Libro Ejercicios Jimenez y Olea Tomo I

May 7, 2017 | Author: Ricardo Sanzana | Category: N/A

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Descripción: Ejercicios Resueltos Estadistica UC...

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Ejercicios Resueltos y Propuestos Cursos EYP2214 y EYP2216 Primera Edici´ on

Trabajo de Recopilación, Organización y Elaboración Patricia Jiménez P. & Ricardo Olea O. Departamento de Estad´ıstica - Facultad de Matemáticas Pontificia Universidad Católica de Chile Santiago, Diciembre 2004

Prefacio Con la intención de apoyar la labor docente que desarrolla el Departamento de Estad´ıstica de la Facultad de Matemáticas de la Pontificia Universidad Católica de Chile, se ha realizado un trabajo de recopilación y elaboración de ejercicios resueltos y propuestos para los curso EYP2216 y EYP2214, algunos de los cuales fueron desarrollados en ayudant´ıas y han sido parte de interrogaciones en semestre anteriores. Queremos agradecer muy en especial a FONDEDOC, por haber confiado en este proyecto y habernos entregado todo su apoyo para poder ver realizada esta necesidad tanto para el Departamento de Estad´ıstica, como para todos los alumnos y alumnas que son beneficiados de los cursos de servicio que ofrece el mismo. Este trabajo ha sido fruto de la labor que desarrollaron docentes y ayudantes que dictaron el curso entre los a˜ nos 2001 y 2004. Espec´ıficamente deseamos agradecer a los profesores Claudio Beltrán Rolando de la Cruz Héctor Gómez Patricia Jiménez Ricardo Olea Alexis Rojas Además quisiéramos agradecer el aporte de Jorge González y Mario Tagle, tanto por el material donado, como por la revisión de este libro. Atentamente. Dirección Departamento de Estad´ıstica Facultad de Matemáticas Santiago, Diciembre 2004 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

II

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

Índice general 1. An´ alisis Descriptivo 1.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 18

2. Probabilidad 2.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 27 42

3. Variables Aleatorias Discretas 3.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 45 54

4. Variables Aleatorias Continuas 4.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59 59 70

5. Sensibilidad y Especificidad 5.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73 73 77

6. Estimaci´ on 79 6.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.2. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7. Intervalos de Confianza y Test de Hip´ otesis 105 7.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 7.2. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 8. Test de Homogeneidad, Independencia y Bondad de Ajuste 131 8.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 8.2. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 9. An´ alisis de Regresi´ on 151 9.1. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 9.2. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

ÍNDICE GENERAL

IV

A. Formulario de Distribuciones

I

B. Formulario de An´ alisis de Regresi´ on Simple C. Tablas de distribuci´ on C.1. Distribución t de Student . C.2. Distribución χ2 . . . . . . C.3. Distribución F (α = 0,05) C.4. Distribución Normal . . .

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III

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VII VII VIII IX XI

Cap´ıtulo 1 An´ alisis Descriptivo 1.1.

Ejercicios Resueltos

EJERCICIO 1 Unos transductores de temperatura de cierto tipo se embarcan en lotes de 50. Se seleccionó una muestra de 60 lotes y se determinó la cantidad de transductores en cada lote que no se apegaban a las especificaciones de dise˜ no y resultaron los siguientes datos: 2 0 5

1 2 4 2 0 2

4 0 1 3 3 2

1 1 1

3 2 1 3 0 6

0 5 4 1 4 2

3 2 1

3 1 3 2 6 0

3 2 2 8 3 3

4 4 3

7 0 5 1 6 1

2 3 3 1 2 3

(a) Diga que tipo de datos son estos. (b) Construya una tabla de distribución de frecuencias adecuada para los valores de x: cantidad de transductores defectuosos en un lote. (c) ¿Qué proporción de lotes en la muestra tienen cuando más cinco transductores defectuosos? (d) ¿Qué proporción tienen cuando menos cinco unidades defectuosas? (e) Trace un histograma de los datos con la frecuencia relativa en el eje vertical y comente sus propiedades. (f) Calcule e interprete la media aritmética a partir de la tabla de frecuencias. (g) Obtenga e interprete la mediana por medio de la tabla de frecuencias. ´ SOLUCION

(a) Datos Discretos. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

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Cap´ıtulo 1. An´ alisis Descriptivo (b) Tabla de distribución de frecuencias: Considerando que son datos discretos, la forma correcta de hacer esta tabla es dejando una clase por n´ umero de transductores que no se apegaban a las especificaciones. Resultando la siguiente: Clase 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Frec. 7 12 13 14 6 3 3 1 1

Frec. Relativa 0.12 0.20 0.21 0.23 0.10 0.05 0.05 0.02 0.02

Frec. Acumulada 7 19 32 46 52 55 58 59 60

Frec. Relativa Acumulada 0.12 0.32 0.53 0.76 0.86 0.91 0.96 0.98 1.0

(c) Aqu´ı debemos considerar todos aquellos lotes que ten´ıan 0, 1, 2, 3, 4, o 5 transductores defectuosos 55 = 0,917 60 (d) Análogamente a la parte (c), aqu´ı debemos considerar todos aquellos lotes que ten´ıan 5, 6, 7 o 8 transductores defectuosos 52 8 =1− = 1 − 0,867 = 0,133 60 60 (e) El Histograma tiene una asimetr´ıa positiva apreciable. Se dispersa bastante respecto a su centro.

Figura 1.1: Histograma

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1.1 Ejercicios Resueltos

3

(f) La media es: m

X=

1X xi fi n i=1

Donde m es el n´ umero de clases, xi el valor de la clase i, y fi frecuencia de la clase i. 8

∴ X=

1X 152 ≈ 2,5 xi fi = 8 i=1 60

Aunque esta no es una medida de posición adecuada para este caso, en promedio hay 2.5 traductores que no se apegaban a las especificaciones del dise˜ no. (g) El calculo de la mediana para este caso es obvio por la composición de las clases, ya que cada clase esta compuesta de un solo valor, es decir, lo más simple ser´ıa ver en que frecuencia acumulada se encuentra el valor n2 = 60 = 30 y a que clase corresponde, 2 para este caso el valor 30 se encuentra en la frecuencia acumulada de la clase 2, por lo que la M e = 2. De una manera más formal ser´ıa por el procedimiento para el caso de datos tabulados y discretos, siendo este como sigue: i. Observemos en la tabla de la parte (a) la columna de las Frecuencias acumuladas (”menor que”). ii. Se determina la menor frecuencia acumulada Nj que supera a n2 . Es decir n < Nj 2 En esta situación puede ocurrir que

n 2

≥ Nj−1 . O sea que se puede tener

Nj−1 ≤ 1. Cuando

n 2

n < Nj 2

> Nj−1 , entonces la mediana es: M e = yj

2. Cuando n2 = Nj−1 , en esta situación se acostumbra a tomar como valor de la mediana: yj−1 + yj Me = 2 ∴ Como n2 = 30, N2 = 32 tenemos que M e = y2 = 2 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

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Cap´ıtulo 1. An´ alisis Descriptivo EJERCICIO 2 Un Constructor Civil visita 25 villas en una ciudad y en cada una anotó el n´ umero de casas que han sufrido da˜ nos ocasionados por un terremoto, de lo cual resultaron los datos: 15 16 18 19 19

20 17 18 16 18

25 18 19 17 19

15 20 16 17 18

18 18 17 17 15

(a) Diga que tipo de datos son estos. (b) Construya una tabla de distribución de frecuencias adecuadas a este conjunto de datos. (c) ¿Cuántas villas tienen a lo más 20 casas que han sufrido da˜ nos? (d) ¿Que proporción de villas tienen por lo menos 17 casas que han sufrido da˜ nos? (e) ¿Qué proporción de villas tienen 18 casas que han sufrido da˜ nos? (f) ¿Qué proporción y que porcentaje de villas tienen 18 o menos casas que han sufrido da˜ nos? (g) Calcular e interpretar la media aritmética de los datos a partir de la tabla que construyo en la parte (b) (h) Obtenga e interprete la mediana de los datos agrupados a partir de la tabla que construyo en la parte (b) (i) Construya un gráfico adecuado y haga comentarios. ´ SOLUCION (a) Discretos. (b) Como son datos discretos, la tabla de frecuencias presentará una clase por cada valor en los datos, resultando la siguiente tabla Clase 15 16 17 18 19 20 25

Frecuencia Frecuencia Acumulada 3 3 3 6 5 11 7 18 4 22 2 24 1 25

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1.1 Ejercicios Resueltos

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(c) Considerando la frecuencia acumulada hasta 20, tenemos que el n´ umero de villas que tienen a lo más 20 casa con da˜ nos es 24. (d) Para contestar esto, nos sirven todas las villas que tuvieron 17 casa o más con da˜ nos 5+7+4+2+1 = 0,76 ≈ 76 % 25 (e) De la tabla de frecuencias rescatamos que son 7 de un total de 25, esto es 7 = 0,28 ≈ 28 % 25 (f) Para contestar esto, nos sirven todas las villas que tuvieron 18 casa o menos con da˜ nos 18 = 0,72 ≈ 72 % 25 (g) La media es: 5 X

X=

xi · fi

i=1 5 X

=

445 15 · 3 + 16 · 3 + 17 · 5 + 18 · 7 + 19 · 4 + 20 · 2 + 25 · 1 = = 17,8 25 25

fi

i=1

(h) Del Ejercicio 1, tenemos que n2 = 12,5, entonces la clase que contiene a Nj (La frecuencia acumulada que supera a n2 ) es la 4, es decir N4 = 7. ∴ como

n 2

= 12,5 > N3 = 11 tenemos que M e = y4 = 18

(i) Del Histograma de la figura siguiente se aprecia que lo que se dio con mayor frecuencia en las villas, fueron 18 casas con da˜ nos, seguidas por 17 y 19, manteniéndose las otras clases relativamente semejantes.

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Cap´ıtulo 1. An´ alisis Descriptivo

Figura 1.2: Histograma EJERCICIO 3 La siguiente distribución de frecuencias es el resultado de registros sobre la duración de 220 lámparas (o focos) de 60 watts. L´ımites de Clase [500 − 600) [600 − 700) [700 − 800) [800 − 900) [900 − 1000) [1000 − 1100) [1100 − 1200) [1200 − 1300) [1300 − 1400) [1400 − 1500]

Frecuencia 3 7 14 28 64 57 23 13 7 4

(a) Construya un histograma para estos datos, cuyo eje vertical corresponda a las frecuencias relativas. (b) Obtenga la duración media. (c) Obtenga la desviación estándar. (d) Encuentre e interprete un intervalo que contenga el 60 % central de los datos. (e) Más o menos, ¿Cuál es la mediana de la duración de las ampolletas? ´ SOLUCION

(a) tenemos la siguiente tabla tabulada: Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

1.1 Ejercicios Resueltos Clase [500 − 600) [600 − 700) [700 − 800) [800 − 900) [900 − 1000) [1000 − 1100) [1100 − 1200) [1200 − 1300) [1300 − 1400) [1400 − 1500]

7 Frecuencia Frecuencia Relativa 3 0.014 7 0.032 14 0.064 28 0.127 64 0.291 57 0.259 23 0.105 13 0.059 7 0.032 4 0.018

Frecuencia Acumulada 3 10 24 52 116 173 196 209 216 220

luego el histograma queda de la siguiente forma

Figura 1.3: Histograma

(b) La media es: 10 X

X=

yi · fi

i=1 10 X

=

219100 = 995,91 220

fi

i=1

donde yi es la marca de clase o punto medio de la i-esima clase y fi la frecuencia absoluta de la misma clase. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

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Cap´ıtulo 1. An´ alisis Descriptivo (c) La varianza para datos tabulados se calcula de la siguiente manera: n X

S2 =

fi (yi − X)2

i=1

n−1

en este caso S 2 = 28613,325 ∴ La desviación estándar es: S=

√

S2 =

p

28613,325 = 169,15

(d) El intervalo pedido es: [P20 − P80 ] P20 : ¿En que clase esta?:

n·p 220 · 20 = = 44 100 100

es decir, esta en la 4a clase. P80 : ¿En que clase esta?:

n·p 220 · 80 = = 176 100 100

es decir, esta en la 7a clase. La fórmula para calcular el percentil en datos tabulados es: n∗p − Nj−1 100 Pp = LI + cj Nj − Nj−1 donde: i. LI: Limite Inferior de la clase que contiene a Pi . ii. cj : Amplitud de la clase que contiene a Pi . iii. Nj : Frecuencia acumulada en la clase que contiene Pi . Reemplazando tenemos lo siguiente:

44 − 24 P20 = 800 + 99 = 870,71 52 − 24 176 − 173 P80 = 1100 + 99 = 1112,91 196 − 173 Por lo tanto el intervalo que contiene al 60 % de los datos es: (870,71; 1112,91) Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

1.1 Ejercicios Resueltos

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(e) Para el calculo de la Mediana en datos tabulados y continuos, el procedimiento es el siguiente: Se observa la columna de las frecuencias acumuladas y se determina la menos frecuencia acumulada Nj tal que n Nj > 2 En esta situación puede ocurrir que

n 2

≥ Nj−1 . Es decir, se puede tener

Nj−1 ≤ i. Si ocurre que

n 2

n < Nj 2

= Nj−1 , la mediana está dada por: M e = yj−1

donde yj−1 es el l´ımite inferior de la clases mediana. ii. Si ocurre que

n 2

> Nj−1 , la mediana está dada por: n − Nj−1 2 M e = yj−1 + cj Nj − Nj−1

Dado esto tenemos que n2 = 220 = 110, lo que indica que Nj = N5 = 116 y como 2 n = 110 > N = N = 52 tenemos que la mediana es: j−1 4 2

110 − 52 M e = 900 + 99 = 989,718 116 − 52 EJERCICIO 4 Los tiempos de CPU que se indican en la tabla de frecuencias representan el tiempo (en segundos) que 25 trabajos estuvieron en control de la unidad de proceso (CPU) de una computadora mainframe grande. Intervalo de Clase Frecuencia de Clase [0.015-0.715) 5 [0.715-1.415) 9 4 [1.415-2.115) [2.115-2.815) 3 [2.815-3.515) 1 [3.515-4.215) 2 [4.215-4.915] 1 (a) Calcule el tiempo promedio de CPU. (b) Calcule e interprete la desviación estándar. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

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Cap´ıtulo 1. An´ alisis Descriptivo (c) Construya e interprete un histograma de frecuencia. (d) Encuentre e interprete el intervalo intercuartil.

´ SOLUCION A continuación la tabla de frecuencias completa Intervalo de Clase [0.015-0.715) [0.715-1.415) [1.415-2.115) [2.115-2.815) [2.815-3.515) [3.515-4.215) [4.215-4.915]

f 5 9 4 3 1 2 1

F 5 14 18 21 22 24 25

fr 0,2 0,36 0,16 0,12 0,04 0,08 0,04

Fr 0,2 0,56 0,72 0,84 0,88 0,96 1

yi 0,35 1,065 1,765 2,465 3,165 3,865 4,565

donde N = 25 yi : punto medio de la clases i-ésima fi : frecuencia absoluta de la clases i-ésima (a) El tiempo promedio de CPU es:

x=

7 1 X fi · yi N i=1

=

1 (0,365 · 5 + 1,065 · 9 + 1,765 · 4 + 2,465 · 3 + 3,165 · 1 + 3,865 · 2 + 4,565 · 1) 25

=

41,325 25

= 1,653 (b) La desviación estándar es la siguiente:

7

S2 =

1 X fi (yi − x)2 N − 1 i=1

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1.1 Ejercicios Resueltos

S2 =

11

1 5 · (−1,288)2 + 9 · (−0,588)2 + 4 · (0,122)2 24 +3 · (0,812)2 + 1 · (1,512)2 + 2 · (2,212)2 + 1 · (2,912)2

=

33,9864 24

= 1,4161 ∴ S=

p

1,4161

= 1,19 La desviación estándar es una medida de dispersión de los datos con respecto a la media. En este caso S = 1,19 seg., es alta, lo cuál indica la presencia de datos extremos. (c) El histograma de frecuencia se muestra en la figura siguiente.

Figura 1.4: Histograma Se aprecia que el histograma es asimétrico, que más de la mitad de los tiempos de la unidad de proceso fueron menores que 1.415 seg., se aprecia que casi tres cuartas partes fueron menores que 2.115 seg. y aproximadamente un cuarto de las CPU tardan más de 2.815 seg. (d) El intervalo intercuartil es el siguiente (Q1 , Q3 ) Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

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Cap´ıtulo 1. An´ alisis Descriptivo este rango indica que en él se ubica el 50 % central de los datos, donde Q1 = P25 y Q3 = P75 . De la tabla de frecuencias tenemos que Q1 ∈ Clase 2 y Q3 ∈ Clase 4. Luego los percentiles son P25 = 0,715 + 0,7 ·

6,25−5 14−5

P75 = 2,115 + 0,7 ·

18,75−18 21−18

= 0,812

= 2,290

Se tiene que el 50 % de los 25 trabajos estuvieron en control de la CPU entre 0.812 y 2.290 seg. EJERCICIO 5 El n´ umero de divorcio en una ciudad, de acuerdo con al duración de casados, está representada por la siguiente tabla. A˜ nos de casados No de divorcio [0-6) 2800 1400 [6-12) 600 [12-18) [18-24) 150 50 [24-30] (a) ¿Cuál es la duración media de los casamientos? (b) Encuentre la desviación estándar de la duración de los casamientos. (c) Construya un histograma. (d) Encuentre el intervalo intercuantil.

´ SOLUCION

(a) La duración media de los casamientos es Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

1.1 Ejercicios Resueltos

13

6 1 X x= fi · yi N i=1

=

1 (2800 · 3 + 1400 · 9 + 600 · 15 + 150 · 21 + 50 · 27) 5000

=

34500 5000

= 6,9 Los matrimonios duran en promedio 6.9 a˜ nos. (b) La desviación estándar de la duración de los casamientos es: S2 =

138150 = 27,64 ⇒ S = 5,3 a˜ nos 4999

(c) Histograma de No de divorcio vs Clase de A˜ nos de casados.

Figura 1.5: Histograma La mayor´ıa de los matrimonios se separan en los primeros 6 a˜ nos. Sólo el 10 % de los matrimonios dura entre los 24 y 30 a˜ nos. (d) El intervalo intercuantil es I = (P25 ; P75 ) = (Q1 ; Q3 ) tenemos que n 5000 = = 1250 < N1 ⇒ la clase del percentil 25 es 0 − 6 4 4 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

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Cap´ıtulo 1. An´ alisis Descriptivo luego Q1 = P25 = 0 + 6 ·

1250 − 0 = 2,7 2800

3n 3 · 5000 = = 1250 < N2 ⇒ la clase del percentil 75 es 6 − 12 4 4 luego Q3 = P75 = 6 + 6 ·

3750 − 2800 = 10,1 1400

As´ı tenemos I = (2,7; 10,1) El 50 % central de los matrimonios dura entre los 2.7 a˜ nos y 10.1 a˜ nos. EJERCICIO 6 La siguiente información corresponde al ingreso neto (X) como porcentaje de sus activos, para las 20 compa˜ n´ıas exitosas: 17 23 22 18 8 7 12 2 49 14 14 36 16 7 3 8 10 11 20 21 De los ingresos netos como porcentajes de las ventas (Y), informados por 250 Compa˜ n´ıas regularmente exitosas se sabe que: 250 X i=1

yi = 2125

250 X

yi2 = 18625

i=1

(a) Compare el coeficiente de variación del ingreso neto como porcentaje de la activos, con la del ingreso neto como porcentaje de las ventas, para las Compa˜ n´ıas exitosas y las regularmente exitosas, respectivamente. ¿Cuál ingreso neto es más homogéneo? (b) Si en las Compa˜ n´ıas regularmente exitosas, se eliminan dos valores extremos 0.8 y 14.5, ¿cuál es la desviación estándar del ingreso neto como porcentaje de las ventas, para las 248 Compa˜ n´ıas restantes? (Utilice 3 decimales) ´ SOLUCION (a) el Coeficiente de variación (C.V) se calcula como: C.V =

S X

2 Se puede calcular considerando Sn−1 (varianza muestral) ó Sn2 (varianza poblacional). En la siguiente tabla se entrega el resumen de ambos casos

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1.1 Ejercicios Resueltos

15

X Y

2 X Sn−1 C.V Sn2 C.V 15.9 124.199 0.700 130.735 0.719 8.5 2.259 0.176 2.250 0.176

Como C.V (Y ) < C.V (X), se puede concluir que el ingreso neto como porcentaje de las ventas es más homogéneo que el ingreso neto como porcentaje de la activos. (b) Si consideramos varianza poblacional tenemos que dado lo siguiente: 248 X

yi = 2125 − 0,8 − 14,5

= 2109,7

⇒ Y = 8,506

i=1 248 X

yi2 = 18625 − 0,82 − 14,52 = 18414,11 ⇒ Y 2 = 74,250

i=1

la desviación estándar es q Sn =

2

Y2−Y =

p

74,250 − 8,5062 = 1,377

EJERCICIO 7 Actualmente existe un reglamento con respecto de la obligación de las construcciones por cumplir normas m´ınimas de seguridad, entre ellas se encuentra la resistencia al fuego de los elementos de una construcción. Un sistema de protección consiste en utilizar una pintura que permite aislar el elemento, llamada pintura “´ıntumescente”. Antes de la construcción de un edificio se realizaron ensayos en pilares de acero que fueron expuestos al fuego por sus 4 caras, los cuales fueron pintados con diferentes espesores de esta pintura, en micrones y se midió su resistencia al fuego, en minutos, hasta que se comenzaba a deteriorar. La información se presenta a continuación. ESPESOR DE LA PINTURA (micrones) [0 − 335) [335 − 670) [670 − 1005) [1005 − 1340) [1340 − 1675]

RESISTENCIA AL FUEGO (minutos) Menos de 22 22 - 52 52 - 82 82 y más 10 6 1 0 5 8 2 0 1 3 3 1 0 1 7 10 0 0 10 15

(a) Seg´ un el tiempo de exposición al fuego antes de ser da˜ nado el pilar, la resistencia al fuego se clasifica como clases F30, si este tuvo una duración entre 30 y 59 minutos. ¿Qué porcentaje de los pilares no se clasificar´ıan como clase F30? Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

16

Cap´ıtulo 1. An´ alisis Descriptivo (b) ¿Cuál distribución es más homogénea en relación al espesor de la pintura “´ıntumescente”, la de los pilares que mostraron una resistencia al fuego de menos de 52 minutos o la de los pilares con resistencia igual o superior a 52 minutos? (c) Si consideramos solo los pilares que fueron pintados con un espesor entre 670 y 1005 micrones. Grafique la distribución de estos pilares seg´ un sea su resistencia al fuego.

´ SOLUCION (a) Considerando solo la resistencia al fuego tenemos las siguiente tabla de frecuencias y con la cual podremos obtener el porcentaje de de pilares que no se clasifican como F30. Resistencia < 22 [22 − 52) [52 − 82) ≥ 82

f 16 18 23 26

F 16 34 57 83

Fr 0.19 0.41 0.69 1.00

Se calcula el percentil a que corresponde 30 y 59 en resistencia al fuego. Pα = 30 = 22 + 30 ×

Pβ = 59 = 52 + 30 ×

α×83 100

− 16 ⇒ α = 25,06 18

α×83 100

− 34 ⇒ β = 47,43 23

luego β − α = 22,37 %, es decir, el 22.37 % de los pilares se clasifica como F30, por ende el 73.63 % no corresponde a esa categor´ıa. (b) La idea es calcular los coeficientes de variación, para los dos grupos de resistencia, para ello reconstruimos la tabla de frecuencias como sigue: Espesor [000 − 335) [335 − 670) [670 − 1005) [1005 − 1340) [1340 − 1675)

R < 52 R ≥ 52 mi 16 1 167.5 13 2 502.5 4 4 837.5 1 17 1172.5 0 25 1507.5

luego los coeficienes de variación son los siguientes: C.V (Espesor|R < 52) =

263,6446 ≈ 0,6526 403,970

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

1.1 Ejercicios Resueltos

17

C.V (Espesor|R ≥ 52) =

310,1497 ≈ 0,2446 1268,2142

∴ la distribución es más homogénea en relación al espesor de la pintura en la correspondiente a los pilares con resistencia igual o superior a 52 minutos. (c) Considerando solo el grupo de Espesor entre 670 y 1005 la tabla de frecuencias obtenida es la siguiente: Resistencia < 22 [22 − 52) [52 − 82) ≥ 82

frecuencia 1 3 3 1

Gráficamente la distribución es la siguiente:

Figura 1.6: Histograma

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

18

Cap´ıtulo 1. An´ alisis Descriptivo

1.2.

Ejercicios Propuestos

1. La resistencia del concreto depende del procedimiento que se utilice para curarlo. Dos métodos distintos de curado mostraron los siguientes resultados en ensayos independientes. Se considera que el concreto queda con resistencia óptima, cuando es superior a 3220 libras/pulgadas2 . Resistencia Método 1 Método 2 [2500-2740) 3 2 [2740-2980) 4 3 [2980-3220) 5 7 [3220-3460) 5 5 6 4 [3460-3820] a) ¿Qué porcentaje de los ensayos con el método 1 de curado, resultan con concreto de resistencia óptima? b) ¿Qué porcentaje de los ensayos con el método 2 de curado, resultan con concreto de resistencia óptima? c) Construya un gráfico adecuado que muestre la distribución de los ensayos con el método 1 seg´ un resistencia de concreto y ubique en dicho gráfico el valor numérico de su resistencia media. d ) Construya un gráfico adecuado que muestre la distribución de los ensayos con el método 2 seg´ un resistencia de concreto y ubique en dicho gráfico el valor numérico de su resistencia media. 2. Denote por X n y Sn2 la media y la varianza para la muestra X1 , . . . , Xn , y denote por 2 X n+1 y Sn+1 estas cantidades cuando una observación adicional Xn+1 se a˜ nade a la muestra. a) Demuestre cómo X n+1 se puede calcular de X n y Xn+1 . b) Muestre que 2 = (n − 1)Sn2 + nSn+1

n (Xn+1 − X n )2 n+1

2 de modo que Sn+1 se puede calcular de Xn+1 , X n y Sn2 .

c) Suponga que una muestra de 15 hebras de hilo de pa˜ no dio como resultado una media muestral de elongación de 12.58 mm y una desviación estándar muestral de 0.512 mm. Una décima sexta hebra da un valor de elongación de 11.8. ¿¿Cuáles son los valores de la media muestral y de la desviación estándar muestral para las 16 observaciones de elongación? Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

1.2 Ejercicios Propuestos

19

3. Las longitudes de las rutas de transporte en determinada l´ınea suelen variar entre s´ı. En el art´ıculo ”Planning of City Bus Routes”(J. of the Institution of Engineers, 1995, pp. 211-215) aparece la siguiente información sobre las longitudes (en km) de determinada l´ınea: Longitud Frecuencia [6 − 8) 6 [8 − 10) 23 [10 − 12) 30 [12 − 14) 35 [14 − 16) 32 [16 − 18) 48 [18 − 20) 42 [20 − 22) 40 [22 − 24) 28 [24 − 26) 27 [26 − 28) 26 [28 − 30) 14 [30 − 35) 27 [35 − 40) 11 [40 − 45] 2 a) Trace el histograma para estas frecuencias. b) ¿Qué proporción de las rutas tienen una longitud menor que 20? ¿Qué proporción de estas rutas tienen longitudes de cuando menos 30? c) Más o menos, ¿cuál es el valor del 90◦ percentil de la distribución de longitudes de ruta? d ) Más o menos, ¿cuál es la mediana de la longitud de las rutas? 4. El art´ıculo C ¸ an We really Walk Straight”(Amer. J. of Physical Anthropology, 1992 pp. 19-27) reportó un experimento en el que se pidió, a cada uno de 20 hombres sanos, que caminaran en l´ınea recta tan derecho como fuera posible hacia un blanco situado a 60 m a velocidad normal. Considere las siguientes observaciones sobre cadencia (n´ umeros de pasos por segundo): 0.95 0.85 0.92 0.95 0.93 0.86 1.00 0.92 0.85 0.81 0.78 0.93 0.93 1.05 0.93 1.06 1.06 0.96 0.81 0.96 Utilice los métodos desarrollados en el cap´ıtulo 1 para resumir la información; incluya una interpretación o discusión, siempre que sea apropiado. (Nota: el autor del art´ıculo utilizó una análisis estad´ıstico de gran complejidad para analizar estos datos). 5. Para cada una de las siguientes afirmaciones indique si ella es verdadera ( V ) o falsa ( F ). Justifique Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

20

Cap´ıtulo 1. An´ alisis Descriptivo a) M e = (Q1 + Q3 )/2 , siendo Me = Mediana, Qi = i - ésimo cuartil ( i = 1, 3 ) b) Si el valor máximo entre ( X1 , X2 , . . . , Xk ) = 18 , entonces , Moda = 18. c) Si una variable es de nivel de medición nominal , entonces la medida de tendencia central más adecuada es la mediana. 6. Responda brevemente : a) Dé dos definiciones de tipos de muestreo b) Diga cuando una variable es del tipo discreta y cuando es del tipo continua c) Diga que se entiende por : ”No depende de la unidad de medida se˜ nale por lo menos dos medidas que cumplan y dos medidas que no cumplan con lo antes se˜ nalado. 2

d ) Describa en que consiste el percentil p ( Pp ) e) ¿¿ Qué porcentaje de la muestra está contenido en el Rango-Intercuartil ? 7. La exposición aguda al cadmio produce dolores respiratorios, da˜ nos en los ri˜ nones, h´ıgado y puede ocasionar la muerte. Por esta razón se controla el nivel de polvo de cadmio y de humo de óxido de cadmio en el aire. Este nivel se mide en miligramos de cadmio por metro c´ ubico de aire. Una muestra de treinta y cinco lecturas arroja estos datos : (Basado en un informe de Environmental Management , Septiembre de 1981, pág. 414) 0.044 0.049 0.050 0.070 0.054

0.030 0.030 0.056 0.061 0.042

0.052 0.040 0.061 0.061 0.051

0.044 0.045 0.042 0.058

0.046 0.039 0.055 0.053

0.020 0.039 0.037 0.060

0.066 0.039 0.062 0.047

0.052 0.057 0.062 0.051

a) Construya una tabla de Frecuencias utilizando la fórmula de Sturges para el n´ umero de intervalos. Sturges: N.I : 1 + [ 3,3 log10 n] , donde [x] := Es la parte entera de x. Amplitud : A = ( Xmax − Xmin ) / N.I. b) Construya el histograma utilizando las frecuencias absolutas. ¿¿ Parece razonable pensar que el nivel de cadmio del aire posee una distribución en forma de campana ? c) Calcular las medidas de tendencia central utilizando los datos originales y utilizando la tabla construida en el apartado ( b ). d ) Compare sus resultados en relación a la simetr´ıa de los datos, los puntos ( c ) y ( d ). 8. La Av´ıcola ”El Super Pollo”preocupada por los recientes reclamos de clientes con respecto al peso de los pollos, decidió estudiar la distribución de los pesos de 1000 pollos, con los siguientes resultados: Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

1.2 Ejercicios Propuestos

21 Peso (gramos) Frecuencia [960 − 980) 60 160 [980 − 1000) [1000 − 1020) 280 260 [1020 − 1040) [1040 − 1060) 160 80 [1060 − 1080] Total 1000

a) ¿Cuál es el peso medio? b) Construya el histograma. c) Construya la ojiva y la poligonal de frecuencias d ) Interesa dividir los pollos en cuatro categor´ıas, con respecto al peso, de modo que: i) ii) iii) iv)

El El El El

20 % 30 % 30 % 20 %

de de de de

los los los los

pollos pollos pollos pollos

más livianos sean clasificados en categor´ıa D que siguen en peso sean clasificados en categor´ıa C que siguen en peso sean clasificados en categor´ıa B restantes sean clasificados en categor´ıa A.

¿Cuáles son los l´ımites de peso en cada categor´ıa? 9. ¿Qué ocurre con la mediana, media y desviación estándar de una serie de datos, cuando: a) cada observación es multiplicada por 2 b) se le suma 10 a cada observación c) se le resta la media a cada observación d ) a cada observación se le resta la media y se divide por la desviación estándar. 10. La distribución de los 20.000 empleados de la empresa alfa, seg´ un antig¨ uedad (X) y sueldo mensual (Y) se muestra en la siguiente tabla de proporciones (frecuencias relativas) conjuntas: X (en a˜ nos) Menos de 4 a˜ nos 4 a 8 a˜ nos Más de 8 a˜ nos

[50 − 90) 0,12 0,08 0,00

Y (en miles de $) [90 − 130) [130 − 170) 0,08 0,04 0,12 0,10 0,12 0,18

[170 − 250] 0,00 0,05 0,11

(a) Clasifique las variables del problema seg´ un si son cualitativas o cuantitativas y diga si son nominal u ordinal y continua discreta. (b) Grafique la distribución de los empleados seg´ un sueldo mensual. (c) ¿En qué grupo son más homogéneos los sueldos de la empresa, en el de los empleados más nuevos ó en el de los más antiguos? Justifique su respuesta. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

22

Cap´ıtulo 1. An´ alisis Descriptivo (d) Si para las fiestas patrias la empresa otorgó un aguinaldo de $25.000 a los empleados cuyo sueldo era inferior a los $120.000, mientras que para aquellos cuyo sueldo era superior a esa cifra el aguinaldo fue de $15.500, ¿cuántos de los empleados que tienen más de 8 a˜ nos de antig¨ uedad en la empresa recibieron un aguinaldo de $15.500? 11. Una empresa que se dedica a la fabricación de mallas de acero para hormigón armado, ha tomado una muestra de las mallas que compró una constructora en un mes determinado, registrando por cada unidad el peso de la malla (en Kg) X, el tipo de malla Y (con borde ”C” y sin bordo ”S”) y el diámetro de las barras (en mm) Z. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

Z Y Menos de 5 C S [5 − 7] C S Más de 7 C S

(15-28] (28-41] 10 6 8 4 2 8 2 6 0 4 0 2

X (41-54] 4 2 3 5 4 5

(54-67] Más de 67 2 0 0 0 11 4 11 0 20 7 15 5

(a) Clasifique las variables seg´ un escala de medición y tama˜ no de recorrido. (b) Encuentre la medida de posición más adecuada para el peso de la malla. (c) ¿Qué porcentaje de las mallas con bordes tienen un diámetro de barras superiores a 5.5 mm? (d) ¿Cuál es la variabilidad del peso de las mallas sin bordes que tienen diámetros de barras menores de 5.0 mm? 12. Los siguientes datos corresponden a las cantidades máximas de emisión diaria de oxido de azufre (en toneladas) registrada seg´ un planta de emisión, en cierta zona industrial. Cantidad de óxido (ton) [05 − 10) [10 − 15) [15 − 20) [20 − 25) [25 − 30]

Planta A 50 30 60 20 40

Planta B 40 30 0 10 20

Planta C 20 40 70 15 5

(a) Indique la unidad de información y clasifique las variables seg´ un escala de medición y tama˜ no de recorrido (b) Entre las plantas B y C, ¿cuál presenta mayor variabilidad relativa su promedio de óxido de azufre emitido? (c) ¿Qué porcentaje de las emisiones producidas por la planta C, supera las 28 toneladas? Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

1.2 Ejercicios Propuestos

23

13. En una empresa constructora se ha registrado información respecto: ingreso mensual (Y), especialidad (X) y permanencia (Z) en la empresa (en que A = antiguo, N = recién ingresado), de sus trabajadores, obteniendo lo siguiente:

Especialidad Alba˜ nil A N Carpintero A N Electricista A N Pintor A N

Ingreso mensual, en miles de pesos [100 − 150) [150 − 200) [200 − 300] Más 6 9 5 9 11 1 1 6 7 1 2 3 3 5 8 1 5 4 2 20 2 1 10 5

de 300 0 0 9 3 1 0 0 0

(a) Clasifique las variables involucradas seg´ un nivel de medición. Calcule la medida de posición más adecuada en cada caso. Indique unidad de información. (b) Construya un gráfico que permita mostrar la distribución de los trabajadores seg´ un especialidad. (c) Construya un gráfico que permita compara los ingresos de los pintores seg´ un permanencia en la empresa. (d) Si entre carpinteros y electricistas tienen un sueldo promedio de $225.000 ¿Cuál es el sueldo promedio de los trabajadores de la empresa? (e) Si la empresa decide mejorar los sueldos de los trabajadores con ingresos inferiores a $180.000 ¿Qué % de los trabajadores se beneficiará con esta medida? (f) Si a los alba˜ niles se les otorga una bonificación de $20.000. Compare la dispersión de los ingresos de los alba˜ niles después de la bonificación con la de los ingresos de los pintores. 14. Una empresa constructora de parques y plazas, ha ganado una propuesta para construir áreas verdes en plazas de una determinada región. Las superficies sembradas, en metros cuadrados, en 80 plazas y la mezcla de semilla de pasto utilizadas, se resumen en la siguiente tabla:

Superficie Sembrada Mezcla [200 − 1180) [1180 − 3140) [3140 − 5100) [5100 − 6080] Manquehue 7 4 6 2 Estadios 3 6 8 4 Ray-grass 0 7 9 5 Lon grass trevol 2 5 4 1 Total 12 22 27 12 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

Más de 6080 0 3 4 0 7

24

Cap´ıtulo 1. An´ alisis Descriptivo (a) Clasifique las variables involucradas seg´ un nivel de medición y tama˜ no de recorrido. (b) Calcule las medidas marginales de posición más adecuadas para cada variable e indique las correspondientes medidas de dispersión. (c) Construya un gráfico que muestre la distribución de las plazas sembradas seg´ un mezcla de semilla utilizada. (d) Compare la dispersión de las superficies sembradas con mezcla de manquehue con la dispersión de las superficies sembradas con mezcla Long grass trébol. (e) Si un kilo de mezcla manquehue sirve para plantar una superficie de 13 metros cuadrados. ¿Qué porcentaje de las superficies plantadas en que se utilizó esta mezcla, ocupará más de 284 kilos? 15. El n´ umero de llamadas telefónicas de larga distancia nacional registrada por una empresa distribuidora durante una hora de un d´ıa determinado, se realizara en horarios normales y se consideraron llamadas de a lo más 3 minutos de duración.

Carrier 188

171

123

Valor de la llamada (U.M) Región [5-6] (6-8] (8-10] (10-20] II 3 8 10 4 IV 7 9 10 4 X 3 7 5 5 II 4 3 9 6 IV 5 5 8 3 X 2 4 7 7 II 3 4 7 8 IV 7 4 4 5 X 6 7 4 3 Total 40 51 64 45

Total 25 30 20 22 21 20 22 20 20 200

(a) Clasifique las variables involucradas seg´ un nivel de medición y tama˜ no de recorrido e indique la medida marginal de tendencia central más adecuadas para el valor de la llamada y para el carrier en la IV región. (b) ¿Qué porcentaje son tales que superan al valor promedio de las llamadas realizadas a través del carrier 171? (c) Al mes siguiente de haber efectuado este estudio, el valor de la llamada de larga distancia del carrier 123, aumentó en un 2 % más de U.M por cada 3 minutos de duración. ¿En que porcentaje disminuye (aumenta) la variabilidad del valor de la llamada al mes siguientes? 16. Una empresa constructora con varias obras en el pa´ıs desea efectuar un estudio sobre las ca˜ ner´ıas hidráulicas, de una pulgada, adquiridas por la empresa. Para ello, se seleccionó una muestra de las compras efectuadas durante un mes, anotando el precio de la tira de ca˜ ner´ıas, la cantidad de tiras, y el tipo de material de fabricación. La información obtenida se presenta en la siguiente tabla: Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

1.2 Ejercicios Propuestos Material P.V.C Fierro Cobre P.V.C Fierro Cobre P.V.C Fierro Cobre

Cantidad de tiras 2300-3000 0,08 0-10 0,02 0,00 0,10 10-20 0,02 0,00 0,07 20 y más 0,01 0,00 Total 0,30

25 Precios (pesos) 3000-4500 4500-6000 6000 y más Total 0,04 0,01 0,00 0,13 0,07 0,02 0,00 0,11 0,00 0,09 0,04 0,13 0,02 0,00 0,00 0,12 0,08 0,01 0,00 0,11 0,02 0,06 0,12 0,20 0,01 0,00 0,00 0,08 0,03 0,01 0,00 0,05 0,00 0,03 0,04 0,07 0,27 0,23 0,20 1,00

(a) Clasifique las variables involucradas seg´ un nivel de medición y tama˜ no de recorrido. Indique las medidas marginales de posición y dispersión más adecuadas. (b) ¿qué porcentaje de las compras, en las que se requieren menos de 20 tiras de ca˜ ner´ıa, tienen un precio entre 3.000 y 6.000 pesos? (c) Construya un gráfico que muestre la distribución de frecuencias de las compras de ca˜ ner´ıas de P.V.C, seg´ un precio.

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Cap´ıtulo 1. An´ alisis Descriptivo

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Cap´ıtulo 2 Probabilidad 2.1.

Ejercicios Resueltos

EJERCICIO 1 Las tres opciones preferidas en cierto tipo de departamento nuevo, son con resistencia antis´ısmica (A), calefacción central (B) y con excelentes terminaciones (C). Si 70 % de los compradores piden A, 80 % B, 75 % C, 85 % A o B, 90 % A o C, 95 % B o C y 98 % A, B o C, calcule las probabilidades de los siguientes eventos: (a) El siguiente comprador selecciona, por lo menos, una de las tres opciones. (b) El siguiente comprador está interesado en otras opciones. (c) El siguiente comprador sólo selecciona que tenga resistencia antis´ısmica y ninguna de las otras dos opciones. (d) El siguiente comprador selecciona exactamente una de las tres opciones. ´ SOLUCION Reescribamos la información que nos entregan: P (A) = 0,7 P (B) = 0,8 P (C) = 0,75 P (A ∪ B) = 0,85 P (A ∪ C) = 0,9

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Cap´ıtulo 2. Probabilidad P (B ∪ C) = 0,95 P (A ∪ B ∪ C) = 0,98 Luego: (a) P (A ∪ B ∪ C) = 0,98 (b) 1 − P (A ∪ B ∪ C) = 0,02 (c) P (A ∪ B ∪ C) − P (B ∪ C) = 0,98 − 0,95 = 0,03 (d) P (A ∪ B ∪ C) − P (B ∪ C) + P (A ∪ B ∪ C) − P (A ∪ C) + P (A ∪ B ∪ C) − P (A ∪ B) = 3P (A ∪ B ∪ C) − P (B ∪ C) − P (A ∪ C) − P (A ∪ B) = 3 · 0,98 − 0,95 − 0,9 − 0,85 = 0,24 EJERCICIO 2 Se toman muestras de una pieza fundida de aluminio y se clasifican de acuerdo con el acabado de la superficie (en micropulgadas) y con las mediciones de longitud. A continuación se resumen los resultados obtenidos con 100 muestras.

Acabado de la Superficie

Excelente Bueno

Longitud Excelente Bueno 75 7 10 8

Sean A: el evento donde la muestra tiene un acabado excelente, y B: el evento donde la muestra tiene una longitud excelente. Determine el n´ umero de muestras en Ac ∩ B, B c , y A ∪ B. Dibuje un diagrama de Venn que represente estos datos. Determine las siguientes probabilidades. (a) P (A) (b) P (B) (c) P (Ac ) (d) P (A ∩ B) (e) P (A ∪ B) (f) P (Ac ∪ B) ´ SOLUCION: Sean los eventos A: Acabado Excelente y B: Longitud Excelente, y respectivamente Ac : Acabado bueno y B c : Longitud Buena, entonces: Ac ∩ B = 10;

B c = 15;

A ∪ B = 75 + 7 + 10

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2.1 Ejercicios Resueltos

29

Figura 2.1: Diagrama de Venn (a) P (A) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B c ) =

75+7 100

(b) P (B) = P (B ∩ A) + P (B ∩ Ac ) =

75+10 100

(c) P (Ac ) = P (Ac ∩ B) + P (Ac ∩ B c ) = (d) P (A ∩ B) =

=

82 100

=

10+8 100

85 100

=

18 100

75 100

(e) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) =

92 100

(f) P (Ac ∪ B) = P (Ac ) + P (B) − P (Ac ∩ B) =

93 100

EJERCICIO 3 A continuación se ofrece un resumen de varias órdenes de compra de dispositivos de alumbrado, de acuerdo con las caracter´ısticas opcionales solicitadas para éstos. Proporci´ on de o ´rdenes de compra Sin caracter´ısticas opcionales 0.3 Una caracter´ıstica opcional 0.5 Más de una caracter´ıstica opcional 0.2 (a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una orden se solicite al menos una caracter´ıstica opcional? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que en una orden no se pida más de una caracter´ıstica opcional? ´ SOLUCION: Sean los eventos: Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

30

Cap´ıtulo 2. Probabilidad S: Sin caracter´ısticas opcionales. U: Una caracter´ısticas opcional. M: Más de una caracter´ısticas opcional. Entonces (a) P (al menos una caracter´ıstica) = P (U ) + P (M ) = 0,5 + 0,2 = 0,7 (b) P (no más de una caracter´ıstica) = P (S) + P (U ) = 0,3 + 0,5 = 0,8 EJERCICIO 4 La tabla siguiente presenta un resumen del análisis realizado a las flechas de un compresor para determinar el grado con que éstas satisfacen ciertos requerimientos.

el acabado superficial cumple con los requerimientos

la curva cumple con los requerimientos s´ı no s´ı 345 5 no 12 8

(a) Si se toma una flecha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con los requerimientos de acabado superficial? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha seleccionada cumpla con los requisitos de acabado o con los de curvatura? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha seleccionada cumpla con los requisitos de acabado o que no cumpla con los de curvatura? (d) ¿Cuál es la probabilidad de que la flecha seleccionada cumpla con los requisitos de acabado y curvatura? ´ SOLUCION: Sean los eventos A: Cumple con acabado superficial, Ac : No cumple con acabado superficial, C: Cumple con curvatura, C c : No cumple con curvatura. (a) P (A) = P (A ∩ C) + P (A ∩ C c ) =

345+5 370

=

(b) P (A ∪ C) = P (A) + P (C) − P (A ∩ C) =

350 370 350+357−345 370

=

362 370

350+13−5 370

=

358 370

350+357−362 370

=

345 370

(c) P (A ∪ C c ) = P (A) + P (C c ) − P (A ∩ C c ) = (d) P (A ∩ C) = P (A) + P (C) − P (A ∪ C) =

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

2.1 Ejercicios Resueltos

31

EJERCICIO 5 Continuación del ejercicio anterior. Las flechas se clasifican, además, en términos de la máquina herramienta utilizada en su fabricación. Máquina Herramienta 1

el acabado superficial cumple con los requerimientos

la curva cumple con los requerimientos s´ı no s´ı 200 1 no 4 2

Máquina Herramienta 2

el acabado superficial cumple con los requerimientos

la curva cumple con los requerimientos s´ı no s´ı 145 4 no 8 6

(a) Si se elige una flecha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con los requerimientos de acabado o con los de curvatura, o que provenga de la máquina herramienta 1? (b) Si se escoge una flecha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con los requerimientos de acabado o que cumpla con los de curvatura o que provenga de la máquina herramienta 2? (c) Si se elige una flecha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con los requisitos de acabado y curvatura o que provenga de la máquina herramienta 2? (d) Si se toma una flecha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con los requisitos de acabado o que provenga de la máquina herramienta 2? ´ SOLUCION: Agregaremos a los eventos definidos en el ejercicio anterior, M1: máquina 1 y M2: máquina 2. (a) P (A ∪ C ∪ M 1) = P (A) + P (C) + P (M 1) − P (A ∩ C) − P (A ∩ M 1) − P (C ∩ M 1) + P (A ∩ C ∩ M 1) =

350+357+207−345−201−204+200 370

=

364 370

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

32

Cap´ıtulo 2. Probabilidad (b) P (A ∪ C ∪ M 2) = P (A) + P (C) + P (M 2) − P (A ∩ C) − P (A ∩ M 2) − P (C ∩ M 2) + P (A ∩ C ∩ M 2) =

350+357+163−345−149−153+145 370

=

368 370

(c) P ((A ∩ C) ∪ M 2) = P (A ∩ C) + P (M 2) − P (A ∩ C ∩ M 2) = (d) P (A ∪ M 2) = P (A) + P (M 2) − P (A ∩ M 2) =

350+163−149 370

=

345+163−145 370

=

363 370

364 370

EJERCICIO 6 En cierta gasolinera, 40 % de los clientes utilizan gasolina regular sin plomo (A1 ), 35 % gasolina extra sin plomo (A2 ) y 25 % gasolina premium sin plomo (A3 ). De los clientes que consumen gasolina regular, solo 30 % llenan sus tanques (evento B). De los que consumen gasolina extra, 60 % llenan sus tanques, mientras que, de los que usan premium, 50 % llenan sus tanques. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente pida gasolina extra sin plomo y llene su tanque?. (b) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente llene el tanque?. (c) Si el siguiente cliente llena el tanque, ¿Cuál es la probabilidad de que pida gasolina regular?, ¿extra? y ¿premium?. ´ SOLUCION Sean los siguientes eventos: A1 : Gasolina regular sin plomo A2 : Gasolina extra sin plomo A3 : Gasolina Premium sin plomo B: Llena el tanque Reescribiendo la información entregada obtenemos: P (A1 ) = 0,4 P (A2 ) = 0,35 P (A3 ) = 0,25

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

2.1 Ejercicios Resueltos

33

P (B|A1 ) = 0,3 P (B|A2 ) = 0,6 P (B|A3 ) = 0,5

(a) P (A2 ∩ B) = P (B|A2 )P (A2 ) = 0,6 · 0,35 = 0,21 (b) P (B) = P (B|A1 )P (A1 ) + P (B|A2 )P (A2 ) + P (B|A3 )P (A3 ) = 0,3 · 0,4 + 0,6 · 0,35 + 0,5 · 0,25 = 0,455 (c) P (A1 |B) =

P (A1 ∩B) P (B)

=

P (B|A1 )P (A1 ) P (B)

=

0,3·0,4 0,455

P (A2 |B) =

P (A2 ∩B) P (B)

=

P (B|A2 )P (A2 ) P (B)

=

0,6·0,35 0,455

= 0,4615

P (A3 |B) =

P (A3 ∩B) P (B)

=

P (B|A3 )P (A3 ) P (B)

=

0,5·0,25 0,455

= 0,2747

= 0,2637

EJERCICIO 7 En relación al ejercicio anterior, considere la siguiente información adicional sobre el uso de las tarjetas de crédito: 70 % de los clientes que consumen gasolina regular y llenan su tanque usan una tarjeta de crédito. 50 % de todos los clientes que consumen gasolina regular y no llenan su tanque usan tarjeta de crédito. 60 % de todos los clientes que consumen gasolina extra y llenan su tanque usan tarjeta de crédito. 50 % de todos los clientes que consumen gasolina extra y no llenan su tanque usan tarjeta de crédito. 50 % de todos los clientes que consumen gasolina premium y llenan su tanque usan tarjeta de crédito. 40 % de todos los clientes que consumen gasolina premium y no llenan su tanque usan tarjeta de crédito. Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos para el siguiente cliente que llegue: Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

34

Cap´ıtulo 2. Probabilidad (a) {extra,llena el tanque y usa tarjeta de crédito}. (b) {premium, no llena el tanque y usa tarjeta de crédito}. (c) {premium y usa tarjeta de crédito} (d) {usa tarjeta de crédito}, (un diagrama de árbol puede ser u ´til). ´ SOLUCION: A los eventos definidos en el ejercicio anterior, agregaremos C: Usa tarjeta de crédito. Reescribiendo nuevamente la información entregada en esta parte, obtenemos: P (C|A1 ∩ B) = 0,7 P (C|A1 ∩ B c ) = 0,5 P (C|A2 ∩ B) = 0,6 P (C|A2 ∩ B c ) = 0,5 P (C|A3 ∩ B) = 0,5 P (C|A3 ∩ B c ) = 0,4 (a) P (A2 ∩ B ∩ C) =P (C|A2 ∩ B) · P (A2 ∩ B) =P (C|A2 ∩ B)P (B|A2 )P (A2 ) =0,6 · 0,6 · 0,35 = 0,126

(b) P (A3 ∩ B c ∩ C) =P (C|A3 ∩ B c )P (A3 ∩ B c ) =P (C|A3 ∩ B c )P (B c |A3 )P (A3 ) =0,4 · 0,5 · 0,25 = 0,05

(c) P (A3 ∩ C) =P (A3 ∩ C ∩ B) + P (A3 ∩ C ∩ B c ) =P (C|A3 ∩ B)P (A3 ∩ B) + P (C|A3 ∩ B c )P (A3 ∩ B c ) =P (C|A3 ∩ B)P (B|A3 )P (A3 ) + P (C|A3 ∩ B c )P (B c |A3 )P (A3 ) =0,5 · 0,5 · 0,25 + 0,4 · 0,5 · 0,25 = 0,1125

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2.1 Ejercicios Resueltos

35

(d) P (C) = P (A1 ∩ B ∩ C) + P (A1 ∩ B c ∩ C) + P (A2 ∩ B ∩ C) + P (A2 ∩ B c ∩ C) + P (A3 ∩ B ∩ C) + P (A3 ∩ B c ∩ C) = P (C|A1 ∩ B)P (A1 ∩ B) + P (C|A1 ∩ B c )P (A1 ∩ B c ) + P (C|A2 ∩ B)P (A2 ∩ B) + P (C|A2 ∩ B c )P (A2 ∩ B c ) + P (C|A3 ∩ B)P (A3 ∩ B) + P (C|A3 ∩ B c )P (A3 ∩ B c ) = P (C|A1 ∩B)P (B|A1 )P (A1 )+P (C|A1 ∩B c )P (B c |A1 )P (A1 )+P (C|A2 ∩B)P (B|A2 )P (A2 )+ P (C|A2 ∩B c )P (B c |A2 )P (A2 )+P (C|A3 ∩B)P (B|A3 )P (A3 )+P (C|A3 ∩B c )P (B c |A3 )P (A3 ) = 0,7 · 0,3 · 0,4 + 0,5 · 0,7 · 0,4 + 0,6 · 0,6 · 0,35 + 0,5 · 0,4 · 0,35 + 0,5 · 0,5 · 0,25 + 0,4 · 0,5 · 0,25 = 0,5325

Figura 2.2: Arbol EJERCICIO 8 En la empresa Coca-Cola el llenado de las botellas con bebida es realizado automáticamente por una máquina que funciona a distintas velocidades. La probabilidad de que el volumen de llenado sea incorrecto es de 0.001 cuando el proceso se realiza a baja velocidad. Cuando el proceso de llenado se realiza a alta velocidad, la probabilidad de llenado incorrecto es de 0.01. Suponga que el 25 % de las botellas son llenadas cuando el proceso se realiza a alta velocidad, mientras que el resto de botellas son llenadas a una baja velocidad. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

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Cap´ıtulo 2. Probabilidad (a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una botella con un volumen incorrecto en su interior? (b) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un botella llena con un volumen incorrecto y que haya sido llenado cuando el proceso se realiza a baja velocidad? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que el proceso de llenado de las botellas haya sido a baja velocidad, si se sabe que la botella está efectivamente con un volumen correcto? (d) Si se encuentra una botella llenada con un volumen incorrecto, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido llenado cuando el proceso se realiza a alta velocidad? ´ SOLUCION: Se definen los siguientes eventos: A: Llenado a alta velocidad. B: Llenado a baja velocidad. C: Volumen llenado correcto I: Volumen llenado incorrecto

Figura 2.3: Arbol

(a) P (I) = P (A ∩ I) + P (B ∩ I) = P (I|A)P (A) + P (I|B)P (B) = 0,25 · 0,01 + 0,75 · 0,001 = 0,00325 (b) P (I ∩ B) = P (I|B)P (B) = 0,00075 (c) P (B|C) = (d) P (A|I) =

P (B∩C) P (C) P (A∩I) P (I)

=

=

0,75×0,999 0,75×0,999+0,25×0,99

0,25×0,01 0,25×0,01+0,75×0,001

= 0,7516

= 0,7692

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2.1 Ejercicios Resueltos

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EJERCICIO 9 ´ ES ESTO!”. Un jugador A, comienza Un juego para dos jugadores se denomina ”¡QUE lanzando un dado numerado en cinco de sus caras: 1, 2, 3, 4 y 6; y en la sexta cara tiene escrita ´ ES ESTO!”. Las caras numeradas son las puntuaciones que va obteniendo la frase ”¡QUE ´ ES ESTO!”. Entonces, el turno cada vez. El jugador A sigue jugando hasta que saque ”¡QUE pasa al jugador B que lanza un segundo dado. Este dado indica en cuatro de sus caras que el turno de lanzar el dado numerado pasa al jugador B y otras dos caras que indican que el jugador A contin´ ua con el dado numerado. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador A saque un total de 4 ptos. en dos tiradas, ´ ES ESTO!”? sin que haya salido ”¡QUE (b) ¿Cuál es la probabilidad de que, después de lanzar el dado el jugador A, lance el jugador B y el jugador A pierda su turno? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador A le toque lanzar en la tercera tirada? ´ SOLUCION: Sea definen los siguientes eventos: Ak : resultado en el k-ésimo lanzamiento del dado numerado por el jugador A. Ak : Turno k-ésimo de jugar el dado numerado corresponde al jugador A; con k = 2, 3, . . .. B k : Turno k-ésimo de jugar el dado numerado corresponde al jugador B; con k = 2, 3, . . ..

´ Figura 2.4: Arbol (a) P ((A1 = 1 ∩ A2 = 3) ∪ (A1 = 2 ∩ A2 = 2) ∪ (A1 = 3 ∩ A2 = 1)) =

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1 1 1 1 1 1 · + · + · 6 6 6 6 6 6

=

3 36

=

1 12

38

Cap´ıtulo 2. Probabilidad (b) P (B 2 ∩ B 3 ) = P (B 2 )P (B 3 )

=

1 4 · 6 6

=

4 36

=

1 9

(c) P ((A2 ∩ A3 ) ∪ (B 2 ∩ A3 )) = P (A2 ∩ A3 ) + P (B 2 ∩ A3 ) = P (A2 )P (A3 ) + P (B 2 )P (A3 )

=

5 5 1 2 · + · 6 6 6 6

=

27 36

=

3 4

EJERCICIO 10 Un aficionado usa el siguiente sistema para pronosticar el tiempo atmosférico. Clasifica un d´ıa como seco o mojado y supone que la probabilidad de que un d´ıa dado sea igual al anterior está dado por p (0 ≤ p ≤ 1). En base a ciertos registros se sabe que el primer d´ıa de Enero tiene probabilidad β (0 ≤ β ≤ 1) de ser seco. Si βn = P (n-ésimo d´ıa del a˜ no es seco), obtenga una expresión para β2 y β3 en función de β y p. (Hind: Puede ser u ´til aplicar probabilidad totales) ´ SOLUCION: Definamos como: Di : ”El d´ıa i-ésimo del a˜ no es seco”;

i = 1, 2, . . . , n.

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2.1 Ejercicios Resueltos

39

c P (Di | Di−1 ) = p = P (Dic | Di−1 )

P (D1 ) = β luego tenemos que β2 = P (D2 ) = P (D2 ∩ D1 ) + P (D2 ∩ D1c ) ⇒ β2 = P (D2 | D1 )P (D1 ) + P (D2 | D1c )P (D1c ) ⇒ β2 = p × P (D1 ) + (1 − p) × P (D1c ) ⇒ β2 = p × β + (1 − p) × (1 − β) ∴ β2 = (2p − 1)β + (1 − p) Ahora se obtiene de la misma manera β3 β3 = P (D3 ) = P (D3 ∩ D2 ) + P (D3 ∩ D2c ) ⇒ β3 = P (D3 | D2 )P (D2 ) + P (D3 | D2c )P (D2c ) ⇒ β3 = p × P (D2 ) + (1 − p) × P (D2c ) ⇒ β3 = p × P (D2 ) + (1 − p) × (1 − P (D2 )) ⇒ β3 = (2p − 1) × P (D2 ) + (1 − p) ⇒ β3 = (2p − 1) × β2 + (1 − p) ⇒ β3 = (2p − 1) × {(2p − 1)β + (1 − p)} + (1 − p) ∴ β3 = (2p − 1)2 β + (2p − 1)(1 − p) + (1 − p) EJERCICIO 11 En la serie mundial de béisbol, dos equipos A y B juegan una serie de partidos uno contra otro y el primer equipo que gana un total de tres partidos es el ganador de la serie mundial. Si la probabilidad de que el equipo A gane un partido contra el equipo B es 31 . (a) Describa el espacio muestral de este experimento. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

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Cap´ıtulo 2. Probabilidad (b) ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo A gane la serie mundial? (c) Si la probabilidad de que el equipo A gane cualquier partido es p (0 < p < 1). ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario jugar los 5 partidos para determinar al ganador de la serie? (d) Si la serie termina en el cuarto juego, ¿cuál es la probabilidad de que el ganador sea el equipo B?

´ SOLUCION

(a) El espacio gráficamente ser´ıa:

´ Figura 2.5: Arbol o de la misma manera todas las combinaciones que están en el árbol como sigue: Ω = {AAA, AABA, AABBA, AABBB, . . . , BBB} donde #Ω = 20. (b) Sea S: A gana el mundial P (S) = P ({AAA} ∪ {AABA} ∪ {AABBA} ∪ {ABAA} ∪ {ABABA} ∪ {ABBAA}∪ {BAAA} ∪ {BAABA} ∪ {BABAA} ∪ {BBAAA}) 3 3 3 2 1 1 2 1 2 = +3 +6 3 3 3 3 3 (c) T : Es necesario jugar 5 partido para determinar el ganador de la serie mundial Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

2.1 Ejercicios Resueltos

P (T ) = P ({AABBB} ∪ {ABABA} ∪ {ABABB} ∪ {BAABA}∪ {BAABB} ∪ {BABAA} ∪ {BABAB} ∪ {BBAAA} ∪ {BBAAB}) = 6p3 (1 − p)2 + 6p2 (1 − p)3 = 6p2 (1 − p)2 (p + 1 − p) = 6p2 (1 − p)2 (d) Sea C: La serie termina en el cuarto juego.

P (S c |C) =

P (S c ∩ C) P (C)

=

P (ABBB ∪ BABB ∪ BBAB) P (AABA ∪ ABAA ∪ ABBB ∪ BAAA ∪ BABB ∪ BBAB)

=

3p(1 − p)3 3p(1 − p)3 + 3p3 (1 − p)

=

3p(1 − p)3 3p(1 − p){(1 − p)2 + p2 }

=

(1 − p)2 p2 + (1 − p)2

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41

42

Cap´ıtulo 2. Probabilidad

2.2.

Ejercicios Propuestos

1. Una costura hecha en un avión necesita 25 remaches. La costura tendrá que volver a realizarse si cualquiera de los remaches está defectuoso. Suponga que los remaches están defectuosos independientemente unos de otros, cada uno con la misma probabilidad. a) Si 14 % de todas las costuras necesitan volver a efectuarse, ¿cuál es la probabilidad de que un remache esté defectuoso? b) ¿Qué tan peque˜ na debe ser la probabilidad de un remache defectuoso para asegurar que sólo 10 % de todas las costuras necesiten volver a ejecutarse? 2. Dos bombas conectadas en paralelo fallan independientemente una de la otra en un d´ıa dado. La probabilidad de que la bomba más vieja falle es 0.10 y la probabilidad de que sólo la bomba más nueva falle es 0.05. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema de bombeo falle en cualquier d´ıa dado (lo que sucederá si ambas bombas fallan)? 3. Se tienen 5 aspirantes (Juan, Dario, Mar´ıa, Susana y Natalia) para dos trabajos idénticos. Un supervisor selecciona dos aspirantes para ocupar esos puestos. a) Hacer un lista de los modos posibles en que se pueden ocupar los puestos. Es decir, hacer una lista de todas las selecciones posibles de dos de los cincos aspirantes. b) Sea A el conjunto de selecciones que contienen por lo menos un hombre. ¿¿Cuántos elementos tiene A? c) Sea B el conjunto de selecciones que contienen exactamente un hombre. ¿¿Cuántos elementos tiene B? d ) Escribir el conjunto que contiene dos mujeres, en términos de A y B. e) Hacer una lista de los elementos en A, AB, A ∪ B, y AB. 4. Una compa˜ n´ıa manufacturera tiene dos expendios al menudeo. Se sabe que el 30 % de los clientes potenciales compran productos sólo en la tienda I, el 50 % compra en la tienda II, el 10 % compra en la tienda I y II, y el 10 % de los consumidores no compra en ninguna de las dos. Sea A el evento en el que un cliente potencial, seleccionado al azar, compra en I y B el evento el evento en el que compra en II. Calcular las siguientes probabilidades: a) P (A) b) P (B) c) P (A ∪ B) d ) P (AB) ¯ e) P (A¯B) f ) P (A ∪ B) Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

2.2 Ejercicios Propuestos 5. De las personas que llegan a un aeropuerto peque˜ no, el 60 % vuela en aeroplanos privados y el 10 % vuela en aeroplanos comerciales que no pertenecen a una aerol´ınea. De las personas que llegan por aerol´ıneas principales, el 50 % viaja por negocios, mientras que esa cifra es de 60 % para los que llegan en aeroplanos privados y de 90 % para los que llegan en otros aviones comerciales. Para una persona que se selecciona al azar de entre un grupo de llegadas, calcular la probabilidad de que a) la persona esté en viaje de negocios. b) la persona esté en viaje de negocios y llegue en un aeroplano privado. c) la persona esté en viaje de negocios, y se sabe que llegó en un aeroplano comercial. d ) la persona haya llegado en un aeroplano privado, dado que viaja por negocios. 6. Supóngase que las calles de una ciudad se trazan en una red que va de norte a sur y de oriente a poniente. Considérese el planteamiento siguiente para patrullar una zona de 16 por 16 manzanas. Un patrullero comienza a caminar en el cruce central de la zona. En la esquina de cada cuadra elige al azar dirigirse al norte, al sur, al este o al oeste. a) ¿Cuáles es la probabilidad de que alcance el l´ımite de su zona de patrullaje para cuando haya caminado seis cuadras? b) ¿Cuáles es la probabilidad de que regrese a su punto de partida después de haber caminado exactamente cuatro cuadras? 7. Se tienen dos eventos mutuamente excluyentes, A y B, tales que P (A) > 0 y P (B) > 0. ¿Son independientes A y B? Demuestre su respuesta. 8. Un armador de ventiladores eléctricos usa motores de dos proveedores. La compa˜ n´ıa A le suministra el 90 % y la compa˜ n´ıa B el otro 10 % de los motores. Supóngase que se sabe que el 5 % de los motores que suministra la compa˜ n´ıa A son defectuosos y que el 3 % de los que suministra la compa˜ n´ıa B también lo son. Se encuentra que un ventilador ya armado tiene un motor defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que ese motor haya sido suministrado por la compa˜ n´ıa B?

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44

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Cap´ıtulo 2. Probabilidad

Cap´ıtulo 3 Variables Aleatorias Discretas 3.1.

Ejercicios Resueltos

EJERCICIO 1 Fernando y Nicolás juegan un partido de tenis al mejor de tres sets (esto es, el que gana dos sets gana el partido). Suponga que la probabilidad de que Fernando gane el primer set es 0,5. Para los siguientes sets, la probabilidad de que Fernando gane es: 0,5 + (−1)Y (0,1)(k − 1) , k = 2, 3 donde 1, si Fernando perdió el set anterior Y = 0, si Fernando ganó el set anterior (a) Sea X: N◦ de sets que Fernando perdió. Encuentre la función de distribución de X (esto es, ”la tabla”). (b) Calcule la probabilidad de que Fernando gane el partido. (c) Suponga que la empresa ”ABCDE” le paga a Fernando mil dólares por el encuentro, pero por cada set que éste pierde se le descuentan 100 dólares. Sea G: ganancia obtenida por Fernando. Encuentre E(G). Sugerencia: Puede ser u ´til para este problema hacer el diagrama de árbol. ´ SOLUCION Las posibles secuencia del partido se aprecian en el árbol siguiente:

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Cap´ıtulo 3. Variables Aleatorias Discretas

Figura 3.1: Arbol

(a) Definimos X: no set que Fernando perdió con X ∈ {0, 1, 2}. Luego las probabilidades para todos los casos son: P (X = 0) = P (GG) = 0,5 × 0,6 = 0,3 P (X = 1) = P (GP G ∨ P GG) = 0,5 · 0,4 · 0,3 + 0,5 · 0,4 · 0,7 = 0,2 P (X = 2) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1) = 1 − 0,3 − 0,2 = 0,5 Luego la función de distribución de x es: X 0 1 2 P (X) 0.3 0.2 0.5 (b) P (Fernando gane el partido) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0,3 + 0,2 = 0,5 (c) Sea H:ganancia obtenida por Fernando, por lo tanto H ∈ {800, 900, 1000}. Luego las probabilidades para las ganancias son: P (H = 800) = P (x = 2) = 0,5 P (H = 900) = P (x = 1) = 0,2 P (H = 1000) = P (x = 0) = 0,3 ∴ E(H) =

X

h · P (H = h) = 800 · 0,5 + 900 · 0,2 + 1000 · 0,3 = 880

Rec H

EJERCICIO 2 Sea X: n´ umero de neumáticos de un automóvil seleccionado al azar, que tengan baja la presión.

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

3.1 Ejercicios Resueltos

47

(a) ¿Cuál de las siguientes tres funciones p(x) es una pmf leg´ıtima para x, y por qué no se permiten las otras dos? x 0 1 2 p(x) 0.3 0.2 0.1 p(x) 0.4 0.1 0.1 p(x) 0.4 0.1 0.2

3 4 0.05 0.05 0.1 0.3 0.1 0.3

(b) Para la pmf leg´ıtima de la parte (a), calcule P (2 ≤ X ≤ 4), P (X ≤ 2) y P (X 6= 0). (c) Si p(x) = c(5 − x), para x = 0, 1, 2, 3, 4. ¿Cuál es el valor de c?. ´ SOLUCION

(a) Recordemos que para que una pmf sea leg´ıtima debe cumplir con que la suma de ella, sobre todo el recorrido, resulte 1, y 0 ≤ p(x) ≤ 1. Luego observando las tres pmf propuestas, podemos observar que las tres tiene valores entre 0 y 1, pero sólo la segunda suma 1.

 0,4, x=0;     0,1, x=1;    0,1, x=2; ∴ p(x) = 0,1, x=3;     0,3, x=4;    0,0, e.o.c. (b) P (2 ≤ X ≤ 4) = 0,1 + 0,1 + 0,3 = 0,5 P (X ≤ 2) = 0,4 + 0,1 + 0,1 P (X 6= 0) = 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,3 = 0,6 (c) Si p(x) es la nueva pmf, debe cumplir que la suma sobre todo su recorrido de 1.

4 X

c(5 − x) = 1 → c

x=0

4 X

(5 − x) = 1 → c(5 + 4 + 3 + 2 + 1) = 1 → 15c = 1 → c =

x=0

1 . 15

EJERCICIO 3 Si el 90 % de todos los solicitantes para cierto tipo de hipoteca no llenan correctamente el formato de solicitud en la primera remisión, ¿Cuál es la probabilidad de que entre 15 de estos solicitantes seleccionados al azar: (a) Por lo menos 12 no la llenen a la primera remisión? Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

48

Cap´ıtulo 3. Variables Aleatorias Discretas (b) Entre 10 y 13 inclusive no la llenen a la primera remisión? (c) A lo sumo 2 llenen correctamente sus formatos en la primera remisión? ´ SOLUCION (a) Sea X: n´ umero de personas que rellenan erróneamente la solicitud. Luego X ∼ Bin(15, 0,9)

x = 0, 1, 2, ...

Por lo tanto lo que nos piden es: P (X ≥ 12) = P (X = 12) + P (X = 13) + P (X = 14) + P (X = 15) =

15 X 15 x=12

x

0,9x (1 − 0,9)15−x = 0,9444

(b) P (10 ≤ X ≤ 13) = P (X = 10) + P (X = 11) + P (X = 12) + P (X = 13) 13 X 15 = 0,9x (1 − 0,9)15−x = 0,4488 x x=10 (c) Sea Y: n´ umero de personas que llenan correctamente sus formatos. Luego Y ∼ Bin(15, 0,1)

y = 0, 1, 2, ...

Por lo tanto lo que nos piden es: P (Y ≤ 2) = P (Y = 0) + P (Y = 1) + P (Y = 2) =

2 X 15 y=0

y

0,1y (1 − 0,1)15−y = 0,8159

EJERCICIO 4 El voltaje de una bater´ıa nueva puede ser aceptable (A) o no aceptable (B). Cierta linterna de mano necesita dos bater´ıas, as´ı que estas han de seleccionarse y probarse independientemente hasta encontrar dos aceptables. Supongamos que el 80 % de todas las bater´ıas tienen voltaje aceptable y denotemos por Y el n´ umero de bater´ıas que deben ser probadas. (a) ¿Cuánto vale p(2), es decir, P (Y = 2)? (b) ¿Cuánto vale p(3) ? (c) Para tener Y=5. ¿Qué debe ser cierto de la quinta bater´ıa seleccionada?. (Hint: Haga una lista de los casos favorables de Y=5 y luego determine p(5)). (d) Utilice el lector del modelo de sus respuestas para las partes (a) a la (c) para obtener una fórmula general para p(y). Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

3.1 Ejercicios Resueltos

49

´ SOLUCION Considerando que una bater´ıa es aceptable con probabilidad 0.8 y por ende no aceptable con probabilidad 0.2: (a) P (Y = 2) = P (A ∩ A) = 0,8 · 0,8 = 0,64 (b) En este caso hay dos formas de obtener Y=3: P (Y = 3) = P (A ∩ B ∩ A) + P (B ∩ A ∩ A) = 0,8 · 0,2 · 0,8 + 0,2 · 0,8 · 0,8 = 0,256 (c) Como se revisa hasta encontrar 2 buenas en voltaje, entonces la quinta obligadamente debe ser Aceptable (A). La lista de los posibles resultados son: ABBBA BABBA BBABA BBBAA Luego calculamos lo pedido: P (Y = 5) = 0,82 · 0,23 · 4 = 0,204 (d) Si observamos la relación que tienen (a), (b) y (c), podemos rescatar que P (Y = y) = (y − 1)0,82 0,2y−2 , y ≥ 2 P (Y = y) =

y−1 0,82 0,2y−2 , y ≥ 2 2−1

Y la forma que tiene esta pmf, corresponde a la conocida Binomial Negativa. Y ∼ BN (r, p) donde r corresponde a los éxitos que se quieren obtener, en este caso 2 y p es la probabilidad del éxito, en este caso 0.8. EJERCICIO 5 Un director técnico de tenis tiene una canasta de 25 pelotas; 15 de estas son pelotas Penn y las otras 10 son Wilson. Cada uno de cuatro jugadores seleccionan 3 pelotas para un juego. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 8 de las pelotas seleccionadas sean Penn? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que todas las pelotas seleccionadas sean Wilson? Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

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Cap´ıtulo 3. Variables Aleatorias Discretas ´ SOLUCION Resumiendo los datos entregados, tenemos lo siguiente: N:25 pelotas P:15 Penn W:10 Wilson n:12 tama˜ no muestra Sea X: n´ umero de pelotas de las que me sirven, en la muestra sin reposición, en este caso pelotas Penn. Luego N −P P X ∼ Hiper(15, 10, 12) → P (X = x) =

x

n−x N n

(a) P (X = 8) =

15 8

10 4

25 12

= 0,2599

(b) P (X = 0) =

15 0

10 12

25 12

=0

Pues 10 no está definido, es decir no existe, ya que es ilógico sacar más pelotas de un 12 tipo de las que tengo, luego es un evento imposible. EJERCICIO 6 Un art´ıculo de Los Angeles Times (3 de Dic. de 1993) reporta que de cada 200 personas, una lleva el gene defectuoso que ocasiona cáncer de colon hereditario. En una muestra de 1000 personas ¿Cuál es la distribución aproximada del n´ umero de quienes llevan este gene?. Utilice esta distribución para calcular la probabilidad aproximada de que: (a) Entre 4 y 7 inclusive, personas lleven el gene. (b) Por lo menos 8 lleven el gene. ´ SOLUCION Por las caracter´ısticas del problema, con X= n´ umero de personas con el gene. X ∼ P oisson(5) (a) P (4 ≤ X ≤ 7) = P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) + P (X = 7) =

54 e−5 55 e−5 56 e−5 57 e−5 + + + = 0,602 4! 5! 6! 7!

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3.1 Ejercicios Resueltos

51

(b) P (X ≥ 8) =

∞ X 5x e−5 x=8

=1−

7 X 5x e−5 x=0

x!

x!

= 0,133

EJERCICIO 7 Una compa˜ n´ıa telefónica emplea cinco operadoras de información que reciben solicitudes de información independientemente una de otra, cada una seg´ un un proceso de Poisson con tasa λ = 2× minuto. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que durante un periodo dado de un minuto, la primera operadora no reciba solicitudes? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que durante un periodo dado de un minuto, exactamente 4 de las 5 operadoras no reciban solicitudes? (c) Escriba una expresión para la probabilidad de que durante un periodo dado de un minuto, todas las operadoras reciban exactamente el mismo n´ umero de solicitudes. ´ SOLUCION Es importante tener presente que las operadoras atienden solicitudes independientemente una de otra. Luego Sea X: n´ umero de llamadas en un minuto de la operadora x. Por lo tanto X ∼ P oisson(2) P (X = 0) =

e−2 20 = e−2 = 0,1353 0!

(b) En este caso tenemos un experimento incluido en el otro, ya que cuando contamos el n´ umero de operadoras que cumplen con algo de entre un total, estamos hablando de un experimento Binomial, en el cual, la probabilidad del éxito está modelada por la distribución Poisson. Luego Y: n´ umero de operadoras que reciben cero llamadas entre las 5 Y ∼ Bin(5, P (X = 0)), recuerde que X ∼ P oisson(2) 5 → P (Y = 4) = 0,13534 (1 − 0,1353)5−4 = 0,001451 4 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

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Cap´ıtulo 3. Variables Aleatorias Discretas (c) Como las operadoras son independientes una de las otras y las 5 tienen exactamente la misma distribución, basta considerar la de una operadora y potenciarla a las 5. Luego la expresión para tal cálculo ser´ıa: ∞ X

[P (X = x)]5

x=0

EJERCICIO 8 Para promocionar sus helados de paleta, una fabrica pone cada 15 helados una etiqueta que dice ”vale otro”. Cualquiera persona que compre un helado y le salga ”vale otro” obtiene un helado gratis. Estos helados cuestan 100 pesos cada uno. Si Ud. decide comprar estos helados hasta obtener uno gratis ¿cuánto esperar´ıa gastar? ´ SOLUCION Sea X: no helados comprados hasta obtener el primero gratis. De lo anterior de deduce que la variable X tiene distribución geométrica X ∼ Geometrica(p)

p = P (Salga gratis) =

1 15

Sea G = 100X, luego la que uno esperar´ıa gastar ser´ıa la E(G). 1 E(G) = 100E(X) = 100 = 100 · 15 = 1500 p ∴ lo que se esperar´ıa gastar si se compran helados hasta obtener uno gratis ser´ıan $1500. EJERCICIO 9 Un examen consta de n preguntas con k alternativas cada una. Suponga que cierto alumno responde cada pregunta de acuerdo al siguiente procedimiento: si conoce la alternativa correcta, entonces la escoge con probabilidad 1; si no la sabe, entonces escoge una alternativa al azar. Suponga que la probabilidad de que el alumno conozca la alternativa correcta es p (0 < p < 1), igual para todas las preguntas y que las distintas preguntas se responden en forma independiente. (a) Sea X el n´ umero de preguntas respondidas correctamente. Encuentre la función de probabilidad o cuant´ıa de X. (b) ¿Si una de estas preguntas fue respondida correctamente, cuál es la probabilidad de que el alumno haya sabido la alternativa correcta? ´ SOLUCION

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3.1 Ejercicios Resueltos

53

(a) Sean los eventos: S: Saber la respuesta. C: respuesta correcta. Entonces, por probabilidad total.

P (C) = P (C|S)P (S) + P (C|S 0 )P (S 0 )

=1·p+

=p+

1 · (1 − p) k

(1 − p) k

como las respuestas a cada pre4gunta son independientes y p∗ = P (C), la probabilidad de responder correctamente una pregunta, es constante para cada pregunta, se tiene que: X ∼ Bin(n, p∗) con p∗ = p +

1−p . k

Luego n p(x) = P (X = x) = (p∗)x (1 − p∗)n−x , x

x = 0, 1, 2, 3, . . . , n.

(b) Bayes

P (S|C) =

=

=

P (C|S)P (S) P (C) 1·p

p+

(1−p) k

kp (k + 1)p + 1

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54

Cap´ıtulo 3. Variables Aleatorias Discretas

3.2.

Ejercicios Propuestos

1. Suponga que cada una de las llamadas que hace una persona a una estación de radio muy popular tiene una probabilidad de 0.02 de que la l´ınea no esté ocupada. Suponga que las llamadas son independientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera llamada que entre sea la décima que realiza la persona? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario llamar más de cinco veces para hallar desocupada la l´ınea? c) ¿Cuál es le n´ umero promedio de llamadas que deben hacerse para hallar desocupada la l´ınea? 2. Un negocio de computadores que atiende pedidos por correo tiene seis l´ıneas telefónicas. Simbolicemos con correo X el n´ umero de l´ıneas con uso en un momento espec´ıfico. Supongamos que la pmf de X estás dada en la tabla siguiente. x 0 1 2 3 4 5 6 p(x) 0.1 0.15 0.20 0.25 0.20 0.06 0.04 Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos: a) A lo sumo 3 l´ıneas están en uso b) Menos de 3 l´ıneas están en uso c) Por lo menos 3 l´ıneas están en uso d ) Entre 2 y 5 l´ıneas están en uso e) Entre 2 y 4 l´ıneas no están en uso f ) Por lo menos 4 l´ıneas no están en uso 3. Una compa˜ n´ıa de seguros ofrece a sus tenedores de pólizas varias opciones diferentes para el pago de primas. Para un tenedor seleccionado al azar, sea X=n´ umero de meses entre pagos sucesivos. La cdf de X es como sigue:  0     0,30    0,40 F (x) =  0,45    0,60    1

si si si si si si

x x) = e−λx además tenemos que E(X) = µX =

1 λ

y

2 Var(X) = σX =

1 λ2

(a) Que la probabilidad sea a lo sumo 100 metros es P (X ≤ 100) = 1 − e−λ·100 = 1 − e−0,01386·100 = 0,4799 y que esté entre 100 y 200 metros es P (100 < X < 200) = P (X < 200) − P (X < 100) = 1 − e−λ·200 − 1 − e−λ·200 = e−λ·100 − e−λ·200 = 0,1875 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

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Cap´ıtulo 4. Variables Aleatorias Continuas (b) La probabilidad pedida se puede escribir como P (X > E(X) + 2σX ) = P (X > 3σX ) =P

3 X> 0,01386

= P (X > 216,450) = e−λ·216,450 = 0,049 ≈ 0,05 (c) Se pide la mediana, sabemos que esta se encuentra en el percentil 50. Luego se tiene que Z

mediana

fX (x)dx = 0,5 ⇐⇒ FX (mediana) = 0,5 0

Al reemplazar por la función de distribución acumulada de la exponencial se logra la siguiente igualdad 1 − e−λ·mediana = 0,5 ⇒

1 − 0,5 = e−λ·mediana

⇒

ln(0,5) = −λ · mediana

⇒

ln(0,5) −0,01386

⇒

= mediana

50,01 = mediana

EJERCICIO 6 La presión del aire de un neumático seleccionado al azar, instalado en un automóvil nuevo, está normalmente distribuida con valor medio de 31 lb/pulg2 y desviación estándar de 0.2 lb/pulg2 . (a) ¿Cuál es la probabilidad de que la presión de un neumático, seleccionado al azar, exceda de 30.5 lb/pulg2 ? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que la presión de un neumático, seleccionado al azar, se encuentre entre 30.5 y 31.5 lb/pulg2 ? Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

4.1 Ejercicios Resueltos

67

(c) Suponga que un neumático se considera con presión baja si está debajo de 30.4 lb/pulg2 . ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los cuatro neumáticos de un automóvil se encuentre con presión baja? ´ SOLUCION Sea X la presión de aire, luego tenemos que X ∼ N (31, 0,22 )

(a) P (X > 30,5) = P (Z >

30,5−31 ) 0,2

= P (Z > −2,5) = P (Z < 2,5) = 0,9938

(b) P (30,5 < X < 31,5) = P (X < 31,5) − P (X < 30,5) =P

31,5 − 31 Z< 0,2

−P

30,5 − 31 Z< 0,2

= P (Z < 2,5) − P (Z < −2,5) = 0,9938 − (1 − 0,9938) = 0,9876

(c) Sea Y : no de neumáticos con presión baja. Se puede deducir que Y ∼ Bin(4, p), donde p = P (X < 30,4). Luego calculando tenemos que p = P (X < 30,4) = P

∴

30,4 − 31 Z< 0,2

= P (Z < −3) = 0,0013

Y ∼ Bin(4, 0,0013)

Se pide Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

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Cap´ıtulo 4. Variables Aleatorias Continuas

P (Y ≥ 1) = 1 − P (Y < 1) = 1 − [P (Y = 0)] 4 0 =1− p (1 − p)4 0 = 1 − [1 − 0,0013]4 = 0,005189 EJERCICIO 7 Suponga que el n´ umero de horas X que funcionará una máquina antes de fallar es una variable aleatoria con distribución Normal de parámetros µ = 720 y σ 2 = 482 . Suponga que en el momento en que la máquina comienza a funcionar Ud. debe decidir cuando el inspector regresará a revisarla. Si el vuelve antes de que la máquina falle, se ocasiona un costo de a dólares por haber desperdiciado una inspección. Si vuelve después de que la máquina haya fallado, se ocasiona un costo de b dólares por el no funcionamiento de la máquina. (a) Determine una expresión para el costo esperado, considerando que el tiempo hasta que el inspector vuelve a inspeccionar la máquina es de t horas. (b) Suponga que el inspector decide volver en un tiempo de t = 816hrs. Calcule la probabilidad de que el inspector llegue tarde a la inspección, es decir, la máquina ya ha dejado de funcionar. (c) Se observa este proceso durante 15 per´ıodos. Determine de que el inspector llegue tarde más de 12 veces. ´ SOLUCION Sea X : Tiempo de funcionamiento de una máquina hasta que falle. X ∼ N (720, 482 ) (a) Tenemos que Costo =

  a X>t 

b X t) + bP (X < t) = a − aP (X < t) + bP (X < t) = a + P (X < t){b − a} = a + (b − a)FZ

t − 720 48

(b)

X − 720 816 − 720 < 48 48

96 Z< 48

P (X < 816) = P

=P

= P (Z < 2) = 0,9772499 (c) Sea X : N´ umero de veces que el inspector llega tarde. X ∼ Bin(15, 0,9772499) entonces P (X > 12) =

15 X 15 x=13

x

(0,9772499)x (1 − 0,9772499)15−x

= 0,9956363

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Cap´ıtulo 4. Variables Aleatorias Continuas

4.2.

Ejercicios Propuestos

1. Si Y ∼ U [0, 5] ¿Cuál es la probabilidad de que las ra´ıces de la ecuación 4x2 + 4xY + Y + 2 = 0 sean ambas reales? 2. Las calificaciones X de un examen del curso EYP* siguen una distribución normal de media 4.2 y desviación estándar 0.6. El profesor sospecha que el examen fue dif´ıcil. De acuerdo a lo anterior ajusta las calificaciones en la forma Y = aX + b, a > 0, a) ¿Qué valores deben asignarse a las constantes a y b de manera que las nuevas calificaciones tengan un promedio de 5.3 y una desviación estándar de 0.3? b) Encuentre c ∈ [0; 7] para que, con probabilidad igual a 0.9, las calificaciones ajustadas superen a c. 3. El tiempo que transcurre entre las llamadas a una empresa de art´ıculos para plomer´ıa tiene una distribución exponencial con un tiempo promedio entre llamadas de 15 minutos. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya llamadas en un lapso de 30 minutos? (b) ¿Cuál es la probabilidad de recibir al menos una llamada en un intervalo de 10 minutos? (c) ¿Cuál es la probabilidad de recibir la primera llamada en un intervalo entre 5 y 10 minutos después de haber abierto la empresa? (d) Calcule la dimensión de un intervalo de tiempo, de modo tal que la probabilidad de recibir al menos una llamada en ese lapso sea 0.9. 4. La función de densidad de probabilidad del tiempo de falla (en horas) de un componente −x/1000 electrónico de una copiadora es fX (x) = e 1000 para x > 0. Calcule la probabilidad de que: a) El componente tarde más de 3000 horas en fallar. b) El componente falle en el lapso comprendido entre 1000 y 2000 horas. c) El componente falle antes de 1000 horas. d ) Calcule el n´ umero de horas en las que fallarán el 10 % de todos los componentes. 5. El peso regular de apoyo de una pastilla de estéreo, que actualmente está puesta a 3 gr. en un tocadiscos, puede considerarse como una v.a. X continua con pdf: k[1 − (x − 3)2 ], 2 ≤ x ≤ 4; f (x) = 0, e.o.c. a) Dibuje la gráfica de f (x). Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

4.2 Ejercicios Propuestos

71

b) Encuentre el valor k. c) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso de apoyo sea mayor que el peso especificado? d ) ¿Cual es la probabilidad de que el peso difiera del peso especificado en más de .5 gr.? 6. El art´ıculo “The Prediction of Corrosion by Statistical Analysis of Corrosion Profiles” sugiere la siguiente cdf, para la profundidad X de la picadura más profunda en un experimento donde interviene la exposición de acero al manganeso carbono a agua de mar acidulada: −(x−α)/β

F (x; α, β) = e−e

,

−∞ < x < ∞

Los autores proponen los valores α = 150, β = 90. Suponga que este es el modelo correcto. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la profundidad de la picadura más profunda sea a lo sumo 150? ¿A lo sumo 300? ¿Entre 150 y 300? b) ¿Cual es la función de densidad de X? c) Se puede demostrar que E(X) ≈ ,5772β + α. ¿Cuál es la media para los valores dados α y β, y cómo se compara con la mediana? 7. El tiempo en minutos en ir de un hotel al aeropuerto por la ruta A se distribuye N (27, 25). Mientras que por la ruta B se distribuye N (30, 4).¿Qué ruta conviene utilizar si se dispone de: a) 30 minutos? b) 34 minutos? 8. Si X tiene una distribución exponencial con parámetro λ, derive una expresión general para el (100p) avo percentil de la distribución. Luego especifique cómo obtener la mediana.

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Cap´ıtulo 4. Variables Aleatorias Continuas

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Cap´ıtulo 5 Sensibilidad y Especificidad 5.1.

Ejercicios Resueltos

EJERCICIO 1 En una investigación sobre el factor de crecimiento de carcinoma mamario (FCCM), el estudio piloto reveló que estaba elevado en los pacientes con carcinomas de mama confirmados. Se hizo un estudio cl´ınico que incluyó a 1600 pacientes donde por biopsia se determinó carcinoma en 600 y 1000 estaban sanos. Se consideró como positivo al FCCM un resultado mayor o igual a 150 unidades por litro. La tabla obtenida fue la siguiente: Con carcinoma de mama FCCM (+) 570 FCCM (-) 30 Total 600

Sin carcinoma de mama Total 150 720 850 880 1000 1600

(a) Explique e identifique para este ejemplo: i. Verdaderos Positivos. ii. Falsos Positivos. iii. Verdaderos Negativos. iv. Falsos Negativos. (b) ¿Qué es la Prevalencia? Calc´ ulela. (c) ¿Cuál es la probabilidad de que un sujeto enfermo sea clasificado como positivo?, ¿cuál es el nombre técnico de esta probabilidad y cómo podr´ıa aumentarla? (d) ¿Cuál es la probabilidad de que un sujeto sano sea clasificado como negativo?, ¿cuál es el nombre técnico de esta probabilidad y cómo podr´ıa aumentarla? (e) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo tenga carcinoma de mama si la prueba FCCM es positivo?, ¿cuál es la probabilidad de que no la padezca si la prueba FCCM es negativa?, ¿técnicamente que se está pidiendo? Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

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Cap´ıtulo 5. Sensibilidad y Especificidad ´ SOLUCION

(a) Identificación en la tabla

Con carcinoma de mama FCCM (+) 570 (VP) 30 (FN) FCCM (-) Total 600

Sin carcinoma de mama Total 150 (FP) 720 850 (VN) 880 1000 1600

i. Verdaderos Positivos (V P ): Son los individuos que realmente tienen la enfermedad (con carcinoma de mama) y su test salió positivo (FCCM (+)). ii. Falsos Positivos (F P ): Son los individuos que realmente no tienen la enfermedad (sin carcinoma de mama) y su test salió positivo (FCCM (+)). iii. Verdaderos Negativos (V N ): Son los individuos que realmente no tienen la enfermedad (sin carcinoma de mama) y su test salió negativo (FCCM (-)). iv. Falsos Negativos (F N ): Son los individuos que realmente tienen la enfermedad (con carcinoma de mama) y su test salió negativo (FCCM (-)). (b) La prevalencia es la proporción de individuos que están realmenete enfermos (Prevalencia Real) con respecto al total. P revalencia =

VP 570 # de realmente enf ermos = = = 0,35625 # total de individuos T otal 1600

(c) La probabilidad pedida se llama Sensibilidad (Sp ). Sp =

570 570 VP = = = 0,95 V P + FN 570 + 30 600

∴ La Probabilidad de que un individuo obtenga positivo en el test (FCCM(+)), dado que está realmente enfermo es de 95 %. La manera de poder aumentar la Sp es disminuyendo los Falsos Negativos (FN). (d) La probabilidad pedida se llama Especificidad (Ep ). Ep =

VN 850 850 = = = 0,85 V N + FP 850 + 150 1000

∴ La Probabilidad de que un individuo obtenga negativo en el test (FCCM(-)), dado que esta realmente no está enfermo es de 85 %. La manera de poder aumentar la Ep es disminuyendo los Falsos Positivos (FP). Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

5.1 Ejercicios Resueltos

75

(e) Lo que están pidiendo técnicamente es el valor predictivo positivo y negativo.

V PP =

V PN =

570 570 VP = = = 0,79167 V P + FP 570 + 150 720 850 850 VN = = = 0,9659 V N + FN 850 + 30 880

∴ La Probabilidad de que un individuo esté enfermo (con carcinoma de mama) dado que el test salió positivo (FCCM(+)) es de 79 % y la probabilidad de que el individuo no tenga carcinoma de mama dado que el test salió negativo (FCCM(-)) es de 96.6 %. EJERCICIO 2 La mastitis es una enfermedad que afecta a las vacas que están produciendo leche. Para un productor de leche es muy importante detectar una enfermedad tempranamente. Un grupo de investigadores desarrolló un examen para este efecto con una confiabilidad del 90 %, es decir, de 100 vacas con la enfermedad el examen detecta 90 vacas enfermas. De las vacas libres de mastitis un 99 % de los exámenes se consideran libres de la enfermedad y un 1 % se diagnostican como mostrando mastitis, se seleccionan al azar una y se le somete al examen que arroja como resultado que s´ı posee la enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad que la vaca tenga realmente mastitis? ´ SOLUCION Sean E : Vaca enferma S : vaca sin enfermedad + : Examen positivo − : Examen negativo donde las probabilidades son: P (E) = 0,001 P (S) = 0,999 P (+|E) = 0,9 P (−|S) = 0,01 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

76

Cap´ıtulo 5. Sensibilidad y Especificidad lo que se pide es lo siguiente: P (E|+) =

=

P (+|E)P (E) P (+|S)P (S) + P (+|E)P (E) 0,01 · 0,999 0,9 · 0,001 + 0,9 · 0,001

= 0,0826446 A esta probabilidad se le llama usualmente la valor predictivo positivo

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5.2 Ejercicios Propuestos

5.2.

Ejercicios Propuestos

1. Se quiere estudiar la utilidad de la reacción en cadena de la polimerasa (PCR) en el diagnóstico de la meningitis meningocócica. Se estudian 115 l´ıquidos cefalorraqu´ıdeos procedentes de otros tantos pacientes con sospecha de meningitis. Los resultados que se obtienen se recogen en la siguiente tabla:

Prueba (+) Prueba (-) Total

Meningitis meningocócica Meningitis no meningocócica Total 34 1 35 5 75 80 39 76 115

donde En 34 personas con meningitis meningocócica la PCR fué positiva (Verdaderos Positivos). En 5 personas con meningitis meningocócica la PCR fué negativa (Falsos Negativos). En 75 personas sin meningitis meningocócica la PCR fué negativa (Verdaderos Negativos). En 1 persona sin meningitis meningocócica la PCR fué positiva (Falsos Positivos). Responda lo siguiente: a) ¿Qué es la Prevalencia? Calc´ ulela. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un sujeto enfermo sea clasificado como positivo?, ¿Cómo se podr´ıa aumentar esta probabilidad? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un sujeto sano sea clasificado como negativo?, ¿Cómo se podr´ıa aumentar esta probabilidad? d ) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo tenga meningitis meningocócica si la prueba es positivo?, ¿cuál es la probabilidad de que no la padezca si la prueba es negativa? 2. Con el objeto de diagnosticar la colelietasis se usan los ultrasonidos. Tal técnica tiene una sensibilidad del 91 % y una especificidad del 98 %. En la población que nos preocupa, la probabilidad de colelietasis es de 0,2. a) Si a un individuo de tal población se le aplican los ultrasonidos y dan positivos, ¿cuál es la probabilidad de que sufra la colelietasis? b) Si el resultado fuese negativo, ¿cuál ser´ıa la probabilidad de que no tenga la enfermedad?

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77

78

Cap´ıtulo 5. Sensibilidad y Especificidad 3. Dadas las siguientes tablas:

Tabla A Enfermos Examen Si No Total (+) 58 4 62 (-) 12 28 40 Total 70 32 102 Tabla B Enfermos Examen Si No Total (+) 58 40 98 (-) 12 280 292 Total 70 320 390 a) Calcule y comente para cada una de ellas su Prevalencia, Sensibilidad y Especificidad. b) Para la Tabla A conociendo la sensibilidad y la especificidad del exámen diagnóstico calcule aplicando el Teorema de Bayes: VPPP (valor predictivo de la prueba positiva) y VPPN (valor predictivo de la prueba negativa), comente.

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Cap´ıtulo 6 Estimaci´ on 6.1.

Ejercicios Resueltos

EJERCICIO 1 Suponga que se tiene una m.a. de tama˜ no 2n tomada de una población X, con E(X) = µ y V ar(X) = σ 2 . Sean: 2n n 1 X 1X X1 = xi y X 2 = xi 2n i=1 n i=1 dos estimadores de µ. ¿Cuál es el mejor estimador de µ? Explique su elección. ´ SOLUCION El mejor estimador será aquel que tenga menor error cuadrático medio E.C.M.. Primero veamos si son insesgados los estimadores. ! 2n 2n X 1 X 1 1 E xi = 2nµ = µ E(X 1 ) = E(xi ) = 2n 2n 2n i=1 i=1 ! n n X 1 1X 1 E(X 2 ) = E xi = E(xi ) = nµ = µ n n i=1 n i=1 Luego ambos estimadores son insesgados, por lo tanto el mejor estimador de entre los dos, será aquel que tenga menor varianza. ! 2n 2n X 1 1 X 1 σ2 V ar(X 1 ) = 2 V ar xi = 2 V ar(xi ) = 2 2nσ 2 = 4n 4n i=1 4n 2n i=1 ! n n X 1 1 X 1 σ2 2 V ar(X 2 ) = 2 V ar xi = 2 V ar(xi ) = 2 nσ = n n i=1 n n i=1 Luego, como el que tiene menor varianza es X 1 , escogemos éste, pues es el que produce un menor E.C.M. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

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Cap´ıtulo 6. Estimaci´ on EJERCICIO 2 ˆ1 y Θ ˆ 2 son estimadores insesgados del parámetro θ. Se sabe que V ar(Θ ˆ 1 ) = 10 Suponga que Θ ˆ y V ar(Θ2 ) = 4. ¿Cuál es el mejor y en que sentido lo es? ´ SOLUCION Como ambos son insesgados, el mejor estimador será aquel que tenga menor varianza, lo ˆ 2 tiene que, en este caso, conlleva a tener un menor E.C.M.. Luego observando, vemos que Θ ˆ 1 , por lo tanto escogemos Θ ˆ 2 como mejor estimador de θ. menor varianza que Θ EJERCICIO 3 ˆ1 y Θ ˆ 2 son estimadores del parámetro θ. Se sabe que E(Θ ˆ 1 ) = θ, E(Θ ˆ 2) = θ , Suponga que Θ 2 ˆ 1 ) = 10 y V ar(Θ ˆ 2 ) = 4. ¿Cuál es el mejor y en qué sentido lo es? V ar(Θ ´ SOLUCION ˆ 1 es insesgado para θ pero que Θ ˆ 2 no lo es. Si observamos cuidadosamente, vemos que Θ Ahora la mejor forma de ver cual es mejor es comparando los E.C.M. de cada uno, ya que esta medida considera el sesgo producido por cada estimador y la varianza que tienen. ˆ 1 ) = V ar(Θ ˆ 1 ) + Sesgo2 (Θ ˆ 1 ) = 10 + 02 = 10 E.C.M.(Θ 2 2 θ θ 2 ˆ ˆ ˆ −θ =4+ − E.C.M.(Θ2 ) = V ar(Θ2 ) + Sesgo (Θ2 ) = 4 + 2 2 Como se puede ver, el E.C.M. de Θ2 depende del verdadero valor que tiene θ, luego debemos ˆ 2 será mejor que Θ ˆ 1. hacer un análisis más detallado, para saber cuando Θ Cuando ocurre: ˆ 1 ) ≤ E.C.M.(Θ ˆ 2) E.C.M.(Θ 2 θ 10 ≤ 4 + − 2 16 + θ2 10 ≤ 4 40 ≤ 16 + θ2 θ2 ≥ 40 − 16 θ2 ≥ 24 ˆ 2 será mejor estimador de θ que Θ ˆ 1 cuando el verdadero valor de θ sea: Es decir, Θ √ √ θ ≥ 24 o cuando θ ≤ − 24 ˆ 1 será mejor estimador de θ que Θ ˆ 2 cuando Equivalentemente, Θ √ √ − 24 < θ < 24

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6.1 Ejercicios Resueltos

81

EJERCICIO 4 Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria de tama˜ no n, de una población N (µ, σ 2 ). 2

(a) Demuestre que X es un estimador sesgado de µ2 . (b) Determine la magnitud del sesgo en el estimador. (c) ¿Qué sucede con el sesgo a medida que aumenta el tama˜ no n de la muestra? ´ SOLUCION ¯ ∼ N (µ, σ2 ), luego si queremos demostrar (a) Como X ∼ N (µ, σ 2 ) entonces se sabe que X n ¯ 2 es sesgado para µ2 ocupamos la siguiente relación: que X 2

V ar(X) = E(X ) − E 2 (X) σ2 2 = E(X ) − µ2 n Luego despejando lo que necesitamos, obtenemos: 2

E(X ) =

σ2 + µ2 n

Lo cual es distinto de µ2 , que es el caso donde habr´ıa sido insesgado el estimador. (b) La magnitud del sesgo, no es más que el tama˜ no de éste, es decir, su valor. 2

2

Sesgo(X ) = E(X ) − µ2 2

Sesgo(X ) =

σ2 σ2 + µ2 − µ2 = n n

(c) A medida que el tama˜ no de muestra aumenta, el sesgo es asintóticamente (cuando n → ∞) insesgado.

σ2 n

→ 0, es decir, el estimador

EJERCICIO 5 Una máquina produce art´ıculos defectuosos con probabilidad π. En la inspección de art´ıculos se define la v.a.

Yi =

1, si el art´ıculo i es defectuoso; 0, si el art´ıculo i no es defectuoso.

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82

Cap´ıtulo 6. Estimaci´ on En una muestra de tama˜ no 5 se observan dos art´ıculos defectuosos. Proponga un modelo apropiado para el problema y estime la proporción de art´ıculos defectuosos usando el método de máxima verosimilitud. ´ SOLUCION Dada la definición del problema y la estructura de la variable aleatoria, Y tiene una distribución Bernoulli Y ∼ Ber(p) → P (Y = y) = py (1 − p)1−y donde el parámetro p, que es la probabilidad del éxito, es desconocida, por lo que la estimaremos por máxima verosimilitud. L(y|p) = L(y|p) = p

5 Y

i=1 P5 i=1

pyi (1 − p)1−yi

yi

(1 − p)5−

P5

i=1

yi

Aplicando logaritmo natural, obtenemos: X 5 5 X `(y|p) = yi ln(p) + 5 − yi ln(1 − p) i=1

i=1

Luego, para maximizar la función de verosimilitud, derivamos con respecto al parámetro p, que es el que estamos buscando e igualamos a cero para despejar p. ! 5 5 X X yi yi − 5 ∂` i=1 i=1 = + =0 ∂p p 1−p 5 X

pˆ =

yi

i=1

5 Pero como nos dicen que se observaron dos art´ıculos defectuosos, es decir sólo dos de los yi son 1, la suma de éstos es 2, 2 ∴ pˆ = 5 EJERCICIO 6 El n´ umero de conexiones mal soldadas por microcircuito integrado en una operación de manufactura electrónica sigue una distribución Binomial(20,p) con p desconocida. El costo de corregir los errores, por microcircuito, es: C = 3X + X 2 En base a una muestra aleatoria X1 , X2 , ..., Xn encuentre el EMV del costo esperado de corregir los errores de estos n microcircuitos observados.

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6.1 Ejercicios Resueltos

83

´ SOLUCION Considerando que el parámetro p es desconocido, debemos estimarlo, lo que haremos por el método de Máxima Verosimilitud. L(x|p) =

n Y 20 i=1

L(x|p) = p

Pn

i=1 xi

xi

pxi (1 − p)20−xi

20n−

(1 − p)

Pn

i=1 xi

n Y 20 i=1

xi

Aplicando logaritmo natural, obtenemos: `(x|p) =

X n

xi ln(p) + 20n −

i=1

n X

xi ln(1 − p) +

i=1

n X i=1

20 ln xi

Luego, para maximizar la función de verosimilitud, derivamos con respecto al parámetro p, que es el que estamos buscando e igualamos a cero para despejar p. ! n n X X xi yi − 20n ∂` i=1 i=1 = + =0 ∂p p 1−p n X

pˆ =

xi

i=1

20n Ya teniendo este estimador, lo que sigue es calcular el EMV del costo. E(C) = 3E(X) + E(X 2 ) = 3np + np(1 − p) + (np)2 = 3np + np − np2 + n2 p2 = 4np + np2 (n − 1) [ = 4nb Luego el E.M.V. de E(C) es E(C) p + nb p2 (n − 1) por invarianza del E.M.V. EJERCICIO 7 En encuestas, es dif´ıcil obtener respuestas precisas a preguntas delicadas tales como ¿Has usado alguna vez hero´ına? o ¿Has hecho trampa alguna vez en un examen?. Warner introdujo el método de respuestas aleatorizadas para tratar tales situaciones. El encuestado hace girar una flecha en una rueda o extrae una bola desde una urna que contiene dos bolas de dos colores para determinar cual de las dos afirmaciones contestará: (1)“Tengo la caracter´ıstica Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

84

Cap´ıtulo 6. Estimaci´ on A”, o (2)“No tengo la caracter´ıstica A”. El encuestador no conoce cual afirmación será contestada pero solamente anotará un s´ı o un no. Se cree que es más probable que el encuestado responda verazmente si él o ella saben que el encuestador no conoce cual afirmación será contestada. Sea R la proporción de una muestra que contesta S´ı. Sea p la probabilidad que la afirmación 1 sea contestada (p es conocido desde la estructura del método aleatorizado), y sea q la proporción de la población que tiene la caracter´ıstica A. Sea r la probabilidad que un encuestado responda s´ı. (a) Muestre que r = (2p − 1)q + (1 − p) (b) Si r es conocida, ¿Cómo podr´ıa determinarse q? ´ SOLUCION Definamos como: R: Proporción de la muestra que contesta s´ı. p: Probabilidad que la afirmación 1 sea contestada. q: Probabilidad de la población que tiene la caracter´ıstica A. r: Probabilidad que un encuestado responda si. (a) r = P (responda s´ı) = P (responda s´ı | contesta afirmación 1)P (contesta afirmación 1) + P (responda s´ı | no contesta afirmación 1)P (no contesta afirmación 1) = pq + (1 − p)(1 − q) = pq + 1 − p − q + pq = 2pq + 1 − p − q = (2pq + 1)q + (1 − p) (b) Ser´ıa cosa de despejar q, es decir, r − (1 − p) = (2p − 1)q luego q=

r+p−1 2p − 1

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6.1 Ejercicios Resueltos

85

EJERCICIO 8 Supóngase que X1 , X2 , ..., Xn constituyen una m.a. de una distribución cuya función densidad es la siguiente θ−1 θx , 0 < x < 1; f (x|θ) = 0, e.o.c. Además, supóngase que el valor de θ es desconocido (θ > 0). (a) Determine el EMV de θ. (b) Determine el EMV de E(X). ´ SOLUCION

(a) L(x1 , . . . , xn , θ) =

n Y

θxθ−1 i

i=1 n Y

= θn

!θ−1 xi

/ ln

i=1

`(x1 , . . . , xn , θ) = n ln θ + (θ − 1)

n X

ln xi

/∂θ

i=1

∂`(x1 ,...,xn ,θ) ∂θ

=

n θ

+

n X

ln xi

i=1

⇒

θbEM V

−n = X n ln xi i=1

(b) Z E(X) =

xθx 0

\= Luego E(X)

θˆ ˆ θ+1

1 θ−1

Z dx =

1

θxθ dx =

0

θ θxθ+1 1 = θ 0 θ+1

por la invarianza del E.M.V.

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86

Cap´ıtulo 6. Estimaci´ on EJERCICIO 9 Sean X1 , X2 , . . . , Xn variables aleatorias i.i.d. con función densidad dada por (α + 1)xα ;0 < x < 1 fX (x) = 0 ;e.o.c. (a) Encuentre el estimador de α por el método de momentos. (b) Encuentre el estimador de α por el método de máxima verosimilitud. (c) Eval´ ue ambos estimadores usando los siguientes datos: X 0.1 - 0.3 0.3 - 0.6 0.6 - 0.7 0.7 - 0.9 Frecuencia 3 1 2 3 ´ SOLUCION

(a) El método de momentos consiste en igualar el momento muestral con el momento poblacional. Para el caso k = 1 tenemos la siguiente igualdad E(X) = X Necesitamos calcular E(X): Z E(X) =

Z xfX (x)dx =

x · (α + 1)xα dx

Rec X

Rec X

Z = (α + 1)

1

xα+1 dx

0

= (α + 1)

=

α+1 α+2

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

xα+2 1 α+2 0

6.1 Ejercicios Resueltos

87

Luego

E(X) = X

⇒

α+1 =X α+2

⇒ α + 1 = αX + 2X ⇒ α(1 − X) = 2X − 1

⇒α ˆM M =

2X − 1 1−X

(b) L(x, α) =

n Y

n n Y Y f (xi ) = (α + 1)xαi = (α + 1)n xi

i=1

i=1

`(x, α) =n ln(α + 1) + α

i=1

n X

\∂α

ln(xi )

i=1

n

X n ∂` = + ln(xi ) = 0 ∂α α + 1 i=1 n

X n ⇒ =− ln(xi ) α+1 i=1 ⇒α+1=

−n n X

ln(xi )

i=1

 ⇒α ˆM V



    n  = − + 1 n  X   ln(xi ) i=1

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!α \ ln

88

Cap´ıtulo 6. Estimaci´ on (c) Para evaluar los estimadores necesitamos convertir los datos tabulados a un set de datos compuestos por las marcas de cada clases (0.2) (0.45) (0.65) (0.8) 0.1 - 0.3 0.3 - 0.6 0.6 - 0.7 0.7 - 0.9 X Frecuencia 3 1 2 3 Se puede representar el conjunto de valores para X como: [X : 0,2; 0,2; 0,2; 0,45; 0,65; 0,65; 0,8; 0,8; 0,8] Calculando ahora lo necesario para poder evaluar los estimadores con estos datos tabulados k

1X 1 X= mi · fi = (0,2 · 3 + 0,45 · 1 + 0,65 · 2 + 0,8 · 3) = 0,5277 n i=1 9 n X

ln(xi ) = ln

i=1

n Y

! = ln(0,000778752) = −7,15781

xi

i=1

Luego al evaluar estos resultados en los estimadores, estos toman los siguientes valores: α ˆM M =  α ˆM V

2X − 1 2 · 0,52777 − 1 = 0,117612 = 1 − 0,52777 1−X 

    9 n   = − n + 1 = − + 1 = 0,257367 −7,15781 X  ln(xi ) i=1

EJERCICIO 10 Sean X1 , ..., Xn , Y1 , ..., Yn v.a. independientes con Xi ∼ Exp( α1 ) e Yj ∼ Exp( β1 ), con i = 1, ..., n; j = 1, ..., n. Se define el parámetro θ = (θ1 , θ2 ) por θ1 = α y θ2 = αβ . (a) Determine los EMV (estimador máximo veros´ımil) para θ1 y θ2 (b) Encuentre el sesgo y el ECM (error cuadrático medio) de θˆ1 ´ SOLUCION (a) Dada la independencia existente entre las variables, tenemos que la densidad conjunta yi xi es fXi ,Yj (xi , yj ) = α1 e− α β1 e− β , luego la verosimilitud conjunta es la siguiente: Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

6.1 Ejercicios Resueltos

89

L(θ) =

P

xi α

1 e− αn β n

`(θ) = −

P

xi α

−

e

P

yi β

−

P

yi β

\ ln

− n ln(α) − n ln(β) \∂α

∂` ∂α

=

P

−

n α

= 0 −→ α ˆ = x¯ = θˆ1

∂` ∂β

=

P

−

n β

= 0 −→ βˆ = y¯

xi α2

yi β2

ˆ Tenemos que por la invarianza de los EMV’s, θˆ2 = αβˆ , luego reemplazando queda que θˆ2 = xy¯¯ .

(b) Por fórmula el ECM (θˆ1 ) = V ar(θˆ1 ) + Sesgo2 (θˆ1 ), donde el Sesgo(θˆ1 ) = E(θˆ1 ) − θ1 . Luego veremos primero si tiene sesgo (sesgado): 

n X



xi   n n  i=1  1 X 1X ˆ   E(θ1 ) = E  E(xi ) = α=α = n i=1  n  n i=1 Luego como es insesgado (recuerde que θ1 = α), el Sesgo(θˆ1 ) = 0. Por lo tanto para calcular el ECM (θˆ1 ) basta calcular su varianza. 

n X



! xi   n X  i=1  1  V ar(θˆ1 ) = V ar  xi  n  = n2 V ar   i=1 ind

=

Por lo tanto ECM (θˆ1 ) =

α2 n

n n 1 X 1 X 2 α2 V ar(x ) = α = i n2 i=1 n2 i=1 n n→∞

el cual −→ 0.

EJERCICIO 11 Sean X1 , ..., Xn iid con densidad λe

−λx

,

x ≥ 0,

n ≥ 2. Sea Sn =

n X i=1

que Z = λSn tiene densidad: fZ (z) =

z n−1 e−z , (n − 1)!

ˆ= Utilice esto para calcular el sesgo y el ECM de λ

z≥0 n−1 . Sn

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Xi . Es bien conocido

90

Cap´ıtulo 6. Estimaci´ on ´ SOLUCION ˆ Nesecitamos calcular la esperanza y varianza de λ.













      n−1  1   λ  ˆ =E  = (n − 1)E   = (n − 1)E   E(λ) n n n   X X  X        xi xi λ xi i=1

i=1

i=1

1 λ = λ(n − 1)E = (n − 1)E Z Z = λ(n − 1)E(Z −1 ) ∞

Z = λ(n − 1)

z

−1 z

e dz = λ(n − 1) (n − 1)!

0

λ(n − 1) = n−1

Z 0

∞

n−1 −z

Z 0

∞

z n−2 e−z dz (n − 1)!

z n−2 e−z dz = λ (n − 2)!

ˆ es un estimador insesgado, es decir, Sesgo(λ) ˆ = 0. Luego queda que: Por lo tanto λ

ˆ = V ar(λ) ˆ = E(λ ˆ 2 ) − E 2 (λ) ˆ ECM (λ) =E

n−1 Sn

2 !

λ2 Z2

2

= (n − 1) E

− λ2

− λ2

= λ2 (n − 1)2 E(Z −2 ) − λ2

2

2

Z

= λ (n − 1)

0

∞

z −2

z n−1 e−z dz − λ2 (n − 1)!

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6.1 Ejercicios Resueltos

91 λ2 (n − 1)2 = (n − 1)(n − 2)

ˆ = Por lo tanto el ECM (λ)

=

λ2 (n − 1) − λ2 (n − 2)

=

λ2 n−2

λ2 n→∞ −→ n−2

Z 0

∞

z n−3 e−z dz − λ2 (n − 3)!

0.

EJERCICIO 12 iid

Sean Y1 , ..., Yn ∼ U (0, θ). Sea T = M ax(Y1 , ..., Yn ) y considere los estimadores de θ de la forma cT, c ≥ 0. (a) ¿Para qué valor de c, cT es insesgado? (b) ¿Para qué valor de c, el ECM (cT ) es m´ınimo? ´ SOLUCION Si T corresponde al Máximo, entonces su función densidad es de la forma fT (t) = n[FY (t)]n−1 fY (t), donde fY (t) = 1θ y FY (t) = θt . (a) Calcularemos la esperanza para determinar el insesgamiento. E(cT ) = cE(T ) θ

Z =c

tn 0

cn = n θ

= Luego si c =

n+1 , n

Z 0

tn−1 1 dt θn−1 θ

θ

tn dt =

cn tn+1 θ θn n + 1 0

cn θn+1 cnθ = n θ n+1 n+1

cT es insesgado.

(b) En primer lugar calcularemos lo necesario para obtener el ECM y as´ı después encontrar el c que lo minimice. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

92

Cap´ıtulo 6. Estimaci´ on

E(θˆ2 ) = E((cT )2 ) = c2 E(T 2 )

=c

2

θ

Z

tn−1 1 c2 n t n n−1 dt = n θ θ θ 2

0

c2 n = n θ

tn+2 θ n+2 0

=

θ

Z

tn+1 dt

0

c2 nθ2 n+2

ˆ Ahora calculemos V ar(θ): 2 2 2 2 2 ˆ = c nθ − c n θ V ar(θ) n + 2 (n + 1)2

2

= c nθ

2

2

= c nθ

2

2

2

= c nθ

n 1 − n + 2 (n + 1)2

(n + 1)2 − n(n + 2) (n + 1)2 (n + 2)

1 (n + 1)2 (n + 2)

Por lo tanto el sesgo queda de la siguiente forma: ˆ = cnθ − θ = θ Sesgo(θ) n+1

cn − n − 1 n+1

y as´ı obtenemos el ECM , resultando: ˆ = ECM (θ)

c2 nθ2 + θ2 (n + 1)2 (n + 2)

(cn − n − 1)2 (n + 1)2

Ahora utilizando los métodos matemáticos (1a Derivada) para minimizar, encontraremos el c correspondiente. ˆ ∂ECM (θ) 2cnθ2 2θ2 n(cn − n − 1) = + =0 ∂c (n + 1)2 (n + 2) (n + 1)2 n+2 n+1 Para verificar si realmente es m´ınimo, se calcula la segunda derivada. −→ c =

ˆ ∂ 2 ECM (θ) 2nθ2 = ∂c2 n+2 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

6.1 Ejercicios Resueltos

93

la cual es positiva ∀n > 0, luego cuando c =

n+2 , n+1

ˆ se minimiza. el ECM (θ)

EJERCICIO 13 Suponga que X sigue una distribución de Pareto, su función de densidad está dada por:

f (x|α, θ) = θαθ x−θ−1 , x ≥ α y

θ≥1

Asuma que α > 0 es conocido y que X1 , . . . , Xn son v.a. iid. (a) Encuentre un estimador de momentos para θ. (b) Determine el EMV de θ. ´ SOLUCION Como los Xi siguen distribución de Pareto, se tiene que su esperanza y varianza son conocidas:

E(X) =

θα , θ−1

θ>1

V ar(X) =

θα2 , (θ − 1)2 (θ − 2)

θ>2

(a) Igualando el momento poblacional con el muestral, se obtiene el estimador de momentos: n

1X θα = Xi θ−1 n i=1 θα =X θ−1 θα − θX = −X

θˆ =

X X −α

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94

Cap´ıtulo 6. Estimaci´ on (b) Teniendo que las observaciones distribuyen Pareto, la función de verosimilitud es la siguiente:

L(α, θ) =

n Y

−(θ+1)

θαθ xi

i=1

= θn αnθ

n Y

!−(θ+1) \ ln

xi

i=1

`(α, θ) = n ln(θ) + nθ ln(α) − (θ + 1)

n X

ln(xi ) \∂θ

i=1

∂` ∂θ

=

n θ

+ n ln(α) −

n X

ln(xi ) = 0

i=1

→ θˆ =

−n

n ln(α)−

n X

ln(xi )

i=1

EJERCICIO 14 Sea Y1 , ..., Yn una muestra aleatoria proveniente de una población N (θ, θ), con θ > 0 y desconocido. A partir de una muestra aleatoria correspondiente a 25 pesos de circuitos, con n n X X Yi = 1264 y con Yi2 = 5240, determine la estimación máximo verosimil de θ. i=1

i=1

´ SOLUCION

L(θ) =

n Y i=1

1 √ exp 2πθ

1 (yi − θ)2 2θ

( −n 2

= (2πθ)

1 exp − 2θ

n X

) (yi − θ)2

i=1

`(θ) = − n2 ln(2π) −

n 2

ln(θ) −

1 2θ

n X i=1

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

(yi − θ)2

\ ln

6.1 Ejercicios Resueltos

=

− n2

95

ln(2π) −

n 2

ln(θ) −

1 2θ

n X

(yi2 − 2θyi + θ2 )

i=1

= − n2 ln(2π) −

n 2

ln(θ) −

1 2θ

n X

yi2 +

i=1

∂` ∂θ

=

n − 2θ

1 2θ2

+

n X

yi2 −

i=i

X −→

− nθ

+

−nθ +

yi2

θ2 n X

n X

yi −

i=1

nθ2 \∂θ 2θ

n =0 2

−n=0

\ · θ2

yi2 − nθ2 = 0

\ · − n1

i=1

θ−

n X

yi2 /n + θ2 = 0

i=1

θ2 + θ − y 2 = 0 √ θˆ =

−1±

1+4y 2 2

EJERCICIO 15 Ingenieros eléctricos japoneses han inventado un sistema de radar llamado detector de blancos móviles (MTD, moving target detector), dise˜ nado para rechazar los ecos parásitos provocados por el terreno, la lluvia, las aves y otras fuentes de interferencia. Los investigadores han demostrado que la magnitud X de la frecuencia Doppler de una se˜ nal recibida por radar se puede modelar por una distribución Weibull, con parámetro α = 2 y β > 0, tal que: 1 2 2x exp − x f (x) = β β

x>0

En base a una muestra aleatoria de tama˜ no n,determine el estimador máximo ımil de P50 veros´ 2 β y obtenga su estimación con las siguientes magnitudes de frecuencias si i=1 xi = 51,9.

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96

Cap´ıtulo 6. Estimaci´ on ´ SOLUCION

L(β) =

n Y 2xi

β

i=1

=

2n βn

exp

1 2 x β i

(

n Y

n 1X 2 xi exp − xi β i=1 i=1

`(β) = n ln(2) − n ln(β) +

n X

)

ln(xi ) −

i=1 n X ∂` ∂β

= − βn + n X

→

βˆ =

n 1X 2 x \∂β β i=1 i

x2i

i=1 β2

=0

x2i

i=1 n n X

\ ln

=

β2 β

x2i

i=1 n

Reemplazando por los valores dados en el inicio, queda que βˆ = 1,038 EJERCICIO 16 En una fábrica se seleccionan diariamente motores y se inspeccionan hasta encontrar el primer motor defectuoso. Sea (X1 , . . . , Xn ) una m.a. de X distribuida geométricamente con p desconocido. (a) Determine el estimador de momentos para p. (b) Determine el estimador máximo veros´ımil de p. (c) De los registros de 100 d´ıas se obtuvo la siguiente información del n´ umero de motores inspeccionados. N o de motores inspeccionados 1 2 3 4 5 N o de d´ıas 8 10 15 25 42 Estime la probabilidad de que en un d´ıa cualquiera se deban inspeccionar más de dos motores para encontrar uno defectuoso. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

6.1 Ejercicios Resueltos

97

´ SOLUCION Dado que Xi ∼ Geom(p) tenemos que: P (X = x) = p(1 − p)x−1 ;

E(X) =

1 p

V ar(X) =

(a) Igualando momento poblacional con el muestral, queda: n X

1 = p

pˆ =

xi

i=1

n n n X

= xi

1 x

i=1

(b) Encontremos ahora los estimadores M.V.

L(p) =

n Y

p(1 − p)xi −1

i=1

n X n

= p (1 −

(xi − 1)

p) i=1 n X

xi − n

n

= p (1 − p) i=1 n X `(p) = n ln(p) + ( xi − n) ln(1 − p) i=1

= n ln(p) +

n X

xi ln(1 − p) − n ln(1 − p)

i=1

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

1 p2

98

Cap´ıtulo 6. Estimaci´ on

n X

xi n n ∂` i=1 = − + =0 ∂p p 1−p 1−p n X

n = p

xi − n

i=1

1−p n X

n(1 − p) = p

! xi − n

i=1

pˆ =

n n X

xi

i=1

(c) Recordando la propiedad de invarianza que tienen los estimadores máximo veros´ımiles, lo que se pide, se puede traducir estad´ısticamente en: P (X > 2) = 1 − P (X ≤ 2) = 1 − P (X = 1) − P (X = 2) = 1 − pˆ(1 − pˆ)1−1 − pˆ(1 − pˆ)2−1 = 1 − pˆ − pˆ(1 − pˆ) = (1 − pˆ)2 = 0,261

EJERCICIO 17 Sean X1 , . . . , Xn i.i.d. ∼ U (θ1 , θ2 ). Es decir, la densidad de Xi es: f (x) =

1 θ2 − θ1

θ1 ≤ x ≤ θ2

(a) Encuentre el estimador de momentos para los parámetros de esta distribución. (b) Encuentre el estimador máximo veros´ımil para θ1 y θ2 .

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6.1 Ejercicios Resueltos

99

´ SOLUCION

(a) Se necesita encontrar los estimadores de θ1 y θ2 , luego por ser dos parámetros, utilizaremos el primer y segundo momento para armar un sistema de ecuaciones. Momentos poblacionales: E(X) =

θ1 + θ2 2 Z

2

θ2

E(X ) = θ1

x2

1 dx θ2 − θ1

θ22 + θ2 θ1 + θ12 = 3 Igualando momentos poblacionales con muestrales, queda el siguiente sistema de ecuaciones: θ1 + θ2 =x 2

(1)

θ22 + θ2 θ1 + θ12 = x2 3

(2)

Despejando tenemos de (1) que θ1 = 2x − θ2 y reemplazando en la segunda ecuación se obtiene:

2

(2x − θ2 ) + (2x − θ2 )θ2 +

2

4x − 4xθ2 +

θ22

+ 2xθ2 −

θ22

+

θ22

θ22

x2i n

P =3

x2i n

P =3

θ22 − 2xθ2 + 4x2 − 3x2 = 0 Resolviendo esta ecuación de segundo grado con los métodos usuales, se obtiene: p

p √ 4x2 − 16x2 + 12x2 = x ± 3x2 − 3x2 = x ± 3S 2 2 √ Luego reemplazando θˆ2 en (1) se tiene que θˆ1 = 1 − θˆ2 = 1 − x ∓ 3S 2 . θˆ2 =

2x ±

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100

Cap´ıtulo 6. Estimaci´ on (b) En el caso de aquellas distribuciones en que su dominio depende de los parámetros a estimar (en este caso la distribución es válida cuando θ1 ≤ x ≤ θ2 ), el procedimiento de estimación debe considerar un muy peque˜ no detalle como se muestra a continuación:

L(θ1 , θ2 ) =

1 I(θ ,θ ) (x1 ) . . . I(θ1 ,θ2 ) (xn ) (θ2 − θ1 )n 1 2

n Y 1 I(θ ,θ ) (xi ) = (θ1 , θ2 )n i=1 1 2

n Y 1 = I(x >θ ) (xi )I(xi θ1 ) (xi )I(max(xi ) 0

a) Se puede demostrar que E(X 2 ) = 2θ. Utilice este hecho para construir un estimador insesgado de θ con base en ΣXi2 y use las reglas para demostrar que es insesgado. b) Estime θ de las siguientes n = 10 observaciones sobre el esfuerzo vibratorio de una paleta de turbina bajo condiciones espec´ıficas: 16,88 14,23 10,23 19,87 4,59 9,40 6,66 6,51 13,68 10,95 8. Suponga que el verdadero valor promedio de crecimiento µ de un tipo de planta, durante un periodo de un a˜ no, es idéntico al de un segundo tipo, pero la varianza de crecimiento para el primer tipo es σ 2 , mientras que para el segundo tipo la varianza es 4σ 2 . Sean X1 , . . . , Xm las m observaciones independientes de crecimiento en el primer tipo (entonces, E(Xi ) = µ, V (Xi ) = σ 2 ).Sean Y1 , . . . , Yn las n observaciones independientes de crecimiento en el segundo tipo (E(Yi ) = µ, V (Yi ) = 4σ 2 ). a) Demuestre que para cualquier δ entre 0 y 1, el estimador µ b = δX + (1 − δ)Y es insesgado para µ. b) Para m y n fijas, calcule V (b µ) y luego encuentre el valor de δ que reduzca V (b µ) al m´ınimo. (Sugerencia: derive V (b µ) con respecto a δ.) 9. Se selecciona una muestra aleatoria de n cascos para ciclistas, fabricados por cierta compa˜ n´ıa. Sea X = n´ umero entre los n que tienen defectos y p = P(con defectos). Suponga que sólo se observa X, en lugar de las secuencia de las S y las F . a) Obtenga el estimador de máxima verosimilitud de p. Si n = 20 y x = 3, ¿cuál es la estimación? b) ¿Es insesgado el estimador del inciso a)? c) Si n = 20 y x = 3, ¿cuál es el EMV de la probabilidad (1 − p)5 de que ninguno de los siguientes cinco cascos que se examinen tengan defectos? 10. Se observan dos sistemas diferentes de computadora durante un total de n semanas. Represente con Xi el n´ umero de descomposturas del primer sistema durante la i-ésima semana y suponga que las Xi son independientes y obtenidas de una distribución de Poisson con parámetro λ1 . De forma similar, represente con Yi el n´ umero de descomposturas del segundo sistema durante la i-ésima semana y suponga independencia en cada Yi de Poisson, con parámetro λ2 . Obtenga los EMV de λ1 , λ2 y λ1 − λ2 . (Sugerencia: Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

104

Cap´ıtulo 6. Estimaci´ on mediante el uso de independencia, escriba la pdf conjunta (verosimilitud) de las Xi , y Yi juntas.) 11. Se determina la resistencia al corte de cada una de diez soldaduras eléctricas por puntos de prueba, obteniéndose los siguientes datos (lb/pulg 2 ): 392 376 401 367 389 362 409 415 358 375 a) Si se supone que la resistencia al corte está normalmente distribuida, estime el verdadero promedio de resistencia al corte y su desviación estándar con el método de máxima verosimilitud. b) Otra vez, suponiendo una distribución normal, estime el valor de resistencia abajo del cual 95 % de todas las soldaduras tendrán sus resistencias. (Sugerencia: ¿cuál es el percentil 95 en términos de µ y σ? Ahora utilice el principio de invarianza.) 12. Consulte el ejercicio anterior. Suponga que decidimos examinar otra soldadura por puntos de prueba. Sea X = resistencia al corte de la soldadura. Utilice la información dada para obtener el EMV de P (X ≤ 400). (Sugerencia: P (X ≤ 400) = Φ((400 − µ)/σ).) 13. Represente por X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria de la distribución de Rayleigh con la función de densidad dada en el ejercicio 7. Determine: a) El estimador de máxima verosimilitud de θ y después calcule la estimación para los datos de esfuerzo vibratorio proporcionados en ese ejercicio. ¿Es este estimador el mismo que el insesgado sugerido en el ejercicio 7? b) El EMV de la mediana de la distribución del esfuerzo vibratorio. (Sugerencia: primero exprese la mediana en términos de θ.) 14. En el tiempo t = 0 se ponen a prueba 20 componentes idénticos. La distribución de duración de cada uno es exponencial con parámetro λ. El experimentador sale entonces de la planta de prueba, la cual queda sin vigilancia, y a su regreso, 24 horas después, termina de inmediato la prueba, después de observar que y = 15 de los 20 componentes todav´ıa están en operación (es decir, 5 fallaron). Obtenga el EMV de λ. (Sugerencia: sea Y = n´ umero que resistió 24 horas. Entonces, Y ∼ Bin(n, p). ¿Cuál es el EMV de p? Ahora observe que p = P (X ≥ 24) donde Xi está distribuida exponencialmente. Esto relaciona λ con p, de modo que la primera se puede estimar una vez que la u ´ltima se haya estimado.) 15. Sea X1 , X2 , . . . , Xn una muestra aleatoria tomada de una distribución gamma con parámetros r y λ . a) Encuentre la función y el log de la verosimilitud. b) Encuentre las ecuaciones de definen los estimadores de máxima verosimilitud para r y λ. Pueden resolverse de manera expl´ıcita? c) Demuestre que el estimador de máxima verosimilitud de µ =

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

r λ

es µ ˆ = X.

Cap´ıtulo 7 Intervalos de Confianza y Test de Hip´ otesis 7.1.

Ejercicios Resueltos

EJERCICIO 1 Una compa˜ n´ıa de taxis está tratando de decidir si compra la marca A o la marca B de neumáticos para su flota de automóviles. Para estimar la diferencia entre las dos marcas, se lleva a cabo un experimento con 12 neumáticos de cada marca. Los n´ umeros se utilizan hasta que se gastan. Los resultados son: Marca Media (Km) A 36.300 B 38.100

Desv. Stand. (Km) 5.000 6.100

(a) Calcule un intervalo de confianza para µ1 − µ2 , suponiendo que las poblaciones tienen distribución normal con varianzas iguales. (b) Encuentre un intervalo de confianza para µ1 − µ2 , si se asigna un neumático de cada compa˜ n´ıa en forma aleatoria a las ruedas traseras de ocho taxis y se registran, en kilómetros las siguientes distancias: Taxi Marca A Marca B 1 34.400 36.700 2 45.500 46.800 3 36.700 37.700 4 32.000 31.100 5 48.400 47.800 6 32.800 36.400 7 38.100 38.900 8 30.100 31.500 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

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Cap´ıtulo 7. Intervalos de Confianza y Test de Hip´ otesis Asuma que las diferencias de las distancias están distribuidas aproximadamente en forma normal. (c) Determine un intervalo de confianza de 90 % para σ22 /σ12 . ¿Qué puede concluir? ´ SOLUCION Tenemos que nA = nB = 12.

(a) I.C para µ1 − µ2 suponiendo varianzas iguales y desconocidas es el siguiente:

r (X−Y )−Sp

1 1 + t(n +n −2,1− α2 ) ≤ µ1 −µ2 ≤ (X−Y )+Sp n1 n2 1 2

r

1 1 + t(n +n −2,1− α2 ) n1 n2 1 2

Luego necesitamos Sp2 =

De aqu´ı obtenemos Sp =

√

(n1 −1)S22 +(n2 −1)S12 n1 +n−2−2

=

(12−1)50002 +(12−1)61002 12+12−2

=

684310000 22

=

31105000

31105000 = 5577,18.

∴ el I.C. queda r (36300−38100)−5577,18

1 1 + t ≤ µ1 −µ2 ≤ (36300−38100)+5577,18 12 12 (22;0,975)

r

1 1 + t 12 12 (22;0,975)

Reemplazando t(22;0,975) = 2,0738, el I.C. al 95 % de Confianza para µ1 − µ2 es: −6521,94 ≤ µ1 − µ2 ≤ 2921,94 (b) Lo que nos piden es un I.C. para datos pareados. Primero que todo tenemos que calcular las diferencias para cada par de datos como sigue: Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

7.1 Ejercicios Resueltos

107 Taxi Marca A Marca B 1 34.400 36.700 2 45.500 46.800 3 36.700 37.700 4 32.000 31.100 5 48.400 47.800 6 32.800 36.400 7 38.100 38.900 8 30.100 31.500

di -2300 -1300 -1000 900 600 -3600 -800 -1400

Un I.C. para µ1 − µ2 esta definido como: SD SD d − √ t(n−1;1− α2 ) ≤ µ1 − µ2 ≤ d + √ t(n−1;1− α2 ) n n donde, d = X A − X B = 37250 − 38362,5 = −1112,5

2 SD

Pn =

− d)2 n−1

i=1 (di

luego 2 SD =

⇒

14808750 = 2115535,71428 7 SD = 1454,488127

Ocupando un α = 0,05 el valor para t(n−1;1− α2 ) es t(7;0,975) = 2,3646. Reemplazando el I.C. para µ1 − µ2 queda: −111,5 −

1454,4881 1454,4881 √ √ · 2,3646 ≤ µ1 − µ2 ≤ −111,5 + · 2,3646 8 8

es decir, un I.C. al 95 % para µ1 − µ2 es −2328,47 ≤ µ1 − µ2 ≤ 103,47 (c) Un I.C. para σ22 /σ12 al 90 % esta determinado por: Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

108

Cap´ıtulo 7. Intervalos de Confianza y Test de Hip´ otesis

S22 α F S12 n1 −1;n2 −1−; 2

≤

σ22 σ12

≤

S22 α F S12 n1 −1;n2 −1;1− 2

61002 F 50002 11;11;0,05

≤

σ22 σ12

≤

61002 F 50002 11;11;0,95

61002 50002

≤

σ22 σ12

≤

≤

σ22 σ12

≤

· 0,3548

0,528

61002 50002

· 2,82

4,1973

Como el 1 se encuentra en el I.C. no se rechaza que σ12 = σ22 . EJERCICIO 2 Dos tipos diferentes de aleación, A y B, se han utilizado para fabricar espec´ımenes experimentales de un peque˜ no eslabón de tensión, empleado en cierta aplicación de ingenier´ıa. Se determinó la resistencia máxima (en ksi) de cada espécimen y los resultados se resumen en la siguiente tabla de distribución de frecuencia.

26-30 30-34 34-38 38-42

A B 6 4 12 9 15 19 7 10 40 42

Calcule un intervalo de confianza de 95 % para la diferencia entre las proporciones reales de todos los espec´ımenes de aleaciones A y B que tengan una resistencia máxima de por lo menos 34 ksi. ´ SOLUCION Un I.C para las diferencias de proporciones esta definido por: s (b pA −b pB )−

pbA (1 − pbA ) pbB (1 − pbB ) + ×Z1− α2 ≤ pA −pB ≤ (b pA −b pB )+ n1 n2

s

pbA (1 − pbA ) pbB (1 − pbB ) + ×Z1− α2 n1 n2

Mirando en la tabla los rangos, sumamos las frecuencias de los rangos que cumplen tener una resistencia mayor de 34 ksi, luego reemplazando pbA = 22 , pbB = 29 y Z0,975 = 1,96. 40 42 ∴ el I.C. al 95 % para pA − pB es: −0,348 ≤ pA − pB ≤ 0,067 Como el 0 ∈ al Intervalo, se puede decir con un 95 % de confianza que pA = pB .

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7.1 Ejercicios Resueltos

109

EJERCICIO 3 Una firma decide estudiar una muestra aleatoria de 20 proyectos que envió para ser evaluados, tanto a consultores externos, como a su propio departamento de proyectos. Las variables medidas fueron X: no de d´ıas que demoro la evaluación. Y : no de variables consideradas en la evaluación. Z: Consultor al que se le envió el proyecto   −1 ; Depto. de Evaluación 0 ; Robani Consultores Z=  1 ; Tanaka Ltda. W : Costo de la evaluación (en U.F.) Los resultados de este muestreo son: No X Y Z W

1 4 3 -1 40

2

3

2 1 -1 30.5

8 6 0 80.3

4 10 8 0 68.5

5

6

7

8

9

1 3 0 24.7

3 2 0 40.5

8 6 1 90.6

3 2 0 38.5

2 1 0 50.4

10 2 1 1 50.2

11 4 4 -1 60.1

12 4 4 -1 60.8

13 5 4 0 70.9

14 6 7 1 80

15 7 10 1 90

16 2 3 -1 30

17 1 2 -1 27

18 3 4 0 40

19 4 5 1 50

20 9 10 -1 40

Explicitando los supuestos necesarios: (a) Estime con un 90 % de confianza el costo medio de los proyectos. (b) Estime con un 90 % de confianza la proporción de proyectos cuyo costo fue inferior a 50 U.F. dado que no involucraron más de 6 variables y que fueron resueltos en un tiempo superior a 2 d´ıas. (c) El Depto. de control afirma que el costo medio de enviar los proyectos a asesores externos es significativamente mayor que el de evaluarlos all´ı mismo. ¿Qué concluye usando α = 0,05? (d) Tanaka Ltda. Afirma que la proporción de proyectos que ellos eval´ uan, que toman más tiempo de más de 4 d´ıas, no es superior a la proporción de proyectos que eval´ ua Robani Consultores, que toman un tiempo más de 4 d´ıas, no es superior a la proporción de proyectos que eval´ ua Robani Consultores, que toman un tiempo más de 4 d´ıas. Concluya si la afirmación de Tanaka Ltda. es correcta. (Use α = 0,01) ´ SOLUCION

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110

Cap´ıtulo 7. Intervalos de Confianza y Test de Hip´ otesis (a) IC(µW ) = W ∓ tn−1;1− α2 S√Wn , donde α = 5 % = 0,05 → t20−1;1− 0,05 = t19;0,975 = 2,093 2

Luego con 2 W SW SW n 53,15 20,948 438,828 20

tenemos que el IC(µW ) es: 20,978 IC(µW ) = 53,15 ∓ 2,093 · √ 20 ⇒ µW ∈ (43,346; 62,953) (b) IC(p) = pˆ ∓ Z1− α2 ·

q

pˆqˆ , n

donde α = 10 % = 0,1 → Z1− 0,1 = Z0,95 = 1,645 2

luego con pˆ qˆ n 1 1 8 2 2 tenemos que el IC(p) es: IC(p) =

0,5 · 0,5 1 ∓ 1,645 · 2 8

⇒ p ∈ (0,209; 0,790) (c) Definamos primero: E: Asesores externos L: Asesores locales (internos) Luego tenemos la siguiente tabla resumen n X S S2 E 13 59,584 21,629 467,838 L 7 41,2 14,058 197,636 Sea µE : costo medio asesores externos µL : costo medio asesores locales (internos) Las hipótesis son H0 : µ E = µ L

vs

H 1 : µE > µ L

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

7.1 Ejercicios Resueltos

111

primero haremos un test de varianzas para determinar como son éstas y as´ı saber como testamos las medias. Las hipótesis son: H0 :

σE2 =1 σL2

vs

H1 :

σE2 6= 1 σL2

las cuales se dociman mediante el estad´ıstico F: F =

SE2 = 2,367 SL2

Y se rechaza H0 si: F > F1 ∨ F < F2 donde F1 y F2 considerando α = 0,05 son: F1 = FnE −1;nL −1;1− α2 = F12;6;0,975 = 5,37 F2 = FnE −1;nL −1; α2 = F12;6;0,025 =

1 F6;12;0,975

=

1 = 0,268 3,73

Como F (2.367) no es mayor que F1 ni menor que F2 , no existe suficiente evidencia bajo un 95 % de confianza para rechazar H0 , es decir, se pueden considerar las varianzas desconocidas pero iguales. Ahora hacemos un test de diferencias de medias, donde el estad´ıstico Tc es: Tc =

XE − XL q Sp n1E + n1L

donde

Sp2 =

=

(nE − 1)SE2 + (nL − 1)SL2 nE + nL − 2 12 · 467,8382 + 6 · 197,6362 18

= 158934,925

⇒ Sp = 398,666 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

112

Cap´ıtulo 7. Intervalos de Confianza y Test de Hip´ otesis Reemplazando el estad´ıstico queda: Tc =

59,584 − 41,2 q 1 398,666 · 13 +

= 0,098 1 7

Luego se rechaza H0 si Tc > tν,1−α . donde tν,1−α es: tν,1−α = tnE +nL −2,1−α = t18;0,95 = 1,734 como Tc no es mayor que tν,1−α , no existe suficiente evidencia para rechazar H0 , luego la opinión del Depto. no es correcta. (d) La hipótesis para este caso es la siguiente: H0 : p T ≤ p R

vs

H1 : pT > p R

necesitaremos la siguiente información pˆT pˆR nT nR qˆT qˆR 0,8 0,25 5 8 0,2 0,75 El estadistico Zc es Zc = q

pˆT − pˆR pˆT ·ˆ qT nT

+

pˆR ·ˆ qT nR

=q

0,8 − 0,25 0,8·0,2 5

+

= 2,335

0,25·0,75 8

Se rechaza H0 si Zc > Z1−α . Z1−α = Z1−0,01 = Z0,99 = 2,325 Como Zc > Z0,99 , se rechaza H0 , por lo tanto Tanaka Ltda tiene razón. EJERCICIO 4 La consejal´ıa de la Juventud de un Ayuntamiento maneja el dato de que la edad a la que los hijos se independizan de sus padres es una variable aleatoria normal con media 29 a˜ nos. Aunque la desviación estándar no plantea dudas, se sospecha que la media ha aumentado, sobre todo por el poco apoyo a la pol´ıtica de ayuda al empleo que ha llevado a cabo el Ayuntamiento. As´ı de un estudio reciente sobre 100 jóvenes que se acaban de independizar, se ha obtenido una media de 30.7 a˜ nos de edad y una desviación estándar de 3 a˜ nos. (a) Con un nivel de significancia del 1 %, ¿es correcta la sospecha que se tiene, acerca de la edad media en que se independizan los jóvenes? Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

7.1 Ejercicios Resueltos

113

(b) Se sabe que el porcentaje de personas que corresponden al sexo femenino y se independizan antes de los 29 a˜ nos, no supera el 45 %. Si en la muestra, 60 jóvenes son mujeres, y 35 de ellas cumplen con las caracter´ısticas antes expuestas, ¿Qué se puede concluir con un nivel de significancia del 5 %?. ´ SOLUCION Rescatemos que n = 100, x¯ = 30,7 y s = 3 (a) La hipótesis adecuada para esta conjetura es:

H0 : µ ≥ 29

H1 : µ < 29

Debemos hacer una prueba para la media, con σ 2 desconocido, ocupando el estad´ıstico :

T =

30,7 − 29 x¯ − µ0 √ = √ = 5,66 s/ n 3/ 100

Ahora, por las caracter´ısticas de la hipótesis, rechazamos H0 , si T < −tn−1,1−α donde el −tn−1,1−α se obtiene buscando en una tabla t-Student −t99,0,99 (α = 0,01) el cual resulta -2.36. Por lo tanto, como: 5,66 ≮ −2,36 No existe evidencia suficiente en los datos para rechazar H0 , es decir, la edad media de independencia en los jóvenes ha aumentado. (b) Rescatando, tenemos que las mujeres que se independizan antes de los 29 a˜ nos no superan el 45 %, lo cual puede reescribirse en la hipótesis, de la siguiente manera:

H0 : p ≤ 0,45

H1 : p > 0,45

Lo cual corresponde a un test de hipótesis para la proporción, en donde se ocupa el estad´ıstico :

pˆ − p0

Z=p

p0 (1 − p0 )/n

Pero nos dicen que de 60 mujeres, 35 cumplen con que se independizan antes de los 29 35 a˜ nos, luego pˆ = 60 = 0,5833. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

114

Cap´ıtulo 7. Intervalos de Confianza y Test de Hip´ otesis Por lo tanto, queda que el estad´ıstico es:

Z=p

0,5833 − 0,45 0,45(1 − 0,45)/60

= 2,07

Ahora, por las caracter´ısticas de la hipótesis, rechazamos H0 , si Z > Z1−α donde el Z1−α se obtiene buscando en una tabla Normal Z0,95 (α = 0,05) el cual resulta 1.64. Por lo tanto, como: 2,07 > 1,64 existe evidencia suficiente en los datos para rechazar H0 , es decir, la proporción de mujeres que se independiza antes de los 29 a˜ nos, supera el 45 %.

EJERCICIO 5 En un estudio sobre hábitos de alimentación en pel´ıcanos, se marcan 25 hembras y 11 machos, y se les rastrea por radio. La variable de interés es la distancia (en mts.) que recorren volando en una pasada, en busca de alimento. Se obtuvieron estos resultados: Hembras: Distancia Media 205 mts. Desv. Estándar 100 mts. Machos: Distancia Media 135 mts. Desv. Estándar 90 mts. ¿Puede afirmarse que el comportamiento es diferente, respecto a la distancia media recorrida? ´ SOLUCION Resumiendo tenemos: nh = 25 x¯h = 205 sh = 100 nm = 11 x¯m = 135 sm = 90 Para contestar la pregunta, debemos hacer un test de hipótesis para la diferencia de medias, es decir: H0 : µh − µm = 0 H1 : µh − µm 6= 0 Pero para esto necesitamos saber el comportamiento de las varianzas en ambas poblaciones. Luego debemos probar si son iguales o no. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

7.1 Ejercicios Resueltos

115

H0 :

σh2 =1 2 σm

H1 :

σh2 6= 1 2 σm

Esta hipótesis, la rechazamos si: s2h > Fnh −1,nm −1,1− α2 s2m

s2h < Fnh −1,nm −1, α2 s2m

o

con α = 0,05, luego reemplazando nos preguntamos: 1002 > F24,10,0,975 ? 902

o

1002 < F24,10,0,025 ? 902

1 donde F24,10,0,975 = 3,36 y F24,10,0,025 = F10,24,0,975 = 0,3788, luego comparando, observamos que las desigualdades no se dan, por lo tanto no existe evidencia en los datos para rechazar que las varianzas de ambas poblaciones son iguales.

Luego ahora docimamos nuestra hipótesis original, ya sabiendo que las varianzas poblaciones son iguales pero desconocidas, con el estad´ıstico : T = donde

s Sp =

x¯ − x¯m qh Sp n1h + n1m

(nh − 1)s2h + (nm − 1)s2m = 97,165 nh + nm − 2

Luego reemplazando en el estad´ıstico, tenemos que: T =

205 − 135 q 1 97,165 25 +

= 1,99 1 11

Ahora, H0 la rechazamos si: x¯ − x¯m qh > tν,1− α2 Sp n1h + n1m

o

x¯ − x¯m qh < −tν,1− α2 Sp n1h + n1m

con ν = nh + nm − 2, luego tν,1− α2 = t34,0,975 = 2,03. Luego haciendo las comparaciones respectivas, concluimos que no existe evidencia en los datos para rechazar H0 , es decir, las distancias medias recorridas para ambos sexos, en los pelicanos no difieren significativamente. EJERCICIO 6 Se investiga el diámetro de las varillas de acero fabricadas por dos máquinas diferentes de extrusión. Para ello se toman dos muestras aleatorias de tama˜ no n1 = 15 y n2 = 18; 2 las medias y las varianzas muestrales son x¯ = 8,73, S1 = 0,35, x¯2 = 8,68 y S22 = 0,4, respectivamente. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

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Cap´ıtulo 7. Intervalos de Confianza y Test de Hip´ otesis (a) Suponga que σ12 = σ22 . Construya un intervalo de confianza bilateral del 95 % para la diferencia en el diámetro promedio de la varilla. (b) Construya un intervalo de confianza bilateral del 95 % para el cuociente de las varianzas σ2 poblacionales σ12 . Parece razonable concluir que las varianzas son iguales? 2

(c) Pruebe la hipótesis H0 : µ1 = µ2 versus H1 : µ1 6= µ2 . Utilice α = 0,05 y obtenga conclusiones. (d) Calcule el valor p aproximado para esta prueba. ´ SOLUCION (a) Para el caso dado, tenemos el siguiente pivote: (¯ x − y¯) − (µ1 − µ2 ) q ∼ tn1 +n2 −2 Sp n11 + n12 donde

(n1 − 1)S12 + (n2 − 1)S22 n1 + n2 − 2 Por lo tanto reemplazando los datos entregados, en el pivote y en Sp2 correctamente, se tiene que Sp2 = 0,38, t15+18−2,1− α2 = 2,042 y r p 1 1 IC(µ1 − µ2 ) = 8,73 − 8,68 ± 0,38 + · 2,042 15 18 Luego se obtiene que con un 95 % de confianza la diferencia de los diámetros promedios de las varillas se encuentra en Sp2 =

µ1 − µ2 ∈ [−0,39, 0,49] Note que el 0 ∈ al intervalo, luego esto quiere decir que las medias se pueden considerar iguales con un 95 % de confianza. (b) Para el caso dado, tenemos el siguiente pivote: S12 /σ12 ∼ Fn1 −1,n2 −1 S22 /σ22 Luego el intervalo queda de la forma 2 2 S2 S22 σ2 IC = Fn −1,n2 −1,α/2 , 2 Fn1 −1,n2 −1,1−α/2 σ12 S12 1 S1 Luego reemplazando se tiene σ22 ∈ [0,393, 3,109] σ12 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

7.1 Ejercicios Resueltos

117

Note que el 1 pertenece al intervalo, luego con un 95 % de confianza, se puede decir que las varianzas son iguales. (c) Para tal test de hipótesis y considerando los resultados de las letra (b), el estad´ıstico de prueba es

T =

x¯ − y¯ q Sp n11 +

1 n2

∼ tn1 +n2 −2

El cual rechaza la hipótesis nula si T > tn1 +n2 −2,1−α/2 o bien T < −tn1 +n2 −2,1−α/2 . Luego reemplazando y evaluando se tiene que

T =

x¯ − y¯ q Sp n11 +

=√

1 n2

8,73 − 8,63 q 1 1 0,38 15 + 18

= 0,23

Luego como T ≯ 2,039 y T ≮ −2,039, no existe evidencia presente en los datos para rechazar H0 . (d) El V alor−p = P (Z > 0,23) = 0,492 y como éste es mayor que 0.05 (α), no se rechaza H0 . EJERCICIO 7 Los siguientes datos fueron recabados en un experimento dise˜ nado para verificar si existe diferencia sistemática en los pesos obtenidos con dos balanzas diferentes.

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Cap´ıtulo 7. Intervalos de Confianza y Test de Hip´ otesis Peso en Gramos Roca Balanza 1 Balanza 2 1 11.23 11.27 2 14.36 14.41 3 8.33 8.35 4 10.50 10.52 5 23.42 23.41 6 9.15 9.17 7 13.47 13.52 8 6.47 6.46 9 12.40 12.45 10 19.38 19.35

Pruebe si la diferencia de las medias de los pesos obtenidos con las balanzas es significativa. ´ SOLUCION En este caso lo que tenemos son muestras pareadas y lo que se pide es testear las siguientes hipótesis H 0 : µx = µy

vs H1 : µx 6= µy

Cuyo estad´ıstico de prueba es

T =

n X

donde

2 SD

=

X −Y √ ∼ tn−1 SD / n n X

¯2 (di − d)

i=1 n−1

, di = Xi − Yi y d¯ =

di

i=1 n

.

el cual rechaza H0 si T > tn−1,1−α/2 o bien si T < −tn−1,1−α/2 Luego tenemos que 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i Xi − Yi −0,04 −0,05 −0,02 −0,02 0,01 −0,02 −0,05 0,01 −0,05 0,03 2 de donde se obtiene que d¯ = −0,02 y SD = 0,028672 Luego el estad´ıstico queda

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7.1 Ejercicios Resueltos

119

T =

=

X −Y √ SD / n 12,871 − 12,891 √ 0,0286/ 10

= −2,2114

Por lo tanto, como T ≯ 2,26 = t9,0,975 y T ≮ −2,26 = −t9,0,975 , no existe evidencia en los datos para rechazar H0 . EJERCICIO 8 De dos procesos de producción de plástico se seleccionaron de cada 10 espec´ımenes en forma independiente. Las mediciones de resistencia fueron:

Plástico A 3.03 5.53 5.6 9.3 9.92 12.51 12.95 15.21 16.04 16.84 Plástico B 3.19 4.26 4.47 4.53 4.67 4.69 12.87 6.79 9.37 12.75

Utilice la teor´ıa normal para testear la hipótesis que no existe diferencia entre los procesos de producción. ´ SOLUCION Bajo la teor´ıa de Normalidad tenemos: H 0 : µA = µB

vs H1 : µA 6= µB

lo cual se testea con el estad´ıstico T =

XA − XB q ∼ tnA +nB −2 Sp n1A + n1B

el cual rechaza H0 si T > tnA +nB −2,1−α/2 o bien si T < −tnA +nB −2,1−α/2 .

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120

Cap´ıtulo 7. Intervalos de Confianza y Test de Hip´ otesis Luego reemplazando tenemos que Sp =

√

T =

=

18,096 = 4,25 y por lo tanto

XA − XB q Sp n1A + n1B 10,693 − 6,75 p 4,25 2/10

= 2,075

Finalmente como T = 2,075 ≯ 2,10 = t0,975,18 y T = 2,075 ≮ −2,10 = −t0,975,18 , no existe evidencia presente en los datos para rechazar H0 , es decir, con un 95 % de confianza, no existe diferencia entre los procesos. EJERCICIO 9 Los siguientes datos se refieren a los efectos de un fármaco en la presión sangu´ınea de pacientes hipertensos. Los valores corresponden a la presión sistólica de los pacientes después del per´ıodo placebo y después del tratamiento con la droga (se realizó una prueba cruzada, actuando cada paciente como su propio control). Placebo 211 210 210 191 196 190 191 177 173 170 156 Droga 181 172 196 203 167 161 178 160 149 119 163 ¿Sugieren estos datos que la nueva droga reduce significativamente el sistólico de la presión sangu´ınea?. Use α = 0,05. ´ SOLUCION Bajo la teor´ıa de normalidad tenemos que las hipótesis a testear son: H 0 : µP ≤ µD

vs H1 : µP > µD

Considerando que tenemos observaciones pareadas, es decir, dos observaciones a cada individuo (antes y después). Por lo tanto el estad´ıstico a utilizar es:

T =

donde d = X A − X B y

2 SD

=

Pn

i=1 (di −d)

n−1

2

x¯P − x¯D √ ∼ tn−1 SD / n

= 340,77, el cual rechaza H0 , si T > tn−1,1−α .

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7.1 Ejercicios Resueltos

121

T =

=

x¯P − x¯D √ SD / n 188,6 − 168,1 √ 18,46/ 11

= 3,68

Por lo tanto como T = 3,68 > 1,812 = t10,0,95 , se rechaza H0 , es decir, con un 95 % de confianza la nueva droga reduce la presión. EJERCICIO 10 Un instructor de perros está entrenando a 27 animales para que obedezcan cierto mandato. El instructor utiliza dos técnicas de entrenamiento diferentes, una en la que recompensa y alimenta (I), y otra en la que no se da recompensa alguna (II). La tabla siguiente muestra el n´ umero de sesiones de obediencia que fueron necesarias antes de que un can obedeciera el mandato. ¿Tiene el instructor la evidencia suficiente para aseverar que el método de la recompensa requerirá, en promedio, menos tiempo de entrenamiento?. Plantee las hipótesis, llegue a conclusiones utilizando un nivel de significancia de α = 0,05. Entrenamiento I Entrenamiento II

29 27 32 40 44 33

25 26

27 31

28 23 31 29 34 31

37 38

28 33

22 42

24 28 31 35

34

´ SOLUCION Tenemos que son dos muestras independientes, y por simplicidad asumiremos que las varianzas poblacionales de cada una de las muestras son iguales. Luego las hipótesis quedan: H0 : µI ≥ µII

vs H1 : µI < µII

Las cuales se testean con el estad´ıstico

T =

q

2 (n −1)S 2 +(n −1)SII

I II I donde Sp = nI +nII −2 en este caso tenemos

X I − X II q ∼ tnI +nII −2 Sp n1I + n1II

= 5, el cual rechaza H0 cuando T < −tnI +nII −2,1−α . Luego

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122

Cap´ıtulo 7. Intervalos de Confianza y Test de Hip´ otesis

T =

X I − X II q Sp n1I + n1II

28,4 − 34,7 = q 1 1 5 15 + 12 = −3,25 Por lo tanto como T = −3,25 < −1,7 = t25,0,05 se rechaza H0 , es decir, el instructor tiene evidencia para aseverar que el método de la recompensa, requiere menos sesiones de entrenamiento. EJERCICIO 11 En un proceso de ba˜ no qu´ımico utilizado para grabar tarjetas de circuito impreso, se están comparando dos diferentes catalizadores para determinar si requieren diferentes tiempos de inmersión para remover cantidades idénticas de material fotorresistente. Se efectuaron 12 ba˜ nos con el catalizador 1, resultando un tiempo de inmersión medio de x1 = 24,6 min. y una desviación estándar de s1 = 0,85 min.. Con el catalizador 2 se efectuaron 15 ba˜ nos, siendo el tiempo de inmersión medio de x2 = 22,1 min. y una desviación estándar de s2 = 0,98 min. Se desea determinar si hay diferencia significativa en los tiempos de inmersión al utilizar un catalizador en especial. Para responder esto construya un intervalo de confianza al 95 % de confianza. Considere que no se conoce el comportamiento de las varianzas poblacionales. ´ SOLUCION Primero se debe concluir el comportamiento de las varianzas para decidir que tipo de intervalo hacer. Para ello se construirá un intervalo de confianza para el cuociente de varianzas al 95 % de confianza. s22 σ22 s22 F ≤ ≤ F11,14,0,975 11,14,0,025 s21 σ12 s21 0,982 σ12 0,982 · 0,2977 ≤ 2 ≤ · 3,094 0,852 σ2 0,852 σ12 ≤ 4,112 σ22 Luego con un 95 % de confianza, puesto que el intervalo incluye la unidad, podr´ıamos no requerir que las varianzas de los tiempos de inmersión para los dos catalizadores sean diferentes. 0,395 ≤

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7.1 Ejercicios Resueltos

123

Luego debemos hacer un intervalo de confianza para diferencia de medias, con varianzas desconocidas pero iguales. Usando Minitab:

Two-Sample T-Test and CI Sample 1 2

N 12 15

Mean 24,600 22,100

StDev 0,850 0,980

SE Mean 0,25 0,25

Difference = mu (1) - mu (2) Estimate for difference: 2,50000 95% CI for difference: (1,76213; 3,23787) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 6,98 Both use Pooled StDev = 0,9251

P-Value = 0,000

DF = 25

De aqu´ı concluimos con 95 % de confianza que el catalizador 1 requiere un tiempo de inmersión, que está entre 1.76 min. y 3.24 min., más largo que el requerido por el catalizador 2.

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124

Cap´ıtulo 7. Intervalos de Confianza y Test de Hip´ otesis

7.2.

Ejercicios Propuestos

1. Un fabricante produce anillos para los pistones de un motor de automóvil. Se sabe que el diámetro del anillo está distribuido aproximadamente de manera normal, y que tiene una desviación estándar σ = 0,001 mm. Una muestra aleatoria de 15 anillos tiene un diámetro promedio de X = 74,036 mm. a) Construya un IC bilateral del 99 % para el diámetro promedio del anillo. b) Construya un l´ımite inferior de confianza del 95 % para el diámetro promedio del anillo. 2. Se utilizan dos máquinas para llenar botellas de plástico con detergente para máquinas lavaplatos. Se sabe que las desviaciones estándar del volumen de llenado son σ1 = 0,10 onzas de l´ıquido y σ2 = 0,15 onzas de l´ıquido para las dos máquinas, respectivamente. Se toman dos muestras aleatorias, n1 = 12 botellas de la máquina 1 y n2 = 10 botellas de la máquina 2. Los vol´ umenes promedio de llenado son x1 = 30,87 onzas de l´ıquido y x2 = 30,68 onzas de l´ıquido. a) Construya un IC bilateral del 90 % para la diferencia entre las medias del volumen de llenado. b) Construya un IC bilateral del 95 % para la diferencia entre las medias del volumen de llenado. Compare el ancho de este intervalo con el ancho del cálculo en el inciso a). c) Construya un IC superior del 95 % para la diferencia de medias del volumen del llenado. 3. Se prueban dos fórmulas diferentes de un combustible oxigenado para motor en cuanto al octanaje. La varianza del octanaje para la fórmula 1 es σ12 = 1,5, mientras que para la fórmula 2 es σ22 = 1,2. Se prueban dos muestras aleatorias del tama˜ no n1 = 15 y n2 = 20. Los octanajes promedios observados son x1 = 89,6 y x2 = 92,5. Construya un IC bilateral del 95 % para la diferencia en el octanaje promedio. 4. Considere la situación sobre pruebas de octanaje descrita en el ejercicio anterior. ¿Qué tama˜ no de muestra se requiere para cada población si se desea tener una confianza del 95 % de que el error al estimar la diferencia entre las medias de octanaje sea menor que 1? 5. Se piensa que la concentración del ingrediente activo de un detergente l´ıquido para ropa, es afectada por el tipo de catalizador utilizado en el proceso de fabricación. Se sabe que la desviación estándar de la concentración activa es de 3g/l sin importar el tipo de catalizador utilizado. Se realizan diez observaciones con cada catalizador, y se obtiene los datos siguientes: Catalizador1 : 57,9 66,2 65,4 65,4 65,2 62,6 67,6 63,7 67,2 71,0 Catalizador2 : 66,4 71,7 70,3 69,3 64,8 69,6 68,6 69,4 65,3 68,8

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7.2 Ejercicios Propuestos

125

a) Encuentre un IC del 95 % para la diferencia entre las medias de las concentraciones activas para los dos catalizadores. b) ¿Existe alguna evidencia que indique que las concentraciones activas medias dependen del catalizador utilizado? 6. Un ingeniero civil hace pruebas con la resistencia a la comprensión del concreto. Para ello elimina 12 espec´ımenes y obtiene los siguientes datos 2216 2237 2249 2204 2225 2301 2281 2263 2318 2255 2275 2295 a) Construya un IC bilateral del 95 % para la resistencia promedio. b) Construya un IC inferior del 95 % para la resistencia promedio. 7. La pintura para autopistas se surte en dos colores: blanco y amarillo. El interés se centra en el tiempo de secado de la pintura; se sospecha que la pintura de color amarillo se seca más rápidamente que la blanca. Se obtienen mediciones de ambos tipos de pintura. Los tiempos de secado (en minutos) son los siguientes: Blanca : 120 132 123 122 140 110 120 107 Amarilla : 126 124 116 125 109 130 125 117 129 120 a) Encuentre un IC del 95 % para la diferencia entre los tiempos de secado promedio, suponiendo que las desviaciones estándar de éstos son iguales. Suponga que el tiempo de secado está distribuido de manera normal. b) ¿Existe alguna evidencia que indique que la pintura amarilla se seca más rápidamente que la blanca? 8. Considere los datos del ejercicio 6). Construya lo siguiente. a) Un IC bilateral de 99 % para σ 2 . b) Un IC inferior del 99 % para σ 2 . c) Un IC superior del 99 % para σ 2 . 9. Considere los datos del ejercicio 5). Encuentre un IC del 95 % para el cuociente de las dos varianzas σ12 /σ22 . ¿Parece razonable concluir que las dos varianzas son iguales? 10. Se toma una muestra de 50 cascos de suspensión utilizados por los corredores de motocicleta y los conductores de automóviles de carrera, y se sujetan a una prueba de impacto. En 18 de los cascos se observa cierto da˜ no. a) Encuentre un IC bilateral del 95 % para la verdadera proporción de cascos de este tipo que demostrarán da˜ no como resultado de la prueba. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

126

Cap´ıtulo 7. Intervalos de Confianza y Test de Hip´ otesis b) Al utilizar la estimación puntual de p obtenida a partir de la muestra preliminar de 50 cascos, ¿cuántos cascos deben probarse para tener una confianza del 95 % que el error al estimar el verdadero valor de p sea menor que 0.02? c) ¿De qué tama˜ no debe ser la muestra si se desea tener una confianza de al menos 95 % de que el error al estimar p sea menor que 0.02, sin importar el valor verdadero de p? 11. Se analiza la fracción de productos defectuosos producidos por dos l´ıneas de producción. Una muestra aleatoria de 100 unidades provenientes de la l´ınea 1 contiene 10 que son defectuosos, mientras que una muestra aleatoria de 120 unidades de la l´ınea 2 tiene 25 que son defectuosas. Encuentre un IC del 99 % para la diferencia en fracciones de productos defectuosos producidos por las dos l´ıneas. 12. Un fabricante de gasolinas mide el octanaje de sus productos. A continuación se presentan los datos obtenidos de 30 muestras tomadas del proceso de producción. Encuentre un intervalo de tolerancia del 95 % que contenga al menos el 95 % de los valores de octanaje para la gasolina producida por ese proceso. 86,98 87,10 87,10 86,94 86,91

86,90 87,13 86,91 86,92 86,83

86,94 86,92 87,03 87,16 87,19

87,11 87,04 86,91 87,08 86,81

86,80 86,92 87,05 87,13 86,98

87,02 87,13 86,95 86,84 86,97

13. Supóngase que conocemos que un saco podr´ıa contener 1 bola roja y 4 bolas blancas o, alternativamente, 4 bolas rojas y 1 blanca. Una bola es extra´ıda, y la hipótesis que una bola es roja y 4 bolas son blancas puede ser no rechazada si y solo s´ı la bola extra´ıda es blanca. (a) Encontrar α y β (b) Cuales son los valores de α y β si la alternativa es 3 bolas rojas y 2 bolas blancas 14. Supóngase que sabemos que un saco podr´ıa contener 2 bolas rojas y 3 blancas (la hipótesis a ser testeada) o 3 bolas rojas y 2 blancas (la alternativa). Dos bolas son extra´ıdas sin reemplazo, y la hipótesis es rechazada si y solo si ambas bolas extra´ıdas son rojas. Hallar α y β 15. Una caja contiene 10 bolas, y queremos testear la hipótesis que 2 bolas son rojas y 8 son blancas frente a la alternativa que más de 2 bolas son rojas. Extraemos 2 bolas sin reemplazo y rechazamos la hipótesis si y solo si ambas bolas extra´ıdas son rojas. a) Hallar a b) Hallar b(q) y graficar la función potencia (a) Hallar α (b) Hallar β(θ) y graficar la función potencia 16. ¿Si una moneda es tirada 5 veces y sale 5 veces cara, podemos concluir que la moneda no es honesta? Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

7.2 Ejercicios Propuestos

127

17. Considere el siguiente caso no matemático como una prueba de hipótesis. En la escena de un accidente grave, un médico contrasta la hipótesis nula “esta v´ıctima está viva”. (a) Establezca cuidadosamente el significado de los cuatro resultados posibles indicados en la tabla 1. (b) Decida sobre la gravedad de los errores posibles. (c) Si α y β pudiesen ser controlados estad´ısticamente, ¿qué conjunto de probabilidades ser´ıan preferibles para la v´ıctima? I. α=0.001 y β=0.10 II. α=0.05 y β=0.05 III. α=0.10 y β=0.001 Tabla 1 Hipótesis Nula Decisión Verdadera Falsa No se rechaza Ho Decisión correcta Error tipo II Se rechaza Ho Error tipo I Decisión correcta 18. Un fabricante de fibras textiles está investigando una nueva fibra para tapicer´ıa, la cual tiene una elongación media por hilo de 12 kg. con una desviación estándar de 0.5 kg. La compa˜ n´ıa desea probar la hipótesis H0 : µ < 12, utilizando para ello una muestra aleatoria de 4 espec´ımenes. 19. Un consumidor de cierto producto acusa al fabricante diciendo que más del 20 % de las unidades producidas eran defectuosas. Para confirmar su acusación se utilizó una muestra de tama˜ no 50 donde el 27 % de los art´ıculos eran defectuosos ¿Qué concluye usted? 20. Una fábrica de hamburguesas inició un proceso de revisión de los estándares de calidad de sus productos. Dichos estándares establecen ciertas dimensiones para el diámetro de sus hamburguesas, el diámetro medio es de 13.9 cm con una desviación estándar estimada de 0.9 cm. Un estándar de calidad establece que el diámetro medio de las hamburguesas debe ser de 14.5 cm. ¿Hay alguna evidencia en los datos que las hamburguesas tienen un diámetro incorrecto? ¿Qué supuesto utilizó? 21. Se utilizan dos máquinas para llenar botellas de plástico con un volumen neto de 16.0 onzas. Las distribuciones de los vol´ umenes de llenado pueden suponerse normales, con desviaciones estándar σ1 = 0,020 y σ2 = 0,025 onzas. Un miembro del grupo de ingenier´ıa de calidad sospecha que el volumen neto de llenado de ambas máquinas es el mismo, sin importar si éste es o no de 16 onzas. De cada máquina se toma una muestra aleatoria de 10 botellas. Máquina 1: 16,03 16,04 16,05 16,05 16,02 16,01 15,96 15,98 16,02 15,99 Máquina 2: 16,02 15,97 15,96 16,01 15,99 16,03 16,04 16,02 16,01 16,00

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128

Cap´ıtulo 7. Intervalos de Confianza y Test de Hip´ otesis a) ¿ Se encuentra el ingeniero en lo correcto? Utilice α = 0,05. b) ¿Cuál es el valor-p de esta prueba? c) Si se supone que el tama˜ no de las muestras es el mismo, ¿qué tama˜ no de muestra debe utilizarse para asegurar que β = 0,05 si la diferencia verdadera entre las medias es 0.08? Suponga que α = 0,05. d ) ¿Cuál es la potencia de la prueba del inciso a) si la diferencia verdadera entre las medidas es 0.08? 22. Existen dos tipos de plásticos apropiados para su uso por un fabricante de componentes electrónicos. La tensión de ruptura de este plástico es un parámetro importante. Se sabe que σ1 = σ2 = 1,0 psi. De una muestra aleatoria de tama˜ no n1 = 10 y n2 = 12, se tiene que x1 = 162,5 y x2 = 155,0. La compa˜ n´ıa no adoptará el plástico 1 a menos que la tensión de ruptura de éste exceda a la del plástico 2 al menos por 10 psi. Con base a la información contenida en la muestra, ¿La compa˜ n´ıa deberá utilizar el plástico 1? Utilice α = 0,05 para llegar a una decisión. 23. En una industria se desea verificar si la productividad media de los operarios del per´ıodo diurno es igual a la productividad media de los operarios del per´ıodo nocturno. Se supone que las productividades de los operarios de los diferentes per´ıodos son independientes y normalmente distribuidas. Se seleccionan muestran de igual tama˜ no para cada uno de los per´ıodos obteniéndose los siguientes resultados: Per´ıodo No de operarios Diurno 15 Nocturno 15

Media Varianza 12 35.71 10 36.43

a) Verifique igualdad de varianzas con nivel α = 0,1 b) Verifique si las productividades medias son iguales con nivel α = 0,05. c) Determine la probabilidad de aceptar la igualdad de medias en (b), si la realidad es que la diferencia entre las productividades medias es de una unidad. Aproxime los valores t1−α por z1−α . 24. Para alcanzar la máxima eficiencia en una operación de ensamblaje en una fábrica los obreros nuevos requieren alrededor de un mes de capacitación. Se sugiere un nuevo método de capacitación y se realiza una prueba para compararlo con el tradicional. Para este fin se capacitan dos grupos de nueve obreros durante un per´ıodo de tres semanas; uno de los grupos aplica el nuevo método y el otro el tradicional. Al final de las tres semanas de capacitación se mide el tiempo (en minutos) que le toma a cada obrero ensamblar el dispositivo. Los resultados obtenidos de las muestras son los siguientes (asuma normalidad de los datos) Estad´ıstico n Promedio Varianza

Método Tradicional Nuevo 9 9 35 31 25 20

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7.2 Ejercicios Propuestos

129

¿Hay suficiente evidencia que indique que las medias de los tiempos reales son diferentes con los dos métodos? Realice una prueba con el nivel α = 5 %. Determine el valor-p de la prueba. (sea expl´ıcito, dé hipótesis, test y conclusión). 25. El contenido de nicotina de dos marcas de cigarros, medidas en miligramos, es la siguiente: A B

2.1 4.0 6.3 5.4 4.8 3.7 6.1 3.3 4.1 0.6 3.1 2.5 4.0 6.2 1.6 2.2 1.9 5.4

¿Los contenidos de nicotina de las dos marcas serán diferentes?. Considere α = 5 %. 26. Un experimento quiere determinar la eficacia de un nuevo elemento versus la dieta actual (control) para reducir la cantidad de grasa en los cerdos. Los datos se encuentran en la siguiente tabla: Nuevo Control

676 206 230 256 280 433 88 570 605 617 653 2913

337 466 497 924 286 1098

512 794 982 2346

428 452 512 321 615 519

Utilice la teor´ıa normal para testear la hipótesis de que existe diferencia entre los dos tipos de producción. 27. Para la elaboración de un neumático se utilizan dos métodos. A dichos neumáticos se les mide el desgaste. Se seleccionan 12 neumáticos de cada tipo y siendo sus mediciones de desgaste, las siguientes: Proceso 1 329 436 457 463 477 479 1297 1319 1340 1385 1398 1440 Proceso 2 313 563 670 940 1002 1261 1305 1531 1614 1694 1701 1708 Utilice la teor´ıa de normalidad para testear la hipótesis de que no existe diferencia entre los métodos de elaboración. 28. Se efect´ ua una prueba de impacto Izod sobre 20 muestras de tuber´ıa PVC. El estándar ASTM para este material requiere que la resistencia al impacto Izod sea mayor que 1.0 ft-lb/in. El promedio y la desviación estándar muestrales son x = 1,25 y s = 0,25, respectivamente. Pruebe H0 : µ = 1,0 contra H1 : µ > 1,0 utilizando α = 0,01. Obtenga conclusiones. 29. En la fabricación de semiconductores, a menudo se utiliza una sustancia qu´ımica para quitar el silicio de la parte trasera de las obleas antes de la metalización. En este proceso es importante la rapidez con la que act´ ua la sustancia. Se han comparado dos soluciones qu´ımicas, utilizando para ello dos muestras aleatorias de 10 obleas para cada solución. La rapidez de acción observada es la siguiente (en mils/min): Solución 1: 9,9 9,4 9,3 9,6 10,2 10,6 10,3 10,0 10,3 10,1 Solución 2: 10,2 10,6 10,7 10,4 10,5 10,0 10,2 10,7 10,4 10,3

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130

Cap´ıtulo 7. Intervalos de Confianza y Test de Hip´ otesis a) ¿Los datos apoyan la información que la rapidez promedio de acción es la misma para ambas soluciones? Para obtener sus conclusiones, utilice α = 0,05 y suponga que las varianzas de ambas poblaciones son iguales. b) Calcule el valor-p para la prueba del inciso (a). c) Construya diagramas de caja para las dos muestras. ¿Estas gráficas apoyan la hipótesis de que las varianzas son iguales? Escriba una interpretación práctica de estas gráficas. 30. El sistema de enfriamiento de un submarino nuclear está formado por un ensamble de tuber´ıas soldadas por donde circula un l´ıquido refrigerante. Las especificaciones requieren que la resistencia de la soldadura sea mayor o igual que 150 psi. a) Suponga que los ingenieros del dise˜ no deciden probar la hipótesis H0 : µ = 150 contra H1 : µ > 150. Explique por qué esta elección de hipótesis alternativa es mejor que H1 : µ < 150. b) Al tomar una muestra aleatoria de 20 soldaduras se tiene que x = 153,7 psi. y s = 11,3 psi. ¿Qué conclusiones pueden obtenerse con respecto a la hipótesis del inciso a)? Utilice α = 0,05.

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Cap´ıtulo 8 Test de Homogeneidad, Independencia y Bondad de Ajuste 8.1.

Ejercicios Resueltos

EJERCICIO 1 Un ginecólogo analiza la posible relación entre la edad de la menarqu´ıa y la aparición de cáncer de mama. Con el fin de estudiarlo clasifica a las mujeres que acuden a su consulta en dos grupos, aquellas que tuvieron la menarqu´ıa antes de los 12 a˜ nos (a las que distingue con el valor cero), y aquellas que la tuvieron después de esta edad ( a las que distingue con el valor 1). Se presentan a continuación los resultados obtenidos: Cancer de Edad de la Menarqu´ıa S´ı 0 64 47 1

Mama No 53 139

Determine si existe relación o no entre estas variables. ´ SOLUCION Para medir si existe relación entre la edad de la menarquia y el cáncer de mama, realizamos un test de independencia. H0 : n i j =

ni· · n·j n··

H1 : no existe independencia

Para tal hipótesis, ocupamos el estad´ıstico χ2 . 2

χ =

X (obs − esp)2 i,j

esp

en donde los observados son los valores que aparecen en la tabla y los esperados los calculamos mediante H0 , por ejemplo, el esperado para la casilla Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

132

Cap´ıtulo 8. Test de Homogeneidad, Independencia y Bondad de Ajuste

n11 =

117 · 111 n1· · n·1 = = 42,8613 n·· 303

Luego para cada casilla, los esperados ser´ıan los que se muestran a continuación: Cancer Si No 64 53 42,86 74,14

0 Edad 1

Total 117

47 68,14

139 117,86

186

111

192

303

Total

Luego el estad´ıstico nos queda de la siguiente manera: χ2 =

(64 − 42,86)2 (53 − 74,14)2 (47 − 68,17)2 (139 − 117,86)2 + + + 42,86 74,14 68,14 117,86

= 10,425 + 6,027 + 6,558 + 3,791 = 26,801 Ahora, rechazamos H0 si χ2 > χ2(f ilas−1)(columnas−1),1−α donde filas en este caso tenemos 2 y columnas 2 y el α lo escogemos como 0.05. Por lo tanto tenemos χ21,0,95 = 3,84 buscado en una tabla de la distribución Chi-Cuadrado. Luego, como χ2 = 26,801 > χ21,0,95 = 3,84 se rechaza la hipótesis de que ambas variables sean independientes con un 95 % de confianza. EJERCICIO 2 De un proceso de fabricación, se seleccionan 100 ampolletas de 75 watts y se lleva a cabo una prueba para determinar la vida u ´til de estas ampolletas. El resultado de esta prueba, en miles de horas, se resume en la siguiente tabla: Tiempo de Duración N o de Ampolletas

0 - 0.2 0.2 - 0.4 0.4 - 0.6 0.6 - 0.8 0.8 - 1 1 - 1.1 29 20 15 9 12 15

¿ Se puede concluir al nivel de significancia del 5 %, que la vida u ´til de todas las ampolletas se distribuye exponencial?

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8.1 Ejercicios Resueltos

133

´ SOLUCION En este caso debemos hacer un test de Bondad de Ajuste, para una distribución exponencial de los datos. Para esto debemos sacar las frecuencias esperadas para cada uno de los rangos, bajo la hipótesis de una distribución exponencial, luego primero debemos estimar el parámetro λ de la exponencial. Sabemos que la E(X) = λ1 cuando X ∼ Exp(λ), luego ocupemos el estimador de la media: P x¯ =

M C · fi 1 P = 0,4865 = fi λ

La media la calculamos as´ı por tener los datos en una tabla de frecuencias. Luego, obtenemos que: λ=

1 = 2,055 0,4865

Posteriormente, calculamos las probabilidades de estar en cada uno de las clases de la tabla de frecuencias, para después calcular la frecuencia esperada. 0,2

Z

2,055e−2,055x dx = 0,337

P (0 < X < 0,2) = 0 0,4

Z

2,055e−2,055x dx = 0,2234

P (0,2 < X < 0,4) = 0,2 0,6

Z

2,055e−2,055x dx = 0,1481

P (0,4 < X < 0,6) = 0,4 0,8

Z

2,055e−2,055x dx = 0,0982

P (0,6 < X < 0,8) = 0,6

Z

1

2,055e−2,055x dx =

P (0,8 < X < 1,0) =

0,0651

0,8

Z P (1,0 < X < 1,1) =

1,1

2,055e−2,055x dx = 0,0237

1

Como tenemos un total de 100 observaciones, las frecuencias esperadas las obtenemos multiplicando la probabilidad de estar en la clase por 100, es decir: fesperada [0 − 0,2] = P (0 < X < 0,2) · 100 = 33,7 Luego haciendo el cálculo para cada celda, queda: Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

134

Cap´ıtulo 8. Test de Homogeneidad, Independencia y Bondad de Ajuste Tiempo de Duración 0 - 0.2 0.2 - 0.4 0.4 - 0.6 0.6 - 0.8 0.8 - 1 1 - 1.1 N o de Ampolletas 29 20 15 9 12 15 o N de Amp. Esperado 33.7 22.34 14.81 9.82 6.51 2.37 Finalmente para testear nuestra hipótesis H0 : Los datos distribuyen Exponencial v/s H1 : No distribuyen exponencial Ocupamos el estad´ıstico χ2 =

X (obsi − espi )2 i

=

espi

(29 − 33,7)2 (20 − 22,34)2 (15 − 14,81)2 (9 − 9,82)2 (12 − 6,51)2 (15 − 2,37)2 + + + + + 33,7 22,34 14,81 9,82 6,51 2,37

= 72,9 umero de clases y p Luego rechazamos H0 si χ2 > χ21−α,k−p−1 = χ20,95,6−1−1 = 9,48 con k el n´ el n´ umero de parámetros de la distribución. Por lo tanto, como 72,9 > 9,48 se rechaza la postura de una distribución exponencial en los datos del tiempo de vida de las ampolletas. EJERCICIO 3 Un mecánico analiza la posible relación entre la edad de la maquina y la aparición de una falla grave. Con el fin de estudiarlo clasifica a las maquinas en dos grupos, aquellas que tuvieron una falla grave antes de los 12 a˜ nos (a las que distingue con el valor 0), y aquellas que la tuvieron después de esta edad (a las que distingue con el valor 1). Se presentan a continuación los resultados obtenidos: Falla Si Edad Máquina 0 64 1 47

Grave No 53 139

(a) Calcule el Test χ2 de Pearson. (b) Determine si existe relación o no entre la variables ´ SOLUCION Completamos la tabla dada con los valores esperados Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

8.1 Ejercicios Resueltos

135 Falla Grave Si No 0 64 53 42,861 74,139

Total 117

Edad Máquina 1

Total

47 68,139

139 117,861

186

111

192

303

(a) Dada la tabla completa con los los valores esperados calculamos el estad´ıstico como sigue: r X c X (Oij − Eij )2 χ = Eij i=1 j=1 2

2 X 2 X (Oij − Eij )2 = Eij i=1 j=1

=

(64 − 42,8613)2 (53 − 74,138)2 (47 − 68,138)2 (139 − 117,861)2 + + + 42,8613 74,138 68,138 117,861

= 10,425 + 6,027 + 6,558 + 3,791 = 26,801 (b) Se rechaza H0 : ∃ independencia entre la edad de la máquina y si la falla es grave si χ2 > χ(1−α;(f −1)·(c−1)) Como χ2 = 26,801 > 3,841459 = χ0,95;1 Se rechaza la hipótesis de independencia entre las fallas graves y la edad de las máquinas. EJERCICIO 4 Suponga que cierto art´ıculo puede presentar hasta 4 defectos diferentes. Una muestra aleatoria de 625 de estos art´ıculos es clasificado de acuerdo al n´ umero de defectos, obteniéndose lo siguiente: # de defectos # de casos

0 1 82 185

2 182

3 110

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

4 66

136

Cap´ıtulo 8. Test de Homogeneidad, Independencia y Bondad de Ajuste Un ingeniero afirma que el n´ umero de defectos X es una variable aleatoria con distribución de probabilidad 1 2x x = 1, 2, 3, 4 7 x! P (X = x) = 0 e.o.c ¿Qué podr´ıa concluir, en base a los datos de la muestra, con α = 0,05, respecto de lo firmado por el ingeniero? ´ SOLUCION Necesitamos calcular las frecuencia esperadas, mediante las probabilidades. P (X = 0) =

1 20 7 0!

= 0,1428

P (X = 1) =

1 21 7 1!

= 0,2857

P (X = 2) =

1 22 7 2!

= 0,2857

P (X = 3) =

1 23 7 3!

= 0,1904

P (X = 4) =

1 24 7 3!

= 0,0952

luego el n´ umero de casos esperados será Ei = P (X = i) · 625 = no de defectos igual a i una vez calculados estos valores tenemos lo siguiente # de defectos (i) 0 1 2 3 4 # de casos observado (Oi ) 82 185 182 110 66 # de casos esperados (Ei ) 89.25 178.56 178.56 119 59.5 Para la hipótesis H0 : los datos distribuyen con la función de probabilidad dada. Se rechaza H0 si χ2 =

5 X (Oi − Ei )2 i=1

o

Ei

> χ21−α;k−p−1

o

donde k: n de clases y p: n de parámetros. Luego χ2 = 2,2782 ≯ χ20,95;5−0−1 = 9,4877 por lo tanto no existe evidencia suficiente bajo un 95 % de confianza para rechazar H0 , es decir, los datos pueden ser modelados por la distribución dada.

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

8.1 Ejercicios Resueltos

137

EJERCICIO 5 Una empresa empaca determinado producto de latas de tres tama˜ nos distintos, cada uno en distinta l´ınea de producción. La mayor parte de las latas se apegan a las especificaciones, pero un ingeniero de control de calidad ha identificado los siguientes defectos: Mancha en la lata. Grieta en la lata. Ubicación incorrecta del anillo de apertura. Falta del anillo de apertura. Otras. Se selecciona una muestra de unidades defectuosas de cada una de las tres l´ıneas, y cada unidad se clasifica seg´ un el defecto, la siguiente tabla de contingencia incluye esos datos: Defecto Mancha Grieta Ubicación L´ınea 1 34 65 17 de 2 23 52 25 Producción 3 32 28 16 Total 89 145 58

Falta 21 19 14 54

Otras 13 6 10 29

Tama˜ no de la muestra 150 125 100 375

¿Los datos sugieren desigualdad en las proporciones que caen en las distintas categor´ıas de las tres l´ıneas? ´ SOLUCION Los parámetros de interés son las diversas proporciones y las hipótesis relevantes son: H0 : Las l´ıneas de producción son homogéneas con respecto a las 5 categor´ıas que no cumplen las especificaciones. H1 : Las l´ıneas de producción no son homogéneas con respecto a las 5 categor´ıas que no cumplen las especificaciones. Ahora se presenta una tabla resumen con los valores esperados y el valor de (Obs. − Esp.)2 /Esp. 1

C1 34 35,60 0,072

C2 65 58,00 0,845

C3 17 23,20 1,657

C4 21 21,60 0,017

C5 13 11,60 0,169

Total 150

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

138

Cap´ıtulo 8. Test de Homogeneidad, Independencia y Bondad de Ajuste 2

23 29,67 1,498

52 48,33 0,278

25 19,33 1,661

19 18,00 0,056

6 9,67 1,391

125

3

32 23,73 2,879

28 38,67 2,943

16 15,47 0,018

14 14,40 0,011

10 7,73 0,664

100

Total

89

145

58

54

29

375

luego, bajo un 95 % de confianza χ2 = 14,159 ≯ 15,50731 = χ20,95;(3−1)·(5−1) lo que indica que no existe suficiente evidencia para rechazar H0 , es decir las l´ıneas de producción ser´ıan homogéneas con respecto a las 5 categor´ıas que no cumplen las especificaciones. Si disminuimos la confianza a un 90 % tenemos que χ2 = 14,159 > 13,36157 = χ20,90;(3−1)·(5−1) luego, ahora s´ı existir´ıa evidencia bajo este nivel de significancia para rechazar H0 . EJERCICIO 6 Un estudio de la relación entre las condiciones de las instalaciones en gasolineras y la agresividad en el precio de la gasolina reporta los siguientes datos basados en una muestra de n = 144 gasolineras. Agresividad Anticuada 24 52 Estándar Moderna 58 n.j 134

Neutral 15 73 86 174

No agresiva ni. 17 56 80 205 36 180 133 441

En el nivel 0.01, ¿la información sugiere que las condiciones de instalaciones y las pol´ıticas de precios son independientes entre si? ´ SOLUCION La hipótesis a docimar es: H0 : Las condiciones de las instalaciones con la pol´ıtica de precios son independientes. vs H1 : No existe independencia. La siguiente tabla resumen entrega la información necesaria para calcular el estad´ıstico χ2 . Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

8.1 Ejercicios Resueltos C1 24 17,02 2,867

C2 15 22,10 2,278

C3 17 16,89 0,001

Total 56

2

52 62,29 1,700

73 80,88 0,769

80 61,83 5,343

205

3

58 54,69 0,200

86 71,02 3,159

36 54,29 6,159

180

Total

134

174

133

441

1

139

luego, bajo un 99 % de confianza χ2 = 22,476 > 13,2767 = χ20,99;(3−1)·(3−1) lo que indica que existe suficiente evidencia con este nivel de confianza para rechazar H0 , es decir el conocimiento de la pol´ıtica de precios de una gasolinera proporciona información acerca de la condición de las instalaciones de la gasolinera. EJERCICIO 7 Se obtuvo una muestra aleatoria de individuos que viajan solos en automóvil al trabajo, en una gran zona metropolitana, y cada individuo fue clasificado de acuerdo con el tama˜ no de su automóvil y la distancia de recorrido citadino. ¿La siguiente información sugiere que dicha distancia y el tama˜ no del automóvil están relacionados en la población a la cual se hizo el muestreo? Exprese las hipótesis pertinentes y utilice una prueba Chi-cuadrado con un nivel 0.05.

Subcompacto Tama˜ no de Compacto Automóvil Mediano Grande

Distancia de Recorrido [0, 10) [10, 20) [20, . . .) 6 27 19 8 36 17 21 45 33 14 18 6

´ SOLUCION La hipótesis a docimar es: H0 : Existe independencia entre la distancia de recorrido y el tama˜ no del automóvil. vs H1 : No existe independencia. La siguiente tabla resumen entrega la información necesaria para calcular el estad´ıstico χ2 . Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

140

Cap´ıtulo 8. Test de Homogeneidad, Independencia y Bondad de Ajuste C1 6 10,19 1,724

C2 27 26,21 0,024

C3 19 15,60 0,741

Total 52

2

8 11,96 1,309

36 30,74 0,899

17 18,30 0,092

61

3

21 19,40 0,131

45 49,90 0,480

33 29,70 0,367

99

4

14 7,45 5,764

18 19,15 0,069

6 11,40 2,558

38

Total

49

126

75

250

1

luego, bajo un 95 % de confianza χ2 = 14, 158 > 12,59159 = χ20,95;(4−1)·(3−1) lo que indica que existe suficiente evidencia con este nivel de confianza para rechazar H0 , es decir, la distancia de recorrido proporciona información acerca el tama˜ no del automóvil. EJERCICIO 8 Una empresa quiere contratar a cierta cantidad de personas y de los postulantes que se presentan se hace una preselección de 24 hombres y 24 mujeres de entre los cuales el jefe de personal decide quien será contratado y quien no. Después de que el jefe de personal hizo la selección de los contratados los resultados fueron los siguientes, Hombre Contratado 21 No contratado 3

Mujer 14 10

Alguien acusa al empleador de tener un sesgo de selección a favor de los hombres ya que 21 de 24 hombres fueron contratados y sólo 14 de 24 mujeres también lo fueron. ¿Existirá discriminación por parte del jefe de personal?. Plantee las hipótesis con palabras y paramétricamente, llegue a conclusiones utilizando un nivel de significancia de α = 0,05. ´ SOLUCION Hipótesis: H0 : No existe discriminación (Homogeneidad) vs H1 : Existe discriminación (No Homogeneidad) Equivalentemente H0 : p1j = p2j j = 1, 2 vs H1 : p1j 6= p2j para alg´ un j Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

8.1 Ejercicios Resueltos

141

Para testear tales hipótesis, se ocupa el estad´ıstico n X m X (oij − eîj )2 χ = eîj i=1 j=1 2

donde eîj =

ni· n·j , n··

el cual rechaza H0 cuando χ2 ≥ χ21−α,(I−1)(J−1) .

Luego la tabla de valores esperados es: Hombre M ujer T otal ni· Contratado 17,5 17,5 35 N o contratado 6,5 6,5 13 T otal n·j 24 24 48

Por lo tanto el estad´ıstico de prueba queda

χ2 =

(21 − 17,5)2 (14 − 17,5)2 (3 − 6,5)2 (10 − 6,5)2 + + + = 5,1692 17,5 17,5 6,5 6,5

Como χ2 = 5,1692 > 3,84 = χ20,95,1 , se rechaza H0 , es decir, con un 95 % de confianza existe discriminación hacia la mujer por parte del jefe de personal. EJERCICIO 9 De cada una de tres comunidades se sacó una muestra de jóvenes casados. A cada pareja se le pidió que especificara la cantidad m´ınima de educación que esperaba que sus hijos recibieran. La siguiente tabla muestra los resultados que se observaron en la muestra:

Nivel M´ınimo Colegio Educ. comercial Universitario Total

Comunidad A B C Total 30 28 24 82 30 19 46 95 90 78 130 298 150 125 200 475

¿Qué se puede concluir respecto a la homogeneidad de las aspiraciones en la educación de los hijos? ´ SOLUCION Las hipótesis son:

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

142

Cap´ıtulo 8. Test de Homogeneidad, Independencia y Bondad de Ajuste H0 : Las 3 poblaciones son homogéneas respecto de las aspiraciones de educación para sus hijos. (p11 = p12 = p13 ). H1 : Las 3 poblaciones no son homogéneas (Por lo menos 2 proporciones de una misma fila no son iguales entre si.) Para testear tales hipótesis, se ocupa el estad´ıstico I X J X (oij − eîj )2 χ = eîj i=1 j=1 2

donde eîj =

ni· n·j , n··

el cual rechaza H0 cuando χ2 ≥ χ21−α,(I−1)(J−1) .

Luego la tabla de valores esperados es:

Nivel M´ınimo Colegio Educ. comercial Universitario Total

Comunidad A B C 25.89 21.58 34.53 30.00 25.00 40.00 94.11 78.42 125.5 150 125 200

Total 82 95 298 475

Por lo tanto el estad´ıstico de prueba queda

χ2 =

+

(30 − 25,89)2 (28 − 21,58)2 (24 − 34,53)2 (30 − 30)2 (19 − 25)2 (46 − 40)2 + + + + + 25,89 21,58 34,53 30 25 40 (90 − 94,11)2 (78 − 78,42)2 (130 − 125,5)2 + + 94,11 78,42 125,5

= 8,455

Como χ2 = 8,455 < 9,488 = χ20,95,4 , no existe evidencia en los datos para rechazar H0 , es decir, con un 95 % de confianza existe homogeneidad entre las comunidades. EJERCICIO 10 Se seleccionó una muestra al azar de 275 alumnos de u ´ltimo a˜ no de colegio de cada uno de los siguientes tres grupos de rendimiento atlético: alto, medio y bajo. Los muchachos se clasificaron de acuerdo con la inteligencia tal como aparece en la tabla. ¿Indican estos datos una diferencia en la distribución de la inteligencia entre los tres grupos?

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

8.1 Ejercicios Resueltos

143

Rendimiento Inteligencia Alto Medio Bajo Alta 45 60 68 Media 10 15 25 Baja 5 15 32 Total 60 90 125

Total 173 50 52 100

´ SOLUCION Las hipótesis son: H0 : Los 3 niveles de inteligencia son homogéneos respecto del rendimiento. (p1j = p2j = p3j ). H1 : Los 3 niveles de inteligencia no son homogéneos respecto del rendimiento (Por lo menos 2 proporciones de una misma columna no son iguales entre si.) Para testear tales hipótesis, se ocupa el estad´ıstico χ2 =

donde eîj =

ni· n·j , n··

I X J X (oij − eîj )2 eîj i=1 j=1

el cual rechaza H0 cuando χ2 ≥ χ21−α,(I−1)(J−1) .

Luego la tabla de valores esperados es: Rendimiento Inteligencia Alto Medio Bajo Total Alta 37.77 56.62 78.64 173 Media 10.91 16.36 36.36 50 Baja 11.35 17.02 23.64 52 Total 60 90 125 100 Por lo tanto el estad´ıstico de prueba queda

χ2 =

+

(45 − 37,77)2 (60 − 56,62)2 (68 − 78,64)2 (10 − 10,91)2 (15 − 16,36)2 (25 − 36,36)2 + + + + + 37,77 56,62 78,64 10,91 16,36 36,36 (5 − 11,35)2 (15 − 17,02)2 (32 − 23,64)2 + + 11,5 17,02 23,64

= 10,199

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

144

Cap´ıtulo 8. Test de Homogeneidad, Independencia y Bondad de Ajuste Como χ2 = 10,199 > 9,488 = χ20,95,4 , se rechaza H0 , es decir, con un 95 % de confianza no existe homogeneidad entre los niveles intelectuales. EJERCICIO 11 Un investigador desea saber si es posible concluir que hay relación entre el grado de liberalismo y la posición en la universidad en una población de estudiantes universitarios. Para estos efectos se seleccionó una muestra de 500 estudiantes. La tabla siguiente muestra la clasificación de los datos seg´ un sus respuestas: Grado de Liberalismo Clase Ligero Moderado Alto Total 1er. a˜ no 30 83 37 150 2o. a˜ no 19 56 50 125 3er. a˜ no 16 46 63 125 4o. a˜ no 10 38 52 100 Total 75 223 202 500 ¿Qué se puede concluir respecto al problema del investigador? ´ SOLUCION Las hipótesis son: H0 : Existe independencia entre el grado de liberalismo y el a˜ no universitario. (nij =

ni· n·j ). nij

H1 : No existe independencia entre el grado de liberalismo y el a˜ no universitario.(nij 6=

ni· n·j ). nij

Para testear tales hipótesis, se ocupa el estad´ıstico χ2 =

donde eîj =

ni· n·j , n··

I X J X (oij − eîj )2 eîj i=1 j=1

el cual rechaza H0 cuando χ2 ≥ χ21−α,(I−1)(J−1) .

Luego la tabla de valores esperados es: Grado de Liberalismo Clase Ligero Moderado Alto Total 1er. a˜ no 22.50 66.90 60.60 150 2o. a˜ no 18.75 55.75 50.50 125 3er. a˜ no 18.75 55.75 50.50 125 4o. a˜ no 15.00 44.60 40.40 100 Total 75 223 202 500 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

8.1 Ejercicios Resueltos

145

Por lo tanto el estad´ıstico de prueba queda

χ2 =

+

(30 − 22,5)2 (83 − 66,9)2 (37 − 60,6)2 (19 − 18,75)2 (56 − 55,75)2 (50 − 50,5)2 + + + + + 22,5 66,9 60,6 18,75 55,75 50,5 (16 − 18,75)2 (46 − 55,75)2 (63 − 50,5)2 (10 − 15)2 (38 − 44,6)2 (52 − 40,4)2 + + + + + 18,75 55,75 50,5 15 44,6 40,4

= 26,751

Como χ2 = 26,751 > 12,592 = χ20,95,6 , se rechaza H0 , es decir, con un 95 % de confianza el grado de liberalismo en los estudiantes universitarios no es independiente del a˜ no que cursa el alumno. EJERCICIO 12 Una muestra de 500 personas responde dos preguntas: filiación pol´ıtica y actitud hacia una reforma de impuestos, los resultados son los siguientes:

Filiación Demócrata Republicano Total

Actitud hacia Reforma A favor Indiferente En contra Total 138 83 64 285 64 67 84 215 202 150 148 500

¿Existe relación entre la tendencia pol´ıtica y la actitud hacia la reforma de impuestos?. Plantee la hipótesis necesaria y concluya. ´ SOLUCION Las hipótesis son: H0 : Existe independencia entre la tendencia pol´ıtica y la actitud hacia la reforma. (nij = ni· n·j ). nij H1 : Existe asociación entre la tendencia pol´ıtica y la actitud hacia la reforma.(nij 6= Para testear tales hipótesis, se ocupa el estad´ıstico χ2 =

I X J X (oij − eîj )2 eîj i=1 j=1

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

ni· n·j ). nij

146

Cap´ıtulo 8. Test de Homogeneidad, Independencia y Bondad de Ajuste donde eîj =

ni· n·j , n··

el cual rechaza H0 cuando χ2 ≥ χ21−α,(I−1)(J−1) .

Luego la tabla de valores esperados es:

Filiación Demócrata Republicano Total

Actitud hacia Reforma A favor Indiferente En contra Total 115.14 85.5 84.36 285 86.86 64.5 63.64 215 202 150 148 500

Por lo tanto el estad´ıstico de prueba queda

χ2 =

(138 − 115,14)2 (83 − 85,5)2 (64 − 84,36)2 (64 − 86,86)2 (67 − 64,5)2 (84 − 63,64)2 + + + + + 115,14 85,5 84,36 86,86 64,5 63,64

= 22,51

Como χ2 = 22,51 > 5,99 = χ20,95,2 , se rechaza H0 , es decir, con un 95 % de confianza la tendencia pol´ıtica influye en la actitud hacia la reforma. EJERCICIO 13 En una muestra aleatoria de 100 universitarios se clasificó cada uno de ellos seg´ un si hab´ıa consumido alguna vez droga o no y el promedio de notas. A partir de los datos tabulados en la tabla, ¿proporcionan estos datos evidencia suficiente como para concluir que hay una relación entre las dos variables? Use α = 0,05.

Promedio notas ≤ 4,0 > 4,0 Total

¿Ha consumido Drogas? Si No Total 10 29 39 20 41 61 30 70 100

´ SOLUCION Las hipótesis son: H0 : Existe independencia entre el consumo de drogas y el promedio de notas (nij = H1 : Existe asociación entre el consumo de drogas y el promedio de notas.(nij 6=

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

ni· n·j ). nij

ni· n·j ). nij

8.1 Ejercicios Resueltos

147

Para testear tales hipótesis, se ocupa el estad´ıstico χ2 = donde eîj =

ni· n·j , n··

I X J X (oij − eîj )2 eîj i=1 j=1

el cual rechaza H0 cuando χ2 ≥ χ21−α,(I−1)(J−1) .

Luego la tabla de valores esperados es: ¿Ha consumido Drogas? Promedio notas Si No Total ≤ 4,0 11,7 27,3 39 > 4,0 18,3 42,7 61 Total 30 70 100 Por lo tanto el estad´ıstico de prueba queda

χ2 =

(10 − 11,7)2 (29 − 27,3)2 (20 − 18,3)2 (41 − 42,7)2 + + + 11,7 27,3 18,3 42,7

= 0,578

Como χ2 = 0,578 < 3,841 = χ20,95,1 , no se rechaza H0 , es decir, con un 95 % de confianza el consumo de droga no influye en el promedio de notas de los estudiantes.

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

148

Cap´ıtulo 8. Test de Homogeneidad, Independencia y Bondad de Ajuste

8.2.

Ejercicios Propuestos

1. (a) Se observó la duración en horas de 100 pilas de una determinada marca, obteniéndose los siguientes resultados: < 20 20 − 40 40 − 60 60 − 80 ≥ 80 Horas Frecuencia 5 26 34 22 13 ¿Hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis de que los datos siguen una distribución normal de parámetros µ = 50 y σ = 20? (b) Las ampolletas pueden clasificarse seg´ un su potencia (watts) y se piensa que de alguna forma existe una relación entre la duración y la potencia. Para verificar lo anterior se tabulan los datos, obteniéndose lo siguiente: Duración superior a 200 horas Si No Potencia < 100W 30 20 ≥ 100W 20 30 2. (a) El n´ umero de accidentes sufridos por operadores de máquina de herramientas en determinada industria se registró durante cierto periodo con los resultados siguientes: Accidentes por Operador 0 1 2 3 4 5 6 7 8 N´ umero de Operadores 296 74 26 8 4 4 1 0 1 Con el nivel de significancia del 5 %, probar la hipótesis de que los datos provienen de una distribución Poisson. (b) Una muestra aleatoria de 200 hombres casados, todos retirados, se clasificó de acuerdo a la educación y el n´ umero de hijos de cada uno de ellos: Cantidad de hijos 0 − 1 2 − 3 más de 3 Primaria 14 37 32 Educación Secundaria 19 42 17 Bachillerato 12 17 10 Pruebe la hipótesis, con un nivel de significancia del 5 %, que el tama˜ no de una familia es independiente del nivel de educación del padre. 3. Cada uno de 325 individuos que participan en cierto programa de medicamentos, se clasificó con respecto a la presencia o ausencia de hipoglucemia y con respecto a la dosis media diaria de insulina. ¿Apoyan los datos siguientes lo dicho de que la presencia o ausencia de hipoglucemia es independiente de las dosis de insulina? Pruebe usando α = 0,05. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

8.2 Ejercicios Propuestos

149

Condición de Presente Hipoglucemia Ausente

Dosis diaria de insulina < 0,25 0,25 − 0,49 0,5 − 0,74 0,75 − 0,99 > 1,0 4 21 28 15 12 40 74 59 26 46

4. Los siguientes datos corresponden a combinaciones de sexo de los recombinantes que resultan de seis diferentes genotipos masculinos. ¿Soportan los datos la hipótesis de que la distribución de frecuencia entre las tres combinaciones de sexo es homogénea con respecto a los diferentes genotipos? Defina los parámetros de interés, exprese H0 y H1 pertinentes, y realice el análisis.

1 2 Genotipo 3 Masculino 4 5 6

Combinación de sexo M/M M/F F/F 35 80 39 41 84 45 33 87 31 8 26 8 5 11 6 30 65 20

5. Una muestra aleatoria de 200 hombres casados, todos retirados, se clasifico de acuerdo a la educación y el n´ umero de hijos de cada uno de ellos: Cantidad de hijos 0 − 1 2 − 3 más de 3 Primaria 14 37 32 Educación Secundaria 19 42 17 Bachillerato 12 17 10 Pruebe la hipótesis, con un nivel de significancia del 5 %, que el tama˜ no de una familia es independiente del nivel de educación del padre. 6. Una compa˜ n´ıa opera cuatro máquinas, tres turnos al d´ıa. De los registros de producción, se obtuvieron los siguientes datos sobre el n´ umero de fallas:

Turno 1 2 3

A 41 31 15

Máquinas B C 20 12 11 9 17 16

D 16 14 10

Pruebe la hipótesis (con α = 0,05) de que el n´ umero de fallas es independiente del turno. Encuentre el valor-p de esta prueba. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

150

Cap´ıtulo 8. Test de Homogeneidad, Independencia y Bondad de Ajuste 7. Un art´ıculo publicado en el Journal of M arketing Ressearch (1970, pág. 36-42) contiene un estudio de la relación entre las condiciones de las instalaciones de la gasoliner´ıas y la dinámica de la pol´ıtica de mercadotecnia seguida por ellas. Para ello se investigó una muestra de 441 gasoliner´ıas, y se obtuvieron los resultados siguientes. Condición Pol´ıtica Subestándar Estándar Dinámica 24 52 Neutral 15 73 No dinámica 17 80

Moderna 58 86 36

¿Existe evidencia de que la pol´ıtica de mercadotecnia y las condiciones de la gasoliner´ıa son independientes? Utilice α = 0,05. 8. Se dise˜ na un generador de n´ umeros seudoaleatorios de modo que los enteros 0 a 9 tengan la misma probabilidad de ocurrencia. Los primeros 10 mil n´ umeros son: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 967 1008 975 1022 1003 989 1001 981 1043 1011 a) ¿El generador trabajó de manera apropiada? Utilice α = 0,01. b) Calcule el valor-p de esta prueba. 9. Se toma una muestra aleatoria de 50 observaciones sobre el diámetro de puntos de soldadura y el valor correspondiente de la resistencia al esfuerzo cortante. a) Dado que r = 0,62 , pruebe la hipótesis de que ρ = 0 utilizando α = 0,01. ¿Cuál es el valor-p de esta prueba? b) Encuentre un intervalo de confianza del 99 % para ρ. c) Con base en el intervalo de confianza del inciso b), ¿puede concluirse que ρ = 0,5 con un nivel de significancia de 0.01?

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

Cap´ıtulo 9 An´ alisis de Regresi´ on 9.1.

Ejercicios Resueltos

EJERCICIO 1 Suponga que se tiene interés en ajustar un modelo de regresión lineal simple Yi = β0 + β1 xi + εi ,

i = 1, ..., n

donde εi ∼ N (0, σ 2 ) y β0 y σ 2 son conocidos. (a) Encuentre el estimador de m´ınimos cuadrados de β1 . (b) ¿Cuál es la varianza del estimador encontrado en el inciso (a)? (c) Encuentre una expresión para el intervalo de confianza del 100(1 − α) % para la pendiente β1 . ¿Este intervalo es mayor que el intervalo correspondiente al caso donde tanto β0 como β1 son desconocidos? ´ SOLUCION (a) Estimador de m´ınimos cuadrados para β1 n X

ε2i =

i=1

n X

(yi − βo − β1 xi )2

i=1

luego derivando con respecto al parámetro tenemos

∂

n X i=1

∂β1

ε2i = −2

n X

(yi − β0 − β1 xi ) · xi = 0

i=1

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

152

Cap´ıtulo 9. An´ alisis de Regresi´ on

⇒

n X

(yi − β0 − β1 xi ) · xi = 0

i=1

⇒

n X

(xi yi − β0 xi − β1 x2i ) = 0

i=1

⇒

n X

xi yi − β0

n X

xi − β1

i=1

i=1

n X

x2i = 0

i=1

luego despejando y recordando que β0 es conocido, nos queda n X

βˆ1 =

xi yi − β0

n X

i=1

xi

i=1 n X

x2i

i=1

(b) Se pide calcular la V ar(βˆ1 ).



n X

xi yi − β0   i=1 V ar(βˆ1 ) = V ar  n  X  x2i

n X i=1

 xi     

i=1

=

1 n X

!2 V ar

x2i

n X

xi yi − β0

i=1

i=1

i=1

=

1 n X

!2 V ar

x2i

n X

! xi yi

i=1

i=1 ind

=

n X

1 n X

!2 x2i

n X

x2i V ar(yi )

i=1

i=1

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

! xi

9.1 Ejercicios Resueltos

153

=

n X

1 n X

!2 x2i

x2i σ 2

i=1

i=1

n X

= σ2

x2i

i=1 n X

!2 x2i

i=1

=

σ2 n X x2i i=1

(c) Cuando ambos parámetros son desconocidos el intervalo para β1 es de la siguiente forma: i h ˆ ˆ α β1 ∈ β1 ∓ t(n−2),1− 2 · s.e(β1 ) donde v u 2 u σ ˆ s.e(β1 ) = u n uX t x2 i

i=1

considerando σ 2 conocido. EJERCICIO 2 Suponga que se especifica un modelo lineal simple sin intercepto yi = µxi + εi ,

i = 1, . . . , n

εi ∼ N (0, σ 2 ) (a) Encuentre el estimador de m´ınimos cuadrados de µ, µ ˆ y de σ 2 , σ ˆ2. (b) Calcule E(ˆ µ) y V ar(ˆ µ). (c) Estime la ecuación de regresión a partir del siguiente conjunto de datos x 2 2 3 4 4 y 5 6 9 11 13 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

154

Cap´ıtulo 9. An´ alisis de Regresi´ on ´ SOLUCION (a) Estimador de m´ınimos cuadrados para µ n X

ε2i

n X

=

i=1

(yi − µxi )2

i=1

luego derivando con respecto al parámetro tenemos

∂

n X i=1

∂µ

ε2i = −2

n X

(yi − µxi ) · xi = 0

i=1

⇒

n X

(yi − µxi ) · xi = 0

i=1

⇒

n X

(xi yi − µx2i ) = 0

i=1

⇒

n X

xi yi − µ

i=1

n X i=1

luego despejando nos queda n X

µ ˆ=

xi yi

i=1 n X

x2i

i=1

Ahora para σ 2 tenemos que el estimador es

σ ˆ2 =

SSE n−2 n X

=

ε2i

i=1

n−2

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

x2i = 0

9.1 Ejercicios Resueltos

155 n X

=

i=1

n−2 n X

=

(yi − µ ˆxi )2

yi2

− 2ˆ µ

i=1

n X

xi yi + µ ˆ

n X

2

x2i

i=1

i=1

n−2

n X

2 yi2 −

i=1

!2

n X

n X

xi yi

i=1 n X

!2 xi yi

i=1

+

n X

x2i

i=1 i=1

=

n−2 n X n X

yi2 −

i=1

xi yi

i=1 n X

x2i

i=1

=

n−2 n X

=

!2

n X

yi2

i=1

n−2

−

!2 xi yi

i=1

(n − 2)

n X

! x2i

i=1

(b) 1 E(ˆ µ) = n X

E x2i

n X

! xi yi

i=1

i=1

1 = n X

n X

xi E (yi )

x2i i=1

i=1

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

, n X x2i

i=1 !2

x2i

156

Cap´ıtulo 9. An´ alisis de Regresi´ on

=

1 n X

n X

x2i

xi · µxi

i=1

i=1

, n X 1 = n, ·µ· x2i X i=1 x2i i=1

=µ ∴ µ ˆ es un estimador insesgado. (c) Para estimar la recta debemos solo calcular µ ˆ en base a los datos n X

µ ˆ=

xi yi

i=1 n X

= x2i

10 + 12 + 27 + 44 + 52 = 2,959 4 + 4 + 9 + 16 + 16

i=1

luego la recta pedida es de la forma: yˆ = 2,959 · xi EJERCICIO 3 Se presentan los siguientes datos sobre x = % de absorción de luz a 5800A e y = pico de fotovoltaje: x y

4.0 0.12

8.7 12.7 19.1 21.4 24.6 28.9 29.8 30.5 0.28 0.55 0.68 0.85 1.02 1.15 1.34 1.29

(a) Construya una gráfica de dispersión de estos datos. ¿Qué sugiere? (b) Obtenga la ecuación de la recta de regresión estimada suponiendo que el modelo de regresión lineal simple es apropiado. (c) ¿Qué proporción de la variación observada en pico de fotovoltaje se puede explicar por el modelo de regresión? (d) Pronostique el pico de fotovoltaje cuando el % de absorción sea 19.1 y calcule el valor del residuo correspondiente. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

9.1 Ejercicios Resueltos

157

(e) Se piensa que hay una regresión lineal u ´til entre % de absorción y pico de fotovoltaje. ¿Está de acuerdo?. Realice una prueba formal. ´ SOLUCION (a) Observando el gráfico de dispersión siguiente se sugiere que hay una asociación lineal entre el % de absorción de luz y el pico de fotovoltaje

Figura 9.1: Gráfico de dispersión (b) La ecuación de la recta estimada es la siguiente: yˆ = βˆ0 + βˆ1 x con βˆ0 = y − βˆ1 x

y

Sxy βˆ1 = Sxx

de los datos obtenemos que y = 0,8088889

y

x = 19,96667

además se obtienen también

Sxx =

9 X

(xi − x)2

= 746,4

(yi − y)2

= 1,514089

i=1

Syy =

9 X i=1

Sxy =

9 X

(xi − x)(yi − y) = 33,32567

i=1 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

158

Cap´ıtulo 9. An´ alisis de Regresi´ on luego, reemplazando tenemos que βˆ0 = −0,08259353

y

βˆ1 = 0,04464854

quedando la ecuación de la recta estimada como sigue yî = −0,08259353 + 0,04464854 · xi (c) Lo que se pide corresponde a la definición de R2 R2 =

SSE SSR =1− Syy Syy

donde

SSE = Syy − βˆ1 · Sxy = 1,514089 − 0,04464854 · 33,32567 = 0,02614669 reemplazando tenemos que

R2 = 1 −

0,02614669 1,514089

= 0,9827311 ≈ 98,27 % Luego, el modelo explica el 98.27 % de variabilidad presente en los datos, lo que se considera muy bueno. (d) El pronóstico cuando el % de absorción es de 19.1 es

yˆ = −0,08259353 + 0,04464854 · 19,1 = 0,7701936 El residuo será la diferencia entre el verdadero valor observado para x = 19,1 y el calculado por medio de la recta de estimación Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

9.1 Ejercicios Resueltos

159

x y yˆ 19,1 0,68 0,7701936 luego el residuo es e = 0,68 − 0,7701936 = −0,0901936 (e) Dado que se pide una verificación para la regresión lineal, tenemos que probar si el coeficiente β1 es significativo, es decir distinto de cero. La hipótesis a docimar es la siguiente: H0 : β1 = 0

H1 : β1 6= 0

vs

El estad´ıstico de prueba es tc =

βˆ1 − 0 s.e(βˆ1 )

Se rechaza H0 si |tc | > t(n−2),1− α2 Tenemos que s s.e(βˆ1 ) =

σ ˆ2 Sxx

y

σ ˆ2 =

=

SSE n−2 0,02614669 7

= 0,003735241 luego el estad´ıstico Tc queda Tc =

0,04464854 − 0 q = 19,95877 0,003735241 746,4

al comparar tenemos que |Tc | = 19,95877 > t7,1− α2 = 2,364624.

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

160

Cap´ıtulo 9. An´ alisis de Regresi´ on Existe suficiente evidencia para rechazar H0 con un 95 % de confianza, es decir, hay una relación lineal u ´til entre el % de absorción de luz y el pico de fotovoltaje. EJERCICIO 4 En el cultivo de tejidos in vitro se ha observado que si se colocan dos n´ ucleos, a esto se llama un campo de atracción, los campos de atracción se forman con mayor frecuencia si los n´ ucleos están cercanos. En un experimento se colocaron 20 n´ ucleos a distancias diferentes y se midió la incidencia de campos de atracción (Y ) para las diferencias distancias (X). Lamentablemente se borró parte del análisis de regresión y se le solicita completarlo. (a) Completa la tabla ANOVA que se entrega a continuación: Tabla ANOVA Fuente g.l SS MS Regresión 1 2.0559 Error Total

F 301.08

(b) ¿Qué porcentaje de la variable total está siendo explicada por el modelo? (c) Utilizando la siguiente información realice test de hipótesis para los parámetros del modelo. Concluya. Ecuaci{\’o}n de regresi{\’o}n Y = 1.18 - 0.278 X Predictor Coef Stdev t-ratio Const 1.176232 0.03839 30.64 Distancia -0.278010 0.01602 -17.35

´ SOLUCION

(a) La tabla ANOVA esta compuesta de los siguientes elementos.

Fuente Regresión Error Total

Tabla ANOVA g.l SS MS F p SSR SSR /p M SR /M SE n − 1 − p SSE SSE /(n − 1 − p) n−1 SST

luego la tabla queda Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

9.1 Ejercicios Resueltos

161

Fuente Regresión Error Total

Tabla ANOVA g.l SS MS F 1 2.0559 301.08 0.1229 18 0.1229 0.0068 19 2.1788

(b) Lo que se pide es el R2 . R2 =

SSE SSR =1− Syy Syy

reemplazando tenemos que

R2 = 1 −

0,1229 2,1788

= 0,9435928 ≈ 94,36 % luego, el modelo explica el 94.36 % de variabilidad presente en los datos. (c) Mediante el test T docimaremos las siguientes hipótesis: Ho : β0 = 0

vs

H1 : β0 6= 0

Ho : β1 = 0

vs

H1 : β1 6= 0

y donde la región de rechazo para este caso esta definida por R : |Tc | > tn−2;1− α2 Como t7,0,975 = 2,365 tenemos que |T0 | = 30,64 > t7,0,975 y |T1 | = 17,35 > t7,0,975 , en ambos casos se rechaza H0 con un 95 %, es decir, los parámetros son significativos. EJERCICIO 5 Se ha comprobado que las aleaciones amorfas tienen una excelente resistencia a la corrosión. En Corrosion Science(Septiembre de 1993) se informó de la resistividad de una aleación amorfa de hierro, boro y silicio después de la cristalización. Se reconocieron cinco espec´ımenes de la aleación a 700o C, cada uno durante un intervalo de tiempo distinto. Después se midió el potencial de pasivación -una medida de la resistividad de la aleación cristalizada- para cada espec´ımenes. Los datos experimentales son los siguientes: Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

162

Cap´ıtulo 9. An´ alisis de Regresi´ on Tiempo de Recorrido Potencial de Pasivación (minutos) (m V) y x 10 -408 -400 20 45 -392 -379 90 120 -385 (a) Construya un diagrama de dispersión para los datos. (b) Suponiendo que la mejor forma de describir la relación entre las variables es con una l´ınea recta, utilice el método de m´ınimos cuadrados para estimar la ordenada al origen y la pendiente de la l´ınea recta. Interprete estos valores. (c) Trace la l´ınea de m´ınimos cuadrados sobre el diagrama de dispersión. (d) Seg´ un la l´ınea de m´ınimos cuadrados. ¿Cuál es el potencial de pasivación esperado y, cuando el tiempo de recocido es de x = 30 minutos?. (e) Calcule el R2 para este modelo. Proporcione una interpretación de esta cantidad. (f) Realice los test individuales con α = 0,05, H0 : βi = 0 vs H1 : βi 6= 0, i = 0, 1. ´ SOLUCION

(a) En la figura se muestra el gráfico de dispersión de los datos.

Figura 9.2: Gráfico de Dispersión (b) Lo estimadores de m´ınimos cuadrados para la ordenada de origen (βˆ0 ) y la pendiente de la l´ınea recta (βˆ1 ) son: Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

9.1 Ejercicios Resueltos

163

Sxy βˆ1 = Sxx

βˆ0 = y − βˆ1 x

y

Para poder estimarlos necesitamos

Sxx =

5 X

(xi − x)2

= 8780

(yi − y)2

= 534,8

i=1

Syy =

5 X i=1

Sxy =

5 X

(xi − x)(yi − y) = 1918

i=1

además y = −392,8

y

x = 57

reemplazando tenemos que βˆ1 = 0,218451

y

βˆ0 = −405,2517

luego la recta es de la forma yˆ = −405,2517 + 0,218451 · x (c) Ahora sobre el gráfico de dispersión se construye la recta de regresión.

Figura 9.3: Recta de regresión

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

164

Cap´ıtulo 9. An´ alisis de Regresi´ on (d) El potencial de pasivación esperado y, cuando el tiempo de recorrido es de x = 30 minutos es yˆ = −405,2517 + 0,218451 · 30 = −398,6982 (e) Para poder calcular el R2 necesitamos SSE = Syy − βˆ1 · Sxx = 534,8 − 0,218451 · 1918 = 115,811 luego reemplazando tenemos

R2 =

SSR Syy

=1−

SSE Syy

=1−

115,811 534,8

= 0,78345 ≈ 78,35 % (f) Se pide docimar hipótesis para β0 = 0 y β1 = 1. Docimemos primero la siguiente: H0 : β0 = 0

vs

H1 : β0 6= 0

el estad´ıstico de prueba es βˆ0 − β0,0 tc = q ˆ V ar(β) βˆ0 − β0,0 =r n o 2 σ ˆ n1 + Sxxx

=r

βˆ0 − β0,0 n o SSE 1 x2 · + n−2 n Sxx

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

9.1 Ejercicios Resueltos

165

=q

−405,2517 − 0 115,811 572 · 15 + 8780 5−2

= −86,38847 La región de rechazo esta dada por |tc | > t(n−(k+1)),1− α2 ,

donde k es el no de variables explicativas

considerando un α = 0,05 (95 % de confianza), se tiene que: t(n−(k+1)),1− α2 = t(5−2),0,975 = 3,182446 Como |tc | = 86,38847 > t3,0,975 = 3,182446, existe evidencia suficiente bajo un 95 % de confianza para rechazar H0 , es decir, el parámetro β0 es significativo considerándose como distinto a cero. Ahora docimemos la siguiente hipótesis H0 : β = 1

H1 : β 6= 1

vs

el estad´ıstico de prueba es βˆ1 − β1,0 tc = q V ar(βˆ1 )

=

βˆ1 − β1,0 q σ ˆ Sxx

=

0,218451 − 0 q 115,811 5−2

8780

= 3,294481 La región de rechazo al igual que el caso anterior esta dada por |tc | > t(n−(k+1)),1− α2 ,

donde k es el no de variables explicativas

considerando nuevamente α = 0,05 (95 % de confianza) t(n−(k+1)),1− α2 = t3,0,975 = 3,182446 Como |tc | = 3,294481 > t3,0,975 = 3,182446, existe evidencia suficiente bajo un 95 % de confianza para rechazar H0 , es decir, el parámetro β1 es significativo y se puede considerar como distinto a cero. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

166

Cap´ıtulo 9. An´ alisis de Regresi´ on EJERCICIO 6 La presencia de carburos duros en aleaciones de hierro blanco con alto cromo da como resultado una excelente resistencia a la abrasión, por lo mismo son adecuados para el manejo de materiales en la industria minera. Los datos de y = pérdida por desgaste abrasivo (mm3 ) y x = contenido de austenita retenida ( %), en pruebas de desgaste de pernos con granete como abrasivo, fueron analizados con un modelo de regresión lineal simple. Utilice el resultado que se presenta de MINITAB para contestar las siguientes preguntas: ¿Cuál es la ecuación de la recta de regresión estimada? Complete la tabla de análisis de varianza (tabla ANOVA). ¿Qué proporción de la variación observada de pérdida de desgaste se puede atribuir al modelo de regresión lineal simple para esa relación? Pruebe la utilidad del modelo de regresión lineal simple, use α = 0,01. Estime la pérdida real promedio por desgaste cuando el contenido es 50 % ofreciendo información acerca de la confiabilidad y la precisión. ¿Qué valor de pérdida por desgaste pronosticar´ıa cuando el contenido es 30 %, y cuál es el valor del residuo correspondiente, sabiendo que el valor observado fue de 0.80? Otros datos relevantes: n X

x2i = 41574,84

y

x = 42,32941

i=1

Regression Analysis: y versus x Predictor Coef Constant 0.787218 x 0.007570

SE Coef 0.09525879 0.00192626

T 8.264 3.930

P 0.0001 0.0013

Analysis of Variance (tabla ANOVA) Source Regression Residual Error Total

DF

SS 0.63690

MS

F

15 1.25551

´ SOLUCION (a) Con los datos entregados por la salida de Minitab la recta de regresión estimada es: yˆ = 0,787218 + 0,007570x Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

9.1 Ejercicios Resueltos

167

(b) La tabla Anova queda como sigue:

Fuente Regresión Error Total

Tabla ANOVA g.l SS MS F 1 0.6369 0.6369 15.443 15 0.6186 0.04124 16 1.2555

(c) Se pide el R2 .

R2 =

=

SSR Syy 0,6369 1,255

= 0,5072 ≈ 50,72 % luego, el modelo explica un 50.72 % de variabilidad presente en los datos. (d) Observando el valor-p de x, tenemos que valor-p = 0,0013 < 0,01 = α Por lo tanto se rechaza la hipótesis H0 : β1 = 0. (e) La estimación para la pérdida real promedio por desgaste cuando el contenido es 50 % es: yˆ = 0,787218 + 0,00757 · 50 = 1,165718 (f) El valor de pérdida por desgaste que pronosticar´ıa cuando el contenido es 30 % es: yˆ = 0,787218 + 0,00757 · 30 = 1,014318 Sabiendo que le verdadero valor observado fue 0.8, el residuo es e = y − yˆ = 0,8 − 1,014318 = −0,214318 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

168

Cap´ıtulo 9. An´ alisis de Regresi´ on EJERCICIO 7 Se ha observado que para predecir la demanda (consumo) de combustible para la calefacción, resulta ser más preciso el pronóstico a largo plazo de las temperaturas y el uso de la relación temperatura-consumo que el tratar de pronosticar directamente analizando las ventas de combustible. Un distribuidor de combustible mantiene un registro de ventas mensuales de combustible y de temperaturas máximas en esos meses. A continuación aparecen los datos de nueve de estos meses seleccionados al azar. Ventas (y) 26.2 Temperaturas (x) 46.5

17.4 54.6

7.8 12.3 65.2 62.3

35.9 41.9

42.1 38.6

26.4 19.0 43.7 52.0

10.1 59.8

(a) Encuentre la recta de m´ınimos cuadrados para estos datos. (b) Grafique los puntos y la recta como una verificación de sus cálculos. (c) Utilice la ecuación de la recta ajustada para predecir la venta observada cuando la temperatura es de 50o F. (d) Estime σ 2 . (e) Pruebe la significancia de la regresión con α = 0,5. ¿A qué conclusiones puede llegarse? (f) Encuentre un intervalo de confianza del 90 % para las ventas mensuales esperadas (medias) en aquellos meses en que el promedio de la temperatura máxima sea de 45o F. (g) Calcule e interprete el R2 . ´ SOLUCION

(a) Para poder calcular los estimadores de la recta de regresión, necesitamos los siguientes resultados:

Total

x y x2 y2 x·y 46.5 26.2 2162.25 686.44 1218.30 54.6 17.4 2981.16 302.76 950.04 65.2 7.8 4251.04 60.84 508.56 62.3 12.3 3881.29 151.29 766.29 41.9 35.9 1755.61 1288.81 1504.21 38.6 42.1 1489.96 1772.41 1625.06 43.7 26.4 1909.69 696.96 1153.68 52.0 19.0 2704.00 361.00 988.00 59.8 10.1 3576.04 102.01 603.98 464.6 197.2 24711.04 5422.52 9318.12

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

9.1 Ejercicios Resueltos

169

de la tabla anterior se extraen los siguientes resultados: 9 X

xi

=

464,6 ⇒ X = 51,62

yi

=

197,6 ⇒ Y = 21,91

x2i

= 24711,04

yi2

=

5422,52

xi yi =

9318,12

i=1 9 X i=1 9 X i=1 9 X i=1 9 X i=1

Con esto podemos calcular

Sxx =

9 X

2

= 24711,04 − 9 · (51,62)2

=

729,4204

2

= 5422,52 − 9 · (21,91)2

=

1102,0871

x2i − 9X

i=1

Syy =

9 X

yi2 − 9Y

i=1

Sxy =

9 X

xi yi − 9X · Y

= 9318,12 − 9 · (51,62)(21,91) = −860,8278

i=1

Luego Sxy −860,8278 βˆ1 = = = −1,180 Sxx 729,4204 βˆ0 = Y − βˆ1 X = 21,91 + 1,180 · 51,62 = 82,822 Donde la recta de regresión es: yˆ = 82,822 − 1,180x (b) El gráfico de los puntos y la recta de regresión se presenta a continuación Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

170

Cap´ıtulo 9. An´ alisis de Regresi´ on

Figura 9.4: Recta de regresión (c) La predicción de las ventas para una temperatura de 50o F es: yˆ = 82,822 − 1,180 · 50 = 23,822 (d) Tenemos que σ ˆ2 =

SSE n−2

SSE = Syy − βˆ1 Sxy

y

Con los resultados obtenidos en (a) se calcula SSE.

SSE = Syy − βˆ1 Sxy = 1102,0871 + 1,180 · (−860,8278) = 86,31 Luego σ ˆ2 =

86,31 = 12,33 7

(e) La hipótesis de significancia para la regresión es: Ho : β1 = 0

vs

Se rechaza Ho si |T1 | > tn−2;1− α2 , donde T1 =

H1 : β1 6= 0 βˆ1 . se(βˆ1 )

Para este caso tenemos que: Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

9.1 Ejercicios Resueltos

171

−1,180 T1 = se(βˆ1 ) T1 = −

con

se(βˆ1 ) =

r

12,33 = 0,13 729,4204

1,180 ≈ −9,1 0,13

como t7;0,975 = 2,365 tenemos que |T1 | > t7;0,975 . Luego rechazamos la hipótesis nula, es decir, los datos presentan suficiente evidencia de que las ventas de combustible están relacionadas linealmente con la temperatura. (f) El intervalo pedido es el siguiente: s ˆy/x0 ∓ tn−2;1− α2 IC(µy/x0 ) = µ

σ ˆ2

1 (x0 − x)2 + n Sxx

Reemplazando s

IC(µy/45 ) = (82,822 − 1,180 · (45)) ∓ 1,895 12,33

1 (45 − 51,62)2 + 10 729,4204

= 29,72 ∓ 2,66 = (27,06; 32,38) (g) R2 = 1 −

SSE Syy

=1−

86,31 1102,0871

= 0,9268

Existe un 92.68 % de variación en los datos mensuales que se explica por la temperatura máxima promedio.

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

172

Cap´ıtulo 9. An´ alisis de Regresi´ on EJERCICIO 8 Los siguientes datos se refieren al flujo de cloro (X, en cm3 normales por minuto) por una boquilla, utilizada en el mecanismo de grabado, y la rapidez de grabado (Y , en 100 A/min). X Y

1.5 1.5 2.0 2.5 2.5 3.0 3.5 3.5 4.0 23.0 24.5 25.0 30.0 33.5 40.0 40.5 47.0 49.0

P P P P Los estad´ısticos de resumen son: xi = 24,0, x2i = 70,50, yi = 312,5, yi2 = 11626,75, P xi yi = 902,25, βˆ0 = 6,448718, βˆ1 = 10,602564. (a) ¿El modelo de regresión lineal simple especifica una relación u ´til entre el flujo de cloro y la rapidez de grabado? (b) Estime el cambio real promedio de rapidez de grabado asociado con un aumento de 1 cm3 normal por minuto en el flujo, con un intervalo de confianza del 95 %, e interprete el intervalo. (c) Calcule el intervalo de confianza de 95 % de confianza para µY |x=3 , la rapidez real promedio de grabado cuando el flujo es igual a 3. ¿Se estimó con precisión este promedio? (d) Calcule el intervalo de predicción de 95 % de confianza para una sola observación futura sobre la rapidez de grabado cuando el flujo es igual a 3. ¿Es probable que la predicción sea exacta? (e) ¿Recomendar´ıa calcular un intervalo de predicción de 95 % para un flujo de 6? Explique. ´ SOLUCION

(a) Hay que realizar el test: H0 : β1 = 0

H1 : β1 6= 0

vs

El estad´ıstico de prueba es tc =

βˆ1 s.e(βˆ1 )

Se rechaza H0 si |tc | > t α2 (n − 2) Tenemos que s s.e(βˆ1 ) =

σ ˆ2 Sxx

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

9.1 Ejercicios Resueltos

173

Necesitamos los siguientes resultados

Sxx =

9 X

2

)2 = 70,5 − 9 · ( 24 9

=

2

= 11626,75 − 9 · ( 312,5 )2 9

= 776,06

x2i − 9X

6,5

i=1

Syy =

9 X

yi2 − 9Y

i=1

Sxy =

9 X

= 902,25 − 9 · ( 24 )( 312,5 ) = 9 9

xi yi − 9X · Y

i=1

luego reemplazando obtenemos el valor de σ ˆ 2 como sigue:

σ ˆ2 =

SSE n−2

=

Syy − βˆ1 Sxy n−2

=

776,06 − 10602564 · 68,92 9−2

=

45,33 7

= 6,48 Luego s.e(βˆ1 ) =

r

6,48 = 0,998 6,2

por lo tanto el estad´ıstico de prueba queda como tc =

10,602564 ≈ 10,62 0,998

y considerando α = 5 % tenemos que t(n−2),1− α2 = t7,0,975 = 2,365 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

68,92

174

Cap´ıtulo 9. An´ alisis de Regresi´ on (a) como |tc | > 2,365 se rechaza H0 Por lo tanto el modelo de regresión lineal especifica una regresión u ´til entre X e Y . (b) Hay que encontrar un I.C. para β1 : h i ˆ ˆ α β1 ∈ β1 ∓ t(n−2), 2 · s.e(β1 ) β1 ∈ [10,602564 ∓ 2,365 · 0,998] β1 ∈ [8,2422; 12,9628] Con un 95 % de confianza, estimamos el cambio real promedio de rapidez de grabado entre 8.2422 y 12.9628 asociado con un aumento de 1 cm3 normal por minuto en el flujo. (c) El intervalo pedido es el siguiente: s IC(µy/x0 ) = µ ˆy/x0 ∓ tn−2;1− α2

σ ˆ2

1 (x0 − x)2 + n Sxx

luego necesitamos X=

24 = 2,67 9

además

µ ˆy/x0 =3 = βˆ0 + βˆ1 x0 = 6,448718 + 10,602564 · 3 = 38,25641 ahora reemplazando tenemos que "

s

µy/x0 =3 ∈ 38,25641 ∓ 2,365 6,48

1 (3 − 2,67)2 + 9 6,5

µy/x0 =3 ∈ [38,25641 ∓ 2,365 · 0,9102] Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

#

9.1 Ejercicios Resueltos

175

µy/x0 =3 ∈ [36,10; 40,41]

Se aprecia que s´ı se estimo con precisión este promedio, ya que si observamos la tabla de datos cuando x = 3, el valor de y es 40 y este valor pertenece al I.C. (d) El intervalo pedido es el siguiente: s IC(y0 ) ∈ y0 ∓ t

n−2;1− α 2

σ ˆ2

1 (x0 − x)2 1+ + n Sxx

necesitamos

yˆ0 = βˆ0 + βˆ1 x0 = 6,448718 + 10,602564 · 3 = 38,25641 Luego reemplazando s

# 1 (3 − 2,67)2 y0 ∈ 38,25641 ∓ 2,365 6,48 1 + + 9 6,5 "

y0 ∈ [38,25641 ∓ 2,365 · 2,70] y0 ∈ [31,87; 44,64]

Por lo tanto es probable que la predicción sea exacta. (e) No cambia ya que el nivel de confianza es el mismo. (f) Como el valor 6.0 está muy alejado del rango en el cual var´ıa x no ser´ıa recomendable calcular un I.C. EJERCICIO 9 Es dif´ıcil determinar la resistencia al corte de puntos de soldadura, mientras que es relativamente sencillo medir el diámetro de soldadura de puntos. Seria ventajoso si se pudiera predecir la resistencia al corte de una medición del diámetro de soldadura. Los datos son: Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

176

Cap´ıtulo 9. An´ alisis de Regresi´ on Y : Resistencia al corte (psi) X: Diámetro de soldadura (0.0001 pulg) 370 400 800 780 1210 1210 1600 1560 1980 2000 2500 2450 3070 3100 3550 3600 3940 4000 4000 3950 (a) ¿Existe evidencia para pensar que el ajuste de una regresión lineal es adecuada? (b) Docime si la correlación entre ambas variables es nula. (c) Determine la recta por m´ınimos cuadrados. (d) Calcule las varianzas de los parámetros encontrados. (e) Docime las hipótesis β1 = 1 y β0 = 0, usando un nivel de significación igual a 0.01. (f) Rectifique el punto anterior usando intervalos de confianza adecuados. ´ SOLUCION (a) La evidencia se puede obtener al graficar los puntos o calcular el coeficiente de correlación r.

Figura 9.5: Gráfico de puntos Del gráfico se aprecia una fuerte asociación lineal entre la resistencia al corte y el diámetro de la soldadura.

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

9.1 Ejercicios Resueltos

177

Calculemos ahora el coeficiente de correlación para verificar esta apreciación.

n X

r=

(xi − x)(yi − y)

s ni=1 X

(xi − x)2

i=1

n X i=1

n· = v u n u X u x2i − t n i=1

=p

=√

=

(yi − y)2

n X

xi yi −

i=1 n X

n X

xi

n X

i=1

!2   xi

 · n

i=1

yi

i=1 n X

yi2 −

n X

i=1

!2  yi



i=1

10 · 68674100 − 23210 · 22860 (10 · 69644100 − 538704100) · (10 · 67719400 − 522579600)

156160400 15773690 · 154614400

156160400 156167846

= 0,9999 Por lo tanto, como r = 0,9999 ≈ 1 hay una fuerte asociación lineal entre el diámetro de soldadura, la resistencia al corte, misma conclusión obtenida observando el gráfico. Hay evidencia emp´ırica para pensar que el ajuste de la regresión lineal es adecuado. (b) La hipótesis que se pide docimar es la siguiente: Sea ρ: correlación H0 : ρ = ρ 0

vs

H1 : ρ > ρ 0

esta prueba de hipótesis tiene una región de rechazo dada por: R = {Zc > z1−α } Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

178

Cap´ıtulo 9. An´ alisis de Regresi´ on donde Zc =

=

=

1 2

1+r 1−r

ln

− 21 ln

1+ρ0 1−ρ0

√1 n−3

1 2

1+r 1−r

ln

√1 n−3

1 2

ln (1999) √1 7

= 10,05439 considerando α = 0,05 tenemos que z1−0,05 = 1,64. Luego, como Zc = 10,05439 > z1−α = 1,64, existe evidencia suficiente para rechazar H0 , esto implica que la correlación entre ambas variables no es nula. (c) La estimación de la recta por m´ınimos cuadrados está dada por ˆ yˆ = α ˆ + βx donde α ˆ y βˆ son los estimadores de m´ınimos cuadrados. n X

βˆ =

(xi − x)(yi − y)

i=1

n·

n X

(xi − x)2

i=1

n· =

n X

x i yi −

i=1

n·

n X i=1

=

n X

xi

i=1

x2i −

n X

n X

yi

i=1

!2 xi

i=1

10 · 68674100 − 23210 · 2280 10 · 69644100 − 538704100

= 0,99

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

9.1 Ejercicios Resueltos

179

α ˆ = y − βˆ · x = 22,86 − 0,99 · 2321 = 2286 − 2297,79 = −11,79 As´ı la recta es yˆ = −11,79 + 0,99 · x n X

ˆ = (d) V ar(β)

(xi − x)2

i=1  n X  (xi 

2 V

ar(yi )

− x)2 

i=1

como V ar(yi ) = σ 2 tenemos que ˆ = V ar(β)

σ2 n X

(xi − x)2

i=1

ahora para α ˆ

ˆ − 2xCov(y, β) ˆ V ar(ˆ α) = V ar(y) + x2 V ar(β)

=

σ2 σ2 + x2 n − 2x · 0 X n 2 (xi − x) i=1





  2   1 x  = σ2  + n n X    (xi − x)2 i=1

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

180

Cap´ıtulo 9. An´ alisis de Regresi´ on

σ = n·

2

n X

x2i

i=1 n X

(xi − x)2

i=1

pero notese que σ 2 hay que estimarlo. SCE σ ˆ = , n−1 2

donde SCE =

n X

e2i

=

i=1

n X

(yi − yî )2

i=1

luego reemplazando tenemos que 10 X

ei = (−14,19942)2 + (−0,2016205)2 + (23,89612)2 + (−12,20603)2 + (11,79177)2

i=1

+ (−13,21099)2 + (12,78571)2 + (−2,217046)2 + (−8,21925)2 + (1,78075)2 = 1474,369 luego la estimación de σ 2 es σ ˆ2 =

por lo tanto, como tenemos que

1474,369 = 163,8187 10 − 1

10 X

(xi − x)2 = 15773690 y al reemplazar en las igual-

i=1

dades obtenidas para α ˆ y βˆ se calculan las varianzas para estos parámetros:

ˆ = 163,8187 V ar(β) 15773690 = 0,00001038557

V ar(ˆ α) =

=

163,8187 · 69644100 10 · 15773690 11409007637 157736900

= 72,32935 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

9.1 Ejercicios Resueltos

181

(e) Se pide docimar hipótesis para α = 0 y β = 1. Docimemos primero la siguiente: H0 : α = 0

vs

H1 : α 6= 0

el estad´ıstico de prueba es α ˆ−α tc = p V ar(ˆ α) −11,79 − 0 = √ 72,32935 = −1,386298 La región de rechazo está dada por |tc | > t(n−(k+1)),1− α2 ,

donde k es el no de variables explicativas

considerando un α = 0,01 (99 % de confianza) t(n−(k+1)),1− α2 = t(10−2),0,995 = 3,355387 Como |tc | = 1,386298 ≯ t8,0,995 = 3,355387, no existe evidencia suficiente bajo un 99 % de confianza para rechazar H0 , es decir, el parámetro α no ser´ıa significativo y se puede considerar como igual a cero. Ahora docimemos la siguiente hipótesis H0 : β = 1

vs

H1 : β 6= 1

el estad´ıstico de prueba es βˆ − β tc = q ˆ V ar(β)

=√

0,99 − 1 0,00001038557

= −3,103022 La región de rechazo, al igual que el caso anterior, está dada por |tc | > t(n−(k+1)),1− α2 ,

donde k es el no de variables explicativas

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

182

Cap´ıtulo 9. An´ alisis de Regresi´ on considerando nuevamente α = 0,01 (99 % de confianza) t(n−(k+1)),1− α2 = t8,0,995 = 3,355387 Como |tc | = 3,103022 ≯ t8,0,995 = 3,355387, no existe evidencia suficiente bajo un 99 % de confianza para rechazar H0 , es decir, el parámetro β se puede considerar como igual a uno. (f) Haremos I.C al 99 % para los parámetros α y β. El I.C(α) esta dado por

α) α∈ α ˆ ∓ t α2 (n − 2) · s.e(ˆ h

α ∈ −11,79 ∓ 3,355387 ·

p

i 72,32935

α ∈ [−40,32645; 16,74645] como en el I.C se encuentra el cero, se ratifica lo obtenido en (e) El I.C(β) esta dado por h

i ˆ ˆ α β ∈ β ∓ t 2 (n − 2) · s.e(β) h

β ∈ 0,99 ∓ 3,355387 ·

p

i 0,00001038557

β ∈ [0,9791867; 1,000813] como en el I.C se encuentra el uno, también se ratifica lo obtenido en (e) para β. EJERCICIO 10 Demuestre que en el modelo de regresión lineal simple yi = β0 + β1 xi + εi los estimadores βˆ0 y βˆ1 pueden ser escritos como combinaciones lineales de las respuestas yi . Encuentre expl´ıcitamente las constantes en la combinación lineal.

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9.1 Ejercicios Resueltos

183

´ SOLUCION Sabemos que al m´ın

n X

β0 β1

ε2i

i=1

se obtiene: βˆ0 = y − βˆ1 x n X

βˆ1 =

(xi − x)(yi − y)

i=1 n X

(xi − x)2

i=1

en el caso de βˆ1 se tiene que n X

(xi − x)(yi − y) =

n X

(xi yi − xi y − xyi + xy)

i=1

i=1

=

n X

(xi yi − y(xi − x) − xyi )

i=1

=

n X

yi (xi − x) − y(xi − x)

i=1

=

n X

yi (xi − x) − y

n X i=1

i=1

=

n X

yi (xi − x) − y · 0

i=1

=

n X

yi (xi − x)

i=1

luego n X

βˆ1 =

(xi − x)

i=1

Sxx

yi =

n X

di yi

i=1

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(xi − x)

184

Cap´ıtulo 9. An´ alisis de Regresi´ on

donde di =

(xi −x) Sxx

y Sxx =

n X

(xi − x)2 .

i=1

para βˆ0 tenemos que n X

βˆ0 = y −

=

n X i=1

=

n X

(xi − x)

i=1

yi x

Sxx  1 − n

X

(xi − x) Sxx

 x yi

ci yi

i=1 n X

con ci =

1 n

−

(xi − x)

i=1 Sxx

x

EJERCICIO 11 Demuestre que n σ2 X 2 ˆ β0 ∼ N (β0 , x) y nSxx i=1 i

con Cov(βˆ0 , βˆ1 ) = −

σ2 βˆ1 ∼ N (β1 , ) Sxx σ2x Sxx

´ SOLUCION Como yi ∼ N (β0 + β1 xi , σ 2 ) y βˆ0 es combinación lineal de yi entonces βˆ0 ∼ N (·, ·) donde los parámetros son:

E(βˆ0 ) = E

n X

! ci E(yi )

i=1

=

n X

ci (β0 + β1 xi )

i=1

=

n X 1 i=1

(xi − x) − n Sxx x

(β0 + β1 xi )

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

9.1 Ejercicios Resueltos

185

= β0

= β0

n X

ci + β1

n X

ci xi

i=1

i=1

n X

n X xi

ci + β1

i=1

i=1

(xi − x)xi x − n Sxx

(

n x X x− (xi − x)xi Sxx i=1

= β0 + β1

x Sxx = β0 + β1 x − Sxx = β0 n X

V ar(βˆ0 ) = V ar

! ci yi

i=1

ind

=

n X

V ar(ci yi )

i=1

=σ

2

n X

c2i

i=1

" =σ

2

n 1 X 2 x nSxx i=1 i

#

para βˆ1 E(βˆ1 ) = E

n X

! di yi

i=1

=

n X

di (β0 + β1 xi )

i=1

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

)

186

Cap´ıtulo 9. An´ alisis de Regresi´ on

= β0

n X

di + β1

n X

i=1

di xi

i=1

n X

(xi − x)xi

= 0 + β1 i=1

Sxx

=0 n X

V ar(βˆ1 ) = V ar

! di yi

i=1

ind

= σ

n X

2

d2i

i=1

= σ2

n X (xi − x)2

Sxx

i=1

=

σ2 Sxx

Finalmente la covarianza es Cov(βˆ0 , βˆ1 ) = Cov

n X

ci yi ,

i=1

=

n X n X

n X

! di yi

i=1

ci dj Cov(yi , yj )

i=1 j=1

ind

= σ

2

n X

ci di

i=1

=σ

2

n X 1 i=1

=σ

2

(xi − x) x − n Sxx

n X 1 (xi − x) i=1

n

Sxx

(xi − x) Sxx

(xi − x)2 x − 2 Sxx

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

9.1 Ejercicios Resueltos

187

=σ

2

=−

x 0− Sxx

σ2x Sxx

EJERCICIO 12 Montgomery y Peck (1992) describen el uso de un modelo de regresión para relacionar la cantidad de tiempo que requiere un vendedor para dar servicio a una maquina expendedora de refrescos, con el n´ umero de envases contenidos en la maquina (X1 ) y la distancia del veh´ıculo de servicio al sitio donde se encuentra la máquina (X2 ). Los datos se presentan a continuación: Obs. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Y X1 9,95 2 24,45 8 31,75 11 35,00 10 25,02 8 16,86 4 14,38 2 9,60 2 24,35 9 27,50 8 17,08 4 37,00 11 41,95 12 11,66 2 21,65 4 17,89 4 69,00 20 10,30 1 34,93 10 46,59 15 44,88 15 54,12 16 56,23 17 22,13 6 21,15 5

X2 50 110 120 550 295 200 375 52 100 300 412 400 500 360 205 400 600 585 540 250 290 510 590 100 400

(a) Construya el modelo. (b) Determine paso a paso la tabla ANOVA y concluya. ´ SOLUCION

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188

Cap´ıtulo 9. An´ alisis de Regresi´ on (a) El modelo es el siguiente: Y = β0 + β1 X1 + β2 X2 + ε para calcular el modelo ajustado Yˆ = βˆ0 + βˆ1 X1 + βˆ2 X2 necesitamos encontrar los estimadores de m´ınimos cuadrados a partir de βˆ = (X 0 X)−1 X 0 Y luego tenemos que 

25 X



25 X

Xi1 Xi2  n  i=1 i=1  25 25 25  X X X  0 2 (X X) =  Xi1 Xi1 Xi1 Xi2  i=1 i=1  i=1 25 25 25  X X X  2 Xi2 Xi1 Xi2 Xi2 i=1

i=1

     25 206 8294    206 2396 77177  =  8294 77177 3531848   

i=1

Invirtiendo (X’X) queda 

(X 0 X)−1

 0,2146526166 −0,00749091422 −3,403891e − 004 0,00167076313 −1,891781e − 005  =  −0,0074909142 −0,0003403891 −0,00001891781 1,495876e − 006

y 

25 X

Yi   i=1  25  X  X 0Y =  Xi1 Yi   i=1 25  X  Xi2 Yi

      725,42    8001,67  =  274580,71   

i=1

por lo tanto los estimadores de m´ınimos cuadrados son:  ˆ      β0 0,2146526166 −0,00749091422 −3,403891e − 004 725,42  βˆ1  =  −0,0074909142 0,00167076313 −1,891781e − 005  ·  8001,67  −0,0003403891 −0,00001891781 1,495876e − 006 274580,71 βˆ2  ˆ    β0 2,30920043  βˆ1  =  2,74036942  0,01243958 βˆ2 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

9.1 Ejercicios Resueltos

189

luego el modelo ajustado es Yˆ = 2,30920043 + 2,74036942 · X1 + 0,01243958 · X2 (b) La tabla ANOVA tiene la siguiente forma

Fuente Regresión Error Total

Tabla ANOVA g.l SS MS F k − 1 SSR SSR /(k − 1) M SR /M SE n − k SSE SSE /(n − k) n − 1 SST

para rellenarla necesitamos n X

SST = Y 0 Y −

!2 yi

i=1

n

= 27133,39 − 21049,37 = 6084,021 n X

ˆ0

0

SSR = β X Y −

!2 yi

i=1

n

= 27018,34 − 21049,37 = 5968,974 SSE = SST − SSR = 115,0465 nótese que σ ˆ2 = S2 =

SSE , n−k

donde k es la cantidad de parámetros a estimar. Luego σ ˆ2 =

115,0465 = 5,229388 25 − 3

Ahora la tabla rellenada queda como sigue: Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

190

Cap´ıtulo 9. An´ alisis de Regresi´ on

Fuente Regresión Error Total

Tabla ANOVA g.l SS MS 2 5968.974 2984.487 22 115.0465 5.229388 24 6084.021

F 570.7144

Para docimar la hipótesis: H0 : β1 = β2 = 0

vs

H1 : Al menos un βi 6= 0 para i = 1, 2

Se compara el FAN OV A con un Fk−1;n−k;1−α de tabla. Si FAN OV A > Fk−1;n−k;1−α

⇒

se rechaza H0

como FAN OV A = 570,7144 > 3,443357 = F2;22 (0,95) Se rechaza H0 , es decir, la regresión es significativa. Al calcular el R2 tenemos que R2 =

SSR = 0,9810904 SST

luego el porcentaje de variabilidad presente en los datos es de 98.11 % aproximadamente.

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

9.2 Ejercicios Propuestos

9.2.

191

Ejercicios Propuestos

˜ 1. Un art´ıculo publicado en Concrete Research (Near Surface Characteristics of Concrete: Intrinsic Permeability’, vol. 41, 1989) presenta datos sobre la resistencia a la compresión x y la permeabilidad intr´ınsica y de varias mezclas y tratamientos de concreto. P P 2 P El resumen yi = 572, yi = 23530, xi = P es el siguiente: n = 14, P 2 de cantidades xi yi = 1697,80. Suponga que las dos variables están rela43, xi = 157,42 y cionadas de acuerdo con el modelo de regresión lineal simple. a) Calcule las estimaciones de m´ınimos cuadrados de la pendiente y la ordenada al origen. b) Utilice la ecuación de la recta ajustada para predecir la permeabilidad que será observada cuando la resistencia a la compresión sea x = 4,3. c) Proporcione una estimación puntual de la permeabilidad promedio cuando la resistencia a la compresión para x = 3,7. d ) Suponga que el valor observado de la permeabilidad para x = 3,7 es y = 46,1. Calcule el valor del residuo correspondiente. 2. Un art´ıculo publicado en W ear (vol. 152, 1992, págs. 171-181) presenta datos sobre el desgaste del acero dulce y la viscosidad del aceite. A continuación aparecen datos representativos, con x = viscosidad del aceite y y = volumen de desgaste (10−4 mm3 ). y 240 x 1.6

181 193 9.4 15.5

155 172 20.0 22.0

110 35.5

113 43.0

75 94 40.5 33.0

a) Construya una gráfica de dispersión de los datos. ¿Parece plausible el uso de un modelo de regresión lineal simple? b) Si parece plausible, ajuste un modelo de regresión lineal simple utilizando la técnica de m´ınimos cuadrados. c) Haga una predicción sobre el desgaste cuando la viscosidad es x = 30. d ) Obtenga el valor ajustado de y cuando x = 22,0 y calcule el residuo correspondiente. 3. Un art´ıculo publicado en el Journal of Environmental Engineering (vol. 115, n´ um. 3, 1989, págs. 608-619) informa los resultados de un estudio sobre la aparición de sodio y cloro en los arroyos de la parte central de Rhode Island. Los datos siguientes muestran la concentración de cloro y (en mg/l) y el área que rodea a la cuenca x (en porcentaje). y 4.4 x 0.19 y 14.7 x 0.78

6.6 0.15 15.0 0.81

9.7 0.57 17.3 0.78

10.6 0.70 19.2 0.69

10.8 10.9 11.8 12.1 0.67 0.63 0.47 0.70 23.1 27.4 27.7 31.8 1.30 1.05 1.06 1.74

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14.3 0.60 39.5 1.62

192

Cap´ıtulo 9. An´ alisis de Regresi´ on a) Dibuje un diagrama de dispersión de los datos. En este caso, ¿parece apropiado el uso de un modelo de regresión lineal simple? b) Ajuste un modelo de regresión lineal simple utilizando el método de m´ınimos cuadrados. c) Estime la concentración promedio de cloro para una cuenca que tiene un área que sea el 1 % de la superficie circunvecina. d ) Encuentre el valor ajustado que corresponde a x = 0,47 as´ı como el residuo correspondiente. 4. Considere los datos del ejercicio 1. para x = resistencia a la compresión y y = permeabilidad intr´ınseca del concreto. a) Pruebe la significancia de la regresión utilizando α = 0,05. Encuentre el valor-p de esta prueba. ¿Puede concluirse que el modelo especifica una relación lineal u ´til entre las dos variables? b) Estime σ 2 y la desviación estándar de βb1 . c) En este modelo, ¿cuál es el error estándar de la ordenada al origen? 5. El ejercicio 3, contiene datos para y = concentración de cloro y x = área que rodea la cuenca. a) Pruebe la hipótesis H0 : β1 = 0 contra H1 : β1 6= 0 utilizando el procedimiento del análisis de varianza con α = 0,01. b) Encuentre el valor-p de la prueba del inciso a). c) Estime σ 2 y los errores estándar de βb1 y βb0 . d ) Pruebe que H0 : β0 = 0 contra H1 : β0 6= 0 con α = 0,01. ¿Qué conclusiones pueden obtenerse? ¿Parece que el modelo ajustar´ıa mejor los datos si se eliminase la ordenada al origen? 6. Con los datos del ejercicio 1. para x = resistencia a la compresión y y = permeabilidad intr´ınseca del concreto: a) Encuentre un intervalo de confianza del 95 % para la pendiente. b) Encuentre un intervalo de confianza del 95 % para la ordenada al origen. c) Encuentre un intervalo de confianza del 95 % para la permeabilidad promedio cuando x = 2,5. d ) Encuentre un intervalo de confianza del 95 % para la permeabilidad cuando x = 2,5. Explique por qué este intervalo es mayor que el calculado en el inciso c). 7. Con respecto a los datos del ejercicio 2. sobre y = desgaste del acero dulce y x = viscosidad del aceite:

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9.2 Ejercicios Propuestos

193

a) Encuentre un intervalo de confianza del 95 % para la ordenada al origen. b) Encuentre un intervalo de confianza del 95 % para la pendiente. c) Encuentre un intervalo de confianza del 95 % para el desgaste promedio del acero dulce cuando la viscosidad del aceite es x = 30. 8. El ejercicio 3. presenta datos sobre y = concentración de cloro y x = área de la cuenca en la región de la cuenca en la central de Rhode Island. a) Encuentre un intervalo de confianza del 99 % para β1 . b) Encuentre un intervalo de confianza del 99 % para β0 . c) Encuentre un intervalo de confianza del 99 % para la concentración promedio de cloro cuando el área es x = 1,0 %. d ) Encuentre un intervalo de predicción del 99 % para la concentración de cloro cuando el área es x = 1,0 %. 9. El ejercicio 2. presenta datos sobre el volumen de desgaste y y viscosidad del aceite x. a) Calcule R2 para este modelo. Proporcione una interpretación de esta cantidad. b) Haga una gráfica de los residuos de este modelo contra yb y contra x. Interprete estas gráficas. c) Prepare una gráfica de probabilidad normal de los residuos. ¿Parece ser que se satisface la hipótesis de normalidad? 10. Con respecto al ejercicio 3: a) ¿Qué proporción de la variabilidad total en la concentración de cloro está explicada por el modelo de regresión? b) Utilice las observaciones repetidas en x = 70 y x = 78 para obtener una estimación del error puro con dos grados de libertad. c) Utilice el error puro calculado en el inciso b) para probar la falta de ajuste del modelo de regresión. Utilice α = 0,05. ¿Qué conclusión puede obtenerse sobre lo adecuado del modelo? d ) Haga una gráfica de los residuos contra yb y contra x. Interprete las gráficas. e) Prepare una gráfica de probabilidad normal de los residuos. ¿Parece que se satisface la hipótesis de normalidad? 11. A continuación se proporcionan los resultados obtenidos en la prueba final y los exámenes de 20 estudiantes seleccionados al azar, que tomaron un curso de estad´ıstica para ingenieros y otro en investigación de operaciones. Supóngase que los promedios finales tienen una distribución conjunta normal. Estad´ıstica 86 75 69 75 90 94 83 86 71 65 IO 80 81 75 81 92 95 80 81 76 72 Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

194

Cap´ıtulo 9. An´ alisis de Regresi´ on Estad´ıstica 84 71 62 90 83 75 71 76 84 97 IO 85 72 65 93 81 70 73 72 80 98 a) Encuentre la recta de regresión que relaciona el promedio final en estad´ıstica con el promedio final en IO. b) Pruebe la significancia de la regresión con α = 0,05. c) Estime el coeficiente de correlación. d ) Pruebe la hipótesis de que ρ = 0, utilizando para ello α = 0,05. e) Pruebe la hipótesis de que ρ = 0,5 utilizando α = 0,05. f ) Construya un intervalo de confianza del 95 % para el coeficiente de correlación. 12. Se observa y se nota la duración de un ciclo de una máquina automática. Segundos 2.10 Frecuencia 16

2.11 28

2.12 2.13 41 74

2.14 149

2.15 256

2.16 2.17 2.18 137 82 40

2.19 19

2.20 11

a) ¿La distribución normal parece ser un modelo de probabilidad razonable para la duración del ciclo? Utilice la prueba ji-cuadrada de bondad del ajuste, con α = 0,005. b) Encuentre el valor-p de esta prueba. 13. Los ingenieros civiles a menudo utilizan la ecuación de l´ınea recta E(y) = βb0 + βb1 x para modelar la relación entre la resistencia de corte media E(y) de las juntas de alba˜ niler´ıa y el esfuerzo de precompresión x. Con objeto de probar esta teor´ıa, se realizó una serie de pruebas de esfuerzo con tabiques sólidos dispuestos en tripletas y unidos con mortero (P roceedings of the Institute of Civil Engineers, marzo de 1990). Se varió el esfuerzo de compresión para cada tripleta y se registró la carga de corte máxima justo antes de la ruptura (llamada resistencia de corte). En la tabla se indican los resultados de esfuerzo para 7 tripletas (medidos en N/mm2 ). Prueba de tripleta Resistencia al corte, y Esfuerzo de compresión, x

1 1.00 0

2 3 4 5 6 7 2.18 2.24 2.41 2.59 2.82 3.06 .06 1.20 1.33 1.43 1.75 1.75

a) Grafique los siete puntos de datos en un diagrama de dispersión. ¿Parece ser lineal la relación entre la resistencia de corte y el esfuerzo de precompresión? b) Utilice el método de m´ınimos cuadrados para estimar los parámetros del modelo lineal. c) Interprete los valores de βb0 y βb1 . Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

9.2 Ejercicios Propuestos

195

14. El art´ıculo “Some Field Experience in the Use of an Accelerated Method in Estimating 28–Day Strength of Concrete”(J. Amer. Concrete Institute, 1969, p. 895) consideró la regresión de la resistencia estándar de curado y = 28 d´ıas (en lb/pulg2 ) contra x = resistencia acelerada (en lb/pulg2 ). Suponga que la ecuación de la verdadera recta de regresión es y = 1800 + 1,3x. (a) ¿Cuál es el valor esperado de la resistencia de 28 d´ıas cuando la resistencia acelerada = 2500?. (b) ¿Cuánto podemos esperar que cambie la resistencia de 28 d´ıas cuando la resistencia acelerada aumenta en 1 lb/pulg2 . (c) Conteste el inciso (b) para un aumento de 100 lb/pulg2 . (d) Conteste el inciso (b) para una disminución de 100 lb/pulg2 . 15. Refiérase al estudio de Vietnam expuestos al agente Naranja (y la dioxina 2,3,7,8TCDD). La tabla de datos, que se reproduce a continuación, proporciona las cantidades de 2,3,7,8-TCDD (medidas en partes por millón) tanto en plasma sangu´ıneo como un tejido graso extra´ıdos de cada uno de los 20 veteranos estudiados. Un objetivo de los investigadores es determinar el grado de asociación lineal entre el nivel de dioxina observado en plasma sangu´ıneo y en tejido graso. Si se puede establecer una asociación lineal entre las dos variables, los investigadores querrán construir modelos para: (1) predecir el nivel de 2,3,7,8-TCDD observado en tejido graso y (2) predecir el nivel en tejido graso a partir del nivel en plasma sangu´ıneo. Veterano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Niveles de TCDD en plasma 2.5 3.1 2.1 3.5 3.1 1.8 6.0 3.0 36.0 4.7 6.9 3.3 4.6 1.6 7.2 1.8 20.0 2.0 2.5 4.1

Niveles de TCDD en tejido graso 4.9 5.9 4.4 6.9 7.0 4.2 10.0 5.5 41.0 4.4 7.0 2.9 4.6 1.4 7.7 1.1 11.0 2.5 2.3 2.5

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196

Cap´ıtulo 9. An´ alisis de Regresi´ on a) Encuentre las ecuaciones de predicción que necesitan los investigadores. Interprete los resultados. b) Pruebe la hipótesis de que el nivel en tejido graso (x) sirve para predecir linealmente el nivel en plasma sangu´ıneo (y). Utilice α = 0,05. c) Pruebe la hipótesis de que el nivel en plasma sangu´ıneo (x) sirve para predecir linealmente el nivel en tejido graso (y). Utilice α = 0,05. d ) Intuitivamente, ¿por qué deben coincidir los resultados de los incisos b) y c)? 16. Se realizó un experimento con objeto de estudiar el agrietamiento por esfuerzos de corrosión de acero inoxidable tipo 304 en un entorno simulado de reactor con agua en ebullición (T ransactions of the ASM E, enero de 1986). Seis espec´ımenes de acero inoxidable se recocieron y se sensibilizaron en agua a 289◦ C con ox´ıgeno y sulfato disueltos, sometiéndolos a diversos factores de intensidad de esfuerzo (es decir, cargas). La tabla presenta la carga máxima y la rapidez de crecimiento de grietas resultante (en metros por segundo) para los seis espec´ımenes. Carga máxima 1 x, M P a · m 2 Rapidez de crecimiento de grietas y, m/s × 1010

30.0

35.6 41.5

50.2

55.5

61.1

1.0

2.2

5.8

5.0

14.0

3.9

a) ¿Hay suficientes pruebas que indiquen que la rapidez de crecimiento de grietas aumenta linealmente con la carga máxima? Pruebe con α = 0,10. b) Estime el incremento medio en la rapidez de crecimiento de grietas por cada incremento unitario en la carga máxima, empleando un intervalo de confianza de 90 %. Interprete el resultado. 17. Un modelo robusto y muy utilizado para el movimiento humano es la Ley de Fitts. Seg´ un esta ley, el tiempo T necesario para moverse y seleccionar un objetivo de anchura W que está a una distancia (o amplitud) A es: T = a + b log2 (2A/W ) donde a y b son constantes que se estiman mediante regresión lineal simple. La cantidad log2 (2A/W ) se denomina ´ındice de dificultad (ID) y representa la variable independiente (medida en bits) del modelo. Ciertas investigaciones de las que se informó en el Special Interest Group on Computer − Human Interaction Bulletin (julio de 1993) utilizaron la Ley de Fitts para modelar el tiempo (en milisegundos) necesario para realizar cierta tarea en una computadora. Con base en datos obtenidos de n = 160 ensayos (empleando diferentes valores de A y W ). Se obtuvo la siguiente predicción de m´ınimos cuadrados: Tb = 175,4 + 133,2(ID) a) Interprete las estimaciones, 175.4 y 133.2. b) El coeficiente de correlación para el análisis es r = 0,951. Interprete este valor. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

9.2 Ejercicios Propuestos

197

c) Realice una prueba para determinar si el modelo de la Ley de Fitts es estad´ısticamente adecuado para predecir el tiempo de realización de las tareas. Utilice α = 0,05. d ) Calcule el coeficiente de determinación, r2 . Interprete el resultado. 18. Refiérase al experimento, informado en Combustion and F lame, de difusividad del ox´ıgeno. Los datos para las nueve muestras de mezcla de nitrógeno y óxigeno se reproducen en la siguiente tabla. Temperatura x 1,000 1,100 1,200 1,300 1,400 1,500 1,600 1,700 1,800

Difusividad de ox´ıgeno y 1.69 1.99 2.31 2.65 3.01 3.39 3.79 4.21 4.64

a) Calcule r y r2 . Interprete sus valores. b) Realice una prueba para determinar si la temperatura y la difusividad del ox´ıgeno exhiben una correlación positiva. Utilice α = 0,05. 19. La exposición pasiva al humo de tabaco en el ambiente se ha asociado a la supresión del crecimiento y a un incremento en la frecuencia de infecciones de las v´ıas respiratorias en ni˜ nos normales. ¿Esta asociación es más pronunciada en ni˜ nos que padecen fibrosis c´ıstica? Con el fin de contestar esta pregunta, se estudiaron 43 ni˜ nos (18 ni˜ nas y 25 ni˜ nos) que asistieron a un campamento de verano de dos semanas para pacientes con fibrosis c´ıstica (N ew England Journal of M edicine, 20 de septiembre de 1990). Entre las diversas variables que se midieron estuvieron el percentil de peso del ni˜ no (y) y el n´ umero de cigarrillos fumados por d´ıa en el hogar del ni˜ no (x). a) Para las 18 ni˜ nas, el coeficiente de correlación entre y y x se informó como r = −0,50. Interprete este resultado. b) Refiérase al inciso (a). El valor-p para probar H0 : ρ = 0 contra H1 : ρ 6= 0 se informó como p = 0,03. Interprete este resultado. c) Para los 25 ni˜ nos, el coeficiente de correlación entre y y x se informó como r = −0,12. Interprete este resultado. d ) Refiérase al inciso (c). El valor-p para probar H0 : ρ = 0 contra H1 : ρ 6= 0 se informó como p = 0,57. Interprete este resultado. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

198

Cap´ıtulo 9. An´ alisis de Regresi´ on 20. Los siguientes estad´ısticos de resumen se obtuvieron de un estudio que utilizó el análisis de regresión para investigar la relación entre la flexión de un pavimento y la temperatura superficial del pavimento de varios lugares de una carretera estatal. Aqu´ı x = temperatura (o F) e y = factor de ajuste de flexión (y ≥ 0): n = 15 X

X

x2i = 139037,25

X xi = 1425 yi = 10,68 X X xi yi = 987,645 yi2 = 7,85183

(a) Calcule βˆ1 , βˆ0 y la ecuación de la recta de regresión estimada. (b) ¿Cuál es la estimación de cambio esperado en el factor de ajuste de flexión cuando la temperatura aumenta 1o F?. (c) Suponga que la temperatura se midió en de regresión estimada?.

o

C en lugar de

o

F. ¿Cuál ser´ıa la recta

21. Es sabido que la potencia de un veh´ıculo se relaciona directamente con el n´ umero de pistones. Sea Yi : potencia del veh´ıculo i (miles de rpm) y Xi : n´ umero de pistones del veh´ıculo i, se postula el modelo: Yi = β Xi + εi ,

i = 1, . . . , n

Supuestos. E(εi ) = 0, Var εi = σ 2 , Cov(εi , εj ) = 0 ∀ i 6= j. (a) Encuentre el estimador de m´ınimos cuadrados de β y obtenga una expresión para la varianza de dicho estimador. (b) Estime la ecuación de regresión, si una muestra de 5 veh´ıculos entrega: X Y

2 2 3 5 6 9

4 11

4 13

22. El concreto sin finos, preparado con un agregado grueso clasificado uniformemente y una pasta de cemento y agua, es bueno en zonas de lluvia excesiva por sus excelentes propiedades de drenado. El art´ıculo “Pavement Thickness Design for No-Fines Concrete Parking Lots”. (J. of Transporting Engr., 1995, pp. 476–484) describe el empleo de un análisis de m´ınimos cuadrados para estudiar la forma como y = porosidad ( %) se relaciona con x = peso unitario (lb/pie3 ) en espec´ımenes de concreto. Utilice el resultado que se presenta del software MINITAB para contestar las siguientes preguntas: (a) ¿Cuál es la ecuación de la recta de regresión estimada?. (b) Interprete el valor estimado de β1 . (c) Construya un intervalo de confianza de 95 % para β1 . A partir del intervalo de confianza ¿Puede concluir que la variable x es significativa en el modelo de regresión simple?. (d) ¿Cuál es la estimación de σ?. Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

9.2 Ejercicios Propuestos

199

(e) ¿Cuál es el valor de la variación total que es explicada por el modelo?. (f) Encuentre una estimación puntual para la porosidad promedio real de todos los espec´ımenes, cuyo peso unitario sea 110 lb/pie3 . Regression Analysis: y versus x Predictor Constant x

Coef 118,910 -0,90473

SE 4,499 0,04109

Coef T 26,43 -22,02

P 0,000 0,000

Analysis of Variance Source Regression Residual Error Total

DF 1 13 14

SS 426,62 11,44 438,06

MS 426,62 0,88

F 484,84

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

P 0,000

200

Cap´ıtulo 9. An´ alisis de Regresi´ on

Recopilaci´ on, Organizaci´ on y Elaboraci´ on por Patricia Jim´ enez P. & Ricardo Olea O.

Ap´ endice A Formulario de Distribuciones

X ∼ B(p)

P (X = x)

E(X)

V (X)

MX (t)

RX (x)

px (1 − p)1−x

p

pq

q + pet

0, 1

np

npq

(q + pet )n

0, 1, ..., n

1 p

q p2

r p

rq p

np

−n nM ( N −M )( N ) N N N −1

µ

µ

a+b 2

(b−a)2 12

1 λ

1 λ2

λ λ−t

µ

σ2

eµt+

αβ

αβ 2

(1 − βt)−α

x>0

r λ

r λ2

λ r ( λ−t )

x>0

n x p (1 x

X ∼ Bin(n, p)

pq x−1

X ∼ G(p)

x−1 r x−r p q r−1

X ∼ Bineg(r, p)

X ∼ H(M, N, n)

X ∼ N (µ, σ 2 )

N −M

1 , b−a

0,

a

Libro Ejercicios Jimenez y Olea Tomo I

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