Libro Digital Sesión 4.3
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calculo...
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Cálculo II
Derivadas parciales y plano tangente
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Derivadas parciales y plano tangente
© Todos los derechos de propiedad intelectual de esta obra pertenecen en exclusiva a la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas. Queda terminantemente prohibida la reproducción, puesta a disposición del público y en general cualquier otra forma de explotaci explotación ón de toda o parte parte de la mis ma. ma. L a utilización no autori autori zada de es ta obra, obra, as í c omo los perjuicios ocasionados en los derechos de propiedad intelectual e industrial de la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas., darán lugar al ejercicio de las acciones que leg leg alme almente nte le corres pondan pondan y, en s u cas o, a las las res ponsabilidades ponsabilidades que de dicho ejerci cio s e deriven.
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Derivadas parciales y plano tangente
Índice del tema .4 Introducción…………………………………………… Introducción………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………. …………..4
1. Derivadas parciales…………………………………………………… parciales……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………5 …………………………5 tangentes……………………………………………………….5 ……….5 1.1. Derivadas parciales como pendientes de tangentes……………………………………………… parciales………………………………………………………… ……………………………………………………………6 …………………………6 1.2. Definición de derivadas parciales………………………
2. Plano tangente………….……………………………………… tangente………….……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………7 ……………………………7 3. Ejercicios resueltos……………………………………………… resueltos…………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………9 ……………………………9 propuestos…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………..5 ………………………………..5 4. Ejercicios propuestos………………………………………… Resumen………………………………………… Resumen…………………………………………………………………………… …………………………………………………………………… ……………………………………..……………….13 …..……………….13
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Derivadas parciales y plano tangente
Introducción
En la sesión anterior, usted definió funciones de varias variables y analizó su dominio así como curvas y superficies de nivel. En esta sesión, se debe continuar con el estudio y análisis de estas funciones. En cálculo I, usted definió derivada de una función esta como una tasa, razón o rapidez de cambio.
f y estudió sus aplicaciones al interpretarse
En la presente sesión de definirá derivada de manera análoga a como se hizo en cálculo I, sin
f
embargo, se debe tener en cuenta que, si se tiene una función de dos variables, , con regla de z ( x, y) entonces es necesario hallar la derivada respecto a cada una de las correspondencia variables.
El análisis de estas derivadas es importante para determinar cómo resulta afectada la función debido a cambios de cada una de sus variables. A este proceso de le llama derivación parcial y el
resultado se llama derivada parcial de
respecto de la variable independiente elegida.
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Derivadas parciales y plano tangente
1. Derivadas Parciales 1.1 Derivadas parciales como pendientes de Tangentes Recordemos que la ecuación
z x; y
representa una superficie. Al fijar
y y0 , estamos
restringiendo nuestra atención a la curva de intersección de la superficie y el plano modo que la pendiente de su recta tangente en
y y0
de
x0, y0, f ( x0; y0) es f x ( x0; y0 ).
f x y curva z f ( x; y0 ) en el punto x0, y0, f ( x0; y0) .
Figura 1: La derivada x ( 0; 0 ) como pendiente de la recta tangente a la
Del mismo modo, la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie con el plano x x0 en
x0, y0, f ( x0; y0)
Figura 2: La derivada
es f y ( x0; y0) .
f ( x0; y0) como pendiente de la recta tangente a
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Derivadas parciales y plano tangente 1.2 Definición de derivadas parciales Suponga que
es una función de dos variables x e y , si hacemos que solo x varíe mientras que
y se mantiene fija, por ejemplo y y0 , donde y0 es una constante, entonces, realmente estamos considerando una función de una sola variable, es decir, Si esta función tiene derivada en a x en
f ( x, y0)
x0 , entonces la llamaremos derivada parcial de f con con respecto
( x0; y0)y la denotamos con f x ( x0; y0). Entonces
f ( x h, y0) f ( x0, y0) f f x ( x0; y0) ( x0, y0) lhim0 0 (1) x h
Análogamente, la derivada parcial de
f con
respecto a
y
en
( x0; y0)y
la denotamos con
f y ( x0; y0) se obtiene manteniendo x fija ( x x0 ) y hallando la derivada ordinaria de f ( x0, y) . Entonces:
f y ( x0; y0)
f ( x , y k ) f ( x0, y0) ( x0, y0) lk im0 0 0 (2) k y
f
Notación: Si z f ( x, y) entonces
f x ( x; y ) f x
f y ( x; y) f y
f z f ( x, y) f 1 D1 f Dx f (3) x x x
f z f ( x, y) f 2 D2 f Dy f (4) y y y
Tal como lo expresa la definición, cuando se deriva respecto a una variable las demás se mantienen constantes. De esta manera, se puede decir lo siguiente:
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Derivadas parciales y plano tangente Regla para encontrar las derivadas parciales de z f ( x, y) 1. Para encontrar f x , considere y como una constante y derive 2. Para encontrar
Ejemplo: Sea
f ( x, y) con respecto a x .
f y , considere x como una constante y derive f ( x, y) con respecto a y .
f una función de dos variables definida por f ( x, y) 2 x3 x4 y3 3y2 , calcule
f x (1, 2) y f y (1, 2) Solución:
Observe que, la derivada respecto a x del tercer término de la función se anula. ¿Por qué?
Derivando respecto a x ( se mantiene fijo y )
f x ( x, y) 6 x2 4 x3 y3 2
3
Evaluando en el punto solicitado: f x (1,2) 6(1) 4(1)
(2)3 2
Derivando respecto a y ( se mantiene fijo x )
f x ( x, y) 3 x4 y2 6 y Evaluando en el punto solicitado:
f x (1,2) 3(1)4 (2)2 6(2) 1
Nota: En el caso de funciones de más de dos variables, se define y calcula de forma similar como en el caso de función de dos variables.
2. Plano tangente Definición: Suponga que la función
f de dos variables tiene
ecuación del plano tangente a la superficie
derivadas parciales continuas. La
z f ( x; y) en el punto P ( x0, y0, z 0)
z z 0 f x x0, y0 x x0 f y x0, y0 y y0
(5)
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Derivadas parciales y plano tangente
Figura 3: El plano tangente contiene las rectas tangentes T1 y T2 . Ejemplo: Determinar la ecuación del plano tangente a la superficie
3,1,0
z n x 2y
en el punto
.
Solución:
De acuerdo a la ecuación (5), se necesita las derivadas parciales evaluadas en (3,1)
1 f x ( x, y) f x (3,1) 1 x 2 y
f y ( x, y) 2 f y (3,1) 2 x 2 y
Por lo tanto, en la ecuación la ecuación del plano tangente a la superficie dada en el punto (3, 1, 0):
z 0 1( x 3) 2(y 1)
o
z x 2y 1
En la figura 4, puede observar la superficie dada y el plano tangente a dicha superficie en el punto indicado.
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Derivadas parciales y plano tangente
3. Ejercicios resueltos Derivadas parciales 1. Sea la función real
f ( x; y)
2 x2 y . Encuentre, f x ( 0; 0 ). 2 2 364 x 9 y
Solución:
Derivando respecto a variable:
x : se aplica la regla del cociente y la regla de la cadena respecto a dicha
4 x 364 x2 9 y2 2 x2 y f x ( x; y)
36 4 x
2
2
9 y
4 x
364 x2 9 y2
2
4 x 2 x2 9 y2 y 36 f x ( x; y) 364 x2 9 y232 Reemplazando en el punto solicitado: f x (0; 0) 0 2.
Si
f ( x; y) ln x y . Determine f x ( x; y), f y ( x; y) e indique sus dominios respectivos
en forma analítica y gráfica Solución:
1 x y
1 ; f y ( x; y) x y
Se obtiene las derivadas parciales: f x ( x; y)
Si existen las derivadas parciales, deben estar definidas para los puntos del dominio de , Dom f
f
x, y / x y 0
Dom Do m f x Dom Do m f y x, y / x y y como este conjunto está incluido en el dominio de f , las derivadas parciales estàn definidas Por otro lado,
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Derivadas parciales y plano tangente
3.
Dada
la
siguiente
función
con
regla
de
correspondencia:
f x; y; z e yx 1 y2 z 2 y y2 a) Describa el dominio analíticamente y grafíquelo en el primer octante. b)
Determine las derivadas parciales de primer orden. Solución:
Dom f x, y, z R3 /1 y2 z 2 0 y x 0 y y2 0
a)
1 y2 z 2 0 y2 z 2 1, elsólidoeselcilindr y x 0 y x , regiónsobreel plano plano y x y y2 0 y(1 y) 00 y 1 regiónlimitada por porlos plano plano y 0 e y 1
Además, se debe graficar en el primer octante: z 0
Figura 6: Región dominio de
b) Derivadas parciales de primer orden
1 1 1 1 f x e y x ( ) e y x 2 y x 2 y x
f
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Derivadas parciales y plano tangente Plano Tangente
f ( x; y) ycos cos2( x) x . Halle la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en en el punto P 1; 2; 3 y obtenga f xy(1;2) .
1. Considere la función
Solución
a. Se obtienen, las derivadas parciales
f x ( x; y)
cox co x( x) sen se n( x) 2
y
y cos ( x) 1 f y ( x; y) x 2 y cos2 ( x)
f x , f y :
f x (1; 2) 2 f y (1; 2)
3 2
El plano tangente es:
b.
3 z 3 2 x 1 y 2 4 x 3 y 2z 4 2 cox( x) sen( x) f xy( x; y) 3 2 1 2 2 y cos( x)
f xy(1; 2) 1
2. Considere la función
f ( x; y) 2 x2 y ln 2 x y2
(a) Determine el domino de
.
f y y represéntelo gráficamente
(b) Halle la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en en el punto P 1;0;1 . Solución
De acuerdo a la regla de correspondencia de la función se tiene, las siguientes restricciones:
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Derivadas parciales y plano tangente
D
Figura 6: Región D: dominio de
(b)
Se obtienen las derivadas parciales
f x x; y f y x; y
x
1 2 2 x2 y 2 x y 1
2 y 2 2 2 x2 y 2 x y
f x 1; 0 2 f y 1; 0
1 z 1 2 x 1 y 0 2 Entonces la ecuación del plano es: 4 x y 2z 6 0
1 2
f
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Derivadas parciales y plano tangente de superficies en un punto dado. Analíticamente, se definen como límites de razones de cambio. Para calcular la derivada parcial respecto a una variable, se debe fijar la (las) otras variable(s). La derivada parcial es importante debido a sus aplicaciones en la ciencia e ingeniería, pues esta mide las variaciones de la función respecto a sus variables asimismo en la determinación de extremos locales y/o relativos, etc. El plano tangente a la superficie en un punto, contiene las rectas tangentes a la superficie en dicho punto por lo que las pendientes de estas rectas son predominantes al momento de determinar la ecuación del plano tangente.
Bibliografía
2008. STEWART, James, Cálculo de varias variables. Conceptos y contextos, 4e 4e editado por Cengage Learning. (515 STEW/C 2008)
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