Libro Fisica Ceprevi 2002

UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS

CEPREVI

Física TEORÍA Y PROBLEMAS

Lima – 2002

F Í S I C A

"La enseñanza se debiera impartir de modo que lo que ofrece se percibiera como un regalo valioso y no como un duro deber". Albert Einstein (New York Times - 1952)

2002. Derechos Reservados Prohibida su reproducción parcial o total de este texto ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, fotocopia por registro u otros métodos sin el permiso previo de los autores. Ley 13714. 2

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Presentación El presente trabajo está dirigido a los estudiantes preuniversitarios que inician el estudio de la Física Elemental. El objetivo de la obra es, la comprensión de las leyes físicas fundamentales y el desarrollo, en los estudiantes, del hábito de utilizarlos en los diferentes problemas. El conocimiento de esta ciencia permitirá entender los fenómenos naturales que se dan en el Universo y que se pueden observar en la vida diaria. El texto consta de 12 unidades. Cada unidad se divide en tres bloques: primero, la exposición teórica con ejemplos didácticos; segundo, problemas para resolver en clase, dosificados en orden creciente de dificultad; tercero, la tarea domiciliaria. No olvidemos que la Física es la columna vertebral de la ciencia e ingeniería. Los profesores del curso esperamos sinceramente que este texto se constituya en un buen compañero de trabajo de los estudiantes preuniversitarios.

Los Autores

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Contenidos Unidad I

Análisis Dimensional ............................................................................. 5

Unidad II

Análisis Vectorial .................................................................................. 11

Unidad III

Cinemática (MRU) ............................................................................... 21

Unidad IV

Cinemática (MRUV) ............................................................................ 29

Unidad V

Movimiento Vertical de Caída Libre (MVCL) ....................................... 34

Unidad VI

Estática ................................................................................................ 40

Unidad VII

Dinámica Lineal ................................................................................... 48

Unidad VIII

Rozamiento ......................................................................................... 56

Unidad IX

Trabajo y Potencia .............................................................................. 64

Unidad X

Energía ................................................................................................ 73

Unidad XI

Electrostática ....................................................................................... 81

Unidad XII

Electrodinámica ................................................................................... 91

4

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unidad

1

Análisis Dimensional DIMENSIONES Es parte de la FÍSICA que estudia las relaciones entre las magnitudes fundamentales y derivadas, en el Sistema Internacional de Unidades, el cual considera siete magnitudes fundamentales. Las magnitudes fundamentales son: longitud, masa, tiempo, temperatura, intensidad de corriente eléctrica, intensidad luminosa y cantidad de sustancia. Las magnitudes derivadas son: área, volumen, densidad, velocidad, aceleración, fuerza, trabajo, potencia, energía, etc.

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES MAGNITUD FÍSICA Nombre

damentales. La DIMENSIÓN de una magnitud física se representa del siguiente modo: Sea A la magnitud física. [A] : se lee, dimensión de la magnitud física A.

FÓRMULAS DIMENSIONALES BÁSICAS 1. [Longitud] = L 2. [Masa] = M 3. [Tiempo] = T 4. [Temperatura] = θ 5. [Intensidad de la corriente eléctrica]=I 6. [Intensidad luminosa] = J 7. [Cantidad de sustancia] = N

UNIDAD

Dimens. Nombre Símbolo

8. [Número] = 1 9. [Área] = L2

1 Longitud

L

metro

m

2 Masa

M

kilogramo

kg

11. [Densidad] = ML–3

3 Tiempo

T

segundo

s

12. [Velocidad] = LT–1

kelvin

K

4 Temperatura θ 5 Intensidad de corriente eléctrica 6 Intensidad Luminosa

10. [Volumen] = L3

13. [Aceleración] = LT–2 14. [Fuerza] = MLT–2 15. [Trabajo] = ML2T–2 16. [Energía] = ML2T–2

I

ampere

A

17. [Potencia] = ML2T–3 18. [Presión] = ML–1T–2

J

candela

cd

19. [Período] = T 20. [Frecuencia] = T–1

7 Cantidad de Sustancia

N

mol

mol

21. [Velocidad angular] = T–1 22. [Ángulo] = 1

FÓRMULA DIMENSIONAL

23. [Caudal] = L3T–1

Es aquella igualdad matemática que muestra la relación que existe entre una magnitud derivada y las magnitudes fun-

24. [Aceleración angular] = T–2

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25. [Carga eléctrica] = IT 26. [Iluminación] = JL–2

5

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PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL

2. PROPIEDAD DE LOS EXPONENTES

En una fórmula física, todos los términos de la ecuación son dimensionalmente iguales.

Los exponentes son siempre números, por consiguiente la dimensión de los exponentes es igual a la unidad. Ejemplo: En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de K. x = A3Kf Donde: f : frecuencia Resolución: La dimensión del exponente es igual a la unidad: [3Kf] = 1 [3][K][f] = 1 [K]·T–1 = 1 [K] = T

A – B2 =

C D

C Entonces: [A] = [B2] =   D  Ejemplo: En la siguiente fórmula física: h = a + bt + ct2 Donde: h : altura t : tiempo Hallar la dimensión de a, b y c. Resolución: Principio de homogeneidad dimensional: [h] = [a] = [b·t] = [c·t2] I II III De (I): De (II): De (III):

L = [a] L = [b]T ⇒ [b] = LT–1 L = [c]T2 ⇒ [c] = LT–2

APLICACIONES:CASOS ESPECIALES 1 . PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS Los ángulos son números, en consecuencia la dimensión de los ángulos es igual a la unidad. Ejemplo: En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de x. A = K Cos (2πxt) Donde: t : tiempo Resolución: La dimensión del ángulo es igual a la unidad: [2πxt] = 1 [2π][x][t] = 1 [x]·T = 1 [x] = T–1

6

3. PROPIEDAD DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN En las operaciones dimensionales no se cumplen las reglas de la adición y sustracción. L+L=L ... (1) M–M=M ... (2) Ejemplo: Hallar la dimensión de R en la siguiente fórmula física: R = (k–t)(K2+a)(a2–b) Donde: t : tiempo Resolución: Principio de homogeneidad dimensional: [K] = [t] = T [K2] = [a] = T2 [a2] = [b] = T4 Analizando la fórmula tenemos: 2 − b] a [R] = [K − t] [ K 2 +

a] [ 

   [R] = T · T2 · T4

[R] = T7

4. FÓRMULAS EMPÍRICAS Son aquellas fórmulas físicas que se obtienen a partir de datos experimenU N F V – C E P R E V I

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tales conseguidos de la vida cotidiana o en el laboratorio de ciencias. Ejemplo: La energía cinética E de un cuerpo depende de su masa "m" y de la rapidez lineal V. E=

mx ⋅ V y 2

Hallar: x+y Resolución: Aplicando el principio de homogeneidad dimensional.

[E] =

[mx ][ V y ] [2]

[E] = Mx · (LT–1)y M1L2T–2 = MxLyT–y A bases iguales le corresponden exponentes iguales: Para M: x = 1 Para L: y = 2 Luego: (x+y) = 3

PROBLEMAS 1. De las siguientes proposiciones, indicar verdadero (V) o falso (F): I. [Densidad] = L–3M II. [Presión] = ML–1T–3 III. [Caudal] = L3T–1 a) VVF b) FVV c) VFF d) VVV e) VFV 2. De las siguientes proposiciones indicar verdadero (V) o falso (F): I. La cantidad de calor y el trabajo tienen la misma fórmula dimensional. II. La velocidad de la luz y la velocidad del sonido tienen diferente fórmula dimensional. III. La dimensión del número es igual a cero: [número]=0 a) FVV b) VFV c) VVF d) VVV e) VFF 3. En las siguientes ecuaciones, determinar la dimensión de: A·B·C. I. 750 metros + A = 1 km II. 2 kg – B = 500 gramos III. 12 horas + C = 2 días a) L b) LM c) LMT d) 1 e) L2T–2 4. En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión K. K=

m⋅V F⋅t

m : masa ; V : velocidad ; F : fuerza ; t : tiempo a) L2 b) T3 c) LT–3 d) ML–3 e) M0

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5. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de K. K = n·a·t2 + bn a : aceleración ; t : tiempo a) L0 b) L c) L2 d) L3 e) L4 6. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de K. K= a) L

x3

( y − h)( y 2 + 3x )

b) L2

c) T3

; h : distancia d) L3

e) L6

7. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de K.

a) L2

V = K − A2 ; V : velocidad b) LT–2 c) L2T–1 d) L2T–2 e) LT–1

8. En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de m. K3 = bn + 5m·n2 Donde: k : longitud a) L2 b) L3 c) L4 d) T6 e) L–3 9. En la siguiente ecuación, hallar la dimensión de K. Cos (2πKt) = a) 0

b) 1

1 2

c) T

; t : tiempo d) T–1

e) T–2

10. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de K. K = A·W·Cos (wf+π) A : distancia ; f : frecuencia b) LT–2 c) L d) LT e) T0 a) LT–1 11. En la siguiente fórmula física, determinar el valor de "x". d = Sen 30°·g·tx d : distancia ; g : aceleración ; t : tiempo a) 1 b) 2 c) 3 d) –2 e) –1 12. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de A·B. x = A Log (2πB) ; x : longitud d) LT e) M–3 a) 1 b) L c) L2 13. Hallar la dimensión K, en la siguiente ecuación: y = Log  a ⋅ k   V  a : aceleración ; V : velocidad c) T3 a) T b) T2 8

d) L–2

e) LT–2 U N F V – C E P R E V I

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14. En la siguiente fórmla física, hallar la dimensión de K. x = A·B2πfK x : distancia ; f : frecuencia a) LT–1 b) LT–2 c) T 3 d) L e) T–2 15. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de A·B·C. x = A + 2Bt + 3Ct2 x : distancia ; t : tiempo a) L3 b) T–3 c) L2T–3 d) L3T–3 e) L3T–2

TAREA 1. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de A·B. x = A·Sen (2πfB) x : distancia ; f : frecuencia d) LT2 e) LT a) L b) T c) L2T 2. En la siguiente fórmula física, hallar el valor de "x". d=

Vx (Sen 30°)a

d : distancia ; a : aceleración ; V : velocidad a) 1 b) 2 c) –1 d) –2 e) 3 3. En la siguiente fórmula física, determinar la dimensión de K. B = KP + 2,331 E E : energía ; P : presión b) L3 c) T2 a) L2 3 2 d) T e) M 4. En la siguiente fórmula física, determinar el valor de x. V = (Log π)(Sen 37°) hx V : volumen ; h : altura a) –2 b) –1 c) 1 d) 2 e) 3 5. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de A. m·A = D(Log π)(Sec 60°) m : masa ; D : densidad b) L3 c) LT2 a) L2 d) ML3 e) L–3

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6. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de K. A = B3Kt f: frecuencia ; B : número ; t : tiempo a) T–1 b) T c) T–2 2 0 d) T e) T 7. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de J. J= a) M0

( W 2 − 4k )

; x : masa

( x − 2y )( y 2 + 3W)

b) M

c) M2

d) M3

e) M4

8. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión de W. W = (x–h)(x2+a)(a2+y) Donde: h : temperatura b) θ6 c) θ7 a) θ5 d) θ9 e) θ3 9. Determinar la dimensión de K en la siguiente fórmula física. K·V = F·t V : velocidad ; F : fuerza ; t : tiempo a) L b) M c) T e) M3 d) L2 10. En la siguiente fórmula física, hallar la dimensión K. E = Sen 30° · KVSec 60° E : trabajo ; V : velocidad a) L3 b) ML–2 c) M e) LT–1 d) M2

1. e 1. e 10

2. e 2. b

3. c 3. b

4. e 4. e

5. b 5. b

6. d 6. a

7. d 7. b

CLAVES 8. b 9. d 10. d 11. b 12. b 13. a 14. c 15. d 8. c 9. b 10. c U N F V – C E P R E V I

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unidad

2

Análisis Vectorial CONCEPTO DE VECTORES Es un ente matemático como el punto, la recta y el plano. Se representa mediante un segmento de recta, orientado dentro del espacio euclidiano tridimensional.

NOTACIÓN:

G A , se lee “vector A”. Se representa por cualquier letra del alfabeto, con una pequeña flecha en la parte superior de la letra. También se le representa mediante un par ordenado: G A = (x; y)

x; y: componentes rectangulares del vector EJEMPLO: y

θ 8

x=8 e y=6

ELEMENTOS DE UN VECTOR A) MÓDULO Geométricamente es el tamaño del vector. Indica el valor de la magnitud vectorial. G A ó | A |: módulo del vector “A”. G | A |= x 2 + y 2 U N F V – C E P R E V I

Es la línea de acción de un vector; su orientación respecto del sistema de coordenadas cartesianas en el plano, se define mediante el ángulo que forma el vector con el eje x positivo en posición normal. Tan θ =

Tan θ =

6=3 8 4

y x

⇒ θ = 37°

x

El vector se representa mediante un par ordenado: G A = (8; 6) Donde:

B) DIRECCIÓN

Gráficamente se representa por una cabeza de flecha. Indica hacia que lado de la dirección (línea de acción) actúa el vector.

A

0

El módulo del vector es 10 unidades.

C) SENTIDO

(8; 6)

6

G A = 82 + 62 = 10

OPERACIONES CON VECTORES 1 . ADICIÓN DE VECTORES Cuando dos o más vectores están representados mediante pares ordenados, para hallar el vector resultante se suma las componentes rectangulares en los ejes x e y en forma independiente. EJEMPLO:

G G Sabiendo que: A = (5; 6) y B = (4; 6); hallar G G el módulo de: A+B. RESOLUCIÓN Ordenando los vectores: 11

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G A G B G G A +B G R

= (5; 6)  + = (4; 6)  = (9; 12)

G |R| = 92 + (12)2 = 225 G Luego:|R| = 15

2. SUSTRACCIÓN DE VECTORES Cuando dos vectores están representados mediante pares ordenados, para hallar el vector diferencia se restan las componentes rectangulares de los vectores minuendo y sustraendo. EJEMPLO:

G G Sabiendo que: A = (13; 11) y B = (7; 3); G G hallar el módulo de: A – B. RESOLUCIÓN Ordenando los vectores minuendo y sustraendo: G A = (13; 11)  G −  B = (7; 3) G G A – B = (13–7; 11–3) G D = (6; 8) El módulo del vector diferencia se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras: G |D| = 62 + 82 = 100 G Luego:|D| = 10

3. MULTIPLICACION DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

G Sea A la cantidad vectorial y K la canG tidad escalar, entonces KA es un vector G paralelo al vector A donde el sentido depende del signo de k. Debo advertir que K es un número real.

–2A A

= (5+4; 6+6)

El módulo de la resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras:

12

2A –A

G G Si, K es positivo, los vectores A y KA son paralelos de igual sentido. G G – Si, K es negativo, los vectores A y KA son paralelos de sentidos opuestos. G El vector A también se puede expresar como un par ordenado: G A = (x; y) G Entonces: K A = K(x; y) G K A = (Kx, Ky)

–

De la última expresión podemos deducir que: si el vector se multiplica por un escalar, entonces sus coordenadas también se multiplican por esta cantidad escalar. PRIMER EJEMPLO: G Si, A = (–6; 9) Hallar las coordenadas del vector: G 2A 3 RESOLUCIÓN Producto de un escalar por un vector: G 2 2A = ( −6; 9) =  2 ( −6 ); 2 (9)  3 3 3 3  G Luego: 2 A = (–4; 6) 3 SEGUNDO EJEMPLO G G Si: A = (4; 6) y B = (2; 1) Hallar:

G G 1A + 3B 2

RESOLUCIÓN Producto de un escalar por un vector: 1G 1 A = (4; 6) = (2; 3) 2 2 G 3B = 3(2; 1) = (6; 3) U N F V – C E P R E V I

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G 1G A + 3B = (2+6; 3+3) = (8; 6) 2 G G 1A + 3B = 82 + 62 = 10 2

Aplicamos el método del paralelogramo: R = 52 + 32 + 2(5 )(3 )Cos 60°

4. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO PARA SUMAR DOS VECTORES. Para sumar dos vectores que tienen el mismo origen, se construye un paralelogramo, trazando por el extremo de cada vector una paralela al otro. El módulo del vector suma o resultante se obtiene trazando la diagonal del paralelogramo desde el origen de los vectores. A

O: origen común de los vectores.

R = 25 + 9 + 2(5)(3)(0,5) ⇒

R = 49

R=7

CASOS PARTICULARES A . RESULTANTE MÁXIMA La resultante de dos vectores es máxima, cuando forman entre sí un ángulo de cero grados. B

R=A+B

A

θ

Rmax = A + B

B El módulo del vector resultante es: R = A 2 + B2 + 2 ⋅ A ⋅ B ⋅ Cosθ

B. RESULTANTE MÍNIMA La resultante de dos vectores es mínima, cuando forman entre sí un ángulo de 180°. B

A y B : Módulo de los vectores. R : Módulo de la resultante. θ : Ángulo que forman los vectores. EJEMPLO:

G G Determinar el módulo de A + B, sabiendo que: A=5 B=3 85° O1

A

Rmin = |A – B|

C. RESULTANTE DE DOS VECTORES PERPENDICULARES Cuando dos vectores forman entre sí un ángulo recto, la resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras.

25° O2

b

RESOLUCIÓN Para determinar el ángulo entre los vectores, unimos el origen de los mismos A=5

R

a R = a 2 + b2

B=3

60° 25° O

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EJEMPLO: Si el módulo de la resultante máxima de dos vectores es 28 y la mínima es 4. 13

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Calcular el módulo de la resultante de estos vectores cuando formen un ángulo de 90°. RESOLUCIÓN Sabemos que:

A + B = 28 A–B=4

D = 52 + 62 − 2(5)(6)Cos 53° D = 25 + 36 − 2(5)(6) 3  5 ⇒

D = 25

D=5

Resolviendo las ecuaciones tenemos: A = 16 y B = 12

6. MÉTODO DEL POLÍGONO PARA SUMAR “N” VECTORES

Cuando los vectores forman un ángulo recto:

Consiste en construir un polígono con los vectores sumandos, manteniendo constante sus tres elementos (módulo, dirección y sentido), uniendo el extremo del primer vector con el origen del segundo vector, el extremo del segundo vector y el origen del tercer vector, así sucesivamente hasta el último vector. El módulo del vector resultante se determina uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector.

R

R = (16 )2 + (12)2 B=12 ⇒

R = 20 A=16

5. DIFERENCIA DE DOS VECTORES La diferencia de dos vectores que tienen el mismo origen se consigue uniendo los extremos de los vectores. El vector diferencia D indica el vector minuendo A. A

EJEMPLO: En el sistema vectorial mostrado, determinar el módulo del vector resultante.

D b

θ

c

B El módulo del vector diferencia se determina aplicando la ley de Cosenos: D = A 2 + B2 − 2 ⋅ A ⋅ B ⋅ Cos θ

a 1 RESOLUCIÓN Construimos el polígono vectorial. c

b

EJEMPLO:

G G Sabiendo que: |a| = 5 y |b| = 6, calcular: G G |a–b|. a b 30°

83° O1

O2

RESOLUCIÓN Los vectores forman un ángulo de 53°. Aplicamos la ley de Cosenos: 14

a

R

3

4 El módulo del vector resultante es: R = 42 + 32

⇒

R=5

CASO ESPECIAL Si el polígono de vectores es ordenado (horario o antihorario) y cerrado, entonces la resultante es cero. U N F V – C E P R E V I

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RESOLUCIÓN Descomponiendo el vector de módulo 10. y

A B C G G G A +B+C = 0

6

5 3

7 . DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR Consiste en escribir un vector en función de dos componentes que forman entre sí un ángulo recto. y

Cálculo de la resultante en cada eje: Rx = 8 – 5 = 3 Ry = 6 – 3 = 3 R = R2x + R2y = 3 2

A θ 0

Ax

x

La componente en el eje x es: Ax = A · Cos θ

R

⇒ θ = 45°

45° 3

=3=1 Rx 3

y

A

Ay 2k

37° 4k

60° k

30° k 3 k 2

45° k

45° k PRIMER EJEMPLO En el sistema vectorial mostrado, hallar la dirección del vector resultante, respecto del eje x positivo. y 10 5

x

Utilizando el método del paralelogramo, la descomposición tiene la siguiente forma:

También se puede descomponer utilizando triángulos rectángulos notables: 53° 3k

3

OBSERVACIÓN

La componente en el eje y es: Ax = A · Sen θ

5k

y

Ry

Tg θ =

Ay

x

37° 8

37° 3

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x

θ 0

Ax

x

Las componentes rectangulares son: Ax = A · Cos θ Ay = A · Sen θ SEGUNDO EJEMPLO En el siguiente sistema de vectores, deG terminar el módulo del vector A para que la resultante sea vertical. y A

50 37°

60°

x

0 RESOLUCIÓN Descomposición rectangular de los dos vectores: 15

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Representación de un vector en función de los vectores unitarios cartesianos. y (8;6) 6

y A·Sen 60°

30

A·Cos 60°

40

x

0

A

De la condición del problema: si la resultante es vertical, entonces la componente horizontal es nula.

Σ Vectores (eje x) = 0 A · Cos 60° – 40 = 0

lo del vector:

A = 80

x

3 G A 5

RESOLUCIÓN

G Cálculo del módulo del vector A :

OBSERVACIÓN I.

8

PRIMER EJEMPLO: G Sabiendo que: A = 8iˆ + 6ˆj. Hallar el módu-

 1 A   – 40 = 0 2 Luego:

0

Si la resultante de un sistema de vectores es VERTICAL, entonces la componente HORIZONTAL es nula. Σ Vectores (eje x) = 0

II. Si la resultante de un sistema de vectores es HORIZONTAL, entonces la componente VERTICAL es nula. Σ Vectores (eje y) = 0

8. VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS Son aquellos vectores cuyo módulo es la unidad de medida y se encuentran en los ejes coordenados cartesianos. y (1;1) j –i

i x –j

(–1;–1)

G |A| = 82 + 62 = 10 El módulo del vector:

3 G A 5

G G 3A = 3 | A |= 3 (10 ) 5 5 5 G 3A =6 5 SEGUNDO EJEMPLO: Sabiendo que: G G B = 2iˆ + 4ˆj y A = 6iˆ + 2ˆj G G Hallar el módulo del vector: A + B RESOLUCIÓN Ordenamos verticalmente: G A = 6iˆ + 2ˆj G B = 2iˆ + 4ˆj G G A + B = 8iˆ + 6ˆj Cálculo del módulo:

ˆi : vector unitario en el eje x. ˆj : vector unitario en el eje y.

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G G |A + B| = 82 + 62 = 10

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PROBLEMAS 1. Sabiendo que:

G A = 6iˆ – 8ˆj.

Hallar el módulo del vector: a) 1

b) 2

c) 4

2 G A 5 d) 6

e) 8

2. Se tiene dos vectores expresados en función de los vectores unitarios: G G B = –4ˆi + 11ˆj A = 12iˆ – 5ˆj G G Hallar el módulo de A +B. a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12 3. Se tiene dos vectores de módulo 7 y 15 unidades que forman entre sí un ángulo de 53°. Hallar el ángulo formado por la resultante y el vector de módulo 7. a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60° 4. Sabiendo que: A = 50 y B = 14, hallar el módulo del vecG G tor: A –B. A a) 24 B b) 48 c) 64 d) 36 50° 56° e) 42 5. Dos vectores concurrentes tienen módulos de 3 y 5 unidades. Si el módulo del vector resultante es 7, determinar el ángulo que forman los vectores. a) 30° b) 45° c) 53° d) 60° e) 90° 6. Si la resultante del sistema vectorial es nula, ¿cuál es la G medida del ángulo θ?, ¿cuál es el módulo del vector A? y a) 30° y 35 A b) 37° y 20 16 θ c) 53° y 20 x d) 60° y 28 e) 0° y 28 12 7. En el sistema vectorial mostrado, hallar el módulo del vec1 tor resultante. a) 13 b) 14 1 c) 15 d) 16 e) 10 U N F V – C E P R E V I

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F Í S I C A

G 8. La figura muestra un paralelogramo. Expresar el vector x G G en función de los vectores a y b. G G a) (2a–b)/2 G G b) (2a+b)/2 a x G G c) (a+b)/2 G G d) (a–b)/2 G G b e) (a–2b)/2

9. En el siguiente sistema vectorial, hallar el módulo del vector resultante. A = B = C = 5. B a) 0 A b) 5 c) 10 60° d) 15 C 60° 60° e) 2,5 O 10. Hallar el módulo del vector resultante sabiendo que: G G y a = 3ˆj y b = –4iˆ. a) 5 a b) 3 c) 4 x d) 10 e) 15 b 11. Determinar el módulo del vector resultante, sabiendo que: D AB = 8 y CD = 6. a) 2 b) 4 A B c) 6 d) 8 e) 10 C 12. En el cuadrado de 2 cm de lado, se establecen los siguientes vectores. Calcular el módulo de la resultante. M es punto medio de BC. M C B a) 21 cm b) 31 cm c) 41 cm d) 51 cm e) 61 cm

A

D

13. Con los vectores expresados. Determinar la dirección del vector resultante, respecto del eje x positivo.

18

U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

a) 45° b) 60° c) 135° d) 120° e) 180°

y 8 10

4 60°

x

2 3 14. Encontrar el módulo de la resultante del sistema de vectores en el rectángulo. 4 cm a) 5 cm 37° b) 3 cm c) 4 cm d) 10 cm e) 0 15. Determinar la mínima resultante que deben definir dos vectores que forman 143° entre sí, sabiendo que uno de ellos tiene módulo igual a 60 unidades. a) 12 b) 24 B c) 36 143° d) 48 e) 60 A=60

TAREA G 1. Sabiendo que: a = 8iˆ + 6ˆj, hallar el módulo del vector 1G a. 5 a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

G a = 2iˆ – 3ˆj G b = 4iˆ + 11ˆj G G Hallar el módulo del vector: a+b. a) 10 b) 11 c) 12 d) 5

e) 10

2. Sabiendo que:

e) 3

G G G 3. Expresar el vector x en función de los vectores a y b, sabiendo que: PM = MQ. G G O a) a–b G G b) a+b G G b a c) b–a x G G d) (a+b)/2 G G P M Q e) (a–b)/2

U N F V – C E P R E V I

19

F Í S I C A

4. Hallar el módulo del vector resultante en el siguiente sistema vectorial: a) 7 3 b) 5 c) 6 d) 10 e) 15 4 5. En el siguiente conjunto de vectores, hallar el módulo del vector resultante. a) 0 1 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 G G 6. Sabiendo que A=5 y B=6, hallar el módulo de A–B. a) 4 A b) 5 B c) 6 d) 7 83° 30° e) 8 G 7. Hallar el módulo del siguiente vector: A = (3; 4; 12). a) 5 b) 7 c) 13 d) 15 e) 19 8. Hallar el módulo de la resultante. y a) 70 u b) 80 u 40° 50u c) 100 u d) 5 13 u e) 20 u

x

170°

30u

G G G 9. El lado de cada cuadrado mide 3 . Calcular: | A + B + C | a) 10 3

b) 30

c) 4 3 e) 0

d) 5 3

A C

B

G G G 10. Tres fuerzas F1, F2 y F3 actúan sobre un cuerpo en equiliG G brio; sabiendo que: F 1=3iˆ+4ˆj ; F 2=5iˆ–10ˆj, hallar el móG dulo de la fuerza F3. a) 5 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

1. c 1. a 20

2. d 2. a

3. b 3. d

4. b 4. d

5. d 5. b

6. b 6. b

7. e 7. c

CLAVES 8. a 9. c 10. d 11. e 12. c 13. c 14. a 15. c 8. a 9. b 10. d U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

unidad

3

Cinemática (MRU) CONCEPTO DE CINEMÁTICA Estudia las propiedades geométricas de las trayectorias que describen los cuerpos en movimiento mecánico, independientemente de la masa del cuerpo y de las fuerzas aplicadas.

curva, el movimiento se llama curvilíneo y si es una recta, rectilíneo. y A

1 . SISTEMA DE REFERENCIA Para describir y analizar el movimiento mecánico, es necesario asociar al observador un sistema de coordenadas cartesianas y un reloj (tiempo). A este conjunto se le denomina sistema de referencia. y tiempo

B C x

A D

2. MOVIMIENTO MECÁNICO Es el cambio de posición que experimenta un cuerpo respecto de un sistema de referencia en el tiempo. Es decir, el movimiento mecánico es relativo.

3. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO a) Móvil Es el cuerpo que cambia de posición respecto de un sistema de referencia. Si el cuerpo no cambia de posición, se dice que está en reposo relativo. b) Trayectoria Es aquella línea continua que describe un móvil respecto de un sistema de referencia. Es decir la trayectoria es relativa. Si la trayectoria es una línea U N F V – C E P R E V I

e

d trayectoria

B x

0 c) Recorrido (e) Es la longitud de la trayectoria entre dos puntos (A y B). G d) Desplazamiento (d) Es aquella magnitud vectorial que se define como el cambio de posición que experimenta un cuerpo. Se consigue uniendo la posición inicial con la posición final. Es independiente de la trayectoria que sigue el móvil. e) Distancia (d) Es aquella magnitud escalar que se define como el módulo del vector desplazamiento. Se cumple que: d≤e

4. MEDIDA DEL MOVIMIENTO a) Velocidad media ( Vm) Es aquella magnitud física vectorial, que mide la rapidez del cambio de posición que experimenta el móvil respecto de un sistema de referencia. Se define como la relación entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente.

21

F Í S I C A

y e B A

Vm

d x

0 G G d Vm = t Unidades:

b) Rapidez Lineal (RL) Es aquella magnitud física escalar que mide la rapidez del cambio de posición en función del recorrido. Se define como la relación entre el recorrido (e) y el intervalo de tiempo correspondiente. RL =

LT–1 m·s–1 ; cm·s–1

Unidades:

G d : vector desplazamiento t : intervalo de tiempo G Vm : vector velocidad media

e t

LT–1 m·s–1 ; cm·s–1

e : recorrido t : intervalo de tiempo RL: rapidez lineal

OBSERVACIÓN: Los vectores velocidad media y desplazamiento, tienen igual dirección y sentido. EJEMPLO: Una mosca se traslada de la posición A (2;2) a la posición B(5; 6) en 0,02 segundo, siguiendo la trayectoria mostrada. Determinar la velocidad media entre A y B.

EJEMPLO: Una paloma recorre en 2 segundos la sexta parte de una circunferencia de 6 m de radio. Calcular: a) La rapidez lineal de la paloma. b) El módulo de la velocidad media. RESOLUCIÓN: a) El ángulo central θ mide

π rad, equi3

valente a 60°.

y B A

d

0 RESOLUCIÓN: Cálculo del vector desplazamiento entre A y B: G d G = B – A = (5; 6) – (2; 2) d = (3; 4) = 3iˆ + 4ˆj Cálculo de la velocidad media: G G 3ˆi + 4ˆj Vm = d = t 0,02 G Vm = 150ˆi + 200ˆj (m/s)

22

60° d 60° θ° R=6m

6m x O

e

La longitud de arco (e) es: π e = θ·R =  3  (6m) = 2π m   La rapidez lineal es: RL = e = 2πm = π m t 2s s RL = 3,1415 m/s b) La distancia mide 6m, en la figura se observa un triángulo equilátero.

U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

La velocidad media, en módulo es: Vm =

La distancia que recorre el móvil es directamente proporcional al tiempo transcurrido. I. d = V·t

d = 6m = 3 m t 2s s

OBSERVACIÓN: El módulo de la velocidad media es menor o igual a la rapidez lineal. Vm ≤ RL

5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO El móvil describe una trayectoria rectilínea respecto de un sistema de referencia. y e x 0

A

B

d

En esta forma de movimiento, la distancia y el recorrido tienen el mismo módulo, en consecuencia el módulo de la velocidad media y la rapidez lineal tienen el mismo valor. ⇒

e=d

Es aquel tipo de movimiento que tiene como trayectoria una línea recta, sobre el cual el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales. Se caracteriza por mantener su velocidad media constante en módulo, dirección y sentido, durante su movimiento. t

t

t x

0

d

d

d

III. t =

U N F V – C E P R E V I

d V

d V

t

G a) Velocidad (V) Es aquella magnitud física vectorial que mide la rapidez del cambio de posición respecto de un sistema de referencia. En consecuencia la velocidad tiene tres elementos: módulo, dirección y sentido. Al módulo de la velocidad también se le llama RAPIDEZ. EJEMPLOS: a.1)Un móvil que tiene M.R.U. se mueve con velocidad: 5iˆ (m/s). V=5m/s

a.2)Un móvil que tiene M.R.U. se mueve con velocidad: –5iˆ (m/s) V=5m/s

Tiene rapidez de 5 m/s con dirección horizontal hacia la izquierda. a.3)Un móvil que tiene M.R.U. se mueve con velocidad: 5ˆj (m/s) Tiene rapidez de 5 m/s con dirección vertical hacia arriba. y 5 m/s

En forma escalar: Velocidad = dis tan cia tiempo

d t

Tiene rapidez de 5 m/s con dirección horizontal hacia la derecha.

RL = Vm

6. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)

y

II. V =

5 m/s x 0 23

F Í S I C A

a.4)Un móvil que tiene M.R.U. se mueve con velocidad: –5ˆj (m/s). Tiene rapidez de 5 m/s con dirección vertical hacia abajo. a.5)Un móvil que tiene M.R.U. se mueve con velocidad: 3iˆ+4ˆj (m/s).

En 10 segundos los móviles A y B se desplazan 30 m y 40 m respectivamente. La distancia de separación entre los móviles se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras. d2 = (30)2 + (40)2 = 2500 Luego: d = 50m

Tiene rapidez: V = 32 + 42 = 5 m/s G b) Desplazamiento (d) El desplazamiento que experimenta el móvil es directamente proporcional al tiempo transcurrido.

G G d = V⋅t

c) Tiempo de encuentro (Te) Si dos móviles inician su movimiento simultáneamente en sentidos opuestos, el tiempo de encuentro es: VA

VB

... Forma vectorial d

d = V · t ... Forma escalar EJEMPLO: Dos móviles A y B salen simultáneamente del mismo punto con velocidades de 3ˆi (m/s) y 4jˆ (m/s). Determinar la distancia que separa a los móviles después de 10 segundos. RESOLUCIÓN: El móvil A se mueve con rapidez de 3 m/s con dirección horizontal, y el móvil B se mueve con rapidez de 4 m/s con dirección vertical.

Te =

VA; VB : módulos de la velocidad. d) Tiempo de alcance (Ta) Si dos móviles inician su movimiento simultáneamente en el mismo sentido, el tiempo de alcance es: VA

40m

Ta =

d

24

30m

d VA − VB

; VA>VB

x

3m/s 0

VB d

y B 4m/s

d VA + VB

A

U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

PROBLEMAS 1. Respecto de la velocidad, marcar falso (F) o verdadero (V) según corresponde: G ( ) V= 6ˆi (m/s), entonces el módulo de la velocidad es 6m/s. G ( ) V= 8 ˆj (m/s), entonces la rapidez del móvil es 8 m/s. G ( ) V = 6ˆi +8ˆj(m/s), entonces la rapidez del móvil es 10 m/s. a) VVF b) VFF c) FVV d) VFV e) VVV 2. Dos móviles A y B salen simultáneamente del mismo punto con velocidades de 4ˆi (m/s) y –6ˆi (m/s) respectivamente. Determinar la distancia que separa a los móviles después de 5 segundos. a) 25 m b) 35 m c) 45 m d) 50 m e) 55 m 3. Dos móviles A y B salen simultáneamente del mismo punto con velocidades de 6iˆ (m/s) y 8 ˆj (m/s) respectivamente. Determinar la distancia que separa a los móviles después de 5 segundos. a) 30 m b) 40 m c) 50 m d) 60 m e) 70 m 4. Un automóvil de 5 m de longitud se desplaza con velocidad de 108ˆi (km/h) por una carretera paralela a la vía del tren. ¿Cuánto tiempo empleará el auto en pasar a un tren de 395 m de largo que se mueve con velocidad de 72ˆi (km/h)? a) 20 s b) 30 s c) 40 s d) 50 s e) 60 s 5. ¿Qué distancia recorrerá un avión si el tanque de combustible contiene 160 litros de gasolina?. La rapidez del avión es de 240 km/h y el consumo de combustible es de 40 litros/h. a) 960 km b) 950 km c) 940 km d) 970 km e) 980 km 6. Un ciclista que tiene M.R.U. con rapidez de 9 km/h. ¿Cuántos metros recorre en 2 min.? a) 30 m b) 100 m c) 300 m d) 150 m e) 180 m U N F V – C E P R E V I

25

F Í S I C A

7. La luz se propaga en el vacío alcanzando la máxima rapidez de 300 000 km/s. ¿Cuántos millones de kilómetros recorre la luz durante 2 minutos? a) 9 b) 18 c) 36 d) 27 e) 21 8. La rapidez del sonido en el aire es 340 m/s. ¿Cuánto tiempo tardará en oírse el disparo de un cañón situado a 1,7km? a) 0,5 s b) 5 s c) 10 s d) 15 s e) 50 s 9. Un tren de 200 m de largo se mueve con rapidez de 72 km/h. ¿Qué tiempo tardará el tren en atravesar un túnel de 700 m de largo? a) 35 s b) 30 s c) 38 s d) 40 s e) 45 s 10. Diego sale de su casa a las 7:20 horas con destino a la PRE con rapidez constante, llegando a las 7:58 horas. ¿Si duplicara su rapidez, a qué hora llegaría? a) 7:37 a.m. b) 7:38 a.m. c) 7:39 a.m. d) 7:40 a.m. e) 7:41 a.m. 11. Dos móviles separados una distancia de 900 m parten simultáneamente al encuentro con rapideces de 4 m/s y 6m/s respectivamente. ¿Después de cuántos segundos estarán separados 200 m por primera vez? a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 110 12. Una persona ubicada entre dos montañas emite un grito y recibe el primer eco después de 3,8 segundos y el siguiente a los 4,2 segundos. ¿Cuál es la distancia de separación entre las montañas? Rapidez del sonido en el aire: 340 m/s a) 1360 m b) 1260 m c) 1060 m d) 1212 m e) 1122 m 13. Dos móviles separados una distancia de 800 m parten simultáneamente al encuentro con rapideces de 3 m/s y 7m/s respectivamente. ¿Después de cuántos segundos estarán separados 200 m por segunda vez? a) 80 b) 90 c) 100 d) 110 e) 120 14. Una mariposa se traslada de la posición A a la posición B, siguiendo la trayectoria mostrada. Determinar el desplazamiento que experimenta. 26

U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

a) 5ˆi (m) b) 5ˆj (m) c) 3ˆi +4ˆj (m) d) 4ˆi +3ˆj (m) e) 6ˆi +5ˆj (m)

y(m) 5

2

B

A

x(m) 2

6

15. Una paloma recorre en 2 segundos la cuarta parte de una circunferencia de 8 metros de radio. Calcular la rapidez lineal de la paloma. a) π (m/s) b) 2π (m/s) c) 0,2π (m/s) d) 2 (m/s) e) 0,5 (m/s)

TAREA 1. Sara salió de la ciudad A a las 2:00 p.m. en dirección a la ciudad B, viajando en auto con rapidez de 50 km/h. Si el auto se descompuso a la mitad del trayecto, demorando 0,5 h y luego continuar el viaje con rapidez de 5 km/h, llegando a su destino a las 8:00 p.m. ¿Cuál es la distancia entre las ciudades A y B? a) 25 km b) 45 km c) 50 km d) 55 km e) 60 km 2. Determinar la longitud de ómnibus sabiendo que tarda 4 segundos en pasar delante de un observador, y 10 segundos por delante de una estación de 30 m de largo. a) 10 m b) 15 m c) 20 m d) 25 m e) 30 m 3. Un tren de 130 m de largo se mueve con velocidad constante de 36 km/h, atraviesa completamente un puente en 20 segundos. ¿Cuánto mide el largo del puente? a) 50 m b) 70 m c) 100 m d) 150 m e) 200 m 4. Un pasajero asomado a la ventanilla de un tren que va a 90km/h observa que el tren "bala" está estacionado en la vía adyacente. Si pasa ante él en 5 segundos. ¿Cuál es la longitud del tren bala? a) 100 m b) 125 m c) 150 m d) 175 m e) 200 m 5. Un móvil que tiene M.R.U. se mueve con velocidad constante de 5ˆi m/s en el eje x. En el instante t = 3 s se halla U N F V – C E P R E V I

27

F Í S I C A

en la posición x = 25 m. Hallar su posición en el instante t = 8 s. a) x = 35 m b) x = 40 m c) x = 45 m d) x = 50 m e) x = 55 6. Un tren cruza un túnel de 200 metros de longitud con la velocidad constante de 72 km/h. Si la longitud del tren es el 60% de la longitud del túnel. Calcular el tiempo empleado por el tren en cruzar el túnel. a) 16 s b) 18 s c) 20 s d) 22 s e) 24 s 7. Un auto tiene M.R.U. dirigiéndose a una gran muralla con velocidad de 30 m/s. En cierto instante toca la bocina, ¿a qué distancia de la muralla se encontraba, si el conductor escuchó el sonido 2 s después de emitirlo? (Velocidad del sonido = 340 m/s) a) 370 m b) 360 m c) 350 m d) 340 m e) 300 m 8. Dos móviles separados por 130 km parten simultáneamente al encuentro con velocidades de 50 km/h y 80 km/h respectivamente. ¿Después de qué tiempo estarán separados 260 km? a) 1 h b) 2 h c) 3 h d) 4 h e) 5 h 9. Un bote es capaz de moverse sobre las aguas de un río con la velocidad de 8 m/s, que le proporciona un motor. Si la velocidad de la corriente del río es 6 m/s, el ancho del río es 40 m, y el bote se mantiene perpendicular a la orilla. ¿Qué distancia recorre al moverse de una orilla a la otra? A a) 110 m b) 100 m c) 80 m río 40m d) 50 m e) 150 m B 10. El ruido emitido por el motor del avión en "A" es escuchado por el observador en "C", cuando el avión se encuentra pasando por B. Determinar la velocidad del avión. Rapidez del sonido en el aire: 340 m/s. a) 119 m/s A B b) 121 m/s 53° c) 123 m/s d) 125 m/s 16° e) 238 m/s C 1. e 1. c 28

2. d 2. c

3. c 3. b

4. c 4. b

5. a 5. d

6. c 6. a

7. c 7. a

CLAVES 8. b 9. e 10. c 11. b 12. a 13. c 14. d 15. b 8. c 9. d 10. a U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

unidad

4

Cinemática (MRUV) ¿QUÉ ES EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO? Es un movimiento mecánico que experimenta un móvil donde la trayectoria es rectilínea y la aceleración es constante.

xf = x0 + V0t ±

1 2 at 2

y a V x

¿QUÉ ES LA ACELERACIÓN? Es una magnitud vectorial que nos permite determinar la rapidez con la que un móvil cambia de velocidad. a=

Vf − V0 〈 〉 a = ∆V = Cte. t t

0

EJEMPLO: Un móvil con M.R.U.V. se mueve bajo la siguiente Ley en el eje “x”. x(t) = 5 + 4t + 2t2

Unidad en el S.I.

x : posición en metros. T : tiempo en segundos. ¿Cuál es su posición en t = 0 y t = 2 segundos?

m   s a=   = m (s) s2 EJEMPLO: Un móvil comienza a moverse sobre una trayectoria horizontal variando el módulo de su velocidad a razón de 4 m/s en cada 2 segundos. Hallar la aceleración. RESOLUCIÓN:

V=0

∆V a= t

2s 4 m s

⇒

x

2s 8 m s

2s

12m s

4m s

a= = 2 m2 2s s

POSICIÓN DE UNA PARTÍCULA PARA EL M.R.U.V. La posición de una partícula, que se mueve en el eje “x” en el instante “t” es.

U N F V – C E P R E V I

RESOLUCIÓN: Para t = 0 x(0) = 5 + 4(0) + 2(0)2 = 5 m Para t = 2 x(2) = 5 + 4(2) + 2(2)2 = 21m

ECUACIONES DEL M.R.U.V.  V0 + Vf  1. d =   t 2   2. Vf = V0 ± at 3. d = V0t ±

1 2 at 2

4. Vf2 = V02 ± 2ad 5. dn = V0 ± 1 a(2n–1) 2

29

F Í S I C A

TIPOS DE MOVIMIENTO I. –

ACELERADO El signo (+) es para un movimiento acelerado (aumento de velocidad).

OBSERVACIÓN: Números de Galileo a=cte. V=0 t

t

t

t

3k

5k

7k

a V

II. DESACELERADO – EL signo (–) es para un movimiento desacelerado (disminución de velocidad). a V

1k

EJEMPLO: Un móvil que parte del reposo con MRUV recorre en el primer segundo una distancia de 5m. ¿Qué distancia recorre en el cuarto segundo? RESOLUCIÓN: Primer segundo: Cuarto segundo:

1k = 5m ⇒ k = 5 7k = 7(5) ⇒ 35m

PROBLEMAS 1. En el movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV), ¿qué parámetro varía uniformemente? a) La rapidez b) La aceleración c) La posición d) La distancia e) El desplazamiento G 2. Para cierto instante, se muestra la velocidad (V) y la aceleG ración (a) de un móvil, luego es correcto decir: I. La velocidad aumenta. II. El móvil se mueve en el sentido de la velocidad. III. El móvil está en reposo. a a) I b) II V c) III d) I y II e) II y III 3. Señale si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F): I. En el MRUV la aceleración es constante. II. Es posible que un móvil se dirija hacia el norte acelerando hacia el sur. III. En el MRUV la velocidad es constante. a) VFV b) VVF c) VVV d) FVF e) FFF

30

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F Í S I C A

m/s2

4. Una aceleración constante de 3 indica que: I. La velocidad del móvil varía. II. Cada segundo la velocidad varía en 3 m/s. III. Cada segundo el móvil recorre 3 m. a) I y II b) I y III c) II y III d) Sólo I e) Sólo II 5. Una pelotita llega en trayectoria horizontal estrellándose contra una pared vertical a 8 m/s, y rebota con una rapidez de 7 m/s. Si estuvo en contacto con la pared 0,25 segundo. Determinar la aceleración media producida por el choque. a) –50 i (m/s2) b) 20 i (m/s2) V c) –60 i (m/s2) d) –50 i (m/s2) e) 60 i (m/s2) 6. Una pelotita llega en trayectoria vertical estrellándose contra el suelo con una rapidez de 5 m/s, y rebota con una rapidez de 4 m/s. Si estuvo en contacto con el suelo 1/3 s. Determinar la aceleración media producida por el choque. y a) 27 j m/s2 b) 17 j m/s2 c) 22 j m/s2 V d) 15 j m/s2 2 e) 8 j m/s 0 x 7. Una partícula con MRUV duplica su rapidez luego de 5 segundos, acelerando a razón de 2 m/s2. El espacio recorrido en ese tiempo es: a) 35 m b) 45 m c) 55 m d) 65 m e) 75 m 8. A un auto que viaja con rapidez de 36 km/h, se le aplica los frenos y se detiene después de recorrer 50 m. Si tiene MRUV, ¿qué tiempo demoró en detenerse? a) 5 s b) 10 s c) 15 s d) 20 s e) 25 s 9. Los extremos de un tren de 42 m de largo pasan por el costado de un "poste de luz" a razón de 4 y 10 m/s, respectivamente. Hallar la aceleración del tren, en m/s2. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 10. Dos autos están separados 100 m uno delante del otro, parten del reposo en el mismo sentido y en el mismo instante, el primero con una aceleración de 5 m/s2 y el se-

U N F V – C E P R E V I

31

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gundo con una aceleración de 7 m/s2. Al cabo de cuánto tiempo el segundo alcanza al primero. a) 5 s b) 10 s c) 15 s d) 25 s e) 30 s 11. Dos móviles A y B empiezan a moverse desde un mismo lugar y en el mismo sentido. El móvil A se mueve con rapidez constante de 40 m/s, mientras que B parte del reposo y acelera a razón de 4 m/s2. Calcular la velocidad de B en el instante que alcanza al móvil A. a) 75 m/s b) 80 m/s c) 85 m/s d) 90 m/s e) 95 m/s 12. Un hombre se mueve con una rapidez constante de 5 m/s tras un microbús que se encuentra en reposo; pero cuando está a 6 m, el microbús parte con una aceleración de 2 m/s2. Hallar a partir de ese momento el tiempo en que logra alcanzar al microbús. Dar como respuesta el tiempo mínimo. a) 1 s b) 1,5 s c) 2 s d) 2,5 s e) 3 s 13. Un móvil que tiene MRUV sale del reposo y recorre 100 metros en el décimo tercer segundo de su movimiento. Determinar la distancia que recorre entre los instantes t = 4 s y t = 8 s. a) 192 m b) 182 m c) 190 m d) 180 m e) 100 m 14. Un automóvil que tiene MRUV sale con rapidez de 4 m/s y aceleración de 3 m/s2. Calcular la distancia que recorre en el octavo segundo de su movimiento. a) 24,6 m b) 26,5 m c) 28 m d) 30 m e) 32 m 15. Un zorro puede lograr desde el reposo una aceleración de 3 m/s2. Si va a la caza de un conejo que puede lograr una aceleración de 1 m/s2, y si éste inicia la huida desde el reposo en el mismo instante que el zorro está a 36 m de él. ¿Qué distancia recorre el zorro hasta alcanzar al conejo? a) 54 m b) 44 m c) 64 m d) 75 m e) 84 m

TAREA 1. La siguiente cantidad 4

km h

s

, en el MRUV representa:

a) Una velocidad b) Una distancia d) Una aceleración e) Una rapidez

c) Un tiempo

2. El MRUV se caracteriza porque es constante su ......... a) velocidad b) aceleración c) rapidez d) desplazamiento e) posición 32

U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

3. Un auto parte de reposo y se mueve con una aceleración constante de 4 m/s2 y viaja durante 4 segundos. Durante los próximos 10 segundos se mueve a velocidad constante. Se aplica luego los frenos y el auto desacelera a razón de 8 m/s2 hasta que se detiene. Calcular la distancia total recorrida. a) 205 m b) 208 m c) 212 m d) 215 m e) 225 m 4. Un automóvil que tiene MRUV sale con rapidez inicial diferente de cero y aceleración de 4 m/s2, recorre 80 m en 4 segundos. Halle la velocidad final. a) 12 m/s b) 20 m/s c) 24 m/s d) 25 m/s e) 28 m/s 5. Un avión se encuentra en reposo; antes de despegar recorre 2 km en 20 segundos con MRUV. ¿Cuál es la rapidez con que despega? a) 100 m/s b) 120 m/s c) 180 m/s d) 200 m/s e) 250 m/s 6. Un móvil que parte del reposo se desplaza con MRUV y recorre en el tercer segundo 16 m menos que el recorrido en el séptimo segundo. Calcular la aceleración del móvil, en m/s2. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 4,5 7. Un móvil que tiene MRUV recorre "d" metros partiendo del reposo durante cierto tiempo "t", para luego recorrer 600 m más durante los 10 segundos siguientes logrando triplicar su rapidez. Hallar "d". a) 55 m b) 65 m c) 75 m d) 85 m e) 89 m 8. Un móvil parte del origen con una velocidad de 5 m/s y viaja con una aceleración constante de 2 m/s2 durante 10 segundos, al final de los cuales continua el trayecto a velocidad constante. Se pide determinar el tiempo en que habrá recorrido 1 km desde el inicio del movimiento. a) 35 s b) 37 s c) 44 s d) 48 s e) 52 s 9. Un auto parte del reposo con aceleración constante. Si tiene MRUV y recorre 34 m en el noveno segundo. ¿Qué distancia recorre en el décimo segundo de su movimiento? a) 38 m b) 36 m c) 56 m d) 66 m e) 76 m 10. Un auto que tiene MRUV sale del reposo. En el noveno segundo recorre 51 m de distancia. ¿Qué distancia recorre en el décimo segundo de su movimiento? a) 59 m b) 57 m c) 79 m d) 89 m e) 99 m

1. b 1. d

2. b 2. b

3. b 3. b

4. a 4. e

5. c 5. d

6. a 6. c

U N F V – C E P R E V I

7. e 7. c

CLAVES 8. b 9. a 10. b 11. b 12. c 13. b 14. b 15. e 8. c 9. a 10. b 33

F Í S I C A

unidad

5

Movimiento Vertical de Caída Libre (MVCL) MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA LIBRE (MVCL) Teniendo las siguientes consideraciones, el movimiento de caida libre es un caso particular del M.R.U.V.

CONSIDERACIONES: 1. La altura máxima alcanzada es suficientemente pequeña como para despreciar la variación de la gravedad con la altura. 2. En caída libre se desprecia la resistencia del aire. Las caídas libres de los cuerpos describiendo una trayectoria recta, son ejemplos de movimiento rectilíneo uniformemente variado. GALILEO GALILEI estableció que dichos movimientos son uniformemente variados; sus mediciones mostraron que la aceleración estaba dirigida hacia el centro de la Tierra, y su valor es aproximadamente 9,8 m/s2. Con el fin de distinguir la caída libre de los demás movimientos acelerados, se ha adoptado designar la aceleración de dicha caída con la letra “g”. Con fines prácticos se suele usar a: g = 10 m/s2

PROPIEDADES 1) Respecto del mismo nivel de referencia, el módulo de la velocidad de subida es igual al módulo de la velocidad de bajada. 2) Los tiempos de subida y de bajada, son iguales respecto al mismo nivel horizontal.

34

V=0

g

V1 = V2 ts = tb

ts

tb

V1

V2

hmax

ECUACIONES PARA M.V.C.L.  V0 + Vf 1) h =  2 

  t 

2) Vf = V0 ± gt 3) h = V0t ± 1 gt2 2

(–) sube

4) Vf2 = V02 ± 2gh

(+) baja

5) hn = V0 ± 1 g(2n–1) 2

COMENTARIO De una misma altura se dejó caer una pluma de gallina y un trozo de plomo, ¿cuál de los cuerpos toca primero el suelo si están en el vacío? pluma

g

plomo

vacío

Respuesta: Llegan simultáneamente En los problemas a resolverse se consideran a los cuerpos en el vacío, salvo que se indique lo contrario.

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F Í S I C A

EJEMPLOS: 1) Se lanza verticalmente hacia arriba una partícula con una rapidez de V=30 m/s como se muestra en la figura; si se mantuvo en el aire durante 10 segundos, hallar “h”. (g = 10 m/s2).

V

CASOS ESPECIALES 1) Como el tiempo de subida y de bajada son iguales, el tiempo de vuelo es: tvuelo =

2) La altura máxima se obtiene con la siguiente fórmula:

g

h

hmax =

RESOLUCIÓN

V=0

3s 30 m/s

30 m/s 4s

h

V02 2g

3) Números de Galileo V=0

3s A B

2V0 g

1k

5m

3k

15m

5k

25m

7k

35m

g = 10 m/s2 En general: k=

g 2

C Dato: ttotal = 10 s *

De BC:

1 2 gt 2 1 h = 30(4) + 10(4)2 2 h = 120 + 80 h = 200 m h = V0t +

4) Si dos cuerpos se mueven verticalmente en forma simultánea y en el mismo sentido, se puede aplicar.

2) Se abandona una partícula a cierta altura. ¿Qué altura desciende en el octavo segundo de su caída? (g = 10 m/s2)

h VA − VB VA > VB

t=

VA h VB

RESOLUCIÓN h(n) = V0 ±

5) Si dos cuerpos se mueven verticalmente en forma simultánea y en sentidos contrarios, se puede aplicar:

1 g(2n–1) 2

V=0 1 ·10 (2·8–1) 2 h(8) = 75 m 10 m/s

h(8) =

h(8)

U N F V – C E P R E V I

1s

t= 8vo. 1s

h VA + VB

VA h VB

35

F Í S I C A

PROBLEMAS 1. Walter lanza una pelota con una velocidad de 15 j (m/s). ¿Cuánto tiempo tarda en regresar a su nivel de lanzamiento?. (g = –10 j m/s2) a) 3 s b) 4 s c) 2 s d) 1 s e) 0,5 s 2. Un objeto es lanzado con una velocidad de 80 j (m/s). ¿Cuál es su velocidad despues de 10 segundos? (g = 10 j m/s2) a) –22 j (m/s) b) –20 j (m/s) c) –18 j (m/s) d) –15 j (m/s) e) –12 j (m/s) 3. Se lanza una pelota desde la superficie terrestre con una rapidez inicial de 50 m/s. Si después de un tiempo t se encuentra acercándose a tierra con una velocidad de 30 m/s. Hallar t. (g = 10 m/s2). a) 4 s b) 8 s c) 12 s d) 16 s e) 20 s 4. Se suelta un cuerpo desde cierta altura, entonces, luego de tres segundos ha recorrido: (g = 10 m/s2) a) 25 m b) 35 m c) 45 m d) 55 m e) 12 m 5. Dos segundos después de ser lanzado desde el suelo verticalmente hacia arriba, un objeto está subiendo a 20 m/s; entonces al llegar al suelo su rapidez es: (g = 10 m/s2) a) 20 m/s b) 30 m/s c) 40 m/s d) 50 m/s e) 60 m/s 6. Desde cierta altura se lanza verticalemente hacia abajo un objeto con 10 m/s; si llega al suelo a 30 m/s, la rapidez del objeto cuando se encuentra a la mitad de su trayectoria es: (g = 10 m/s2) a) 10 m/s d) 20 m/s

b) 10 5 m/s e) 30 m/s

c) 10 2 m/s

7. Desde la base de un edificio se lanza un objeto verticalmente hacia arriba a 60 m/s; si luego de 2 s se encuentra en la mitad del edificio (por primera vez). ¿Cuál es la altura del edificio? (g = 10 m/s2) a) 100 m b) 200 m c) 300 m d) 400 m e) 500 m 36

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F Í S I C A

8. Una partícula lanzada verticalmente hacia arriba con rapidez V, alcanza una altura máxima H. Si la rapidez de lanzamiento se duplica, la altura máxima. a) Se duplica b) Es la misma c) Se cuadriplica d) Aumenta 2 h e) Aumenta 4 h 9. A y B son puntos sobre la misma vertical, A está 100 m sobre B; desde A se deja caer una bolita y simultáneamente se lanza hacia arriba otra bolita con una rapidez de 50 m/s. Considerando que sólo actúa la gravedad (g = 10 m/s2). ¿A qué altura sobre B chocarán ambas bolitas? a) 20 m b) 80 m c) 98 m d) 2 m e) Nunca chocarán 10. Desde el suelo se lanza un objeto verticalmente hacia arriba; si alcanza una altura máxima de 80 m, entonces el tiempo que emplea en la bajada es: (g = 10 m/s2) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 11. Desde la azotea de un edificio se lanza un cuerpo con rapidez vertical hacia arriba de 20 m/s, llegando al piso 10 s después. Determinar la altura del edificio. (g = 10 m/s2) a) 100 m b) 200 m c) 300 m d) 400 m e) 500 m 12. Un cuerpo que ha sido soltado, recorre en sus tres primeros segundos igual distancia que en el último segundo. Halle la altura de la caída. (g=10 m/s2) a) 125 m b) 128 m c) 130 m d) 145 m e) 148 m 13. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba desde el borde de un acantilado de 60 m de altura, con una rapidez inicial de V0. ¿Después de qué tiempo de haber sido lanzado el cuerpo está a una altura de 35 m acercándose a tierra con una rapidez de 1,5 V0?. (g = 10 m/s2) a) 5 s b) 10 s c) 7,5 s d) 12,5 s e) 15 s 14. Dos cuerpos A y B se encuentra a una misma altura de 320 m; se deja caer el cuerpo A, y 3 s después se lanza en cuerpo B verticalmente hacia abajo. ¿Con qué rapidez lanzó B para que ambos cuerpos lleguen al mismo instante a tierra? (g = 10 m/s2) a) 38 m/s b) 30 m/s c) 22 m/s d) 28 m/s e) 39 m/s U N F V – C E P R E V I

37

F Í S I C A

15. ¿Cuánto tiempo empleará en llegar al punto B de la circunferencia una esferita dejada en la boca A del tubo liso? a) 2 c)

R g

2R g

b) d) 4

A

R g

R g

R g R

R e) 3 g

B

TAREA 1. Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial de 40 m/s; entonces, su velocidad (módulo y sentido) al cabo de 6 segundos es: (g = 10 m/s2) a) 20j (m/s) b) –30j (m/s) c) 30j (m/s) d) –20j (m/s) e) 40j (m/s) 2. Una pelota de beisbol es lanzada en forma recta alcanzando una altura máxima de 20 m sin considerar la resistencia del aire. ¿Cuál es el módulo de la velocidad vertical de la pelota cuando golpea el suelo? (g = 10 m/s2) a) 10 m/s b) 20 m/s c) 30 m/s d) 40 m/s e) 50 m/s 3. Desde cierta altura se lanza verticalmente hacia arriba un objeto a 40 m/s; si llega al suelo luego de 13 s, la altura desde la que lanzó es: (g = 10 m/s2) a) 300 m b) 310 m c) 320 m d) 325 m e) 335 m 4. Tres segundos después de lanzar un cuerpo verticalemente hacia arriba se observa que su rapidez se ha reducido a la cuarta parte. ¿Cuál será la altura máxima que alcanzará? a) 120 m b) 60 m c) 80 m d) 160 m e) 180 m 5. Dos segundos antes de alcanzar su máxima altura, un objeto lanzado verticalmente hacia arriba se encuentra a una altura de 15 m. Entonces la máxima altura que alcanza respecto al suelo es: (g = 10 m/s2) a) 15 m b) 25 m c) 35 m d) 45 m e) 50 m 38

U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

6. Un globo aerostático asciende con una velocidad de 50 m/s; si se deja caer un cuerpo que tarda 20 s en llegar a tierra. ¿De qué altura se soltó el objeto? (g = 10 m/s2) a) 500 m b) 700 m c) 1000 m d) 1200 m e) 1500 m 7. Desde la parte superior de una torre se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una rapidez de 20 m/s. ¿A qué distancia del punto de lanzamiento se encontrará luego de 7 segundos? (g = 10 m/s2) a) 85 m b) 95 m c) 105 m d) 115 m e) 125 m 8. Un globo aerostático se eleva con una rapidez constante de 5 m/s. Cuando se encuentra a una altura de 360 m se deja caer una piedra. Hallar el tiempo que tarda la piedra en llegar a tierra. (g = 10 m/s2) a) 6 s b) 9 s c) 12 s d) 15 s e) 18 s 9. Una pelota es lanzada desde el piso con una rapidez de 40 m/s en un lugar donde g = 10 m/s2. ¿Al cabo de qué tiempo máximo llegará a estar 60 m sobre el piso? a) 4 s b) 5 s c) 6 s d) 7 s e) 8 s 10. Empleando un dinamómetro dentro de un ascensor, un hombre pesa un cuerpo, observándose que el dinamómetro no marca peso alguno. Luego lo más probable que sucede es: a) El ascensor está detenido. b) Está subiendo con una velocidad constante de 9,8 m/s. c) El ascensor baja con una aceleración de 9,8 m/s. d) El ascensor sube con una aceleración de 9,8 m/s2. e) El ascensor baja a una velocidad constante de 9,8 m/s.

1. a 1. d

2. b 2. b

3. b 3. d

4. c 4. c

5. c 5. c

6. b 6. c

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7. b 7. c

CLAVES 8. c 9. b 10. d 11. c 12. a 13. a 14. e 15. a 8. b 9. c 10. c 39

F Í S I C A

unidad

6

Estática Parte de la física que estudia las condiciones que deben cumplir las fuerzas, para que un cuerpo o un sistema mecánico se encuentre en equilibrio.

FR : fuerza resultante (newton) a : aceleración (m/s2) m : masa (kilogramo)

TERCERA LEY (Principio de Acción y Reacción)

EQUILIBRIO Un cuerpo está en equilibrio cuando carece de todo tipo de aceleración.

Si un cuerpo A aplica una fuerza (acción) sobre otro “B”, entonces “B” aplica una fuerza del mismo módulo pero de sentido contrario sobre “A”.

Equilibrio Reposo

MRU 〈 〉 V=Cte.

LEYES DE NEWTON PRIMERA LEY (Principio de Inercia)

Observaciones de la Tercera Ley – Acción y reacción no se anulan a pesar de tener el mismo valor y sentido contrarios, porque actúan sobre cuerpos diferentes. EJEMPLO:

Todo cuerpo permanece en equilibrio, salvo que una fuerza externa le haga variar dicho estado (tendencia al equilibrio). EJEMPLO: Si un bus se mueve M.R.U. y de pronto choca con un muro (desacelera), los cuerpos tienden a mantener su estado de movimiento (accidente).

SEGUNDA LEY (Principio de Aceleración) Si una fuerza resultante diferente de cero actúa sobre un cuerpo de masa “m”; le produce una aceleración en la misma dirección y sentido de la fuerza resultante, directamente proporcional a ella e inversamente proporcional a la masa del cuerpo. a FR

m

a= 40

AC

AC

RC

RC

–

No es necesario que haya contacto para que haya acción y reacción. EJEMPLO: Cargas Eléctricas F

Q +

q +

F

d Q +

F

F

q –

d

OBSERVACIONES Si las superficies en contacto son lisas las reacciones son perpendiculares a ellas.

FR m U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

3. FUERZA ELÁSTICA

EJEMPLO: R1

Se presenta en los cuerpos deformables (elásticos).

LEY DE HOOKE R2 –

Si las superficies en contacto son ásperas, o hay articulaciones, las reacciones ya no son perpendiculares a las superficies en contacto. EJEMPLO: T

R peso

Roberto Hooke establece una relación entre la fuerza que deforma a un resorte “F” y la deformación “x”. F = K·x K : constante de elasticidad del resorte (N/m ; N/cm). x : Deformación longitudinal del resorte (m, cm) F : Fuerza deformadora (N) EJEMPLO: Hallar “x”; si: F = 100N y K = 50 N/m.

FUERZA Es la medida cuantitativa de una interacción; se mide en newton (N).

K

L

FUERZAS INTERNAS 1. TENSIÓN Es aquella fuerza generada internamente en un cable, soga, barras, etc. cuando están estiradas. EJEMPLO: P J T

El sentido de una tensión siempre indica a un corte imaginario.

2. COMPRESIÓN Se presenta en los cuerpos rígidos y es aquella fuerza interna que se opone a la deformación por aplastamiento. EJEMPLO: FC

x Fuerza deformadora:

F

F = K·x 100 = 50x ; x = 2m

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (D.C.L) Consiste en aislar imaginariamente al cuerpo en análisis de un sistema mecánico, indicando sobre él a todas las fuerzas externas que lo afectan. EJEMPLO: 1. DCL del nudo (P)

P

El sentido de una fuerza de compresión siempre se aleja de un corte imaginario. U N F V – C E P R E V I

41

F Í S I C A

2. DCL de la polea. T

T

Triángulo de Fuerzas: T2 W T1

W

T1

Ley de los Senos:

T2

θ

T1

β

α

3. DCL de la esfera.

W

T

T1 T2 = = W Sen β Sen α Sen θ

R W

CONCEPTO DE ADICIONALES

PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO PARTÍCULA (EQUILIBRIO DE TRASLACIÓN) Para que un punto material o un sistema mecánico se mantenga en equilibrio (reposo o velocidad constante), la suma de las fuerzas que actúan sobre el “cuerpo” debe ser cero.

∑F = 0

∑F = ∑F

ó

OBSERVACIONES Cuando se tiene sólo tres fuerzas concurrentes y coplanares en el D.C.L; se puede aplicar el triángulo de fuerzas o la ley de los senos. EJEMPLO:

T1

T2

P W

Es un concepto ideal de la física que sirve para simplificar la solución de un problema real. Se considera partícula a todo cuerpo del cual se prescinde de su movimiento de rotación. Una partícula se puede reducir a un punto, o si se conserva sus dimensiones reales se acepta que las fuerzas externas que actúan sobre él son concurrentes. EJEMPLO: Un nudo, la cuerda, una persona, la Tierra en un problema astronómico.

CUERPO RÍGIDO Se considera a todo cuerpo del cual se supone que no se deforma por grandes que sean las fuerzas externas que actúan sobre él. Se entiende que la distancia entre dos puntos de un cuerpo rígido no varía. EJEMPLO: F2

F2

W F1

F3 F1

Situación ideal 42

F3

Situación real

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F Í S I C A

PROBLEMAS 1. El diagrama de cuerpo libre de la viga homogénea es: (superficies lisas). W

a)

b)

d)

e)

c)

2. El diagrama de cuerpo libre de la bola (1) es: (Superficies lisas) a)

b) 1 2

c)

d)

e)

3. Hallar el valor de la reacción normal sobre el bloque de 20 N de peso, cuando F = 30 N. a) 0 N 30 N b) 20 N c) 30 N d) 50 N 20 N e) 60 N 4. Hallar la tensión de la cuerda. Pesos; A = 10 N ; B = 18 N; C = 42 N. El sistema está en equilibrio y las superficies son lisas. a) 70 N A b) 60 N B c) 42 N d) 52 N C e) 62 N

U N F V – C E P R E V I

43

F Í S I C A

5. Hallar la tensión de la cuerda AC; el sistema está en equilibrio y W = 300 N. (polea lisa). a) 75 N b) 100 N c) 450 N d) 150 N e) 250 N

E

6. Hallar la tensión de la cuerda. Superficies lisas. a) W Cos θ b) W Sen θ c) W Sen α W d) W Cos α θ e) W Sen (α+θ)

D

A B

C 30°

W

α

7. En la figura, los cuerpos A y B están en equilibrio. Determinar el peso de B, si A pesa 240 N. (Superficies lisas). a) 405 N b) 240 N B c) 200 N A d) 120 N 37° 53° e) 320 N 8. Hallar el peso de B en el siguiente sistema en equilibrio (A = 40 N). Superficies lisas y las poleas no pesan. a) 40 N b) 20 N c) 80 N d) 10 N B e) 60 N A 30° 9. Que fuerza F es necesaria para el equilibrio W = 200 N. Las poleas no pesan. a) 100 N b) 50 N c) 150 N d) 120 N e) 180 N

F

W

10. Calcular el valor de F para que el sistema se encuentre en equilibrio. Las poleas no pesan.

44

U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

a)

W 2

b)

W 3

c)

W 5

d)

2W 3

e)

3W 5

F W

11. Determinar el valor del ángulo "α" para el equilibrio, si se sabe que la polea A puede deslizarse libremente sobre la cuerda que une los apoyos B y C. a) 60° B b) 30° 30° c) 45° d) 53° α A 60° e) 37° C W 12. En el siguiente sistema, calcular la distancia que bajará el bloque del centro para que el sistema alcance el equilibrio. a) 3 n c) n e) n

3 3

b)

n

2 3 n 3

d) 3n

n

W W

W

13. Si hay equilibrio, ¿cuál es la relación entre las tensiones de las cuerdas A y B? 60° 45° 1 a) 2 b) 2 A B 2 c) d) 2 2 W e) 3 14. Determinar la lectura "L" del dinamómetro, sabiendo que existe equilibrio y que los pesos A y B son de 21 N y 28 N. a) 49 N b) 27 N L c) 30 N d) 35 N e) 40 N A B 15. Se tiene una esfera de 120 N de peso. Calcular las reacciones en los puntos A y B. (No existe rozamiento). U N F V – C E P R E V I

45

F Í S I C A

a) 80 N y 100 N b) 72 N y 96 N c) 60 N y 90 N d) 96 N y 24 N e) 24 N y 18 N

A 53°

B 37°

TAREA 1. Hallar "θ" y "α", si A = 800 N ; B = 600 N y C = 1000 N. a) 60° y 30° b) 45° y 45° c) 53° y 37° α θ A B d) 120° y 60° e) 90° y 45° C 2. Determine las fuerzas de reacción en los apoyos, si el peso de la esfera es 180 N. a) 200 N y 250 N b) 300 N y 500 N c) 135 N y 150 N d) 225 N y 180 N 37° e) 225 N y 135 N 3. Mediante dos fuerzas se jala una argolla carente de peso. Hallar la tensión en la cuerda. 12N a) 15 N b) 20 N 16N c) 25 N d) 28 N e) 40 N 4. Hallar el valor de la fuerza F para subir el bloque de 400 N con velocidad constante. No considerar rozamiento. a) 400 N F b) 200 N c) 240 N d) 320 N e) 500 N

37°

5. En el siguente sistema, hallar la tensión con el cable que une el bloque B con el tope. (g = 10 m/s2) mA = 5 kg mB = 3 kg B a) 74 N b) 80 N 37° c) 50 N d) 68 N A e) 45 N 46

U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

6. Un ascensor sube con una velocidad constante de 4 m/s. Calcular la tensión en el cable que eleva al ascensor cuya masa es 100 kg. a) 1000 N b) 98 N c) 980 N d) 400 N e) Es mayor a 1000 N 7. La esfera pesa 80 N y las superficies son lisas. Calcular la tensión en el cable. a) 80 N b) 64 N 37° c) 48 N d) 100 N e) 60 N 37° 8. El cilindro pesa 120 3. Calcular la reacción de la pared vertical. No considerar rozamiento. a) 120 N 30° b) 240 N c) 360 N d) 480 N e) 180 N 9. Hallar el peso del bloque B que permite el equilibrio del sistema, si A pesa 320 N. a) 240 N b) 160 N c) 80 N A d) 40 N B e) N.A. 53° 53° 10. Hallar el ángulo θ para el equilibrio, si los pesos A y B son de 60 N y 50 N, y descansan sobre planos sin rozamiento. a) 30° b) 45° c) 60° d) 53° e) 37°

1. d 1. c

2. c 2. e

B

A 30°

3. d 3. b

4. a 4. c

5. d 5. d

θ°

6. b 6. c

U N F V – C E P R E V I

7. e 7. b

CLAVES 8. b 9. a 10. d 11. c 12. a 13. d 14. d 15. e 8. c 9. 10. e 47

F Í S I C A

7

unidad

Dinámica Lineal CONCEPTO Es aquella parte de la física que estudia la relación entre el movimiento de los cuerpos y las fuerzas que actúan sobre ellos.

menor inercia el cuerpo ejerce menor oposición a modificar su velocidad. La masa de un cuerpo es la misma en cualquier lugar del universo.

PESO O FUERZA GRAVITATORIA Es la interacción entre la masa de la tierra y la masa de los cuerpos que están en su campo gravitatorio. m F=peso

Tierra

SEGUNDA LEY DE NEWTON Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas, éstas pueden ser reemplazadas por una sola llamada fuerza resultante (FR); esta ley nos dice: "Toda fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo generará una aceleración en la misma dirección y sentido que la fuerza resultante, tal que el valor de dicha aceleración es directamente proporcional a la fuerza resultante e inversamente proporcional a la masa del cuerpo”. F2

Peso = masa · g g : Aceleración de la gravedad. OBSERVACIÓN El peso está aplicado en el centro de gravedad de los cuerpos.

F1

a F3

m



m

FR

F4

INERCIA Es la tendencia natural de un objeto a mantener un estado de reposo o a permanecer en movimiento uniforme en línea recta (velocidad constante). V

V

MASA Es una medida de la INERCIA que posee un cuerpo; es decir que a mayor masa el cuerpo tendrá más inercia y será más difícil cambiar su velocidad, en cambio a 48

a=

FR m

FR = m · a

Unidad (S.I.): F m newton (N) kg

a m s2

OBSERVACIONES: De lo anteriormente expuesto es bueno resaltar las siguientes características: 1) La aceleración de un cuerpo tiene la misma dirección y sentido que la fuerza resultante que la produce. U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

2) Si las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo permanecen constantes, entonces la aceleración también será constante. 3) La aceleración que se imprime a un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza resultante aplicada. Por lo tanto si la resultante se duplica, la aceleración también se duplica; si la resultante se reduce a la tercera parte, la aceleración también lo hará. 2a

a F

m

2F

m

Σ(Fuerzas) y = 0 4) Las componentes de las fuerzas (eje x) en la dirección del movimiento cumplen la Segunda Ley de Newton: FR = m.a Donde: Fuerzas a  −  Fuerzas en  FR = ∑  favor de "a"  ∑  contra de "a"  

EJEMPLO 1: Determinar la aceleración del bloque de masa 2 kg, si no existe rozamiento. (g = 10 m/s2) a

4) La aceleración que se imprime a un cuerpo es inversamente proporcional a la masa de dicho cuerpo. Es decir si aplicamos una misma fuerza a dos bloques A y B, de tal manera que la masa de B sea el doble que la masa de A, entonces la aceleración de B será la mitad de la aceleración de A.

m

m

F1=50N

SOLUCIÓN: y N 10N

a 50N x

a/2

a F

F2=10N

F

mg=20N 2m

MÉTODO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE DINÁMICA 1) Hacer un diagrama de cuerpo libre (D.C.L.) del cuerpo. 2) Elegir el sistema de ejes adecuados; un eje paralelo al movimiento (eje x) y otro perpendicular a él (eje y), y descomponer todas las fuerzas en estas dos direcciones. 3) Las componentes de la fuerzas perpendiculares al movimiento se anulan entre sí, puesto que el cuerpo no se mueve en esa dirección. Por lo tanto en el eje “y” hay equilibrio de fuerzas.

U N F V – C E P R E V I

Elijamos el sistema de ejes adecuados; se observa que: Σ Fy = 0 ⇒ N = 20 newtons Luego: a=

FR 50 − 10 = = 20 m/s2 m 2

EJEMPLO 2: Determinar la aceleración de los bloques, si no existe rozamiento. mA = 3 kg mB = 2 kg g = 10 m/s2 A B

49

F Í S I C A

CASOS ESPECIALES:

SOLUCIÓN:

1) Aceleración de un cuerpo en un plano inclinado liso: a = g Sen θ a

A

a

B

30N

a

20N θ

Analizamos el sistema:

2) Máquina de ATWOOD:

F 30 − 20 = 2 m/s2 a= R = 3+2 m *

a=

m : Masa total

EJEMPLO 3: Si no existe rozamiento, determinar la aceleración del bloque: m

g(m1 − m2 ) m1 + m2 a m2

a

m1>m2

a m1

3) Aceleración en función del ángulo: θ

a = g Tg θ

SOLUCIÓN: N

θ

mg Cosθ

mg

x

a

a

θ

mg Senθ y θ

4) Peso aparente dentro del ascensor: P = W (1 ±

Elijamos el sistema de ejes adecuados y descomponiendo. Σ Fy = 0 Luego:

a=

⇒

FR mg ⋅ Sen θ = m m

a = g Sen θ

50

N = mg Cos θ

a ) g

a↑ : sube (+) a↓ : sube (–) P : Peso aparente W : Peso real balanza

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F Í S I C A

PROBLEMAS 1. Con respecto a la Segunda Ley de Newton se cumple: a) La fuerza resultante y la aceleración tienen diferentes sentidos. b) La fuerza resultante y la aceleración tienen direcciones perpendiculares. c) La fuerza resultante y la aceleración tiene la misma dirección y sentido. d) La fuerza resultante y la aceleración tienen la misma dirección y sentido opuestos. e) La fuerza resultante y la aceleración no tienen la misma dirección y sentido. 2. Dos esferas “A” y “B” son de madera y hierro respectivamente; ambas tienen el mismo volumen. ¿Cuál de éstas será más difícil de acelerar? a) A b) B c) Ambas presentan igual dificultad d) No se puede precisar e) Ninguna. 3. Si la aceleración de un cuerpo es cero podemos afirmar que: I. No actúan fuerzas sobre él. II. Siempre se mueve con velocidad constante. III. El cuerpo está en equilibrio. a) I y II b) II y III c) I y III d) Sólo II e) Sólo III 4. Un cuerpo se encuentra sometido a la acción de 2 fuerzas: G G F1 = (21i + 28j) N F2 = (–14i – 4j) N Determinar la aceleración del cuerpo, si su masa es de 5kg. a) 1 m/s2 b) 3 m/s2 c) 5 m/s2 2 2 d) 7 m/s e) 4 m/s 5. Si no existe rozamiento, determinar la masa del cuerpo, si: G G G a = 3i (m/s2) ; F1 = (40i)N ; F2 = (–10i)N a) 16,6 kg b) 10 kg c) 8 kg d) 9 kg e) 3 kg

a F2

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m

F1

51

F Í S I C A

6. En el gráfico mostrado determinar la aceleración del bloque de masa 5 kg. (No existe rozamiento). a) 6 m/s2 50 N b) 8 m/s2 c) 10 m/s2 37° d) 12 m/s2 m 2 e) 15 m/s 7. Hallar la tensión en la cuerda “A”, si no existe rozamiento. a) 120N b) 160N F=100N A c) 40N 6kg 2kg 2kg d) 60N e) 80N 8. Si no existe rozamiento, determinar la tensión en la cuerda y la aceleración de los bloques. (mA = 2kg ; mB = 3 kg y g = 10 m/s2). a) 2N; 1 m/s2 b) 8N; 2 m/s2 c) 16N; 4 m/s2 d) 24N; 2 m/s2 A B e) 18N; 4,5 m/s2 9. Calcular la fuerza "F" necesaria para que el carrito de juguete de masa 2 kg, partiendo del reposo recorra 100 m en 10 s. a) 10N b) 20N c) 30N d) 40N e) 50N

F

m

µ=0

10. Hallar la reacción entre los bloques “B” y “C”, si no existe rozamiento. (mA = 5 kg ; mB = 3 kg ; mC = 2 kg). a) 10N b) 15N F=100N c) 20N A B d) 25N C e) 30N 11. Calcular “F” para que el bloque baje con una aceleración constante de a = 10 m/s2. (m = 3 kg y g = 10 m/s2). F a) 2N a m b) 1N c) 60N d) 30N 2m e) 0 52

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F Í S I C A

12. Se presenta la siguiente paradoja dinámica ¿Cuál es la conclusión que podemos sacar de sus aceleraciones en los casos (a) y (b) de las figuras? (No existe rozamiento y g = 10 m/s2) M

(a) a) aa > ab d) aa = ab+1

M 5kg

(b)

b) aa < ab e) Faltan datos

F=50N c) aa = ab

13. Dentro de un ascensor hay una balanza sobre la cual hay una persona; cuando el ascensor baja a velocidad constante la balanza marca 800N. ¿Cuál será la lectura cuando la balanza acelere hacia abajo a razón de 5 m/s2? (g = 10 m/s2) a) 1200N b) 400N c) 600N d) 900 e) 500N 14. Una bala que lleva una velocidad de 50 m/s hace impacto en un costal de arena y llega al reposo en 1/25 segundos. La masa de la bala es de

1 kg. 5

Calcular la fuerza de resistencia ejercida por el costal de arena suponiendo que es uniforme. a) 100N b) 150N c) 200N d) 250N e) 300N 15. Calcular la fuerza que se aplica al collar “M” sobre el eje horizontal liso, sabiendo que el ángulo entre la cuerda y la vertical es 37°. (M = 3 kg ; m = 1 kg ; g = 10 m/s2) F a) 18N b) 12N M c) 30N d) 20N e) 42N 37° m

TAREA 1. De las siguientes afirmaciones ¿Cuáles son ciertas? I. El peso se debe a la atracción terrestre. II. La masa se mide con la balanza de brazos. III. El peso se mide con la balanza de resorte. a) I y II b) II y III c) I y III d) Todas e) Ninguna U N F V – C E P R E V I

53

F Í S I C A

2. Un cuerpo de masa 10 kg se mueve con una aceleración G de: a = –2i + j (m/s2); determinar la fuerza resultante sobre el cuerpo. a) 10i – 8k (N) b) –20j + 10j (N) c) 20i – 10j (N) d) 8i – 10j (N) e) –10j + 10j (N) 3. Sobre un cuerpo de masa 2 kg actúa una fuerza resultante G de: FR = 10i + 6j; determinar su aceleración: a) 5i – 3j (m/s2) b) –5i + 3j (m/s2) c) 5i + 3j (m/s2) d) 5i – 2j (m/s2) e) –5i – 3j (m/s2) 4. Según las gráficas mostradas, indique cuál es la alternativa correcta: (no existe rozamiento). a1

a2

a3

m

2m

m

θ

θ

2θ

a) a1 = a2 = a3 d) a1 = a2 < a3

b) a1 > a2 > a3 e) a1 < a2 = a3

c) a1 < a2 < a3

5. En el gráfico mostrado determinar la masa del bloque si se mueve con una aceleración de 10 m/s2. No existe rozamiento. 50N a a) 6 kg b) 8 kg c) 3 kg 37° 10N m d) 5 kg e) 12 kg 6. Si no existe rozamiento, determinar la tensión en la cuerda si: m = 2kg y F = 40N. a) 10N a b) 15N c) 20N F m m d) 25N e) 30N 7. Si no existe rozamiento, determinar la aceleración de los bloques. (g = aceleración de la gravedad). a) cero b) g c) g/3 2m d) 2g/3 e) 3g/2 m 30°

54

U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

8. En el gráfico mostrado, determinar la tensión en la cuerda “A”. Se sabe que los tres bloques tienen la misma masa (m=3 kg) y no existe rozamiento. (g = 10 m/s2). a) 10N b) 20N c) 30N A d) 40N m m e) 50N m 9. Si la fuerza de contacto entre los bloques “A” y “B” es de 20N. Hallar “F” si: mA = 3 kg ; mB = 2 kg. No existe rozamiento. a a) 10N b) 20N F c) 30N A B d) 40N e) 50N 10. En el instante mostrado el sistema parte del reposo, después de qué tiempo el bloque “A” llegará a tocar el piso. (mA = 3 kg ; mB = 2 kg y g = 10 m/s2). a) 2 s b) 3 s c) 4 s d) 5 s B e) 6 s A h=16m

1. c 1. d

2. b 2. b

3. e 3. c

4. c 4. d

5. b 5. c

6. b 6. c

U N F V – C E P R E V I

7. e 7. c

CLAVES 8. d 9. d 10. c 11. e 12. b 13. b 14. d 15. c 8. d 9. e 10. 55

F Í S I C A

unidad

8

Rozamiento ROZAMIENTO O FRICCIÓN

Esta a punto de deslizar

Todos los cuerpos materiales presentan en sus superficies asperezas o rugosidades las que generan una resistencia u oposición al deslizamiento de una superficie sobre la otra; ésta oposición se manifiesta a través de una fuerza (f) paralela a la superficie de contacto y perpendicular a la fuerza normal (N) en dicho contacto. Si las superficies en contacto no deslizan se dice que el rozamiento es estático, en cambio si existe deslizamiento presenta rozamiento cinético.

FUERZA DE ROZAMIENTO ESTÁTICO (fS):

Es una fuerza variable que trata de evitar el inicio del deslizamiento; su valor cambia desde un mínimo de cero cuando las superficies no tratan de deslizar, hasta un valor máximo que se alcanza cuando el deslizamiento es inminente (a punto de efectuarse). No hay tendencia al deslizamiento: fS = 0

F2 = fS (max) F2

fS(máx)

0 ≤ fS ≤ fS(max) fS(max) = µSN fS(máx): fuerza de rozamiento estático máximo µS : coeficiente de rozamiento estático. N : fuerza normal en el contacto.

FUERZA DE ROZAMIENTO CINÉTICO (fK):

Esta fuerza se presenta cuando existe deslizamiento, siendo su valor constante independiente de la velocidad de resbalamiento y del área en contacto; su valor es directamente proporcional a la fuerza normal en el contacto, denominándose a la constante de proporcionalidad coeficiente de rozamiento cinético. mov. F

Hay tendencia al deslizamiento: F1 = fS

fs

56

fk fK = µK N

F1

fK : fuerza de rozamiento cinético. µK : coeficiente de rozamiento cinético. N : Fuerza normal en el contacto.

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F Í S I C A

OBSERVACIONES: 1) La fuerza de fricción(f) es independiente del área de contacto de las superficies ásperas. 2) Para dos superficies ásperas en contacto se cumple que: fS(max) > fK

⇒

µS > µK

3) Los coeficientes de rozamiento son números (adimensionales) generalmente entre 0 y 1. 4) La fricción disminuye con el uso de lubricantes, asimismo la humedad y el calor. Ejemplos de casos frecuentes de cómo gráficar y determinar la fuerza normal. 1) N

N

R

F

fRoz.

Por Pitágoras: 2 R2 = N2 + fRoz.

F : Fuerza que produce la tendencia al movimiento o el movimiento relativo. Gráfica “f” versus “F”: f fS(máx.) fK

mg

F

45° 0

N = mg 2) F

N

reposo

deslizamiento

EJEMPLOS: 1) El bloque mostrado de masa 3 kg se mueve con velocidad constante; si µK=0,8 y g = 10 m/s2, hallar “F”. F

3 kg F=N 3)

N mg Senθ θ

RESOLUCIÓN θ

N

V=Cte.

mg Cosθ

mg N = mg Cos θ

REACCIÓN TOTAL EN UNA SUPERFICIE ÁSPERA

fK

3 kg

F

30 N Como se mueve con velocidad constante, entonces se encuentra en equilibrio

Es la resultante de la fuerza normal y la fuerza de rozamiento. U N F V – C E P R E V I

57

F Í S I C A

A) La reacción normal: N = 30 B) La fuerza de rozamiento: F = fK F = µKN F=

8 ·30 10

⇒

2) Cuando el bloque baja con velocidad constante sobre un plano inclinado “α” respecto a la horizontal, entonces:

F = 24 N V=Cte.

2) Determinar la aceleración del bloque, si F = 100N y µK = 0,5. (m = 10 kg y g=10 m/s2). a F

m

α µK = Tg α 3) Cuando el bloque baja con aceleración constante sobre un plano inclinado “α” respecto a la horizontal, entonces:

RESOLUCIÓN N fK

10 kg

a

a

F

α a = g(Sen α – µK Cos α)

100 N ΣFy = 0 ⇒ N = 100 fK = µ·N 0,5 (100) = 50 De la 2da. Ley de Newton: FR = m · a 100 – fk = 10 · a 100 – 50 = 10 · a a = 5 m/s2

4) Desaceleración de un cuerpo. µk

a movimiento

a = µK · g

CASOS ESPECIALES 1) Cuando un bloque está sobre un plano inclinado “θ” respecto de la horizontal, encontrándose a punto de resbalar, entonces:

µK : Coeficiente de rozamiento cinético. 5) La mínima fuerza para empezar a deslizar al bloque es igual a la fuerza de rozamiento estático máximo. Fmín.

fs(max)

θ µS = Tg θ

58

Fmín = fs(max)

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F Í S I C A

PROBLEMAS 1. Señale con verdadero (V) o falso (F): I. La fuerza normal siempre es igual al peso. II. La fricción estática es variable. III. La fricción cinética es constante. a) FVV b) VVV c) FFF d) VVF e) FFV 2. Señale con verdadero (V) o falso (F): I. Si el cuerpo está a punto de moverse entonces la fuerza de rozamiento es máxima. II. Los coeficientes de rozamiento no tienen unidad. III. La fuerza de rozamiento no depende del tamaño de las superficies en contacto. a) VVV b) FFF c) VFV d) VFF e) VVF 3. Dos ladrillos idéntidos se han colocado sobre una misma mesa; uno descansa sobre su cara amplia y el otro sobre su extremo; con respecto a sus coeficientes de rozamiento se tendrá: a) µ1>µ2 Caso (2) b) µ1>µ2 4. Para iniciar el deslizamiento de un cuerpo es necesario una fuerza "A", mientras que para mantener el deslizamiento a velocidad constante se necesita una fuerza "B"; luego será cierto: a) A=B b) AB d) A=B=0 e) A≠B 5. Si el bloque está en reposo, hallar la fuerza de rozamiento en cada caso: a) 60 N ; 20 N 50N b) 60 N ; –20 N 80N 30N 10N 37° c) 50 N ; 30 N d) 10 N ; 40 N e) 80 N ; 40 N 6. Hallar el valor de "F" si el bloque de 9 kg está a punto de resbalar hacia abajo. (µS=0,5 y g=10 m/s2) a) 180 N b) 90 N c) 20 N F d) 50 N e) 80 N

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59

F Í S I C A

7. Si al bloque de masa 10 kg se le aplica una fuerza horizontal de F = 20 N; hallar la fuerza de rozamiento sobre el bloque. (µS=0,8 ; µk=0,6 y g=10 m/s2) a) 10 N b) 20 N F c) 30 N d) 40 N e) 50 N 8. Hallar con qué aceleración se mueve el bloque mostrado. (µk=0,5 ; m=10 kg ; g = 10 m/s2) a) 1 m/s2 a b) 2 m/s2 2 c) 3 m/s F=80N d) 4 m/s2 e) 5 m/s2 9. El extremo de una tabla de madera se ha levantado gradualmente hasta el instante en que está a una altura "h" del piso, y la moneda estará a punto de resbalar; la tabla mide 60 cm y µS = 0,75. Calcule "h". a) 30 cm b) 36 cm h c) 40 cm d) 44 cm e) 50 cm 10. Hallar la aceleración con la cual se mueve el bloque mostrado sobre el plano inclinado. (µk = 0,75 ; g = 10 m/s2) a) 3,5 m/s2 a b) 5 m/s2 c) 2 m/s2 d) 4 m/s2 e) 7 m/s2 53° 11. Si el sistema se encuentra en reposo y mA=10 kg y mB=8kg; la fuerza de rozamiento en el bloque "A" es: (g = 10 m/s2) a) 30 N A b) 20 N c) 10 N B d) 0 37° e) 25 N 12. Un bloque de 2 kg desliza sobre una superficie horizontal. Si µk = 0,3; el módulo de su aceleración es: (en m/s2) a (g = 10 m/s2) a) 1 b) 2 m c) 3 d) 4 e) 5 60

U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

13. Calcular la aceleración de los bloques, si: m1=4 kg ; m2=8kg; µk = 1/2 y g = 10 m/s2. a) 1 m/s2 m1 b) 2 m/s2 2 c) 3 m/s d) 4 m/s2 m2 e) 5 m/s2 14. Un bloque de 4 kg se desliza hacia la izquierda con velocidad constante, si µk = 0,5. Hallar el módulo de "F". a) 110 N 100N V=Cte. b) 120 N c) 130 N 37° d) 140 N F m e) 150 N 15. El bloque de masa 30 kg se mueve hacia la derecha con una aceleración de 2 m/s2, si µk = 0,2; la fuerza "F" mide: (g = 10 m/s2). 200N a) 8 N b) 16 N 37° c) 24 N F d) 12 N m e) 20 N

TAREA 1. ¿Qué fuerza es la que impulsa hacia delante al andar? a) Peso b) Normal c) Fricción estática d) Fricción cinética e) Fuerza muscular 2. Si se cambia los neumáticos de un automóvil por otros más anchos, la fuerza de fricción entre los nuevos neumáticos y la pista ................. a) aumenta b) disminuye c) permanece igual d) puede aumentar e) no se sabe 3. ¿Qué fuerza mínima se necesita, para que un bloque de masa 5 kg no caiga al ser comprimido a una pared vertical por una fuerza perpendicular a la misma? (µS = 0,5 ; g = 10 m/s2) a) 60 N b) 80 N F c) 100 N m d) 110 N e) 150 N U N F V – C E P R E V I

61

F Í S I C A

4. Hallar "F" tal que el bloque de 16 kg de masa se mueva con una aceleración de 5 m/s2, g = 10 m/s2. a a) 120 N b) 136 N F c) 200 N d) 180 N e) 160 N µk = 0,75 5. El bloque es lanzado en forma rasante sobre una mesa de madera y resbala como se muestra en la figura; la dirección de la reacción de la madera sobre el bloque es: a) b) c) d) e) 6. ¿Cuánto debe valer la fuerza "F" para que el bloque de masa "m" descienda con velocidad constante? (µ: coeficiente de fricción cinético) a) µmg b) mg c) e)

mg (1 + µ)

d)

mg (1 − µ)

F F

mg (1 + µ)

7. Un pequeño bloque de 2 kg de masa resbala sobre el plano inclinado, según la figura. Si parte del reposo y recorre 4 m en 4 s con M.R.U.V., determinar la fuerza de rozamiento. (g = 10 m/s2) a) 11 N b) 22 N c) 10 N d) 12 N e) 7 N 37° 8. Si los coeficientes de rozamiento entre "A" y el plano inclinado es: µS = 0,5 y µk = 0,4. Calcular el peso de "B", si "A" de peso 50 N está a punto de moverse hacia abajo. a) 25 N b) 50 N c) 70 N d) 110 N A e) 140 N 53° 62

B U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

9. Hallar el tiempo que tarda el bloque "B" en llegar al piso, si parte del reposo y el coeficiente cinético entre el bloque "A" y la superficie horizontal es 0,2. (mB = 4 kg ; mA = 2 kg ; g = 10 m/s2) A B 12m a) 1 s

b) 2 s

c) 3 s

d) 4 s

e) 5 s

10. En el sistema mostrado, hallar la aceleración del carrito "M", sabiendo que "m" no resbala con respecto a "M". (µS = 0,4 y g = aceleración de la gravedad). a µS M

m liso

a) g d) g/2

1. a 1. c

2. a 2.

b) 5g/2 e) g/3

3. c 3. c

4. c 4. c

5. c 5. d

6. a 6. c

U N F V – C E P R E V I

c) 2g/5

7. b 7. a

CLAVES 8. c 9. b 10. a 11. b 12. c 13. e 14. c 15. b 8. c 9. b 10. b 63

F Í S I C A

unidad

9

Trabajo y Potencia TRABAJO MECÁNICO Consiste en vencer una resistencia comunicándole un movimiento. El rozamiento, el peso y la inercia son las resistencias más frecuentes.

TRABA JO DE UNA FUERZ A CONST ANTE TRABAJO FUERZA CONSTANTE

B) α = 180° Cuando entre la fuerza y el desplazamiento el ángulo es 180°. mov. F

Es una magnitud escalar, cuyo valor se halla con el producto de la fuerza paralela al desplazamiento por el desplazamiento.

W = F Cos 180° d  

F α

d

( −1)

F Cos α

W = –F · d C) α = 90° Cuando entre la fuerza y el desplazamiento el ángulo es 90°.

d W = F Cos α · d

F

UNIDADES EN EL S.I.

mov.

W F d joule newton metro (J)

(N)

CASOS PARTICULARES

A) α = 0° Cuando entre la fuerza y el desplazamiento el ángulo es cero grados. mov. F d W = F Cos 0° d 

d

(m ) W = F Cos 90° d   

0

W = Cero

TRABAJO NETO O TOTAL Cuando varias fuerzas actúan sobre un cuerpo en movimiento, el trabajo neto es el que desarrolla la fuerza resultante o es la suma de los trabajos efectuados por cada una de las fuerzas. WNETO = FR · d

ó

(1)

W=F·d 64

WNETO = W1 + W2 + W3 + ... U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

EL TRABAJO NETO PUEDE SER:

F(N)

A) POSITIVO Cuando el movimiento del cuerpo es acelerado. B) NEGATIVO Cuando el movimiento del cuerpo es desacelerado. C) CERO O NULO En particular cuando el movimiento del cuerpo es con velocidad constante. EJEMPLO 1 Hallar el trabajo neto en el gráfico mostrado; no existe rozamiento. (g = 10 m/s2)

F A x

0

x(m) En la gráfica fuerza (F) versus posición (x), se cumple que el área bajo la gráfica representa el trabajo realizado. W = Área = W=

b ⋅h 2

Fx 2

mov. 10N

6kg

II. FUERZA DE MÓDULO CONSTANTE TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA

80N d = 5m

L

RESOLUCIÓN N 10N

6kg

60N

Ftangente

80N

R

R θ

d = 5m W = Ftangente · L

WNETO = FR · d WNETO = (80 – 10) · 5 WNETO = 350 J

L : Longitud del arco

TRABAJO DE UNA FUERZA VARIABLE I.

TRABAJO EN UN RESORTE La fuerza deformadora varía linealmente de acuerdo a la ley de Hooke.

III. En general, se cumple que en el gráfico fuerza (F) versus posición (x), se verifica que el área bajo la curva coincide con el trabajo realizado por dicha fuerza. F

k A x 0

x

F=kx W = Área = A

U N F V – C E P R E V I

65

F Í S I C A

EL TRABAJO DEL PESO DE UN CUERPO Am mg

La potencia se puede calcular de las siguientes formas:

mov.

h

OTRAS UNIDADES: 1 HP = 746 W 1 CV = 735 W

P = F⋅d t

B A →B = mgh Wpeso

Si: V = cte. F : Fuerza t : Tiempo

B mov.

h

P=F·V

A m

V : Velocidad d : Distancia

EJEMPLO 2 Se eleva un bloque de masa 3 kg a velocidad constante hasta una altura de 5 m en 2 s, tal como se muestra en la figura. Hallar la potencia de la fuerza "F".

mg A →B = −mgh Wpeso

g

El trabajo realizado por el peso es independiente de la trayectoria; depende sólo del desplazamiento vertical. Por esta razón se considera al peso una fuerza conservativa.

RESOLUCIÓN F

OBSERVACIÓN El trabajo que realiza la fuerza de rozamiento depende de la trayectoria; por esta razón se considera a la fricción una fuerza no conservativa.

mg d=5m

Potencia =

Trabajo Tiempo

P= W t

UNIDADES EN EL S.I. P watts (W )

66

W t joule segundo (J) ( s)

V = cte.

F mg

POTENCIA MECÁNICA Es una magnitud escalar que nos indica la rapidez con que se realiza un trabajo.

F

P=

W = F⋅d t t

P=

mgd t

P=

3 ⋅ 10 ⋅ 5 = 75 W 2

U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

EFICIENCIA O RENDIMIENTO MECÁNICO (η) Es aquel coeficiente adimensional que indica el grado de perfeccionamiento de una máquina. η=

Potencia útil ⋅ 100% Potencia entregada

Donde: PE : Potencia entregada PU : Potencia útil PP : Potencia perdida EJEMPLO 3 El músculo humano tiene un rendimiento del 25%. Si absorbe 200J, el trabajo útil realizado será de: RESOLUCIÓN

P

E

Motor

P

U

η=

PU · 100% PE

⇒ η=

WU · 100% WE

P

P

∴ PE = PU + PP

25 =

WE · 100 200

WU = 50 J

PROBLEMAS 1. Señalar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: – El trabajo es una magnitud física escalar. – La unidad de la potencia en el SI es el watt (W). – La eficiencia de una máquina nunca es mayor del 100%. a) VFV b) VVV c) VFF d) VVF e) FVF 2. Señalar verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: I. El trabajo es positivo si la fuerza tiene la misma dirección y sentido del desplazamiento. II. El trabajo es negativo si la fuerza tiene la misma dirección y sentido opuesto al desplazamiento. III. El trabajo es cero si la fuerza es perpendicular al desplazamiento. a) FFF b) FVV c) VVF d) FFV e) VVV

U N F V – C E P R E V I

67

F Í S I C A

3. En un movimiento rectilíneo señalar verdadero (V) o falso (F) con respecto al trabajo neto en las siguentes proposiciones: I. Si es positivo entonces el movimiento es acelerado. II. Si es negativo entonces el movimiento es desacelerado. III. Si es cero entonces es un M.R.U. a) FFF b) VFV c) VVV d) FVF e) VVF 4. Hallar el trabajo que realiza la fuerza "F" de 120 N, que se desplaza 10 m hacia la derecha. (d = 10 m) F 53° d a) 720 J d) 580 J

b) 180 J e) 800 J

c) 960 J

5. Hallar el trabajo neto realizado en un cuerpo de 10 kg, que se desplaza verticalmente hacia arriba con una aceleración de 5 m/s2, recorriendo una altura de 12 m. a) 600 J b) 1800 J c) 1000 J d) 800 J e) 400 J 6. Un bloque es ayudado a descender a velocidad constante, por una fuerza "F" también constante de 80 N, desde "A" hasta "B". ¿Qué trabajo realizó dicha fuerza "F"? A 15m

V=Cte. F 37°

B

a) –300 J b) –400 J c) –500 J d) –1000 J e) –2000 J 7. El sistema mostrado se mueve 5 m hacia la derecha con velocidad constante; entonces el trabajo realizado por la tensión y la fuerza de rozamiento sobre el bloque "A" es: (µk = 0,5 ; mA = 4 kg ; g = 10 m/s2) a) 100 J ; –100 J b) 80 J ; –80 J F A B c) 60 J ; –60 J d) 40 J ; –40 J e) 30 J ; –30 J 68

U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

8. A un motor se le entrega una potencia de 800 W para que éste mueva un eje que se encargará de trasmitir movimiento; si este motor pierde 160 J por cada segundo en forma de calor, que este disipa, determinar la eficiencia del motor. a) 60% b) 80% c) 50% d) 70% e) 75% 9. Determinar la potencia desarrollada por una fuerza "F" sobre un cuerpo de 40 kg de masa, que le hace cambiar su velocidad de 20 m/s a 40 m/s en 10 s. a) 400 W liso b) 512 W F 40 kg c) 256 W d) 144 W e) 2400 W 10. La gráfica muestra la variación de la fuerza con el desplazamiento horizontal. Determinar el trabajo desarrollado desde x = 0 hasta x = 10 m. F(N) 20

0

10

6

x(m)

–8 a) 0 c) 120 J e) 88 J

b) 100 J d) 152 J

11. Calcular el trabajo que realiza la fuerza constante (F = 50 N), al trasladar la esfera de masa "m" desde "A" hasta "B" a lo largo de la trayectoria curvilínea. (α = 37°) B F

6m

α° A a) 240 J c) 640 J e) 1020 J

8m b) 480 J d) 720 J

U N F V – C E P R E V I

69

F Í S I C A

12. Calcular la potencia al levantar un bloque de 200 kg hasta una altura de 10 m, con velocidad constante en 5 s. (g = 10 m/s2) a) 4 W b) 40 W c) 400 W d) 4000 W e) 0,004 W 13. Se usa una cuerda para bajar un bloque de masa "m" una altura "H", con una aceleración hacia abajo constante g/4. Encontrar el trabajo efectuado por la cuerda sobre el bloque: −(mgH) (mgH) b) –mgH c) a) 2 4 −(3mgH) d) –2mgH e) 4 14. Hallar la potencia realizada por la fuerza F = 50 N al desplazar 200 m el bloque de masa 10 kg, sobre el piso liso desde el reposo. (g = 10 m/s2) F 37°

a) 200 W d) 800 W

b) 400 W e) 1000 W

c) 600 W

15. El bloque de 8 kg, desciende con una aceleración de 1 m/s2. El trabajo de la fuerza de rozamiento y el trabajo neto al recorrer una distancia de 5 m, es: (g = 10 m/s2) a 45° a) –400 J ; 40 J d) –100 J ; –40 J

50 2 N

b) –40 J ; –40 J e) –80 J ; 80 J

c) –110 J ; 40 J

TAREA 1. Si lanzamos un bloque sobre una superficie rugosa, entonces la fuerza de rozamiento realiza un trabajo: a) cero V b) positivo rugoso c) negativo d) positivo o negativo e) ninguna 70

U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

2. Un bloque se mueve a velocidad constante sobre una superficie horizontal, con rozamiento debido a la acción de una fuerza horizontal "F". Determinar el trabajo neto para una distancia "d". a) +F·d b) –F·d c) Cero d) Falta µk e) Falta conocer la masa del bloque 3. El trabajo del peso de un cuerpo no depende de la: a) masa b) gravedad c) peso d) trayectoria e) desplazamiento vertical 4. Una fuerza de módulo constante F, es aplicada siempre tangencial a la trayectoria circular de radio "R" que describe el cuerpo sobre la cual acciona "F". Halle el trabajo de "F" cuando el cuerpo da "n" vueltas. a) 2πRFn b) 2πRF(n+1) c) 2πRF d) 2πRF(n–1) e) 4πRFn 5. Determinar el trabajo que se efectúa para levantar el bloque de masa "m" mostrado.

L

a)

m L

mgL 4

mgL 2 e) mgL c)

b)

mgL 3

d)

2mgL 3

6. Un bloque que pesa 80 N se abandona sobre un plano inclinado liso. Determinar el trabajo realizado por la fuerza de gravedad para un desplazamiento de 10 m sobre el plano.

30° a) 100 J c) 300 J e) 500 J

b) 200 J d) 400 J

U N F V – C E P R E V I

71

F Í S I C A

7. A un motor se le entrega una potencia de 1000 W; si la eficiencia de este motor es del 80%, calcular la potencia útil y la potencia perdida. a) 900 W ; 100 W b) 700 W ; 300 W c) 800 W ; 200 W d) 600 W ; 400 W e) 500 W ; 500 W 8. En la figura mostrada, un bloque de peso 40 N es sometido a la acción de fuerzas de módulos iguales a 10 N. Calcular el trabajo neto realizado sobre el cuerpo para un desplazamiento de 5 m. (No existe rozamiento). F

F

mov.

37° F a) –20 J

F

b) 20 J

c) –40 J

d) 40 J

e) 0

9. El sistema mostrado, inicialmente está en reposo, luego se deja y empieza a moverse; entonces el trabajo desarrollado por la tensión sobre el bloque "B", cuando éste llega al piso, es: (mA = 4 kg ; mB = 6 kg ; g = 10 m/s2)

A

B 4m

a) 192 J

b) –192 J c) 160 J

d) –160 J

e) –240 J

10. Determinar el trabajo realizado por el peso del bloque (1), si el bloque (2) se desplaza 4 m; m1 = 3 kg ; m2 = 8 kg. No existe rozamiento y g = 10 m/s2. 2

1 a) 80 J

1. b 1. c 72

2. e 2. c

b) 30 J

3. c 3. d

4. a 4. a

c) 60 J

5. a 5. c

6. e 6. d

d) 40 J

7. a 7. c

e) 100 J

CLAVES 8. b 9. e 10. e 11. b 12. d 13. e 14. d 15. c 8. d 9. b 10. c U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

unidad 10

Energía ENERGÍA La energía es la capacidad o actitud que tiene un cuerpo o sistema para realizar un trabajo. La energía se puede presentar de diferentes formas; como: mecánica, calorífica, luminosa, química, magnética, nuclear, etc. La energía es una magnitud escalar; tiene la misma fórmula dimensional que el trabajo. Por lo tanto, en el sistema internacional, la energía se mide en joules (J). Cualquiera sea la forma de la energía, ésta sólo puede presentarse en dos estados: cinético y potencial. Cinético, cuando está manifestándose, y potencial cuando se encuentra almacenado, concentrado, listo para manifestarse.

ENERGÍA MECÁNICA (EM)

Un sistema puede tener energía mecánica como consecuencia de su ubicación, su arreglo molecular interno o su movimiento.

ENERGÍA CINÉTICA (EK)

Es la capacidad de un cuerpo para realizar un trabajo en virtud de su velocidad. La energía cinética de un cuerpo de masa m y velocidad V es dada por:

Es la energía que posee un cuerpo, debido a la altura a la que se encuentra respecto a un nivel de referencia a partir del cual se miden las alturas, y está dada por: m

C.G.

g

Nivel de referencia

h

EP = mgh

ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA (EPE)

Es la energía que poseen los cuerpos debido a su elasticidad. Al comprimir o estirar un resorte se realiza un trabajo, este trabajo se almacena en el resorte bajo la forma de energía potencial elástica. La energía potencial elástica en un resorte representa el trabajo realizado en contra de las fuerzas elásticas (Ley de Hooke) deformadoras. La energía potencial elástica para el resorte de la figura está dada por: k

V

x

F

m EK =

1 mV2 2

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA (EP)

Es la aptitud que tiene un cuerpo para efectuar un trabajo en virtud de su posición.

U N F V – C E P R E V I

EPE =

1 2 Kx 2

ENERGÍA MECÁNICA TOTAL (EM)

La energía mecánica total de un cuerpo en un instante, es la suma de la energía

73

F Í S I C A

cinética y potencial que posee el cuerpo en el instante considerado. EM = EK + EP

TEOREMA DE LA ENERGÍA CINÉTICA La energía cinética equivale al trabajo que se desarrolla sobre un cuerpo para que incremente su velocidad. “La variación de la energía cinética es una medida del trabajo de la fuerza resultante”

4,5 ⋅ V 2 (40 – 1 · 15) 20 = 2 3 V = 17,6 m/s

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA Cuando sobre un cuerpo actúan sólo fuerzas conservativas (peso del cuerpo, o fuerzas elásticas) se afirma que su energía mecánica se conserva. EM = EC + EP = Constante

WNETO = ∆EC = EKf – EK0 EJEMPLO: La figura muestra un bloque que es arrastrado sobre una superficie horizontal por una fuerza del 50N. Hallar la velocidad que alcanza luego de recorrer 20 m. (V0=0) (Masa del bloque 4,5 kg; coeficiente de rozamiento cinético para el bloque y la superficie µ = 1/3).

ECA + EPA = ECB + EPB EJEMPLO: Se deja caer un bloque de 2 kg, inicialmente en reposo, desde una altura de 0,4 m sobre un resorte cuya constante de elasticidad es 2 000 N/m. Hallar la máxima distancia y que comprimirá el resorte (g = 10 m/s2). RESOLUCIÓN En este caso la pérdida de energía potencial gravitatoria del bloque es igual a la ganancia de energía potencial elástica del resorte:

50N 37°

A

RESOLUCIÓN: 30N

h 50N

N 40N

y

B

N.R.

f 45N WNETO = ∆EC = ECf – ECi m ⋅ V2 (40 – f) 20 = –0 2 (40 – µN) 20 =

74

4,5 ⋅ V 2

2

EM (A) = EM (B) EK (A) + EP (A) = EK (B) + EPE (B) 0 + mg(h+y) = 0 +

1 Ky2 2

1 (2000)y2 2 y = 0,1 m

2(10)(0,4+y) =

U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

LEY DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA “La energía no se crean ni se destruye, sólo se transforma” Esto quiere decir que la cantidad total de energía del universo es constante, y lo que el hombre hace es sólo transformarla para utilizarla mejor.

rozamiento. Sabiendo que existe rozamiento sólo en la superficie horizontal, hallar la distancia “d” que recorre hasta detenerse. A H

TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA MECÁNICA “El trabajo realizado por fuerzas diferentes al peso y a la fuerza elástica, sobre un cuerpo o sistema, es igual a la variación de su energía mecánica. W(F ≠ mg) = EM (final) – EM (inicial)

µ B N.R.

d

RESOLUCIÓN: W(F ≠ mg) = EM (B) – EM (A) –fd = 0 – (EK (A) + EP (A)) –µNd = 0 – (0 + mgH) –µmgd = –mgH

EJEMPLO: Un bloque se abandona en la posición A sobre una superficie curva que no ofrece

d=

H µ

PROBLEMAS 1. Un camión cargado y un auto pequeño se desplazan con la misma energía cinética. ¿Cuáles de las afirmaciones siguientes son correctas? I. La velocidad del auto es mayor que la del camión. II. El trabajo que se deberá realizar para hacer que el auto se detenga, es menor que el trabajo que habrá que efectuar para que el camión pare. III. Si ambos son frenados (hasta detenerse) por medio de fuerzas del mismo valor, la distancia recorrida por el auto será mayor que la recorrida por el camión. a) I b) II c) III d) I y II e) I y III 2. Una piedra de masa igual a 2 kg. se deja caer desde un punto A, y desciende en forma vertical, como muestra la figura. Suponiendo que la resistencia del aire no sea despreciable. Cuáles de las afirmaciones siguientes son correctas. (g = 10 m/d2). I. La energía mecánica total de la piedra en A, es igual a 100 J. II. La energía mecánica total de la piedra en B, es igual a 100 J. U N F V – C E P R E V I

75

F Í S I C A

III. La energía potencial de la piedra en B, es igual a 40 J. a) I A b) II 3m c) III d) I y II B e) I y III 2m N.R. 3. Una bola, de masa 2 kg. se desliza sin fricción, por el tobogán de la figura. En A la energía cinética de la bola es de 10 J, y su energía potencial vale 54 J. Indicar las afirmaciones verdaderas. I. La energía cinética de la bola al pasar por B, es de 64 J. II. La energía potencial de la bola en C, vale 18 J. III. La energía cinética de la bola en C vale 46 J A C

H

H 3

N.R. a) I d) I y II

b) II e) III

B

D c) I, II y III

4. Indicar si las siguientes proporciones son verdaderas o falsas. I. Las fuerzas cuyo trabajo depende del camino recorrido, se denominan fuerzas disipativas (fuerzas no conservativas). II. La energía mecánica de un cuerpo no cambia cuando actúan sobre él únicamente fuerzas conservativas. III. El trabajo realizado por el peso de un cuerpo depende de su trayectoria. a) VVV b) FFF c) FFV d) VVF e) FVV 5. De las gráficas mostradas, indicar las que corresponden a la energía cinética de un cuerpo (EK = energía cinética; V = velocidad). (I) (II) (III) a) I EK E E K K b) II c) III d) I y II e) II y III V V2 V2 6. Un bloque de 6 kg., que parte del reposo, se desliza 4 m por el plano inclinado. ¿Cuál es la energía potencial del

76

U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

bloque (con respecto a la parte inferior del plano inclinado) cuando está en la parte superior? (g = 10 m/s2). a) 90 J b) 240 J 4m c) 120 J 3m d) 180 J e) 360 J 7. En el problema (6) si el plano inclinado carece de rozamiento; ¿Cuál es la velocidad del bloque cuando alcanza la parte inferior del plano inclinado? a) 8,75 m/s b) 9,75 m/s c) 6,75 m/s d) 5,75 m/s e) 7,75 m/s 8. En el problema (6) si hay una fuerza de rozamiento constante de 8N sobre el bloque mientras se desliza por el plano inclinado; ¿Cuál es su velocidad en la parte inferior? a) 8 J b) 6 J c) 7 J d) 5 J e) 9 J 9. Una bala de 7 g. disparada verticalmente hacia arriba al aire con una velocidad inicial de 200 m/s, alcanza una altura de 900 m. ¿Cuál es la fuerza de rozamiento media sobre la bala? a) 0,096 N b) 0,086 N c) 0,076 N d) 0,172 N e) 0,129 N 10. Un conductor aplica los frenos cuando su auto lleva la velocidad de 72 km/h. ¿Qué distancia recorre antes de pararse si el coeficiente de rozamiento entre las llantas y el suelo es de 0,5? (g = 10 m/s2). a) 20 m b) 30 m c) 25 m d) 40 m e) 50 m 11. Un bloque parte de A sin velocidad inicial y se desliza por el camino de la figura. Hasta qué altura sube si solamente hay rozamiento en la parte plana d con un coeficiente de rozamiento µ. (h − µd) 2 b) h–µd c) 2h–µd d) h+µd e) h–2µd

A

a)

h d

12. Un péndulo formado por una pequeña esfera de 500 g en el extremo de una cuerda de 1 m, oscila formando un ángulo de 37° con la vertical. ¿Cuál es la velocidad de la esfera cuando pasa por la posición vertical?. (g=10 m/s2). U N F V – C E P R E V I

77

F Í S I C A

a) 1 m/s d) 2 m/s

b) 3 m/s e) 5 m/s

c) 4 m/s

13. Una muchacha deja caer una pelota de 0,5 kg. desde un puente que está 12 m por encima de las aguas. ¿Cuál es la velocidad V de la pelota cuando toca el agua?. (g = 10 m/s2) a) 14,5 m/s b) 12,5 m/s c) 15,5 m/s d) 12,0 m/s e) 15,0 m/s 14. Una masa “m” colocada suavemente sobre un resorte sin comprimirse le produce una deformación “y0”. ¿Desde qué altura debe dejarse caer la misma masa para que se produzca una deformación de “3y0”?. b) 2,5 y0 c) 3 y0 a) 2 y0 d) 1,5 y0 e) 3,5 y0 15. Un bloque que parte del reposo resbala por una rampa y pierde entre A y B el 10% de su energía mecánica, por efecto del razonamiento. Si en el punto hC su velocidad es de 5 m/s. Hallar hC. (g = 10 m/s2). a) 6,75 m A b) 5,75 m c) 4,75 m hC 10m d) 8,75 m e) 7,75 m B

TAREA 1. ¿Qué fuerza media debe ejercerse sobre un bloque de 1 200 kg. de masa, para que adquiera una velocidad de 90 km/h en una distancia de 30 m, partiendo del reposo? a) 2500N 90 km/h b) 5500N µ=0 c) 8500N d) 12 500N 30m e) 9500N 2. Se suelta un cuerpo de 2 kg. de masa desde una altura de 20 m. Calcular su energía cinética en Joules, cuando se encuentra a 10 m de altura. (g = 10 m/s2). a) 100 J b) 300 J c) 200 J d) 500 J e) 400 J 3. Dos cuerpos, uno de masa 1 kg. y el otro de peso 1 N, cada uno con energía potencial de 1 J con respecto a la tierra. Hallar la suma de sus alturas con respecto a la tierra. (g = 10 m/s2) 78

U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

a) 0,6 m d) 0,7 m

b) 1,1 m e) 1,3 m

c) 0,9 m

4. Una bala de 0,15 kg. con velocidad de 200 m/s penetra en una pared de madera deteniéndose al recorrer 0,3 m. La magnitud de la fuerza media que detiene la bala es: a) 10 000N b) 9 000N c) 900N d) 5 000N e) 7 500N 5. Sobre un piso horizontal liso desliza un bloque de masa 1 kg. con una velocidad de 10 m/s, como se muestra en la figura. Hallar la máxima compresión del resorte de constante elástica K = 104 N/m. a) 1 m V b) 0,5 m c) 0,4 m d) 0,1 m e) 0,2 m 6. Un bloque de masa 15 kg. está sometido a la acción de una sola fuerza de dirección horizontal y su módulo varía con la posición “x” tal como indica el gráfico. Si el bloque parte del reposo en la posición x = 0. ¿Cuál será su velocidad en x = 25 m? F(N) a) 4 m/s 10 b) 10 m/s c) 5 m/s 5 d) 6 m/s e) 3 m/s 0 25 x(m) 7. Un bloque parte de A sin velocidad inicial y se desliza por el camino de la figura. ¿Qué distancia d recorre en la parte plana si solamente hay rozamiento en esta parte?. (µ = 0,2) a) 10 m b) 20 m 5m c) 15 m d) 12,5 m d e) 25 m 8. Un bloque de masa 2 kg. parte de una altura de 5 m con velocidad inicial horizontal de 5 m/s, como muestra la figura, y comprime un resorte en una distancia de 1 m. ¿Cuál es la constante del resorte? (g = 10 m/s2). V=5 m/s a) 125 N/m b) 250 N/m c) 500 N/m 5m d) 100 N/m e) 200 N/m U N F V – C E P R E V I

79

F Í S I C A

9. Una fuerza resultante F actúa sobre un cuerpo con M.R.U. en la dirección y sentido de su velocidad. La fuerza F varía según muestra la figura. Si el cuerpo poseía una energía cinética de 10 J al pasar por d = 0. ¿Cuánto es su energía al pasar por d = 5 m a) 110 J F(N) b) 65 J 20 c) 55 J d) 75 J 10 e) 80 J 0

1

3

5

d(m)

10. Una caja de fósforos de masa “m” es lanzada horizontalmente sobre un piso con una velocidad de 5 m/s. Si µK = 0,2. ¿Qué velocidad poseerá la caja luego de recorrer una distancia de 6 m? (g = 10 m/s2) a) 0 b) 1 m/s c) 2 m/s d) 3 m/s e) 4 m/s

1. a 1. d 80

2. e 2. e

3. c 3. b

4. d 4. a

5. b 5. d

6. d 6. c

7. e 7. e

CLAVES 8. c 9. b 10. d 11. b 12. d 13. c 14. d 15. e 8. b 9. b 10. b U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

unidad 11

Electrostática ELECTROSTÁTICA Es el estudio de las propiedades e interacciones entre los cuerpos electrizados, en reposo.

CARGA ELÉCTRICA (q) Es una magnitud que caracteriza a un cuerpo por el exceso o defecto de electrones que posee después de una interacción con otro. Si un cuerpo tiene exceso de electrones se dice que está cargado negativamente; si tiene defecto, está cargado positivamente. Así tenemos que si se frota una barra de vidrio con seda, el vidrio adquiere "carga positiva" y la seda queda con "carga negativa". En general los átomos están constituidos por 3 partículas estables básicas: electrón, protón y neutrón. El electrón es una partícula que posee masa y carga negativa; el protón posee masa y carga positiva, y el neutrón posee masa pero no carga. Partícula

Carga

Masa

Electrón

e–=1,6·10–19C me=9,11·10–31kg

Protón

e–=1,6·10–19C mp=1,67·10–27kg

Neutrón

e=0

mn = mp

En el Sistema Internacional, la unidad de carga eléctrica es el coulomb (C).

ELECTRIZACIÓN Los cuerpos se pueden electrizar de las siguientes formas: – Por frotamiento.

U N F V – C E P R E V I

– –

Por contacto. Por inducción.

POR FROTAMIENTO En dos cuerpos eléctricamente neutros por resultado del frotamiento o fricción, las cargas pasan de un cuerpo a otro, y los cuerpos se cargan con electricidades de diferente signo. Así por ejemplo al frotar una varilla de vidrio con un paño de seda, la varilla de vidrio se carga positivamente mientras que el paño de seda se carga negativamente.

POR CONTACTO Cuando dos cuerpos conductores se ponen en contacto, y estando por los menos uno de ellos cargando, se establece una transferencia de cargas entre ellos debido a la diferencia de potencial entre las superficies de dichos cuerpos.

POR INDUCCIÓN Cuando un cuerpo electrizado se acerca a un cuerpo neutro, ocasiona en él una distribución de cargas de tal forma que en una parte surge un exceso de cargas (+) y en la otra un exceso de cargas (–).

+

inductor

–+ ++ –– – + – + – + – + – + –– – ++

inducido

Para el ejemplo de la figura, si se desea cargar en forma definitiva el inducido (esfera), se debe mantener la posición del inductor y conectar a tierra la parte (+) de la esfera, quedando finalmente el inducido cargado (–).

81

F Í S I C A

PROPIEDADES DE LA CARGA ELÉCTRICA A) ESTÁ CUANTIFICADA

ducto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, y la dirección de la fuerza está dada por la recta que une las partículas".

La carga de un cuerpo puede ser solamente múltiplo entero de la carga de un electrón.

q1 +

F

q2 +

F

d q = ± ne q: carga del cuerpo n: número entero e: carga del electrón

F=K

B) LA CARGA SE CONSERVA La carga total de un sistema aislado permanece constante. Esto es, la carga no se crea ni se destruye, sólo se trasmite de un cuerpo hacia otro.

C) LA CARGA ES INVARIANTE La carga eléctrica de una partícula permanece igual sin importar la velocidad con que se mueve.

LEYES ELECTROSTÁTICAS LEY CUALITATIVA "Cargas del mismo signo se rechazan y de signo contrario se atraen". F F + + F

– – F

– F

LEY CUANTITATIVA O DE COULOMB "La fuerza de atracción o de repulsión electrostática entre dos partículas cargadas, es directamente proporcional al pro-

82

d2

F : fuerza (N) q1, q2 : carga (C) d : distancia (m) K : constante de Coulomb 2 1 K= K = 9 ⋅ 109 Nm 2 4πε0 C ε0 : permitividad del vacío

ε0 = 8,85 · 10–12

C2 N ⋅ m2

Ejemplo: Para dos cargas eléctricas positivas de 3·10–4C, separadas una distancia de 3 m. La fuerza de repulsión entre ellas se determina de la siguiente forma. F

+

F

+

q1 ⋅ q2

+

F

3m F=K

q⋅q d2

F = 9·109

N ⋅ m2 ⋅ 3 ⋅ 10 −4 C ⋅ 3 ⋅ 10 −4 C C2 (3 m)2

F = 90 N

U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

PROBLEMAS 1. Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas: I. Cuando se frotan dos cuerpos sólidos hechos de la misma sustancia, éstos no se electrizan. II. Los conductores eléctricos no poseen electrones libres en su interior. III. El cuerpo humano no es capaz de conducir cargas eléctricas. a) VVV b) FFF c) VVF d) VFF e) FFV 2. Indicar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I. Un auto en movimiento adquiere carga eléctrica metal debido al roce con el aire. A B II. En la figura: los electro––– nes libres del metal se – – desplazan al extremo A. III. En la figura: el signo de la carga en A es positivo. a) FFF b) VVV c) VFF d) VVF e) VFV 3. Indicar las proposiciones verdaderas: I. La fuerza de interacción entre dos cargas eléctricas puntuales es proporcional al producto de dichas cargas. II. La carga eléctrica no se conserva. III. La carga eléctrica es proporcional a la velocidad del cuerpo electrizado. a) I b) II c) III d) I, II e) II, III 4. Señalar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas: I. La fuerza de repulsión entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. II. Un cuerpo que tiene 5·1010 protones en exceso tiene una carga de 8·10–9 C. III. La ropa hecha de tejido sintético se electriza al frotamiento con nuestro cuerpo. a) VVV b) FFF c) FFV d) FVV e) VVF 5. Siendo F la fuerza entre dos cargas puntuales, separadas una distancia d. ¿Cuál es el gráfico que representa mejor la relación entre F y d?

U N F V – C E P R E V I

83

F Í S I C A

F a)

d

b)

d

c)

d

F

F d)

F

F

d

e)

d

6. La cantidad de electrones que existe en una carga negativa de 16 C, es: b) 1610 c) 20 d) 160·1019 e) 1016 a) 1020 7. Dos partículas idénticas están cargadas igualmente y se encuentran en reposo. Si el peso de cada una es W = 10–2 N, entonces el módulo de la fuerza repulsiva entre ellas es: a) 10–2 N  3  ·10–2 N b)    3  1 L L c) ·102 N 3 30° q – – q d) 3 ·102 N  2  · 102 N e)    3  8. Se tienen dos cargas de –20 C y +30 C. ¿Qué carga poseen en conjunto?. Después de unir las dos esferas. ¿Qué carga poseerán? a) +10 C ; –5 C b) –10 C ; +5 C –20C +30C c) +25 C ; –5 C d) +10 C ; +5 C e) –25 C ; +5 C 9. Se tienen dos cargas de +2 µC y +4µC separadas por 10 cm. Calcular la fuerza que experimentará otra tercera carga negativa de 1 µC colocada a 4 cm de la primera. a) 1 N b) 1,5 N + – + c) 1,75 N 2µC 1µC 4µC d) 1,05 N e) 1,25 N

84

U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

10. En la figura, la esfera A y el péndulo poseen cargas de igual magnitud y de signo contrarios. Sabiendo que B está en equilibrio y que su masa tiene un valor de 10 gramos. Determine la magnitud de la carga en cada uno de estos cuerpos. (g = 10 m/s2) a) 2 · 10–6 C 45° 30cm b) 3 · 10–6 C A+ – B c) 1 C d) 10–6 C aislante e) 2 C 11. La figura muestra una barra homogénea y uniforme en equilibrio; sabiendo que las esferitas de peso despreciable están cargadas con magnitud q = 20 µC y separadas una distancia d = 0,3 m, hallar el peso de la barra. a) 40 N b) 60 N –q c) 50 N 0,3m d) 80 N +q e) 70 N 12. Dos cargas eléctricas Q y q están separadas a una distancia de 10 cm. ¿Cuál debe ser la separación entre las cargas para que las fuerzas entre ellas sea 4 veces la fuerza inicial? a) 6 cm b) 5 cm c) 4 cm d) 8 cm e) 2 cm 13. Considere dos cargas (Q1>Q2) como se indica. ¿Dónde se debe colocar una tercera carga "q" para que quede en equilibrio sobre la línea que une las cargas? q

+Q1

+Q2

a) En el punto medio de la distancia que las separa. b) Más cerca de Q1 entre ambas cargas. c) Más cerca de Q2 entre ambas cargas. d) A la izquierda de Q1 e) A la derecha de Q2 14. Como se muestra en la figura, se colocan cargas de +10µC y –20 µC. La fuerza sobre una carga de –5 µC se dirige siempre hacia la derecha. I

II –20µC

a) En la parte I c) En las partes I y III e) En las pates II y III

III +10µC

b) En la parte II d) En la parte III

U N F V – C E P R E V I

85

F Í S I C A

15. Dos cargas esféricas de 2 y 3 cm de radio están cargadas con –200 y +800 µC respectivamente. Si ambas esferas se ponen en contacto y luego se les separa en 12 cm. Determinar en estas condiciones la fuerza con la cual se atraen o se rechazan dichas cargas. a) 54000 N b) 108000 N c) 27000 N d) 54·1015 N e) 54·1011 N

TAREA 1. Una barra de vidrio es cargada positivamente al ser frotada con seda. Si la carga de la barra es Q+ = 3,2·10–9 C. ¿Cuántos electrones pasaron a la seda?. b) 2·1010 c) 1,6·1019 a) 3,2·10–19 d) 3·1028 e) 3,2·109 2. Las cargas que se muestran en la figura se atraen con una fuerza igual a 81·103 N. Si se coloca una tercera carga de igual magnitud que las anteriores en el tercer vértice, se encuentra que la magnitud de la fuerza resultante sobre ésta, es: a) 0 N L L b) 103 N c) 27·103 N d) 81·103 N q + – q e) 81 N L 3. Se tienen dos cargas iguales colocadas a 3 cm de distancia y experimentando una fuerza de 360 N. ¿Cuál es el valor de q? q – a) 12·10–6 C d) 6·10–6 C

+ q b) 9·10–6 C e) 12·10–7 C

c) 9·10–7 C

4. Si se cuadruplica la distancia entre dos cargas eléctricas. ¿Cuántas veces mayor deberá hacerse a una de ellas sin que varíe la otra, para que la fuerza de repulsión sea la misma? a) 8 b) 4 c) 10 d) 16 e) 12 5. En la figura mostrada, hallar "x" para que la fuerza eléctrica resultante sobre la carga q0 sea cero. a) 4 cm x b) 2 cm c) 1 cm + + + d) 3 cm 1C q0 4C e) 2,5 cm 6cm 86

U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

6. La figura muestra dos cargas puntuales de magnitudes iguales q = 10–4 C pero de signos diferentes y pesos despreciables, separados una distancia d = 1 m. Sabiendo que existe rozamiento entre el bloque de peso "P" y la superficie horizontal (µS = 0,5). Determinar el peso del bloque si está pronto a moverse. a) 90 N b) 135 N c) 140 N +q d) 155 N d e) 180 N –q

7. Dos partículas cargadas se atraen entre sí con una fuerza F. Si la carga de una de las partículas se aumenta al doble y también se aumenta al doble la distancia entre ellas, entonces la fuerza será: a) F

b)

F 2

c) 2F

d) 3F

e)

F 4

8. Tres cargas Q se encuentran en los vértices de un triángulo rectángulo de lados 3 m, 4 m y 5 m. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que actúa sobre la carga situada en el vértice del ángulo recto?  337   KQ2 a)   144   

 137  2  KQ b)   144   

 237   KQ2 d)    144 

 537   KQ2 e)   144   

 437  2  KQ c)   144   

9. La figura muestra dos esferas idénticas de peso 10 N y carga q = 20 µC cada una. Determinar la tensión en las cuerdas (1) y (2). (1) a) 50 N ; 20 N b) 30 N ; 60 N q c) 40 N ; 20 N 0,3 m (2) d) 50 N ; 30 N e) 20 N ; 50 N q 10. El peso de un cuerpo parece disminuir en 147·10–3 N cuando se coloca encima de él, a 15 cm, una carga positiva de 6·10–9 C. ¿Cuál es el signo y la carga del primer cuerpo? a) +6,125·10–7C b) +1,225·10–6 C c) –1,225·10–7 C d) –6,125·10–7 C e) –1,225·10–6 C 1. d 1. b

2. e 2. d

3. a 3. d

4. d 4. d

5. e 5. b

6. a 6. e

U N F V – C E P R E V I

7. b 7. c

CLAVES 8. d 9. e 10. d 11. d 12. b 13. c 14. b 15. a 8. a 9. e 10. d 87

F Í S I C A

unidad 12

Electrodinámica ELECTRODINÁMICA

LEY DE OHM

Estudia los fenómenos producidos por las cargas eléctricas en movimiento.

En todo conductor metálico a temperatura constante, la diferencia de potencial entre dos puntos es directamente proporcional a la intensidad de corriente.

CORRIENTE ELÉCTRICA Es el flujo de electrones a través de un conductor, debido al campo eléctrico producido por la diferencia de potencial a la cual se encuentran sus extremos.

I

R V

INTENSIDAD DE CORRIENTE (I) Es la cantidad de carga que pasa por la sección recta de un conductor en la unidad de tiempo.

V = Constante ⇒ I

q

ohm (Ω) = I=

Unidad:

ampere (A)

RESOLUCIÓN: 5A –

20V

⇒

I=

18 C 9s

Por la ley de OHM: R =

∴ I = 2A

RESISTENCIA ELÉCTRICA (R) Es la oposición que ofrece un conductor al paso de la corriente a través de él. Representación: R Unidad: ohm Símbolo: Ω 88

R +

RESOLUCIÓN: q t

voltio ampere

EJEMPLO: Calcule el valor de la resistencia de un conductor, si por él pasa 5A y está sometido a una diferencia de potencial de 20V.

q t

EJEMPLO: Si por la sección recta de un conductor pasa una carga de 18 C cada 9 s, calcular la intensidad de corriente.

Si: I =

V =R I ∴ V = RI

R=

20 V 5A

V I

R = 4Ω

EJEMPLO: Si por la sección recta de un conductor pasan 5·1019 electrones cada 4 segundos. Determinar su resistencia eléctrica si está sometido a una diferencia de potencial de 120V.

U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

RESOLUCIÓN: n = 5·1019 t = 4s e = –1,6·10–19 C V = 120V

RESISTENCIA EQUIVALENTE (Req) Es aquella resistencia que reemplaza a un conjunto de resistencias produciendo el mismo efecto.

Sabemos que: q = ne ∴ q = 5·1019 · 1,6·10–19 q = 8C

A) ASOCIACIÓN EN SERIE:

Si: I =

q t

⇒ I=

Por Ohm: R =

ASOCIACIÓN DE RESISTENCIAS

8C 4s

+ R1 – +R2 – + R3 –

V1

⇒ I = 2A

I

120 V V ⇒ R= 2A I R = 60Ω

LEY DE POÜILLETT La resistencia de un conductor es directamente proporcional a su longitud e inversamente proporcional al área de su sección recta.

V2 +

–

V3

Req ≡ +

V

R1 I1 R I2 2

+V

L A

R = 1,69·10–8

+ – V

314

π ⋅ 10 −6 4

πd2 π ⋅ 10 −6 m2 = 4 4 Ω

R = 6,76 Ω

U N F V – C E P R E V I

≡

I +

V

–

CARACTERÍSTICAS: 1) V = constante 2) I = I1 + I2 + I3 3)

A=

I

I

Req

–V

I3 R3 L R=ρ A ρ = Resistividad eléctrica (Ω·m) (depende del material)

R=ρ

–

B) ASOCIACIÓN EN PARALELO

L

SOLUCIÓN:

V

CARACTERÍSTICAS 1) I = constante 2) V = V1 + V2 + V3 3) Req = R1 + R2 + R3

A

EJEMPLO: Calcular la resistencia eléctrica de 314 m de cobre, de 1 mm de diámetro. π = 3,14 ρCu = 1,69·10–8 Ωm

I

I

I = I + I + I Req R1 R2 R3

OBSERVACIONES: 1) Para dos resistencias. R1 Req = R2

R1 ⋅ R2 R1 + R2

89

F Í S I C A

2) Para “N” resistencias iguales en paralelo. R R Req =

R

RESOLUCIÓN:

R

a

R N

R

R

R

b

R

R 2

Req =

(paralelo)

N R EJEMPLOS: a) Hallar la resistencia equivalente entre x e y. R R x R y

a b 3R Req = 2

(serie)

d) Calcular la resistencia equivalente entre los puntos “x” e “y”.

b) Calcular la resistencia equivalente entre x e y.

x

R

R

I

RESOLUCIÓN:

x

1 = 1+1 Req R R

(paralelo)

R 2

c) Hallar la resistencia equivalente entre a y b. R R b

90

3Ω

R

1Ω

RESOLUCIÓN:

y

a

y 4Ω

x

Req =

(serie)

3R 2

Req =

RESOLUCIÓN: Req = R + R + R Req = 3R

R 2

4Ω a

I 3Ω

b 1Ω

y

Nota: La corriente sigue el camino más fácil.

x

4Ω a

b 1Ω

y

(a y b es el mismo punto, no hay resistencia) Req = 4 + 1 ← (serie) Req = 5Ω

U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

e) Determinar la resistencia equivalente entre “x” e “y”. R

x

R

R

R

x

R R 2

R

y y

x a

R

3R (serie) 2

R

RESOLUCIÓN: R b

R

x

R

a

y

b

3R 2

R x y a es el mismo punto y y b es el mis punto

y

3R (paralelo) 5

R

R R

a

x

b

y

R

x

x

R

3R ≡ 5

(paralelo)

y

13R 5 y

R

Req =

R 3

Rx 3

Req =

y

f) Hallar la resistencia equivalente entre x e y. R R x R

R

R

y R RESOLUCIÓN: x

R

R

R y R

R

R

R (paralelo) 2

U N F V – C E P R E V I

13R 5

FUENTE DE FUERZA ELECTROMOTRIZ (f.e.m.) Es una fuente de fuerza electromotriz (f.e.m.) la energía química, magnética, mecánica, luminosa, etc. que se convierte en energía eléctrica con la cual se realiza trabajo sobre las cargas eléctricas para llevarlas de menor a mayor potencial, garantizando que continúe el flujo de cargas. Representación:

+

–

Batería

+ – Pila

91

F Í S I C A

TRABAJO DE UNA FUENTE (W) A

– +

EFECTO JOULE La energía consumida por una resistencia se transforma completamente en calor, entonces la potencia (P) que consume una resistencia es:

B

ε VB > VA W: Trabajo para mover una carga (q) de menor a mayor potencial.

–

+

ε= W q

Q

ε = VB – VA

Donde:

Calor generado (Q) P = Unidad de tiempo (t)

POTENCIA ELÉCTRICA (P) Determina la cantidad de energía que suministra o consume un dispositivo eléctrico en la unidad de tiempo. –

I

+

D.E.

La potencia eléctrica se define como: P = VI

V2 ·t R

Para obtener Q en calorías, recordamos el equivalente mecánico del calor:

Para conductores que cumplen con la ley de OHM: V = IR 2

V R

EJEMPLO: Hallar la potencia eléctrica que da una batería de 12 V, si entrega una corriente de 0,5 A a una resistencia.

92

Q = Vi t Q = I2 R t Q=

Unidades: P = watts (W) V = voltios (V) I = ampere (A)

SOLUCIÓN: Sabemos que:

Unidades: Q = Joule (J) I = ampere (A) R = ohmio (Ω) t = segundo (s) Q=Pt

V

P = VI = I2R =

R

I

P = V·I P = 12 V · 0,5 A P=6W

1J = 0,24 Cal. ∴ Q = 0,24 P t Q = calorías (col) EJEMPLO: Qué cantidad de calor se disipa por una plancha eléctrica cuya resistencia es de 10 ohm, si la corriente es de 10 A durante 0,5 minutos. RESOLUCIÓN: Se sabe que: Q = 0,24 I2Rt Q = 0,24 · (10)2 · 10 · 30 Q = 7200 cal Q = 7,2 kcal.

U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

LEYES DE KIRCHOOFF PRIMERA LEY: "Ley de nudos o Ley de las corrientes" La suma de corrientes que llegan a un nudo es igual a la suma de corrientes que salen. Σ Ientran = Σ Isalen EJEMPLO: En el gráfico mostrado, hallar I. 3A 5A

SEGUNDA LEY: "Ley de los voltajes o de mallas" La suma algebraica de las f.e.m. en una malla es igual a la suma de la caída de potencial (IR) en cada resistencia de la malla. Σ V = Σ IR EJEMPLO: Hallar la intensidad de corriente "I" en el circuito mostrado. 6Ω

I 40 V

6A

– +

I

8A RESOLUCIÓN: Σ Ientran = Σ Isalen 3+5+6=I+8 I=5A

U N F V – C E P R E V I

RESOLUCIÓN:

– +

10 V

4Ω

Σ V = Σ IR 40 – 10 = I (10) 30 = I (10) I=3A

93

F Í S I C A

PROBLEMAS 1. Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda. "Las cargas eléctricas en un conductor fluyen ................" ( ) Porque sus protones se desplazan ante un campo eléctrico. ( ) Porque sus neutrones se desplazan ante una diferencia de potencial. ( ) Porque sus electrones libres fluyen ante un campo eléctrico externo. a) VVV b) VVF c) VFF d) FVF e) FFV 2. Calcular la cantidad de carga que fluye por un conductor, si en 8 segundos circula por él 4 A. a) 16 C b) 30 C c) 32 C d) 42 C e) 20 C 3. Por un conductor circula una intensidad de corriente de 8 A, durante 2 s. ¿Qué cantidad de electrones han pasado a través de su sección recta? (e = 1,6·10–19 C) a) 1019 b) 1020 c) 1021 –19 –18 d) 10 e) 10 4. Calcular la resistencia eléctrica si por ella circulan 5 A y está sometida a una diferencia de potencial de 100 V. a) 20 Ω I=5A b) 10 Ω R + – c) 5 Ω d) 30 Ω 100V e) 50 Ω 5. Se tiene un alambre de resistencia 8 Ω; si se estira hasta cuadruplicar su longitud, permaneciendo constante su densidad y resistividad eléctrica. Hallar la nueva resistencia. a) 80 Ω b) 100 Ω c) 128 Ω d) 140 Ω e) 150 Ω 6. Calcular la resistencia equivalente entre "x" e "y". a) R b) 2R c)

5R 2

e)

R 2

d)

R 3

R

R

R

x R y

94

U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

7. Calcular la resistencia equivalente entre a y b. 6Ω a) 5 Ω b) 7 Ω a 12Ω c) 9 Ω d) 11 Ω 3Ω 6Ω e) 13 Ω b 12Ω 8. Calcular la resistencia equivalente entre a y b. a a) 1 Ω 2Ω 6Ω b) 2 Ω c) 3 Ω 2Ω 3Ω 5Ω d) 4 Ω e) 5 Ω b 9. Calcular la resistencia equivalente entre x e y. R

x

a)

R 3

b)

R

R 2

c)

R

2R 3

R

d)

y

4R 3

e)

3R 2

e)

R 3

10. Calcular la resistencia equivalente entre x e y. x

R

R

R

R

y

R 3R a) 5

5R b) 3

c)

8R 3

d)

11. En el circuito mostrado, calcular "I". a) 1 A 4Ω b) 2 A R c) 3 A 2A d) 4 A 8Ω e) 5 A

8R 5

I

12. En el circuito mostrado, determine la intensidad de corriente "I". a) 1 A 4Ω b) 2 A 36V 6Ω 3Ω I c) 3 A d) 4 A e) 5 A

U N F V – C E P R E V I

95

F Í S I C A

13. En el circuito mostrado. Determine el valor de "V". 4Ω a) 30 V 6Ω b) 40 V c) 50 V 3Ω 5A d) 60 V 6Ω 12Ω e) 70 V V 14. Cuando un motor eléctrico se conecta a una tensión de 110 V da una potencia de 500 W. Si se conecta a una tensión de 220 V. Calcular la potencia que entrega. a) 1 kW b) 2 kW c) 750 kW d) 125 kW e) 150 W 15. Si por la sección transversal de un conductor de 50 W pasa una carga de 16 C en 4 s. Hallar la cantidad de calor que disipa dicho conductor. a) 10 kJ b) 12 kJ c) 14 kJ d) 16 kJ e) 20 kJ

TAREA 1. Se tiene un alambre de resistencia 100 Ω. Si se estira hasta duplicar su longitud permaneciendo constante su densidad y resistividad eléctrica. Hallar la nueva resistencia. a) 200 Ω b) 300 Ω c) 350 Ω d) 400 Ω e) 600 Ω 2. Si la resistencia de un alambre de un metal "x" de 1 m de longitud y 1 gramo de masa es 0,15 Ω. Calcule la longitud de un alambre del mismo material cuya masa sea 106 gramos y su resistencia 6·103 Ω. b) 2·106 m c) 0,2·105 m a) 2·105 m 5 5 d) 4·10 m e) 0,4·10 m 3. Se tiene una resistencia desconocida en serie con otra de 4 Ω. La caída de tensión en la primera es 12 V y en la segunda 8 V. Determinar el valor de la resistencia desconocida. a) 3 Ω b) 4 Ω c) 5 Ω d) 6 Ω e) 7 Ω 4. Calcular la cantidad de calor en joules que disipa la resistencia de 40 Ω, durante 10 segundos. R=40Ω x y I=1A a) 100 d) 400 96

b) 200 e) 500

c) 300 U N F V – C E P R E V I

F Í S I C A

5. Calcular la resistencia equivalente entre "x" e "y". R

x

a) 3R

b) 4R

R

c)

R

R 4

R

d)

R 3

6. Calcular la resistencia equiva- 3Ω lente entre a y b. a 6Ω a) 2 Ω b) 4 Ω 10Ω c) 6 Ω b d) 8 Ω e) 10 Ω 80Ω 7. En el circuito mostrado, calcular "I": a) 2 A 2Ω b) 4 A R c) 6 A I d) 8 A 4Ω e) 10 A 12A

y

e)

R 2

4Ω

8. En el circuito mostrado, calcule el voltaje V de la fuente: 4Ω a) 24 V b) 12 V c) 46 V + 4A V 6Ω 12Ω d) 48 V – e) 84 V 9. Calcular la intensidad de corriente "I" en el siguiente circuito. 1Ω 2Ω a) 5 A b) 10 A I + c) 15 A 4Ω 100Ω 60V – d) 25 A 4Ω 2Ω e) 30 A 10. En el circuito mostrado, calcule el valor de R. a) 4 Ω R b) 6 Ω c) 8 Ω 4A 60V 6Ω 6Ω d) 10 Ω e) 12 Ω

1. e 1. d

2. c 2. a

3. b 3. d

4. a 4. d

5. c 5. d

6. c 6. c

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7. c 7. d

CLAVES 8. c 9. d 10. d 11. c 12. b 13. c 14. b 15. d 8. d 9. b 10. c 97

F Í S I C A

APÉNDICE

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F Í S I C A

UNIDADES BASE SI MAGNITUD longitud masa tiempo intensidad de corriente eléctrica temperatura termodinámica intensidad luminosa cantidad de sustancia

UNIDAD metro kilogramo segundo ampere kelvin candela mol

SÍMBOLO m kg s A K cd mol

DEFINICIÓN DE LAS UNIDADES DE BASE SI 1. metro El metro es la longitud del trayecto recorrido, en el vacío, por un rayo de luz en un tiempo de: 1/299 792 458 segundo.

2. segundo El segundo es la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.

3. kelvin El kelvin, unidad de temperatura termodinámica, es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.

4. mol El mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramo de carbono 12. La mol contiene 6,023.1023 entidades elementales.

5. kilogramo El kilogramo es la unidad de masa (y no de peso ni de fuerza); igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo.

6. ampere El ampere es la intensidad de corriente constante que mantenida en dos conductores paralelos, rectilíneos de longitud infinita, de sección circular despreciable, y que estando en el vacío a una distancia de un metro, el uno del otro, produce entre estos conductores una fuerza igual a 2.10–7 newton por metro de longitud.

7. candela La candela es la intensidad luminosa en una dirección dada, de una fuente que emite radiación monocromática de frecuencia 540 . 1012 hertz y de la cual la intensidad radiante en esa dirección es 1/683 watt por estereorradián.

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F Í S I C A

UNIDADES DERIVADAS SI APROBADAS MAGNITUD

UNIDAD

SÍMBOLO

frecuencia

hertz

Hz

1 Hz = 1 s–1

fuerza

newton

N

1 N = 1 Kg. m.s–2

presión y tensión

pascal

Pa

1 Pa = 1 N.m–2

trabajo, energía, cantidad de calor

joule

J

1 J = 1 N.m

potencia

watt

W

1 W = 1 J.s–1

cantidad de electricidad

coulomb

C

1 C = 1 A.s

potencial eléctrico, diferencia de potencal, tensión, fuerza electromotriz

volt

V

1 V = 1 J.C–1

capacidad eléctrica

farad

F

1 F = 1 C.V–1

resistencia eléctrica

ohm

Ω

1 Ω = 1 V.A–1

conductancia eléctrica

siemens

S

1 S = 1 Ω–1

flujo de inducción magnética, flujo magnético

weber

Wb

1 Wb = 1 V.s

Densidad de flujo magnético, inducción magnética

tesla

T

1 T = 1 Wb.m–2

inductancia

henry

H

1 H = 1 Wb.A–1

flujo luminoso

lumen

Im

1 Im = 1 cd.sr

iluminación

lux

Ix

1 Ix = 1 lm.m–2

UNIDADES FUERA DEL SI, RECONOCIDAS POR EL CIPM PARA USO GENERAL MAGNITUD

UNIDAD

SÍMBOLO

tiempo

minuto hora día

min h d

ángulo plano

grado minuto segundo

volumen

litro

masa

tonelada

100

DEFINICIÓN 1 min = 60 s 1 h = 60 min 1 d = 24 h

° ' ''

1° = (π/180) rad 1' = (1/60)° 1'' = (1/60)'

IoL

1I o 1L = 1 dm3

t

1t = 103 kg

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F Í S I C A

UNIDADES FUERA DEL SI, RECONOCIDAS POR EL CIPM PARA USOS EN CAMPOS ESPECIALIZADOS energía

electronvolt

masa de un átomo

longitud

eV

1 electronvolt es la energía cinética adquirida por un electrón al pasar a través de una diferencia de potencial de un volt, en el vacío. 1eV = 1,60219·1019 J (aprox.)

unidad de masa atómica

u

1 unidad de masa atómica (unificada) es igual a 1/12 de la masa del átomo de núcleo C–12. 1u = 1,660 57·10–27 kg (aprox.)

unidad astronómica

UA

1UA = 149 597,870·104 m (sistema de constantes astronómicas, 1979)

parsec

pc

1 parsec es la distancia a la cual 1 unidad astronómica subtiende un ángulo de 1 segundo de arco. 1pc = 30 857·1012 m (aprox.)

bar

bar

1 bar = 105 Pa

presión de fluido

PREFIJO SI PREFIJO yotta zetta exa peta tera giga mega kilo hecto deca deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto

SÍMBOLO FACTOR Y Z E P T G M k h da d c m µ n p f a z y

1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 10 10–1 10–2 10–3 10–6 10–9 10–12 10–15 10–18 10–21 10–24

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EQUIVALENTE 1 000 000 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 1 000 000 000 1 000 000 1 000 1 00 10 0,1 0,01 0,001 0,000 001 0,000 000 001 0,000 000 000 001 0,000 000 000 000 001 0,000 000 000 000 000 001 0,000 000 000 000 000 000 001 0,000 000 000 000 000 000 000 001 101

F Í S I C A

VIDA Y OBRA DE FEDERICO VILLARREAL Federico Villarreal, nació el 31 de agosto de 1850 en el Distrito de Túcume del Departamento de Lambayeque donde inició estudios. Se graduó como Preceptor de Primeras Letras en Trujillo, y, después Preceptor de Segunda Enseñanza. En 1881 fue el primer Graduado de Doctor en Matemáticas, con las tesis ”Clasificación de las Curvas de Tercer Grado”. Recibió medalla de oro. Opto el Título de Ingeniero Civil y Minas en la Escuela de Ingenieros. Realiza estudios de Física Superior, entre los cuales se citan: “Dinámica Analítica”, “Teoría sobre la Máquina y Motores”, “Descarga oscilante de un condensador”, “La desviación del Péndulo en el Callao por efecto que ejerce sobre él la Cordillera de los Andes”, “Principios de la Relatividad” y finalmente, en Mecánica, interpretando el principio de la Relatividad formulado por Einstein en 1905. Federico Villarreal, ejerció la docencia durante 44 años (1880 – 1923). Inicia su labor, en la Facultad de Ciencias de San Marcos, dictando el Curso de Astronomía. En 1988 fue profesor de la Escuela de Ingenieros, en 1890 hasta 1894 en la Escuela Militar de Chorrillos, y, desde 1887 hasta 1903 en la Escuela Naval. Fue un revolucionario de la enseñanza de la Matemática. Introdujo los conocimientos y métodos de la Nomografía, la Estática Gráfica, la Teoría de los Errores, la Geografía Matemática, la Resistencia de Materiales, la Teoría de la Relatividad. Para Villarreal, la Matemática es la concepción general de las ciencias y una herramienta fundamental para la aplicación en los diversos campos del conocimiento humano entre ellos la Mecánica Racional, Astronomía, Física, Geodesia, Topografía, Cartografía, Ingeniería Civil, de Minas, Hidráulica. A los 23 años de edad, su pasión por las ciencias lo llevó a superar el método matemático del Binomio de Newton, por el “Método para elevar un Polinomio a una Potencia cualquiera”. Investigaciones como: “Clasificación de las Curvas de Tercer Orden”, “Volúmenes de los Poliedros Regulares”, “Método de Integración por Traspasos”, “Teoría sobre la Flexión de las Vigas y la Resistencia de las Columnas”, lo ubican como el más grande matemático peruano. Contribuyó al Álgebra, la Geometría, el Cálculo Infinitesimal y la Resistencia de materiales. En la Geografía Matemática, son clásicos los trabajos, la Determinación de Meridianos, y, la de Coordenadas y Altitudes y en Astronomía, difundió las Hipótesis de Wronski, sus Cálculos sobre la Trayectoria de algunos Cometas y la mayor parte de los eclipses del calendario astronómico (1886 – 1914). Tiene aproximadamente 600 publicaciones en revistas universitarias, científicas y otras de carácter cultural, en la que destacan. “Historia del Departamento de Lambayeque durante la Conquista”, “Coca”, “Cascarilla”, “Llama” (y Vicuña), “La Lengua Yunga”. Es elegido Senador Suplente en 1892, por el Colegio Electoral de Lambayeque y en 1900 Concejal de Lima. Realiza trabajos técnicos profesionales a favor de Lima, Callao y Lambayeque. Falleció el 3 de junio de 1923 en Barranco, recibiendo Honores de Ministro de Estado. La Vida ejemplar de este insigne peruano, que destacó como maestro, científico, matemático, poeta, político y amigo, han sido razones mas que suficientes para que nuestra Casa de Estudios Superiores, perennicen su memoria y se honre con llevar su nombre, el 30 de octubre de 1963, se crea la Universidad Nacional “Federico Villarreal”, cuyo nombre se convierte en un paradigma de la juventud estudiosa, en un símbolo de esperanza, de trabajo creador y fundamento de los valores de justicia y libertad para las generaciones estudiosas. 102

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F Í S I C A

BIBLIOGRAFÍA 1.

FÍSICA GENERAL. Beatriz Alvarenga – Antonio Máximo.

2.

FÍSICA. Jerry D. Wilson

3.

FÍSICA RECREATIVA. Tomo I y II – de Y. Perelman.

4.

INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA. Tomo I y II – Alonso / Acosta

5.

FÍSICA UNIVERSITARIA. Sears / Zemansky / Young

6.

FÍSICA. Tippens

7.

FUNDAMENTOS DE FÍSICA. Bueche.

8.

LA FÍSICA. Aventura del pensamiento – Albert Einstein – Leopold Infeld

9.

HISTORIA DEL TIEMPO: Del Big Bang a los Agujeros Negros – Stephen W. Hawking.

10. PREGUNTAS Y PROBLEMAS DE FÍSICA. L. Tarásov – A. Tarásova. 11. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA. Tomos I y II – Alberto Maistegui – Jorge A. Sabato. 12. FÍSICA. Tomos I y II – Robert Resnick – David Halliday 13. FÍSICA. Tomos I y II – R.A. Serway. 14. FÍSICA. Tilley – Thumm 15. FÍSICA. Tomos I , II y III – Marcelo Alonzo – Edward J. Finn 16. FÍSICA. Tomos I , II y III – Feymman 17. ELEMENTOS DE FÍSICA CLÁSICA – Weidner y Sells. 18. MECÁNICA. S. Strelkóv. 19. EL PANORAMA INESPERADO – La naturaleza vista por un Físico. James S. Trefil. 20. ROMPECABEZAS Y PARADOJAS CIENTÍFICOS. Cristopher P. Jargocki. 21. INTRODUCCIÓN A LA QUÍMICA. Hazel Rossotti. 22. FÍSICA sin matemáticas. Clarence E. Bennett. 23. FUNDAMENTOS DE FÍSICA. Tomos I y II – Yavorski – Pinski. 24. PROBLEMAS SELECCIONADOS DE LA FÍSICA GENERAL. Editorial MIR Moscú. 25. FÍSICA FUNDAMENTAL. Jay Orear 26. FÍSICA GENERAL, Teoría y problemas. Wálter Pérez Terrel 27. FÍSICA. Editorial Escuela Nueva. Wálter Pérez Terrel. 28. FÍSICA BIOLÓGICA. José Quiñones D. – Humberto Sandoval S.

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