Libro de Matematica (Senati)

 

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MÓDULO I ÍNDICE I.

FUNCIONES.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Concepto de func función. ión. Gr áfica. Función lineal. Función cuadr cuadrática. ática. Función expon exponencial encial Función logar logarítmica ítmica Oper acione acioness con funciones

II.

LÍMITE DE FUNCIONES. FUNCIONES.

1. Concepto de límite. 2. Inter pr etació etación n gr áfica. 3. For mas indeter mi minadas. nadas. Cálculo de límites. III.

DERIVADA.

1. Concepto de Der iv ivada ada 2. Inter pr etació etación n gr áfica. Derivadas de funciones algebraicas, trigonométricas, exponenciales exponenc iales y logar ítmicas. 3. Aplicaciones de la der iv ivada. ada. IV.

INTEGRACIÓN.

1. Pr imitiva. 2. Integr ales defin definidas. idas. 3. Aplicaciones. V.

VECTORES. 1. Definición. 2. Módulo y dirección. 3. Oper aciones acione s con vector es.

VI.

Matr ices y Deter minantes. minantes . 1. Matr iz . 2. Oper aciones acione s con matr ices. 3. Deter minantes. 4. Cálculo de deter minantes minant es

 

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VII. 1. 2. 3. 4. 5.

NÚMEROS COMPLEJOS Concepto de númer o complejo. Operaciones. For mas: car tesian tesiana, a, polar p olar y exponencial. Raíces de númer os complejos. Función de var iable compleja.

VIII. ESTADÍSTICA. 1. Gráficos: diagrama de barras, polígonos de frecuencia, fr ecuencias acumuladas, acumuladas , fr ecuenc ecuencias ias r elativas, sector es, histogr amas. 2. Distr ibución de fr ecuencia. ecu encia. 3. Medidas de centr alización. aliz ación. 4. Medidas de disper sión. sión . 5. Pr obabilidad.

 

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INTRODUCCIÓN El p re s e n te c u rs o   re a liz a a b s tra c c io n e s ma te má tic a s y la s a p lic a e n la s o lu c ió n d e p ro b le ma s in te rd is c ip lin a rio s y s itu a c io n e s d e la v id a re a l.Ad e má s d e d e fin ir, in te rp re ta r y a p lic a r o p e ra c io n e s ma te má tic a s re la c io n a d a s a lo s límite s , d e riv a d a s , in te g ra le s , ma tric e s y e s ta d ís tic a . - D e s c rib e e l c o mp o rta mie n to fís ic o d e s is te ma s me c á n ic o s y e lé c tric o s me d ia n te s u c o rre s p o n d ie n te mo d e lo ma te má tico tic o . Pa ra e llo Para ello: * Define el concepto de función * Interpreta gráficamente una fu n c ió n * R e c o n o c e fu n c io n e s lin e a le s , c u a d rá tic a s , p o lin o mia le s , exponencial y logarítmicas * Efectúa operaciones con funciones - R e a liz a a b s tra c c ió n ma te má tic a p a ra c u a n tific a r c a mb io s in s ta n tá n e o s de variables mecánicas y eléctricas y respecto a la variable in d e p e n d ie n te . Pa ra e llo : * D e fin e e l c o n c e p to d e L ímite e n u n p u n to * In te rp re ta g rá fic a me n te e l c o n c e p to d e L ímite * C a lc u la límite s c a ra c te rís tic o s d e funciones - C a lc u la e l v a lo r d e l c a mb io in s ta n tá n e o d e l d e s p la z a mie n to y d e v e lo c id a d e n mo v imie n to s d e p a rtíc u la s me c á n ica ic a s y e lé c tric a s . - C a lc u la e l v a lo r d e l c a mb io in s ta n tá n e o d e v a ria b le s té rmic a s y ma g n é tic a s Pa ra e llo : * D e fin e e l c o n c e p to d e D e riv a d a * In te rp re ta g rá fic a me n te e l c o n c e p to d e D e riv a d a * D e te rmin a la s d e riv a d a s d e fu n c io n e s lin e a le s , c u a d rá tic a s , p o lin o mia le s , e x p o n e n c ia l y lo g a rítmic a s * As o c ia e l concepto de Derivada con aplicaciones en la determinación de rapidez d e c a mb io d e v a ria b le s fís ic a s y q u ímic a s . * R e a liz a a p lic a c io n e s d e l c á lc u lo d e riv a tiv o -C a lc u la e l v a lo r d e l s e s g o d e u n a v a ria b le re s p e c to a o tra , p re s e n te e n u n p ro c e s o d e c a rá c te r me c á n ic o o e lé c tric o Pa ra e llo : * D e fin e e l c o n c e p to d e In te g ra l, d e fin id a e in d e fin id a * In te rp re ta g rá fic a me n te e l c o n c e p to d e In te g ra l * Ap lic a mé to d o s generales de integración * Asocia el concepto de Integral con la determinación de valor acumulado y sesgo de una variable * Calcula in te g ra le s d e fu n c io n e s * R e a liz a a p lic a c io n e ess d e l c á lc u lo in te g ra l -D e s c rib e re la c io n e s d e c o mp o rta mi mie e n to s me c á n ic o s y e lé c tric o s c u a n d o éstos se pueden representar con variables en las que su magnitud, dirección y sentido son relevantes. Pa ra e llo : * D e fin e e l c o n c e p to d e Ve c to r * In te rp re ta g rá fic a me n te e l concepto de Vector * Suma Vectores * Resta Vectores * Calcula el p ro d u c to e s c a la r * C a lc u la e l p ro d u c to v e c to ria l * R e a liz a a p lic a c io n e s d e l c á lc u lo v e c to ria l.

 

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- Mo d e la c o mp o rta mie n nto to s d e s is te ma s me c á n ic o oss y e lé c tric o s me d ia n te o p e ra c io n e s a lg e b ra ic a s o b te n id o s a p a rtir d e tra n s fo rma c io n e s d e s is te ma s Pa ra e llo : * Idun e n tific a c o mp o n e n te s *d eRealiza u n n ú me ro c o mp le jo de * Idnúmeros e n tific a gráficamente número complejo operaciones c o mp le jo * D e fin e e in te rp re ta u n a fu n c ió n c o mp le ja * R e a liz a a p lic a c io n es e s e n e l p la n o c o mp le jo - Mo d e la c o mp o rta mie n to s mu ltiv a ria b le s

de

s is te ma s

me c á n ic o s

y

e lé c tric o s

Pa ra e llo : * D e fin e e l c o n c e p to d e Ma triz * Su ma ma tric e s * R e a liz a p ro d u c to s * R e a liz a c a lc u la s ma tric ia le s e n a p lic a c io n e s lin e a le s - In te rp re ta r y e x p o n e r c o mp o rta mie n to s d e s is te ma s me c á n ic o s y eléctricos expresados gráficamente Pa ra e llo : U tiliz a mé to tod d o s g rá fic o s p a ra p re se s e n ta r d a to s : d ia g ra ma d e b a rra s , p o líg o n o s d e fre c u e n c ia , fre c u e n c ia s a c u mu la d a s , fre c u e n c ia s re la tiv a s , s e c to re s , g rá fic o s e n e s p ira l, h is tro g ra ma ss.. D e fin e e in te rp re ta me d id a s d e d is trib u c ió n d e fre c u e n c ia * D e fin e e in te rp re ta me d id a s d e c e n tra liz a c ió n * D e fin e e in te rp re ta me d id a s d e d is p e rs ió n * D e fin e e in te rp re ta e l c o n c e p to d e p ro b a b ilid a d * R e a liz a c á lc u lo s d e probabilidades * Aplica el control estadístico para medir la calidad

 

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 A.  A .

Contenido Curricular

Unidad didáctica:   Matemática. Aprendizaje: Funciones.   Tema: -   Concepto de función. -   Gráfica. -   Función Lineal. -   Función Cuadrática. -   Función exponencial -   Función logarítmica -   Operaciones con funciones Objetivo Principal. Conocer e interpretar el concepto de función. Objetivos Secundarios: -   Graficar funciones. -   Reconocer y graficar funciones -   Reconocer y graficar funciones -   Reconocer y graficar funciones -   Reconocer y graficar funciones -   Reconocer y graficar funciones -   Operar con funciones.

lineales. cuadráticas. exponenciales. logarítmicas. trigonométricas.

 

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B.

Balotario

1 . ¿Qué es una v a r i a b l e  ? En ma te má tic a s e d e n o min a v a r i a b l e   a un símbolo al que se le puede a s ig n a r u n v a lo r n u mé ric o c u a lq u ie ra d e u n d e te rmin a d o c o n ju n to . Otra d e fin ic ió n s imila r n o s d ic e q u e e s u n s íímb mb o lo q qu u e rep re p re s e n ta u n e le me n to n o e s p e c ific a d o d e u n c o n ju n to d a d o . D ic h o c o n ju n to e s lla ma d o c o n j u n t o u n i v e r s a l   d e la v a ria b le , u n i v e rs o o d o m i n i o   d e la variable, y cada elemento del conjunto es un v a l o r  d   d e la v a ria b le . Ej. Pa ra e l c a s o d e l c o n ju n to A={3 ; 2 ; 0 ; 1 } c a d a u n o d e s u s e le me n to s s e p u e d e re p re s e n ta r p o r  x   o p o r c u a lq u ie r o tro s ímb o lo . En e l c a s o p a rtic u la r q u e e l d o min io s e a u n c o n ju n to u n ita rio (c o n u n s o lo e le me n to ) e l s ímb o lo re p re s e n ta u n a c o n s ta n te . Ej. e  re p re s e n ta a l n ú me ro i rra c i o n a l 2 , 7 1 8 2 8 … .   g   re p re s e n ta a la a c e le ra c ió n d e b id a a la g ra v e d a d te rre s tre .   g  

L a s ma g n itu d e s fís ic a s re p re s e n ta d a s p o r s u re s p e c tiv o s ímb o lo s e tra ta n c o mo v a ria b le s ma te má tic a s . Po r e je mp lo , la i n t e n s i d a d d e c o r r i e n t e (re p re s e n ta d a p o r i )   toma valores en el conjunto de los n ú me ro s re a le s ( i      IR), la variable d i s t a n c i a   ( d )   toma valores en el conjunto de los reales positivos ( d     [0 ;   ), e tc .

2 . ¿Qué tipos de relaciones se pueden establecer entre dos o más v a ria b le s ? Ma te má tic a men me n te s e p u e d e n e s ta b le c e r re la c io n e s d e ig u a ld a d , p o r e je mp lo : y   = 2 x   + 1 ;   x 2   + y 2  = 4 , o d e d e s ig u a ld a d , p o r e je mp lo : y   <  x 2 ;  x + y > z   En e le c tró n ic a e s b ie n c o n o c id a la re la c ió n v = r i e s ta b le c id a p o r Oh m (v=voltaje, r = resistencia a,, i = i n t e n s i d a d d e c o r r i e n t e ) . T a mb ié n s e p u e d e n e s ta b le c e r re la c io n e s d e fin id a s me d ia n te u n a ta b la d e v a lo re s a u n q u e n o h a y a u n a fó rmu la a lg e b ra ic a e x p líc ita (o d e o tro tip o ) q u e la s re la c io n e . Po r e je mp lo , la s ta b la s :  x

 – 3

0

1

4

5,5

y

2,01

1,32

3,00

5,41

8,79

 

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 x

 – 3

 – 3

1

4

4

y

2,01

1,32

3,00

5,41

8,79

ta mb ié n d e fin e n re la c io n e s e n tre la s v a ria b le s  x   e y  

3 . ¿ Qu é e s u n a f u n c i ó n  ? U n a re la c ió n d e mo d o ta l q u e c a d a v a lo r d e  x s e c o rre s p o n d e , ú n ic a me n te , c o n u n s o lo v a lo r d e   y ,   se denomina función   ( x   s e d e n o min a v a ria b le i n d e p e n d i e n te   e y   s e d e n o min a v a ria b le d e p e n d i e n t e) . En lo s e je mp lo s a n te rio re s : 1 . y   = 2 x   +1 , e s fu n c ió n p o rq u e c a d a v a lo r d e  x   se corresponde con un s o lo v a lo r d e y   (el doble de  x  má s 1 ). 2 . L a re la c ió n d e fin id a p o r la p rime ra ta b la ta mb ié n e s u n a fu n c ió n , p u e s a c a d a v a lo r d e  x   le corresponde uno solo de y , mientras que la segunda no es función, pues a un valor de x, como por ejemplo 4 , le c o rre s p o n de de n d do o s va v a lo re s d e y ( 5 , 4 1 y 8 , 7 9 )   3 .   y   <  x 2   n o e s fu n c ió n , p u e s , a u n v a lo r d e  x   le corresponden varios de y   (p o r e je mp lo , a  x   = 3 le c o rre sp s p o n d e n to t o d o s llo o s va v a lo re s d e y que son me n o re s q u e 9 ). 4 . L a re la c ió n  x 2   + y 2   = 4 n o e s fu n c ió n p o rq u e u n v a lo r d e  x   s e corresponde con dos de y   (por ejemplo a x=0 le corresponden y=±2) 5 . En e l c a s o d e la re la c ió n q u e d e fin e la le y d e O h m:   v = r i ,   ésta se d e n o min a fu n c ió n d e d o s v a ria b le s y s e d e n o ta , fo rma lme n te , p o r v ( r , i ) = r i   para resaltar el hecho de que v   depende de r   e i ,   siendo estas ú ltima s la s v a ria b le s in d e p e n d ie n te s . As í c o mo é s ta s , mu c h a s ma g n itu d e s fís ic a s s e re la c io n an a n fu n c io n a lmen lme n te .

4 . ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a una función?   Y

Y

X

X

 

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Rp

Y

N o e s fu n c ió n p o rq u e a u n v a lo r d e l e je X le c o rre sp sp o n d e m má á s d e u n v a lo r e n e l X

e je Y.

Y

Es fu n c ió n p o rq u e a to d o v a lo r d e l e je X le c o rre sp s p o n d e u n sso o lo v a lo lorr e n e l e je Y.

X

5 . ¿ Qu é in c o n v e n ie n te p re s e n ta la s ig u ie n te re la c ió n fu n c io n a l : y = a x + b ? En e lla n o s e p u e d e d istin is tin g u ir c u á l e s la v a ria b le in d e p e n d ie n nte te , p u e s x    o b   puede ser cualquiera:   a , x 

6 . ¿Cómo se puede mejorar la representación de modo que se pueda d is tin g u ir c u á l e s la v a ria b le in d e p e n d ie n te ? Se re c u rre a u n a n o me n c la tu ra d e n o min a d a la n o t a c i ó n f u n c i o n a l  : y  y = = f ( x ) ,

la c u a l in d ic a e x p re s a me n te q u e la v a ria b le e n tre p a ré n te s is ( x ) es la in d e p e n d ie n te . En a d e la n te , la v a ria b le in d e p e n d ie n te s e d e n o min a rá , b re v e me n te , la v a r i a b l e d e l a f u n c i ó n   E j .   En c a d a u n a d e la s s ig u ie n te s fu n c io n e s: s: f ( x ) = a x   + b f ( a ) = a x   + b f ( b ) = a x   + b

d e te rmin e c u á l e s s u v a ria b le re s p e c tiv a . So l. E n f ( x ) su variable es  x , e n f ( a ) s u v a ria b le e s a   y en f ( b ) s u v a ria b le e s b . Las restantes letras que acompañan a las variables son constantes de la función, denominadas p a r ám e t r o s  .

7 . ¿ C ó mo s e evalúa  u n a fu n c ió n ? Se le a s ig n a a s u v a ria b le u n v a lo r n u mé ric o ; y , lu e g o , s e e fe c tú a n la s o p e ra c io n e s in d ica ic a d a s p o r la re g la d e la fu n c ió n , s i e l l o e s p o s i b l e .

 

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Ej. 1 . Ev a lu a r f ( x ) = 2 x   + 7 , p a ra  x =3. s: Sol. Reemplazamos cada x  p o r 3 y e fe c tu a mo s la s o p e ra c io n e s: f   ( 3 ) = 2(3 2( 3 ) + 7 = 1 3

Simila rme n te , p a ra v a lu a r e n x =2 s e tie n e : f   ( – 2 ) = 2 ( – 2 ) + 7 = 3 2 . L a fu n c ió n f(x) 

3 x-2

  n o s e p u e d e e v a lu a r e n  x =2 , p u e s a l re e mp la z a r 3 3  .  2-2 0

e l d e n o min a d o r s e h a ría c e ro :   f(2)   

C o mo n o s e p u e d e d iv id ir p o r c e ro , c o n c lu imo s q u e f(2 ) n o e x is te . Para valuar una función definida mediante una tabla se procede como en e l s ig u ie n te e je mp lo : 3 . Pa ra

 x f ( x )  

Se tie n e : f   ( – 1 ) = 2 ;

f   ( 6 ) = 0 ;

 – 1

2

6 0

9 7

f (9)=7. 

4 . ¿ Qu é v a lo re s d e  x   p e rmite n e v a lu a r la fu n c ió n f(x)   x  3   de modo q u e f(x ) s e u n n ú me ro re a l? R . R e c o rd e mo s q u e p a ra c a lc u la r u n a ra íz c u a d ra d a , la c a n tid a d s u b ra d ic a l n o d e b e s e r n e g a t i v a , e n c a s o c o n tra rio s e o b te n d ría n n ú me ro s ima g in a rio s . Es to s ig n ific a q u e x  –   3 d e b e s e r ma y o r o ig u a l q u e c e ro , e s to e s : x  – 3 ≥ 0   x ≥3  Es decir, esta función se puede evaluar para todo valor de  x   que sea ma y o r o ig u a l q u e 3 .

8 . ¿Qué es el d o m i n i o y r a n g o d e u n a f u n c i ó n  ? E l d o m i n i o d e u n a fu n c ió n   y   = f ( x ), e s e l c o n ju n to d e   valores que p e rmite n v a lu a r la f u n c ió n . Ej. 1 . Pa ra la fu n c ió n d e fin id a p o r la ta b la :

 

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 x

 – 3

0

1

4

5,5

f ( x )

2,01

1,32

3,00

5,41

8,79

E l dominio   d e f   e s e l c o n ju n to : D f   = { – 3 ; 0 ; 1 ; 4 ; 5 , 5 } . U n v a lo r fu e ra d e e s te c o n ju n to , p o r e je mp lo : 3 , n o tie n e u n correspondiente valor de y   e n la ta b la , e s o imp lic a q qu u e f(3 ) n o e x is iste te . El co c o n ju n to d e v a lo re s d e y = f ( x ), s e d e n o min a ra n g o . Veamos algunos e je mp lo s : S u r ango  e s e l c o n ju n to : 0 ; 5 ,4 1 1;; 8 ,7 9 } R f   = { 2,01 ; 1,32 ; 3 ,0 0; 2 Pa ra la fu n c ió n d e efin fin id a p o r la reg re g la d e c o rre s p o n de d e n c ia y = 2 x + 3 s u d omin o min io e s e l c o n jju u n to d e to d o s lo s n ú m me e ro s re a ale le s , D f   = IR, pues to d o n ú me ro re a l s e p ue u e d e mu ltip lic a arr p o r 2 y a l re ssu u lta d o s u m ma a rle 3 . Pu e s to q u e e l re s u lta d o d e e s ta s o p e ra c io n e s e s a s u v e z u n n ú me ro re a l, s u ra n g o e s to d o IR . 3 Pa ra la fu n c ió n d e fin id a p po o r la reg re g la d e c o rre s p o n d de e n c ia y  

 x    , su  x  1

d o min io e s e l c o n ju n to d e to d o s lo s n ú me ro s re a le s , s a lv o e l 1 , e s d e c ir, D f   = IR  –   {1 }, p u e s e l n ú me ro 1 a n u la a l d e n o min a d o r (lo h a c e c e ro ), esto hace imposible la división y por lo tanto no es posible determinar u n c o rre s p o n d ie n te v a lo r d e y   (p o r e s o d e c imo s q u e f(1 ) n o e x is te ). Su ra n g o e s IR  –  {1 }. 4 . Pa ra la fu n c ió n f(x)   x  3 , su dominio es el conjunto de todos los  x , t a l e s q u e x ≥ 3 , ta l c o mo v imo s a n te rio rme n te . n ú me ro s  x , Pu e s to q u e la fu n c ió n e s tá d e fin id a c o mo u n a ra íz p o s itiv a s u ra n g o e s e l c o n ju n to d e to d o s lo s n ú me ro s re a le s ma y o re s o ig u a le s q u e c e ro : R f   = [0 ;    

9 . ¿ C ó mo s e g ra fic a u n a fu n c ió n ? Ilustremos con un ejemplo. Se sabe que la relación entre el espacio y el tie mp o e s tá d a d a p o r la e c u a c ió n :

e=vt. Su p o n ie n d o q u e la v e lo c id a d d e u n mó v il e s 3 m/s ; y , s u p o n ie n d o , a d e má s , q u e e n e l mo me n to in ic ia l ( t = 0 ) e l mó v il s e e n c u e n tra e n la p o s ic ió n c e ro ( e = 0 ) entonces

e = 3 t  

 

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n te . En e s te c a s o t   es la variable independiente y e   e s la d e p e n d ie nte Le asignamos algunos valores a t t :: 1 ; 2 ; 3 ; …   y evaluamos los c o rre s p o n d ie i e n te s v a lo re s d e e : 3 ; 6 ; 9 ; … . L a p re s e n ta c ió n h a b itu a l e s e n fo rma ta b u la r: s e gt  u(nedno s )   e(en m e t ro s ) 

1  3 

2  6 

… 

3  9 

… 

Es to s v a lo re s s e g ra fic a n e n u n p la n o c o o rd e n a d o . En g e n e ra l, e n e l e je h o riz o n ta l s e u b ic a n lo s d e la v a ria b le in d e p e n d ie n te ; y , e n e l v e rtic a l n te . Se marcan los los correspondientes valores de la v a ria b le d e p e n d ie nte puntos determinados por las parejas de valores correspondientes; y, luego, se unen con un trazo continuo siguiendo la tendencia marcada p o r lo s p u n to s . e (met.) 

·

9

·

6

3

0

· 1 2

t  (seg.)  (seg.)

3

10. ¿ C ó mo s e in te rp re ta e l g rá fic o a n te rio r? En e l g rá fic o n o ta mo s q u e p o r c a d a s e g u n d o q u e tra n s c u rre , e l mó v il s e d e s p la z a 3 me tro s . Ob v ia me n te , e n d o s s e g u n d o s e l mó v il s e d e s p la z a s e is me tro s y a s í s u c e s iv a me n te .

11. ¿ C ó mo s e g ra fic a u n a fu n c ió n d e fin id a p o r u n a ta b la ? Simp le me n te s e g ra fic a n lo s p a re s d a d o s p o r la ta b la q u e d e fin e la fu n c ió n . Ej. D a d a la fu n c ió n d e fin id a p o r la ta b la :  x

 – 3

0

1

2

4

f ( x )

2

1

 – 3

3

4

 

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Su g ra fic a c o rre s p o n d ie n te e s :

La gráfica consta de todos los puntos ubicados en sus respectivas c o o rd e n a d a s .

12. ¿ Qu é e s u n a f u n c i ó n i n v e r s a ?   x    p o r la y , y Si e n u n a re la c ió n fu n c io n a l y   = f ( x ) cambiamos la  x  v ic e v e rs a , o b te n d ría mo s la re la c ió n  x   = f ( y ) y s i d e é s ta ú ltima despejamos su variable y ,   o b te n d ría mo s u n a n u e v a re la c ió n q u e d e s e r fu n c ió n , s e d e n o min a fu n c i ó n i n v e rs a   y comúnmente se denota por y   = f  – 1 ( x ) .

Eje mp lo s . 1 . D a d a la fu n c ió n f ( x ) = 2 x + 3 , o b te n e r s u re s p e c tiv a fu n c ió n in v e rs a . So l. a ) Es c rib imo s : b) Cambiamos la  x    x   p o r la y , y la y   p o r   x :   c ) D e s p e ja mo s y :

y  y    = 2 x   x    + 3 . x    = 2 y   x  y   + 3 .   x – 3 y=   2

  

Es ta ú ltima re la c ió n e s fu n c ió n , p o r lo ta n to e s la fu n c ió n in v e rs a y e s c rib imo s :  x  3 . f 1 (x)  2

   

2 . D a d a la fu n c ió n fx fx  = x – 4  , o b te n e r s u re s p e c tiv a fu n c ió n in v e rs a . So l.

       

a ) Es c rib imo s :

y= x – 4 

b) Cambiamos la  x p o r la y , y la y p o r   x :  

x= y – 4 

c ) D e s p e ja mo s y :

y = x2   4   – 1

F in a lme n te :

2

f  x = x   4 

 

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x –3

3 . D a d a la fu n c ió n fx   , o b te n e r s u re s p e c tiv a fu n c ió n in v e rs a . fx  = x1 So l. y =

x –3

  x1

x =

y –3 y1

x y1  = y – 3 

 

  

xyx  = y – 3  xyx

y–xy  = x 3  y–xy

y =

 

x3 1–

x3

  f  – 1x x  =   1– x

 

13. ¿ Qu é e s u n a f u n c i ó n l i n e a l ?  Es u n a fu n c ió n d e la fo rma :

y   = m x   + n   y s u g rá fic a e s u n a lín e a re c ta . y

y=mx +n

 x

El e je mp lo d e l mó v il a n te rio r ( e   = 3 t ) e s u n e je mp lo d e e s te tip o d e fu n c io n e s (c o n m = 3 y n = 0 ; o b v ia me n te la s v a ria b le s d e d ic h o e je mp lo n o s o n la s c lá s ic a s  x   x    e y   s in o t   y e ). En p ro b le ma s a p lic a tiv o s la s v a ria b le s  x    x   e y   g e n e ra lme n te c e d e n s u lu g a r a o tra s , d e a c u e rd o a lo s magnitudes que se estén tratando; por ejemplo, en el caso de una c o r r i e n t e c o n t i n u a   in te rv ie n e n la s v a ria b le s tie mp o ( t ) e i n t e n s i d a d d e c o r r i e n t e   ( i ) a u n q u e la p rime ra n o a p a re z c a e n fo rma e x p líc ita , a s í e n e l

caso que tengamos una corriente continua de 5 amperes su ecuación se e s c rib e :

  = 5. (t > 0) i  = Es una función lineal que corresponde a m=0 y n= 5. L a p o d e mo s e s c rib ir, c o mp le ta men me n te , c o omo mo i   = 0 t  + 5 y s u g rá fic a e s : i amp

5

t s 

 

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L a in te rp re ta mo s a firma n d o q u e e n to d o m o m e n to l a i n te n s i d a d d e c o r r i e n t e e s d e 5 a m p e r i o s ,   es decir se mantiene constante y no cambia c o n e l tra n s c u rs o d e l tie mp o . N o ta . L a re la c ió n

x =c (c o n s ta n te ) c o rre s p o n de d e a u n a lín e a re c ta

v e rtic a l, la c u a l no es función . Ej. L a re la c ió n x =5 e s u n a lín e a v e rtic a l q u e in te rs e c ta a l e je X e n (0 ; 5 ) x=5

Y

X

(0; 5)

U n e je mp lo má s c o mp le to d e fu n c ió n lin e a l e s e l s ig u ie n te : y   = 2 x   + 3

s u g rá fic a e s la s ig u ie n te :

7

5  Δ  Δy  y = =2 2 

3  Δ x = =1 1 

0

1

2

3

N o te mo s q u e p o r c a d a u n id a d d e v a ria c ió n e n  x   ( Δ x   Δ x =1 ) s e tie n e n d o s u n id a d e s d e v a ria c ió n e n y    Δ y =2 ). L a ra z ó n (g e o mé tric a ) d e e s ta s y  2 v a ria c io n e s e s d e d o s a u n o :  =  = 2  x  1

 

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14. ¿ Qu é e s p e n d i e n t e ?  Se d e n o min a p e n d i e n t e   d   d e la re c ta y s e d e n o ta p o r la le tra m   a la razón o cociente de la variación de y con respecto de  x   y 1 

y 1  y 0 y  m =  x   x    x    1 0

 Δy   Δ y   y 0 

 Δ x  

 X 0 

 X 1 

Estas variaciones se pueden medir entre dos puntos cualesquiera de la re c ta . Po r e je mp lo , p a ra d e te rmin a r la p e n d ie n te d e u n a re c ta q u e p a s a p o r lo s p u n to s ( – 3 ; 3 ) y (3 ;   1 ) a p lic a mo s la fó rmu la a n te rio r:

m

1 3 2 1        3  ( 3) 6 3

Una pendiente negativa indica que cuando  x   aumenta entonces y   d is min u y e . En e s te c a s o la g rá fic a d e la re c ta e s tá in c lin a d a h a c ia la izquierda y se denomina d e c r e c i e n t e . Ob s e rv e mo s q u e p a ra to d a fu n c ió n lin e a l f(x ) = mx + b , la p e n d ie n te c o in c id e c o n e l c o e fic ie n te (m) d e  x e n la e c u a c ió n d e la re c ta . As í, p o r 3 e je mp lo , e n la re c ta y   =  x   –   1 , s u p e n d ie n te e s 3 /2 y n o s in d ic a q u e 2 por cada dos unidades de variación en  x   se tienen tres en y . El g rá fic o s igu ig u ie n te mu e s tra la re la c ió n e ntre n tre la in te n s id a ad d d e c o rrie n te me d id a e n a mp e rio s I(A) y la d ife re n c ia d e p o te n c ia l me d id a e n v o ltio s V ( v ) d e u n d e te rmin a d o c irc u ito . En in g e n ie ría s e a c o s tu mb ra a d e c ir que se está graficando I(A) v e rs u s   V ( v ) .

 

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Ob s é rv e s e q u e e s ta re la c ió n e s lin e a l y c o n p e n d ie n te n e g a tiv a ( –  0 ,0 0 3 0 3 ) Ve r h ttp ://fo c u s la b .lfp /El e c tro n ic a /In fo rme r me s /T ra n s is to re r e s _ F e rn a .l fp .u b a .a r/p u b lic /Ele ndez-Ordonez.PDF .  

15.

¿ C ó mo s e d e fin e la fu n c ió n u ( t  –   a ) ?

0   u ( t  –   a ) =  1  

t   a t   a

  1 t

a

Es ta fu n c ió n s e p u e d e a s o c ia r c o n la a c tiv id a d o la in a c tiv id a d : c e ro , s i u n s is te ma e s tá in a c tiv o h a s ta e l in s ta n te a , y   u n o   s i e l s is te ma s e activa en ese instante y se mantiene en ese estado. En algunos textos s e re p re s e n ta b re v e me n te p o r u a (t). Po r e jemp je mp lo , p a ra a =0 la fu n c ió n s e es e s c rib e : 0   u ( t ) =  1  

t   0 

 

t   0 

1 0

t

 

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U n v o lta je c o n tin u o V(t) = V 0   s e p u e d e re p re s e n ta r, ta mb ié n , p o r V(t) = V 0 u ( t ) V(t)

V0  t

0

16. ¿ Qu é e s u n a f u n c i ó n c u a d r át i c a  ?   Es u n a fu n c ió n d e la fo rma :

2

y   = a x    + b x   + c .   C o rre s p o n d e a u n a fig u ra lla ma d a p a r áb o l a  , s u g rá fic a p re s e n ta d o s casos: V  

V  

Si a  0

Si a      0

El p u nto n to V s e de d e n o min a v é rtic e d e la p a rá b o la y s us u s c o o rrd denadas son:  x =  b 2a

  e

4ac - b 2  y = 4a .

Po r e je mp lo , la p a rá b o la y   = 2 x 2   + 4 x   + 3 ,  tie n e v é rtic e e n :  x = 

4 2 (2) (2)

=  – 1   e y =

4 (2) (3) - (4)2 4 (2)

Su g rá fic a s e e s b o z a e n la s ig u ie n te fig u ra :

V   –1

1

= 1.

 

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En la n a tu ra le z a s e p re s e n ta n mu c h ha a s fo rma s p a ra b ó lic a s :

En las sombras. En el rebote de una bola. En la caída de un chorro de agua

U n a d e la s p ro p ie d a d e s má s imp o rta n te s d e la s fo rma s p a ra b ó lic a s e s que cualquier rayo que incida de forma paralela al eje de la parábola re b o ta e n s u s u p e rfic ie p a s a n d o p o r u n p u n to in te rio r d e la p a rá b o la denominado fo c o (F ). Vic e v e rs a , to d o s lo s ra y o q u e s a le n d e l fo c o y rebotan en la parábola salen paralelos al eje de la parábola.

F

Eje de la parábola

Es ta p ro ie d a d s e a p lic a , p o r e je mp lo , e n la s a n te n a s p a ra b ó lic a s p a ra c o n c e n tra r la s s e ñ a le s q u e lle g a n a la a n te n a e n e l p u n to fo c a l d e la p a rá b o la lo g rá n d o s e u n a me jo r re c e p c ió n d e la s mis ma s . T a mb ié n c o n s e g u imos imo s q u e la lu z q u ue e s a le d e u n fa rro o se concen ntre tre e n u n h a z má s o me n o s c e rra d o , u b ic a n d o e l fo c o d e lu z e n e l p u n to fo c a l

 

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17. ¿ Qu é a p lic a c io n e s a la F ís ic a tie n e la p a rá b o la ? En electricidad se presentan algunas relaciones cuadráticas de este tip o , p o r e je mp lo , c u a n d o re la c io n a mo s la p o te n c ia , re s is te n c ia , la in te n s id a d y la d ife re n c ia d e p o te n c ia l. L a p o te n c ia e lé c tric a s e d e fin e c o mo la c a n tid a d d e e n e r g í a e l é c t r i c a   o t r a b a j o ,  q u e s e tra n s p o rta o q u e s e c o n s u me e n u n a d e te rmin a d a u n id a d d e tie mp o . Si la te n s ió n s e ma n tie n e c o n s ta n te , la p o te n c ia e s d ire c ta me n te p ro p o rc io n a l a la c o rrie n te ( in te n s id a d )).. És ta a u me n ta s i la c o rrie n te aumenta. Cuando se trata de c o r r i e n t e c o n t i n u a   (C C ) la p o te n c ia e lé c tric a d e s a rro lla d a e n u n c ie rto in s ta n te p o r u n d is p o s itiv o d e d o s te rmin a le s , e s e l p ro d u c to d e la d i f e r e n c i a d e p o t e n c i a l   entre dichos te rmin a le s y la   i n t e n s i d a d d e c o r r i e n t e   que pasa a través del dispositivo. Es to e s , . Donde I es el valor instantáneo de la corriente y V es el valor in s ta n tá n e o d e l v o lta je . Si I s e e x p re s a e n a mp e rio s y V en voltios, P estará expresada en watts ( vatios) . C u a n d o e l d is p o s itiv o e s u n a re s is te n c ia d e v a lo r R o s e p u e d e c a lc u la r la re s is te n c ia d e l d is p o s itiv o , la potencia también puede calcularse como

Ej. Considerando P como función de I, tenemos las siguientes gráficas p a ra R = 0 ,5 ; 1 ; 2 P

R= 2

R= 1 R=0,5

I

P = RI 2

 

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Ej. C a lc u la r la p o te n c ia c o rre s p o n d ie n te a u n a re s is te n c ia d e 0 ,5 o h m y u n a in te n s id a d d e c o rrie n te d e 2 a mp . So l. P = 0 ,5 (2 ) 2  = 2 w a tts Es conocida rige s e la n z a lib relameecuación n te h a c iaque a rrib a , selin movimiento ro z a mie n to :vertical de un objeto que



h = v 0 t  –   g t 2   L a s c o o rd e n a d a s d e s u v é rtic e s o n :

    

t=–

v0

1

2   – – 2g

v0   g

=

y

v20



h= 

 

g

Que corresponden al ti e m p o   que demora el objeto en alcanzar la altura má x ima y la c o rre s p o n d ie n te a l tu ra m á x i m a . En e l d o b le d e e s te tie mp o , a l c a e r, e l o b je to a lc a n z a e l s u e lo . v20 2g

h  

0

v0 g

 



v0

g

t  

Ej. U n c u e rp o s e la n z a h a c ia a rrib a c o n u n a v e lo c id a d in ic ia l d e 5 m/s . Tomando g =10m/s 2 , d e te rmin e : a ) El tie mp o q u e d e mo ra e n a lc a n z a r s u má x ima a ltu ra . b ) Su a ltu ra má x ima . c ) El tie mp o d e re to rn o a tie rra . So l. a) t =

5

 

= 0,5s 0,5s 

10 52

b ) h =   210 =1,25m c ) t = 2 (0 ,5 ) = 1 s

18. ¿ Qu é e s u n a fu n c ió n e x p o n e n c i a l  ? En g e n e ra l e s u n a fu n c ió n d e la fo rma :

y   = a x ;

x      IR . a  > 0 .

 

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U n c a s o p a rtic u la r, a mp lia me n te c o n o c id o , e s :  x 

y   = e

;

x     IR .

e es la base de los logaritmos neperianos, su valor aproximado es 2,71828…. y  =  = e x  

y

Un esbozo de su gráfica es: 1  x

El eje horizontal la gráfica disminuye su altura cada vez más hacia la iz q u ie rd a s in to c a r n i p a s a r d e b a jo d e l e je x , p o r e s o d e c imo s q u e e s te d e la fu n c ió n . eje es una a s í n t o t a   h o ri z o n ta l   d Vis ta d e iz q u ie rd a a d e re c h a , la g rá fic a e s tá s u b ie n d o rá p id a me n te , p o r eso decimos que la función es c re c i e n te .  – x   x    cuya gráfica es d e c r e c i e n t e .   El caso contrario es y   = e –

y

y  =  = e – x  

1

 x

Este es un modelo matemático para muchas aplicaciones en la vida real. Cuando algo crece muy rápido se dice que “ tiene un crecimiento e x p o n e n c i a l  ” y c u a n d o d e c r e c e r á p i d a m e n t e s e d i c e q u e “ ti e n e u n d e c a i m i e n to e x p o n e n c i a l  ” .  

 A  All g u n a s v a r i a n t e s y s u s r e s p e c t i v a s g r á f i c a s : y

y  x  – 1

y  =  = a

y  =  = – e x  

 x y  =  = a + e x  

 

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En e le c tró n ic a s e p re s e n ta n mu c h a s d e e s ta s v a ria n te s e n c irc u ito s R C y R L d e c o rrie n te c o n tin u a (C C ). Ve a mo s a lg u n o s e je mp lo s e n R C : C irc u ito s s e rie R L

 A  All c e r r a r e l in te rru p to r S e n e l c irc u ito s e rie R L , la b o b in a crea una fu e rz a e le c tro mo triz (f.e .m.) q u e s e o p o n e a la c o rrie n te q u e c irc u la p o r e l c irc u ito , d e n o min a d a p o r e llo fu e rz a c o n tra e le c tro mo triz . C o mo c o n s e c u en e n c ia d e e llo , e n e l mis mo in s ta n te d e c e rra r e l in te rru p to r (t 0 ) la intensidad será nula e irá aumentando exponencialmente hasta alcanzar s u v a lo r má x imo , E 0   / I o   (d e t0 a t1 ). Si S i a c o n tin u a c ió n, n , e n e l mis m mo o in s ta n te d e a b rir S (t2 ) s e h a rá c o rto c irc u ito e n la re d R L , e l v a lo r d e I o   no desaparecería instantáneamente, sino que iría disminuyendo de fo rma e x p o n e n c ia i a l h a s ta h a c e rs e c e ro (d e t2 a t3 ). L a d u ra c ió n d e l ré g ime n tra n s ito rio  τ s e g u n d o s ).d ) .d e p e n d e d e lo s v a lo re s d e la re s is te n c ia (R o h mio s ) y d e la a u to in d u c ta n c ia (L h e n rio s ))   d e la b o b in a ,

Ma te má tic a me n te s e p u e d e n o b te n e r la s e c u a c io n e s e n ré g ime n tra n s ito rio d e c a d a c irc u ito q u e s e mu e s tra n e n la s ig u ien ie n te ta b la : Carga en RL

19.

Descarga en RL

¿ Qu é p ro p ie d a d e s tie n e la fu n c ió n e x p o n e n c ia l?

T ie n e to d a s la s p ro p ie d a d e s q u e s e e s tu d ia n e n la te o ría d e e x p o n e n te s , e n tre la s má s re s a lta n te s te n e mo s :

 

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  em en = em+n   (em)n = emn     e m   = e m – –nn  n e  

20. ¿ Qu é e s u n a fu n c ió n l o g a r ít m i c a  ? En g e n e ra l, e s u n a fu n c ió n d e la fo rma :

y  =   = log b   ( x ) ;    x   >

0.

En p a rtic u la r s i b = e   s e tie n e la fu n c ió n l o g a r i t m o n a t u r a l   o l o g a r i t m o n e p e r i a n o , y s e e s c rib e :

y  =   = log e   ( x ) ;    x   > 0 o má s b re v e me n te :

y  =   = ln x ;    x   > 0 U n e s b o z o d e s u g rá fic a e s e l s ig u ie n te : Y

X

1

N o ta mo s q u e e l e je Y e s u n a a s ín to ta v e rti c a l  . L a s fu n c io n e s e x p o n e n c ia i a l y l o g a r i t m o n e p e r i a n o   s o n inversas   e n tre s í  x  Esto implica que y   = e   ↔  x  = ln y . Si e n la ta b la a n te rio r, q u is ié ra mo s d e te rmin a r e l ti e m p o   en la carga y d e s c a rg a te n d ría mo s :

Tiempo de carga en RL

Tiempo de descarga en RL

 

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Más adelante veremos cómo Específicamente en la pregunta 34.

se

obtienen

estos

resultados.

Si

b = 1 0 , s e o ri rig g in a u n s is te tema ma d e lo g a ritmo s lla ma d o s d e c i m a l e s o v u l g a r e s ,  e n e s te c a s o s e o mite la e s c ritu ra d e b , e s to e s :

(x) l o g 1 0   ( x ) =   log (x 21. ¿ Qu é  p r o p i e d a d e s  tie n e la fu n c ió n lo g a ritmo ? En tre la s má s imp o rta n te s p o d e mo s c ita r:    l o g b ( m n ) = lo g b ( m ) + lo g b ( n ). Si m   y n  s o n p o s itiv o s .    l o g b ( m n ) = n l o g b ( m ). Si m e s p o s itiv o .    l o g b (b ) = 1 Eje mp lo s . 1 . ln ( m 3 n 2 ) = ln ( m 3 ) +   l n ( n 2 ) = 3   l n ( m ) + 2   l n ( n ) .  x  3  2 . ln   x  2   ln(x    3)  ln(x  2)   2 5

3 . ln5 (2x - 1)2  ln((2x - 1)2/5  ln(2x  1)   4 . L o g 3 (3 ) = 1 5 . lo g (1 0 ) = 1 ; ln (e )=1 logx  1( x  3)    6 . L o g (x -1 ) + L o g (x +3 ) = log

22. ¿Qué es una escala logarítmica y por qué usarla? L a s e s c a la s lo g a rítmic a s s e e mp le a n c u a n d o s e q u ie re n re p re s e n ta r d a to s q u e v a ría n e n tre s í v a rio s ó rd e n e s d e ma g n itu d c o mo , p o r e je mp lo , magnitudes relacionadas con una frecuencia que varía entre 1 rad/s y 1 0 6   ra d /s . Si s e emp e mp le a n e s c a la s llin in e a le s , s ó lo l o a p re c iia a ría mo s b ien ie n lo s d a to s c o rre s p o n d ie n te s a la s fre c u e n c ia s ma y o re s mie n tra s q u e , p o r e je mp lo , to d o s lo s p u n to s p o r d e b a jo d e 1 0 4   ra d /s s e re p re s e n ta ría n e n la c e n té s ima p a rte d e l e je d e a b s c is a s . Pa ra e v ita r e s te p ro b le ma s e u s a n la s e s c a la s lo g a rítmic a s , q u e p e rmite n re p re s e n ta r e n u n mis mo e je d a to s d e d ife re n te s ó rd e n e s d e ma g n itu d , s e p a rá n d o lo s e n d é c a d a s . Pa ra e llo , e n lu g a r d e ma rc a r s o b re e l e je la p o s ic ió n d e l d a to q u e q u e re mo s re p re s e n ta r s e ma rc a la d e s u lo g a ritmo d e c ima l. Es to s e h a c e a p ro v e c h a n d o la s ig u ie n te p ro p ie d a d d e lo s lo g a ritmo s : lo g ( N 1 0 D   )= lo g ( N ) + D lo g 1 0 =lo g ( N ) + D   D e e s te mouna d o , década e l o rd e n( d e ma g n itu d ( D ) establece un desplazamiento, separando D = i ) d e la s ig u ie n te ( D = i + 1 ) y lo s p u n to s c o rre s p o n d ie n te s a u n mis mo o rd e n d e ma g n itu d (d é c a d a ) tie n e n e l

 

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mismo espacio para ser representados que los pertenecientes a una década superior. C o mo e je mp lo e n la s ig u ie n te fig u ra s e in d ic a d ó n d e s e u b ic a ría n e n u n e je lo g a rítmic o lo s p u n to s c o rre s p o n d ie n te s a 6 0 , 6 0 0 y 6 0 0 0 .

 A  All g u n a s a p l i c a c i o n e s d e l o s l o g a r i t m o s . L a i n te n s i d a d s o n o ra .

L a s u n id a d e s u tiliz a d a s c o mú n me n te p a ra me d ir lo s n iv e le s d e in te n s id a d d e u n s o n id o , lla ma d a s b e lio y d e c ib e lio , s o n , e n re a lid a d , re la tiv a s y d e n a tu ra le z a lo g a rítmic a . As í, u n d e c ib e lio s e d e fin e e n a c ú s tic a c o mo la d é c ima p a rte d e l lo g a ritmo d e c ima l d e l c o c ie n te e n tre la in te n s id a d d e u n s o n id o (I) y u n a in te n s id a d u mb ra l (I 0 ) to ma d a c o mo re fe re n c ia . Be l = 1 0 lo g (I / I 0 ) Es ta d e fin ic ió n s e a p lic a n o s o lo a in te n s id a d e s d e s o n id o s , s i la a p lic a mo s a la p o te n c ia e lé c tric a c o n re s is te n c ia d e 1 o h m, s e te n d ría : 2

  V     V    V 2   Be l = 10log  2   10log    20log      V0    V0    V0   Diagramas de Bode.

U n Diagrama de Bode   es una representación gráfica que sirve para c a ra c te riz a r la re s p u e s ta e n fre c u e n c ia de un sistema. Normalmente consta de dos gráficas separadas, una que corresponde con la m a g n i tu d   d e d ic h a fu n c ió n y o tra q u e c o rre s p o n d e c o n la f a s e . Recibe su nombre d e l c ie n tífic o q u e lo d e s a rro lló , H e n d rik Wa d e Bo d e .  .  Es una herramienta muy utilizada en el análisis de c irc u ito s e n e le c tró n ic a ,  ,   s ie n d o fu n d a me n ta l p a ra e l d is e ñ o y a n á lis is d e filtro s y a mp lific a d o re s .  .  E l d i a g r a m a d e m a g n i t u d d e B o d e   d ib u ja e l mó d u lo d e la fu n c ió n d e tra n s fe re n c ia (g a n a n c ia ) e n d e c ib e lio s en función de la frecuencia (o la fre c u e n c ia a n g u la r)  r)   e n e s c a la lo g a rítmic a . Se s u e le e mp le a r e n p ro c e s a d o d e s e ñ a l p a ra mo s tra r la re s p u e s ta e n fre c u e n c ia de un s is te ma lin e a l e in v a ria n te e n e l tie mp o .  

 

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Slope: pendiente; cutoff frequency: frecuencia de corte

23. ¿ C ó mo s e d e fin e la función seno  y q u é p ro p ie d a d e s tie n e ? Se d e n o min a función seno , y s e d e n o ta p o r f (x ) = s e n x , a la a p lic a c ió n d e la ra z ó n trig o n o mé tric a seno   a una variable independiente x expresada en radianes.

       

La Es Su Es

función seno es  p e r i ó d i c a  d e p e rio d o 2 π : sen(x + 2 π ) = senx. continua y acotada:  – 1 ≤ s e n x ≤ 1 . Su rango está entre  – 1 y 1 . d o min io d e d e fin ic ió i ó n e s e l c o n ju n to de d e to d o s lo loss n ú me ro s re a le s . u n a fu n c ió n i m p a r :  s e n ( – x ) =  – senx

Gráfica de la función seno.

24. ¿ C ó mo s e d e fin e la fu n c ió n c o s e n o y q u é p ro p ie d a d e s tie n e ? Se d e n o min a función coseno , y s e d e n o ta p o r f (x ) = c o s x , a la aplicación de la razón trigonométrica coseno   a u n a v a ria b le in d e p e n d ien ie n te x e x p re s a d a e n ra d ia n e s .

       

L a f u n c i ó n c o s e n o e s p e ri ó d i c a d e p e ri o d o 2 π : c o s x 2 π  = c o s x   Es continua y acotada:  – 1 ≤ c o s x ≤ 1 . Su rango está entre  – 1 y 1

Su d o min minio io d e d e fin ic ió n e s e l cco o n ju n to de d e to d o s lo s n ú me ro ross re a le ss.. Es u n a fu n c ió n  p a r : c o s ( – x) = cosx.

 

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Gráfica de la función coseno.

25. ¿ C ó mo s e d e fin e la fu n c ió n ta n g e n te y q u é p ro p ie d a d eess tie n e ? Se d e n o min a función tangente , y s e d e n o ta p o r f ( x ) = ta n  x , a la aplicación de la razón trigonométrica tangente   a u n a v a ria b le independiente  x   expresada en radianes.

   L a f u n c i ó n t a n g e n t e e s p e r i ó d i c a d e p e r i o d o π : t a n  x   x   π  = t a n x  n x   c o ta d a : su s u ra n g o e s el e l in te rv rva a lo  – ∞ ; ∞       Es n o a co    Su d o min io ddee d e fin ic ió n e s e l c o n ju n to d e to d o s lo s n ú me ro s re a llee s me n o s lo s mú ltip lo s imp a re s d e π / 2 : I R –  {(2 k -1 ) π / 2 / k  Z }    Es u n a fu n c ió n i m p a r :  ta n ( –  – x   x ) = ta n x .

Gráfica de la función tangente.

es la g rá fic a 26. ¿ C ó mo y = A   s i n [ ω  x   x   - α  ]  C ?

de

una

fu n c ió n

de

la

fo rma

 

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       

 A  e s C  e s P   es ω es

la a mp litu d (la a ltu ra d e c a d a má x imo a rrib a d e la lín e a b a s e ). e l d e s p la z a mie n to v e rtic a l (la a ltu ra d e la lín e a b a s e ). el periodo o longitud de onda (la longitud de cada ciclo). l a f r e c u e n c i a a n g u l a r , y s e e x p r e s a p o r ω = 2 π / P   o P   = 2 π / ω.  

miento de fase.    α e s e l d e s p l a z aam

Eje mp lo . ¿ C u á le s s o n lo s e le me n to s re s p e c tiv o s d e la s ig u ie n te g rá fic a ?

 A C

Línea base 

P

Respuesta    L a línea base  (e l p u n to me d io d e o s c ila c ió n ) s e u b ic a 2 u n id a d e s a b a jo d e l e je  x       A  = a mp litu d   = 2    C = desplazamiento vertical = coordenada y   de la línea base = -2    P   = p e rio d o = 4    ω = f r e c u e n c i a a n g u l a r = 2 π / P   = 2 π / 4 = π / 2    α = 1 Esta es la distancia horizontal del eje Y   a l p rime r p u n to d o n d e

la g rá fic a c ru z a la lín e a b a s e . En to n c e s , la e c u a c ió n e s : y  = 2 s e n [ π (x    1) ]  –   2 2

27. ¿ Qu é a p lic a c io n e s fís ic a s tie n e n la s fu n c io n e s s e n o y c o s e n o ? L a s d e n o min a d a s c o rrie n te s a lte rn a s s o n c íc lic a s , e s to e s , tie n e n u n c a rá c te r o s c ila to rio , p o r lo ta n to s e le s p u e d e a s ig n a r u n mo d e lo ma te má tic o d e tip o s e n o id a l. As í, p o r e je mp lo , u n a c o rrie n te d a d a p o r: i(t) = 4 s e n (2 0 0 t) e n a frecuencia c o rrie n te aes lte rn y s ehertz in te rp re ta d ic ie n d o q u e s u v a lo r má x imo e s 4 sy usu dea 200

 

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El te ma d e v ib ra c io n e s me c án á n ic a s s e p u e d e ilu s tra r c o n e l s is te ma ma s a re s o rte , c o mo s e v e e n la g rá fic a :

m   x   m 

U n a ma s a m   s u je ta a u n a p a re d me d ia n te u n re s o rte , c u y a cco o n s ta n te d e rig id e z e s ig u a l a k , s e e s tira u n a lo n g itu d x   y se suelta. El cuerpo s e e n c u e n tra s u je to a u n a fu e rz a re s ta u ra d o ra ig u a l a F   =  –   k x . C u a n d o n o h a y fu e rz a d e re s is te n c ia o a mo rtig u a c ió n , n i s e e n c u e n tra s o me tid o a u n a fu e rz a e x te rn a , e l c u e rp o o s c ila s e g ú n la e c u a c ió n : x (t) =  cos

      ( )     k

m

k

t sen

m

t ,

la c u a l s e p u e d e lle v a r a la fo rma :

x (t) = Ccos Donde: circular.

C =

 

2

2

       ;

tanα =



 

t– α ,

k

 ;

  s e d e n o min a fre c u e n c i a

m

2

E l  p e r i o d o  d e o s c ila c ió n e s : T = x C

ω0



1

  y la f r e c u e n c i a d e o s c i l a c i ó n  e s : f=

x(t) = Ccos

( ) 

t – α  

t α ω0

  2π

 –C

ω0

 

T

 

 

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Ej. U n c u e rp o q u e p e s a 1 6 lb e s tá s u je to a l e x tre mo d e u n re s o rte q u e s e e s tira 2 ft me d ia n te u n a fu e rz a d e 1 0 0 lb . El c u e rp o s e p o n e e n mo v imie n to . D e te rmin a r s u fre c u e n c ia c irc u la r, p e rio d o y fre c u e n c ia d e o s c ila c ió n , c o n s id e ra nd n d o g = 3 2 ft/s 2 . So l.

m =

16 32

=0,5 slug  ; k =

100 2

=50 l/ft 

 

L a fre c u e n c ia c irc u la r e s : ω0=

50 50

0,5

E l  p e r i o d o  d e o s c ila c ió n e s : T =

=10rad/s 

2π 10

L a fre c u e n c i a d e o s c i l a c i ó n  e s : f =

=0,63s  10 2π

 = 1,59 Hz 

28. ¿ C ó mo s e d e fin e c a d a fu n c ió n in v e rs a d e s e n o , c o s e n o y ta n g e n te ? 1 . L a fu n c ió n a r c o s e n o    se define:

y=arcsenx ↔ x =seny   x    [ - π ; π ] ; y   [-1 ; 1 ] Es c o mú n la n o ta c ió n :  A r c s e n x = s e n – 1 x  Ar

2 . L a fu n c ió n a r c o c o s e n o   se define:

y=arccosx ↔ x =cosy   x    [ - π ; π ] ; y   [-1 ; 1 ] Es c o mú n la n o ta c ió n :  A  Arr c c o s x = c o s – 1 x

3 . L a fu n c ió n a r c o t a n g e n t e  s   s e d e fin e :

y=arctanx ↔ x =tany   x    [ - π / 2 ; π / 2 ] ; y     – ∞ ; ∞    Es c o mú n la n o ta c ió n :  A r c t a n x = t a n – 1 x  Ar

 

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  s e p u e d e n e fe c tu a r c o n la s fu n c io n e s ? 29. ¿ Qu é o p e r a c i o n e s   s D e te rmin a re mo s 4 o p e ra c io n e s e le me n ta le s :

   Su ma : ( f + g ) ( x ) = f ( x )   + g ( x )  x      D f      D g   f  – g ) ( x ) = f ( x )   –   g ( x )  x      D f      D g   e s ta : (     R Mu ltip lic a c ió n : ( f g ) ( x ) = f ( x ) g ( x )  x      D f      D g      D iv is ió n : ( f / g ) ( x ) = f ( x ) / /g  g ( x )  x      D f      D g   – –   {   x / g ( x ) = 0} En la división debe cuidarse que el denominador no se anule para a l g u n o s v a l o re s d e x , d e s e r e l c a s o e s to s d e b e n e x c l u i rs e d e l d o m i n i o .

Ej. Efe c tu a r la s o p e era ra c io n e s a n te rio re s p a ra f ( x ) = 2 x + 3 y ( f + g ) ( x ) = (2 x + 3) + (4 x  –   8 ) = 6 x  – 5

D f + g   = IR

( f  – g ) ( x ) = (2 x + 3 )  –   ( 4 x  –   8 ) = – 2 x + 1 1

D f   –– g  = IR

( f g ) ( x ) = (2 x + 3 )(4 x  –   8 ) = 8 x 2   – –   4 x  –   2 4

D   = IR

g ( x ) = 4 x  –   8

f g 

( f / g ) ( x ) =

2 x  3   4 x  8

D f / g   = I R –  {2 }

L a d iv is ió n tie n e s e n tid o p a ra to d o v a lo r d e  x   salvo para  x =   2. Por lo ta n to s u d o min io e s : IR  –  {2 }. Si la s fu n c io n e s e s tá n d e fin id a s d e ma n e ra ta b u la r, s e d e te rmin a n lo s v a lo re s c o mu n e s d e  x   y se operan los correspondie ntes de y . Po r e je mp lo , p a ra la s fu n c io n e s d e fin id a s p o r la s ta b la s :  x f ( x )  

 – 1

6

9

3

0

7

 x g ( x )  

 – 1

3

9

5

0

 – 2

Se tie n e :  – 1

 x

( f + g ) ( x )  

8

9 5

Si la s fu n c io n e s s e d a an n c o n u n d o min io p re e s ta b le c iid d o , in te rs e c ta mo moss lo s d o min io s d a d o s p a ra o b te n e r e l d o min io d e la fu n c ió n re s u lta n te . Ej. Si f(x ) = x 2   x  [  – –2; 3  y

g(x) = e 2 x   x   – 1 ; 6 ], d e te rmin a r la s u ma

y dl.iv is ió n g /f d e a mb a s fu n c io n e s . So Su s u ma e s :

(f+g )(x ) = x 2   + e 2 x  

x    [ – 2 ; 3        – 1; 6] =  – 1 ; 3  .

 

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Su d iv is ió n e s :

g(x) f(x)



e 2x x2

 

x   – 1 ; 3    – –  {0 }.

30. ¿Se puede evaluar una función empleando una variable en lugar de u n d e te rmin a d o n ú me ro ? Sí, e s p o s ib le . Po r e je mp lo , la fu n c ió n f ( x ) = 2 x +7, se puede evaluar p a ra  x   = a : f ( a ) = 2 a   + 7

31. ¿ Se p u e d e e v a lu a r u n a fu n c ió n e mp le a n d o u n a e x p re s ió n a lg e b ra ic a e n lu g a r d e u n d e te rmin a d o n ú me ro ? Sí, e s p o s ib le . Po r e je mp lo la fu n c ió n f ( x ) = 2 x   + 7, se puede evaluar p a ra  x   = a + 2 : f ( a + 2 ) = 2 ( a +2) + 7 = 2 a  + 1 1 .

32. ¿ Se p u e d e e v a lu a r u n a fu n c ió n e mp le a n d o o tra fu n c ió n e n lu g a r d e u n d e te rmin a d o n ú me ro ? f ( x 2  x  Sí, . nPo r ne je la  – ió( x  n ))= ) (3 = x 2  –   +)+ 77 =se6 x puede evaluar e mpeles a pn od soiblalefu c ió g (mp  x ) lo = ,3 x  –fu 1 :nf c( g  –1 +5 .

Este proceso se denomina c o m p o s i c i ó n d e fu n c i o n e s .   d e fu n c io n e s ? 33. ¿ Qu é e s c o m p o s i c i ó n   d La composición de funciones f d e fu n c ió n - s e d e fin e c o mo :

( f    g ) ( x ) = f   ( g ( x ) )

y g   - c o n o ccid id a , ta mb ié n , c o mo fu n c ió n

D f  g   = { x / x      D g    g ( x )    D f }

Eje mp lo s . 1 Dadas f ( x ) = 2 x + 5 y

g ( x ) = 4 x  –   3 , d e te rmin a r: a ) f      g  

b) g  f. 

So l. a) b)

f ( g ( x )) = 2 (4 x  –   3 ) + 5 = 8 x  –   1 g ( f ( x )) = 4 (2 x + 5 ) –   3 = 8 x +17

 A  All g u n a s f u n c i o n e s s o n fu n c io n e s

el resultado de la composición de dos o más

2 . ln (4 x  –   3 ) = ln ( x )    ( 4 x  –   3 ) 3 . 4 ln ( x )   –   3 = (4 x  –   3 )    l n ( x ) 4 . e s e n ( 2 x - ! )   = e x    senx    (2x  – 1 )

 

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5 .   t  τln(

I0

  )

I0  i(t)

 τln(t)  (

I0 I0  i(t)

) 

6 .   S i f ( x ) = 2 x + 5  x      [ – 2; 5] y g ( x ) = 4 x  –   3   x       0 ; 4 ], d e te rmin a r s u fu n c ió n c o mp u e s ta y s u re s p e c tiv o d o min io . La compuesta g    f   e s :   g ( f ( x )) = 4 (2 x + 5 ) –   3 = 8 x +17 El dominio es: D g    f   = { x / x  D f    f ( x )  D g } = { x / x  [  – – 2 ; 5 ]  ( 2 x + 5 )   0 ; 4 ]} = {   x / x  [ – 2 ; 5 ]     x     – 5 /2 ;  – 1 /2 ]} = [  – – 2 ;  – 1 /2 ]. S i e l d o m i n i o e s e l c o n j u n t o v a c í o , l a c o m p o s i c i ó n n o s e p u e d e e f e c t u a r. r.

7 .   S i f ( x ) = 2 x + 5  x      [  – – 4 ;  – 3] y g ( x ) = 4 x  –   3   x       0 ; 4 ], d e te rmin a r s u fu n c ió n c o mp u e s ta y s u re s p e c tiv o d o min io . El dominio es: D g    f   = { x / x  D f    f ( x )  D g } = { x / x  [ – 4 ;  – 3 ]  ( 2 x + 5 )   0 ; 4 ]}   x / x  [  – – 4 ;  – 3 ]     x     – 5 /2 ;  – 1 /2 ]} = = {  

La compuesta n o e x i s t e ;  y a q u e e l d o min io e s v a c ío .

34. ¿Qué sucede cuando se compone una función con su inversa? El re s u lta d o d e s u c o mp o s ic ió n e s la fu n c ió n id e n tid ad a d , e s to e s : f ( f  – 1 (x )) = x Se puede decir que cuando se compone una función y su inversa ambas “ s e c a n c e l a n m u t u a m e n t e ” .  Ej. 1 . a rc s e n (s e n x )= x 2 . ln (e x ) = x 3 . e l n 2 x  = 2 x 4 . ta n (a rc ta n x 2 ) = x 2  

35. ¿ Pa ra q u é e s ú til e s ta p ro p ie d a d ? Es ta p ro p ie d a d e s d e g ra n u tilid a d p a ra d e s p e ja r in c ó g n ita s q u e s e e e n tre an s . c o mo longcaurítmic

a rg u me n to s

Ve a mo s a lg u n o s e je mp lo s :

de

la s

fu n c io n e s

trig o n o mé tric a s

o

 

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1 . R e s o lv e r e x + 3  = 5 . So l. T o ma mo s lo g a ritmo s n e p e ria n o s a a mb o s mie mb ro s d e la e c u a c ió n n,, para cancelar la función exponencial que es donde se encuentra la in c ó g n ita , p a ra d e s p e ja rla p o s te rio rme n te . Ln(e x + 3 ) = l n 5  →  x + 3 = ln (5 ). x = ln (5 )  –   3 →   x =  – 1 , 3 9 0 5 6 …  

2 . R e s o lv e r ln (3 x +1 ) =  – 2 . Sol. Tomamos exponencial a ambos miembros de la ecuación, para c a n c e la r la fu n c ió n l n   que es donde se encuentra la incógnita, para d e s p e ja rla p o s te rio rme n te . eln(3x

+1)

  = e – 2   →

e – 2 – 1

x =

3

3x +1 = e – 2  

  →   x =  –   0 , 2 8 8 … .  

3 . R e s o lv e r c o s (x 2   –  1 ) = 0 ,4 5 . So l. T o ma mo s c o s – 1   (o, lo que es lo mismo, a rc c o s ) a ambos miembros de la ecuación, para cancelar la función c o s   que es donde se encuentra la in c ó g n ita .  –  c o s (x 2   – –  1 ) = c o s 1  0 ,4 5 . x 2   – –   1 = c o s – 1  0 ,4 5 . x 2   = c o s – 1  0 ,4 5 + 1 .

 – 1

cos

 

x =  ccos os – 1 0,45  1  x =    2 , 1 0 4 0 3 0 … . ra d   re la c ió n i(t) = I 0 ( 1  –   e  – t /    ) 4 . D e s p e ja r t d e la rela So l.

 – t /  i(t) = I 0   – – I0e  



I 0 e  – t /    = I 0   – –   i(t)

 

                         e –t/τ = t

I0  – it

 = ln

 –t/τ

lne

I0

I0  – it I0

 = lln n

→ t  – ln

F in a lme In  te : t

ln

0

I0 – it

 

I0  – it I0

I0  – it I0

   

 

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Fundamentos Teóricos. El a n á lis is ma te má tic o e s la ra ma d e la ma te má tic a q u e p ro p o rc io n a mé to d o s p a ra la in v e s tig a c ió n c u a n tita tiv a d e lo s d is tin to s p ro c e s o s d e c a mb io , mo v imie n to y d e p e n d e n c ia d e u n a ma g n itu d re s p e c to d e o tra s . Su rg e a s í, d e ma n e ra n a tu ra l, e n u n p e río d o e n e l q u e e l d e s a rro llo d e la me c á n ic a y la a s tro n o mía , n a c id a s d e lo s p ro b le ma s d e la te c n o lo g ía y la navegación, habían proporcionado ya un cúmulo considerable de observaciones, medidas e hipótesis y estaban impulsando a la ciencia hacia la investigación cuantitativa de las formas más sencillas de mo v imie n to . El p ro b le ma d e l a n á lis is e s e l e s tu d io d e la s fu n c io n e s , e s to e s , d e la d e p e n d e nc n c ia d e u n a v a ria b le re s p e c to d e o tra . Función

El c o n c e p to má s imp o rta n te d e to d a s la s ma te má tic a s e s , s in d u d a rlo , e l d e fu n c ió n : ese n centra c a s i toen d a sel la s ra made s funciones. d e la ma te má tic a mo d e rn a , la investigación estudio Los distintos objetos y fenómenos que observamos en la naturaleza e s tá n o rg á n ic a me n te re la c io n a d o s unos con o tro s ; son interdependientes. El género humano conoce desde hace tiempo las re la c io n e s má s s e n c illa s d e e s ta c la s e , y e s te c o n o c imie n to s e h a lla e x p re s a d o e n la s le y e s fís ic a s . Es ta s le y e s in d ic a n q u e la s d is tin ta s ma g n itu d e s q u e c a ra c te riz a n u n fe n ó me n o d a d o e s tá n ta n ín tima me n te re la c io n a d a s q u e a lg u n a s d e e lla s q u e d a n c o mp le ta me n te d e te rmin a d a s p o r lo s v a lo re s d e la s d e má s ... F u e ro n c o rre s p o n d e n c ia s d e e s ta c la s e la s q u e s irv ie ro n d e o rig e n a l c o n c e p to d e f u n c i ó n . El c o n c e p to mo d e rn o d e fu n c ió n tie n e s u b a s e e n lo s p a re s o rd e n a d o s . U n p a r o rd e n a d o e s u n p a r d e n ú me ro s (a , b ) ta le s q u e : a,  = c, d ↔ a = c

  b = d.

La relación de igualdad ordena los números que conforman el par por la p o s ic ió n q u e o c u p a n d e n tro d e l mis mo :   a s e d e n o min a la  p r i m e r a c o m p o n e n te y b   se denomina la s e g u n d a c o m p o n e n te .   Si n o s e c u mp le la re la c ió n a n te rio r, lo s p a re s s o n d ife re n te s .  A  Ass í , m o d e r n a m e n t e , u n a f u n c i ó n   s e d e fin e c o mo u n c o n ju n to d e p a re s o r d e n a d o s t a l e s q u e “ d o s p a r e s o r d e n a d o s d i f e r e n t e s n o t i e n e n l a   misma p ri m e ra c o m p o n e n t e ”   Ej f = {(3 ; 4 ), ((5 5 ; 4 ), ( – 1 ; 3 )} e s fu n c ió n p u e s la p rime ra c o mp o n e n te e s d ife re n te e n c a d a p a r o rd e n a d o . R = {(3; 4), (5; 4), (3; 3)} no es función pues la primera c o mp o n e n te s e re p ite e n e l p rime r y te rc e r p a r o rd e n a d o

 

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Ejercicios Resueltos Resueltos   1 . D e te rmin a r s i R   = { ( – 3 , 2 ), (5 ,1 ), ( – 3 , 3 ), (0 ,1 )} e s fu n c ió n . C a lc u la r s u d o min io y ra n g o . So l. N o , p u e s e n e l p rime r y te rc e r p a r a v a lo re s d ife re n te s d e y : 2 ; 3 . D   = { – 3 ,0 , 5 }

 x =  – 3 ,

le corresponde n dos

R  = {0 , 2 , 3 }  

3

 

2 1  

 

0

5

-3

= { ( – 2 ,2 ), (5un ,1 ), ( – 3 ,3 n p.  u e s a c a d a v a lo r d e  x , le 2 . fcorresponde valor de),  y (0  d,1 ife)}reenstefudnec ió o tro So l. 3

 

2

 

1  

 

0

5

-3 -2

Su dominio es   D   = { – 3 ,  – 2 , 0 , 5 } y s u ra n g o R  = {1 ; 2 ; 3 } Obsérvese que si en el gráfico de una relación hay dos (o más) puntos u b ic a d o s e n u n a mis ma v e rtic a l, e n to n c e s n o c o rre s p o n d e a u n a fu n c i ó n .  

3 . D e te rmin a r a , b , s i e l c o n ju n to f   = { ( – 3 ,2 ), (5 ,1 ), (2 a    – 1 , 2 ), ( 3 b  +1 ,1 )}. e s fu n c ió n . So l. 2 a   – – 1 =  – 3 3 b   +1= 5

2 a   =  – 2 3b = 4

a   =  – 1 b= 4/3

4 . D e te rmin a r e l d o min io d e :   f(x)    4  x 2   So l. 4  –   x   x 2 ≥ 0

 x 2 ≤ 4

– 2 ≤  x   ≤ 2 .

 

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5 . D e te rmin a r e l d o min io d e f(x) 

x x 9 2

 

So l. R e c o rd e mo s q u e e l d e n o min a d o r d e u n a fra c c ió n n o d e b e s e r c e ro . X 2 – 9 ≠ 0

2 X  ≠ 9

x ≠ 3.  

Es to s ig n ific a q u e x p u e d e to ma r c u a lq u ie r v a lo r re a l (x  IR ) e x c e p to 3 y  – 3 . En té rmin o s d e c o n ju n to s , e l d o min io lo e x p re s a mo s c o mo : D= IR  –   {3;  – 3 }

6 . D a d a la fu n c ió n f = { ( – 1 ; 4 ), (2 ; 0 ), (3 ; 1 ), (5 ; 5 ), (6 ;  – 2 ), (0 ;  – 1 )}; c a lc u la r f (2 ) + f (0 )  –   f (3 ). So l. f (2) + f (0 )  –   f (3 ) = 0 + ( – 1 )  –   1 =  – 2 7 . Gra fic a r y   = 2 x   + 4

So l. Le asignamos a cada variable el valor cero y determinamos su correspondiente valor, los valores determinados son las respectivas in te rs e c c io ne n e s c o n lo s e je s c o o rd e n a d o s

4

 x

y

0  – 2

4 0

 –2

8 . Gra fic a r y   =  x 2   + 6 x   + 5 So l. D e te rmin a mo s s u v é rtic e : 6  3   y = ( – 3 ) 2  +6 (-3 ) + 5 =  – 4 x=  2(1) D e te rmin a mo s la in te rs e c c ió n c o n e l e je Y:    y   = 5

 x = 0

5

 –3 

 – 4

 

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 x 9 . Se d e fin e e l v a l o r a b s o l u t o   d e  x   como: | x   x | =   x fu n c ió n d e fin id a p o r f(x ) = | x | .

x0  x  0

. Gra fic a r la

So l. 2 1

 –2

10.

 –1

1

2

Si f(x ) = 3 x – 4 , d e te rmin a r s u fu n c ió n in v e rs a .

So l.

 

y= 3x – 4

x= 3y – 4   

 

3y = x + 4 f  – 1 (x) =

3

3

  2x – 1

→

x=

3

  → 2y – 1

2xy – x = 3 →  –1

f  x =

x2

  → x –1

x=

y2 y –1

y(x  –   1 = x  2

  →

 

  3 2x – 1

.

2xy = 3  x 

→

y=

x 3 2x

x 3 2x

12. D e te rmin a r la in v e rs a d e la fu n c ió n f(x ) = So l. y=

x4 3

x4

11. D e te rmin a r la in v e rs a d e la fu n c ió n f(x ) = So l. y=

y =

x2 x –1

 

.

xy –   x = y  2 → x y –  y = x + 2

→ y=

x2 x –1

   –1

f  x =

 

x 2 x–1

En e s te e je mp lo s e n o ta q u e la fu n c ió n in v e rs a e s la mis ma q u e la o rig in a l. Es te e s u n h e c h o q u e s e p re s e n ta e n a lg u n a s fu n c io n e s c o mo la s d e l e je mp lo .

 

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13. D e te rmin a r la in v e rs a d e la fu n c ió n f(x ) = So l. y= 4x – 5 

→

x= 4y – 5

 

→

x2 = 4y – 5 

→

     

 

4 x – 5  4x

y=

x2  5 4

  →

 – 1

f  x =

 

x2  5 4

 

 

14. D e s p e ja r t e n la e x p re s ió n e 2 t – 3   = 5 y d e te rmin a r s u v a lo r n u mé ric o . So l. Emp le a mo s la in v e rs a d e la fu n c ió n e x p o n e n c ia l, q u e e s la fu n c ió n lo g a ritmo n e p e ria n o (ln ): 2 t  –  3 = ln 5

 

2 t = 3 + ln 5

 

t=

3  ln5   = 2,305. 2

15. D e s p e ja r t e n la e x p re s ió n ln (t+2 ) =  – 1 y determinar su valor n u mé ric o . So l. Emp le a mo s la fu n c ió n e x p o n en e n c ia l, q u e e s la in v e rs a d e la f u n c ió n ln : t+2 = e – 1    t =  – 2 + e – 1    t =  – 1 ,6 3 2 .

16.

R e s o lv e r

s e n (2 x – 2 ) = 0 ,8 .

So l. 2 x – 2 = a rc s e n 0 ,8    2 x = a rc s e n 0 ,8 + 2    x = (a rc rcss e n 0 ,8 +2 )/2 x = 1 ,4 6 3 6 ra d .

17.

Si f(x ) = x 2   +2x + 5 y g(x) = x 2   + x , d e te rmin a r: a) (f  – 2 g )(x ); b ) (fg )(x ); c ) (f/g )(x )

So l. a ) (f  – 2 g )(x ) = f(x )  – 2g(x) = x 2   +2 x + 5  – 2 ( x 2   + x)= . –   x 2   + 5 . b ) (fg )(x ).= f(x )g )(x ).= (x 2   +2x + 5)( x 2   + x )= x 4   + 3 x 3   + 7 x 2   +  5 x . c ) (f/g )(x )=

f(x) g(x)



x 2  2x  5 x2  x

, x ≠ 0; –1

 

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18. Si f(x ) = c o s x y g (x ) = s e n x . C a lc u la r a ) f(x )  – 2 g (x ) b ) f 2 (x ) + g 2 (x ) c ) f 2 (x ) - g 2 (x ). So l. a ) f(x )  –   2 g(x) = cosx  –  2 s e n x . b ) f 2 (x ) + g 2 (x ).= c o s 2 (x ) + s e n 2 (x ).= 1 . c ) f 2 (x)  –   g 2 (x ) .= c o s 2 (x)  –   s e n 2 (x ).= c o s 2 x .

19. Si f(x ) = x 2   + 5 , c a lc u la r: a ) f(   3 )

b ) f(f(1 ))

c ) f(x – 1 )

So l. 2 a ) f( 3 ) = 3   + 5 = 8 . b ) f  1  = 6 → f  f  1   = f(6 ) = 6 2   + 5 = 4 1 . –   2x + 6. – 2 x + 1 + 5 = x 2    – c ) f(x – 1) = (x – 1 ) 2   + 5 = x 2    – Si f(x ) = x 2    –   4 y g(x) = x  –   2 , c a lc u la r: a ) (f  g)(x) ; (f  f ) ( x 

20.

b ) (g f)(x) ; 

So l. – 4x –  4x + 4  –   4 = x 2    – –   4 = x 2    – a ) f(g (x )) = (x – 2 ) 2    – 2 2 b ) g (f(x )) = (x   –  –   4 )  – 2 = x    – – 6 4 2 2 – 8x2+ 12. –   8 x 2 + 1 6  –   4 = x 4    – –   4 = x    – c ) f(f(x )) = (x  –   4 )    –

21.

Si f(x ) = s e n x (f  f ) ( x 

y

So l. a . f(g (x )) = s e n (3 x  – 2 ) b . g (f(x )) = 3 s e n x  – 2 c . (f(x )) = s e en n (s e n x )

g (x ) = 3 x  –   2 , c a lc u la r: a ) (f  g)(x) ;

b ) (g f)(x) ; 

 

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EJERCICIOS PROPUESTOS. 1 . D e te rmin a r c u á le s d e la s s ig u ie n te s re la c io ne n e s d e fin id a s p o r la s ta b la s re s p e c tiv a s s o n fu n c io n e s. s . As imis mo d e te rmin a r s u d o min io y ra n g o . x y

-2 3

6 7

8 0

10 9

x y

4 5

4 6

3 2

0 0

1 4

x y

3 8

5 8

9 8

10 8

13 8

2 . H a lla r a , b   en cada caso, si el conjunto f   e s fu n c ió n . a ) f   = { ( – 3 ,2 ), (5 ,1 ), (2 a   – – 1 , 2 ), (3 b  +1 ,1 )} – b , 3 ), (3 b   + 2 a , 6 ), ( – 2 , 7 )} b ) f  = {(4 , 3 ), (5 ,6 ), (2 a    –

3 . D e te rmin a r c u á le s d e lo s s ig u ie n te s c o n ju n to s s o n re la c io n e s y c u á le s s o n fu n c io n e s : a) b) c) d)

R   R   R   R  

= = = =

{ ( x , y )    R 2   / 2 x   –   3 y  +7 = 0 } { ( x , y )    R 2   / 2 x 2   + y   + x  = 2 } { ( x , y )    R 2   /  x 2   – –   y 2   = 4} { ( x , y )    R 2   /  x 2   > y } .

4 . Pa ra c a d a fu n c ió n e fe c tu a r la s o p e ra c io n e s a d ju n ta s in d ic a ddaa s : a )   f = { ( – 1 , 3 ), (2 ,7 ), (3 ,3 ), (5 ,1 ), (6 ,  – 4 ), (0 ,  – 1 )};   f))= {(1 , 4 ), ( – 2 ,5 ), (3 ,4 ), (5 ,1 ), (6 , 8 ), (0 , 0 )}; (b –) 2

f (2 ) + f (0 )  –   f (3 )

2

3 f   (6 )  –   2 f (0 )  –   f ( f

5 . D e te rmin a r e l d o min io d e : a ) f ( x )   = 2 x  –   3

b ) f(x)    4  x2

x 1 c ) f(x)    2   x 9

d ) f(x)  4   x  x  3  

x2  1 e ) f(x)   2 x 4

f )   f ( x )   = |  x  –   3 |

g ) f ( x )   = 4  –   ( x  –   3 ) 2  

h ) f ( x )   = ln( x  –   3 )

i)

f(x) 

x x2  1

j) f(x) 

x x2  1

 

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6 . Gra fic a r la s s ig u ie n te s fu n c io n e s : a ) f(x ) =  – 2 x + 2

b ) f ( x )   = 3 x  –   2

c ) f ( x )   = 3 x + 2 ,  x    [ – 1 ; 3   

d ) f ( x )   =  x 2   – – 4

e ) f ( x )   =  x 2   + 1

f) f ( x )   =  x 2   – –  4x + 3

g ) f ( x )   =  –  – x   x 2  + 2x  – 1

h ) f ( x )   = 5  

f(x) 

I)

x x 1

j) f (x ) = ln (x + 2 )

k ) f ( x )   = e – x  

l) f (x ) =  –  ln (x )

7 . D a d a s la s fu n c io n e s : f(x ) =  –  – x  x + 1 , g ( x )   = 3 x  –   4 , h(x)   =  x 2   + 2x. Efe c tu a r la s s ig u ie n te s o p e ra c io ne ne s : a ) (f + g )(x )

b ) (f  –   g)(x)

c ) (h + 2 f)(x )

d ) (h - f + g )(x )

e ) (g 2   + 2 f)(x )

f) (f  –   g ) 2 (x )

g ) (f / g )(x )

h ) (g / h )(x )

i) (fg + h )(x )

j) (f(g + h ))(x )

8 . Dadas las funciones

f(x) = 3x  –   1 , g (x ) = (x - 2 ) 2   + 1 ,

x    [  – –3; 4  y x     –  5 ; 3 ]

h (x ) = x  –   1 ,

x  0; 6  

Efe c tu a r la s s ig u ie n te s o p e ra c io n ne es: a) (f 2   – –   g )(x )

b ) (2 f  –  g )(x )

c ) (f / g )(x )

d ) (g / f)(x )

e ) (h 2   – –   g )(x )

f) (3 h - f + 2 g )(x )

l a s fu nc n c io n e s d e fin id a s p o r la s ta b la s : 9 . D a d a s la x

 – 3  – 2

0

4 5 7

f(x ) 1 6  – 3 4 0 8 x  – 3  – 2 1 2 4 7 h (x ) 0 4 8  – 1  – 3 0

x g(x)

 – 3  – 1

4

5

0

2

5 6

9  – 1 5 2

 

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Efe c tu a r la s s ig u ie n te s o p e ra c io n e s : a ) (3 f  –   g )(x )

b ) (2 f + g )(x )

c ) (f / g )(x )

d ) (g / h )(x )

e ) (g 2   + 4 f)(x )

f) (3 h - f + 2 g )(x )

10. D e te rmin a r la in v e rs a d e la s s ig u ie n te s fu n c io n e s : a ) f(x ) =  – 3 x + 2 c ) f(x ) = e)

b ) f (x )   = 2 x  –   1

4x  5  

f(x) 

d ) f(x ) = 2 2x - 3   f) f(x)  x  1

x x 1

x 1

 x 

 – x   – x 

g) f(x) = e   + 2 i) f(x ) = ln x   + 1

h ) f(x ) = e   –   3 j) f(x ) = ln (2 x   + 4 )

k ) f(x ) = s e n (3 x  – 4 )

l) f(x ) = a rc ta n (2 x + 3 )

11. Dadas las funciones f ( x ) = 3 x +   2 y

g ( x ) = 2 x  –   1 , d e te rmin a r:

a) (f      g)(x)

b) (g   f)(x )

c) (f      f)(x )

d ) (g   g )(x )  – 1

e ) ((f      g )      g )(x )

f) ((g      g )     f)(x )

g) (f   2    g)(x)

h) ((f   +   g )     g )(x )

i) ((f      g )   –   f)(x )

12. Dadas las funciones

f(x) = x  –   1 , g(x) = 3x + 2, h (x ) = 2 x + 1 ,

Efe c tu a r la s s ig u ie n te s o p e ra c io n ne es: a ) (f    g )(x )

b ) (2 f   g )(x )

c ) (f    3 g )(x )

d ) (g   f)(x )

x    [ – 3 ; 8    y x     –  2 ; 6 ] x   0 ; 4   

 

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e ) (h      g )(x )

f) (3 h    f   2 g )(x )

g ) ((h   +   g )     h )(x )

13. R e s o lv e r la s s ig u ie n te s e c u a c io n e s . a )   e – x – 1   = 4 c ) 5 = 3 (1 –  

b) ex t 4

e )

2 – 1

 = 5

d)

e ) ln (2 x -5 ) = 3

f) ln (2 x -5 ) 3 = e – 3  

g ) ln ( 5 x  1 ) =  – 1

h) sen(4x+6) =  – 0 ,4 3

i) ta n (6 x – 4 ) = 5

j) ta n (4 x +5 ) = c o s (1 ,2 3 )

k ) e c o s ( x – 1 )   = 0 ,5

l) e tan( x  4 )  1,2

x 1

 

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 A.  A .

Contenido Curricular

Unidad didáctica: Matemática.

Aprendizaje: Límite de funciones. Tema: -   Concepto de límite. -   Interpretación gráfica. -   Formas indeterminadas. Cálculo de límites Objetivo Principal. Conocer e interpretar el concepto de límite. Objetivos Secundarios: -   Calcular límites, para diferentes formas de indeterminación.

 

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B

Balotario

1 . ¿ Qu é s e e n tie n d e p o r a p ro x ima c ió n d e u n a c a n tid a d a o tra ?  A  All i g u a l q u e e n l a g e o m e t r í a , q u e n o s e p u e d e d e f i n i r e l c o n c e p t o d e punto -en su lugar se da una idea y se trabaja con ésta como si de una d e fin ic ió n p re c is a s e tra ta ra -, ig u a lme n te , n o e s p o s ib le d e fin ir la n o c ió n d e a p ro x ima c ió n e n fo rma rig u ro s a . Po r e je mp lo 0 ,4 9 p o d e mo s d e c ir q u e e s tá p ró x imo im o d e 0 ,5 , p pe e ro a lg u ie n p o d ría o b je tta a r y d e c ir q u e n o , q u ue e el n ú me ro 0 ,4 9 9 9 9 e s e l q u e e s tá p ró x imo d e 0 ,5 . Y a s í s u c e s iv a me n te . Eso no impide traajar con la idea de “aproximación” en forma intuitiva.

 A  Ass í , l a e x p r e s i ó n :  x →   3

s e u s a p a ra a firma r q u e la v a ria b le  x t o m a v a l o r e s “ p r ó x i m o s ” o “c e rc a n o s ” a 3 p e ro s i n l l e g a r a s e r i g u a l a 3 .  

2 . ¿ A q u é v a lo r s e a p ro x ima f ( x ) = 2 x +5 cuando  x   se aproxima a 3? Hagamos el siguiente razonamiento, siguiendo las operaciones indicadas e n la fu n c ió n : Cuando  x   s e a p ro x ima a 3 ( x →   3 ) e n to n c e s 2 x   s e a p ro x ima a 6 ( 2 x →   6 ) y , p o r lo ta n to , 2 x +5 se aproxima a 11 (2 x + 5 → 1 1 ). Es to s e a b re v ia e s c rib ie n d o : lím (2 x  5)  11.  x 3

S e l e e : “ E l l í m i t e d e 2 x  2 x +5, cuando  x   t i e n d e a 3 , e s i g u a l a 1 1 ”    x 0 f ( x )  L ? 3 . ¿ Qu é s ig n ific a , e n g e n e ra l, la e x p re s ió n  x lím Significa que cada vez que  x   se aproxima a  x 0   (s in lle g a r a s e r ig u a l a  x 0 ) e n to n c e s f ( x ) s e a p ro x ima a L .

4 . ¿ C u á n ta s fo rma s d e a p ro x ima rs e a u n n ú me ro e x is te n ? D o s fo rma s : p o r la i z q u i e r d a   o p o r la d e r e c h a ,  la s p o d e mo s v e r e n e l s ig u ie n te g rá fic o , to ma n d o c o mo e je mp lo e l n ú me ro 3 :

  3 Por el lado izquierdo de 3 podemos tomar algunos valores próximos tales como: 2,8; 2,9; 2,99; 2,999;….

Por el lado derecho de 3 podemos tomar algunos valores próximos tales como: 3,2; 3,1; 3,01; 3,001;….

 

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5 . ¿ Qu é tip o s d e límite s o rig in a n e s ta s d o s fo rma s d e a c e rc a rn o s a u n d e te rmin a d o v a lo r? En e l c á lc u lo d e u n límite , lím f(x)   a l a c e rc a rn o s a u n v a lo r d e N , y a s e a  x N   p l aot re real l ela sd  . o iz q u ie rd o o d e re c h o , s e o rig in a n lo s d e n o min a d o s l ím i t e s Ve a mo s , p o r e je mp lo , lo s límite s la te ra le s d e l e je rc ic io d e la p re g u n ta 2  x

f ( x ) = 2 x + 5

2,8 10,6

2,9

2,99

2,999

10,8

10,98

10,998

…. 

  3

…. 

  11

Lo cual se escribe como: lím (2 x  5)  11, y s e l e e : : “ E l l í m i t e d e 2 x  2 x +5 ,  x 3-

cuando  x   tiende a 3 p o r l a i z q u i e r d a  , e s i g u a l a 1 1 ”  

 x

f ( x ) = 2 x + 5

3,2 11,4

3,1 11,2

3,01 11,02

3,001 11,002

….  …. 

  3   11

Lo cual se escribe como: lím (2 x  5)  11, y s e l e e : : “ E l l í m i t e d e 2 x  2 x +5,  x 3

cuando  x   t i e n d e a 3 p o r l a d e r e c h a , e s i g u a l a 1 1 ”   En u n a g rá fic a p o d e mo s ilu s tra r e s ta s id e a s y =2 x +5 +5  11

3

L a s fle c h a s a a mb o s la d o s d e lo s n ú me ro s in d ic a n lo s límite s la te ra le s En lo s te x to s d e in g e n ie ría e s c o mú n u s a r la n o me n c la tu ra f ( a + ) en lugar d e l í m f ( x ) . As í, p o r e je mp lo , u ( 0 + ) = lím u(t )     

 x  a

  

t  0

 

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6 . ¿ D a d a u n a fu n c ió n y = f ( x ), e s lo mis mo lím f ( x )   q u e f ( x 0 )? Es decir,  x  x 0

¿siempre se cumple la igualdad lím f ( x ) =   f ( x 0 ) ?  x  x 0

  x 2 1   n o e s tá d e fin id a e n x =1 , e s d e c ir,   N o , p o r e je mp lo , la fu n c ió n f ( x )   x  1 f (1 ) n o e x is te . Sin e mb a rg o , c a d a v e z q u e  x   s e a p ro x ima a 1 , la fu n c ió n

s e a p ro x ima a 0 ,5 . L o c u a l p o d e mo s n o ta r e n lo s s ig u ie n te s c u a d ro s 0 ,8

 x f ( x ) 

 x  1  x 2  1

 x  1  x 2  1

0 ,9 9

0 ,9 9 9

… .   → 1 –  

  0 ,5 5 5 0 ,5 2 6 0 ,5 0 2 5 0 ,5 0 0 2 … . → 0 , 5  

1 ,2

 x f ( x ) 

0 ,9

1 ,1

1 ,0 1

1 ,0 0 1

+ …. →1  

  0 ,4 5 4 5 0 ,4 7 6 0 ,4 9 7 5 0 ,4 9 9 7 … . → 0 , 5    x  1  0,5    x 1 x 2  1

En re s u me n : f (1 ) n o e x is te ; p e ro lím

↓ 

0,5 ↑  →1← 

Si a : fa c to riz a mo s y s imp lific a mo s la fu n c ió n , n o ta mo s q u e e s e q u iv a le n te f ( x )  P a ra v a l o re s d e x

 x  1

( x  1)(x  1)



1 , x 1

d i fe re n te s d e 1 . U n a p a rte a p ro x ima d a d e l g rá fic o d e

la fu n c ió n e s c o mo s e mu e s tra e n e l d ib u jo . El p u n to e n b la n c o , d e c o o rd e n a d a s (1 ; 0 ,5 ) in d ic a q u e f (1) no existe. Las flechas indican que s u límite e s 0 ,5 .

7 . ¿ Qu é s u c e d e s i lo s límite s la te ra le s d e u n a fu n c ió n e n u n mis mo p u n to s o n d ife re n te s ? N o e x is te e l límite e n d ic h o p u n to , p o r e je mp lo p a ra la fu n c ió n .

 

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t   3

0   u ( t  –   3 ) =  1  

t   3

 

1 t

3

Se p u e d e v e r e n e l g rá fic o q u e u ( t  –   3 – ) = 0 y u ( t  –   3 + ) = 1 , lu e g o lím u(t - 3 )  n o e x is te t 3

1 x

8 . ¿ Qu é s u c e d e c o n lo s v a lo re s d e la fu n c ió n f ( x  )    cuando los valores d e x tie n d e n a c e ero ro p o r la d e re c h a o p o r la iz izq q u ie rd a ?  A  An nalicemos, prim ero , el caso en el cual x tiende a cero por la derecha: f ( x  ) 

1

 

x

1 1

x

10 0 ,1

100 0 ,0 1

1000 0 ,0 0 1

…. →∞  …. →0+ 

Similarm ente, veamos el caso cuando x tiende a cero por la izquierda:

f ( x  ) 

x

1 x

 

 – 1

 – 1 0

 – 100

 – 1000

…. → –∞ 

 – 1

 – 0 ,1

 – 0 ,0 1

 – 0 ,0 0 1

… . → 0 –  

+∞ 

→ 0 ← 

 –∞ 

Ob s e rv a mo s e n e l g rá fic o q u e , c u a n d o lo s v a lo re s d e x tie n d e n a c e ro p o r la iz q u ie rd a , la fu n c ió n d e c a e h a c ia e l in fin ito n e g a tiv o . D e ma n e ra s imila r, c u a n d o lo s va v a lo re s d e x tie n nd d e n a c e ro p o r la d e rre e c h a lo s v a lo re s d e la fu n c ió n s u b e n h a c ia e l in fin ito p o s itiv o . Pe ro e n a mb o s c au seoes l la s etoin e c ta e nn efos te c imo q e jeg rá Y fic e sa unnuan caas ín tatevrs e rtic a l,c oc un yeal deejefinY,ic ió rmac la slao ddaemo s as c o n tin u a c ió n .

 

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9 . ¿ Qu é e s u n a a s ín to ta v e rtic a l? Si o c u rre (n ) a lg u n a (s ) d e la s 4 a lte rn a tiv a s s ig u ie n te s lím f ( x )      ,   lím f ( x )     ,  lím f ( x )      o   lím f ( x )     x `x0

 x `x0

 

 x `x0

 

 x `x0

entonces la recta x= x 0   e s u n a a s ín t o t a v e r t i c a l    Ej. Para la función

se

tiene: 

Luego, x=0 (el ej Y) es una asíntota vertical

U n a ma n e ra p rá c tic a d e d e te rmin a r la s a s ín to ta s v e rtic a le s e s ig u a la n d o e l d e n o min a d o r d e la fu n c ió n a c e ro y re s o lv ie n d o la e c u a c ió n p la n te a d a . L a s a s ín to ta s v e rtic a le s s e e n c u e n tra n e n la s s o lu c io n e s o b te n id a s , a u n q u e n o n e c e s a ria me n te e n to d a s e lla s . Ej. 1 . L a s a s ín to ta s v e rtic a le s d e la fu n c ió n f(x ) = resolviendo la ecuación: x 2   –   3x= 0. Factorizamos: x(x  –  3 )= 0 Las raíces son: 0 y 3.

x2   se obtienen x 2  3x

L u e g o , la s re c ta s x =0 y x =3 s o n la s a s ín to ta s v e rtic a le s . 2 . En e l c a s o d e la fu n c ió n f(x ) =

x2 x2    sólo tiene una x 2  2x x(x  2)

a s ín to ta v e rtic a l e n x =0 . L a re c ta x =2 n o e s a s ín to ta t a p u e s e l fa c to r (x -2 ) s e c a n cce e la c o n e l n u me ra d o r L a s ra íc e s d e l d e n o min a d o r e n a p lic a c io n e s a la e le c tró n ic a s e denominan  p o l o s .

10. ¿Cuál de las funciones trigonométricas anteriormente estudiadas p re s e n ta a s ín to ta s v e rtic a le s ?

 

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Si observamos el gráfico de la función tangente notamos que presenta π π a s ín to ta s v e rtic a le s e n x = 2   y, en general, en múltiplos impares de 2 .

1 1 .   ¿Qué sucede con los valores de la función

f ( x  ) 

v a lo re s d e x c re c e n in d e fin id a me men n te ? L o s ma te má tic o s p re g u n ta ría n ¿ c u á l e s e l límite d e tie n d e a l in fin ito p o s itiv o ( lím f ( x )  ) ?

1 x

 

cuando los

f(x ) c u a n d o

x

 x    `

 A  An nalicemos lo que sucede con la ayuda de una tabla de valores x f(x )

1 1

10 0 ,1

100 0 ,0 1

1000 0 ,0 0 1

… .→ ∞  …. →0 

Observamos que, a medida que x crece, los valores repectivos de f ( x  ) 

1

 tienden a cero.

x

Sin buscar la p re c is ió n g rá fic o c o rre s p o n d ie n te :

de

la

e s c a la

e s b o z a re mo s

el

1 0,1 0,01 1

10

100

∞ 

Notamos que, al desplazarnos hacia la derecha, la gráfica “se acerca”

c a d a v e z má s a l e je X s in lle g a r a to c a rlo n u n c a . En e s te c a s o d e c imo s que el eje X es una asíntota h o r i z o n t a l  d   d e la fu n c ió n .

12. ¿ C ó mo s e p u e d e g e n e ra liz a r e l e je rc ic io a n te rio r? En g en e n e ra l, p a ra k cco o n s ta n te y n e n te ro p o s itiv o s e c u mp le q u e lím    x `

k x

n

13. ¿ Qu é e s u n a a s í n t o t a h o r i z o n t a l  ?

0

 

 

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Si

lím f ( x )  L   o     lím f ( x )  L , entonces la recta

 x `

 x `

y = L es una a s í n t o t a

h o r i z o n t a l . 

y=L

 – ∞ 

∞ 

La recta y=L es una asíntota horizontal.

Observamos en el gráfico que, a medida que nos desplazamos hacia la derecha o izquierda del mismo la función y la asíntota se “acercan c a d a v e z má s la u n a a la o tra ; p e ro s in in te rs e c t a r s e n u n c a ” .  

14. ¿ L a a s ín to ta y la f u n c ió n n u n c a  s e in te rs e c ta n ? Esto no es del todo cierto, pues en algunas funciones sí hay intersección de la gráfica de la función con su asíntota, como podemos v e r e n e l s ig u ie n te g rá fic o .

15. ¿ C u á l d e la s fu n c io n e s trig o n o mé tric a s a n te rio rme n te e s tu d ia d a s p re s e n ta a s ín to ta s h o riz o n ta le s ?



Si o b s e rv a mo s e l g rá fic o d e la fu n c ió n a rc o ta n g e n te n o ta mo s q u e π π presenta asíntotas horizontale s en y = 2   y en y= 2. ma in ind d e te rmin a d a ? 1 6 .   ¿ Qu é e s uunn a fo rrma

C o mo s u n o mb re lo in d ic a , e s u n a e x p re s ió n c u y o límite n o p u e d e calcularse a priori por simple sustitución del valor hacia el cual tiende x e n la e x p re s ió n d a d a . Pe ro , a ú n a s í, e s p o s ib le q u e e l límite e x is ta .  A  Ass í , s i e n e l e j e m p l o d e l a p r e g u n t a 5 e v a l u a m o s l a f u n c i ó n e n x = 1 , notamos que el numerador y el denominador, ambos se hacen igual a c e ro , e s d e c ir, s e tie n e la fo rm a  

0 0

  (re c a lc a mo s la p a la b ra f o r m a   p a ra

 

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in d ic a r q u e no es exactamente

0 0

, re a lme n te s e tra ta d e la d iv is ió n d e

una pequeña cantidad por otra también pequeña); p e ro e l límite e x is te y   e s ig u a l a 0 ,5 .

17. ¿Qué considerandos podemos hacer acerca del infinito ( ) ?



Prime ro , q u e e s te c o n c e p to n o c o rre s p o n d e a n in g ú n n ú me ro d e fin id o , p o r lo ta n to n o le p o d e mo s a s ig n a r c a n tid a d n u mé ric a a lg u n a . D e b e mo s tenerlo presente siempre como una cantidad “inimaginalemente grande y d e s c o n o c i d a ”.  

Se g u n d o , q u e a p e s a r d e e llo p o d e mo s re a liz a r a lg u n a s o p e ra c io n e s c o n e s te c o n c e p to c o mo s i d e n ú me ro s s e tra ta ra : 1. 2. 3. 4. 5. 6.

       √       

 (suma de cantidades grandes es una cantidad grande)  

?

(resta de cantidades grandes necesariamente ellas son iguales entre sí).  

indeterminada,

pues

no

  (producto de cantidades grandes es una cantidad grande)  

? 

(división de cantidades grandes es indeterminada, pues no necesariamente ellas son iguales entre sí).   n

n

  ; n = e n te ro p o s itiv o  ; n , m= e n te ro s p o s itiv o s

m

7. k 8.

es

 ; k = c o n s ta n te

k

 ; k = c o n s ta n te .

1 8 .   ¿ Qu é fo rma rm a s in d e te rmin a ad d a s s e p re s e n ta t a n e n e l ccá á lc u lo d e límite s ? L a s fo rma s típ ic a s s o n :

0   0 , ,   - ,  0  ( ),  ( ) ,  1   0 

L a s d o s p rime ra s s e rá n d e mu c h a imp o rta n c ia e n e s te c u rs o Eje mp lo s . 1 . Si e n

 x 2   4 lím   reemplazamo s  x 2  x    2

x

por

2

se obtiene

in d e te rmin a c ió i ó n d e la fo rma 0 . Para calcular el valor desconocido 0

una

 

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d e l límite re a liz a mo s u n a s e rie d e o p e ra c io n e s a lg e b ra ic a s , q u e n o s c o n d u z c a n a d i c h o v a l o r. E s t e p ro c e s o s e d o n o m i n a “l e v a n t a r l a in d e te rmin a c i ó n ” .   El c á lc u lo lo re a liz a re mo s d e la s ig u ie n te ma n e ra 2  lím lím  x   4  lím    2)  lím lím (x  2)(x lím x  2  4   x 2  x 2  x  2    x 2 x  2

 x   2   2  x 

2 . C a lc u la r lílím m

 x 2

 

So l.  x   2

lím

 x  2

 x 2

 lím

(   x   2 )( x  2 )

 x 2

 lím

(x  2)( x  2 ) (x  2)

x 2 (x  2)(

   lím x 2 (

3 . C a lc u la r lím

 x 3

x  2)

1



x  2)

2 2

 x  1  2  x 2   9

1

 

 

So l. lím

 x 3

 x  1  2  x 2   9

 lím

(   x  1  2)(   x  1  2)

 x 3 (x  3)(x  3)( 

 lím

(x  1  4)

x 3 (x  3)(x  3)( 

 lím

 x  1  2)

 x  1  2)

(x - 3)

x 3 (x  3)(x  3)( 

 x  1  2)

1  1 x 3 (x  3)(   x  1  2) 24

  lím

 

4 . Es c o n o c id o e l s ig u ie n te límite :  x lím 0

sen x  1  x

sen k x k   x 0 x

En general se tiene: lím

19. ¿ Qu é e s la fu n c ió n s a mp lin g ? Es la fu n c ió n d e fin id a p o r: f(x) 

sen x x

 

 

  Técnico en Ingeniería Mecánica 

ESCUELA SUPERIOR DE TECNOLOGÍA 

Pa ra x =0 s e le a s ig n a e l v a lo r 1 (s u v a lo r límite ), e s d e c ir, s e d e fin e f(0 )=1 . Un esbozo de su grafica es el siguiente:

1

 –3π 

 –2π   –π 

π 

2π 

3π 

0

5 . C a lc u la r lím

3 x  4

 

 x   2 x  5

So l.





Si reemplazamos x por   s e tie n e la fo rma in d e te rmin a d a , p a ra le v a n ta r la in d e te rmin a c ió n d iv id imo s c a d a u n o d e lo s té rmin o s p o r x , y te n d re mo s : 3 x

lím

 x 

3 x  4 2 x  5

 lím  x  x 

2 x  x

6 . C a lc u la r  lím   x 

 x 2   4   2  2x  1

 

4  x  lím 5  x   x

3

4

 x  lím 3  0  3   5  x  2  0 2 2  x

 

So l.  x 2   x   4



4

1

4

 x   x     lím  x 2   1  0  1  lím  x  2x 2   1  x  2x 2  1 20 2 1  x  2  2   2  2  2 

lím

2 

 x 

2 

 x 

 x 

 

2 0 .   ¿ Qu é a p lic a c io n e s tie n e n e s to s límite s ? Estos límites tienen aplicación en la electrónica cuando se estudian sistemas lineales, en ellos aparece un modelo matemático denominado f u n c i ó n d e t r a n s f e r e n c i a   que es el cociente indicado de dos polinomios de variable real o compleja. Po r e je mp lo , e n e l s ig u ie n te c irc u ito :

 

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C V1 

R

V2 

Sin dar detalles de cómo se obtiene, su función de transferencia es: V2 V1

Donde:



R R

 j   C



 j RC 1 j  RC

j 2 =  – 1

Observemos que:

R R   1   `  j R0 R C lím  

L a re p re s e n ta c ió n g rá fic a d e s u v a lo r a b s o lu to e s :

 

  Técnico en Ingeniería Mecánica 

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C. Fundamentos teóricos 1. Definición for mal de límite límite:: 0 U iór na cf(x n rv eεrg>e0 ,h aecxia c unaan dfuonpc a u a)l qcuoi e i s t eL uenn δ x>, 0o tatie l qnuee psoi r0 límite < | x -Lx 0e n|