.

1º pasado mañana ayer

hoy

Lunes

Martes

mañana

Pasado mañana

Mierc.

Jueves

3º mañana de anteayer de pasado mañana 2º anteayer de pasado mañana ∴ El día será =

miércoles

17. Si hoy es miércoles. ¿Qué día será el mañana de anteayer? Rpta :

.........................................................................

18. Si el ayer de pasado mañana es lunes. ¿Qué día será el mañana de ayer de anteayer?. Rpta :

.........................................................................

19. El ayer de mañana es jueves, ¿Qué día será el ayer de pasado mañana?. Rpta :

.........................................................................

2. LA RUEDA NUMÉRICA Ubique las cifras de 1 al 9 en los círculos pequeños de modo que la suma de las tres cifras de cada línea sea 15.

3. CUADRADO MÁGICO

8.

La única hija del abuelo de mi padres es mi : a) prima d) madre

Distribuir los números del 1 al 25, tal que la suma de las filas sea la misma (45) 9.

b) abuela e) tía abuela

Horacio es cuñado de Miguel, Miguel es cuñado de Elena y Elena es hermana de la esposa de Miguel. ¿Qué parentesco hay entre Horacio y Elena? a) cuñados b) hermanos concuñados d) esposos

II.

c) e) primos

10. En una reunión hay 3 hermanos, 3 hermanas , 2 hijos, 2 hijas, 2 primos, 2 primas, 2 sobrinos y 2 sobrinas. ¿Cuántas personas como mínimo hay en la reunión?.

Dado el siguiente grupo de “cerillos”, se pide que: 4.

c) tía

En la figura mover sólo 3 palitos para que el pez nade en sentido contrario.

a) 6 d) 16

b) 8 e) 14

c) 10

11. En una reunión familiar se observa que hay 1 abuelo, 1 abuela, 1 yerno, 1 nuera, 1 suegro, 1 suegra, 4 hijos, 2 hijas, 2 tíos, 2 tías, 3 primos, 1 prima, 2 hermanos, 3 nietos y 1 nieta. ¿Cuántas personas como mínimo se encuentran en la reunión?. 5.

a) 18 d) 10

Desplazando 4 palitos forme sólo 2 cuadrados.

IV.

6.

¿Cuántos palitos de fósforo son necesarios para formar la figura de la posición 10?.

b) 16 e) 12

c) 21

A continuación problemas sobre relación de tiempos : 12. Siendo lunes el mañana del día anterior al pasado mañana de ayer, ¿Qué día será el ayer de pasado mañana?. a) Lunes d) jueves

b) martes e) viernes

c) miércoles

13. ¿Cuál es el día que está inmediatamente después del día que subsigue al posterior día del que precede al anterior día de hoy, si el pasado mañana de mañana es viernes?. 1º 7.

2º

a) Miércoles d) Sábado

3º

¿Cuántos fósforos debemos formar siete triángulos?.

mover

para

b) Jueves e) Martes

c) Lunes

14. Si el anteayer del mañana de pasado mañana es viernes. ¿Qué día fue ayer?. a) Viernes d) Miércoles

b) Jueves e) Lunes

c) Martes

15. ayer tenía 24 años y el próximo año cumpliré 25 años. Si el día de mañana cumplo años, ¿Qué fecha será? III. Responde correctamente a las situaciones sobre relaciones (parentescos):

siguientes familiares

a) b) c)

01 de enero 31 de diciembre 02 de enero

d) 30 de diciembre e) 29 de diciembre

CUADRADOS MÁGICOS Existe un libro chino muy antiguo llamado Yih King. Nadie sabe quién lo escribió. En el libro se cuenta la historia de una gran tortuga que apareció un día en el río Amarillo. En el dorso de su caparazón había extrañas marcas. Las marcas eran puntos que indicaban los números del 1 al 9. Estaban dispuestos de tal forma que, no importaba en que dirección sumaran los números, la respuesta era siempre 15. Era un cuadrado mágico. Supongamos ahora que tenemos un tablero cuadrado que comprende 5 casillas por lado o sea 25 casillas en total; inscribamos en cada casilla uno de los números 1, 2, 3, … 25, de forma que la suma de los números de una línea cualquiera, la de los números de una columna cualquiera o de una de las dos diagonales sean iguales. Un cuadrado así, se denomina cuadrado mágico de 5º orden (es un cuadrado de orden impar, puesto que 5 es un número impar),de forma general un cuadrado mágico de “n” casillas por línea comprenderá “n” casillas en total, y se llamará par o impar según la paridad de “n” ; en cada casilla estará (una sola vez) uno de los números de la sucesión 1, 2, 3, …. n. La construcción de un cuadrado mágico es un problema teórico bastante difícil, los primeros estudios se remontan al bizantino Emanuel Moschopoulos en el siglo XIII, Damos, aquí, el método dado por Bachet de Meziriac en 1612, en su libro; problemas placenteros y deleitables , este método es sólo válido para un cuadrado de orden impar (que supondremos de 5 casillas por línea, para simplificar la explicación). 1. Dibujar el cuadrado, trazando líneas paralelas a los lados. 2. Alargar las paralelas más allá de cada lado, y construir así, fuera del cuadrado unos pequeños cuadrados semejantes a los primeros y que vayan decreciendo siempre en número de dos hasta que terminen en un solo cuadradito de arriba” (ver la figura). 3. Inscribir la cifra 1 en “el cuadradito de arriba” después en diagonal inscribir los números en su orden natural: 1, 2, 3, 4, ….. Se sitúan así dentro del gran cuadrado leyéndolos línea a línea los números 11, 7, 3 para la primera línea (separados por dos casillas blancas). Los números 12 y 8 para la segunda línea, etc. 4. Para terminar pasamos los números que “rebasan”, dentro del cuadrado grande según lo siguiente : los de arriba van abajo, los de abajo van arriba, los de la derecha van a la izquierda y los de la izquierda van a la derecha, señalando que hay que llevar el número que se halla fuera del cuadrado a la misma fila donde se encuentra tantos lugares más adelante como unidades hay en el lado del cuadrado. En nuestro ejemplo , la cifra 1 debe bajarse 5 casillas puesto que el cuadrado tiene un lado de 5 unidades.

El número secreto en un cuadrado mágico de orden impar es el del centro. Multiplica este número por cinco para obtener los totales de las líneas. En este cuadrado mágico dicho total es 65

NIVEL: SECUNDARIA

SEMANA Nº 2

QUINTO AÑO

INDUCCIÓN - DEDUCCIÓN

Casos Particulares

CASO GENERAL (conclusión)

Inducción

¿Cuántos palitos de fósforos conforman el siguiente castillo?.

Veamos las siguientes situaciones: 1.

1

2

3

Calcular el número total de palitos de fósforos que conforman la torre.

28 29 30

¿Cómo resuelvo este problema?

1

2

3

28 29 30

Solución .Entonces aplicamos inducción, analizando los 3 casos más simples que se puedan encontrar. En este capítulo analizaremos formas de solución para problemas aparentemente complicados (como el anterior) pero que con un poco de habilidad e intuición llegaremos a soluciones rápidas; haciendo uso de métodos de inducción y deducción. ¡¡Entonces analicemos juntos lo que estos métodos implican!! I.

Caso 1 :

Nº de palitos 3 ⇒

1

2

2

-1

2

Caso 2 :

RAZONAMIENTO INDUCTIVO Consiste en analizar casos particulares para conseguir ciertos resultados que al analizarlos nos permitan llegar a una conclusión (caso general).

8 ⇒ 1

2

2

-1

Caso 3 : ∴ Suma de cifras =

15 ⇒

1

2

2

-1 ¡No olvides! Es muy importante el análisis de lo particular a lo general, recuerda la clave radica en darle una forma más cómoda a los resultados de los casos que se van distribuyendo ..

3

En el problema :

2

1

2

3

-1=

28 29

3. Calcular el valor de : M=

∴ Nº de palitos =

97.98.99.100 + 1 Rpta : …………………………

Generalmente es necesario y suficiente analizar convenientemente 3 casos particulares, y sencillos, manteniendo la forma inicial (general) en que se presenta el ejercicio … ¡No lo olvides! 2. Calcular el valor de “E” y dar como respuesta la suma de sus cifras. E = (333 …. 334)

4. ¿Cuántos apretones de manos se producirán al saludarse 40 personas asistentes a una reunión?. Rpta : ………………………… 5. ¿Cuántas bolitas se pueden contar en total en la siguiente figura?.

2

101 cifras

100 bolitas

Solución .2

(34) = 1156

⇛ Suma de cifras = 13 ⇨ 6(2) + 1

Rpta : …………………………

2 cifras 2

(334) = …………. ⇛ Suma de cifras = …….. ⇨ ………… 3 cifras 2

(3334) = ………… ⇛ Suma de cifras = …….. ⇨ …………

6. ¿Cuántos asteriscos hay en total? F1 F2 F3

           

4 cifras

F50

  

  

2

(333 …. 334) = ……………………….. ⇛ Suma de cifras = 101 cifras

…………………………. ⇨ ………………………………

Rpta : …………………………

7. Según el esquema mostrado, ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “TRILCE”?.





I I I

(3)

3 términos

T R R

2

1+3+5 = 9

# de términos

1+3+5+7 =

(

4 términos

)

2

# de términos

L L L L C C C C C E E E E E E En general Rpta : ………………………… 8. Dado el esquema : S1 :

S2

:

2

Caso particular : n = 1600 ………… (Dato) S3

S4

:

∴ n = ……………….

10. Calcular el resultado de operar : M = (a – n) (b – n) (c – n) (d – n) …………………. (x – n) ¿Cuántas bolitas habrá en S12?

Rpta : …………………………

Rpta : …………………………

II.

RAZONAMIENTO DEDUCTIVO

•

•

Consiste en aplicar un caso general ya comprobado en casos particulares método por el cual se procede de manera lógica de lo general (universal) a lo particular.

Como habrás notado es necesario recordar criterios básicos (de las operaciones). La deducción e inducción se relacionan y se complementan. ¡No lo olvides!

11. Calcular : Caso General

Casos Particulares

Deducción

9. La suma de los “n” primeros números impares es 1600 por lo tanto, ¿Cuál es el valor de “n”?. .

Para resolver este problema hay que conocer a que es igual la suma de los “n” primeros números impares (caso general) y luego verificar el valor de “n” cuando la suma sea igual a 1600 (caso particular). 

35 3535 353535 353535 K 35 +K K+ + + 121212 12 1212 121212K 12 24 cifras

Analicemos los siguientes casos :

Solución -

E=

24 cifras

1 + 3 = 4

2

(2)

2 términos

# de términos

Rpta : ………………………… 12. Hallar : a + b ; si : 2

(1 . 3 . 5 . 7 . 9 … ) = K ab Rpta : ………………………… 13. Hallar las tres últimas cifras de “n”, si : n . 18 = ……………………… 8428 ……………………… (1) n . 28 = ……………………… 0888 ……………………… (2) Rpta : …………………………

14. Hallar la suma de cifras de : 40

P = (10 + 1) (10

40

– 1)

5.

Hallar : K =

suma sumeno

+

amor moreno

10521

b)

12562

c)

10648

d)

12167

e)

Rpta : ………………………… 15. Si : (+)(+) = (-) (-)

a)

1

Fila 2

3 5

Fila 3

7 9 11

Fila 4

13 15 17 19

Hallar la última cifra luego de efectuarse el producto.

P = (2

Rpta : …………………………

13824

Fila 1

2000

+ 1) (2

1999

+ 1) (2

a) 7 d) 4 6.

TAREA DOMICILIARIA

1998

+ 1) (2

1997

2

+ 1) … (2 + 1)

b) 6 e) 2

c) 5

Calcular la cantidad total de esferas en el siguiente arreglo triangular. a) 4950 b) 5000 c) 4850 d) 5050

Ya te has dado cuenta que no

e) 5151

hay problema complicado o difícil,

sólo

tienes

que

ayudarte con el uso de la

7.

2

inducción y deducción

Relacionar correctamente : a) Inducción b) Deducción

( ( ( ( ( (

2.

8.

) De lo general a lo particular ) De lo particular a lo general. ) Se analizan 3 casos sencillos ) Se relacionan y complementan. ) Es necesario redactar criterios básicos. ) Tenemos que darle una forma cómoda a los resultados.

Calcular la suma de cifras del resultado: E = (9999 ….. 999)

2

a) 250 d) 329 3.

Calcular :

b) 243 e) 789

2

2

c) 246

2

(135) + (85) + (65) + (145) a) 12167 d) 65200 4.

b) 10090 e) 12850

2

c) 50700

Calcular la suma de términos de la fíla 23.

500

b) 9 e) 3

+ 999) + 4

c) 5

Calcular la suma de cifras del resultado de efectuar : 999 …. 992 x 999 … 998 40 cifras

a) 421 d) 398 9.

Hallar :

40 cifras

b) 375 e) 367 4

4

c) 413

8

3(22 + 1)(2 + 1)(2 + 1) + 1

a) 25 d) 16

27 cifras

3

P = (10 + 1) (10 + 3) (10 + 5) ….. (10 a) 6 d) 4

1.

98 99 100

1 2 3

En qué cifra termina :

b) 21 e) 12

c) 18

10. ¿Cuántos puntos en contacto hay en la siguiente gráfica de circunferencias? a)

1305

b)

1218

c)

1425

d)

1740

e)

1521

1 2 3

28 29 30

11. A una hoja cuadrada y cuadriculada con 100 cuadraditos por lado, se le traza y una diagonal principal. ¿Cuántos triángulos como máximo podrán contarse en total?. a) 1000 d) 101100

b) 10100 e) 100100

c) 10500

12. Según el esquema mostrado. ¿de cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “inducción”?. a)

325

b)

256

c)

304

d)

272

e)

282

I N N D D D U U U U C C C C C C C C C C C I I I I I I I O O O O O O O O N N N N N N N N N

13. Calcular “E” y dar como respuesta la suma de sus cifras. 2 E = (333 …. 333) 200 cifras

a) 900 d) 2700

b) 1200 e) 9990

c) 1800

14. Si : a + b + c + d + e +f = 27 Hallar la suma de cifras del resultado de sumar los números. abcdef , bcdefa , fabcde , cdefab , efabcd y defabc a) 65 d) 72

b) 48 e) 54

c) 56

15. Cuántos palitos hay en la siguiente figura. a)

720

b)

610

c)

850

d)

960

e)

560 1

2

19

20

Los Huesos de Napier ¿Tienes algún problema en multiplicar números grandes? ¿No puedes recordar las tablas? ¿Has perdido la calculadora? ¡Socorro! John Napier inventó un sistema de multiplicación en el siglo XVII. Fue conocido como los huesos de Napier, ¡porque los números originales estaban tallados en huesos!. Éste es el hueso para el número 6.

Utilizando una hoja de papel cuadriculado, dibuja y corta 2 tiras. Haz que una de ellas sea la fila x (veces), la otra será la tira 6. Para saber cuántos es 3 x 6, encuentra el 3 en la tira x (veces) y mira la fila del 6. ¡Ésa es la respuesta 18!.

Los dos números en cada fila tiene una línea inclinada que los separa. Los números de la izquierda son decenas y los de la derecha unidades. Así, por ejemplo, la primera fila no tiene decenas y sí 6 unidades, por lo tanto es 6. El segundo tiene 1 decena y 2 unidades, lo cual hace 12, y así sucesivamente. Cada fila tiene 6 más que la anterior.

Fig. 1

¡Es fácil! Pero ¿Qué ocurre si quieres multiplicar 64 x 4? Primero, haz una nueva tira y llénala con números para 4. Colócala a continuación de la tira del 6 para hacer 64. Alinéalas con la tira x (veces) fig. 2 Ahora escribe los números de las filas que se alinean con el número 4 de la tira x (veces), como indica la flecha de líneas punteadas, (el aspecto será el de la figura, de la derecha) ahora escribe los números debajo, sumando los números unidos por la raya inclinada.

Fig. 2 Intenta multiplicar 64 x 8 La columna del centro suma ahora más de 10, así que se traslada el 1 a la siguiente columna de la izquierda.!.

La respuesta es 256 La respuesta es 512

NIVEL: SECUNDARIA

SEMANA Nº 3

QUINTO AÑO

CRIPTOARITMÉTICA Ahora sí, teniendo en cuenta desarrollemos el ejemplo anterior. DAME

Se demuestra que :

+ M AS “AMOR ”

DAME + M AS

aprendido

Donde : O = cero Piden : máximo valor de AM O R

Solución . -

AM O R Donde : O = cero

Se deduce : E + S < 10

Hallar : el máximo valor de la palabra “ A M O R ”. Problemas de este tipo se

Unidades :

E+S=R

Se deduce que :

Decenas :

M + A = 10

M=1

Centenas :

1+M+A=…M

conoce como “Criptoaritmética” ..

Millares :

1+D=A=9

conozcamos lo que esto significa y

Como AM O R debe ser máximo, entonces; R = 7

encuentran dentro de lo que se

luego encontremos esos números escondidos.

1.

lo

Luego :

AM O R

A=9 

D=8

= 9107

CRIPTOARITMÉTICA ¡Fácil verdad! …. Practiquemos con los

.........................................................................................

siguientes problemas! :

......................................................................................... ......................................................................................... 2.

Tipos de enunciados criptoaritméticos A B + B C B C B (I)

3.

CINCOTRES DOS (II)

87 + 569 1336 (III)

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.

suma es :

Norma Principal (consideraciones) : 3.1

3.2

............................................................................... ............................................................................... ............................................................................... ............................................................................... ............................................................................... ............................................................................... N OT A : Hay que utilizar las reglas matemáticas conocidas en cuanto se refiere a las operaciones básicas.

Si cada letra diferente representa a un dígito diferente, el valor de U + N + I en la siguiente

a) 20 b) 18 c) 15 d) 13 e) 12 2.

U N I U N

U + N I I

El producto de un entero positivo “x” de 3 dígitos por 3 es un número que termina en 721. La suma de los dígitos de “x” es: a) 13 d) 14

b) 12 e) 15

c) 16

3.

En la siguiente multiplicación, calcular la suma de las cifras del producto total (cada punto representa un dígito). a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

4.

abc x 27. Si los productos parciales suman 2862. a) 23 d) 26

   x  3  0   4    1  5

38

p q q r p q r p

b) 43 c)

30

d) 49 e) 47

a) 9 d) 12

r p p

a) 6 d) 2

la

siguiente

suma

7.

1331 2442 1441 1551 2332

13. Si : EVA + AVE = 645 ; Hallar : V + E + A

y

dar

como

d) 1998

e) 1999

A

L +

M

A

S

L

L

A

2

a) 9 d) 36

b) 16 e) 100

c) 25

TAREA DOMICILIARIA

c) 114957

Ya haz practicado lo suficiente, ahora puedes hacerlo sólo …

2 3 4 5

Se sabe que :

r + s = 16

Calcular : (a + b + c – d)

a) 1

9.

;

c) 1994

qqss + rrpq + pprp + ssqr = addbc

En esta operación una de las cifras vale:

b) c) d) e)

c) 14

b) 1992

15. p + q = 12

S

b) 142857 e) 134575

b) 13 e) 16

a) 1990

Si a un número entero de seis cifras que comienza con (1) se le traslada este uno a la derecha de la última cifra, se obtiene otro número que es el triple del primero, el número inicial es: a) 142867 d) 155497

8.

A

c) 1

14. Hallar : abc + bca + cab ; si : a + b + c = 18

resultado el valor de: MAS + SAL a) b) c) d) e)

c) 11

b) 3 e) 7

a) 12 d) 15

111 A B + 120 C A 102 1 1 1 121 Hay más de una solución

Reconstruir

b) 10 e) 13

12. Si se cumple que : abc + bca + cab = 1cc6 Hallar : a + b – c

dígitos. Calcular la suma de BA más AC .

6.

c) 25

a4b8 + 3c5d = 8a90

En la siguiente suma las letras A, B, C representa

a) b) c) d) e)

b) 24 e) 27

11. Hallar : a + b + c + d, sabiendo que :

En la división solo intervienen tres dígitos : p, q, r. Hallar el valor de 2p + 3q + 5r a)

5.

10. Hallar la suma de las cifras del producto

Tú puedes, sólo aplica todo

A B + B C B C B abc x m = 2312 abc x n = 1734

¿Cuánto es abc x mn ?

lo aprendido.

1.

Criptoaritmética es el de

encontrar a) 9652 d) 25854

b) 24854 e) N.A.

c) 21954

representadas

con

letras _.

en

una

2.

Colocar : “F” o “V” según corresponda : 1. 2. 3. 4.

3.

Cada letra de un numeral Representa una cifra. Letras diferentes son dígitos diferentes. Donde se repiten los () son Dígitos iguales. Debemos utilizar los conceptos básicos de las operaciones

9. (

)

(

)

(

)

(

)

a) 15 d) 24

Calcular :

b)

m.n.p:

c) 4.

2

Hallar : abc + acb + bac + bca + cba + cab Sabiendo que : a + b + c = 9

5.

6.

24 48

c) d) e)

72 96 126

a 7 c + c 6 a 5 b 9 1 c 2 6

11 12 14 15 16

297 594 495 369 396

a) b) c) d) e)

b) 19 e) 20

c) 21

NIGMAE x 5 ENIGMA

12. Si : ABC x CBA = 39483 Hallar : A + B + C a) 4

b) 5

d) 7

e) 9 A

c) 6

PEZ = A

Hallar : P + A + Z + E a) 15 d) 18

b) 16 e) N.A.

c) 17

14. Si cada letra diferente representa un dígito 7 a b 4 c d O b

diferente y sabiendo que : QUE + QUE = ESOS (0 ≠ cero)

a 7 c 8

Hallar : Q + U + E + S + O

a b c

a) 21

b) 22

d) 19

e) 23

15. Si :

-

C E R O

3 1 6

C E R O C E R O C E R O NA D A

x74y + z7y + 5yx2 = yyx64 b) 32 e) N.A.

c) 45

a) 28 d) 58

c) 20

C E R O +

b c a

Calcular : x . y . z; si se cumple que :

a) 24 d) 30

c) 24

5 6 7 8 9

13. Si :

En la siguiente resta, hallar : abc − cba . a) b) c) d) e)

8.

c) 1886

En la siguiente resta O = cero. Determinar el valor de : a + b + c a) b) c) d) e)

7.

b) 1998 e) N.A.

El Producto de los dígitos : a, b y c que aparecen en la suma es: a) b)

b) 26 e) 22

11. En la multiplicación, el mayor dígito que aparece en el producto es :

2

m +p :

a) 1445 d) 1776

a) 25 d) 27

Hallar : A + B + C

mmm + nnn + ppp = 2664 El valor de m, n y p :

OLLA + LOLA

10. Si : AABB = CC

Sabiendo que : m ≠ n ≠ p y además:

a)

Si : AA + LL + OO = ALO ; O ≠ cero Calcular el valor de la suma de las cifras de :

Con : O ≠ cero Hallar la suma de valores de “X” X=D+O+C+E+N+A

b) 34 e) N.A.

c) 62

MENOS POR MENOS ES MÁS Hasta fines del siglo XVIII, los números negativos no fueron aceptados universalmente. Sin embargo los matemáticos de la India, en el siglo VII usaban los números negativos para indicar deudas y los representaban con un circuito sobre el número: admitían soluciones negativas en las ecuaciones pero no las tomaban en consideración porque decían que “la gente no aprueba las raíces negativas”. Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los números negativos “falso”, pero en su Ars Magna (1545) los estudió exhaustivamente. John Wallis (1616 – 1703), en su Arithmetica Infinitorum (1655) “demuestra” la imposibilidad de su existencia diciendo que “esos entes tendrían que ser a la vez mayores que el infinito y menores que cero”. Leonardo Euler, es el primero en darles estatuto legal; en su Anleitung Zur Álgebra (1770) trata de “demostrar” que (-1) (-1) ) = +1; argumenta que el producto tiene que ser +1 ó -1 y que, sabiendo que se cumple (1) (-1), tendrá que ser : (-1)(-1) = +1. Hoy, una de las preguntas más repetidas en las clases matemáticas es ¿Por qué menos por menos es más?. Es difícil encontrar una respuesta sencilla y convincente, ya que la regla e puramente arbitraria y se adopta solo para que no aparezcan contradicciones, pero existen varias justificaciones claras y aceptables: Equivalente lingüístico: “la doble negativa equivale a una información”: No es cierto que Pepito no tenga el libro = Pepito tiene el libro. Un ejemplo fácil de visualizar es el de isla Barataria, donde hay ciudadanos “buenos a los que se asignan el signo + y, ciudadanos “malos” a los que se da el signo -.También se acuerda que : “salir” de la isla equivale al signo -, y “entrar” a la isla equivale al signo +. Entra a la isla

Si un ciudadano bueno (+) entra (+) a Barataria, el resultado para la isla es positivo: (+) (+) = (+) Si un ciudadano malo (-) sale (-) de barataria, el resultado para la isla es positivo (-) (-) = (+) Si un ciudadano bueno (+) sale (-) de barataria, el resultado para la isla es negativo: (+) (-) = (-) Si un ciudadano malo (-) entra (+) a barataria, el resultado para la isla es negativo: (-) (+) = (-)

Ciudadano bueno + Ciudadano Malo -

Sale de la isla

+

-

+

-

-

+

NIVEL: SECUNDARIA

SEMANA Nº 4

QUINTO AÑO

MÉTODOS OPERATIVOS - I Los Métodos Operativos (Técnicas/artificios). Nos ayudan a simplificar los problemas, abreviando planteamientos tediosos y cálculos saturados.

Ahora desarrollaremos juntos las siguientes situaciones, aplicando operaciones inversas. (Método del cangrejo) …

Hemos clasificado los métodos operativos en: I.

Método de operaciones inversas (cangrejo)

II.

Método del rombo (Falsa su suposición)

III. Método de diferencias (Comparación de Cantidad) IV. Método de la regla conjunta (Equivalencia)

La clave para la resolución de los problemas radica en saber reconocer en que caso aplicar determinado método y cuál es el procedimiento de solución.. ¡He ahí nuestro desafío!

I.

Ejemplo : Completa el siguiente cuadro : Enunciado

En la última línea : “gasto la mitad más uno”, no se puede traducir como ÷2, +1 por que ese “mas uno” es un gasto y debe ir con signo negativo, dado que la operación final es una sustracción .. ‘No lo olvides!!

Se aplica en aquellos problemas donde la variación inicial se desconoce, hay una serie de operaciones y nos dan como dato el valor final (resultado). El procedimiento de solución consiste en invertir el sentido de las operaciones.

Valor Final

Valor Inicial Proceso Directo

x

Operaciones Directas

Valor Inicial

Valor Final Proceso Inverso

Dato

Dato

Operaciones Inversas

x

Cangrejo (Op. Inversas)

Duplicó su dinero Gastó 4 soles Triplico lo que tenía Gastó la mitad más 1

MÉTODO DE OPERACIONES INVERSAS

La idea queda resumida en el siguiente esquema:

Interpretación (Op. Directas)

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.

Una persona ingreso aun restaurante, gastó la mitad de lo que tenía y dejo 3 soles de propina: Luego ingreso a una heladería, gastó la mitad de los que aún le quedaba y dejó 2 soles de propina, quedándose sin dinero. ¿Cuánto tenía inicialmente?. a) 12 soles d) 14

b) 16 e) 18

c) 10

Solución : sus gastos fueron : En el restaurante : …………………………………………………….. En la heladería :

……………………………………………………..

Las operaciones directas son : x → (÷2,

-3, ÷ 2, -2) → 0

restaurante

a) 100 d) 130

heladería

Las operaciones inversas tenían : 0 → (…………………………)→x ∴ x = 2. Aun número se le efectuaron las siguientes operaciones, se le agrego 10, al resultado se le multiplico por 5, para quitarle enseguida 26. Si a este resultado se extrae la raíz cuadrada y por último se multiplica por 3, se obtiene 24. ¿Cuál es el número?. a) 12 d) 6

b) 10 e) 14

c) 8

3. El nivel del agua de un pozo en cada hora desciende 3 cm. por debajo de su mitad, hasta quedar vació el pozo luego de 4 horas. ¿Qué profundidad tenía el agua inicialmente?. a) 144cm d) 72

b) 120 e) 90

c) 80

4. En un lejano país existe una imagen milagrosa que duplica el dinero con la condición de que el favorecido deja una ofrenda de 80 monedas después de cada milagro. Uno de sus feligreses resultó favorecido 3 veces seguidas y dejó también sus ofrendas, pero que al final quedó poseedor de nada. ¿Cuánto tenía inicialmente?. a) 90 monedas d) 80

b) 120 e) 160

c) 70

5. Dos jugadores; acuerdan que después de cada partida la que pierde duplicará el dinero de otra. Después de dos partidas, que las ha ganado una sola jugadora cada una tiene 64 soles. ¿Cuánto tenía la perdedora al inicio?. a) S/.16 d) 112

b) 128 e) 32

c) 96

6. Jorge le dice a Rosa : “Si a la cantidad de dinero que tengo le agrego 20 soles y luego a ese resultado lo multiplico por 6, para quitarle a continuación 24 soles. Y si a este resultado le extraigo la raíz cuadrada y por último lo divido entre 3, obtengo 8 soles, lo que tengo al inicio es”. a) S/.92 d) 576

b) 24 e) 352

7. Lili, cada día gasta la mitad de lo que tiene más S/.20; si gastó todo en 4 días. ¿Cuánto gasto el segundo día?.

c) 80

b) 110 e) 140

c) 160

8. Hallar la profundidad de un pozo de agua sabiendo que cada día su nivel desciende en 4 metros por debajo de su mitad, quedando vació al cabo del cuarto día. a) 110m d) 140

II.

b) 120 e) 150

c) 130

MÉTODO DE FALSA SUPOSICIÓN

Se aplica cuando en un problema existen 4 datos como mínimo 1. 2. 3. 4. El procedimiento de solución radica en realizar una falsa suposición (asumiendo que todos los elementos son de una sola clase). El presente diagrama resume estas apreciaciones. Clase “A” #total de elementos (Conjunto)

÷

Valor real (Total)

Clase “B” Lo que despejamos al realizar estas operaciones es la cantidad de elementos que no fueron tomados en cuenta en la suposición (Clase “B”)

# de elementos (conjunto x A) − TOTAL = de "B" A−B # de elementos = de "A"

a) 5L d) 13

Ya conociendo la fórmula y el procedimiento de solución… apliquemos esté método de los siguientes problemas….

9. En un billetera hoy 24 billetes que hace un total de $560. Si sólo habían billetes de $50 y $10. ¿Cuántas eran de cada clase?. a) 14 y 10 d) 15 y 19

b) 16 y 8 e) N.A.

c) 12 y 12

Solución :

: : : :

............................................... ............................................... ............................................... ...............................................

* * Ahora con los datos elabore el rombo: algunos de:

c) 9

13. En una prueba de 50 preguntas, un alumno gana 2 puntos por repuesta correcta pero pierde un punto por cada equivocación. ¿Cuántas respondió correctamente, si obtuvo 64 puntos y contesto todas?. a) 42 b) 36 c) 38 d) 34 e) 32 14. Se tiene 3600 soles en billetes de S/.100 y S/.50 que se han repartido entre 45 personas tocándole c/u un billetes. ¿Cuántas personas recibieron un billete de S/.100?. a) 30 d) 15

* Identificar los 4 datos : 1. Conjunto 2. Clase “A” 3. Clase “B” 4. Total

b) 4 e) 11

b) 18 e) N.A.

c) 27

15. Dos niños han recorrido en total 64 metros dando entre los dos 100 pasos. Si cada paso del segundo mide 50 cm. y cada paso del primero mide 70 cm. ¿Cuántos pasos más que el segundo ha dado el primero?. a) 10 d) 40

b) 20 e) 50

c) 30

TAREA DOMICILIARIA # Billetes

Dinero Total Ya conoces los métodos operativos – I, ahora práctica con los siguientes ejercicios … y recuerda: “Mucha habilidad y

otros de: # billetes de $10 =

=

10. En un examen, cada respuesta correcta vale 4 puntos y cada incorrecta vale (-1) punto. Si un alumno, luego de responder 30 preguntas obtuvo 80 puntos. ¿En cuántas se equivocó?. a) 7 d) 6

b) 9 e) 10

c) 8

11. En un zoológico, entre todas las jirafas y avestruces se podían contar 30 ojos y 44 patas. Determinar el número de alas. a) 14 d) 12

b) 28 e) 30

c) 16

12. Un litro de leche pura pesa 1030 gramos, si un vendedor entregó 55 litros que pasaban 56,5 kg. Calcular la cantidad de agua que contenía esta entrega.

1. Los

métodos

operativos nos ayudan a los problemas abreviando: y .

2. Relacionar correctamente : a) b) c) d)

Se aplica operaciones inversas Generamos un valor supuesto Es dato el valor final Existen 4 datos

(

)

Met. Rombo

(

)

Met. Cangrejo

( (

) )

Met. Rombo Met. Cangrejo

3. En el siguiente problema : Tres jugadores : A, B y C convienen en que el que pierda duplicará el dinero a los demás si pierden en ese orden quedando al final c/u con 32 soles. Responder :

9. Martín trabaja en una compañía en la cual, por cada día de trabajo le pagan 300 soles y por cada día que falta le descuentan 100 soles de sus sueldos. ¿Cuántos días ha trabajado si al final de 40 días adeuda a la empresa la suma de 2000 soles?.

a) ¿Cuánto tenía c/u inicialmente?

b) ¿Quién ganó mas y cuánto?. c) ¿Quién perdió y cuánto? d) ¿Quién tuvo más dinero en las diferentes etapas del juego?.

4. Juan le dice a Luis : “Si el doble de mi edad, lo multiplicas por 8, luego divides por 10, al cociente lo multiplicamos por 3, agregas 36 y por último, ivides el resultado entre 6, obtendrías 30 años. ¿Cuántos años tienen Juan?. a) 20 d) 50

b) 30 e) 60

c) 40

5. Con 34 monedas de 5 y 10 pesos se desea colocar una a continuación de otra hasta alcanzar la longitud de un metro. Si los diámetros de las monedas son de 20 y 30mm respectivamente, el # de monedas de 5 pesos es: a) 20 d) 30

b) 32 e) 2

c) 18

6. Paola escribe cada día la mitad de las hojas en blanco de un cuaderno más 5 hojas. Si al cabo de 4 días gastó todas las hojas. ¿Cuántas hojas tenía el cuaderno?. a) 200 d) 120

b) 175 e) 150

c) 225

7. En un concurso de admisión, la prueba de R.M. tenía 100 preguntas, por cada respuesta correcta se le asigna un punto y cada incorrecta tiene puntaje en contra de 1/4 de punto. César ha obtenido en dicha prueba 50 puntos, habiendo respondido la totalidad de preguntas planteadas. ¿Cuántas erró? a) 10 d) 25

b) 50 e) 40

c) 30

8. Tres jugadores: A, B y C acuerdan que después de cada partido el perdedor duplicará el dinero de los otros dos. Habiendo perdido cada jugador una partida en el orden ABC, resulta que el 1º tiene 24 soles, el 2º 28 y el 3º 14. ¿Cuánto dinero perdió “A”?. a) 8 d) 16

b) 10 e) 18

c) 12

a) 12 d) 5

b) 13 e) 10

c) 18

10. Cada vez que una persona ingresa a una cafetería gasta la tercera parte de lo que tiene en ese momento, más cuatro soles. Al salir por 3ra vez se queda sin dinero, ¿Cuánto tenía al comienzo?. a) S/.48 d) 22,5

b) 15,6 e) 17,5

c) 28,5

11. A Jorgito, por cada día que asiste al colegio, le dan 4 caramelos y por cada día que falta le quitan uno. ¿Cuántos días faltó si después de 28 días reunió 12 caramelos?. a) 24 d) 12

b) 20 e) 4

c) 25

12. Si trabaja los lunes inclusive, Juan economiza 40 soles semanales; en cambió, la semana que no trabaja el día lunes, debe quitar 20 soles. De sus ahorros. Si durante 10 semanas se logra economizar 220 soles. ¿Cuántos lunes dejó de trabajar en esas 10 semanas?. a) 1 d) 7

b) 3 e) 8

c) 5

13. Con un cierto número se hacen estas operaciones : se eleva al cubo, al resultado se suma 9 y se extrae raíz cuadrada; al número resultante se divide entre 3 para luego restarle 1 y por último elevarlo al cuadrado, obteniéndose 16. ¿De qué número se trata?. a) 4 d) 12

b) 6 e) N.A.

c) 9

14. Un tren de 325 pasajeros tiene que recorrer 150 km. Los pasajeros de 1ra clase pagan 4 soles por km y los de 2da clase pagan 2 soles por km. ¿Cuántos pasajeros iban en el de 1ra clase, si en ese viaje se ha recaudado : 129 600 por concepto de pasajes?. a) 125 d) 145

b) 218 e) 107

c) 99

15. El nivel del agua de una piscina desciende a 3cm. Por debajo de su mitad y luego de 4 horas se desagua toda la piscina. ¿Qué profundidad tenía el agua actualmente?. a) 80cm d) 108 cm

b) 90 cm e) 120 cm

c) 96 cm

1. PRODUCTOS SIN REPETIR CIFRAS. Los siguientes productos tienen la curiosa particularidad de expresarse con igualdades en las que entran sólo una vez cada una de las nueve primeras cifras significativas; no se pone como problema encontrar estos productos, puesto que no hay principios generales, para ello. Se les puede encontrar consultando pacientemente. Tablas como la de CRELLE, que presentan los productos de dos factores hasta 999 x 999. Por ejemplo : 483 x 12 = 5 796

157 x 28 = 4 396

159 x 48 = 7 632

297 x 18 = 5 346

186 x 39 = 7 254

1 738 x 4 = 6 952

198 x 27 = 5 346

138 x 42 = 5 796

1 963 x 4 = 7 852

(Pueden ser útiles para comprobar si lucen bien todas las cifras de una calculadora). 2. PRODUCTOS QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA. 12 345 679 x 9 = 111 111 111 a. Una propiedad muy conocida del número. 12 345 679 x 18 = 222 222 222 12 345 679, es que al multiplicarlo por 9 da un producto que se escribe con sólo la cifra 1, esto es el número 111 111 111. Por lo tanto, al multiplicarlo por 18 (que e 9 x 2), por 2 (que es 9 x 3), por 36, etc. Se obtienen también productos notables, a saber: b.

12 345 679 x 27 = 333 333 333

12 345 679 x 81 = 999 999 999

De no conocer este multiplicando, podríamos, haber intentado hallarlo sin más que dividir por 9 el número 1111 … bajando después de cada resto un uno, en vez de un cero, hasta que la división fue exacta. Del mismo modo vamos ahora a investigar cuál es el número que 11 7 multiplicado por 7. Da un producto escrito con sólo las cifras 1: 41 15873 Por consiguiente, resultará : 15 873 x 7 = 111 111 15 873 x 14 = 222 222 15 873 x 21 = 333 333 .................. .................. 15873 x 63 = 999 999

c.

61 5 1 2 1 0

Requiere ya más paciencia, contestar a esta pregunta. ¿Cuál es el número que, multiplicado por 49 da un producto que se escribe con sólo la cifra 1?. En efecto, procediendo como antes, se encuentra:

nada menos.

2267573696145124716553287981859410130839

NIVEL: SECUNDARIA

SEMANA Nº 5

QUINTO AÑO

MÉTODOS OPERATIVOS II Hoy terminaremos esta parte de los métodos operativos, estudiando los métodos del rectángulo y de la regla conjunta.

A la aplicación de la fórmula y del gráfico se le conoce como : .

Ahora si conocida la teoría, practiquemos con los siguientes problemas …

MÉTODO DE DIFERENCIAS



Dado el siguiente problema: “Un vendedor ofrece un lote de camisas a 24 soles c/u para ganar 60 soles respecto a su inversión pero si decide venderlo a 18 soles cada camisa, pierde 30 soles. ¿Cuántas camisas tienen el lote? Podeos observar :

1. En el problema anterior: Solución : La incógnita principal (n) es # de camisas. La comparación, se observa en el siguiente gráfico.

Un # desconocido de elementos (n) de una misma que cambia su valor y esto genera una variación en el valor de los (n) elementos.

pierde

gana

Para hallar este # desconocido (n) se aplica la siguiente fórmula. La diferencia total es: La diferencia unitaria (cambio de precio) Entonces :

n=

n= Lo mas importante es reconocer correctamente ambas diferencias y esto puede lograrse con la ayuda del siguiente gráfico.

2. Unos alumnos hacen una colecta para adquirir una pelota para su equipo de Básquet. Su c/u colaborase con 3 soles faltarían 20 soles, entonces deciden aumentar la colaboración a 3,5 soles y ahora les alcanza y sobra 5 soles. ¿Cuánto cuesta la pelota?.

Referencia (x) B Valor Total (2)

pierde C

gana

Diferencia Total

=

∴ El lote tenía :

Valor Total ( )

A

D.T = D.U

D

a) 150 d) 120

b) 170 e) 125

c) 180

3. Un padre va con sus hijos a un concierto y al querer comprar entradas de 65 soles. Observa que le falta para 4 de ellos y tiene que comprar entradas de 35 soles. Es así que entran todos y le sobra 10 soles. ¿Cuántos hijos llevó al concierto?. a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

Se resuelven verificando que el segundo miembro de cada sea de la misma que el primero de la siguiente y así sucesivamente, para finalmente multiplicar estas .

c) 8 Para su mejor comprensión veamos algunos problemas…

4. Se requiere rifar una computadora con cierto # de boletos si se vende cada boleta a 10 soles se pierde 1000 y si se vende a 15 soles se gana 1500 soles. Determinar el # de boletos y el precio de la computadora. a) 500; 6400 d) 500 ; 6000

b) 600 ; 1200 e) 300 ; 7000

c) 400 ; 5000

5. Se desea rifar un reloj vendiéndose cierto # de boletos. Si se vende cada boleto a S/.0,70 se pierde 40 soles y si se vende cada boleto a S/.0,80. Se gana 50 soles. El precio del reloj en soles es: a) 90 d) 670

b) 220 e) 120

c) 720

6. Un matrimonio dispone de una suma de dinero para ir al teatro con sus hijos. Si compra entradas de S/.8 le faltaría S/.12 y si adquiere entradas a S/.5 le sobraría S/.15. ¿Cuántos hijos tiene el matrimonio?. a) 1 d) 7

b) 3 e) 9

b) 47 e) 48

b) 450 e) 600

b) 400 e) N.A.

c) 600

Formamos las equivalencias y apliquemos regla conjunta de acuerdo a lo aprendido … Así tendremos : 6 varas

=

5 metros

2 metros

=

S/. 300

S/. x

=

4 varas

Multiplicando 6 . 2 x = 5 . 300 . 4

x=

5 . 300 . 4 = 6.2

c) 57 ∴ x = S/.

8. Se contrata un empleado; por el tiempo de 9 meses; prometiéndole pasar S/.800 más un reloj; pero al cabo de 5 meses se le despide, pagándole entonces S/.200 más el reloj. Determine el precio del reloj?. a) S/.400 d) 550

a) 500 d) 800

c) 5

7. Un ingeniero quiere premiar a algunos de sus ayudantes; dando 5 soles a c/u le faltarían 3 soles y dándoles 4 soles le sobrarían 7 soles, dar la suma del # de ayudantes y el # total de soles?. a) 10 d) 67

9. Sabiendo que 6 varas de paño cuestan lo mismo que 5 metros y que 2 metros valen 300 soles. ¿Cuánto costarán 4 varas?

c) 500

IV. MÉTODOS DE LA REGLA CONJUNTA Se aplica en aquellos problemas donde se dan una serie de .

Rpta : clave

10. Sabiendo que 2 kilos de frijoles cuestan lo mismo que 3 kilos de azúcar, 4 lápices valen lo que 5 kilos de azúcar, que 3 cuadernos valen 30 soles y que 8 lápices cuestan lo mismo que 4 cuadernos. ¿Cuánto costarán 6 kilos de frijoles?. a) S/.63 d) 48

b) 24 e) N.A.

c) 36

11. ¿El trabajo de cuántos hombres equivaldría el trabajo de 8 niños, si el trabajo de 4 niños equivale al de 3 niñas, el de una mujer al de 2 niñas y el de 3 mujeres al de un hombre?.

a) 1 d) 4

b) 2 e) 6

c) 3

2. Relacionar correctamente:

12. En un mercado por 3 kilos de arroz, dan 5 kilos de azúcar, de la misma manera por 8 kilos de azúcar dan 4 kilos de frijoles, por 10 kilos de frijoles dan 2 kilos de carne de res. ¿Cuántos kilos de carne de res nos darán por 30 kilos de arroz?. a) 2 d) 8

b) 4 e) 12

c) 5

13. En una feria agropecuaria por 3 patos dan 2 pollos; por 4 pollos dan 3 gallinas; por 12 gallinas dan 8 monos, 5 monos cuestan 150 dólares. ¿Cuánto tengo que gastar para adquirir 5 patos?. a) $50 d) 65

b) 80 e) N.A.

c) 60

b) 31 e) 30

c) 36

15. En un bazar 4 pantalones equivalen al precio de 5 camisas; 4 chompas cuestan tanto como 6 camisas. ¿Cuántas chompas pueden comprarse con el precio de 12 pantalones?. a) 8 d) 11

b) 9 e) N.A.

c) 10

Regla Conjunta

(

)

Cangrejo

( (

) )

Rombo Rectángulo.

4. Colocar V ó F según corresponda : 1.

3. 4.

Regla conjunta se aplica en equivalencias. ( ) El 1er miembro debe ser de la misma especie que el 2º. ( ) n = diferencia/unitaria diferente total. ( ) Rombo y rectángulo se efectúan gráficos. ( )

5. Una persona quiere repartir cierto número de caramelos a sus sobrinos. Si les da 8 caramelos a c/u le sobran 45 y si les da 11 a c/u, le faltan 27. ¿Cuántos caramelos quiere repartir?. a) 237 d) 723

a) 72 d) 116

b) 327 e) 372

c) 273

b) 61 e) 12

c) 68

7. Un padre va con sus hijos al teatro y al querer comprar entradas de 30 soles observa que le falta para 3 de ellos, y resuelve comprar de 15 soles. De esta manera entran todos y le sobran 30 soles. ¿Cuántos eran los hijos?.

Ya has aprendido “Métodos Operativos” Recuerda el desafió radica en saber reconocer cuando aplicar determinado método y cuál es el procedimiento de solución.. Aplica lo aprendido en la solución de los siguientes problemas.

a) 5 d) 6

b) 8 e) 9

c) 7

8. Si compro 10 camisas me faltarían 100 soles para comprar 4 más, pero si sólo 6 camisas me sobran 200 soles. Entonces el dinero que tengo es:

1. Los métodos operativos, se han clasificado en :

y

)

6. Si se forman filas de 7 niños sobran 5 pero faltarían 4 niños para formar 3 filas adicionales de 6 niños. ¿Cuántos niños son?.

TAREA DOMICILIARIA

,

(

3. En el método del rectángulo, hallamos el # desconocido de elementos (n) dividiendo : entre _.

2.

14. Si 2 triángulos pueden cambiarse por 5 círculos, 3 círculos por 4 cuadrados. ¿Cuántos cuadrados pueden ser cambiados por 9 triángulos?. a) 32 d) 28

a) Operaciones Inversas b) Valor supuesto c) Diferencia total y unitaria d) Equivalencias

,

a) 750 d) 325

b) 425 e) 875

c) 525

9. Si se posaron 3 palomas en cada poste, sobrarían 4 postes, pero si se osara una paloma en cada poste, sobrarían 6 palomas. ¿Cuál es la cantidad de postes? a) 6 d) 8

b) 7 e) 9

c) 10

10. Un alumno dice a otro; si quiero comprar 15 chocolates me faltan 10 soles, pero comprando tan solo 10 me sobran 15 soles. ¿Cuánto dinero tenía?. a) 80 d) 90

b) 75 e) 65

c) 48

11. Un grupo de personas decide ir al teatro, si van a platea les faltan 240 soles y si van a galería les sobra 160 soles. Si invitan a uno les sobraría solo 10 soles, pero si uno de ellos se va sólo les faltaría 40 soles. ¿Cuántos son el grupo?. a) 5 d) 7

b) 8 e) N.A.

c) 6

12. En cierto pueblo se realiza el siguiente trueque: - 5 sacos de papa se cambian por 4 de camote. - 10 sacos de yuca se cambian por 6 de olluco. - 8 sacos de camote se cambian por 3 de olluco. ¿Cuántos sacos de papa se cambian por 2 sacos de yuca?. a) 2 d) 8

b) 4 e) 1

c) 6

13. Si por 2 cuadrados dan 5 círculos, por 3 círculos dan 12 triángulos. ¿Cuántos triángulos dan por 2 cuadrados?. a) 16 d) 22

b) 18 e) 24

c) 20

14. En una joyería 4 cadenas de oro equivalen a 10 de plata, 9 de plata equivalen a 3 de diamante, 24 de acero equivalen a 6 de diamante, además por 36000 soles me dan 4 cadenas de acero. ¿Cuántas cadenas de oro dan por 60000 soles?. a) 2 d) 4

b) 3 e) 8

c) 5

15. En una feria agropecuaria 7 gallinas cuestan lo mismo que 2 pavos; 14 patos cuestan lo mismo que 5 pavos; 3 conejos cuestan lo mismo que 8 patos. ¿Cuánto costarán 4 gallinas si un conejo cuesta 30 soles?. a) 36 d) 54

b) 42 e) 28

c) 60

NIVEL: SECUNDARIA

SEMANA Nº6

QUINTO AÑO

REPASO Haremos un repaso general de todos los temas tratados en este 1er bimestre preparándonos así para el Ex. Bimestral. Sólo debes recordar todo lo que se ha enseñado.

EJERCICOS DE APLICACIÓN 1.

Distribuir los dígitos del 1 al 7 usándolos una sola vez para conseguir que la suma de los números que ocupan cada fila sea 12.

4.

Mueve “x” cerillas y transforma “el hacha en 3 triángulos iguales. Calcular “x” a) b) c) d) e)

5.

1 2 3 4 5

La mamá de Jessica es la hermana de mi padre. ¿Qué representa para mí el abuelo del mellizo de Jessica? a) Mi hermano d) Mi abuelo

6.

Las tres aros mágicos .- Coloque los números del 1 al 6 en los pequeños círculos de modo que cada aro sume lo mismo. Hay 3 aros, cada uno engarza 4 círculos. ¡Es preferible pensar a tantear!

7.

b) 7 e) 10

b) Viernes e) Martes.

Cambia la posición de “x” cerillas de tal modo que resulten tres cuadrados. Sin dejar cabos sueltos (Obs. “x” es la menor cantidad impar de cerillas). a) b) c) d) e)

9 7 5 3 1

9.

c) Sábado

si el día de mañana fuese como pasado mañana, entonces faltarían 2 días a partir de hoy para ser domingo. ¿Qué día de la semana será el mañana del ayer de hoy? a) Sábado d) Jueves

3.

c) 8

Si hoy es domingo, ¿Qué día será el ayer del pasado mañana de hace 2 días?. a) Jueves d) Domingo

8.

c) Mi tío

La familia Álvarez consta de dos padres, dos madres, cuatro hijos, dos hermanos, una hermana, una abuelo, una abuela, dos nietos, una nieta, dos esposos, una nuera. ¿Cuántas personas como mínimo conforman dicha familia?. a) 6 d) 9

2.

b) Mi sobrino e) Mi hijo

b) Viernes e) Miércoles

Si : A = (333 … 333)

2

c) Domingo

y B = (666 … 666)

61 cifras

2

31 cifras

Calcular la diferencia entre la suma de cifras del resultado de A y la suma de cifras del resultado de B. a) 279 d) 828

b) 549 e) 720

c) 270

10. ¿Cuántas “cerillas” conforman la torre-mostrada?.

TAREA DOMICILIARIA Recuerda que para el curso solo necesitas conocimiento de matemática básica (todo lo que haz aprendido) y una buena dosis de lógica (Tu habilidad y razonamiento)

1 2 3

a) 20 d) 200

4

18 19 20 21

b) 21 e) 420

c) 210

11. Calcular la suma de cifras del resultado de: E=

10305050301  2040604020

a) 10 d) 6

b) 9 e) 8

1. La suma en la rueda : Ponga las cifras del 1 al 8 en las casillas de la rueda de modo que : - Los números vecinos del cuatro sumen 9. - Los números vecinos del 5 sumen 11. - Los números vecinos del 6 sumen 10. - Los números vecinos del 7 sumen 8.

c) 12

12. Determinar : “P + U + C” , si : PUC  CUP = 888 Además : P – C = 4 a) 10 d) 13

b) 14 e) 18

c) 11

13. Tres jugadores A, B y C acuerdan jugar tres partidas donde el que pierda en cada turno, duplicará el dinero de los otros dos. Si cada uno perdió una partida en el orden representación y al final el primero tiene 48 soles. ¿Cuánto tenía “A” al inicio del juego?. a) S/.72 d) 84

b) 64 e) N.A.

b) 80 e) 98

b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3.

c) 90

15. Un pastor que llevaba carneros a la feria decía: “Si vendo mis carneros a S/.20 c/u podré comprar un caballo y tener 90 soles de sobra; pero si los vendo a S/.18 c/u comprando el caballo no me sobran más que 6 soles. ¿Cuánto suma el precio del caballo y la cantidad de carneros que tenía el pastor?. a) 795 d) 792

Mueve “x” cerillas para obtener 5 cuadrados iguales. Calcular “x” a) 1

c) 96

14. Los pasajes en bús valen S/.2,5 y S/.1,3, para adultos y universitarios, respectivamente. Luego de una vuelta en que viajaron 255 personas, se recaudó, se S/. 523,5. ¿Cuántos universitarios viajaron?. a) 95 d) 100

2.

b) 784 c) 692 e) No vendió los carneros

Una familia está compuesta por 4 parejas de hermanos, 4 tíos, 2 padres, 2 madres, 2 sobrinos, 2 sobrinas, 2 primos, 2 primas. ¿Cuál es el mínimo número de personas que la conforman?. a) 8 d) 10

4.

b) 7 e) 11

c) 9

Si el anteayer de mañana es lunes. ¿Qué día de la semana será el mañana de anteayer?. a) lunes d) sábado

b) martes e) miércoles

c) domingo

5.

Calcular la suma de cifras del resultado de “A” A = (999 … 9995)

2

101 cifras

a) 900 d) 90 6.

b) 925 e) 907

c) 625

¿Cuántos “palitos” se trazaron para construir el siguiente arreglo? a)

3600

b) 3675 c)

e) 3625

1

2

3

4

5

47 48 49 50

Efectuar la siguiente suma y hallar: m+n+p+q 7 + 77 + 777 + 7777 + ….. + 777 .. 77 = K mnpq 36 sumandos

a) 7 d) 12 8.

b) 5 e) 14

c) 25

Si : SIETE  TRES = 100 000 Hallar : SEIS , además : I = E y T = R a) 8128 d) 9339

9.

Si :

A2

b) 8118 e) 9119

c) 9229

b) 7 e) 20

c) 14

10. Cuatro jugadores A, B C y D acuerdan que después de cada juego, el que gane recibirá la mirad del dinero que tengan cada uno de los otros tres. Sabiendo que c/u ganó una partida en el orden indicado (ABCD) y que al final quedaron: A con 80 soles, B con 120 soles; C con 250 y D con 480 soles. ¿Cuánto tenía A al principio?. a) 240 d) 350

c) 144

12. María gasta 180 soles en comprar 100 frutas entre manzanas, peras y duraznos . Las manzanas y las peras cuestan 2 soles c/u, y los duraznos 1 sol c/u. Si en su compra llevo 10 manzanas más que peras. ¿Cuántas manzanas más que duraznos compró?. a) 15 d) 40

b) 160 e) 300

a) 3 d) 1,8

b) 25 e) 50

c) 30

c) 480

11. María cada día gasta la mitad de lo que tiene más S/.2; si después de 3 días le queda S/.30 ¿Cuánto tenía al inicio?.

b) 1,5 e) N.A.

c) 2

14. Una persona quiere rifar una calculadora aun precio determinado emitiendo para esto cierto número de boletos. Si vende a S/.2 cada boleto perderá S/.30 y vendiendo en S/.3 cada boleto ganará S/.70. ¿Cuánto vale la calculadora? a) 230 d) 270

b) 180 e) 320

c) 160

15. A un criado se le ha prometido la suma de : $1000 en efectivo, más una moto, como pago anual. Al cabo de 7 meses el empleado se va y recibe como pago total la moto y $200. ¿Cuál es el valor de la moto?. a) $800 d) 1680

=3

1A Calcular : E = 2(A + 3) + 7 a) 4 d) 21

b) 268 e) 450

13. Un litro de leche pura debe pesar 1030 gramos; cierta mañana se reciben 6 litros que pesan 6120 gramos. ¿Cuántos litros de agua contiene la leche recibida?.

2550

d) 3720

7.

a) 256 d) 320

b) 840 e) 520

c) 920

II BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO

NIVEL: SECUNDARIA

SEMANA Nº 1

QUINTO AÑO

PLANTEO DE ECUACIONES

La Historia del Cero Hasta el año 1200 después de Cristo se uso en Europa la numeración romana, por esa época, un mercader de Pisa, Leonardo Pisano, al volver de un largo viaje por África y el Medio Oriente escribió un libro titulado Liber Abaci, donde exponía y proponía emplear la Matemática usada por los árabes, que a su vez la habían aprendido de los hindúes y que no significa otra cosa que nada. Si bien la obra de Leonardo Pisano fue un hecho

revolucionario, debido a que no estaba inventada la imprenta,

debieron transcurrir tres siglos para que fuera conocida en toda Europa. Es interesante señalar que en la América precolombina, más precisamente entre los mayas, existía la noción de "cero", número que ellos empleaban en su sistema de numeración vigesimal. Este número es una de las más grandes invenciones del genio humano ya que gracias a él se abandono la numeración romana, adaptándose la decimal vigente aún en nuestros días y facilitó la ejecución de las operaciones aritméticas.

Hace 5 mil años, en una ciudad existía un rey muy cruel y temido por los escribanos. Así, cuando el rey preguntaba al escriba encargado de llevar las cuentas del granero: ¿Cuántos sacos de grano queda?, el escriba respondía siempre: "no queda ninguno y además debemos sacos al reyno vecino". Irritado por esta situación, el rey decidió condenar a muerte a todo escriba que le dijera que tenía deudas. Por este motivo murieron varios escribas, y nadie quería ejercer tan peligrosa función. Sin embargo, se presentó un candidato muy hábil que estaba seguro no iba a ser condenado.

Una vez en el cargo recibió la visita del rey, que le hizo la pregunta fatal: ¿Cuántos sacos quedan en el granero?, si me

respondes que tenemos deudas morirás, y si mientes también" . El escriba respondió: "poderoso rey, tres veces el número de sacos que hay en el granero, más siete sacos, dan el mismo resultado Colegio Particular Integrado CESAR´S

que si se añadieran quince sacos al número de sacos de este granero multiplicado por cinco. ¡Esto es lo que posees!". El rey no comprendió lo dicho e ingresó al granero observando que estaba vació y además en el libro de cuentas aparecía una deuda de cuatro sacos. Si el escriba no mintió y salvó su vida, ¿Qué 9

sucedió?.

10

II BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO

Colegio Particular Integrado CESAR´S

PLANTEO DE ECUACIONES ¿Qué es plantear una ecuación? A. De la Forma Verbal a la Forma Matemática Plantear una ecuación es traducir en forma clara y completa todo lo que se expresa en forma verbal a la forma matemática.

Forma Verbal Un número cualquiera Tres números consecutivos. El exceso de A sobre B Ana tiene 5 soles más que María. El duplo de un número El triple de un número 2 veces un número La quinta parte de un número La mitad de la quinta parte de un número A es dos veces B A es dos veces más que B M es “x” veces más que “N” Dos números proporcionales a 2 y 3 P es a q como 3 es a 5 La suma de 3 números consecutivos es 30 La edad de Pedro es tanto como la suma de las edades de José y Luis. El número de carpetas excede en 10 al número de sillas El triple de un número disminuido en 10 El triple de un número, disminuido en 10 El cuadrado de un número aumentado en 3 El cuadrado de un número, aumentado en 3 La cuarta parte de un número aumentado en 5 La cuarta parte de un número, aumentado en 5 La quinta parte de la raíz cuadrada de un número aumentado en 3 La quinta parte de la raíz cuadrada de un número, aumentado en 3

Forma Matemática

B. De la Forma Matemática a la Forma Verbal Forma Matemática x+y a–1 +a+a+1 x–y Juana:

x + 10

Lucia :

x

Mi edad = E Entonces: 4E “ES”

a

=

b

3 4

a=b+c Caballeros: C Damas

: D

Entonces : C – D = 10 2(x + 5) Si “x” es un número 2x + 5 Si “x” es un número 3

X +3 Si “x” es un número 3

(x + 3)

Si “x” es un número 1 5

x+3

Si “x” es un número 1 5

(x + 3)

Si “x” es un número 1 5

x+3

Si “x” es un número

x+5

Forma Verbal

C. Resolución de Ecuaciones 1.

21 – 6x = 27 – 8x

6.

x – [5 + 3x – {5x – (6 + x)}] = -3

2.

5y + 6y – 81 = 7y + x + 14

7.

71 + [-5x + (-2x+3)] = 25 – [-(3x + 4) – (4x + 3)]

3.

8x – 15x – 30x – 51x = 53x + 31x – 172

8.

Resolver:

4.

2x + 3 + 3x + 5 = 10x + 2 – 5x + 1

9.

Resolver:

5.

15x – 10 = 6x(x + 2) + (-x + 24)

10. Resolver: x + y = 6. Indicar el valor de y. y+z=2 z + x = 18

-7x + 11y = 47 … (1) x + y = 1 … (2) indicando el valor de “x”

-2x + 5y = 12 … (1) 2x + 3y = 14 … (2)

D. Planteo de Ecuaciones 1.

Un número es menor que 60 en la misma medida que es mayor que 50. ¿Cuántas veces mayor es el número con respecto a 11?

4.

Si compro 2 camisetas gastaría S/.20 más que si comprara 3 polos; pero si compro 5 polos gastaría S/.20 más que si comprará dos camisetas. ¿Cuánto cuesta la docena de camisetas?

2.

El producto de dos números impares positivos consecutivos es cuatro veces el menor, más 15 ¿Cuál es el producto?

5.

En un cilindro donde sólo hay aceite y agua; se sabe que : "los 3/4 del cilindro más 7 litros son de aceite y 1/3 menos 20 litros son de agua". ¿ Cuántos litros son de aceite?

3.

Al salir del "Bingo" Alex le comenta a Emilio, "perdí el doble de lo que aún tengo, de no ser así, cuando compré un libro de S/.32 me hubiera sobrado tanto como hoy me falta". ¿Cuánto tenía Alex?

6.

Se contrata un empleado por el tiempo de un año acordando pagarle S/. 700 más un televisor; pero al cumplir los siete meses se despide pagándole S/. 250 más el televisor. El precio del televisor es.

7.

8.

En una reunión habían tantas chicas por cada chico, como chicos habían. Si en total hay 420 personas entre chicos y chicas. ¿ Cuántas chicas quedaron luego que cada uno de la mitad de chicos se retiran acompañados de 4 chicas?

Cuando Sebastián sube una escalera de 5 en 5 da 4 pasos más que subiendo de 6 en 6 ¿Cuántos escalones tiene la escalera que Sebastián sube?

9.

En una prueba de 30 preguntas cada respuesta correcta vale 4 puntos, la incorrecta (-1). Si un estudiante obtuvo 82 puntos y observó por cada respuesta en blanco tenía 3 respuestas correctas. ¿Cuántas incorrectas contesto?

10.

Un estudiante gasta ''a'' soles en pasajes cuando va a clases. Si en "b" días ha gastado "c" soles. ¿Cuántos días no asistió a clases durante los "b" días?

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.

La diferencia de 2 números es 36. Si el mayor se

peso de la vaca. ¿Cuánto pesan los dos animales

disminuye en 12 se tiene el cuádruple del menor.

juntos?

Hallar el producto de los números dados. a) 352

b) 328

d) 224

e) 330

c) 334 8.

2.

a) 120

b) 130

d) 150

e) 160

c) 140

Caperucita Roja va por el bosque llevando una

Dos números son entre si como 9 es a 10. Si el

cesta con manzanas para su abuelita. Si en el

mayor se, aumenta en 20 y el menor se disminuye

camino la detiene el lobo y le pregunta. ¿Cuántas

en 15, el menor será al mayor como 3 es a 7.

manzanas

Calcular la suma de los números.

responde. “Llevo tantas decenas como el número

llevas

en

tu

cesta?

Caperucita

de docenas más uno”. ¿Cuántas manzanas llevaba

3.

a) 190

b) 95

d) 57

e) 76

c) 380

Caperucita en su cesta?

Al preguntar el padre a su hijo cuánto había

a) 30

b) 6

d) 60

e) 180

c) 20

gastado de los S/. 350 que le dio éste respondió. “He gastado las 3/4 partes de lo que no gasté”. ¿Cuánto gastó?

9.

La gallina Tota conversa con la gallina Clota: “Si yo triplicase mi producción diaria y tú lo duplicaras, pondríamos 151

a) S/. 200

b) S/. 150

d) S/. 330

e) S/. 250

c) S/. 20

huevos. Pero

si

hiciéramos al revés sólo podríamos 139 huevos”. ¿Cuántos huevos semanales recoge el dueño de Tota y Clota de ser cierto de lo que afirma

4.

¿Qué

hora

es?

Si

la

mitad

del

tiempo

Tota?

transcurrido desde las 09:00 h. es igual a la tercera parte del mismo tiempo que falta

a) 58

b) 396

transcurrir para ser las 19:00 hrs.?

d) 455

e) 460

a) 12:00 h

b) 13:00 h

d) 13:20 h

e) 12:30 h

c) 14:00 h

c) 406

10. En un terreno de forma rectangular el largo excede en 6 metros al ancho, si el ancho se duplica y el largo disminuye en 8 metros el área

5.

Calcular el mayor de los números consecutivos, tales que el menor excede en 14 a la diferencia

del terreno no varía. ¿Cuál es el perímetro del terreno?

de 2/3 del mayor con 1/8 del menor. a) 32

b) 33

d) 29

e) 30

c) 34

a) 26

b) 52

d) 32

e) 36

c) 48

11. Ana no sabía si compraba 72 panes o 9 tortas y 6.

Si mueren los 2/7 de mis ovejas y compro 37

9 pasteles. Al final decide comprar el mismo

ovejas más, el número de las que tenía al

número de cada uno. ¿Cuántos panes, tortas y

principio, queda aumentado en sus 3/8. ¿Cuántas

pasteles compro en total?

ovejas tenía la principio? a) 40

b) 36

d) 56

e) 60

c) 48

a) 21

b) 24

d) 3 0

e) 72

c) 27

12. Un grupo de alumnos contratan un microbús para 7.

Una vaca pesa 100 kg más 2/3 del peso de un carnero y el carnero pesa 20 kg más 1/12 del

un paseo en S/. 520 pero en el momento de partir faltan dos y por ello, los demás tienen que

pagar cada uno S/. 13 más. El número de alumnos

un cierto número de autos: 5 de 6 asientos y el

inicial, al momento del contrato fue:

resto de 4 asientos, pero si el resto hubiera sido de

a) 12

b) 11

d) 9

e) 13

c) 10

13. En una entrevista a un ambulante éste afirma

6

asientos, hubieran podido

ir

todos.

¿Cuántos hicieron la excursión? a) 60

b) 70

d) 90

e) 50

c) 80

que como hoy vendió cada caramelo en 10 soles más que ayer, vendió 10 caramelos menos que

15. En 2 habitaciones hay un total de 90 focos, de

ayer. Además hoy vendió tantos caramelos como

los cuales hay un cierto número de focos

soles cobró por cada uno. Respecto a la venta de

prendidos. Luego de prender tantos focos como

ayer. ¿Cuánto ganó o perdió hoy día?

el número de de focos prendidos excede al de los apagados resultando el número de focos

a) Ganó 10 soles

prendidos el doble que los focos apagados.

b) Perdió 10 soles

¿Cuántos estaban prendidos inicialmente?

c) Ganó 100 soles d) Perdió 100 soles

a) 50

b) 55

e) F.D.

d) 60

e) 54

14. Varios amigos desean hacer una excursión y no pueden ir 10 de ellos por no disponer más que de

Un estudiante salió de vacaciones por "n" días durante el cuál : I.

Llovió 7 veces en la mañana o en la tarde.

II. Cuando llovía en la tarde estaba despejado la mañana. III. Hubo 5 tardes despejadas. IV. Hubo 6 mañanas despejadas. Según esto, tales vacaciones duraron:

c) 45

TAREA DOMICILIARIA Nº 1 1.

Una persona tiene S/. 120 y otra S/. 50 después que cada una de ellas gastó la misma cantidad de dinero, a la primera le queda el triple de lo que queda a la segunda. ¿Cuánto les queda en conjunto a ambas personas? a) 140 d) 150

2.

b) 22 e) 39

c) 52

b) 61 e) 116

c) 68

b) 24 e) 36

c) 30

¿Qué hora es?, si falta la tercera parte de lo que ya pasó del día. a) 15:00 h d) 18:00 h

8.

c) 36

Subiendo la escalera de 2 en 2, doy 9 pasos más que subiendo de 5 en 5. ¿Cuántos peldaños tiene la escalera? a) 20 d) 60

7.

b) 120 e) 63

Si se forman filas de 7 niños sobran 5, pero faltarían 4 niños para formar 3 filas más de 6 niños. ¿Cuántos niños son? a) 72 d) 92

6.

c) 3/5

En una fiesta, la relación de mujeres a hombres es de 3 a 4; en un momento dado se retiran 6 damas y llegan 3 hombres con la que la relación es ahora de 3 a 5. Indicar cuántas mujeres deben llegar para que la relación sea de 1 a 1. a) 26 d) 13

5.

b) 9/10 e) 9/11

A cierto número par, se le suma los dos números pares que le preceden y los dos impares que le siguen, obteniéndose en total 968 unidades. El producto de los dígitos del número par en referencia es: a) 162 d) 150

4.

c) 100

Se tienen 2 números tales que si al primero se le sumase 1/5 del segundo daría lo mismo que si al segundo se le suma 1/9 del primero. Hallar la relación del primero al segundo. a) 1/2 d) 8/9

3.

b) 120 e) 240

b) 16:00 h e) 19:00 h

c) 17:00 h

Se tiene un número par y se le añade los 2 pares que le siguen y el par de números impares que le preceden, dando como resultado 102. Hallar la suma de las cifras del mayor de estos números. a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

9.

Una dimensión del rectángulo excede a la otra en 2 metros. Si ambas dimensiones se disminuyen 2 en 5 metros el área se disminuye en 115 m . Hallar el área final. a) 100 m

2

d) 120 m

2

b) 80 m

2

e) 195 m

c) 90 m

2

2

10. En un terreno de forma rectangular el largo excede en 6 metros al ancho; si el ancho se duplica y el largo disminuye en 8 metros el área del terreno no varía. ¿Cuál es el perímetro del terreno? a) 26 d) 32

b) 52 e) 36

c) 48

11. El largo de un campo rectangular es el triple del ancho. Si el largo fuese 4 metros menos y el ancho 6 metros más, el área del campo 2

aumentaría en 60 m . Hallar el perímetro del campo rectangular. a) 48 m d) 36 m

b) 24 m e) 40 m

c) 56 m

12. Dos depósitos contienen 2 587 y 1 850 litros de agua. Con una bomba se traslada, del primero al segundo 4 litros de agua por minuto. Después de cuánto tiempo uno tendrá el doble de litros que el otro. a) 120 min d) 277 min

b) 185 min e) N.A.

c) 250 min

13. A un empleado le ofrecen S/ 1 000 más una sortija por un año de trabajo, luego de 4 meses de trabajo el empleado se retira con S/. 320 más la sortija. ¿Cuánto vale la sortija? a) S/. 60 d) S/. 25

b) S/. 40 e) S/. 20

c) S/. 30

14. Se compran 25 m de tela por cierta suma de dinero. Si el metro hubiera costado S/. 10 menos, se habría podido comprar 8 m más con la misma suma. Dígase el precio de 2 m de tela. a) 95.50 d) 94.50

b) 82.50 e) 110.50

c) 78.50

15. Al dar una práctica de matemáticas observé: “Que fallé tantas preguntas como acerté, pero no contesté tantas como puntaje saqué”. Las prácticas tienen 20 preguntas que se califican así: ¿Qué puntaje alcanzo?  10 puntos si está bien respondido.  2 puntos si está mal respondido.  0 puntos no contestada. a) 8 puntos d) 12

b) 10 e) 20

c) 16

Una persona compra alimentos por un valor de S/ 300 y paga con un billete S/ 1 000, el bodeguero no tiene vuelto y va a cambiar el billete donde el librero. Éste le entrega 10 billetes de S/ 100. Luego el bodeguero regresa a la bodega y le devuelve al cliente 7 billetes de S/ 100 y la mercadería. Después de un rato el librero va donde el bodeguero y le exige que le devuelva los S/ 1 000 ya que el billete era falso. Entonces se puede deducir: a) El bodeguero solo pierde S/ 700 en efectivo. b) El bodeguero solo pierde S/ 300 en alimentos. c) El bodeguero pierde S/ 300 en alimentos y S/ 700 en efectivo. d) El bodeguero pierde S/ 1 000 en efectivo e) No se puede determinar.

NIVEL: SECUNDARIA

SEMANA Nº 2

QUINTO AÑO

PLANTEO DE ECUACIONES II " Toma consejo en el vino, pero decide después con agua ". Benjamín Franklin. PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Carla comentaba de sus animales; "Son todos perritos menos 5; todos son gatitos menos 7 y todo son loritos menos 4". ¿Cuántos gatitos tiene Carla?

2.

Un alumno plantea lo siguiente: "Ayer tuve la mitad de lo que tengo hoy y lo que tengo hoy es el triple de lo que tuve anteayer, que fue S/.40 menos que hoy. ¿Cuánto tiene dicho alumno?

3.

El perímetro de un rectángulo es 30 cm y la suma de las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados desiguales de dicho rectángulo es 2 113cm . Hallar el área del rectángulo.

4.

Tres docenas de limones cuestan tantos soles como limones dan por S/.16 . ¿Cuánto cale la docena de limones?

5.

De dos obreros, uno recibe 160 soles y el otro 90 soles. El primero ha trabajado cinco días más que el segundo. Si cada uno hubiera trabajado el número de días que ha trabajado el otro, hubieran recibido la misma suma. ¿Cuánto gana diario uno de ellos?

6.

x – 8x – 9 = 0

2

7.

8.

2

2x – 5x + 2 = 0

2

5x + 4x – 1 = 0

2

9.

x + 5x + 2 = 0

10.

x + 4x – 1 = 0

2

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.

Un edificio tiene 6 pisos, el número de habitaciones de cada piso son números consecutivos, crecientes, y cada habitación del edificio tiene tantas ventanas como habitaciones hay en el piso. El si el número de ventanas del último piso y el número de habitaciones del primer piso suman 151. ¿Cuántas habitaciones hay en el cuarto piso? a) 10 d) 13

2.

3.

b) 11 e) 15

b) 13

d) 6

e) 4

4.

c) 12

Veinticuatro alumnos se disfrazaron de Kilo, Chilindrina o Chavo. Sabiendo que los alquileres son 25 soles, 17 soles y 28 soles cada uno respectivamente. ¿Cuántos se disfrazaron de Chavo, sabiendo que 8 disfraces fueron de mujeres y que gastaron 5 450 soles? a) 3

d) 350

5.

c) 7

En cantidades iguales el peso del vino es 1/50 menos que el agua; se tiene una mezcla de 500 litros de vino y agua que con el recipiente pesa 523 kg; si el recipiente vació pesa 32 kg. ¿Qué cantidad de vino hay en el recipiente? a) 50 L b) 450 c) 250

6.

e) 420

Un niño quiere ordenar sus soldaditos de plomo, formando un cuadrado la primera vez le sobran 15, pone 1 más por cada lado y le faltan 10 soldaditos. ¿Cuántos soldaditos tiene el niño? a) 135

b) 180

d) 159

e) 303

c) 201

Con 1 536 soles de billetes de 6 soles se pueden hacer tantos fajos iguales de estos billetes, como billetes tiene cada fajo. ¿Cuál es el valor de cada fajo? a) 96 soles

b) 144

d) 64

e) 84

c) 156

Un carpintero vendió 3 sillas más que mesas, pero tanto en las sillas como en las mesas obtuvo lo mismo. ¿Cuántos muebles vendió si las mesas cuestan 360 soles más que las sillas y recaudo S/. 9 600 en total? a) 12

b) 13

d) 15

e) 16

c) 14

7.

8.

9.

Un granjero amarra su vaca en la esquina de su casa. El observa que si la cuerda fuera alargada en 10 m, ella podría abarcar cuatro veces el área original. Entonces la longitud original de la cuerda es: a) 5 m

b) 8

d) 30

e) 50

c) 10

Dos negociantes en vinos ingresan por una de las fronteras del Perú, portando uno de ellos 64 botellas de vino y otro 20. Como no tienen suficiente dinero, para pagar a la aduana el primer pago con 5 botellas de vino y 40 soles y el segundo con 2 botellas de vino pero este recibió de vuelto 40 soles. ¿Cuál es el precio de cada botella de vino. a) 120 soles

b) 80

d) 105

e) 95

12.

13.

a) 70

b) 80

d) 65

e) 45

c) 60

Jorge ha ganado 360 soles por un trabajo y su ayudante Luis 160 soles trabajando cuatro días menos. Si Jorge hubiera trabajado el mismo tiempo que Luis y viceversa, hubieran ganado igual suma. ¿Cuántos días trabajo Luis?

c) 110

Rubén compró cierto número de libros por 600 soles. Si hubiera comprado un quinto más del número de libros que compro por el mismo dinero, cada libro le habría costado 4 soles menos. ¿Cuántos libros compró y a que precio?

Un terreno cuadrado se vende dos lotes, el primero en un rectángulo uno de los cuyos lados mide 30 m y el otro 3/5 del lado del cuadrado, el segundo lote se vende en 12 400 soles a razón de S/ 250 el metro cuadrado. Hallar el lado del cuadrado.

14.

a) 8

b) 12

d) 10

e) 14

c) 16

Un grupo de abejas cuyo número era igual a la raíz

cuadrada de

la

mitad de

todo

su

enjambre se pozo en un jazmín, habiendo dejado atrás a 8/9 de todo su enjambre solo una abeja del mismo enjambre revoloteaba en torno a un lote, atraído por el zumbido de uno

a) 25; 25

b) 30; 25

d) 30; 20

e) 28; 24

c) 25; 24

de las amigas que cayó imprudentemente en la trampa de la flor. ¿Cuántas abejas pertenecen al grupo inicial?

10.

11.

Se debe de distribuir 200 caramelos entre cierto número de niños por partes iguales, pero en el momento de la repartición se encuentran ausentes 5 niños por lo que el resto de los niños, recibe 20 caramelos más cada uno. ¿Cuántos niños recibieron caramelos? a) 20

b) 14

d) 12

e) 5

c) 10

Expedición planeta “L” Biólogo: Profesor “k” Informe: “El tercer día vimos seres extraños aunque tienen 20 dedos en total, como nosotros tiene una extremidad menos y un dedo más en cada extremidad, lo que les da por cierto, un aspecto espantoso. ¿Cuántas extremidades tienen los seres del planeta “L”?” a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

e) 7

15.

a) 64

b) 36

d) 72

e) 8

c) 6

Hace dos años podrían comprarse pavos a 11 soles, patos a 5 soles y pollos a 0,5 soles. Si pudieran comprarse 100 animales con 100 soles entre pavos, patos y pollos. ¿Cuántos fueron pollos? a) 78

b) 86

d) 80

e) 75

c) 90

¿Dónde están los otros seis soles? [En la Av. Faucett se ha inaugurado un nuevo restaurante muy moderno]. Teresa

:

Espero que este almuerzo no nos resulte muy caro. La comida ha estado muy buena.

Lucía

:

No creo; cuando hay inauguraciones tratan bien a los clientes. Después ya es otra cosa.

María

:

Sí; ese cebiche estuvo delicioso.

Leonor

:

Bueno, pidamos la cuenta. Dividiremos la cuenta entre las cuatro; así habíamos acordado.

Mozo

:

Son 80 Soles. Espero que les haya gustado el almuerzo. [Cada una aporta con un billete de 20 soles]. Muchas gracias!

Administrador :

[revisando la cuenta]: Ustedes deben poner más atención a lo que se les dice. Les dije que hoy día había un descuento especial. Esas cuatro jóvenes deben ser del colegio vecino; les haremos un descuento de 10 soles. Ve, antes que se retiren, pídeles disculpas y dales el vuelto. Apúrate! [El chico va donde la cajera para pedir que le den cambio]

Mozo

:

[preocupado; para sí mismo]: ¿Ahora cómo hago para devolverle a cada una un la cuarta parte de 10 soles? [Luego de dos segundos] Ah, ya sé: Le devuelvo 2 soles a cada una y yo me quedaré con dos soles. Con los dos soles de vuelto se van a alegrar. [Las alcanza]

Mozo

:

Les pido mil perdones. Ustedes son clientes especiales y les hacemos un pequeño descuento. Aquí está el vuelto que les debo; muchas gracias por su visita.

Teresa

:

Oh, muchas gracias. Es un restaurante muy simpático.

Lucía

:

Si pues; así da gusto venir a un restaurante. [Las cuatro amigas se alejan contentas]

Mozo

:

[intrigado para sí mismo]: No entiendo! Cada una de esas chicas ha pagado sólo 18 soles, 20 – 2 = 18; eso da un total de 72 soles. Yo me he quedado con dos soles: eso da un total de 74 soles. ¿Dónde diablos están los otros 6 soles?

Ellas han pagado 18 x 4 = 72 soles; yo me he quedado con 2 soles. Eso hace un total de 74 soles. ¿Dónde están los otros 6 soles?

TAREA DOMICILIARIA Nº 2

1.

Aumenta

a) d)

2.

7 6

en sus

91 36 94 36

7

.

6

b) e)

76

c)

7

85 36

6.

mayor sabiendo que la suma de ambos números y la diferencia es 120.

3.

c) 60

7.

tiene.

4.

c) 100

8.

a) 270 soles

b) 90

d) 180

e) 80

c) 130

Dos graneros contienen un total de 745 kg de primero y 3/7 del segundo, quedan 20 kg más en el primero que en el segundo. ¿Cuántos kg

El perímetro de una sala rectangular es 56 m.

hay en el primer granero?

aumenta en 2 m. La sala se hace cuadrada. Hallar las dimensiones de la sala. a) 16 m x 15 m

d) 15 m x 15 m

b) 16 m x 12 m

e) 18 m x 16 m

c) 18 m x 12 m Varios amigos desean hacer una excursión y no pueden ir 12 de ellos por no disponer más que de un cierto número de autos: 8 de 12 asientos y el resto 9 asientos. Si los 8 hubieran sido de 9 asientos y el resto de 12, hubieran podido ir todos. ¿Cuántos hicieron la excursión?

Cinco amigos consumieron en un restaurante

arroz. Si se saca 1/5 del contenido del

Si el largo se disminuye en 2 m y el ancho se

5.

e) 120

igual la suma de:

Hallar lo que tiene “A” que es el que menos

e) 600

d) 100

c) 90

diferencia cada uno de los restantes pagó por

los cuales a su vez se diferencia en 100 soles.

d) 400

b) 80

tenían 1/8 y 1/5 del contenido. Para cubrir la

“C” tiene el doble de que tiene juntos A y B;

b) 200

a) 20

por un total de S/ 400 y dos de ellos sólo

Entre 3 personas: A, B y C tienen S/ 900.00

a) 300

A una reunión asistieron varones y damas, se

varones había al comienzo?

la diferencia de ambos en 12. Hallar el número

e) 80

e) 156

quedando 8 varones por cada dama. ¿Cuántos

Si el menor de 2 números naturales excede a

d) 70

d) 220

c) 144

cada dama, después se retiran 10 damas,

6

b) 50

b) 204

retiran 20 varones quedando 4 varones por

7

a) 40

a) 216

9.

a) 360

b) 370

d) 340

e) 350

c) 325

Cuando a Jaimito se le pregunta por el número de hermanos, responde: “El número de mis hermanos excede al de mis hermanas en 2, además si tuviera una hermana menos el número de mis hermanas sería la mitad del número de mis hermanos”. ¿Cuántas hermanas tiene Jaimito? a) 2

b) 3

d) 6

e) 8

c) 4

10.

Alex concurre al BINGO con S/ 450 y cuando

13.

Lo que un obrero gana en 6 días, un técnico lo

está perdiendo 2/7 de lo que no pierde,

gana en 4 días. Si el obrero trabaja 60 días y

apuesta lo que le queda y consigue duplicarse.

el técnico 50 días, entre ambos cobran 810

Determinar si ganó o perdió y que cantidad.

soles. ¿A cuánto asciende lo que ambos cobran en un día?

a) Ganó S/ 100

d) Ganó S/ 250

b) Perdió S/ 100

e) Perdió S/ 700

c) Perdió S/ 250 11.

Dos cirios de igual calidad y diámetro difieren

14.

a) 6

b) 8

d) 14

e) 15

c) 9

En una conferencia había "n "mujeres más que

en 12 cm de longitud. Se encienden al mismo

hombres, y cuando llegaron "b "parejas a la

tiempo y se observa que en un momento

reunión, el número de hombres resulto los 3/8

determinado, la

de los reunidos.

longitud

de

uno

es

el

cuádruplo de la del otro y media hora después se termina el más pequeño. Si el mayor dura 4

a)

horas, su longitud era:

12.

a) 24

b) 28

d) 30

e) 48

c) 32 15.

Con 3 125 soles se pueden hacer tantos grupos iguales con monedas de 5 soles como monedas tenga cada grupo. La suma de las cifras del número que expresa el valor en soles de cada grupo es: a) 8

b) 10

d) 13

e) 7

d)

c) 11

3n  2b 2 8n 3

b

b) 3n + b

c) 3n 

b 2

e) 5n + b

En una fiesta había 76 personas. Se noto que el número de hombres era igual a la raíz cuadrada del número de mujeres que hablaban y el número de niños era igual a la raíz cúbica del número de mujeres. ¿Cuántas mujeres había en total? a) 64

b) 72

d) 78

e) 70

c) 76

HAY QUIENES OCULTAN SU EDAD Quique :

¿Qué edad tiene Ud. Julia?

Julia

Bueno, yo soy un poco anticuada, no me gusta decir mi edad

:

así nomás. Pero como tú eres un chico listo si te la voy a decir; pero indirectamente. Veamos si lo que has aprendido en el colegio te sirve de algo. Pon atención: Cuando tú tengas la edad que yo tengo, yo tendré el triple de la edad que actualmente tienes tú.

Por otra parte, si

sumamos la edad que yo tendré, cuando tú tengas la edad que yo tengo, con la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes, entonces obtendremos 30 años.

Quique :

¿Cómo, cómo? [Determine la edad de Julia y de Quique, y verifique que, efectivamente, se cumplen las condiciones mencionadas por Julia]

NIVEL: SECUNDARIA

SEMANA Nº 3

QUINTO AÑO

EDADES En este capítulo desarrollaremos los problemas donde

Tipo II:



intervienen las edades de uno o más sujetos.

“Cuando intervienen las edades de dos o

Según el número de sujetos cuyas edades intervienen

más sujetos”

los problemas de edades se pueden tipificar en dos:

En

esté

caso

es

recomendable usar

el

siguiente cuadro: 

Tiempo

TIPO I: “Cuando interviene la edad de un solo sujeto” -y

+x

Pasado Sujetos

Presente Futuro

A

A1

A2

A3

B

B1

B2

B3

Edades

E Hace “y” años



Edad actual



Dentro de “x” años

Ejemplo 1: Si Toledo actualmente tiene 54 años, ¿Qué edad tuvo hace 13 años y qué edad tendrá dentro de 23 años?



Relaciones: A2 – A1 = B2 – B1

...................... (I) A3

– A1 = B3 – B1

...................... (II)

A3 – A2 = B3 – B2

...................... (III)

¿Qué pasaría si en un enunciado se indica dentro de “n” años o hace “m” años? En estos casos, (en los cuadros correspondientes a los tiempos) en el cuadro correspondiente a pasado será preferible colocar hace “m” años y en

54 años Hace 13 años

Edad actual

el correspondiente a futuro colocar dentro de “n” Dentro de 23 años

años. En mucho casos se pueden usar los términos “tengo”, “tienes”, “tenía”, “tendré”, “tendrás”, etc. en lugar de “pasado”, “presente” o “futuro”. Esto



deberá hacerse siempre y cuando el uso de éstos

Ejemplo 2: Dentro de 20 años, José tendrá el doble de la

términos represente mejor el enunciado del

edad que tuvo hace 10 años.

problema.

¿Cuántos años

tiene actualmente?

Hace 10 años

Edad actual

Dentro de 20 años



Ejemplo 1:

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Hace 20 años, la edad de Julio era el doble de la edad de Pedro.

Actualmente sus edades

suman 85 años, ¿cuál es la edad actual de Julio? Hace 20 años

1.

Actual

Hace 10 años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 8 años. Dentro de cuántos años tendré el doble de la edad que tuve hace 8 años.

Julio Pedro



2.

Ejemplo 2:

a) 10

b) 12

d) 16

e) 18

c) 14

Hace 2 años tenía la cuarta parte de la edad que tendré dentro de 22 años.

Tengo el doble de la edad que tuviste, cuando

¿Dentro de cuántos años tendré el doble de la

tuve la tercera parte de tu edad actual y

edad que tenía hace 5 años?

cuando tengas el doble de mí edad actual nuestras edades sumarán 155 años. ¿Cuál es tu edad actual? Tuve

Tengo

a) 0

b) 1

d) 3

e) 4

c) 2

Tendré 3.

Yo

La edad que tendrá Lulú dentro de 15 años y la edad que tenía hace “x” años están en la

Tu

relación de 17 es a 11; mientras que la que tendrá dentro de “x” años y la edad que tenía hace 10 años están en la relación de 3 a 2.



Ecuación Fundamental



Hallar “x”

Ejemplo 1: En 1980, una persona observó que su edad era

4.

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

Las edades del profesor, tutor y alumno están en la relación de 5, 4 y 3 respectivamente.

igual a las dos últimas cifras del año de su nacimiento, ¿en qué año nació la persona?

Hace 10 años las edades del tutor y alumno

NOTA:

dentro de catorce años.

sumaban la mitad de lo que el profesor tendrá

Para resolver éste tipo de problemas tener presente que:

Año de nacimiento

+

Edad

=

Año Edad

¿Cuánto suman las

edades de los tres actualmente?

5.

a) 64

b) 70

d) 74

e) 80

c) 72

Noemí es madre de Lady y Rommel es hijo de Alex. Cuándo nació Rommel, Alex tenía el triple de la edad que tenía Noemí y cuando nació Lady, Noemí tenía la misma edad que tenía Alex cuando nació Rommel, y cuando Lady tenga la mitad de la edad que tenía Rommel cuando nació Lady, las edades de Noemí y Alex sumarán, 80 años. ¿Cuántos años tenía Noemí cuando nació Rommel?

22 58

Colegio Particular Integrado CESAR´S

a) 2

b) 4

d) 8

e) 10

c) 6

11.

Una persona en 1996 tenía tantos años como lo indicaba el número formado por las dos últimas cifras del año de su nacimiento.

6.

Yo tengo el triple de la edad que tú tenías,

¿Qué edad

tenía en 1987?

cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando yo tenga el triple de la edad que tú tenías hace

a) 31

b) 33

6 años, tú tendrás 72 años. ¿Cuántos años tenía

d) 37

e) 39

c) 35

uno de ellos cuando el otro nació? 12. Luis Alberto dice: “Ya no soy tan joven porque a) 16

b) 17

d) 20

e) 22

c) 18

paso los 80; pero todavía a mi edad no llega a 141 años, cada una de mis hijas me ha dado tantas nietas como hermanas tiene, mi edad es

7.

Gildeer le dice a Arturo: “Yo tengo el doble de

el cuádruplo de hijas y nietas”, ¿Cuántas hijas

la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad

tiene Luis Alberto y cuál es su edad?

que tú tienes y cuando tu tengas mi edad, la suma de nuestras edades será 63 años”. ¿Qué

a) 5; 95

b) 6; 140

edad tiene Arturo?

d) 5; 100

e) 6; 100

a) 19

b) 21

d) 26

e) 30

c) 25

c) 7; 108

13. En Octubre de 1972 en un salón donde habían 40 alumnos, el profesor suma los años del nacimiento de todos ellos y las edades de todos

8.

Patty le dice a Verónica: “Tú edad es el doble

ellos

de aquella que tenías, cuando yo tuve el doble

obteniéndose 78868. ¿Cuántos alumnos habían

de edad que tú tuviste, cuando cumplí 4 años.

cumplido años a la fecha?

luego

suma

los

dos

resultados

Si nuestras edades actuales suman 32 años”. ¿Qué edad tengo? a) 12

b) 14

d) 18

e) 20

a) 15

b) 28

d) 25

e) 16

c) 12

c) 16 14. El 30 de junio de 1992 le preguntaron a Karina por su edad. Ella dijo que la suma de los años

9.

Al preguntarle la edad de Guadalupe ella

más todos los meses vividos en 329.

respondió: “Si al año en que cumplí los 18 años

mes y en qué año nació?

le suman el año en que cumplí los 23 años y le

a) Febrero, 1992

restan el año en que nací y el actual, obtienen

b) Junio, 1992

17 años”. La suma de las cifras de la edad de

c) Octubre, 1992

Guadalupe es:

d) Julio, 1992

¿En qué

e) Enero, 1992 a) 3

b) 4

d) 6

e) 8

c) 5 15. Un hijo decía a su padre. “La diferencia entre el cuadrado de mi edad y el cuadrado de la edad

10. En 1993 la edad de una persona era igual a la

de mi hermano es 95”.

El padre le contesta:

suma de las cifras del año en que nació. ¿Qué

“Es la misma diferencia que hay entre los

edad tendrá en el año 2000?

cuadrados de mi edad y la de tu madre”. ¿Qué edad tenía el padre cuando nació su hijo mayor?

a) 21

b) 23

d) 27

e) 29

c) 25 a) 36

b) 32

d) 34

e) 35

c) 38

DESAFIO Un dialogo transparente Daniel y César son dos matemáticos. Se encuentran después de muchos años y van a una conocida heladería: Daniel

:

Cesar

:

Hola César, ¿Cómo estás, hombre? Bien, hombre, ¿Y tú? Seguro que eres todo un padre de familia, ¿Cuántos hijos tiene?

Daniel

:

Eso es cierto; tengo tres hijos.

César

:

Caramba, tres hijos! ¿Qué edades tienen?

Daniel

:

Bueno; te diré, el producto de sus edades es 36.

César

:

Epa, Daniel, soy matemático; pero no soy adivino. Conociendo sólo el producto de las edades no podré determinar las edades de tus hijos, ¿Cuánto suman esas edades?

Daniel

:

Ahí está lo interesante. Si te dijese cuánto vale la suma de las edades, entonces tampoco podría determinar cuáles son las edades.

César

:

[después de vacilar unos instantes]: Ah, caramba! ¿No podrías darme alguna otra

Daniel

:

Sí, por supuesto. El mayor de mis hijos lleva tu propio nombre.

César

:

No bromees, hombre! De qué sirve saber cómo se llama el mayor de tus hijos… un

ayuda?

momento… Claro, tienes razón! Ya tengo toda la información para saber las edades de tus hijos.

Tengo 3 hijos. El producto de sus edades es 36. Conocer la suma no te servirá. El mayor se llama César.

¡Lo que piensa Daniel! [Ese César parece un poco ingenuo o mentirosillo ¿No?]

32 03

Colegio Particular Integrado CESAR´S

TAREA DOMICILIARIA Nº 3 6. 1.

a) 3

b) 4

d) 9

e) 13

c) 8

Una persona nacida en el siglo XX, tiene en

La edad de Nancy es el doble de la edad que

1988, tantos años como la suma de cifras el año

Luis tenía hace 4 años. Si la edad actual de Luis

de su nacimiento.

y la que tendrá Nancy dentro de 5 años suman

¿Cuántos años tendrá en el año 2000?

39 años. ¿Cuántos años tuvo Nancy cuando Luis nació? a) 2

b) 4

d) 8

e) 10

a) 30 años

b) 34

d) 22

e) 26

c) 32

c) 6 7.

La edad que tendrá una persona dentro de “x” años y la edad que tenía hace “x” años sumaban

2.

La edad de Norka es el triple de la edad de Alberto.

36 años.

Hace cuatro años la suma de sus

Sabiendo esto determinar, hace cuántos años

edades era la mitad de la edad que tendrá

tenía el triple de la edad que tenía hace 13

Norka dentro de catorce años.

años.

¿Cuántos años

tiene Norka?

3.

a) 12

b) 14

d) 18

e) 20

c) 16

a) Hace 2 años

d) Hace 5 años

b) Hace 3 años

e) Hace 6 años

c) Hace 4 años

Él tiene el doble de tu edad, que es igual a la

8.

Dentro de 10 años, la edad de un padre será el

edad que él tenía cuando yo tenía 2 años más de

doble de la edad de su hijo, ¿Cuál es la edad

la edad que tú tienes, y cuando tú tengas el

actual del hijo, si hace 2 años, la edad del padre

triple de tu edad, él tendrá 18 años más de lo

era el triple de la de su hijo?

que yo tengo. ¿Dentro de cuántos años la suma de nuestras edades será 220? a) 52

b) 54

d) 58

e) 60

a) 20 años

b) 16 años

d) 18 años

e) 14 años

c) 56 9.

Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el triple de la mía.

4.

c) 15 años

Si dentro de 6 años tu edad

Hace dos años tenía el cuádruple de tu edad.

sumada a la mía es 18 años menos que la edad de

Dentro de 8 años mi edad será 30 veces la edad

él. ¿Qué edad tengo?

que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tendrás dentro de 9 años.

¿Qué edad tenía

cuando tú naciste? a) 11

b) 13

d) 17

e) 19

c) 15ç

a) 12

b) 14

d) 16

e) 24

c) 18

10. Fiorella tuvo su primer hijo a los 17 años y 4 años después tuvo a su segundo hijo.

Si en

1996 las edades de los tres sumaban 49 años. 5.

Don Tomás tiene 6 hijos y cada uno de sus hijos

¿En qué año nació Fiorella?

le dio tantos nietos como hermanos tenían. En el mes de agosto del año 2000 Don Tomás suma

a) 1970

b) 1968

los años de nacimiento de todos sus nietos e

d) 1969

e) 1967

c) 1966

hijos y las edades de cada uno de ellos. si en total obtuvo 71991. ¿Cuántos todavía no habían cumplido años?

Colegio Particular Integrado CESAR´S

29

3

11. Hace “a” años César tenía “m” años. Dentro de “a” años tendrá

“n” veces la edad que tenía

a) 15

b) 10

d) 20

e) 22

c) 18

Pepe hace “a” años. ¿Cuál es la edad actual de Pepe?

14. Karen le dice a Rosa; la suma de nuestras edades es 46 años y tú edad es el triple de la

m  a(n  2) a) n

d)

m  2(a  n) b) n

e)

m  a 2 n n  a m n

edad que tenías, cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací. la edad que tiene Rosa?

m  a(n  1) c) n 12. Cuando entre los hermanos teníamos 180 años, tú tenías lo que yo tengo, yo lo que Carlos tiene y él la tercera parte de lo que tú tendrás cuando entre los tres tengamos 300 años, y yo tenga lo que tú tienes y Carlos lo que yo tengo. Si yo tuviese lo que tengo, tuve y tendré, tendría 240 años.

a) 60

b) 100

d) 80

e) 70

a) 18

b) 26

d) 20

e) 25

15. La edad que tú tienes es la edad que yo tenía, cuando él tenía la octava parte de lo que tendré. Y Cuando tú tengas lo que yo tengo, él tendrá 6 años más de lo que yo tuve. Si lo que tuve es 6 años más de lo que el tiene y 12 años

c) 120

a) 36

b) 38

d) 37

e) 42

13. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías, cuando yo tenía el doble de la edad que tuviste, cuando yo tuve la dieciseisava de la edad que tú Si dentro de 10 años nuestras edades

sumarán 175. ¿Dentro de cuántos años cumpliré 90 años?

32

c) 24

más de lo que tuviste. ¿Qué edad tengo?

¿Cuántos años tengo ahora?

tienes.

¿Dentro de

cuántos años la edad de Karen será el doble de

Colegio Particular Integrado CESAR´S

c) 40

II BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO

En el puerto de El Callao; es un día feriado. CESÁR

:

Esos buques son grandazos. Una vez he viajado en uno de ellos.

GEOVANNA

:

Cuando en el muelle no hay más sitio, entonces algunos barcos deben permanecer anclados. Miren ese, al que le cuelga una escalerilla es impresionante.

GLORIA

:

Ahora la marea está baja. Cuando sube la marea todos los buques, se elevan un poco, como si los levantara una mano invisible.

CÉSAR [riendo]

:

Qué imaginación tienen algunas mujeres ¡“Como si los levantara una mano invisible”!

GLORIA [un poquito enojada] : Tu te ríes de todo. Mira la escalerilla que antes señalo Geovanna, la distancia entre sus peldaños es de 30cm. Ahora imagínate que la marea sube 10cm cada media hora, y que el último peldaño apenas roza el agua. ¿Cuántos peldaños quedarán sumergidos en 5 horas? A ver; usa tu “imaginación de varón”. CESÁR [apaciguador]

:

No te enojes. Sólo estaba bromeando. Espero que no creas que no sé realizar cálculos simples, ¿No?

¿Cuántos peldaños quedarán sumergidos al cabo de 5 horas?

II BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO

NIVEL: SECUNDARIA

SEMANA Nº 4

QUNTO AÑO

MÓVILES Hay muchos tipos de problemas de velocidad –tiempo,

Fórmulas de Cantidad – Velocidad - Tiempo

además de los de distancia – velocidad – tiempo, que probablemente ya conoce Ud.

En esta separata

encontrará problemas de velocidad – tiempo, como una clase general de problemas que incluyen a los de distancia – velocidad – tiempo, como uno de muchos

C V= T

cantidad Velocidad = tiempo

C = V. T

Cantidad = (velocidad) (tiempo)

T=

casos especiales.

C V

Tiempo =

cantidad velocidad

Si “C” corresponde a una distancia “D”, entonces: V= D T

En efecto, preste atención a los siguientes casos:



Si un corredor recorre 20 kilómetros en 2 horas, la razón:



D T= V

D=V.T

TIEMPO DE ENCUENTRO:

20 km 2 h = 10 km/h

V1

Lugar de encuentro

V2

Es la velocidad del corredor representa el número de kilómetro producidos (recorridos) en cada unidad de tiempo (cada hora).



De

manera

semejante,

D si

una

máquina

TEncuentro =

embotelladora automática llena 3200 botellas de bebidas no alcohólicas en 20 minutos, la razón: 3200 botellas = 160 botellas/min 20 min Indica también una velocidad.



D V1  V2

TIEMPO DE ALCANCE: V1

V2

Lugar de alcance

Es el número de

botellas producidas por cada unidad de tiempo (cada minuto). D En general, si “C” es la cantidad de algo producido

TAlcance =

(kilómetros, palabras, partes, etc.) . En “T” unidades

D V1  V2

de tiempo (años, horas, minutos, segundos, etc.), entonces: La aplicación de éstas fórmulas, se extiende a los casos generales de problemas de: Cantidad – Velocidad - Tiempo

Colegio Particular Integrado CESAR´S

33

II BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO EJEMPLO 1

EJEMPLO 4

Un corredor tiene una velocidad de 10m/s. ¿Cuánto demorará en recorrer 60 metros?

Un tren de 200 m. de longitud cruza un túnel de 600 m. de largo a una velocidad de 40 m/s. ¿Qué tiempo demora en cruzarlo

EJEMPLO 2

EJEMPLO 5

Estando un león a 180 m. de una cebra, se lanza a cazarla. La cebra corre a 22 m/s. Mientras que el león corre a 31 m/s. ¿Qué tiempo demora la persecución?

Una persona está a 450 m. de su casa y se acerca con una velocidad de 30 m/min.; en este instante sale su perro de la casa a darle alcance a 60 m/min. y una vez que encuentra a su amo, regresa a la casa y repite lo mismo hasta que el amo llega a su casa. ¿Qué distancia recorrió el perro?

EJEMPLO 3 Dos ciclistas están separados 110 m. si parten en el mismo sentido, se encuentran en 55 seg. y si parten en sentidos opuestos, se encuentran luego de 5 seg. Una de las velocidades es:

a) 30 km d) 108 km

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.

Un automóvil marcha durante 12 horas. Si el auto hubiera marchado una hora menos con una velocidad mayor de 5km/h, habría recorrido 5 kilómetros menos. ¿Cuál es su velocidad? a) 60 km/h d) 45 km/h

b) 35 km/h e) 65 km/h

c) 50 km/h

2. Evelyn par a ir de un punto a otro camina a razón de 8 km/h y para volver al punto de partida le hace a razón de 5 km/h. Se desea saber la distancia que hay entre los puntos sabiendo que en el viaje de ida y vuelta ha empleado 13 horas de total. a) 30 km d) 50 km 3.

c) 45 km

Antonio recorre 80 kilómetros en una hora río abajo, y río arriba 28 kilómetros en el mismo tiempo. ¿Cuál es la velocidad de la corriente del río? a) 26 km/h d) 35 km/h

4.

b) 40 km e) 55 km

b) 28 km/h e) 4 km/h

c) 30 km/h

Dos móviles parten simultáneamente a las 8 horas de dos pueblos distantes 720 kilómetros. Determinar a qué hora se producirá el encuentro si van el uno hacia el otro con velocidades de 40 km/h y 50 km/h, respectivamente. a) 8 h d) 20 h

b) 16 h e) 21 h

c) 18 h

5. A las 7 horas sale un auto hacia el norte corriendo a una velocidad de 63 km/h. A las 11 horas sale en pos del primero un segundo auto que va a una velocidad de 91 km/h. ¿A qué hora lo alcanza? a) 9 h d) 15 h 6.

b) 18 h e) 22 h

c) 20 h

Viajando a 100 km/h, un motociclista llegaría a su destino a las 19:00 horas, pero viajando a 150 km/h lograría llegar a las 17:00 horas. Si deseara llegar a las 18:00 horas. ¿A qué velocidad debe ir? a) 115 km/h d) 126,6 km/h

b) 120 km/h e) 130 km/h

c) 125 km/h

7. Un automovilista debe hacer un trayecto en 4 horas, después de una hora de haber partido acelera, con el fin de llegar en 30 minutos antes haciendo así 6 kilómetros; más por hora. La longitud del trayecto es:

8.

b) 72 km e) 150 km

c) 120 km

Marcela y Sarita deben hacer un mismo recorrido de 38km, la primera está a pie y hace 6 km/h y Sarita en bicicleta hace 15 kilómetros por hora. Si Marcela parte a las 6:00 horas ¿A qué hora deberá partir Sarita para llegar al mismo tiempo a su destino? a) 08:24 hr d) 09:48 hr

b) 08:52 hr e) 12:20 hr

c) 09:36 hr

9. Manolo y Gerson separados por una distancia de 2400 metros parten al mismo tiempo al encuentro uno del otro: juntamente con Manolo parte “Peluchin” perro fiel a ambos. “Peluchin” al encontrar a Gerson regresa nuevamente hacia Manolo y así sucesivamente va de Manolo a Gerson y de Gerson a Manolo, hasta que ellos se encuentran. Se desea saber el espacio total recorrido por el perro, si se sabe que la velocidad de Manolo es 373m/h, la de Gerson 227 m/h y la de “Peluchin”, 393 m/h. a) 1 572 m d) 1 275 m

b) 1 472 m e) 1 742 m

c) 1 752 m

10. Un alumno de la Academia viajando en combi a razón de 40 km/h generalmente llega a tiempo; sin embargo el día que le tocó Razonamiento Matemático llegó con una retrazo de 10 minutos debido a que tomó el ómnibus que sólo desarrolla 30 km/h por estar recogiendo pasajeros. ¿A qué distancia de la academia toma los vehículos el estudiante? a) 10 km d) 18 km

b) 15 km e) 30 km

c) 20 km

11. Un hombre anda 35 kilómetros, una parte a 4 km/h y otra parte a 5 km/h. Si hubiera andado a 5km por hora cuando andaba a 4 km/h y viceversa, hubiese andado 2 kilómetros más en el mismo tiempo. ¿Cuánto tiempo estuvo andando? a) 8 h d) 5 h

b) 7 h e) 9 h

c) 6 h

12. Daniel y César discuten acaloradamente en una de las esquinas de la Plaza de Armas. De pronto dan por terminada su relación partiendo con velocidades de 16 y 12 m/s respectivamente, en direcciones perpendiculares. ¿Después de qué tiempo estos personajes estarán a una distancia de 90 metros, lamentando su decisión? a) 4 seg. d) 4,5 seg.

b) 5 seg. e) 5,5 seg.

c) 8 seg.

13. Un observador emplea 8 s en pasar delante de un servador y 38 en recorrer una estación de 20 metros de longitud. Hallar la longitud del tren. a) 45 m d) 32 m

b) 38 m e) 60 m

c) 30 m

14. Dos nadadores parten al mismo tiempo del extremo de una piscina de 90 metros de longitud con velocidades de 3 y 6 m/s respectivamente. Atraviesan la piscina varias veces durante 15 minutos. Suponiendo que no pierden tiempo al voltear. ¿Cuántas veces se han encontrado? a) 25 d) 45

b) 24 e) 30

15. Tres trenes parten del mismo punto y siguen igual vía y en la misma dirección, el primero parte a la 6:00 h, el segundo a las 7:00 y el tercero a las 9:00 h, siendo sus velocidades de 25, 30 y 40km/h, respectivamente. ¿A qué hora el tercer tren estará en el punto medio de la distancia que separa al primero del segundo? a) 22:00 h d) 19:30 h

b) 16:00 h e) 13:30 h

c) 14:24 h

c) 20

DE LIMAPAMPA A RUNAPAMPA Una especie de restaurante en Limapampa. Ana

:

Que bien ¡Lejos del colegio! Lejos de las matemáticas! Sólo quiero pasearme y bañarme en el río. Tino : La verdad que este lugar me recuerda a mi pueblo. César [con un pantalón de baño en la mano] Chicos! Vamos a bañarnos al río.

Una señora :

Tendrán que caminar un buen rato. De aquí hasta el río, yendo derechito hay 5 kilómetros.

César [sorprendido] : ¿Cómo? Si nos dijeron que Limapampa estaba junto al río. Cecilia : Bueno, chicas, chicos, mejor nos ponemos en camino. [Después de casi dos horas llegan al río. Inmediatamente se lanzan a las refrescantes agua]. Eduardo : César

:

Cecilia Tino

: :

Paula

:

Cecilia

:

Tino

:

Hubiese querido visitar el pueblo de Runapampa, que está al otro lado del río. Ese es un pueblo más grande. No creas que está muy cerca; me he enterado que está a 10 km del río. El gran lío es que todavía no han construido el puente que nos permita pasar cómodamente. O sea que entre Limapampa y Runapampa hay 15 km de distancia. No; no es así. Nosotros hemos caminado 5 km perpendicularmente al río Si un runapampino fuese direchito al río (es decir, caminando perpendicularmente al río) tendría que caminar 10 km; pero, desde aquí hasta ese runapampino habrían 20 km de distancia. ja, ja, ja. Y Eduardo quería dar un paseo por Runapampa. Ana y César lo desanimó, diciéndole que tendría que caminar 10km más. Pero podríamos venir otra vez, cuando hayan construido el puente. Si nos juntamos veinte personas podríamos alquilar una camioneta. Este lugar es lindo! Eso sí me lo contó el chofer que nos trajo. Dijo que estaban buscando un sitio, de manera que la distancia entre Limapampa y Runapampa fuese la menor posible. Que de esa manera los chicos de Limapampa podrían ir al colegio de secundaria en Runapampa.

LIMAPAMP A

A 5 km

M

Un puente MN para conectar Limapampa con Runapampa

10Km RUNAPAMPA

B

N 20 Km

TAREA DOMICILIARIA Nº4

1.

Dos móviles con velocidades de 30 y 20 km/h parten simultáneamente y de un mismo punto por una misma vía, pero con sentidos opuestos. Al cabo de 12 horas de marcha, ambos regresan simultáneamente. Si al regresar el segundo, triplica su velocidad y el primero lo duplica ¿Cuánto tiempo tendrá que esperar éste en el punto de partida, hasta que llegue el primer móvil? a) 4 horas b) 6 horas c) 2 horas

2.

3.

a) 50 seg b) 48 seg c) 60 seg 4.

d) 80 seg e) 90 seg

Dos personas A y B separadas por una distancia de 3600 m salen a la misma hora y van al encuentro, una de la otra. El encuentro ocurre a los 2000 m de uno de los puntos de partida. Si con las mismas velocidades, la persona que va más despacio hubiera salido 6 min, antes que la otra el encuentro hubiera ocurrido en el punto medio del camino. Dígase la velocidad de cada uno en m/min. a) 75 y 60 b) 70 y 65 c) 75 y 65

6.

7.

d) 65 y 60 e) 70 y 85

d) 850 km e) 900 km

Una persona dispone de 10 horas para salir de paseo. Si la ida hace en bicicleta a 15km/h y el regreso a pie a 5km/h. Hallar el espacio total que recorrió dicha persona. a) 37,4 km b) 375 km c) 3750 km

9.

d) 10,74 km e) 13,5 km

Julio recorre la distancia de Tumbes a Arequipa en 20 horas, si quisiera hacerlo en 25 horas tendrá que disminuir su velocidad en 8km/h. ¿Cuánto mide la distancia entre estas dos hermosas ciudades? a) 650 km b) 700 km c) 800 km

8.

d) 50 km/h e) 65 km/h

Nelson viene de Lurin a Lima en 2 horas. Al volver como él ha recorrido 11 metros más por minuto ha hecho el trayecto en 105 minutos. Hallar la distancia de Lima a Lurín a) 9,24 km b) 11,5 km c) 11,2 km

d) 11:52 h e) 11:50 h

Juan y Pedro están separados por una distancia de 1,5 kilómetros. Cuando parten en direcciones opuestas se encuentran al cabo de 30 segundos y cuando parten en direcciones iguales Juan alcanza a Pedro en dos minutos. Qué tiempo empleará Juan solo, en recorrer toda la distancia anteriormente mencionada?

César ha estado caminando durante 14 horas. Si hubiera caminado una hora menos, con una velocidad mayor en km/h habría recorrido 5km menos. ¿Cuál es la velocidad? a) 60 km/h b) 70 km/h c) 80 km/h

d) 3 horas e) 5 horas

Dos atletas están separados por una distancia de 1030 metros; los dos corren al encuentro con velocidades de 65m/min, respectivamente. Si el primer atleta salió dos minutos antes que el segundo y si el encuentro se produce a las 12:00 horas. ¿a que hora se puso a correr el segundo atleta? a) 11:54 h b) 11:30 h c) 11:56 h

5.

d) 75 km e) 750 km

Los 2/3 de un camino se recorrieron en bicicleta a 32 km/h y el resto a pie, a razón de 4 km/h, tardando en total 7,5. ¿Cuál fue la longitud total recorrida en km? a) 120 b) 240 c) 72

d) 96 e) 90

10. Giovanna recorre 36 km en 8 horas, los 12 primeros kilómetros con una velocidad superior en 2 km a la velocidad del resto del recorrido. Calcular la velocidad con que recorrió el primer trayecto. a) 2 km/h b) 3 km/h c) 4 km/h

d) 5 km/h e) 6 km/h

11. Una liebre y una tortuga parten simultáneamente de un mismo punto, la tortura recorre en cada minuto 10 m y la liebre 100 m. Si ambos se dirigen a un mismo punto, además la liebre llega a la meta, regresa hasta la tortuga, luego va hasta la meta y así sucesivamente hasta que la tortuga llega a la meta. Si la tortuga recorrió 1 km. ¿Cuánto recorrió la liebre? a) 10 km b) 100 c) 1 000

d) 1 e) 120

12. Un automovilista debe llegar a una ciudad que dista 480 km a las 19:00 hora, pero con la finalidad de llegar a las 18:00 horas tuvo que ir a 24 km más por cada hora. ¿A qué hora partió? a) 12:00 h b) 13:00 h c) 14:00 h

d) 15:00 h e) 16:00 h

13. Dos nadadores parten al mismo tiempo del extremo de una piscina de 120m de longitud con velocidades de 6 y 4 m/s respectivamente. Atraviesan la piscina varias veces durante 18 minutos, suponiendo que no pierden tiempo al voltear, el número de veces que se han encontrado es: a) 30 veces b) 36 c) 40

d) 45 e) N.A.

14. Un tren tardó 6 segundos en pasar por un semáforo y 24 segundos en atravesar un túnel de 240 metros de longitud. ¿Cuánto tardará en cruzar una estación de 160m de longitud? a) 18 s b) 20 c) 12

d) 16 e) 24

15. Dos ciclistas parten al mismo tiempo y a su mutuo encuentro, de dos ciudades M y N distantes 500 km. Si el partió de “M” hubiera salido 2 horas antes se hubiera producido el encuentro en el punto medio del camino. ¿Cuál es la velocidad del que partió de “N”? a) 25 km/h b) 30 c) 20

d) 60 e) 18

II BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO

NIVEL: SECUNDARIA

SEMANA Nº 5

QUINTO AÑO

RELOJES MEDICIÓN DEL TIEMPO RELOJ DE SOL Antes de la invención del reloj de péndulo, la humanidad se basaba en la posición del Sol para conocer la hora.

También se inventaron los

relojes de arena y otros artilugios para medir períodos de tiempo determinados. 1960,

los

reemplazados

relojes por

mecánicos relojes

Desde

han

eléctricos

sido y

electrónicos. Ginomon

Dial dividido en horas

RELOJ DE ARENA Durante el siglo I, los romanos utilizaron relojes de arena para medir el tiempo. La arena tardaba un tiempo fijo en fluir, atravesando la angostura, desde la parte superior a la inferior del cristal.

RELOJ ELECTRÓNICO

Reloj de Sol y Sombra (EGIPCIOS)

Reloj de agua y Arena

Posible invención del Reloj mecánico

4000

S.X.

999 d.C.

Gracias al curioso sistema catalán de dar la hora, los niños de esta región tienen mayor ventaja para manejar fracciones” Cataluña es una región con buenos recursos naturales, comercio activo y además es un excelente punto turístico. Sus habitantes se han caracterizado siempre por un espíritu libertario y por un deseo de ser diferentes. Si no, que lo diga cualquier turista que haya preguntado la hora en Cataluña. Antes de hacerlo, es mejor que sepa a qué atenerse y entienda como funciona el reloj catalán. Cierto día que tenía una reunión de trabajo a las 14:00 horas: pregunté camino al restaurante, a una joven profesora por la hora y ella me respondió : “ un cuarto y cinco minutos de la hora dos”. Sin pensarlo mucho, deduje que estábamos atrasados. Por supuesto: un cuarto de hora equivalente a 15 minuto; más 5, son 20. Sólo podían ser las 14 horas 20 minutos. Advirtiendo mi descontento, la profesora me aclaró que sólo habían transcurrido 20 minutos de la segunda hora de la tarde; es decir, eran las 13 horas y 20 minutos. Esta anécdota me permitió advertir que interesante es la cultura catalana. Mientras otros pueblos dicen “ seis horas 36 minutos”, los catalanes dicen algo como “ 36 minutos de la hora 7”. Sólo que ellos no lo dicen exactamente así. Pues jamás dirían “36 minutos”. Su curioso modo de ver las horas tiene como unidad el cuarto de hora ( 15 minutos ); por tanto, cuando son las 6 horas 36 minutos, ellos dicen dos cuartos ( de hora) y 6 minutos (adicionales ) de la séptima hora. Al saber esto, consideré que debía ser difícil tratar de enseñar a decir la hora a los niños catalanes; más tarde cambié de opinión. Ahora considero que estos chicos tienen más posibilidades de dominar las fracciones; de hecho, reafirme mi teoría cuando vi que en el reloj de la profesora, las fracciones sustituían a los enteros. Aquí algunos ejemplos de cómo se leían las horas en ese reloj. 0h 7min = medio cuarto de hora. 0h 15min = un cuarto de hora. 0h 25min = Faltan cinco minutos para dos cuartos de hora. 0h 52 min = Tres cuartos y medio cuarto de hora. 0h 53min = Tres cuartos y medio cuarto de hora.

ADELANTOS Y ATRASOS Son problemas que tratan sobre relojes mal calibrados que registran el tiempo con atraso o adelanto respecto al tiempo normal. Consideraciones:   

Hora Real(HR) = Hora marcada(HM) – Adelanto(Ad) Hora Real(HR) = Hora marcada(HM) + Atraso(Atr) Cuando se tenga problemas para hallar después de cuanto tiempo un reloj mal calibrado volverá a marcar la hora exacta, se tendrá en cuenta lo siguiente: Si el reloj se atrasa, entonces a todo el tiempo de atraso se le debe sumar 12 horas ( 720 minutos ) Si el reloj se adelanta, entonces a todo el tiempo de adelanto se le debe ............... 12 horas (720 minutos)

II BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO Ejemplo: •

Un reloj de atrasa 5 minutos cada hora. ¿Después de cuántas hora marcará la hora exacta? Solución: Para que el reloj marque la hora exacta es necesario que pasen 12 horas. Convertimos 12 horas a minutos: 12 . 60 = 720 minutos Por regla de tres : 1 hora x mi

5 min 720

x = 720:5 x = 144 horas

1.

Un reloj empezó a atrasarse 1 minuto por cada hora. Si empieza el martes 23 de marzo a las 13:00h exactamente. ¿En qué fecha y hora volverá a señalar la misma hora?.

3.

¿Cada cuánto tiempo volverá a marcar la hora exacta un reloj que por cada 12 horas se atrasa 1 hora?

2.

Dos relojes se sincronizan a las 18:00h a partir de cuyo instante el primero se adelanta 15 minutos en cada hora, mientras que el otro se atrasa 15 minutos, cada hora. ¿Después de cuánto tiempo marcarán la misma hora?.

4.

¿Qué hora marcará mi reloj si cada 3 horas que pasan se adelanta 3 minutos, si en realidad es la 13:20 horas y hace 18 horas que trabaja en este modo?

RELACIÓN ÁNGULO - HORA Estos problemas relacionan la hora marcada con el ángulo formado por las agujas del reloj. Para estos tipos de problemas es necesario recordar algunas cuestiones básicas sobre la circunferencia del reloj y las divisiones inscritas en él. 12

3

9

5 divisiones 4 30

M = 12 ( H )

6

En todo normal se cumple: Lo recorrido por el minutero =12 (recorrido por el horario)

α = ±

♦

Otra de las formas como se desarrollan estos problemas es recurriendo a la siguiente propiedad: Si el minutero pasa al horario ( + , – ) Pero si no lo pasa ( – , + )

♦

11 ( M ) + 30 ( H ) 2

¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj en cada caso?. 1) 08:40h

Rpta: .....................

2)

06:36

Rpta: .....................

3)

20:16h

Rpta: .....................

•

¿Qué ángulos forman las manecillas del reloj en cada uno de los casos?

8)

¿A qué hora exactamente el minutero y el horario forman un ángulo de 70º entre las 3 y 4 horas por primera vez?

9)

Entre las 6 y 7 horas. ¿A qué hora exactamente el minutero y el horario forman un ángulo de 90º por segunda vez?

4) 03 : 10

5) 12 : 20

6) 22 : 24

10) ¿Qué ángulos forjan las manecillas de un reloj a las 08:32 h?

7) 12 : 12

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.

Hace 8 horas que un reloj se adelanta 4 minutos cada media hora. ¿Qué hora marcara el reloj cuando exactamente sea 10 h 32 min 20 s? a) 11 h 36 min 20 s b) 11 h 36 min c) 12 h 30 min 25 s d) 10 h 48 min 20 s e) 12 h 20 min 25 s

2.

3.

5.

b) 15 e) 48

¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 6:30 p.m.? b) 60º e) 21º

c) 7º

¿Qué ángulo forman las manecillas de un reloj a las 4:20 p.m.? a) 15º d) 9º

8.

d) 7 de junio e) 13 de junio

b) 20º e) 11º

c) 350º

¿Qué ángulo forman el horario y el minutero a las 8:24 h?

c) 108º

Silvia al ver la hora confunde el minutero por el horario y viceversa y dice : “son las 4:42 h”. ¿Qué hora es realmente?

b) 8:42 e) 9:27

c) 8:24

10. ¿A qué hora inmediatamente después de las 2 el minutero adelanta el horario tanto como el horario adelanta a la marca de las 12? a) 2:16 h d) 2:26

b) 2:20 e) 2:28

c) 2:24

11. ¿A qué hora entre las 5 y las 6 el minutero y el horario forman un ángulo que es la quinta parte del ángulo externo antes que el minutero pase al horario? a)

a) 12 horas b) 4 días c) 3 días d) 5 días e) 6 días Si un reloj se atrasa 6 horas cada día y empieza a fallar un 6 de junio. ¿En qué fecha volverá a marcar la hora correcta por tercera vez?

a) 15º d) 42º 7.

c) 30

Un reloj se empieza adelantar 10 minutos cada hora. ¿Dentro de cuánto tiempo volverá a marcar la hora correcta?

a) 12 de junio b) 8 de junio c) 10 de junio 6.

c) 6:35

Un reloj se adelanta 3 minutos cada 8 horas. ¿Cuánto tiempo deberá pasar para que marque nuevamente la hora exacta? a) 80 días d) 50

4.

b) 6:50 e) 6:43

9.

b) 112º e) 100º

a) 9:24 h d) 9:26

Un reloj adelanta 2 minutos cada 3 horas, si en este momento marca las 6:35. ¿Qué hora marcará dentro de 12 horas? a) 6:48 d) 6:27

a)100º d) 120º

3

5 h 16

11 4

b) 5 h 16 c)

5 h 11

11 2 11

min

d) 5 h 15

min

e) 5 h 17

3 11 5

min

11

min

12. ¿A qué hora entre las 2 y las 3 el horario y el minutero se superpone? a)

b) 2 h 10 c)

9

2 h 10

2 h 11

11 10 11 10 11

min

d) 2 h 11

min

e) 2 h 10

9 11 7 11

min min

min

13. ¿A qué hora entre las 2 y las 3 las manecillas forman un ángulo de 90º? a)

2 h 28

b) 2 h 29 c)

2 h 24

2 11 3 11 2 11

min

d) 2 h 30

min

e) 2 h 27

min

2 11 3 11

min min

14. ¿Qué hora es según el gráfico? 12

11

15. ¿Qué hora marca el reloj de la figura mostrada? 12 1

1

2

2

10 α

H

9

3

9

6 a) 10:32

2 11

b) 10:35 c) 10:33

h

5

4 5

6 d) 10:32 e) 10:31

7

M

4 7

3

3α/2

α

8

α

9

a)

11 8

2:24 h

b) 2:21 c)

11

d) 2:22 e) 2:32

2:20

11

La esfera del reloj Se trata de dividir esta esfera de reloj en seis partes, de la forma que usted desee, pero con la condición de que en cada parte, la suma de los números sea la misma. Este problema tiene por objeto comprobar 11

12 1

10

2

9

3 8

4 7

5 6

TAREA DOMICILIARIA Nº 5 1.

Un reloj se adelanta 5 minutos cada 2 horas. Si hace ya 12 horas que viene funcionando y marca las 3:00 a.m. ¿Qué hora será en realidad? a) 1:00 a.m. d) 2:00 a.m.

2.

b) 2 e) 5

1 de marzo 2 de marzo 3 de marzo

d) 29 de febrero e) 28 de febrero

8 de agosto 9 de agosto 10 de agosto

d) 11 de agosto e) 12 de agosto

Un reloj se atrasa 4 min por hora. Si sincronizó el jueves 15 de agosto a las 14:00 h. ¿En qué fecha volverá a marcar dicho reloj la misma hora? a) b) c)

8.

c) 60º

Un reloj se adelanta 5 minutos cada 2 horas, si empieza correctamente el 28 de julio a las 13 h. ¿En qué fecha volverá a marcar la misma hora? a) b) c)

7.

b) 7º e) 21º

Se tiene 2 relojes, uno se adelanta 3 minutos por hora y el otro se atrasa 2 minutos por hora. Si ambos relojes se les sincronizó el 25 de febrero de un año bisiesto a las 15:00 h. ¿En qué fecha exactamente ambos relojes volverán a marcar la misma hora? a) b) c)

6.

c) 16

Desde las 7:18 p.m. hasta las 7:25. ¿Qué ángulo habrá girado el minutero? a) 84º d) 42º

5.

b) 12 e)18

22 de agosto 23 de agosto 24 de agosto

9.

d) 25 de agosto e) 26 de agosto

¿A qué hora entre las 3 y las 4 las manecillas de un reloj forman un ángulo de 30º?

3:10 10/11 3:11 10/11 3: 21 10/11

d) 3:15 10/11 e) 3:20 10/11

¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 3:20 h? a) 10º d) 40º

b) 20º e) 45º

c) 30º

10. ¿Cuál es el menor ángulo que forman las manecillas de un reloj a las 4:30 h?

c) 3

Un reloj se detiene exactamente a las 8:20 p.m. ¿Cada cuánto tiempo marca la hora correcta? a) 10 h d) 15

4.

c) 4:00 a.m.

Un reloj se adelanta 3 minutos cada “x” horas si empieza a fallar a las 10:29 p.m. y luego marca las 8:35 a.m. cuando en realidad son las 8:29 a.m. Calcular “x”. a) 1 d) 4

3.

b) 2:48 a.m. e) 2:30 a.m.

a) b) c)

a) 115º d) 60º 11.

b) 45º e) 90º

c) 145º

Si nuestro reloj marca las 6:20 ¿Qué ángulo forman las agujas de nuestro reloj? a) 50º d) 80º

b) 60º e) 90º

c) 70º

12. ¿A qué hora exactamente entre las 7 y 8 las manecillas de un reloj forman un ángulo de 40º por segunda vez? a) b) c)

7:45 5/11 h 7:46 5/11 7:48 5/11

d) 7:49 5/11 h e) 7:50 5/11 h

13. ¿A qué hora exactamente el minutero y el horario forman un ángulo de 70 7 entre las 3 y 4 horas por primera vez? a) b) c)

3:2 2/11 min 3:3 7/11 3:2 7/11

d) 3:3 2/11 e) 3:5 8/11

14. Según el gráfico ¿Qué hora es? 12 a) 6:44 b) 6:43 c) 6:42 d) 6:41 9M α e) 6:40 8 7

H

3 α+14

6

15. ¿Qué hora indica las agujas del siguiente reloj? 12 1 11 a) 4:40 h 2 10 b) 4:43 c)

4:41

d)

4:42

e)

4:44

9

2α M

8 7

3 α

4 5

6

En un combate de tirar de una cuerda, cuatro chicos tiran tan fuerte como cinco chicas.

Y dos chicas y un chico tiran tan fuerte como un perro.

El perro y tres chicas se enfrentan ahora con cuatro chicos.

¿Qué lado ganará en este último caso?

NIVEL: SECUNDARIA

SEMANA Nº 6

QUINTO AÑO

COMPARACIÓN CUANTITATIVA EJERCICIOS DE APLICACIÓN

ENUNCIADO La pregunta presenta una condición y dos cantidades, o sólo dos cantidades, una en la columna A y otra en la columna B, compara dichas cantidades y marque la letra correspondiente a la deducción que llegues.

1.

a)

Si la cantidad de la columna A es mayor que en B.

b)

Si la cantidad de la columna B es mayor que en A.

c)

Si las dos cantidades son iguales.

d)

Si no se puede sacar ninguna conclusión con la información dada.

e)

¡No debe utilizar esta opción!

COLUMNA A

COLUMN LUMNA B

x+3

y–2

# de minutos que tiene 1 día

# de segundos que tiene 1 hora

Talía compro 16 polos. Algunos costaron 13 soles c/u mientras que los demás 10 soles c/u. El costo total de los polos fue 187.

# de polos que costaron S/. 13

# de polos que costaron S/. 10

En una olimpiada el equipo A tienen 3 integrantes más que B; el equipo C; 2 menos que D; D uno más que B y E dos más que B.

Integrantes de A + C

Integrantes de E + B

6 5

3y

Dinero de Ricardo al inicio.

Dinero de Polo al inicio.

x+1 y−8 = =2 5 2

2. 3.

4.

4y 5

5.

x=

6.

Ricardo, Coco, Polo y Toño se pusieron a jugar teniendo en cuenta las siguientes reglas:  El primero en perder deberá aumentar $ 10 a cada uno de los demás.  El segundo en perder duplicará el dinero de los demás.  El tercero aumentará $ 20 a c/u de los otros.  El cuarto triplicará el dinero de los demás. Se sabe que perdieron en el orden antes indicado y al final cada uno quedo con $ 240.

3x

COLUMNA A

COLUMN LUMNA B

7.

Dinero que pierde Coco en todo el juego.

Dinero que pierde Toño en todo el juego.

8.

Dinero que tenía Ricardo después de perder.

Dinero que tenía Polo después de perder.

Cantidad de caramelos del segundo grupo al inicio.

Cantidad de caramelos del tercer grupo al inicio, más un caramelo.

Cantidad de caramelos que le queda al primero, después de pasarle al segundo por segunda vez.

Cantidad de caramelos que tenía el tercer grupo al inicio.

Total de dinero.

Costo de 13 caramelos.

9.

Se tienen 28 caramelos distribuidos en tres grupos, del primer grupo se pasan al segundo tantos caramelos como éste tiene, luego del primer grupo se vuelve a pasar al segundo tantos caramelos como ahora tiene éste y exactamente se hizo lo mismo del segundo grupo al tercero, resultando al final que el segundo grupo tiene el doble número de caramelos que el primero y el tercero el doble del segundo.

10. 11. Si compro 15 caramelos me faltarían 10 Soles y si compro 10 caramelos, me sobran 15 Soles. 12. Un ganadero no sabe si comprar 56 ovejas o por el mismo precio 8 vacas y 8 toros. Finalmente decide comprar el mismo número de animales de cada clase.

Nº de animales que decidió comprar.

24

13. De un día faltan tantas horas completas como minutos han transcurrido de la hora en que estamos; además los minutos que faltan para la hora siguiente son el cuádruple de las horas completas que faltan.

Horas transcurridas.

Horas que faltan transcurrir.

14. Con $ 5 625 se compran tantos relojes como lo que cuesta un reloj.

Nº relojes comprados.

80

15. Entre dos cañones han realizado 518 disparos, uno 35 por hora y otro 24 por hora. Se sabe que el segundo comenzó a disparar 3 horas después del primero.

Cantidad de disparos de cañón más eficiente.

El doble de disparos del menos eficiente.

El Cálculo por los Dedos Utilizado por los Mercaderes En la Edad Media, los mercaderes acostumbraban multiplicar valiéndose de los dedos. Usaban este tipo de cálculo sólo para los números comprendidos entre el 5 y el 10. El sistema te será práctico cuando te falle el recuerdo de la tabla de multiplicar. Veamos cómo multiplicaban los mercaderes 6 por 9. Primero señalaban el 9 con una mano, extendiendo los cinco dedos, cerrando luego el puño y extendiendo otra vez cuatro dedos, uno a uno: 6 – 7 – 8 – 9. Quedan así cuatro dedos extendidos. Para señalar el 6, extiende de primero los cinco dedos de la otra mano, cierra el puño y extiende después un dedo más, el pulgar. Así habrás extendido un total de 6 dedos. Para llevar a cabo la multiplicación, se procede así: se suman los dedos extendidos y se multiplican los doblados. En el caso del grabado, habría que sumar 1 (el pulgar) con 4 (los cuatro dedos), lo que nos daría un total de 5. Este número corresponde a las decenas, es decir, 50. Multiplica ahora los dedos doblados: 4 x 1 = 4. Sumando las dos respuestas, obtendríamos 50 + 4 = 54 que es igual a 6 x 9. Efectúa otras multiplicaciones. Naturalmente, en este caso no se da al final ninguna solución.

TAREA DOMICILIARIA Nº 6

ENUNCIADO La pregunta presenta una condición y dos cantidades, o sólo dos cantidades, una en la columna A y otra en la columna B, compara dichas cantidades y marque la letra correspondiente a la deducción que llegues.

a) Si la cantidad de la columna A es mayor que en B. b) Si la cantidad de la columna B es mayor que en A. c) Si las dos cantidades son iguales. d) Si no se puede sacar ninguna conclusión con la información dada. e) ¡No debe utilizar esta opción!

COLUMNA A

COLUMN LUMNA B

m

c – 10

1.

Aumentado en m es 5 menos que C.

2.

En un corral hay gallinas y conejos. El número de patas es 14 más el doble del número de cabezas.

# conejos

3 gallinas

3.

Hay 18 plátanos, un mono y una mona. El mono come 1/3 de los plátanos, la mona 1/2 de los plátanos que quedan.

# de plátanos que comió el mono.

# de plátanos que comió la mona.

4.

“A” representa la cantidad de números racionales enteros, comprendidos entre:

A

4

Parte que falta transcurrir del día.

Horas Transcurridas

− 1,1 ∧ 10

5.

Son las 16 h.

6.

Carla resuelve por la tarde ¼ de la tarea y en la noche ½ del resto.

7.

En una fiesta hay 30 personas entre damas, caballeros y niños. Los caballeros representan los 4/7 de las damas.

Parte no resuelta.

Nº de caballeros

Horas que Fal tan

Falta resolver Re suelto

Nº de niños

8.

Lo que queda del día es los 2/3 del tiempo transcurrido.

9. los

En una reunión, los 2/3 son mujeres y 3/5 de los varones son casados, mientras que los seis restantes son solteros.

10.

Tiempo transcurrido.

Tiempo que falta transcurrir.

Varones célibes.

Varones no célibes.

37 51

373737 515151

11. Si el año de nacimiento de José se representa como 19ab y se cumple que:

3

(b – a)

a . b – 13

x

y

11a + 3b

9b

a

C

Suma de cifras del dividendo.

Suma de cifras del divisor.

11a + 2b = 71 12. Dadas las ecuaciones: 7x

=

4 7y

=

9

13.

a 3

=

5 6

+

4x 3

1 5y + 2 6

b 2

14. Siendo: N = abc Se cumple: ab . c = 111 15. En la siguiente división: ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗∗ 1

∗ ∗ ∗ ∗ 8∗ ∗

II BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO

VENDEDOR DE ILUSIONES. Atención señoras y señores: debajo de una de estas cuatro tazas se encuentra una moneda de 1 sol. Por 30 centavos Uds. Pueden indicar la taza de su preferencia: quien acierte se quedará con la moneda.

“Ajá, qué tal vivo, dirán ustedes, “La probabilidad de acertar es 1/4 , entonces sólo deberíamos pagar 25 céntimos; y nos está cobrando 30 céntimos. Nos cree ingenuos”.

“Para desmentir tales comentarios injustos, daré una ayuda a quien se anime a participar: apenas uno de ustedes señale la taza de su preferencia

(pero antes de levantarla), yo

levantaré otra taza [debajo de la cual no se va a encontrar la moneda]; entonces la probabilidad de acertar aumentará de 1/4 a 1/3. Y con la probabilidad de 1/3 (para lo cual habría que pagar 33 centavos) Uds. Salen ganando en esta apuesta. Apuesten señores!”

a) “Ud. Señala una taza”

b) Yo levanto otra taza; de esta manera su probabilidad de acertar ha pasado de 1/4 a 1/3.

NIVEL: SECUNDARIA

SEMANA Nº 7

QUINTO AÑO

SUFICIENCIA DE DATOS

EJERCICIOS DE APLICACIÓN ENUNCIADO Las siguientes preguntas constan de una pregunta y dos afirmaciones I y II, en las cuales se dan ciertos datos, Ud. Debe decidir cuales de las afirmaciones son suficientes para contestar la pregunta y marcar: a) Si el dato I es suficiente y el dato II no lo es. b) Si el dato II es suficiente y el dato I no lo es. c) Cuando es necesario utilizar I y II conjuntamente. d) Cuando cada uno de los datos, por separado es suficiente. e) Cuando se necesitan más datos. 1. ¿En cuánto tiempo atraviesa Fabricio una piscina? I. El puede dar dos brazadas por segundo II. La piscina mide 25 metros. 2. TRI equivalen a 2 PUC, para determinar ¿Cuántos TRI hay en 4LIN?, se necesita: I. 10TRI < > 4PUC II. 2PUC < > 1LIN 3. Una noción fue aprobada por una votación de 3 a 1, para determinar cuántos votaron en contra, se necesita: I. Los 3/4 de los miembros votaron a favor. II. El 25% de los miembros votaron en contra. 4. En un taller hay autos y motos, para determinar el

I. 1001 = 7 x 11 x 3 II. Hay trillizos 6. Para calcular el valor de “x” se necesita: I.

3(x-y) + 2x = 2(x + y) – 5y + 12

II.

x – 2y + 3 = 5(x – y)

7. Un reloj malogrado se atrasa. Si señala las 3 y 45 minutos. ¿Qué hora es en realidad? I.

Se malogró hace 48 horas.

II. Se atrasa 4 minutos por cada 3 horas. 8. ¿Cuánto costó un automóvil que compraron 4 personas? I.

Mauricio aporta 2/5 del total y Fabio 1/3

II. Gabriel 1/4 y David S/.1000 9. Sandra compra cuadernos y lápices. ¿Cuánto pagó por todo? I.

Compra 10 cuadernos y 5 lapiceros

II. Cada cuaderno cuesta S/.2,5 10. Dentro de cuántos minutos volverán a pasar iguales por la meta de un pista dos carros que arrancan al mismo tiempo? I.

Uno da una vuelta a la pista en 12 minutos.

II. El otro gasta 18 minutos 11. Para averiguar cuántos partidos ganó un equipo, se requiere saber: I.

El número de equipos participantes.

II. El número de partidos jugados. 12. Para calcular cuántas vacas compró un hacendado, es necesario conocer que:

número de vehículos de cada clase, se necesita:

I.

I.

Son 80 vehículos en total.

II. Si compro 8 vacas más le cuestan S/.250 00

II.

Las llantas de los vehículos están en la proporción de 4 a 2.

5. El producto de las edades de los hijos de una familia es 1001, para determinar cuántos hijos son, necesito:

Todas costaron S/. 1 750 00

13. un concurso de 20 preguntas. ¿Cuánto gana un concursante si: I.

Acierta 13 preguntas y por la primera de ellas gana S/.1000

II. Cada acierto vale S/.500 más que el anterior.

II BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO 15. Lucio y Arturo caminan con diferentes velocidades. 14. Pedro puede vender caramelitos a 50 o 60

¿Quién camina más rápido?

céntimos c/u. El desea venderlos todos a un mismo precio. ¿Vendiéndolos a qué precio seria mayor el

I.

producto de la venta?

II. Arturo camina a un promedio de 8km/h

I.

Lucio camina a un promedio de 10km/h

Puede vender dos veces más caramelos de 50 que de 60.

II. Puede vender 30 caramelos diarios a 60 céntimos

Profesor Aquí tengo tres cajas cerradas, en cuyas etiquetas puede leerse que ellas contienen libras en castellano y en inglés. En una etiqueta dice CAST, en otra dice INGL, en la tercera dice CAST/INGL. Pero hay un problema; según he podido verificar, ninguna de las tres etiquetas está colocada correctamente.

CAST

INGL

Tres cajas con etiquetas completamente equivocadas.

Eusebio ¿Pueden destaparse las cajas para verificar su contenido y cambiar las etiquetas? Profesor: Sí Ud. Puede destapar una caja y extraer de ella un libro, sólo uno. Abriendo el libro puede verificar si se trata de un libro en castellano o de uno en inglés. Las preguntas son las siguientes: ¿Es necesario destapar las tres cajas?¿Cuántas cajas es indispensable destapar para saber cuál etiqueta corresponde a cada caja?

II. Se compra y venden las manzanas al mismo

TAREA DOMICILIARIA Nº7 ENUNCIADO

precio

5.

Para saber cuántos encuentros tuvo un equipo de soccer, en el que jugaron todos contra todos, se necesita:

Las siguientes preguntas constan de una pregunta y dos afirmaciones I y II, en las cuales se dan ciertos datos, Ud. Debe decidir cuales de las afirmaciones son

I.

Participaron en total 10 equipos.

suficientes para contestar la pregunta y marcar:

II.

En todo torneo hubo 45 partidos

a) Si el dato I es suficiente y el dato II no lo es.

6.

Jaime pesa x, donde x es un número entero de kilos. ¿Cuánto pesa Jaime?

b) Si el dato II es suficiente y el dato I no lo es. c) Cuando es necesario utilizar I y II conjuntamente.

I.

d) Cuando cada uno de los datos, por separado es

Si Jaime sube 3 kilos, su peso es menor que 98 kilos.

suficiente.

II. Si Jaime sube 5 kilos, su peso es mayor

e) Cuando se necesitan más datos.

que 98 kilos. 1.

Para hallar los valores de x e y son necesarios:

7.

Juan, Pedro y David tienen 10 chocolates. Cada uno tiene al menos un chocolate. ¿Cuántos

I.

9 + 2x – y = 27 + x + 3y

chocolates tiene cada uno?

II. 4x – 6 – 3y = 30 + 2x + 5y I. 2.

Para hallar el valor de “x” son necesarios: I.

1 5 2 (x + 5) − (y − 4) = 15 + (3y − x) 3 3 3

II.

3.

II. Pedro tiene la mitad de lo que tiene Juan. 8.

1 3 9 (x + 4) + (6y + 8) = (2y − x) + 15 2 2 2

Para calcular la edad de Aldo; se necesita: I.

actual. de ambas edades es 77.

manzanas por 300 soles. ¿Con cuál de los cuesta una manzana? I.

Una pera cuesta 120 soles.

II. 2 peras y 1 manzana cuestan 333 soles 4.

Cada vez que compro 10 manzanas me regalan “a” manzanas y cada vez que vendo 15 manzanas de regalo. Para determinar cuántas debo comprar para ganar 100 manzanas, necesito: I.

a=2∧b=1

Hace 20 años tenía la mitad de su edad

II. Aldo tiene 3 años más que Beto y la suma

Un vendedor de frutas, vende 1 pera y 2 siguientes datos se puede encontrar cuánto

Juan tiene 5 más que David.

9.

Diariamente

un

perro,

come

en

kilos

el

cuádruplo de alimentos con respecto a un gato, pero la comida del gato cuesta el doble del perro. ¿Cuánto se gasta cada día en alimento para el perro? I.

El kilo de alimentos para gato cuesta $60

II. El gato come 7 kilos de alimento al día. 10. Los 9/10 de una mercadería se transporta en dos containers de diferentes capacidades; para determinar la cantidad exacta de unidades de mercadería del transporte de menor capacidad, se requiere:

13. Hector salió de compras llevando $120 I.

El transporte mayor ha cargado 23/40 del

¿Cuánto gastó?

total. II. La diferencia entre las cargas es 1/4 del total.

I.

Gastó los 2/3 de lo que no gastó

II. Lo que no gastó excede en $24 a los gastos.

11. En una reunión hay “a” damas y “b” caballeros. En un momento dado llega cierto número de parejas y se observa que los 3/5 de los caballeros representa personas. Para

1/3

del

total

determinar cuántas parejas

a = 30

II. b = 40 12. Cecilia gasto 2/5 de su dinero en el HARD ROCK y luego los 4/7 del resto en CAFÉ. Para determinar cuánto dinero tenía al inicio, se necesita: I.

Luego del primer gasto le queda $210

II. Al final le quedó $90

necesita.

de

llegaron se necesita: I.

14. Para determinar el resultado de: 2x + 4y; se

I.

5x + 4y = 13

II. x + 2y = 5 15. Para saber el precio de un automóvil que compraron cuatro hermanos, se necesita: I.

Mauricio aporta 2/5 del total y Fabio 1/3 del total.

II. Gabriel aporta ¼ del total y Dany $1000

III BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO

El profesor escribe en la pizarra: 14, 5, 4, 19, 18, 16, 17, 10, 12, 2, 9, 8, 11, 15, 6, 7, 13, 3, 1, 20.

Profesor : En la pizarra he escrito, ordenadamente, los veinte primeros números. Vamos a ver quien los memoriza más rápidamente. Carlos

: ¿Ordenadamente ha dicho Ud. profe?

Profesor : Eso he dicho, y eso es cierto.

Carlos

: ¿Ordenadamente no sería: 1, 2, 3, etc.?

Leonor

: No necesariamente. También podría ser: 1, 3, 5, 7, … , 19, 2, 4, …, 20.

Eusebio : O también, por ejemplo: 5, 10, 15, 20, 1, 6, 11, 16, 2, 12, 17, 3, etc. Carlos

: Eso lo entiendo, ¿Pero lo que ha escrito el profesor?

Leonor

: Lo que me atrevo a decir es que no reconozco ningún ordenamiento.

Profesor : Eso está bien dicho, Leonor:

Ud. no reconoce un ordenamiento.

El

criterio de ordenamiento que he usado es bien conocido… aunque ustedes no lo crean.

12

“ Colegio Particular Integrado CESAR´S

III BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO

NIVEL: SECUNDARIA

SEMANA Nº 1

QUINTO AÑO

SUCESIONES – ANALOGÍAS Y DISTRIBUCIONES

 Sucesiones por cocientes sucesivos

SUCESIONES Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos (números, letras, figuras) tales que

a)

cada uno ocupa un lugar establecido de modo

1 2

1

; x1

que se puede distinguir el primero, el segundo,

; 1 ; 3 ; 12 ; 60 ; 360

2

x2

x3

x4

x5

x6

el tercero y así sucesivamente, acorde con una b) 1440 ; 240 ; 48 ; 12 ; 4 ;

Ley de formación o regla de recurrencia.

1 6

x

cada

uno

x

1 5

x

1 4

x

1 3

x

2

1 2

A. SUCESIONES NUMÉRICAS En

de

los

siguientes

problemas encontrar el número que

 Sucesiones por diferencias sucesivas a) 3 ; 14 ; 24 ; 33 ; 41 ; …4…

continua: 1)

480 ;

240 ; 80 ; 20 ; …

2)

1 ;

;

8… +11

+10

+9

+8

+7

b) -2 ; -5 ; -10 ; -17 ; -26 ; …-3… 7…

En

-3

-5

cada

uno

-7

de

-9

los

1

1

;

2

; 12 ; …

-11

problemas

encontrar el número que continua: 1)

7 ; 8 ;

10

;

13 ; 17 ; …

 Sucesiones combinadas a) 2)

7 ; 5 ; -2 ; -8 ; -14 ; -14 ; 9 ; 7 ; …

9 ; 11 ; 8 ; 10 ; 7 ; 9 ; 6 -3

+2

-3

+2

-3

b) 27 ; 9 ; 18 ; 6 ; 12 ; 4 ; 8

Colegio Particular Integrado CESAR´S

9

III BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO ÷3

12

“ Colegio Particular Integrado CESAR´S

x2

÷3

x2

÷3

x2

En

cada

uno

de

los

siguientes

B. SUCESIONES ALFABÉTICAS

problemas, encontrar el número que continua.

Solamente se consideran letras simples. Cada letra recibe un número según el orden

1)

1 ;

3

;

8 ; 19 ; 42 ; …

alfabético. Ejemplo: a)

2)

30 ; 40 ;

20 ;

A ; 

C 

1

3

;

b)

a)

+3

+6

+3

+6

T 

6

10

15

21

+3

+4

+5

+6

I ; K ; N ; O ; R     

4

9

6 +2

-4

11

+3

+2

14 +3

16 +2

19 +3

-5

2 ; 10 ; 5 ; 8 ; 8 ; 5 ; 11 ; 1 ; 14 ; -4 +3

Ñ ; 

D ; F ;  

 Sucesiones alternadas -3

J ; 

60 ; … +2

-2

F ; 

+3

+6

En los siguientes problemas encontrar la letra que continua:

+6

1)

A ;

B

;

D

;

H ; …….

2)

B

F

;

I

;

M

b) 1 ; 6 ; 2 ; 12 ; 4 ; 18; 8 ; 24 ; 16 ; 30 ; 32 x2

x2

x2

x2

x2

;

;

O ; …….

NOTA Debe entenderse; que tanto los términos que se toman para buscar el término que continúa y los que se dejan de tomar, ambos tienen ley de formación.

En los siguientes problemas encontrar el par de números que continúan: 1) 15 ; 4 ; 17 ; 6 ; 19 ; 8 ; 21 ; 10 ; …. ; …..

C. SUCESIONES ALFANUMÉRICAS Se busca la relación independiente entre números y letras. Ejemplo: a)

2) 5 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 10 ; 11 ; 14 ; ……. ; …….

4E ; 6F ; 9H ; 13R ; 18Ñ ; 24S       5 +2 6 +3 8 +4 11 +5 15 +6 20 +1

“ Colegio Particular Integrado CESAR´S

+2

+3

+4

+5

11

En los siguientes problemas encontrar el término que continúa: 1)

 Sucesión cuadrática o de segundo grado

B0 ; C3 ; E8 ; L15 ; ….… ; …….

2

Tiene la forma: tn = an + bn + c a=

r 2

; b = m0 – a

;

c = t0

Encontrar el t10: 2)

B3 ; D5 ; G7 ;

K9 ; ……. ; …….. -4 ; 0 ; 6 ; 14 ; 24 ; 36 ; ……… t0

+6

4

m0

+2

+8 +2

+10 +2

+12 +2

r 2

tn = n + 3n – 4

D. SUCESIONES POLINOMIALES

2

∴ t10 = 10 + 3(10) – 4 = 126

 Sucesión lineal o de primer grado

1)

Hallar el vigésimo término en: 1 ; 3 ; 7 ; 13 ; ……….

Tiene la forma: tn = an + b a = razón (r) b = t1 – r a) 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; ……... t10 +3

+3

+3

+3

+3

tn = 3n + 1

∴ t10 = 3(10) + 1 = 31

2)

Hallar el 10º término en: 1 ; 10 ; 28 ; 55 ; 91 ; …………

1) Hallar el t10 + t18 en: a) 10 ; 13 ; 16 ; 19 ; 22 ; ….... a10 b) 16 ; 21 ; 26 ; 31 ; 36 ; ……. a18 2) Hallar la suma de los términos de lugar 30 en cada sucesión: a) 5 ; 9 ; 13 ; 17 ; 21 ; ….... t30 b) 11 ; 16 ; 21 ; 26 ; ……. t30 c) 8 ; 13 ; 18 ; 23 ; …….. t30

ANALOGÍAS b)

25 ( BECA ) 31 49 ( DICE ) 35



Analogías Numéricas En este tipo de problemas hay que buscar el número que falta realizando operaciones

En los siguientes problemas encontrar la

entre las columnas y filas, ejemplo:

letra que falta:

a) 3 (16) 5

1)

7 (34) 10 4 (…..) 9

H

(J)

L

R

(U)

X

N ( …. ) Q

(3 + 5) 2 = 16 (7 + 10) 2 = 34

2)

(4 + 9) 2 = 26

M (J) Ñ C

(K) Y

J (…..) F b) 7 (44) 5 6 (34) 2 4 (…..) 9

DISTRIBUCIONES

2

7 – 5 = 44 2

6 – 2 = 34 2

4 –9= 7 En los siguientes problemas encontrar el



Distribuciones numéricas a)

término que falta: 1)

13 (10) 15 102 (11) 26

7

8

-3

5

4

10

4

4

x

*

7 + 5 + 4 = 16 8 + 4 + 4 = 16

145 (…..) 123

2) 5

(4)

15

7 (5,6) 21

-3 + 10 + x = 16 → x = 9

b)

16 (……) 14



2

6

4

4

20

16

x

21

15

*

Analogías Alfabéticas

2.3=6–2=4 4 . 5 = 20 – 4 = 16

Se busca relacionar las letras de nuestro

x . 7 = 7x – 6 = 15 → x = 3

abecedario formando palabras o buscando una ley de formación:

En los siguientes problemas, hallar “x” a)

CASA ( CATO ) TOMA PARA

( PASA ) SAPO

1)

8 ; 3 ; 10 4 ; 5 ; 12 4; 7 ; x

2)

7

5

10

3

1

3

2

x

3

Distribuciones gráficas



1.

Hallar los términos que siguen en esta secuencia: 3 ; 7 ; 14 ; 25 ; 43 ; … ; …

a)

3

4

39

5

48

7

6

4

9

8x4+4x4 48

11

2.

4

5

¿Qué número sigue?

a) 19 ; 21

b) 20 ; 21

d) 23 ; 25

e) 23 ; 24

En la siguiente sucesión; faltan el primero y el

4 6

a) 271

b) 343

d) 323

e) 342

2

1 ; 6 ; 13 ; 28 ; 63 ; 136 ; ….

2

4 2

5

c) 321

Hallar el término que continúa:

c) Hallar “x” en:

4

c) 21 ; 22

la diferencia entre dichos términos es:

4.

3

,

… ; 217 ; 126 ; 65 ; 28 ; 9 ; …

5

x

c) 73 ; 122

último término:

3

2

e) 77 ; 150

2, 3, 5, 6, 9, 10, 14, 15,

9 x 5 + 5 x 11 100

3. b)

b) 69 ; 109

d) 57 ; 144 x

8

7x3+6x3 39

a) 84 ; 141

3 3

3

7

x

a) 268

b) 250

4

d) 291

e) 271

4

4

5.

c) 283

Hallar “x + y”: 10 ; 1 ; 20 ; 4 ; 30 ; 7 ; x ; y

6.

a) 50

b) 40

d) 72

e) 48

c) 60

¿Qué término continúa: A/B ; C/D ; H/M ; J/N ; …?

7.

a) N/V

b) M/P

d) N/R

e) Ñ/U

c) Ñ/P

Hallar el 10º término en: 7 ; 11 ; 15 ; 19 ; … a) 40

b) 41

d) 43

e) 44

c) 42

8.

Hallar el término enésimo de cada secuencia: 1 2 3 4 I) ; ; ; ; ... 2 5 10 17

12. Encontrar el término que falta: 122 ( 28 ) 215 305 ( 30 ) 204

1 3 5 7 II) ; ; ; ; ... 3 5 7 9

a)

314 ( …… ) 125

2n + 1

n

; 2 n + 1 2n − 1 n

2n − 1 ; n − 1 2n + 1 n n+1 c) 2n − 1 ; 2n + 1 b)

9.

2

n

n

d)

; 2n − 1 n + 1

e)

2n − 1 2n +1 n +1

n

;

2

¿Cuál es la ley de formación de la siguiente expresión: 6; 10 ; 16 ; 24 ; 34; …? 2

b) n + 2n + 2

2

2

e) n + 2

a) n + n d) n + n + 4 10. Hallar

término enésimo de 3 9 3 5 18 secuencia: ; 1; ; ; ; ; ... 5 7 2 3 10

a) d)

el

3n

b)

n+2 n

e)

n+2

3n n+4 3n

2

c) n + 3n + 6

la

c)

a) 40

b) 34

d) 38

e) 42

13. Hallar: “x”

( ……… ) 9

a) 60

b) 59

d) 53

e) 55

6

4

2

2

7

x

b) 3 e) 6

c) 4

14. Hallar “x”

siguiente

3

9

11

4

12

14

5

x

17

a) 11

b) 13

d) 17

e) 19

c) 15

2n n+1

15. Hallar “x” en: 4 2

16 ( 44 ) 3 7

3

7

d) 5

11. Encontrar el término que falta: ( 52 ) 7

4

a) 2

2n − 1

8

c) 43

4

7

9 5

-1

x

a) 1

b) -2

c) 3

d) -4

e) 5

0

c) 45

6

2

11

De compras Al salir de compras de una tienda de París, llevaba en el portamonedas unos 15 francos en piezas de un franco y piezas de 20 céntimos. Al regresar, traía tantos francos como monedas de 20 céntimos tenía al comienzo, y tantas monedas de 20 céntimos como piezas de franco tenía antes. En el portamonedas me quedaba un tercio del dinero que llevaba al salir de compras. ¿Cuánto costaron las compras?

5.

Hallar el término enésimo: Indicando como respuesta el término 24. 7; 11; 15; 19; …

1.

En la secuencia: 8 ; 10 ; 9 ; 12 ; 10 ; 13 El número que no corresponde es: a) 10 d) 9

2.

b) 12 e) 8

c) 13

6.

b) 112

d) 99

e) 97

Dadas las sucesiones:

1 2 3 4 ; ; ; ; ... 2 3 4 5

¿Cuál es el décimo término de la sucesión:

a) 2560

b) 2500

d) 1375

e) 6000

la diferencia entre sus términos enésimos es: c) 1250

b) 48/37

d) 72/41

e) 81/41

a)

n(n − 1)

7.

d) META

e) MATO

2 e) n

a) 2n + 3n – 1 2

d) n + 2n

CORO ( COSA ) MASA

b) MITA

8. c) MOTA

n(n + 1) n−1

-5 ; -9 ; -9 ; -5 ; 3 ; …

Completar lo que falta:

a) TAMI

c)

4 ; 12 ; 20 ; 28 ; 36 ; …

c) 48/39

MANO ( ..………. ) PATA

n(n − 1) 2

Hallar la suma de los términos enésimos de:

2

4.

b)

n+1

n−1 d) n + 1

¿Qué término continúa? 1 2 6 24 ; ; ; ; ... 5 9 15 23 a) 120/33

c) 118

1 4 9 16 ; ; ; ; ... 2 3 4 5

625 ; 125 ; 500 ; 1000 ; 200 ; 800; …?

3.

a) 107

2

b) 2n – 2n – 1

2

c) n – n + 1

2

e) n + 2n – 3

Hallar el término enésimo de: 3 4 6 8 5 ; ; ; ; ; ... 3 9 28 65 63 indicar la suma de su numerador y denominador:

3

b) n + 2n + 1

3

3

e) n – 3n + 1

a) n + 3n – 2

12. ¿Qué número falta?

3

d) n – 2n + 1 9.

3

c) n + 2n – 1

23

En el siguiente arreglo ¿Cuál es el número que falta? 4

7

9

12 24

b) 24 e) 32

6

5

4

7

8

8

7

3

…….

e) 7

( 18 ) ( ….. )

d) 27

7

d) 5

15 13 a) 20

6

b) 11

21

5

7

a) 12

( 15 )

c) 21

13. ¿Qué número falta? c) 9

4

( 20 )

9

8

( 14 )

5

10 ( …. )

3

10. En el diagrama, hallar “x”: 24

30

36

18

11

4

37

x

65

a) 13

b) 20

d) 30

e) 11

a) 12

b) 16

d) 11

e) 15

c) 7

14. Hallar “x” c) 51

11. Indicar el siguiente número que falta en la

2

( 10 )

6

7

( 10 )

3

5

( 7 )

2

4

( x )

4

siguiente relación: 5

( 60 )

15

3

( 45 )

12

8

( ….. )

5

a) 12

b) 13

d) 39

e) 5

a) 13

b) 14

d) 21

e) 9

c) 17

15. Hallar “x” 429 ( 149 ) 131

c) 45

731

( x ) 267

a) 187

b) 211

d) 312

e) 232

c) 246

III BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO

Difícil será descubrir, dada la incertidumbre de los documentos antiguos, la época precisa en que vivió y reinó en la India un príncipe llamado Iadava señor de las provincia de Taligana. Sería, sin embargo, injusto ocultar que el nombre de dicho monarca es señalado por varios historiadores hindúes como uno de los soberanos más ricos y generosos de su tiempo. La guerra, con su cortejo falta de calamidades, amargó la existencia del rey Iadava, transformando el ocio y gozo de la realeza en otras más inquietantes tribulaciones. Adscrito al deber que le imponía la corona, de verlar por la tranquilidad de sus súbditos, nuestro buen y generoso monarca se vio obligado a empuñar la espada para rechazar, al frente de su pequeño ejército, un ataque insólito y brutal del aventurero Varangul, que se hacía llamar príncipe de Calián. El choque violento de las fuerzas rivales cubrió de cadáveres los campos de Dacsina, y ensangrentó las aguas sagradas del río Sabdhu. El rey Iadava poseía, según lo que de él nos dicen los historiadores, un talento militar no frecuente. Sereno ante la inminente invasión, elaboró un plan de batalla, y tan hábil y tan feliz fue al ejecutarlo, que logró vencer y aniquilar por completo a los pérfidos pertubadores de la paz de su reino. El triunfo sobre los fanáticos de Varangul le costó desgraciadamente duros sacrificios. Muchos jóvenes xatrias pagaron con su vida la seguridad del trono y el prestigio de la dinastía. Entre los muertos, con el pecho atravesado por una flecha, quedó en el campo de combate el príncipe Adjamir, hijo del rey Iadava, que se sacrificó patrióticamente en lo más encendido del combate para salvar la posición que dio a los suyos la victoria. Terminada la cruenta campaña y asegurada la nueva línea de fronteras, regresó el rey a su suntuoso palacio de Andra. Impuso sin embargo la rigurosa prohibición de celebrar el triunfo con las ruidosas manifestaciones con que los hindús solían celebrar sus victorias. Encerrado en sus aposentos, sólo salía de ellos para oír a sus ministros y sabios brahmanes cuando algún grave problema no llamaba a tomar decisiones en interés de la felicidad de sus súbditos. Con el paso del tiempo, lejos de pagarse los recuerdos de la penosa campaña, la angustia y la tristeza del rey se fueron agravando. ¿De qué le servían realmente sus ricos palacios, sus elefantes de guerra, los tesoros inmensos que poseía, si ya no tenía a su lado a aquél que había sido siempre la razón de ser de su existencia? ¿Qué valor podrían tener a los ojos de un padre inconsolable las riquezas materiales que no apagan nunca la nostalgia del hijo perdido? El rey no podía olvidar las peripecias de la batalla en que murió Adjamir. El desgraciado monarca se pasaba horas y horas trazando en una gran caja de arena las maniobras ejecutadas por sus tropas durante el asalto. Con un surco indicaba la marcha de la infantería; al otro lado, paralelamente, otro trazo mostraba el avance de los elefantes de guerra. Un poco más abajo, representada por perfilados círculos dispuestos con simetría, aparecía la caballería mandada por un viejo radj, que decía gozar de la protección de techandra, diosa de la Luna. Por medio de otras líneas esbozada el rey la posición de las columnas enemigas desventajosamente colocadas, gracias a su estrategia, en el campo en que se libró la batalla decisiva. Una vez completado el cuadro de los combatientes con todas las menudencias que recordaba, el rey borraba todo para empezar de nuevo, como si sintiera el íntimo gozo de revivir los momentos pasados en la angustia y la ansiedad. A la hora temprana en que llegaban al palacio los viejos brahmanes para la lectura de los Vedas, ya el rey había trazado y borrado en su cajón de arena el plano de la batalla que se reproducía interminablemente. -¡Desgraciado monarca!, murmuraban los sacerdotes afligidos. Obra como un sudra, a quien Dios privara de la luz de la razón. Solo Dhanoutara, poderosa y clemente, podría salvarlo.

18

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III BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO

Y los brahmanes rezaban por él, quemaban raíces aromáticas implorando a la eterna celadora de los enfermos que amparase al soberano de Taligana. Un día al fin, el rey fue informado de que un joven brahmán –pobre y modesto- solicitaba audiencia. Ya antes lo había intentado varias veces pero el rey se negaba siempre alegando que no estaba en disposición de ánimo para recibir a nadie. Pero esta vez accedió a la petición y mandó que llevarán a su presencia al desconocido. Llegado a la gran sala del trono, el brahmán fue interpelado, conforme a la exigencias del ritual, por uno de los visires del rey. -¿Quién eres? ¿De dónde vienes? ¿Qué deseas de aquel que por voluntad de Vichnú es rey y señor de Taligana? -Mi nombre, respondió el joven brahmán, es Lahur Sessa y procedo de la aldea de Namur que dista treinta días de marcha de esta hermosa ciudad. Al rincón donde vivía llegó a la noticia de que nuestro bondadoso señor pasaba sus días en medio de una profunda tristeza, amargado por la ausencia del hijo que le había sido arrebatado por la guerra. Gran mal será para nuestro país, pensé, si nuestro noble soberano se encierra en sí mismo sin salir de su palacio, como un brahmán ciego entregado a su propio dolor. Pensé, pues, que convenía inventar un juego que pudiera distraerlo y abrir en su corazón las puertas de nuevas alegrías. Y ese es el humilde presente que vengo ahora a ofrecer a nuestro rey Iadava. Como todos los grandes príncipes citados en esta o aquella página de la historia, tenía el soberano hindú el grave defecto de ser muy curioso. Cuando supo que el joven brahmán le ofrecía como presente un nuevo juego desconocido, el rey no pudo contener el deseo de verlo y apreciar sin más demora aquel obsequio. Lo que Sessa traía al rey lavada un gran tablero cuadrado dividido en sesenta y cuatro cuadros o casillas iguales. Sobre este tablero se colocaban, no arbitrariamente dos series de piezas que se distinguían una de otra por sus colores blanco y negro. Se repetían simétricamente las formas ingeniosas de las figuras y había reglas curiosas para moverlas de diversas maneras. Sessa explicó pacientemente al rey, a los visires y a los cortesanos que rodeaban, al monarca, en qué consistía el juego y les explicó las reglas esenciales: -Cada jugador dispone de ocho piezas pequeñas; los . Representan la infantería que se dispone a avanzar hacia el enemigo para desbaratarlo. Secundando la acción de los peones, vienen los , representados por piezas mayores y más poderosos. La , indispensable en el combate, aparece igualmente en el juego simbolizada por dos piezas que pueden saltar como dos corceles sobre las otras. Y, para intensificar el ataque, se incluyen los dos del rey, que son dos guerreros llenos de nobleza y prestigio. Otra pieza, dotada de amplios movimientos, más eficiente y poderosa que las demás, representará el espíritu de nacionalidad del pueblo y se llamará la . Completa la colección una pieza que aislada vale poco pero que es muy fuerte cuando está amparada por las otras. Es el . El rey lavada, interesado por las reglas del juego, no se cansaba de interrogar al inventor: -¿Y por qué la reina es más fuerte y más poderosa que el propio rey? -Es más poderosa, argumentó Sessa, porque la reina representa en este juego el patriotismo del pueblo. La mayor fuerza del trono reside principalmente en la exaltación de sus súbditos. ¿Cómo iba a poder resistir el rey el ataque de sus adversarios si no contase con el espíritu de abnegación y sacrificio de los que le rodean y velan por la integridad de la patria? Al cabo de pocas horas, el monarca, que había aprendido con rapidez todas las reglas del juego, lograba ya derrotar a sus visires en una partida impecable. Sessa intervenía respetuoso de cuando en cuando para aclarar una duda o sugerir un nuevo plan de ataque o de defensa. En un momento dado observó el rey, con gran sorpresa, que la posición de las piezas, tras las combinaciones resultantes de los diversos lances, parecía reproducir exactamente la batalla de Dacsina. -Observad, le dijo el inteligente brahmán, que para obtener la victoria resulta indispensable el sacrificio de este visir…

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19

III BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO

E indicó precisamente la pieza que el rey Iadava había estado a lo largo de la partida defendiendo o preservando con mayor empeño. El juicioso Sessa demostraba así que el sacrificio de un príncipe viene a veces impuesto por la fatalidad para que de él resulten la paz y la libertad de un pueblo. Al oír tales palabras, el rey Iadava, sin ocultar el entusiasmo que embargaba su espíritu, dijo: -¡No creo que el ingenio humano pueda producir una maravilla comparable a este juego tan interesante e instructivo! Moviendo estas piezas tan sencillas, acabo de aprender que un rey nada vale sin el auxilio y la dedicación constante de sus súbditos, y que a veces, el sacrificio de un simple peón vale tanto como la pérdida de una poderosa pieza para obtener la victoria. Y dirigiéndose al joven brahmán, le dijo: -Quiero recompensarte, amigo mío, por este maravilloso regalo que tanto me ha servido para el alivio de mis viejas angustias. Dime, pues, qué es lo que deseas, dentro de lo que yo puedo darte, a fin de demostrar cuán agradecido soy a quienes se muestran dignos de recompensa. Las palabras con que el rey expresó su generoso ofrecimiento dejaron a Sessa imperturbable. Su fisonomía serena no veló la menor agitación, la más insignificante muestra de alegría o de sorpresa. Los visires le miraban atónitos y pasmados ante la apatía del brahmán. -¡Poderoso señor!, replicó el joven mesuradamente pero con orgullo. No deseo más recompensa por el presente que os he traído, que la satisfacción de haber proporcionado un pasatiempo al señor de Taligana a fin de que con él alivie las horas prolongadas de la infinita melancolía. Estoy pues sobradamente recompensado, y cualquier otro premio sería excesivo. Sonrió desdeñosamente el buen soberano al oír aquella respuesta que reflejaba un desinterés tan raro entre los ambiciosos hindúes, y no creyendo en la sinceridad de las palabras de Sessa, insistió: -Me causa asombro tanto desdén y del amor a los bienes materiales, ¡oh joven! La modestia, cuando es excesiva, es como el viento que apaga la antorcha y ciega al viajero en las tinieblas de una no he interminable. Para que pueda el hombre vencer los múltiples obstáculos que la vida le presenta, es preciso tener el espíritu preso en las raíces de una ambición que lo impulse a una meta. Exijo por tanto, que escojas sin demora una recompensa digna de tu valioso obsequio. ¿Quieres una bolsa llena de oro? ¿Quieres un arca repleta de joyas? ¿Deseas un palacio? ¿Aceptarías la administración de una provincia? ¡Aguardo tu respuesta y queda la promesa ligada a mi palabra! -Rechazar vuestro ofrecimiento tras lo que acabo de oír, respondió Sessa, sería menos descortesía que desobediencia. Aceptaré pues la recompensa que ofrecéis por el juego que inventé. La recompensa habrá de corresponder a vuestra generosidad. No deseo, sin embargo, ni oro, ni tierras, ni palacios. Deseo mi recompensa en granos de trigo. -¿Granos de trigo?, exclamó el rey sin ocultar su sorpresa ante tan insólita petición. ¿Cómo voy a pagarte con tan insignificante moneda? -Nada más sencillo, explicó Sessa. Me daréis un grano de trigo para la primera casilla del tablero; dos para la segunda; cuatro para la tercera; ocho para la cuarta; y sí, doblando sucesivamente hasta la sexagésima y última casilla del tablero. Os ruego, ¡oh rey!, de acuerdo con vuestra magnámina oferta, que autoricéis el pago en granos de trigo tal como he indicado… No sólo el rey sino también los visires, los brahmanes, todos los presentes se echaron a reír estrepitosamente al oír tan extraña petición. El desprendimiento que había dictado tal demanda era en verdad como para causar asombro a quien menos apego tuviera a los lucros materiales de la vida. El joven brahmán, que bien habría podido lograr del rey un palacio o el gobierno de una provincia, se contentaba con granos de trigo. -¡Insensato! , exclamó el rey. ¿Dónde aprendiste tan necio desamor a la fortuna? La recompensa que me pides es ridícula. Bien sabes que en un puñado de trigo hay un número incontable de granos. Con dos o tres medidas te voy a pagar sobradamente según tu petición de ir doblando el número de granos a cada casilla del tablero. Esta recompensa que pretendes no llegará ni para distraer durante unos días el hambre del último paria a mi reino. Pero, en fin, mi palabra fue dada y voy a hacer que te hagan el pago inmediatamente de acuerdo con tu deseo.

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III BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO

Mandó el rey llamar a los algebristas más hábiles de la corte y ordenó que calcularan la porción de trigo que Sessa pretendía. Los sabios calculadores, al cabo de unas horas de profundos estudios, volvieron al salón para someter al rey el resultado completo de sus cálculos. El rey les preguntó, interrumpiendo la partida que estaba jugando: -¿Con cuántos granos de trigo voy a poder al fin corresponder a la promesa que hice al joven Sessa?. -¡Rey magnánimo!, declaró el más sabio de los matemáticos. Calculamos el número de granos de trigo y obtuvimos un número cuya magnitud es inconcebible para la imaginación humana. Calculamos en seguida con el mayor rigor cuantas ceiras correspondían a ese número total de granos y llegamos a la siguiente conclusión: el trigo que habrá que darle a Lahur Sessa equivale a una montaña que teniendo por base la ciudad de Taligana se alce cien veces más alta que el Himalaya. Sembrados todos los campos de la India, no darían en dos mil siglos la cantidad de trigo que según vuestra promesa corresponde en derecho al joven Sessa, ¿Cómo describir aquí la sorpresa y el asombro que estas palabras causaron al rey Iadava y a sus dignos visires? El soberano hindú se veía por primera vez ante la imposibilidad de cumplir la palabra dada. Lahur Sessa –dicen las crónicas de aquel tiempo- como buen súbdito no quiso afligir más a su soberano. Después de declarar públicamente que olvidaba la petición que había hecho y liberaba al rey de la obligación de pago conforme a la palabra dada, se dirigió respetuosamente al monarca y habló así: -Meditad, ¡oh rey! Sobre la gran verdad que los brahmanes prudentes tantas veces dicen y repiten: los hombres más inteligente se obcecan a veces no sólo ante la apariencia engañosa de los números sino también con la falsa modestia de los ambiciosos. Infeliz aquel que toma sobre sus hombros el compromiso de una deuda cuya magnitud no puede valorar con la tabla de cálculo de su propia inteligencia. ¡Más inteligente es quien mucho alaba y poco promete! -¡Menos aprendemos con la ciencia vana de los brahmanes que con la experiencia directa de la vida y de sus lecciones constantes, tantas veces desdeñadas! El hombre que más vive, más sujeto está a las inquietudes morales, aunque no las quiera. Se encontrará ahora triste, luego alegre, hoy fervoroso, mañana tibio; ora activo, ora perezoso; la compostura alternará con la liviandad. Sólo el verdadero sabio instruido en la reglas espirituales se eleva por encima de esas vicisitudes y por encima de todas las alternativas. Estas inesperadas y tan sabias palabras penetraron, profundamente en el espíritu del rey. Olvidando la montaña de trigo que sin querer había prometido al joven brahmán, el nombró primer visir. Y Lahur Sessa, distrayendo al rey con ingeniosas partidas de ajedrez y orientándolo con sabios y prudentes consejos, prestó los más señalados beneficios al pueblo y al país, para mayor seguridad del trono y mayor gloria de su patria. Encantado quedó el califa Al-Motacén cuando Beremiz concluyó la historia del juego de ajedrez. Llamó al jefe de los escribas y determinó que la leyenda de Sessa fuera escrita en hojas especiales de algodón y conservada en valioso cofre de plata. Y seguidamente el generoso soberano deliberó acerca de si entregaría al Calculador un manto de honor o cien cequíes de oro.

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NIVEL: SECUNDARIA

SEMANA Nº 2

QUINTO AÑO

SERIES

" n"

Serie:

CONCEPTO

té r m in os

6 4 4 4 4 4 7

4 4 4 4 4

8 a1 + a2 + a3 + ... + a(n −1) + an

En donde: Es

una

continuación

a1 = Primer término

ordenada de términos, que

a2 = Segundo término

guardan una determinada

:

regla de formación.

: an = Enésimo término Razón (r) r = a 2 – a1 r = a 3 – a2

EJEMPLOS:

r = an – a(n-1)

Sucesión: 4 + 8; 12 ; 16

TIPOS DE SERIE ARITMÉTICA  41 +4 84+2142 4{0 valor de +4316 = la serie

a)

serie

Serie aritmética creciente Cuando

la

positiva,

razón

en

este

resulta caso

ser cada

término resulta ser mayor que el Sucesión:  11+444+ 41462+ 4644+424536 = serie

término anterior.

3{41

valor de la serie

Ej: 3 + 5 + 7 + 11 = 26 +2

1. SERIE ARITMÉTICA:

CONCEPTO una

continuación

ordenada

de

números, en la cual se cumple que cada término

+2

llamada razón.

TIPOS DE SERIE

Es

+2

es

igual

a

su

anterior

aumentado en una cantidad constante

b)

Serie aritmética decreciente Cuando razón caso

resulta

ser negativa;

en

la

este

cada término resulta ser menor que el

término anterior. Ej: 30 + 25 + 20 + 15 = 90 -5

-5

-5

III BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO

2. SERIE GEOMÉTRICA: En el cerebro existen 100 millones de neuronas. Y en el cerebro existen 100 trillones de interconexiones en serie.

CONCEPTO Es una continuación ordenada de números en la cual se cumple que

Sea la siguiente serie aritmética:

cada

a1 + a2 + a3 + … + a(n-1) + an

multiplicando al anterior una cantidad

término

se

obtiene

constante llamada razón.

a1 = Primer término an = Enésimo término

" n"

n = Número términos

té r m in os

6 4 4 44 7 4 4 4 48 Serie: a1 + a2 + a3 + ... + an

r = razón

a1 = Primer término a2 = Segundo término :

FORMULAS: Para calcular el término enésimo (an) an = a1 + (n - 1)r

Para calcular el número de términos (n)

n=

a n − a1 r

+1

Para calcular la suma de términos (S) a + an  SA =  1 n  2  Para calcular el término central (TC)

: an= Enésimo término Razón (r) a2 r= a1 r=

a3

a2

: : r=

an

an −1

TIPOS DE SERIE GEOMÉTRICA: a)

Serie geométrica creciente Cuando la razón es mayor que la

TC =

a1 + an 2

unidad. Ej: 3 + 9 + 27 + 81 + 243

Nota:

x3

“n” debe ser impar. b)

x3

x3

x3

Serie geométrica decreciente Cuando la razón es menor que uno pero mayor que cero. Ej: 1000 + 500 + 250 + 125 x

1 2

x

1 2

x

1 2

Sea la siguiente serie geométrica:

Ej:

a1 + a2 + a3 + a4 + … + an

S = 2 + 4 + 6 + 8 + … + 20 S=2+4+6+8+…+2(

10)

n

a1 = Primer término

S=( ) [(

an = Enésimo término n = Número términos

) + 1]

S=

r = razón FORMULAS:

3. Suma de los “n” primeros números impares:

Para calcular el término enésimo (an)

1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n -1) = n

n-1

an = a1 . r

S = 1 + 3 + 5 + 7 + … + 61 S = 1 + 3 + 5 + 7 + … 2( 31) − 1 { n

2

S=(

n

1 − 1) S = a (r r−1

) =

4. Suma

de

los

“n”

primeros

números

cuadrados perfectos.

Para calcular el término central (TC) TC =

2

n : número de términos

Para calcular la suma de términos (S)

Nota:

{

2

a1 x an

2

2

2

1 +2 +3 +…+n =

“n” debe ser impar

n(n + 1)(2n + 1) 6

n : número de términos Ej: S = 1 + 4 + 9 +16 + … + 625

PRINCIPALES SERIES NOTABLES 1. Suma

de

los

“n”

primeros

2

2

2

)(

+

2

S = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 25 números

S=

(

6

) [2 (

2

) + 1]

naturales:

1+2+3+4+…+n=

n(n + 1)

S=

2 5. Suma de los “n”

n : número de términos Ej: S = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 20

S=

(

) [ ( ) + 1] = 2

Primeros cubos perfectos  n(n + 1)  2 3 3 3 3 1 +2 +3 +4 +…+n =    2  n : número de términos S = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + … + 1000 3

3

3

3

3

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 10 2. Suma de los “n” primeros números pares: 2 + 4 + 6 + 8 + … 2n = n(n+1) n : número de términos

S =  ( S=

) [ ( ) + 1]   2 

2

3

2

8.

Hallar “n” si: 49 + 64 + 81 + … + n La suma de los términos de la sucesión es 433.

1.

2.

Calcular:

a) 529

b) 400

S = 0,1 + 0,3 + 0,5 + … + 8,7

d) 676

e) 900

a) 147, 5

b) 193,6

d) 183,4

e) 154,3

c) 191,2

9.

Con 406 canicas, un niño formó un triángulo. ¿Cuántas bolas formaran la base?

Calcular:

a) 18

b) 24

S = 0,01 + 0,04 + 0,09 + … + 16

d) 32

e) 40

a) 136,2

b) 175,5

d) 221,4

e) 164,4

c) 576

c) 181,8

c) 28

10. La suma de los terceros términos de dos P.A. cuyas razones se diferencian en 2 es 33. Hallar la suma de los 10 primeros términos de una nueva

3.

Hallar el valor de “x” en:

P.A.

1 + 3 + 5 + … + (2x - 13) = 324

correspondientes

que

se

forma de

al las

sumar dos

términos

P.A.

antes

mencionadas sabiendo además que la suma de los

4.

a) 17

b) 19

d) 24

e) 32

c) 21

P.A. es -3.

Hallar: 3

3

3

3

S = (1 + 12) + (2 + 12) + (3 + 12) + … + (9 + 12)

5.

términos anteriores al primero de las primeras

a) 2312

b) 2415

d) 2416

e) 28158

c) 2133

a) 550

b) 620

d) 630

e) 610

c) 580

11. Hallar el total de palitos que forman la pirámide.

Hallar “x” 29 + 31 + 33 + 35 + … + x = 3525 a) 123

b) 119

d) 121

e) 125

c) 117 1

6.

2

3

4

87 88

89

90

Dada: Sn = 1 + 2 + 3 + … + (n + 1)

a) 8099

b) 4364

Hallar:

d) 3948

e) 14350

c) 9456

S = S1 + S2 + S3 + … + S30 12. Richy compra el día de hoy 19 cajas de manzanas a) 2680

b) 5310

d) 5430

e) 5455

c) 5480

y ordena que cada día que transcurra se compre una caja más que el día anterior. ¿Cuántas cajas compró en total, si el penúltimo día se compraron

7.

Hallar el resultado de efectuar la serie:

43 cajas?

S = 5 + 6 + 7 + 9 + 9 + 12 + 11 + 15 + … Sabiendo que tiene 100 sumandos. a) 6675

b) 6645

d) 6915

e) 6924

c) 6895

a) 413

b) 814

d) 819

e) 563

c) 317

13. En el siguiente arreglo numérico, hallar la suma de

15. Alex le dijo a su hija Lady: “Te voy a pagar una

los términos de la fila 20.

suma por el primer triángulo que encuentres de la

F1 : 1

siguiente figura, y luego te iré duplicando dicha

F2 : 3 5

suma por cada nuevo triángulo que encuentres”. Si

F3 : 7

9

Alex le pagó 4092 soles en total. ¿Cuánto le pagó

11

por el cuarto triángulo?

F4 : 13 15 17

19

F5 : 21 23 25

27 29 a) 512

a) 7000

b) 8000

d) 4320

e) 3560

b) 216

c) 1250

c) 16 d) 32 e) 64

14. Calcular: S = 1 + 3 + 6 + 12 + … + 1536 a) 3071

b) 3074

d) 3064

e) 3069

c) 3070

Hallar: S=

1 2

+

1 6

+ ...

Si la serie tiene 30 términos a) 1/30 d) 2/31

b) 1/31 e) 32/31

c) 30/31

3.

Hallar:

a+b+c+x

Si se cumple que: x1x + x2x + x3x + ... + x9x = abc4 1.

Calcular: 2

2

2

S = 1 + 3 + 5 + … + 19

2.

2

a) 1260

b) 1330

d) 1335

e) 1440

c) 1680

4.

a) 17

b) 23

d) 20

e) 24

De un libro se arrancan 61 hojas de la parte final. Si se sabe que en la numeración de éstas (hojas arrancadas)

Hallar:

b) -740

d) -910

e) -790

se han usado 365 tipos.

Hallar la

cantidad total de hojas de dicho libro.

S = 1 – 4 + 9 – 16 + 25 - …. a) – 930

c) 14

c) -820

a) 120

b) 110

d) 240

e) 180

c) 210

5.

x

Cuando la suma de los 10 primeros términos de

6 4 4

una P.A. es igual a 4 veces la suma de los cinco primeros, ¿Cuál es la razón geométrica entre el

sum an do s

4 7 4 4 4 8 f(x) = 102 + 104 + 106 + ...

10. Dada:

Calcular:

primer término y la diferencia común?

S = f(1) + f(2) + f(3) + … + f(49)

6.

a) 2/3

b) 1/5

d) 2/7

e) 5/9

c) 1/2 a) 134 560

b) 164 150

d) 230 400

e) 143 250

c) 136 420

Se deben almacenar 810 postes cilíndricos en un espacio abierto, formando así el primero lecho horizontal de 50 postes y cada lecho sucesivo

11. Calcular el valor de “S”: S = 9 + 12 + 17 + 24 + … + 177

debe contener un poste menos que el precedente para no derrumbarse.

¿Cuántos lechos pueden

formarse?

7.

a) 81

b) 27

d) 44

e) 20

c) 35

a) 814

b) 910

d) 913

e) 923

c) 873

12. Calcular S en: S = 5 + 5 + 20 + 50 + 95 + … (20 sumandos)

Se tiene la siguiente sucesión: 1, 5, 15, 34, 65, 111…

a) 15400

b) 24350

d) 3540

e) 44320

c) 17200

Hallar: 13. Calcular la suma de la sucesión:

a : El término de número ordinal 20. b : La suma de los 20 primeros términos.

3; 14; 39; 84; … ; 3615

a) 4010 ; 22125

d) 7050 ; 180

a) 12300

b) 14320

b) 315 ; 1510

e) 3290 ; 35710

d) 15760

e) 17380

c) 15480

c) 2050 ; 21215 14. El siguiente arreglo tiene 20 filas. 8.

Un profesor se dio cuenta que a medida que

¿Cuánto

sumaran todos sus términos?

transcurría el ciclo, el gastaba mayor número de 2

tizas por semana. Así la primera semana gasto 11 tizas, la segunda 13 tizas, la tercera 15 tizas y así sucesivamente.

2

Si el ciclo duró 38 semanas; y

cada caja de tizas contiene 15 tizas.

2

¿Cuántas

2

abrió el profesor durante el ciclo para completar

2

2 4

6 8

2 6

12

2 8

2

su dictado?

9.

a) 121

b) 122

d) 120

e) 124

c) 123

20

21

d) 2

Las edades de cinco personas están en progresión geométrica; siendo 2

a) 2

el producto de las edades.

¿Cuál es la edad de la persona intermedia?

18

–1 –1

19

–1

20

–1

b) 2 e) 2

c) 2

21

–1

15. El costo de una yegua se vincula al número de clavos que lleva en las herraduras, cotizando el primero clavo en 3 dólares, el segundo clavo en 9 dólares, el tercer clavo en 27 dólares y así

a) 16

b) 8

d) 64

e) 4

c) 32

sucesivamente siempre triplicando hasta el último clavo. Determine el costo de la yegua, si en total la yegua lleva 8 clavos. a) $ 9 840

b) 3 280

d) 12 680

e) 9 060

c) 29 520

NIVEL: SECUNDARIA

SEMANA Nº 3

QUINTO AÑO

USO DEL SIGMA ∑

CONCEPTO Sea la sucesión a1, a2, a3, … an, la suma a1 + a2 + … + an, se

escribirá

en

notación sigma mediante el símbolo (∑).

La mitad de los niños superdotados fracasan en los estudios.  La hormona denominada corticosterona, que se segrega en momentos de ansiedad es la responsable de la repentina pérdida de información. (Al serenarse se recupera los datos.) 

Las sumatorias más usuales en nuestro estudio n

∑

son: a1 = a1 + a2 + ... +

an

i=1

Donde:

n

∑ k = 1 + 2 + 3 + ... + n =

n(n + 1)

k=1

2

n

∑ : Símbolo de la suma n : Límite Superior 1 : Límite Inferior

∑ k2 = 12 + 22 + 32 + ... + n2 =

(n)(n + 1)(2n + 1) 6

k=1 n

∑

k=1

3 3 3 3 3 + 1)  k = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n    2 

2

i : Índice de la Suma PROPIEDADES :

ai : Término general de la suma 1.

n

∑ (ak

2

± bk + c) =

k =1

Ah, entonces es la forma simplificada de una serie: n

∑

: Sumatoria desde k = 1

k=1

2.

3.

¡Qué fácil!

n

n

k=1

k =1

∑ ak = a∑ k n

∑c = n . c

4.

p

∑ = c(p − n + 1)

k=n

n

n

k =1

k =1

∑ ak ± ∑ bk ± ∑ c

k =1

k=1

hasta k = n.

n

2

6.

Hallar el valor de: 11

∑ 8a

2

a=1

1.

a) 4 048

b) 4 262

d) 4 903

e) 5 102

c) 4 804

Calcular la suma de cifras del resultado de: 335

7.

∑k

Hallar “n” n

k = 32

∑ 2x = 342

x=1

2.

a) 19

b) 31

d) 27

e) 29

c) 24

Calcular: 30

27

∑k + ∑k k=1

8.

a) 24

b) 21

d) 18

e) 19

c) 20

Hallar: “n” n

k=1

∑ 2x

2

= 1 300

x=1

3.

a) 460

b) 525

d) 715

e) 462

c) 843

Hallar el valor de “S”: n

S=

∑

k=1 10

∑

n

2

k –

∑k

b) 11

d) 12

e) 15

8k – 5

10

a

∑

k

c) 14

Hallar: “a”

k = 11 2

k=1

4.

9.

2

a) 13

∑b b=1

2

3

= 53 361

k=1

a) 1/3

b) 2/3

d) 5/3

e) 3/5

c) 1

a) 19

b) 20

d) 23

e) 21

c) 22

10. Calcular:

Hallar:

22

∑

33

∑ 2k

2

x +

x = 12

44

∑ (2y + 1)

y=8

k = 10

5.

a) 1 024

b) 1 041

d) 1 030

e) 1 032

c) 1 028

a) 1 410

b) 1 510

d) 1 420

e) 1 331

11. Si: A =

Calcular: 23

∑

24

∑k

2

k=1

3i B=

i=9

69

∑y

y=1

a) 360

b) 480

d) 930

e) 510

c) 720

C=

n

∑ (4x − 1)

x=1

c) 1 328

Hallar “n” para que se cumpla que: A = B + C B= a) 32

b) 36

d) 37

e) 33

12. Si:

c) 35

n

∑ k = 5 050

k=1 23

∑y

2

28  8

  k   k = 1  k =1 

∑ ∑

a) 15 522

b) 15 324

d) 17 731

e) 12 191

c) 16 248

14. Calcular el valor de: 25

∑ (4x

=A

y=7

3

2

− 5x )

k = 13

Hallar: n + A a) 4 523

b) 4 333

d) 4 671

e) 4 723

c) 4 421

a) 373 789

b) 436 524

d) 930 410

e) 628 512

c) 144 640

15. Calcular: 14

13. Calcular: A - B  3 4 5  A= 2+ 3+ k  k = 1 k = 1 k = 1

∑

∑ ∑ ∑

∑ (3x

 29  4.   k=1

∑ (9k

2

a) 12 430

b) 43 560

d) 18 210

e) 15 217

− 3)(k + 2)

k=8

Dar como respuesta la suma de las cifras. a) 24 d) 21

3

− 5x + x − 2)

k=1

Resolver: 15

2

b) 23 e) N.A.

c) 22

c) 13 517

8.

Calcular:

17

24

2

∑i + ∑ x

i=1

1.

3n

∑ k = 1 640

9.

k=n

a) 18 d) 25 2.

c) 24

20

c) 1 492

b) 1 450 e) 2 150

c) 2 180

12

∑ ∑8

a) 1 920 d) 3 430

n

∑ x . x!

10. Calcular:

x=1

20

10

∑ ∑ (2x + 1)

k = 18 k = 1

a) 2(n!) – 1 d) (n + 1)! – 1 3.

Calcular:

b) 1 392 e) 6 785

k=1 k=1

b) 20 e) 26

Calcular:

x=1

a) 1 425 d) 1 895

Determine el valor de “n” si:

2

b) (n - 1)! – 1 e) (n - 2)! - 2

c) (n - 1)! + 1

a) 3 420 d) 2 810

b) 8 130 e) 2 760

Calcular:

c) 9 415

100

 1 + 3 + 5 + ... + (2x + 1)   =1    ÷  1 +  x  1 + 2 + 3 + ... + x   23 

11. Calcular la suma de cifras de:

∑ (101 − k)k

k=1

∑

x = 10

a) 36 d) 42 4.

b) 28 e) 29

c) 32

Calcular:

∑

a) 7,35 d) 8,50

b) 9,45 e) 8,25 4

5.

Calcular:

1

∑ n . (−1) n=1

a) 5/12 d) 7/12

6.

Calcular:

12

∑ (2k

c) 8,05

Hallar:

∑

26

1

∑ 10  40 40  k=7  E= k− k   k = k =9

∑ ∑

c) 9/41

a) 1 236 d) 1 242

b) 1 296 e) 1 316

c) 1 342

10

a

14. Halla el valor de:

∑ (2k − 4k + 3)

k=1

c) 4 980

a) 2 046 d) 1 023 15. Hallar el valor de:

3x

x=1

a) 518

c) 9 615

1

b) 4 230 e) 4 860 18

b) 9 731 e) 9 820

13. Calcular el valor de:

a=1 x=1

7.

2

− 5k + 7k + 4)

a) 9 512 d) 9 475

∑ ∑x

a) 4 960 d) 4 970

3

c) 23

k=1

   

n +1

b) 7/31 e) 9/31 30

b) 20 e) 24

12. Calcular:

4  38  12 + 4 += + ... 

3   24 + 12 + 6 + ... k = 17  

a) 21 d) 18

b) 513

c) 418

d) 712

b) 2 200 e) 480 35

20

k = 15

n=1

∑ 8 + ∑ (5n − 4) e) 716

c) 1 856

a) 1 122 138 d) 1 218

b) 1 050 e) 1 238

c) 1

III BIM − RAZ. MATEMÁTICO − 5TO. AÑO

Siempre

y cuando fuéramos

alguna

materia que deje pasar los rayos de luz. Porque nuestros ojos pueden ver todo aquello donde los rayos de luz rebotan o son reflejados a través de alguno de los colores que la conforman. Por ejemplo, el aire es un gas o materia que deja pasar los rayos de luz, y por eso, el aire es invisible a nuestros ojos. Lo contrario sucede con otros gases, por ejemplo, el humo de una chimenea; se ve, porque no deja pasar completamente los rayos de luz. En conclusión, todo lo que vemos o no, es por la existencia de la luz en cualquiera de sus formas; y porque ésta puede atravesarlos o no, ya sea total o parcialmente.

III BIM − RAZ. MATEMÁTICO − 5TO. AÑO

NIVEL: SECUNDARIA

SEMANA Nº 4

QUINTO AÑO

SUMAS ESPECIALES A.

SUMA DE PRODUCTOS COMPUESTOS POR FACTORES CONSECUTIVOS

C.

a) J = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + 29 × 30

SUMA DE PRODUCTOS COMPUESTOS POR FACTORES CUYA SUMA ES CONSTANTE a) Calcular: 1 × 31 + 2 × 30 + 3 × 29 + ... + 19 × 13

b) D = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + ... + 28 × 29 × 30 b) Hallar la suma del total del siguiente arreglo: 1 1+2 1+2+3 1+2+3+4

B.

M M

SUMA DE PRODUCTOS COMPUESTOS POR FACTORES, CUYA DIFERENCIA ES CONSTANTE

O O

1 + 2 + 3 + ... + 25

a) Determinar el valor de “S”. S = 2 × 5 + 3 × 6 + 4 × 7 + ... + 37 × 40

D. b) 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 34 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 34 7 + 8 + 9 + ... + 34 8 + 9 + ... + 34

M N M N M N 34

SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS PRODUCTOS COMPUESTOS POR FACTORES CUYA DIFERENCIA ES CONSTANTE a) Hallar el valor de “R” en: 1 1 1 R= 2×7 + + 7 × 12 12 × 17

1 +...+ 87 × 92

b) Calcular “P”: P =

a) 5310 d) 5610

...

1 1 1 + + + 4 × 5 10 × 8 16 × 1 4 4 4 4 44 2 4114 4 4 4 43 30 Sumandos

2.

b) 5410 e) 5710

c) 5510

Hallar: S = 1 (20) + 2 (19) + 3 (18) + ... + 20 (1) a) 1560 d) 1570

3.

b) 1540 e) 1624

c) 1610

Calcular: S = 1 (99) + 2 (98) + 3 (97) + ... + 50 (50)

E.

a) 24 320 d) 69 360

SERIE GEOMÉTRICA ILIMITADA a 1 a + a + a + ... = 1 2 3 1−r Donde:

4.

c) 49 570

Hallar: S = 1 (3) + 2 (4) + 3 (5) + ... + 20 (22)

r ∈ , y r ≠ 0

a) Una pelota se deja caer desde una altura de 20 m y en cada rebote se eleva 1/3 de la altura anterior. ¿Cuál es el espacio total recorrido por la pelota hasta detenerse?

b) 84 575 e) 28 575

a) 3290 d) 3198 5.

b) 3160 e) 9431

c) 3194

Hallar “S” si tiene 16 términos: S = 1 (5) + 2 (6) + 3 (7) + ... a) 2041 d) 2431

6.

c) 2040

Hallar:

b) Calcular el valor de: R =

b) 2042 e) 2641

S = 2 + 6 + 12 + 20 + ... + 930

1 1 1 1 2 − 4 + 8 − 16 + ...

a) 19 840 d) 9 920 7.

b) 3 380 e) N.A.

c) 5 456

Hallar el valor de la siguiente suma: S = 2 + 6 + 12 + 20 + ... + 600 a) 2 200 d) 4 200

8.

b) 3 200 e) 5 200

Calcular: S =

1 + 1 1 + 1 + ... + 1×2 2×3 3×4 17 × 18

a) 17/18 d) 20/21 1.

Dados:

9.

S1 = 10 × 11 + 11 × 12 + 12 × 13 + ... + 20 × 21 S2 = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + 20 × 21 Hallar:

S1 − S2

c) 8 200

b) 18/19 e) N.A.

c) 19/20

Calcular “S”: S=

1 1 1 1 + + + ... + 5 × 10 10 × 15 15 × 20 100 × 105

a) 1/5

b) 2/50

c) 3/100

d) 4/205 e) 4/105

10. Ejecutar:

14. Calcular la suma de “K”.

1 1 1 1 + 3 × 8 + 4 × 12 + ... + 31 × 124 2×4

S =

a) 17/57 d) 19/71

b) 17/63 e) 19/61

c) 15/62

11. Calcular: 1

S =

+

4

1 28

a) 43/14 d) 40/43

+

1

+ ... +

70

b) 14/43 e) 43/40

1

36 +

a) 5 280 d) 8 290

144 + ... + b) 4 290 e) N.A.

n 2n + 2 n e) 2n −2 b)

c)

n 2n +1

15. Determinar la suma de las áreas de los infinitos

c) 17/36

anterior, teniendo en cuenta que tiene mayor lado e igual a una longitud de “a” unidades)

1742400

2

a)

4a 3

b)

10 a 3

c)

16a 3

c) 5 290

1 2 1 2 1 2 + + + + + + ... 2 3 4 5 6 7 7 7 7 7 7 b) 4/17 e) 7/20

n 2n + 3 n d) 2n −1 a)

cuadrados formados como se muestra en la figura (tomando como lado la mitad del lado del cuadrado

13. Calcular la suma de los infinitos términos dados:

a) 3/16 d) 6/19

1 1 1 1 + + + ... + 1×3 3×5 5×7 (2n −1) × (2n +1)

1720

12. Resolver: S =

K=

B

A 2

O

2

O”

2

3a d) 4 e)

D

N

O’ C

12a2 5

c) 5/18

Veo una A y una B Profesor

: Como pueden ver, en estas tarjetas están pintadas las letras A, B, B, B, B. Ahora, por favor, acérquense María, Pedro y Remigio. [Los tres nombrados se acercan donde el profesor] Párense aquí, mirando a sus compañeros. Así, muy bien! [Se acerca a cada uno de ellos, sin que puedan verlo, y les prende, a cada uno, una de las tarjetas en la espalda, con la letra hacia fuera. Las dos tarjetas sobrantes han quedado, volteadas, sobre el escritorio]

Profesor

: Por supuesto, los actores son estos 3 jóvenes. Los demás observen en silencio. El asunto es que, por ejemplo, Remigio puede ver las letras que llevan María y Pedro, pero no puede ver qué letra lleva él mismo. [Dirigiéndose a los tres actores] Ahora, cada uno de ustedes, basándose en la información que di inicialmente, y por lo que pueda ver y observar, tal vez pueda decir qué letra prendida en su propia espalda.

¡Listo! [Cada uno de los jóvenes se acerca donde el otro, lo rodea; lee la tarjeta. Se queda quieto, pensando; vuelve a acercarse para ver la tarjeta de sus compañeros. Pasan unos 4 minutos] Remigio

:

Si tenemos en cuenta que hay 5 tarjetas en total, y que tres de ellas son Aes, entonces la probabilidad...

Profesor

:

No, Remigio, este no es un problema de probabilidades. Se trata de un problema de razonamiento lógico a partir de la información que ustedes poseen...

María

:

[repentinamente]: Ya sé! A mí me ha tocado la letra...

6.

Hallar: S = 3 + 2 + 1 4 24 20

1.

a) 11/12 d) 1/13

Hallar: S = 6 + 24 + 60 + ... + 17 550 a) 5 850 d) 64 425

2.

b) 122 850 e) N.A.

a) 23 310 d) 2 560

b) 35 910 e) N.A.

b) 2 042 e) 2 641

a) 17/18 d) 15/24

9.

b) 14 400 e) 210 500

c) 176 800

Hallar la suma: S = 1×3−3×5+5×7−7×9+

c) 2 040

...

1 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 43 40 Sumandos a) 3 280 d) 3 500

1 + 1 1 + 1 + ... + 16 × 17 1×2 2×3 3×4 b) 1 e) 16/17

c) 7 770

Hallar:

× 40 a) 130 600 d) 105 420

Hallar: S =

b) 15 540 e) N.A.

S = 1 × 2 × 2 + 2 × 5 × 4 + 3 × 6 × 6 + ... + 20 × 23

Hallar “S” si tiene 16 términos:

a) 2 041 d) 2 431

5.

8.

c) 95 580

S = 1 (5) + 2 (6) + 3 (7) + ...

4.

S = 6 + 12 + 20 + ... + 1262

Resolver:

a) 17 455 d) 70 810

c) 1

Resolver:

c) 102 500

S = 30 + 60 + 120 + 210 + ... + 6 840

3.

7.

b) 12/13 e) N.A.

1 + ... + 156

c) 15/23

Hallar: S = 1 + 1 + 1 + 1 1 2 6 12 20 + ... +1640

b) 1 570 e) −3 280

c) 1 250

10. Hallar la suma total de los términos del siguiente arreglo: 50 49 49 48 48 48 47 47 47 47

M 1

M M 1

1

M O

1 ... 1

a) 1 d) 40/41

b) 41/40 e) N.A.

c) 39/40

a) 29 000 d) 24 100

b) 28 100 e) 23 100

c) 22 100

11. Hallar la suma de la expresión:

14. Calcule el valor de:

41 J = 3 − 5 + 7 − 9 2 6 12 20 + ... − 420 a) 21/20 d) 20/21

b) 19/20 e) 20/19

c) 19/21 a)

12. La siguiente suma se puede expresar: S = 1 × 30 + 2 × 29 + 3 × 28 + ... + 15 × 16 a)

30

∑ K (31 − K)

d)

K =1 15 b) K (29 + K)

15

∑ K (30K − 1)

K =1 15 e) K (31 − K)

∑

∑

K =1 30 c) K (29 − K)

K =1

∑

K =1 13. Determinar el último sumando de: 1 × 30 + 2 × 29 + 3 × 28 + ... = 4 960 a) 30 d) 40

b) 58 e) 45

S = 1+

c) 84

2 + 1 + 2 + 1 + 2 + ... 4 4 16 16 64 b) (4 + 2 ) 3

11 4

d) 2 +

c)

2 16

e) (4 − 2 ) 3

2

15. Determinar la suma de las áreas de los infinitos triángulos equiláteros formados como muestra la figura (tomando como lado la mitad del lado del triángulo anterior, teniendo en cuenta que el primer triángulo es el triángulo más grande) a)

3 2 a 4

b)

3 2 a 3

c)

3 2 a 8

a a 8

2

d)

3 a

e)

3 2 a 2

N

a 4

a 2

III BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO

Carlos

Leonor Carlos

Leonor Carlos Leonor Carlos

: El domingo me he metido en un lío. Mi hermano me presentó a un matemático, uno de esos tipos que trabajan haciendo cosas en matemáticas. Quise lucirme y le dije que yo también conocía bien las matemáticas; le conté de nuestras reuniones y discusiones con nuestro profesor. : ¿En que lío te has metido? : El tipo ése me dijo que en matemática había un importante Teorema del Punto fijo. Yo le dije que también lo conocía, pero que ya lo había olvidado. Por la forma en que me miró, parece que el fulano no me creyó. Me sentí retonto por haber mentido así. : Sí, tú eres casi un experto en meter la pata… : Déjate de bromas. Me dijo: Te voy a proponer un problema; no es nada difícil, pero tampoco es trivial. : A ver, cuenta cómo es el problema. : Eso es lo que estoy tratando de hacer. No me interrumpas:

“Tú y tus compañeros han planeado realizar una excursión, desde un punto A hasta un punto B. Entre esos puntos existe un único camino, con curvas, subidas, bajadas y algunos restaurantes para los viajeros. Salen a las 6 de la mañana del punto A y llegan a las 4 de la tarde al punto B, donde se quedan a descansar hasta el día siguiente. Al día siguiente parten de B a las 6 de la mañana y llegan a las 4 de la tarde al punto A. Demuestra que en el camino existe un punto por el que ustedes han pasado justo a la misma hora, tanto a la ida como al regreso”. 6 a.m.

4 p.m.

Sábado

Domingo 4 p.m.

X

X 6 a.m.

Fig. Existe un punto X, por donde los caminantes pasaron a la misma hora del día, tanto a la ida como a la vuelta

Leonor Carlos

Leonor Carlos Leonor

: Parece que faltase información, pues si uno va de paseo no va a estar cuidando que la velocidad sea constante… : Ya le dije algo parecido, y me contestó que no interesaba el ritmo al que hubiésemos caminado; que se suponía que, a veces, habíamos tenido que descansar; o que alguien había tenido que regresar parcialmente para recobrar algo que hubiese olvidado… : Qué extraño! [sonriendo] En buen lío te has metido! : No olvides que el tipo dijo que el problema no era difícil… : Lo de fácil o difícil es muy relativo. Lo que es fácil para uno puede ser difícil para otros. Pero, tienes razón, pensemos en una posible solución.

[Se quedan pensando unos minutos] Carlos Leonor

Carlos Leonor Carlos Leonor

: No me ocurre nada… : A mi tampoco. Mira, hagamos una cosa. Achiquemos el problema: El Colegio es el punto A, la heladería el punto B. Tenemos que suponer que entre los dos existe solamente un camino; por él iremos y por él regresaremos. Vamos. : No veo de qué nos servirá el paseo. Pero yo te acompaño con mucho gusto. : Déjate de cosas. Supón ahora que partimos a las 6 de la mañana… : Pero también podríamos achicar el tiempo… : Es una buena idea! Ahora son las 4 y 30. Partamos.

[Caminan hacia el colegio] Carlos Leonor

: Bueno, hemos necesitado justo 15 minutos, ¿Y ahora? : Ahora regresaremos. Por tu reloj a las 4 y 30, deberíamos llegar a las 4 y 45. Vamos.

[Regresan y entran nuevamente a la heladería] Carlos Leonor Carlos Leonor

40

: El paseo estuvo bueno, pero no hemos sacado nada en claro. : Lo que pasa es que tú estabas pensando en otras cosas. Este problema me intriga… ¿Te animas a realizar otro paseo? : Ya sabes que a tu lado… : Esta vez no; escucha. Iremos separados; así podremos pensar mejor. Tú te vas al colegio. A las 4 y 30 emprendes el regreso, mientras que yo a esta hora partiré de aquí. O sea yo estaré de ida, tú de regreso. Cada uno observará al camino y lo que hace el otro. Quizás así descubramos el ‘punto fijo’ que mencionó el amigo de tu hermano.

“ Colegio Particular Integrado CESAR´S

Carlos

: [resignando]: Si te parece.

Leonor

: Vamos a coordinar los relojes, para que los dos marquen la misma hora. Los pondremos a las 4 y 15. Tú vas al colegio. A las 4 y 30 yo parto hacia el colegio y tú partes hacia aquí, ¿De acuerdo?

Carlos : Muy bien. Ya me estoy yendo [Se aleja rápidamente hacia el colegio] Leonor se pone a saborear un barquillo. De vez en cuando mira su reloj. A la 4 y 30 se levanta y se dirige al colegio, como si se estuviese paseando. A 1/3 del camino divisa a Carlos, quien camina un poco apurado. Ella también apura el paso. Leonor

: Hola, chico! Vas a tener que caminar más lentamente si es que quieres llegar a las 4 y 45 a la heladería.

Carlos

: Y tú, vas a tener que apurarte si quieres llegar a las 4 y 45 al colegio.

[Carlos llega a la heladería justo a las 4 y 45. Se pone a esperar que regrese Leonor. De vez en cuando mira, tratando de distinguir de lejos. Por fin aparece Leonor] Carlos Leonor Carlos

Leonor

: Bueno, saliste con tu gusto. Pero ¿Qué hemos ganado? : [todavía un poco agitada]: No sé; se me ocurrió que teníamos que hacer algo… : Lo único que te puedo decir es que nos encontramos a las 4 y 39, y tú no estabas ni por la mitad del camino. Creo que deberíamos habernos encontrado en la mitad del camino. El experimento nos falló. : [sonríe explosivamente]: Claro! Eso es! Nos encontramos en el camino! Ese es el punto en que pasamos a la misma hora!

[¿Entendió?]

“ Colegio Particular Integrado CESAR´S

41

NIVEL: SECUNDARIA

SEMANA Nº 5

QUINTO AÑO

ORDEN DE INFORMACIÓN

En esta unidad nos encontraremos con diversos

b)

En cierta prueba, Rosa obtuvo menos

tipos de problemas, pero en su resolución debemos

puntos que María; Laura menos puntos

tener en cuenta lo siguiente:

que Lucía; Noemí el mismo puntaje que Sara; Rosa más puntaje que Sofía;

• •

La información que nos da el problema necesita

Laura el mismo que Maria y Noemí más

ser ordenada.

que Lucía.

Debemos verificar que la respuesta al final

puntaje?

¿Quién obtuvo el menor

cumpla con las condiciones del problema. Se ha dividido está unidad de manera que sea fácil identificar el tipo de ordenamiento y las reglas que se deben respetar para su resolución. Esta división es la siguiente: A) Ordenamiento lineal B) Ordenamiento circular C) Relación de datos

 Orden lateral A. ORDENAMIENTO LINEAL

Se debe tener en cuenta: Izquierda

 Orden creciente - decreciente

Derecha

Oeste

Este

Interpretar: - César no es más alto que Giovanna

a)

En una autopista se produce un choque en cadena entre seis carros, originando por una imprudente parada de blanca que tiene carro azul. El auto blanco de

a)

En cierto examen se observo que

Celeste

está

adyacente

a

los

de

Mariel, obtuvo menor puntuación que

Morales y Violeta; Rogelio tiene carro

Nila, Elcy menos puntos que Nila y Dora

azul y chocó a Morales. Un carro rojo

más que Patty. ¿Quién ocupó el tercer

chocó al de Rogelio. Sabiendo que hay

lugar?

2 carros rojos, 2 azules; uno verde y uno blanco y que los colores no son seguidos. Indicar el nombre de chofer y el color del cuarto auto que choca.

42

“ Colegio Particular Integrado CESAR´S

III BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO b)

Seis amigos (A; B; C; D; E y F) se sientan en 6 asientos contiguos en el cine. Si se sabe que: - “A” se sienta junto y a la izquierda de “B” - “C” está a la derecha de A, y entre F y D. - “D” está junto a la izquierda de “E”. - “F” está a la izquierda de “B”. ¿Quién ocupa el cuarto asiento si lo contamos de izquierda a derecha?

B. ORDEN CIRCULAR En este caso evaluaremos problemas en su representación esquemática conforme circuitos cerrados tal es el caso de personas alrededor de una fogata, niños jugando a la ronda; personas alrededor de una mesa circular, etc. Es importante en este caso asumir que todos se ubican mirando hacia el centro del círculo de tal forma que se pueda establecer fácilmente las ubicaciones a la izquierda, derecha y diametralmente opuesto; etc. cada persona o elemento:

 Orden de Posición

Veamos un gráfico que nos puede ayudar a entender mejor.

a) En la carrera participan 6 personas: A, G

B, C, D, E y F. Se sabe que: - “A” llegó antes que “D”; pero dos

L

A

puestos después de “F” - “B” llegó inmediatamente después que “A” pero, antes que “E” ¿Quién llego en 4to. lugar?

O

I R

I.

¿Quién o quiénes están frente a G?

b) Cinco personas: A, B, C, D y E trabajan en un edificio de 6 pisos cada uno en un piso diferente, si se sabe que:

II. ¿Quién está diametralmente opuesto a R?

- “A” trabaja un piso adyacente al que trabajan “B” y “C”. - “D” trabaja en el quinto piso. - Adyacente y debajo de “B” hay un piso vacío. ¿Quiénes trabajan en el cuarto y sexto piso respectivamente?

III. ¿Quién o quiénes están a la izquierda de O?

IV. ¿Quién esta junto y a la izquierda de L?

C. RELACIÓN DE DATOS En este caso vamos a referirnos a problemas

V.

¿Quién o quiénes están a dos sitios de

que

A?

construcción de tablas de doble entrada, la

pueden

ser

absueltos

mediante

la

ubicación de los datos se efectúan de forma vertical y horizontal; el proceso de solución se basa en reconocer los vínculos entre dichos datos y la recomendación central consiste en a)

Seis amigos: A; B; C; D; E y F se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente.

Si

se sabe que: - “A” se sienta junto y a la derecha de “B” diametralmente opuesto a “C”

tratar

de

obtener

el

mayor

número

de

deducciones de cada información, veamos un par de ejemplos: a)

Durante una cena se ubican en una misma mesa cuatro personas cuyas edades son 12; 24; 369 y 48, de la conversación que

- “D” no se sienta junto a “B”

establecen se puede deducir que:

- “E” no se sienta junto a “C” ¿Entre quiénes se sienta “F”?

-

La edad del menor más la de Luis igualan

-

El mayor tiene el doble de la edad de

a la de Omar. Marco. ¿Cuántos suman las edades de Jorge y Omar?

b)

En el comedor del centro de estudios, ocho estudiantes de diferentes aulas se sientan en una mesa circular, guardando distancias proporcionales

el

del

aula

“E”

está

diametralmente opuesto al del aula “A” y entre los de las aulas “F” y “B”. El de la aula “C” está junto y a la izquierda del aula “A” y diametralmente opuesto al del aula “F”. Diametralmente opuesto al de la “B” está el de la “D”; este a su vez está junto a la izquierda del de la H. ¿Cuál de ellos está entre los estudiantes “G” y “A”?

b) Carlos, Raúl y Marco forman pareja con Eva, Rossi y Marie, no necesariamente en ese orden, que tienen profesiones de Bióloga; Doctora y Modista. Raúl es cuñado de Eva; quien no es Bióloga, Marco fue con la modista al matrimonio de Rossi. Hace tres años Marie peleó con su enamorado y se dedicó de lleno a culminar su carrera de medicina. ¿Quién es la pareja de Eva y cuál es la profesión que tiene ella?

5.

Sabiendo que: Karen es mayor que Gladys: Rocío es menor que Alejandra; Gladys es mayor que Patty y que Alejandra, Elena es mayor que Gladys, Rocío no es la menor. Escribir verdadero o falso.

1.

Cinco personas rinden un examen si se sabe que:

I.

Patty es mayor que Rocío.

II.

Elena es mayor que Rocío.

-

B obtuvo un punto más que D.

-

D obtuvo un punto más que C.

-

E obtuvo dos puntos menos que D.

a) FVF

b) VFV

-

B obtuvo dos puntos menos A.

d) FVV

e) FFF

III. No es cierto que Patty sea menor que Elena. c) VVF

Ordenarlos en forma creciente: a) ABDCE

b) EDCBA

d) ECDBA

e) BCDEA

c) EDBAC

6.

Carlos, Dante, Toño, Erick, Beto y Flavio se ubican en 6 asientos contiguos en una hilera de un teatro. Toño está junto y a la izquierda de Beto, Carlos a la derecha de Toño entre Flavio y Dante,

2.

En cierto examen, Sara obtuvo menos puntaje que

Dante está junto y a la izquierda de Erick.

Nataly, Vanessa menor puntaje que Karina; Irene

¿Quién ocupa el tercer asiento si los contamos de

el mismo puntaje que Susana; Sara más que Silvia;

izquierda a derecha?

Vanesa el mismo puntaje que Nataly e Irene más que Karina. ¿Quién obtuvo menos puntaje?

3.

a) Nataly

b) Vanessa

d) Silvia

e) Sara

a) Carlos

b) Erick

d) Flavio

e) Toño

c) Dante

c) Irene 7.

El volcán Temboro está ubicado al este del Sumatra.

El volcán Singapur al oeste del

En una carrera participan 6 personas: A, B, C, D,

Krakatoa.

El Sumatra a su vez está ubicado al

E y F si se sabe que: A llego antes que D, pero 2

oeste de Singapur. ¿Cuál es el volcán ubicado al

puestos después que F, B llegó inmediatamente

oeste?

después que A, pero antes que E.

Se puede

afirmar que:

a) Temboro

b) Sumatra

I.

C llegó en segundo lugar.

d) Krakatoa

e) Faltan datos

II.

D llegó antes que E.

III. E llegó en sexto lugar.

8.

c) Singapur

En un edificio de 5 pisos viven las familias, Flores, Zanabria, Miranda, Pérez, Islas, cada una en pisos

a) Solo I

b) I y II

d) Todas

e) Solo II

c) I y III

diferentes. - Islas vive encima de Sanabria. - Flores vive lo más alejado de Miranda.

4.

Pablo es 4 cm. más alto que Julio, Mónica es 3 cm

- Miranda no puede subir las escaleras.

más baja que Julio.

- Pérez hubiera gustado vivir en el último piso.

Ricardo es 7 cm. más bajo

que Pablo, Ruth es 4 cm. más

baja que Julio.

Son ciertas:

¿Cuál de las siguientes afirmaciones son ciertas?

I.

I.

Ricardo y Mónica son de la misma talla.

II. Los Pérez viven en el piso tres.

II.

Julio es más alto.

III. Los Miranda viven en el piso uno.

Los Flores viven en el piso dos.

III. Ruth es la más baja. a) Todas

b) I y II

c) I y III

d) II y III

e) Sólo una es cierta

a) Solo I

b) Solo III

d) Todas

e) Ninguna

c) I y III

9.

Seis amigos viven en un edificio, cada uno en un piso diferente.

Carlos vive más abajo que Bica,

pero más arriba que David.

13. Luis, Juan, Javier y Pedro, tienen diferente ocupación y sabemos que:

Franco vive 3 pisos

-

Luis y el profesor están enojados con Pedro.

Andrés vive 2 pisos más

-

Juan es amigo del albañil.

arriba que Carlos y a 4 pisos de Enzo. ¿El tercer

-

El periodista es amigo de Pedro.

piso lo ocupa?

-

El sastre es muy amigo de Javier y del albañil.

-

Luis desde muy joven es periodista.

más abajo que Carlos.

a) Bica

b) David

d) Carlos

e) Enzo

c) Franco

10. 3 varones A, B y C y 3 damas D, E y F se sientan

¿Quién es el sastre? a) Luis

b) Juan

c) Javier

d) Pedro

e) Falta un dato

alrededor de una mesa circular con 6 sillas distribuidas simétricamente de modo que dos

14. Hay 3 hombres: John, Jack y Joe, cada uno de

personas del mismo sexo no se sienten juntas.

los cuales tiene 2 profesiones.

Cuál de las siguientes son verdaderas:

Sus ocupaciones son las siguientes:

I.

A no se sienta frente a E

contrabandista

II.

C no se sienta frente a B

jardinero y barbero.

III. F no se sienta frente a D

de

licores,

músico,

Chofer, pintor,

En base a los siguientes

datos determinar el par de ocupaciones que corresponde a cada hombre.

a) Solo I

d) Solo I y III

b) Solo II

e) Solo I y II

c) Solo II y III

-

El chofer ofendió al músico riéndose de su cabello largo.

-

El músico y el jardinero solían ir a pasear con John.

11.

Seis personas juegan al poker alrededor de una

-

mesa circular. Luis no está sentado al lado de

El pintor compró al contrabandista un litro de vino.

Enrique ni de José. Fernando no esta al lado de

-

El chofer cortejaba a la hermana del pintor.

Gustavo ni de Fernando.

Pedro está junto a

-

Jack debía S/. 100 al jardinero.

Enrique, a su derecha. ¿Quién esta sentado a la

-

Joe vendió a Jack y al pintor el ajedrez.

izquierda de Enrique? a) John: pintor y jardinero. a) Pedro

b) Luis

c) José

d) Fernando

e) Gustavo

b) Joe: jardinero y contrabandista. c) Jack: chofer y músico d) Joe: jardinero y chofer

12. Un obrero, un empleado y un estudiante comenta

e) Jack: pintor y chofer

que cada uno toma una determinada marca de cerveza diferente:

15. En un bar se encuentran 4 amigos cuyos nombres

-

Yo tomo Cristal dice el obrero a José.

son: Mario, Juan Rafael y Eduardo, esto a su vez

-

Luis dice que la cerveza que no duele la

son:

cabeza es la Cuzqueña.

no necesariamente en ese orden; el atleta que es mi enamorada y yo

atleta, futbolista, obrero, ingeniero aunque

-

El empleado dice:

tomamos Pilsen porque es mejor.

siempre va al cine con Juan, Rafael que es el

-

La tercera persona se llama Mario.

mayor de todos es el vecino del futbolista, quien a

¿Cómo se llama el estudiante y que toma?

su vez es millonario, Mario que es pobre es 6 años

primo de Mario es el más joven de todos y

menor que el ingeniero. ¿La ocupación de Rafael a) José – Pilsen

d) Luis - Pilsen

es?

b) Luis – Cuzqueña

e) José - Cuzqueña

a) ingeniero

d) obrero

b) atleta

e) ninguno

c) Mario - Pilsen

c) futbolista

ASOCIACIÓN DE ARTISTAS AFICIONADOS Profesor : Repitamos el juego. A ver, acérquense Leonor, Carlos y Lucía. [Les prende las tarjetas en la espalda] Listos! Leonor : [Estoy viendo A, A. Si yo tuviese B entonces uno de ellos debería deducir, como antes María, que sobre su espalda tiene una A. Pero Lucía es un poco lenta. Carlos no es tan lento, pero es complicado. Qué lío…] Carlos : [Ella tienen A,A. Si yo tuviese una B, entonces tanto Leonor como Lucía, estarían viendo A, B. Pero ambos callas, parece que no saben qué decir. Bueno, Lucía es lenta; pero Leonor… Aunque, ¿Quién sabe? A lo mejor no es tan ‘trome’ como parece. Esperaré un momento; si dentro de un ratito Leonor no dice nada, entonces sabré que tengo una A. Si me equivoco es porque Leonor es una tonta] Lucía : [Veo A,A. Si yo tuviese B, entonces Leonor y Carlos verían A, B y razonarían como María. Ninguno de los dos es tonto; si se callan es porque…] Profesor, ya sé que letra me ha tocado!

4.

1.

Se sabe que “A” es mayor que “B” y que “B” es menor que “C” pero mayor que “D”. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente ciertas? a) A > C d) A > D

2.

c) C < D

a) María d) Sara 5.

En una granja hay más gallinas que gallos, pero menos pollo hay menos patos que conejos y menos conejos que gallos. Hay muchas palomas, más que gallinas, pero menos que pollos. ¿De cuáles hay menos? a) gallinas d) patos

3.

b) A < C e) A < D

b) gallos e) conejos

a) Pablo d) Jaime

b) Lorena e) N.A.

6.

c) Meche

b) Nataly e) Ana

c) Vanessa

* Ángel obtuvo menos puntos que Beto. * Dante menos puntos que Ángel. * Carlos más puntos que Enrique. * Enrique más puntos que Beto. ¿Quiénes obtuvieron el puntaje menor y mayor respectivamente? a) Ángel y Enrique b) Dante y Carlos c) Carlos y Beto

c) palomas

Entregue el examen antes que Pablo pero después que Lorena y que Jaime. Jaime lo entregó antes que Lorena y después que Meche. ¿Quién entregó primero el examen?

María es más vieja que Sara, Ana es más joven que Sara pero más vieja que Nataly y Nataly es más joven que Vanessa. ¿Cuál de las cinco es la más joven?

d) Dante y Enrique e) Beto y Carlos

Se tiene tres sacos de granos de maíz el saco A tiene menos granos que B, el saco C, tiene más granos que A. además los 5/8 del total de granos de C es mayor que los 2/3 del total de granos de B. ¿Cuál de los sacos tiene más granos? a) A d) B y C

b) B e) A y B

c) C

7.

A tiene más habitantes que D. tiene menos habitantes que B, pero más que C. ¿Cuál de las siguientes conclusiones será necesariamente cierta? a) b) c) d) e)

8.

9.

a) B en y d) C en z

A tiene más habitantes que B. A tiene menos habitantes que C. A tiene menos habitantes que B. A tiene más habitantes que C. A tiene igual habitantes que B.

San Mateo esta ubicado al este de Chosica. Huancayo se ubica al oeste de Pucallpa, Chosica a su vez está ubicado al oeste de Huancayo. ¿Cuál de los pueblos esta ubicado más la oeste? a) San Mateo d) Chosica

b) Pucallpa e) Ninguna

c) Huancayo

Cuatro personas: A, B, C y D, viven en un edificio de 4 pisos, cada una en un piso diferente. Si se sabe que C vive en un piso más arriba que A; b vive más arriba que A y C vive más abajo que D. ¿En qué piso vive C? a) 1 d) 4

b) 2 c) 3 e) Faltan datos

10. Cuatro niñas están jugando con sus juguetes preferidos alrededor de una mesa cuadrada. Si Diana tiene la muñeca, Carla está a la derecha de la que tiene la pelota, Luisa está frente a María; el rompecabezas esta a la izquierda del peluche, María no tiene la pelota; se puede afirmar que: a) b) c) d) e)

María tiene el rompecabezas Diana tiene el peluche Luisa tiene la pelota Carla tiene la muñeca Diana está a la derecha de Luisa

11. Un estudiante, un empleado y un obrero; comentan que cada uno de ellos tiene preferencia por un equipo de fútbol. - Yo soy hincha de “A.L.”, le dice Pepe a Carlos. - Miguel comenta: “El equipo que cuando anota Miguel saltó de alegría es “S.C.”. - El empleado dice: yo siempre invito a tu enamorada al estadio cuando juega la “U”. ¿Cómo se llama el obrero? a) Miguel b) Pepe c) Miguel o Pepe

Darío no esta en y. El que esta en x no estudia en A. El que esta en y estudia en B, Darío no estudia en C. ¿Qué estudia Pedro y dónde?

d) Pepe o Carlos e) Carlos

12. Tres personas: Juan, Pedro y Dario estudian en 3 universidades x, y, z cada uno de los 3 estudia una carrera diferente A, B, C. Juan no esta en x y

c) A en z c) C en x e) Faltan datos

13. Seis alumnos (A, L, U, M, N y O) se sientan alrededor de una mesa circular con seis sumas distribuidas simétricamente, se sabe que: - “A” se sienta diametralmente opuesto a “L” - “U” no se sienta junto a “M” ni a “O” - “O” se sienta junto a la decimal de “L” Podemos afirmar: I. “M” se sienta junto a “O” II. “M” se sienta junto a “A” III. “V” se sienta junto a “N” a) I d) I y II

b) II y III e) Todas

c) I y III

14. Para una escena teatral se eligen cinco integrantes: Marcelo, Benito, Sandro, Eduardo e Ignacio, presentando cinco papeles: Juez, Abogado, Fiscal, Testigo y Acusado; sabiendo además que cada uno tendrá una característica diferente: Furioso, Tranquilo, Enojado, Alegre y Triste, sabiendo que: - El juez estará tranquilo en escena. - Eduardo será el fiscal - El papel de testigo alegre se lo dieron a Sandro. - Benito no será el acusado en escena porque tendría que estar triste. Luego la alternativa correcta será: a) b) c) d) e)

Eduardo estará enojado. Marcelo hará de juez. Ignacio estará tranquilo. Benito hará de juez. Eduardo hará de juez.

15. En la sala de espera de un consultorio médico se ubican tres revistas: K, L y M; una chilena, una peruana y una argentina; sus contenidos son de humor, de labores y de política: - La revista “L” está ubicada al centro. - La argentina está inmediatamente a la derecha de la de labores. - A la derecha de la chilena esta la de política. - A la derecha de “K” esta la peruana. - “L” está a la izquierda de la argentina. Entonces: a) La peruana es K y es de humor. b) La argentina es K y es de labores. c) La argentina es M y es de política. d) La peruana es M y es de política e) La chilena es L y es de política



[En una cierta heladería] Carlos: Una de las cosas que aquí me gustan, son ésas tortas cuadradas con un montón de puntitos dulces. Leonor: Ah, sí; son muy ricas. Mi mamá también las prepara muy bien. [Se acerca un mozo sonriente] Mozo: ¡Aquí la tienen! Es una especialidad de la casa. ¡Qué la disfruten! Carlos: ¡Eso se ve muy bien! Me da gusto ver todos esos puntitos de colores. Leonor: ¡Uhm, tienes razón! ¿Cuántos puntitos crees que habrán? Carlos: ¿Cuántos puntitos? No sé. ¡Tal vez un millón! Leonor: ¡Un millón! Eso sí va a alcanzar para los dos. Medio millón para cada uno. Carlos: ¡Listo! ¡Medio millón para cada uno! Leonor: Tenemos un problema; esos puntitos han sido colocados en total desorden, ¿cómo vamos a partir la torta? ¡El asunto es dividirla con un solo corte recto; ése es el desafío! Carlos: Si los puntitos estuviesen bien arreglados sería muy fácil dividir la torta en dos partes, de manera que cada parte se lleve medio millón de puntos; pero no creo que eso sea posible si los puntitos están desordenados. No; no se podría. Leonor: Quizás tengas razón. Pero un millón de puntitos me confunden; es un número muy grande. Tratemos de ver si el asunto es posible con pocos puntos. Por ejemplo, ¿cómo sería si fuesen solamente dos puntitos? Carlos: Oh, en ese caso el asunto, como ves, es muy simple. ¿Y si fuesen 5 puntos? Leonor: No con 5 puntos es imposible. Recuerda que a mí me deben tocar tantos puntos como a ti, es decir, el número de puntitos debe ser par. Carlos: Ah, es cierto, entonces, ¿si fuesen 6 puntos?

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49

D

A

C

B

¿Cómo dividir un cuadrado con 6 puntos en su interior, en dos partes, cada una con 3 puntos?

Leonor: Podríamos hacer un corte que pase por encima del vértice B y por debajo del vértice D, ¿ves?. Carlos: Sí, veo el corte que propones. Pero también podría ser un corte que pase por los vértices A y C. Leonor: Bueno, eso que estamos diciendo significa que podemos dividir esta torta, pero ¿cómo sería el asunto con otra torta cuadrada que tenga seis puntitos? Carlos: Es cierto; pudiera ser que todos los puntitos, por casualidad, estén en línea recta. Leonor: Eso no importaría mucho. El asunto sería idear un método que sirva para cualquier torta con seis puntitos. ¿Te das cuenta? Carlos: ¿Para cualquier torta con 6 puntitos? Eso estaría muy bien, ¿crees que eso es posible? Leonor: Ah, no lo sé. Se supone que eso es lo que estamos tratando de contestar. Bueno, por ahora partiremos la torta, aunque a ti te toque más de medio millón de puntitos azules, ¿de acuerdo?. Carlos: Eso no estaría bien; te propongo que lo comamos los dos sin partirla… Leonor: [riendo]: ¡De acuerdo! [Los dos comen con gusto; habiéndose olvidado del millón de puntitos. Por lo menos eso es lo que parece] Leonor: ¡Ya lo tengo! ¡La próxima vez que compremos una torta con un millón de puntitos la dividiremos para que cada uno reciba justo medio millón!

50

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NIVEL: SECUNDARIA

SEMANA Nº 6

QUINTO AÑO

JUEGOS LÓGICOS

4.

Si Raúl es “Pum”, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

En un país la sociedad está dividida en 2 tribus. Los “RA” y los “PUM”, además se sabe que:  Los hijos pertenecen a la tribu del padre.

5.

 Las hijas a la tribu de la madre. ¿Cuál

de

las

siguientes

afirmaciones

es

La madre del joven “RA” puede ser “PUM”.

b) II y III

d) Todas

e) Ninguna

de

las

siguientes

c) Sólo III

Para saber a que tribu pertenece Raúl basta I.

Su hermana es “Pum”.

II.

Su madre es “Pum”.

suficiente e) Se necesitan más datos

c) I y III

Enunciado II afirmaciones

es

Seis personas A, B, C, D, E y F, se sientan alrededor de una mesa circular en seis asientos distribuidos simétricamente se sabe que:

a) Un hombre “Ra” no puede tener una hija “Ra”



b) El hijo de la hija de una mujer “Ra” es “Ra” d) Los hijos de una mujer “Ra” son “Pum” e) Los varones “Pum” puede tener hermanas “Pum” Si Raúl es “Ra” entonces es cierto que: Su padre no puede ser “Pum”.

II. Sus sobrinos varones deben ser “Ra” a) Sólo I

b) Sólo II

d) F.D.

e) N.A.

c) I y II

A y B se sientan uno junto al otro si y solo si E se sienta frente a D.

c) Las hijas de una mujer “Pum” puede ser “Ra”

I.

e) Todas

d) Cada uno de los datos por separado es

verdadera?

3.

b) Sólo II

d) II y III

c) Es necesario utilizar I y II conjuntamente

III. La hermana de un niño “RA” puede ser “RA”. a) I y II

a) Sólo I

b) El dato II es suficiente y el dato I no lo es

“PUM”.

¿Cuál

Los nietos varones deben ser “Pum”.

a) El dato I es suficiente y el dato II no lo es

II. El hermano de una niña “RA” puede ser

2.

II.

saber que:

verdadera? I.

Su cuñada puede ser “Pum”.

III. Sus sobrinas de sangre deben ser “Ra”.

Enunciado I

1.

I.

6.



C se sienta a la izquierda de A.



E se sienta a la derecha de F.

Una posible forma de sentarse, a partir de A y hacia su derecha es: a) A, B, E, D, F y C

d) A, F, E, D, B y C

b) A, B, D, C, F y E

e) A, D, C, F, E y B

c) A, B, E, D, C y F

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51

7.

Si D se sienta frente a E, necesariamente junto a la izquierda de F se sienta:

8.

a) A

b) B

d) D

e) E

necesariamente correcto? c) C

entonces la persona que se sienta frente a “C” es:

9.

b) B

d) D

e) F

c) C

Si B se sienta junto y a la izquierda de “E”,

b) C

d) E

e) F

c) D

sienta frente a “E”?

e) Visita Arequipa antes que Lima 13. Si el candidato visita primero Trujillo, ¿qué

a) Solo Huancayo b) Solo Arequipa c) Solo Huancayo o Lima d) Sólo Lima

14. Si el candidato visita Huancayo inmediatamente después de Trujillo e inmediatamente antes de

a) 1

b) 2

d) 4

e) Más de 4

c) 3

Enunciado III Un candidato presidencial planifica su campaña electoral y decide tener un solo mitin en cada una de las siguientes ciudades: Huancayo, Cajamarca, Lima, Cuzco, Arequipa, Trujillo. Sus asesores de campaña establecen las siguientes condiciones: Debe ir a Cuzco sólo después de Lima y Arequipa. No debe ir a Arequipa antes de ir a Huancayo. Cajamarca debe ser la segunda ciudad que visite el candidato. ¿Cuál podría ser un orden de visitas a las seis ciudades? a) Lima, Cajamarca, Trujillo, Arequipa, Cuzco, Huancayo. b) Cajamarca, Huancayo, Lima, Arequipa, Cuzco, Trujillo. c) Trujillo, Cajamarca, Cuzco, Lima, Huancayo, Arequipa. d) Huancayo, Cajamarca, Arequipa, Lima, Trujillo, Cuzco. e) Cuzco, Cajamarca, Arequipa, Huancayo, Lima, Trujillo.

d) Visita Cuzco antes que Huancayo

e) Sólo Huancayo, Lima o Arequipa

10. ¿De cuántas formas pueden sentarse, si “A” se

11.

c) Visita Cajamarca antes que Huancayo

ciudades puede visitar en tercer lugar?

entonces las personas que se sientan frente a A. a) B

a) Visita Cajamarca antes de Cuzco b) Visita Huancayo antes que Lima

Si “D” se sienta junto a la izquierda de “E”,

a) A

12. Si el candidato cumple las condiciones, ¿qué es

Arequipa: Entonces debe visitar Lima: a) En sexto lugar

d) En quinto lugar

b) En tercer lugar

e) En primer lugar

c) En cuarto lugar 15. Inmediatamente

después

de

Cajamarca

el

candidato podría ir a cualquiera de las siguientes ciudades a excepción de: a) Huancayo

b) Lima

d) Arequipa

e) Trujillo

c) Cuzco

Enunciado IV José un muchacho de 12 años, desea tener unas vacaciones bien aprovechadas y pide le compren los siguientes libros: Hamlet - Don Quijote de la Mancha – El Mercader de Venecia – El Coronel no tiene quien le escriba – La Identidad – Corazón. Su padre le sugiere:



Leer El Coronel, sólo después de El Mercader y la Identidad.



No debe leer la Identidad si antes no leyó Hamlet.

 El Quijote debe ser el segundo de los libros elegidos para leer.

16. ¿Cuál puede ser un orden de las lecturas si José sigue la sugerencia de su padre? a) El

Mercader.

El

Quijote.

18. Si José lee primero Corazón, en tercer lugar debería leer:

Corazón.

La

Identidad. El Coronel. Hamlet.

a) Sólo Hamlet b) Sólo La Identidad

b) El Quijote. Hamlet. El Mercader. La Identidad. El Coronel. Corazón.

c) Sólo Hamlet o El Mercader d) Sólo El Mercader

c) Hamlet. El Quijote. La Identidad. El Mercader.

e) Sólo Hamlet, El Mercader o La Identidad

Corazón. El Coronel. d) Corazón. El Quijote. El Coronel. El Mercader. Hamlet. La Identidad.

19. Si José lee Hamlet inmediatamente después de leer Corazón e inmediatamente antes que La

e) El Coronel. El Quijote. La Identidad. Hamlet. El Mercader. Corazón.

Identidad,

entonces

leerá

El

Mercader

de

Venecia.

17. Si José sigue lo sugerido, lo correcto es: a) Que lea El Quijote antes que el Coronel.

a) En primer lugar

d) En quinto lugar

b) En tercer lugar

e) En sexto lugar

c) En cuarto lugar

b) Que lea Hamlet antes que el Mercader. c) Que lea el Quijote antes que Hamlet.

20. Inmediatamente después de leer El Quijote, José

d) Que lea El Coronel antes que el Quijote.

podría leer cualquiera de los libros que él pidió, a

e) Que lea La Identidad antes que el Mercader.

excepción de: a) Hamlet

d) La Identidad

b) El Mercader

e) Corazón

c) El Coronel

¿Desconfianza justificada? Lucía: El paseo lo realizaremos el sábado de esta semana… Hortensia: ¿El sábado? Mejor vamos el día domingo. Lucía: ¿Por qué el domingo? A ver, levanten la mano los que quieran que el paseo sea el sábado. Uno…dos…tres… once. Hortensia: Levanten la mano los que quieran que el paseo se realice el domingo. A ver, cuanta, Carlos. Carlos: Ja, ja. También resultaron 11, ¿Qué haremos? Leonor: Mejor dejemos que la suerte decida. ¿Alguien tiene un par de dados? Mateo: Sí, aquí tengo dos dados. Lucía: ¡Listo! Lancemos los dos dados 20 veces. Que las sumas pares sean para el sábado, las impares para el domingo. ¡Comencemos! Pedro: ¿Será justa esa manera de decidir? a) 24 d) 21

b) 23 e) N.A.4

c) 22

5.

Para determinar con seguridad quiénes integrarían la Junta Directiva, bastaría saber que: I.

T está sí y sólo si U está.

II. S y W están en la Junta. a) El dato I es suficiente y el dato II no lo es.

Enunciado I

b) El dato II es suficiente y el dato I no lo es.

Ocho miembros de un club (P, Q, R, S, T, U, V,

c) Es necesario utilizar I y II conjuntamente.

y W) son candidatos para integra la Junta

d) Cada uno de los datos, por separado, es

Directiva que debe tener un Presidente (P o Q),

suficiente.

dos Vicepresidentes (R, S o T) y dos Vocales

e) Se necesitan más datos.

(U, V o W). Se sabe que:

Enunciado II



U no puede estar con W.



S no estará a menos que Q esté.

Ocho amigos se sientan alrededor de una mesa circular

1.

Si

P

está en la Junta,

¿cuántas Juntas

diferentes podrían ser elegidas? a) 4

b) 3

d) 1

e) 0

Si

R

y

S

siguientes

c) 2

distribuidos

Felipe y Gladis se sientan juntos.



Daniel no se sienta junto a Berenice.



Ana se sienta junto y a la derecha de

no

Ena no se sienta junto a Carlos ni a Berenice.

¿cuáles de las pueden

ser

verdaderas? I.

asientos

Berenice, y frente a Carlos.

están en la Junta, afirmaciones

8



 2.

con

simétricamente. Se sabe que:

6.

P está como Presidente.

Si Héctor es el más animoso de la reunión, ¿dónde se sienta?

II. V y W son Vocales. III. Q está como Presidente.

a) Frente a Berenice. b) Junto a Ena.

a) Sólo I

b) Sólo III

d) II y III

e) Ninguna

c) I y II

c) Entre Felipe y Berenice. d) Junto a Carlos. e) No se puede determinar.

3.

Si

T

no puede estar con

U,

¿cuáles de las

siguientes son posibles Juntas Directivas? I.

7.

PRTVW

Si Héctor no se sienta junto a Ena, entonces es siempre cierto que:

II. QSTVW III. QRSUV

a) Berenice está junto a Gladis. b) Carlos está junto a Felipe.

a) I y II

b) I y III

d) Todas

e) N.A.

c) II y III

c) Berenice está frente a Héctor. d) Ena está frente a Gladis. e) Daniel está frente a Felipe.

4.

Si Q y U están en la Junta, entonces todos los siguientes son correctos, EXCEPTO:

8.

A la derecha de Ana están:

a) P no es el Presidente.

a) Héctor, Ena y Daniel.

b) R y T pueden ser los Vicepresidentes.

b) Berenice, Felipe y Gladis.

c) U y V son los Vocales.

c) Ena, Berenice y Daniel.

d) S y V pueden pertenecer a la Junta Directiva.

d) Felipe, Gladis y Ena.

e) T no puede pertenecer a la Junta Directiva.

e) No se puede determinar.

Enunciado III

11. Si el retorno del valor es 63. ¿Cuál puede ser el

Alrededor de una mesa circular se sientan

6

personas distribuidas simétricamente. Además:

9.



A se sienta frente a B.



B se sienta a la derecha de C.



D se sienta frente a E y junto a A.



La otra persona es F.

número ingresado? I. 71

II. 72

III. 73

a) Sólo I

b) I y II

d) II y III

e) Todas

c) I y III

12. Si se ingresó el número 9, se tendría el mismo

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre cierta? a) C se sienta junto a B. b) E está a ala derecha de B.

resultado que si se hubiera ingresado el número: a) 54

b) 47

c) 63

d) 57

e) Más de una es correcta

Enunciado V

c) C se sienta frente a F. d) A está junto a F.

En un edificio de seis pisos viven: Marcos, Gaby,

e) Más de una es cierta.

Sandra, Patty, Marcela y Jorge, cada uno en un piso diferente si se sabe que:

10. ¿Cuáles

de

las

siguientes

afirmaciones

son



Marcela vive adyacente a Sandra y Gaby.

ciertas?



Para ir de la casa de Marcela a la de Jorge

I.

F está a la izquierda de E.



Marcos vive en el 2do piso.

II. D está a la izquierda de A.



Gaby vive más arriba que Sandra.

hay que bajar 3 pisos.

III. A y F están juntos. 13. ¿Quién vive en el sexto piso? a) Sólo I

b) I y II

d) I y III

e) Todas

c) II y III

Enunciado IV Un juego consiste en ingresar por el teclado un número del 1 al 99 y el computador se encarga de transformarlo usando las siguientes reglas: 

Si el número es de una cifra, lo multiplica por 5 y retorna el valor.



Si el número es par de dos diferentes cifras, suprime la menor de las cifras y retorna el valor.



En otro caso, se le resta la suma de sus cifras y retorna el valor.

a) Marcos

b) Gaby

d) Patty

e) Marcela

c) Sandra

14. ¿Quién vive en el piso inmediato inferior a Marcela? a) Gaby

b) Sandra

d) Marcela

e) Jorge

c) Patty

15. ¿Quién vive en el piso inmediato superior a Gaby? a) Jorge

b) Marcela

d) Sandra

e) Patty

c) Gaby

III BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO

Es un sábado caluroso, Eusebio, Carlos y Miguel pasean conversando alegremente. Se les acerca un hombre joven, sudoroso, con una mochila en la espalda. Samuel

: Hola, quizás ustedes pueden indicarme donde hay algún banco en las cercanías.

Carlos

: Uy, amigo; hoy día es feriado, los bancos están cerrados. esperar hasta el lunes.

Samuel

: Soy chileno; estudiante. Estoy recorriendo los países del Pacífico. Bueno, iré a buscar un hotel.

Carlos

: [consulta rápidamente con los otros]: Nosotros también somos estudiantes. Mira que hace un calor de los diablos. Te invitamos a tomar unos helados.

Samuel

: No me provoquen, amigos. peruanas…

Carlos

: [otra consulta rápida:] Bah, no te preocupes; nosotros te invitamos, así podremos charlar un poco.

Tendrás que

No tengo ni un centavo en monedas

Samuel : Bueno, muchas gracias. Será un alivio. [Ingresan a una conocida heladería] [Aprovechando que Samuel acomoda su mochila, los tres amigos celebran un corto conciliábulo] Carlos

: Caramba, yo tengo sólo 5 soles…

Eusebio : Yo puedo poner los 7 soles que tengo… Miguel

: Aquí tengo 10 soles. En total tenemos 22 soles; eso debe alcanzar para los cuatro. [Samuel se acerca y se sienta junto al trío de colegiales]

Samuel

: He oído muchas cosas del país de ustedes. geografía formidable. [Se acerca el mozo]

Me dicen que tiene una

Carlos : Tráiganos 4 porciones grandes; bien servida, por favor! [Traen los helados. Samuel cuenta sus aventuras. Eusebio, Carlos y Miguel preguntan y preguntan]

III BIM − RAZ. MATEMÁTICO − 5TO. AÑO

Samuel

: Tú dijiste que ustedes eran estudiantes, ¿Qué estudian?

Carlos

: Estamos terminando la secundaria. aficionando a las matemáticas.

Tenemos un profesor que nos está

Samuel

: Ja, ja, ja. Esto está bueno! Yo estudio matemáticas en la universidad de Santiago. Me divierto un montón! [Después de hora y media] Carlos

: Mozo, la cuenta por favor!

Mozo

: Es justo 20 soles. Espero que les haya gustado los helados y las galletas.

Samuel : Los helados estuvieron formidables. Ya me siento refrescado. [Carlos paga con 22 soles y le entrega el vuelto a Miguel] Samuel

: Bueno, muchachos, yo no tengo dinero peruano, pero les voy a pagar con monedas de otros países …

Eusebio, Miguel, Carlos: No, hombre, qué ocurrencia! Samuel

: No se preocupen. Tengo un montón de monedas que me han ido quedando de mis visitas. Esas monedas ya no valen. Pero pueden servir como recuerdos.

Carlos

: Ah, si es así, no tenemos más reparos.

Samuel

: Hagamos las cuentas como si fuésemos grandes hombres de negocios. Tú, Carlos, has puesto 5 soles, Eusebio ha puesto 7 soles y Miguel 8 soles.

Carlos

: Lo cual hace un total de 20 soles.

Samuel

: Yo voy a pagarles con 10 monedas – supondremos que todas valen lo mismo. Tú, Carlos, eres un peruano hablantín, aficionado a las matemáticas: Te presento el problema de la repartición de las 10 monedas que yo voy a pagar…

Carlos

: Ja, ja, ja. Eso es facilísimo. Matemáticamente la respuesta es: 4 monedas para Miguel, quien aportó 8 soles, 3 y media monedas para Eusebio, quien aportó 7 soles, y 2 media monedas para este señor, quien aportó 5 soles…

Samuel

: Esas son matemáticas muy complicadas para mi. Pero si tus compañeros están de acuerdo… [¿Estaría Ud. de acuerdo con esa repartición?]

III BIM − RAZ. MATEMÁTICO − 5TO. AÑO

NIVEL: SECUNDARIA

SEMANA Nº 7

QUINTO AÑO

OPERADORES MATEMÁTICOS A.

GENERALIDADES El objetivo fundamental de los operadores matemáticos es desarrollar la capacidad de interpretación frente a relaciones nuevas a las que no está familiarizado. 

OPERADOR MATEMÁTICO

3. Si “∆” es un operador tal que:

Operador matemático es un símbolo gráfico cuya elección no está restringida y que permite establecer una determinada operación o conjunto de operaciones de acuerdo a la regla de correspondencia dada.

2 a ∆ b = a −a−1 Calcular: S = 3 ∆ (3 ∆ (3 ∆ (3 ∆ ...)))

Algunos de los símbolos gráficos que usaremos para representar operadores será:

⊗; ∆; B.

;

#; %;

OPERADORES SIMPLES

;

ƒ; ϕ; ψ;

etc.

Y COMPUESTOS

De acuerdo a la estructura que se presentan en los ejercicios, hablaremos de operadores simples y compuestos. 

4. Definido el operador “ψψ” mediante:

nψψ =

OPERADORES SIMPLES Cuando en una operación o conjunto de operaciones interviene un solo operador, se le denomina operador simple.

2 (n−1) ; “n” es par 2n ; “n” es impar

Determinar: L = {(3ψψ) (2ψψ) − 2ψψ}

Veamos los siguientes ejemplos:

ψψ

1. Si “#” es un operador tal que: a # b = 2a − b Hallar:

3 # 4



OPERADORES COMPUESTOS

Las diversas formas de combinación de dos o más operadores simples se denominan operadores compuestos. Así por ejemplo: 2. Si se cumple: ⊗n = 2 + 4 + 6 + 8 +...+ 2n y ⊗ (⊗n) = 420 Hallar “n”.

5. Definidas las operaciones: x# y =

2x − y ; 2

x%y =

x+y 2

Calcular: [(4 # 6) % (6 # 2)] / [(2 % 3) # (1 % 5)]

1.

Si:

a ∗ b = 2a + b

Hallar “x”: a) 0 d) 3

6. Si se cumplen: 2 = n − 1;

n

n =n−2

Hallar los valores de sabiendo que: n

“n”

2.

(en los reales),

b) 1 e) 5

b) −3 e) 4

Calcular el valor de: Si:

b

x

4.

= 0

5.

Calcular:

= 9x;

3

x+2

3

−

Si:

6.

2 5 c) 3

a ʃ b = a +3 + b 2 5

Hallar (x+y) en:

x ʃ 10 = 6 7ʃ y = 6

a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

Si:

a ∇ b =

c) 10

a+b 2

(35 ∇ 37) ∇ (6 ∇ 2) = x ∇ 1

a) 6 d) 9

= 3x

3

b) 2 e) 0

Hallar:

8. Si se verifican: x−1

a+3 ; si “a” es impar 3

a) 1 d) 6

2 = x + 2x

b+5

a+2 ; si “a” es par 3

=

Hallar:

7. En el conjunto de los números enteros se definen:

c) 6

Se define:

a

3 = x + 1;

(x + 2) ∗ (x + 1) = 3x − 4

a) −6 d) 3

= 0

c) 2

a ∗ b = a2 − ab

Si:

Hallar “x” en:

3.

⊗

(x ∗ 3) ∗ (1 ∗ 2) = 14

b) 7 e) 4

c) 8

a

Si definimos el operador:

Hallar el valor de:

5 3 2

a) 31 d) 360

b) 62 e) N.A.

= 4a − 3b

b

×

4 1 3 c) 26

7.

Si se sabe que: 3

Calcular:

11. Si:

b) 528 e) 43

m ∗ n = 3m − 2n;

Si:

además: 2 ∗ a = −2

b) 16 e) N.A. a

b

d

c

= 2x + 1

c) 32

= a c − bd

4

1

6

5

+

3

x

1

y

b) 3 e) 9 H P x

=

5

1

x

y

12. Si:

5

= 26

c) 9

4 + 6

a) 20 d) 24

b) 25 e) 26 x

= 3x + 6

Además:

x+1

Calcular:

10

a) 31 d) 28 x

c) 35

= 3x − 6

b) 30 e) 36

c) 29

b) 8 e) 2

c) 7

= x

x = 8x + 7 Hallar:

= 14

15. Si:

5 2

b) 120 e) 60

+

x + 1 = 2x + 1

4

a) 9 d) 10

x

4

c) 5

= P + H + 15 2

Hallar el valor de:

n−4 + b) 8 e) 7

13. Si:

a) 1 d) 7

a) 125 d) 81

x

Hallar “n” en:

14. Si:

3

= 3x − 1

Calcular:

Hallar “y” en:

10. Si:

x

a) 6 d) 5

2 a ∗ 2a

a) 4 d) 64

9.

c) 8

Sabiendo que:

Hallar:

= 2x

2∗2

a) 536 d) 105 8.

y = y2 + x3

x ∗

x

2 a ∗ b = a (b ÷ a)

Hallar: c) 205

a) 1/2 d) 1/10

16 ∗ 2 b) 1/4 e) 64

c) 1/8

Si se cumple: a ∗ b2 = −ab + 2 ( b ∗ a2) Calcular: E = ( a) 0

b) 1

4

3 ∗ 2) ÷

c) 2

6 d) 3

b 3.

1.

Se define:

a%b =

a+

b) 2 e) 1/2

a) 13/6 d) 2

c) 3

4.

a%b

Calcular: a) 3/4 d) 3/5

−

r+1

−a r+1

1

∫

x dx +

La semisuma de los números; si: a > b. La semidiferencia de los números; si: a ≤ b.

Si: a α b = a

b) 1/5 e) N.A.

c) 4/5

1

c) 3

2

b) 2−1 e) 2−3

Se define: Hallar:

(7%3) (3%5) (5%4)

∫ xdx

b

a) 2−6 d) 2−8 5.

2

b) 2/3 e) 1

Hallar “x” en: (x α x) 2 =

Sabiendo que: −

r+1

0

(4x2 + 3x) % (x2 + 3x) = 1 + 2x

2.

∫a

r x dx = b

Hallar el valor de:

b

Resolver en IR:

a) 0 d) 1

Si:

e) 4

a b

c) 2−4

= 4 (a − b) + b

5 3 2 . 4 1 3

a) 60

b) 62

d) 72

e) 76

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c) 58

62

6.

Si:

3a ∆ 2b =

Calcular:

x

Se define:

2n − 1

=

Calcular:

(x +1) x

a) 2 d) 2

3

(3 # 4) E = (1 # 2)

= 100

a) 2 d) 0

b) 2 +1 e) 4

Calcular:

3x − 2y; 3y − 2x;

2

a) 71 d) −73

c)

2 −1

c) 73

Calcular: a) 19 d) 23

= 4x − 3

c) 7

c) 25

= n − 3 − 2n + 5 2 3

14. Sabiendo que:

a) 2 d) 3

5 6

M = (5 ∗ 12) ∗ (14 ∗ 6) b) 254 e) 324

n

c) −41

P ∗ Q = 6P + 2Q

a) 516 d) 150

Si:

=

b) 41 e) −42

15. Calcular “x” en:

7 b) 11 e) 31

30 Términos

Determinar el valor de (2b+1) en:

Calcular:

x

c) 225

13. Definida la operación:

a) 40 d) 42

10. Dadas las operaciones: x = 2x+3;

4

N (5 # 6)

b−1

% (1%2) 5

b) −71 e) 5

+

b) 1 e) 6

x>y x≤y

E = (5%2)

= 16n + 9

Calcular:

c) 1

En el conjunto de los números naturales se define la operación: x%y

2n + 1

b) 64 e) 125

n+2 9.

y

12. Si “#” define la operación (a # b)c = abac

= 21

x = (x + 1)2 n

E =

a) 81 d) 188

2

b) 2 e) 1/3

Hallar “n”:

= 4n + 1

c) 2

2x + 1

a) 1/2 d) 3 Si:

11. Definidas las operaciones:

b) 1 e) 4

Hallar “n”:

8.

b

48 ∆ 18

a) 0 d) 3 7.

a −

2x + 1

c) 196

= 21

= 1 + 2 + 3 + ... + n b) 1/2 e) N.A.

c) 1/3

III BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO

ANTIGUA CIVILIZACIÓN EGIPCIA La información disponible sobre la civilización desarrollada a lo largo del Nilo es lo suficientemente fiable, como para ser considerada la primera civilización que alcanzó un cierto desarrollo matemático. Nuestros conocimientos sobre las matemáticas del Antiguo Egipto se basan principalmente en dos grandes papiros de carácter matemático y algunos pequeños fragmentos, así como en las inscripciones en piedra encontradas en tumbas y templos. Desarrollaron el llamado “sistema de numeración jeroglífico”, que consistía en denominar cada uno de los “números clave” (1, 10, 100, 1000…) por un símbolo (palos, lazos, figuras humanas en distintas posiciones…). Los demás números se formaban añadiendo a un número u otro del número central uno o varios de estos números clave. Un sistema de numeración posterior a éste, pero de similares características sería el sistema de numeración romano. También crearon fracciones, pero sólo como divisores de la unidad, esto es, de la forma 1/n; el resto de fracciones se expresaban siempre como combinaciones de estas fracciones. Aparecen también los primeros métodos de operaciones matemáticas, todos ellos con carácter aditivo, para números enteros y fracciones. Algebraicamente se resuelven determinadas ecuaciones de la forma x + ax = b donde la incógnita x se denominaba “montón”. En geometría los avances en el cálculo de áreas y volúmenes, encontraron, por ejemplo, para el área del círculo un valor aproximado del número pi de 3’1605. Sin embargo el desarrollo geométrico adolece de falta de teoremas y demostraciones formales. También encontramos rudimentos de trigonometría y nociones básicas de semejanza de triángulos.

MESOPOTAMIA O ANTIGUA BABILONIA Bajo esta denominación se engloban los Estados situados entre el Tigres y el Eufrates y que existieron desde el año 2000 a.C. hasta el año 200 a.C. Actualmente la información sobre esta civilización (en cuanto a matemáticas se refiere) es mucho mayor que la existente sobre la civilización egipcia, debido a que en lugar de papiros, utilizaban escritura cuneiforme sobre tablillas de arcilla, mucho más resistentes al paso del tiempo. De las más de 100.000 tablillas conservadas, sólo 250 tienen contenidos matemáticos y de ellas apenas 50 tienen texto.

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III BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO

Al igual que sucede con los papiros, las tablillas contienen únicamente problemas concretos y casos especiales, sin ningún tipo de formulación general, lo que no quiere decir que no existiera, pues es evidente, que tales colecciones de problemas no pudieron deberse al azar. Utilizaron el sistema de numeración posicional sexagesimal, carente de cero y en el que un mismo símbolo podía representar indistintamente varios números que se diferenciaban por el enunciado del problema. Desarrollaron un eficaz sistema de notación fraccionario, que permitió establecer aproximaciones decimales verdaderamente sorprendentes. Esta evolución y simplificación del método fraccionario permitió el desarrollo de nuevos algoritmos que se atribuyeron a matemáticos de épocas posteriores, baste como ejemplo el algoritmo de Newton para la aproximación de raíces cuadradas. Desarrollaron el concepto de número inverso, lo que simplificó notablemente la operación de la división. Encontramos también en esta época los primeros sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas; pero sin duda la gran aportación algebraica babilónica se centra en el campo de la potenciación y en la resolución de ecuaciones cuadráticas, tanto es así que llegaron a la solución para ecuaciones de la forma x2 + px = q, p > 0, q > 0 y también ax2 + bx = c mediante el cambio de variable t = ax. Efectuaron un sin fin de tabulaciones que utilizaron para facilitar el cálculo, por ejemplo de algunas ecuaciones cúbicas. El dominio en esta materia era tal, que incluso desarrollaron algoritmos para el cálculo de sumas de progresiones, tanto aritméticas como geométricas. Su capacidad de abstracción fue tal que desarrollaron muchas de las que hoy se conocen como ecuaciones diofánticas, algunas de las cuales están íntimamente unidas con conceptos geométricos, terreno éste, en el que también superaron a la civilización egipcia, constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: área del cuadrado, del círculo (con una no muy buena aproximación de pi igual a 3), volúmenes de determinados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que esta civilización conocía el teorema de Pitágoras aplicado a problemas particulares, aunque no, obviamente, como principio general.

CHINA ANTIGUA Aunque la civilización china es cronológicamente comparable a las civilizaciones egipcia y mesopotámica, los registros existentes son bastante menos fiables. La primera obra matemática es “probablemente” el Chou Pei (horas solares) ¿1200 a.C.? y junto a ella la más importante es “La matemática de los nueve libros” o de los nueve capítulos. Esta obra, de carácter totalmente heterogéneo, tiene la forma de pergaminos independientes y están dedicados a diferentes temas de carácter eminentemente práctico formulados en 246 problemas concretos, a semejanza de los

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egipcios y babilónicos y a diferencia de los griegos cuyos tratados eran expositivos, sistemáticos y ordenados de manera lógica. Los problemas resumen un compendio de cuestiones sobre agricultura, ingeniería, impuestos, cálculo, resolución de ecuaciones y propiedades de triángulos rectángulos. El sistema de numeración es el decimal jeroglífico. Las reglas de las operaciones son las habituales, aunque destaca como singularidad, que en la división de fracciones se exige la previa reducción de éstas a común denominador. Dieron por sentado la existencia de números negativos, aunque nunca lo aceptaron como solución a una ecuación. La contribución algebraica más importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en la regla de resolución de sistemas de ecuaciones similar al que hoy conocemos como método de Gauss, expresando incluso los coeficientes en forma matricial, transformándolos en ceros de manera escalonada. Inventaron el “tablero de cálculo”, artilugio consistente en una colección de palillos de bambú de dos colores (un color para expresar los números positivos y otro para los negativos) y que podría ser considerado como una especie de ábaco primitivo. Esta orientación algorítmica de las matemáticas en la China Antigua, se mantiene hasta mediados del siglo XIV debido fundamentalmente a las condiciones socio-económicas de esta sociedad. Con el desarrollo del “método del elemento celeste” se culminó el desarrollo de álgebra en China en la edad media. Este método, desarrollado por Chou Shi Hié, permitía encontrar raíces no sólo enteras, sino también racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma Pn(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0. El método del elemento celeste es equivalente al que en Occidente denominamos “método de Horner”, matemático que vivió medio siglo más tarde. Otro gran logro de la época medieval fue la suma de progresiones desarrollado por Chon Huo (s. XI) y Yang Hui (s. XIII). Unido a estas sumas de progresiones se establecieron elementos sólidos en la rama de la combinatoria, construyendo el llamado “espejo precioso” de manera similar al que hoy conocemos como triángulo de Tartaglia o Pascal. No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de la cultura china, limitándose principalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos. Aproximadamente a mediados del siglo XIV comenzó en China un largo periodo de estancamiento.

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NIVEL: SECUNDARIA

SEMANA Nº 8

QUINTO AÑO

COMPARACIÓN CUANTITATIVA

“La amistad más bella y duradera es la que existe entre dos personas que esperan mucho la una de la otra, pero jamás la exigen”

RECUERDA Estas clases de preguntas se dan dos cantidades, una en la columna “A” y otra en la columna “B” y de lo que se trata es de determinar la relación que existe entre ambas.

Soluciones la primera columna

x▽x= x-1

=

2

x-1

=

2

x

x-1

=2

1

x

x-1

=2

2–

x

x

Veamos el siguiente ejemplo

2 ▽3 −1

x

∴

x=

A. Si la cantidad de “A” es mayor que “B”. B. Si la cantidad en “B” es mayor que “A”. C. Si ambas cantidades son iguales. D. Si

falta

información

para

Ahora solucionemos la columna B

poder

determinarlo. E. ¡No debe utilizar esta opción!

1)

COLUMNA “A”

COLUMNA “B”

Se define

Si:

a ▽ b=a

b-1

halle x si x▽x =

x

x2

=2

halle x 2▽3

Rpta.: 66

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x

x2

= 2

22

x=

Rpta.:

III BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO 1.

El término 25 de una sucesión: I.

SUFICIENCIA DE DATOS

II. La forma general de la sucesión.

A continuación se plantean problemas y en cada uno se ofrecen 2 datos para resolverlo.

Debe

2.

aunque

no

es

necesario

hallar

3.

A.

El dato I es suficiente y el dato II no lo es.

B.

El dato II es suficiente y el dato I no lo es.

C.

Es necesario utilizar I y II conjuntamente.

D.

Cada uno de los datos, por separado, es suficiente.

E.

Se necesitan más datos.

El valor de n

II. Los 3 primeros valores de la serie.

el

resultado, y marca:

La suma de los n primeros términos de una serie. I.

identificar que datos se necesitan para llegar a la solución,

El 1er. término.

En una serie de 50 términos se pide los 50 siguientes: I.

La forma general de los términos.

II.

El primero y el último de los términos.

a) Solo I

b) I y II

d) Todas

e) Solo II

c) I y III

COMPARACIÓN CUANTITATIVA Cada pregunta de esta sección consta de dos cantidades, una en la columna A y la otra en la columna B. Usted debe comparar ambas cantidades y determinar la relación entre ellas eligiendo entre estas cuatro alternativas. A. B. C. D. E.

Si la cantidad en la columna A es mayor. Si la cantidad en la columna B es mayor. Si las dos cantidades son iguales. Si la relación no puede ser determinada con la información disponible. ¡No debe usar esta opción!

# de preguntas

Información

Columna A

Columna B

2t2

t5

S1

S2

A

B

10

1 2)

∑ (3k + k=1

2

3

S1 = 1 + 2 + 3 + … + 50

S2 = 1 + 3 + 5 + … + 87

A = 1 x 2 + 2 x 3 + … + 15 x 16 2 2 2 B = 1 + 2 + … + 16

4

m = 2 + 4 + 6 + … + 80 n = 1 + 3 + 5 + … + 79 La suma de los números pares de un serie

Los 15 primeros

El término 50

6

La suma de los términos de la serie de los cuadrados consecutivos.

La suma de los 20 primeros.

El término número 60.

7

Las edades de 3 hermanos son pares consecutivos y su suma es 60.

El doble del menor.

El mayor aumentado en 3.

8

S = 1 + 2 + 3 + … + 15 Q = 1 + 3 + 5 + … + 23

S+Q

S(S - Q)

9

A: Suma de números pares menores que 20. B: Suma de números impares menores que 25.

2A

3B

S1 = 1 x 2 + 2 x 3 + … + 20 x 21

3

S2 = 1 + 2 + 3 + … + 20

2

3

3

3

3

SUFICIENCIA DE DATOS

1.

A continuación se plantean problemas y en cada uno se ofrecen 2 datos para resolverlo.

Debe

identificar que datos se necesitan para llegar a la aunque

no

es

necesario

hallar

el

2.

resultado, y marca: A.

El dato I es suficiente y el dato II no lo es.

B.

El dato II es suficiente y el dato I no lo es.

C.

Es necesario utilizar I y II conjuntamente.

D.

Cada uno de los datos, por separado, es suficiente.

E.

n

5

10

solución,

m

Se necesitan más datos.

3.

(S1)

2 3

(S2)

Hallar el 4 término de una serie: I.

La suma de los 3 primeros es 48.

II.

La razón es 6.

Seis amigos se sientan en una mesa circular: I.

A se sienta frente a C y entre D y E.

II.

F no se sienta junto a D.

La suma de n números de una serie: I.

Son los números cuadrados

II. Son 20 términos 4.

En una urna hay fichas de colores: I.

La relación entre rojas y blancas es de 3 a 5.

II. 5.

Hay en total 80 fichas

El ahorro de un obrero está representado como una serie: I.

Han pasado 20 días.

II.

Cada día ahorra 2 soles más que el anterior.

Se tienen 3 casas (ver figura) y se tienen 3 servicios (Luz, agua, teléfono); cada servicio debe de ir a cada casa pero ninguno de los caminos debe de cruzarse…

CASA A

CASA B

CASA C

LUZ

AGUA

TELF

OJO: No cruzar las líneas

2. Pendiente de: y = -2 + 9x

Pendiente de: y= x

¡PRACTIQUEMOS JUNTOS! A. B. C. D. E.

Si A > B Si B > A Si A = B Falta información ¡No debe utilizar esta opción!

Rpta.:

3.

Área de: Círculo de radio π

1.

3

4

4

5 Volumen de prisma

Volumen de prisma

Cuadrado de lado 3π

Rpta.:

4.

Si: 0 > a > b 2a

2b

Rpta.: Rpta.:

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5. 10. Distancia entre (2,3) y (0.2)

Distancia entre (3,2) y (1,2)

ABCD cuadrado. Hallar el área de la región sombreada

Rpta.:

A

ABCD cuadrado. Hallar el área de la región sombreada.

B

6.

A

B

a

Suma de cifras del décimo término en: 1, 22, 333, 4444 …

Suma de cifras del resultado de:

D

a

C

D

C

2

(111...1) 14 2 43 9 cifras

Rpta.: Rpta.: 11. 7. Hallar el resultado sumar F(10) F(1) → 1 F(2) → 3 5

Hallar el resultado sumar F(9) F(1) → 2 F(2) → 4 6

F(3) →

F(3) →

7

9

11

F(4) → 13 15 17 19

8 10

Hallar el ángulo que forman las manecillas del reloj a las 6 h 30’

Hallar el ángulo que forman las manecillas 7h 47’

Rpta.:

12

F(4) → 14 16 18 20 12. ¿a + b?

Rpta.:

¿d – c + 4?

-5, 15, 12, 4, 7, 21, 18, a, b 8.

¿t50 + t51 + t52?

7, 8, 9, 11, 14, 19, c, d

¿t60 + t61 - 10?

1, 2, -3, 4, 5, -6, 7, 8, -9, ……

Rpta.:

1, 2, -3, -4, 5, 6, 7, -8, 9, ….. 13.

Rpta.:

3 2

4 −m

(2 ) . (2 ) 2

m −2

(2 )

9. Hallar la suma de las 20 primeras filas F(1) → 1 F(2) → F(3) → F(4) → 4

20

∑x

2

Rpta.:

k =1

2 2 3

3 4

3 4

14.

4

M

Rpta.:

70

2

.2

  2 

2

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C

B D

2

.2

2

 

2

III BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO SUFICIENCIA DE DATOS A continuación se plantean problemas y en cada ¿De cuántas maneras se puede ir de “M” a “D”?

¿De cuántas maneras se puede ir de “A” a “D”?

uno se ofrecen 2 datos para resolverlo.

Debe

identificar que datos se necesitan para llegar a la solución,

aunque

no

es

necesario

hallar

el

resultado, y marca: A. El dato I es suficiente y el dato II no lo es.

Rpta.:

B. El dato II es suficiente y el dato I no lo es. C. Es necesario utilizar I y II conjuntamente. D. Cada uno de los datos, por separado, es

15.

suficiente. Número de palabras “DALI” D A A L L L I I I I

Números de palabras “DALI” D D A D D A L A D D A L I L A D

Rpta.:

E. Se necesitan más datos. 1.

La suma de los n primeros términos de una serie: I. La forma general de los términos es (3x - 2) II. La serie tiene 10 términos.

2.

(3 ∆ 4) + (2 ∆ 5) I. 5 ∆ 3 = 27 II. 2 ∆ 4 = 16

3.

m # n = m + n + 3mn(m + n) I. 3 # x = 125 II. x # y = 27

4.

La suma de los primeros 20 #s pares: I. El término general es 2n II. El primero término es 2.

5.

S=

3

1 1x2

+

3

x+y=?

1 + ... 2x3

I. Hay 18 términos II. El último es el doble del anterior

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