Download Libro de Métodos Matriciales Con MATLAB Para Ingenieros [Ph.D. Juan Carlos Herrera]...
Métodos Matriciales para ingenieros con MATLAB 1
Facultad de Ingenieria
1
Pontificia Universidad
JAVERIANA
- - - - Cali - - - -
Rect or: Jorge Humberto Peláez P iedrahita, 2.J. Vicerrect or Acooémico: A ntonio de Roux Rengifo Vicerrect or del Medio Univers ita r io: Luis Ferna ndo Granados Ospina, 2.J. F acultad de l ngenier fo, Decano Acádemico: Maur icio Ja.ramillo Ayerbe Decano del M edio U niversitario: A lbe1t o Benavides Herr án Dir ecto1 Depto de Ciencias e Ingeniería de la Producción: Alvn.ro F igueroa Cabrera
Título Métodos Matriciales con MATLAB Autor: J u an Carlos Herrera 2ánchez, Ph.D.
12 BN 978-958-8 347-52-3 Coordinador Editorial: Ignacio M urgueitio Restrepo e-mail:
[email protected]. co
© ©
Derechos Reservados 2 ello Editor ial J averi ano
Correspondencia, suscr ipciones y sol icitudes de canj e: C::.lle 18 # 118-250 2 antiago de Cali, \ Talle del Cau ca Pontificia Universidad J averian a Cali F acultoo de Ciencias de la 2alud Teléfono 3218 200 ex-t. 493 - 533 \VW\V .j ::.verianacali. edu.co F or msto: 17 x 2& cms Con cept o G táfico: E dith V ::.lencia F-. Edición: agosto de 2011
Métodos Matriciales para ingenieros con MATLAB 1
1
Herrern. Sá.nchez, Ph D , Ju n.n Cn.rlo s :tvlétodos :tvl n.tricin.les pn.rn. ingenieros con :tvIAT LAB / J un.n Casios Herrern. Sá.nchez, P h.D . -- Sn.ntia.go de Cn.li: Pontificin. U niversidad .Jn,verin.nn., Sello Editorin.l .Jn.ver in.no, 201 1. p. 154 : il.; 17 x 25 cm. Incluye referencin.s bibliogr6ficn.s. I SBN 978-958-8347-52-3 1. lvi n.t rices (lvin.temáticn.s) 2. lvIA T L AB 3. D eterminn.ntes 4 . Ecu n.ciones linen.les l. Pontificin. Un iversidad Jn.verin.nn. (Cn.li). F n.culta.cl de l ngenierín..
SCDD 512 .9434 ed.21 BPU JC n.rm/ 11
Prefacio El presente texto está orie11tado hacia los cursos de pregrado de i\.nálisis de Estructuras, Análisis Matricial y Dinámico de Estructuras y .A..11álisis N umérico , ofrecidos para Ingeniería Ci\1il. También ser á de referencia en cursos de postgrado tales como Método de Eleme11tos Finitos. No obsta11te, será útil como texto de referencia para estudia11tes de otras áreas de la i11geniería ofrecidas por la Facultad. En el Capítulo 1 se presentan los conceptos básicos del álgebra de m atrices así como al m anejo de \1ectores y matrices con MATLAB. En éste capítulo JI a lo largo del texto se presentan nu1nerosos ejemplos usando el soft\:vare citado, p ara que sirvan de complemento a los aspectos teóricos presentados. En el Capítulo 2 se tratan las operaciones fundament a les con m a trices . El Capítulo 3 está dedicado al tema de inversión de matrices y al cálculo de determinantes. En el Capítulo 4 se prese11tan los métodos tradicionales para la solució11 de sistemas de ecuaciones lineales. Finalmente, en el Anexo, se presenta una introducción a al tópico sobre integración y diferenciación de matrices usando NIATLAB. El texto es de carácter introductorio, y por tanto será de utilidad tanto a estudiantes de pregrado de ingeniería, como a profesionales de inge11iería.
El Autor
Tabla de co11te11ido Capítulo 1. T ipos de matrices ....... . _........ __ ..... . _....... . __ .. 9 1.1 Definiciones.... .. ....... ......... .. ....... ......... .. ....... .......... l . 2 Manipulació11 de ·vectores y inatrices en MATL.A.B·........ . 1.3 Clases de matrices ............... ........ . ......... ........ . .......... 1 .4 Referencias bibliográficas ..... .. ·--- ······· ·-- ··· ····- ······· ·- ·-·· 1.5 Problemas ... . _...... .......... .. ...... _... ...... .. ...... _. . . . . . . . . . . . .
9 10 20 41 41
Capítulo 2. Operaciones con matrices ....... _....... . _........ _... 43 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
Producto de un número real por una matriz .. .. .. ..... ... _.. Suma de matrices .. ............... -······· -- ······· --······· -- ··· .. J\!Iultiplicación de matrices ... ·-··· ···· ·-·· · -··· --··· ···· ·-·· · -·-·· P artición de matrices... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referencias bibliográficas ......... .. ........ ........ _......... ..... Problemas .. ... ..... ... ....... ... ..... ... ....... ... ..... ... ....... ... ..
43 44 52 58 63 63
Capítulo 3. Deter1ninantes e inversión de inatrices ... . _.. ..... 65 3.1 Determinante de una matriz ..... _....... __ ... _.... _....... ... 65 3.2 Expansión de La place ........ .. ................ .. ................ . 67 3.3 P eterminante por Condensaciónn P ivotal. ... . __ _.... _. ___ ... _ 77 3.4 Inversión usando la m atriz adjunta .... .. ............. .... ...... 79 3.5 J\!Iétodo de Gauss-Jordan....... ... ............... ... .. ....... .. .... 82 3.6 Inversa de u11a inatriz por medio de partición ............... 91 3.7 Referencias bibliográficas ................ ... ..... __ . ......... . _... 98 3.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7
Capítulo 4. Solución de sistemas de ecuaciones lineales ... ... 101 4.1 Forma m atricial de las ecuaciones.. . . . ... ... . ... ___ . . ... 101 4. 2 Solución por inversión de matrices ... ...... __ ........ _........ .. 102 4 .3 Regla de Crarner .... ... ....... ........ ... ...... . ....... .. .. ........ .. 106 4 .4 l\1étodo de eliminación de Gauss .... . ...... .. . .... ..... ....... .. 109 4.5 Método de Gauss-.Jordan .. ............... ... ................ ....... 127 4.6 4. 7 4.8 49
J\!Iétodo de Cholesl> A= [ l 5 2 ;1 1 7 ; O - 3 4 ] A = 1 1
5
2
1
o
-3
7 4
>> All =A(1 : 2 ,1 : 2) All 1 1
5 1
>> A12 =A(1 : 2 , 3) A12 2 7
>> A21 =A(3 ,1:2 ) A2 1 -
o
-3
>> A22 =A(3 , 3) A2 2 4
96
DETERMJ:NANTES E INVERSIÓN DE MATRICES
>> 8 ll =inv( All-A12 * i nv(A22)*A21) 8 11 =
- 25 4
26 -4
>> 8 21 =-i nv(A22)*A2 1* 811 8 21 -
3
-3
>> 8 22 =inv(A22 - A21*inv(All)*A12) 82 2 4 1
Cálculo de (B 12 ] = -( A 11]- ( A 12 ]( B22 ]
>> 8 12=-i nv(Al l)*A12*82 2 8 12 =
- 33 5
97
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ
>> AI=[Bll B12;B21
822 ]
AI - 25 4 3
-4
-33 5
-3
4
26
3. 7 Referencias bibliográficas l(iusalaas, J. Numcrical J1!Jcthods in Enginccring with NIATLAB. Cambridge U ni,;ersit); Press, 2009. l(olman, B . A lgcbra lineal con aplicaciones y ll!fatlab. Prentice Hall Hispanoamericana, México , D.F , 1999. La ub , i\.. ll!fatrix Analysis for Scicntists and Enginccrs. SIAM: Society for Industrial and i\.pplied Niathematics. Philadelphia, 2004. Mathews .J, Fink, l(. J\!fétodos numéricos con J1!JATLAB, Madrid, Pre11tice Hall, 2000. Hsieh, Y. Teoría elemental de estructuras. Prentice Hall Hispanoamericana, Niéxico , D F. , 1970. Uribe , J. J1!ficrocomputadorcs en ingeniería estructural. Ecoe Ediciones, Colombia, 1995 ' ''atl> % solución >> x =A\ b 105
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ
X
= 2
-1 5
4.3 Regla de Cran1er El Niétodo de Cramer para resol\ier un sistema de ecuaciones, hace uso del desarrollo de determi11antes para obtener la in\iersa de una matriz. 1
(x] = (A]- ( b] Recordando que:
Entonces,
{x} = Aq/([A])[b] A
Dado que:
[A]r =
Á ¡¡
~]
•••
Ái2
A~,,
•••
• •
•
•
•
41 42 -
4 i -
A1n
Á zn
A Jn
4n
106
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES
E ntonces la solución del sistem a se obtiene como:
X1
•••
An1
b¡
•••
~2
b2
•
Ani
•••
AJn
~
bn
A21
Ái l
1 Á¡ 2 Á22
X2
•
IA
•• •
• • •
• •
•
Áin ~n
xn
E fectuando el pr od ucto de la derecha se obtie11e
X¡
+
b1Ái1 1 b1A 12
X')
-
IA I
•••
xn
+
b2A21
+ b'2~2
•••
•••
b1Áin
bnAnl
+ bnAn2 •••
•••
+ b2A2n
•••
+ bnAnn
Despej ando los \1alor es de x i -
X
, 1 -
b1A11 + b2~1 + .. . + bn~1 IA
X = b1Ái2 + b'2 A22 + · · ·+ bnAn2 2 IA Xi
= . ... .. . ....... ... .... , .. . .. , . ,
X = b1Áin + b2~n + · · · + bn~n
Al
n
E l nu1nerador de cada ecuación corresponde a la expansión de un determinant e por cofactores , la cual se puede escribir com o
b¡
ª12
b2 ª 22
ª in
ª 23
ª 2n
••
•• •
•• •
bn
anl
an3
•
x= 1
ª 13 '' ' ''' ••
•
•••
••
•
bn
Al 107
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ
X2
=
ªi i
b¡
ª13
•••
ªin
ª 2i
b2
ª?-~~
•••
ª 2n
•••
•••
•••
•••
•••
ª ni
bn
a n3
•••
a nn
IA •• • ••• •••
Xn
=
•••
a n2
ª ni
•••
•••
•••
a n3
•••
bn
Al
Ejemplo: Resol\ier por la regla de Cramer el sistema
2
[A]=
-1
4
3 -2
2 -3
- 11
1
[b]=
- 16
21
5
Solución:
- 11 4 1 - 16 3 -2 5 = 38 = 2 21 -3 x= i 2 4 1 19 - 1 3 -2 2 -3 5 108
[A][x] = [ b]
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES
- 11 1 - 1 - 16 -2 2
X2
=
2
21 19
5
--
-76 =-4 19
4 - 11 - 1 3 - 16 2 -3 21 =!.2.= 1 19 19 2
X~= ~
4. 4 l\!létodo de Eliminación de Gauss Otro procedimiento para resolver sistemas de ecuaciones lineales que también se basa en transformaciones fundamentales sobre filas de una m a triz , es el clásico M étodo de Eliminación de Gauss. El procedimiento general para la solución de sistemas de ecuaciones , consta básica1nente de dos pasos
1) Reducir la m atriz de coeficientes de u11 sistema dado de ecuaciones a una matriz triangular superior usando las transformaciones fund a menta les 2) Hallar la solución del sistema de ecuaciones resol\iiendo el sistema triangular superior obte11ido en el paso anterior. Después de la primera etapa se obtiene una ma triz aumentada de la form a:
[A b'] =
Ái1
Ái2
•••
Áin b;
~1
~2
•••
~nb;
• • •
• • •
An1 ~2
• •
• •••
~nb~
109
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ
La ultima ecuación, da como resultado: X
=
b'
n
n 4in
Se puede determina xk de la k-ésima ecuación: Akkxk
+ A k,k+1Xk+1 + · · ·+ Aknxn = b~
La expresió11 anterior se puede escribir como: n
b; - L A 1qx1 J=k+I
k=n-1 n-2 ... 1 ' ' '
'
Ejemplo: Resol,ier el siste1na de ecuaciones: 2x1 - 3x2 - x 3 -x1 + x 2 X1 - X?.
+ 2x4 = 15
+ 2x3 - 2x4 = - 13
+ X3 + X 4 = 4
3x1 + 2x2 - x 3 - x4 = 3 Las ecuaciones a11teriores se puede11 escribir:
-3 - 1 2 - 1 1 2 -2 1 -1 1 1 3 2 -1 -1 2
X ,,
15 - 13
X~
4
X4
3
x1
~
110
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES
El cual tiene la for1na
[A][x]=[b] Primero se obtiene la matriz aumentada:
[A b] 1
2
-3 - 1
2
15
-1
1
2
-2
- 13
1
- 1
1
1
4
3
2
-1 -1
3
La primera operación es con·vertir a la unidad el elemento a 11 ~F;
F;
1 ª 11
~F;
F;
1
1
2
-3
- 1
2
-1
1
2 2
1
-1
1
3
2
1
15
2 -2 - 13 1
- 1 -1
4 3
La siguiente operación fundamental es F2
~ F 2 - F; ( ª21 )
F 2 ~ F 2 -F; (- 1) 11 1
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ
1
-3 - 1 2 -1
-3
1
2 -1
2 1
3
2
o
1
2
-1
15
-
2 - 11 2 4
1
-1 -1
3
Las oper aciones en las fila 3 y 4 son:
F3 ~ F3- F; (ª 31) F 3 ~F3 - F;(l)
1
-3 -1 2
2
o
-1
3
2
2
o
1
3
2 2
2
3
1 -1
15
2
- 11 2
o
-7
-1 -1
3
2
F4 ~ F4 - F; (ª 41)
F4 1
~F4 - F;(3)
-3 -1 2
2
o
-1
3
2
2
o
1
3
2
2
13
1
2
2
o
1 -1
o -4
15
-
2
- 11 2
-7 2
-39 2 112
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES
Ahora en la diagona l principal se convierte a uno el elemento ª22:
1
1
o o o
-3
-1
2
2
1 1
-3 3
2
2
13
1
2
2
1
15 2
2
11
o
-7
-4
2
-39 2
Ahora se deben 11acer cero los elementos ª si y a 4-i
F3 ~ F3 -
1\ (ª 32 )
R~F,-F:1 ~
~
-3
-1
2
2
o 1 o o 13
-3 3 1
2
2
1
o
1 -
2
1 2
-1 -4
15 2
11 -9
-39 2
113
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ
La operación para la fila 4 es:
F4 ----+ F4 - F¡ ( ª41) F4 ----+ F4 -F¡ (3)
-3
-1
2
2
o 1 o o o o
-3
1
1 2
15 2
11
- 1 -9 20 - 17 -91 3
Ahora se reduce a la unidad el elemento a 33
F3----+ F3
1
ª33 F3 ----+ F3
1
o
1
3
-3
-1
2
2
1
-3
o o o o
1 2
15 2
11
-1 1 -3 3 20 - 17 -91
Fi11almente se debe hacer cero el ele1nento a 43
F4 ----+ F4 - F3( ª43) F4 ----+ F4 -F3(20)
11 4
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES
1
-3
-1
2
2
1
-3
o
o o
1
o o o
15
1
2
11
2
-1 -3 3 -31 -3 1 3
Ahora la solución se obtiene usando sustitución h acia atrás . Debemos resol,;er el sistema: ~
1
-~
2
-- 1 2
o 1 -3 o o 1 o o o
1 2
X ,,
-- 1
X~
~
~
-- 31 ~
~
X1
~
X4
-15 2
11 -3 -3 1
En forma de ecuaciones se tiene:
3x 3 + 2x4 = 11
x2
-
X
-1.3 x 4
3
=-3
- Jt x = -3 1 4
Al resolver usando sustitución hacia a trás , obtenemos:
X4
=3
115
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ
Ahora resolviendo la tercera ecuación: X -1.x 3
X~ ~
3
4
=-3
=-2
Se resuelve la segunda ecuación usando los valores de x8 y x : 4
X2 -
3(-2) + 2(3) = 11
Finalmente resolvemos la primera ecuación: 3 1X +2 _ 2x1 -"IX' .?. -2 3 X4 -
15 2
2x1 -f(-1)- t (-2) + 2(3) = 1f X1
=2
Ejemplo: Resol,ier el siste1na de ecuaciones: X¡ -
2x2 + X 3 = 1
X 1 +X,, -X~=- 1
-
~
x1 - 5x2 + 3x3 = 3 11 6
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES
La matriz aumentada es:
[A b] 1
1 -2
1
1
-1 - 1
1
1 -5
3
1 3
El rango de [A] es 2 ) 1 el r ango de la matriz au1nentada ta1nbién es 2, por tanto no existe una solución única del sistema. Se puede obtener la solución para dos de las incógnitas en términos de una tercera incógnita. Para con,1ertir en cero los elementos a 21 son :
F2 ---+ F2 - F¡ ( ª 21 )
F2 ---+ F2 -F¡ (-1) 1 -2
o
3
1 -5
1
1
-2 -2 3
3
F3---+ F3-F¡ ( ª3 1) F3 --..+F3 -F¡(l ) 1 -2
o o
3 -3
1
1
-2 -2 2
2
117
)'
a 31 las operaciones
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ
En la diagonal principal se con\1ierte a uno el eleme11to a 2:2:
1 -2
o o
1
-3
1
1
-2 3 2
-2 3 2
Ahora se deben hacer cero el elemento a 32
:
F3 ~ F3 - F¡ ( ª 32 ) F3 ~ F 3 -F¡ (-3) 1 -2
1
1
-2 3
-2 3
o 1 o o o
o
Una solución para x1 y x2 en térmi11os de x8 se puede obte11er como:
X
2
-
2 3
2
X~=- -
~
3
118
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES
De las ecuaciones anteriores se obtiene:
2 3
X
3
-
2 3
Sustituyendo la solución para x 2 se obtiene x 1
2 3
X
1
= 2
X3 -
2 3
(;)x~ -~3
1 x= 1 3
~
:>
-X~:>
+1
1 X~- :> 3
En el Cuadro 4.1 se presenta el programa en :rvIATL.A..B para la solución de un sistema de ecuaciones por el Método de Eliminación de Gauss.
119
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ
% Método de Eliminación de Gauss % %
% Solución del sistema de ecuaciones lineales: %
% [A] {x}={b} %
% Definición de la matriz [A] y vector [b]
A=[15 -5 0¡-5 15 -5¡0 -5 20] b= [2 O O O] I % Definición de la matriz aumentada [M]=[A b]
M = [A b]¡ p = size(M,1);
for i=l:p for j=i+l:p M(j, :) = M(j, :)-M(i, :)*M(j,i)/M(i,i) end end for i=p:-1:1 M(i,:) = M(i,:)/M(i,i) for j=i-1:-1:1 M(j, :) = M(j, :)-M(i, :)*M(j,i) end end % Solución {x}
x=M(:,p+l)
Cuadro 4. 1: P rograma en l\IA T LAB del l\Iétodo de E liminación de Gauss.
120
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES
Ejemplo: Utilizar el programa anterior de MATL i\B , para resolver el sistema
-4
7
8
X1
1
10 -6 -8
X,,
Ü
-5
X~
Ü
7
6
.)
Solución: M
=
-4
7
8
1
10 -5
-6
-8
7
6
o o
M -
1 . 0000
o o X
o 1 . 0000
o o
o
1 . 0000
0 . 200 0 - 0 . 2000 0 .4 000
= 0 . 2000 - 0 . 2000 0 .4 000
Solución para múltiples vect ores. En ocasiones se debe resol,;er ecuaciones de la forma [A][X] = [b] para diferentes \;ectores [b]. En gener al se tienen m \iectores definidos por [bJi ,... , [b],11 y sus soluciones definidas por [ x J1 , ... , [x ],11 • El conjunto de múltiples ecuaciones se puede escribir como:
121
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ
[A][X ] = [B ] Donde,
y [B ] so11 matrices de orden ( nxm) cuyas columnas corresponden a los \;ectores solución y los vectores constantes.
[X]
En el Cuadro 4.2 se presenta el programa en MATL.AB para la solución de u11 siste1na de ecuaciones con múltiples \;ectores, por el Método de Eliminación de Gauss.
Ejemplo: Solucionar el sistema [A][X ] = [B ] Donde,
6
-4
1
[A] = - 4 6 -4 1 -4 6
[B]=
- 14
22
36
- 18
6
7
122
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES
La matriz aumentada es:
(A B] 1
6
-4
1
-4 6 -4 1 -4 6
- 14
22
36 6
- 18 7
Las primeras operaciones son
6
-4
1
- 14
o
10
10
80 3 25 3
o
3
10
- -
3
- -
3 35 6
22
10 3
10 3
Para hacer cero el elemento a 32
6
-4
1
o
10
10
3
3 5 2
o o
- 14
22
80 3
10
35
o
3
123
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ
Para obtener el primer , rector solución {x} 1 , usamos sustitución ha cia a trás:
S 2
X~ = 35 ~
De la segunda ecuación:
10
X
3
2
-
10
3
X~ ~
80 = 3
80 X ') = 2_ + l O 14 = 22 - 10 3 3 Finalmente,
1 X 1 = -[14 + 4(22)-14]=10 6 Se repite para el segundo vector solución {x} 2 : X~ = ~
0
124
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES
De la segunda ecuación:
10
X 2
3
X
2
10
=-
3
10
3
-
10
3
10
X=- -3
3
+ O =- 1
Fi11almente, de la pri1nera ecuación:
X1 =
1
-[22 + 4(- 1)] = 3 6
% Método de Eliminación de Gauss % %
% Solución del sistema de ecuaciones lineales: % Vectores múltiples % %
% [A] [X]= [B] % %
close all; clear all % Definición de [A]
,
[B]
A=[-4 7 8; 10 -6 -8;-5 7 6] B=[5 O 0;10 O 0;15 O O]'
125
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ
% Definición de la matriz aumentada [M]=[A B] M
=
[A B] ¡
[p,k]=size(b); for i=l:p for j=i+l:p M(j, :) = M(j, :)-M(i, :)*M(j,i)/M(i,i) end end for i=p:-1:1 M(i,:) = M(i,:)/M(i,i) for j=i-1:-1:1 M(j, :) = M(j, :)-M(i, :)*M(j,i) end end % Solución [X]
X= M(:,p+l:p+k)
Cuadro 4.2: P rograma del l\Iétoclo de Eliminación de Gauss vectores múlt iples.
126
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES
Ejemplo: Utilizar el programa anterior de MATLi\B , para resolver el sistema
8 10 -6 -8 -5 7 6 7
-4
1 10
X1
o o o o
X2 X3
Solución: M =
-4 10 -5
7
8
1
10
-6
-8
7
6
o o
o o
M 1 . 000 0
o
o o
1. 0 000
o o
o
1 . 00 00
0 . 2 00 0 -0.2 00 0 0.4 00 0
2.00 00 -2.00 00 4.00 00
X 0 . 200 0 - 0 . 200 0 0 . 400 0
2 . 000 0 -2 . 000 0 4 . 000 0
4.5 l\!létodo de Gauss-Jordan El Método de Gauss-.J ordan es simila.r al Método de Eliminación de Gauss , pero primero hace el pi,;ote igual a 1, y luego hace ceros en toda la columna del pi,;ote. En el Ivlétodo de Gauss-.Jordan primero se hace el pivote igual a uno , después se hacen cero los
127
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ
elementos arriba y abajo del pivote. En la etapa de eliminación, se crea una matriz identidad. De esa forma , la solución del sistema de ecuaciones queda en la últi1na columna de la matriz aumentada
Ejemplo: Resol\;er el sistema de ecuaciones
7
8
10 -6
-4
-5
1
1
-8
X .,
0
6
X3
0
7
X
El primer paso es obtener la m atriz a u1nentada:
7
8
1
-6 -4 -5 7 6
o o
-4
[A b]= 10
El primer pi,;ote será el elemento a 11=-4
F;
~F;
1 ª11
F;
~F;
1
-4
1
[A b] = 1
10
-5
-X
-2
-6 7
-8 6
-~ O
o
128
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES
La siguiente operación fundarnent al es:
F2 ~ F2 - F¡ ( ª 21)
F 2 ~ F 2 - F¡ (1O)
1
[Alb]=
-%
-2
-~
Yi
O
2rz
12
-5
7
6
o
La operación el la fila 3 es:
F3 ~ F3 - F¡ ( ª31) F3 ~ F 3 - F¡ (-5)
-%
-2
O 2_%
12
-%
-4
1
[A I b] =
o
-~
Yi -%
Ahora el pi,;ote es el elemento a 22=
F2 ~F2
1
a,.,.,
2 F2 ~F2 23
129
23 2
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ
[A l b]=
1
-%
O
1
o
-%
-2
-~
2Yz3
ri3
-4
-%
Ahora se debe 11acer cero el elemento a 12
F¡ ~ F¡ - F2 ( ª12) F¡ ~F¡-F2
[A b]=
-7 4
1
o
_3/
O
1
o
-%
%3
/23
-%
Ahora se debe hacer cero el elemento a 32
F3 ~ F3 - F2( ª32) R~
~F~ -F?
-
~
1
[A l b]=
-7 4
o
O 1
o o
_4/
_3/
/23 /23 24/ /23 _20/ 50/ /23 /23
%3
130
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES
50
Ahora el pi\iOte es el eleme11to a 33 = -
23
1
F3 ----) F3
ª33 F~ ~
23
----) F~ ~
50
1
[A lb]=
O
o o
1
Ahora se debe hacer cero el elemento a 13
F; ----) F; - F3 ( ª1 3) -4
F¡ ----) F¡ - F3
23
o
1
(Alb]=
o
O 1
o o Ahora se debe hacer cero el elemento ª u
F2 ----) F2 - F3( ª 23 ) F7
-
----)
F7
-
-
F~ ~
24 23 131
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ
o o o 1 o o o 1 1
[1 b*] = 1
Ys -Ys Ys
La solución por tanto es:
En el cuadro 4. 3 se presenta el programa en MATLAB para la solución de un sistema de ecuaciones por el IVIétodo de GaussJ ordan.
132
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES
% Método de Gauss Jordan % %
% Solución del sistema de ecuaciones lineales: %
% [A] {x}={b} %
close all; clear all % Def inicion de la matriz
A= [-4 7 8; 10 -6
b= [ 1 0 Ü]
I
-a·-s I
[A] y vector [b]
7 6] ;
;
% Matriz aumentada [M]=[A b]
M = [A b]; p = size(M,1); for i=l:p M( i
I
:
)
=M ( i
for j=l:p if i-=j M(j,:) end end end
I
: )
/M ( i I i)
= M(j,:)-M(i,:)*M(j,i)
% Solución {x}
X= M(:,p+l)
Cuadro 4.3: P rograma en l\.I A TLAB del l\Iétodo G auss-Jordan.
133
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ
Ejemplo: La siguiente es la solució11 paso a paso del problema a11terior.
M -
1 . 0000 1 0 . 0000 - 5 . 0000
- 1 . 7 50 0 - 6 . 0000 7 . 0000
- 2 . 0000 - 8 . 0000 6 . 0000
- 0 . 2500
1 . 0000
- 1 . 7500 1 1 . 5000 7 . 0000
- 2 . 0000 1 2 . 0000 6 . 0000
- 0 . 2500 2 . 5000
- 1 . 7500 1 1 . 5000 - 1 . 7500
- 2 . 0000 1 2 . 0000 - 4 . 0000
- 0 . 2500 2 . 5000 - 1 . 2500
o o
- 1 . 7500 1 . 0000 - 1 . 7500
- 2 . 0000 1 . 0435 - 4 . 0000
- 0 . 2500 0 . 2 1 74 - 1 . 2500
1 . 0000
o
- 0 . 173 9 1 . 0435 - 4 . 0000
0 . 1304 0 . 2 1 74 - 1 . 2500
o o
M -
o - 5 . 0000
o
M -
1 . 0000
o o M -
1 . 0000
M -
o o
1 . 0000 - 1 . 7 50 0
134
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES
M1 . 0000
o
o o
1 .000 0
1 . 0000
o
o o
1 . 0000
1 . 0000
- 0 .1 73 9 1 .0435 - 2 . 173 9
0 .1 304 0 .2174 - 0 . 8696
o
- 0 . 173 9 1 . 0435 1 . 0000
0 . 1304 0 . 2174 0 .4 000
o o
o
o
1 . 0000
1 . 0435 1 .000 0
0 . 2000 0 . 2174 0 .400 0
1 .000 0
o
o
M -
M -
o
M -
o o X
1 . 0000
o o
o
1 . 0000
0 .200 0 - 0 . 2000 0 . 400 0
= 0 . 200 0 - 0 . 2000 0 .4 000
El programa del cuadro 4. 3 (JVIétodo de Gauss-.Jordan) se puede extender para solucionar sistemas con múltiples vectores, el cual se presenta en el cuadro 4.4.
135
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ
% Metodo de Gauss Jordan % %
% Solucion del sistema de ecuaciones lineales: % % [A] [X]= [B] %
close all; clear all % Definición de las matrices [A],
A=[-4 7 8; 10 -6 -8;-5
[B]
7 6];
B=[lO O O¡O 5 O]'; % Matriz aumentada [M]=[A B] M
=
[A B] ;
[p, k] =size
(B) ;
for i=l:p M( i, : ) =M ( i, : ) /M ( i, i) f or j=l:p if l.• - =J•
M(j, :)
= M(j, :)-M(i, :)*M(j,i)
end end end % Solución [X]
X= M(:,p+l:p+k)
Cuadro 4.4: Programa del l\Iétodo de Gauss-Jordan : vectores múlt iples.
136
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES
Ejemplo: Utilizar el programa anterior de MATLi\B , para resol,1er el sistema
-4
7
o
8
X1
10 -6 -8
X ,,
10 10
-5
X~
o o
7
6
.)
5
>> M= -4 10
7 -6 7
-5
8 -8 6
o
5
10
10
o
o
M -
1 . 0000
o o
1 . 0000
o o
o
1. 0000
o
1.4 000 1 . 6000 - 0 . 7000
2 . 40 00 0 . 6000 1 . 3000
X 1 . 400 0 1 . 6000 - 0 . 7000
2 . 400 0 0 . 6000 1 . 3000
4. 6 l\llétodo de Cholesky En ciertas aplicaciones de ingeniería para la solución de grandes sistemas de ecuaciones, se presentan algunas propiedades de matrices , que son de gra11 utilidad en la solució11 del problema. Es el caso de ecuacio11es encontradas e11 I11geniería Estructural. Este tipo especial de matrices son de banda, reales, simétricas y definida-positivas.
137
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ
Si una matriz [i\]n::n es simétrica, y definida-positiva, se puede descomponer de la forma:
[A]=(G](G]r Donde:
[G ]nxn: IVIatriz triangular inferior
[G]:n : IVIatriz triangular superior Por tanto la solución del sistema computacionalmente re-escribiendo:
[A][X]=[B]
se simplifica
La anterior ecuació11 se puede resol,;er por un par de ecuaciones expresadas de la forma:
(G](Y]=(B]
Ejemplo: Resol,;er el sistema
[A][X]=[B] Donde,
(A)=
1 -1 -1 2 -1 5 -3 o
3
o
o o
7
1 -3 2
[X)=
138
X¡
2
X2 X3
-4 [B)= 4
X4
1
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE E CUACIONES LINEALES
a) El primer paso es obtener la matriz [G] :
ª ') 1 g 21 -- 1- --
-1
ª~1
g31
g43
= { =1
=
0-(2)(1)-(1)(-1) 1
= -1 139
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ
g44=~7-(1 + 1 +4)= 1 La matriz que se obtiene es:
1
o o o o o 2 -1 1 o
2
1 -1 1
1
(G]=
-1
b) A continuación se debe resol,;er:
(G] [Y]=[B] La m a triz aumentada es:
-4
1
o o o o o 2 -1 1 o
2
1 -1 1
1
1 -1
2
4
Resol,;iendo para y 1 y =2
• 1
Resol,;iendo la segu11da ecuación
2y2 =-4 +y1 =-4+2 =-2
140
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES
Resol\;iendo la tercera ecuación :
Y3 = 4+ Y2 - y 1 = 4-1- 2
Y3 =1 Y finalmente se resuel\1e la última ecuación Y 4 =l +y3 - .Y2 - 2y1 = 1+1 +1 -4
y4 =-1
c) El tercer paso es resol\;er la ecuación:
La matriz aume11tada que se obtiene es :
1 -1 -1
o 2 o o o o
2
2 2 1 -1 1 -1 1 o 1 -1
Resol\;iendo la cuarta ecua ción para x 4
Resol\;iendo la tercera ecuación p ara x 3 , se obtiene: X3
= 1+ X 4 = 1-1
X3
= Ü
Resol\1iendo la segunda ecuación para x 2 :
2x2 =-l +x 3 - x4 =-1+ 0 +1 X2
=Ü
141
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ
Finalmente, X1
= 2+ X2 -
X1
=4
2x4 = 2 + Ü + Ü + 2
X3 -
La solución es: X1
= 4
X 2 =Ü X3 = Ü X =-} 4
4. 7 Factorización L U Si la matriz [,L\] es de orden m x n )' se puede escribir como el producto de dos matrices
[A] = [L][U] donde [L] es una matriz triangular inferior de orden m x m )1 [U] es u11a inatriz tria11gular superior de orden m x n . Para u11a matriz de orden 3x3 tiene la form a :
[U ] =
O
o
U12 U13 u22 U')~__,
o
U~~ _, _,
y una matriz inferior
o o L1i [L ] = L21 L22 o L31 L~,, L33 :>.-
Considérese el sistema [ L][x] =
[e]
142
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES
Si se resuel\1en las ecuaciones come11za11do por la primera, las soluciones toman la forma:
X
1
=
e
1
L 11
x~:>
1 = L
(e~:>
- L,. 1x 1 + L~,,x,, ) :> ..... ..... J
33
El procedimiento anterior se conoce como substitución 11acia adelante, y es similar al proceso de substitución hacia atrás o regresiva usado en el IVIétodo de Eliminación de Gauss. Dado un sistema de ecuaciones:
[A][x]=[f ] se puede escribir la anterior ecuación:
[A][x] = ([L ][U ])[ x] = [ / [A][x] = [Ll([u][x]) = [ / Si se define
] ]
[y] = [U][X] entonces, 143
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ
[A][x]=[L][z]=[f] Como [L] es una matriz triangular superior este sistema puede resol,;erse mediante una sustitución hacia abajo. Una ' ;ez se calcula [z], se puede obtener el vector de incógnitas [x] :
[u ][ x]=[z] Como la matriz [U] es triangular superior; el sistema de ecuaciones se puede resol,;er mediante sustitución hacia atrás.
Ejemplo: Dada la matrices [I(] , [L] , [U] y [f] aplique la descomposición LU , para resol,;er el sistema de ecuacio11es [ K][x] = [ f
4 -2
1 x1
10
20 -7
12
X2
65
-8
17
X3
15
13
1
[K]=[L][U]=
5
-2
o o 4 -2 o o 3 1 1 o o 3
Primero se debe resol,;er
1 7
-2
[A][ x] = [ L ][ z] = [/]
1
o
10
5
1
65
-2
3
15 144
]
SOLUCIÓN DE SISTE1dAS DE ECUACIONES LINEALES
Por eliminación, nos queda:
=2=65-5(10)=15 =3 =15+2(10)-3(15)=-JO
Ahora debemos resolver el sistema
4 -2
1
X1
10
o 3 o o
7
X?.
15
-2
X3
-10
[U][x] = [ z]
En forma de ecuaciones queda:
- 2 X 3 =-JO
Al resolver usando sustitución hacia atrás , obtenemos:
x2
=
5-7(5)!3=-6.667
X
=
2.5 -5/4+2(-6.667)/4=-2.084
1
145
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ
4.8 Referencias Beaufait, F. ,,._ y Cliff, ,,. Computcr Mcthods of Structural Analysis. Prentice Hall, 1970. l(iusalaas , .J. Numcrical JV!cthods in Enginccring with JV!ATLAB. Cambridge University Press , 2009. La ub , i\. lllfatrix Analysis for Scicntists and Enginccrs. SIAM: Society for Industrial and i\.pplied M athematics . Philadelphia, 2004. Mathews .J, Fink, l( . JV!étodos Numéricos con lllfATLAB, Iviadrid , Pre11tice Hall, 2000. Hsieh , Y T eoría Elemental de E structuras. Prentice Hall Hispanoamericana , Iviéxico, D F. , 1970. Uribe , .J. lllficrocomputadorcs en Ingeniería E structural. Ecoe Ediciones, Colo1nbia, 1995. ' ''atkins, D. Fundamcntals of JV!atrix Computations_,,.iley Interscience, N ev.r Y orl> i nt(N , 0 ,1) a ns
=
[ 1 /2 ,
1]
Ejemplo A2: Dada la matriz
[B] =
X
Ü
O x2
Se define en M i\ TL.A.B , media11te la instrucción:
>> syms x >> B= [x 0 ; 0 xA2] B (
X /
[
o/
0) XA2 ]
150
ANEXO
Para calcular la integral de [B] , entre x =Ü y x=2 , se usa la instrucción:
>> BI =int (B , x , 0 , 2) BI [
2
[
o,
o]
f
8/3 ]
Ejemplo A3: Dada la matriz X
[C]=
o
Se define en M i\ TL.A.B , rnedia11te la instrucción:
>> syms >> C= [x
X L
x/ L; O x* (1/L ) ]
e [ [
x , x/L ] O, x/ L ]
Pa.ra calcular la integra l de [O] entre x=Ü y x=L , se usa la instrucción:
>> i nt(C , x , 0 ,L ) ans =
[ 1/2* L/\ 2,
[
o
f
1/2* L] 1/2* L] 151
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ
Ejemplo A4: Dada la matriz
(C]=
X
x3
Se define en IVIi\. TL.A.B como:
>> syrns x L >> C= [x xA2 ; x A3 xA 2 ]
e [
X'
XA2
]
[ x A3 , x A2 ]
Para calcular la primera, segunda deri,;ada [O] se usan las instrucciones:
>> di f f (C , x) ans 2*x ] 2*x ]
[ 1, [ 3 *xA2,
>> di f f (C , x ,2 ) a ns -
[
o'
[ 6*x ,
2] 2]
152
)1 tercera
deri,;ada de
ANEXO
>> diff (C , x , 3) ans -
[ o o] f
[ 6f
o]
Pa.ra calcular la integral de [C] entre x=Ü instrucción:
)i
x=2, se usa la
>> i nt (C , x , 0 ,2 ) ans [ [
2 , 8/ 3 ] 4 , 8/ 3 ]
Para calcular la integral de [C] entre x=Ü y x=L , se usa la instrucción:
>> i nt (C , x , 0 ,1 ) ans
=
[ 1/ 2 *1 " 2, 1/ 3 *1 " 3 ] [ 1/ 4 *1 " 4, 1/ 3* 1 " 3 ]
Para calcular el producto [C] [C] T se da la instrucción:
>> C*transpose (C ) ans
=
[ x" 2 +x " 2 / 1 " 2, [ x " 2/ 1 " 2,
x " 2/ 1 " 2 ] x" 2/ 1" 2 ]
153
JUAN CARLOS HERRERA SÁNCHEZ
Para calcular la integral de [C][C]T entre x=Ü y x=L , se usa la instrucción:
>> i nt(C*transpose(C) , x , 0 ,L) a ns
=
( 1/3* (1+ 1/ LA2) * LA3, [ 1/3* L,
1/3* L] 1/3 *L]
Para calcular la integral de [C]T[C] entre x=Ü y x=L, se usa la instrucción:
>> i nt(t r anspose(C) *C , x , 0 ,L ) ans
=
[ 1/3* LA3, 1/ 3 *LA 2] [ 1/3* LA2, 2/3 *L]
154
.
1
~·f ... ) .)
i
AUSJAL
