Libro mates 1º ESO Avanza

Matemáticas 1 ESO AVANZA

El libro Matemáticas para 1.º de ESO es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Enrique Juan Redal. En su realización ha participado el siguiente equipo: M.ª Dolores Álvarez Joaquín Hernández Ana Yolanda Miranda M.ª Rosario Moreno Susana Parra Manuela Redondo Raquel Redondo M.ª Teresa Sánchez Teresa Santos Esteban Serrano EDICIÓN

Angélica Escoredo Carlos Pérez DIRECCIÓN DEL PROYECTO

Domingo Sánchez Figueroa

1

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Índice 4. Números decimales...................................................... 58 Antes de empezar la unidad ............................................................ 1. Números decimales .................................................................. 2. Suma y resta de números decimales ......................................... 3. Multiplicación de números decimales ...................................... 4. División de números decimales ................................................ 5. Números decimales y fracciones ............................................... Lo esencial ..................................................................................... Actividades ....................................................................................

59 60 62 63 64 66 68 70

5. Números enteros............................................................ 74

1. Números naturales........................................................

6

Antes de empezar la unidad ............................................................ 1. Números naturales. Sistemas de numeración ........................... 2. Multiplicación de números naturales ....................................... 3. División de números naturales ................................................. 4. Potencias de números naturales ............................................... 5. Operaciones con potencias ....................................................... 6. Raíces cuadradas ...................................................................... 7. Jerarquía de las operaciones ..................................................... Lo esencial ..................................................................................... Actividades ....................................................................................

7 8 11 12 13 14 16 17 18 20

Antes de empezar la unidad ............................................................ 1. Números enteros ...................................................................... 2. Comparación de números enteros ............................................ 3. Suma y resta de dos números enteros ...................................... 4. Suma y resta de varios números enteros ................................... 6. Multiplicación y división de números enteros ....................... 7. Operaciones combinadas con números enteros .................... Lo esencial .................................................................................. Actividades .................................................................................

75 76 77 78 80 82 83 84 86

2. Divisibilidad.................................................................... 24 Antes de empezar la unidad ............................................................ 3. Múltiplos de un número ........................................................... 4. Divisores de un número ........................................................... 5. Números primos y compuestos ................................................ 6. Factorización de un número ..................................................... 7. Máximo común divisor ............................................................ 8. Mínimo común múltiplo .......................................................... Lo esencial ..................................................................................... Actividades ....................................................................................

25 26 27 28 29 32 33 34 36

3. Fracciones........................................................................ 40 Antes de empezar la unidad ............................................................ 1. Números fraccionarios ............................................................. 2. Fracciones propias e impropias ................................................ 3. Fracciones equivalentes ............................................................ 4. Comparación de fracciones ...................................................... 5. Suma y resta de fracciones ........................................................ 6. Multiplicación de fracciones ..................................................... 7. División de fracciones .............................................................. 8. Jerarquía de las operaciones con fracciones .............................. Lo esencial ..................................................................................... Actividades ....................................................................................

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41 42 43 44 47 49 50 50 51 52 54

6. Iniciación al Álgebra..................................................... 90 Antes de empezar la unidad ............................................................ 91 1. Lenguaje algebraico ............................................................... 92 2. Expresiones algebraicas ......................................................... 93 3. Monomios ............................................................................. 94 4. Ecuaciones ............................................................................ 95 5. Elementos de una ecuación ................................................... 95 7. Resolución de ecuaciones de primer grado ............................ 96 8. Resolución de problemas ....................................................... 97 Lo esencial .................................................................................. 98 Actividades ................................................................................. 100

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7. Sistema Métrico Decimal............................................ 104

11. Perímetros y áreas....................................................... 170

Antes de empezar la unidad ............................................................ 105 1. Magnitudes y unidades ............................................................. 106 2. Unidades de longitud ............................................................... 107 3. Unidades de capacidad ............................................................. 110 4. Unidades de masa .................................................................... 111 5. Unidades de superficie ............................................................. 112 6. Unidades de volumen ............................................................... 114 Lo esencial ..................................................................................... 116 Actividades .................................................................................... 118

Antes de empezar la unidad ............................................................ 171 1. Perímetro de un polígono ......................................................... 172 2. Longitud de la circunferencia ................................................... 173 3. Área de los paralelogramos ....................................................... 174 4. Área de un triángulo ................................................................. 176 5. Área de un trapecio .................................................................. 177 6. Área de un polígono regular ..................................................... 178 7. Área del círculo ........................................................................ 178 8. Área de una figura plana ........................................................... 179 Lo esencial ..................................................................................... 180 Actividades .................................................................................... 182

8. Proporcionalidad numérica. ...................................... 122 Antes de empezar la unidad ............................................................ 123 1. Razón y proporción .................................................................. 124 2. Relación de proporcionalidad entre dos magnitudes ................ 125 3. Porcentajes ............................................................................... 129 Lo esencial ..................................................................................... 132 Actividades .................................................................................... 134

9. Rectas y ángulos............................................................ 138 Antes de empezar la unidad ............................................................ 139 1. Rectas, semirrectas y segmentos ............................................... 140 2. Ángulos .................................................................................... 142 3. Operaciones con ángulos ......................................................... 144 4. Sistema sexagesimal .................................................................. 146 Lo esencial ..................................................................................... 148 Actividades ................................................................................. 150

12. Poliedros y cuerpos de revolución......................... 186 Antes de empezar la unidad ............................................................ 187 2. Poliedros .................................................................................. 188 3. Prismas ..................................................................................... 189 4. Pirámides .................................................................................. 190 5. Poliedros regulares ................................................................... 191 6. Cuerpos de revolución ............................................................. 192 Lo esencial ..................................................................................... 194 Actividades .................................................................................... 196

13. Funciones y gráficas................................................... 200 Antes de empezar la unidad ............................................................ 201 1. Rectas numéricas ...................................................................... 202 2. Coordenadas cartesianas .......................................................... 203 3. Funciones ................................................................................. 207 4. Interpretación de gráficas ......................................................... 208 Lo esencial ..................................................................................... 210 Actividades .................................................................................... 212

14. Estadística y Probabilidad........................................ 216 Antes de empezar la unidad ............................................................ 217 2. Tipos de variables ..................................................................... 218 3. Frecuencias. Tablas de frecuencias ............................................ 219 4. Gráficos estadísticos ................................................................. 220 6. Sucesos. Espacio muestral ........................................................ 222 8. Regla de Laplace ....................................................................... 223 Lo esencial ..................................................................................... 224 Actividades .................................................................................... 226

10. Polígonos y circunferencia....................................... 154 Antes de empezar la unidad ............................................................ 155 1. Polígonos .................................................................................. 156 2. Triángulos ................................................................................ 158 4. Teorema de Pitágoras ............................................................... 159 5. Cuadriláteros ............................................................................ 160 6. Propiedades de los paralelogramos ........................................... 161 7. Circunferencias ........................................................................ 162 8. Posiciones relativas en el plano ................................................. 163 9. Polígonos regulares e inscritos .................................................. 163 Lo esencial ..................................................................................... 164 Actividades .................................................................................... 166

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Esquema de unidad La estructura de las unidades didácticas es muy sencilla, ya que se trata de facilitar la localización de los contenidos fundamentales, de los ejemplos resueltos y de los ejercicios propuestos.

3

Antes de empezar la unidad…

Antes de empezar la unidad...

Aparece el bloque de contenidos previos necesarios para comprender lo que vas a estudiar. Además, mediante la evaluación inicial, podrás afianzar los contenidos repasados.

LECTURA DE FRACCIONES Los términos de una fracción se llaman numerador y denominador.

Fracciones

Numerador

Denominador

2

Denominador

3

medios

Se lee

4

tercios cuartos

5

6

7

8

9

10

quintos

sextos

séptimos

octavos

novenos

décimos

Las fracciones se utilizan para expresar cantidades incompletas de la unidad.

5 se lee cinco séptimos 7 F

F

F

F

2 se lee dos quintos 5 Cuando el denominador es mayor que 10: 3 se lee tres onceavos 11 F

2. Busca información sobre Luca Pacioli y los trabajos que realizó con Leonardo da Vinci.

F

Si el denominador es mayor que 10, se lee el número añadiendo la terminación -avos.

Da Vinci entró en la sala donde estaba Luca Pacioli examinando las ilustraciones de su libro. –Vuestro trabajo me parece fantástico, Leonardo –dijo el fraile ordenando los dibujos geométricos. –Gracias, padre Pacioli –respondió Da Vinci e hizo una leve inclinación–. Vuestra obra, La divina proporción, lo merecía. –Acerté al encargaros las ilustraciones del libro, pues sabía que el tema de las proporciones os apasionaría desde el momento en que me enseñasteis el boceto del Hombre de Vitruvio –remarcó Pacioli. –Las proporciones humanas que Vitruvio recoge en su tratado se ajustan a los cánones de belleza del arte actual –explicó Da Vinci–. ¿Sabéis que la distancia del codo al extremo de la mano es un quinto de la altura de un hombre, que la distancia del codo a la axila es un octavo o que la longitud de la mano es un décimo?

1. Aunque Leonardo da Vinci es más conocido por su pintura, su contribución a las matemáticas también es importante. Averigua alguna de sus aportaciones.

5 7

Para leer fracciones se lee primero el número del numerador y, después, se expresa el denominador como se indica en la siguiente tabla:

Entre la proporción divina y la humana

DESCUBRE LA HISTORIA...

F

F

Lectura inicial: Muestra la importancia de lo que vas a estudiar a través de episodios relacionados con la historia de las Matemáticas. Se proponen actividades que te invitan a investigar sobre el personaje de la lectura y la importancia de sus aportaciones.

EVALUACIÓN INICIAL PLAN DE TRABAJO

1 Indica cómo se leen las siguientes fracciones.

a)

9 4

c)

3 2



e)

12 8

b)

5 13

d)

1 5



f)

11 15

2 Escribe cómo se lee.

a) Una fracción con numerador 3 y denominador 5. b) Una fracción con numerador 2 y denominador 7. c) Una fracción con denominador 9 y numerador 4. d) Una fracción con denominador 6 y numerador 17.

3. Investiga sobre las aportaciones a las matemáticas de Luca Pacioli y su relación con las fracciones.

1. Escribe en forma de fracción. a) Siete novenos. b) Dos décimos.

c) Diez doceavos. d) Trece sextos.

En esta unidad aprenderás a… • Manejar las distintas interpretaciones de una fracción. • Identificar y hallar fracciones equivalentes a una fracción dada. • Comparar y ordenar fracciones. • Realizar operaciones con fracciones.

41

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Páginas de contenidos: En ellas 2

4

Triángulos

Según sean sus lados y sus ángulos, los triángulos se clasifican en: Equilátero: tiene los tres lados y los tres ángulos iguales.

Isósceles: tiene dos lados y dos ángulos iguales. C

C b

a

A

B

c

a=b=c AT = BU = CU

Acutángulo: tiene los tres ángulos agudos.

RECUERDA La medida de un ángulo se expresa en grados y se mide con el transportador. V = 70° A

Escaleno: tiene los tres lados y los tres ángulos desiguales.

b A

B

a=b AT = BU

b

c

b B

A

B

c

Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso.

a

A

B

C

a es la hipotenusa, b y c son los catetos.

A

B

c

5

Sabiendo que, en un triángulo rectángulo, los catetos miden

6

a2 = 32 + 42 " a2 = 9 + 16 = 25 " a = 25 " a = 5 cm En un triángulo rectángulo, un cateto mide 6 cm y la hipotenusa 10 cm.

3 y 4 cm, respectivamente, ¿cuánto mide la hipotenusa?

G

x + 2 = 7 " x = 7 - 2 = 5

Aplicando el teorema de Pitágoras:

Pasa restando

2x = 10 " x =

G

10 =5 2

¿Cuánto mide el otro cateto?

Pasa dividiendo

b

c a

G

b2 = a2 - c2 c2 = a2 - b2

" b = a2 - c2 " c = a2 - b2

El otro cateto mide 8 cm. 7

EJEMPLO

Comprueba si un triángulo cuyos lados miden 6, 9 y 11 cm, respectivamente, puede ser un triángulo rectángulo.

Si es un triángulo rectángulo, se debe cumplir el teorema de Pitágoras:

35° V C

112 = 121 2 62 + 92 = 117

45°

" 112 ! 62 + 92 " No se cumple el teorema de Pitágoras.

Al final de cada página se proponen ejercicios que debes saber resolver a partir de los contenidos aprendidos.

No existe un triángulo rectángulo cuyos lados midan 6, 9 y 11 cm.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER

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Conociendo la medida de un cateto y la hipotenusa, podemos hallar el otro cateto:

a = 10, b = 6

a2 = b2 + c2 ----" 102 = 62 + c2 " 102 - 62 = c2 " c2 = 64 " c = 64 = 8 cm Pasa restando

3 Calcula el ángulo que falta.

158

DATE CUENTA

Supongamos que el cateto conocido es b:

Dado un triángulo & ABC, siempre se cumple que: • La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a 180°.

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En la mayoría de las páginas se incluye la sección ANTES DEBES SABER… donde se repasan contenidos o procedimientos que debes conocer al enfrentarte a los nuevos contenidos. Esta sección también se refuerza con ejemplos resueltos.

4 = 2, porque 22 = 4 62 = 36, entonces 36 = 6

EJEMPLOS

Cómo se despeja en una ecuación

V+C V = 180° AU + B V = 180° 35° + 45° + C V = 180° - 80° = 100° C

B

La raíz cuadrada de un número es otro número que elevado al cuadrado es igual al primero.

ANTES, DEBES SABER…

• Si un término está multiplicando en un miembro, pasa dividiendo al otro. Y si está dividiendo, pasa multiplicando.

según sus lados y sus ángulos.

c

El triángulo rectángulo es el único triángulo que cumple el teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a2 = b2 + c2

Relaciones entre los lados y los ángulos

• Si un término está sumando en un miembro, pasa restando al otro. Y si está restando, pasa sumando.

2 Clasifica este triángulo

a

b

Qué es la raíz cuadrada de un número

a

b

c

Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto (90°). Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el lado mayor, hipotenusa.

ANTES, DEBES SABER…

C

C a

a

A

Rectángulo: tiene un ángulo recto.

C b A

C a

c

encontrarás los contenidos y procedimientos básicos apoyados en gran cantidad de ejemplos resueltos.

Teorema de Pitágoras

3 Calcula el ángulo que falta.

110° V C

30°

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 17 En un triángulo rectángulo, los catetos

miden 5 y 12 cm, respectivamente. ¿Cuánto medirá la hipotenusa?

18 En este triángulo

rectángulo, ¿cuánto mide el otro cateto?

7 cm

25 cm

159

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Lo esencial: Esta doble página

Lo esencial

es de resumen y autoevaluación.

COMPRENDE ESTAS PALABRAS Sistema de numeración decimal

División

Dividendo 

F

Resto 

F

D. millar U. millar Centena Decena Unidad 1

4

2

100

40

2

25    3   1     8

F

  Divisor

F

  Cociente

a) 75 ? (72)3

Base Exponente

5 veces

8

X = 10  L = 50  M = 1 000

Multiplicación 34   ?   2   =   68  

 Factores 

2

5

b) 4 : (4 ? 4 ) PRIMERO. Resolvemos las operaciones que hay entre paréntesis.

Raíz cuadrada Símbolo  de raíz 

Producto

9 = 3, porque 32 = 9 F

9 =3

F

a)  75 ? (72)3 = 75 ? 72?3 = 75 ? 76 b)  48 : (42 ? 45) = 48 : 42+5 = 48 : 47

  Raíz

F

V = 5  D = 500 

Es el vocabulario matemático trabajado en esa unidad.

Expresa mediante una sola potencia las siguientes operaciones entre potencias.

Sistema de numeración romano   I = 1   C = 100 

COMPRENDE ESTAS PALABRAS.

2. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS CON POTENCIAS

145 = 14 ? 14 ? 14 ? 14 ? 14 1 4 4 44 2 4 4 44 3

Potencia

F

5 5 000

F

3 30 000

SEGUNDO. Se realizan las multiplicaciones y divisiones de potencias en el orden en que aparecen, 

HAZLO DE ESTA MANERA. Son los

de izquierda a derecha.

Radicando

a)  75 ? 76 = 75+6 = 711 b)  48 : 47 = 48-7 = 41 = 4

1. LEER NÚMEROS ROMANOS

  C   X   C   V  I

SEGUNDO.

si un número es mayor que su número  anterior, le restamos a este número el anterior.

•  Si las bases son iguales, sumamos   o restamos los exponentes. a)  67 ? 65 = 67+5 = 612 b)  67 : 65 = 67-5 = 62

a)  X   X   V  I   I 10 10 5 1 1

b) 

I

 

V

  C   X   C   V  I

1 ? 1 000 5 ? 1 000 100 10 100 5 1

144424443 5 000 - 1 000

14243

100 - 10

TERCERO. Sumamos los números resultantes.

a)  X   X   V  I   I   "  10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 27 10 10 5 1 1

b) 

I

 

V

  C   X   C   V  I

1 ? 1 000 5 ? 1 000 100 10 100 5 1

144424443 4 000

14243 90

4 000 + 100 + 90 + 5 + 1 = 4 196

F

F

V

    = 1 000     :  5 -  

1 

F

 

SEGUNDO. Examinamos los números, 

F

I

1 ? 1 000 5 ? 1 000 100 10 100 5 1

  

F

10 10 5 1 1

b) 

PRIMERO. Estudiamos si son iguales las bases 

10    :  5 - 10  :        10 =

F

a)  X   X   V  I   I  

= 100 ? 

o los exponentes de las potencias. a) y b)  67 y 65 "  La base de las dos potencias  es la misma, 6. c) y d)  67 y 27 "  Las bases son distintas, pero  los exponentes iguales, 7. e) y f)  67 y 25 "  No son iguales las bases  ni los exponentes.

procedimientos básicos de la unidad. Cada procedimiento se introduce mediante la resolución de una actividad en la que se muestra, paso a paso, un método general de resolución.

PRIMERO. Resolvemos los paréntesis.

100 ? (36 - 26) : 5 - 10 : (16 - 6) =

Expresa, si se puede, con una sola potencia. c) 67 ? 27 e) 67 ? 25 a) 67 ? 65 b) 67 : 65 d) 67 : 27 f) 67 : 25

F

su equivalencia en el sistema numérico  decimal, teniendo en cuenta que cada letra  en la que aparece una rayita encima,  se multiplica por 1 000.

Resuelve:

O COCIENTE DE POTENCIAS

F

PRIMERO. Transformamos cada letra en 

2. CALCULAR UN PRODUCTO

F

Escribe en el sistema numérico decimal los siguientes números romanos. a) XXVII b) IVCXCVI

4. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS

F

HAZLO DE ESTA MANERA

SEGUNDO. Efectuamos las multiplicaciones 

y divisiones en el orden en el que aparecen. =

1 = 199

= 200  - 

TERCERO. Resolvemos las sumas y restas.

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras

Calcular un producto o cociente de potencias

1.  Escribe un número de cuatro cifras que tenga  las mismas unidades de millar que decenas  y una unidad más que centenas.

6. Expresa, si se puede, con una sola potencia. a)  85 : 45  b)  74 ? 73 

c)  146 ? 23  d)  214 ? 24 

e)  183 : 36 f)  12311 : 1235

2.  Completa las expresiones para que sean  ciertas. b)  3 ? 4 = 42 a)  8 ? 4 = 88 

Realizar operaciones combinadas con potencias

•  Si las bases no son iguales, pero los  exponentes sí, multiplicamos o dividimos  las bases. c)  67 ? 27 = (6 ? 2)7 = 127 d)  67 : 27 = (6 : 2)7 = 37

3.  En una división, el dividendo es 1 436, el divisor  es 27 y el cociente es 53. Calcula el resto.

2.  Expresa mediante una sola potencia  las siguientes operaciones entre potencias.

•  Si no son iguales las bases ni  los exponentes, no se puede expresar  como una sola potencia. e)  67 ? 25 = 67 ? 25 f)  67 : 25 = 67 : 25

Leer números romanos

a)  (35)2 : (36 : 34) 

4.  Expresa en forma de potencia, si se puede. a)  17 ? 17 ? 17 ? 17 ? 17 

b)  13 ? 13 ? 13 ? 12

que te permitirán comprobar si dominas los contenidos esenciales de esa unidad.

10. Resuelve estas operaciones. a)  7 ? (8 - 3) : 5 + 12 b)  27 : (9 - 6) - 3 ? 4 : 6

1.  Transforma estos números romanos en  números del sistema decimal. a)  CXXVI 

Y AHORA… PRACTICA. Son actividades

b)  (98 ? 93 : 95) ? 9 : (92)3

Realizar operaciones combinadas

b)  CMLIX 

c)  (12 ? 2 - 18) ? 3 : 6 + (8 - 4) : 2 - 1

c)  IIICDLXXIV

18

19

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Actividades de la unidad: Ejercicios y problemas organizados por contenidos. Todos los enunciados van precedidos por un icono que indica su grado de dificultad.

Actividades 49. ● Representa en la recta numérica los números 9,3; 12,12 y 4,133.

NÚMEROS DECIMALES 43. ● Descompón en unidades los siguientes números decimales. Parte entera C

D

U

Parte decimal d

c

m

que puedes tomar como modelo para afianzar procedimientos trabajados en la unidad.

a) b)

43,897

3

4

9,71

9,72

8. ● Indica qué números están representados en estas rectas.

44. ● Escribe cómo se lee cada número. a) 6,125 b) 1,014 c) 34,046 d) 0,019 45. ● Completa. a) En 3 unidades hay 4 décimas. b) En 12 decenas hay 4 centésimas. c) En 5 unidades hay 4 milésimas. d) En 8 decenas hay 4 diezmilésimas. 46. ● Escribe los números decimales que correspondan en cada caso. a) 2 C 7 D 9 U 3 d b) 1 D 2 U 4 m c) 7 U 4 c d) 8 C 9 U 6 d

b)

6,2

6,3

9,83

9,84

51. ● Completa con el signo < o >, según corresponda. a) 0,231 4 0,235 b) 0,710 4 0,83

c) 3,87 4 3,85 d) 5,12 4 3,12

a) 3,9; 3,899; 3,099; 3,901; 3,90001; 3,91 b) 7,999; 8,01; 7,898; 8,101; 8,2 c) 2,7; 2,703; 2,73; 2,7029; 2,70199

d) 4,065 e) 8,004 f) 65,903

10. ● Copia y completa con números para que las desigualdades sean ciertas. a) 6,145 < 6,11 b) 0,734 < 0,736 c) 0,407 < 0,45

a) Nueve décimas. b) Cuatro unidades quince centésimas. c) Nueve unidades ciento ocho milésimas. d) Dos unidades mil diezmilésimas. 48. ● Escribe los números que sean una centésima menor.

301279_Unidad_04.indd 70-71

301279 _ 0001-0005.indd 5

a) 7,45 + 9,03 b) 0,834 + 12,8

c) 8,002 + 12,4 d) 7 + 9,902

c) 0,01 d) 5,98

a) 32,35 - 0,89 b) 81,002 - 45,09

c) 87,65 - 9,47 d) 4 - 2,956

57. ● Efectúa las operaciones. a) 4,53 + 0,089 + 3,4 b) 7,8 + 0,067 + 2,09 + 0,7 c) 123 + 23,09 - 45,7 - 0,28 d) 78,098 - 43,68 - 0,008 13. ● Efectúa las siguientes operaciones. a) 0,974 + 125,86 b) 29 - 3,756

c) 82,46 + 99,6 - 70,07 d) 103,5 - 89,98 + 23,378

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA EL TÉRMINO DESCONOCIDO EN UNA SUMA O UNA RESTA DE NÚMEROS DECIMALES? 14. Halla el término que falta para que el resultado sea correcto. a) 12,99 + 4 = 98,3 b) 7,45 - 4 = 3,99 c) 4 - 7,774 = 987,9 PRIMERO. Se identifica el término desconocido.

a) Es uno de los sumandos de una suma. b) Es el sustraendo de una resta. c) Es el minuendo de una resta. SEGUNDO. Si el término es:

47. ● Escribe con cifras.

a) 0,99 b) 1,4

12. ● Suma estos números decimales.

52. ● Ordena, de menor a mayor: 5,23; 5,203; 5,233; 5,2.

9. ● Ordena de menor a mayor.

7. ● Realiza la descomposición en unidades de los siguientes números decimales. a) 9,23 b) 12,856 c) 3,892

a)

53. ● Ordena, de mayor a menor: 9,05; 9,45; 9,53; 9,07.

e) 7 UM 6 D 7 c f) 4 CM 7 U 8 d 3 m

70

OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

56. ● Calcula.

135,903 29,876

HAZLO ASÍ. Son ejercicios resueltos

50. ● ¿Qué número está representado en cada caso?

e) 4,9 f) 1,099

11. ●● Halla todos los números decimales que cumplen la condición que se indica en cada caso. Después, ordénalos de mayor a menor. a) 8, La suma de estas dos cifras es 9. b) 0, El producto de estas dos cifras es 24.

• Un sumando, se obtiene restando al resultado el otro sumando. • El sustraendo, se obtiene restando al minuendo el resultado. • El minuendo, se obtiene sumando al resultado el sustraendo. a) 4 = 98,3 - 12,99 = 85,31 b) 4 = 7,45 - 3,99 = 3,46 c) 4 = 987,9 + 7,774 = 995,674

15. ● ● Determina el término que falta en cada operación. Explica cómo lo haces. a) 39,25 + 4 = 125,86 b) 17,129 - 4 = 7,464 c) 99,542 - 4 = 66,413 d) 4 - 303,987 = 259,137 e) 4 - 25,06 = 427,07 f) 4 + 33,98 = 59,01 58. ● ● Completa. a) 3,313 + 4 = 6,348 b) 4 + 1,47 = 5,8921 c) 4,56 - 4 = 0,936 d) 4 - 2,431 = 1,003 59. ● ● Resuelve. a) Suma 4 centésimas a 4,157. b) Resta 3 décimas a 1,892. c) Suma 7 milésimas a 5,794. d) Resta 23 centésimas a 3,299. e) Suma 3 milésimas a 1,777. 16. ● ● Efectúa estas operaciones. a) Suma 8 décimas y 7 centésimas a 56,07. b) Suma 3 unidades y 6 milésimas a 24,36. c) Resta 8 unidades y 5 décimas a 76,008. d) Resta 3 décimas y 8 milésimas a 0,892. e) Suma 5 decenas y 4 décimas a 25,456. f) Resta 6 decenas y 5 décimas a 82. 60. ● Calcula. a) 3,45 ? 0,018 b) 8,956 ? 14 c) 3,4 ? 0,92 d) 123,4 ? 76 e) 0,35 ? 10 f) 1,4 ? 100

g) 0,045 ? 1 000 h) 0,65 ? 10 000 i) 3,78 ? 0,1 j) 794,2 ? 0,01 k) 24,85 ? 0,001 l) 56 ? 0,0001

61. ● Resuelve. a) 5 : 0,06 b) 8 : 1,125 c) 17,93 : 7 d) 7 : 25 e) 7,24 : 1,1 f) 8,37 : 4,203

g) 30 : 10 h) 636 : 100 i) 1 296 : 10 000 j) 55,2 : 0,1 k) 202,2 : 0,01 l) 138,24 : 0,0001

71

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08/07/11 19:54

1

Números naturales El profeta de los números Ramanujan se levantó, dio tres pasos que le colocaron en el centro del despacho de Hardy, en el Trinity College de Cambridge, y continuó el relato de su viaje. En un alarde de equilibrio, el barco, un vapor que hace la ruta entre la India e Inglaterra, continuaba su camino sobre una imaginaria línea recta que el temporal parecía querer quebrar. Yo pasé la tormenta en el camarote, petrificado, sin poder hacer otro movimiento que los provocados por el vaivén del barco, apretando contra mi pecho el cuaderno de los descubrimientos mientras pensaba que, tal vez, todo se perdería en el fondo del mar.

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Busca información sobre los personajes que aparecen en el texto: Harold Hardy y Srinivasa Ramanujan. 2. ¿A qué episodio de la vida de estos dos personajes crees que corresponde el relato? ¿A qué viaje se refiere el joven Ramanujan? 3. Investiga sobre las aportaciones de Srinivasa Ramanujan al estudio de los números naturales.

301279 _ 0006-0023.indd 6

La noche avanzaba y el sueño se fue apoderando de mi consciencia, al despertar las nubes habían dejado paso al sol y los negros presagios de mi mente habían sido sustituidos por estas revelaciones. En ese momento, el joven indio le enseñó dos páginas del ajado cuaderno a su interlocutor. El relato del viaje es apasionante pero no se puede comparar con estos sorprendentes resultados, si una inspiración divina te los ha revelado, en verdad se puede decir que eres «el profeta de los números».

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Antes de empezar la unidad... OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES Suma

5  8  0  6 1 2  4  7  9  8  2  8  5  

F F F

Resta  Sumando  Sumando  Suma o total

9  4  2  3 2 7  5  6  1  1  8  6  2  

Multiplicación

2  4  5  7 3 6  0  3    7  3  7  1 .1  4  7  4  2  0  1  4  8  1  5  7  1  

F F

F F

 Minuendo  Sustraendo  Diferencia

División  Factor  Factor

Dividendo

4  6  9  5  7  4 3  Divisor    3  9  5    1 0 9 2  Cociente      0  8  7 Resto        0  1 F

F

F

F

F

 Producto

Propiedad conmutativa de la suma

El orden de los sumandos no altera la suma. 43 + 28 = 28 + 43 = 71

F

Sumandos

Para restar números naturales, el minuendo tiene que ser mayor que el sustraendo.

Suma

Propiedad asociativa de la suma

El orden en el que agrupamos los sumandos no altera la suma.

Sumandos

(  21 + 37 ) + 42 = 21 + (37 + 42) 58 + 42 = 21 + 79 100 = 100

EVALUACIÓN INICIAL

PLAN DE TRABAJO

1 Realiza las siguientes operaciones.

a) 759 + 3 824 b) 8 329 + 4 516 + 738 c) 4 261 - 569 d) 20 347 - 865 e) 316 ? 273

f) 782 ? 450 g) 695 ? 908 h) 5 928 : 38 i) 22 863 : 56 j) 64 456 : 179

En esta unidad aprenderás a… •  Escribir números romanos en el sistema de numeración decimal.

2 Aplica la propiedad conmutativa y opera: 25 + 53

•  Calcular potencias de números naturales.

3 Aplica la propiedad asociativa y opera: (11 + 38) + 41

•  Realizar operaciones con potencias.

4 Calcula el término que falta.

a) 62 734 + X = 68 251 b) X - 5 397 = 8 406

c) 584 ? X = 179 288 d) X : 143 = 572

•  Realizar operaciones combinadas con números naturales.

7

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1

Números naturales. Sistemas de numeración

Los números naturales surgieron debido a la necesidad que siente el ser humano de contar lo que le rodea. EJEMPLO 1

¿Cuántos días hay desde el 8 de septiembre hasta el 27 de septiembre? SEPTIEMBRE L     M     M i     J     V     S     D

Del 8 al 27 de septiembre hay 19 días.

El conjunto de los números naturales es ilimitado, es decir, no tiene fin, porque dado un número cualquiera, siempre es posible obtener el siguiente sumándole una unidad a ese número. Para escribir números naturales se utilizan los sistemas de numeración.

1.1  Sistema de numeración decimal

Para expresar números naturales solemos utilizar el sistema de numeración decimal.

En el sistema de numeración decimal se utilizan diez cifras distintas para representar una cantidad: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. ANTES, DEBES SABER… Cuáles son los órdenes de unidades del sistema de numeración decimal y sus equivalencias Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad de millón de millón de millón de millar de millar de millar

En el sistema de numeración decimal cada 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior. 1 D = 10 U 1 C = 10 D = 100 U 1 UM = 10 C = 1 000 U 1 DM = 10 UM = 10 000 U 1 CM = 10 DM = 100 000 U 1 U. de millón = 10 CM = 1 000 000 U 1 D. de millón = 10 U. de millón = 10 000 000 U 1 C. de millón = 10 D. de millón = 100 000 000 U

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Contesta.

a) ¿Cuántas decenas hay en 1 unidad de millar? b) ¿Cuántas centenas hay en 1 decena de millar? c) ¿Cuántas centenas hay en 1 unidad de millón?

2 Copia y completa estas igualdades.

a) 3 UM = X C b) 8 CM = X D c) 3 U. de millón = X DM

d) 7 DM = X C e) 6 UM = X D f) 5 C = X D

8

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ANTES, DEBES SABER… Cómo se descompone un número en sus órdenes de unidades En el sistema de numeración decimal, a cada cifra de un número le corresponde un orden de unidades. EJEMPLO 1 Descompón estos números en sus órdenes de unidades.

a) 14 = 1 D + 4 U b) 256 = 2 C + 5 D + 6 U c) 1 807 = 1 UM + 8 C + 7 U d) 103 410 = 1 CM + 3 UM + 4 C +1 D e) 3 020 070 = 3 U. de millón + 2 DM + 7 D f) 906 025 000 = 9 C. de millón + 6 U. de millón + 2 DM + 5 UM

El sistema de numeración decimal es posicional, es decir, el valor de cada cifra depende del lugar o posición que ocupa en el número. EJEMPLO 2 Calcula el valor posicional de las cifras del número 129 098 105. Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad de millón de millón de millón de millar de millar de millar 1

2

9

0

9

8

1

0

El valor de cada cifra depende de su posición en el número.

5

129 098 105 F F F F F F F F F

5 Unidades 0 Decenas 1 Centena = 100 unidades 8 Unidades de millar = 8 000 unidades 9 Decenas de millar = 90 000 unidades 0 Centenas de millar 9 Unidades de millón = 9 000 000 unidades 2 Decenas de millón = 20 000 000 unidades 1 Centena de millón = 100 000 000 unidades

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 3 Indica cómo se leen los números representados

en estos ábaco. b)

a)

1 Señala el valor de la cifra 5 en estos números.

a) 15 890 900   b)  509 123 780   c)  163 145 900 2 Escribe tres números que tengan 4 unidades

de millar, 7 decenas y 4 unidades. 4 Escribe cinco números cuya cifra de las centenas DM UM

C

D

U

DM UM

C

D

U

de millón sea 7 y otros cinco cuya cifra de las centenas de millar sea 9.

9

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1.2  Sistema de numeración romano Aunque habitualmente para escribir números naturales utilizamos el sistema de numeración decimal, a lo largo de la historia se han empleado otros sistemas de numeración.

Para expresar cantidades mediante el sistema de numeración romano se utilizan siete letras distintas con estos valores: I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1 000 El sistema de numeración romano es aditivo, es decir, cada letra tiene siempre el mismo valor. Reglas para escribir números en el sistema de numeración romano

•  Suma. Una letra escrita a la derecha de otra de igual o mayor valor, le suma a esta su valor. XVI = 10 + 5 + 1 = 16 CLV = 100 + 50 + 5 = 155 •  Repetición. Las letras I, X, C y M se pueden escribir hasta tres veces seguidas. Las demás letras no se pueden repetir. III = 3 XXX = 30 CCC = 300 •  Sustracción. La letra I escrita a la izquierda de V o X, la X a la izquierda de L o C, y la C a la izquierda de D o M, les resta a estas su valor. IV = 5 - 1 = 4

XC = 100 - 10 = 90 CM = 1 000 - 100 = 900

•  Multiplicación. Una raya colocada encima de una letra o grupo de letras multiplica su valor por mil. VI = 6 000 VI = 5 001 XL = 40 000 EJEMPLOS 3 Expresa estos números romanos en el sistema decimal.

a) LXV  "  50 + 10 + 5 = 65 b) XXI  "  10 + 10 + 1 = 21 c) CCVII  "  100 + 100 + 5 + 1 + 1 = 207 d) MDIII  "  1 000 + 500 + 1 + 1 + 1 = 1 503 e) IX  "  10 - 1 = 9 f) XLVII  "  50 - 10 + 5 + 1 + 1 = 47 g) VCCCXL  "  5 ? 1 000 + 100 + 100 + 100 + 50 - 10 = 5 340 3

Expresa las siguientes cantidades como números romanos: 14 = XIV 895 = DCCCXCV

94 = XCIV 2 011 = MMXI

119 = CXIX 9 141 = IXCXLI

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 Traduce al sistema de numeración decimal:

a) XCII b) DCCXL c) VIIIIX

d) CDXXIII e) CMXXI f) XXIX

g) MMMCCVI h) DCCIX i) LXIX

6 Escribe en números romanos.

a) 194 b) 426 c) 2 046

d) 12 311 e) 3 f) 14

g) 265 h) 1 569 i) 2 427

10

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2

Multiplicación de números naturales

La multiplicación es la expresión abreviada de una suma de varios sumandos iguales. Los términos de la multiplicación se denominan factores. El resultado final se llama producto.

12 · 7 = 12 x 7

EJEMPLOS 4

El producto de dos números se indica por un punto (·), aunque también se puede representar por el signo x.

Expresa como un producto. a) 3 + 3 + 3 + 3 = 3 ? 4 = 12              b)  12 + 12 = 12 ? 2 = 24

5

Colocamos en una báscula 5 sacos de patatas que pesan 75 kg cada uno. ¿Qué peso marcará la báscula?

75 + 75 + 75 + 75 + 75 = 75 ?  5  =  375 . La báscula marcará 375 kg.

Factores Producto

La multiplicación cumple las siguientes propiedades:

•  Conmutativa. El orden de los factores no altera el producto. 5 ? 7 = 7 ? 5 35 = 35



•  Asociativa. El orden en el que agrupamos los factores no altera el producto. (4 ? 7) ? 5 = 4 ? (7 ? 5) 28 ? 5 = 4 ? 35 140 = 140



•  Elemento neutro o unidad. Es el 1, ya que cualquier número multiplicado por 1 es igual al mismo número. 13 ? 1 = 13



•  Distributiva. El producto de un número por una suma o resta es igual a la suma o resta de los productos del número por cada término. 3 ? (2 + 5) = 3 ? 2 + 3 ? 5 4 ? (8 - 3) = 4 ? 8 - 4 ? 3 3 ? 7 = 6 + 15 4 ? 5 = 32 - 12 21 = 21 20 = 20

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 9 Expresa como un producto.

a) 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 b) 11 + 11 + 11 + 11 + 11

11 Mario ha comprado 5 cajas de pinturas.

Si en cada caja hay 18 pinturas, ¿cuántas pinturas tiene en total?

c) 13 + 13 + 13 10 Aplica la propiedad distributiva.

a) 7 ? (4 + 10)

b) 18 ? (7 - 2)

5 Una docena de huevos son 12 huevos.

¿Cuántos huevos hay en 2 docenas de huevos? ¿Y en 8 docenas de huevos? ¿Y en 32 docenas?

11

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3 En una división, el resto siempre tiene que ser menor que el divisor.

División de números naturales

Dividir es repartir una cantidad en partes iguales. Los términos de la división se llaman dividendo, divisor, cociente y resto. EJEMPLO 6

Un padre quiere repartir 630 € entre sus tres hijos en partes iguales. ¿Qué cantidad recibirá cada uno? 630   3 03    210    000

  Cada hijo recibirá 210 €.

F

•  Cuando el resto es cero, la división es exacta. Dividendo  Divisor D    d  Cociente Resto 0    c F

F

F

F

•  Si el resto no es cero, la división es no exacta. Dividendo D    d  Divisor  Cociente Resto r     c F

F

F

F

En ambos casos se cumple que: Dividendo = divisor ? cociente + resto A esta igualdad se le llama prueba de la división. EJEMPLO 7

Se quieren repartir 43 caramelos entre 14 niños. ¿Cuántos caramelos recibirá cada niño? ¿Sobra alguno? 43   14 01   3   

  Cada niño recibirá 3 caramelos y sobra 1 caramelo.

F

Para comprobar que la división es correcta, primero vemos que el resto es menor que el divisor, 1 < 14, y después realizamos la prueba de la división: D = d ? c + r  " 43 = 14 ? 3 + 1 43 = 42 + 1 43 = 43 Esto significa que hemos realizado bien la división.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 13 Halla el cociente y el resto de la división

6 712 : 23. Haz la prueba. 6 Determina cuáles de estas divisiones son

exactas y calcula el cociente de cada una de ellas. a) 1 416 : 18 c) 3 182 : 37 e) 8 205 : 13 b) 2 470 : 26 d) 1 445 : 85 f) 4 002 : 22

7 Un barco lleva 56 contenedores en los que

se ha metido el mismo peso en cada uno. Si el peso de la carga total es 85 288 kg, ¿cuál es el peso de cada contenedor? 14 Calcula el dividendo de una división exacta

si el cociente es 13 y el divisor es 6.

12

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Potencias de números naturales

n veces

a es la base, el factor que se repite. n es el exponente, el número de veces que se repite la base.

base

34

F

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales: an = a ? a ? a ? … ? a 1 4 44 2 4 44 3

F

4

exponente

2 ? 2 = 22 "  Se lee «2 elevado a 2» o «2 al cuadrado». 3 4?4?4=4 "  Se lee «4 elevado a 3» o «4 al cubo». 4 3 ? 3 ? 3 ? 3 = 3 "  Se lee «3 elevado a 4» o «3 a la cuarta». EJEMPLOS 8

Escribe en forma de potencia las siguientes multiplicaciones: Multiplicación

Potencia 5

5?5?5?5?5?5

«5 elevado a 6» o «5 a la sexta»

3

14

14 ? 14 ? 14 9

Se lee

6

«14 elevado a 3» o «14 al cubo»

Halla el valor de estas potencias. a) 23 = 2 ? 2 ? 2 = 8    b)  92 = 9 ? 9 = 81    c)  34 = 3 ? 3 ? 3 ? 3 = 81 Y \ 1 44 2 44 3 F

3 veces

F

2 veces

F

4 veces

Potencias de base 10 Una potencia de base 10 y exponente un número natural es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indique su exponente. CALCULADORA

EJEMPLO

Para hallar potencias con la calculadora utilizamos la tecla x  y    .

10 Halla el valor de las siguientes potencias de base 10.

a) 103 = 10 ? 10 ? 10 = 1 000     b)  105 = 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10 = 100 000 \ X 1 4444 2 4444 3 1 44 2 44 3 3 veces

5 veces

3 ceros

5 ceros

56 " 5   x  y   6   =  15625 212 " 2   x  y  12 =  4096

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 16 Escribe y calcula.

18 Escribe en forma de potencia y calcula su valor.

a) Siete al cubo.

c) Diez a la cuarta.

b) Cuatro a la quinta.

d) Diez a la octava.

17 Indica la base y el exponente de estas

potencias. Escribe cómo se leen. 6

2

4

5

a) 3       b)  10       c)  5       d)  4

a) 10 ? 10 ? 10

b) 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6

8 Escribe como producto estas potencias

y calcula su valor. c) 85 a) 74 3 b) 5 d) 58

e) 26 f) 62

13

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Operaciones con potencias

5

Las potencias cumplen una serie de propiedades, independientemente de cuál sea el valor de la base y del exponente. ANTES, DEBES SABER… Cómo se expresa un número como una potencia con exponente 1 Cualquier número es igual a una potencia con base ese número y exponente 1. 2 = 21    5 = 51    16 = 161

5.1  Producto de potencias de la misma base Para que se puedan aplicar las propiedades del producto y el cociente, las potencias han de tener la misma base.

Para multiplicar dos o más potencias de la misma base, se mantiene la misma base y se suman los exponentes. am ? an = am+n

5  • 7 " No se puede expresar como una sola potencia. 3

4

EJEMPLO 4 Escribe estos productos de potencias como una sola potencia.

a) 25 ? 23 = 25+3 = 28 b) 57 ? 52 = 57+2 = 59 c) 43 ? 4 = 43+1 = 44

d) 25 ? 23 ? 26 = 25+3+6 = 214 e) 57 ? 52 ? 5 = 57+2+1 = 510 f) 43 ? 4 ? 4 = 43+1+1 = 45

5.2  Cociente de potencias de la misma base Para dividir dos potencias con la misma base, se mantiene la misma base y se restan los exponentes. am  : an = am-n EJEMPLO 5 Escribe estos cocientes de potencias como una sola potencia.

a) 25 : 23 = 25-3 = 22 b) 57 : 52 = 57-2 = 55 c) 43 : 4 = 43-1 = 42

d) 29 : 23 = 29-3 = 26 e) 67 : 63 = 67-3 = 64 f) 45 : 42 = 45-2 = 43

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 20 Escribe como una sola potencia. 4

5

3

5

24 Halla el resultado de estos cocientes

de potencias.

4

a) 7 ? 7

c) 9 ? 9 ? 9

b) 53 ? 53

d) 42 ? 43 ? 44

21 Halla el valor de estos productos

de potencias. 4

5

a) 10 ? 10

a) 78 : 75

c) 97 : 95

b) 206 : 204

d) 127 : 125

26 Calcula. 3

2

b) 10 ? 10 ? 10

a) (34 : 32) ? 33

b) (56 ? 52) : 54

14

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5.3  Potencias de exponente 1 y 0 •  Una potencia de exponente 1 es igual a la base " a1 = a. •  Una potencia de exponente 0 es igual a 1 " a0 = 1. EJEMPLO 6 Calcula estas potencias.

a) 20 = 1 b) 21 = 2

c) 70 = 1 d) 71 = 7

e) 240 = 1 f) 241 = 24

5.4  Potencia de una potencia Para elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes. (am)n = am?n EJEMPLO 7 Calcula estas potencias.

a) (23)4 = 23?4 = 212

b) (54)6 = 54?6 = 524

5.5  Potencia de una multiplicación y una división •  La potencia de una multiplicación es igual al producto de las potencias de sus factores. (a ? b)n = an ? bn •  La potencia de una división es igual al cociente de las potencias del dividendo y el divisor. (a : b)n = an : bn

Utilizando esta propiedad en sentido inverso se pueden simplificar los cálculos. 54 · 24 = (5 · 2)4 = 104 63 : 23 = (6 : 2)3 = 33

EJEMPLO 8 Escribe estos cocientes de potencias como una sola potencia.

a) (4 ? 2)3 = 43 ? 23 = 64 ? 8 = 512 b) (10 : 5)3 = 103 : 53 = 1 000 : 125 = 8

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 30 Expresa como producto o cociente de potencias.

25 Calcula el valor de las potencias.

a) 151

a) (3 ? 2)4 ? (3 ? 2)5

b) 140

28 Calcula. 4 3

a) (2 ) b)  (63)5

b) (14 ? 5)7 : (14 ? 5)4

9 Calcula el valor de estas potencias. 5

c) (14 ? 16) d) (216 : 24)3

a) (74)2 ? 73 b) (53)7 : 58

c) (2 ? 6)7 ? 123 d) (6 ? 3)9 : 185

15

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Raíces cuadradas

6

6.1  Raíz cuadrada exacta

Para hallar una raíz cuadrada con la calculadora utilizamos la tecla   . 361

" 361

1296 " 1 296



19



36

La raíz cuadrada exacta de un número a es otro número b tal que, al elevarlo al cuadrado, obtenemos el número a. a = b, cuando b2 = a Llamamos radicando al número a, es el símbolo de la raíz y decimos que b es la raíz cuadrada de a.

Símbolo de raíz

a =b

F

F

Raíz

F

CALCULADORA

Radicando

A los números cuya raíz cuadrada es exacta se les denomina cuadrados perfectos. EJEMPLOS Como 4 = 2 porque 22 = 4, decimos que la raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado.

18 Halla las raíces de los siguientes cuadrados perfectos.

a) 1 = 1  porque  12 = 1

h) 64 = 08  porque   82 = 64

b) 4 = 2  porque  22 = 4

i) 81 = 09  porque   92 = 81

c) 9 = 3  porque  32 = 9

j) 100 = 10  porque  102 = 100

d) 16 = 4  porque  42 = 16

k) 121 = 11  porque  112 = 121

e) 25 = 5  porque  52 = 25

l) 144 = 12  porque  122 = 144

36 = 6  porque  62 = 36

m) 169 = 13  porque  132 = 169

g) 49 = 7  porque  72 = 49

n) 196 = 14  porque  142 = 196

f)

19 El área de un cuadrado es 49 cm2. ¿Cuánto mide el lado?

49 cm2

l

Área = l $ l = l2 4 " l2 = 49 " l = Área = 49 cm2

49 = 7

l

El lado mide 7 cm.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 32 Comprueba si estas raíces cuadradas están

bien resueltas.

de área.

a) 225 = 15

c) 1 000 = 100

b) 255 = 16

d) 40 000 = 200

33

34 Calcula el lado de un cuadrado de 400 cm2

Halla con tu calculadora.

10 Calcula el radicando de estas raíces sabiendo

que son raíces cuadradas exactas. Comprueba que el radicando al cuadrado es igual a la raíz.

a) 289

c) 15 625

a)

d = 3

c)

d = 10

b) 10 000

d) 135 424

b)

d = 7

d)

d = 14

16

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7

Jerarquía de las operaciones

ANTES, DEBES SABER… Cómo se realizan operaciones combinadas de suma y resta • Para calcular una serie de sumas y restas sin paréntesis, se hacen las operaciones en el orden en el que aparecen, de izquierda a derecha. • Para calcular una serie de sumas y restas con paréntesis, se hacen primero las operaciones que hay dentro de los paréntesis. EJEMPLO 9 Resuelve estas operaciones.

F F

F F

= 38

F F

b) (95 - 32) - (39 - 16) - 21 =

a) 15 + 23 - 2 - 12 + 8 =

= 63

- 2 - 12 + 8 = F F

= 36

- 12 + 8 =



23

- F

F

= 40

F

F

F

= 24

- 21 = - 21 =

F

= 19

+8= F F

= 32

Cuando en una expresión aparecen operaciones combinadas, el orden en el que se realizan las operaciones es el siguiente: 1.º Las operaciones que hay entre paréntesis. 2.º Las potencias y las raíces. 3.º Las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha. 4.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha. EJEMPLO 22 Calcula las siguientes expresiones. F

F

F

= 5 ? 7 + 3 ? 2 : 2 = F

F

F

F

= 31 - 2 = = 35 + 6 : 2 = F

F



F

F



F

F

F

F

F

F

= 10 + 21 - 2 =

c) 5 ? (16 - 9) + 3 ? (4 : 2) : 2 = F

a) 10 + 3 ? 7 - 14 : 7 =

= 29 = 35 + 3 = 38

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 11 Resuelve estas operaciones.

a) 17 - 8 - 2 + 6 + 5 - 10 b) 17 - (8 - 2) + 6 + 5 - 10 c) 17 - (8 - 2 + 6) + 5 - 10

41 Calcula.

a) 7 ? 4 - 12 + 3 ? 6 - 2 b) (11 - 7) ? 4 + 2 ? (8 + 2) c) 3 ? (14 + 12 - 20) : 9 + 2

17

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Sistema de numeración decimal

División

Dividendo 

F

Resto 

F

D. millar U. millar Centena Decena Unidad 1

4

2

30 000

5 000

100

40

2

Potencia

  Divisor

F

  Cociente

145 = 14 ? 14 ? 14 ? 14 ? 14 1 4444 2 4444 3 5 veces Base  Exponente F

5

F

F

3

25    3 1     8

Sistema de numeración romano V = 5 D = 500

X = 10 L = 50 M = 1 000

Multiplicación 34   ?   2   =   68 Factores

Raíz cuadrada Símbolo de raíz

Producto

9 = 3, porque 32 = 9 F

9 =3

F

  Raíz

F

I = 1 C = 100

Radicando

HAZLO DE ESTA MANERA

1. LEER NÚMEROS ROMANOS Escribe en el sistema numérico decimal los siguientes números romanos. a) XXVII b) IVCXCVI PRIMERO. Transformamos

cada letra en su equivalencia en el sistema numérico decimal, teniendo en cuenta que cada letra en la que aparece una rayita encima, se multiplica por 1 000. a) X   X   V  I   I 10 10 5 1 1

b)

I

 

V

  C   X   C   V  I

1 ? 1 000 5 ? 1 000 100 10 100 5 1 SEGUNDO. Examinamos

los números, si un número es mayor que su número anterior, le restamos a este número el anterior. a) X   X   V  I   I 10 10 5 1 1

b)

I

 

V

  C   X   C   V  I

1 ? 1 000 5 ? 1 000 100 10 100 5 1

144424443 5 000 - 1 000

TERCERO. Sumamos

14243

100 - 10

los números resultantes.

a) X   X   V  I   I   "  10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 27 10 10 5 1 1

b)

I

 

V

  C   X   C   V  I

1 ? 1 000 5 ? 1 000 100 10 100 5 1

144424443 4 000

14243 90

4 000 + 100 + 90 + 5 + 1 = 4 196

2. CALCULAR UN PRODUCTO

O COCIENTE DE POTENCIAS Expresa, si se puede, con una sola potencia. c) 67 ? 27 e) 67 ? 25 a) 67 ? 65 7 5 7 7 b) 6 : 6 d) 6 : 2 f) 67 : 25 PRIMERO. Estudiamos

si son iguales las bases o los exponentes de las potencias. a) y b) 67 y 65 " La base de las dos potencias es la misma, 6. c) y d) 67 y 27 " Las bases son distintas, pero los exponentes iguales, 7. 7 5 e) y f) 6 y 2 " No son iguales las bases ni los exponentes.

SEGUNDO.

•  Si las bases son iguales, sumamos o restamos los exponentes. a) 67 ? 65 = 67+5 = 612 b) 67 : 65 = 67-5 = 62 •  Si las bases no son iguales, pero los exponentes sí, multiplicamos o dividimos las bases. c) 67 ? 27 = (6 ? 2)7 = 127 d)  67 : 27 = (6 : 2)7 = 37 •  Si no son iguales las bases ni los exponentes, no se puede expresar como una sola potencia. e) 67 ? 25 = 67 ? 25 f) 67 : 25 = 67 : 25

18

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2. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS CON POTENCIAS Expresa mediante una sola potencia las siguientes operaciones entre potencias. a) 75 ? (72)3 b) 48 : (42 ? 45) PRIMERO. Resolvemos 5

2 3

5

2?3

a) 7 ? (7 ) = 7 ? 7

las operaciones que hay entre paréntesis.

= 75 ? 76

b) 48 : (42 ? 45) = 48 : 42+5 = 48 : 47 SEGUNDO. Se

realizan las multiplicaciones y divisiones de potencias en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.

a) 75 ? 76 = 75+6 = 711 b) 48 : 47 = 48-7 = 41 = 4

4. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS 100 ? (36 - 26) : 5 - 10 : (16 - 6) = F

F

= 200 -

10 =

1

F



F

= 1 000    :  5 -

F

F

10    :  5 - 10  :

F

F



F

= 100 ?

F

Resuelve:

PRIMERO. Resolvemos

los paréntesis.

SEGUNDO. Efectuamos

las multiplicaciones y divisiones en el orden en el que aparecen.

=

1 = 199

TERCERO. Resolvemos

las sumas y restas.

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras

Calcular un producto o cociente de potencias

1. Escribe un número de cuatro cifras que tenga las mismas unidades de millar que decenas y una unidad más que centenas.

6. Expresa, si se puede, con una sola potencia. a) 85 : 45 b) 74 ? 73

c) 146 ? 23 d) 214 ? 24

e) 183 : 36 f) 12311 : 1235

2. Completa las expresiones para que sean ciertas. b) 3 ? 4 = 42 a) 8 ? 4 = 88

Realizar operaciones combinadas con potencias

3. En una división, el dividendo es 1 436, el divisor es 27 y el cociente es 53. Calcula el resto.

2. Expresa mediante una sola potencia las siguientes operaciones entre potencias.

4. Expresa en forma de potencia, si se puede. a) 17 ? 17 ? 17 ? 17 ? 17

b) 13 ? 13 ? 13 ? 12

1. Transforma estos números romanos en números del sistema decimal. b) CMLIX

b) (98 ? 93 : 95) ? 9 : (92)3

Realizar operaciones combinadas 10. Resuelve estas operaciones.

Leer números romanos

a) CXXVI

a) (35)2 : (36 : 34)

c) IIICDLXXIV

a) 7 ? (8 - 3) : 5 + 12 b) 27 : (9 - 6) - 3 ? 4 : 6 c) (12 ? 2 - 18) ? 3 : 6 + (8 - 4) : 2 - 1

19

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Actividades SISTEMAS DE NUMERACIÓN 12. ● Señala el valor de la cifra 5 en cada uno de los siguientes números. a) 15 890 900 c) 509 123 780 e) 163 145 900 b) 54 786 008 d) 64 320 510 f) 986 403 005 48. ● Indica el valor posicional que tiene la cifra 1 en estos números. a) 122 578 b) 438 231

c) 1 432 000 d) 32 181 120

e) 1 010 101 f) 3 107 251

49. ●● Indica el valor posicional de todas las cifras de estos números. a) 987 654 c) 887 787 e) 8 080 008 b) 656 565 d) 3 004 005 f) 2 222 222 13. ● Escribe: • Cinco números mayores que 20 000 cuya cifra de las unidades de millar sea 8. • Cinco números menores que 100 000 cuya cifra de las decenas de millar sea 3. • Cinco números mayores que 29 000 y menores que 29 100 con la cifra de las decenas igual a la cifra de las unidades. Ordena los números en cada caso, de menor a mayor, utilizando el signo correspondiente.

OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES 57. ● Aplica la propiedad distributiva y calcula. a) 6 ? (11 + 4) b) 25 ? (37 - 12) c) 8 ? (17 + 12 + 10) 58. ● Completa la tabla. Dividendo

Divisor

173

3

267

4

1 329

9

Resto

15. ● Resuelve estas divisiones y realiza la prueba. a) 327 : 22 b) 4 623 : 18

c) 9 255 : 37 d) 12 501 : 59

e) 29 001 : 132 f) 36 102 : 205

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA UN TÉRMINO DE LA DIVISIÓN CONOCIENDO LOS DEMÁS? 60. Sin realizar la división, halla el resto de 453 : 23, si el cociente es 19. PRIMERO. Se

55. ●● Expresa los siguientes números romanos en el sistema de numeración decimal. a) XIX c) MMCCIX b) CDXL d) CMXC

SEGUNDO. El

14. ● Escribe en números romanos. a) 7   b)  22   c)  74   d)  143   e)  3 002

Cociente

59. ● Halla el cociente y el resto de 45 456 : 22. Realiza la prueba de la división.

54. ● Expresa en el sistema de numeración decimal estos números romanos. a) XXVI c) MCCXXV b) DCXLVI d) DXXX

56. ● Expresa en el sistema de numeración decimal. a) XLVI f) IVCDXXX b) CXCII g) DCCXCIII c) CMXXXIV h) MMCCII d) XXXIV i) XCXL e) MMMDLXXX j) MXXIX

d) 15 ? (20 - 7 - 8) e) (20 + 14 - 15) ? 17 f) (18 + 3 - 2) ? 5

sustituye cada letra por su valor en la prueba de la división. D =   d  ? c + r 453 = 23 ? 19 + r  "  453 = 437 + r

resto es un número tal que, al sumarlo a 437, da 453. r = 453 - 437 = 16. El resto de la división es 16.

61. ● ● El dividendo de una división es 1 512, el divisor es 8 y el cociente es 189. Halla el resto sin efectuar la división. 62. ● ● Sin realizar la división, indica cuáles de estas divisiones son exactas. a) D = 6 099 b) D = 986

d = 19 d = 17

c = 321 c = 58

r=? r=?

16. ● ¿Qué resto puede tener una división de divisor 7?

20

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POTENCIAS 65. ● Escribe como producto de factores. b) 104 c) 272 a) 43

d) 1025

66. ● Expresa estas multiplicaciones en forma de potencia, si se puede. a) 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 b) 37 ? 37 c) 4 ? 14 ? 4 ? 14 ? 4 ? 14 ? 4 d) 25

b) Nueve a la cuarta.

Completa la tabla. Al cuadrado

Al cubo

c) 13 ? 136 ? 134 = 139 d) 83 ? 85 ? 84 = 812

79. ● Expresa como una sola potencia. a) 68 : 63

b) 215 : 27

c) 65 : 35

d) 46 : 26

80. ● Expresa como una potencia. c) 115 : (116 : 113) d) 43 : (45 : 42)

a) 47 : 53 = 54 b) 124 : 126 =129

c) 95 : 94 = 93 d) 38 : 34 = 32

84. ● Expresa como una potencia. a) (54)2

b) (73)3

c) (65)2

d) (82)6

91. ● ● Calcula. A la cuarta

9 11

a) (35 ? 32) : 33 b) 43 ? (47 : 44)

c) (85 : 83) ? 82 d) 75 : (72 ? 72)

92. ● ● Resuelve.

OPERACIONES CON POTENCIAS 73. ● Expresa como una sola potencia. b) 114 ? 84 c) 83 ? 53 a) 72 ? 73

a) (35)2 ? (32)4 b) (73)3 ? (72)4

c) (95)3 ? (94)3 d) (116)2 ? (113)4

93. ● ● Indica como una sola potencia. d) 45 ? 4

74. ● Escribe como una sola potencia. c) 63 ? 62 ? 65 a) 32 ? 34 ? 33 b) 54 ? 5 ? 56 d) 43 ? 53 ? 63

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA UN EXPONENTE DESCONOCIDO EN UN PRODUCTO DE POTENCIAS? 17. Copia y completa: 32 ? 3X = 38 PRIMERO. Se

aplican las propiedades de las potencias. 2 X 3 ? 3 = 38 " 32+X = 38

SEGUNDO. Se

76. ● ● Completa. a) 74 ? 74 ? 7 = 77 b) 54 ? 5 ? 53 = 58

81. ● ● Completa.

69. ● Escribe cómo se leen estas potencias. b) 74 c) 212 d) 1412 a) 123 71. ●

c) 5 4 ? 53 = 58 d) 3 4 ? 39 = 311

a) (27 : 24) : 22 b) (79 : 73) : 74

67. ● Indica cuál es la base y el exponente. a) 28 Base = 4   Exponente = 4 b) 312 Base = 4   Exponente = 4 68. ● Expresa con números. a) Once a la quinta.

75. ● ● Completa. a) 92 ? 9 4 = 96 b) 2 4 ? 23 = 29

igualan los exponentes. 2+4=8 El número que sumado a 2 da 8 es 6. El exponente buscado es 6.

a) (62)5 : (63)3 b) (87)2 : (83)4

c) (108)3 : (104)5 d) (29)2 : (23)5

94. ● ● Calcula las siguientes expresiones. a) 39 : ((32)5 : 37) ? 33

b) (72)3 ? (75 : 72) : (72)4

RAÍCES CUADRADAS 95. ● Completa. a) 352 = 1 225, entonces 1225 = 4 b) 9 025 = 95, entonces 952 = 4 96. ● Calcula las raíces cuadradas de estos números. a) 64

b) 100

c) 169

d) 196

97. ● Completa.

4 = 5 b) 4 = 9 a)

4 = 15 d) 4 = 20

c)

21

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JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES 18. ● Realiza las siguientes operaciones. a) 31 - 20 + 15 - 4 b) 12 + 7 - 8 - 5 + 14 c) 17 - 9 - 5 + 24 d) 49 + 7 - 54 - 2 + 25 e) 59 + 45 - 76 - 12 + 51 f) 123 + 12 -17 - 23 - 9 + 12

106. ● Calcula el valor de estas expresiones. a) 3 ? (100 - 90) + 12 ? (5 + 2) b) 7 ? (26 : 2) - (6 : 3) ? 6 + 4 c) 66 : (15 - 9) + 7 ? (6 : 2) - 12 : 2 d) 7 ? (4 + 8 - 5) : (12 - 5) + 7 ? (8 - 6 + 1) e) 3 ? (15 : 3 - 2) + (8 + 20) : 4 - 1 f) 38 - (30 : 6 + 5) ? 2 - 6 ? 3 : 2 g) 8 ? (28 - 14 : 7 ? 4) : (22 + 5 ? 5 - 31) h) [200 - 3 ? (12 : 4 - 3)] - 6 + 37 - 35 : 7 107. ● Calcula mentalmente el número que falta.

19. ● Calcula. a) (34 + 12 - 9) - (34 - 19) b) 123 - (67 + 34 - 21) c) (29 + 78 - 54 - 32) - (9 + 5) d) (89 + 23 - 76) - (41 + 12 - 32) e) 345 - (90 - 76 - 8 + 43) f) 567 - (23 + 65 - 12 - 45)

a) 3 ? 5 + 3 ? 4 = 60 b) 13 ? 40 - 13 ? 4 = 260 c) 15 ? 4 + 7 ? 4 - 15 ? 6 = 150

PROBLEMAS CON NÚMEROS NATURALES

20. ● Calcula y relaciona las operaciones que dan el mismo resultado. a) 24 - 8 + 18 - 6 b) 34 + 78 - 12 - 17 c) 34 + 78 + 7 - 65 - 12 d) 24 - 8 - 16 + 6

i) (24 + 6) - (8 + 16) ii) (24 + 18) - (8 + 6) iii) (34 + 78 + 7) - (65 + 12) iv) (34 + 78) - (12 + 17)

102. ● Resuelve estas operaciones. a) 9 ? (15 + 4 - 7) b) 12 + 4 ? (3 + 19) c) 55 - 3 ? (27 - 9) d) 33 + 6 ? 5 + 21 103. ● Calcula. a) 15 + (12 + 6) : 3 b) 31 - (13 + 8) : 7 c) 4 + 15 : 5 + 17 d) 42 - (3 + (32 : 4) : 2) 104. ● Realiza estas operaciones. a) 8 ? 3 + 36 : 9 + 5 b) 144 : (24 : 6) + 4 ? 7 c) 48 - 5 ? 7 + 9 ? 3 - 19 d) 14 - 21 : 7 + 105 : 5 105. ● Resuelve. a) 42 ? 3 - 124 : 4 - (180 : 9) : 5 b) (241 - 100 + 44) : 5 + 20 ? 7 c) 7 + 8 ? (17 - 5) - 28 : 2 d) (12 + 3 ? 5) : 9 + 8

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVE UN PROBLEMA EN EL QUE LOS DATOS ESTÁN RELACIONADOS? 116. La factura telefónica del mes pasado fue de 34 €, la de este mes ha sido 5 € más cara y la de hace dos meses fue 4 € menos. ¿A cuánto ha ascendido el gasto en teléfono en los últimos tres meses? PRIMERO. Se

toma el dato conocido del problema. «El mes pasado»  "  34 €

SEGUNDO. Se calculan los demás datos del problema.

«Este mes 5 € más»  "  34 + 5 = 39 € «Hace dos meses 4 € menos»  "  34 - 4 = 30 € TERCERO. Se

resuelve el problema. 34 + 39 + 30 = 103 € El gasto en teléfono ha sido de 103 €. 117. ● ● En un partido de baloncesto, los máximos anotadores han sido Juan, Jorge y Mario. Juan ha logrado 19 puntos, Jorge 5 puntos más que Juan y Mario 7 puntos menos que Jorge. ¿Cuántos puntos han obtenido entre los tres?

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118. ●● Si ganase 56 € más al mes podría gastar: 420 € en el alquiler de la casa, 102 € en gasolina para el coche, 60 € en la manutención y 96 € en gastos generales, y ahorraría 32 €. ¿Cuánto gano al mes? 119. ●●● Mario tiene 11 años y es 4 años menor que su hermana. Entre los dos tienen 19 años menos que su madre. ¿Cuántos años tiene la madre? 120. ●● Se ha enseñado a un grupo de jóvenes a sembrar trigo. El primer día sembraron 125 kilos y el segundo día sembraron el doble de kilos que el primero. a) ¿Cuántos kilos sembraron el segundo día? b) ¿Y entre los dos días? 121. ●● Observa estos precios. Desde 400 € hasta 600 €

127. ●● Vamos a repartir 720 € entre tres personas y se sabe que la primera recibirá 280 €. ¿Cuánto recibirán las otras dos si el resto se reparte en partes iguales? 128. ●● Nacho y Ana están preparando una fiesta y compran 12 botellas de 2 litros de naranja, 12 de limón y 12 de cola. a) ¿Cuántos litros han comprado? b) Si cada botella de 2 litros cuesta 2 €, ¿cuánto dinero se han gastado? 130. ●● ● En España cada persona recicla, por término medio, 14 kg de vidrio cada año. a) Si en España hay 40 millones de personas, ¿cuántos kilos de vidrio se reciclan al año? b) Para reciclar 680 000 000 000 kg, ¿cuántos kilos más debería reciclar cada persona?

Desde 350 € hasta 750 €

Desde 200 € hasta 450 €

a) ¿Se pueden adquirir los tres artículos con 900 €? b) ¿Cuál es la cantidad mínima necesaria para comprar los tres artículos? c) ¿Cuánto sobra, con seguridad, si se dispone de 2 000 € para comprar los tres artículos? 122. ●● Un generador eléctrico consume 9 litros de gasolina a la hora y una bomba de agua 7 veces más. ¿Cuántos litros consumen entre los dos al cabo de 4 horas?

131. ●● El tablero del ajedrez es un cuadrado formado por 8 filas, con 8 cuadraditos en cada fila. ¿Cuántos cuadraditos hay en total? 132. ●● Marta quiere saber cuántos melocotones hay en el almacén. Para ello hace 5 montones con 5 cajas en cada montón, y en cada caja, 5 filas con 5 melocotones en cada fila. ¿Cuántos melocotones hay?

123. ●● Cada fin de semana Luis recibe 6 € y se gasta 4 €. ¿Cuántas semanas han de pasar hasta que ahorre 18 €? 124. ●● Pedro tiene 79 € para comprar sillas. Sabiendo que cada una cuesta 7 €, ¿cuántas sillas puede comprar? ¿Cuánto le sobra? 125. ●● Una botella de 1 litro de aceite cuesta 3 €. Si la garrafa de 6 litros cuesta 12 €, ¿cuánto dinero nos ahorramos comprando garrafas? 126. ●●● Un coche va a 110 km/h y otro a 97 km/h. ¿Cuántos kilómetros le llevará de ventaja el primer coche al segundo al cabo de 9 horas?

133. ● ● Luis acaba de recibir cuatro cajas cuadradas llenas de vasos que debe colocar. La caja tiene cuatro filas y hay cuatro vasos en cada fila. ¿Cuántos vasos tiene que colocar? 134. ● ● ¿Cuántos azulejos necesita Jorge para cubrir una pared cuadrada, si en la primera fila ha colocado 5 azulejos?

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Divisibilidad Después del jueves…, otro jueves En la Navidad de 1582, Gregorio XIII atendía distante a un jesuita que estaba visiblemente alterado. –Ruego a Su Santidad –interpeló el jesuita, Christopher Clavius– que me conceda la autorización para justificar el cambio de calendario. ¡Las críticas han llegado al extremo de acusarnos de robarle 10 días al calendario! Gregorio XIII levantó la cabeza y respondió:

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Busca información sobre Christopher Clavius y su relación con el papa Gregorio XIII. 2. Investiga qué calendario se utilizaba hasta que se estableció el calendario actual y por qué se produjo la diferencia de 10 días al cambiarlo.

–Eso no es más que un ataque de herejes e ignorantes. La Comisión de Sabios determinó que nuestros cálculos de la duración del año eran erróneos y que nuestro calendario estaba atrasado en 10 días. El Papa continuó: –Al 4 de octubre de 1582 le siguió el 15 de octubre, pero no robamos 10 días al calendario, sino que recuperamos lo que el calendario anterior tomó sin corresponderle. De haber seguido así, habríamos terminado por celebrar la Navidad en verano.

3. Explica el criterio de divisibilidad que establece el calendario gregoriano para los años bisiestos.

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Antes de empezar la unidad... DIVISIÓN ENTRE NÚMEROS NATURALES Los términos de la división se llaman dividendo, divisor, cociente y resto.

Dividendo

F

 Divisor 5  8  0  3  4   23  Cociente 1  2  0       2523      5  3        7  4 Resto          5 F

F

F

Prueba de la división

Una división está bien resuelta si se cumplen estas dos condiciones: •  El resto de la división es menor que el divisor. Resto < Divisor  "  5 < 23 •  El dividendo es igual al divisor multiplicado por el cociente más el resto. Dividendo = Divisor ? Cociente + Resto Dividir es repartir una cantidad en partes iguales.

58 034 = 23 ? 2 523 + 5 58 034 = 58 029 + 5 58 034 = 58 034 Por tanto, la división está bien resuelta.

EVALUACIÓN INICIAL 1 Haz la prueba de cada división y averigua cuáles están mal realizadas.

a) 47   2 07   23   1

c) 68   6 08   11   3

e) 1042   11   052   95    03

b) 54   3 24   15   9

d) 85   7 15   12   1

f) 2475   12 0075   206    03

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… • Calcular los divisores y múltiplos de un número.

2 Halla el dividendo de estas divisiones.

a) Divisor = 3, cociente = 8, resto = 0 b) Divisor = 8, cociente = 15, resto = 6 c) Divisor = 12, cociente = 7, resto = 3 d) Divisor = 21, cociente = 12, resto = 1

• Distinguir entre números primos y compuestos.

3 Calcula y completa la tabla en tu cuaderno. Dividendo

Divisor

2 346

4

3 672

6

8 425

7

9 252

9

Cociente

Resto

• Factorizar números naturales. • Hallar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más números naturales.

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3 ividendo (D)    divisor (d ) D resto    (r) cociente (c)

Múltiplos de un número

ANTES, DEBES SABER… Cuándo una división es exacta • Una división es exacta si su resto es cero. 54   6 Si una división es exacta se cumple que:   0   9 Dividendo = Divisor ? Cociente • Una división no es exacta cuando su resto 56   6 es distinto de cero. En este caso se cumple que:   2   9 Dividendo = Divisor ? Cociente + Resto

Un número b es múltiplo de otro número a si la división de b entre a es exacta. EJEMPLO 4

¿Es 28 múltiplo de 4? ¿Y de 5? 28   4       La división 28 : 4 es exacta " 28 es múltiplo de 4. 10   7       28   5       La división 28 : 5 no es exacta  "  28 no es múltiplo de 5. 13   5      

Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por los sucesivos números naturales. EJEMPLOS SE ESCRIBE ASÍ •  3   " Todos los múltiplos de 3. • 12  " Todos los múltiplos de 12.

5

Calcula los múltiplos de 3. Múltiplos de 3  "  3 ? 1, 3 ? 2, 3 ? 3, 3 ? 4, 3 ? 5, 3 ? 6, 3 ? 7… • 3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21…} Los múltiplos de 3 son un conjunto ilimitado de números.

1 Halla los seis primeros múltiplos de 12.

Múltiplos de 12  "  12 ? 1, 12 ? 2, 12 ? 3, 12 ? 4, 12 ? 5, 12 ? 6 Los seis primeros múltiplos de 12 son: 12, 24, 36, 48, 60 y 72.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 10 ¿Es 35 múltiplo de 5? Razona la respuesta.

1 Calcula los diez primeros múltiplos de 8.

11 ¿Es 48 múltiplo de 6? Razona la respuesta.

2 Halla los diez primeros múltiplos de 16.

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Divisores de un número

4

Un número a es divisor de otro número b si la división de b entre a es exacta. 8 es divisor de 48.

EJEMPLO

F

Comprueba si 8 y 9 son divisores de 48.

F

7

48   0

8 6

La división 48 : 8 es exacta " 8 es divisor de 48.

48   3

9 5

La división 48 : 9 no es exacta " 9 no es divisor de 48.

48 es múltiplo de 8.

Los divisores de un número se obtienen dividiendo dicho número entre los sucesivos números naturales, hasta que el cociente de la división sea menor que el divisor. EJEMPLOS 9

Calcula todos los divisores de 8. 8    1         8    2         8    3 El cociente, 2, es menor que el divisor, 3. 0    8         0    4         2    2  "  Por tanto, no seguimos dividiendo.

De cada división exacta extraemos dos divisores: el divisor y el cociente. 8 : 1 = 8 " Es una división exacta  "  1 y 8 son divisores de 8. 8 : 2 = 4 " Es una división exacta  "  2 y 4 son divisores de 8. Los divisores de 8 son 1, 2, 4 y 8. Se escribe así: Div (8) = {1, 2, 4, 8}. 2 Calcula todos los divisores de 10.

SE ESCRIBE ASÍ

10   1     10   2     10   3     10   4 El cociente, 2, es menor que el divisor, 4.   0   10     0   5      1   3      2   2   "  Por tanto, no seguimos dividiendo.

Div (8)   " Todos los divisores de 8. Div (12)  " Todos los divisores de 12.

Extraemos el divisor y el cociente de cada división exacta: 10 : 1 = 10 " Es una división exacta  "  1 y 10 son divisores de 10. 10 : 2 = 5  " Es una división exacta  "  2 y 5 son divisores de 10. Los divisores de 10 son 1, 2, 5 y 10  "  Div (10) = {1, 2, 5, 10}

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 3 Di si es cierto o no.

a) 8 es divisor de 56.

16 Calcula todos los divisores de:

b) 12 es divisor de 95.

15 ¿Cuáles son divisores de 36?

2    7    12    36    15    20    1    4    40    9

a) 30 b) 27

c) 45 d) 55

e) 100 f) 89

g) 90 h) 79

17 Di si es cierto o no.

a) 12 es divisor de 3.

b) 12 es múltiplo de 3.

27

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Números primos y compuestos

5

•  U n número es primo si solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad. •  Si un número tiene más de dos divisores, decimos que es un número compuesto. EJEMPLO 10 Averigua si 17 y 27 son números primos o compuestos. Calculamos todos los divisores de 17: 17   1       17   2       17   3       17   4   7   17       1   8        2   5        1   4    0 17   5 

El cociente, 3, es menor que el divisor, 5. Por tanto, no seguimos dividiendo.

  2   3   " 

La única división exacta es 17 : 1 = 17, extraemos el divisor y el cociente. Div (17) = {1, 17} 

17 solo tiene dos divisores. 17 es un número primo.

Calculamos todos los divisores de 27: 27   1       27   2       27   3       27   4       27   5   7   27       7   13       0   9        3   6        2   5   0           1 27   6 

Números primos hasta 100

Como 4 es menor que 6,

  3   4   " no seguimos dividiendo. Extraemos el divisor y el cociente de las divisiones exactas: 27 : 1 = 27  "  1 y 27 son divisores de 27. 27 : 3 = 9   "  3 y 9 son divisores de 27.



Div (27) = {1, 3, 9, 27} " 27 tiene más de dos divisores. 27 es un número compuesto.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Determina si los siguientes números son primos

o compuestos. a) 11 b) 13 c) 18 d) 24

e) 29 f) 42 g) 46 h) 54

5 Escribe todos los números primos menores

que 20. i) 58 j) 65 k) 70 l) 80

19 ¿Es 101 un número primo? ¿Por qué?

6 Indica todos los números primos comprendidos

entre 100 y 110. 7 Escribe cinco números primos mayores que 50

y otros cinco menores que 40. 8 Escribe los números compuestos menores que 20.

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Factorización de un número

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ANTES, DEBES SABER… Cuándo la división de un número entre 2, 3 o 5 es exacta • La división de un número entre 2 es exacta si el número termina en 0 o en una cifra par. EJEMPLO Los números pares son: 2, 4, 6, 8, 10, 12, …

3 Determina si estas divisiones son exactas.

"  División exacta, porque 18 termina en número par. b) 7 514 : 2  "  División exacta, porque 7 514 termina en número par. c) 14 930 : 2  "  División exacta, porque 14 930 termina en 0. d) 173 : 2  " División no exacta, porque 173 termina en 3, a) 18 : 2 

que no es par. e) 81 : 2 

" División no exacta, porque 81 termina en 1, que no es par.

• La división de un número entre 3 es exacta si, al sumar las cifras de ese número, obtenemos un múltiplo de 3. EJEMPLO 4 Determina si estas divisiones son exactas.

a) 81 : 3 

"  División exacta, porque: 8 + 1 = 9 y 9 : 3 es división exacta

b) 123 : 3  "  División exacta, porque: 1 + 2 + 3 = 6 y 6 : 3 es división exacta c) 876 : 3  "  División exacta, porque: 8 + 7 + 6 = 21 y 21 : 3 es división exacta d) 173 : 3  "  División no exacta, porque: 1 + 7 + 3 = 11       y 11 : 3 es división no exacta • La división de un número entre 5 es exacta si el número termina en 0 o en 5. EJEMPLO 5 Determina si estas divisiones son exactas.

"  División exacta, porque 65 termina en 5. b) 120 : 5  "  División exacta, porque 120 termina en 0. c) 246 : 5  "  División no exacta, porque 246 no termina en 0 ni en 5. a) 65 : 5 

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 9 Estudia si estas divisiones son exactas.

a) 15 : 3 b) 26 : 3

c) 59 : 3 d) 70 : 3

e) 103 : 3 f) 3 104 : 3

10 Estudia si estas divisiones son exactas.

a) 37 : 2 b) 48 : 3

c) 81 : 5 d) 92 : 2

e) 22 305 : 5 f) 145 236 : 3

29

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Factorizar un número es descomponerlo en factores primos, es decir, expresarlo como producto de sus divisores primos. Para factorizar un número se divide entre la serie de números primos (2, 3, 5, 7, …), tantas veces como se pueda, hasta obtener como cociente la unidad. Se empieza dividiendo entre 2; si no es exacto, entre 3; si tampoco es exacto, entre 5; si no entre 7, entre 11… EJEMPLO 6 Factoriza el número 30.

Tomamos el número y lo dividimos entre el primer número primo que haga la división exacta. 30 : 2 " División exacta, porque 30 termina en 0. 30 : 2 = 15 Factorización " 30 = 2 ? 15

Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …

Tomamos el cociente que hemos obtenido en la división exacta; en este caso 15, y volvemos a dividir este número entre el primer número primo que haga la división exacta. 15 : 2 " División no exacta, porque 5 no es par 15 : 3 " División exacta, porque: 1 + 5 = 6 y 6 : 3 es división exacta 15 : 3 = 5 Factorización " 30 = 2 ? 15 = 2 ? 3 ? 5 Repetimos el proceso hasta obtener como cociente 1. 5 : 2 " División no exacta, porque 5 no es par. 5 : 3 " División no exacta. 5 : 5 " División exacta. 5:5=1 Cuando obtenemos como cociente 1, la factorización está terminada. Factorización " 30 = 2 ? 3 ? 5 Este proceso se suele escribir, indicando solo las divisiones exactas, de la siguiente manera: 30 2 30 : 2  "  15 3 15 : 3  "   5 5     5 : 5  "   1 Los números que aparecen en la columna de la derecha son los factores. Factorización  "  30 = 2 ? 3 ? 5

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 11 Factoriza los siguientes números.

a) 10 b) 14 c) 15

d) 21 e) 35 f) 42

g) 70 h) 105 i) 210

12 Di a qué número corresponde cada una de estas

factorizaciones. a) 3 ? 5 ? 11

c) 5 ? 7 ? 11

b) 2 ? 11

d) 3 ? 7 ? 11

30

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ANTES, DEBES SABER… Cómo se expresa un producto de factores iguales mediante una potencia Una potencia es un producto de factores iguales. 2 ? 2 ? 2 = 23

F

14243

4 veces 6

3 veces

72 = 7 ? 7

5 = 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5

14444244443 F

F

3 ? 3 ? 3 ? 3 = 34

1442443

6 veces

F

123

2 veces

EJEMPLO 12 Descompón el número 420 como producto de factores primos. Cocientes parciales

Factorización

2 es divisor de 420

420 : 2 = 210

420 = 2 ? 210

2 es divisor de 210

210 : 2 = 105

420 = 2 ? 2 ? 105

2 no es divisor de 105 3 es divisor de 105

105 : 3 = 35

420 = 2 ? 2 ? 3 ? 35

2 no es divisor de 35 ni 3, pero sí 5

  35 : 5 = 7

420 = 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? 7

7 es un número primo, es divisor de él mismo

   7 : 7 = 1

420 = 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? 7 ? 1

Por tanto, podemos expresar el número 420 como: 420 = 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? 7 ? 1 " 420 = 22 ? 3 ? 5 ? 7 En la factorización de un número, siempre que se pueda, utilizaremos potencias.

Para realizar la descomposición de un número en factores primos lo escribimos, normalmente, del siguiente modo:

COCIENTES PARCIALES

FACTORES   PRIMOS

420 420 : 2  " 210 210 : 2  " 105 105 : 3  "   35   35 : 5  "   7    7 : 7  "   1

2 2 3 5 7

420 = 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? 7 420 = 22 ? 3 ? 5 ? 7

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 22 Descompón en producto de factores

a) 36 b) 100

c) 24 d) 98

e) 180 f) 120

c) 27 d) 81

a) 13

c) 29       

b) 61

d) 97

24 Completa para que se cumplan las igualdades.

13 Descompón en factores primos.

a) 8 b) 32

23 Descompón en producto de factores primos,

y escribe cómo son estos números.

primos los siguientes números.

e) 125 f) 625

a) 23 ? 32 ? 4 = 360 b) 42 ? 72 ? 11 = 4 851

31

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7

Máximo común divisor

El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de sus divisores comunes. Para calcular, de forma rápida, el máximo común divisor de varios números seguimos estos pasos: 1.º Descomponemos los números en factores primos. 2.º Escogemos los factores primos comunes, elevados al menor exponente. 3.º  El producto de esos factores es el m.c.d. de los números. EJEMPLOS 7 Obtén el máximo común divisor de 12 y 40.

El máximo común divisor de dos números puede ser 1. Por ejemplo: 4 = 22    9 = 32 No hay factores comunes. m.c.d. (4, 9) = 1

Primero, descomponemos 12 y 40 en factores primos. 12   2 40   2   6   2 20   2 2 10   2   3   3 12 = 2 ? 2 ? 3 = 2 ? 3   1   5   5   1

40 = 2 ? 2 ? 2 ? 5 = 23 ? 5

El único factor primo común es 2. Al elevarlo al menor exponente: 22 Así, resulta que: m.c.d. (12, 40) = 22 = 4 14 Calcula el máximo común divisor de 40 y 100. Primero, descomponemos 40 y 100 en factores primos. 40   2 100   2 20   2   50   2 10   2 40 = 23 ? 5   25   5 100 = 22 ? 52   5   5    5   5   1    1   5 Los factores primos comunes son 2 y 5. Al elevarlos al menor exponente: 22 y 5 Así, resulta que: m.c.d. (40, 100) = 22 ? 5 = 4 ? 5 = 20

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 26 Calcula el máximo común divisor de cada

pareja de números. a) 42 y 21

d) 12 y 35

b) 24 y 102

e) 60 y 24

c) 13 y 90

f) 72 y 11

14 Obtén el máximo común divisor.

a) 105 y 128 b) 180 y 240

c) 324 y 628 d) 1 024 y 2 862

27 Halla el máximo común divisor de 18, 30 y 54.

32

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Mínimo común múltiplo

8

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes. Para calcular, de forma rápida, el mínimo común múltiplo de varios números seguimos estos pasos: 1.º Descomponemos los números en factores primos. 2.º Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. 3.º El producto de esos factores es el m.c.m. de los números. EJEMPLOS 8 Obtén el mínimo común múltiplo de 4 y 6.

Primero, descomponemos 4 y 6 en factores primos. 4   2 2   2 1

6   2 3   3 1

4 = 2 ? 2 = 22

6=2?3

El factor primo común es 2, y el no común, 3. Al elevarlos al mayor exponente: 22 y 3 Así, resulta que: m.c.m. (4, 6) = 22 ? 3 = 4 ? 3 = 12 16 Calcula el mínimo común múltiplo de 18 y 60. Primero, descomponemos 18 y 60 en factores primos. 18   2 60   2   9   3 30   2 2 15   3   3   3 18 = 2 ? 3   1   5   5   1   5

60 = 22 ? 3 ? 5

Los factores primos comunes son 2 y 3, y los no comunes, 5. Al elevarlos al mayor exponente: 22, 32 y 5 Así, resulta que: m.c.m. (18, 60) = 22 ? 32 ? 5 = 4 ? 9 ? 5 = 180

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 30 Determina el mínimo común múltiplo de estas

15 Calcula el mínimo común múltiplo.

parejas de números.

a) 24 y 48

c) 16 y 80

a) 5 y 12

d) 4 y 18

b) 18 y 54

d) 22 y 52

b) 6 y 14

e) 14 y 27

c) 3 y 21

f) 12 y 20

31 Halla el mínimo común múltiplo de 15, 25 y 9.

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Número primo

Múltiplos y divisores

Div (7) = {1, 7} Div (11) = {1, 11}

8 : 2 es una división exacta F

F

8 es múltiplo de 2 

Número compuesto

F

F

F

F

2 es divisor de 8

Div (10) = {1, 2, 5, 10} Div (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

HAZLO DE ESTA MANERA

1. FACTORIZAR UN NÚMERO Descompón estos números en factores primos. a) 84

b) 77

PRIMERO. Dividimos

el número entre el primer número primo que haga la división exacta.

• La división de un número entre 2 es exacta si el número termina en 0 o en una cifra par. • La división de un número entre 3 es exacta si, al sumar las cifras de ese número, obtenemos un múltiplo de 3. • La división de un número entre 5 es exacta si el número termina en 0 o en 5. Para el resto de números primos: 7, 11, 13, 17, … es mejor realizar la división. a) 84 : 2 " División exacta, porque 4 es par. 84   2 84 : 2  "  42 b) 77 : 2 " División no exacta, porque 7 es impar. 77 : 3 " División no exacta, porque: 7 + 7 = 14 y 14 : 3 es división no exacta. 77 : 5 " División no exacta, porque 77 no termina en 0 ni en 5. 77   7   7   11   0  "  División exacta SEGUNDO.

77 7 77 : 7  "  11

Repetimos el mismo proceso con los cocientes resultantes hasta obtener la unidad.

a) 84   2 b)   77   7 84 : 2  "  42   2 42 termina en par, 42 : 2 " División exacta. 77 : 7    "  11   11 11 es primo. 42 : 2  "  21   3 21 no termina en par, 2 + 1 = 3, múltiplo de 3. 11 : 11  "   1 21 : 3  "   7   7 7 es primo.   7 : 7  "   1 TERCERO. Escribimos

el número como el producto de todos los factores primos de la columna de la derecha y, si hay factores repetidos, los expresamos como una potencia. a) 84 = 2 ? 2 ? 3 ? 7 = 22 ? 3 ? 7

123

b) 77 = 7 ? 11

2

2

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4. CALCULAR EL MÁXIMO COMÚN

DIVISOR DE VARIOS NÚMEROS

5. CALCULAR EL MÍNIMO COMÚN

MÚLTIPLO DE VARIOS NÚMEROS

Obtén el máximo común divisor de 24, 132 y 84.

Obtén el mínimo común múltiplo de 135, 315 y 175.

PRIMERO. Descomponemos

PRIMERO. Descomponemos

los números en

factores primos.

factores primos.

24   2 132   2 84   2 12   2   66   2 42   2 6   2   33   3 21   3 3   3   11   11 7   7    1   3    1        1   3

135   3 315   3 45   3 105   3 15   3 35   5 5   5 7   7    1   3    1   3

24 = 23 ? 3

135 = 33 ? 5

132 = 22 ? 3 ? 11

84 = 22 ? 3 ? 7

SEGUNDO. Escogemos

los factores comunes elevados al menor exponente. Factores comunes  "  2 y 3 Con menor exponente  "  22 y 3

TERCERO. El

producto de esos factores es el m.c.d. de los números. m.c.d. (24, 132, 84) = 22 ? 3 = 12 El máximo común divisor de 24, 132 y 84 es 12.

los números en

315 = 32 ? 5 ? 7

175   5 35   5 7   7 1  175 = 52 ? 7

SEGUNDO. Escogemos

los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. Factores comunes y no comunes  "  3, 5 y 7 Con mayor exponente  "  33, 52 y 7

TERCERO. El producto de esos factores es el m.c.m. de los números. m.c.m. (135, 315, 175) = 33 ? 52 ? 7 = 4 725 El mínimo común múltiplo de 135, 315 y 175 es 4 725.

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras

Factorizar un número

1. ¿Es 24 múltiplo de 2? ¿Y de 3?

  7. Descompón en factores primos el número 88.

2. ¿Es 7 divisor de 63? ¿Y de 77?

  8. ¿Cuál es la factorización de 120? ¿Y de 240? ¿Y de 480?

1. Escribe tres múltiplos de estos números. a) 8 c) 18 b) 12 d) 24 2. Escribe tres divisores de los números. a) 24 c) 100 b) 96 d) 39 3. ¿Cuántos divisores tiene el número 17? ¿Qué se puede decir de él? 5. Averigua cuál de los siguientes números es primo. a) 21    b)  82    c)  31    d)  33

  9. ¿Cuál es el número cuya factorización es 23 ? 3 ? 52? Calcular el máximo común divisor de varios números 10. ¿Cuál es el m.c.d. de 32 y 48? 11. Halla el m.c.d. de 24, 35 y 46. Calcular el mínimo común múltiplo de varios números 12. ¿Cuál es el m.c.m. de 10 y 8? 13. Calcula el m.c.m. de 16, 40 y 80.

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Actividades MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO 52. ● Halla con la calculadora los diez primeros múltiplos de 11 y los ocho primeros múltiplos de 12. 53. ● Contesta si es verdadero o falso, y razona las respuestas. a) 35 es múltiplo de 5. b) 49 es múltiplo de 6. c) 56 es múltiplo de 8. d) 72 es múltiplo de 9. 54. ● ¿Cuál de estas series está formada por múltiplos de 4? ¿Y por múltiplos de 5? a) 1, 4, 9, 16, 25, … b) 5, 10, 15, 20, … c) 8, 10, 12, 14, 16, … d) 4, 8, 16, 24, 32, 40, … e) 1, 5, 10, 20, 30, … f) 20, 40, 60, 80, …

59. ● Halla los múltiplos de 11 comprendidos entre 40 y 100. 60. ● Calcula cuatro números que sean múltiplos de 7 y que estén comprendidos entre 60 y 110. 61. ● Escribe el primer múltiplo de 32 que sea mayor que 2 000.

DIVISORES DE UN NÚMERO 66. ● Contesta si es verdadero o falso, y razona las respuestas. a) 12 es divisor de 48. b) 15 es divisor de 3. c) 9 es divisor de 720. d) 7 es divisor de 777. e) 44 es divisor de 44. f) 100 es divisor de 10. g) 123 es divisor de 123. h) 1 es divisor de 17.

HAZLO ASÍ

55. ● Halla los múltiplos de 4 menores que 50. 56. ● ¿Cuáles son los múltiplos comunes de 5 y 8 menores que 50?

¿CÓMO SE CALCULAN TODOS LOS DIVISORES DE UN NÚMERO? 16. Calcula todos los divisores de 63.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA UN MÚLTIPLO DE UN NÚMERO COMPRENDIDO ENTRE OTROS DOS NÚMEROS? 57. Encuentra un múltiplo de 26 que esté comprendido entre 660 y 700. PRIMERO. Se

divide el menor de los dos números, 660, entre el número del que se quiere hallar el múltiplo, 26. 660   26 010   25

SEGUNDO. Se

aumenta en una unidad el cociente, y se multiplica por el número del que se quiere obtener el múltiplo. MÚLTIPLO = (25 + 1) ? 26 = 676

Se comprueba que el número obtenido cumple la condición pedida: el número 676 es múltiplo de 26 y está comprendido entre 660 y 700. 58. ● Determina un número entre 235 y 289 que sea múltiplo de 29.

PRIMERO. Se divide el número entre 1, 2, 3, … hasta

que el cociente sea menor que el divisor. 63   1 63   2 63   3 63   4 63   5   0   63   1   31   0   21   3   15   3   12 63   6 63   7 63   8 El cociente, 7, es menor   3   10   0   9   7   7  "  que el divisor, 8. De cada división exacta se extraen dos divisores: el divisor y el cociente.

SEGUNDO.

63 : 1 = 63  " 1 y 63 son divisores de 63. 63 : 3 = 21  " 3 y 21 son divisores de 63. 63 : 7 = 9 " 7 y 9 son divisores de 63. El resto de divisiones no son exactas. Los divisores de 63 son: Div (63) = {1, 3, 7, 9, 21, 63} 67. ● Completa los divisores de 24, 16, 36 y 54. Div (24) = {1, 2, 4, 4, 4, 8, 4, 4} Div (16) = {1, 2, 4, 4, 16} Div (36) = {1, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 36} Div (54) = {1, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 54}

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68. ● Halla todos los divisores de 42. ¿Cuántos divisores tiene 42?

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS HAZLO ASÍ

69. ● Calcula todos los divisores de: a) 28

c) 54

b) 64

d) 96

70. ● Si 63 es múltiplo de 9, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas? a) 63 es divisor de 9. b) 9 es divisor de 63. c) 9 es múltiplo de 63. 72. ● Al hacer la división 57 : 5, vemos que no es exacta. Decide si es verdadero o falso. a) 5 no es divisor de 57. b) 57 es múltiplo de 5. c) 57 no es divisible por 5. 17. ● Observa las siguientes divisiones exactas, y completa las frases que aparecen. a) 24 : 8 = 3 24 es …… de 8 24 es …… de 3 8 es …… de 24 3 es …… de 24 b) 192 : 16 = 12 196 es …… de 16 196 es …… de 12 16 es …… de 196 12 es …… de 196 73. ● Si 175 = 5 ? 35, ¿cuáles de las afirmaciones son ciertas? a) 175 es divisible por 5. b) 175 es múltiplo de 35. c) 5 es divisor de 175. 74. ● Dada la relación 104 = 4 ? 26, ¿qué afirmaciones son verdaderas? a) 104 es múltiplo de 4. b) 26 es divisor de 104. c) 104 es divisible por 26.

¿CÓMO SE DETERMINA SI UN NÚMERO ES PRIMO O COMPUESTO? 18. Averigua si 61 es primo o compuesto. PRIMERO. Se calculan los divisores del número.

61   1 61   2 61   3 61   4 61   5   0   61   1   30   1   20   1   15   1   12 61   6 61   7 61   8   1   10   5   8   5   7  "  El cociente, 7, es menor que el divisor, 8.

Como solo existe una división exacta: Div (61) = {1, 61} SEGUNDO. Se

decide si el número es primo

o compuesto. • Si el número de divisores es dos, el número es primo. • Si el número de divisores es mayor que dos, el número es compuesto. Como 61 tiene dos divisores, es un número primo. 77. ● Completa la siguiente tabla: Números

Divisores

Primo/Compuesto

33

1, 3, 11, 33

Compuesto

61 79 72 39

78. ● ¿Cuáles de estos números son primos? ¿Y cuáles son compuestos? a)  46        b)  31        c)  17        d)  43 79. ● Escribe los números primos mayores que 30 y menores que 100. 80. ● Sabiendo que un número de dos cifras tiene división exacta con 3, ¿se puede decir que es primo? Pon un ejemplo. 81. ● ● Escribe estos números como suma de dos números primos. a)  12        b)  20        c)  36        d)  52

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FACTORIZACIÓN DE UN NÚMERO 19. ● Escribe y comprueba. a) Escribe diez múltiplos de 2. ¿Son pares todos los números que obtienes? b) Escribe diez múltiplos de 3. Suma las cifras de cada número. ¿Es siempre la suma un múltiplo de 3? c) Escribe diez múltiplos de 5. ¿Terminan todos los números en 0 o en 5? 20. ● Observa los siguientes números y contesta. 45   52   70   81   94   125   231 a) ¿Qué números son múltiplos de 2? b) ¿Qué números son divisibles por 3? c) ¿De qué números es 5 un divisor? 21. ● Escribe los doce primeros múltiplos de 10, y subraya la última cifra de cada uno. ¿Cómo puedes saber si un número es múltiplo de 10? 82. ● Descompón estos números en producto de factores primos. a) 56

f) 77

k) 138

b) 100

g) 98

l) 102

c) 187

h) 47

m) 325

d) 151

i) 99

n) 226

e) 155

j) 79

ñ) 402

22. ● La factorización 2 ? 3 ? 5 , ¿a cuál de los siguientes números corresponde? 3

a) 30 b) 60

c) 120 d) 150

2

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 89. ● Halla el máximo común divisor de los siguientes pares de números. a) 16 y 24 b) 45 y 72

c) 12 y 36 d) 18 y 27

e) 28 y 49 f) 18 y 28

90. ● Calcula el máximo común divisor de estos pares de números. a) 4 y 15 b) 9 y 13

c) 3 y 17 d) 12 y 7

e) 21 y 2 f) 18 y 47

91. ● ● Obtén el máximo común divisor de los siguientes números. a) 8, 12 y 18 b) 16, 20 y 28 c) 8, 20 y 28

d) 45, 54 y 81 e) 75, 90 y 105 f) 40, 45 y 55

94. ● Calcula el mínimo común múltiplo de: a) 12 y 24 b) 16 y 18

c) 27 y 54 d) 21 y 49

95. ● Halla el mínimo común múltiplo de: a) 5 y 12 b) 7 y 14

c) 12 y 25 d) 8 y 15

96. ● ● Determina el mínimo común múltiplo de: a) 12, 15 y 18 b) 10, 20 y 30

c) 6, 30 y 42 d) 9, 14 y 21

PROBLEMAS DE DIVISIBILIDAD 97. ● José está haciendo una colección de cromos. Los cromos se venden en sobres con 5 cromos cada uno. ¿Puede comprar 15 cromos? ¿Y 17?

e) 300 f) 600

83. ● ¿A qué números corresponden estas descomposiciones en factores primos? a) 23 ? 3 ? 5

e) 23 ? 52 ? 7

b) 2 ? 32 ? 7

f) 32 ? 5 ? 72

c) 5 ? 72 ? 11

g) 3 ? 53 ? 72

d) 2 ? 3 ? 5 ? 72

h) 23 ? 32 ? 5 ? 73

84. ● ¿Cuál es la descomposición en factores primos de un número primo? Pon un ejemplo.

23. ● Rafa ha hecho 40 croquetas. a) ¿Puede repartirlas en partes iguales en 8 platos sin que le sobre ninguna? b) ¿Y en 9 platos?

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98. ●● Ana tiene un álbum de 180 cromos. Los cromos se venden en sobres de 5 cromos cada uno. Suponiendo que no se repita ningún cromo, ¿cuántos sobres tiene que comprar como mínimo?

103. ● ● Marta tiene 15 piñas y desea repartirlas en cestos, con el mismo número de piñas en cada uno, sin que le sobre ninguna. ¿De cuántas maneras distintas puede repartirlas?

99. ●● Luis quiere pegar las 49 fotos de sus vacaciones en filas de 3 fotos cada una. ¿Cuántas filas enteras obtendrá? ¿Le sobra alguna foto? Razona la respuesta.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE DIVIDE UNA CANTIDAD EN GRUPOS IGUALES? 24. Necesitamos envasar 10 rosquillas en cajas que tengan el mismo número de rosquillas cada una. ¿De cuántas formas se pueden envasar? PRIMERO. Se calculan todos los divisores de la cantidad.

10   1     10   2     10   3     10   4   0   10     0   5      1   3      2   2 El cociente, 2, es menor que el divisor, 4. Por tanto, no seguimos dividiendo. 10 : 1 = 10 " División exacta " Divisores: 1 y 10 10 : 2 = 5 " División exacta " Divisores: 2 y 5

104. ● ● María ha hecho 45 pasteles y los quiere guardar en cajas. ¿De cuántas maneras los puede guardar para que no sobre ninguno? 105. ● ● Paco tiene 20 láminas de madera y tiene que ponerlas en montones, con el mismo número de láminas en cada uno, sin que le sobre ninguna. ¿Cuántas láminas puede poner en cada montón? 106. ● ● Ana tiene 7 macetas de geranios y las quiere colocar en grupos, de manera que cada grupo tenga el mismo número de macetas y no sobre ninguna. ¿Cuántas macetas puede poner en cada grupo?

SEGUNDO. Los

divisores son las formas en que se puede agrupar la cantidad. Divisores: 1 y 10 Se pueden envasar en 1 caja de 10 rosquillas o en 10 cajas de 1 rosquilla. Divisores: 2 y 5 Se pueden envasar en 2 cajas de 5 rosquillas o en 5 cajas de 2 rosquillas.

100. ●● Cristina tiene 24 coches de juguete y quiere colocarlos en fila, de modo que en cada fila haya la misma cantidad de coches. ¿De cuántas maneras puede hacerlo? 101. ●●● Carmen cuenta sus 24 coches de juguete de 3 en 3 y Alberto lo hace de 4 en 4. ¿Coinciden en algún número? ¿Qué tienen en común dichos números? 102. ●● Eduardo trabaja en una tienda de animales. Hay 8 canarios y quiere ponerlos en jaulas, con el mismo número de canarios en cada una, sin que sobre ninguno. ¿De cuántas formas puede colocar los canarios en las jaulas?

25. ● ● Maite ha regado hoy los geranios y los cactus de la terraza. Riega los geranios cada 3 días y los cactus cada 9 días. ¿Cuántos días tienen que pasar como mínimo hasta que Maite vuelva a regar las dos plantas el mismo día? 26. ● ● Fran y Raquel van a patinar a la misma pista. Fran va cada 4 días y Raquel, cada 5 días. Hoy han ido los dos. ¿Dentro de cuántos días volverán a coincidir por primera vez en la pista de patinaje?

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3 DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Aunque Leonardo da Vinci es más conocido por su pintura, su contribución a las matemáticas también es importante. Averigua alguna de sus aportaciones. 2. Busca información sobre Luca Pacioli y los trabajos que realizó con Leonardo da Vinci.

Fracciones Entre la proporción divina y la humana Da Vinci entró en la sala donde estaba Luca Pacioli examinando las ilustraciones de su libro. –Vuestro trabajo me parece fantástico, Leonardo –dijo el fraile ordenando los dibujos geométricos. –Gracias, padre Pacioli –respondió Da Vinci e hizo una leve inclinación–. Vuestra obra, La divina proporción, lo merecía. –Acerté al encargaros las ilustraciones del libro, pues sabía que el tema de las proporciones os apasionaría desde el momento en que me enseñasteis el boceto del Hombre de Vitruvio –remarcó Pacioli. –Las proporciones humanas que Vitruvio recoge en su tratado se ajustan a los cánones de belleza del arte actual –explicó Da Vinci–. ¿Sabéis que la distancia del codo al extremo de la mano es un quinto de la altura de un hombre, que la distancia del codo a la axila es un octavo o que la longitud de la mano es un décimo?

3. Investiga sobre las aportaciones a las matemáticas de Luca Pacioli y su relación con las fracciones.

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Antes de empezar la unidad... LECTURA DE FRACCIONES Los términos de una fracción se llaman numerador y denominador. Numerador

F

5 7

F

Denominador

Para leer fracciones se lee primero el número del numerador y, después, se expresa el denominador como se indica en la siguiente tabla: 2

Denominador

3

medios

Se lee

4

tercios cuartos

5

6

7

8

9

10

quintos

sextos

séptimos

octavos

novenos

décimos

Si el denominador es mayor que 10, se lee el número añadiendo la terminación -avos.

Las fracciones se utilizan para expresar cantidades incompletas de la unidad.

F

F

5 se lee cinco séptimos 7 F

F

2 se lee dos quintos 5 Cuando el denominador es mayor que 10:

F

F

3 se lee tres onceavos 11

EVALUACIÓN INICIAL PLAN DE TRABAJO

1 Indica cómo se leen las siguientes fracciones.

a)

9 4

c) 

3 2

e) 

12 8

b)

5 13

d) 

1 5

f) 

11 15

2 Escribe cómo se lee.

a) Una fracción con numerador 3 y denominador 5. b) Una fracción con numerador 2 y denominador 7. c) Una fracción con denominador 9 y numerador 4. d) Una fracción con denominador 6 y numerador 17. 1. Escribe en forma de fracción. a) Siete novenos. b) Dos décimos.

c) Diez doceavos. d) Trece sextos.

En esta unidad aprenderás a… • Manejar las distintas interpretaciones de una fracción. • Identificar y hallar fracciones equivalentes a una fracción dada. • Comparar y ordenar fracciones. • Realizar operaciones con fracciones.

41

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Números fraccionarios

1

a Una fracción es una expresión , donde a y b son números naturales b llamados numerador y denominador, respectivamente. a puede expresar un valor respecto a un total que llamamos b unidad. En este caso: •  Su denominador, b, representa el número de partes iguales en que se divide la unidad. •  Su numerador, a, representa el número de partes que se toman.

Una fracción

ANTES, DEBES SABER… Cómo se representa geométricamente una fracción Para representar una fracción, se suelen utilizar figuras geométricas que consideramos como la unidad. • Dividimos la unidad en tantas partes como indica el denominador. • Coloreamos tantas partes como indica el numerador.

G

3 10

EJEMPLO 1 Escribe como fracción la parte coloreada de cada figura, e indica el numerador y el denominador. a)

5 9



b)

G

Numerador

G

Denominador

   

13 18

G

Numerador

G

Denominador

EJEMPLO 7

G

4

G

G

1

Expresa como fracción esta situación:

De un bizcocho dividido en 7 partes, nos comemos 4.

G

Tomamos 4 partes  "  Numerador 4 2 Dividido en 7 partes  "  Denominador " 7   4 7

La fracción representa una parte de la unidad.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Indica cuál es el numerador y el denominador.

a)

9 4

b)

6 11

c)

1 22

1 Representa estas fracciones.

a)

3 4

5 b) 7

c)

4 12

42

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Fracciones propias e impropias

2

ANTES, DEBES SABER… Cómo se comparan las fracciones con la unidad • Una fracción es menor que la unidad si el numerador es menor que el denominador. • Una fracción es mayor que la unidad si el numerador es mayor que el denominador. EJEMPLO 2 Escribe la fracción coloreada y compárala con la unidad. a)

b)

3 11 < 1, porque 3 < 7     > 1, porque 11 > 6 7 6



•  Una fracción es propia cuando el numerador es menor que el denominador. Representa un número menor que la unidad. Si el numerador y el denominador son iguales, la fracción es igual a la unidad.

•  Una fracción es impropia si tiene el numerador mayor que el denominador. Representa un número mayor que la unidad. EJEMPLO 4

6 = 1  "  6

Determina cuáles de las siguientes fracciones son propias o impropias. a)

2 6

a)

2   "  6

b)

8 6 Numerador < Denominador 2  Fracción propia 2 < 6



Representa un número menor que la unidad. b)

8   "  6



Numerador > Denominador Fracción 2  impropia 8 > 6

Representa un número mayor que la unidad.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 2 Escribe la fracción representada y compárala

con la unidad. a)

b)

5 Indica si estas fracciones son propias,

impropias o iguales a la unidad. a)

17 35

b)

43 42

c)

5 5

d)

13 18

gráficamente las fracciones, y di 6 Representa 

si son menores, iguales o mayores que la unidad. a)

7 5

b)

4 7

c)

16 16

d)

9 3

43

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3

2 8 y son equivalentes, 5 20 porque representan la misma cantidad.

Fracciones equivalentes

  

2 5

"

a c a c y , son equivalentes, y se escribe = , cuando b d b d a c representan la misma cantidad. Si = , se cumple que a ? d = b ? c. b d



8 20

"

EJEMPLO

Dos fracciones,

6

¿Son equivalentes las fracciones

2 8 3 6 ? ¿Y las fracciones y ? y 5 20 5 30

2 ? 20 = 5 ? 8 2 8 2 8   si se cumple que:  40 = 40 2 " y son equivalentes. = 5 20 5 20 3 ? 30 = 5 ? 6 3 6 3 6   si se cumple que:  90 ! 30 2 " y no son equivalentes. = 5 30 5 30

3.2  Cómo obtener fracciones equivalentes •  Amplificación: consiste en obtener una fracción equivalente multiplicando el numerador y el denominador por el mismo número. •  Simplificación: consiste en obtener una fracción equivalente dividiendo el numerador y el denominador entre un divisor común de ambos. EJEMPLO SE ESCRIBE ASÍ

8

Amplificación

Halla dos fracciones equivalentes a por simplificación.

12 12 ? 2 = 18 18 ? 2

AMPLIFICACIÓN

• Como 12 ? 36 = 18 ? 24: 12 24 son equivalentes. y 18 36 • Como 12 ? 6 = 18 ? 4: 12 4 y son equivalentes. 18 6

12 12 ? 2 24 = = 18 18 ? 2 36

Simplificación 12 12 : 3 = 18 18 : 3

12 , una por amplificación y otra 18

SIMPLIFICACIÓN

12 12 : 3 4 = = : 18 18 3 6

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 3 Representa cada una de las siguientes fracciones

y decide si son equivalentes. 6 3 5 2 b) y a) y 8 4 7 3 9 Comprueba si las fracciones son equivalentes.

a)

3 15 y 4 20

b)

6 4 y 8 10

13 Obtén tres fracciones equivalentes

por amplificación. 11 a) 2

b)

9 7

14 Obtén, si es posible, dos fracciones

equivalentes por simplificación. a)

125 75

b)

48 60

44

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3.3  Fracción irreducible ANTES, DEBES SABER…

RECUERDA

Cuándo un número es divisor de otro Un número a es divisor de otro número b si la división de b entre a es exacta. EJEMPLO 3 Comprueba si 2 y 5 son divisores de 12. 12 2  0 6

La división 12 : 2 es exacta " 2 es divisor de 12.

12 5  2 2

La división 12 : 5 no es exacta " 5 no es divisor de 12.

Una división es exacta si su resto es cero.  D    d  0 6

D=d?c

12 2  0 6

12 = 2 ? 6

Cuándo 2, 3 o 5 son divisores de un número • 2 es divisor de un número si el número termina en 0 o en una cifra par. • 3 es divisor de un número si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. • 5 es divisor de un número si el número termina en 0 o en 5. EJEMPLO 4 Decide si 2, 3 o 5 son divisores de estos números.

Dos números tienen un divisor común si es divisor de ambos.

a)  12 b)  15 ¿Tienen algún divisor común? a) 2 es divisor de 12, ya que termina en cifra par.

3 es divisor de 12, pues 1 + 2 = 3 es múltiplo de 3.



5 no es divisor de 12, porque no termina en 0 o en 5.

b) 2 no es divisor de 15, ya que no termina en 0 o en cifra par.

3 es divisor de 15, pues 1 + 5 = 6 es múltiplo de 3.



5 es divisor de 15, porque termina en 5.



Como 3 es divisor de ambos, es un divisor común de 12 y 15.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Di si es cierto o no.

6 ¿Tienen divisores comunes estos números?

Indica cuáles son.

a) 4 es divisor de 18. b) 9 no es divisor de 95. c) 12 no es divisor de 72.

a) 25 y 75 b) 12 y 36

5 Decide si 2, 3 o 5 son divisores de los siguientes

números. a) 18 b) 32

c) 25 d) 70

c) 13 y 25 d) 7 y 12

7 Di si es cierto o no.

a) 5 es divisor común de 15 y 25. b) 3 no es divisor común de 12 y 15. c) 2 no es divisor común de 12 y 25.

45

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Decimos que una fracción es irreducible si no se puede simplificar. Si una fracción es irreducible, su numerador y su denominador no pueden tener divisores comunes. EJEMPLO 75 . 105 • 2 no es divisor de 75, ya que no termina en 0 o en cifra par.

5 Halla la fracción irreducible de

3 es divisor de 75, pues 7 + 5 = 12 es múltiplo de 3, y también es divisor de 105, porque 1 + 0 + 5 = 6 es múltiplo de 3. 75 75 : 3 25 Como 3 es divisor de 75 y 105 " = = 105 105 : 3 35 • 2 no es divisor de 25, ya que no termina en 0 o en cifra par. 3 no es divisor de 25, porque 2 + 5 = 7 no es múltiplo de 3.

RECUERDA

5 es divisor de 25 y de 35, porque ambos terminan en 5. 25 25 : 5 5 Como 5 es divisor de 25 y 35 " = = : 35 35 5 7 • 5 es un número primo.

Un número es primo si solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.

7 es un número primo. 5 y 7 no tienen divisores comunes "

5 75 es la fracción irreducible de . 7 105

EJEMPLO 9

Calcula la fracción irreducible de

12 . 18

Simplificamos la fracción dividiendo entre los sucesivos divisores comunes del numerador y el denominador. 12 12 : 2 6   2 es divisor de 12 y 18   "  18 = 18 : 2 = 9 6 6:3 2   3 es divisor de 6 y 9   "  9 = 9 : 3 = 3 2 y 3 no tienen divisores comunes  " 

2 12 es la fracción irreducible de . 3 18

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 8 Halla la fracción irreducible de cada una

15 ¿Son irreducibles estas fracciones? En caso

de que no lo sean, obtén su fracción irreducible.

de las siguientes fracciones. 50 15 d) a) 100 75 b) c)

42 90

e)

72 45

f)

a)

100 150 200 75

70 25 40 72     d)      b)      c)  18 7 60 90

20 40 la fracción irreducible de ? 45 90 Indica por qué.

9 ¿Es



46

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Comparación de fracciones

4

Dadas dos fracciones, siempre habrá una de ellas que sea menor, igual o mayor que la otra.

4.1  Fracciones con el mismo denominador Cuando dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene mayor numerador. EJEMPLO 10 Compara las fracciones Como 3 5

" 

2 5

"

3 2 y . 5 5

3 2 3 2 y tienen el mismo denominador y 3 > 2 " > . 5 5 5 5

4.2  Fracciones con el mismo numerador Cuando dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador. EJEMPLO 11 Compara las fracciones Como

1 1 y . 4 2

1 1 1 1 y tienen el mismo numerador y 2 < 4 " > . 4 2 2 4

1 4

" 

1 2

"

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 17 Compara estas fracciones.

a) 

5 4 3 3 y            b)  y 6 6 7 5

10 Ordena las siguientes fracciones, de mayor

a menor. 7 3 1 a) , y 5 5 5

b) 

7 7 7 , y 9 5 13

11 Ordena estas fracciones, de menor a mayor.

a)

8 8 8 , y 15 7 3

b) 

17 13 1 y , 4 4 4

12 Copia y completa para que las comparaciones

sean ciertas. 4 4 < a) 15 15

b) 

6 6 > 5 4

47

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4.3  Fracciones con distinto denominador y numerador ANTES, DEBES SABER… Cómo se calcula el mínimo común múltiplo Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números: 1.°  Descomponemos los números en factores primos. 2.º Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. 3.º  El producto de esos factores es el m.c.m. de los números.

Reducir a común denominador dos o más fracciones consiste en obtener otras fracciones equivalentes a ellas con el mismo denominador. EJEMPLO El m.c.m. de dos o más números es el menor de sus múltiplos comunes.

12 Reduce a común denominador las fracciones

5 7 . y 9 12

Primero calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. 9 = 32 3 "  m.c.m. (9, 12) = 22 ? 32 = 4 ? 9 = 36 12 = 22 ? 3 El denominador común de las nuevas fracciones es el m.c.m. Para calcular el numerador de cada nueva fracción, dividimos el m.c.m. entre el denominador, y el resultado lo multiplicamos por el numerador. 5 9

36 : 9 ? 5

F

=

F

m.c.m. (9, 12) = 36

20 36

      

7 12

36 : 12 ? 7

F

=

F

m.c.m. (9, 12) = 36

21 36

Cuando dos fracciones tienen distinto denominador y numerador, se reducen a común denominador y se comparan los numeradores.

RECUERDA Descomponer números en factores primos es expresarlo como producto de sus divisores primos.

EJEMPLO 13 Compara las fracciones

12  2

5 7 . y 9 12

5 20 7 21 20 21           = = < 9 36 12 36 36 36

  6  2    12 = 22 ? 3

F

  3  3

5

7

" 9 < 12

20 < 21

 1

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 21 Reduce a común denominador.

a)

2 1 5 , , 3 4 6

b)

4 1 3 , , 5 10 4

22 Compara estas fracciones.

a)

5 3 y 6 4

b)

7 3 y 4 9

48

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Suma y resta de fracciones

5

5.1  Fracciones con el mismo denominador Para sumar (o restar) fracciones con igual denominador, se suman (o se restan) los numeradores y se mantiene el mismo denominador. EJEMPLO

b) 

9 1 9-1 8 4 - = = = 6 6 6 6 3 F

F

14 Calcula. 5 7 5+7 12 3 = = a)  + = 8 8 8 8 2 Simplificamos 

Los resultados deben simplificarse siempre. La fracción final debe ser irreducible.

Simplificamos

5.2  Fracciones con distinto denominador ANTES, DEBES SABER… Cómo se expresa un número natural como fracción Cualquier número natural se puede escribir en forma de fracción con denominador 1.    15 7         7= 15 = 1 1

Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador: 1.º Obtenemos fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador, reduciendo a común denominador. 2.º Se suman (o se restan) los numeradores, manteniendo el mismo denominador. EJEMPLO 6 Calcula.      a) 

3 7 2 +       b)  15 5 4 9

a) 5 = 5      4 = 22      m.c.m. (5, 4) =5 ? 22 = 20

3 7 20 : 5 ? 3 20 : 4 ? 7 12 35 47 + = + = + = 5 4 20 20 20 20 20

b) 15 -

2 15 2 9 ? 15 2 135 2 133 = - = - = - = 9 1 9 9 9 9 9 9

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 25 Calcula.

a)

4 5 - 3 6

13 Expresa los números como fracción y opera.

b)

9 1 + 8 3

a)

11 + 3 27

b) 17 -

7 12

49

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6

Multiplicación de fracciones

El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores, y por denominador, el producto de los denominadores. a c a?c ? = b d b?d EJEMPLOS 16 Halla el producto de estas fracciones. 3 5 3?5 15   ? = = 2?7 14 2 7 F

6 5 6?5 30 15 ? = = = b)  11? 4 44 22 11 4

Cualquier número natural se puede considerar como una fracción con denominador 1. 3=

F  racción irreducible

F

a)

Simplificamos

F

17 Obtén el producto de estos números por una fracción. 7 3 7 3?7 21 5 5 8 5?8 40 20 =    b)  ? 8 = ? = = = a) 3 ? = ? = 1 4 1? 4 4 6 1 6 ?1 6 3 4 6

3 1

7

Simplificamos

División de fracciones

F

F

Al dividir dos fracciones obtenemos otra fracción que es el resultado de multiplicar los términos de ambas fracciones de manera cruzada. a c a?d : = b d b?c EJEMPLO 20 Efectúa las siguientes divisiones. a)

2 5 2 2 2?2 4 : = ? = = 3 2 3?5 15 3 5

b) 

6 6 ?1 2 6 3 6 :3 = : = = = 7 7 1 7?3 7 21

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 29 Calcula y simplifica.

35 Efectúa las divisiones.

a)

3 11 ? 8 9

c)

2 7 ? 15 5

a)

9 3 : 10 4

c) 

9 5 : 2 7

b)

4 7 ? 5 12

d)

7 15 ? 6 6

b)

48 2 : 15 3

d)

12 8 : 5 7

30 Resuelve y simplifica.

a) 10 ?

4 5

14 Realiza estas divisiones y simplifica.

b) 15 ?

7 6

a) 15 :

2 5

b)

18 :2 4

50

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08/07/11 20:33

Jerarquía de las operaciones con fracciones

8

ANTES, DEBES SABER… Cómo se realizan operaciones combinadas con números naturales Al operar con números naturales resolvemos: 1.º Las operaciones que hay entre paréntesis. 2.º Las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha. 3.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha. EJEMPLO

Es importante respetar el orden de las operaciones para obtener el resultado correcto.

7 Resuelve esta operación: Paréntesis

F

25 - (4 ? 3 - 2) + 14 : (3 + 4) =

Multiplicaciones y divisiones

F

= 25 - (12 - 2) + 14 : 7 = = 25 - 10 + 14 : 7 =

F

= 25 - 10 + 2 = Sumas y restas

= 17

Al realizar operaciones combinadas con fracciones, el orden que se sigue es el mismo que en las operaciones con números naturales. 1.º  Las operaciones que hay entre paréntesis. 2.º  Las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha. 3.º  Las sumas y las restas, de izquierda a derecha. EJEMPLO

Paréntesis

F

3 6 1 4 + :d + n= 5 5 2 5 3 6 5 8 3 6 13 + :d + = n= + : 5 5 10 10 5 5 10

F

8 Calcula.  

3 6 ? 10 3 60 + = + = 5 5 ? 13 5 65

= Multiplicaciones y divisiones Sumas y restas

F

= =

39 60 99 + = 65 65 65

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 38 Calcula, indicando los pasos que sigues.

39 Opera.

a) 

7 1 5 : + 3 2 4

a) e

b)

4 3 7 1 + ? 2 2 3 5

b)

14 3 5 11 - o? + 5 7 12 3

9 17 3 3 1 -e + o: ? 7 8 5 2 9

51

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Fracciones equivalentes

Fracción Numerador 

F

Denominador 

F

    

4 5

2   "  5

F

Numerador < Denominador

Menor

Fracción irreducible 4 es irreducible, porque 4 y 5 no tienen 5 divisores comunes.

Fracción impropia 7 5

F

Numerador > Denominador

8   "  20

2 8 y son equivalentes. 5 20

Fracción propia 5 7

   

Mayor

HAZLO DE ESTA MANERA

1. COMPROBAR SI DOS FRACCIONES SON EQUIVALENTES Comprueba si estas fracciones son equivalentes.    a) 

2 4 5 3 y      b)  y 3 6 3 4

PRIMERO. Multiplicamos el numerador

SEGUNDO. Comprobamos si ambos productos son

de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.

iguales. En ese caso, las fracciones son equivalentes. 2 4 a)  18 = 18 " y son equivalentes. 3 6

a)  2 ? 9 = 18

3 ? 6 = 18

b)  20 ! 9 "

b)  5 ? 4 = 20 3 ? 3 = 9

5 3 no son equivalentes. y 3 4

1. CALCULAR LA FRACCIÓN IRREDUCIBLE Halla la fracción irreducible de y el denominador.

el m.c.d. del numerador

SEGUNDO. Dividimos

el numerador y el denominador entre su m.c.d.

72 = 2 3 ? 32 3 " m.c.d. (72, 90) = 2 ? 32 = 18 90 = 2 ? 32 ? 5

72 72 : 18 4 = =   : 90 18 5 90

F

PRIMERO. Calculamos

72 . 90

  Fracción irreducible

2. REDUCIR FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR Reduce a común denominador estas fracciones: PRIMERO. Hallamos

7 8 y 15 9

el m.c.m. de los denominadores.

SEGUNDO. El

m.c.m. de los denominadores es el nuevo denominador de las fracciones.

7 15

15 = 3 ? 5

45 : 15 ? 7

=

F F

21 45

2 9 = 32 " m.c.m. (15, 9) = 3 ? 5 = 45

8 9

45 : 9 ? 8

=

F F

m.c.m. (15, 9) = 45 m.c.m. (15, 9) = 45        Para obtener el nuevo numerador, dividimos el m.c.m. entre el denominador, y el resultado lo multiplicamos por el numerador.

40 45

52

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3. COMPARAR FRACCIONES Compara las fracciones

7 8 y . 15 9 7 21 = 15 45 8 40 = 9 45

PRIMERO. Si

tienen distinto denominador, reducimos a común denominador.

SEGUNDO. Si

tienen el mismo denominador, es mayor la fracción que tiene mayor numerador.

21 < 40 "

"

21 40 < 45 45 7 8 < 15 9

4. SUMAR Y RESTAR FRACCIONES Calcula la siguiente suma de fracciones: PRIMERO. Si

7 3 + 4 10

las fracciones no tienen el mismo denominador, las reducimos a común denominador.

4 = 22 3 " m.c.m. (4, 10) = 22 $ 5 = 20 10 = 2 $ 5 7 4 SEGUNDO. Si

20 : 4 ? 7

=

F F

m.c.m. (4, 10) = 20

35 20

      

3 10

20 : 10 ? 3

=

F F

m.c.m. (4, 10) = 20

6 20

las fracciones tienen el mismo denominador, sumamos los numeradores, y simplificamos,

si se puede. 7 3 35 6 41 + = + = 4 10 20 20 20

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras

Calcular la fracción irreducible

1. Halla dos fracciones equivalentes a

3 . 5

2 4 1. Representa las fracciones y , y decide 3 6 si son equivalentes.



¿Y las fracciones

5 7 y ? 7 6

44 . 16

Reducir fracciones a común denominador 4. Reduce a común denominador

3 6 y . 12 16

Comparar fracciones

Comprobar si dos fracciones son equivalentes 2. ¿Son equivalentes las fracciones

3. Halla la fracción irreducible de

5. Ordena, de mayor a menor: 4 2 y ? 12 6

25 83 44 , , 33 24 24

Sumar y restar fracciones 6. ¿Cuál es la solución de

3 3 3 + - ? 5 2 4

53

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Actividades NÚMEROS FRACCIONARIOS

FRACCIONES EQUIVALENTES

15. ● Indica cuál es el numerador y el denominador.

50. ● Dadas las siguientes figuras, indica cuáles representan fracciones equivalentes.

a)

11 14

c)

3 12

e)

1 9

b)

25 34

d)

13 45

f)

11 92 b)

16. ● Representa estas fracciones, e indica cuál es el numerador y el denominador. a)

6 10

c)

4 7

e)

3 5

b)

3 8

d)

9 15

f)

1 7



a)

c)

d)

51. ● Determina si las fracciones son equivalentes. a)

13 52 y 7 21

b)

3 8 y 4 11

c)

15 105 y 6 36

53. ● Calcula dos fracciones equivalentes por amplificación y otras dos por simplificación.

17. ● Expresa como fracción las siguientes situaciones. a) De un jardín con 12 plantas, se marchitan tres. b) De un autobús con 16 personas, se bajan siete. c) De una librería con 27 novelas, me venden cinco.

a)

14 42

b)

24 36

c)

50 75

d)

8 20

HAZLO ASÍ 44. ●● Indica qué fracción determina cada una de las afirmaciones.

¿CÓMO SE CALCULA EL TÉRMINO DESCONOCIDO

PARA QUE DOS FRACCIONES SEAN EQUIVALENTES?

a) Quince minutos de una hora. b) Siete meses en un año. c) Tres huevos de una docena. d) Trece letras del abecedario.

20. Calcula el número que falta para que las 3 4 sean equivalentes. fracciones y 8 4 PRIMERO. Se

48. ● Dadas las siguientes fracciones, indica cuál es mayor, igual o menor que la unidad. a)

8 3

b)

5 6

1 c) 1

d)

7 2

18. ● Indica si estas fracciones son propias, impropias o iguales a la unidad. 1 a) 5 b)

15 6

23 c) 45 d)

8 8

21 e) 29 f)

51 55

19. ●● Representa las fracciones y decide si son propias o impropias. a)

3 8

c)

2 10

e)

12 9

b)

25 7

d)

8 18

f)

11 15

aplica la propiedad que cumplen dos fracciones equivalentes. 3 4 = " 3 ? 8 = 4 ?4 8 4

SEGUNDO. Se

calcula el producto de los dos términos

conocidos. 3 ? 8 = 24 TERCERO. Se busca el número que, al multiplicarlo por

el tercer término conocido, resulta el mismo producto. Para que resulte 24 multiplicamos 4 ? 6, y así: 4 = 6 52. ● ● Completa las fracciones para que sean equivalentes. a)

9 18 = 5 4

b)

8 24 = 3 4

c)

13 4 = 2 4

54. ● ● Completa las siguientes fracciones para que sean equivalentes. a)

7

4

=

14 4 = 4 6

b)

4 8 4 = = 5 15 4

54

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12 a) 20

52 b) 36

81 c) 18

12 d) 48

56. ●● Determina las fracciones irreducibles. a)

3 70 45 49 54      b)       c)       d)       e)  12 33 32 35 27

COMPARACIÓN DE FRACCIONES 58. ● Compara las fracciones colocando el signo < o >. 2 4 7 4 8 9 c) e) , , a) , 3 3 27 17 14 16 3 4 9 9 5 7 b) , d) , f) , 17 18 23 17 34 18 59. ● Ordena, de menor a mayor. 3 , 7 3 b) , 7 a)

4 , 7 3 , 2

1 , 7 3 , 5

6 7 3 4

3 5 7 , , 8 12 6 26 101 3 d) , , 33 108 2 c)

33 108 2 , , 26 101 3 8 12 6 f) , , 3 5 7 e)

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE COMPARAN UN NÚMERO Y UNA FRACCIÓN? 60. ¿Es 3 menor que

7 ? 2

expresa el número como una fracción con el mismo denominador que la fracción dada. 3?2 6 = 3= 2 2 comparan las fracciones. 6 7 7 < " 3< 2 2 2

14 19 61. ● ¿Es 4 mayor que ? ¿Es 5 mayor que ? 3 4

OPERACIONES CON FRACCIONES 63. ● Calcula y simplifica el resultado de las siguientes operaciones. 4 5 8 + + 9 9 9 7 5 3 b) - + 8 8 8 a)

23 1 45 5 18 2 d) 8 3 c)

64. ● Resuelve estas operaciones y simplifica. 3 5 2 2 7 1 c) + a) + - 4 6 3 5 30 3 7 3 5 4 1 1 b) d) - - + 12 8 6 9 4 12

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE OPERA CON NÚMEROS Y FRACCIONES? 4 1 65. Calcula: + 2 3 6 PRIMERO. Se expresa el número en forma de fracción, poniendo como denominador 1. 2 2= 1 SEGUNDO. Se realiza la operación. 4 1 4 2 1 8 12 1 19 +2- = + - = + - = 3 3 1 6 6 6 6 6 6

m.c.m. (1, 3, 6) = 6

42. ● Escribe estos números como fracción.

PRIMERO. Se

SEGUNDO. Se

21. ● Calcula y simplifica. 1 7 a) + 5 2 12 15 b) + 8 6

F

55. ● Calcula la fracción irreducible.

4 2 5 + + 15 15 15 9 5 3 d) + + 12 12 12 c)

a) 9

b) 10

c) 23

d) 14

66. ● Resuelve y simplifica el resultado. 2 1 1 5 a) + 4 - c) 3 - 3 8 9 4 5 7 11 7 5 b) d) + - 2 - +3 16 4 5 10 4 67. ● ● Calcula y simplifica. 2 3 a) + 7 7 37 11 b) - 18 8 6 6 c) + 8 7 11 11 d) - 6 8 2 3 e) + 3 27 37 14 f) 18 9

2 3 9 + + 7 7 7 25 7 4 h) - 6 6 18 1 2 i) 3 + + 35 5 4 37 j) 5 - 45 9 2 7 k) 1 + + 9 30 14 17 l) 4 27 9 g)

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68. ● Efectúa los siguientes productos. 2 7 a) ? 3 5 6 1 b) ? 5 2

4 6 c) $ 7 8 3 4 d) ? 5 9

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE DE UNA FRACCIÓN? 23. Calcula. a)

69. ● Calcula. 3 a) 4 ? 5 6 b) 5 $ 7

9 c) 2 ? 4 5 d) 8 ? 6

70. ● Resuelve. 1 3 5 ? ? 4 5 6 7 4 9 b) ? ? 12 5 2

9 7 5 ? ? 8 3 6 6 10 7 d) ? ? 5 3 2

c)

a)

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE DE UN NÚMERO? 22. Calcula.

PRIMERO. Se

identifica la fracción que representa la parte del número que se quiere calcular.

1 4

multiplica la fracción que representa la parte por el número. 3 3 3 ? 30 de 30 = ? 30 = = 18 5 5 5

1 1 1 ? 24 b) de 24 = ? 24 = =6 4 4 4 43. ● Calcula. 1 a) de 50 2 b)

identifica la fracción que representa la parte de la fracción que se quiere calcular. 2 a) 6 1 b) Tercera parte " 3 SEGUNDO. Se

multiplican las fracciones.

a)

2 3 2 3 2?3 6 de = ? = = 6 5 6 5 6?5 30

b)

1 3 1 3 1? 3 3 de = ? = = 3 5 3 5 3?5 15

71. ● Calcula y simplifica. 3 12 de 4 5 1 4 d) de 6 3

c)

24. ● ● Calcula.

b) La mitad de

SEGUNDO. Se

a)

PRIMERO. Se

a) La sexta parte de

b) Cuarta parte "

3 . 5

1 8 de 3 2 5 2 b) de 15 7

b) La cuarta parte de 24.

3 5

b) La tercera parte de

a)

3 a) de 30. 5

a)

2 3 de . 6 5

3 de 100 2

73. ●● Calcula. a) La tercera parte de 75. b) La quinta parte de 80.

c)

3 de 4 4

d)

7 de 180 9

5 . 8

3 . 4

c) La cuarta parte de

12 . 5

79. ● Escribe la inversa de cada fracción. 6 9 7 b) c) a) 3 5 4

d)

8 7

81. ● Efectúa las siguientes divisiones. 3 2 5 4 c) : a) : 5 3 6 3 7 9 4 8 b) : d) : 4 2 9 3 82. ● Resuelve. 2 a) 4 : 5 15 : 5 b) 4

c) 3 : d)

7 2

3 :6 4

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83. ●● Realiza estas operaciones.

HAZLO ASÍ

12 1 3 a) - + 7 5 4 b)

3 7 6 1 + ? : 5 5 5 7

c)

13 1 16 7 : - + 2 3 5 4

d)

132 7 42 1 - : + 5 3 5 2

e)

6 3 7 1 : - ? 7 15 5 4

f)

3 17 6 1 : + : 2 5 5 2

¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE DEL TOTAL? 93. En una fiesta se colocaron bombillas de colores. Al terminar solo funcionaba un cuarto de ellas. ¿Qué parte de las bombillas se fundió? PRIMERO. Se

TOTAL: Todas PARTE: SEGUNDO.

a)

5 7 2 - e - o 9 6 3

d)

8 6 3 :e : o 3 7 2

b)

7 3 1 -e + o 5 10 3

e)

5 15 3 :e : o 3 2 4

3 1 7 o: f) e + 5 10 2

las bombillas 

"  1

Bombillas que funcionaban  " 

1 4

Se restan para calcular la otra parte.

1-

84. ●● Resuelve.

5 3 2 c) e + o- 12 8 3

expresan numéricamente el total

y la parte.

1 4 1 1 3 = - = 4- = 4 4 4 4 4

Se fundieron las tres cuartas partes de las bombillas. 94. ● ● Ana está pintando una pared. Si ya ha pintado la sexta parte, ¿qué fracción le queda por pintar?

85. ●● Calcula. a) e

11 2 - 2o + 4 5

d) e

9 2 3 ? o: 5 3 5

b)

3 5 7 ? e : o 4 6 2

e) e

9 3 5 - o: 4 8 4

c)

6 4 7 : e ? o 7 5 2

f) e

7 5 3 : o: 8 2 2

PROBLEMAS CON FRACCIONES 1 parte de su tiempo 3 1 5 a estudiar. a ver la televisión, a jugar y 4 12 ¿A qué actividad ha dedicado más tiempo?

87. ●● Pedro ha dedicado

90. ●● En el parque han plantado árboles: 1 son chopos, 3 7 son cipreses 15 1 y son encinas. 5

¿De qué tipo de árbol se ha plantado más?

95. ● ● En un partido de baloncesto, Pedro ha encestado la sexta parte de los puntos, Carlos la mitad y Juan el resto.

a) ¿Qué fracción de los puntos ha hecho Juan?



b) ¿Quién ha encestado más puntos?

96. ● ● En una merienda, las

3 partes son bebida, 8

1 1 son patatas fritas y frutos secos, siendo 6 3 el resto bocadillos. ¿Qué fracción representan los bocadillos? 97. ● ● En el pueblo de Rocío, las tres cuartas partes de las fincas están sembradas de trigo, un quinto de maíz, y el resto no está sembrado.

a) ¿Qué fracción de las fincas está sembrada?



b) ¿Qué fracción de las fincas no lo está?

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4 DESCUBRE LA HISTORIA... 1. ¿Quién fue John Napier? Busca información sobre su vida y sus aportaciones al mundo de las matemáticas y otras ciencias. 2. ¿A qué etapa de la vida de Napier crees que corresponde el episodio que se narra en este texto? ¿Podrías situarlo en un año concreto?

Números decimales Problemas contables Esa mañana de invierno era particularmente clara, lo que en Escocia no es habitual. Junto a la ventana, un hombre entrado en años repasaba mentalmente su vida mientras se dejaba acariciar por los rayos del sol. Se vio en la sala despidiéndose de su madre para ir a la universidad y recordó su consejo. –Honra a tu familia y que tu nombre, John Napier, sea sinónimo de rectitud y nobleza–. Aquella fue la última frase que escuchó de ella y la última vez que la vio. De sus pensamientos le sacaron dos niños que jugaban con unas tablillas: eran unas tablas que él había ideado y que servían para efectuar multiplicaciones. Después de mirar a los niños, volvió al quehacer diario de repasar los libros contables de su propiedad, donde se podían apreciar sus gastos. John Napier fue quien popularizó el uso de la coma como separador decimal.

3. Investiga sobre las aportaciones de John Napier al estudio de los números decimales.

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Antes de empezar la unidad... SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL En el sistema de numeración decimal, a cada cifra de un número le corresponde un orden de unidades. Centena Decena Unidad Centena de millón de millón de millón de millar 6

3

0

0

Decena de millar

Unidad de millar

Centena

Decena

Unidad

5

2

1

5

8

630 052 158 = 6 C. de millón + 3 D. de millón + 5 DM + 2 UM + 1 C + 5 D + 8 U = = 600 000 000 + 30 000 000 + 50 000 + 2 000 +100 + 50 + 8 630 052 158 se lee «seiscientos treinta millones cincuenta y dos mil ciento cincuenta y ocho». El sistema de numeración decimal es posicional, es decir, el valor de cada cifra depende del lugar o posición que ocupa en el número.

En el sistema decimal, 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior.

5 decenas = 50 unidades F

F

630 052 158 5 decenas de millar = 50 000 unidades

EVALUACIÓN INICIAL 1 Descompón los siguientes números en sus diferentes órdenes

de unidades. a) 53 478 b) 3 408 924 c) 700 401

d) 23 002 e) 1 003 f) 67 003 984

2 Descompón estos números y escribe cómo se leen.

a) 45 009 b) 1 568 002

c) 3 689 d) 56 005

3 Indica el valor de la cifra 3 en estos números.

a) 23 778 b) 3 008 204 c) 730 001

d) 13 003 e) 1 303 f) 37 003 934

1. Indica el valor de las cifras de estos números: 10 926 y 253 418.

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… •  Identificar y leer números decimales. •  Comparar números decimales. •  Operar con números decimales.

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1

Números decimales

ANTES, DEBES SABER… Qué son las unidades decimales 1 unidad  →  1 U

1 décima  →  1 d

1 centésima  →  1 c

1 milésima  →  1 m

F

F

F

m

1 U = 10 d 1 d = 0,1 U

1 U = 1 000 m 1 m = 0,001 U

1 U = 100 c 1 c = 0,01 U

Para expresar cantidades que representan partes de la unidad utilizamos las unidades decimales: décimas (d), centésimas (c), milésimas (m)…

0m 1U

Un número decimal es un número que se compone de: •  Parte entera: cifras situadas a la izquierda de la coma; esta parte del número es mayor que la unidad: unidades, decenas, centenas… •  Parte decimal: cifras situadas a la derecha de la coma; esta parte del número es menor que la unidad: décimas, centésimas, milésimas, diezmilésimas…

El número 3,4 se puede leer de estas maneras: •  3 unidades 4 décimas •  3 unidades 40 centésimas •  3 coma 4 •  3 con 4 ...

Para leer un número decimal, primero se lee la parte entera y, después, la parte decimal seguida del orden de unidades que ocupa la última cifra decimal. EJEMPLO 2

Descompón en sus órdenes de unidades el número 16,027. Parte entera

Parte decimal

Decenas

Unidades

Décimas

Centésimas

Milésimas

1

6

0

2

7

16,027 = 1 ? 10 + 6 + 0 ? 0,1 + 2 ? 0,01 + 7 ? 0,001 El número 16,027 se lee: «16 unidades 27 milésimas».

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Escribe con cifras.

3 Indica la parte entera y decimal.

a) Treinta y siete milésimas. b) Nueve unidades cuatro décimas. c) Cuatro unidades trescientas milésimas. 2 Escribe cómo se lee cada número.

a) 1,033

b)  0,09

c)  21,0021

a) 112,45 b) 0,25

c) 42,1 d) 7,25

e) 25,07 f) 0,003

4 Descompón en unidades estos números.

a) 5,439 b) 17,903

c) 0,88 d) 75,043

e) 0,028 f) 7,009

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20:37

1.1  Representación de números decimales ANTES, DEBES SABER… Cómo se representan números naturales Los números naturales se pueden representar ordenados en una recta. 1

2

3

4

5

6

7

Si dividimos una unidad decimal en 10 partes iguales, cada una de esas partes es una unidad de orden inmediatamente inferior. EJEMPLO 3

Representa en la recta numérica 2,6 y 2,66.

SE ESCRIBE ASÍ

El número 2,6 está comprendido entre 2 y 3. 2

2,6

Dividimos la unidad correspondiente en 10 partes iguales, que son las décimas.

3

•  2 < 5 2 es menor que 5

El número 2,66 está comprendido entre 2,6 y 2,7. 2,6

2,66

•  5 > 2 5 es mayor que 2

Dividimos cada décima en 10 partes iguales, que son las centésimas.

2,7

1.2  Comparación de números decimales Para comparar números decimales comparamos cada unidad decimal:

1.º Parte entera. Es mayor el número que tiene mayor parte entera.



2.º Parte decimal. Si la parte entera es igual, se comparan las décimas, las centésimas, las milésimas…, siendo mayor el número con mayor parte decimal, comparada cifra a cifra. EJEMPLO 4

Compara estos números: 7,1 y 7,101.

Al añadir ceros a la derecha de un decimal, el número sigue siendo el mismo. 1,35 1,350 1,3500 1,35000

Expresamos 7,1 como 7,100. Vemos que 7,100 y 7,101 tienen igual la parte entera e iguales también las cifras de las décimas y las centésimas, pero la cifra de las milésimas en 7,101 es mayor que en 7,1  →  7,1 < 7,101.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Escribe los números representados.

a) b) c)

7

8

8,3

8,4

9,8

9,9

7 Representa, en una recta numérica,

estos números: 2,3; 2,34; 2,37; 2,32. 8 Completa con el signo que corresponda.

a) 3,2 4 3,08 b) 0,086 4 0,087

61

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2

Suma y resta de números decimales

Para sumar o restar números decimales:

Solo podemos sumar o restar unidades con unidades, décimas con décimas, centésimas con centésimas...



1.º Colocamos los números, de forma que las comas decimales estén en la misma columna, y se añaden los ceros necesarios para que todos tengan el mismo número de decimales.



2.º Sumamos o restamos como si fueran números naturales, manteniendo la coma en su lugar correspondiente. EJEMPLOS 5 Efectúa 124,6 + 45,802 + 4,18.

Colocamos los números, de forma que las comas decimales estén alineadas, y añadimos los ceros necesarios para que todos tengan el mismo número de decimales.

1 2 4,6 0 0 4 5,8 0 2 + 0 24,1 8 0 1 7 4,5 8 2

6 Calcula 3,4 - 0,987.

13,4 0 0 - 0,9 8 7 2,4 1 3

ANTES, DEBES SABER… Cómo se realizan sumas y restas combinadas Primero resolvemos los paréntesis, si los hay, y después las sumas y restas de izquierda a derecha.

Sin paréntesis 14 - 5 + 3 = 9 + 3 = 12

Con paréntesis 14 - (5 + 3) = 14 - 8 = 6

EJEMPLO 7 Resuelve esta operación: 75,06 - 32,005 + 2,45

7 5,0 6 0 - 3 2,0 0 5 4 3,0 5 5

F

4 3,0 5 5 +3 2,4 5 0 4 5,5 0 5

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 11 Calcula.

a) 32,98 + 45,006 b) 7 + 8,003 c) 3,456 - 0,098

2 Realiza estas operaciones.

d) 0,56 - 0,249 e) 8,42 - 5,3 + 0,77 f) 4,001 + 2,11 - 0,723

a) 345,98 + (56,008 - 22,98) b) 54,009 - 2,87 + (7,8 - 5,6) c) 19,79 - (34,57 + 97,28)

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Multiplicación de números decimales

3

Para multiplicar dos números decimales:

1.º Los multiplicamos como si fueran números naturales. 2.º Colocamos la coma en el resultado, separando tantas cifras como decimales sumen entre los dos factores, contando de derecha a izquierda. EJEMPLO 9

Calcula. a) 34,5 ? 0,17 3 4,5 #  0,1 7 2,4,1 5 3 4,5 0 5,8 6 5

G G

G

b) 6,815 ? 3,08 1 cifra decimal + 2 cifras decimales

3 cifras decimales

6,8 1 5 #   3,0 8 5 4 5,2 0 2,0 4 4 50 0 2 0,9 9 0 2 0

G

3 cifras decimales + 2 cifras decimales

G

5 cifras decimales

G

ANTES, DEBES SABER… Cómo se multiplica un número natural por la unidad seguida de ceros Para multiplicar un número natural por la unidad seguida de ceros, se le añaden al número tantos ceros como tenga la unidad. G

G

G

12 ? 10 = 120     12 ? 100 = 1 200     12 ? 1 000 = 12 000

•  Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros, desplazamos la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad. •  Para multiplicar un número decimal por 0,1; 0,01; 0,001…, desplazamos la coma del número decimal hacia la izquierda tantos lugares ­como ceros tenga el factor 0,1; 0,01; 0,001… EJEMPLO

DATE CUENTA

10 Calcula.

a) 102,35 ? 10 = 1 023,5  b) 59,87 ? 1 000 = 59 870  c) 12,39 ? 0,1 = 1,239  d) 8,17 ? 0,01 = 0,0817 

  La coma se desplaza a la derecha un lugar.   La coma se desplaza a la derecha tres lugares.   La coma se desplaza a la izquierda un lugar.  La coma se desplaza a la izquierda dos lugares.

F

F F F

Al multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros o por 0,1; 0,01; 0,001…, si no hay suficientes decimales, añadimos ceros.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 15 Calcula.

a) 42,6 ? 5,9    b)  24,8 ? 0,05    c)  765,3 ? 3,8

16 Realiza estas multiplicaciones.

a) 42,6 ? 10   b)  123,77 ? 0,001   c)  765,3 ? 100

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4

División de números decimales

ANTES, DEBES SABER… Cuáles son los términos de la división Dividendo  Resto 

  25    2  05    12   1

F

  Divisor   Cociente

F F

F

4.1  Un número decimal entre un número natural Para dividir un número decimal entre un número natural: 1.º Realizamos la división como si fueran números naturales. 2.º Al bajar la primera cifra decimal, ponemos una coma en el cociente. 3.º Continuamos la división. EJEMPLO Propiedad de la división Al multiplicar el dividendo y el divisor por el mismo número, el cociente no varía.

11 Calcula 11,35 : 5.

1 1,3 5    5 Al bajar la primera cifra decimal, 3, ponemos   1 3      2,2 7 una coma en el cociente y continuamos la división.    3 5      0

4.2  Un número natural entre un número decimal Para dividir un número natural entre un número decimal: 1.º Multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya en el divisor. 2.º Realizamos la división como si fueran números naturales. EJEMPLO 12 Calcula 1 914 : 1,5.

1 914 : 1,5 

 )

F

1914 ? 10 = 19 140   1,5 ? 10 = 15

  1 9 1 4 0   15 0 4 1       1 2 7 6   114     090         0

F

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 3 Realiza estas operaciones.

a) 34,5 : 2    b)  14,06 : 7    c)  3,108 : 5

19 Calcula.

a) 42,6 : 3    b)  399,5 : 17    c)  23,4 : 9

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4.3  Un número decimal entre un número decimal Si en el dividendo quedan decimales:

Para dividir un número decimal entre un número decimal: 1.º Multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya en el divisor. 2.º Si en el dividendo siguen apareciendo decimales, resolvemos la división como en el caso de la división de un número decimal entre uno natural.

5,67 : 3,4 

F 

5,67 3,4

  

5,67 · 10 = 56,7 ) 3,4  · 10 = 34

 

F

56,7 34 22,7 1,6 22,3

EJEMPLO 13 Calcula 7,2 : 0,16.

7,2 : 0,16 

07,2 ? 100 = 720   )0,16 ? 100 = 16  

F

  7 2 0   1 6 0 8 0   4 5     0

F

ANTES, DEBES SABER… Cómo se dividen decenas, centenas y millares por la unidad seguida de ceros Se suprimen tantos ceros en el dividendo como ceros tenga la unidad. G

G

G

2 300 : 10 = 230     2 700 : 100 = 27     12 000 : 1 000 = 12

•  Para dividir un número decimal entre la unidad seguida de ceros, desplazamos la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad. •  Para dividir un número decimal entre 0,1; 0,01; 0,001…, desplazamos la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga 0,1; 0,01; 0,001…

DATE CUENTA •  Multiplicar por 0,1 es lo mismo que dividir entre 10. 7,4 ? 0,1 = 7,4 : 10 •  Dividir entre 0,1 es lo mismo que multiplicar por 10. 7,4 : 0,1 = 7,4 ? 10

EJEMPLO 14 Calcula.

a) 56,87 : 10 = 5,687

d) 56,87 : 0,1 = 568,7

b) 4,6 : 100 = 0,046

e) 4,6 : 0,01 = 460

c) 13 735 : 1 000 = 13,735

f) 13 735 : 0,001 = 13 735 000

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 23 Calcula.

a) 129,6 : 3,6 b) 19,1 : 3,82

25 Resuelve.

c) 16,32 : 0,34 d) 19,8 : 1,65

a) 9 268 : 1 000 b) 3,24 : 100

c) 3,85 : 0,01 d) 46,97 : 10

e) 1,8 : 100 f) 61,2 : 0,1

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5

Números decimales y fracciones

ANTES, DEBES SABER… Cuál es la prueba de la división Si una división está bien hecha, se cumple: •  Resto < divisor •  Dividendo = divisor ? cociente + resto

26    6   2    4 2

=



11,901

El número menor es 11,901.

SEGUNDO. Si

la parte entera es igual, comparamos su parte decimal. Para ello, añadimos ceros hasta tener las mismas cifras decimales en ambos números. Después, comparamos las cifras que representan las décimas; si son iguales, pasamos a las centésimas, milésimas…, hasta que las cifras sean diferentes. Es mayor el número con mayor parte decimal, comparado cifra a cifra.

12,900

12,901 = = <

12,9 < 12,901

11,901 < 12,9 < 12,901

2. SUMAR Y RESTAR NÚMEROS DECIMALES Calcula.    a) 123,456 + 34,06      b) 12,71 - 9,327 PRIMERO. Colocamos

los números, de forma que las comas decimales estén en la misma columna, y añadimos los ceros necesarios para que todos tengan el mismo número de cifras decimales.

a) 

1 2 3,4 5 6 +   3 4,0 6 0

SEGUNDO. Sumamos

b) 

1 2,7 1 0 -   9,3 2 7

o restamos como si fueran números naturales, manteniendo la coma en el lugar

correspondiente. a) 

1 2 3,4 5 6 +   3 4,0 6 0 1 5 7,5 1 6

b) 

1 2,7 1 0 -   9,3 2 7 3,3 8 3

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3. MULTIPLICAR NÚMEROS DECIMALES Calcula 13,076 ? 14,02. PRIMERO. Multiplicamos los

decimales como si fueran

números naturales. SEGUNDO. Colocamos

la coma en el resultado, separando tantas cifras como decimales sumen entre los dos factores, contando de derecha a izquierda.

1 3,0 7 6 #   1 4,0 2 26152 52304 13076 1 8 3,3 2 5 5 2

F

3 cifras decimales

F

2 cifras decimales

F

5 cifras decimales

4. DIVIDIR NÚMEROS DECIMALES Calcula.   a)  13,06 : 4

b)  1 306 : 0,4

c)  13,06 : 0,4

•  División de un número decimal entre un número natural PRIMERO. Dividimos

como si fueran números naturales.

bajar la primera cifra decimal, ponemos una coma en el cociente.

SEGUNDO. Al

•  División de un número natural entre un número decimal

a)  1 3,0 6   4 1 0 3,2 6 26 2

•  División de un número decimal entre un número decimal

PRIMERO. Multiplicamos el

dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya en el divisor.

PRIMERO. Multiplicamos

1 306 ? 10 = 13 060 b)  1 306 : 0,4 " ) 0,4 ? 10 = 4

13,06 ? 10 = 130,6 c)  13,06 : 0,4 " ) 0,4 ? 10 = 4

SEGUNDO. Realizamos

la división como si fueran números naturales.

13060  4 1 0 3265 26 20 0

el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya en el divisor.

SEGUNDO. Si

en el dividendo siguen apareciendo decimales, resolvemos la división como en el primer caso.

1 3 0,6   4 1 0 3 2,6 26 2

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras

Sumar y restar números decimales

1. Descompón estos números. a) 27,45 b) 3,786 c) 1 203,003

4. Calcula: 4,339 + 0,589 - 2,365

1. Indica la parte entera y la parte decimal de estos números decimales. a) 13,24 b) 3,86 c) 0,007

Multiplicar números decimales 5. Realiza las siguientes multiplicaciones. a) 6,59 ? 4,3

b) 65,9 ? 4,3

Comparar números decimales

Dividir números decimales

3. Ordena, de menor a mayor, estos números:

6. Efectúa estas divisiones.

7,009   7   7,9   7,09

a) 13 824 : 3,2

b) 13,824 : 3,2

c) 0,659 ? 43

c) 13,824 : 32

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Actividades 49. ● Representa en la recta numérica los números 9,3; 12,12 y 4,133.

NÚMEROS DECIMALES 43. ● Descompón en unidades los siguientes números decimales. Parte entera C

D

U

Parte decimal d

c

m

50. ● ¿Qué número está representado en cada caso? a) b)

43,897

3

4

9,71

9,72

135,903

8. ● Indica qué números están representados en estas rectas.

29,876

44. ● Escribe cómo se lee cada número. a) 6,125      b)  1,014      c)  34,046      d)  0,019 45. ● Completa. a) En 3 unidades hay 4 décimas. b) En 12 decenas hay 4 centésimas. c) En 5 unidades hay 4 milésimas. d) En 8 decenas hay 4 diezmilésimas. 46. ● Escribe los números decimales que correspondan en cada caso. a) 2 C  b) 1 D  c) 7 U  d) 8 C 

7 D  9 U  3 d 2 U  4 m 4c 9 U  6 d

b)

6,2

6,3

9,83

9,84

51. ● Completa con el signo < o >, según corresponda. a) 0,231 4 0,235 b) 0,710 4 0,83

c) 3,87 4 3,85 d) 5,12 4 3,12

52. ● Ordena, de menor a mayor: 5,23; 5,203; 5,233; 5,2. 53. ● Ordena, de mayor a menor: 9,05; 9,45; 9,53; 9,07. 9. ● Ordena de menor a mayor. a) 3,9; 3,899; 3,099; 3,901; 3,90001; 3,91 b) 7,999; 8,01; 7,898; 8,101; 8,2 c) 2,7; 2,703; 2,73; 2,7029; 2,70199

e) 7 UM  6 D  7 c f) 4 CM  7 U  8 d  3 m 7. ● Realiza la descomposición en unidades de los siguientes números decimales. a) 9,23 b) 12,856 c) 3,892

a)

d) 4,065 e) 8,004 f) 65,903

10. ● Copia y completa con números para que las desigualdades sean ciertas. a) 6,145 < 6,11 b) 0,734 < 0,736 c) 0,407 < 0,45

47. ● Escribe con cifras. a) Nueve décimas. b) Cuatro unidades quince centésimas. c) Nueve unidades ciento ocho milésimas. d) Dos unidades mil diezmilésimas. 48. ● Escribe los números que sean una centésima menor. a) 0,99 b) 1,4

c) 0,01 d) 5,98

e) 4,9 f) 1,099

11. ● ● Halla todos los números decimales que cumplen la condición que se indica en cada caso. Después, ordénalos de mayor a menor. a) 8, La suma de estas dos cifras es 9. b) 0, El producto de estas dos cifras es 24.

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OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES 12. ● Suma estos números decimales. a) 7,45 + 9,03 b) 0,834 + 12,8

c) 8,002 + 12,4 d) 7 + 9,902

56. ● Calcula. a) 32,35 - 0,89 b) 81,002 - 45,09

c) 87,65 - 9,47 d) 4 - 2,956

57. ● Efectúa las operaciones. a) 4,53 + 0,089 + 3,4 b) 7,8 + 0,067 + 2,09 + 0,7 c) 123 + 23,09 - 45,7 - 0,28 d) 78,098 - 43,68 - 0,008 13. ● Efectúa las siguientes operaciones. a) 0,974 + 125,86 b) 29 - 3,756

c) 82,46 + 99,6 - 70,07 d) 103,5 - 89,98 + 23,378

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA EL TÉRMINO DESCONOCIDO EN UNA SUMA O UNA RESTA DE NÚMEROS DECIMALES? 14. Halla el término que falta para que el resultado sea correcto. a) 12,99 + 4 = 98,3 b) 7,45 - 4 = 3,99 c) 4 - 7,774 = 987,9 PRIMERO. Se

identifica el término desconocido. a) Es uno de los sumandos de una suma. b) Es el sustraendo de una resta. c) Es el minuendo de una resta.

SEGUNDO. Si

el término es: • Un sumando, se obtiene restando al resultado el otro sumando. • El sustraendo, se obtiene restando al minuendo el resultado. • El minuendo, se obtiene sumando al resultado el sustraendo. a) 4 = 98,3 - 12,99 = 85,31 b) 4 = 7,45 - 3,99 = 3,46 c) 4 = 987,9 + 7,774 = 995,674

15. ● ● Determina el término que falta en cada operación. Explica cómo lo haces. a) 39,25 + 4 = 125,86 b) 17,129 - 4 = 7,464 c) 99,542 - 4 = 66,413 d) 4 - 303,987 = 259,137 e) 4 - 25,06 = 427,07 f) 4 + 33,98 = 59,01 58. ● ● Completa. a) 3,313 + 4 = 6,348 b) 4 + 1,47 = 5,8921 c) 4,56 - 4 = 0,936 d) 4 - 2,431 = 1,003 59. ● ● Resuelve. a) Suma 4 centésimas a 4,157. b) Resta 3 décimas a 1,892. c) Suma 7 milésimas a 5,794. d) Resta 23 centésimas a 3,299. e) Suma 3 milésimas a 1,777. 16. ● ● Efectúa estas operaciones. a) Suma 8 décimas y 7 centésimas a 56,07. b) Suma 3 unidades y 6 milésimas a 24,36. c) Resta 8 unidades y 5 décimas a 76,008. d) Resta 3 décimas y 8 milésimas a 0,892. e) Suma 5 decenas y 4 décimas a 25,456. f) Resta 6 decenas y 5 décimas a 82. 60. ● Calcula. a) 3,45 ? 0,018 b) 8,956 ? 14 c) 3,4 ? 0,92 d) 123,4 ? 76 e) 0,35 ? 10 f) 1,4 ? 100

g) 0,045 ? 1 000 h) 0,65 ? 10 000 i) 3,78 ? 0,1 j) 794,2 ? 0,01 k) 24,85 ? 0,001 l) 56 ? 0,0001

61. ● Resuelve. a) 5 : 0,06 b) 8 : 1,125 c) 17,93 : 7 d) 7 : 25 e) 7,24 : 1,1 f) 8,37 : 4,203

g) 30 : 10 h) 636 : 100 i) 1 296 : 10 000 j) 55,2 : 0,1 k) 202,2 : 0,01 l) 138,24 : 0,0001

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HAZLO ASÍ

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS DECIMALES?

¿CÓMO SE ESCRIBEN ALGUNOS NÚMEROS DECIMALES COMO FRACCIÓN DECIMAL?

62. Calcula 4,56 : 2 + 3 ? (7,92 - 5,65).

21. Expresa como fracción decimal estos números decimales.

PRIMERO. Se

realizan las operaciones entre

paréntesis. 4,56 : 2 + 3 ? (7,92 - 5,65) = 4,56 : 2 + 3 ? 2,27 SEGUNDO. Se

resuelven las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha, y por último, las sumas y restas en el mismo orden. 4,56 : 2 + 3 ? 2,27 = 2,28 + 6,81 = 9,09

63. ●● Opera, respetando la jerarquía de las operaciones.

G

e) 105 : 11 f) 245 : 32

8 156 37 17     b)      c)      d)  45 100 10 62

20. ● Expresa como número decimal estas fracciones decimales. 23 100 3 d) 1 000 c)

147 1 000

a) 89,003 b) 45,02 c) 0,009

19. ● Decide si son fracciones decimales.

35 10 234 b) 1 000

escribe como denominador de la fracción la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el número. 2 403 a) 24,03 = 100

22. ● Escribe en forma de fracción decimal estos números decimales.

18. ● Calcula cada uno de estos cocientes con tres cifras decimales.

a)

SEGUNDO. Se

3 cifras decimales  "  3 ceros

a) Sin cifras decimales. b) Con una cifra decimal.

a)

escribe como numerador de la fracción el número decimal sin coma. a) Numerador  "  2 403 b) Numerador  "  147

b) 0,147 =

17. ● Divide 238 entre 5 y escribe en cada caso el cociente y el resto.

c) 29 : 7 d) 76 : 13

PRIMERO. Se

2 cifras decimales  "  2 ceros

NÚMEROS DECIMALES Y FRACCIONES

a) 54 : 7 b) 87 : 9

b) 0,147

G

a) 134,5 : 2,5 + 12,125 b) 2,75 ? (4,605 - 3,5) + 1,37 c) 5,7 + 6,225 : 7,5 - 0,39 d) (4,987 + 0,875) : 1,5 + 3,094 e) 12,3 : 8,2 ? 2,5 - 3,29 f) 9,6 ? 2,4 - 8,5 ? 1,27 g) 0,05 + (11,3 - 3,2) : 0,09 h) 44,4 : 0,002 ? 1,7 - 2,9 ? 3,1

a) 24,03

47 100 5 f) 100

e)

d) 12,044 e) 0,097 f) 9,3

23. ● Expresa como fracción decimal. a) 9,87 b) 1,023 c) 0,0099

d) 1,2345 e) 8,00064 f) 6,7321

72. ● ● Escribe en forma de fracción. Simplifica siempre que sea posible. a) 7 décimas. b) 13 centésimas. c) 4 milésimas. d) 11 diezmilésimas. e) 35 décimas. f) 9 centésimas. 73. ● ● Completa. a) 9,6 =

96

4

b) 12,389 =



c) 1,23 =

12 389

4



123

d) 0,331 =

4 331

4

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PROBLEMAS CON NÚMEROS DECIMALES

87. ● ● Andrés corta un listón de madera de 3,22 m en trozos de 0,23 m. ¿Cuántos trozos obtiene?

80. ● En un pueblo hay cuatro líneas de autobuses. Observa en la tabla la distancia que recorre cada uno de ellos. ¿Cuál recorre mayor distancia? ¿Y menor?

88. ● ● Laura ha hecho 43,5 kg de pasta y la quiere empaquetar en cajas de 0,250 kg. ¿Cuántas cajas necesita?

Línea 1

Línea 2

Línea 3

Línea 4

8,409 km

8,5 km

8,45 km

9,05 km

81. ●● La suma de dos números decimales es 52,63. Si uno de los sumandos es 28,557, calcula el otro sumando. 82. ●● Cierto día, la temperatura a las 8 de la mañana era de 10,5 °C, y a las 12 del mediodía era de 17,3 °C. ¿Cuántos grados hay de diferencia? 83. ●● Las alturas de tres amigos suman 5 m. María mide 1,61 m y Luis mide 1,67 m. Halla cuánto mide Alberto. 84. ●● En un ascensor se cargan 5 bolsas de 12,745 kg cada una. Suben dos personas que pesan 65 kg y 85,7 kg. El ascensor admite 350 kg de carga máxima. ¿Puede subir otra persona más que pese 86,7 kg?

89. ● ● En un río de 7,2 km de largo se han puesto carteles de «Coto de pesca» cada 0,16 km. ¿Cuántos carteles se han puesto?

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA LA FRACCIÓN DE UN DECIMAL? 90. Se dispone de 24,88 kg de mezcla de café de distinta procedencia. Si las tres cuartas partes son de origen africano, ¿qué cantidad de café africano hay? PRIMERO. Se

multiplica por el numerador de la fracción. 3 ? 24,88 = 74,64

SEGUNDO. Se

divide el resultado entre el denominador. 74,64 : 4 = 18,66 En la mezcla hay 18,66 kg de café africano.

91. ● ● La mitad del peso de un bote de mermelada de 500 g corresponde a fruta.

a) ¿Cuál es el peso de la fruta en kilos? b) ¿Cuántos botes se necesitan para que el total de fruta sea 6,75 kg? 85. ●● Jaime va a la compra y lleva una cesta que pesa 1,5 kg. Compra dos bolsas de naranjas que pesan 3,4 kg cada una. ¿Cuántos kilos pesa en total la compra? 86. ●● En una fábrica de refrescos se preparan 4 138,2 litros de refresco de naranja y se envasan en botes de 0,33 litros. ¿Cuántos botes necesitan?

92. ● ● Una camisa cuesta 20,95 €. Por estar rebajada nos descuentan la quinta parte de su valor, y por pagar en efectivo, la veinteava parte. ¿Cuál es su precio final? 93. ● ● María ha ido al banco a cambiar 45,50 € en dólares. Por cada euro le han dado 0,96 dólares. ¿Cuántos dólares tiene en total?

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5 DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Busca información sobre las matemáticas en la antigua China. 2. Investiga sobre la dinastía Tang y el funcionamiento de la sociedad china en esa época. 3. Averigua cuáles fueron los orígenes de los números negativos y su utilización en las distintas culturas.

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Números enteros Los números rojos Fu Chang estaba seguro de que el comité reconocería su valía tanto en redacción, literatura y poesía como en matemáticas. El acceso al puesto de funcionario durante la Dinastía Tang (618-907) era muy difícil, pero merecía la pena por sus beneficios económicos y sociales. –Cuando den su aprobación –pensaba Fu–, seré funcionario imperial. El aspirante a mandarín se veía a sí mismo vestido con maravillosas prendas de seda bordada, con criados que lo transportaban en un palanquín finamente adornado. La escalera que nacía entre los dos dragones lo condujo al recinto donde el tribunal esperaba para notificarle los resultados. El más anciano de los sabios le dijo: –Tu forma de diferenciar las deudas y las cantidades que tenemos mediante los colores rojo y negro, respectivamente, representa una innovación y merece ser premiada con el puesto. En la actualidad nadie recuerda a Fu Chang; sin embargo, las deudas bancarias se siguen denominando números rojos en lugar de números negativos.

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Antes de empezar la unidad... OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES Operaciones de suma y resta

Se resuelven las operaciones de izquierda a derecha. F

F

F

10 - 7 + 8 - 3 - 2 = 3 + 8 - 3 - 2 = 11 - 3 - 2 = 9 - 2 = 7 Operaciones de suma y resta con paréntesis

Se resuelven primero las operaciones que hay dentro de los paréntesis, y después las sumas y las restas, de izquierda a derecha. F

F

F

F

10 + 5 - (7 - 3 + 2) - 1 = 10 + 5 - (4 + 2) - 1 = 10 + 5 - 6 - 1 = 15 - 6 - 1 = 9 - 1 = 8 Operaciones de suma, resta, multiplicación y división

Primero se calculan las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha, y después las sumas y las restas, de izquierda a derecha. F

F

F

4 + 3 ? 2 - 15 : 3 = 4 + 6 - 15 : 3 = 4 + 6 - 5 = 10 - 5 = 5

Si hay paréntesis debemos eliminarlos resolviendo primero las operaciones de su interior.

Operaciones de suma, resta, multiplicación y división con paréntesis

F

El orden en el que se realizan las operaciones es el siguiente: 10 + (5 - 3) ? 4 - 6 : 2 = Paréntesis 1.º Las operaciones que hay entre paréntesis. = 10 + 2 ? 4 - 6 : 2 = Multiplicaciones y divisiones 2.º Las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha. = 10 + 8 - 3 = Sumas y restas 3.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha. = 18 - 3 = 15 F F

PLAN DE TRABAJO EVALUACIÓN INICIAL 1 Realiza estas operaciones de suma y resta.

a) 4 + 7 – 5 + 3 – 6

b) 12 - 5 + 6 - 7

2 Resuelve estas operaciones con paréntesis.

a) 15 - (4 + 7) + (5 - 3 + 1)

b) 9 + (5 - 3 + 4) - (4 - 3)

3 Halla el resultado de estas operaciones.

a) 4 + 3 · 2 - 7 + 10 : 2

b) 12 + 18 : 2 - 3 · 2 + 1

4 Calcula.

a) 2 + (7 + 4) · 3 - 12 : (5 + 1)

b) 5 - ( 6 - 4) : 2 + ( 4 + 3) · 2

En esta unidad aprenderás a… •  Conocer y representar números enteros. •  Hallar el valor absoluto y el opuesto de un número entero. •  Comparar números enteros. •  Operar con números enteros.

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Números enteros

1 El 0 es el único número entero que no es positivo ni negativo.

Hay expresiones cotidianas que no pueden indicarse con números naturales. Necesitamos otro tipo de números, los números enteros. ANTES, DEBES SABER… Para qué se utilizan los números enteros Hay situaciones en las que es necesario utilizar números negativos: •  4 grados bajo cero  "  -4 °C •  Debemos 100 €  "  -100 € •  El garaje está en el tercer sótano  "  -3

Los números enteros son números precedidos del signo + o -, dependiendo de si la cantidad expresada está por encima o por debajo de cero. En el conjunto de los números enteros podemos diferenciar: •  Números enteros positivos: +1, +2, +3, +4…, que son los números naturales. •  El número 0. •  Números enteros negativos: -1, -2, -3, -4…

1.1  Representación en la recta numérica SE ESCRIBE ASÍ Los números positivos se escriben habitualmente sin el signo + que los precede: +7 = 7    +23 = 23

ANTES, DEBES SABER… Cómo se representan los números naturales en una recta •  Fijamos el 1, y a su derecha, el 2. Tomamos la distancia entre estos dos números como unidad. •  Desplazamos dicha unidad hacia la derecha del 2 para representar el resto de números. 1

2

3

4

5

Los números enteros se representan ordenados en la recta numérica: •  El cero, 0, divide a la recta en dos partes iguales. •  Fijamos el 1 y elegimos como unidad su distancia al origen. •  Desplazamos dicha unidad a la derecha del cero, para representar los enteros positivos, y a la izquierda, para representar los negativos. … -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 …

644444444444474444444444448

644444444444474444444444448 Números enteros negativos

Números enteros positivos

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Expresa con un número.

a) Debo cuatro euros a mi amigo. b) Estamos a cinco grados bajo cero.

2 Completa los números que faltan.

a) -9

4 -7 4 -5 4 4 -2 4

0

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1.2  Valor absoluto de un número entero El valor absoluto de un número entero se escribe entre dos barras,; ;, y es igual al número sin su signo:

NO OLVIDES El valor absoluto de cero es cero. ;0;= 0

;+b;= b         ;-a;= a EJEMPLO 2

Calcula el valor absoluto de -3 y +6. ;-3;= 3                  ;+6;= 6

1.3  Opuesto de un número entero Para calcular el opuesto de un número se le cambia de signo. Op (+a) = -a    Op (-a) = +a EJEMPLO 3

Halla el opuesto.    a)  -4        b)  +5 a)  Op (-4) = +4     b)  Op (+5) = -5

2

Comparación de números enteros

De dos números enteros es mayor el que está situado más a la derecha en la recta numérica. EJEMPLO 4

Compara estos números.    a)  +5 y +2      b)  -4 y -7    c)  +6 y -3 a) b) c)

El cero es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquiera positivo.

+2 < +5 -5

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

+4

+5 +6

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3 +4

-7 < -4 -7 -6 -5 -4

+5

-3 < +6 -5

-4

-3 -2

-1

0

+1

+2

+3

+4

+5

+6

+7

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 6 Calcula.

a) ;+7;

14 Ordena, de menor a mayor.

b) ;-1;

c) ;+22;

d) ;-41;

-6, +5, +7, 0, -11, -4, +9, +13, -16

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Suma y resta de dos números enteros

3

3.1  Suma de dos números con el mismo signo Para sumar dos números enteros del mismo signo: 1.º Se suman sus valores absolutos. 2.º Al resultado se le añade el mismo signo de los números. Al sumar 0 a cualquier número entero, se obtiene el mismo número. (+5) + 0 = +5 0 + (–7) = –7

EJEMPLO 6

Resuelve estas sumas de números enteros. c) (+8) + (+4) = +12

a) (+3) + (+4) = +7

;+3;= 3 4" 3+4 = 7 ;+4;= 4

;+8;= 8 4 " 8 + 4 = 12 ;+4;= 4

d) (-5) + (-3) = -8

b) (-2) + (-7) = -9



;-2;= 2 4 " 2 + 7 = 9 ;-7;= 7



;-5;= 5 4" 5+3 = 8 ;-3;= 3

3.2  Suma de dos números con distinto signo Para sumar dos números enteros de distinto signo: 1.º Se restan sus valores absolutos (el menor del mayor). 2.º Al resultado se le añade el signo del número con mayor valor absoluto. EJEMPLO 6

Resuelve estas sumas de números enteros. a) (-7) + (+5) = -2

c) (+5) + (-4) = +1

;+7;= 7 4" 7-5 = 2 ;+5;= 5

b) (-5) + (+9) = +4



;+5;= 5 4" 5-4 = 1 ;-4;= 4

d) (+8) + (-11) = -3

;-5;= 5 4" 9-5 = 4 ;+9;= 9

;+8;= 8 4 " 11 - 8 = 3 ;-11;= 11

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Calcula.

a) (+5) + (+7)

18 Calcula.

b) (-5) + (-7)

2 Calcula.

a) (+5) + (-7) b) (-5) + (+7)

a) (+4) + (+12)

b) (+4) + (-12)

20 Indica, sin realizar la operación, qué signo

c) (+6) + (-3) d) (-6) + (+3)

tendrá el resultado. b) (-7) + (+5) c) (-7) + (-5)

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3.3  Resta de dos números Para restar dos números enteros se le suma al primero el opuesto del segundo. EJEMPLO 7

Resuelve estas restas de números enteros. F

a) (+3) - (+4) = (+3) + Op (+4) = (+3) + (-4) = -1 ;+3;= 3 4" 4-3 = 1 ;-4;= 4

F

b) (+8) - (-11) = (+8) + Op (-11) = (+8) + (+11) = +19 ;+8;= 8 4 " 8 + 11 = 19 ;+11;= 11

F

c) (-3) - (-7) = (-3) + Op (-7) = (-3) + (+7) = +4 ;-3;= 3 4" 7-3 = 4 ;+7;= 7

F

d) (+11) - (-8) = (+11) + Op (-8) = (+11) + (+8) = +19 ;+11;= 11 4 " 11 + 8 = 19 ;-8;= 8

F

e) (-6) - (+5) = (-6) + Op (+5) = (-6) + (-5) = -11 ;-6;= 6 4 " 6 + 5 = 11 ;-5;= 5

F

f) (-5) - (+6) = (-5) + Op (+6) = (-5) + (-6) = -11 ;-5;= 5 4 " 5 + 6 = 11 ;-6;= 6

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 19 Resuelve.

a) (+5) - (-6) b) (+5) - (+6) c) (-5) - (-6) d) (-5) - (+6)

3 Calcula.

e) (-3) - (+9) f) (-3) - (-9) g) (+3) - (+9) h) (+3) - (-9)

a) (+9) - (-15) b) (+9) - (-15) c) (-9) - (+15) d) (-9) - (+15)

e) (-12) - (+8) f) (+12) - (+8) g) (-12) - (-8) h) (+12) – (-8)

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4 En la práctica:

+(+a) = +a +(–a) = –a

Suma y resta de varios números enteros

En las operaciones de sumas y restas seguimos estas reglas: REGLA 1. Al primer sumando se le eliminan los paréntesis, y si su signo es positivo, se escribe sin signo.

–(+a) = –a –(–a) = +a

(+5) + (-4) = 5 + (-4)

(-5) + (-4) = -5 + (-4)

 EGLA 2. Al quitar los paréntesis precedidos del signo +, el signo que R se mantiene es el del número. (-7) + (+2) = -7 + 2

(-7) + (-2) = -7 - 2

REGLA 3. Al quitar los paréntesis precedidos del signo -, el signo que se escribe es el de su opuesto. (-4) - (+3) = (-4) + (-3) = -4 - 3 Tras aplicar estas reglas, la expresión queda escrita en forma abreviada. EJEMPLOS 1

Escribe de forma abreviada la siguiente expresión. Regla 1.  Eliminamos paréntesis del primer sumando. F

(-7) - (+3 ) + (-9 ) - (-4) = -7 - (+3) + (-9 ) - (-4) = Regla 2.  Quitamos paréntesis precedidos de +. + (+a) = +a   + (-a) = -a F

= -7 - (+3) - 9 - (-4) = Regla 3.  Quitamos paréntesis precedidos de -. - (+a) = -a   - (-a) = +a F

= -7 - 3 - 9 + 4 8

Escribe de forma abreviada esta expresión. Regla 1 F

Regla 2

F

F

(+4) + (-5) - (+7) - (-3) = 4 + (-5) - (+7) - (-3) = = 4 - 5 - (+7) - (-3) = 4 - 5 - 7 + 3

Regla 3

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Escribe de forma abreviada.

a) (-5) - (+3) + (-7) b) (+5) - (+3) - (-7) c) (-5) - (-3) - (-7) d) (+5) + (+3) - (+7) e) (-5) - (+3) - (+7)

22 Escribe de forma abreviada.

a) (-5) + (+8) - (-13) - (+9) b) (+23) - (-14) - (+35) + (-53) c) (-1) + (+5) + (+2) - (-12) d) (+3) - (+11) + (-6) + (+12) e) (-22) - (+11) - (-4) - (-1)

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Para resolver sumas y restas de varios números enteros: 1.º  Escribimos dicha operación de forma abreviada. 2.º  Sumamos los números que llevan signo +. 3.º  Sumamos los números que llevan signo -. 4.º  Restamos al primer resultado el segundo. EJEMPLOS 2

Resuelve las siguientes operaciones expresadas en forma abreviada. a) -4 - 2 + 8 - 1 + 3 = 11 - 7 = 4 Números con signo + F

F



Números con signo +

8 + 3 = 11

4+2+1=7

b) 5 - 7 + 4 - 10 + 6 = 15 - 17 = - 2 Números con signo +

F

9

F



Números con signo +

5 + 4 + 6 = 15

7 + 10 = 17

Calcula:

Forma abreviada F

(+4) + (-5) - (+7) - (-3) = 4 - 5 - 7 + 3 = 7 - 12 = -5 Números con signo +

F

3

F



Números con signo +

4+3=7

5 + 7 = 12

Halla el resultado de esta operación escribiéndola primero en forma abreviada.

Forma abreviada F

(-2) + (+5) + (-6 ) - (-8) = - 2 + 5 - 6 + 8 = 13 - 8 = 5 Números con signo + F

F



Números con signo +

5 + 8 = 13

2+6=8

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 Calcula.

a) 5 + 7 b) -3 + 8 c) 9 - 6

23 Calcula.

d) -3 - 9 e) 7 - 9 f) -8 + 2

a) -5 - 8 - 4 + 15 - 18 b) 10 + 12 - 11 + 9 c) 4 - 10 + 17 - 8 + 2

d) 4 - 7 - 9 + 5 e) 2 + 7 - 15 - 9 f) -1 + 12 - 5 - 7

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6

Multiplicación y división de números enteros

6.1  Multiplicación de números enteros Para multiplicar dos números enteros: 1.º Multiplicamos sus valores absolutos. 2.º Al resultado le añadimos el signo + si ambos números son de igual signo, o el signo - si son de signos diferentes. EJEMPLO 13 Resuelve estos productos.

Regla de los signos

F

c) (+8) ? (-3) = -24 F

a) (-8) ? (-3) = +24

+:+=+ –:–=+ +:–=– –:+=–

Mismo signo

Distinto signo

d) (-8) ? (+3) = -24 F

b) (+8) ? (+3) = +24 F

+?+=+ –?–=+ +?–=– –?+=–

Mismo signo

Distinto signo

6.2  División de números enteros Para dividir dos números enteros: 1.º Dividimos sus valores absolutos. 2.º Al resultado le añadimos el signo + si ambos números son de igual signo, o el signo - si son de signos diferentes.

+?+ + -?- + +?- -?+ -

EJEMPLO 14 Resuelve estas divisiones. F

c) (+18) : (-3) = -6

F

a) (-18) : (-3) = +6 Mismo signo

Distinto signo

F

d) (-18) : (+3) = -6

F

b) (+18) : (+3) = +6 Mismo signo

Distinto signo

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 28 Calcula.

6 Calcula.

a) (+17) ? (+5)

c) (-13) ? (+9)

b) (+21) ? (-8)

d) (-14) ? (-7)

a) (+5) ? (-7) b) (-9) ? (+5) c) (-3) ? (-6)

d) (-18) : (+6) e) (+21) : (-7) f) (-25) : (-5)

29 Resuelve estas divisiones.

a) (+35) : (+5) b) (+24) : (-6)

c) (-45) : (+9) d) (-42) : (-7)

30 Indica qué signo tendrá el resultado.

a) (-7) ? (+6)

b) (-42) : (-6)

82

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7

Operaciones combinadas con números enteros

Al igual que con los números naturales, las operaciones combinadas de números enteros hay que efectuarlas siguiendo este orden: 1.º Se resuelven las operaciones que hay dentro de los corchetes y los paréntesis. 2.º Se realizan las multiplicaciones y las divisiones en el orden en el que aparecen, de izquierda a derecha. 3.º Se efectúan las sumas y las restas en el mismo orden. EJEMPLOS 11 Resuelve esta operación: 4 + (-5 - 7 + 3) - (-9 + 2) F

F

4 + (-5 - 7 + 3) - (-9 + 2) = 4 + (-12 + 3) - (-7) = = 4 + (-9) + 7 = 4 - 9 + 7 = 11 - 9 = 2 12 Resuelve esta operación: (-8) - [(-3) + (+6) - (-5)] - (+4) F

(-8) - [(-3) + (+6) - (-5)] - (+4) = (-8) - [-3 + 6 + 5] - (+4) = = (-8) - [+3 + 5] - (+4) = = (-8) - (+8) - (+4) = = -8 - 8 - 4 = -16 - 4 = -20

4

Calcula. a) (-6) ? (+3) + (-10) : (-2) =

Es importante respetar el orden de las operaciones para obtener el resultado correcto.

F

Multiplicaciones y divisiones

F

= (-18) + (+5) = Sumas y restas

=-18 + 5 = -13 Corchetes y paréntesis

F

b) (-5) ? [(-3) - (-7)] + (+6)] : (-2) =

Multiplicaciones y divisiones

F

= (-5) ? [-3 + 7] + (+6) : (-2) = = (-5) ? (+4) + (+6) : (-2) =

F

= (-20) + (-3) = Sumas y restas

= -20 - 3 = -23

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 7 Calcula.

a) (+5) + (-3) ? (+4) b) (+7) ? (-5) - (+16) : (-2) c) (-3) +[ (-4) + (+5)] ? (-3) d) [(-4) + (-7)] - (+5) ? (+3)

33 Calcula.

[(-4) ? (+5) + (-6) ? (-4)] : (6 - 4) 34 Resuelve:

[(-4) ? (-3)] - [(+10) : (-2)]

83

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Opuesto de un número

Números enteros •  Números enteros positivos: +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7… •  El número 0. •  Números enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7… Valor absoluto ;+a;= a     ;-a;= a     ;0;= 0

Op (+a) = -a              Op (-a) = +a Op (0) = 0 Regla de los signos (+) ? (+) = + (-) ? (-) = + (+) ? (-) = - (-) ? (+) = -

(+) : (+) = + (-) : (-) = + (+) : (-) = (-) : (+) = -

HAZLO DE ESTA MANERA

2. SUMAR DOS NÚMEROS ENTEROS Calcula.

1. RESTAR DOS NÚMEROS ENTEROS Calcula.

a) (+7) + (+5)

c) (-7) + (+5)

a) (+8) - (+12)

c) (-8) - (+12)

b) (-7) + (-5)

d) (+7) + (-5)

b) (-8) - (-12)

d) (+8) - (-12)

•  Si los sumandos tienen el mismo signo. sus valores absolutos.

SEGUNDO. Añadimos

el mismo signo de los

sumandos.

Op (-12) = +12    Op (+12) = -12 SEGUNDO. Sumamos

b) ;-7;= 7 4 " 7 + 5 = 12 ;-5;= 5 (-7) + (-5) = -12 •  Si los sumandos tienen distinto signo. sus valores absolutos,

al mayor el menor. SEGUNDO. Añadimos

el signo del sumando con mayor valor absoluto. c) ;-7;= 7 4" 7-5 = 2 ;+5;= 5 (-7) + (+5) = -2

d) ;+7;= 7 4" 7-5 = 2 ;-5;= 5 (+7) + (-5) = +2

F

a) (+8) - (+12) =  (+8) + Op (+12) = = (+8) + (-12) = -4

;+8;= 8 4 " 12 - 8 = 4 ;-12;= 12

b) (-8) - (-12) =  (-8) + Op (-12) = = (-8) + (+12) = +4

F

(+7) + (+5) = +12

al primer número el opuesto que hemos hallado.



;-8;= 8 4 " 12 - 8 = 4 ;+12;= 12

c) (-8) - (+12) =  (-8) + Op (+12) = = (-8) + (-12) = -20 F

a) ;+7;= 7 4 " 7 + 5 = 12 ;+5;= 5

PRIMERO. Restamos

el opuesto del número

que restamos.



;-8;= 8 4 " 8 + 12 = 20 ;-12;= 12

d) (+8) - (-12) =  (+8) + Op (-12) = = (+8) + (+12) = +20 F

PRIMERO. Sumamos

PRIMERO. Hallamos



;+8;= 8 4 " 8 + 12 = 20 ;+12;= 12

84

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4. SUMAR Y RESTAR VARIOS NÚMEROS ENTEROS Calcula: (+5) + (-5) - (-7) - (+4) + (+9) 5 + (-5) - (-7) - (+4) + (+9) = = 5 - 5 - (-7) - (+4) + 9 = =5-5+7-4+9=

PRIMERO. Eliminamos

los paréntesis del primer sumando, y si es positivo, se escribe sin signo. SEGUNDO. Quitamos los paréntesis precedidos del signo +, manteniendo los signos de los sumandos. TERCERO. Eliminamos los paréntesis precedidos del signo -, transformando los signos de los sumandos en sus opuestos.

= 21 - 9 =

CUARTO. Sumamos

= 12

QUINTO. Restamos

los números que llevan signo + y los números que llevan signo -.

5. MULTIPLICAR Y DIVIDIR NÚMEROS

al primer resultado el segundo.

6. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS

Calcula. a) (-5) ? (-4)          b)  (+20) : (-4)

Resuelve.

PRIMERO. Multiplicamos

PRIMERO.

o dividimos

b) ;+20;:;-4;= 20 : 4 = 5

F

Resolvemos los corchetes y paréntesis.

sus valores absolutos. a) ;-5;?;-4;= 5 ? 4 = 20

= (-10) ?  (-3)   - (+2) =

SEGUNDO.

F

F

  = +30     - (+2) =

TERCERO. F

Resolvemos las sumas y restas.

F

Distinto signo

Realizamos las multiplicaciones y divisiones.

F

resultado le añadimos el signo + si ambos números tienen el mismo signo, o el signo - si son de signo distinto. a) (-5) ? (-4) = +20 b)  (+20) : (-4) = -5

F

SEGUNDO. Al

Mismo signo

(-10) ? [(+6) : (-2)] - (+2) =

F

ENTEROS

= +28

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras 1. ¿Cuál es el valor absoluto de -7? ¿Y de +3? 2. ¿Cuál es el opuesto de -7? ¿Y de +3?

2. Halla: (+5) - (+9) Sumar y restar varios números enteros

Sumar dos números enteros

6. Calcula: (-7) + (-5) - (-2) - (+4) + (+5)

4. Halla: (-6) + (-12)

Multiplicar y dividir números enteros

1. Halla: (+3) - (-5)

7. Halla: (-12) ? (-3)

Restar dos números enteros

Realizar operaciones combinadas con números enteros

5. Resuelve: (-6) - (-12)

8. Calcula (-4) + (-3) ? (-5) - (+8).

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Actividades 47. ● Calcula.

NÚMEROS ENTEROS 36. ● Utiliza los números enteros para expresar el valor numérico de estas afirmaciones. a) El avión vuela a 2 700 m de altura. b) Luis trabaja en el segundo sótano. c) Marisa está en la planta baja. d) Estamos a 4 grados bajo cero. e) Ocurrió en el año 540 a.C. f) Debo 15 euros a mi madre.

4

4

a) b)

C 0

A

B

D

D 0

1

41. ● Escribe todos los números enteros. a) Mayores que -4 y menores que +2. b) Menores que +3 y mayores que -5. c) Menores que +1 y mayores que -2. d) Mayores que -5 y menores que +6.

a) +5 y su opuesto. b) -7 y su opuesto. c) Los opuestos de -3 y +2.

52. ● Escribe el signo < o >, según corresponda. a) -7 4 -12

40 d) -5 4 -3 c) -3

b) -2 4 2

a) 4 < 3 < 4

c) 4 < 12 < 4

b) 4 < -3 < 4

d) 4 < -8 < 4

4 < -5 d) -4 < 4 < 1 c) -8 <

b) 7 < 4 < 10

44. ●● ¿Cuántos números enteros están comprendidos entre -256 y 123?

55. ● Completa. -8 <

46. ● Halla el valor absoluto de estos números. d) 21

4 < 4 < 4 < 4 < -3

56. ● Ordena, de menor a mayor, los siguientes números: -4

45. ● De los siguientes números, ¿cuáles son enteros? 7 -5     45     32,12     -1 403     2 c) 15

COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

a) -3 < 4 < 0

43. ● ¿Cuántos números enteros hay entre -3 y 3?

b) -22

51. ● Indica cuántos números enteros están comprendidos entre:

54. ● Halla un número entero que esté comprendido entre estos números.

42. ● Escribe los números enteros comprendidos entre -10 y +5.

a) -3

b) ;a; = 12

53. ● Escribe el número anterior y posterior de los siguientes números.

1

C

f) ;-9;

4

1

40. ●● Indica el número entero que corresponde a cada punto marcado en la recta numérica. B

c) ;-7;

d) El opuesto de -4 y el opuesto de +5.

39. ● Representa estos números enteros en la recta numérica. 1 -3 5 -2 7 -6

A

e) ;+5;

50. ● Escribe el opuesto de -3, 7, -12 y 5.

38. ● Completa la siguiente recta:

4

b) ;-3;

a) ;a; = 3

a) +3      b)  -3      c)  +15      d)  -330

-3

d) ;-4;

48. ● ¿Qué valores puede tomar a en cada caso?

37. ● Invéntate situaciones que correspondan a estos números.

4

a) ;+3;

0

-6

7

-11

21

-3

12

-7

9

57. ● Escribe dos números enteros. a) Menores que +4 y mayores que -2. b) Menores que -3. c) Mayores que -5. d) Mayores que -3 y menores que 1.

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67. ● Calcula.

SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

a) -7 - (-12) - (+3) b) +34 - (+11) - (+13) c) -9 - (-6) - (+12) d) -5 - (+11) - (-20)

58. ● Efectúa estas sumas. a) (+12) + b) (-21) + c) (-14) + d) (+32) +

(+5) (-11) (+2) (-17)

68. ● Realiza las operaciones.

59. ● Completa la siguiente tabla: a

b

-5

+3

-8

-2

-6

+7

+4

+9

a+b

b+a

a) (+8) - (+9) + (-7) b) (-12) - (-3) + (+5) c) (+9) + (-13) - (-21) d) (-17) + (+5) - (+20) 69. ● Calcula. a) -3 + (-2) + 7 - (-4) b) 9 - (+4) - (-6) - (-2) c) 5 - (-12) - (+9) + 8 d) -4 + (-7) - (+9) - (-5)

60. ● Calcula.

72. ● Calcula.

a) 15 - (+4) b) 17 - (-3)

c) 9 - (-7) d) 21 - (+9)

a) 8 - 7 + 4 - 3 - 2 b) -7 - 5 + 3 - 9 - 1 + 11 c) -4 - 2 + 5 - 1 - 4 + 1 d) 6 - 3 + 3 - 10 - 4 + 13 e) -9 - 14 + 4 - 56 - 16 + 1 f) 9 + 14 - 6 - 93 + 19 g) 3 + 5 - 9 - 7 - 5 - 7 h) 2 - 2 - 2 - 2 + 4 - 1

61. ● Resuelve. a) -4 - (+7) b) -21 - (-13) c) -19 - (+8) d) -11 - (-6) 62. ● Completa la siguiente tabla: a

b

-5

-3

-8

-2

-6

+7

+4

+9

a-b

63. ● Opera. a) (+7) + (+5) + (-4) + (-4) b) (-8) + (+13) + (+21) + (-7) c) (+4) + (-9) + (+17) + (-6) d) (-16) + (+30) + (+5) + (-12)   8. ● Calcula. a) (-8) + (-5) + (+7) b) (+ 6) + (+11) + (-2) + (+5) c) (-9) + (-8) + (+5) + (+4) d) (+ 12) + (-4) + (-7)

b-a

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS   9. ● Calcula. a) (+ 3) ? (+4) b) (-3) ? (+4)

c) (+ 3) ? (-4) d) (-3) ? (-4)

77. ● Calcula. a) (+4) ? (-5) b) (+7) ? (+6)

c) (-3) ? (-8) d) (-9) ? (+9)

78. ● Completa la siguiente tabla: a

b

-3

+6

+5

-7

-8

-4

+9

+2

a?b

b?a

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HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE MULTIPLICAN VARIOS NÚMEROS ENTEROS A LA VEZ? 84. Resuelve: (-7) ? (-2) ? (+10) PRIMERO. Se

calcula el signo del resultado. (-) ? (-) ? (+)



(+)

? (+) = +

SEGUNDO. Se

multiplica el valor absoluto de los números y se añade el signo del resultado. (-7) ? (-2) ? (+10) = +(7 ? 2 ? 10) = +140

85. ● Calcula. a) (-2) ? (-3) ? (+5) b) (-4) ? (+3) ? (-2)

c) (+7) ? (-2) ? (+3) d) (-9) ? (-5) ? (-2)

86. ● Halla estas divisiones. a) (+35) : (+5) b) (+45) : (-5) c) (-42) : (+7) d) (-54) : (-9)

e) (+105) : (-3) f) (+48) : (+12) g) (-49) : (-7) h) (-63) : (+3)

87. ● Resuelve. a) (+290) : (+10) b) (+1 500) : (-100)

c) (-40) : (-10) d) (-70) : (-10)

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE DIVIDEN VARIOS NÚMEROS ENTEROS A LA VEZ? 90. Resuelve: (-8) : (-2) : (+4) PRIMERO. Se

calcula el signo del resultado de la operación. (-) : (-) ­: (+)



(+)

dividen los valores absolutos de los números y se añade el signo del resultado. (-8) : (-2) : (+4) = +(8 : 2 : 4) = +1

a) (+35) : (-7) : (-5) b) (-21) : (-7) : (-1) c) (-10) : (-5) : (+2) d) (+32) : (-8) : (-2)

10. ● ● Calcula. a) (+ 5) - (-3) + [(+ 2) - (+7)] - (+3) b) (+7) + [(-8) - (+5)] - (-7) c) (- 2) - [(+ 3) + (-5) - (+7)] + (-5) d) [(-5) - (-8)] + (+5) - [ (+4) + (-3)] 70. ● Resuelve. a) [-3 + 7] - [9 - (-2)] b) [-5 - (-9) - (+4)] + (-2) c) -14 - [-6 + (-11)] d) [12 - (+5)] + [-4 - (-6)] 71. ● Opera. a) -5 - [3 + (-7) - (-6)] b) 19 + [-8 + (-5) + 3] c) [-6 + (-8)] - [9 - (+4)] d) 6 + [3 - 5 + (-9) - (-2)] 73. ● Realiza estas operaciones. a) 6 + (-4 + 2) - (-3 - 1) b) 7 - (4 - 3) + (-1 - 2) c) 3 + (2 - 3) - (1 - 5 - 7) d) -8 + (1 + 4) + (-7 - 9) e) 10 - (8 - 7) + (-9 - 3) f) 7 - (4 + 3) + (-1 + 2) g) -1 - (-1 + 2 - 5 + 4) h) 3 + (5 - 9) - (7 - 5 - 7) 11. ● Calcula. a) (+ 5) - (-3) ? (+2) b) (-7) + (-8) : (+4) c) (+ 3) + (-5) - (+7) ? (-2) d) (-4) - (-8) : (+2) - (-3)

: (+) = +

SEGUNDO. Se

91. ●● Calcula.

OPERACIONES COMBINADAS

12. ● ● Calcula. a) (+ 4) - [(-3) + (-5)] ? (-2) b) [(-6) + (-7) + (+8)] ? (-3) + (+1) c) [(-3) + (-9)] ? (+2) + (-5) d) (-8) ? (+2) -[(+ 5) - (+4)] + (-7) 13. ● ● Calcula. a) (+ 5) - [(-8) + (-4) : (-2)] + (+5) b) [(-6) + (-3) ? (-2)] + (-4)

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92. ●● Calcula. a) (-12) : 3 - [13 + 6 - (-2)] b) 21 : 3 - 4 ? (-3) c) 36 : (-4) + 5 ? (-2) d) (-3) ? 2 - (4 - 10 : 2)

101. ● ● María trabaja en la planta 15 de un edificio y aparca su coche 19 plantas más abajo. ¿En qué planta lo aparca?

93. ●● Realiza las operaciones. a) (-4) - (-6) : (+3) b) (+5) : (-5) - (-7) ? (+2) c) (-11) - (+3) ? (-4) : (-6) - (-9) d) (-18) - [(+4) + (-6)] : (+2) + (+5) 94. ●● Resuelve. a) 8 + 7 - 6 + 5 - 11 + 2 b) (-12) ? 7 : 3 c) 9 - 12 : 4 d) 100 - 22 ? 5 e) (-26) : 2 - 6 : 3 + 4

PROBLEMAS CON NÚMEROS ENTEROS

102. ● ● Cristina vive en el 3.er piso. Baja 4 plantas en ascensor para ir al trastero y luego sube 6 plantas para visitar a una amiga. ¿En qué piso vive su amiga? 103. ● ● El matemático griego Tales de Mileto nació en el año 624 a.C. y vivió 78 años. ¿En qué año murió? 104. ● ● Euclides, famoso geómetra, murió en el año 265 a.C. y vivió 60 años. ¿En qué año nació? 105. ● ● Cierto día, en una ciudad hubo 9 °C de temperatura máxima y -4 °C de mínima.

96. ● ¿Cuántos metros separan a un avión, que vuela a una altura de 8 500 m, de un submarino que está a 350 m bajo el nivel del mar?

a) ¿Cuál fue la variación de temperatura (amplitud térmica) en grados ese día? b) ¿En algún momento del día, la temperatura pudo ser de 5 °C? ¿Por qué? c) ¿Y de -7 °C? ¿Por qué? 97. ● El congelador de un frigorífico tenía una temperatura de -12 °C y, después, subió 5 grados. ¿Qué temperatura marca ahora? 98. ● En el indicador de un coche leemos que la temperatura interior es de 16 °C, y la exterior de -3 °C. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre el interior y el exterior?

106. ● ● En un laboratorio de biología están estudiando la resistencia de un microorganismo a los cambios de temperatura. Tienen una muestra a 3 °C bajo cero, suben su temperatura 40 °C, después la bajan 50 °C y la vuelven a subir 12 °C. ¿Cuál es la temperatura final de la muestra?

99. ●● En una ciudad, a las seis de la mañana, el termómetro marcaba -10 °C, y a las 12 horas indicaba 4 °C. ¿Cuál fue la variación de la temperatura en grados? 100. ● Sara aparca el coche en el tercer sótano y sube a la quinta planta. ¿Cuántas plantas sube Sara?

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6 DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Busca información sobre la aparición del Álgebra y su desarrollo a lo largo de la historia. 2. Investiga qué es la heráldica y la simbología que utiliza. 3. Establece la relación que puede existir entre la heráldica y el Álgebra.

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Iniciación al Álgebra El escudo de armas Por el camino que ascendía a la fortaleza avanzaba un soberbio caballo y, sobre él, un caballero cubierto por su armadura. El guardia se dispuso a darle el alto para que se identificara, pero antes de que lo pudiera hacer el sargento de la guardia lo detuvo y, haciendo una reverencia, dejó pasar al desconocido. –¿Qué haces, necio? –dijo el sargento encarándose con el guardia–. Puede que no sepas quién es, pero los símbolos de su escudo denotan su condición: el bezante y el aspa nos dicen que ha combatido en las cruzadas y nunca ha sido derrotado, y el cetro asegura que es de sangre real, así que en adelante fíjate más. –Me fijaré más la próxima vez. La heráldica es una ciencia de símbolos –respondió el soldado, aliviado después de haber pasado el trance. –No hace mucho tiempo hablé con un médico judío que había leído un manuscrito que explica cómo resolver situaciones con la ayuda de las matemáticas y los símbolos –explicó el sargento–. Creo que lo llamó Álgebra y se trata, según me dijo, de sustituir cantidades desconocidas por símbolos o letras y operar, después, con los números. En ese momento sonó la voz de alarma y un tropel de gente entró en el castillo. El jefe de la partida dio las novedades: –Hemos capturado a tres exploradores enemigos; dicen que la mitad de su partida es infantería y el resto son exploradores y caballería; ellos son la cuarta parte de los exploradores y hay ochenta caballeros.

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Antes de empezar la unidad... OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS Valor absoluto

|+7| = 7     |0| = 0     |-7| = 7 Suma y resta de números enteros

•  Mismo signo

•  Distinto signo

Sumamos los valores absolutos y dejamos el mismo signo.

Restamos al mayor el menor y dejamos el signo del mayor

3 + 7 = 10

-3 - 7 = - 10

-3 + 7 = 4

3-7=-4

9 + 4 = 13

-9 - 4 = - 13

9-4=5

-9 + 4 = - 5

Los números positivos se escriben habitualmente sin el signo + que los precede:

+3 = 3    +7 = 7

Multiplicación y división de números enteros

•  Mismo signo

•  Distinto signo

Multiplicamos o dividimos los valores absolutos y dejamos el signo positivo.

3 ? 4 = 12

(-3) ? (-4) = 12

10 =5 2 - 10 =5 -2

Multiplicamos o dividimos los valores absolutos y dejamos el signo negativo. (-3) ? 4 = -12 3 ? (-4) = -12

EVALUACIÓN INICIAL

PLAN DE TRABAJO

1 Realiza estas operaciones con números enteros.

a) 3 + 4 b) 6 - 2

c) 5 - 7 d) -3 - 7

2 Calcula.

a) 3 - 4 + 5 b) -9 + 2 + 4 c) 12 - 3 - 9

d) -7 + 5 - 6 e) -4 - 6 - 8 f) 9 + 3 + 4

3 Obtén el resultado de estas multiplicaciones.

a) 3 ? 5 b) 4 ? (-3)

c) (-7) ? 3 d) (-3) ? (-6)

4 Calcula estas divisiones.

8 2 -9 b) 3 a)

- 10 =- 5 2 10 =- 5 -2

12 -4 -4 d) -2 c)

e) -7 + 8 f) -9 + 5

En esta unidad aprenderás a… •  Reconocer las expresiones algebraicas. •  Hallar el valor numérico de una expresión algebraica. •  Sumar y restar monomios. •  Resolver ecuaciones sencillas de primer grado. •  Resolver problemas planteando ecuaciones sencillas de primer grado.

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1

Lenguaje algebraico

El lenguaje numérico expresa la información matemática solo mediante números. EJEMPLO 1

Expresa en lenguaje numérico.



Lenguaje usual

Lenguaje numérico

La suma de cuatro más tres Diez menos ocho El cuadrado de tres es nueve El triple de cinco es quince

4+30 10 - 8 0 32 = 90 3 ? 5 = 15

ANTES, DEBES SABER… Cuándo se utilizan letras para sustituir a números • Para expresar las relaciones entre los términos de una división se suelen utilizar letras que representan cada uno de ellos. Las letras más utilizadas en el lenguaje algebraico para representar cualquier número son: x, y, z, a, b, c, d…

D   d  r   c

Prueba de la división "  D = d ? c + r

• Para expresar, de forma general, cómo se calcula el área de algunas figuras geométricas se utilizan letras que representan sus medidas. A=b?a

a

A=

h

b?h 2

b

b

El lenguaje algebraico expresa la información matemática con números y letras. EJEMPLO 2

Expresa en lenguaje algebraico.



Lenguaje usual

Lenguaje algebraico

La suma de dos números Un número aumentado en 3 unidades El cuadrado de un número El triple de un número La mitad de un número es igual a 3

a+b y+3 x2 3?x c =3 2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Expresa en lenguaje numérico.

a) El doble de cinco. b) La tercera parte de ochenta y siete. c) La mitad de ocho más tres.

2 Expresa en lenguaje algebraico.

a) El doble de un número. b) La tercera parte de un número. c) El triple de un número menos su cuadrado.

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Expresiones algebraicas

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Al igual que para expresarnos en el lenguaje usual utilizamos expresiones escritas, para expresarnos en el lenguaje algebraico utilizaremos expresiones algebraicas. Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones matemáticas. EJEMPLO 1 Traduce estos enunciados a expresiones algebraicas.



Expresión escrita

Expresión algebraica

x-2 3 ? (x - 2) x +1 2

Un número menos 2 unidades El triple de un número menos 2 La mitad de un número más 1

Valor numérico ANTES, DEBES SABER… Cómo se calculan potencias Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. 52 = 5 ? 5 = 25



(-5)3 = (-5) ? (-5) ? (-5) = -125

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras por sus valores correspondientes y realizar las operaciones que se indican.

El valor numérico de una expresión algebraica varía en función de los valores que toman las letras.

EJEMPLO 5

Calcula el valor numérico de estas expresiones algebraicas para los valores que se indican.

a) 2 ? x + 3, para x = 1. x=1

2 ? x + 3  --"   2 ? 1 + 3 = 2 + 3 = 5 b) x2 - 3 ? x, para x = -1 y para x = 2. x = -1

x2 - 3 ? x 

"   (-1)2 - 3 ? (-1) = 1 + 3 = 4

x2 - 3 ? x 

"   22 - 3 ? 2 = 4 - 6 = -2

x=2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Calcula el valor numérico de las siguientes

expresiones algebraicas para x = 2. a) 3 ? x - 5 b) x2 + 3 ? x

7 Halla los valores numéricos de la expresión

algebraica x ? (x + 1) ? (x - 1) + 3 para: a) x = 1       b)  x = -1       c)  x = 3

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3

Monomios

Los monomios son las expresiones algebraicas más sencillas. Están formados por productos de letras y números de manera que: •  El número (incluido su signo) se llama coeficiente. •  La letra o las letras que lo acompañan se denominan parte literal. EJEMPLO 6

SE ESCRIBE ASÍ

Completa la tabla.

•  En los monomios suprimimos el signo del producto. 3 ? x  "  3x •  Cuando una letra no tiene exponente, su exponente es 1. 1

7x  "  7x

Monomio

Coeficiente

Parte literal

3?x

3

x

-5 ? a 2 ? b3

-5

a2 ? b3

-2 ? a ? b

-2

a?b

ANTES, DEBES SABER… Cómo se suman o restan objetos • Objetos iguales

•  Cuando un monomio está formado solo por letras, su coeficiente es 1. x  3  "  coeficiente 1

-

=

•  Objetos diferentes

+

=

+

Suma y resta de monomios Dos o más monomios son semejantes si tienen la misma parte literal. La suma o resta de dos o más monomios semejantes es otro monomio que tiene por coeficiente la ­suma o resta de los coeficientes (números) de los sumandos, y mantiene la misma parte literal. Si los monomios no son semejantes, la suma o resta se deja indicada. EJEMPLO 7

Realiza estas operaciones entre monomios. No semejantes

Semejantes F

a) 3x + 2x = 5x

c) 8x + 7a

F

La suma se deja indicada.

3+2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 2 Indica el coeficiente y la parte literal.

a) 2x3 b) y  4

c) 3z d) 8t3

12 Efectúa.

a) x + x + x b) 5a - 4a + 10a - a

c) 2t + 5r d) -2x 2 + x 2 + x 2

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4

Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que no es cierta para todos los valores de las letras.

El símbolo = / se lee «distinto de». 6= /9 «6 es distinto de 9»

EJEMPLO 2 Comprueba que 10 + x = 16 es una ecuación.

Si x = 1 " 10 + 1 = 11 " 11 ! 16. No se cumple la igualdad. Si x = 6 " 10 + 6 = 16 " 16 = 16. Se cumple la igualdad. La igualdad solo se cumple para algunos valores de x  "  Es una ecuación.

Elementos de una ecuación

5

•  Los miembros de una ecuación son las expresiones algebraicas que hay a cada lado de la igualdad. •  Los términos de una ecuación son los sumandos que forman los miembros. •  Las incógnitas de una ecuación son las letras que aparecen en los términos, cuyos valores son desconocidos. EJEMPLO 10 Indica los miembros, los términos y las incógnitas de esta ecuación.

a) 6x + 5 = 23 

Primer miembro

Segundo miembro

6x + 5 = 23 " Incógnita: x Términos

La solución de una ecuación son los valores numéricos de las incógnitas que hacen cierta la igualdad. EJEMPLO 3 Comprueba si x = 3 y x = -2 son solución de la ecuación 6x + 5 = 23.

6x + 5

x=3

6x + 5

x = -2

" 6 ? 3 + 5 = 23 " 23 = 23 " x = 3 es solución. " 6 ? (-2) + 5 = -7 " -7 ! 23 " x = -2 no es solución.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 17 Indica, en las siguientes ecuaciones,

sus miembros, términos e incógnitas. a) x + 5 = 8

c) x2 - 4 = -x3 + 6

18 Decide de qué ecuaciones es solución x = 2.

a) x + 3 = 4 b) x + 7 = 9

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Resolución de ecuaciones de primer grado

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Resolver una ecuación es encontrar su solución, si esta existe. Para resolver una ecuación agrupamos en un miembro todos los términos con la incógnita, utilizando estas reglas: •  Si un término está sumando en un miembro, pasa restando al otro. Y si está restando, pasa sumando. •  Si un término está multiplicando en un miembro, pasa dividiendo al otro. Y si está dividiendo, pasa multiplicando. Cuando la x queda sola en un miembro, y en el otro miembro solo hay números, diremos que hemos despejado la x. Su valor numérico es la solución de la ecuación.

Las ecuaciones 2x = 4 y 4 = 2x tienen la misma solución: 4 x= =2 2

EJEMPLO 14 Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) x + 2 = 4

F

Agrupamos los términos con x en el primer miembro y los números en el segundo. El 2, que está sumando en el primer miembro, pasa restando al segundo: x+2=4"x=4-2 Pasa restando



"x=2

b) 2x = 4

F

Para despejar la x, pasamos el 2 que está multiplicando en el primer miembro, al segundo miembro, dividiendo: 4 2x = 4 " x = " x = 2 2 Pasa dividiendo

b) 3x - 1 = x + 3 Pasamos el 1 del primer miembro al segundo, y la x del segundo al primer miembro. 3x - 1 = x + 3 " 3x = x + 3 + 1 " 3x = x + 4 " 3x - x = 4 " 2x = 4 Para despejar la x, pasamos el 2 del primer miembro dividiendo al segundo: 4 2x = 4 " x = " x = 2 2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 23 Resuelve estas ecuaciones.

a) x + 4 = 15 b) x - 8 = 9 c) x - 4 = -6

d) 3x = 6 e) 5x = -20 f) 6x = 18

24 Halla la solución de las ecuaciones.

a) -2x + 4 = x +1 b) x - 8 = 2x - 6 c) 8x - 2 = 10x

d) 2x - 1 = x - 1 e) 4x - 5 = 2x + 7 f) 5x - 1 = x + 7

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Resolución de problemas

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Para resolver problemas mediante ecuaciones seguimos estos pasos: 1.º Identificamos la incógnita. 2.º Planteamos la ecuación. 3.º  Resolvemos la ecuación. 4.º Comprobamos e interpretamos la solución. EJEMPLOS 4 El doble de una cantidad más 15 es igual a 27. ¿Cuál es la cantidad?

•  Identificamos la incógnita. Llamamos x a la cantidad desconocida. •  Planteamos la ecuación. Una cantidad

x

El doble de esa cantidad

2x

El doble de la cantidad más 15

2x + 15

El doble más 15 es igual a 27

2x + 15 = 27

•  Resolvemos la ecuación. 2x + 15 = 27 " 2x = 27 - 15 " 2x = 12 " x =

12 2

"x=6

•  Comprobamos e interpretamos la solución. La cantidad es 6. El doble de 6 es 12. Si le sumamos 15: 12 + 15 = 27 " La solución es válida. 5 El triple de un número menos 2 es igual al mismo número más 8.

¿Cuál es ese número? •  Identificamos la incógnita. Llamamos x al número que buscamos. •  Planteamos la ecuación. Un número

x

El triple de ese número

3x

El triple del número menos 2

3x - 2

El triple del número menos 2 es igual al mismo número más 8

3x - 2 = x + 8

•  Resolvemos la ecuación. 3x - 2 = x + 8 " 3x - x = 8 + 2 " 2x = 10 " x =

10 2

"x=5

•  Comprobamos e interpretamos la solución. El número es 5. El triple menos 2: 3 ? 5 - 2 = 15 - 2 = 13 3 " La solución es válida. El número más 8: 5 + 8 = 13

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 3 El triple de una cantidad menos 5 es igual a 7.

Averigua la cantidad. 4 Una cantidad menos 15 es igual al doble de

la cantidad menos 18. ¿De qué cantidad se trata?

5 El doble de un número más su triple es igual

a 25. ¿De qué número se trata? 6 Un número es igual a su triple menos 8.

¿Cuál es el número?

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Lenguaje numérico

Monomio

Tres menos dos es uno " 3 - 2 = 1

F

4 x3 F

Coeficiente

Lenguaje algebraico El doble de un número " 2x + 1 más uno

Parte literal

Ecuación Primer miembro

Expresión algebraica

Segundo miembro

3x + 4 = 12 " Incógnita: x Términos

HAZLO DE ESTA MANERA

1. Calcular el valor numérico de una expresión algebraica Halla el valor numérico de la expresión algebraica x2 - 3x + 2, para x = -2. PRIMERO. Sustituimos

las incógnitas por el valor numérico que nos dan. x2 - 3x + 2 

SEGUNDO. Realizamos

x = -2

---$   (-2)2 - 3 ? (-2) + 2

las operaciones. (-2)2 - 3 ? (-2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12

El valor numérico de la expresión x 2 - 3x + 2, para x = -2, es 12.

2. Sumar y restar monomios Calcula. a)  3x2 + 5x2  2

2

b)  3x - 5x

c)  3a + 5b d)  3a - 5b

PRIMERO. Analizamos

si los monomios que queremos sumar o restar son o no semejantes. a) 3x2 + 5x2  → Misma parte literal, x2. Son semejantes.

b) 3x2 - 5x2  → Misma parte literal, x2. Son semejantes. c) 3a + 5b  → Distinta parte literal, a y b. No son semejantes. d) 3a - 5b  → Distinta parte literal, a y b. No son semejantes.

SEGUNDO. Operamos,

si es posible. •  Si los monomios son semejantes: se suman o restan sus coeficientes y se mantiene la misma parte literal. a) 3x2 + 5x2 = (3 + 5)x2 = 8x2 b) 3x2 - 5x2 = (3 - 5)x2 = -2x2

•  Si los monomios no son semejantes: la suma o la resta no se puede realizar, y se deja indicada. c) 3a + 5b " No se puede realizar. d) 3a - 5b " No se puede realizar.

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1. RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Resuelve la ecuación: 10x + 7 = 6x - 5 los términos con x en un miembro y los números en el otro. 10x + 7 = 6x - 5     10x - 6x = -5 - 7

PRIMERO. Agrupamos SEGUNDO. Sumamos

y restamos los términos semejantes. 4x = -12

TERCERO. Despejamos

la incógnita.

- 12 x= " x= - 3 4

2. RESOLVER UN PROBLEMA MEDIANTE ECUACIONES Un número más su doble es igual a 27. ¿Cuál es el número? PRIMERO. Identificamos SEGUNDO. Planteamos

la incógnita. Llamamos x al número que buscamos.

la ecuación.

Un número

x

El doble de ese número

2x

El número más su doble

x + 2x

El número más su doble es igual a 27

x + 2x = 27

TERCERO. Resolvemos

la ecuación.

x + 2x = 27 " 3x = 27" x =

27 3

"x=9

CUARTO. Comprobamos

e interpretamos la solución. El número 9 más su doble es: 9 + 2 ? 9 = 9 + 18 = 27 " La solución es válida.

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras

Sumar y restar monomios

1. Expresa en lenguaje algebraico. a) El triple de un número menos seis. b) La quinta parte de un número es 12.

5. Calcula: x + 4x - 10x + 5x

2. Determina si las siguientes expresiones algebraicas son una ecuación o una identidad. a) 6x - 2x = 12 b) 3x + x = 4x

Resolver una ecuación de primer grado 2. Resuelve estas ecuaciones. a) x - 5 = 7

b) 3x = 9

3. Resuelve. a) 5x - 5 = 4x + 7

b) 4x - x = 27

Calcular el valor numérico de una expresión algebraica

Resolver un problema mediante ecuaciones

1. Halla el valor numérico de la expresión 3x - 4x2, para x = 1.

4. El doble de un número menos 3 es igual a 7. ¿Cuál es ese número?

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Actividades EXPRESIONES ALGEBRAICAS 36. ● Relaciona cada enunciado con la expresión algebraica correspondiente. a) Perímetro de un triángulo equilátero. b) Al triple de un número le sumamos 2 unidades. c) El doble de la suma de dos números. d) El producto de un número y su consecutivo. 1) 3a + 2 3) 3x 2) x(x + 1) 4) 2(x + y) 37. ● Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones. a) El cuadrado de un número. b) Un número menos tres. c) El doble de un número más tres. d) La mitad de un número menos cinco. e) El triple de un número más el doble del mismo número. f) La cuarta parte de la suma de un número menos tres. g) La quinta parte de un número menos el triple de dicho número. h) La suma de dos números cualesquiera. i) El triple de la suma de dos números cualesquiera. j) La sexta parte de un número más seis. 38. ●● Si x es un número cualquiera, expresa en el lenguaje usual cada una de las expresiones algebraicas. a) x - 2 b) x + 5 c) 2x x d) 2

e) x 3 - 5 f) 3x - x 4 g) 2x + 2x 2 + 2x 3 h) x

40. ● Calcula el valor numérico de 6x - 3 para: a) x = 1 b) x = 2

c) x = -1 d) x = -3

41. ● Determina el valor numérico de la expresión algebraica 7x - 4 para los siguientes valores: x = -2, x = 1, x = -3. 42. ● Halla los valores numéricos de estas expresiones algebraicas para a = 3. a) 2a - 5 b) 3a 2 + 2a - 1

c) a(a - 1)(a + 2) d) (-a - 2)(-2a)

44. ● Halla el valor de las expresiones cuando toman el valor indicado. Valor de x

x=1



x=2



x = -1



x=0



x = -2



x = -4



x=7



x = -5

3x - 4

x2 + 1

MONOMIOS 45. ● Completa la siguiente tabla: Expresión algebraica

Coeficiente

Parte literal

3

6x

-4x xy -2a2b

7. ● Escribe un monomio que tenga: a) Coeficiente 7 y parte literal x. b) Coeficiente -2 y parte literal x3. c) Coeficiente 1 y parte literal x3. 8. ● Escribe dos monomios que tengan los mismos coeficientes y distinta parte literal. ¿Son semejantes esos monomios? 50. ● Indica las parejas de monomios que son semejantes y escribe sus opuestos. a) 2x 3 y 2x b) 3x y -2x

c) 12a 2 y -3a 2 d) a 3 y 3a

51. ● Escribe dos monomios semejantes para cada uno de estos monomios. a) 12a

b) -5x 2

c) 13y 3

52. ● Efectúa las sumas y restas de monomios. a) 2x + 3x c) 17x 2 - 4x 2 f) 7a + 5a + 3a g) 5x 4 - 2x 2 - 3x 2 i) 2x 2 - 4x 2 + 5x 2

j) -4a + 2a k) -5x 2 - (-x 2) l) 4a 2 + 6a m) 2x + 4x - 8x n) 2y + 2y2

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53. ● Suma y resta estos monomios. a) 3x 2 y -9x 2 b) 4x y 12x c) 4x y 3x 2

d) -36x 3 y 45x 3 e) 12a y -8a f) 12x y -4

ECUACIONES 56. ● Completa la siguiente tabla: Ecuación

Primer Segundo Términos Incógnita miembro miembro

7+s=2

60. ● ● Escribe tres ecuaciones de primer grado con una incógnita que tengan como solución x = 2. 61. ● ● Indica, sin operar, para qué valor de x se cumplen estas igualdades. a) x + 3 = 4 b) 2x = 16 c) 6 - x = 1 d) 9x = 36 x e) = 5 5

g) 7 - x = 5 h) 4x - 3 = 1 i) 4 + x = 6 j) 2x + 1 = 5 x =9 k) 27

f) 4 = -x

l) 9 = 3x

18 = 2t

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

5x = 1 + x 0=8-y

62. ● Calcula el valor de la incógnita.

10r = 3

57. ● Comprueba si estas igualdades son ciertas para los valores de la variable que se indican. a) 4x - 7 = 2, para x = 3. b) 10 - x = 13, para x = -3. c) 15 + x = 11, para x = -4. d) 3(x - 2) = 6, para x = 4. e) (8 - x)4 = 8, para x = 2. f) (9 - x)(6x + 2) = 16, para x = 8. x g) = 16, para x = 8. 2 x h) + 5 = 8, para x = 9. 3 x+5 + 1 = 6, para x = 5. i) 2 x x + = 5, para x = 6. j) 3 2 x+8 + 2 (x - 1) = 3, para x = 1. k) 3 58. ● Indica cuáles de estas ecuaciones tienen como solución x = -2. a) x + 2 = 0 b) 2x + 4 = -8

c) 3x - 1 = 5 d) 5x + 8 = -2

59. ● Di si el valor de x es solución de la ecuación y, si no es así, hállalo. a) 2x - 5 = 7, para x = 5. b) 3x - 6 = 2x - 5, para x = 3. c) x + 1 + 5 = 2x + 2, para x = 4. d) 3(x + 2) - 5 = 4x + (x - 1), para x = 1.

a) x + b) 9 + c) x d) 7 +

3= x= 5= x=

7 12 9 18

e) x - 3 = 7 f) x + 5 = 6 g) 15 + x = 9 h) x - 3 = -5

63. ● Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 4x = 16 b) -7x = 49 c) -5x = -125 d) 27x = -81

e) -5x = -25 f) 2x = -238 g) -3x = 36 h) -9x = 81

64. ● Halla la solución de las ecuaciones. a) 4x = 5 + 3x b) 6x = 12 + 4x c) x - 8 = 3x d) 20 + 6x = 8

e) 10 - 3x = -2x f) 6 + 2x = x g) 14x + 6x = 40 h) 30 + 8x = -7x

65. ● ● ¿Se han resuelto correctamente las ecuaciones? Si no es así, resuélvelas. d) 4x = 10 a) 3x - 1 = 0 x =   10 - 4 =   0 3x x =     6 0    = x   e) 4x + 2 = 6 b) 2x + 3 = 5 4x = 6 + 2 2 = x 2 x = 1 1   = x            f) 2x + 1 = 8 c) 7x = 8 =    8 + 1 2x 7 8    = =  4,5 x x   2    = x

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66. ● Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 25 - 2x = 3x - 35

i) 100 - 3x = 5x - 28

b) 4x + 17 = 3x + 24

j) 10x - 17 = 4x + 85

c) 7x - 3 = 21x - 9

k) 3x + 1 = 7x - 11

d) 1 + 8x = -64x + 46

l) 11x - 100 = 2x - 1

e) 5x - 11 = 15x - 33

m) 25 - 2x = 3x - 80

f) 2x + 17 = 3x + 2

n) 19 + 8x = 12x + 14

g) 70 - 3x = 14 + x

ñ) 21y - 3 = 10y + 195

h) 60 - 5x = x - 12

o) 2 - 6y = 36y - 5

72. ● ● Halla la solución de las ecuaciones. a)

2x = 4 3

c)

4x +2 = 6 3

b)

6x - 2 = 4 7

d)

- 8x = 16 3

73. ● ● Resuelve. a)

6x + 4 = 4 7

c)

16 - x =1 7

b)

3x - 5 = 2 2

d)

4+x =5 3

9. ● Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 3x = 5x + 2 - 3x b) 5x - 3x = 2 + x c) 4x + 2 = x + 3 - 2x d) 7x + 1 - 2x = 3x - 1 e) 7x - 4 + 3x = 5 - 2x + 2 f) 5x - 12 - 4x = 8 + 7x - 3 c) x + 8 - 6x = 12 - 10x + 5 g) 3x - 4 + 6x = 1 + 4x - 8 h) 4 - 4x + 5 = 7x - 4 + 5x i) 12 - x - 8 = 6x - 3 + 2x j) 4 + 10x - 8 = 5x - 3 + 4x k) 3 - 4x + 9 = 23 - 4x + 5

10. ● Resuelve las siguientes ecuaciones. 3x a) = 3 2 3x b) =- 3 2 - 3x c) = 3 2 5x d) -2 = 3 2 5x +2 = 7 e) 2 5x + 2 =- 3 f) 2 5x - 2 =- 7 g) 2

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVE UNA ECUACIÓN CON UN SOLO DENOMINADOR? 71. Resuelve las siguientes ecuaciones. 4x 5x b) a) = 8 -3 = 7 3 3 PRIMERO. Se multiplica

cada uno de los términos de la ecuación por el denominador. a) 3 ?

4x = 3?8 3 4x = 24

5x b) 3 ? - 3?3 = 3?7 3 5x - 9 = 21 SEGUNDO. Se resuelve

la ecuación sin denominadores que resulta. 24 a) 4x = 24 " x = "x=6 4 30 b) 5x - 9 = 21 " 5x = 30 " x = "x=6 5

74. ● ● Calcula la solución de las ecuaciones. 2x 3x + 2 a) 10 + c) 4x - 38 = = 8 + 4 7 5 b)

x + 2x = 1 + 2x 3

d)

2x = 24 3

76. ● ● Resuelve, simplificando todo lo que puedas. 1 3x - 4 a) 4x + = 2 2 b)

4x + 4 x+6 = 3 2

c) 3 (x - 2) -

2x = 4 (x + 3) 2

d) 3 (x + 1) -

6 (x - 2) =5 3

e)

3 (x - 1) 10 (x + 1) 1 + = 2x + 5 3 4

f)

2 (x + 1) 3 (x - 1) 8 (x + 2) + + = 5x - 1 3 4 2

g)

2 (x - 3) 2 (x + 2) -5 = x+1 7 5

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PROBLEMAS CON ECUACIONES

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN PROBLEMAS GEOMÉTRICOS CON ECUACIONES?

78. ● Expresa, utilizando el lenguaje algebraico, estos enunciados.

11. El perímetro del rectángulo de la figura es 66 cm. Calcula sus dimensiones.

a) Un número cualquiera. b) La suma de dos números. c) El doble de la suma de dos números. d) El doble de un número más otro.

(x + 1) cm

79. ● Expresa los siguientes enunciados mediante el lenguaje algebraico.

3x cm

a) La cuarta parte de una cantidad más 3 unidades. b) A cinco veces una cantidad le sumamos 8 unidades.

Perímetro = 3x + 3x + (x + 1) + (x + 1) SEGUNDO. Se

plantea la ecuación. Como sabemos que el perímetro es igual a 66: 3x + 3x + (x + 1) + (x + 1) = 66

c) La mitad de una cantidad más la mitad de la mitad de dicha cantidad. d) El cuarto de una cantidad más la mitad del cuarto de dicha cantidad. 80. ● Si llamamos x a la base, e y a la altura de un rectángulo, completa la siguiente tabla:

PRIMERO. Se expresa el perímetro de este rectángulo.

TERCERO. Se

y x

resuelve la ecuación. 8x + 2 = 66 8x = 64 x = 8 cm

CUARTO. Se

comprueba la solución. Tenemos un rectángulo de lados x + 1 = 9 cm y 3x = 24 cm. Su perímetro será: Perímetro = 9 + 9 + 24 + 24 = 66 cm

Área Perímetro Doble del área Mitad del perímetro

81. ● Completa la tabla sabiendo que Pedro tiene el doble de edad que Andrés, Marta tiene 6 años más que Pedro, y Rosa tiene 10 años menos que Pedro. Marta Andrés Rosa Si la edad actual de Andrés fuese 10 años

10

Si desconocemos la edad de Andrés

x

Pedro

85. ●● Expresa, en forma de ecuación, los siguientes enunciados y obtén su solución. a) ¿Qué número sumado con 3 da 8? b) ¿Qué número multiplicado por 5 da 60? c) ¿Qué número dividido entre 12 da 84?

12. ● ● Calcula el largo y el ancho de un rectángulo x de lados x y , y cuyo perímetro es 136 dm. 3 13. ● ● El perímetro de un rectángulo es 106 m. ¿Cuál es la medida de sus lados sabiendo que el largo es el doble del ancho más 5 m? 14. ● ● Un triángulo isósceles tiene como perímetro 35 cm. Si cada uno de los lados iguales mide 10 cm, ¿cuál es la ecuación para hallar el otro lado? a) x + x + 10 = 35

c) 2x + 35 = 10

b) 10 + 10 + x = 35

d) x + 35 = 20

93. ● ● En un bolsillo tengo una cantidad de dinero y en el otro tengo el doble. En total hay 6 €. ¿Cuánto dinero hay en cada bolsillo?

86. ●● Escribe la ecuación que resulta de la expresión: «El triple de un número más cinco es igual a veintiséis». ¿De qué número se trata? 87. ●● Si «el doble de un número menos cinco es igual a once», escribe la ecuación y resuélvela.

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Sistema Métrico Decimal Libertad, igualdad y fraternidad

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Busca información sobre cómo y por qué se creó el Sistema Métrico Decimal. 2. Investiga sobre si esta fue la primera vez que se planteó unificar el sistema de medidas, o si hubo propuestas anteriores. 3. Explica cómo se definen las unidades de medida más importantes según el Sistema Métrico Decimal.

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Tres mujeres esperaban para comprar paño en un puesto que anunciaba manufacturas de Flandes. La mayor de ellas pidió tres varas de longitud de un grueso tejido de color verde. Mientras el comerciante, con la vara más corta, medía y comenzaba a cortar el paño, ella se quejaba: –Tienes dos varas de medir, larga para comprar y corta para vender. ¡Eres un ladrón! La más joven dijo: –He oído decir que la Academia de las Ciencias ha inventado una nueva medida y que sustituirá a todas las que existen. La tercera mujer tomó entonces la palabra: –Mi padre trabaja en la Academia y es cierto; la medida se llama metro, y están fabricando el modelo patrón. La mayor se dirigió al comerciante: –François, tus timos se acaban. –Y pagando la pieza se alejaron las tres en dirección al río. Diez millones de metros mide la cuarta parte de un meridiano. La estimación de esta medida y la construcción del metro patrón finalizaron en 1799.

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Antes de empezar la unidad... SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL En el sistema de numeración decimal, a cada cifra de un número le corresponde un orden de unidades. Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad Centena Decena de millón de millón de millón de millar de millar de millar 1 0 0 2 5 6 7 8

Unidad 9

Décima Centésima Milésima 0

5

2

100 256 789,052 = 1 C. de millón + 2 CM + 5 DM + 6 UM + 7 C + 8 D + 9 U + 5 c + 2 m = = 100 000 000 + 200 000 + 50 000 + 6 000 + 700 + 80 + 9 + 0,05 + 0,002 El sistema de numeración decimal es posicional, es decir, el valor de cada cifra depende del lugar o posición que ocupa en el número. F

2 CM = 200 000 unidades F

En el sistema decimal, 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior.

2 m = 0,002 unidades

100 256 789,052 5 c = 0,05 unidades 5 DM = 50 000 unidades F

F

EVALUACIÓN INICIAL 1 Descompón los siguientes números en sus distintas unidades.

a) 23 453 b) 234

c) 4 334 d) 324 501

2 Escribe en cada caso un número:

a) Que tenga el valor de la cifra 3 igual a 300 unidades. b) Que tenga el valor de la cifra 7 igual a 7 000 unidades. c) Que tenga el valor de la cifra 8 igual a 80 000 unidades. 3 Copia y completa las siguientes igualdades.

a) 10 DM = 4 U b) 20 CM = 4 U

c) 50 CM = 4 U d) 70 CM = 4 U

4 Copia y completa las siguientes igualdades.

a) 20 U = 4 D = 4 C b) 300 U = 4 C = 4 UM

c) 5 000 U = 4 UM = 4 D d) 70 000 U = 4 CM = 4 C

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… •  Reconocer magnitudes. •  Aplicar las equivalencias entre unidades de longitud, capacidad, masa, superficie y volumen. •  Pasar de forma compleja a incompleja, y viceversa.

105

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14:52

1

Magnitudes y unidades

Una magnitud es cualquier cualidad que se puede medir, y su valor puede ser expresado mediante un número. Para medir una cantidad de una magnitud, la comparamos con otra cantidad que es fija, a la que llamamos unidad de medida. EJEMPLO 1

Escribe ejemplos de magnitudes y de unidades de medida. Magnitudes son: •  La longitud de una carretera. •  La temperatura del agua de una piscina. •  El peso de un remolque. •  La capacidad de una garrafa. Unidades de medida son: •  Los kilómetros de una carretera. •  Los grados centígrados del agua de una piscina. •  Los kilogramos que pesa un remolque. •  Los litros que caben en una garrafa.

ANTES, DEBES SABER… Cómo se calculan las potencias de 10 Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente. 5 ceros

F

3 ceros

F

10 3 = 1 000         10 5 = 100 000

Sistema Métrico Decimal En la actualidad, y exceptuando algunos países anglosajones, para medir magnitudes se utiliza el mismo sistema de medida, llamado Sistema Métrico Decimal. El Sistema Métrico Decimal se compone de las unidades de medida de longitud, superficie, volumen, capacidad y masa. Decimos que es un sistema decimal porque sus unidades se relacionan entre sí mediante potencias de 10. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Indica si son magnitudes o no.

a) La capacidad de un bidón. b) La simpatía. c) La distancia entre dos ciudades. d) El amor. e) La altura de un árbol.

2 Escribe la unidad que utilizarías para medir

las magnitudes del ejercicio anterior. 1 ¿Qué ocurriría si midiésemos la distancia entre

dos poblaciones en milímetros? ¿Y si midiésemos el grosor de una hoja de papel en kilómetros?

106

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Unidades de longitud

2

Los múltiplos y submúltiplos del metro son unidades mayores y menores, respectivamente. Los múltiplos y submúltiplos del metro son: Múltiplos del metro kilómetro hectómetro decámetro (km) (hm) (dam) 1 000 m 100 m 10 m

Submúltiplos del metro decímetro centímetro milímetro (dm) (cm) (mm) 0,1 m 0,01 m 0,001 m

metro (m)

En las unidades de longitud, cada unidad es 10 veces mayor que la inmediata inferior y 10 veces menor que la inmediata superior. ANTES, DEBES SABER… Cómo se multiplica por la unidad seguida de ceros •  Si el número es natural, le añadimos tantos ceros como tenga la unidad. 82 ? 100 = 8 200 23 ? 10 000 = 230 000 •  Si el número es decimal, desplazamos la coma a la derecha tantos lugares como ceros siguen a la unidad. Si no hay suficientes decimales, añadimos ceros. 3,4073 ? 1 000 = 3 407,3 23,4 ? 100 = 2 340

Cómo se divide por la unidad seguida de ceros Desplazamos la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad. Si no hay suficientes decimales se añaden ceros. 3 452 : 1 000 = 3,452 5,4 : 100 = 0,054

Para transformar una unidad de longitud en otra, se multiplica o se divide sucesivamente por 10. dm

: 10

cm

F

F

F

F

F

: 10

: 10

F

: 10

m

? 10 F

dam

? 10 F

hm

? 10 F

F

F

km

? 10

mm

F

? 10

? 10

Para transformar unidades de longitud, multiplicamos o dividimos por potencias de 10.

: 10

: 10

EJEMPLO 2

Expresa en decámetros. a) 265,83 m " 265,83 : 10 = 26,583 dam b) 5,04 hm -" 5,04 ? 10 = 50,4 dam c) 16 dm --" 16 : 100 = 0,16 dam d) 4,567 km -" 4,567 ? 100 = 456,7 dam e) 225,73 cm " 225,73 : 1 000 = 0,22573 dam

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Expresa en kilómetros.

a) 275 m b) 5 dam

5 Expresa en hectómetros.

c) 3,7 hm d) 24,3 dam

a) 0,85 dam b) 3,12 km

c) 56 dam d) 325 m

107

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2.1  Forma compleja e incompleja Una medida está escrita en forma incompleja cuando para expresarla utilizamos una única unidad de medida. Si utilizamos más de una unidad, diremos que está en forma ­compleja.

Para escribir una medida compleja en el cuadro de unidades, se completan con ceros las unidades que no aparecen. m 3 m 2 cm

F

EJEMPLOS

dm cm mm

3

0

2

3

0

Determina si las siguientes medidas están expresadas en forma compleja o incompleja.

a) 23 cm -" Incompleja b) 3,45 hm " Incompleja 4

c) 2 m 6 cm -" Compleja d) 4 km 5 dm 27 m " Compleja

Expresa 2 m 8 dm 6 cm en forma incompleja. Usamos el cuadro de unidades, colocando cada unidad en su lugar.

5



F

m

dm

cm

2

8

6

Forma compleja 2 m  8 dm  6 cm

F

Forma incompleja 286 cm

Escribe en decámetros estas medidas expresadas en forma compleja. a) 5 hm 3 dam 4 m Para expresar una medida en forma compleja en una unidad concreta, transformamos todas las unidades en la unidad que se pide. 5 hm 3 dam 4 m = (5 ? 10) dam + 3 dam + (4 : 10) dam = 53,4 dam b) 1 hm 3 m 9 cm = (1 ? 10) dam + (3 : 10) dam + (9 : 1 000) dam = 10,309 dam





Expresa en forma compleja estas medidas. a) 3,06 hm 

Forma incompleja 3,06 hm

F

hm

dam

m

3

0

6

Forma compleja 3 hm 6 m

 

b) 102,005 dam Forma incompleja 102,005 dam

F

km

hm

dam

m

dm

cm

1

0

2

0

0

5

F

6

F



Forma compleja 1 km 2 dam 5 cm

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 11 El circuito de la carrera de atletismo mide

9 Expresa en metros.

a) 2 km 17 dam 8 m b) 3 m 52 dm 13 cm c) 5 dam 17 m 13 dm 1 cm

2 Paula ha comprado 2 hm 6 dm 4 cm de tela para

confeccionar un traje de carnaval. Calcula los metros de tela que ha comprado.

d) 8 hm 7 m 4 mm 10 Expresa en forma compleja las siguientes

medidas. a) 2 284 cm b) 0,045 km

3 km 4 hm 2 dam. ¿Cuántos metros mide el circuito?

c) 8 793 dam d) 13 274 hm

3 Según el plano se necesitan 27 dam 8 m de cable

para realizar la instalación de luz de toda la casa. Calcula los metros de cable necesarios para la instalación.

108

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2.2  Operaciones con medidas de longitud ANTES, DEBES SABER… Cómo se suman o restan números decimales 1.º Colocamos los números, de forma que las comas decimales estén en la misma columna, y añadimos los ceros necesarios para que todos tengan el mismo número de decimales. 2.º Sumamos o restamos como si fueran números naturales, manteniendo la coma en su lugar correspondiente. 21,34 + 3,271 

21,340   +  3,271 24,611

15,237 - 9,35 

F

15,237   -  9,350 5,887

F

Cómo se multiplican números decimales 1.º Los multiplicamos como si fueran números naturales. 3 cifras 5,108 2.º Colocamos la coma en el resultado, separando + tantas cifras como decimales sumen entre #   0,4 1 cifra los dos factores, contando de derecha a izquierda. 2,0432 4 cifras G G G

Para realizar operaciones de suma, resta y multiplicación con medidas de longitud utilizamos el cuadro de unidades. Es importante colocar cada unidad en su lugar correspondiente. EJEMPLO 7

Calcula y expresa en decímetros. a) 34,72 m + 8 569 mm b) 6 km 4 dam 1 m - 49 845,2 dm

c) (2 m 9 cm) ? 14

a)

c)

dam m 3 + 4

4

dm

cm

mm

7

2

0

8

5

6

9

3

2

8

9

F

b)

km -

dam

dm

cm

6

0

4

1

0

0

4

9

8

4

5

2

1

0

5

6

4

dm cm

2

0 1

9 4

8 0

3 9

6

2 2

9

2

#

432,89 dm

hm dam m

m

6 F

292,6 dm

8 F

10 564,8 dm

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 13 Realiza las siguientes operaciones, y expresa

4 Realiza estas operaciones, y expresa

el resultado en metros.

el resultado en decámetros.

a) 4 322 cm + 57 dm b) 34,78 dam - 3,57 dm e) 12,432 cm ? 5

a) 234 m + 3,29 hm b) 4 km 6 hm 8 m - 32,53 m c) (43 hm 4 dm 8 m) ? 23

109

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Unidades de capacidad

3

El litro es la unidad principal de capacidad. Se escribe ¬. Algunos múltiplos y submúltiplos del litro son: Múltiplos del litro kilolitro hectolitro decalitro (kl) (dal) (hl) 1 000 ¬ 10 ¬ 100 ¬

Submúltiplos del litro decilitro centilitro mililitro (dl) (cl) (ml) 0,1 ¬ 0,01 ¬ 0,001 ¬

litro (¬)

En las unidades de capacidad, cada unidad es 10 veces mayor que la inmediata inferior y 10 veces menor que la inmediata superior. Para transformar una unidad de capacidad en otra, se multiplica o se divide sucesivamente por 10. ? 10

cl

F

F

F

F

dl

: 10

F

: 10

F

: 10

¬

dal

? 10

F

hl

? 10

F

F

kl

? 10

ml

F

? 10

F

? 10 F

Para transformar unidades de capacidad, multiplicamos o dividimos por potencias de 10.

: 10

: 10

: 10

EJEMPLO

Expresa en decalitros. a) 265,83 ¬ -" 265,83 : 10 = 26,583 dal b) 4,567 kl --" 4,567 ? 100 = 456,7 dal c) 225,73 cl -" 225,73 : 1 000 = 0,22573 dal d) 1 hl 3 ¬ 9 cl " (1 ? 10) + (3 : 10) + (9 : 1 000) = 10,309 dal



Forma compleja 1 hl 3 ¬ 9 cl

F

hl

dal

¬

dl

cl

1

0

3

0

9

F

9

Forma incompleja 10,309 dal

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 Transforma la cantidad 1 kl 23 dl 4 ¬ 54 dl.

18 Transforma en litros.

a) 7,5 kl b) 593 cl 19 Expresa en litros.

a) 1 kl 4 hl 25 dl b) 7 hl 1 dl 16 cl c) 1 kl 4 dal 3 dl 12 ml d) 4 hl 12 dal 1 dl 1 cl

c) 0,4 dal d) 6 300 ml

a) En decilitros. b) En kilolitros. 20 Un tonel tiene una capacidad de

30 hl 5 dal 500 ¬. ¿Cuántos litros son? 21 Un depósito de agua tiene una capacidad

de 3 kl 50 dal 5 000 ¬. ¿Cuál es su capacidad en decalitros?

110

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Unidades de masa

4

El kilogramo es la unidad principal de masa. Se escribe kg. Aunque la unidad principal de masa es el kilogramo, vamos a utilizar el gramo por similitud con el resto de unidades de medida.

En el lenguaje cotidiano a la masa se le llama peso.

Algunos múltiplos y submúltiplos del gramo son: Múltiplos del gramo

Submúltiplos del gramo

kilogramo hectogramo decagramo decigramo centigramo miligramo gramo (hg) (kg) (dag) (dg) (cg) (mg) (g) 100 g 1 000 g 10 g 0,1 g 0,01 g 0,001 g

En las unidades de masa, cada unidad es 10 veces mayor que la inmediata inferior y 10 veces menor que la inmediata superior. Para transformar una unidad de masa en otra, se multiplica o se divide sucesivamente por 10. dg

: 10

cg

: 10

mg

F

F

F

F

: 10

F

: 10

g

? 10 F

dag

? 10 F

hg

? 10 F

F

F

kg

? 10

F

? 10

F

? 10

: 10

: 10

EJEMPLO 1

Expresa en hectogramos. a) 32,25 g " 32,25 : 100 = 0,3225 hg b) 3,12 kl " 3,12 ? 10 = 31,12 hg d) 1 kl 3 g 5 dg " (1 ? 10) + (3 : 100) + (5 : 1 000) = 10,035 hg d) 5 kg 24 hg 2 g 45 cg " (5 ? 10) + 24 + (2 : 100) + (45 : 10 000) = 74,0245 hg

Para medir grandes masas se utilizan la tonelada métrica, el quintal métrico y el miriagramo, cuyas equivalencias con el kilogramo y el gramo son: Unidades Tonelada métrica Quintal métrico Miriagramo

Símbolo t q mag

kg 1 000 kg 100 kg 10 kg

g 1 000 000 g 100 000 g 10 000 g

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 6 Expresa en gramos.

a) 4,27 hg b) 523,46 mg c) 3 hg 23 dg 34 mg d) 3 dg 41 g 3 cg 37 dg

23 Expresa en gramos y ordena, de menor a mayor.

31 dg   1,02 kg   8,34 cg   0,4 t   0,09 q 24 Realiza las siguientes operaciones.

a) 123 hg 35 g + 3 kg 15 dag b) 30 t 20 q - 250 dag 120 kg 200 hg

111

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Unidades de superficie

5

ANTES, DEBES SABER… Cómo se miden superficies Para medir la superficie de una figura, se elige una unidad de medida y se cuenta el número de unidades que ocupa esa figura.

Unidad 

F

Superficie: 8  

Qué es un metro cuadrado 1 m2

1m

Un metro cuadrado es la superficie que ocupa un cuadrado de lado un metro.

1m

La unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado. Se escribe m2. Los múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado son: Múltiplos del metro cuadrado

Para transformar unidades de superficie, multiplicamos o dividimos por potencias de 100.

Submúltiplos del metro cuadrado

kilómetro hectómetro decámetro decímetro centímetro milímetro metro cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado (km2) (hm2) (dam2) (cm2) (mm2) (dm2) 2 ) (m 1 000 000 m2 10 000 m2 100 m2 0,01 m2 0,0001 m2 0,000001 m2

En las unidades de superficie, cada unidad es 100 veces mayor que la inmediata inferior y 100 veces menor que la inmediata superior. Para transformar una unidad de superficie en otra, se multiplica o se divide sucesivamente por 100.

: 100

cm2

F

F

F

F

: 100

dm2 : 100

F

: 100

m2

? 100 F

dam2

? 100 F

hm2

? 100 F

F

F

km2

? 100

mm2

F

? 100

F

? 100

: 100

: 100

EJEMPLO 11 Expresa en decámetros cuadrados.

a) 265,83 m2 " 265,83 : 100 = 2,6583 dam2 b) 5,04 hm2 -" 5,04 ? 100 = 504 dam2 c) 16 dm2 --" 16 : 10 000 = 0,0016 dam2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 26 Transforma en m2 las siguientes medidas.

a) 32 dam2 b) 3,6 dam2

c) 1,0005 km2 d) 1,16 hm2

7 Transforma en dm2 las siguientes medidas.

a) 3,007 dam2 b) 0,008 km2

c) 0,00001 km2 d) 0,0035 hm2

112

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5.1  Forma compleja e incompleja Las medidas de superficie también se pueden expresar de forma compleja e incompleja, teniendo en cuenta que las unidades van de 100 en 100 y que a cada unidad le corresponden dos cifras. EJEMPLOS 12 Expresa en forma compleja 41 327,25 m2. hm2

dam2

m2

dm2

4

13

27

25

F

4 hm2 13 dam2 27 m2 25 dm2

13 Expresa 3 hm2 8 dam2 4 cm2 en m2.

2



3 hm2 = 3 ? 10 000 = 30 000,0004 m2 8 dam2 =    8 ? 100 = 35.800,0004 m2 4 cm2 = 4 : 10 000 = 5.820,0004 m2



30 800,0004 m2

Expresa 23 km2 231 hm2 5 m2 62 dm2 en dam2. dam2 23 km2 = 23 ? 10 000 = 230 000 dam2 231 hm2 = 231 ? 100 = 23 100 2 0,05 dam2 5m = 5 : 100 = 0,0062 dam2 62 dm2 = 62 : 10 000 = 253 100,0562 dam2

5.2  Unidades agrarias Para expresar medidas de superficie que se refieren a extensiones de fincas, campos, terrenos, etc., utilizamos las unidades agrarias. Las equivalencias de las unidades agrarias con las unidades de superficie son: Unidades Hectárea Área Centiárea

Símbolo ha a ca

Equivalencia 1 hm2 1 dam2

En una medida compleja de longitud, capacidad o masa, a cada unidad le corresponde una cifra. En una medida compleja de superficie, a cada unidad le corresponden dos cifras.

Equivalencia en m2 10 000 m2 100 m2 1 m2

EJEMPLO 3 Expresa cada medida en la unidad indicada.

a) 0,25 ha en m2 " 0,25 ? 10 000 = 2 500 m2 b) 1,23 dam2 en ca " 1,23 ? 100 = 123 m2 = 123 ca c) 24 000 ca en ha " 24 000 : 10 000 = 2,4 ha

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 29 Expresa en m2: 2 km2 17 hm2 2 dam2

31 Transforma en hm2: 1 km2 69 dam2

30 Reduce a dm2:

32 ¿A cuántos dam2 equivalen 6 hectáreas? 2

2

2

45 dam 23 m 945 cm

¿Cuántas hectáreas son 2 km2?

113

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6

Unidades de volumen

6.1  Volumen de un cuerpo Los cuerpos tienen tres dimensiones: largo, ancho y alto.

ANTES, DEBES SABER… Cómo se miden volúmenes Para hallar el volumen de un cuerpo geométrico se elige una unidad de medida y se cuenta el número de unidades que caben en ese cuerpo. Unidad 

F

Hay 4 # 2 # 3 = 24 cubitos.

3 2

4

Volumen: 24   

El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa. EJEMPLO 16 Si cada cubo ocupa 1 cm3, halla el volumen

de esta figura:

La figura tiene 14 cubos de 1 cm3. Vfigura = 14 cm3

6.2  Unidades de volumen ANTES, DEBES SABER… Qué es un metro cúbico Un metro cúbico es el volumen que ocupa un cubo de lado un metro.

1m 1m 1m

El metro cúbico es la unidad principal de medida de volumen. Se escribe m3. Los múltiplos y submúltiplos del metro cúbico son: Múltiplos del metro cúbico

Submúltiplos del metro cúbico

decímetro centímetro kilómetro hectómetro decámetro milímetro metro cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico 3 3 ) ) (dm (km3) (hm3) (dam3) (cm (mm3) (m3) 3 3 3 3 3 1 000 000 000 m 1 000 000 m 1 000 m 0,001 m 0,000001 m 0,000000001 m3 LO QUE DEBES SABER RESOLVER 35 Si cada cubo ocupa 1 cm3,

indica el volumen de la figura.

8 Copia y completa.

a) 4 m3 = 4 dm3 b) 8 m3 = 4 dm3

c) 8 dm3 = 4 cm3 d) 3,5 dm3 = 4 cm3

114

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6.3  Transformación de unidades En las unidades de volumen, cada unidad es 1 000 veces mayor que la inmediata inferior y 1 000 veces menor que la inmediata superior. Para transformar una unidad de volumen en otra, se multiplica o se divide sucesivamente por 1 000.

dm3

: 1 000

cm3

: 1 000

mm3

F

F

F

F

: 1 000

F

: 1 000

m3

F

dam3

? 1 000

? 1 000 F

hm3

? 1 000 F

F

F

km3

? 1 000

F

? 1 000

F

? 1 000

Para transformar unidades de volumen, multiplicamos o dividimos por potencias de 1 000.

: 1 000

: 1 000

EJEMPLO 17 Expresa en decámetros cúbicos.

a) 265,83 m3 " 265,83 : 1 000 = 0,26583 dam3 3 b) 5,04 hm -" 5,04 ? 1 000 = 5 040 dam3 c) 16 dm3 --" 16 : 1 000 000 = 0,000016 dam3 d) 4,567 km3 " 4,567 ? 1 000 000 = 4 567 000 dam3 3 e) 225,73 cm " 225,73 : 1 000 000 000 = 0,00000022573 dam3

6.4  Forma compleja e incompleja Las medidas de volumen se pueden expresar de forma compleja e incompleja, teniendo en cuenta que las unidades van de 1 000 en 1 000 y que a cada unidad le corresponden tres cifras. EJEMPLOS 18 Expresa en forma compleja 41 327,25 m3. dam3

m3

dm3

41

327

250

F

41 dam3 327 m3 250 dm3

19 Expresa 3 hm3 8 dam3 4 cm3 en m3.



3 hm3 =  3 ? 1 000 000 = 3 000 000,000004 m3 8 dam3 =     8 ? 1 000 = 35 08 000,000004 m3 4 cm3 = 4 : 1 000 000 = 35 08.200,000004 m3



3 008 000,000004 m3

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 38 Expresa en metros cúbicos estas medidas.

a) 83 dam3 b) 231 hm3

c) 1 233,33 cm3 d) 123,44 mm3

e) 0,049 km3 f) 0,034 dm3

39 El volumen de un bote es de 30 dm3 5 cm3

500 mm3. ¿Qué volumen ocupa en mm3? 40 El volumen de una lata es de 3 dm3 50 cm3 5 000 mm3.

¿Qué volumen ocupa en m3? 9 Ordena de mayor a menor.

a) 5 m3 b) 3 500 cm3

7 000 dm3 2,9 dm3

8,2 m3 3,01 dm3

8 250 m3 3 499 cm3

41 Calcula.

a) 17 hm3 + 340 dm3 b) 1 km3 + 100 hm3 - 1 m3

115

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Magnitud " Longitud, capacidad, masa, superficie, volumen… Unidades de medida kilómetro

hectómetro

decámetro

metro

decímetro

centímetro

milímetro

kilolitro

hectolitro

decalitro

litro

decilitro

centilitro

mililitro

Masa

kilogramo

hectogramo

decagramo

gramo

decigramo

centigramo

miligramo

Superficie

kilómetro cuadrado

hectómetro cuadrado

decámetro cuadrado

metro cuadrado

decímetro cuadrado

centímetro cuadrado

milímetro cuadrado

Volumen

kilómetro cúbico

hectómetro cúbico

decámetro cúbico

metro cúbico

decímetro cúbico

centímetro cúbico

milímetro cúbico

Longitud Capacidad

Medidas expresadas en forma incompleja " 45 ml                        34,6 kg                  0,876 m2 Medidas expresadas en forma compleja " 4 kg  6 dag  44 g      34 dam2  6 m2    120 m  34 dm  8 mm

HAZLO DE ESTA MANERA

1. TRANSFORMAR UNIDADES DE MEDIDA DE LONGITUD, MASA Y CAPACIDAD Expresa. a) 34 dam en m. los saltos que hay desde la unidad que nos dan hasta la unidad en la que tenemos que expresar la medida. a) 1 salto hacia la derecha. b) 2 saltos hacia la izquierda.

PRIMERO. Contamos

b) 8,2 dl en dal. el sentido del salto. •  Si el salto es hacia la derecha, multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como saltos. •  Si es hacia la izquierda, dividimos. a) 34 ? 10 = 340 m b) 8,2 : 100 = 0,082 dal

SEGUNDO. Analizamos

2. TRANSFORMAR UNIDADES

3. TRANSFORMAR UNIDADES

Expresa. a) 34 dam2 en m2. b) 8,2 dm2 en dam2.

Expresa. a) 34 dam3 en m3. b) 8,2 dm3 en dam3.

PRIMERO. Contamos

los saltos que hay desde la unidad que nos dan hasta la unidad en la que tenemos que expresarlo. a) 1 salto hacia la derecha. b) 2 saltos hacia la izquierda.

PRIMERO. Contamos

el sentido del salto. •  Si el salto es hacia la derecha, multiplicamos la medida por la unidad seguida del doble de ceros que de saltos. •  Si es hacia la izquierda, dividimos. a) 34 ? 100 = 3 400 m2 b) 8,2 : 10 000 = 0,00082 dam2

SEGUNDO. Analizamos

DE MEDIDA DE SUPERFICIE

SEGUNDO. Analizamos

DE MEDIDA DE VOLUMEN

los saltos que hay desde la unidad que nos dan hasta la unidad en la que tenemos que expresarlo. a) 1 salto hacia la derecha. b) 2 saltos hacia la izquierda.

el sentido del salto. •  Si el salto es hacia la derecha, multiplicamos la medida por la unidad seguida del triple de ceros que de saltos. •  Si es hacia la izquierda, dividimos. a) 34 ? 1 000 = 34 000 m3 b) 8,2 : 1 000 000 = 0,0000082 dam3

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dm3 4. PASAR MEDIDAS DE FORMA

5. PASAR MEDIDAS DE FORMA

INCOMPLEJA A COMPLEJA

COMPLEJA A INCOMPLEJA

Expresa de forma compleja. 2

a) 301,56 dal.

b) 301,56 dam .

PRIMERO. Colocamos

cada una de las cifras en el cuadro de unidades, teniendo en cuenta que: •  Si la medida es de longitud, capacidad o masa, en cada casilla solo va una cifra. •  Si es de superficie, van dos cifras por casilla. •  Y si es de volumen, van tres cifras por casilla.

a)

kl

hl

dal

¬

dl

3

0

1

5

6

b) hm2 dam2 3

56

número anterior a la coma representa la unidad en la que está expresada la medida. a) Forma Forma kl hl dal dl 301,56 dal

b)

Forma incompleja 301,56 dam2

¬

3

0

1

hm2 dam2 3

01

5 m2 56

todas las cantidades de la medida compleja en la unidad que se pide. Para ello multiplicamos o dividimos por la unidad seguida de tantos ceros como corresponda. 3 km2 = 3 ? 10 000 = 30 000 dam2 1 dam2 = 1 dam2 5 m2 = 5 : 100 = 0,05 dam2 6 dm2 = 6 : 10 000 = 0,0006 dam2

SEGUNDO. El

incompleja

PRIMERO. Expresamos

a) Expresamos todas las cantidades en dam2.

m2

01

Expresa: a) 3 km2 1 dam2 5 m2 6 dm2 en dam2. b) 3 km3 1 dam3 en dam3.

6

compleja

3 kl  1 dal  5 ¬  6 dl Forma compleja

3 hm2  1 dam2  56 m2

b) Expresamos todas las cantidades en dam3. 3 km3 = 3 ? 1 000 000 = 3 000 000 dam3 1 dam3 = 1 dam3 SEGUNDO. Sumamos

los resultados. a) 3 km 1 dam 5 m 6 dm2 = = 30 000 + 1 + 0,05 + 0,0006 = = 30 001,0506 dam2 2

2

2

b) 3 km3 1 dam3 en dam3 = = 3 000 000 + 1 = = 3 000 001 dam3

Y AHORA… PRACTICA

1. ¿Es el hectolitro una unidad de capacidad?

Pasar medidas de forma incompleja a compleja

Transformar unidades de medida de longitud, masa y capacidad

  8. Expresa en forma compleja 3,241 hl.

Comprende estas palabras

2. ¿Cuántos kg son 32 547,8 g? 3. ¿Cuántos dl son 3,72 hl? Transformar unidades de medida de superficie 4. ¿Cuántos m2 son 15 ha? 5. ¿Cuántos hm2 son 0,34 dam2? Transformar unidades de medida de volumen 6. ¿Cuántos dm3 son 1 002,5 cm3? 1. ¿Cuántos dam3 son 345,27 km3?

  7. ¿Cuál es la expresión compleja de 3 056,3 cm2? Pasar medidas de forma compleja a incompleja   9. ¿Cuántos metros son 4 hm 1 dam? 10. Expresa 1 hg 3 g 2 mg en g.   2. Expresa en forma incompleja. a) 5 km 34 hm 9 m 25 dm b) 23 dal 4 ¬ 25 cl 37 ml   3. Expresa 3 km2 2 hm2 8 dam2 en m2.   4. Expresa 3 dam3 4 m3 34 dm3 en m3.

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Actividades 60. ● Transforma estas medidas en centímetros.

UNIDADES DE LONGITUD

a) 3 m 8 dm 5 cm b) 8 hm 16 mm c) 24 dam 18 m 2 mm d) 5 km 12 m

52. ● Expresa en kilómetros. a) 3 500 m b) 450 m c) 12 450 m

d) 9 759 m e) 755 mm f) 200 dam

10. ● Transforma en kilómetros.

53. ● Escribe en centímetros. a) 3 m 5 dm b) 3 m 4 dm c) 6 m 8 dm

a) 3 km 54 dam 4 m

d) 6 m 3 dm e) 7 m 4 dm f) 7 m 2 dm

b) 32 m 431 cm 5 mm c) 7 hm 26 m 45 dm d) 5 km 231 m

54. ● Expresa en metros. a) 4 km 3 hm b) 5 km 2 hm c) 8 km 6 hm

11. ● Expresa en forma compleja.

d) 3 km 6 hm e) 9 km 5 hm f) 4 km 4 dam

a) 234 m b) 435 hm c) 3 459 mm d) 4 703 dam

55. ● Transforma en decámetros. a) 32,5 m b) 2 389 mm c) 2,34 hm

d) 137,6 cm e) 0,003 km f) 398 dm

61. ● Expresa en forma compleja. a) 245,2 dam b) 87,002 m c) 1 458,025 cm d) 0,3402 km

56. ● Expresa en decímetros. a) 0,34 m b) 325 mm c) 2,4 cm

d) 0,00003 km e) 38,2 dam f) 0,27 hm

12. ● ● Calcula.

57. ● Completa esta tabla de equivalencias: km

hm

13,5

135

dam

m

dm

a) 32,3 m + 4,5 dm + 321,2 cm b) 45,3 hm + 2 m + 234 dm c) 436 cm + 5 dm + 325 m 13. ● ● Calcula.

0,72

a) 34,56 m - 2,3 dm + 723 cm

45

b) 45,67 hm + 3,42 km - 732,27 m

4 130 12 345

58. ● Completa las siguientes igualdades con las unidades adecuadas. a) 425 dm = 42,5 m = 4,25 4 b) 72,4 m = 724 4 = 0,724 4 c) 512,4 dam = 5,124 4 = 5 124 4 d) 13,18 hm = 1 318 4 = 131,8 4 59. ● Transforma en metros estas medidas de longitud. a) 3 km  5 dam  7 dm c) 14 dam  8 m  2 dm b) 8 hm  9 m  16 cm d) 5 km  19 dam  12 m  8 mm

c) 345 dam - 23,4 m - 435 dm 62. ● ● Calcula. a) 342 dam + 17 m b) 76,69 m + 23 cm c) 92,4598 hm + 0,025 km d) 3 hm 4 dam 21 dm + 34 dam 7 m 9 cm e) 25,34 m - 146 cm f) 8,02 km - 1 324,2 m g) 35 dam 23 dm 9 mm - 36,75 m h) 17 dam ? 3 i) 32,24 cm ? 12

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UNIDADES DE CAPACIDAD Y MASA 14. ● Escribe en litros. a) 43,23 kl

c) 457 mm

b) 2,345 dl

d) 452 hl

63. ● Expresa en litros. a) 25 kl 27 hl 81 dl b) 13 dal 21 ¬ 7 dl c) 43 hl 13 dal 15 ¬

67. ● ● Calcula en gramos. a) 12 kg 38 dg + 4 dag 15 cg b) 3 hg 17 dag - 1 hg 12 mg c) 3 t 4 q + 31 kg 15 dg d) 42 t 17 q - 32 t 27 kg e) 32 dag 8 g 25 dg - 145 dg f) (25 hg 10 dag 16 cg) ? 20

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE OPERA CON MEDIDAS COMPLEJAS?

64. ●● Completa las igualdades con las unidades adecuadas. a) 45,18 dal = 0,4518 4 = 451,8 4 b) 542,37 hl = 54,237 4 = 54 237 4 c) 125,42 ¬ = 0,12542 4 = 125 420 4 15. ● Escribe en gramos. a) 37,4 kg

c) 361 mg

b) 3,47 dg

d) 352 hg

68. Expresa en gramos. (8 kg 15 dag 10 g) : 50 PRIMERO. Se

transforman las medidas complejas en incomplejas. 8 kg  15 dag  10 g = 8 ? 1 000 + 15 ? 10 + 10 = 8 160 g

SEGUNDO. Se

realiza la operación. 8 160 : 50 = 163,2 g

69. ● ● Realiza estas operaciones. 65. ● Expresa en kilogramos. a) 18 372 g

c) 32 t 15 q 17 kg

b) 17,42 t

d) 82 hg 3 dag 16 g

66. ●● Completa las igualdades con las unidades adecuadas. a) 5 025 g = 50,25 4 = 5,025 4 b) 18 hg = 1,8 4 = 1 800 4 c) 542,5 kg = 5,425 4 = 542 500 4 d) 12,5 q = 1,25 4 = 12 500 4 = 125 000 4 16. ● Expresa en forma compleja.

a) 12 hl 58 ¬ + 283 dal 15 ¬ b) 20 000 dal - 1 000 ¬ 25 000 dl c) 15 kl 28 hl 7 dal + 235 hl 17 ¬ d) (32 hl 45 dal 17 dl) ? 200 e) (4 kl 12 hl 135 dal) : 25 70. ● ● Completa estas igualdades con la medida necesaria. a) 16 hm 8 dam 5 cm + 4 = 3 km 9 hm 6 mm b) 85 dal 25 cl 32 ml - 4 = 32 ¬ 4 dl c) 4 ? 3 = 12 hg 6 dag 9 g 27 cg d) (25 km 15 m 40 cm) : 4 = 5 hm 3 dm 8 mm

a) 432,35 dal b) 34,56 cl c) 2 364 dg d) 45,3 hg 17. ● Expresa en forma incompleja. a) 32 hg 4 dag 34 g 4 dg b) 3 kg 5 hg 55 g 23 cg c) 34 dal 4 ¬ 56 dl d) 35 hl 4 dal 45 ¬ 3 dl

UNIDADES DE SUPERFICIE 71. ● Expresa en metros cuadrados. a) 3,6 dam2 b) 3,63 dam2

c) 9,4 km2 d) 9,45 km2

72. ● Escribe en hectómetros cuadrados. a) 5,1 km2 b) 35,78 km2

c) 8 976 m2 d) 125 763 dm2

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73. ● Expresa en centímetros cuadrados. 2

UNIDADES DE VOLUMEN

2

c) 223 mm

a) 4,3 dm

2

81. ● Expresa en decímetros cúbicos.

d) 4 mm2

b) 34,79 m

a) 0,18 hm3 b) 17 dam3 82 m3

74. ● Transforma en metros cuadrados. a) 18 km2

b) 5 hm2 13 dam2 15 m2

75. ● Expresa en decímetros cuadrados. a) 18 m2

e) 0,4 dam3 f) 5 dam3 2 dm3 g) 0,5 hm3 4 m3 h) 1 km3 0,2 dm3

c) 5 km3 d) 14 m3 8 dm3

18. ● Expresa en kilómetros cúbicos. 2

b) 45 dam

a) 0,425 hm3 b) 42 dam3 125 dm3 c) 12 hm3 25 dam3 45 m3 d) 32 dam3 158 m3 325 cm3

c) 14 hm2 32 dam2 38 m2 d) 12 dam2 32 m2 19 dm2 76. ● Escribe en forma compleja. a) 4 321,5 m2

c) 9 823,152 m2 2

2

b) 34 587,52 dam

d) 1 234,56 dm

77. ● Expresa en áreas. a) 18 ha 15 a 19 ca

c)  15 ha 18 a 52 ca

b) 3 ha 4 a 6 ca

d) 12 ha 4 a 32 ca

a) 18 dam3 b) 43 215 m3 c) 25 418,75 dm3 d) 812,75 km3

e) 7,4 km3 f) 45 002,547 m3 g) 7 000 000 001 mm3 h) 0,425 dam3

19. ● Copia en tu cuaderno y completa los huecos.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE EXPRESA EL RESULTADO DE UNA OPERACIÓN EN UNA UNIDAD CONCRETA? 2

78. Expresa en m . 2

82. ● Escribe en hectómetros cúbicos.

2

2

48 hm + 2,5 dam + 20 000 cm

transforman las unidades en la unidad que se pide. 48 hm2 = 48 ? 10 000 = 480 000 m2 2,5 dam2 = 2,5 ? 100 = 250 m2 20 000 cm2 = 20 000 : 10 000 = 2 m2

km3

hm3

dam3

m3

3

425

953

864

= 4 hm3

23

250

530

640

= 4 km3

123

500

300

400

= 4 m3

12

405

903

804

= 4 dam3

PRIMERO. Se

SEGUNDO. Se

opera con los resultados obtenidos. 480 000 + 250 + 2 = 480 252 m2

79. ●● Transforma en metros cuadrados. 2

2

2

6 hm + 12 dam + 55 dm

80. ● Expresa en hm2 las siguientes sumas. a) 0,0075 km2 + 7 000 m2 b) 0,5 km2 + 45 dam2 c) 7 879 m2 + 87 622 dm2 d) 676 dm2 + 78 m2 + 654 cm2 e) 47 km2 + 0,56 hm2 + 125 dam2 f) 1 389 456 cm2 + 123 m2

84. ● Completa con las unidades adecuadas. a) 18 dam3 = 0,018 4 = 18 000 4 b) 0,42 hm3 = 420 000 4 = 420 000 000 4 c) 12,5 dm3 = 0,0125 4 = 12 500 4 d) 427,68 m3 = 0,42768 4 = 427 680 000 4 85. ● ● Calcula las siguientes operaciones, y expresa el resultado en metros cúbicos. a) 1 hm3 2 dam3 3 m3 + 45 hm3 18 dam3 b) 34 256 dam3 - 8 hm3 15 dam3 c) 135 dam3 458 m3 - 75 000 m3 d) 125 m3 67 dm3 89 cm3 + 16 m3 45 dm3 9 cm3 e) (4 hm3 15 dam3 7 m3) ? 50 f) (123 hm3 456 dam3) : 100 20. ● ● Calcula las siguientes operaciones. a) 123 m3 - 0,12 dam3 b) 35 hm3 + 1,2 km3

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PROBLEMAS CON MEDIDAS 87. ● Nos hemos sumergido a 20 pies de profundidad. ¿Cuántos metros son? 88. ● Estamos a 300 millas marítimas de la costa. ¿Cuántos kilómetros son?

  92. ●● La torre del ayuntamiento de  mi pueblo tiene una altura de 20 m y 35 dm. a) ¿A cuántos centímetros se encuentra el punto más alto? b) ¿A cuántos metros? c) ¿Y a cuántos decímetros? 94. ●● Con un rollo de plástico de 20 m de largo se envuelven bocadillos, cada uno de los cuales necesita 20 cm de plástico. ¿Cuántos bocadillos podemos envolver con los metros que tenemos? 96. ●● Un camión contiene una carga de 4 toneladas y 3 quintales. Expresa dicha carga en kilogramos.

89. ●● Quiero hacer dos vestidos con un trozo de tela que mide 8 m 14 dm 80 cm. ¿Qué cantidad de tela tengo que utilizar para cada vestido? 90. ●● Una carretera de 8 km 2 hm 20 dam 50 m de largo tiene, en ambos lados, árboles separados entre sí por 10 m. ¿Cuántos árboles hay en la carretera?

97. ●● Un tren lleva un vagón con 18 toneladas y 15 quintales de carga. Exprésalo en kilogramos.   98. ●● ¿Cuántas botellas de vino de un litro de capacidad se pueden llenar con un tonel de un hectolitro?

91. ●● Observa el plano de este parque de atracciones, y expresa en metros cada una de las distancias que se indican. 94 dam 5 m

6 hm 4 dam

  99. ● ● ¿Cuántas botellas de litro y medio se precisan para vaciar un depósito de 2,6 kl 8,9 hl 56 dal? 100. ● ● El precio de un frasco de colonia de 100 ml es de 18,60 €. ¿Cuánto cuesta un litro y medio?

3 hm 1 dam 5 m

102. ● ● Una caja de cerillas tiene un volumen de 40 cm3. ¿Cuántas cajas se podrían colocar en otra caja cuyo volumen es 1,8 dm3 ? 42 dam 53 dm

9 hm 3 dam

a) ¿Cuántos decámetros hay desde la Noria a la Montaña rusa? b) ¿Cuántos kilómetros hay desde los Coches de choque a la Montaña rusa? c) ¿Cuántos kilómetros habrá desde la Montaña rusa al Tiovivo, pasando por los Coches de choque? d) ¿Cuántos metros recorremos desde los Coches de choque a la Noria, pasando por el Tiovivo y la Barca? e) Si recorremos todas las atracciones del parque, ¿cuántos decámetros andamos?

103. ● ● Se han fabricado 25 628 piezas de jabón. Cada pieza tiene 750 cm3 de volumen. ¿Cuántos m3 de jabón se han fabricado?

104. ● ● Si 1 dm3 de mercurio pesa 13,6 kilos, ¿cuánto pesarán 375 cm3 de mercurio?

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8

Proporcionalidad numérica La parte del almirante El 17 de abril de 1492, en Santa Fe (Granada) comenzaba una de las gestas más importantes de la historia. Isabel de Castilla y Fernando de Aragón, los Reyes Católicos, y un desconocido marino llamado Cristóbal Colón habían llegado a un acuerdo. Juan de Coloma leía los términos del mismo:

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Cristóbal Colón fue un navegante que vivió entre los siglos xv y xvi. Investiga sobre los avances de la ciencia durante estos siglos. 2. ¿Qué fueron las capitulaciones de Santa Fe? ¿Cuáles son los acuerdos más importantes a los que se llegó? 3. Investiga sobre los avances matemáticos de la época que hicieron posible el viaje de Colón hasta América.

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–Y de lo que quedare limpio tome la décima parte para sí, quedando el resto para Vuestras Altezas… En ese punto la imaginación de Colón se disparó, alzó los ojos y dijo para sí: –El primer paso está dado y si el destino nos acompaña seré Grande de España. Así nació el descubrimiento de América. Cuando Colón regresó, los reyes lo esperaban en Barcelona, donde se presentó llevando, entre otras mercaderías, papagayos de vivos colores y las primeras muestras de oro americano. La parte del oro que le correspondió a él, aproximadamente 400 gramos, la donó a la catedral de Barcelona.

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Antes de empezar la unidad... FRACCIONES a , donde a y b son números naturales y b es distinto de 0. b El número a se llama numerador y b es el denominador. Las fracciones se utilizan para expresar cantidades incompletas o partes de una unidad. Una fracción es una expresión del tipo

Partes que se toman de la unidad Partes iguales en que se divide la unidad

F

F

5 6

F

Fracciones equivalentes

c a a c Dos fracciones   y  son equivalentes, y se escribe = , d b b d si a ? d = b ? c. 2 4 = , ya que: 2 ? 6 = 3 ? 4 = 12 3 6

La amplificación y la simplificación se utilizan para calcular fracciones equivalentes a una fracción.

Amplificación y simplificación de fracciones

•  Amplificación: multiplicamos el numerador y el denominador por un mismo número distinto de cero. 5 5 ? 12 60 2 2?5 10 = = = = 7 7 ? 12 84 3 3?5 15 •  Simplificación: dividimos el numerador y el denominador entre un mismo número distinto de cero. 16 16 : 4 4 84 84 : 3 28 = = = = 12 12 : 4 3 39 39 : 3 13 PLAN DE TRABAJO

EVALUACIÓN INICIAL 1 Escribe la fracción que representa la parte coloreada de cada figura,

e indica su numerador y su denominador.

a)

b)

1. Indica si estas parejas de fracciones son equivalentes o no. 1 5 12 6 4 80 a)    y    b)    y    c)    y  2 4 16 7 3 60 50 que cumpla: 6 a) Tiene como denominador un número mayor que 50. b) Tiene como numerador un número menor que 30. c) Tiene como denominador 36.

2. Calcula una fracción equivalente a

En esta unidad aprenderás a… •  Averiguar si dos razones forman una proporción. •  Reconocer magnitudes directa e inversamente proporcionales. •  Calcular valores de magnitudes directa e inversamente proporcionales. •  Calcular porcentajes.

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1

Razón y proporción

1.1  Razón Una razón entre dos números, a y b, es el cociente indicado

a . b

EJEMPLO 1

En un centro escolar hay 9 profesoras y 12 profesores. ¿Qué relación numérica existe entre el número de profesoras y profesores?

a En una fracción , b los números a y b son enteros. En una razón no es necesario. 13                         " Es una razón y una 2 fracción. 3,5 "Es una razón, pero 2 no es una fracción.

La relación entre las profesoras y los profesores es de 9 a 12. 9 . Esta relación la podemos expresar mediante la razón 12   

1.2  Proporción Una proporción es la igualdad entre dos razones. a c a c Si la razón entre a y b es y entre c y d es  , y se cumple que =   , b d b d decimos que a, b, c y d forman una proporción. EJEMPLOS 2

Para hacer una tarta de 6 raciones se necesitan 3 huevos,

y para 8 raciones, 4 huevos. ¿Forman una proporción en esta receta los huevos y las raciones? Las razones entre el número de huevos y el de raciones son iguales. 3 huevos 4 huevos = 6 raciones 8 raciones

"

3 4 = 6 8

porque 3 ? 8 = 6 ? 4

El número de huevos y el número de raciones forman una proporción. 1

En 2 primeros minutos han pasado 15 coches por la calle, y cuando habían pasado 5 minutos llevaba contados 20 coches. ¿Guardan proporción el número de coches y el tiempo transcurrido? Las razones entre el número de coches y el tiempo no son iguales. 2 minutos 5 minutos 2 5 ! ! porque 2 ? 20 ! 5 ? 15 " 15 20 15 coches 20 coches El tiempo transcurrido y el número de coches que pasan no forman proporción.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Expresa mediante una razón.

a) De las 55 preguntas del test he acertado 36. b) Teníamos 68 huevos y se han roto 12. c) En un frutero hay 7 tomates y 3 fresas.

2 En el comedor del colegio ponen 3 barras

de pan por cada 8 alumnos. Si hoy hemos comido 124 alumnos y han puesto 50 barras, ¿se ha mantenido la proporción?

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2

Relación de proporcionalidad entre dos magnitudes

2.1  Magnitudes directamente proporcionales ANTES, DEBES SABER… Cómo se dividen dos números decimales Si el divisor es un número decimal, se multiplican dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tiene el divisor. ? 10

? 10

3,5  2       32 : 2,5  $  320  25       18,24 : 5,7  $  182,4  57 1 5  1,75 070  12,2   114  3,2   10   050    00    0    00

Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada (o dividida) por el mismo número. Consideramos dos magnitudes, A y B, con los valores: Magnitud A Magnitud B

a1 b1

a2 b2

a3 b3

… …

m n

Hay magnitudes que están relacionadas, pero no son directamente proporcionales. Peso (kg) Meses

4,5

5

6

1

2

3

Al aumentar el tiempo aumenta el peso, pero no proporcionalmente. 4,5 5 = 1 2

Si al formar razones con los valores correspondientes de ambas magnitudes, la constante de proporcionalidad es la misma: a1 a2 a3 m = = =…= =k b2 b3 n b1 diremos que las magnitudes A y B son directamente proporcionales. EJEMPLO 6

Un coche gasta de media 10 litros de gasolina por cada 125 km.

La siguiente tabla muestra el consumo de gasolina relacionado con la distancia recorrida. ¿Son directamente proporcionales? ?2

?2

?2

F

F

F

Distancia (kilómetros)

125

250

500

1 000

Consumo (litros)

10

20

40

80 ?2

F

?2

F

F

?2

Magnitudes: distancia y consumo de gasolina. Al doble de distancia, doble de consumo. Al cuádruple de distancia, cuádruple de consumo... 125 250 500 1 000 = = = = 12,5 Además: 20 40 80 10 El resultado es el mismo, por tanto, son directamente proporcionales.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 9 Comprueba si las

magnitudes A y B son directamente proporcionales.

Magnitud A

2

6

8

10

Magnitud B

8

24 32 40

1 Un libro de 200 páginas cuesta 16,50 €, y otro

de 35 páginas cuesta 32 €. Indica si las magnitudes número de páginas y precio son directamente proporcionales.

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ANTES, DEBES SABER… Cómo se despeja una incógnita en una igualdad de fracciones •  Si la incógnita está en el numerador. Se multiplica por el denominador de la otra fracción.



Pasa dividiendo

F

F

x 2 18 ? 2 =   " x ? 3 = 18 ? 2  " x = = 12 18 3 3

•  Si la incógnita está en el denominador. Se multiplica por el numerador de la otra fracción.



F

F

24 ? 45 18 45 = = 60   " 18 ? x = 24 ? 45  " x = 24 x 18 Pasa dividiendo

EJEMPLOS 2 Los datos de la tabla corresponden a diferentes pesos de pintura

y su precio. Determina los valores que faltan. Pintura (kg)

1

2

3

b

Precio (€)

8

16

a

48

Las magnitudes cantidad de pintura y precio son directamente proporcionales porque: 1 2 = = 0,125 8 16 Para calcular los valores desconocidos establecemos las proporciones. 1 3 = " 1 ? a = 8 ? 3 " a = 24 a 8 48 1 b = " 1 ? 48 = 8 ? b " b = 8 = 6 8 48 3 Si un coche tiene un consumo de 6,2 ¬ de gasolina por cada 100 km,

¿cuántos litros de gasolina gastará en un viaje de 350 kilómetros?

Las magnitudes kilómetros recorridos y litros consumidos son directamente proporcionales ya que: •  Si la distancia recorrida fuese el doble, el consumo de gasolina se multiplicaría por 2. •  Si el trayecto fuese la mitad, el consumo se reduciría a la mitad. Si llamamos x a la cantidad de gasolina que se gastará en un viaje de 350 km y establecemos las proporciones: 6,2 6,2 ? 350 x = = 21,7 ¬ 6,2 ? 350 = 100 ? x " x = " 100 350 100

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 10 Completa la tabla sabiendo que A y B

2 Ayer en la frutería me cobraron 4 euros

son directamente proporcionales. Magnitud A

2

4

Magnitud B

10

20

80 50

60

por 5 kilos de patatas. Si hoy no ha cambiado el precio, cuánto me cobrarán por 7 kilos de patatas.

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2.2  Magnitudes inversamente proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales si, al multiplicar (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multiplicada) por el mismo número.­­ EJEMPLO 7

Un tren, a una velocidad de 30 km/h, tarda 42 minutos en recorrer

un trayecto. Si fuera a 60 km/h tardaría 21 minutos, y si fuera a 90 km/h tardaría 14 minutos. La velocidad y el tiempo, ¿son inversamente proporcionales? Las magnitudes son velocidad y tiempo. Su tabla de valores será:

30 km/h

42 min

?3 F

F

?2

Velocidad (km/h)

30

60

90

Tiempo (minutos)

42

21

14 F

F

:2

:3

Al doble de velocidad, mitad de tiempo. Al triple de velocidad, la tercera parte del tiempo… Son inversamente proporcionales.

Consideramos dos magnitudes, A y B, con los valores: Magnitud A Magnitud B

a1 b1

a2 b2

a3 b3

… …

m n

Si al formar productos con los valores de ambas magnitudes, la constante de proporcionalidad es la misma: a1 ? b1 = a2 ? b2 = a3 ? b3 = … = m ? n = k diremos que las magnitudes A y B son inversamente proporcionales. EJEMPLO 4 Comprueba que estas magnitudes son inversamente proporcionales. 6 6

Magnitud A Magnitud B

9 4

12 3

2 18

Al formar los productos con los valores correspondientes: 6 ? 6 = 9 ? 4 = 12 ? 3 = 2 ? 18 = 36 Las magnitudes son inversamente proporcionales y la constante de proporcionalidad es 36.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 13 Comprueba que A y B son inversamente

proporcionales. Magnitud A

12

24

6

Magnitud B

4

2

8

3 Con un solo grifo tardo 6 minutos en llenar

una garrafa. Si utilizo dos grifos tardaría 3 minutos. ¿Son el número de grifos y el tiempo inversamente proporcionales?

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ANTES, DEBES SABER… Cómo se despeja una incógnita en una igualdad de productos

F

Si un término está multiplicando en un miembro, pasa dividiendo al otro. 3?4 12 = =2 3 ? 4 = 6 ? x  "  x = 6 6 Pasa dividiendo

EJEMPLOS 5 La tabla muestra el tiempo empleado en recorrer una distancia

en relación con la velocidad. Determina los valores que faltan. Velocidad (km/h)

1

2

4

b

Tiempo (min)

24

12

a

8

Las magnitudes velocidad y tiempo son inversamente proporcionales ya que: 1 ? 24 = 2 ? 12 = 24 Para calcular los valores desconocidos aplicamos la relación de proporcionalidad inversa. 24 1 ? 24 = 4 ? a  "  24 = 4a  "  a = =6 4 24 1 ? 24 = b ? 8  "  24 = 8b  "  b = =3 8 6 Los alumnos de 1.º de ESO quieren hacer un viaje de fin de curso.

Necesitan alquilar un autobús y el precio depende del número de alumnos que realicen el viaje. La empresa les entrega la siguiente tabla con el precio que tiene que pagar cada alumno. N.º de alumnos

10

20

30

40

50

Precio por alumno (€)

96

48

32

24

19,20

Si el viaje lo realizan 32 alumnos, ¿cuánto tiene que pagar cada uno? Comprobamos si las magnitudes son inversamente proporcionales. 10 ? 96 = 20 ? 48 = 30 ? 32 = 40 ? 24 = 50 ? 19,20 = 960 El número de alumnos y el precio que tiene que pagar cada alumno son magnitudes inversamente proporcionales. El valor que desconocemos es el precio por alumno si realizan el viaje 32 alumnos. Aplicamos la relación de proporcionalidad inversa: 10 ? 96 = 30 € 10 ? 96 = 32 ? x  "  x = 32

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 14 Completa la tabla para que sean magnitudes

inversamente proporcionales. Magnitud A

1

3

6

Magnitud B

72

24

12

9

12 4

16 Con un consumo de 4 horas diarias,

un depósito de gas dura 24 días. ¿Son magnitudes inversamente proporcionales? ¿Cuánto duraría el depósito con un consumo de 6 horas al día?

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3

Porcentajes

ANTES, DEBES SABER… Cómo se expresan algunos números decimales como fracción Para escribir como fracción un número decimal con un número limitado de cifras decimales, escribimos como numerador de la fracción el número decimal sin coma, y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el número. 32 1227 307 3,2 =       12,27 =       0,307 = 10 100 1000

Un tanto por ciento o porcentaje, cuyo símbolo es %, es una razón cuyo consecuente es 100. a a% = 100 Un porcentaje también se puede expresar mediante una fracción o un número decimal. 3 75 = 0,75 = " 75 % 4 100

CALCULADORA Para hallar un tanto por ciento en la calculadora: 45 % de 860 8

6

0

#

4

5

%



387

EJEMPLO 8

Completa la tabla. Tanto por ciento

Se lee

Significa

Fracción

Número decimal

El 55 % de la población son mujeres

55 %

Cincuenta y cinco por ciento

De cada 100 habitantes, 55 son mujeres

55 100

0,55

El 30 % de los alumnos son rubios

30 %

Treinta por ciento

De cada 100 alumnos, 30 son rubios

30 100

0,3

Rebajas del 40 %

40 %

Cuarenta por ciento

De cada 100 € de compra se descuentan 40 €

40 100

0,4

Efectividad del 9 % en tiros de tres puntos

9%

Nueve por ciento

De cada 100 tiros lanzados se encestan 9

9 100

0,09

El 16 % de IVA

16 %

Dieciséis por ciento

De cada 100 € se pagan 16 € de IVA

16 100

0,16

Expresión

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 17 Escribe en forma de porcentaje y de fracción.

a) Tres por ciento. b) Quince por ciento. c) Setenta por ciento.

4 Expresa las siguientes cantidades en forma

de fracción y número decimal. a) 17 % c) 31 % b) 92 % d) 43 %

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Cálculo de porcentajes ANTES, DEBES SABER… Cómo se divide por la unidad seguida de ceros Para dividir un número entre la unidad seguida de ceros, desplazamos la coma tantos lugares hacia la izquierda como ceros tenga la unidad. 435 : 10 = 43,5

23,04 : 100 = 0,2304

Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos esa cantidad por el tanto por ciento y lo dividimos entre 100. t ?C t % de C = 100 EJEMPLOS 7

Calcula los siguientes porcentajes. a) El 20 % de 300.

Podemos calcular mentalmente algunos porcentajes.

20 % de 300 = b) El 2 % de 300.

1 10 = 10 100 Es lo mismo que dividir entre 10.

2 % de 300 =

10 % =

c) El 120 % de 300. 120 % de 300 = 8

Calcula: 3,2 % de 80 3,2 % de 80 =

20 20 20 ? 300 de 300 = ? 300 = = 60 100 100 100 2 2 2 ? 300 de 300 = ? 300 = =6 100 100 100 120 120 120 ? 300 de 300 = ? 300 = = 360 100 100 100 3,2 ? 80 = 2,56 100

10 Calcula estos porcentajes expresándolos primero en forma de fracción. Porcentaje

Fracción

Equivalencia

Resultado

50 % de 650

50 % =

50 1 = 2 100

Es lo mismo que dividir entre 2

650 : 2 = 325

25 % de 600

25 % =

25 1 = 4 100

Es lo mismo que dividir entre 4

600 : 4 = 150

20 % de 300

20 % =

20 1 = 5 100

Es lo mismo que dividir entre 5

300 : 5 = 60

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 21 Calcula.

a) El 65 % de 3 200. b) El 60 % de 60.

5 Calcula mentalmente y di cómo lo haces.

c) El 75 % de 1 000. d) El 5,5 % de 200.

a) El 50 % de 100. b) El 20 % de 500.

c) El 25 % de 1 000. d) El 10 % de 800.

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Los porcentajes se utilizan para resolver numerosos problemas de la vida cotidiana. EJEMPLOS 11 ¿Cuánto habrá que pagar por un coche, cuyo precio de fábrica

es de 15 000 €, si hay que sumarle el 16 % de IVA?

t % de C =

Calculamos el aumento del precio de fábrica: 16 ? 15 000 16 % de 15 000 = = 2 400 � 100

t?C =A 100

Luego el precio final del coche será: 15 000 + 2 400 = 17 400 € 9

En una tienda de muebles han rebajado un 12 % los precios. ¿Cuánto tendré que pagar por una mesa cuyo precio sin descuento es de 450 €? Calculamos el descuento que nos hacen: 12 ? 450 12 % de 450 = = 54 € 100 Luego el precio final de la mesa será: 450 - 54 = 396 €

12 El 85 % de las camas de un hospital están ocupadas. Si hay 300 camas

en total, ¿cuántas camas suponen ese porcentaje?

Calculamos el 85 % de las 300 camas. 85 85 85 ? 300 85 % de 300 = de 300 = ? 300 = = 255 100 100 100 Hay 255 camas ocupadas. 13 El 60 % de los alumnos de mi clase son chicas. Si somos 30 alumnos

en total, ¿cuántas chicas habrá? ¿Y chicos?

Calculamos el 60 % de los 30 alumnos de la clase. 60 60 60 ? 30 60 % de 30 = de 30 = ? 30 = = 18 100 100 100 En la clase hay 18 chicas. Como hay 18 chicas, el número de chicos es: 30 - 18 = 12 En la clase hay 18 chicas y 12 chicos.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 22 El precio de una reparación es 600 €

sin IVA. ¿Cuánto costará con el 16 % de IVA? 23 Unos pantalones vaqueros costaban 50 €,

pero me hacen una rebaja del 12 %. ¿Cuánto tengo que pagar?

26 El prensado de 1 500 kg de aceituna

produjo el 36 % de su peso en aceite. Calcula la cantidad de aceite obtenida. 27 Si hoy han faltado a clase por enfermedad

el 20 % de los 30 alumnos, ¿cuántos alumnos hemos asistido? ¿Cuántos han faltado?

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Razón a b

Proporción

Porcentajes

a c =   a es a b como c es a d. b d

t % de C =

?3 :2

?3 :2 F

F

F

Magnitudes inversamente proporcionales

F

Magnitudes directamente proporcionales

t ?C 100

2

4

6

Magnitud A

1

2

4

6

Magnitud B

6

12

24

36

Magnitud B

24

12

6

4

F

F

1 2 4 6 = = = 12 24 6 36

:2 ?3

F

1

F

Magnitud A

1 ? 24 = 2 ? 12 = 4 ? 6 = 6 ? 4

?2 :3

HAZLO DE ESTA MANERA

1. AVERIGUAR SI DOS RAZONES FORMAN UNA PROPORCIÓN Averigua si

3 9 y forman una proporción. 5 15

PRIMERO. Realizamos

3 5

G



G

=



F F

los productos cruzados.

9 15

3 ? 15 = 45 " (5 ? 9 = 45

2. AVERIGUAR SI DOS MAGNITUDES SON DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

SEGUNDO. Comparamos

los resultados. Si son iguales, forman una proporción. 3 9 En este caso decimos que y forman 5 15 una proporción.

3. AVERIGUAR SI DOS MAGNITUDES SON INVERSAMENTE PROPORCIONALES

En un supermercado, cada bolsa de naranjas cuesta 2,50 €. ¿Existe relación de proporcionalidad directa entre el número de bolsas compradas y el precio total?

Una fotocopiadora tarda 12 minutos en realizar un trabajo. Si tuviéramos 2 fotocopiadoras, tardaríamos 6 minutos... ¿Existe relación de proporcionalidad inversa?

PRIMERO. Construimos

PRIMERO. Construimos

una tabla donde relacionamos los valores de las magnitudes. N.º de bolsas Precio (€)

una tabla donde relacionamos los valores de las magnitudes.

1

2

3

4

...

Fotocopiadoras

1

2

4

...

2,50

5

7,50

10

...

Tiempo (min)

12

6

3

...

SEGUNDO. Calculamos

el cociente de los datos correspondientes. Si el cociente es constante, las magnitudes son directamente proporcionales. 1 2 3 4 = = = = … = 0,4 5 2,50 7,50 10

SEGUNDO. Calculamos

el producto de los datos correspondientes. Si el producto es constante, las magnitudes son inversamente proporcionales. 1 ? 12 = 2 ? 6 = 4 ? 3 = … = 12

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1. AVERIGUAR CANTIDADES DE

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Los datos de la tabla corresponden a diferentes cantidades de aceite y su precio. 1

2

7

2,50

5

a

N.º de litros Precio (€)

Completa los valores que faltan. PRIMERO. Comprobamos

que las magnitudes son directamente proporcionales. 1 2 = = 0,4 5 2,50

SEGUNDO. Establecemos

proporciones en las que solo hay un dato desconocido. 1 7 = a 2,50

" 1 ? a = 7 ? 2,50 " a = 17,50

2. AVERIGUAR CANTIDADES

DE MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES Los datos de la tabla corresponden a diferentes tiempos empleados en llenar una piscina en relación con el número de grifos utilizados. Número de grifos

2

4

a

Tiempo (horas)

18

9

2

Completa los valores que faltan. PRIMERO. Comprobamos

que las magnitudes son inversamente proporcionales. 2 ? 18 = 4 ? 9 = 36

SEGUNDO. Establecemos

la relación de la proporcionalidad inversa con los valores desconocidos. 36 = 18 2 ? 18 = a ? 2 " 36 = 2a " a = 2

5. CALCULAR EL TANTO POR CIENTO DE UNA CANTIDAD Calcula el 18 % de 550. PRIMERO. Expresamos

el tanto por ciento

como una razón. 18 % =

SEGUNDO. Multiplicamos

por esa razón.

18 100

18 % de 550 =

la cantidad

18 18 ? 550 = 99 ? 550 = 100 100

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras 1. ¿Cuántas razones se necesitan para formar una proporción? Averiguar si dos razones forman una proporción 7 3,2   ? 3. ¿Forman una proporción   y  4 2 Averiguar si dos magnitudes son directa o inversamente proporcionales 5. Un pastelero tarda 2 horas en hacer una tarta, y 3 horas y media en hacer dos tartas. ¿Es directamente proporcional el número de tartas que realiza con el tiempo que tarda?

6. En un establo de 15 vacas hay comida para 9 días. Si tuviéramos 20 vacas, habría para 6 días. ¿Es inversamente proporcional el número de vacas y la duración de la comida? Averiguar cantidades de magnitudes directamente o inversamente proporcionales 1. Si A y B son directamente proporcionales, y C y D inversamente proporcionales, calcula x e y. a)

A

2,1

x

3,6

B

7

15

y

b)

C

8

x

10

D

5

20

y

Calcular el tanto por ciento de una cantidad 7. Calcula el 25% de 24.

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Actividades RAZÓN Y PROPORCIÓN 6. ● Expresa mediante una razón. a) De las 55 preguntas del test he acertado 36. b) Teníamos 68 huevos y se nos han roto 12. c) En el primer turno de comida comen 94 alumnos; en el segundo, 65. d) Un frutero tiene 7 cajas de tomates y 3 de pimientos. 34. ●● Si mi habitación tiene las siguientes medidas: 6 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de altura, halla: a) La razón entre el largo y el ancho. b) La razón entre el largo y la altura. 35. ●● Marta encesta 6 de cada 10 tiros libres. Encuentra la razón entre el número de tiros y el de aciertos. ¿Es la misma que entre el número de aciertos y el de tiros? Averigua qué relación hay entre ambas razones. 36. ●● Escribe dos números cuya razón sea 3. 37. ● De los siguientes pares de razones, indica cuáles forman proporción. 16 20 1 7 c)   y  a)   y  4 5 30 21 4 80 3 6 b)   y  d)   y  5 100 17 34 7. ● Identifica las razones que forman una proporción. 7,5 4 3 10 2 8 6 9 ; ; ; c) a) ; ; ; 1 2 3 5 3 6 2 4 10 50 30 20 8 5 7 14 b) ; d) ; ; ; ; ; 2 10 8 5 7 9 2 4 44. ● Forma diferentes proporciones con los números 3, 4, 9 y 12. 46. ●● Averigua si los números 2 y 3 mantienen proporción con 8 y 12, respectivamente. 48. ●● Forma una razón con estos datos: «5 litros de aceite valen 15,25 €». Establece proporciones de esta razón con los siguientes datos, y calcula su constante de proporcionalidad. a) 20 litros b) 25 litros

c) 76,25 € d) 61 €

MAGNITUDES PROPORCIONALES 49. ● En dos puestos, A y B, se venden manzanas, con los siguientes precios: Puesto A 1 kg

2 kg

3 kg

0,53 €

1,06 €

1,59 €

Puesto B 1 kg

2 kg

3 kg

0,60 €

1€

1,50 €

¿En cuál de estos puestos son directamente proporcionales las magnitudes peso y precio? 50. ● ● De los siguientes pares de magnitudes, indica cuáles son directamente proporcionales. a) Longitud del lado de un cuadrado y su perímetro. b) Número de grifos y tiempo de llenado de un depósito. c) Número de ovejas y pienso que comen. d) Velocidad de una motocicleta y tiempo empleado en recorrer una distancia. 52. ● Completa las tablas, sabiendo que ambas magnitudes son directamente proporcionales. 12

Magnitud A

6

2

Magnitud B

12

4

Magnitud A

7

21

Magnitud B

14

Magnitud A

0,2

Magnitud B

0,3

14

26 15

8

42

105

16 0,5

1,4

20 1 1,5

15

0,15

54. ● Completa estas tablas comprobando que ambas magnitudes son inversamente proporcionales. A

6

2

B

90

270

A

9

45

B

2

10 30

30 54

10

10

B A

5

15

25

30 6

15

4 75

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PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD

59. ● ● Enrique ayuda a unos familiares en su tienda en Navidad. Por cada cinco días de trabajo le dan 160 �. ¿Cuánto le darán por diecisiete días?

55. ●● En un puesto aparecen estas tablas de precios para dos tipos de melocotones.

60. ● ● En un frasco de legumbres de 500 g hay 2,5 g de grasa, y en otro frasco de 400 g de legumbres hay 2,1 g.

kg €

TIPO A 2 1

5

kg

0,90 1,80 4,50

€

TIPO B 2 1

5

0,95 1,85 4,25

a) ¿Están en proporción estos datos? b) Si no están en proporción, ¿en cuál de los dos hay más grasa proporcionalmente? 61. ● ● En la carnicería, las salchichas cuestan 5,25 €/kg. También tienen paquetes de salchichas de 0,5 kg que cuestan 2,10 €. ¿Qué salchichas son más baratas?

a) ¿En cuál de las tablas son directamente proporcionales las magnitudes peso y precio? b) En este puesto, ¿cuánto costarán 12 kg de melocotones del tipo A? 56. ●● Los siguientes datos de la tabla son medidas de espacios y del tiempo que se tarda en recorrerlos. Espacio (m)

120

30

60

b

Tiempo (s)

9

2,25

a

6

a) ¿Son magnitudes directamente proporcionales? b) Encuentra la constante de proporcionalidad entre el espacio y el tiempo. c) Averigua los valores que faltan. 57. ●● El agua de un pozo se saca en 210 veces utilizando un cubo de 15 ¬ de capacidad. Si empleamos un cubo de 25 ¬, ¿cuántas veces necesitaremos introducir el cubo en el pozo para sacar la misma cantidad de agua?

58. ●● Un coche tarda 6 horas en recorrer un trayecto a una velocidad de 90 km/h. ¿Cuánto tardaría en recorrer ese mismo trayecto si circula a una velocidad de 60 km/h?

62. ● ● Con un consumo de 3 horas diarias, un depósito de gas dura 20 días. ¿Cuánto duraría con un consumo de 6 horas diarias? 63. ● ● Un ganadero tiene pacas de paja para alimentar a 20 vacas durante 60 días. Si compra 10 vacas más, ¿para cuántos días tiene alimento? 64. ● ● En una botella de zumo aparece esta tabla. Valores medios

100 ml

Carbohidratos (g) 10,6 Kilocalorías

43

Proteínas (g)

0,2

a) ¿Cuántas kilocalorías aportará una botella de zumo de un litro? ¿Y proteínas? 65. ● ● Los ingredientes necesarios para realizar un bizcocho son directamente proporcionales al tamaño del bizcocho. Para hacer un bizcocho para 4 personas, se precisan 2 huevos, 6 cucharadas de azúcar y un cuarto de litro de leche, entre otros ingredientes.

Calcula la cantidad necesaria de estos ingredientes para hacer un bizcocho para 2, 6 y 8 personas.

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PORCENTAJES

PROBLEMAS CON PORCENTAJES

66. ● Expresa estos porcentajes como fracción y como número decimal.

76. ● Por ingresar un cheque de 644 € me han cobrado un 2 % de comisión. ¿Qué cantidad he tenido que pagar al banco?

a) 25 % b) 110 %

c) 37 % d) 16 %

67. ● Escribe los números decimales en forma de porcentaje. a) 0,34 b) 0,45

c) 0,723 d) 1,23

68. ● Expresa en porcentaje las siguientes fracciones. 3 8

c)

11 5

5 b) 2

d)

7 4

a)

69. ● Halla el 22 % de: a) 144     b)  236     c)  1 256     d)  5 006 70. ● Calcula mentalmente. a) El 10 % de 40. b) El 20 % de 500.

c) El 60 % de 200. d) El 25 % de 8 000.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVE UN PORCENTAJE CON LA CALCULADORA? 72.

78. ● Una viga de hierro de 25 metros de longitud, debido al calor, se dilata un 1,5 %. ¿Cuál será su medida después de calentarla? 79. ● ● ¿Cuánto tendrá que pagar el dueño de un restaurante por la compra de 492 vasos a 3,25 € la docena, si pagando al contado le hacen un 8 % de descuento?

c) El 50 % de 2 000. d) El 30 % de 40.

71. ● Calcula mentalmente. a) El 15 % de 30. b) El 40 % de 60.

77. ● El 60 % del cuerpo humano es agua. ¿Qué cantidad de agua hay en una persona de 75 kg?

80. ● Al tirar un dado trucado 30 veces, ha salido 12 veces el número 5. Si decido apostar al número 5, ¿qué porcentaje de aciertos tendré? 81. ● ● Un agente inmobiliario cobra un porcentaje de un 2 % del valor de la finca vendida: una tercera parte del comprador, y el resto, del vendedor. Si acaba de vender un piso por 150 000 €:

Halla con la calculadora el 12 % de 310.

PRIMERO. Se teclea el porcentaje y se divide entre 100.

12 '

100 =

0.12

SEGUNDO. Se multiplica el resultado por la cantidad

de la que se quiere hallar el porcentaje. 0,12 #

310 =

37,2

También se puede calcular este porcentaje utilizando las teclas específicas de la calculadora. 12

%

310 =

37,2

73. ● Halla estos porcentajes utilizando la calculadora. a) El 51 % de 30. b) El 76 % de 100.

c) El 21 % de 60. d) El 8 % de 951.

a) ¿Cuál será su comisión? b) ¿Cuánto le pagará el vendedor del piso? c) ¿Y el comprador? 8. ● «LA POBLACIÓN DE ORIGEN POLACO EN ESPAÑA HA DESCENDIDO UN 8 % EN EL ÚLTIMO AÑO.»

Si el año pasado había 270 000 polacos residiendo en España, ¿cuántos ciudadanos polacos viven en España en la actualidad?

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82. ●● Para calcular la cantidad de carne que tiene un cerdo, a su peso hay que quitarle un 40 % de vísceras y huesos, y un 15 % de grasa. Si un cerdo pesa 184 kg, ¿qué cantidad de carne tiene?

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA EL TOTAL CONOCIDOS EL PORCENTAJE Y LA PARTE? 12. En una empresa 540 empleados donan sangre. Si estos suponen el 20 % del total de la plantilla, ¿cuántas personas trabajan en la empresa? PRIMERO. Se

83. ●● Un CD de música cuesta 16 €, pero al comprar tres hacen un 10 % de descuento. ¿Cuánto costarán 6 CD de música teniendo en cuenta el descuento?

¿CÓMO SE CALCULA EL PORCENTAJE CONOCIDOS EL TOTAL Y LA PARTE? 9. De 120 entrevistas realizadas a los alumnos de un instituto, 876 contestan que se cepillan los dientes a diario. ¿Qué porcentaje de alumnos se cepillan los dientes cada día? PRIMERO. Se

establece la proporción. Si de 1 200 alumnos  "  876 se cepillan 3 de 100 alumnos  "   x  se cepillan 1200 876 " 100 = x 1200 876 = x 100

el valor de x.

" 1 200 ? x = 100 ? 876 100 ? 876

" x = 1200

SEGUNDO. Despejamos

100 20 = x 540

el valor de x.

" 100 ? 540 = x ? 20

100 ? 540 = 2 700 20 Trabajan 2 700 personas en la empresa.

"x=

HAZLO ASÍ

SEGUNDO. Despejamos

establece la proporción. Si de 100 trabajadores  "  20 donan sangre  3 de x trabajadores  "  540 donan sangre 100 20 " x = 540

= 73

El 73 % de los alumnos se cepillan los dientes cada día.

75. ● Si 324 casas, que representan el 25 % de todas las viviendas de un pueblo, tienen dos dormitorios, ¿cuántas casas hay en el pueblo? 88. ● ● En un instituto de 1 100 alumnos, se comprobó que 350 son rubios, 200 tienen los ojos azules y a 750 les gusta el fútbol. Expresa estas cantidades en porcentajes. 89. ● El 24 % de los alumnos de una clase de Matemáticas aprueban con notable o sobresaliente. Si en la clase hay 25 alumnos, averigua cuántos obtienen una calificación menor que notable. 90. ● En mi buzón de correos había cartas de amigos y cartas del banco. Si había en total 40 cartas y el 25 % es de cartas del banco, averigua el número de cartas de amigos.

74. ● ¿Qué tanto por ciento de pérdida representa la venta de un objeto que ha costado 450 € por 423 €? 10. ● Se ha hecho una encuesta en la que se ha entrevistado a 250 personas. De las personas encuestadas, 137 eran mujeres. Calcula el porcentaje de hombres a los que se ha entrevistado. 11. ● Cada comprimido de 650 mg de un determinado antibiótico contiene 500 mg de amoxicilina. ¿Cuál es el porcentaje de amoxicilina contenido en una cápsula de ­este antibiótico?

92. ● ● Decidimos hacer una excursión escolar. El 20 % de los alumnos de la clase quiere ir al Museo de la Ciencia, mientras que el 60 % quiere ir al Planetario. Si 15 alumnos deciden ir al Planetario, ¿cuántos alumnos han elegido la otra excursión? ¿Cuántos alumnos habrá en la clase?

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9 DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Robert Recorde nació en Gales en el seno de una familia acomodada. Busca información sobre su vida y su relación con la corte. 2. ¿Qué símbolo utiliza Recorde para expresar la igualdad? ¿Por qué eligió este signo? 3. ¿Cuál se considera la principal contribución de Robert Recorde al estudio de las matemáticas?

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Rectas y ángulos El nacimiento de un signo Desde que María Tudor había subido al trono, Robert Recorde vivía atemorizado de que alguna denuncia lo llevara a la cárcel, cuando no a la hoguera. Robert Recorde había desempeñado importantes cargos cuando reinó Eduardo, el hermanastro de María, y aunque continuaba teniendo un buen cargo, sentía que sus enemigos eran ahora muy poderosos. Sus cavilaciones cesaron cuando abrió la puerta de la imprenta donde trabajaban en su última creación: La piedra de afilar el ingenio. El artesano que imprimía el libro se levantó para saludarlo: –Buenos días, señor Recorde. Su trabajo no está todavía terminado, y además quería consultaros algo. –Preguntad –lo invitó Recorde. –He de señalaros que he encontrado un símbolo en el manuscrito para el que no tengo matriz –dijo el impresor señalando el símbolo =. –Tenéis razón, he inventado el símbolo para denotar la igualdad entre los dos miembros de una ecuación –contestó Recorde viendo la extrañeza del impresor–. Escogí este símbolo porque nada hay más igual que dos rayas de igual longitud y paralelas. Corría el año de 1557 y era la primera vez que se utilizaba el signo =. Sin embargo, su uso se popularizó dos siglos más tarde acortando los segmentos.

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Antes de empezar la unidad... SISTEMA  DE  NUMERACIÓN  DECIMAL En el sistema de numeración decimal se utilizan diez cifras distintas para representar una cantidad: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

DM

UM

C

D

:  10

F

F

F

F

? 10

c :  10

F

:  10

? 10

d F

:  10

? 10

U F

:  10

? 10

F

F

F

F

:  10

? 10

F

? 10

F

? 10

F

En este sistema, cada 10 unidades de un orden forman una unidad de un orden inmediatamente superior. m :  10

      5 C " 5 ? 100 = 500 U     5 C " 5 : 10 = 0,5 UM El sistema de numeración decimal es posicional, es decir, el valor de cada cifra depende del lugar o posición que ocupa en el número. Unidad de millón

Centena de millar

Decena de millar

Unidad de millar

Centena

Decena

Unidad

4

7

0

2

5

7

1

Un sistema es decimal cuando sus unidades se relacionan entre sí mediante potencias de 10.

4  7 0 2  5 7 1

1 Unidades F 7 Decenas = 70 unidades F 5 Centenas = 500 unidades F 2 Unidades de millar = 2 000 unidades F 0 Decenas de millar = 0 unidades F 7 Centenas de millar = 700 000 unidades F 4 Unidades de millón = 1 000 000 de unidades F

PLAN DE TRABAJO

EVALUACIÓN INICIAL 2. Completa las siguientes igualdades con las unidades adecuadas. a) 512,4 D = 5,124 d = 5 124 d

En esta unidad aprenderás a… •  Reconocer rectas, semirrectas y segmentos.

b) 13,18 C = 0,1318 d = 131,8 d c) 4,351 U = 43,51 d = 4 351 d 1 Copia y completa las siguientes igualdades con los números adecuados.

a) 325 C = d D

c) 436 m = d D

b) 43,24 d = d U

d) 56 D = d d

2 Indica el valor de la cifra 3 en los siguientes números.

a) 43 009

c) 532,21

b) 70,031

d) 5,39

•  Distinguir las posiciones de dos rectas en el plano. •  Diferenciar los distintos tipos de ángulos. •  Manejar el sistema sexagesimal.

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1

Rectas, semirrectas y segmentos

1.1  Línea recta SE ESCRIBE ASÍ

Una recta es una línea sin principio ni final formada por infinitos puntos.

Las rectas se nombran mediante una letra minúscula: a, b, c, r, s, t… Los puntos se indican mediante letras mayúsculas: A, B, C, P, Q, R…

Como la recta no tiene principio ni final, no podemos dibujarla entera, y por eso representamos solo una parte de ella.

•  Por un punto pasan infinitas rectas.

•  Por dos puntos pasa una sola recta.

C

A Semirrecta r r Semirrecta s A s

B A

1.2  Semirrecta y segmento Una semirrecta es una recta que tiene principio pero no final. Un punto cualquiera de una recta es origen de dos semirrectas. A

r

s

Un segmento es la parte de una recta delimitada por dos puntos. El segmento tiene principio y final. A y B se llaman extremos  del segmento. A un segmento se le nombra por sus extremos, AB.

A

B

A

B

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Dibuja un punto en tu cuaderno y traza

tres líneas rectas que lo contengan. 2 Traza una recta en tu cuaderno,

sitúa un punto sobre ella y nombra las dos semirrectas que resultan. 3 Dibuja un segmento de 5 cm de longitud

y nómbralo señalando sus extremos.

1 Marca en tu cuaderno cuatro puntos situados de

esta manera y dibuja:

•

C B A

•

•

•D

a) Dos rectas que pasen por A. b) Dos semirrectas cuyo origen sea B. c) Un segmento cuyos extremos sean C y D.

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1.3  Posiciones relativas de dos rectas en el plano Dos rectas se denominan: •  Secantes: cuando se cortan en un punto. Si además dividen el plano en cuatro partes iguales decimos que son perpendiculares. •  Paralelas: si no tienen ningún punto en común. •  Coincidentes: cuando todos sus puntos son comunes.

Rectas secantes

EJEMPLOS 1

Rectas perpendiculares

Traza rectas paralelas y perpendiculares utilizando la escuadra y la regla. Para trazar rectas paralelas deslizamos el borde de la escuadra sobre una regla.

Para trazar rectas perpendiculares utilizamos los bordes perpendiculares de la escuadra. Rectas paralelas

2

Rectas coincidentes

Dibuja una recta paralela a la recta r y que pase por el punto P. Apoyamos uno de los bordes perpendiculares de la escuadra sobre la recta r. Después, colocamos la regla pegada al otro borde. s

P

La escuadra es un instrumento con dos bordes de igual medida que son perpendiculares.

Deslizamos la escuadra sobre la regla, hasta que el borde coincida con el punto P.

r

La recta s es paralela a la recta r y pasa por P. 3

Traza una recta perpendicular a la recta r y que pase por el punto P. Apoyamos uno de los bordes perpendiculares de la escuadra sobre la recta r.

P s

r

Deslizamos la escuadra sobre la recta r, hasta que el otro borde coincida con el punto P. La recta s es perpendicular a la recta r y pasa por P.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 6 Estudia la posición relativa de las rectas

que se determinan en estos casos. a) Las vías del tren. b) Las tres calles que convergen en una rotonda. c) Los bordes de los peldaños de una escalera. d) El largo y el ancho de una ventana. e) Los radios de la rueda de una bicicleta. f) Las huellas de un trineo en la nieve.

7 Clasifica las siguientes rectas. r

u

t

s

a) r y s b) r y t c) u y t d) r y u

2 Dibuja dos rectas secantes que no sean

perpendiculares y traza una recta perpendicular a cada una de ellas.

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2

Ángulos

SE ESCRIBE ASÍ G

F

Llamamos ángulo a la abertura formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto. A cada semirrecta se le denomina ­lado y el punto se llama vértice.

do

La H

  Vértice

Este ángulo lo podemos representar de dos formas: •  Con el símbolo U sobre la letra F (vértice del ángulo): FU.

•  Con el símbolo U sobre las tres letras que determinan % el ángulo: HFG, de manera que quede en el centro la letra que determina el vértice, en este caso F.

Lado

EJEMPLO 4

Determina los elementos de este ángulo: C



•  Los lados son AB y AC.



A

B

•  El vértice es el punto A. % •  El ángulo se denota BAC o AU.

2.1  Clasificación de ángulos Atendiendo a la posición de sus lados

•  Ángulo nulo. Sus lados son dos semirrectas coincidentes. •  Ángulo recto. Sus lados son perpendiculares. •  Ángulo llano. Sus lados están sobre la misma recta y no son coincidentes. Atendiendo a su abertura

•  Ángulo agudo. Su abertura es inferior a la de un ángulo recto. •  Ángulo obtuso. Su abertura es superior a la de un ángulo recto. LO QUE DEBES SABER RESOLVER 9 Señala el nombre de los ángulos que

forman las piernas de los gimnastas.

son los ángulos agudos, rectos y obtusos.

E

F

10 Indica en esta figura cuáles 

D

G C A

B

3 Escribe el tipo al que corresponde cada ángulo.

U B

U C

U A

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2.2  Posición relativa de dos ángulos •  Ángulos opuestos por el vértice. Son ángulos que tienen en común el vértice y sus lados están sobre las mismas rectas. % y COD % AOB son ángulos opuestos por el vértice.

A

D O C

B

•  Ángulos consecutivos. Son ángulos que tienen en común el vértice y un lado. A

% y BOC % AOB son ángulos consecutivos.

B O C

•  Ángulos adyacentes. Son ángulos que tienen un lado común y forman entre los dos un ángulo llano. % y BOC % AOB son ángulos adyacentes.

Los ángulos adyacentes son suplementarios.

O A

C B

Los ángulos suplementarios son adyacentes si tienen un lado común.

•  Ángulos complementarios. Son dos ángulos que, al hacerlos consecutivos, forman un ángulo recto. F

BU

AU

BU

AU

U y BU son A complementarios.

•  Ángulos suplementarios. Son dos ángulos que, al hacerlos consecutivos, forman un ángulo llano. U U A y B son F BU BU AU suplementarios. AU LO QUE DEBES SABER RESOLVER 12 Observa la figura.

U C

BU

U D

13 Observa los siguientes

EU

U A

a) Indica qué ángulos son opuestos por los vértices. b) Señala los ángulos adyacentes.

ángulos y contesta. V?  ¿Son adyacentes AU y B ¿Y suplementarios?

U A

BU

4 Dibuja en tu cuaderno dos rectas secantes.

Clasifica todos los tipos de ángulos que veas.

143

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3

Operaciones con ángulos

ANTES, DEBES SABER… B

Qué es un arco en una circunferencia

A

Un arco es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos.

EJEMPLO 5

Utiliza el compás para construir un ángulo como este. Dibujamos un arco sobre el ángulo dado, con centro en el vértice. Sobre una recta marcamos un punto que será el vértice del nuevo ángulo.

Trasladamos esa amplitud al ángulo en construcción, y unimos su extremo con el nuevo vértice.

Medimos con el compás la amplitud de ese arco sobre el ángulo dado.

Y con la misma amplitud, trazamos otro arco en el ángulo en construcción.

3.1  Suma de ángulos Para sumar ángulos los dibujamos de forma que sean consecutivos. El ángulo suma es el comprendido entre los lados no comunes. EJEMPLO 6

Suma estos ángulos: U A

1

BU

F

BU

AU + BU

U A

Utilizando el compás construimos un ángulo igual a AV. A continuación del ángulo AV construimos un ángulo igual a BV, de modo que ambos sean consecutivos. El ángulo suma, AV + BV, es el comprendido entre los lados no comunes.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 15 Suma estos ángulos:

U A

16 Suma en tu cuaderno los ángulos.

BU

U A

BU

U C

144

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3.2  Resta de ángulos Para restar dos ángulos los dibujamos, uno sobre el otro, de modo que coincidan los vértices y uno de sus lados.

En la resta de ángulos, para construir el ángulo diferencia, AU – BV, es necesario que el ángulo AU sea mayor que BV.

El ángulo diferencia es el comprendido entre los lados no comunes. EJEMPLO 7

Dados estos ángulos, calcula AU - BV. U A

2

U - BU A

U A

F

BU

BU

Primero construimos, utilizando el compás, un ángulo igual a AV. V construimos un ángulo igual a BV, tal y como se ve Sobre el ángulo A en la figura. V - BV, es la parte de AV que no ocupa BV. El ángulo diferencia, A

3.3  Producto de un ángulo por un número natural Para multiplicar un ángulo por un número natural sumamos el mismo ángulo tantas veces como nos indique el número. EJEMPLO 8

Calcula 3 ? BV. BU BU

F

BU

BU

Primero construimos, utilizando el compás, un ángulo igual a BV. De manera consecutiva al ángulo BV construimos tantos ángulos iguales a BV como nos indique el número que multiplica. El ángulo 3 ? BV es el ángulo comprendido entre los lados no comunes del primer y del último ángulo.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 18 Dibuja estos ángulos en tu cuaderno, y realiza

las operaciones que se indican. U A V - BV a) A b) 2 ? AV

c) BV  - AV

5 Dibuja en tu cuaderno estos ángulos

y halla. U A

BU

a) BV - CV b) AV - CV

BU

U C

c) 2 ? CV

145

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4

El grado se representa °, y es la unidad principal de medida de ángulos. Para medir ángulos con más precisión, se utilizan unidades menores que el grado: el minuto y el segundo.

? 60

? 60 F



? 3 600 F F

Unidades de medida son: el kilómetro, el kilogramo, el litro…

4.1  Unidades de medida de ángulos

grado

1 grado = 60 minutos 1° = 60' 1 minuto = 60 segundos 1' = 60"

minuto

segundo

F

Magnitudes son: la longitud, la masa, la capacidad...

El sistema sexagesimal lo utilizamos para medir amplitudes de ángulos y medidas de tiempo menores que el día. Se denomina sexagesimal porque cada unidad es 60 veces mayor que la unidad del orden inmediato inferior.

F F

Una magnitud es cualquier cualidad que se puede medir.

Sistema sexagesimal

: 60

: 60 : 3 600

EJEMPLO

Expresa estas medidas de ángulos en las unidades que se indican. a) 34° en minutos " 34° = 34 ? 60 = 2 040' c) 340" en grados " 340" = 340 : 3 600 = 0,094°

9

Una medida está escrita en forma incompleja cuando está expresada con una única unidad de medida. Si utilizamos más de una unidad, diremos que está en forma compleja. ANTES, DEBES SABER… Cómo se transforman unidades complejas en incomplejas En un cuadrado de unidades, colocamos cada unidad en su lugar. hm dam 0

2

m

dm

cm

0

0

5

F

Forma incompleja km 102,005 dam F 1

Forma compleja 1 km 2 dam 5 cm

EJEMPLO 10 Un ángulo mide 2°  4'  55". ¿Cuántos segundos son?

Transformamos cada una de las unidades en segundos. 2° " 2 ? 3 600 = 7 200" 4' " 4 ? 60 = 240" 55" 7 495" " 2°  4'  55" equivalen a 7 495 segundos.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 21 Expresa en minutos.

a) 90°

b) 45°

23 Expresa en forma compleja.

c) 150°

d) 75°

a)  14 824" 

b)  832' 

c)  18,5° 

d)  24,8'

146

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4.2  Medidas de ángulos Un ángulo recto mide 90°.

Un ángulo agudo mide menos de 90°.  Un ángulo obtuso mide más de 90°. Un ángulo completo mide 360º.

90º

Un ángulo llano mide 180°. 180º

•

360º

•

Para medir un ángulo utilizamos el transportador. D

B

F

35º 60º

C O

O

120º

O

A

E

El vértice del transportador debe estar siempre situado en el vértice del ángulo.

EJEMPLOS 11 Dibuja un ángulo de 60°.

Colocamos el transportador sobre una recta, haciendo coincidir el vértice del transportador con un punto marcado en la recta y, a continuación, hacemos una marca en 60°.

Vértice del transportador

Finalmente, utilizando una regla, unimos el vértice del ángulo con la marca efectuada. U. 12 Dibuja el ángulo A

BU

U A

Medimos con el transportador el ángulo BV. BV = 135° Calculamos la medida del angulo AV.

U A

AV = 360° - BV = 360° - 135° = 225°

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 25 Mide con tu transportador estos ángulos.

a)

b)

c)

d)

27 Dibuja.

a) Un ángulo agudo mayor de 80°. b) Un ángulo obtuso menor de 100°. 6 Dibuja en tu cuaderno un ángulo agudo.

26 Dibuja estos ángulos.

a)  30°

b)  45°

c)  160°

d)  180°

Después utiliza el transportador para medirlo. Haz lo mismo con un ángulo obtuso.

147

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Líneas

Tipos de ángulos

Semirrecta

Recta r

Recto

Segmento

s A

P

r

s

Agudo

Obtuso

B

Posiciones relativas de dos rectas r

s

Llano

s

Posiciones relativas de dos ángulos s

r

Opuestos por el vértice

Consecutivos

Adyacentes

r Secantes

Paralelas

Perpendiculares

Ángulo

Coincidentes Complementarios

C

A

Suplementarios

B

HAZLO DE ESTA MANERA

1. CONSTRUIR UN ÁNGULO UTILIZANDO EL COMPÁS

Utiliza el compás para construir un ángulo como el dibujado. una semirrecta, que será uno de los lados del ángulo que vamos a construir, con origen en un punto, que será el vértice del ángulo.

1. OPERAR GRÁFICAMENTE CON ÁNGULOS

V : Dados los ángulos AU y B U A

PRIMERO. Trazamos

un arco sobre el ángulo dado con centro en su vértice y, con el mismo radio, otro arco en el ángulo en construcción.

V  y  AU - B V. calcula AU + B •  Suma de ángulos

PRIMERO. Construimos

con el compás un ángulo igual a AV. SEGUNDO. Construimos, a V, continuación del ángulo A V un ángulo igual a B , de modo que sean consecutivos. El ángulo AV + BV es el ángulo rojo.

SEGUNDO. Dibujamos

TERCERO. Medimos

con el compás la amplitud de ese arco sobre el ángulo dado y lo trasladamos al ángulo en construcción.

BU

BU

U + BU A U A

•  Resta de ángulos PRIMERO. Construimos

AU - BU

U A

BU

un ángulo igual a AV. SEGUNDO. Llevamos sobre el ángulo AV un ángulo igual a BV, tal y como se indica en la figura. El ángulo AV - BV es el ángulo rojo.

148

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2. TRANSFORMAR UNIDADES

2. CONSTRUIR UN ÁNGULO UTILIZANDO

DE MEDIDA DE ÁNGULOS

UN  TRANSPORTADOR

Expresa. a) 34° en minutos.

b) 82" en grados.

los saltos que hay hasta la unidad en la que tenemos que expresar la medida.

PRIMERO. Contamos

? 60

? 60 F

F

grados

minutos

segundos

Utiliza la regla y el transportador para dibujar un ángulo de 70º. PRIMERO. Utilizamos

la regla para dibujar una semirrecta con origen en un punto A. SEGUNDO. Situamos el

TERCERO. Hacemos una marca sobre la medida del ángulo que queremos dibujar.

•  Si es hacia la izquierda, dividimos la medida entre 60 si es un salto, o entre 3 600 si son dos saltos.

CUARTO. Unimos

F

el sentido del salto. •  Si el salto es hacia la derecha, multiplicamos la medida por 60 si es un salto, o por 3 600 si son dos saltos.

F

a) Un salto hacia la derecha. b) Dos saltos hacia la izquierda.

centro del transportador sobre el punto A y hacemos que la semirrecta pase por el 0º del transportador.

: 60

: 60

SEGUNDO. Analizamos

a) 34 ? 60 = 2 040'      b)  82 : 3 600 = 0,023°

A

A

A

el punto A con la marca que acabamos de hacer.

70º AV

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras

Construir ángulos utilizando el compás

1. ¿Puedes hallar la longitud de una línea recta? ¿Y de una semirrecta? ¿Y de un segmento?

1. Construye, con ayuda del compás, un ángulo como este.

2. ¿Cuántas perpendiculares a una recta que pasen por un punto exterior a ella puedes trazar? ¿Y cuántas paralelas? 3. Señala en la figura un par de ángulos consecutivos y un par de ángulos adyacentes. U C

U D

4. Dada la siguiente figura,  ¿cómo son entre sí las parejas de ángulos que se pueden formar?

BU

EU

U A

Operar gráficamente con ángulos 2. Dados los ángulos AV y BV, representa AV + BV y AV - BV. U A

BU

Transformar unidades de medida de ángulos 6. Transforma en segundos estas medidas. a) 10' U C

BU

b) 5°

c) 14,5'

d) 60,6°

Construir ángulos utilizando el transportador U A

3. Construye con ayuda del transportador un ángulo de 55º.

149

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Actividades 41. ● ● ¿Cuántos puntos se necesitan, como mínimo, para definir una recta? ¿Y como máximo?

RECTAS, SEMIRRECTAS Y SEGMENTOS 37. ● Dibuja una línea recta en tu cuaderno, marca de rojo una semirrecta y de verde un segmento de longitud 2 cm. 38. ● Fíjate en el dibujo, y realiza las siguientes actividades. A

F

B C

E D

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE TRAZA LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO? 42. Dibuja un segmento AB de 8 cm y traza con regla y compás su mediatriz. La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por su punto medio y es perpendicular al mismo. Para construirla se siguen estos pasos: Primero. Se

G

a) Nombra las semirrectas. b) Señala el nombre de los segmentos. c) ¿Qué segmentos tienen en común el extremo D?

A

B

39. ● Observa el plano y contesta.

co

c/ Amarillo

c/ Azul

c/ Arco Iris

c/ Añil

lan

c/ Roja

unen con una recta los puntos de intersección de las circunferencias.

  7. ● Dibuja en tu cuaderno un segmento AB de 7 cm de longitud, y traza con regla y compás su mediatriz.   8. ● Las rectas rojas, ¿son mediatrices de los segmentos? Justifica la respuesta. a) 

Si consideras las calles como líneas rectas: a) ¿Qué calles son paralelas a la calle Arco Iris? b) ¿Qué calles son perpendiculares a la calle Arco Iris? c) ¿Cuáles son secantes a la calle Arco Iris? d) ¿Cómo son entre sí las calles Añil y Verde? e) ¿Cómo son entre sí las calles Roja y Añil? 40. ● Dibuja en tu cuaderno la recta m y marca un punto P. •  P

SEGUNDo. Se

Esta recta es la mediatriz del segmento AB.

c/ Verde

c/ B

pincha el compás en cada uno de los extremos, y con amplitud el segmento, se dibuja una circunferencia.

A

B

b)  C

D

  9. ● Dibuja en tu cuaderno triángulos como estos y traza la mediatriz de sus lados. ¿Se cortan en un solo punto?

m

Dibuja tres rectas: una paralela, una secante y otra perpendicular a la recta m, y haz que pasen por el punto P. Clasifica, dos a dos, las rectas que has dibujado.

150

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10. ● Dibuja en tu cuaderno la recta r y los puntos A y B.

•

A

B

•

r

a) Dibuja el segmento AB. b) Dibuja la mediatriz del segmento AB. c) Estudia la posición relativa de la mediatriz y la recta r. 11. ● Los segmentos AB y AC se encuentran en rectas perpendiculares.

45. ● Contesta si es verdadero o falso. a) Dos ángulos adyacentes son siempre consecutivos. b) Dos ángulos consecutivos son siempre adyacentes. c) Dos ángulos complementarios son siempre agudos. d) Dos ángulos complementarios son siempre obtusos. e) Dos ángulos de lados perpendiculares son iguales. f) Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.

C

46. ● Observa la siguiente figura y señala.

12. ● Dibuja una recta en tu cuaderno. Con la regla y la escuadra, traza una recta paralela y otra perpendicular a la recta que has trazado. ¿Qué posiciones relativas tienen la recta paralela y la perpendicular que has dibujado?

V H

EU

U G

FU

9 30

31 1

di

0

D.

Ar ca

da Av in

30

a

30

30 6

30 8 ud

Plaça de Sant Jaume

2

Av ing ud a

3

a

1

ud a

Av ing 30

30

ng

ud

l na go Dia

gu

da

mi

ng

gu

ud a Av ing da

Av in

a ud ing Av A vi ng

gu

Fle

Av i

er

Parc Montanyeta Do ct or

Ba la gu

31 2 da Av in

a) ¿Cuánto suman los cuatro ángulos? b) ¿Hay algunos ángulos iguales? c) ¿Siempre se da este resultado?

U C

3 31

44. ● Escribe estas letras en tu cuaderno, y señala de color rojo los ángulos agudos, de azul los rectos y de amarillo los obtusos.

13. ● Dibuja en tu cuaderno dos rectas r y s que se corten como las de la figura. Mide con el transportador los cuatro ángulos que forman.

UI

Plaça de la Lluna

Av ing u

Av ing

ÁNGULOS

BU

JU

47. ● Observa este plano de una zona de la ciudad de Castelldefels y dibuja los ángulos que forman. ud a

43. ●● Dibuja dos segmentos, AB y CD, paralelos entre sí, de 8 cm y 10 cm, y traza con la escuadra sus mediatrices. ¿Cómo son entre sí las mediatrices?

UL

U D

U A

U K

Av ing

Dibuja la mediatriz del segmento AB y la del segmento BC. ¿Cuál es la posición relativa de las dos mediatrices que has calculado?

a) Los pares de ángulos opuestos por el vértice. b) Los pares de ángulos adyacentes.

31 0

B

ud a

A

a) La Avinguda Diagonal con la Avinguda 309. b) La Avinguda Diagonal con la Avinguda 310. c) La Avinguda Diagonal con la Avinguda 302. 728044U09P012

¿Cómo son entre sí las Avingudas 309 y 310? ¿Y las Avingudas 302 y 309?

r

s

48. ● Dado el ángulo de la figura, dibújalo en tu cuaderno y construye sus ángulos adyacentes y el ángulo opuesto por el vértice.

U A

151

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49. ●● Dibuja en tu cuaderno dos ángulos como estos. Utiliza el compás para representar las operaciones. V a) AV + BV     b) BV - A

BU

U A

c) 3 ? AV

d) 2 ? BV

14. ● Dibuja en tu cuaderno tres ángulos como estos. U A

BU

CU

Utiliza el compás para representar las siguientes operaciones. a) AV + CV c) 2 ? AV b) AV - BV

d) AV + BV + CV

V b) BV - A

d) 2 ? BV

16. ● Expresa en minutos. a) 4º  52'  30"

c) 15º  42'  15"

b) 32º  12'  45"

d) 42º  38'  10"

55. ● Con la ayuda del transportador, dibuja los V = 45°, B V = 120° y C V = 135°. ángulos A Después, dibuja y mide los ángulos. V a) AV + C c) 3 ? BV V - AV V b) C d) 8 ? C 17. ● Con la ayuda del transportador, dibuja V = 147º y B V = 72º. los ángulos A Después, dibuja y mide los ángulos. a) AV + BV c) 2 ? AV b) AV - BV

d) 3 ? BV

18. ● Mide estos ángulos y clasifícalos.

V que sea 50. ●● Traza en tu cuaderno un ángulo A V menor que un ángulo recto, y un ángulo B que sea menor que uno llano y mayor que uno recto. Dibuja los ángulos indicados. V + BV a) A c) 3 ? AV

19. ● Recuerda cuánto miden los ángulos de una escuadra y de un cartabón.

SISTEMA SEXAGESIMAL 51. ● Expresa en minutos las medidas de ángulos. a) 3°

b) 10°

c) 5°

52. ● Transforma en segundos estas medidas de ángulos. a) 12'

b) 20'

c) 1°  15'

d) 10°  10'

53. ● Expresa en grados las siguientes medidas. a) 120' b) 180'

c) 240' d) 360'

e) 420' f) 600'

15. ● Expresa en minutos estas medidas de ángulos. a) 135" b) 156" c) 198"

d) 300" e) 288" f) 468"

90º 45º

90º 45º

30º

Dibuja los siguientes ángulos, repasando dos lados de una escuadra o un cartabón. a) 30°

c) 60°

b) 45°

d) 90°

20. ● ● Utiliza la suma de dos ángulos de la escuadra o del cartabón para dibujar estos ángulos. a)   75° = 45° + d b) 105° = 60° + d c) 120° = 90° + d

54. ● Indica en segundos. a) 35°  54'  55" b) 65°  53'  12" c) 18°  23'  4"

60º

d) 20°

d) 4°  27'  56" e) 7°  33'  49" f) 11°  3'  2"

d) 135° = d + d e) 150° = d + d

152

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s

21. ● Copia un ángulo como el de la figura y traza las perpendiculares a las rectas r y s. ¿Qué ángulo forman?

HAZLO ASÍ

r s

V. 22. ● Dibuja el ángulo A

U A

Traza la perpendicular t a la recta r desde B.

r

B

¿Cuánto medirán los cuatro ángulos que forma la recta t con la recta s?

¿CÓMO SE SUMAN ÁNGULOS EXPRESADOS EN FORMA COMPLEJA? 24. Calcula esta suma de ángulos: 6º  24'  28"  + 52'  47" PRIMERO. Se

colocan los sumandos agrupados por unidades y se realiza la suma. 6°  24'  28" +      52'  47" 6°  76'  75"

HAZLO ASÍ

SEGUNDO. Si en el resultado de la suma, los segundos

sobrepasan 60, se transforman en minutos. 6°  24'  28" + 52'  47" = 6°  76'  75" 

¿CÓMO SE CONSTRUYE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO?

6°  77'  15" TERCERO. Si en el resultado de la suma, los minutos sobrepasan 60, se transforman en grados.

O

6°  24'  28" + 52'  47" = 6°  77'  15"  77' = 1° + 17' O

SEGUNDO. Con

la misma amplitud se trazan dos arcos, uno con centro en A y otro con centro en B.

TERCERo. Los arcos se cortarán en un punto P. La recta que pasa por O y P es la bisectriz del ángulo.

a) 23°  45'  10" + 54°  7'  32" b) 21°  45'  19" + 54°  7'  42" c) 23°  45'  10" + 54°  37'  52"

A P

B O

A

23. ● Dibuja un ángulo como este.Traza su bisectriz.

57. ●● Dibuja un ángulo de 60° con el transportador. Traza su adyacente. ¿Cuánto mide? Dibuja las bisectrices de los dos ángulos. ¿Qué ángulos forman?

64. ● Mide con el transportador el ángulo AU. V? ¿Cuánto mide el ángulo B

U A

7°  17'  15"

58. ● Realiza las siguientes sumas de ángulos.

B O

F

centro en el vértice O y cualquier abertura, se traza un arco.

F

Primero. Con

BU

F

La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por su vértice y divide el ángulo en dos partes iguales.

F

75" = 1' + 15"

56. Traza la bisectriz de este ángulo.

PROBLEMAS CON MEDIDAS DE ÁNGULOS 73. ● ● Los rayos del sol entran por la mañana en la habitación de Luis y dan en la pared con una determinada inclinación. A las 7 de la mañana de un día de verano, ese ángulo es de 22°  14'. Cada hora que pasa, el ángulo de inclinación aumenta en 2°  10'  20". a) ¿Qué ángulo tendrá a las 8 de la mañana? b) ¿Y a las 9 de la mañana? 74. ● ● Tres amigos, Marcos, Roberto y Ricardo, se están comiendo un pastel circular: •  Marcos se ha comido un trozo equivalente a 35°  10'. •  Roberto se ha comido un trozo de 40°  30'. •  Ricardo se ha comido un trozo de 50°  40'. a) ¿Cuánto mide el trozo de pastel que se han comido entre los tres? b) ¿Cuánto mide el trozo que queda?

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10

Polígonos y circunferencia Historias de sobremesa Cada vez que Farkas Bolyai y su hijo se juntaban, el tema predilecto de conversación eran las matemáticas, y siempre salía a relucir el nombre de Gauss. –Janos –le decía a su hijo–, el 29 de marzo de 1796 debería instaurarse como festivo para todos los matemáticos del mundo. ¡Otra vez la vieja historia del heptadecágono! Janos miró a su padre con una sonrisa. –Gauss tiene suerte de contar con amigos como tú.

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. ¿Quiénes fueron Farkas Bolyai y Janos Bolyai? ¿Qué relación tienen con Gauss? ¿Cuáles son las circunstancias que les llevaron a enemistarse? 2. ¿Por qué Farkas Bolyai piensa que el 29 de marzo debería ser festivo para los matemáticos?

El padre, sin prestar atención, continuó con la historia: –Él mismo me lo contó, después de uno de nuestros paseos por los alrededores de Göttingen. Hizo una pausa y en voz baja continuó: –El día 29, después de encontrar la forma de construir el polígono regular de 17 lados solamente con ayuda de la regla y el compás, tomó la decisión de estudiar matemáticas en detrimento de la filosofía. Este descubrimiento fue tan importante para Gauss que el epitafio de su sepultura contiene un heptadecágono regular.

3. Busca información sobre Friedrich Gauss y sus importantes aportaciones a la geometría.

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Antes de empezar la unidad... RECTAS Y ÁNGULOS Posiciones relativas de dos rectas

Paralelas

Secantes

No se cortan.

Se cortan en un punto.

Cuando dos rectas secantes forman cuatro ángulos rectos, decimos que son rectas perpendiculares.

Ángulos

Llamamos ángulo a la abertura formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto. Los ángulos pueden ser:

Vértice

Lado

Agudo

Recto

Obtuso

Llano

Mide menos de 90°.

Mide 90°.

Mide más de 90° y menos de 180°.

Mide 180°.

EVALUACIÓN INICIAL 1 Escribe cuál es la posición relativa de estas rectas. ¿Algunas

de ellas son perpendiculares?

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… •  Clasificar polígonos según sus lados y ángulos. •  Utilizar el teorema de Pitágoras.

2 Clasifica estos ángulos.

•  Identificar los elementos de una circunferencia. •  Determinar posiciones relativas en el plano.

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1

Polígonos

1.1  Elementos de un polígono ANTES, DEBES SABER… Qué es un segmento Un segmento es la parte de una recta delimitada por dos puntos. Tiene principio y final. A y B son los extremos del segmento.

Un polígono es una figura plana y cerrada limitada por segmentos. EJEMPLO 1 Decide si son polígonos.  a)             

   b) 

a) Es un polígono. b) No está cerrada, no es un polígono.

Los elementos de un polígono son: • Lados: segmentos que delimitan el polígono. • Vértices: puntos donde se unen dos lados. • Diagonales: segmentos que unen dos vértices no consecutivos. • Ángulo interior: ángulo formado por los lados del polígono.

Lado Ángulo interior

Vértice

l

na

o iag

D

1.3 Clasificación de polígonos según sus lados y ángulos Un polígono regular es el que tiene todos sus lados y ángulos iguales. En caso contrario, si tiene algún lado o ángulo distinto, el polígono es irregular.

Polígono regular

Polígono irregular

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 2 Determina cuáles de estos polígonos son

1 Dibuja este polígono en tu

cuaderno. Señala sus lados, vértices, ángulos interiores y diagonales. ¿Cuántas diagonales tiene?

regulares o irregulares. a)

b)

c)



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1.4 Clasificación de polígonos según su número de lados N.o de lados

Nombre

3

Triángulo

4

Cuadrilátero

5

Pentágono

6

Hexágono

7

Heptágono

8

Octógono

9

Eneágono

10

Decágono

11

Endecágono

12

Dodecágono

Regular

Irregular

A partir de 12 lados, los polígonos se nombran: polígono de 13, 14… lados.

EJEMPLO 2 Cuenta el número de lados y clasifica estos polígonos.

a)

b)

c)

a) 5 lados  "  Es un pentágono. b) 8 lados  "  Es un octógono. c) 6 lados  "  Es un hexágono.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Cuenta el número de lados e indica el nombre

de estos polígonos. a)

1 ¿Cuántos lados tienen estos polígonos?

Decide si son regulares o irregulares. b)

a)

b)

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2

Triángulos

Según sean sus lados y sus ángulos, los triángulos se clasifican en: Equilátero: tiene los tres lados y los tres ángulos iguales.

Isósceles: tiene dos lados y dos ángulos iguales. C

C b

a

A

B

c

a=b=c AT = BU = CU

Acutángulo: tiene los tres ángulos agudos.

RECUERDA La medida de un ángulo se expresa en grados y se mide con el transportador. V = 70° A

Escaleno: tiene los tres lados y los tres ángulos desiguales.

b A

a c

B

b

a c

b B

A

B

c

Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso. C

C

b

a

A

Rectángulo: tiene un ángulo recto.

C

A

C

a=b AT = BU

a

a

b A

B

c

B

c

Relaciones entre los lados y los ángulos ANTES, DEBES SABER… Cómo se despeja en una ecuación x + 2 = 7  "  x = 7 - 2 = 5 G

• Si un término está sumando en un miembro, pasa restando al otro. Y si está restando, pasa sumando.

Pasa restando

2x = 10  "  x =

10 =5 2 G

• Si un término está multiplicando en un miembro, pasa dividiendo al otro. Y si está dividiendo, pasa multiplicando.

Pasa dividiendo

ABC, siempre se cumple que: Dado un triángulo & • La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a 180°. EJEMPLO 3 Calcula el ángulo que falta.

V+C V = 180° AU + B V = 180° 35° + 45° + C V C = 180° - 80° = 100°

35° V C

45°

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 2 Clasifica este triángulo

según sus lados y sus ángulos.

3 Calcula el ángulo que falta.

110°

30°

V C

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Teorema de Pitágoras

Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto (90°). Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el lado mayor, hipotenusa.

C

a es la hipotenusa, b y c son los catetos.

A

El triángulo rectángulo es el único triángulo que cumple el teorema de Pitágoras.

a

b c

B

Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a2 = b2 + c2 ANTES, DEBES SABER… Qué es la raíz cuadrada de un número La raíz cuadrada de un número es otro número que elevado al cuadrado es igual al primero. 4 = 2, porque 22 = 4     62 = 36, entonces 36 = 6

EJEMPLOS 5

Sabiendo que, en un triángulo rectángulo, los catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente, ¿cuánto mide la hipotenusa? Aplicando el teorema de Pitágoras: a2 = 32 + 42

6

" a2 = 9 + 16 = 25 " a = 25 " a = 5 cm

En un triángulo rectángulo, un cateto mide 6 cm y la hipotenusa 10 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto?

Supongamos que el cateto conocido es b: a = 10, b = 6

" c = 64 = 8 cm

G

a2 = b2 + c2  ----"  102 = 62 + c2 " 102 - 62 = c2 " c2 = 64 Pasa restando

El otro cateto mide 8 cm. 7

Comprueba si un triángulo cuyos lados miden 6, 9 y 11 cm,

DATE CUENTA Conociendo la medida de un cateto y la hipotenusa, podemos hallar el otro cateto:

respectivamente, puede ser un triángulo rectángulo.

112 = 121 2 6 + 92 = 117 2

" 112 ! 62 + 92 "  No se cumple el teorema de Pitágoras.

No existe un triángulo rectángulo cuyos lados midan 6, 9 y 11 cm.

b

c

Si es un triángulo rectángulo, se debe cumplir el teorema de Pitágoras:

a 2

2

2

2

2

2

" b = a2 - c2 c = a - b " c = a2 - b2 b = a -c

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 17 En un triángulo rectángulo, los catetos

miden 5 y 12 cm, respectivamente. ¿Cuánto medirá la hipotenusa?

18 En este triángulo

rectángulo, ¿cuánto mide el otro cateto?

7 cm

25 cm

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5

Cuadriláteros

Los cuadriláteros son los polígonos de cuatro lados. Se clasifican en: • Paralelogramos: cuadriláteros que tienen los lados paralelos, dos a dos. • Trapecios: cuadriláteros que tienen solo dos lados paralelos. •  Trapezoides: cuadriláteros que no tienen lados paralelos.

Paralelogramo

Trapecio

5.1  Paralelogramos Los paralelogramos se clasifican en:

Trapezoide

Cuadrado

Un paralelogramo tiene iguales sus lados opuestos y sus ángulos opuestos.

Rectángulo

Rombo

Romboide

• Cuadrado: tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos. •  Rectángulo: tiene los cuatro ángulos rectos. •  Rombo: tiene los cuatro lados iguales. • Romboide: tiene los lados y los ángulos iguales, dos a dos, y no tiene ángulos rectos.

5.2  Trapecios Los trapecios pueden ser:

Trapecio rectángulo



Trapecio isósceles

Trapecio escaleno

• Trapecio rectángulo: tiene dos ángulos rectos. •  Trapecio isósceles: tiene dos lados iguales. •  Trapecio escaleno: no tiene lados iguales ni ángulos rectos.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 21 Clasifica estos cuadriláteros, e indica si son

a)

4 Dibuja un cuadrado y un rombo sabiendo

que la longitud de sus lados es de 2 cm.

regulares o irregulares. e)

c)

a) ¿Qué características tienen en común? b) ¿En qué se diferencian? 5 ¿Qué diferencias hay entre un cuadrado,

b)

d)

un rectángulo y un rombo? Dibuja las tres figuras y compáralas. 6 Dibuja dos trapecios diferentes y explica cuáles

son sus diferencias.



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Propiedades de los paralelogramos

6

Cualquier paralelogramo cumple las siguientes propiedades:

• La suma de los ángulos de un paralelogramo es 360°. V = 360° AT + BU + CV + D D



• Un paralelogramo tiene dos diagonales que lo dividen en dos triángulos iguales y que se cortan en el punto medio de ambas.

C

M

A

B

MA = MC

MB = MD

EJEMPLOS

8

Calcula el ángulo que falta. V+C V+D V = 360° AU + B V = 360° 95° + 90° + 45° + D V D = 360° - 230° = 130°

V D

95° 90°

45°

Halla la medida de la diagonal de un cuadrado si el lado mide 4 cm. La diagonal divide el cuadrado en dos triángulos rectángulos iguales, en los que los catetos son los lados, y la hipotenusa, la diagonal. Aplicando el teorema de Pitágoras: d 2 = l2 + l2 d 2 = 42 + 42 " d 2 = 16 + 16 " d 2 = 32 " d =

9

d

4 cm

4 cm

32 . 5,66 cm

Determina la diagonal menor (d) de un rombo 

de lado 5 cm y cuya diagonal mayor (D) mide 8 cm. El rombo queda dividido, por sus dos diagonales, en cuatro triángulos rectángulos iguales cuya hipotenusa es el lado (l), y los catetos, la mitad de sus diagonales (b y c). D 8 c= = = 4 cm 2 2

5 cm

c 8 cm

4

Al trazar las diagonales en un cuadrado, un rectángulo o un rombo se forman triángulos rectángulos iguales.

b

Aplicando el teorema de Pitágoras: G

l2 = b2 + c 2 " 52 = 42 + b2 " b2 = 52 - 42 = 9 " b = Pasa restando

" d = b ? 2 = 3 ? 2 = 6 cm G

d b= 2

9 = 3 cm

Pasa multiplicando

La diagonal menor del rombo mide 6 cm.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 25 Halla la diagonal de un rectángulo de lados

7 Calcula el ángulo que falta. V D

a) 130° 50°

130°

b)

3 cm y 4 cm. V D

120° 120°

60°

26 Calcula la diagonal mayor de un rombo de lado

50 cm y diagonal menor 28 cm.

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7

Circunferencias

7.1  Elementos de la circunferencia La circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están situados a la misma distancia de otro punto llamado centro, O. Los elementos de una circunferencia son: A

a

dio

Cu

erd

Arco DATE CUENTA

Ra O

Diámetro

B

El diámetro de una circunferencia mide el doble que su radio. Diámetro 8 4444448 447 6447 6444 Radio

• Centro de la circunferencia: es el punto que está a la misma distancia de todos los puntos que la forman. • Radio: es un segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. • Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. • Diámetro: es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. • Arco: es la parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella. Semicircunferencia

A cada cuerda le corresponden dos arcos. Si la cuerda coincide con el diámetro, las longitudes de los dos arcos son iguales, y cada arco se llama semicircunferencia. Semicircunferencia EJEMPLOS 5 Si el radio de una circunferencia mide 7 cm, ¿cuánto mide su diámetro?

d = 2 ? r = 2 ? 7 = 14 cm 6 ¿Cuánto mide el radio de una circunferencia si su diámetro mide 18 cm?

d=2?r"r =

18 = 9 cm 2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 29 Indica el nombre de cada uno de los elementos

de la siguiente circunferencia:

31 Dibuja una circunferencia de radio 4 cm, y señala

sobre ella un diámetro, un radio, un arco y una cuerda. ¿Cuánto mide el diámetro? 8 Dibuja una circunferencia cuyo diámetro

mida 7 cm.

30 Dibuja una circunferencia de radio 5 cm.

a) Traza el diámetro y marca en la circunferencia las dos semicircunferencias que se forman. b) ¿Cuánto mide el radio?

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Posiciones relativas en el plano

8

8.2  Posiciones relativas de una recta y una circunferencia Una recta, s, puede situarse en tres posiciones respecto de una circunferencia: Tangente Secante

O

A

P

O

Exterior

O

B



• Si corta a la circunferencia en dos puntos, A y B: la recta s es secante a la circunferencia. • Si la recta y la circunferencia tienen un único punto, P, en común: la recta s es tangente a la circunferencia. • Si la recta y la circunferencia no tienen ningún punto en común: la ­recta s es exterior a la circunferencia.

9

Polígonos regulares e inscritos

Un polígono inscrito en una circunferencia es un polígono que tiene todos sus vértices situados en la circunferencia. Cualquier polígono regular está inscrito: • El centro de la circunferencia, O, se llama centro del polígono y su radio, r, se denomina radio del polígono. r O • El segmento trazado desde el centro de la circunferena cia al punto medio de un lado, a, es la apotema del polígono regular.

Cuadrilátero inscrito en una circunferencia

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 33 Indica cuál es la posición relativa de cada una

de las rectas respecto de la siguiente circunferencia:

9 Decide si están inscritos estos polígonos.

a)

b)

v

u O

r

s

w t

39 Traza un hexágono regular inscrito en

una circunferencia. Después, traza los tres diámetros que unen sus vértices opuestos. ¿En cuántos triángulos queda descompuesto el hexágono?

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Vértice

Polígono

Cuadriláteros Paralelogramos

Ángulo interior

Romboides

l na

o

ag Di

Rombos

Cuadrados

Rectángulos

Lado

Triángulos

Equilátero

Escaleno

Isósceles

Trapecios

Acutángulo

Rectángulo

Polígono regular

Obtusángulo Rectángulo

Circunferencia

Isósceles

A

Trapezoides

Cu erd a

G

Ra

di

o

Arco O

Apotema

B Diámetro

O

Escaleno

dio

Ra

F

HAZLO DE ESTA MANERA

1. CALCULAR UN ÁNGULO DESCONOCIDO DE UN TRIÁNGULO O UN CUADRILÁTERO Calcula la medida del ángulo que falta en cada uno de estos polígonos. a)

V C

b)

65°

V D

50°

115° 35° PRIMERO. Identificamos

65°

los ángulos conocidos de cada figura teniendo en cuenta que:

•  Suman 180° si es un triángulo. •  Suman 360° si es un cuadrilátero. V = 50° a) AU = 35°     B

V = 65°     C V = 65° b) AU = 115°     B V = 180° Cuadrilátero  "  115° + 65° + 65° + D V = 360° Triángulo  "  35° + 50° + C

SEGUNDO. Despejamos el

V = 180° - 85° = 95° a) C

ángulo desconocido.

V = 360° - 245° = 115° b) D

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2. HALLAR UNO DE LOS LADOS

3. DETERMINAR SI UN TRIÁNGULO

DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

ES RECTÁNGULO

Determina el lado que falta en estos triángulos rectángulos.

Determina si el triángulo cuyos lados miden 5, 12 y 13 cm, respectivamente, es rectángulo.

a)

PRIMERO. Asignamos

b)

?

la medida mayor a la hipotenusa y las otras dos a los catetos.

10 cm

6 cm

6 cm

?

8 cm

a = 13      b = 5      c = 12

PRIMERO. Sustituimos,

en el teorema de Pitágoras, cada letra por su valor. La letra a representa la hipotenusa, y b y c son los catetos. 2

2

2

b = 8, c = 6

2

2

2

a) a = b + c   ------"   a = 8 + 6 a = 10, c = 6

b) a2 = b2 + c2  ------"   102 = b2 + 62 SEGUNDO. Despejamos

SEGUNDO. Comprobamos

si se cumple

el teorema de Pitágoras. •  Si se cumple el teorema de Pitágoras, el triángulo es rectángulo. •  En caso contrario, no es un triángulo rectángulo.

la letra desconocida en la ecuación resultante. a) a  2 = 82 + 62 " a  2 = 100 " a = 100 = 10 cm

a2 = b2 + c2 ---------" 132 = 52 + 122             " 169 = 25 + 144 " 169 = 169

b) 102 = b2 + 62 "  b2 = 102 - 62 = 64 " b2 = 64 " b = 64 = 8 cm

En este caso se cumple la igualdad, y el triángulo es rectángulo.

a = 13, b = 5, c = 12

4. CALCULAR LA DIAGONAL DE UN CUADRADO O UN RECTÁNGULO Halla la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 5 cm y 7 cm. PRIMERO. La

diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son los lados de la figura.

d

5 cm

b = 5 cm c = 7 cm

SEGUNDO. Aplicamos

el teorema de Pitágoras.

b = 5, c = 7

d 2 = b2 + c2  ------"   d 2 = 52 + 72 = 74

" d = 74 . 8,6 cm La diagonal mide aproximadamente 8,6 cm.

7 cm

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras 1. Di cuál de estos polígonos es regular. a) Un triángulo equilátero.

c) Un rectángulo.

b) Un cuadrado.

d) Un rombo.

2. ¿Puede haber un triángulo isósceles y rectángulo a la vez? Calcular un ángulo desconocido de un triángulo o un cuadrilátero 1. Dos ángulos iguales de un triángulo miden 60°. ¿Cuánto mide el otro ángulo?

Hallar uno de los lados de un triángulo rectángulo 5. Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 21 cm y 28 cm. Determinar si un triángulo es rectángulo 6. Un triángulo tiene dos lados que miden 15 cm y 12 cm. ¿Cuánto tiene que medir el tercer lado para que sea un triángulo rectángulo? Calcular la diagonal de un cuadrado o un rectángulo 7. Determina la diagonal de un cuadrado de 4 cm de lado.

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Actividades POLÍGONOS

TRIÁNGULOS

42. ● Indica el nombre de cada uno de los elementos del polígono.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE DIBUJA UN TRIÁNGULO CONOCIENDO LA MEDIDA DE SUS LADOS? 50. Construye un triángulo con lados a = 5 cm, b = 4 cm y c = 3 cm. A

Primero. Se

a) Señala sus vértices. b) ¿Cuántos lados tiene? c) ¿Cuántas diagonales puedes dibujar? d) ¿Cuántos ángulos tiene? e) ¿Cómo se llama este polígono? f) ¿Es regular? ¿Por qué? g) ¿Es cóncavo o convexo? 43. ● Indica el nombre de estos polígonos según su número de lados. a)

c)

e)

traza un segmento igual a un lado, a. Los extremos son los vértices C y B.

3c

m

m

4c C

B

5 cm

SEGUNDO. Se

construyen A' dos arcos, uno con centro en C y radio b, y otro con centro en B y radio c.

tercero. Se unen B y C con los dos puntos de intersección de los arcos. Se obtienen dos triángulos, siendo ambos solución.

51. ● Construye un triángulo rectángulo e isósceles cuyos catetos midan 3 cm. 52. ● Clasifica estos triángulos según sus lados y ángulos. d) a) b)

b)

d)

f)

10. ● Dibuja dos polígonos que sean regulares y otros dos irregulares. 45. ● Dibuja la siguiente figura en tu cuaderno.

c)

Determina el número de ángulos agudos, rectos y obtusos que tiene cada uno. 53. ● En un triángulo rectángulo, un ángulo mide 45°. ¿Cuánto miden los otros ángulos? 54. ● En un triángulo, dos de sus ángulos miden 20° y 70°, respectivamente. ¿Cuánto mide el tercer ángulo? ¿Cómo se llama el triángulo? 12. ● Calcula el ángulo que falta.

a) ¿Cuántos lados tiene? b) Por su número de lados, ¿qué nombre recibe? c) Dibuja sus diagonales. ¿Cuántas tiene? d) Señala sus ángulos. ¿Cuántos tiene? 11. ● Dibuja un pentágono regular y un octógono irregular.

a)

30°

b)

V C

110° V C

80° 35°

56. ● Un triángulo isósceles tiene el ángulo desigual de 50°. ¿Cuánto miden los ángulos iguales?

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TEOREMA DE PITÁGORAS

HAZLO ASÍ

13. ● Calcula la medida del lado que falta en estos triángulos rectángulos. a)

12

b)

cm

dibuja el rombo y se trazan sus diagonales para identificar un triángulo rectángulo.

cm

40

cm

15. ¿Cuánto mide el lado de un rombo si sus diagonales miden 10 y 24 cm? PRIMERO. Se

13

x

¿CÓMO SE CALCULA EL LADO DE UN ROMBO CONOCIDAS SUS DIAGONALES?

9c

m

SEGUNDO. Se

65. ● En un triángulo rectángulo, los catetos miden 12 y 16 cm, respectivamente. Calcula la hipotenusa. 66. ● En un triángulo rectángulo, un cateto mide 21 cm y la hipotenusa 75 cm. Halla el otro cateto.

divide por 2 cada una de las diagonales para obtener la medida de los catetos del triángulo. 24 10 = 12 cm = 5 cm     2 2

TERCERO. Se 2

aplica el teorema de Pitágoras.

2

l = 5 + 122 " l2 = 169 " l = 169 = 13 cm

67. ● En un triángulo rectángulo isósceles, los catetos miden 12 cm. Determina el valor de la hipotenusa.

16. ● Las diagonales de un rombo miden 6 y 8 cm. ¿Cuánto mide el lado?

68. ● En un triángulo rectángulo, los catetos miden 25 y 60 cm, respectivamente. Calcula la hipotenusa.

CUADRILÁTEROS

69. ● Indica si los siguientes triángulos son rectángulos o no. Si no lo son, calcula el valor de la hipotenusa para que lo sean.

73. ● Dibuja un cuadrilátero, señala las diagonales, los vértices, los ángulos y los lados. 74. ● Clasifica los siguientes cuadriláteros en función del paralelismo de sus lados. Di si son regulares o irregulares.  

a) Lados: 12, 16 y 20 cm. b) Lados: 5, 6 y 13 cm. c) Lados: 18, 24 y 32 cm. 14. ● ¿Cuánto mide la diagonal de este rectángulo?

a)



c)

b)

d)

4 cm

7 cm

70. ● Calcula la diagonal de un cuadrado sabiendo que el lado mide 8 cm. 71. ● Determina el lado de un cuadrado si la diagonal mide 7 cm.

75. ● Clasifica estos cuadriláteros en función de sus ángulos y del paralelismo de sus lados. a)

d) c)

b)

e)

72. ●● Calcula la altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide 10 cm.

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76. ● Calcula el ángulo que falta en cada uno de los cuadriláteros. a)

c)

128°

U D

105°

U X b)

d)

U X 100°

90°

115°

42°

a) Si un paralelogramo tiene un ángulo recto, todos sus ángulos son rectos. b) Si un cuadrilátero tiene un ángulo recto, tiene al menos otro ángulo recto. c) Si un cuadrilátero tiene dos diagonales iguales, es un paralelogramo. d) Hay cuadriláteros que no son paralelogramos y que tienen las diagonales iguales. e) Un cuadrilátero que no sea paralelogramo puede tener dos ángulos rectos. f) Un cuadrilátero que no sea paralelogramo puede tener tres ángulos rectos.

105°

75°

100°

82. ● ● Indica si las afirmaciones son verdaderas o falsas.

50°

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULAN LOS ÁNGULOS DE UN PARALELOGRAMO?

CIRCUNFERENCIAS

77. Halla el valor de todos los ángulos de este paralelogramo.

83. ● Dibuja una circunferencia con un compás. Después, traza una cuerda y señala con colores diferentes los dos arcos que determina.

D

C

84. ● Dibuja una circunferencia de radio 4 cm, y señala en ella un radio, un diámetro y una cuerda.

110° A

B

85. ● En la circunferencia  de la figura se han trazado varios segmentos. Indica el nombre de cada uno de ellos.

Los ángulos contiguos son suplementarios. AT + BV = 180° " AT = 180° - 110° = 70°

PRIMERO.

SEGUNDO. Los

ángulos opuestos son iguales. V = BV = 110° D V = AT = 70° C

A

D 54°

C

b)

D

A

C

A

B

a) El segmento AB es una…

O

B C

80. ●● Un trapecio isósceles tiene dos ángulos de 45°. ¿Cuánto valen los otros ángulos? 80°

C

45°

c) Si los segmentos cortan a dos puntos de la circunferencia, ¿por qué no reciben el mismo nombre?

17. ● Determina la posición de las rectas respecto de la circunferencia.

D

A

C

b) El segmento AC es un…

79. ● Un ángulo de un rombo vale 35°. Determina el valor del resto de ángulos.

81. ●● Calcula el valor  V del del ángulo C cuadrilátero.

O

86. ● Observa la circunferencia de la figura. Completa y responde.

143° B

A

B

78. ●● Halla los ángulos de cada paralelogramo. a)

D

B

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87. ● Dibuja una circunferencia y señala dos puntos interiores en rojo, tres puntos de la circunferencia en verde y cuatro puntos exteriores a la circunferencia en azul.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE RESUELVEN PROBLEMAS MEDIANTE EL TEOREMA DE PITÁGORAS?

88. ● Dibuja una circunferencia y señala una recta secante que no pase por el centro de rojo, una recta exterior de verde y dos rectas tangentes a la circunferencia de azul.

100.  Calcula la longitud de una escalera si está apoyada en la pared a una distancia de 1,8 m y sube hasta una altura de 7 m.

89. ● En la siguiente circunferencia se han trazado una recta exterior, otra recta secante y una tangente. También se han dibujado los segmentos perpendiculares a las rectas indicadas desde el centro, O, B de la circunferencia. O

PROBLEMAS CON POLÍGONOS

PRIMERO. Se

A

hace un gráfico que aclare la situación. Si se considera que el ángulo que forman la pared y el suelo es un ángulo recto, será un triángulo rectángulo en el que se conocen sus dos catetos.

SEGUNDO. Se C

aplica el teorema de Pitágoras. l 2 = (1,8)2 + 72 = 52,24 l=

Compara los segmentos OA, OB y OC con el radio, r, y escribe el signo o =, según corresponda.

52,24 = 7,23 m

La escalera mide 7,23 m.

a)  OA d r      b)  OB d r      c)  OC d r

101. ● ● Una escalera de 5 m apoyada en la pared tiene su pie a 1,5 m de la base de la pared. ¿A qué altura llegará la escalera?

POLÍGONOS REGULARES E INSCRITOS

102. ● Calcula la longitud de la diagonal de una parcela rectangular de un terreno si sus dimensiones son 150 y 60 m, respectivamente.

94. ●● Halla el centro del siguiente polígono regular, y explica cómo lo haces.

103. ● ● En un jardín rectangular de 8 # 5 m, determina cuántos metros recorre un niño que lo cruza siguiendo la diagonal.

95. ●● ¿Puedes dibujar la circunferencia circunscrita a este triángulo? Indica el proceso. B C

104. ● ● Halla la altura de un triángulo isósceles con dos lados iguales de 12 cm y un lado desigual de 16 cm.

96. ● ¿Puedes circunscribir una circunferencia a este cuadrilátero? ¿Por qué?

D A

B

C

97. ●● ¿Puede inscribirse cualquier polígono en una circunferencia? ¿Y todos los polígonos regulares?

C

105. ● ● Calcula la dimensión de todos los lados de un triángulo como el de la figura.

4 cm A

F

A

1,5 cm

D

4,5 cm

B

169

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169

08/07/11

20:22

11

Perímetros y áreas La visión del ciego El soldado miraba con lástima al anciano ciego que, apoyado en su bastón, tomaba el sol mientras sus ojos extintos intuían la posición del astro en el horizonte. Ahmés, su compañero de guardia a la entrada de la biblioteca de Alejandría, interrumpió sus pensamientos diciéndole: –Es Eratóstenes, el cual no hace mucho tiempo dirigía la biblioteca. –¡Es una pena que sea ciego!

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Busca información sobre la vida de Eratóstenes, geógrafo, matemático y astrónomo griego. 2. Eratóstenes es famoso por haber llevado a cabo la primera medición de la circunferencia de la Tierra. Investiga cómo lo hizo. 3. Averigua qué otros trabajos realizó Eratóstenes relacionados con la geometría.

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–No siempre fue así, y lo único que ahora lamenta es no poder leer el pensamiento del mundo encerrado en estas paredes –dijo Ahmés, y continuó con su explicación–: Pero el maestro todavía es capaz de ver más lejos que tú, que tienes tus ojos sanos. –¡Eso es imposible! Ahmés, con una sonrisa, intentó explicárselo: –Tú y yo, con nuestros ojos, vemos la Tierra plana como la palma de nuestra mano; sin embargo él, que ahora está ciego, la ve con forma de bola y dicen que incluso ha calculado su tamaño. Eratóstenes, utilizando ángulos y proporcionalidad, cifró la circunferencia polar de la Tierra en 252 000 estadios egipcios (1 estadio = 157,2 m).

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Antes de empezar la unidad... FIGURAS PLANAS Clasificación de polígonos

Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

6 lados

5 lados

4 lados

3 lados

Hexágono

Clasificación de cuadriláteros

• Paralelogramos Cuadrado

Rectángulo

4 lados iguales  4 ángulos rectos

Un paralelogramo tiene iguales sus lados opuestos y sus ángulos opuestos.

4 ángulos rectos

Rombo

Romboide L  ados y ángulos iguales dos a dos No tiene ángulos rectos.

4 lados iguales

• Trapecios Rectángulo

Isósceles

2 ángulos rectos

Escaleno 2 lados iguales

No tiene lados  ni ángulos iguales.

• Trapezoides No tienen lados paralelos.

EVALUACIÓN INICIAL 1 Clasifica estos polígonos.

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… •  Hallar perímetros de polígonos.

2 Clasifica estos cuadriláteros.

3 Dibuja un polígono de cuatro lados iguales dos a dos. ¿Cómo son

sus ángulos? ¿De qué polígono se trata?

•  Calcular la longitud de la circunferencia. •  Determinar el área de: – Paralelogramos. – Triángulos. – Trapecios. – Polígonos regulares. – Círculos.

171

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1

Perímetro de un polígono

SE ESCRIBE ASÍ

ANTES, DEBES SABER…

El perímetro de un polígono se suele representar con la letra P.

Cuáles son las unidades de longitud ? 10

? 10

? 10

kilómetro hectómetro decámetro (km) (hm) (dam) : 10

: 10

? 10

metro (m)

? 10

? 10

decímetro centímetro milímetro (dm) (cm) (mm)

: 10

: 10

: 10

: 10

El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados. EJEMPLO DATE CUENTA

1

Calcula el perímetro de este pentágono

D

irregular:

En algunos polígonos irregulares podemos utilizar fórmulas para calcular su perímetro, por ejemplo:

2 cm

Sumamos las medidas de sus lados: P = AB + BC + CD + DE + EA = = 4 + 0,5 + 3 + 2 + 1,5 = 11 cm

Rectángulo

3 cm

E 1,5 cm

El perímetro de esta figura es 11 cm.

A

C 0,5 cm B

4 cm

a b

P=2?a+2?b Rombo

Cuando el polígono es regular podemos utilizar una fórmula que facilita el cálculo del perímetro. Si el lado de un polígono regular de n lados es l, entonces su perímetro será: P = n ? l

l

EJEMPLO

P=4?l 2 Llamando l al lado de estos polígonos regulares, busca fórmulas para

expresar su perímetro. l l

P=3?l

l

P=4?l

P=6?l

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Halla el perímetro de:

a) Un rombo cuyo lado mide 10 cm. b) Un trapecio isósceles con bases de 4 cm y 8 cm, y los otros lados de 5 cm.

1 Determina el perímetro de un cuadrado cuyo

lado mide 3 cm. 2 ¿Cuánto mide cada uno de los lados de un

pentágono regular si su perímetro es 25 cm?

172

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Longitud de la circunferencia

2

ANTES, DEBES SABER… Elementos de la circunferencia

Centro

dio

Ra

et r ám Di

o

La circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están situados a la misma distancia de otro punto llamado centro.

Aunque el número π es igual a 3,141592…; para resolver problemas se suele tomar un valor aproximado: π = 3,14

• Radio: segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. • Diámetro: mide el doble que el radio.

La longitud de una circunferencia, L, se puede calcular mediante la expresión L = r ? d, o bien L = 2 ? r ? r, donde d es el diámetro y r es el radio. ANTES, DEBES SABER… Cómo se despeja en una ecuación

G

• Si un término está sumando en un miembro, pasa restando al otro. Y si está restando, pasa sumando. x - 3 = 7  "  x = 7 + 3 = 10 Pasa sumando

G

• Si un término está multiplicando en un miembro, pasa dividiendo al otro. Y si está dividiendo, pasa multiplicando. 15 3x = 15  "  x = =5 3 Pasa dividiendo

EJEMPLOS 3 Halla la longitud de una circunferencia de radio 2 cm.

L = 2rr = 2 ? r ? 2 = 4 ? r = 4 ? 3,14 = 12,56 cm 1

La longitud de una circunferencia mide 31,4 cm. ¿Cuánto mide su radio? L = 2rr  "  31,4 = 2 ? 3,14 ? r  "  r =

G

31,4 = 5 cm 2 ? 3,14

Pasa dividiendo

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 5 ¿Cuánto mide la longitud de una circunferencia

de 6 cm de diámetro? 2 Calcula la longitud de una circunferencia cuyo

radio mide 4 cm.

7 Si la longitud de la circunferencia es 25 cm,

¿cuánto mide su radio? 3 La longitud de una circunferencia mide 40,82 cm.

¿Cuánto mide su diámetro?

173

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3

Área de los paralelogramos

ANTES, DEBES SABER… Cuáles son las unidades de superficie ? 100

? 100

? 100

? 100

kilómetro hectómetro decámetro metro cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado (km2) (hm2) (dam2) (m2) : 100

: 100

: 100

? 100

? 100

decímetro centímetro milímetro cuadrado cuadrado cuadrado (dm2) (cm2) (mm2)

: 100

: 100

: 100

F

3.1  Área del rectángulo

G

1 cm

El área de un rectángulo de base b y altura a es: A=a?b

F

1 cm 1 cm

1 cm

F G

G

G

F

1 cm

G

F

a

1 cm

G

F

2

4 cm # 2 cm = 8 cm

b

3.2  Área del cuadrado El área de un cuadrado de lado l es: A = l2

l Como un cuadrado es un rectángulo con los lados iguales: A = l · l = l 2

EJEMPLOS 5

Halla el área de un rectángulo de 30 cm de base y 12 cm de altura. 12 cm

Para calcular el área aplicamos la fórmula: a = 12, b = 30

A = a ? b -------" A = 12 ? 30 = 360 cm2

30 cm

2

El área de un rectángulo mide 24 cm2. Si su base mide 6 cm, ¿cuánto mide su altura? A = a ? b  "  24 = a ? 6  "  a =

G

24 = 4 cm 6

Pasa dividiendo

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 9 Obtén el área y el perímetro del suelo de una

habitación rectangular de lados 3 m y 7 m. 10 Determina el área de una finca cuadrada

de lado 1 200 m.

4 Si la altura de un rectángulo mide 8 cm

y su área, 104 cm2, ¿cuánto mide la base? 5 Calcula el lado de un cuadrado sabiendo

que su área mide 256 cm2.

174

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3.3  Área del rombo

Las dos diagonales de un rombo son perpendiculares y se cortan en su punto medio.

El área de un rombo de diagonal menor d y diagonal mayor D es: D?d A= 2

D

F

d

El área de un rombo con diagonal menor d y diagonal mayor D es la mitad del área de un rectángulo ­cuya base es d y altura D.

D d

3.4  Área del romboide ANTES, DEBES SABER… Qué son la base y la altura de un romboide Altura

• La base de un romboide es cualquiera de sus lados. • La altura es un segmento perpendicular a una base, trazado desde el vértice opuesto.

Base

El área de un romboide de base b y altura h es: A = b ? h

h

F

h b

b

El área de un romboide de base b y altura h es igual al área de un rectángulo con base b y altura h.

EJEMPLOS 7

Halla el área de un rombo de diagonales 6 y 8 cm, respectivamente.

Para calcular el área aplicamos la fórmula: D ? d D = 8, d = 6 8?6 = 24 cm2 A= -------" A = 2 2 8

8 cm 6 cm

Calcula el área de este romboide: 4 cm

Para obtener el área aplicamos la fórmula: b = 6, h = 4

A = b ? h  -------"  A = 6 ? 4 = 24 cm2

6 cm

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 14 Halla el área de un rombo de diagonal mayor

24 cm y diagonal menor 18 cm. 6 Calcula el área de un romboide cuya base

mide 7 cm y su altura, 3 cm.

15 Determina el área de un romboide de base

8 cm y altura 5 cm. 5 cm 8 cm

175

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4

Área de un triángulo

ANTES, DEBES SABER… Qué son la base y la altura de un triángulo • La base de un triángulo es cualquiera de sus lados. • La altura es un segmento perpendicular a una base o a su prolongación, trazado desde el vértice opuesto.

Altura G G

El área de un triángulo de base b y altura h es: b?h A= 2 El área de un triángulo de base b y altura h es la mitad del área de un romboide de base b y altura h.

h b En un triángulo rectángulo podemos considerar uno de los catetos como la base del triángulo y el otro como su altura.

EJEMPLOS 9 Obtén el área de un triángulo con altura 3 cm y base 4 cm.

3

Aplicando la fórmula del área del triángulo: b?h 4?3 A= = = 6 cm2 2 2

3 cm

El triángulo tiene un área de 6 cm2.

4 cm

Calcula el área de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 cm y 4 cm, respectivamente. A=

4

b?h 3?4 = = 6 cm2 2 2

3 cm 4 cm

El área de un triángulo mide 10 cm2. Si su base mide 4 cm, ¿cuánto mide su altura? A=

4?h

" 10 = 2 " 10 ? 2 = 4 ? h " h =

10 ? 2 = 5 cm 4 G

b?h 2

Pasa dividiendo

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 18 Determina el área de un triángulo de base

4 cm y altura 7 cm. 19 Calcula el área de un triángulo rectángulo

de catetos 6 cm y 7 cm.

7 El área de un triángulo mide 48 cm2. Si su altura

mide 8 cm, ¿cuánto mide su base? 8 El área de un triángulo mide 30 cm2, y la base

mide 12 cm. ¿Cuánto mide la altura?

176

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Área de un trapecio

5

ANTES, DEBES SABER… Cuáles son los elementos de un trapecio

Base menor

• La base mayor y la base menor de un trapecio son sus dos lados paralelos. • La altura es un segmento perpendicular a la base mayor, trazado desde el vértice opuesto.

Altura Base mayor

El área de un trapecio de base mayor B, base menor b y altura h, es: A=

(B + b) ? h 2

Si unimos dos trapecios iguales de base mayor B, base menor b y altura h, obtenemos un romboide de base (B + b) y altura h. b

b

h

b

h B

F

B

h

B

B+b

EJEMPLOS 5 cm

5 Calcula el área de este trapecio.

A=

(B + b) ? h (5 + 8) ? 4 = = 26 cm2 2 2

4 cm

En un trapecio rectángulo la altura coincide con uno de los lados del trapecio. Altura

8 cm

6 El área de un trapecio isósceles mide 55 cm2. Si sus bases miden 8 cm

y 14 cm, respectivamente, ¿cuánto mide su altura? A=

(B + b) ? h 2

" 55 =

(8 + 14) ? h 2 55 ? 2

" 55 ? 2 = (8 + 14) ? h " h = 8 + 14 = 5 cm

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 23 Calcula el área de un trapecio de altura

7 cm, y bases de 3 cm y 5 cm. 24 En un trapecio rectángulo, las bases miden

4 cm y 7 cm, y la altura 4 cm. Determina el valor del otro lado y su área.

9 El área de un trapecio mide 92 cm2. Si sus bases

miden 13 cm y 10 cm, ¿cuánto mide su altura? 10 El área de un trapecio mide 38 cm2. Si sus bases

miden 12 cm y 7 cm, ¿cuánto mide su altura?

177

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6

Área de un polígono regular

ANTES, DEBES SABER… Qué es un polígono regular G

Un polígono es regular si tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales. • El segmento trazado desde el centro al punto medio de un lado es la apotema del polígono regular.

Apotema

El área de un polígono regular de perímetro P y apotema a es: P?a A= 2 EJEMPLO 13 Calcula el área de este pentágono regular:

Hallamos el perímetro del pentágono: Perímetro = 5 ? lado = 5 ? 6 = 30 cm Sustituyendo en la expresión general: perímetro ? apotema 30 ? 4,1 Área = = = 61,5 cm2 2 2

7

4,1 cm 6 cm

Área del círculo

Qué es un círculo Un círculo es la parte del plano limitada por una circunferencia.

Diám et r o

ANTES, DEBES SABER… dio

Ra

El área del círculo de radio r es: A = rr 2 EJEMPLO 15 Calcula el área de un círculo de radio 3 cm.

Aplicamos la fórmula y sustituimos: A = rr2 = r ? 32 = 3,14 ? 9 = 28,26 cm2

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 26 Obtén el área de un heptágono regular

de lado 6 cm y apotema 6,2 cm.

11 ¿Cuánto mide el área de un círculo cuyo radio

mide 6,5 cm?

178

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8

Área de una figura plana

El área de una figura plana cualquiera se puede hallar descomponiendo la figura en otras figuras cuyas áreas sepamos calcular. EJEMPLOS A

17 Calcula el área del polígono.

Esta figura se puede descomponer en dos

9 cm

(12 + 9) ? 9 = 94,5 cm2 Área del triángulo ABC = 2 (8 + 12) ? 4 = 40 cm2 Área del trapecio CDEF = 2 Área total del polígono = 94,5 + 40 = 134,5 cm2

B

9 cm

F E

12 cm

polígonos: el triángulo ABC y el trapecio CDEF.

C

8 cm 4 cm

D 20 cm

18 Determina el área de la figura de la derecha con los datos que se indican.

18 cm

Descomponemos la figura en: – Cuerpo, la parte de abajo: un trapecio al que habrá que restar el área del círculo que hay en su interior. – Mástil: un rectángulo. 65 cm

– Clavijero, la parte de arriba: otro trapecio. ACuerpo =

(B + b) ? h (40 + 10) ? 38 = = 950 cm2 2 2

ACírculo = rr 2 = r ? 62 = 113,04 cm2

F

AMástil = b ? h = 65 ? 10 = 650 cm2 (B + b) ? h (20 + 10) ? 18 AClavijero = = = 270 cm2 2 2 El área total será la suma de las áreas menos el área del círculo de la figura: ATotal = 950 - 113,04 + 650 + 270 = 1 983,04 cm2

10 cm

12 cm F

38 cm

40 cm

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 37 Calcula el área de estas figuras.

38 Obtén el área

de la zona verde.

a) 8 cm 14 cm 4 cm 9 cm

17 cm 4 cm

b)

12 El área de un triángulo mide 14 cm2.

4 cm

5 cm 2 cm

6 cm

Si se le añade un cuadrado de lado 4 cm, ¿cuánto mide el área de la nueva figura?

179

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Perímetro d

Área c

d D

a

P=a+b+c+d+e

e b a

h b

b

l

A=a?b

A = l2

D?d 2

A=

A=b?h

b r h r

b

L=2?r?r

O

h

A=

a B

b?h 2

A=

l

(B + b) ? h 2

A=

P?a 2

A = r ? r2

HAZLO DE ESTA MANERA

1. UTILIZAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PARA CALCULAR ALTURAS Halla la altura de estos polígonos. a)

b)

5 cm

14 cm

c) h

h

10 cm

8 cm

16 cm

3 cm PRIMERO. Identificamos

h

4 cm

22 cm

el triángulo rectángulo y sus medidas.

SEGUNDO. Aplicamos

el teorema de Pitágoras. b) 102 = 82 + h2 c) 82 = 42 + h2 a)  52 = 32 + h2 2 2 2 2 2 2 h = 5 - 3    h = 10 - 8 h2 = 82 - 42 h2 = 16  "  h = 16 = 4 cm    h2 = 36  "  h = 36 = 6 cm h2 = 48  "  h =

48 = 6,93 cm

2. UTILIZAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PARA CALCULAR EL LADO DE UN POLÍGONO 12 cm

3

l G G

16 cm

l

c) cm

b)

m 7c

30 cm

10,5 cm

a)

13

Halla el lado de estos polígonos.

b PRIMERO. Identificamos SEGUNDO. Aplicamos

el triángulo rectángulo y sus medidas.

el teorema de Pitágoras.

a) 372 = 122 + b2

b) l2 = 152 + 82

b2 = 372 - 122



b2 = 1 225

      l =

" b = 1 225 = 35 cm

l2 = 289 289 = 17 cm

c) 132 = 10,52 + e l          = 2

2

l o 2

2

l " e o = 58,75

58,75 = 7,66

2

" l = 15,3 cm

180

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3. CALCULAR EL ÁREA DE UNA FIGURA PLANA Halla el área de esta figura. PRIMERO. Descomponemos la

figura en otras figuras cuyas áreas sepamos calcular. Esta figura está formada por:

4 cm 3 cm

• Un triángulo de base 4 cm y altura 3 cm. • Un cuadrado cuyo lado mide 4 cm, y al que le quitamos un círculo cuyo diámetro mide 4 cm. ATotal = ATriángulo + ACuadrado - ACírculo

SEGUNDO. Calculamos

ATriángulo =

cada una de las áreas.

b?h 4?3 = = 6 cm2 2 2

ACuadrado = l 2 = 42 = 16 cm2 TERCERO. Sumamos

ACírculo = r ? r 2 = 3,14 ? 22 = 12,56 cm2

y restamos para obtener el área total. ATotal = ATriángulo + ACuadrado - ACírculo = 6 + 16 - 12,56 = 9,44 cm2

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras 1. ¿Cuánto vale el área de un rectángulo cuyos lados miden 3 cm y 5 cm? 2. ¿Cuál es el área de un círculo de radio 3 cm?

6. Si la diagonal de un cuadrado mide 10 cm, ¿cuánto mide su área? Calcular el área de una figura plana 7. Calcula el área de esta figura: 10 m

Utilizar el teorema de Pitágoras para calcular alturas

5m

3. Halla la altura de un triángulo equilátero de lado 8 cm. 4. Calcula el área de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 5 cm y 8 cm, y el lado oblicuo 5 cm.

10 m

8. Halla el área de la zona coloreada.

Utilizar el teorema de Pitágoras para calcular el lado de un polígono 5. Si las diagonales de un rombo miden 40 y 42 cm, respectivamente, ¿cuánto mide su lado?

5m

10 m

20 m

20 m

181

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Actividades PERÍMETRO 40. ● Dibuja cinco figuras planas que tengan 30 cm de perímetro. Indica los datos que las definen.

48. ● ● Si los lados del rectángulo miden 12 cm y 8 cm, y los puntos E, F, G y H son los puntos medios de los lados del rectángulo, calcula el perímetro del rombo de la figura. E

41. ● Sobre una cuadrícula, dibuja cinco figuras distintas que se puedan formar con 5 cuadraditos. Estas figuras se denominan pentaminos. Se pide:

F

a) Obtén el perímetro de cada figura. b) ¿Tienen todas la misma área?

H

G

49. ● Obtén la longitud de las siguientes circunferencias.

42. ● ¿Cuánto mide cada uno de los lados de un octógono regular si su perímetro es de 32 cm?

HAZLO ASÍ

a) De 12 cm de radio. b) De 10 cm de diámetro. c) Si la tercera parte del radio es 5 cm. 50. ● La diagonal de un cuadrado inscrito en una circunferencia mide 4 cm. Halla la longitud de la circunferencia.

¿CÓMO SE CALCULA EL PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO SI NO SE CONOCE UN LADO?

4 cm

43. ¿Cuánto mide el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos son 3 cm y 4 cm? PRIMERO. Se

calcula cuánto mide el lado desconocido aplicando el teorema de Pitágoras.

51. ● ● Calcula el perímetro del cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 5 cm. 3 cm

a 2 = 33 + 42 a= SEGUNDO. Se

9 + 16 =

52. ● ● Dado un cuadrado de 10 cm de lado, obtén: 4 cm

25 = 5 cm

halla el perímetro.

a) La longitud de la circunferencia inscrita en el cuadrado. b) La longitud de la circunferencia circunscrita en el cuadrado.

10 cm

P = 3 + 4 + 5 = 12 cm 44. ●● Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales son 12 y 16 cm, respectivamente. 45. ●● ¿Cuánto mide el perímetro y la diagonal de un rectángulo de lados 12 cm y 16 cm? 53. ● En una circunferencia de radio 12 cm, calcula la longitud de los siguientes arcos.

46. ●● Calcula la diagonal y el perímetro de un cuadrado de lado 5 cm.

a) 30° b) 60° 5 cm

47. ●● Halla el lado y la diagonal de un cuadrado de perímetro 40 cm.

c) 90° d) 120°

54. ● ● En una circunferencia, la longitud de un arco de 270° es 628 cm. ¿Cuál será la longitud de la circunferencia?

182

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ÁREA DE PARALELOGRAMOS

61. ● Obtén el área de las siguientes figuras. a)

55. ● Calcula el área de las siguientes figuras. a)

20

c)

3 cm

4 cm

12 cm

G

10

b)

5 cm

b)

c)

cm

18 cm

d)

cm

20 cm

10 cm 6 cm

d)

4 cm

G

6 cm

7 cm

8 cm

56. ●● Un cuadrado tiene una superficie de 3 600 m2. ¿Cuánto mide cada uno de sus lados? 57. ●● En un rectángulo de 320 cm2 de superficie, uno de sus lados mide 20 cm. ¿Cuánto mide el otro? 58. ●● Un rombo tiene un área de 400 cm2 y una de sus diagonales mide 40 cm. ¿Cuánto medirá la otra diagonal? 2

59. ●● Si un romboide tiene un área de 66 cm y su altura mide 6 cm, ¿cuánto mide su base?

13. ● ● Calcula el área y el perímetro de un rectángulo si su altura mide 8 cm y su diagonal, 10 cm. 14. ● ● ¿Cuánto mide el área y el perímetro de un cuadrado sabiendo que su diagonal mide 9 cm?

ÁREA DE UN TRIÁNGULO 64. ● Obtén el área de los siguientes triángulos. a) Base = 5 cm y altura = 12 cm b) Base = 8 dm y altura = 13 cm c) Base = 5 dm y altura = 15 cm

HAZLO ASÍ

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA EL ÁREA DE UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO CONOCIDO SU LADO?

¿CÓMO SE CALCULA EL ÁREA DE UN ROMBO CONOCIENDO SU LADO Y UNA DE SUS DIAGONALES? D

15. Determina el área de un triángulo equilátero cuyo lado mide 8 cm.

10 cm

60. Halla el área de un rombo en el que una de las diagonales mide 12 cm y el lado 10 cm.

m

46 c

A

12 cm O

C

PRIMERO. Se

identifica un triángulo rectángulo.

B Primero. Se

calcula la diagonal desconocida aplicando el teorema de Pitágoras. D 10

OC = 12 : 2 = 6 cm CD2 = OC2 + OD2

cm

O

6 cm

C

SEGUNDO. Se

CD = 10 cm

OD = 102 - 62 = 64 = 8 cm Diagonal mayor = 2 ? 8 = 16 cm

halla el área. D?d 16 ? 12 = = 96 cm2 Área del rombo = 2 2

8 cm

Se calcula la altura del triángulo aplicando el teorema de Pitágoras.

SEGUNDO.

h2 = 82 - 42  h2 = 48  "  h = TERCERO. Se

A=

48 = 6,93 cm

calcula el área.

8 ? 6,93 b?h = = 27,72 cm2 2 2

183

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16. ● Halla el área de un triángulo equilátero cuyo lado mide 6 cm. 17. ● Calcula el área de un triángulo rectángulo sabiendo que su hipotenusa mide 17 cm y uno de sus catetos, 15 cm.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE CALCULA EL ÁREA DE UN TRAPECIO SI SU ALTURA ES DESCONOCIDA? 18. Calcula el área de este trapecio: 12 cm

C

65. ● En este triángulo isósceles, calcula.

10 cm

h

A

6 cm

10 cm

12 cm

B

a) El perímetro del triángulo. b) La altura del triángulo. c) El área del triángulo. 66. ● En un triángulo isósceles, los lados iguales AC y BC miden 20 cm, y la base AB tiene 24 cm de longitud. Calcula su perímetro, su altura y su área. 67. ● Halla el área de un triángulo equilátero de perímetro 60 cm. 68. ●● Un triángulo isósceles tiene de perímetro 32 cm y la medida del lado desigual es 12 cm. a) ¿Cuánto mide su altura? b) ¿Cuál es su área? 70. ● Calcula la altura de un triángulo cuya base mide 18 cm y su área 9 dm2. 71. ● Halla la altura de un triángulo de 2 cm de base y 1 dm2 de área. 72. ● Determina la altura de un triángulo de 8 cm de base y 64 cm2 de área. ¿Cómo es el triángulo? 73. ●● En un triángulo rectángulo isósceles, el área mide 50 m2. Calcula la base y la altura.

ÁREA DE UN TRAPECIO 74. ● Las bases de un trapecio miden 0,8 dm y 7 cm. ¿Qué superficie tendrá, si la altura es 4 cm? 75. ● Las bases de un trapecio rectángulo miden 10 m y 15 m, y su altura 8 m. Calcula su área. 76. ● Halla el área de un trapecio rectángulo de bases 8 cm y 12 cm, y de lado perpendicular a las bases 5 cm.

24 cm PRIMERO. Se

identifica un triángulo rectángulo.

SEGUNDO. Se

calcula la altura del trapecio aplicando el teorema de Pitágoras. 2

2

2

h

10 cm

10 cm

2

h = 10 - 6   "  h = 64

"  h = 64 = 8 cm TERCERO. Se

calcula el área.

(B + b) ? h (24 + 12) ? 8 A= = = 144 cm2 2 2 19. ● Calcula el área de un trapecio isósceles sabiendo que sus bases miden 16 cm y 10 cm y el otro lado, 5 cm.

ÁREA DE POLÍGONOS REGULARES 82. ● Calcula el área de un pentágono regular cuyo lado mide 20 cm y su apotema 13,76 cm. 20 cm 13,76 cm

10 cm

83. ● Obtén el área de un hexágono regular cuyo lado mide 25 cm y su apotema 21,65 cm. 84. ● ● Halla el lado de un hexágono regular de apotema 6 cm y área 124,7 cm2. 85. ● ● Determina el perímetro de un heptágono regular de área 215,75 dm2 y apotema 8 dm. 86. ● ● Calcula la apotema de un octógono regular de lado 56 cm y radio 73,17 cm. 87. ● ● Halla el área de un decágono regular de lado 22,87 cm y radio 37 cm.

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ÁREA DEL CÍRCULO

PROBLEMAS DE ÁREAS

20. ● Calcula el área de un círculo cuyo radio mide 13 cm.

104. ● ¿Cuál es el área de un tablero de ajedrez si cada casilla tiene 25 mm de lado?

21. ● ¿Cuánto mide el área de un círculo cuyo diámetro mide 20 cm? 89. ●● Dada una circunferencia de 6 cm de diámetro: a) Calcula su radio. b) Dibuja la circunferencia y señala el círculo. c) Halla el área del círculo. 90. ●● Considerando un círculo de 46 cm2 de área: a) Calcula el radio y el diámetro. b) Dibuja la circunferencia y señala el círculo. c) Obtén la longitud de la circunferencia. 91. ● Determina el área de un círculo, sabiendo que la longitud de la circunferencia que lo delimita es 25,12 cm.

105. ● ● ¿Cuántas baldosas hay en un salón cuadrado de 6 m de longitud si cada baldosa es cuadrada y mide 20 cm de lado? 106. ● ● Calcula cuánto medirá el lado de una baldosa cuadrada que tiene de superficie 324 cm2. 107. ● ● ¿Cuánto costará empapelar una pared cuadrada de 3,5 m de lado con un papel que cuesta 4 €/m2? 108. ● ● Una habitación cuadrada tiene una superficie de 25 m2. Se va a poner una cenefa alrededor que cuesta 2 €/m. ¿Cuánto valdrá?

ÁREA DE UNA FIGURA PLANA 99. ●● Obtén el área de las zonas coloreadas. b)

8 cm

6,9 cm

7

cm

a)

2 cm

100. ●● Calcula el área de esta figura:

1 cm

3 cm

101. ●● Determina el área y el perímetro de las siguientes figuras, y explica cómo lo haces. a) A

B 10 cm

b)

D

C 8 cm

A

B 16 cm

109. ● ● Plantamos árboles en un jardín cuadrado de 256 m2 de área. Si cada 4 m se pone un árbol, ¿cuántos árboles se plantarán? 110. ● ● ¿Cuántos árboles podremos plantar en un terreno con forma de paralelogramo de 30 m de largo y 32 m de ancho, si cada árbol necesita una superficie de 4 m2? 111. ● ● ¿Cuánto costará cubrir de plástico un terreno en forma de rombo, con diagonales de 68,65 m y 43,8 m si cuesta 30 €/m2? 112. ● ● Se va a sembrar de césped un campo de golf que tiene forma de trapecio. Sus bases miden: 4 hm, 9 dam y 5 m, y 1 hm y 5 m. Si su altura es de 80 m, ¿cuánto costará, si sembrar un metro cuadrado vale 2 €?

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12 DESCUBRE LA HISTORIA... 1. ¿Quién fue Leonhard Euler? ¿Cuáles fueron sus aportaciones más importantes al estudio de las matemáticas? 2. ¿A qué episodio de la vida de Euler se refiere el texto? ¿Por qué Federico el Grande lo apodó cíclope matemático? 3. El texto hace referencia a la relación de Euler, ¿qué otros descubrimientos matemáticos se le atribuyen a Euler en el campo de la geometría?

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Poliedros y cuerpos de revolución El cíclope matemático La tensión se apreciaba en el rostro de los presentes. La operación de cataratas parecía un éxito, pero la luz se fue apagando y Euler se quedó ciego. Euler, que a sus 59 años derrochaba vitalidad, era el menos afectado de todos y bromeaba contando anécdotas de su vida. –Si Federico el Grande de Prusia me viera ahora no sabría cómo llamarme –decía Euler, pues el monarca lo llamaba el cíclope matemático, porque había perdido un ojo en su juventud. Euler continuaba con sus bromas y afirmaba: –¡Ahora me llamaría Polifemo! –pero solo él rió un chiste que a los demás les pareció inoportuno. Recuperando la seriedad, Euler se dirigió a su familia: –No os preocupéis, la vista no lo es todo; de hecho ahora evitaré distracciones y me concentraré más. Lo que sí lamento es no poder escribir o dibujar. –No te preocupes por eso –le dijo su hijo–. Tú solo piensa y dicta, que yo estaré aquí para escribir y dibujar lo que tú imaginas. Esto ocurría en 1766 en San Petersburgo. Varios años antes, durante su estancia en Prusia, Euler publicó uno de sus trabajos más conocidos: la relación de Euler, que afirma que, en cualquier poliedro simple, el número de caras más el de vértices es igual al número de aristas más 2.

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s

Antes de empezar la unidad... POLÍGONOS Un polígono es una figura plana y cerrada limitada por segmentos. Sus elementos son: • Lados: segmentos que delimitan el polígono. • Vértices: puntos donde se unen dos lados. Ángulo • Diagonales: segmentos que unen dos vértices no consecutivos. interior • Ángulo interior: ángulo formado por los lados del polígono. Lado Clasificación de polígonos N.o de lados

Nombre

3

Triángulo

4

Cuadrilátero

5

Pentágono

6

Hexágono

7

Heptágono

8

Octógono

9

Eneágono

10

Decágono

11

Endecágono

12

Dodecágono

Regular

Vértice

al

on

ag Di

Irregular

Para comprobar si un polígono es regular o irregular nos fijamos en sus lados y sus ángulos.

PLAN DE TRABAJO EVALUACIÓN INICIAL 1 Dibuja un polígono de siete lados e identifica sus elementos. 2 Clasifica estos polígonos según su número de lados.

En esta unidad aprenderás a… • Distinguir los elementos de los poliedros y los cuerpos de revolución. • Calcular el número de caras, aristas y vértices de poliedros. • Determinar cuerpos de revolución a partir de una figura plana.

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2

Poliedros

Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por caras en forma de polígonos.

2.1  Elementos de un poliedro Los elementos de un poliedro son: Vértices

F

• Caras: son los polígonos que limitan el poliedro.

onal Diag

F

Di

• Aristas: son los lados de las caras.

Arista

ago

na

l

• Vértices: son los puntos comunes de las aristas. • Diagonal: es el segmento que une dos vértices no consecutivos del poliedro. Puede trazarse en una misma cara o entre distintas caras.

2.2  Desarrollo plano de un poliedro El desarrollo plano de un poliedro es la superficie que resulta al extenderlo sobre un plano.

F

EJEMPLO 1 Determina los elementos

Cara

F

Vértice

F

F

de este poliedro.

Arista

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Nombra y dibuja los elementos

de estos poliedros. a)

b)

5 Cuenta el número

de vértices, caras y aristas del poliedro.

A B

F G E

H C

D

1 Dibuja un poliedro cuyas caras sean todas

rectángulos.

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3

Prismas

ANTES, DEBES SABER… Qué son los paralelogramos y cómo se clasifican Los paralelogramos son cuadriláteros que tienen sus lados paralelos dos a dos. Se clasifican en: Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Romboide

lados iguales 4 4 ángulos rectos 4 lados iguales 4 ángulos rectos

Lados y ángulos iguales dos a dos No tiene ángulos rectos.

Un prisma es un poliedro con dos caras iguales y paralelas entre sí y cuyas caras restantes son paralelogramos.

3.1  Elementos de un prisma Los elementos de un prisma son: Base

• Bases o caras básicas: son dos polígonos iguales situados en planos paralelos. • Caras laterales: son paralelogramos. Cara • Aristas básicas: son los lados de los polígonos de lateral las bases. • Aristas laterales: son los lados de las caras laterales. Arista • Vértices: son los puntos en los que se cortan las lateral aristas. Altura • Altura de un prisma: es la distancia entre las ­bases.

G

G

Vértice

Desarrollo plano de un prisma hexagonal

G

G

G G

Arista básica

3.2  Tipos de prismas Para clasificar los prismas nos fijamos en los polígonos de las bases.

Prisma triangular

Prisma cuadrangular

Prisma pentagonal

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 8 Calcula el número de vértices,

aristas y caras de un prisma cuya base es un hexágono.

9 Dibuja el desarrollo plano

de un prisma de base cuadrada.

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4

Pirámides

ANTES, DEBES SABER… Cómo se clasifican los triángulos Según la longitud de sus lados, los triángulos pueden ser: Equilátero

Isósceles

Escaleno

Tiene los tres lados y los tres ángulos iguales.

Tiene dos lados y dos ángulos iguales.

Tiene los tres lados y los tres ángulos desiguales.

Una pirámide es un poliedro en el que una de sus caras es un polígono cualquiera y el resto son triángulos que concurren en un punto.

4.1  Elementos de una pirámide Desarrollo plano de una pirámide hexagonal

Los elementos de una pirámide son: G

Vértice

G G

G

Altura Cara lateral Base

• Base: es un polígono cualquiera. • Caras laterales: son triángulos que concurren en un punto llamado vértice de la pirámide. • Aristas básicas y aristas laterales: son las aristas de la base y de las caras laterales, respectivamente. • Altura de la pirámide: es el segmento perpendicular trazado desde el vértice a la ­base.

4.2  Tipos de pirámides Como en los prismas, para clasificar las pirámides nos fijamos en el polígono de la base. Pirámide triangular

Pirámide hexagonal

Pirámide pentagonal

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 2 Dibuja una pirámide hexagonal y otra de base

triangular. ¿Tienen alguna característica común?

3 Dibuja el desarrollo plano de las pirámides

del ejercicio anterior. ¿Cuántas aristas, vértices y caras tienen?

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5

Poliedros regulares

ANTES, DEBES SABER…

El triángulo equilátero es el único polígono regular de tres lados, y el cuadrado, el único polígono regular de cuatro lados.

Qué es un polígono regular Un polígono es regular si tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales.

Un poliedro es regular cuando cumple las siguientes condiciones: •  Todas sus caras son polígonos regulares, iguales en forma y tamaño. •  En cada vértice concurre el mismo número de aristas.

5.1  Tipos de poliedros regulares Solo existen cinco poliedros regulares. Tetraedro Tiene 4 caras, que son triángulos equiláteros.

F

Cubo Tiene 6 caras, que son cuadrados.

F

Octaedro Tiene 8 caras, que son triángulos equiláteros.

F

Dodecaedro Tiene 12 caras, que son pentágonos regulares.

F

Icosaedro Tiene 20 caras, que son triángulos equiláteros.

F

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Dibuja en tu cuaderno un tetraedro

y su desarrollo plano.

5 Dibuja un cubo cuyas aristas miden 4 cm

y su desarrollo plano.

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6

Cuerpos de revolución

Un cuerpo de revolución es un cuerpo geométrico obtenido a partir de una figura plana que gira alrededor de un eje.

6.1  Cilindro ANTES, DEBES SABER… Qué es una circunferencia y cuáles son sus elementos dio

Ra O

Diámetro

La circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están situados a la misma distancia de otro punto llamado centro. • Radio: segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. • Diámetro: cuerda que pasa por el centro.

Un cilindro es un cuerpo geométrico engendrado por el giro de un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Elementos del cilindro

Eje de giro

F

Generatriz

Desarrollo plano de un cilindro

Base F

Radio

F

Altura

F

Base

G

h

r

• Altura: es la longitud del lado sobre el que gira el rectángulo. • Generatriz: es el lado del rectángulo opuesto al eje.

F

F

r

• Eje: es la recta determinada por el lado sobre el que gira el rectángulo que genera el cilindro.

• Bases: son dos círculos iguales y paralelos que se generan al girar los lados perpendiculares al eje. • Radio: es el radio de las bases, es decir, la longitud de los lados perpendiculares al eje.

Desarrollo plano del cilindro

El desarrollo de un cilindro está formado por un rectángulo y dos círculos iguales que constituyen las bases: • La altura del rectángulo es la generatriz del cilindro.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 6 Dibuja un cilindro de altura 3 cm y marca

en él sus elementos.

21 Dibuja un cilindro que tiene 2 cm de radio

y 7 cm de altura.

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6.2  Cono F

Eje de giro

F

F

F

Altura

• Eje: es la recta determinada por el cateto sobre el que gira el triángulo. •  Altura: es la longitud del cateto sobre el que gira el triángulo. • Generatriz: es la hipotenusa del triángulo. • Base: es el círculo que se genera al girar el cateto perpendicular al eje. • Radio: es el radio de la base, es decir, la longitud del cateto perpendicular al eje.

Gen

Elementos del cono

eratr

iz

Un cono es un cuerpo geométrico engendrado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

Radio

Base

Desarrollo plano del cono Desarrollo plano de un cono

ANTES, DEBES SABER… Qué es un sector circular Un sector circular es la parte del círculo limitada por dos radios y un arco.

g

El desarrollo de un cono está formado por un sector circular y un círculo: •  El radio del sector circular es la generatriz. r

6.3  Esfera ANTES, DEBES SABER… Qué es un semicírculo Un semicírculo es la mitad de un círculo. Está limitado por un diámetro.

Una esfera es un cuerpo de revolución engendrado por un semicírculo que gira sobre su diámetro.

• Eje: es la recta determinada por el diámetro sobre el que gira el semicírculo.

Eje de giro

F

F

Radio

G

•  Centro: es el centro del semicírculo.

F

G

Elementos de la esfera

La esfera no tiene desarrollo plano.

•  Radio: es el radio del semicírculo. Centro

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 7 Dibuja un triángulo rectángulo y el cono que

genera al girar.

8 Dibuja un semicírculo y la esfera que genera

al girar.

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Cilindro

Prisma

Eje

F

F

G

Radio

Triangular

Cuadrangular

G

Generatriz Pentagonal

Cono

Pirámide

F

Eje

F

Radio

Generatriz G

F

Cuadrangular

Pentagonal

Esfera

Poliedros regulares

F

Eje

Tetraedro

Octaedro

Icosaedro

Cubo

Dodecaedro

Centro G

F

F

G

Triangular

Radio

HAZLO DE ESTA MANERA

1. IDENTIFICAR POLIEDROS

2. IDENTIFICAR CUERPOS

Identifica cuáles de estos cuerpos geométricos son poliedros. a)

b)

c)

PRIMERO. Decidimos

si las caras son polígonos. Si no lo son, no es un poliedro. a) Rectángulos " Es un poliedro.

b) Triángulos " Es un poliedro. c) Superficie curva " No es un poliedro. SEGUNDO. Si

es un poliedro, contamos el número de bases: •  Si tiene dos bases es un prisma.

DE REVOLUCIÓN

Identifica cuáles de estos cuerpos geométricos son cuerpos de revolución. a)

b)

c)

PRIMERO. Decidimos

si las caras no son planas. Si es así, es un cuerpo de revolución. a) y b) Caras no planas " Es un cuerpo de revolución. c) Rectángulos " No es un cuerpo de revolución. SEGUNDO. Si

es un cuerpo de revolución, contamos el número de bases:

a) Dos bases " Es un prisma.

•  Si tiene dos bases es un cilindro. •  Si tiene una base es un cono. a) Dos bases " Es un cilindro.

b) Una base " Es una pirámide.

b) Una base " Es un cono.

•  Si tiene una base es una pirámide.

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1. CALCULAR EL NÚMERO DE CARAS, ARISTAS Y VÉRTICES DE PRISMAS Y PIRÁMIDES

Calcula el número de caras, aristas y vértices de estos poliedros. PRIMERO. Contamos

a)

b)

las caras, aristas y vértices de las bases del poliedro.

2 caras a) Bases: dos pentágonos " *2 ? 5 = 10 aristas 2 ? 5 = 10 vértices b) Base: un hexágono  

1 cara   *6 aristas 6 vértices

SEGUNDO. El

número de caras laterales es igual que el de lados de la base. El número de aristas es el mismo que el de vértices de la base, y solo en el caso de la pirámide hay que añadir un vértice más, el vértice de la pirámide. a) Prisma pentagonal " (

6 caras b) Pirámide hexagonal " *6 aristas 1 vértice

5 caras 5 aristas

TERCERO. Sumamos

el número de caras, aristas y vértices obtenido en los pasos anteriores. a) Caras = 2 + 5 = 7 b) Caras = 1 + 6 = 7 Aristas = 10 + 5 = 15 Aristas = 6 + 6 = 12 Vértices = 10 Vértices = 6 + 1 = 7

2. DETERMINAR EL CUERPO DE REVOLUCIÓN QUE GENERA UNA FIGURA PLANA Halla el cuerpo de revolución que genera esta figura al girar alrededor de su eje. PRIMERO. Dibujamos

una figura simétrica respecto del eje.

SEGUNDO. Damos

volumen a esa figura, teniendo en cuenta que en la superficie lateral de la figura no hay polígonos.

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras 1. Dibuja un prisma triangular y un cono. Identificar cuerpos geométricos 2. Identifica los siguientes cuerpos geométricos.

Calcular el número de caras, aristas y vértices de prismas y pirámides 2. Determina el número de caras, aristas y vértices de este poliedro: Determinar el cuerpo de revolución que genera una figura plana 3. Dibuja el cuerpo de revolución que determina esta figura al girar sobre su eje.

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Actividades POLIEDROS

PRISMAS

31. ● Determina cuáles de estos cuerpos geométricos son poliedros.

38. ● Determina cuáles de estos poliedros son prismas.

e)

a)

g)

c)

b)

a)

c)

e)

b)

d)

f)

f) d)

h)

39. ● Dibuja un prisma de base triangular.

HAZLO ASÍ 32. ● Dibuja un poliedro que tenga una base que sea un pentágono.

¿Cómo se obtiene el desarrollo plano

de un prisma con base un polígono regular?

9. Dibuja el desarrollo plano de este prisma.

33. ● Un cuerpo geométrico cuya base sea un círculo, ¿puede ser un poliedro? 34. ●● Observa la figura. PRIMERO. Se identifica el polígono que forma las bases

del prisma. En este caso, las bases son cuadrados. SEGUNDO. Se

a) ¿Cuántos vértices, aristas y caras existen?

dibuja una de las bases y sobre ella se traza uno de los paralelogramos que forman las caras laterales.

35. ●● Justifica si es verdadero o falso. a) Un poliedro puede tener el mismo número de vértices y de aristas. b) Un poliedro puede tener igual número de caras que de aristas. c) Un poliedro puede tener el mismo número de caras y de vértices.

TERCERO. A continuación, se añade la otra base y se dibuja el resto de paralelogramos de las caras, iguales al que ya se ha dibujado.

36. ●● Dibuja un poliedro con hexágonos y rectángulos. ¿Cuántas caras se unen en un vértice? 37. ●● ¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene un poliedro formado por dos triángulos y tres rectángulos?

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40. ● Dibuja el desarrollo de un prisma triangular cuya base es un triángulo equilátero de lado 4 cm. 41. ● Dibuja el desarrollo plano de un cubo de lado 3 cm. 10. ● Dibuja el desarrollo plano de un prisma cuyas bases sean cuadrados de 2 cm de lado, y su altura mida 3 cm. 11. ● Dibuja el desarrollo plano de un prisma de bases pentagonales y cuya altura mida 4 cm. 12. ● Dibuja el desarrollo plano de un prisma de bases hexagonales y altura 5 cm.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE DETERMINAN LOS POLÍGONOS QUE FORMAN LAS BASES DE UN PRISMA, SABIENDO SU NÚMERO DE CARAS, ARISTAS O VÉRTICES?

43. Determina, en cada caso, los polígonos que forman la base de los siguientes prismas. a) Número de vértices = 10 b) Número de caras = 9 c) Número de aristas = 18 PRIMERO. Se

analiza el número de vértices, caras y aristas. • El número total de vértices es el de las dos bases. 10 a) Cada base tiene: = 5 vértices 2 • El número total de caras corresponde a las caras laterales más las dos bases. b) Número de caras laterales: 9 - 2 = 7 • El número total de aristas es el de las dos bases más el de las caras laterales, que es igual al de las bases. 18 c) La base tiene: = 6 aristas 3

SEGUNDO. Se

estudia el resultado. N.º de vértices de la base = N.º de caras laterales = = N.º de aristas de la base a) N.º de vértices de la base = 5  "  Pentágono b) N.º de caras laterales = 7  --"  Heptágono c) N.º de aristas de la base = 6  "  Hexágono

42. ● Calcula el número de vértices, aristas y caras de un prisma cuyas bases son octógonos. 13. ● ● Si el número de aristas de un prisma es 21, ¿qué polígonos forman las bases? 14. ● ● El número de vértices de un prisma es 20. ¿Qué polígonos forman sus bases? 15. ● ● El número total de caras de un prisma es 18. ¿Qué polígonos forman sus bases? 45. ● Sabiendo que el número de vértices de un prisma es 20, ¿cuántas caras tiene? 46. ● Un prisma tiene 10 vértices. ¿Puedes indicar cómo son los polígonos de las bases? Si es posible, hazlo. 47. ● ● Calcula la superficie de metal necesario para construir esta caja con forma de prisma regular hexagonal.

6 cm

12 cm G

PIRÁMIDES 48. ● Determina cuáles de estos poliedros son pirámides. a)

c)

e)

b)

d)

f)

49. ● Dibuja una pirámide de base cuadrangular. 16. ● Dibuja una pirámide cuya base sea un pentágono e identifica todos sus elementos. 17. ● Dibuja una pirámide con cinco caras que sean triángulos isósceles. ¿Qué polígono forma su base?

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HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE DETERMINA EL POLÍGONO QUE FORMA LA BASE DE UNA PIRÁMIDE, SABIENDO SU NÚMERO DE CARAS, ARISTAS O VÉRTICES? 51. Determina, en cada caso, el polígono que forma la base de las siguientes pirámides. a) Número de vértices = 10 b) Número de caras = 9 c) Número de aristas = 18 PRIMERO. Se

analiza el número de vértices, caras y aristas. • El número total de vértices es el de la base más uno. a) Número de vértices de la base: 10 - 1 = 9 • El número total de caras es el de las caras laterales más uno. b) Número de caras laterales: 9 - 1 = 8 • El número total de aristas es el de la base más el de las caras laterales, que es el mismo. 18 c) La base tiene: = 9 aristas 2

SEGUNDO. Se

estudia el resultado. N.º de vértices de la base = N.º de caras laterales = = N.º de aristas de la base a) N.º de vértices de la base = 9  " Eneágono b) N.º de caras laterales = 8  " Octógono c) N.º de aristas de la base = 9  " Eneágono

56. ● ● ¿Cuál es el mínimo número de aristas de una pirámide? 57. ● ● ¿Cuál de estas afirmaciones es falsa? a) En una pirámide, todas sus caras laterales y su base son triángulos equiláteros. b) La base de una pirámide puede ser un polígono cualquiera. 58. ● ● Dibuja el desarrollo de una pirámide cuya base sea un triángulo isósceles. Describe la relación entre sus caras laterales. 59. ● ● ¿Existe alguna pirámide cuyas caras laterales sean todas triángulos rectángulos? 60. ● ● ¿Cuál es el mínimo número de vértices y de caras de una pirámide?

POLIEDROS REGULARES 61. ● En el siguiente dibujo hay un cubo y, en su interior, un octaedro cuyos vértices están situados en el punto medio de cada cara del cubo. Completa la tabla. Cubo Caras Aristas Vértices

52. ●● Averigua el polígono que forma la base de una pirámide en los siguientes casos. a) 12 aristas y 7 vértices. b) 8 caras laterales. c) 8 aristas y 5 vértices. d) 9 caras laterales y 10 vértices. e) 20 aristas. f) 13 vértices. g) 10 caras laterales. h) 13 caras en total y 24 aristas. 53. ●● Una pirámide tiene 7 vértices. ¿Cuántos lados tendrá el polígono de la base?

Octaedro

18. ● Dibuja el desarrollo plano de un octaedro. 19. ● ¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene un tetraedro? ¿Y un dodecaedro? Dibuja sus desarrollos planos.

CUERPOS DE REVOLUCIÓN 65. ● Determina cuáles son cuerpos de revolución. a)

c)

e)

b)

d)

f)

54. ●● Entre los poliedros regulares, ¿hay alguna pirámide? 55. ●● Sabiendo que el número de vértices de una pirámide es 11 y el número de aristas es 20, ¿cuántas caras tiene en total?

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66. ● Dibuja los cuerpos que se generan al girar las siguientes figuras en torno a los ejes indicados. a)

b)

c)

21. ● Dibuja el desarrollo plano de un cilindro cuya altura sea 4 cm. 22. ● Dibuja el desarrollo plano de un cilindro si su altura mide 6 cm y el radio de su base, 3 cm. 23. ● Dibuja el desarrollo plano de un cilindro sabiendo que su generatriz mide 5 cm y el radio de su base, 2 cm.

67. ●● Dibuja los polígonos y el eje de estas figuras de revolución. a)

b)

71. ● ● Dibuja el desarrollo de un cilindro cuya altura mide 12 cm y el radio de la base 6 cm. 72. ● ● Dibuja el desarrollo de un cono con radio de la base 4 cm y altura 8 cm. 73. ● ● ¿Cuánto vale la altura de un cono cuyo radio de la base mide 8 cm y la generatriz 10 cm?

HAZLO ASÍ ¿Cómo se obtiene el desarrollo plano de un cilindro? 20. Dibuja el desarrollo plano de este cilindro.

PROBLEMAS CON CUERPOS GEOMÉTRICOS 74. ● ● El cilindro de cartón de un rollo de papel tiene un radio de 2,3 cm y un ancho de 24 cm. ¿Qué dimensiones tiene el cartón? F

m 24 c

PRIMERO. Se calcula la longitud de la circunferencia

G

de la base.

 G

L = 2rr = 2 ? 3,14 ? 3 = 18,84 cm SEGUNDO. Se

dibuja un rectángulo cuya altura es la generatriz del cilindro y la base es la longitud de la circunferencia de la base.

TERCERO. Se añaden los dos círculos que forman las bases, unidos por un punto, cada uno, al rectángulo.

2,3 cm

75. ● ● Un orfebre ha realizado un brazalete cilíndrico cuyo exterior quiere cubrir de plata. El radio del brazalete es de 3 cm y su altura de 4 cm. ¿Qué área tiene que cubrir de plata? 76. ● ● Lola pinta joyeros de madera. Hoy ha pintado dos joyeros como el de la figura. ¿Qué área ha pintado en total? 6 cm 6 cm

10 cm

G

6 cm

77. ● ● ● Delia trabaja en una fábrica donde hacen latas cilíndricas de conservas. Si las latas tienen un área de 500 cm2 y un radio de 5 cm, ¿cuál es su altura?

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13

Funciones y gráficas La bruja de Agnesi Los ágiles dedos acariciaban las cuerdas y arrancaban dulces sonidos al arpa. María Agnesi se relajó por un momento. Oír a su hermana Teresa tocar el arpa hacía que se olvidara de todo, y que solo existieran notas y compases. Después de concluir la pieza, Teresa le preguntó a su hermana por su enfado y esta le contestó:

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Busca información sobre la vida de María Gaetana Agnesi, matemática que vivió en el siglo XVIII. 2. María Agnesi estudió con detalle una curva llamada, debido a una mala traducción, la bruja de Agnesi. Investiga cómo se genera dicha curva y describe sus propiedades. 3. Averigua qué otros trabajos realizó María Agnesi relacionados con las matemáticas.

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–Esta mañana ha vuelto a suceder: uno de mis alumnos de la universidad ha vuelto a llamarla la bruja de Agnesi. –María –le cortó su hermana–, olvida ya esa historia. Nadie tiene la intención de ofenderte al nombrar la gráfica así. –¡Pero lo hacen! –dijo María–. La culpa la tiene el traductor que al traducir mi libro al inglés llamó a la curva la bruja de Agnesi, y han terminado llamándomelo a mí. Y 2 1 1

X

Actualmente a esta gráfica se le sigue llamando la bruja de Agnesi, en honor de María Gaetana Agnesi, que fue la primera mujer en impartir clases en una universidad.

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Antes de empezar la unidad... COMPARACIÓN DE NÚMEROS Números enteros

De dos números enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto. Comparamos -5 y -8: |-5| = 5 3 |-8| = 8 " 5 < 8 " -5 > -8

-10 -8

-5

0

Números decimales

• Para comparar números decimales positivos los comparamos unidad a unidad. Es mayor el número que tiene mayor parte entera. Si esta es igual, es mayor el número con mayor parte decimal, comparada cifra a cifra. Comparamos 6,25 y 6,28: 6,2

6,25

= =

6,25

6,28 6,3

6,28  "  5 < 8  "  6,28 > 6,25 <

• Si los números decimales son negativos, comparamos sus valores absolutos. Es mayor el que tiene menor valor absoluto. Comparamos -6,25 y -6,28: -6,3

-6,28 -6,25 -6,2

|-6,25| = 6,25 3 " 6,25 < 6,28 " -6,25 > -6,28 |-6,28| = 6,28

El mayor de dos números es el que está situado más a la derecha en la recta numérica.

Fracciones

Para comparar fracciones las expresamos como números decimales. -3 -1 Comparamos y : 2 4 0 3 1 -1 -3 -1 4 2 =-0,75 =-0,5 4 2 |-0,75| = 0,75 -1 -3 2 " 0,5 < 0,75 " -0,5 > -0,75 " > |-0,5| = 0,5 4 2 EVALUACIÓN INICIAL 1 Ordena estos números enteros de mayor a menor.

5   -5   7   13   -7   8   -13   -8   6   -6 2 Ordena estos números decimales de mayor a menor.

7,25   -7,48   -7,09   8,48   -7,7   8,84 3 Ordena estos números de mayor a menor.

0,5  

-1 3    4   1,25   -3      -2 2 4

PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a… •  Usar las coordenadas cartesianas para representar puntos. •  Hallar las coordenadas de un punto del plano. •  Interpretar gráficas de funciones.

201

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1 Las rectas numéricas se pueden representar de forma horizontal o vertical.

Rectas numéricas

Para representar un número en una recta numérica se marca un punto de referencia, al que llamamos origen y al cual le hacemos corresponder el número 0. A continuación, se elige una unidad y se desplaza. • Si dibujamos la recta de forma horizontal, los números con signo positivo se colocan ordenados a la derecha del cero y los negativos a la izquierda. -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

14444444244444443 Números enteros negativos

1

2

3

4

5

6

7

8

14444444244444443 Números enteros positivos

• Si la dibujamos de forma vertical, los números positivos se colocan por encima del cero y los negativos por debajo, respetando siempre el orden natural. ANTES, DEBES SABER… Qué son fracciones propias e impropias Una fracción es propia cuando el numerador es menor que el denominador, y es impropia cuando el numerador es mayor.

3 5

7

"Propia   5 "Impropia

EJEMPLO 1

Representa los números -2, 4 y

9 en una recta horizontal. 4

Para representar -2, partiendo del 0, contamos 2 unidades a la izquierda, por ser un número negativo. Para representar 4, partiendo del 0, contamos 4 unidades a la derecha, por ser un número positivo. -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

9 , como es una fracción impropia, la descomponemos 4 como suma de un número natural más una fracción propia. 9 1 9   4   "  = 2+ 4 4 1   2 Para representar

Dividimos la unidad comprendida entre 2 y 3 en tantas partes como indica el denominador de la fracción propia, 4, y tomamos tantas partes como indica el numerador, 1. -4

-3

-2

-1

0

1

2 9 4

3

4

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Representa los siguientes números en una recta

horizontal: -1, 5, 7 y -4. 2 Representa estos números en una recta vertical:

-8, 5, 7 y -4.

3 El punto A está situado a la derecha de cero.

¿Qué afirmación es correcta? a) A es positivo. b) A es negativo.

202

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2

Coordenadas cartesianas

ANTES, DEBES SABER… Qué son rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares si al cortarse forman cuatro ángulos rectos.

Para representar puntos en el plano se utilizan dos rectas numéricas perpendiculares, denominadas ejes de coordenadas. Un sistema de coordenadas cartesianas está formado por: Y Eje de ordenadas P(a, b) b Eje de abscisas O a X

• Eje de abscisas, que es la recta horizontal y se representa por X. • Eje de ordenadas, que es la recta vertical y se representa por Y.

F

• Origen de coordenadas, que es el punto de corte de los ejes y se representa por O. El origen de coordenadas coincide con el 0 de ambas rectas numéricas.

Origen de coordenadas

Un punto P del plano queda determinado por un par de números, (a, b), llamados coordenadas cartesianas del punto P, y se escribe P(a, b). •  El número a es la abscisa del punto P y se mide en el eje horizontal. •  El número b es la ordenada del punto P y se mide en el eje vertical. •  El punto O representa el punto (0, 0). Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro partes, cada una de las cuales se llama cuadrante.

Segundo cuadrante

Primer cuadrante

Tercer cuadrante

Cuarto cuadrante DATE CUENTA

EJEMPLO 1 Escribe las coordenadas de este punto. Abscisa: 5 a la izquierda del origen Ordenada: 3 por encima del origen Por tanto, A(-5, 3).

•  Si la abscisa es positiva, el punto está a la derecha del origen de coordenadas, y si es negativa, a la izquierda.

Y A 1 1

X

•  Si la ordenada es positiva, el punto está por encima del origen de coordenadas, y si es negativa, por debajo.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 6 Dibuja unos ejes de coordenadas, y colorea

de azul el eje de abscisas, y de rojo, el de ordenadas.

7 Señala cinco puntos con:

a) Abscisa -2. b) Ordenada -2.

c)  Igual abscisa y ordenada.

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2.1  Puntos del primer cuadrante Un punto P(a, b) del primer cuadrante tiene la abscisa, a, positiva y la ordenada, b, positiva. EJEMPLO 2

Y

Representa el punto A(2, 3). •  La primera coordenada x = 2 es positiva: nos desplazamos 2 unidades a la derecha. •  La segunda coordenada y = 3 también es positiva: nos desplazamos 3 unidades hacia arriba, desde la abscisa anterior.

Al representar puntos que están escritos en coordenadas comenzamos siempre a contar desde el origen.

A(2, 3)

3

O

2

X

2.2  Puntos del segundo cuadrante Un punto P(a, b) del segundo cuadrante tiene la abscisa, a, negativa y la ordenada, b, positiva. EJEMPLO 3

Y

Representa el punto B(-2, 3).

B(-2, 3)

•  La primera coordenada x = -2 es negativa: nos desplazamos 2 unidades a la izquierda. •  La segunda coordenada y = 3 es positiva: nos desplazamos 3 unidades hacia arriba, desde la abscisa anterior.

3

O

-2

X

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 10 Representa los siguientes puntos e indica

en qué cuadrante se encuentran. A(-2, 5)   B(3, 5)   C (7, 2)   D(-4, 5) 11 Representa los puntos y señala su cuadrante.

A(-3, 1)   B(5, 3)   C (-1, 3)  D(5, 4)

Y

13 Indica las

coordenadas cartesianas de estos puntos:

A

D B C

1 O

1

X

12 Indica, sin representarlos, el cuadrante

en el que se sitúa cada punto. A(-8, 3)   B(5, 10)   C (-7, 2)  D(4, 6)

¿Qué característica común tienen los puntos del primer y segundo cuadrantes?

204

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2.3  Puntos del tercer cuadrante Un punto P(a, b) del tercer cuadrante tiene la abscisa, a, negativa y la ordenada, b, negativa. EJEMPLO 4

Y

Representa el punto A(-2, -3). •  L a primera coordenada x = -2 es negativa: nos desplazamos 2 unidades a la izquierda. •  La segunda coordenada y = -3 también es negativa: nos desplazamos 3 unidades hacia abajo, desde la abscisa anterior.

-2 O

X -3

A(-2, -3)

El orden de las coordenadas es importante. No es igual el punto (-4, 3) que el punto (3, -4).

2.4  Puntos del cuarto cuadrante Un punto P(a, b) del cuarto cuadrante tiene la abscisa, a, positiva y la ordenada, b, negativa. EJEMPLO 5

Y

Representa el punto B(2, -3). •  La primera coordenada x = 2 es positiva: nos desplazamos 2 unidades a la derecha. •  La segunda coordenada y = -3 es negativa: nos desplazamos 3 unidades hacia abajo, desde la abscisa anterior.

2 O -3

X

B(2, -3)

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 14 Representa los siguientes puntos en el plano,

17 Indica las

e indica en qué cuadrante se encuentran. A(-1, 5)

B(-2, 5)

C (-7, -2)

Y

coordenadas de los puntos.

D(4, -5)

1

15 Representa los puntos en el plano y señala

O

su cuadrante. A(-3, -1)

B(5, -10)

C(-3, -3)

1

D

X

A

D(-6, 4)

B

C

16 Indica, sin representarlos, el cuadrante

en el que se sitúa cada punto. A(-8, 3)

B(8, -2)

C (-7, -3)

D(4, 6)

¿Qué característica común tienen los puntos del tercer y cuarto cuadrantes?

205

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2.5  Puntos sobre los ejes de coordenadas Los puntos que están situados sobre el eje X son de la forma (a, 0), es decir, su ordenada es 0. Si la coordenada a es positiva, están a la derecha del origen de coordenadas, y si es negativa, a la izquierda. (0, +)

Y arriba

O

abajo X

(0, -)

Y

izquierda

derecha

O

(-, 0)

(+, 0) X

Los puntos que están situados sobre el eje Y son de la forma (0, b), es decir, su abscisa es 0. Si la coordenada b es positiva, están por encima del origen de coordenadas, y si es negativa, por debajo.

EJEMPLO 6

Representa los puntos A(2, 0), B(-4, 0), C(0, 2) y D(0, -3). A(2, 0) 

a la derecha, x = 2. La ordenada es cero, y = 0. El punto A se sitúa en el mismo eje de abscisas. B(-4, 0)  " Nos desplazamos 4 unidades a la izquierda, x = -4. La ordenada es cero, y = 0. El punto B se sitúa en el mismo eje de abscisas. C(0, 2) 

Y

" Nos desplazamos 2 unidades

B(-4, 0) -4

" La abscisa es cero, x = 0.

A(2, 0) O

2

X

Y

Nos desplazamos 2 unidades hacia arriba, y = 2. El punto C se sitúa en el mismo eje de ordenadas. D(0, -3)  " La abscisa es cero, x = 0. Nos desplazamos 3 unidades hacia abajo, y = -3. El punto D se sitúa en el mismo eje de ordenadas.

C(0, 2)

O

X

D(0, -3)

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 18 Representa los siguientes puntos en el plano:

A(-1, 0) B(0, 5)

C(7, 0) D(0, -3)

E(0, -1) F(5, 0)

G(0, 3) H(-10, 0)

19 Escribe tres puntos situados en el eje X

de abscisa positiva, y otros tres en el eje Y de ordenada negativa.

20 Indica, sin representarlos, sobre qué eje

se encuentra cada punto. A(0, 2) B(-1, 0)

C(0, -1)   D(-7, 0)

21 ¿Existe algún punto que se sitúe en los dos ejes

simultáneamente? ¿Qué punto es?

206

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3

Funciones

3.1  Concepto de función Se denomina función a la relación que asocia a cada valor de una magnitud un único valor de otra magnitud.

RECUERDA

Si representamos los pares de valores que obtenemos en un sistema de coordenadas obtenemos la representación gráfica de una función.

Una magnitud es cualquier característica que se puede medir y expresar mediante una cantidad o un número.

3.4  Expresión de una función mediante una gráfica La gráfica de una función es la representación del conjunto de puntos que define a esa función. Cuando los valores que toma una de las magnitudes de la tabla son demasiado grandes, para representar sus puntos sobre los ejes se hace de esta forma:

ANTES, DEBES SABER… Cómo se construye una tabla numérica A partir de unos datos obtenemos otros que cumplen una condición. Número

1

2

3

4

Su triple

1?3=3

2?3=6

3?3=9

4 ? 3 = 12

Y

Para representar una función se forma una tabla con algunos de sus valores. Después, tomando esos pares de valores como puntos se representan en unos ejes de coordenadas. En ocasiones, también tiene sentido unir los puntos obtenidos.

16 Cristina está enferma. Su madre le ha tomado la temperatura cada dos horas y ha anotado los resultados en una tabla. 10

12

14

16

18

20

Variable y (temperatura en °C)

37

39

38

38

36

38

Los puntos a partir de la tabla son: (10, 37), (12, 39), (14, 38), (16, 38), (18, 36) y (20, 38)

Temperatura (°C)

Representa los resultados en una gráfica.

Representamos estos puntos en un sistema de coordenadas y los unimos mediante rectas. En este caso tiene sentido unirlos porque a cada momento del día (hora) le corresponde una temperatura.

X

Esto significa que en el eje Y, por debajo de 40, hay una parte de eje de la que hemos prescindido.

EJEMPLO

Variable x (hora)

40

Y 39 38 37 36 10

12 14 16 18 Hora

20

X

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 1 Construye una tabla que relacione cada número

del 1 al 10 con su mitad, y escribe los puntos que se obtienen.

22 Asocia a cada número natural del 1 al 9

su doble, y halla los pares de coordenadas que resultan. Construye una gráfica con ellos.

207

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4 Observando una gráfica podemos extraer rápidamente información sobre las magnitudes que representa.

Interpretación de gráficas

Interpretar una gráfica es extraer información de ella a través de su estudio, de izquierda a derecha. EJEMPLOS 17 Interpreta esta gráfica, que representa el tiempo empleado por dos autobuses en realizar una vez su trayecto. Los autobuses A y B están a la misma distancia del eje vertical, y tardan lo mismo en realizar su trayecto, 20 minutos. Sin embargo, el autobús A está más alejado del eje horizontal que el autobús B. Es decir, el autobús A recorre más distancia, 15 km, que el autobús B, que recorre 5 km.

Distancia (km)

Y 20 15

sA bú o t Au bús B Aut o

10 5 5

10 15 20 25 Tiempo (min)

30

X

18 Interpreta esta gráfica, que representa las reservas de agua de un pantano durante el último año. Las reservas de agua del pantano crecen durante el invierno y alcanzan su punto máximo en la primavera, en el mes de mayo. Las reservas decrecen durante el verano, desde mayo hasta septiembre, llegando a su punto mínimo durante el mes de septiembre. A partir de este punto, las reservas del pantano vuelven a crecer hasta situarse en diciembre a un nivel similar con el que comenzó el año.

Reservas (%)

Y 80 60 40 20 E F MAM J J A S OND

X

Meses

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 40 Esta gráfica representa el número

41 La gráfica muestra los asistentes a una obra de

N.º de barras (en miles)

de barras de pan que se han vendido en una panadería durante los primeros nueve meses del año. Y 5 4 3 2 1

teatro los siete primeros días desde el estreno. Y 250 200 150 100 50 1 2 3 4 5 6 7

E F M A M Jn Jl A S Meses

X

Realiza una interpretación de esta gráfica.

X

b) ¿Qué día hubo más asistentes? ¿Y menos? 42 Construye una gráfica con la temperatura

de tu ciudad durante una semana e interprétala.

208

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Al representar mediante gráficas la información extraída de un enunciado, debemos tener en cuenta los puntos que pertenecen a dicha gráfica y si estos se pueden unir o no. EJEMPLOS 19 Representa este enunciado mediante una gráfica, y decide si es posible unir los puntos que obtienes o no. El número de clientes de un restaurante durante la semana ha sido: el primer día 20 clientes, el segundo y el tercero 30 clientes cada día, el cuarto el mismo número de clientes que el primero. El quinto día cerraron por descanso, y el fin de semana solo hubo 10 clientes cada día. No tiene sentido unir los puntos, ya que no podemos afirmar que en cierto momento hubo 10,5 clientes o 12,33 clientes.

N.º de clientes

Y 30 20 10

1 2 3 4 5 6 7 Día de la semana

X

20 Representa este enunciado mediante una gráfica. Y Distancia (km)

El domingo fuimos a la casa de mis abuelos, que está situada a 150 km. Partimos a las 9:00 h y a las 10:30 h paramos a desayunar durante media hora. A las 12:00 h entramos en la ciudad, y nos detuvimos a hablar con un amigo. Llegamos finalmente a la casa de mis abuelos a las 12:30 h.

No siempre se pueden unir los puntos de una gráfica.

150 125 100 75 50 25 9

10 11 12 Hora del día

X

En este caso hay que unir los puntos porque se puede determinar, por ejemplo, a qué distancia se encontraban a las 11:30 h.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 43 Representa este enunciado mediante

una gráfica. Cuatro amigos van de excursión. • El primero de ellos recorre 6 kilómetros en 75 minutos. • El segundo recorre 4 kilómetros y tarda 60 minutos. • El tercero tarda lo mismo que el primero, y el cuarto tarda lo mismo que el segundo. Razona si tiene sentido unir los puntos que obtienes.

44 Representa el texto mediante una gráfica.

Tomás salió a pasear a las 18:00 h. A las 18:30 h se encontró con Juan y se detuvo media hora. Luego siguió andando hasta que a las 19:30 h llegó a una ermita. Allí decidió pararse a descansar durante una hora. Después, regresó a su casa: tardó una hora en llegar y no hizo ninguna parada en el camino. 45 Realiza una gráfica que represente el trayecto

que realizas para ir al instituto.

209

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Sistema de coordenadas cartesianas Ordenada

Y Eje de ordenadas

A (a, b)

Y 14

b Precio (€)

F

F

Abscisa

Eje de abscisas c

O

F

a

Funciones

Origen de coordenadas

X

12 10 8 6 4 2

d

B(c, d)

1

2

3 4 5 6 Peso (kg)

7

X

HAZLO DE ESTA MANERA

1. REPRESENTAR PUNTOS EN UN SISTEMA

Y

DE COORDENADAS CARTESIANAS

Representa los puntos: (-1, 3), (3, -1), (2, 2) y (-4, -5).

(-1, 3) 1

PRIMERO. En

el eje horizontal, y partiendo del origen de coordenadas, nos desplazamos tantas unidades como nos indique la primera coordenada del punto. Hacia la derecha, si es positiva, o hacia la izquierda, si es negativa.

SEGUNDO. Desde

ese punto, nos desplazamos tantas unidades como nos indique la segunda coordenada del punto. Hacia arriba, si es positiva, o hacia abajo, si es negativa.

(2, 2)

1

X (3, -1)

(-4, -5)

2. CALCULAR LAS COORDENADAS DE UN PUNTO REPRESENTADO EN UN SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Determina las coordenadas de estos puntos. PRIMERO. Trazamos

una recta perpendicular al eje X que pase por el punto. El punto de corte de esta recta con el eje X es la primera coordenada del punto.

Y B A 1 O C

SEGUNDO. Trazamos 1

X

una recta perpendicular al eje Y que pase por el punto. El punto de corte de esta recta con el eje Y es la segunda coordenada del punto. Los puntos representados son: A(3, 2), B(-1, 3) y C(-4, -2).

Punto

Primera coordenada

A

3

B

-1

C

-4

Punto

Segunda coordenada

A

2

B

3

C

-2

210

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2. INTERPRETAR GRÁFICAS

1. REPRESENTAR UNA GRÁFICA A PARTIR DE UNA TABLA

Interpreta esta gráfica que muestra el gasto de agua por trimestres de una familia.

La tabla relaciona cada número con su doble. 1

2

3

4

Su doble

2

4

6

8

Y Gasto (€)

Número

Representa los datos en una gráfica. PRIMERO. A partir de la tabla obtenemos

10 000

los puntos que definen la función. Los puntos que obtenemos a partir de la tabla son: (1, 2)   (2, 4)   (3, 6)   (4, 8)

1

2 3 Trimestre

4

X

PRIMERO. Analizamos cómo se modifican

SEGUNDO. Representamos estos puntos

los datos en los distintos tramos de la gráfica. Durante el primer trimestre del año la familia llega a consumir 30 000 litros de agua. Y sigue aumentando su consumo hasta el tercer trimestre. Durante el último trimestre el consumo disminuye.

en un sistema de coordenadas y decidimos si los podemos unir. Y

SEGUNDO. Identificamos los datos donde

se producen los mayores o menores resultados. En el paso del tercer al cuarto trimestre se produce el punto de máximo consumo de agua, 50 000 litros. El consumo ha ido aumentando hasta que en ese punto comienza a disminuir.

2 1

X

En este caso los podemos unir ya que a cualquier número le podemos hacer corresponder su doble.

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras 1. Dibuja unos ejes de coordenadas y representa el punto (3, 5).

Representar una gráfica a partir de una tabla 1. Esta tabla relaciona cada número con su triple más 1.

Representar puntos 2. Decide en qué cuadrante se encuentra el punto (2, -1).

1

2

3

4

Su triple + 1

4

7

10

13

Representa los datos en una gráfica.

Y

Y

Interpretar gráficas 1 1

Determinar las coordenadas de un punto que pertenece a una función 4. Determina el valor de y = x + 4 para x = 2.

X

2. Interpreta esta gráfica que muestra el gasto de luz de una familia durante un año por trimestres.

Gasto (kWh)

Calcular las coordenadas de un punto 3. ¿Cuáles son los puntos representados?

Número

250 0

1

2 3 Trimestre

4

X

211

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Actividades COORDENADAS CARTESIANAS

2. ● ¿Cuáles son las coordenadas de estos puntos? Y

46. ● Representa los siguientes números sobre una recta numérica horizontal. -15

-7

47. ● Representa estos números sobre una recta numérica vertical. -15

-7

A

1

-10

10

1

-11

0

B 1 1

X

D

48. ● Representa los números. -4

7

a) En una recta numérica horizontal. b) En una recta numérica vertical. 49. ● Sitúa cada punto en el cuadrante que corresponda. (2, 4) (-9, 0)

(5, -8) (-6, -4)

C

55. ● Indica las coordenadas cartesianas de los siguientes puntos: Y

(3, 1) (0, -3)

A

C

50. ● Representa en tu cuaderno los puntos y únelos ordenadamente. P1(4, 5) P2(3, 4) P3(2, 4) P4(1, 5) P5(-1, 3) P6(-1, 1)

P7(1, -1) P8(-2, -4) P9(-2, -7) P10(8, -7) P11(12, -3) P12(12, 1)

P13(10, 2) P14(11, 0) P15(9, -1) P16(3, -1) P17(6, 1) P18(6, 3)

51. ● Representa en tu cuaderno estos puntos y únelos ordenadamente. P1(14, 14) P2(15, 9) P3(11, 5) P4(7, 5) P5(-6, -8) P6(-4, -10)

P7(0, -10) P8(-2, -8) P9(6, -7) P10(2, -12) P11(-7, -12) P12(-12, -7)

P13(-12, 2) P14(-7, 6) P15(-8, -2) P16(-10, 0) P17(-10, -4) P18(-8, -6)

52. ● Un punto tiene abscisa 7 y ordenada 8. Representa dicho punto e indica en qué cuadrante se encuentra. 53. ● Un punto tiene abscisa 4 y ordenada -12. Represéntalo y señala el cuadrante en el que se sitúa. 54. ● Un punto tiene abscisa -11 y ordenada -8. Represéntalo e indica en qué cuadrante se localiza.

B

1 E

D

X

1 H

F

G

56. ● Dados los puntos de la gráfica, señala cuáles son sus coordenadas. Y C A

B

1 E

1 G

D

X F

3. ● ● Dibuja un sistema de coordenadas. A continuación, dibuja un punto en el primer cuadrante y escribe sus coordenadas. 4. ● ● Dibuja un punto en cada cuadrante y escribe sus coordenadas.

212

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57. ●● El punto de la figura es uno de los vértices de un cuadrado con los lados verticales y horizontales, y 6 unidades de lado. Determina las coordenadas de todos los vértices.

58. ● ● Dibuja los ejes de coordenadas para que el punto sea A(-2, -1).

Y

A 1 1

X

6. ● ● Dibuja los ejes de coordenadas para que el punto sea A(3, 5). A

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE DIBUJAN LOS EJES DE COORDENADAS CONOCIDAS LAS COORDENADAS DE UN PUNTO? 5. Dibuja los ejes de coordenadas para que el punto sea A(2, -4).

7. ● ● Dibuja los ejes de coordenadas para que el punto sea A(-4, 3). A

A

PRIMERO. Se dibuja el eje X teniendo en cuenta

la segunda coordenada del punto: •  Si es positiva, se traza por debajo del punto a tantas unidades como indica. •  Si es negativa, se traza por encima del punto a tantas unidades como indica. F

X

4

8. ● ● Dibuja unos ejes de coordenadas para que las coordenadas del punto A sean A(4, 3). ¿Coinciden estos ejes con los que se deben trazar para que las coordenadas de B sean B(-3, 1)?

A

A

SEGUNDO. Se dibuja el eje Y teniendo en cuenta

la primera coordenada del punto: •  Si es positiva, se traza a la derecha del punto a tantas unidades como indica. •  Si es negativa, se traza a la izquierda del punto a tantas unidades como indica. Y

B

FUNCIONES X

F

A 2

59. ● Dados los números 3, 5, 7 y 9, halla los números que les corresponden si a cada uno le asociamos: a) Su doble más 1. b) Su mitad.

c) Su cuádruple. d) Su cuadrado.

213

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66. ●● Una relación entre números enteros se expresa de la siguiente manera: «A cada número entero lo relacionamos con su doble más una unidad». Escribe la expresión de la función y completa la tabla. x

-2

-1

0

3

7

10

3

y

Y

a) Construye una tabla que relacione el número de litros con el precio. c) Representa los datos gráficamente. 72. ● ● Un globo sonda mide la temperatura de la atmósfera a distintas alturas. Se comprueba que, cada 200 m de ascensión, la temperatura disminuye 1 ºC. a) Construye una tabla de valores para la función que determina este experimento. c) ¿Qué temperatura habrá si ascendemos a 1 000 m? 73. ● ● El precio de una carrera de taxi es 1,20 € de bajada de bandera y medio céntimo por cada segundo.

¬

Precipitaciones ( /m2)

69. ●● La gráfica muestra las precipitaciones en una localidad durante un año. En el eje de abscisas están representados los meses del año, y en el de ordenadas, las precipitaciones, en ¬/m2.

70. ● ● El precio de una bebida es 1,75 €/¬.

600 400

a) Construye una tabla con diferentes valores para la relación Tiempo–Precio.

200

b) Representa los valores en una gráfica.

X

E F MAM J J A SOND Meses

a) ¿Cuál fue el mes más lluvioso? b) ¿Y el más seco? c) ¿Qué mes tuvo unas precipitaciones de 300 ¬/m2? d) ¿Cuáles fueron las precipitaciones en enero? e) ¿En qué estación se produjeron más precipitaciones?

74. ● ● Dos ciclistas salen en la misma dirección. Uno parte de una ciudad con una velocidad media de 20 km/h. El otro sale de una ciudad situada a 10 km de distancia de la primera, al mismo tiempo y con igual velocidad.

f) ¿En qué meses se produjeron menos de 200 ¬/m2? ¿Y en cuáles más de 400 ¬/m2? a) Realiza una tabla para cada uno de los ciclistas, y representa los datos en dos gráficas distintas.

PROBLEMAS CON FUNCIONES 80. ● Un automóvil circula por una autopista a una velocidad constante de 120 km/h.

b) Representa ambas gráficas en los mismos ejes de coordenadas. c) ¿Qué relación hay entre las funciones?

a) Haz una tabla de valores donde se relacionen el tiempo y la distancia recorrida. 71. ●● La tabla refleja el número de asistentes en un cine durante los días laborables de una semana. Día Asistentes

1

2

3

4

5

150

280

140

420

750

Representa los datos en un sistema de coordenadas cartesianas.

75. ● ● Un río tiene riesgo de desbordarse e inundar un pueblo si el agua alcanza 270 cm de altura. En la tabla aparecen las medidas del nivel del río, tomadas entre las 6:00 horas y las 18:00 horas. Tiempo (h)

6

8

10

12

14

16

18

Altura (cm)

180

210

240

245

255

265

250

a) Haz una gráfica que refleje la crecida del río. c) ¿Ha sido inundado el pueblo? d) ¿A qué hora se ha tenido más riesgo de inundación?

214

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77. ● ● Observa la gráfica que representa el paseo que ha dado Julio: ha salido de casa, ha ido a comprar y ha regresado.

HAZLO ASÍ ¿CÓMO SE REPRESENTA E INTERPRETA UNA

GRÁFICA CUYOS PUNTOS NO SE PUEDEN UNIR?

Y

9. La tabla muestra el número de asistentes a las distintas sesiones de una película el día del estreno.

6

18:00

20:00

22:00

20

50

100

75

Asistentes

Representa los datos en una gráfica e interpreta el resultado. PRIMERO. A partir de la tabla se obtienen los puntos que definen la función. Los puntos que obtenemos son: (16, 20)   (18, 50)   (20, 100)   (22, 75) SEGUNDO. Se representan estos puntos en un sistema

de coordenadas y se decide si se pueden unir. Y 80 60 20 16

18

20

22

X

En este caso no los podemos unir, ya que a cada sesión asiste un número de personas y no hay sesiones a cualquier hora. TERCERO. Se analiza cómo varían los datos y en qué momento se producen mayores o menores resultados. A la primera sesión asiste el menor número de personas, 20. Después, el número de asistentes sube y es en la sesión de las 20:00 donde el número es mayor, 100. En la última sesión vuelve a disminuir el número de asistentes.

76. ●● En un partido de baloncesto se elabora una tabla con los puntos marcados por cada equipo. Antes de llegar al final del 2.º cuarto tenemos la siguiente tabla: Minuto

4

6

8

10

12

14

16

Equipo A

10

12

15

18

20

22

24

Equipo B

6

8

14

18

18

24

26

a) Haz las gráficas de ambos equipos (la del equipo A en azul y la del equipo B en rojo). b) Realiza un resumen del partido a la vista de la gráfica.

Distancia (km)

16:00

4 3 2 1 1

2 3 Tiempo (h)

4

X

a) ¿Qué magnitud se representa en el eje X? ¿Y en el eje Y? b) ¿Cuánto tiempo ha durado el paseo? c) ¿Cuál es la distancia más lejana a la que ha ido? d) ¿Cuándo ha caminado más rápido, a la ida o a la vuelta? e) ¿Qué crees que significan los tramos horizontales? 78. ● ● La siguiente gráfica expresa la relación entre los minutos y los kilómetros que José ha recorrido durante una hora, caminando y montando en bicicleta en línea recta. Y 10 8 Distancia (km)

Sesiones

5

6 4 2 10

20

30

40

50

60

70

X

Tiempo (min)

a) ¿Cuántos kilómetros ha caminado? b) ¿Y cuántos ha hecho en bicicleta? c) ¿Cuánto tiempo ha caminado? d) ¿Y cuánto ha montado en bicicleta? e) ¿Qué distancia ha recorrido cuando lleva 50 minutos? f) ¿Cuánto tiempo ha tardado en recorrer los dos primeros kilómetros? g) ¿Ha hecho algún descanso en el recorrido? ¿Cómo se representan esos tiempos de descanso?

215

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14

Estadística y Probabilidad El matemático y el emperador El azar, o quizás la Providencia, fue quien en 1785 puso ante Pierre Simon Laplace, siendo profesor en la Escuela Militar de París, a un joven de 16 años que destacaba en matemáticas y que, en el futuro, se convertiría en el hombre más poderoso de Europa, Napoleón Bonaparte.

DESCUBRE LA HISTORIA... 1. Busca información sobre la vida de Pierre Simon Laplace, matemático francés que realizó importantes estudios sobre probabilidad. 2. La lectura narra la presentación de Laplace a Napoleón de su Tratado sobre mecánica celeste. Investiga cuándo y cómo se produjo este acontecimiento. 3. Averigua qué otros trabajos realizó Laplace relacionados con las matemáticas.

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Ahora las tornas habían cambiado, era Laplace quien presentaba un trabajo sobre mecánica celeste al emperador de Francia. –Monsieur Laplace, ha escrito este libro sobre las leyes del universo sin haber mencionado ni una sola vez a su creador. –Sire, es que no he necesitado esa hipótesis –repuso el matemático. La respuesta hizo que el emperador mostrase una de sus escasas sonrisas y, después, continuó con la audiencia. Diez años después de este suceso, Laplace publicó la obra Teoría analítica de las probabilidades, que él llamaba La geometría del azar. Al recibir el libro, Laplace se paró a pensar precisamente en el azar, esa cualidad que tienen los experimentos de no ser predeterminados, y cómo él los había atado a leyes matemáticas.

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Antes de empezar la unidad... FRACCIONES a , donde a y b son números naturales llamados numerador b y denominador, respectivamente. Una fracción es una expresión

Comparación de fracciones

• Si tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene mayor numerador. 3 1 Comparamos y : 7 7 Si una fracción es decimal, 3 1 se escribe el numerador y se separan 3 > 1  "  > con una coma, a partir de la derecha, 7 7 tantas cifras decimales como ceros • Si tienen distinto numerador y denominador, reducimos tiene el denominador. a común denominador, y comparamos los numeradores. 2 4 5 Comparamos , y : 3 5 6 m.c.m. (3, 5, 6) = 30 2 20 4 24 5 25 2 4 5 = = = " < < 3 30 5 30 6 30 3 5 6 Transformación de fracciones en números decimales

Para expresar una fracción como números decimales se divide el numerador entre el denominador. 35 35   " 35    6         = 5,83… 6 6   50   5,83…    20     2 PLAN DE TRABAJO

En esta unidad aprenderás a…

EVALUACIÓN INICIAL 1 Ordena estas fracciones de mayor a menor.

a)

5 2 4 , y 7 6 6 6

7 1 3 b) , y 8 8 8

c)

4 9 5 , y 12 12 12

d)

11 15 13 , y 17 17 17

3. Ordena, de menor a mayor, estas fracciones. 3 12 4 4 14 7 b) , , a) , , 4 5 6 3 20 5

•  Realizar tablas de frecuencias.

2 Expresa estas fracciones como números decimales.

a)

43 6

b)

32 7

c)

64 12

•  Reconocer variables cualitativas y cuantitativas.

d)

11 17

•  Interpretar y representar datos mediante gráficos. •  Hallar la probabilidad de un suceso.

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2

Tipos de variables

Al realizar un estudio estadístico, una variable estadística es cualquier cualidad que estudiamos. Según sean sus valores, las variables estadísticas pueden ser: Tipos Cualitativas

Propiedades Los valores de la variable no son números, sino cualidades.

Los valores que toma Cuantitativas la variable son números.

Ejemplos • Género literario (novela, teatro…). • Sexo (mujer, hombre). •  N.o de páginas de un libro. • Altura.

EJEMPLOS 1

A los valores de las variables cualitativas se les puede llamar modalidades.

Se va realizar un estudio estadístico en un instituto. Pon ejemplos de variables estadísticas. Al realizar un estudio estadístico podemos estudiar cualidades como el peso, la altura o la edad de los alumnos del instituto. Estas cualidades son variables estadísticas.

2

Clasifica estas variables estadísticas y pon ejemplos de los valores que pueden tomar.

a) Raza de un perro Cualitativa: no toma valores numéricos. Raza = {Pequinés, cocker…} b) Peso al nacer Cuantitativa: toma valores numéricos. Peso al nacer = {2 kg; 3 kg; 3,22 kg…} c) Lugar que se ocupa en una fila Cuantitativa: toma valores numéricos. Lugar en una fila = {1, 2, 3, 4…}

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 4 Clasifica las siguientes variables estadísticas.

a) Marca de un teléfono. b) Color de ojos. c) Deporte favorito. d) Altura. e) Edad.

f) Nombre. g) Talla. h) N.º de hermanos. i) Gustos musicales. j) N.º de aprobados.

5 Escribe tres variables cualitativas, y otras

tres cuantitativas.

6 Para clasificar los perros abandonados,

los empleados de la perrera rellenan una ficha con los siguientes datos. a) Raza.

e) Sexo.

b) Edad.

f) Color de pelo.

c) Alzada (cm).

g) Nivel de adiestramiento.

d) Peso (kg).

h) Nivel de peligrosidad.

Clasifica las variables.

218

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Frecuencias. Tablas de frecuencias

3

3.2  Frecuencia absoluta y frecuencia relativa • La frecuencia absoluta de un dato estadístico es el número de veces que se repite. Se representa por fi.  La suma de las frecuencias absolutas de un conjunto de datos estadísticos es el número total de datos.

La recogida de datos se suele realizar mediante encuestas o cuestionarios. Después de recoger los datos hay que contarlos y agruparlos.

• La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos. Se representa por hi.  La suma de las frecuencias relativas de un conjunto de datos estadísticos es igual a la unidad. Los datos y las frecuencias se pueden organizar en una tabla de frecuencias colocando los datos en la primera columna y las frecuencias en las siguientes columnas. ANTES, DEBES SABER… Cómo se suman números decimales Colocamos los números, de forma que las comas decimales estén alineadas, y añadimos los ceros necesarios para que tengan el mismo número de decimales.

1 2 4,6 0 0   4 5,8 0 2 +     4,1 8 0 1 7 4,5 8 2

EJEMPLO 5

DATE CUENTA

Con estos datos, realiza el recuento y construye la tabla de frecuencias. N.º de hermanos

1 2 3 1 0

3 1 2 1 1

1 3 0 4 0

4 1 4 2 2

2 0 2 1 3

1 2 1 3 2

2 3 0 1 1

1 2 1 2 0

3 1 2 3 3

2 1 3 2 2

Recuento 0 1 2 3 4

////  / ////  ////  ////  / ////  ////  //// ////  //// ///

Frecuencia relativa hi

Dato xi

Frecuencia absoluta fi

0

06

 50

1

16

 50

2

15

3

10

4

03

F

N = 50

6

16

•  fi es la frecuencia absoluta del valor xi . •  hi es la frecuencia relativa del valor xi .

= 0,12 = 0,32

15 = 0,3 50 10 = 0,2 50 3  50 = 0,06 Total = 1

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 7 Realiza un recuento de las siguientes

calificaciones: 3  2  7  1  9    5  3  4  5  6    7  4  5  7  3    6  8  9  7  5    7 7  8  4  5  6 6

8 Después de lanzar 20 veces una moneda,

los resultados (C = cara, + = cruz) han sido: C C + C + C + C C +

+ + + + C C C + C +

Efectúa un recuento y organiza los datos.

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Gráficos estadísticos

4

ANTES, DEBES SABER…

Eje de ordenadas

Y

Cómo se representan puntos en el plano Para representar puntos en el plano se utilizan dos rectas numéricas perpendiculares, llamadas ejes de coordenadas.

P(a, b)

b

Eje de abscisas G

O

Un punto del plano queda determinado por un par de números, (a, b), llamados coordenadas cartesianas.

a

X

Origen de coordenadas

Además de las tablas de frecuencias, otra forma de organizar los datos es mediante las representaciones gráficas. Los gráficos estadísticos nos permiten captar de inmediato las características más relevantes de un estudio estadístico.

4.1  Diagrama de barras Se utiliza cuando queremos representar frecuencias de variables que tomen pocos valores. • En el eje horizontal representamos los valores de la variable. • En el eje vertical, las frecuencias. La frecuencia que corresponde a cada dato se representa por una barra. Las alturas de las barras son proporcionales a las correspondientes frecuencias. EJEMPLO 6

Representa mediante un diagrama de barras los valores que hemos recogido en la siguiente tabla:

Fútbol

 8

fi 12 10

Baloncesto

12

8

Tenis

 6

Atletismo

10

Balonmano

 4

Deportes

Frecuencia fi

6 4 2 Fútbol Baloncesto Tenis

Atletismo Balonmano

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 14 Realiza un diagrama de barras con el número

de macetas que tienen 100 viviendas. N.º de macetas

0

1

2

3

4

N.º de viviendas

10

14

18

25

33

15 El color de pelo de 30 personas es:

M = moreno     R = rubio     P = pelirrojo M R P M M M M R R P P M M M M M M P R R R P M M M M R M M M Organiza los datos en un diagrama de barras.

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4.2  Diagrama de sectores ANTES, DEBES SABER… Qué es un sector circular Un sector circular es la parte del círculo limitada por dos radios y un arco.

El diagrama de sectores se puede utilizar para cualquier tipo de variable. • Los datos se representan en un círculo, dividido en sectores. Cada sector representa un valor de la variable. • La amplitud de un sector, su ángulo, es proporcional a la frecuencia del dato que representa: fi ? 360° = h i ? 360° Ángulo del sector circular = N

RECUERDA Para dibujar ángulos utilizamos el transportador.

EJEMPLO 7

Realiza un diagrama de sectores con los siguientes datos: Deportes Frecuencia fi

Fútbol

Baloncesto

Tenis

8

12

6

Atletismo Balonmano 10

4

Completamos la tabla con hi , el porcentaje y la amplitud de cada sector. fi

hi

%

Fútbol

 8

0,2

20 %

0,2 ? 360° = 72°

Baloncesto

12

0,3

30 %

0,3 ? 360° = 108°

Tenis

 6

0,15

15 %

0,15 ? 360° = 54°

Atletismo

10

0,25

25 %

0,25 ? 360° = 90°

Balonmano

 4

0,1

10 %

0,1 ? 360° = 36°

Deportes

Amplitud (°)

En los diagramas de sectores, además del valor de la variable, se suele escribir el tanto por ciento que representa.

N = 40 Balonmano 36° Atletismo

90° 54°

Fútbol

10 %

72°

20 %

25 %

108°

15 %

30 %

Baloncesto

Tenis

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 17 Haz un diagrama de sectores

18 Dibuja un diagrama de sectores

con estos datos:

con estos datos:

Color

Rojo

Verde

Blanco

N.º de coches

150

84

126

Música N.º de CD

Clásica

Pop

Rock

125

78

52

221

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6

Sucesos. Espacio muestral

En los experimentos aleatorios no podemos predecir el resultado, es decir, hay más de un resultado posible al realizar el experimento. Cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio es un suceso elemental. El conjunto de todos los sucesos elementales se llama espacio muestral, y se representa con la letra E. Un suceso es un suceso compuesto cuando contiene dos o más sucesos elementales. EJEMPLO 9

Define el espacio muestral, sus sucesos elementales y varios sucesos compuestos en los siguientes experimentos aleatorios.

Para describir un suceso compuesto hay que indicar qué sucesos elementales contiene.

a) Lanzar un dado y anotar su resultado. Los resultados que podemos obtener al tirar un dado son las puntuaciones: 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Espacio muestral -" E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Sucesos elementales " {1}, {2}, {3}, {4}, {5} y {6} Sucesos compuestos " «Obtener número par» = {2, 4, 6} «Obtener número mayor que 3» = {4, 5, 6} «Obtener divisor de 6» = {1, 2, 3, 6} b) Lanzar dos monedas y anotar el número de caras. Si lanzamos dos monedas al aire podemos obtener cara en las dos monedas, cara en una de ellas o ninguna cara. Espacio muestral -" E = {2 caras, 1 cara, 0 caras} Sucesos elementales " {2 caras}, {1 cara} y {0 caras} Sucesos compuestos " «Sacar alguna cara» = {2 caras, 1 cara} «Sacar alguna cruz» = {1 cara, 0 caras} «Sacar más de 1 cara» = {2 caras}

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 23 En los siguientes experimentos aleatorios,

24 Referidos a la extracción de una carta

determina su espacio muestral, sus sucesos elementales y dos sucesos compuestos.

de la baraja española, clasifica los siguientes sucesos en elementales o compuestos.

a) Extraer una bola de una urna que contiene 3 bolas rojas, 2 bolas verdes y 1 bola azul. b) Extraer una carta de una baraja. c) Lanzar dos dados y anotar la suma de sus puntuaciones. d) Extraer una bola de una urna que contiene 5 bolas numeradas del 1 al 5.

a) A = «Sacar el rey de oros» b) B = «Sacar una carta de copas» c) C = «No sacar un as» d) D = «Sacar un caballo» 25 Pon un ejemplo de experimento aleatorio

cuyo espacio muestral tenga tres sucesos elementales.

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Regla de Laplace

La probabilidad, P, de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1 que indica la posibilidad de que ocurra dicho suceso. A mayor probabilidad, mayor será la posibilidad de que ocurra. Un experimento es regular cuando todos sus sucesos elementales tienen la misma probabilidad, es decir, son sucesos equiprobables. La regla de Laplace es una forma sencilla de calcular probabilidades de distintos sucesos si el experimento aleatorio es regular.

DATE CUENTA El experimento consistente en tirar una chincheta y observar la posición en la que cae no es regular. Es más posible que la chincheta caiga con el pico hacia arriba que hacia abajo.

Regla de Laplace La probabilidad de un suceso es igual al número de casos elementales que contiene el suceso dividido entre el número total de sucesos elementales. Para recordarla se suele utilizar esta expresión: P (A) =

n.º de casos favorables en A n.º de casos posibles

EJEMPLO 11 Lanzamos un dado de parchís y anotamos el resultado.

Antes de aplicar la regla de Laplace hay que comprobar que el experimento es regular.

Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos. a) A = «Sacar un número menor que 3» b) B = «Sacar un divisor de 6»

El experimento aleatorio es regular porque todas las caras de un dado, no trucado, tienen las mismas posibilidades de salir. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} " N.º de casos posibles = 6 a) A = «Sacar número menor que 3» = {1, 2} " N.º de casos favorables = 2 2 P (Sacar número menor que 3) = P(A) = = 0,33 6 b) B = «Sacar divisor de 6» = {1, 2, 3, 6} " N.º de casos favorables = 4 4 P (Sacar divisor de 6) = P(B)   = = 0,67 6

LO QUE DEBES SABER RESOLVER 29 Calcula la probabilidad de los siguientes

sucesos en el experimento aleatorio que consiste en tirar un dado y anotar el número de su cara superior. ¿Es un experimento regular? a) A = «Salir número par» b) B = «Salir múltiplo de 3» c) C = «Salir número mayor que 10»

30 Un dado de quinielas tiene

tres 1, dos X y un 2. ¿Cuál es la probabilidad de que salga una X? ¿Y un 2? 31 Lanzamos dos monedas simultáneamente.

¿Cuál es la probabilidad de que salgan dos caras? ¿Y una cara y una cruz?

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Lo esencial COMPRENDE ESTAS PALABRAS Estadística

Probabilidad

•  Variable cualitativa Los valores de la variable son cualidades. Por ejemplo: sexo

Espacio muestral Suceso elemental

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

F

•  Variable cuantitativa Los valores de la variable son números. Por ejemplo: n.º de hermanos, Estatura

{5}

Suceso elemental F

F

{4}

Suceso elemental {6}

HAZLO DE ESTA MANERA

1. CONSTRUIR TABLAS DE FRECUENCIAS Realiza una tabla de frecuencias para organizar los siguientes datos: 8 8 7 5 6 9 6 7 6 8 7 7 9 7 5 5 PRIMERO. Colocamos,

en la primera columna, los posibles valores de la variable. 5 6 7 8 9

SEGUNDO. Contamos

el número de veces que aparece cada dato para calcular las frecuencias absolutas, y completamos la segunda columna de la tabla. 5 " ///     6 " ///     7 " ////     8 " ///     9 " ///

TERCERO. Dividimos

las frecuencias absolutas entre el número total de datos, para hallar las frecuencias relativas, y lo anotamos en otra columna.

Dato xi

Frecuencia absoluta fi

Frecuencia relativa hi

5

3

0,1875

6

3

0,1875

7

5

0,3125

8

3

0,1875

9

2

0,125

N = 16

Total = 1

2. CONSTRUIR UN DIAGRAMA DE BARRAS Representa estos datos en un diagrama de barras. Dato xi

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Frecuencia fi

1

1

2

3

2

5

3

2

1

PRIMERO. Dibujamos

unos ejes de coordenadas, poniendo en el eje de abscisas los valores o modalidades de la variable, y en el eje de ordenadas, las frecuencias.

SEGUNDO. Sobre

cada valor levantamos una columna con altura igual a la frecuencia.

TERCERO. Cuando

la variable es cuantitativa, podemos unir los extremos superiores de las barras para obtener el polígono de frecuencias.

fi 6 5 4 3 2 1 2

3

4

5

6

7

8

9

10 xi

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3. CONSTRUIR UN DIAGRAMA DE SECTORES Representa, en un diagrama de sectores, los datos relativos a las opiniones sobre las instalaciones deportivas de un centro de enseñanza. PRIMERO. Calculamos la amplitud Valoración hi Amplitud (°) del sector de cada valor de Buenas 0,5 0,5 ? 360° = 180° la variable multiplicando Regulares 0,28 0,28 ? 360° = 100,8° su frecuencia relativa por 360°. Malas

0,22

0,22 ? 360° = 79,2°

en un círculo los sectores, y ponemos cada dato en su lugar correspondiente.

Buenas Malas

SEGUNDO. Dibujamos

Regulares

4. CALCULAR PROBABILIDADES MEDIANTE LA REGLA DE LAPLACE Halla la probabilidad del suceso A = «Que salga número impar» en el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado. PRIMERO. Determinamos

el espacio muestral y los distintos sucesos.

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} " N.º de casos posibles = 6         A = {1, 3, 5} " N.º de casos favorables = 3  SEGUNDO. Comprobamos

si el experimento es regular. El experimento es regular porque todas las caras de un dado, no trucado, tienen las mismas posibilidades de salir.

TERCERO. Aplicamos

P (A) =

la regla de Laplace.

o

3 n. de casos favorables en A = = 0,5 6 n.o de casos posibles

Y AHORA… PRACTICA Comprende estas palabras

Construir un diagrama de sectores

2. Pon ejemplos de los diferentes tipos de variables estadísticas.

6. ¿Qué diagrama de sectores corresponde a los datos del ejercicio 4? a)

3. En el experimento que consiste en lanzar dos monedas al aire: a)  Determina el espacio muestral. b)  Pon ejemplos de diferentes sucesos. Construir tablas de frecuencias 4. ¿Cuál es la frecuencia relativa de 2? 2 3 1 0 2    4 2 2 3 1 3 3 2 1 1    1 2 3 2 4

b)

Construir un diagrama de barras

Calcular probabilidades mediante la regla de Laplace

5. Construye el diagrama de barras de los datos anteriores.

7. Al extraer al azar una carta de una baraja española, ¿cuál es la probabilidad de sacar un as?

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Actividades VARIABLES ESTADÍSTICAS 34. ● Indica el tipo de variable: cualitativa o cuantitativa. a) Número de hermanos. b) Sexo. c) Nacionalidad.

d) Número de calzado. e) Edad.

TABLAS DE FRECUENCIAS 36. ● Una variable estadística toma estos valores: 3   5   4   2   6   1   2   3 a) Realiza un recuento. b) Calcula las frecuencias absolutas. c) Halla las frecuencias relativas. d) Organiza los datos en una tabla de frecuencias. 37. ● Las notas que se obtienen en un examen, de 0 a 5, son las siguientes: 0   1   0   5   4       5   4   2   5   3 a) Realiza un recuento. b) Calcula las frecuencias absolutas y relativas. c) Organiza los datos en una tabla de frecuencias. 38. ● Las temperaturas máximas, en °C, que se han registrado en los últimos quince días del mes de agosto han sido: 40   39   41   39   40   38   37   40 40   41   42   39   40   39   39 a) Realiza un recuento de estas temperaturas. b) Calcula las frecuencias absolutas y relativas. c) Organiza los datos en una tabla de frecuencias. 39. ● Luis lanza 10 veces un dado, con cuatro caras numeradas del 1 al 4, y anota los resultados en su cuaderno.

HAZLO ASÍ ¿Cómo se construye una tabla de frecuencias si la variable es cualitativa? 1. Se pregunta a 30 alumnos sobre su deporte favorito, fútbol (F), baloncesto (B) o atletismo (A), y se obtienen estos resultados: F F F B B B A B B A F F B B A B B F F A A A A A A B B A F B Realiza el recuento y construye la tabla de frecuencias. PRIMERO. Se

escribe cada modalidad y se anota el número de veces que aparece cada una de ellas para realizar el recuento. Fútbol

////  ///

Baloncesto

////  ////  //

Atletismo

////  ////

SEGUNDO. Se

construye la tabla de frecuencias indicando en la primera columna los datos y en la siguiente las frecuencias absolutas. fi

Dato Fútbol

8

Baloncesto

12

Atletismo

10

Las frecuencias absolutas coinciden con los datos obtenidos en el recuento.

TERCERO. Se completa la tabla añadiendo las frecuencias relativas, dividiendo las frecuencias absolutas por el número total de datos.

Dato

fi

hi

Fútbol

8

8 = 0,27 30

Baloncesto

12

12 = 0,4 30

Atletismo

10

10 = 0,33 30

30

1

40. ● Estos son los nombres de 10 alumnos de una clase de 1.º ESO. a) ¿Cuántas veces se han repetido los resultados? Realiza un recuento. b) Calcula las frecuencias absolutas y relativas. c) Organiza los datos en una tabla de frecuencias.

Carlos Rosa Lola Fátima

Eduardo Consuelo

Fernando Julia Paco Isabel

Considerando la variable sexo del alumno (chico/chica), realiza una tabla de frecuencias.

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43. ● Los siguientes datos corresponden al número de empleados de una cadena de tiendas. 4  7  5  2  4     5  6  4  7  3     7  4  3  4  4 3  4  3  2  4     4  1  1  2  5     3  2  2  5  3 3  8  2  3  2     2  5  4  1  5     8  6  6  1  3 a) Indica cuál es la variable y de qué tipo es. b) Efectúa el recuento de datos y realiza una tabla de frecuencias. 44. ● Lanzamos un dado 48 veces, obteniéndose estos resultados: 3   4   5   1     6   2   2   3     4   2   6   5     1   4   2   3     1   4   5   3     2   1   4   6     4   4   3   2     1   6   2   5     6   2   3   1     5   4   1   6     3   2   4   6     6   2   1   2

48. ● ● Las edades de los socios de un club son: 19  21  24  24  24     25  24  21  26  19 20  22  29  23  28     27  22  23  24  19 a) Construye una tabla de frecuencias en la que figuren sus porcentajes. b) ¿Qué porcentaje de socios tiene más de 25 años? 49. ● ● Para estudiar cómo influye trasnochar en el rendimiento académico, se ha preguntado a los alumnos de un centro universitario cuántos días salen de fiesta por semana, obteniéndose los siguientes resultados: 0  2  3  2  1     1  1  4  0  1 1  2  2  1  3     1  3  0  1  2

Efectúa el recuento de datos, y obtén una tabla con todas las frecuencias. 45. ●● Se ha preguntado a 50 alumnos por su deporte favorito: 16 han escogido fútbol, 12 baloncesto, 6 balonmano, 10 equitación y 6 ciclismo. Considerando estos datos: a) Calcula las frecuencias absolutas. b) ¿Qué frecuencia absoluta representa el 20 %? c) Obtén las frecuencias relativas. d) ¿Qué frecuencia relativa representa el 32 %? 46. ●● Completa los datos de la siguiente tabla de frecuencias: Dato

Frecuencia absoluta

 2

4

Frecuencia relativa

 4

10

 4

0,15

Limón

 6

Piña

 3

Representa estos datos en un diagrama de barras.

Frecuencia relativa

Suspenso 0,3

Notable Sobresaliente

5

N.º de alumnos

Naranja

6

Aprobado

Refrescos

0,2

0,1

Frecuencia absoluta

50. ● En una clase de 1.º ESO se pregunta a los alumnos por sus refrescos preferidos.

10

47. ●● Completa la tabla, sabiendo que hay el doble de suspensos que de notables. Notas

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

Cola

 6  8

Efectúa el recuento de datos y obtén la tabla de frecuencias.

0,1

51. ● La música preferida por los alumnos de 1.º ESO, según una encuesta realizada, es: Música

N.º de alumnos

Rock

18

Pop

12

Bacalao

24

Clásica

10

Dance

 6

Representa estos datos en un diagrama de barras.

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52. ● Los resultados obtenidos al lanzar una moneda 25 veces son 11 caras y 14 cruces. Represéntalos en un diagrama de sectores. 53. ● En un edificio de 24 viviendas, el número de personas que habitan en cada una es: 3  4  2  5     6  4  2  0     1  2  3  4 6  8  4  3     5  4  6  2     8  4  1  3 a) Construye una tabla de frecuencias. b) Representa los datos con un diagrama de barras y un diagrama de sectores. 54. ●● Una familia gasta mensualmente 1 800 �. El siguiente gráfico muestra lo que destina a cada concepto. 10 % 30 %

Gastos generales 60 %

Hipoteca Otros

¿Cuánto dinero gasta en cada concepto? 55. ●● Se ha preguntado a los alumnos de una clase sobre su deporte favorito, y este ha sido el resultado. Fútbol: 32 Tenis: 9 Atletismo: 5

Baloncesto: 16 Otros: 17 Ninguno: 3

Representa, en un diagrama de sectores, estos resultados, e indica el porcentaje de cada sector. 56. ●● En una encuesta realizada a 2 500 personas, sobre el funcionamiento de los autobuses urbanos, se han obtenido los siguientes datos: Muy bien: 30,7 % Bien: 48 % Regular: 10,9 %

Mal: 1 % Muy mal: 0,4 % NS/NC: 9 %

a) Construye una tabla de frecuencias. b) ¿Cuántas personas responden Bien o Muy bien? c) Representa los datos en un diagrama de sectores.

63. ● Escribe el espacio muestral en cada caso. a) Se extrae una moneda de una hucha que contiene monedas de 5, 10, 20 y 50 céntimos. b) Se coge una papeleta de una urna que contiene papeletas numeradas del 1 al 10. c) Se extrae una carta de la baraja y se anota si es figura o no. 64. ● En el experimento aleatorio que consiste en extraer una carta de la baraja española, define el espacio muestral y estos sucesos. a) Sacar un rey. b) Sacar una carta con un número par. c) Sacar espadas. d) No sacar oros. e) Sacar una figura.

REGLA DE LAPLACE 65. ● En una bolsa tenemos 4 bolas azules, 3 rojas, 2 verdes y 1 blanca. Se saca una bola al azar. a) ¿Qué es más probable, que salga azul o blanca? b) ¿Es más probable que salga roja o verde? c) Calcula las probabilidades de cada resultado (azul, roja, verde o blanca). ¿Cuánto vale la suma de estas probabilidades?

SUCESOS. ESPACIO MUESTRAL 61. ● En el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado y anotar el resultado, distingue los sucesos elementales de los sucesos compuestos. a) «Salir número par» b) «Salir número primo» c) «Salir número mayor o igual que 5» d) «Salir múltiplo de 4» En los sucesos que consideres compuestos, indica cuántos sucesos elementales contienen.

66. ● En una bolsa hay 5 bolas rojas, 6 azules, 4 verdes y 3 naranjas. a) ¿Cuántas bolas hemos de sacar para estar seguros de obtener una bola azul? b) ¿Qué color es más probable al sacar una bola de la bolsa?

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67. ●● Una bolsa A tiene 3 bolas rojas y 2 verdes, y otra bolsa B, 1 bola roja y 2 verdes. Se elige una bolsa, se saca una bola y gana quien saca bola verde. Para ganar habrá que elegir:

72. ● En un monedero hay seis monedas de 20 céntimos, cuatro de 50 céntimos y tres de 1 euro. Se extrae una moneda al azar. Calcula la probabilidad de que sea:

a) La bolsa A. b) Cualquier bolsa. c) La bolsa B. d) No se puede saber. 68. ●● Define un suceso seguro y otro imposible para cada uno de los siguientes experimentos. a) Lanzar un dado con las caras numeradas del 1 al 6. b) Lanzar dos monedas. c) Extraer una bola de una bolsa que contiene bolas numeradas del 1 al 4. d) Lanzar dos dados y sumar los puntos obtenidos. 69. ●● ¿Son equiprobables los sucesos elementales de estos experimentos? a) Extraer una carta de la baraja española y anotar si es figura o no. b) Lanzar dos monedas. c) Extraer una pieza de fruta de un frutero que contiene cinco manzanas, tres naranjas y cuatro ciruelas.

a) Una moneda de 20 céntimos. b) Una moneda de 50 céntimos. c) Una moneda de 1 euro. 73. ● En una bolsa hay 5 bolas azules, 4 bolas blancas y 3 bolas rojas. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de obtener: a) Una bola azul. b) Una bola roja.

c) Una bola blanca.

PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 79. ● ● Un frutero tiene sacos de cebollas de 2 kg, 5 kg y 10 kg. Durante un día ha vendido 10 sacos de 2 kg, 5 sacos de 5 kg y 2 sacos de 10 kg.

70. ● Se lanza un dado con las caras numeradas del 1 al 6 y se anota el resultado de la cara superior. Calcula la probabilidad de que sea: a) Número par. b) Número impar. c) Número mayor que 2. d) Número menor que 1. e) Número mayor o igual que 6. f) Múltiplo de 3. g) Múltiplo de 4. 71. ● En una baraja española de 40 cartas se extrae una carta. Calcula la probabilidad de que: a) Sea de oros. b) Sea el rey de copas. c) Sea un rey. d) No sea el as de espadas. e) Sea de copas. f) Sea de bastos. g) Sea de copas o de bastos. h) No sea un as. i) Sea una figura. j) No sea una figura.

a) Organiza estos datos mediante una tabla de frecuencias. b) Representa, en un diagrama de barras, las frecuencias absolutas. c) Dibuja un diagrama de barras donde representes las frecuencias relativas. 80. ● ● Las edades, en años, de los 10 primeros visitantes al parque de atracciones de una ciudad son las siguientes: 12   10   14   12   14 10   11   12   12   12 Dibuja un diagrama de barras con las frecuencias absolutas y otro con las frecuencias relativas.

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Y ahora... practica (Soluciones) UNIDAD 1

UNIDAD 4

  1. Respuesta abierta. Por ejemplo: 3 435, 6 162

1. a) 2 ? 10 + 7 + 4 ? 0,1 + 5 ? 0,02 b) 3 + 7 ? 0,1 + 8 ? 0,01 + 6 ? 0,001 c) 1 ? 103 + 2 ? 102 + 3 + 3 ? 0,001

  2. a) d = 11

b) d = 14

  3. r = 5   4. a) 175

b) No se puede.

  1. a) 126

b) 959

c) 3 474

  6. a) 25 b) 7 c) No se puede.

d) 424 e) No se puede. f) 1236

  2. a) 38

b) 9

10. a) 19

b) 7

c) 4

UNIDAD 2   1. 24 es múltiplo de 2.

24 es múltiplo de 3.

  2. 63 es múltiplo de 7.

77 es múltiplo de 7.

  1. Respuesta abierta. Por ejemplo: a) 16, 24, 32 c) 36, 54, 72 b) 24, 36, 48 d) 48, 72, 96   2. Respuesta abierta. Por ejemplo: a) 12, 6, 3 c) 2, 5, 10 b) 2, 3, 32 d) 1, 3, 13   3. Solo dos, 1 y 17. Es primo.   5. Es primo 31.

1. a) Parte entera: 13 b) Parte entera: 3 c) Parte entera: 0 3. 4. 5. 6.

7 < 7,009 < 7,09 < 7,9 2,563 a) 28,337 b) 283,37 a) 4 320 b) 4,32

  7. 88 = 2 ? 11

1. 2. 3. 4.

|-7| = 7 |+3| = 3 Op (-7) = +7 Op (+3) = -3 Es cierta la expresión b). -18

1. 8 5. +6 2. -4 6. -9 7. +36 8. +3 UNIDAD 6

x = 12 5 b) Identidad b)

2. a) Ecuación

  8. 120 = 23 ? 3 ? 5 240 = 24 ? 3 ? 5 480 = 25 ? 3 ? 5

1. -1 5. 0

  9. 600 10. m.c.d. (32, 48) = 24 = 16 11. m.c.d. (24, 35 y 46) = 1 12. m.c.m. (10, 8) = 2 13. m.c.d. (16, 40 y 80) = 23 = 8 UNIDAD 3   1. Respuesta abierta. 6 30 , Por ejemplo: 10 50

2. a) x = 12

b) x = 3

3. a) x = 12

b) x = 9

4. 2x - 3 = 7 " x = 5 UNIDAD 7 1. Sí   4. 150 000 m2 2. 32,5478 kg   5. 0,0034 hm2 3. 3 720 dl   6. 1,0025 dm3 1. 345 270 000 dam3 7. 8.

  1.

30 dm2  56 cm2  30 mm2   9. 410 m 3 hl  2 dal  4 ¬  1 dl 10. 103,002 g

2. a) 8 411,5 m

  2.

Son equivalentes.

3. 3 020 800 m2

4 2 son equivalentes. y 12 6

4. 3 004,034 m3

5 7 y no son equivalentes. 7 6

UNIDAD 8

  4.

3 12 = 48 12

  5.

25 83 44 < < 33 24 24

  6.

27 20

c) 28,337 c)  0,432

UNIDAD 5

1. a) 3x - 6

3

Parte decimal: 24 Parte decimal: 86 Parte decimal: 007

6 18 = 48 16

1. 3. 5. 6.

Se necesitan dos razones. No forman proporción. No es directamente proporcional. No es inversamente proporcional.

1. a) x = 4,5

b) 234,287 ¬

b) x = 2

y = 12 y=4

7. 0,25 ? 24 = 6

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UNIDAD 9

UNIDAD 12

1. No se puede hallar la longitud de una línea recta ni de una semirrecta. Sí se puede hallar la longitud de un segmento.

1.



2. Solo se puede trazar una perpendicular. Solo se puede trazar una paralela. 3. Consecutivos: BV y CV V y EV Adyacentes: D

4. Los ángulos AV y BV son complementarios. Los ángulos BV y CV son consecutivos. Los ángulos AV y CV son iguales. 1. Trazamos una semirrecta y dibujamos un arco sobre el ángulo dado. Con el mismo radio trazamos otro arco en el ángulo que estamos construyendo, y con el compás trasladamos la amplitud del arco sobre este ángulo. 2. a)

2. Cubo    Cono    Pirámide de base cuadrada 2. Caras: 10    Vértices: 16    Aristas: 24 3.

UNIDAD 13 1.

BV

Y

AV + BV

AV

1 X

1

b) AV - BV AV

6. a) 600m b) 18 000m

BV

2. Se encuentra en el cuarto cuadrante. 3. Son los puntos (1, 2) y (-2, 1). 4. y = 6 1. Y

c) 870l d) 218 160m

3. Dibujamos una semirrecta que pase por el 0° del transportador. Marcamos el 55° del transportador y dibujamos el ángulo.

2 X

1

UNIDAD 10 1. a) Sí b) Sí

c) No d) No

2. En el primer trimestre la familia consume 1 000 kWh, en el segundo baja el consumo a los 500 kWh, mínimo anual. Aumenta hasta 1 500 kWh, el máximo anual, para bajar en el último trimestre hasta los 750 kWh.

2. Sí UNIDAD 14

1. 60º

2. Respuesta abierta. Por ejemplo: Edad, color favorito, peso, n.° de libros que se leen…

5. Mide 35 cm. 6. Tiene que medir 9 cm. 7. Mide 5,66 cm.

3. E = {2 caras, cruz y cara, 2 cruces} Respuesta abierta. Por ejemplo: Sacar menos de 2 caras, sacar cara y cruz, sacar 2 cruces… 4. 0,35

UNIDAD 11

5. fi

1. Mide 15 cm2.

7

2

2. Mide 28,26 cm .

5

3. Mide 6,93 cm. 4. Mide 31,005 cm2. 5. Mide 29 cm.

3 1 0

2

6. Mide 50 cm . 7. Mide 175 m2. 8. Mide 243 m2.

1

2 Datos

3

4

6. El gráfico a). 7. 0,1

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Dirección de arte: José Crespo Proyecto gráfico: Portada: Pep Carrió Interiores: Rosa María Barriga, Manuel García Ilustración: Jorge Arranz, José María Valera Fotografía de cubierta: Antonio Fernández Jefa de proyecto: Rosa Marín Coordinación de ilustración: Carlos Aguilera Jefe de desarrollo de proyecto: Javier Tejeda Desarrollo gráfico: José Luis García, Raúl de Andrés Dirección técnica: Ángel García Encinar Coordinación técnica: Lourdes Román Confección y montaje: Alfonso García, Luis González, Hilario Simón, Marísa Valbuena Corrección: Marta López, Nuria del Peso Documentación y selección fotográfica: Nieves Marinas Fotografías: A. Toril; B. Vilanova; J. Jaime; J. V. Resino; P. Esgueva; AGENCIA ESTUDIO SAN SIMÓN/A. Prieto; EFE/Federico Velez, AP Photo/Matthew Craig; GETTY IMAGES SALES SPAIN/Photos.com Plus; HIGHRES PRESS STOCK/AbleStock.com; I. Preysler; JOHN FOXX IMAGES; MATTON-BILD; SERIDEC PHOTOIMAGENES CD; ARCHIVO SANTILLANA

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