Libro de Razonamiento Matematico Trilce 2(1)
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Problemas resueltos 1. Vilma le dice a Julia: "Yo tengo nueve veces la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. Cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 44 años". ¿Cuál es la diferencia entre las edades de estas dos mujeres?
• Si duerme un promedio de 8 horas al día, entonces lo que duerme es 1/3 de lo que vive un día.
Resolución
9n 5n
13n 9n
m at e ww w.
2. Dos autos separados a una distancia de 810 km, salen a encontrarse con velocidades de 45 km/h y 54 km/h. Si el primero sale a las 5:30 h, ¿a qué hora tiene que salir el otro, para llegar al lugar del que salió el primero a la misma hora en que el primero llegue al segundo lugar?
4. Un camino de "A" a "B" consta de una subida y una bajada; un peatón que se dirige de "A" a "B" recorre todo el camino en 13 horas y en el camino de regreso demora una hora menos. Si a la subida va a 2 km/h y a la bajada, a 3 km/h, ¿cuál es la longitud del camino?
Resolución
Graficando el camino de "A" hacia "B" 6A km
Resolución • Al que viaja a 45 km/h le toma 810÷45=18 horas llegar a su destino.
B
De los datos: • Para ir de "A" → 6A + 6B = 13 → 3A+2B=13 2 3 hacia "B"
Es decir, el segundo debe salir tres horas después.
• Para volver 2A+3B=12
Rpta.: 8:30 h
3. Si Lucas tuviese 27 años menos, el tiempo que habría permanecido durmiendo sería la quinta parte del tiempo que hubiese permanecido despierto si es que tuviese 27 años más. Si en el transcurso de su vida duerme un promedio de 8 horas diarias, ¿cuántos años lleva durmiendo?
Longitud : 6(A+B) total
6B km
A
• En cambio, al otro solo le toma 810÷54=15 horas.
Duerme: 1 ×63=21 3
Rpta.: 21 años
M
Rpta.: 8
om
5n n
1.c
Fut
n - 27 = 1 2 (n + 27) → n=63 E ; 3 5 3
ic a
Pres
at
Pas
Del dato: 13n+9n=44 n=2 Piden: 4n
Duerme= Vida 3 Despierto= 2 Vida 3
• Si asumimos que tiene "n" años, se obtiene:
Usando un cuadro tenemos: Vilma Julia
Resolución
→
6A + 6B = 12 3 2
Resolviendo: A+B=5
Finalmente: 6(A+B)30
Rpta.: 30 km
→
5. Un remero tarda en total 24 horas en ir y volver hasta un puerto que dista a 90 km. Si el tiempo que emplea en recorrer 5 km a favor de la corriente es el mismo que emplea en recorrer 3 km contra la corriente, ¿cuál es la velocidad de la corriente del río en km/h?
Resolución
Sea: VR: velocidad del remero
Del dato: 5=(VR+VC)×t
3=(VR - VC)×t
VR=4VC
90 + 90 = 24 → V =2 C VR - VC VC + VrR
Luego:
Rpta.: 2 km/h
VC: velocidad de la corriente del río
Problemas para clase nació, tendría 28 años más; esto quiere decir que mi papá tiene...".
om
34 años más que tú 34 años más que yo 22 años más que tú 17 años más que yo 15 años más que tú
1.c
a) b) c) d) e)
Una persona nacida en la segunda mitad del siglo XX tendrá "n" años en el año "n2". Dicha persona nació en:
m
b) a-3b+3 c) a+3b+3 + + a 3 b 3 e) 3
at e
a) a+3b-3 d) a-3b-3
at
ic a
1. Jennifer tuvo su primer hijo a los 17 años y cuatro años después tuvo su segundo hijo. Si en 1996 las edades de los tres sumaban 49 años, ¿en qué año nació Jennifer? a) 1970 b) 1969 c) 1968 d) 1967 e) 1966 2. La edad de Cecilia es el triple de la edad de Marco. Si hace tres años la edad de ella era (a+3b), 7. ¿dentro de cuántos años la edad de Cecilia será el doble de la edad de Marco?
a) 1999 d) 1975
b) 1991 e) 1990
c) 1980
ww w.
M
3. Una persona nació en el año 19ab y en 1980 tuvo 8. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía el doble de la edad que tuviste cuan(a+b) años. ¿En qué año tendrá (5a+3b) años? do yo tuve la dieciseisava parte de la edad que a) 2005 b) 2030 c) 2015 tú tienes. Si dentro de 10 años nuestras edades d) 2018 e) 2028 sumarán 175, ¿dentro de cuántos años cumpliré 90 años? 4. Patricia le dice a Alexandra: tengo cuatro veces la edad que tú tenías cuando yo tenía el doble a) 15 b) 10 c) 18 de la edad que tú tienes. Cuando tengas las 3/4 d) 20 e) 22 partes de mi edad, nuestras edades sumarán 75 años. ¿Qué edad tiene Patricia? 9. Karen le dice a Rosa: "La suma de nuestras edades es 46 años y tu edad es el triple de la edad a) 36 b) 28 c) 32 que tenías cuando yo tenía el triple de la edad d) 30 e) N.A que tuviste cuando yo nací". ¿Dentro de cuántos años la edad de Karen será el doble de la 5. La edad que tú tienes es la edad que yo tenía edad que tiene Rosa? cuando él tenía la octava parte de lo que tendré. Cuando tú tengas lo que yo tengo, él tendrá seis a) 18 b) 26 c) 24 años más de lo que tuve. Si lo que tuve es seis d) 20 e) 25 años más de lo que él tiene y 12 años más de lo que tuviste, ¿qué edad tengo? 10. Pedro le dice a Calín: "Cuando tú tengas lo que yo tengo, es decir, el triple de lo que tenías a) 24 b) 30 c) 36 cuando yo tenía cuatro años menos de los años d) 40 e) 32 que tienes, nuestras edades sumarán 68 años". Calín a su vez, le dice a Pepe: "Cuando tengas 6. José le dice a su hermano mayor: "Si tú hubielo que yo tengo, yo tendré cinco veces lo que ras nacido cuando yo nací, tendrías seis años tenías cuando yo tenía lo que tú tienes". ¿Cuánmenos, y si yo hubiera nacido cuando mi papá
ra encuentra malogrado al otro a las 14 horas. ¿A qué hora se malogró el ómnibus que sale de Lima?
tos años tendrá Pepe cuando Pedro tenga el triple de lo que tiene actualmente? c) 58
a) 6:00 h d) 9:00
11. Un motociclista, viajando a 100 km/h, llegaría a su destino a las 19 horas; en cambio, si viaja a 150 km/h llegaría a las 17 horas. Si desea llegar a las 18 horas, ¿a qué velocidad debe ir? a) 90 km/h d) 120
b) 100 e) 130
c) 110
12. Un tren emplea seis segundos en pasar delante de un observador y 26 segundos en recorrer un puente de 400 m. Hallar la longitud del tren. a) 100 m d) 150
b) 120 e) 200
c) 140
18. Dos coches partieron al mismo tiempo: uno de "A" en dirección de "B", y el otro, de "B" en dirección de "A". Cuando se encontraron, el primero había recorrido 36 km más que el segundo. A partir de este momento (en que se encontraron), el primero tardó una hora en llegar a "B", y el segundo cuatro horas en llegar a "A". Hallar la distancia entre "A" y "B".
at
m
at e
c) 3
M
b) 2 e) 4
ww w.
a) 3/4 d) 1/2
14. Un estudiante aborda todos los días un microbús para llegar a su clase a las 15:00 horas. Pero hoy perdió el microbús. Si esperó el siguiente y este pasó 15 minutos después y arribó en los 4/3 del tiempo normal, llegando a las 15:25, ¿a qué hora abordó el microbús? a) 14:30 d) 14:25
b) 14:45 e) 14:28
c) 14:20
15. Dos móviles separados 100 m parten simultáneamente al encuentro con velocidades de 3 m/s y 2 m/s. Hallar el tiempo en que estarán separados 50 m por segunda vez. a) 20 s d) 35
b) 25 e) 40
c) 30
16. Todos los días sale de Piura un ómnibus con dirección a Lima, a una velocidad de 100 km/h. Este se cruza diariamente a las 12 horas con un ómnibus que viene de Lima con velocidad de 50 km/h. Cierto día el ómnibus que sale de Piu-
c) 8:00
17. Un muchacho escapó de su casa, contigua a una carretera. Luego de dos horas sale el padre en su busca, y cinco horas después sale la madre al encuentro de los dos. Padre, madre e hijo caminaron a razón de 6, 6 y 4 km/h, respectivamente. En el momento en que el padre alcanzó al hijo, vuelve con él a su casa andando a razón de 4 km/h. ¿A qué distancia de su casa encontraron a la madre? a) 4 km b) 3 c) 12 d) 10 e) N.A.
ic a
13. Fulano y Mengano se encuentran de espaldas el uno al otro al momento de comenzar el duelo. Al darse la señal, empiezan a alejarse el uno del otro en sentidos opuestos. Fulano camina a una velocidad de 3 m/s, mientras que Mengano camina a una velocidad de 4m/s. Al cabo de 10 segundos ambos se dan vuelta y disparan el uno en dirección del otro. La velocidad de cada una de las balas es 140 m/s (se supone que la velocidad de las balas es fija). ¿Después de cuántos segundos llegarán ambas balas a su destino?
b) 7:00 e) 10:00
om
b) 85 e) 72
1.c
a) 44 d) 74
a) 98 km d) 107
b) 106 e) 100
c) 108
19. En un corral rectangular de 30 m x 20 m se encuentran un vaquero (V) y un caballo (C) como indica la figura: S
V 20m
C 30m
En el mismo instante ambos comienzan a correr hacia la salida (S); el caballo recorre 4 m por cada 3 m que recorre el vaquero. ¿Cuál es la mínima longitud en metros que ha de tener el lazo del vaquero para enlazar al caballo? a) 12 d) 14
b) 15 e) 9
c) 10
20. Por debajo de un poste, cuyo foco está a una altura "H", pasa caminando un hombre de estatura "h", con rapidez "V": Si el hombre camina por un llano, ¿cuál es la rapidez de su sombra? a) Vh/(H+h) c) HV/(H-h) e) HV/(2H-h)
b) Vh/(HV+h) d) (H+V)/(H-V)
Tarea domiciliaria 1. Augusto nació en el año 19xy y en 1993 tuvo (x+y) años. ¿En qué año tendrá (3x+y) años? c) 2003
2. Un tren demora en pasar delante de un observador 20 s y en cruzar un túnel, 30 s. ¿En cuánto tiempo cruzará el tren un puente que tiene el cuádruple de la longitud del túnel? a) 40 s d) 49
b) 60 e) 35
c) 50
3. Un remero tarda en total 24 horas en ir y volver hasta un puerto que dista 135 km. Si el tiempo que emplea en recorrer 5 km favor de la corriente es el mismo que emplea en recorrer 3 km contra la corriente, ¿cuál es la velocidad de la corriente del río en km/h? b) 2 e) 3
c) 2,5
b) 12 e) 13
a) 21 d) 28
b) 24 e) 30
c) 15
6. La velocidad de Juan es 10 km/h mayor que la de Beto. Si Juan en 16 horas recorre lo mismo que Beto en 20 horas, ¿en cúanto tiempo se encontrarían, si salieran en sentidos contrarios desde dos ciudades distantes 450 km? a) 3 h d) 5
b) 9 e) 7
c) 4
7. ¿A qué hora alcanza Jan a Nena, si estando separados por 40 km, Jan la busca con una rapidez de 90 km/h, después de cinco horas que Nena emprendió viaje a la velocidad de 20 km/h? (Se sabe que Jan partió a las 11:07 a.m.). a) 2:05 p.m. d) 7:49 p.m.
a) 21 años d) 20
m
at e
M
ww w.
b) 18 e) 19
b) 1:56 p.m. e) 1:35 p.m.
c) 27
10. La suma de las edades de Cristina y Alonso es 68 años. Al acercarse Lorena, Cristina le dice: "Cuando tú naciste, yo tenía seis años, pero cuando Alonso nació, tenías cuatro años". ¿Cuál es la edad de Lorena?
b) Setiembre c) Noviembre e) Julio
5. Un microbús debía cubrir una cierta distancia en un determinado tiempo, pero como el conductor era novato, recorrió todo el trayecto con 1/5 menos de la velocidad normal y llegó con un retraso de cuatro horas. ¿En cuántas horas debió llegar normalmente? a) 12 h d) 16
9. Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo, nuestras edades sumarán 63 años. ¿Cuántos años tengo?
at
4. Una persona, en el mes de agosto, suma a los meses que ha vivido los años que tiene y obtiene 270. ¿En qué mes nació dicha persona? a) Octubre d) Junio
c) 10
om
a) 1,8 d) 1,5
a) 8 km d) 11
1.c
b) 2007 e) 2014
ic a
a) 2012 d) 2010
8. Un tren sale de una estación con una velocidad de 36 km/h. A los cinco minutos de marcha, obedeciendo a una señal de precaución, disminuye su velocidad a 20 km/h, recorriendo con esta 2 km y volviendo a marchar con la velocidad primitiva hasta la estación inmediata, a la que llega a los 21 minutos de haber partido. ¿Qué distancia hay entre las dos estaciones?
c) 1:07 p.m.
b) 33 c) 24 e) 29
11. Los móviles mostrados se mueven con velocidades constantes. ¿Después de qué tiempo "1" distará de "B" lo mismo que "2" dista de "A"? 36 km/h 1 A
a) 96 s d) 60
54 km/h 2 1200 m
b) 100 e) 120
B c) 240
12. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas 4/3 de la edad que yo tengo, nuestras edades sumarán 72 años. ¿Cuántos años tendré dentro de 12 años? a) 36 d) 30
b) 24 e) 32
c) 28
13. Una liebre y una tortuga parten simultáneamente en un mismo punto. La tortuga recorre en cada minuto 10 m y la liebre, 100 m. Ambas se dirigen hacia un mismo punto, y la liebre llega a la meta, regresa hasta la tortuga, luego va hasta
Pared
la meta y así, sucesivamente, hasta que la tortuga llega a la meta. Si la tortuga recorrió 1 km, ¿cuánto recorrió la liebre? a) 10 km d) 1
b) 100 c) 1000 e) 120
14. Ana María tuvo en el año 1988, tantos años como el producto de las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuál es la suma de cifras de la edad que tenía en el año 1980? a) 6 d) 7
b) 4 e) 8
c) 5
20 m a) 2 cm/s d) 5
b) 3 e) 6
30 m c) 4
ww w.
M
at e
m
at
ic a
1.c
om
18. Cuando yo tenía la edad que él tiene, tú tenías la tercera parte de la edad que tienes ahora, y cuando yo tenga la edad que tú tienes él tendrá 15. Dos móviles parten de un mismo punto en senla tercera parte de lo que tú tienes y tú tendrás 4 tidos opuestos, dirigiéndose respectivamente a años más de lo que yo tengo. Entonces, la suma "P" y a "Q". Luego de llegar a su destino emde las edades de los tres es: prenden el retorno. ¿A qué distancia de "Q" se a) 15 b) 16 c) 19 vuelven a encontrar? d) 18 e) 24 3 m/s 2 m/s P Q 19. Conversando, Rosa y María, esta le decía a aquella: "Dentro de 10 años la suma de nuestras 60 m 140 m edades será de 57 años", a lo que Rosa respon de: "Así es, aunque hace tres años la diferencia a) 20 m b) 30 c) 15 de nuestras edades era de tres años". ¿Cuántos d) 10 e) 25 años tiene actualmente Rosa, si ella es la mayor? 16. Rosario le dice a Beatriz: "Yo tengo el doble de a) 12 b) 15 c) 17 la edad que tú tenías cuando yo tenía la quinta d) 20 e) 24 parte de la edad que tienes; y cuando tú tengas el doble de mi edad, en ese entonces la suma de nuestras edades será de 90 años. ¿Cuál es la 20. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tuviste cuando yo tuve edad actual de Beatriz? la novena parte de la edad que tengo ahora. Si a) 25 b) 30 c) 35 nuestras edades suman 57 años, ¿cuántos años d) 40 e) 45 tengo? 17. Si en el instante mostrado se enciende la vela, ¿qué rapidez posee el extremo de la sombra en la pared si la vela se consume a razón constante de 2 cm/s?
a) 27 d) 30
b) 28 e) 31
c) 29
Problemas resueltos 1. Un quinto de la población de cierto pueblo vive del cultivo de flores; 1 del resto vive del 4 cultivo de árboles frutales y los restantes 2100 habitantes trabajan fuera del pueblo. ¿Cuántos habitantes tiene el pueblo en mención?
Resolución Sea: Total de la población: 20 k 3500
•
4. Se distribuyeron 63 litros de agua en tres depósitos por partes iguales. El primero se llena hasta sus 2/5 partes y el segundo, hasta sus 2/7 partes. ¿Qué fracción del tercer depósito se llenará si su capacidad es el doble de la suma de las capacidades de los dos primeros?
Sea: Total de aves: 48 k 144 • Primera venta: 5 (48k)=40k 6 • Segunda venta: 1 (40k)=5k 8 Finalmente: 3k=9 → k=3 Rpta.: 144
•
Saqué:5k
•
Dejé: 16k
14243
Resolución Analizando los datos:
Devolvi: k No devolvi:4k
3. De un recipiente que inicialmente estaba lleno, saqué los 5/16 de lo que dejé y luego devolví la cuarta parte de lo que no devolví. ¿Qué fracción de lo que hay debería sacar para dejar una cantidad igual a los 3/4 de lo que quedó luego de mi primera extracción?
5. Federico puede hacer una obra en 12 días y Américo puede hacer la misma obra en 10 días. Federico empieza la obra durante cuatro días, luego recibe la ayuda de Américo, terminando juntos la obra. ¿En qué tiempo terminaron la parte que faltaba de la obra?
Luego de devolver, en el depósito quedan 17k
Resolución Obra total=60k Federico=5k En 1 Américo=6k día Luego: 60 K La parte que falta = 40k = 40 = 3 7 20 K 40 K 11 11 la harán 5k + 6k Federico juntos en por 4 días 123
Resolución
21= 2 ×C1 → C1= 105 5 2 2 147 63 21= ×C1 → C1= 7 2 21 105 Pero: C3=2(C1+C2)→C3= c + 147 m.2=252 2 2 Piden: De los 252 litros que tiene el tercer depósito solo se llenarán 21 litros. Es decir: 21 1 252 12 Rpta.: 1 12
at
ww w.
M
at e
m
2. Un granjero vendió primero los 5 de las aves de su 6 granja; más tarde, una parte igual a 1 de lo anterior 8 y le quedan nueve aves. ¿Cuántas aves tuvo?
Resolución
ic a
1.c
om
Cultivo de flores: 4k • Cultivo de árboles: 1 (16k)=4k 4 • El resto: 12 k=2100 4k=700 Rpta.: 3500
• Debo dejar una cantidad que es 3 de 16k 4 12k • Entonces, de 17k debo sacar 5k5/17 Rpta.: 5/17
Rpta.: 3 7 11
Problemas para clase 1. Si a una fracción propia la convertimos en impropia invirtiendo sus términos, y sumamos estas fracciones, resultaría el producto de estas dos fracciones, más el resultado de la suma del numerador al cubo y el denominador al cubo de esta fracción. Hallar el producto de la suma de los términos de la fracción con el producto de estos mismos términos. c) 3
2. A cada término de una fracción propia, que son consecutivos, se le añaden dos unidades. Esta nueva fracción excede en 1/12 a la original. Hallar la fracción original. a) 2/3 d) 3/4
b) 1/3 e) 5/6
c) 2/5
a) 1/8 d) 2/5
b) 23/34 e) 17/18
c) 22/31
5. Un tanque puede ser llenado por un primer caño en 3 h, por un segundo caño en 4 h y un desagüe puede desalojar todo su contenido en 12 h. ¿En cuántas horas se llenaría el tanque, si funcionan a la vez los dos caños y se abre el desagüe? a) 3 d) 1,5
b) 1 e) 3,5
c) 2
6. Se tiene un tonel lleno de 324 l de vino puro. Se saca 1/3 del contenido y se completa con agua. ¿Cuántas veces más se debe repetir esta operación para que al final queden 260 l de agua? a) 4 d) 6
b) 3 e) 7
c) 5
b) 1/4 e) 2/7
c) 1/3
9. "A", "B" y "C" pueden hacer una obra en 4 días, "A" y "B" trabajando juntos, pueden hacerla en 12 días, "B" y "C", en 4 1/2 días. ¿En qué tiempo la haría "A" trabajando solo? a) 28 d d) 32 d
ic a
ww w.
M
4. Se tiene un recipiente lleno de vino, del cual se extraen 2/5 de su contenido para luego ser reemplazados por agua: De la mezcla resultante se extraen 2/3 para ser reemplazados por agua. Por último se extrae 1/7 de la nueva mezcla. ¿Qué parte del volumen inicial quedará con agua? a) 12/23 d) 24/35
b) 36 d e) 24 d
c) 30 d
10. Pamela hace una obra en ocho días y Marlene hace la misma obra en 10 días. Pamela empieza la obra y dos días después recibe la ayuda de Marlene, terminando juntas la obra. ¿En cuántos días hicieron toda la obra?
at
c) 24 l
m
b) 23 l e) 70 l
at e
a) 50 l d) 56 l
c) 20
8. Del dinero que tenía, gasté 1/2 de lo que no gasté, luego perdí 1/3 de lo que no perdí, en seguida regalé 1/4 de lo que no regalé. ¿Qué parte del total aún me queda?
3. Se tiene un recipiente que contiene una mezcla de leche, alcohol y agua en la relación de 3, 4 y 5, respectivamente. Se extraen de la mezcla 2/5, 1/3, 5/7 y 5/12 de lo que iba quedando, resultando el volumen final de leche igual a dos litros. Hallar el volumen inicial de agua.
b) 45 e) 32
om
b) 2 e) -2
a) 25 d) 30
1.c
a) 1 d) -1
7. Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 12 días. Después de haber trabajado juntos durante seis días, se retira el ayudante y el albañil termina lo que falta de la obra en 10 días. ¿En cuántos días puede hacer el ayudante toda la obra trabajando solo?
a) 5 1/3 d) 6 8/13
b) 5 2/3 e) 5 11/17
c) 4 7/9
11. Un depósito tiene dos dispositivos de desagüe, uno ubicado al fondo que deja vacío el depósito en seis horas, mientras que el otro dispositivo se ubica a la mitad de la altura y desocupa lo que le corresponde en cinco horas. Si estando lleno el depósito se abren ambos dispositivos, ¿en cuántas horas quedará vacío el depósito? a) 4 6/7 d) 5 4/7
b) 3 4/5 e) 6 7/9
c) 4 7/8
12. Tengo un vaso lleno de alcohol. Bebo la sexta parte, luego bebo 1/4 de lo que queda. ¿Qué fracción de lo que queda debo volver a beber para que aún sobren los 3/8 del vaso? a) 2/3 d) 1/3
b) 2/5 e) 1/5
c) 1/6
13. Manolo tiene cierta suma de dinero que gasta de la siguiente manera: en cinco chocolates, 5/8 de lo que tiene; en tres refrescos; 1/3 de lo que
b) Solo III c) I y II e) Solo II
14. Si te pago lo que te debo, me sobraría tanto como me faltaría. Si quisiera pagarle a él lo que le debo, ¿qué fracción del total de mi deuda es lo que yo tengo? a) 1/3 d) 1/4
b) 2/3 e) 2/7
c) 1/2
15. Se sacaron nueve litros de un barril que estaba lleno de vino, reemplazándolos por agua. Se sacaron nueve litros de la mezcla que fueron sustituidos por agua. La cantidad de vino que quedó en el barril y la de agua están en la relación de 16 a 9. Calcular la capacidad del barril. c) 40
c) 245
18. Giselle gasta su dinero del modo siguiente: 2/5 de su dinero más tres soles en un pantalón, 3/8 de lo que queda más siete soles en una blusa, y la mitad del resto más un sol en un par de zapatos. ¿Cuánto gastó en la blusa, si al final se quedó con tres soles? a) S/. 45 d) 32
b) 16 e) 19
c) 18
19. En un depósito se mezclan 30 litros de agua y 50 litros de leche, luego se extraen 16 litros de la mezcla y se la reemplaza por la misma cantidad de agua. Si de la nueva mezcla se vuelven a extraer 48 litros, ¿cuántos litros de leche salen de esta última extracción? a) 32 d) 24
ic a
b) 45 e) 30
b) 350 e) 465
b) 28 e) 30
c) 25
20. ¿Cuántos litros de vino hay que agregar a un barril donde hay cinco litros de vino por cada cuatro litros de agua para que resulte una mezcla de 180 litros, en la que, por cada nueve litros de mezcla haya siete litros de vino?
at
a) 50 litros d) 35
a) 215 d) 345
om
a) Solo I d) II y III
17. De un depósito que contiene vino se vende su contenido de la siguiente manera: se venden los 2/5, luego los 3/7 de lo que quedaba y por último, se venden los 2/3 de lo que quedaba. Si todavía quedan 60 litros. ¿Cuántos litros se vendieron?
1.c
queda; y en cuatro galletas 4/9 del resto. Si aún le quedan 10 soles, entonces: I. Por un chocolate, un refresco y una galleta pagó 14 soles. II. Gastó en total 62 soles. III. No es cierto que después de comprar refrescos le quedan 18 soles. Son ciertas:
ww w.
M
at e
m
16. Una persona demora 80 segundos en llegar al segundo nivel del aeropuerto, subiendo por la escalera mecánica detenida. Si la escalera estuviera en movimiento y la persona detenida demorara 48 segundos, ¿cuánto demoraría si caminara sobre la escalera en movimiento? a) 15 s d) 30
b) 45 e) 10
c) 20
a) 60 d) 80
b) 100 e) 90
c) 70
Tarea domiciliaria 1. Yo poseo los 3 de una hacienda llamada 5 "Paraíso". Si vendo 5 de mi parte, ¿cuáles son 8 correctas? I. Me quedan 9 de la hacienda. 40 II. Me quedan los 5 de mi parte. 8 III. Vendí menos de 1 del total de la hacien4 da. a) Solo I d) I y II
b) Solo II e) II y III
c) Solo III
2. Se distribuyeron 300 l de gasolina entre tres depósitos, en partes iguales. El primero se llena hasta sus 3 y el segundo hasta los 3 . ¿Qué 5 4
fracción del tercer depósito se llenará si su capacidad es la suma de las capacidades de los dos primeros? a) 1 3 d) 11 15
b) 2 5 e) 1 4
c) 27 20
3. Se tiene un barril lleno de vino. Se sacan nueve litros y se reemplazan por agua, luego se sacan nueve litros de la nueva mezcla y también se reemplazan por agua. Si finalmente la relación entre la cantidad de vino y agua es como cuatro es a cinco, hallar la capacidad del barril. a) 21 l d) 30 l
b) 24 l e) 27 l
c) 18 l
quedaron 15 litros de agua, ¿qué capacidad del
4. Si un depósito que está lleno 1 de lo que no 3 está lleno, se vacía 1 de lo que no se vacía, 8 ¿qué parte del volumen del depósito quedará con líquido? c) 1 7
5. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles de denominador 250 existen, tal que su numerador sea de tres cifras? a) 60 d) 30
b) 45 e) 70
c) 10
c) 300
ww w.
M
at e
7. Tres tuberías "A", "B" y "C" funcionando juntas, pueden llenar la mitad de un tanque en cuatro horas. Si funcionan solo "A" y "B", pueden llenar todo el estanque en 10 horas; y si funcionan "B" y "C", lo llenan en 15 horas. ¿En cuántas horas llenará la tercera parte del tanque la tubería "B", si funciona sola? a) 12 horas d) 9 horas
b) 8 horas e) 3 horas
c) 6 horas
8. Se tienen dos cajas de fósforos: se usan de la primera, 3 del total y de la segunda, 2 del total. 8 7 Los fósforos usados en la primera son 13 más
que en la segunda, y quedan en la segunda caja 4 de los fósforos que quedan en la primera. 7 ¿Cuántos fósforos tiene cada caja? a) 56 y 28 d) 14 y 19
b) 19 y 14 e) 30 y 12
a) 5 d) 12
c) 28 y 56
9. De un recipiente, se sabe que están vacíos los 2 de lo que no está vacío. Luego se extraen 2 3 5 de lo que no se extrae y finalmente no se elimina 1 de lo que se elimina. Si luego de esto 4
b) 6 e) 18
c) 8
11. Una persona demora 90 s en llegar al segundo nivel del aeropuerto, subiendo por la escalera mecánica detenida. Si la escalera estuviera en movimiento y la persona detenida demorara 60 s, ¿cuánto demoraría si caminara sobre la escalera en movimiento? a) 75 s d) 30 s
b) 45 s e) 36 s
c) 20 s
12. Dos albañiles pueden construir un muro en 20 días; pero trabajando por separado, uno tardaría nueve días más que el otro. ¿Qué tiempo tardará este otro?
at
b) 195 e) 320
m
a) 200 d) 190
c) 10 l
10. Un obrero puede hacer una obra en nueve días; luego de cuatro días recibe un ayudante, terminando la obra en dos días. El ayudante, trabajando solo, ¿cuántos días emplearía en hacer la obra?
ic a
6. Un tranvía parte con cierto número de pasajeros. En el primer paradero deja la tercera parte; en el segundo, suben 65 pasajeros; en el tercero, bajan los 3 de lo que lleva; en el cuarto, 5 suben 50 pasajeros, y en el trayecto al quinto paradero deja los 3 de los que lleva, llegando a 8 este con 80 pasajeros. Determinar, con cuántos pasajeros partió.
b) 70 l e) 75 l
om
b) 2 9 e) 8 27
a) 35 l d) 175 l
1.c
a) 2 7 d) 3 8
recipiente estuvo vacía al comienzo?
a) 36 días d) 48 días
b) 40 días e) 54 días
c) 45 días
13. Un galón de pintura rinde para 30 m2. Si con los 2 de los 3 de ocho galones se han pintado 5 4 los 2 de los 4 de una pared, ¿cuál es la super3 5 ficie de dicha pared? a) 720 m2 d) 13,5 m2
b) 270 m2 e) 15,5 m2
c) 135 m2
14. En un corral, la relación entre el número de pollos y el número de gallinas es como tres es a cinco respectivamente. Si se muere 1 del nú3 mero de aves, del cual 2 son pollos y el resto 3 gallinas, ¿cuál sería la nueva relación entre el número de pollos y gallinas? a) 19 29
b) 29 19
d) 3 13
e) 11 37
c) 13 21
15. He gastado los 5/8 de mi dinero. Si en lugar de gastar los 5/8 hubiera gastado los 2/5 de mi dinero, tendría ahora S/. 72 más de lo que tengo. ¿Cuánto no gasté? a) S/. 100 d) S/. 125
b) S/. 10 e) S/. 130
c) S/. 120
16. El caño “A” llena un depósito en 6 horas y el desagüe “B” ubicado a la mitad de la altura del depósito saca la parte que le corresponde en 8 horas. ¿En cuántas horas quedará lleno dicho depósito si se abren ambos caños a la vez? a) 4 d) 3,4
b) 5,2 e) 7,8
c) 2
a) 3/29 d) 5/29
17. Si sabemos que “A” y “B” pueden hacer una obra en 20 días, “B” y “C” pueden hacer la misma obra en 15 días y además “A” y “C” hacen la misma obra en 12 días. ¿en cuántos días harán la obra “A”, “B” y “C” juntos? a) 5 d) 16
b) 10 e) 20
c) 14
18. Beatriz hace un trabajo en 20 días y Manuel hace el mismo trabajo en 60 días. Después de trabajar juntos durante cinco días se retira Beatriz. ¿En cuántos días terminará Manuel la parte que le falta?
a) 9/25 d) 9/23
om
1.c ic a at m at e
b) 4/11 e) 13/27
c) 3/17
20. De un frasco lleno de alcohol se extrae un cuarto de su contenido y se reemplaza con agua. Luego se extrae 3/4 de la mezcla y se llena con agua pero sólo hasta los 2/3 de su capacidad. ¿En qué relación se encuentran el alcohol y el agua al final?
c) 15
M
b) 20 e) 25
ww w.
a) 40 d) 30
19. De un recipiente que contiene alcohol puro, se extrae 3/8 y se reemplaza por agua, luego se extrae 4/5 y también se reemplaza por agua, finalmente se extrae 1/4 de la nueva mezcla y se reemplaza por agua. ¿En qué relación están al final el alcohol y el agua?
b) 8/23 e) 14/31
c) 13/23
Problemas resueltos
3 patos=2 pavos Pato=2k Pavo=3k Rpta.: 50%
Piden: x.80%(5k)=2k x=50%
Resolución
•
40 litros de alcohol al 10%
•
Agua → 36 litros Alcohol → 4 litros
Sin considerar las constantes, se tendría
AF=121%AI
RF2=121%RI2 → Se demuestra que el radio final (RF) se incrementa en 10% respecto al radio inicial (RI).
VF=(110%RI)3
VF=133,1%RI3
VF=+33,1%VI
at e
Mezcla final
M
Agua: 36+8=44 Alcohol:4+2+38=44
ww w.
Rpta.: Se incrementa 33,1%
3. Si "S" es el 150% de "T". ¿Cuánto por ciento de "T" es (S+T)?
Resolución Del dato: S= 3 T 2
Piden:X×T=(S+T) → X= cS + T m×100% T → X=250%
Rpta.: 250
8 litros 2 litros
at
Resolución
m
10 litros de alcohol al 20%
Agua → Alcohol →
ic a
2. Si el área de una esfera aumenta 21%, ¿en qué porcentaje varía su volumen?
om
Resolución
4. De la mesa de un laboratorio se toma un recipiente que contiene 40 litros de alcohol al 10% y se vierte todo el contenido en un segundo recipiente que contenía 10 l de alcohol al 20%. Si luego se agregaron 38 litros de alcohol puro, ¿cuánto tanto por ciento de la mezcla final no es alcohol puro?
1.c
1. En una granja, el 30% de patos es el 20% del número de pavos. ¿Cuánto por ciento del 80% del total es el número de patos?
Se observa que el agua y el alcohol tienen la misma cantidad de litros.
Rpta.: 50%
5. Si yo tuviera 20% más de lo que tengo, lo que tendría y lo que tú tienes estarían en la relación de seis a dos. ¿Cuánto por ciento más de lo que tienes es lo que yo tengo?
Resolución
Yo: 5k → si tuviera, 20% más=6k Tú: 2k
2k → 100% 5k → ? ?=250%
Yo tengo 150% más que tú.
Rpta.: 150%
Problemas para clase llinas se deben retirar para que el porcentaje de gallinas resultante sea el que antes correspondía a los gallos?
1. Si de 80 alumnos, 20 son hombres, ¿qué porcentaje de las mujeres representan estos? ! a) 16% b) 75% c) 33,3% ! d) 19% e) 66,6 %
b)16%, 16% d) 21%, 19%
3. El largo de un rectángulo "A" es 10% mayor que el lado del cuadrado "B". El ancho del rectángulo es 10% menor que el lado del cuadrado. Entonces, la razón A/B de las áreas es : a) 1 d) 17/19
b) 5 e) 99/100
c) 2/5
b) 1%↑
b) 31% e) 76%
c) 70%
6. En las elecciones municipales se observó que el 54% de los varones votaron por el partido "A" y el 78% de las mujeres no votaron por dicho partido. Si acudieron a votar tantos hombres como mujeres, ¿qué porcentaje de la votación alcanzó el partido "A"? a) 38% d) 99%
b) 44% e) 1%
c) 57%
7. Pedro es un futbolista que ha disparado 17 penales, acertando todos ellos. ¿Cuántos más debe ejecutar (fallando todos ellos), para tener una eficiencia del 85%? a) 3 d) 7
b) 4 e) 10
c) 5
c) 50%
10. ¿A qué aumento o descuento único equivalen tres descuentos sucesivos del 50%, 40% y 50%, seguidos de dos aumentos también sucesivos del 120% y 150%? a) 19,3% ↓ d) 16%↑
at ww w.
M
at e
5. El 10% de la suma de las edades de dos compañeros equivale al 70% de la diferencia de dichas edades. ¿Qué porcentaje de la edad del mayor es la edad del menor? a) 30% d) 75%
b) 90% e) 65%
b) 17,5% ↓ e) 19,78%↑
c) 79,4%↓
11. Si el lado de un cuadrado aumenta en un 30%, ¿en qué porcentaje aumenta su área?
c) 1%↓
e) 2%↑
a) 45% d) 75%
a) 10% d) 69%
m
a) 10% ↑ ! d) 17,6 % ↓
ic a
4. Al aumentar el precio de la entrada a un espectáculo en 10%, la asistencia disminuyó en 10%. ¿Qué sucedió con la recaudación?
c) 10
9. En una asamblea se discuten dos propuestas "A" y "B". El 40% de los asistentes está en favor de "A" y el resto en favor de "B". Si el 25% de "A" abandonan la asamblea y el 25% de los que apoyan a "B" deciden cambiar de opinión, calcular, del nuevo total, el porcentaje que favorece a "A".
om
a) 25%, 20% c) 18%, 18% e) 21%,17%
b) 30 e) 50
1.c
2. ¿Cuánto por ciento menos es 100 de 125?
a) 20 d) 40
8. En una jaula hay 12 gallos que representan el 40% del total, el resto son gallinas. ¿Cuántas ga-
b) 15% e) 90%
c) 30%
12. Si el largo de un rectángulo aumenta en 50% y su ancho disminuye en 50%, ¿en cuánto por ciento varía su área? a) 16%↑ d) 25%↓
b) 16%↓ e) 17%↑
c) 25%↑
13. Dada la expresión:
2 E = A B π3KM 10R ¿Cuál sería su variación porcentual si "A" aumentase en 10% y "B" disminuye en 19%?
a) 8,9%↑ d) 20%↑
b) 10,2%↑ e) 21%↑
c) 11%↑
14. Una secretaria quiere comprar un equipo de sonido que cuesta S/. 950. El vendedor le comunica que se le harán tres descuentos sucesivos del 10%, 20% y 25%. Como su sueldo no le alcanzaba en ese momento, solicitó un aumento al jefe, el cual le fue otorgado. Se le hicieron tres aumentos sucesivos del 10%, 20% y 25%, pero aun así le faltaron S/. 18 para la compra. ¿Cuál era el sueldo de la secretaria antes del aumento? a) S/. 300 d) 250
b) 513 e) 750
c) 650
15. De un recipiente retiro el 25% de lo que no retiro, y de lo que he retirado devuelvo el 25% de lo que no devuelvo, quedando ahora 84 litros en el recipiente. ¿Cuántos litros no devolví? c) 16 l
16. El precio de un artículo aumenta en p%. Después, el nuevo precio disminuye en p%. Si el último precio era de S/. 1, el precio original era de: 1 - p2 1000 1 - p2 c) 10000 - p2 e) 100 p2 - 1
a)
b) d)
1 - p2 1000
a) 72% d) 44%
b) 40% e) 45%
c) 48%
20. A inicios de 1985, una población tenía 10 000 habitantes; el consumo de agua por persona por hora, era de 10 litros. La población crecía a un ritmo de 20% anual. Determinar el lado de la base cuadrada de un reservorio de 4 m de altura capaz de satisfacer la demanda diaria de la población al inicio de 1989. a) 7 d) 35
b) 8 e) 36
c) 25
a) 55% d) 48
b) 52 e) 15
c) 50
ic a
c) S/. 1980
c) 2333
m
at
b) S/. 2200 e) S/. 2020
b) 2470 e) 2782
19. Si el volumen inicial de un cubo aumentó en 72,8%, ¿en qué porcentaje aumentó su área total?
10000 10000 - p2
17. "A" encarga vender un objeto a "B" y este a su vez, a "C", quien hace la venta y se queda con un 20 por mil; "B" recibe el resto, pero retiene el 10 por 200 de lo que le dio "C" y entrega el saldo de 1862 soles a "A". ¿En cuánto se vendió el objeto? a) S/.1900 d) S/. 2000
a) 1357 d) 4512
om
b) 18 l e) 54 l
1.c
a) 26 l d) 56 l
18. Al escribir en una pizarra se consume el 80% de cada tiza y con lo que queda se vuelve a fabricar tizas. En este proceso se pierde el 5% de la materia prima. Hallar el número de tizas que se pueden fabricar con los residuos de una caja de 13 000 tizas :
M
at e
Tarea domiciliaria
ww w.
1. El peso de un ladrillo es 20 gramos, ¿cuánto pesará otro ladrillo del mismo material, pero con sus dimensiones aumentadas en 50%? a) 72,5 g d) 58,7
b) 62,5 e) 67,5
c) 89,5
2. Si el área del triángulo equilátero AED aumenta en 96%, entonces el lado del cuadrado ABCD aumenta en: B C E
A
a) 20% d) 96
b) 40 e) 4
D c) 70
3. En un recipiente se tienen 80 litros de una mezcla al 40% de alcohol. Se extrae el 25% de ella y se añade sobre otra mezcla de 30 litros al 60% de alcohol. ¿Cuál es la concentración de la mezcla final?
4. En la expresión: M=x2y, si "x" disminuyera en un 20% e "y" aumentara en un 30%, ¿en qué porcentaje aproximadamente variaría la expresión "M"? a) 17% d) 27
b) 20 e) 15
c) 30
5. Janet vendió dos televisores en S/. 1500 cada uno. En el primero ganó el 25% y en el segundo perdió el 25%. ¿En este negocio ganó o perdió y cuánto? a) No gana ni pierde b) Perdió S/. 200 c) Ganó S/. 200 d) Ganó S/. 300 e) Perdió S/. 300 6. Si el lado de un cuadrado se reduce a la mitad, ¿en qué porcentaje disminuye su área? a) 25% d) 5
b) 75 e) 30
c) 80
7. Un autobús tiene 70 pasajeros, de los cuales el 70% están sentados. De las mujeres, están sentadas el 80% y de los hombres, están sentados únicamente el 10%. ¿Cuántos hombres viajan en el autobús? c) 20
8. El área de una superficie esférica disminuye en 19%. ¿En qué porcentaje disminuirá su volumen? a) 27% d) 27,3
b) 27,1 e) 28,3
c) 27,2
c) 24
a) 11% d) 14
b) 175 e) 50
c) 150
b) 12 e) 15
c) 13
17. ¿Cuál debe ser la pureza del alcohol que debe añadirse a 80 litros de alcohol al 96% de pureza, para obtener un hectolitro de alcohol de 80% de pureza?
c) 5000
at e
b) 6000 e) 8000
M
a) S/. 5040 d) 6720
m
at
10. Una persona consigue en la compra de una tela, un primer descuento del 20% y sobre el precio rebajado, otro descuento del 30%. Si al final pagó S/. 3360, ¿cuál era el precio original?
16. Una industria redujo en 5% el precio de venta de los artículos que produce. ¿En qué porcentaje debieron aumentar sus ingresos, si esta política produjo un incremento en las ventas del 20%?
om
b) 30 e) 34
c) 12
15. Un depósito cilíndrico se desea cambiar por otro de la misma forma, pero con una base cuya circunferencia es 50% mayor en longitud. ¿En cuánto tanto por ciento se incrementará el volumen del nuevo cilindro respecto al primero? a) 125% d) 225
9. En la Universidad de San Marcos hay 10 500 alumnos, de los cuales el 30% son mujeres y el resto, hombres. Si el número de mujeres aumenta en 20% y el número de hombres aumenta en 40%, ¿en qué porcentaje aumentara el total de alumnos? a) 44% d) 27,3
b) 50 e) 34
1.c
b) 15 e) 12
a) 48 d) 46
ic a
a) 10 d) 25
máquina "A" y el resto, por la máquina "B". Si se sabe que el 5% de lo fabricado por A y el 4% por "B" son productos defectuosos, ¿cuántos de estos hay en los 1000 productos?
ww w.
11. Un litro de mezcla formado por 25% de agua y 75% de alcohol pesa 900 g. Sabiendo que el litro de agua pesa 1 kg, averiguar el peso de un litro de mezcla de 25% de alcohol y el resto, agua. ! ! ! a) 694,4 g b) 964,6 c) 966,6 ! ! e) 969,6 d) 968,6 12. ¿En qué porcentaje aumenta el volumen de un cilindro cuando la altura se reduce en 25% y su radio aumenta en 20%? a) 6% d) 12
b) 16 e) 18
c) 8
13. Si la base de un triángulo disminuye 20%, ¿en qué porcentaje debe aumentar la altura para que el área no varíe? a) 20% d) 25
b) 30 e) 35
c) 40
14. En una industria se han fabricado 1000 productos; el 60% de ellos han sido fabricados por la
a) 12% d) 10
b) 20 e) 26
c) 16
18. En la venta de un reloj gané tanto como rebajé, que es el 20% de lo que me costó. ¿Cuánto pensaba ganar sin rebajar, si me costó 60 soles más de lo que gané? a) 30 soles d) 25
b) 42 e) 36
c) 35
19. Un químico tiene "m" onzas de agua salada al m% de sal. ¿Cuántas onzas de sal deben agregarse para obtener una solución que tenga 2m% de sal? a)
m2 2m - 100
b)
2 m2 c) 2m 2m + 100 100 - m
d)
2m 2 100 - 2m
e)
m2 100 - 2m
20. Si se incrementa en un 60% la profundidad de una piscina circular, ¿cuál sería el porcentaje en que hay que aumentar el radio de la piscina para que su volumen aumente en 150%? a) 28% d) 25
b) 24 e) 27
c) 26
Problemas resueltos 1. Si: P(x2+1)=x4+1, hallar el equivalente reducido de: Q=P(x3 - 1) - P(x3+2).
Resolución
Entonces • x -1 =3x + 2
x3;-6
-1-
1)2+1=x6
-
ic a
at m
at e
M
c) m%p= -13/5
ww w.
b) mp= -45 e) m/p=5/4
Resolución
Considerando la información:
• •
Rpta.: C
3%5=m → m= -4 m%(-5)=p → (-4)%(-5)=p → p=-9 se cumple: m%p= -13/5
=9x ;
x -1
Calcular:
x +2 =3x
3
Resolución •
0 ; t0;
a+2
b) 108 e) 114
c) 110
c) 2/7
a5*3b=8
ic a at
ww w.
16. Si:
m
c) 1
at e
b) 0 e) 4
M
a) -1 d) 2
19. Si se sabe que: 24 * 15 = 3 49 * 26 = 24 18 * 23 = 2
15. Si: fn= (-1)n + 1 An = f1 + f2 + f3 + …….+ fn Calcular: M = A100 – A99
b) 66 e) 23
om
c) 3
c) 21
n+1 = 3n. Calcular: 4 * 4.
a) 106 d) 112
Hallar el valor de “a” en: a =a b) 2 e) 1/2
18. Si: f(x2 - 3x + 2) = x2 + 3x + 2; donde: x > 0; calcular “x” en: f(f(f(x + 22))) = 420
14. Para un entero “x”, x > 0 se define: x =2x+5 ; x =x2+2
a) 1 d) –1
c) 10
=a+b
a) 16 d) 24
x =x(x+2)
b) 9 e) 29
1.c
a) 21001 x 1001! c) 22002 x 1001! e) 21001 x 1000!
Calcular: 13 * 29
Calcular : bb * ab ; si: a≠b. ba * aa a) 6/7 b) 4/7 d) 9/7 e) 1/7
20. Si: f(n) = n – n + n – n + n – ... Calcular: f(2). a) 0 d) 3
=a2+1
b) 2 e) Absurdo
c) 1
Tarea domiciliaria 1. Si sabemos que: m@n=n(n@m) - m Calcular: E=6@5 a) 30 d) 29/31
3. Se sabe que: (m*n)º=4m; m*n>0, además: (m+1)º=m2+4 Calcular: E=10*80
b) 29 e) 31
c) 31/29
a =a × a - 1
Hallar: A=
a) 18x2 - 24x+14 c) 18x2+24x+14 e) 18x2+24x - 8
a
a -1 × a -1 × a -1
a) 1 d) a
b) 6 e) 9
c) 7
4. Si se sabe que f(x+4)=2x2+6 Calcular: f(3x+2)
2. Si:
a) 5 d) 8
b) a2 e) (a - 1)!
c) a!
b) 18x2 - 24x+8 d) 18x2+24x+8
5. Si: (2x2 - 5x)=2x+x3; ∀"x"∈ Z Hallar: M ((-3))
a) 24 d) 40
b) 35 e) 45
c) 37
6. Si x*y=x - y+2(y*x), hallar: 12*3 a) 2 d) 6
b) 3 e) 9
c) 4
a) 7 d) -32/23
b) 23/30 e) 23/32
14. Sabiendo que:
7. Si: [ xb ]=b.xb-1 f(x+1)=[x2]+3[x3]+f(x); además: f(4)=2 Calcular: f(2) a) -85 d) -40
b) -105 e) -125
c) -120
b) 5a+6 e) 5a - 11
Calcular el valor de:
c) 5a+11
24 2 4 4
b) 501/576 e) 576/567
c) 601/576
Sabiendo que: -5 =3
x
+x2 - 2x+7
3
Calcular: R=(7*3)*1
5
2
6 1
b) 1 e) 3
b) 21 e) 40
c) 20
7
c) 2
1
x2- 5
c) 18
=20
Calcular: 2x -1
a) 19 d) 15
b) 12 e) 13
b) 38 e) 31
c) 29
=2
c) 35
2x+1 =2 x+2 +x+1
θ (n) = ) (n 3) si: n $ 100 θ (θ (n + 5)); si: n 1 100
Hallar: θ(87)÷θ(83) a) 1 d) 4
19. Si:
b) 2 e) 6 ax + b ax - b
c) 3
= ax b
Calcular: Q= 2 × 4 × 6 × ... × 2n
3x-1 =3 x3 +x2+1 3x+2 =4 4x-1 -x+5
Ademas:
=x(x - 1); x∈N
18. El operador "θ" es definido en el conjunto "z":
= 2 x-2 +1, además:
b) 55 e) 50
x+1
a) 25 d) 30
13. Se definen las siguientes operaciones:
4
3
17. Se sabe que: *(1)=11, Además: *(t+1)=*(t)+2t+3, siendo t ∈ Z Hallar: *(0)+*(3)
Calcular: M= 7 + 9 a) 70 d) 60
3*6=6*3=1
1.c
M
x-1
Calcular:
12. Si:
ic a
c) 4(3x-1)
ww w.
=
a) 10 d) 34
at
b) 12x-3 e) 4(4x-3)
2x+3
2*5=5*2=7
11. Si:
at e
a) 3x-4 d) 3x-5
1*4=4*1=6
16. Si:
2 f c2x + 3 m=6x2+5 4
m
Hallar: f(x)
a) 4 d) 7
10. Si definimos:
c) 281
om
a) 601/750 d) 576/601
4
b) 271 e) 324
15. Se cumplen las siguientes condiciones, según el gráfico adjunto:
9. Se define: ax a=x2+1
2 4 6 4 8 12 7 11 15 10 14 18
Hallar: B=84 5 100 a) 250 d) 354
8. Se define la operación: (a - 3)*b=2a+3b Para cualquier valor de "a" y "b". ¿A qué equivale (a+b)*(a - b)? a) 5a - b+6 d) 5a+b - 6
5 3 6 9
c) -30/31
Hallar: 7
a) 2n2 - 1 d) 2n+1
b) n2 - 1 e) 2n
c) 2n - 1
PRINCIPALES PROPIEDADES OPERACIÓN MATEMÁTICA:
DE
UNA
II. CONMUTATIVA ∀a ∧ b ∈ A → a*b=b*a
Se define en el conjunto "A" una operación representada mediante el operador *. Estudiaremos las siguientes propiedades:
El orden de los elementos en la operación no altera el resultado.
I. CLAUSURA
Ejemplo:
En "N" se define la adición:
Ejemplo:
Se define en "N" la siguiente operación:
at e
a * b = 2 a + b2
¿Cumple con la propiedad de clausura?
En tablas:
ww w.
M
a) Se define en el conjunto:
En "R" se define: a * b = a + b – ab
¿Es conmutativa? ................................
En tablas:
1.c
om
La adición es conmutativa en "N".
a) ¿La siguiente operación en tablas es conmutativa? ............................ * a b c d a a b c d b b c d a c c d a b d d a b c
b) Se define en el conjunto M={1, 3, 5, 7} la siguiente tabla: * 1 3 5 7 3 7 1 3 5 7 3 5 7 1 1 5 7 1 3 5 1 3 5 7
¿Cumple con la propiedad de clausura?
b) Se define en el conjunto:
tSolución:
A = {a,b,c,d}
Ordenando la tabla:
* a b c d
* a b c d
5+8=8+5
A = {a,b,c,d}
at
Se toma un par de elementos del conjunto "A" y se realiza con ellos la operación definida, si el resultado de dicha operación pertenece al conjunto "A", entonces se dice que la operación cumple la propiedad de clausura o también que la operación es cerrada en el conjunto "A".
m
ic a
∀a ∧ b ∈ A → a*b ∈ A
a d a b c
a d b c e
b a b c d
b b c d a
c b c d a
c c d a b
d c d a b
d d e b c
¿Cumple con la propiedad de clausura?
¿Es conmutativa la operación?
*
IV. Elemento inverso (a-1)
III. Elemento neutro (e)
∃! e ∈ A / ∀a ∈ A → a*e=e*a=a
• En la adición, el elemento neutro es el cero (0): a+0=0+a=a
Ejemplos:
1. Se define en "R": a*b = 3 a x b 4 Hallar el elemento neutro.
Solución:
.................................................................... ....................................................................
2. Se define en "R": a * b = a + b + 3
Hallar el elemento neutro.
Solución:
.................................................................... ....................................................................
En tablas
En la siguiente tabla : * 1 3 1 3 5 3 5 7 5 7 1 7 1 3
Definimos en: A = {1;2;3;4} la siguiente tabla. Hallar el elemento neutro: En tablas:
7 1 3 5 7
Hallar: E = ( 3 * 5–1 ) * ( 1–1 * 7)–1
2 4 1 2 3
3 1 2 3 4
4 2 3 4 1
M
1 3 4 1 2
Solución: .................................................................... ....................................................................
ww w.
* 1 2 3 4
5 7 1 3 5
at e
m
at
Observación: "a-1" se lee "elemento inverso de "a". Ejemplo : - Se define en "R": a * b = a + b – 2 Calcular: 3–1 ; 4–1; 6–1 Importante: 1. Se verifica que la operación sea conmutativa. 2. Se busca el elemento neutro "e". 3. Aplicamos teoría de elemento inverso.
ic a
om
• En la multiplicación, el elemento neutro es el (uno): a×1 = 1×a = a
Dado: ∀a∈A, ∃ a-1∈A/a*a-1=a-1*a=e
1.c
→ e = .................
Problemas para clase 1. La operación * está definida mediante la tabla adjunta; el resultado de efectuar la operación: (a * b) es: * a b c
a a b c
b b a c
c c c a
2. En la siguiente tabla se define el operador *. * 1 3 5 7 2 3 1 -1 -3 4 7 5 3 1 6 11 9 7 5 8 15 13 11 9
a) a d) d
b) b e) a * c
c) c
Calcular: a) 6 d) 5
6(12 * 11) + 1@* 13 4*3
b) 4 e) 8
c) 3
3. Con los dígitos: 1, 2, 3, 4 se define la operación (*), como: a*b = a + b 2 Obteniéndose el cuadrado adjunto, que debe completarse. Se afirma, entonces, que los números de las líneas horizontales deben colocarse en los espacios vacíos. * 1 2 3 4 1 1 2 2,5 2 2 3 3 2 3 3,5 4 3 4
I. Primera línea: 0,5 II. Segunda línea: 1,5 y 2,5 III. Tercera línea: 1,5 IV. Cuarta línea: 2,5 y 3,5 De estas afirmaciones, son verdaderas: a) I y IV d) I y III
b) Solo II e) Ninguna
Son ciertas:
I. 16 * 1 = 5 I. El elemento neutro es cero. II. El operador * no es asociativo. III. El operador * es conmutativo. a) Solo I d) Solo IV
8. Si: a * b = a – b + 5 Calcular: (3 –1 * 5 –1) * 6 –1
c) II y IV
a) 299 28 299 d) 30
om
Hallar “x”: (1*x) * (3*0)=(2*2)*1 b) 2 e) 3 o 2
ic a
at
c) 3
s m n r
mn n r r s s m
Son ciertas:
a) -8 d) -10
b) -12 e) 9
c) -16
c) I, II
6. En el conjunto de los números reales "R", se define * mediante: a * b= a + b + 1.
b) 1/2 e) 1/5
c) 1/3
12. Se define la operación (*) en el conjunto: A = {m,n,p} * m n p m m n p n n p m p p m n
b) I, III e) Todas
c) 3
10. Dada la operación: a # b = a + b + 6, en el conjunto "R", hallar el elemento inverso de 4.
a) 1 d) 1/4
I. El operador # representa a una operación que cumple con una ley de composición interna. II. El operador # representa a una operación que cumple con la propiedad conmutativa. III. El elemento neutro respecto a # es (s). IV. El inverso de (s) es m.
a) Solo I d) Solo IV
b) 2 e) 0
11. En el conjunto de los números racionales "Q", se define: a @ b= 3ab. El elemento neutro de @ es:
# m n r s
r s m n
(a–1 : elemento inverso de "a")
a) 1 d) 4
5. Se define el operador # en el conjunto: A ={m,n,r,s} de acuerdo con la tabla adjunta: m n r s
c) 299 31
9. Definida la operación: m * n = m – 3 + n, en el conjunto de los números reales "R", calcular: L = (1-1 * 2) * 3-1
ww w.
a) 1 d) 0
b) 298 31 298 e) 29
1.c
3 3 2 1 0
m
2 2 0 3 1
at e
1 1 3 0 2
M
0 0 1 2 3
c) II, III
7. En el conjunto de los números reales "R", se define el operador # según: a # b = 0. ¿Qué propiedad verifica #? a) La operación # no es asociativa. b) La operación # no es conmutativa. c) Existe elemento neutro. d) No existe elemento neutro. e) Para cada elemento existe su inverso.
4. Si: * 0 1 2 3
b) III, IV e) Todas
Calcular "x" en:
(m –1 * p –1 ) * ( n –1 * x )=m –1
Siendo m-1 = elemento inverso de "m" a) p d) "p" o "m"
b) n e) "m" o "n"
c) m
• Calcular: "x" [3 * (x * 4)] *1 = (4*2) * (3* 1) • Determinar si la operación es cerrada. • Determinar si la operación es conmutativa. • Hallar, si es que existen, el elemento neutro. y el elemento inverso de cada elemento. • Calcular: A =
3–1*2–1 4–1*1–1
Indicar la afirmación falsa: a) Existe un elemento neutro para cada operación. b) La operación es conmutativa. c) Todo elemento de "A" tiene un inverso respecto de "%". d) Si (4 % 1) % x = 3, entonces: x = 2 e) (2 % 3) % (3 % (4 % 1)) = 4
a) 1 d) 4
m
∆ 5 6 7
∇ 1 2 3 4
5 23 28 33
1 0 7 26 63
6 28 34 40
2 -1 6 25 62
4 -3 4 23 60
Calcular: (10∆3)(10∇250). a) 20 000 d) 20 100
b) 21 000 e) 2 100
c) 21 100
16. El operador * está definido mediante la siguiente tabla: * 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 3 4 1
3 3 4 1 2
4 4 1 2 3
4 4 3 2 1
b) 2 e) Cero
c) 3
*
p
n
m
p
m
p
n
n
p
n
m
m
n
m
p
Calcular : E=6(m * p - 1) * (n * m - 1) - 1@ a) m d) "m" y "n"
b) n e) "p" y "n"
c) p
19. En el conjunto: B={0; 1; 2; 3; 4}, se define el operador "*" mediante la tabla adjunta:
7 33 40 47
3 -2 5 24 61
18. Definimos la operación (*) mediante: Nota: a-1. elemento inverso de “a”.
at e
M
ww w.
15. Se definen las operaciones “∆”, “∇” en el conjunto "Z".
c) 2
Calcular "x" en: [(2-1*3)-1*x-1]*[(4-1*2)*4]-1=2 Siendo: x-1 elemento inverso de “x”
at
b) 4 e) 1 o 2
17. Se define en: A = {1; 2; 3; 4}. * 1 2 3 1 1 2 3 2 2 4 1 3 3 1 4 4 4 3 2
ic a
14. En: A = {1; 2; 3; 4} se define la operación "%" mediante la tabla adjunta: % 1 2 3 4 1 4 3 2 1 2 3 4 1 2 3 2 1 4 3 4 1 2 3 4
a) 3 d) 1
om
Hallar el valor de "x" en: [(2-1 # 3)-1 # x] # [(4-1 #2) # 3]-1 = 3 Siendo: x-1 elemento inverso de "x"
1.c
13. En el conjunto A={1; 2; 3; 4} se define la operación representada por "*" mediante la siguiente tabla: * 3 1 4 2 4 3 1 4 2 1 2 4 1 3 2 1 3 2 4 3 4 2 3 1
* 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 p 2 3 q
2 2 3 0 r
3 3 0 1 3
Sabiendo que *representa a una operación conmutativa, es conmutativo, calcular: L = p-1 + 1-1 + q-1 Siendo: p-1 elemento inverso de "p" a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 6
20. En "R", se define la operación: m & n = 2mn. Entonces: I. La operación es cerrada. II. La operación es conmutativa. III. El elemento neutro es 1. Son ciertas : a) Solo I b) Solo II c) I, II d) II,III e) Todas
Tarea domiciliaria 1. En el conjunto de los números reales "R", se define el operador # según: a#b=0. ¿Qué propiedad no verifica #?
a) b) c) d) e)
La operación # es asociativa. La operación # es conmutativa. Existe elemento neutro. No existe elemento neutro. Para cada elemento no existe su inverso.
6. Dada la siguiente tabla:
2. En el conjunto Q={1; 3; 5; 7} se define la operación "∇" según la siguiente tabla: 7 3
7 3
1 5
5 1
3 7
1
1
3
7
5
5
5
7
3
1
Luego, sea x-1 el inverso de x∈Q. Según la operación ∇, hallar: -1 -1 E= 3 - 1 + 5 - 1 7 +1 b) 3/5 e) 3
c) 1
a) 2 d) 0
ww w.
M
3. Se define: a$b=a+b - 4 Hallar: M=(2-1$4)-1 $(6-1$8)-1 Donde a-1 es elemento inverso de "a" b) 1 e) 4
c) 3
4. Se define en el conjunto "Q", una operación simbolizada por #, de la siguiente manera: # 1 2 3 4
1 5 8 11 14
2 7 10 13 16
3 9 12 15 18
4 11 14 17 20
Calcular: (8#3) + (7#5) A= 4#8 a) 23/12 d) 61/28
b) 45/44 e) 61/29
c) 23/22
5. Se define: a*b=a+b+ab. Hallar: (3-1*2-1)-1 donde: a-1 es el elemento inverso de "a". a) 11 d) 3/4
b) 23/35 e) -12/5
c) 33/35
12 12 36 60
16 16 48 80
7. Se define: m#n=5mn/2 Donde: m-1 es el elemento inverso de "m". Calcular: -1 -1 -1 E=; c 1 m # c 1 mE# c 4 m 25 50 25 a) 120 d) 180
b) 200 e) 10
at
a) 1/3 d) 5/3
8 8 24 40
om
1
1.c
3
m
7
at e
5
4 4 12 20
Indicar verdadero o falso: I. La tabla muestra una operación conmutativa. II. El operador "*" representa a una operación que cumple con la propiedad asociativa. III. El elemento neutro es 3. IV. Considerando que a-1 es el elemento inverso de "a", entonces: (2-1*3-1)=1/25. a) VVFF b) VVFV c) VVVV d) FVFV e) FFVV
ic a
∇
* 5 15 25
c) 12
8. Se define en "R": a%b=a+b-4/3 a-1=elemento inverso de "a"; siendo 2-1 para dicha operación de la forma n/m; donde n/m es una fracción irreductible. Entonces "nm" es igual a: a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 0 9. Para la operación definida en el conjunto A={1; 2; 3; 5} mediante la siguiente tabla:
∇ 5 3 2 1
1 1 2 3 5
2 2 1 0 3
3 3 0 1 2
5 5 3 2 1
Se afirma: I. Es cerrada en el conjunto "A". II. Es conmutativa. III. Posee elemento neutro. Son ciertas: a) Solo I b) I y II c) II y III d) I y III e) Todas
10. En los Reales se define la operación: a%b=a+b+4ab, a ≠ -1/4. Hallar 4-1; donde: a-1 es el elemento inverso de "a". a) -4/17 b) -4/7 c) -4/15 d) 4/15 e) 1/4
11. Se define la operación binaria "" en el conjunto M={2; 3; 4; 5; 6; 7} mediante la siguiente tabla: 2 3 5 7 2 5 a p 3 7 q r a d 3 7 2 q m 5 2 q 5 c Si dicha operación es commutativa, además: c c=2; entonces podemos afirmar que: I. La operación tiene elemento neutro. II. q-1 (c - 5)-1=3 III. Si (m-1 7)-1 =(d-1 x)-1; entonces: x=5 a) Solo I d) I y II
b) Solo II e) II y III
M
1 1 3 0 2
2 2 0 3 1
3 3 2 1 0
Entonces, es falso: I. La operación es cerrada. II. El elemento neutro es 4. III. 0-1=0 ; 1-1=2 ; 2-1=1 ; 3-1=3 IV. 3-1*2-1=0 a) I y II d) I, II, III
b) II y III e) Todas
b) 9/28 e) 29/38
8 2 0 8 6 4
b) 7 e) 6
c) -28/9
a) 1 d) 4
c) 2
c) 3
= 4x - 5
Además: a*b = 4(a+b)+3 Calcular:
b) 2 e) 1 o 2 x
18. Si:
P=(3-1*4-1)-1 * ( 3
-1*
2
-1)-1
Se sabe que b-1 es el elemento inverso de "b". a) 16 d) 10
b) 14 e) 22
c) 23
19. Definimos el operador (*) en el conjunto de los números reales mediante la siguiente operación:
c) II y IV
14. Se define en los la operación matemática: m*n=m+n+(4/3)mn ¿Qué número no tendría inverso? ¿El inverso de qué número es la unidad? Dar como respuesta la suma de ambos resultados. a) -33/28 d) 28/33
6 0 8 6 4 2
om
ww w.
0 0 1 2 3
4 8 6 4 2 0
1.c
at
c) 2
13. Se define el operador (*) en el conjunto Q={0; 1; 2; 3} mediante la siguiente tabla: * 0 1 2 3
2 6 4 2 0 8
17. Dado: 1-1=1; 4-1=4; 2-1=3; 3-1=2. Además el elemento neutro toma su máximo valor en esta operación cerrada. Calcular: A=[(3&2)-1 & (4&1-1)]-1
[(2-1 * 3)-1 * x] * [(4-1 * 2) * 3]-1=1, siendo a-1 elemento inverso de "a". b) 1 e) 4
0 4 2 0 8 6
c) FVV
Calcular: M=[(2-1∆ 6-1)-1∆(6 ∆ 8-1)-1]∆ 4-1 a) 4 d) 1
4 4 3 2 1
Calcular "x", si:
a) 0 d) 3
∆ 0 8 6 4 2
ic a
3 3 1 4 2
b) VVF e) VVV
16. Se define:
m
2 2 4 1 3
Indicar (V) o (F) I. (32)2=122 II. La operación es conmutativa. III. La operación tiene elemento neutro. a) VFV d) FVF
at e
1 1 2 3 4
c) Solo III
12. Definimos en el conjunto: A={1; 2; 3; 4} * 1 2 3 4
15. Se define: ab=3ab+2 , ∀ a,b ∈ R
a*b= 2a + b 2 Hallar el elemento neutro respecto al operador (*): a) 0 d) -1
b) 1 e) No existe.
20. Definida la operación en
c) 2
:
a#b=a+b+8
¿Cuál es el elemento inverso de -26? a) 8 d) 10
b) -12 e) 9
c) -16
Problemas resueltos
• Primero hallaremos qué día de la semana será el 15 de febrero de 2014. • Años transcurridos = 75 • Años bisiestos 2012 - 1940 + 1 = 19 4 º Luego: 75+19=94= 7 S +3
• Marzo : 31 • Abril : 12 º 13+31+12=567
Rpta.: Jueves
13
2. Cierto reloj se adelanta cuatro minutos cada cinco horas. ¿Qué hora será en realidad cuando el reloj marque las 11:00 h, si hace 20 horas que empezó a adelantarse?
Resolución Pasan
m
x
-1
x-1
m+3
Rpta.: x=
(n2 + 1) (m + 3) + m m
Se adelanta
5 minutos 720 minutos 5x=720 x=144 h
Rpta.: Tienen que pasar 144 h o 6 días
5. ¿Qué ángulo forman el horario y el minutero a las 19 horas, 20 minutos, 15 segundos?
4 minutos
20 h
x
5x=20(4) x=16 minutos • Dicho reloj tiene 16 minutos de adelanto; es decir, está marcando 16 minutos más • Luego: Hora=11:00 - 16 minutos=10:44 real
Resolución Observación: Cuando un reloj se empieza a atrasar o adelantar, para que este reloj vuelva a marcar la misma hora se tiene que atrasar o adelantar 12 horas (720 minutos). Se adelanta Pasan 1h x
5h
Rpta.: 10:44
n2+1
4. Un reloj se empieza a atrasar cinco minutos por cada hora que pasa. ¿Cuánto tiempo como mínimo debe pasar para que este reloj vuelva a marcar la misma hora que el reloj normal?
ww w.
123
Del: 15 Al : 28
-1
at
Febrero
m
•
at e
n2+2
ic a
3
Jueves Entonces: 15/02/2014 → Jueves 12/04/2014 → ? Hallando los días transcurridos.
M
Lun
S+
Resolución: • Recordemos que se deben considerar los intervalos de tiempo. Intervalos Tiempo Campanadas
om
Resolución
Resolución
α=± 11 M 30H 2 Usaremos la fórmula Debemos convertir el dato para poder aplicar la fórmula: 19 h 20 min 15 seg 07:20 1 p.m. 4 Luego: α= 11 ⋅(20 1 )+30(7) 2 4 α =98,7º
Rpta.: 98,7º
±
3. La campana de una iglesia suena (n2+2) veces en "m" minutos. ¿Cuántas veces sonará dicha campana en (m+3) minutos?
1.c
1. Si se sabe que el 15 de febrero del año 1939 fue lunes, ¿qué día de la semana será el 12 de abril del año 2014?
Nota: el horario lleva el signo (+) pues está más cerca de las 12 (en sentido horario).
Problemas para clase 1. El campanario de una iglesia toca siete campanadas en 12 segundos. ¿Cuántos segundos demora en dar 10 campanadas? c) 12
2. Un reloj demora (m + 2) segundos en tocar (m2 + 2m + 1) campanadas. ¿Cuántas campanadas tocará en un minuto? a) 30 m d) 60 m+1
b) m+1 e) 60 m - 1
b) 6 e) 8
c) 4
Número de días de la semana que más aparecen o se repiten (cinco veces)
Indica que el mes tiene:
1 día
29 días
2 días
30 días
3 días
31 días
10. Carlos pregunta: "¿Qué hora es?" y le responden: "Ya pasaron las 11 y falta poco para las 12. Además, dentro de 13 minutos faltará para las 13 la misma cantidad de minutos que habrán pasado desde las 11 hasta hace 7 minutos". ¿Qué hora es?
M
b) 3n(n-1) / n d) m/ n
ww w.
a) (3n+1) / (n-1) c) 3n(n-1) / m e) (mn+1)/ (mn-1)
at e
m
at
ic a
4. El campanario de una iglesia indica las horas con igual número de campanadas. Si para indicar las “n” horas tarda “m” segundos, ¿cuántas horas habrán transcurrido, desde el instante en que empleó “n” segundos para indicar dicha hora hasta el instante en que utilizó “4n” segundos para indicar la hora correspondiente?
5. Si el 7 de febrero de 1984 fue viernes, entonces el 10 de abril de 1984 fue: a) Lunes d) Domingo
b) Viernes c) Sábado e) Martes
6. Si el 10 de febrero de 1972 fue martes, ¿qué día fue el 29 de diciembre de ese mismo año? a) Martes d) Viernes
b) Miércoles c) Jueves e) Lunes
7. Si el 6 de marzo de 1950 fue sábado, ¿qué día fue el 6 de marzo de 1973? a) Sábado d) Viernes
b) Lunes e) Domingo
c) Martes
8. Si el 28 de julio de 1948 fue lunes, ¿qué día será el 5 de agosto del año 2018? a) Lunes d) Domingo
b) Martes e) Viernes
c) Miércoles
b) Miércoles c) Viernes e) Domingo
Observación:
c) m
3. La campana de una iglesia emplea 12 segundos en tocar tantas campanadas como segundos transcurren entre campanada y campanada. ¿Cuántas campanadas tocará en 20 segundos? a) 7 d) 5
a) Martes d) Lunes
om
b) 15 e) 18
1.c
a) 16 d) 17
9. En un determinado mes existen cinco viernes, cinco sábados y cinco domingos. ¿Qué día de la semana será el 24 del mes que le sigue al mes en mención si todavía faltan más de dos meses para celebrar fiestas patrias?
a) 11:57 d) 11:56
b) 11:54 e) 11:55
c) 11:58
11. ¿A qué hora entre las 2 y las 3, las agujas de un reloj forman un ángulo de 130° por segunda vez? a) 2h 52 8/11min b) 2h 50 min c) 2h 49 3/11 min d) 2 h 51 min e) 2 h 47 3/10 min 12. En una mañana de sol, un árbol de 8 3 m de altura arroja una sombra de 8 m de longitud. ¿Qué ángulo forman las agujas en ese momento? a) 60° d) 340°
b) 70° e) 80°
c) 260°
13. ¿A qué hora, entre las 15 horas y 16 horas, las agujas de un reloj están superpuestas? a) 15h 17 min b) 15h 19 min c) 15h 19 7/11 min d) 15h 16 4/11 min e) 15h 17 7/11 min 14. Fabiana empieza una tarea cuando las agujas del reloj forman un ángulo recto entre las 2 y las 3, y termina cuando las agujas del reloj están superpuestas entre las 3 y las 4. ¿Qué tiempo duró la tarea? a) 45 min d) 78 min
b) 34 6/7 min c) 49 1/11 min e) 49 min
18. Un reloj se adelanta ocho minutos cada 15 minutos. ¿Qué hora marcará dicho reloj cuando en realidad sean las 7:54 h, si hace cinco horas que viene funcionando con este desperfecto?
15. ¿Qué hora indica el gráfico?
a) 10:44 h d) 10:24 h
19. Un reloj se atrasa seis minutos cada 20 minutos. ¿Qué hora será en realidad cuando dicho reloj marque las 14:48 h, si hace 3 h 20 min que viene funcionando con este desperfecto?
c) 2:55 7/8
16. ¿Qué hora indica el reloj de la figura?
a) 13:48 h d) 13:28 h
a) ¿Cuánto tiempo como mínimo debe transcurrir para que ambos relojes marquen la misma hora?
c) 1:39 5/9
b) 14:28 h e) 14:40 h
c) 14:35 h
M
ww w.
Tarea domiciliaria
at e
m
a) 14:32 h d) 14:24 h
b) ¿Cuánto tiempo como mínimo debe transcurrir para que ambos relojes marquen la hora correcta?
at
17. ¿A qué hora inmediatamente después de las 14:00 h, el minutero adelanta al horario tanto como el horario adelanta a la marca de las 12?
om
a) 1:37 7/13 b) 1:38 4/9 d) 1:38 4/7 e) 1:38 9/11
c) 13:40 h
20. Dos relojes se sincronizan a la misma hora, a partir de cuyo instante uno de ellos se adelanta dos minutos por hora y el otro se atrasa tres minutos, también por hora.
b) 13:38 h e) 15:48 h
1.c
b) 2:53 1/7 e) 2:57 1/11
c) 10:25 h
ic a
a) 2:57 1/7 d) 2:57 7/11
b) 10:34 h e) 10:14 h
1. Un reloj da ocho campanadas en 16 s. ¿Cuántas campanadas dará en 80 s?
5. Si el 19 de agosto de 1994 fue martes, ¿qué día será el 15 de agosto del año 2007?
Rpta.: ....................................
2. Un reloj indica la hora tocando tantas campanadas como la hora indica en ese momento y además, toca tres campanadas cada media hora. ¿Cuántas campanadas se oirán en un día?
Rpta.: ....................................
4. Si el 17 de febrero de 1986 fue domingo, ¿qué día será el 28 de diciembre de ese mismo año?
6. En un determinado mes existen cinco lunes, cinco martes y cinco miércoles. ¿Qué día caerá el 18 del siguiente mes?
Rpta.: ....................................
Rpta.: ....................................
3. Un boxeador da 10 golpes en 4 s. ¿Cuánto tiempo demorará en dar 28 golpes?
Rpta.: ....................................
Rpta.: ....................................
7. Tránsito nació cuatro años exactos antes que Eucalipta. Tránsito nació el 28 de diciembre. Si la Navidad cae sábado, ¿qué día de la semana cae el cumpleaños de Tránsito?
Rpta.: ....................................
8. Si el 31 de julio del próximo año será martes, ¿qué día habría sido el 1 de agosto del año pasado que fue bisiesto?
Rpta.: ....................................
9. ¿Cuántos años bisiestos ha habido desde 1920 hasta 1986, inclusive?
Rpta.: ....................................
16. Dentro de dos días faltarán para terminar el mes de febrero tantos días como la mitad de los días transcurridos hasta hace seis días desde el inicio de dicho mes. ¿Qué día es, si febrero se encuentra en un año bisiesto?
10. Si el primer día de 1934 fue sábado, ¿en qué día empezará el año 1981?
17. ¿Qué día del año marcará la hoja de un almanaque cuando el número de hojas arrancadas exceda en dos a los 3/8 del número de hojas que quedan?
Rpta.: ....................................
11. Si un mes empieza y termina en domingo, ¿qué día será el último día del siguiente mes? Rpta.: ....................................
12. Si el 15 de abril de 1980 fue sábado, ¿qué día habrá sido el 14 de julio de 1982? Rpta.: ....................................
Rpta.: ....................................
19. Si el 13 de marzo de 1972 fue jueves, ¿qué día habrá sido el 18 de agosto de 1990?
Rpta.: ....................................
ic a
13. Durante cierto mes se pueden contar más lunes y martes que los demás días de la semana. ¿Qué día fue el último día del siguiente mes? Rpta.: ....................................
at
18. ¿En qué día y hora del mes de abril del año 2000 se verificará que la fracción transcurrida de ese mes sea igual a la fracción transcurrida de ese año?
om
Rpta.: ....................................
1.c
Rpta.: ....................................
Rpta.: ....................................
ww w.
M
at e
m
14. Un reloj da (a+1) campanadas en a2 segundos, entonces, ¿cuántas campanadas dará en 3a segundos?
15. En una casa encantada hay un fantasma bastante especial: aparece cuando el reloj comienza a dar la medianoche y desaparece con la última campanada. El reloj tarda seis segundos en dar seis campanadas. ¿Cuánto dura la aparición del fantasma?
Rpta.: ....................................
20. Un reloj indica las horas con tantas campanadas como el número de horas transcurridas. Si para indicar las 8:00 h tardó 14 segundos en dar las campanadas, ¿qué hora indicó cuando tardó 22 segundos?
Rpta.: ....................................
Problemas resueltos
• Dato II: Mujeres: n+10 Hombres: n
H =2 M 3
Se determina la relación de la cantidad de hombres y mujeres pero no el total (insuficiente)
ww w.
Mujeres: 60%T Hombres: 40%T
No se conoce el total
• Si ambos datos son n = 2 insuficientes, se 3 n + 10 pueden juntar → T=50
Rpta.: C
2. La pregunta que a continuación se propone está acompañada de las informaciones I y II. Analizar e identificar la información suficiente para responder: la figura ABCD ¿es un cuadrado? Información: D C α I. α=45º II. Medida del ángulo ADC es 90º
a) b) c) d) e)
•
Solo la información I A B Solo la información II Ambas informaciones a la vez. Cada una de las informaciones por separada. La información brindada es insuficiente.
Dato I: α=45º D
C
45º
A
B
No necesariamente es un cuadrado (insuficiente) • Dato II: \ ADC=90º
om
C
1.c
D
A
B
(insuficiente)
at e
• Dato I:
m
Resolución
M
Resolución
at
a) La información I es suficiente. b) La información II es suficiente. c) Es necesario emplear ambas informaciones a la vez. d) Cada una de las informaciones, por separado, es suficiente. e) La información brindada es insuficiente.
• Datos: I y II D
45º
C
ic a
1. Se requiere determinar el número de asistentes a una reunión de padres de familia. Información brindada: I. El 60% de los asistentes son mujeres. II. El número de mujeres que asistieron excede en 10 al número de hombres. Para resolver el problema:
A
B
(insuficiente)
Rpta.: E
3. Una bolsa contiene bolas verdes, amarillas y blancas. Si en total existen nueve bolas, se desea saber de cuántas maneras distintas se pueden ordenar dichas bolas. Información brindada: I. Existen tres bolas verdes y cuatro blancas. II. Dentro de la bolsa existen, además, dos bolas amarillas. La pregunta se puede resolver, considerando:
a) b) c) d) e)
Solo la información I Solo la información II Ambas informaciones a la vez. Cada una de las informaciones por separado. La información brindada es insuficiente.
Resolución En total, la bolsa contiene nueve bolas:
Dato I: Verdes=3 Blancas=4 ∴ Amarillas=2 Al conocer la cantidad de cada color, es posible calcular de cuántas maneras se pueden ordenar (suficiente)
Dato II: No se puede conocer la cantidad de bolas verdes y blancas (insuficiente) Rpta.: A
Nota: Luego de analizar de manera independiente cada dato y determinar que uno de ellos es suficiente, no son necesarios ambos datos.
4. ¿Cuál es el valor de x? Información brindada: II. x0 m I. m2+ 12 =4 m II. m + 1 = 6 m a) I d) I o II
b) II e) F.D.
c) I y II
5. Si: P(x+3) – P(x) = 2x+1, hallar: P(4). I. P(0) = 2 II. P(1) = 3 a) I d) I o II
b) II e) F.D.
c) I y II
b) II e) F.D.
c) I y II
6. ¿Es x > y? I. x/y = 5/4 II. x2 > y2 a) I d) I o II
7. ¿Cuántas frutas tiene un árbol, si dicho número está entre 80 y 90? I. Si se cuentan de cuatro en cuatro, sobra una. II. Si se cuentan de seis en seis, sobra una. b) II e) F.D.
a) I d) I o II
c) I y II
8. ¿Cuánto gasté, si tenía S/. 240 para hacer compras? I. Gasté los 3/5 de lo que no gasté. II. Lo que no gasté excede en S/.60 a lo que gasté. a) I d) I o II
b) II e) F.D.
c) I y II
b) II e) F.D.
13. Determinar A + B, si: A + B = Cx + D x-2 x+5 x2 + 3x - 10 I. C = 3 II. D = 29 b) II e) F.D.
3
ab
a) I d) I o II
b) II e) F.D.
c) I y II
16. Hallar el conjunto solución de la inecuación: 3x + a < 5x + b – 2x I. a – b < 0 II. b < a a) I d) I o II
ic a
c) I y II
12. Hallar el valor de "x", entero positivo: I. 5x < 7 II. x + 1 es un entero positivo. x a) I b) II c) I y II d) I o II e) F.D.
a) I d) I o II
II. a * b =
b) II e) F.D.
c) I y II
M=
AB A+B
I. A + B = 6 4 AB II. (A+B)2= 4AB
at ww w.
11. Si: a + b = b ; "a", "b" y "c" son enteros. c b+c Entonces, para hallar "b" se necesita: I. a + c = 20 II. ac = 64 a) I d) I o II
ab b*a
17. Si "A" y "B" son números reales y positivos, hallar:
at e
c) I y II
M
b) II e) F.D.
I. a * b =
10. Determinar si: x(3x + 5) es par. I. x es par. II. x es impar. a) I d) I o II
c) I y II
om
b) II e) F.D.
m
a) I d) I o II
c) I y II
9. Resolver la ecuación, hallando un único valor numérico para "x": p(2x – 1) + 3 = 4 – (p + 1) + q + x I. p = 2 II. q = 0; p≠1/2
b) II e) F.D.
15. Hallar: 2 * 4.
1.c
a) I d) I o II
14. En un triángulo ABC, AB = 7 m y AC = 2 m. Determinar el perímetro de dicho triángulo I. La longitud de BC es un número entero. II. El 0
a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente.
a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero 5. Una persona parte de una ciudad "P" y pasa por las ciudades "A", "B" y "C" sucesivamente. Se la "(1)" sola no lo es. puede calcular la distancia de "P" a "B", si se c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, sabe que: pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. (1) "S" es la distancia de "P" a "A". e) Si la información dada no es suficiente. (2) "Q" es la distancia de "P" a "C".
om
(1) Se encontraron 28 ruedas. (2) La cantidad de autos excede en 4 unidades a la de motos.
ic a
a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente.
1.c
2. En un taller de reparación hay ocho vehículos entre motos y autos. Determinar la información necesaria para responder a la siguiente pregunta: ¿Cuántos autos y motos hay en el taller?
ww w.
M
at e
m
at
a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero 6. Entre Pablo, Sebastián, Nicolás y Ricardo se la "(2)" sola no lo es. comieron una torta. De la información dada en b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero (1) y (2), ¿cuál es la necesaria para determinar la "(1)" sola no lo es. quién fue el que más comió? c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. (1) Sebastián comió el doble que Pablo y el trid) Si cualquier afirmación sola es suficiente. ple que Ricardo. e) Si la información dada no es suficiente. (2) Nicolás ha comido más que Pablo y más que Ricardo. 3. Un comerciante se plantea obtener una ganana) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero cia de S/.1000, vendiendo 30 relojes de pulsera. la "(2)" sola no lo es. Para determinar esta ganancia debe conocer: b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero (1) El precio total de la compra la "(1)" sola no lo es. (2) El precio unitario de la venta c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. la "(2)" sola no lo es. e) Si la información dada no es suficiente. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, 7. "P", "Q" y "R" representan a tres personas: el pero ninguna sola. abuelo, el padre y el hijo. Si las relaciones que d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. a continuación se señalan se refieren a la edad, e) Si la información dada no es suficiente. entonces para determinar quién es el abuelo, el padre y el hijo, respectivamente, se debe cono4. En un salón de clases hay cierto número de cer que: alumnos. Para determinar cuántos alumnos hay (1) Q>P en el salón, se debe conocer que: (2) P+Q6).
Resolución • Considerando lo peor que puede ocurrir, se tiene: Caramelos = n+(n - 1)+(n - 2)+3=3n extraídos
Rpta.: 3n
Problemas para clase
5. Una carta con numeración prima:
c) 30
M
b) 29 e) 32
6. Dos cartas que sumadas resulten 10: a) 34 d) 25
b) 26 e) 27
c) 24
c) 47
7. Dos cartas múltiplos de 5: a) 44 d) 42
b) 46 e) 45
8. De un juego de ajedrez, cuántas fichas se deben extraer al azar y como mínimo para tener la certeza de haber obtenido tres peones (uno blanco y dos negros). a) 24 d) 27
b) 25 e) 28
12. Pepe tiene en su establo: 20 caballos blancos, 25 caballos negros, 12 yeguas blancas y 10 yeguas negras. ¿Cuántos animales se deben sacar al azar y cómo mínimo para tener la certeza de tener una pareja mixta del mismo color? a) 26 d) 27
ww w.
a) 28 d) 31
at
c) 41
m
b) 40 e) 43
at e
a) 39 d) 42
ic a
1.c
om
Dar la suma de dichos resultados. 1. En una caja se tienen 21 fichas rojas, 20 blan- cas, 28 verdes, 11 negras, 11 azules y 9 amaria) 115 b) 110 c) 112 llas. ¿Cuál es el mínimo número de fichas que d) 118 e) 120 se deben extraer para tener necesariamente 15 fichas de un mismo color? 10. Se tienen dos cajas: en una de ellas hay seis daa) 31 b) 43 c) 74 dos blancos y seis dados negros, y en la otra hay d) 22 e) 20 seis fichas blancas y seis fichas negras. ¿Cuál es el mínimo número de objetos que se deben sacar Enunciado (2 - 7) para tener necesariamente entre ellos un par de Dentro de una bolsa oscura hay un mazo de cartas dados y un par de fichas, todos del mismo co(52 cartas, 13 de cada palo). ¿Cuántas hay que sacar lor? como mínimo para estar seguro de haber obtenido: a) 11 b) 7 c) 6 2. Un as: d) 4 e) 2 a) 3 b) 48 c) 49 11. Una caja contiene “P” bolas rojas, “Q” blancas d) 50 e) 13 y “R” azules. Si se extraen al azar, ¿cuál es el mínimo número de bolas que deben sacarse para 3. Una carta de color negro: tener la certeza de que haya cuando menos dos a) 27 b) 28 c) 14 bolas de colores diferentes? (P>R>Q). d) 26 e) 30 a) PR-Q b) PR+1 c) P+1 4. Dos corazones: d) Q+1 e) PQR-1
c) 26
b) 46 e) 39
c) 12
13. Dentro de una urna depositamos 120 esferas numeradas del 1 al 120. Señalar cuántas esferas hay que extraer como mínimo para tener la certeza de haber obtenido: a) Una esfera con numeración que termine en cero. b) Dos esferas cuya numeración esté comprendida entre 50 y 70. c) Tres esferas comprendidas entre 80 y 110 que sean impares. a) 110-109-108 c) 109-103-108 e) 103-108-109
b) 109-110-108 d) 110-103-109
9. De un juego de naipes (52 naipes, 13 de cada palo), ¿cuántos hay que extraer al azar y como 14. Tres cajas idénticas contienen, cada una, dos mínimo para tener la seguridad de haber obtepelotas. Una contiene dos pelotas negras, otra nido lo siguiente?: contiene dos pelotas blancas y la tercera, una pelota negra y una pelota blanca. Cierta vez a) Una carta de color rojo las cajas estuvieron correctamente etiquetadas, b) Dos corazones y un diamante pero debido a una confusión las etiquetas se c) Tres naipes impares múltiplos de 3
b) Solo III e) Solo II
c) I o II
15. Pedro tiene en una caja 10 fichas numeradas del 1 al 10. ¿Cuál es el mínimo número de fichas que ha de extraer para tener la seguridad de haber sacado tres fichas numeradas consecutivamente? a) 3 d) 8
b) 4 e) 7
c) 6
20. Una bolsa contiene seis bolas blancas y tres bolas negras; otra contiene cuatro bolas blancas y siete bolas negras. Se saca sin mirar una bola de la primera bolsa y luego una de la segunda bolsa, y así se sigue alternadamente. Si se empieza sacando de la primera bolsa, ¿cuántas bolas como mínimo hay que sacar para tener la certeza de que se han sacado dos bolas de diferente color? a) 4 d) 8
b) 9 e) 11
c) 10
MÁXIMOS Y MÍNIMOS 21. Si “x” tiene un valor entre 4 y 5; y “z” tiene un valor entre 20 y 40, ¿entre qué valores estará z/x? a) 4 y 8 d) 10 y 20
b) 5 y 8 e) N. A.
c) 4 y 10
22. Un kilo de duraznos contiene entre 8 y 12 duraznos. El precio de los más grandes varía entre 2 y 3,5 soles por kilo, y el de los más pequeños, entre 1 y 1,5 soles por kilo. Si Rosario compra cuatro docenas pagando lo máximo posible y Erica, la misma cantidad pagando lo menos posible, ¿cuál es la suma de lo pagado por ambas?
c) 6
M
b) 3 e) 7
ww w.
a) 4 d) 8
at e
m
at
16. Una bolsa contiene cuatro bolas blancas y dos bolas negras; otra contiene tres bolas blancas y seis bolas negras. Se saca sin mirar una bola de la primera bolsa y luego una de la segunda bolsa, y así se sigue alternadamente. Si se empieza sacando de la primera bolsa, ¿cuántas bolas como mínimo hay que sacar para tener la certeza de que se han sacado dos bolas de diferente color?
c) 60
om
a) Solo I d) II o III
b) 31 e) 45
1.c
I. Extraer una pelota de la caja etiquetada N.N. II. Extraer una pelota de la caja etiquetada B.B. III. Extraer una pelota de la caja etiquetada B.N.
a) 32 d) 46
ic a
mezclaron y ninguna caja quedó correctamente etiquetada. Las etiquetas están marcadas con las siguientes abreviaturas: B.B.: Blanca-Blanca; N.N.: Negra-Negra; B.N.: Blanca-Negra. ¿Cuál de los siguientes pasos, por sí solo es suficiente para determinar el contenido de las tres cajas?
17. En una reunión se encuentran 390 personas. ¿Cuántas personas como máximo deberán retirarse para que en dicha reunión tengamos la seguridad de que estén presentes dos personas que compartan el mismo onomástico? a) 21 d) 24
b) 22 e) 35
c) 23
18. Una caja contiene (n3 - 1) bolas amarillas, (n2+1) bolas rojas, (3n+1) bolas verdes, (2n-4) bolas azules y (3n2+5) bolas negras. Si el mínimo número de bolas que deben extraerse al azar para tener la certeza de contar con dos bolas amarillas, tres rojas, cinco negras es (n3+354), ¿cuál es el valor de "n"? (n>3). a) 11 d) 8
b) 9 e) 7
c) 10
19. Se tienen en una caja 15 pares de guantes negros y 15 pares de guantes blancos. ¿Cuántos guantes como mínimo se deben extraer de la caja, sin mirarlos, para estar seguro de tener un par de guantes blancos que sirvan para usarse?
a) S/. 21 d) S/. 14
b) S/. 17 e) N. A.
c) S/. 25
23. Una caja contiene entre 20 y 25 unidades. Si el precio de compra varía entre 10 y 15 soles por caja, y el precio de venta, entre 20 y 25 soles por caja, ¿cuál sería la máxima ganancia a obtener por la venta de 100 naranjas? a) S/. 50 d) S/. 80
b) S/. 60 e) S/. 85
c) S/. 75
24. Si 10 manzanas pesan entre “p” y “q” kg (p
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