Libro de Ingeco PDF

 

Publicación para el 2011-1

CAPÍTULO 1 EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO 1.1 EL CONCEPTO DEL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Se define como la capacidad o poder que tiene el dinero para generar más dinero en el transcurso del tiempo y con cierta tasa de interés (tasa de rentabilidad), siempre bajo el supuesto que el agente económico intenta tomar decisiones racionales: incrementar sus ganancias y reducir sus costos. Analice lo siguiente, si a usted le ofrecen S/. 1 000 el día de hoy y el mismo monto dentro de un año, ¿cuál sería su elección elección ahora? Lo más racional en este caso eess recibir los S/. 1 000 el día de hoy (piense (piense por qué y debe convencerse convencerse de esto) esto).. Si bien los S/. 1 000 hoy y dentro ddee un año es la misma cifra (y si usted desea hhasta asta los mismo bil billetes), letes), definitivamente no tienen el mismo valor económico, ¿por qué?, basta con explorar su entorno y verá que los bancos y otras instituciones de ahorro ofrecen el pago de intereses por el dinero depositado. Quizá usted esté dispuesto a renunciar a esos S/. 1 000 el día de hoy con la esperanza de obtener dentro de un año los mismos S/. 1 000 más un monto adicional que son son los intereses. Si por ejemplo la tasa de inter interés és es 5% anual entonces el importe adicional adicional serán S/. 50 suma sumando ndo un total ddee S/. 1 050. Si usted acepta o no eesta sta oferta del pago diferido de S/. 1 050 dentro de un año en vez de recibir los S/. 1 000 el día de hoy depende aspectos, entre otras de cuál su expectativa de rentabilidad anual, la cual de midevarios en términos porcentuales cuánto deseaesganar con su dinero. Finalmente, a menudo se afirma que la inflación es la variable que provoca la capacidad del dinero de generar más dinero, sin embargo, si bien la inflación podría ser un incentivo para que usted busque alternativas que lo protejan del efecto de la pérdida de poder adquisitivo por efecto de la subida de los precios de los bienes y servicios, no es esta variable la que genera esa capacidad al dinero sino la posibilidad de invertirlo en alternativas que están disponibles ya sea que haya inflación o deflación en la economía. Esto nos ayuda a comprender el valor del dinero en el tiempo y a resaltar lo siguiente: “Cantidades de dinero en distintos puntos del tiempo pueden tener diferente valor económico,, por tanto, no es adecuado efectuar sumas o restas de flujos de efectivo económico ubicados en diferentes momentos del tiempo para efectuar evaluaciones económicas”

1.2 DIAGRAMAS DE FLUJO DE CA CAJA JA Un diagrama de flujo de caja es una técnica descriptiva que permite representar los flujos de efectivo, ya sean entradas o salidas ddee efectivo, que se originan en cualquier instante del tiempo. Para su representa representación ción considere lo siguiente: 1 2 3

La esca escala la del tiempo se rep representa resenta con una línea hhorizontal orizontal y el avance de dell tiempo es de izquierda a derecha. El período de tiempo t correspo corresponde nde al inicio del período t -1 y t es el final de este período. Representaci Representación ón y dirección de los flujos: llas as flechas representa representann los flujos, así por ejemplo, las entradas de efectivo tales como ventas efectuadas al contado y otros ingresos efectivo recibidos se representan con unacomo flechapagos haciade arriba lo que indica un flujo deencaja positivo. Las salidas de efectivo tales cuotas bancarias,

 

-1-

 

4 5 6

remuneraciones o pago de deudas a proveedores, entre otros, se representan con una flecha hacia abajo lo que indica un flujo f lujo de caja negativo. El criterio del final del período : debido a que una entrada o salida de efectivo puede ocurrir en cualquier punto dentro de un período de tiempo, la convención asume que ocurren al final de cada período. Las entr entradas adas y salidas de dinero pueden expresarse en forma bruta ((entrada entrada y salida salida)) o en forma neta (entrada-salida). Los di diagramas agramas de flujo flujoss de caja pu pueden eden referirse al pun punto to de vista de dell presta prestamista mista o del prestatario, según las características del problema.

Ejemplo 1 Elabore un diagrama de flujo de caja desde el punto de vista de una empresa cuya cuenta corriente muestra los siguientes movimientos: Durante el sexto mes se recibe un ingreso por ventas de S/. 4 500. El pago de mano de obra del segundo mes equivale a S/. 15 500. El pago del alquiler del del cuarto mes es S/. 1 700 por mes adelanta adelantado. do. El segundo mes se efectúa una cobranza por S/. 3 500. Ejemplo 2 La entidad A presta al al señor B un monto de S/. 1 000 a una tasa de inter interés és de 8% mensual y con plazo de ppago ago a 30 días. Elabore el flu flujo jo de caja desde el pu punto nto de vista ddee la entidad A y B. 1.3 INTERÉS Al vincular los montos presentes y futuros f uturos podemos observar de la expresión Fn = P + In que la cantidad In, que es el interés, es el incremento del valor inicial P a lo largo de n períodos y que al final de este se ha transformado en un valor Fn, esto se puede interpretar así, el interés es la retribución monetaria adicional que se le hace al prestamista del capital por usar su dinero durante un período de tiempo determinado. De la ecuación Fn = P + In es sencillo notar que el interés también es la diferencia entre el capital final y el capital inicial que lo produjo: In = Fn - P. Se indicó que el monto inicial P se transforma durante n períodos en un monto Fn, la tasa de cambio a lo largo de un período es la tasa de interés que se calcula fácilmente expresando el importe del interés como un porcentaje del capital inicial: i% = In / P i% = (Fn - P) / P Donde: P: es el capital inicial. In: es el capital final lue luego go de n perío períodos. dos. i%: es la tasa de interés en el período [0 , n]. En este curso de ingeniería económica económica se usará los siguientes términos: • •

 

Tasa de ccosto osto eefectivo fectivo (costo financiero): es la tasa de interés cuando se ssolicita olicita un financiamientoo y expresa en términos porcentuales el costo del financiamiento. financiamient Rentabilidad o ganancia: es la tasa de interés cuando se realiza una inversión. inversión.  

-2-

 

a.

El interés simple

Una operación financiera se pacta a interés simple cuando el interés generado por un capital en un determinado período se calcula como un porcentaje siempre del mismo capital inicial al margen de la cantidad de períodos que el capital permanezca prestado o invertido. En este tipo de interés, como el capital es el mismo para el cálculo del importe del interés en cada período, el importe total de los intereses es proporcional a la cantidad de períodos de tiempo durante el cual ha estado prestado el capital inicial. Fórmula para el interés simple: Para deducir una fórmula que calcule el interés simple, sea un préstamo de S/. 1 000 con tasa de interés simple del 4% mensual. Por concepto de interés simple se calculan los intereses “siempre sobre el capital inicial y proporcional proporcion al a la cantidad de períodos de tiemp tiempo”. o”. Al final del primer mes, el interés generado por el capital inicial será: Interés = 1000 * 4% * 1 = 40 Al final del segundo mes, el interés generado por el capital inicial será: Interés = 1000 * 4% * 2 = 80 Al final del tercer mes, el interés generado por el capital inicial será: Interés = 1000 * 4% * 3 = 120 Al final del n-ésimo mes, el interés generado por el capital inicial será: Interés = 1000 * 4% * n Generalizando: In = P*i*n El capital final obtenido en el período n es la suma del capital inicial más los intereses: Fn = P + In  ; pero In = P*i*n, reemplazand reemplazandoo tene tenemos: mos: Fn = P + P*i*n ; luego factorizando P: Fn = P(1 + i*n)

Donde: P: monto del préstamo, pr principal, incipal, cap capital ital inicial, vvalor alor moneta monetario rio hoy (t=0). i%: tasa de interés simple por período. n: cantidad de períodos. Importante: para aplicar las fórmulas anteriores es necesario respetar la corresponde correspondencia ncia de tiempo entre las tasas y los períodos de tiempo, así por ejemplo: Si “i” es una tasa mensual, entonces, n es la cantidad de meses. Si “i” es una tasa trimestral, entonces, n es llaa cantidad de trimestres. Si “i” es una tasa anual, entonces, n es la cantidad de años. Ejemplo 3 ¿Cuál es el interés y el capital capital final obtenido por S/. 100 prestados dura durante nte tres meses con una tasa de interés simple de 17% mensual? También calcule el interés acumulado en 74 días.

 

-3-

 

b.

El interés compuesto

Una operación financiera se pacta a interés compuesto cuando el interés generado por un capital en un período se capitaliza, es decir, se suma al capital inicial del período, formand formandoo un nuevo capital, que será el capital inicial del siguiente período y que en este período generará un nuevo interés. Este proceso se repite sucesivamente durante cada período hasta llegar al plazo pactado. Capitalización: Se denomina capitalización al proceso de transformar el interés calculado en cada período en capital al final de cada período de capitalización, en otras palabras: “El interés generado en un período se suma al capital inicial en dicho período para formar el nuevo capital inicial del siguiente período”

Ejemplo 4 ¿Cuál es el interés y el capital capital final obtenido por S/. 100 prestados duran durante te tres meses con una tasa de interés compuesta de 17% mensual? De la definición se puede inferir que el interés al final de un determinado período ya no es proporcional proporcion al a la cantidad de períodos transcurridos transcurridos,, entonces, cómo se calcula este interés en el régimen de interés compuesto. Fórmula para el interés compuesto: Fn

En general:

0

1

2

3

...

n

P   En el primer período [0 , 1]: F = P + intereses F = P + P*t*i F1 = P(1 + i)

F1

t=1

0

1

P  

 

-4-

 

En el segundo período [1 , 2]: F = P + intereses F = Pt=1 + Pt=1*t*i F2 = Pt=1(1 + i) F2 = P(1 + i) (1 + i) F2 = P(1 + i)2

t=1 F2

0

1

F2

2

1

2

Pt=1 = P(1 + i)1

P

  En el tercer período [2 , 3]: F = P + intereses F = Pt=2 + Pt=2*t*i F3 = Pt=2(1 + i) F3 = P(1 + i)2 (1 + i) F3 = P(1 + i)3

t=1 F3

0

1

2

3

F3

2

Pt=2 = P(1 + i)2 P   Al final del n-ésimo período: Fn = P(1 + i)n  Expresión fundamenta fundamentall Donde: P: monto del préstamo, pr principal, incipal, cap capital ital inicial, vvalor alor moneta monetario rio hoy (t=0). i%: tasa de interés co compuesto mpuesto por pperíodo. eríodo. n: cantidad de períodos. Fn: valor monetario o cap capital ital final al final del n-ésim n-ésimoo período. 1.4 EL CONCEPTO DE EQUIVALENCIA El concepto de equivalencia en Ingeniería Económica indica que dos montos son equivalentes si al evaluar esos flujos de caja en una fecha común, todos muestran el mismo valor. Es importante re resaltar saltar que el cá cálculo lculo de dich dichaa valor en esa fecha común de debe be considerar el concepto del valor del dinero en el tiempo. El concepto ddee equivalencia también se entiende como indiferencia entre un pago futuro o una serie de pagos futuros en vez de una suma de dinero el día de hoy.

 

-5-

3

 

Así por ejemplo: Si la tasa de interés es 2% mensual y se deposita un capital inicial de S/. 1 000 durante un mes entonces: Si el monto en F1  es igual a S/. 1020. ¿El capital inicial de S/. 1 000 es equivalente a F1 = S/. 1020? Si el monto en F1  es igual a S/. 1030. ¿El capital inicial de S/. 1 000 es equivalente a F  = S/. 1030? Si1 el monto en F1  es igual a S/. 1050. ¿El capital inicial de S/. 1 000 es equivalente a F1 = S/. 1050? Para el primer caso: Fn = P(1 + i)n  F1 = 1000(1 + 2%) 1 = S/. 1020 Sea la fecha común t=1 vemos que los valores S/. 1 020 ; S/. 1 030 y S/. 1 050 no son iguales, entonces por definición S/. 1 020 es equivalente a S/. 1 000 en t=0 a la tasa de interés de 2% mensua mensual,l, pero S/. 1 000 no es eequivalente quivalente a S/. 1 030 en t=1 ni a S/. 1 050 en t=1 a la tasa de inter interés és del 2% me mensual. nsual. Ahora usted responda: ¿Los S/. 1 000 a qué tasa de interés será equivalente equivalente a S/. 1 030 en t=1? ¿Los S/. 1 000 a qué tasa de interés será equivalente equivalente a S/. 1 050 en t=1? De los ejemplos anteriores se concluye que el monto de dinero M hoy es equivalente a M más intereses, dada cierta tasa de interés en un período de tiempo determinado, es decir, para otros valores de tasa de interés no podemos afirmar que dichos importes sean equivalentes. En términos prácticos, equivalencia es tener igual valor o comparar en condiciones similares un monto, esto se aplicará definiendo primero un punto del tiempo (fecha de evaluación) y se trasladará los importes de dinero hasta esa fecha usando una tasa de interés, en otras palabras: “Lo que está arriba es igual a lo que está abajo, comparado en un mismo punto de tiempo”

Ejemplo 5 El día de hoy se otorga un préstamo por un valor de S/. 5 000 a una tasa de interés compuesta del del 15% mensual. Las cuotas a de desembolsar sembolsar por el crédito reci recibido bido serán tre tres. s. El primer pago se realiza en el primer mes mes por un valor de S/. 1 000. El segundo pago se realiza el segundo mes y el monto es S/. 2 000. ¿Cuál es el valor de la tercera cuota por pagar en el cuarto mes para cancelar el préstamo? Ejemplo 6 Determine el importe de X que usted deberá cobrar en el quinto mes para un préstamo que hizo hizo por un mo monto nto de S/. 15 000 si la tasa es 3% compuesta mensual. La primera cuota que se cobrará el primer mes será de S/. 4 800, en el tercer mes S/. 5 100, y S/. 3 000 en el cuarto mes. El problema lo resolverá de la siguiente manera: a) b)

De forma det detallada allada us usando ando el cconcepto oncepto de capitalizació capitalizaciónn y sin usar la expresió expresiónn fundamental. Utilizando concepto de equivalencia y la expresión fundamental Fn = P(1 + i)n.

c)

Compare económicamente te el valor de X.sus resultados con lo calculado en a) y además interprete económicamen

 

-6-

 

Si ahora la tasa es 2.8% efectiva mensual y con el valor de X antes calculado y las mismas cuotas del primer, primer, tercer y cuar cuarto to mes se pide lo siguiente: siguiente: d) e)

Determine el valo valorr equ equivalente ivalente en t=0 e interpr interprete ete eco económicamente nómicamente sus re resultados. sultados. Calcule el valor equivalent equivalentee en t=3 y en t=4.

Si ahora la tasa es 3.5% efectiva mensual y con el valor de X antes calculado y las mismas cuotas del primer, primer, tercer y cuar cuarto to mes se pide lo siguiente: siguiente: f)

 

Resuelva nuevamente las preguntas d) y e). Interprete sus resultados.

-7-

 

 

-8-

 

 

CAPÍTULO 2 FACTORES DE EQUIVALEN EQUIVALENCIA CIA Los factores de equivalencia que se mostrarán en este capítulo sólo utilizan tasas de interés compuesto porque sus deducciones usan la expresión fundamental F n = P(1 + i)n  la cual incorpora en su demostració demostraciónn el concepto de capitalización. 2.1 FACTORES DE PAGO ÚNIC ÚNICO O (PAGOS SIMPLES) 2.1.1

Valor presente de un pago simple (P/F) Fn

0

1

2

3

4

…

n-1

n

P=? i

 

Donde: P=?: valor presente. Fn: valor futuro. i: tasa de interés compuesta en cada período. n: cantidad de períodos.

Despejando P de la expresión fundamental F n  = P(1 + i) n  tenemos la expresión para calcular el valor presente de un monto único Fn en el futuro: Fn 

P =

(1 + i)n  Notación: 1 (P/F , i , n) = (1 + i)n  (P/F , i , n)  n)  es el factor de actualización de un pago único y se lee “P dado F”. A la operación de calcular el valor presente P a partir de F n se le denomina “actualización del monto Fn o descuento descuento del monto Fn “. Luego:

P = Fn(P/F , i , n)

-9-

 

 

2.1.2

Valor futuro de un pago simple (F/P) Fn = ?

0

1

2

3

4

…

n-1

n

P i Donde: P: valor presente. Fn=?: valor futuro. i: tasa de interés compuesta en cada período.  n: cantidad de períodos. De la expresión expresión fundamenta fundamentall F  = P(1 + i)n  n

Notación: (F/P , i , n) = (1 + i)n  (F/P , i , n) es el factor de capitalización de un pago único y se lee “F dado P”. A la operación de calcular el valor presente F n a partir de P se le denomina “capitalización del monto P “. Luego:

Fn = P(F/P , i , n)  n)  

2.2 SERIE DE PAGOS UNIFORME (A (ANUALIDAD) NUALIDAD) 2.2.1

Valor presente de una serie de pagos uniforme

Pt=0 = ? i

0

1

2

3

4

…

n-1

n

A  

- 10 -

 

 

Donde: P=?: valor presente de la sserie erie de pagos uniforme. A: monto constante desembolsa desembolsado do cada período. i: tasa de interés compuesta en cada período. n: cantidad de períodos. A continuación, se presenta presenta la deducción del factor para calcula calcularr el monto “P” en el tiempo t=0, dados “n” montos iguales a “A”, una tasa de interés compuesta “i%” en cada período y “n” períodos de tiempo iguales. El valor presente de cada uno de los montos “A” en t=0: P = A(P/F , i , 1) + A(P/F , i , 2) + A(P/F , i , 3) + … + P =

 

A (1 + i)

1

+

2

(1 + i)

A (1 + i)

3

A

+…+

(1 + i)

n-1

+ A(P/F , i , n) A

+

n

(1 + i)

…(1)

Multiplicando la expresión (1) por (1 + i):

P(1 + i) =

 

A

+

A(P/F , i , n-1)

A

A

+

+

(1 + i)1

A (1 + i)2

A

+…+

(1 + i)n-2

A

+

(1 + i)n-1

Luego restando (2) - (1): A

P(1 + i) - P = A Pi =

(1 + i )n

A(1 + i)n - A (1 + i)n

 

Finalmente: P = A

(1 + i)n - 1 (1 + i)n i  

Notación:

(P/A , i , n) =

(1 + i)n - 1 (1 + i )n i  

(P/A , i , n)  n)  es el factor de actualización de una serie de pagos uniforme y se lee “P dado A”. Luego:

P = A(P/A , i , n)  n)  

- 11 -

…(2)

 

 

2.2.2

Valor presente de una serie de pagos uniforme infinita

En este caso la serie de pagos uniforme es infinita, es decir, la cantidad de pagos n → ∞. Pt=0 = ? i

0

1

2

3

4

…

∞

A

  Para calcular el valor presente de esta serie se calcula el límite de la expresión (P/A , i , n) cuando n → ∞.  (1 + i)n - 1

lim P = n→∞ A

∞

;

(1 + i)n i

∞

 

Al dividir el numerador y denominador entre (1 + i)n para levantar l evantar la indeterminación: (1 + i)n P =

(1 + i)n

lim n→∞

1 -

A

(1 + i)n

(1 + i)n i (1 + i)n

lim

1-0

n→∞

i

P = A

 

Finalmente: P=

A i

 

- 12 -

 

 

2.2.3

Valor futuro de una serie de pagos uniforme Fn = ? i

0

1

2

3

4

…

n-1

n

A Sabemos que el valor presente de una serie de pagos uniforme es:

P

= A

(1 + i)n - 1 (1 + i)n i

Además: Fn = P(F/P , i , n) …(1)

 

Reemplazandoo P en la expresión (1): Reemplazand

Fn

= A

(1 + i)n - 1 n 

(F/P , i , n)

(1 + i) i  

Fn

= A

(1 + i)n - 1 (1 + i)n i

(1 + i)n

Finalmente: n

Fn = A

(1 + i)  - 1 i  

Notación: (F/A , i , n) =

(1 + i)n - 1 i

de pagos y se lee “F dado A”. (F/A , i , n)  n)  es el factor de capitalización ddee un serie uniforme de Luego:

Fn = A(F/A , i , n)  n)  

- 13 -

 

 

2.3 SERIE DE PAGOS CON GRADIENTE LINEAL Los flujos de efectivo pueden aumentar o disminuir de un período a otro según un monto constante; a este importe se le den denomina omina la grad gradiente iente lineal o arit aritmética mética y su flujo de caja se muestra a continuació continuación: n: A + (n-1)G A + (n-2)G

Pt=0 = ?

A + 2G A+G A

(n-1)G A

(n-2)G

=

…

+

2G

 …

G

 …

0

 

0

1

2

3 … n-1

n

0

1

2

3 … n-1

n

0

1

2

3 … n-1

i Serie de pagos

i Serie de pagos

i Serie triángulo

con gradiente lineal

uniforme

de pagos

Del gráfico se observa que la serie de pagos con gradiente lineal se puede expresar como la suma de un flujo uniforme de pagos y una serie triángulo, asimismo, su valor presente es: Pt=0 = P t=0 serie de pagos uniforme + P t=0 serie triángulo de pagos Pt=0 = A(P/A , i , n) + P  t=0 serie triángulo de pagos  2.3.1

Valor presente de una serie triángulo de pagos Pt=0 = ? (n-1)G (n-2)G 2G G 0

0

1

2

3 … n-1

i

n

  Donde: P=?: valor presente de la sserie erie triángulo de pagos. G: cambio aritmético constante del monto de un período al siguiente. (También llamada la gradiente lineal o gradiente aritmética). i: tasa de interés compuesta en cada período. n: cantidad de períodos.

- 14 -

n

 

 

A continuación, se presenta presenta la deducción de la expresión expresión para calcular el monto “P” en el tiempo t=0, dados la gradiente lineal G, una tasa de interés compuesta “i%” en cada período y “n” períodos de tiempo iguales. El valor presente de cada uno de los montos en t=0: P

= G(P/F , i , 2) + 2G(P/F , i , 3) + 3G(P/F , i , 4) + … + (n-2)G(P/F , i , n-1)

P

=

G (1 + i)2

2G (1 + i)3

+

3G (1 + i)4

+

(n-2)G (1 + i)n-1

+…+

(n-1)G(P/F , i , n)

+

(n-1)G (1 + i)n

+

…(1)

  Multiplicando la expresión (1) por (1 + i):

 

G

=

P(1 + i)

(1 + i)

1

(1 + i)

3G

+

2

(1 + i)

(n-2)G

+…+

3

(1 + i)

+

n-2

(n-1)G (1 + i)

n-1

Luego restando (2) - (1): G

P(1 + i) - P

=

Pi

=

Pi

= G

 

2G

+

(1 + i)1 G (1 + i)1

G

+

(1 + i)2 G (1 + i)2

+

1 (1 + i)1

(1 + i)2

+…+

(1 + i)3

+…+

1

+

G

+

G (1 + i)n-1

+ 1

+…+

(1 + i)n-1

G (1 + i)n-1 G (1 + i)n +

(n-1)G

-

(1 + i)n nG (1 + i)n

1 (1 + i)n

-

nG (1 + i)n

Observe que la expresión entre entre corchetes es el factor (P/A , i , n): Pi

= G

(1 + i)n - 1

nG

-

(1 + i)n i

(1 + i)n

Finalmente: n

P = G

(1 + i) n -  21 (1 + i) i

-

n n (1 + i) i

También: P =

G i

(P/A , i , n) -

n (P/F , i , n)  

Notación: (P/G , i , n) =

(1 + i)n - 1 (1 + i)n i2

-

n (1 + i)ni

 

(P/G , i , n)  n)  es el factor de actualización de un ser serie ie triángulo de pagos pagos y se lee “P dado G”. Luego:

P = G(P/G , i , n)  n)  

- 15 -

…(2)

 

 

2.3.2

Valor presente de una serie de pagos con gradiente lineal

Reemplazando P = G(P/G , i , n) en la expresión: Pt=0 = A(P/A , i , n) + P t=0 serie triángulo de pagos 

Pt=0 = A(P/A , i , n) + G(P/G , i , n) 2.4 SERIE DE PAGOS CON GRADIENTE GEOMÉTRICA A menudo los flujos de efectivo efectivo aumentan o ddisminuyen isminuyen de uunn período a otro según un porcentaje constante; esta tasa de cambio define la llamada serie de pagos con gradiente geométrica y su flujo de caja se muestra a continuación:   A*(1+g)n-1 Pt=0 = ?

A*(1+g)n-2 A*(1+g)2 A*(1+g) A* … 0

0

1

2

3…

n-1

n

i Donde: P=?: valor pr presente esente ddee la serie de pag pagos os con gradiente geométrica. A*: monto inicial en el primer período. g: porcentaje de aumento o disminución de un período al siguiente. i: tasa de interés compuesta en cada período. n: cantidad de períodos. 2.4.1

 

Valor pr presente esente de un unaa sserie erie de pagos con gradiente geométrica

A continuación, se presenta presenta la deducción de la expresión expresión para calcular el monto “P” en el tiempo t=0, dados la gradiente geométrica “g%”, una tasa de interés compuesta “i%” en cada período y “n” períodos de tiempo iguales. El valor presente de cada uno de los montos en t=0: P P

 

1 n-1 n-2 = A*(P/F , i , 1) + A*(1 + g) (P/F , i , 2) + … + A*(1 + g) (P/F , i , n-1) + A*(1 + g) (P/F , i , n) A* A*(1 + g)n-1 A*(1 + g)n-2 A*(1 + g)2 A*(1 + g)1 …(1) + +…+ + = + 2

1

(1 + i)

(1 + i)

n-1

3

(1 + i)

- 16 -

(1 + i)

n

(1 + i)

 

 

Multiplicando la expresión (1 + g) / (1 + i):  P(1 + g)

=

(1 + i)

 

A*(1 + g)1

A*(1 + g)2

+

(1 + i)2

(1 + i)3

A*(1 + g)3

+

(1 + i)4

+…+

A*(1 + g)n-1 (1 + i)n

+

A*(1 + g)n (1 + i)n+1

Luego restando (2) - (1):  P(1 + g)

-P =

(1 + i) P(g - i) (1 + i)

-

=

A*

-

(1 + i)1

A*

1

(1 + i)1

A*(1 + g)n

+

(1 + i)n+1 (1 + g)n

-

(1 + i)n

  Finalmente:

P =

A*

1

-

(1 + g)n (1 + i)n

; i≠g

(α)

i-g   Notación: (P/A* , i , g, n )

=

1

(1 + g)n

-

(1 + i)n

; i ≠ g

i-g   (P/A* , i , g , n)  n)   es el factor de actualización ddee un serie de pagos con gradiente gradiente geomét geométrica rica y se lee “P dado “g” geométrico”. Luego:

P = A*(P/A* , i , g , n)  n) 

- 17 -

…(2)

 

 

- 18 -

 

 

CAPÍTULO 3 TASA DE INTERÉS NOMINAL Y TASA DE INTERÉS INT ERÉS EFECTIVA 3.1 TASA NOMINAL Es una tasa de tipo referencial a partir de la cual se definen las tasas de interés efectivas usando períodos de capitalización. capitalizaci ón. La tasa de interés nominal no es la que se usa para eell proceso de capitalización de intereses. La proporcionalidad de la tasa nominal in puede efectuarse directamente a través de una regla de tres simple considerando las siguientes equivalencias de tiempo según el sistema bancario: 1 año = 360 días. 1 mes = 30 días. 1 mes = (30/7) semanas. 1 mes = 2 quincenas. Ejemplo 1 ¿Cuál será la tasa nominal diaria y nominal mensual correspondiente a una tasa nominal anual del 24%? inominal diaria*360 = inominal anual  inominal diaria = 24%/360 inominal diaria = 0.066%

inominal mensual*12 = inominal anual  inominal mensual = 24%/12 inominal mensual = 2%

Ejemplo 2 Calcule: La tasa nominal cuatrimestral a partir de una tasa nominal anual del 24%. La tasa nominal trimestral a partir de una tasa nominal semestral del 12%. La tasa nominal de 22 días a partir de una tasa nominal trimestral del 15%. 3.2 TASA EFECTIVA Es la tasa de interés que sí considera el proceso de capitalización. A menudo una tasa nominal anual capitaliza en períodos de tiempo menores o iguales a un año, estos períodos de tiempo son los períodos de capitalización. 1) in  TASA NOMINAL en un período base (con frecuencia el período período base es anual) 2) Período de capitalización

Tasa efectiva en el período de capitalización

- 19 -

: ief =

in N

 

 

 

Ejemplo 3 in = 50% nominal anual Capitalización trimestral P = S/. 100 (capital inicial) ¿Cuál es el valor dentro de un año? F 12.5% efectiva trimestral

0

1

2

1 año 4 trimestres

3

P

 

Ejemplo 4 in = 50% nominal anual Capitalización mensual. P = S/. 100 (capital inicial) ¿Cuál es el valor dentro de un año? F

4.166% efectiva mensual

… 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

P

10

11

1 año 12 meses

 

Ejemplo 5 in = 30% nominal semestral Capitalización trimestral Hallar la tasa efectiva trimestral Primera forma: i ief = nominal N 30% ief = 2 efecti ctiva va tri trimes mestra trall ief = 15% efe

Segunda forma:

 

- 20 -

 

 

3.2.1

Cálculo de la tasa efectiva anual a partir de la ta tasa sa nominal anual

Tasa efectiva en cada período de capitalización

in nominal anual =

F

F

N iE efectiva anual

0

P

0

1 año N Períodos de capitalización

 

1 año

P

F = F (el mismo valor futuro en ambos flujos) f lujos) N P

1

+

in

= P

1

+

iE

N N iE

= 1

+

in N

- 1

…β  

iE: tasa de interés efectiva anual. in: tasa de interés nominal anual. N: cantidad de períodos de capitalización comprendidos en un año. Ejemplo 6 Determine la tasa de interés efectiva anual si la tasa de interés nominal anual es 20% y la capitalización trimestral.

Importante: La tasa de interés efectiva siempre es mayor o igual a la tasa de interés nominal comparadas sobre la misma base de tiempo. Verifiquemos esto examinando los ejemplos 3 y 4 anteriores (ver página 18).

Cuando el período base base es igual al período de capitalizació capitalizaciónn entonces: inominal = iefectiva Ejemplo 7 Determine la tasa de interés efectiva anual si la tasa de interés nominal anual es 50% y la capitalización anual.

- 21 -

 

 

3.2.2

Cálculo de tasas de interés efectivas con capitalización continua

A medida que el período de capitalización se hace más corto, el valor de N aumenta; cuando N tiende al infinito la capitalización de intereses ocurre en forma continua y en este caso la expresión β (ver página 19) se transforma en:

in iE = e

- 1

 

Demostración: Recordemos que:

3.2.3 a.

Cálculo de tasas de interés efectivas

Tasas efectivas equivalentes

Son tasas que generan el mismo monto final si se deposita el mismo capital inicial, durante el mismo período de tiempo. Ejemplo 8 in = 30% nominal anual Capitalización cuatrimestra cuatrimestrall P = S/. 200 (capital inicial) ¿Cuál es el valor futuro en el segundo año? i = 10% efectiva cuatrimestral

i = 77.156% efectiva en dos años

F

0 1 2 3 4 5 6  cuatrimestres 2 años

i = 33.100% efectiva anual

F

0

0 1 año

2 años P

F

P

P

 

- 22 -

2 años

 

 

b.

Determinación de una ttasa asa efectiva a parti partirr de otra tasa efectiva

Tasas efectivas equivalen equivalentes tes cuando: b1. El período re requerido querido es may mayor or que el período de capital capitalización ización Ejemplo 9 Para la tasa nominal anual de 40% capitalizable mensualmente, calcular la tasa efectiva equivalente trimestral, la tasa efectiva equivalente cuatrimestral y la tasa efectiva equivalente anual. in = 40% nominal anual Capitalización mensual

También: i = 3.333 3.333% % efectiva m mensua ensuall

i = ? efectiva trimestral

F 0

100

1

2

F

3 meses

0

100

 

- 23 -

3 meses 1 trimestre

 

 

b2. El período re requerido querido es men menor or que el pe período ríodo de ca capitalización pitalización Ejemplo 10 Para la tasa nominal trimestral de 18% capitalizable mensualmente, calcule la tasa efectiva equivalente diaria y la tasa efectiva equivalente quincenal. in = 18% nominal trimestral Capitalización mensual

También: i = ? efectiva diaria

i = 6% efectiva mensua m ensuall F 0

100

…

1 mes

0

1

2

3

…

F 30 días

100  

- 24 -

 

 

Ejemplo 11 Para la tasa de interés efectiva semestral de 60%, determine la tasa de interés efectiva semanal equivalente, la tasa efectiva para un período de 45 días, la tasa efectiva anual equivalente y la tasa efectiva diaria equivalente.

Ejemplo 12 Hallar la tasa de interés efectiva anual, si la tasa nominal es 17% anual y la capitalización continua. in=17% nominal anual Capitalización continua iE = ein - 1 iE = e0.17 - 1 iE = 18.530% efectiva anual Ejemplo 13 Hallar la tasa de interés efectiva anual equivalente, si la tasa nominal es 12% trimestral y la capitalización continua. Primera forma: Segunda forma: in=12% nominal trimestral Capitalización continua i iE = e n - 1 iE = e0.12 - 1 iE = 12.749% efectiva trimestral ianual = (1 + 12.749%)4 - 1 = 61.603% efectiva anual Ejemplo 14 Un banco paga por ahorros una tasa del 18% efectiva anual con capitalización bimestral. ¿Cuál es la tasa de interés nominal anual?

- 25 -

 

 

3.3 INTERESES PAGA PAGADOS DOS POR ADELANTADO En el sistema financiero algunas operaciones se calculan con el interés pagado por adelantado, es decir, el interés se calcula a la fecha de vencimiento pero el pago se exige no en esa fecha f echa sino en el momento del desembols desembolsoo del préstamo. Sea: P = S/. 100 (préstamo) iv = 15% efectiva mensual Plazo = un mes 100

0

1 mes

P = 100

(devolución)

I = iv*P = 15 (intereses)  

Tasa de costo efectivo = 15% efectiva mensual Si el prestamista exige que el pago de los intereses sea por adelantado: Flujo de caja del prestatario: 85

100 0

1 me s

0

1 me s

15 100

100

Tasa de costo efectivo, o costo financiero: 85 = 100(P/F , i , 1) i = 17.647% efectiva mensual Efectos en el prestatario: 1. En t=0 la disponibilida disponibilidadd de dinero en el momento momento inicial disminuy disminuyee debido al pag pagoo adelantado de los intereses: (S/. 100 > S/. 85). 2. El costo del pr préstamo, éstamo, con el interés pag pagado ado por ad adelantado, elantado, au aumenta: menta: 17.647 17.647% % efectiva mensual > 15% efectiva mensual. A la tasa del 117.647% 7.647% se le denomina tasa efectiva adelantada. A continuación se demostrará una fórmula que a partir de la tasa de interés efectiva al vencimiento permita calcular la tasa de interés efectiva adelantada.

- 26 -

 

 

En general: Sea P el monto prestado con plazo igual a un período y una tasa de interés al vencimiento de iv% efectiva en dicho período. Flujo de caja con intereses al vencimiento: P

Flujo de caja con intereses adelantados: P

interés iv: tasaal de efectiva vencimiento

0

1

de interés iad: tasaadelantada efectiva

1

0 iv*P P

P

iv*P

 

En el flujo de caja con intereses adelantados:

Ejemplo 15 Qué ocurre si usted pide un préstamo de S/. 100 con las siguientes condiciones: P = S/. 100 (préstamo) iv = 15% efectiva mensual interés pagado por adelantado Plazo = un mes

P = S/. 100 (préstamo) iv = 17.647% efectiva mensual interés pagado al vencimiento Plazo = un mes

85

100 0

1 mes

0

100

1 mes

100 + 100*17.647% = 117.647

Tasa de costo efectivo: 15% i= 1 - 15%

Como no hay comisión de apertura:

iad =

iv =

17.647% adelantada efectiva mensual

- 27 -

17.647% efectiva mensual al vencimiento

 

 

 

Conclusión: El préstamo de P = S/. 100 con tasa de interés de 15% efectiva mensual e intereses pagados por ad adelantado elantado tiene el mismo costo fin financiero anciero qque ue un préstamo de P = S/. 100 con tasa de interés de 17.647% efectiva mensual con intereses pagados al vencimient vencimiento, o, sin embargo, en este caso la disponibilidad de dinero no disminuye en t=0 como sí ocurre en el con el interés por adelantado. Ejemplo 16 Qué ocurre si usted pide un préstamo con las siguientes condiciones: P = S/. 100 (préstamo) iv = 15% efectiva mensual interés pagado por adelantado Plazo = un mes

P = S/. 85 (préstamo) iv = 17.647% efectiva mensual interés pagado al vencimiento Plazo = un mes

85

85 0

1 mes

0

100 Tasa de costo efectivo: 15% i= 1 - 15% efectiva mensual iad = 17.647% adelantada  

1 mes

85 + 85*17.647%

= 100

Como no hay comisión de apertura: iv =

17.647%

efectiva mensual al vencimiento

Conclusión: En este caso, el pr préstamo éstamo de P = S/. 10 1000 co conn tasa de interés de 15% efectiva mensual al vencimiento y con intereses pagados por adelantad adelantadoo tiene el mismo costo financiero que un préstamo de P = S/. 85 con tasa de interés de 17.647% efectiva mensual con intereses pagados al vencimiento, asimismo, el flujo de caja es similar, sin embargo, en el caso ddee interés por adelantado la disponibilidad del dinero disminuye en t=0. Ejemplo 17 Calcule la tasa mensual y bimestral adelantada si la tasa es 90% nominal anual y la capitalización cuatrimestral cuatrimestral e intereses pagados por adelantado.

- 28 -

 

 

3.3.1 Comparaciones d dee las tasas de interés efe efectivas ctivas al ven vencimiento cimiento y las ttasas asas de interés efectivas adelantadas TASA EFECTIVA VENCIDA DEL PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN

TASA NOMINAL ANUAL

PERIODO DE CAPITALIZACIÓN

N

40%

Anual

1

40%

40%

Semestral

2

40%

Trimestral

40%

Anual

TASA ANUAL EFECTIVA VENCIDA

TASA EFECTIVA ADELANTADA DEL PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN

TASA ANUAL EFECTIVA ADELANTADA

40.000%

66.667%

Anual

66.667%

20%

Semestral 44.000%

25.000%

Semestral

56.250%

4

10%

Trimestral 46.410%

11.111%

Trimestral

52.416%

Bimestral

6

6.667%

Bimestral

47.290%

7.143%

Bimestral

51.279%

40%

Mensual

12

3.333%

Mensual

48.213%

3.448%

Mensual

50.203%

40%

Diaria

12*30

0.111%

Diaria

49.149%

0.111%

Diaria

49.216%

40%

Horaria

24*12*30

0.0046%

Horaria

49.181%

0.0046%

Horaria

49.184%

40%

Por minuto

40%

. . . Continua

60*24*360 7.716 x 10-5% Por Por mi minnut utoo 49 49.1 .182 82% % 7.716 x 10-5% Por minuto

. . .

49.182%

49.183%

. . .

49.182%

  Graficando: iE: tasa anual efectiva al vencimiento y tasa anual efectiva adelantada. N: cantidad de períodos de capitalización

iE

Tasa anual efectiva adelantada

i e n -1

Tasa anual anual efectiva al vencimiento

in = ief

 

1

N

- 29 -

 

 

Del gráfico se obtiene las siguientes conclusiones para quien evalúa el crédito: 1.

Si se solicita un cr crédito édito ccon on inter interés és ppagado agado al ve vencimiento, ncimiento, entonces, procurar que eell período de capitalización sea lo mayor posible, es decir, que el valor de N sea lo menor posible. 2. Si se solicita un créd crédito ito con interés ppagado agado por aadelantado delantado al in inicio icio de cada pperíodo eríodo de capitalización, entonces, procurar que el período de capitalización sea lo menor posible, es decir, que el valor de N sea lo mayor m ayor posible. 3. Para uunn pperíodo eríodo de capitalización dado, siempre preferir el cr crédito édito con interés efectivo al vencimiento en vez del crédito con intereses pagados por adelantado.

- 30 -

 

 

4.

CAPÍTULO 4 OPERACIONES DE CRÉDITO

4.1 DEFINICIONES Monto del préstamo o principal (P). Amortización (A): pago gradual del préstamo en cada cuota de pago y que se efectúa en una o más períodos según las condiciones definida definidass por el prestamista. Intereses (I): es la ganancia del prestamista en cada período y que es pagada por el prestatario al cancelar cancelar la cuota de pago. Esta es la renta periódica ddel el prestamista por eell dinero que otorgó en préstamo. Cuota de pago (C): es el monto total que el prestatario paga cada período. Tiene dos componentes: amortización amortización e intereses y se calcula así: Cuota = Amortización + Intereses La ecuación indica que en cada cuota el prestatario devuelve al prestamista una parte del préstamo que es la amortización, más el interés que es la ganancia. Saldo deudor (SD): es la cantidad del préstamo que aún está pendiente de pago en un determinado período y no incluye los intereses. En un período dado, el monto del saldo deudor más los intereses correspondientes correspondientes del período es el monto total de la deuda. Modalidad de pagos: características de las cuotas de pago, tales como periodicidad y comportamiento comportamien to de la amortización y las cuotas de pago. Calendario de pagos: en este cronograma, cronograma, se presenta para cada período de pago, el saldo deudor inicial, amortización, intereses, cuota de pago, saldo deudor final y cualquier otro concepto desembolsado, tales como, comisión de apertura, portes, seguro de desgravamen,, entre otros. desgravamen Flujo de caja del crédito: es el diagrama que resume las obligaciones de pagos del prestatario en el plazo establecido y según la modalidad de pago definida por el prestamista. Tasa de interés efectiva del préstamo (i P): tasa pactada para el cálculo del importe de los intereses. Costo financiero, costo del crédito o tasa de costo efectivo (i cf): es la tasa de interés efectiva que representa en términos porcentuales el costo del crédito para el prestatario ya que incluye todos los pagos que efectuará. efectuará. Se obtiene aplican aplicando do equivalencia enfrentando enfrentando el préstamos y los pagos expresados en un período de tiempo que a menudo es t=0. Período de gracia: períodos de tiempo en los cuales el prestatario sólo desembolsa el pago de intereses del período sin amortizar parte del principal.

- 31 -

 

 

4.2 CRÉDITO CON CUOTAS IGUALES En este tipo de crédito la amortización más los intereses suman en cada período una cantidad constante que es la cuota de pago y se cumple que las amortizaciones son crecientes y los intereses decreciente decrecientes. s. Ejemplo Principal: 10000 Plazo: 1 año Cuotas: bimestrales ig iguales 5% efectiva bimestral Tasa de interés: Cálculo de la cuota: P = Cuota(P/A , i , n) 10000 = Cuota(P/A , 5% , 6) Cuota = 1970.175 Calendario de pagos: Saldo Período deudor inicial 10000 1 8529.83 2 6986.14 3 5365.27 4 3663.36 5 1876.36 6

Amortización

Intereses

Cuota

1470.17 1543.68 1620.87 1701.91 1787.01 1876.36 10000

500.00 426.49 349.31 268.26 183.17 93.82

1970.17 1970.17 1970.17 1970.17 1970.17 1970.17

Saldo deudor final 8529.83 6986.14 5365.27 3663.36 1876.36 0

Para esta modalidad de crédito el calendario de pagos se elabora de la siguiente manera: 1. Coloque el m monto onto de la cuo cuota, ta, previamente ca calculado, lculado, en cad cadaa período. 2. Calcule los interese interesess multiplicando la tasa ddee interés efectiva del préstamo préstamo en el período de pago por el saldo deudor inicial del período: Interesesi = iP* Saldo deudor iniciali  3. Calcule llaa amortiza amortización ción con la siguien siguiente te expres expresión: ión: Amortización = Cuota - Intereses 4. El saldo deu deudor dor final eenn cada per período íodo se ca calcula lcula así: Saldo deudor finali = Saldo deudor iniciali - Amortizacióni 5. El saldo deu deudor dor inicial en cada período se calcula aasí: sí: Donde: i representa el período

Saldo deudor iniciali = Saldo deudor finali-1 

- 32 -

 

 

4.3 CRÉDITO CON AMORTIZACIÓN CONSTANTE (CUOTAS DECRECIENTES) En esta modalidad el prestatario amortiza la deuda en partes iguales durante los períodos del plazo pactado y se cumple que los intereses y las cuotas de pago decrecen cada período según una gradiente lineal. Ejemplo Principal: 10000 Plazo: 1 año Cuoota Cu tas: s: bi bime mest stra rale less ccon on am amoortiz rtizaaci cióón ccon onst staante Tasa Tasa de in inte teré rés: s: 5% ef efec ectitiva va bimes bimestr tral al Cálculo de la amortización: A=P/n A = 10000 / 6 A = 1666.667 Calendario de pagos: Saldo Período deudor inicial 10000 1 8333.33 2 6666.67 3 5000.00 4 3333.33 5 1666.67 6

Amortización

Intereses

Cuota

1666.67 1666.67 1666.67 1666.67 1666.67 1666.67 10000

500.00 416.67 333.33 250.00 166.67 83.33

2166.67 2083.33 2000.00 1916.67 1833.33 1750.00

Saldo deudor final 8333.33 6666.67 5000.00 3333.33 1666.67 0

Para esta modalidad de crédito el calendario de pagos se elabora de la siguiente manera: 1. Coloque el m monto onto de la amor amortización, tización, prev previamente iamente calcul calculado, ado, en cada pperíodo. eríodo. 2. Calcule los interese interesess multiplicando la tasa ddee interés efectiva del préstamo préstamo en el período de pago ppor or el saldo deudor inicial del período: Interesesi = iP* Saldo deudor iniciali  3. Calcule llaa cuota con la siguiente expresión: Cuota = Amortización + Intereses 4. El saldo deu deudor dor final eenn cada per período íodo se ca calcula lcula así: Saldo deudor finali = Saldo S aldo deudor iniciali - Amortizacióni 5. El saldo deu deudor dor inicial en cada período se calcula aasí: sí: Donde: i representa el período

Saldo deudor iniciali = Saldo deudor finali-1

- 33 -

 

 

4.4 CRÉDITO CO CON N CUOTA CUOTAS S CRECIENTE CRECIENTES S (SUMA DE DÍGITOS) Con esta modalidad de crédito las cuotas de pago crecen conforme transcurre el tiempo y la amortización se calcula con el método de la “suma de dígitos” que a continuación se expone: Ejemplo Principal: 10000 Plazo: 1 año Cuot Cu otas as:: cre crecien ciente tess bi bime mest stra rale less po porr su suma ma ddee ddíg ígititos os Ta Tasa sa de in inte teré rés: s: 5% efec efectitiva va bimes bimestr tral al Cálculo de las amortizacione amortizaciones: s: S = Suma de dígitos anuales S = n(n+1)/2 Factor de amortización = f t = t / S ; ft 5% efectiva bimestral icf = 5.267  

- 35 -

 

 

4.5 CRÉDITO CON CUOTAS IGUALES Y PERÍODOS DE GRACIA Ejemplo Principal: 10000 Plazo: 6 trimestres Cuotas: trimestrales iguales Período de gracia: 2 trimestres Tasa de interés: 7% efectiva trimestral Cálculo de la cuota: P = Cuota*(P/A , i , n) Cantidad de períodos en los que se amortiza la 10000 = Cuota*(P/A , 7% , 4) deuda Cuota = 2952.281 6-2=4 Interes en el período de gracia = 10000*7% = 700 Estos intereses son iguales en los períodos de ggracia racia porque en ellos no se amortiza el principal (amortización igual a cero). Calendario de pagos: Saldo Período  deudor inicial 10000 1 10000 2 10000 3 7747.72 4 5337.78 5 2759.14 6

Amortización

Intereses

Cuota

0 0 2252.28 2409.94 2578.64 2759.14 10000

700.00 700.00 700.00 542.34 373.64 193.14

700.00 700.00 2952.28 2952.28 2952.28 2952.28

Saldo  deudor final 10000 10000 7747.72 5337.78 2759.14 0

Para esta modalidad de crédito el calendario de pagos se elabora de la siguiente manera: 1. Coloque eell monto de la cuo cuota, ta, previa previamente mente calcula calculado, do, en ca cada da período, eexcepto xcepto en los períodos de gracia. 2. Calcule los intereses multiplicando la tasa de interés efectiva del présta préstamo mo en el pe período ríodo de pago por el saldo deudor inicial del período: Interesesi = iP* Saldo deudor iniciali  3. Calcule llaa amortiza amortización ción con la siguien siguiente te expres expresión: ión: Cuota = Amortización + Intereses En los períodos de gracia, gracia, la cuota es igual a los intereses intereses porque la amortiz amortización ación es cero. 4. El saldo deu deudor dor final eenn cada per período íodo se ca calcula lcula así: Saldo deudor finali = Saldo S aldo deudor iniciali - Amortizacióni 5. El saldo deu deudor dor inicial en cada período se calcula aasí: sí: Saldo deudor iniciali = Saldo deudor finali-1  Donde: i representa el período

- 36 -

 

 

Calculando la tasa de costo efectivo i cf: 10000

0

1

2

3

4

5

6 trimestres

5

6 trimestres

700 2952.28 Equivalencia en t=0: 10000 = 700(P/A , icf , 2) + 2952.2 2952.28(P/A 8(P/A , icf , 4)(P/F , icf , 2) icf = 7% efectiva trimestral Si hay comisión de apertura de 1%: 10000

0

1

2

3

4

100 700 2952.28 Equivalencia en t=0: 10000 -1%*1000 = 700(P/A , icf , 2) + 2952.28(P/A , i cf , 4)(P/F , icf , 2) 7.266% % efectiva trimestral > 7% efectiva trimestral icf = 7.266  

- 37 -

 

 

4.6 CRÉDITO CON CUOTAS IGUALES E INTERESES PAGADOS POR ADELANTADO Ejemplo Principal: 10000 4 meses Plazo: Cuotas: mensuales iguales Tasa de interés: 2% efectiva mensual intereses pagados por adelantado iadelantado  =

iv  ; iv: tasa de interés al vencimiento 1 - iv

Cálculo de la cuota: C = ( P - iv*P ) * (A/P , iadelantado  , n) interés pagado por adelantado Con los datos: iadelantado  = 0.02 / (1 - 0.02) iadelantado = 2.041% efectiva mensual adelantada iv*P = 2%*10000 iv*P = 200 C = (10000 - 200)(A/P , 2.041% , 4) C = 2576.26 Calendario de pagos: Saldo Período deudor inicial 10000 0 10000 1 7575.24 2 5101.00 3 4

2576.26

Amortización

Intereses

Cuota

2424.76 2474.24 2524.74

200.00 151.50 102.02 51.53

2576.26 2576.26 2576.26

Saldo deudor final 10000 7575.24 5101.00 2576.26

210000 576.26

0

2576.26

0

  Para esta modalidad de crédito el calendario de pagos se elabora de la siguiente manera: 1. Coloque el m monto onto de la cuo cuota, ta, previamente ca calculado, lculado, en cad cadaa período. 2. Coloque un monto igual a cero para los intereses del último período de pago del préstamo, porque porque los intereses se pagan en el período an anterior terior ya que la modalidad es con intereses pagados por adelantado. 3. Coloque un monto igual a cero para el saldo deudor final del último período de pago del préstamo. 4. Calcule llaa amortiza amortización ción con la siguien siguiente te expres expresión: ión: Amortización = Cuota - Intereses

- 38 -

 

 

5. El saldo deu deudor dor inicial en cada período se calcula aasí: sí: Saldo deudor iniciali = Saldo deudor finali + Amortizacióni 6. El saldo deu deudor dor final eenn cada per período íodo se ca calcula lcula así: Saldo deudor finali = Saldo deudor iniciali+1 7. Los intereses se calc calculan ulan con la tasa ddee interés efectiva del préstamo préstamo al vencimi vencimiento ento de la siguiente manera: Donde: i representa el período

Interesesi = iv1*Saldo deudor iniciali+1

4.7 CRÉDITO CON CUOTAS IGUALES, PERÍODOS DE GRACIA E INTERESES PAGADOS POR ADELANTADO Ejemplo Principal: 10000 7 meses Plazo: Cuotas: mensuales iguales Tasa de interés: 2% efectiva mensual intereses pagados por adelantado Perí Pe ríod odos os de gr grac acia ia:: 2 me mese sess iadelantado  =

iv 1 - iv

 ; iv: tasa de interés al vencimiento

Cálculo de la cuota: Cantidad de períodos en los que se amortiza la deuda

C = ( P - iv*P ) * (A/P , iadelantado  , n) interés pagado por adelantado

Con los datos: iadelantado  = 0.02 / (1 - 0.02) iadelantado = 2.041% efectiva mensual adelantada iv*P = 2%*10000 iv*P = 200 C = (10000 - 200)(A/P , 2.041% , 5) C = 2081.62 7-2=5  

1

 Es la tasa al vencimiento, si tiene dudas consulte el acápite 3.4.

- 39 -

 

 

Calendario de pagos: Saldo Período deudor inicial 10000 0 10000 1 10000 2 3 10000 8079.98 4 6120.78 5 4121.60 6 2081.62 7

Amortización

Intereses

Cuota

200.00 200.00 200.00 161.60 122.42 82.43 41.63 0

200.00 200.00 2081.62 2081.62 2081.62 2081.62 2081.62

0 0 1920.02 1959.20 1999.18 2039.98 2081.62 10000

Saldo deudor final 10000 10000 10000 8079.98 6120.78 4121.60 2081.62 0

  Para esta modalidad de crédito el calendario de pagos se elabora de la siguiente manera: 1. Coloque el monto de la cuota, previamente calculado, en cada período, excepto en los períodos de gracia. 2. Coloque un monto igual a cero para los intereses del último período de pago del préstamo, porque porque los intereses se pagan en el perío período do anterior ya que la modalida modalidadd es con intereses pagados por adelantado. 3. Coloque un monto igual a cero para el saldo deudor final del último período de pago del préstamo. 4. Calcule llaa amortiza amortización ción con la siguien siguiente te expres expresión: ión: Amortización = Cuota - Intereses En los períodos de gracia, gracia, la cuota es igual a los intereses intereses porque la amortiz amortización ación es cero. 5. El saldo deu deudor dor inicial en cada período se calcula aasí: sí: Saldo deudor iniciali = Saldo deudor finali + Amortizacióni 6. El saldo deu deudor dor final eenn cada per período íodo se ca calcula lcula así: Saldo deudor finali = Saldo deudor iniciali+1 7. Los intereses se calc calculan ulan con la tasa ddee interés efectiva del préstamo préstamo al vencimi vencimiento ento de la siguiente manera: Donde: i representa el período

Interesesi = iv*Saldo deudor iniciali+1

- 40 -

 

 

4.8 CAMBIOS EN LAS MODALIDADES DE CRÉDITOS Los cambios que se presentarán en este acápite son válidos para las modalidades de crédito con cuotas iguales, con amortización constante, cuotas crecientes y créditos con períodos de gracia vistos vistos anteriormen anteriormente, te, y en general, para cualquier otra modalidad de crédito con intereses al rebatir, excepto, las modalidades de crédito con intereses pagados por adelantado. 4.8.1

Monto de la deuda en un período dado

Para la modalidad de crédito con cuotas iguales, se desea cancelar la deuda en el cuarto bimestre. ¿Cuál es el monto total por dese desembolsar? mbolsar? Primera forma: con el flujo de caja y usando el concepto de equivalenc equivalencia. ia. Flujo de caja:

Equivalencia t=0: 10000 = 1970.17(P/A 1970.17(P/A , 5% , 3) + X(P/F , 5% , 4) X = 5633.55 Saldo deudor inicial del bimestre 4

+

5365.27

+

Intereses del bimestre 4 268.26

= 5633.55

Segunda forma: con el calendario de pagos. Período 4

Saldo deudor inicial

Amortización

Intereses

Cuota

Saldo deudor final

5365.27

1701.91

268.26

1970.17

3663.36

  Saldo deudor inicial inicial (SDI) + Intereses = 5365.27 + 268.5 268.566 = 5633.55 Cuota + Saldo deudor final (SDF) = 1970.17 + 3663.36 = 5633.55

- 41 -

 

 

La deuda no es: 1970.17 + 1970.17 + 1970.17 = 5910.51 > 5633.55 Cuota del Cuota del Cuota del bimestre 4 bimestre 5 bimestre 6

4.8.2 Saldo deudor inicial de un período dado ¿Cómo hallar el SDI en un período dado sin usar el calendario de pagos? Hallar el SDI del período 4 para la modalidad de crédito con cuotas iguales. Flujo de caja: 3



3

4

SDI4

5

6 bimestres

1970.17

 

SDI4 = 1970.17(P/A , 5% , 3) SDI4 = 5365.27 También: Flujo de caja:

SDI4 = 10000(F/P , 5% , 3) - 1970.17(F/A , 5% , 3) SDI4 = 5365.27 4.8.3

Cambio en la tasa de interés en un período dado

Para la modalidad de crédito con cuotas iguales, si la tasa de interés se incrementa a 7% efectiva bimestral, 35 días después de haber pagado la cuarta cuota. ¿Cuál es el valor de la quinta y sexta cuota si también son uniformes? ¿Cómo varía el calendario de pagos? ¿Cuál es el costo financiero del crédito incluida la variación de la tasa de interés?

0

1

2

3

4

5 35d 25d

5%

6 7%  

- 42 -

 

 

Calculemos los intereses en el quinto bimestre: 4

5

Primera forma: SDI5 = 3663.36 (3663.36)*(1+5%)(35/60)  = 3769.12 ; 3769.12 - 3663.36 = 105.76 (3769.12)*(1+7%)(25/60)  = 3876.88 ; 3876.88 - 3769.12 = 107.76 Interés del quinto bimestre

213.52

Segunda forma: Composición de tasas: i = (1+5%)(35/60)*(1+7%)(25/60) - 1 i = 5.828 % efectiva en el quinto bimestre Interés del quinto bimestre = 5.828%*3663.36 Interés del quinto bimestre = 213.52 ¿Cuál es el valor de la quinta y sexta cuota si también son uniformes? Flujo de caja: 10000

0

1

2

3

4

5

6 bimestres

1970.17 C   Equivalencia en t=0:

5% efectiva bimestral

7% efectiva bimestral

10000 = 1970.17(P/A , 5% , 4) + C(P/F , 7% , 25/60)( P/F , 5% , 35/60)(P/F , 5% , 4) + + C(P/F , 7% , 1)( P/F , 7% , 25/60)( P/F , 5% , 35/60)(P/F , 5% , 4) C = 2004 ¿Cómo varía el calendario de pagos con la tasa modificada? Calendario de pagos con tasa modificada: Tasa1-4 = 5.000% Tasa4-5 = 5.828%

(1+5%)(35/60)*(1+7%)(25/60) - 1

Tasa5-6 = 7.000%

- 43 -

 

 

Período 1 2 3 4 5 6

Saldo deudor inicial 10000 8529.83 6986.14 5365.27 3663.36 1872.89

Amortización

Intereses

Cuota

1470.17 1543.68 1620.87 1701.91 1790.47 1872.89 10000

500.00 426.49 349.31 268.26 213.52 131.10

1970.17 1970.17 1970.17 1970.17 2004.00 2004.00

Saldo deudor final 8529.83 6986.14 5365.27 3663.36 1872.89 0

  ¿Cuál es el costo financiero del crédito incluida la variación de la tasa de interés? Sea icf el costo financiero por determinar: Flujo de caja: 10000

0

1

2

3

4

5

6 bimestres

1970.17 2004 Equivalencia en t=0: 10000 = 1970.17(P/A , icf , 4) + 2004.00(P/A , i cf , 2)(P/F , icf , 4) i = 5.161% efectiva bimestral ∈ [5% , 7%] > 5% efectiva bimestral Ejemplos Casos 1, 2 (al final de este capítulo).

- 44 -

 

 

4.9 CRÉDITO COMERCIAL O CRÉDITO FLAT En el crédito comercial el cálculo de los intereses se efectúa con una tasa de interés simple llamada tasa FLAT que da la sensación de ser un “crédito barato” así como más transparente porque el cálculo del interés es sencillo, sin embargo, estos créditos suelen ser los más caros del mercado. En caso el cliente compre el equipo tomando el crédito comercial tenemos: Monto a financiar: D D = Precio de lista - Cuota inicial La cuota inicial es un pago exigido por la casa comercial y que el cliente debe hacer en el momento que recibe el equipo. equipo. Este pago es parte del valor del equipo o precio de lista, po porr tanto, lo que se financia con el crédito comercial es la diferencia D y lo pagará en “n” cuotas FLAT más los intereses. i ntereses. Cuota FLAT = C D(1 + iFLAT*n)

C = C =

n D n

+ iFLAT*D  

En caso el adquiriente compre compre al contado el equipo, pagará un monto en la casa comercial comercial que ofrezca el menor precio al ccontado, ontado, éste es menor al precio de lista: Precio al contado = (1 - descuento%)*Precio descuento%)*Precio de lista. Ejemplo Caso 3 (al final de este capítulo).

- 45 -

 

 

4.10 CRÉDITO EN MONEDA EXTRANJERA Así como en los créditos anteriormente vistos en soles la tasa de costo efectivo se expresó en soles, así también en los créditos en dólares dicha tasa debe expresarse expresarse en dólares. En general, la tasa de costo efectivo de un crédito en cualquier moneda, debe expresarse en esa moneda. El objetivo de es efectiva determinar una tasa de interés efectiva en soles que sea equivalente a laeste tasaacápite de interés en dólares -u otra monedadel crédito pactado. 4.10.1 Tipo de ccambio ambio (TC) El tipo de cambio es el precio de la moneda extranjera en términos de la moneda local. Este índice mide una equivalencia relativa entre dos monedas, la moneda débil y la moneda fuerte, por ejemplo, el sol y el dólar respectivamente. Ejemplo Cuando nos preguntan ¿cuál es el tipo de cambio del dólar?, respondemos ¿compra o venta? TC = 3.26 venta; significa que para comprar un dólar pagamos 3.26 nuevos soles. TC = 3.24 compra; significa que para vender un dólar nos pagan 3.24 nuevos soles. 4.10.2 Devaluación (Ψ) En las economías con tipo de cambio variable éste no permanece constante en el tiempo; si el tipo de cambio sube, se genera la llamada devaluación (o depreciación) de la moneda débil respecto de la moneda fuerte. La devaluación se puede interpreta interpretarr como la pérdida de valor de la moneda débil débil con respecto a la moned monedaa fuerte. Por ejemplo, si el tipo de cambio es 2.86 S/. / US$ y al día siguiente sube a 2.88 S/. / US$ entonces el sol se devaluó con respecto al dólar. La devaluación desde desde “0” hasta “t” se calcula y expresa en términos porcentuales porcentuales así:

Ψ0→ t

=

TCt - TC0 TC0

*100%  

Hay devaluación si: TCt > TC0  Ejemplo TC0 = 3.48 S/. / US$

3.51 S S//. / US$ TC3 = 3.53 S/. / US$ TC2 = 3. días 0 1 2 3 (3.50 - 3.48)*100% (3.51 - 3.50)*100% (3.53 - 3.51)*100% Ψ0→1 = Ψ1→2 = Ψ2→3  = 3.48 3.50 3.51

Ψ0→1 =

0.575% >0

TC1 = 3.50 S/. / US$

Ψ1→2 =

en un día  

0.286% >0

Ψ2→3  =

en un día

en un día

¿Y la devaluación acumulada? Ψ0→2 = (1 + Ψ0→1)*(1 + Ψ1→2) - 1

Ψ0→2 = (1 + 0.575%)*(1 + 0.286%) - 1 Ψ0→2 = 0.863% en dos días

 

- 46 -

0.570% >0

 

 

Que es lo mismo: (3.51 - 3.48)*100% = 0.863% Ψ0→2 = 3.48

Y no es correcto: 0.575 %*0.286% 0.286% Ψ0→2 = 0.575%*

Ψ0→3 = (1 + Ψ0→1)*(1 + Ψ1→2)*(1 + Ψ2 →3) - 1 0.575 %)*(1 (1 + 0.286%)*(1 + 0.570%) - 1 Ψ0→3 = (1 + 0.575%)* Ψ0→3 = 1.438% en tres días En general: Ψ0→ t = (1 + Ψ0→1)*(1 + Ψ1→2)*(1 + Ψ2 →3)*…*(1 + Ψt-1 → t) - 1 ¡Similar ¡Sim ilar a una tasa efectiva!   Apliquemos la devaluación devaluación a los tipos de cambi cambio: o: TC0 = 3.48 TC1 = 3.50 TC2 = 3.51

3.48*(1 + 0.575%) = 3.50 = TC1  3.50*(1 + 0.286%) = 3.51 = TC2  3.51*(1 + 0.570%) = 3.53 = TC3 

En general si Ψ no es constante:

TCt = TCt-1*(1 + Ψ t-1→ t) Si Ψ es constante: TC 0  = 3.50 S/. / US$ 0

1 ( 3.51 4 - 3.50 ) *1 0 0% Ψ0→1 = Ψ1→2 3.50

Ψ0→1 =

0.400% >0

T C2  = 3.528 S/. / US$ días 2 ( 3.52 8 - 3.51 4 )*1 00 % = 3 .5 1 4

T C1  = 3 .5 1 4 S/. / US$

Ψ1→2 =

e n u n d ía

0.400% >0 en u n día

  La devaluación es constante e igual a 0.4% por día. TC1 = TC0*(1 + Ψ0 →1) TC2 = TC1*(1 + Ψ1 →2) Entonces: TC2 = TC0*(1 + Ψ0 →1)(1 + Ψ1 →2) Como Ψ es constante entonces: luego: Ψ0→1 = Ψ1→2 = Ψ TC2 = TC0*(1 + Ψ)*(1 + Ψ) TC2 = TC0*(1 + Ψ)2

 

Entonces, en en gene general ral si la Ψ es constante: t

TCt = TC0* (1 + Ψ)

- 47 -

 

 

4.10.3 Conversión de un fflujo lujo de caja en dólar dólares es a un flujo de caja en soles Flujo de caja en dólares (moneda fuerte)

Flujo de caja en soles (moneda débil)

Caso 1: la devaluación Ψ no es constante TC0=3.45 S/. / US$ US$ 1000

1

0

US$ 1000*3.45= S/. 3450

2

3

0

1

2

3

meses

  US$ 200*3.47= S/. 694   US$ 500*3.5= S/. 1750   US$ 700*3.51= S/. 2457

 

US$ 200  

US$ 500  

meses

US$ 700

 

TC1=3.47 S/. / US$ ; TC2=3.5 S/. / US$ ; TC3=3.51 S/. / US$

Ψ0→1 ≠ Ψ1→2 ≠ Ψ2→3 ; la devaluación en cada período no es constante. En el flujo f lujo de caja en dólares, equivalencia en t=0: 1000 = 200(P/F , icf , 1) + 500(P/F , icf , 2) + 700(P/F , i cf , 3) icf = 15.615% efectiva mensual en dólares En el flujo f lujo de caja en soles, equivalencia en t=0: 3450 = 694(P/F , icf , 1) + 1750(P/F , icf , 2) + 2457(P/F , i cf , 3) icf = 16.337% efectiva mensual en soles De los cálculos anteriores se observa que si bien la tasa de 15.615% efectiva mensual en dólares es diferente a la tasa de 16.337% efectiva mensual en soles, estas son tasas equivalentes pero expresadas en diferente moneda.

- 48 -

 

 

Si la devaluación Ψ  no es constante aplicar la metodología siguiente: 1. Transformar los montos en US$ a S/. (moneda fuerte a moneda ddébil) ébil) con el tipo de cambio S/. / US$ en cada período. 2. Con el con concepto cepto de equivalencia equivalencia,, calcule la tasa de interés efect efectiva iva para eell flujo de caja en dólares (moneda fuerte) y para el flujo f lujo de caja en soles (moneda débil). 3. Las tasas de interés efectivas obtenidas son equivalent equivalentes. es. Caso 2: la devaluación Ψ es constante TC0=3.45 S/. / US$ US$ 1000

1

0

US$ 1000*3.45= S/. 3450

2

3

0

1

2

3

meses   US$ 200*3.519= S/. 703.8   US$ 500*3.59= S/. 1795   US$ 700*3.662= S/. 2562.7

  US$ 200  

US$ 500  

meses

US$ 700

 

TC1=3.519 S/. / US$ ; TC2=3.59 S/. / US$ ; TC3=3.662 S/. / US$ Ψ0→1=2% = Ψ1→2=2% = Ψ2→3=2%; la devaluaci devaluación ón en cada período es constante. En el flujo de caja en dólares, equivalencia en t=0: 1000 = 200(P/F , icf , 1) + 500(P/F , icf , 2) + 700(P/F , i cf , 3) icf = 15.615% efectiva mensual en dólares En el flujo de caja en soles, equivalencia en t=0: 3450 = 703.80(P/F , icf , 1) + 1794.50(P/F , icf , 2) + 2562.7(P/F , i cf , 3) icf = 17.927% efectiva mensual en soles En este caso cuando la devaluación es constante, se puede simplificar este procedimiento aplicando la siguiente ecuación:

iS/. = (1 + iUS$)*(1 + ΨS/. / US$) - 1  iS/. = (1 + 15.615%)*(1 + 2%) - 1 iS/. = 17.927% efectiva mensual mensual en soles. ¡Se obtiene el mismo re resultado! sultado! De los cálculos anteriores se observa que si bien la tasa de 15.615% efectiva mensual en dólares es diferente a la tasa de 17.927% efectiva mensual en soles, estas son tasas equivalentes pero expresadas en diferente moneda.

- 49 -

 

 

Observaciones para ambos casos ( Ψ no constante y Ψ constante): 1. Las ta tasas sas efe efectivas ctivas eenn so soles, les, dó dólares lares y la dev devaluación aluación del so soll re respecto specto del dólar iS/.  ; iUS$ ; ΨS/. / US$ deben cubrir el mismo período de tiempo. 2. Si la devaluación es constan constante te perí período odo a período basta con aplicar la ecuac ecuación ión iS/. = (1 + iUS$)*(1 + ΨS/. / US$) – 1 3. Si la estimación devaluació devaluación node escambio constante eenn cada período, períod o, transformar los montos en dólaresdea lasoles con el ntipo de cada período; luego en el flujo lo des caja en soles aplique equivalencia para calcular la tasa en soles que es equivalente a la tasa en dólares calculada en el flujo en caja en dólares. Esta metodología también puede usarla cuando cuando la devaluación devaluación es constante, sin emba embargo, rgo, es menos laborio laborioso so aplicar la fórmula iS/. = (1 + iUS$)*(1 + ΨS/. / US$) - 1  4.10.4 Revaluación (R) El tipo de cambio así como sube, también puede mostrar un comportamiento a la baja, en este caso, se genera la revaluación revaluación de la mon moneda eda débil respe respecto cto a la moneda fuerte. Así por ejemplo, cuando el sol se devalúa frente al dólar, se dice que el dólar se está revaluando (o apreciando) respecto al sol. Ejemplo TC0 = 3.42 S/. / US$

1 año TC1 = 3.51 S/. / US$

3.51 - 3.42 *100% 3.42 ΨS/. / US$ = 2.632% anual

ΨS/. / US$ =

1 año

  TC’1 = 0.285 US$ / S/.

TC’0 = 0.292 US$ / S/. 1/3.42 S/. / US$ = 0.292 US$ / S/. Donde: TC't (US$ / S/.)

=

1/3.51 S/. / US$ = 0.285 US$ / S/. 1

TCt(S/. / US$)

 

La revaluación revaluación R (US$ / S/.) desde “0” hasta ““t” t” se calcula y expresa en términos porcentuales así: TC't - TC'0  *100% R0→ t  = TC'0  Y se cumple cuando la devaluación es constante:

(1 + ΨS/. / US$)*(1 + RUS$ / S/.) = 1  En el ejemplo: 0.285 - 0.292 RUS$ / S/. = 0.292

*100%

RUS$ / S/. = -2.397% (1 + 2.632%)*(1 - 2.397%) = 1

 

- 50 -

 

 

4.11 FINANCIAMIENTO CON EMISIÓ EMISIÓN N DE BONOS Los bonos son títulos valores puesta a la venta por empresas, bancos o el Estado para captar efectivo y representan una obligación de pago de largo plazo de intereses periódicos y una redención del capital de parte del emisor. 4.11.1 Flujo de ccaja aja del emisor de bonos Flujo de caja para el emisor de los bonos: PC

0

(el pre precio cio de ccolo olocac cación ión lo reci recibe be la eempr mpresa esa emi emisor sora, a, ddel el aadqu dquiri irient entee de dell bono)

1

GE Gastos ddee em emis isiión que ppaaga llaa eem mpresa emisora

2

3

n  = B …

Los in intereses lo los paga la la empresa emis isoora, aall aaddquiriente ddeel bo bono

R = VN

El valor de redención lo paga la empresa emisora, al adquiriente del bono

  PC: precio de colocación, precio de compra de dell adquirie adquiriente nte del bbono ono o inv inversionista. ersionista. GE: gastos de emisión. iB: tasa de interés del bono, también llamada tasa cupón. I: importe de los intereses del bono. VN: valor nominal del bono. R: valor de redención. n: vida del bono. 1,2,3,… fechas de pago de los intereses del bono (cupones). Aplicando los bonos. equivalencia (t=0) para determinar el costo financiero de la empresa emisora de PC - GE = iB*VN(P/A , icf , n) + R(P/F , icf , n) De la expresión anterior se obtiene icf  que es el costo financiero para la empresa emisora de los bonos, y es costo porque la empresa está obteniendo dinero a través de financiamiento por emisión de bonos.

- 51 -

 

 

4.11.2 Flujo de caja de para el adquiriente de bonos El adquiriente del bono invierte su dinero al comprarlo con la expectativa de obtener ganancias. Flujo de caja para el adquirien adquiriente te del bono o inversionista:

Los intereses que recibe el adquiriente del bono, del emisor

El recibe valor deel redención que adquiriente del bono, del emisor R = VN

I = iB*VN 0

1

2

3

n

PC (pa (paga ga el aadqu dquiri irient entee ddel el bbono ono al emi emisor sor))   Aplicando equivalencia (t=0) para determinar la rentabilidad del adquiriente del bono: PC = iB*VN(P/A , iR , n) + R(P/F , i R , n) De expresión anterior se obtiene i R  que es la rentabilidad del adquiriente del bono o inversionista. Ejemplo Caso 4 (al final de este capítulo).

- 52 -

 

 

CASO 1: MODALIDADES DE CRÉDITO - REFINANCIA REFINANCIACIÓN CIÓN DE DEUDA La empresa “Friedman S.A.” necesita para el pago del desaduanaje de su mercadería importada S/. 30 975, por esta razón solicitó al Banco Economist un préstamo en soles con las siguientes características: Tasa de interés interés del pré préstamo stamo : 30% nomina nominall anual, con capitaliza capitalización ción bimest bimestral ral Plazo Modalidad de pago Retención Comisión de apertura

:: : :

5 bimestres cuotas bimestrales con amortización constante 10% del principal, que remunera al 5% efectiva anual 1.5%

Se pide: a) Determine eell monto ddel el préstamo que solic solicitó itó Friedman S.A. b) Elabore el calendario de pagos, grafique el flujo de caja del préstamo y determine la tasa de costo efectivo (costo financiero) del préstamo. Por no tener liquidez suficiente, la cuarta cuota no se cancela en la fecha acordada. Después de 10 días de vencida esta cuota se solicita la refinanciación del préstamo, el Banco Economist acepta la solicitud y establece las siguientes condicione condiciones: s: Pago de los intereses compensatorios acumulado acumuladoss a la fecha de refinanciación. Pago de intereses moratorios a una tasa de 2.0% efectiva mensual en soles. La empresa puede solicitar la devolución de la retención, pero perderá los intereses acumulados a la fecha. La refinanciación será mediante una línea de crédito en soles con las siguientes características: Comisión de refinanciació refinanciaciónn Nuevo plazo Tasa de interés Modalidad de pago

: : : :

2.5 2.5% % 6 meses 3.5% efectiva mensual cuotas mensuales constante constantess

Friedman dispone de S/. 2 000 para cumplir con estas condiciones y para amortizar lo máximo posible del saldo deudor. c) Determine los conc conceptos eptos y montos que se dese desembolsarán mbolsarán al mome momento nto de solicitar la refinanciación. d) Elabore el flujo de caja de la refinanciación y determine su costo financiero. Compare con el costo financiero del préstamo original y comente. Ahora asuma que después de 20 días de la cancelación de la tercera cuota, la tasa de interés del préstamo se incrementa a 36% nominal anual en soles, con capitalización bimestral. e) ¿Cómo cambia el calendario de pagos para las cuotas que faltan desembolsar, si la amortización sigue siendo constante?

- 53 -

 

 

SOLUCIÓN CASO 1: MODALIDADES DE CRÉDITO - REFINANCIACIÓN DE DEUDA a) Monto del préstamo que solicitó Friedman S.A. = M M - 10%M - 1.5%M = 30975 M = S/. 35000 b) Tasa de interés efectiva del préstamo: in ief = N 30% ief = 6 ief = 5% efectiva bimestral Retención = S/. 3500 Comisión de apertura = 1.5%*35000 (siempre como porcentaje del monto del préstamo) Comisión de apertura = S/. 525 Calendario de pagos: Saldo Período (bimestres) deudor inicial 0 35000 1 28000 2 21000 3 14000 4 7000 5

Amortización

Intereses

Cuota

Otros

Saldo deudor final

4025 7000 7000 7000 7000 7000

1750 1400 1050 700 350

8750 8400 8050 7700 7350

3645.24

Flujo de caja de Friedman S.A.: 35000 3645.24 0 Retención = Comisión de apertura =

1

3500

2 Amortización =

3

4

5 bimestres

7000

525 1750

Intereses G = + 350

Equivalencia en t=0: 35000 - 3500 - 525 = (7000 + 1750)(P/A , icf , 5 ) - 350(P/G , icf , 5) - 3645.24(P/F , icf , 5) icf = 6.501 % efectiva bimestral en soles > 5% efectiva bimestral en soles

- 54 -

28000 21000 14000 7000 0

54

 

 

c) Si no ha cancelado la cuarta cuota, significa que la última que pagó fue la tercera cuota, entonces lo que se debe de la deuda original de S/. 35 000 es el SDF3. Del calendario de pagos: SDF3 = S/. 14000 Intereses acumulados (intereses compensatorios) = (14000)*((1 + 5%)(70/60) - 1) Intereses acumulados (intereses compensatorios) = S/. 820.02 Intereses moratorios = (14000)*((1 + 2%)(10/30) - 1) Intereses moratorios = S/. 92.72 Amortización = S/. A Comisión de refinanciación = 2.5%*(14000 - A) Total pagos = Total de efectivo disponible 820.02 + 92.72 + A + 2.5%*(14000 - A) = 2000 + 3500 A = S/. 4345.91 Esta es la amortización máxima posible porque se usa el total disponible para pagar. Los conceptos y montos que se desembolsarán en la fecha de la refinanciación son: Concepto Intereses acumulados (intereses compensatorios) = Intereses moratorios = Amortización A = Comisión de refinanciación 2.5%*(14000 - A) = Total d) Saldo deudor a refinanciar = 14000 - A Saldo deudor a refinanciar = 14000 - 4345.91 Saldo deudor a refinanciar  = S/. 9654.09 Refinanciación con cuota de pago constante. Equivalencia en t=0 y usamos la tasa de interés del préstamo: 9654.09 = C(P/A , 3.5% , 6) C = S/. 1811.77  

Monto S/. 820.02 S/. 92.72 S/. 4345.91 S/. 241.35 S/. 5500

55

 

 

Flujo de caja de la refinanciación: 9654.09

0 Comisión de refinanciación = 241.35

1

2

3

4

1811.77 Equivalencia en t=0: 9654.09 - 241.35 = 1811.77(P/A , icf , 6) icf = 4.276 % efectiva mensual en soles > 3.5% efectiva mensua m ensuall en soles icf = 8.735 % efectiva bimestral en soles > 6.501 6.501% % efectiva bim bimestral estral en soles ¡El costo financiero de la refinanciación es más costoso que el crédito original!  

5

6 meses

56

 

 

CASO 2: MODALIDADES DE CRÉDITO - REFINANCIA REFINANCIACIÓN CIÓN DE DEUDA Para financiar la importación de sus productos por un monto de S/. 45 000 la empresa DYNAMIX solicitó un préstamo al Banco Comercial el cual lo devolverá en 10 cuotas mensuales que aumentan con gradiente lineal de S/. 100 cada dos meses, durante el bimestre las cuotas cuotas mensuales sserán erán uniform uniformes. es. Para la apertur aperturaa del crédito, eell banco cobra una comisión administrativa del 2% por la evaluación crediticia y de riesgo efectuada a DYNAMIX y por seguridad una retención del 8% remunerada al 5% efectiva anual. Si el costo financiero de este crédito es 26.520% nominal anual con capitalización mensual, se pide: a) Determine el mon monto to del préstamo que DYNAMIX sol solicitó. icitó. b) ¿Cuál es el importe de cad cadaa cuota? Plantee eell flujo de caja del pré préstamo. stamo. c) ¿Cuál es el valor de la ta tasa sa de interés ddel el présta préstamo? mo? d) Elabore el el calenda calendario rio de pagos ppara ara este préstamo. Por no tener liquidez suficiente, las cuotas 7 y 8 no se cancelan en la fecha acordada. Después de 15 días de vencida la octava cuota, se solicita la refinanciaci refinanciación ón del préstamo. El Banco Comercial acepta la refinanciación y exige las siguientes condiciones: Devolución de la retención refinanciación. Comisión de refinanciació refinanciaciónn Nuevo plazo Modalidad de pago Períodos de gracia Tasa de interés

a DYNAMIX, con los intereses capitalizados a la fecha de la : : : : :

2.5 2.5% % 6 meses amortiza amortización ción constante 2 meses 36% nominal anual, con capitalización mensual

DYNAMIX dispone de S/. 5 000 para cumplir con estas condiciones y para amortizar lo máximo posible del saldo deudor. Determinar sin consultar el calendario de pagos, los conceptos y montos que se desembolsarán al momento de solicitar la refinanciación. e) Elabore el el calenda calendario rio de pagos ppara ara la refinanciaci refinanciación. ón. f) ¿Cuál es el costo costo financiero de la rrefinanciació efinanciación? n? g) Plantee el el flujo ddee caja de to toda da la op operación. eración.

57

 

 

SOLUCIÓN CASO 2: MODALIDADES DE CRÉDITO - REFINANCIACIÓN DE DEUDA a) Monto del préstamo: Comisión: 2% Retención: 8% Monto requerido: S/. 45000 M - 2%M - 8%M = 45000 M = S/. 50000 b) Importe de las cuotas: Costo financieromensual  = 26.520% / 12 Costo financieromensual  = 2.210% efectiva mensual Costo financierobimestral = 4.469% efectiva bimestral Flujo de caja para DYNAMIX: M

0

8%M*(F/P , 5% , 10/12)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10  meses

2%M 8%M C

C + 100 C + 200 C + 300

El flujo de caja se puede expresar así: 50000

0 2%*50000 C(P/A , 2.21% , 2) 8%*50000

4000*(F/P , 5% , 10/12)

1

2

3

4

5

6

7

8

G = (100)(P/A , 2.21% , 2)

(C + 100)(P/A , 2.21% , 2) (C + 200)(P/A , 2.21% , 2) (C + 300)(P/A , 2.21% , 2)  

C + 400

(C + 400)(P/A , 2.21% , 2)

9

10 meses

58

 

 

Sobre este flujo de caja planteamos equivalencia y lo evaluamos con el costo financiero incluyendo la comisión administrativa, la retención y la retención remunerada en t=10. Equivalencia en t=0: 50000 - 2%*50000 - 8%*50000 - C(P/A , 2.210% , 2) = (C + 100)(P/A , 2.210% , 2)(P/A , 4.469% , 4) +   + 100(P/A , 2.210% , 2)(P/G , 4.469% , 4) - 4000*(1 + 5%)(10/12)(P/F, 2.210% , 10) C = S/. 5250.46 Cuota 1 = S/. 5250.46 Cuota 2 = S/. 5250.46 Cuota 3 = S/. 5350.46 Cuota 4 = S/. 5350.46

Cuota 5 = S/. 5450.46 Cuota 6 = S/. 5450.46 Cuota 7 = S/. 5550.46 Cuota 8 = S/. 5550.46 Cuota 9 = S/. 5650.46 Cuota 10 = S/. 5650.46

Flujo de caja del préstamo: 50000

0

4165.985

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 meses

1000 4000 5250.46 5350.46 5450.46 5550.46

5650.46

c) Tasa del préstamo: Para determinar la tasa de interés del préstamo no se considera la comisión administrativa, la la retención al inicio ni la retención remunerada en t=10. 50000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 meses

5250.46 5250.46 5350.46 5450.46

5550.46

- 59 -

 

 

Equivalencia en t=0 para calcular la tasa de interés del préstamo: 50000 - 525 5250.46(P/A 0.46(P/A , imensual , 2) = (5250.46 + 100)(P/A , imensual , 2)(P/A , ibimestral , 4) +   + 100(P/A , imensual , 2)(P/G , ibimestral , 4) ibimestral = (1 + imensual)2 - 1 Resolviendo: imensual  = 1.578% efectiva mensual ibimestral = 3.181% efectiva bimestral

tasa de interés del préstamo, no es el costo financiero

d) Calendario de pagos:

  1 2 3

Saldo deudor inicial 50000 50000 45538.65 41006.88

45 6 7 8 9 10

3361350236..6009 26573.18 21542.10 16331.62 11038.91 5562.67

Período

4461.35 4531.76 4703.28

789.11 718.70 647.18

5250.46 5250.46 5350.46

Saldo deudor final 50000 45538.65 41006.88 36303.60

44797572..5911 5031.08 5210.48 5292.71 5476.24 5562.67

547927..9555 419.38 339.98 257.75 174.22 87.79

55345500..4466 5450.46 5550.46 5550.46 5650.46 5650.46

3216552763..0198 21542.10 16331.62 11038.91 5562.67 0

Amortización

Intereses

Cuota

Otros 5000

4165.99

Podemos calcular el SDF6 usando el flujo de caja y equivalencia: SDF6: saldo deudor al final del mes 6 o saldo deudor inicial del mes m es 7. 6 SDF6

6

7

8

9

10 meses

5550.46

5650.46

¡tasa de interés del préstamo, no el costo financiero!

SDF6 = 5550.46(P/A , 1.578% , 2) + 5650.46(P/A , 1.578% , 2)(P/F , 1.578% , 2) SDF6 = S/. 21542.10 Observaciones: 1. Para calcular el SDF6  no se incluyó en el flujo de caja la devolución de la retención en t=10; observe el desarrollo de la pregunta c) donde se usó la tasa de interés del préstamo para calcular la cuota sin incluir, la comisión administrativa, la retención ni la retención remunerada.

 

- 60 -

 

 

2. Recuerde que los intereses son calculados con la tasa de interés del préstamo=1.578% efectiva mensual y no con la tasa costo financiero=2.210% efectiva mensual, por esto, en la expresión de equivalencia anterior para calcular SDF6 se usó la tasa de interés del préstamo en las expresiones de equivalencia P/A y P/F.

Intereses acumulados = (21542.10)*(1 + 1.578%) Intereses acumulados = Observaciones:

(75/30) 

- 1)

¡tasa de interés del préstamo, no el costo financiero!

S/. 860.04

1. Los intereses se calculan sobre el SDF6  porque esto es lo que se debe de los S/. 50 000 del préstamo original. 2. Son 75 días porque la útlima cuota que se pagó fue la sexta ya que la séptima y octava no se pagaron y 15 días después de vencida la octava cuota se solicita el refinanciamiento. Recuerde que la cuota es mensual.

Amortización = A Observaciones: 1. La amortización A indica que se pagará una parte del SDF 6 que aún se debe de los S/. 50 000 del préstamo original.

Saldo deudor a refinanciar = 21542.10 - A Observaciones: 1. Este es el saldo que aún quedará pendiente de pago de los S/. 50 000 del préstamo original, original, por tanto, es lo que se refinancia.

Comisión de refinanciación = 2.5%*(21542.10 - A) Observaciones: 1. La comisión de refinanciación, se aplica al monto a refinanciar.

Devolución de la retención = 4000*(1 + 5%)(255/360) Devolución de la retención = S/. 4140.66 Total pagos = Total de efectivo disponible 860.04 + A + 2.5%*(21542.10 - A) = 5000 + 4140.66 A = S/. 7940.59 Saldo deudor a refinanciar refinanciar = 21542.10 - A = S/. 17848.34 Tasa de interés de la refinanciación = 36% / 12 = 3% efectiva mensual Finalmente los conceptos y montos que se desembolsarán en el momento de la refinanciación son: Concepto

Monto

S/. 860.04 Intereses acumulados (intereses compensatorios) = Amortización A = S/. 7940.59 Comisión de refinanciación = 2.5%*(21542.10 - A) S/. 340.04 Total S/. 9140.66 Nota: No se está pagando el total del saldo deudor a refinanciar sino una parte que corresponde a la amortización A = S/. 7940.58.

- 61 -

 

 

e) Intereses del período de gracia = (3%)*(13601.52) =

S/. 408.05

Calendario de pagos de la refinanciación: Período 0 1 2 3 4 5 6

Saldo

Amortización

deudor inicial 13601.51 13601.51 13601.51 13601.51 10201.14 6800.76 3400.38

Intereses

Cuota

Saldo

Otros

deudor final 13601.51 13601.51 13601.51 10201.14 6800.76 3400.38 0

340.04 408.05 408.05 408.05 306.03 204.02 102.01

3400.38 3400.38 3400.38 3400.38

408.05 408.05 3808.42 3706.41 3604.40 3502.39

f) Costo financiero de la refinanciación: 13601.51

0

1

2

3

4

5

6 meses

340.04 408.05 3808.42

G= 102. 102.01 01

Equivalencia en t=0: 13601.52 - 340.04 = 408.05(P/A , icf , 2) + (3400.38 + 408.05)(P/A , icf , 4)(P/F , icf , 2) +  - 102.01(P/G , icf , 4)(P/F , icf , 2) icf = 3.615% efectiva mensual g) Flujo de caja de toda la operación:

 

- 62 -

 

 

CASO 3: CRÉDITO COMERCIAL - CRÉDITO EN MONEDA EXTRANJERA La empresa Friedman S.A. está interesada en adquirir un equipo para mejorar la productividad de sus líneas de producción para lo cual dispone de la siguiente información de dos casas comerciales: Los Ingenieros S/. 80 000 12% descuento del precio de lista S/. 7 500 Trimestrales 8 5%

Precio de lista Precio al contado Cuota inicial Pagos Número de pagos Interés Flat

Comercial Inglesa US$ 24 850 10% descuento del precio de lista US$ 1 810 Bimestrales 12 3.5%

Además es posible acceder al financiamie financiamiento nto de llas as siguientes entidades crediticias: LÍNEA 1: crédito en nuevos soles Monto máximo Tasa de interés

: S/. 60 000 : 33.252% nominal anual, capitalización mensual

Plazo Modalidad de pago

dos años : cuotas mensuales (suma de dígitos) intereses pagados por adelantado

LÍNEA 2: crédito en dólares Monto máximo Tasa de interés Plazo Períodos de gracia Modalidad de pago

: : : : :

US$ 18 000 3.5% efectiva bimestral dos años 2 bimestres cuotas bimestrales, amortización constante intereses pagados por adelantado Comisión de ap apertura: ertura: 1.5% Se pide:

a)

Determinar el costo financiero anual en soles de cada una de las fuentes de financiamiento.

b)

¿Cómo se debe financiar la compra del equipo de producción? La empresa dispone de efectivo para cubrir la cuota inicial.

Información adicional Tipo de cambio el día de hoy : 1 dólar = 3.2 soles Tipo de cambio esperado dentro de un mes : 1 dólar = 3.216 soles Se estima que la devaluación mensual será aproximadamente constante en los próximos dos años.

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SOLUCIÓN CASO 3: CRÉDITO COMERCIAL - CRÉDITO EN MONEDA EXTRANJERA

Determinación del precio de mercado o precio al contado mínimo: S/. 70400 Los Inge Ingeni nier eros os:: 80000 0000*( *(11 - 12% 12%) = Comercial Comerci al US$ 22365 24850*(1 - 10%) = 22365 US$*3.20 S/./US$ = S/. 71568 PC min = {S/. 70400 , S/. 71568 } = S/. 70400 US$ 22000 Los Ingenieros Cuot Cu otaa inici inicial al S/.= S/.= 7500 7500 D*(1 + iFLAT *n) n (80000 - 7500)*(1 + 5.0%*8) C= 8 C = S/. 12687.50 C=

Flujo de caja:

Equivalencia en t=0: 70400 - 7500 = 12687.50(P/A , i cf , 8) 8) icf = 12.058% efectiva trimestral trim estral en S/. (costo financiero de Los Ingenieros) Ingenieros) icf = 57.677% efectiva anual en S/. (costo financiero fi nanciero de Los Ingen Ingenieros) ieros) Comercial Inglesa

Cuota inicial US$= 1810 C= C=

 D*(1 + iFLAT*n) n (24850 - 1810)*(1 + 3.5%*12) 12

C = US$ 2726.40

- 64 -

 

 

Flujo de caja:

Equivalencia en t=0: 22000 - 1810 = 2726.40(P/A , icf , 12) icf = 8.339% efectiva bimestral en US$ (costo financiero Comercial Inglesa) icf = 4.086% efectiva mensual en US$ (costo financiero Comercial Inglesa) iS/ . = iS/ . = iS/ . = iS/ . =

( 1+ iUS$)*(1 + ΨS/. / US$) - 1 ( 1 + 4.086%)*(1 + 0.5%) - 1 4.606% efectiva mensual en S/. (costo financiero Comercial Inglesa) 71.672% efectiva anual en S/. (costo financiero Comercial Inglesa)

Línea 1: crédito en nuevos soles Como no hay comisiones de apertura ni otros, entonces, la tasa de costo efectivo es igual a la tasa del préstamo. Tasa del préstamo = 33.252% nominal anual. Calculemos la tasa efectiva mensual: in ief = N 33.252% ief = 12 2.771% efectiva mensual i  = ef

iad =

2.771% (1 - 2.771%)

iad = 2.850% icf = 40.104%

 

efectiva mensual adelantada en nuevos soles (costo financiero de la Línea 1) efectiva anual en soles (costo financiero de la Línea 1)

- 65 -

 

 

Línea 2: crédito en dólares Flujo de caja al vencimiento:

Luego adelantamos los intereses:

M 0

M 1

2

3

4 5

6

… 12

A = M /10

1.5%*M M*iP

  ….

M*iP

0

1

2 3

M*iP

4

5 6

… 12

A = M /10

 1.5%*M

M*iP

M*iP*9/10 G = M*iP /10

…. G = M*iP /10

1.5%*M es la comisión de apertura iP = 3.5%, es la tasa de interés del préstamo al vencimiento Equivalencia en t=0 en el flujo de caja con intereses adelantados: M - 3.5%M -1.5%M = M*3.5%(P/A , i cf , 2) + [ (M/10 + M*3.5%*9/10)( M*3.5%*9/10)(P/A P/A , i cf , 10)   - (M*3.5%/10 (M*3.5%/10)(P/G )(P/G , icf , 10) ](P/F , icf , 2) icf = 3.874% efectiva bimestral en US$ (costo financiero de la Línea 2) icf = 1.919% efectiva mensual en US$ (costo financiero de la Línea 2) iS/ . = iS/ . = iS/ . = iS/ . =

( 1+ iUS$)*(1 + ΨS/. / US$) - 1 ( 1 + 1.919%)*(1 + 0.5%) - 1 efectiva mensual en S/. (costo financiero Línea 2) 2.428% efectiva anual en S/. (costo financiero Línea 2) 33.364%

Friedman dispone de S/. 7500 (monto suficiente para cubrir cuota inicial) US$ 2344 Por cubrir con las líneas de crédito bancarias porque son de menor costo financiero: (PCmínimo = US$ 22000) - US$ 2344 = US$ 19656 Línea 2: crédito en dólares es la alternativa de menor costo financiero. Pedir prestado a la Línea 2 US$ 18000 US$ 18000*3.20 S/. / US$ = S/. 57600 Recibimos de la Línea 2: US$ 18000 - 3.5%*18000 - 1.5%*18000 = US$ 17100 < US$ 19656 Como nos falta US$ 2556 = US$ 19656 - US$ 17100 Pedir prestado a la Línea 1, una cantidad P en nuevos soles tal que: P - 2.7 2.771 71%* %*P P=S S/. /. 8818 1800 US US$$ 25 2556 56*3 *3.2 .2 S S/. /. / US US$$ = S S/. /. 8818 1800 P= S/. 8413.13 P= S/. 8413 En resumen: Pedir prestado a la Línea 2 US$ 18000, de los cuales se recibe US$ 17100 S/.54720. Pedir prestado a la Línea 1 S/. 8413, de los cuales se recibe S/. 8180. Con el dinero prestado de las Líneas 1 y 2, comprar al contado en la casa comercial Los Ingenieros porque tiene el precio contado mínimo igual a US$ 22000.

- 66 -

 

 

CASO 4: FINANCIAMIENTO CON EMISIÓN DE BONOS La compañía CPLEX necesita incrementar su capacidad de producción para lo cual debe adquirir máquinas cuyo costo es US$ 500 000 las que financiará a través de emisión de bonos con las siguientes características: Valor nominal

: US$ 2 000

Tasa de interés Vida del bono Período de pago Gastos de emisión

:: : :

10% efectiva cuatrimestral 3 años cuatrimestral 0.8%

El área financiera de la empresa ha determinado que la mejor alternativa de inversión en el mercado de valores tiene una rentabilida rentabilidadd promedio de 35% efectiva anual. a) Determine el precio de colocación máximo que podrán tener los bonos emitidos por CPLEX. b) Determine la cantidad de bonos necesarios que deberá emitir la compañía y el monto que obtendrá por la venta de estos bonos. c) ¿Cuál es el costo financiero de esta fuente ddee finan financiamiento? ciamiento? d) Al final del segundo año la empresa desea recuperar el 75% de los bonos emitidos. Si desea mantener el costo financiero del financiamiento, ¿estarán los inversionistas dispuestos a vender sus bonos?

- 67 -

 

 

SOLUCIÓN CASO 4: FINANCIAMIENTO CON EMISIÓN DE BONOS bonos Inversionista (adquiriente del bono)

CPLEX (emisor) S/.

Necesita dinero para adquirir máquinas.

Invierte su dinero y adquiere bonos emitidos por CPLEX.

a) i= 35% efectiva anual (1/3)

i= (1+35%) i= 10.521 %

 - 1 efectiva cuatrimestral

Flujo de caja del inversionista: US$ 2000 10%*2000 = US$ 200

… 0

1

2

3

4

9 cuatrim estres 3 años

PC

PC: precio de colocación Para hallar el precio de colocación máximo, descontamos descontamos los los montos al 10.521% efectiva cuatrimestral, ya que es la rentabilidad promedio de otros otros instrumentos de inversión en el el en el mercado de valores (costo de oportunidad del inversionista). Equivalencia en t=0: PCmáximo = 200(P/A , 10.521% , 9) + 2000(P/F , 10.521% , 9) PCmáximo = US$ 1941.21 ¿Por qué se obtiene el precio de colocación máximo con con la la tasa del 10.521% efectiva cuatrimestral? PC US$ 1500 1600 1800 1900 2000 2200

iR = irentabilidad ; PC = 200*(P/A , iR ,9) + 2000*(P/A , iR , 9)

- 68 -

 

 

b) N: cantidad de bonos 1941.214*N - 0.8%*2000*N = 500000 N = 259.7 260 bonos a em itir c) Flujo de caja para el emisor: CPLEX 260*1941.214 = 504715.64

0

1

2

3

3 años 9 cuatrimestres

4…

0.8%*260*2000 = 4160 10%*260*2000 52000 =

260*2000 = 520000

Equivalencia en t=0: 504715.64 - 4160 = 52000(P/A , icf , 9) + 520000(P/F , i cf , 9) icf= 10.66 10.660% 0% efectiva cua cuatrimestral trimestral > 10 10% % efectiva cuatrimestral Costo financiero de CPLEX por el financiamiento con emisión de bonos. d) Flujo de caja para el emisor: CPLEX 6 cuatrimestre



6

7

8

9 cuatrimestres

(segundo año)

P

75%*52000 = 39000

Equivalencia en t=segundo año: P = 39000(P/A , 10.666% , 3) + 390000(P/F , 10.666% , 3) P = US$ 383113.95 383113.95 Punitario = 75%*260 Punitario = US$ 1964.69  

75%*520000 = 390000

- 69 -

 

 

Flujo de caja del inversionista: Pt=6 US$ 200

0

1

2

3

4

5

6 ccuuatrimestres

US$ 1941.21 Equivalencia en t=0: 1941.21 = 200(P/A , 10.521 10.521% % , 6) + Pt=6(P/F , 10.521% , 6) Pt=6 = US$ 1974.3 > US$ 1964.6 ⇒ Los inversionistas no estarán dispuestos a vender sus   bonos.

 

- 70 -

 

 

CAPÍTULO 5 INFLACIÓN 5.1 DEFINICIONES 5.1.1 Índice de Precios al Consumidor (IPC) Según el Instituto Nacional de Estadística e Informática, el Índice de Precios al Consumidor “es un indicador estadístico que mide las variaciones de precios de los bienes y servicios consumidos habitualmente habitualmente por el conjunto de familias familias con diversos niveles de ingresos. Su objetivo es determinar la evolución de los precios de un conjunto de bienes y servicios a través del tiempo.” Para determinar el IPC, es necesario definir el pres presupuesto upuesto de los hogares lo que se realiza realiza midiendo el ingreso y gasto de consumo el cual se refiere a la cantidad de dinero que las familias destinan para la compra de bienes y servicios que habitualmente se consume en un hogar, éstos conforman la denominada denominada Canasta Básica Familiar. El objetivo de la Canasta Básica Familiar es definir un conjunto de bienes y servicios representativos representat ivos que se consumen en un hogar y no se concentra en uno o en un grupo particular de estos sino en varios, que son reflejo representativo de los hogares de Lima Metropolitana.. En el Perú, esta canasta está compuesta po Metropolitana porr 551 varieda variedades des o artículos clasificados en rubros de consumo, subgrupos, grupos y grandes grupos de consumo. 5.1.2 Inflación (ϕ) La inflación es una subida duradera del nivel general de precios de los bienes y servicios de la economía. Existen varias explicaciones para el fenómeno de la inflación. Un enfoque sostiene que es consecuencia del desbalance que existe entre lo que demanda o lo que consume una economía y lo que ella produce u ofrece; otra escuela de pensamiento económico sostiene que es causa del exceso de moneda circulante (moneda corriente) en una economía. En el Perú, la inflación es calculada por el Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI) sobre la base de una canasta básica de consumo familiar, actualmente la estructura de los costos de la Canasta Básica Familiar en el Perú está referida al año 2004. A partir del IPC la inflación se determina así:

ϕ0→t =

IPCt - IPC0 IPC0

*100%  

5.2 TASA DE INTERÉS REAL (iR) Las tasas de interés que se han estudiado en los capítulos previos hacen referencia al valor nominal o corriente de la moneda2. Esta tasa llama llamada da tasa corrie corriente nte no toma en cuenta la pérdida del poder adquisitivo del dinero por el incremento de los precios de los bienes y servicios. Analice los siguientes eejemplos: jemplos: 2

 El valor nominal o corriente es el que usted puede leer en las monedas y billetes. 

- 71 -

 

 

Se decide invertir a una tasa del 20% efectiva anual (tasa corriente) Luego de un año: Monto disponible: M1=M0*(1 + i) M1=M0*(1 + 20%)

Hoy: Se tiene un monto de: M0= S/. 1000 (monedas, (moneda s, billetes)

M1= S/. 1200 M0= S/. 1000 < M1= S/. 1200 Monedas, billetes ¡Tenemos más dinero! ¿Fue correcta la decisión? Aparentemente sí porque la masa monetaria aumentó. Asumamos que en ese año la inflación fue ϕ = 25% anual inflación ϕ = 25% anual Luego de un año: M1= S/. 1200 Bien X Precio unitario del bien X: = 20*(1 + ϕ= 25%) S/. 25 ¿Cuántas unidades se puede comprar? 1200 Q1 = 25 Q0 = 48 unidades

Hoy: M0= S/. 1000 Bien X Precio unitario del bien X: S/. 20 ¿Cuántas unidades se puede comprar? 1000 Q0 = 20 Q0 = 50 unidades Q0= 50 > Q1= 48

  ¡Tenemos más dinero! Comentarios a la decisión: Para una inflación de ϕ=25% anual y si hay una alternativa de inv inversión ersión con una tasa ddee interés mayor al 25% anual, la decisión de invertir al 20% anual no pudo contrarrestar la pérdida de ppoder oder adquisitivo del ddinero inero para comprar el bie bienn X, la cual pudo haberse protegido invirtiendo en una una alternativa con mayor tasa, en caso existiese. Sin embargo, observe que que la peor dec decisión isión hub hubiese iese sido no in invertir vertir el dinero. ¿Por qué qué?? Porque la pérdida del poder adquisitivo sería mayor a la que se generó al invertir al 20% anual.

- 72 -

 

 

A continuación se calculará un porcentaje que indicará cuánto se redujo el poder adquisitivo en cantidad de bienes X:

Q1= 48 unidades Hoy

0

1 año

Q0= 50 unidades 48 - 50

iR = iR =

50 -4% -4%

El signo signo ne negat gativo ivo re refle fleja ja la di dismi sminu nuci ción ón de la ca capac pacid idad ad ad adqui quisi siti tiva va del dinero.

La misma tasa iR = -4% se obtiene si aplicamos deflactación: St Ct =

(1 + ϕ0 → t) Flujo de caja real:

C1 =

1200

C1 = 960

 

0 960 - 1000

iR = iR =

960

(1 + ϕ= 25%)

1000 -4%

1000

1 año

- 73 -

 

 

Ahora usted decide invertir a una tasa del 50% efectiva anual (tasa corriente) Luego de un año: Monto disponible: M1=M0*(1 + i) M =M *(1 + 50%) M11= S/.0 1500

Hoy: Se tiene un monto de: M0= S/. 1000 (monedas, billetes)

inflación ϕ = 25% anual B ie n X Precio unitario del bien X: S/. 20 ¿Cuántas unidades se puede comprar? 1000 Q0= 20

Bien X Precio unitario del bien X: = 20*(1 + ϕ= 25%) S/. 25 ¿Cuántas unidades se puede comprar? 1500 Q1= 25

Q0=

Q1=

50 unidades

60 unidades

Q0= 50 < Q1= 60 ¡Compramos más!

 

Comentarios a la decisión: Para una inflación de ϕ=25% anual la decisión de invertir al 550% 0% efectiva anual logró contrarrestar la pérdida de poder adqu adquisitivo isitivo del dinero para comprar el el bien X que provoca la tasa de inflación de 25% anual. A continuación se calculará un porcentaje que indicará cuánto se redujo el poder adquisitivo en cantidad de bienes X: Q1= 60 unidades Hoy

0

1 año

Q0= 50 unidades 60 - 50

iR = iR =

20%

50 El signo positivo refleja aumento de la capacidad adquisitiva del dinero.

  Observe que a pesar del signo positivo del 20% que sugiere un incremento en la capacidad adquisitiva, la inflación sí provocó una merma sobre el poder adquisitivo del dinero porque si la inflación hubiese sido 0%, entonces la cantidad que habría podido comprar sería 75 unidades. Verifique usted dicho resultado calculando Q1  con P1=20*(1+ϕ); donde  ϕ=0%; luego Q1=75>50 unidades.

- 74 -

 

 

deflactación: n: La misma tasa iR = 20% se obtiene si aplicamos deflactació Ct =

St (1 + ϕ0 → t) Flujo de caja real: 1500

C1 =

1200

(1 + ϕ= 25%)

C1 = 1200

iR = iR =

1 año

0

1200 - 1000

1000

1000 20%

Conclusión: ¡No siempre un aumento de la cantidad de dinero (monedas, billetes) implica un aumento de la de capacidad adquisit adquisitiva! iva! Definición de tasa real: En los dos ejemplos anteriores se observa dos tasas, en el primer caso una tasa del 20% para la inversión y que mide cuánto en términos porcentuales aumentó la cantidad de billetes en soles, y la tasa del -4% que refleja mejor la realidad al medir porcentualmente cuánto aumenta aumenta o se re reduce duce el pode poderr adquisitiv adquisitivo. o. En este caso eell -4% sugiere una reducción en la capacidad adquisitiva porque se adquiere menos bienes a pesar del aumento del efectivo o moneda moneda corriente. Esta es la tasa real que se define como aquélla aquélla libre del efecto de la inflación y muestra el costo real de una operación de financiamiento o rentabilidad real de una operación de inversión. A continuación se presenta la deducción de una ecuación que relaciona la tasa de interés corriente, la tasa de interés real y la tasa de inflación: Hoy M0: dinero disponible (moneda, billete)

Precio unitario del bien X = P0 

Consumo, cantidad de unidades del bien X que se puede adquirir: Q0 = M0 / P0 

Luego de un año Tasa de interés i

Inflación ϕ 

M1= M0*(1 + i) Precio unitario del bien X por efecto de la inflación: P1= P0*(1 + ϕ) P1> P0  Consumo, cantidad de unidades del bien X que se puede adquirir: Q1 = M1 / P1

- 75 -

 

 

Para hallar la tasa de interés real comparamos la capacidad adquisitiva adquisitiva en el tiempo: iR =

Q1 - Q0 Q0

→

i R  =

Q1 Q0

-1

Reemplazando:

iR =

M1 P1 M0

-1

→

iR =

M0(1 + iC) P0(1 + ϕ) P0

P0 Simplificando M0 /P0: iR =

(1 + iC) (1 + ϕ)

M0

-1

-1

iR =

 

iC  - ϕ 1+ϕ

 

Finalmente:

iC = iR + ϕ + iR*ϕ  Donde: iR : es la tasa real. iC : es la tasa corriente. ϕ: es la inflación. Observaciones: 1. En la ecuación anterior las tres tasas deb deben en estar expresadas en el mismo pe período ríodo ddee tiempo. 2. La ecuación iC = iR + ϕ + iR*ϕ se aplica en aquellos períodos de tiempo en donde la inflación es constante. 5.3 TASA DE INTERÉS CORRIENTE (iC) La tasa efectiva que habitualmente usamos en las operaciones de crédito e inversión está estrechament estrechamentee vinculada a la moneda que circula en la economía. economía. Esa es la tasa corriente que hace referencia al valor nominal o corriente de la moneda e incluye según iC = iR + ϕ + iR*ϕ a la tasa real y la inflación y de esa ecuación se obtiene:

(1 + iC) = (1 + iR)*(1 + ϕ) En esta expresión se observa por qué la tasa de interés corriente es llamada también inflada y es pporque orque el factor (1 + iR) de la tasa real está afectado por el factor de la inflación (1 + ϕ)>1.

- 76 -

 

 

5.4 EFECTO DE LA INFLA INFLACIÓN CIÓN EN EL FLUJO DE CAJA Y LA DEFLACTA DEFLACTACIÓN CIÓN Es importante indicar que en la economía es la moneda corriente la que circula y la que se usa como medio de intercambio. La llamada “moneda real” físicamente no existe pero se obtiene a partir de la moneda corriente con la técnica de deflactación. Los flujos de caja se pueden plantear de las siguientes formas: Con flujos de caja corrientes, usando dinero en términos corrientes, con tasa de interés corriente. Con flujos de caja reales, usando dinero en términos de moneda real, con tasa de interés real. 5.4.1 Deflactación ¿Cómo se obtiene un flujo de caja real a partir de un flujo de caja corriente? Los flujos de caja reales se obtienen deflactando los flujos de caja corriente. Observe el gráfico de la página siguiente, entonces, la metodología para deflactar un monto corriente S t  en una fecha “t” consiste en determinar la inflación acumulada desde el período base “0” a la fecha “t” y se le divide entre el deflactor (1 + ϕ0 → t) según la siguiente expresión:

Ct =

St (1 + ϕ0 →t)

…(1)

 

El importe Ct  obtenido se denomina la “moneda real” o valor del importe St  en términos reales. El período “0” es el período base que es el tiempo de referencia para definir el poder adquisitivo de la moneda corriente. Hasta aquí se ha explicado la metodología para la deflactación, como una técnica para obtener un flujo de caja en moneda real a partir de un flujo de caja en moneda corriente, usando la ecuación (1). Pero ¿qué significa deflactar? ¿Esta técnica tiene un origen intuitivo? Deflactar un flujo de caja significa expresarlo en términos de una moneda de poder adquisitivo constante, esta es la moneda real. ¿Cómo lograr el poder adquisitivo co constante? nstante? Si los precios fuesen consta constantes ntes de un período a otro, significa que la inflación es cero ϕ=0, entonces, esto es similar a que el precio de ayer se mantuviera hoy y mañana vige vigente nte sin ninguna vvariación. ariación. Entonces al deflactar un monto corriente con el fin de presentarlo en moneda de poder adquisitivo constante, es equivalente a decir que lo expresamos a precios de ayer, en otras palabras ϕ=0%. En la página 77 se aclara el conce concepto pto con un ejemplo intu intuitivo. itivo.

- 77 -

 

  Deflactación: Flujo de Caja Corriente:

Deflactación: St

P

Ct =

Flujo de Caja Real: P

(1 + ϕ0 → t)

0

1

2

3

n

t

0

1

2

S1

t

Cn

C2 Ct

St

S2 Sn S1, S2, S3, St , Sn son los montos corrientes, moneda con valor nominal "lo que se lee en los billetes".

C1, C2, C3, Ct , Cn son los montos m ontos expresado expresadoss en términos de moneda real, moneda en términos de un período base.

 

- 78 -

 

 

¿Qué significa en “términos de una moneda de poder adquisitivo constante”? Ahora usted decide invertir a una tasa del 50% efectiva anual (tasa corriente) Luego de un año: Monto disponible: M1=M0*(1 + i)

Hoy: Se tiene un monto de: M0= S/. 1000 (monedas, billetes)

M1=M0*(1 + 50%) M1= S/. 1500 inflación ϕ = 25% anual

Bien X Precio unitario del bien X: S/. 20 ¿Cuántas unidades se puede comprar? 1000 Q =

n

C3

C1 S3

3

Bien X Precio unitario del bien X: = 20*(1 + ϕ= 25%) S/. 25 ¿Cuántas unidades se puede comprar? 1500 Q =

ayer

hoy

20 Qayer= 50 unidades

25 Qhoy= 60 unidades Qayer= 50 < Qhoy= 60 ¡Compramos más!

 

¿Cuánto en soles hubiese gastado ayer para comprar las 60 unidades? 60 unidades*S/. 20 por cada unidad unidad = S/. 1 200 a precios de ayer, es decir, ϕ=0%. Se pregunta a precios de ayer ¿Cuánto pagó por las 60 unidades el día de hoy (luego de un año)?: S/. 1 500. S/. 1 200 < S/. 1 500 nos da una idea que hoy se necesita más dinero que ayer para comprar las mismas 60 unidades. ¿Y si deflactamos los S/. 1 500 en la fecha de hoy y respecto de ayer? Ct = C1 = C1 =

St (1 + ϕ0 → t) 1500 (1 + 25%) S/. 12 1200 00 rea reale less ¡e ¡ell mismo res result ultad ado! o!

Conclusión: al expresar las 60 unidades a precios de ayer, usted asume para el día de hoy, el precio de ayer, el cual es S/. 20 por unidad. Los S/. 1200 obtenidos obtenidos físicamente no existen, lo que usted tiene en su mano son S/. 1 500 en monedas o billetes. Estos S/. 1 200 también se obtienen al aplicar la expresión para deflactar.

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Caso 1: deflactación cuando la inflación es constante Ejemplo Una persona invierte invierte S/. 1 000 y recibe cada mes S/. 700 durante dos meses. Se sabe que la inflación oficial mensual fue de 1.5% y es constante. Flujo de caja corriente: S/. 700

0

1000

1

ϕ = 1.5%

Equivalencia en t=0: 1000 = 700*(P/A , icorriente , 2)

2 m eses

ϕ = 1.5%

icorriente = 25.692% efectiva mensual>0

  ¿Cuál será su verdadera rentabilidad? Para responder a esta pregunta se elabora un flujo de caja real: Flujo de caja real: C1

0

C2

1

2 meses

1000 C1 , C2 son montos reales. ¿Cómo se obtiene un flujo real a partir de un flujo de caja corriente? Deflactando los flujos corrientes. St Ct = (1 + ϕ0 → t) S1 700 = C1 = (1 + 1.5%) (1 + ϕ0 →1) C1 = 689.66 .

- 80 -

 

 

C2 =

S2

=

(1 + ϕ0 →2) C2 = 679.46

700 (1 + 1.5%)*(1 + 1.5%)

Flujo de caja real: 689.66

0

1

1000 Equivalencia en t=0: 689.66 1000 = (1 + iR)

679.46

+

679.46 (1 + iR)2

2 meses

iR = 23.834% efectiva mensual iR = 23.834% efectiva mensual < i corriente = 25.692% efectiva mensual El procedimiento anterior anterior puede abrevi abreviarse arse usando la ecuación iC = iR + ϕ + iR*ϕ porque la inflación es constante en cada mes: Despejando iR: iR

=

iR   =

iC - ϕ 1+ϕ

25.692% - 1.5% 1 + 1.5%

m ensual iR = 23.834% efectiva mensual ¡Se obtiene el mismo mism o resultado!

 

Caso 2: deflactación cuando la inflación no es constante Ejemplo Caso 1 (al final de este capítulo).

- 81 -

 

 

CASO 1 El Sr. Pérez realizó un préstamo hace cuatro meses con el propósito de obtener una rentabilidadd real de 3% mensual. rentabilida La modalidad de pago acordada era mediante cuotas mensuales que aumentaban 10% cada mes. El cálculo de dichas cuotas se hizo bas basado ado en que la inflación sería de 2.4% mensual, valor que se mantendría constante. Hoy día (1º de mayo) haciendo cálculos sobre la rentabilidad que ha obtenido de este préstamo, el Sr. Pérez llegó a la conclusión que si el monto del préstamo lo hubiera guardado en su caja fuerte, hoy en día tendría un poder adquisitivo adquisitivo de 4 687.23 u.m. Los valores de inflación de los últimos meses son los siguientes: INFLACI INFLA CI N O OFIC FICIA IAL LM MENS ENSUA UAL L Diciembre 2.40% Enero 1.95% Febrero 2.50% Marzo 3.70% Abril 3.00% Se pide:

a) ¿Cuál fu fuee el monto de las cuo cuotas tas pacta pactadas? das? b) ¿Cuál fu fuee el costo cor corriente riente de este crédito? c) Finalmente, ¿c ¿cuál uál fue la rentabilida rentabilidadd real ob obtenida tenida por el Sr. Pérez?

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SOLUCIÓN CASO 1 Flujo de caja…

0

1

Pt=0 Equivalencia en t=0: Pt=0 = A(P/A* , i , g , n) Pt=0 = A(P/A* , i , 10 , 4) … (1) b)

2

3

4 meses Fines de abril

La tasa de rentabilidad corriente del Sr. Pérez es: iC = ( 1 + i R )( 1 + ϕ ) - 1 iC = iR + ϕ + iR* ϕ Donde: iC: tasa corriente o tasa de costo efectivo del préstamo iR: tasa de estimada de rentabilidad real del prestatario = 3% mensual ϕ: expectativa de inflación o proyección de inflación = 2.4% mensual iC = 0.03 + 0.024 + 0.03*0.024 iC = Caja fuerte: Pt=0 (1 + ϕ enero→abril)

=

…(2)

Inflación acumulada

Reemplazando en (2): Pt=0 (1 + 11.616%) Pt=0 =  

= 4687.2

- 83 -

 

 

Reemplazando Pt=0 = S/. 5231.71 y iC = 5.472% en (1): Pt=0 = A(P/A* , i , 10% , 4) … (1) 5231.71 = A(P/A* , 5.472% , 10% , 4) A= a) Cuota 1 = Cuota 2 = Cuot Cuotaa 1*(1 + 10%) = 129 1293.77*1.10 3.77*1.10 = Cuota 3 = Cuota 1*(1 + 10%) 2 = 1293.77*1.102 = Cuota 4 = Cuota 1*(1 + 10%) 3 = 1293.77*1.103 = c) Deflactando los montos corrientes: St Ct = (1 + ϕ0→ t)

Moneda corriente

C1  C2 = C3 = C4 =

(1 + 1.95%)

=

(1 + 1.95%)(1 + 2.5%)

=

(1 + 1.95%)(1 + 2.5%)(1 + 3.7%)

=

(1 + 1.95%)(1 + 2.5%)(1 + 3.7%)(1 + 3%)

=

Flujo de caja real del Sr. Pérez por el préstamo que hizo: 1444.62 1361.88 1269.03

0

1

2

3

4 meses Fines de abril

5231.71 5231.71 = 1269.03(P/F , iR , 1) + 1361.88(P/F , i R , 2) + 1444.62(P/F , i R , 3) + 1542.80(P/F , i R , 4) iR = < 3% mensual que fue la expectativa de rentabilidad real  

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CAPÍTULO 6 CONCEPTOS CONTABLES BÁSICOS 6.1 DEFINICIÓN DE CONTABILIDAD La contabilidad, puede definirse como el proceso de recopilación, clasificación, registro, análisis e interpretación de la situación económica y financiera de una entidad (empresa o entidad pública), con el propósito de quienes usan la información contable puedan tomar decisiones. Recopilación: Consiste en recoger los documentos de interés para la contabilidad y que llegan a la empresa: facturas, guías de remisión, pagarés, letras de cambio, cheques, estados de cuenta, documentos de importación, entre otros. Clasificación y registro: En esta etapa se clasifican los documentos según las diversas cuentas tales como caja y bancos, clientes, mercaderías, proveedores, entre otras. Resumen, elaboración: Etapa en la cual se transforma la información recopilada, clasificada y anotada en términos breves y precisos para para un período deter determinado. minado. Esta es la etapa en donde se eelaboran laboran los

estados financieros. f inancieros. Análisis e interpretació interpretación: n: Finalmente, se analizan los saldos monetarios de los estados financieros emitidos para obtener conclusiones sobre la situación económica y financiera de la empresa, su gestión y comparar estos resultados con períodos pasados o el desempeño de empresas similares del sector. Finalmente, la contabilidad es una herramienta eficaz que permite: •  Elaborar información para efectuar el proceso de control interno al comparar el desempeño actual con lo que se planificó. Con la información emitida, evaluar su situación económica que abarca el análisis de la •  rentabilidad y utilidad; su situación financiera que abarca el análisis de la liquidez y solvencia; evaluar la gestión de la empresa, tales como, su política de créditos otorgados a clientes, política de pagos, política de ventas, entre otras. •  Diseñar estrategias y tomar decisiones. 6.2 ESTADOS FINANCIER FINANCIEROS OS Son reportes que muestran para un período determinado, aspectos de la información económica y financiera de la empresa, atendiendo a un orden y lenguaje contable definido. Los estados financieros financieros son importantes medio medioss de información, por esta razó razón, n, son solicitados yporgerentes; diversos usuarios cada unotales de de ellos comousa bancos, la información agentes decontable bolsa, inversionistas, para propósitos entidades distintos, tributarias así por ejemplo, las entidades tributarias analizan los estados financieros para fiscalizar la declaración de los impuestos que la empresa debe pagar al Estado; los inversionistas usan la información para formar sus expectativas de rentabilidad y decidir si invierten o no en la empresa. Ahora, piense usted para qué fines un gerente, bancos, proveedores usan la información contable. Los principales estados financieros f inancieros son: El balance general. El estado de ganancias y pérdidas.

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6.3 EL BALANCE GENERAL El balance general es el estado que muestra la situación económica y financiera de una empresa a una fecha determinada y en donde se presenta ordenados el activo, pasivo y patrimonio, es decir, los recursos del negocio, lo que debe a terceros y el capital aportado por los dueños, respectivamente, por tanto muestra, todo lo que posee la empresa y todo lo que debe. Una característica que resalta en el balance general es el cumplimiento del principio de contabilidad llamado Partida Doble: ACTIVO = PASIVO + PATRIMONIO 6.3.1 Cuentas del balance general ACTIVO Son los bienes y derechos que son propiedad de la empresa a la fecha de emisión del balance general. También se define como los recursos que son propiedad de un negocio, de los cuales se espera que rindan utilidades en el futuro. Así por ejemplo, las mercaderías son un tipo de activo que rendirá utilidades en períodos futuros cuando se vendan. Los activos se clasifican en:

Activos circulantes o corrientes. Activos no circulantes o no corrientes. Activo circulante o corriente Parte del activo formado por cuentas que representan efectivo o que pueden convertirse en efectivo, consumirse o venderse en un plazo menor a un año. Algunas cuentas del activo corriente son: Caja y Bancos: su saldo representa el efectivo que la empresa dispone. Cuentas por Cobrar Comerciales: conformadas por el monto de los créditos que concede la empresa a sus clientes, clientes, tales co como, mo, facturas por cob cobrar rar y letras por cobrar. cobrar. Cuando eso esoss montos se cobran, se convierten en efectivo. Existencias: también llamado inventarios son los bienes tangibles de propiedad de la empresa que: •  Se van a consumir en la producción de mercancías o de servicios que se venderán en el futuro, así por ejemplo, la materia prima que se usa para la fabricación de los productos que posteriormente se venden. •  Se encuentran aún en proceso de fabricación, es el caso de los productos en proceso. •  Se tienen para su venta durante el ciclo normal del negocio, éstos son los productos terminados que se venden. Activo no circulante o no corriente Activos de la empresa cuya convertibilidad en efectivo se realiza en períodos mayores a un año. Algunas cuentas del activo no corriente son: Activos Fijos: representan bienes tangibles de carácter permanente cuyo propósito es servir a las actividades actividades de llaa empr empresa. esa. Son de monto re relativamente lativamente alto y normalmente no se destinan a la venta. Son ejemplos ddee activos fijos las maquinaria maquinarias, s, equipos, loca locales les e inmueb inmuebles. les.

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Depreciación Acumulada: muestra el importe acumulado de los gastos de depreciación que periódicamente periódicame nte se calculan co como mo porcentaje del del costo de adquis adquisición ición del activo fijo. Este concepto se desarrollará con detalle en el capítulo 8. Activos Intangibles: incluye activos cuya naturaleza no es material (no tienen sustancia física) y representan por ejemplo, ventajas competitivas de la empresa. Mencionamos entre otros, las marcas, patentes y franquicias. f ranquicias. PASIVO Representan el total de deudas u obligaciones de pago que la empresa tiene con terceros (financiación con deuda o financiación ajena). Los pasivos se clasifican en: Pasivo circulante o corriente. Pasivo no circulante o no corriente. Pasivo circulante o corriente Son aquellas obligaciones de la empresa con terceros y con plazos menores a un año. Algunas cuentas del pasivo corriente son: Sobregiros y Pagarés Bancarios: por lo loss financiamientos a corto plazo plazo con el banco.

Cuentas por Pagar Comerciales: incluye las obligaciones de la empresa originados por los créditos recibidos de parte de los proveedores por la adquisición de bienes o servicios en operaciones relacionadas relacionadas con el giro del negocio. Otras Cuentas por Pagar: agrupa los trib tributos utos pendientes de ppago ago (IGV, Impuesto a la Renta), remuneraciones por pagar, dividendos por pagar entre otros. Parte Corriente de las Deudas de Largo Plazo. Pasivo no circulante o no corriente Son aquellas obligaciones de la empresa con terceros que se cancelan en plazos mayores a un año. Algunas cuentas del pasivo no corriente son: Deudas a Largo Plazo: incluye la parte no corriente de las deudas de largo plazo con bancos y otras entidades financieras cuyo vencimiento es posterior al año siguiente contado desde la fecha de emisión del balance general. Ejemplos de este tipo de deuda son las hipotecas por pagar, leasing, emisión emisión de bonos y otros préstamos bancarios bancarios de largo plazo. La parte de esta deuda que vence en el año siguiente de la fecha de emisión del balance general se presenta en la cuenta Parte Corriente de las Deudas D eudas a Largo Plazo en el pasivo corriente. PATRIMONIO Son las obligaciones de la empresa que tiene con los propietarios o dueños de ésta, así como las utilidades acumuladas desde la fecha de constitución del negocio. Algunas cuentas del patrimonio son: Capital Social: su saldo representa los fondos aportados por los dueños e inversionistas sobre la propiedad de la compañía. Resultados Acumulados: muestra las utilidades o pérdidas acumuladas obtenidas por la empresa, desde el inicio de sus operacion operaciones es hasta la fecha de emisión del balance general.

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6.4 EL ESTADO DE GANANCIAS Y PÉRDIDAS El estado de ganancias y pérdidas o estado de resultados presenta la relación de los ingresos y gastos de un determinado período de tiempo, y de cuya diferencia se obtiene los resultados de la empresa, que son las utilidades o pérdidas del período referido. Esta diferencia obtenida actualiza la cuenta Resultados Acumulados del balance general. 6.3.2 Cuentas del estado de ganancias y pérdidas Ventas Brutas Muestra el importe de los productos vendidos al contado o crédito y sin IGV durante el período al que se refiere el estado de ganancias y pérdidas; por lo general, este período es un año. A las ventas brutas se le resta las devoluciones de los clientes y los descuentos concedidos por la empresa a sus clientes por las ventas realizadas; el importe resultante es la venta neta. Costo de Ventas Es el costo incurrido en los productos que fueron vendidos en el período, es decir, es el costo de las mercaderías vendidas. Utilidad Bruta

Utilidad Bruta = Ventas Netas - Costo de Ventas

Gastos de Administración

Son los gastos vinculados con la gestión administrativa, y agrupa las cuentas de sueldos del personal administrativo, alquileres, gastos legales, servicios prestados por tercero, tales como, agua, teléfono, energía eléctrica, depreciación y mantenimientos de los activos fijos de las áreas administrativas. Gastos de Ventas Los gastos de publicidad, comercialización y distribución de las mercaderías vendidas y comisiones de los vendedores, son parte de los gastos de ventas. Utilidad Operativa Es la diferencia de los ingresos y gastos vinculados a las operaciones propias del giro del negocio, no incluye los gastos financieros. Utilidad Operativa = Utilidad Bruta - Gastos de Ventas - Gastos de Administración Gastos Financieros Muestra los intereses de los préstamos obtenidos y otros gastos vinculados a la función financiera, tales co como, mo, por portes, tes, gastos por eemisión misión de cheq chequeras, ueras, comisiones por mantenimiento mantenimien to de cuentas corrientes. Resultados Antes de Impuestos (Utilidad Antes de Impuestos) Utilidad Antes de Impuestos = Utilidad Operativa - Gastos Financieros Impuesto a la Renta Muestra el monto del tributo que grava la renta generada en el período por la actividad empresarial, como por ejemplo, el comercio, manufactura, minería explotación agropecuaria, forestal, pesquera, o de otros recursos naturales; de la prestación de servicios tales como transportes, bancos, bancos, financieras, comunicacione comunicaciones, s, hoteles, entre otros. Utilidad Neta del Ejercicio Utilidad Neta del Ejercicio = Utilidad Antes de Impuestos - Impuesto a la Renta

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COMPAÑÍA MISSONI S.A. Balance General Al 31 de diciembre de 1998 (en nuevos soles) ACTIVO

PASIVO

ACTIVO CORRIENTE Caja y Bancos Cuentas por Cobrar Comerciales Existencias TOTAL ACTIVO CORRIENTE

PASIVO CORRIENTE Sobregiros y Pagarés Bancarios Cuentas por Pagar Comerciales Otras Cuentas por Pagar TOTAL PASIVO CORRIENTE

5000 260000 455000 720000

ACTIVO NO CORRIENTE Inmuebles, Maquinaria y Equipo (neto de depreciación acumulada)

TOTAL A AC CTIVO N NO OC CO ORRIENTE

20000 170000 30000 220000

PASIVO NO CORRIENTE 780000 780000

Deuda de Largo Plazo

549500

TOTAL P PA ASIVO N NO OC CO ORRIENTE

549500

TOTAL PASIVO

769500

PATRIMONIO

TOTAL ACTIVO

Capital Social Resultados Acumulados

465000 265500

TOTAL PATRIMONIO

730500

TOTAL P PA ASIVO Y PATRIMO MON NIO

1500000

1500000

Notas a los Estados Financieros al 31 de diciembre de 1998 (en nuevos soles) Costo: 900000 Edificios 260000 Maquinaria y Equipos 1160000 Total Depreciación Acumulada: (Depreciación Acumulada Inmueble) (D (Dep epre reci ciac ació iónn Acu Acumu mula lada da M Maq aqui uina nari riaa y Equ Equip ipos os)) Total  

(200000) (180 (18000 000) 0) (380000)

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COMPAÑÍA MISSONI S.A. Estado de Ganancias y Pérdidas Para el año que terminó el 31 de diciembre de 1998 (en nuevos soles) Ventas Netas

16 000 00

Costo de Ventas

(1060000)

Utilidad Bruta

540 000

Gastos de Administración

(260000)

Gastos de Ventas Utilidad Operativa

(110000) 1 7000 0

Gastos Financieros

(61000)

Utilidad Antes de Impuesto a la Renta

1 0900 0

Impuesto a la Renta

(32700)

UTILIDAD NETA DEL EJERCICIO

76 300  

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CAPÍTULO 7 COSTO PONDERADO DE CAPITAL 7.1 FINANCIAMIENTO CON EMIS EMISIÓN IÓN DE ACCIONES Las acciones son títulos valores mobiliarios mobiliarios representativo representativoss de la propiedad de una empres empresa. a. 7.1.1 Acciones preferentes y acciones comunes Las acciones preferentes y su naturaleza Las acciones preferentes son similares en algunos aspectos a los bonos ya que los dividendos (generalmente) son fijos como los intereses de los bonos, sin embargo, las acciones preferentes por lo general no tienen fecha de vencimiento. Asimismo, al igual que las deudas por emisión de bonos, llevan un compromiso por parte del emisor de hacer pagos periódicos fijos, sin embargo, este pago, depende de la decisión de los administradores de la empresa emisora. Los derechos de los accionistas preferentes son prioritarios respecto a los accionistas comunes en cuanto a las reclamaciones sobre los activos del negocio en caso de bancarrota, pero no mayores a los tenedores de los bonos.

Los dividendos de los accionistas preferentes son limitados en cuanto al monto con respecto a los accionistas comunes, pero tienen preferencia en el pago. En las emisiones de acciones preferentes a menudo se indica que la empresa debe pagar todos los dividendos preferentes antes de que puedan pagarse a los accionistas comunes. El accionista preferente tiene derecho a voto limitado. Las acciones comunes y su naturaleza Los accionistas comunes tienen derecho pleno a voto, por esta razón son los que tienen el control de las actividades de la empresa, así por ejemplo, participan en las decisiones de reforma de la constitución y fusiones de la empresa, elección de sus directivos, autorización de venta de activos fijos, entre otras. En caso de quiebra, sus derechos a reclamaciones por los activos residuales están en último lugar después de los acreedores (terceros) y los accionistas preferentes; esta característica genera que el accionista común asuma el mayor riesgo entre todos los agentes que participan en una empresa. Reciben con mayor énfasis las ventajas o desventajas del mayor apalancamiento de la empresa. Al igual que las acciones preferente preferentes, s, no tienen fecha de vencimiento. Ejemplo 1 Acciones preferentes Valor nominal: Precio de colocación: Gastos de emisión: Dividendos esperados:

S/. 12 S/. 8 1% 7%

sobre el valor nominal trimestral del valor nominal

KC = D / (PC - GE ) KC = (7%)*(12) / (8 - 1%*12) = 10.660% trim trimestral estral ; 49.955% anual 49.955% anual es el costo financiero del financiamiento con acciones preferentes

 

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Acciones comunes Valor nominal: S/. 20 Precio de colocación: S/. 22 Gastos de emisión: 1.5% Dividendos esperados: 5 Crecimiento esperado de los dividendos: 6%

sobre el valor nominal el primer semestre semestral

KC = D / (PC - GE) + g 29.041% .041% semestr semestral al ; 66.517% anual KC = 5 / (22 - 1.5%*20) + 0.06 = 29 66.517% anual es el costo financiero del financiamiento con acciones comunes Se observa KCAC>KCAP

 

7.2 ESTRUCTURA Y COSTO DEL CAPITAL El capital de una empresa se puede generar a través de dos fuentes de financiamiento que son la financiación con deuda y la financiación f inanciación propi propia. a. Financiación con deuda y el costo de la deuda Es el capital generado a través de los préstamos obtenidos con terceros y que debe pagarse a

una tasa de interés pactada pactada y en fechas acordadas. Son ejemplos de fuen fuentes tes de deuda el financiamiento vía emisión de bonos, hipotecas de inmuebles, leasing para adquisición de activos fijos, préstamos préstamos bancario bancarios. s. Como es una ob obligación ligación con ter terceros, ceros, entonces genera incremento del pasivo (ver balance general, página 87). El costo de cada una de estas formas de financiamiento tiene un flujo de caja y se puede determinar tasa de costo efectivo con el concepto de equivalencia, este costo del crédito se le identifica como KD y es llamado costo del financiamiento con deuda, o del financiamiento con terceros. Financiación propia y el costo del capital propio Es el capital generado a través través del aporte de los accionistas, ya sea en efectiv efectivoo u otro tipo de activos. Son ejemplos ddee fuentes de financia financiación ción propia la eemisión misión de accion acciones, es, aportes de capital de otras empresas, empresas, y la reinv reinversión ersión de las utilidades utilidades reten retenidas idas por la emp empresa. resa. Esta obligaciones generan incremento del patrimonio. Las acciones preferentes y comunes tienen sus modelos vistos en el acápite 7.1 con los que se determina su costo, se los identifica como K C, y es llamado el costo del financiamiento con capital propio. Una vez analizadas todas las posibles fuentes de capital para el proyecto, se determina la estructura óptima el detotal financiamiento el del monto financiado por terceros y el monto del aporte propio, es el monto que de lamuestra inversión proyecto.

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Diferencias entre el financiamiento con deuda de terceros y con aporte propio Financiamiento con deuda con terceros Ejemplo: Financiamiento Financiamie nto mediante emisión de bonos

Financiamiento con aporte propio Ejemplo: Financiamiento Financiamien to mediante emisión de acciones preferentes y acciones comunes El emisor sí tiene obligación legal de pagar El emisor no tiene obligación legal de pagar los intereses y la redención del bono. Se dividendos, por tanto, la empresa no incurre incurre en incumplimiento por obligación. en incumplimiento por obligación. Tiene fecha fija de vencimiento.

No tiene fecha fija de vencimiento.

Los intereses de los bonos, y encon general los intereses generados por deuda terceros sí son deducibles para reducir el pago del Impuesto a la Renta.

Los dividendos de las preferen preferentes tes y acciones comunes no acciones son deducibles como gasto para reducir el pago del Impuesto a la Renta.

Desde el punto de vista del inversionista, por lo general se observa: Rentabilidadbono < Rentabilidadacciones preferentes < Rentabilidadacciones comunes 

Riesgobono < Riesgoacciones preferentes < Riesgoacciones comunes  Reclamaciones sobre activosbono > Reclamaciones sobre activosacciones preferentes > Reclamaciones sobre activosacciones comunes 

Desde el punto de vista del emisor de acciones, por lo general: Costo financierobono < Costo financieroacciones preferentes < Costo financieroacciones comunes 

7.3 EL COSTO PONDERA PONDERADO DO DE CAPITAL (K) Calculados los costos de las fuentes f uentes (KC y KD) y definida la estructura óptima de financiamiento se puede calcular una tasa única llamada costo ponderado de capital que como su nombre sugiere, es el promedio ponderado de los costos de las fuentes de financiamiento y se calcula de la siguiente manera:

K=

D D+C

*KD

+

C D+C

*KC

 

Donde: D: importe de la financiación con deuda (o deuda con terceros). C: importe del aporte propio. KD: tasa de costo efectivo de la deuda. KC: tasa de costo efectivo del aporte propio.

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Ejemplo 2 Para un proyecto se necesita una inversión de S/. 700 000 monto que se financia de la siguiente manera: Fuentes de terceros: Fuente 1 Fuente 2 Fuente 3 Fuentes propias: Fuente 1 Total

Monto aportado por la fuente 300000 250000 50000 Monto aportado por la fuente 100000 700000

Costo KD1 = 30% anual KD2 = 35% anual KD3 = 45% anual Costo KC1 = 50% anual

Se pide: a) Determinar el costo ponderado de capital antes de impuesto impuestos. s. b) Determinar el costo ponderado de capital después de impu impuestos. estos.

 

a) El costo ponderado de capital antes de impuestos: Ka.i. =

(300000)(30%) + (250000)(35%) + (50000)(45%) + (100000)(50%)

Ka.i. = 35.714% anual

300000 + 250000 + 50000 + 100000  

7.4 ESCUDO TRIBUTARI TRIBUTARIO O DE LOS GASTOS FINANCIER FINANCIEROS OS Es el incremento de la liquidez (efectivo) generad generadoo por la deducción de los gastos financieros financieros 3 lo cual reduce el pago del Impuesto a la Renta.   Sean dos escenarios para la empresa ABC S.A. S.A . Escenario 1: La empresa financia un proyecto de inversión cuyo capital es S/. 1 000 prestado por terceros a una tasa del 20% efectiva anual. La deuda con terceros genera intereses (gastos financieros) iguales a: Tasa de interés del préstamo*Monto de la deuda 20%*S/. 1 000= S/. 200 son los intereses Escenario 2: La empresa financia un proyecto de inversión cuyo capital es S/. 1 000 con aporte propio. El aporte de capital propio no genera gastos ffinancieros inancieros sino dividendos. 3

  Recuerde que el principal componente de los gastos financieros son los intereses de la deuda con terceros. Ver capítulo 6.

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En ambos escenarios las ventas son S/. 10 500, los costos de ventas S/. 7 000, gastos administrativos administrativ os S/. 1 400 y los gastos de ventas S/. 1 100. La tasa T del Impuesto a la Renta es de 30% de las utilidades antes de impuestos. Se elabora para cada escenario el estado de ganancias y pérdidas: ABC S.A. Estado de Ganancias y Pérdidas Para el año que terminó… (en nuevos soles)

Ventas Costo de Ventas Utilidad Bruta Gastos de Administración Gastos de Ventas Utilidad Operativa Gastos Financieros

Escenario (1) 10500

Escenario (2) 10500

(7000) 3500 (1400) (1100) 1000 (200)

(7000) 3500 (1400) (1100) 1000 0

Diferencia

200

Gastos a c e os ( 00) 0 Utilidad Antes de Impuesto a la Renta 800 1000 Impuesto a la Renta (240) (300) Utilidad Después de Impuesto a la Renta 560 700   En el escenario (2), en el cual no hay gastos financieros, se observa lo siguiente:

00 200 60 140

Utilidad Después de Impuesto a la Renta = S/. 700 En el escenario (1) sí hay gastos financieros iguales a S/. 200, y como estos disminuyen las utilidades, se esperaba que la Utilidad Después de Impuesto a la Renta en ese escenario sea S/. 200 menor que la Utilidad Después de Impuesto a la Renta R enta del escenario (2), es decir: ¿Utilidad Después de Impuesto a la Renta (1): 700 - 200 = S/. 500? ¡No! Porque al observar el estado de ganancias y pérdidas del escenario (1) vemos que la Utilidad Después de Impuesto a la Renta no es S/. 500 sino S/. 560, es decir, hay S/. 60 a favor de la empresa en el escenario (1). Además: Impuesto a la Renta (2) - Impuesto a la Renta (1) = 340 - 240 = S/. 60 Es decir, en el escenario (1) el Impuesto a la Renta es menor, y se genera un ahorro llamado escudo tributario o ahorro impositivo igual a S/. 60. La deducción4 de los gastos financieros iguales a S/. 200 es lo que causa este ahorro de S/. 60 que incrementa la utilidad del escenario (1): 500 + 60 = S/. 560 = Utilidad Después de Impuesto a la Renta (1) Se puede demostrar que el ahorro impositivo se calcula también así: Gastos Financieros*Tasa Financieros*Tasa del Impuesto a la Renta = 200*0.30 = S/. 60 4

  En este caso, entienda el término “deducción” como la resta de los Gastos Financieros de la Utilidad Operativa; en general, una deducción de gastos es restar el gasto de las ventas.

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Resumiendo el ahorro impositivo generado por la deducción de los gastos financieros o también llamado escudo tributario de los gastos financieros es: ESCUDO TRIBUTARIO POR GASTOS FINANCIEROS = Gastos Financieros* T ESCUDO TRIBUTARIO POR GASTOS FINANCIEROS = i*D*T Donde: i: tasa de interés de la deuda con terceros. D: monto de la deuda con terceros. i*D: monto de los intereses (gastos financieros). T: tasa del Impuesto a la Renta. 7.5 COSTO DE LA FINANCI FINANCIACIÓN ACIÓN CON DEUDA DESPUÉS DE IMPUESTO A LA RENTA Como los gastos financieros generan ahorro impositivo a favor del prestatario, que es el agente que recibe el préstamo, entonces, el costo de ésta deuda es menor. En el siguiente ejemplo un prestatario solicita un préstamo por un monto D a una tasa de interés efectiva “i%” en el período, su flujo de caja es el siguiente: D

Ahorro impositivo = GF*T

i

= i*D*T 0

1

D(1 + i)

  El flujo de caja muestra en t=1 el ahorro impositivo de los gastos financieros, el saldo neto en t=1 se muestra en el flujo siguiente:

D

0

1

D(1 + i) - i*D* T  

La tasa de costo efectivo: D = [D(1 + i) - i*D*T](P/F , icf , 1)  D(1 + i) - i*D*T -1 icf = D icf = i*(1 - T) id.i. = i*(1 - T)

 

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En la expresión icf = i*(1 - T) se verifica verifica que el costo de la deuda "i" lue luego go de deducir los ggastos astos financieros, se reduce reduce de "i" a " i*(1 - T) "; en gene general ral : KD(d.i.) = KD(a.i.)*(1 - T) y se cumple KD(d.i.) < KD(a.i.)  Donde: KD(d.i.): tasa de costo eefectivo fectivo de la deuda ddespués espués de Impuesto a la Renta. KD(a.i.): tasa de costo efect efectivo ivo de la deuda an antes tes de Impu Impuesto esto a la Renta. T: tasa del Impuesto a la Renta. Respecto a los dividendos que generan las acciones, éstos no son deducibles para efecto del Impuesto a la Renta, entonces, no generan escudo tributario. 7.6 EL COSTO PO PONDERADO NDERADO DE CAPITAL DESPUÉS DE IMPUESTO A LA RENTA La expresión para calcular el costo ponderado de capital después de Impuesto a la Renta es la siguiente:

Kd.i. =

D

K

+

C

K

d.i.

Kd.i. = .

D+C D D+C

D(d.i.)

*KD(a.i.)*(1

D+C - T)

+

C

C D+C

  *KC

 

Donde: D: importe de la financiación con deuda (o deuda con terceros). C: importe del aporte propio. KD(d.i.): tasa de costo efectivo de la deuda después de Impuesto a la Renta. KC: tasa de costo efectivo del aporte propio. Ejemplo 3 En el ejemplo 2, determine el costo ponderado de capital después de impuestos, si la tasa del Impuesto a la Renta es 30%. b) Kd.i.=

(300000)(30%)(1 - 30%) + (250000)(35%)(1 - 30%) + (50000)(45%)(1 - 30%) + (100000)(50%)

300000 + 250000 + 50000 + 100000

Kd.i.= 27.143% anual ∈ [21% , 50%] Kd.i.= 27 27.1 .143 43% % anua anuall < Ka.i. = 35.714% anual ∈ [30% , 50%]  

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CASO 1 Para un proyecto de fabricación de material médico de plástico se ha determinado que el monto de la inversión es el siguiente: Capital de trabajo Maquinaria y equipos Moldes de inyección Local e instalacione instalacioness (planta) Total

250 000 500 000 150 000 850 000 S/. 1 750 000

Para financiar este proyecto se disponen de las siguientes fuentes de financiamiento: Líneas de corto plazo:

Sólo para financiamiento del capital de trabajo: Pagaré en dólares El monto máximo es US$ 100 000 con con una comisión de apertur aperturaa de 1.0%. La tasa es de 60% nominal anual, capitalización capitalización mensual y el pago es único dentro de 4 meses. Pagaré en nuevos soles

El monto máximo es S/. 250 000 sin comisión comisión de apertura apertura.. La tasa es de 50% efectiva anua anuall y el pago es único dentro de 4 meses. Líneas de mediano plazo:

Sólo para financiamiento del capital de trabajo y moldes de inyección: AMERICAN BANK: línea en dólares Monto máximo : US$ 120 000 Tasa al vencimiento : 3.5% efectiva mensual Forma de pago : cuotas mensuales con amortizaci amortización ón constante Períodos de gracia : dos meses Plazo : 2 años BANCO DEL SUR: línea en nuevos soles Monto máximo : S/. 200 000 Tasa al vencimiento : 30% efectiva anual Forma de pago : cuotas bimestrales constantes Plazo : 2 años Comisión : 1.5% El Banco del Sur exige que por cada sol aportado por el banco, los accionistas comunes deben aportar por lo menos dos veces esta cantidad. Exclusivamente para moldes de inyección: BANCO CORPORATIVO: línea en nuevos soles Monto máximo : S/. 180 000 Tasa al vencimiento : 15% nominal semestral, capitalización mensual Forma de pago : cuotas mensuales con amortizaci amortización ón constante intereses pagados por adelantado Período de gracia : 4 meses Plazo : 2 años Comisión : 1%

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Líneas de largo plazo:

Para financiamiento de maquinarias y equipos, y local e instalacione instalaciones. s. Emisión de bonos Bonos a la par con un valor nominal de S/. 250, tasa cupón de 11.5% efectiva semestral y cupones semestrales, semestrales, precio de colocaci colocación ón estimado en el merca mercado do primario igu igual al a S/. 280 El número máximo de bonos a emitir son 2 000 con una vida de 10 años. La emisión genera gastos de emisión del 3% del valor nominal. Acciones preferentes Valor nominal de S/. 60 cada uno con un precio de colocación de S/. 65 y dividendos de 12% trimestral. Emisión máxima de 5 000 acciones; cada acción ggenera enera 1% de gastos de em emisión. isión. Acciones comunes Valor nominal de S/. 70 cada una con un precio de colocación de S/. 75 y dividendos de 10% el primer semestre con un crecimiento de 17% semestral. Para mantener el control de la empresa la emisión máxima es de 7 500 acciones comunes. Información adicional: Tipo de cambio hoy Tasa de Impuesto a la Renta

: S/. 2.88 por dólar : 30%

Apreciación esperada esperada del sol respecto al dólar : 5% anual (asumir que será constante) Se pide: a) Calcular la ttasa asa de costo efectivo anua anuall en soles de cada uuna na de las opciones de financiamiento después de impuestos. b)

Determine la estructu estructura ra óptima de financiami financiamiento ento indicando claramente en un cuadro las alternativas elegidas para cada rubro de la inversión, el monto pedido y el monto recibido.

c)

Calcule el costo pon ponderado derado de capital ddespués espués de impuestos ppara ara la estructura óptima de financiamiento.

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SOLUCIÓN CASO 1 a) Líneas de corto plazo: 

Pagaré en dólares: 60% 12 m ensual en dólares ief = 5% efectiva mensual ief = 79.586% efectiva anual en dólares

P

ief =

Equivalencia t=0: 4 P - 1%*P = P(1 + 5%) (P/F , icf , 4) 4) icf = 5.264% efectiva mensual en dólares icf = 85.083% efectiva anual en dólares iS/ . = ( 1+ iUS$)*(1 + RUS$ / S/.) - 1

0

1%*P

4 meses

5.083% 83%)*(1 )*(1 - 55%) %) - 1 iS/ . = (1 + 885.0 iS/ . = 75.829% efectiva anual en soles KDd.i. = 75.829%*(1 - 30%) 53.080% 0% efectiva anu anual al en soles de después spués ddee impuestos KDd.i. = 53.08

4

P(1 + 5%)

Pagaré en soles: Como no hay comisión de apertura, la tasa de costo efectivo es la tasa del préstamo: icf = 50% efectiva anual en soles KDd.i. = 50%*(1 - 30%) KDd.i. = 35% efectiva anual en soles después de impuestos Líneas de mediano plazo: 

American Bank: No hay comisión de apertura, y los períodos de gracias no incrementan el costo financiero, f inanciero, la tasa de costo efectivo es la tasa del préstamo: 12

icf = (1 + 3.5%)  - 1 icf = 51.107% efectiva anual en dólares iS/ . = ( 1+ iUS$)*(1 + RUS$ / S/.) - 1 iS/ . = (1 + 551.1 1.107% 07%)*(1 )*(1 - 55%) %) - 1 iS/ . = 43.552% efectiva anual en soles KDd.i. = 43.552%*(1 - 30%) 30.486% 6% efectiva anual en soles después de im impuestos puestos KDd.i. = 30.48

- 100 -

 

 

Banco del Sur: i = 30% efectiva anual en soles i = (1 + 30%) 1/6 - 1 i = 4.470% efectiva bimestral en soles P = C(P/A , 4.470% , 12) C = 0.109P 0 1.5%P Equivalencia t=0: P - 1.5%*P = 0.109P(P/A , icf , 12) icf = 4.735% efectiva bimestral en soles

P

1

12 bimestres

… C = 0.109P

icf = (1 + 4.735%)6 - 1 icf = 31.993% efectiva anual en soles KDd.i. = 31.993%*(1 - 30%) KDd.i. = 22.395% efectiva anual en soles después de impuestos Banco Corporativo:

15% 6 ief = 2.500% efectiva mensual en soles

ief =

M

1

0 iv*M = 2.5%*M Comisión=1%*M

2

3

4

5

6

…

7 A = M/20

24 meses

…

iv*M = 2.5%*M iv*M = 2.5%*M*19/20

G=iv*M/n = 2.5%*M/20

Equivalencia t=0: M - 2.5%M - 1%M = M*2.5%(P/A , icf , 4) + [ (M/20 + M*2.5%*19/20)(P/A , icf , 20) - (M*2.5%/20)   (P/G , icf , 20) ](P/F , icf , 4) icf = 2.652% efectiva mensual en soles icf = 36.908% efectiva anual en soles KDd.i. = 36.908%*(1 - 30%) KDd.i. = 25.836% efectiva anual en soles después de impuestos  

- 101 -

 

 

Líneas de largo plazo: 

Bonos:

PC = S/. 280

0

1

2

3

20 semestres

GE = S/. 3%*250 GE = S/. 7.5 I = 11.5%*250 S/. 28.750 I= Equivalencia t=0: 280 - 7.5 = 28.750(P/A , i cf , 20) + 250(P/F , i cf , 20) icf = 10.521% efectiva semestral en soles icf = 22.148% efectiva anual en soles

R = S/. 250

KDd.i. = 22.148% (1 30%) KDd.i. = 15.503% efectiva anual en soles después de impuestos PC = S/. 65

Acciones preferentes: KCAP=

D

PC - GE 0 12%*60 1%*60 KCAP= 65 - 1%*60 GE = S/. 0.6 KCAP= 11.1 11.180% 80% efecti efectiva va trim trimestra estrall en soles KCAP= 52.795% efectiva anual en soles

KCAC

 ∞

…

trimestres

D = 12%*60 D = S/. 7.2

PC = S/. 75

Acciones comunes: KCAC

1

D1 + g% PC - GE 10%*70  + 17%

0

75 KCAC= 26.333% 26.3 33% efecti efectiva va seme semestral stral eenn soles KCAC= 59.6 59.601% 01% efecti efectiva va an anual ual eenn sole soless

1

 ∞

D1 = 10%*70 D1 = S/. 7

…

semestres

 

- 102 -

 

 

b) TC( S/./US$) =

2.88

Definamos primero el monto aportado por los accionistas: Monto requerido: Maquinaria y equipos:

S/. 500000

Local e instalaciones:

S/. 850000

Total:

S/. 1350000

Monto máximo

Monto máximo

Monto emitido

Monto recibido

(VN)

(PC)

(VN)

(S/.)

KDd.i. ; KC

Bonos

S/. 500000

S/. 560000

S/. 500000

S/. 543200

15.503%

Acciones Preferentes

S/. 300000

S/. 325000

S/. 300000

S/. 322000

52.795%

Acciones Comunes

S/. 525000

S/. 562500

S/. 452480

S/. 484800

59.601%

S/. 1350000

Total

Cubre el monto requerido para maquinaria y equipos, local e instalaciones.

Monto faltante = 1350000 - 543200 - 322000 Monto faltante =

S/. 484800 6464.0

Núm ero de acciones com unes =

6464

Monto requerido: Capital de trabajo:

S/. 250000

Moldes de inyección:

S/. 150000

Total:

S/. 400000

Banco del Sur

(moldes de inyección) Banco del Sur

(capital de trabajo)

Monto máximo

Monto máximo

Monto pedido

Monto recibido

(US$)

(S/.)

(S/.)

(S/.)

S/. 20 2000 000 00

S/. S/. 152 522 284

S/. 150000

22.395%

S/. 47716

S/. 47716

S/. 47 47000

22.395%

US$ 120000 S/. 345600

S/. 203000

S/. 203000

30.486%

KDd.i.

American Bank

(capital de trabajo) Total

S/. 400000 Cubre el monto requerido para el capital de trabajo y moldes de inyección.

Monto acciones comunes / Monto Banco del Sur = 452 480 / (152 284 + 47 716) Monto Banco del Sur / Monto acciones comunes = 2.26 > 2 exigido por el Banco del Sur

 

- 103 -

 

 

c) El costo ponderado de capital después de Impuesto Impuesto a la Renta Renta para la estructura óptima de financiamiento:

Kd.i. =

543 200*15.503% + 322 000*52.795% + 484 800*59.601% + 150 000*22.395% + 47 000*22.395% + 203 000*30.486% 543 200 + 322 000 + 484 800 + 150 000 + 47 000 + 203 000

Kd.i. = 37.095 37.095% % an anual ual en en soles soles despué después s de impuest impuestos os

 

- 104 -

 

 

CAPÍTULO 8 DEPRECIACIÓN 8.1 DEFINICIÓN DE A ACTIVOS CTIVOS FIJOS Son las propieda propiedades des tangibles5 y no circulantes de una compañía destinadas a brindar servicios por largo tiempo a las operaciones propias de su giro de negocio, normalmente no se destinan a la venta y constituyen constituyen una gran par parte te del total de act activos ivos de la empresa empresa.. Asimismo estos activos tienen capacidad para generar ingresos en el largo plazo. Son ejemplos de activos fijos los inmuebles, plantas de producción, máquinas, equipos, vehículos, entre otros, otros, cuya vida es relativ relativamente amente larga ppero ero limitada y eestán stán sujetas a la depreciació depreciación. existencia ncia ilimitada y que no se deprecian. n. El caso de los terrenos es un tipo de activo fijo de existe La adquisición del activo fijo genera un costo que incluye todos los desembolsos necesarios para dejarlo listo para su uso, tales como, el valor de adquisición, fletes, seguros, gastos de despacho, derechos aduaneros, instalación, montaje.

8.2 DEPRECIACIÓN DE ACTIVOS FIJOS Definición Debido al uso intensivo de los activos fijos estos sufren deterioro físico, este deterioro, desgaste o pérdida de valor que sufre el activo fijo por efecto de su uso con el paso del tiempo se denomina depreciación. Desde el punto de de vista de la contabilidad la depreciación es la asignación gradual del costo al gasto durante los períodos de tiempos en los cuales se estima que se recibirá el servicio de este activo. Con esta asignación gradual del costo original del activo fijo a gastos, la contabilidad reduce, durante un lapso de tiempo, el costo original de adquisición del activo fijo, el cual razonablemente se justifica que no debe ser constante en el tiempo porque se deteriora por efecto del uso. Dado que la empresa usa los activos fijos en la generación de sus ingresos, la contabilidad establece que los gastos relacionados se asocien a los beneficios en el período que fueron generados, por esta razón la depreciación recibe el tratamiento de gasto a pesar que no es salida de efectivo. La depreciación no es un pago efectuado en la fecha de su registro en la contabilidad, sin embargo, al momento de su adquisición, si es que fue al contado, sí ocurrió un desembolso de dinero. Causas de la depreciación ¿Por qué surge el proceso de depreciación? La utilidad del activo fijo está limitada por dos factores: El deterioro físico: consecuencia consecuencia del uso del activo fijo en el tiempo. La obsolescencia: la aparición de activos más eficientes implica que el activo fijo quede desactualizado. 5

 El término “tangible” denota sustancia material.

- 105 -

 

 

La depreciación proceso de asignación y no de valuación Se definió la depreciación como la asignación del costo al gasto, no de valuación del activo, ya que los registros de la contabilida contabilidadd no muestran los valores de mercado de éste. 8.3 MÉTODOS DE DEPRECIACIÓN Factores vinculados a la depreciación Valor inicial del activo fijo (P): es el importe del costo de adquisición o precio de compra del activo fijo. Vida útil del activo fijo (N): es el tiempo total de servicio que la empresa espera recibir del activo fijo. Por lo general, no coincide con el tiempo que la empresa rrealmente ealmente utili utiliza za el activo. Valor de recuperación o valor de salvamento (R): es el valor que se espera obtener del activo fijo al final de su vida útil cuando se elimine. Métodos de depreciación Son técnicas racionales racionales y sistemáticas ppara ara determinar la asignación de dell costo al gasto. Es racional porque los gastos se relacionan a los beneficios que el activo fijo generó en un período.

Es sistemático porque no se calcula de manera manera arbitraria sino con una fórmula. fórmula. En este curso se estudiarán los métodos de línea recta y el de la suma de dígitos anuales. 8.3.1

Método de la línea recta (LR)

Este método determina un importe constante de depreciación en cada año de la vida útil del activo fijo. Las fórmulas ddee este método son son:: dt = ( 1 / N ) * ( P - R ) ; dt es constante Dt = t*dt  VLt = P - Dt  s= 1/N Donde: dt: es el gasto de depreciació depreciación. n. VLt : valor en libros ddel el activo fijo o vvalor alor que muestra la contabilidad a la fecha “t”. Dt : es la depreciación acumulada y muestra los gastos de depreciación acumulados de cada período hasta la fecha fecha “t”. Se lee en el balance genera general.l. s: tasa uniforme de deprecia depreciación. ción. Ejemplo 1 Determine los gastos de depreciación anual de una máquina cuyo costo inicial es de S/. 10 000, vida útil estimada de cuatro años y un valor de recuperaci recuperación ón de S/. 2 000. Determine también el valor en libros en cada período y la l a tasa uniforme de depreciación.

- 106 -

 

 

Depreciación dt

Año t

Depreciación Acumulada Dt

0 1 2 3 4

2000 2000 2000 2000 8000 Tasa uniforme de depreciación: s = ¼ = 0.25

Valor en libros VLt

10000 8000 6000 4000 2000

2000 4000 6000 8000

 

Gráfico: VLt P VL1 VL

D1

d1 d2

D2

2

Valor en libros

VLN=R t 1 8.3.2

2

 

N

Método de la suma de dígitos anuales (SDA)

La depreciación se calcula multiplicando el costo depreciable (P - R) por una fracción, cuyo denominador es la suma de los dígitos de los años y el numerador la cantidad de años que le resta al activo, como se muestra en la expresión:

dt =

P-R

S

* (N - t + 1)

; (N - t + 1) es la can cantidad tidad de años que le resta de vida al activo fijo

N*(N + 1) S = 2

Dt =

P-R

s

  t

*

Σ

(N - t + 1)

t=1

 

VLt = P - Dt 

- 107 -

 

 

Donde: dt: es el gasto de depreciació depreciación. n. VLt : valor en libros ddel el activo fijo o vvalor alor que muestra la contabilidad a la fecha “t”. Dt : es la depreciación acumulada y muestra los gastos de depreciación acumulados de cada período hasta la fecha fecha “t”. Se lee en el balance genera general.l. S: es la suma de los dígitos que identifican a cada período. Ejemplo 2 Determine los gastos de depreciación anual de una máquina cuyo costo inicial es de S/. 10 000, vida útil estimada de cuatro años y un valor de recuperaci recuperación ón de S/. 2 000. Determine también el valor en libros en cada período. s = (N)*(N+1)/2 = (4)*(5)/2 s = 10 Año t

0 1 2

(N - t + 1)/s

4/10 3/10

Depreciación dt

3 200 2 400

Depreciación Acumulada Dt

32 00 56 00

Valor en libros VLt

10000 6800 4400

3 4

2/10 1/10

1 600 800 8000

72 00 80 00

2800 2000  

Gráfico: VLt P

VL1

Valor en libros

VL2 VLN=R t 1

2

N

 

8.4 ESCUDO TRIBUTARIO DE LOS GASTOS DE DEPRECIACIÓN Es el incremento de la liquidez (efectivo) generado por la deducción de los gastos de depreciación lo cual reduce el pago del Impuesto a la Renta. Sean dos escenarios para la empresa Sevilla S.A. Escenario 1: La empresa tiene sus activos totalmente depreciad depreciados, os, por tanto, los gastos de depreciación son nulos.

- 108 -

 

 

Escenario 2: La empresa adquiere un equipo nuevo (activo fijo), y corresponde gastos de depreciación por un monto igual a S/. 350 En ambos casos las ventas son S/. 4 700 y los gastos operativos antes de impuestos y gastos de depreciación iguales a S/. 1 700. La tasa (T) del Impuesto a la Renta es de 30% de las utilidades antes de impuestos. Se elabora para cada escenario el estado de ganancias y pérdidas: Sevilla S.A. Estado de Ganancias y Pérdidas Para el año que terminó… (En nuevos soles)

Ventas Gastos Operativos Utilidad Antes de Depreciación e Impuesto

Escenario (1) 4700 (1700)

Escenario (2) 4700 (1700)

3000

3000

Diferencia

a la Renta Gastos de Depreciación Utilidad Antes de Impuestos Impuesto a la Renta Utilidad Después de Impuesto a la Renta

3000

3000

0 3000 (900) 2100

(350) 2650 (795) 1855

Luego, como los Gastos de Depreciación no son desembolsos de efectivo: Gastos de Depreciación 0 350 Disponibilidad de Efectivo 2100 2205   En el escenario (1), en el cual no hay gastos de depreciación, se observa lo siguiente:

105 245

105

Utilidad Después de Impuesto a la Renta = S/. 2100. En el escenario (2) sí hay gastos de depreciación iguales a S/. 350, y como estos disminuyen las utilidades, se esperaba que la Utilidad Después de Impuesto a la Renta en ese escenario sea S/. 350 menor que la Utilidad Después de Impuesto a la Renta del escenario (1), es decir: ¿Utilidad Después de Impuesto a la Renta (2): 2100 - 350 = S/. 1 750? ¡No! Porque al observar el estado de ganancias y pérdidas del escenario (2) vemos que la Utilidad Después de Impuesto a la Renta no es S/. 1 750 sino S/. 1 855, es decir, hay S/. 105 a favor de la empresa en el escenario (2). Además: Impuesto a la Renta (1) - Impuesto a la Renta (2) = 900 - 795 = S/. 105. Es decir, en el escenario (2) el Impuesto a la Renta es menor, y se genera un ahorro llamado escudo tributario o ahorro impositivo igual a S/. 105. La deducción de los gastos de depreciación iguales a S/. 350 es lo que causa este ahorro de S/. 105 que incrementa la utilidad del escenario (2): 500 + 60 = S/. 560 = Utilidad Después de Impuesto a la Renta (1)

- 109 -

 

 

Se puede demostrar que el ahorro impositivo se calcula también así: Gastos de Depreciación*Tasa del Impuesto a la Renta = 350*0.30 = S/. 105 Resumiendo el ahorro impositivo generado por los gastos de depreciación o también llamado escudo tributario de los gastos de depreciación es: ESCUDO TRIBUTARIO POR GASTOS DE DEPRECIACIÓN= Gastos de Depreciación* Depreciación* T ESCUDO TRIBUTARIO POR GASTOS DE DEPRECIACIÓN = dt * T Donde: dt: es el gasto de depreciació depreciaciónn en el período “t”. T: tasa del Impuesto a la Renta.

- 110 -

 

 

CAPÍTULO 9 EVALUACIÓN DE PROYECTOS 9.1 INTRODUCCIÓN Una de las finalidades de la compañía es aumentar su valor en el tiempo, y contribuye a este propósito el uso adecuado de sus recursos físicos, humanos y capitales que dispone, así como el desarrollo y crecimiento que se puede lograr a través de la identificación y evaluación de nuevas oportunidades de negocio. Las oportunidades de negocio requieren a su vez, nuevos capitales y recursos que conforman el monto de la inversión; como no hay certeza en el futuro y el capital es un recurso escaso, el inversionista requiere de metodologías para el estudio de esta oportunidad de negocio y posteriorsuevaluación invertir capital. para determinar, basado en las estimaciones del estudio, si conviene o no El estudio y evaluación se plasman en un proyecto que se define como un plan que surge como respuesta a una idea de negocio que pretende buscar la solución a un problema de reemplazo de tecnología obsoleta, abandono de una línea de productos, implementar una planta de producción, puesta en marcha de un negocio de comercialización o servicios, u otras ideas; con el propósito de aprovechar una oportunidad de negocio, y que a su vez permitirá la solución de

un problema de terceros, tales como, demanda insatisfecha, sustitución de importaciones, entre otros6. El estudio del proyecto abarca lo siguiente: El estudio de mercado. El estudio técnico o de ingeniería del proyecto. El estudio organizacio organizacional nal y administrativo. El estudio económico-financier económico-financieroo (financiamien (financiamiento to y evaluación económicaeconómica-financiera) financiera) El estudio del impacto ambiental. En este curso curso se ddesarrollará esarrollará la etapa de financ financiamiento, iamiento, ((desarrollad desarrolladaa en el capítulo 7), y la evaluación económica del proyecto en este capítulo 9. 9.2 EL FLUJO DE CAJA ECONÓMICO Definición y cuentas El flujo de caja económico es un estado de cuenta que muestra los ingresos y salidas de efectivo estimados y relacionados al desarrollo del proyecto en su horizonte o vida que son la cantidad de años que se estima que el proyecto tiene capacidad para generar renta. Cuando elabora íntegramente el flujo de cajafinanciada económico, la inversión proyectose estuviese porseelasume dueñoundelescenario proyecto,como o quesi es lo mismo,del el total por aporte propio (C). (C). El propósito de esta evaluación llamada “evaluación económica” económica ” es determinar cuál es la rentabilidad intrínseca del negocio al margen del financiamiento de la inversión, ésta es conocida también como rentabilidad operativa. 6

 Adaptado de:

SAPAG, Nassir ; SAPAG, Reinaldo 2004 Preparación y Evaluación de Proyectos . Cuarta edición. México D.F.:McGraw-Hill.

- 111 -

 

 

Es importante aclarar que este escenario no indica que parte de la inversión no está siendo financiada con deuda (D). Tanto la amortización como los intereses de esta deuda cuyo total es la cuota de pago, son parte del problema del financiamiento del proyecto y debe ser incluido en el flujo de caja financiero, pero no el flujo de caja económico. El detalle de cuentas de un flujo de caja económico es el siguiente: Inversión: Activos fijos. Activos intangibles. Capital de trabajo y sus cambios a lo largo de la vida del proyecto. • 

Ingresos operativos: Ventas: por las entradas de efectivo obtenidas por la venta de los productos o servicios del

• 

proyecto. Liquidación de activos fijos: venta de los activos fijos al final del proyecto. Costos operativos7: En el caso de proyectos que contemplan actividades de manufactura, incluir los costos de materia prima, mano de obra directa, y otros costos vinculados a la producción. En el caso de proyectos cuyas actividades son de comercialización, incluir el costo de adquisición de los productos.

• 

Los costos operativos también incluyen: Gastos de administració administración. n. Gastos de ventas. Impuestos y efectos impositivos: Pagos del IGV neto del crédito fiscal, el Impuesto a la Renta, el Impuesto Selectivo al Consumo y las contribuciones sociales. El escudo tributario de los gastos de depreciación. El efecto del Impuesto a la Renta sobre la liquidación de los activos fijos.

• 

Es necesario insistir, que como el flujo de caja económico se elabora como si fuera íntegramente financiado por el dueño del proyecto, no se incluyen la amortización ni los gastos financieros en dicho dicho flujo de caja. ¿En qué tipo de flujo de caja sí se incluyen? incluyen? Pautas para elaborar el flujo de caja económico proyectado 1.

La inversi inversión ón incluye el importe en activo activoss fijos, lo loss activos intangibles y el ca capital pital de ttrabajo, rabajo, requeridos por el proyecto. 2. El flujo de caj cajaa se elabora según eell prin principio cipio ddee efectiv efectivo. o. Así por ejemplo, si un porcenta porcentaje je de las ventas son al crédito, estas ventas serán anotadas en el flujo de caja en la fecha de su cobranza y no cuando se realizó la venta. 3. El escudo tribu tributario tario de llaa depreciaci depreciación ón debe an anotarse otarse como entrada eenn el flujo de caja 8 porque es ahorro  a favor del inversionista por la deducción de los gastos de depreciación de loslos activos depreciablesestablec depreciables del proyecto. que los terrenos terrenos no se deprecian, salvo casosfijos excepcionales establecidos idos porRecuerde ley. 4. Al final del horizonte del proyecto anotar en el flujo de caja, la ven venta ta por dese desecho cho o liquidación de los activos fijos incluyendo el efecto tributario del Impuesto a la Renta. Asimismo, anotar la recuperación del capital de trabajo.

7

 Ver el detalle de estas cuentas en el capítulo 6.

8

 Lo que en el capítulo c apítulo 8 se denominó el escudo tributario de los gastos de depreciación.

- 112 -

 

 

5.

Finalmente, no olvide que en el flujo de caja económico no debe anotar ni la amortización ni los gastos financieros que genera el financiamiento de una parte de la inversión efectuada con deuda con terceros (D).

El flujo de caja económico se prepara después de Impuesto a la Renta, su diagrama gener general al es:

L+C

t

t

0

I0

1

 -

Et*(1 - T)

n

  Y los beneficios netos en “t” se calculan así: Si 1 ≤ t 0) N>0) en vez de invertir dicho mo monto nto de inversión en la alternativa cuya rentabilidad rentabilidad es la TMAR. En otras palabras, VPN>0 ind indica ica que si el saldo que se obtiene al restar la inversión de la sumatoria de los beneficios netos capitalizados a la TMAR y luego descontados a t=0 es positivo, entonces, el proyecto recupera la inversión y además deja un saldo adicional al dueño del proyecto. Si el VPN es negativo, es más conveniente invertir el monto I0 en el instrumento de inversión cuya tasa de rentabilidad es la TMAR, ya que resultó una alternativa de inversión superior al proyecto que se estaba evaluando. Regla de decisión del VPN Para un solo proyecto: VPN > 0: aceptar eell proyecto proyecto.. VPN = 0: indiferencia. VPN < 0: rechazar el proy proyecto. ecto. Para varios proyectos mutuamente excluyentes, todos con igual vida: Escoger el proyecto con mayor VPN. Para varios proyectos independientes, todos con igual vida: Escoger los proyectos de mayor VPN, hasta agotar el capital disponible para cubrir la inversión.

- 114 -

 

 

Dificultades en el VPN La dificultad del VPN es la determinación de la tasa de descuento, ésta que también se denomina TASA MÍNIMA ATRACTIVA DE RETORNO (TMAR) es el costo de oportunidad el cual a menudo no es sencillo determinar. La TMAR del inversionista también puede definirse así: TMAR = K ó TMAR = (1 + θ)*K Donde: K: es el costo ponderado de capital. es una medida del riesgo del negocio vinculado al proyecto. θ: La idea que subyace a la definición anterior para la TMAR es que el mínimo retorno que se espera dedeterminado la reinversióna de los de beneficios netos del del capital proyectodeuda debe (D) ser +talcapital que cubra el costo del capital K partir la estructura propio (C) 9  que financia la inversión. 9.3.2

La Tasa Interna de Retorno (TIR)

Sabemos que el Valor Presente Neto se calcula con la expresión: n

-  I0 +

VPN =

St

Σ

(1 + i )

t=1

t

 

Si se iguala el VPN a cero y definimos como incógnita la tasa de interés tenemos: n

-  I0 +

St

Σ

(1 + i )

t=1

t

=

0

…(ε)

  Al resolver la ecuación (ε) anterior, la tasa de interés que se calcula es la llamada TASA INTERNA DE RETORNO.  Si analiza la ecuación (ε) se observa que la TIR es la misma tasa que se obtiene al aplicar el concepto de equivalencia: “lo que está arriba es igual a lo que está abajo, comparado en un mismo instante”; en evaluación de pr proyectos oyectos por lo gener general al se toma t=0 como la fecha ddee evaluación. Recuerde que estos cálculos fueron ha habituales bituales en los primeros capítulos del curso. Pero, ¿qué significa la TIR? La tasa interna de retor retorno no se interpreta com comoo el indicador que mide la rentabilidad promedio anual que genera el capital que permanece invertido en él. ¿Por qué el capital que permanece invertido (o saldo no recuperado)? Ejemplo Sea una inversión de US$ 100 000 que genera beneficios netos iguales a US$ 30 000 durante 5 años.

9

 Visto en el capítulo 7.

- 115 -

 

 

Flujo de caja del proyecto:

St = US$ 30000

0

1

2

3

4

5 años

I0 = US$ 100000 Cálculo de la TIR: VPN = 0 = -100000 + 30000(P/A , i , 5) i = 15.238% anual = TIR

 

La siguiente tabla presenta los importes de los saldos que aún no se recuperan del total de la inversión al inicio de cada año: AÑO

Saldo no recuperado al inicio del añoi

Intereses del saldo no recuperado

Beneficios netosi

Remoción del saldo no recuperado

Saldo no recuperado al final del añoi

0 1 2 3 4 5

-100000 -85238.24 -68227.04 -48623.64 -26033.03

15238.24 12988.80 10396.60 7409.39 3966.97

30000 30000 30000 30000 30000

14761.76 17011.20 19603.40 22590.61 26033.03

-100000 -85238.24 -68227.04 -48623.64 -26033.03 0

  Asimismo la tabla muestra que el saldo de la inversión en cada año genera una renta al inversionista según la tasa del 15 15.238% .238% anua anuall que es la TIR. Por ejemplo, en el cuarto año, el proyecto genera al inversionista i nversionista US$ 7 409.39 de iintereses ntereses que se determinó con la l a siguiente operación: 15.238%*48 623.64 = 7409.39. Luego, los US$ 22 590.61 es el monto de los US$ 100 000 de la inversión que se recuperó en el cuarto año, y el beneficio total en el cuarto año del inversionista inversionista es US$ 30 000 que es la suma de US$ 74 7409.39 09.39 + US$ 22590.61. Otra interpretación para la TIR es que define hasta cuánto podría el inversionista aumentar la TMAR para que el proyecto siga siendo aceptado, esto nos lleva a definir la siguiente regla de decisión. Regla de decisión de la TIR Para un solo proyecto (y flujo de caja convencional con inversión I0 única en t=0 y beneficios netos St todos positivos): TIR>TMAR: aceptar el proyecto. VPN>0 TIR=TMAR: indiferencia. VPN=0 TIR VAEB = S/. 233 019. Esta es la manera correcta de seleccionar proyectos mutuamente excluyentes con diferente vida. Observe que, en este ejemplo, al seleccionar el proyecto B con el VPN llevó a una conclusión contraria a lo que indica el VAE. A continuación se presentan la decisión que se obtiene si a los proyectos A y B se les aplica el método del Mínimo Común Múltiplo: MCM (6 , 4) = 12 Horizonte común: 12 años Proyecto A: 820000

820000

820000

1 50000

0

1

2

3

4

5

15000 0

6

7

8

9

150000

10

11

12 años