LIBRO-DE-GEOMETRIA-PREUNIVERSITARIA-NIVEL-UNI.pdf

Capítulo

1

ÁNGULOS

Definición : Es la figura geométrica determinada por la reunión de dos rayos no alineados que tienen el mismo origen.

A

O

º

1. Vértice : O

Elementos

2. Lados : OA y OB B

Notación :

ˆB * Ángulo AOB : ) AOB, AO * Medida del ángulo AOB : m ) AOB =

Región Interior de un ángulo

. Región Exterior de un ángulo

Clasificación de los Ángulos por su Medida :

* Ángulo Agudo

* Ángulo Recto

* Ángulo Obtuso

º

º

º 0º < º < 90º

90º < º < 180º

º = 90º

Bisectriz de un ángulo :

N A º º

O

bisectriz

º º B

M

L bisectriz

Ángulos Adyacentes :

Ángulos Consecutivos :

º

aº bº º

cº dº

Observaciones :

º

º

º º

º

º

º

º º

º+ º+ º+ º = 180º

Ángulos Complementarios

º+ º+ º+ º+ º = 360º

Ángulos Suplementarios

º

bº aº

º

aº + bº = 90º

º + º = 180º

Ángulos Adyacentes Suplementarios :

B

B

A

O

C

Los ángulos AOB y BOC también se les denomina par lineal.

A

O

C

Las bisectrices de todo par lineal son perpendiculares.

Ángulos Opuestos por el vértice

º º

º

º

Observaciones : Es necesario recordar los siguientes ángulos comprendidos entre rectas paralelas.

* Alternos Internos

* Correspondientes

* Conjugados

º º

º º

º

º= º

º

º= º

* Si : L1 // L2

º + º = 180º

* S Sii : L1 // L2 L1

a b

aº

L1

xº

c L2

º+ º+ º+ = aº+bº+cº

bº

xº = aº + bº

L2

Test de aprendizaje preliminar 01. Si: OM es bisectriz del ángulo AOB, calcule "xº".

04. Calcule "xº", si : L 1 // L2 . L1

3xº

A

80º

M

O

5xº+40º

2xº

L2

B

05. Si : L 1 // L2 , calcule "xº".

02. Calcule "xº".

4xº+20º

L1

4xº 80º

3xº+50º

3xº 60º

L2

º

03. Calcule : 2 .

06. Si : L 1 // L2 , calcule "xº".

60º 3 º 2 º

120º 3 º

L1

xº xº xº

L2

07. En el gráfico, las medidas de los ángulos AOB y BOC

10. Calcule "xº".

son suplementarios y la m ) AOC = 80°. Calcule la m ) AOB. C

B

3xº

80º

100º xº

A

O

Practiquemos : 08. Si : L 1 // L2 , calcule :

º º º

11. Se tienen los ángulos AOB y BOC consecutivos y miden 20° y 30° respectivamente. Calcule la medida del ángulo que forman sus bisectrices.

º.

L1

º º

100º

º

º

L2

12. El doble del complemento de la medida de un ángulo es 120°. ¿Cuánto mide el ángulo?

09. Si : L 1 // L2 , calcule "xº".

xº 60º

L1 13. Si un ángulo es el doble de su suplemento, ¿Cuánto mide el ángulo?

100º L2

14. La diferencia de la medida de dos ángulos consecutivos AOB y BOC es 80°. Calcule la m ) DOB, si : OD es bisectriz del ángulo AOC.

19. Se tiene los ángulos consecutivos AOB; BOC y COD, tal que : m ) AOD = 148° y m ) BOC = 36°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.

15. ¿Cuánto mide el ángulo formado por las bisectrices de dos ángulos adyacentes y complementarios?

20. Se trazan los rayos coplanares y consecutivos OA , OB , OC y OD , determinándose los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOA que miden 90°, 7 , 10 y 100°. Calcule el complemento de .

16. Si al complemento de un ángulo se le disminuye 10°, éste resulta ser el suplemento del triple del ángulo. Calcule el complemento de la mitad del ángulo.

Problemas propuestos 21. Si : L 1 // L2 , calcule "xº". 17. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, tal que los ángulos AOC y AOB son complementarios; m ) AOD + m ) AOB = 120°. Calcule la m ) DOC.

L1

xº+aº 40º 3xº 20+aº 160º

a) 18° d) 10° 18. El doble de la medida un ángulo es mayor que otro en 30°. Si los ángulos son conjugados internos comprendidos entre rectas paralelas, ¿En cuánto se diferencian las medidas de estos ángulos?

b) 16° e) 25°

22. Si : L 1 // L2 , calcule

º

º

c) 15°

.

º+100º

L1

130º º º a) 10° d) 20°

b) 15° e) 30°

L2

c) 25°

L2

23. Si la sexta parte del suplemento del complemento de un ángulo es igual a 1/3 de 9° menos que su complemento, calcule la medida del ángulo. a) 32° d) 24°

b) 16° e) 30°

28. Si : L 1 // L2 , calcule "xº".

º

c) 48°

xº

24. Un ángulo mide los 2/3 de un ángulo recto y otro ángulo los 4/5 de un ángulo recto, calcule el complemento de su diferencia. a) 30° d) 48°

L1

5 º 4 º

º

b) 78° e) 60°

º

º

º

L2

c) 18° a) 154° d) 144°

25. Calcule : "xº", si : L1 // L 2 .

c) 130°

29. En el gráfico, calcule "xº", siendo :

xº

L 1 // L2 .

L1

2xº

b) 115° e) 120°

L1

4x º º

º

xº 2xº

a) 80° d) 20°

º

L2

b) 18° e) 75°

º

c) 70°

3xº a) 35° d) 45°

26. Si : L 1 // L2 , calcule "xº". º

L1

2 º

L2

b) 20° e) 37°

c) 30°

30. Calcule "xº", si : L 1 // L2 .

xº

3xº

2 º

2xº

L2

º

L1

º º

º a) 90° d) 40°

b) 70° e) 30°

c) 60°

a) 18° d) 30°

27. Si : L 1 // L 2 , calcule "xº".

b) 9° e) 20°

L2 c) 27°

31. Si : L 1 // L2 , calcule "xº".

6x º 120º

xº

L1

xº

L2

L2 xº a) 10° d) 30°

b) 20° e) 45°

c) 25°

a) 15° d) 22°

b) 10° e) 22°30'

c) 12,5°

32. Si : L 1 // L2 , calcule : a° + b° + c° + d° + e°.

37. Si : L 1 // L 2 , calcule el máximo valor entero de "xº", siendo el ángulo CAB agudo. A

dº

aº

L1

bº

L1

B

C

eº

2x

cº L2

L2 a) 180° d) 360°

b) 520° e) 720°

c) 480°

33. Si : L 1 // L2 , calcule "xº". L1

34º

48º b) 48° e) 49°

L2 c) 82°

b) 45° e) 160º

b) 60° e) 135°

b) 7 e) 10

39. Si : AB // DC ,

m ) BAQ m ) DCQ

b) 30° y 90° e) 40° y 80°

3 y 2

m ) AQC = 100°, calcule el complemento del ángulo DCQ. B

A

Q

D

c) 120°

a) 20° d) 70°

C b) 60° e) 80°

c) 50°

40. Calcule "xº", siendo : L 1 // L2 .

L1

36. La diferencia de las medidas de dos ángulos es 40° y el triple del suplemento del ángulo doble del primero es igual al duplo del complemento del suplemento del ángulo triple del segundo. Calcule la medida de dichos ángulos. a) 60° y 60° d) 70° y 50°

c) 8

c) 90°

35. El doble del complemento de un ángulo aumentado en el triple del suplemento del doble de dicho ángulo nos da 480°. Calcule el suplemento de la medida de dicho ángulo. a) 30° d) 150°

c) 16°

38. Dados los rayos consecutivos : OA 1 , OA 2 , OA 3 , .... OA n , contenidos en un mismo plano, donde "n" ángulos consecutivos y la suma de 2 ángulos consecutivos es siempre agudo. Calcule el menor valor entero que puede tener "n"?

34. El doble del complemento de un ángulo sumado con el suplemento de otro ángulo es igual al suplemento del primer ángulo. Calcule la suma de las medidas de dichos ángulos. a) 100° d) 180°

b) 17° e) 12°

a) 6 d)9

xº

a) 34° d) 98°

a) 18° d) 15°

3xº

xº

L2

c) 45° y 75° a) 60° d) 135°

b) 75° e) 140°

c) 105°

41. Calcule "xº", si : aº + bº = 50° y L 1 // L2 .

º 78 y L 1 // L2 , calcule "xº". xº

xº

120º

L1

45. En el gráfico : º

º

80º

L1 º

bº aº

L2 a) 40° d) 60°

b) 50° e) 65°

º

L2

º

c) 70°

a) 76° d) 90°

42. En el gráfico, el rayo OP es bisecriz del ángulo AOD, siendo : m ) POC - m ) BOP = 20°.

b) 78° e) 82°

c) 70°

46. En el gráfico, calcule el mínimo valor entero de "xº".

Calcule m ) AOB - m ) COD. B

A

P

xº C

D

O a) 22° d) 10°

b) 40° e) 20°

c) 25°

a) 46° d) 56°

b) 48° e) 63°

c) 54°

43. En el gráfico, calcule el máximo valor entero de "yº". 47. Si : L 1 // L2 , calcule "xº".

L1 xº- 2yº a) 50° d) 40°

2

3yº+ xº

b) 35° e) 52°

xº

c) 41°

L2

44. Si : L 1 // L2 y n //m, calcule "xº".

a) 143° d) 135° n C

4x

3

b) 127° e) 165°

c) 150°

48. Si : L 1 // L2 , calcule "xº". Si : º

54º L1

º 220 .

º

L1

3 m x

a) 20° d) 35°

b) 30° e) 40°

39º

xº L2

3

L2

º

c) 33° a) 10° d) 40°

b) 20° e) 50°

c) 30°

49. Si : L 1 // L2 y

º

a) 23° d) 36°

º 110 , calcule "xº".

º

L1

xº

b) 28° e) 75°

c) 63°

54. Del gráfico, calcule el máximo valor entero impar de "xº", si " " es la medida de un ángulo agudo..

x L2

º

a) 35° d) 30°

b) 45° e) 25°

xº

c) 40°

50. Calcule la razón aritmética del máximo y mínimo valor entero que puede tomar "xº", si " " es la medida de un ángulo agudo, en el gráfico L 1 // L2 .

a) 100° d) 133°

b) 120° d) 145°

c) 130°

55. Del gráfico, calcule el valor de " " cuando "x" toma su mínimo valor entero par. Si : L 1 // L2 .

L1

xxº

L1

xº

xº 83º

L2 a) 90° d) 88°

b) 85° e) 86°

c) 87°

51. Del gráfico, calcule el valor de la razón aritmética entre x e y, cuando "xº" toma su mínimo valor entero.

L2 a) 34° d) 29°

b) 32° e) 30°

c) 28°

56. Según el gráfico, calcule "xº", si : L 1 // L2 .

44º xº-yº 5xº a) 8° d) 5°

b) 3° e) 6°

a) 44° d) 52°

b) 45° e) 54°

x

2yº+xº c) 4°

52. Si un ángulo mide 180° es dividido en "n" ángulos consecutivos y congruentes : 1 , 2 , 3 , .... n , calcule la medida del ángulo que forman las bisectrices de 5 y 8 , sabiendo que las bisectrices de 3 y n 2 son perpendiculares.

L2

121º

a) 66° d) 70°

b) 85° e) 80°

c) 77°

57. Calcule "xº", si : L1 // L2 // L3 y a° - b° = 36°. L1

aº

c) 48°

53. Sean : AOB, BOC, COD, DOE y EOF ángulos consecutivos tales que : m ) AOF = 154° y m ) AOD = m ) BOE = m ) COF.. Calcule la m ) BOC, si la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo COD y el rayo OE es igual a 54°.

L1

L2

ºº bº

xº

a) 54° d) 63°

b) 72° e) 52°

L3

c) 36°

58. Si el suplemento del complemento de la mitad del mayor ángulo que forman la bisectriz del ángulo adyacente a un ángulo " " y el lado no común es 140°, calcule " " . a) 10° d) 20°

b) 12° e) 30°

(6a a 2 ) .

x

L3 L1

x 110º 55º

L5 L4 L6 L2

y

b) 180° e) 245°

Siendo : x

c) 15°

59. En el gráfico : L1 // L2 , L3 // L4 , L5 // L6 , calcule : xº+yº.

a) 170° d) 235°

60. En el gráfico, calcule ( ) , cuando "x" sea máximo.. x

c) 210°

a) 0° d) 36°

b) 39° e) 30°

c) 35°

Claves 21.

d

41.

c

22.

e

42.

d

23.

d

43.

b

24.

b

44.

c

25.

b

45.

b

26.

c

46.

a

27.

d

47.

d

28.

d

48.

c

29.

b

49.

a

30.

c

50.

d

31.

e

51.

c

32.

e

52.

e

33.

d

53.

a

34.

d

54.

d

35.

a

55.

d

36.

e

56.

c

37.

c

57.

d

38.

d

58.

d

39.

c

59.

d

40.

d

60.

b

Capítulo

2

TRIÁNGULOS

Definición :

F B

Elementos

1. Vértices : A, B, C 2. Lados : AB, BC y AC 3. Ángulos

E

Notación :

C

A

ABC ,

) A, < ) B, < )C Interiores : < ) ) < < Exteriores : EAB, FBC,R+r A

O

L1

B

*

Ci rcunfere ncia s Ta ngentes Exte riores

r

L2

T

R *

Centro : O

*

Radio : OB

*

Diámetro : BC

*

Cuerda : EF

*

Arco : EB

*

Flecha o sagita : PQ

*

Secante : L1

*

Tangente : L 2

*

Punto de Tangencia : T

*

Perímetro : L = Longitud de la circunferencia.

d=R+r *

Ci rcunfer enci as Se ca nt es

r

R d

R-r