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UPC - Área de Ciencias - Matemática Básica – Blended (MA420)
SESIÓN 1.3 CONTENIDO
FUNCIONES
1.1. Introducción 1.2. Plano cartesiano 1.3. Definición y sus notaciones 1.4. Dominio de forma algebraica 1.5. Gráfica y el criterio de la recta vertical 1.6. Dominio y rango de forma geométrica 1.7. Ejercicios
Armando Novoa – Alejandro Alejandro Serquén – Eduardo Quincho
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FUNCIONES 1.1 INTRODUCCIÓN
¿Y si tuviéramos 2 respuestas?
Los ingenieros trabajamos basados en normas y reglamentos que garantizan calidad, seguridad y homogeneidad ante las diferentes situaciones que debemos afrontar. Por ejemplo, como ingeniero civil, he tenido que diseñar elementos estructurales. ¿Cómo se cuántas varillas de acero debo usar en una viga determinada de una edificación?, seguramente para resolver esto y tomar una decisión tendré una norma que nos indicará, mediante una ecuación, el número que estamos buscando. ¿Y qué pasaría si dicha ecuación nos diera 2 respuestas?, por ejemplo: puedo usar 4 varillas de acero de ½” o 8 varillas de acero de ½”. Si escojo usar 4 varillas tal vez no esté muy seguro que la estructura sea adecuada para resistir todo los casos a los que se someterá, en cambio, si uso 8 varillas no estoy optimizando y estoy yendo en contra de la parte económica, esto obviamente no se debería dar y mi pregunta
es:
¿de
dónde
parte
este
problema?
Seguramente ya captaste lo que quiero dar a entender: necesitamos reglas que transformen datos y
nos dé una única respuesta para cada caso, estas reglas que dan respuesta única ante diferentes posibilidades, se les llama funciones. Ahora, te imaginarás que para determinar un único número de varillas de acero d e ½” que se necesitan ante ciertos requerimientos estructurales de una viga, necesitamos saber claramente varias cosas, entre ellas: que luz tiene la viga (distancia entre las columnas en las que se apoya), que pesos resiste, cuáles son sus dimensiones y o tras cosas más. Es decir, para determinar el número único de varillas de ½” que necesita una viga necesitamos los valores de varias variables, en nuestro curso no estudiaremos aun estos casos, sino que estudiaremos funciones que tengan una sola variable.
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1.2 Plano cartesiano La idea central de toda la Geometría Analítica consiste en establecer un vínculo entre objetos geométricos y números, de tal manera que los problemas geométricos se puedan expresar de manera algebraica (analítica) y que muchos problemas algebraicos puedan encontrar una interpretación geométrica. La idea de establecer este nexo permite por un lado, representar en forma algebraica objetos puramente geométricos, con lo cual todo el arsenal de herramientas del álgebra se puede aplicar a la geometría y aprovechar la capacidad que tiene el hombre de comprender diferentes fenómenos a través de la vista (una imagen vale más que mil palabras). Hoy se conoce que el matemático francés Pierre de Fermat elaboró las primeras ideas acerca de este asunto (en 1629) y unos años más tarde (en 1637) otro francés, René Descartes, publicó su obra “Geometrie” en la cual hizo referencia a la misma idea de un “plano coordenado” en el cual cada punto tuviera una dirección numérica. Este plano coordenado ha recibido el nombre de “plano cartesiano” (en honor a Descartes).
Consideremos dos rectas reales: una horizontal y otra vertical, como se muestra en la Figura, de modo que se intersequen de manera perpendicular en los respectivos orígenes. Estas dos rectas determinan un plano que llamamos “plano coordenado” o también “plano cartesiano”. A la recta horizontal la llamaremos “eje de las X” o “eje de las abscisas” y a la recta vertical “eje de las Y” o “eje de la ordenadas”. El origen común lo designamos con la letra O y lo llamamos “origen del sistema coordenado” o, simplemente, “origen”. Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro regiones que se llaman “cuadrantes” y se numeran como se muestra en la Figura.
Cuadrante II
Cuadrante I
Cuadrante III
Cuadrante IV
Figura: Plano Cartesiano Definición: 2
El plano cartesiano o R se define como el conjunto de pares ordenados, de la forma x es
x ; y , donde
el valor de la abscisa y y es el valor de la ordenada. En forma de conjunto se define de la
siguiente manera:
R2
x ; y / x
R y R
¿Cómo ubicar puntos en el plano cartesiano? Para ubicar puntos en el plano cartesiano, se identifica el valor de la abscisa x (primera componente) y de la ordenada y (segunda componente). Luego se intersectan de manera perpendicular y en la intersección se pinta el punto que representa la posición del par ordenado.
Ejemplo 1: Represente gráficamente los siguientes pares ordenados en el plano cartesiano: B(0; 2) , C (3; 1) , D(2; 4) , E (5; 2) , F (1; 0) y O(0; 0)
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A(3;2) ,
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UPC - Área de Ciencias - Matemática Básica – Blended (MA420) Solución
Observe que el punto A, tiene como abscisa el valor de 3 y como ordenada el valor de 2. El punto de color rojo representa la intersección perpendicular de ambos valores, es decir, representa la posición del par ordenado (3; 2). De la misma manera se ha ubicado el punto F. Realice lo mismo con los puntos que faltan.
A
F
Ejemplo 2: Describa la característica de los puntos que están sobre los ejes coordenados (eje X y eje Y). Solución
Eje X: los puntos sobre el eje X son de la forma x ; 0 , donde
Eje Y: los puntos sobre el eje Y son de la forma
0; y , donde
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x R .
y R .
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1.3 Definición y sus notaciones Entendemos por función a la regla que asigna a cada elemento de un conjunto D (llamado dominio) un único elemento en un conjunto R (llamado rango).
R
D
D
1
1
a
2
R
a
b
3
3
4
c
4
d
5
b
2 c
d
5
Este gráfico NO representa una
Este gráfico nos representa una
función debido a que el elemento “1”
función debido a que cada elemento del
dominio
D
solo
tiene
e
que
un
pertenece
a
D
tiene
2
elementos asignados en el conjunto
elemento en rango R .
R
(recuerda la lectura de la página
anterior).
Notaciones:
La regla de correspondencia de una función será denotada por la ecuación:
y f ( x )
Donde:
“ x ” es la variable independiente y los valores que tome (sobre los reales) deben pertenecer al dominio de la función, los cuales ubicaremos en el eje X del plano cartesiano XY.
“ y ” es la variable dependiente y los valores f ( x ) deben pertenecer al rango de la f unción, los cuales ubicaremos en el eje Y del plano cartesiano XY.
El dominio de una función será denotado por el conjunto:
Dom( f ) x R / condición
El rango de una función será denoto por el conjunto:
Ran( f ) f ( x ) / x Dom( f )
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1.4 Dominio de forma algebraica Como primera habilidad a desarrollar, vamos a determinar el dominio de una función a partir de su regla de correspondencia (forma algebraica).
Ejemplo 3: Determine el dominio de la función f con regla de correspondencia: f x
1
5
x 3
2
x
4
Solución: Como la regla de correspondencia es una ecuación entonces podemos hacer fácil el cálculo del dominio si recordamos como se calculaba el conjunto de valores admisibles (C. V. A.), visto en clases anteriores. En este caso, observamos que el denominador en cada una de las fracciones de la regla de correspondencia dada, deben tener como condición la de ser diferente de cero. Por tal razón planteamos: Observe que la condición a la que hago mención en la parte superior, debe estar descrita aquí.
Dom f x R / x 3 0
2
x
40
Resolviendo las condiciones planteadas, tenemos: x 3
2
x
4
0 x 3 o x R
0
x
3
2 x 2 0
2;
x
x
2 o x R 2; 2
Finalmente, intersectando los resultados anteriores tenemos: Dom f
R
2; 2; 3
2
Ejemplo 4: Determine el dominio de la función
g
con regla de correspondencia: g x
x
4 x 5
x 5
Solución: En este caso, encontramos 2 condiciones a analizar. La primera la del denominador (distinto de cero) y la segunda la raíz de índice par (mayor o igual a cero), por tal razón planteamos:
Domg x R/ x 5 0 x 2 4x 5 0
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UPC - Área de Ciencias - Matemática Básica – Blended (MA420) Resolviendo las condiciones planteadas: x 5
2
x
0
x R 5
x 5 o
4 x 5 0
x 5x 1 0
5
Es decir,
;
x
1
5 1;
Finalmente, intersectando los resultados anteriores, tenemos: Domg ; 5 1; 5 o Domg ; 5 1;
Ejemplo 5: Determine el dominio de la función
h con regla de correspondencia: h x
2 x
3
3
2
x
Solución: En este caso, encontramos que la raíz de índice par está en el denominador entonces el argumento de la raíz debe ser mayor o igual a cero y a la vez distinto de cero, por tal razón planteamos:
Domh
2 x R/ 3 x
0
Resolviendo la condición: 2
3 x
0
0
3 x
3 x
Es decir,
x
3; 3
3
3
Finalmente, tenemos: Domh
3; 3
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Ejemplo 6: Determine el dominio de la función f con regla de correspondencia: f x
x 1
7
x 3 2
Solución: En este caso, encontramos 2 condiciones a analizar, la primera el denominador (argumento diferente de cero) y la segunda la raíz de índice par (argumento mayor e igual a cero), por tal razón planteamos:
Es Importante que observe y compare, este ejemplo con el anterior y aprenda a diferenciar el planteamiento entre un caso y el otro.
Dom f x R/ x 3 0
x 3 2 0
Resolviendo las condiciones: x
30
x
x
3 o
3 2 0
x
x
3;
3 2
x
3 4
x 1
o
x R
1
Finalmente, intersectando los resultados anteriores, tenemos: Dom f 3; 1
3
Ejemplo 7: Determine el dominio de la función
g
con regla de correspondencia: g x
x 8
x 2
5
Solución: En este caso, encontramos una sola condición a analizar, el denominador. Por tal razón planteamos:
Domg x R/
x 2
5 0
Recuerde las propiedades de valor absoluto. Resolviendo la condición: x 2
5 0
Es decir: Domh
R
x 2
5
x 2
5 , de donde
x R 7; 3
7; 3
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Ejemplo 8: Determine el dominio de la función
h con regla de correspondencia: h x
5 x
x 1
4
Solución: En este caso, encontramos dos condiciones a analizar, la primera el denominador y la segunda la raíz de índice par. Por tal razón planteamos:
Domh x R/ x 1 0
4 0 x 1 5 x
Resolviendo las condiciones: Recuerde las propiedades de x
1 0 x 1 o
5 x
4 0
x 1
x R
5 x
1
4
x 1
valor absoluto.
5 x
4
x 1
5 x
4
x 1
Resolviendo las desigualdades: 5 x x 1 x
4 0
4
x 1
1
0
5 x x 1
4 0
9 x 4 x 1
0
1
4
En la unión de los conjuntos, se tiene:
4 / 9
; 4 / 9 4; 1
x
Finalmente, intersectando los resultados anteriores, tenemos: Domh ; 4 / 9 4; 1
Observación: Podemos concluir que para analizar el dominio, hasta el momento, debe tener en cuenta dos condiciones denominadores (argumento diferente de cero) y raíc es de índice par (argumento mayor o igual a cero). VIDEO: Si luego de leer aún tiene dudas, le invitamos a revisar el siguiente video: Título: Dominio natural de una función Link: Para visualizar el video debe dar clic en el siguiente enlace: http://www.youtube.com/watch?v=pNddTIy-Q4A
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1.5
Gráfica y el criterio de la recta vertical
Gráfica de una función Si f es una función con dominio D entonces la gráfica de f es el conjunto de puntos:
x ; f ( x ) / x
D
y
x ; f (x )
f ( x )
x
x
Criterio de recta vertical Suponga que C es una curva en el plano XY . La curva C es gráfica de una función si toda recta vertical que la corta lo hace en solo punto.
Ejemplo: De las cuatro gráficas que se muestran, ¿cuáles no corresponden a la gráfica de una función?
Gráfica 2
y
x
x
x
Gráfica 1
y
y
y
x
Gráfica 4
Gráfica 3
Solución:
Trazando una recta vertical en la gráfica 1, observamos que esta toca
y
en dos puntos a la curva dada, es decir no cumple con el criterio de la recta vertical. Por lo tanto la curva dada no es una gráfica de una función.
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x
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Trazando rectas verticales en la gráfica 2, observamos que estas
y
tocan en un único punto a la curva dada. Por lo tanto la curva corresponde a la gráfica de una función. x
y
En la gráfica 3, la curva corresponde a la gráfica de una función.
x
En la figura 4, observamos que la recta vertical trazada toca en tres
y
puntos a la curva dada. Por lo tanto la curva no es la gráfica de una función. x
Respuesta: La gráfica 1 y 4 no corresponden a la gráfica de una función.
1.6
Dominio y rango de forma geométrica
Una segunda habilidad a desarrollar es determinar el dominio y el rango de una función a partir de su gráfica (forma geométrica).
Ejemplo 9: Las siguientes curvas corresponden a la gráfica de una función. En cada una de ellas, determine el dominio y el rango de la función.
a. y
x
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UPC - Área de Ciencias - Matemática Básica – Blended (MA420) Solución: Antes de intentar determinar el dominio y el rango a partir de la gráfica dada, es importante recordar que el dominio es el conjunto formado por todos los valores (sobre el conjunto de los números reales) que estén sobre el eje X y que definen a la función. Mientras que el rango está formado por todos los valores f ( x ) (sobre el conjunto de los números reales) que estén sobre el eje Y. Teniendo claro lo anterior, analicemos la gráfica de izquierda a derecha (proyectándonos hacia el eje X) para determinar el dominio y un análisis de abajo hacia arriba (proyectándonos sobre el eje Y) para determinar el rango. Para el dominio:
DERECHA
IZQUIERDA
y
x
Figura 1 Observemos la figura 1 poniendo énfasis en el análisis IZQUIERDA – DERECHA para ver qué valores sobre el eje X han definido a la función, estos valores son marcados mediante la línea de color VERDE. En otras palabras, podemos concluir que el dominio es el conjunto de los números reales, es decir:
Dom( f )
R
Para el rango: De la misma manera, observemos la figura 2 poniendo énfasis en el análisis ABAJO – ARRIBA para ver qué valores sobre el eje Y ha tomado la función. Podemos concluir que la línea de color ROJO nos indica el rango, es decir: Ran( f ) 1;
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A R R I B A y
x
A B A J O
Figura 2
b. y
x
Solución: Para el dominio: Haciendo el análisis IZQUIERDA – DERECHA y proyectándonos hacia el eje X, observamos que la función no está definida cuando
x
toma el valor de – 1 y 1. Por lo tanto, el dominio es todo los
reales excepto – 1 y 1, es decir: Dom( f ) R 1; 1
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UPC - Área de Ciencias - Matemática Básica – Blended (MA420) Para el rango: Haciendo el análisis ABAJO – ARRIBA y proyectándonos hacia el eje Y, observamos que la función toma todos los valores posibles. Por lo tanto, el rango es el conjunto de los números reales, es decir: Ran( f ) R
c. y
x
Solución: Para el dominio: Haciendo el análisis IZQUIERDA – DERECHA y proyectándonos hacia el eje X, observamos que la función está definida por tramos, los cuales se describen mediante los conjuntos:
3; 1
1; 0
x
x
x
1; 4
Haciendo la unión de estos conjuntos:
3; 1
1; 0
1; 4 3; 0 1; 4
Por lo tanto: Dom( f ) 3; 0 1; 4
Para el rango: Haciendo el análisis ABAJO – ARRIBA y proyectándonos hacia el eje Y, observamos que la función toma los valores, descritos por los conjuntos
2; 1
y
0; 2
que al unirlos se tiene:
Ran( f ) 2; 1 0; 2 VIDEO: Si luego de leer aún tiene dudas, le invitamos a revisar el siguiente video: Título: Dominio y rango de una función (forma geométrica) Link: Para visualizar el video debe dar clic en el siguiente enlace:
https://youtu.be/_XXQplZRJZo
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1.6 Ejercicios 1.
Determine el dominio de las siguientes funciones con regla de correspondencia:
a.
b.
f x
g x
2
x
2
2
x
x
4
c.
d.
2.
x
h x
x
r x
2
x
25
2
3; 2;1
R
Respuesta: Dom(g)
2; 2
Respuesta: Dom(h)
3; 3 2
x
2 9 x 2
2
Respuesta: Dom(f )
2 x 3
5 x 6
x
x
3
1
2
x
25
3 x 6
Respuesta: Dom(r )
; 5 5; 6
Determine el dominio y el rango de la función f cuya gráfica se muestra.
Respuesta:
7; 1
Dom(f ) Ran(f )
;2 0
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