Libro de Calculo Diferencial. Wilton Oltmanns

Wilton Oltmanns Encarnación. ID: UD35569SGE44143

Para nunca cansarme de luchar y de ser yo, de vez en cuando trato de soñar y pensar que mis derrotas y fracasos algún dia se convertirán en gloria de éxito. Wilton Oltmanns

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INTRODUCCION

Este manual didáctico de Cálculo Diferencial es un material de estudio que sirve de soporte de estudio a estudiantes, profesores y seguidores de las matemáticas. Éste está confeccionado bajo técnicas pedagógicas para que los interesados en las matemáticas adquieran el conocimiento concerniente al cálculo diferencial con introducción a la geometría analítica. Está estructurado bajo varios capítulos haciendo incapies en la geometría analítica y en el estudio de las conicas. Entre estos se encuentran Capitulo 1: Introduccion a la geometria analítica, Capítulo 2: Las Cónicas, capítulo 3: Relaciones y funciones, capítulo 4: Límite, continuidad y asíntotas, Capitulo 5: Límites, capítulo 6: Aplicaciones de derivadas. Se espera que este manual sea de mucha ayuda y que cada persona después de estudiar las teorías se sienta en capacidad de realizar las prácticas que están contenidas en este.

Wilton Oltmanns

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1.

CONTENIDO Capítulo 1: Introducción a la Geometría Analítica. ..................................................................... 9 1.1 Geometría Analítica ........................................................................................................................ 9 1.1.1

Distancia entre dos puntos. ................................................................................................. 9

1.1.2

Punto medio de un segmento. ........................................................................................... 11

1.1.3

Parámetros, ecuaciones y tipos de la recta ....................................................................... 11

1.1.4

Pendiente de una recta ...................................................................................................... 12

1.1.5

Intercepto de una recta. ..................................................................................................... 14

1.1.6

Ecuación Segmentaria de una recta. ................................................................................ 15

1.1.7

Ecuación punto pendiente de una recta. ........................................................................... 16

1.1.8

Ecuación de la recta dados dos puntos .............................................................................. 16

1.1.9

Rectas paralelas y perpendiculares ................................................................................... 17

1.1.10

Haz de rectas ..................................................................................................................... 18

1.1.11

Distancia de un punto a una recta. .................................................................................... 23

1.1.12

Distancia entre dos rectas paralelas ................................................................................. 24

1.2 Gráfica o Lugar Geométrico ......................................................................................................... 25 1.3 Práctica # 1: Introducción a La Geometría Analítica ................................................................... 30 2.

Capítulo 2: Las Cónicas ................................................................................................................ 33 2.1 Historia de las cónicas .................................................................................................................. 33 2.2 Concepto de cónicas. ..................................................................................................................... 33 2.3 La Circunferencia .......................................................................................................................... 34 2.3.1 Ecuación Canónica. ................................................................................................................ 35 2.3.2 Ecuación Ordinaria ................................................................................................................. 36 2.3.3 Ecuación General. Demostración ........................................................................................... 36 2.3.3.1 Demostración de la Ecuación General partiendo de la ecuación Ordinaria. .................... 37 2.3.4 Realización de la gráfica de una circunferencia. .................................................................... 38 2.4 La Elipse........................................................................................................................................ 40 2.4.1 Elementos de una Elipse ......................................................................................................... 40 2.4.2 Demostracion de la Ecuacion Ordinaria de una Elipse. ......................................................... 41 2.4.2.1 Deduciones de las ecuaciones de una Elipse. ...................................................................... 42 2.4.3 Realización de la gráfica de una Elipse. ................................................................................. 47 2.5 La Parábola .................................................................................................................................... 48

4

2.5.1 Ecuaciones de la parábola...................................................................................................... 49 2.5.2 Representación grafica de una parábola. ................................................................................ 50 2.6 Hipérbola ....................................................................................................................................... 51 2.6.1 Elementos de una Hiperbola con centro en el origen ............................................................. 52 2.6.2 Ecuaciones de una hipérbola .................................................................................................. 52 2.7 Práctica # 2: Las cónicas ............................................................................................................. 55 3.

Capítulo 3: Relaciones y Funciones ............................................................................................. 59 3.1 Importancia del Cálculo Diferencial ............................................................................................. 59 3.2 Relaciones y Funciones ................................................................................................................. 60 3.3 Clasificación de las funciones elementales. .................................................................................. 61 3.4 Propiedades de una relación. ........................................................................................................ 62 3.5 Dominio y Rango de una función ................................................................................................ 63 3.6 Función. Concepto y Defininición. ............................................................................................... 64 3.6.1 Clasificación de las funciones según su aplicación ............................................................... 64 3.6.2 Función par e impar ................................................................................................................ 65 3.6.3 Funciones algebraica. Clasificación. ...................................................................................... 66 3.7 Práctica #3: Relaciones y Funciones. ............................................................................................ 69

4.

Capítulo 4: Limites, continuidad y Asintotas.............................................................................. 72 4.1 Limite. Concepto ........................................................................................................................... 72 4.2 Resolución de Limite por proceso de evaluación.......................................................................... 72 4.3 Resolución de límites por propiedades......................................................................................... 73 4.3.1 Propiedades de los límites. .................................................................................................... 73 4.4 Operaciones con límites e indeterminaciones ............................................................................... 75 4.4.1 Sustitución Directa ............................................................................................................... 75 4.4.2 Técnica de factorización o cancelación .................................................................................. 75 4.4.3 Límites de funciones racionales. ........................................................................................... 76 4.4.4 Límite de Funciones Irracionales. .......................................................................................... 77 4.5 Indeterminaciones y Operaciones con el Infinito. ......................................................................... 77 4.5.1 Indeterminación de 0/0 que se resuelven por factorización o producto conjugado. ............... 79 4.5.2 Indeterminación de tipo 𝟎𝟎 𝒆 ∞∞. ....................................................................................... 80 4.6 Resolución de límites por comparación de infinitos cuando se obtiene (  ) ......................... 81 4.7 Resolución de limites racionales de indeterminación de (  ) ............................................... 81

5

4.8 Indeterminacion de tipo∞. 𝟎 ......................................................................................................... 82 4.8.1 Resolución de indeterminación de tipo 𝟏∞. ........................................................................... 82 4.9 Límite. Definición épsilon- Delta de límite. ................................................................................ 84 4.10 Resolucion de Límites con valor absoluto. ................................................................................. 85 4.11 Teorema del Sanwich .................................................................................................................. 88 4.12 Continuidad ................................................................................................................................. 90 4.12.1 Tipos de Continuidad............................................................................................................ 90 4.12.2 Discontinuidad. Tipos ........................................................................................................... 91 4.12.3 Continuidad de una función en un intervalo ......................................................................... 91 4.12.4 Definición formal de Continuidad ........................................................................................ 92 4.13 Asíntotas ...................................................................................................................................... 92 4.13 Práctica #4: Límite, Continuidad y Asíntota. .............................................................................. 96 5.

Capítulo 5: Derivadas .................................................................................................................. 100 5.1 Derivada. Conceptos ................................................................................................................... 100 5.2 Connotación de derivadas ........................................................................................................... 100 5.2.1 Connotación de derivadas n-esima. ...................................................................................... 101 5.3 Resolución de derivadas por el método de los incrementos....................................................... 101 5.3.1 Resolución de derivadas por la definición. ........................................................................... 103 5.4 Resolución de derivadas por fórmulas ........................................................................................ 104 5.4.1 Teorema 1: Derivada de una función en un punto................................................................ 104 5.4.2 Teorema 2. La regla de la constante ..................................................................................... 104 5.4.3 Teorema 3. Regla de una variable respecto a ella misma. .................................................... 105 5.4.4 Teorema 4. Regla del múltiplo constante. ............................................................................ 105 5.4.5 Teorema 5. Regla de las potencias. ...................................................................................... 106 5.4.6 Teorema 6: Regla de cadena ................................................................................................. 106 5.4.7 Teorema 7. Regla de la suma................................................................................................ 107 5.4.8 Teorema 8. Demostración de la regla de la derivada de un producto. ................................ 108 5.4.9 Teorema 9. Derivada del cociente. ....................................................................................... 109 5.4.10 Teorema 10: Diferenciabilidad implica continuidad. ........................................................ 112 5.4.11 Teorema 11: Derivada de la función Seno ......................................................................... 113 5.4.12 Teorema 12: Derivada de la función coseno. ..................................................................... 114 5.4.13 Teorema 13: Derivada de la función Tangente .................................................................. 115

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5.4.14 Teorema 14: Derivada de la función cotangente. ............................................................... 116 5.4.15 Tabla de derivadas de funciones trigonométricas generales .............................................. 117 5.4.16 Teorema 15: Derivada de una función elevada a exponente numérico. ........................... 118 5.4.17 Teorema 16: Derivadas funciones potenciales inversas. ................................................... 118 5.4.18 Teorema 17: Derivadas para cualquier raiz (n-esima)........................................................ 118 5.4.19 Teorema 18: Derivada con valor absoluto .......................................................................... 118 5.4.20 Funciones exponenciales en base a. Definicion y Propiedades. ....................................... 119 5.4.21 Derivada de la función exponencial en base a. ................................................................... 120 5.4.22 Función Inversa de la función exponencial natural. .......................................................... 120 5.4.22.1 Gráfica de la función exponencial natural. ...................................................................... 121 5.4.22.2 Operaciones con funciones exponenciales. ..................................................................... 121 5.4.22.3 Propiedades de la función exponencial natural. .............................................................. 121 5.4.22.4 Teorema 20 erivada de la función exponencial natural. ................................................. 122 5.4.23 Teorema 21: Derivada de una función elevada a otra f unción. ......................................... 123 5.4.24 Teorema 22: Derivadas de logaritmo vulgar o base 10. ..................................................... 124 2.4.25 Teorema 23. Derivada de la función logaritmo natural. .................................................... 125 5.5 Derivación logarítmica ................................................................................................................ 126 5.6 Teorema 24: Derivadas con valores absolutos. ........................................................................... 126 5.7 Teorema 25: Funciones inversas ................................................................................................. 127 5.7.1 Teorema 27: Funciones trigonométricas inversas. Definiciones .......................................... 127 5.7.1.1 Las gráficas de algunas funciones trigonométricas inversas. ............................................ 128 5.7.2 Teorema 28: Derivadas de las funciones trigonométricas inversas ...................................... 129 5.7.2.1 Teorema 29: Demostracion de la derivada del seno inverso. ........................................... 129 5.8 Funciones hiperbólica. ................................................................................................................ 130 5.8.1 Definición de las funciones hiperbólicas. ............................................................................. 131 5.8.2 Grafica del coseno hiperbólico ............................................................................................. 131 5.8.3 Derivadas de funciones hiperbólicas. ................................................................................. 132 5.9 Teorema 31. Definiciones de Funciones hiperbólicas inversas. ................................................. 133 5.10 Derivación de funciones hiperbólicas inversas. ........................................................................ 133 5.11 Derivación implícita .................................................................................................................. 134 5.11.1 Derivada parcial. ................................................................................................................. 134 5.11.2 Teorema 32 : Funciones de una variable independiente definidas implícitamente. ........... 134

7

5.12 Las formas indeterminadas y la regla de L’Hôpital .................................................................. 136 5.12.1 Teorema 33. Regla de L’Hôpital ........................................................................................ 136 5.13 Práctica #5: Derivadas ............................................................................................................... 138 6.

Capítulo 6: Aplicaciones de derivadas ...................................................................................... 142 6.1

Interpretación de una derivada. .............................................................................................. 142

6.1.1 Razón de cambio promedio. ................................................................................................. 142 6.1.2 Razón de cambio instantáneo o tasa de variación instantánea. ............................................ 143 6.1.3 Ecuación de la recta tangente ............................................................................................... 144 6.1.4 Ecuación de la recta normal.................................................................................................. 145 6.2 Teorema 34: Fermat para puntos críticos. ................................................................................... 148 6.3 Teorema 35: Rolle ....................................................................................................................... 149 6.4 Teorema 36: valor medio de Lagrange ....................................................................................... 150 6.5 Teorema de Cauchy..................................................................................................................... 150 6.6 Valores Críticos de una Función ................................................................................................. 151 6.6.1 Pasos para conseguir los puntos críticos de una función. .................................................... 152 6.7 Práctica #6: Derivadas ................................................................................................................ 154 7.

Bibliografía ................................................................................................................................... 156

8

1. Capítulo 1: Introducción a la Geometría Analítica. 1.1 Geometría Analítica La Geometría Analítica tiene como base el estudio de figuras geométricas mediantes técnicas del análisis matemático combinadas con el álgebra, aplicada en cierto sistema de coordenadas. Este campo de la matemática es la base del Cálculo Diferencial creada por Pierret Fermat y René Descartes. Cuando se tiene dominio de esta rama de las matemáticas, pues entonces el estudio del Cálculo resulta ser más fácil, por la razón de que en una se tiene un enfoque desde un punto de vista geométrico y en la otra el enfoque se ve mediante un proceso de límite y derivadas. 1.1.1 Distancia entre dos puntos. Fue Euclides, matemático de la antigüedad y aún vigente por sus grandes aportes, quien dió una solución para hallar la distancia entre dos puntos. Con ayuda del teorema de Pitágoras definió la distancia entre dos puntos la cual viene dada. Demostración:

    AB    AC 

Teorema de Pitágoras BC

2

2

2

Como el Teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo la suma del cuadrado de los catetos es igual a la hipoatenusa al cuadrado. es decir que

    AB    AC 

en el triangulo anteior BC

2

2

2

por lo que sustituyendo por

los valores tenemos que  d    x    y    x2  x1    y2  y1   2

d

2

2

 x2  x1    y2  y1  2

2

2

2

9

Ejemplo 1: Calcular la distancia entre los puntos A (-3, 5); B (2,-2) y haga la grafica. y

̅̅̅̅ AB= √(X2 −X1)2 + (Y2 −Y1 )2 ̅̅̅̅ AB = √(2+3)2 + (−2−5)2 ̅̅̅̅ = √(5)2 + (−7)2 AB ̅̅̅̅ = √25 + 49 = √74 = 8.6 Unidades AB











x 





























y 



Ejemplo 2: Calcular la distancia entre los puntos A (4, 5) y B (5,8) . Haga la gráfica. 





̅̅̅̅ AB = √(X2 −X1)2 + (Y2 −Y1 )2 ̅̅̅̅ = √(5−4)2 + (−8−5)2 AB ̅̅̅̅ = √1 + 169 = √170 AB ̅̅̅̅ AB = 13.03 Unidades 









       x 

































         

Ejemplo 3: Calcula el perímetro del triángulo con vértices P(3,-2); Q(4,5); R(-3,4). d PQ 

 3  4    2  5 

d QR 

 -3-4    4-5

2

2

2

2

 1  49  50  5 2 unid

 49  1  50  5 2 unid

d PR  (3  3) 2  (2  4) 2  81  36  117 unid

Este triángulo es Isósceles y su perímetro es P= p  5 2+ 5 2 + 117

24.96 unid

10

1.1.2 Punto medio de un segmento.

Para calcular el punto medio de un segmento de recta se utiliza la siguiente expresión:

 x  x 2 y1  y2  pm   1 ,  2  2 

Ejemplo 1: Calcular el punto medio del segmento de rectaP1  -2,-2  , P2  4,3 ; luego busca la distancia de P1PM y haz la gráfica correspondiente a todo lo pedido.  2  4 2  3   1  PM   ,   1,  2  2   2 Ahora se busca la distancia de PPM . 1 PPM  1

 x2  x1    y2  y1  2

2

2

1   1  2     2   9  2.5  3.4 unid 2  2

1.1.3 Parámetros, ecuaciones y tipos de la recta  Pendiente (m): Es la inclinación que tiene una recta. Esta inclinación es con respecto al eje x (abscisa).  Interceptos: Son los puntos (0,b) y (a,0) donde la recta corta tanto al eje X como al eje Y.

La Ecuación de la recta: Es la forma de expresar matemáticamente una recta. La primera es la ecuación canónica o llamada también analítica y la ecuación general.  Ecuación canónica: 𝑦 = 𝑚 𝑥 + 𝑏  Ecuación general: 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑦 + 𝑐 = 0

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Hay diferentes tipos de rectas:  Rectas verticales (𝒙 = 𝒙𝟎 ) : Estas rectas son paralelas al eje de las x.  Rectas horizontales(𝒚 = 𝒚𝟎 ) : Estas rectas son paralelas al eje de las Y  Rectas oblicuas: Es cualquier recta que no sea ni vertical ni horizontal.

1.1.4 Pendiente de una recta

En matemática y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de una recta con respecto al eje horizontal.

) La teoría Euclidiana dice que para graficar o determinar una recta, basta sólo con dos puntos. Tomando en cuenta la distancia entre dos puntos debemos tomar en y y2  y1 cuenta que la pendiente m  Tan  x  x  x viene dada también por punto final menos punto 2 1 inicial, por lo que la pendiente se determina via la tangente del angulo de inclinación, obteniendo como resultado Puede ser de cuatro formas: a)

m > 0: la recta presenta inclinación hacia la derecha; es decir, el ángulo es agudo.

12

b)

m < 0: la recta presenta inclinación hacia la izquierda, es decir, el ángulo es obtuso.

c)

m = 0: la recta es horizontal, luego el ángulo  = 0

d)

Si m= indeterminado, la recta es vertical, luego el ángulo  = 90.

Como se observa en las figuras anteriores la pendiente es muy importante debido a que se utiliza en nuestra vida cotidiana. En el techo de la casa es muy usual dejar cierta pendiente para que el agua corra y no estanque ya que por este motivo empiezan las filtraciones o en la bolsa de valores también es utilizada para indicar cuanto esta al alza o a la baja, en la venta del petróleo, entre otros.

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Ejemplo 1: Obtener la inclinación de la recta que pasa por los puntos (5,2) y (6,3)

m

y2  y1 3 2 1    1 , Se ve que 𝑚 > 0 x2  x1 65 1 1.1.5 Intercepto de una recta. Son los puntos donde la recta corta al eje x y al eje y, es decir, a la abscisa y a la ordenada. En

la ecuación canónica, el intercepto corresponde al valor de b. En la ecuación general se debe despejar y, para identificar el intercepto. Aunque es bueno hacer notar que (0,b) el intercepto está en el eje de la ordenada y cuando hagamos (a,0) el intercepto estará en el eje de las x. Retomando las ecuaciones canónica y general de la recta; se resalta que se puede transformar de una en la otra. A partir de la ecuación canónica se llega a la general, llevando toda la ecuación a cero. A partir de la general, se obtiene la canónica; despejando y. Ejemplo: Dada la ecuación 2 x  6 y  9  3 obtener las coordenadas al origen o interceptas y construir la recta.

2 x  6 y  9  3 2x  6 y  9  3  0 2 x  6 y  12  0 2 x  6 y  12 6 y  12 x 2 x  3y  6  a  6

2 x  6 y  12  0 6 y  2 x  12 2 x  12 6 1 y  x2 3

y

b  2

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1.1.6 Ecuación Segmentaria de una recta. Es aquella ecuación que está determinada por un segmento de recta, es decir, que en esta se conocen los intercepto.

Si se busca la pendiente (𝑥 − 0 , 𝑦 − 𝐵) ⋀(𝐴 − 𝑥 , 0 − 𝑦) como los vectores tienen la misma direccion y sentido, pues entonces se puede afirmar que son proporcionales y por lo tanto se tiene que 𝑥 ∶ 𝐴 − 𝑥 ∷ 𝑦 − 𝐵: −𝑦 𝑥 𝐴−𝑥

=

𝑦−𝐵 −𝑦

la cual por conveniencia se expresa como multiplicando en cruz (𝐴 − 𝑥)(𝑦 − 𝐵) = −𝑥𝑦 → 𝐴𝑦 − 𝐴𝐵 − 𝑥𝑦 + 𝐵𝑥 = −𝑥𝑦

aplicando el método de eliminacion 𝐴𝑦 − 𝐴𝐵 + 𝐵𝑥 = 0 → 𝐴𝑦 + 𝐵𝑥 = 𝐴𝐵 dividiendo por AB se obtiene la ecuación:

𝒙 𝒚 + = 𝟏, 𝑨 𝑩

∀𝑨, 𝑩 ≠ 𝟎

Ejemplo 1: Hallar la ecuación segmentaria de la recta cuyos puntos de cortes con los ejes son A=-2 y B=4. 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 + = 1 → − + = 1 𝐴 𝐵 2 4

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1.1.7 Ecuación punto pendiente de una recta.

La ecuación de la recta dados un punto y su pendiente se obtiene mediante la expresión y  y1  m  x  x1 

Ejemplo1: Calcular la ecuación de la recta cuya pendiente m  2 y pasa por el punto P  4, 6  . y  6  3  x +4   y-6  3x+12, 

y  3x  18  0

1.1.8 Ecuación de la recta dados dos puntos Dados dos puntos

p( x1, y1 ); p2 ( x2 , y2 ) y luego aplicando el criterio de la ecuación punto

pendiente y haciendo los respectivos despeje se obtiene la expresión:

 y  y 1   y   2   x  x1    y 1  x2  x1  

Ejemplos 1: Buscar la ecuación de la recta dados los siguientes puntos. A  2, 4  y B  4, 6   y  y 1   y   2   x  x1    y 1  x2  x1   10  6  4  y  x  2  4   x  2  4  y  2  42   5 x  10  4   5 x  14  5 x  y  14  0

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Ejemplos 2: Buscar la ecuación de la recta dados los siguientes puntos. Dados A  4, 6  y B 8, 4  10 46 y  x  4  6   x  4  6  12 84 10 40 10 32 5 16  x 6  x  x 12 12 12 12 6 6  5 x  6 y  16  0

1.1.9 Rectas paralelas y perpendiculares A) Rectas paralelas: Dos rectas no verticales son paralelas, si y solo si, sus pendientes son iguales, es decir

m1  m2

Ejemplo: hallar la forma general de las ecuaciones de las recta que pasa por el punto A(2,-1) y es paralela a la recta 2x – 3y = 5.

El punto dado es A  2, 1 y la ecuación dada es 2x – 3y  5 cuya pendiente m  2 / 3. 2 2 7  x  2   y  x  3 3 3 3y – 2x  7  0 es la recta paralela buscada.

y  y1  m  x  x1   y  1  3 y  2 x 7



Ejemplo: Dado la recta 4 x  6 y  8 y el punto A  4, 1 buscar una ecuación que sea paralela. 4 2 y  y1  m  x  x1  , m     6 3 2 2 8 2 8 y  1    x  4  y  1   x    x   1 3 3 3 3 3 2 5 y   x   3 y  2 x  5  2 x  3 y  5  0 3 3

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 Rectas Perpendiculares Dos rectas no verticales son perpendiculares si y solo si sus pendientes son una opuesta e inversa de si misma.

m1  

1 m2

B) Perpendicular a la recta 2x – 3y = 5

El punto dado es A  2, 1 y pendiente m  2 / 3. m1  

1 3  m2   m2 2

3 3  x  2  y  1   x  3 2 2 2 y  3x  4  0 es la recta perpendicular buscada. y  y1  m  x  x1   y  1  

1.1.10 Haz de rectas Como ya se sabe una recta queda determinada por dos puntos o por un punto y su pendiente, por lo tanto un Has de Recta se puede definir como un conjunto de rectas que tienen un mismo punto en común.

18

 Formación de un haz de Recta que pasan por un punto dado en 𝑹𝟐 . Para que esto pueda suceder basta con conocer el punto y alternar la pendiente m, por lo que hay que partir de la ecuación punto pendiente y-𝑦1 = 𝑚 (𝑥 − 𝑥1 ) Ejemplo: Encuentra un haz de Recta que pasan por el punto 𝑃1 (−1,6) 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 − 6 = 𝑚 (𝑥 + 1) 𝑦 = 𝑚(𝑥 + 1) + 6

Sustituyendo 1) Si m=0 → 𝑦 = 6 2) Si m= -1→ 𝑦 = 5 − 𝑥 3) Si m= 1 → 𝑦 = 𝑥 + 7 4) Como 𝑚 ∈ 𝑅 entonces se forman Infinitas Rectas

19

 Enfoque general de la ecuación genérica que produce un Haz de rectas que tienen un punto en común. Si S≅ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 𝑦 𝑟 ≅ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 𝑂

Para formal el Haz de recta se muestra una combinación. 𝛼 𝑆 + 𝛽𝑟 = 0 𝛼(𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶) + 𝛽 (𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹) = 𝑂 Donde 𝛼⋀𝛽 𝜖𝑅 ≠ 0 simultaneamente.

Ejemplo: Encontrar el Haz de rectas y la ecuación faltante dado el siguiente gráfico.

20

1

Como solo se conoce la ecuación de una de las rectas 𝑦 = 3 𝑥 , pues hay que buscar la otra aplicando la ecuación segmentaria

𝑋

𝐴

+

𝑦

=1 → 𝐵

Buscando la ecuación general o Implícita 3x + 5 y – 15 = 0 Por lo tanto S= 𝑥 − 3𝑦 = 0

𝑦

S=

1 3

𝑥

𝑋

𝑌

+ =1 5 3 𝑦

15(5) + 15 ( 3) = 15

𝑥−𝑦 =0 → 9+5

3𝑥 + 5𝑦 − 15 = 0

Estas son las ecuaciones generales de las dos rectas de

arriba en el gráfico y 𝜶(𝒙 − 𝟑𝒚) + 𝜷 (𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟏𝟓) = 𝟎 es la Ecuación Genérica del Haz de recta, como ya se dijo 𝛼 𝑦 𝛽 no deben ser simultáneamente 0.

Ejemplo1: Hallar la recta que pertenezca al Haz de recta y que contenga al punto p(1, −1). Como la recta son

x-3y= 0

𝑦

3𝑥 + 5𝑦 − 15 =0 .

La forma genérica del Has de recta es: 𝜶(𝒙 − 𝟑𝒚) + 𝜷 (𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟏𝟓) = 𝟎 Sustituyendo por los valores del punto p. 𝛼(1 − 3(−1) + 𝛽(3(1) + 5(−1)−15) = 0 𝛼(4) + 𝛽(3 − 20) = 0 → 𝟒𝜶 − 𝟏𝟕𝜷 = 𝟎 Por lo que 𝜶 = constantes, por lo que ahora si se sustituye por un valor arbitrario Si 𝛽 = 1 → 𝛼 =

17 4

𝟏𝟕𝜷 𝟒

la cual es la ecuación de las

produce una de las ecuaciones del haz de rectas que pasa por p.

Como 𝜶(𝒙 − 𝟑𝒚) + 𝜷(𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟏𝟓) = 𝟎 17 4

(𝑥 − 3𝑦) + 1(3𝑥 + 5𝑦 − 15) = 0

17 51 𝑥 𝑦 + 3𝑥 + 5𝑦 − 15 = 0 4 4 29 4

𝑥−

31 4

𝑦 − 15 = 0

Eso implica que finalmente 29x-31y-60= 0 es la ecuación general.

21

Ejemplos 3: Calcular la ecuación del Haz determinado por las rectas secantes: 3𝑥 − 𝑦 = 1 𝑦 1 pendiente m=2

𝑥 + 4𝑦 = 9 y además de eso encuentra la ecuación del Haz que tiene como

Solución: El centro del has en el punto q donde se cortan la recta: {

3x − 4y = 1 x + 4y = 9

12x − 4y = 4 3x − 4y = 1 → { x + 4y = 9 { x + 4y = 9

donde

x =1, y=2

𝟏3x = 13

1

Por lo tanto 𝑄(1 , 2) es el punto de intersección como se tiene punto pendiente m=2 ; 𝑄(1 ,2) 1 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) → 𝑦 − 2 = (𝑥 − 1) 2 1

1

1

3

y=2 𝑥 − 2 + 2 → 𝑦 − 2 𝑥 − 2 =0 2y-x-3=0

Claro también se puede aplicar los métodos anteriores de la ecuación forma general para coregir la recta a través del Haz x(𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝑐) + 𝛽(𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹) = 0

 Haz de rectas paralelas La forma general de la recta es Ax+By+C=0 para que la rectas sean paralelas deben tener la misma pendiente. Eso indica que A y B deben permanecer y C es el termino variante. Ejemplo: determine la ecuación del Haz de recta paralelas a 2x+y-4=0., (0 , 4) ; (2 , 0). Para tener rectas paralelas solo hay que cambia a C por diferente valores

22

1.1.11 Distancia de un punto a una recta. La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta. Se sabe qque una recta tiene la forma 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎 y están dando el punto 𝒑(𝒑𝟏 , 𝒑𝟐 ) por lo tanto multiplicando los coeficientes de la ecuación con la respectiva coordenada del punto se obtiene la expresión:

d ( p, r ) 

ap1  bp2  c a 2  b2

Ejemplo 1: Calcula ladistancia del puntoP  2,  1 a la recta de ecuación 3x  4y  5  0. d ( p, r ) 

ap1  bp2  c a 2  b2



3(2)  4(1)  5 (3)2  (4)2



3 Unid 5

Ejemplo 2 : Hallar la distancia desde el origen a la recta r  4 x  2 y  30  0 d (o, r ) 

30 (4) 2  (2) 2



30 5  Unid 20 2

23

1.1.12 Distancia entre dos rectas paralelas

Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas, se toma un punto cualquiera P de una de ellas y se calcula la distancia a la otra.

Ejemplo : Hallar la distancia entre las rectas r  2x  5y  10  0 y s  4x  10y+9  0 a ) Hay que verificar que las dos rectas son paralelas. m1  

x x  2  2  4  2   y m2        y  5 5 y    10  5  m1  m2 las rectas son paralelas

b) Coger un intercepto de cualesquiera de las rectas. r  2x  5y  10  0  p (0, 2)  r c ) Buscar la distancia desde el intercepto encontrado hasta la otra recta, es decir desde p hasta s. d ( p, r ) 

ap1  bp2  c a b 2

2



4(0)  10(2)  9 4  ( 10) 2

2



11 116

 1.02 unidades

24

1.2 Gráfica o Lugar Geométrico Según Navarro, T. El lugar geométrico es la línea que contiene todos los puntos, y solo ellos, cuyas coordenadas satisfacen la ecuación dada en dos variables. Dicho autor sigue argumentando que hay ciertos elementos que se deben tomar en cuenta a la hora de graficar, pues así se sabe el comportamiento de la gráfica. Entre estos se encuentran: a) b) c) d) e)

Los intercepto. La simetría. Extensión sobre los ejes de coordenadas o Dominio. Las Asíntotas El bosquejo de la gráfica. Ejemplo 1: Dada la función 𝑦 2 − 4𝑥 − 20 =0. Hallar: Intercepto, Simetría, Dominio, Asintotas y grafica.



Intercepto En la abscisa x si y =→ (0)2 -4x-20=0 entonces -4x=20,→ 𝑥 = −5, 𝒑𝟎 (−𝟓, 𝟎) En el eje y ordenada si x = 0→ 𝑦 2 − 4(0) − 20 = 0, entonces 𝑦 2 = 20 → 𝑦 = 2√5 por lo que ,

𝒑𝟏 = (𝟐√𝟓 , 𝟎).

 Simetría  Para saber si hay simetría respecto a x se sustituye a y por (−𝑦) y si la ecuación no se altera es porque hay una simetría respecto a y. 𝑦 2 − 4𝑥 − 20 = 0 , (−𝑦)2 − 4𝑥 − 20 = 0, 𝑦 2 − 4𝑥 − 20 = 0 Hay simetría.  Simetría con el eje y se hace el mismo proceso pero con 𝑥 = −𝑥 𝑦 2 − 4𝑥 − 20 = 0 → 𝑦 2 − 4𝑥(−𝑥) − 20 = 0 𝑦 2 + 4𝑥 − 20? Por lo que 𝑦 2 − 4𝑥 − 20 ≠ 𝑦 2 − 4𝑥 − 20. No hay simetría respeto a y.  Simetría respecto al origen 𝑦 = −𝑦 , 𝑥 = −𝑥 𝑦 2 − 4𝑥 − 20 = 0, (−𝑦)2 − 4𝑥(−𝑥) − 20 = 0 𝑦 2 + 4𝑥 − 20 = 0 Esto indica que la función es simetría respecto al origen.

25



Dominio y Rango Dominio o extensión sobre el eje x. 𝑦 2 − 𝑥4 − 20 =0 Para encontrar el dominio hay que poner la función en forma explicita 𝑦 2 − 𝑥4 − 20 =0 𝑦 2 = 20 + 4𝑥 → 𝑦 = √20 + 4𝑥 Demi {𝑥⁄𝑥 ∈ 𝑅 ∋ 𝑥 > 5 }

4𝑥 + 20 > 0 , 4𝑥 > −20

𝑥 > −5 son los valores que se pueden dar ala grafica.  Rango. No es más que la extensión sobre el eje y se debe despejar a y 𝑦 2 − 𝑥4 + 20 =0,

−4𝑥 = −20 − 𝑦 2 x por lo que 𝑥 =

−𝑦 2 −20 −4

→𝑥 =

𝑦 4

+5

𝑦 No hay ningún valor que me determine la función R ={ ⁄𝑦 ∈ 𝑅 ∋ 𝑦 ≠?} 

Asíntotas Una asíntota es una línea recta a la que se aproxima infinitamente una curva sin nunca tocarla. Estas se cumple principalmente por funciones racionales de la forma

𝒇(𝒙)

𝒂𝒎 𝒙𝒎 + 𝒂𝒎−𝟏 𝒙𝒎−𝟏+⋯+𝒂𝟎 𝒑(𝒙) = = 𝑸(𝒙) 𝒃𝒏 𝒙𝒏 + 𝒃𝒏−𝟏 𝒙𝒏−𝟏 +⋯+𝒃𝟎

Donde: a) Si m < 𝑛 → 𝑦 = 0 es una A .H b) Si m = n →

𝑎𝑚 𝑏𝑛

= 𝑦 es una A.H

c) si m> 𝑛 → no hay A .H, si oblicua siempre y cuando m+1= n d) si 𝑄𝑟 = 0 y 𝑝(𝑥) ≠ 0 hay A H. Por lo tanto en 𝑦 2 − 4𝑥 − 20 = 0 no ha asíntotas.

26

Ejemplo 2: Graficar 𝑦 =     

2𝑥+4 𝑥+1

Intercepto (0,4); (−2,0) Simetría no hay 𝑦 Dominio: {𝑥⁄𝑥 ∈ ℝ ∋ 𝑥 ≠ −1} ⋀ Rango: { ⁄𝑦 ∈ ℝ ∋ 𝑦 ≠ −2} Asíntotas 𝑥 = −1 es una A.V y 𝑦 = 2 es una A.H Gráficos

7𝑥+4

Ejemplo 3: Hacer la grafica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −4𝑥+4 

Intercepto (0,1); 7𝑥+4

4

(0) = = 1 ; 4

−4

( 7 , 0)

4



= 0 → 7 𝑥 + 4 = 0 por lo tanto x=-7 2𝑥−4𝑥+4

 

Simetría: no hay Dominio 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = 0, (𝑥 − 2)2 = 0 → 𝑥 = 2, Dom: : {𝑥⁄𝑥 ∈ ℝ ∋ 𝑥 ≠ −2}



Asíntotas:

𝑚 𝑝(𝑥) 𝑎𝑚 𝑥 + 𝑎𝑚−1 𝑥𝑚−1 +⋯+𝑎0

𝑦=𝑄 = (𝑥)

7𝑥+4

𝑏𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑏𝑛−1 𝑥𝑛−1 +⋯+𝑏

Como en 𝑦 = 𝑥 2 −4𝑥+4 ; 𝑚 < 𝑛 → 𝑦 = 0

0

es una asíntota horizontal y x = 2 es una A.V.

27

Ejemplo 4: Graficar la función 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑦 + 𝑥 − 3𝑦 − 2 = 0  Intercepto: Para 𝑦 = 0 → 𝑥 = 2, ∴ (2,0) 2

2

Para 𝑥 = 0 → 𝑦 = − 3 , ∴ (0, − 3)

 Simetría: Con el eje x: No hay simetría Con el eje y: No hay simetría Con el origen: Tampoco hay simetría.



Dominio: 2−𝑥

𝑥𝑦 + 𝑥 − 3𝑦 − 2 = 0 → 𝑦 = 𝑥−3 Dom: {𝑥⁄𝑥 ∈ 𝑅 ∋ 𝑥 ≠ 3 }

28



Asintotas: 2−𝑥

* 𝑥𝑦 + 𝑥 − 3𝑦 − 2 = 0 → 𝑦 = 𝑥−3 ∴ 𝑥 = 3 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐴. 𝑉. * 𝑥𝑦 + 𝑥 − 3𝑦 − 2 = 0 → 𝑥 =

2+3𝑦 𝑦+1

∴ 𝑦 = −1 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐴. 𝐻

Grafica:

29

Cálculo Diferencial 1.3 Práctica # 1: Introducción a La Geometría Analítica Nombre: ___________________________Matrícula:________________________ Profesor: ___________________Sección: _______________Fecha:_____________

Busca la distancia entre los puntos dados. 1) p1  3,5  ; p2  2, 9  2) A1  1, 2  ; A2  0, 3

 

  





 



3) Q1 1  3 ; Q2  4, 9  2 7 4) e1 2 1 ; e2 1 , 7 07 2 3 5) o1  o.25,5  ; o2  5.33, 2  6) p1  1  1 ; p2 3 9 5 4 4

Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos: 7)  4, 7  y  2, 3 8)  4,3 y  3, 2  9)  2,3 y  4,3 10)  5, 4  y  5, 4 

Hallar la ecuación de la recta que cumple con las condiciones de: 11) pendiente 4 e intercepto 1/3 12) pasa por el punto  4, 2  y pendiente -6 13) pasa por los puntos  8,1 y  3,1 14) Intercepta en x=5 y en y=-2

30

Hallar la ecuación de la recta: 15) p1  3,5  ; p2  5, 0 

28) 2x-8y=0

16) p1  0,3 ; p2  6,1

29) 3x-7y-1=0

17) p1  0, 7  ; p2  1, 1



Busca los interceptos de:

30) x+y=-6



18) p1 1 , 1 ; p2  4,8  2 4 19) p1  3, 0  ; m  2

31) x-3y+2=0 32) 6x-5=0

20) p2  1, 1 ; m  3

33) 4y-2=0

21) p3  4, 3 ; m  20

34) x  y  1 2 3 2 35) 0.2x+ 24  0.4 10 36)  5 x  10 y  15

22) p1  2, 0  ; m  1 23) 2 x  3 y  4  0; p1  3, 7  24) 4 x  2 y  0; p1  3, 7 



25) y  4 x  2; p2 1 , 4 5 26) 5 y  7 x  12; p3 1, 0 

37)  x  3 y  6 2



27)  2 x  1 y  9  0;  0, 0  3

En las ecuaciones dadas hallar los parametros: 38) 2x+5y-8=0 39) 3x  4  2 4 2 40) 2 x  4 y  1 3 3

De cada par de rectas determinar si son paralelas,perpendiculares u oblicuas. 41) 3y-2x-8=0 42) 1 x  y  5  0 2 43) 3x+4y-9=0 44) 2x+3y=1

   

-4x+6y-10 = 0 ..................................... 4x-2y = 8

.....................................

3x-4x-10=0

.....................................

x 2y  9

....................................

31

Resolver los problemas propuestos: 45) Hallar la ecuación de la recta que pasa por  2, 4  y es paralelaa 6x-2y-5=0 46) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto  5, 4  y es perpendicular a la recta que pasa por 1,1 y  3, 7  . 47) Cuál es la ecuación general de la recta que pasa por Q  3, 4  y su pendiente es el doble de la pendiente de la recta 4x-6y-12=0? 48) Una recta corta al eje x en 5 y es paralela a la recta 2 x  y  5  0 49) Una recta cuya ecuación es 5y-4x-20=0 limita un triángulo rectángulo con los ejes coordenados. ¿Cuál es el área de dicho triángulo?. 50) los vectores de un cuadrilatero son: p1  3, 2  ; p2  3,1 ; p3  4, 3 ; p4  2, 3 a) Graficar la figura b) Buscar la pendiente c) Buscar la ecuación. d) Buscar distancia y punto medio de cada segmento. 51) Hallar la forma general de la ecuación de la recta que pasa por el punto  3, 5  y son: a) Paralela a 3x-2y=7

c) Perpendicular a 4x-6y-9=0

b) Paralela a 6x-8y+4=0

d) Perpendicular 5x  3 y  7  0

55. ¿Para cuales valores de x la distancia entre los puntos (-5, 2) y (x, 6) es 12? 56. Dados P(2, -6) y Q(2, -1).  Encuentra la pendiente de la recta que pasa por esos puntos.  Busca la ecuación en la forma punto – pendiente.  Busca la ecuación en la forma canonica.  Busca la ecuación en la forma ordinaria.  Busca la ecuación en su forma general.  Busca la ecuación en la forma simétrica o segmentaria.  Busca el ángulo de inclinación de la recta. 57. Si Q(-1,4) es un punto por el cual pasa una recta que es paralela a la recta que pasa por los puntos

S(-1,3) y Z(-8,2). Encontrar la ecuación de esa recta. 58. Si M(3,2) es un punto por el cual pasa una recta recta que es perpendicular a la recta que pasa por Q(6, -3) y R(1, 2). Determinar la ecuación de la recta.

32

2. Capítulo 2: Las Cónicas 2.1 Historia de las cónicas https://www.scribd.com/doc/30860157/Historia-de-Las-Conicas-y-La-Geometria-Analitica enfocan que el descubrimiento de las conicas se le atribuye al matemático Griego Menecmo quien vivio aproximadamdnte en el siglo IV A.C (Aproximadamente en el año 350 a.c). Aunque fue Apolonio de Perga (Siglo II A.C) quien logra hacer un estudio profundo respecto a estas.

2.2 Concepto de cónicas. Son curvas que se forman cuando un plano intersecta a un cono circular recto. Entre estas se encuentran la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbole. Cada una de esta figura será un caso especial de la ecuación 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑦 2 + 𝐶𝑥𝑦 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 para la cual hay que aclarar que A,B,C no deben ser todos al mismo tiempo igual a cero. Dependiendo de la posición de inclinación del plano respecto al cono se van a formar diferentes conicas tales como: Circunferencia, Elipse, Parabola y luego la hipérbola.

33

2.3 La Circunferencia Es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo llamado centro. A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro, el cual es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la del radio, el cual es el segmento que va desde el centro hacia un punto cualquiera de la circunferencia. La circunferencia sólo posee longitud. Una circunferencia se forma solo si el plano al cortar al cono en su eje, se forma ángulos de 90.

34

Ecuaciones de la circunferencia Las ecuaciones de la circunferencia son la canónica, ordinaria y la general 2.3.1 Ecuación Canónica.

Como 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 𝑑2 = (𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 Como d= r → 𝑑 2 = (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es c(0,0) y 𝑟 = 8 𝑐𝑚. 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 , como r = 8 eso implica que 𝑥 2 + 𝑦 2 = 82 → 𝑥 2 + 𝑦 2 = 64.

35

2.3.2 Ecuación Ordinaria

Sea 𝑐 = (ℎ, 𝑘) el centro de la circunferencia el cual esta ubicado en un punto cualquieratal que (ℎ, 𝑘) ≠ (0,0). Aplicando el mismo criterio anterior respecto a la distancia entre dos puntos. 𝑑2 = (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2

Ejemplo 2: Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(3,5) y con radio r = 2. Hacer su respectiva gráfica.

Se tiene que h = 3, k = 5, r = 2 por lo tanto (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 5)2 = 4

Ejemplo 3: Si (𝑥 + 5)2 + (𝑦 − 2)2 = 144 ; hallar h,k,r.

h= -5, k = 2, r =12.

2.3.3 Ecuación General. Demostración La ecuación de una cónica es 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑦 2 + 𝐶𝑥𝑦 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Por lo que de aquí se deriva la ecuación general que lleva una circunferencia asumiendo que B=A, por lo que 𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0. Partiendo de esta expresión via complexión de cuadrado se puenden contrar los parámetros de una ciercunverencia tales como el centro y el el radio.

36

Demostración: 𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Divididiendo por A. 𝐴𝑥 2 𝐴𝑦 2 𝐷𝑥 𝐸𝑦 𝐹 + + + + =0 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝑥2 + 𝑦2 +

𝐷𝑥 𝐴

+

𝐸𝑦 𝐴

𝐹

+ 𝐴 = 0, hacer compleccion de cuadrados

(𝑥 2 +

𝐷𝑥 𝐸𝑦 𝐹 ) + (𝑦 2 + ) = − 𝐴 𝐴 𝐴

(𝑥 2 +

𝐷𝑥 𝐷 2 𝐸𝑦 𝐸 2 𝐹 𝐷 2 𝐸 2 + ( ) ) + (𝑦 2 + +( ) )=− +( ) +( ) 𝐴 2𝐴 𝐴 2𝐴 𝐴 2𝐴 2𝐴

(𝑥 +

𝐷 2 𝐷 2 𝐷 2 + 𝐸 2 − 4𝐴𝐹 ) + (𝑦 + ) = 2𝐴 2𝐴 4𝐴2

Pero como bien se sabe la ecuación ordinaria es: (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 haciendo la respectiva sustituciones entre cada una de las ecuaciones para buscar el centro y radio se tiene que: −ℎ =

𝐷 2𝐴

−𝑘 =

𝐸 𝐸 →𝑘=− 2𝐴 2𝐴

𝑟2 =

→ℎ=−

𝐷 2𝐴

𝐷 2 + 𝐸 2 − 4𝐴𝐹 1 √𝐷 2 + 𝐸 2 − 4𝐴𝐹 →𝑟= 2 4𝐴 2𝐴

2.3.3.1 Demostración de la Ecuación General partiendo de la ecuación Ordinaria. Esta es la forma demostrada de la Ecuación General. 𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Para llegar a esta forma se hace el siguiente proceso:

( x  h)2  ( y  k )2  r 2 Paso 1: Se opera

x2  2xh  h2  y2  2 yk  k 2  r 2 Paso 2: Se ordena y se iguala a cero.

x2  y2  2xh  2 yk  h2  k 2  r 2  0 37

Paso 3: Se renombran los coeficientes, debido a que (h y k) serán valores variables y queda:

x2  y2  (2h) x  (2k ) y  (h2  k 2  r 2 )  0 D= (-2h) , E=(-2k), (ℎ2 + 𝑘 2 − 𝑟 2 ) =F al final se tiene que :

x2  y2  Dx  Ey  F  0

Ejemplo 4: Dada la ecuación (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 5)2 = 22 . Hallar la ecuación general. Desarrollando se tiene: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 10𝑦 + 34 = 4 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 10𝑦 + 30 = 0

Ejemplo 5: Encontrar los parámetros de la ecuación de la circunferencia cuya ecuación general es 25𝑥 2 + 25𝑦 2 + 20𝑥 + 15𝑦 − 65 = 0. Solución: A = 25, D = 20, E = 15, F = -65 𝐷

−20

ℎ = − 2𝐴 =2(20) = 𝑘=−

−20 50

2

2

= −5 → ℎ = −5

𝐸 15 3 =− →𝑘=− 2𝐴 2(25) 10

𝑟= 𝑟=

1 1 √400 + 225 + 6500 √𝐷 2 + 𝐸 2 − 4𝐴𝐹 = √202 + 152 − 4(25)(−65) = → 𝑟 = ~1.7 2𝐴 2(25) 50

2.3.4 Realización de la gráfica de una circunferencia. Al graficar una circunferencia la gráfica va a venir de la ecuación ordinaria la cual al pasarse de la forma implícita a la explicita se obtiene una función en función de x. (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 al despejar y se tiene que 𝑦 = 𝑘 ± 𝑟 2 √𝑟 2 − (𝑥 − ℎ)2 Ejemplo: Graficar la circunferencia cuya ecuación es (𝑥 + 4)2 + (𝑦 − 3)2 = 25 𝑦 = 3 ± √25−(𝑥 + 4)2 Dominio: 25−(𝑥 + 4)2 ≥ 0 → −(𝑥 + 4)2 ≥ −25 → (𝑥 + 4)2 ≤ 25 → 𝑥 ≤ 1

38

x y y

1 3 3

0 8 -2

-1 7 -1

-2 7.58 -1.58

-3 7.90 1-90

-4 8 -2

39

2.4 La Elipse Es una curva cerrada simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí, que resulta de la intersección circular recto con un plano oblicuo que atraviesa su

de un cono generatriz.

2.4.1 Elementos de una Elipse

𝐹 𝑦 𝐹1 ∶ son los focos de la Elipse ̅̅̅̅̅̅̅ 𝐹 𝐹1 : Este es el eje focal, la cual es la recta que pasa por los focos. 𝑉 𝑦 𝑉1 : Son los vertices, es decir, los puntos donde el eje focal corta la elipse.

40

̅̅̅̅̅̅̅ 𝑉 𝑉1 : Este es el eje mayor, es la porcion del eje focal que comprende los vertices. 𝐵𝐵1 : Es el eje menor, el cual corta a la elipse en dos partes. Esta en y. 𝐶(ℎ, 𝑘): Es el centro, el cual es el punto medio de los focos. ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑄 𝑄1 : Es La cuerda que une dos puntos cualquiera de la Elipse. 𝐸 𝑦 𝐸1 : Cuerda focal: Es una cuerda que pasa por algunos de los focos. ̅̅̅̅̅̅̅ 𝐷 𝐷1 : Es diametro el cual es una cuerda que pasa por el centro C(h,k).

2.4.2 Demostracion de la Ecuacion Ordinaria de una Elipse. ̅̅̅̅| + |𝐹 ̅̅̅̅̅ Como 𝑏 2 + 𝑐 2 = 𝑎2 𝑦 𝑘1 + 𝑘 = 2𝑐 → |𝐹𝑃 1 𝑃 | = 2𝑎 |√(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 | + |√(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 | = 2𝑎 Asumir que el es positivo y pasar el radical al otro lado = √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 = 2𝑎 − √(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 Elevar al cuadrado ambas miembros 2

2

(√(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦)2 ) = (2𝑎 − √(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦)2 )

Operar en el paso anterior y eliminar terminos semejantes (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2 = (2𝑎)2 − 2(2𝑎)√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 + √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2

2

(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦 2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 + (𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 𝑥 2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2 = 4𝑎2 + 𝑥 2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2 − 4𝑎2 √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 −2𝑐𝑥 = 4𝑎2 + 2𝑐𝑥 − 4𝑎2 √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2

Transponer los terminos: 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 = 4𝑎2 + 4𝑐𝑥 𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 = 𝑎2 + 𝑐𝑥 Elevar al cuadrado ambos miembros 2

(𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 ) = (𝑎2 + 𝑐𝑥)2 𝑎2 ((𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦 2 ) = (𝑎2 + 𝑐𝑥)2 𝑎2 𝑥 2 + 2𝑎2 𝑐𝑥 + 𝑎2 𝑐 2 + 𝑎2 𝑦 2 = 𝑎4 + 2𝑎2 𝑐𝑥 + 𝑐 2 𝑥 2

41

Eliminando y haciendo la transposicion de terminos 𝑎2 𝑥 2 − 𝑐 2 𝑥 2 + 𝑎2 𝑦 2 = 𝑎4 − 𝑎2 𝑐 2 Factorizando 𝑥 2 (𝑎2 − 𝑐 2 ) + 𝑎2 𝑦 2 = 𝑎2 (𝑎2 − 𝑐 2 ) Como se dijo al principio que 𝑏 2 + 𝑐 2 = 𝑎2 → 𝑏 2 = 𝑎2 − 𝑐 2 por lo que sustituyendo en el paso 8. Se tiene que 𝑥 2 (𝑏 2 ) + 𝑎2 𝑦 2 = 𝑎2 𝑏 2 𝑥2 𝑏2

𝑎2 𝑦 2

𝑎2 𝑏 2

Dividir el paso anterior por 𝑎2 𝑏 2 → 𝑎2 𝑏2 + 𝑎2 𝑏2 = 𝑎2 𝑏2 ∴ 𝑥2 𝑦2 + = 1, 𝑎2 > 𝑏 2 𝑎2 𝑏2 2.4.2.1 Deduciones de las ecuaciones de una Elipse. De la ecuación anterior se sacan las siguientes deduciones:

𝑥2

 Si la elipse tiene centro en C(0,0) y eje focal en x su ecuacion es: 𝑎2 +

(x^2/9)+(y^2/2)=1

y

𝑦2 𝑏2

=1





x 





















 Si la elipse tiene centro en C(0,0) y eje focal en y su 𝑥2 𝑦2 + =1 𝑏2 𝑎2

ecuacion es:

42



 Si La Elipse tiene centro en un punto C(h,k) diferente al origen y su eje focal esta en x , entonces su respectiva ecuacion está en : (𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 + =1 𝑎2 𝑏2  Si la elipse tiene centro en un punto C(h,k) diferente al origen y su eje focal esta en y, entonces su respectiva ecuacion es : (𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 + =1 𝑏2 𝑎2

Ejemplo1: Dada la ecuacion 5𝑥 2 + 4𝑦 2 = 20, hallar la ecuacion de la elipse y graficarla. 5

5

5𝑥 2 + 4𝑦 2 = 20 → 20 𝑥 2 +y 20 𝑦 2 = 1 𝑥2 𝑦2 → + =1 ∴ 20 20 4 5



𝑥2 𝑦2 + =1 4 5  





x 







































43

Ejemplo2: Cual es la ecuacion de la Elipse de centro C(0,0), cuyos vertices son V(-6,0) , 𝑉1= (6,0) y Focos F(-4,0) , 𝐹1 = (4,0). Hacer la gráfica. Sol: ̅̅̅̅̅ Vértice: |𝑉 1 𝑉 | = 2𝑎 → |−6 − 6| = 2𝑎 → 12 = 2𝑎, ̅̅̅̅̅ Focos: |𝐹 1 𝐹 | = 2𝑐 → |−4 − 4| = 2𝑐 → 8 = 2𝑐 ,

∴ 𝑎=6

∴ 𝑐=6

Como se conoce a a y a c entonces falta b. Como 𝑏 2 + 𝑐 2 = 𝑎2 → 𝑏 2 + 42 = 62 → 𝒃 = √𝟐𝟎

Por lo tanto la ecuación se busca 𝑥2 𝑦2 𝑥2 𝑦2 + 2 =1 → 2 + 2 =1 → 𝑎2 𝑏 6 √20

𝑥2 𝑦2 + =1 36 20

44

)^2/9



Ejemplo 3: Si una Elipse tiene como centro el punto C(-6,4). Su eje Mayor es 12 y es paralelo al eje de las y. Su eje menor es 6. Cuál es la ecuación de la Elipse y haga su gráfica. *Eje Mayor: 2𝑏 = 12 → 𝑏 = 6 *Eje menor: 2𝑎 = 6 → 𝑎 = 3 Como su eje focal esta en Y, entonces su respectiva ecuacion es : (𝑥 − ℎ)2 (𝑦 − 𝑘)2 (𝑥 − (−6))2 (𝑦 − (4))2 + = 1 → + 𝑎2 𝑏2 32 62

+

(y-4)^2/36

(𝑥 + 6)2 (𝑦 − 4)2 + =1 9 36

=1



y

            































































    

Ejemplo 4: Si la ecuación general de una elipse es 4𝑥 2 + 6𝑦 2 − 8𝑥 − 12𝑦 − 14 = 0 encontrar: Ecuación canónica, valor de a,b,c; centro, longitud lado recto, excentricidad, coordenadas de los vértices, coordenadas de los focos, grafica.  Ecuación canónica: Hacer compleción de cuadrados 4𝑥 2 + 6𝑦 2 − 8𝑥 − 12𝑦 − 14 = 0 → (4𝑥 2 − 8𝑥) + (6𝑦 2 − 12𝑦) = 14 4(𝑥 2 − 2𝑥 + 𝑛) + 6(𝑦 2 − 2𝑦 + 𝑚) = 14 4(𝑥 2 − 2𝑥 + 1) + 6(𝑦 2 − 2𝑦 + 1) = 14+4+6

45







4(𝑥 − 1)2 6(𝑦 − 1)2 24 4(𝑥 − 1) + 6(𝑦 − 1) = 24 → + = 24 24 24 2

2

(𝑥 − 1)2 (𝑦 − 1)2 + =1 6 4  Buscar a a,b,c. 𝑎2 = 6 → 𝑎 = √6 , 𝑏 2 = 4 → 𝑏 = 2, 𝑐 = √√6

2

− 22 → 𝑐 = √2

Esto es una elipse horizontal.  Centro: c(h,k) = c(1,1)  Longitud del lado recto.

 Excentricidad

𝑐

𝑒=𝑎=

L.R=

2𝑏 2 𝑎

=

8 √6

√2

=0.58

√6

 Coordenadas de los vértices: 𝑉1 = (ℎ − 𝑎, 𝑘) → 𝑉1 = (1 − √6 ,1) 𝑉2 = (ℎ − (−𝑎), 𝑘) → 𝑉2 = (1 + √6 , 1) Longitud del Eje Mayor: 2𝑎 = 2√6 Longitud Eje menor: 2𝑏 = 2(2) = 4 Gráfica:

46

2.4.3 Realización de la gráfica de una Elipse. Para representar gráficamente una Elipse se debe despejar la variable dependiente Y y luego buscar el dominio para el cual esta determinado la curva. Ejemplo: Hacer la gráfica perteneciente a

𝑥2 4

+

𝑦2 8

=1

𝑥2 𝑦2 𝑦2 𝑥2 + =1; = 1− → 𝑦 = √8 − 2𝑥 2 4 8 8 4 Dominio: 8 − 2𝑥 2 ≥ 0; 𝑥 ≤ ∓2 por lo tanto el dominio es 𝑥 ∈ [−2,2] 𝑦 = √8 − 2𝑥 2

X Y

-2 ∓0

-1 ∓2.4

0 ∓2.8

1 ∓2.4

2 ∓0

47

2.5 La Parábola Es una curva formada por un conjunto puntos p(x,y) de un plano cualquiera, tal que su distancia al foco F y a la directriz son iguales. Trujillo, M. (2004) dice que la parábola geométricamente se describe como la curva que resulta al interceptar un cono circular recto y un plano paralelo a la generatriz del cono.

V (0,0): Es el vértice de la parábola. Eje de la parábola: Es la recta que pasa por el foco F(p,0) y el vértice v(0,0). d: Es la distancia focal que se encuentra desde el punto v(0,0) hasta el foco F(p,0) . D: Es la directriz la cual es una Recta perpendicular al eje de la parábola y está a la misma distancia del vértice al igual que el vértice del foco. Radio focal: Es la distancia que hay desde el foco de la parábola hasta cualquier punto de la misma.

48

2.5.1 Ecuaciones de la parábola Formas de las ecuaciones de una parábola: 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ; 𝑥 = 𝑎𝑦 2 + 𝑏𝑦 + 𝑐  𝑦 2 = 4𝑝𝑥 , se tiene que si 𝑝 > 0 la parábola abre hacia la derecha, pero si 𝑝 < 0 entonces abre hacia la izquierda.  𝑥 2 = 4𝑝𝑦. En esta ecuación el foco es F (0,p). si 𝑝 > 0 la parábola abre hacia la arriba y para 𝑝 < 0 abre hacia abajo.  La parábola con vértice v(h,k) y eje de simetría vertical (𝑥 − ℎ)2 = ∓ 4𝑝 (𝑦 − 𝑘).  Si el eje de simetría es horizontal entonces: (𝑥 − 𝑘)2 = ∓ 4𝑝 (𝑦 − ℎ).

Ejemplo 1: Cuál es la ecuación de la parábola cuyo vértice es v(0,0)y su foco F(0,3). El foco está en y, eso indica que la parábola abre hacia arriba. El foco se encuentra sobre el eje Y en (0, 3), por lo tanto es una parábola vertical con las ramas hacia arriba y vértice en (0, 0). Su ecuación es de la forma x2 = 4py, siendo p la distancia del vértice a l foco, es decir, p = 3, sustituyendo este valor en x2 = 4py se tiene que: 𝑥 2 = 4 𝑝𝑦 = 4(3)𝑦 → 𝑥 2 = 12𝑦

Ejemplo 2: Buscar la ecuación de la parábola cuyo vértice es V(0,0)y foco F(-6,0). El foco está en x=-6 y abre hacia la izquierda, por lo que la ecuación de la parábola es de la forma

y 2  4 px . y 2  4 py  4(6) x  y 2  24 x

49

Ejemplo 3: Obtén los elementos de una parábola cuya ecuación es 𝑦 2 = 28𝑥 Los elementos son: Vértice, foco, directriz, lado recto y eje. Se sabe que 𝑦 2 = 28𝑥 representa una parábola horizontal, por lo que ahora se pueden sacar sus elementos. Vértice: v(0,0) Foco→ 𝑦 2 = 28𝑥 implica que 28/4=7, por lo que P=7 Lado Recto (LR): es cuanto abre la parábola, por tanto LR= 4P  4(7)  28 Esto implica 14 arriba y abajo. Directriz: x=-5 Eje: y=0  Realizar un bosquejo de la gráfica de la ecuación.

y













2.5.2 Representación grafica de una parábola. Para graficar una parábola se procede de la misma forma que con la circunferencia y la parábola. Ejemplo 1. Graficar 𝑦 2 = −20𝑥 El vértice es v (0,0) y foco: p = (-5,0). Buscando su dominio en 𝑦 = √−20𝑥 se cumple ∀𝑥 ∈ (−∞, 0]

50

2.6 Hipérbola Es aquella cónica que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano para los cuales la diferencia de las distancias (en valor absoluto) a dos puntos fijos (llamados focos) es constante y menor que la distancia entre los focos. Geométricamente la Hipérbola se forma cuando se inclina un plano de forma tal que sea paralelo a dos generatrices de un cono. Como se nota es una figura que está formada por dos ramas.

51

2.6.1 Elementos de una Hiperbola con centro en el origen

𝐹1 𝑦 𝐹 son los focos. 𝐶(ℎ, 𝑘): es el centro. ̅̅̅̅̅̅ 𝑉1 𝑉 = 2𝑎 : es el eje transversal ̅̅̅̅̅̅ 𝐵 1 𝐵 = 2𝐵 : es el eje conjugado 2

2𝑏 ̅̅̅̅̅̅ 𝑄 1 𝑄 = 𝐿𝑅 = 𝑎 : Es el lado recto.

2.6.2 Ecuaciones de una hipérbola  Si la hipérbola tiene su centro en C (h,k) = (0,0) y su eje transverso esta en x y el conjugado en y entonces es una hipérbola horizontala y su ecuación es: 𝒙 𝟐 𝒚𝟐 − =𝟏 𝒂𝟐 𝒃𝟐

52

 Si la hipérbola tiene su centro en C (h,k) = (0,0) y su eje transverso esta en y y el conjugado en x entonces es una hipérbola vertical cuya ecuación es: 𝒚𝟐 𝒙 𝟐 − =𝟏 𝒂𝟐 𝒃𝟐

 Si C (h, k) ≠ (0,0) y su eje transverso es paralelo al eje horizontal x y el conjugado paralelo a y , entonces su ecuación es: (𝒙 − 𝒉)𝟐 (𝒚 − 𝒌)𝟐 − =𝟏 𝒂𝟐 𝒃𝟐

 Si C (h, k) ≠ (0,0) y su eje transverso es paralelo al eje vertical y y el conjugado paralelo a x , entonces su ecuación es: (𝒚 − 𝒉)𝟐 (𝒙 − 𝒌)𝟐 − =𝟏 𝒂𝟐 𝒃𝟐

Ejemplo 1: Cuál es la ecuación de la hipérbola cuyo centro es C(0,0), sus vértices son 𝑉1 (−2,0); 𝑉(2,0) y focos 𝐹1 (−5 ,0) ; 𝑉(5 , 0). Solucion: a=3, c=5 Como 𝑏 2 + 𝑎2 = 𝑐 2 → 𝑏 = √𝑐 2 − 𝑎2 𝑏 = √52 − 32 → 𝒃 = 𝟒 𝑥2

𝑦2

𝑎

𝑏2

− 2

=1→

𝑥2

𝑦2

3

42

− 2

=1

∴

𝑥2 9

−

𝑦2 16

=1

53

No des la felicidad de muchos años por el riesgo de una hora. Marco Aurelio (121-180) Emperador Romano.

54

Cálculo Diferencial 2.7 Práctica # 2: Las cónicas Nombre: ___________________________Matrícula:________________________ Profesor: ___________________Sección: _______________Fecha:_____________

La circunferencia I.

Defina correctamente : a) Qué es una cónica?. b) Qué es una circunferencia II. Obtén la ecuación canónica de la circunferencia de centro y radio dados. a) C(-3,5); r = 6 b) C(-4,-1), r = 2 c) 𝐶(1,6), 𝑟 = √7 III. Escribe la ecuación general de una circunferencia dado su centro y su radio. a) C(2,4); r = √5 b) C(-4,7), r = 1 IV. Hallar el centro y el radio de las siguientes circunferencias. 2 2 x  1   y  7   25 a)  2 2 b)  x  8   y  5  81

1 9 2 2 d)  x  2    y  1  4 c)

 x  6   y  4

e)

 x  9

2

2

2



  y   16 2

2 2 f) 14 x  14 y  28x  112 y  50  0

V. a) b) c) d)

Representa gráficamente las circunferencias 𝑥 2 + 𝑦 2 = 36 (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 5)2 = 49 (𝑥 − 6)2 + (𝑦 + 2)2 = 25 x2  y 2  6  0 .

e)

x 2  y 2  8x  10 y  20  0 .

f)

4 x2  4 y 2  6x  8 y  2 .

55

VI.

Hallar la ecuación canónica de la circunferencia dados. a) r = 5 ; C  2, 8

b) r = 10; C  0, 2  c) r = 4; C  3, 2  VII.

Resuelve los siguientes problemas.

a)

Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto A(6, 0).

b)

Determine la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento que une los puntos : M (2, 10) y N (8, 4).

c)

Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro P(-6, 4) y que sea tangente al eje Y.

d)

¿Cuál es la ecuación de la circunferencia de centro B(5, 6) y que pase por el origen?

e)

Halle la ecuación de la circunferencia de radio r = 4, que sea tangente a los ejes coordenados y cuyo centro esté en el segundo cuadrante.

f)

Calcule el área y el perímetro de la circunferencia cuya ecuación es : x 2  y 2  6 x  4 y  56  0 .

g)

Una circunferencia de radio 4 pasa por los puntos P(1, 3) y Q(7, 3). Encuentre las ecuaciones.

h)

Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (3, 0) y (0, 3), y es tangente a la recta 3x – 3y = 3.

La Parábola VIII.

Determina el vértice, la gráfica y la distancia focal de las siguientes parábolas. a) b) c) d)

IX.

X.

𝑦 2 = 3x 𝑥 2 = 4y (𝑦 + 2)2 = −4(𝑥 − 5) (𝑥 + 8)2 = 12(𝑦 + 10)

Determine las coordenadas del foco, longitud del lado recto y la ecuación de la directriz de las siguientes parábolas : a) x 2  4 y . b) 5y 2   x Halle la ecuación de las parábolas conforme los datos que se indican: a) Foco F(0, 6), Directriz : y + 1 = 0. b) Foco F(0, 5), Directriz el eje X. d) Vértice V(2, 2), Eje de simetría la recta y + 1 = 0 y que pase por el punto (4, 4) e) Vértice V(3, 2), Foco F(3, 1).

56

XI.

Grafique las siguientes parábolas y2  x  2 y  6 x2  4 x  6 y  8  0 3x 2  9 x  5 y  2  0

Determine la ecuación de la tangente a la parábola y 2  4 x  4 y  6  0 que es perpendicular a la recta 2x +3 y + 6 = 0.

XII.

La Elipse XIII.

En las siguientes ecuaciones de Elipse obtenga su centro, longitud de los semi-ejes mayor y menor, longitud de los lados rectos, coordenadas de los focos y vértices, excentricidad y ecuación de las directrices. a)

x2 y2   36 . 4 16

b) 6 x 2  5 y 2  30 c) 8x 2  2 y 2  16 x  8 y  14  0 . d) e) XIV.

 x  6

2



16

 x  2

2

25

y2  1. 4

 y  6 

2

9

1

Representa gráficamente las siguientes elipses. f) g)

x2 y2  1 3 5

 x  5

2

4

  y  3  1 2

h)

 x  8

i)

9 x 2  6 y 2  18x  24 y  3  0 .

2

  y  6  1 2

57

XV.

Determine las ecuaciones de las siguientes elipses, de forma que satisfagan las condiciones que se indican: a) Focos (5, 0) y (5, 0), vértices (7, 0) y (7, 0). b) Focos (0, 7) y (0,  7), longitud eje menor igual a 14.

XVI.

Determine la ecuación de la elipse de centro (8. 4), uno de los focos en (2, 2) y que pasa por el punto (10, 0).

XVII.

Determine la ecuación de la elipse de centro (2, 5), uno de los vértices en (4, 2) y su excentricidad e = 1/5.

La Hipérbola. XVIII.

Obten las coordenas al centro y semiejes transversos y conjugados de la hipérbola. a) b)

x2 y2  1. 25 4

 x  3 4

2

 y  5  36

2

1.

d) 9 x 2  16 y 2  100

XIX.

Represente gráficamente las hipérbolas cuyas ecuaciones se muestran a continuación determinando, en cada caso, los vértices, los focos, la excentricidad, la longitud del lado recto las ecuaciones de las asíntotas y las ecuaciones de las directrices. a)

x2 y2   1. 15 8

b) x 2  y 2  36 . d) 9 x 2  16 y 2  100 e) XX.

Determine las ecuaciones de las hipérbolas que satisfagan las siguientes condiciones: a)

Centro (0, 0), foco (5, 0), un vértice en (3, 0).

b) Vértice los puntos (3, 0) y (3, 0), focos (4, 0) y (4, 0).

58

3. Capítulo 3: Relaciones y Funciones 3.1 Importancia del Cálculo Diferencial

El cálculo diferencial consiste en el cambio que experimentan las funciones. Su principal objeto de estudio son las derivadas, la cuales son la medida de la rapidez con la que varía el valor de una función según cambia el valor de su variable independiente. Se interesa en el movimiento y la forma en la que una cantidad se acerca a otra. Tiene mucha importancia dentro de diferentes ramas del saber, como en el caso de la física pues se aplica en la velocidad instantánea sobre la razón de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo. En la química le interesa la velocidad instantánea para obtener la rapidez de cómo cambian las reacciones químicas. En biología se observa cómo crece una población en un determinado tiempo y en economía tiene basta importancia en la minimización y maximización para diferentes productos. También se usa para predecir ciertos modelos matemáticos en diferentes áreas de la ciencia. http://www.slideshare.net/silvyharoo/clculo-diferencial plantea que las razones del cambio se representan en todas las ciencias. Un geólogo se interesa en conocer la rapidez a la cual una masa incrustada de roca fundida se enfría por conducción del calor hacia las rocas que la rodean. Un ingeniero desea conocer la proporción a la cual el agua fluye hacia adentro o hacia afuera de un deposito. Un geógrafo urbano se interesa en la razón de cambio de la densidad de población de una ciudad, al aumentar la distancia al centro de la propia ciudad. Un meteorólogo siente interés por la razón de cambio de la presión atmosférica con respecto a la altura, En psicología, quienes se interesan en la teoría del aprendizaje estudia la curva del aprendizaje, la cual presenta en forma de gráfica del rendimiento P(t) de alguien que aprende una habilidad, como función del tiempo de capacitación t. es decir en el rendimiento a medida que pasa el tiempo. En sociología, el cálculo diferencial se aplica en el análisis del esparcimiento de rumores de informaciones. Como el cálculo diferencial estudia el cambio en las funciones por esa razón la unidad que sigue a continuación se le llama relaciones y funciones.

59

3.2 Relaciones y Funciones Desde niveles académicos muy bajos se vienen usando las funciones, pero muchas veces se trabajan como algo rutinario, simplemente para cumplir con un programa de clase. Las personas calculan y grafican funciones de todas índoles, sucediendo en la mayoría de los casos que ni se imaginan la importancia y utilidad de estas, son vistas casi siempre como algo abstracto. En la vida hay cosas que son dependientes y otras son independientes. Algunos sucesos se obtienen es dependiendo de los resultados de otros, por ejemplo La cantidad de leche que dé una vaca dependerá de la cantidad de pasto y líquido que consuma en el día anterior; La cantidad de combustible gastado por un vehículo dependerá del tiempo que dure encendido. Cuando se va al supermercado se compra un producto dependiendo de su calidad y su precio. Todo depende de los factores de oferta y demanda. Las funciones son de uso en diferentes áreas del saber tales como en la química, física, economía, estadística, medicina, finanza, etc. http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml plantea que Las funciones, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia 𝑥 𝑛 de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva y el en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859. Algunas funciones tiene diferentes uso tales como las funciones cuadráticas la cuales representan parábolas. Estas se encuentran sumergidas en la naturaleza y hasta en las trayectorias descritas por los proyectiles. Los telescopios, luces de vehículos, cascadas, etc. Es incalculable el uso que tienen las funciones de segundo grado en la humanidad. http://www.buenastareas.com/ensayos/Embriologia-Molecular/6352897.html dice que a las funciones exponenciales se acostumbra a llamarlas funciones de crecimiento, puesto que su empleo más extenso está en la descripción de esta clase de fenómenos, como el desarrollo poblacional de: personas, animales, bacterias; la desintegración radioactiva, crecimiento de una sustancia en una reacción química, el incremento del capital en el interés compuesto, etc. La función inversa de la

60

función exponencial, es la función logarítmica que se utiliza ampliamente en las ciencias teóricas como en las aplicadas, por ejemplo, para resolver la ecuación exponencial que se deriva de los estudios de crecimiento poblacional y de las matemáticas financieras, aun con una calculadora científica muy buena, se necesitan las funciones logarítmicas para resolverlas.

3.3 Clasificación de las funciones elementales. Desde niveles medios siempre han planteado que las funciones se clasifican en elementales y no elementales. Las funciones elementales están formadas por los polinomios, el cociente de polinomios, los radicales, las funciones trigonométricas y sus inversas, la función exponencial y logarítmica, así como todas las funciones formadas a partir de las anteriores mediante operaciones algebraicas o composición de funciones. Mientras que Las funciones no-elementales son aquellas que pueden ser obtenida mediante un número finito de pasos combinando funciones elementales. Entre estas se encuentran las inyectivas, biyectivas, sobreyectivas, las cuales caen en el camplo de la clasificación de las funciones por su aplicación. . Toda función proviene de una relación y en cada una de estas hay comportamientos importantes tales como su Dominio, su rango, simetría, periocidad, puntos de cortes, crecimiento y decrecimiento, puntos críticos: máximo y mínimo, punto de inflexión, concavidad y convexidad, etc. A continuación se presenta un organigrama de clasificación de las funciones elementales.

Función

  Constante   Polinomial   n  grado       Algebraica    Racional   Radical      A trozo     Exponencial    Trascendente  Logarítmica  Trigonométrica       

61

● Conjunto producto: Es el conjunto de los pares ordenados (x, y) donde x є A ^ y є B. ● Relación: Es un subconjunto del conjunto producto que se forma a través de un mandato. En toda relación se encontrará un primer conjunto llamado conjunto de partida y un segundo llamado conjunto de llegada. Ejemplo: Si A= {1, 4,6}, B= {2, 3,7}. Haga el conjunto producto y buscar la relación de acuerdo f: x > y. Luego grafique la relación en el plano cartesiano y haga el diagrama de Euler-Venn.

a) Conjunto Producto A x B = {(1,2); (1,3) ; (1,7) ; (4,2) ; (4,2) ; (4,7); (6,2); (6,3); (6,7)}. b) Relación obtenida de acuerdo a F: x >y; R: {(4,2); (4,3); (6,2); (6,3)} c) Plano cartesiano Y

x

3.4 Propiedades de una relación. 1) Reflexión: Es una propiedad que dice que todo elemento se relaciona consigo mismo, es decir, matemáticamente

x  A; ( x, x)  A .

Ejemplo: sea A= {2, 3, 4}: R: A

A donde x = x.

2) Simétrica: Dice que si un elemento x es igual a y entonces y también es igual a x. Matemáticamente se expresa x, y  A ;( x , y) ∈ A ^ (y , x) ∈ 𝐴. Ejemplo: Sea A = {2, 3, 4,}, R: { (2,4); (4,2) }

62

3) Transitiva: Coloquialmente se usa cuando se dice que Carlos es igual a Pedro y Pedro es igual a Willy, entonces Carlos es igual a Willy. La definición matemática dice que

x, y, z  A;  x, y   A ^  y, z  A   x, z   A

Ejemplos: x = y ^ y = z a  b ^ bc

x=z;

x< y ^ y B la relación tal que "x + y 8”, determine: a) Conjunto Solución, b) Dominio, c) rango, d) Diagrama de Venn-Euler y e) Diagrama de coordenadas.

Solución: a) El conjunto solución es R = { ( x , y)

AXB/x+y

8 } = {( 2, 4 ) ( 2, 6 ) , ( 3, 4 ), ( 4, 4 )} .

b) El dominio es D = { 2, 3, 4} ; c) El rango es D ={ 4, 6 } d) El diagrama de Venn – Euler es:

63

3.6 Función. Concepto y Defininición. Concepto: Es toda relación en la cual ningún elemento del dominio tiene más de una ima gen en el rango. Definición: Dados los conjuntos X ^ Y ≠ ∅ una función desde X hasta Y connotada por F: X  Y es una correspondencia matemática que cumple con los siguientes criterios. Condición Existencial: x  X ; y  Y /  x, y   f

Condición de Unicidad: Dice que:  x, y1   f ^  x, y 2   f  y1  y 2 f(1)= ?, f(-3)= 9, f(6)=? , f(4)= 16; Solamente hay función en -3 y 4. Ejemplo 1:

Sea X  1, 3, 6, 4, ; Y  7, 9,10,16. Dada la función y=x 2 Diga para cuales elementos se cumplen.

Ejemplo 2: Dada la función Y  X ; . Cuál es el dominio y rango

Ejemplo 3: Hallar el dominio de la función

f ( x) 

x 1 x 4 5

Domino: R  0 , es decir x mayor que cero Rango: R  0 , Y mayor que cero también. Solución: dom. f: x  R/ x  4  5 0 . Resolviendo la inecuación obtendremos como resultado x

9

y x 1 por lo que el dominio de la función es es , 1 U 9,  . 3.6.1 Clasificación de las funciones según su aplicación Inyectiva : ● Asigna a elementos distintos de A, elementos distintos de B.

x1, x 2  A; f  x1   f  x 2   x1  x 2

64

b) Sobreyectiva: Es cuando todos los elementos del rango son imágenes aunque sea de un solo elemento del dominio; es decir, cuando el rango sea igual al conjunto de llegada, R = B.

C) Biyectiva: Es cuando una función es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

3.6.2 Función par e impar a) Función par: Una función es par cuando guarda simetría en el eje de la ordenada. y= (x) es par 

y  x2

f (-x) = f (x); Ejemplo: Sea

Es par porque sea a cualquier número, f (-a) = f (a)→ (a)2  (a)2 → a = a y 







x 























b) Función impar: Será impar cuando presente simetría con respecto al origen de coordenadas. 

Y = f (x) es impar  f (-x) = - f (x) x  A;  x  A^x  A  f   x    f  x 

65

f ( x)  x 3  f (  a )   f ( a ) 

Ejemplo:

(  a ) 3  ( a ) 3   a   a y 





 x 

























3.6.3 Funciones algebraica. Clasificación. Son aquellas en la cual la variable independientemente se somete a las operaciones de adición, Ejemplo: y 

sustracción, multiplicación, división, potencia y radicación.

x4

Estas pueden ser: Explicitas: Cuando las imágenes de x se obtienen f (x) = 5 x - 2 por simple sustitución. Implícita: Si no se pueden obtener las imágenes de X por simples sustitución, si no que hay que realizar operaciones.

xy 3  5x6  xy  2  y  0

Funciones polinómicas:

f

x

 a 0  a1 x  a 2 x 2  ||| anx n

Son aquellas que vienen dadas por polinomios, tal como la función cuadrática

f  x   ax 2  bx  c ; a  0 Su gráfica es una parábola,



y









Ejemplo : Graficar a f ( x)  x  2 x  1 2







x 



















66

Función Constante: Viene dada por un número real, y se cumple que es cuando los elementos del dominio tienen una misma imagen.

f : R  R; x  R; f  x   a

Funciones a trozos Son definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren. En una función a trozos hay sumergidas distintos tipos de funciones en diferentes intervalos.

 x2 ; x  2 Ejemplo: grafica la función: f(x)=  4 ; x  2 Dominio: R-{2}

67

Funciones Racionales: Son aquellas obtenidas al dividir un polinomio por otro polinomio no idénticamente nulo. Para una única variable x una función racional se puede escribir como:

p( x) a 0  a1 x  a 2 x 2  |||  anx n f ( x)   q( x) b0  b1 x  b 2 x 2  ||| bnx n x2  1 Ejemplo: f(x) = x3  1

Funciones Radicales: El criterio viene dado por x dentro de un radical.f (x) =

x

y 







x 























68

Cálculo Diferencial 3.7 Práctica #3: Relaciones y Funciones. Nombre: ___________________________Matrícula:________________________ Profesor: ___________________Sección: _______________Fecha:_____________ I. Define: 1. Qué es una relación?. 2. Qué es un conjunto producto?. 3. Defina cada una de las propiedades de una relación y ponga ejemplos?. 4. Qué es un función?. 5. Establezca la diferencia entre el dominio y rango de una función?. 6. Clasificación de las funciones. Defina cada una y ponga ejemplos. 7. Cuándo una función es algebraica?. 8. Cuándo una función es polinómica?. Ponga ejemplos. 9. Cuándo una función es constante?. 10. Explique a través de ejemplos cuando una función es par y cuando es impar?. 11. Hable brevemente sobre cada una de las funciones trascendentes?. II.

Dada f : A  B con x  A



y  B y los conjuntos

A  0,1, 2,3 , B  N , determina lo que se te pide de acuerdo a f:x 2  y El conjunto de pares ordenados de -------------------------------

El dominio de la función El rango de la función

--------------------------------------------------------------

III.

Escribe el conjunto solución, el dominio y el rango de las siguientes funciones definidas sobre A y B. a) y  x 2  1; A  0,1, 2,3, 4 ; B  1,3,15, 25 .

b) y  3x  1; A  0, 2, 4, 6,8 ; B  1,13, 25, 49 . c) y  2 x  1; A  N 0,1, 2 ; B  z. d ) y  6 / x; A  1, 2,3, 4,5, 6 ; B  1, 2,3, 4,5, 6, 7,8 . e) y   x  2  / x; A  B  1, 2,3, 4,5 .

69

IV. Representa gráficamente la función pedida. 

Una función inyectiva.



Una función constante.

V. Cuál de las siguientes expresiones representa una función?. Enciéralas. a) y  2 x  1 d ) y   2 x  2.

b) y   2, y  / y  c) f   x, 2  / x 

. .

e) y   x  3. f ) f   x, x  2  / x 

.

VI. Al lado de cada expresión escribe si es algebraica o trascendente; racional o irracional; fraccionaria o polinómica. a) y  5 x  2          ;           ;             b) y  2 x  1

         ;           ;            

2 x 1 d ) z  xgy

           ;           ;           

c) y 

           ;           ;           

VII. Escribe si las siguientes funciones tienen simetría respecto al origen o a uno de los ejes, o si no tiene simetría.

70

a) y   x b) y  x 2  1 c ) y  3x 3 VIII. Verifica cuál de las siguientes funciones es par o impar. a) y  x3  x4

b) y  1  x 2 c) y  2 x 3 d ) y  9x2  5 e) y  3x  1 f )g  x  x3 IX. Considerando los conjuntos A={1,2,3,4}; B={2,3,5} y C={3,4,5}, determinar: a) AxB = b) BxC = c) Ax(BUC) = X. Dado el conjunto x={3,7,10,11,} y las relaciones: cuales son funciones.

R1   3,3 ,  7,7  , 10,10  , 11,11

R2   3,7  ,  7,10  , 10,11 ,  3,11 R3   3,11 ,  7,10 , 10,10 , 11,7  XI.

22. Dado el conjunto A=  x  n / x  5, obtén el conjunto solución,

el dominio y el rango de las siguientes relaciones R=A  A cuyas leyes de correspondencia se especifican. R1 : x  y

4

R2 : x  y es un numero par R3 : y  x 2 R4 : 2 x  y  8 R5 : x  y es un número primo. R6 : x es divisible por y. R7 : x 2  y 2 es un cuadrado perfecto.

XII. En los ejercicios a, encontrar el dominio de la función.

a) f  x   x  1  x ; b) f  x   x 2  3x  2; c) g  x   d )h  x  

2 1  cos x

1 5 6 ; e) f  x   ; f )g  x  2 senx x  31 x  41

71

4. Capítulo 4: Limites, continuidad y Asintotas. 4.1 Limite. Concepto El estudio de limite es primordiar para darle solución a muchos problemas presentados en diferentes ramas del saber humano, principlmante en ingeniería, física, química, y ciencias sociales. Con este se pretene estudiar cuan rápido se mueve una particula en un determinado momento. La aplicación del concepto de limite en la vida humana se interpreta como el punto máximo o mínimo al que se puede llegar. Este es un sinónimo de tope o fin. Un ejemplo sencillo es el de ser humano quien al nacer tendrá como límite la muerte. Límite: Es el valor de L al que sea aproxima la variable dependiente y, cuando la variable x se aproxima a un valor c, es decir, 𝑦 = lim 𝑓(𝑥) = 𝐿. 𝑥→𝑐

4.2 Resolución de Limite por proceso de evaluación. Este dice que si una función tiene límite este es único, por la propiedad de unicidad de límite. Eso significa que si este se evalúa a la derecha y a la izquierda su valor es único.

Ejemplo: Cuál es el límite de y = x 2  1, cuando x tiende a 2. La representación es de la forma lim  x 2  1 x 2

Evaluación por la izquierda x y 1.5 1.25 1.9 2.61 1.99 2.9601 1.999 2.996001 1.9999 2.996001

Evaluación por la derecha x y 2.5 5.25 2.1 3.41 2.01 3.0401 2.001 3.004001 2.0001 3.0004

El límite por la izquierda tiende a tres y también por la derecha.

72

4.3 Resolución de límites por propiedades Existen muchos métodos para resolver un limite, pero indiscutiblemente uno de los métodos mas importante es el de aplicación de las propiedades. El dominio de todas y cada una de esta es un pilar para la demostración de diferentes teoremas que se verán en el transcurso de este libro. 4.3.1 Propiedades de los límites. Cuando se vaya a resolver un limite hay que tomar en cuenta las siguientes propiedades:

Lim f(x) y

Si c es una constante y existen los xa

Lim g ( x)

xa

1) Límite de una constante : lim c  c xa

2) Límite de una variable: lim x  a xa 3) Límite de un exponente: lim 𝑥 𝑛 = 𝑎𝑛 ; Si n ∈ +

𝑥→𝑎

4) Límite del producto de una constante por una función:

lim  cf ( x)  c lim f ( x) xa

xa

5) Límite de una suma y resta: lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)

xa

xa

xa

6) Límite de un producto: lim  f ( x).g ( x)    lim f ( x)   lim g ( x)      xa xa  xa 

73

7) Límite de un cociente: lim f ( x) f ( x ) lim  x  a ;  lim g ( x)  0 lim g ( x) xa x  a g ( x) xa 8) Límite de una potencia: n lim  f ( x)  = lim f ( x)  x  a    xa

n

9) Límite de una raíz: lim n x = n a ; Si n  xa

+

10) Límite de una radicación:

lim

xa

n

f ( x) =

n

lim f ( x)

xa

Si n es par solo será válido para

lim

xa

n

;

+

f ( x)  0

Existen más propiedades de límite, que aunque no se van a usar por ahora pero son necesarias por lo menos hacerlas notar aquí

lim

11) x 12)

lim

x

lim

13) x0

14)

x

1  1  e  x    1 1   x 

x

=1

 senx    =1  x 

lim tagx x

x0

=1

lim  x 3  2 x 2  4 

x 1

3 2 Ejemplo: resolver  lim x  2 lim x  lim 4 x 1

x 1

x 1

  1  2  1  4  1 3

2

74

4.4 Operaciones con límites e indeterminaciones 4.4.1 Sustitución Directa Este método consiste en hacer la sustitución directa del valor, sin necesidad de hacer la sustitución directa. Ejemplos : Calcular los siguientes limites 1)

Lim x3

 x² +1   3

2

 1  9  1  10

2) Lím(2 x  1)  2(3)  1  5 x 3

3) Lím x 2

( x3  x) (2)3  4(2) 8  8 16    2 2 2 ( x  4) (2)  4 44 8

4.4.2 Técnica de factorización o cancelación

Ejemplo 1: Resolver el L im x 2

x2  4 x2

Resolviendo por sustitución directa da debe factorizar

44 0  2  2 0

da una indeterminación, eso significa que se

( x  2)( x  2)  ( x  2) y la nueva función es L im ( x  2)  2  2  4 x 2 ( x  2)

x3  27 Ejemplo 2 : Resolver L im x 3 x 3 Este límite por sustitución directa falla 0/0 por lo tanto se debe efectuar o por factorización.

Lim x 3  27 Lim ( x  3)( x 2  3x  9) Lim 2  x  3x  9  27 = x 3 x3 x 3 x3 x3

75

4.4.3 Límites de funciones racionales. Una función racional es el resultado que se obtiene al dividir un polinomio por otro. Es decir;

f ( x) 

P( x) a  a  a2 x 2  ...  an x n ; Donde P y Q tienen la forma: f ( x)  0 1 Q( x) b0  b1  b2 x 2  ...  bn x n

Para calcular el límite de una función racional puede aplicarse la regla para el cálculo de límite de un consciente de dos funciones, luego se ejecuta el método de sustitución directa. Ejemplos: Resolver los siguientes limites

2 x5  3x 4  5 x3  4 x 2  4 x  10 x 1 x 1

lim

2(1)5  3(1)4  5(1)3  4(1)2  4(1)  10 2  3  5  4  4  10 10    5 11 2 2

lim x

1 2

1 2( )  5 2x  5 2/ 25 6 12  2    1 x3 7/2 7/2 7 3 2

x 2  4 22  4 4  4 8 lim      no tiene limite x  2 2 x  4 2(2)  4 4  4 0

2 x  4 2(2)  4 4  4 0 lim  2   0 2 2 4 44 8 x  2 x 4

76

4.4.4 Límite de Funciones Irracionales. Una función es irracional cuando la variable independiente está afectado por un radical. El cálculo que se hace para resolver este tipo de función es el mismo como si se tratara de una función racional. Ejemplos: Busca el límite de cada expresión. a)

b)

x 2  24 52  24 25  24 49 7     1 5 2 5 2 7 7 7

lim x5

lim x2

x 2  21 x 4  16



22  21 24  16

; Se aplica racionalización

c)

lim x4



4  21 25 5   16  16 32 32

5 5 32 5 32 5 32  .   2 32 32 32 32 ( 32)

x4  44  0  0

4.5 Indeterminaciones y Operaciones con el Infinito. En los temas anteriores se desgloso las técnicas de cómo encontrar el límite de una función racional e irracional, pero existen funciones que no son muy explícita y no se resuelven por simple sustitución directa, sino que hay que aplicarle técnicas para tener el conocimiento del límite. Este es el caso donde se dan las indeterminaciones que son aquellas expresiones que una vez obtenida no permiten el conocimientos inmediato del límite, sino que hay que realizar ciertos procesos y aplicar los métodos necesarios para resolver el problema y poder así encontrar el límite de una determinada función. Entre los diferentes tipos de indeterminaciones están: 0  ; 0 

0. ;

  ;

00 ; 1 ;   ;  0 .

77

Ante de entrar a este tema es importante llevan en cuenta los siguientes criterios de operaciones con infinito. Nota: Asumir * como multiplicación. 1. Infinito más un número ∞ ± c = ∞ 2.

Infinito más infinito ∞ ± ∞ = ∞

3.

Infinito por un número ∞ ∗ ±k = ∞, ∀k ≠ 0

4.

Infinito por infinito ∞ ∗ ∞ 0

5. Cero dividido por un número k = 0 6. Un número dividido por cero

k 0

=∞ k

7. Un número partido por infinito ∞ = 0 8. Infinito partido por un número

∞ c

=∞

0

9. Cero dividido por infinito ∞ = 0 ∞

10. Infinito partido por cero

0

=∞

11. Un número elevado a cero k 0 = 1, ∀k ≠ 0

0; ∀k > 0 12. Cero elevado a un número 0k = { ∞; ∀k < 0

13.

0; ∀k = −∞ La constante k elevada a infinito 0k = { ∞; ∀k = ∞

14. Cero elevado a infinito 0  0

15. Infinito elevado a infinito

  

Indeterminaciones causadas por el infinito 1. Infinito menos infinito

    Ind

2.

.0  Ind

Infinito por cero

0  Ind 3. Cero partido por cero 0

78

  Ind Infinito partido por infinito 

4.

5. Cero elevado a cero 0o  Ind 6.

0 Infinito elevado a cero   Ind

7.

Uno elevado a infinito 1  Ind

4.5.1 Indeterminación de 0/0 que se resuelven por factorización o producto conjugado.

Ejemplo 1) L im x 4

x 2  16 (4) 2  16 16 16 0   = 44 44 0 x4

El resultado da una indeterminación por lo que se tiene que aplicar la técnica de factorización o cancelación.

( x  4)( x  4) lim lim  ( x  4) x4 x4 Ejemplo 2)

x4  44 8

x 2  13  7 (6) 2  13  7 49  7 0 =   .Indeterminación 2 2 x  6x (6)  6(6) 36  36 0

lim x6

En este caso cuando se realizan problemas con funciones irracionales se aplica la técnica de radicación y para resolver esta indeterminación se multiplica y se divide por el conjugado.





2

x 2  13   7  x  13  7  x 2  13  7  x 2  13  49 L im  L im  L im   x 6 x 6 x 2  6 x  x 2  13  7  x 6  x 2  6 x  x 2  13  7  x 2  6 x  x 2  13  7 2

 L im x 6

 (6)



x 2  36

 x  6  x  

x  13  7

12

 6

2

 13  7

2









 L im x 6

2 36  13  7



2







 x  6  x  6   x  6  L im x 6 2  x  6  x   x  13  7   x   x 2  13  7  

 

2 49  7





2 1  14 7

79

𝟎

4.5.2 Indeterminación de tipo 𝟎 𝒆

∞ ∞

.

Cuando se está buscando el límite de una función y falla por sustitución directa, por cancelación y lo demás método, entonces debemos de ir a la regla algebraica que dice que cuando el límite da 0/0

se divide cada término de la función por la variable de menor

consiguiente si el limite da

Ejemplo 1)

lim x

exponente, por

 /  se divide por la variable de mayor exponente.

2 x2  4 x  3 5x2  6

2() 2  4()  3 2()  4()  3     3     5() 2  6 5()  6 6 

=

2x2 4x 3 4 3 4 3  2  2 2  2 2  2 2 x  x x     200  2  x 2x 6 6 5x 6 50 5 5 2 5 2  2 2 x  x x

x2 3    2 2 x  6 ( )  6  x 2 1 2 1 2  2  2  2 2 x x x x    0  0  0  El limite de esta función es 0. Resolviendo  2   6 6 x 6 1 1 2  2 1 2 2 x  x x Ejemplo2 :

L im x 

2 x3  3x 2  4 x lim Ejemplo 3) x2  6 x x0 2(0)3  3(0)2  4(0) 2(0)  3(0)  4(0) 0 lim   (0)2  6(0) (0)  6(0) 0 x0 2 x3 3x 2 4 x   2 2 lim x x x  2 x  3x  4  2(0)  3(0)  4  0  0  4   4   2 x2 6 x x6 06 06 6 3 x0  x x

80

4.6 Resolución de límites por comparación de infinitos cuando se obtiene (  ) Se puede trabajar por comparación de límites dando como resultado el infinito de la que tenga mayor exponente. Siempre va a tender al infinito. Ejemplos: lim x lim x

Resolver por comparación de infinitos.

(2 x5  3x3  4 x)   Por tener 𝑥 5 mayor orden x3  x 2  4 x   Por tener 𝑥 3 mayor orden

4.7 Resolución de limites racionales de indeterminación de (  ) Cuando se tenga este tipo de indeterminación de una función racional se debe primero resolver las operaciones algebraicas y luego reducir los términos semejantes. Tomando en cuenta que siempre se obtendrá una indeterminación de  /  ó 0/0 Mientras que, si es una función irracional se resuelve generalmente multiplicando y dividiendo la función por el conjugado.

Ejemplo 1) Resolver

1 2x lim  2 x  2 x2 x 4

1 2x 1 2x ( x  2)  2( x) x  2  2x lim  2     ( x  2)( x  2) ( x  2)( x  2) x  2 x  2 x  4 x  2 ( x  2)( x  2)

2  2  2(2) 4  4 0 x  2  2x lim    (2  2)(2  2) 0 0 x  2 ( x  2)( x  2) (1)( x  2) 1 1 1 lim   lim   ( x  2) 2  2 4 x  2 ( x  2)( x  2) lim

Ejemplo 2) Resolver x   lim x

  x  

lim

x3  5  x3  x

()3  5  ()3  x    5            





 

( x3  5) 2  ( x3  x ) 2 x3  5  x3  x    x3  5  x3  x x3  5  x3  x 

x3  5  x3  x



81

( x3  5)  ( x 2  x)

lim x

x3  5  x3  x



x3  5  x3  x x3  5  x3  x



5 x x3  5  x3  x

5 x  1 1 x x   x3 5 x3 x 1  1 2    x3 x3 x3 x3

lim x

4.8 Indeterminacion de tipo∞. 𝟎 Para romper este tipo de indeterminación se debe entrar uno de los factores dentro de la raíz del otro y luego hacer las sustituciones indicadas. Ejemplo 1: Ejemplo 1: Resolver lim  2 x  x

 

   

1 =   

Lim x







0 =

.0

1 x²  5

2 Lim 1 Lim 1 Lim 1 (2 x ) 2  (2 x ) 2 . 2  (2 x) 2 . 2 x x 5 x  x 5 x  x 5

4 x2 4   4 2 2 x 5 1 0 lim

Ejemplo 1) x  

( x  4).

lim x lim x

lim x

1 16 x 2  4

(  4).

1 1  .  .0 2 16()  4 

( x  4) 2   2 16 x  4  ( x  4)2  16 x 2  4

x 2  8 x  16 1 1   2 16 x  4 16 4

4.8.1 Resolución de indeterminación de tipo 𝟏∞ . Este tipo de indeterminación se resuelve transformando la expresión en una potencia del numero e . Es decir;

 1  1   f ( x)  

f ( x)

e

82

x 1

x 1

11

2

 2 x  2  x 1 lim  2 x  2  x 1  2(1)  2 11  4  0        1    x 1  4  = x 1  4   4  4

lim

Ejemplo 1) Resolver

1er paso: Se suma y se resta 1 x 1

 2 x  2  x 1  1 1  4 x 1  

lim

2do paso: Se pone en a común denominador los últimos sumandos x 1

 2 x  2  x 1 1   4  x 1 

lim

3cer paso: Sustituimos por el inverso de lo inverso. x 1 4 2 x  2 . . 4

  x 1 2 x  2  1  lim 1  4  x 1    2x  2 

   1   1  4    2x  2 

x 1 4 . x 1 2 x  2

e

lim x 1

4  4   e e 4  2x  2 

83

4.9 Límite. Definición épsilon- Delta de límite. Karl Weierstrass: Matemático alemán, nació en 1815. Ingresa a la universidad de Bon a estudiar comercio y finanzas para complacer a su padre; pero su interés por las ciencias Matemáticas fue más grande. Trabajó con la teoría de la serie de potencias, su trabajo más importante fue sobre elípticas y fue quien dio la definición aritmética de límite junto a Cauchy. Muere en 1897.

L im f ( x)  L   xa

Ejemplo 1: Probar que

> 0, 

 >0/

f ( x)  L 

siempre que x  a  

lim  2 x  1  3 x2

f ( x)  L <

> 0 ;  > 0

Debe probarse que dado un

siempre que

xa

<  Estableciendo una relación f ( x)  L

Siempre que

 2 x  2

2x -1- 3 = 2x - 4 = O sea que

2 x - 2 <

 x - 2 < Por lo que puede tomarse un

x  2<  ( )  = 2

x-2

Siempre que  x - 2

2



Siempre que x - 2 =

  

. 2

84

Ejemplo 2.

lim  2 x  5  1

x3

 > 0 ;    > 0  f  x   L < Si

= 0.01 ¿cuánto es

  2 x  5  1

<

Siempre que x  a <



? 

0.01 siempre que x  3 <



Operando a la izquierda tenemos

 2 x  5 1   2 x  6  2 x  3 < 0.01 2 x - 3 < 0.01 siempre que

x  3 < 

Cuando

= 0.01;

 = 0.005

0.005

 x - 3 < 0.01 . . . . . . . . x  3 <  2

Por lo tanto como



=

2

=

0.01 = 0.005  que cuando 2

= 0.01 ,

 = 0.005

4.10 Resolucion de Límites con valor absoluto. Conceptualmente el valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su a ; si a  0 signo. a   a ; si a < 0 Ejemplo:

19  19 19    19   19

Siendo x una variable y a una constante, entonces se dice que;

 x  a si x  a xa     x  a  si x< a

85

Ejemplo : Resolver

Lim x 3

Evaluando directamente

x3 x2  9

33 3 9 2



0 0

Aplicando la definición de valor absoluto

a ; si a  0 a  a ; si a < 0

,

lim x a f  x   L

 x  3 si x  3 x 3     x  3 si x< 3 Esto indica que para valores mayores que 3 la expresión se sustituye por (x-3) pero para valores menores se sustituye por – (x-3), por lo que se debe calcular limite cuando x  3 y cuando x  3 , esto indica límite lateral izquierda y derecha. lim

x 3

x 3 x2  9

Haciendo una evaluación por la izquierda y derecha

Evaluación por la izquierda x y 2.5 0.2 2.9 0.1694 2.99  0.16694

Evaluación por la derecha x y 3.5 0.15 3.1 0.16393441 2.01 3.0401

Se nota que el imite por la izquierda es aproximadamente y = -1/6 y por la derecha es y = 1/6. El límite no es único por lo tanto contradice al teorema de de unicidad de limite, significa que no tiene.

86

Ejemplo 2 : lim x 3

4 x  12 2  1 x

Tomando en consideración el valor absoluto se tiene que;  1  x  , si 1-x  0 a) 1  x      1  x  , si 1-x 0, ∃ 𝛿1 > 0/|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 siempre que |𝑥 − 𝑎| < 𝛿1.

𝑥→𝑎

lim 𝑔(𝑥) = 𝐿 ↔ ∀𝜀 > 0, ∃ 𝛿2 > 0/ |𝑔(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 siempre que |𝑥 − 𝑎| < 𝛿2 .

𝑥→𝑎

Sacando ciertas deduciones se puede verificar que 4)

Como se cumple que 0 < |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 → 𝐿 − 𝜀 < |𝑓(𝑥)| < 𝐿 + 𝜀

5)

Como se cumple que 0 < |𝑔(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 → 𝐿 − 𝜀 < |𝑔(𝑥)| < 𝐿 + 𝜀

6)

Como ya se sabe 𝑓(𝑥) ≤ 𝑤(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) por lo que de los dos últimos pasos se puede

verificar 𝐿 − 𝜀 < |𝑓(𝑥)| y que |𝑔(𝑥)| < 𝐿 + 𝜀 por lo tanto 𝐿 − 𝜀 < 𝑓(𝑥) ≤ 𝑤(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) < 𝐿 + 𝜀 7)

Partiendo del paso 6, por siguiente afirmación debes ser verdadera:

𝐿 − 𝜀 < 𝑤(𝑥) < 𝐿 + 𝜀 por lo tanto por definición |𝑤(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 8)

Finalmente lim 𝑤(𝑥) = 𝐿 ↔ ∀𝜀 > 0; ∃𝛿3 = 𝑥→𝑎

𝑚𝑖𝑛{𝛿1 ,𝛿2 } |𝑥−𝑎|

< 𝛿3 𝑦 |𝑔(𝑥) − 𝐿| < 𝜀. Q.E.D

Ejemplos: Resolver 𝑦 = 𝑙𝑖𝑚

𝑠𝑖𝑛 𝑥

𝑥→∞

𝑥

Solución: Sustituyendo directamente lim

𝑥→∞

sin 𝑥 𝑥

=

sin ∞ ∞

=?, nada se sabe respecto a este asunto, solo que

−1 ≤ sin 𝑥 ≤ 1 por lo que dividiendo por una misma cantidad x se tiene que −1 ≤ sin 𝑥 ≤ 1 = sin 𝑥 𝑥

1

−1 𝑥

≤

≤ 𝑥, aplicando limite

89

1

− lim 𝑥 ≤ lim 𝑥→𝑥

0 ≤ lim

𝑥→∞

sin 𝑥

𝑥→∞

sin 𝑥 𝑥

≤ lim

𝑥

1

𝑥→∞ 𝑥

≤ 0 ∴ lim

𝑥→∞

sin 𝑥 𝑥

→

−1 0

≤ lim

𝑥→∞

sin 𝑥 𝑥

1

≤0

= 0 . Por la aplicación del teorema del Sándwich.

4.12 Continuidad Un concepto de continuidad de una función dice que una función es continua siempre que se pueda hacer su grafica sin levantar la punta de un lápiz.

4.12.1 Tipos de Continuidad Continuidad en un punto: Una función f se dice que es continua en un punto si se cumplen las siguientes condiciones. 1)

f (c )

2)

x c

3)

x c

está definida

lim

f ( x)

lim

f ( x) =

;

exista

f (c )

1) Por ejemplo f ( x)  x 2  1 es continua en 2, pués

lim f ( x)  f (2) la condición implica que una x2

función puede ser continua en los puntos de su dominio, por ejemplo la función f ( x)  4  x 2 no es continua para x=3 poque f(3) no esta definida. 2) f ( x) 

1 Lim f ( x) no es discontinua en 2 porque f(2) no esta definida y también porque el x2 x2

existe.

90

4.12.2 Discontinuidad. Tipos Si una función f no es continua en un punto c entonces es discontinua en ese punto. Si al menos una de estas tres condiciones deja de cumplirse, se dice que f esdiscontinua (no continua) en x = c. Esto puede producirse por varias causas dando así paso a distintos tipos de discontinuidades.

 Discontinuidad Evitable o removible: Esta nos permite redefinir la función a través de un artificio matemático para transformarla en

x2  4 otra donde haya limite f ( x)  , si se observa esta función es discontinua cuando x = -2 pero si x2 se factoriza da un hoyito en ese número, por lo que se ha evitado esa discontinuidad.

 Discontinuidad inevitable o no removible: Es aquella que no hay forma de quitarla o transformarla. discontinuidad inevitable en x=0 ya que

lim 3  x  0 x2

f ( x) 

3 x2

presenta una

y el infinito no es un número y no hay

forma de transformar la función para evitar eso. 4.12.3 Continuidad de una función en un intervalo Una función es continua en un intervalo intervalo, es decir; f es continua en

I,

I  c  I

 es continua en todos los Puntos del reescrita de otra manera via dfinicion f es

continua en  a, b si f es continua en todos y cada uno de los puntos de un intervalo abierto (a,b); f es continua a la derecha en a y a la izquierda en b, pues una función continua en todo R es continua en cualquier intervalo de éste. Ejercicios: Determinar si son continuas las funciones siguientes en el Intervalo indicado, justifique su respuesta.

a)

f ( x) =

1 ;  0,1 x

91

b)

f ( x) 

c)

f ( x) 

x² 1 ; x 1

 0, 2 

sin x ;  0, 2 

4.12.4 Definición formal de Continuidad

L im f ( x)  L   xa

> 0, 

 >0/

f ( x)  f (a) 

siempre que x  a  

4.13 Asíntotas Es una línea recta a la que se aproxima infinitamente una curva

f ( x) sin nunca tocarla. Hay

tres tipos: 1. Asíntotas Verticales:

lim f ( x)  

xa 

Ejemplo 1: Buscar la asintota vertical en f ( x) 

x2  1 x5

x  5  0 por lo que en x  5 hay una A.V. Ejemplo 2: Buscar la asintota vertical en f ( x) 

x3  2 . x4

x4  0 x  4 2. Asíntotas Horizontales: lim f ( x)  c x

24 x 4  3x3  2 x  x Ejemplo 3: f ( x)  Buscar las A.H. 3x 4  8 x  1 24 x 4  3x3  2 x  x 24 x 4  3x3  2 x  x  y  L im  L im  x  x  3x 4  8 x  1 3x 4  8 x  1  24 x 4 3x3 2 x x  4  4 4 4 3 4 24 x  3x  2 x  x x x x x  24  0  0  0  24 por lo que L im  4 4 x  3x 8 x 1 3x  8 x  1 30 0 3  4 4 4 x x x  y  8 es una A.H .

92

2 x 2  x3  3 Ejemplo 4 : f ( x)  Buscar las A.H x3  x 2 2 x 2  x3  3 2 x 2  x3  3  y  lim  lim  x  x  x3  x 2 x3  x 2  2 3 2x x 3  3 3 2 3 3 2x  x  3 0 1 0 1 por lo que lim  x 3 x 2 x   3 2 x  x x x x 1 0 1  3 3 x x  y  1 es una A.H . Asíntotas Oblicuas: Es la recta de la forma y 

lim f ( x) m  x x

y

mx  n

n

lim

x

 f ( x)  mx

siempre y cuando estos límites

existan.

x2 x2 Aplicando la definicion hay que empezar buscando los parámetros de m y n.

Ejemplo 5 : Buscar la asíntota oblicua en f ( x) 

x2 x2

x2 x 2  2 2 2 x  x2 m  lim x  2  2  , resolviendo se tiene que m  lim x x  2 1 x  x  x x x  2x  x  2x x2  x2  x 2  ( x 2  2 x) x 2  x 2  2 x 2x Ahora se busca a n  lim   x    x  x  2 x2 x2 x2   2x 2x  2x 2 n  lim  , n  lim  x   2  m  1^ n  2 por lo que se tiene x  x  2 x   x  2 x  2 1 0 x x que y  x  2 es una A.O.

93

Ejemplos: Busca las asíntotas de las siguientes funciones y realiza la gráfica.

1) f ( x) 

2) f ( x) 

1  x  2 ^ x  4 A.V , pero no hay A.H. x  6x  8 2

7x  4  x  2 A.V pero no hay A.H. x  4x  4 2

94

3) f ( x) 

3x  1  x  2 AV . , y  3 A.H . x2

95

Cálculo Diferencial 4.13 Práctica #4: Límite, Continuidad y Asíntota. Nombre: ___________________________Matrícula:________________________ Profesor: ___________________Sección: _______________Fecha:_____________ Encuentre los límites de las siguientes funciones. 1) lim  2 x  4  x 1

2) lim  x  1 x 2

3) lim8 x4

4) lim  2 x  2  x 1

2 x2  4 x 3 x  3 x

ax 2  bx 14) lim 2 x  x  dx x 2 x4 x 4 x2  4 16) lim x2 x  2 ax 3  2b 2 17) lim 3 x  2 bx  2 x

15) lim

5) lim

18) lim x 2  2 x  7

6) lim 4 x  8

x 9 19) lim x 3 x  3

x 6

 ax  a 2 

x 

5 x  x

13) lim

x 3

28) lim x 2  5 x 3

6

29) lim

 x  4

x4

30) lim x2

31) lim

2

3x

 x  2   x  3   13 

x 0

2

32) lim

3

x  1 x  2   2

x 0

x 4 7) lim 20) lim xa x 2 x  4 x x2  x  6 8) lim x 2  9 21) lim x 5 x 2 x2 2 2 2 2x  2x x  3 x  10 9) lim 3 22) lim 2 x  x  4 x x 5 x 5 2 2 x 4 x  5x  6 10) lim 23) lim 2 x2 x  2 x2 x  6 x  8 3 2 x  x  6x x 2  3x  2 11) lim 3 24) lim 2 x 0 4 x  2 x  6 x x 2 x  x  6 x 1 12) lim 2 x 1 x

27) lim x 2  4

2

x

33) lim

x5 x  25

34) lim

x 6 x  36

x  25

x 36

35) lim

x 5 x5

36) lim

x 8 x 8

x 5

x 8

 x   x  5 25) lim 2 x4  x  4  x  4   x  3 x  3 x  4  26) lim x 3  x  8  x  3  x  4  2

96

52) lim

3 x 3  3x

x 

2 x3

37) lim x  1

1  8x2 3 53) lim x  x2  4 54) lim 3 x 

55) lim

x 

 57) lim 

56) lim

x 

x2

2x2  2 x  4 38) lim 2 x  0 3 x  12 x  9

 x 3  3x

x2 2 x2 x2 3 40) lim x  2 x  6

39) lim

2x  7x 3

x2  x  3  x  1 x  1 2 x2  3  2 x2  5



x2



2  x 41) lim x 0

42) lim

2

4

x 9  x2

2  x2  5 x  2 x 2  12 x  4 43) lim 2 2 x  0 3 x  12 x  9 5  2x 58) lim 2 x  3 x  5 x  1  44) lim  x  1   2 2 3 2 x  3h  2 xh  x h x  3   59) lim h  4  3 xh  2 x 3h 3 x2 45) lim x 0 x4 2 3 III. Compruebe por la definición: x 8 46) lim 3 x2 x  4 60) lim  5 x  3  2 x 1 x2  x 47) lim 2 2 61) lim 3x  7  9 x 1 x  1 x2 x4  7 48) lim 62) lim x  1  2 x  3 x 4  4 x 3

x  2x  x 2

x 3

49) lim x 1

2 x  1  3x  2 x 1

50) lim x  x 2  x x 

51) lim x 3  x 2  6 x 4

97

IV. Busca las asíntotas de las siguientes funciones y haga la gráfica de cinco de ellas:

63) f  x   64) f  x  

3 x 1 3

 x  1

2

3 9  x2 14 66) g  x   2 2x  7 2x 67) g  x   x2  5 x2  2 68) g  x   x2 x3 69) f  x   2  x  1

65) f  x  

x2  x  6 x2 2 x 71)k  x   2 x x4  1 72) f  x   2 x 1 x2 73) f  x   x2  1

70) f  x  

74) f  x   e

1

x

75) g  x    x  1 e  x 1 x 1 e2 2 2 3 4x  2x2  x  6 77) y  x3  1 3x 2 78) y  25  x 2

76) z  x  

98

VI. Encuentra los valores de x  si existe algunos  en los que f no es continua. si es descontinua diga si es evitables o removibles. x2  1 x 1 84) f  x   x 2  2 x  1

83)f  x  

1 x2  1 x 86) f  x   2 x x x3 87) f  x   2 x 9 1 88) g  x   4  x2 2 x 2  18 89) f  x   3 x

85) f  x  

90) f  x  

x2

x2 x2 91) f  x   2 x  3 x  10 92) f  x   3 x  cos x 93) f  x  



x , x 1 x 2 , x 1

2u  7 u5 2 x  49 95) f  x   x7

94) f  u  

Son nuestras escogencias y no la suerte la que determinan nuestro destino. Jean Nidetch

99

5. Capítulo 5: Derivadas 5.1 Derivada. Conceptos La derivada de una función se conceptúa desde diferentes puntos de vista. 1.- Concepto geométrico: Es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto cualquiera de ella. 2.- Concepto físico: Es la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado en un punto único del trayecto. 3. - La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente.

𝑚 = 𝑇𝑎𝑛 𝜃 =

∆𝑦 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) = = ∆𝑥 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑥 ∆𝑥

∆𝑦 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) 𝒅𝒚 𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙) = Lim → = 𝑳𝒊𝒎 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 ∆𝑥 ∆𝑥 𝒅𝒙 ∆𝒙→𝟎 ∆𝒙 𝐿𝑖𝑚

Esta es la definición de derivada siempre y cuando el límite exista.

5.2 Connotación de derivadas Hay varias formas de representar una derivada, todo depende de la connotación dada por el matemático que trabajó sobre el tema. Es el caso de: 𝑓 ′ (𝑥) : Notación del matematico Lagrange 𝐷𝑥 :

Notaciones de Cauchy y Jacobi 100

: 𝑑𝑦 𝑑𝑥

Notación de Newton :

Notación de Leibniz

5.2.1 Connotación de derivadas n-esima. 𝑓 ′ (𝑥) Para la primera derivada, 𝑓 ′′ (𝑥) para la segunda derivada, 𝑓 ′′′ (𝑥) para la tercera derivada, y 𝑓 𝑛 (𝑥) para las derivadas con (n > 3).

5.3 Resolución de derivadas por el método de los incrementos Ya se sabe que la derivada de una función f(x) se define como:

dy f ( x  x)  f ( x)  lim dx x 0 x Esta se puede verificar usando el método de los incrementos la cual se empieza tomando la función dada como posición inicial de la función y = f(x) Se reescribe la función y = f(x) Se Incrementa la función y la variable independiente, siendo esta la posición final

y  y  f ( x  x) Se Resta la posición inicial de la función de la posición final, simplificamos y así obtenemos el incremento de la función (y ) Se Dividen los 2 miembros del incremento de la función por el incremento de la variable independiente (x) Se le Aplica límites en ambos miembros del incremento cuando x  0 Es decir que,

y  f ( x) (Se reescribe la función)

y  y  f ( x  x) (Se incrementa 1)

y  y  f ( x  x)  f ( x)

(Restar el estado 1 a 2)

y  f ( x  x)  ( f ( x) (Incremento de la función) y f ( x  x)  ( f ( x)  (Dividir ambos miembros por x ) y x

y f ( x  x)  ( f ( x)  x x

101

y f ( x  x)  ( f ( x)  lim  x 0 x x 0 x lim

Por definición lim

x 0

(Se aplica limite cuando

x  0 )

y dy  x dx

dy f ( x  x )  f ( x )  lim dx x0 x Ejemplo 1: hallar la derivada de

y  x2

por el método de los incrementos.

y  x2 y  y  ( x  x)2  x 2  2 x.x  x 2

y  y  y  x 2  2 x.x  x 2  x 2

y  2 x.x  x2 y 2 x.x  x 2 2 x.x x 2    x x x x Se Aplica límite cuando

x  0

y  lim (2 x  x) x 0 x x 0 lim

y  lim 2 x  lim(x)  2 x x 0 x x 0 x 0 lim

Ejemplo 2: hallar la derivada de

y  4 x2  2 x  3

y  y  4( x  x)2  2( x  x)  3  4( x2  2x.x  x 2 )  2x  2x  3

y  y  y  4x2  8xx  4x 2  2x  2x  3  4 x2  2 x  3 y  8xx  4x 2  2x y 8 x.x 4x 2 2x    x x x x

y  lim (8 x  4x  2) x 0 x x 0 lim

dy  8x  2 dy 102

5.3.1 Resolución de derivadas por la definición. Este método es igual que el anterior, en diferencia que aquí se aplica directamente la definición y en el anterior es una forma de ir construyento dla definición. Ejemplos: Derivar las siguientes funciones

1) f ( x)  16 x Solución: f ( x  x)  f ( x) , x 0 x 16( x  x)  16 x 16 x  16x  16 x 16x f '( x)  lim  f '( x)  lim  f '( x)  lim  f '( x)  lim 16 x 0 x 0 x 0 x x 0 x x  f '( x)  16 f '( x)  lim

2)

f ( x) 

5x  2 2x  5

Solución: f ( x  x)  f ( x) , x 5( x  x)  2 5 x  2 5 x  5x  2 5 x  2   2( x  x)  5 2 x  5 f '( x)  lim  f '( x)  lim 2 x  2x  5 2 x  5 x 0 x 0 x x (2 x  5)(5 x  5x  2)  (5 x  2)(2 x  2x  5)  f '( x)  lim x 0 x(2 x  5)(2 x  2x  5) f '( x)  lim

x 0

10 x 2  10 x(x)  4 x  25 x  25x  10  10 x 2  10 x(x)  25 x  4 x  4x  10 x 0 x(2 x  5)(2 x  2x  5) 29x 29 29  f '( x)  lim  lim  lim x 0 x (2 x  5)(2 x  2 x  5) x 0 (2 x  5)(2 x  2 x  5) x 0 (2 x  5)(2 x  2(0)  5) 29 29  f '( x)  lim  f '( x)  x 0 (2 x  5)(2 x  5) (2 x  5) 2

 f '( x)  lim

103

5.4 Resolución de derivadas por fórmulas Son varios Teoremas existente en cuanto a la derivada de funciones.

5.4.1 Teorema 1: Derivada de una función en un punto La derivada de la función f(x) en el punto x = c es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero. Se define como

𝑓 ′ (𝑐) = Lim

𝑓(𝑐+ℎ)−𝑓(𝑐)

ℎ→0

ℎ

ó

𝑓 ′ (𝑐) = 𝐿𝑖𝑚 𝑥→𝑐

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑐) 𝑥−𝑐

Ejemplo1: Hallar la derivada de la función f(x) = 4x3 en el punto x = 3. f (3  h)  f (3)  h 4(3  h)3  4(3)3 4(27  27h  9h 2  h3 )  108 4h3  36h 2  108h  lim  lim  lim h 0 h 0 h 0 h h h 2  lim( 4h  36h  108)  108 f '(3)  lim h 0

h 0

Ejemplo 2: Calcular la derivada de la función f(x) = x2 + 10x − 25 en x = 1. Solución: f (1  h)  f (1)  h 0 h (1  h)2  10(1  h)  25  (12  10(1)  25) 1  2h  h 2  10  10h  25  1  10  25  lim  lim h 0 h 0 h h 2 h  12h  lim h 0 h  lim(h  12)  12 f '(1)  lim

h 0

Derivadas de funciones algebraicas. 5.4.2 Teorema 2. La regla de la constante

La derivada de una función constante es cero, es decir,

dy d (c )  0 dx dx

Demostración: Si se aplica la derivada a f(x) = c , entonces se tiene que : La función tiene la forma

𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥 0 .

104

Incrementando 𝑓

′ (𝑥)

𝑐(𝑥 + ∆𝑥)0 − 𝑐(𝑥)0 = Lim 𝑥→0 ∆𝑥

𝑐(1) − 𝑐(1) 𝑥→0 ∆𝑥 𝑐−𝑐 𝑓 ′ (𝑥) = Lim 𝑥→0 ∆𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = Lim

0 =0 𝑥→0 ∆𝑥

𝑓 ′ (𝑥) = Lim

Otra forma de demostrarla puede ser directamente de esta forma:

f ' ( x )  lim h0

f ( x  h)  f ( x ) cc o  lim  lim  0 h0 h0 h h h

 Ejemplo: Si f(x)= 4 → 𝑓 ′ (𝑥) = 0

5.4.3 Teorema 3. Regla de una variable respecto a ella misma. La derivada de una variable respecto a ella misma es igual a la unidad.

dy d ( x)  1 dx dx  Ejemplo: Derivar f(x) = x,

d ( x) 1 dx

5.4.4 Teorema 4. Regla del múltiplo constante. Si u es una función diferenciable de x, y c es una constante, entonces su derivada será igual a la constante por la derivada de la variable, es decir, será igual a la constante

d (cx )  dx   c  dx  dx 

 Ejemplo: Derivar f ( x)  5x  f '( x)  5

105

5.4.5 Teorema 5. Regla de las potencias. Si n es un número racional, entonces f ( x)  x n es igual al exponente por la base elevada al exponente disminuido en 1, es decir;

d  xn   nx n 1   dx

Demostración: Si n es un entero positivo mayor que 1, entonces el desarrollo del binomio resulta d lim ( x  x)  x n  x n   dx x  0 x

n(n  1) x n2 x  nx (x)  (x) 2  ...  (x)n  x n lim 2 = x  0 x n

n 1

Si se elimina el denominador y se sustituye ∆x →0

lim n(n  1) x n2 n 1 nx  (x)  ...  (x)n1; = x  0 2

 nx n1  0  ...  0



d  x n   nx n1 dx

 Ejemplo: Derivar 1. f(x)= x5 eso implica

f '(x)= 5x4

2. f(x)= 3x5

f '(x)= 3(5x4) = 15x4

eso implica

Q.E.D

5.4.6 Teorema 6: Regla de cadena Conceptualmente se utiliza para la composición de funciones a veces para poder llegar a la variable de interés. Definición: Si y = f(u) es una función derivable de u, y u = g(x) es una función derivable de x, entonces y= f(g(x)) es una función derivable de x, es decir,

dy dy du  . dx du dx

Ejemplo 1: Derivar y  ( x 2  1)3 Solución: u  x  1 por lo tanto la función ahora es y  u 3 2

dy dy du  . dx du dx

= ( 3u 2 )(2x) = 6 x( x 2  1)2 106

5.4.7 Teorema 7. Regla de la suma La derivada de la suma o resta de dos funciones es igual a la suma o resta de las derivadas de ambas funciones, es decir,

Regla de la suma

d f( x)  g ( x)  f '( x)  g '( x) dx

Regla de la diferencia

d f( x)  g ( x)  f '( x)  g '( x) dx

Demostración: Asumiendo que 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑦′ = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = (𝑓 + 𝑔)𝑥 Aplicando la definición de derivada

*

𝑦 ′ = lim

𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥) ∆𝑥

∆𝑥→0

ó

𝑦 ′ = lim

𝑔(𝑥+∆𝑥)−𝑔(𝑥)

∆𝑥→0

∆𝑥

(𝑓 + 𝑔)(𝑥 + ∆𝑥) − (𝑓 + 𝑔)(𝑥) 𝑦 ′ = lim [ ] ∆𝑥→0 ∆𝑥

y

Aplicando propiedad distributiva y restando la respectiva función (𝑓)(𝑥 + ∆𝑥) + (𝑔)(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) ∆𝑥→0 ∆𝑥

𝑦 ′ = lim

Ordenar los términos de acuerdo a la definición 𝑦 ′ = lim

∆𝑥→0

[

(𝑔)(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑔(𝑥) (𝑓)(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) + ] ∆𝑥 ∆𝑥

Aplicando la propiedad de límite de una suma (𝑔)(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑔(𝑥) (𝑓)(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) + lim ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 ∆𝑥 ∆𝑥

𝑦 ′ = lim

Sustituyendo según asterisco 𝑦 ′ = 𝑔′(𝑥) + 𝑓′(𝑥); es decir que

d  f ( x)  g ( x)  f '( x)  g '( x) dx

107

 Ejemplos: Derivar f(x)= 2x3 + x eso implica que f '(x)= 6x2 + 1

f(x)=5x 6  3x3  8 eso implica que f '(x)= 30x 5  9x2

5.4.8 Teorema 8. Demostración de la regla de la derivada de un producto. La derivada del producto de dos funciones derivable f y g es igual a la primera función por la derivada de la segunda más la derivada de la primera por la segunda, es decir:

d [f( x ) g( x )]  f ( x ) g'( x )  f '( x ) g( x ) dx

Demostración Como

d [f( x ) g( x )]  f ( x ) g'( x )  f '( x ) g( x ) se incrementa el miembro izquierdo y dx

se agrega la parte sin incrementar f ( x  x) g (x   x) y f ( x) g ( x) Se aplica la definición partiendo del paso anterior.

d  f ( x  x ) g ( x  x )  f ( x ) g ( x )  [ f ( x) g ( x )]  lim   x 0 dx x  Estratégicamente se suma y se resta f ( x  x) g ( x) .

d  f ( x  x) g ( x  x)  f ( x  x) g ( x)  f ( x  x ) g ( x)  f ( x) g ( x)  [ f ( x) g ( x)]  lim   x 0 dx x  Se saca el factor común con respecto a g ( x) y f ( x) tratando así de escribir la definición.

d g ( x  x )  g ( x ) f ( x  x )  f ( x ) [ f ( x ) g ( x)]  lim f ( x  x )  g ( x) x 0 dx x x

Ahora se aplica el límite de una suma cuando x  0 .

d g ( x  x)  g ( x) g ( x)( f ( x  x)  f ( x)) [ f ( x) g ( x)]  lim[ f ( x  x) ]  lim[ ] x0 x0 dx x x 108

Luego se aplica límite de un producto lim . x  0

d g ( x  x)  g ( x) f ( x  x)  f ( x) [ f ( x) g ( x)]  lim[ f ( x  x)] lim  lim[ g ( x)] lim x0 x0 x0 x0 dx x x Por lo que:

d [ f ( x ) g ( x )]  f ( x) g '( x)  f '( x) g ( x) dx

Ejemplo: Resolver las siguientes derivadas Sea 𝑓(𝑥) = 8𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = 4𝑥 + 5

d [ f ( x) g ( x)]  (8 x)(4)  (8)(4 x  5)  35 x  32 x  40 dx  f '( x)  67 x  40 Ejemplo: f(x)= (4x + 1)(10x2 - 5) f '(x)= 20x(4x + 1) + 4(10x2 -5) =80 x 2 +20x+40 x 2 -20

=120 x 2 +20x-20

5.4.9 Teorema 9. Derivada del cociente. La derivada del cociente de dos funciones: Es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador. d  u ( x)  v( x) u '( x)  u ( x) v '( x)  2 dx  v( x)   v( x) 

Demostración : Partiendo del cociente de dos funciones:

y

u( x )  u      x v  x  v 

Aplicando la definición de derivada en el paso anterior

109

u  x  x  v( x  x) u ( x) y '  lim  x 0 x v( x)

Operando

u ( x  x) u ( x)  x 0 v  x  x   x v  x   x

y '  lim

Se escoge 𝑢(𝑥 + ∆𝑥) y se le resta 𝑢(𝑥), para que la operación no se altere se suma también la misma expresión. u  x  x   u  x   u  x  u ( x)  x 0 v  x  x   x v  x   x

y '  lim

Se separan a conveniencia los términos convenientemente, sin modificar la expresión y en busca de la formación de la definición de derivada. u  x  x   u ( x) u ( x) u ( x)   x 0 v  x  x   x v  x  x   x v  x   x

y’  lim

Se hacen los arreglos adecuados en la operación anterior, operando la primera parte en si misma y la segunda y la tercera juntos.

  u  x  x   u ( x)      x u  x   v  x   u  x   v( x  x)     y '  lim  x 0   v( x  x) v  x   v  x  x   x     Sacar el factor común 𝑢(𝑥):

  u  x  x   u ( x)     u ( x) v x  v( x  x)   x      y’  lim   x 0  v( x  x) v  x   v  x  x   x      Como el objetivo es formar la definición de derivada y en la segunda parte hay una inversión en los signos, pues se invierte el proceso multiplicando y dividiendo por (-1). 110

  u  x  x   u ( x)     u ( x) v x  v( x  x)   x      y '  lim   x 0  v  x  x  v  x   v  x  x   x      Reinscribiendo:

  u  x  x   u ( x)     u ( x) v x  x  v( x)   x      y '  lim   x 0  v( x  x) v  x   v  x  x   x      Se separan los términos de forma tal que quede la demostración de derivada

  u  x  x   u ( x)      x  v  x  x   v( x)  u ( x)     y '  lim   x 0   v( x  x)  x v x   x  v ( x )        

Se aplica límite y se hace desarrollo de sus términos  u  x  x   u ( x)  lim   lim u ( x) x 0 x    lim  v  x  x   v( x)   x 0 y'    x 0 lim v( x  x) x   lim v  x  x   lim v( x) x 0

x 0

x 0

 u  x  x   u ( x)   v  x  x   v( x)  Como lim   u '( x) y lim    v '( x)  x 0 x 0 x x    

entonces se tiene las siguientes aplicaciones de límites. ● lim v  x  x   v( x) x 0

● lim u  x  x   u ( x) x 0

● lim v  x   v( x) ● lim u  x   u ( x) x 0

x 0

Haciendo la sustitución correcta y ' 

u '( x) u ( x)  v '( x)  v( x) v  x  v  x

111

y' 

y' 

u '( x) u  x   v '( x)  2 v( x)  v( x) 

v  x   u '( x )  u  x   v '  x 

 v( x) 

2

Q.E.D

3x 2  4 Ejemplo: Buscar la derivada de la siguiente función f ( x)  5x  2 f '( x) 

6 x(5 x  2) - 5(3 x 2  4) (5 x  2) 2



30 x 2  12 -15 x 2  20 (5 x  2) 2



15 x 2  8 (5 x  2) 2

5.4.10 Teorema 10: Diferenciabilidad implica continuidad. Si una función f(x) es derivable en un punto c entonces es continua en x=c. Hipótesis:

f 1 ( x ) existe.

Tesis:

Demostrar que f(x) es continua en x= c

Demostración: Asumiendo que f ( x)  f (a)  f ( x)  f (a) se divide ambos miembros por ( x  a)

f ( x)  f (a ) f ( x)  f (a )  ( x  a) ( x  a) Luego se transpone término y se aplica límite.

lim[ f ( x)  f (a)]  lim x a

x a

f ( x)  f (a ) ( x  a) xa

Aplicando propiedades de límites:

lim[ f ( x)  f (a)]  lim x a

x a

f ( x)  f ( a ) lim( x  a) x a xa 112

Como lim x a

f ( x)  f (a ) = f ( a) ' xa

lim[ f ( x)  f (a)]  f '(a)(lim(a  a)) x a

x a

Luego operamos la otra parte del producto:

lim[ f ( x)  f (a)]  f (a) '(0) x a

lim[ f ( x)  f (a)]  0 x a

∴

lim f ( x)  f (a) x a

L.Q.Q.D.

Derivadas de funciones trigonométricas Límites trigonométrico especiales

senx 1 a) lim x 0 x

y

lim 1  cos x 0 x  0 x b)

5.4.11 Teorema 11: Derivada de la función Seno La derivada del seno es el coseno, es decir,

d senx  cos x dx

Demostración: A partir de la definición de derivada de una función f(x):

f '( x)  lim h 0

f ( x  h)  f ( x ) h

Como f(x)=senx entonces

sen( x  h)  sen( x) h 0 h

f '( x)  lim

A partir de la identidad trigonométrica sin(A + B) = sen(A)cos(B) + cos(A)sen(B), entonces tenemos

sen( x) cos(h)  cos( x) sen(h)  sen( x) h 0 h

f '( x)  lim

113

Factorizando y ordenando los términos obtenemos lo siguiente

f '( x)  lim h 0

sen( x)(cos(h)  1) cos( x) sen(h)  lim h 0 h h

Como el sen( x) y el cos( x) no se afectan por el limite tenemos lo siguiente

(cos(h)  1) sen(h)  cos( x) lim h 0 h 0 h h

f '( x)  sen( x) lim

El valor de los límites son 0 y 1 respectivamente según el teorema del sándwich

(cos(h)  1) h 0 h

lim

&

lim h 0

sen(h) h

Por tanto tenemos que

f '( x)  sen( x)(0)  cos( x)(1)

f '( x)  cos( x) 

d ( x) dx

5.4.12 Teorema 12: Derivada de la función coseno.

La derivada del coseno es el seno

d cos x   senx dx

Demostración: A partir de la definición de derivada de una función f(x):

f '( x)  lim h 0

f ( x  h)  f ( x ) , Como f(x) = cos(x) entonces h

cos( x  h)  cos( x) h 0 h

f '( x)  lim

A partir de la identidad trigonométrica Cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sen(A)sen(B), entonces tenemos

cos( x) cos(h)  sen( x) sen(h)  cos( x) h 0 h

f '( x)  lim

Factorizando y ordenando los términos obtenemos lo siguiente

114

cos( x)(cos(h)  1) sen( x) sen(h)  lim h 0 h 0 h h

f '( x)  lim

Como el cos( x) y el sen( x) no se afectan por el limite tenemos lo siguiente

(cos(h)  1) sen(h)  sen( x) lim h 0 h 0 h h

f '( x)  cos( x) lim

El valor de los límites son 0 y 1 respectivamente según el teorema del sándwich

(cos(h)  1) h 0 h

lim

y

sen(h) h 0 h

lim

Por tanto se tiene que:

f '( x)  cos( x)(0)  sen( x)(1)  sen( x)

d  cos 3x 4  x dx

  (12 x  1) sin 3x 4  x

5.4.13 Teorema 13: Derivada de la función Tangente

d (tan x)  sec2 x dx

Por regla sabemos que:

Aplicando identidades trigonométricas en la tangente se tiene

Por lo que

tan x 

senx cos x

d  senx  2    sec x dx  cos x 

Aplicamos la regla del Teorema del Cociente d  senx   Se sustituye   dx  cos x 

cos x 

d  u  vu ' uv '   dx  v  v2

d d  senx    senx   cos x  dx dx 2  cos x 

Aplicando derivadas individuales a)

d d  senx   cos x b)  cos x   senx dx dx

Sustituyendo las derivadas anteriores en la expresión general de la derivada:

115

d  senx  (cos x)(cos x)   senx   senx    2 dx  cos x   cos x 



2 2 d  senx   cos x     sen x    2 dx  cos x   cos x 

2 2 d  senx   cos x    sen x    2 dx  cos x   cos x 

Aplicamos la identidad trigonométrica sen2 x  cos2 x  1

d  senx  cos 2 x  sen2 x   dx  cos x  cos 2 x

d  senx  1   dx  cos x  cos 2 x



Aplicamos otra identidad trigonométrica d  senx   1     dx  cos x   cos x 

d  senx  2    sec x dx  cos x 

2



d  tan x   sec2 x dx Q.E.D.

5.4.14 Teorema 14: Derivada de la función cotangente. Por regla sabemos que:

d (cot x)   csc2 x dx

Igualamos la cot x a su equivalente:  Demostraremos que la



cot x 

d  cos x  2     csc x dx  senx 

Aplicamos la regla del Teorema del Cociente

Sustituimos



d  cos x    dx  senx 

cos x senx

senx



d  u  vu ' uv '   dx  v  v2

d d  cos x    cos x   senx  dx dx 2  senx 

d d  cos x   senx  senx   cos x Aplicamos derivadas individuales: a) dx ; b) dx Sustituimos las derivadas anteriores a la expresión general de la derivada: 116

d  cos x   senx   senx    cos x  cos x    2 dx  senx   senx 

2 2 2 2 d  cos x    sen x    cos x  1 sen x  cos x      2 2 dx  senx   senx   senx  2 2 Aplicamos la identidad trigonométrica de sen x  cos x  1

sen2 x  cos 2 x   d  cos x  1    2 2 dx  senx   senx   senx 

Aplicamos otra identidad

trigonométrica 2

d  cos x  d  1  2 2        csc x   cot x    csc x dx  senx  dx  senx 

Q.E.D.

5.4.15 Tabla de derivadas de funciones trigonométricas generales

d [ sen(u )]  c o s(u ) (u´) dx d [cos(u )]   s en(u ) (u´) dx d [tan(u )]  sec2 (u ) (u´) dx

d [cot(u )]   csc2 (u ) (u´) dx d [sec(u)]  sec(u ) tan(u ) (u´) dx d [csc(u )]   csc(u ) cot(u ) (u´) dx

Ejemplos de derivadas trigonométricas a)

b)

c)

f ( x)  cos(20 x) f '( x)  20sen(20 x)

f ( x)  tan(9 x 4 ) f '( x)  36 x3 sec 2 (9 x 4 ) f ( x)  sec(7 x3 ) f '( x)  21x 2 sec(7 x3 ) tan(7 x3 )

117

Derivadas de funciones potenciales 5.4.16 Teorema 15: Derivada de una función elevada a exponente numérico.

y  u n  y´ nu n1 (u´) Ejemplo: y  (3x  1)  y´ 3(3x  1) 4

3

4

2

(12 x3 )

5.4.17 Teorema 16: Derivadas funciones potenciales inversas.

y

1 n(u´)  y ´   un u n1

Ejemplo: y 

1 36 x3  y ´   (3x 4  1)3 (3x 4  1)4

5.4.18 Teorema 17: Derivadas para cualquier raiz (n-esima)

y  n u  y´

n n u n 1

y  2 x  y´ 3

Ejemplos:

u´

4

8 x3 3 3 (2 x 4 ) 2

5.4.19 Teorema 18: Derivada con valor absoluto Si u es una función derivable de x tal que u≠0, entonces

d u' ln u  dx u Demostración: Si u>0, entonces u  u , y el resultado se obtiene aplicando el teorema 3. Si u 0 𝑦 ≠ 1. x

Propiedades: Su dominio es ∀𝑥 ∈ 𝑅 y Rango 𝑦 > 0. Su grafica es creciente ∀𝑏 > 1 y decreciente para 0 < 𝑏 < 1. La grafica toca al punto (0,1).

119

y = 3^x

y

y = (1/3)^x 







x 













5.4.21 Derivada de la función exponencial en  base a. La derivada de una función exponencial es igual a dicha función por el 

logaritmo natural de la base por la derivada del exponente de la función. Para el caso en el que el exponente sea x, como la derivada de x es 1, al multiplicarlo por este, el término no se altera, por tanto decimos que:



f ( x)  au  f ( x)  au  ln a.u ' 

Ejemplo 1: f ( x )  3  f '( x ) 

2x 2 x2  1

x 2 1

3

x 2 1

Ejemplo 2 : f ( x )  5x  f '( x )  5x

4

8

4

x

ln 3  f '( x ) 

x2  1

3

x 2 1

ln 3

8

ln 5 4x 3

5.4.22 Función Inversa de la función exponencial natural. La función inversa de la función logaritmo natural f(x)=lnx se llama función exponencial natural y se denota por f (x) = e ; esto es y = e  x = lny. -1

x

120

x





La relación inversa entre las funciones logaritmo natural y exponencial natural se puede resumir como sigue: ln(e x )  x

000

0

;

x = 1 es un punto mínimo

Ejemplo 2: f ( x)  x2  3x  5 Primera derivada = 2  -3 Valor critico 3/2, 2da derivada = 14

3 f   = 14  14 

14 > 0

3 Entonces f   tiene un número mínimo.  14 

Ejemplo 3: Al construir una torre de x apartamentos, su costo total es 𝐶𝑡 , expresado por medio de 𝐶𝑡 (𝑥)) = 𝑥 2 + 14𝑥 + 24. Cuál es costo promedio de un piso p en función de x. Cuál es la cantidad de pisos a construir para que el costo medio de piso sea mínimo?. 

El costo total de x pisos viene dado por la expresión

𝐶𝑡 (𝑥)) = 𝑥 2 + 14𝑥 + 24, por lo tanto el costo promedio de cada apartamento se obtiene a través de la expresion: 𝐶𝑡 (𝑥) 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 

𝑥 2 14𝑥 24 24 + + → 𝐶𝑡 (𝑥) 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝑥 + + 14 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

Para obtener el costo minimo de la cantidad de pisos a construir, lo primero que hay que hacer es conseguir los puntos críticos del costo promedio de cada apartamento. 24 Como 𝐶𝑡 (𝑥) 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝑥 + + 14 hay que buscar la primera derivada y luego 𝑥

resolver la ecuación obtenida y esos son los puntos críticos de dicha función. 𝑑 𝑑𝑥

24

𝐶𝑡 (𝑥) 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 1 − 𝑥 2 , la cual igualada a cero y luego resuelta para encontrar sus 24

raíces es: 1 − 𝑥 2 = 0 → 𝑥 2 − 24 = 0, por lo tanto 𝑥1 = 4.9 y 𝑥2 = −4.9 son los puntos críticos, por lo tanto ahora hace falta saber cuál es el máximo y el mínimo para dar respuesta a este problema. Sacar la segunda derivada y aplicar los criterios anteriormente vistos: 𝑑 2 𝐶𝑡 (𝑥) 𝑝𝑟𝑜𝑚 24 = 3 𝑑𝑥 𝑥 24 𝑥3 24 𝑥3

24

= (4.9)3 > 0, 24

= (− 4.9)3 < 0,

𝑥1 = 4.9 es un punto critico minimo. 𝑥2 = −4.9 es un punto crítico máximo.

Conclusión: Se deben construir aproximadamente 5 pisos para que el costo de estos sea mínimo. 153

Cálculo Diferencial 6.7 Práctica #6: Derivadas Nombre: ___________________________Matrícula:________________________ Profesor: ___________________Sección: _______________Fecha:_____________

a) Verificar que se cumpla el teorema de Rolle. hallar el valor de c. 1) f  x   x 2  2 x en  0, 2 2) f  x    x  1 x  2  x  3 en 1,3 x2  2 x  3 en  1,3 x2 4) f  x   sen( x) en  0, 2 

3) f  x  

b) Hallar los valores de C en el intervalo para funciones aplicando del valor medio. 5)f  x   x 2 en  2,1 2 3

6) f  x   x en  0,1 7) f  x   x  2 en  2, 6 8) f  x   sen en   ,   c) Conseguir los puntos maximos y minimos y haga la grafica. 9) y  x 3  6 x 2  9 x 10) y  x 3  12 x 1 4 x  2x2 4 12) y  10  12 x  3 x 2  2 x 3

11) y 

13) y  2 x 3  3x 2  12 x  4 14) f ( x)  x 4  x

154

d) Determina la ecuacion de la tangente y la normal a la curva. 14)y  x 2 , 1,3 15) y  x 3  x  x 2  1, y0  1 2 y , y0  2 x 17) x 3 y  y 3 x  30 en 1,3

16) y 

e) Integral 18)   x 4  2  dx  32  19)   x  2 x  1 dx   20)  5 x 7 dx x2  x  1 21)  dx x 22)   x  1 3 x  2 dx 1   23)   x   dx 2 x   x2  1  24)   2  dx  x  f) Define. 25) Recta normal 26) Recta tangente

155

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09 de Febrero del 2016 Wilton Oltmanns

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