Libro de Geometria Vectorial

Geometría vectorial y analítica Una introducción al álgebra lineal

Geometría vectorial y analítica Una introducción al álgebra lineal

Alberto Jaramillo Atehortúa Grimaldo Oleas Liñán

Rector de la Universidad de Antioquia Alberto Uribe Correa Vicerrector de Docencia Óscar Sierra Rodríguez Decano de la Facultad de Ingeniería Elkin Libardo Ríos Ortiz Vicedecano de la Facultad de Ingeniería Carlos Alberto Palacio Tobón Asesor metodológico del Programa de Educación Ude@ Guillermo León Ospina Gómez Autores Alberto Jaramillo Atehortúa Grimaldo Oleas Liñán Jefe del Departamento de Recursos de Apoyo e Informática (DRAI) Juan Diego Vélez Serna Coordinadora de Producción Lyda Yaneth Contreras Olivares Corrector de estilo Daniel Aldana Estrada Diagramación y diseño Maribel Salazar Estrada Duván Mejía Zapata Impresión Cátedra Litografía Primera edición, 2006 Segunda edición, 2007 Segunda edición, primera reimpresión, 2008 Tercera edición, 2009 Esta publicación es un producto del Programa de Educación a Distancia Ude@. Reservados todos los derechos. No se permite la reproducción, archivo o ransmisión total o parcial de este texto mediante ningún medio, ya sea electrónico, mecánico, óptico, de fotorreproducción, memoria o cualquier otro tipo sin permiso de los editores Ude@. © Universidad de Antioquia ISBN: 978-958-714-027-9 Impreso en Medellín (Colombia) Imagen de la portada Fotografía de la escultura Girasoles Este campo de girasoles, compuesto por cuatro esculturas de concreto vaciado y reforzado, hace parte de un proyecto artístico de «sustitución de cultivos» que busca contrarrestar con las «flores alegres» la imagen negativa que ha generado la amapola fuera del país. Los girasoles, cada uno de tres metros de altura y una tonelada de peso, fueron donados por la artista bogotana Ana Mercedes Hoyos en junio de 2001 y se encuentran ubicados en la parte trasera del teatro al aire libre de la Universidad de Antioquia. A la artista Ana Mercedes Hoyos, una de las figuras más sobresalientes del arte latinoamericano actual, nuestra institución le otorgó honoris causa el título de Maestra en Artes Plásticas.

Acerca de los autores Alberto Jaramillo Atehortúa Grimaldo Oleas Liñán

Alberto Jaramillo Atehortúa Ingeniero industrial (1975) y magíster (1996) en Sicopedagogía (Pensamiento Lógico-Matemático) de la Universidad de Antioquia. Actualmente es profesor titular vinculado al Departamento de Matemáticas de esta Institución. Es autor de los textos Fundamentos de lógica y teoría de conjuntos (http://docencia.udea.edu.co/cen/logica), Aplicaciones de los vectores geométricos a la Física (http:// docencia.udea.edu.co/cen/vectorfisico) y Proyecto de aula Geometría Integrada (http://docencia.udea.edu.co/cen/geometrias) , y coautor de Geometría vectorial (http://ayura.udea.edu.co/~vectorial) y Modelos de razonamiento lógico en algunos temas de la Matemática (http://ayura.udea.edu.co/logica) Correo electrónico: [email protected]

Grimaldo Oleas Liñán Profesor jubilado del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Antioquia. Licenciado en Matemáticas y Física (1967) de esta institución y magíster en Estadística (1973) de la Universidad Complutense de Madrid. Es autor de los textos El geoplano como mediador en la enseñanza de la Geometría; Solución, con regla y compás, de ecuaciones cuadráticas; Construcción de las estructuras de grupo y espacio vectorial, con el uso del geoplano (en proceso de publicación). Además, es coautor de Camino a la universidad (matemáticas) y Geometría vectorial (http://ayura.udea.edu.co/~vectorial). Correo electrónico: [email protected]

Cómo usar este texto Como estudiante del programa de educación no presencial de la Universidad de Antioquia, Ude@, usted es el centro del modelo educativo y puede controlar el proceso de aprendizaje mediante la organización del tiempo alrededor de sus intereses. La autonomía, la disciplina, la creatividad y el trabajo en equipo son características que le ayudarán en su formación para solucionar problemas reales de la sociedad, recurriendo al método de la ingeniería. Los cursos Ude@ permiten fortalecer estas características mediante el desarrollo de diferentes actividades1. „

Estudio individual, apoyado en diferentes medios (impresos, audiovisuales, multimedia).

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Estudio en grupo y acompañamiento del profesor a través del aula virtual.

„

Tutorías presenciales, cuya finalidad es apoyar el aprendizaje y afianzar los temas estudiados.

El texto Ude@ En el modelo Ude@ los contenidos educativos son aportados por cada medio teniendo en cuenta las fortalezas propias de cada uno de ellos. Desde el punto de vista pedagógico, el texto impreso es por tradición un medio idóneo para los procesos de educativos ya que facilita el aprendizaje de hechos, la compresión de principios generalizados o abstractos y el desarrollo del razonamiento lógico. En estos aspectos, el texto Ude@ es un medio muy eficaz para desarrollar y adquirir tales destrezas.

Estructura del texto El texto Geometría vectorial y analítica ha sido desarrollado como parte del material educativo de los estudiantes del programa; sin embargo, su contenido puede ser de gran utilidad para cualquier persona que desee estudiar este tema. La estructura del texto es lineal, con una progresión gradual de cada tema, lo cual hace más fácil la transmisión del contenido de una manera lógica. La división del texto está dada por capítulos que, a su vez, agrupan módulos o temas. Al empezar cada capítulo se encuentra un «Contenido breve» que muestra el número y el título de los módulos que componen el capítulo. Por su parte cada módulo contiene, en su primera página, una introducción, los objetivos de aprendizaje, unas preguntas básicas (relacionadas con los conocimientos previos requeridos) y el índice temático del contenido, que le guiarán en el proceso de aprendizaje sobre el tema en particular de cada sesión de clase.

1

Los cursos tienen un cronograma semanal de actividades que lo orientará en su proceso de aprendizaje.

Los iconos y la interrelación de medios El material Ude@ ha sido producido de manera integral, teniendo como objetivo primordial el autoestudio. Por tanto, la producción de los contenidos se desarrolla en los diferentes formatos (audiovisuales, web, multimedia, videoconferencias), con enlaces entre los mismos. La esencia de estos enlaces está dada por los iconos Ude@. Los iconos, como representaciones gráficas de la realidad, serán los elementos gráficos que le ayudarán a guiarse en su navegación por los diferentes medios.

Sugerencias para los estudiantes En la lectura del libro: „

Antes de iniciar el estudio de un capítulo, lea el contenido breve y la presentación.

„

Trate de resolver las preguntas básicas de cada módulo; estas preguntas están diseñadas para ayudarle a comprender los conceptos o temas presentados a lo largo del mismo.

„

Lea los ejemplos intercalados en los bloques de texto y trate de resolver los ejercicios con el fin de mejorar sus habilidades en la solución de problemas reales.

„

Complemente la lectura del libro con las herramientas de comunicación que posee en el aula virtual y en su correo electrónico.

„

Recuerde que sobre el tema que está estudiando en el módulo impreso también existe material disponible en otros medios, y que ese material representa valor agregado puesto que el contenido de los diferentes formatos no se repite sino que se complementa.

En el aula virtual: „

Aprenda cómo funcionan las herramientas indispensables para participar en un curso por red: sistema de correo electrónico, sistema de chat, grupos de discusión, búsquedas en Internet, consulta en bases de datos especializadas, entre otras.

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Revise el correo electrónico todos los días.

„

Visite con relativa frecuencia el sitio Ude@ y la plataforma donde se publica el curso en Internet para enterarse de cualquier nueva información. Apóyese en la red como un sistema de consulta y establezca criterios para seleccionar la información requerida.

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Introduzca sus datos personales en el aula virtual para que sus tutores y compañeros tengan acceso a ellos.

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Desarrolle, en la primera semana, las actividades preparativas para el curso indicadas en el aula virtual.

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Dedique al menos tres horas semanales por cada crédito asignado a un curso para leer los módulos, realizar trabajos, participar en los foros de discusión y presentar evaluaciones, de acuerdo con lo establecido en el cronograma.

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Planee su agenda personal para participar activamente en cada curso y entregar oportunamente sus tareas. En caso de algún imprevisto, debe comunicarse inmediatamente con el tutor.

„

Participe de las actividades propuestas para realizar en forma individual y en grupos de trabajo. Haga parte de grupos de trabajo conformados con sus compañeros de curso y en ningún caso pretenda realizar todas las actividades sin ayuda de los demás.

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Manifieste oportunamente a sus compañeros y al profesor las dificultades que se le presentan con las actividades propuestas.

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Elabore su propio horario de trabajo independiente para el curso y cumpla con el cronograma del curso.

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Realice con honradez las actividades de evaluación, autoevaluación y coevaluación que encuentre programadas en el curso.

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Durante su proceso de aprendizaje trate de adquirir autonomía con el conocimiento, es decir, intente construir nuevos conocimientos recurriendo a fuentes de información bibliográfica y a sus habilidades de comparación, análisis, síntesis y experimentación.

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Mantenga una actitud de colaboración con compañeros, tutores y monitores, y esté siempre dispuesto a realizar las actividades de aprendizaje.

„

Relaciónese de manera respetuosa y cordial con los demás estudiantes, con el tutor y con los monitores.

Tabla de contenido Capítulo 0: Solución de sistemas de ecuaciones lineales de órdenes 2 × 2 y 3 × 3 y las interpretaciones geométricas del conjunto solución

Módulo 0 Sistemas de ecuaciones lineales de órdenes 2 × 2 y 3 × 3 y las interpretaciones geométricas del conjunto solución

25

Ejercicios

39

Pág. 23

Capítulo 1: El conjunto R n y sus operaciones Pág. 41

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales Pág. 63

Módulo 1

43

El conjunto \ y sus operaciones básicas n

Módulo 2

51

Otras propiedades asociadas al conjunto \ como un espacio vectorial n

Ejercicios Módulos 1 y 2

61

Módulo 3

65

El conjunto \ m× n Módulo 4

73

Operaciones en el conjunto \ m× n Módulo 5 La transpuesta de una matriz y sus propiedades

85

Módulo 6 Sistemas de ecuaciones lineales

91

Módulo 7

101

Tipos de solución de un S .E.L.(m , n ) Ejercicios Módulos 3 al 7

114

Módulo 8 Matrices invertibles

123

Módulo 9 Inversas de las matrices elementales

131

Módulo 10 El algoritmo de Gauss-Jordan para la determinación de la inversa multiplicativa

135

Ejercicios Módulos 8 al 10

140

Capítulo 3: La función determinante Pág. 145

Módulo 11 La función determinante: dominio y codominio

147

Módulo 12 Procedimiento para evaluar el determinante utilizando matrices elementales

159

Módulo 13 La función determinante y sus relaciones con

171

la inversa multiplicativa de

Capítulo 4: Vectores geométricos Pág. 187

Capítulo 5: Vectores coordenados Pág. 249

Capítulo 6: El producto escalar Pág. 293

A( n , n )

Ejercicios Módulos 11 al 13

179

Módulo 14 Vectores libres

189

Módulo 15 Operaciones con vectores libres

195

Ejercicios Módulos 14 y 15

211

Módulo 16 El espacio vectorial de los vectores libres

227

Ejercicios Módulo 16

244

Módulo 17 Correspondencia entre los vectores geométricos y los vectores coordenados

251

Módulo 18 Lugares geométricos

265

Módulo 19 Intersecciones entre lugares geométricos

281

Ejercicios Módulos 17 al 19

290

Módulo 20

295

Producto escalar en E y \ 3

3

Módulo 21 Proyección ortogonal

305

Módulo 22 Producto escalar y geometría analítica

217

Ejercicios Módulos 20 al 22

339

Capítulo 7: El producto vectorial Pág. 353

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física Pág. 385

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Pág. 483

Módulo 23 Producto vectorial

355

Módulo 24 Producto vectorial y geometría analítica

363

Ejercicios Módulos 23 y 24

372

Módulo 25 Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes

387

Ejercicios Módulo 25

414

Módulo 26 Cinemática

421

Ejercicios Módulo 26

444

Módulo 27 Trabajo de una fuerza sobre un cuerpo

447

Ejercicios Módulo 27

457

Módulo 28 Momento de una fuerza respecto de un punto

459

Ejercicios Módulo 28

479

Módulo 29 La circunferencia

485

Ejercicios Módulo 29

495

Módulo 30 La parábola

501

Ejercicios Módulo 30

526

Módulo 31 La elipse

539

Ejercicios Módulo 31

562

Módulo 32 La hipérbola

573

Ejercicios Módulos 32

591

Apéndice 1 Estructuras algebraicas básicas

603

Apéndice 2 Método de demostración por inducción

617

Bibliografía

625

Prólogo El texto Geometría vectorial y analítica: una introducción al álgebra lineal es la síntesis de un proceso pedagógico de más de dos décadas, enriquecido por los aprendizajes mutuos en las aulas y fuera de ellas, en las áreas de la geometría euclidiana, la geometría analítica, la geometría vectorial, el cálculo vectorial y el álgebra lineal, entre otras. En él materializamos las concepciones adquiridas como producto de la reflexión sobre nuestra práctica docente y que, a modo de impronta, están identificadas en los siguientes aspectos: 1. La coherencia, el rigor y la articulación en el desarrollo de sus contenidos, que muestran los fundamentos geométricos euclidianos del vector geométrico y su consolidación como objeto matemático altamente refinado y fundamental en la construcción del cálculo vectorial y de innumerables áreas aplicadas. 2. La determinación explícita de la naturaleza subyacente en las operaciones definidas en cada conjunto y su carácter unificador, como también las estructuras algebraicas comunes que facilitan su síntesis como espacios vectoriales y que permiten identificar sus propiedades comunes y hacen más natural y enriquecedor su estudio. 3. El empleo cuidadoso del lenguaje universal de la Matemática (la teoría de conjuntos), que fomenta la comprensión conceptual y la exigencia de una redacción precisa cuando se trata de la comunicación en esta ciencia. 4. El equilibrio entre el desarrollo deductivo en la construcción de la teoría, que exige del lector el empleo a fondo y la ampliación continua de sus estructuras cognitivas en la construcción de su pensamiento formal, y las ilustraciones y aplicaciones, que fortalecen la adquisición de los automatismos y destrezas necesarias para el dominio operativo y algorítmico de los conceptos básicos. 5. El tránsito gradual y asistido desde la teoría a la práctica en aplicaciones fundamentales de la geometría vectorial a la Física, que ofrecen al lector la posibilidad real de introducirse con una buena fundamentación en esta importante área del conocimiento que tiene en el cálculo vectorial su instrumento vital para su formulación. 6. La construcción de los temas fundamentales con la convicción de la prevalencia del carácter formativo de esta área de estudio en los estudiantes a los cuales va dirigido y que, en consecuencia, está orientada a movilizar y ampliar sus estructuras de pensamiento y no se limita a los objetivos meramente instrumentalistas o informativos.

7. Los referentes históricos, que permiten concebir el desarrollo científico como la unión de los aportes individuales en todos los tiempos de un gran número de hombres y mujeres que con sus esfuerzos y trabajo han tejido y tejerán la cultura. Agradecemos a todos y cada uno de los integrantes del programa Ude@ que han permitido la materialización de este esfuerzo colectivo; así mismo, a la estudiante de la Licenciatura en Matemáticas y Física, Diana Milena Escobar F., que digitó y diseñó la versión inicial de los textos Geometría vectorial y Algunas aplicaciones de los vectores geométricos a la Física en formato electrónico, y a nuestros alumnos, de quienes aprendemos en nuestra actividad diaria.

Los autores

Introducción Destacamos algunos elementos fundamentales de la estructura del texto Geometría vectorial y analítica: una introducción al álgebra lineal para que el lector tenga una mejor idea del trabajo que ponemos a su disposición.

1.

Organización temática

3.

Está orientada a satisfacer, entre otros, los siguientes aspectos:

Destacamos en particular la importancia de algunos mediadores en el texto, así:

Proveer al estudiante de Ingeniería de los elementos básicos de la geometría vectorial y analítica y del álgebra lineal, presentes en la geometría, que lo habilitan para plantear y resolver problemas teóricos y prácticos de diferente naturaleza.

Los mapas conceptuales permiten analizar y ubicar rápidamente los objetos y las relaciones más importantes en el tejido completo de la teoría construida, a la vez que muestran el papel funcional de unos y otras.

Articular en forma eficiente los contenidos desarrollados en los cursos previos (Álgebra y trigonometría y Geometría euclidiana) y posteriores (Álgebra lineal, Cálculo y Física).

El diseño muestra una cuidadosa selección en la presentación de los temas y problemas desarrollados (estos últimos argumentados paso a paso en forma de «ilustraciones» o ejemplos), e igualmente un desarrollo sencillo de los conceptos teóricos, tratando de que su estudio sea emprendido sin mayor dificultad por los estudiantes.

Estudiar en todos sus aspectos los dos primeros objetos de estudio del álgebra lineal: la determinación del conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales y el cálculo de la matriz inversa, bajo el producto, de una matriz cuadrada.

Las secciones de ejercicios propuestos que acompañan cada tema desarrollado buscan reafirmar en los estudiantes los temas tratados.

Identificar las estructuras algebraicas básicas que subyacen en las distintas operaciones, unificándolas y facilitando la comprensión, en cada uno de los conjuntos estudiados, de sus elementos característicos, en este caso los vectores y sus propiedades. Éstos serán generalizados, y su estudio será completado en el curso de Álgebra lineal.

Las preguntas que, a modo de interrogantes, aparecen permanentemente en la formulación de las demostraciones, en las observaciones y en los desarrollos teóricos buscan la reflexión del estudiante y tratan de crear en él una actitud crítica como elemento muy importante en los procesos de enseñanza y aprendizaje en los cuales estamos comprometidos.

Las razones mencionadas nos llevaron a estructurar el texto en diez capítulos y dos apéndices. 2.

Aspectos metodológicos

Los apéndices proporcionan un apoyo permanente para apuntalar y ampliar las construcciones de la teoría y un proceso demostrativo vital en los temas estudiados, como lo es la inducción matemática.

El espacio vectorial como estructura consolidante A manera de columna vertebral del texto se destaca, en todos los conjuntos estudiados y en forma natural, la estructura del espacio vectorial, favoreciendo los procesos de análisis y síntesis y las analogías; de allí la importancia que le asignamos al estudio detallado de las estructuras previas y a las estructuras derivadas del espacio vectorial.

4.

¿A quién va dirigido el texto? Conscientes de que el estudiante es la persona más importante en este proceso dialógico, nos he-

mos propuesto desarrollar los temas tratados no sólo con coherencia y continuidad, sino con el rigor que debe tener un curso formativo del cual se espera obtener aprendizajes válidos y significativos que generen la movilización y ampliación del pensamiento lógico-matemático y en el cual son tan importantes el dominio por parte del estudiante de los conceptos y aplicaciones propias del área, como los procesos mentales desencadenados. Agradecemos a los estudiantes y profesores que estudien este texto las observaciones, recomendaciones y sugerencias que puedan hacernos para mejorarlo, con la seguridad de que las tendremos en cuenta.

Los autores

Mapa conceptual principal: Geometría vectorial y analítica

1

Capítulo 1 n

El conjunto \ y sus operaciones

Contenido breve Módulo 1 El conjunto \ n y sus operaciones básicas Módulo 2 Otras propiedades asociadas al conjunto \ n como un espacio vectorial. Los conceptos matemáticos se articulan creando estructuras organizadas que se van ampliando para dar origen a nuevas teorías, muchas de las cuales permiten construir modelos que explican comportamientos de fenómenos en diversas áreas del conocimiento. Así, el conjunto \n es un referente básico para entender otros espacios más complejos pero que presentan estructuras similares.

Presentación Iniciamos este trabajo con el tema del conjunto de las n-tuplas de componentes reales ( \ n ) atendiendo a dos razones fundamentales. La primera corresponde a un principio didáctico mediante el cual aprovechamos los conceptos previos que el estudiante de este nivel debe haber consolidado en su formación anterior en el ciclo medio, en temas como las relaciones binarias, el producto cartesiano y la geometría analítica básica, que le capacitan para identificar el par ordenado y su representación gráfica. Esto nos permite hacer ahora una generalización de este concepto y la introducción de las operaciones que desde el punto de vista intuitivo son de fácil comprensión para el estudiante, sin desconocer el grado de abstracción que éste y ellas suponen. La segunda atiende un principio de las estructuras lógicas en cuanto a los temas n tratados, facilitando la presentación, inicialmente en el conjunto \ , de todas las estructuras algebraicas que se estudian en los demás conjuntos objeto de trabajo del curso, y permitiendo tomarlo siempre como referencia y herramienta de apoyo.

Ejercicios Módulos 1 y 2

42

1 n

El conjunto \ y sus operaciones básicas Introducción Aprovechamos la familiaridad que el lector tiene en este momento de su trabajo académico con las correspondencias establecidas entre el conjunto de los números reales ( \ ) y el conjunto de los puntos de una recta, el conjunto de los pares ordenados de números reales y los puntos del plano cartesiano, y el conjunto de tripletas ordenadas de números reales y los puntos del espacio tridimensional, para inducir un término general –la n-tupla ordenada de componentes reales–, que a su vez nos permite introducir el conjunto \ n con una serie de operaciones de fácil comprensión y a través de las cuales caracterizaremos los tipos de operaciones generales que identifican las estructuras algebraicas básicas y que se consolidan en el espacio vectorial. La facilidad de su manejo nos permite tomarlo como referencia y ejemplar de comparación para identificar las operaciones y propiedades que caracterizan a los otros dos conjuntos objeto de nuestro estudio en este curso: las matrices de componentes reales y los vectores geométricos. En esta forma cumplimos con un doble objetivo inherente en todos los procesos de enseñanza y aprendizaje: la precisión en la selección y ordenación temática y la didáctica pertinente.

Objetivos del módulo 1. Introducir un conjunto fundamental \ con sus operaciones como un modelo de espacio vectorial que es isomorfo a los demás espacios que estudiaremos.

Niels Henrik Abel El matemático noruego Niels Henrik Abel nació el 5 de agosto de 1802 y falleció el 16 de abril de 1829. Muy joven comenzó a leer las obras de grandes matemáticos, como Leonhard Euler, Joseph Louis Lagrange y Pierre Simon Laplace. Su profesor, convencido del talento del joven Abel para las matemáticas, lo había animado a hacerlo. Abel publicó en 1823 escritos de ecuaciones funcionales e integrales y dio la primera solución de una ecuación integral. En 1824 probó que era imposible resolver algebraicamente ecuaciones de quinto grado y de su propio costo realizó publicaciones con la esperanza de obtener reconocimiento por su trabajo. También le dio estabilidad al análisis matemático sobre bases rigurosas. Su mayor trabajo, «Investigaciones sobre las funciones elípticas», fue publicado en 1827 en el primer volumen del diario Crelle, el primer periódico dedicado enteramente a las matemáticas.

n

Preguntas básicas 1. ¿Qué es el conjunto \ ? 2. ¿Cuándo dos n-tuplas son iguales? n

n 3. ¿Qué operaciones se definen en el conjunto \ ?

4. ¿Qué tipo de operación caracteriza a la adición en \ n ? 5. ¿Qué tipo de operación caracteriza al producto de un real por una n-tupla? 6. ¿Es el conjunto \ n con las operaciones definidas un espacio vectorial?

Abel viajó a París y Berlín, donde entró en contacto con otros matemáticos de la época, y donde publicó sus principales trabajos. Después de su visita a París, retornó a Noruega bastante débil. Mientras estuvo en la «ciudad luz» visitó a un doctor, quien le informó que padecía de tuberculosis. Pero a pesar de su mala salud y la pobreza, continuó escribiendo y estudiando, sobre todo sobre las funciones elípticas. Una importante clase de funciones trascendentales se denomina (después de su descubrimiento, en su honor) «ecuaciones, grupos y cuerpos abelianos». Con motivo de la conmemoración del bicentenario de su nacimiento, quedó instituido el Premio Abel, de carácter internacional, en reconocimiento a grandes aportaciones realizadas en el campo de las matemáticas.

Contenidos del módulo 1.1 El conjunto \ n 1.2 Igualdad en el conjunto \ n n 1.3 Operaciones en el conjunto \ o que involucran este conjunto n 1.3.1 Adición en el conjunto \

1.3.2 Diferencia en el conjunto \ 1.3.3 Producto de un número real por una n-tupla n

Vea el módulo 1 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

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Capítulo 1: El conjunto \ n y sus operaciones

1.1 El conjunto Rn Definimos R n = {(α1 , α 2 ,..., α n ) α i ∈ R , ∀i = 1,..., n} . A este conjunto lo llamamos conjunto de n tuplas de componentes reales, y se lee «R ene». En particular, si n = 2, R 2 = {(α1 , α 2 ) α1 , α 2 ∈ R} . A este conjunto lo llamamos Escuche la biografía de William Rowan Hamilton en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

conjunto de parejas o pares ordenados de componentes reales y tiene su representación como puntos en el plano cartesiano. Se lee «R dos». Si n = 3, R3 = {(α1 , α 2 , α 3 ) α1 , α 2 , α 3 ∈ R} . A este conjunto lo llamamos conjunto de tripletas ordenadas de componentes reales y tiene su representación como puntos en el espacio tridimensional. 4 Si n = 4, R = {(α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) α1 , α 2 , α 3 , α 4 ∈ R} . A este conjunto lo llama-

mos conjunto de cuartetas ordenadas de componentes reales y no es posible hacer una interpretación geométrica como en los casos anteriores, dada la limitación de nuestro espacio de representación máximo a tres dimensiones. Esto no significa que no podamos determinar este conjunto y los de órdenes superiores para n, puesto que su existencia es independiente de su posibilidad de representación geométrica. Para estos conjuntos, podemos referirnos a sus elementos como quintetos ordenados de componentes reales en el caso del conjunto R5, sextetos ordenados de componentes reales en el caso del conjunto R 6 , pero en general los designaremos como n-tuplas ordenadas de 5, 6, ... , etc., componentes reales.

1.2 Igualdad en el conjunto R n Sean a, b ∈ R n , donde a = (α1 , α 2 ,..., α i ,..., α n ), b = ( β1 , β 2 ,..., β i ,..., β n ). Entonces, a = b si y sólo si α1 = β1 ∧ α 2 = β 2 .... ∧ α i = β i ... ∧ α n = β n . Esto significa que dos n-tuplas del mismo orden, es decir, del mismo número de componentes, son iguales únicamente si sus respectivas componentes son iguales, en su orden estricto. Ilustración 1

1.

Dadas a = (−1 5, α , 0, 5), b = (−1 5, 7, 0, β ), c = (1 5, 7, 0, θ ), d = (−1 5, − 3, 0), e = (λ , α + λ , 0, 5), determinemos los valores de α, β, θ , λ , si es posible, en cada caso para los cuales se cumplen las siguientes igualdades: a=b a=c a=d a=e

44

Módulo 1: El conjunto \ n y sus operaciones básicas Solución „

a = b si sólo si a, b ∈ R 4 ∧ −1 5 = −1 5 ∧ α = 7 ∧ 0 = 0 ∧ 5 = β .

De acuerdo con la definición, la conjunción de la derecha es verdadera para α = 7 y β = 5, puesto que las demás proposiciones son verdaderas; por tanto, a = b cuando α y β toman los valores anotados. „

a = c si sólo si a, c ∈ R 4 ∧ −1 5 = 1 5 ∧ α = 7 ∧ 0 = 0 ∧ 5 = θ .

La conjunción de la derecha es falsa porque una de las proposiciones que la integran es falsa, −1 5 ≠ 1 5, y por tanto nunca se cumple que a y c sean iguales. „

a = d si sólo si a ∈ R 4 ∧ d ∈ R 4 ∧ −1 5 = −1 5 ∧ α = −3 ∧ 0 = 0 ∧ 5 = ?.

La conjunción de la derecha es falsa porque una de las proposiciones es falsa (d ∉ R 4 ) ; además, la última igualdad no puede siquiera determinarse. En consecuencia, nunca a y d pueden ser iguales. „

a = e si sólo si a ∈ R 4 ∧ e ∈ R 4 ∧ −1 5 = λ ∧ α = α + λ ∧ 0 = 0 ∧ 5 = 5.

Para que la conjunción sea verdadera, debe cumplirse que λ = −1 5.

α = α −1 5, y en consecuencia 0 = − 1 5 (¿por qué?), lo cual es falso. Por tanto, a y e nunca pueden ser iguales. Se propone al lector la determinación de los valores respectivos para las variables mencionadas siempre que sea posible, para establecer la igualdad de las restantes combinaciones posibles, entre las n-tuplas dadas. 2.

Si m = (2 5, 2, − 2, 0, 0), n = (2 5, 2, 0, − 2, 0), t = (2 5, 2, − 2, 0), ¿puede concluirse que m = n? ¿puede concluirse que m = t?

1.3 Operaciones en el conjunto Rn o que involucran este conjunto 1.3.1 Adición en el conjunto R n Sean a, b ∈ R n , con a = (α1 , α 2 ,..., α i ,..., α n ), b = ( β1 , β 2 ,..., β i ,..., β n ). Entonces se define a + b = (α1 + β1 , α 2 + β 2 ,..., α i + β i ,..., α n + β n ).

Geometría vectorial y analítica

45

Capítulo 1: El conjunto \ n y sus operaciones Ilustración 2

a = (7, − 1 5, 0, − 1), b = (2 3, 0, − 4, 1), c = (−7, 1 5, 0, 1), d = (3, 0, 1 2, − 1, 0), o = (0, 0, 0, 0),

Dadas

determinemos la suma de todas las parejas posibles, entre las n-tuplas indicadas. Solución a + b = (23 3, −1 5, − 4, 0), a + o = (7, −1 5, 0, − 1) = a, a + c = (0, 0, 0, 0). a + d = ? Esta operación no puede efectuarse por la condición establecida en la definición.

Se deja al lector la determinación de los otros resultados. Observaciones 1.

Esta definición nos permite concluir que la suma en R n es una operación binaria. En efecto, su estructura corresponde a la siguiente función: + : Rn × Rn → Rn ((α1 , α 2 ,..., α n ), ( β1 , β 2 ,..., β n )) → (α1 , α 2 ,..., α n ) + ( β1 , β 2 ,..., β n ) = (α1 + β1 , α 2 + β 2 ,..., α n + β n ).

2.

n En esta forma podemos construir el sistema R , + .

Teorema 1: Propiedades de la adición en el conjunto Rn Sean a, b, c ∈ \ n ; entonces se cumple: 1.

(a + b) + c = a + (b + c) (propiedad asociativa).

2.

Existe o = (0,...,0), o ∈ \ n , tal que para todo a, a ∈ \ n , a + o = a. De (0,..., 0) se dice que es la n-tupla nula y es el módulo bajo la operación adición (propiedad modulativa). En general designaremos por o la n-tupla nula de cualquier orden.

3.

Para todo a, a ∈ \ n , tal que a = (α1 , α 2 ,..., α n ), existe una n-tupla que designamos –a, − a ∈ \ n , tal que –a = (−α1 , − α 2 ,..., − α n ) con la propiedad de que a + (–a) = o = (0, 0,..., 0). El término –a se lee inverso adivitivo de a (propiedad invertiva).

4.

a + b = b + a (propiedad conmutativa).

Demostremos la propiedad 2: Sea a ∈ \ n , a = (α1 , α2 ,..., αn), veamos que existe una n-tupla y designémosla por tal a ′ = (α1′, α 2′ ,..., α i′,..., α n′ ) que a + a ′ = a.

46

Módulo 1: El conjunto \ n y sus operaciones básicas En efecto, asumiendo que a + a′ = a, tenemos: (α1 + α1′, α 2 + α 2′ ,..., α i + α i′,..., α n + α n′ ) = (α1 ,..., α i ,..., α n ),

y por la igualdad entre n-tuplas se establece que:

α1 + α1′ = α1 ∧ α 2 + α 2′ = α 2 ∧ ... ∧ α i + α i′ = α i ∧ ... ∧ α n + α n′ = α n .      

 

  

1

2

i

n

A su vez, en cada una de las ecuaciones anteriores se obtiene:

α1′ = 0 ∧ α 2′ = 0 ∧ ... ∧ α i′ = 0 ∧ ... ∧ α n′ = 0, y en consecuencia (α1′,..., αi′,..., αn′ ) = (0,...0,...,0), esto es, a + o = a, estableciéndose la existencia del módulo. Observación Con base en las estructuras algebraicas estudiadas, podemos afirmar que el sistema R n , + es un grupo abeliano o conmutativo.

1.3.2 Diferencia en el conjunto R n Sean a, b ∈ \ n , con a = (α1 , α2 ,..., αn), b = (β1 , β2 ,..., βn). Entonces se define

a − b = a + (−b) = (α1 − β1 , α 2 − β 2 ,..., α i − βi ,..., α n − β n ). Ilustración 3 Sean a = (3, − 2, 7), b = (0, 4, 1), o = (0, 0, 0), f = (5, 4, 1, 1 3). Determinemos la diferencia entre todas las parejas posibles de n-tuplas. Solución „

a − b = a + (−b) = (3, − 2, 7) + (0, − 4, − 1) = (3, − 6, 6).

„

b − a = b + (− a ) = (0, 4, 1) + (−3, 2, − 7) = (−3, 6, − 6).

„

a − o = a + (−o) = (3, − 2, 7) + (0, 0, 0) = (3, − 2, 7).

„

o − a = o + (− a ) = (0, 0, 0) + (−3, 2, − 7) = (−3, 2, − 7).

„

a − f = a + (− f ) no está definida. ¿Por qué?

Se deja al lector la determinación de los otros resultados.

Geometría vectorial y analítica

47

Capítulo 1: El conjunto \ n y sus operaciones

1.3.3 Producto de un número real por una n-tupla Sean λ ∈ R , a ∈ \ n , donde a = (α1 , α2 ,..., αi, ..., αn). Entonces se define

λ • a = (λα1 , λα2 ,..., λαi, ..., λαn). Ilustración 4 Dadas c = (−2 5, 0, − 3, 1 10), f = (2, − 1, 3), o = (0, 0), determinemos 5 ⋅ c, 2 3 ⋅ f , 4 ⋅ o, o ⋅ c . Solución „

5 • c = (−2, 0, − 15, 1 2).

„

2 3 • f = (4 3, −2 3, 2).

„

4 • o = (0, 0).

„

0 • c = (0, 0, 0, 0).

Observaciones 1.

Esta definición nos permite afirmar que este producto corresponde a una ley de composición externa entre los conjuntos R y Rn . En efecto, su estructura corresponde a la siguiente función:

• : R × Rn → Rn (λ , (α1 , α 2 ,..., α i ,..., α n )) → λ • (α1 , α 2 ,..., α i ,..., α n ) = (λα1 , λα 2 ,..., λα i ,..., λα n ).

2.

El producto de un número real por una n-tupla lo designamos también como un múltiplo escalar de la n-tupla.

Teorema 2: Propiedades del producto de un real por una n-tupla Sean λ , β ∈ R; a, b ∈ R n ; entonces se cumplen:

1.

λ • (a + b) = λ • a + λ • b.

2.

(λ + β ) • a = λ • a + β • a.

3.

λ • ( β • a ) = (λ ⋅ β ) • a.

4. 5.

1 • a = a. −1 • a = −a.

Demostremos la propiedad 2: Sean λ , β ∈ R y a ∈ R n , tal que a = (α1 , α2 ,..., αi, ..., αn). Hipótesis.

48

Módulo 1: El conjunto \ n y sus operaciones básicas Tenemos que: (λ + β ) • a = (λ + β ) • (α1 , α 2 ,..., α i ,..., α n ), por sustitución. = ((λ + β )α1 , (λ + β )α 2 ,..., (λ + β )α i ,..., (λ + β )α n ), por la definición de la operación producto. = (λα1 + βα1 , λα 2 + βα 2 ,..., λα i + βα i ,..., λα n + βα n ), por la propiedad distributiva de los números reales. = (λα1 , λα 2 ,..., λα i ,..., λα n ) + ( βα1 , βα 2 ,..., βα i ,..., βα n ), por la

definición de la operación adición en \ n . = λ • (α1 , α 2 ,..., α i ,..., α n ) + β • (α1 , α 2 ,..., α i ,..., α n ), por la definición de la operación producto.

λ • a + β • a, por sustitución de la hipótesis. Conclusión: (λ + β ) • a = λ • a + β • a (transitividad en la igualdad). Observaciones 1.

Las propiedades 1 y 2 suelen designarse en general como leyes distributivas del producto respecto a la suma. No obstante, la propiedad 2 no es una ley distributiva y estrictamente podemos designarla como una seudodistributividad (falsa distributividad), puesto que la operación «+» indicada en la igualdad no corresponde a la misma operación; así, en el término de la izquierda representa la suma entre dos números reales, en tanto que en el término de la derecha representa la suma entre n-tuplas.

2

Atendiendo a la estructura de las propiedades antes mencionadas, nos referiremos a ellas como «factorización sobre la n-tupla» en el segundo caso y «factorización sobre el número real» en el primero.

3.

La propiedad 3 no corresponde estrictamente a una asociatividad en el producto, puesto que en el término de la derecha el primer producto corresponde al producto entre números reales, en tanto que el segundo designa el producto de un número real por una n-tupla.

4.

Las observaciones anteriores podrían sugerirnos la posibilidad de ambigüedades cuando designamos bajo un mismo símbolo operaciones diferentes; sin embargo, los contextos previos y la notación mediante la cual designamos las variables en los diferentes conjuntos permiten precisar los resultados. Este tratamiento es utilizado en general en todos los textos y por ello queremos que los estudiantes se introduzcan rápidamente en su comprensión.

5.

Remitiéndonos nuevamente a las estructuras algebraicas básicas, podemos n concluir que el sistema R , + se constituye en un espacio vectorial en el

Geometría vectorial y analítica

49

Capítulo 1: El conjunto \ n y sus operaciones n conjunto R , que designaremos como (R , +), (R, +, ⋅), • o, en forma abre-

n viada, R , R .

Esto lo fundamentamos en los resultados del teorema 1, donde hemos estan blecido que el sistema R , + es un grupo abeliano y en el teorema 2 con

las propiedades de la ley de composición externa. Tenemos así dos operaciones: la adición en \ n y el producto de un real por una n-tupla sobre las que se sustenta este espacio vectorial. En consecuencia, bajo estas operaciones los elementos de \ n son vectores. Aunque avanzaremos en el estudio de algunas propiedades características del espacio vectorial, en particular en el conjunto \ n , es en el curso de Álgebra lineal donde se estudiarán a fondo todas las propiedades que se desprenden de esta estructura consolidante.

50

2 Otras propiedades asociadas al conjunto n

\ como un espacio vectorial Introducción Una vez identificado el conjunto \ como un espacio vectorial con las operaciones definidas, queremos acercar al lector a las nociones derivadas de esta estructura, como son: la combinación lineal de un conjunto de vectores, la dependencia e independencia lineal de un conjunto de vectores y la base y dimensión de un espacio vectorial. De esta manera propiciamos el manejo de éstas y su identificación en otros espacios vectoriales, e igualmente la designación común bajo el término «vector», para los elementos de conjuntos de naturaleza diferente, pero de estructuras subyacentes análogas. n

Las operaciones definidas en el conjunto \n o asociadas a él, así como sus propiedades, lo dotan de una dinámica propia que lo constituyen en un espacio vectorial, «creando», como lo muestra por analogía la figura, una estructura compleja pero perfectamente definida.

Objetivos del módulo 1. Introducir el producto escalar en el conjunto \ como un caso particular de una función importante en las estructuras algebraicas, como lo es el producto interno. 2. Presentar nociones comunes asociadas al espacio vectorial, buscando familiarizar al lector con sus propiedades y su fácil identificación en los otros conjuntos estudiados. n

Preguntas básicas 1. ¿Cómo se define el producto escalar en \ ? 2. ¿Cuándo dos n-tuplas son ortogonales? 3. ¿Qué es una combinación lineal de n-tuplas? n 4. ¿Cuándo un subconjunto de \ es linealmente dependiente o linealmente independiente? n 5. ¿Qué es una base en el espacio vectorial \ ? n 6. ¿Cuál es la dimensión del espacio vectorial \ ? n

Contenidos del módulo 2.1 Producto escalar en \ n 2.2 n-tuplas ortogonales en \ n 2.3 Combinación lineal en el conjunto \ n 2.4 Dependencia e independencia lineal en \ n 2.5 Base del espacio vectorial \ n 2.6 Dimensión del espacio vectorial \ n

Vea el módulo 2 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

51

Capítulo 1: El conjunto \ n y sus operaciones

2.1 Producto escalar en Rn Sean a, b ∈ \ n , donde a = (α1 , α2 ,..., αi, ..., αn), b = (β1 , β2 ,..., βi, ..., βn). Entonces

Escuche la biografía de Josiah Willard Gibbs en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

se define a • b = α1 ⋅ β1 + α 2 ⋅ β2 + ... + αi ⋅ βi + ... + α n ⋅ βn , donde a ⋅ b se lee «producto escalar entre a y b». Ilustración 5 Dadas a = (0, − 5, 2, 1), b = (2, − 1, 1, 0), c = (7, 2, 5, 0), o = (0, 0, 0, 0), d = (1, 7, 1/ 5, 5, 0),

determinemos todos los productos escalares posibles, entre las parejas de n-tuplas indicadas. Solución „

a • b = 0 × 2 + (−5) × (−1) + 2 × 1 + 1 × 0 = 7.

„

a • c = 0. a • o = 0.

„

a • d no está definida. ¿Por qué?

„

Se deja al lector la determinación de los otros resultados.

2.2 n-tuplas ortogonales en Rn Sean a, b ∈ \ n , con a ≠ o y b ≠ o, siendo o la n-tupla nula en \ n . Entonces decimos que a y b son ortogonales si a • b = 0 .* Ilustración 6 De las n-tuplas indicadas en la ilustración 5 tenemos que a y c son ortogonales, pero a y o no son ortogonales, como tampoco lo son b y o, c y o. ¿Por qué? Teorema 3: Propiedades del producto escalar en Rn Sean a, b, c ∈ \ n , λ ∈ \. Entonces se cumplen: 1.

a • b = b • a.

2.

(a + b) • c = a • c + b • c.

3.

(λ ⋅ a ) • b = a • (λ ⋅ b ) = λ ⋅ ( a • b ).

4.

a • a ≥ 0.

5.

a • a = 0 si y sólo si a = o; o : n-tupla nula.

* Introduciremos inicialmente esta restricción por la correspondencia que estableceremos entre ortogonalidad en las n-tuplas y perpendicularidad en los vectores geométricos, como una primera aproximación. Posteriormente generalizaremos este concepto a todo par de vectores cuyo producto interno es igual a cero, como lo definimos en el módulo 20 y lo tratamos en el texto Álgebra lineal. (n. a.).

52

Módulo 2: Otras propiedades asociadas al conjunto \ n como un espacio vectorial Demostremos la propiedad 3: Supongamos: a, b ∈ R n , λ ∈ R, tales que a = (α1 ,..., α i ,..., α n ), b = ( β1 ,..., β i ,..., β n ). Hipótesis. Tenemos que:

(λ ⋅ a ) • b = (λα1 , λα 2 ,..., λα i ,..., λα n ) • ( β1 , β 2 ,..., β i ,..., β n ), por la defi nición del producto de un real por una n-tupla. = (λα1 β1 ) + (λα 2 β 2 ) + ... + (λα i β i ) + ... + (λα n β n ), por la definición del producto escalar en Rn. = (α1 ⋅ (λβ1 )) + (α 2 ⋅ (λβ 2 )) + ... + (α i ⋅ (λβ i )) + ... + (α n ⋅ (λβ n )), propiedades conmutativa y asociativa del producto en los números reales. = (α1 , α 2 ,..., α i ,..., α n ) • (λβ1 , λβ 2 ,..., λβ i ,..., λβ n ), por la definición del producto escalar en Rn. = a • (λ ⋅ b ), producto de un real por una n-tupla y sustitución de la hipótesis. = λ ⋅ (α1 β1 + α 2 β 2 + ... + α i β i ,... + α n β n ). ¿Por qué? = λ ⋅ ( a • b). ¿Por qué?

Conclusión: (λ ⋅ a ) • b = a • (λ ⋅ b) = λ ⋅ (a • b). Observaciones 1.

Con base en las estructuras algebraicas estudiadas, podemos afirmar que el producto escalar es un producto interno en Rn. En efecto, su estructura corresponde a la siguiente función: •:R

n

× Rn → R

((α1 ,..., α i ,..., α n ), ( β1 ,..., β i ,..., β n )) → (α1 ,..., α i ,..., α n ) • ( β1 ,..., β i ,..., β n ) = α1β1 + ... + αi βi + ... + α n β n ,

y además las propiedades establecidas en el teorema 3 lo caracterizan como tal. 2.

La propiedad 2 del teorema 3 es una seudodistributividad (falsa distributividad) porque la suma en el término de la izquierda está definida en el conjunto \ n , en tanto que la de la derecha está definida en el conjunto R.

3.

La propiedad 3 del teorema 3 no corresponde a una ley asociativa en el producto. Justifique esta afirmación.

4.

Debemos agregar además que el producto interno se define en un conjunto que se estructura como un espacio vectorial, lo que ya ha sido establecido para el conjunto \ n con las operaciones definidas. Geometría vectorial y analítica

53

Capítulo 1: El conjunto \ n y sus operaciones

2.3 Combinación lineal en el conjunto Rn Sea A = {a1 , a2 ,..., ai ,..., ak } , A ⊂ R n . De todo término x que satisface la ecuación: x = λ1a1 + λ2 a2 + ... + λi ai + ... + λk ak , con λi ∈ R, ∀i = 1... k ,

decimos que es una combinación lineal de los vectores del conjunto A, o también, en forma abreviada, que es una combinación lineal del conjunto A. Ilustración 7 1.

Sean a = (2, 0, − 1), b = (−3, 2, − 5), c = (0, 0, 3), A = {a, b, c} . Determinemos las siguientes combinaciones lineales del conjunto A. x1 = 2a + 1b + 3c. 1 1 a − 1b + c. 2 4 x3 = 1a + 0b + 0c. x2 =

x4 = 0a + 0b + 0c.

2.

¿Es ( −1, 2, 0) una combinación lineal del conjunto A?

3.

¿Es (4, 4, −3 ) una combinación lineal del conjunto A?

Solución x1 = 2(2, 0, − 1) + (−3, 2, − 5) + 3(0, 0, 3) = (4, 0, − 2) + (−3, 2, − 5) + (0, 0, 9) = (1, 2, 2). Esto es, (1, 2, 2) = 2a + 1b + 3c. x2 =

1 1 (2, 0, − 1) + (−1)(−3, 2, − 5) + (0, 0, 3) 2 4

= (1, 0, − 1/ 2) + (3, − 2, 5) + (0, 0, 3 / 4) = (4, −2, 21/ 4). Esto es, (4, − 2, 21/ 4) =

1 1 a − 1b + c. 2 4

x3 = 1(2, 0, −1) + 0(−3, 2, −5) + 0(0, 0,3) = (2, 0, − 1) + (0, 0, 0) + (0, 0, 0) = (2, 0, − 1).

54

Módulo 2: Otras propiedades asociadas al conjunto \ n como un espacio vectorial Esto es, (2, 0, 1) = 1 ⋅ a + 0 ⋅ b + 0 ⋅ c. x4 = 0(2, 0, − 1) + 0(−3, 2, − 5) + 0(0, 0, 3) = (0, 0, 0) + (0, 0, 0) + (0, 0, 0) = (0, 0, 0). O sea, (0, 0, 0) = 0 ⋅ a + 0 ⋅ b + 0 ⋅ c.

Para dar respuesta a la pregunta planteada en el numeral 2, utilicemos la definición; en estos términos, dada ( −1, 2, 0), ¿es posible determinar tres números reales que permitan expresarla como una combinación lineal del conjunto A? Asumamos a prueba de hipótesis que ello es posible y determinemos los valores, si existen, de estos números reales.

? (−1, 2, 0) = λ1 (2, 0, − 1) + λ2 (−3, 2, − 5) + λ3 (0, 0, 3) y ¿ λ1 , λ2 , λ3 ∈ R ? = (2λ1 , 0, − 1λ1 ) + (−3λ2 , 2λ2 , − 5λ2 ) + (0, 0, 3λ3 ) = (2λ1 − 3λ2 , 2λ2 , − λ1 − 5λ2 + 3λ3 ). De la definición de igualdad entre n-tuplas se tiene: −1 = 2λ1 − 3λ2 ,

(1)

2 = 2λ2 ,

(2)

0 = −λ1 − 5λ2 + 3λ3 .

(3)

En la ecuación (2) tenemos que λ2 = 1, y sustituyendo en la ecuación (1) se despeja

λ1 = 1 y, por último, de la ecuación (3) sustituimos y despejamos λ3 = 2. En esta forma concluimos que ( −1, 2, 0) es una combinación lineal de los vectores del conjunto A, y específicamente: (−1, 2, 0) = 1 ⋅ a + 1 ⋅ b + 2 ⋅ c.

Se deja al lector la solución de la pregunta planteada en el numeral 3. Observaciones La definición presentada y las características de las operaciones que intervienen en ella nos permiten afirmar que: 1.

Toda combinación lineal de vectores de un espacio es otro vector del mismo espacio.

2.

Todo vector es una combinación lineal de sí mismo.

3.

Todo vector es una combinación lineal del conjunto al cual pertenece.

Geometría vectorial y analítica

55

Capítulo 1: El conjunto \ n y sus operaciones 4.

El vector nulo (módulo) es una combinación lineal de cualquier conjunto de vectores en su espacio.

5.

La combinación lineal en la cual todos los escalares son iguales al número cero se denomina combinación lineal trivial.

2.4 Dependencia e independencia lineal en Rn Dado un conjunto A = {a1 , a2 ,..., ak } , A ⊂ R n , nos planteamos el problema de obtener una representación del vector o (módulo) como combinación lineal de los vectores del conjunto A. Esto es: dado o = α1a1 + α 2 a2 + ... + α k ak veamos cómo son los coeficientes. Como 0 ⋅ x = o , cualquiera que sea el vector x siempre es posible obtener tal representación, pues es suficiente expresarlo como o = 0 ⋅ a1 + 0 ⋅ a2 + ... + 0 ⋅ ak .

Entonces, según lo anterior, sólo son posibles dos casos: 1.

La única combinación posible es la trivial, esto es, que la ecuación se satisface única y exclusivamente para α1 = α2 = ... = αk = 0.

2.

Existe alguna combinación lineal diferente de la trivial, esto es, con al menos un coeficiente diferente de cero que satisface la ecuación: o = α1a1 + α 2 a2 + ... + α k ak .

En el caso 1 decimos que el conjunto A es linealmente independiente (en forma abreviada, LI). En el caso 2 decimos que el conjunto A es linealmente dependiente (en forma abreviada, LD). Ilustración 8 Dados A = {(1, 0), (0, 1)} ,

B = {(3, 0, − 1), (1, 1, 2), (5, 2, 3)} ,

C = {(3, 0, − 1), (1, 1, 2), (−1, 0, 1)} , D = {(−1, 2), (3, 1)} ,

determinemos para cada uno si es linealmente independiente o linealmente dependiente. Solución „

Para el conjunto A. 2 Como A ⊂ R , su módulo es o = (0, 0) ; y apoyándonos en la definición se tiene:

56

Módulo 2: Otras propiedades asociadas al conjunto \ n como un espacio vectorial Dada (0, 0) = λ1 (1, 0) + λ2 (0, 1), determinemos los valores de λ1 , λ2 . = (λ1 , 0) + (0, λ2 )

= (λ1 , λ2 ),

y por la igualdad entre n-tuplas se concluye que: 0 = λ1

(1)

0 = λ2

(2)

como única solución; por tanto el conjunto A es linealmente independiente. „

Para el conjunto B B ⊂ R 3 , su módulo es o = (0, 0, 0).

(0, 0, 0) = λ1 (3, 0, − 1) + λ2 (1, 1, 2) + λ3 (5, 2, 3), determinemos los valores de λ1 , λ2 , λ3 . (0, 0, 0) = (3λ1 , 0, − λ1 ) + (λ2 , λ2 , 2λ2 ) + (5λ3 , 2λ3 , 3λ3 ) = (3λ1 + λ2 + 5λ3 , λ2 + 2λ3 , − λ1 + 2λ2 + 3λ3 ), y se obtiene en consecuencia el siguiente sistema: 0 = 3λ1 + λ2 + 5λ3

(1)

0 = λ2 + 2λ3

(2)

0 = −λ1 + 2λ2 + 3λ3

(3)

De (2) se tiene λ2 = −2λ3 , y sustituyendo en (1) y (3) nos quedan 0 = 3λ1 + 3λ3

(1’)

0 = −λ1 − λ3

(2’)

De (2’) λ1 = −λ3 , y sustituyendo en (1’), 0 = −3λ3 + 3λ3 ∴ λ3 = λ3 , esto es, λ3 es cualquier número real. Las soluciones obtenidas corresponden a:

λ1 = − λ 3 ⎫ ⎪ λ 2 = − 2λ3 ⎬ λ3 ∈ R λ 3 = λ 3 ⎪⎭ Por tanto, fuera de la solución trivial λ1 = λ2 = λ3 = 0, tenemos infinitas so-

Geometría vectorial y analítica

57

Capítulo 1: El conjunto \ n y sus operaciones luciones diferentes de la trivial. Así por ejemplo, si λ3 = 1 , entonces λ1 = −1 y λ2 = −2. Estos valores los podemos verificar en la ecuación inicial, así: (0, 0, 0) = −1(3, 0, − 1) + (−2)(1, 1, 2) + 1(5, 2, 3),

lo que nos permite concluir que el conjunto B es linealmente dependiente. Se deja al lector la determinación respectiva para los conjuntos C y D. Teorema 4: Primer criterio sobre la dependencia lineal de un conjunto Sea A = {a1 , a2 ,..., ak } , A ⊂ R n . A es linealmente dependiente si y sólo si al menos un vector del conjunto A se puede expresar como combinación lineal de los vectores restantes del conjunto A. Demostración Como el enunciado corresponde a una equivalencia, debemos demostrar cada una de las implicaciones independientemente. En adelante utilizaremos los símbolos « ⇒ » y « ⇐ » para indicar las dos implicaciones que integran una equivalencia. Supongamos que A es linealmente dependiente (hipótesis). En consecuencia, de la definición de dependencia lineal podemos afirmar que en la ecuación o = λ1a1 + λ2 a2 + ... + λi ai + ... + λk ak

(1)

al menos un coeficiente es diferente de 0. Sin pérdida de generalidad asumamos que

λi ≠ 0 , y despejando en la ecuación (1) tenemos: ⎛ −λ ⎞ ⎛ −λ ⎞ ⎛ −λ ⎞ ai = ⎜ 1 ⎟ a1 + ⎜ 2 ⎟ a2 + ... + ⎜ k ⎟ ak . λ λ ⎝ i ⎠ ⎝ i ⎠ ⎝ λi ⎠

(2)

La ecuación (2) nos permite concluir que ai es una combinación lineal de los k − 1 vectores restantes del conjunto A. Se deja al lector la demostración de la implicación recíproca. Corolario Todo conjunto que tenga al módulo como elemento, dentro de las condiciones de la definición, es un conjunto linealmente dependiente.

58

Módulo 2: Otras propiedades asociadas al conjunto \ n como un espacio vectorial Demostración Sea A = {a1 , a2 ,..., ai ,..., ar , o} , A ⊂ \ n , o el módulo de \ n . Hipótesis. Como o = 0 ⋅ a1 + 0 ⋅ a2 + ... + 0 ⋅ ai + ... + 0 ⋅ ar entonces, por el teorema 4, el conjunto A es linealmente dependiente.

2.5 Base del espacio vectorial Rn Una base en un espacio vectorial es todo subconjunto del espacio que satisface dos condiciones: 1.

El subconjunto es linealmente independiente.

2.

Todo vector del espacio se puede expresar como una combinación lineal de los vectores del subconjunto.

Ilustración 9 Dados A = {(1, 0), (0, 1)} , B = {(−2, 1), (0, − 1)} , C = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} verifiquemos que: A es una base para el espacio R2 . B es una base para el espacio R2 . C es una base para el espacio R3 . Solución 2 Para el conjunto A, tenemos que A ⊂ R , y se probó en la ilustración 8 que es linealmente independiente.

Probemos que cualquier vector de R 2 se puede expresar como combinación lineal de los vectores de A. Sea ( x, y) ∈ R2 (un elemento genérico que representa a cualquier elemento de este espacio). (x, y) = x ·(1, 0) + y ·(0, 1), x, y ∈ R , esto es, (x, y) es una combinación lineal del conjunto A. En esta forma hemos demostrado que cualquier elemento de R 2 se puede expresar como combinación lineal de los elementos de A. Se deja al lector la verificación respectiva para los conjuntos B y C.

Geometría vectorial y analítica

59

Capítulo 1: El conjunto \ n y sus operaciones

2.6 Dimensión del espacio vectorial Rn La dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores que constituyen una cualquiera de sus bases. Ilustración 10 Podemos afirmar así que la dimensión de R 2 es 2. En la misma forma la dimensión de R 3 es 3. Verifique que la dimensión de R n es n.

60

Ejercicios del capítulo 1 (módulos 1 y 2) 1.

2.

Sean las n-tuplas a = (1/ 2, 2λ, β ), b = (1/ 2, 5, 0), c = (θ , 5, β , 0). a.

Determine, si es posible, los valores de λ y β para los cuales a = b.

b.

Determine, si es posible, los valores de λ , θ y β para los cuales a = c.

c.

Determine, si es posible, los valores de θ y β para los cuales b = c.

Sean: a = (−2, 1), b = (1/ 3, 0), c = (1, 3), A = {a, b, c} .

f = (3, 0, 0, − 2), g = (0, − 2/ 5, 1, 1), B = { f , g} . Determine las siguientes combinaciones lineales en los conjuntos A y B.

3.

4.

5.

a.

x1 = 3 ⋅ a + 2 ⋅ b − c.

b.

x2 = 0 ⋅ a + 0 ⋅ b + 1 ⋅ c.

c.

1 x3 = ⋅ f + 5 ⋅ g. 2

d.

x4 = 0 ⋅ f + 0 ⋅ g.

Con relación a los conjuntos A y B del numeral anterior: a.

¿Es (−5, − 1) una combinación lineal del conjunto A? Justifique su respuesta.

b.

¿Es (−1, − 1) una combinación lineal del conjunto A? Justifique su respuesta.

c.

¿Es (0, 0, 0, 0) una combinación lineal del conjunto B? Justifique su respuesta.

d.

¿Es x = 2 ⋅ f + 5 ⋅ g + 0 ⋅ (0, 0, 0) una combinación lineal del conjunto B? Justifique su respuesta.

Sean u = (−1, 5, 0), s = (10, 2, 0, 0), t = (5, 1, 1/ 5), l = (0, 0, 0, − 9). Determine de todas las parejas posibles de n-tuplas, cuáles de ellas son ortogonales. Dados: B = {(1, 8)} , C = {( −1, 2), (0, 1), (3, 2)} , F = {(−1, 0, 1), (0, 2, 5), (2, 0, 0)} , G = {(2, − 1, 0), (3, 0, 1), (0, 0, 0)} : a.

Determine para cada uno de los conjuntos anteriores si es LI o LD.

b.

¿Es B una base para \ 2 ? Justifique su respuesta.

c.

¿Es C una base para \ 2 ? Justifique su respuesta.

d.

¿Es F una base para \ 3 ?

e.

¿Es G una base para \ 3 ?

Geometría vectorial y analítica

61

6.

Sean: a = (−2, 5, 3), b = (7, 1, 0), c = (0, −1, 0, 0), d = (3, −1, −1, 2). Determine para cada una de las expresiones siguientes si corresponde a una n-tupla, un número real o si carece de sentido.

62

a.

2a + (c • d )b.

b.

a − 3 ⋅ b + 0 ⋅ d.

c.

(a • d ) + (a • b).

d.

a • (b + (c • d )).

e.

5 ⋅ a − 2 ⋅ b + (c ⋅ d ).

f.

0 ⋅ a + 0 ⋅ b + 0 ⋅ c + 0 ⋅ d.

g.

3 ⋅ (c • d ) ⋅ ( a ) −

h.

(a • b) ⋅ (0,0,0,0) − (c • d ) ⋅ d .

(a • b) ⋅ b. 5

2

Capítulo 2

Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales Contenido breve Módulo 3 El conjunto \ m× n Módulo 4 Operaciones en el conjunto \ m× n El álgebra matricial está integrada a la estructura interna de una de las herramientas imprescindibles y quizá la más valiosa en el desarrollo de la humanidad en los dos últimos siglos: el computador. La foto ilustra la memoria de matrices de ferrita, las más utilizadas en un comienzo en la construcción de las memorias principales de los computadores.

Módulo 5 La transpuesta de una matriz y sus propiedades

Presentación

Módulo 6 Sistemas de ecuaciones lineales

En el estudio que ahora abordamos del conjunto de las matrices de componentes

Módulo 7

reales ( \ m× n ) destacamos tres aspectos que están presentes en su desarrollo y que caracterizan la selección y el orden de los temas:

Tipos de solución de un S .E.L.(m , n)

„

„

„

El primero corresponde a la estructura de este conjunto como un espacio vectorial, con sus aplicaciones y propiedades características, que lo dotan en sí mismo como un objeto de estudio propio de las matemáticas. El segundo obedece a identificar en el álgebra matricial una herramienta vital para la fundamentación de los procesos algorítmicos de amplia aplicación en áreas diferentes de la matemática. El tercero tiene que ver con la importancia que el álgebra matricial cobra en el planteamiento y solución de problemas en las diferentes ramas de la Ingeniería, y que adquieren mayor vigencia por constituirse en un lenguaje obligado de los programas y del software computacional, herramienta de primer orden para el ingeniero.

Ejercicios Módulos 3 al 7 Módulo 8 Matrices invertibles Módulo 9 Inversas de las matrices elementales Módulo 10 El algoritmo de Gauss-Jordan para la determinación de la inversa multiplicativa Ejercicios Módulos 8 al 10

64

3 El conjunto \ m ×n Introducción Iniciamos ahora el estudio del conjunto de las matrices de elementos reales y éste estará orientado a lograr cuatro objetivos básicos: 1.

Identificar las operaciones propias de este conjunto y concluir que alcanza, como el conjunto \ n , la estructura de espacio vectorial real, además de aprovechar sus múltiples aplicaciones en la solución de problemas reales.

2.

Abordar el primer problema objeto de estudio del álgebra lineal, que corresponde a la determinación del conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales, analizando detalladamente los tipos de solución y fundamentando desde el álgebra de matrices el algoritmo de Gauss-Jordan dirigido a la determinación del mismo.

3.

Estudiar el problema de la existencia de la inversa multiplicativa para una matriz cuadrada, analizar cada uno de los criterios que se derivan de su existencia y mostrar una vez más la importancia del algoritmo de Gauss-Jordan para su determinación.

4.

Proveer todos los elementos teóricos y prácticos sobre los que se fundamentará el curso de Álgebra lineal.

La matriz, como núcleo del álgebra matricial, ha permitido el desarrollo de ramas muy importantes en las matemáticas como también en sus aplicaciones. El diagrama muestra cómo se conectan entre sí los núcleos de ferritas para propiciar la circulación de corriente generando el almacenamiento de información.

Objetivos del módulo 1. Presentar la noción de matriz de orden m × n en un campo general y específicamente en el campo real. Acordar las convenciones en su notación. 2. Definir la igualdad entre matrices. 3. Presentar una clasificación inicial de algunas matrices importantes.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es una matriz de un orden determinado en un campo? 2. ¿Cómo se representa una matriz? 3. ¿Cuándo dos matrices son iguales? 4. ¿Qué es la diagonal principal de una matriz? 5. ¿Qué es una matriz: nula, identidad, triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar?

Contenidos del módulo 3.1 El conjunto de matrices con componentes reales 3.1.1 Matriz de orden m × n en un campo k ( m , n ∈ ] + ) 3.1.2 Igualdad en \ m× n

Vea el módulo 3 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

3.1.3 Diagonal principal de una matriz 3.1 4 Algunas matrices especiales

Geometría vectorial y analítica

65

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales

3.1 El conjunto de matrices con componentes reales 3.1.1 Matriz de orden m × n en un campo

k (m, n ∈ Z + )

Esta matriz es un arreglo rectangular de m ⋅ n números de k. Las líneas horizontales se denominan filas y las verticales columnas. Una matriz m × n tiene m filas y n columnas. Convención Designamos por k m× n o por M m× n (k) al conjunto de matrices de orden m × n en el campo k. En particular, R m ×n o M m×n (R ) designan en consecuencia el conjunto de matrices de orden m × n en el campo R . Notaciones 1.

Generalmente se representa una matriz con todos sus elementos o entradas en la forma siguiente, que podemos designar como extensiva, utilizando letras latinas mayúsculas en su designación.

⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢ # A=⎢ ⎢ ai1 ⎢ # ⎢ ⎢⎣ am1

2.

" "

a1 j a2 j

ai 2 #

"

aij #

"

am 2

"

amj

"

a12 a22 #

" "

#

a1n ⎤ a2 n ⎥⎥ # ⎥ . ⎥ ain ⎥ # ⎥ ⎥ amn ⎥⎦ ( m, n )

Notación abreviada o comprensiva. Se utiliza cuando es posible determinar una propiedad genérica, que caracteriza a todos los elementos del arreglo. Como veremos más adelante, esta notación agiliza notablemente las operaciones y demostraciones en este contexto. La matriz anterior se denotaría en forma abreviada como

A = ⎡⎣ aij ⎤⎦

m× n

y se lee «A es la matriz de elemento genérico aij , de orden m × n ». aij : término o elemento genérico.

i: designa el orden de la fila, 1 ≤ i ≤ m. j: designa el orden de la columna, 1 ≤ j ≤ n. Usualmente la letra designante del elemento genérico es la minúscula asociada a la designante de la matriz.

66

Módulo 3: El conjunto \ m× n Debemos observar que en una matriz el orden de las filas aumenta de arriba hacia abajo, en tanto que el de las columnas lo hace de izquierda a derecha. 3.

Para destacar en una matriz una fila en particular como un nuevo arreglo o submatriz utilizaremos la notación

Ai = ⎡⎣ai1 ai 2 ... aij ... ain ⎤⎦ (1, n) y la designamos como la matriz fila i. 4.

En forma análoga, para destacar la submatriz conformada por una columna particular, utilizamos como convención

⎡ a1 j ⎤ ⎢a ⎥ ⎢ 2j ⎥ ⎢ # ⎥ Aj = ⎢ ⎥ ⎢ aij ⎥ ⎢ # ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ amj ⎦⎥ ( m ,1) y la designamos como la matriz columna j.

5.

Si en una matriz el número de filas es igual al número de columnas decimos que la matriz es cuadrada y la denotamos en forma abreviada como

A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ . (n)

3.1.2 Igualdad en R m×n Sean A, B ∈ R m×n , con A = ⎡⎣aij ⎤⎦

( m ,n )

, B = ⎡⎣bij ⎤⎦ m, n . (

)

⎧⎪∀i = 1... m A = B si y sólo si aij = bij ⎨ ⎪⎩∀ j = 1... n Esto significa que dos matrices son iguales cuando tienen el mismo orden y todos y cada uno de los elementos de la primera son respectivamente iguales a los correspondientes de la segunda y en el mismo orden. Ilustración 1 1.1

⎡ −2 λ ⎤ ⎡ −2 , B=⎢ Dadas A = ⎢ ⎥ ⎣ θ 3⎦ ⎣3 + λ

0⎤ 2 ⎤ ⎡ −2 , C=⎢ ⎥ ⎥, 3⎦ ⎣ 1 1−θ ⎦

determinemos si es posible, para cada caso, los valores de λ y θ para los cuales se cumple que: A=B A=C B=C

Escuche la biografía de James Joseph Sylvester en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Geometría vectorial y analítica

67

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales Solución „

„

A = B si y sólo si −2 = −2 ∧ λ = 0 ∧ θ = λ + 3 ∧ 3 = 3. De las condiciones establecidas se tiene que λ = 0 y θ = 3 . A = C si y sólo si −2 = − 2 ∧ λ = 2 ∧ θ = 1 ∧ 3 = −θ + 1, pero en este caso las condiciones fijadas conllevan a una contradicción (¿por qué?), lo que nos permite concluir que A y C nunca pueden ser iguales.

Dejamos al lector la igualdad planteada en el tercer caso.

1.2

⎡ −2 ⎤ ⎢ ⎥ 3 3 0 1⎤ ; T = ⎢ ⎥ , ¿es S = T? ⎦ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 1 ⎦⎥

Dadas S = ⎡ −2 ⎣

Solución Estas dos matrices corresponden a órdenes diferentes, así: la primera es de orden 1× 4 y la segunda lo es de 4 × 1, luego no son iguales, independientemente de que tengan los mismos elementos. Al respecto debemos aclarar que en muchas situaciones es necesario expresar una misma n-tupla ordenada como una matriz fila o como una matriz columna, dependiendo de la aplicación que se requiera, lo que no significa que las dos matrices sean iguales. 1.3

Dadas las matrices: ⎡1 G=⎢ ⎣ −2

⎤ , 1 ⎥⎦( 2,2)

1

3

⎡ 1 1 3 0⎤ F =⎢ ⎥ , ⎣ −2 1 0⎦ ( 2,3)

¿por qué G ≠ F ?

3.1.3 Diagonal principal de una matriz Sea A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ (m , n) . Llamaremos diagonal principal de A al conjunto ordenado {a11 , a22 ,..., akk } , siendo

k = mínimo {m, n} . Ilustración 2 ⎡ −1 4 0 ⎤ Dadas = A = ⎢⎢ 0 0 3 ⎥⎥ , ⎢⎣ 7 1 9 ⎥⎦ 3,3 ( )

68

⎡ −1 5 7 0 ⎤ B = ⎢⎢ 2 0 1 −2 ⎥⎥ , ⎢⎣ 0 3 9 4 ⎥⎦ 3,4 ( )

Módulo 3: El conjunto \ m× n

C = [5 −4 8](1,3) ,

⎡ 8⎤ ⎢ ⎥ D = ⎢ −1 ⎥ ⎢ 2⎥ ⎣ ⎦

, ( 3,1)

determinemos las diagonales principales para cada matriz. Solución „

Diagonal principal de A : {−1, 0, 9} .

„

Diagonal principal de B : {−1, 0, 9} .

„

Diagonal principal de C : {5} .

„

Diagonal principal de D :

{ 8}.

3.1.4 Algunas matrices especiales Destacamos a continuación las matrices que se constituyen en las herramientas más importantes dentro del álgebra matricial, para la fundamentación de las propiedades que necesitamos presentar. (1). Matriz nula Es aquella en la cual todos sus elementos son iguales a cero. Notación

⎧⎪∀i = 1... m O( m , n) = ⎡⎣oij ⎤⎦ , donde oij = 0 ⎨ ( m ,n ) ⎪⎩∀ j = 1... n Ilustración 3 Veamos algunas matrices nulas:

O(1,4) = [ 0 0 0 0] , O(3,2)

⎡0 0 ⎤ ⎡0 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢0 0 ⎥ , O(3,3) = ⎢⎢0 0 0 ⎥⎥ . ⎢⎣0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦

(2). Matriz identidad Es una matriz cuadrada en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales a uno y todos los demás elementos son iguales a cero. Notación ⎧1 si i = j I ( n, n) = ⎡⎣eij ⎤⎦ , donde eij = ⎨ ( n ,n ) ⎩0 si i ≠ j

⎪⎧∀i = 1... n ⎨ ⎩⎪∀ j = 1... n

Geometría vectorial y analítica

69

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales Ilustración 4 Veamos algunas matrices identidad: ⎡1 0 ⎤ I ( 2,2) = ⎢ ⎥ , I ( 4,4) ⎣0 1⎦

⎡1 ⎢0 =⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0 0 0⎤ 1 0 0⎥⎥ . 0 1 0⎥ ⎥ 0 0 1⎦

Obsérvese que de acuerdo a la convención usual, el elemento genérico debería designarse por iij ; sin embargo, para evitar la doble designación con el elemento i, del término y del orden, por convención se utiliza la letra e. (3). Matriz triangular superior Es una matriz cuadrada en la cual todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son iguales a cero. Notación Sea A = ⎣⎡aij ⎦⎤

( n, n)

⎧⎪∀i = 1... n , A es triangular superior si aij = 0 para i > j = ⎨ ⎪⎩∀ j = 1... n

(4). Matriz triangular inferior Es una matriz cuadrada en la cual todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son iguales a cero. Notación Sea B = ⎡⎣bij ⎤⎦

( n, n )

⎧⎪∀i = 1... n , B es triangular inferior si bij = 0 para i < j = ⎨ ⎪⎩∀ j = 1... n

(5). Matriz diagonal Es aquella matriz que es triangular superior y triangular inferior. Notación D = ⎡⎣ d ij ⎤⎦

( n, n )

⎧⎪∀i = 1... n , donde d ij = 0 para i ≠ j , ⎨ ⎪⎩ ∀ j = 1... n

(6). Matriz escalar Es aquella matriz diagonal en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales.

70

Módulo 3: El conjunto Notación

m× n

⎧0 para i ≠ j ∀i = 1... n ⎪ ∀ j = 1... n Sea H = ⎡⎣hij ⎤⎦ , H es escalar si hij = ⎨ ( n, n ) ⎪ k para i = j (k constante) ⎩

Ilustración 5 Caractericemos cada una de las matrices siguientes, de acuerdo a la clasificación establecida. ⎡0 ⎢0 A=⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0 0 0 0

0 0 0 0

1⎤ 0 ⎥⎥ , 0⎥ ⎥ 0 ⎦ ( 4,4)

⎡ −8 0 0 ⎤ D = ⎢⎢ 0 −8 0⎥⎥ , ⎢⎣ 0 0 8⎥⎦ 3,3 ( )

⎡ 5 ⎢ T =⎢ 0 ⎢ ⎣⎢ 0

0 5 0

⎡0 0 0 ⎤ ⎡1 0 0 0⎤ ⎢ ⎥ , B = ⎢0 0 0 ⎥ , C = ⎢⎢0 1 0 0 ⎥⎥ ⎣⎢0 0 0 ⎥⎦ (3,3) ⎣⎢0 0 1 0⎦⎥ (3,4)

E = [1](1,1) ,

⎡0 ⎢0 F=⎢ ⎢0 ⎢ ⎣1

0 0 1⎤ 0 1 0 ⎥⎥ , 1 0 0⎥ ⎥ 0 0 0 ⎦ (4,4)

0⎤ ⎥ 0⎥ . ⎥ 5 ⎦⎥ ( 3,3 )

Solución A es una matriz triangular superior. B es la matriz nula de orden 3 y es una matriz escalar. ¿Por qué? C no tiene ninguna categoría, dentro de la clasificación establecida. D es una matriz diagonal y por tanto es triangular superior e inferior. E es la matriz identidad de orden 1 y es escalar. ¿Por qué? F no tiene ninguna categoría, dentro de la clasificación establecida. T es una matriz escalar y por tanto diagonal, triangular superior e inferior.

Geometría vectorial y analítica

71

4 Operaciones en el conjunto

m ×n

Introducción Fundamentaremos las operaciones básicas en el conjunto

m×n

que lo caracterizan como un

espacio vectorial, analizando además sus propiedades, que nos permiten múltiples aplicaciones. Así mismo estudiaremos el producto matricial como una nueva operación que provee a

m×n

de nuevas características estructurales y la modelación de problemas reales de gran

Arthur Cayley

aplicación.

Objetivos del módulo 1. Introducir la adición entre las matrices y mostrar que el sistema conformado es un grupo abeliano. 2. Presentar la operación correspondiente al producto de un número real por una matriz y sus propiedades. 3. Destacar cómo, bajo las dos operaciones anteriores, el conjunto

m×n

alcanza la estructu-

ra de espacio vectorial real. 4. Definir la noción de combinación lineal ya presentada en el espacio conjunto

n

, en particular en el

m×n

5. Definir el producto matricial y las condiciones de compatibilidad, exhibiendo diferentes criterios para calcularlo y mostrando la importancia de esta operación en la formulación y solución de problemas reales.

Preguntas básicas 1. ¿Cómo se suman las matrices? 2. ¿Es la adición una operación binaria? 3. ¿Es

m× n

un grupo aditivo?

4. ¿Cómo se restan las matrices? 5. ¿Cómo se multiplica un número real por una matriz? 6. ¿Corresponde este producto a una ley de composición externa? 7. ¿Es

m× n

un espacio vectorial con las operaciones definidas?

8. ¿Qué es una combinación lineal de matrices? 9. ¿Cuándo es posible definir el producto entre matrices y cómo podemos calcularlo? 10. ¿Qué propiedades caracterizan al producto matricial?

Contenidos del módulo

Arthur Cayley, matemático británico, nació el 16 de agosto de 1821 en Richmond y murió el 26 de enero de 1895 en Cambridge. En 1829 fue enviado a una escuela privada, y más tarde, en 1835, al King’s College School de Londres. Su genio matemático se reveló precozmente y las primeras manifestaciones de su talento superior fueron semejantes a las de Carl Friedrich Gauss. Desde joven, Cayley demostró una asombrosa habilidad para los largos cálculos numéricos, que emprendía para divertirse. Al comenzar el estudio formal de la Matemática rápidamente superó al resto de sus compañeros, y puede decirse que constituyó entre ellos una categoría especial, lo mismo que ocurrió más tarde cuando llegó a la Universidad, cuando sus maestros se pusieron de acuerdo en que era un matemático innato que debería elegir esta ciencia como carrera. Cayley comenzó su carrera universitaria a los 17 años de edad, en el Trinity College de Cambridge. No obstante, entre sus compañeros fue considerado como «un simple matemático» con una aguda pasión por la lectura de novelas. Las representaciones de Shaskespeare, especialmente las comedias, le deleitaban. Igualmente, el aprendizaje de idiomas. El griego, aprendido en la escuela, fue siempre para él un lenguaje de fácil lectura. Leía y escribía el francés tan fácilmente como el inglés, y conocía además el alemán y el italiano. Al terminar su tercer año en Cambridge, Cayley se había alejado ya tanto del resto de los compañeros en los estudios matemáticos que el profesor trazó una línea bajo su nombre, poniéndolo en una categoría especial «por encima del primero». En 1842, a los 21 años de edad, estaba en el primer puesto de la universidad en los concursos matemáticos. Se hallaba, pues, en condiciones de que se le permitiera hacer lo que quería durante algunos años. Entonces, fue elegido tutor ayudante del Trinity College por un periodo de tres años.

4.1 Operaciones en las matrices 4.1.1 Adición en 4.1.2 Diferencia en

m×n m×n

4.1.3 Producto de un número real por una matriz 4.1.4 Combinación lineal de matrices 4.1.5 Producto de matrices

Vea el módulo 4 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

73

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales Lo mismo que Niels Henrik Abel, Evariste Galois y muchos otros grandes de las matemáticas, Cayley se dedicó a leer a los maestros por propia iniciativa. Su primera obra, publicada en 1841, cuando tenía 20 años, surgió de su estudio de las obras de los matemáticos franceses Joseph Louis Lagrange y Pierre Simon Laplace. Sin otro quehacer que lo que deseaba realizar, Cayley publicó, después de obtener su título universitario, ocho trabajos el primer año, cuatro el segundo y tres el tercero. Estos primeros trabajos fueron hechos cuando aún no tenía 25 años y en el último se plantea gran parte de la obra que iba a ocuparle durante los siguientes 50 años. Ya había comenzado el estudio de la geometría de n dimensiones (que él creó), la teoría de invariantes, la geometría enumerativa de curvas planas y su contribución esencial a la teoría de funciones elípticas.

4.1 Operaciones en las matrices 4.1.1 Adición en

m× n

Sean A, B ∈ R m×n , tales que A = ⎡⎣aij ⎤⎦

( m ,n )

, B = ⎡⎣bij ⎤⎦ . ( m , n)

⎧⎪∀i = 1... m Definimos A + B = C = ⎡⎣ cij ⎤⎦ , donde cij = aij + bij ⎨ . (m , n) ⎪⎩∀ j = 1... n

Esto es, A + B = ⎡⎣aij + bij ⎤⎦

( m, n )

.

Ilustración 6 En 1846, cuando tenía 25 años, Cayley abandonó Cambridge. Siguiendo la costumbre habitual de quienes en Inglaterra querían obtener, en la carrera de leyes, un grado distinguido (es decir, superior al cargo de procurador), Cayley ingresó en el Colegio de Lincoln a estudiar abogacía. Pero al dedicarse a esa profesión, resolvió no dejarse invadir por completo por las leyes, y en consecuencia rechazó más asuntos que los que aceptó. Durante 14 años llevó una vida cómoda, aprovechándose de la oportunidad para obtener renombre y para ganar lo suficiente, pero no más que lo suficiente, para continuar su obra. Sin embargo, durante su periodo de servicio jurídico publicó entre 200 y 300 trabajos matemáticos, muchos de los cuales se han hecho clásicos.

Sean ⎡3 − 5 A=⎢ ⎣0 7

⎤ ⎡ −2 1 1 ⎤ ⎡ −3 5 − 1 2 ⎤ ⎡0 0 0 ⎤ , B=⎢ , C=⎢ ⎥ ⎥ ⎥ , O = ⎢0 0 0 ⎥ . 1⎦ 3 − 5 0 0 − 7 − 1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1

2

Calculemos: A+B, A+C, A+O, B+C. Solución ⎡1 −4 A+ B = ⎢ ⎣3 2

⎡ 0 0 0 ⎤ (¿qué características presentan 2⎤ , A+C = ⎢ ⎥ 1 ⎥⎦ estas dos matrices?) ⎣0 0 0⎦

3

A + O = A.

Dejamos al lector la última suma. Teorema 1: Propiedades de la adición en R m ×n Sean A, B, C ∈ R m× n , tales que A = ⎡⎣ aij ⎤⎦

( m , n)

, B = ⎡⎣bij ⎤⎦

( m , n)

, C = ⎡⎣ cij ⎤⎦

( m, n )

. Enton-

ces se cumplen los siguienes enunciados: 1.

( A + B ) + C = A + ( B + C ).

2.

Existe O( m , n) tal que para A( m , n) cualquiera, A+O = A. Esto significa que la matriz nula es el módulo bajo la suma.

3.

Dada A, existe − A = ⎡⎣ − aij ⎤⎦ inversa aditiva de A.

4.

74

A + B = B + A.

( m , n)

tal que A + (− A) = O( m ,n ) . Es decir, − A es la

Módulo 4: Operaciones en el conjunto

m× n

Observaciones 1.

La suma es una operación binaria en R m ×n , conformándose el sistema

R m× n , + . 2.

El sistema R m× n , + alcanza la estructura de grupo conmutativo o abeliano.

4.1.2 Diferencia en R m×n Sean A = ⎡⎣ aij ⎤⎦

(m , n)

, B = ⎡⎣bij ⎤⎦

( m ,n )

; definimos A − B = A + (− B ) = ⎡⎣ aij − bij ⎤⎦

( m ,n )

.

Ilustración 7 ⎡ 2 5 −4 0 ⎤ , Sean A = ⎢ 0 −5 ⎥⎦ ( 2,3) ⎣3

⎡ 1 2 − 2 3⎤ B=⎢ ⎥ . ⎣ 0 1 1 ⎦ ( 2,3)

Calculemos A − B y B − A. Solución ⎡ 2 5 − 1 2 −4 + 2 0 − 3 ⎤ ⎡ − 110 −2 −3 ⎤ A− B = ⎢ = . 0 − 1 −5 − 1⎥⎦ ⎢⎣ 3 −1 −6 ⎥⎦ ( 2,3) ⎣ 3−0 ⎡ 12 − 2 5 B− A= ⎢ ⎣ 0−3

−2 + 4 3 − 0 ⎤ ⎡ 110 2 3 ⎤ = . 1 − 0 1 + 5 ⎥⎦ ⎢⎣ −3 1 6 ⎥⎦ ( 2,3)

Observemos que la diferencia no es conmutativa.

4.1.3 Producto de un número real por una matriz Sean λ ∈ R, A ∈ R m×n , donde A = ⎡⎣ aij ⎤⎦

( m , n)

. Definimos λ ⋅ A = C = ⎡⎣cij ⎤⎦ m,n , donde (

)

⎧⎪∀i = 1... m cij = λ aij ⎨ esto es, λ ⋅ A = ⎡⎣λaij ⎤⎦ . ( m, n) ⎪⎩∀ j = 1... n, Ilustración 8 ⎡ Sean A = ⎣ − 2

1

2

5 ⎤⎦

(1,3)

,

⎡2 B=⎢ ⎣1

0

−8

0

0

3⎤ , 1 ⎥⎦ ( 2,4)

⎡ 3 −2 ⎤ C=⎢ . ⎥ ⎣ 5 1 5 ⎦ ( 2,2)

Escuche el audio Arthur Cayley y el álgebra de matrices en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

1 Calculemos 4 ⋅ A, − ⋅ B, 0 ⋅ C. 2

Geometría vectorial y analítica

75

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales Solución

4 ⋅ A = ⎡⎣ −4 2 2 20⎤⎦ . (1,3) ⎡ −1 0 4 − 3 2 ⎤ 1 − ⋅B = ⎢ ⎥ . 2 ⎣ − 1 2 0 0 − 1 2 ⎦ ( 2,4 )

Dejamos al lector el último producto. Teorema 2: Propiedades del producto de un real por una matriz Sean λ , β ∈ R, A, B ∈ R m× n ; entonces se cumplen: 1.

λ ⋅ ( A + B ) = λ ⋅ A + λ ⋅ B.

2.

(λ + β ) ⋅ A = λ ⋅ A + β ⋅ A.

3.

λ ⋅ ( β ⋅ A) = (λ ⋅ β ) ⋅ A.

4. 5.

−1⋅ A = − A. 1⋅ A = A.

Observaciones 1. 2.

Este producto corresponde a una ley de composición externa. Usualmente cuando el contexto es claro podemos omitir el punto que indica la operación.

3.

El conjunto R m ×n , con estas dos operaciones definidas (adición y producto de un real por una matriz), alcanza la estructura de espacio vectorial real, como puede concluirse de las propiedades establecidas en los teoremas 1 y 2.

4.1.4 Combinación lineal de matrices Sean A = { B1 , B2 ,..., Bk } ⊂ R m×n . De todo X que satisface la ecuación X = λ1 B1 + λ2 B2 + ... + λk Bk , con λi ∈ R, ∀i = 1... k ,

decimos que es una combinación lineal del conjunto A. Ilustración 9 Dadas ⎡ −2 0 B=⎢ ⎣ 0 −3

1⎤ , 2 ⎥⎦

K = { B, C , D,} ,

76

⎡ 12 C=⎢ ⎣ 0

−4 0

− 12⎤ , −7 ⎥⎦

⎡0 D=⎢ ⎣7

0 1

−5 ⎤ y 1⎥⎦

Módulo 4: Operaciones en el conjunto

calculemos:

m× n

X 1 = − 1 ⋅ B + 2 ⋅ C + 5 ⋅ D; X 2 = 1 ⋅ B + 0 ⋅ C + 0 ⋅ D; X 3 = 0 ⋅ B + 0 ⋅ C + 0 ⋅ D.

Solución ⎡2 X1 = ⎢ ⎣0

0 3 −8 8

⎡ 3 =⎢ ⎣ 35

−1⎤ ⎡ 1 + −2 ⎥⎦ ⎢⎣ 0

−8 0

−1 ⎤ ⎡ 0 + −14⎥⎦ ⎢⎣ 35

0 5

−25⎤ 5 ⎥⎦

− 27 ⎤ . − 11⎥⎦ ( 2,3)

X 2 = B.

X 3 = O( 2,3) . Observaciones 1.

Toda combinación lineal de matrices de un orden dado es otra matriz del mismo orden. ¿Por qué?

2.

La matriz nula de un orden dado es combinación lineal de cualquier conjunto de matrices del mismo orden. ¿Por qué?

3.

Toda matriz es combinación lineal de todo conjunto que la tenga como elemento, siempre y cuando todas las matrices del conjunto tengan el mismo orden.

Ilustración 10 ⎡ −1 −4 0 ⎤ Dada G = ⎢ ⎥ , ¿es G una combinación lineal del conjunto K determina⎣2 0 0⎦ do en la ilustración anterior? Dejamos la solución del problema al lector.

4.1.5 Producto de matrices Sean A = ⎡⎣ aij ⎤⎦

( m , n)

, B = ⎡⎣bij ⎤⎦

( n, r )

. Definimos A ⋅ B = C = ⎡⎣cij ⎤⎦ , donde ( m,r )

n

cij = ∑ aik bkj . En este caso afirmamos que A y B son compatibles para el producto. k =1

Observaciones 1.

La definición anterior exige, para la existencia del producto, que el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda.

2.

El orden de la matriz producto es igual al número de filas de la primera por el número de columnas de la segunda.

3.

¿Es el producto matricial una operación binaria en R m×n ? Geometría vectorial y analítica

77

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales 4.

Podemos recurrir a otras formas más dinámicas que nos llevan al mismo resultado y cuya aplicación depende de la presentación de los datos iniciales y de los resultados que se requieran destacar. Los designaremos como criterios alternos y los desarrollaremos a continuación.

Criterio alterno 1 Bajo las mismas condiciones anotadas para A y B en la definción del producto, tenemos que: A ⋅ B = C = ⎡⎣cij ⎤⎦ , ( m ,r )

donde cij = Ai ⋅ B j , y donde la operación «·» representa el producto escalar extendido.

Esto es, cij = ⎡⎣ ai1

ai 2

…

aij

…

⎡ b1 j ⎤ ⎢b ⎥ ⎢ 2j ⎥ ⎢ ⎥ ain ⎤⎦ ⋅ ⎢ ⎥ . ⎢ bij ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ bnj ⎥⎦ n

cij = ai1b1 j + ai 2 b2 j + ... + ain bnj = ∑ aik bkj . k =1

Ilustración 11 ⎡3 Sean A = ⎢ 1 ⎢ ⎢⎣ 2

−1⎤ ⎡ −7 0 ⎥⎥ , B = ⎢ ⎣0 5 ⎥⎦ 3,2 (

0 2

)

1⎤ , C = [9 4](1,2) . 5 ⎥⎦( 2,3)

Indiquemos de las siguientes parejas cuáles son compatibles para el producto, y para aquellas que lo sean calculemos la matriz producto utilizando el criterio alterno 1. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

AyB ByA AyC CyA ByC CyB

Solución A y B son compatibles para el producto. Designemos A ⋅ B = D = ⎡⎣dij ⎤⎦

(3,3)

, donde dij = Ai ⋅ B j y veamos cómo se cal-

cula cada uno de los elementos de D.

78

Módulo 4: Operaciones en el conjunto

m× n

⎡−7⎤ d11 = A1 ⋅ B1 = [3 −1] ⋅ ⎢ ⎥ = −21 + 0 = −21. ⎣0⎦ ⎡0⎤ d12 = A1 ⋅ B 2 = [3 −1] ⋅ ⎢ ⎥ = 0 − 2 = −2. ⎣ 2⎦ ⎡1⎤ d13 = A1 ⋅ B3 = [3 −1] ⋅ ⎢ ⎥ = 3 − 5 = −2. ⎣5⎦ Calcule en forma análoga los elementos restantes. ⎡ −21 −2 −2⎤ A ⋅ B = ⎢⎢ −7 0 1 ⎥⎥ . ⎢⎣−14 10 27 ⎥⎦ 3,3 ( )

B y A son compatibles para el producto. Designemos B ⋅ A = F = ⎡⎣ fij ⎤⎦

( 2,2)

, donde fij = Bi ⋅ A j .

⎡3⎤ f11 = B1 ⋅ A1 = [ −7 0 1] ⋅ ⎢⎢1⎥⎥ = −21 + 0 + 2 = −19. ⎢⎣2⎥⎦ ⎡ −1⎤ 2 f12 = B1 ⋅ A = [ −7 0 1] ⋅ ⎢⎢ 0 ⎥⎥ = 7 + 0 + 5 = 12. ⎣⎢ 5 ⎦⎥ ⎡3⎤ f 21 = B2 ⋅ A = [ 0 2 5] ⋅ ⎢⎢1⎥⎥ = 0 + 2 + 10 = 12. ⎢⎣2⎥⎦ ⎡ −1⎤ f 22 = B2 ⋅ A2 = [ 0 2 5] ⋅ ⎢⎢ 0 ⎥⎥ = 0 + 0 + 25 = 25. ⎢⎣ 5 ⎥⎦ 1

⎡−19 12 ⎤ B⋅ A = ⎢ ⎥ . ⎣ 12 25⎦( 2,2)

Observación Podemos concluir que el producto matricial en general no es conmutativo. ¿Por qué? A y C no son compatibles para el producto. C y A no son compatibles para el producto. B y C no son compatibles para el producto. Geometría vectorial y analítica

79

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales C y B son compatibles para el producto. Designemos C ⋅ B = G = ⎡⎣ gij ⎤⎦

(1,3)

, donde gij = Ci ⋅ B j .

C ⋅ B = [ −63 8 29](1,3) .

Criterios alternos 2 y 3 Combinación lineal de columnas y combinación lineal de filas. Dadas A = ⎡⎣ aij ⎤⎦

( m , n)

, B = ⎡⎣bij ⎤⎦

( n, r )

, entonces: j = 1... r C = ∑ bij A (combinación lineal n

j

i

i =1 ⎡ delas columnasde A) ⎢ ⎢ A ⋅ B = C = ⎡⎣cij ⎤⎦ , donde ( m, r ) ⎢ i = 1... m ⎢ n ⎣ C = a B (combinación lineal ∑ i ij j j =1 de las filas de B)

Nota: las dos expresiones anteriores nos permiten tener una idea más estructurada del producto matricial y de gran aplicación en la solución de problemas reales, como el que se propone a continuación. Problema de aplicación Las tablas 4.1 y 4.2 muestran el volumen de ventas de cuatro artículos A, B, C, D durante un periodo de tres meses, como también los precios de costo y de venta de cada uno. Tabla 4.1

Tabla 4.2

Artículos A Mes

Precios unitarios

B

C

D

Artículo

De costo

Enero

18

25 12

10

A

185.000

129.500

Febrero

20

25

10

15

B

120.000

84.000

Marzo

15

20

6

10

C

200.000

150.000

D

156.000

117.000

Calculemos, utilizando el producto matricial: 1. Valor de las ventas mensuales de cada artículo. 2. Valor de las ventas totales por mes. 3. Valor del costo mensual de cada artículo. 4. Valor del costo total por mes. 5. Valor de las utilidades mensuales por artículo. 6. Valor de la utilidad total por mes.

80

De venta

Módulo 4: Operaciones en el conjunto

m× n

Solución ⎧ S : matriz de artículos vendidos por mes Designemos por ⎨ ⎩ P : matriz de precios

A su vez, en la matriz P identificamos sus columnas así: V: submatriz de precios de venta. C: submatriz de precios de costo. Determinemos las matrices designadas:

⎡18 25 12 10 ⎤ S = ⎢⎢ 20 25 10 15 ⎥⎥ , ⎣⎢15 20 6 10 ⎦⎥ (3,4)

C ⎤ ⎡ V ⎢185.000 129.500 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 120.000 84.000 ⎥ P=⎢ . ⎢ ⎥ ⎢ 200.000 150.000 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢156.000 117.000 ⎦⎥ (4,2)

Observemos inicialmente que S y P son compatibles para el producto, siendo S ⋅ P(3,2) . Para el cálculo solicitado, es más útil obtener el producto como combinación lineal de columnas de S, así (¿por qué?):

( S ⋅ P)

1 ( 3,1)

⎡18 ⎤ ⎡ 25⎤ ⎡12⎤ ⎡10⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =185.000 ⎢20 ⎥ + 120.000 ⎢ 25⎥ + 200.000 ⎢10⎥ + 156.000 ⎢⎢15⎥⎥ ⎢⎣15 ⎥⎦ ⎢⎣ 20⎥⎦ ⎢⎣ 6 ⎥⎦ ⎢⎣10⎥⎦ ⎡3.330.000 ⎤ ⎡3.000.000 ⎤ ⎡ 2.400.000 ⎤ ⎡1.560.000 ⎤ = ⎢⎢3.700.000 ⎥⎥ + ⎢⎢3.000.000 ⎥⎥ + ⎢⎢ 2.000.000 ⎥⎥ + ⎢⎢ 2.340.000⎥⎥ ⎢⎣ 2.775.000⎥⎦ ⎢⎣ 2.400.000 ⎥⎦ ⎢⎣1.200.000 ⎥⎦ ⎢⎣1.560.000 ⎥⎦ ⎡10.290.000 ⎤ = ⎢⎢11.040.000 ⎥⎥ . ⎢⎣ 7.935.000 ⎥⎦

Podemos afirmar que cada columna correspondiente a las sumas parciales representa el valor de las ventas mensuales de los artículos A, B, C y D, respectivamente, y la matriz suma representa en consecuencia el valor de las ventas totales por mes.

( S ⋅ P)

2 ( 3,1)

⎡18 ⎤ ⎡ 25⎤ ⎡12 ⎤ ⎡10⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =129.5000 ⎢20 ⎥ + 84.000 ⎢ 25⎥ + 150.000 ⎢10 ⎥ + 117.000 ⎢⎢15⎥⎥ ⎣⎢15 ⎦⎥ ⎣⎢ 20 ⎦⎥ ⎣⎢ 6 ⎦⎥ ⎣⎢10⎦⎥

⎡ 2.331.000⎤ ⎡ 2.100.000 ⎤ ⎡1.800.000⎤ ⎡1.170.000⎤ = ⎢⎢ 2.590.000⎥⎥ + ⎢⎢ 2.100.000 ⎥⎥ + ⎢⎢1.500.000⎥⎥ + ⎢⎢1.755.000⎥⎥ ⎢⎣1.942.500 ⎥⎦ ⎢⎣1.680.000 ⎥⎦ ⎢⎣ 900.000 ⎥⎦ ⎢⎣1.170.000⎥⎦ ⎡7.401.000⎤ = ⎢⎢7.945.000⎥⎥ . ⎢⎣5.692.500 ⎥⎦ Geometría vectorial y analítica

81

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales Cada una de las columnas asociada a la suma parcial representa el valor invertido en las compras mensuales de los artículos A, B, C y D, respectivamente, y la matriz suma representa en consecuencia el valor invertido en las compras totales por mes. Representamos ahora la matriz producto. ⎡10.290.000 S ⋅ P = ⎢⎢11.040.000 ⎢⎣ 7.935.000

7.401.000 ⎤ 7.945.000 ⎥⎥ . 5.692.500 ⎥⎦ 3,2 (

)

En esta matriz ya hemos interpretado el significado de sus dos columnas. Es fundamental anotar, como lo hemos podido observar hasta el momento, que en muchos problemas son más importantes los resultados parciales que se obtienen durante el proceso de los cálculos, que las cifras consolidadas en el resultado final. Para nuestro caso, la matriz producto se puede obtener por distintos procedimientos, pero no todos permiten recoger los resultados pedidos. ¿Cómo se obtienen las utilidades por cada artículo y en cada mes? Calculemos finalmente la utilidad total por mes: ⎡2.889.000 ⎤ S ⋅ V − S ⋅ C = S ⋅ (V − C ) = ⎢⎢3.095.000 ⎥⎥ , ⎢⎣2.242.500 ⎥⎦ 3,1 ( )

que corresponde a la diferencia entre las dos matrices columna de la matriz producto. En consecuencia, hemos observado cómo un problema real y sencillo, pero práctico, tiene su fundamentación en herramientas del álgebra matricial. Ello nos confirma además la necesidad de una interpretación adecuada de la información que nos permita organizarla y presentarla correctamente para proceder a los cálculos matriciales requeridos. Teorema 3: Propiedades del producto matricial Sean A( m ,n ) ; B( n, r ) ; C( r ,t ) ; D( r ,t ) ; E( n, r ) ; λ ∈ R. Entonces se cumple:

82

1.

A ⋅ ( B ⋅ C ) = ( A ⋅ B) ⋅ C

Propiedad asociativa

2.

A ⋅ (B + E) = A ⋅ B + A ⋅ E

Propiedad distributiva a la izquierda

3.

(B + E) ⋅ D = B ⋅ D + E ⋅ D

Propiedad distributiva a la derecha

4.

(λ A) ⋅ B = A ⋅ (λ B ) = λ ( A ⋅ B)

Módulo 4: Operaciones en el conjunto 5.

I ( m , m) ⋅ A = A ⋅ I ( n , n ) = A

m× n

Modulativa a la izquierda y modulativa a la derecha

En particular, si A( n, n ) , entonces I( n,n) ⋅ A = A ⋅ I( n,n) = A , siendo I( n ,n ) el módulo bajo la operación producto.

Geometría vectorial y analítica

83

Ejercicios del capítulo 2 (módulos 3 al 7) 1.

2.

En el siguiente contexto A, B y C designan matrices. Muestre en cada literal un contraejemplo que pruebe que la igualdad establecida no es verdadera (esto es, que la proposición no es un teorema). a.

A⋅ B = B ⋅ A .

b.

( A + B ) 2 = A2 + 2 A ⋅ B + B 2 .

c.

( A + B ) ⋅ ( A − B) = A2 − B 2 .

d.

( A ⋅ B ) 2 = A2 ⋅ B 2 .

e.

( A ⋅ B = A ⋅ C ) ⇒ ( B = C ).

f.

A ⋅ B = 0 ⇔ A = 0 o B = 0.

g.

An = A ⇔ A = I o A = 0.

Para cada una de las afirmaciones siguientes indique si es verdadera o falsa. Justifique su afirmación. a.

Toda matriz escalar es triangular superior.

b.

Toda matriz diagonal es escalar.

c.

Toda matriz escalar es diagonal.

d.

Toda matriz nula es cuadrada.

e.

Toda matriz con unos en la diagonal principal y ceros en los restantes elementos, es una matriz identidad.

f.

Toda matriz nula es escalar.

g.

Toda matriz identidad es escalar.

h.

Toda matriz triangular inferior es cuadrada.

i.

Toda matriz triangular superior e inferior es escalar.

j.

Ninguna matriz simétrica puede ser antisimétrica.

k.

En una matriz antisimétrica los elementos de la diagonal principal son necesariamente iguales a cero.

l.

En una matriz simétrica los elementos de la diagonal principal pueden ser iguales a cero.

m.

Sea A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ ( n , n) , donde aij = λ para ∀i = 1... n, ∀ j = 1... n, entonces A es una matriz escalar.

n.

Sea B = ⎡⎣bij ⎤⎦

o.

Sea C = ⎡⎣cij ⎤⎦ , donde cij = 0 si i ≠ j y cij = 1 si i = j, ∀i = 1... m, ∀ j = 1... n, entonces C es una matriz ( m, n ) identidad.

114

( n ,m )

, donde bij = 0 si i ≠ j ∀i = 1... n, ∀ j = 1... m, entonces B es una matriz diagonal.

p.

Sea H = ⎡⎣ hij ⎤⎦ , donde hij = 0 si i ≠ j , y hij ≠ 0 si i = j, ∀i = 1... n, ∀ j = 1... n, entonces H es en particu( n, n ) lar una matriz diagonal.

3.

q.

El producto de dos matrices compatibles y cuadradas es otra matriz cuadrada.

r.

El producto matricial nunca puede ser una operación binaria en el conjunto de

s.

El número de elementos de una matriz producto siempre es mayor que el de cada una de las matrices factores.

t.

El producto matricial nunca es conmutativo.

u.

Si el producto matricial de dos matrices es una matriz cuadrada, entonces necesariamente los factores son matrices cuadradas.

mxn

.

En las tablas 1 y 2 se presenta la información sobre la nómina de cuatro trabajadores, A, B, C y D, para un periodo de dos semanas. Se han adoptado las siguientes convenciones: Ho: horas ordinarias. He: horas extras. Hd: horas dominicales. Sd: salario devengado. Ret: retenciones para pagos de salud y seguridad social. Todos los índices corresponden a valor por cada hora, en pesos. Tabla 1

Horas laboradas Trabajador A

Semana 1 Ho He H.d 48 24 8

B C

48

D

48

12 24

8 4

48

0

0

Semana 2 Ho He H.d 48 24 8 48 24 4 48

24

4

48

0

0

Tabla 2

Trabajador Datos

A

Tipo de horas Sd

Ret

D

C

B

Ret 256

Sd

Ret

197

Sd 3.331

5.124

395

Ho

1.590

122

Sd 2.562

Ret

He

1.988

153

3.203

247

4.164

321

0

0

Hd

2.385

184

3.843

296

4.997

385

0

0

Utilice el producto matricial para calcular, entre otras, las siguientes cantidades: el salario neto recibido por cada trabajador en cada semana, el valor retenido a cada trabajador en cada semana, el valor total pagado por la empresa en salarios ordinarios, el valor total pagado por horas extras, el valor total pagado por dominicales, el valor total pagado por salarios, el valor total de las retenciones. Analice el producto matricial por filas y por columnas e interprete la información parcial obtenida.

Geometría vectorial y analítica

115

Analice toda la información suministrada y la información solicitada y trate de organizar sus resultados en la forma más eficiente posible. 4.

En los problemas siguientes téngase en cuenta la siguiente definición recursiva para potencias de una matriz. Sea A( n , n ) , definimos An así: i.

A1 = A.

ii.

Si n ≥ 2 , entonces An = A( n −1) ⋅ A .

Utilice el principio de inducción matemática para demostrar:

5.

a.

Si A, B ∈

n×n

b.

Si A ∈

n×n

, entonces Am ⋅ As = Am+ s .

c.

Si A ∈

n× n

, entonces ( A m) s = Ami s .

y A · B = B · A, entonces ( A ⋅ B ) m = Am ⋅ B m .

Para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones dados: a. b. c. d.

Determine la matriz de coeficientes. Escriba la ecuación matricial correspondiente. Aplique el método de reducción de Gauss-Jordan para resolver el sistema. Si el sistema es consistente determine el conjunto solución y muestre una solución particular.

(a)

(b)

x + 5 y + 11z = −5 2x + 3 y + 8z = 4 − x + 2 y + 3z = 3

x − 2y = 0 2x + y = 5 3 x + 2 y = −2

(c)

(d)

2 x + 3 y − 6 z = −3

x − y − z − w = −1

4x − 3 y =1 4 x + 3 y + 12 z = 13

x + y − z + w = −5 x+ y + z + w =1 x+ y+ z−w=9

6.

(e)

(f)

2x − y − z = 0 5x + y + 2z = 2

x + 2 y + 2z + w = 4 2 x + 3 y + 3z − w = 2

11x + 5 y + 8 z = 4

x − y − 2 z + 2w = 3

Asuma que la matriz E dada en cada uno de los siguientes casos es la matriz aumentada de un sistema reducido de ecuaciones lineales. a. b. c. d. e. f.

116

¿Cuáles son m y n en el sistema inicial? ¿Cuál es el rango fila? Determine qué tipo de solución tiene el sistema. Si el sistema es consistente, determine las variables principales y los parámetros. Escriba el sistema equivalente reducido de ecuaciones lineales. Encuentre el conjunto solución del sistema.

(a)

(b)

⎡ ⎢ ⎢ E=⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

1

−2

1

0

−3

0

0 0

0 0

0 0

1 0

2 0

0

0

0

0

0

0

1 0

0

0

0

0

0

0

0⎤ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 1⎥ 0 ⎥⎦

⎡ 1 ⎢ E=⎢ 0 ⎢ 0 ⎣

(c) ⎤ −2 ⎥⎥ 5⎥ ⎥ −1 ⎥ 0⎥ ⎥ 0 ⎦⎥

0 0 0

1

0 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

⎡1 ⎢0 E=⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0 0 3 1 5⎤ 1 0 −2 −1 15 ⎥⎥ 0 1 0 2 0⎥ ⎥ 0 0 0 0 0⎦

(f) 1 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

2 0 0 0

0 1 0 0

3⎤ ⎥ −2 ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦

⎡ ⎢ E=⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1 0 0 0

1 0 0 0

0

−3

1 0 0

1 0 0

0⎤ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦

Para cada uno de los siguientes sistemas determine los valores de K para los cuales el sistema resultante tenga: a. b. c.

Ninguna solución (inconsistente). Solución única. Infinitas soluciones.

(a)

(b)

x1 + x2 + x3 = 2 x1 + 3x2 + 2 x3 = 5 2 x1 + 3x2 + ( K 2 − 1) x3 = K + 1 8.

1 0

−2 ⎤ ⎥ 5⎥ 0 ⎥⎦

2

(e)

7.

0

(d)

⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 E=⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎣⎢0

⎡ ⎢ E=⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0

x1 + ( K 2 − 8) x2 = 3 x1 + ( K 2 − 8) x2 = K

Determine el valor de K para que el S.E.L. tenga: a. b. c.

Ninguna solución (inconsistente). Solución única. Infinitas soluciones.

Kx1 + x2 − x3 = 0 x1 + 3x2 + x3 = 0 3x1 + 10 x2 + 4 x3 = 0

Geometría vectorial y analítica

117

9.

Determine los valores de λ y β para que el S.E.L. tenga: a. b. c.

Ninguna solución (inconsistente). Solución única. Infinitas soluciones.

λ x1 + (2λ − β ) x2 = λ + β − 3 5 x1 + 4 x2 = 1

10.

Determine para qué valores de α el siguiente sistema: a. b. c.

Tiene infinitas soluciones. Tiene solución única. Es inconsistente.

2 x − α y + z = −2α + 5 x + y −α z = 1 4x + y − α z = α Resuelva cada uno de los problemas siguientes (11 al 17) indicando explícitamente: 1. 2. 3. 11.

Las variables. El sistema de ecuaciones lineales y su conjunto solución. El conjunto solución del problema.

Suponga que se tienen tres especies de bacterias dentro de un tubo de ensayo y que se nutren con tres tipos de alimentos. Suponga que una bacteria de la especie i consume en promedio por día una cantidad aij del alimento j, suponiendo que: a11 = 1, a12 = 1, a13 = 1, a21 = 1, a22 = 2, a23 = 3, a31 = 1, a32 = 3, a33 = 5.

Suponga además que hay 20.000 unidades del primer alimento cada día, 30.000 unidades del segundo y 40.000 unidades del tercero. Asumiendo que todo el alimento es consumido, ¿cuáles son las poblaciones de las tres especies que pueden coexistir en este ambiente? 12.

Un servicio seccional de salud puede construir tres tipos de unidades intermedias (I, II, III) con el propósito de atender a la población en servicios de cirugía, atención materno-infantil y consulta externa. La capacidad de atención semanal de cada unidad se da en la tabla 3. Tabla 3

Unidad Servicio

Cirugía Materno-infantil

I

II

10 20

0 20 10 30

Consulta externa 30

118

0

III

60

Las estadísticas realizadas indican que para el próximo año se requieren atender semanalmente: cirugía, 80 pacientes; materno-infantil, 210 pacientes; y consulta externa, 240 pacientes.

13.

a.

¿Cuántas unidades de cada tipo deberán construirse, si se requiere atender toda la población que demanda el servicio y cada unidad debe operar a su máxima capacidad?

b.

Si un criterio posterior de elección recomienda elegir la opción que incluya los tres tipos de construcción, pero donde sea mayor el tipo III, ¿cuál es la mejor solución bajo este criterio?

Una firma de transporte posee tres tipos de camiones A, B, C. Los camiones están equipados para el transporte de dos clases de maquinaria pesada. La capacidad de cada camión se indica en la tabla 4. Tabla 4

Camión Máquinas

A

B

C

Clase 1

2

1

1

Clase 2

0

1

2

La firma consigue una orden para transportar 32 máquinas de la clase 1 y 10 máquinas de la clase 2.

14.

a.

Determine el número de camiones de cada tipo que se requieren para cumplir la orden, asumiendo que cada camión debe estar completamente cargado y el número exacto de máquinas pedidas es el que se debe despachar.

b.

Si la operación de cada tipo de camión tiene el mismo costo para la firma, ¿cuál es la solución más económica?

En la figura 1 se indica el flujo de tráfico en algunas vías de Medellín; las unidades corresponden a número de vehículos por hora. Dado que el flujo de tráfico varía notablemente durante el día, asumiremos que los valores dados representan tráfico promedio en periodos picos.

Figura 1

Supongamos que trabajos de mantenimiento y reparaciones obligan a un cierre parcial sobre la avenida Bolívar entre Colombia y la avenida Primero de Mayo, lo cual incrementa el tráfico en las vías adyacentes. Determine el valor mínimo posible del tráfico sobre la avenida Bolívar entre Colombia y la avenida Primero de Mayo que se puede permitir sin causar embotellamientos en las otras vías. Analice el sistema resultante bajo esta condición. Geometría vectorial y analítica

119

15.

Una compañía aérea ha integrado estratégicamente a tres empresas A, B, C. Cada una de ellas opera total o parcialmente una misma ruta, que incluye una ciudad intermedia, considerada como un vuelo regional, dos ciudades capitales, consideradas como vuelos nacionales, y una ciudad fuera del país, considerada como un vuelo internacional. Cada empresa tiene organizados sus equipos para atender las diferentes rutas, mediante órdenes de servicio integradas. La capacidad de cada orden de servicio integrada, para cada empresa, en términos de número de pasajeros movilizados, para esa ruta se indica en la tabla 5: Tabla 5

Empresa Clase de vuelo

A

B

C

Internacional

600

200

0

Nacional

300 200 100 0

Regional

100

100

Por razones prácticas de la programación de los servicios en diferentes rutas, las órdenes de servicio integradas deben ser valores enteros. La compañía requiere movilizar en esta ruta, en una semana específica de navidad, el siguiente número de pasajeros: 5.400 pasajeros en vuelos internacionales, 3.900 en vuelos nacionales y 1.200 en vuelos regionales.

16

a.

Calcule el número de órdenes de servicio integradas de cada empresa que se requieren para atender exactamente la demanda utilizando plenamente la capacidad de cada orden.

b.

Si un criterio posterior recomienda escoger la opción que demande el menor número de órdenes. ¿cuál es la mejor solución?

c.

Si un criterio posterior recomienda escoger la opción que demande el menor número de órdenes, pero utilizando las tres empresas, ¿cuál es la mejor solución?

d.

Si un criterio adicional recomienda escoger la opción en la cual la empresa que atiende simultáneamente los tres tipos de vuelo tiene mayor presencia, entonces ¿cuál es la mejor opción?

e.

Si el costo de operación de una orden de A es el doble del correspondiente a una de B, y el de una de C es igual a 0.1 del de A, ¿cuál es la opción de menor costo de operación?

Una sección de producción de una empresa dispone de tres tipos de máquinas, designadas por A, B y C, que producen tres productos diferentes. La capacidad de producción diaria de cada máquina se muestra en la tabla 6. Tabla 6

Productos Máquina

1

2

3

A

300

50

50

B

100

160 100

C

40

150

90

La sección ha recibido una orden de producción para un día específico, discriminada así: 2.700 unidades del artículo 1; 3.030 unidades del artículo 2; 1.950 unidades del artículo 3.

120

17

a.

Calcule el número de máquinas de cada tipo que deben programarse para satisfacer exactamente la orden de producción.

b.

Si un criterio posterior recomienda escoger la opción que demande el menor número de máquinas pero utilizando los tres tipos, ¿cuál es la mejor solución?

c.

Si la sección sólo dispone para programar en ese día de 6 máquinas tipo A, 8 tipo B y 12 tipo C, ¿cuál es la mejor opción?

d.

Si la sección sólo dispone para programar en ese día de 5 máquinas tipo A, 7 tipo B y 10 tipo C, ¿cuál es la mejor opción?

e.

Si el costo de producción diario de una máquina tipo A es la mitad del correspondiente al de una máquina tipo C, y el de una tipo B es 0,7 del de C, ¿cuál es la opción que tiene el menor costo de producción?

Un modelo de Leontief Supongamos que en un modelo cerrado de economía, las industrias son interdependientes de tal forma que el ingreso debido a las ventas de la producción es igual al gasto generado por el consumo. Asumamos que se tienen tres industrias en estas condiciones, designadas por I1, I2, I3. La fracción de la producción que consume cada una de las industrias se indica en el siguiente cuadro:

Producción I1 Consumo

I2

I3

I1

1/6

5/16 5/16

I2

2/6

4/16 8/16

I3

3/6

7/16 3/16

En la matriz anterior el término aij representa la fracción de bienes producidos por el personal que trabaja en la industria j y que es consumida por el personal que labora en la industria i. Así por ejemplo, el elemento a21 indica que la industria I2 consume 2/6 del total de la producción de la industria I1, a33 que la industria I3 consume 3/16 del total de su propia producción. Supongamos que los ingresos de las industrias I1, I2 e I3 son respectivamente T1, T2, T3. Asumiendo la condición de equilibrio anotada anteriormente, de que el gasto debido al consumo es igual al ingreso generado por la renta de la producción, determine los ingresos de cada industria. Nota: el método cerrado de Leontief puede ampliarse a n industrias y se caracteriza por las siguientes propiedades: 1.

Se cumple la condición de equilibrio.

2. 3.

Para cada componente aij de la matriz se cumple que 0  aij  1. La suma de las componentes de cada columna es igual a 1.

El problema anterior ha sido adaptado de Ben Noble, Input-Output (Leontief closed) models, Summer Conference for College Teachers on Applied Mathematics, Universidad de Missouri.

Geometría vectorial y analítica

121

18

Dada A( n , n ) demuestre que: a. b. c.

19

122

1 ( A − AT ) es antisimétrica. 2 A puede expresarse siempre como la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica.

Sean A, B ∈ R n×n , ambas simétricas. Demuestre que: a. b. c.

20

1 ( A + AT ) es simétrica. 2

A ⋅ B + B ⋅ A es simétrica. A ⋅ B − B ⋅ A es antisimétrica. A ⋅ B ⋅ A es simétrica.

Sean A, B ∈ R n×n , ambas antisimétricas. Demuestre que: a. b. c.

A ⋅ B + B ⋅ A es simétrica. A ⋅ B − B ⋅ A es antisimétrica. A ⋅ B ⋅ A es antisimétrica.

d.

A ⋅ ( AB + BA) − ( AB + BA) ⋅ A es simétrica.

5 La transpuesta de una matriz y sus propiedades Introducción La transposición de matrices y sus propiedades desempeñan un papel importante en el álgebra de matrices, como podemos observarlo a través de las matrices simétricas y antisimétricas y en la definición de nuevas matrices, lo cual tendremos oportunidad de estudiar en el capítulo 3 y en el curso de Álgebra lineal con las mismas componentes complejas.

Objetivos del módulo

La transposición genera un arreglo rectangular en el cual las filas de la matriz inicial son ahora las columnas de la nueva matriz. Este nuevo arreglo presenta una serie de propiedades y relaciones importantes en relación con la matriz inicial.

1. Introducir la matriz transpuesta y sus propiedades. 2. Destacar dos matrices fundamentales –simétricas y antisimétricas– que surgen de la matriz transpuesta. 3. Presentar las propiedades de las matrices simétricas y antisimétricas.

Preguntas básicas 1. ¿Cómo se transpone una matriz? 2. ¿La transpuesta de una matriz puede ser la misma matriz? 3. Cómo expresar una matriz cuadrada como una combinación de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica?

Contenidos del módulo 5.1 Transpuesta de una matriz 5.1.1 Matriz simétrica 5.1.2 Matriz antisimétrica

Vea el módulo 5 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

85

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales

5.1 Transpuesta de una matriz Sea A = ⎡aij ⎤ . Definimos la transpuesta de A y la denotamos AT como ⎣ ⎦( m , n ) AT = ⎡⎣a'ij ⎤⎦ , a ' = a ji . ( n , m) donde ij

Ilustración 12 Determinemos la transpuesta de las siguientes matrices:

⎡ −1 2 ⎢ A=⎢ 1 ⎢ ⎢⎣ −2

0

3

4

5

0

1

5 ⎤ ⎥ 7 ⎥ , ⎥ −1 ⎥ ⎦ (3,4)

⎡ 5 −1 ⎢ −1 0 B=⎢ ⎢9 3 ⎢ ⎣0 1

9 3 −1

2

3

0⎤ 1⎥⎥ , 3⎥ ⎥ 8⎦ ( 4,4)

⎡ 0 7 −2 ⎤ C = ⎢⎢ −7 0 −5⎥⎥ . ⎢⎣ 2 5 0 ⎥⎦ 3,3 ( ) Solución ⎡ −1 2 ⎢ ⎢0 T A =⎢ ⎢3 ⎢ ⎣5

1 4 5 7

−2 ⎤ ⎥ ⎡ 0 −7 2 ⎤ 0 ⎥ ⎢ T T 0 5 ⎥⎥ ; esto es, C T = −C. ⎥ ; B = B; C = ⎢ 7 1 ⎥ ⎢⎣ −2 −5 0 ⎥⎦ 3,3 ( ) ⎥ −1 ⎦( 4,3)

Notas 1.

Al determinar la transpuesta de una matriz, de acuerdo con la definición, las filas de la matriz original pasan a ser, en su orden, las columnas de la matriz transpuesta y en forma análoga para las columnas.

2.

La ilustración nos muestra además que la transpuesta de una matriz puede ser la misma matriz o también la inversa aditiva de ella. Estas dos situaciones motivan la caracterización de las matrices que definimos a continuación.

5.1.1 Matriz simétrica Sea A( n, n ) A es simétrica si y sólo si AT = A. Así, en la ilustración 12 tenemos que la matriz B es simétrica.

5.1.2 Matriz antisimétrica Sea A( n,n) . A es antisimétrica si y sólo si AT = − A.

86

Módulo 5 : La transpuesta de una matriz y sus propiedades En particular, en la ilustración 12 la matriz C es antisimétrica. Observaciones 1.

Las nociones de antisimétrica y simétrica no son opuestas. Encuentre una matriz que sea a la vez simétrica y antisimétrica.

2.

Observe en la matriz simétrica la disposición de los elementos respecto a la diagonal principal. ¿Puede establecer alguna generalidad?

3.

Observe en la matriz antisimétrica la disposición de los elementos respecto a la diagonal principal. ¿Puede establecer alguna generalidad?

4.

¿Es accidental que en la ilustración propuesta los elementos de la diagonal principal en la matriz antisimétrica sean iguales a cero?

Teorema 4: Propiedades de la matriz transpuesta Sean A, B ∈ R m×n , C ∈ R n× r , λ ∈ R. Entonces se cumple: 1.

( AT )T = A.

2.

( A + B )T = AT + BT .

3.

( A ⋅ C )T = C T ⋅ AT .

4.

(λ A)T = λ AT .

5.

( I )T = I.

Demostración de la propiedad 3 Los elementos estudiados nos posibilitan su integración en la prueba siguiente, e invitamos a los lectores interesados en este campo a continuar desarrollando este aspecto. 1.

Sean A = ⎡⎣aij ⎤⎦ m ,n , C = ⎡⎣ cij ⎤⎦ n ,r .

2.

A ⋅ C = D = ⎡⎣ dij ⎤⎦ m , r , donde dij = ∑ aik ckj (1).

(

)

(

Hipótesis.

)

n

(

)

k =1

Definición de producto matricial.

3.

( A ⋅ C )T = DT = ⎡⎣ d´ij ⎤⎦ , donde d ´ij = d ji (2). Definición de matriz ( r ,m ) n

transpuesta. Esto es, d´ij = ∑ a jk cki . k =1

Sustituyendo (2) en (1).

4.

C T = ⎡⎣ c'ij ⎤⎦ , donde c'ij = c ji (3). Definición de matriz transpuesta en1. ( r , n)

5.

AT = ⎡⎣ a'ij ⎤⎦ , donde a'ij = a ji (4). Definición de matriz transpuesta en1. ( n ,m )

Geometría vectorial y analítica

87

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales n

6.

C T ⋅ AT = F = ⎡⎣ f ij ⎤⎦ r , m , donde f ij = ∑ c'ik a'kj (5). Definición de producto ( ) k =1

matricial. Pero sustituyendo (3) y (4) en (5) tenemos n

n

k =1

k =1

f ij = ∑ cki ⋅ a jk = ∑ a jk ⋅ cki .

(6)

7.

DT = F de 3 y 6.

Por la definición de igualdad de matrices.

8.

( A ⋅ C )T = C T ⋅ AT .

Transitividad 3 y 6; de 7.

Ilustración 13 Suponiendo que A, B ∈ R n× n y que ambas son antisimétricas, demostremos que

A ⋅ B − B ⋅ A es antisimétrica. Antes de iniciar la prueba, precisemos cuál es la tesis. Para concluir que A⋅ B − B ⋅ A es antisimétrica, debemos, de acuerdo con la definición, llegar a la ecuación ( A ⋅ B − B ⋅ A)T = −( A ⋅ B − B ⋅ A) . Procedamos en consecuencia a lograr esta expresión como objetivo. Demostración 1.

Supongamos que A, B ∈ R n× n , A y B son antisimétricas.

2.

A = − A de 1.

3.

B = − B de 1.

4.

( A ⋅ B − B ⋅ A) = ( A ⋅ B + ( − ( B ⋅ A))) .

Definición de diferencia de matrices.

5.

( A ⋅ B − B ⋅ A)T = ( A ⋅ B + ( −1( B ⋅ A)))T .

Propiedad producto de un real por matriz.

6.

( A ⋅ B − B ⋅ A)T = ( A ⋅ B )T + (−1( B ⋅ A))T .

Propiedad transpuesta de la suma.

7.

( A ⋅ B − B ⋅ A) = ( A ⋅ B ) + (−1)( B ⋅ A) .

Propiedad transpuesta de real por matriz.

8.

( A ⋅ B − B ⋅ A)T = BT ⋅ AT + (−1)( AT ⋅ BT ) . Propiedad transpuesta de un producto.

9.

( A ⋅ B − B ⋅ A)T = ( − B ) ⋅ ( − A) + ( −1)( − A) ⋅ ( − B) . Sustituyendo 2 y 3 en 8.

10.

( A ⋅ B − B ⋅ A)T = ( −1)( −1)( B ⋅ A) + ( −1)( −1)( −1)( A ⋅ B ) . Propiedad producto de un real por un producto matricial.

11.

( A ⋅ B − B ⋅ A)T = ( −1)((−1)( B ⋅ A) + ( −1)( −1)( A ⋅ B )) . Propiedad producto de un real por una matriz.

12.

( A ⋅ B − B ⋅ A)T = −(− B ⋅ A + A ⋅ B) .

T

Definición de matriz antisimétrica.

T

Definición de matriz antisimétrica.

T

T

Hipótesis.

T

T

T

Propiedad producto de un real por matriz y producto en R .

88

Módulo 5 : La transpuesta de una matriz y sus propiedades 13.

( A ⋅ B − B ⋅ A)T = − ( A ⋅ B + (− B ⋅ A)) .

Conmutatividad en la suma de matrices.

14.

( A ⋅ B − B ⋅ A) T = − ( A ⋅ B − B ⋅ A) .

15.

A⋅ B − B ⋅ A es antisimétrica, de 14.

Definición de diferencia de matrices. Por definición de matriz antisimétrica.

Geometría vectorial y analítica

89

6 Sistemas de ecuaciones lineales Introducción El primer problema objeto de estudio del álgebra lineal, como ya lo mencionamos inicialmente, consiste en la determinación del conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales. Para resolverlo, apelamos a los instrumentos que nos provee el álgebra matricial, fundamentando dos algoritmos básicos que entraremos a construir.

Objetivos del módulo 1. Caracterizar un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas (S.E.L.(m,n)) y todos los elementos asociados a él desde el álgebra matricial, así: conjunto solución, matriz equivalente de un S.E.L.(m,n). 2. Presentar dos matrices fundamentales en la estructuración de los métodos para la determinación del conjunto solución: matriz escalonada reducida y matriz escalonada. 3. Definir las operaciones elementales aplicables a las filas de una matriz, y cómo surgen, apoyadas en éstas, las matrices equivalentes. 4. Fundamentar y sistematizar dos algoritmos claves en la determinación del conjunto solución de un S.E.L.(m,n): el algoritmo de Gauss y el de Gauss-Jordan.

La fotografía con gran angular muestra el interior del módulo de mando de una nave espacial. Todos sus dispositivos están perfectamente identificados y ordenados, con funciones exactamente definidas e interrelacionadas, todos ellos dirigidos a un propósito común: llevar a buen término una misión que arrojará respuestas a problemas planteados. Como una analogía, el primer problema que se plantea el álgebra lineal consiste en la determinación del conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales, utilizando para ello algoritmos matriciales precisos que nos garantizan el logro de este objetivo.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es una matriz de la forma escalonada reducida? 2. ¿Qué es una matriz de la forma escalonada? 3. ¿Qué es un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas (S.E.L.(m,n))? 4. ¿Qué es el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales? 5. ¿Qué es una operación elemental entre filas en una matriz? 6. ¿Qué son matrices equivalentes? 7. ¿Cuándo dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes? 8. ¿Cómo se determina la ecuación matricial equivalente de un S.E.L.(m,n)? 9. ¿En qué consiste el algoritmo de reducción de Gauss y Jordan? 10. ¿En qué consiste el algoritmo de Gauss? 11. ¿Cómo se obtiene el conjunto solución de un S.E.L.(m,n) por aplicación de cualquiera de los dos algoritmos?

Contenidos del módulo 6.1 Sistemas de ecuaciones lineales 6.1.1 Matriz escalonada reducida 6.1.2 Matriz escalonada 6.1.3 Ecuación lineal en n-variables reales 6.1.4 Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas 6.1.5 Conjunto solución de un S.E.L.(m,n) 6.1.6 Ecuación matricial equivalente de un S.E.L.(m,n) 6.1.7 Sistemas equivalentes 6.1.8 Fundamentación de los algoritmos empleados para determinar el conjunto solución de un S.E.L.(m,n) 6.1.9 Matriz aumentada de un S.E.L.(m,n) 6.1.10 Algoritmo de reducción de Gauss-Jordan 6.1.11 Algoritmo de reducción de Gauss

Vea el módulo 6 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

91

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales

6.1 Sistemas de ecuaciones lineales Antes de introducir este tema, revisemos dos matrices que se constituyen en elementos fundamentales de los procesos algorítmicos que apuntan a la determinación del conjunto solución de cualquier sistema de ecuaciones lineales.

6.1.1 Matriz escalonada reducida Una matriz A = ⎡⎣aij ⎤⎦

( m ,n )

es de la forma escalonada reducida si y sólo si satisface

todas las condiciones siguientes. 1.

Si presenta filas nulas, entonces éstas deben ir debajo de cualquier fila no nula.

2.

La primera componente distinta de cero de una fila no nula (de izquierda a derecha) debe ser el número 1. Esta componente se denomina 1 capital o 1 principal.

3.

El número de ceros al comienzo de cada fila (de izquierda a derecha) aumenta o se hace constante (en el caso de filas nulas únicamente) a medida que se desciende en la matriz.

4.

Todos los demás elementos de cada columna donde figura un 1 capital deben ser iguales a cero.

6.1.2 Matriz escalonada Una matriz A = ⎡⎣aij ⎤⎦

( m ,n )

es de la forma escalonada si y sólo si satisface las condi-

ciones 1, 2 y 3 de la definición anterior. Observación Toda matriz escalonada reducida es escalonada. ¿Qué puede afirmarse de la proposición recíproca? Ilustración 14 Determinemos de las matrices siguientes cuáles son escalonadas, cuáles son escalonadas reducidas y cuáles no son escalonadas.

⎡0 ⎢0 A=⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

1 −8 0 1 0⎤ ⎡1 ⎥ ⎢0 0 0 0 1 0⎥ ,B = ⎢ ⎢0 0 0 0 0 1⎥ ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0⎦(4,6) ⎣0

⎡0 ⎡1 0 0 ⎤ ⎢0 I 3 = ⎢⎢0 1 0⎥⎥ , D = ⎢ ⎢0 ⎢⎣0 0 1⎥⎦ (3,3) ⎢ ⎣0

92

0 0 8⎤ 0 1 0⎥⎥ ,C = 1 0 0⎥ ⎥ 0 0 0⎦ (4,4)

⎡1 0 7 −5 0 0⎤ ⎢0 0 0 0 1 0⎥ , ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0 0 0 1⎥⎦(3,6)

1 0 0 0⎤ ⎡0 1 0 3 9 0⎤ 0 1 0 0⎥⎥ , E = ⎢⎢0 0 0 0 0 1⎥⎥ , 0 0 0 0⎥ ⎢⎣0 0 0 0 0 0⎥⎦(3,6) ⎥ 0 0 0 1⎦ (4,5)

Módulo 6: Sistemas de ecuaciones lineales ⎡1 3 0 0 8⎤ F = ⎢⎢0 0 1 0 0⎥⎥ , ⎢⎣0 0 1 0 3⎥⎦(3,5)

⎡0 0⎤ O(3,2) = ⎢⎢0 0⎥⎥ . ⎢⎣0 0⎥⎦ 3,2 ( )

Solución A es una matriz escalonada; pero no es escalonada reducida puesto que en la columna quinta donde figura un 1 principal, no todos los restantes elementos son iguales a cero. B no es una matriz escalonada porque no cumple la condición 3. C es una matriz escalonada reducida.

I 3 es una matriz escalonada reducida. D no es una matriz escalonada porque no cumple la condición 1. E es una matriz escalonada reducida. F no es una matriz escalonada. ¿Por qué? O(3,2) es una matriz escalonada reducida. ¿Por qué?

6.1.3 Ecuación lineal en n -variables reales Es una expresión algebraica de la forma a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b, con:

ai ∈ , ∀i = 1... n, que se denominan coeficientes (constantes). xi ∈ , ∀i = 1... n, que se denominan variables, incógnitas o indeterminadas.

b ∈ , que se denomina término independiente (constante).

6.1.4 Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas Es un conjunto de m ecuaciones con n incógnitas que representamos así: (1) a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1

⎫ ⎪ (2) a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2 ⎪ ⎪⎪ ⎬ (i ) ai1 x1 + ai 2 x2 + ... + ain xn = bi ⎪ ⎪ ⎪ (m)am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm ⎪⎭

Si bi = 0, ∀i = 1... m decimos que el sistema es homogéneo.

Convención En adelante nos referiremos a un sistema de ecuaciones lineales, de m ecuaciones y n incógnitas, con la abreviatura S.E.L.(m,n). Geometría vectorial y analítica

93

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales

6.1.5 Conjunto solución de un S.E.L.(m,n) Es el conjunto de todas las n-tuplas que satisfacen todas y cada una de las m ecuaciones del sistema. Lo designaremos por S. En consecuencia, podemos definirlo por comprensión así:

S = {(c1 , c2 ,..., cn ) / ai1c1 + ai 2 c2 + ... + ain cn = bi , ∀i = 1... m} .

6.1.6 Ecuación matricial equivalente de un S.E.L.(m,n) Dado un S.E.L. (m,n) como el indicado anteriormente, definimos:

1.

⎡ a11 a12 ⎢ ⎢ A = ⎢ ai1 ai 2 ⎢ ⎢ ⎢⎣am1 am 2

2.

⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ X = ⎢ 2⎥ que llamaremos matriz de variables o indeterminadas. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn ⎦( n,1)

3.

⎡ b1 ⎤ ⎢b ⎥ B = ⎢ 2⎥ que llamaremos matriz de términos independientes. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣bm ⎦ ( m,1)

4.

a1n ⎤ ⎥ ⎥ ain ⎥ que llamaremos matriz de coeficientes. ⎥ ⎥ amn ⎥⎦ ( m,n )

La ecuación A ⋅ X = B la llamaremos ecuación matricial equivalente del S.E.L.(m,n).

Observación Puede comprobarse que la ecuación matricial mencionada soporta exactamente la misma información presente en el S.E.L.(m,n). Además tiene la ventaja de sistematizar en términos matriciales lo expuesto en el sistema, permitiendo su manejo algebraico en forma óptima, como lo veremos a continuación. Ilustración 15 1.

Dado el S.E.L.(3,4), determinemos su ecuación matricial equivalente.

(1) 3x1 − 2 x2

+ 5 x4 = 1⎫ ⎪ x2 − 2 x3 + x4 = −3 ⎬ (2) (3) 2 x1 + x2 + 4 x3 + 3 x4 = 2 ⎪⎭

94

⎡ x1 ⎤ ⎡ 3 −2 0 5⎤ ⎢ ⎥ ⎡ 1 ⎤ Ecuación ⎢ 0 1 −2 1⎥ ⋅ ⎢ x2 ⎥ = ⎢−3⎥ matricial ⎢ ⎥ ⎢x ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 1 4 3⎦⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎣⎢ 2 ⎥⎦ equivalente ⎣ x4 ⎦

Módulo 6: Sistemas de ecuaciones lineales 2.

Dada la ecuación matricial equivalente, determinemos el S.E.L.

⎡ x⎤ ⎢ y⎥ ⎡ 5 −1 2 0 1⎤ ⎢ ⎥ ⎡0⎤ ⎢ 2 0 1 −2 1⎥ ⋅ ⎢ z ⎥ = ⎢0⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢v⎥ ⎢⎣ t ⎥⎦

Carl Friedrich Gauss Cuando Carl Friedrich Gauss tenía diez años de edad y asistía a la escuela, uno de sus maestros solicitó a sus alumnos que encontraran la suma de todos los números comprendidos entre uno y cien. Con ello quería tenerlos ocupados durante algún tiempo, pero quedó asombrado cuando rápidamente Gauss le dio la respuesta correcta. Gauss reveló que encontró la solución usando el álgebra y el maestro se dio cuenta de que el niño era una promesa en las matemáticas.

(1) 5 x − y + 2 z (2) 2 x

+ t = 0⎫ ⎬ S.E.L.(2,5) + z − 2v + t = 0⎭

6.1.7 Sistemas equivalentes Dos sistemas son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.

6.1.8 Fundamentación de los algoritmos empleados para determinar el conjunto solución de un S.E.L(m,n) Dado un S.E.L.(m,n) se trata de encontrar un S.E.L. (m,n) equivalente más sencillo en el cual se pueda determinar fácilmente el conjunto solución. Para lograr este objetivo se utilizan únicamente las siguientes operaciones que se denominan elementales, y que pasamos a describir. Operación tipo 1: Cambiar de posición entre sí dos ecuaciones. Notación: Eij : intercambiar de posición las ecuaciones i, j. Operación tipo 2: Multiplicar ambos miembros de una ecuación por un λ , λ ∈ λ ≠ 0.

,

Notación: λEi : la ecuación i se multiplica por λ .

Operación tipo 3: Sumarle a una ecuación un múltiplo escalar de otra ecuación. Notación: λ Ei + E j : a la ecuación j le sumamos « λ veces » la ecuación i (λ ∈ , λ ≠ 0).

Observación Cuando se efectúan estas operaciones, los que se modifican en última instancia son los coeficientes de las variables; en consecuencia, como en los arreglos matriciales está considerado el orden, la presencia de las variables queda implícita y sólo se opera sobre éstos. Esta es la razón por la cual entramos ahora a presentar la matriz objeto de trabajo en este proceso de determinación del conjunto solución para un S.E.L (m,n).

6.1.9 Matriz aumentada de un S.E.L.(m,n) Dado un S.E.L. (m,n), de ecuación matricial equivalente A ⋅ X = B, definimos C = [ A B ]( m, n +1) y la denominamos matriz aumentada del sistema.

Hijo de un humilde albañil, Gauss dio señales de ser un genio antes de que cumpliera los tres años. A esa edad aprendió a leer y hacer cálculos aritméticos mentales con tanta habilidad que descubrió un error en los cálculos que hizo su padre para pagar unos sueldos. Cuando tenía doce años criticó los fundamentos de la geometría euclidiana. Años después descubrió que era posible construir un polígono regular de diecisiete lados usando sólo la regla y el compás y aportó métodos para construir con estas dos herramientas figuras de 257 y 65.537 lados. Probó, además, que era imposible construir con regla y compás un heptágono regular, o figura de siete lados, y que la construcción de un polígono regular con un número de lados impar sólo era posible cuando ese número era un primo de la serie 3, 5, 17, 257 y 65.537 o un producto de dos o más de estos números. El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atención del duque de Brunswick, quien dispuso, cuando el joven tenía catorce años, costear tanto su educación secundaria como universitaria. Gauss se graduó en Gotinga en 1798, y al año siguiente recibió su doctorado en la Universidad de Helmstedt. Sin embargo, las matemáticas no fueron el único tema que le interesó: también fue astrónomo, físico, geodesta e inventor. Hablaba con facilidad varios idiomas, e inclusive dominó el ruso a la edad de sesenta años. En 1807 fue nombrado director del observatorio y profesor de astronomía en la Universidad de Gotinga. A principios del siglo XIX, Gauss publicó sus Disquisiciones aritméticas, que ofrecían un análisis lúcido de su teoría de números y una exposición de la convergencia de una serie infinita. Estudió la teoría de los errores y dedujo la curva normal de la probabilidad, llamada también curva de Gauss, que todavía se usa en los cálculos estadísticos. En 1833 inventó un telégrafo eléctrico que usó entre su casa y el observatorio, a una distancia de unos dos kilómetros. Inventó también un magnetómetro bifilar para medir el magnetismo y, con el físico alemán Wilhelm Eduard Weber, proyectó y construyó un observatorio no magnético. Tanto Gauss como su colega alemán Bernhard Riemann, que fue discípulo suyo, pensaban en una teoría electromagnética que sería muy semejante a la ley universal de la gravitación, de Newton. Empero, la teoría del electromagnetismo fue ideada más tarde, en 1873, por James Clerk Maxwell, aunque Gauss ya poseía los cimientos matemáticos para la teoría. En 1840, las investigaciones de Gauss sobre la óptica tuvieron especial importancia debido a sus deducciones relacionadas con los sistemas de lentes. Gauss falleció en 1855 en Gotinga, a la edad de 78 años (había nacido en Brunswick, en 1777). Se ha dicho que la lápida que señala su tumba fue escrita con un diagrama, que construyó el mismo Gauss, de un polígono de diecisiete lados. Durante su vida se reconoció que era el matemático

Geometría vectorial y analítica

95

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales En forma extensiva tenemos: más grande de los siglos XVIII y XIX. Su obra en las matemáticas contribuyó sin duda a formar una base para encontrar la solución de problemas complicadísimos de las ciencias físicas y naturales.

⎡a11 ⎢ ⎢ C = ⎢ai1 ⎢ ⎢ ⎢⎣am1

a12

a1n

ai 2

ain

am 2

amn

b1 ⎤ ⎥ ⎥ bi ⎥ . ⎥ ⎥ bm ⎥⎦

6.1.10 Algoritmo de reducción de Gauss-Jordan Consiste en reducir la matriz aumentada del sistema a una matriz de la forma escalonada reducida, mediante la aplicación únicamente de operaciones elementales. En esta forma el conjunto solución es inmediatamente determinable.

6.1.11 Algoritmo de reducción de Gauss Consiste en reducir la matriz aumentada del sistema a una matriz de la forma escalonada, mediante la aplicación únicamente de operaciones elementales, resolver para la última incógnita y luego, por sustitución hacia atrás, resolver las demás incógnitas. Ilustración 16 Resolvamos los siguientes sistemas utilizando el método de reducción de GaussJordan. a.

(1) 3x − 2 y + z − 2v = 1. (2) x − 2 z + v = 0.

Procedimiento 1.

Determinamos la matriz aumentada del sistema y aplicamos ordenadamente la secuencia de operaciones elementales requerida, para transformarla en una matriz escalonada reducida. ⎡3 ⎢ ⎣1

−2 0

1

−2

−2

1

1 ⎤ ⎯⎯⎯ E12 → ⎡ 1 ⎥ ⎢ 0⎦ ⎣3

0

−2

1

−2

1

−2

1 ⎡1 0 −2 1 0⎤ − 2 E2 ⎡(1) 0 − 2 ⎯⎯⎯ →⎢ ⎢ 0 −2 7 −5 1⎥ 7 ⎣ ⎦ ⎣ 0 (1) − 2

1 5

2

0 ⎤ −3 E1 + E2 → ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯ 1⎦

0⎤ . − 1 2 ⎥⎦

El proceso de reducción ha culminado porque la matriz obtenida es de la forma escalonada reducida. 2.

Pasamos ahora a determinar el sistema equivalente reducido. Para ello planteamos la ecuación matricial equivalente asociada a la matriz escalonada reducida, que designamos por A′ ⋅ X = B′, donde A′ y B ′ representan las transformaciones finales inducidas en A y B, respectivamente.

96

Módulo 6: Sistemas de ecuaciones lineales ⎡ (1) 0 −2 ⎢ 0 (1) − 7 2 ⎣

⎡x⎤ 1 ⎤ ⎢⎢ y ⎥⎥ ⎡ 0 ⎤ =⎢ ⎥ 5 ⎥⎢z⎥ 2⎦ ⎣− 12 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣v ⎦

y el sistema equivalente reducido asociado es: (1) 1x (2)

3.

− 2z + v = 0 ⎫ ⎪ 7 5 1⎬ 1y − z + v = − ⎪ 2 2 2⎭

Procedemos ahora a despejar en cada ecuación únicamente la variable que tiene como coeficiente un 1 principal. Las variables que no están asociadas a unos principales se igualan por identidad a sí mismas y se constituyen en los parámetros del sistema, como lo explicaremos más adelante. (1) x =

2z − v ⎫ 1 7 5 ⎪ (2) y = − + z − v ⎪⎪ 2 2 2 ⎬ z, v ∈ ⎪ (3) z = z ⎪ (4) v = v ⎪⎭

4.

Presentemos finalmente el conjunto solución del sistema: ⎧ 1 7 5 ⎫ ⎛ ⎞ S = ⎨( x, y , z , v ) / ( x, y, z, v ) = ⎜ 2 z − v, − + z − v, z , v ⎟ ; z, v ∈ ⎬ . 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎩ ⎭

Lo anterior nos indica que el conjunto S tiene infinitas soluciones, que se generan cada vez que a los parámetros z y v se les asigna un par de valores en el conjunto . Veamos algunas soluciones particulares. Para z = v = 0, se tiene la solución (0, − 1/ 2, 0, 0). Para z = 2 y v = 0, se tiene la solución (4, 13 / 2, 2, 0). Para z = v = 1, se tiene la solución (1, 1/ 2, 1, 1). b.

(1) 2 x − 4 y + 2z =1. (2) y + 2 z = 4. (3) 3x − 6 y + z = 0.

Procedimiento ⎡2 ⎢ ⎢0 ⎢3 ⎣

−4 1 −6

2 2 1

1 1⎤ ⎡ 1 −2 1 2 ⎤ 1 1 − E3 ⎥ E ⎢ 2 1 2 2 4 ⎥⎥ ⎯⎯⎯ → 4 ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢0 1 E E − + 3 1 3 ⎢⎣0 0 −2 − 3 2 ⎥⎦ 0 ⎥⎦

Escuche más sobre la vida de Carl Friedrich Gauss en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Geometría vectorial y analítica

97

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales

⎡ (1) −2 1 ⎢ 0 (1) 2 ⎢ ⎢⎣ 0 0 (1)

2⎤ 4 ⎥⎥ * 3 ⎥ 4⎦ 1

∗ Observemos que la matriz que se tiene por la aplicación del proceso es una matriz de la forma escalonada, condición suficiente para terminar el proceso de reducción y proceder por el método de Gauss. Ilustraremos este método aquí: Sistema equivalente reducido:

1⎫ 2⎪ ⎪ 1y + 2 z = 4 ⎬ 3⎪ 1z = ⎪ 4⎭

(1) 1x − 2 y + z = (2) (3)

Despejemos ahora a partir de la última variable asociada a un 1 principal y continuamos por sustitución despejando las otras variables asociadas a los «unos principales».

(1)' 1z =

3 en (3). 4

3 5 = , despejando en (2) y sustituyendo de (1)'. 2 2 1 1 3 19 (3)' 1x = + 2y − z = + 5 − = , despejando en (1) y sustituyendo de (1)' y ( 2) '. 2 2 4 4

(2)' 1y = 4 − 2z = 4 −

⎧⎛ 19 5 3 ⎞⎫ Como consecuencia, S = ⎨⎜ , , ⎟⎬ . ⎩⎝ 4 2 4 ⎠⎭ Esto significa que el sistema tiene solución única.

Volvamos a la última matriz y continuemos la reducción para aplicar el método de Gauss-Jordan.

⎡ 1 −2 1 ⎢0 1 2 ⎢ ⎣⎢ 0 0 1 ⎡ (1) 0 0 ⎢ ⎢ 0 (1) 0 ⎢ 0 0 (1) ⎣

⎤ ⎡1 0 5 E ⎥ 2 2 + E1 4 ⎥ ⎯⎯⎯⎯→ ⎢⎢0 1 2 3 ⎥ 4⎦ ⎣⎢0 0 1 1

2

⎤ −5E3 + E1 4 ⎥⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯→ −2 E3 + E2 3 ⎥ 4⎦

17

2

⎤ ⎥ 2 ⎥. 3 ⎥ 4 ⎦

19

4

5

Como la matriz obtenida es de la forma escalonada reducida, termina el proceso de reducción y pasamos al sistema equivalente reducido.

98

Módulo 6: Sistemas de ecuaciones lineales

=

(1) 1x (2)

1y

19 . 4

5 ⎧ 19 5 3 ⎫ = , lo que nos conduce de nuevo a S = ⎨⎜⎛ , , ⎟⎞ ⎬ . 2 ⎩⎝ 4 2 4 ⎠ ⎭ 3 1z = . 4

(3) Observación

Como se desprende en forma inmediata del proceso, el método de reducción de Gauss-Jordan requiere un mayor número de operaciones elementales, pero tiene la ventaja de que no se requiere posteriormente la sustitución hacia atrás, procedimiento que en muchas ocasiones puede causar dificultades para la determinación del conjunto solución. Pero queda a discreción del lector aplicar uno cualquiera de los dos, puesto que el resultado es el mismo. c.

(1) x − 2 y + 3z = 0. (2) 3x + y − z = 3. (3) − 4 x + 8 y − 12 z = 1.

Procedimiento

⎡ 1 ⎢ ⎢ 3 ⎢−4 ⎣

−2

3

1 8

−1 −12

⎡1 0⎤ ⎥ −3E1 + E2 ⎢ 3 ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢0 4E1 + E3 ⎢ 1 ⎥⎦ ⎣0

−2 7

−10

0

0

3

0⎤ ⎥ 3 ⎥∗ 1 ⎥⎦

∗ Aunque la matriz obtenida no es escalonada, podemos suspender el proceso de reducción en este caso, puesto que independientemente de las operaciones restantes, al recuperar el sistema equivalente reducido la última ecuación en éste es: 0 x + 0 y + 0z = 1 , esto es: 0 = 1 →←, que lleva a una contradicción, lo que nos muestra que el sistema no tiene solución y, en consecuencia, S = ∅ . Observación Si en un paso cualquiera del proceso de reducción se llega a obtener una fila donde todos los elementos son iguales a cero, con excepción del último, el procedimiento puede y debe terminarse allí porque necesariamente el sistema no tiene solución.

Geometría vectorial y analítica

99

7 Tipos de solución de un S.E.L.(m,n) Introducción Fundamentados los algoritmos de reducción, nuestro trabajo se centra ahora en la interpretación de los resultados que ellos nos muestran, para hacer una lectura exacta de éstos y caracterizar los tipos de solución que pueden presentarse, como también identificar los términos que inciden en los tipos de solución e introducir, en determinados problemas, coeficientes variables a fin de condicionar los resultados.

Objetivos del módulo 1. Analizar, a partir de la teoría, los resultados arrojados por el método de reducción de Gauss-Jordan. 2. Caracterizar un sistema inconsistente y un sistema consistente. 3. Observar en los sistemas consistentes cómo los tipos de solución están en función del número de variables y del rango fila de la matriz escalonada reducida. 4. Mostrar modelos, con situaciones reales o muy próximas a la realidad, que tienen como aplicación el planteamiento y la solución de sistemas de ecuaciones lineales, introduciendo orientaciones metodológicas precisas para su tratamiento.

Wilhelm Jordan Matemático alemán nacido en 1842 y fallecido en 1899. Asistió a la Universidad en Stuttgart y en 1868 se convirtió en profesor de tiempo completo de geodesia en la Escuela Técnica de Karlsruhe. Participó en la medición de varias regiones de Alemania. Jordan fue un prolífico autor cuya obra principal, Handbuch der vermessungskunde (manual de geodesia), fue traducida al francés, al italiano y al ruso. Fue considerado un magnífico autor y un excelente maestro. Por desgracia, el conocido método de reducción de GaussJordan ha sido atribuido a Camille Jordan (1838-1922). Además, parece que dicho método fue descubierto también, de manera independiente y en la misma época, por B. I. Clasen, sacerdote que trabajaba en Luxemburgo.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es un sistema equivalente reducido? 2. ¿Qué es el rango fila de una matriz escalonada reducida? 3. ¿Qué es una variable principal y qué es un parámetro? 4. ¿Cuándo un sistema es inconsistente? ¿Cuándo un sistema es consistente? 5. ¿Qué tipos de solución puede presentar un S.E.L.(m,n)? ¿De quién depende finalmente el tipo de solución? 6. En un modelo particular, ¿cómo se obtiene el conjunto solución del problema? 7. En un problema particular, ¿el conjunto de soluciones del problema es igual siempre al conjunto de soluciones del sistema?

Contenidos del módulo 7.1 Tipos de solución que puede presentar un S.E.L.(m,n) 7.1.1 Anotaciones en torno a la interpretación de resultados obtenidos por la aplicación del algoritmo de Gauss-Jordan 7.1.2 Tipos de solución que puede presentar un S.E.L.(m,n) 7.2 Problemas aplicados

Vea el módulo 7 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

101

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales

7.1 Tipos de solución que puede presentar un S.E.L.(m,n) 7.1.1 Anotaciones en torno a la interpretación de resultados obtenidos por la aplicación del algoritmo de Gauss-Jordan Dado un S.E.L.(m,n), sean: C = ⎡ A B ⎤ la matriz aumentada. ⎣ ⎦ E = ⎡ A ' B '⎤ la matriz escalonada reducida obtenida a partir de C. ⎣ ⎦

La matriz A ' tiene: 1.

γ filas no nulas (γ ≥ 1). Este valor lo llamaremos rango fila de A´ y, en consecuencia, 1 ≤ γ ≤ m .

2.

Las restantes m − γ filas son nulas.

3.

Asociado a cada uno principal, hay una variable que llamaremos variable principal, luego el número de variables principales es igual a γ y, en consecuencia, γ ≤ n (¿por qué?).

4.

Cada variable principal aparece sólo una vez en el sistema equivalente reducido (¿por qué?).

5.

Las restantes n − γ variables se denominan parámetros.

7.1.2 Tipos de solución que puede presentar un S.E.L.(m,n) Las proposiciones siguientes nos permiten precisar totalmente los tipos de solución que pueden darse en los sistemas de ecuaciones lineales y cuáles son exactamente las condiciones que los determinan. Teorema 5 Un S.E.L.(m,n) es inconsistente si la matriz E asociada tiene al menos una fila en la cual todos los elementos son iguales a cero, salvo el último; esto es, 0 = bi ∧ bi ≠ 0 →← y, en consecuencia, S = ∅ . En caso contrario el sistema es consistente y S ≠ ∅ .

Teorema 6 Dado un S.E.L.(m,n) consistente, γ el rango de fila de E, se tiene:

102

1.

Si γ < n , el sistema tiene infinitas soluciones, expresadas en función de n − γ parámetros.

2.

Si γ = n, el sistema tiene solución única.

Módulo 7: Tipos de solución de un S.E.L.(m, n) 3.

Si m < n, el sistema tiene infinitas soluciones, porque como γ ≤ m ∧ m < n, entonces γ < n.

Teorema 7 Un S.E.L.(m,n) tiene solución única si y sólo si A' = I ( n , n ) . (Demuéstrelo). Corolarios 1.

Todo sistema homogéneo es consistente.

2.

Todo sistema homogéneo en el cual n > m, tiene infinitas soluciones.

3.

Un sistema es inconsistente si el rango fila de A´ es menor que el rango de fila de E.

Demuestre cada corolario. Ilustración 17 Dado el S.E.L.(3,5)

(1) (2)

3 y − 6 z + 6v + 4t = − 5. 3x − 7 y + 8z − 5v + 8t = 9.

(3) − 3x + 9 y − 12 z + 9v − 6t = −15. La matriz equivalente reducida es:

⎡(1) 0 −2 ⎢ E = ⎢ 0 (1) −2 ⎢0 0 0 ⎣

3 2 0

−24 ⎤ ⎥ 0 −7 ⎥ (verifique el proceso de reducción) (1) 4 ⎥⎦ (3,6) 0

Determinemos: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

m y n en el sistema inicial. γ : rango fila de E. Las variables principales y los parámetros. El sistema equivalente reducido. El conjunto solución del S.E.L. Tres soluciones particulares.

Solución 1.

m = 3 y n = 5.

2. 3.

γ = 3. Variables principales: x, y, t. Parámetros: z, v.

Geometría vectorial y analítica

103

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales 4. Sistema equivalente reducido. (1) 1x − 2 z + 3v = −24. (2) 1 y − 2 z + 2v = − 7. (3) 1t = 4.

5.

Conjunto solución. Despejando ordenadamente las variables principales y destacando los parámetros, tenemos:

(1) (2) (3) (4) (5)

x = − 24 + 2 z − 3v ⎫ y = − 7 + 2 z − 2v ⎪⎪ ⎪ z= z ⎬ z, v ∈ v= v⎪ ⎪ t=4 ⎪⎭

Podemos presentar formalmente el conjunto solución así:

S = {( x, y, z, v, t ) / ( x, y , z , v, t ) = (−24 + 2 z − 3v, − 7 + 2 z − 2v, z , v, 4); z , v ∈ 6.

}.

Veamos algunas soluciones particulares. Para z = v = 0, se tiene la solución (–24, –7, 0, 0, 4). Para z = 0 y v = 1, se tiene la solución (–27, –9, 0, 1, 4). Para z = 1/2 y v = 3, se tiene la solución (–32, –12, 1/2, 3, 4).

7.2 Problemas aplicados Modelo 1: Un problema de planeación académica Una institución universitaria ofrece cursos compartidos a los estudiantes del primer nivel de tres programas diferentes, en las asignaturas: Computadores, Geometría y Álgebra. Los cupos de cada curso para los estudiantes de los tres programas se indican en el cuadro siguiente (tabla 7.1), con base en un estudio previo de la capacidad de aulas. Tabla 7.1

Cursos Programas

Computadores

Álgebra

Geometría

Programa 1

20

20

10

Programa 2

0

10

10

Programa 3

10

30

25

La universidad ha programado admitir para el próximo semestre el siguiente número de estudiantes en estos programas:

104

Módulo 7: Tipos de solución de un S.E.L.(m, n) Programa 1: 220 estudiantes. Programa 2: 80 estudiantes. Programa 3: 270 estudiantes. Con la información anterior, responda las siguientes preguntas: 1.

¿Cuántos grupos de cada curso se requieren programar, si se quiere atender a toda la población simultáneamente (en un horario de 8 a 10 a. m.) y cada grupo debe quedar completo?

2.

Si se atiende a un criterio adicional en el sentido de programar el menor número posible de grupos, obviamente dentro de las condiciones anteriores, ¿cuál es la mejor solución?

3.

Si se quiere tener el menor número posible de aulas programadas, pero que se programen simultáneamente los tres cursos, ¿cuál es la mejor solución?

4.

Si la universidad tiene disponibles en ese horario solamente 3 salas de cómputo y 7 aulas con capacidad para 60 estudiantes, ¿cuál es la mejor solución?

5.

Si la universidad tiene disponible en ese horario 7 salas de cómputo, 4 aulas de 60 estudiantes y 5 aulas de 45 estudiantes, ¿cuál es la mejor solución?

Solución Este tipo de problema exige una comprensión total, por el lector, del significado de cada uno de los términos expuestos; así mismo, de las relaciones que se establecen entre ellos, para poder traducir correctamente, unos y otras, en las expresiones matemáticas adecuadas, y proceder en consecuencia a modelar el problema y aplicar los algoritmos necesarios para obtener las soluciones demandadas. Por estas razones, proponemos una secuencia de acciones que facilitan la organización de la información y el planteamiento de los sistemas que se generan, como su solución. Paso 1. Identificación y designación de las variables del problema Usualmente las variables se identifican porque el problema hace una demanda explícita sobre las cantidades de un objeto específico que se quiere determinar. En el problema que estamos analizando, en el primer numeral se pregunta por el número de grupos de cada curso, constituyéndose en las variables, así: Designamos por xi el número de grupos de cada curso que se requieren programar, i = 1, 2, 3, siendo:

x1 = número de grupos de Computadores. x2 = número de grupos de Álgebra. x3 = número de grupos de Geometría. Paso 2. Planteamiento del S.E.L. y determinación del conjunto solución del sistema Este paso requiere el análisis de toda la información aportada por el problema, de las Geometría vectorial y analítica

105

Capítulo 2: Algebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales cantidades que intervienen, de las condiciones fijadas, puesto que, identificadas las variables como lo hicimos en el paso anterior, es la lectura correcta lo que nos permite hacer una traducción exacta del lenguaje ordinario al modelo matemático adecuado. En nuestro caso, las ecuaciones que vamos a plantear se originan en las condiciones establecidas de atender a toda la población simultáneamente y que cada grupo debe quedar completo. (1) 20 x1 + 20 x2 + 10 x3 = 220. 10 x2 + 10 x3 = 80.

(2)

(3) 10 x1 + 30 x2 + 25 x3 = 270.

Procedemos a la determinación del conjunto solución del S.E.L(3,3).

⎡ 20 20 10 220⎤ 1 ⎡1 1 E, 1E ⎢ 0 10 10 80 ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 20 1 10 2 → ⎢⎢0 1 1 ⎢ ⎥ E 10 3 ⎢⎣10 30 25 270⎥⎦ ⎢⎣1 3 ⎡1 1 ⎢0 1 ⎢ ⎢⎣ 0 2

11 ⎤ − E1 + E3 1 8 ⎥⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯ → 5 ⎥ 27 2 ⎦ 1

2

11⎤ ⎡1 0 − 1 2 3⎤ − E + E ⎢0 1 2 1 1 8 ⎥⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯→ 1 8 ⎥⎥ . −2 E2 + E3 ⎢ ⎢⎣0 0 2 16⎥⎦ 0 0⎥⎦

1

2

Sistema equivalente reducido 1 x1 − x3 = 3. 2 (2) x2 + x3 = 8. (1)

1 ⎫ x3 2 ⎪ ⎪ (2) x2 = 8 − x3 ⎬ x3 ∈ (3) x3 = x3 ⎪ ⎪ ⎭ (1) x1 = 3 +

⎧ 1 ⎫ ⎛ ⎞ En consecuencia, S = ⎨( x1 , x2 , x3 ) / ( x1 , x2 , x3 ) = ⎜ 3 + x3 , 8 − x3 , x3 ⎟ x3 ∈ ⎬ , 2 ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ lo que nos indica que el sistema tiene infinitas soluciones.

Paso 3. Determinación del conjunto solución del problema Para el lector desprevenido este paso podría parecer irrelevante, dado que ya se obtuvo el conjunto solución del sistema planteado. Pero una rápida observación al conjunto determinado nos obliga a preguntarnos si tiene sentido para el problema tener, por caso, 5 grupos de Geometría y, en forma análoga, cualquier número real (racional, irracional, positivo, negativo). La respuesta es que esto no es posible. Debemos entonces analizar la naturaleza particular de las variables, que para nuestro caso, por designar el número de grupos, lleva implícita unas restricciones, como son que únicamente pueden tomar valores enteros no negativos. Haciendo explíci-

106

Módulo 7: Tipos de solución de un S.E.L.(m, n) tas dichas restricciones, podemos encontrar el intervalo de variación del parámetro, lo que nos permite determinar el conjunto solución del problema. Restricciones de las variables: xi ∈

+

∪{0} ; esto es, xi ≥ 0 ∧ xi ∈ .

Volvamos al conjunto solución del sistema y fijemos las restricciones. De (1) x1 ≥ 0, esto es, 3 +

1 x3 ≥ 0 2

De (2) x2 ≥ 0 , esto es, 8 − x3 ≥ 0

∴ x3 ≥ −6. ∴ x3 ≤ 8.

De (3) x3 ≥ 0. La intersección de estas tres desigualdades nos muestra que 0 ≤ x3 ≤ 8 y x3 ∈

.

Sin embargo, debemos acotar aún más este intervalo y restringirlo a los números pares (¿por qué?). ⎧ 1 ⎫ Así, S' = ⎨( x1 , x2 , x3 ) / ( x1 , x2 , x3 ) = ⎛⎜ 3 + x3 , 8 − x3 , x3 ⎞⎟ y 0 ≤ x3 ≤ 8 ∧ x3 par ⎬ , 2 ⎝ ⎠ ⎩ ⎭

luego S' = {(3, 8, 0), (4, 6, 2), (5, 4, 4), (6, 2, 6), (7, 0, 8)} es el conjunto de soluciones del problema. A partir del conjunto solución del problema podemos determinar las soluciones específicas, bajo los criterios adicionales, así: Para el numeral 2, la mejor solución es (3, 8, 0). ¿Por qué? Para el numeral 3, la mejor solución es (4, 6, 2). ¿Por qué? Para el numeral 4, no hay solución. ¿Por qué? Para el numeral 5, la mejor solución es (5, 4, 4). ¿Por qué? Modelo 2: Un modelo de programación o distribución de actividades en el tiempo Las actividades de un rumiante pueden clasificarse así: pastar, moverse en busca de nuevos pastos o para huir de los depredadores, y descansar. La adquisición y el gasto de calorías en cada actividad se indican en la tabla 7.2. Tabla 7.2

Energía Calorías hora Actividad 1. Pastar +200 2. Moverse 3. Descansar 1.

–150 –50

Si se quiere que el número de calorías adquiridas sea igual al número de calorías gastadas, ¿cómo debe dividirse el día en las tres actividades?

Geometría vectorial y analítica

107

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales 2. Suponga que el rumiante debe descansar al menos 6 horas al día. ¿Cómo debe dividirse el día en las tres actividades bajo esta condición? Solución Paso 1. Identificación de las variables del problema Designamos por xi el tiempo invertido en cada actividad, i = 1, 2, 3, siendo

x1 = tiempo invertido en la actividad de pastar. x2 = tiempo invertido en la actividad de moverse. x3 = tiempo invertido en la actividad de descansar. Paso 2. Planteamiento del S.E.L. y determinación del conjunto solución del sistema Podemos formular dos ecuaciones que surgen de considerar dos aspectos: a.

La condición de que el número de calorías obtenidas en la única actividad que lo permite (pastar), debe ser igual al número de calorías gastadas en las actividades que así lo demandan (moverse y descansar).

b.

La duración de un día completo (24 horas). (1) 200 x1 − 150 x2 − 50 x3 = 0 ⎫ ⎬ S .E.L.(2,3) (2) + x2 + x3 = 24 ⎭ x1

Procedamos a determinar el conjunto solución del S.E.L.(2,3). 1 1 1 24 ⎤ − 350 E2 ⎡200 −150 −50 0 ⎤ ⎡1 E12 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎢ ⎯⎯⎯⎯ → ⎢ 1 ⎥ ⎥ 1 1 24⎦ −200E1 + E2 ⎣0 −350 −250 −4800⎦ ⎣

⎡1 1 1 ⎢0 1 5 7 ⎣

24 ⎤ − E2 + E1 ⎡1 0 →⎢ ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯ 7⎦ ⎣0 1

96

Sistema equivalente reducido (1)

x1

(2)

2 72 + x3 = . 7 7 5 96 x2 + x3 = . 7 7

72 2 − x3 7 7 96 5 (2) x2 = − x3 7 7 (3) x3 = x3

(1) x1 =

108

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ x3 ∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

2 5

7 7

⎤ ⎥ 7⎦

572 96

7

Módulo 7: Tipos de solución de un S.E.L.(m, n) ⎧ 96 5 ⎫ ⎛ 72 2 ⎞ En consecuencia, S = ⎨( x1 , x2 , x3 ) / ( x1 , x2 , x3 ) = ⎜ − x3 , − x3 , x3 ⎟ x3 ∈ ⎬ , 7 7 ⎝7 7 ⎠ ⎩ ⎭ lo que nos indica que el sistema tiene infinitas soluciones.

Paso 3. Determinación del conjunto solución del problema La naturaleza de las variables, en este caso el tiempo, nos indica que éstas pueden tomar valores continuos en el conjunto de los números reales, excepto los valores negativos, puesto que no tienen ningún sentido, en la realidad, tiempos negativos. Introduciendo estas restricciones en el conjunto solución del sistema, tenemos

xi ∈

+

∪ {0} , y así:

De (1) x1 ≥ 0, esto es, De (2) x2 ≥ 0, esto es,

72 2 − x3 ≥ 0 7 7

∴ x3 ≤ 36.

96 5 96 − x3 ≥ 0 ∴ x3 ≤ . 7 7 5

De (3) x3 ≥ 0, esto es, x3 ≥ 0. La intersección de los tres intervalos nos permite concluir que 0 ≤ x3 ≤

96 y x3 ∈ . 5

Esto significa que el problema tiene también infinitas soluciones, pero restringidas al intervalo de variación del parámetro x3 . Luego el conjunto solución S ' es: ⎧ 96 5 ⎛ 72 2 ⎞ ⎡ 96 ⎤ ⎫ S ′ = ⎨( x1 , x2 , x3 ) / ( x1 , x2 , x3 ) = ⎜ − x3 , − x3 , x3 ⎟ y x3 ∈ ⎢0, ⎥ ⎬ . 7 7 7 7 ⎝ ⎠ ⎣ 5 ⎦⎭ ⎩

En particular, si x3 = 8 horas, x1 = x2 = 8 horas, (8, 8, 8) es una solución particular del problema que nos muestra que si el rumiante dedica 8 horas al descanso, debe dedicar 8 horas a pastar y 8 horas a moverse. En forma similar, si le asignamos un valor particular a la variable x3 dentro del rango establecido, podemos determinar los valores correspondientes a x1 y a x2 y obtener así una nueva solución. Suponga que el rumiante debe descansar al menos 6 horas al día. ¿Cómo puede dividirse el día en las tres actividades? Se propone al lector la determinación del conjunto solución para el nuevo problema propuesto. Modelo 3: Un problema de flujo de tráfico La figura 7.1 muestra el flujo de tráfico vehicular sobre una glorieta y sus accesos. Los valores indican el promedio de vehículos sobre los cruces respectivos en una hora pico, puesto que el flujo puede variar notablemente. Las variables representan el flujo de tráfico entre dos cruces. En cada cruce hay instalado un sistema de semáforos electrónico y computarizado, que puede programarse con el fin de aumentar o disminuir el flujo vehicular en un momento determinado. Geometría vectorial y analítica

109

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales

Vea la animación Diagramas de flujo de tráfico en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Figura 7.1

Se requiere adelantar una reparación parcial sobre la vía de la glorieta entre los cruces A y B, lo que obliga a hacer mínimo el flujo de tráfico entre estos cruces. ¿Cuál es el valor mínimo de vehículos que pueden transitar entre A y B, de tal forma que el sistema vial continúe en funcionamiento evitando un «infarto vial»? ¿Cuál es el estado real del sistema en cada cruce bajo la condición anterior? Paso 1. Identificación y designación de las variables del problema x1 = número de vehículos que circulan entre A y B. x2 = número de vehículos que circulan entre B y C. x3 = número de vehículos que circulan entre C y D. x4 = número de vehículos que circulan entre D y A. x5 = número de vehículos que circulan entre B y D.

Paso 2. Planteamiento del S.E.L. y determinación del conjunto solución del sistema Las características específicas del problema y la naturaleza de las variables nos conducen a plantear en cada cruce una ecuación, teniendo en cuenta que el número de vehículos que ingresan al cruce es igual al número de vehículos que salen del mismo. En consecuencia, tenemos: Cruce A. x4 + 300 = 200 + x1. Cruce B. x1 + 100 = x2 + x5 . Cruce C. x2 + 250 = x3 + 120. Cruce D. x3 + x5 = 330 + x4 .

110

Módulo 7: Tipos de solución de un S.E.L.(m, n) Organizando las ecuaciones, generamos el S.E.L.(4,5).

− x4

(1) x1 (2) x1 − x2

= 100. − x5 = −100.

x2 − x3

(3)

= −130.

x3 − x4 + x5 = 330.

(4)

Apliquemos el método de reducción de Gauss-Jordan: ⎡1 0 ⎢1 −1 ⎢ ⎢0 1 ⎢ ⎣0 0 ⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

−1 0

100 ⎤ ⎡1 0 −1 −100⎥⎥ −E1 + E2 ⎢⎢0 −1 ⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎢0 1 0 −130⎥ ⎥ ⎢ −1 1 330 ⎦ ⎣0 0

0

0

−1 0

100 ⎤ −1 −200⎥⎥ 1E2 + E3 ⎯⎯⎯⎯⎯ → −E2 0 −130⎥ ⎥ −1 1 330 ⎦

0 0 −1 0

0 1 −1 0

1

1

100 ⎤ ⎡(1) 0 0 −1 0 100 ⎤ ⎥ 200 ⎥ 1E3 + E4 ⎢⎢ 0 (1) 0 −1 1 200⎥⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯ → . ⎢ 0 0 (1) −1 1 330 ⎥ − E3 0 −1 1 −1 −330⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 0 1 −1 1 330 ⎦ ⎣0 0 0 0 0 0 ⎦

0 1

−1 −1

0 0

0 1

Sistema equivalente reducido

= 100 ⎫ ⎪ − x4 + x5 = 200⎬ − x4 + x5 = 330 ⎪⎭

− x4

(1) x1 (2)

x2

(3)

x3

Despejando las variables principales y estableciendo los parámetros, tenemos:

x1 = 100 + x4

⎫ x2 = 200 + x4 − x5 ⎪⎪ ⎪ x3 = 330 + x4 − x5 ⎬ x4 , x5 ∈ ⎪ x4 = x4 ⎪ x5 = x5 ⎪⎭

(1) (2) (3) (4) (5)

(parámetros),

lo que nos muestra que el sistema tiene infinitas soluciones que se expresan en términos de los parámetros x4 y x5 . Paso 3. Determinación del conjunto solución del problema La naturaleza de las variables, en este caso el número de vehículos que circulan entre dos cruces, nos indica que éstas sólo pueden tomar valores discretos en el conjunto de los enteros no negativos. Así, xi ∈

+

∪

{0} , o también

xi ≥ 0 y xi ∈

.

Geometría vectorial y analítica

111

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales Pero analicemos ahora qué nos demanda el problema en cuanto a su solución. Se nos pide determinar el flujo mínimo de vehículos entre A y B, pero garantizando el funcionamiento del sistema. Una respuesta inmediata podría llevar al lector a considerar como solución x1 = 0 . ¿Por qué no es correcta? Sustituyamos en la ecuación (x1 = 100 + x4) y se obtiene 0 = 100 + x4 , luego

x4 = −100, pero este valor no puede estar en el conjunto solución (¿por qué?). Ello nos obliga a analizar con más detalle la respuesta al problema planteado. Si queremos minimizar la variable x1, manteniendo las condiciones que garanticen el funcionamiento del sistema, entonces ello es posible cuando x4 = 0 (¿por qué?). En esta forma, x4 pasa a ser constante y en esta nueva condición podemos revisar de nuevo el sistema para determinar su comportamiento ante esta situación.

(1) x1 = 100 (2) (3) (4) (5)

⎫ x2 = 200 − x5 ⎪⎪ ⎪ x3 = 330 − x5 ⎬ ⎪ x4 = 0 ⎪ x5 = x5 ⎪⎭

Las soluciones nos muestran algo que, desde las intuiciones previas, no se contempla, puesto que no es posible cerrar el tráfico entre A y B; el valor mínimo de vehículos que pueden circular es 100. Ello se logra programando los tiempos de los semáforos o con personal de control que actúe directamente sobre el cruce. Pero la conclusión menos esperada corresponde a la necesidad de suspender el tránsito de vehículos entre los cruces D y A. Para tener una visión completa del estado del sistema, en la situación analizada, determinemos las restricciones para el parámetro x5 y los rangos de variación de las variables restantes. De la ecuación (2)

x2 ≥ 0 ∴ 200 − x5 ≥ 0, luego x5 ≤ 200.

De la ecuación (3)

x3 ≥ 0 ∴ 330 − x5 ≥ 0, luego x5 ≤ 330.

De la ecuación (5)

x5 ≥ 0.

Por tanto, 0 ≤ x5 ≤ 200 y x5 ∈Z. Tenemos que el conjunto solución S ′ al problema planteado corresponde a:

S ′ = {( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) /( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = (100, 200 − x5 , 330 − x5 , 0, x5 ), 0 ≤ x5 ≤ 200 ∧ x5 ∈

}.

En esta forma el estado final del sistema, en las condiciones anotadas, es:

112

Módulo 7: Tipos de solución de un S.E.L.(m, n)

(1)

x1 = 100.

(2)

0 ≤ x2 ≤ 200.

(3)

130 ≤ x3 ≤ 330.

(4)

x4 = 0.

(5)

0 ≤ x5 ≤ 200.

Las soluciones determinadas les permiten a los controladores del sistema adoptar las decisiones necesarias para garantizar el funcionamiento pleno del tráfico vehicular. El lector puede comprender la complejidad que conlleva un programa que soporta una malla vial en la ciudad, si un solo nodo, como el propuesto en la ilustración, nos demanda un análisis sencillo pero detallado. Con ello queremos motivar la investigación sobre las herramientas matemáticas y computacionales que demandan los diseños de estos programas.

Geometría vectorial y analítica

113

8 Matrices invertibles Introducción Nuestro trabajo se orientará ahora al estudio de nuestro segundo objetivo fundamental dentro del álgebra matricial y que corresponde a la determinación de la inversa multiplicativa de una matriz cuadrada. A partir de la definición, estableceremos diferentes criterios de existencia para esta matriz, su relación con los S.E.L.(n,n) y la fundamentación en el algoritmo de GaussJordan para su determinación cuando ella existe. Analizaremos además las propiedades que caracterizan a esta matriz, como también la estructura algebraica que conforma.

Objetivos del módulo

Ferdinand Georg Frobenius Ferdinand Georg Frobenius nació en Berlín en 1849 y murió en Charlottenburg en 1917. Matemático y profesor en la Universidad de Berlín, sus trabajos versaron sobre la teoría algebraica de los grupos finitos y sobre la sistematización del álgebra a la luz de la axiomática y la lógica matemática.

1. Abordar el problema de la existencia de la inversa multiplicativa de una matriz cuadrada. 2. Fundamentar el papel funcional de la inversa multiplicativa. 3. Estudiar los conceptos previos que permitirán consolidar un algoritmo para determinar la inversa multiplicativa de una matriz, como son la matriz elemental y las matrices equivalentes. Éstos, a su vez, hacen posible un tránsito entre el proceso algorítmico de reducción y su expresión mediante una ecuación matricial. 4. Analizar las propiedades de la matriz inversa.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es una matriz elemental? 2. ¿Qué son matrices equivalentes? 3. ¿Cómo se determina la ecuación matricial asociada a un proceso de reducción mediante operaciones elementales? 4. ¿Cuándo una matriz tiene inversa multiplicativa? ¿Toda matriz es invertible? 5. ¿Cuál es el papel funcional de la inversa y su relación simbólica? 6. ¿Cuáles son las propiedades principales de la inversa multiplicativa?

Contenidos del módulo 8.1 Matrices invertibles o no singulares 8.1.1 Matriz elemental de orden n × n 8.1.2 Matrices equivalentes 8.1.3 Matriz invertible o no singular

Vea el módulo 8 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

123

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales

8.1 Matrices invertibles o no singulares Para su presentación, analizaremos algunos conceptos y teoremas previos que constituyen su fundamentación.

8.1.1 Matriz elemental de orden n xn Es toda matriz que se obtiene al aplicar a I ( n , n ) una y sólo una operación elemental de cualquiera de los tres tipos. Notación Llamaremos matriz elemental tipo 1, y la denotamos Fij , a la matriz que se obtiene al aplicar Eij a I ( n , n ) . Llamaremos matriz elemental tipo 2, y la denotamos Fi (λ), a la matriz que se obtiene al aplicar λ Ei a I ( n , n ) . Llamaremos matriz elemental tipo 3, y la denotamos Fij (λ), a la matriz que se obtiene al aplicar λ Ei + E j a I ( n , n ) . Ilustración 18 Dada I (4,4) , determinemos de las siguientes matrices cuáles son elementales y cuáles no lo son, indicando para las primeras la notación fijada. ⎡0 ⎢0 A=⎢ ⎢1 ⎢ ⎣0

0 1 0⎤ 1 0 0⎥⎥ , 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 1⎦

⎡1 ⎢0 B=⎢ ⎢0 ⎢ ⎢⎣ 0

⎡1 ⎢0 C=⎢ ⎢1 ⎢ ⎣0

0 0 0⎤ 1 0 0⎥⎥ , 0 1 0⎥ ⎥ 0 0 1⎦

⎡1 ⎢1 D=⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0

0

1

0

0

− 15

0

0

0⎤ 0 ⎥⎥ , 0⎥ ⎥ 1 ⎥⎦

0 0 0⎤ 0 1 0⎥⎥ . 1 0 0⎥ ⎥ 0 0 1⎦

Solución E13 Podemos observar que A = I ( 4, 4) ⎯⎯→ ; luego es elemental y A = F13 . − 15 E3 Tenemos también que B = I (4, 4) ⎯⎯ ⎯→ ; luego es elemental y

B = F3 (− 15) .

124

Módulo 8: Matrices invertibles 1 E1 + E3

Y en este caso, C = I ( 4,4) ⎯⎯ ⎯→ ; y en consecuencia es elemental y

C = F13 (1) . La matriz D no es elemental porque en ella pueden identificarse dos operaciones aplicadas sobre I ( 4 , 4 ) , así: E1 + E 2 23 D = I ( 4, 4 ) ⎯ ⎯⎯ → ⎯1⎯ ⎯→ E

Afirmamos también que toda matriz identidad en sí misma es una matriz elemental. ¿Por qué? Teorema 8 Sea A = ⎡⎣aij ⎤⎦(m, n) . Entonces, el resultado de aplicarle a A una operación elemental cualquiera es equivalente a premultiplicar a la matriz A por la matriz elemental del mismo tipo, asociada a la operación. Esto es: (1)

ij A ⎯⎯ →= Fij ⋅ A.

(2)

λ Ei A ⎯⎯→ = Fi (λ ) ⋅ A.

(3)

i j A ⎯⎯⎯→ = Fij (λ ) ⋅ A.

E

λE +E

Ilustración 19 Dadas: ⎡ 1 0 0 −1 0 100⎤ ⎢ 1 −1 0 0 −1 −100⎥ ⎥, A=⎢ ⎢0 1 −1 0 0 −130⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 1 −1 1 330⎦

⎡1 ⎢0 E=⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0 0 −1 0 100 ⎤ 1 0 −1 1 200 ⎥⎥ . 0 1 −1 1 330 ⎥ ⎥ 0 0 0 0 0⎦

−1E1 + E2 1 E2 + E3 − E2 1E3 + E4 − E3 Tenemos que A ⎯⎯⎯⎯ → ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯ → ⎯⎯⎯→ ⎯⎯ ⎯ → = E . (Vea el mo-

delo 3 en problemas de aplicación de S .E.L.(m,n) ). Con base en el teorema 8, podemos expresar el proceso algorítmico anterior como una ecuación matricial así:

( F (−1) ( F (1) ⋅ ( F (−1) ⋅ ( F (1) ⋅ ( F (−1) ⋅ A))))) = E ; 3

34

2

23

12

y como la operación producto es asociativa, prescindimos de los paréntesis y tenemos:

F3 (−1)· F34 (1) ⋅ F2 (−1) ⋅ F23 (1) ⋅ F12 (−1) ⋅ A = E. Se deja al lector la determinación de cada una de las matrices elementales de orden 4 × 4 y la verificación de la igualdad establecida en la ecuación.

Geometría vectorial y analítica

125

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales Observación El teorema anterior es de suma importancia en el álgebra matricial, puesto que nos permite transcribir el desarrollo algorítmico cuando se aplican operaciones elementales, en términos de una ecuación matricial en función de la operación producto. De esta manera podemos, por así decirlo, sistematizar todo proceso algorítmico de reducción y expresarlo como una ecuación matricial en términos de las matrices elementales.

8.1.2 Matrices equivalentes Sean A, B ∈ R m×n . A es equivalente a B y, recíprocamente, B es equivalente a A, si una de ellas se puede transformar en la otra a través de operaciones elementales. Es decir, A es equivalente a B si existen E1 , E2 ,... Ei ,... Ek operaciones elementaE1 E2 Ei Ek les, tales que A ⎯⎯ → ⎯⎯ → ... ⎯⎯ → ... ⎯⎯ →=B.

Y en forma matricial: Fk ⋅ ... ⋅ Fi ⋅ ... ⋅ F2 ⋅ F1 ⋅ A = B. En la ilustración 19 tenemos que las matrices A y E son equivalentes. Teorema 9 Toda matriz A( m, n ) es equivalente a una matriz de la forma escalonada reducida E( m , n ) . La justificación está dada por el algoritmo de Gauss-Jordan.

8.1.3 Matriz invertible o no singular Sea A( n,n) . Decimos que A es invertible bajo el producto o no singular si existe B( n , n ) tal que: A ⋅ B = B ⋅ A = I ( n, n ) .

En este caso decimos que B es la inversa multiplicativa de A y lo denotamos B = A−1 , y en consecuencia en la ecuación inicial se tiene:

A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A = I ( n , n ) . Observaciones 1.

126

Es necesario que esta definición sea entendida plenamente, puesto que en ella reside gran parte de la comprensión de sus propiedades y de los procedimientos algorítmicos empleados en sus cálculos, como también de las estrategias seguidas en las demostraciones de los teoremas relacionados con la inversa de una matriz.

Módulo 8: Matrices invertibles 2.

Para probar que una matriz dada B es la matriz inversa multiplicativa de otra matriz A, es suficiente con verificar que su producto es igual a la identidad y que conmutan. Posteriormente demostraremos que no hay necesidad de verificar la conmutatividad.

3.

Queremos insistir en lo que llamaremos el papel funcional de la inversa multiplicativa y se reduce a la observación de la ecuación que la caracteriza; así, cuando se tiene, demos por caso, que D −1 = C , esto significa que D ⋅ C = C ⋅ D = I ( n ,n ) .

4.

Observemos que la notación tiene un papel fundamental en la interpretación correcta del «papel funcional» de la inversa. Así, si K ⋅ S = S ⋅ K = I ( n , n ) podemos tomar a K como referencia y afirmamos: «K es la inversa multiplicativa de S», que denotamos K = S −1 (observe la correspondencia entre el lenguaje y los símbolos designantes: «es» está asociado a =, «inversa −1

multiplicativa» está asociado a ( ) ). Ahora, si tomamos a S como referencia, afirmamos: «S es la inversa multiplicativa de K», que denotamos S = K −1 . Recíprocamente, si en un contexto demostrativo nos piden, demos por caso, demostrar que K −1(n, n) = H , es suficiente, en consecuencia, probar que K ⋅ H = H ⋅ K = I ( n,n) .

Teorema 10: Propiedades de la inversa multiplicativa Sean A, B ∈

n× n

.

1.

Si A es invertible, entonces su inversa es única.

2.

Si A es invertible, entonces ( A−1 ) −1 = A.

3.

Si A y B son invertibles, entonces A ⋅ B es invertible y ( AB) −1 = B −1 ⋅ A−1 .

4.

Generalizando la propiedad anterior: Si A1 , A2 ,..., Ak ∈

n×n

y todas son invertibles, entonces ( A1 ⋅ A2 ⋅ ... ⋅ Ak )

es invertible y ( A1 ⋅ A2 ⋅ ... ⋅ Ak ) −1 = Ak −1 ⋅ ... ⋅ A2 −1 ⋅ A1−1 . 5.

Si A es invertible, entonces AT es invertible y ( AT ) −1 = ( A−1 )T .

6.

Generalizando la propiedad anterior: Si A1 , A2 ,..., Ak ∈

n×n

y son invertibles, entonces ( A1 ⋅ ... ⋅ Ak )T es invertible

y (( A1 ⋅ ... ⋅ Ak )T ) −1 = (( A1 ⋅ ... ⋅ Ak ) −1 )T = ( A1−1 )T ⋅ ... ⋅ ( Ak −1 )T .

Geometría vectorial y analítica

127

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales 7.

⎛1⎞ Si A es invertible y λ ≠ 0 , entonces λ A es invertible y (λ A) −1 = ⎜ ⎟ ⋅ A−1 . ⎝λ⎠

Demostración de 1 Supongamos que A( n , n ) es invertible. Hipótesis general. Esto significa que existe A−1( n, n ) , tal que A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I.

(1)

Razonemos por reducción al absurdo: Supongamos que existe C −1 , C −1 ≠ A−1 y tal que A ⋅ C −1 = C −1 ⋅ A = I (Hipótesis auxiliar por reducción al absurdo.)

(2)

−1 De (1) tenemos que A ⋅ A = I (¿por qué?).

Ahora, multipliquemos a la izquierda por C −1 en la ecuación anterior y así se tiene C −1 ⋅ ( A ⋅ A−1 ) = C −1 ⋅ I y a su vez (C −1 ⋅ A) ⋅ A−1 = C −1 , que nos permite concluir que

A−1 = C −1 (¿por qué?), contradiciendo lo afirmado en la hipótesis auxiliar. Concluimos, en consecuencia, que A−1 es única. (Método de reducción al absurdo.) Demostración de 2 La demostración de 2 es inmediata, si se tiene en cuenta el «papel funcional de la inversa». Se deja su prueba al lector. Demostración de 3 Supongamos que A( n , n ) y B( n , n ) son invertibles. (Hipótesis general.) Esto significa que existen A−1 y B −1 tales que A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I ( n , n ) y también

B ⋅ B −1 = B −1 ⋅ B = I ( n, n ) . Basta probar que ( A ⋅ B) ⋅ ( B−1 ⋅ A−1 ) = ( B −1 ⋅ A−1 ) ⋅ ( A ⋅ B) = I ( n, n ) (¿por qué?). En efecto, ( A ⋅ B ) ⋅ ( B −1 ⋅ A−1 ) = A ⋅ ( B ⋅ B −1 ) ⋅ A−1 . (Propiedad asociativa del producto.) = A ⋅ I ⋅ A−1 . ¿Por qué? = I . ¿Por qué?

En forma análoga se prueba la conmutatividad y, en consecuencia, ( A ⋅ B ) −1 = B −1 ⋅ A−1 .

128

Módulo 8: Matrices invertibles Demostración de 4 Utilizando el método de demostración por inducción matemática verifiquemos que la propiedad se cumple para n = 2 . Esto es, si A1 , A2 ∈ −1

−1

n×n

y son invertibles,

−1

entonces ( A1 ⋅ A2 ) = A2 ⋅ A1 ; esta proposición se demostró en el numeral anterior. Supongamos que la propiedad se cumple para n = k . (Hipótesis de inducción.) Es decir, asumamos como verdadero que A1 , A2 ,..., Ak ∈

n× n

y cada una de ellas es

invertible; entonces ( A1 ⋅ A2 ⋅ ... ⋅ Ak ) es invertible y ( A1 ⋅ A2 ⋅ ... ⋅ Ak ) −1 = Ak −1 ⋅ ... ⋅ A2 −1 ⋅ A1−1 .

Demostremos que la propiedad se cumple para n = k + 1. En efecto, si A1 , A2 ,..., Ak , Ak +1 ∈ que:

n× n

y cada una de ellas es invertible afirmamos

( A1 ⋅ A2 ⋅ ... ⋅ Ak +1 ) −1 = (( A1 ⋅ ... ⋅ Ak ) ⋅ Ak +1 ) −1

Propiedad asociativa del producto matricial.

= ( Ak +1 ) −1 ⋅ ( A1 ⋅ ... ⋅ Ak ) −1

Por lo demostrado en la primera parte.

= ( Ak +1 ) −1 ⋅ ( Ak−1 ⋅ ... ⋅ A1−1 )

Sustituyendo por lo afirmado en la hipótesis de inducción.

= Ak−+11 ⋅ Ak−1 ⋅ ... ⋅ A1−1 .

Propiedad asociativa en el producto.

Así, ( A1 ⋅ ...⋅ Ak ⋅ Ak +1 ) −1 = Ak−+11 ⋅ Ak−1 ⋅ ... ⋅ A1−1 .

Transitividad en la igualdad.

Concluimos, en consecuencia, por el método de inducción matemático, q u e s i A1 , A2 ..., An ∈

n×n

son invertibles, ( A1 ⋅ ... ⋅ An ) es invertible y

( A1 ⋅ A2 ⋅ ... ⋅ An ) −1 = An−1 ⋅ ... ⋅ A2−1 ⋅ A1−1 .

La demostración del numeral 5 es inmediata, si se tiene en cuenta «el papel funcional de la inversa». Se deja su prueba al lector. Se propone la demostración del numeral 6 al lector, para lo cual debe aplicar el método de inducción matemática.

Geometría vectorial y analítica

129

9 Inversas de las matrices elementales Introducción Estudiaremos a continuación la importancia de las matrices elementales mediante su caracterización como matrices invertibles y así mismo sus inversas como matrices elementales. Ello nos permite fundamentar los dos primeros criterios de invertibilidad bajo el producto, y también la del algoritmo para obtener la inversa, cuando ella exista, y la transcripción del proceso algorítmico en términos de una ecuación matricial donde intervienen las matrices elementales como el instrumento principal.

Objetivos del módulo 1. Caracterizar las matrices elementales como invertibles y determinar sus inversas. 2. Presentar los tres primeros criterios de invertibilidad de una matriz y sus relaciones con la matriz identidad, las matrices elementales y la solución de un S.E.L.(n,n) homogéneo. 3. Consolidar a modo de síntesis de la teoría expuesta el algoritmo de Gauss-Jordan para la determinación de la inversa multiplicativa.

Teorema de Rouché-Frobenius 1. La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales tenga solución es que la matriz de los coeficientes de las incógnitas y la matriz ampliada con los términos constantes tengan igual rango. 2. Si se verifica la igualdad de rangos y a11 a21

a12 a22

a1r a2 r

ar1

ar 2

arr

≠ 0

es un menor principal la solución del sistema es Primera columna

Preguntas básicas 1. ¿Son invertibles las matrices elementales? En caso afirmativo, ¿cuáles son sus inversas? 2. ¿Cuáles son los criterios básicos, fuera de la definición, para determinar cuándo una matriz es invertible? 3. ¿Qué otras propiedades están asociadas a las matrices invertibles?

x1 =

Contenidos del módulo 9.1 Inversas de las matrices elementales

c1 − a1r +1 xr +1 − c2 − a2r +1 xr +1 −

− a1n xn a12 − a2 n xn a22

a1r a2 r

cr − a2 r +1 xr +1 −

− arn xn ar 2

arr

a11

a12

a1r

a21

a22

a2 r

ar1

ar 2

arr

Segunda columna

x1 =

a11 c1 − a1r +1 xr +1 − a21 c2 − a2r +1 xr +1 −

− a1n xn − a2 n xn

a1r a2 r

ar1 cr − a2r +1 xr +1 −

− arn xn

arr

a11

a12

a1r

a21

a22

a2 r

ar1

ar 2

arr

Geometría vectorial y analítica

131

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales

9.1 Inversas de las matrices elementales

..............................................................

x1 =

a11a12 a21a22

c1 a1r +1 xr +1 − c2 a2r +1 xr +1 −

− a1n xn − a2 n xn

ar1ar 2

cr a2 r +1 xr +1 −

− arn xn

a11

a12

a1r

a21

a22

a2 r

ar1

ar 2

arr

Introduciremos enseguida la caracterización de la invertibilidad de las matrices elementales y, en consecuencia, la importancia que tienen en la fundamentación teórica del algoritmo que explicaremos posteriormente para el cálculo de la inversa de una matriz cuadrada, cuando ésta exista. Teorema 11: Inversas de las matrices elementales

r-ésima columna

Toda matriz elemental es invertible y su inversa es otra matriz elemental del mismo tipo, así: 1.

( Fij )−1 = Fij .

2.

( Fi (λ )) −1 = Fi (1/ λ ) .

3.

( Fij (λ ))−1 = Fij (−λ ) .

La demostración se deja al lector. Ilustración 20 Dadas las matrices elementales de orden 4 × 4 F14 , F3 (7), F13 ( − 5) , determinemos sus inversas. ⎡1 ⎢0 =⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0 0 0⎤ 1 0 0 ⎥⎥ 0 1 0⎥ , ⎥ 0 0 1⎦

⎡1 ⎢0 F3 (7) = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0 0 0⎤ 1 0 0 ⎥⎥ 0 7 0⎥ , ⎥ 0 0 1⎦

I ( 4,4)

⎡0 ⎢0 F14 = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣1

0 0 1⎤ 1 0 0⎥⎥ 0 1 0⎥ , ⎥ 0 0 0⎦

⎡ 1 ⎢ 0 F13 (−5) = ⎢ ⎢ −5 ⎢ ⎣ 0

0 0 0⎤ 1 0 0⎥⎥ . 0 1 0⎥ ⎥ 0 0 1⎦

Solución Para el primer caso, podemos plantearnos la siguiente pregunta: ¿qué matriz multiplicada por F14 da por resultado I(4,4) ? La pregunta anterior es equivalente a esta otra: ¿qué operación elemental debemos aplicarle a F14 para transformarla en la matriz I(4,4) ? E14 La respuesta es bien sencilla: F14 ⎯⎯ → = I(4,4) .

Luego F14 ⋅ F14 = I ( 4, 4) y, en consecuencia, ( F14 ) −1 = F14 . 1

E

7 3 En forma análoga para el segundo caso, F3 (7) ⎯⎯⎯ → = I(4,4) , esto es,

F3 ( 1 7 ) ⋅ F3 (7) = I (4,4) y ( F3 (7)) −1 = F3 ( 1 7 ) .

132

Módulo 9: Inversas de las matrices elementales Se deja al lector la solución del tercer caso. Teorema 12: Primer criterio de invertibilidad de matrices Sea A( n , n ) . A( n , n ) es invertible si y sólo si A es equivalente a I ( n , n ) . Esto es, A( n , n ) es invertible

si y sólo si existen F1 , F2 , ..., Fk elementales de orden n × n , tales que Fk ⋅ ... ⋅ F1 ⋅ A = I ( n, n ) .

Corolario 1: Segundo criterio de invertibilidad de matrices Sea A( n , n ) . A( n , n ) es invertible si y sólo si A se puede expresar como un producto de matrices elementales.

Demostración "⇒"

Demostremos la implicación de izquierda a derecha. Supongamos que A( n , n ) es invertible. (Hipótesis) Existe, en consecuencia, A−1 tal que

A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A = I ( n , n ) ,

(1)

Además, por el primer criterio de invertibilidad, tenemos que Fk ⋅ ... ⋅ Fi ⋅ ...⋅ F1 ⋅ A = I ( n ,n ) ,

(2)

con Fk ⋅ ... ⋅ Fi ⋅ ... ⋅ F1 matrices elementales. Multiplicando a la derecha por A−1 en la ecuación (2) se tiene ( Fk ⋅ ... ⋅ Fi ⋅ ... ⋅ F1 · A) ⋅ A−1 = I ⋅ A−1 que nos permite afirmar que

Fk ⋅ ... ⋅ Fi ⋅ ... ⋅ F1 = A−1 .

(3)

Como el producto de la izquierda es invertible (¿por qué?), tomamos las inversas en la ecuación ( Fk ⋅ ...⋅ Fi ⋅ ...⋅ F1 )−1 = ( A−1 )−1 (3) , y aplicando las propiedades establecidas concluimos que F1−1 ⋅ ... ⋅ Fi −1 ⋅ ... ⋅ Fk−1 = A y, en consecuencia, A (respectivamente A−1 ) se puede expresar como producto de matrices elementales.

Vea el módulo 9 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Se deja al lector la demostración de la implicación recíproca. Geometría vectorial y analítica

133

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales Teorema 13 Si en un S.E.L.(n,n), de ecuación matricial AΧ = B , A es invertible, entonces el sistema tiene solución única y Χ = A−1 B . Demostración Supongamos que en el S.E.L.(n,n), de ecuación matricial AΧ = B , A es invertible. (Hipótesis.) Existe, en consecuencia, A−1 tal que A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I . Multiplicando a la izquierda por A−1 la primera ecuación tenemos: A−1 ( AΧ) = A−1 ⋅ B ,

y en consecuencia Χ = A−1 ⋅ B . La unicidad está fundamentada en el hecho de que

A es quivalente a I ( n , n ) (primer criterio de invertibilidad de matrices) y, por tanto, AΧ = B tiene solución única (teorema 7). Teorema 14 Sean A, B ∈

n×n

.

Si A ⋅ B = I ( n , n ) o B ⋅ A = I ( n , n ) , entonces A es invertible (respectivamente, B es invertible) y A−1 = B (respectivamente, B −1 = A ). Teorema 15: Tercer criterio de invertibilidad de matrices Sea A( n , n ) . A( n , n ) es invertible si y sólo si el sistema homogéneo de ecuación matricial AΧ = 0 ( n,1)

tiene como solución única Χ = 0 ( n ,1) . La demostración es muy sencilla y se deja al lector.

134

Ejercicios del capítulo 2 (módulos 8 al 10) 1.

Para cada una de las matrices siguientes determine si es una matriz elemental. En caso afirmativo, indique su notación. a.

e.

2.

3.

4.

⎡ 1 0 0⎤ ⎢ 0 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 7 4 0 1⎥⎦

⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0 0 0⎤ 0 1 0 ⎥⎥ 1 0 0⎥ ⎥ 0 0 0⎦

f.

⎡0 0 1⎤ ⎢0 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 0 0⎥⎦

⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0 0 0⎤ 1 0 0⎥⎥ 0 1 0⎥ ⎥ 2 0 0⎦

c.

⎡ −2 0 0 ⎤ ⎢ 0 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦

g.

⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣1

0 0 1⎤ 1 0 0 ⎥⎥ 0 1 0⎥ ⎥ 0 0 0⎦

Escriba cada una de las siguientes matrices de orden 4 × 4 . a.

F23 (− 1 5 )

b.

F34

c.

F34 (1)

d.

F2 (−7)

Si A = F32 (−5), B = F12 , C = F1 (3) son matrices de orden 3 × 3, determine: a.

A· B ·C

b.

( A · B · C ) −1

c.

( B · C · A)

d.

( B · C · A) −1

⎡ −1 ⎢ 2 Si A = ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎣ 4

0 5⎤ 7 1⎥⎥ 2 2⎥ ⎥ 9 2 ⎦ (4,3)

determine:

140

b.

a.

F23 (− 1 2 ) · A

b.

F24 · A

c.

F3 (− 3 4 )· A

d.

F31 (1) · A

d.

h.

⎡ 1 0 0 0⎤ ⎢0 1 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 7 1 0⎥⎦

⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0 0 0⎤ 0 0 1⎥⎥ 1 0 0⎥ ⎥ 0 1 0⎦

5.

Sean

⎡ −8 −10 −12 −14⎤ B = ⎢⎢ 0 1 2 3⎥⎥ , ⎢⎣ 8 9 10 11⎥⎦

⎡4 5 6 7⎤ A = ⎢⎢ 0 1 2 3⎥⎥ , ⎢⎣ 8 9 10 11⎥⎦ a. b. c.

⎡ 0 0 0 0⎤ C = ⎢⎢−4 −5 −6 −7 ⎥⎥ . ⎢⎣ 0 −1 −2 −3⎥⎦

Determine si A y B son equivalentes. En caso afirmativo, escriba una ecuación matricial que las relacione. Determine si B y C son equivalentes. En caso afirmativo, escriba una ecuación matricial que las relacione. Determine si A y C son equivalentes. En caso afirmativo, escriba una ecuación matricial que las relacione.

6.

Demuestre que la equivalencia entre matrices es una relación reflexiva, simétrica y transitiva.

7.

⎡ 2 3⎤ Dada A = ⎢ ⎥ ⎣ 1 0⎦

8.

a.

Determine las matrices elementales F1 , F2 , F3 tales que F3 · F2 · F1 · A = I .

b. c.

Exprese A−1 como producto de matrices elementales. Exprese A como producto de matrices elementales.

⎡a b⎤ Sea A = ⎢ ⎥ , donde a · c ≠ 0 . Exprese la matriz A como un producto de tres matrices elementales para concluir ⎣0 c⎦

que A es invertible.

9.

⎡ a11 Sea A = ⎢ ⎣ a21

a12 ⎤ , con elementos no negativos, los cuales cumplen además las siguientes propiedades: a22 ⎥⎦

2 2 a112 + a122 = 1 y a21 + a22 = 1.

(a11 , a12 ) ⋅ (a21 , a22 ) = 0. −1 T Demuestre que A es invertible y que A = A .

10.

Demuestre que si A( n , n ) es invertible y antisimétrica, entonces A−1 es antisimétrica.

11.

Demuestre que si A( n , n ) es invertible y simétrica, entonces A−1 es simétrica.

12.

Demuestre que si A es invertible y A · B = A · C , entonces B = C .

13.

Demuestre que A( n , n ) es invertible si y sólo si AX = 0( n ,1) tiene como única solución X = 0(n ,1) .

14.

Demuestre que si A , B ∈

n×n

son invertibles y simétricas, entonces ( ABA) −1 es simétrica.

15.

Demuestre que si A , B ∈

n×n

son invertibles y antisimétricas, entonces ( ABA) −1 es antisimétrica.

16.

Demuestre que si A, B ∈

n×n

17.

Demuestre que si A, B ∈

n×n

y A · B es invertible, entonces A es invertible y B es invertible. , A es invertible y B no es invertible, entonces AB y BA no son invertibles.

Geometría vectorial y analítica

141

Demuestre, utilizando el método de inducción matemática, los problemas 18 y 19. 18.

Si A1 , A2 ,..., An   n  n y son invertibles, entonces ( A1 · A2 ·...·An )-1 = An-1·...·A2-1 · A1-1

19.

Si A( n , n ) es invertible, entonces ( An ) 1  ( A1 ) n para todo entero positivo n .

20.

 2 0  12   4 no es invertible. Pruebe que A  6 3  2 3 3

21.

a.

Determine la matriz escalonada reducida equivalente a la matriz A.

b.

Indique la ecuación matricial asociada al proceso anterior.

Para cada una de las matrices que se dan a continuación: (1). (2).

Utilice el algoritmo [ A  ]  [ E  P] para determinar si es o no invertible. Determine la ecuación matricial que relaciona a las matrices A y E como equivalentes.

(3). (4).

Si A es invertible, determine A1 y exprese A1 como un producto de matrices elementales. Si A es invertible, indique A como un producto de matrices elementales.

a.

b.

 6 3 9  0 0 1   9 3 6

e.  2 5 0 7  1 0 0 1  2  1 1 2 1    6 15 0 21

d.  1 2 0 1  1 0 0 0    3 2 1 0    2 1 0 0  g.  2 0  0  1

22.

h.  2  0   2   4  1

0 1 5  1 2 3 2 0 1  0 2 3

1 2 3 0 0 5  A  Sea 0 0   0  7

 0 1 0  1 1 1    1 0 1

1 4 2 1 1 0 0 0  3 1 0 0  2 3 1 0 0 0 0 0 

4 6  6  8

¿Para qué valores de  y  es invertible la matriz de A ?

142

c.

 1 3 3 2   2 4 3 3   1 1 1 1    1  3  3  2  

f.  1  3   1   2

3 5 7 2 1 2  0 1 0  5 4 5

23.

Determine, para cada una de las matrices siguientes, su factorización LU (triangular inferior, triangular superior). b. ⎡ 3 −2 −1⎤ ⎢ 6 4 −2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −3 −2 4⎥⎦

a. ⎡ 2 1 3⎤ ⎢ −2 5 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 4 2 4 ⎥⎦

d. ⎡ 2 ⎢ 2 ⎢ ⎢ 4 ⎢ ⎣ −1 24.

25.

c. ⎡ 1 3 ⎢2 5 ⎢ ⎢ 3 −2 ⎢ ⎣1 1

−1⎤ 3 −2 ⎥⎥ 1 −2 ⎥ ⎥ 3 1⎦

2

−2 −5

6 −4 ⎤ 2 2⎥⎥ −1 −3 −2⎥ ⎥ −5 −1 2 ⎦

En cada uno de los numerales siguientes utilice la descomposición LU de la matriz A para resolver el sistema A · X = B , para cada valor de B. No tiene que calcular A.

a.

⎡ 1 0⎤ ⎡ 2 2⎤ A=⎢ ⎥⋅⎢ ⎥; ⎣ − 1 2 1⎦ ⎣ 0 3⎦

⎡ −5 ⎤ B1 = ⎢ ⎥ , ⎣7⎦

⎡ 12⎤ B2 = ⎢ ⎥ . ⎣3⎦

b.

⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡ 2 −1 0 ⎤ A = ⎢⎢ 2 1 0 ⎥⎥ ⋅ ⎢⎢ 0 3 1⎥⎥ ; ⎢⎣−3 1 1⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 4⎥⎦

⎡ 2⎤ B1 = ⎢⎢ 0⎥⎥ , ⎢⎣ −1⎥⎦

⎡ 32⎤ B2 = ⎢⎢ −1⎥⎥ . ⎢⎣ −7 ⎥⎦

c.

⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡ 4 −1 2 ⎤ A = ⎢⎢ 5 1 0⎥⎥ ⋅ ⎢⎢ 0 2 1⎥⎥ ; ⎢⎣−3 2 1⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 −7 ⎥⎦

⎡ 3⎤ B1 = ⎢⎢ −8⎥⎥ , ⎢⎣ 1 2 ⎥⎦

⎡ 1⎤ B2 = ⎢⎢ 1⎥⎥ . ⎢⎣ −7 ⎥⎦

d.

⎡ 1 ⎢ 3 A=⎢ ⎢ −3 ⎢ ⎣ −1

e.

⎡ 1 0 ⎢ 3 1 A=⎢ ⎢ 0 2 ⎢ ⎣ −2 −1

0 0⎤ ⎡ 2 0 0⎥⎥ ⎢⎢ 0 ⋅ 9 1 0⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 4 −2 1⎦ ⎣ 0 0 1

0 −2 ⎤ 1 −1⎥⎥ , 0 −2 1⎥ ⎥ 0 0 2⎦ 1 3

0 0⎤ ⎡ −3 −1 2 1⎤ 0 0⎥⎥ ⎢⎢ 0 4 −1 2 ⎥⎥ ⋅ . 1 0⎥ ⎢ 0 0 −2 −1⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 3 1⎦ ⎣ 0 0 0 2⎦

⎡ 2⎤ ⎢ − 3⎥ B1 = ⎢ ⎥ , ⎢ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0⎦

⎡ 25⎤ ⎢ 1 ⎥ 2 B2 = ⎢ ⎥ . ⎢ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −4 ⎦

⎡ −2 ⎤ ⎢ 0⎥ B1 = ⎢ ⎥ , ⎢ 5⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 1⎦

⎡ 15 ⎤ ⎢ 2⎥ B2 = ⎢ ⎥ . ⎢ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 1⎦

Resuelva los siguientes S.E.L. aplicando la factorización LU. a.

x + 2 y + 3z = 9 2 x − y + z = −2 3x −z=0

Geometría vectorial y analítica

143

b.

x+

− 2 z + 3w = 2 y + 2 z + 3w = − 5 2y +w=3

2x 26.

Observemos ahora que así como definimos las operaciones elementales por filas, podemos aplicar tres tipos similares pero por columnas. a.

Determine en forma descriptiva una lista de las tres operaciones elementales por columnas y desígnelas con convenciones similares, pero con la letra C.

b.

Defina en forma análoga a las matrices elementales por fila (F), las matrices elementales por columnas y denótelas mediante la letra (G).

c.

Asuma una versión adaptada del teorema 8, pero en este caso, en lugar de multiplicar a la izquierda de A, se multiplica a la derecha. Así por ejemplo, para la operación tipo 1: Para A( m, n )

144

− z + 5w = 1

ij A ⎯⎯ →= AGij .

C

d.

Suponga que a una matriz A( m, n ) se le aplica una secuencia de operaciones elementales por columna. Verifique que la matriz resultante es la misma si se procede a multiplicar a la derecha, de acuerdo al orden establecido, por las matrices elementales asociadas a las columnas.

e.

Asuma que E es una matriz elemental obtenida mediante operaciones elementales por filas. Para cada una de las operaciones por fila, determine si es posible obtener la misma matriz E mediante operaciones elementales por columna.

f.

¿Por qué en los algoritmos de reducción de Gauss y Gauss-Jordan se aplican únicamente operaciones elementales por filas, y no se aplican operaciones elementales por columnas?

10 El algoritmo de Gauss-Jordan para la determinación de la inversa multiplicativa Introducción Como conclusión lógica de los desarrollos teóricos que hemos estudiado, presentamos finalmente el algoritmo para la determinación de la inversa multiplicativa, y como resultados derivados e igualmente importantes, la factorización en términos de matrices elementales para una matriz invertible y la factorización parcial para aquellas que no son invertibles. Estos procesos facilitan la operatoria en general para las matrices cuadradas y específicamente el cálculo de la función determinante, como lo veremos en el capítulo siguiente. Por último, consistentes con nuestra orientación en torno a identificar las estructuras algebraicas subyacentes, destacamos un grupo no conmutativo bajo la operación producto, y cómo se alcanza, bajo esta operación, la estructura de álgebra lineal.

Objetivos del módulo 1. Presentar el algoritmo de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa multiplicativa de A(n,n),

→ [ E P] . conocido en forma abreviada como [ A I ] ⎯⎯

2. Ilustrar la aplicación del algoritmo en algunas matrices y los resultados derivados como la factorización de A y A–1 en términos de matrices elementales. 3. Identificar el conjunto de las matrices invertibles como un grupo no conmutativo bajo la operación del producto matricial.

Preguntas básicas 1. Dada una matriz A(n,n), ¿cómo determinar si es invertible? 2. Dada una matriz A(n,n) invertible, ¿cómo calcular su inversa? 3. Si A(n,n) es invertible, ¿cómo factorizarla en términos de matrices elementales? 4. Si A(n,n) es invertible, ¿cómo factorizar A–1 en términos de matrices elementales? 5. ¿Es el sistema

( n×n )

,i un grupo?

6. ¿Es posible determinar un subconjunto en

n×n

que bajo la operación producto alcance la

estructura de grupo conmutativo?

Wassily Leontief El economista ruso Wassily Leontief nació el 5 de agosto de 1906 en San Petersburgo y murió el 5 de febrero de 1999 en Nueva York. En 1931 emigró a los Estados Unidos, donde se nacionalizó. Leontief cursó estudios superiores en las universidades de Moscú y Leningrado y se doctoró en la Universidad de Berlín. Tras doctorarse en 1929 ejerció durante un año el cargo de consejero del gobierno chino, y después se incorporó a la Oficina Nacional de Investigación Económica de Estados Unidos. Posteriormente ingresó a la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de Harvard, en donde permaneció hasta 1975, cuando pasó a la Universidad de Nueva York, institución en la cual permaneció hasta su retiro. El gran aporte de Leontief a las ciencias económicas, y por el cual le fue otorgado el Premio Nobel de Economía en 1973, fue la creación de las denominadas tablas input-output sobre la estructura y relaciones de los intercambios intersectoriales. Las tablas describen el flujo de bienes y servicios entre todos los sectores industriales de una economía durante un determinado periodo y se basan en la distinción entre los inputs, o sea los bienes y servicios que adquiere una empresa, y los outputs, o bienes y servicios finales que produce. Mediante este método de análisis se puede demostrar gráficamente la manera como fluyen los intercambios intersectoriales entre las distintas industrias de un país. Debido a ello, los economistas también utilizan este sistema para analizar, planificar y predecir los cambios económicos. Leontief dejó varias obras, entre las que se destacan Estructura económica americana (1941) y Análisis económico input-output (1966).

Contenidos del módulo 10.1 Algoritmo de Gauss-Jordan para la determinación de la inversa multiplicativa de una matriz Vea el módulo 10 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

135

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales

10.1 Algoritmo de Gauss-Jordan para la determinación de la inversa multiplicativa de una matriz La fundamentación teórica que hemos consolidado nos permite ahora, a modo de síntesis, comprender cabalmente el algoritmo que designaremos abreviadamente como [ A I ] →→→ [ E P ] , o algoritmo de Gauss-Jordan para la determinación de la inversa de una matriz A( n, n ) , cuando ésta ( A−1 ) existe. Estructura teórica subyacente 1.

Sea A( n , n ) la matriz problema (matriz de la cual vamos a determinar si tiene o no inversa multiplicativa, y en caso de tenerla, se calculará la misma).

2.

Aplicamos las operaciones elementales a la matriz A hasta reducirla a una matriz E de la forma escalonada reducida. E1 E2 Ei Ek A ⎯⎯ → ⎯⎯ → ... ⎯⎯ → ... ⎯⎯ → = E.

3.

La ecuación matricial equivalente al proceso descrito es: Fk ·...· Fi ·...· F2 · F1 · A = E.

4.

Criterio de invertibilidad: i.

Si E = I , entonces A es invertible y A−1 = ( Fk ·...· Fi ·...· F2 · F1 ) .

ii.

Si E ≠ I , entonces A no es invertible.

Esquema operativo del algoritmo 1.

[ A I] . Partimos de la matriz A( n , n ) , aumentada en la matriz I ( n , n ) . Procedemos a la reducción de la matriz aumentada.

i + 1) k + 1)

2.

E1 [ A I ] ⎯⎯ → = [ F1 · A F1 I ] .

3.

E2 [F1 · A F1I] ⎯⎯ →= [F2 · F1 A F2 ⋅ F1 ],

Ei [ Fi −1 ⋅ ... ⋅ F2 ⋅ F1 ⋅ A Fi −1 ⋅ ... ⋅ F2 · F1 ] ⎯⎯ → = [ Fi · Fi −1 ⋅ ... ⋅ F2 ⋅ F1 ⋅ A Fi ⋅ Fi −1 ⋅ ... ⋅ F2 ⋅ F1 ],

Ek [ Fk −1 ⋅ ... ⋅ Fi ⋅ ... ⋅ F2 · F1 A Fk −1 ⋅ ... ⋅ Fi ⋅ ...⋅ F2 · F1 ] ⎯⎯ →

[ Fk · Fk −1 ⋅ ... ⋅ Fi ⋅ ... ⋅ F2 ⋅ F1 ⋅ A Fk Fk −1 ⋅ ... ⋅ Fi ⋅ ... ⋅ F2 ⋅ F1 ] [ Fk · Fk −1 ⋅ ... ⋅ Fi ⋅ ... ⋅ F2 · F1 ⋅ A Fk · Fk −1 ⋅ ... ⋅ Fi ⋅ ... ⋅ F2 · F1 ] = [Ε Ρ ]. k + 2)

136

Si Ε = I, entonces A−1 = P.

Módulo 10: El algoritmo de Gauss-Jordan para la determinación de la inversa multiplicativa Ilustración 21

⎡1 ⎢1 Sea A = ⎢ ⎢2 ⎢ ⎣1

2 3 1⎤ 3 3 2 ⎥⎥ 4 3 3⎥ ⎥ 1 1 1⎦ (4,4)

Determinemos, utilizando el algoritmo de Gauss-Jordan, [ A I ] → [ E P],

1.

si A es o no invertible. 2.

Si A es invertible, determinemos la matriz A−1 .

3.

Expresemos la ecuación matricial que relaciona por equivalencia a las matrices A y E.

4.

Si A es invertible, indiquemos la matriz A−1 como un producto de matrices elementales.

5.

Si A es invertible, indiquemos la matriz A como un producto de matrices elementales.

Solución 1. ⎡1 ⎢1 ⎢ ⎢2 ⎢ ⎣1

2 3 1 1 0 0 0⎤ ⎡1 3 3 2 0 1 0 0⎥⎥ −1E1 + E2 ⎢⎢0 ⎯⎯⎯⎯ → 4 3 3 0 0 1 0⎥ −2 E1 + E3 ⎢0 ⎥ ⎢ 1 1 1 0 0 0 1⎦ ⎣1

⎡1 2 3 ⎢0 1 0 ⎢ ⎢0 0 −3 ⎢ ⎣0 −1 −2 ⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

1 1 0 0 0⎤ ⎡1 1 −1 1 0 0⎥⎥ 1E2 + E4 ⎢⎢0 ⎯⎯⎯→ 1 −2 0 1 0⎥ 1E3 + E1 ⎢0 ⎥ ⎢ 0 −1 0 0 1⎦ ⎣0 0 1 −2 1 1 −1 1 0

0⎤ ⎡1 ⎥ 0⎥ 2E3 +E4 ⎢⎢0 ⎯⎯⎯⎯ → ⎢0 0 1 −1 2 −2 1 −2⎥ ⎥ ⎢ 0 −2 1 −2 1 0 1⎦ ⎣0 0 1

0 0

⎡1 ⎢0 −1 E4 ⎯⎯⎯ →⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

1 −2

3 1 1 0 0 0⎤ 0 1 −1 1 0 0⎥⎥ −1E1 + E4 ⎯⎯⎯⎯ → 0 −3 1 −2 0 1 0 ⎥ ⎥ 1 1 1 0 0 0 1⎦

2 1

0 2 −1 0 1 0⎤ 0 1 −1 1 0 0⎥⎥ −2 E2 + E1 ⎯⎯⎯⎯ → 0 −3 1 −2 0 1 0⎥ −2 E4 + E3 ⎥ 0 −2 1 −2 1 0 1⎦

2 1

0 0 1 0

0 1 −2 1 1 −1 1 0

0 1 −1 0 0 −1

0⎤ 0⎥⎥ 1E4 +E2 ⎯⎯⎯⎯ → 2 −2 1 −2⎥ −1E4 +E3 ⎥ 2 −3 2 −3⎦

0⎤ 1 0 0 1 −2 2 −3⎥⎥ 0 1 0 0 1 −1 1⎥ ⎥ 0 0 1 −2 3 −2 3⎦ 0 0 0

1

Geometría vectorial y analítica

137

Capítulo 2: Álgebra matricial y sistemas de ecuaciones lineales 2.

Como E = I (4,4) , entonces A es invertible y A−1 = P.

1 0⎤ ⎡ 1 −2 ⎢ 1 −2 2 − 3⎥ ⎥ Esto es: A−1 = ⎢ ⎢ 0 1 −1 1⎥ ⎢ ⎥ 3 −2 3⎦ (4,4) ⎣ −2 Se deja al lector la verificación A ⋅ A−1 = I . 3.

Determinemos la ecuación matricial que relaciona a las matrices A y I como equivalentes.

F4 (−1)· F43 (−1)· F42 (1)· F34 (2)· F43 (−2)· F21 (−2) · F31 (1)· F24 (1)· F14 (−1)· F13 (−2)· F12 (−1)· A = I. 4.

De la definición de matriz invertible tenemos, en la ecuación anterior, que: A−1 = F4 (−1)· F43 (−1)· F42 (1)· F34 (2)· F43 (−2)

· F21 (−2)· F31 (1)· F24 (1)· F14 (−1)· F13 (−2)· F12 (−1). 5.

A su vez, de la ecuación anterior tenemos: A = ( A−1 ) −1 = ( F4 (−1)· F43 (−1)·...· F13 (−2)· F12 (−1)) −1

y en consecuencia: A = F12 (1)· F13 (2)· F14 (1)· F24 (−1)· F31 (−1) · F21 (2)· F43 (2)· F34 (−2)· F42 (−1)· F43 (1)· F4 (−1). ¿Por qué?

Ilustración 22 ⎡6 2 0⎤ ⎢ ⎥ Sea B = ⎢0 1 1⎥ ⎢⎣ 3 2 1⎥⎦ (3,3)

Determinemos, utilizando el algoritmo [ B I ] → [ Ε Ρ ], si B es o no invertible y, en caso afirmativo, expresemos las matrices B y B −1 como producto de matrices elementales. Solución ⎡6 2 0 1 0 0⎤ ⎡1 1 E ⎢ 0 1 1 0 1 0 ⎥ ⎯⎯⎯⎯ ⎢ 6 1 → ⎢ ⎥ −3 E1 + E3 ⎢0 ⎢⎣ 3 2 1 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣0

138

0 0⎤ ⎡1 −1E 2 + E3 → ⎢⎢0 0 1 0 ⎥⎥ ⎯⎯⎯⎯ ⎢⎣0 1 1 −1 2 0 1⎥⎦

0 1 1

1

3

1

6

0 1 1

1

0 0

−1

1

3

6

0 2

0 0⎤ 1 0 ⎥⎥ −1 1⎥⎦

Módulo 10: El algoritmo de Gauss-Jordan para la determinación de la inversa multiplicativa Terminamos aquí el proceso de reducción puesto que la matriz B no puede ser equivalente a I ( 3 ,3 ) (¿por qué?), y en consecuencia B no es invertible. De todas formas, podemos plantear la ecuación matricial asociada al proceso de reducción. Designamos por ⎡1 U = ⎢⎢0 ⎢⎣0

0⎤ 1 1⎥⎥ 0 0 ⎥⎦ (3,3)

1

3

la matriz equivalente a B y tenemos que corresponde a una matriz triangular superior. F23 (−1) · F13 (−3)· F1 ( 1 6 ) · B = U .

Podemos «despejar la matriz B» en la ecuación anterior: B = ( F23 ( −1) · F13 ( −3) · F1 ( 1 6 )) −1 ·U

= F1 (6)· F13 (3) · F23 (1)·U. Efectuando el producto de las matrices elementales, tenemos ⎡6 0 0⎤ F1 (6)· F13 (3)· F23 (1) = ⎢⎢ 0 1 0 ⎥⎥ = L, ⎢⎣ 3 1 1⎥⎦ (3,3)

donde L es una matriz triangular inferior. En esta forma podemos presentar a la matriz B como el producto de una matriz triangular inferior por una matriz triangular superior, designadas respectivamente por L y U. Observaciones 1.

Lo que hemos observado en la última parte de la ilustración anterior corresponde a un proceso general designado como la factorización LU de una matriz.

2.

Se deja como tema de consulta al lector la factorización LU de una matriz y sus aplicaciones en la determinación del conjunto solución de un S.E.L.

Consideraciones finales con relación a las estructuras algebraicas subyacentes en el conjunto 1.

( m×n )

y en algunos de sus subconjuntos

El conjunto n× n , con las operaciones adición y producto de un real por una matriz, alcanza la estructura de espacio vectorial en el conjunto . Esto es,

n×n

,

.

2.

El conjunto n×n , con la operación producto entre matrices, alcanza la estructura de algebra lineal.

3.

Si designamos por entonces

′n× n el conjunto de matrices invertibles bajo el producto,

′n × n , ⋅ es un grupo. Geometría vectorial y analítica

139

3

Capítulo 3

La función determinante

Contenido breve Módulo 11 La función determinante: dominio y codominio. Módulo 12 Procedimiento para evaluar el determinante utilizando matrices elementales

La función determinante le asigna a cada matriz cuadrada de componentes reales un número real único. Los procedimientos o algoritmos utilizados para determinar el valor asignado y las aplicaciones de esta función, así como su carácter histórico, se constituyen en un campo de estudio importante en la matemática.

Presentación Presentamos la noción de determinante como una función definida del conjunto en . Esta forma nos permite lograr una presentación coherente dentro de las estructuras algebraicas que en todo momento hemos buscado precisar, a fin de que el lector tenga un dominio pleno de los objetos matemáticos que se operan. Además nos brinda una forma dinámica y ágil de comprender sus propiedades y facilita el cálculo de esta función, que por otros medios puede ser, en la práctica, imposible, dado el alto número de operaciones que ésta involucra. n× n

Esta orientación nos muestra además en una forma precisa y lógica cómo los dos problemas centrales estudiados en el capítulo anterior vuelven a ser revisados a la luz de la función determinante, aportando nuevos elementos a su solución. Nos referimos específicamente a la determinación del conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales, para el cual, a través de la función determinante, se obtiene un método restringido en su aplicación, pero de todas formas importante en el campo matemático, conocido con el nombre de la regla de Cramer. En el mismo sentido, la función determinante aporta un nuevo criterio de invertibilidad para una matriz A( n× n ) , cual es que su determinante sea distinto de cero y la única fórmula matemática para el cálculo de la inversa multiplicativa de

Módulo 13 La función determinante y sus relaciones con la inversa multiplicativa de A( n , n ) Ejercicios Módulos 11 al 13

Capítulo 3: La función determinante A( n× n ) , cuando ésta existe. Este aporte es en sí mismo de gran importancia en la matemática, cuando se trata de la construcción de teoremas o propiedades relacionadas con la inversa de una matriz, puesto que las demás herramientas estudiadas nos dotan de procedimientos algorítmicos eficientes para su cálculo específico, mas no para su construcción teórica.

Estas razones nos conducen a destacar más la naturaleza, las propiedades y las aplicaciones de esta función que algunas demostraciones muy complicadas para el nivel de este texto, no significando esto que renunciaremos al rigor y el equilibrio que lo caracteriza.

146

11 La función determinante: dominio y codominio Introducción De las diferentes formas como puede presentarse la noción del determinante, hemos elegido la correspondiente a una presentación axiomática de su definición, por ser ésta la que mejor responde a los objetivos generales del texto, además de proporcionar mayor coherencia con los tratamientos en los temas anteriores y posteriores a él. Esta formulación axiomática se debe al gran matemático alemán karl Weierstrass (1815 - 1897). Así mismo presentamos la expansión por cofactores como un primer método inductivo, dirigido a calcular esta función y cuya eficiencia analizaremos posteriormente.

Takakazu Seki Kowa Takakazu Seki Kowa nació en una familia de guerreros samurai en marzo de 1642 en Fujioka (Japón) y murió en Tokio en octubre de 1708.

Objetivos del módulo 1. Presentar el determinante como una función para destacar su papel en forma dinámica y ágil, que no se reduce a una simple fórmula. 2. Mostrar cómo esta función permite aportar nuevos elementos a los dos problemas centrales estudiados en el capítulo 2. 3. Señalar cómo las propiedades inherentes a su definición marcan pautas que facilitan su evaluación. 4. Mostrar el método de expansión por cofactores como un procedimiento para evaluar la función determinante.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es un determinante? 2. ¿Cómo se calcula un determinante para A(1, 1), A(2, 2) y A(3, 3)? 3. ¿Qué es el menor complementario de una componente? 4. ¿Qué es el cofactor asociado a una componente? 5. ¿Cómo se calcula el valor de un determinante mediante expansión por cofactores? 6. ¿Cuántos productos requiere el cálculo del determinante de una matriz de orden 5 × 5, 6 × 6, 7 × 7, …, n × n mediante expansión por cofactores? 7. ¿Es posible calcular en un computador el determinante de cualquier matriz cuadrada, mediante expansión por cofactores? 8. ¿En qué consiste la regla de Sarrus? 9. ¿Puede generalizarse la regla de Sarrus?

Contenidos del módulo 11.1 La función determinante 11.2 El cálculo de la función determinante para toda A(n, n) 11.2.1 Submatriz Aij 11.2.2 Menor complementario de una componente 11.2.3 Cofactor asociado a una componente

Vea el módulo 11 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

147

Capítulo 3: La función determinante

11.1 La función determinante Definimos una función del conjunto R n× n en el conjunto R que llamaremos determinante y en forma abreviada notamos por det, caracterizada a su vez por cuatro axiomas ó propiedades de definición que designaremos por A-1, A-2, A-3 y A-4,así: Escuche una Breve historia de los determinantes en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

det : R n×n ⎯⎯⎯→ R A = ⎡⎣ aij ⎤⎦

( n,n)

→ det (A).

Notas: 1.

Dada A = ⎡⎣aij ⎤⎦ , introducimos una nueva convención para su designa( m, n ) ción que llamaremos notación de la matriz A por filas y que representamos así: A = ( A1 , A2 ,..., Ai ,..., Am ), siendo Ai la fila i de A, ∀i = 1... m.

2.

La imagen de esta función también se designa por det ( A1 , A2 ,..., Ai ,..., An ) o por A .

3.

Esta función se define únicamente para matrices cuadradas.

4.

det ( A) ∈ .

Axiomas asociados a la función A-1.

Si Ai = A j para i ≠ j , entonces det (A) = 0. Esta propiedad afirma que si la matriz presenta dos filas iguales, entonces el valor de su determinante es igual a cero.

A-2.

Si A = ( A1 , A2 ,..., Ai ,..., An ) y B = ( A1 , A2 ,..., λ Ai ,..., An ), entonces det (B) = λ det (A).

Esto es, det (A1 , A2 ,..., λ Ai ,..., An ) = λ det (A1 , A2 ,..., Ai ,..., An ) = λ det (A).

A-3.

Si A = ( A1 , A2 ,..., Ai ,..., An ), C = ⎡⎣cij ⎤⎦ : matriz fila, y (1, n ) B = ( A1 , A2 ,..., Ai + C ,..., An ) entonces det (B ) = det (A1 , A2 ,..., Ai ,..., An ) + det (A1 , A2 ,..., C ,..., An ).

A-4.

148

(

)

det I( n,n) = 1.

Módulo 11: La función determinante: dominio y codominio Observaciones 1.

El axioma A-2 afirma que si en una matriz una fila cualquiera está multiplicada por un λ , (λ ≠ 0), entonces el determinante de esta matriz es igual al producto del número λ por el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar el factor λ en la respectiva fila.

2.

El axioma A-3 afirma que si en una matriz una fila cualquiera se puede expresar como la suma de dos matrices fila, entonces el determinante de dicha matriz es igual a la suma de los determinantes de las dos matrices que resultan al «distribuir» la fila asociada a la suma en las dos matrices fila que la componen asociando a cada una de las matrices una de la dos componentes y manteniendo las demás filas iniciales.

3.

El axioma A-4 afirma que el determinante de toda matriz identidad es igual a 1.

4.

En adelante nos referiremos también a los axiomas como propiedades de definición y los designaremos en su orden por d-1, d-2, d-3 y d-4 respectivamente.

Notas: 1.

Dada A = ⎡⎣aij ⎤⎦ , introducimos una nueva convención para su designa( m, n ) ción que llamaremos notación de la matriz A por columnas y que representa mos así: A = ( A1 , A ,..., Ai ,..., An ), siendo Ai la columna i de A, ∀i = 1... n. 2

2.

En forma exactamente análoga a los cuatro axiomas planteados para las filas, podemos formularlos para las columnas y desarrollar de esta manera la función determinante, llegando al mismo resultado.

Ilustración 1

1.

⎡2 ⎢3 Sean A = ⎢ ⎢ −4 ⎢ ⎣0 ⎡ −1 D = ⎢⎢ 7 ⎢⎣ 9

−5 0 1 ⎤ ⎡ −1 2 5 ⎤ ⎡ 5 −1 2 1 ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ , B = ⎢ 7 0 −1⎥ , C = ⎢ −35 10 0 −2 ⎥ ⎢⎣ 2 3 9 ⎥⎦ ⎢⎣ −10 ⎥ −3 1 1 ⎦ 2 5 ⎤ ⎡ −1 0 −1 ⎥⎥ , E = [3 −2 2](1,3) , S = ⎢⎢10 ⎢⎣ 2 −4 −11⎥⎦

−10 −25⎤ 0 5 ⎥⎥ , −15 −45⎥⎦ 2 5⎤ −2 1 ⎥⎥ . 3 9 ⎥⎦

Escuche la biografía de Takakazu Seki Kowa en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Geometría vectorial y analítica

149

Capítulo 3: La función determinante Utilizando los axiomas de definición de la función determinante: 1.1.

Evaluemos det (A).

1.2.

Expresemos la matriz C en términos de la matriz B y calculemos el det (C) en función del det (B), utilizando los axiomas de definición.

1.3.

Expresemos la matriz D en términos de la matriz B y evaluemos su d e t e r m i nante, utilizando los axiomas de definición.

1.4.

Expresemos la matriz S en términos de la matriz B y evaluemos su determinante en términos parciales del det (B).

Solución

1.1.

⎡2 ⎢3 A=⎢ ⎢ −4 ⎢ ⎣0

−5 0 1 ⎤ −1 2 1 ⎥⎥ , 10 0 −2 ⎥ ⎥ −3 1 1 ⎦

−5 0 1 ⎤ Si denotamos la matriz A por ⎡ 2 ⎢ 3 ⎥ −1 2 filas tenemos ⎥ A=⎢ ⎢ −2 × 2 −2 × −5 −2 × 0 −2 ×1⎥ A = ( A1 , A2 , − 2 A1 , A4 ) ⎢ ⎥ − 0 3 1 1 ⎣ ⎦

Luego det (A) = det (A1 , A2 , − 2 A1 , A4 ) = −2det (A1 , A2 , A1 , A4 ) por A-2 = −2 × 0 por (A-1) = 0.

1.2.

Designamos la matriz B por filas, así: B = ( B1 , B2 , B3 ); en consecuencia, la matriz C, en su designación también por filas, corresponde a: C = (−5B1 , − 5 B2 , − 5 B3 ) (¿por qué?).

Ahora, det (C ) = det (−5B1 , − 5 B2 , − 5 B3 ), = (–5) · (–5) · (–5) det (B1, B2, B3), por A-2 = –125 ·det (B).

1.3.

A partir de la designación de la matriz B en el numeral anterior, podemos determinar la matriz D así: D = ( B1 , B2 , − 2 B1 + B2 ) (¿por qué?) y det ( D) = det ( B1 , B2 , − 2 B1 + B2 ) = det (B1 , B2 , − 2 B1 ) + det (B1 , B2 , B2 ) por A-3

150

Módulo 11: La función determinante: dominio y codominio = −2det (B1 , B2 , B1 ) + det (B1 , B2 , B2 ) por A-2 = −2 × 0 + 0 por A-1 = 0.

1.4.

Tomando de nuevo la matriz B como referencia, designamos la matriz S por filas: S = ( B1 , B2 + E , B3 ); por tanto, det (S ) = det (B1 , B2 + E , B3 ) = det (B1 , B2 , B3 ) + det (B1 , E , B3 ) por la propiedad de A-3 = det ( B) + det ( B1 , E , B2 ).

De esta forma hemos expresado el determinante de la matriz S en términos parciales de la matriz B. 2.

Podemos ahora generalizar algunos de los resultados particulares obtenidos en el numeral anterior, así: 2.1.

n Si A( n, n ) , λ ∈ R; entonces det (λ A) = λ ⋅ det ( A).

2.2.

Sea A( n, n ) . Si una fila cualquiera de A es el resultado de la combinación lineal de una o más filas de A, entonces det ( A) = 0.

Las demostraciones se dejan al lector, utilizando desde luego los axiomas de definición de la función determinante.

11.2 El cálculo de la función determinante para toda A(n,n ) Los axiomas en la definición de esta función nos han permitido asignarle como imagen el cero o el uno para algunas matrices particulares. Pero nuestro problema inmediato consiste en establecer con precisión cuál es el valor que corresponde al determinante de cualquier matriz cuadrada. Con este objetivo, presentamos los siguientes teoremas. Teorema 1: Determinante de las matrices de órdenes y 1 x 1 y 2 x 2 1.

Para n = 1, definimos : det : R1×1 ⎯⎯→ R A = [a11 ] → det (A) = a11 .

Esto significa que para toda matriz de orden 1 × 1, el determinante de esta matriz es igual al número real asociado a su única componente.

Geometría vectorial y analítica

151

Capítulo 3: La función determinante 2.

Para n = 2, definimos:

det : R 2× 2 ⎯⎯→ R ⎡a A = ⎢ 11 ⎣ a21

a12 ⎤ → det (A) = a11 ⋅ a22 − a12 ⋅ a21 . a22 ⎥⎦

Esto significa que para toda matriz de orden 2 × 2 su determinante es igual a la diferencia entre el producto de las componentes de la diagonal principal y el producto de las componentes de la diagonal secundaria. Probemos que la función definida para n = 1 satisface los cuatro axiomas de la definición para la función determinante. En efecto: sea A = [a11 ](1,1) . a.

Si Ai = A j con i ≠ j , entonces det (A) = 0. Como el antecedente de esta implicación es necesariamente falso, puesto que la matriz sólo tiene una fila, se concluye en consecuencia que la implicación es verdadera (¿por qué?).

b.

Si A = [a11 ]y B = [λa11 ], entonces

det (B) = λ a11 = λdet (A) (¿por qué?). c.

Si A = [ a11 ] y C1 = [ c11 ] ( matriz fila ) , entonces (1,1)

det [a11 + c11 ] = det [a11 + c11 ](1,1) (definición dela función determinante para matrices deorden1×1) = det [a11 ] + det [c11 ] (¿por qué?). d.

Sea I (1,1) = [1]; entonces det (I (1,1) ) = 1.

Dejamos al lector la prueba para la función definida para las matrices de orden 2 × 2 . Podríamos continuar en forma recursiva definiendo el determinante para matrices de orden 3 × 3 , 4 × 4 y así sucesivamente. Antes de establecer una expresión general que permita su cálculo para matrices de orden mayor o igual a 2, definamos unos términos básicos que fundamentan esta expresión.

11.2.1 Submatriz

Aij

Dada A = [aij ]( n, n ) designamos por Aij la submatriz que se obtiene al eliminar simul-

152

Módulo 11: La función determinante: dominio y codominio táneamente en A la fila de orden i y la columna de orden j. En consecuencia, Aij es de orden (n − 1) × (n − 1) . Ilustración 2 ⎡ 3 2 −5 ⎤ ⎢0 1 3⎥ = A Sea ⎢ ⎥ ⎢⎣ −2 7 2 ⎥⎦ 3,3 ( )

Determinemos las matrices A11 , A12 , A13 , A21 , A31. ⎡1 3 ⎤ ⎡ 0 3⎤ ⎡ 0 1⎤ A11 = ⎢ ; A12 = ⎢ ; A13 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ; ⎣7 2⎦ ( 2,2) ⎣ −2 2⎦ ( 2,2) ⎣ −2 7 ⎦ ( 2,2) ⎡ 2 −5⎤ ⎡ 2 −5⎤ A21 = ⎢ ⎥ ; A31 = ⎢1 3 ⎥ . 7 2 ⎣ ⎦ ( 2,2) ⎣ ⎦ ( 2,2)

11.2.2 Menor complementario de una componente Sea A = [aij ]( n , n ) . Llamamos menor complementario asociado a la componente aij , y lo denotamos por M ij , al número real correspondiente al det ( Aij ) . Esto es, M ij = det (Aij ). Ilustración 3 Con relación a la matriz A de la ilustración 2, tenemos: El menor complementario de a11, que corresponde a la componente 3, es: M 11 = det (A11 ) = 2 − 21 = −19.

El menor complementario de a12 , que corresponde a la componente 2, es: M 12 = det (A12 ) = 0 + 6 = 6.

El menor complementario de a13 , que corresponde a la componente −5, es: M 13 = det (A13 ) = 0 + 2 = 2.

El menor complementario de a21, que corresponde a la componente 0, es: M 21 = det (A21 ) = 4 + 35 = 39.

El menor complementario de a31, que corresponde a la componente −2, es: M 31 = det (A31 ) = 6 + 5 = 11.

Geometría vectorial y analítica

153

Capítulo 3: La función determinante

11.2.3 Cofactor asociado a una componente Sea A = [aij ]( n , n ) . Llamamos cofactor asociado a la componente aij , y lo denotamos por Cij , al número real correspondiente a (−1)i + j det (Aij ) . Esto es, Cij = (−1)i + j det ( Aij ) . Ilustración 4 Con relación a la matriz A de la ilustración 2 y a los menores complementarios determinados en la ilustración 3, tenemos:

C11 = ( − 1)1+1 M 11 = 1 × ( − 19) = − 19. C12 = ( − 1)1+ 2 M 12 = ( − 1) × 6 = − 6. C13 = ( − 1)1+ 3 M 13 = 1 × 2 = 2. C 21 = ( − 1) 2 +1 M 21 = ( − 1) × 39 = − 39. C 31 = ( − 1) 3 +1 M 31 = 1 × 11 = 11.

Teorema 2: Cálculo del determinante de una matriz mediante la expansión por cofactores Para n ≥ 2, definimos

det : R n×n ⎯⎯⎯→ R A = [aij ]( n, n )

⎧ n ⎪ ∑ aij Cij ; 1 ≤ i ≤ n; pero i fijo ⎪ j =1 → det (A) = ⎨ n ⎪ a C ; 1 ≤ j ≤ n; pero j fijo ij ij ⎪⎩∑ i =1

Observaciones 1.

Cada una de las fórmulas indicadas nos proporcionan un valor único para cada matriz A( n , n ) .

2.

La primera fórmula se puede evaluar de n formas diferentes, según el valor particular que se fije para i entre 1 y n. De acuerdo al valor de i seleccionado, diremos que el cálculo del determinante se desarrolla mediante expansión por cofactores sobre la fila del orden seleccionado. Así, si se fija i =1, la expansión se efectúa para los

154

Módulo 11: La función determinante: dominio y codominio cofactores de la primera fila y así para las demás. 3.

La segunda fórmula se puede evaluar análogamente de n formas diferentes, según el valor particular que se fije para j, entre 1 y n. De acuerdo al valor de j seleccionado, diremos que el cálculo del determinante se desarrolla mediante expansión por cofactores sobre la columna del orden seleccionado. Así, si se fija j =1, la expansión se efectúa por los cofactores de la primera columna y así para las demás.

4.

En concordancia con lo establecido en los numerales anteriores, el determinante de una matriz de orden n × n se puede calcular de 2n formas distintas, correspondiendo éstas a la expansión por cualquiera de las n columnas o cualquiera de las n filas.

Ilustración 5 ⎡ 3 2 −5 ⎤ Calculemos el determinante de A = ⎢⎢ 0 1 3 ⎥⎥ utilizando la expansión por ⎣⎢ −2 7 2 ⎥⎦ ( 3,3)

cofactores así: 1.

Sobre la fila 1.

2.

Sobre la columna 2.

Solución 1.

Evaluemos el determinante en la primera fórmula así: 3

det (A) = ∑ aij Cij ; con i = 1. j =1

3

∑a j =1

1j

C1 j = a11C11 + a12 C12 + a13C13 = 3 ⋅ (−19) + 2 ⋅ (−6) + (−5) ⋅ (2) (valores determinados en la ilustración 4) = −79.

2.

Evaluemos el determinante con la segunda fórmula así: 3

det (A) = ∑ aij Cij ;con j = 1. i =1

3

∑a C i =1

i1

i1

= a11C11 + a21C21 + a31C31 = 3 ⋅ (−19) + 0 + (−2) ⋅ (11) = −79.

Se deja al lector calcular el determinante de la matriz A por otra fila cualquiera y por otra columna cualquiera. Geometría vectorial y analítica

155

Capítulo 3: La función determinante Corolarios 1.

Si una matriz cuadrada tiene al menos una fila o una columna nula, entonces su determinante es igual a cero.

2.

El determinante de una matriz triangular inferior o superior es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

3.

Si A( n , n ) , entonces det (AT ) = det (A) .

Se deja al lector la justificación de los corolarios propuestos. Observaciones 1.

Las fórmulas establecidas en el teorema 2, aunque recogen los resultados en forma sintética de un proceso previo, en términos como cofactor y menor asociado, en ocasiones puede ser necesario tener la visión completa de los términos primitivos que la integran. Por esta razón consideramos pertinente expresarla también en estas formas: n

Expansión por filas: det (A) = ∑ (−1)i + j aij det ( Aij ); 1 ≤ i ≤ n, con i :fijo. j =1

n

Expansión por columnas: det (A) = ∑ ( −1)i + j aij det (Aij ); 1 ≤ j ≤ n, con i =1

j : fijo. 2.

Para el cálculo de una matriz de orden 3 × 3 se puede utilizar un algoritmo muy sencillo, conocido como la regla de Sarrus, que opera así: ⎡ a11 Dada A = ⎢⎢ a21 ⎢⎣ a31

a12 a22 a32

a13 ⎤ a23 ⎥⎥ a33 ⎥⎦ (3,3)

Paso 1 Se amplía la matriz A, colocando estrictamente a continuación de la columna 3 las columnas 1 y 2, respectivamente. a11

a12

a13

a11

a12

a21 a31

a22 a32

a23 a33

a21 a31

a22 a32

Paso 2 Se determina la diagonal principal del nuevo arreglo y las diagonales paralelas a ella, que se inician en los dos elementos siguientes de la primera fila de A.

156

Módulo 11: La función determinante: dominio y codominio a11 a21

a12 a22

a13 a23

a11 a21

a12 a22

a31

a32

a33

a31

a32

Paso 3 Se determina la diagonal secundaria del nuevo arreglo y las diagonales paralelas a ella, que se inician en los dos elementos siguientes de la última fila de A. a11 a21

a12 a22

a13 a23

a11 a21

a12 a22

a31

a32

a33

a31

a32

Pierre Frédérique Sarrus El matemático francés Pierre Frédérique Sarrus nació y murió en Saint-Afrique (1798-1861). Sarrus demostró el lema fundamental del cálculo de variaciones y publicó numerosas obras sobre la resolución de ecuaciones de varias incógnitas. A él se le debe la «regla de Sarrus», utilizada para el cálculo de determinantes. Extendió el método de las variaciones a las integrales múltiples para resolver el problema de determinar el máximo de una función. Su obra más conocida es Método para hallar las condiciones de integrabilidad de una ecuación diferencial. Destacables son también sus estudios de las órbitas de los cometas.

Paso 4 Se efectúan los productos de los elementos que se encuentran sobre las primeras diagonales y se obtiene su suma algebraica. Se efectúan los productos de los elementos que se encuentran sobre las segundas diagonales y se obtiene su suma algebraica. Finalmente, al resultado en la primera suma se le resta el resultado de la segunda suma. Por ello se preceden también los resultados de las primeras flechas con signo (+) y los de las segundas con el signo (–). a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

a11 a21 a31

a12 a22 a32

det (A) = (a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + a12 ⋅ a23 ⋅ a31 + a13 ⋅ a21 ⋅ a32 ) − (a31 ⋅ a22 ⋅ a13 + a32 ⋅ a23 ⋅ a11 + a33 ⋅ a21 ⋅ a12 ). Ilustración 6 ⎡ 2 −1 ⎢0 1 Dada A = ⎢ ⎢ 1 −5 ⎢ ⎣0 3

3 5⎤ 7 −2 ⎥⎥ calculemos su determinante. 1 1⎥ ⎥ 4 −2 ⎦

Solución Para simplificar los cálculos procedemos a efectuar la expansión por los cofactores de la primera columna puesto que ésta presenta dos términos iguales a cero que reducen notablemente el número de operaciones. Geometría vectorial y analítica

157

Capítulo 3: La función determinante 4

det (A) = ∑ (−1)i + j aij det (Aij ) 1 ≤ j ≤ 4; con j = 1 i =1 4

= ∑ (−1)i +1 ai1det (Ai1 ) i =1

= (−1) 2 i 2 idet (A11 ) + 0 + (−1)3+1 i 1 i det (A31 ) 1 7 −2 −1 3 5 = 2 −5 1 1 + 1 1 7 −2 4 −2

3

3

4 −2

Apliquemos la regla de Sarrus a cada determinante. –6

1 7 −2 −5 1

4

70

1 7

1 −5 1

3 4 −2

3 4 –2

−1

3

1

7

3

4

21 40

105 8 –6 −1 3 −2 1 7 −2 3 4

= 59 − (68) = −9.

5

14 –18 20 Luego det (A) = 2 ⋅ (−9) + (−91)

= −18 − 91 = −109.

158

= (−2 + 21 + 40) − (−6 + 4 + 70)

= (14 − 18 + 20) − (105 + 8 − 6) = 16 − (107) = −91.

12 Procedimiento para evaluar el determinante utilizando matrices elementales Introducción 1.

2.

La función determinante puede definirse también mediante las permutaciones, siendo desde luego el resultado único e igual al que hemos presentado en el teorema 2. Cualquiera de las definiciones que se utilizan para evaluar la función determinante tiene un problema práctico y es el alto número de operaciones que demanda su cálculo. Veamos un caso muy sencillo. Supongamos que vamos a calcular el determinante de una matriz A( 6,6) , en la cual ninguna de sus componentes es igual a cero. En consecuencia, podemos hacer expansión, sin preferencia, por cualquier fila o columna. Asumamos el desarrollo por expansión sobre la fila 1. 6

1+ j

det ( A) = ∑ (−1) a1 j · det ( A j ) j =1

1

= (−1) 2 a11 det ( A11 ) + (−1)3 a12 det ( A12 ) + ... + (−1)7 a16 det ( A16 ), que comprende seis sumandos, cada uno de los cuales está expresado en términos del determinante de una submatriz de orden 5 × 5. A su vez cada determinante de orden 5 × 5 requiere para su cálculo por expansión cinco sumandos, cada uno de los cuales se expresa a su vez en términos del determinante de una submatriz de orden 4 × 4. Ahora el cálculo del determinante de una matriz 4 × 4 requiere cuatro sumandos, cada uno de ellos expresado en términos del determinante de una submatriz de orden 3 × 3. Finalmente, el cálculo mediante expansión de un determinante de orden 3 × 3 requiere tres sumandos, cada uno de los cuales se expresa en términos de un determinante de orden 2 × 2 cuyo cálculo es inmediato. Lo anterior nos permite concluir que el número de productos requeridos en el cálculo del determinante de esta matriz es igual a: 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 6! (6 factorial) = 720.

Pierre Simon Laplace Pierre Simon Laplace nació el 28 de marzo de 1749 en Normandía, (Francia). Laplace fue conde, marqués, ministro, senador, pero sobre todo, científico, y se destacó como astrónomo y matemático. Su fama fue tal que llegó a conocérsele como el Newton de Francia y sus principales campos de interés fueron la mecánica celeste y la teoría de probabilidades. A los 24 años de edad Laplace era un estudioso de la aplicación de la ley de gravitación de Newton al sistema solar como un sistema en el que los planetas y sus satélites no están gobernados sólo por el Sol, sino que interaccionan entre sí de diversas formas. Demostró que los movimientos planetarios son estables y que las perturbaciones producidas por la influencia mutua de los planetas o por cuerpos externos, como los cometas, solamente son temporales. En su tratado Mecánica celeste resumió y sistematizó las investigaciones en gravitación de varias generaciones de matemáticos ilustres, y en su Teoría analítica de las probabilidades expuso el método de los «mínimos cuadrados» y su famosa «transformada de Laplace» (transformación que asocia a cada función real una función compleja), que ha demostrado ser una de las herramientas más útiles en el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales. Esta transformada se utiliza frecuentemente en análisis de circuitos eléctricos y en servosistemas. Laplace también hizo aportes a la ciencia en campos tan diversos como el electromagnetismo, la termoquímica, el comportamiento de los gases y la capilaridad. En colaboración con el químico francés Antoine Laurent de Lavoisier (considerado el fundador de la química moderna) dirigió experimentos sobre la acción capilar y sobre el calor específico, y llegó a establecer la relación que expresa la presión capilar ejercida sobre una superficie líquida curvada. Este resultado se conoce en física como la «ley de Laplace». Pierre Simon de Laplace murió el 5 de marzo de 1827 en París.

Este número es demasiado grande para una matriz de un orden tan pequeño, lo que nos confirma las dificultades prácticas de este método. Al respecto consideramos importante traer una cita del profesor Bernard Kolman: «La mayor parte de los problemas del álgebra lineal de tamaño considerable se resuelven con computadoras, de modo que es natural comparar dos métodos esti-

Vea el módulo 12 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

159

Capítulo 3: La función determinante mando el tiempo de cómputo para el mismo problema. Como la suma es mucho más rápida que la multiplicación, con frecuencia se utiliza el número de multiplicaciones como base para comparar dos procedimientos numéricos. Consideremos el cálculo del determinante de A (25, 25). Podemos hacer esto mediante el desarrollo por cofactores, digamos, det ( A ) = ( − 1)1 + 1 a11 det ( A11 ) + ( − 1) 3 a12 det ( A12 ) + ... + ( − 1) 26 a1 25 det ( A1

25

),

donde hemos desarrollado el det (A) por la primera fila. Obsérvese que si se dispone de cada cofactor, necesitamos 25 multiplicaciones. Ahora, cada determinante en cada sumando corresponde a una matriz de orden 24 × 24, el cual se puede desarrollar con respecto a cualquier fila o columna dados, que requiere 24 multiplicaciones. Así, el cálculo de det (A) necesita más de 25 × 24 × ... × 2 × 1 = 25! multiplicaciones. Aunque fuésemos a utilizar una computadora del futuro (futuro no tan lejano) capaz de realizar 1012 multiplicaciones por segundo (3.15 × 1019 por año), tardaría cerca de 49.000 años en evaluar el det (A). Por otro lado, reduciendo la misma matriz mediante el método de reducción por Gauss-Jordan a una matriz triangular superior cuyo determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal, este procedimiento requiere cerca de 253 / 3 multiplicaciones y hallaríamos la solución en menos de un segundo. En general, si estamos buscando respuestas numéricas, entonces se puede emplear cualquier método con determinantes para n ≤ 4. Para n > 5, los métodos que utilizan determinantes son mucho menos eficientes que el de la reducción de GaussJordan»1. Por supuesto, la importancia de los determinantes no recae en su uso computacional. Como veremos posteriormente los métodos con determinantes permiten expresar la inversa de una matriz y la solución de un S .E.L.( n× n ) (cuando la matriz de coeficientes es invertible) por medio de fórmulas o ecuaciones únicas, lo que es fundamental en el trabajo teórico cuando no se busca solamente un resultado numérico. Otra razón importante para el estudio de los determinantes es que éstos desempeñan un papel central en el estudio del tercer problema general, objeto de estudio del álgebra lineal, cual es la determinación de los valores y los vectores propios para

A( n× n ) . 3.

Todo lo anterior nos muestra cómo el cálculo del determinante por el método de expansión por cofactores, aunque teóricamente viable, se hace en la práctica imposible para matrices de órdenes incluso no muy grandes, lo que nos obliga a encontrar un método eficiente para su cálculo, basado en el método de reducción de Gauss-Jordan y que fundamentaremos teóricamente a continuación.

Objetivos del módulo 1. Mostrar la necesidad real de recurrir a un método diferente a la expansión por cofactores para evaluar el determinante para A(n, n), n ≥ 4 . 2. Presentar nuevamente el algoritmo de Gauss-Jordan como una vía óptima y alterna en el cálculo del determinante de A(n, n), con n de cualquier orden. 3. Destacar nuevamente el papel fundamental que desempeñan las matrices elementales y las matrices equivalentes en el cálculo, en forma eficiente, del determinante de una matriz n × n para cualquier valor de n.

160

Módulo 12: Procedimiento para evaluar el determinante utilizando matrices elementales

Preguntas básicas 1. ¿Por qué no es posible en la práctica evaluar siempre el det (A)(n × n) por cofactores? 2. ¿Cuáles son los determinantes de las matrices elementales? 3. ¿Cuál es el algoritmo general para evaluar el determinante de A(n, n) siendo n de cualquier orden? 4. ¿En qué se fundamenta el algoritmo general? 5. ¿Se resuelve en esta forma el problema práctico presentado en el método de expansión por cofactores? 6. ¿En qué consiste el algoritmo abreviado?

Contenidos del módulo 12.1 Procedimiento general para evaluar el det (A)(n × n), utilizando matrices elementales 12.2 Algoritmo general para el cálculo del determinante por matrices elementales

1. Kolman B, Álgebra lineal con aplicaciones y matlab, 6.a ed., p. 118, México: Prentice Hall.

Geometría vectorial y analítica

161

Capítulo 3: La función determinante

12.1 Procedimiento general para evaluar el det (A)(n x n) utilizando matrices elementales Teorema 3: Propiedades de la función determinante Escuche más sobre Augustin Louis Cauchy en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Sea A(n x n); entonces se cumplen:

1.

det ( Fij A) = − 1det ( A).

2.

det ( Fi (λ ) A) = λ det ( A).

3.

det ( Fij (λ ) A) = det ( A).

Las propiedades enunciadas podemos interpretarlas así: 1.

Si en una matriz A se intercambian dos filas cualesquiera o, lo que es equivalente, si se aplica una operación elemental del tipo 1, entonces el determinante de la nueva matriz es igual al determinante de A, multiplicado por − 1.

2.

Si en una matriz A una fila se multiplica por un real λ , λ ≠ 0, o, lo que es equivalente, si se le aplica una operación elemental tipo 2, entonces el determinante de la nueva matriz queda multiplicado por λ .

3.

Si en una matriz A a una fila cualquiera se le suma un múltiplo escalar de otra fila o, lo que es equivalente, si se le aplica una operación elemental de tipo 3, entonces el determinante de la nueva matriz es igual al determinante de la matriz A.

Por ser este teorema la piedra angular sobre la cual fundamentaremos un procedimiento óptimo para el cálculo de la función determinante, superando los problemas ya analizados, procederemos a su demostración. Demostración de 1 Sea A( n× n ) . Expresemos esta matriz mediante la notación por filas, así: A = ( A1 , A2 ,..., Ai , A j ,..., An ).

Definamos a su vez una matriz B, y denotémosla por filas, así: B = ( A1 , A2 ,..., Ai + A j , Aj + Ai ,..., An ).

det (B) = 0 (por A-1; ¿porqué?). A su vez, podemos afirmar que:

det ( B ) = det ( A1 , A2 ,..., Ai , A j + Ai ,..., An , ) + det ( A1 , A2 ,..., Aj , A j + Ai ,..., An )

(aplicando A-3).

162

Módulo 12: Procedimiento para evaluar el determinante utilizando matrices elementales y a su vez se tiene que: det ( B ) = ( A1 , A2 ,..., Ai , Aj ,..., An ) + det ( A1 , A2 ,..., Ai , Ai ,..., An ) + det ( A1 , A2 ,..., Aj , Aj ,..., An ) + det ( A1 , A2 ,..., Aj , Ai ,..., An )

(aplicando nuevamente A-3). Ahora, por transitividad en la expresión inicial para el det (B), tenemos: 0 = det ( A1 , A2 ,..., Ai , A j ,..., An ) + 0 + 0 + det ( A1 , A2 ,..., A j , Ai ,..., An )

(aplicando A-1). Pero en la ecuación anterior tenemos que: 0 = det ( A) + det ( Fij A) (¿por qué?)

y, en consecuencia, det ( Fij A) = −1det ( A). La demostración de 2 es inmediata y se deja al lector. Demostración de 3 Sea A( n× n ) , que expresada mediante la notación por filas corresponde a: A = ( A1 , A2 ,..., Ai , Aj ,..., An ).

Definamos una matriz B designada por filas como: B = ( A1 , A2 ,..., Ai , λ Ai + A j ,..., An ) ; esto significa que B = ( Fij (λ ) A) (¿por qué?).

Luego det B = det ( A1 , A2 ,..., Ai , λ Ai ,..., An ) + det ( A1 , A2 ,..., Ai , Aj ,..., An )

(aplicando A-3). A su vez: det ( B ) = λ det ( A1 , A2 ,..., Ai , Ai ,..., An ) + det ( A1 , A2 ,..., Ai , Aj ,..., An )

(aplicando A-2, pero esto corresponde a): det ( B ) = 0 + det ( A) (por aplicación de A-1),

lo que nos permite concluir que det ( Fij (λ )) = det ( A). Corolario 1: Determinante de las matrices elementales 1.

det ( Fij ) = − 1.

2.

det ( Fi (λ )) = λ , λ ≠ 0.

3.

det ( Fij (λ )) = 1. Geometría vectorial y analítica

163

Capítulo 3: La función determinante

Se concluye, de las proposiciones anteriores, que nuevamente las matrices elementales desempeñan un papel fundamental, como tuvimos ya la oportunidad de estudiarlo con relación a sus inversas. Ahora podemos afirmar que los determinantes de las matrices elementales son valores elementales, reduciéndose a 1, − 1 o λ , (λ ≠ 0). Demostración de 1 Sea F i j ( n × n ) una matriz elemental tipo 1, de acuerdo a las convenciones establecidas. Fij = Fij I ( n×n ) por la propiedad modulativa de I ( n×n) . det ( Fij ) = det ( Fij I ( n× n ) ) (aplicando la función determinante en la igualdad

inicial). det ( Fij ) = −1det ( I ( n× n ) ) (por lo afirmado en la parte 1 del teorema 3).

Luego det ( Fij ) = − 1 (¿por qué?). Las demostraciones de los otros dos corolarios son muy sencillas y se dejan al lector. Corolario 2 1.

Sean A( n× n ) , F( n× n ) , donde F es una matriz elemental de uno cualquiera de los tres tipos; entonces, det (F · A) = det (F) · det (A).

Demostración Procedamos por el método de casos y consideremos inicialmente F = Fij; entonces tenemos: det ( Fij A) = −1 ·det ( A) (por el teorema 3, parte 1) = det ( Fij ) · det ( A) (sustituyendo a partir del numeral 1 del co-

rolario 1). En forma análoga se puede proceder en las demostraciones de los otros dos casos. 2.

Generalizando el resultado anterior tenemos: Si , A( n , n ) y F1 , F2 ,..., Fn ∈ entonces

n× n

donde todas las matrices son elementales,

det ( Fn , ·...· F2 · F1 · A ) = det ( Fn ) , ·...· det ( F1 ) · det ( A ).

La demostración se efectúa por inducción matemática así: Paso 1 Verifiquemos que la propiedad se cumple para n = 1. Esto es, que det ( F1 A) = det ( F1 ) · det ( A). En efecto, esto es lo que ha sido probado en la parte 1 de este mismo corolario.

164

Módulo 12: Procedimiento para evaluar el determinante utilizando matrices elementales Paso 2 Supongamos que la propiedad se cumple para n = k (hipótesis de inducción). Esto es, que det ( Fk ·...·F2 · F1 · A) = det ( Fk ) · det ( Fk −1 )·...·det ( F1 ) · det ( A).

Probemos que la propiedad se cumple para n = k + 1. En efecto: det ( Fk +1 · Fk ·...· F1 · A) = det ( Fk +1 ·( Fk ·...· F1 · A)) (asociatividad en el producto matricial). = det ( Fk +1 ) · det ( Fk ·...· F1 · A) (demostrado en el paso 1; ¿por qué?) = det ( Fk +1 ) · (det ( Fk )·...· det ( F1 ) · det( A)) (sustituyendo de la hipótesis de inducción).

Conclusión det ( Fk +1 · Fk ·...· F1 · A) = det ( Fk +1 ) · det ( Fk ) ·...· det ( F1 ) · det ( A).

El teorema 3 y sus corolarios nos permiten fundamentar un algoritmo práctico y eficiente en el caso de matrices de órdenes grandes, que puede calcularse en el computador en menos de un segundo por el número reducido de operaciones que conlleva.

12.2 Algoritmo general para el cálculo del determinante por matrices elementales Sea A( n× n ) la matriz problema. Paso 1 Se reduce la matriz A mediante operaciones elementales hasta llevarla a una matriz triangular superior equivalente, T, así: Fk ·...· F2 · F1 · A = T( n , n ) .

Paso 2 Se aplican los corolarios del teorema 3 y se despeja det (A). Esto es: det ( Fk ·...·F2 · F1 · A) = det (T ). n

det ( Fk ) ·...·det ( F2 ) ·det ( F1 ) · det ( A) = ∏ tii . i =1

n

det ( A) =

∏t i =1

ii

det ( Fk ) ·...· det ( F2 ) · det ( F1 )

.

Geometría vectorial y analítica

165

Capítulo 3: La función determinante Augustin Louis Cauchy El matemático y astrónomo francés Augustin Louis Cauchy nació el 21 de agosto de 1789 en París. Pionero en el análisis y la teoría de permutación de grupos, también investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, las ecuaciones diferenciales, las determinantes, la probabilidad y la física matemática. En 1814 publicó la memoria de la integral definida que llegó a ser la base de la teoría de las funciones complejas. Gracias a Cauchy, el análisis infinitesimal adquirió bases sólidas. Cauchy precisó los conceptos de función, de límite y de continuidad en la forma en que se conocen actualmente, tomando el concepto de límite como punto de partida del análisis y eliminando de la idea de función toda referencia a una expresión formal, algebraica o no, para fundarla sobre la noción de correspondencia. Los conceptos aritméticos otorgaron rigor a los fundamentos del análisis, que en aquellos tiempos estaban apoyados en una intuición geométrica que entonces quedó eliminada, sobre todo cuando más tarde sufrió un rudo golpe al demostrarse que había funciones continuas sin derivadas, es decir, curvas sin tangentes. Numerosos términos matemáticos llevan el nombre de este famoso matemático: el teorema integral de Cauchy, las ecuaciones de Cauchy-Riemann y las secuencias de Cauchy. Augustin Louis Cauchy falleció el 23 de mayo 1857 en Sceaux, población cercana a París.

Ilustración 7 ⎡ 1 3 −2 ⎤ ⎡1 0 −17 ⎤ ⎢ 3 10 −1⎥ ⎢0 1 5 ⎥ . A = , tal que F ( − 3)· F (2) · F ( − 3) A = T = Sea 21 13 12 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −2 −6 5 ⎥⎦ (3×3) ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦

Evaluemos el det (A), de acuerdo a este último procedimiento. Solución det ( F21 (−3)· F13 (2) · F12 (−3) · A) = det (T ). det ( F21 (−3)) · det ( F13 (2)) · det ( F12 (−3)) · det ( A) = det (T ). 1 × 1 × 1 · det ( A) = 1.

Luego det (A) = 1. Ilustración 8 ⎡ 2 −1 ⎢0 1 Sea B = ⎢ ⎢ 1 −5 ⎢ ⎣0 3

3 5⎤ 7 −2 ⎥⎥ 1 1⎥ ⎥ 4 −2 ⎦ (4,4)

Calculemos el det (B) utilizando el algoritmo mediante la reducción a una matriz triangular superior. Solución ⎡2 ⎢0 ⎢ ⎢1 ⎢ ⎣0

−1 1 −5 3

⎡2 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎣0

−1 3 1 7 0 31 0 − 17

3 7 1 4

5 ⎤ ⎡2 ⎥ 1 − 2 ⎥ − 2 E1 + E3 ⎢⎢ 0 ⎯⎯ ⎯ ⎯ → ⎢0 1 ⎥ ⎥ ⎢ −2 ⎦ ⎣0

−1 1 − 92 3

3 7 − 12 4

5 ⎤ − 2 ⎥⎥ 92 E 2 + E3 ⎯⎯ ⎯ ⎯ → − 3 2 ⎥ −3 E2 + E4 ⎥ −2 ⎦

5 ⎤ 5 ⎤ ⎡ 2 −1 3 ⎥ ⎢ 17 E3 + E4 −2 ⎥ 0 1 7 −2 ⎥⎥ 31 ⎯⎯⎯⎯ →⎢ . ⎢ 0 0 31 − 21 2 ⎥ − 21 2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 4 ⎦ ⎣ 0 0 0 − 109 62 ⎦

La ecuación matricial que relaciona estas matrices es: F34 (17 / 31) · F24 (−3) · F23 (9 / 2) · F13 (−1/ 2) · B = T , det ( B ) =

166

det (T ) ( − 109) = 2 × 1 × 31 × = −109. 1×1×1×1 62

Módulo 12: Procedimiento para evaluar el determinante utilizando matrices elementales Observaciones 1.

El algoritmo anterior puede simplificarse aún más reduciendo la matriz problema a una matriz triangular superior y aplicando únicamente los resultados del teorema 3, lo que implica que en lugar de dividir por algún coeficiente para obtener un «1» principal, sólo se factorizará por el valor requerido sobre la fila respectiva, manteniendo siempre la igualdad entre el determinante de la matriz problema inicial y la matriz triangular superior equivalente.

2.

Se aprovecha de esta forma el valor de los determinantes de las matrices elementales, en particular el hecho de que la aplicación de una operación elemental tipo 3 no afecta el valor del determinante en la matriz a la cual se le aplica.

3.

Podemos resumir el esquema operativo del algoritmo abreviado así: Sea A(nxn) la matriz problema.

A = f1 · E1 = f1 · f2 · E2 = f1 · f 2 · f3 E3 = ·...· = f1 · f2 ⋅ ... ⋅ fk T . En la expresión anterior, f1 designa el factor afectante, que corresponde en cada caso a un número real: 1, −1 o λ , según la propiedad aplicada. Ei designa la matriz equivalente a A que se obtiene al aplicar en cada paso una operación elemental. T designa la matriz triangular superior equivalente a la matriz inicial A. Ilustración 9

1.

⎡0 ⎢0 ⎢ Dada la matriz A = ⎢ 1 ⎢ ⎢0 ⎢⎣ 8

0 6 0 3 0

5 0 0 0 0

0 7 0 4 0

0⎤ 0 ⎥⎥ 2⎥ , ⎥ 0⎥ 9 ⎥⎦ (5,5)

calculemos el det (A) aplicando el algoritmo abreviado. Solución

0 0 5 0 0

1 0 0 0

2

0 6 0 7 0 0 6 0 7 A = 1 0 0 0 2 = −1 × 1 0 0 5 0

0 0

0 3 0 4 0

0 3 0 4

0

8 0 0 0 9

0 0 0 0 −7

Operación tipo 1 entre filas 1 y 3 Operación tipo 3 entre filas 1 y 5 Geometría vectorial y analítica

167

Capítulo 3: La función determinante

1 0 0 0 1 0 = −1 × 1 × 6 · 0 0 5

0

2

7

0 0

0

0 3 0

4

0

0 0 0

0

−7

1 0 0 0 = −1 × 1 × 6 × 1 · 0 0 0 = −6 × 5 ×

2.

6

1 0 0 0

0 5 0 0

0 7

2 0 0 0 −7

6

0 1

Propiedad 2 en fila 2

2

0

Operación tipo 3 entre filas 2 y 4

1 × (−7) = 105. 2

⎡1 ⎢18 Dada la matriz B = ⎢ ⎢4 ⎢ ⎣ −3

2 −3 4 ⎤ 0 0 −18⎥⎥ , 0 −4 3 ⎥ ⎥ 2 1 2 ⎦

calculemos el det (B) aplicando el algoritmo abreviado. Solución

B =

1

2

−3

4

18

0

0

−18

4 0 −4 −3 2 1

1 1 = 18 × ( − 1) 4 −3

3 2

= 18 ·

= − 18 ×

168

2

−3

4

1

0

0

−1

4 0 −4 −3 2 1

3 2

Propiedad 2 en fila 2

0 0 −1 2 −3 4 Operación tipo 2 entre filas 1 y 2 0 −4 3 2 1 2

1 0 0 −1 0 2 −3 5 = − 18 × 0 0 −4 7 0 2 1 −1

1 0 0 0

1

0 0 −1 2 −3 5 0 −4 7 0 4 −6

Operaciones tipo 3 entre la fila1 y las filas 2, 3 y 4, respectivamente.

Operación tipo 3 entre las filas 2 y 4

Módulo 12: Procedimiento para evaluar el determinante utilizando matrices elementales 1 0 = − 18 ×

0

−1

0 2 −3

5

0 0 −4 0 0 0

7 1

Operación tipo 3 entre las filas 3 y 4

= −18 × 2 × (−4) = 144.

Geometría vectorial y analítica

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170

3

Capítulo 3

La función determinante

Contenido breve Módulo 11 La función determinante: dominio y codominio. Módulo 12 Procedimiento para evaluar el determinante utilizando matrices elementales

La función determinante le asigna a cada matriz cuadrada de componentes reales un número real único. Los procedimientos o algoritmos utilizados para determinar el valor asignado y las aplicaciones de esta función, así como su carácter histórico, se constituyen en un campo de estudio importante en la matemática.

Presentación Presentamos la noción de determinante como una función definida del conjunto en . Esta forma nos permite lograr una presentación coherente dentro de las estructuras algebraicas que en todo momento hemos buscado precisar, a fin de que el lector tenga un dominio pleno de los objetos matemáticos que se operan. Además nos brinda una forma dinámica y ágil de comprender sus propiedades y facilita el cálculo de esta función, que por otros medios puede ser, en la práctica, imposible, dado el alto número de operaciones que ésta involucra. n× n

Esta orientación nos muestra además en una forma precisa y lógica cómo los dos problemas centrales estudiados en el capítulo anterior vuelven a ser revisados a la luz de la función determinante, aportando nuevos elementos a su solución. Nos referimos específicamente a la determinación del conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales, para el cual, a través de la función determinante, se obtiene un método restringido en su aplicación, pero de todas formas importante en el campo matemático, conocido con el nombre de la regla de Cramer. En el mismo sentido, la función determinante aporta un nuevo criterio de invertibilidad para una matriz A( n× n ) , cual es que su determinante sea distinto de cero y la única fórmula matemática para el cálculo de la inversa multiplicativa de

Módulo 13 La función determinante y sus relaciones con la inversa multiplicativa de A( n , n ) Ejercicios Módulos 11 al 13

Capítulo 3: La función determinante A( n× n ) , cuando ésta existe. Este aporte es en sí mismo de gran importancia en la matemática, cuando se trata de la construcción de teoremas o propiedades relacionadas con la inversa de una matriz, puesto que las demás herramientas estudiadas nos dotan de procedimientos algorítmicos eficientes para su cálculo específico, mas no para su construcción teórica.

Estas razones nos conducen a destacar más la naturaleza, las propiedades y las aplicaciones de esta función que algunas demostraciones muy complicadas para el nivel de este texto, no significando esto que renunciaremos al rigor y el equilibrio que lo caracteriza.

146

13 La función determinante y sus relaciones con la inversa multiplicativa de A(n,n ) Introducción Precisaremos a continuación las relaciones de la función determinante con las respuestas al segundo problema general, objetivo de estudio del álgebra lineal: la invertibilidad bajo la operación producto de una matriz cuadrada. En este caso se trata de aportar nuevos elementos a la solución de este problema, cuyo estudio adelantamos ya en el capítulo 2. Lo propio haremos con respecto al primer problema: la determinación del conjunto solución de un S.E.L.(n, n), aportando también un nuevo criterio.

Objetivos del módulo 1. Mostrar la relación entre la función determinante y la inversa multiplicativa. 2. Generalizar la función determinante al producto matricial. 3. Construir y fundamentar la única fórmula matemática para calcular A–1. 4. Establecer la relación entre la función determinante y la determinación del conjunto solución de un S.E.L.(n, n).

Gabriel Cramer El matemático suizo Gabriel Cramer nació en Ginebra en 1704 y murió en Bagnols en 1752. En la Universidad de Ginebra fue profesor de matemáticas durante el periodo 1724-1727, y de filosofía en 1750. En 1731 presentó en la Academia de Ciencias de París una memoria sobre las causas de la inclinación de las órbitas de los planetas. Editó las obras de los matemáticos Johann Bernoulli (1742) y Jacques Bernoulli (1744), y el Comercium epistolarum de Gottfried Wilhelm Leibniz. Su obra más conocida es Introducción al análisis de las curvas algebraicas (1750).

Preguntas básicas 1. ¿Cómo se puede saber si una matriz es invertible, por medio de la función determinante? 2. ¿Qué es una matriz de cofactores? ¿Qué es una matriz adjunta? 3. ¿Es siempre A adj (A) una matriz escalar? 4. ¿Hay una fórmula para calcular la inversa multiplicativa de una matriz? 5. ¿Por qué no siempre se utiliza la fórmula para calcular la inversa? 6. ¿Qué es más práctico en matrices de orden superior: el algoritmo de reducción de GaussJordan o la fórmula? ¿Cuál es la importancia de ésta? 7. ¿En qué consiste la regla de Cramer? 8. ¿La regla de Cramer se puede aplicar para resolver cualquier S.E.L.(n, n)?

Contenidos del módulo 13.1 La función determinante y sus relaciones con la inversa multiplicativa de una matriz cuadrada 13.1.1 Matriz de cofactores de A(n, n) 13.1.2 Matriz adjunta de A(n, n) 13.2 La función determinante y sus relaciones con la determinación del conjunto solución de un S.E.L.(n, n) Vea el módulo 13 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

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Capítulo 3: La función determinante Lewis Carroll Lewis Carroll es el seudónimo de Charles Lutwidge Dodgson, escritor, matemático y lógico inglés conocido principalmente por su inmortal creación Alicia en el país de las maravillas. Carroll nació en Daresbury, Inglaterra, en 1832, primer varón y tercer hijo de una familia de once hermanos, todos ellos tartamudos. Su padre era un clérigo acomodado que ascendió a archidiácono. De niño demostró gran precocidad, que incluía una prematura preocupación por el significado de los logaritmos, una gran afición por las marionetas y los espectáculos mágicos, y una enorme habilidad para inventar jeroglíficos matemáticos. Después de una temprana educación familiar, durante la que su padre le inculcó el interés por las matemáticas y la teología, Carroll ingresó en un colegio privado en Richmond. Fue un buen estudiante, excepcional en matemáticas y aceptable en disciplinas clásicas. Pero debido a que sus aficiones no eran las mismas de sus compañeros, no fue feliz en Rugby, donde también estudió. Más tarde escribiría: «No sé si ninguna consideración humana podría inducirme a pasar de nuevo por estos tres años». Se refugió en su trabajo literario y empezó a escribir para distintas revistas. Una de ellas contiene curiosos artículos sobre rompecabezas matemáticos de diversos tipos, que incluyen uno de sus ensayos más controvertidos llamado «Un problema hemisférico» o «¿Dónde cambia el día de nombre?». Este era un problema real. El día cambia su nombre en la línea internacional de cambio de fecha, pero esta demarcación no fue inventada hasta 25 años más tarde después de que el problema empezara a preocuparlo. Siempre estuvo obsesionado por el tiempo, y algunos de los maravillosos y desconcertantes efectos de sus últimas obras fueron conseguidos por el modo como lo manejaba. En enero de 1851 Carroll ingresó en el Christ Church College de Oxford. Allí estuvo 47 años, hasta su muerte. Pasó todos sus exámenes con distinciones, entró a formar parte de su personal docente y en 1861 fue ordenado diácono de la Iglesia de Inglaterra. Sin embargo, no llegó nunca a ordenarse sacerdote y su misma ordenación de diácono fue precedida por largos años de autoexamen y de recelos. Su tartamudez y sus dudas doctrinales no fueron los únicos obstáculos que le impidieron entrar al sacerdocio. Su profesión de matemático le gustaba más, aun cuando no destacase extraordinariamente como tal, y, además, se resistía a someterse a ciertas reglas impuestas por la costumbre a los que se ordenaban sacerdotes. En sus lecciones a los niños utilizaba un sistema de diapositivas de su invención. Reunió una biblioteca de 5000 volúmenes, compró un esqueleto para estudiar anatomía e instaló termómetros y estufas de gas en sus habitaciones porque sentía horror a las corrientes de aire. Usaba cinco tamaños de papel para escribir, mantenía una prodigiosa correspondencia que tenía catalogada y llegó a ser uno de los mejores fotógrafos de su tiempo. Sus dos libros principales, Alicia en el país de las maravillas y La caza del Snak, son alegorías en las que están fundidos dos temas: su inexpresado amor por Alicia Liddell y la atracción que sentía por los misterios matemáticos relacionados con el tiempo. Alicia creció, se casó, su amistad

172

13.1 La función determinante y sus relaciones con la inversa multiplicativa de una matriz cuadrada Vamos a estudiar nuevamente el problema de la invertibilidad de una matriz cuadrada, esta vez desde la función determinante, y analizaremos un nuevo criterio y la única fórmula o ecuación matemática para su determinación, surgidas precisamente de esta función. Teorema 4: Cuarto criterio de invertibilidad para una matriz A(n xn) Sea A( n× n ) . A( n× n ) es invertible si y sólo si det ( A) ≠ 0.

En consecuencia, A( n× n ) no es invertible si y sólo si det ( A) = 0. Demostración Demostremos inicialmente la implicación de izquierda a derecha « ⇒ ». Supongamos que A( n× n ) es invertible (hipótesis). Podemos afirmar que A es equivalente a I ( n×n ) , aplicando el primer criterio de invertibilidad, lo que significa que Fk ·....· F2 · F1 · A = I ( n× n ) , y aplicando la función determinante tenemos que: det ( Fk ·...· F2 · F1 · A) = det ( I ( n× n ) ),

que se expresa también como: det ( Fk ) ·...· det ( F2 ) · det ( F1 ) · det ( A) = det ( I ( n× n ) ) = 1,

esto es, det ( Fk ) ·...· det ( F2 ) · det ( F1 ) · det ( A) = 1,

de lo cual podemos concluir que det ( A) ≠ 0 (¿por qué?). « ⇐ ». Se propone al lector la demostración de la implicación recíproca (sugerencia: razone por reducción al absurdo). Teorema 5: Determinante de un producto matricial 1.

Sean A, B ∈

2.

Generalizando el resultado anterior tenemos:

( n× n )

Si A1 , A2 ,..., An ∈

; entonces, det ( A · B ) = det ( A) · det ( B ).

( n× n )

, entonces det ( A1 · A2 ⋅ ... ⋅ An ) = det ( A1 ) ⋅ ... ⋅ det ( An ).

Módulo 13: La función determinante y sus relaciones con la inversa multiplicativa de A(n, n) Demostración de 1 con ella se acabó y también su inspiración. No obstante, varias obras de matemáticas, literarias y de imaginación, salieron años después de su pluma.

Analicemos dos casos posibles para el producto A · B. a.

Si A · B es invertible. En este caso A y B son invertibles y en consecuencia A se puede expresar como un producto de matrices elementales, por el segundo criterio de invertibilidad. Esto significa que Fk ·...· F1 = A y multiplicando a la derecha por B tenemos

(1)

( Fk ·...· F1 ) · B = A · B . Aplicamos ahora la función determinante:

(2)

det ( Fk ·...· F1 · B ) = det ( A · B ) y esto nos conduce a:

(3)

det ( Fk ) ·...· det ( F1 ) · det ( B ) = det ( A · B) (por el corolario 2 del teorema 3).

(4)

A medida que fue entrando en años, se hizo más susceptible, más intolerante y difícil. Fue evadiéndose cada vez más del mundo real a otro imaginario de juegos, rompecabezas y paradojas lógicas. Imaginaba sin cesar sistemas para mejorar cosas. Como padecía de insomnio crónico y su salud era excelente, tenía mucho tiempo para llevar hasta sus últimas y absurdas consecuencias cualquier inofensiva fantasía. Tenía el hábito de trabajar durante toda la noche en su escritorio; también trabajaba en la cama sin luz, con ayuda de un instrumento de su propia invención llamado nictógrafo, que mantenía la escritura recta y la pluma sobre el papel. El 6 de enero de 1898 contrajo una infección de vías respiratorias y murió ocho días después. En una carta dirigida a un amigo, Carroll escribió: «Las palabras tienen más sentido del que nosotros les damos al usarlas; por consiguiente, un libro entero debe significar mucho más de lo que su autor cree». Ninguna opinión tan profunda como ésta, para enjuiciar sus propias y extrañas obras maestras.

Ahora, aplicando la función determinante en la ecuación (1) y por la misma razón exhibida en el paso anterior, afirmamos que det ( Fk ) ·...· det ( F1 ) = det ( A) (5).

Sustituyendo este resultado en la ecuación (4), concluimos que: det ( A) · det ( B) = det ( A · B).

b.

Si A · B no es invertible. En este caso A no es invertible o B no es invertible. Asumiendo que A no es invertible, tenemos que: det ( A · B) = 0 y det ( A) = 0 , y en consecuencia, det ( A · B) = det ( A) · det ( B) (¿por qué?) (lo mismo ocurre si asumimos que B no es invertible).

Conclusión: det ( A · B) = det ( A) · det ( B). La demostración de la proposición del numeral 2 se efectúa por el método de inducción matemática y se deja al lector. Corolario Si A( n× n ) es invertible, entonces det ( A−1 ) =

1 . det ( A)

Geometría vectorial y analítica

173

Capítulo 3: La función determinante Demostración Supongamos que A( n× n ) es invertible (hipótesis). Luego existe A−1 tal que A · A−1 = I ( n×n ) (¿por qué?), y aplicando la función determinante en esta ecuación tenemos que:

det ( A · A−1 ) = det ( I ( nxn ) ) = 1; del teorema inmediatamente anterior podemos afirmar que: det ( A) · det ( A−1 ) = 1

y concluimos que: det ( A−1 ) =

1 . det ( A)

Veamos finalmente cómo la función determinante interviene en la construcción de la inversa multiplicativa de una matriz. Con este objetivo introduciremos los siguientes elementos.

13.1.1 Matriz de cofactores de A(n, n) Sea A( n, n) . Definimos la «matriz de cofactores de A» y la denotamos por A así: A = ⎡⎣Cij ⎤⎦

( n× n )

, donde Cij = (−1)i + j det ( Aij ).

Ilustración 10 ⎡ 2 ⎢ Sea A = ⎢ 3 ⎢⎣ −1

−1 5 7

2⎤ 0 ⎥⎥ 2 ⎥⎦ (3, 3)

Calculemos A . Solución A = ⎡⎣Cij ⎤⎦

(3, 3)

, donde Cij = (−1)i + j det ( Aij ), y por tanto tenemos:

C11 = (−1) 2 det ( A11 ) =

174

1.

5

0

7

2

= 10,

Módulo 13: La función determinante y sus relaciones con la inversa multiplicativa de A(n, n) C12 = (−1)3 det ( A12 ) = − 1 .

C13 = ( −1) 4 det ( A13 ) =

1.

3

0

−1 2

= − 6,

3 5 = 26. −1 7

El lector puede verificar que los cofactores restantes son los que se indican a continuación: ⎡ 10 −6 26 ⎤ A = ⎢⎢ 16 6 −13⎥⎥ ⎢⎣ −10 6 13 ⎥⎦ (3,3)

13.1.2 Matriz adjunta de A(n, n) Sea A( n× n ) Definimos como «matriz adjunta de A», y la denotamos adj (A), a la transpuesta de

Colin Maclaurin El matemático escocés Colin Maclaurin nació en Kilmodan en 1698 y murió en 1746 en Edimburgo. Empezó estudios universitarios a la edad de 11 años, fue profesor en la Universidad de Aberdeen a los 19 y posteriormente en la de Edimburgo. Expuso un original método de generación de las cónicas en su obra Geometría orgánica, publicada en 1720, y sentó las bases para una fundamentación lógica del cálculo infinitesimal en el Tratado de las fluxiones, aparecida dos años más tarde. En su Tratado de álgebra, obra póstuma aparecida dos años después de su muerte, aplicó el método de los determinantes a la resolución de ecuaciones con cuatro incógnitas. La curva conocida como «trisectriz de Maclaurin» fue estudiada por él en 1742, tratando de solucionar el problema de la trisección del ángulo. De ahí su nombre. Y hay que decir que efectivamente consiguió trisecar un ángulo, pero no como los antiguos griegos querían, pues la curva que inventó no se puede trazar sólo con regla y compás; y aunque hoy en día con las nuevas tecnologías es realmente fácil hacerla con mucha precisión, es justo reconocer el mérito que Maclaurin se merece por el dibujo que de ella hizo en sus tiempos.

la matriz A . Esto es, adj ( A) = ( A)T . Ilustración 11 Determinemos la adjunta de la matriz A en la ilustración 10. ⎡10 16 −10 ⎤ adj ( A) = ( A) = ⎢⎢ −6 6 6 ⎥⎥ ⎢⎣ 26 −13 13 ⎥⎦ (3, 3) T

Teorema 6 Sea A( n×n ) ; entonces, A · adj ( A) = det ( A) · I( n×n) . Este teorema establece que el producto de una matriz por su adjunta es igual a una matriz escalar, cuyo valor constante corresponde al determinante de la matriz A. Corolario: Fórmula única para la determinación de la inversa de una matriz

⎛ 1 ⎞ Si A( n×n ) es invertible, entonces A−1 = ⎜⎜ ⎟⎟ · adj ( A). ⎝ A⎠ Este resultado establece que la inversa multiplicativa de una matriz cuadrada es un múltiplo escalar de la matriz adjunta de dicha matriz, donde el escalar corresponde al inverso multiplicativo del determinante de la misma. Podemos observar en la estructura de la fórmula, el papel absoluto que en ella desempeña la función determinante.

Geometría vectorial y analítica

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Capítulo 3: La función determinante Carl Gustav Jacobi Carl Gustav Jacobi, matemático alemán, nació en Postdam el 10 de diciembre de 1804. El primer maestro que tuvo fue uno de sus tíos maternos, quien le enseñó lenguas clásicas y matemáticas, preparándolo para que ingresara al Instituto de Postdam. Como Carl Friedrich Gauss, Jacobi pudo haber logrado una gran reputación en filología, si no le hubieran atraído más fuertemente las matemáticas. Habiendo observado que Jacobi tenía genio en este campo, el maestro Heinrich Bauer dejó que trabajara como quisiera, después de una prolongada discusión en la que Jacobi se reveló, negándose a aprender matemáticas de memoria y siguiendo reglas de aprendizaje. El desarrollo matemático de Jacobi ofrece en ciertos respectos un curioso paralelo con el de su gran rival, Niels Henrik Abel. Jacobi también leía a los maestros; las obras de Leonhard Euler y Joseph Louis Lagrange le enseñaron álgebra y cálculo y le hicieron conocer la teoría de números. Esta precoz autoinstrucción iba a dar como resultado la primera obra sobresaliente de Jacobi, sobre funciones elípticas. Por su aguda capacidad para tratar problemas de álgebra, Euler y Jacobi no han tenido rival, como no sea el genio matemático hindú Srinivasa Ramanujan, en el siglo XX. Abel también trataba las fórmulas como un maestro, cuando así deseaba, pero su genio fue más filosófico, menos formal que el de Jacobi. Los estudios de Jacobi en Berlín duraron desde abril de 1821 hasta mayo de 1825. Durante los primeros dos años dedicó su tiempo igualmente a la filosofía, a la filología y a las matemáticas. En el seminario filológico atrajo la atención de Auguste Boeckh, un renombrado humanista que había publicado, entre otras obras, una excelente edición de Píndaro. Pero Boeckh, felizmente para las matemáticas, fue incapaz de atraer a su notable discípulo a los estudios clásicos para que constituyeran la disciplina de toda su vida. En matemáticas poco era lo que se ofrecía para un estudiante ambicioso, y Jacobi continuó su estudio privado de maestros, pues las conferencias universitarias de temas matemáticos eran consideradas por él como pura charlatanería. Después de obtener su título Jacobi pronunció conferencias en la Universidad de Berlín sobre las aplicaciones del cálculo a las superficies curvas y a las curvas alabeadas. Más tarde, cuando comenzó a desarrollar sus propias ideas con una velocidad sorprendente, llegó a ser el maestro matemático más inspirado de su época. Su talento como maestro le aseguró una posición en la Universidad de Königsberg, en 1826, después de haber permanecido durante seis meses en un cargo semejante en la de Berlín. Un año más tarde, algunos resultados que publicó sobre la teoría de números provocaron la admiración de Gauss. Como éste no era un hombre que se emocionara fácilmente, el Ministro de Educación pronto tuvo conocimiento de la obra de Jacobi, y lo puso a la cabeza de sus colegas para el cargo de profesor asistente, cuando tenía 23 años. Como es natural, los pretendientes a la plaza protestaron contra el ascenso, pero dos años más tarde, en 1829, cuando Jacobi publicó su primera obra maestra, Nuevos fundamentos de la teoría de las funciones elípticas, fueron los primeros en decir que se había hecho justicia y felicitaron a su brillante y joven colega.

176

Demostración Supongamos que A( n× n ) es invertible (hipótesis). Luego existe A−1 tal que A · A−1 = A−1 · A = I ( n×n ) . A su vez, A · adj ( A) = det ( A) · I(n×n) por lo afirmado en el teorema 6. Multiplicando a la izquierda en la ecuación anterior por A −1 , tenemos:

A−1 · ( A adj ( A)) = A−1 · ( det ( A) . I ( n×n ) ), lo que nos conduce a que

adj ( A) = det ( A) · ( A−1 · I ( n×n ) ) (¿por qué?), ⎛ 1 ⎞ −1 y a su vez ⎜ ⎟ · adj ( A) = A puesto que det ( A) ≠ 0. det A ⎝ ⎠

Ilustración 12 Para la matriz A(3, 3) propuesta en la ilustración 10: 1.

Calculemos A · adj (A).

2.

Calculemos det (A).

3.

−1 Si A es invertible, determinemos A mediante la fórmula única.

Solución 1.

Tomando la matriz adj (A), determinada en la ilustración 11, tenemos:

⎡ 2 A · adj ( A) = ⎢⎢ 3 ⎣⎢ −1

−1

2 ⎤ ⎡10 16 −10⎤ ⎡78 0 ⎥⎥ . ⎢⎢ −6 6 6 ⎥⎥ = ⎢⎢ 0 2 ⎦⎥ ⎢⎣ 26 −13 13 ⎦⎥ ⎣⎢ 0

5 7

0 78 0

0⎤ 0 ⎥⎥ . 78 ⎦⎥

Esto es:

⎡1 A · adj ( A) = 78 · ⎢⎢0 ⎢⎣0

0 1 0

0⎤ 0 ⎥⎥ = 78 ⋅ I (3, 3) , 1 ⎥⎦

y por el teorema 6 se concluye que det (A) = 78 (¿por qué?). 2.

det (A) = 78.

3.

Lo anterior nos permite afirmar que A es invertible, y por la fórmula demostrada en el último corolario tenemos:

Módulo 13: La función determinante y sus relaciones con la inversa multiplicativa de A(n, n) A −1 =

1 · adj( A) A

⎡10 16 −10 ⎤ 1 ⎢ = −6 6 6 ⎥⎥ . ⎢ 78 ⎢⎣ 26 −13 13 ⎥⎦ Observación Podemos verificar, en un caso tan sencillo como el propuesto, el alto número de operaciones y de procesos que requiere la determinación de la inversa por medio de la fórmula. En consecuencia, cuando el objetivo es básicamente el resultado numérico, indudablemente el camino a seguir es la aplicación del algoritmo de reducción de Gauss-Jordan.

En 1849 Jacobi era, exceptuando a Gauss, el matemático más famoso de Europa. Jacobi fue el primero en aplicar las funciones elípticas a la teoría de los números, campo que se iba a convertir en la diversión favorita para algunos de los grandes matemáticos que le sucedieron. Es un tema curioso, donde los arabescos de la ingeniosa álgebra revelan inesperadamente relaciones, hasta entonces insospechadas, entre todos los números comunes. Por este medio Jacobi demostró la famosa afirmación de Pierre de Fermat de que cualquier número entero es una suma de cuatro cuadrados de números enteros (siendo considerado el cero como un entero), y además su bello análisis le permitió ver las diversas maneras en que cualquier entero puede ser expresado como tal suma. Jacobi no murió tempranamente por exceso de trabajo, como sus amigos predecían, sino de viruela el 18 de febrero de 1851, en Berlín, cuando tenía apenas 47 años.

13.2 La función determinante y sus relaciones con la determinación del conjunto solución de un S.E. L.(n,n) Analicemos, por último, una aplicación de la función determinante dirigida a la deteminación del conjunto solución de un S.E.L.(n, n), conocido como la regla de Cramer. Teorema 7: La regla de Cramer Si en un S.E.L.(n, n), de ecuación matricial AX = B la matriz A(n,n) es invertible, entonces la solución única está dada por: xi =

det ( Bi ) ; i = 1,..., n, det ( A)

siendo Bi la matriz obtenida al sustituir en la matriz A(n,n) la columna de orden i, por la columna B de términos independientes. Ilustración 13 Resolvamos si es posible, utilizando la regla de Cramer, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x1 − 2 x2

= −4⎫ ⎪ 3x1 + 5x2 − x3 = 1 ⎬ S.E.L.(3, 3) 2 x1 + 7 x2 + 4 x3 = 0 ⎪⎭ Solución La primera condición para la aplicación del teorema se satisface puesto que tenemos un S.E.L.(3, 3) . Determinemos ahora si la matriz A(3, 3) es invertible y para ello evaluemos su determinante.

Geometría vectorial y analítica

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Capítulo 3: La función determinante ⎡ 1 −2 0 ⎤ A = ⎢⎢ 3 5 −1⎥⎥ ; det (A) = 1 ⋅ (20 + 7) + 2 ⋅ (12 + 2) = 55 ⎢⎣ 2 7 4 ⎥⎦ (3,3)

(¿por qué?). Al cumplirse la segunda condición, podemos determinar la solución así:

x1 =

x2 =

−4 −2 0 1 5 −1 0 7 4 A

1 −4

0

3

1

−1

2

0

4

A

=

−4 ⋅ (20 + 7) + 2 ⋅ (4) −100 −20 = = , 55 55 11

=

1 ⋅ (4) + 4 ⋅ (14) 60 12 , = = 55 55 11

=

2 ⋅ (18) − 7 ⋅ (13) −55 = = −1. 55 55

1 −2 −4 3 5 1 x3 =

2

7 A

0

Observaciones Como podemos concluir a partir de este último teorema, la regla de Cramer sólo es aplicable a sistemas de ecuaciones lineales con dos restricciones: 1.

El sistema debe tener igual número de ecuaciones que incógnitas.

2.

La matriz de coeficientes asociada al sistema debe ser invertible.

Las razones anteriores nos llevan, en consecuencia, a caracterizar la regla de Cramer como un método muy restringido en la determinación del conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales.

178

4

Capítulo 4 Vectores geométricos

Contenido breve Módulo 14 Vectores libres Módulo 15 Operaciones con vectores libres Ejercicios Módulo 15 Módulo 16 El espacio vectorial de los vectores libres En 1837, William Rowan Hamilton (1805-1865) publicó su Teoría de las funciones conjugadas o parejas algebraicas, con un ensayo preliminar y elemental sobre el álgebra como ciencia del tiempo puro, en la cual expuso una representación geométrica de los números complejos. Este trabajo desembocó en los cuaterniones, presentados por primera vez en 1853 en Lecciones sobre los cuaterniones. En su teoría, Hamilton escribe un cuaternión en la forma q = (a, b, c, d) e introduce los operadores i, j, k, de modo que: iq = (–b, a, –d, c) jq = (–c, d, a, –b) kq = (–d, –c, b, a). Para los operadores, Hamilton definió su célebre relación fundamental: i2 = j2 = k2 = i jk = –1. Los cuaterniones de Hamilton fueron los precursores de los vectores.

Presentación Al estudiar el espacio físico, es preciso considerar varios tipos de cantidades. Uno de estos tipos lo constituyen aquellas cantidades que tienen asociadas como medida una cantidad no dirigida y se denominan cantidades escalares o simplemente escalares. Toda cantidad escalar puede ser representada por un número real que indica su magnitud, de acuerdo con alguna escala o unidad de medida previamente escogida. Los escalares son números reales, por lo cual se pueden combinar según las leyes del álgebra de los números reales. Masa, densidad, área, volumen, tiempo, distancia, trabajo, carga eléctrica y temperatura son ejemplos de cantidades escalares. Un segundo tipo de cantidades físicas lo forman aquellas que tienen asociados dos elementos básicos: magnitud y dirección. Éstas son llamadas cantidades vectoriales o simplemente vectores. Fuerza, velocidad, aceleración y momento son ejemplos de cantidades vectoriales.

Ejercicios Módulo 16

Capítulo 4: Vectores geométricos En este capítulo se estudiará en detalle el concepto de vector libre, el cual será de gran utilidad para resolver problemas que involucren las llamadas cantidades vectoriales. Se mostrará el espacio de los vectores libres como un caso particular de un espacio vectorial, y a través de dicho espacio se estudiarán en particular los conceptos ya definidos en otros contextos como base, dimensión, combinación lineal, independencia lineal. Adicionalmente se ilustrará la importancia de los vectores libres en la solución de problemas de la geometría euclidiana.

188

14 Vectores libres

Introducción Se empieza introduciendo el paralelismo entre rectas como una relación de equivalencia. Cada clase (conjunto de rectas paralelas entre sí) definida por esta relación se denomina dirección. A la vez, en cada dirección se reconocen dos sentidos, opuestos entre sí. Los conceptos de dirección y sentido sirven de base para la definición de segmento orientado como una magnitud no escalar. Éste, a su vez, permite definir el concepto de vector libre.

Hermann Günther Grassmann

En este módulo se presenta un concepto de interés central: el de vector libre. Gran parte del resto del texto gira en torno a este objeto de la geometría.

Con motivo de un trabajo que realizó sobre las mareas, Grassmann presentó por primera vez su sistema de análisis espacial, fundado en los vectores. Un año después del descubrimiento de los cuaterniones de Hamilton publicó La teoría de la extensión lineal, una nueva rama de la Matemática, que contiene gran parte del análisis vectorial moderno.

Objetivos del módulo

Grassmann nació en Stettin (Alemania) en 1809 y murió en esa misma ciudad en 1877.

1. Construir el concepto de segmento orientado, mediante la asignación de dirección y sentido a los segmentos geométricos. 2. Definir una relación de equivalencia en el conjunto de los segmentos orientados y con base en ella presentar el concepto de vector libre.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es la dirección? 2. ¿Qué objetos geométricos tienen dirección? 3. ¿Qué es el sentido? 4. ¿Cuántos sentidos hay en una dirección? 5. ¿Qué elementos constituyen un segmento orientado? 6. ¿Qué es un vector libre? 7. ¿Qué diferencia hay entre vector libre y segmento orientado?

Contenidos del módulo 14.1 Segmentos orientados

Vea el módulo 14 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

189

Capítulo 4: Vectores geométricos

14.1 Segmentos orientados Dirección Sea l una recta. Se llama dirección de l al conjunto ρ [l ] de todas las rectas paraleVea la animación Dirección en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

las a l. Nótese que toda recta l tiene una (única) dirección: la de todas la rectas paralelas a ella. En la figura 14.1, l1 , l2 ,... tienen la misma dirección. Cada recta de esta figura 14.1 (l1 , l2 ,...) es un representante de la dirección.

Figura 14.1

Sea l una recta en el espacio. Existen en l dos sentidos, contrarios entre sí. Estos dos sentidos se hacen extensivos a la dirección de l. Es decir, en toda dirección hay dos sentidos, contrarios entre sí. Dichos sentidos son comunes a todas las rectas que tienen la misma dirección. Consideremos un segmento cualquiera AB no nulo. A este segmento le corresponden: ←⎯→

„

La dirección de la recta AB en la cual está contenido.

„

Los dos sentidos de la recta AB . *

←⎯→

*Los sentidos contrarios u opuestos de una recta están asociados a la existencia de dos semirrectas opuestas generadas en toda recta por un punto cualquiera perteneciente a ésta, como lo establece el axioma de separación de la recta.

En síntesis, a cada segmento AB le corresponde una dirección, y en ésta, dos sentidos contrarios entre sí: s (A, B ) y s (B, A) . Segmento orientado „

Sean A y B puntos distintos en una recta l. Llamamos segmento orientado ⎯→

←⎯→

AB, denotado AB , al segmento AB acompañado de su dirección, la de AB ; de su sentido s (A, B ) ; y de su longitud AB . Aquí s (A, B ) indica el sentido ←⎯→

en el que A precede a B en la recta AB .

190

Módulo 14: Vectores libres ⎯→

Llamamos segmento orientado nulo, denotado AA, al segmento nulo AA, con todas las direcciones, y en cada una, con los dos sentidos y con longitud cero. A es cualquier punto del espacio.

„

A los segmentos orientados se les llama también segmentos dirigidos. En el seg⎯→

mento dirigido AB , los puntos A y B se denominan, respectivamente, punto (extremo) inicial y punto (extremo) final. ⎯→

Según la definición, un segmento dirigido AB consta de: „

Sus puntos: sus extremos y los puntos interiores.

„

Dirección: la misma de la recta AB .

„

Sentido: s (A, B).

„

Longitud: AB = BA .

Nacido en Dublín en 1805, en donde pasó la mayor parte de su vida, William Rowan Hamilton fue sin duda el más grande matemático irlandés. El padre (un abogado) y la madre de Hamilton murieron cuando era apenas un niño. Su tío, un lingüista, se hizo cargo de su educación. Para su quinto cumpleaños, Hamilton podía leer inglés, hebreo, latín y griego. Cuando cumplió 13 años dominaba, además de los idiomas del continente europeo, sánscrito, chino, persa, árabe, malasio, hindú, bengalí y varios otros. Hamilton disfrutaba escribir poesía, tanto cuando era niño como de adulto y entre sus amigos se contaban los grandes poetas ingleses Samuel Taylor Coleridge y William Wordsworth. Sin embargo, la poesía de Hamilton se consideraba tan mala que resultó una fortuna que desarrollara otros intereses, especialmente en matemáticas.

←⎯→

⎯→

Sir William Rowan Hamilton

⎯→

En consecuencia, los segmentos dirigidos AB y BA son distintos, a pesar de coincidir en sus puntos, su dirección y su longitud. Los diferencia el sentido. Si A y B son dos puntos distintos en una recta l, y A´y B´ son puntos distintos en ⎯→

⎯⎯→

una recta l´, de modo que A ≠ A´, los segmentos dirigidos AB y A´B´ son distintos, a pesar de que tengan la misma dirección, el mismo sentido y la misma longitud (figura 14.2). *

Aunque disfrutó las matemáticas desde niño, el interés de Hamilton creció de manera importante después de un encuentro casual a los 15 años con Zerah Colburn, el americano que calculó las descargas eléctricas de los rayos. Poco tiempo después, Hamilton comenzó a leer los libros importantes de matemáticas de su tiempo. En 1823, a los 18 años, descubrió un error en la Mécanique céleste de Simon Laplace y escribió un artículo impresionante sobre el tema. Un año después entró al Trinity College en Dublín. La carrera universitaria de Hamilton fue sobresaliente. A los 21 años, siendo todavía estudiante de licenciatura, había impresionado tanto a sus maestros que fue nombrado Astrónomo Real de Irlanda y profesor de astronomía en la universidad. Poco después escribió lo que ahora se considera un trabajo clásico en óptica. Usando sólo la teoría matemática, predijo la refracción cónica en cierto tipo de cristales. Más tarde los físicos confirmaron esta teoría. En parte debido a ese trabajo, Hamilton fue armado caballero en 1835.

Figura 14.2

Si bien dos segmentos orientados como los de la figura 14.2 no son iguales, no cabe duda de que tienen gran similitud. Esto motiva la introducción de un nuevo concepto.

El primer artículo puramente matemático de Hamilton apareció en 1833. En él describió una manera algebraica de manipular pares de números reales. Este trabajo da las reglas que se usan hoy en día para sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos. No obstante, en un principio, Hamilton no pudo desarrollar una multiplicación para ternas o n-eadas ordenadas de números para n > 2. Durante diez años estudió este problema y se dice que lo resolvió en un rato de inspiración mientras caminaba por el puente de Brougham en Dublín en 1843. La clave era descartar la

Vector libre asociado ⎯→

Sea AB un segmento dirigido. Se llama vector libre asociado al segmento dirigido ⎯→

⎯→

AB al conjunto formado por AB y todos los segmentos dirigidos que coinciden con él en dirección, sentido y longitud. *Dos segmentos orientados, contenidos en rectas paralelas distintas, tienen el mismo sentido si al determinar la recta que pasa por sus puntos iniciales, ambos segmentos quedan contenidos en un mismo semiplano respecto a esta última recta.

Escuche el audio Hamilton y los cuaterniones en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Geometría vectorial y analítica

191

Capítulo 4: Vectores geométricos ⎯→

⎯→

⎯→

En la figura 14.3 los segmentos dirigidos AB , CD , EF , etc., pertenecen al mismo familiar propiedad conmutativa de la multiplicación. Los nuevos objetos que creó se llamaron cuaterniones, que fueron los precursores de lo que ahora se conoce como vectores.

⎯→

⎯→

vector libre. AB , CD ,... son representantes del mismo vector libre. ⎯→

En la actualidad, una placa incrustada en el puente cuenta la historia.

Se ha definido el vector libre asociado a un segmento dirigido AB como el conjun⎯→

to de todos los segmentos dirigidos equivalentes a AB ; esto es, el conjunto de Aquí, mientras caminaba, el 16 de octubre de 1843, Sir William Rowan Hamilton descubrió, en un instante de genialidad, la fórmula fundamental para la multiplicación de cuaterniones

i = j = k = ijk = − 1 2

2

2

⎯→

todos los segmentos dirigidos que tienen con AB , si éste no es nulo, igual dirección, sentido y longitud. ⎯→

⎯→

Si AB es nulo, el vector libre asociado a AB se llama vector libre nulo.

y la grabó en una piedra de este puente.

Durante el resto de su vida, Hamilton pasó la mayor parte del tiempo desarrollando el álgebra de cuaterniones. Él pensaba que tendrían un significado revolucionario en la física matemática. Su trabajo monumental sobre este tema, Treatise on quarternions, fue publicado en 1853. Después trabajó en una extensión del tema, Elements of quaternions. Aunque Hamilton murió en 1865 antes de terminar esta obra, su hijo publicó el trabajo en 1866. Figura 14.3 Los estudiantes de matemáticas y física conocen a Hamilton dentro de muchos otros contextos. En física matemática, por ejemplo, se encuentra la función hamiltoniana que con frecuencia representa la energía total de un sistema, y las ecuaciones diferenciales de dinámica de Hamilton Jacobi. En la teoría de matrices, el teorema de Hamilton-Cayley establece que toda matriz satisface su propia ecuación característica. A pesar del gran trabajo desarrollado, los últimos años de Hamilton fueron un tormento. Su esposa estaba semiinválida y él fue atacado por el alcoholismo. Es gratificante, por lo tanto, señalar que durante estos últimos años la recién formada American National Academy of Sciences eligió a Sir William Rowan Hamilton como su primer miembro extranjero.

Notación Se usarán corrientemente letras latinas minúsculas con una flecha encima para nombrar vectores libres: → → →

a , b , x ,... →

Al vector libre nulo se le denota o. ⎯→

→

⎯→

Si a es un vector libre asociado a un segmento AB , se dice que AB es una →

aplicación del vector libre a en el punto A. Al punto A se le llama punto inicial de la aplicación, y a B, punto final. Claramente, un vector libre es susceptible de una infinidad de aplicaciones: tiene tantas como puntos hay en el espacio. Por esta razón se interpreta que el vector libre puede desplazarse paralelamente a sí mismo, en el espacio, y ser aplicado en cual⎯→

quier punto particular. El resultado de cualquier aplicación, AB , de un vector libre →

a , es un representante del vector libre.

En particular, para cualquier punto A el segmento nulo AA es una aplicación (es un →

⎯→

representante) del vector libre nulo o. Estrictamente hablando, si AB es una apli-

192

⎯→

→

⎯→

→

cación del vector libre a , debe escribirse AB ∈ a; esto es, AB pertenece al

Módulo 14: Vectores libres

→

vector libre a. No obstante, para efectos prácticos, con el ánimo de no congestio→

nar la escritura, se confundirá el vector libre a con cualquiera de sus aplicaciones. ⎯→

⎯→

→

Así, si AB y CD son aplicaciones del vector libre a , se dirá, por comodidad, →

⎯→

→

⎯→

⎯→

⎯→

a = AB y a = CD, y, por tanto, que AB = CD, aunque estas igualdades no sean

estrictas. Si bien el vector libre, como se ha definido, carece de puntos concretos (a diferencia de los segmentos orientados), se le asignará la dirección, el sentido y la longitud de →

⎯→

→

cualquiera de sus aplicaciones. Así, si a = AB , entonces a tiene la dirección de la ←⎯→

→

⎯→

→

→

recta AB , el sentido s (A, B ) y la longitud a = AB . Además, a = o si y sólo si →

a = 0.

Notación Al conjunto de todos los vectores libres en el espacio se le denota E3. Convención En adelante, cuando se denote un polígono por sus vértices (letras latinas mayúsculas) se entenderá que las letras consecutivas representan vértices consecutivos (contiguos). Así, el pentágono ABCDE es cualquiera de los dos de la figura 14.4, pero ninguno de los dos de la figura 14.5

Figura 14.4

Figura 14.5

Vea la animación Vector libre en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Geometría vectorial y analítica

193

Capítulo 4: Vectores geométricos Antes de enunciar la primera proposición de este capítulo, recordemos un concepto geométrico de paralelogramo: «El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo si y sólo si tiene dos lados opuestos paralelos y congruentes». La siguiente proposición caracteriza los paralelogramos con base en los vectores libres. Teorema 1 ⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo si y sólo si AB = DC o BA = CD o ⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

AD = BC o DA = CB (cada par de vectores no colineales). Prueba (figura 14.6).

Figura 14.6

(⇒ )

Sea ABCD un paralelogramo. ⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

Por definición: AB = CD y AB & DC . ⎯→

⎯→

En suma, AB y DC coinciden en longitud y en dirección. ←⎯→

Sea AD la recta determinada por los puntos iniciales de los segmentos orientados ⎯→

⎯→

AB y DC . Los puntos finales de estos segmentos están en el mismo semiplano de ←⎯→

⎯→

⎯→

borde AD. Por tanto, AB y DC tienen el mismo sentido. En consecuencia, ⎯→

⎯→

AB y DC son equivalentes y tienen, así, el mismo vector libre asociado. Con la ⎯→

⎯→

convención hecha, puede escribirse: AB = DC .

La prueba del recíproco se deja al lector.

194

15 Operaciones con vectores libres Introducción Los vectores libres, cuyo estudio se inició en el módulo 14, son objetos diferentes a los escalares, aunque tienen asociados escalares (todo vector libre tiene longitud, la cual es un número real).

William Kingdom Clifford

Con los vectores libres se pueden definir operaciones que, bajo condiciones específicas, producen nuevos vectores libres. Estas operaciones son la adición y la multiplicación de escalares por vectores.

En su obra Elementos de dinámica, Clifford introdujo para los vectores las operaciones usuales de adición y multiplicación de vectores por escalares, y sus propiedades.

El concepto de ángulo, estudiado en la geometría euclidiana, se extiende a los vectores libres

Clifford nació en Devon (Inglaterra) en 1845 y murió en las Islas Madeira (Portugal) en 1879.

Objetivos del módulo 1. Definir en el conjunto de los vectores libres dos operaciones: una ley de composición interna llamada adición, y una ley de composición externa, denominada multiplicación de escalares por vectores libres. 2. Extender a los vectores libres el concepto geométrico de ángulo.

Preguntas básicas 1. ¿Cómo se adicionan vectores libres? 2. ¿Cómo se restan vectores libres? 3. ¿Cómo se multiplican escalares por vectores libres? 4. ¿Qué propiedades tienen la adición y la multiplicación de escalares por vectores libres? 5. ¿Qué es una combinación lineal de vectores libres? 6. ¿Qué se requiere para que un conjunto de vectores libres sea linealmente independiente? 7. ¿Cómo se determina el ángulo entre dos vectores libres?

Contenidos del módulo 15.1 Adición de vectores libres 15.2 Multiplicación de escalares por vectores libres 15.3 Ángulo entre vectores libres

Vea el módulo 15 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

195

Capítulo 4: Vectores geométricos

15.1 Adición de vectores libres →

→

Dos vectores libres a y b no nulos y con direcciones diferentes (no paralelos) determinan en un punto O cualquiera del espacio un paralelogramo, así: →

Vea la animación Adición de vectores libres en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

„

Se aplica el vector a en el punto O. Sea A el punto final de esta aplicación ⎯→

→

( OA = a ). ⎯→

→

→

„

En A se aplica el vector b . Sea B el punto final de esta aplicación ( AB = b ).

„

A continuación, en O se aplica el vector b. Sea C el punto final de la aplicación

→

⎯→

→

( OC = b ). ⎯→

⎯→

El cuadrilátero resultante, OABC, es un paralelogramo, ya que OC = AB (recuérdese el teorema 1) (figura 15.1).

Figura 15.1 ⎯→

Al vector libre asociado al segmento dirigido OB se le llama vector diagonal principal del paralelogramo OABC. A este paralelogramo se le denomina paralelogramo →

→

asociado a a y b en el punto O. El concepto de vector diagonal nos servirá de soporte para la definición de la adición de vectores libres. Adición de vectores libres 3 3 3 Sea + : E × E → E .

+ es una adición de vectores libres bajo las siguientes condiciones: →

→

→

→

(A1). Si a y b son vectores libres no nulos y no paralelos, entonces a + b es el →

→

vector diagonal principal del paralelogramo asociado a a y b en un punto arbitrario O. →

→

→

→

(A2). Si a y b son vectores no nulos, pero con igual dirección, entonces a + b

196

Módulo 15: Operaciones con vectores libres ⎯→

es el vector libre asociado al segmento dirigido OB , que se obtiene así: →

En un punto arbitrario O se aplica el vector libre a. Sea A el punto

„

⎯→

→

final de esta aplicación ( OA = a ). ⎯→

→

En A se aplica el vector b. Sea AB el resultado de la aplicación (figura 15.2).

„

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

(A3). Si a = o, entonces a + b = b . Si b = o, entonces a + b = a .

Figura 15.2

La adición de vectores libres está bien definida; esto es, no depende del punto O. Esto puede probarse mediante aplicación reiterada del teorema 1. Teorema 2 La adición de vectores libres tiene las siguientes propiedades: (G1). La adición (+) es asociativa en E3 . (G2). La adición es modulativa en E3 . (G3). La adición es invertiva en E3 . (G4). La adición es conmutativa en E3 . Explicación „

(G1) + es asociativa en E3 . Esta propiedad se enuncia así: → → → ⎛→ →⎞ → → ⎛→ →⎞ Para cada a , b , c en E3 , ⎜ a + b ⎟ + c = a + ⎜ b + c ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

„

(G2) + es modulativa en E 3 .

⎛→ ⎞ Según la definición de adición, el vector libre nulo ⎜⎜ o ⎟⎟⎟ es tal que: ⎜⎝ ⎠ →

→

→

→

→

→

→

Para todo a ∈ E3 , a + o = a y o + a = a . →

Por esta razón, el vector libre nulo, o, se llama módulo de E 3 para la adición. Geometría vectorial y analítica

197

Capítulo 4: Vectores geométricos También se llama elemento neutro para la adición en E3 . „

(G3) + es invertiva en E3 . →

→

Sea a un vector libre no nulo. Apliquemos a en un punto A cualquiera, de ⎯→

→

modo que AB = a (figura 15.3).

Figura 15.3 ⎯→

→

Sea b el vector libre asociado al segmento dirigido BA . ⎯→

⎯→

⎯→

→

→

→

Según la definición de adición, AB + BA = AA , es decir, a + b = 0 . →

→

→

Similarmente, b + a = 0 . →

→

→

Al vector b se le llama inverso aditivo de a y se le denota − a . De esta → ⎛ →⎞ ⎛ →⎞ → → manera, a +⎜⎜⎜− a⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜− a⎟⎟⎟ + a = o . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ →

Es fácil probar que el vector − a no depende del punto donde sea aplicado el →

vector a. →

→

→

→

→

Por otra parte, o + o = o . Por tanto, −o = o . Es decir, el vector nulo es inverso aditivo de sí mismo. Es el único con esta propiedad. Podemos afirmar, en →

consecuencia, que todo vector libre a tiene asociado un vector libre, deno→

tado − a, llamado su opuesto o inverso aditivo, cuya suma con el primero es

⎛→ ⎞ el vector libre nulo ⎜⎜ o ⎟⎟ . ⎜⎝ ⎠⎟ →

→

El vector a y su opuesto − a coinciden en dirección y magnitud, pero tienen sentidos contrarios. 3 Las propiedades G1, G2, G3 pueden resumirse así: la estructura E ; + es

un grupo.

198

Módulo 15: Operaciones con vectores libres (G4)+ es conmutativa.

„

Esta propiedad consiste en que: → →

→

→

→

→

Para todo a , b ∈ E 3 : a + b = b + a . Esta cuarta propiedad, agregada a las tres anteriores, hace que la estructura E 3 ; + sea un grupo abeliano (o conmutativo).

La propiedad invertiva de la adición permite introducir la operación sustracción. Sustracción →

→

→

→

Sean a y b vectores libres. Se define la sustracción entre a y b, y se denota →

→

a − b , así: → → ⎛ →⎞ a − b := a + ⎜ − b ⎟. ⎝ ⎠

→

→

→

→

→

Al vector resultante, a − b , se le llama diferencia entre a y b . El orden en que se escriben los vectores en la diferencia es esencial, ya que en →

→

→

→

general los vectores a − b y b − a no son iguales. Por ejemplo: → → → → → → → → → ⎛ →⎞ si a ≠ o, a − o = a; pero o − a = o + ⎜⎜⎜− a⎟⎟⎟ = − a . ⎝ ⎠

Para obtener gráficamente la diferencia entre dos vectores no nulos, se procede de la siguiente manera (figura 15.4):

Figura 15.4 →

⎯→

→

En un punto arbitrario O, se aplica el vector a : OA = a . Seguidamente, se aplica →

⎯→

→

− b en A : AB′ = − b . ⎯→ ⎯→ → → → ⎛ →⎞ Por definición de adición, OB′ = a + ⎜ − b ⎟ ; es decir, OB ′ = a − b . ⎝ ⎠

Vea la animación Diferencia entre vectores libres en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Geometría vectorial y analítica

199

Capítulo 4: Vectores geométricos Si a la construcción indicada (figura 15.4) se agrega una aplicación en O del vector ⎯→

→

→

b , de modo que OB′′ = b , entonces el cuadrilátero OB ′AB ′′ es un paralelogramo (¿por qué?). ⎯⎯→

⎯→

⎯⎯→

→

→

Por tanto, B′′A = OB′ . Es decir, B ′′A también representa al vector diferencia a − b . En consecuencia, una sencilla construcción para la diferencia es la siguiente (figura 15.5):

Figura 15.5 →

→

En un punto arbitrario O se aplican los vectores a y b : ⎯→

⎯→

→

→

OA = a ; OB = b . ⎯→

→

→

⎯→

→

→

Así se obtienen las dos diferencias: BA = a − b y AB = b − a . La adición de vectores libre puede generalizarse a cualquier número finito de vectores, así: Para n ∈ `, n ≥ 3, → → → → ⎛→ → ⎞ → a1 + a2 + ... + an : = ⎜ a1 + a2 + ... + a n −1 ⎟ + an . ⎝ ⎠ De manera simplificada:

n

→

∑a i =1

i

⎛ n −1 → ⎞ → = ⎜ ∑ ai ⎟ + an . ⎝ i =1 ⎠

Las propiedades asociativa y conmutativa permiten escribir los sumandos en cualquier orden y sin el uso de paréntesis. Ejemplo: →

→

→

→

→

→

→

→

a1 + a2 + a3 + a4 = a3 + a1 + a4 + a2 . 3 Como consecuencia del hecho de que la estructura E ; + es un grupo abeliano,

se obtienen para la adición de vectores libres algunas propiedades, válidas para todas las estructuras de este tipo. El siguiente teorema recoge las más usuales.

200

Módulo 15: Operaciones con vectores libres Teorema 3 → → →

Cualesquiera sean a , b , c vectores libres (elementos de E 3 ), se tiene: 1. 2. 3.

→ → ⎛→ →⎞ −⎜ a + b ⎟ = − a − b. ⎝ ⎠ →

→

→

→

→

→

a = b ⇔ −a = −b. →

→

→

a = b ⇔ a−b = o.

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

4.

a + c = b + c ⇔ a = b.

5.

La ecuación x + a = b tiene solución única en E3 .

6.

La ecuación a + x = b tiene solución única en E3 .

7.

⎛ →⎞ → −⎜ − a ⎟ = a. ⎝ ⎠ →

8.

o es único.

9.

− a es único.

→

→

10.

→

→

→

→

→

a − b = b − a ⇔ a = b.

Con relación a la longitud (o magnitud) del vector suma, obtenido al operar con dos vectores libres, es pertinente hacer algunas anotaciones basadas en el texto de David Hilbert Fundamentos de la geometría. →

→

→

→

→

→

→

L1.

Si a = o, entonces a + b = b + a = b .

L2.

Si a y b son vectores libres no nulos con igual dirección, y con el mismo

→

→

sentido (figura 15.6), entonces: →

→

→

→

a+b = a + b .

Figura 15.6 →

L3.

→

Si a y b son vectores libres no nulos con la misma dirección, pero con sentidos contrarios (figura 15.7), se tiene:

Geometría vectorial y analítica

201

Capítulo 4: Vectores geométricos →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

„

Si a > b , entonces: a + b = a − b .

„

Si a < b , entonces: a + b = b − a .

„

Si a = b , entonces: a + b = 0 .

→

→

→

→

→

→

En resumen, a + b = a − b . (Léase: «la longitud de a + b es el valor →

→

absoluto de la diferencia entre las longitudes de los vectores a y b ».) En la figura 15.7: ⎯→

⎯→

→

→

⎯→

→

→

OA = a ; AB = b ; OB = a + b .

Figura 15.7 →

L4.

→

Si a y b son vectores no nulos y tienen direcciones diferentes (figura 15.8), la desigualdad triangular garantiza que: →

→

→

→

a+b < a + b .

Figura 15.8

→

→

En resumen, si a y b son vectores libres cualesquiera, entonces se satisface la desigualdad triangular: →

→

→

→

a+b ≤ a + b .

202

Módulo 15: Operaciones con vectores libres →

→

→

→

→

→

La igualdad se da sólo cuando a = o o b = o, o cuando a y b son vectores no nulos y coinciden en dirección y sentido.

15.2 Multiplicación de escalares por vectores libres Mediante una ley de composición externa los vectores libres pueden ser dilatados, contraídos o invertidos en su sentido.

Vea la animación Dilatación y contracción de vectores en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Se define a continuación una particular ley a la que se llama multiplicación de un escalar por un vector libre. Multiplicación de un escalar por un vector libre Sea M : \ × E3 → E3 . M es una multiplicación de escalares por vectores libres si para cada → → → λ ∈ \ y a ∈ E3 , M ⎛⎜ λ , a ⎞⎟ es un vector libre, denotado λ a, con las siguientes

⎝

⎠

condiciones: →

→

→

→

→

→

→

→

→

M 1. Si λ = 0 o a = o , entonces λ a = o . →

M 2. Si λ ≠ 0 y a ≠ o, entonces λ a tiene la dirección de a. →

→

M 3. Si λ ≠ 0 y a ≠ o, entonces λ a tiene el sentido de a si y sólo si λ > 0. →

→

λa = λ a .

M 4.

\ , en esta definición y a través del texto, denota el conjunto de los números reales, y a sus elementos se les llamará escalares. Usualmente se recurrirá a las letras griegas (α , β , λ ,...) para denotarlos. Teorema 4 →

→

→

→

→

Para todo λ ∈ \ y todo a ∈ E3 , λ a = o si y sólo si λ = 0 o a = o . Prueba (⇒ ) . →

→

Supóngase que λ a = o . →

→

Por M 4, λ a = λ a . →

Por tanto, λ a = 0.

Geometría vectorial y analítica

203

Capítulo 4: Vectores geométricos →

→

Como λ y a son reales, entonces λ = 0 o a = 0. →

→

En consecuencia, λ = 0 o a = o . (⇐).

(Véase M 1). La multiplicación de vectores no nulos por escalares produce en aquéllos un efecto que puede observarse gráficamente y que depende del escalar, como se verá enseguida. „

λ > 1. →

→

El vector λ a es una dilatación de a (figura 15.9).

Figura 15.9 „

0 < λ < 1. →

→

El vector λ a es una contracción de a (figura 15.10).

Figura 15.10 „

−1 < λ < 0 . →

→

El vector λ a es una contracción de a, con cambio de sentido (figura 15.11).

Figura 15.11 „

204

λ < −1 .

Módulo 15: Operaciones con vectores libres →

→

El vector λ a es una dilatación de a, con cambio de sentido (figura 15.12).

Figura 15.12

A continuación se enuncian algunas propiedades importantes de la multiplicación por un escalar. Teorema 5 → →

Para todo λ ,η reales, y a, b vectores libres: →

→

M 1. 1 a = a . →

→

M 2. (−1) a = − a . → → ⎛→ →⎞ M 3. λ ⎜ a + b ⎟ = λ a + λ b . ⎝ ⎠ →

→

→

M 4. (λ + η ) a = λ a + η a . → ⎛ →⎞ ⎛ →⎞ M 5. λ ⎜η a ⎟ = η ⎜ λ a ⎟ = (λη ) a . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ →

→

→

→

M 6. Si λ ≠ 0, entonces λ a = λ b ⇔ a = b . →

→

→

→

→

→

→

→

M 7. Si a ≠ o y b ≠ o, entonces λ a = η b ⇒ a & b o λ = η = 0.

He aquí algunos comentarios acerca del enunciado: „

Si un vector se multiplica por el real uno (1), el vector no se altera.

„

Si un vector se multiplica por (−1) , se obtiene el inverso aditivo del vector.

„

„

„

La propiedad M 3 puede llamarse «distributividad de la multiplicación por un escalar ( M ), con respecto a la adición de vectores libres». La propiedad M 4 puede llamarse «distributividad de la multiplicación por un escalar ( M ), con respecto a la adición de escalares». Pero estrictamente no se cumple la ley distributiva. ¿Por qué? De la propiedad M 7 se deduce que si dos vectores no nulos tienen direcciones distintas, ninguno de los dos puede ser múltiplo escalar del otro.

A continuación se prueban algunos de los resultados:

Geometría vectorial y analítica

205

Capítulo 4: Vectores geométricos →

→

→

→

→

→

M 2. Si a = o , entonces (−1) a = o . Pero o = − o . Por tanto, en este caso →

→

(−1) a = − a . →

→

Consideremos el caso en que a ≠ o . →

→

El vector (−1) a tiene la dirección de a, pero sentido contrario. →

→

→

→

→

Además, (−1) a = (−1) a = a . Luego (−1) a es el inverso aditivo de a. →

→

Por tanto, (−1) a = − a . →

→

M 7. Debe tenerse en cuenta que dos vectores libres no nulos m y n son paralelos si y sólo si cada uno es múltiplo escalar del otro. Esta propiedad la designaremos como el «primer criterio vectorial del paralelismo», y que podemos →

→ →

→

→

→

→

→

→

resumir así: a ≠ o , b ≠ o . a & b si y sólo si a = λ b , λ ∈ \, λ ≠ o . Se hará uso de un método de demostración llamado modus tollendo ponens, que consiste en lo siguiente: Si bajo ciertas hipótesis (H) queremos probar una proposición de forma de disyunción ( P ∨ Q), puede procederse así: „

Se niega P. Si con este supuesto, y utilizando H se deduce Q, entonces de H se deduce P ∨ Q . →

→ →

→

→

→

En este numeral 7, las hipótesis son: a ≠ o , b ≠ o y λ a = η b . →

→

Debe probarse que a & b o (λ = 0 y η = 0) . Este es un enunciado de la forma P ∨ Q , con : →

→

P : a & b y Q : (λ = 0 y η = 0) . „

Neguemos Q, es decir, supongamos que λ ≠ 0 o η ≠ 0 y analicemos el caso λ ≠ 0 (el otro es similar). Por M 6, puede escribirse: →

a=

→ → η→ b (ya que λ a = η b ). λ

→

→

→

→

Así, a es un múltiplo escalar de b. En consecuencia, a y b son paralelos. Queda así probado M 7.

206

Módulo 15: Operaciones con vectores libres De la propiedad M 7 que acaba de probarse puede deducirse (realmente es una →

→

reescritura de su enunciado) que si a y b son vectores libres no nulos y no paralelos, entonces: →

→

→

α a+ β b = o ⇒ α = 0 y β = 0 . →

→

La última implicación se interpreta así: «la única combinación lineal de a y b que produce el vector cero, es aquella en que los dos coeficientes son ceros». →

→

→

Una combinación lineal de los vectores libres a1 , a2 ,..., ak es el vector suma de múltiplos escalares de ellos: →

→

→

α1 a1 + α 2 a2 + ... + α k ak . Los α i son coeficientes de la combinación lineal. Ilustración 1 ⎯→

→

→

→

OA3 = 3 a1 − 2 a2 + 5 a3 . ⎯→

→

→

→

OA3 es una combinación lineal de los vectores a1 , a2 , a3 , con coeficientes respec-

tivos: 3, − 2, 5 (figura 15.13).

Figura 15.13

Una combinación lineal en la que todos los coeficientes son ceros, se llama combinación lineal trivial. Dicha combinación produce, por supuesto, el vector nulo. →

→

Si a y b son vectores tales que la única combinación lineal de ellos que produce

{ } → →

el vector cero es la trivial, entonces se dice que el conjunto a , b es linealmente

Vea la animación Combinación lineal de vectores en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

independiente.

Geometría vectorial y analítica

207

Capítulo 4: Vectores geométricos En E , dos vectores libres no nulos y no paralelos determinan en cada punto O del espacio un plano, así: 3

→

→

⎯→

→

⎯→

→

Apliquemos a y b en O. Sean OA = a , OB = b (figura 15.14).

Figura 15.14 ←⎯→

←⎯→

Las rectas OA y OB determinan (véase el texto Fundamentos de la geometría) un → → ⎛ → →⎞ plano. Dicho plano es π ⎜ O, a , b ⎟ , determinado por los vectores libres a y b en ⎝ ⎠ el punto O.

Lo anterior puede enunciarse así: Teorema 6

{ } → →

Si el conjunto a , b de vectores libres es linealmente independiente, entonces los

⎛ → →⎞ dos vectores determinan, en cada punto O del espacio, un plano π ⎜ O, a , b ⎟ . ⎝ ⎠ Vectores coplanarios → → →

→

→

Tres vectores libres a , b , c , con a y b no nulos, son coplanarios si alguno de ellos es combinación lineal de los otros dos.

{

→

}

→ →

En este caso, se dice que el conjunto a , b , c es linealmente dependiente. →

→ →

En el espacio, un conjunto de tres vectores libres no nulos a , b , c puede ser linealmente independiente si éstos no son coplanarios; esto es, si ninguno de los vectores es combinación lineal de los restantes (figura 15.15). →

→ →

En la figura 15.15 puede observarse además que tres vectores libres no nulos a , b , c determinan en cada punto O del espacio un paralelepípedo de dimensiones

208

Módulo 15: Operaciones con vectores libres →

→

→

a , b , c .

Figura 15.15

Las propiedades de la adición de vectores libres, enunciados en el teorema 1, y las propiedades M1 , M3 , M4 , M5 de la multiplicación por escalares enunciados en el 3 teorema 4 se resumen diciendo que la estructura E ; +; M , formada por el con-

junto de los vectores libres, la adición y la multiplicación de escalares por vectores, es un espacio vectorial real. 3 Se dice real porque los escalares son números reales. En adelante, E denotará el espacio vectorial de los vectores libres.

Se tienen así tres espacios vectoriales en los conjuntos estudiados hasta el presente. En el, curso de Álgebra lineal se analizarán otros espacios vectoriales.

15.3 Ángulo entre vectores libres Si bien los vectores libres pueden «desplazarse» paralelamente a sí mismos en forma arbitraria, puede definirse ángulo entre ellos. Ángulo entre vectores libres →

→

Si a y b son vectores libres, se define un ángulo entre ellos con las siguientes condiciones: A1.

→

→

Si a y b son no nulos, el ángulo entre ellos es el ángulo entre sus aplicacio⎯→

⎯→

nes respectivas OA y OB en un mismo punto O (figura 15.16).

Geometría vectorial y analítica

209

Capítulo 4: Vectores geométricos

Figura 15.16 →

→

→

→

→

→

A 2 . Si a = o o b = o , entonces el ángulo entre a y b es π 2 radianes (90º). →

→

De las propiedades del ángulo es fácil deducir que el ángulo entre a y b no depende del punto de aplicación. Además, las propiedades para ángulos entre segmentos dirigidos se conservan para los ángulos entre vectores libres. He aquí algunas: →

→

1.

El ángulo θ entre a y b varía entre 0 radianes y π radianes (ambos valores incluidos).

2.

El ángulo entre − a y − b es el mismo que hay entre a y b .

3.

Para λ > 0, el ángulo entre a y b es el mismo que entre a y λ b .

4.

Si θ es la medida en radianes del ángulo entre a y b y λ < 0, entonces el

→

→

→

→

→

→

→

→

→

ángulo entre a y λ b es π − θ .

210

→

→

→

Ejercicios propuestos Para facilitar la solución de una buena parte de los ejercicios se sugiere elaborar un gráfico que ilustre la situación descrita en el enunciado sin establecer generalizaciones inválidas. 1.

Determine, para cada una de las afirmaciones siguientes, si es verdadera o falsa, y justifique su afirmación. En el caso de enunciados falsos muestre un contraejemplo apropiado. →

→ →

→

→

→

→

→

a.

Si a , b ∈ E 3 , con a = b y a & b , entonces a = b .

b.

Si a = b , entonces a = b y a & b .

c.

Si a = b , entonces a & b .

d.

Si a & b , entonces a y b están sobre la misma recta.

e.

Si a = b y a ≠ b , entonces a y b son opuestos.

f.

Si a & b y a = b y a ≠ b , entonces a = − b .

g.

→ → → ⎛ →⎞ → Si c = − a, entonces c + ⎜ − a ⎟ = o . ⎝ ⎠

h.

Si a , b ∈ E3 , entonces a + b = a + b .

i.

Si a + b = a + b para a , b ≠ o , entonces a & b .

j.

Si a & b , entonces a + b = a + b .

k.

Si a + b = a − b , entonces a y b tienen sentidos opuestos.

l.

Si c > d , entonces c + d = c − d .

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→ →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→ →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

Geometría vectorial y analítica

219

→

→

→

→

→

→

→ →

→

→

→

→

→

→

→

→

m.

Si e , f ≠ o y e + f = f − e , entonces e + f tiene el mismo sentido de f .

n.

Si b , d ≠ o y b − d = b + d , entonces b y d son de sentidos opuestos.

o.

Si a , b , c ≠ o y a + b + c = c − b − a , entonces:

→ → →

→

→

(1).

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

a & b & c. → → →

(2).

c , a , b tienen distintas direcciones. →

(3).

→

a y b tienen el mismo sentido. →

(4).

→

→

(5). (6).

→

→

→

a + b + c tiene el mismo sentido de a. →

→

→

→

→

c > a+b .

(7).

b > a .

(8).

−a− b− c = c − a − b .

→

→

(9).

2.

→

a y b tienen sentidos opuestos al de c .

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

a+b− c = a + b + c .

En la figura 1, ABCD representa un paralelogramo. ⎯→

⎯→

a.

Explique por qué AB = DC .

b.

Explique por qué AD = − CB .

⎯→

→

⎯→

⎯→ →

⎯→

→

⎯→

→

⎯→

Si designamos: u = AD , v = DC , w = CB , x = BA , resuelva los literales c, d, e. ⎯→

→

→

c.

Exprese AC en términos de u y v .

d.

Exprese AC en términos de x y w.

e.

Calcule los siguientes vectores, expresando los resultados en términos de los vértices del paralelogramo:

⎯→

→

→

→ ⎛ → →⎞ → ⎛⎛ → →⎞ →⎞ → x + u, ⎜ x + u ⎟ + v, ⎜⎜ x + u ⎟ + v ⎟ + u . ⎝ ⎠ ⎠ ⎝⎝ ⎠

→

220

Figura 1

3.

En la figura 2 se tiene un paralelogramo A y B son puntos medios de los lados, y puede suponerse que los vectores que se observan como paralelos evidentemente lo son. Los vectores señalados tienen su origen en P, o terminan en →

⎯→

→

→ →

⎯→

P. Si u = PA , t = PB , designe todos los vectores que aparecen con interrogación en términos de u , t .

Figura 2 →

4.

→

En las mismas condiciones de la figura anterior para t y u , exprese los vectores que aparecen con incógnita en →

→

función de u y t . Use la figura 3.

Figura 3 → →

5.

Para a , b ∈ E 3 : →

a.

→

→

→

→

→

→

→

→

Si a & b , a y b tienen sentidos opuestos y a + b tiene el sentido de a , ¿qué puede afirmarse de a y b en su relación de orden?

Geometría vectorial y analítica

221

→

b.

→

→

→

Si b > a y los vectores tienen sentidos opuestos, ¿qué puede afirmarse del sentido de a + b con respecto →

→

al sentido de a y de b , respectivamente? →

c.

→

Si a > b y los vectores tienen sentidos opuestos, ¿qué puede afirmarse de los sentidos de: →

→

→

→

→

→

→

→

a+ b, a− b, b − a, − a− b ? →

d.

→

6.

→

→

→

Dibuje un triángulo con lados asociados a los vectores no nulos a , b y a − b . →

→

→

→

a.

Explique por qué a − b ≥ a − b .

b.

Si a , b ∈ E 3 , ¿es posible que a − b = a − b ?

→

7.

→

En el literal anterior, calcule la magnitud de cada vector en términos de las magnitudes de a y b .

→

→

→

→

→

Dadas las gráficas siguientes (figura 4) resuelva a y b. a.

Cuándo uno de los vectores representa la suma de los otros dos.

b.

Cuándo uno de los vectores representa la diferencia de los otros dos.

Figura 4

8.

Encuentre el vector resultante en cada una de las operaciones siguientes: ⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

AB + HM − HF − FB + MK .

(2).

CD − KF + KC − AD + DF .

⎯→

9.

⎯→

(1).

Determine para cada una de las afirmaciones siguientes si es verdadera o falsa y justifique su afirmación. →

→

3 Si a ∈ E y λ ∈ \, entonces λ a y a pueden ser vectores opuestos.

b.

Si a & b , entonces λ a & β b con λ ≠ 0, β ≠ 0 .

→

222

→

a.

→

→

→

→

→

→

Si a & b y λ > 0, β > 0, entonces λ a y β b tienen el mismo sentido.

d.

Si λ ≠ 0, entonces λ a > a .

e.

Si a ≠ o y λ a y β a tienen el mismo sentido, entonces λ > 0 y β > 0 o λ < 0 y β < 0.

f.

Si a & b y λ a = θ b , entonces λ = θ = 0 .

g.

Si λ a + β a = λ a + β a , entonces λ > 0 y β < 0.

h.

Si a ≠ o y λ a y β a tienen sentidos opuestos, entonces λ > 0 y β < 0 o λ < 0 y β > 0.

i.

Si λ a y β b tienen sentidos opuestos, entonces a y b tienen sentidos opuestos.

j.

Si λ a y β b tienen sentidos opuestos, entonces λ > 0 y β < 0 o λ < 0 y β > 0.

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

10.

→

c.

→

→

Utilice el criterio de colinealidad para determinar en cada literal si los tres puntos diferentes de O («O», punto de referencia) son colineales.

a.

2 ⎯→ 1 ⎯→ 13 ⎯→ OC + OB = OH . 3 5 15

b.

1 ⎯→ 4 ⎯→ 1 ⎯→ ⎯→ 6 ⎯→ OA − OB + OC + OB = OC . 2 5 2 5

c.

2 OC − 3 DO + 5 FO = o .

⎯→

⎯→

⎯→

→

11.

En un paralelogramo ABCD, si M, N son puntos medios de AB y CD , respectivamente, demuestre vectorialmente que AMCN es un paralelogramo.

12.

Demuestre vectorialmente que los puntos medios de los lados de un cuadrilátero determinan un paralelogramo.

13.

Demuestre vectorialmente que los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrilátero y los puntos medios de las diagonales de éste son los vértices de un paralelogramo o son colineales.

14.

Demuestre vectorialmente que las diagonales de un paralelogramo se intersecan en sus puntos medios.

15.

Demuestre vectorialmente que en un paralelogramo los segmentos que unen un vértice con los puntos medios de los lados opuestos dividen la diagonal opuesta en tres segmentos congruentes.

16.

En un ΔABC , M , N , R son los puntos medios de AB, BC y CA , respectivamente. Demuestre que AN + BR + CM = o .

17.

En un cuadrilátero ABCD, sean E, F, G, H los puntos medios de los lados AB, BC , CD y DA, respectivamente.

⎯→

⎯→

⎯→

Geometría vectorial y analítica

→

223











Demuestre vectorialmente que AF  BG  CH  DE  o . 18.

En el trapecio ABCD, M, N son puntos medios de AD y BC, respectivamente (figura 5).

Figura 5

Demuestre vectorialmente que: 

a.

MN 

b.

  1    MN   AB  DC  . 2 

c.

MN  AB y MN  CD .



19.

1      AB  DC  . 2 







En el trapecio ABCD, de bases AB y CD , M, N son los puntos medios de las diagonales (figura 6).

Figura 6

Demuestre vectorialmente que:

a.

 1     MN   DC  AB  . 2 



c.



MN  

d.

224



DC  AB



. 2 



MN  AB y MN  DC .

20.

Demuestre vectorialmente que en un triángulo isósceles las medidas de los segmentos trazados desde los puntos medios de los lados iguales al punto medio del tercer lado son iguales.

21.

En un exágono regular ABCDEF, demuestre vectorialmente que AB + AC + AD + AE + AF = 3 AD .

22.

Demuestre vectorialmente que el baricentro G de un triángulo de vértices A, B, C se puede expresar como

⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

⎯→ 1 ⎛ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎞ OG = ⎜ OA+ OB + OC ⎟ , siendo O un punto de referencia cualquiera. 3⎝ ⎠

23.

Sean ABCD un cuadrilátero cualquiera, O un punto de referencia y P el punto medio del segmento determinado ⎯→ 1 ⎛ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎞ por los puntos medios de las diagonales. Demuestre vectorialmente que OP = ⎜ OA+ OB + OC + OD ⎟ . 4⎝ ⎠ ⎯→

CD

24.

En la figura 7,

=

⎯→

BD

⎯→ 2 1 ⎯→ 1 ⎯→ 1 ⎯→ , y P es el punto medio de AD . Demuestre vectorialmente que OP = OA + OB + OC , 2 3 6 1

siendo O punto de referencia.

Figura 7

25.

En un ΔABC se tiene:

⎯→

⎯→

AP1

AP2

⎯→

PB 1

1 = ; 3

⎯→

P2C

1 = . P3 es el punto de intersección de BP2 y CP1 . 3

Determine vectorialmente las razones en las que P3 divide al segmento CP1 y al segmento BP2 . 26.

En la pirámide triangular de base en el ΔABC y vértice Q, los segmentos AB, BC y AC tienen por puntos medios M, ⎯⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

N y L, respectivamente. Demuestre vectorialmente que QM + QN + QL = QA + QB + QC . 27.

En el paralelogramo ABCD, M es el punto medio de CD. Demuestre vectorialmete que BD y AM se cortan en un punto que divide a ambos segmentos en la razón 1:2.

28.

Sea a , b ∈ E 3 , a & b y tales que − λ a + β b = 2 a + 2 b −

→ →

→

→

→

→

→

→

2 → β a . Determine vectorialmente los valores de λ y β . 5

Geometría vectorial y analítica

225

16 El espacio vectorial de los vectores libres Introducción Los vectores libres, con las operaciones adición y multiplicación por un escalar, conducen a dos estructuras matemáticas de suma importancia: grupo y espacio vectorial. Esta última tiene asociados los conceptos de combinación lineal, independencia lineal, base y dimensión.

Euclides

En el estudio de los espacios vectoriales es preciso indagar acerca de la existencia de subconjuntos que, con el menor número posible de elementos, generen el conjunto de todos los vectores del espacio. Estos subconjuntos se denominan bases.

Euclides es, sin lugar a dudas, el matemático más famoso de la antigüedad y quizás el más nombrado y conocido de la historia de las matemáticas.

Objetivos del módulo 1. Definir el concepto general de espacio vectorial y mostrar el conjunto de los vectores libres E3 como un espacio vectorial real. 3 2. Introducir el concepto de subespacio vectorial, con la exhibición de dos subespacios de E ,

E 2 y E1 . 3. Definir los conceptos de base y dimensión para espacios vectoriales, particularizando 1 3 2 para los espacios E , E y E .

Se conoce poco de su vida, pero su obra es ampliamente conocida. Todo lo que sabemos de su vida nos ha llegado a través de los comentarios de un historiador griego llamado Proclo. Sabemos que vivió en Alejandría (Egipto), al parecer alrededor del año 300 a. C. Allí fundó una escuela de estudios matemáticos. Por otra parte, también se dice que estudió en la escuela fundada por Platón. Su obra más importante es un tratado de geometría que recibe el título de Elementos, cuyo contenido aún sigue vigente. Las fechas en que nació y murió Euclides son inciertas, pero se cree que vivió entre los años 330 y 275 a. C.

Preguntas básicas 1. ¿Qué debe suceder para que dos vectores sean colineales? 2. ¿Qué relación existe entre paralelismo y colinealidad? 3. ¿Qué es una estructura de espacio vectorial? 4. ¿Qué es un subespacio vectorial? 5. ¿Qué es una base? 6. ¿Qué representa la dimensión de un espacio vectorial?

Contenidos del módulo 16.1 El espacio vectorial de los vectores libres 1 16.2 El espacio vectorial E 16.3 El espacio vectorial E 2 16.4 El espacio vectorial E3 16.5 Bases ortonormales derechas

Vea el módulo 16 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

227

Capítulo 4: Vectores geométricos

16.1 El espacio vectorial de los vectores libres En el módulo 15 se definieron las operaciones adición (+) y multiplicación por un escalar (M ) en el conjunto E 3 de los vectores libres en el espacio. Se dijo que las propiedades de la adición enunciadas en el teorema 2 y las propiedades 1, 3, 4 y 5 de

M recogidas en el teorema 5 hacen que la estructura < E 3 ; + ; M > sea un espacio vectorial real. En esta unidad se estudiarán algunas características especiales de este espacio vectorial, entre ellas las relativas a los subespacios E1 y E 2 y los conceptos de base y dimensión. Colinealidad Si se escoge en el espacio una recta l, ésta determina –como se verá– un subespacio de E3 . →

1.

Un vector libre a está en la recta l si tiene su misma dirección.

2.

El vector libre nulo está en toda recta l.

Dos vectores libres pueden ser colineales bajo las siguientes condiciones: →

1.

→

o es colineal con cualquier vector libre a . →

2.

→

→

→

a y b son colineales si existe un escalar α tal que b = α a o existe un escalar →

→

→

→

β tal que a = β b . En este caso diremos también que a y b son paralelos. Notas 1.

Como puede observarse, la colinealidad es sinónimo de paralelismo.

2.

Si el vector a es no nulo y b = o , entonces a y b son colineales y existe un

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

escalar α tal que b = α a ( b = 0 a ), pero no existe un escalar β tal que a = β b . 3.

El vector nulo es paralelo a cualquier vector (tiene todas las direcciones).

4.

Si a y b son no nulos y colineales, entonces existe un escalar α no nulo de

→

→

→

→

modo que b = α a . Hay dos posibilidades: a. b.

228

→

→

→

→

a y b tienen el mismo sentido. En este caso α > 0. a y b tienen sentidos contrarios. Ahora α < 0.

Módulo 16: El espacio vectorial de los vectores libres →

→

En cualquier caso, b = α a (definición de M ). →

b

Por tanto, α =

→

.

a → →

b

→

Si a y b tiene el mismo sentido, entonces α =

→

a

⎛ → ⎞ ⎜ b ⎟→ → y b = ⎜ → ⎟ a. ⎜ a ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ →

→

b

→

Si a y b tiene sentidos contrarios, entonces α = −

→

a

⎛ → ⎞ ⎜ b ⎟→ y b = ⎜− → ⎟ a. ⎜ a ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ →

→

Lo anterior permite, dado un vector libre a no nulo, obtener dos vectores →

unitarios (de longitud uno) en la direccion de a (figura 16.1). →

e1 =

1 →

a

→

→

a y e2 =

−1 → a. → a

Figura 16.1 →

→

Del vector e1 (unitario y con la dirección y el sentido de a ) se dice que se →

→

obtiene por normalización del vector a. También se dice que e1 es el vector →

a normalizado.

Ilustración 2 →

⎯→

⎯→

⎯→

Sean A, B, C puntos en el espacio. Consideremos los vectores a = AB + CB + 2 BA, →

yb=

→ → 1 ⎯→ AC . ¿Son a y b colineales? ¿Por qué? 3

Geometría vectorial y analítica

229

Capítulo 4: Vectores geométricos Solución →

⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

a = ( AB + BA) + (CB + BA).

→

→

(?)

⎯→

a = 0 + CA. →

(?)

⎯→

→

⎯→

→

→

Luego a = CA . Es decir, a = − AC . Por tanto, a = −3 b . →

→

En consecuencia, a y b son colineales (aunque de sentidos contrarios).

16.2 El espacio vectorial E1 Dada una recta l, llamemos E1 al conjunto de todos los vectores libres que están en l (son colineales con l; tienen la dirección de l; son paralelos a l). →

Este conjunto E1 es no vacío, pues contiene al vector cero ( o ) y a los vectores ⎯→

⎯→

definidos por cualquier par de puntos A y B en l ( AB y BA). De hecho, E1 tiene infinitos vectores. Las operaciones adición y multiplicación por un escalar definidas en E 3 conservan sus propiedades en E1 . En particular: →

1.

→

La adición (+) es en E1: asociativa, modulativa ( o ∈ E1 ), invertiva (si a está →

en E1 , entonces − a ∈ E1 ) y conmutativa. En resumen < E1 ; + > ,es un grupo abeliano. 2.

La multiplicación por un escalar (M ) satisface en E1: →

→

→

a.

1 a = a , para cada a en E1 .

b.

λ ( a + b ) = λ a + λ b , para cada a , b en E1 y λ real.

c.

(λ + μ ) a = λ a + μ a , para cada a en E1 y λ , μ reales.

d.

λ ( μ a ) = μ (λ a ) = (λμ ) a , para cada a en E1 y λ , μ reales.

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

Todo lo anterior se resume en el siguiente teorema. Teorema 7 La estructura < E1 ; +; M > es un espacio vectorial real. Es el espacio de los vectores libres en una recta dada (o simplemente en la recta), que lo notamos también como E1 , \ . →

→

→

Consideremos en E1 un conjunto unitario {a}, con a ≠ o .

230

Módulo 16: El espacio vectorial de los vectores libres →

→

→

El conjunto {a} es linealmente independiente. En efecto: si α a = o , entonces →

α = 0. Es decir, la única combinación lineal de a que produce el vector cero es la →

→

→

trivial. Además, para cualquier vector b en E1 existe un escalar α tal que b = α a →

→

(ya que a y b son colineales). Es decir, cualquier vector de E1 es una combinación →

→

→

lineal de a. Dicho de otro modo: {a} genera a E1 ; o E1 = gen{a}. Esta última expresión se lee: E1 es el espacio generado por el conjunto formado por →

el vector a . →

→

En suma, {a} es una base para E1 : {a} es linealmete independiente y genera a E1. Puede, pues, escribirse:

{

→

→

}

→

E1 = b ∈ E3 : b = α a , para algún α real .

La dimensión de E1 es uno (1): dim E1 = 1. Esto es por el hecho de que para generar E1 sólo se requiere un vector.

Las operaciones adición y multiplicación por un escalar pueden hacerse utilizando →

las representaciones de los vectores de E1 en la base {a} . →

→

→

→

Si b = α a y c = β a , entonces: →

→

→

b + c = (α + β ) a , →

→

λ b = (λα ) a .

16.3 El espacio vectorial E 2 Recordemos que, estrictamente hablando, el vector libre carece de puntos. No obstante, cabe la siguiente definición. Un vector libre puede estar en un plano π bajo las siguientes condiciones: →

1.

Un vector libre a está en un plano π , si dicho vector es paralelo al plano.

2.

Los vectores a1 , a2 ,..., ak son coplanarios si existe un plano π paralelo a cada uno de ellos.

3.

El vector nulo ( o ) es coplanario con cualquier vector.

→

→

→

→

Geometría vectorial y analítica

231

Capítulo 4: Vectores geométricos →

La expresión «el vector libre a está en el plano π » se entiende en el sentido de que →

si se escoge en π un punto O (figura 16.2) y en éste se aplica el vector libre a de ⎯→

→

⎯→

modo que OA = a , entonces el segmento orientado OA tiene todos sus puntos en el plano π.

Figura 16.2

Dado un plano π , se denota E2 al conjunto de los vectores libres que están en dicho plano. Cualquier plano paralelo a π determina el mismo conjunto E2. En adelante se hablará →

de E 2 , entendiéndose que hay un plano que lo determina. El vector nulo (0) hace parte de E 2 . Las operaciones adición y multiplicación por un escalar definidas en E3 conservan en E 2 , así como en E1 , sus propiedades. Por similitud con el análisis hecho para E1 , puede concluirse el siguiente teorema: Teorema 8 La estructura < E 2 ; +; M > es un espacio vectorial real. Lo notamos también como E2 , \ . 3 Como E2 y E1 son subconjuntos de E , puede enunciarse que E1 y E2 son

subespacios de E3 .

{ } → →

Consideremos en E2 un subconjunto a , b formado por dos vectores libres no nulos y no colineales.

{ } → →

Se sabe que a , b es un conjunto LI (linealmente independiente); esto es, si →

→

→

α a + β b = o, entonces α y β deben ser iguales a cero. Dicho de otro modo: la

232

Módulo 16: El espacio vectorial de los vectores libres →

→

única combinación lineal de a y b que produce el vector cero es la trivial. Teorema 9

{ } → →

2 Si a , b es un subconjunto LI en E , entonces todo vector de E 2 puede expresar-

→

→

se, de manera única, como combinación lineal de a y b . Prueba →

Debe probarse que para cualquier vector libre c de E 2 existen escalares α y β , úni→

→

→

cos, tales que c = α a + β b . Existencia Hay tres casos posibles: →

1.

→

c es colineal con a . →

→

En este caso existe α real tal que c = α a . →

→

→

Luego c = α a + 0 b ( β = 0). →

2.

→

c es colineal con b .

Este caso es similar al anterior. 3.

→

→

→

c no es colineal con a ni con b . →

→

Es claro que c ≠ o .

Escojamos en el plano un punto O y apliquemos en él los tres vectores (figura 16.3).

Vea la animación Expresión de un vector libre como combinación lineal de otros dos en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Figura 16.3 ⎯→

→

⎯→

→

⎯→

→

Como resultado de la aplicación tenemos que OA = a , OB = b y OC = c , en cualquiera de las dos situaciones presentadas en la figura 16.3. Geometría vectorial y analítica

233

Capítulo 4: Vectores geométricos HJJG HJJG Por C tracemos una recta paralela a OB y que corta a OA en A´, y la recta HJJG HJJG paralela a OB y que corta a OA en B´.

Por definición de adición, en el paralelogramo OA´CB´, ⎯→

⎯→

⎯→

OC = OA´ + OB´. ⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

Pero es claro que OA´ y OA son colineales, así como OB´ y OB . Luego existen esalares α y β tales que: ⎯→

→

⎯→

→

OA´ = α a y OB´ = β b . →

→

→

Por tanto, c = α a + β b . Unicidad Supongamos que existen parejas de escalares α1 , β1 y α 2 , β 2 de modo que: →

→

→

→

→

c = α 1 a + β1 b

= α 2 a + β2 b .

Por diferencia se obtiene: →

→

→

(α1 − α 2 ) a + ( β1 − β 2 ) b = o .

{ } → →

Como el conjuntoes a , b LI, deben ser:

α1 − α 2 = 0 y β1 − β 2 = 0. Es decir, α1 = α 2 y β1 = β 2 . →

→

→

Luego c = α a + β b , con α y β únicos.

{ } { } { } → →

El conjunto a , b del teorema cumple dos condiciones: → →

1.

a , b es LI.

→ →

2.

a , b genera a E 2 . Esta es una forma más simple de decir que todo vector →

→

{ } → →

de E 2 es combinación lineal de a y b . En símbolos: E 2 = gen a , b .

234

Módulo 16: El espacio vectorial de los vectores libres

{ } → →

Por 1 por 2 se dice que a , b es una base para E 2 . De hecho, en E 2 hay infinitas bases: cualquier par de vectores de E 2 constituyen una base con la única condición de ser no nulos y no colineales. Ilustración 3 En el triángulo ABC (figura 16.4), P y M son puntos medios de AC y BC , respecti→

⎯→

→

{ }

⎯→

→ →

vamente. Sean a = BP y b = MC . Es evidente que el conjunto a , b es una base ⎯→

⎯→

para E 2 . Exprese, en términos de esta base, los vectores AB y AC .

Figura 16.4

Solución ⎯→

⎯→

AB = 2 PM (ejercicio resuelto). ⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

PM = BM − BP

(?)

= M C − BP →

(?)

→

= b − a. ⎯→

→

→

→

→

Luego AB = 2( b − a ) = 2 b − 2 a . ⎯→

⎯→

Por otra parte, AC = 2 AP . ⎯→

⎯→

⎯→

→

→

→

Pero AP = BP + AB = a + (2 b − 2 a ). ⎯→

→

→

⎯→

→

→

Por tanto, AP = 2 b − a . Luego AC = 4 b − 2 a .

Ilustración 4 →

→

En el rectángulo OABC (figura 16.5 ), llamemos respectivamente e1 y e2 a los vectores Geometría vectorial y analítica

235

Capítulo 4: Vectores geométricos ⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

OA y OC normalizados. Supongamos además que OA = 9 y OC = 4. El punto P ⎯→

dista de C una unidad, lo mismo que Q de A. Exprese el vector PQ en la base

{ } →

→

⎯→

e1 , e2 y calcule PQ .

Figura 16.5

Solución →

→

Los vectores e1 y e2 son unitarios y ortogonales entre sí. Se dice entonces que es

{ } →

→

e1 , e2 una base ortonormal para E 2 . ⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

PQ = PO + OA + AQ . ⎯→

→

⎯→

→

⎯→

⎯→

→

→

→

Pero PO = −3 e2 ; OA = 9 e1 ; AQ = e2 . Luego PQ = 9 e1 − 2 e2 . ⎯→

⎯→

⎯→

Para calcular PQ debe tenerse en cuenta que PQ = P′A (con P′ punto medio de OC ).

Por el teorema de Pitágoras: ⎯→

P ′A = 2 2 + 9 2 Luego ⎯→

PQ = 85.

Ilustración 5

{ } →

→

Sea e1 , e2

236

→

→

→

→

una base ortonormal para E 2 y b un vector tal que b = α e1 + β e2 .

Módulo 16: El espacio vectorial de los vectores libres →

Demuestre que b = α 2 + β2 .

Se deja como ejercicio al lector. Ilustración 6

{ }

{ }

→ →

→ →

Sea a , b una base para E 2 . Demuestre que si al conjunto a , b se le agrega un

{

}

→ → →

→

vector c de E 2 , entonces el conjunto a , b , c ya no es LI.

Solución

{ }

→

→ →

2 Por ser a , b una base para E 2 (teorema 7) y c un vector de E , existen escalares

→

→

→

→

→

→

→

α y β tales que c = α a + β b . Luego α a + β b − c = o . → →

→

Se tiene así una combinación lineal de los vectores a , b y c que producen el vector cero y no es la trivial (no todos los coeficientes son ceros). Luego el conjun-

{

}

→ → →

to a , b , c no es LI.

{

}

→ → →

En este caso se dice a , b , c quees un conjunto linealmente dependiente (LD).

{} →

En E 2 un conjunto unitario a presenta dos posibilidades: →

a.

{}

→

→

a = o . En este caso, el conjunto a es LD. En efecto, para cualquier real →

→

α no nulo, α a = o . →

b.

→

{} →

→

→

a ≠ o . Ahora el conjunto a es LI, ya que α a = o solamente si α = 0.

En consecuencia, puede afirmase que en E 2 el máximo número de vectores en un conjunto LI es 2. De igual forma, toda base para E 2 tiene, exactamente, dos vectores. Se dice, entonces, que la dimensión de E 2 es 2: dim E 2 = 2. En general, la dimensión de un espacio vectorial es «el número máximo de vectores que puede tener un conjunto LI», o también «el número de vectores de cualquier base para el espacio».

Geometría vectorial y analítica

237

Capítulo 4: Vectores geométricos

16.4 El espacio vectorial E3 Abordaremos a continuación el problema de la formación de bases para el espacio E3 . Teorema 10 Vea la animación Expresión de un vector libre como combinación lineal de otros tres en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

{ } { }

→

→ →

Si a , b es un conjunto LI, entonces existe al menos un vector c de E 3 tal que es → → →

a , b , c también LI.

Prueba →

→

⎯→

→

Apliquemos en un punto O del espacio los vectores a y b , de manera que OA = a ⎯→

→

y OB = b (figura 16.6).

Figura 16.6

Se determina así un plano π (O, A, B ). Por los axiomas de la geometría elemental, existe en el espacio al menos un punto C que no está en dicho plano. ⎯→

→

→

Llamemos c al vector OC . El vector c no está en el plano π (O, A, B) y por tanto →

→

→

→

→

no es coplanar con a y b . Esto significa que c no es combinación lineal de a y b

{ } → →

2 y, por ello, no pertenece al espacio E , una de cuyas bases es a , b .

→

En síntesis, se ha hallado un vector c , no nulo obviamente, para el cual no existen →

→

→

→

→

escalares α , β tales que c = α a + β b . →

→

En consecuencia, si α a + β b + λ c = o , entonces α = 0, β = 0, λ = 0. Así, el

238

Módulo 16: El espacio vectorial de los vectores libres

{

}

→ → →

conjunto a , b , c es linealmente independiente. Colorario

{

}

→ → →

→ → →

a , b , c son vectores coplanarios si y sólo si a , b , c es LD.

Teorema 11

{

}

→ → →

Si a , b , c es LI, entonces todo vector de E 3 puede expresarse, de manera única, → →

→

como combinación lineal de a , b y c . Prueba →

3 Debe probarse que si d es un vector de E , entonces existen escalares →

→

→

→

α , β y λ , únicos, tales que d = α a + β b + λ c . Existencia Cosideremos los cuatro casos posibles: →

→

→

a.

d es coplanario con a y b .

b.

d es coplanario con a y c .

c.

d es coplanario con b y c .

d.

d no es coplanario con a y b, ni con a y c , ni con b y c .

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

Analizaremos únicamente el caso d (figura 16.7).

Figura 16.7 →

→ →

→

Apliquemos en un punto O del espacio los vectores a , b , c y d , de tal manera ⎯→

→

⎯→

→

⎯→

→

⎯→

→

que OA = a , OB = b , OC = c y OD = d .

Geometría vectorial y analítica

239

Capítulo 4: Vectores geométricos Hay tres planos para destacar: π (O, A, B), π (O, A, C ), π (O, B, C ). En ninguno de los tres planos está el punto D. Tracemos por el punto D: →

„

Una paralela al vector a , que corta al plano π (O, B, C ) en H .

„

Una paralela al vector b , que corta al plano π (O, A, C ) en F .

„

Una paralela al vector c , que corta al plano π (O, A, B) en E.

→

→

Se determina así el paralelepípedo OA′EB ′C ′FDH . El segmento OD es una diagonal de dicho poliedro. ⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

Es claro que OD = OE + ED . Pero OE = OA′ + OB ′ . ⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

Luego OD = OA′ + OB ′ + OC ′ ⎯→

⎯→

(?)

⎯→

⎯→ →

⎯→ →

Ahora bien, OA′, OB ′ y OC ′ son respectivamente colineales con OA ( a ), OB ( b ) ⎯→ →

y OC ( c ). Por tanto, existen escalares α , β , λ tales que: →

→

→

→

d =α a+ β b+λ c.

Unicidad Se deja como ejercicio al lector.

{

}

→ → →

Según este último teorema, todo conjunto LI de tres vectores a , b , c en E 3 gene-

{

}

→ → →

→

ra a E3 . Esto significa que si al conjunto LI a , b , c se le agrega un vector d , el

{

}

→ → → →

nuevo conjunto a , b , c , d es, necesariamente, LD.

Puede afirmarse, en consecuencia, que en E 3 el máximo número de vectores en un conjunto LI es tres. Por tal razón, la dimensión de E 3 es tres: dim E3 = 3 .

{

}

→ → →

Además, todo conjunto a , b , c de E 3 que sea LI es una base de E3 .

240

Módulo 16: El espacio vectorial de los vectores libres Ilustración 7 En la figura 16.8, el poliedro OABC es un tetraedro (tiene cuatro caras) llamado pirámide triangular. →

⎯→

→

⎯→

→

⎯→

Sean a = OA, b = OB y c = OC . Sea además G el baricentro del triángulo OAB (la cara OAB).

{

}

→ → →

⎯→

Exprese el vector CG en la base a , b , c .

Figura 16.8

Solución → →

{

→

}

→ → →

Es evidente que a , b y c son no coplanarios y, por tanto, a , b , c es una base de

E3 . ⎯→

⎯→

⎯→

CG = CO + OG .

Llamemos M al punto medio de la arista AB. ⎯→

Como OM es una mediana, OM = ⎯→

Es decir, OM =

1 ⎯→ ⎯→ (OA+ OB ) 2

(?).

1 → → ( a + b ). 2

⎯→ → 1 → → ⎯→ ⎯→ Pero (problema resuelto) OG = 2 OM . Luego CG = − c + ( a + b ). 3 3 ⎯→ → → → Finalmente, CG = 1 a + 1 b − c . 3 3

Geometría vectorial y analítica

241

Capítulo 4: Vectores geométricos

16.5 Bases ortonormales derechas → →

En E 2 consideremos dos vectores unitarios i , j ortogonales entre sí. Con ellos

{ } → →

puede formarse un conjunto ordenado i , j al que llamaremos derecho si al apli⎯→

→

⎯→

→

carlos en un punto O del plano (que define a E 2 ), con OI = i , OJ = j , el ángulo descrito por el punto I al rotar alrededor de O, en sentido antihorario desde su posición hasta J, es de 90º.

{ } → →

En la figura 16.9 los vectores forman sistemas derechos, i , j no así en la figura 16.10.

Figura 16.9

Figura 16.10

{ } → →

En adelante, al conjunto ordenado i , j , en las condiciones descritas, lo llamaremos base ortonormal derecha (BOND) para E2 .

{ } → →

Partamos ahora de una BOND i , j para E2 . Formemos un conjunto ordenado

{

→

242

→

}

→

→

→

→

i , j , k agregando k , vector unitario ortogonal, a i y a j .

Módulo 16: El espacio vectorial de los vectores libres ⎯→

→

Supongamos que al aplicar los tres vectores en un mismo punto O, con OI = i , ⎯→

→

⎯→

→

→

OJ = j , OK = k , y el sentido de k es el de un «tornillo de rosca derecha» al l . En este caso, diremos «enroscar» de I a J, barriendo el ángulo recto I OJ

{

→

→

}

→

que i , j , k es una base ortonormal derecha (BOND) para E3 .

{

→

→

}

→

3 En la figura 16.11 i , j , k es una BOND para E , lo que no sucede en la figura 16.12.

Figura 16.11

Figura 16.12

Geometría vectorial y analítica

243

5

Capítulo 5 Vectores coordenados

Contenido breve Módulo 17 Correspondencia entre los vectores geométricos y los vectores coordenados Módulo 18 Lugares geométricos

Una interpretación que podemos dar al tema que iniciaremos es la siguiente: el espacio en que nos movemos y que designaremos como el espacio físico puede interpretarse como un conjunto infinito de puntos que, respecto a un sistema de referencia que podemos elegir 3 arbitrariamente, se pueden expresar por medio de ternas ordenadas de números reales, esto es, por elementos de \ ; así, a cada ⎯→

Módulo 19 Intersecciones entre lugares geométricos Ejercicios Módulos 17 al 19

par de puntos del espacio P, Q se les puede asignar el vector PQ . Si se ha elegido convenientemente el sistema de referencia y la ⎯→

⎯→

base del espacio de los vectores geométricos, a su vez cada punto se localiza en forma única por medio de los vectores P y Q que llamaremos vectores localizados o de posición, estableciendo de esta manera correspondencias entre los puntos del espacio, los vectores de posición y los vectores libres.

Presentación Los conjuntos que hemos estudiado hasta el momento nos han permitido identificar estructuras algebraicas comunes a estos conjuntos, que nos han llevado a caracterizarlos como espacios vectoriales reales, y a sus elementos en particular, bajo la designación genérica de vectores. Estas estructuras nos permitirán establecer una correspondencia específica y de 3 gran importancia entre el espacio vectorial de los vectores geométricos, E , \ ,

3 y el espacio vectorial de las n-tuplas de componentes reales, \ , \ , con una

identificación entre sus operaciones respectivas, propiciando un tránsito natural entre el análisis geométrico en E 3 y la geometría analítica propiamente dicha desarrollada en \ 3 . Geometría vectorial y analítica

249

Capítulo 5: Vectores coordenados Esta correspondencia se establece análogamente entre los subespacios vectoriales de E 2 y \ 2 , y E1 (vectores paralelos a una recta dada) y el conjunto \. La correspondencia establecida, y en particular la conservación de operaciones, tiende un puente entre ambos espacios, que nos permite, entre muchas aplicaciones, determinar las ecuaciones vectoriales que caracterizan diversos lugares geométricos en forma sorprendentemente simple y luego proceder a desarrollar su estudio analítico en términos de sus coordenadas. Esta herramienta se constituye en un instrumento matemático invaluable, como tendremos la oportunidad de estudiarlo, para el cálculo vectorial, mostrando cómo lugares geométricos que presentan ecuaciones algebraicas bastante complejas se pueden construir desde ecuaciones vectoriales relativamente sencillas. Este hecho hace que las situaciones problema que pueden plantearse demanden la creatividad, el análisis y, sobre todo, el manejo correcto de unos instrumentos sencillos: el vector geométrico y sus operaciones. Estas características convierten este tema en un verdadero desafío, en el sentido más positivo del término, que invita al estudiante a lograr el mejor despliegue de los conocimientos adquiridos, para crear las imágenes requeridas en los diferentes espacios y luego traducirlos a las estructuras vectoriales fundamentales, y finalmente su expresión en una ecuación algebraica. Las razones anteriores nos llevan a presentar este estudio en un grado variable de complejidad, iniciando en los conjuntos más simples y familiares, como son la recta y el plano, y que progresivamente incrementaremos al introducir nuevas operaciones vectoriales como el producto escalar, el producto vectorial y el producto mixto. Así, la gama de aplicaciones se amplía totalmente, y el límite de las mismas es incalculable. Por ello invitamos al estudiante a avanzar permanentemente en su estudio, en particular como soporte vital en la formulación y solución de una gran variedad de problemas en las diversas ramas de la Ingeniería. Iniciamos este estudio con la revisión de elementos fundamentales, algunos de ellos ya conocidos, pero cuya integración consideramos necesaria.

250

17 Correspondencia entre los vectores geométricos y los vectores coordenados Introducción Retomamos algunos conceptos ya desarrollados previamente, como son vector unitario, vectores ortogonales, vectores ortonormales y bases ortonormales, con el propósito de fundamentar en este capítulo una correspondencia vital, para el desarrollo de la teoría y sus resultados, entre los conjuntos: E3 y R3, E2 y R2, E1 y R. Estas correspondencias están mediadas por un conjunto de nuevos vectores que entramos a estudiar y que corresponden a los vectores de posición o vectores localizados.

El establecimiento de una correspondencia entre los vectores geométricos y los vectores coordenados nos permite describir vectorialmente las propiedades de cualquier conjunto de puntos que presenta una característica expresable en términos de operaciones vectoriales, para luego ser traducidas en ecuaciones analíticas en función de las coordenadas.

La correspondencia establecida es fundamental para la construcción de la geometría analítica, la cual iniciaremos en su estudio en el módulo siguiente.

Objetivos del módulo 1. Hacer una recopilación de algunos elementos fundamentales para la estructuración de los nuevos elementos que se van a presentar dentro de la teoría. 2. Mostrar las ventajas que presentan las bases ortonormales en E 3 para la operatoria vectorial. 3. Establecer una correspondencia entre los vectores geométricos y los vectores coordenados, mediada por los vectores de posición, destacando las propiedades y consecuencias que se desprenden de ella.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es un vector unitario o normalizado? 2. ¿Cómo se normaliza un vector no nulo? 3. ¿Qué son vectores ortogonales? 4. ¿Qué son vectores ortonormales? 5. ¿Qué es un vector de posición o vector localizado? 6. ¿Qué operaciones se definen entre los vectores de posición o relacionados con ellos? 7. ¿Qué correspondencias se pueden establecer entre los conjuntos: E 0 (vectores de posición con origen en el punto 0), E 3 (vectores geométricos en el espacio) y \ 3 (n-tuplas de tres componentes reales)? 8. ¿Qué consecuencias se derivan de las correspondencias establecidas?

Contenidos del módulo 17.1 Nociones básicas 17.1.1 Vector unitario o vector normalizado 17.1.2 Vectores ortogonales

Vea el módulo 17 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

251

Capítulo 5: Vectores coordenados

17.2 17.3 17.4 17.5

252

17.1.3 Vectores ortonormales 17.1.4 Sistemas de coordenadas ortonormales Vector de posición o vector localizado 17.2.1 Operaciones básicas que incluyen los vectores de posición Correspondencia biunívoca entre los conjuntos E0 y R3 Correspondencia entre los conjuntos E3 y E0 Correspondencia entre los conjuntos E3 y R3 17.5.1 Propiedades derivadas de estas correspondencias 17.5.2 Interpretación geométrica de la correspondencia entre los conjuntos E3 y R3

Módulo 17: Correspondencia entre los vectores geométricos y los vectores coordenados

17.1 Nociones básicas Inicialmente presentaremos todos los elementos fundamentales para soportar teóricamente la correspondencia entre los vectores geométricos y los vectores coordenados (ver numeral 17.5)

17.1.1 Vector unitario o vector normalizado Escuche la biografía de René Descartes en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. →

→

→

→

→

Sea a ∈ E3 , a ≠ o . Decimos que a es unitario si a = 1 .

⎛ ⎞ ⎜ 1 ⎟→ En general, si b ∈ E y b ≠ o , entonces el vector ⎜ → ⎟ b es un vector unitario y lo ⎜ b ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ →

→

3

→

denotamos así: ⎛ ⎞ ⎜ 1 ⎟→ u b = ⎜ → ⎟ b, ⎜ b ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

→

→

que leeremos «vector unitario o normalizado en la dirección y el sentido del vector →

→

→

→

b ».

a ∈E ,a ≠ o. Observaciones 3

1.

En este contexto la expresión «normalizar un vector geométrico determinado» significa determinar un vector de magnitud igual a uno, pero con la dirección y el sentido del vector especificado. G Así, supongamos que un vector t , como se indica en la figura 17.1, tiene G t = 3 unidades.

Figura 17.1

⎛ ⎞ ⎜ 1 ⎟→ ⎛1⎞→ Entonces u →t = ⎜ → ⎟ t = ⎜ ⎟ t es un vector normalizado en la dirección y ⎜ t ⎟ ⎝ 3⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ →

→

el sentido de t .

Geometría vectorial y analítica

253

Capítulo 5: Vectores coordenados →

→

→

→

→ →

Dado x ∈ E3 , x ≠ 0 , entonces x = x u →x .

2.

La ecuación anterior es una consecuencia inmediata de la definición del vector «normalizado» (¿por qué?) y tiene una importancia fundamental en las aplicaciones del vector geométrico en el cálculo vectorial y en las aplicaciones a la física, como veremos más adelante.

17.1.2 Vectores ortogonales → →

→ →

→

→

→

Sean a , b ∈ E3 , a , b ≠ o . Los vectores a y b son ortogonales si al aplicarlos en un punto común forman ángulo recto. Notación →

→

→

→

Si a y b son ortogonales, los denotamos a ⊥ b .

17.1.3 Vectores ortonormales → →

→ →

→

→

→

→

Sean a , b ∈ E3 , a , b ≠ o . Los vectores a y b son ortonormales si y sólo si a y →

b son unitarios y ortogonales. →

→

→

→

→

→

Esto es, a y b son ortonormales si y sólo si a = b = 1 y a ⊥ b .

17.1.4 Sistemas de coordenadas ortonormales

{ } → → →

→ → →

Designaremos por i , j , k una base ortonormal en E3 . Esto significa que i , j , k son mutuamente perpendiculares y unitarios.

Generalmente asociamos cada uno de estos vectores, en su orden, con los semiejes positivos de un sistema de coordenadas cartesianas en tres dimensiones, como lo indicamos en la figura 17.2:

Figura 17.2

254

Módulo 17: Correspondencia entre los vectores geométricos y los vectores coordenados Observación

{

→

→

→

} {

→

→

→

}

Designaremos también por ux , u y , uz o e1 , e2 , e3 bases ortonormales en E3 .

17.2 Vector de posición o vector localizado Son vectores geométricos con un origen fijo y en consecuencia no son libres. Generalmente designamos por «O» el origen de los vectores de posición. Notación 1.

Designaremos un vector de posición con una letra mayúscula asociada al punto que corresponda a su extremo, con la flechita característica del vector geométrico, así (figura 17.3):

Figura 17.3

2.

Designaremos por E 0 el conjunto de todos los vectores de posición de origen en el punto O.

17.2.1 Operaciones básicas que incluyen los vectores de posición 1.

La suma entre un vector de posición y un vector libre es un vector de posición (figura 17.4).

2.

La diferencia entre dos vectores de posición es un vector libre (figura 17.5).

3.

Si λ ∈ R y A es un vector de posición, entonces λ A es un vector de posición (figura 17.6).

→

→

Geometría vectorial y analítica

255

Capítulo 5: Vectores coordenados

Figura 17.4

Figura 17.5

Figura 17.6

Observaciones 1.

La suma entre vectores de posición, bajo el concepto general establecido para los vectores geométricos, no está definida. Sin embargo se establece, bajo un contexto restringido, no general, una definición para el caso de vectores de posición no nulos y no paralelos, como el vector asociado a la diagonal principal del paralelogramo determinado por los dos vectores de posición, como lo indicamos a continuación (figura 17.7).

Figura 17.7

Obsérvese que al no definirse en forma general, esta suma no puede caracterizarse como una operación binaria.

256

Módulo 17: Correspondencia entre los vectores geométricos y los vectores coordenados →

2.

→

→

→

A + b es un vector de posición, pero b + A no está definido (¿por qué?).

17.3 Correspondencia biunívoca entre los conjuntos E0 y R3

{

}

→ → →

3 Dados E 0 , R 3 y i , j , k una base ortonormal en E , definimos una función f

entre los conjuntos E 0 y R 3 así: f : E0 → R3 , ⎛→⎞ A → f ⎜ A ⎟ = A(α1 , α 2 , α 3 ). ⎝ ⎠

→

Esto es, a cada vector de posición la función le asigna las coordenadas asociadas al punto correspondiente al extremo del vector expresadas en el sistema de coordenadas ortonormales, así (figura 17.8):

Figura 17.8

Observaciones 1.

Esta función es inyectiva y sobreyectiva («1 a 1» y sobre) y se denomina también biyectiva o correspondencia biunívoca. Esto significa que a cada vector de posición le corresponde una tripleta única; y recíprocamente, a cada tripleta de coordenadas le corresponde un vector localizado único.

2.

La correspondencia anterior la denotamos: →

A ↔ A(α1 , α 2 , α 3 ).

Geometría vectorial y analítica

257

Capítulo 5: Vectores coordenados

17.4 Correspondencia entre los conjuntos E3 y E0

{

}

→ → →

Dados E 3 , E 0 y i , j , k una base ortonormal en E 3 , definimos una función g entre los conjuntos E3 y E 0 así: g : E3 → E0 , ⎛→⎞ → a → g ⎜ a ⎟ = A. ⎝ ⎠

→

→

Esto es, a cada vector libre a la función le asigna como imagen el vector de posi→

ción A, que tiene la misma magnitud, la misma dirección y el mismo sentido del →

vector a , así (figura 17.9):

Figura 17.9

Observaciones 1.

Esta función no es una correspondencia biunívoca, puesto que a un vector de posición determinando le pueden corresponder diferentes vectores libres (desde luego iguales entre sí); en consecuencia, no es una función inyectiva («1 a 1»), mas sí es sobreyectiva («sobre»).

2.

Dado el vector A , designamos al vector OA como «el vector libre asociado

→

⎯→

→

al vector A ». En este caso podemos establecer una correspondencia ⎯→

→

⎯→

→

biunívoca entre OA y A, que la indicamos como OA ↔ A . 3.

Cuando operamos en particular en una base ortonormal como en este caso, todo vector geométrico tiene una expresión única en ella y en consecuencia la correspondencia se plantea en general entre E 3 y E 0 .

258

Módulo 17: Correspondencia entre los vectores geométricos y los vectores coordenados

17.5 Correspondencia entre los conjuntos E3 y R3

{

}

→ → →

3 Dados E 3 , E 0 , R 3 y i , j , k una base ortonormal en E , definimos una función

h entre los conjuntos E 3 y R 3 así: h : E3 → R3 , →

→

a → h( a ) = A(α1 , α 2 , α 3 ).

Esto es, a todo vector libre esta función le asigna una tripleta única. Dicha tripleta es la correspondiente al vector libre asociado al vector de posición con magnitud, →

dirección y sentido iguales a los del vector a. Observaciones 1.

La función h es precisamente igual a la función compuesta entre las funciones g y f, definidas en las secciones 17.3 y 17.4. En esta forma, el conjunto de los vectores de posición E 0 y una base ortonormal en E 3 nos permiten transitar entre E 3 y R 3 estableciendo finalmente la correspondencia definida.

2.

La correspondencia establecida la denotamos así (figura 17.10): →

⎯→

a ↔ OA ↔ A(α1 , α 2 , α 3 ) →

o a ↔ A(α1 , α 2 , α 3 ).

Figura 17.10

Geometría vectorial y analítica

259

Capítulo 5: Vectores coordenados

17.5.1 Propiedades derivadas de estas correspondencias →

→

→

→

Dados A ↔ (α1 , α 2 , α 3 ), B ↔ ( β1 , β 2 , β 3 ), c ↔ (θ1 , θ 2 , θ 3 ), d ↔ (δ1 , δ 2 , δ 3 )

λ ∈ R , se tiene: 1. 2. 3. 4. 5.

→

→

A ± c ↔ (α1 ± θ1 , α 2 ± θ 2 , α 3 ± θ 3 ).

→

→

A − B ↔ (α1 − β1 , α 2 − β 2 , α 3 − β 3 ). →

λ A ↔ (λα1 , λα 2 , λα 3 ). →

→

c ± d ↔ (θ1 ± δ1 , θ 2 ± δ 2 , θ 3 ± δ 3 ). →

λ c ↔ (λθ1 , λθ 2 , λθ 3 ).

Observaciones 1.

Las correspondencias establecidas nos facilitan totalmente el cálculo con las operaciones vectoriales, puesto que en lugar de operar geométricamente con éstas lo hacemos indirectamente a través de sus n-tuplas asociadas, que resulta operativamente mucho más sencillo, y por último se establece la correspondencia entre el vector final resultante y la n-tupla obtenida en las operaciones asociadas.

2.

En forma análoga se establecen las correspondencias y con idénticas propiedades entre los conjuntos: E 2 (conjunto de vectores geométricos contenidos en un plano) y R 2 . E1 (conjunto de vectores geométricos contenidos en una recta) y R .

17.5.2 Interpretación geométrica de la correspondencia entre los conjuntos

E 3 y R3

{

→

}

→ → →

Dados a ↔ (α1 , α 2 , α 3 ) en la base ortonormal i , j , k tenemos, como se indica en la figura 17.11: „

AT es perpendicular al plano determinado por los ejes x, y; en consecuencia, m ( AT ) es la distancia del punto A a dicho plano.

„

TS es perpendicular al eje x; en consecuencia, m (TS ) es la dis-

tancia del punto T al eje x. „

260

TF es perpendicular al eje y; en consecuencia, m (TF) es la distancia del punto T al eje y.

Módulo 17: Correspondencia entre los vectores geométricos y los vectores coordenados

Vea la animación Correspondencia entre

E3 y \3 en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Figura 17.11

Ahora, teniendo en cuenta que las coordenadas del punto A indican las distancias dirigidas a un plano y a dos ejes, podemos afirmar, con base en las designaciones anteriores, que (figura 17.12):

m( AT ) == α3 ; m (TS ) == α2 ; m(TF) == α1 .

Figura 17.12 ⎯→

Expresemos el vector OA en términos de vectores paralelos a los ejes x, y, z.

Geometría vectorial y analítica

261

Capítulo 5: Vectores coordenados (1)

(2)

⎯→

⎯→

⎯→

⎯→ ⎯→ → → ⎫ OS = OS i = α1 i ⎪ ⎪ ⎯→ ⎯→ → → ⎪ ST = ST j = α 2 j ⎬ (¿por qué?). ⎪ ⎯→ ⎯→ → →⎪ TA = TA k = α3 k ⎪ ⎭

⎯→

(3)

⎯→

OA = OS + ST + TA (suma generalizada).

→

→

→

OA = α1 i + α 2 j + α 3 k

(sustitución de (2) en (1)).

La ecuación (3) nos permite concluir que las coordenadas del punto asociadas al vector geométrico son los coeficientes que nos permiten expresar el vector como una combinación lineal de los vectores de la base ortonormal. →

∴a ↔ (α1 , α 2 , α 3 ) . →

Finalmente, demostremos que a = α12 + α 22 + α 32 . ⎯→

⎯→

⎯→

(1)

OA = OT + TA .

(2)

OA =

(3)

OT = α1 i + α 2 j .

(4)

OT

⎯→ 2

⎯→

⎯→

→

⎯→ 2

⎯→ 2

OT + TA →

→ 2

= α1 i 2

→ 2

+ α2 j

= α1 + α 2 ⎯→

(teorema de Pitágoras en el ΔOTA) .

2

(teorema de Pitágoras en el ΔOST ).

(¿por qué?).

→

(5)

TA = α3 k .

(6)

TA = α3 k

⎯→

→

= α3

(¿por qué?).

⎯→

(7)

OA = α12 + α 22 + α 32 (sustituyendo (4) y (6) en (2)).

Ilustración 1 →

→

→

Dados a ↔ (−2, 0, − 1), b ↔ (5, 1, 3), c ↔ (1/ 2, 3, − 2), determinemos: →

1.

262

→

→

→

Las coordenadas del vector s = −1a + 3b + 2 c .

Módulo 17: Correspondencia entre los vectores geométricos y los vectores coordenados →

2.

Las coordenadas del vector u →s .

3.

Las coordenadas de un vector de magnitud

5 en la dirección y el sentido 7

→

de s . →

4.

→

→

{

}

→ → →

→

Si t = 2 a − b − 3 c , expresarlo en términos de la base ortonormal i , j , k .

Solución 1.

Por la correspondencia tenemos: →

s ↔ −1(−2, 0, − 1) + 3(5, 1, 3) + 2(1/ 2, 3, − 2) ↔ (2, 0, 1) + (15, 3, 9) + (1, 6, − 4) ↔ (18, 9, 6).

→

2.

→

us

⎛ ⎞ ⎜ 1 ⎟→ = ⎜ → ⎟ s , y del numeral anterior tenemos que: ⎜ s ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

→ ⎛ 1 ⎞→ → s = 182 + 92 + 62 = 441 , luego u s = ⎜ ⎟ s , y en consecuencia ⎝ 441 ⎠

→

→

9 6 ⎞ ⎛ 18 , , ⎟. ⎝ 441 441 441 ⎠

us ↔ ⎜ →

→

3.

Tomando como referencia

→

u s , entonces el vector pedido corresponde a

⎛ 5 ⎞ →→ 5 ⎛ 18 , ⎜⎜ ⎟⎟ u s (¿por qué?) y sus coordenadas son ⎜ 7 7 ⎝ 441 ⎝ ⎠

9 441

,

6 ⎞ ⎟ o 441 ⎠

⎛ 18 5 9 5 6 5 ⎞ ⎜⎜ 7 441 , 7 441 , 7 441 ⎟⎟ . ⎝ ⎠

4.

Por la correspondencia tenemos: →

t ↔ 2 ( −2, 0, − 1) − (5, 1, 3) − 3 (1/ 2, 3, − 2) ↔ ( −4, 0, − 2) + ( −5, − 1, − 3) + ( −3 / 2, − 9, 6) ⎛ 21 ⎞ ↔ ⎜ − , − 10,1 ⎟ . ⎝ 2 ⎠

Ahora, teniendo en cuenta el significado geométrico de las coordenadas, conclui→

mos que t = −

→ → 21 → i + (−10) j + k . 2

Geometría vectorial y analítica

263

18 Lugares geométricos Introducción Presentaremos como consecuencias derivadas de la correspondencia entre vectores geométricos y vectores coordenados el estudio de dos lugares geométricos muy sencillos pero no por ello menos importantes: la recta y el plano. Para la primera, adelantaremos su estudio en el espacio y, como una consecuencia natural, revisaremos su tratamiento en el plano. Para ambos lugares, recta y plano, iniciaremos la determinación de sus ecuaciones vectoriales y mediante un tránsito sencillo, asistido por las correspondencias estudiadas, continuaremos con su estudio analítico.

Objetivos del módulo 1. Utilizar la correspondencia establecida entre los conjuntos E 3 y \ 3 y los demás conjuntos asociados, para efectuar un tránsito natural entre la geometría vectorial y la geometría analítica. 2. Aplicar el procedimiento anterior en el estudio analítico de los lugares geométricos, iniciando con la recta en el espacio y en el plano, y el plano en el espacio.

La gráfica nos muestra simultáneamente en el espacio lo siguiente: la recta que pasa por el punto (1, 2, -1) y es → →

paralela al vector t , t ↔ (1, 1, 1); el plano π que pasa G G por el punto (1, 1, -1) y es paralelo a los vectores a y b , →

→

con a ↔ (1, 2, 0), b ↔ (2, 1, 0); y la intersección de los dos conjuntos anteriores, correspondiente a {(1, 2, − 1)} .

Preguntas básicas → →

t,t ↔

1. ¿Cómo se determina la ecuación vectorial de una recta en el espacio, cuando se conocen un punto de ella y un vector paralelo a la misma? 2. ¿Cómo se determinan las ecuaciones paramétricas y simétricas de esta misma recta? 3. ¿Cómo se determina la ecuación vectorial de una recta en el plano, cuando se conocen un punto de ella y un vector paralelo a la misma? 4. ¿Cómo se determinan las ecuaciones paramétricas, simétricas y la ecuación cartesiana de esta misma recta? 5. ¿Cómo se determina la ecuación vectorial de una recta en el espacio cuando se conocen dos puntos? 6. ¿Qué ocurre con la ecuación vectorial de la recta en el plano, bajo estas mismas condiciones? 7. ¿Cómo se determinan otros subconjuntos de la recta en el plano o en el espacio, tales como segmentos, semirrectas, rayos? 8. ¿Por qué no es posible determinar una ecuación cartesiana para una recta en el espacio? 9. ¿Cómo se determina una ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana de un plano en el espacio cuando se conocen un punto del plano y dos vectores paralelos al plano, pero no paralelos entre sí? 10. ¿Cómo se determinan una ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana de un plano en el espacio cuando se conocen tres puntos distintos y no colineales, pertenecientes al plano?

Contenidos del módulo 18.1 Lugares geométricos 18.1.1 La recta en el espacio 18.1.2 El plano en el espacio Vea el módulo 18 del programa de televisión Geometría Vectorial y Analítica

Geometría vectorial y analítica

265

Capítulo 5: Vectores coordenados

18.1 Lugares geométricos

Vea la animación La recta en el espacio determinada por un punto y un vector en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Iniciamos las aplicaciones de la correspondencia establecida entre los vectores geométricos y los vectores coordenados con el estudio de la determinación de algunos lugares geométricos, en el espacio y en el plano, entendidos como el conjunto de puntos que satisfacen una propiedad característica. Para su análisis utilizaremos el siguiente procedimiento: 1.

Para un punto genérico perteneciente al conjunto establecemos una ecuación vectorial, en función de los datos que se conozcan o las invariantes presentes, y que sea satisfecha única y exclusivamente por los puntos del conjunto. Esta ecuación la designaremos como la ecuación vectorial o la propiedad característica del lugar geométrico objeto de estudio.

2.

Mediante la correspondencia, establecemos las relaciones duales entre las n-tuplas asociadas a la ecuación vectorial y procedemos a formular las respectivas ecuaciones y propiedades derivadas, en términos de las coordenadas, avanzando en el estudio propiamente analítico del lugar geométrico específico.

18.1.1 La recta en el espacio → → ⎛ ⎞ Sean P0 ( x0 , y0 , z0 ), t ↔ (a, b, c) . Designaremos por L ⎜ P0 , t ⎟ la recta en el espa⎝ ⎠ →

cio que pasa por el punto P0 y es paralela al vector t (figura 18.1) o también la recta →

que pasa por P0 y tiene la dirección del vector t .

Figura 18.1

Sea P ( x, y, z ) un punto cualquiera (genérico) perteneciente a esta recta. Localicemos o asociemos a los puntos P0 y P sus respectivos vectores de posición (figura 18.2).

266

Módulo 18: Lugares geométricos

Figura 18.2

Describamos vectorialmente una propiedad que identifique a cualquier punto de la recta y solamente a puntos de ésta. →

(1).

⎯⎯→

(2).

→

⎯⎯→

P = P0 + P0 P (suma entre un vector de posición y un vector libre). →

P0 P & t (de la hipótesis) y, en consecuencia, por el criterio del paralelismo

tenemos: (3).

⎯⎯→

→

(4).

→

P0 P = λ t , λ ∈ R. →

→

P = P0 + λ t , λ ∈ R (sustituyendo (3) en 1).

G Esta es la ecuación vectorial de la recta L( P0 , t ) o también su propiedad característica. Observaciones 1.

Esta ecuación se cumple para todos los puntos que están sobre la recta y únicamente para éstos. → → → ⎯⎯→ ⎛ ⎞ En efecto, si P´∉ L ⎜ Po , t ⎟ se cumple que P ′ = P0 + P0 P ′ ; pero como ⎝ ⎠ ⎯⎯→

→

⎯⎯→

→

P0 P ′ & t (¿por qué?), entonces P0 P ′ ≠ λ t , y, en consecuencia, no se satisface la ecuación vectorial.

2.

→ ⎛ ⎞ Designamos la recta L ⎜ P0 , t ⎟ por comprensión, así: ⎝ ⎠

{

}

→ → → → ⎛ ⎞ L ⎜ P0 , t ⎟ = P( x, y, z ) P = P0 + λ t , λ ∈ R . ⎝ ⎠

Aplicando la correspondencia establecida a partir de la ecuación vectorial tenemos:

Vea la animación La recta en el espacio determinada por dos puntos en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Geometría vectorial y analítica

267

Capítulo 5: Vectores coordenados →

P ↔ ( x0 , y0 , z0 ) + λ ( a, b, c). P ( x, y, z ) = ( x0 + λ a, y0 + λ b, z0 + λ c ).

Y de la igualdad de n-tuplas se obtiene:

(1) x = x0 + λ a ⎫ ⎪ (2) y = y0 + λ b ⎬ λ ∈ R. (3) z = z0 + λ c ⎪⎭ → ⎛ ⎞ Este sistema se designa como las ecuaciones paramétricas de L ⎜ P0 , t ⎟ . ⎝ ⎠

Observaciones 1.

Revisando las ecuaciones paramétricas podemos concluir que los términos independientes ( x0 , y0 , z0 ) son precisamente las coordenadas de un punto particular de la recta; los términos asociados al parámetro corresponden a las coordenadas de un vector paralelo a la recta. De este vector decimos que es el que le da la dirección a la recta.

2.

La ecuación de una recta está en función de un solo parámetro.

Ilustración 2 →

Dados B (−2, 5, 3), f ↔ (1, − 1, − 5), determinemos la ecuación vectorial, las

⎛ →⎞ ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas de L ⎜ B, f ⎟ (figura 18.3). ⎝ ⎠ Solución

⎛ →⎞ Sea P( x, y, z ) ∈ L ⎜ B, f ⎟ . ⎝ ⎠ →

1.

→

→

P = B + λ f , λ ∈ R (ecuación vectorial de la recta).

Por la correspondencia tenemos:

( x, y, z ) = (−2, 5, 3) + λ (1, − 1, − 5) = (−2 + λ , 5 − λ , 3 − 5λ ). 2.

Por la igualdad de n-tuplas se concluye que:

x = −2 + λ ⎫ ⎪ y = 5 − λ ⎬ λ ∈ R (ecuaciones paramétricas de esta recta). z = 3 − 5λ ⎪⎭

268

Módulo 18: Lugares geométricos Despejando el parámetro λ en cada una de la ecuaciones anteriores obtenemos:

3.

x + 2 y − 5 z − 3 (ecuaciones simétricas de esta recta). = = 1 −1 −5

Figura 18.3

Ilustración 3 Con relación a la recta determinada en la ilustración 2: 1.

Determinemos dos puntos, diferentes de B, pertenecientes a la recta.

2.

Dados los puntos S (−3 / 2, 9 / 2, 1/ 2) y T (1, 2, 8), determinemos si pertenecen o no a la recta.

3.

Determinemos los interceptos de esta recta con los planos determinados por: a.

Los ejes x, y.

b.

Los ejes x, z.

c.

Los ejes y, z.

Solución 1.

Asignémosle valores específicos al parámetro. Así por ejemplo, para λ = 1 , → x = −1, y = 4, z = −2 , luego A(−1, 4, − 2) ∈ L ⎛⎜ B, f ⎞⎟ ; para λ = −7 , ⎝ ⎠

⎛ →⎞ x = −9 , y = 12, z = 38 , luego D(−9, 12, 38) ∈ L ⎜ B, f ⎟ . ⎝ ⎠

Geometría vectorial y analítica

269

Capítulo 5: Vectores coordenados 2.

Veamos, para el punto S, si existe un valor único del parámetro que satisfaga las ecuaciones paramétricas, así:

(1) − 3 / 2 = −2 + λ ⎫ De la ecuación (1), λ = 1 2. ⎪ (2) 9 / 2 = 5 − λ ⎬ Sustituyendo en(2), 9 2 = 5 − 1 2 = 9 2. (3) 1/ 2 = 3 − 5λ ⎪⎭ Sustituyendo en (3), 1 2 = 3 − 5 2 = 1 2.

⎛ →⎞ Lo que nos permite concluir que S ∈ L ⎜ B, f ⎟ . ⎝ ⎠ Para el punto T: (1) 1 = −2 + λ ⎫ Dela ecuación (1), λ = 3. ⎪ (2) 2 = 5 − λ ⎬ En la ecuación (2), 2 = 5 − 3 = 2. (3) 8 = 3 − 5λ ⎪⎭ En la ecuación (3), 8 = 3 − 15 = −12 →← .

⎛ →⎞ Por tanto, concluimos que T ∉ L ⎜ B, f ⎟ . ⎝ ⎠ 3.

Determinemos los puntos de intersección así: a.

Con el plano determinado por los ejes x, y.

En este caso, cualquier punto de este plano tiene la tercera coordenada z = 0 (¿por qué?), y sustituyendo este valor en las ecuaciones paramétricas tenemos: 0 = 3 − 5λ , de donde se tiene que λ = 3 5 y, en consecuencia, 3 7 3 22 x = −2 + = − ; y = 5 − = , 5 5 5 5 luego el intercepto con este plano corresponde al punto de coordenadas

⎛ 7 22 ⎞ , 0⎟ . ⎜− , ⎝ 5 5 ⎠ Se deja al lector la determinación de los interceptos con los otros dos planos. Ilustración 4 →

Dados B(−2, 5), f ↔ (1, − 1), determinemos las ecuaciones vectorial, paramétricas, → simétricas y la ecuación cartesiana de L ⎛⎜ B, f ⎞⎟ . ⎝ ⎠

Solución Estamos ubicados en este caso en el plano y procedamos, por analogía, como lo hicimos en el caso de la recta en el espacio. Así podemos analizar qué elementos permanecen invariantes en la estructura y qué cambia realmente (figura 18.4).

270

Módulo 18: Lugares geométricos

Figura 18.4

⎛ →⎞ Sea P( x, y ) ∈ L ⎜ B, f ⎟ . ⎝ ⎠ →

1.

→

→

P = B + λ f , λ ∈ R (ecuación vectorial de esta recta) (¿por qué?).

Esto nos permite afirmar que la ecuación vectorial es la misma para la recta

{

}

→ → → ⎛ →⎞ en el espacio o en el plano; luego L ⎜ B, f ⎟ = P( x, y ) P = B + λ f , λ ∈ R . ⎝ ⎠

Obsérvese que es la dimensión del elemento genérico (tripleta o pareja) lo que nos muestra explícitamente si se trata de una recta en el espacio o en el plano. Por la correspondencia tenemos:

( x, y ) = (−2,5) + λ (1, −1) = (−2 + λ , 5 − λ ). Y de la igualdad de n-tuplas se concluye: (1) x = −2 + λ ⎫ ⎬ λ ∈ R (ecuaciones paramétricas de esta recta). (2) y = 5 − λ ⎭

Despejando el parámetro y aplicando la transitividad, tenemos:

x+ 2 y −5 (ecuaciones simétricas de esta recta). = 1 −1 En este caso, de la ecuación anterior se obtiene:

− x − 2 − y + 5 = 0 , esto es, x + y − 3 = 0 (ecuación cartesiana de

Vea la animación La recta en el plano determinada por un punto y un vector en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

esta recta).

Geometría vectorial y analítica

271

Capítulo 5: Vectores coordenados Notas 1.

La ecuación cartesiana de una recta en el plano corresponde siempre a una ecuación lineal en dos variables.

2.

Una recta en el espacio no presenta ecuación cartesiana (¿por qué?). Podemos, en la ecuación cartesiana anterior, despejar la variable y así: y = − x + 3 (forma pendiente-intercepto),

que nos indica que la pendiente de esta recta es igual a –1 y que su intercepto con el eje y corresponde al punto de coordenadas (0, 3). Ilustración 5 Sean P0 ( x0 , y0 , z0 ), P1 ( x1 , y1 , z1 ) dos puntos distintos. Designaremos por L( P0 , P1 ) la recta en el espacio que pasa por el punto P0 y por el punto P1 (figura 18.5).

Figura 18.5

Sea P ( x, y, z ) un punto cualquiera (genérico) perteneciente a esta recta. Localicemos o asociemos a los puntos P0 , P1 y P sus respectivos vectores de posición (figura 18.6).

Figura 18.6

272

Módulo 18: Lugares geométricos Describamos vectorialmente una propiedad que identifique a cualquier punto de la recta y solamente a puntos de ésta. 1.

→

→

⎯⎯→

P = P0 + P0 P (¿por qué?). ⎯⎯→

⎯⎯→

2.

P0 P = λ P0 P1 , λ ∈ R (¿por qué?).

3.

→ → ⎛ ⎯⎯→ ⎞ P = P0 + λ ⎜ P0 P1 ⎟ (sustituyendo (2) en (1)). ⎝ ⎠

4.

→ → ⎛→ →⎞ P = P0 + λ ⎜ P1 − P0 ⎟ (definición alterna de diferencia en (3)). ⎝ ⎠ → → ⎛→ →⎞ Luego P = P0 + λ ⎜ P1 − P0 ⎟ λ ∈ R . ⎝ ⎠

Esta es la ecuación vectorial de la recta L( P0 , P1 ). Se deja al lector la determinación de las ecuaciones paramétricas y simétricas de esta recta, como también la determinación de las ecuaciones vectorial, paramétricas, simétricas y cartesiana de la recta L( P0 , P1 ) en el plano, para P0 ( x0 , y0 ) y P1 ( x1 , y1 ). Ilustración 6 Dados A(−3, 1, 2) y D (1, − 5, 1), determinemos las ecuaciones vectorial, paramétricas y simétricas de la recta L( A, D). Solución Sea P ( x, y, z ) ∈ L( A, D). →

1.

→

⎯→

P = A + λ ( AD), λ ∈ R (es la ecuación vectorial). ( x, y, z ) = (−3, 1, 2) + λ (4, − 6, − 1).

2.

(1) x = −3 + 4λ ⎫ ⎪ (2) y = 1 − 6λ ⎬ λ ∈ R (ecuaciones paramétricas). (3) z = 2 − λ ⎪⎭

3.

λ=

x+3 y −1 z−2 ; λ= ; λ= . 4 −6 −1

Luego x + 3 = y − 1 = z − 2 son las ecuaciones simétricas. 4 −6 −1 Se deja al lector la determinación de las ecuaciones vectorial, paramétricas, simétricas y cartesiana de la recta L( S , K ) en el plano, para S (−2, 7), K (1/ 3, − 1) .

Vea la animación La recta en el plano determinada por dos puntos en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Geometría vectorial y analítica

273

Capítulo 5: Vectores coordenados

18.1.2 El plano en el espacio →

→

→

→

Sean P0 ( x0 , y0 , z0 ), a ↔ ( ax , a y , az ), b ↔ (bx , by , bz ) tales que a & b . → → ⎛ ⎞ Designaremos por π ⎜ P0 , a , b ⎟ al plano en el espacio que pasa por el punto P0 y ⎝ ⎠

Vea la animación Plano en el espacio determinado por un punto y dos vectores en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

→

→

al cual son paralelos los vectores a y b (figura 18.7).

Figura 18.7 →

→

Apliquemos los vectores a y b en el punto P0 . En esta forma podemos garantizar la existencia de un plano único puesto que se tienen tres puntos distintos y no →

→

colineales, constituidos por el punto P0 y los extremos de los vectores a y b ; este → → plano cumple con las condiciones descritas para π ⎛⎜ P0 , a , b ⎞⎟ . ⎝ ⎠

Sea P ( x, y, z ) un punto cualquiera (genérico) perteneciente a este plano (figura 18.8). Localicemos o asociemos a los puntos P0 y P sus respectivos vectores de posición ⎯→

y determinemos el vector P0 P (figura 18.9).

274

Módulo 18: Lugares geométricos

figura 18.8

Figura 18.9

Describamos vectorialmente una propiedad que identifique a cualquier punto del plano y solamente a puntos de éste. 1. 2.

→

⎯→

⎯→ → → ⎯→ → → ⎛ ⎞ Como P0 P ⊂ π ⎜ P0 , a , b ⎟ , entonces P0 P = λ a + β b, con λ , β ∈ R (teorema ⎝ ⎠ de la base). →

3.

→

P = P0 + P0 P .

→

→

→

P = P0 + λ a + β b , λ , β ∈ R (sustitución de (2) en (1)). → → Esta es una ecuación vectorial del plano π ⎛⎜ P0 , a , b ⎞⎟ o también su pro⎝ ⎠ piedad característica.

Vea la animación Plano en el espacio determinado por tres puntos en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Geometría vectorial y analítica

275

Capítulo 5: Vectores coordenados Observaciones 1.

2.

Esta ecuación se cumple para todos los puntos que pertenecen a este plano y únicamente por éstos. → → ⎛ ⎞ Designamos el plano π ⎜ P0 , a , b ⎟ por comprensión así: ⎝ ⎠

{

}

→ → → → → → π ⎛⎜ P0 , a , b ⎞⎟ = P( x, y, z ) P = P0 + λ a + β b , λ , β ∈ R .

⎝

⎠

Aplicando la correspondencia establecida, a partir de la ecuación vectorial tenemos: →

P ↔ ( x0 , y0 , z0 ) + λ (ax , a y , az ) + β (bx , by , bz ). P ( x, y, z ) = ( x0 + λ ax + β bx , y0 + λ a y + β by , z0 + λ az + β bz ),

y de la igualdad de n-tuplas se obtiene: (1) x = x0 + λ ax + β bx ⎫ ⎪ (2) y = y0 + λ a y + β by ⎬ λ , β ∈ R. ⎪ (3) z = z0 + λ az + β bz ⎭ → → ⎛ ⎞ Este sistema se designa como las ecuaciones paramétricas de π ⎜ P0 , a , b ⎟ . ⎝ ⎠

Observaciones 1.

Revisando las ecuaciones paramétricas podemos concluir que los términos independientes ( x0 , y0 , z0 ) son precisamente las coordenadas de un punto particular del plano; los coeficientes asociados a los parámetros respectivos corresponden a las coordenadas de los vectores paralelos al plano.

2.

La ecuación del plano está en función de dos parámetros, diferenciándose plenamente de la ecuación de una recta en el espacio que está en función de un solo parámetro.

3.

En el sistema de ecuaciones paramétricas podemos proceder a la reducción de los dos parámetros y obtenemos siempre una ecuación lineal en las variables x, y, z de la forma Ax + By + Cz + D = 0, que designaremos como → → ⎛ ⎞ la ecuación cartesiana del plano π ⎜ P0 , a , b ⎟ . ⎝ ⎠

Ilustración 7 →

→

Dados A( − 1, 2, 1), s ↔ (3, 1, − 1), t ↔ (5, − 3, 4), determinemos la ecuación

⎛ → →⎞ vectorial, las ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana del π ⎜ A, s , t ⎟ . ⎝ ⎠

276

Módulo 18: Lugares geométricos Solución

⎛ → →⎞ Sea P( x, y, z ) ∈ π ⎜ A, s , t ⎟ . ⎝ ⎠ 1.

→

→

→

→

P = A + λ s + β t , λ , β ∈ R (ecuación vectorial de este plano) (figura 18.10).

Figura 18.10

Por la correspondencia tenemos:

( x, y, z ) = (−1, 2, 1) + λ (3, 1, − 1) + β (5, − 3, 4) = (−1 + 3λ + 5β , 2 + λ − 3β , 1 − λ + 4β ). De la igualdad de n-tuplas se concluye que:

(1) x = −1 + 3λ + 5β ⎫ ⎪ (2) y = 2 + λ − 3β ⎬ λ , β ∈ R (ecuaciones paramétricas de este plano) (3) z = 1 − λ + 4 β ⎪⎭ Procedemos ahora a despejar los parámetros así: (2) + (3)

y + z = 3+ β,

(1)´

(1) − 3 × (2)

x − 3 y = −7 + 14β ,

(2)´

(2)´−14 × (1)´ x − 17 y − 14 z = −49.

Esto es, x −17 y −14z + 49 = 0 (ecuación cartesiana de este plano). Resolvamos además las siguientes preguntas: Dados O(7, 0, − 5), S (16, 3, 1), T (0, − 12, 1/ 2), ¿pertenecen al plano en estudio?

Geometría vectorial y analítica

277

Capítulo 5: Vectores coordenados Veamos para el punto O. Sustituyendo en la ecuación cartesiana tenemos: → → 7 − 17 × (0) − 14 × (−5) + 49 = 7 + 70 + 49 ≠ 0, luego O ∉ π ⎛⎜ A, s , t ⎞⎟ . ⎝ ⎠

En el caso del punto S, 16 − 17 × (3) − 14 × 1 + 49 = 16 − 51 − 14 + 49 = 0. Por tanto

⎛ → S ∈ π ⎜ A, s , ⎝

⎞ t⎟ . ⎠

→

Se deja al lector la determinación de la pertenencia o no del tercer punto. Ilustración 8 Sean P0 ( x0 , y0 , z0 ), P1 ( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 ) tres puntos distintos y no colineales. Designaremos por π ( P0 , P1 , P2 ) el plano que pasa por los puntos P0 , P1 y P2 y (figura 18.11).

Figura 18.11

Sea P ( x, y, z ) un punto cualquiera (genérico) perteneciente a este plano. Localicemos o asociemos a los puntos P0 y P sus respectivos vectores y determinemos ⎯→

⎯→

los vectores P0 P1 y P0 P2 (figura 18.12)

Figura 18.12

278

Módulo 18: Lugares geométricos Describamos vectorialmente una propiedad que identifique a cualquier punto de este plano y solamente a puntos de éste. →

→

⎯→

1.

P = P0 + P0 P (¿por qué?).

2.

P0 P = λ P0 P1 + β P0 P2 (¿por qué?).

3.

P = P0 + λ P0 P1 + β P0 P2 (sustitución de (2) en (1)).

4.

→ → ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ P = P0 + λ ⎜ P1 − P0 ⎟ + β ⎜ P2 − P0 ⎟ (definición de diferencia en (3)). ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎯→

→

⎯→

→

⎯→

⎯→

⎯→

→ → ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ Luego P = P0 + λ ⎜ P1 − P0 ⎟ + β ⎜ P2 − P0 ⎟ ; λ , β ∈ R es una ecuación vectorial del ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

plano π (P0 , P1 , P2 ) . Por la correspondencia tenemos: ( x, y, z ) = ( x0 , y0 , z0 ) + λ ( x1 − x0 , y1 − y0 , z1 − z0 ) + β ( x2 − x0 , y2 − y0 , z2 − z0 ) .

Y de la igualdad de n-tuplas concluimos:

x = x0 + λ ( x1 − x0 ) + β ( x2 − x0 ) ⎫ ⎪ (2) y = y0 + λ ( y1 − y0 ) + β ( y2 − y0 ) ⎬ λ , β ∈ R . (3) z = z0 + λ ( z1 − z0 ) + β ( z2 − z0 ) ⎪⎭ (1)

Este sistema corresponde a las ecuaciones paramétricas del plano π ( P0 , P1 , P2 ) . Mediante la eliminación de los parámetros se obtiene la ecuación cartesiana de este plano. Observaciones 1.

La situación anterior corresponde a un caso particular del primer problema analizado en la determinación de un plano, dados un punto y dos vectores paralelos al plano (no paralelos entre sí); puesto que podemos tomar como referencia uno cualquiera de los tres puntos dados y con origen en él, determinamos los otros dos vectores paralelos al plano. En este caso hablamos de «una ecuación vectorial para este plano» porque análogamente son ecuaciones vectoriales entre otras: → → ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ P = P1 + δ ⎜ P0 − P1 ⎟ + θ ⎜ P2 − P1 ⎟ , δ , θ ∈ R (¿por qué?) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ = P2 + φ ⎜ P0 − P2 ⎟ + Ω ⎜ P1 − P2 ⎟ , Ω, φ ∈ R (¿por qué?), ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

siendo, desde luego, P un punto cualquiera del plano π ( P0 , P1 , P2 ) .

Geometría vectorial y analítica

279

Capítulo 5: Vectores coordenados 2.

Lo anterior nos permite afirmar la igualdad de los siguientes conjuntos:

⎞ ⎛ ⎞ π (P0 , P1 , P2 ) = π ⎛⎜ P0 , P0 P1 , P0 P2 ⎞⎟ = π ⎛⎜ P1 , PP 1 0 , PP 1 2 ⎟ = π ⎜ P2 , P2 P1 , P2 P0 ⎟ . ⎯→

⎝

⎯→

⎯→

⎠

⎝

⎯→

⎯→

⎠

⎯→

⎝

⎠

Ilustración 9 Dados D(0, − 1, 2), G (−2, 3, 5), S (1, 5, 3), determinemos una ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana del plano π ( D, G, S ). Solución Sea P ( x, y, z ) ∈ π ( D, G, S ) .

1.

→ → ⎛ → → ⎞ ⎛→ → ⎞ P = D + λ ⎜ G − D ⎟ + β ⎜ S − D ⎟ , λ, β ∈ R, es una ecuación vectorial del ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

plano π ( D, G, S ). →

→

→

→

G − D ↔ (−2, 4, 3); S − D ↔ (1, 6, 1).

2.

( x, y, z ) = (0, − 1, 2) + λ (−2, 4, 3) + β (1, 6, 1) = (−2λ + β , − 1 + 4λ + 6β , 2 + 3λ + β ). (1) x = −2λ + β (2) y = −1 + 4λ + 6β (3) z = 2 + 3λ + β

3.

(1) − (3) 6 × (1) − (2)

⎫ ⎪ ⎬ λ , β ∈ R, (ecuaciones paramétricas del plano π ( D, G, S ) ). ⎪ ⎭ x − z = −2 − 5λ ⎫ (1)´ ⎬ 6 x − y = 1 − 16λ ⎭ (2)´

16 × (1)´−5 × (2)´ − 14 x − 16 z + 5 y = −37. Esto es, 14 x − 5 y + 16 z − 37 = 0 es la ecuación cartesiana de este plano.

280

18 Lugares geométricos Introducción Presentaremos como consecuencias derivadas de la correspondencia entre vectores geométricos y vectores coordenados el estudio de dos lugares geométricos muy sencillos pero no por ello menos importantes: la recta y el plano. Para la primera, adelantaremos su estudio en el espacio y, como una consecuencia natural, revisaremos su tratamiento en el plano. Para ambos lugares, recta y plano, iniciaremos la determinación de sus ecuaciones vectoriales y mediante un tránsito sencillo, asistido por las correspondencias estudiadas, continuaremos con su estudio analítico.

Objetivos del módulo 1. Utilizar la correspondencia establecida entre los conjuntos E 3 y \ 3 y los demás conjuntos asociados, para efectuar un tránsito natural entre la geometría vectorial y la geometría analítica. 2. Aplicar el procedimiento anterior en el estudio analítico de los lugares geométricos, iniciando con la recta en el espacio y en el plano, y el plano en el espacio.

La gráfica nos muestra simultáneamente en el espacio lo siguiente: la recta que pasa por el punto (1, 2, -1) y es → →

paralela al vector t , t ↔ (1, 1, 1); el plano π que pasa G G por el punto (1, 1, -1) y es paralelo a los vectores a y b , →

→

con a ↔ (1, 2, 0), b ↔ (2, 1, 0); y la intersección de los dos conjuntos anteriores, correspondiente a {(1, 2, − 1)} .

Preguntas básicas → →

t,t ↔

1. ¿Cómo se determina la ecuación vectorial de una recta en el espacio, cuando se conocen un punto de ella y un vector paralelo a la misma? 2. ¿Cómo se determinan las ecuaciones paramétricas y simétricas de esta misma recta? 3. ¿Cómo se determina la ecuación vectorial de una recta en el plano, cuando se conocen un punto de ella y un vector paralelo a la misma? 4. ¿Cómo se determinan las ecuaciones paramétricas, simétricas y la ecuación cartesiana de esta misma recta? 5. ¿Cómo se determina la ecuación vectorial de una recta en el espacio cuando se conocen dos puntos? 6. ¿Qué ocurre con la ecuación vectorial de la recta en el plano, bajo estas mismas condiciones? 7. ¿Cómo se determinan otros subconjuntos de la recta en el plano o en el espacio, tales como segmentos, semirrectas, rayos? 8. ¿Por qué no es posible determinar una ecuación cartesiana para una recta en el espacio? 9. ¿Cómo se determina una ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana de un plano en el espacio cuando se conocen un punto del plano y dos vectores paralelos al plano, pero no paralelos entre sí? 10. ¿Cómo se determinan una ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana de un plano en el espacio cuando se conocen tres puntos distintos y no colineales, pertenecientes al plano?

Contenidos del módulo 18.1 Lugares geométricos 18.1.1 La recta en el espacio 18.1.2 El plano en el espacio Vea el módulo 18 del programa de televisión Geometría Vectorial y Analítica

Geometría vectorial y analítica

265

Capítulo 5: Vectores coordenados

18.1 Lugares geométricos

Vea la animación La recta en el espacio determinada por un punto y un vector en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Iniciamos las aplicaciones de la correspondencia establecida entre los vectores geométricos y los vectores coordenados con el estudio de la determinación de algunos lugares geométricos, en el espacio y en el plano, entendidos como el conjunto de puntos que satisfacen una propiedad característica. Para su análisis utilizaremos el siguiente procedimiento: 1.

Para un punto genérico perteneciente al conjunto establecemos una ecuación vectorial, en función de los datos que se conozcan o las invariantes presentes, y que sea satisfecha única y exclusivamente por los puntos del conjunto. Esta ecuación la designaremos como la ecuación vectorial o la propiedad característica del lugar geométrico objeto de estudio.

2.

Mediante la correspondencia, establecemos las relaciones duales entre las n-tuplas asociadas a la ecuación vectorial y procedemos a formular las respectivas ecuaciones y propiedades derivadas, en términos de las coordenadas, avanzando en el estudio propiamente analítico del lugar geométrico específico.

18.1.1 La recta en el espacio → → ⎛ ⎞ Sean P0 ( x0 , y0 , z0 ), t ↔ (a, b, c) . Designaremos por L ⎜ P0 , t ⎟ la recta en el espa⎝ ⎠ →

cio que pasa por el punto P0 y es paralela al vector t (figura 18.1) o también la recta →

que pasa por P0 y tiene la dirección del vector t .

Figura 18.1

Sea P ( x, y, z ) un punto cualquiera (genérico) perteneciente a esta recta. Localicemos o asociemos a los puntos P0 y P sus respectivos vectores de posición (figura 18.2).

266

Módulo 18: Lugares geométricos

Figura 18.2

Describamos vectorialmente una propiedad que identifique a cualquier punto de la recta y solamente a puntos de ésta. →

(1).

⎯⎯→

(2).

→

⎯⎯→

P = P0 + P0 P (suma entre un vector de posición y un vector libre). →

P0 P & t (de la hipótesis) y, en consecuencia, por el criterio del paralelismo

tenemos: (3).

⎯⎯→

→

(4).

→

P0 P = λ t , λ ∈ R. →

→

P = P0 + λ t , λ ∈ R (sustituyendo (3) en 1).

G Esta es la ecuación vectorial de la recta L( P0 , t ) o también su propiedad característica. Observaciones 1.

Esta ecuación se cumple para todos los puntos que están sobre la recta y únicamente para éstos. → → → ⎯⎯→ ⎛ ⎞ En efecto, si P´∉ L ⎜ Po , t ⎟ se cumple que P ′ = P0 + P0 P ′ ; pero como ⎝ ⎠ ⎯⎯→

→

⎯⎯→

→

P0 P ′ & t (¿por qué?), entonces P0 P ′ ≠ λ t , y, en consecuencia, no se satisface la ecuación vectorial.

2.

→ ⎛ ⎞ Designamos la recta L ⎜ P0 , t ⎟ por comprensión, así: ⎝ ⎠

{

}

→ → → → ⎛ ⎞ L ⎜ P0 , t ⎟ = P( x, y, z ) P = P0 + λ t , λ ∈ R . ⎝ ⎠

Aplicando la correspondencia establecida a partir de la ecuación vectorial tenemos:

Vea la animación La recta en el espacio determinada por dos puntos en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Geometría vectorial y analítica

267

Capítulo 5: Vectores coordenados →

P ↔ ( x0 , y0 , z0 ) + λ ( a, b, c). P ( x, y, z ) = ( x0 + λ a, y0 + λ b, z0 + λ c ).

Y de la igualdad de n-tuplas se obtiene:

(1) x = x0 + λ a ⎫ ⎪ (2) y = y0 + λ b ⎬ λ ∈ R. (3) z = z0 + λ c ⎪⎭ → ⎛ ⎞ Este sistema se designa como las ecuaciones paramétricas de L ⎜ P0 , t ⎟ . ⎝ ⎠

Observaciones 1.

Revisando las ecuaciones paramétricas podemos concluir que los términos independientes ( x0 , y0 , z0 ) son precisamente las coordenadas de un punto particular de la recta; los términos asociados al parámetro corresponden a las coordenadas de un vector paralelo a la recta. De este vector decimos que es el que le da la dirección a la recta.

2.

La ecuación de una recta está en función de un solo parámetro.

Ilustración 2 →

Dados B (−2, 5, 3), f ↔ (1, − 1, − 5), determinemos la ecuación vectorial, las

⎛ →⎞ ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas de L ⎜ B, f ⎟ (figura 18.3). ⎝ ⎠ Solución

⎛ →⎞ Sea P( x, y, z ) ∈ L ⎜ B, f ⎟ . ⎝ ⎠ →

1.

→

→

P = B + λ f , λ ∈ R (ecuación vectorial de la recta).

Por la correspondencia tenemos:

( x, y, z ) = (−2, 5, 3) + λ (1, − 1, − 5) = (−2 + λ , 5 − λ , 3 − 5λ ). 2.

Por la igualdad de n-tuplas se concluye que:

x = −2 + λ ⎫ ⎪ y = 5 − λ ⎬ λ ∈ R (ecuaciones paramétricas de esta recta). z = 3 − 5λ ⎪⎭

268

Módulo 18: Lugares geométricos Despejando el parámetro λ en cada una de la ecuaciones anteriores obtenemos:

3.

x + 2 y − 5 z − 3 (ecuaciones simétricas de esta recta). = = 1 −1 −5

Figura 18.3

Ilustración 3 Con relación a la recta determinada en la ilustración 2: 1.

Determinemos dos puntos, diferentes de B, pertenecientes a la recta.

2.

Dados los puntos S (−3 / 2, 9 / 2, 1/ 2) y T (1, 2, 8), determinemos si pertenecen o no a la recta.

3.

Determinemos los interceptos de esta recta con los planos determinados por: a.

Los ejes x, y.

b.

Los ejes x, z.

c.

Los ejes y, z.

Solución 1.

Asignémosle valores específicos al parámetro. Así por ejemplo, para λ = 1 , → x = −1, y = 4, z = −2 , luego A(−1, 4, − 2) ∈ L ⎛⎜ B, f ⎞⎟ ; para λ = −7 , ⎝ ⎠

⎛ →⎞ x = −9 , y = 12, z = 38 , luego D(−9, 12, 38) ∈ L ⎜ B, f ⎟ . ⎝ ⎠

Geometría vectorial y analítica

269

Capítulo 5: Vectores coordenados 2.

Veamos, para el punto S, si existe un valor único del parámetro que satisfaga las ecuaciones paramétricas, así:

(1) − 3 / 2 = −2 + λ ⎫ De la ecuación (1), λ = 1 2. ⎪ (2) 9 / 2 = 5 − λ ⎬ Sustituyendo en(2), 9 2 = 5 − 1 2 = 9 2. (3) 1/ 2 = 3 − 5λ ⎪⎭ Sustituyendo en (3), 1 2 = 3 − 5 2 = 1 2.

⎛ →⎞ Lo que nos permite concluir que S ∈ L ⎜ B, f ⎟ . ⎝ ⎠ Para el punto T: (1) 1 = −2 + λ ⎫ Dela ecuación (1), λ = 3. ⎪ (2) 2 = 5 − λ ⎬ En la ecuación (2), 2 = 5 − 3 = 2. (3) 8 = 3 − 5λ ⎪⎭ En la ecuación (3), 8 = 3 − 15 = −12 →← .

⎛ →⎞ Por tanto, concluimos que T ∉ L ⎜ B, f ⎟ . ⎝ ⎠ 3.

Determinemos los puntos de intersección así: a.

Con el plano determinado por los ejes x, y.

En este caso, cualquier punto de este plano tiene la tercera coordenada z = 0 (¿por qué?), y sustituyendo este valor en las ecuaciones paramétricas tenemos: 0 = 3 − 5λ , de donde se tiene que λ = 3 5 y, en consecuencia, 3 7 3 22 x = −2 + = − ; y = 5 − = , 5 5 5 5 luego el intercepto con este plano corresponde al punto de coordenadas

⎛ 7 22 ⎞ , 0⎟ . ⎜− , ⎝ 5 5 ⎠ Se deja al lector la determinación de los interceptos con los otros dos planos. Ilustración 4 →

Dados B(−2, 5), f ↔ (1, − 1), determinemos las ecuaciones vectorial, paramétricas, → simétricas y la ecuación cartesiana de L ⎛⎜ B, f ⎞⎟ . ⎝ ⎠

Solución Estamos ubicados en este caso en el plano y procedamos, por analogía, como lo hicimos en el caso de la recta en el espacio. Así podemos analizar qué elementos permanecen invariantes en la estructura y qué cambia realmente (figura 18.4).

270

Módulo 18: Lugares geométricos

Figura 18.4

⎛ →⎞ Sea P( x, y ) ∈ L ⎜ B, f ⎟ . ⎝ ⎠ →

1.

→

→

P = B + λ f , λ ∈ R (ecuación vectorial de esta recta) (¿por qué?).

Esto nos permite afirmar que la ecuación vectorial es la misma para la recta

{

}

→ → → ⎛ →⎞ en el espacio o en el plano; luego L ⎜ B, f ⎟ = P( x, y ) P = B + λ f , λ ∈ R . ⎝ ⎠

Obsérvese que es la dimensión del elemento genérico (tripleta o pareja) lo que nos muestra explícitamente si se trata de una recta en el espacio o en el plano. Por la correspondencia tenemos:

( x, y ) = (−2,5) + λ (1, −1) = (−2 + λ , 5 − λ ). Y de la igualdad de n-tuplas se concluye: (1) x = −2 + λ ⎫ ⎬ λ ∈ R (ecuaciones paramétricas de esta recta). (2) y = 5 − λ ⎭

Despejando el parámetro y aplicando la transitividad, tenemos:

x+ 2 y −5 (ecuaciones simétricas de esta recta). = 1 −1 En este caso, de la ecuación anterior se obtiene:

− x − 2 − y + 5 = 0 , esto es, x + y − 3 = 0 (ecuación cartesiana de

Vea la animación La recta en el plano determinada por un punto y un vector en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

esta recta).

Geometría vectorial y analítica

271

Capítulo 5: Vectores coordenados Notas 1.

La ecuación cartesiana de una recta en el plano corresponde siempre a una ecuación lineal en dos variables.

2.

Una recta en el espacio no presenta ecuación cartesiana (¿por qué?). Podemos, en la ecuación cartesiana anterior, despejar la variable y así: y = − x + 3 (forma pendiente-intercepto),

que nos indica que la pendiente de esta recta es igual a –1 y que su intercepto con el eje y corresponde al punto de coordenadas (0, 3). Ilustración 5 Sean P0 ( x0 , y0 , z0 ), P1 ( x1 , y1 , z1 ) dos puntos distintos. Designaremos por L( P0 , P1 ) la recta en el espacio que pasa por el punto P0 y por el punto P1 (figura 18.5).

Figura 18.5

Sea P ( x, y, z ) un punto cualquiera (genérico) perteneciente a esta recta. Localicemos o asociemos a los puntos P0 , P1 y P sus respectivos vectores de posición (figura 18.6).

Figura 18.6

272

Módulo 18: Lugares geométricos Describamos vectorialmente una propiedad que identifique a cualquier punto de la recta y solamente a puntos de ésta. 1.

→

→

⎯⎯→

P = P0 + P0 P (¿por qué?). ⎯⎯→

⎯⎯→

2.

P0 P = λ P0 P1 , λ ∈ R (¿por qué?).

3.

→ → ⎛ ⎯⎯→ ⎞ P = P0 + λ ⎜ P0 P1 ⎟ (sustituyendo (2) en (1)). ⎝ ⎠

4.

→ → ⎛→ →⎞ P = P0 + λ ⎜ P1 − P0 ⎟ (definición alterna de diferencia en (3)). ⎝ ⎠ → → ⎛→ →⎞ Luego P = P0 + λ ⎜ P1 − P0 ⎟ λ ∈ R . ⎝ ⎠

Esta es la ecuación vectorial de la recta L( P0 , P1 ). Se deja al lector la determinación de las ecuaciones paramétricas y simétricas de esta recta, como también la determinación de las ecuaciones vectorial, paramétricas, simétricas y cartesiana de la recta L( P0 , P1 ) en el plano, para P0 ( x0 , y0 ) y P1 ( x1 , y1 ). Ilustración 6 Dados A(−3, 1, 2) y D (1, − 5, 1), determinemos las ecuaciones vectorial, paramétricas y simétricas de la recta L( A, D). Solución Sea P ( x, y, z ) ∈ L( A, D). →

1.

→

⎯→

P = A + λ ( AD), λ ∈ R (es la ecuación vectorial). ( x, y, z ) = (−3, 1, 2) + λ (4, − 6, − 1).

2.

(1) x = −3 + 4λ ⎫ ⎪ (2) y = 1 − 6λ ⎬ λ ∈ R (ecuaciones paramétricas). (3) z = 2 − λ ⎪⎭

3.

λ=

x+3 y −1 z−2 ; λ= ; λ= . 4 −6 −1

Luego x + 3 = y − 1 = z − 2 son las ecuaciones simétricas. 4 −6 −1 Se deja al lector la determinación de las ecuaciones vectorial, paramétricas, simétricas y cartesiana de la recta L( S , K ) en el plano, para S (−2, 7), K (1/ 3, − 1) .

Vea la animación La recta en el plano determinada por dos puntos en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Geometría vectorial y analítica

273

Capítulo 5: Vectores coordenados

18.1.2 El plano en el espacio →

→

→

→

Sean P0 ( x0 , y0 , z0 ), a ↔ ( ax , a y , az ), b ↔ (bx , by , bz ) tales que a & b . → → ⎛ ⎞ Designaremos por π ⎜ P0 , a , b ⎟ al plano en el espacio que pasa por el punto P0 y ⎝ ⎠

Vea la animación Plano en el espacio determinado por un punto y dos vectores en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

→

→

al cual son paralelos los vectores a y b (figura 18.7).

Figura 18.7 →

→

Apliquemos los vectores a y b en el punto P0 . En esta forma podemos garantizar la existencia de un plano único puesto que se tienen tres puntos distintos y no →

→

colineales, constituidos por el punto P0 y los extremos de los vectores a y b ; este → → plano cumple con las condiciones descritas para π ⎛⎜ P0 , a , b ⎞⎟ . ⎝ ⎠

Sea P ( x, y, z ) un punto cualquiera (genérico) perteneciente a este plano (figura 18.8). Localicemos o asociemos a los puntos P0 y P sus respectivos vectores de posición ⎯→

y determinemos el vector P0 P (figura 18.9).

274

Módulo 18: Lugares geométricos

figura 18.8

Figura 18.9

Describamos vectorialmente una propiedad que identifique a cualquier punto del plano y solamente a puntos de éste. 1. 2.

→

⎯→

⎯→ → → ⎯→ → → ⎛ ⎞ Como P0 P ⊂ π ⎜ P0 , a , b ⎟ , entonces P0 P = λ a + β b, con λ , β ∈ R (teorema ⎝ ⎠ de la base). →

3.

→

P = P0 + P0 P .

→

→

→

P = P0 + λ a + β b , λ , β ∈ R (sustitución de (2) en (1)). → → Esta es una ecuación vectorial del plano π ⎛⎜ P0 , a , b ⎞⎟ o también su pro⎝ ⎠ piedad característica.

Vea la animación Plano en el espacio determinado por tres puntos en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Geometría vectorial y analítica

275

Capítulo 5: Vectores coordenados Observaciones 1.

2.

Esta ecuación se cumple para todos los puntos que pertenecen a este plano y únicamente por éstos. → → ⎛ ⎞ Designamos el plano π ⎜ P0 , a , b ⎟ por comprensión así: ⎝ ⎠

{

}

→ → → → → → π ⎛⎜ P0 , a , b ⎞⎟ = P( x, y, z ) P = P0 + λ a + β b , λ , β ∈ R .

⎝

⎠

Aplicando la correspondencia establecida, a partir de la ecuación vectorial tenemos: →

P ↔ ( x0 , y0 , z0 ) + λ (ax , a y , az ) + β (bx , by , bz ). P ( x, y, z ) = ( x0 + λ ax + β bx , y0 + λ a y + β by , z0 + λ az + β bz ),

y de la igualdad de n-tuplas se obtiene: (1) x = x0 + λ ax + β bx ⎫ ⎪ (2) y = y0 + λ a y + β by ⎬ λ , β ∈ R. ⎪ (3) z = z0 + λ az + β bz ⎭ → → ⎛ ⎞ Este sistema se designa como las ecuaciones paramétricas de π ⎜ P0 , a , b ⎟ . ⎝ ⎠

Observaciones 1.

Revisando las ecuaciones paramétricas podemos concluir que los términos independientes ( x0 , y0 , z0 ) son precisamente las coordenadas de un punto particular del plano; los coeficientes asociados a los parámetros respectivos corresponden a las coordenadas de los vectores paralelos al plano.

2.

La ecuación del plano está en función de dos parámetros, diferenciándose plenamente de la ecuación de una recta en el espacio que está en función de un solo parámetro.

3.

En el sistema de ecuaciones paramétricas podemos proceder a la reducción de los dos parámetros y obtenemos siempre una ecuación lineal en las variables x, y, z de la forma Ax + By + Cz + D = 0, que designaremos como → → ⎛ ⎞ la ecuación cartesiana del plano π ⎜ P0 , a , b ⎟ . ⎝ ⎠

Ilustración 7 →

→

Dados A( − 1, 2, 1), s ↔ (3, 1, − 1), t ↔ (5, − 3, 4), determinemos la ecuación

⎛ → →⎞ vectorial, las ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana del π ⎜ A, s , t ⎟ . ⎝ ⎠

276

Módulo 18: Lugares geométricos Solución

⎛ → →⎞ Sea P( x, y, z ) ∈ π ⎜ A, s , t ⎟ . ⎝ ⎠ 1.

→

→

→

→

P = A + λ s + β t , λ , β ∈ R (ecuación vectorial de este plano) (figura 18.10).

Figura 18.10

Por la correspondencia tenemos:

( x, y, z ) = (−1, 2, 1) + λ (3, 1, − 1) + β (5, − 3, 4) = (−1 + 3λ + 5β , 2 + λ − 3β , 1 − λ + 4β ). De la igualdad de n-tuplas se concluye que:

(1) x = −1 + 3λ + 5β ⎫ ⎪ (2) y = 2 + λ − 3β ⎬ λ , β ∈ R (ecuaciones paramétricas de este plano) (3) z = 1 − λ + 4 β ⎪⎭ Procedemos ahora a despejar los parámetros así: (2) + (3)

y + z = 3+ β,

(1)´

(1) − 3 × (2)

x − 3 y = −7 + 14β ,

(2)´

(2)´−14 × (1)´ x − 17 y − 14 z = −49.

Esto es, x −17 y −14z + 49 = 0 (ecuación cartesiana de este plano). Resolvamos además las siguientes preguntas: Dados O(7, 0, − 5), S (16, 3, 1), T (0, − 12, 1/ 2), ¿pertenecen al plano en estudio?

Geometría vectorial y analítica

277

Capítulo 5: Vectores coordenados Veamos para el punto O. Sustituyendo en la ecuación cartesiana tenemos: → → 7 − 17 × (0) − 14 × (−5) + 49 = 7 + 70 + 49 ≠ 0, luego O ∉ π ⎛⎜ A, s , t ⎞⎟ . ⎝ ⎠

En el caso del punto S, 16 − 17 × (3) − 14 × 1 + 49 = 16 − 51 − 14 + 49 = 0. Por tanto

⎛ → S ∈ π ⎜ A, s , ⎝

⎞ t⎟ . ⎠

→

Se deja al lector la determinación de la pertenencia o no del tercer punto. Ilustración 8 Sean P0 ( x0 , y0 , z0 ), P1 ( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 ) tres puntos distintos y no colineales. Designaremos por π ( P0 , P1 , P2 ) el plano que pasa por los puntos P0 , P1 y P2 y (figura 18.11).

Figura 18.11

Sea P ( x, y, z ) un punto cualquiera (genérico) perteneciente a este plano. Localicemos o asociemos a los puntos P0 y P sus respectivos vectores y determinemos ⎯→

⎯→

los vectores P0 P1 y P0 P2 (figura 18.12)

Figura 18.12

278

Módulo 18: Lugares geométricos Describamos vectorialmente una propiedad que identifique a cualquier punto de este plano y solamente a puntos de éste. →

→

⎯→

1.

P = P0 + P0 P (¿por qué?).

2.

P0 P = λ P0 P1 + β P0 P2 (¿por qué?).

3.

P = P0 + λ P0 P1 + β P0 P2 (sustitución de (2) en (1)).

4.

→ → ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ P = P0 + λ ⎜ P1 − P0 ⎟ + β ⎜ P2 − P0 ⎟ (definición de diferencia en (3)). ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎯→

→

⎯→

→

⎯→

⎯→

⎯→

→ → ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ Luego P = P0 + λ ⎜ P1 − P0 ⎟ + β ⎜ P2 − P0 ⎟ ; λ , β ∈ R es una ecuación vectorial del ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

plano π (P0 , P1 , P2 ) . Por la correspondencia tenemos: ( x, y, z ) = ( x0 , y0 , z0 ) + λ ( x1 − x0 , y1 − y0 , z1 − z0 ) + β ( x2 − x0 , y2 − y0 , z2 − z0 ) .

Y de la igualdad de n-tuplas concluimos:

x = x0 + λ ( x1 − x0 ) + β ( x2 − x0 ) ⎫ ⎪ (2) y = y0 + λ ( y1 − y0 ) + β ( y2 − y0 ) ⎬ λ , β ∈ R . (3) z = z0 + λ ( z1 − z0 ) + β ( z2 − z0 ) ⎪⎭ (1)

Este sistema corresponde a las ecuaciones paramétricas del plano π ( P0 , P1 , P2 ) . Mediante la eliminación de los parámetros se obtiene la ecuación cartesiana de este plano. Observaciones 1.

La situación anterior corresponde a un caso particular del primer problema analizado en la determinación de un plano, dados un punto y dos vectores paralelos al plano (no paralelos entre sí); puesto que podemos tomar como referencia uno cualquiera de los tres puntos dados y con origen en él, determinamos los otros dos vectores paralelos al plano. En este caso hablamos de «una ecuación vectorial para este plano» porque análogamente son ecuaciones vectoriales entre otras: → → ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ P = P1 + δ ⎜ P0 − P1 ⎟ + θ ⎜ P2 − P1 ⎟ , δ , θ ∈ R (¿por qué?) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ = P2 + φ ⎜ P0 − P2 ⎟ + Ω ⎜ P1 − P2 ⎟ , Ω, φ ∈ R (¿por qué?), ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

siendo, desde luego, P un punto cualquiera del plano π ( P0 , P1 , P2 ) .

Geometría vectorial y analítica

279

Capítulo 5: Vectores coordenados 2.

Lo anterior nos permite afirmar la igualdad de los siguientes conjuntos:

⎞ ⎛ ⎞ π (P0 , P1 , P2 ) = π ⎛⎜ P0 , P0 P1 , P0 P2 ⎞⎟ = π ⎛⎜ P1 , PP 1 0 , PP 1 2 ⎟ = π ⎜ P2 , P2 P1 , P2 P0 ⎟ . ⎯→

⎝

⎯→

⎯→

⎠

⎝

⎯→

⎯→

⎠

⎯→

⎝

⎠

Ilustración 9 Dados D(0, − 1, 2), G (−2, 3, 5), S (1, 5, 3), determinemos una ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y la ecuación cartesiana del plano π ( D, G, S ). Solución Sea P ( x, y, z ) ∈ π ( D, G, S ) .

1.

→ → ⎛ → → ⎞ ⎛→ → ⎞ P = D + λ ⎜ G − D ⎟ + β ⎜ S − D ⎟ , λ, β ∈ R, es una ecuación vectorial del ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

plano π ( D, G, S ). →

→

→

→

G − D ↔ (−2, 4, 3); S − D ↔ (1, 6, 1).

2.

( x, y, z ) = (0, − 1, 2) + λ (−2, 4, 3) + β (1, 6, 1) = (−2λ + β , − 1 + 4λ + 6β , 2 + 3λ + β ). (1) x = −2λ + β (2) y = −1 + 4λ + 6β (3) z = 2 + 3λ + β

3.

(1) − (3) 6 × (1) − (2)

⎫ ⎪ ⎬ λ , β ∈ R, (ecuaciones paramétricas del plano π ( D, G, S ) ). ⎪ ⎭ x − z = −2 − 5λ ⎫ (1)´ ⎬ 6 x − y = 1 − 16λ ⎭ (2)´

16 × (1)´−5 × (2)´ − 14 x − 16 z + 5 y = −37. Esto es, 14 x − 5 y + 16 z − 37 = 0 es la ecuación cartesiana de este plano.

280

19 Intersecciones entre lugares geométricos

Introducción Adelantaremos ahora la determinación del conjunto intersección de los conjuntos ya estudiados. Fundamentamos nuestro trabajo en las herramientas conocidas de la teoría de conjuntos y la solución de sistemas de ecuaciones lineales para establecer criterios precisos que nos permitan no sólo la determinación del conjunto intersección, sino también hacer una lectura correcta de sus posiciones relativas en el plano y en el espacio.

Objetivos del módulo 1. Analizar las posiciones relativas de las rectas en el plano y en el espacio, estableciendo criterios sencillos para su determinación. 2. Utilizar el algoritmo de reducción de Gauss-Jordan como un criterio básico en la determinación del conjunto intersección de dos rectas y de dos o más planos en el espacio y sus posiciones relativas. 3. Fijar criterios claros y simples para determinar las posiciones relativas de una recta y un plano en el espacio y encontrar el conjunto intersección de ambos lugares.

→

La composición ilustra las rectas en el espacio L(A , s ) y →

L(G , u ) con A (1,1,1), G ↔ (2, 1, − 1) →

→

, s ↔ (1, 2, 0), y u ↔ (−1, 2, 1), las cuales se «cruzan» (no son paralelas y su intersección es el conjunto vacío).

Preguntas básicas 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

¿Qué posiciones relativas pueden darse para dos rectas contenidas en un mismo plano? ¿Cuáles son los criterios que permiten determinar dichas posiciones? ¿Qué posiciones relativas pueden darse para dos rectas contenidas en el espacio? ¿Cuáles son los criterios que permiten determinar dichas posiciones? ¿Qué posiciones relativas pueden darse para un plano y una recta en el espacio? ¿Cuáles son los criterios que permiten determinar dichas posiciones? ¿Qué posiciones relativas pueden darse para dos planos en el espacio? ¿Qué posiciones pueden darse para tres planos en el espacio? 8. ¿Cuáles son los criterios que permiten determinar estas posiciones? 9. ¿Qué importancia tiene el método de reducción de Gauss-Jordan en el problema de la determinación del conjunto intersección de algunos lugares geométricos?

Contenidos del módulo 19.1 Intersecciones entre lugares geométricos 19.1.1 Posiciones relativas de dos rectas 19.1.2 Posiciones relativas de una recta y un plano en el espacio 19.1.3 Posiciones relativas de dos planos en el espacio

Vea el módulo 19 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

281

Capítulo 5: Vectores coordenados

19.1 Intersecciones entre lugares geométricos Determinaremos a continuación las intersecciones entre estos lugares: rectas, planos, rectas y planos y ubicaremos sus posiciones relativas en el plano y/o en el espacio.

19.1.1 Posiciones relativas de dos rectas Vea la animación Posiciones relativas de dos rectas en el plano en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

a.

En el plano

Sean L1 , L2 dos rectas en el plano; entonces, pueden darse las siguientes situaciones: (a).

L1 ∩ L2 = ∅; en este caso, L1 & L2 , siendo L1 ≠ L2 .

(b).

L1 ∩ L2 ≠ ∅; en este caso, puede ocurrir que: „

L1 ∩ L2 = { P} , esto es, las rectas se cortan en un punto único.

„

L1 ∩ L2 = L1 = L2 , esto es, las rectas son iguales.

Ilustración 10 Sean las rectas en el plano de ecuaciones: L1 : x − 2 y + 3 = 0. L2 :3x − 6 y + 7 = 0. L3 :3x + y − 5 = 0. L4 :5 x − 10 y + 15 = 0.

Determinemos los siguientes conjuntos intersección e interpretemos la posición relativa de las rectas involucradas. 1.

L1 ∩ L2 .

4.

L2 ∩ L3 .

2.

L1 ∩ L3 .

5.

L2 ∩ L4 .

3.

L1 ∩ L4 .

6.

L3 ∩ L4 .

Solución 1.

L1 ∩ L2 .

Determinemos el conjunto solución del S.E.L.( 2,2). ⎡1 ⎢3 ⎣

−2 −6

− 3 ⎤ − 3 E1 + E 2 ⎡ 1 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ ⎢ − 7 ⎥⎦ ⎢⎣ 0

−2 0

−3⎤ , + 2 ⎥⎥⎦

luego el sistema es inconsistente y, en consecuencia, L1 ∩ L2 = ∅; por tanto, L1 & L2 y L1 ≠ L2 . 2.

L1 ∩ L3

Determinemos el conjunto solución del S.E.L.( 2,2) .

282

Módulo 19: Intersecciones entre lugares geométricos 1 E ⎡1 −2 −3⎤ −3 E1 + E2 ⎡1 −2 −3⎤ ⎡1 0 1 ⎤ 7 2 ⎯⎯⎯⎯ → ⎯⎯⎯⎯ ⎢3 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥. 2 E2 + E1 → ⎢ 5⎦ ⎣ ⎣ 0 7 14 ⎦ ⎣0 1 2⎦

Por tanto,

x = 1⎫ ⎬ , esto es, L1 ∩ L3 = {(1,2)} , lo que nos indica que las y = 2⎭

rectas se intersecan en el punto P (1, 2) . 3.

L1 ∩ L4 .

Determinemos el conjunto solución del S.E.L.( 2,2) . ⎡1 −2 −3 ⎤ −5 E1 + E2 ⎡1 −2 −3⎤ (1) x = −3 + 2 y ⎫ ⎢5 −10 −15⎥ ⎯⎯⎯⎯→ ⎢0 0 0 ⎥ , luego ⎬ y∈R, ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (2) y = y ⎭

lo que nos indica que L1 ∩ L4 = L1 = L4 . (Téngase en cuenta que toda recta es paralela a sí misma.) Se deja al lector la determinación de los otros conjuntos. b.

En el espacio

Sean L1 , L2 dos rectas en el espacio; entonces, pueden darse las siguientes situaciones: (a).

(b).

L1 ∩ L2 ≠ ∅; en este caso, puede ocurrir que: „

L1 ∩ L2 = { P} , esto es, las rectas se cortan en un punto único.

„

L1 ∩ L2 = L1 = L2 , esto es, las rectas son iguales.

L1 ∩ L2 = ∅ ; en este caso puede darse una de las siguientes situaciones. L1 & L2 , siendo L1 ≠ L2 .

„ „

L1 y L2 se cruzan en el espacio. Esto significa que las rectas no tienen ningún punto común, pero no son paralelas, y en consecuencia no están contenidas en un mismo plano.

Si L1 ∩ L2 = ∅ , podemos utilizar el siguiente criterio para determinar cuál de las dos situaciones se presenta. →

→

→

→

→

→

(a).

Sean v1 & L1 , v2 & L2 ; entonces, L1 & L2 si y sólo si v1 & v2 .

(b).

Sean v1 & L1 , v2 & L2 ; entonces, L1 y L2 se cruzan si y sólo si v1 & v2 .

→

→

Geometría vectorial y analítica

283

Capítulo 5: Vectores coordenados Ilustración 11 Dadas las rectas en el espacio, de ecuaciones paramétricas:

L1 2. y = 5 3. z =

1. x = −2 + 3λ ⎫ ⎪ − λ ⎬ λ ∈ R. 2λ ⎪⎭

1. x = 1 − 6β ⎫ ⎪ L2 2. y = 2β ⎬ β ∈ R. 3. z = −1 − 4β ⎪⎭

1. x = 3 − α ⎫ ⎪ L3 2. y = 5 + 2α ⎬ α ∈ R. 3. z = α ⎪⎭

1. x = −3 + 2θ ⎫ ⎪ L4 2. y = 1 − θ ⎬θ ∈ R. 3. z = 5θ ⎪⎭

determinemos los siguientes conjuntos intersección e interpretemos la posición relativa de las rectas involucradas. 1.

L1 ∩ L2 .

3.

L1 ∩ L3 .

5.

L2 ∩ L3 .

2.

L2 ∩ L4 .

4.

L1 ∩ L4 .

6.

L3 ∩ L4 .

Solución 1.

L1 ∩ L2 .

Para abreviar el análisis podemos inicialmente determinar si las rectas son o no paralelas, puesto que el criterio para establecerlo es muy sencillo. Tomemos: →

→

v1 & L1 , en particular v1 ↔ (3, − 1, 2) . →

→

v2 & L2 , en particular v2 ↔ (−6, 2, − 4) . →

→

Sabemos que L1 & L2 si y sólo si v1 & v2 . →

→

→

→

Como en efecto v2 = −2 v1 , entonces v1 & v2 (¿por qué?) y, en consecuencia, L1 & L2 . Verifiquemos que L1 ≠ L2 . Sea A(−2, 5, 0) ∈ L1 y veamos si A ∈ L2 .

(1) − 2 = 1 − 6β ⎫ ⎪ (2) 5 = 2β ⎬ de (2) β = 5 2 y de (3) β = − 1 4 . (3) 0 = −1− 4β ⎪⎭ Absurdo, luego L1 ≠ L2 . Observemos que no hubo necesidad de determinar la intersección de los conjuntos para ubicar su posición relativa. Conclusión: L1 ∩ L2 = ∅, L1 ≠ L2 y L1 & L2 .

284

Módulo 19: Intersecciones entre lugares geométricos 2.

L2 ∩ L4

Verifiquemos de nuevo si las rectas son paralelas. →

→

→

→

Sean v2 & L2 y v4 & L4 , y en particular v2 ↔ (−6, 2, − 4); v4 ↔ (2, − 1, 5) . →

JJG

→

JJG

Tenemos que v2 & v4 si y sólo si v 2 = δ v 4 , δ ∈ \ . JJG JJG Asumamos, a prueba de hipótesis, que v2 = δ v4 , esto es, (−6, 2, − 4) = δ (2, − 1, 5), de donde se desprende que:

(1) − 6 = 2δ ⎫ ⎪ (2) 2 = −δ ⎬ de (1) δ = −3 y en (2) δ = −2 . (3) − 4 = 5δ ⎪⎭ Absurdo, por tanto no existe δ ∈ \ que satisfaga la combinación lineal. →

→

En consecuencia, v2 & v4 . En este punto debemos determinar el conjunto L2 ∩ L4 . Construyamos el S.E.L. asociado así:

(1) 1 − 6β = −3 + 2θ ⎫ ⎪ (2) 2β = 1 − θ ⎬ S .E.L.(3,2) (3) − 1 − 4β = 5θ ⎪⎭

(1) − 2θ − 6β = −4 ⎫ ⎪ (2) θ + 2β = 1 ⎬ (3) − 5θ − 4β = 1 ⎪⎭

Resolvamos el sistema: ⎡ −2 −6 −4 ⎤ ⎡1 2 1⎤ ⎡1 2 1 ⎤ 5 E1 + E3 E12 ⎢ 1 2 1 ⎥ ⎯⎯⎯⎯ ⎢ ⎥ → ⎢⎢ 0 −2 −2 ⎥⎥ → ⎢ ⎥ 2 E1 + E2 → ⎢ 0 −2 −2 ⎥ ⎯⎯⎯⎯ ⎢⎣ −5 −4 1 ⎦⎥ ⎣⎢ −5 −4 1 ⎥⎦ ⎣⎢ 0 6 6 ⎦⎥ ⎡1 2 1 ⎤ ⎡1 0 −1⎤ 1 − E2 −2 E2 + E1 ⎢ ⎥ 2 ⎯⎯⎯⎯ → ⎢0 1 1 ⎥ ⎯⎯⎯⎯→ ⎢⎢ 0 1 1 ⎥⎥ , −6 E2 + E3 ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦

luego

(1) θ = −1 lo que significa que el S.E.L.(3,2) tiene solución única. (2) β = 1

Sustituyendo el valor de θ en las ecuaciones paramétricas de la recta L4 tenemos:

(1) x = −5⎫ ⎪ (2) y = 2 ⎬ , luego L2 ∩ L4 = {(−5, 2, − 5)} . (3) z = −5⎪⎭ Observemos que este mismo punto se obtiene sustituyendo el valor de β

Vea la animación Posiciones relativas de dos rectas en el espacio en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

en las ecuaciones paramétricas de la recta L2. Geometría vectorial y analítica

285

Capítulo 5: Vectores coordenados Conclusión: las rectas L2 y L4 se intersecan en el punto (–5, 2, –5). 3.

L1 ∩ L3 .

Verifiquemos inicialmente si las rectas son paralelas. Por lo analizado en los →

→

→

dos numerales anteriores tenemos que v1 & L1 , donde v1 ↔ (3, −1, 2) y v3 & L3 , →

donde v3 ↔ (−1, 2, 1) . →

→

Asumamos, a prueba de hipótesis, que v1 = Ω v3 , para Ω ∈ R, luego (3, − 1, 2) = Ω (−1, 2, 1) y, en consecuencia:

(1) 3 = −Ω ⎫ ⎪ (2) − 1 = 2Ω ⎬ , (3) 2 = Ω ⎪⎭ lo que nos muestra que no existe Ω, Ω ∈ R, que satisfaga este sistema, lo cual nos permite afirmar que L1 & L3 . Determinemos el conjunto L1 ∩ L3 . Construyamos el S.E.L. asociado así:

(1) − 2 + 3λ = 3 − α ⎫ ⎪ (2) 5 − λ = 5 + 2α ⎬ S .E.L.(3,2) (3) 2λ = α ⎪⎭

(1) 3λ + α = 5 ⎫ ⎪ (2) − λ − 2α = 0⎬ (3) 2λ − α = 0 ⎪⎭

Resolvamos el S.E.L.(3,2) . ⎡ 3 1 5⎤ ⎡1 2 0⎤ ⎡1 2 0 ⎤ −1E2 −3 E1 + E2 ⎢ −1 −2 0 ⎥ ⎯⎯⎯ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −2 E1 + E2 → ⎢ 0 −5 5 ⎥ → ⎢ ⎥ E12 → ⎢ 3 1 5 ⎥ ⎯⎯⎯⎯ ⎢⎣ 2 −1 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 −1 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 −5 0 ⎥⎦ ⎡1 2 0 ⎤ ⎢ ⎥ −1E2 + E3 ⎯⎯⎯⎯→ ⎢ 0 −5 5 ⎥ . ⎢ 0 0 −5⎥ ⎣ ⎦

Podemos suspender el proceso de reducción puesto que el sistema es inconsistente (¿por qué?). En consecuencia, L1 ∩ L3 = ∅ . Todo esto nos permite concluir que las rectas L1 y L3 se cruzan en el espacio. Se deja al lector la determinación de los otros conjuntos.

286

Módulo 19: Intersecciones entre lugares geométricos

19.1.2 Posiciones relativas de una recta y un plano en el espacio Sean L, π una recta y un plano en el espacio, respectivamente. Entonces pueden darse las siguientes situaciones: (a).

L ∩ π = ∅ ; en este caso, L & π .

(b).

L ∩ π ≠ ∅ ; en este caso puede ocurrir que: L ∩ π = { P} , esto es, la recta y el plano se intersecan en un punto

„

único. „

L ∩ π = L , esto es, L ⊂ π (la recta está contenida en el plano).

Ilustración 12 Sean la recta L1 y los planos π 1 , π 2 , π 3 de ecuaciones respectivamente:

1. x = −2 + 3λ ⎫ π1 : 2 x + 3 y + z = 10. ⎪ L1 : 2. y = 5 − λ ⎬ λ ∈ R π 2 : 2 x + 2 y − 2 z = 3. 3. z = 2λ ⎪⎭ π 3 : x + y − z = 3. Determinemos los conjuntos L1 ∩ π 1 , L1 ∩ π 2 y L1 ∩ π 3 . 1.

L1 ∩ π 1 .

Sustituyamos las coordenadas de las ecuaciones paramétricas de la recta, en la ecuación del plano. 2 (−2 + 3λ ) + 3(5 − λ ) + (2λ ) = 10, −4 + 6λ + 15 − 3λ + 2λ = 10, 5λ = −1; λ = − 1 5 .

Determinemos las coordenadas para este valor. x = −2 + 3(− 1 5 ) = − 13 5 . y = 5 − (− 1 5 ) = 26 5 . z = 2(− 1 5 ) = − 2 5 .

Lo anterior nos indica que la recta L1 y el plano π 1 se intersecan en el punto único (− 13 5 , 26 5 , − 2 5 ) . 2.

L1 ∩ π 2 .

Procedamos análogamente como en el caso anterior. 2(−2 + 3λ ) + 2(5 − λ ) − 2(2λ ) = 3, −4 + 6λ + 10 − 2λ − 4λ = 3, 6 = 3. Absurdo.

Vea la animación Posiciones relativas de una recta y un plano en el espacio en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Geometría vectorial y analítica

287

Capítulo 5: Vectores coordenados Esto significa que no existe un valor para λ que satisfaga esta ecuación; en consecuencia, L1 ∩ π 2 = ∅ y podemos afirmar que L1 & π 2 . 3.

L1 ∩ π 3 .

Efectuemos la sustitución de las coordenadas de la recta en la correspondiente ecuación cartesiana del plano. Vea la animación Posiciones relativas de dos planos en el espacio en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

(−2 + 3λ ) + (5 − λ ) − (2λ ) = 3 3λ − 3λ = 0, esto es, λ = λ , lo que significa que λ toma todos los valores en el conjunto R y, en consecuencia, L1 ∩ π 3 = L1 , que nos permite afirmar que L1 ⊂ π 3 . (La recta L1 está contenida en el plano π 3 ).

19.1.3 Posiciones relativas de dos planos en el espacio Sean π 1 , π 2 dos planos en el espacio; entonces pueden darse las siguientes situaciones: (a).

π1 ∩ π 2 = ∅ ; en este caso, π 1 & π 2 .

(b).

π1 ∩ π 2 ≠ ∅ ; en este caso puede ocurrir que:

π1 ∩π2 = L,

„

siendo L el conjunto de puntos correspondientes a

una recta en el espacio.

π1 ∩ π 2 = π1 = π 2 , lo que nos muestra que π 1 y π 2 son el

„

mismo plano. Observaciones 1.

Si dos planos diferentes se intersecan, entonces su intersección es una recta (tenga presente el axioma correspondiente en la geometría euclidiana). En consecuencia, si dos planos distintos se intersecan, nunca su intersección puede reducirse a un punto. Verifique esta afirmación desde el punto de vista de los tipos de solución de un S.E.L.( m,n) .

2.

Tres planos distintos pueden intersecarse en un punto (¿por qué?).

Ilustración 13 Sean los planos π 1 , π 2 , π 3 , π 4 de ecuaciones respectivas:

π1 : x + 2 y − z = 3. π 2 : 2x + y + 4z = 0. π 3 : 3x + 4 y − 5z = 8. π 4 : 3x + 6 y − 3z = 1.

288

Módulo 19: Intersecciones entre lugares geométricos Determinemos los conjuntos 1.

π 1 ∩ π 2 , π1 ∩ π 4 , π1 ∩ π 3 , π 1 ∩ π 2 ∩ π 3 .

π1 ∩ π 2 . Resolvamos el S.E.L.(2,3) . ⎡ 1 2 −1 3⎤ −2 E1 + E2 ⎡1 2 −1 3 ⎤ − 13 E2 ⎡1 2 −1 3 ⎤ →⎢ ⎢ 2 1 4 0 ⎥ ⎯⎯⎯⎯→ ⎢ 0 −3 6 −6 ⎥ ⎯⎯⎯ ⎥→ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 0 1 −2 2 ⎦ x = −1 − 3 z ⎫ ⎡ 1 0 3 −1⎤ ⎪ −2 E2 + E1 ⎯⎯⎯⎯ →⎢ ⎥ , luego y = 2 + 2 z ⎬ z ∈ R. ⎢⎣ 0 1 −2 2 ⎥⎦ z= z ⎪⎭

Dicha solución podemos presentarla así:

x = − 1 − 3λ ⎫ ⎪ (2) y = 2 + 2λ ⎬ λ ∈ R . (3) z = λ ⎪⎭ (1 )

Como puede observarse, esta solución corresponde a una recta en el espacio, que → → podemos describir como L ⎛⎜ A, t ⎞⎟ , siendo A(−1, 2, 0) y t ↔ (−3, 2, 1) , y, en ⎝ ⎠ consecuencia,

→ π 1 ∩ π 2 = L ⎛⎜ A, t ⎞⎟ .

⎝

2.

⎠

π1 ∩π 4 . Resolvamos el S.E.L.(2,3)

⎡1 2 −1 3⎤ −3 E1 + E2 ⎡1 2 −1 3 ⎤ lo que nos muestra ⎢3 6 −3 1⎥ ⎯⎯⎯⎯→ ⎢ 0 0 0 −8⎥ que es inconsistente ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣ ⎦

Luego

π1 ∩π4 = ∅ , y, en consecuencia, π 1 & π 4 .

Se deja al lector la determinación de los otros conjuntos. Nota: la introducción en los capítulos siguientes de nuevas operaciones en los vectores geométricos amplían totalmente la gama de lugares geométricos que se van a determinar. En particular, las operaciones correspondientes al producto escalar y al producto vectorial nos permiten presentar otras ecuaciones vectoriales para la determinación de rectas en el plano, en el espacio y planos en el espacio, como también superficies esféricas, esferas, superficies cilíndricas, superficies cónicas, volúmenes, etc.

Geometría vectorial y analítica

289

Ejercicios del capítulo 5 (módulos 17 al 19)

1.

→

→

→

→

Sean u ↔ (−1, 1, 0), v ↔ ( 1 2 , − 1 2 , 1), t ↔ (0, − 1, 0), s ↔ (2, − 1, 1) . →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

a.

Calcule la magnitud de los vectores u , v , u − v , u + v − t − s , 2 u + 4 v − t + 3 s .

b.

Normalice cada uno de los vectores anteriores.

c.

Exprese cada uno de los vectores libres del literal 1a como combinación lineal de los vectores de la

{ } → → →

base ortonormal i , j , k . →

→

→

→

d.

Determine un vector de magnitud igual a 11 unidades, en la dirección y el sentido del vector u + v − t − s .

e.

Determine un vector de magnitud igual a 3 / 7 de unidad, en la dirección y el sentido del vector 2 u + 4 v − t + 3 s .

→

→

→

→

2.

Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y simétricas de la recta L( F , H ) para F (−5, 1, 2) y H (2, 1, 0). Calcule para esta misma recta las coordenadas de los interceptos con los planos determinados por: el eje x y el eje y, el eje x y el eje z, el eje y y el eje z.

3.

Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas, simétricas y cartesiana (esta última cuando sea posible) para cada una de las rectas que se describen a continuación: →

a.

Pasa por el punto B (−2, 1, 1) y es paralela al vector s ↔ (2, − 3, − 2) .

b.

Pasa por el punto F (−3, 0, 2) y es paralela al vector MK , con M (0, − 2, − 6), K (−1, − 5, − 2).

c.

Pasa por A(5, − 1) y es paralela al vector u ↔ (−3, 1).

d.

Pasa por D(0, 0) y es paralela al vector f ↔ (−3, − 3).

→

→

→

4.

290

Identifique cada uno de los siguientes conjuntos de puntos en R2. a.

{P( x,

y ) / ( x, y ) = (−1, 1/ 7) + β (5, − 2); β ∈ R} .

b.

⎧ 3 ⎫ ⎛ ⎞ ⎨ P( x, y ) / ( x, y ) = ⎜ 2 − 5λ , + λ ⎟ ; λ ∈ R ⎬ . 4 ⎝ ⎠ ⎩ ⎭

c.

{P( x,

y) ( x, y) = (3 + α )(0, 5) + α (−2, 7); α ∈ R} .

d.

{ P ( x,

y) / y = − 4 / 7; x ∈ R} .

e.

{ P ( x,

y) / ( x, y ) = (− 1 2 , 5) + λ (1, 2); λ ∈ [0, + ∞)} .

f.

{ P ( x,

y ) / ( x, y) = (− 1 2 , 5) + λ (1, 2); λ ∈ [0, 7]} .

g.

{

→

→

→

}

P( x, y ) / P = (3 − θ ) P1 + θ P2 ; θ ∈ R .

5.

6.

3 Identifique cada uno de los siguientes conjuntos de puntos en R .

a.

{ P ( x,

y, z ) / ( x, y, z ) = (−1, 0, 0) + λ (0, − 5, 2); λ ∈ R} .

b.

{ P ( x,

y, z ) / ( x, y, z ) = (−1, 0,0) + λ (0, −5, 2); λ ∈ [0,1]} .

c.

{ P ( x,

y, z ) / ( x, y, z ) = (3, − 1 2 ,

d.

⎧ 1 ⎞ ⎫ ⎛ ⎨ P ( x, y, z ) / ( x, y, z ) = ⎜ θ , 2 − 5θ , − 1 7 − θ ⎟ ; θ ∈ R ⎬ . 4 ⎠ ⎝ ⎩ ⎭

e.

{ P ( x,

y, z ) / ( x, y, z ) = (−3 + λ , 2λ − β ,5 + 7λ + 2β ); λ , β ∈ R} .

f.

{P( x,

y, z ) / ( x, y, z ) = (5 − λ , 3 + β , 8); λ , β ∈ R} .

1

3

) + λ (0, 1, 1) + β (−2, 3, − 1); λ , β ∈ R} .

Sean P1 ( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 ) . a.

Determine las coordenadas del punto medio de P1 P2 .

b.

Determine las coordenadas de un punto S, S ∈PP 1 2 , que se encuentra a dos unidades de P1 y a siete unidades de P2 .

c.

d.

7.

8.

Determine las coordenadas de un punto T, T ∈ P1 P2 , tal que

m ( PT 1 ) m (TP2 )

Determine las coordenadas de un punto W, W ∈ P1 P2 , tal que

=

m ( PW ) 1 m ( P1 P2 )

2 . 3 =

3 . 11

Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesiana de los siguientes planos: a.

π ( D, G , M ) , siendo D(0, 2, –1), G(–5, 0, –2), M(4, 1, 1).

b.

→ → → → π ⎛⎜ A, v , t ⎞⎟ , siendo A(3, 4, 1), v ↔ (2, 3, − 1), t ↔ (1, − 1, − 2) .

c.

El plano que contiene la recta L( B, S ) y pasa por el punto H (2, 1, 0), siendo B(–1, –2, –3) y S(0, –7, 2).

⎝

⎠

Dadas las rectas L1 y L2 y los planos π 1 y π 2 de ecuaciones:

1. x = 2 + 3λ ⎫ ⎪ L1 : 2. y = −5 + λ ⎬ λ ∈ R; 3. z = − 7λ ⎪⎭

1. x = −1 + 5β ⎫ ⎪ L2 : 2. y = 2 − 8β ⎬ β ∈ R 3. z = β ⎪⎭

Geometría vectorial y analítica

291

1. x = 1 + θ + 2δ ⎫ 1. x = 3 + α − Ω ⎫ ⎪ ⎪ π 1 : 2. y = −2 + 2θ + 3δ ⎬θ , δ ∈ R; π 2 : 2. y = 2 + 2Ω ⎬ α , Ω ∈ \. 3. z = θ + 4δ ⎪⎭ 3. z = 3α + 2Ω ⎪⎭

determine e interprete los siguientes conjuntos:

9.

a.

L1 ∩ L2 .

b.

L1 ∩π1.

c.

L2 ∩π 2 .

d.

π1 ∩ π 2 .

e.

L1 ∩ π 2 .

f.

L2 ∩ π1.

Dados los planos π 1 , π 2 , π 3 de ecuaciones cartesianas:

π 1 : 2 x − y − z = 4, π 2 : 3 x − 2 y + 4 z = 11, π 3 : 6 x + 8 y − 4 z = 22, determine e interprete geométricamente los siguientes conjuntos:

10.

292

a.

π1 ∩ π 2 .

b.

π1 ∩ π 3 .

c.

π 2 ∩ π3.

d.

π1 ∩ π 2 ∩ π 3.

Dados los puntos A (5, 2, −1), B (−3, 0, 2), C (4, 1, − 1) en el ΔABC : a.

Determine la recta que contiene la mediana asociada al vértice A.

b.

Determine la recta que contiene la mediana asociada al vértice B.

c.

Determine las coordenadas del baricentro del ΔABC .

d.

n. Determine la recta que contiene la bisectriz asociada al BAC

e.

Determine la recta que contiene la bisectriz asociada al n ABC .

f.

Determine las coordenadas del incentro del ΔABC .

g.

Determine el perímetro del ΔABC .

6

Capítulo 6

El producto escalar

Contenido breve Módulo 20 Producto escalar en E 3 y

3

Módulo 21 Proyección ortogonal Módulo 22 Producto escalar y geometría analítica A la edad de quince años, el físico y químico estadounidense Josiah Willard Gibbs (1839-1903) ingresó en la Universidad de Yale, donde obtuvo el primer doctorado en ingeniería concedido por la mencionada institución. Durante un viaje a Europa entró en contacto con los físicos y matemáticos de mayor prestigio de la época, cuyas novedosas aportaciones estudió con interés. Gibbs hizo importantes contribuciones al estudio de los vectores en su obra Análisis vectorial.

Presentación Se ha venido trabajando en el espacio de los vectores libres ( E 3 y sus subespacios E 2 y E1 ), con dos operaciones: la adición y la multiplicación por un escalar. En ambas, el resultado es siempre un vector libre.

En una estructura de espacio vectorial es posible definir una nueva operación, en la que el resultado ya no es un vector, sino un escalar. Generalmente esta operación se conoce como producto interno. En el caso de E 3 se llama producto escalar. En este capítulo se define el producto escalar en el espacio de los vectores libres y se deducen sus propiedades esenciales. Se introduce, además, el concepto de proyección ortogonal, el cual permitirá construir bases ortonormales, mediante el proceso de Gram-Schmidt. A lo largo del capítulo se resuelven problemas de la geometría euclidiana y de la geometría analítica, con el uso del concepto de producto escalar.

Ejercicios Módulos 20 al 22

294

20 Producto escalar en E 3 y R 3 Introducción La estructura de espacio vectorial, con sus propiedades básicas, permite introducir nuevos conceptos que amplían la gama de problemas que se pueden resolver. El producto interno es uno de esos conceptos. En el caso del espacio vectorial de los vectores libres E 3 y el espacio vectorial 3 , el producto escalar es un producto interno que tiene innumerables aplicaciones en la geometría analítica y la geometría elemental.

Objetivos del módulo 1. Presentar el concepto general de producto interno y el particular de producto escalar en

E3 y

n

.

2. Mostrar algunas aplicaciones del producto escalar en la solución de algunos problemas de la geometría euclidiana.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es un producto interno? 2. ¿Es el producto interno una ley de composición interna? 3. ¿Cómo se calcula el producto escalar entre dos vectores? 4. ¿Qué relación existe entre ortogonalidad y producto escalar? 5. ¿Qué relación existe entre longitud y producto escalar? 6. ¿Qué tipos de problemas de la geometría euclidiana se pueden resolver con el uso del producto escalar?

Pitágoras de Samos De Pitágoras se sabe que nació, aproximadamente, en el año 572 a. C. en la isla griega de Samos. Se cree que fue discípulo de Tales de Mileto. En Crotona fundó la Escuela Pitagórica, asociación de carácter filosófico-religioso, y se dedicó a estudiar filosofía, matemáticas y ciencia natural. Pitágoras estudió en Egipto geometría y astronomía. Murió cuando contaba cerca de 83 años de edad. La tradición atribuye a Pitágoras la autoría del famoso teorema que lleva su nombre, a pesar de que éste era conocido un milenio antes del nacimiento de aquél. Las innumerables aplicaciones de este teorema en diferentes ramas de la Matemática hablan por sí solas de su trascendental importancia. El teorema de Pitágoras ha sido objeto de numerosas investigaciones; unas, dedicadas a sistematizar las diferentes formas de demostrarlo, así como sus múltiples aplicaciones, y otras, encaminadas a establecer enunciados más generales.

Contenidos del módulo 20.1 Producto interno 20.2 Producto escalar en E 3 20.3 Aplicaciones del producto escalar a la geometría euclidiana 20.3.1 Teorema de Pitágoras 20.3.2 Teorema del coseno

Vea el módulo 20 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

295

Capítulo 6: El producto escalar

20.1 Producto interno Producto interno Sea V un espacio vectorial sobre un campo k. Sea «i» una función, así: i:

V × V → k.

(v, w)

v i w.

«i» es una función que a cada par de vectores v y w de V asigna un escalar denotado v i w. «i» es un producto interno si satisface las cinco condiciones siguientes. Para cada v, u, w en V, y cada α en k :

I1.

u i (v + w) = u i v + u i w.

( «i» , el producto interno, es distributivo con respecto a la adición de vectores). I2.

(α v ) i w = v i (α w) = α (v i w).

(los factores escalares pueden «extraerse» del producto interno). I3.

v i w = w i v.

( «i» es conmutativa). I4.

v i v ≥ 0. (el producto interno de un vector por sí mismo es un escalar no negativo).

I5.

v i v = 0 si y sólo si v = o. (el único caso en que el producto interno de un vector por sí mismo es el escalar cero, es aquel en que el vector es el nulo: o).

En la figura 20.1 se ilustra, esquemáticamente, la función producto interno.

Figura 20.1

La forma de definir un producto interno depende, en cada caso, del espacio vectorial en particular.

296

Módulo 20: Producto escalar en E 3 y

3

Ilustración 1 En

3

se define el producto interno así (ver la sección 2.1):

⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ Si X = ⎜ y1 ⎟ ⎜z ⎟ ⎝ 1⎠

y

⎛ x2 ⎞ ⎜ ⎟ Y = ⎜ y2 ⎟ , entonces ⎜z ⎟ ⎝ 2⎠

X i Y : = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 .

De este modo, si

⎛ −1 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛3⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ X = ⎜ 0 ⎟ , Y = ⎜ 1 ⎟ , Z = ⎜ 2 ⎟ , W = ⎜ 2 ⎟ , entonces: ⎜ 2⎟ ⎜3⎟ ⎜1 ⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

X i Y = −2 + 0 + 6 = 4, X i Z = −3 + 0 + 2 = −1, X i W = −2 + 0 + 2 = 0,

X i X = 1 + 0 + 4 = 5, 0 i 0 = 0 + 0 + 0 = 0. Como se observa en los ejemplos, el producto interno en ser positivo, negativo o cero.

3

es un real que puede

Ilustración 2 En

2

se define un producto interno similar al de

3

:

⎛ x1 ⎞ ⎛ x2 ⎞ Si X = ⎜ ⎟ y Y = ⎜ ⎟ , entonces X i Y : = x1 x2 + y1 y2 . y ⎝ 1⎠ ⎝ y2 ⎠

Es fácil probar que el producto interno definido para condiciones de la definición 20.1.

3

(y para

A manera de ilustración, verifiquemos el cumplimiento de I1 para

2

) satisface las

3

:

⎛ x3 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ x2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Sean: X = ⎜ y1 ⎟ , Y = ⎜ y2 ⎟ , Z = ⎜ y3 ⎟ . ⎜z ⎟ ⎜z ⎟ ⎜z ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠

Geometría vectorial y analítica

297

Capítulo 6: El producto escalar Josiah Willard Gibbs y los orígenes del análisis vectorial Como ya se ha observado, el estudio de los vectores se originó con la invención de los cuaterniones de Hamilton. Hamilton y otros desarrollaron los cuaterniones como herramientas matemáticas para la exploración del espacio físico. Pero los resultados fueron desilusionantes porque vieron que los cuaterniones eran demasiado complicados para entenderlos con rapidez y aplicarlos fácilmente. Los cuaterniones contenían una parte escalar y una parte vectorial y las dificultades surgían cuando estas partes se manejaban al mismo tiempo. Los científicos se dieron cuenta de que muchos problemas se podían manejar considerando la parte vectorial por separado y así comenzó el análisis vectorial. Este trabajo se debe principalmente al físico americano Josiah Willard Gibbs (1839-1903). Como nativo de New Haven, Connecticut, Gibbs estudió matemáticas y física en la Universidad de Yale y recibió el grado de doctor en 1863. Después estudió matemáticas y física en París, Berlín y Heidelberg. En 1871 fue nombrado profesor de física en Yale. Era un físico original que hizo muchas publicaciones en el área físico-matemática. El libro de Gibbs Vector analysis apareció en 1881 y de nuevo en 1884. En 1902 publicó Elementary principles of statistical mechanics. Los estudiantes de matemáticas aplicadas se encontraron con el singular «fenómeno de Gibbs» en las series de Fourier. El libro pionero de Gibbs, Vector analysis, era en realidad un panfleto pequeño impreso para la distribución privada –en principio para que sus estudiantes lo usaran–. De cualquier forma, creó un gran entusiasmo entre aquellos que veían una alternativa a los cuaterniones, y pronto el libro fue ampliamente conocido. Finalmente, el material se convirtió en un libro formal escrito por E. B. Wilson. El libro Vector analysis de Gibbs y Wilson se basaba en la cátedra de Gibbs. Se publicó en 1901. En la introducción a la física, un espacio vectorial se ve como un segmento de recta dirigido, o flecha. Gibbs dio definiciones de igualdad, suma y multiplicación de vectores; éstas son esencialmente las definiciones dadas en este capítulo. En particular, la parte vectorial de un cuaternión se escribía como ai + bj + ck, y ésta es la forma en que ahora se describen los vectores en

3

.

Gibbs definió el producto escalar, inicialmente, sólo para los vectores i, j, k: i· i=j· j=k· k=1 i · j = j · i = i · k = k · i = j · k = k · j = 0. A esto siguió la definición más general. Gibbs aplicó el producto escalar en problemas referentes a la fuerza (recuerde: primero era físico). Si F es un vector de fuerza de magnitud | F | que actúa en la dirección del segmento

⎛ x2 + x3 ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ Y + Z = ⎜⎜⎜ y2 + y3 ⎟⎟ ⎟⎟ (definición de adición en ⎜ ⎜⎝ z2 + z3 ⎠⎟

3

).

X i (Y + Z ) = ( x1 x2 + x1 x3 ) + ( y1 y2 + y1 y3 ) + ( z1 z2 + z1 z3 ) (distributividad del producto de reales, y conmutatividad de +). = ( x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ) + ( x1 x3 + y1 y3 + z1 z3 ).

Luego X i (Y + Z ) = X i Y + X i Z (definición del producto interno en

3

).

20.2 Producto escalar en E 3 Producto escalar En el espacio E 3 de los vectores libres se define el producto escalar como una función «i» así: i : E3 × E3 →

,

⎛→ →⎞ → → a i b, ⎜ a, b ⎟ ⎝ ⎠ con las siguientes condiciones: →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

E1.

Si a = o o b = o ,

E 2.

Si a ≠ o y b ≠ o ,

→

→

→

→

entonces a i b = 0. →

entonces a i b = a

→

b cos θ .

θ es el ángulo entre a y b , según la definición dada en el módulo 15. De allí se sabe que 0 ≤ θ ≤ π (para θ en radianes), o 0º ≤ θ ≤ 180º. Teorema 1 El producto escalar es un producto interno en E3 . Esto significa que: →

→

→

para todo a , b , c en E 3 y para cada λ real: E1.

⎛→ →⎞ → → → → a i ⎜b + c⎟ = a ib + a i c. ⎝ ⎠

→

⎛ →⎞ ⎛ →⎞ → ⎛→ →⎞ a i ⎜ λ b ⎟ = ⎜ λ a ⎟ i b = λ ⎜ a i b ⎟. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

→

E 2. E3.

298

).

X i (Y + Z ) = x1 ( x2 + x3 ) + y1 ( y2 + y3 ) + z1 ( z2 + z3 ) (definición de «i» en

OQ (figura 1), entonces la efectividad de esta fuerza al empujar un objeto a lo largo del segmento OP (es decir,

3

→

→

→

→

a i b = b i a.

Módulo 20: Producto escalar en E 3 y E 4.

→

→

→

→

a lo largo del vector u) está dada por F · u . Si | u | = 1,

a i a ≥ 0.

E5.

3

→

entonces F · u es la componente de F en la dirección

→

a i a = 0 si a = o .

de u . También el producto cruz tiene un significado físico.

Prueba de E4 →

→

→

→

Si a = o , entonces a ⋅ a = 0 (definición de producto escalar). →

→

En este caso, a ⋅ a ≥ 0 . →

→

→

→

→

→

Si a ≠ o , entonces a ⋅ a = a a cos 0. Figura 1 →

→ 2

→

Así, a ⋅ a = a

La efectividad de F

(téngase en cuenta que cos 0 = 1).

→

→ 2

Como a es un real, entonces a

en la dirección de OP es la

componente de F en la dirección de OP (= u ) si u = 1. Suponga que un vector de fuerza F actúa en un punto P

≥ 0.

en el espacio en la dirección de PQ . Si u es el vector →

representado por OP , entonces el momento de fuerza

→

En suma, a ⋅ a ≥ 0 .

ejercido por F alrededor del origen es el vector u × F (figura 2).

Debido a esta propiedad suele escribirse: →

→

→2

a ⋅ a= a , →

→2

donde « a » es el llamado cuadrado escalar del vector a. Ahora es posible expresar la longitud de un vector, usando el producto escalar: →

a =

→

→

a⋅a. Figura 2

Es decir, la longitud de un vector es la raíz cuadrada del producto escalar del vector por sí mismo. Se sabe que dos vectores pueden ser ortogonales, bajo las siguientes condiciones: →

1.

→

Si a y b son no nulos y el ángulo entre los dos es 90º ( π 2 radianes). →

2.

o es ortogonal a cualquier vector libre (recuérdese que el vector nulo tiene todas las direcciones. →

→

→

→

La ortogonalidad entre a y b se denota a ⊥ b .

El vector u × F es el momento de la fuerza alrededor del origen. Tanto el producto escalar como el producto cruz entre vectores aparecen prominentemente en las aplicaciones físicas que involucran el cálculo de varias variables. Éstas incluyen las famosas ecuaciones de Maxwell en electromagnetismo. Al estudiar matemáticas al final del siglo XX, no debemos perder de vista el hecho de que la mayor parte de las matemáticas modernas se desarrollan para resolver problemas del mundo real. Los vectores fueron desarrollados por Gibbs y otros para facilitar el análisis de los fenómenos físicos. En este sentido tuvieron un gran éxito.

Geometría vectorial y analítica

299

Capítulo 6: El producto escalar Teorema 2 →

→

Sean a , b vectores libres. Entonces: →

→

→

→

a ⊥ b si y sólo si a i b = 0.

Este teorema relaciona la ortogonalidad con el producto escalar. Se deja la prueba al lector. Los resultados hasta ahora obtenidos justifican la extensión del concepto de ortogonalidad a los espacios internos. Ortogonalidad en

2

3

y

, a través de sus respectivos productos

3

Sean X , Y vectores de

3

.

X es ortogonal a Y si y sólo si X i Y = 0. ⎛ 2⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ Así, si X = ⎜ −1 ⎟ y Y = ⎜ 2 ⎟ , entonces X ⊥ Y . ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛0⎞ ⎜ ⎟ Por supuesto, el vector nulo ⎜ 0 ⎟ es ortogonal a cada vector de ⎜0⎟ ⎝ ⎠ Definición similar puede darse para

2

Figura 20.2

.

⎛ 3 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎟ y ⎜ ⎟ son ⎝ −1 ⎠ ⎝ 3 ⎠

. De este modo, las parejas ⎜

ortogonales (figura 20.2).

300

3

Módulo 20: Producto escalar en E 3 y

3

⎛ 3⎞ ⎛1 ⎞ En la figura 20.2, X = ⎜ ⎟ , Y = ⎜ ⎟ . ⎝ −1 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎛ 3⎞ ⎛1 ⎞ Recuérdese que a las parejas ⎜ −1 ⎟ y ⎜ 3 ⎟ corresponden, respectivamente, los ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ vectores de ⎜ 3 i − j ⎟ e ⎜ i + 3 j ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ →

3 El hecho de que para un vector libre a de E su longitud sea 3

generalizar el concepto de longitud a vectores de Longitud de un vector en Sea X un vector de X =

2

2

2

→

a ⋅ a , permite

.

3

o 3

o de

y

→

. Se define la longitud de X y se denota X , así:

X ⋅X.

Ilustración con los vectores X en

2

, e Y en

3

:

⎛ 1⎞ ⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ X = ⎜ ⎟; Y = ⎜ 2⎟ . ⎝ 1⎠ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ X = 2; Y = 9 = 3 .

Teorema 3 → →

Para todo a , b en E 3 : 2

1.

→2 ⎛→ →⎞ ⎛ → → ⎞ →2 ⎜ a + b ⎟ = a + 2⎜ a i b ⎟ + b . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2.

→2 ⎛→ →⎞ ⎛ → → ⎞ →2 ⎜ a − b ⎟ = a − 2⎜ a i b ⎟ + b . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3.

⎛→ →⎞ ⎜a+ b⎟ ⎝ ⎠

2

⎛→ →⎞ → → i ⎜a−b⎟ = a −b . ⎝ ⎠ 2

2

Este teorema muestra que el producto escalar tiene similitudes con la operación multiplicación en el campo de los números reales. Debe, eso sí, tenerse el cuidado →2

→

→

→

→2

de no confundir a , es decir, a ⋅ a , con el cuadrado de un supuesto real a ; a sí →

es un cuadrado, pero del real a .

Geometría vectorial y analítica

301

Capítulo 6: El producto escalar Prueba de 3 Basta aplicar adecuadamente las propiedades distributiva y conmutativa (teorema 1).

⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ → ⎛→ →⎞ → ⎛→ →⎞ ⎜ a + b ⎟ i ⎜ a − b ⎟ = a i⎜ a − b ⎟ + b i⎜ a − b ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(distributiva)

⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ = ⎜ a i a ⎟ − ⎜ a i b ⎟ + ⎜ b i a ⎟ − ⎜ b i b ⎟ (distributiva) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ →2

→2

= a− b.

(?)

Teorema 4: Desigualdad de Cauchy-Schwarz →

→

Para todo par de vectores libres a y b , →

→

→

→

a ib ≤ a b .

Esta desigualdad asegura que el valor absoluto del producto escalar de dos vectores no supera el producto de las longitudes de los mismos. →

→

Prueba (para a y b no nulos). →

→

→

→

a i b = a b cos θ .

→

De la trigonometría se sabe que cos θ ≤ 1 . →

→

Como

a > 0 y b > 0, puede escribirse:

→

→

→

→

a b cos θ ≤ a b .

Es decir, →

→

→

→

a b cos θ ≤ a b .

Por tanto, →

→

→

aib ≤ a

302

→

b .

→

(θ ángulo entre a y b , y 0 ≤ θ ≤ π )

(?)

Módulo 20: Producto escalar en E 3 y

3

Puede ahora enunciarse, y demostrarse, el teorema conocido como desigualdad triangular. Teorema 5 →

→

→

→

→

→

Si a y b son vectores libres, entonces a + b ≤ a + b . Su demostración se deja al lector.

20.3 Aplicaciones del producto escalar a la geometría euclidiana El producto escalar y sus propiedades permiten probar algunos teoremas de la geometría euclidiana.

20.3.1 Teorema de Pitágoras El triángulo ABC de la figura 20.3 es rectángulo en B. ⎯→

⎯→

⎯→

AC = AB + BC .

(definición de adición)

⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ Luego AC = ⎛⎜ AB + BC ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ AB + BC ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2

⎯→ ⎛ ⎯→ ⎯→ ⎞ ⎯→ = AB + 2 ⎜ AB ⋅ BC ⎟ + BC . ⎝ ⎠ 2

⎯→

2

(teorema 3)

⎯→

Pero AB ⋅ BC = 0.

(?)

Por tanto, ⎯→ 2

⎯→ 2

⎯→ 2

AC = AB + BC .

Figura 20.3

Geometría vectorial y analítica

303

Capítulo 6: El producto escalar

20.3.2 Teorema del coseno En el triángulo ABC de la figura 20.4, θ es el ángulo ABC. ⎯→

⎯→

⎯→

AC = AB + BC . ⎯→ ⎯→ ⎛ ⎯→ ⎯→ ⎞ ⎯→ AC = AB + 2 ⎜ AB ⋅ BC ⎟ + BC . ⎝ ⎠ 2

⎯→

2

⎯→

2

⎯→

AB i BC = AB

⎯→

BC cos (π − θ ).

Pero cos(π − θ ) = − cos θ . Luego ⎯→ 2

⎯→ 2

⎯→ 2

⎯→

AC = AB + BC − 2 AB ⎯→

⎯→

⎯→

BC cos θ . ⎯→

Si se denota a = BC , b = AC , c = AB , el resultado anterior puede escribirse: b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos θ .

Figura 20.4

304

21 Proyección ortogonal Introducción Las bases ortonormales, introducidas en el módulo 16, facilitan el cálculo del producto escalar entre vectores libres. Dicho cálculo se reduce a una suma de productos de números reales. Este hecho facilita el cálculo de longitudes de vectores y ángulo entre vectores y permite encontrar, de manera sencilla, proyecciones ortogonales de vectores sobre vectores, rectas y planos.

Objetivos del módulo 1. Presentar una forma de calcular el producto escalar, con la utilización de bases ortonormales. 2. Definir el concepto de proyección ortogonal de vectores sobre rectas y planos.

Preguntas básicas 1. ¿Cómo influyen las bases ortonormales en el cálculo del producto escalar entre vectores libres? 2. ¿Cómo se calculan las proyecciones ortogonales de un vector sobre rectas y planos? 3. ¿Cuál es el significado geométrico de las proyecciones ortogonales?

Jörgen Pedersen Gram El matemático danés Pedersen, nacido en 1850, recibió su primera instrucción en escuelas públicas, complementada con tutores particulares. Después de terminar el bachillerato obtuvo la maestría en matemáticas con especialización en álgebra moderna, disciplina que estaba en pleno desarrollo. Gram trabajó después como tramitador de documentos públicos. Mientras realizaba esta actividad desarrolló los conocimientos matemáticos de los seguros contra accidentes, y más tarde obtuvo el doctorado en Filosofía con base en su tesis Sobre el desarrollo de series con el uso del método de los mínimos cuadrados. En ésta planteó por primera vez sus contribuciones al proceso de Gram-Schmidt. Gram falleció una tarde de 1916 en un choque en bicicleta cuando se dirigía a una reunión de la Sociedad Real Danesa.

Contenidos del módulo 21.1 Producto escalar en una base ortonormal 21.2 Proyección ortogonal de un vector sobre una recta 21.3 Proyección ortogonal de un vector sobre un plano

Vea el módulo 21 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

305

Capítulo 6: El producto escalar

21.1 Producto escalar en una base ortonormal En adelante, BOND significa «base ortonormal derecha» (véase el módulo 16).

{

}

→ → →

Sea i , j , k

→

→

una BOND para E3 . Consideremos en E 3 dos vectores a y b

cuyas componentes son:

⎡ x1 ⎤ ⎡ x2 ⎤ → a ↔ ⎢⎢ y1 ⎥⎥ y b ↔ ⎢⎢ y2 ⎥⎥ . ⎢⎣ z1 ⎥⎦ ⎢⎣ z2 ⎥⎦

→

→

→

→

→

→

→

→

→

Esto significa que a = x1 i + y1 j + z1 k y b = x2 i + y2 j + z2 k . →

→

Así, el producto escalar de a y b es: → → → → → ⎛ → ⎞ ⎛ → ⎞ a i b = ⎜ x1 i + y1 j + z1 k ⎟ i ⎜ x2 i + y2 j + z2 k ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

→

Aplicando reiteradamente las propiedades del producto escalar, particularmente la distributiva y la conmutativa, se obtiene: → → → ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ a i b = ( x1 x2 ) i + ( x1 y2 ) ⎜ i i j ⎟ + ( x1 z2 ) ⎜ i i k ⎟ + ( y1 x2 ) ⎜ j i i ⎟ + ( y1 y2 ) j ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2

→

2

→ ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ +( y1 z2 ) ⎜ j i k ⎟ + ( z1 x2 ) ⎜ k i i ⎟ + ( z1 y2 ) ⎜ k i j ⎟ + ( z1 z2 ) k . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2

{

}

→ → →

Si se tiene en cuenta que i , j , k es una BOND, puede afirmarse que: →2

→2

→2

→

→

→

→

→

→

i = j = k = 1, y que i i j = j i k = k i i = 0.

→

→

Luego a i b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 . El resultado es coincidente con el producto interno en

3

de las tripletas

⎛ x1 ⎞ ⎛ x2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y1 ⎟ y ⎜ y2 ⎟ . ⎜z ⎟ ⎜z ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 1⎠

Esto significa que cuando se efectúa el producto escalar de dos vectores libres, simultáneamente se está calculando el producto interno entre tripletas ordenadas de números reales. Es claro que esto ha sido posible a través de una BOND para E3 . Por todo lo anterior, el producto interno en

306

3

también suele llamarse producto escalar.

Módulo 21: Proyección ortogonal 2 Un análisis similar puede hacerse para los vectores libres en el plano (E ) y las 2

parejas ordenadas de números reales (

).

{ }

→ → → ⎡x ⎤ → ⎡x ⎤ Así, si i , j es una BOND para E 2 , a ↔ ⎢ 1 ⎥ y b ↔ ⎢ 2 ⎥ , entonces ⎣ y2 ⎦ ⎣ y1 ⎦ →

→

a i b = x1 x2 + y1 y2 ⎛ x1 ⎞ ⎛ x2 ⎞ = ⎜ ⎟ i ⎜ ⎟. ⎝ y1 ⎠ ⎝ y2 ⎠

Como caso particular, en el espacio se tiene:

⎡x ⎤ → → si a ↔ ⎢⎢ y⎥⎥ , entonces a i a = x 2 + y 2 + z 2 . ⎣⎢ z ⎦⎥ →

→

→

→

→

Esto confirma que si a = x i + y j + z k , entonces →

a = x2 + y 2 + z 2 .

Resultado similar se da en el plano: → → ⎡x ⎤ 2 2 si a ↔ ⎢ ⎥ , entonces a = x + y . ⎣ y⎦

Ilistración 3

⎡ 2⎤ ⎡ −3 ⎤ ⎡ 3⎤ → → → Si a ↔ ⎢ 1 ⎥ , b ↔ ⎢ 1 ⎥ y c ↔ ⎢ −1 ⎥ , entonces: ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −5 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ →

→

a i b = 2(−3) + 1(1) + (−5)(2). →

→

Es decir, a i b = −15. →

→

Además, a i c = 5. →

→

→

También: a = 30; b = 14; c = 10.

Geometría vectorial y analítica

307

Capítulo 6: El producto escalar Ilustración 4 Ahora, conocidas las componentes de dos vectores libres en una BOND, es fácil calcular el ángulo entre los dos vectores. En efecto: →

→

→

→

a i b = a b cos θ , →

→

donde θ es el ángulo entre a y b y 0 ≤ θ ≤ π . →

→

Si a y b son no nulos, entonces:

cos θ =

→

→

→

→

aib

.

a b

→

→

El signo de a i b adquiere así el siguiente significado: →

→

„

Si a i b > 0, entonces 0 < θ <

„

Si a i b < 0, entonces

→

„

→

π 2

π 2

( θ es un ángulo del primer cuadrante).

< θ < π ( θ es un ángulo del segundo cuadrante).

→ → π⎞ → → ⎛ Si a i b = 0, entonces a ⊥ b ⎜ θ = ⎟ . 2⎠ ⎝

→

→

En la ilustración 3, si θ es el ángulo entre a y b, entonces:

cos θ =

−15 30 14 →

=−

15 2 105

.

→

El ángulo θ entre a y b es aquel ángulo entre

π

radianes y π radianes, cuyo 2 coseno es, aproximadamente, 0.7319. Dicho ángulo es muy próximo a 137º (0.76 π radianes).

21.2 Proyección ortogonal de un vector sobre una recta Proyección sobre un vector →

→

→

Consideremos el vector libre b ≠ o , y un vector libre arbitrario a . →

→

→

Un vector proyección de a sobre b es un vector c que satisface lo siguiente:

308

Módulo 21: Proyección ortogonal →

→

1.

c es colineal con b .

2.

→ ⎛→ →⎞ ⎜ a − c ⎟ es ortogonal a b. ⎝ ⎠

→

→

Puede probarse que existe a lo sumo un vector proyección a sobre b. Es decir, en →

→

caso de existir un vector proyección de a sobre b, dicho vector es único. Notación ⎯→ → → → → ⎛ ⎞ « pr ⎜ a b ⎟ » denota: vector proyección de a sobre b. ⎝ ⎠

¿Cómo hallar el vector proyección de un vector sobre otro? (figura 21.1).

⎯→

→

⎯→

→

⎯→

→

En la figura 21.1 OA = a; OB = b; OC = c . ⎯→

→

⎯→

→

→

El vector CA es ortogonal a b, y CA = a − c .

Figura 21.1 ⎯→ → → → ⎛ ⎞ El vector OC ⎜ c ⎟ es el vector proyección de a sobre b. Es fácil hacer una inter⎝ ⎠ pretación geométrica.

→ ⎯→ → → → → ⎛→ →⎞ → ⎛ ⎞ Por la definición, si c = pr ⎜ a b ⎟ , entonces c = λ b y ⎜ a − c ⎟ ⊥ b . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

→ ⎛→ ⎞ → Luego ⎜ a − λ b ⎟ i b = 0 . ⎝ ⎠

Vea la animación Proyección ortogonal de un vector sobre una recta en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Geometría vectorial y analítica

309

Capítulo 6: El producto escalar → → → → Es decir, ⎛⎜ a i b ⎞⎟ = λ ⎛⎜ b i b ⎞⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

En consecuencia, λ =

→

→

→

→

a ib

→

; o también, λ =

bib

→

→

→

aib → 2

.

b →

3 Por tanto, para todo a y b de E , b ≠ o :

⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ ⎜ a i b ⎟→ pr ⎜ a b ⎟ = → → b ⎝ ⎠ ⎜b i b⎟ ⎝ ⎠

⎯→

⎛→ →⎞ → → aib Al escalar ⎜ → → ⎟ se le llama componente de a en b. ⎜ ⎟ ⎝b i b⎠ Si se tiene una BOND, puede calcularse fácilmente el vector proyección.

Sean, por ejemplo,

⎡2⎤ ⎡0⎤ ⎡ 1⎤ → → a ↔ ⎢⎢ 2 ⎥⎥ ; b ↔ ⎢⎢1 ⎥⎥ ; c ↔ ⎢⎢ 1 ⎥⎥ ; ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣ −1⎥⎦

→

⎡ 3⎤ → d ↔ ⎢⎢ −2 ⎥⎥ . ⎢⎣ 1 ⎥⎦

Entonces,

⎡0⎤ 3⎢ ⎥ ⎛ ⎞ 3→ pr ⎜ a b ⎟ = b ↔ ⎢1 ⎥. 2 ⎝ ⎠ 2 ⎢⎣1 ⎥⎦

⎯→ → →

⎛ ⎞ → pr ⎜ c b ⎟ = o . ⎝ ⎠

⎯→ → →

⎡0⎤ 1→ 1⎢ ⎥ ⎛ ⎞ pr ⎜ d b ⎟ = − b ↔ − ⎢1 ⎥. 2 2 ⎝ ⎠ ⎢⎣1 ⎥⎦

⎯→ → →

→

→ →

→

En este ejemplo, las componentes en b de a , c y d son, respectivamente, 3 1 ,0y− . 2 2

Se deja al lector la interpretación geométrica de estos resultados.

310

Módulo 21: Proyección ortogonal Teorema 6 →

→

→

Sean: l una recta en el espacio; a, un vector cualquiera en el espacio. Si b y c son vectores no nulos, colineales con l, entonces:

⎛ → → ⎞ ⎯→ ⎛ → → ⎞ pr ⎜ a b ⎟ = pr ⎜ a c ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎯→

Este teorema permite definir el concepto de proyección sobre una recta. Su prueba se deja al lector. Proyección sobre una recta →

Sea l una recta en el espacio y a un vector arbitrario de E3 . Se llama proyección de →

→

a sobre la recta l al vector proyección de a sobre cualquier vector no nulo colineal con l. Notación ⎯→ → ⎛ « pr ⎜ a ⎝

→ ⎞ l ⎟ » denota: vector proyección de a sobre l. ⎠

Ilustración 5 →

→

Sea: l una recta en el espacio y a , b vectores en E3 . Demuestre lo siguiente:

1.

⎯→ ⎯→ → ⎛ → ⎞ ⎛ ⎞ Si λ es un real, entonces pr ⎜ λ a l ⎟ = λ pr ⎜ a l ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2.

⎛ → → ⎞ ⎯→ ⎛ → ⎞ ⎯→ ⎛ → ⎞ pr ⎜ a + b l ⎟ = pr ⎜ a l ⎟ + pr ⎜ b l ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3.

Si a1 , a 2 , ..., a k son vectores libres arbitrarios, entonces

⎯→

→

→

→

→ ⎯→ → ⎛→ → ⎞ ⎛ ⎞ pr ⎜ a1 + a2 + ... + ak l ⎟ = ∑ pr ⎜ ai l ⎟ . ⎝ ⎠ i =1 ⎝ ⎠

⎯→

k

Esta es una generalización del numeral 2. Use inducción matemática. 4.

⎯→ → → ⎛ ⎞ → Si a es colineal con l, entonces pr ⎜ a l ⎟ = a . ⎝ ⎠

5.

⎯→ → → ⎛ Si a es ortogonal a l, entonces pr ⎜ a ⎝

6.

⎯→ → → ⎛ Si e es un vector unitario colineal con l (versor), entonces pr ⎜ a ⎝

⎛→ pr ⎜ o ⎝

⎯→

7.

⎞ → l⎟ = o. ⎠

⎞ ⎛→ →⎞→ l⎟ = ⎜a i e⎟ e. ⎠ ⎝ ⎠

⎞ → l⎟ = o. ⎠ Geometría vectorial y analítica

311

Capítulo 6: El producto escalar Nota: un versor de l es un vector unitario paralelo a l. Solución de 2 →

Sea c un vector cualquiera, no nulo, paralelo a la recta l. Por la definición 21.2, la proyección sobre l de cualquier vector de E 3 es la proyección de dicho vector →

sobre c . Así, ⎛ ⎛→ →⎞ → ⎞ ⎜ ⎜ a + b ⎟i c ⎟→ ⎛ ⎞ pr ⎜ a + b l ⎟ = ⎜ ⎝ → →⎠ ⎟ c . ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ cic ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎯→

→

→

Luego

⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ ⎛→ → ⎞ ⎜ a i c ⎟→ ⎜ b i c ⎟→ pr ⎜ a + b l ⎟ = → → c + → → c . ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜c i c⎟ ⎝ ⎠ ⎝c i c⎠

⎯→

(?)

En consecuencia,

⎛ → → ⎞ ⎯→ ⎛ → pr ⎜ a + b l ⎟ = pr ⎜ a ⎝ ⎠ ⎝

⎯→

⎞ ⎯→ ⎛ → l ⎟ + pr ⎜ b ⎠ ⎝

⎞ l ⎟. ⎠

(?)

21.3 Proyección ortogonal de un vector sobre un plano Se ha visto que un vector libre es susceptible de proyectarse sobre una recta. De manera similar, puede proyectarse sobre un plano. De la geometría euclidiana se sabe que una recta l es ortogonal a un plano si y sólo si l es perpendicular a cada recta del mismo. Esto permite introducir la siguiente definición. Vector ortogonal a un plano →

→

Un vector libre a es ortogonal a E 2 si a es ortogonal a cualquier vector libre de

E2 . Notas 1.

Recuérdese que E 2 es el espacio de los vectores libres paralelos a un plano.

2.

Si a es ortogonal a E 2 , entonces a es ortogonal a cualquier plano π

→

→

que sea generado por un punto en el espacio y dos vectores de E 2 (no nulos y no paralelos).

312

Módulo 21: Proyección ortogonal Proyección ortogonal de un vector sobre un plano →

→

→

Sea a un vector libre. Un vector libre c es la proyección ortogonal de a sobre E 2 si: →

1.

c ∈E2 .

2.

⎛→ →⎞ ⎜ a − c ⎟ es ortogonal a E 2 . ⎝ ⎠ →

→

2 Por la nota anterior, si c es proyección ortogonal de a sobre E , entonces lo será

sobre cualquier plano «paralelo a E 2 » (figura 21.2).

Figura 21.2

En la figura 21.2, ⎯→ → ⎯→ ⎯→ → ⎛ ⎞ ⎯⎯→ ⎯→ ⎛ → ⎞ ⎯→ ⎯→ OA = a; π1 π 2 ; OC = pr ⎜ a π1 ⎟ ; O′C ′ = pr ⎜ a π 2 ⎟ ; OC = OC ′ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Así,

⎛ → ⎞ ⎯→ ⎛ → ⎞ ⎯→ ⎛ → ⎞ pr ⎜ a π 1 ⎟ = pr ⎜ a π 2 ⎟ = pr ⎜ a E 2 ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎯→

Teorema 7

{ } →

→

Vea la animación Proyección ortogonal de un vector sobre un plano en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. →

→

→

→

Si e1 , e2 es una base ortogonal (significa que e1 y e2 son no nulos y e1 ⊥ e2 ) Geometría vectorial y analítica

313

Capítulo 6: El producto escalar →

3 para E 2 y a es un vector libre de E , entonces:

⎛→ ⎞ ⎯→ ⎛ → → ⎞ ⎯→ ⎛ → → ⎞ pr ⎜ a E 2 ⎟ = pr ⎜ a e1 ⎟ + pr ⎜ a e2 ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎯→

Prueba (figura 21.3)

Figura 21.3 ⎯→

→

⎯→

→

En la figura 21.3, OE1 = e1 ; OE2 = e2 . E 2 está representado por el plano

π ⎛⎜ O, e1 , e2 ⎞⎟ = π (O, B, D, C ) . Además, e1 ⊥ e2 . →

⎝

→

→

→

⎠

⎯→

→

2 En la misma figura, OA = a · Este es el vector a proyectar sobre E .

→ ⎯→ ⎯→ → → ⎛ ⎞ → ⎯→ ⎯→ ⎛ → → ⎞ → ⎯→ → → Sean: c1 = OB = pr ⎜ a e1 ⎟ ; c2 = OC = pr ⎜ a e2 ⎟ ; c = OD = c1 + c2 . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Debe probarse que: →

1.

c ∈ E2 .

2.

⎛→ →⎞ 2 ⎜a − c⎟ ⊥ E . ⎝ ⎠ →

→

→

→

→

Como e1 y e2 están en E 2 , y c1 y c2 son colineales respectivamente con e1 y →

→

→

→

2 e2 , entonces c1 y c2 están en E 2 y, por tanto, c es un vector de E .

Además, ⎛ → → ⎞ → ⎡⎛ → → ⎞ → ⎤ → ⎜ a − c ⎟ i e1 = ⎢⎜ a − c1 ⎟ − c2 ⎥ i e1 ⎝ ⎠ ⎠ ⎣⎝ ⎦

314

(?)

Módulo 21: Proyección ortogonal

⎛→ → ⎞ → ⎛ → →⎞ = ⎜ a − c1 ⎟ i e1 − ⎜ c2 i e1 ⎟ . (distributiva) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → → ⎛→ → ⎞ → Pero c2 ⊥ e1 (por qué?) y ⎜ a − c1 ⎟ ⊥ e1 (por qué?). ⎝ ⎠

Por tanto,

⎛→ →⎞ → ⎜ a − c ⎟ i e1 = 0. ⎝ ⎠

⎛ → →⎞ → Luego el vector ⎜ a − c ⎟ ⊥ e1 . ⎝ ⎠

(?)

⎛→ →⎞ → Similarmente, ⎜ a − c ⎟ ⊥ e2 . ⎝ ⎠ →

2 Sea ahora d cualquier vector de E . Existen escalares (recuérdese que son úni→

→

→

cos) α y β tales que d = α e1 + β e2 . ⎡⎛ → → ⎞ → ⎤ ⎡⎛ → → ⎞ → ⎤ ⎛→ →⎞ → ⎜ a − c ⎟ i d = α ⎢⎜ a − c ⎟ i e1 ⎥ + β ⎢⎜ a − c ⎟ i e2 ⎥ ⎝ ⎠ ⎠ ⎠ ⎣⎝ ⎦ ⎣⎝ ⎦

(?)

= 0 + 0 = 0. 2 ⎛→ →⎞ Se ha probado así que ⎜ a − c ⎟ es ortogonal a cualquier vector de E . En resu⎝ ⎠ men: → → c ∈ E 2 y ⎛⎜ a − c ⎞⎟ ⊥ E2 . ⎝ ⎠

→

Por tanto, ⎯→ → ⎛ ⎞ c = pr ⎜ a E 2 ⎟ . ⎝ ⎠

→

En consecuencia, ⎛→ ⎞ ⎯→ ⎛ → → ⎞ ⎯→ ⎛ → → ⎞ pr ⎜ a E 2 ⎟ = pr ⎜ a e1 ⎟ + pr ⎜ a e2 ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎯→

Este teorema afirma que la proyección de un vector sobre un plano (o sobre E 2 ) es la suma de las proyecciones del vector sobre cada vector de una base ortogonal 2 para E .

Geometría vectorial y analítica

315

Capítulo 6: El producto escalar Ilustración 6

⎡ 2⎤ ⎡1 ⎤ → ⎢ 1 ⎥ , e→ ↔ ⎢0 ⎥ . e ↔ Sea E = gen e1 , e2 , con 1 ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥ ⎢⎣ −1 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦

{ } →

2

→

⎡ 3⎤ ⎯→ → ⎛ 2⎞ Sea a ↔ ⎢⎢−1⎥⎥ . Encuentre el vector pr ⎜ a E ⎟ . ⎝ ⎠ ⎢⎣ 2⎥⎦ →

Solución

{ } →

→

2 Es claro que e1 , e2 es una base ortogonal para E , ya que los dos vectores son →

→

no nulos y e1 i e2 = 0 . ⎯→ → ⎯→ → → ⎛ ⎛ ⎞ ⎯→ ⎛ → → ⎞ 2⎞ Por el teorema 7, pr ⎜ a E ⎟ = pr ⎜ a e1 ⎟ + pr ⎜ a e2 ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛→ →⎞ ⎛ → → ⎞ ⎜ a i e1 ⎟ → 1 → pr ⎜ a e1 ⎟ = → → e1 = e1 . 2 ⎝ ⎠ ⎜e i e ⎟ ⎝ 1 1⎠

⎯→

⎛→ → ⎞ ⎛ → → ⎞ ⎜ a i e2 ⎟ → 7 → pr ⎜ a e2 ⎟ = → → e2 = e2 . 5 ⎝ ⎠ ⎜e i e ⎟ ⎝ 2 2⎠

⎯→

Por tanto,

⎛→ ⎞ 1→ 7→ pr ⎜ a E 2 ⎟ = e1 + e2 5 ⎝ ⎠ 2

⎯→

⎡ 2⎤ ⎡1 ⎤ 1 7 ↔ ⎢⎢ 1 ⎥⎥ + ⎢⎢0 ⎥⎥ . 2 5 ⎢⎣−1 ⎥⎦ ⎢⎣ 2⎥⎦ Así,

⎡24⎤ 1 ⎛ ⎞ pr ⎜ a E2 ⎟ ↔ ⎢⎢ 5 ⎥⎥ . ⎝ ⎠ 10 ⎢⎣23⎥⎦

⎯→ →

⎡24⎤ → → 1⎢ ⎥ ⎛→ →⎞ Sea c ↔ ⎢ 5 ⎥ . Compruebe que ⎜ a − c ⎟ es ortogonal tanto a e1 como a e2 . 10 ⎝ ⎠ ⎢⎣23⎥⎦ →

316

22 Producto escalar y geometría analítica

Introducción Con el producto escalar se facilita la solución de diversos problemas de la geometría elemental y la geometría analítica. Con dicho concepto es posible estudiar la recta en el plano y el plano en el espacio. En este módulo se muestra cómo se pueden calcular, con el uso adecuado del producto escalar, distancias de un punto a una recta, de un punto a un plano, y entre dos rectas. Adicionalmente, el producto escalar facilita la deducción de un método sistemático para la obtención de bases ortonormales: el proceso de Gram-Schmidt.

Objetivos del módulo 1. Presentar algunos modelos de aplicación del producto escalar a la geometría analítica: ecuación de la recta en el plano y del plano en el espacio, y distancias. 2. Mostrar un proceso sistemático para la construcción de bases ortonormales en el espacio de los vectores libres.

Preguntas básicas 1. ¿Cómo se obtiene la ecuación cartesiana de una recta en el plano, con el uso del producto escalar? 2. ¿Cómo se utiliza el producto escalar para deducir la ecuación cartesiana de un plano? 3. ¿Cómo se aplica el producto escalar en el cálculo de distancias? 4. ¿Cómo se construyen bases ortonormales con el uso del producto escalar?

René Descartes Historia de la geometría analítica La geometría analítica no es una nueva geometría, sino la geometría misma estudiada con el auxilio del análisis una vez establecidos sus fundamentos con sus propios recursos. Así la concibió René Descartes, el sabio filósofo y matemático francés (1596-1650) a quien se considera el creador de este ingenioso método científico por haberlo dado a conocer públicamente, antes que nadie, en uno de los tres apéndices que acompañaban a su famoso Discurso del método, obra que apareció en Leyden en el año 1637. Cierto es que un año antes el inspirado y talentoso matemático de la misma nacionalidad, Pierre de Fermat, comunicaba a su amigo Gilles Personier de Roverbal, en carta fechada el 22 de septiembre de 1636, trabajos reveladores de que ya poseía el referido método. El método de Descartes y Fermat, que constituye la esencia de la geometría analítica, consta de tres pasos, a saber: a. Transformación del problema geométrico considerado en un problema de análisis matemático. b. Resolución de este nuevo problema mediante los recursos propios del referido análisis. c. Interpretación geométrica de la solución analítica obtenida.

Contenidos del módulo 22.1 Aplicaciones del producto escalar a lugares geométricos 22.1.1 Recta en el plano 22.1.2 El plano en el espacio 22.2 Aplicaciones del producto escalar al cálculo de distancias 22.2.1 Distancia de un punto a una recta en el plano 22.2.2 Distancia de un punto a una recta en el espacio 22.2.3 Distancia de un punto a un plano 22.2.4 Distancia entre dos rectas 22.3 El proceso de Gram-Schmidt

Vea el módulo 22 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

317

Capítulo 6: El producto escalar

22.1 Aplicaciones del producto escalar a lugares geométricos Se examinarán ahora, desde la perspectiva del producto escalar, algunos lugares geométricos, entre ellos la recta y el plano. Escuche el audio René Descartes y la geometría analítica en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

22.1.1 Recta en el plano →

Consideremos un plano π y en él un punto A conocido. Si n es un vector no nulo de →

dicho plano, entonces hay en π una única recta que pasa por A y es ortogonal a n . ⎛ Denotemos por L ⎜ A, ⎝

→ ⊥

→ ⎞ n ⎟ la recta descrita (figura 22.1), o también por L ⎛⎜ R, A ⎞⎟ . ⎠ ⎝ ⎠

Figura 22.1

Si X es un punto del plano, entonces: ⊥

⎯→ → ⎛ →⎞ X ∈ L ⎜ A, n ⎟ si sólo si AX ⊥ n . ⎝ ⎠

Es decir, ⊥

{ {

} }

⎯→ → ⎛ →⎞ L ⎜ A, n ⎟ = X ∈ P2 : AX ⋅ n = 0 ⎝ ⎠ →

= P( x, y ) / AP ⋅ n = 0 ,

→

Siendo AX ⋅ n = 0 la ecuación vectorial de esta recta. Nota: P 2 representa el conjunto de los puntos del plano.

{ }

→ → → ⎡b ⎤ ⎛ x0 ⎞ ⎛x⎞ Si se tiene una BOND para E 2 : i , j ; n ↔ ⎢ 1 ⎥ , A ⎜ ⎟ y X ⎜ ⎟ ; entonces, b y ⎝ y⎠ ⎣ 2⎦ ⎝ 0 ⎠ para X en la recta:

⎡ x − x0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ y − y0 ⎦

318

⎡b1 ⎤ i ⎢ ⎥ = 0. ⎣b2 ⎦

Módulo 22: Producto escalar y geometría analítica Es decir, ( x − x0 )b1 + ( y − y0 )b2 = 0 .

De esta última igualdad puede fácilmente obtenerse la ecuación cartesiana de la recta y expresarla en la forma: ax + by + c = 0 .

Ilustración 7 ⎡3⎤ ⎛ −1 ⎞ → En el plano cartesiano, sean A ⎜ ⎟ y n ↔ ⎢ ⎥ . ⎣1 ⎦ ⎝ 2⎠ → ⎛x⎞ Si X ⎜ ⎟ , entonces X pertenece a la recta que pasa por A y es ortogonal a n, y ⎝ ⎠

⊥

⎛ →⎞ L ⎜ A, n ⎟ , si y sólo si: ⎝ ⎠ ⎡x +1 ⎤ ⎢ y − 2⎥ ⎣ ⎦

⎡ 3⎤ i ⎢ ⎥ = 0. ⎣1 ⎦

Luego 3( x + 1) + ( y − 2) = 0. La ecuación cartesiana es, en consecuencia (figura 22.2):

3x + y + 1 = 0.

Figura 22.2

Geometría vectorial y analítica

319

Capítulo 6: El producto escalar Puede demostrarse que en el plano Ax + By + C = 0 es la ecuación cartesiana de ⎡ A⎤ una recta ortogonal al vector ⎢ B ⎥ , siempre que A y B no sean ambos nulos. ⎣ ⎦ Hay tres casos posibles:

Caso 1. A = 0 y B ≠ 0. La ecuación se reduce a y = −

C . Se trata de una recta horizontal (figura 22.3). B

⎡O ⎤ Dicha recta es ortogonal al vector ⎢ B ⎥ . ⎣ ⎦

Figura 22.3

Caso 2. A ≠ 0 y B = 0 . La ecuación se transforma en x = −

C . Ahora se tiene una recta vertical y, por A

⎡ A⎤ tanto, ortogonal al vector ⎢O ⎥ (figura 22.4). ⎣ ⎦

Figura 22.4

320

Módulo 22: Producto escalar y geometría analítica Caso 3. A ≠ 0 y B ≠ 0. ⎛ C⎞ ⎛ 0 ⎞ − Los puntos P ⎜ A ⎟ y Q ⎜ C ⎟ pertenecen a la recta Ax + By + C = 0. ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝ B⎠ →

⎯→

⎯→

Sea w = OQ − OP . Así, ⎡ C⎤ ⎢ ⎥ w↔⎢ A⎥ ⎢− C ⎥ . ⎣⎢ B ⎦⎥ →

→

El vector w es, obviamente, director de la recta. → ⎡ B⎤ Sea ahora v ↔ ⎢ ⎥ . ⎣− A⎦ →

Este vector es colineal con w (¿por qué?) y, por tanto, es también director (paralelo) de la recta que se analiza. → ⎡ A⎤ Definamos n ↔ ⎢ ⎥ . ⎣B⎦

→

→

n i v = AB − AB = 0 .

→ → ⎡ A⎤ Es decir, n ⊥ v . Luego el vector ⎢ B ⎥ es ortogonal a la recta (figura 22.5). ⎣ ⎦

⎡ A⎤ Del vector ⎢ B ⎥ se dice también que es normal a la recta. ⎣ ⎦ ⎡ A⎤ Debe anotarse que ⎢ B ⎥ no es el único vector normal a la recta; en efecto, cualquier ⎣ ⎦ múltiplo escalar no nulo de dicho vector es también normal a la recta.

Figura 22.5

Geometría vectorial y analítica

321

Capítulo 6: El producto escalar

22.1.2 El plano en el espacio →

Un punto A en el espacio y un vector no nulo n de E 3 determinan un plano que →

pasa por A y es ortogonal a n. De este vector se dice que es normal al plano (figura 22.6).

Figura 22.6 ⊥

⎛ →⎞ Denotemos por π ⎜ A, n ⎟ al plano descrito, o también por ⎝ ⎠

π ⎛⎜ n, A ⎞⎟ . →

⎝

⎠

⎯→

Un punto X del espacio está en dicho plano si y sólo si el vector AX es ortogonal →

al vector n. Luego,

{

⊥

}

→ ⎯→ → π ⎛⎜ A, n ⎞⎟ = X ∈ P3 : AX ⋅ n = 0

⎝

⎠

{

}

= P ( x, y, z ) / AP ⋅ R = 0 ,

siendo AX i n = 0 la ecuación vectorial de este plano. Nota: P3 es el conjunto de los puntos del espacio.

⎛ x0 ⎞ ⎡ a1 ⎤ ⎛x⎞ ⎜ ⎟ → ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ Si A ⎜ y0 ⎟ , n ↔ ⎢ a2 ⎥ y X ⎜ y ⎟ , entonces X está en el plano si ⎜ ⎟ ⎜z ⎟ ⎢⎣ a3 ⎥⎦ ⎝z ⎠ ⎝ 0⎠ ⎡ x − x0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ y − y0 ⎥ ⎢⎣ z − z0 ⎥⎦

⎡ a1 ⎤ i ⎢⎢ a2 ⎥⎥ = 0. ⎢⎣ a3 ⎥⎦

Se obtiene así a1 x + a2 y + a3 z = a1 x0 + a2 y0 + a3 z0 .

322

Módulo 22: Producto escalar y geometría analítica Si se hace d = a1 x0 + a2 y0 + a3 z0 , se llega a: a1 x + a2 y + a3 z = d . ⊥

⎛ →⎞ Esta es la ecuación cartesiana del plano π ⎜ A, n ⎟ . ⎝ ⎠

Nótese que, como en la recta, los coeficientes de x, y, z en la ecuación cartesiana son, en su orden, componentes de un vector normal al plano. Por lo anterior, si un plano π tiene ecuación cartesiana:

x − 3y + 2z = 6 , ⎡ 1⎤ ⎢ −3 ⎥ entonces el vector ⎢ ⎥ o cualquier múltiplo de él es ortogonal al plano π. ⎣⎢ 2 ⎦⎥ Compruébelo.

22.2 Aplicaciones del producto escalar al cálculo de distancias El producto escalar y el concepto de proyección ortogonal son de gran utilidad para el cálculo de distancias.

22.2.1 Distancia de un punto a una recta en el plano ⊥

⎛ →⎞ Sean P un punto en el plano y L ⎜ A, n ⎟ la recta en el plano determinada por el ⎝ ⎠ →

punto A y el vector n normal a ella (figura 22.7). ⊥

→ ⎯→ Si se proyecta el vector AP sobre la recta L ⎛⎜ A, n ⎞⎟ , se obtiene: ⎝ ⎠

⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎛ AP1 = pr ⎜ AP ⎝

⎞ L ⎟. ⎠

Vea la animación Distancia de un punto a una recta en el plano en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Figura 22.7

Geometría vectorial y analítica

323

Capítulo 6: El producto escalar ⎯→

→

Esto significa que el vector PP es ortogonal a la recta L y, por tanto, colineal con n. 1 En consecuencia: ⎯→ ⎯→ ⎯→ → ⎛ ⎞ PP 1 = pr ⎜ AP n ⎟ . ⎝ ⎠

(¿por qué?)

⎯→

Pero claramente la distancia de P a la recta L es la longitud del vector PP 1 . ⊥

→ Por lo anterior, la distancia del punto P a la recta L ⎛⎜ A, n ⎞⎟ es: ⎝ ⎠

⎯→ ⎯→ → ⎛ ⎞ D ( P, L ) = pr ⎜ AP n ⎟ . ⎝ ⎠

Si se tiene una BOND, puede calcularse fácilmente la distancia.

Ilustración 8 ⎛5⎞ Calculemos la distancia del punto P ⎜ ⎟ a la recta de ecuación cartesiana ⎝6⎠

2 x − 3 y = −5 . Solución Se requiere un punto A en la recta. ⎛ −1⎞ Si en la ecuación se hace x = −1 , se obtiene y = 1. Luego el punto A ⎜ ⎟ está en ⎝ 1⎠ → ⎡ 2⎤ la recta dada. Además, el vector n ↔ ⎢ ⎥ es ortogonal a la recta. ⎣ −3 ⎦

⎯→ ⎡6⎤ AP ↔ ⎢ ⎥ . ⎣5 ⎦

⎛ ⎯→ → ⎞ ⎛ ⎯→ → ⎞ ⎜ AP i n ⎟ → pr ⎜ AP n ⎟ = → → n ⎝ ⎠ ⎜ nin ⎟ ⎝ ⎠

⎯→

3→ 3 ⎡ 2⎤ ⎛ 12 − 15 ⎞ → =⎜ ⎟ n = − n ↔ − ⎢ −3 ⎥ . 4 9 13 13 + ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

324

Módulo 22: Producto escalar y geometría analítica La distancia de P a la recta es:

D ( P, L ) =

3 3 13 4+9 = . 13 13

22.2.2 Distancia de un punto a una recta en el espacio →

Se sabe que, en el espacio, un punto A y un vector no nulo v determinan una recta → ⎛ →⎞ a la que se denota L ⎜ A, v ⎟ . Dicha recta pasa por A y tiene la dirección de v ⎝ ⎠ (figura 22.8).

Figura 22.8 ⎯→

Sea P un punto del espacio. Si se proyecta el vector AP sobre la recta se obtiene: ⎯→ ⎯→ ⎯→ → ⎛ ⎞ AP1 = pr ⎜ AP v ⎟ . ⎝ ⎠ ⎯→

Ahora bien, la distancia de P a la recta es la longitud del vector P1 P . Pero, ⎯→

⎯→

⎯→

. PP 1 = AP− AP1 Es decir, ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ → ⎛ ⎞ PP 1 = AP − pr ⎜ AP v ⎟ . ⎝ ⎠

Luego la distancia de P a la recta es: ⎯→ ⎯→ ⎯→ → ⎛ ⎞ D ( P, L ) = AP − pr ⎜ AP v ⎟ . ⎝ ⎠

Ilustración 9 La recta L tiene ecuaciones paramétricas:

x = 3+ λ ⎫ ⎪ y = −2 − λ ⎬ λ ∈ z = 1 + λ ⎪⎭

Vea la animación Distancia de un punto a una recta en el espacio en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Geometría vectorial y analítica

325

Capítulo 6: El producto escalar

⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ P Calcule la distancia del punto ⎜ −2 ⎟ a la recta L. ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ Solución

⎛ 3⎞ ⎡ 1⎤ → ⎜ ⎟ El punto A ⎜ −2 ⎟ pertenece a la recta y ésta es paralela al vector v ↔ ⎢⎢ −1⎥⎥ . ⎜ 1⎟ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎝ ⎠ ⎡ −1 ⎤ AP ↔ ⎢⎢ 0 ⎥⎥ . ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎯→

⎡ 1⎤ ⎛ ⎯→ → ⎞ 1⎢ ⎥ ⎛ ⎯→ → ⎞ ⎜ AP i v ⎟ → pr ⎜ AP v ⎟ = → → v ↔ − ⎢ −1⎥ . 3 ⎝ ⎠ ⎜ v iv ⎟ ⎢⎣ 1 ⎦⎥ ⎝ ⎠

⎯→

⎡ −1 ⎤ ⎡ 1⎤ ⎡−2⎤ 1⎢ ⎥ 1⎢ ⎥ ⎛ ⎯→ → ⎞ ⎢ ⎥ AP − pr ⎜ AP v ⎟ ↔ ⎢ 0 ⎥ + ⎢ −1⎥ = ⎢−1⎥ . 3 3 ⎝ ⎠ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎯→

⎯→

Luego D ( P, L) =

1 6. 3

22.2.3 Distancia de un punto a un plano ⊥

→ ⎛ →⎞ Consideremos un plano π ⎜ A, n ⎟ que pasa por A y es normal al vector n , y un ⎝ ⎠ punto P del espacio (figura 22.9).

Figura 22.9

326

Módulo 22: Producto escalar y geometría analítica ⎯→

Al proyectar el vector AP sobre el plano, se obtiene:

⎛ ⎯→ ⎞ ⎯→ pr ⎜ AP π ⎟ = AP1 . ⎝ ⎠

⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

Por tanto, el vector AP − AP1 , es decir, el vector P1 P es la proyección ortogonal de ⎯→

→

AP sobre n. Demuéstrelo. ⎯→

Claramente, la distancia de P al plano π es la longitud de P1 P . En consecuencia: ⎯→ ⎯→ → ⎛ ⎞ D ( P, π ) = pr ⎜ AP n ⎟ . ⎝ ⎠

Ilustración 10

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ Calcule la distancia del punto P ⎜ −3 ⎟ al plano π de ecuación: ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠

x − 2 y = 5. Solución

⎡ 1⎤ ⎢ ⎥ El plano π es normal al vector n ↔ ⎢ −2 ⎥ . ⎢⎣ 0 ⎥⎦ →

Se requiere un punto A del plano. Sea y = 1 ; así, x = 7 . Como z toma valores arbitrarios, puede escogerse, por ejemplo, z = 0 .

⎛7⎞ ⎜ ⎟ A El punto ⎜1 ⎟ está en el plano π. ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎡ −6 ⎤ AP ↔ ⎢⎢ −4 ⎥⎥ . ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎯→

Vea la animación Distancia de un punto a un plano en su multi-media de Geometría vectorial y analítica.

Geometría vectorial y analítica

327

Capítulo 6: El producto escalar

⎛ ⎯→ → ⎞ → AP i n 2→ ⎛ ⎯→ → ⎞ pr ⎜ AP n ⎟ = ⎜ → → ⎟ n = n . 5 ⎝ ⎠ ⎜ nin ⎟ ⎝ ⎠

⎯→

Luego D( P, π ) =

2→ 2 n = 5. 5 5

22.2.4 Distancia entre dos rectas Sean L1 y L2 dos rectas cualesquiera. Se define la distancia entre dos rectas, así: «Si P representa los puntos de L1 y Q los de L2, la distancia entre L1 y L2 es la menor distancia entre P y Q» (figura 22.10).

Figura 22.10

⎧ ⎯→ ⎫ En símbolos: D ( L1 , L2 ) = min ⎨ PQ : P ∈ L1 , Q ∈ L2 ⎬ . ⎩ ⎭ En resumen, la distancia entre las rectas L1 y L2 es la longitud del más corto de los segmentos que unen un punto de L1 con uno de L2.

Si L1 y L2 coinciden (son la misma recta), es evidente que la distancia es cero. Se analizará únicamente el caso en que las dos rectas son diferentes (tienen a lo sumo un punto en común). Existen dos posibilidades: 1.

Las dos rectas son coplanarias.

2.

Las dos rectas no son coplanarias.

Caso 1: L1 y L2 son coplanarias. Hay dos casos posibles: „

L1 y L2 se cortan (tiene un punto en común). En este caso es claro que D( L1 , L2 ) = 0 (figura 22.11).

328

Módulo 22: Producto escalar y geometría analítica

Figura 22.11 „

L1 y L2 son paralelas (figura 22.12).

Figura 22.12

→

Existe un vector no nulo v que le da dirección a las dos rectas. Si P es un punto de L1 y Q uno de L2, entonces:

⎛ →⎞ L1 = L ⎜ P, v ⎟ y L2 = L ⎛⎜ Q, ⎝ ⎠ ⎝

⎞ v ⎟. ⎠

→

Proyectemos P sobre la recta L1 (así, P «cae» en P1). ⎯→

es la distancia entre las dos rectas (¿por qué?). La longitud del vector PP 1 ⎯→ ⎯→ ⎯→ → ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎛ ⎞ Pero P1 P = QP − QP1 . Además, QP1 = pr ⎜ QP v ⎟ . ⎝ ⎠

Por tanto, ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ → ⎛ ⎞ P1 P = QP − pr ⎜ QP v ⎟ . ⎝ ⎠

La distancia entre las dos rectas es, en consecuencia: ⎯→ ⎯→ ⎯→ → ⎛ ⎞ D ( L1 , L2 ) = QP − pr ⎜ QP v ⎟ . ⎝ ⎠

Vea la animación Distancia entre dos rectas en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Geometría vectorial y analítica

329

Capítulo 6: El producto escalar Ilustración 11

⎛ 1⎞ ⎡ 1⎤ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ A El vector v ↔ −1 es director de la recta L1 , que pasa por ⎜1⎟ , y L2 , que pasa ⎢ ⎥ ⎜ 1⎟ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎝ ⎠ →

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ por B ⎜ 1 ⎟ . Calcule la distancia entre las rectas. ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ Solución Es evidente que las rectas son paralelas.

⎡ 0⎤ El vector AB une un punto de L1º con uno de L2; AB ↔ ⎢⎢ 0⎥⎥. ⎢⎣−3⎥⎦ ⎯→

⎯→

⎛ ⎯→ → ⎞ → ⎛ ⎯→ → ⎞ ⎜ AB i v ⎟ → pr ⎜ AB v ⎟ = → → v = − v . ⎝ ⎠ ⎜ viv ⎟ ⎝ ⎠

⎯→

⎡ 0⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎯→ ⎯→ ⎯→ → ⎛ ⎞ AB − pr ⎜ AP v ⎟ ↔ ⎢⎢ 0 ⎥⎥ + ⎢⎢ −1 ⎥⎥ ⎝ ⎠ ⎢⎣ −3 ⎥⎦ ⎢⎣ 2⎥⎦ ⎡ 1⎤ ↔ ⎢⎢−1⎥⎥ . ⎢⎣−1⎥⎦ Luego D( L1 , L2 ) = 3. Caso 2: L1 y L2 son no coplanarias. En este caso se dice que las dos rectas se cruzan. Servirá de apoyo un teorema de la geometría en el espacio, que dice: «A dos rectas cualesquiera en el espacio se les puede trazar un segmento perpendicular común, y la longitud de este segmento es la distancia más corta entre puntos de las dos rectas».

330

Módulo 22: Producto escalar y geometría analítica Para utilizar este teorema debe buscarse un punto P en L1 y otro Q en L2, de modo ⎯→

que el vector PQ sea perpendicular a ambas rectas. La longitud de este vector es la distancia entre L1 y L2: ⎯→

D( L1 , L2 ) = PQ .

Imaginemos (figura 22.13) un cilindro circular recto cuyo eje es la recta L1 y cuyo radio es tan pequeño que la recta L2 no tiene contacto con él. Se va, poco a poco, aumentando el radio del cilindro y se para justamente en el instante en el que la recta L2 toque (sea tangente a) la superficie del cilindro en un punto Q. Consideremos en la superficie la circunferencia que pasa por Q. Sea P su centro. Es claro que: ⎯→

P ∈ L1 , Q ∈ L2 y PQ es ortogonal a L1 y L2 (por qué?). ⎯→

Por el teorema mencionado, PQ es la distancia buscada entre L1 y L2.

Figura 22.13

Ilustración 12

⎛ Sean L1 ⎜ A, ⎝

⎛ →⎞ ⎞ v ⎟ y L2 ⎜ B, w ⎟ dos rectas que, respectivamente, pasan por A y por B ⎝ ⎠ ⎠

→

→

→

y tienen como directores los vectores v y w (figura 22.14). Sean además:

Geometría vectorial y analítica

331

Capítulo 6: El producto escalar

⎛ 1⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎡ 2⎤ → ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ → A ⎜ −1 ⎟ , B ⎜ 2 ⎟ , v ↔ ⎢⎢1 ⎥⎥ y w ↔ ⎜ 2⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣⎢1 ⎦⎥

⎡ −1⎤ ⎢ 1⎥ . ⎢ ⎥ ⎣⎢ 1 ⎦⎥

Calcule la distancia entre las dos rectas.

Solución ⎯→

→

P es un punto de L1 si AP = λ v para algún λ real. Además, Q está en L2 si ⎯→

→

BQ = β w para algún β real.

⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ Si P ⎜ y1 ⎟ , entonces ⎜z ⎟ ⎝ 1⎠

⎡ x1 − 1 ⎤ ⎡2⎤ ⎢ y + 1 ⎥ = λ ⎢1 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ , para algún λ ∈ ⎢⎣ z1 − 2 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦

.

(1)

⎛ x2 ⎞ ⎜ ⎟ Si Q ⎜ y2 ⎟ , entonces ⎜z ⎟ ⎝ 2⎠ ⎡ x2 + 1 ⎤ ⎡ −1⎤ ⎢ y − 2⎥ = β ⎢ 1 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ , para algún β ∈ ⎢⎣ z2 + 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦

.

Figura 22.14

332

(2)

Módulo 22: Producto escalar y geometría analítica De (1) y (2) se obtiene:

⎛ x1 ⎞ ⎛ 1 + 2λ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y1 ⎟ = ⎜ −1 + λ ⎟ ; ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ z1 ⎠ ⎝ 2 + λ ⎠

⎛ x2 ⎞ ⎛ − 1 − β ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y2 ⎟ = ⎜ 2 + β ⎟ . ⎜ z ⎟ ⎜ −1+ β ⎟ ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝

Por tanto,

⎡ −2 − 2λ − β ⎤ PQ ↔ ⎢⎢ 3 − λ + β ⎥⎥ . ⎢⎣ −3 − λ + β ⎥⎦ ⎯→

⎯→

(3)

→

→

El vector PQ debe ser ortogonal a v y a w . ⎯→

→

⎯→

→

Luego PQ i v = 0 y PQ i w = 0 . Entonces, 2(−2 − 2λ − β ) + 1(3 − λ + β ) + 1(−3 − λ + β ) = 0, y −(−2 − 2λ − β ) + 1(3 − λ + β ) + 1(−3 − λ + β ) = 0.

λ y β deben satisfacer simultáneamente las ecuaciones: −6λ − 4 = 0 y 3β + 2 = 0.

La solución de este sistema es λ = −

2 2 y β =− . 3 3

(4)

Sustituyendo (4) en (3):

⎡ 0⎤ ⎡ 0⎤ ⎢ ⎥ PQ ↔ ⎢ 3 ⎥ ↔ 3 ⎢⎢ 1 ⎥⎥ . ⎢⎣ −3 ⎥⎦ ⎢⎣ −1⎥⎦ ⎯→

→

⎯→

→

Nótese que PQ es ortogonal tanto a v como a w; es decir, a las dos rectas. Así, la distancia entre las dos rectas es ⎯→

D ( L1 , L2 ) = PQ = 3 2.

Geometría vectorial y analítica

333

Capítulo 6: El producto escalar

22.3 El proceso de Gram-Schmidt Los espacios vectoriales que tienen definido un producto interno son llamados espacios euclídeos. Para ellos siempre es posible construir bases ortonormales a partir de una base cualquiera. La técnica utilizada se denomina proceso de Gram-Schmidt (PGS). Se analizará aquí para el caso de los vectores libres. Para ello enunciaremos sin demostración dos teoremas. Teorema 8: PGS para E 2

{ } →

→

Sea a1 , a2 una base para E2 .

{ } →

1.

→

→ → → → ⎯→ → → ⎛ ⎞ Si e1 = a1 y e2 = a2 − pr ⎜ a2 e1 ⎟ , entonces e1 , e2 es una base ortogo⎝ ⎠

nal para E2 . →

2.

1

Si q1 =

→

→

→

e1 y q2 =

e1

1 →

→

{ } →

→

e2 , entonces q1 , q2 es una base ortonormal

e2

para E2 .

Ilustración 13 → ⎡ −1⎤ ⎡ 2⎤ → Sean a1 ↔ ⎢ ⎥ y a2 ↔ ⎢ ⎥ . Use el PGS para construir una BON para E2 . ⎣ 3⎦ ⎣ −1 ⎦

Solución

{ } →

→

{ } →

→

Es claro que a1 , a2 es una base para E2 ; en efecto, a1 , a2 es LI. 1.

Construyamos primero una base ortogonal: →

→

e1 = a1 , → → ⎯→ → → ⎛ ⎞ e2 = a2 − pr ⎜ a2 e1 ⎟ . ⎝ ⎠

⎛ → →⎞ → ⎛ → → ⎞ ⎜ a2 i e1 ⎟ → pr ⎜ a2 e1 ⎟ = → → e1 = − e1 . ⎝ ⎠ ⎜e ie ⎟ ⎝ 1 1⎠

⎯→

334

Módulo 22: Producto escalar y geometría analítica Así, →

→

→

e2 = a2 + e1

⎡−1⎤ ⎡ 2⎤ ↔⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎣ 3⎦ ⎣−1⎦ ⎡ ↔⎢ ⎣

1⎤ . 2⎥⎦

{ } →

→

→

→

Por tanto, e1 , e2 es una base ortogonal para E2 . Nótese que e1 i e2 = 0.

→

→

Normalicemos a continuación los vectores e1 y e2 .

2.

→

→

e1 = 5; e2 = 5. Luego, →

q1 =

1 5

→

→

e1 y q2 =

1 5

→

e2 .

Por tanto, →

q1 ↔

→ 1 ⎡ 2⎤ 1 ⎡1 ⎤ ⎢−1⎥ y q2 ↔ ⎢ ⎥. 5⎣ ⎦ 5 ⎣2⎦

{ } →

→

En consecuencia, q1 , q2 es una BON para E2 .

Teorema 9: PGS para E 3

{

→

→

→

}

Sea a1 , a2 , a3 una base cualquiera para E3 .

→

1.

→

Si e1 = a1 , → → ⎯→ → → ⎛ ⎞ e2 = a2 − pr ⎜ a2 e1 ⎟ , y ⎝ ⎠ → → ⎯→ → → ⎛ ⎞ ⎯→ ⎛ → → ⎞ e3 = a3 − pr ⎜ a3 e1 ⎟ − pr ⎜ a3 e2 ⎟ , ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Geometría vectorial y analítica

335

Capítulo 6: El producto escalar entonces

{

→

→

→

}

e1 , e2 , e3 es una base ortogonal para E3 .

→

2.

1

Si q1 =

→

→

→

→

1

e1 , q2 =

→

e1

→

1

e2 , q3 =

→

e2

→

e3 ,

e3

entonces:

{

→

→

→

}

q1 , q2 , q3 es una BON para E3 .

Ilustración 14 Sean:

⎡ 1⎤ ⎡ 2⎤ ⎡ −1 ⎤ → → ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ a1 ↔ ⎢ 1 ⎥ , a2 ↔ ⎢ −1 ⎥ , a3 ↔ ⎢⎢ 1 ⎥⎥ . ⎢⎣ −1⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 2⎥⎦ →

{

→

→

→

}

1.

Pruebe que a1 , a2 , a3 es una base para E3 .

2.

Use el PGS para construir una BON para E3 .

Solución

1.

{

→

→

→

}

Debe probarse que a1 , a2 , a3 es LI. →

→

→

→

Sean x, y, z escalares tales que x a1 + y a2 + z a3 = o .

(1)

De (1) se obtiene el sistema lineal:

x + 2 y − z = 0, x − y + z = 0, − x + y + 2 z = 0.

(2)

Resolviendo el sistema (2) se obtiene x = y = z = 0. →

→

→

Esto significa que la única combinación lineal de a1 , a2 y a3 que produce el

{

→

→

→

}

vector cero, es la trivial. Esto es, a1 , a2 , a3 es LI.

336

Módulo 22: Producto escalar y geometría analítica

{

→

→

→

}

Luego a1 , a2 , a3 es una base para E3 . 2.

Usaremos el PGS: →

→

e1 = a1 , → → ⎯→ → → ⎛ ⎞ e2 = a2 − pr ⎜ a2 e1 ⎟ . ⎝ ⎠

⎛ → →⎞ ⎛ → → ⎞ ⎜ a2 i e1 ⎟ → → pr ⎜ a2 e1 ⎟ = → → e1 = o . ⎝ ⎠ ⎜e ie ⎟ ⎝ 1 1⎠

⎯→

Luego →

→

e2 = a2 . → → ⎯→ → → ⎛ ⎞ ⎯→ ⎛ → → ⎞ e3 = a3 − pr ⎜ a3 e1 ⎟ − pr ⎜ a3 e2 ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ → →⎞ 2→ ⎛ → → ⎞ ⎜ a3 i e1 ⎟ → pr ⎜ a3 e1 ⎟ = → → e1 = − e1 . 3 ⎝ ⎠ ⎜e ie ⎟ ⎝ 1 1⎠

⎯→

⎛→ →⎞ 1→ ⎛ → → ⎞ ⎜ a3 i e2 ⎟ → pr ⎜ a3 e2 ⎟ = → → e2 = − e2 . 6 ⎝ ⎠ ⎜e i e ⎟ ⎝ 2 2⎠

⎯→

→

→

e3 = a3 +

2→ 1→ e1 + e2 3 6

⎡ −1 ⎤ ⎡ 1⎤ ⎡ 2⎤ 2⎢ ⎥ 1⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ↔ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 1⎥ + ⎢ −1 ⎥ . 3 6 ⎣⎢ 2 ⎦⎥ ⎣⎢ −1 ⎦⎥ ⎣⎢ 1 ⎦⎥ Luego

⎡0⎤ 3⎢ ⎥ e3 ↔ ⎢1 ⎥ . 2 ⎢⎣1 ⎥⎦ →

{

→

→

→

}

Así, e1 , e2 , e3 es una base ortogonal para E3 . Compruébelo. Además, →

→

→

e1 = 3; e2 = 6; e3 =

3 2. 2

Geometría vectorial y analítica

337

Capítulo 6: El producto escalar Sean: →

q1 =

1 →

e1

→

→

e1 ; q2 =

1 →

e2

→

→

e2 ; q3 =

1 →

→

e3 .

e3

Luego

⎡ 1⎤ ⎡ 2⎤ ⎡0⎤ 1 ⎢ ⎥ → 1 ⎢ ⎥ → 1 ⎢ ⎥ 1 ; q2 ↔ 1 . −1 ; q3 ↔ q1 ↔ 3⎢ ⎥ 6⎢ ⎥ 2⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 ⎦⎥ ⎣⎢ −1⎦⎥ ⎣⎢1 ⎦⎥ →

{

→

→

→

}

Se ha construido así una base ortonormal para E 3 : q1 , q2 , q3 .

338

Ejercicios propuestos Los ejercicios que a continuación se proponen están diseñados para ser resueltos con el uso del producto escalar. → → →

1.

→

Demuestre que si a , b , c , d son vectores libres, entonces

⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ → → → → → → → → ⎜a+b⎟ i ⎜ c +d ⎟ = a i c + a i d + b i c + b i d. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → → →

2.

Sean a , b , c vectores libres. Pruebe o refute que: →

→

→

→

→

→

a i b = a ic ⇒ b =c.

→ →

3.

Sean a , b vectores libres. Demuestre que: →

→

aib=

1 4

→ → 2⎞ ⎛ → →2 ⎜⎜ a + b − a − b ⎟⎟ . ⎝ ⎠ →

4.

→

Sea θ el ángulo entre dos vectores unitarios e1 y e2 . Pruebe que:

1 → → θ e1 − e2 = sen . 2 2 Sugerencia: recuerde que →

→ 2

a−b

5.

⎛→ →⎞ = ⎜a−b⎟ ⎝ ⎠

⎛→ →⎞ i ⎜ a − b ⎟. ⎝ ⎠

Pruebe que para cualquier triángulo ABC: ⎯→

⎯→

⎯→

AB = AC cos A + BC cos B.

6.

Pruebe que todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

7.

Pruebe que en todo paralelogramo la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados.

8.

Demuestre que en todo triángulo rectángulo el punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices.

9.

A, B, C y D son los vértices de un tetraedro regular (figura 1).

Figura 1

Geometría vectorial y analítica

347

a.

Calcule el ángulo entre dos caras.

b. c.

Pruebe que AB i CD = 0. Demuestre que la línea que une los puntos medios de dos lados opuestos (no concurrentes, como

⎯→

⎯→

AC y BD ) es ortogonal a estos lados.

10.

Desde el vértice P de un cubo (figura 2) se trazan una diagonal del cubo ( PB) y una diagonal ( PA) de una de las caras. Calcule el ángulo entre estas dos diagonales.

Figura 2 →

11.

→

Sea π ( A, n ) el plano que pasa por A y es normal a n. Sea además P un punto de coordenadas conocidas. a.

b.

Diseñe un procedimiento vectorial para encontrar las coordenadas del punto P ' simétrico de P con respecto al plano π (figura 3).

⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ Aplique para P ⎜ 2 ⎟ , ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠

⎛1⎞ ⎜ ⎟ A ⎜ 2⎟, ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠

⎡ −5⎤ n ↔ ⎢⎢ 4 ⎥⎥ . ⎣⎢ 3 ⎦⎥

→

Figura 3

348

12.

⎡ −1⎤ ⎢ 5 ⎥, a ↔ Sean ⎢ ⎥ ⎢⎣ 7 ⎥⎦ →

⎡ 1⎤ → → → → e ↔ ⎢⎢ −2 ⎥⎥ . Descomponga a en la suma de dos vectores libres x , y tales que x sea paralelo a ⎢⎣ 3 ⎥⎦

→

→

→

→

e , y y ortogonal a e . Diseñe un procedimiento general.

13.

Considere una esfera de centro C y radio ρ . Sean T un punto de la superficie y π el plano tangente a la superficie en T.

{

⎯→

⎯→

}

a.

Pruebe que π = X ∈ P3 : CX i CT = ρ 2 .

b.

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ Sea S la superficie esférica de centro C ⎜ −1⎟ y radio 5. Escoja un punto T de S y encuentre la ecuación ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ cartesiana del plano tangente a S en T.

c.

⎛6⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Sean A ⎜ 1 ⎟ y B ⎜ 0 ⎟ . Pruebe que A y B están fuera de la esfera definida en b. Encuentre la ecuación ⎜1⎟ ⎜10 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ cartesiana del plano que pasa por A y B y es tangente a la superficie esférica S.

14.

Los planos π 1 y π 2 tienen ecuaciones cartesianas:

π 1 : − x + 2 y + 2 z = 0; a.

Encuentre el ángulo entre π1 y π 2 .

b.

Ídem, si los planos son:

π 1 : 2 x − y + z + 2 = 0; 15.

π 2 : x + y + 4 z = 7.

π 2 : x + 3 y + z + 4 = 0.

Los planos π 1 y π 2 tienen las ecuaciones cartesianas siguientes:

π 1 : 3x − 4 y + λ z = 0;

π 2 : 2 x − 3 y + 6 z − 1 = 0.

Encuentre el valor de λ que hace que los dos planos sean ortogonales. 16.

El plano π 1 tiene la ecuación 3x + y − 2 z = 12.

⎛ 1⎞ ⎛ 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Encuentre la ecuación cartesiana del plano π que pasa por A ⎜ −1 ⎟ y B ⎜ 2 ⎟ y que es: ⎜ −2 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Geometría vectorial y analítica

349

17.

a.

Ortogonal a π 1 .

b.

Paralelo a π 1 .

⎛ 2⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ El plano π pasa por A ⎜ 4 ⎟ , B ⎜ 0 ⎟ y C ⎜ 4 ⎟ . Calcule la distancia del punto P ⎜ −2 ⎟ al plano π . ⎜1⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Encuentre, además, las coordenadas del simétrico P ' de P con respecto a π .

18.

⎛ 3⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Encuentre la ecuación cartesiana del plano tangente en T ⎜ 4 ⎟ a la superficie esférica de centro C ⎜ −1⎟ . ⎜ 2⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

19.

⎛ −2 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 7⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ P Considere la recta L (A, B) con A ⎜ 2 ⎟ y B ⎜ 5 ⎟ , y el punto ⎜ 1 ⎟ . ⎜ 5⎟ ⎜ −5 ⎟ ⎜ −9 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Encuentre:

20.

a.

La distancia de P a L.

b.

Las coordenadas del punto P ', proyección ortogonal de P sobre L.

c.

Las coordenadas del punto P '', simétrico de P con respecto a la recta L.

Calcule la distancia entre las rectas L (A, B) y L (C, D), sabiendo que:

⎛1⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A ⎜ 2⎟ , B ⎜ 0 ⎟ , C ⎜ 1 ⎟ , D ⎜ 0⎟. ⎜ 3⎟ ⎜ 2⎟ ⎜7⎟ ⎜ 5⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 21.

Calcule el área del trapecio ABCD, sabiendo que:

⎛ 3⎞ ⎛ 11⎞ ⎛ 8⎞ ⎛ 5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A ⎜ 2 ⎟, B ⎜ 2 ⎟ , C ⎜ 6 ⎟, D ⎜ 6 ⎟. ⎜ −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 22.

Diseñe un procedimiento para calcular la distancia entre dos planos paralelos π 1 y π 2 . Calcule la distancia entre los planos π 1 y π 2 , cuyas ecuaciones cartesianas son:

π 1 : 2 x − y + z = 5;

350

π 2 : − 6 x + 3 y − 3 z = 11.

23.

⎛ x0 ⎞ ⎜ ⎟ Sea π un plano cuya ecuación cartesiana es ax + by + cz + d = 0 (con a, b, c, no todos nulos). Sea P ⎜ y0 ⎟ un ⎜z ⎟ ⎝ 0⎠ punto en el espacio. Use métodos vectoriales para deducir que la distancia de P a π es

D ( P, π ) =

ax0 + by0 + cz0 + d a 2 + b2 + c 2

⎡ a1 ⎤ → → ⎢ ⎥ Sea a un vector no nulo, con a ↔ ⎢ a2 ⎥ . Se llaman ángulos directores de a los ángulos θ1 , θ 2 y θ 3 entre a y los ⎢⎣ a3 ⎥⎦ →

→

24.

.

→ → →

vectores i , j , k respectivamente (figura 4). A los números cos θ1 , cos θ 2 y cos θ 3 se les conoce como cosenos →

directores de a. a1

b.

Pruebe que cos 2 θ1 + cos 2 θ 2 + cos 2 θ 3 = 1.

c.

⎡ −2 ⎤ → ⎢ 1 ⎥. a , con a ↔ Halle los cosenos directores del vector ⎢ ⎥ ⎢⎣ 5 ⎥⎦

d.

Halle los ángulos y cosenos directores de cada uno de los vectores unitarios i , j , k

e.

Encuentre dos vectores unitarios, cada uno de los cuales satisfaga cos θ1 = cos θ 2 = cos θ 3 .

a

,

a

cos θ 3 =

a3

Pruebe que cos θ1 =

,

cos θ 2 =

a2

a.

.

a

→

→ → →

Figura 4

25.

Los planos π 1 y π 2 son paralelos entre sí. Sus ecuaciones cartesianas son:

π 1 : 8 x − 4 y + z + 9 = 0;

π 2 : 8 x − 4 y + z − 36 = 0.

Geometría vectorial y analítica

351

Encuentre :

26.

a.

La distancia entre π 1 y π 2 .

b.

La ecuación cartesiana del plano π paralelo a π 1 y π 2 y equidistante de éstos.

⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ El plano π 1 tiene ecuación 2 x + 2 y + z − 1 = 0. El punto A ⎜ 2 ⎟ equidista de π 1 y cierto plano π . Encuentre la ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ecuación cartesiana de π .

27.

Los planos π 1 y π 2 tienen ecuaciones cartesianas:

π .1 : 3x + y − 2 z + 2 = 0;

π 2 : x − 3 y − z + 3 = 0.

Cierto plano π pasa por la recta intersección de π 1 y π 2 , y es ortogonal al plano xy. Halle la ecuación cartesiana de π . 28.

Demuestre vectorialmente que en todo triángulo isósceles la mediana comprendida entre dos lados congruentes es perpendicular al tercer lado.

29.

Demuestre vectorialmente que en un triángulo rectángulo cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ésta, y que la altura asociada a la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre la hipotenusa.

⎡ 1⎤ Sean a1 ↔ ⎢⎢ −1⎥⎥ , ⎢⎣ 1⎥⎦ →

30.

31.

⎡ 2⎤ a2 ↔ ⎢⎢ 1 ⎥⎥ , ⎢⎣ −1⎥⎦ →

{

→

→

→

⎡1 ⎤ a3 ↔ ⎢⎢ 2⎥⎥ . ⎢⎣ 3 ⎥⎦ →

}

a.

Pruebe que a1 , a2 , a3 es una base para E3 .

b.

Use el proceso de Gram-Schmidt para construir una BON para E3 .

⎡ 2⎤ → → → → → → Sea v1 ↔ ⎢⎢ 1 ⎥⎥ . Construya para E 3 una BON q1 , q2 , q3 de modo que q1 tenga la dirección de v1 , pero sentido ⎢⎣ −1⎥⎦

{

}

contrario.

32.

⎛5⎞ ⎜ ⎟ El plano π tiene la ecuación x − 2 y + 3z − 6 = 0. B ⎜ 1 ⎟ ∈ π . Encuentre todos los puntos del espacio que tienen a ⎜1⎟ ⎝ ⎠ B como su proyección ortogonal sobre π .

352

7

Capítulo 7 El producto vectorial

Contenido breve Módulo 23 Producto vectorial Módulo 24 Producto vectorial y geometría analítica Oliver Heaviside (1850-1925) impulsó el cálculo de operadores y llevó a cabo diversos trabajos importantes, referidos a la aplicación de los métodos matemáticos al análisis de los circuitos eléctricos. Entre sus aportaciones destaca la aplicación de dichos métodos a los movimientos ondulatorios (en especial a las ondas de radio), lo que le permitió predecir, en su obra Teoría electromagnética, y de forma simultánea con Edwin Kenelly, la existencia de la capa atmosférica conocida como capa de Kenelly-Heaviside. El primer capítulo de la obra mencionada lo dedica al estudio de los métodos vectoriales.

Presentación Se abordará a continuación el estudio de una nueva operación (una nueva ley de composición interna) en el espacio E 3 de los vectores libres. Como en la adición, dos vectores libres producirán otro vector libre, pero bajo condiciones diferentes. Mientras en la adición el resultado es una combinación lineal de los vectores involucrados, en esta nueva operación, a la que se denotará « × » y se denomina producto vectorial o producto cruz, el resultado no está, en general, en el plano de los dos vectores que lo generan. En el desarrollo del capítulo se resuelven problemas de la geometría euclidiana y de la geometría analítica con el uso del concepto de producto vectorial.

Ejercicios Módulos 23 y 24

354

23 Producto vectorial Introducción Hasta ahora, con los vectores libres se han definido tres operaciones básicas: adición, multiplicación de escalares por vectores y producto escalar. Como resultado de las dos primeras se obtiene un vector, en tanto que con la tercera el resultado es un escalar (un número real). Hay una cuarta operación entre vectores libres, la cual produce un vector que, a diferencia de lo que sucede en la adición, no es en general una combinación lineal de los vectores involucrados. Se trata del producto vectorial, cuyo cálculo se facilita con el uso de bases ortonormales y de los determinantes.

Objetivos del módulo

Leonhard Euler Fue Euler quien, en 1748, sistematizó la geometría analítica de una manera formal. En primer lugar expuso el sistema de la geometría analítica en el plano, introduciendo además de las coordenadas rectangulares en el espacio, las oblicuas y polares. En segundo lugar, estudió las transformaciones de los sistemas de coordenadas. También clasificó las curvas según el grado de sus ecuaciones, estudiando sus propiedades generales. Euler nació en Basilea (Suiza) en 1707 y murió en San Petersburgo (Rusia) en 1783.

1. Presentar una nueva ley de composición interna en el espacio de los vectores libres: el producto vectorial. 2. Mostrar cómo las bases ortonormales y los determinantes facilitan el cálculo del producto vectorial.

Preguntas básicas 1. ¿Es el producto vectorial una ley de composición interna? 2. ¿Qué diferencia existe entre el producto vectorial y la adición de vectores? 3. ¿Qué diferencia existe entre el producto vectorial y el producto escalar? 4. ¿Cómo se obtiene el producto vectorial de dos vectores? 5. ¿Qué significado tiene el producto vectorial de dos vectores? 6. ¿Cómo se calcula el producto vectorial con apoyo en bases ortonormales?

Contenidos del módulo 23.1 Definición y propiedades básicas del producto vectorial 23.2 Producto vectorial en una base ortonormal

Vea el módulo 23 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría analítica y vectorial

355

Capítulo 7: El producto vectorial

23.1 Definición y propiedades básicas del producto vectorial Producto vectorial 3 3 3 Sea × : E × E → E ,

Vea la animación Sistema derecho en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

⎛→ →⎞ → → ⎜ a, b ⎟ → a × b . ⎝ ⎠ « × » es un producto vectorial si satisface lo siguiente:

{ } { }

→

→ →

→

→

(1)

Si a , b es LD (linealmente dependiente), entonces a × b = o .

(2)

Si a , b es LI (linealmente independiente), entonces a × b es un vector

→

→ →

→

→

→

libre ortogonal a a y b tal que:

{

→ → →

„

}

→

a , b , a × b es un sistema derecho (vea el apartado 16.5, capítulo

4). →

„

→

→

→

a × b = a b sen θ , →

→

en donde θ es el ángulo entre a y b (recuérdese que 0 ≤ θ ≤ π rad y, por tanto, sen θ ≥ 0 ) (figura 23.1).

Figura 23.1

356

Módulo 23: Producto vectorial Nota 1

{ } → →

→

→

En el caso en a , b que es LD, a y b son colineales, lo que significa que θ = 0º o θ = 180º. Esto implica que sen θ = 0. Por tanto, se cumple que: →

→

→

→

→

a × b = o = a b sen θ = 0. →

→

Es decir, para vectores libres cualesquiera a y b : →

→

→

→

a × b = a b sen θ .

Nota 2 →

Es evidente que para cualquier vector libre a : →

→

→

→

→

o × a = a × o = o.

Nota 3 →

→

→

{ } → →

a × b = o si y sólo si a , b es LD.

La implicación de derecha a izquierda está contenida en la definición de producto vectorial. La prueba de la implicación de izquierda a derecha se deja al lector. Nota 4 → → ⎛ → →⎞ → ⎛ → →⎞ → ⎜ a × b ⎟ ⊥ a y ⎜ a × b ⎟ ⊥ b . Por tanto, para vectores cualesquiera a y b : ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

→ ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ ai ⎜a ×b⎟ = 0 y bi ⎜a ×b⎟ = 0. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

→

Ilustración 1

Figura 23.2

Geometría analítica y vectorial

357

Capítulo 7: El producto vectorial

{

}

→ → →

Sea i , j , k una BOND (base ortonormal derecha) para E 3 (figura 23.2).

→

→

→

Por definición, i × j = λ k , con λ real positivo (sistema derecho). Además, →

→

→

→

i× j = i

j sen

π ⎛ téngase en cuenta que →i ⊥ →j ⎞ . ⎜ ⎟ 2 ⎝

⎠

Así, →

→

→

→

i × j = 1⋅1⋅1 = 1 .

Pero, →

→

i× j = λk =λ k . →

→

→

Luego λ = 1 . En consecuencia, i × j = k . Similarmente puede probarse que →

→

→

→

→

→

j×k = i ; k× i = j .

Además, →

→

→

→

→

→

→

→

→

j × i = − k ; k × j = −i ; i × k = − j .

El siguiente teorema recoge algunas de las propiedades básicas del producto vectorial. Teorema 1 → → →

Sean a , b , c vectores libres y λ un real. Entonces: 1.

→ → → → ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ ⎜ a × b ⎟ = − ⎜ b × a ⎟ . Además, a × b = b × a . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2.

⎛ →⎞ ⎛ →⎞ → ⎛→ →⎞ a × ⎜ λ b ⎟ = ⎜ λ a ⎟ × b = λ ⎜ a × b ⎟. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3.

Si a , b es LI, entonces el área del paralelogramo determinado por a y b es:

→

{ }

→

→ →

→

→

→

A= a×b . ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ a × ⎜ b + c ⎟ = ⎜ a × b ⎟ + ⎜ a × c ⎟. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

→

4.

Del numeral 1 de este teorema se ve claramente que el producto vectorial NO es conmutativo (en esto se diferencia de la adición y del producto escalar). Sólo en el

358

Módulo 23: Producto vectorial

{ } → →

→

→

→

→

caso en que a , b es LD se cumple que a × b = b × a . Del numeral 2 se obtiene que los escalares pueden «extraerse» como factores del producto vectorial. El numeral 4 enuncia la propiedad distributiva «a izquierda». De igual modo puede enunciarse la propiedad distributiva «a derecha»:

⎛ → →⎞ → ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ ⎜ a + b⎟ × c = ⎜ a × c ⎟ + ⎜ b × c ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Prueba de 3 (figura 23.3)

Figura 23.3 ⎯→

→

⎯→

→

Sean OA = a y OB = b , en el paralelogramo OACB de área A. El segmento BH es la altura del paralelogramo, con respecto a la base OA. Pero BH = OB sen θ . De este modo: ⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

A = OA HB = OA OB sen θ . En consecuencia, →

→

A= a×b . Corolario 1 El área de un triángulo ABC es igual a

1 ⎯→ ⎯→ AB × AC . ¡Demuéstrelo! 2

23.2 Producto vectorial en una base ortonormal

{

}

→ → →

→

→

Sea i , j , k una BOND para E3 . Si a y b son vectores libres tales que:

⎡ a1 ⎤ ⎡b1 ⎤ → a ↔ ⎢⎢a2 ⎥⎥ y b ↔ ⎢b2 ⎥ , ⎢ ⎥ ⎢⎣a3 ⎥⎦ ⎢⎣b3 ⎥⎦

→

Geometría analítica y vectorial

359

Capítulo 7: El producto vectorial se puede escribir: →

→

→

→

→

→

→

→

a = a1 i + a2 j + a3 k , y b = b1 i + b2 j + b3 k .

Así, → → → → → ⎛ → ⎞ ⎛ → ⎞ a × b = ⎜ a1 i + a2 j + a3 k ⎟ × ⎜ b1 i + b2 j + b3 k ⎟. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

→

Aplicando reiteradamente la propiedad distributiva:

→ ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞ a × b = (a1b1 ) ⎜ i × i ⎟ + (a1b2 ) ⎜ i × j ⎟ + (a1b3 ) ⎜ i × k ⎟ + (a2 b1 ) ⎜ j × i ⎟ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

→

⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ (a2b2 ) ⎜ j × j ⎟ + (a2b3 ) ⎜ j × k ⎟ + (a3b1 ) ⎜ k × i ⎟ + (a3b2 ) ⎜ k × j ⎟ + (a3b3 ) ⎜ k × k ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Esta expresión puede simplificarse teniendo en cuenta que: →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

i × i = j × j = k × k = o , y que: →

→

→

→

→

→

→

→

→ →

→

→

→

→

→

i × j = k , i × k = − j, j × i = − k , j × k = i , k × i = j, y k × j = − i .

Así, →

→

→

a × b = (a2b3 − a3b2 ) i − (a1b3 − a3b1 ) j + (a1b2 − a2b1 ) k .

Luego a ×b=

a2 a3 b2 b3

→

i −

a1 a3 b1 b3

→ →

→

j+

a1 a2 b1 b2

→

k.

→

Aquí, los coeficientes de i , j y k son determinantes de orden 2. Finalmente: →

→

→

i j k → → a × b = a1 a2 a3 . b1 b2 b3 Esta última expresión no es, estrictamente hablando, un determinante, ya que la primera fila no está formada por números reales. Es, pues, un seudodeterminante cuyo único sentido lo da el desarrollo por la primera fila. El resultado de desarrollar este seudodeterminante es un vector, combinación lineal → → →

→

→

de i , j , k : el producto vectorial a × b .

⎡2⎤ ⎡0⎤ → ⎢ ⎥ Se ilustra ahora con los vectores a y b , con a ↔ ⎢−1⎥ y b ↔ ⎢⎢−1⎥⎥ . ⎢⎣ 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ →

360

→

→

Módulo 23: Producto vectorial →

→

→

i j k → → a × b = 2 −1 3 0 −1 2

=

−1 3 −1 2

→

→

i −

→

2 3

→

0 2

j +

2 −1 → k 0 −1

→

= i − 4 j − 2k .

⎡1⎤ De otro modo: a × b ↔ ⎢⎢−4⎥⎥ . ⎢⎣−2⎥⎦ →

→

Por otra parte: →

→

→

i j k b × a = 0 −1 2 2 −1 3

→

→

=

−1 2

→

i −

−1 3 →

→

0 2 2 3

→

j +

0 −1 → k 2 −1

→

= − i + 4 j + 2k .

Es decir,

⎡ −1⎤ → b × a ↔ ⎢⎢ 4 ⎥⎥ . ⎢⎣ 2 ⎥⎦

→

→ → → → Nótese que, en el ejemplo, a × b = − ⎛⎜ b × a ⎞⎟ , como era de esperarse según el ⎝ ⎠ teorema 1.

Teorema 2: Relación de Gibbs → → → ⎛→ →⎞ → ⎛→ →⎞→ ⎛→ →⎞→ Si a , b , c son vectores libres, entonces ⎜ a × b ⎟ × c = ⎜ a i c ⎟ b − ⎜ b i c ⎟ a . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ La demostración de este teorema es bastante compleja, por lo cual se omite en este texto.

Corolario 1 → → → → ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞→ ⎛→ →⎞→ Si a , b , c son vectores libres, entonces a × ⎜ b × c ⎟ = ⎜ a i c ⎟ b − ⎜ a i b ⎟ c . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Se deja la prueba al lector. → →

→

{

→

→

}

→

Ilustremos a continuación con los vectores a , b y c dados en una BON i , j , k ,

Geometría analítica y vectorial

361

Capítulo 7: El producto vectorial así:

⎡1⎤ ⎡2⎤ ⎡−1⎤ → → a ↔ ⎢⎢−1⎥⎥ ; b ↔ ⎢⎢1⎥⎥ ; c ↔ ⎢⎢ 0 ⎥⎥ . ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦

→

→ ⎛→ →⎞ Calculemos a × ⎜ b × c ⎟. ⎝ ⎠

Método 1 Usando el «determinante»: → →

→

→

i

→

j k

→

→

→

b × c = 2 1 0 = i − 2 j + k. −1 0 1

Es decir,

⎡1⎤ b × c ↔⎢⎢−2⎥⎥. ⎢⎣ 1 ⎥⎦

→

→

→

→

i

j

→

k → → ⎛ → →⎞ a × ⎜ b × c ⎟ = 1 −1 1 = i − k . ⎝ ⎠ 1 −2 1

→

Luego

⎡1⎤ ⎛ → →⎞ ⎢ ⎥ a × ⎜ b × c ⎟ ↔ ⎢ 0 ⎥. ⎝ ⎠ ⎢⎣−1⎥⎦

→

Método 2 Usando la relación de Gibbs (corolario). →

→

→

→

a i c = 0 ; a i b = 1.

→ ⎛→ →⎞ ⎛→ →⎞→ ⎛→ →⎞→ Se sabe que a × ⎜ b × c ⎟ = ⎜ a i c ⎟ b − ⎜ a i b ⎟ c . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Por tanto,

⎡1⎤ → ⎛ → →⎞ a × ⎜ b × c ⎟ = − c ↔ ⎢⎢ 0 ⎥⎥ . ⎝ ⎠ ⎢⎣−1⎥⎦

→

Como era de esperarse, este resultado coincide con el obtenido al usar el «método 1».

362

24 Producto vectorial y geometría analítica

Introducción El producto vectorial, como sucede con el producto escalar, facilita la solución de muchos problemas de la geometría elemental y de la geometría analítica. Con dicho producto se pueden calcular áreas de algunos polígonos y volúmenes de algunos cuerpos, así como distancias de puntos a rectas y planos. Estas aplicaciones se ilustran en el presente módulo.

Objetivos del módulo 1. Presentar algunas aplicaciones del producto vectorial: cálculo de áreas, volúmenes y distancias. 2. Definir una nueva especie de operación entre vectores, en la cual se combinan el producto escalar y el vectorial: el producto triple (producto mixto).

Erhardt Schmidt El matemático alemán Erjardt Schmidt (1876-1959) recibió su grado de doctor en la Universidad de Gotinga, donde estudió bajo la asesoría de David Hilbert. Schmidt realizó importantes contribuciones a varios campos matemáticos, pero es más conocido por haber agrupado muchas de las ideas dispersas de Hilbert en un concepto general denominado espacio de Hilbert, que es fundamental en el estudio de espacios vectoriales de dimensión infinita. Schmidt describió por primera vez el proceso que lleva su nombre en un artículo sobre ecuaciones integrales publicado en 1907.

Preguntas básicas 1. ¿Se puede calcular –y de qué manera– el área de un triángulo con el uso del producto vectorial? 2. ¿Cómo se calcula el área de un paralelogramo con el uso del producto vectorial? 3. ¿Cómo se calculan distancias con la utilización del producto vectorial? 4. ¿Es posible calcular volúmenes de algunos cuerpos con el uso del producto vectorial? ¿De cuáles? 5. ¿Qué significado geométrico tiene el producto triple (producto mixto)?

Contenidos del módulo 24.1 Aplicaciones del producto vectorial 24.1.1 Área de un triángulo 24.1.2 Distancia de un punto a una recta en el espacio 24.2 Producto triple (producto mixto)

Vea el módulo 24 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría analítica y vectorial

363

Capítulo 7: El producto vectorial

24.1 Aplicaciones del producto vectorial En cada caso se supondrá que se ha dado una BOND para E 3 y que, por tanto, cada vector libre está dado en dicha base.

24.1.1 Área de un triángulo Se vio (corolario del teorema 1, módulo 20) que el área de un triángulo ABC está dado por:

1 ⎯→ ⎯→ AB × AC . 2 Ilustración 2 Calcule el área de un triángulo ABC, conocidas las coordenadas de sus vértices:

⎛ −1 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A ⎜ 0 ⎟ , B ⎜ 1 ⎟ , C ⎜ −2 ⎟ . ⎜2⎟ ⎜5⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Solución

⎡4⎤ ⎡6⎤ ⎯→ ⎢ ⎥ AB ↔ ⎢1 ⎥ ; AC ↔ ⎢⎢ −2 ⎥⎥ . ⎢⎣ 3 ⎥⎦ ⎢⎣ −5⎥⎦ ⎯→

→

→

→

i

j

k

AB × AC = 4

1

3 = i + 38 j − 14 k .

⎯→

⎯→

→

→

→

6 −2 −5 ⎯→

⎯→

AB × AC = 12 + 382 + 142 = 1641 ≈ 40.51.

Por tanto, el triángulo tiene área A ≈ 20, 26. Nota: el resultado no depende del par de vectores escogidos; es decir, se obtiene el mismo valor para el área con

1 ⎯→ ⎯→ 1 ⎯→ ⎯→ BA × BC o CA × CB . 2 2

24.1.2 Distancia de un punto a una recta en el espacio → ⎛ →⎞ Sea L ⎜ A, v ⎟ la recta que pasa por el punto A y tiene a v como un vector director. ⎝ ⎠ Sea además P un punto en el espacio.

364

Módulo 24: Producto vectorial y geometría analítica En el capítulo anterior se describió un método para calcular la distancia de P a la recta, con el uso del producto escalar (figura 24.1).

Figura 24.1

Según dicho método, la distancia del punto a la recta es: ⎯→

⎯⎯→

⎯→ →

D (P, L) = AP − proy ( AP/ v ) . Ahora se resolverá el mismo problema recurriendo al producto vectorial: ⎯→

Sea θ es el ángulo entre AP y la recta L; entonces: ⎯→

D (P, L) = AP sen θ . →

→

→

Sea u un vector unitario con la dirección (y sentido) de v; esto es, u es el vector →

v, normalizado. →

u=

1 →

→

v.

v

Se puede escribir: ⎯→

→

D (P, L) = AP u sen θ . →

⎯→

⎯→

→

Sea θ1 el ángulo entre AP y v (entre AP y u ). Los ángulos θ1 y θ son suplementarios o iguales. En cualquiera de los dos casos, sen θ1 = sen θ . Por tanto, ⎯→

→

D (P, L) = AP u sen θ1 . Así, ⎯→

→

D (P, L) = AP × u . →

Pero u =

1 →

→

v . Luego,

v

Geometría analítica y vectorial

365

Capítulo 7: El producto vectorial

⎛ ⎞ ⎜ 1 →⎟ D (P, L) = AP × ⎜ → v ⎟ . ⎜ v ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎯→

Finalmente, 1

D (P, L) =

→

⎯→

→

AP × v .

v

Ilustración 3

⎛1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛7⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Las coordenadas de los puntos A, B, P son A ⎜ −2 ⎟ , B ⎜ 1 ⎟ , P ⎜ 2 ⎟ . ⎜ 3⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Calcule la distancia de P a la recta L (A,B). Solución

⎡1⎤ ⎡6⎤ ⎯→ ⎢ ⎥ v = AB ↔ ⎢ 3 ⎥ ; AP ↔ ⎢⎢ 4 ⎥⎥ . ⎣⎢−3⎦⎥ ⎣⎢−2⎦⎥

→

⎯→

→

v = 19.

⎯→

→

→

→

→

i

j

k

→

→

→

AP × v = 6 4 −2 = −6 i + 16 j + 14 k . 1 3 −3

⎡−6⎤ ⎡−3⎤ ⎢ ⎥ Luego AP × v ↔ ⎢16 ⎥ = 2 ⎢⎢ 8 ⎥⎥ . ⎢⎣14 ⎥⎦ ⎢⎣ 7 ⎥⎦ ⎯→

⎯→

→

→

AP × v = 2 32 + 82 + 72 = 2 122. Por tanto,

D (P, L) =

2 122 19

≈ 5,07.

24.2 Producto triple (producto mixto) → → → → ⎛ → →⎞ Si a , b , c son vectores libres, la expresión a × ⎜ b × c ⎟ representa un vector (módu⎝ ⎠ lo 23) al que puede llamarse triple producto vectorial. En cambio, la expresión

366

Módulo 24: Producto vectorial y geometría analítica

⎛→ →⎞ a i ⎜ b × c ⎟ representa un escalar. Por ello se denomina producto mixto, o simple⎝ ⎠ mente producto triple. →

Notación

⎛→ → ⎜ a, b, ⎝

→ → → ⎞ c ⎟ simboliza a a i ⎛⎜ b × c ⎞⎟ . ⎠ ⎝ ⎠

→

Teorema 3

⎛→ → →⎞ Si ⎜ a , b , c ⎟ es un conjunto LI de vectores libres, entonces el volumen del ⎝ ⎠ ⎛→ → paralelepípedo determinado por los tres vectores es igual a ⎜ a , b , ⎝

⎞ c ⎟ . En otras ⎠

→

palabras, el volumen del paralelepípedo es el valor absoluto del producto triple de los vectores que lo determinan. Prueba (figura 24.2)

Figura 24.2 ⎯→

→

⎯→

→

⎯→

→

Sean OA = a , OB = b , OC = c . El volumen V del paralelepípedo se obtiene multiplicando el área del paralelogramo ⎯→

OCDB (base) por la longitud del vector A′A (altura). Téngase en cuenta que el segmento A′A es perpendicular a la base. → → El vector ⎛⎜ b × c ⎞⎟ es ortogonal a la base (definición de producto vectorial) y, por ⎝ ⎠ ⎯→

tanto, paralelo a A′A (y con igual sentido). ⎯→ → → → → Sea θ el ángulo entre a y ⎛⎜ b × c ⎞⎟ y entre A′A y a . Por esto, ⎝ ⎠

⎯→

→

A′A = a cosθ . →

→

Además, el área de la base es A = b × c .

Geometría analítica y vectorial

367

Capítulo 7: El producto vectorial →

→

→

Así, V = b × c a cosθ . →

→

→

Es decir, V = b × c a cosθ . → ⎛→ →⎞ Por tanto, V = a i ⎜ b × c ⎟ . ⎝ ⎠ → → Finalmente, V = ⎛⎜ a , b , ⎝

⎞ c⎟ . ⎠

→

Teorema 4 → → →

→

Si a , b , c , d son vectores libres y λ ∈ R , entonces: 1.

{

}

2.

⎛ → → →⎞ ⎛→ → →⎞ ⎜ λ a, b, c ⎟ = λ ⎜ a, b, c ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3.

⎛→ → → →⎞ ⎛→ → →⎞ ⎛→ → →⎞ ⎜ a + b, c , d ⎟ = ⎜ a, c , d ⎟ + ⎜ b, c , d ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛→ → →⎞ a , b , c es LD si y sólo si ⎜ a , b , c ⎟ = 0. ⎝ ⎠

→ → →

Esta es una propiedad distributiva.

4.

⎛→ → ⎜ a, b, ⎝

⎞ ⎛→ → c ⎟ = ⎜ b, c , ⎠ ⎝

5.

⎛→ → →⎞ ⎛→ → → ⎞ ⎜ a, b, c ⎟ = − ⎜ a, c , b ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

→

⎞ ⎛→ → a ⎟ = ⎜ c , a, ⎠ ⎝

→

⎞ b⎟ . ⎠

→

Prueba de 5

⎛→ → →⎞ → ⎛→ →⎞ ⎜ a, b, c ⎟ = a i ⎜ b × c ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → ⎛ → →⎞ b × c = − ⎜ c × b⎟ . ⎝ ⎠

→

Pero

⎛ → → → ⎞ → ⎡ ⎛ → → ⎞⎤ Así, ⎜ a , b , c ⎟ = a i ⎢ − ⎜ c × b ⎟ ⎥ . ⎝ ⎠ ⎠⎦ ⎣ ⎝

⎡→ ⎛ → → ⎞⎤ ⎛→ → →⎞ Luego ⎜ a , b , c ⎟ = − ⎢ a i ⎜ c × b ⎟ ⎥ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣

⎛→ → →⎞ ⎛→ → → ⎞ Por tanto, ⎜ a , b , c ⎟ = − ⎜ a , c , b ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 Cuando se tiene una BOND para E , se puede calcular fácilmente el producto mixto. En efecto:

368

Módulo 24: Producto vectorial y geometría analítica

{

}

→ → →

→ → →

Sean i , j , k una BOND para E 3 y a , b , c vectores libres, así:

⎡ a1 ⎤ ⎡b1 ⎤ ⎡ c1 ⎤ → → ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ a ↔ ⎢a2 ⎥ ; b ↔ ⎢b2 ⎥ ; c ↔ ⎢⎢c2 ⎥⎥ . ⎢⎣a3 ⎥⎦ ⎢⎣b3 ⎥⎦ ⎢⎣c3 ⎥⎦

→

⎛→ → →⎞ → ⎛→ →⎞ ⎜ a, b, c ⎟ = a i ⎜ b × c ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Así, ⎛→ → →⎞ → ⎜ a, b, c ⎟ = a ⎝ ⎠

⎡b i⎢ 2 ⎣ c2

b3 c3

→

i −

b1 b3 c1

c3

→

j+

c1

⎤ k ⎥. c2 ⎦

b1

b2

c1

c2

→

b1 b2

Es decir, b2 ⎛→ → →⎞ ⎜ a , b , c ⎟ = a1 c2 ⎝ ⎠

b3 c3

− a2

b1

b3

c1

c3

+ a3

.

Esta última expresión puede escribirse como un determinante:

⎛→ → ⎜ a, b , ⎝

a1 ⎞ c ⎟ = b1 ⎠ c1

→

a2

a3

b2 c2

b3 . c3

Ilustración 4 Dados los vectores

⎡1⎤ ⎡0⎤ ⎡0⎤ → → ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ a ↔ ⎢ −1⎥ ; b ↔ ⎢ 0 ⎥ ; c ↔ ⎢⎢1 ⎥⎥ , ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦

→

⎛→ → → ⎞ calcule el producto mixto ⎜ c , b , a ⎟ . ⎝ ⎠ Solución Por lo que se acaba de analizar:

0 1 1 ⎛→ → → ⎞ ⎜ c , b, a ⎟ = 0 0 1 . ⎝ ⎠ 1 −1 0 Este último es un verdadero determinante (ninguna de sus entradas es un vector). Por ello, puede desarrollarse por cualquier fila o columna. Desarrollando por la primera columna se obtiene:

Geometría analítica y vectorial

369

Capítulo 7: El producto vectorial ⎛→ → → ⎞ 1 1 = 1. ⎜ c , b, a ⎟ = ⎝ ⎠ 0 1

Ilustración 5 El teorema 4, en su numeral 1, permite hallar una ecuación vectorial de un plano recurriendo al producto triple. Sea π ( A, B, C ) un plano que pasa por los puntos A, B, C (figura 24.3).

Figura 24.3 ⎯→

Un punto X del espacio está en el plano π si y sólo si el vector AX es combinación ⎯→

⎯→

lineal de AB y AC . Esto significa que para que X esté en el plano, es necesario y

{

⎯→

⎯→

⎯→

}

suficiente que AX , AB, AC sea LD. Por el teorema 4, numeral 1, se puede escribir: ⎧

⎫

π ( A, B, C ) = ⎨ X ∈ P3 : ⎛⎜ AX , AB, AC ⎞⎟ = 0 ⎬ , ⎯→

⎝

⎩

{

⎯→

⎯→

⎯→

}

⎯→

⎯→

⎠

⎭

siendo AX , AB, AC una nueva ecuación vectorial del plano.

Aplicación

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ Sean A ⎜1⎟ , ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠

⎛1⎞ ⎜ ⎟ B ⎜ −1⎟ , ⎜2⎟ ⎝ ⎠

⎡0⎤ AB ↔ ⎢⎢ −2 ⎥⎥ ; ⎣⎢ 1 ⎦⎥ ⎯→

370

⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ C ⎜ 0 ⎟. ⎜1⎟ ⎝ ⎠

⎡1⎤ AC ↔ ⎢⎢ −1⎥⎥ . ⎣⎢ 0 ⎦⎥ ⎯→

Módulo 24: Producto vectorial y geometría analítica

⎛ x⎞ ⎡ x −1⎤ ⎯→ ⎜ ⎟ Si X ⎜ y ⎟ , entonces AX ↔ ⎢ y −1⎥ . ⎢ ⎥ ⎜z⎟ ⎢⎣ z −1⎥⎦ ⎝ ⎠ ⎛ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎞ ⎜ AX , AB, AC ⎟ = ⎝ ⎠

x −1 y −1 z −1 0 1

−2 −1

1 . 0

Luego

⎛ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎞ = (x −1) −2 1 + 1 ( y −1) ( z −1) . ⎜ AX , AB, AC ⎟ −1 0 −2 1 ⎝ ⎠ Así,

⎛ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎞ ⎜ AX , AB, AC ⎟ = ( x − 1) + ( y − 1) + 2( z − 1). ⎝ ⎠ X está en el plano si y sólo si:

x + y + 2 z − 4 = 0. Esta es la ecuación cartesiana del plano π ( A, B, C ) .

Geometría analítica y vectorial

371

Ejercicios propuestos → →

1.

Demuestre que si a , b son vectores libres, entonces:

⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ ⎜ a + b ⎟ × ⎜ a − b ⎟ = 2⎜ b × a ⎟ . Interprete geométricamente este resultado. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2.

Sea ABC un triángulo en un sistema cartesiano tridimensional de origen O. Sea A el área del triángulo. Pruebe que: A=

1 2

⎛ ⎯→ ⎯→ ⎞ ⎛ ⎯→ ⎯→ ⎞ ⎛ ⎯→ ⎯→ ⎞ ⎜ OA × OB ⎟ + ⎜ OB × OC ⎟ + ⎜ OC × OA ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛1⎞ ⎛2⎞ ⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Constate este resultado con el triángulo ABC, para el cual A⎜ 1 ⎟ , B ⎜ 1 ⎟ , C ⎜ 1 ⎟ . ⎜ −1⎟ ⎜ −1⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ → → →

3.

→

→

→

→

→

→

Sean a , b , c vectores libres tales que ninguno es paralelo a otro. Pruebe que si a × b = b × c = c × a , entonces →

→

→

→

a + b + c = o . Dé una interpretación geométrica de este resultado.

4.

→ ⎛→ →⎞ ⎛ → →⎞ → El producto vectorial no es asociativo; es decir, en general a × ⎜ b × c ⎟ ≠ ⎜ a × b ⎟ × c . Compruebe esta afirmación ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡2⎤ ⎡1⎤ ⎡2⎤ → → → para los vectores a ↔ ⎢⎢ 4 ⎥⎥ , b ↔ ⎢⎢−1⎥⎥ , c ↔ ⎢⎢ 1 ⎥⎥ . ⎢⎣−6⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣−1⎥⎦ →

5.

→

→

→

→

→

No existe una propiedad cancelativa para el producto vectorial. De a × b = a × c no se deduce que b = c . En efecto: →

a.

→

→

→

Si a = o , entonces b y c pueden ser vectores cualesquiera y, no obstante, se cumple la igualdad →

→

→

→

→

a×b=a× c =o.

→

b.

→

→

→

→

→

Si a ≠ o , de « a × b = a × c » se puede pasar a:

⎛ → →⎞ → a × ⎜b − c⎟ = o. ⎝ ⎠

→

→ → → → → De aquí sólo se puede afirmar que ⎛⎜ b − c ⎞⎟ es paralelo a a, mas no que b = c (figura 1). ⎝ ⎠

Geometría analítica y vectorial

379

Figura 1

⎡2⎤ ⎡1⎤ ⎡2⎤ → → ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Sean a ↔ ⎢ 4 ⎥ ; b ↔ ⎢ −1⎥ ; c ↔ ⎢ 1 ⎥ . ⎢⎣ −6 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ −1⎥⎦ →

→

→

→

→

→

→

Es claro que b ≠ c . Compruebe que, no obstante, a × b = a × c .

{

→ → →

6.

}

→ → →

Sean a , b , c vectores libres no coplanarios y no nulos; es decir, a , b , c es LI. Pruebe que si → → → ⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ → → a × ⎜ b × c ⎟ = ⎜ a × b ⎟ × c = o , entonces a , b , c son ortogonales dos a dos. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

→

7.

Para cada uno de los dos subconjuntos de R 3 siguientes, determine vectorialmente si es LI: ⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎫ ⎧⎛ 1 ⎞ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪⎜ ⎟ S1 = ⎨⎜ 1 ⎟ , ⎜ 1 ⎟ , ⎜ 0 ⎟ ⎬ ; S 2 = ⎨⎜ −6 ⎟ ⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎪ ⎪⎜ 2 ⎟ ⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭ ⎩⎝ ⎠

8.

9.

⎛ 0 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎫ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ , ⎜ 2 ⎟ , ⎜ 12 ⎟ ⎬ . ⎜ 7 ⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭

Calcule el volumen del tetraedro de vértices A, B, C, D, si:

a.

⎛ −5 ⎞ ⎛2⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A ⎜ 0 ⎟ , B ⎜ 1 ⎟ , C ⎜ −2 ⎟ , D ⎜ 3 ⎟ . ⎜ 1 ⎟ ⎜3⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜4⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b.

⎛ 0 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A ⎜ 1 ⎟, B ⎜ 3 ⎟, C ⎜ 0 ⎟, D ⎜ 4 ⎟. ⎜ −5 ⎟ ⎜2⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Enuncie una condición vectorial para que cuatro (4) puntos del espacio sean coplanarios. Aplique para los puntos A, B, C, D, con:

⎛ −5 ⎞ ⎛2⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A ⎜ 0 ⎟ , B ⎜ 1 ⎟ , C ⎜ −2 ⎟ , D ⎜ −1⎟ . ⎜ 1 ⎟ ⎜3⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

380

→ → →

10.

Sean a , b , c vectores libres. Pruebe la identidad de Jacobi:

⎛ → →⎞ → ⎛ → →⎞ → ⎛ → →⎞ → a × ⎜ b × c ⎟ + b × ⎜ c × a ⎟ + c × ⎜ a × b ⎟ = o. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

→

11.

→ → → → → → → → → → Sean a , b , c , d vectores libres. Demuestre que ⎛⎜ a × b ⎞⎟ × ⎛⎜ c × d ⎞⎟ es combinación lineal de a y b, y combinación ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

→

→

lineal de c y d .

⎡1⎤ ⎡1⎤ ⎡−1⎤ ⎡2⎤ → → → ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Sean: a ↔ 1 , b ↔ 0 , c ↔ 1 , d ↔ ⎢ 1 ⎥ . ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣−1⎥⎦ →

⎛ → →⎞ ⎛ → →⎞ Encuentre ⎜ a × b ⎟ × ⎜ c × d ⎟ , de modo que sólo calcule un producto vectorial (puede utilizar directamente el ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ producto mixto y no recurrir al producto vectorial en el cálculo parcial). 12.

Una pirámide cuyo vértice es P tiene como base el cuadrilátero ABCD. Calcule el volumen de esta pirámide si tiene: P (0, 0, 8); A(3, 0, − 1); B (2, 9, 3); C (−2, 0, 4); D(−4, − 6, 4). → →

→

→ →

→ →

→ →

→

→

→2

13.

Sean a , b ∈ E 3 . Demuestre que ( a + b , a − b , a ) = 0.

14.

3 Sean a , b ∈ E . Demuestre que a × b =

15.

Sean a , b , c ∈ E 3 , a i b ≠ 0.

→ → →

→

2

→2 ⎛ → →⎞ a · b −⎜ a i b ⎟ . ⎝ ⎠

→

→

Resuelva para x el siguiente sistema (sugerencia: utilice la relación de Gibbs) →

→

→

→

→

1. x × b = c . 2. x i a = α .

16.

→

→

→

Dadas L1 ( A, a ), L2 ( B, b ), con a

→

b , demuestre que la distancia entre estas rectas está dada por la siguiente

expresión (figura 2):

Geometría analítica y vectorial

381

⎯→

→ →

( AB, a , b )

d ( L1 , L2 ) =

→

→

a× b

Sugerencias: ⎯→

→

→

a × b . ¿Por qué?

(1). PQ ⎯→

(2). PQ =

⎯→

→

PQ u →a × →b . ¿Por qué?

Figura 2

17.

Utilice la expresión anterior para calcular d(L1, L2), siendo:

(1) x = 4 − β ⎫ ⎪ L2: (2) y = − 1 + 3β ⎬ β ∈ . (3) z = 2 − 2 β ⎪⎭

(1) x = 1 + 2λ ⎫ L1: (2) y = − 2 + 3λ ⎪⎬ λ ∈ − λ ⎪⎭ (3) z = 18.

En el triángulo ABC de la figura 3, P y Q son los puntos medios de AB y BC , respectivamente, y G es el baricentro. Demuestre vectorialmente que: área(ΔPQG ) =

1 área (ΔABC ) 12

Figura 3 →

19.

→

→

→

En el tetraedro ABCP de la figura 4 sean n1 , n2 , n3 , n4 vectores normales a cada cara y de magnitud igual al área de la cara respectiva y saliendo de cada cara. Demuestre que: →

→

→

→

→

n1 + n2 + n3 + n4 = o .

382

Figura 4

20.

Demuestre la siguiente identidad de Lagrange (sugerencia: aplique las propiedades del producto mixto):

→

→

→

→

(a × b) i ( c × d ) =

→

→

→

→

→

→

→

→

aic

bic

21.

aid

bid

→

→ → →

→

→

→

Sean a , b , c ∈ E3 , linealmente independientes, y d = λ a + β b + δ c. Demuestre que:

λ =

→ → →

→ → →

→ → →

(d , b , c )

(a, d , c )

(a, b, d )

→ → →

( a, b, c )

; β =

→ → →

( a, b , c )

; δ =

→ → →

( a, b, c )

¿Encuentra alguna relación con la regla de Cramer?

Geometría analítica y vectorial

383

8

Capítulo 8 Aplicaciones de los vectores geométricos a la física

Contenido breve Módulo 25 Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes Ejercicios Módulo 25 Si alguna empresa ha requerido toda la capacidad creadora del hombre y ha puesto en evidencia el conocimiento adquirido en múltiples disciplinas, materializado en tecnologías altamente perfeccionadas, es la llegada a la Luna. (Continúa en la página siguiente.)

Presentación En este capítulo mostraremos el vector geométrico, ya estudiado suficientemente en su contexto matemático, como una herramienta vital en el planteamiento y la solución de problemas en algunos temas que son objetivo de estudio de la física y desde los cuales se vislumbra el grado de importancia que tiene en la fundamentación posterior de áreas muy importantes, propias de la ingeniería. Para ello estableceremos un tránsito gradual y coherente entre la noción geométrica del vector libre y su utilización en los modelos físicos, en muchos de los cuales deben restringirse sus propiedades generales a condiciones más específicas, como ocurre con el vector de posición y el vector deslizante. Nos lleva además a destacar la importancia de una modelación adecuada de los problemas que se estudian, lo que exige a la vez un dominio completo de los elementos que, como ente matemático, caracterizan al vector geométrico, y de las propiedades o leyes que desde la física satisface el fenómeno analizado. Lo anterior nos ha conducido a la selección de cuatro temas que hacen parte de las siguientes áreas generales:

Módulo 26 Cinemática Ejercicios Módulo 26 Módulo 27 Trabajo de una fuerza sobre un cuerpo Ejercicios Módulo 27 Módulo 28 Momento de una fuerza respecto de un punto Ejercicios Módulo 28

Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes. Cinemática. Trabajo de una fuerza sobre un cuerpo. Momento de una fuerza respecto a un punto.

Invitamos al lector a adelantar un estudio detallado de estos temas en el texto Algunas aplicaciones del álgebra de los vectores geométricos a la física.1 1. Alberto Jaramillo. http://docencia.udea.edu.co/cen/vectorfisico

Continuación: El Apolo 11, lanzado en julio de 1969, alcanzó con éxito el propósito de colocar un hombre en la Luna. Un cohete Saturno impulsó hacia nuestro satélite el módulo de mando, el módulo de servicio y el módulo lunar. Una vez en órbita lunar, los astronautas Neil Armstrong y Edwin Aldrin pasaron del módulo de mando al módulo lunar a través de una escotilla; entonces éste se separó y descendió hasta posarse en la superficie de la Luna, mientras Michael Collins permanecía en órbita en el módulo de mando. Utilizando los motores del módulo lunar para conseguir un descenso lento y para escojer un lugar libre de obstáculos, Armstrong maniobró habilmente el módulo hasta depositarlo en el Mar de la Tranquilidad. Los astronautas observaron ante sí una llanura acribillada de cráteres y llena de piedras de variadas dimensiones. Vestido con una escafandra autónoma, Neil Armstrong abrió la escotilla y descendió con precaución por la pequeña escalera hasta la superficie lunar, la encontró sólida y consiguió andar por ella con relativa facilidad. Luego recogió algunas muestras de roca por si eventualmente se presentaba la necesidad de un regreso precipitado. Después de tomar los instrumentos del módulo lunar, Aldrin se reunió con Armstrong sobre el suelo del satélite. Los astronautas recogieron nuevas muestras de polvo y rocas, instalaron algunos instrumentos científicos, entre ellos un sismógrafo y una pantalla de aluminio para medir el «viento solar», es decir, los haces de partículas cargadas emitidos por el Sol, y a continuación tomaron excelentes fotografías en color de los instrumentos, del módulo lunar y de ellos mismos. Probablemente la maniobra más arriesgada fue la de abandonar la superficie de la Luna con el módulo lunar y el encuentro con el módulo de mando que orbitaba a una altura de 100 km. La maniobra se realizó con éxito, los dos módulos se ensamblaron, y Armstrong y Aldrin se reunieron con Collins en el módulo de mando. El módulo lunar fue desensamblado y los astronautas iniciaron el regreso a bordo del módulo de mando, en dirección al océano Pacífico. El método americano para poner un hombre en la Luna puede aparecer complicado, pero de hecho es el sistema más económico. Para enviar un cohete en línea recta de la Tierra a la Luna y regresar del mismo modo sería preciso que ese cohete tuviera una potencia del doble del potentísimo Saturno 5. Esta dificil pero maravillosa empresa se tejió paso a paso y en su construcción no estuvieron ausentes los fracasos, pero poco a poco se consolidó como una de las epopeyas mas grandes realizadas por el hombre y en sus cimientos como en todo su desarrollo, las Matemáticas y la Física tienen un sitial de honor.

386

25 Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes

Introducción Isaac Newton

En áreas de la Física, como la estática y la dinámica, el problema del equilibrio de un sólido rígido es fundamental. Para abordar su estudio el vector geométrico se constituye en una herramienta vital, y en particular la descomposición de un vector en sus componentes rectangulares, ya sea en el plano como en el espacio, facilita notablemente la solución de estos problemas. Esta razón nos lleva a fundamentar el método analítico y mostrar sus ventajas, sin dejar de presentar otros métodos, aclarando sus ventajas respectivas.

Isaac Newton nació el día de Navidad de 1642, año en que moría Galileo, en el pueblecito de Woolsthorpe (Condado de Lincolnshire, Inglaterra), y murió en Londres el 20 de marzo de 1727 después de una larga y atroz enfermedad. Fue enterrado en la abadía de Westminster, en medio de los grandes hombres de Inglaterra.

Objetivos del módulo 1. Mostrar una aplicación fundamental de los vectores geométricos en la solución de problemas relacionados con el equilibrio de un cuerpo. 2. Familiarizar al estudiante con los términos y métodos de solución asociados con los problemas físicos correspondientes a los sistemas de fuerzas coplanarias. 3. Dotar al estudiante de los instrumentos matemáticos mínimos que le permitan comprender mejor los temas de la física.

Preguntas básicas 1. ¿Qué son las componentes rectangulares de un vector y para qué se utilizan? 2. ¿Cuáles son las condiciones de equilibrio de un cuerpo sometido a la acción de fuerzas coplanares? 3. ¿Qué métodos se utilizan para resolver los problemas relacionados con el equilibrio? 4. ¿Que es un vector deslizante?

Contenidos del módulo 25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25.6

Descomposición de un vector en sus componentes rectangulares Expresión de un vector en términos de un vector unitario o normalizado Equilibrio de una partícula Condiciones de equilibrio para fuerzas coplanares Problemas en los que interviene el equilibrio de una partícula El vector deslizante Vea el módulo 25 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

387

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física

25.1 Descomposición de un vector en sus componentes rectangulares →

Sea a ∈E2 . Escuche la biografía de Isaac Newton en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

→

De las infinitas formas en las que podemos descomponer el vector a en un número →

finito de vectores cuya suma sea igual al vector a, destacamos en particular una en la cual los vectores sumandos son respectivamente paralelos a los ejes coordenados →

x e y. Estos dos vectores los denominamos componentes rectangulares de a y se →

→

designan, en su orden, ax y ay . En la figura 25.1 se indican dos formas particulares →

de expresar el vector a. →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

a = a1 + a2 + a3 + a4 ; a = b1 + b2 + b3 + b4 + b5 .

Figura 25.1 →

→

→

En la figura 25.2, ax y a y son las componentes rectangulares de a y, en conse→

→

→

→

→

cuencia, a = ax + a y . Obsérvese que ax ⊥ ay .

Vea la animación Descomposición de un vector en sus componentes rectangulares en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Figura 25.2

25.2 Expresión de un vector en términos de un vector unitario o normalizado →

→

→

Sea a ∈ E 2 , a ≠ o .

388

Módulo 25: Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes

⎛ ⎞ ⎜ ⎟→ Definimos u→ = ⎜ 1 ⎟ a y lo designamos vector unitario en la dirección y sentia ⎜ → ⎟ ⎜ a ⎟ ⎝ ⎠ ⎯→

→

→

do de a, o también, vector a normalizado.

Observaciones ⎯→

1.

→

u→ es un vector de magnitud igual a 1 con la dirección y el sentido de a. a

→

2.

→

→

La definición anterior nos permite decir que, dado x ∈ E3 , x ≠ o , entonces →

→ ⎯→

→

⎯→

x = x u→ , que se escribe también como x = x u→ . Esto significa que todo x x

vector no nulo se puede expresar como el producto de un escalar, correspondiente a la magnitud del vector, por un vector unitario en la dirección y el sentido del vector inicial. Ilustración 1 →

→ → →

→

→

Sean a , b , c ∈ E3 tales que a = 3 cm, b = 2,5 cm, c = 0,5 cm. En la figura 25.3 se pueden observar los vectores unitarios o normalizados asociados a los vectores dados y en consecuencia se tiene que →

→ ⎯→

→

a = a u→ ,

→ ⎯→

a

→

⎯→

a = 3 u→ , a

→

b = b u→ ,

→ ⎯→

c = c u→ ,

b

→

⎯→

b = 2,5 u→ ,

c

→

⎯→

c = 0,5 u→ .

b

c

Figura 25.3

Geometría vectorial y analítica

389

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física La descomposición de un vector en sus componentes rectangulares y la expresión de un vector como el producto de su magnitud (módulo del vector) por un vector unitario en su dirección y sentido, nos facilitan las operaciones entre cualquier número de vectores en el plano (respectivamente en el espacio) porque éstas se reducen a sumar vectores en una misma dirección: paralelos al eje x y vectores paralelos al eje y (respectivamente paralelos al eje z en el caso del espacio) y a obtener una resultante final como la suma de dos vectores perpendiculares (respectivamente de tres vectores perpendiculares en el espacio), con las ventajas que ello representa. Ilustración 2 En la figura 25.4 se tiene: →

a = 3 cm,

→

b = 4 cm,

→

c = 4 cm con las direcciones y sentidos indicados. →

→

→

Determine la magnitud, la dirección y el sentido del vector a + b + c .

Figura 25.4

Vamos a ilustrar fundamentalmente tres métodos que pueden ser empleados para resolver este tipo de problemas.

a. Vea la animación Ilustración 2: método gráfico en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

390

Método gráfico (aproximado)

Mediante la utilización del compás, el transportador y una escala (regla graduada en diferentes unidades de medida) procedemos a la determinación del vector suma, así (figura 25.5):

Módulo 25: Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes

Figura 25.5 ⎯→

→

→

⎯→

→

OC = a + b + c . Determinamos con la escala la medida del vector OC y con el

transportador el ángulo α , y obtenemos los valores aproximados: ⎯→

→

→

→

OC = a + b + c = 3 cm, α ≈ 14 .

b.

Método trigonométrico

Aprovechando el polígono anterior determinado mediante la definición de la suma ⎯→

de vectores procedemos al cálculo de la misma medida del segmento OC y del ángulo α , así (figura 25.6):

Figura 25.6

Por propiedades geométricas (ángulos alternos internos) se determinan algunos de los ángulos interiores del polígono.

Geometría vectorial y analítica

391

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física Por el teorema de Pitágoras en el ΔCBA se tiene que CA = 32, y por la propiedad del triángulo isósceles, m( BCA) = m( B AC ) = 45° ; en consecuencia, m(C AO) = 20°.

Aplicamos ahora la ley del coseno en el ΔOAC.

OC = AC 2 + OA2 − 2 AC ⋅ cos(C AO) = 32 + 9 − 2 × 32 × 3 × cos 20° = 9,105 = 3,01 cm; esto es, OC ≈ 3 cm. Utilizando la ley del seno en el mismo triángulo se tiene: AC sen COA

=

OC

, sen COA =

sen C AO

AC sen C AO 32 sen 20° . = OC 3, 01

Luego m(COA) = 140° (obsérvese que el ángulo es obtuso) y, en consecuencia,

α = 180° − (140° + 25° ) = 15°.

Puede observarse que los resultados obtenidos por el primer método muestran una buena aproximación con los valores resultantes de este cálculo. c.

Método analítico

Procedemos a descomponer cada vector en sus componentes rectangulares (figura 25.7).

Vea la animación Ilustración 2: método analítico en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Figura 25.7

Cada vector podemos expresarlo a su vez como el producto de su magnitud por un vector unitario en la dirección y el sentido de éste. Para ello se utilizan normalmente dos notaciones para representar los vectores unitarios en la dirección y sentido de los ejes coordenados, así (figura 25.8):

392

Módulo 25: Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes

Figura 25.8

Finalmente determinamos el vector resultante de la suma, así: →

→

→

→

→

→

→

→

→

a + b + c = ax + a y + bx + by + cx + c y →

→

→

→

→

→

= ( ax + bx + cx ) + ( a y + by + c y ) (leyes asociativas y conmutativas en la suma).

En esta forma se presenta el vector suma, en términos de vectores paralelos a los ejes x e y. → → → → → → ⎞ → → → → ⎞ ⎛ → → ⎛ → → a + b + c = ⎜ ax u x − bx u x − cx u x ⎟ + ⎜ a y u y + by u y − c y u y ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (expresando cada vector en términos de los vectores unitarios y teniendo en cuenta su sentido). →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

a + b + c = (ax − bx − cx ) u x + (a y + by − c y ) u y (propiedad del producto

de un escalar por un vector). →

→

→

→

a + b + c = (a cos 25° − b cos 40° − c cos 50° ) u x →

+ (a sen 25° + b sen 40° − c sen 50° ) u y (determinación de las

magnitudes en los triángulos rectángulos de la figura 25.7). →

→

→

→

a + b + c = (3cos 25° − 4 cos 40° − 4 cos 50° ) u x →

+ (3sen 25° + 4 sen 40° − 4 sen 50° ) u y →

→

→

→

→

= − 2, 916 u x + 0, 774 u y (componentes rectangulares de a + b + c )

y, en consecuencia, →

→

→

a + b + c = (−2,916) 2 + (0, 774) 2 = 3, 016

con un ángulo α , que determinamos por medio de la función tangente:

tan α =

0, 774 −2,916

∴α = 14,88°.

Geometría vectorial y analítica

393

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física

25.3 Equilibrio de una partícula Una partícula se encuentra en equilibrio cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual al vector nulo. Al respecto debemos recordar la primera ley del movimiento de Newton: «Si la fuerza resultante que actúa sobre la partícula es cero, la partícula permanecerá en reposo (si está inicialmente en reposo) o se moverá con velocidad constante según una recta (si está en movimiento inicialmente)». Se concluye de la definición de equilibrio y de esta ley, que una partícula en equilibrio o está en reposo o se está moviendo describiendo una línea recta con velocidad constante.

25.4 Condiciones de equilibrio para fuerzas coplanares Diagrama del sólido aislado En los problemas físicos que se presentan en situaciones reales y que tienen aplicación en la ingeniería, en particular en el área de la mecánica, uno de los elementos iniciales que apuntan a la solución de los mismos corresponde a una buena representación gráfica de los efectos físicos que intervienen en ellos. Específicamente, un buen número de problemas sobre estructuras reales pueden reducirse a problemas de equilibrio de una partícula. Esto se logra eligiendo una partícula significativa y dibujando un diagrama representando esta partícula y todas las fuerzas que actúan sobre ella. A este diagrama se le designa con el nombre de diagrama del sólido aislado.

25.5 Problemas en los que interviene el equilibrio de una partícula Un cuerpo rígido sometido a la acción de fuerzas coplanares permanece en equilibrio si se satisfacen las dos condiciones siguientes: 1.

La suma vectorial de todas las fuerzas es igual al vector nulo.

2.

La suma vectorial de los momentos generados por las fuerzas, determinados con respecto a un punto cualquiera del plano, es igual al vector nulo.

En nuestro caso, los problemas considerados corresponden a fuerzas coplanarias y concurrentes en un punto, lo que hace que la primera condición sea suficiente para darse el equilibrio. Ilustración 3

Vea la animación Ilustración 3 en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

394

En una obra de construcción, un contenedor con materiales que pesa 1.000 kg está soportado por un cable de una grúa. Se ata una cuerda al cable en B para evitar la oscilación del contenedor y mantenerlo centrado y en equilibrio. El ángulo entre el cable y la vertical es de 4° y el ángulo de la cuerda con la horizontal es de 25°. ¿Cuáles son las tensiones en la cuerda y en el cable? (figura 25.9).

Módulo 25: Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes

Figura 25.9

Solución Aunque la situación real descrita se da en el espacio tridimensional, se puede asimilar a un modelo de fuerzas coplanarias y concurrentes. Procedemos a representar el diagrama del sólido aislado seleccionando el punto B como aquel en el cual concurren las fuerzas presentes en el sistema y ubicamos en él el origen del sistema de coordenadas cartesianas, indicando a su vez cada una de las fuerzas (figura 25.10).

Figura 25.10

a.

Método trigonométrico

Condición de equilibrio La suma vectorial de todas las fuerzas es igual al vector nulo. Designamos las fuerzas que intervienen en el problema así: ⎯→

W : peso del contenedor. ⎯→

TBA : tensión en el cable BA.

Geometría vectorial y analítica

395

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física ⎯→

TBC : tensión en la cuerda BC. 3 ⎯→

∑F i =1

i

→

⎯→

⎯→

⎯→

→

= o , esto es, W + TBA + TBC = o .

Dibujamos un triángulo que responda a las direcciones de los vectores, iniciando con el vector que está completamente determinado (figura 25.11).

Figura 25.11

Aplicando la ley de los senos se tiene: ⎯→

⎯→

⎯→

W

TBA

TBC

sen 61°

=

=

sen115°

sen 4°

; en consecuencia,

⎯→ ⎯→

TBC =

W sen 4° =

sen 61°

1.000 × sen 4° = 79, 75 kg, sen 61°

⎯→ ⎯→

TBA =

W sen115° =

°

sen 61

1.000 × sen115° = 1.036, 23 kg. sen 61°

Como podemos observar, en este caso la solución se logra en una forma más sencilla aplicando el método trigonométrico, por el reducido número de fuerzas que intervienen. Presentamos de todas formas el método analítico para familiarizar al lector con su implementación en aquellas situaciones (la gran mayoría) en las que obligatoriamente deberá utilizarse. b.

Método analítico 3 ⎯→

Condición de equilibrio: Vea la animación Ilustración 3: método analítico en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

396

∑F i =1

i

→

= o.

Esto conlleva a que la suma de todas las fuerzas paralelas a los ejes x e y sean iguales al vector nulo.

Módulo 25: Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes 3 ⎯→

∑F i =1

ix

→

3 ⎯→

∑F

=o y

iy

i =1

→

= o.

Determinemos las componentes rectangulares de cada una de las fuerzas (figura 25.12).

Figura 25.12 3 ⎯→

∑F i =1

ix

→

⎯→

⎯→

→

= o, TBCx + TBAx = o .

→

→

→

TBC x u x − TBAx u x = o . →

→

(TBCx − TBAx ) u x = o; luego TBCx − TBAx = 0, TBCx = TBAx ; en consecuencia: TBC cos 25° = TBA cos86°. 3 ⎯→

∑F i =1

iy →

→

⎯→

⎯→

⎯→

(1)

→

= o, TBC y + TBAy + W = o . →

⎯→

→

TBAy u y − TBC y u y − Wy = o . →

→

(TBAy − TBC y − W ) u y = o ; luego TBAy − TBC y − W = 0,

TBAy − TBC y = W y, en consecuencia: TBA sen 86° − TBC sen 25° = 1.000.

Despejando en (1), TBC =

(2)

TBA cos86° , y sustituyendo en (2) tenemos: cos 25°

Geometría vectorial y analítica

397

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física

TBA sen 86° −

TBA cos86° sen 25° = 1.000, cos 25°

TBA (sen 86° − cos86° tan 25° ) = 1.000,

TBA =

1.000 = 1.036, 23 kg, sen 86° − cos 86° tan 25°

TBC =

1.036, 23 × cos86° = 79, 75 kg. cos 25°

Ilustración 4 Un buque cisterna que transporta petróleo crudo ha sufrido un accidente que le ha puesto en peligro de naufragar, con el consiguiente desastre ecológico que puede causar. Para evitar su naufragio se requieren reparaciones de emergencia en el mismo lugar del accidente. Esto obliga a que la nave esté inmovilizada y para ello se han utilizado dos buques que han acudido en su ayuda y una lancha guardacostas. Desde estas naves se han amarrado cables hasta el buque y por su intermedio se ejercen las tensiones indicadas y en las posiciones que se anotan en la figura 25.13 por motivos de seguridad, para evitar choques entre las naves. Tenga en cuenta que las líneas de acción de las tensiones son concurrentes.

Figura 25.13

1.

Si se sabe que la tensión ejercida por el cable unido al buque 1 es de 2.500 kgf, calcule la mínima tensión y el ángulo correspondiente para la ubicación de la lancha guardacostas, sabiendo que esta embarcación es la que tiene menos potencia y que su ubicación, por las razones ya anotadas, debe darse en el primer cuadrante (norte-este), para que el sistema esté en equilibrio. Calcule también en estas condiciones el valor de la tensión ejercida por el buque 2. Solución Este problema nos brinda una buena oportunidad para implementar una solución gráfica (geométrica) por la condición de la determinación de una tensión mínima. Consideremos inicialmente el diagrama del sólido aislado (figura 25.14), en el cual se tiene:

398

Módulo 25: Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes ⎯→

T1 = 2.500 kgf

⎯→

T2 = ? ⎯→

T3 = ? (valor mínimo)

α =?

Figura 25.14

Condición de equilibrio 3 ⎯→

∑T i =1

i

→

⎯→

⎯→

⎯→

→

= o , esto es, T1 + T2 + T3 = o .

Para facilitar la solución gráfica utilizamos la suma generalizada de los vectores libres, iniciando con los vectores que estén completamente determinados, ⎯→

Vea la animación Ilustración 4: condición de equilibrio en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

⎯→

como es el caso de T1 , y continuando con T2 , del cual se conoce su dirección y sentido mas no su magnitud, y finalizando con la aplicación del vector ⎯→

T3 , del cual sólo conocemos la condición sobre su magnitud mínima (figura

25.15). ⎯→

Aplicamos inicialmente el vector T1 en A, y a continuación, como no cono⎯→

cemos la magnitud de T2 pero sí su dirección, determinamos la recta subya⎯→

cente del mismo. La condición de equilibrio exige que al aplicar el vector T3 en ⎯→ T , el extremo del vector el cual no conocemos pero sí su línea de acción, el 2 ⎯→ extremo de T3 corresponde al punto A. Esto nos permite, en consecuencia, concluir que el segmento de menor magnitud que se puede determinar entre ⎯→ el punto A y la recta BD es el segmento perpendicular entre el punto A y la recta (justifique esta afirmación).

Geometría vectorial y analítica

399

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física

Figura 25.15 ⎯→

⎯→

En esta forma quedan determinados los vectores T2 y T3 , y con la ayuda de la escala y el transportador podemos determinar aproximadamente las magnitudes de estos vectores y el valor de α. Para mejorar la exactitud de estos valores apliquemos las razones trigonométricas al triángulo rectángulo determinado en la solución gráfica. m( ABC ) = 50° (¿por qué?). ⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

° Luego T2 = T1 cos 50 = 1.607 kgf.

T3 = T1 sen 50° = 1.915 kgf.

m( B AC ) = 40° y, en consecuencia, α = 20° (¿por qué?).

2.

Se han efectuado las reparaciones de emergencia y se necesita remolcar la nave averiada hasta el puerto más cercano situado al este de la posición actual del barco. Ha llegado un barco especializado en remolque que reemplaza a la lancha guardacostas. Para lograr el desplazamiento del buque cisterna en la dirección requerida, se necesita generar una fuerza resultante exactamente en esta dirección. Las condiciones en las que se encuentra la nave averiada requieren para su desplazamiento la ubicación de los buques 1 y 2 en la posición que se indica y con las tensiones que se anotan en la figura 25.16 para evitar que éste se vuelque hacia un costado. Se descarta la fuerza necesaria para vencer la inercia del buque cisterna durante su movimiento, porque éste puede utilizar sus motores para producir exactamente esta fuerza.

400

Módulo 25: Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes

Figura 25.16

Solución ⎯→

⎯→

Si se sabe T1 = 2.500 kgf , T2 = 2.000 kgf que en las direcciones indicadas, determine la dirección que debe tomar el buque remolcador, si debe ubicarse en el primer cuadrante (norte-este) para generar una fuerza resultante sobre el sistema de dirección este, en los dos casos siguientes: a.

Si el remolcador puede generar una tensión de 4.600 kgf.

b.

Si el remolcador puede generar una tensión de 3.600 kgf.

Vea la animación Ilustración 4: solución analítica en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Determine el valor de la fuerza resultante en ambos casos (sugerimos que determine las soluciones gráficas en las dos situaciones). Desarrollemos a continuación la solución por el método analítico (figura 25.17).

Figura 25.17 ⎯→

En el primer caso, para T3 = 4.600 kgf.

Geometría vectorial y analítica

401

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física Condición del problema 3 ⎯→

⎯→

∑T i =1

3 ⎯→

i.

∑T

ix

i =1

= FRx .

i

⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

⎯→ →

⎯→ →

⎯→ →

⎯→ →

= FRx , T1x + T2 x + T3 x = FRx , − T1x u x − T2 x u x + T3 x u x = FRx u x . →

→

(T3x − T1x − T2 x ) ux = FRx ux , luego T3x − T1x − T2 x = FRx . T3 cos α − T1 cos 30° − T2 cos 20° = FRx . 4.600 cos α − 2.500 cos 30° − 2.000 cos 20° = FRx ,

4.600 cos α − 4.044, 44 = FRx . 3 ⎯→

ii.

∑T i =1

⎯→

iy

→

⎯→

⎯→

⎯→

(1)

→

→

→

→

→

= o , T1 y + T2 y + T3 y = o, − T1 y u y + T2 y u y + T3 y u y = o .

⎯→

⎯→

→

→

(T2 y + T3 y − T1y ) uy = o, T2 y + T3 y − T1y = 0. T2 sen 20° + T3 sen α − T1 sen 30° = 0.

sen α =

T1 sen 30° − T2 sen 20° , T3

sen α =

2.500sen 30° − 2.000sen 20° ∴α = 7, 06°. 4.600

(2)

Sustituyendo el valor de α en la ecuación (1) se tiene: FRx = 4.600 cos 7, 06° − 4.044, 44 = 520, 61 kgf. ⎯→

En el segundo caso, para T3 = 3.600 kgf .

Como las condiciones son análogas al primer caso, basta sustituir en las ⎯→

ecuaciones (1) y (2) el nuevo valor de T3

y se obtienen los siguientes resul-

tados: (1): 3600cos α − 4044, 44 = FRx .

(2): sen α =

2.500sen 30 − 2.000sen 20° = 0,1572, luego α = 9,04° , y susti3.600

tuyendo en (1) se tiene 3.600 cos 9, 04° − 4.044, 44 = −489, 20 kgf. El resultado nos muestra que no es posible obtener en estas condiciones una fuerza resultante en la dirección pedida. Compruebe este resultado con el obtenido gráficamente.

402

Módulo 25: Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes Ilustración 5 Un cajón y su contenido pesan 370 kg. Halle la cadena eslinga ACB más corta que pueda emplearse para levantar el cajón cargado si la tensión en la cadena no debe pasar de 450 kg (figura 25.18). Solución Determinemos el diagrama del sólido aislado, observando que en el punto C inciden todas las fuerzas presentes en el sistema y que designamos así (figura 25.19):

Figura 25.18

Figura 25.19 ⎯→

W : tensión ejercida por el cable que engancha la cadena; su magnitud es igual al peso del cajón y su contenido, esto es, de 370 kg. ⎯→

⎯→

T1 y T2 representan respectivamente las tensiones ejercidas por la cade-

na en cada una de las direcciones de carga (figuras 25.20 y 25.21). Designemos por l la longitud de la cadena eslinga. Por la distribución simétrica de la cadena observemos en la figura 25.20 el ΔABC isósceles con ángulos congruentes en la base. Éstos corresponden igualmente a los ángulos determinados por ⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

T1 y T2 con los semiejes x (¿por qué?). Obsérvese además que T1 ≠ T2 (¿por

qué?).

Geometría vectorial y analítica

403

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física

Figura 25.20

Figura 25.21

a.

Método analítico 3 ⎯→

→

Condición de equilibrio: ∑ Fi = o . i =1

3 ⎯→

1.

∑F i =1

ix

→

⎯→

⎯→

→

→

→

→

→

→

= o , T1x + T2 x = o , − T1x ux + T2 x u x = o , (−T1x + T2 x ) u x = o

−T1x + T2 x = 0, T1x = T2 x , T1 cos α = T2 cos α , luego T1 = T2 .

(1)

Este resultado nos permite afirmar que las tensiones en ambas ramas de ⎯→

⎯→

la cadena son iguales (esto es, los vectores T1 y T2 tienen la misma magnitud). Ahora, de acuerdo a la condición inicial del problema, se tiene que la máxima tensión que puede soportar la cadena no debe exceder de 450 kg; en consecuencia, T1 + T2 = 2T1 = 450 kg y, por tanto, T1 = T2 = 225 kg.

404

Módulo 25: Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes 3 ⎯→

2.

∑F i =1

iy

→

⎯→

⎯→

⎯→

→

→

→

→

→

= o , T1 y + T2 y + W = o , − T1 y u y + T2 y u y + W u y = o , →

→

(−T1y + T2 y + W ) uy = o, − T1y + T2 y + W = 0, T1y + T2 y = W , T1 sen α + T2 sen α = W .

(2)

Sustituyendo (1) en (2) tenemos que ⎛W ⎞ ° −1 ⎛ 370 ⎞ 2 T1 sen α = W y α = sen −1 ⎜ ⎟ = sen ⎜ ⎟ , esto es, α = 55,30 . 2 T 450 ⎝ ⎠ ⎝ 1⎠

Ahora, en el ΔCAH rectángulo de la figura 25.20 tenemos que: cos α =

luego l =

40 , l/2

80 80 cm = cm = 140,52 cm. cos α cos 55,30°

Determine con esta longitud de la cadena cuál es la tensión en la cadena si varía la forma de agarre, como se indica ahora en la figura 25.22, para el cajón con el mismo contenido. Con base en lo que encuentre, ¿puede determinar cuál es la forma óptima de atar el cajón para generar la mínima tensión en la cadena? (figura 25.22).

Figura 25.22

Geometría vectorial y analítica

405

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física Ilustración 6 Una esfera cuyo peso es de 50 kgf descansa sobre dos planos lisos, inclinados respectivamente con referencia a la horizontal ángulos de 30° y 45°. Calcule las reacciones de los dos planos sobre la esfera (figura 25.23). Vea la animación Ilustración 6: solución analítica en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Figura 25.23

Solución analítica Determinemos las fuerzas que intervienen en el sistema (figura 25.24). Éstas corresponden a: →

w : peso de la esfera. Se ubica su aplicación en el centro de gravedad de la esfera, que corresponde al centro de la misma y es perpendicular al plano horizontal. ⎯→

⎯→

F1 y F2 : son las reacciones o fuerzas ejercidas por cada uno de los planos inclinados sobre la esfera. La dirección y sentido de cada una de ellas es perpendicular a la superficie de contacto con el cuerpo. En consecuencia, por propiedad geométrica, ellas están en la dirección de los radios y concurren en el centro O.

Figura 25.24

Diagrama del sólido libre (figura 25.25). ¿Por qué los ángulos determinados con el eje son los indicados en la figura? 3 ⎯→

Condición de equilibrio:

∑F i =1

3 ⎯→

1.

∑F i =1

ix

→

⎯→

⎯→

i

→

= o.

→

⎯→

⎯→

→

⎯→

→

= o , F2x + F1x = o , − F2x ux + F1x ux = o , (− F2x + F1x ) u x = o ,

luego − F2x + F1x = 0 y F1x = F2x , esto es, F1 cos 60° = F2 cos 45°

406

(1)

Módulo 25: Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes 2.

3 ⎯→

∑F i =1

iy

→

⎯→

⎯→

→

→

⎯→

⎯→

⎯→

→

= o , F2 y + F1y + w = o , F1y u y + F2 y u y − w u y = o ⎯→

→

( F1y + F2 y − w) u y = o ,

F1y + F2 y − w = 0 y F1y + F2 y = w, esto es, F1 sen 60° + F2 sen 45° = w

(2)

Figura 25.25

Despejando de (1) y sustituyendo en (2) se tiene que F1 =

F2 cos 45° , cos60°

F2 cos 45° tan 60° + F2 sen 45° = 50 ∴ F2 =

50 kgf, cos 45° tan 60° + F2 sen 45°

y, en consecuencia, F2 = 25, 88 kgf y F1 = 36, 60 kgf.

Ilustración 7 En la figura 25.26, M 1 = 300 lbf y M 2 = 400 lbf. Calcule la tensión en la cuerda AB y el ángulo θ si el sistema se encuentra en equilibrio.

Figura 25.26

Geometría vectorial y analítica

407

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física Solución Determinemos el diagrama del sólido aislado. En él puede observarse que el efecto de la polea en C es únicamente cambiar el sentido de la tensión vertical producida por el cuerpo M2, en una tensión horizontal trasmitida a través de la cuerda BC (figura 25.27).

Figura 25.27 3 ⎯→

Condición de equilibrio:

∑F i =1

3 ⎯→

1.

∑F i =1

ix

→

⎯→

⎯→

i

→

= o. →

⎯→

⎯→

→

= o , TABx + w2 = o , − TABx u x + w2 u x = o , luego TABx = w2 y, en

consecuencia, TAB sen θ = 400. 3 ⎯→

2.

∑F i =1

iy

→

⎯→

⎯→

(1) →

⎯→

⎯→

→

= o , TABy + w1 = o , TABy u y − w1 u y = o , luego TABy = w1 y, en

consecuencia, TAB cos θ = 300.

(2)

Dividiendo término a término la ecuación (1) por la ecuación (2) tenemos que tan θ =

4 y, por tanto, θ = 53,13° y TAB = 500 lbf. 3

25.6 El vector deslizante En la caracterización del vector libre tenemos un segmento rectilíneo orientado, el cual está dotado de magnitud, dirección y sentido, entendiéndose la dirección como la clase de equivalencia asociada a la relación de paralelismo. Bajo esta concepción todos los vectores situados sobre la misma recta o en rectas distintas y paralelas tienen la misma dirección y, en consecuencia, si dos vectores situados en rectas distintas pero paralelas tienen el mismo sentido y la misma magnitud, son iguales. Vamos a restringir ahora el concepto general en la dirección y planteamos la siguiente definición, como en su momento restringimos también la definición general para definir los vectores de posición o vectores ligados a un origen determinado.

408

Módulo 25: Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes a.

Vector deslizante sobre una recta dada L

Sea L una recta dada. A todo segmento orientado determinado sobre L, y únicamente a éste, lo llamaremos vector deslizante sobre L. De L diremos que es la línea de acción del vector. De todo segmento nulo determinado sobre L diremos que es un vector deslizante nulo. Notación Sean A, B ∈ L. El vector deslizante de origen A y extremo en B lo denotaremos ⎯→

ABL .

b.

Características del vector deslizante sobre la recta L

Dado un vector deslizante sobre L, identificamos tres características inherentes a él, así: Magnitud: es la medida del segmento orientado, en términos de las unidades previamente convenidas. Dirección: está asociada únicamente a la dirección de la recta L. De dos vectores deslizantes diremos que tienen la misma dirección únicamente si están determinados sobre la misma recta. Sentido: toda dirección supone la existencia de dos sentidos, que los designamos opuestos entre sí (es el mismo concepto formulado para el vector libre). c.

Igualdad entre vectores deslizantes

Dos vectores deslizantes son iguales si y sólo si tienen la misma magnitud, la misma dirección y el mismo sentido. Observaciones 1.

La igualdad definida entre vectores deslizantes requiere, para su establecimiento, que los vectores estén determinados sobre la misma recta.

2.

La caracterización del vector deslizante y la definición de igualdad permiten afirmar que los infinitos segmentos nulos que se pueden determinar sobre una recta dada (conjuntos unitarios de un solo punto) son iguales y ésta sólo puede darse entre los vectores nulos de una misma recta.

Geometría vectorial y analítica

409

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física ⎯→

3.

Dado un vector deslizante ABL , si P ∈ L, entonces con origen en P pode⎯⎯→

mos, por la definición de igualdad, determinar un vector PP' L tal que ⎯→

⎯⎯→

⎯⎯→

ABL = PP' L . Del vector PP' L diremos que es una «aplicación» del ⎯→

vector ABL en el punto P. En esta forma, en cualquier punto de L podemos ⎯→

construir un vector con origen en él, igual al vector ABL . Esta posibilidad ⎯→

crea un modelo que se comporta como si el vector ABL se «deslizara» sobre su línea de acción y de ahí el nombre de vector deslizante. ⎯⎯→

⎯→

⎯⎯→

⎯⎯→

En la figura 25.28, los vectores SS' L , TTL′ , PP' L , QQ' L son «aplicaciones» del ⎯→

vector ABL en sus respectivos puntos de origen.

Figura 25.28

Ilustración 8 Para lograr una mejor comprensión de este último concepto, como también de sus relaciones en términos generales con el vector libre, proponemos a continuación las siguientes situaciones. Sean: a.

L1 , L2 , L3 rectas distintas, L1 L2 , L1 L3 , como se indica en la figura 25.29.

b.

A, B, Q, S ∈ L1 .

c.

H , R, F , M , T ∈ L2 .

d.

P, D, G, K , U ∈ L3 .

Figura 25.29

410

1.

Módulo 25: Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes Analicemos las siguientes parejas de vectores, de acuerdo con sus características fundamentales (magnitud, dirección y sentido), en sus contextos propios. ⎯⎯→

⎯⎯→

QAL1 y BS L1 : estos vectores deslizantes con línea de acción L1 tienen distinta magnitud, la misma dirección y el mismo sentido. ⎯→

⎯→

QA y BS : estos vectores libres tienen distinta magnitud, la misma dirección y el mismo sentido. ⎯⎯→

⎯⎯→

RH L2 y FM L2 : estos vectores deslizantes con línea de acción L2 tienen distinta magnitud, la misma dirección y sentidos opuestos. ⎯→

⎯→

RH y FM : estos vectores libres tienen distinta magnitud, la misma dirección y sentidos opuestos. ⎯⎯→

⎯⎯→

PDL3 y GK L3 : estos vectores deslizantes, con línea de acción L3, tienen la misma magnitud, la misma dirección y el mismo sentido; en ⎯⎯→

⎯⎯→

consecuencia, PDL3 = GK L3 . ⎯→

⎯→

PD y GK : estos vectores libres tienen la misma magnitud, direc⎯→

⎯→

ción y sentido y, en consecuencia, PD = GK . 2.

Determinemos de las siguientes proposiciones cuáles son verdaderas y cuáles son falsas, justificando adecuadamente la afirmación respectiva. ⎯→

⎯→

(1).

QA = FM .

(2).

QAL2 = FM L2 .

(3).

BS y RH tienen la misma dirección.

(4).

BS L1 y RH L2 tienen la misma dirección.

(5).

BS y RH tienen sentidos opuestos.

(6).

BS L1 y RH L2 tienen sentidos opuestos.

⎯⎯→

⎯→

⎯⎯→

⎯→

⎯⎯→

⎯→

⎯⎯→

⎯→

⎯⎯→

⎯→

⎯⎯→

⎯→

(7).

BS = RH .

(8).

BS L1 = RH L2 .

⎯⎯→

⎯→

⎯⎯→

⎯→

(9).

BS y RH son vectores opuestos.

(10).

TT = UU .

⎯→

⎯→

Geometría vectorial y analítica

411

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física ⎯⎯→

⎯⎯→

⎯⎯→

⎯⎯→

⎯→

⎯→

(11).

TTL1 = UU L3 .

(12).

AAL1 = BBL1 .

(13).

FM y GK tienen distinta dirección.

(14).

FM y GK tienen sentidos opuestos.

(15).

FM L2 y GK L3 tienen distinta dirección.

(16).

FM L2 y GK L3 tienen sentidos opuestos.

(17).

TT = TTL2 .

(18).

TTL2 = UU L3 .

⎯→

⎯⎯→

⎯⎯→

⎯→

⎯⎯→

⎯→

⎯⎯→

⎯⎯→

⎯⎯→

⎯⎯→

Veamos las respuestas para algunas de ellas; las demás se dejan para ser resueltas por el lector. La proposición (1) es verdadera por la igualdad entre vectores geométricos. La proposición (2) es falsa por la igualdad entre vectores deslizantes. La proposición (3) es verdadera por la definición de dirección entre vectores libres. La proposición (4) es falsa por la definición de dirección entre vectores deslizantes. La proposición (5) es verdadera por la definición de sentido entre vectores libres. La proposición (6) es falsa, puesto que sólo son comparables en el sentido dos vectores deslizantes que tengan la misma dirección. La proposición (10) es verdadera por la igualdad entre vectores libres. La proposición (11) es falsa por la igualdad entre vectores deslizantes.

Convenciones

412

a.

Designaremos por E L el conjunto de todos los vectores deslizantes con línea de acción en la recta L.

b.

Designaremos también mediante letras minúsculas latinas, con el correspon-

Módulo 25: Sistemas de fuerzas coplanarias y concurrentes →

→

→

diente subíndice, los elementos de EL , así: aL , d L , xL designan vectores deslizantes en L. c.

⎯→

Designaremos por oL un vector nulo deslizante en L.

Nota: en el conjunto EL se definen las operaciones adición, sustracción y el producto de un número real por un vector deslizante, en forma similar a como se definieron estas operaciones en el conjunto de los vectores libres. Para su mejor comprensión puede remitirse al texto Algunas aplicaciones de los vectores geométricos a la física. http://docencia.udea.edu.co/cen/vectorfisico

Geometría vectorial y analítica

413

Ejercicios del capítulo 8 (módulo 25)

1.

Encuentre la magnitud y la dirección de la resultante del sistema de fuerzas representadas en la figura 1; todas las fuerzas están expresadas en libras-fuerza.

Figura 1

2.

Cuatro fuerzas coplanares de magnitudes 30 N, 40 N, 20 N y 50 N están actuando concurrentemente sobre un cuerpo. Los ángulos entre las fuerzas son, consecutivamente, 50°, 30° y 60°. Calcule la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo que hace con la fuerza de 30 N.

3.

Determine las tensiones sobre las cuerdas AC y BC en la figura 2 si M pesa 50 lbf.

Figura 2

414

4.

Un bloque de 800 kg está soportado por dos cables AC y BC, como se indica en la figura 3. a.

¿Para qué valor del ángulo es mínima la tensión en el cable AC?

b.

¿Cuáles son los valores correspondientes de las tensiones en los cables AC y BC?

Figura 3

5.

Un hombre, aplicando el dedo en B, estira una cinta elástica. Halle el módulo, la dirección y el sentido de la fuerza ejercida por el hombre, sabiendo que la tensión en ambas partes de la cinta es 5 kg (figura 4).

Figura 4 →

6.

Dos cuerdas están unidas en C. Si la máxima tensión admisible en cada cuerda es 750 kg, ¿cuál es la máxima fuerza F que puede aplicarse? ¿En qué dirección debe actuar la fuerza máxima? (figura 5).

Figura 5 →

7.

→

Se aplican dos fuerzas P y Q de magnitudes 1.000 y 1.200 kg, respectivamente, a la conexión empleada en aviación ⎯→

⎯→

representada en la figura 6. Sabiendo que la conexión está en equilibrio, halle las tensiones T1 y T2 .

Geometría vectorial y analítica

415

Figura 6

8.

Un cable de grúa CD levanta una caja de embalaje que pesa 850 kg. Una eslinga ACB tiene 1,5 m de larga y puede sujetarse a la caja en cualquiera de las dos maneras representadas. Halle la tensión en la eslinga en cada caso. ¿Cuál es la forma en que al sujetarse la caja se logra la tensión mínima en la eslinga? (figura 7).

9.

En la figura 8, w = 40 kg, p = 5 kg y d = 0,5 m. Halle el valor de h para que el sistema esté en equilibrio.

10.

En la figura 8, exprese en función de P, d y h el peso w necesario para mantener el sistema en equilibrio.

11.

Calcule el peso P necesario para mantener el equilibrio en el sistema que se indica en la figura 9, en el cual A pesa 100 kgf y Q 10 kgf. El plano y las poleas son lisas. La cuerda AC es horizontal y la cuerda AB es paralela al plano. Calcule también la reacción del plano sobre el peso A.

Figura 7

416

Figura 8

Figura 9

12.

Dos esferas idénticas se colocan en el sistema mostrado en la figura 10. Calcule las reacciones de las superficies sobre las esferas en función del peso w de cada esfera. Demuestre que cada esfera se encuentra independientemente en equilibrio.

Figura 10

13.

Una cadena metálica de 1,5 m de longitud, con los extremos unidos, se coloca alrededor de una viga de madera de 0,30 × 0,30 m, como se indica en la figura 11. Sabiendo que el peso levantado por el gancho de la grúa es de 400 kg, halle la tensión en la cadena en cada caso.

Geometría vectorial y analítica

417

Figura 11 →

14.

→

→

Dos fuerzas P y P ' de la misma magnitud y una fuerza T de magnitud igual a 320 kg se aplican en A (figura 12). →

Halle la magnitud de P y el ángulo α necesario para que la resultante de las tres fuerzas sea una fuerza vertical hacia arriba de 400 kg.

Figura 12

15.

Dos cables están atados en C y cargados como se indica en la figura 13. Sabiendo que la tensión máxima permitida en AC y BC es 360 kg, halle el mayor peso w que puede colgarse sin peligro de rotura.

Figura 13

418

16.

Un trasatlántico averiado está siendo remolcado por tres remolcadores como se indica en la figura 14. La tensión en cada cable es de 5.000 kg. a.

Determine gráficamente la fuerza resultante que actúa sobre la proa del trasatlántico.

b.

Si los remolcadores no pueden trabajar con seguridad cuando el ángulo entre dos cualesquiera de los cables es menor de 10°, ¿dónde deberían situarse los remolcadores para producir la máxima fuerza resultante posible paralela al eje del trasatlántico? ¿Cuál es la magnitud de esta resultante?

Figura 14

17.

Con relación al problema anterior, si se dispone únicamente de dos remolcadores como se indica en la figura 15 y la fuerza resultante en la dirección del eje del trasatlántico es de 850 kg, determine el valor del ángulo α para que la tensión ejercida sobre el cable del remolcador 2 sea mínima. Calcule las respectivas tensiones.

Figura 15

18.

Un joven empuja con velocidad constante un trineo de 35 kg en línea recta por una pendiente de nieve y para ello ejerce una fuerza horizontal sobre el trineo, como se indica en la figura 16. Desprecie la fuerza de rozamiento ejercida por la superficie sobre el trineo, suponiendo que dicha fuerza no tiene componente paralela a la superficie. Determine el módulo de la fuerza ejercida por el joven y el módulo de la fuerza ejercida por la superficie.

Figura 16

Geometría vectorial y analítica

419

420

26 Cinemática Introducción El modelo que ilustraremos en este tema, como una aplicación de los vectores geométricos, es muy sencillo y con unas condiciones teóricas ideales, a saber: a.

Lo limitamos a movimientos rectilíneos con velocidad constante.

b.

El término velocidad designará como escalar, en este contexto, la velocidad promedia entendida como el cociente distancia/tiempo, también designa do usualmente como rapidez.

c.

En los problemas se consideran las trayectorias siempre planas, descartándose la curvatura natural de la superficie terrestre.

No obstante, desarrollaremos un estudio detallado de los elementos fundamentales que intervienen en este tema, como son los vectores de desplazamiento, los vectores de velocidad y los triángulos o esquemas que surgen al formular la adición.

La insaciable necesidad de la naturaleza humana de conocer más allá de su entorno, y su imaginación sin límites, ha hecho del hombre un viajero permanente, primero terrestre, luego en el medio acuático y posteriormente aéreo. En este último medio, el aire, no se ha limitado al espacio terrestre, y después de la conquista de la Luna, hoy se prepara para viajar a otros planetas del sistema solar y adelanta investigaciones permanentes en el espacio interestelar utilizando múltiples tecnologías. En la navegación, los instrumentos que la facilitan y le dan la precisión requerida se fundamentan en los principios básicos del cálculo vectorial. En la fotografía, un laboratorio espacial en órbita terrestre.

Aprovechamos además las situaciones problema que se presentan en forma natural en este tema, para hacer énfasis en esta importante estrategia didáctica.

Objetivos del módulo 1. Ilustrar una aplicación muy importante de los vectores geométricos en la solución de problemas relacionados con el movimiento de un cuerpo en sus elementos de espacio y tiempo (cinemática). 2. Propiciar la diferencia entre dos elementos vitales en este modelo: la velocidad y el desplazamiento. 3. Aprovechar la naturaleza práctica de este tema para motivar su estudio y proveer al estudiante de las herramientas básicas para la compren sión posterior de conceptos más avanzados en las áreas de la cinemática y la dinámica.

Preguntas básicas 1. ¿Cómo se relacionan vectorialmente las tres componentes básicas para generar la ecuación rectora en este movimiento? 2. ¿Cómo se determinan los triángulos de velocidades y de desplazamiento? 3. ¿Cuáles son las convenciones usuales para designar la dirección y el senti do en la velocidad y el desplazamiento? 4. ¿Qué herramientas matemáticas se utilizan básicamente en la solución de triángulos?

Vea el módulo 26 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

421

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física

Contenidos del módulo 26.1 Elementos fundamentales: la ecuación rectora 26.2 Dos triángulos semejantes importantes: el triángulo de desplazamientos y el triángulo de velocidades 26.3 La orientación de los vectores asociados al desplazamiento y a la velocidad

422

Módulo 26: Cinemática

26.1 Elementos fundamentales: la ecuación rectora Iniciaremos el estudio de este tipo de problemas con una situación próxima a la realidad y que analizaremos detalladamente. Ilustración 9 Un avión vuela hacia el norte con una velocidad de 300 km/h a través del aire que lo circunda y su movimiento se ve afectado por un viento en dirección oeste con una velocidad de 70 km/h. ¿Cuál es la velocidad real del avión respecto a la Tierra y cuál es su dirección real respecto a esta misma? Precisemos cada uno de los términos que intervienen en la situación descrita. La velocidad del avión es la que designaremos en adelante como la velocidad propia de este móvil y es aquella que el piloto puede observar en sus instrumentos de acuerdo con la mayor o menor potencia demandada a sus motores. La dirección indicada para esta velocidad nos dice que en todo momento el avión esta orientado de cola a nariz, en dirección norte. La velocidad del viento hace que toda la masa de aire, incluyendo el avión que se encuentra en ella, se desplace con esta velocidad (70 km/h) y en dirección hacia el oeste. La combinación de estos dos factores, expresada como la suma vectorial de las dos velocidades anteriores, nos permite obtener la velocidad real del avión respecto a la Tierra con su correspondiente dirección. Este último vector lo designaremos en adelante como la velocidad resultante del avión respecto a la Tierra. Esta velocidad, con su dirección, es la que una persona en tierra observaría para el avión en mención. Es necesario precisar y distinguir muy bien entre la velocidad propia del móvil, en este caso del avión, y la velocidad resultante del mismo. Para ello pasamos a designarlas y a especificar su significado. Designaremos por: ⎯→

⎯→

va : el vector velocidad propio del avión, donde va = 300 km/h, con

dirección norte. ⎯→

⎯→

vv : el vector velocidad del viento, donde vv = 70 km/h, con dirección

oeste. ⎯→

vr : el vector velocidad resultante del avión.

Ahora analicemos gráficamente la situación descrita. Geometría vectorial y analítica

423

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física Si designamos por P el punto de partida del avión una vez en el aire y fijada su trayectoria, veamos qué ocurre cuando ha transcurrido un tiempo t.

Vea la animación ilustración 8: la ecuación rectora en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Si no existiera ningún viento, entonces el avión se desplazaría en la dirección de su velocidad propia, esto es, en la dirección en la que permanentemente está orientado de cola a nariz, es decir, hacia el norte, y al cabo del tiempo t se encontraría como lo indica la figura 26.1 en la posición A, siendo ⎯→

⎯→

⎯→

la magnitud de este desplazamiento igual a va × t ; esto es, PA = va × t. La velocidad del viento hace simultáneamente (esto es, en el mismo tiempo t) que en tanto el avión se desplaza hacia el norte, toda la masa de aire, incluyendo el avión, sufra un desplazamiento hacia el oeste y en consecuencia el avión, que de no existir el viento alcanzaría la posición A, se ha ⎯→

desplazado desde A hacia el oeste una distancia igual a vv × t y se encuentra realmente en la posición B de la figura 26.1.

Figura 26.1

424

Módulo 26: Cinemática .

Podemos observar cómo surge la siguiente ecuación vectorial para los desplazamientos ocurridos durante cualquier valor de t, en el ΔPAB de desplazamientos. ⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

PA + AB = PB, siendo en consecuencia PB el vector que nos indica el desplazamiento real del avión respecto a un observador situado en tierra en cualquier tiempo t. ⎯→

Con los datos del problema podemos calcular la dirección del vector PB así: Como el ΔPAB es, para este caso particular, rectángulo, ⎯→

⎯→

tan ( APB) =

⎯→

PA

⎯→

vv × t

AB =

⎯→

vv =

va × t

=

⎯→

va

70 , 300

°

⎛ 70 ⎞ ° y, en consecuencia, m( APB ) = tan −1 ⎜ ⎟ = 13,13 13 8'. ⎝ 300 ⎠

Concluimos de lo anterior que el avión sigue una trayectoria, respecto a la Tierra, en una dirección 13º 8' al oeste del norte. Tomando como referencia el ΔPAB de desplazamientos, si dividimos cada una de las magnitudes de sus lados por el tiempo t, manteniendo la orientación de los vectores, obtenemos un triángulo semejante a él, por el caso L-AL (un ángulo congruente comprendido entre lados respectivamente proporcionales). Este triángulo, que representamos en la figura 26.2, lo designaremos como triángulo de velocidades y en él se obtiene la ecuación vectorial: ⎯→

⎯→

⎯→

vR = va + vv

Esta ecuación se constituye en la ecuación rectora de este tipo de problemas y podemos generalizarla así: Para un móvil determinado designaremos: ⎯→

v p : velocidad propia del móvil. ⎯→

ve : velocidad de efectos colaterales que actúan sobre el móvil (velocidad del viento, velocidad de una corriente en el agua, etc). ⎯→

vR : velocidad resultante del móvil respecto a un observador en tierra.

Geometría vectorial y analítica

425

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física ⎯→

⎯→

⎯→

vR = v p + ve

Vea la animación Ilustración 8: la ecuación rectora (segunda parte) en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Figura 26.2

Es necesario recordar que la semejanza entre los triángulos conserva la congruencia de los ángulos comprendidos entre los lados respectivamente proporcionales. Por esta razón, como ΔPAB ∼ ΔPCD , se tiene: APB ≅ CPD,

A ≅ C y B ≅ D.

Calculemos por último la velocidad real (resultante) del avión respecto a la Tierra. Como ΔPCD es rectángulo, tenemos: ⎯→

vR =

⎯→

va

2

⎯→

2

+ vv

= 3002 + 702 = 308, 05 km/h, y su dirección es de

13º 8' al oeste del norte.

26.2 Dos triángulos semejantes importantes: el triángulo de desplazamientos y el triángulo de velocidades Vea la animación Triángulo de velocidades en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

426

Consideramos importante, con respecto a este problema, hacer las siguientes observaciones que serán muy útiles en modelos similares. 1.

Debe diferenciarse el triángulo de desplazamientos del triángulo de velocidades, porque a pesar de ser semejantes cada uno de ellos da cuenta de entes físicos y matemáticos diferentes.

2.

Aunque intuitivamente el modelo sugerido en el triángulo de velocidades (lo propio en su contexto para el triángulo de desplazamientos) podría lle-

Módulo 26: Cinemática

⎯→

varnos a pensar que «primero actúa el vector va » y que una vez ha termi⎯→

⎯→

nado su acción «entra el vector vv » obteniéndose como resultado vR , la realidad es otra y corresponde a la intervención simultánea de ambos efec⎯→

⎯→

tos. Esto lo podríamos modelar como si cada uno de los vectores va y ve estuvieran compuestos por infinitos vectores en sus respectivas direccio⎯→

nes y sentidos, y que al sumar en cada instante un infinitésimo de va con un ⎯→

⎯→

infinitésimo de vv se obtiene un infinitésimo de vR (figura 26.3).

Gottfried Wilhelm von Leibniz El filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm von Leibniz nació el 1 de julio 1646 en Leipzig y falleció el 14 de noviembre de 1716 en Hannover. Aprendió por sí mismo latín y algo de griego a la edad de doce años para poder leer los libros que tenía su padre, profesor universitario de filosofía moral. Entre 1661 y 1666 estudió leyes en la Universidad de Leipzig, pero no fue admitido allí para realizar un curso de posgrado. Entonces fue a la Universidad de Altdorf, en donde obtuvo su doctorado en 1667. Continuó su carrera en esta disciplina trabajando en la corte de Mainz hasta 1672. En ese año visitó París para tratar de disuadir a Luis XIV del ataque al territorio alemán. Permaneció en esa ciudad hasta 1676, practicando leyes, aunque también estudió matemáticas y física, y durante este periodo desarrolló las características fundamentales del cálculo. Persiguiendo una idea que le acosó desde la juventud en pos de un «alfabeto de los pensamientos humanos» y de un «idioma universal», se propuso el proyecto de construir «una característica universal», especie de lenguaje simbólico capaz de expresar, sin ambigüedad, todos los pensamientos humanos, de modo que al surgir una controversia entre dos filósofos, éstos la zanjasen a la manera de los calculistas; bastaría, en efecto, sentarse ante los ábacos, pluma en mano, y como buenos amigos decirse, en mutuo acuerdo: calculemos. Las ideas de Leibniz, que contienen muchos conceptos de la lógica simbólica de hoy, no tuvieron entonces mayor influencia. Igual destino tuvieron ideas semejantes esbozadas durante el siglo XVIII y comienzos del XIX. Agreguemos que las ideas de Kant, de gran influencia en su tiempo y para quien no era necesaria «ninguna nueva invención en la lógica», contribuyeron sin duda al estancamiento de esta disciplina. Las cosas cambiaron cuando llegó George Boole, que se convirtió en el verdadero fundador de la lógica simbólica. El resto de su vida, desde 1676 hasta su muerte, Leibniz permaneció en Hannover. El 21 de noviembre de 1675 escribió un manuscrito usando por primera vez la notación actual de la integral. En el mismo manuscrito estaba plasmada la regla para la diferenciación. Esta regla se dio a conocer casi dos años después, en julio de 1677.

Figura 26.3

3.

Es interesante anotar que si un observador se fijara en el punto P y en el mismo plano del ΔPAB, vería que el avión vuela «de costado», esto es, orientado de cola a nariz de sur a norte, pero el viento se lo lleva hacia un lado, manteniéndose en todo momento sobre la trayectoria descrita por el ⎯→ vector PB para un tiempo t, como se indica en la figura 26.4.

Geometría vectorial y analítica

427

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física

Vea la animación Trayectoria real del avión en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Figura 26.4

Ilustración 10 Con relación al problema anterior, si el avión mantuviera una velocidad propia de 300 km/h a través del aire que lo circunda y en dirección norte, determine la velocidad real respecto a la Tierra y la dirección de la misma en cada uno de los siguientes casos: a.

Si el movimiento se ve afectado por un viento con velocidad de 70 km/h y en dirección norte.

b.

Si el movimiento se ve afectado por un viento con una velocidad de 70 km/h y en dirección sur.

Analicemos cada uno de los diagramas de velocidad, manteniendo las convenciones del problema anterior. Para la primera situación se tiene (figura 26.5).

Figura 26.5

Planteando la ecuación general para los vectores en las direcciones dadas

428

Módulo 26: Cinemática ⎯→

⎯→

⎯→

vR = va + vv

se obtiene la suma de dos vectores en la misma dirección y el mismo sentido, y en ⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

consecuencia vR = va + vv = va + vv

⎯→

⎯→

por tener va y vv el mismo sentido.

⎯→

⎯→

vR = 300 + 70 km/h, = 370 km/h, esto es, vR = 370 km/h en dirección

norte. Como podemos observar en este caso, se tiene un viento completamente favorable al movimiento del avión, haciendo que el tiempo empleado en el viaje se disminuya notablemente ante el incremento de la velocidad real. En esta situación se dice que el viento está «a favor». Ahora analicemos el diagrama de velocidades para la segunda situación (figura 26.6).

Figura 26.6

De nuevo, a partir de la ecuación general para los vectores en las direcciones dadas ⎯→

⎯→

⎯→

vR = va + vv

tenemos la suma de dos vectores en la misma dirección pero en sentidos opuestos ⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

y, en consecuencia, vR = va + vv = va − vv

⎯→

⎯→

por tener va y vv sentidos

opuestos: ⎯→

⎯→

vR = 300 − 70 km/h = 230 km/h, esto es, vR = 230 km/h.

Geometría vectorial y analítica

429

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física ⎯→

Observemos que en este caso el vector suma vR

conserva el sentido del vector ⎯→

de mayor magnitud, o sea que es el correspondiente a va . ⎯→

Concluimos, en consecuencia, que vR = 230 km/h en dirección norte.

Es claro que en esta situación la dirección del viento es completamente desfavorable al movimiento propio del avión, haciendo que el tiempo empleado en un viaje en estas circunstancias se incremente ante la disminución de la velocidad real. En este caso se dice que el viento está «en contra».

26.3 La orientación de los vectores asociados al desplazamiento y a la velocidad Para la determinación correcta de los vectores en sus direcciones, en particular para los desplazamientos y velocidades, acordaremos las siguientes convenciones: →

1.

→

→

→

Supongamos que se tienen cuatro vectores v1 , v2 , v3 y v4 y que al aplicarlos en un punto A quedan ubicados en las posiciones indicadas en el plano cartesiano, como se muestra en la figura 26.7.

Figura 26.7

2.

Para expresar sus direcciones procedemos a orientar los ejes de acuerdo con la convención universal asociada a la rosa de los vientos y bajo esta nueva designación las direcciones se fijan así (figura 26.8). Para los vectores localizados en el primer y segundo cuadrantes, el ángulo se toma con referencia al norte y se representa: →

Dirección del vector v1 : α º nor-este o N − α º − E , que se lee también α º al este del norte.

430

Módulo 26: Cinemática →

Dirección del vector v2 : β º nor-oeste o N − β º − O, que se lee también β º al oeste del norte.

Figura 26.8

Para los vectores localizados en el tercer y cuarto cuadrantes, el ángulo se toma con referencia al sur y se representa: →

Dirección del vector v3 : θ º sur-oeste o S − θ º − O, que se lee también θ º al oeste del sur. →

Dirección del vector v4 : λ º sur-este o S − λ º − E , que se lee también

λ º al este del sur. Es usual encontrar en los textos de física la letra W como inicial de oeste, que corresponde a la primera letra de la palabra en inglés west, traducción de oeste u occidente. →

Si un vector v5 se encuentra formando un ángulo de 45° al este del norte su dirección se indica simplemente como nor-este o N-E, omitiéndose el valor del ángulo; en forma similar para cualquier vector que biseque el ángulo correspondiente a su cuadrante. →

Si un vector como v6 se encuentra sobre uno de los ejes, su dirección se indica como oeste o este-oeste, y en forma similar para los demás ejes (figura 26.9).

Geometría vectorial y analítica

431

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física

Figura 26.9

Ilustración 11 Un avión en vuelo encuentra que la velocidad del viento es de 90 km ⋅ h −1 en dirección N 70º E produciendo un movimiento resultante de 460 km ⋅ h −1 en dirección sur-este. Determine la magnitud y la dirección de la velocidad propia del avión, respecto a la Tierra. Datos del problema: →

→

vv : velocidad del viento: vv = 90 km ⋅ h −1 . Dirección: N 70º E. →

→

vR : velocidad resultante: vR = 460 km ⋅ h −1 . Dirección: sur-este.

Calcule: →

va : velocidad propia del avión, determinado su magnitud, dirección y sentido. →

→

→

Tomemos como referencia la ecuación rectora vR = va + vv y representemos el triángulo de velocidades en la figura 26.10. Aplicando la ley del coseno en el triángulo de velocidades tenemos: →

va =

→

vv

2

→

+ vR

2

→

→

− 2 vv vR cos 65° = 184.707, 21 = 429, 77 km ⋅ h −1 .

→

Determinemos ahora la dirección de va . Para ello calculamos inicialmente el ángulo θ como se indica en la figura 26.11.

432

Módulo 26: Cinemática

Figura 26.10

Figura 26.11

Geometría vectorial y analítica

433

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física →

→

vR

va

sen θ

=

° −1 ⎛ 460 × sen 65 ⎞ ° θ luego sen = ⎜ ⎟ = 75,94 . sen 65° 429, 77 ⎝ ⎠

Sin embargo, si contrastamos este valor obtenido en la calculadora, con el triángulo, vemos que el ángulo θ real es obtuso y en consecuencia su valor corresponde a 104,05°.

Es muy importante verificar siempre las relaciones angulares obtenidas en los cálculos, confrontándolas con la figura. En esta forma podemos tener la seguridad de que los cálculos desarrollados sí corresponden a la solución del problema. Esta situación confirma además la necesidad de dibujar las figuras lo más exactamente posible en términos de los datos dados. →

Ubiquemos ahora un sistema de referencia con origen en el origen del vector va y con ejes paralelos a los ejes principales, para determinar finalmente la dirección de este vector, que corresponde al ángulo θ ' y, en consecuencia,

θ' = 124, 05° − 90° = 34, 05° , →

esto es, la dirección va es S 34, 05° E.

Ilustración 12 Un motorista en su bote requiere cruzar un canal, cuyas orillas perfectamente paralelas distan entre sí 45 km. El bote mantiene siempre una dirección norte, con una velocidad propia en el agua de 150 km ⋅ h −1 . La corriente en el canal tiene una velocidad de 70 km ⋅ h −1 en dirección este. Calcule: 1.

La magnitud y dirección del movimiento resultante.

2.

La distancia recorrida entre el punto de partida y el punto de llegada en la otra orilla del canal.

3.

El tiempo requerido para el viaje.

4.

Qué tan lejos, en la dirección de la corriente, se encuentra el punto de llegada de un punto situado en la misma orilla y exactamente al frente del punto de partida.

Datos del problema: →

→

vb : velocidad del bote: vb = 150 km ⋅ h −1 . Dirección: N .

434

Módulo 26: Cinemática →

→

vc : velocidad de la corriente: vc = 70 km ⋅ h −1 . Dirección: E. d ( P, Q) = 45 km, designando por P el punto de partida y por Q un punto situado en la orilla opuesta exactamente al norte de P.

Solución 1.

Por lo que ya hemos trabajado anteriormente, procedemos a la determinación del diagrama de velocidades en la figura 26.12 y a los cálculos requeridos.

Figura 26.12

→

vR =

→

vb

2

→

2

+ vc km ⋅ h −1

= 27.400 km ⋅ h −1 = 165,5 km ⋅ h −1 .

→

Calculemos el ángulo θ así: tan θ =

vc →

vb

−1 ⎛ 70 ⎞ ° ; θ = tan ⎜ ⎟ , luego θ = 25, 01 , ⎝ 150 ⎠

θ ≅ 25° − 1.' →

En consecuencia, la dirección de vR es 25, 01° nor-este. 2.

Determinemos ahora el triángulo correspondiente a los desplazamientos, que como fue explicado, es semejante al triángulo de velocidades, y designemos por A el punto de llegada (figura 26.13). Geometría vectorial y analítica

435

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física

Figura 26.13

PQ 45 km = cos 25, 01° y así PA = = 49, 66 km. Esta es la distancia rePA cos 25, 01° corrida por el bote.

3.

El tiempo empleado en el viaje corresponde a:

t=

PA →

vR

4.

=

49, 66 km = 0,30 h = 18 min. 165,5 km ⋅ h −1

La distancia entre el punto Q y el punto A está dada por: QA = tan 25, 01° , QP

luego QA = 45 tan 25, 01° km = 20, 99 km ≅ 21 km. Ilustración 13 Con relación al problema anterior, en las condiciones dadas, determine si es posible, partiendo de P, alcanzar el punto Q si el bote dispone de gasolina únicamente para →

→

trece minutos. Calcule en este caso la magnitud y la dirección de vR y la dirección de vb . →

Como vR debe estar en la dirección del objetivo, la ecuación rectora nos lleva al triángulo de velocidades siguiente, en la figura 26.14.

436

Módulo 26: Cinemática

Figura 26.14

→

vR =

→

2

→

− vc

vb

2

km ⋅ h −1

= 17.600 km ⋅ h −1 = 132, 66 km ⋅ h −1 . →

La dirección de vR es norte con el propósito de alcanzar, como punto de llegada, el punto Q. →

Calculemos ahora θ ' como tan θ' =

vc →

vR

⎛ 70 ⎞ , luego θ' = tan −1 ⎜ ⎟ , esto ⎝ 132, 66 ⎠ →

es, θ' = 27,81° ≅ 27° 49 '. En consecuencia, la dirección de vb es de 27,81° nor-oeste. Teniendo en cuenta la restricción planteada en cuanto al tiempo disponible por la limitación del combustible, calculemos el tiempo que requiere el viaje en las nuevas condiciones:

t=

d ( P, Q) km →

vR km ⋅ h −1

=

45 km = 0,339 h ≅ 20 min. 132,66 km ⋅ h −1

Si el tiempo de viaje es de 20 minutos, entonces con las condiciones fijadas podemos concluir que el bote no puede alcanzar el objetivo pedido.

Geometría vectorial y analítica

437

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física Ilustración 14 El piloto de un avión de la marina, al hacer un gráfico de su viaje para regresar a un portaviones, encuentra que éste se halla a 1.200 km al sur, en el momento en que se determina su posición. El portaviones navega con una velocidad propia de 50 km ⋅ h −1 en dirección N 10° E en una corriente de 30 km ⋅ h −1 con dirección S 40° E. El avión está siendo afectado por un viento que viene del noroeste en una dirección −1 N 70° O con una velocidad de 80 km ⋅ h . ¿Cuál debe ser la dirección del avión y cuál es su velocidad con respecto al aire para regresar exactamente en dos horas?

Datos del problema: d ( A, P ) = 1.200 km, designando por A la posición inicial del avión y por P la posición inicial del portaviones. →

→

−1 v p : velocidad propia del portaviones: v p = 50 km ⋅ h . Dirección: N 10 E.

→

→

−1 ° vc : velocidad de la corriente: vc = 30 km ⋅ h . Dirección: S 40 E .

→

→

−1 ° vv : velocidad del viento: vv = 80 km ⋅ h . Dirección: S 70 E.

Observemos que el término «viene» al referirse a la dirección del viento, nos indica que el sentido es opuesto a la dirección indicada y, en consecuencia, corresponde al dato anotado. Calcule: 1.

La dirección del avión.

2.

La magnitud de la velocidad propia del avión.

Solución Este problema, además de la situación real que plantea, resulta de gran interés porque nos permite integrar los elementos básicos que hemos trabajado hasta el presente. Para iniciar el proceso de solución, la primera pregunta que debe hacerse el piloto y responder satisfactoriamente es: ¿cuál es la posición exacta del portaviones al cabo de dos horas? Veamos qué elementos son necesarios para responderla. a.

438

Determinemos cuál es la velocidad resultante del portaviones y la dirección de ésta.

Módulo 26: Cinemática ⎯→

Designemos por vRp la velocidad resultante del portaviones; entonces, de ⎯→

→

→

los datos del problema y considerando la ecuación rectora vRp = v p + vc , tenemos, a partir de la figura 26.15 en el ΔPFT :

Figura 26.15

m( PFT ) = 50° (¿por qué?).

Aplicando la ley del coseno tenemos: ⎯→

→

vRp =

vp

2

+

→

2

vc

→

→

− 2 v p vc cos 50° km ⋅ h −1

= 1.471, 63 km ⋅ h −1 = 38,36 km ⋅ h −1 .

Aplicando la ley de los senos calculamos m( F PT ). ⎯→

→

vRp

vc

sen 50°

=

, sen F PT

⎛ → ° ⎜ vc × sen 50 luego m( F PT ) = sen −1 ⎜ ⎯→ ⎜ vRp ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎠ ⎯→

En consecuencia m( F PT ) = 36,80° y, por tanto, la dirección de vRp es finalGeometría vectorial y analítica

439

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física mente N 46,8º E (¿por qué?). b.

Podemos ahora calcular cuál es la posición del portaviones al cabo de dos horas. Si designamos por E el punto en el cual se debe encontrar el portaviones transcurridas dos horas, tenemos: ⎯→

d ( P, E ) = vRp × 2 km

= 76, 72 km. Esto significa que después de dos horas el portaviones se encuentra a

76, 72 km del punto P y en dirección N 46,8° E. c.

Con los datos anteriores podemos determinar cuál es la trayectoria que debe seguir el avión para concurrir al punto E. Para ello podemos trazar el triángulo de desplazamiento que relaciona a los dos móviles y que se indica en la figura 26.16. Recordemos que A y P representan las posiciones iniciales del avión y el portaviones, respectivamente, y podemos observar sus posiciones relativas de acuerdo a los datos del problema. Aplicando la ley del coseno calculamos d ( A, E ) en el ΔAPE. AE =

AP 2 + PE 2 − 2 AP ⋅ PE ⋅ cos 46,8° km

= 1.148,84 km. Utilizando la ley de los senos tenemos que:

AE PE = y, ° sen 46,8 sen P AE ⎛ PE ⋅ sen 46,8° por tanto, m( P AE ) = sen −1 ⎜ AE ⎝

⎞ ⎟. ⎠

Luego m( P AE ) = 2, 79° ≅ 2° 47 '. Esto significa que el avión debe cubrir una distancia de 1.148,84 km en dirección S 2, 79° E. Como el objetivo es llegar al mismo tiempo al punto de encuentro E, entonces esta distancia debe cubrirse por el avión exactamente en dos horas, lo que nos permite determinar cuál ⎯→

es la velocidad resultante para el avión que designaremos por vRa ; por consiguiente: ⎯→

vRa =

440

d ( A, E ) km 1.148,84 km = = 574, 42 km ⋅ h −1 . 2h 2h

Módulo 26: Cinemática

Figura 26.16

d.

Observemos que la velocidad que hemos calculado para el avión es la velocidad resultante, que es precisamente la que se aplica en la dirección del objetivo buscado como ya ha sido anteriormente explicado. En este estado de avance, el problema se reduce a una situación más simple y ya previamente trabajada, consistente en determinar la magnitud y la dirección de la velocidad propia del avión, conociendo la velocidad resultante del movimiento y la velocidad del viento. Recurrimos finalmente a la ecuación rectora, en este ⎯→

→

→

caso para el movimiento del avión, vRa = va + vv , que representaremos en la figura 26.17.

Figura 26.17

Vea la animación Ilustración 13: triángulo de velocidad para el avión en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Aplicando la ley de los cosenos en el triángulo de velocidades tenemos:

Geometría vectorial y analítica

441

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física

→

⎯→

va =

vRa

2

→

2

⎯→

→

− 2 vRa vv cos 67, 21° km ⋅ h −1

+ vv

= 548, 41 km ⋅ h −1 .

Utilizando la ley de los senos en el mismo triángulo, determinemos θ . ⎯→

→

vRa

va

sen θ

=

sen 67, 21°

.

⎛ ⎯→ ° ⎜ vRa sen 67, 21 −1 ⎜ Luego θ = sen → → ⎜ va va ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ = 74,94°. ⎟ ⎟ ⎠

¿Podemos aceptar este valor como válido para el ángulo en mención? Ustedes se preguntarán qué sentido tiene la interrogación anterior cuando hemos aplicado correctamente las herramientas matemáticas disponibles y el procedimiento seguido es claro; además, si determinamos el valor del tercer ángulo α en el triángulo por la suma de los ángulos interiores, tenemos que α = 37,84° , cumpliéndose las relaciones de desigualdad en el triángulo que nos indican que a mayor lado se opone el mayor ángulo y recíprocamente. ¿Cuál es entonces la razón de la pregunta planteada? Observemos de nuevo el triángulo de la figura 26.17, que hemos construido a escala. Es inmediato y verificable con el transportador que el ángulo θ es obtuso y en consecuencia el valor obtenido en la calculadora no corresponde a dicho ángulo sino a su suplemento agudo. Este es un hecho que debemos tener presente y que nos muestra la importancia, en este tema, de la construcción de figuras con buena proporción, ya que de otra forma no sería posible darnos cuenta de los errores incurridos al confiarnos totalmente en los valores calculados. Esta situación se presentará siempre que las dimensiones de los datos representados generen triángulos obtusángulos. Apliquemos nuevamente la ley de senos para el ángulo opuesto al lado menor que necesariamente es agudo correspondiendo en este caso al valor arrojado por la calculadora:

⎛ → ° ⎜ vv sen 67, 21 −1 ⎜ ; así, α = sen = → ⎜ sen α sen 67, 21° va ⎜ ⎝ →

→

vv

va

⎞ ⎟ ⎟ = 7, 72°. ⎟ ⎟ ⎠

Por consiguiente, por la suma de ángulos interiores del triángulo tenemos

442

Módulo 26: Cinemática que θ = 105,06° , que es el valor real del ángulo. →

Determinemos finalmente cuál es la dirección de va con respecto a los ejes orientados, apoyándonos en la figura 26.18.

Figura 26.18

θ' = 180° − (70° + θ ° ) (¿por qué?) = 4,94°. →

Esto significa que la dirección de va es S 4, 94° O. Concluimos, en consecuencia, que para lograr su objetivo el piloto debe mantener una velocidad propia de 548,4 km ⋅ h −1 en dirección S 4,94° O.

Geometría vectorial y analítica

443

Ejercicios del capítulo 8 (módulo 26) 1.

Un grupo de caminantes viaja a una velocidad promedia de 5 km/h y sigue esta trayectoria: Dirección Tiempo durante el cual conserva esta dirección (en horas)

NE S 50° E N 60° E NS SO N 35° O S 60° O 1, 5 0, 75 1, 0 1, 0 1, 0 0,50 1, 0

Determine: a. b. 2.

Un avión viaja hacia el oeste a una velocidad con respecto al aire de 450 km/h y atraviesa una corriente de aire que se mueve hacia el sur a 20 km/h: a. b. c.

3.

444

¿Cuál es la magnitud y la dirección de la velocidad resultante? ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la velocidad propia?

Una pequeña semilla volátil de un árbol muy alto alcanza una componente de velocidad vertical constante de 1 pie/seg casi inmediatamente después de que es disparada de su cono. Si el árbol tiene una altura de 180 pies y sopla un viento de 40 millas/h (en dirección horizontal) determine: a. b.

6.

¿En qué dirección debe volar el avión? ¿Cuál es la magnitud y la dirección del movimiento resultante? ¿Cuánto tiempo requiere el viaje?

Un avión vuela hacia un destino a 1.200 km al nor-oeste de su punto de partida, con un viento del sur de 60 km/h. El piloto desea hacer el viaje en dos horas. a. b.

5.

¿En qué dirección se mueve el avión respecto a la Tierra? ¿Cuál es la velocidad del avión respecto a la Tierra? ¿Qué distancia sobre la Tierra cubre el avión en 20 minutos?

El piloto de un avión que vuela a una velocidad de 500 km/h con respecto al aire desea ir a una ciudad situada a 1.300 km al sur. Hay un viento de 85 km/h proveniente del este. a. b. c.

4.

¿En qué dirección deben viajar para regresar exactamente al punto de partida? ¿Cuánto tiempo requiere el regreso?

¿Qué tan lejos del árbol cae la semilla? ¿Cuánto tiempo demora en llegar al suelo?

A continuación se ilustra la ruta seguida por un avión desde su punto de partida (P), hasta su destino (D) (figura 1).

Figura 1

Designamos en cada tramo: →

va : la velocidad propia del avión. →

vv : la velocidad del viento. →

vR : la velocidad resultante.

Datos

→

→

→

va

vv

vR

Magnitud y dirección

Magnitud y dirección

Trayecto Magnitud y dirección

Tiempo

1

350 km ⋅ h −1 ?

80 km ⋅ h −1 N 40° E

??

400 km

?

2

380 km ⋅ h −1 N 50°E

??

−1 380 km ⋅ h N 68° E

?

2 h 30’

3

??

300 km

1h

a. b. c. 7.

Distancia

100 km ⋅ h −1 N 70° E

??

Efectúe los cálculos necesarios para determinar las incógnitas en cada tramo. Determine el tiempo total que demora el viaje. ¿A qué distancia del punto de partida está el punto de destino y en qué dirección?

Un hombre desea cruzar un canal de orillas perfectamente paralelas en un bote de remos, desde un punto A hasta un punto B, situado al norte de A y a una distancia de 3 km. El hombre puede mantener en el agua una velocidad de 4,0 km/h. a.

En qué dirección debe orientar el bote y cuál es su velocidad resultante si: No hay corriente en el canal. Hay una corriente de oeste a este de 3 km/h.

b.

Cuánto tiempo invierte en el recorrido en cada una de las situaciones descritas. Geometría vectorial y analítica

445

c.

Si el hombre viaja siempre orientando su bote hacia el norte y la corriente tiene una velocidad de 3 km/h en dirección oeste-este, determine: ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la velocidad resultante? ¿Qué tan lejos en la dirección de la corriente está el punto de llegada del punto de partida? ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar la orilla opuesta en estas condiciones?

8.

Un avión sale de un aeropuerto en dirección sur y mantiene una velocidad de 4,0 km/min con relación a la Tierra mientras asciende a un promedio de 0,30 km/h. Después de 0,50 min voltea al oeste, manteniendo la misma velocidad con relación a la Tierra y el mismo promedio de ascenso. Después de 1,0 min de despegar: a. b. c. d.

9.

¿Qué tan alto está el avión? ¿En qué dirección está con respecto al aeropuerto? ¿Qué tan lejos está el punto en la Tierra directamente debajo del avión de aquel punto donde despegó? ¿Qué tan lejos está el avión del punto de donde despegó?

El piloto de un avión de combate que se encuentra en un vuelo de reconocimiento es informado por el portaviones que le sirve de base que este navío se encuentra a una distancia de 1.000 km en dirección norte, con respecto a la posición actual del avión, y que viaja con una velocidad resultante de 60 km/h en dirección 10 S-O. En este mismo momento el piloto recibe una información satelital sobre la presencia de un submarino enemigo, el cual se encuentra a 400 km de la posición del avión en una dirección N 23° E. Se le informa además que el submarino mantiene una velocidad resultante de 70 km/h con dirección S 30° E. El avión recibe la orden de interceptar el submarino en un tiempo exacto de 30 minutos y dispone de 10 minutos adicionales a partir de la intercepción para desarrollar las maniobras necesarias con el fin de neutralizar al submarino. Al cabo de este tiempo y tomando como referencia la posición de la intercepción, el avión tiene exactamente una hora para regresar al portaviones. Si en su vuelo hacia el submarino encuentra que el viento tiene una velocidad de 80 km/h en dirección N 40º O: a. b. c.

Haga un diagrama utilizando una escala y el transportador en el cual se muestren con buena aproximación las posiciones relativas de los tres móviles. Determine la magnitud y la dirección de la velocidad resultante del avión para interceptar al submarino. Determine la magnitud y la dirección de la velocidad propia del avión para interceptar al submarino.

Si una vez neutralizado el submarino se le informa al piloto que en su vuelo hacia el portaviones encontrará un viento con una velocidad de 100 km/h en dirección E-O, determine: a. b. c. d.

446

La magnitud y dirección de la velocidad resultante del avión para llegar al portaviones. La magnitud y la dirección de la velocidad propia del avión para llegar al portaviones. La magnitud y dirección del desplazamiento resultante para el avión desde su posición inicial al recibir los reportes hasta alcanzar el portaviones. Todos los diagramas necesarios de desplazamientos y de velocidades para sustentar los cálculos de las cantidades requeridas.

27 Trabajo de una fuerza sobre un cuerpo

Introducción Con relación a este tema únicamente analizaremos el concepto de trabajo cuando una fuerza constante actúa sobre un cuerpo que se mueve en una trayectoria rectilínea. Este caso particular nos permite presentar una aplicación práctica e importante del producto escalar, como también el manejo de elementos concretos estudiados en el módulo 25 correspondiente a las fuerzas coplanarias y concurrentes. Consideramos que este nivel permitirá comprender mejor el tema general del trabajo realizado por una fuerza variable, que es objeto de estudio específico en los cursos de cálculo y de física.

James Prescott Joule James Prescott Joule nació en Salford, Reino Unido, en 1818 y murió en la ciudad inglesa de Sale, en 1889. De profesión físico, se le reconoce como el creador de la teoría mecánica del calor, y en su honor la unidad de la energía en el Sistema Internacional de medidas recibe el nombre de julio.

Objetivos del módulo 1. Mostrar una aplicación del producto escalar de los vectores geométricos en el área de la dinámica, específicamente a través de un concepto fundamental en la física, como es el trabajo. 2. Integrar los conceptos ya estudiados de sistemas de fuerza coplanarias a este concepto. 3. Sentar las bases para el estudio posterior de este concepto en forma general.

Preguntas básicas 1. ¿Cómo se determina el trabajo que una fuerza ejerce sobre un cuerpo? 2. ¿De quién depende el signo que caracteriza el trabajo? 3. ¿En qué unidades se mide el trabajo?

Contenidos del módulo 27.1 Trabajo de una fuerza sobre un cuerpo 27.2 Unidades de trabajo

Vea el módulo 27 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

447

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física

27.1 Trabajo de una fuerza sobre un cuerpo Supongamos que en la figura 27.1 el cuerpo indicado se ha desplazado una distan→

cia AB bajo la acción de una fuerza constante F . Escuche la biografía de James Prescott Joule en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Figura 27.1 →

Se define el trabajo realizado por una fuerza F sobre el cuerpo al desplazarse entre A →

y B, y se designa por W, como el producto de la componente de F en la dirección del desplazamiento por la distancia recorrida. Esto es, →

⎯→

W = F cos α AB

Ahora, si aplicamos ambos vectores en el centro de gravedad del cuerpo y revisamos la ecuación anterior, se tiene de la figura 27.2:

Vea la animación Trabajo de una fuerza sobre un cuerpo en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Figura 27.2 →

⎯→

W = F cosα AB →

⎯→

= F AB cosα →

(conmutatividad en los reales)

⎯→

= F i AB (definición del producto escalar). →

En consecuencia, en las condiciones dadas, el trabajo realizado por la fuerza F se define también como el producto escalar entre los vectores correspondientes a la ⎯→

→

fuerza F y al desplazamiento AB; es decir, →

⎯→

W = F i AB

448

Módulo 27: Trabajo de una fuerza sobre un cuerpo Consecuencias Si observamos la ecuación inicial podemos hacer las siguientes afirmaciones: 1.

El trabajo realizado sobre un cuerpo es cero cuando se da una cualquiera de las siguientes situaciones: →

⎯→

F = 0 ó AB = 0 o cos α = 0 (equivale a que α = 90° ).

Esto significa que la fuerza es nula o no hay un desplazamiento o la fuer→

za F es perpendicular a la dirección del desplazamiento. →

El trabajo es positivo si 0 ≤ α < 90° , en particular si F →

⎯→

AB, y

⎯→

tienen el mismo sentido; entonces, W = F AB . El trabajo es negativo si 90° < α ≤ 180°. 2.

Si sobre un cuerpo actúan simultáneamente varias fuerzas concurrentes →

→

→

→

⎯→

F1 , F2 , F3 ,..., Fk y producen un desplazamiento rectilíneo AB, entonces el trabajo que efectúa cada una de ellas sobre el cuerpo lo podemos determinar así:

Designando como WR el trabajo producido por la fuerza resultante tenemos: →

⎯→

WR = FR i AB →

→

→

⎯→

= ( F1 + F2 + ... + Fk ) i AB →

⎯→

→

⎯→

→

⎯→

= F1 i AB + F2 i AB + ... + Fk i AB (distributiva del producto escalar con respecto a la suma) = W1 + W2 + ... + Wk ,

es decir, el trabajo realizado por la fuerza resultante es igual a la suma de los trabajos producidos por cada una de las fuerzas concurrentes. →

3.

⎯→

No sobra recordar que si los vectores FR y AB están expresados en sus componentes rectangulares ya sea en el plano o en el espacio, esto es, si →

→ →

→ →

→ →

⎯→

→

→

→

F1 = Fx i + Fy j + Fz k y AB = x1 i + y1 j + z1 k ,

entonces: →

⎯→

W = FR i AB = x1 Fx + y1 Fy + z1 Fz .

Geometría vectorial y analítica

449

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física

27.2 Unidades de trabajo Las ecuaciones que relacionan el trabajo nos indican que éste debe expresarse en términos del producto de la unidad de fuerza, por la unidad de distancia; en consecuencia, para los dos sistemas más comunes, tenemos: En el sistema MKSC, el trabajo se expresa en newton-metro, unidad que se llama joule y se abrevia J. Por tanto un joule es el trabajo producido por una fuerza de un newton actuando sobre una partícula que se mueve un metro en la dirección de esta fuerza. Teniendo en cuenta que en este sistema la unidad de fuerza es el newton (N) y que N = m ⋅ kg ⋅ s −2 , se concluye que J = Nm = m 2 ⋅ kg ⋅ s −2 . El nombre joule fue escogido en honor de James Prescott Joule (1818-1889), científico británico famoso por sus investigaciones sobre los conceptos de calor y energía. En el sistema cgs (centímetro, gramo, segundo), el trabajo se expresa en dina centímetro, unidad que se llama ergio y se abrevia erg. En consecuencia, erg = din ⋅ cm. Si tenemos en cuenta que 1 N = 105 din y 1 m = 10 2 cm,

entonces 1 J = (105 din) ⋅ (10 2 cm) = 107 erg. Es necesario tener en cuenta otra unidad muy común para expresar la fuerza, que es el kilogramo fuerza, que se abrevia kgf. Un kgf = 9,81 newtons. Ilustración 15 Calcule el trabajo de una fuerza constante de 15 N cuyo punto de aplicación se mueve 10 m, si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y el desplazamiento es: a. b. c. d. e.

0°. 45°. 90°. 120°. 180°.

Solución Podemos, sin pérdida de generalidad, ilustrar la situación descrita mediante la figura →

⎯→

27.3, en la cual designamos F = 15 N, OA = 10 m, α : ángulo determinado por ambos vectores; en esta forma podemos calcular el trabajo para cada valor de α así:

Figura 27.3

450

Módulo 27: Trabajo de una fuerza sobre un cuerpo a.

Para α = 0° →

⎯→

W = F i AB →

⎯→

= F i AB cos α J

= 15 × 10 J = 150 J. b.

Para α = 45° W = 15 × 10 × cos 45° J = 106 J.

c.

Para α = 90° W = 15 × 10 × cos 90° J = 0 J.

d.

Para α = 120° W = 15 × 10 × cos120° J = −75 J.

e.

Para α = 180° W = 15 × 10 × cos180° J = −150 J.

Ilustración 16 →

→

→

Se tiene una fuerza F = 7 u x − 6 u y N actuando sobre una partícula que se desplaza desde el origen hasta un punto A (−3, 4, 16), donde las coordenadas están dadas en metros. Calcule el trabajo realizado por la fuerza en los siguientes casos: a.

Si la trayectoria es una línea recta desde el origen hasta el punto A.

b.

Si la trayectoria es una línea recta desde el origen hasta el punto P1 (−3, 4, 0) y luego continuó en línea recta entre P1 y el punto A.

c.

Si la trayectoria es una línea recta desde el origen hasta un punto P2 (−3, 0, 0), luego avanzó en línea recta desde P2 hasta el punto P1 (−3, 4, 0) y por último continuó en línea recta desde P1 hasta el punto A.

Solución En la figura 27.4 damos una idea general de la localización de los diferentes puntos según las trayectorias descritas.

Geometría vectorial y analítica

451

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física ⎯→

a.

→

→

→

En este caso OA = −3 u x + 4 u y + 16 u z y por tanto →

⎯→

W = F1 i OA J,

W = −21 − 24 = −45 J.

Figura 27.4

b.

En este caso tenemos para cada uno de los dos tramos de la trayectoria descrita: ⎯→

→

→

OP1 = −3 u x + 4 u y , ⎯→

→

→

P1 A = A − P1 ↔ (−3, 4, 16) − (−3, 4, 0) = (0, 0, 16). ⎯→

→

esto es, P1 A = 16 u z , y por tanto el trabajo en cada tramo corresponde a: →

⎯→

W1 = F i OP1 J →

→

→

→

= (7 u x − 6 u y ) ⋅ (−3 u x + 4 u y ) J

= −21 − 24 = −45 J. →

⎯→

W2 = F i P1 A J →

→

→

= (7 u x − 6 u y ) ⋅ (16 u z ) J

= 0 J.

Luego el trabajo total corresponde a W = W1 + W2 = −45 J. c.

452

En este caso tenemos los siguientes tramos:

Módulo 27: Trabajo de una fuerza sobre un cuerpo ⎯→

→

OP2 = −3 u x , ⎯→

→

→

P2 P1 = P1 − P2 ↔ (−3, 4, 0) − (−3, 0, 0) = (0, 4, 0), ⎯→

→

⎯→

→

→

de donde P2 P1 = 4 u y , P1 A = A − P1 ↔ (−3, 4, 16) − (−3, 4, 0) = (0, 0, 16), ⎯→

→

y en consecuencia P1 A = 16 u z .

Ahora, el trabajo en cada tramo lo calculamos así: →

⎯→

→

⎯→

→

⎯→

→

→

→

W1 = F i OP2 = (7 u x − 6 u y ) ⋅ (−3 u x ) = −21 J, →

→

→

W2 = F i P2 P1 = (7 u x − 6 u y ) ⋅ (4 u y ) = −24 J, →

→

→

W3 = F i P1 A = (7 u x − 6 u y ) ⋅ (16 u z ) = 0 J.

En esta forma el trabajo total corresponde a W = W1 + W2 + W3 = −45 J. ¿Es casual que el trabajo total sea igual en los tres casos expuestos? ¿Se puede afirmar que si la fuerza es constante el valor del trabajo total es independiente de la trayectoria descrita? ¿Cuál es la justificación vectorial de este resultado?

Ilustración 17 Calcule el trabajo efectuado por un hombre que arrastra un saco de harina de 65 kg por 10 m a lo largo del piso con una fuerza de 25 kgf y que luego lo levanta hasta un camión cuya plataforma está a 75 cm de altura. Solución Podemos identificar en el problema propuesto dos situaciones diferentes que se ilustran en la figura 27.5, así:

Figura 27.5

Vea la animación Ilustración 16 en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Geometría vectorial y analítica

453

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física a.

En esta primera etapa, cuando el saco es arrastrado a lo largo del piso, desde su posición inicial (O) hasta una posición final (A) en un desplazamiento de 10 m, podemos observar las fuerzas que actúan sobre el saco, que corres⎯→

→

ponden al peso P del saco y su opuesta FN (fuerza normal ejercida por el →

piso sobre el cuerpo) además de la fuerza dada F . Como las dos primeras son perpendiculares a la dirección del desplazamiento, su trabajo es cero. Por tanto, en esta etapa el trabajo realizado por el hombre es: →

⎯→

W1 = F i OA →

⎯→

= F ⋅ OA cos 0° = (25kgf ) ⋅ (10 m) = (25 × 9,81 N) ⋅ (10 m) = 2.452, 5 J. →

b.

En la segunda etapa el hombre ejerce una fuerza T cuyo valor debe ser igual al peso del cuerpo, en dirección vertical y hacia arriba para romper el equilibrio vertical y producir un desplazamiento hacia arriba con una magnitud de 0,75 m entre las posiciones inicial A (final de la fase anterior) y final B. En consecuencia, el trabajo efectuado por el hombre en esta etapa es: →

⎯→

W2 = T i AB →

⎯→

= T ⋅ AB cos 0° = (65 × 9,8 N) ⋅ (0, 75 m) = 477, 75 J.

Concluimos entonces que el trabajo efectuado por el hombre es: W = W1 + W2 = 2.452,5 + 477, 75 = 2.930, 25 J.

Ilustración 18 Un cuerpo de 4 kg de masa se mueve hacia arriba en un plano inclinado 20° con respecto a la horizontal, como se indica en la figura 27.6. Sobre el cuerpo actúan las siguientes fuerzas: una fuerza horizontal de 80 N, una fuerza paralela al plano de 100 N, favoreciendo el movimiento, y una fuerza constante de fricción de 10 N que se opone al movimiento. Calcule el trabajo efectuado por el sistema de fuerzas actuantes sobre el cuerpo y el trabajo de cada fuerza cuando el cuerpo se desplaza entre A y B, si la distancia entre estos dos puntos es de 20 m.

454

Módulo 27: Trabajo de una fuerza sobre un cuerpo

Vea la animación Ilustración 17 en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Figura 27.6

Solución Teniendo en cuenta todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, como lo indicamos en la figura 27.7, procedemos a calcular el trabajo de cada una de ellas.

Figura 27.7 →

→

Debemos aclarar que P corresponde al peso del cuerpo, esto es, P = masa × aceleración de la gravedad. →

P = (4 kg) ⋅ (9,8 m/s 2 ) = 39, 2 N.

⎯→

→

⎯→

A su vez PN y Pp corresponden a la descomposición de P en dos vectores ⎯→

ortogonales, respectivamente perpendicular y paralelo al plano inclinado; FN es la ⎯→

⎯→

fuerza que el plano inclinado ejerce sobre el cuerpo ( PN y FN son vectores opuestos). ⎯→

⎯→

Como PN y FN son perpendiculares a la dirección del movimiento, su trabajo es cero y en consecuencia procedemos a calcular el trabajo de las restantes fuerzas actuantes así: →

⎯→

WR = FR i AB

Geometría vectorial y analítica

455

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física →

→

→

→

⎯→

= (T1 + T2 + T3 + PP ) i AB →

⎯→

→

⎯→

→

⎯→

→

⎯→

= T1 i AB + T2 i AB + T3 i AB + PP i AB = W1 + W2 + W3 + WP .

Para la primera fuerza: →

⎯→

W1 = T1 AB cos 20° = (80 N) ⋅ (20 m) cos 20°

= 1.503, 5 J.

Para la segunda fuerza: →

⎯→

W2 = T2 AB cos 0° = (100 N) ⋅ (20 m) = 2.000 J.

Para la tercera fuerza: →

⎯→

W3 = T3 AB cos180° = (10 N) ⋅ (20 m) × (−1) = −200 J.

Para la cuarta fuerza: →

⎯→

W4 = PP AB cos180° ⎛ → ⎞ ⎯→ = ⎜ P sen 20° ⎟ AB cos180° ⎝ ⎠ = (39, 2 sen 20° N)(20 m) × (−1)

= −286 J.

Por tanto, el trabajo efectuado por el sistema de fuerzas actuante es 3.035,35 J.

456

Ejercicios del capítulo 8 (módulo 27) →

1.

Calcule el trabajo realizado por una fuerza constante F cuando se aplica a un cuerpo que se mueve en línea recta entre las posiciones A y B, en cada uno de los siguientes casos (las coordenadas de los puntos están dadas en metros): →

2.

→

→

→

a.

F = (1 N) i + (1 N) j + (1 N) k , A(−1, 0, − 2), B(5, 3, −1)

b.

F = −(2 N) i + (6 N) j + (8 N) k , A(−2, 3, 0), B(−1, 6, − 4).

c.

F = (4 N) i + (−2 N) j + (5 N) k , A(−5, 3, 1), B(−2, 4, 3).

→

→

→

→

→

→

→

→

Un trineo de 20 kg es arrastrado con velocidad constante mediante una cuerda, como se indica en la figura 1. La superficie de la nieve es horizontal y está húmeda, y la distancia recorrida es de 4,0 m. La tensión en la cuerda es constante e igual a 6,0 N y el ángulo de la cuerda con la horizontal es de 30°. Determine el trabajo realizado por la cuerda sobre el trineo.

Figura 1

3.

Una avioneta usa un cable fino para tirar de un anuncio publicitario en línea recta con una velocidad constante de 280 km/h. Si la tensión en el cable es de 1400 N, ¿qué trabajo realiza la fuerza que ejerce el cable sobre el anuncio durante un vuelo de 20 minutos?

4.

Un hombre arrastra un cajón de 50 kg a velocidad constante a lo largo del piso. Para ello utiliza una cuerda que forma un ángulo de 40º con la horizontal; la tensión en la cuerda es de 20 kgf y la distancia cubierta a lo largo del piso es de 12 m. El coeficiente de rozamiento cinético entre el cajón y el piso es de 0,63. Luego levanta el cajón hasta una plataforma horizontal de madera situada a 1,50 m del nivel del piso. A continuación arrastra el cajón sobre la plataforma a velocidad constante, una distancia de 8 m, en las mismas condiciones respecto a la cuerda en su ángulo y tensión, pero el coeficiente de rozamiento cinético entre el cajón y la plataforma es ahora de 0,45. Finalmente baja el cajón hasta la base de un montacargas que se encuentra a 1,80 m por debajo del nivel de la plataforma. a. b.

Calcule el trabajo efectuado por el hombre sobre el cajón en cada uno de los tramos descritos. Calcule el trabajo efectuado sobre el cajón por cada una de las demás fuerzas actuantes, para cada uno de los tramos descritos.

5.

Un automóvil sube por un camino de 3º de inclinación con una velocidad constante de 45 km ⋅ h −1 . La masa del automóvil es de 1.600 kg. ¿Cuál es el trabajo efectuado por el motor en 10 s? Desprecie las fuerzas de fricción.

6.

Sobre una partícula actúa la fuerza F = (( y 2 − x 2 ) N) i + ((3xy) N) j . Halle el trabajo efectuado por la fuerza al moverse la partícula del punto A(0, 0) al punto B(2, 4) siguiendo las trayectorias que se describen a continuación.

→

→

→

a. b.

A lo largo del eje x desde (0, 0) hasta (2, 0) y, paralelamente al eje y, hasta (2, 4). A lo largo del eje y desde (0, 0) hasta (0, 4) y, paralelamente al eje x, hasta (2, 4).

c.

A lo largo del segmento AB.

Geometría vectorial y analítica

457

7.

Una caja de embalaje es arrastrada hacia arriba por una rampa a través de una cuerda cuya dirección es paralela a la rampa y con una tensión de 620 N. La masa de la caja es de 70 kg y la distancia recorrida por la caja es de 11 m. El coeficiente de rozamiento cinético es de 0,45. Determine el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre la caja (figura 2).

Figura 2

458

28 Momento de una fuerza respecto de un punto Introducción Aprovecharemos este concepto físico como un importante instrumento de síntesis en torno a los temas tratados, que nos permite obtener, entre otros, los siguientes objetivos: 1.

Diferenciar claramente entre el papel funcional del vector netamente geométrico y su utilización como herramienta para representar algunos fenómenos físicos; esto conlleva a la necesidad de caracterizar un caso restringido, por así llamarlo, del vector libre, cual es el vector deslizante, ya definido y caracterizado en el módulo 25, (25.6).

2.

Abordar el problema del equilibrio para cuerpos rígidos, cuando actúan sobre ellos fuerzas externas coplanares. Este problema fue analizado en el módulo 25 para el caso de fuerzas concurrentes, quedando pendiente el caso general que exige la segunda condición correspondiente a que la suma vectorial de los momentos generados por las fuerzas, respecto a un punto cualquiera del plano, debe ser igual al vector nulo.

3.

Estudiar propiamente la naturaleza y las características del momento de una fuerza como objeto físico, y su representación matemática en general como un producto vectorial. Dada la extensión y complejidad de sus aplicaciones, nos limitaremos a algunos aspectos fundamentales, guardando la coherencia necesaria, para mantener el objetivo inicial que nos propusimos con esta unidad. El estudio a fondo de este tema y todos los relacionados con él son objeto, como ya lo hemos señalado, de los cursos de física cuyo estudio queremos motivar desde la perspectiva de la geometría vectorial.

Pierre Varignon Pierre Varignon nació en Caen (Francia), en 1654 y murió en París en 1722. Matemático precursor del cálculo infinitesimal, desarrolló la estática en su obra Nueva mecánica o estática, aparecida en 1725. Estableció además la regla de composición de fuerzas y formuló el principio de las velocidades virtuales. También hizo algunos importantes aportes a la matemática y en especial a la geometría, contribuciones que se llevaron al campo de la mecánica y la estadística, como el descubrimiento de la espiral hiperbólica. Varignon fue uno de los eruditos iniciados en el círculo de Nicolás de Malebranche (filósofo, religioso y matemático francés, para quien la idea de Dios cobra un peso propio en su sistema filosófico), pero también fue iniciado por Johann Bernoulli en el estudio de los procedimientos del nuevo análisis infinitesimal.

Objetivos del módulo 1. Mostrar la necesidad de refinar el vector geométrico para poder explicar otros efectos físicos, surgiendo así el vector deslizante. 2. Abordar nuevamente el problema general del equilibrio de un cuerpo, cuando las fuerzas que actúan sobre él no son concurrentes. 3. Presentar una aplicación del producto vectorial en un concepto físico muy importante que da razón del estado de un cuerpo, como es su momento o torque.

Preguntas básicas 1. ¿En qué modelos físicos se emplea el vector deslizante? 2. ¿Qué es el momento o torque generado por una fuerza sobre un cuerpo? 3. ¿Qué mide realmente el momento? Vea el módulo 28 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

459

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física

Contenidos del módulo 28.1 Momento de una fuerza 28.1.1 Momento o torque de una fuerza respecto a un punto 28.1.2 Teorema de Varignon 28.1.3 Componentes rectangulares del momento de una fuerza

460

Módulo 28: Momento de una fuerza respecto a un punto

28.1 Momento de una fuerza A propósito de un problema real Las figuras 28.1a y 28.1b nos muestran una vista frontal de la hélice de un avión en →

→

la cual están actuando dos fuerzas opuestas F y − F (igual magnitud, igual dirección y sentido opuesto), en dos situaciones diferentes.

Vea la animación Momento de una fuerza: un problema real en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Figura 28.1

En ambas situaciones la suma de las fuerzas que actúan sobre el sólido rígido es igual al vector nulo. Sin embargo, en la primera el cuerpo está en equilibrio, mientras que en la segunda no hay equilibrio rotacional, puesto que la hélice rotaría alrededor del eje O en el sentido de las manecillas del reloj debido al momento que generan las dos fuerzas en su nueva posición. →

Es importante señalar, en consecuencia, que considerado como vector libre, − F es el mismo vector en ambas situaciones puesto que podemos aplicarlo en cualquier punto del espacio manteniendo la misma magnitud, la misma dirección y el mismo sentido; pero la realidad física que representan ambas situaciones es bien distinta, como lo acabamos de anotar. Las situaciones descritas nos muestran la necesidad de manejar con sumo cuidado los objetos matemáticos cuando los utilizamos para describir propiedades físicas, porque las propiedades asociadas al objeto matemático no tienen necesariamente una equivalencia en los fenómenos físicos reales. El caso particular que es objeto de estudio nos lleva a la necesidad de utilizar en este problema un vector que permita describir adecuadamente la situación física planteada. Este vector es precisamente el vector deslizante cuya caracterización hicimos en la sección 25.6 y cuya naturaleza geométrica nos permite formular y dar solución a la situación real planteada, a traves de los conceptos que formulamos a continuación.

Geometría vectorial y analítica

461

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física

28.1.1 Momento o torque de una fuerza respecto a un punto Sean: Vea las animaciones Vectores deslizantes en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

→

F : una fuerza que está aplicada en un punto A de un sólido rígido, como se indica en la figura 28.2.

O : un punto del sólido alrededor del cual éste puede rotar. →

r : el vector de posición de A, tomando como origen el punto O.

Figura 28.2 →

Se define el momento o torque de la fuerza F con respecto al punto O y se designa →

por τ 0 como: →

→

→

τ0 = r × F . Observaciones 1.

El símbolo τ corresponde a una letra del alfabeto griego y se lee «tao»; ⎯→

también se designa el momento con respecto al punto O por M 0 . 2.

462

De la definición del producto vectorial se derivan las siguientes consecuencias que se pueden observar en las figuras 28.3 y 28.4.

Módulo 28: Momento de una fuerza respecto a un punto

Figura 28.3

Figura 28.4

→

a. →

Magnitud de τ 0 →

→

τ 0 = r F sen α , siendo α el ángulo que determinan los dos vectores cuando los aplicamos en un mismo punto. Observemos que no necesariamente el ángulo →

→

determinado entre el vector r y la aplicación de F en su extremo, que corresponde realmente a su suplemento pero que, erróneamente, en muchas ocasiones se toma como el ángulo entre los dos vectores, no es el ángulo correcto. Vemos que en el ΔOAH rectángulo, donde OH representa la distancia del punto O

Geometría vectorial y analítica

463

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física →

→

a la línea de acción de F , que OH = r sen α y, por tanto, se tiene también que: →

→

τ 0 = OH F . A la distancia OH se le denomina brazo de palanca, y una consecuencia inmediata →

de la expresión anterior es que la magnitud del torque de la fuerza F es independiente del punto de aplicación de ésta sobre su línea de acción, puesto que la distancia de O a la recta es única. →

Remitiéndonos de nuevo a la ecuación inicial para τ 0 podemos establecer otra interpretación interesante que se origina al descomponer la fuerza en dos compo→

nentes rectangulares, así: una componente paralela al vector r y otra componente →

→

perpendicular a éste, que designamos respectivamente por Fr y F⊥ , como podemos observar en la figura 28.5.

Figura 28.5 →

Se tienen, en consecuencia, las siguientes expresiones para τ 0 : →

→

→

→

→

→

τ 0 = r F sen α = OH F = r F⊥ . Cada expresión puede ser de mayor o menor utilidad, según los datos específicos del problema que se va a estudiar. Anotemos finalmente que las unidades en las que se expresa la magnitud del torque en el sistema MKSC corresponde al producto newton ⋅ metro. Recordando algo anteriormente visto, tenemos que, en el mismo sistema, el trabajo también se expresa

464

Módulo 28: Momento de una fuerza respecto a un punto en este mismo producto, designando como joule la unidad para el trabajo. No obstante, utilizaremos el joule únicamente para las unidades del trabajo y en el caso del torque los designamos explícitamente como newton ·metro. Más adelante daremos una explicación detallada del significado del torque. → Dirección de τ 0

b. →

→

→

→

→

→

τ 0 ⊥ r y τ 0 ⊥ F y, por tanto, es perpendicular al plano que determinan los vectores →

r y F cuando ellos no son paralelos. En consecuencia, la recta de acción de τ 0

representa el eje respecto al cual tiende a girar el cuerpo cuando está sujeto en O y →

se le aplica la fuerza F . → Sentido de τ 0

c.

→

El sentido de τ 0 está indicado por la regla de la mano derecha, como lo estudiamos en la definición del producto vectorial. Para el caso de la situación analizada el →

→

→

vector τ 0 está «entrando» al plano determinado por r y F , como lo indicamos en las figuras 28.3, 28.4 y 28.5. Esta regla nos indica además el sentido del giro que la →

fuerza F tiende a imprimir al sólido rígido, alrededor de un eje determinado por la →

línea de acción de τ 0 y que pasa por O.

En este caso el sentido del giro es horario y por convención lo indicaremos con el símbolo | , como se ve en la figura 28.6, asignándole signo negativo al módulo →

de τ 0 ; en caso contrario, si el sentido es antihorario lo indicaremos con el símbolo →

}, asignándole signo positivo al módulo de τ 0 .

Geometría vectorial y analítica

465

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física

Figura 28.6 →

Esta caracterización de τ 0 nos permite, por último, comprender cabalmente el signi→

ficado de este objeto físico que resumiremos así: la magnitud de τ 0 mide la tenden→

cia de la fuerza F a imprimir al sólido rígido un movimiento de rotación cuando el cuerpo tiene el punto O fijo. d.

→ Recta de acción de F →

Como ya fue observado previamente, el momento τ 0 de una fuerza respecto a un punto no depende de la situación real del punto de aplicación de la fuerza a lo largo de su línea de acción (recordemos que la fuerza corresponde a un vector deslizante). →

Recíprocamente, el momento τ 0 de una fuerza no determina la posición del punto de aplicación de la misma. →

→

Sin embargo, el momento τ 0 de una fuerza F de magnitud, dirección y sentido →

dados, determina completamente la recta de acción de F . En efecto, la recta de →

→

acción de F se encuentra en un plano perpendicular al vector τ 0 y que pasa por O, →

τ0 y la distancia de la recta al punto O es igual al cociente

→

. Además, el sentido de

F →

τ 0 y el signo asignado nos permiten precisar a qué lado de O se determina la recta. Podemos plantear además una nueva expresión para el principio de

466

Módulo 28: Momento de una fuerza respecto a un punto transmisibilidad, como consecuencia de todo lo anterior, en los siguientes térmi→

→

nos: dos fuerzas F y F' son equivalentes si y sólo si son iguales y tienen momen→

→

tos iguales respecto a un punto dado O. Esto lo podemos simbolizar así: F y F' →

→

→

→

son equivalentes si y sólo si F = F' y τ 0 = τ 0' .

28.1.2 Teorema de Varignon El momento respecto de un punto dado O de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de cada una de las fuerzas respecto al mismo punto O. →

→

→

→

Esto es, si las fuerzas F1 , F2 , F3 ,..., Fn se aplican en un punto P, como se indica en la figura 28.7, podemos concluir inmediatamente, por la propiedad distributiva del producto vectorial respecto a la suma, que: →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

r × FR = r × ( F1 + F2 + F3 + ... + Fn ) = r × F1 + r × F2 + r × F3 + ... + r × Fn →

→

→

→

= τ 1 + τ 2 + τ 3 + ... + τ n .

Debemos anotar que esta propiedad fue establecida por primera vez por el matemático francés Pierre Varignon (1654-1722), mucho antes de la introducción del álgebra vectorial, y de allí surgió el nombre para este teorema. No sobra destacar cómo la matemática crea instrumentos cada vez más refinados y ágiles que permiten formalizar propiedades validadas empíricamente como la antes citada.

Figura 28.7

El resultado anterior permite sustituir la determinación directa del momento de una →

fuerza F por la determinación de los momentos de dos o más fuerzas componentes. Esto es particularmente útil en la descomposición de una fuerza en sus componentes rectangulares. Sin embargo, puede resultar más útil en algunos casos des→

componer F en componentes que no sean paralelas a los ejes coordenados. Geometría vectorial y analítica

467

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física

28.1.3 Componentes rectangulares del momento de una fuerza En general, la determinación del momento de una fuerza en el espacio se simplifica notablemente si se procede a la descomposición en sus componentes rectangulares en los ejes coordenados, para el vector de posición del punto de aplicación de la →

→

fuerza, y de ésta, en su orden. Consideremos el momento τ 0 de una fuerza F de →

→

→

componentes Fx , Fy , Fz , respectivamente, como se indica en la figura 28.8, y cuyo punto de aplicación corresponde a P( x, y, z ). Se tiene por tanto que: →

→

→

→

P = x i + y j + zk. →

→

→

→

F = Fx i + Fy j + Fz k .

y en consecuencia →

→

→

τ0 = P × F →

= P × ( Fx i + Fy j + Fz k ) →

→

→

= P × Fx i + P × Fy j + P × Fz k = τ x i + τ y j + τ z k, →

→

donde los escalares τ x ,τ y y τ z de τ 0 indican la tendencia de la fuerza F a imprimir a un sólido rígido un movimiento de rotación alrededor de los ejes coordenados en su respectivo orden.

Figura 28.8

468

Módulo 28: Momento de una fuerza respecto a un punto →

Calculemos a su vez las componentes de τ 0 . →

→

i → τ0 = x Fx

j y Fy

→

k → → → z = ( yFz − zFy ) i − ( xFz − zFx ) j + ( xFy − yFx ) k . Fz

Esto significa que:

τ x = yFz − zFy .

(1)

τ y = zFx − xFz .

(2)

τ z = xFy − yFx .

(3)

Destaquemos aquí una aplicación importante que corresponde al caso de fuerzas →

coplanarias. En este caso podemos asumir que la fuerza F está contenida en el plano xy como se indica en la figura 28.9 y, por tanto, z = 0 y Fz = 0. Al sustituir estos valores en las ecuaciones (1), (2) y (3) se tiene que:

τ x = 0, τ y = 0, τ z = xFy − yFx ; por tanto, →

→

τ0 = τz k

→

= ( xFy − yFx ) k ,

que corresponde a un vector perpendicular al plano xy como se esperaba. Finalmente queremos resaltar, para esta situación, dos elementos importantes: →

1.

Un valor positivo de τ 0 indica que el vector τ 0 apunta «hacia afuera del →

plano» (la fuerza F tiende a hacer girar el cuerpo en sentido contrario al de las agujas del reloj alrededor de O), y un valor negativo indica que el vector →

→

τ 0 apunta hacia adentro del plano (la fuerza F tiende a hacer girar el sólido en sentido de las agujas del reloj alrededor de O). 2.

Si P ( x, y ) designa un punto cualquiera de la línea de acción de la fuerza →

F , entonces la ecuación (3) nos representa la ecuación de dicha recta:

τ 0 = xFy − yFx , o en forma equivalente, xFy − yFx − τ 0 = 0 (figura 28.9).

Geometría vectorial y analítica

469

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física

Figura 28.9

Ilustración 19 →

En la figura 28.10 se tiene una fuerza F de magnitud igual a 15 N que se aplica a un cuerpo en un punto A. La fuerza está contenida en el plano xy y forma un ángulo de →

50° con el semieje x. El vector de posición A forma un ángulo de 25° con respecto al semieje x y su magnitud es igual a 80 cm. Calcule el torque de la fuerza respecto al punto O y la ecuación de la línea de acción de ésta.

Figura 28.10

Solución Podemos utilizar dos procedimientos diferentes, así: En el primero procedemos a la determinación de las componentes rectangulares de →

→

A y F , respectivamente. →

→

→

A = (0,8 m) cos 25° i + (0,8 m) sen 25° j

470

Módulo 28: Momento de una fuerza respecto a un punto →

→

= (0, 725 m) i + (0,338 m) j . →

→

→

F = (15 N) cos 50° i + (15 N)sen 50° j →

→

= (9, 641 N) i + (11, 490 N) j . →

→

→

i j k → → → → τ 0 = A × F = 0, 725 0,338 0 = (5, 071 N ⋅ m) k . 9, 641 11, 490 0 esto es, τ 0 = τ z = 5,071 N ⋅ m, lo cual indica que la rotación alrededor de O tiene sentido antihorario, es decir, →

τ 0 está «saliendo del plano xy». →

Ahora, la ecuación de la línea de acción de F se obtiene considerando un punto genérico P ( x, y ) perteneciente a ella, como:

τ z = xFy − yFx ;

5, 07 = x(11, 49) − y (9, 64),

o también 11, 49 x − 9, 64 y − 5, 07 = 0. →

En la segunda forma, recurrimos a la definición de la magnitud τ 0 : →

→

→

τ 0 = A F sen α . Como podemos observar en la figura 28.11 tenemos que:

α = 25° (¿por qué?). → → → ⎛ → ° ⎞ Luego τ 0 = ⎜ A sen 25 ⎟ F = OH ⋅ F . ⎝ ⎠

= (0,8sen 25° ) ⋅15 N ⋅ m = 5, 071N ⋅ m,

con el signo positivo de acuerdo con el sentido del producto vectorial (regla de la mano derecha).

Geometría vectorial y analítica

471

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física

Figura 28.11

Ilustración 20 Determine la fuerza resultante, el torque resultante respecto al punto O y la ecuación de la línea de acción de la fuerza resultante para el sistema de fuerzas coplanarias que se indica en la figura 28.12, siendo las magnitudes de las fuerzas: F1 = 10 N, F2 = 20 N, F3 = 12 N, F4 = 5 N, y la longitud de cada cuadrícula igual a 10 cm.

Figura 28.12

472

Módulo 28: Momento de una fuerza respecto a un punto Solución Expresemos inicialmente cada fuerza en sus componentes rectangulares. →

→

F1 = −(10 N) i , →

→

→

F2 = −(20 N) cos 45° i + (20 N)sen 45° j (¿por qué?), →

→

→

F3 = (12 N) cos 63, 43° i + (12 N)sen 63, 43° j (¿por qué?), →

→

F4 = −(5 N) j .

Por tanto, →

→

F1 = −(10 N) i , →

→

→

F2 = −(14,14 N) i + (14,14 N) j , →

→

→

F3 = (5,37 N) i + (10,73N) j , →

→

F4 = −(5 N) j .

En consecuencia: →

→

→

→

→

FR = F1 + F2 + F3 + F4 →

→

→

= −(18, 77 N) i + (19,87 N) j y FR = 27,33 N.

¿Corresponde el sistema anterior a un sistema de fuerzas concurrentes? Justifique su afirmación. Determinemos a continuación las componentes rectangulares de cada vector de posición para el punto de aplicación de cada fuerza. →

→

→

A = −(0,2 m) i + (0,3 m) j ,

→

→

B = (0,5 m) j , →

→

→

→

→

C = (0,3 m) i + (0,5 m) j , →

D = (0,2 m) i + (0, 2 m) j .

Calculemos ahora el torque de cada fuerza, respecto al punto O.

→

→

→

→

→

→

i

j

k

→

τ1 = A × F1 = −0, 2 0,3 0 = (3 N ⋅ m) k , −10

0

0

Geometría vectorial y analítica

473

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física →

→

→

i j k → → → → τ 2 = B × F2 = 0 0,5 0 = (7,07 N ⋅ m) k , −14,14 −14,14 0 →

→

→

i j k → → → → τ 3 = C × F3 = 0,3 0,5 0 = (0,534 N ⋅ m) k , 5,37 10,73 0

→

→

→

→

→

→

i

j

k

→

τ 4 = D × F4 = 0, 2 0, 2 0 = (−1N ⋅ m) k . −5

0

0

→

Por tanto el torque resultante τ 0 es: →

→

→

→

→

→

τ 0 = τ 1 + τ 2 + τ 3 + τ 4 = (9, 604 N ⋅ m) k , esto es, →

→

τ 0 = τ z = 9, 604 N ⋅ m, lo cual nos indica que la rotación alrededor de O tiene sentido antihorario, es decir, →

que τ 0 está «saliendo del plano xy». La ecuación de la línea de acción de la fuerza resultante es: →

τ x = xFy − yFx , que corresponde a: 9,604 = x(19,87) − y(−18,77)

y en consecuencia

19,87 x + 18,77 y − 9,604 = 0. ⎯→

Si E(0.2, 0.3), entonces, ¿es E un punto de la línea de acción de FR ? →

⎯→

Grafique la recta anterior. ¿Se cumple que τ 0 ⊥ FR ? Justifique su respuesta.

474

Módulo 28: Momento de una fuerza respecto a un punto Ilustración 21 →

→

→

→

Halle el momento respecto al origen de una fuerza F = 2 i − 3 j + 5 k en la cual sus componentes están dadas en newtons, cuando se aplica en un punto A, asumiendo que el vector de posición de A es: →

→

→

→

a. A = i + j + k . →

→

→

→

→

→

→

→

b. A = 4 i + 6 j + 10 k . c. A = 4 i + 3 j − 5 k , donde todas las componentes están expresadas en metros. →

Determine en cada caso la ecuación de la línea de acción de F . Solución Resolvamos el primer caso. i j k τ0 = A × F = 1 1 1 = 8 i − 3 j − 5 k , 2 −3 5 →

→

→

donde cada componente está expresada en N ⋅ m →

luego τ 0 = 9,89 N ⋅ m.

→

Si P ( x, y, z ) es un punto cualquiera de la línea de acción de F se cumple que: →

→

→

P = A + λ F, λ ∈

(¿por qué?),

y en consecuencia se tiene: ( x, y, z ) = (1,1,1) + λ (2, − 3, 5).

(1) x = 1 + 2λ ⎫ ⎪ (2) x = 1 − 3λ ⎬ λ ∈ (3) x = 1 + 5λ ⎪⎭

→

(ecuaciones paramétricas de la línea de acción de F ).

Geometría vectorial y analítica

475

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física Ilustración 22 →

Una fuerza F de 50 kgf actua en una esquina de una placa y en el mismo plano de ésta, como se indica en la figura 28.13. Halle el momento de esta fuerza respecto al punto A en las siguientes formas: a.

Empleando la definición.

b.

Descomponiendo la fuerza en componentes paralelas a AB y AD .

c.

Descomponiendo la fuerza en componentes paralela a AC y perpendicular a AC.

Figura 28.13

Solución Aplicando la definición, tenemos inicialmente que →

⎯→

→

τ A = AC × F . Por tanto, →

⎯→

→

τ A = AC F sen α ,

⎯→

→

siendo α el ángulo determinado entre AC y F , como se indica en la figura 28.14.

476

Módulo 28: Momento de una fuerza respecto a un punto

Figura 28.14 −1 ⎛ 18 ⎞ ° Podemos observar que (C AB) = tan ⎜ ⎟ = 27, 21 , y por tanto ⎝ 35 ⎠

α = 60° − 27.21º = 32.78º (¿por qué?). →

Luego τ A = 0,394 × 50 × sen 32, 78° kgf ⋅ m = 10, 65 kgf ⋅ m. →

Puede verificarse que el vector τ A está saliendo del plano de la placa y genera una rotación en sentido antihorario alrededor del punto A. Dejamos al lector el desarrollo del literal b y evaluemos el torque mediante la forma sugerida en el literal c; para ello utilizamos la figura 28.15.

Figura 28.15

Geometría vectorial y analítica

477

Capítulo 8: Aplicaciones de los vectores geométricos a la física →

Descomponemos a F en dos componentes con las características solicitadas que ⎯→

→

designamos por FAC y F⊥ , respectivamente, y partiendo de la definición tenemos:

τ A = AC × F = AC × ⎛⎜ FAC + F⊥ ⎞⎟ = AC × FAC + AC × F⊥ . →

⎯→

→

⎯→

⎯→

⎝

⎯→

⎯→

→

⎯→

⎯→

⎯→

⎠

→

→

⎯→

→

Como AC × FAC = 0 (¿por qué?), entonces τ A = AC × F⊥ , y en consecuencia: →

⎯→

→

τ A = AC F⊥ sen 90° ⎛ → ⎞ = 0,394 × ⎜ F⊥ sen α ⎟ ⎝ ⎠ = 0,394 × 50 × sen 32,78° kgf ⋅ m = 10,65kgf ⋅ m.

478

→

Ejercicios del capítulo 8 (módulo 28)

1.

→

→

→

→

→

→

→

→

→

Dadas las fuerzas F1 = 50 u x , F2 = −20 u x + 10 u z , F3 = −10 u x + 5 u y − 40 u z , donde todas sus componentes están expresadas en newtons: a.

Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.

b. c. d.

Determine el torque resultante de las tres fuerzas con respecto al origen O, si se aplican en el punto A(4, − 3, 15). Utilice la fuerza resultante para determinar el torque resultante. Determine la ecuación de la línea de acción de la fuerza resultante en las condiciones del literal anterior. Determine el torque resultante para cada fuerza con respecto al punto O cuando cada una se aplica en el

e.

punto A(4, − 3, 15). Pruebe que el torque resultante es perpendicular a la fuerza resultante. →

2.

→

En la figura 1 se tiene que F = 20 N. Calcule el torque de F con respecto al origen y determine la ecuación de la línea de acción de esta fuerza.

Figura 1

3.

Dos fuerzas paralelas y del mismo sentido están separadas por una distancia de 0,5 m. Si una de las fuerzas es de 15 N y la línea de acción de la resultante está a 0,17 m de la otra fuerza, determine: a. b.

4.

La magnitud de la fuerza resultante. La magnitud de la otra fuerza.

Determine en la figura 2 la fuerza que debe ejercerse sobre la palanca en el punto A para mover la caja si ésta tiene un peso de 1.500 N.

Figura 2

Geometría vectorial y analítica

479

→

5.

→

→

Determine en la figura 3 la fuerza y el torque resultante, con respecto al punto O, de tres fuerzas F1 , F2 , F3 de

magnitudes iguales a 30 N, 50 N y 70 N, respectivamente, si son mutuamente perpendiculares entre sí, en los siguientes casos: a.

Si son concurrentes.

b.

Si la línea de acción de la fuerza F3 se encuentra a 1,5 m del punto de concurrencia de F1 y F2

→

→

→

Figura 3 →

6.

Se aplica en el punto A, como lo indica la figura 4, una fuerza F de magnitud igual a 40 kgf. Determine: →

a. b. c.

El momento de F con respecto a O. La fuerza más pequeña que, aplicada en el punto B, produce el mismo momento respecto a O. La fuerza horizontal que, aplicada en el punto C, produce el mismo momento respecto de O.

Figura 4 →

7.

Una fuerza F de magnitud igual a 30 N actúa sobre la diagonal de la cara de una caja rectangular, como se indica en →

la figura 5. Determine el momento F de respecto al punto O.

480

Figura 5 →

8.

La línea de acción de una fuerza F de magnitud 600 kgf pasa por los dos puntos A y B, como se indica en la figura 6. →

Determine el momento de F respecto al punto O empleando: a. b.

El vector de posición de A. El vector de posición de B.

Figura 6

9.

La viga de la figura 7 es uniforme y mide 5 m de largo con un peso de 90 kgf. La viga puede rotar alrededor del punto fijo B y reposa en el punto A. Un joven que pesa 60 kgf camina a lo largo de la viga partiendo de A. Calcule la máxima distancia que el joven puede recorrer a partir de A manteniendo el sistema en equilibrio. Represente la reacción en A como una función de la distancia x.

Figura 7

Geometría vectorial y analítica

481

10.

482

Un puente de 100 m de largo y 10.000 kgf de peso se mantiene en posición horizontal mediante dos columnas situadas en sus extremos. ¿Cuáles son las reacciones sobre las columnas cuando hay tres carros sobre el puente a 20, 60 y 80 m de uno de sus extremos y cuyos pesos respectivos son 2.000, 1.100 y 1.200 kgf?

9

Capítulo 9

Las cónicas: un enfoque cartesiano

Contenido breve Módulo 29 La circunferencia Ejercicios Módulo 29 Módulo 30 La parábola Apolonio de Perga (263 a. C.) fue conocido como el «Gran geómetra». Estudió en Alejandría y después visitó Pérgamo en donde habían sido construidas una biblioteca y una universidad semejantes a las de Alejandría. Mientras Apolonio estuvo en Pérgamo, escribió la primera edición de su famoso libro Secciones cónicas, en el cual introdujo los términos parábola, elipse e hipérbola. Fue uno de los fundadores de la astronomía matemática griega, la cual usó modelos geométricos para explicar la teoría planetaria.

Ejercicios Módulo 30 Módulo 31 La elipse

Presentación Desde unos cuatro siglos antes de nuestra era los griegos conocían la existencia de las cónicas, cuyo nombre genérico se debe a que resultan de la intersección de un plano y una superficie cónica. Apolonio fue el primero en hacer un estudio detallado de estas curvas planas y en demostrar algunas de sus más relevantes propiedades.

Ejercicios Módulo 31 Módulo 32 La hipérbola Ejercicios Módulo 32

Entre los resultados más interesantes y útiles que obtuvo Apolonio acerca de las cónicas están las llamadas propiedades de reflexión o propiedades ópticas: si se construyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos. El geómetra griego demostró que si se pone una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico, de manera que los rayos incidentes sean paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. Esta propiedad permite encender un papel si se ubica en el foco de un espejo parabólico y el eje del espejo apunta hacia el Sol. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco; esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para lograr mejor iluminación. Geometría vectorial y analítica

483

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Adicionalmente, las cónicas son de suma importancia en la Física por el hecho de que las órbitas de los planetas alrededor del Sol son elipses y que, en general, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica. En este capítulo se hace un estudio matemático de las cónicas con el uso de la geometría analítica, construida por Descartes a comienzos del siglo XVII.

484

29 La circunferencia Introducción La circunferencia es uno de los elementos de la geometría más importantes y útiles en la vida del ser humano y está presente en casi todas las actividades que éste desarrolla: la música, el sistema horario, la fabricación de armas, los deportes, etc. Un buen ejemplo de su utilidad es la rueda, cuya invención dio inicio, durante la prehistoria, al desarrollo de todo tipo de transporte terrestre. La circunferencia es una curva de las llamadas cónicas, pues se obtiene al cortar una superficie cónica circular con un plano perpendicular al eje de la superficie. En este módulo se estudia la circunferencia desde el punto de vista analítico como un lugar geométrico en términos de distancias. De esta manera se pueden estudiar con mucha facilidad la ecuación general de la circunferencia y los conceptos de rectas tangente y normal a la curva.

Objetivos del módulo 1. Presentar el concepto general de sección cónica como intersección de dos super ficies. 2. Estudiar la circunferencia como lugar geométrico definido en términos de dis tancia a un punto.

Cuando el hombre comienza a desplazarse, ya sea para comer, conquistar nuevos mundos o por mera curiosidad, se ve en la necesidad de depender de algún medio de locomoción. Los primeros vehículos eran trineos de madera, posiblemente utilizados por tribus de todo el mundo. Para transportar cargas pesadas se usaban troncos a modo de rodillos; finalmente lo construyeron de una sola pieza, al unir los troncos con maderas transversales y atar todo el conjunto con tiras de cuero. Cuando se inventó la rueda (uno de los más maravillosos inventos de la historia), se inició el desarrollo de todo tipo de transportes terrestres. La rueda fue creada en el Neolítico y mejorada en la edad de los metales. El antecesor de la rueda fue un rodillo y su principal aplicación se dio en los carros. La invención de la rueda ocurrió a partir de la observación de que un tronco cilíndrico facilitaba considerablemente el transporte de cuerpos pesados. La rueda ha sufrido numerosos cambios a través de los tiempos hasta alcanzar la perfección de hoy.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es una circunferencia? 2. ¿Cómo se obtiene la ecuación de una circunferencia? 3. ¿Qué significado tienen las constantes que intervienen en la ecuación de una circunferencia? 4. ¿Cualquier ecuación de segundo grado en x e y representa una circunferencia? 5. ¿Cómo se obtienen ecuaciones para rectas tangentes a una circunferencia?

Contenidos del módulo 29.1 Conceptos básicos 29.1.1 Superficie cónica 29.1.2 Cónica 29.2 La circunferencia 29.2.1 Definición de circunferencia 29.2.2 Ecuación de la circunferencia 29.2.3 Problemas modelo acerca de la circunferencia 29.2.4 Forma general de la ecuación de la circunferencia

Vea el módulo 29 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

485

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano

29.1 Conceptos básicos 29.1.1 Superficie cónica Una superficie cónica de dos mantos es la superficie generada por dos rectas que se cortan, al rotar una alrededor de la otra. Vea la animación Generación de secciones cónicas en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

La recta fija se llama eje de la superficie cónica. La recta que rota se denomina generatriz. En este estudio tendremos en cuenta únicamente el caso en que la generatriz rota de modo que cada punto suyo en movimiento describe una circunferencia. Se trata de la superficie cónica circular. En la figura 29.1 se muestran el eje y una generatriz. El resultado de la rotación de esa generatriz alrededor del eje es el cono circular recto de dos mantos que se muestra en la figura 29.2.

Figura 29.1 ←⎯→

En la figura 29.2, V es el vértice del cono; la recta AB es una generatriz. En general, ←⎯→

cualquier recta como A′B′ es una generatriz de la superficie cónica. Cada una de las dos partes en las que el vértice V separa la superficie se denomina manto del cono.

Figura 29.2

486

Módulo 29: La circunferencia

23.1.2 Cónica Una cónica es una curva que se obtiene al intersecarse un plano con una superficie cónica. „ Si el plano es perpendicular al eje del cono y no pasa por V, la curva es una circunferencia (figura 29.3). „

Si el plano es paralelo a una de las generatrices del cono, se obtiene una parábola (figura 29.4).

„

Si el plano sólo se interseca con un manto del cono y no es paralelo al eje ni a las generatrices, la curva es una elipse (figura 29.5).

„

Si el plano es paralelo al eje del cono, pero no lo contiene, se obtiene una curva de dos ramas llamada hipérbola (figura 29.6).

Figura 29.3

Figura 29.4

Geometría vectorial y analítica

487

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano

Escuche el audio Apolonio y las cónicas en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Figura 29.5

Figura 29.6

La anterior es una descripción geométrica de las cónicas. Para un estudio más detallado desde la geometría analítica, se recurre a una definición algebraica de las cónicas como lugares geométricos. En lo que sigue haremos un estudio introductorio de las cuatro cónicas: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola.

29.2 La circunferencia 29.2.1 Definición de circunferencia Sean C un punto del plano y r un real positivo. Se llama circunferencia de centro C y radio r al lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a C es constante e igual a r. En la figura 29.7 se tiene una circunferencia de centro C; el radio de ésta es r = CP. Se entiende aquí CP como la longitud del segmento CP. Convencionalmente, todo

488

Módulo 29: La circunferencia segmento con un extremo en el centro C y el otro en la circunferencia recibe también el nombre de radio, pero en términos estrictos CP es un segmento radial.

Figura 29.7

29.2.2 Ecuación de la circunferencia Si se tiene un sistema bidimensional de coordenadas cartesianas, es sencillo encontrar una ecuación para la circunferencia. Supongamos que el centro tiene coordenadas ( h, k ); esto es, C (h, k ). Sea P( x, y ) un punto del plano. El punto P pertenece a la circunferencia si d ( P, C ) = r ; esto es, si PC = r. Esto significa que PC2 = r 2 . Según la figura 29.8, ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 .

Esta es la forma canónica de la ecuación de una circunferencia.

Figura 29.8

Como caso particular se tiene la circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio r (figura 29.9).

Vea la animación La rueda en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

Geometría vectorial y analítica

489

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano

Figura 29.9

En este caso, la ecuación se reduce a: x2 + y2 = r 2 .

29.2.3 Problemas modelo acerca de la circunferencia 1.

Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro C (−2, 3) y que pasa por el punto A(4, − 1) . Encuentre el radio de la curva. Solución CA = r ; es decir, CA2 = r 2 . r 2 = (−2 − 4) 2 + (3 + 1) 2 = 62 + 42 = 52.

La ecuación de la circunferencia es: ( x + 2) 2 + ( y − 3) 2 = 52.

El radio de la circunferencia es r = 52 = 2 13. 2.

Una circunferencia tiene diámetro AB, con A(4, − 1) y B(−3, 5). Encuentre la ecuación y el radio de la circunferencia. Solución El centro C es el punto medio de AB .

4 − 3 −1 + 5 ⎞ ⎛1 Pero C ⎛⎜ , ⎟ ; es decir, C ⎜ 2 , 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2

490

⎞ 2⎟. ⎠

Módulo 29: La circunferencia El radio es r =

1 ( AB). 2

1 1 AB 2 ; r 2 = ⎡⎣(−3 − 4) 2 + (5 + 1) 2 ⎤⎦ 4 4 1 = (49 + 36) 4 85 = . 4

r2 =

El radio es r =

1 85. La ecuación de la circunferencia es: 2

2

1⎞ 85 ⎛ 2 ⎜ x − ⎟ + ( y − 2) = . 2 4 ⎝ ⎠

3.

Encuentre la ecuación y el radio de la circunferencia cuyo centro es el punto C (−1, − 4) y es tangente a la recta de ecuación 2x + 3 y − 12 = 0.

Solución Hagamos un dibujo ilustrativo, sin la precisión de las coordenadas (figura 29.10).

Figura 29.10

En la figura, l es la recta tangente y A el punto de tangencia. Hallemos las coordenadas de A( x0 , y0 ) . Como A está en la recta, entonces: 2 x0 + 3 y0 − 12 = 0.

La pendiente de AC es mAC =

(1) y0 + 4 . x0 + 1

Pero l ⊥ AC ; por tanto, ( ml )( m AC ) = −1.

Geometría vectorial y analítica

491

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano ml = −

2 (¿ por qué ?). 3

2 y +4 En consecuencia, − . 0 = −1. 3 x0 + 1 2( y0 + 4) = 3( x0 + 1), 3x0 − 2 y0 − 5 = 0.

(2)

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (1) y (2), se obtiene: x0 = 3, y0 = 2 .

Las coordenadas de A son: (3, 2). Se deja al lector la deducción de la ecuación de la curva. 4.

Los vértices del triángulo ABC tienen coordenadas así: A(−2, 4), B(−2, − 4), C (4, 0) .

Encuentre la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo. Solución (figura 29.11)

Figura 29.11

La circunferencia circunscrita (que pasa por los vértices A, B y C) tiene su centro D en la mediatriz de AB , es decir, en el eje x (¿por qué?). El centro tiene coordenadas D(h, 0). El punto D equidista de A y C. Por tanto,

492

Módulo 29: La circunferencia DA2 = DC 2 , (h + 2) 2 + (0 − 4) 2 = (h − 4) 2 + 02 , (h − 4) 2 − (h + 2) 2 = 16, −12(h − 1) = 16.

Se obtiene así que h = −

1 . 3

⎛ 1 ⎞ Así, D ⎜ − , 0 ⎟ es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo ⎝ 3 ⎠ ABC. 1 13 = . 3 3 La ecuación de la circunferencia es:

El radio es r = DC = 4 +

2

169 ⎛ 1⎞ 2 . ⎜x− ⎟ + y = 3 9 ⎝ ⎠

29.2.4 Forma general de la ecuación de la circunferencia Partamos de la ecuación canónica centro-radio: ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 .

(1)

Desarrollando los cuadrados y reordenando se obtiene: x 2 + y 2 − 2hx − 2ky + h 2 + k 2 − r 2 = 0.

Hagamos D = −2h; E = −2k ; F = h 2 + k 2 − r 2 . La ecuación anterior adquiere la forma: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0.

(2)

Esta es la llamada forma general de la ecuación de una circunferencia. Cabe preguntarse en este momento: ¿si una ecuación tiene esta forma general, representa una circunferencia? Partamos ahora de la ecuación general (2) y tratemos de llegar a la forma canónica: ( x 2 + Dx ) + ( y 2 + Ey ) = − F .

Completemos cuadrados en las expresiones en x y en y: D⎞ ⎛ E⎞ D2 + E 2 − 4F ⎛ . ⎜x+ ⎟ +⎜ y+ ⎟ = 2⎠ ⎝ 2⎠ 4 ⎝ 2

2

(3)

Geometría vectorial y analítica

493

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Para que (3) sea la ecuación canónica de una circunferencia, se requiere que:

D2 + E 2 − 4F > 0. La expresión D 2 + E 2 − 4 F se denomina discriminante. En este caso, el radio de la circunferencia es: r=

1 D2 + E 2 − 4F . 2

Las coordenadas del centro de la curva son:

E⎞ ⎛ D C ⎜ − , − ⎟. 2 2⎠ ⎝

494

Ejercicios propuestos 1.

Una circunferencia tiene centro C (0, − 2) y es tangente a la recta de ecuación 5x − 12 y + 2 = 0. Halle la ecuación de la circunferencia.

2.

Cierta circunferencia tiene ecuación canónica ( x + 4) 2 + ( y − 3) 2 = 36. Para cada uno de los puntos A(−5, 2) y B(1, − 4) averigüe si es interior o exterior a la circunferencia.

3.

Una cuerda de la circunferencia x 2 + y 2 = 25 está sobre la recta de ecuación x − 7 y + 25 = 0. Halle la longitud de la cuerda.

4.

Los vértices del triángulo ABC tienen coordenadas A(−1, 0), B (2, 9 / 4), C (5, 0). Halle la ecuación de la circunferencia: a. b. c.

Circunscrita al triángulo. Inscrita en el triángulo. Que pasa por los puntos medios de los lados del triángulo.

5.

Halle la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje x y que pasa por los puntos A(4, 6) y B (1, 3).

6.

Cierta circunferencia tiene ecuación ( x − 4) 2 + ( y − 3) 2 = 20. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto E(6, 7) .

7.

Para la circunferencia anterior, encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a ella y que pasan por el origen.

8.

Para cada una de las dos ecuaciones siguientes determine si se trata de una circunferencia. En caso afirmativo, encuentre el radio y las coordenadas del centro: a.

4 x 2 + 4 y 2 − 8 x + 28 y + 53 = 0.

b.

2 x 2 + 2 y 2 − 6 x + 10 y + 7 = 0.

9.

Demuestre que las circunferencias 4 x 2 + 4 y 2 − 16 x + 12 y + 13 = 0 y 12 x 2 + 12 y 2 − 48 x + 36 y + 55 = 0 son concéntricas.

10.

Demuestre que las circunferencias x 2 + y 2 + 4 x + 6 y − 23 = 0 y x 2 + y 2 − 8 x − 10 y + 25 = 0 son tangentes. ¿Lo son interior o exteriormente? Encuentre las coordenadas del punto de tangencia.

11.

Encuentre la ecuación, el radio y las coordenadas del centro de la circunferencia que pasa por los puntos dados:

12.

a.

A(−2, 2), B (4, − 1), C (6, 4).

b.

A(−1, 4), B (−7, 0), C (−3, − 2).

La ecuación de una circunferencia es 4 x 2 + 4 y 2 − 16 x − 20 = 0. Halle la ecuación de la circunferencia concéntrica con la primera y que es tangente a la recta 5 x − 12 y = 1 .

498

13.

Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (4, 1) y es tangente a la circunferencia x 2 + y 2 + 2 x + 6 y + 5 = 0 en el punto (1, −2).

14.

Cierta circunferencia tiene ecuación x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + 6 = 0. ¿Puede una recta que pase por el punto (−1, 5) ser tangente a la circunferencia? ¿Por qué?

15.

Encuentre el valor de la constante k para que la recta 2 x + 3 y + k = 0 sea tangente a la circunferencia de ecuación x2 + y 2 + 6 x + 4 y = 0 .

Geometría vectorial y analítica

499

31 La elipse Introducción La elipse es otra de las curvas conocidas con el nombre genérico de secciones cónicas, como se indicó en la presentación del capítulo 9. La elipse es la curva que se obtiene al intersecarse una superficie cónica y un plano que no es paralelo a ninguna generatriz de aquélla, ni paralelo al eje de la superficie. La elipse, como la parábola, tiene muchas propiedades que la hacen de gran utilidad en diferentes ramas de la ciencia. Como en la parábola, sus propiedades ópticas han permitido desarrollar muchas aplicaciones en la rama de la Física conocida como óptica.

Johannes Kepler (1571-1630) estableció las leyes por las cuales se rige el movimiento de los astros en la actual concepción del universo. La primera de dichas leyes puede enunciarse así: «Los planetas describen órbitas elípticas, con uno de los focos ocupados por el Sol».

En este módulo presentaremos la elipse como un lugar geométrico en términos de distancias; obtendremos su ecuación canónica general y estudiaremos algunas de sus propiedades más importantes, entre ellas las de las rectas tangente y normal, y la conocida como propiedad óptica.

Objetivo del módulo 1. Presentar la elipse como lugar geométrico en términos de distancias a dos puntos fijos y analizar su propiedad óptica.

Preguntas básicas 1. ¿Cuál es la ecuación canónica de una elipse? 2. ¿Qué representan las constantes que intervienen en la ecuación de una elipse? 3. ¿Cuántas clases de elipses hay según su ubicación con respecto a los ejes coordenados? 4. ¿Qué condición debe satisfacer una ecuación de segundo grado para que represente una elipse? 5. ¿Cuál es la propiedad óptica de la elipse? 6. ¿Cómo se obtienen las ecuaciones para las rectas tangente y normal a una elipse?

Vea el módulo 31 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

539

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano

Contenidos del módulo 31.1 Caracterización de la elipse 31.1.1 Definición de elipse 31.1.2 Propiedades básicas de la elipse 31.1.3 Elementos de la elipse 31.2 Ecuación de la elipse 31.2.1 Elipse con centro en el origen y focos en el eje x 31.2.2 Elipse con centro en el origen y focos en el eje y 31.3 Rectas tangente y normal a la elipse 31.4 Elipse con centro fuera del origen y ejes paralelos a los ejes coordenados 31.4.1 Elipse horizontal con centro C(h, k) 31.4.2 Elipse vertical con centro C(h, k) 31.5 Rectas tangente y normal a la elipse con centro distinto al origen de coordenadas 31.6 Forma general de la ecuación de la elipse

540

Módulo 31: La elipse

31.1 Caracterización de la elipse 31.1.1 Definición de elipse Sean F1 , F2 puntos diferentes en el plano y a un real positivo. Se llama elipse de focos F1 y F2 al lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a los focos es igual a 2a .

Vea la animación La elipse en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

31.1.2 Propiedades básicas de la elipse Sea f la recta que contiene los dos focos de la curva (figura 31.1).

Figura 31.1

Llamemos 2c a la distancia entre los focos. Es claro que c < a; en efecto, si c = a, la curva se reduciría a los focos; si c > a, el lugar geométrico sería vacío. Sean V1 y V2 dos puntos en la recta f tales que F1 está entre V1 y F2 , y F2 está entre F1 y V2. Es fácil probar que si la distancia de V1 a F1 es ( a − c) y la distancia de V2 a F2 es ( a − c) , entonces V1 y V2 son puntos de la curva. Además, V1 y V2 son los únicos puntos de la curva sobre la recta f. Sean ahora v1 y v2 las rectas del plano perpendiculares a f en V1 y V2 , respectivamente (figura 31.2).

Figura 31.2

Sea Q un punto del plano cuya proyección sobre f es Q' y tal que V2 está entre F2 y Q'. Puede probarse fácilmente que: QF1 + QF2 > 2a.

Por tanto, Q no puede pertenecer a la elipse. Similarmente ocurre con puntos del plano cuya proyección sobre f sea tal que V1 está entre dicha proyección y F1 . Lo anterior significa que la curva está comprendida entre las dos rectas v1 y v2 .

Geometría vectorial y analítica

541

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Sea ahora b la recta perpendicular a f en el punto medio C de F1 F2 (figura 31.3).

Figura 31.3

Existen sobre b, a uno y otro lado de f, con respecto a C, dos puntos B1 y B2 tales que B1 F1 = B1 F2 = a y B2 F1 = B2 F2 = a . De este modo, B1 y B2 pertenecen a la elipse. Llamemos 2b la distancia entre B1 y B2 ; esto es, B1 B2 = 2b. Puede deducirse fácilmente que:

b2 + c 2 = a 2 . En consecuencia, b < a . De lo analizado hasta ahora puede deducirse que las rectas f y b son ejes de simetría de la curva, y por ende el punto C, punto medio de V1V 2 y B1B2 , es centro de simetría de la elipse. La elipse es, entonces, una curva cerrada, con dos ejes de simetría ortogonales entre sí y un centro de simetría, como se muestra en la figura 31.4.

Figura 31.4

La curva es similar al corte transversal de una pelota de rugby, achatada en B1 y B2

(V1V2 > B1 B2 ).

542

Módulo 31: La elipse

31.1.3 Elementos de la elipse La elipse tiene unos elementos básicos que la identifican, y que se ilustran en la figura 31.5.

Figura 31.5

„

Focos: F1 y F2 (la distancia entre ellos es 2c).

„

Vértices: V1 y V2 (la distancia entre los dos es 2a). Eje focal: la recta f que pasa por los vértices y los focos.

„ „ „ „

Eje mayor: el segmento V1V 2 contenido en el eje focal. Su longitud es 2a. Centro: el punto medio C de los segmentos F1F2, V1V2 y B1B2. Eje normal: la recta n que pasa por el centro y es perpendicular al eje focal de la elipse.

„

Eje menor: el segmento B1 B2 contenido en el eje normal. Su longitud es 2b. Cuerda: cualquier segmento que une dos puntos de la elipse. En la figura

„

31.5, PQ , V1V 2 y B1 B2 son cuerdas. Cuerda focal: cualquier cuerda que pasa por uno de los focos. En la figura

„

31.5, MN y RS son cuerdas focales. Lado recto: cada una de las dos cuerdas focales perpendiculares al eje

„

focal. En la figura 31.5, RS es un lado recto. „

Diámetro: cualquier cuerda que pase por el centro. En la figura 31.5, LE ,

V1V 2 y B1 B2 son diámetros. „

Radio vector: si Q es un punto de la elipse, entonces los segmentos QF1 y

QF2 son radios vectores del punto Q. Entre los números a, b y c que identifican la elipse, existe la relación:

b2 + c 2 = a 2 .

Geometría vectorial y analítica

543

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano

31.2 Ecuación de la elipse 31.2.1 Elipse con centro en el origen y focos en el eje x En este caso, el eje x es el eje focal y el eje y es el normal. Sean F1 (−c, 0) y F2 (c, 0) los focos de la curva (figura 31.6).

Figura 31.6

Además, V1 (−a, 0), V2 (a, 0), B1 (0, −b), B2 (0, b). Sea P ( x, y ) un punto de la elipse. P debe satisfacer: d ( P, F1 ) + d ( P, F2 ) = 2a. ⎯→

⎯→

Es decir, F1 P + F2 P = 2a. ⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

Determinemos F1P y F2 P; en consecuencia, F1 P ↔ ( x + c, y) y F2 P ↔ ( x − c, y), y determinando estas magnitudes y sustituyendo en la ecuación se tiene: ( x + c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2 = 2a, ( x + c ) 2 + y 2 = 2a − ( x − c ) 2 + y 2 .

Elevando al cuadrado y simplificando se obtiene: a ( x − c ) 2 + y 2 = a 2 − cx.

Elevando ahora al cuadrado y reordenando: ( a 2 − c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 ( a 2 − c 2 ).

Pero, a2 − c2 = b2 . Por tanto, b2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b2 . De aquí se obtiene:

544

Módulo 31: La elipse x2 y2 + = 1. a2 b2

Esta es la ecuación canónica de la elipse de centro en el origen y que tiene al eje x como eje focal. De la ecuación se deduce: − a ≤ x ≤ a,

−b ≤ y ≤ b.

En consecuencia, el gráfico de la elipse está contenido en el rectángulo de vértices A(a, b), B (−a, b), C (− a, − b), D(a, − b) (figura 31.7).

Por el hecho de que el eje focal de esta elipse es paralelo al eje x, la llamamos elipse horizontal.

Figura 31.7

De la ecuación puede deducirse además que la elipse no tiene asíntotas; se trata de una curva cerrada. Es fácil deducir que la curva en estudio es simétrica con respecto a: el eje focal (el eje x en este caso), el eje normal (el eje y) y el centro (el origen). Por otra parte, si R1 R2 es el lado recto correspondiente al foco F1 (figura 31.7), entonces R1 y R2 tienen abscisa –c. Por tanto,

c2 y 2 + = 1. a 2 b2 Teniendo en cuenta que b2 + c 2 = a 2 , se obtiene:

y=±

b2 . a

Geometría vectorial y analítica

545

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Así, ⎛ ⎛ b2 ⎞ b2 ⎞ R1 ⎜ −c, − ⎟ y R2 ⎜ −c, ⎟ , a ⎠ a ⎠ ⎝ ⎝ b2 ⎛ b2 ⎞ −⎜− ⎟ a ⎝ a ⎠

R1 R2 = =

2b 2 . a

En síntesis, la longitud de cada lado recto de la elipse es:

ρ=

2b2 . a

La elipse puede ser más «redonda» o menos «redonda», según el grado de cercanía entre los focos y el centro. Se llama excentricidad de la elipse, denotada e, al cociente entre c y a: c e= . a

Por lo estudiado, 0 < e < 1 . Una excentricidad cercana a cero indica que los focos están muy próximos al centro, lo que significa que la curva es «cercana» a una circunferencia, mientras que una excentricidad cercana a 1 (uno) corresponde a una elipse muy «achatada» o «alargada», o «delgada» (figuras 31.8, 31.9 y 31.10).

Figura 31.8. Elipse «media»

Figura 31.9. Elipse «redonda»

546

Módulo 31: La elipse

Figura 31.10. Elipse «alargada»

31.2.2 Elipse con centro en el origen y focos en el eje y A esta elipse la denominaremos vertical. En este caso, el eje focal es el eje y, mientras que el eje normal es el eje x. Los focos tienen coordenadas así: F1 (0, − c), F2 (0, c).

Sea, como antes, 2a la constante que define la elipse; esto es, si P ( x, y ) es un punto de la curva, entonces: d ( P, F1 ) + d ( P, F2 ) = 2a. ⎯→

⎯→

esto es, F1 P + F2 P = 2a. Como en el caso anterior, c < a. Definimos b de modo que:

b2 + c 2 = a 2 . En este caso (figura 31.11), la ecuación canónica de la elipse es:

x2 y 2 + = 1. b2 a 2

Geometría vectorial y analítica

547

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano

Figura 31.11

Las coordenadas de los vértices son V1 (0, − a), V2 (0, a ). Además, B1 ( −b, 0) y B2 (b, 0).

V1V2 es el eje mayor y mide 2a, en tanto que B1 B2 es el eje menor y mide 2b. La excentricidad de la elipse continúa siendo: c e= . a

La excentricidad tiene el mismo significado que en el caso de la elipse horizontal. Es fácil deducir que en este caso la longitud de cada lado recto es, también,

ρ=

2b2 . a

Ilustración 6 La ecuación canónica de una elipse es:

x2 y 2 + = 1. 25 36 Encuentre para esta curva:

548

1. 2. 3. 4. 5.

El eje focal. Las coordenadas de los focos. Las coordenadas de los vértices. La longitud del eje mayor. La longitud del eje menor.

6. 7.

Las coordenadas de los extremos del diámetro PQ tal que Q tiene ordenada 3. La excentricidad.

Módulo 31: La elipse 8. 9.

Las coordenadas de los extremos de los dos lados rectos. La longitud de cada lado recto.

Solución 1.

En la ecuación de la curva, el denominador de x 2 (25) es menor que el de y 2 (36). Por tanto, la curva tiene como eje focal al eje y (es una elipse vertical); en consecuencia, el eje normal es el eje x, y los focos y los vértices están en el eje y.

2.

Teniendo en cuenta que a 2 = b 2 + c 2 , y que a 2 = 36, b 2 = 25 , se tiene que: a = 6, b = 5 y c = 11. Las coordenadas de los focos son: F1 (0, − 11) y F2 (0, 11).

3.

Las coordenadas de los vértices son: V1 (0, − 6) y V2 (0, 6).

4.

La longitud del eje mayor es 2a = 12 .

5.

La longitud del eje menor es 2b = 10 .

6.

Para y = 3 :

x2 9 + = 1. 25 36 Luego x = ±

5 3 . 2

Hay, pues, dos puntos de la curva con ordenada y = 3 (esto se debe a las simetrías de la elipse). Tomemos sólo el caso en que x > 0 . ⎛5 3 ⎞ , 3 ⎟⎟ un extremo del diámetro. El otro extremo, P, es el simétrico Sea Q ⎜⎜ ⎝ 2 ⎠ de Q con respecto al origen. Por tanto, ⎛ 5 3 ⎞ P ⎜⎜ − , − 3 ⎟⎟ . ⎝ 2 ⎠

¿Cuál es la longitud del diámetro PQ ? 7.

La excentricidad de la elipse es:

e=

c 11 = ≈ 0,553. a 6

Geometría vectorial y analítica

549

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano 8.

Sean R1 y R2 los extremos del lado recto que pasa por F2 . Ambos tienen ordenada c = 11 . Por tanto,

x2 11 + = 1. 25 36

De aquí se obtiene x = ±

25 . 6

En consecuencia,

⎛ −25 ⎞ ⎛ 25 ⎞ R1 ⎜ , 11 ⎟ y R2 ⎜ , 11 ⎟ . ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 9.

La longitud del lado recto es:

ρ=

25 ⎛ 25 ⎞ 25 −⎜− ⎟ = . 6 ⎝ 6⎠ 3

Nótese que ρ = 2

b2 . a

En la figura 31.12 se aprecia la gráfica de la curva.

Figura 31.12

550

Módulo 31: La elipse

31.3 Rectas tangente y normal a la elipse Enunciaremos, sin demostración, un teorema que permite hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una elipse en un punto dado de ella. Teorema 1 a.

Si una elipse horizontal tiene centro en el origen y P( x0 , y0 ) es un punto de la curva, diferente de los vértices, entonces la pendiente de la recta tangente a la curva en P es: m=−

b2 x0 , a2 y0

y la pendiente de la recta normal (siempre que P no esté en el eje normal) es: mn =

b.

a2 y0 . b2 x0

Si una elipse vertical tiene centro en el origen y P( x0 , y0 ) es un punto de la curva que no esté en el eje normal, entonces la pendiente de la recta tangente a la curva en P es: m=−

a2 x0 , b2 y0

y la pendiente de la recta normal (siempre que P no sea uno de los vértices) es: mn =

b2 y0 . a2 x0

La elipse tiene una propiedad óptica (también llamada propiedad focal) que se enuncia así: Teorema 2 La recta normal a una elipse en un punto cualquiera diferente de los vértices es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto. Demostración Consideremos el caso de la elipse horizontal de centro en el origen (figura 31.13).

Figura 31.13

Geometría vectorial y analítica

551

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano En la figura 31.13, t y n son las rectas tangente y normal, respectivamente, a la elipse en P. El ángulo entre n y la recta que contiene al radio focal PF1 es α , y el ángulo entre n y el radio focal PF2 es β .

tan α =

mn − mPF

1

1 + mn ⋅ mPF

1

a 2 y0 y − 0 2 b x0 x0 + c . = a 2 y0 y0 1+ 2 b x0 x0 + c Reordenando y simplificando se obtiene: tan α =

y0 c . b2

Por otra parte,

tan β =

mPF − mn 2

1 + mn ⋅ mPF

2

y0 a2 y − 2 0 x − c b x0 . = 0 2 a y0 y0 1+ 2 b x0 x0 − c Simplificando se llega a: tan β =

y0 c . b2

Por tanto, tan α = tan β . Luego α = β y, por ende, n es bisectriz del ángulo F1 PF2 . Este teorema se conoce como propiedad focal de la elipse. Nota: en los puntos B1 y B2 de la elipse, la recta tangente es horizontal, y la recta normal es el eje y, el cual es, evidentemente, bisectriz de los ángulos F1 B1 F2 y F1 B2 F2 .

Ilustración 7 Una elipse tiene vértices (0, –5) y (0, 5) y excentricidad 3/5. Encuentre para la curva:

552

1.

Las coordenadas de los focos.

2.

La ecuación canónica.

3.

Las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en los puntos de

Módulo 31: La elipse abscisa 2. Además, demuestre que las dos rectas tangentes se intersecan en el eje x, al igual que las dos rectas normales. 4.

Las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en los vértices y en los extremos del eje menor.

Solución Dado que los vértices están sobre el eje y, la elipse es vertical. 1.

V1 (0, − 5) y V2 (0, 5). Por tanto, 2a = 10; a = 5 . e=

Así,

c . a

3 c = . 5 5

Por tanto, c = 3 . Los focos son: F1 (0, − 3) y F2 (0, 3) . 2.

a 2 = b 2 + c 2 ; pero a = 5 y c = 3 . Por tanto, b = 4 . Como los focos están en el eje y, y el centro es el origen (¿por qué?), la ecuación es:

x2 y 2 + = 1. 16 25 3.

En los puntos de abscisa 2, x = 2 :

4 y2 + = 1. 16 25 De aquí se obtiene: y=±

5 3. 2

Hay dos puntos de abscisa 2 (figura 31.14):

5 ⎞ ⎛ ⎛ 5 ⎞ P1 ⎜ 2, − 3 ⎟ y P2 ⎜ 2, 3 ⎟. 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠

Geometría vectorial y analítica

553

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano

Figura 31.14

Las pendientes de las rectas tangente y normal en el punto P( x0 , y0 ) son, respectivamente: m=− mn =

a2 x0 . b2 y0

b2 y0 . a2 x0

Para P1 :

m=−

=

25 2 16 ⎛ 5 ⎞ 3⎟ ⎜− ⎝ 2 ⎠

5 3 . 12

La ortogonalidad entre las rectas tangente y normal nos lleva a: mn = −

4 3 . 5

Para P2 :

m=−

5 3 . 12

4 3 . 5 Las ecuaciones de las rectas son: mn =

Para P1 :

554

Módulo 31: La elipse

Recta tangente:

5 3 5 3 = ( x − 2), 2 12 5 3 10 3 y= x− . 12 3 y+

(1)

Recta normal:

5 3 4 3 ( x − 2), =− 2 5 4 3 9 3 . y=− x− 5 10 y+

(2)

Se deja al lector la obtención de las ecuaciones para las rectas tangente y normal a la curva en P2 : Recta tangente: 5 3 10 3 x+ . 12 3 Recta normal: y=−

y=

4 3 9 3 x+ . 5 10

(3)

(4)

Hallemos la intersección de las rectas tangentes a la elipse en P1 y P2 . Para ello resolvamos simultáneamente las ecuaciones (1) y (3): Igualando las ordenadas, se tiene: 5 3 10 3 5 3 10 3 . x− =− x+ 12 3 12 3

Multiplicando por

3

:

5 3 x x − 2 = − + 2. 4 4 Se obtiene así: x =8.

Sustituyendo x en (1): 5 3 10 3 8− 12 3 = 0.

y=

En consecuencia, las dos tangentes se intersecan en el punto (8, 0). Similarmente puede probarse que las dos rectas normales se intersecan en el punto

Geometría vectorial y analítica

555

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano

⎛ 9 ⎞ ⎜ − , 0 ⎟. ⎝ 8 ⎠ 4.

En los vértices, las rectas tangentes son horizontales. Por tanto, Tangente en V1 : y = −5. Tangente en V2 : y = 5. En ambos casos la recta normal es el eje y: x = 0 . En los puntos B1 y B2 , las rectas tangentes son verticales:

x = −4; x = 4. Las rectas normales son en ambos casos el eje x: y = 0.

31.4 Elipse con centro fuera del origen y ejes paralelos a los ejes coordenados Mantendremos la notación utilizada en los casos iniciales: 2a:

distancia entre los vértices V1 y V2 .

2c: 2b:

distancia entre los focos F1 y F2 . distancia entre los extremos del eje menor.

Además, b2 + c2 = a2 . Como el eje es paralelo a un eje, debemos considerar dos casos: „

Elipse horizontal: eje mayor paralelo al eje x.

„

Elipse vertical: eje mayor paralelo al eje y.

31.4.1 Elipse horizontal con centro C (h, k) En este caso ( figura 31.15), el eje focal es la recta y = k , mientras que el eje normal es la recta x = h.

556

Módulo 31: La elipse

Figura 31.15 ⎯→

Hagamos una traslación de ejes definida por el vector OC, teniendo en cuenta la

{ }

base ortonormal i, j para el espacio de los vectores libres en el plano. El punto C es el origen del nuevo sistema de coordenadas: x' − y' . Las coordenadas de P (un punto cualquiera en el plano) son: P ( x, y ) en el sistema original x − y . P( x ', y ') en el sistema nuevo x' − y' . ⎯→

→

→

⎯→

→

→

⎯→

→

OP = x i + y j . OC = h i + k j . →

CP = x' i + y' j .

Teniendo en cuenta que OP = OC + CP, se obtienen las relaciones: x = x' + h ⎫ ⎬ y = y' + k ⎭

(1)

x' = x − h ⎫ ⎬ y' = y − k ⎭

(2)

y

Estas relaciones, como se sabe del módulo anterior, permiten pasar de un sistema coordenado al otro. Si P ( x, y ) es un punto de la elipse, entonces en el sistema nuevo P( x' , y' ) . Como además el centro C es el origen del sistema nuevo, en éste se cumple: C (0, 0), F1 (−c, 0), F2 (c, 0), V1 (−a, 0), V2 (a, 0), B1 (0, − b) y B2 (0, b).

Geometría vectorial y analítica

557

Capítulo 9: Las cónica: un enfoque cartesiano La ecuación de la elipse, en el nuevo sistema, es:

( x' ) 2 ( y' ) 2 + 2 = 1. a2 b En el sistema original, esta ecuación se transforma en: ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 a2 b2

Esta es la ecuación canónica de la elipse horizontal con centro fuera del origen. En el sistema original se tiene: Centro: C (h, k ) . Focos: F1 (h − c, k ); F2 (h + c, k ). Vértices: V1 (h − a, k ); V2 ( h + a, k ) . Extremos del eje menor: B1 (h, k − b); B2 (h, k + b). Los ejes de la elipse son: Eje focal: la recta y = k. Eje normal: la recta x = h. La excentricidad de la curva sigue siendo e =

ρ=

c , y la longitud de cada lado recto es a

2b2 . a

31.4.2 Elipse vertical con centro C (h, k) Este caso se ilustra en la figura 31.16. Haciendo, como en el caso anterior, una traslación de ejes mediante el vector ⎯→

→

→

OC = h i + k j , se obtiene la ecuación canónica de la curva:

( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 b2 a2

Coordenadas de los puntos principales: Centro: C (h, k ). Focos: F1 (h, k − c); F2 (h, k + c). Vértices: V1 (h, k − a ); V2 (h, k + a ).

558

Módulo 31: La elipse Extremos del eje menor: B1 (h − b, k ); B2 (h + b, k ).

Figura 31.16

31.5 Rectas tangente y normal a la elipse con centro distinto al origen de coordenadas Recurriendo al teorema 1 y al concepto de traslación de ejes puede obtenerse el siguiente resultado: si una elipse tiene centro C (h, k ), y P ( x0 , y0 ) es un punto de ella, entonces: Elipse horizontal Si P no es un vértice: „

Pendiente de la recta tangente: m=−

„

b2 ( x0 − h) . a2 ( y0 − k )

Pendiente de la recta normal (siempre que P no esté en el eje normal): mn =

a2 ( y0 − k ) . b2 ( x0 − h)

Geometría vectorial y analítica

559

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano

b2 ( y0 − k ) . a2 ( x0 − h) a2 ( x0 − h) . b2 ( y0 − k )

y=k

V2 (h, k + a)

B2 (h + b, k )

( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 b2 a2 V1 (h, k − a)

Horizontal:

B1 (h − b, k )

V2 (h + a, k )

x=h

B2 (h, k + b)

„

Pendiente de la recta tangente: a2 ( x −h) m=− 2 0 . b ( y0 −k)

„

Pendiente de la recta normal: mn =

b2 ( y0 − k ) . a2 ( x0 − h)

−

a2 ( y0 − k ) . b2 ( x0 − h) b ( x0 − h) . a2 ( y0 − k ) −

( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 a2 b2 B1 (h, k − b)

V1 (h − a, k )

Ve r t i c a l :

P( x0 , y0 ) : mN P ( x0 , y0 ) : m

Si P no está en el eje normal:

2

Pendiente de la recta normal en Eje normal

Coordenadas de los vértices

Coordenadas de los extremos (eje menor)

Ecuación canónica

Pendiente de la recta tangente en

Elipse vertical

En la tabla 31.1 se resumen algunos elementos de la elipse de centro C ( h, k ) : En todos los casos se conservan algunos valores, sin importar si la elipse es horizontal o vertical: „

Distancia entre los vértices: 2a.

„

Distancia entre los focos: 2c.

„

Longitud del eje menor: 2b.

„

Relación entre estas tres cantidades: a2 = b2 + c2 .

„

c Excentricidad: e = . a

„

Longitud de cada lado recto: ρ =

2b 2 . a

31.6 Forma general de la ecuación de la elipse Transformemos la ecuación canónica de la elipse horizontal: ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + = 1. a2 b2 b 2 ( x − h) 2 + a 2 ( y − k ) 2 = a 2 b 2 .

De aquí se llega a:

560

x=h

Ve r t i c a l :

y=k

Horizontal:

Eje focal

Tabla 31.1

b 2 x 2 + a 2 y 2 − 2hb 2 x − 2ka 2 y + (b 2 h 2 + a 2 k 2 − a 2 b 2 ) = 0.

(1)

Similarmente, de la ecuación canónica de la elipse de eje vertical se obtiene: a 2 x 2 + b 2 y 2 − 2ha 2 x − 2kb 2 y + ( a 2 h 2 + b 2 k 2 − a 2 b 2 ) = 0.

(2)

Módulo 31: La elipse Las ecuaciones (1) y (2) tienen la misma forma general: Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0.

(3)

En esta forma general, A y C, coeficientes respectivos de x 2 y y 2 , son ambos positivos y distintos entre sí. ¿Qué sucede con una ecuación como la (3)? ¿Se trata de la ecuación de una elipse? Partiendo de la ecuación (3), con A y C positivos, podemos escribir: D ⎞ E ⎞ ⎛ ⎛ A ⎜ x 2 + x ⎟ + C ⎜ y 2 + y ⎟ + F = 0, A ⎠ C ⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎛ ⎛ D D ⎞ E E2 A ⎜ x2 + x + 2 ⎟ + C ⎜ y 2 + y + A C 4A ⎠ 4C 2 ⎝ ⎝

⎞ D2 E 2 + − F, ⎟= ⎠ 4 A 4C

D⎞ E ⎞ CD 2 + AE 2 − 4 ACF ⎛ ⎛ A⎜ x + . ⎟ +C⎜ y+ ⎟ = 2A ⎠ 2C ⎠ 4 AC ⎝ ⎝ 2

2

Dividiendo por AC (positivo): 2

2

D⎞ ⎛ E ⎞ ⎛ ⎜x+ ⎟ ⎜y+ ⎟ CD 2 + AE 2 − 4 ACF 2A ⎠ ⎝ 2C ⎠ ⎝ . + = 4 A2 C 2 C A

(4)

Sea S = CD 2 + AE 2 − 4 ACF . S es un discriminante que permite identificar el carácter del lugar geométrico definido por la ecuación (3): „

Si S > 0, el lugar geométrico es una elipse.

E ⎞ ⎛ D ,− En este caso, el centro es el punto de coordenadas ⎜ − ⎟ . Para ⎝ 2 A 2C ⎠ obtener la forma canónica basta dividir por

S . La dirección del eje 4 A2 C 2

focal (horizontal o vertical) depende de la relación entre A y C : si A < C , se trata de una elipse horizontal; si C < A, la elipse es vertical. „

Si S = 0, el lugar se reduce a un punto. ¿Cuál?

„

Si S < 0, la ecuación no tiene solución real para las variables x, y; por tanto, el lugar es vacío.

Nótese que en el primer caso, si A = C , el lugar es una circunferencia.

Geometría vectorial y analítica

561

Ejercicios propuestos 1.

Encuentre la longitud de la cuerda focal de la parábola x 2 + 8 y = 0 que es paralela a la recta 3x + 4 y − 7 = 0.

2.

Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice y los extremos del lado recto de la parábola x2 − 4 y = 0 .

3.

Una circunferencia cuyo centro es el punto (4, –1) pasa por el foco de la parábola x 2 + 16 y = 0. Demuestre que la circunferencia es tangente a la directriz de la parábola.

4.

Encuentre la ecuación de la parábola cuyo vértice es V(–4, 3) y cuyo foco es F(–1, 3). Halle además las ecuaciones de la directriz y el eje de la curva.

5.

Una parábola tiene por directriz la recta x + 5 = 0 y como vértice V(0, 3). Encuentre la ecuación canónica de la parábola.

6.

Para cada una de las dos ecuaciones siguientes haga la reducción a la forma canónica y determine para la parábola: las coordenadas del vértice y el foco, las ecuaciones de la directriz y el eje, y la longitud del lado recto. a.

4 y 2 + 48 x + 12 y − 159 = 0 .

b.

y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0).

7.

Cierta parábola tiene ecuación y = ax 2 + bx ( a ≠ 0). Halle la ecuación canónica de la curva, sabiendo que ésta pasa por (2, 8) y (–1, 5).

8.

Halle la ecuación de la parábola de vértice V(4, –1) que pasa por el punto (3, –3) y cuyo eje es la recta y + 1 = 0 .

9.

Demuestre que si una parábola tiene ecuación ( y − k ) 2 = 4 p ( x − h), entonces la longitud del radio vector de cualquier punto P( x0 , y0 ) de la curva es x0 − h + p .

10.

Encuentre la longitud del radio vector del punto de la parábola y 2 + 4 x + 2 y − 19 = 0 cuya ordenada es 3.

11.

Halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal de cada una de las parábolas siguientes en el punto dado. a.

x 2 − 6 x + 5 y − 11 = 0, en el punto de abscisa –2.

b.

y 2 + 5 x − 6 y − 11 = 0, en el punto de ordenada –2.

12.

Halle la ecuación de la recta tangente a la parábola x 2 + 4 x + 12 y − 8 = 0 que es paralela a la recta 3x + 9 y − 11 = 0 .

13.

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola y 2 − 2 x + 2 y + 3 = 0 que es perpendicular a la recta

2x + y + 7 = 0 .

536

14.

Halle las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde el punto P(–3, 3) a la parábola y 2 − 3 x − 8 y + 10 = 0 . Encuentre además el ángulo entre las dos rectas.

15.

Demuestre que las parábolas x 2 − 4 x + 8 y − 20 = 0 y x 2 − 4 x − 4 y + 4 = 0 son ortogonales entre sí en sus puntos de corte.

16.

Por un punto P de un parábola (P distinto del vértice) se traza una recta tangente a la curva. Sea Q el punto de intersección de la recta tangente en P y la recta tangente en el vértice. Demuestre que el segmento FQ es perpendicular a la tangente en P. Aquí, como en el resto del módulo, F es el foco.

17.

Demuestre que cualquier recta tangente a una parábola, excepto la tangente en el vértice, corta a la directriz y a la recta que contiene al lado recto en puntos equidistantes del foco.

18.

En un punto arbitrario P de una parábola, distinto del vértice, se trazan las rectas tangente y normal a la curva, las cuales cortan al eje de la curva en A y B, respectivamente. Demuestre que A, B y P equidistan del foco de la parábola.

19.

Demuestre que si una circunferencia tiene por diámetro una cuerda focal de una parábola, entonces dicha circunferencia es tangente a la directriz de la curva.

20.

Si desde un punto P exterior a una parábola se trazan tangentes a la curva, el segmento que une los puntos de tangencia se llama cuerda de contacto de P en la curva. Para la parábola ( x + 3) 2 = 4( y − 2), encuentre las coordenadas de los extremos de la cuerda de contacto del origen. Encuentre además la longitud de dicha cuerda.

Geometría vectorial y analítica

537

30 La parábola Introducción En la presentación del capítulo 9 se mencionó la parábola como una de las secciones cónicas: aquella que se obtiene al intersecarse una superficie cónica y un plano paralelo a una sola generatriz. No obstante, en este módulo se estudiará la parábola desde un punto de vista cartesiano. La parábola tiene muchas propiedades que la hacen de gran utilidad en diversas ramas de la ciencia (a manera de ejemplo: si un objeto se lanza con una dirección oblicua, su trayectoria es una parábola). Algunas de ellas son sus propiedades ópticas, que han permitido desarrollar la rama de la Física conocida como óptica. En este módulo presentaremos la parábola como un lugar geométrico en términos de distancias, deduciremos su ecuación canónica general y estudiaremos algunas de las propiedades más relevantes de esta curva, entre ellas las de las rectas tangente y normal, y la conocida como propiedad óptica.

Objetivos del módulo

Cuando las ondas (por ejemplo la luz, el sonido, las ondas de radio y la televisión, etc.) chocan contra un obstáculo experimentan un cambio de dirección o de sentido y vuelven al mismo medio del que proceden. A esta propiedad se le llama reflexión. La dirección de propagación de una onda se representa mediante líneas que se denominan rayos, y según la forma de la superficie en la que inciden así será la dirección de los rayos reflejados. Cuando la forma de dicha superficie es parabólica, todos los rayos que llegan paralelos al eje de la parábola se reflejan pasando por un mismo punto, llamado foco de la parábola. Esta es la propiedad fundamental en que se basan todos los ingenios parabólicos. Esta propiedad de reflexión en la parábola se utiliza en la construcción de antenas parabólicas para recepción de señales de televisión, en radares, radiotelescopios, etc.

1. Estudiar la parábola como un lugar geométrico definido en términos de distan cias a un punto y una recta dados, y estudiar su propiedad óptica.

Preguntas básicas 1. ¿Cómo se hace una traslación de un sistema de coordenadas? 2. ¿Cuál es la ecuación canónica de una parábola? 3. ¿Qué significado tienen las constantes que intervienen en la ecuación de una parábola? 4. ¿Cuántas clases de parábolas hay según su ubicación con respecto a los ejes coordenados? 5. ¿Qué condición debe satisfacer una ecuación de segundo grado para que represente una parábola? 6. ¿Cuál es la propiedad óptica de la parábola? 7. ¿Cómo se obtienen las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una parábola?

Vea el módulo 30 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

501

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano

Contenidos del módulo 30.1 Traslación de ejes 30.2 Elementos básicos de la parábola 30.2.1 Definición de parábola 30.2.2 Ecuación de la parábola 30.2.3 Rectas tangente y normal a la parábola 30.2.4 Propiedad óptica de la parábola 30.3 Parábola con vértice distinto del origen y eje focal diferente de los ejes coordenados 30.3.1 Parábola horizontal 30.3.2 Parábola vertical 30.4 Forma general de la ecuación de la parábola

502

Módulo 30: La parábola

30.1 Traslación de ejes Antes de abordar el estudio de la parábola introduzcamos el tema de la traslación de ejes, de gran importancia para comprender mejor las propiedades de esta curva, así como de la elipse y de la hipérbola. Supongamos definido en el plano un sistema de coordenadas cartesianas x-y, al cual llamaremos «sistema original» (SO). A partir de éste construiremos otro sistema al que llamaremos «sistema nuevo» (SN), mediante el movimiento del plano conocido como «traslación». Una traslación es una transformación del plano en la cual cada punto «recorre» el →

camino definido por un vector libre a .

Figura 30.1

En la figura 30.1 se tiene el SO de origen O y el SN de origen O’. El vector que define la traslación es: →

⎯→

a = OO′ .

Si el punto O’ tiene en el SO coordenadas ( x0 , y0 ), entonces: →

⎯→

→

→

a = OO ′ = x0 i + y0 j .

Un punto P del plano tiene coordenadas en cada sistema:

Geometría vectorial y analítica

503

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano

P( x, y ) en el SO y P( x′, y ′) en el SN. ⎯→

→

→

OP = x i + y j . ⎯→

→

→

O′P = x′ i + y ′ j . ⎯→

→

→

OO ′ = x0 i + y0 j . ⎯→

⎯→

⎯→

Pero O ′P = OP − OO′ .

Por tanto: →

→

→

→

→

→

→

→

x′ i + y ′ j = ( x i + y j ) − ( x0 i + y0 j ), →

→

x′ i + y ′ j = ( x − x0 ) i + ( y − y0 ) j .

En consecuencia,

x ' = x − x0 y ' = y − y0 .

(1)

Este sistema (1) permite hallar las coordenadas de un punto del plano en el «sistema nuevo», conocidas sus coordenadas en el «sistema original». Nota: como las traslaciones transforman rectas en rectas paralelas, los nuevos ejes x ', y ' son respectivamente paralelos a los ejes originales x, y. Ilustración 1 Consideremos un triángulo ABC que tiene vértices con coordenadas en un sistema cartesiano así: A(−3, 2), B (4, − 1) y C (−2, − 3). →

→

→

Si hacemos una traslación de ejes mediante el vector a = −3 i + j , tendremos: El origen O’ del SN tiene coordenadas en el SO así: O '(−3, 1) .

El sistema de transformación de coordenadas es:

x ' = x + 3, y ' = y − 1. Hallemos las coordenadas de A, B y C en el SN:

Para A : x ' = −3 + 3 = 0, y ' = 2 − 1 = 1. Para B : x ' = 4 + 3 = 7, y ' = −1 − 1 = −2.

504

Módulo 30: La parábola

Para C : x ' = −2 + 3 = 1, y ' = 3 − 1 = −4. Las coordenadas de los vértices del triángulo en el SN son: A(0, 1), B (7, − 2), C (1, − 4).

Nótese que tanto en el sistema original como en el nuevo las longitudes de los lados son: AB = 58;

BC = 40; CA = 26.

Lo anterior significa que la traslación de ejes no altera las distancias ni las formas (figura 30.2).

Figura 30.2

Del sistema (1) se puede pasar a:

x = x '+ x0 y = y '+ y0 .

(2)

En síntesis, se puede pasar del sistema original al sistema nuevo mediante (1), o del nuevo al original mediante (2). Con una traslación adecuada de los ejes coordenados es posible en muchos casos simplificar la ecuación de una curva. Ilustración 2 Cierta curva C tiene, en un sistema cartesiano x-y, la ecuación: x 3 − 3 x 2 − y 2 + 3x + 4 y − 5 = 0.

Geometría vectorial y analítica

505

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Si hacemos una traslación de ejes al origen O '(1, 2), se tiene:

x ' = x − 1, y ' = y − 2. Es decir,

x = x '+ 1, y = y '+ 2. La ecuación se transforma así: ( x '+ 1)3 − 3( x '+ 1) 2 − ( y '+ 2) 2 + 3( x '+ 1) + 4( y '+ 2) − 5 = 0.

Esta ecuación se simplifica así: ( x ')3 − ( y ') 2 = 0.

30.2 Elementos básicos de la parábola 30.2.1 Definición de parábola Sean δ una recta en el plano y F un punto del mismo y fuera de δ . El lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a δ es igual a su distancia a F se denomina parábola de foco F y directriz δ . En la figura 30.3 se ilustra esta definición.

Figura 30.3

El punto V, punto medio de V ' F , pertenece a la curva. El punto A está en la parábola Vea la animación La parábola en su multimedia de Geometría vectorial y analítica.

506

porque AA ' ≅ AF .

Módulo 30: La parábola Mediante un análisis cuidadoso de la definición pueden descubrirse algunas propiedades. Entre ellas: „

El punto V es el punto de la curva más cercano a la directriz. V se llama vértice de la parábola.

„

El foco F no pertenece a la curva.

„

La recta e que pasa por V y F es un eje de simetría de la curva; e se llama eje de la parábola.

„

La curva se extiende indefinidamente en el semiplano determinado por δ y que contiene a F.

Adicionalmente podemos definir otros elementos de la parábola: „

Un segmento que une dos puntos de la curva se denomina cuerda. En la figura 30.4, AB y RR ' son cuerdas de la parábola.

Figura 30.4 „

Una cuerda que pasa por el foco se llama cuerda focal.

„

Una cuerda focal perpendicular al eje (paralela a la directriz) se llama lado recto de la parábola. En la figura 30.4, RR ' es el lado recto de la parábola.

„

Un segmento que une el foco con un punto de la curva se denomina radio focal o radio vector del punto de la parábola. En la figura 30.4, FA , FB,

FR son radios focales de la parábola.

30.2.2 Ecuación de la parábola Consideraremos dos casos: parábola con eje paralelo al eje x, y parábola con eje paralelo al eje y. A la primera la llamamos parábola horizontal y a la segunda parábola vertical.

Geometría vectorial y analítica

507

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano a.

Parábola horizontal

Aquí distinguiremos dos posibilidades: el eje x es el eje de la curva, y el eje x no es el eje pero es paralelo a éste. Parábola horizontal con vértice en el origen de coordenadas El foco tiene coordenadas así: F ( p, 0). La abscisa p puede ser positiva o negativa (no puede ser nula). La directriz δ es la recta (paralela al eje y) de ecuación x = − p . Si p > 0, la curva «abre» hacia la derecha (figura 30.5).

Figura 30.5

Si p < 0, la curva «abre» hacia la izquierda (figura 30.6).

Figura 30.6

También se dice que la parábola es «cóncava» hacia la derecha (figura 30.5) o es «cóncava» hacia la izquierda (figura 30.6).

508

Módulo 30: La parábola Sea P(x, y) un punto sobre la parábola. Llamemos P ' el punto proyección de P sobre la directriz δ . P '(− p, y ). ⎯→ ⎯→ Determinemos P ' P y FP ⎯→

P ' P es la distancia de P a la directriz, en tanto que

⎯→

FP es la distancia

de P al foco de la parábola. ⎯→

⎯→

⎯→

P ' P ↔ ( x + p, 0); FP ↔ ( x − p, y ); P ' P = ( x + p ) 2 ; ⎯→

FP = ( x − p ) 2 + y 2 .

Obsérvese que todo lo anterior es válido, independientemente de la concavidad de la curva (a izquierda o derecha). Por la definición de parábola: ⎯→

⎯→

P ' P = FP . ( x + p)2 = ( x − p)2 + y 2 . Elevando ambos miembros al cuadrado se tiene: ( x + p)2 = ( x − p)2 + y 2 , ( x + p)2 − ( x − p)2 = y 2 , ( x + p + x − p )( x + p − x + p ) = y 2 .

Finalmente: y 2 = 4 px .

(1)

Esta es la ecuación canónica de la parábola horizontal con vértice en el origen. Nótese, en (1), que si p > 0, x sólo toma valores reales no negativos: x ∈ [0, + ∞). Es el caso de la parábola cóncava hacia la derecha. En cambio, si p < 0, x ∈ (−∞, 0]. Se trata de la parábola cóncava hacia la izquierda. Los puntos R y R′ (figura 30.7) determinan el lado recto de la parábola. RR ' pasa por el foco F de la parábola y es perpendicular al eje x (eje de la curva). R( p, y0 ) y R '( p, − y0 ).

De la ecuación (1) se obtiene:

y0 = 4 p 2 ; y0 = 2 p . RR ' es la longitud del lado recto de la parábola. En adelante lo denotaremos ρ.

En consecuencia:

Geometría vectorial y analítica

509

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano

ρ=4 p .

Figura 30.7

b.

Parábola vertical

Como en la parábola horizontal, debemos distinguir dos casos: el eje y es el eje de la curva y el eje y no lo es. Parábola vertical con vértice en el origen de coordenadas El foco tiene coordenadas así: F (0, p ) . Si la ordenada p es positiva, la parábola es cóncava hacia arriba (figura 30.8); si p es negativa, la parábola es cóncava hacia abajo (figura 30.9). En este caso, la directriz es paralela al eje x; se trata de la recta δ de ecuación: y = −p.

Si P(x, y) es un punto de la curva, mediante análisis similar al caso anterior se obtiene que la ecuación canónica de la parábola de vértice en el origen, foco (0, p) y directriz y = − p, es: x 2 = 4 py .

En este caso, si p > 0, y ∈ [0, + ∞); si p < 0, y ∈ (−∞, 0].

510

(2)

Módulo 30: La parábola

Figura 30.8

Figura 30.9

30.2.3 Rectas tangente y normal a la parábola Consideremos en primer lugar la parábola con vértice en el origen y con el eje x como eje focal (figuras 30.10 y 30.11).

Figura 30.10

Geometría vectorial y analítica

511

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano

Figura 30.11

Recuérdese que la parábola tiene foco F ( p, 0) y ecuación: y 2 = 4 px.

Sea P( x0 , y0 ) un punto de la curva distinto del vértice. Llamemos t a la recta tangente a la curva en P, y n a la recta normal a la curva en el mismo punto. Las rectas t y n son perpendiculares. Si m es la pendiente de la recta tangente a la curva en P, puede probarse que: m=

2p . y0

Nótese que en el caso de la parábola cóncava hacia la derecha (p > 0), si P está encima del eje x, la recta tangente tiene pendiente positiva; si P está por debajo del eje x, la recta tangente tiene pendiente negativa. Análisis similar puede hacerse para el caso de la parábola cóncava hacia la izquierda (p < 0). La pendiente de la recta normal n a la curva en P es: mn = −

y0 . 2p

Aplicando la ecuación punto-pendiente para la recta se obtiene: Recta tangente: y − y0 =

2p ( x − x0 ). y0

Recta normal: y − y0 = −

y0 ( x − x0 ). 2p

En el caso del vértice de la parábola, V(0, 0), la recta tangente es el eje y ( x = 0), y la recta normal a la curva es el eje x ( y = 0).

512

Módulo 30: La parábola Analicemos ahora el caso de la parábola con vértice en el origen y con el eje y como eje focal (figuras 30.12 y 30.13). El foco de la parábola es F(0, p) y la ecuación de la curva es: x2 = 4 py.

Figura 30.12

Figura 30.13

Si el punto P ( x0 , y0 ) de tangencia es diferente del origen puede demostrarse que la pendiente de la recta tangente t en P es: m=

x0 . 2p

En este caso la pendiente de la recta normal en P es: mn = −

2p . x0

Geometría vectorial y analítica

513

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Las ecuaciones son, en consecuencia: x0 Recta tangente: y − y0 = 2 p ( x − x0 ).

Recta normal: y − y0 = −

2p ( x − x0 ). x0

En el vértice de la parábola, V(0, 0), la recta tangente es el eje x ( y = 0) y la recta normal es el eje y ( x = 0). Ilustración 3 Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje focal es el eje x pasa por el punto A(−2, 4). Encuentre: a. b. c. d. e.

La ecuación canónica de la curva. Las coordenadas del foco. La ecuación de la directriz. La longitud del lado recto. Las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en A.

Haga además un esbozo de la gráfica. Solución a.

La ecuación es de la forma y 2 = 4 px. Como A(−2, 4) pertenece a la curva, se tiene: 42 = 4 p ( −2).

Por tanto, p = −2 . La ecuación de la curva es: y 2 = −8 x .

b.

Las coordenadas del foco son F (−2, 0). Significa que la curva es cóncava hacia la izquierda.

c.

La directriz es la recta vertical x = 2 .

d.

La longitud del lado recto es ρ = 4 p .

ρ = 4(−2) = 8.

514

Módulo 30: La parábola e.

En A(−2, 4), la pendiente de la recta tangente es: m=

2 p 2( −2) = . y0 4

= −1.

La pendiente de la recta normal en A es: mn = 1.

Por tanto, las ecuaciones son: Recta tangente: y − 4 = −1( x + 2), y = − x + 2. Recta normal: y − 4 = 1( x + 2), y = x + 6. Esbozo de la gráfica (figura 30.14):

Figura 30.14

30.2.4 Propiedad óptica de la parábola La parábola tiene una interesante propiedad de aplicación en la Física. Si por un punto de la parábola, distinto del vértice, se trazan el radio vector del punto y una paralela l al eje de la curva, entonces la recta normal a la curva en el punto es bisectriz del ángulo formado por el radio vector y la paralela l. Demostremos esta propiedad (figura 30.15):

Geometría vectorial y analítica

515

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano

Figura 30.15

En la figura 30.15, n es la recta normal a la parábola en el punto T; t es la recta tangente; l es una recta paralela al eje focal y pasa por T; r es el radio focal de T; θ1 es el ángulo entre r y n; θ 2 , el ángulo entre n y l. T ( x0 , y0 ); F ( p, 0). mr =

y0 y ; mn = − 0 ; ml = 0. x0 − p 2p

Se sabe que: tan θ1 =

mn − mr 1 + mn mr

y0 y0 − 2 p x0 − p = ⎛ y ⎞ ⎛ y0 ⎞ 1+ ⎜ − 0 ⎟⎜ ⎟ ⎝ 2 p ⎠ ⎝ x0 − p ⎠ −

= − y0

x0 + p . 2 p ( x0 − p ) − y02

Pero y02 = 4 px0 ,

tan θ1 = y0 = Por otra parte,

516

x0 + p 2 px0 + 2 p 2

y0 . 2p

(1)

Módulo 30: La parábola tan θ 2 =

ml − mn 1 + ml mn

y0 2p = ⎛ −y ⎞ 1 + (0) ⎜ 0 ⎟ ⎝ 2p ⎠ y = 0. 2p 0+

(2)

De (1) y (2) se sigue que θ1 = θ2 . En consecuencia, la recta normal n es bisectriz del ángulo formado por r y l. Por lo anterior, y por propiedades de la luz al reflejarse, si se instala una fuente luminosa en el foco de una parábola los rayos inciden en ésta y se reflejan siguiendo direcciones paralelas al eje de la curva (figura 30.16).

Figura 30.16

Ilustración 4 Cierta parábola vertical tiene vértice en el origen. La curva pasa por el punto (−6, −3). Demuestre que las rectas normales a la curva en los extremos del lado recto forman con éste ángulos de 45º y además concurren en el eje y, y son perpendiculares entre sí. Solución La ecuación de la curva es de la forma: x 2 = 4 py .

Por lo tanto, (−6) 2 = 4 p (−3), p = −3.

Geometría vectorial y analítica

517

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano La parábola tiene foco F (0, −3) y abre hacia abajo (figura 30.17).

Figura 30.17

La ecuación canónica de la curva es: x 2 = −12 y.

Los extremos ( R ' y R) del lado recto están alineados con el foco y forman un segmento ( R ' R) perpendicular al eje focal. Por tanto, R ' y R tienen ordenada p. Así, x2 = 4 p2 , x = ±2 p ; x = ±6.

Por tanto, R '(−6, − 3) y R (6, − 3).

Se sabe que en un punto P ( x0 , y0 ) de la curva, distinto del vértice, la pendiente de la normal es: mn = −

2p . x0

Llamemos n’ y n a las rectas normales a la curva en R’ y R, respectivamente.

518

Módulo 30: La parábola 2(−3) ; −6 2(−3) ; mn = − 6 mn ' = −

mn ' = −1. mn = 1.

Lo anterior significa que n ' y n forman con el eje x ángulos de 45º. Las ecuaciones de las dos rectas normales son:

n':

y = − x − 9.

n:

y = x − 9.

Hallemos la intersección de las dos rectas:

− x − 9 = x − 9, x = 0, y = −9. Las dos rectas coinciden, en consecuencia, en el punto (0, −9), el cual está en el eje y. Además, por las pendientes se puede deducir que las dos rectas son perpendiculares entre sí.

30.3 Parábola con vértice distinto del origen y eje focal diferente de los ejes coordenados 30.3.1 Parábola horizontal Consideremos la parábola de vértice V(h, k) y que tiene como eje focal la recta y = k (figura 30.18).

Figura 30.18

Hagamos una traslación de ejes de modo que el nuevo origen, O ', sea el vértice V.

Geometría vectorial y analítica

519

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano De esta manera, en el sistema x ', y ', V (0, 0). Supongamos que en el nuevo sistema, F(p, 0). Según lo estudiado en este módulo, la ecuación de la curva en el nuevo sistema es: ( y ') 2 = 4 px '.

(1)

La relación entre el sistema nuevo y el sistema original es:

x ' = x − h. y ' = y − k. Así, en el sistema original la ecuación canónica general de la parábola es: ( y − k ) 2 = 4 p ( x − h) .

(2)

En el sistema nuevo, F(p, 0). Por ello, en el sistema original: F (h + p, k ).

(3)

En el sistema nuevo, la ecuación de la directriz es:

x ' = − p. En el sistema original la ecuación de esta recta es: x = h− p.

(4)

Nótese que p es la distancia entre el vértice y el foco de la parábola. Como antes, si p > 0, la parábola abre hacia la derecha; si p < 0, abre hacia la izquierda.

30.3.2 Parábola vertical Sea V(h, k) el vértice de la curva; x = h, la ecuación del eje focal (figura 30.19). Procediendo como en el caso anterior, se obtiene: Ecuación canónica general de la parábola: ( x − h) 2 = 4 p ( y − k ) .

520

Módulo 30: La parábola Coordenadas del foco: F (h, k + p). Ecuación de la directriz: y = k − p. Como antes, p es la distancia entre el foco y el vértice de la curva. Hallemos, para los dos casos, la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado P( x0 , y0 ) distinto del vértice.

Figura 30.19

Caso de la parábola horizontal Con la traslación de ejes, la pendiente de la recta tangente en P es: m=

2p . y0 '

Aquí, y0 ' es la ordenada del foco en el nuevo sistema. Pero y0 ' = y0 − k. Por tanto, en el sistema original la pendiente de la tangente es: m=

2p . y0 − k

Caso de la parábola vertical Similarmente, para la parábola vertical, la pendiente de la recta tangente en un punto P ( x0 , y0 ) es: m=

x0 − h . 2p

Todo lo visto acerca de la parábola se resume en la tabla 30.1, en cuya última columna se lee la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto (x0, y0).

Geometría vectorial y analítica

521

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Nótese que si h = k = 0, se tiene el caso de la parábola con vértice en el origen y cuyo eje focal es uno de los ejes coordenados.

Tabla 30.1

Vértice

Foco

Directriz

Eje

Ecuación canónica

Pendiente

Parábola horizontal

V ( h, k )

F ( h + p, k )

x = h− p

y=k

( y − k ) 2 = 4 p ( x − h)

2 p ( y0 − k )

Parábola vertical

V ( h, k )

F (h, k + p)

y=k−p

x=h

( x − h) 2 = 4 p ( y − k )

( x0 − h) 2 p

30.4 Forma general de la ecuación de la parábola Consideremos la ecuación canónica general de una parábola horizontal: ( y − k ) 2 = 4 p ( x − h).

Esta ecuación puede transformarse en: y 2 − 4 px − 2ky + ( k 2 + 4 ph) = 0.

Llamemos: C = 1; D = −4 p; E = −2k ; F = k 2 + 4 ph. La ecuación pasa a ser: Cy 2 + Dx + Ey + F = 0.

Procediendo similarmente, la ecuación canónica general de una parábola vertical adquiere la forma Ax2 + Dx + Ey + F = 0. Las dos ecuaciones obtenidas son casos particulares de la ecuación general: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. Ahora bien, dada una ecuación de la forma Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, se obtendrá la ecuación canónica de una parábola bajo las siguientes condiciones: a.

Si A = 0, C ≠ 0, D ≠ 0, se trata de una parábola horizontal.

b.

Si A ≠ 0, C = 0, E ≠ 0, se tiene una parábola vertical.

Veamos el primer caso: La ecuación original es: Cy 2 + Dx + Ey + F = 0.

522

Módulo 30: La parábola Sean: D1 =

D E F ; E1 = ; F1 = . C C C

La ecuación es ahora: y 2 + D1 x + E1 y + F1 = 0. 2 ⎛ 2 E2 ⎞ ⎛E ⎞ ⎞ ⎛ ⎜ y + E1 y + ⎜ 1 ⎟ ⎟ + ⎜ D1 x + F1 − 1 ⎟ = 0, ⎜ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝

⎛ E1 ⎞ F1 E12 ⎞ ⎛ + + + − y D x ⎟ = 0, 1⎜ ⎜ D1 4 D1 ⎠ 2 ⎟⎠ ⎝ ⎝ 2

⎛ E1 ⎞ F1 E12 ⎞ ⎛ ⎜ y + 2 ⎟ = − D1 ⎜ x + D − 4 D ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ 1 1 ⎠ 2

Hagamos k = −

E1 E2 F ; 4 p = − D1 ; h = 1 − 1 . 2 4 D1 D1

Se obtiene la ecuación: ( y − k ) 2 = 4 p ( x − h),

que es la ecuación canónica de una parábola horizontal. Similarmente puede procederse con el segundo caso. Debe aclararse que no es necesario memorizar fórmulas como las aquí obtenidas. En cada caso basta usar el procedimiento descrito. La ecuación Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 se denomina forma general de la ecuación de la parábola (si se cumplen las condiciones dadas en a en b). Ilustración 5 Considere la ecuación 4 y 2 − 24 x − 20 y + 97 = 0. a.

Pruebe que se trata de una parábola horizontal.

b.

Encuentre las coordenadas del vértice y del foco y la ecuación de la directriz.

c.

Halle, además, la longitud del lado recto de la curva.

Geometría vectorial y analítica

523

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Solución a.

Debe empezarse por hacer que y 2 tenga coeficiente uno (1). Para ello dividimos por 4: y2 − 5 y − 6x +

97 = 0, 4

2 ⎛ 2 97 25 ⎛5⎞ ⎞ ⎜⎜ y − 5 y + ⎜ ⎟ ⎟⎟ = 6 x − + , 4 4 ⎝2⎠ ⎠ ⎝ 2

5⎞ ⎛ ⎜ y − ⎟ = 6 x − 18, 2⎠ ⎝ 2

5⎞ ⎛ ⎜ y − ⎟ = 6( x − 3). 2⎠ ⎝ En consecuencia, se trata de la ecuación de una parábola horizontal.

b.

3 ⎛ 5⎞ Según este resultado, el vértice de la parábola es V ⎜ 3, ⎟ ; p = ; el foco 2 ⎝ 2⎠ 5 3 5⎞ ⎛ ⎛9 5⎞ es F ⎜ 3 + , ⎟ ; es decir, F ⎜ , ⎟ . El eje de la curva es la recta y = , 2 2 2⎠ ⎝ ⎝2 2⎠

mientras que la directriz es la recta x = 3 −

3 3 ; o sea, x = . 2 2

El lado recto es un segmento R ' R cuyos extremos están en la curva que pasa por el foco y es perpendicular al eje de la parábola:

⎛9 ⎞ ⎛9 ⎞ R ' ⎜ , y1 ⎟ y R ⎜ , y2 ⎟ . ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ Sustituyendo en la ecuación de la curva x =

2

5⎞ ⎛ ⎛9 ⎞ ⎜ y − ⎟ = 6⎜ − 3⎟ 2⎠ ⎝ ⎝2 ⎠ ⎛3⎞ = 6 ⎜ ⎟ = 9, ⎝2⎠ 5 y − = ±3 2 5 y = ± 3, 2 5 1 y1 = − 3 = − ; 2 2 5 11 y2 = + 3 = . 2 2

524

9 , se tiene: 2

Módulo 30: La parábola Los extremos del lado recto son los puntos:

1⎞ ⎛9 ⎛ 9 11 ⎞ R '⎜ , − ⎟ y R ⎜ , ⎟. 2⎠ ⎝2 ⎝2 2 ⎠ R'R =

11 ⎛ 1 ⎞ −⎜− ⎟ , 2 ⎝ 2⎠

ρ = 6. Esta es la longitud del lado recto de la parábola. Recuérdese que ρ = 4 p . En la figura 30.20 se observa la gráfica de la curva.

Figura 30.20

Geometría vectorial y analítica

525

Ejercicios propuestos 1.

Demuestre que la longitud del eje menor de una elipse es media proporcional entre las longitudes del eje mayor y el lado recto de la curva.

2.

Demuestre que en toda elipse el semieje menor es media proporcional entre los dos segmentos del eje mayor determinados por uno de los focos.

3.

Encuentre e identifique la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de las ordenadas de los puntos de la circunferencia x 2 + y 2 = 9 .

4.

Los focos de una elipse son los puntos ( −4, −2 ) y ( −4, −6 ). Sabiendo que la longitud de cada lado recto de la curva es 6, encuentre: a. b. c. d. e. f. g.

La ecuación canónica de la curva. La forma general de la ecuación de la curva. Las coordenadas de los vértices. Las coordenadas de los extremos del eje menor. Las coordenadas de los extremos de cada lado recto. Las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva en cada uno de los extremos de los dos lados rectos. Las ecuaciones de las rectas normales a la curva en cada uno de los extremos de los dos lados rectos.

Grafique la curva. 5.

Los vértices de una elipse son los puntos (1, − 6) y (9, − 6) . Cada lado recto de la curva tiene longitud 9 2. Encuentre la ecuación canónica y la ecuación en forma general de la curva.

6.

Una elipse tiene centro en el punto ( −2, − 1) y uno de sus vértices es el punto (3, − 1) . Sabiendo que la longitud de cada lado recto es 4, encuentre la ecuación canónica de la curva y todo lo pedido en el ejercicio 4.

7.

Una elipse tiene centro en (−2, 4); además, el vértice y el foco de un mismo lado del centro son, respectivamente, los puntos (−2, − 4) y (−2, − 2). Encuentre todo lo pedido en el ejercicio 4.

8.

9. 10.

570

Para cada una de las ecuaciones de segundo grado dadas a continuación determine si se trata de una elipse, un punto único o un conjunto vacío. En caso de que sea una elipse encuentre la ecuación canónica y las coordenadas del centro y las ecuaciones del eje focal y el eje normal. a.

x 2 + 4 y 2 − 6 x + 16 y + 21 = 0.

b.

4 x 2 + y 2 + 16 x − 6 y + 25 = 0.

c.

9 x 2 + 4 y 2 − 8 x − 32 = 0.

d.

4 x 2 + 5 y 2 − 8 x + 6 = 0.

⎛ 3⎞ Encuentre la ecuación canónica de una elipse que pasa por los puntos (1, 3), (−1, 4), (−3, 3) y ⎜⎜ 0, 3 − 2 ⎟⎟ . ⎝ ⎠

Una ecuación como 4 x 2 + 9 y 2 + dx + gy − 11 = 0 representa una familia de elipses. Habrá tantas elipses como valores adecuados se den a d y g. Encuentre la ecuación canónica de la elipse de la familia que pasa por los puntos (2, 3) y (5, 1).

11.

La ecuación de una familia de elipses es nx 2 + 4 y 2 + 6 x − 8 y − 5 = 0. Encuentre las ecuaciones de los elementos de la familia que tienen excentricidad igual a 1 2.

12.

Encuentre las longitudes de los radios vectores del punto (2, 1) de la elipse 9 x 2 + y 2 − 18 x − 2 y + 1 = 0.

13.

Cierta cuerda de la elipse x 2 + 4 y 2 − 6 x − 8 y − 3 = 0 tiene como punto medio (5, 2). Encuentre la ecuación de la recta que contiene a dicha cuerda.

14.

Encuentre e identifique la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de modo que su distancia al eje y es igual al doble de su distancia al punto (3, 2).

15.

Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde el punto (3, − 1) a la elipse 2 x 2 + 3 y 2 + x − y − 5 = 0.

16.

Encuentre el ángulo agudo de intersección de las elipses 3 x 2 + 4 y 2 − 43 = 0 y 4 x 2 + y 2 − 32 x + 56 = 0, en uno de los puntos comunes a las dos curvas.

17.

Demuestre que las rectas tangentes a una elipse trazadas en los extremos de un diámetro son paralelas entre sí.

18.

Demuestre que la pendiente de una elipse en cualquiera de los extremos de un lado recto tiene como valor absoluto la excentricidad de la curva.

Geometría vectorial y analítica

571

32 La hipérbola

Introducción La cuarta de las secciones cónicas es la hipérbola, la cual se obtiene al intersecarse una superficie cónica y un plano paralelo al eje de aquélla, pero que no contiene a dicho eje. Como sucede con las demás secciones cónicas, la hipérbola es rica en propiedades que la hacen de gran utilidad en muchas ramas de la ciencia. Como la parábola y la elipse, la hipérbola tiene propiedades ópticas que han permitido desarrollar muchas aplicaciones en la rama de la Física conocida como óptica. En este módulo presentaremos la hipérbola como un lugar geométrico en términos de distancias, obtendremos su ecuación canónica general y estudiaremos algunas de las propiedades más importantes de la curva, entre ellas las de las rectas tangente y normal, y la conocida como propiedad óptica. La hipérbola se distingue de las otras secciones cónicas por el hecho de que es la única que tiene asíntotas, esto es, rectas con las cuales tiende a confundirse la curva cuando la variable independiente crece indefinidamente.

Los cometas se pueden describir como «bolas de nieve sucia». Se cree que se originan en la región conocida como nube de Oort, localizada aproximadamente a un año luz de distancia del Sol. Están constituidos por un núcleo que aparece como un punto brillante, rodeado de una nube de apariencia circular, transparente y débilmente luminosa, denominada coma (cabellera): cuando un cometa se acerca al Sol, parte del núcleo se evapora para formarla. Muchos cometas exhiben también una cola en forma de un largo haz luminoso, orientado siempre en dirección contraria al Sol. A veces, los cometas se ven expulsados de la nube de Oort y caen hacia el Sol. La atracción gravitacional de un planeta puede atraparlo en una órbita muy elíptica que lo llevará periódicamente a la proximidad del Sol (es el caso del conocido cometa Halley, que tiene un periodo de 76 años). Otros cometas pueden alcanzar órbitas parabólicas abiertas o hiperbólicas y pasarán una vez cerca del Sol para perderse para siempre fuera del Sistema Solar.

Objetivo del módulo 1. Estudiar la hipérbola como un lugar geométrico en términos de distancias a dos puntos dados y analizar su propiedad óptica.

Preguntas básicas 1. ¿Cuál es la ecuación canónica de una hipérbola? 2. ¿Qué representan las constantes que intervienen en la ecuación de una hipérbo la? 3. ¿Cuántas clases de hipérbolas hay según su ubicación con respecto a los ejes coordenados? 4. ¿Cuál es la propiedad óptica de la hipérbola? 5. ¿Cómo se obtienen las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una hipérbo la? 6. ¿Qué es una hipérbola equilátera? 7. ¿Qué son hipérbolas conjugadas? 8. ¿Cómo se obtienen las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola? Vea el módulo 32 del programa de televisión Geometría vectorial y analítica

Geometría vectorial y analítica

573

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano

Contenidos del módulo 32.1 Caracterización de la hipérbola 32.1.1 Definición de hipérbola 32.1.2 Propiedades básicas de la hipérbola 32.1.3 Elementos de la hipérbola 32.2 Ecuación de la hipérbola 32.2.1 Hipérbola con centro en el origen y focos en el eje x 32.2.2 Hipérbola con centro en el origen y focos en el eje y 32.3 Hipérbola equilátera 32.4 Hipérbolas conjugadas 32.5 Rectas tangente y normal a una hipérbola 32.6 Hipérbola con centro distinto al origen 32.6.1 Hipérbola horizontal 32.6.2 Hipérbola vertical 32.7 Forma general de la ecuación de la hipérbola 32.8 Propiedad focal de la hipérbola

574

Módulo 32: La hipérbola

32.1 Caracterización de la hipérbola 32.1.1 Definición de hipérbola Sean F1 y F2 puntos diferentes en el plano; a, un real positivo. Se llama hipérbola de focos F1 y F2 al lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los focos es 2a.

32.1.2 Propiedades básicas de la hipérbola Sea f la recta que contiene los focos (figura 32.1).

Figura 32.1

Llamemos 2c la distancia entre los focos. Claramente, a < c, puesto que si c = a, la curva se reduciría a los focos, y si c < a, el lugar sería vacío. Sean V1 y V2 dos puntos de la recta f tales que V1 está entre F1 y V2 , y V2 entre V1 y F2 . Puede probarse fácilmente que si FV 1 1 = V2 F2 = c − a, y V1V2 = 2 a, entonces V1 y V2 son puntos del lugar geométrico. Además, V1 y V2 son los únicos puntos de la curva sobre la recta f.

Sean v1 y v2 las rectas del plano perpendiculares a f en V1 y V2 , respectivamente (figura 32.2). Sea Q un punto del plano, comprendido entre las rectas v1 y v2 . Puede probarse que Q no puede pertenecer a la hipérbola, pues QF1 − QF2 < 2a.

Vea la animación La hipérbola en su multimedia de Geometría vectorial y analítica. Figura 32.2

Geometría vectorial y analítica

575

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Lo anterior significa que la hipérbola está formada por dos ramas: una, en el semiplano de borde v1 y que contiene a F1 , y la otra en el semiplano de borde v2 y que contiene a F2 . Puede demostrarse además que: „

La recta f es eje de simetría de la curva.

„

La recta perpendicular a f en el punto medio de F1 F2 es otro eje de simetría de la curva.

„

El punto medio del segmento F1 F2 es centro de simetría de la hipérbola.

32.1.3 Elementos de la hipérbola La hipérbola tiene los siguientes elementos básicos (figura 32.3).

Figura 32.3

576

„

Focos: son los puntos F1 y F2 (la distancia entre ellos es 2c).

„

Vértices: son los puntos V1 y V2 de la curva sobre f (la distancia entre ellos es 2a).

„

Eje focal: la recta f que pasa por los focos y los vértices.

„

Eje transverso: el segmento V1V2 (su longitud es 2a).

„

Centro: el punto medio C del eje transverso (su distancia a cada foco es c).

„

Eje normal: la recta n perpendicular al eje focal en el centro de la curva.

Módulo 32: La hipérbola „

Eje conjugado: el segmento B1 B2 perpendicular al eje focal y cuyo punto medio es C. Su longitud es 2b y se define así:

a 2 + b 2 = c 2 (recuérdese que c > a). „

Cuerda: todo segmento que une dos puntos de la hipérbola: V1V2 , MN y

PQ son cuerdas. „

Cuerda focal: es una cuerda que pasa por un foco. MN y S Q son cuerdas focales.

„

Lado recto: cada una de las dos cuerdas focales perpendiculares al eje focal. MN y M ´N´ son los dos lados rectos de la hipérbola.

„

Diámetro: toda cuerda que pase por el centro C. V1V2 y HL son diámetros.

„

Radio vector: cada segmento que une un punto de la hipérbola con un foco.

QF1 y QF2 son los radios vectores del punto Q. Cada punto de la hipérbola tiene dos radios vectores. V1 F1 y V1F2 son los radios vectores del vértice V1 .

32.2 Ecuación de la hipérbola 32.2.1 Hipérbola con centro en el origen y focos en el eje x En este caso, el eje focal es el eje x, en tanto que el eje y es el eje normal (figura 32.4). Por el hecho de que el eje focal es horizontal, a esta curva la denominaremos hipérbola horizontal.

Figura 32.4

Sean F1 (−c, 0) y F2 (c, 0) los focos de la curva.

Geometría vectorial y analítica

577

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano

Si P( x, y ) es un punto del plano, entonces P pertenece a la curva si y sólo si ⎯→

⎯→

F1 P − F2 P = 2a.

Determinemos ⎯→

⎯→

⎯→

⎯→

F1 P y F2 P; F1 P ↔ ( x + c, y ); F2 P ↔ ( x − c, y ). ⎯→

⎯→

F1 P = ( x + c) 2 + y 2 ; F2 P = ( x − c) 2 + y 2 .

Sustituyendo en la ecuación se tiene: ⎯→

⎯→

F1 P − F2 P = 2a.

Esto es,

( x + c) 2 + y 2 − ( x − c) 2 + y 2 = 2a.

(1)

Esta ecuación es equivalente a: ( x + c ) 2 + y 2 − ( x − c ) 2 + y 2 = 2a, o

(2)

( x + c) 2 + y 2 − ( x − c) 2 + y 2 = −2a.

(3)

Nótese que se trata de la disyunción entre las expresiones (2) y (3). La primera ecuación es equivalente a: ( x + c ) 2 + y 2 = ( x − c ) 2 + y 2 + 2a.

Elevando al cuadrado: ( x + c) 2 + y 2 = ( x − c) 2 + y 2 + 4a 2 + 4a ( x − c) 2 + y 2 .

De aquí que: −( a 2 − cx) = a ( x − c) 2 + y 2 .

Elevando nuevamente al cuadrado y reorganizando: c2 x2 − a2 x2 − a2 y 2 = a2c2 − a4 .

(4)

La segunda de las dos ecuaciones en que se descompone (1) conduce a este mismo resultado. En síntesis, la ecuación (1) conduce a (4).

578

Módulo 32: La hipérbola De (4) se obtiene: (c 2 − a 2 ) x 2 − a 2 y 2 = a 2 (c 2 − a 2 ).

Teniendo en cuenta que a 2 + b 2 = c 2 , se pasa a: b2 x 2 − a 2 y 2 = a 2b2 .

Dividiendo por a 2 b 2 : x2 y2 − = 1. a 2 b2

(5)

Esta es la ecuación canónica de la hipérbola con centro en el origen de coordenadas y con el eje x como eje focal. Hagamos un breve análisis de esta ecuación: „

Interceptos con los ejes: Eje x: V1 (− a, 0) y V2 (a, 0). Eje y: la curva no tiene puntos en el eje y (¿por qué?).

„

Dominio y rango: y=±

b 2 x − a2 . a

De aquí que x ≤ −a o x ≥ a . Es decir, el dominio es: { x ∈ R : x ∈ (−∞, a] o x ∈ [a, + ∞)} . Esto significa que en la porción del plano separada por las rectas x = − a y x = a (sin incluirlas) no hay puntos de la hipérbola. Por otra parte, x=±

a b

y 2 + b2 .

Por tanto, el rango es: { y ∈ R } = (−∞, + ∞). La curva se extiende pues, indefinidamente, hacia arriba y hacia abajo.

Geometría vectorial y analítica

579

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano

„

Lado recto: Sea R1 R2 el lado recto de la hipérbola, correspondiente al foco F2 (figura 32.5).

R1 y R2 tienen abscisa c. Por tanto, y = ±

b2 . a

Figura 32.5

⎛ ⎛ b2 ⎞ b2 ⎞ Así, R1 ⎜ c, − ⎟ y R2 ⎜ c, ⎟ . a ⎠ ⎝ ⎝ a ⎠

La longitud del lado recto es, por tanto,

ρ=

2b2 . a

Nótese la similitud con la longitud del lado recto de la elipse. „

Excentricidad: c e= . a

Teniendo en cuenta que c > a, se deduce que: e > 1. „

Asíntotas: Las rectas y =

b b x e y = − x son asíntotas de la curva. En efecto, consideremos a a

la rama derecha superior de la curva y la recta y =

580

b x: a

Módulo 32: La hipérbola La ecuación de la rama superior derecha es: y=

b 2 x − a2 . a

Sea F ( x ) =

b 2 b x − a 2 − x. a a

b lim ⎡ x 2 − a 2 − x ⎤ ⎦ a x →+∞ ⎣ 2 2 2 ⎡ x −a −x ⎤ b = lim ⎢ ⎥ a x →+∞ ⎣ x 2 − a 2 + x ⎦

lim F ( x) =

x →+∞

=

⎡ ⎤ −a 2 b lim ⎢ ⎥ 2 2 x →+∞ a ⎣ x −a + x⎦

⎡ ⎤ a2 ⎢ − ⎥ b x ⎥ = lim ⎢ ⎥ a x →+∞ ⎢ a2 ⎢ 1 − 2 + 1⎥ x ⎣ ⎦ = 0. Esto prueba que al crecer x, la rama derecha superior de la hipérbola y la b x tienden a confundirse (figura 32.6). Por ello se dice que dicha a recta es una asíntota de la hipérbola.

recta y =

Figura 32.6

Hagamos un breve análisis de la excentricidad de la hipérbola, partiendo del hecho de que a 2 + b 2 = c 2 .

Geometría vectorial y analítica

581

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano Supongamos c fijo (fijos los focos). Sabemos que c e= . a

Si e es cercano a 1 (uno), entonces a es cercano a c y por ende b es próximo a cero. b x tiene pendiente muy pequeña, lo que significa que a dicha recta es muy poco inclinada. Esto hace que cada rama de la hipérbola sea bastante aplanada. En caso contrario, esto es, una excentricidad muy alejada de 1 (uno), la hipérbola es poco aplanada. En la figura 32.7 se aprecia una hipérbola con excentricidad próxima a 1 (uno), en tanto que en la figura 32.8 se observa una hipérbola de excentricidad muy superior a 1.

En este caso, la asíntota y =

Figura 32.7

Figura 32.8

32.2.2 Hipérbola con centro en el origen y focos en el eje y Ahora el eje focal es el eje y, mientras que el eje normal es el eje x. En adelante, a esta hipérbola la llamaremos vertical (figura 32.9). Sean F1 (0, − c) y F2 (0, c) los dos focos de la hipérbola. Un punto P( x, y ) del plano pertenece a la curva si

582

Módulo 32: La hipérbola ⎯→

⎯→

PF2 − PF1 = 2a.

Es decir, P está en la hipérbola si

x 2 + ( y − c) 2 − x 2 + ( y + c) 2 = 2a. Un tratamiento similar al de la hipérbola horizontal conduce a la ecuación canónica de la curva: y 2 x2 − = 1. a2 b2

Las constantes a, b, c tienen el mismo significado que en la hipérbola horizontal: Los vértices son V1 (0, − a) y V2 (0, a) . Además: a2 + b2 = c2 .

Figura 32.9

Analicemos la ecuación canónica de la hipérbola vertical. „

Interceptos con los ejes: Eje x: la curva no tiene puntos en el eje x (¿por qué?). Eje y: V1 (0, − a) y V2 (0, a) .

„

Dominio y rango: Dominio: { x ∈ R} = (−∞, + ∞). La curva se extiende indefinidamente a izquierda y derecha. Rango: { y ∈ R : y ∈ (−∞, − a] o y ∈ [a, + ∞)} . Se desprende que las dos ramas de la curva están separadas por las rectas y = −a, y = a.

„

Lado recto: su longitud es, como en el caso anterior: Geometría vectorial y analítica

583

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano

ρ=

2b2 . a

c . La excentricidad tiene interpretación similar a la de la a hipérbola horizontal.

„

Excentricidad: e =

„

Asíntotas: son las rectas y=

a a x; y = − x. b b

32.3 Hipérbola equilátera Una hipérbola es equilátera si sus ejes transverso y conjugado tienen igual longitud; es decir, si a = b. La ecuación canónica de una hipérbola equilátera es: x 2 − y 2 = a 2 (hipérbola horizontal). y 2 − x 2 = a 2 (hipérbola vertical).

En ambos casos las asíntotas son las rectas: y = x; y = − x.

Debido a que estas rectas son perpendiculares entre sí, a la hipérbola equilátera se le llama también «rectangular». Recuérdese que dichas rectas son, respectivamente, bisectriz del primero y tercer cuadrantes y bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes. En la figura 32.10 se muestra una hipérbola equilátera vertical.

Figura 32.10

Puede probarse fácilmente que toda hipérbola equilátera tiene excentricidad e=

584

2 ≈ 1, 4142.

Módulo 32: La hipérbola

32.4 Hipérbolas conjugadas Dos hipérbolas son conjugadas si cada una tiene por eje transverso el eje conjugado de la otra. En este caso se dice que cada hipérbola es la conjugada de la otra. Es claro que si dos hipérbolas son conjugadas y una es vertical, entonces la otra es horizontal. Si la ecuación de una hipérbola es

x2 y 2 − = 1, a 2 b2 entonces la ecuación de su conjugada es:

y2 x2 − = 1. b2 a2 Estas dos hipérbolas tienen las mismas asíntotas: las rectas y=

a a x, y = − x . b b

En la figura 32.11 se muestran dos hipérbolas conjugadas. Los vértices de la horizontal son V1 (− a, 0) y V2 (a, 0). Los vértices de la conjugada son B1 (0, −b) y B2 (0, b) .

Figura 32.11

32.5 Rectas tangente y normal a una hipérbola Para la hipérbola existe un teorema similar al que se enunció para la elipse y que permite determinar las pendientes de las rectas tangente y normal a la curva en un punto dado. Teorema 1 Sea P( x0 , y0 ) un punto de un hipérbola de centro en el origen. a.

Si la hipérbola es horizontal y P no es un vértice, entonces las pendientes de

Geometría vectorial y analítica

585

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano las rectas tangente y normal a la curva en P son, respectivamente, m=

b2 x0 . a2 y0

mN = −

b.

a 2 y0 . b2 x0

Si la hipérbola es vertical entonces la pendiente de la recta tangente es m=

a 2 x0 , b 2 y0

y si además P no es un vértice, entonces la pendiente de la recta normal es mN = −

b2 y0 . a 2 x0

32.6 Hipérbola con centro distinto al origen Consideremos ahora una hipérbola de centro C (h, k ) .

32.6.1 Hipérbola horizontal En este caso, la recta y = k es el eje focal, en tanto que la recta x = h es el eje normal (figura 32.12).

Figura 32.12 ⎯→

Una traslación de ejes mediante el vector OC conduce a que si en el sistema original P( x, y ) y en el sistema nuevo P ( x´, y´), entonces:

x = x′ + h, y = y′ + k. Esto lleva a que en el sistema nuevo el centro tiene coordenadas C (0, 0) y el eje x´ es el eje focal, por lo cual la ecuación canónica es:

586

Módulo 32: La hipérbola

( x' ) 2 ( y' )2 − 2 = 1. a2 b En consecuencia, en el sistema original la ecuación canónica es: ( x − h) 2 ( y − k ) 2 − = 1. a2 b2

En el sistema original, los vértices y los focos tienen coordenadas así: Focos: F1 (h − c, k ), F2 (h + c, k ). Vértices: V1 (h − a, k ), V2 (h + a, k ). Las dos asíntotas son, como antes, dos rectas que pasan por el centro C (el origen del nuevo sistema) y sus pendientes respectivas son: m1 =

b b ; m2 = − . a a

De este modo, las ecuaciones de las asíntotas, en el sistema original, son: b ( x − h), a b ( y − k ) = − ( x − h). a ( y − k) =

32.6.2 Hipérbola vertical Ahora la recta x = h es el eje focal y la recta y = k es el eje normal (figura 32.13). Un tratamiento similar al de la hipérbola horizontal conduce a que la ecuación canónica de la curva es: ( y − k ) 2 ( x − h) 2 − = 1. a2 b2

Geometría vectorial y analítica

587

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano

Figura 32.13

Los focos y los vértices tienen, en el sistema original, coordenadas así: Focos: F1 (h, k − c), F2 (h, k + c). Vértices: V1 (h, k − a ), V2 (h, k + a ). Las dos asíntotas son, como en los casos anteriores, dos rectas que pasan por el centro C (el origen en el sistema x '− y ' ) y sus respectivas pendientes son: m1 =

a a ; m2 = − . b b

Así, las ecuaciones de las asíntotas, en el sistema original, son: a ( x − h), b a ( y − k ) = − ( x − h). b ( y − k) =

El teorema sobre las rectas tangente y normal a la hipérbola puede extenderse así: Teorema 3 Sea P ( x0 , y0 ) un punto de una hipérbola de centro C (h, k ) . a.

Si la hipérbola es horizontal y P no es un vértice, entonces las pendientes de las rectas tangente y normal a la curva en P son, respectivamente, m=

b2 ( x0 − h) , a2 ( y0 − k )

mN = −

b.

588

a2 ( y0 − k ) . b2 ( x0 − h)

Si la hipérbola es vertical, entonces la pendiente de la recta tangente en P es:

Coordenadas de los focos

V1 ( h − a , k )

Coordenadas de los vértices Ecuación del eje focal

x=h

Ecuación del eje normal

a 2 + b2 = c 2 .

Longitud de cada lado recto: ρ =

y=k

c Excentricidad: e = . a

b 2 ( x0 − h) a 2 ( y0 − k )

y0 ≠ k

−

−

a 2 ( y0 − k ) b 2 ( x0 − h)

x0 ≠ h

b 2 ( y0 − k ) a 2 ( x0 − h)

(hipérbola horizontal)

x0 ≠ h

( x − h) 2 ( y − k )2 − =1 a2 b2

a 2 ( x0 − h) b 2 ( y0 − k ) y0 ≠ k

Hemos visto que si una hipérbola tiene centro C (h, k ), entonces tiene por ecuación canónica:

o ±

±

b a

a b

Pendiente de la Pend. de la Pend. de las recta tangente recta normal asíntotas

2b 2 . a

32.7 Forma general de la ecuación de la hipérbola

Ecuación

y=k

x=h

Longitud del eje transverso: 2a. Longitud del eje conjugado: 2b.

Tabla 32.1

F1 (h − c, k )

Tanto en la hipérbola horizontal como en la vertical se tiene:

( x − h)2 ( y − k )2 − =1 a2 b2

Resumamos en la tabla 32.1 las propiedades básicas de la hipérbola.

V2 (h + a , k )

La excentricidad tiene la misma interpretación que se hizo antes.

( y − k )2 ( x − h)2 − =1 a2 b2

c e= . a

F2 (h + c, k )

y la excentricidad es:

V1 ( h , k − a )

V2 (h , k + a )

2b2 , a

F1 (h, k − c)

ρ=

F2 (h, k + c)

Tanto para la hipérbola horizontal, como para la vertical, la longitud del lado recto continúa siendo:

Coordenadas del centro

b2 ( y0 − k ) . a 2 ( x0 − h )

Eje focal

mN = −

C (h, k )

y si además P no es un vértice, entonces la pendiente de la recta normal en P es:

C (h, k )

a2 ( x0 − h ) , b2 ( y0 − k )

Horizontal

Vertical

m=

Geometría vectorial y analítica

589

Capítulo 9: Las cónicas: un enfoque cartesiano

( y − k )2 ( x − h) 2 − =1 2 a b2

(hipérbola vertical).

Cualquiera de las dos ecuaciones puede llevarse a la forma cuadrática general: Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0,

(1)

en la cual A y C tienen signos opuestos. Ahora bien, si se tiene una ecuación de la forma (1), con A y C de signos contrarios, ella puede llevarse a la forma A( x − h) 2 + C ( y − k ) 2 = β .

(2)

Un breve análisis de la ecuación (2) conduce a lo siguiente: a.

Si β = 0, la ecuación (2) representa dos líneas rectas.

b.

Si β > 0 , entonces: „

Si A > 0, la curva es una hipérbola horizontal de centro C (h, k ) .

„

Si A < 0, la curva es una hipérbola vertical de centro C (h, k ) .

32.8 Propiedad focal de la hipérbola La hipérbola, como la parábola y la elipse, tiene una propiedad focal que se enuncia así: Teorema 4 La recta tangente a una hipérbola en cualquier punto es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de dicho punto. La prueba es similar a la hecha para la elipse y se deja al lector.

590

es decir, me = −

2 x0 . y0

(1)

La ecuación canónica de la hipérbola es: y 2 −

x2 = 1. 4

Esta hipérbola es también vertical, y para ella: a = 1; b = 2.

En un punto ( x0 , y0 ) de la hipérbola, la pendiente de la recta tangente es: mh =

es decir, mh =

a 2 x0 , b 2 y0

x0 . 4 y0

(2)

Hallemos las intersecciones de la elipse y la hipérbola. Para ello resolvamos simultáneamente las ecuaciones: 2 x 2 + y 2 = 10, 4 y 2 − x2 = 4.

Se obtienen los siguientes puntos comunes:

P1 (2, 2); P2 (2, − 2); P3 (−2, 2); P4 (−2, − 2). En el punto de intersección P1 , la pendiente de la recta tangente es: Para la elipse: me = −

2(2)

Para la hipérbola: mh =

2

; me = −

4

; mh =

2 . 4

2 4 2

2

.

Claramente, me ⋅ mh = −1. Por tanto, en P1 las curvas son ortogonales entre sí. Similarmente puede procederse para los puntos restantes: P2 , P3 y P4 .

598

Ejercicios propuestos 1.

A continuación se dan las ecuaciones de dos hipérbolas. Para cada una encuentre las coordenadas del centro, los vértices y los focos. Encuentre además las longitudes de los ejes transverso y conjugado, así como la excentricidad y la longitud de cada lado recto. Dibuje la curva. a.

4 x 2 − 9 y 2 = 36.

b.

y 2 − 4 x 2 = 4.

2.

Cierta hipérbola tiene por vértices V1 (−2, 0) y V2 (2, 0) y como focos F1 (−3, 0) y F2 (3, 0) . Halle la ecuación canónica y la excentricidad de la curva.

3.

Una hipérbola tiene centro en el origen, y su eje conjugado está sobre el eje x. La hipérbola pasa por el punto (−1, 2) y cada uno de sus lados rectos mide 2/3. Halle la ecuación canónica de la curva.

4.

A continuación se describen tres hipérbolas mediante algunos de sus elementos. Encuentre la ecuación canónica de cada curva. a. b.

Focos: (−7, 3), (−1, 3); longitud del eje transverso: 4. Vértices: (1, 4), (5, 4); longitud del lado recto: 5.

c.

Vértices: (3, 4), (3, − 2); excentricidad: 2.

5.

Demuestre que en toda hipérbola la longitud del eje conjugado es media proporcional entre las longitudes del eje transverso y del lado recto.

6.

Sea P ( x0 , y0 ) un punto cualquiera de la hipérbola b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2 b 2 . Demuestre que los radios vectores de P miden ex0 + a y ex0 − a ; e es la excentricidad de la curva.

7.

La base de un triángulo tiene por extremos los puntos E (3, 0) y G (−3, 0). El vértice opuesto a EG es variable y se denota H. Halle e identifique la ecuación del lugar geométrico del punto H, sabiendo que el producto de las pendientes de EH y GH es siempre igual a 4.

8.

El punto Q ( x1 , y1 ) está sobre la parte inferior de la rama derecha de la hipérbola b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2 b 2 . Demuestre que la recta bx + ay = 0 es asíntota de la rama derecha.

9.

Encuentre los puntos de intersección de la recta 2 x − 9 y + 12 = 0 con las asíntotas de la hipérbola 4 x 2 − 9 y 2 = 11 .

10.

Demuestre que si las asíntotas de una hipérbola son perpendiculares entre sí, entonces la hipérbola es equilátera.

11.

Demuestre que en toda hipérbola equilátera el producto de las distancias de un punto cualquiera de la curva a las asíntotas es constante.

12.

Demuestre que si dos hipérbolas son conjugadas, entonces sus focos están sobre una circunferencia.

Geometría vectorial y analítica

599

13.

La hipérbola b 2 x 2 − a 2 y 2 = a 2 b 2 tiene excentricidad e. Si su hipérbola conjugada tiene excentricidad e2 , demuestre que: e1 b = . e2 a

14.

Demuestre que si e1 y e2 son las respectivas excentricidades de dos hipérbolas conjugadas, entonces: e12 + e22 = e12 e22 .

15.

Cierta hipérbola tiene como vértices los puntos V1 (−2, − 4) y V2 (−2, 2). Su lado recto mide 2. Encuentre la ecuación canónica de la curva, así como las coordenadas del centro y de los focos. Encuentre además la excentricidad de la curva y las ecuaciones de sus asíntotas.

16.

Para cierta hipérbola los focos son los puntos F1 (4, − 8) y F2 (4, − 2) y su eje transverso mide 4. Halle la ecuación canónica de la curva, las coordenadas del centro y las de los vértices. Halle además la longitud del eje conjugado de la curva.

17.

A continuación se dan tres ecuaciones de segundo grado. Determine, en cada caso, si se trata de una hipérbola. En caso afirmativo, encuentre la ecuación canónica y las coordenadas del centro, los vértices y los focos. Encuentre además la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas. a.

4 x 2 − 9 y 2 + 32 x + 36 y + 64 = 0 .

b.

4 y 2 − 9 x 2 + 36 x + 32 y + 28 = 0 .

c.

x 2 − 9 y 2 − 4 x + 36 y − 41 = 0.

18.

Encuentre la ecuación canónica de la hipérbola que pasa por el punto (4, 6), tiene eje focal paralelo al eje x y sus asíntotas son las rectas 2 x + y − 3 = 0 y 2 x − y − 1 = 0 .

19.

Encuentre e identifique la ecuación del lugar geométrico del punto del plano que se mueve de modo que:

20.

21.

a.

Su distancia al punto (3, 2) es tres veces su distancia a la recta y + 1 = 0.

b.

Su distancia al punto (2, −1) es el doble de su distancia a la recta x + 2 = 0.

A continuación se dan las ecuaciones de dos hipérbolas y un punto P de cada una. En cada caso encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en P. a.

2 y 2 − 3 x 2 − 6 y − 4 x + 12 = 0; P (2, 4).

b.

3 x 2 − 2 y 2 + 3 x − 4 y − 12 = 0; P (2, 1).

Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la hipérbola x 2 − 2 y 2 + 4 x − 8 y − 6 = 0 que son paralelas a la recta 4 x − 4 y + 11 = 0 .

22.

600

Demuestre que la elipse x 2 + 3 y 2 = 6 y la hipérbola x 2 − 3 y 2 = 3 tienen los mismos focos. Dos curvas como estas se llaman «cónicas homofocales».

Ejercicios de resumen. Lugares geométricos y cónicas 1.

2.

Halle la ecuación correspondiente al conjunto de puntos que se describe en cada caso. a. b. c d.

Conjunto de puntos del plano que equidistan del punto (5, − 2) y de la recta de ecuación y = 6. Conjunto de puntos del plano tales que la suma de sus distancias de cada punto a (4, 7) y a (4, 10) es igual a 9. Conjunto de puntos del plano tales que la distancia de cada punto a (6, 0) es la mitad de su distancia al eje y. Conjunto de puntos del plano tales que la distancia de cada punto a (4, 6) es 3/7 de su distancia a la recta x = − 3.

e.

Conjunto de puntos del plano tales que la distancia de cada punto a (4, 3) sea 5/3 de su distancia a y = − 2.

f.

Conjunto de puntos del plano tales que la diferencia de las distancias de cada punto a (−2, 6) y a (−2, −1) es igual a 2.

Indique el lugar geométrico representado por las siguientes ecuaciones e inecuaciones, especificando en las cónicas los elementos básicos que las identifican: foco(s), centro, vértice(s), excentricidad, etc. a.

2 x2 − 5x − x2 = 8 + x2 .

b.

2 x 2 − 3 y 2 − 6 x − 4 y + 12 = 0 .

c.

x 2 + 10 y + y 2 − 2 x + 25 = 0 .

d.

3x2 −5x + y =−8 + 3x2 − 4z .

e.

x 2 + y 2 + 10 y − 2 x = 10 y − 5 .

f.

5 x 2 + 5 y 2 + 10 x − 40 y + 75 ≤ 0 .

g.

y 2 + 2 y − 4 x + 13 = 0 .

h.

x 2 + y 2 + z 2 − x − 6 y + 9 = −3 /10 .

i.

4 y 2 − x2 + 8 y + 6x − 9 = 0 .

j.

x2 + y2 + z2 + 2x − 2z + 7 = 0 .

k.

x2 + y2 + z2 − 6z + 6 ≤ 0 .

l.

x2 + y 2 + z 2 − 4 x + 6 y + 9 = 0 .

m.

16 x 2 − 9 y 2 − 32 x + 16 = 0 .

n.

9 x 2 + y 2 −18 x − 2 y + 1 = 0 .

o.

x 2 − 8 x + 3 y + 10 = 0 .

p.

x 2 + 2 y − 4 x + 13 = 0 .

Nota: en el ejercicio anterior el lector encontrará lugares que no corresponden necesariamente a secciones cónicas, pero que se pueden determinar con los elementos teóricos expuestos en el texto. Se busca de esta forma ejercitar las actividades de análisis y el establecimiento de relaciones.

Geometría vectorial y analítica

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