Libro de Ayuda - Analisis Estructural

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

Capítulo 1 Introducción al análisis de estructuras de barras 1.1- Conceptos generales Se entiende por análisis estructural al estudio y determinación de tensiones, deformaciones y reacciones, que ocurren en una estructura al ser sometida a acciones exteriores que pueden ser: cargas, efectos térmicos, movimiento de apoyos, deformaciones impuestas, etc. El análisis estructural provee los fundamentos sólidos para producir buenos diseños estructurales, al ocuparse de establecer la relación entre causas y efectos. El desarrollo del proyecto de una estructura, proceso que se conoce como “diseño estructural”, se apoya en normas y preceptos que surgen del análisis estructural, así como también en reglas prácticas y empíricas que dependen fuertemente de la modalidad o carácter del proyectista. El análisis estructural propende a dar soluciones únicas y precisas. Por otro lado, el diseño estructural está influenciado por aspectos prácticos y subjetivos que hacen que dos diseños igualmente correctos o válidos puedan ser muy distintos entre sí.

En este curso se estudia la formulación y resolución de problemas estáticos y dinámicos para estructuras de barras, en general, en régimen elástico. Se presentan los métodos generales para abordar cualquier tipo de estructura, indicándose modalidades corrientes de estos métodos para la resolución de tipos particulares de configuraciones estructurales.

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1.2- Tipos de estructuras de barras y modelos de análisis Los dos tipos básicos de estructuras que se estudian en este curso son “reticulados” y estructuras de “alma llena”. Las estructuras de tipo “reticulado” consisten en barras prismáticas conectadas en nudos a los que convergen los ejes baricéntricos de las piezas concurrentes. Las cargas exteriores se suponen aplicadas en los nudos que se asume que no tienen capacidad de transmitir momentos flectores de una barra a otra adyacente (Figura 1.1). Suponiendo que el sistema descripto sea “inicialmente estable”, es decir, que sea por lo menos isostático (o hiperestático), las cargas se equilibran mediante esfuerzos axiales en las barras.

Figura 1.1 Las estructuras de “alma llena” poseen nudos rígidos capaces de transmitir momentos flectores entre las barras (Figura 1.2). Este tipo de estructuras presenta una gran cantidad de variantes; la Figura 1.2.a muestra una viga tipo “Vierendell” en la que las cargas se equilibran fundamentalmente a través de esfuerzos cortantes y flectores en las barras, aunque también con alguna participación de las fuerzas axiales.

b)

a)

Nd

c) Ad Figura 1.2 _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -2-

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Si a esta estructura se le colocan tensores según las diagonales y se supone que estos tensores no tienen capacidad alguna de transmitir flexión, el sistema continúa siendo de tipo nudos rígidos, pero los esfuerzos flexionales se reducen apreciablemente y las cargas aplicadas en los nudos son resistidas en una mayor proporción que en la Figura 1.2.a por fuerzas axiales. La representación gráfica de la relación entre la fuerza en una diagonal Nd y el área Ad de la sección de las diagonales, para un determinado estado de cargas exteriores, presenta la forma indicada en la Figura 1.2.c. La contribución del tensor resulta nula para valores de Ad próximos a cero, por lo que la deformación del bastidor, y por lo tanto el alargamiento del tensor ∆l , es independiente de Ad . El esfuerzo crece proporcionalmente con el área:

Nd = Ad .

E.∆l l

Dicha curva tiene una asíntota que corresponde al valor límite de carga axial que puede tomar la diagonal. Ello se debe a que, si bien a mayor Ad corresponde mayor Nd , para grandes secciones Ad comparables con las áreas de las restantes barras, el sistema comienza a comportarse casi como un reticulado y el valor de carga axial tiende al que se obtiene por medio de dicho modelo de cálculo, valor que naturalmente es acotado. Este ejemplo pone de manifiesto que una estructura de nudos rígidos podría analizarse, bajo ciertas condiciones de proporción entre sus miembros, como si fuese un reticulado. En tal caso, los esfuerzos de flexión que seguramente aparecen, son de menor importancia y se los considera “secundarios”. En realidad, las estructuras cuya configuración permite calificarlas como reticulados ideales (también denominadas “celosías” o “cerchas”) en la mayoría de los casos se construyen con nudos que no son articulaciones perfectas, sino que presentan una cierta rigidez que depende del sistema de unión entre las barras. Cuando se usan remaches o bulones es necesario introducir chapas de nudo que permiten la transferencia de esfuerzos entre las distintas barras que convergen al nudo, y la disposición de esos remaches o bulones producen cierto grado de rigidez a los giros relativos entre las barras. Si se trata de uniones mediante cordones de soldadura, la rigidez al giro relativo resulta aún más notable. Sin embargo, como se menciona más arriba, si la configuración (geometría del conjunto más las propiedades mecánicas de las barras) es de tipo reticulado, la rigidez al giro relativo de los nudos introduce ciertos esfuerzos de flexión y corte en las barras; estas solicitaciones se consideran “secundarias” ya que no son indispensables para equilibrar las cargas exteriores, y merecen un tratamiento especial en el proceso de diseño.

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Elección del modelo adecuado La definición de un modelo de cálculo que refleje la realidad física requiere el desarrollo de cierto juicio basado en resultados de análisis detallados de casos similares. La sensibilidad a la elección del modelo adecuado se va adquiriendo con la experiencia. Un camino aconsejable para desarrollar esa experiencia consiste en analizar una misma estructura con modelos diferentes variando parámetros tales como la rigidez relativa para determinar cuál es el esquema principal o primario de transmisión de las cargas. De lo contrario, un analista puede trabajar continuamente con un único esquema basado simplemente en el hecho que “no se cae” sin advertir que está dimensionando las componentes en forma ineficaz.

Hay que establecer el esquema primario o fundamental de: Fuerzas axiales

o bien

Flexión-Corte-Normal

para la transmisión de las cargas a tierra. Como esto no siempre es obvio se debe adquirir sensibilidad experimentando distintos modelos para una misma estructura y comparando los resultados. El caso de la Figura 1.2.b, aún para pequeña rigidez relativa de las barras de los tensores, presenta un esquema primario de reticulado por ser “más fácil” (en realidad es más “rígido” y por lo tanto requiere menos deformaciones) transmitir cargas por efecto axial. Este hecho fortuito permite analizar como reticulado ideal a muchas estructuras cuyos nudos son relativamente rígidos como consecuencia de las uniones soldadas o remachadas. Por otro lado, no a todo lo que se asemeja a un reticulado conviene siempre analizarlo como tal. Cuando se debe analizar una torre para antena como la indicada en la Figura 1.3 puede resultar más conveniente adoptar un modelo de viga continua con propiedades equivalentes de corte y flexión, propiedades que deberán calcularse previamente de acuerdo con criterios que se describen más adelante. Las riendas o cables de la estructura funcionan como apoyos elásticos.

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K equivalente

( E.I ) equivalente ( Ac .G ) equivalente

Realidad Fisica (Reticulado)

Modelo Estructural (Alma llena) Figura 1.3

1.3- Ecuaciones para el análisis de sólidos deformables En la Figura 1.2.b, se define como esquema “primario” o “fundamental” el constituido por el reticulado de igual forma con los nudos articulados. Esa estructura es estáticamente determinada o isostática y los esfuerzos axiales en la barras pueden ser obtenidas por consideraciones estáticas únicamente (equilibrio). Como ya se indicó, la verdadera estructura de la Figura 1.2.b equilibra parte de las cargas con esfuerzos de flexión en sus barras en una proporción que depende de la rigidez relativa de sus miembros; por lo tanto, salvo para valores muy extremos de Ad , la repartición de cargas no puede calcularse con consideraciones estáticas únicamente. El concepto de “rigidez”, como relación entre esfuerzos y deformaciones de una pieza, se torna crucial. En este ejemplo, la elongación de las diagonales causada por las fuerzas axiales Nd deberán ser compatibles con los desplazamientos de los nudos extremos, valores que a su vez dependen de las fuerzas en las barras de la viga. Estas condiciones adicionales a las de equilibrio se denominan ecuaciones de compatibilidad, y resultan necesarias para definir unívocamente los esfuerzos y las deformaciones del sistema hiperestático. Resumiendo, se puede concluir que para realizar el análisis estructural es necesario, en general, definir y resolver ecuaciones simultáneas de: a) Equilibrio b) Compatibilidad c) Relaciones de rigidez Los grandes métodos generales de análisis estructural corresponden a diferentes modalidades de eliminación de incógnitas en las ecuaciones a), b) y c), cuyos significados son: _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -5-

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a) Se refiere a la suma de fuerzas y la suma de momentos iguales a cero. b) Establecen condiciones de congruencia geométrica y se las conoce también como relaciones cinemáticas. c) Se refieren a las propiedades constitutivas del material que relacionan los esfuerzos (axial, flector, corte o torsión) con las respectivas deformaciones específicas (axial, curvatura flexional, distorsión al corte, y ángulo unitario de torsión). Nótese que las condiciones de compatibilidad son independientes tanto del tipo de material como de las secciones de las barras (ambas determinan la rigidez). Por ejemplo, en el caso de la Figura 1.2.b establecen que los extremos de los tensores permanecen unidos a los nudos de la columna en que se insertan.

1.4- Grado de hiperestaticidad Para un modelo isostático es posible determinar todas las fuerzas (internas y externas) utilizando únicamente ecuaciones de equilibrio, aunque es corriente que por norma de diseño las estructuras tengan que cumplir ciertas condiciones de máxima deformación. La práctica corriente limita la flecha (por ejemplo a 1/500 o 1/800 de la luz según el caso y tipo de estructura) de modo que para resolver completamente el problema se debe recurrir a los tres tipos de ecuaciones ya mencionados, aún para las estructuras isostáticas. El concepto de grado de hiperestaticidad es el aspecto central para la formulación del Método de las Fuerzas que se desarrolla en el primer tercio del curso; posteriormente se estudia el método de los desplazamientos, donde el concepto de hiperestaticidad se torna irrelevante desde el punto de vista del análisis estructural. De todos modos, más allá de la importancia relativa de la hiperestaticidad, o “redundancia estructural” para el desarrollo del método de análisis estructural, debe destacarse que la redundancia estructural es de fundamental importancia para el diseño de las estructuras, que deriva de la existencia de caminos alternativos para equilibrar las cargas aplicadas en el caso de falla o deterioro en algunas de sus componentes. En este tipo de fallas se enmarcan la formación de rótulas plásticas imprevistas, asentamiento de las fundaciones, u otros defectos o situaciones imprevistas en el comportamiento de una estructura. De no existir redundancia, la estabilidad del conjunto depende del funcionamiento correcto de todas las componentes y no hay margen para fallas locales. Por lo tanto, se debe tener presente que la redundancia estructural es reconocida como uno de los aspectos más significativos al momento de diseñar una estructura y establecer los márgenes de seguridad frente a los distintos tipos de solicitaciones. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -6-

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En el Método de las Fuerzas, las dimensiones del sistema de ecuaciones que se plantea y resuelve para hallar la distribución de esfuerzos es igual al grado de hiperestaticidad. Por lo tanto, el grado de hiperestaticidad determina el volumen del esfuerzo de cálculo necesario para hallar la solución, de allí su importancia operativa en el análisis estructural. Al margen de estas cuestiones computacionales, se insiste que las estructuras isostáticas tienen un único mecanismo o esquema para equilibrar las cargas, mientras que en las hiperestáticas, si falla un mecanismo, pueden en ciertas condiciones comenzar a trabajar de una manera distinta y aún equilibrar las cargas a través de un mecanismo alternativo. Por ejemplo, si la viga continua de dos tramos de la Figura 1.4 llega a fluencia por el momento flector sobre el apoyo central, puede desarrollar una rótula plástica y trabajar como dos vigas simplemente apoyadas hasta que comience a plastificarse en el interior de los tramos. Para que sea posible esta distribución de esfuerzos es indispensable que la viga presente capacidad de deformación plástica sin que pierda su capacidad portante. Esto no ocurriría para una viga de material frágil, ya que en ese caso al llegar al máximo momento se produciría una falla frágil, y el mecanismo de redistribución de esfuerzos no alcanzaría a desarrollarse. (Figura 1.5)

l

Figura 1.4

a)

b)

M

M Mr

Mp

κ

κ Ley momento - curvatura para un material elasto-plástico ideal

Ley momento-curvatura para un material frágil linealmente elástico

Figura 1.5

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1.5- Vigas prismáticas de eje recto (ecuación de la elástica) Las barras prismáticas son aquellas que tienen una sección transversal constante a lo largo de su desarrollo y su eje longitudinal es recto. El caso de una viga de sección continuamente variable puede ser aproximado por tramos rectos de sección constante. Sea una pieza prismática sometida a acciones de corte, flexión, axial y torsional descripta a través de las variables Q( x) , M ( x) , N ( x) y M t ( x) donde x es la variable independiente sobre el eje de la pieza. En la Figura 1.6 se indican los esfuerzos asumiendo que no hay carga axial ni momento torsor distribuido en el tramo dx , es decir, sólo hay flexión y corte.

M + dM N

N

M

Mt

Q

Q + dQ

dx

Mt

+

Convención de signos de la elastica

+

+

y

q(+)

Q (+ )

M (+ ) κ (+ )

θ (+) M (+)

y (+ )

Figura 1.6 Como ya se ha visto en el curso de Resistencia de Materiales, para el cálculo de la elástica o deformación de la viga en flexión son necesarios los tres ingredientes básicos antes mencionados.

a) Equilibrio Equilibrio de fuerzas:

Q + q.dx − (Q + dQ) = 0 ∴ q=

dQ dx

(Ec. 1.1)

Equilibrio de momentos: dx − M − Q.dx − (q.dx). + ( M + dM ) = 0 ∴ 2 1424 3 Inf . orden superior

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Q=

dM dx

(Ec. 1.2)

b) Ley de Hooke De la misma manera que se asocia la deformación específica ε al esfuerzo normal, se asocia la curvatura κ al momento flector a través de las relaciones:

ε=

N A.E

κ=

; M = E.I .

M E .I

;

Siendo κ =

dφ dx

1 dφ = r dx (Ec. 1.3)

A éstas se puede agregar la relación entre el corte y su distorsión asociada γ :

γ=

Q Ac.G

Por simplicidad, en el presente análisis no se tiene en cuenta la contribución del corte a la elástica.

c) Compatibilidad Recordando que las secciones planas perpendiculares al eje baricéntrico permanecen planas y perpendiculares a la línea baricéntrica (elástica) después de la deformación, se tiene:

y

θ

dy dx x

φ=

dy dx

(Ec. 1.4)

Una vez planteados los tres tipos de ecuaciones se pueden hacer las siguientes sustituciones: Derivando (Ec. 1.4) y sustituyendo en (Ec. 1.3) queda: M = E.I .

d2y dx 2

(Ec. 1.5)

Derivando (Ec. 1.5) y sustituyendo en (Ec. 1.2) se tiene: d3y Q = E.I . 3 dx

(Ec. 1.6)

Derivando (Ec. 1.6) y sustituyendo en (Ec. 1.1) se tiene: _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -9-

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q = E .I .

d4y dx 4

(Ec. 1.7)

La (Ec. 1.7) se designa habitualmente “ecuación diferencial de la elástica”. Resulta conveniente destacar que la ecuación de la elástica es una ecuación de equilibrio donde la incógnita que es el desplazamiento “y” se expresa como función de la carga “ q ”. Asimismo, se debe notar que no es lo mismo resolver (Ec. 1.7) que (Ec. 1.1). La ecuación (Ec. 1.7) no puede resolver el equilibrio sin considerar la deformación mientras que (Ec. 1.1) es sólo una de las ecuaciones diferenciales de la viga. Debe tenerse presente que al utilizar (Ec. 1.7) da lo mismo que la viga sea isostática o hiperestática porque este planteo es equivalente a estar resolviendo el problema por el Método de Rigidez (nota: el Método de Rigidez, también llamado Método de los Desplazamientos se estudia en detalle más adelante) Ejemplo:

q = cte

A

B

x l Figura 1.7 Solución Homogénea:

Y0 = C0 + C1.x + C2 .x 2 + C3 .x 3 Solución Particular: Se propone una solución tal que derivando cuatro veces dé una constante. Yp = C p .x 4

Resulta fácil obtener de la ecuación (Ec. 1.7) la relación entre C p y q : Cp =

q 24.E.I

Y = Y0 + Yp = C0 + C1.x + C2 .x 2 + C3 .x 3 +

q .x 4 24.E.I

Para calcular las cuatro constantes es necesario aplicar las cuatro condiciones de borde:

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En B:

En A:

Y (0) = 0

Y (l ) = 0

dY (0) = φ (0) = 0 dx

d 2Y M (l ) = (l ) = 0 2 dx E .I

Se puede apreciar que la hiperestaticidad no aparece en este análisis. Si se considera el caso isostático u otras condiciones de apoyo sólo es necesario cambiar las condiciones de borde.

q = cte

A

B x l Figura 1.8

En B:

En A:

Y (0) = 0

Y (l ) = 0

d 2Y (0) = 0 dx 2

d 2Y (l ) = 0 dx 2

Derivamos (Ec. 1.2) y reemplazando en (Ec. 1.1): d 2M =q dx 2

(Ec. 1.8)

Que aparenta ser un camino más sencillo porque permite encontrar la distribución del momento flector integrando dos veces la carga dato “q”. Sin embargo, la (Ec. 1.8) no podrá resolverse a menos que el sistema sea isostático. Si, por ejemplo, a la viga de la figura se le agrega la condición de que los extremos no giren, se torna indispensable considerar los desplazamientos para obtener la solución del problema. La hiperestaticidad puede acarrear complicaciones cuando se la plantea de una determinada manera (Método de las Fuerzas) pero si se utiliza el Método de los Desplazamientos, la solución se obtiene sin mayor esfuerzo a pesar del grado de hiperestaticidad.

1.6- Conceptos generales de la estática de sistemas deformables La estática es la parte de la mecánica que estudia el planteo y resolución de las condiciones o ecuaciones de equilibrio. “Equilibrio estático” es la condición que se da cuando no se producen aceleraciones en las componentes o en el conjunto del sistema. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -11-

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Considérese en primer lugar configuraciones estructurales que en sus condiciones de servicio sufren deformaciones “pequeñas”. La “pequeñez” de las deformaciones será precisada cuantitativamente más adelante; por el momento será suficiente con aclarar que la forma de la estructura en su conjunto o algunas de sus componentes no cambia apreciablemente de forma al actuar las cargas exteriores. Sea el reticulado “ideal” (con articulaciones perfectas en la intersección de los ejes baricéntricos de las barras) de la Figura 1.9.a , que se puede apreciar es isostático. a)

b)

P

Configuración Original

Configuración Deformada

Figura 1.9 En la Figura 1.9.b se esquematiza en escala distorsionada la configuración deformada correspondiente a una carga P en el extremo del voladizo. Dado que se estima que las deformaciones son pequeñas, es posible plantear las ecuaciones de equilibrio como si las fuerzas en las barras actuaran en la dirección original. En realidad esto resulta sólo una primera aproximación, pero de esta manera se simplifica el cálculo ya que se reduce al caso de un sistema rígido estudiado en el curso anterior de “estática”. O sea que los esfuerzos en la barras se pueden calcular por los procedimientos de la estática sin tener en cuenta la deformabilidad de las barras.

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C

B

Figura 1.10 Supóngase ahora que se agrega una barra que vincule los puntos B y C (Figura 1.10). Esta estructura no es más isostática y no es posible por consideraciones estáticas exclusivamente determinar los esfuerzos de todas las barras. Se designa con T al esfuerzo de la barra CB y se analiza cómo varía T en función del área A de la sección transversal de la barra CB manteniendo constante las restantes barras. Al tender A a cero, la barra se hace infinitamente flexible, por lo que la fuerza T tiende a cero. Naturalmente T = 0 cuando A = 0 . Al aumentar A, la fuerza T aumenta ya que en forma relativa la barra se hace más rígida frente a la estructura original. Si A → ∞ , T debe tender a un limite finito (dicho valor corresponde a la reacción de apoyo móvil perpendicular a BC actuando en C ). En forma cualitativa se espera una ley de variación de T en función de A como se indica en la Figura 1.11.

T

Límite

A Figura 1.11 Un caso conceptualmente similar es la torre de alma llena arriostrada con un tensor según la Figura 1.12.

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P

Figura 1.12 Para poder calcular la fuerza T será necesario determinar la “deformabilidad” de la torre sin el tensor, ya sea ésta de reticulado o de alma llena. La determinación de la “deformabilidad” requiere el cálculo de la elástica que describe la posición en el espacio de la estructura deformada. La modalidad operativa del cálculo de estas deformaciones es distinta según sea un reticulado o un elemento de alma llena, y será estudiado en detalle en las secciones que siguen. Desde el punto de vista global, sin embargo, en el Método de las Fuerzas se procede de la siguiente manera: 1) Determinación de la elástica de la torre sola bajo la acción de las cargas exteriores P . 2) Imposición de las condiciones de compatibilidad de deformaciones entre la torre y el tensor. Estas condiciones llevan a la determinación del esfuerzo en el tensor 3)

Cálculo de los esfuerzos y deformaciones de la torre bajo la acción de las cargas

exteriores P y del esfuerzo en el tensor T , considerado también como una fuerza exterior.

Ejemplo: Sea ahora el ejemplo de la viga con un apoyo elástico central según la Figura 1.13.

q

Sección A

h

l/2

l/2 Figura 1.13

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Interesa conocer el diagrama de momentos flectores de la viga y el esfuerzo axial en la barra de apoyo. Se supondrá que el módulo elástico de la viga y de la columna es E en ambas componentes. De acuerdo a lo indicado antes, la determinación de la fuerza de reacción R que se genera en la barra central requiere los siguientes pasos: 1) Determinar la elástica de la viga sola, o sea, simplemente apoyada en los extremos. Por integración de la ecuación de la elástica se sabe que la flecha al centro δ 0 es: 5 q.l 4 δ0 = 384 E.I 2) Para establecer la condición de compatibilidad entre la viga y la barra debe reconocerse que esta última genera una fuerza concentrada R . Para ello se calcula el efecto que − R tiene sobre la barra y el que + R tiene sobre la viga. La viga bajo la acción de R , se deforma con una flecha central δ1 , según la ecuación de la elástica dada por:

δ1 = −

1 R.l 3 (hacia arriba) 48 E.I

La barra bajo − R se deforma: δ 2 =

R.h A.E

La condición de compatibilidad establece que debe existir continuidad de desplazamiento vertical en la unión de la viga y de la barra. Por eso:

δ 0 + δ1 = δ 2 ∴

5 q.l 4 1 R.l 3 R.h − = 384 E.I 48 E.I A.E

5 q.l 4 I R = 384 3 l h + 48.I A

(Ec. 1.9)

Nótese que R es independiente de E , cuando E es uniforme para toda la estructura. Si se mantiene I constante, la ley de variación de R es función de A está dada por la (Ec. 1.9) y tiene el aspecto indicado en la Figura 1.14.

R

Rmax

A Figura 1.14 _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -15-

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La asíntota horizontal corresponde al valor máximo de la reacción central que ocurre cuando A → ∞ o sea que se tiene un apoyo rígido al centro. Según (Ec. 1.9) se tiene que : 5 Rmax = .q.l 8 3) El diagrama final de momentos flectores se obtiene por superposición de la parábola debido a P y del triángulo debido a R (Figura 1.15)

B A Figura 1.15 El vértice A del triángulo puede resultar por debajo del vértice de la parábola B (según Figura 1.15) o por encima del mismo, según el valor de R , que a su vez depende de la rigidez de la barra. En todo el desarrollo de este ejemplo se han empleado dos hipótesis de linealidad que son independientes entre sí. Por un lado, el material de la barra y de la viga cumple con la ley de Hooke. Por otro lado, al sufrir pequeñas deformaciones, la ecuación de la elástica es lineal, o sea que a doble carga corresponde el doble de deformación. La primera hipótesis se refiere al material de la estructura y la segunda al comportamiento cinemático de la misma. Estas hipótesis son aceptables en muchas situaciones prácticas, aunque deben reconocerse los tipos de casos donde estas simplificaciones no son apropiadas. Como ejemplo ilustrativo de estructuras con comportamiento no lineal, se puede mencionar al cable tendido de la Figura 1.16.a.

a) A

B l

b)

P

A

B

δ Figura 1.16 _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -16-

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Su forma corresponde a la curva funicular del peso propio del cable y que pasa por puntos de apoyo. Al aplicar una carga concentrada P el cable cambia apreciablemente de forma (Figura 1.16.b) y aún cuando sea de material linealmente elástico, el comportamiento de la estructura será no lineal, es decir que la relación entre la flecha δ y la magnitud de la carga no es lineal, por efectos cinemáticos. Se dice que la estructura posee “no linealidad geométrica”. Otro ejemplo de este tipo es la viga cargada axial y transversalmente al mismo tiempo (Figura 1.17).

V

P

P l

Figura 1.17 El diagrama de momentos flectores tiene dos componentes. Una debido a V de variación lineal en función de x, y tiene la forma de un triángulo. Otra debido a P , tiene una forma suave, sin quiebres y se debe a la excentricidad de P con motivo de la deformación provocada por V . Naturalmente esta última componente no aparecerá si se planteara la ecuación diferencial de la elástica suponiendo el eje longitudinal recto. Esta parte del diagrama es función no lineal de P , o sea que, a doble P no corresponde doble momento adicional. En este caso, dependiendo del valor de P a considerar, puede ocurrir el fenómeno de inestabilidad de forma o pandeo en el cual los momentos flectores provocados por P no pueden ser equilibrados sino con grandes deformaciones transversales de la viga.

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Ejercicio Nº 1: Dado el sistema hiperestático simétrico del croquis, cuyas barras son del mismo material, se pide: a) Expresar la fuerza en la barra central ( N1 ) en función de la relación de áreas ⎛ A1 ⎞ ⎜ ⎟ suponiendo todas las barras en el periodo lineal. ⎝ A2 ⎠

b) Expresar la tensión en la barra central (σ 1 ) en función de su área A1 suponiendo fijos A2 = 0,1cm 2 y P = 1000 Kg . c) Graficar N1 en función de A1 para A2 = 0,1cm 2 y P = 1000 Kg suponiendo que la tensión de fluencia para ambas barras es σ f = 2600 240

Kg . cm 2

240

(1)

( 2)

( 2)

320

A P

Ecuaciones de equilibrio: Se plantea una ecuación de equilibrio de fuerzas verticales en el nudo A . N1 N2

N2 α

P

l2 =

( 320 ) + ( 240 )

cos(α ) =

2

2

= 400cm

320 = 0.80 400

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∑F

V

= N1 + 0,80.N 2 + 0,80.N 2 − P = 0

Ecuación de equilibrio: N1 + 1, 60.N 2 = P

(Ec. 1.10)

Ecuaciones de compatibilidad: Se plantea una condición geométrica que establece que el desplazamiento de los extremos

A de las barras ( 2 ) y (1) son iguales. Aceptando la hipótesis de pequeñas deformaciones se obtiene el alargamiento de las barras ( 2 ) proyectando el desplazamiento A sobre la dirección original de las barras:

∆l2 = ∆.cos(α )

(Ec. 1.11)

∆l1 = ∆

(Ec. 1.12)

∆l2 = 0,80.∆

(Ec. 1.13)

Para barra (1) :

Para barra ( 2 ) :

Ecuación de compatibilidad:

∆l2 = 0,80.∆l1

(Ec. 1.14)

Nótese que (Ec. 1.10) y (Ec. 1.14) son válidas aunque alguna barra entre en fluencia y sólo se basan en la hipótesis de deformaciones pequeñas que permitió formular: 1º) La ecuación de equilibrio (Ec. 1.10) en el sistema indeformado y 2º) la ecuación cinemática (Ec. 1.11).

Ecuaciones constitutivas: Son las ecuaciones que definen el comportamiento del material, es decir la relación

σ − E . Se supondrá un material elasto-plástico con el siguiente diagrama:

σ 2600

σ f = 2600 α

Kg cm 2

ε Ecuaciones constitutivas: Ai .E ⎧ ⎪∆li . l ......σ < 2600 Ni = ⎨ i ⎪2600. A ...en fluencia i ⎩

(Ec. 1.15)

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(Ec. 1.16) Suponiendo todas las barras en el período lineal se puede despejar ∆l1 y ∆l2 a partir

a)

de (Ec. 1.15) y llevarlas a (Ec. 1.14). Luego despejando N 2 en función de N1 , que llevado a (Ec. 1.10) permite finalmente despejar N1 . N1 =

P 1, 024 1+ A1 / A2

(Ec. 1.17)

Estos resultados son válidos si σ 1 < 2600 y σ 2 < 2600 . Nótese que para llegar a (Ec. 1.17) se deben utilizar necesariamente ecuaciones constitutivas, ecuaciones de equilibrio y ecuaciones de compatibilidad.

b)

Haciendo A2 = 0,10 en (Ec. 1.17) y dividiendo por A1 , se tiene:

σ1 =

N1 = A1

1000 ⎛ 0,1024 ⎞ A1. ⎜ 1 + ⎟ A1 ⎠ ⎝

σ1 =

1000 ( A1 + 0,1024 )

En (Ec. 1.18) se puede apreciar que si A1 → 0 , σ 1 →

(Ec. 1.18) 1000 Kg ≈ 9765 2 lo que 0,1024 cm

demuestra que para valores pequeños de A1 la barra central entra en fluencia. Haciendo

σ 1 = 2600

Kg en (Ec. 1.18) permite despejar el área mínima para la cual no hay fluencia. cm 2

Kg 1000 < 2600 2 A1 + 0,1024 cm

∴

A1 > 0.28cm 2

Por lo tanto la expresión (Ec. 1.17) debe limitarse: ⎧2600..................0 ≤ A1 ≤ 0.28 ⎪ σ 1 = ⎨ 1000 ⎪ A + 0,1024 ..... A1 ≥ 0.28 ⎩ 1

c)

(Ec. 1.19) (Ec. 1.20)

Según (Ec. 1.19) la fuerza que toma la barra central es muy pequeña si el área A1

tiende a cero o es muy pequeña ( N1 = 2600. A1 cuando A1 < 0.28cm 2 ) y en tal caso debe considerarse la posibilidad de que las barras ( 2 ) también entren en fluencia. La máxima fuerza N 2 resulta: _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -20-

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

( N 2 )max = 0,10.2600 = 260 Kg Valor que llevado a (Ec. 1.10):

( N1 )min + 1, 60. ( N 2 )max = 1000 Kg De donde:

( N1 )min = 584 Kg Como se sabe que: N1 = 2600. A1

( A1 )min = 0.225cm 2 A1

0

0,10

(Ec. 1.21)

0,225

0,25

0,282

0,50

1,00

2,00

10,00

σ1

2600

2600

2600

1660

907

476

99

N1

584

650

734

830

907

951

990

σ2

2600

2188

1664

1062

581

304

63

N2

260

219

166

106

58

30

6,30

144 42444 3 14442444 3 14444444244444443 (I )

( II )

( III )

N1 [ Kg ]

1000

800

Zona ( I ) : No hay equilibrio

600 400

(I )

( II )

( III )

⎧⎪ Barra (1) : Fluencia Zona ( II ) : ⎨ ⎪⎩ Barra (2) : Elástica Zona ( III ) : Todas las barras elásticas

200

0,225 0,20

0,282 0,40

A1 ⎡⎣cm2 ⎤⎦ 0,60

0,80

1,00

1,20

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -21-

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

Ejercicio Nº 2: Dado el sistema simétrico del ejercicio anterior cuyas barras tienen igual sección A1 = A2 = 0,10cm 2 y el mismo material σ f = 2600

Kg . Se pide: cm 2

a) Determinar la máxima carga portante Pu . b) Determinar la carga que produce la primera fluencia. c) Graficar la relación P − ∆ y calcular la rigidez de los distintos tramos. d) Determinar si existe alguna relación entre las áreas A1 y A2 de modo que las barras ( 2 ) y (1) entren simultáneamente en fluencia. 240

240

σ

(1)

( 2)

( 2)

320

σ f = 2600

2600

Kg cm2

α A

ε Kg E = 2,10 x10 cm2 6

P

a)

La carga última se obtiene cuando entran en fluencia todas las barras. La fuerza en

cada barra se obtiene a partir del área y la tensión de fluencia σ f . N1 = 2600.0,10 = 260 Kg N 2 = 2600.0,10 = 260 Kg Llevando a (Ec. 1.10): (260) + 1, 60.(260) = Pu Pu = 676 Kg

b)

Haciendo

(Ec. 1.22)

A1 = 1 en (Ec. 1.17) resulta: A2 N1 =

P = 0, 494.P 1 + 1, 024

(Ec. 1.23)

Valor que llevando a (Ec. 1.10): _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -22-

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

N 2 = 0,3162.P

(Ec. 1.24)

Como las áreas son iguales, la barra central tiene mayor tensión y es la primera en entrar en fluencia.

σ1 =

N1 = 4,94.P A1

⇒

σ f = 2600 = 4,94.P

Pf = 526, 24 Kg

(Ec. 1.25)

c) Durante el período lineal elástico el desplazamiento se puede obtener indistintamente a partir de (Ec. 1.12) o (Ec. 1.13) calculando los alargamientos de las barras a partir de la ley de Hooke (Ec. 1.15). De (Ec. 1.12): ∆ = ∆l1 =

N1.320 (0, 494.P).320 = 6 0,10.2,10 x10 0,10.2,10 x106

∆ = 0, 000753.P

(Ec. 1.26)

La (Ec. 1.26) es válida mientras las barras ( 2 ) y (1) se comportan linealmente. A partir de la definición de rigidez K , en el período lineal: P = K .U

∴

K=

P P = U 0, 000753.P

K = 1328

Kg cm

(Ec. 1.27)

Cuando la carga es mayor que Pf , (Ec. 1.12) y (Ec. 1.13) mantiene validez, pero ∆l1 no puede calcularse en la hipótesis lineal (ley de Hooke). Utilizando la (Ec. 1.13), y la ley de Hooke que sigue válida para las barras ( 2 ) (hasta que dichas barras entren también en fluencia y se produzca el colapso del sistema): ∆=

∆l2 N 2 .400 = = 0, 00238.N 2 0,80 0,80.(0,10.2,10 x106 )

N 2 se calcula teniendo en cuenta que N1 = cte = σ f . A1 = 2600.0,10 = 260 Kg mientras dura la fluencia. Empleando (Ec. 1.10) que mantiene validez a pesar de la fluencia, se tiene: (260) + 1, 60.N 2 = P

∴

N2 =

P − 260 1, 60

⎛ P − 260 ⎞ ∆ = 0, 00238. ⎜ ⎟ ⎝ 1, 60 ⎠ _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -23-

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

∆ = −0,38675 + 0, 001488.P

(Ec. 1.28)

La rigidez del segundo tramo se obtiene a partir de la definición de rigidez para los casos no lineales: K = lim

∆U → 0

∆P dP = ∆U dU

De (Ec. 1.28) se tiene P = 672.∆ + 260 , derivando se tiene: K * = 672

Kg cm

(Ec. 1.29)

Recuérdese que la validez de (Ec. 1.28) y (Ec. 1.29) está limitada al valor de Pf . Pf < P < Pu .

P [ Kg ] 700

600

Pu = 676 ≈ 1, 28.Pf Pf = 526, 24

K * = 672

500 400 300 260

200

K = 1328

100

0,396 0,20

0,619

∆ [ cm] 0,40

0,60

0,80

1,00

Nota 1: la carga de fluencia puede incrementarse en un 28% antes que se produzca el colapso. Nota 2: la rigidez del sistema estructural se reduce a la mitad al entrar en fluencia la barra central.

d)

Las expresiones (Ec. 1.23) y (Ec. 1.24) desarrollados para A1 = A2 muestran que la

barra (1) entra primero en fluencia. Corresponde preguntarse si es posible lograr que las barras entren simultáneamente en fluencia con una relación apropiada de A1 y A2 . Llamando

A2 = λ y empleando (Ec. 1.17): A1

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -24-

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

N1 =

P 1 + 1, 024.λ

(Ec. 1.30)

Llevando (Ec. 1.30) a (Ec. 1.10) permite despejar: N2 =

P − N1 1, 60 N2 =

0, 64.λ 1 + 1, 024.λ

(Ec. 1.31)

Si se pretende que:

σ1 = σ 2 ∴

N1 N 2 = A1 A2

∴

λ = 0, 64.λ

∴

A2 N 2 = A1 N1

¡¡¡ No hay solución !!!

Alternativa: Por la ley de Hooke, tenemos σ = E.ε

ε1 =

∆l1 ∆ = l1 320

ε2 =

∆l2 ∆ = l2 320

⎫ ⎪ ⎪σ2 = 0, 64!!! ⎬ 0,80.E ⎪ σ 1 .∆ ⎪ ∴ σ2 = 400 ⎭

∴ σ1 =

E .∆ 320

σ 2 = 0, 64.σ 1 !!!!

Conclusión: Si todas las barras están en el periodo lineal, la tensión en la barra (1) es mayor que en las barras ( 2 ) independientemente del valor de las áreas.

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -25-

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

Ejercicio Nº 3 Determinar el diagrama que relaciona el valor de la carga P y el desplazamiento de su punto de aplicación en la viga de la Fig.(c). Se supone que el material se comporta elasto-plásticamente según la Fig.(a) y que la sección tiene un diagrama momento-curvatura indicado en la Fig.(b).

σ 2600

σ f = 2600

M

Kg cm2

Mf = Mp

ε

K

Fig.(a)

Fig.(b)

P 12, 70

A 150

150

Sección doble T

B

C 300

I = 512cm 4

Fig.(c) Este ejemplo supone que al entrar en fluencia las fibras externas, entra en fluencia toda la sección, vale decir que el modulo plástico de la sección W p es igual al modulo elástico. Wp

W=

Para perfiles doble T la relación

I 512 = = 80, 63cm3 ( h / 2 ) 6,35

Wp W

≈ 1,10 . Tomando el factor de forma igual a la unidad

se busca simplificar el cálculo y lo que es más importante, poner de manifiesto que las estructuras hiperestáticas pueden, en general, desarrollar formas alternativas de equilibrar la carga después de entrar en fluencia. Para determinar la carga de fluencia Pf debemos determinar donde ocurre el máximo M en el periodo elástico y su valor en función de P . Siendo este un problema hiperestático no es posible determinar directamente el diagrama de M (momentos flectores).

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -26-

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

Solución del problema hiperestático: De las tres reacciones verticales sólo se pueden calcular dos empleando ecuaciones de equilibrio estático. Nótese que si se conociera por ejemplo la reacción RB la determinación de las restantes reacciones y los esfuerzos internos resulta un simple problema de estática.

P

δ RB B

P

A

C

B

=

C

A

+

C

A

RB

δPB

RB

fig .( I )

fig.(II )

fig.(III )

Durante el periodo elástico vale el principio de superposición y por lo tanto el efecto simultaneo de P y RB es igual a la suma de los efectos por separado. Las vigas isostáticas de las figuras (II) y (III), pueden resolverse totalmente llegando a la ecuación de la elástica. Mientras que la viga hiperestática de la fig. (I) debe cumplir una condición cinemática extra, además de las ecuaciones de equilibrio estático. Dicha condición establece que el desplazamiento del punto B debe ser nulo. Descomponiendo dicho desplazamiento como la suma de los desplazamientos de las vigas de las figuras (II) y (III), se obtiene la llamada “Ecuación de compatibilidad”: B δ PB + δ RB =0

(Ec. 1.32)

Nótese que esta ecuación no es una ecuación de equilibrio y que a partir de ella se puede determinar RB . Para hallar los desplazamientos se recurre al resultado conocido de la elástica:

TABLA

a

P

b

A

x

δ1

δ2

θA =

P.a.b.(l + b) 6.l.E.I

δ1 =

P.b.x 2 2 .(l − b − x2 ) 6.l.E.I

x Pu

A

B MP

C MP

MP D MP No hay equilibrio ⇒ COLAPSO

96755 + 150.∆Pmax = 209638 ∆Pmax = 752 Kg Se puede calcular el desplazamiento δ (D∆P ) max superponiendo el desplazamiento por la flexión del voladizo DB con el desplazamiento de cuerpo rígido del extremo D causado por la rotación del extremo B. TABLAS

M

P

δ

θ

l

l θ=

P.l 3 δ= 3.E.I

M .l 3.E.I

752 × (150 ) (150 × 752 ) × 300 = + .150 3.E.I 3.E.I 3

δ

D ( ∆P ) max

δ (D∆P ) max = 2,36cm Diagrama de Carga - Desplazamiento: P [ Kg ] 5000 4193

4000 3340

3000 2000

1000

3,65

1,29 1,00

δ D [ cm] 2,00

3,00

4,00

5,00

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -31-

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

Pu = Pf + ( ∆P )max = 3440 + 752 Pu = 4193Kg

δ PuD = δ PfD + δ (D∆P ) max = 1, 29 + 2,36 δ PuD = 3.65cm Nótese que durante el primer tramo elástico la rigidez resulta: Al formarse la rotula plástica en D se reduce a:

3440, 2 Kg = 2660 2 cm 1, 2936

752,54 Kg = 318 2 cm 2,3621

Mientras que al formarse la segunda rotula plástica la rigidez se hace cero.

Procedimiento alternativo: El comportamiento de la estructura después de la formación de la rotula plástica en la sección D de la fig .(i ) , puede analizarse directamente sin descomponerlo en los estados de las figuras fig .(ii ) y fig .(iii ) . Basta suponer una rotula en el punto D y los momentos plásticos

M P actuantes sobre cada extremo que concurre a D.

P 209638 209638 A

RA =

B

C

P > 3440

D M B = 150.P = 1397, 6 × 300

209638 = 1397, 6(cte) 150

M D = 209638(cte)

La carga última se tiene cuando el momento flector en B es igual al momento plástico

MP . 150.Pu − 419280 = 209638 Pu = 4193Kg

Para calcular el desplazamiento en D causado por Pu se determina el desplazamiento del punto D como perteneciente a la viga DBC. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -32-

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

TABLA

Pu − RA = 2795

M

δ

M P = 209638

l δ=

300

150

M .l 2 2.E.I

Cálculo de la carga última Pu por Trabajos virtuales. Cuando se conocen donde se van a forma las rotulas plásticas resulta muy simple determinar la carga última donde un desplazamiento virtual de cuerpo rígido al mecanismo formado por las rotulas y en equilibrio a través de los momentos plásticos M P .

Pu

B

A MP MP 150

MP 150

C MP 300

Sistema en equilibrio

δθ Diagrama de desplazamientos virtuales

Ecuación de T.V. − M p .δθ − M p .δθ − M p .δθ + M p .0 + Pu . (150.δθ ) = 0

−3.M p .δθ + 150.Pu .δθ = 0 Pu =

2 × 209638 150

Pu = 4193Kg

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -33-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

Capítulo 2 Energía interna de deformación 2.1- Energía interna de deformación en sólidos elásticos Se dice que un sólido es elástico si para cualquier carga exterior P , la relación P − U (Figura 2.1) se cumple mediante una única ley a través de los ciclos de carga y descarga ( U es la componente del desplazamiento del punto de aplicación de la carga P en la dirección de dicha carga)

P

U Figura 2.1 En otros términos, un sólido es elástico cuando no se observan ciclos de histéresis en el diagrama P − U a través de los ciclos de carga y descarga. El trabajo desarrollado por la fuerza exterior durante la deformación del sólido está representado por el área rayada del diagrama P − U (Figura 2.1) Si la carga crece lentamente de modo de no producir aceleraciones y el sólido es elástico (por lo que el diagrama de cargas es reversible), entonces todo el trabajo externo We de la carga queda almacenado en forma de energía interna de deformación, Wi .

We = ∫ P.dU

(Ec. 2.1)

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -1-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

Wi = We

(Ec. 2.2)

Cuando se trata de sólidos elásticos, el trabajo de las fuerzas exteriores es por definición igual a la energía interna de deformación. La energía elástica acumulada en el cuerpo deformado se restituye cuando el sólido recupera su forma primitiva. Por lo tanto, Wi es energía potencial elástica de deformación. Cuando un sólido es elástico y el diagrama P − U es una línea recta (Figura 2.2) se dice que es un sólido linealmente elástico.

P

P1

U1

U

Figura 2.2 Para el caso de un resorte de rigidez K constante resulta: P = K .U

(Ec. 2.3)

que corresponde al gráfico de la Figura 2.2, donde la recta tiene pendiente K . Llevando la ecuación (Ec. 2.3) a (Ec. 2.1) tenemos según (Ec. 2.2): Wi = We =

U1

1

∫ ( K .U ) .dU = 2 .K .U

2 1

(Ec. 2.4)

0

valor que coincide con el área rayada del triángulo de la Figura 2.2. Introduciendo la ecuación (Ec. 2.3) a (Ec. 2.4) se tiene: 1 P2 Wi = . 1 2 K

(Ec. 2.5)

1 We = .P1.U1 2

(Ec. 2.6)

Tanto (Ec. 2.4) como (Ec. 2.5) son expresiones numéricamente iguales para sólidos linealmente elásticos, pero se debe destacar que en (Ec. 2.4) Wi es función de las deformaciones y en (Ec. 2.5) de los esfuerzos. A continuación se analiza el caso en que la carga aplicada en el extremo del resorte (de rigidez constante) se aplica en forma repentina en vez de realizarse gradualmente.

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -2-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

En este caso, en la expresión de Wi sigue apareciendo el factor (1 2 ) dado que la carga

P que toma el resorte depende sólo de su deformación ( P es proporcional a U ). 1 Wi = .P1.U1 2

(Ec. 2.7)

Sin embargo, la energía potencial debida a la carga aplicada en este caso no sería igual a 1 2.P1.U1 (ya que la misma se aplica en forma brusca) sino que ahora es: We = P1.U1

(Ec. 2.8)

P P1 We

U1

U

U1

U

P P1

Wi

Figura 2.3 De las (Ec. 2.7) y (Ec. 2.8) puede demostrarse que la deformación máxima que se desarrollará será el doble que la deformación que habría tenido si la carga se aplicaba en forma gradual, es decir que el factor de amplificación dinámica por la aplicación repentina (instantánea) de la carga es igual a 2. Este tema se abordará en detalle en el capítulo sobre Dinámica Estructural

Para sólidos linealmente elásticos Wi puede calcularse por cualquiera de las expresiones (Ec. 2.4), (Ec. 2.5) y (Ec. 2.6), aun en el caso de que la carga no crezca muy lentamente (siempre que K = cte ). A continuación se desarrollan las expresiones de Wi para estructuras de barras de materiales que siguen la ley de Hooke.

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -3-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

2.2- Cálculo de la energía interna de deformación Wi Causado por el esfuerzo axial N :

N

N

dx

dx

ε .dx N N Figura 2.4 Se considera un tramo de barra de longitud infinitesimal dx para el cual resulta N = cte , entonces el trabajo externo infinitesimal vale: 1 1 dWe = .N .ε .dx ∴ Wi = ∫ dWe = ∫ N .ε .dx 2 2

(Ec. 2.9)

Ecuación que se cumple para sólidos elásticos en general. Si se supone válida la ley de Hooke (sólido linealmente elástico), se tiene: ∆l =

N .l ∆l N ∴ = =ε A.E l A.E

(Ec. 2.10)

Donde: l = Longitud de la barra

E = Módulo de elasticidad A = Área de la sección

ε = Deformación específica longitudinal Llevando la ecuación (Ec. 2.10) a (Ec. 2.9): l

Wi =

1 N2 .dx 2 ∫0 A.E

(Ec. 2.11)

Que expresa Wi en función del esfuerzo normal N para el caso lineal. También puede expresarse: l

Wi =

1 2 ε . A.E.dx 2 ∫0

(Ec. 2.12)

Que expresa Wi en función de la deformación específica para el caso lineal. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -4-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

Wi Causado por el Momento Flector M :

dθ

M

M

dx Figura 2.5 Considerando un tramo de viga de longitud infinitesimal dx , para el cual se supone M = cte , el trabajo externo infinitesimal vale:

1 dWe = .M .dθ 2 dθ = κ .dx

Wi = ∫ dWe.dx =

κ=

l

1 M .κ .dx 2 ∫0

(Ec. 2.13)

dθ = Curvatura longitudinal dx

La (Ec. 2.13) vale para sólidos elásticos en general. Si se supone válida la ley de Hooke. (Sólido linealmente elástico) dθ =

M M .dx ∴ κ = E.I E.I

(Ec. 2.14)

Llevando (Ec. 2.14) a (Ec. 2.13) tenemos: l

1 M2 Wi = ∫ .dx 2 0 E .I

(Ec. 2.15)

Esta última expresa Wi en función del Momento flector M para sólidos linealmente elásticos. Puede también escribirse: l

Wi =

1 2 κ .E.I .dx 2 ∫0

(Ec. 2.16)

La anterior expresa Wi en función de la curvatura para el caso lineal.

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -5-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

Wi Causado por el Esfuerzo de Corte Q :

du

Q

Q

γ dx Figura 2.6 Considerando un tramo de viga de longitud infinitesimal dx , para el cual se supone

Q = cte , el trabajo externo infinitesimal vale: 1 dWe = .Q.du 2

du = γ .dx Wi = ∫ dWe.dx =

l

1 Q.γ .dx 2 ∫0

(Ec. 2.17)

La (Ec. 2.17) vale para sólidos elásticos en general. Si se supone válida la ley de Hooke du =

Q Q .dx ∴ γ = Ac .G Ac .G

(Ec. 2.18)

Llevando (Ec. 2.18) a (Ec. 2.17) se tiene: l

1 Q2 Wi = ∫ .dx 2 0 Ac .G

(Ec. 2.19)

l

1 Wi = ∫ γ 2 . Ac .G.dx 20

(Ec. 2.20)

Tanto (Ec. 2.19) como (Ec. 2.20) corresponden a sólidos linealmente elásticos. ( Ac .G ) = Es la rigidez al corte. Ac = Es el área de corte que es en general menor que el área de la sección y depende de la forma de la misma.

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -6-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

Wi Causado por el momento torsor Mt

Mt

Mt dα dx Figura 2.7

Procediendo de la misma manera se tiene: 1 dWe = .Mt.dα 2 dα = θ .dx l

1 Wi = ∫ dWe.dx = ∫ Mt.θ .dx 20

(Ec. 2.21)

Si se introduce la ley de Hooke: dα =

Mt Mt .dx ∴ θ = G.J p G.J p

(Ec. 2.22)

Reemplazando (Ec. 2.22) en (Ec. 2.21): l

Wi =

1 Mt 2 .dx 2 ∫0 G.J p

(Ec. 2.23)

l

Wi =

1 2 θ .G.J p .dx 2 ∫0

(Ec. 2.24)

Que corresponden a sólidos linealmente elásticos.

θ = Es la deformación específica (giro por unidad de longitud). (G.J p ) = Es la rigidez a la torsión. J p = Es el momento polar de inercia sólo para el caso de secciones circulares o anulares. Para secciones no circulares no es el momento polar de inercia sino un parámetro generalizado que se define en la teoría general de la torsión de secciones no circulares.

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -7-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

Wi Para el caso de solicitaciones combinadas

Debe notarse que para cada tipo de solicitación corresponde un tipo de deformación independiente. Así, ε depende exclusivamente de N , κ depende exclusivamente de M , etc.; aún en el caso que las solicitaciones sean simultáneas. Por lo tanto, la energía total para este caso se obtiene como la suma de los distintos términos: l

Wi = l

Wi =

l

l

l

1 M2 1 Mt 2 1 N2 1 Q2 . dx + . dx + . dx + .dx 2 ∫0 E.I 2 ∫0 G.J p 2 ∫0 A.E 2 ∫0 Ac .G l

l

(Ec. 2.25)

l

1 2 1 1 1 κ .E.I .dx + ∫ θ 2 .G.J p .dx + ∫ ε 2 . A.E.dx + ∫ γ 2 . Ac .G.dx ∫ 20 20 20 20

(Ec. 2.26)

Según se puede apreciar en (Ec. 2.25) y (Ec. 2.26), Wi es una función cuadrática en los esfuerzos o en las deformaciones específicas y por lo tanto resulta: Wi ≥ 0

(Ec. 2.27)

Obsérvese que si se duplica la carga, la energía Wi se hace 4 veces mayor. Por esta razón, no es correcto sumar la energía correspondiente a una carga Pi con la energía correspondiente a otra Pj calculadas independientemente; se requiere determinar primero los esfuerzos totales como superposición de esfuerzos debidos a las distintas cargas y recién calcular la energía interna que es una función cuadrática de las cargas. En las expresiones (Ec. 2.25) y (Ec. 2.26) debe considerarse para la flexión dos términos correspondientes a los momentos flectores respecto a los dos ejes principales de inercia, para los cuales las deformaciones (curvaturas) son independientes. Lo mismo ocurre con el esfuerzo de corte que debe considerarse según las direcciones de los dos ejes principales de inercia. l

Notar que se cumple:

∫ E .d .dx = 0 i

j

cuando i ≠ j

0

Donde: Ei = Es un esfuerzo determinado, como ser: N , M , Q, Mt. d j = Es la distorsión asociada al esfuerzo E j .

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -8-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

Wi = We

2.3- Aplicaciones del postulado

1- Calcular la flecha δ en la viga simplemente apoyada de la Figura 2.8 cargada en el centro del tramo. P

x

l

M ( x) Figura 2.8 1 We = .P.δ = Wi 2 l

l

1 1 M2 1 Q2 .P.δ = ∫ .dx + ∫ .dx 2 2 0 E.I 2 0 Ac .G

(Ec. 2.28)

Se desprecia la energía de deformación por corte frente a la de flexión. Esto equivale a despreciar la deformación por corte frente a la deformación por flexión (suele ser menor del 1%). M ( x) =

P .x 2

Por simetría, la energía en toda la viga es dos veces la energía correspondiente a la mitad. l/2

l/2 ⎤ 1 P 2 ⎡ x3 ⎤ 1 1 ⎡ P 2 .x 2 1 P 2 .l 3 .P.δ = . ⎢ 2. ∫ 2 .dx ⎥ = . .⎢ ⎥ = . 2 2 ⎣ 0 2 .E.I ⎦ 2 2.E.I ⎣ 3 ⎦ 0 2 48.E.I

Finalmente:

δ=

P.l 3 48.E.I

(Ec. 2.29)

El postulado de igualdad entre We y Wi permite calcular el desplazamiento del punto de aplicación de la única fuerza actuante. (Ver el primer miembro de (Ec. 2.28)).

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -9-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

2- Calcular la flecha en la viga simétrica de la Figura 2.9 P

P

l

x2

x1

A

P

P

P

P

D

C

E

x B

Figura 2.9

Tramo

Momento flector

Limites

A-D

3 .P.x1 2

0 ≤ x1 ≤

l 4

D-C

3 ⎛l 3 P ⎞ .P. ⎜ + x2 ⎟ − P.x2 = .P.l + .x2 2 ⎝4 8 2 ⎠

0 ≤ x2 ≤

l 4

(Ec. 2.30)

1 1 1 1 We = .∑ Pi .δ i = .P.δ D + .P.δ C + .P.δ E 2 2 2 2 Wi =

1 M2 .dx 2 ∫ E.I

(Se desprecian las deformaciones de corte). Haciendo We = Wi se tiene una única ecuación con tres desplazamientos incógnitas (δ D , δ C , δ E ) . (En rigor, por simetría resultan sólo dos incógnitas). El problema puede ser resuelto en forma aproximada asumiendo una “forma” para la elástica. A tal efecto, se supone una elástica aproximada con forma de parábola simétrica respecto al centro con un parámetro δ 0 a determinar:

x 0

x

δ0 y _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -10-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

⎛ x2 ⎞ y = δ 0 . ⎜ 1 − 4. 2 ⎟ l ⎠ ⎝

(Ec. 2.31)

Wi se calcula en forma exacta a partir de los momentos dados en (Ec. 2.30). 2 2 l/4 l/4 ⎞ ⎤ 23 P 2 .l 3 1 ⎡ ⎛ ⎛3 P ⎞ ⎞ ⎛3 Wi = . ⎢ 2. ⎜ ⎜ .P.x1 ⎟ .dx1 + ∫ ⎜ .P.l + .x2 ⎟ .dx2 ⎟ ⎥ = . ⎟ ⎥ 384 E.I 2 E.I ⎣⎢ ⎜⎝ ∫0 ⎝ 2 8 2 ⎠ ⎠ 0 ⎝ ⎠⎦

(Ec. 2.32)

Se puede calcular We en forma aproximada utilizando (Ec. 2.31). 1 We ≅ . ⎡⎣ P. ( y( −l / 4) + y(0) + y(l / 4) ) ⎤⎦ 2 3 y( − l / 4) = y(l / 4) = .δ 0 4

;

y(0) = δ 0

1 3⎞ 5 ⎛3 We ≅ .P.δ 0 . ⎜ + 1 + ⎟ ≅ .P.δ 0 2 4⎠ 4 ⎝4 Igualando (Ec. 2.32) y (Ec. 2.33):

(Ec. 2.33)

We = Wi

23 P 2 .l 3 5 ≅ .P.δ 0 . 384 E.I 4

P.l 3 δ0 ≅ 20,86.E.I

(Ec. 2.34)

El resultado que se obtiene con procedimientos exactos es:

δ0 =

P.l 3 20, 21.E.I

(Ec. 2.35)

La (Ec. 2.34) presenta sólo un 3% de error en defecto. También es posible aproximar la elástica por una sinusoide del tipo:

x x

0

l

y ⎛ π .x ⎞ y = δ 0 .sen ⎜ ⎟ ⎝ l ⎠

(Ec. 2.36)

1 ⎡ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⎛ 3 ⎞⎤ We ≅ .P.δ 0 . ⎢ sen ⎜ ⎟ + sen ⎜ ⎟ + sen ⎜ .π ⎟ ⎥ 2 ⎝2⎠ ⎝ 4 ⎠⎦ ⎣ ⎝4⎠

We ≅ 1, 207.P.δ 0

(Ec. 2.37)

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -11-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

La energía interna se determina en forma exacta en (Ec. 2.32) mientras que (Ec. 2.37) es una aproximación del trabajo externo basada en (Ec. 2.36). Igualando We con Wi tenemos: 23 P 2 .l 3 ≅ 1, 207.P.δ 0 . 384 E.I

P.l 3 δ0 ≅ 20,15.E.I

(Ec. 2.38)

Este resultado presenta un error en exceso del 0.3%.

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -12-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

3- Calcular el área de corte para una sección rectangular

τ ( y)

h

y

τ ( y)

b dx

dA = b.dy

dQ

dQ = τ .dA dy dx Figura 2.10 La tensión de corte τ(y) no es constante en la altura de la viga y su valor en función del momento estático S(y) se encuentra utilizando el teorema de Jouravski:

Q ⋅ S( y )

τ ( y) =

b ⋅ I rect

h /2

S( y ) =

∫ y

τ ( y) =

;

I rect =

b.h3 12

⎞ b ⎛ h2 y . ( b.dy ) = . ⎜ − y 2 ⎟ 2 ⎝ 4 ⎠

6.Q ⎛ 1 y 2 ⎞ .⎜ − ⎟ b.h ⎝ 4 h 2 ⎠

γ ( y) =

τ ( y) G

(Ec. 2.39)

(Ec. 2.40)

Para obtener la energía de deformación por corte en el tramo dx debe integrarse primero en la altura de la viga(variable y) y luego integrarse a lo largo de la viga (variable x): l l h/2 l ⎤ 1 1 ⎡ 1 6 Q2 .dx Wi = .∫ γ 2 . Ac .G.dx = .∫ ⎢ ∫ γ ( y ) 2 . ( b.dy ) ⎥.G.dx = .∫ . N⎥ 2 0 2 0 ⎢−h / 2 2 5 . . b h G 0 dAc ⎣ ⎦

(Ec. 2.41)

dAc = ( b.dy ) = Área de corte infinitesimal donde la tensión es constante τ ( y ) = γ ( y ) .G

Comparando (Ec. 2.41) con (Ec. 2.19) resulta: _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -13-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

6 Q2 Q2 . = 5 b.h.G Ac .G 5 Ac = . A 6

(Ec. 2.42)

Conclusión: En lugar de considerar la tensión de corte variable a lo largo de la altura de la viga según la expresión (Ec. 2.39) se puede considerar una tensión constante τ m actuando sobre el área de corte Ac a los efectos del cálculo de la elástica incluyendo las deformaciones por corte de una viga de sección rectangular: τm =

Q Q = Ac 5 .b.h 6

(Ec. 2.43)

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -14-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

4- Área de corte para una viga reticulada En casos de estructuras livianas del tipo de la Figura 2.11 que se construyen con hierros redondos soldados con frecuencia no conviene tratarlas como reticulado por el elevado número de barras sino como una barra de alma llena con propiedades equivalentes.

A Ad

Am

a

h 2

Figura 2.11 Donde: A = Área de cordón

;

Am = Área de montante

;

Ad = Área de diagonal

Se busca una viga de alma llena equivalente que tenga igual deformación por flexión y corte que la viga reticulada. El momento de inercia se calcula por el teorema de Steiner. Se puede despreciar los momentos de inercia de las barras respecto a su propio eje. 2

⎛h⎞ I = 4. A. ⎜ ⎟ = A.h 2 ⎝2⎠

(Ec. 2.44)

La determinación del área de corte Ac de la viga equivalente requiere el cálculo de la energía de deformación por corte. Para un tramo de viga de longitud “ a ” se tiene:

Fd

Fm

α a

Q 2

Figura 2.12 _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -15-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

El sistema de apoyos deslizantes sólo permite deformaciones por corte. Se considera la mitad del corte actuando sobre cada una de las caras del reticulado. Fm =

Q 2

; Fd =

Q 2.sen(α )

(Ec. 2.45)

El corte se traduce en fuerzas axiales en las diagonales y en los montantes cuyos valores están dados por (Ec. 2.45). La energía de deformación es: ⎡ ⎛ ⎢ 1 ⎜ ( F )2 Wi = 2. ⎢ . ⎜ d ⎢2 ⎜ A . E ⎢ ⎜⎝ d ld ⎣

⎞ ⎛ ⎟ 1 ⎜ ( F )2 ⎟ + .⎜ m ⎟ 2 ⎜ A .E ⎟ ⎜ m l m ⎠ ⎝

⎞⎤ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎠⎦

(Ec. 2.46)

El coeficiente 2 en (Ec. 2.46) resulta de considerar las dos caras verticales del reticulado. Se ha considerado sólo un montante ya que existe uno por módulo que se repite (el montante de la izquierda se lo considera perteneciente al modulo anterior). Introduciendo (Ec. 2.45) en (Ec. 2.46):

ld lm ⎞ ⎤ 1 ⎡ Q2 ⎛ + Wi = . ⎢ . ⎜ ⎟⎥ 2 ⎣ E ⎝ 2. Ad .sen 2 (α ) 2. Am ⎠ ⎦

(Ec. 2.47)

En el caso de una viga de alma llena la energía de deformación por corte está dada por (Ec. 2.19). Integrando en un tramo de longitud “ a ”: 1 Q2 Wi = . .a 2 Ac .G

(Ec. 2.48)

Igualando (Ec. 2.47) y (Ec. 2.48) y observando que: ld = a cos(α ) lm = h = a.tan(α ) ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ E 1 ⎟ Ac = . ⎜ 1 tan(α ) ⎟ G ⎜ ⎜ 2. A .sen 2 (α ).cos(α ) + 2. A ⎟ d m ⎠ ⎝

(Ec. 2.49)

Este valor puede ser del orden del 10% del área de la sección transversal (4. A) por lo que las deformaciones por corte no resultan siempre despreciables frente a las deformaciones por flexión y deben tenerse en cuenta en los cálculos. Para resolver problemas hiperestáticos es necesario calcular deformaciones y esas deformaciones deben considerar los esfuerzos de corte a través del área de corte Ac . _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -16-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

Una vez determinado el diagrama de M podemos hallar la máxima solicitación en los cordones (que son los que absorben la flexión), a partir del máximo momento flector:

σc = σc =

M max M max M h = .r = max2 . W I A.h 2

M max 2. A.h

(Ec. 2.50)

r = Distancia del eje neutro a la fibra más alejada. Como alternativa se puede considerar que el momento flector M esta equilibrado por fuerzas F en los cordones tales que: F = σ .A

h 2

F Figura 2.13 ⎛h ⎞ ⎛h ⎞ M = 4. ⎜ .F ⎟ = 4. ⎜ .σ . A ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ Y llegamos a (Ec. 2.50). Los esfuerzos máximos en las barras diagonales y montantes (que absorben el corte) se calculan según (Ec. 2.45) a partir del máximo corte. Fm =

Qmax F ∴ σm = m Am 2

; Fd =

Qmax F ∴ σd = d Ad 2.sen(α )

(Ec. 2.51)

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -17-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

5- Determinación de la constante elástica de un resorte de paso grande. Se aplican dos fuerzas que comprimen el resorte y se determinan los esfuerzos en una sección genérica.

P

P

α

P s s

s

α

M = P .R

s

N = P.sen (θ )

M t = P.R.cos (θ )

Q = P.cos (θ )

P

M = P.R.sen (θ )

Figura 2.14 Para calcular Wi se utiliza la ecuación (Ec. 2.25): 1 ( P.R.sen (α ) ) 1 ( P.R.cos (α ) ) 1 ( P.sen (α ) ) 1 ( P.cos (α ) ) Wi = ∫ .dl + ∫ .dl + ∫ .dl + ∫ .dl 2 E.I 2 G.J p 20 A.E 2 Ac .G 2

2

l

2

2

(Ec. 2.52)

Como todos los esfuerzos son constantes a lo largo del desarrollo del resorte salen fuera del signo de la integral. 2 2 2 2 1 ⎡ ( P.R.sen (α ) ) ( P.R.cos (α ) ) ( P.sen (α ) ) ( P.cos (α ) ) ⎤ ⎥ .∫ dl Wi = . ⎢ + + + 2 ⎢ E.I G.J p A.E Ac .G ⎥ ⎣ ⎦

(Ec. 2.53)

El largo " l " del resorte puede deducirse de la Figura 2.15: l

α

( 2.π .R ) .n Figura 2.15 2.π .R.n

∫ dl = l = cos (α ) n = Número de vueltas del resorte

El trabajo externo resulta: _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -18-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

1 1 ⎛P⎞ We = .P.δ = .P. ⎜ ⎟ 2 2 ⎝K⎠ Haciendo Wi = We se despeja la constante del resorte: K=

cos (α ) ⎡ ( R.sen (α ) ) ( R.cos (α ) )2 cos 2 (α ) sen 2 (α ) ⎤ ⎢ ⎥ . ( 2.π .R ) .n + + + E.I G.J p Ac .G A.E ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ 2

(Ec. 2.54)

Despreciando la contribución de las deformaciones por esfuerzo de corte y normal; y considerando un alambre circular de diámetro “d” de acero se obtiene:

π .d 4

⎫ ⎪ 64 ⎪ π .d 4 ⎪ JP = ⎬ 32 ⎪ G = 0, 40.E ⎪ ⎪ ⎭ J=

Si α

E.d 4 .cos (α ) K= 5 ⎡ ⎤ 128.R 3 . ⎢ sen 2 (α ) + .cos 2 (α ) ⎥ .n 4 ⎣ ⎦

(Ec. 2.55)

es pequeño la flexión deja de tener importancia y el resorte trabaja

fundamentalmente a la torsión (y al corte).

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -19-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

6- Calcular el desplazamiento vertical (δ v ) del punto de aplicación de la única carga que actúa sobre la estructura.

P

Figura 2.16 1 We = .P.δ v 2 La energía interna es la suma de la energía de todas las barras. Wi Para una barra es según (Ec. 2.6) un medio del producto del esfuerzo N j por la

elongación e j . 1 Wi = ∑ .N j .e j 2 Suponiendo el material lineal se tiene por Hooke: ej =

Nj ⎛ A.E ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ l ⎠j

Si se impone la condición Wi = We . N j2 1 1 .P.δ v = .∑ 2 2 ⎛ A.E ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ l ⎠j N j2 1 δ v = .∑ P ⎛ A.E ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ l ⎠j

(Ec. 2.56)

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -20-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

Ejercicio Nº 1: Comprobar que la energía de deformación es igual al trabajo de deformación cuando un fleje de largo " l " se lleva a la forma circular mediante momentos iguales y opuestos actuando en los extremos.

r M

M

l Se puede asegurar que la forma final es una circunferencia porque al ser el momento constante en todo el fleje y el momento de inercia también constante tendremos curvatura constante. 1 M = r E.I

(Ec. 2.57)

Trabajo externo: Es el trabajo del momento a través del giro: 1 ⎫ We = .M .θ ⎪ 2 ⎬ ⎪⎭ θ = 2.π

We = M .π

Energía de deformación: es la energía de deformación por flexión: l

1 M2 1 ⎛ M ⎞ Wi = ∫ .dx = .M . ⎜ ⎟ .l 2 0 E.I 2 ⎝ E .I ⎠ Según (Ec. 2.57): K=

1 M = r E.I

Además: l = 2.π .r Reemplazando: 1 ⎛1⎞ Wi = .M . ⎜ ⎟ .2.π .r 2 ⎝r⎠

⇒

Wi = M .π

Luego: We = Wi

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -21-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

Ejercicio Nº 2: Determinar el valor de la máxima fuerza elástica que puede proveer la arandela y el valor que tendrá ∆ .

P R

∆

b a

P Kg mm 2 Kg E = 21000 mm 2

R = 8mm

G = 8400

a = 2mm

σ f = σ 0,20 = 60

b = 1mm

l1

θ

Kg mm 2

M t = P.l1 = P.R. (1 − cos (θ ) ) M = P.l2 = P.R.sen (θ )

l2

De Tablas ⎧α = 4, 07 a =2 ⇒ ⎨ b ⎩ β = 4, 37 a.b 3 = 0.1667 mm 4 I= 12 a.b 3 = 0.4577 mm 4 J =

β

El máximo momento torsor ocurre en la sección S. M t = 2.P.R La máxima tensión de corte ocurre en el punto A: _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -22-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

τ max = α .

Mt 2× P ×8 = 4, 07 × = 32, 60.P 2 2 ×12 a.b 1 2

τ max = τ f = .σ f = 30 Trabajo externo: 1 We = .P.∆ 2

P = 0,92 Kg Energía de deformación: Wi = Wt + Wf = 2.π

Wf =

∫ 0

2.π

Wt =

∫ 0

Mt2 1 1 M2 . dx + ∫ G.J ∫ E.I .dx 2 Torsión 2 Flexión

2.π P 2 .R 3 P 2 .R 3 1 π P 2 .R 3 = 0,1945 ( flex.) .sen 2 (θ ) .dθ = . . ⎡⎣0 − sen (θ ) .cos (θ ) ⎤⎦ 0 = . 2.E.I 2.E.I 2 2 E .I

P 2 .R 3 1 P 2 .R 3 = 0,5312 ( torsión ) . (1 + cos 2 (θ ) − 2.cos (θ ) ) .dθ = .3.π . 2.G.J 2 G.J

We = Wi ⇒

1 .0,92.∆ = 0,1945 + 0,5312 2

∆ = 1,58mm

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -23-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

Ejercicio Nº 3: Determinar el máximo valor aproximado de la flecha para el caso de la viga del croquis. Suponiendo una elástica: ⎛ 4.x 2 ⎞ a ) y = ω0 . ⎜1 − 21 ⎟ l ⎠ ⎝ ⎛π ⎞ b) y = ω0 .sen ⎜ .x2 ⎟ ⎝l ⎠

q

l

x2

x1

La energía de deformación (por flexión) se calcula en forma exacta ( Wi ). M=

q.l x2 .x − q. 2 2

q

q.l 2

x

q.l 2 l

l l ⎡ q 2 .l 2 .x 2 q 2 .x 4 q 2 .l.x 3 ⎤ 1 M2 1 q 2 ⎡ l 2 .x 3 x 5 l.x 4 ⎤ Wi = ∫ .dx = .∫ ⎢ + − . dx = . + − 2 0 2.E.I 2.E.I 0 ⎣ 4 4 2 ⎥⎦ 2.E.I ⎢⎣ 12 20 8 ⎥⎦ 0

Wi =

q 2 .l 5 ⎡ 1 1 1 ⎤ q 2 .l 5 .⎢ + − ⎥= 2.E.I ⎣12 20 8 ⎦ 240.E.I

El trabajo externo We se calcula aproximadamente en base a una cierta “forma” de la elástica.

Caso a): l/2 l/2 ⎛ 4.x 2 ⎞ q.ω0 .l 1 2 We = . ∫ ( q.dx1 ) . y = . ∫ q.ω0 . ⎜1 − 21 ⎟ .dx1 = 2 −l / 2 2 0 l ⎠ 3 ⎝

Igualando:

Wi = We

q.l 4 q.ω0 .l q 2 .l 5 ω = = ∴ 0 80.E.I 240.E.I 3

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -24-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

Caso b): q.ω0 .l 1 2 ⎛π ⎞ = 0,3183.q.ω0 .l We = . ∫ ( q.dx2 ) . y = . ∫ q.ω0 .sen ⎜ .x2 ⎟ .dx2 = π 2 −l / 2 2 0 ⎝l ⎠ l/2

Igualando:

l/2

Wi = We

π q.l 4 q.ω0 .l q 2 .l 5 = ω . = ∴ 0 240 E.I π 240.E.I Nota: el valor exacto de la flecha es: ω0 = Caso a), error: 3,99 %

;

5 q.l 4 . 384 E.I

Caso b), error: 0,53 %

Nótese que la elástica propuesta es simétrica y cumple con las condiciones de contorno.

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -25-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

Ejercicio Nº 4: Determinar cuanto se puede incrementar la distancia " a " sin superar la tensión de fluencia σ f = 45

Kg . mm 2

a h2

R = 13,50mm

P

P

b

α

h1 = 3,50mm h2 = 2, 00mm

R

b = 2, 00mm

a = 15, 00mm

α = 40º Kg mm 2 Kg G = 8400 mm 2 E = 21000

h1

P

θ

N f = P.Rm . (1 − cos (θ ) ) N = − P.cos (θ )

Se adopta un radio medio Rm . 1 ⎛h h ⎞ Rm = R + . ⎜ 1 + 2 ⎟ = 14, 78mm 2 ⎝2 2⎠ El momento de inercia Iθ : Iθ =

b.h3 b ⎛ θ⎞ = . ⎜ 1,57 + 1,93. ⎟ 12 12 ⎝ π⎠

3

⎧h40 = 2 ⇒ ⎨ ⎩h180 = 3,5

La tensión debida a la flexión compuesta es:

σθ =

P.Rm . (1 − cos (θ ) ) b.h 6

2

+

( − P.cos (θ ) ) b.h

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -26-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

⎛ ⎜ ⎜ 14, 78. (1 − cos (θ ) ) cos (θ ) − σ θ = P. ⎜⎜ 2 θ ⎛ θ 2. ⎜1,57 + 1,93. ⎜ 2. ⎜⎛1,57 + 1,93. ⎟⎞ π ⎝ π⎠ ⎜ ⎝ ⎜ 6 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⇒ 0, 70 ≤ θ ≤ π ⎞⎟ ⎟⎟ ⎠⎟ ⎟ ⎠

σ 2,38 = σ max = 8, 43.P 8, 43.P = 45 ⇒

P = 5,33Kg

Calculando la energía despreciando el esfuerzo de corte y normal: 3,14 ⎡ 1 3,14 M 2 ⎤ 3,14 P 2 .Rm 3 . (1 − cos (θ ) ) (1 − cos (θ ) ) .dθ θ Wi = 2. ⎢ ∫ .Rm .dθ ⎥ = ∫ . d 26, 21. = 3 ∫ b.h3 θ⎞ 0,7 ⎛ ⎣⎢ 2 0,7 E.I ⎦⎥ 0,7 E. 1,57 1,93. + ⎜ 12 π ⎟⎠ ⎝ 2

2

Resolviendo por trapecios: n = 5 ; ∆ = 0, 489 ⎛ f0 + fn ⎞ + f1 + f 2 + ... + f n −1 ⎟ 2 ⎠

∫ =∆. ⎜⎝

∫ =0,1757 f (θ )

θ

3,14

0, 70

(1 − cos (θ ) )

2

θ [ grados]

θ [rad ]

θ⎞ ⎛ ⎜1,57 + 1,93. ⎟ π⎠ ⎝

40

0,698

0,0068

68

1,187

0,0322

96

1,675

0,0695

124

2,164

0,0997

152

2,653

0,1082

180

3,141

0,0933

3

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -27-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

Wi = 4, 60 El trabajo externo: 1 We = .P.δ 0 = 2, 66.δ 0 2 We = Wi

2, 66.δ 0 = 4, 60 ⇒

δ 0 = 1, 70mm

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -28-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

Ejercicio Nº 5: Calcular el descenso de la viga en voladizo cuya sección se indica en el croquis. P = 100 Kg l = 1000mm

Despreciar deformación por corte

4

P

68

l

4 40

Determinación del centro de gravedad: El centro de gravedad coincide con el centro de simetría O.

Determinación de los momentos de inercia: Aplicando el teorema de Steiner: 3 ⎡ 40 × ( 4 )3 ⎤ 4 × ( 60 ) 2 + ( 40 × 4 ) × 32 ⎥ .2 + = 400106,87 Ix = ⎢ 12 ⎢⎣ 12 ⎥⎦ 3 ⎡ 4 × ( 40 )3 ⎤ 60 × ( 4 ) 2 + ( 40 × 4 ) ×18 ⎥ .2 + = 146666, 67 Iy = ⎢ 12 ⎣⎢ 12 ⎦⎥

I xy = ⎡⎣( 40 × 4 ) × 32 × 18⎤⎦ .2 = 184320

Determinación de los ejes principales: I xy

I min 2θ

Iy

I xy

Ix

I max I

Círculo de Mohr _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -29-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

Iα = I max

(I =

x

I β = I min

(I =

x

tan ( 2θ ) =

(I

+ Iy )

⎛ Ix + I y ⎞ 2 + ⎜ ⎟ + I xy = 497064, 6 2 ⎝ ⎠ 2

2 + Iy )

2

2

2.I xy x

⎛ Ix + I y ⎞ 2 − ⎜ ⎟ + I xy = 49708, 7 ⎝ 2 ⎠

− Iy )

= 1, 454

θ = 27, 74º

Determinación de las componentes de desplazamiento: En la dirección de los ejes principales:

Pα Pα = 46, 55

α

Pβ = 85, 5

β

l

Pα .δα = ∫ 0

x

100

( Pα .x ) E.I β

M = Pα .x

2

.dx

δα =

Pα .l 3 3.E.I β

δα =

46,55 × (1000)3 = 14,87mm 3 × 21000 × 49708

δβ =

85,5 × (1000)3 = 2,83mm 3 × 21000 × 497064

δh θ

δβ

δ

δα

δv

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -30-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

δ h = δα .cos (θ ) − δ β .sen (θ ) δ v = δα .sen (θ ) − δ β .cos (θ )

δ v = 9, 40mm ⇓

δ h = 11,80mm ⇒

Nota: la carga vertical produce un desplazamiento que no es vertical.

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -31-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

Ejercicio Nº 6: Calcular el corrimiento del punto “A” en el extremo de la viga en voladizo. La sección es un perfil “L” de alas iguales, y la carga vertical actúa en el centro de gravedad del perfil.

y y'

11, 36 P

x'

l

30

5

A

x

35

Kg mm 2 Kg G = 8400 mm 2 E = 21000

l = 1000mm P = 40 Kg

PNL : 60 × 60 × 10

Centro de gravedad: x=

∑ A .x

y=

∑ A .y

i

i

A i

A

i

=

60 × 5 + 50 × 35 = 18, 64 110

=

60 × 30 + 50 × 5 = 18, 64 110

Momento de inercia: 10 × ( 60 ) 50 × (10 ) 2 2 Ix ' = + 600 × (11,36 ) + + 500 × (13, 64 ) = 351669 12 12 3

3

I y ' = 351669, 4 I xy = 600 × (11,36 ) × ( −13, 64 ) + 500 × (16,36 ) × ( −13, 64 ) = 204574

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -32-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

Ejes principales y momentos de inercia:

I max

I min

2θ 35,16

θ = 45º

;

Iα = 35,16 + 20, 45 = 55, 62cm 4

;

I β = 35,16 − 20, 45 = 14, 71cm 4

Componentes de desplazamiento según ejes principales por flexión: 1, 58

28, 28

28, 28

0, 81 3, 05

β

α

2, 73

40 Pα .l 3 28, 28 ×10003 δα = = = 3, 05mm 3.E.I β 3 × 21000 × 147100 Pβ .l 3

28, 28 × 10003 = = 0,81mm δβ = 3.E.Iα 3 × 21000 × 556200

Componentes de desplazamiento horizontal y vertical: δ h = −3, 05 × 0, 707 + 0,81× 0, 707 = −1,58 δ v = 3, 05 × 0, 707 + 0,81× 0, 707 = 2, 73

⇐ ⇓

Giro de la sección por torsión:

A Centro de Torsión

δ At ϕ

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -33-

CAPITULO 2

ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

∑ l .t J=

3 3 ⎫ 60 × (10 ) 60 × (10 ) M t .l 545, 6 × 1000 = + = 36666 ⎪ = = 0, 00177 ⎬ϕ = 3 3 3 G.J 8400 × 36666 ⎪ M t = 40 × 13, 64 = 545, 6 ⎭ 3

i i

Descenso del punto A por el giro por torsión: δ At = ϕ .r = 0, 00177 × 55 = 0, 097

⇓

Desplazamiento vertical total: δ v A = δ v + δ At = 2, 73 + 0, 097 = 2,83 δ v A = 2,83

⇓

δ h A = 1,58

⇓

⇐

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -34-

CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________

Capítulo 3 Trabajos Virtuales 3.1- Principio de los trabajos virtuales En el curso de estática se ha utilizado el Principio de los Trabajos Virtuales (P.T.V) como una forma alternativa de plantear ecuaciones de equilibrio y determinar el valor de alguna fuerza o solicitación incógnita. También se lo aplicó al estudio de líneas de influencia de reacciones o solicitaciones en sistemas isostáticos.

“Es condición necesaria y suficiente para que un sistema esté en equilibrio que el trabajo virtual sea nulo para cualquier desplazamiento vitrual”. Este principio, que aparentemente no agrega información desconocida, resulta no obstante, muy útil por sus importantes aplicaciones.

Definiciones: Desplazamiento virtual: es todo desplazamiento compatible con sus vínculos externos y con las condiciones de continuidad internas del sistema estructural. Ejemplos se ilustran en la Figura 3.1.

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -1-

CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________

δ

δ

δ

δ u1 δu 2

Figura 3.1 Resulta fundamental tener presente que los desplazamientos virtuales se aplican a las fuerzas internas y externan que actúan en un sistema pero no al material que lo constituyen. Por lo tanto, para generar un desplazamiento virtual no hay que vencer la rigidez o elasticidad del material, y por lo tanto un desplazamiento virtual no está asociado a ninguna fuerza o conjunto de fuerzas que lo produzcan.

Notación:

δ : Como prefijo de una variable significa que se trata de un valor virtual de la variable cuyo nombre figura después de esa letra.

δ We : Es el trabajo virtual de las fuerzas exteriores. δ Wi : Es el trabajo virtual de las fuerzas interiores. El concepto de fuerza interna es el siguiente: Considérese una pieza traccionada sometida a la carga exterior P. Imagínese al cuerpo como constituido de diversas secciones planas sobre las que se ejercen las acciones transmitidas por los bloques de material entre secciones; esas acciones son las fuerzas internas. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -2-

CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________

Al aplicar el Principio de Trabajos Virtuales al conjunto de todas las secciones es necesario considerar las fuerzas externas y las fuerzas internas reales que actúan sobre el sistema. Si se designa con δ u j al desplazamiento virtual de la sección “j” se tiene: n

P1.δ u1 + P2 .δ u2 + ∑ ( Fi ) j .δ u j = 0 14 4244 3 j =1 δ We 14 4244 3

(Ec. 3.1)

δ Wi

P1

Fi Fi

δuj

P2 Figura 3.2 En la sumatoria se tiene dos valores de Fi para cada una de las secciones excepto para la secciones extremas (en total son 2(n - 1) fuerzas internas Fi , donde n es el número total de secciones consideradas incluyendo las secciones extremas). La sumatoria puede reagruparse de la siguiente manera n −1

δ Wi = ∑ ⎡⎣( Fi ) j .δ u j + ( Fi ) j +1 .δ u j +1 ⎤⎦ j =1

Si no actúan fuerzas exteriores en los bloques resulta:

( Fi ) j = − ( Fi ) j +1 Además se puede dividir y multiplicar por ∆x sin alterar el valor de la sumatoria. n −1 ( ∆u )k ⎡ ⎤ F u u Fi )k .δ . . δ − δ = . ( ∆x ) k ( ) ( ( ) ∑ ∑ + 1 i j j j ⎣ ⎦ k =1 ( ∆x ) j =1 n −1

k

Nótese que al reagrupar la sumatoria δ Wi que estaba expresado en función de los desplazamientos virtuales absolutos de las secciones queda expresado en función de los _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -3-

CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________

alargamientos virtuales de los bloques, es decir el producto de la deformación virtual específica

δε por dx. En el límite la sumatoria se transforma en una integral: l

δ Wi = ∫ Fi .δε .dx

(Ec. 3.2)

0

Nj

( Fi ) j

( Fi ) j +1

N j +1

Figura 3.3 Si se aisla un bloque como el de la Figura 3.3 (limitado por dos secciones) se observa que las fuerzas internas son iguales y opuestas a los esfuerzos “ N ”: l

N = − Fi ∴ δ Wi = − ∫ N .δε .dx

(Ec. 3.3)

0

El Principio de Trabajos Virtuales puede expresarse entonces con la siguiente expresión:

δ We + δ Wi = 0

(Ec. 3.4)

En el caso general se tendrá: l

l

l

l

0

0

0

0

δ Wi = ∫ − N .δε .dx + ∫ − M .δκ .dx + ∫ − M t .δθ .dx + ∫ −Q.δγ .dx

(Ec. 3.5)

Se debe enfatizar que las distorsiones virtuales δε i no son causadas por las solicitaciones reales N i . Tampoco es indispensable asociar los desplazamientos virtuales a algún sistema de esfuerzos virtuales δ N i . Llamando N i a un esfuerzo genérico ( N , M , Q, M t ) y δε i a la distorsión especifica asociada al mismo, se tiene: l

δ Wi = − ∫ N .δε .dx 0

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -4-

CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________

∑ P.δ u = ∑ ∫ N .δε .dx i

i

(Ec. 3.6)

En el caso de fuerzas distribuidas, el primer miembro contendrá integrales.

Observaciones: Se debe destacar que (Ec. 3.6) es totalmente general y vale para cualquier material ya que las distorsiones virtuales δε i son completamente arbitrarias. No es necesario asociar a las deformaciones virtuales un sistema de cargas o esfuerzos internos. La expresión (Ec. 3.6) es válida tanto para desplazamientos virtuales pequeños como grandes; siempre que para grandes desplazamientos se tenga en cuenta que el equilibrio se establece en el sistema deformado y se calculan correctamente los N i . La expresión (Ec. 3.6) equivale a decir que “para todo sistema en equilibrio el trabajo virtual de las fuerzas es igual al trabajo virtual interno”. Téngase presente que la expresión (Ec. 3.6) se obtuvo generalizando el concepto de trabajo virtual de fuerzas actuando sobre partículas que resulta independiente del concepto de energía interna asociada a un medio continuo elástico. Es conveniente destacar que en el caso de energía interna las deformaciones ε son causadas por los esfuerzos N , mientras que en trabajos virtuales las deformaciones son arbitrarias y no está asociadas necesariamente a fuerzas u otras causas. Debe notarse que en las expresiones del trabajo virtual no figura el valor

1 como en el caso de energía interna porque el desplazamiento 2

virtual (y por lo tanto ε i y δ ui ) ocurre después que las fuerzas Pi ya estaban actuando, y consecuentemente N i ya tienen su valor final.

Verificación del Principio de Trabajos Virtuales Sea el caso de una viga simplemente apoyada cuya única carga externa es un momento M B aplicado en el extremo “B”.

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -5-

CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________

MB

δy M x = M B.

x l

δy

Figura 3.4 Se impone arbitrariamente un desplazamiento virtual a partir de la posición deformada de la viga en la forma:

⎛ π .x ⎞ ⎟ ⎝ l ⎠

δ y = δ 0 .sen ⎜

(Ec. 3.7)

Convención de signos de la elastica

+

y q(+)

dQ = q.dx

δθ =

d (δ y ) dx

δθ B = δθ

x =l

θ (+) M (+)

M (+ ) κ (+ )

Q (+ )

dθ = κ .dx

dM = Q.dx

+

+

y (+ ) dy = θ .dx

θ=

dy dx

κ=

dθ dx

π ⎛ π .x ⎞ = δ 0 . .cos ⎜ ⎟ l ⎝ l ⎠ = −δ 0 .

π l

π⎞ ⎛ δ We = ∑ Pi .δ ui = ( M B ) . ⎜ −δ 0 . ⎟ l ⎝

⎠

δ We = − M B .δ 0 .

π l

(Ec. 3.8)

La curvatura virtual se obtiene derivando dos veces la elástica virtual:

d 2 (δ y ) π2 ⎛ π .x ⎞ δκ = δ = − . .sen ⎜ 0 ⎟ 2 2 dx l ⎝ l ⎠ l

l

0

0

(Ec. 3.9)

δ Wi = − ∫ M ( x).d (δθ ( x ) ) = − ∫ M ( x).δκ .dx

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -6-

CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________

δ 0 l ⎛ π .x ⎞ π2 x⎞ ⎛ ⎛ ⎛ π .x ⎞ ⎞ ⎛ π . x ⎞ ⎛ π .x ⎞ δ Wi = − ∫ ⎜ M B . ⎟ . ⎜ −δ 0 . 2 .sen ⎜ ⎟ ⎟ dx = M B . .∫ ⎜ ⎟ .sen ⎜ ⎟ .d ⎜ ⎟ l⎠⎝ l l 0⎝ l ⎠ ⎝ l ⎠⎠ ⎝ l ⎠ ⎝ l ⎠ 0⎝ l

Recordando que:

∫ x.sen ( x ) .dx = sen ( x ) − x.cos ( x )

Se tiene:

δ Wi = M B .δ 0 .

π

(Ec. 3.10)

l

De modo que se verifica que la suma de los T.V. es nula:

δ We + δ Wi = 0

(Ec. 3.11)

Para que sea válida la (Ec. 3.11) se deben cumplir dos condiciones: 1º) El equilibrio de fuerzas: Las fuerzas externas ( M A , RA , RB ) están en equilibrio y las fuerzas internas ( M ( x), Q ( x) ) cumplen con las condiciones de equilibrio interno. 2º) El desplazamiento virtual es compatible (no hay quiebres en la elástica virtual)

3.2- Formulación de las ecuaciones de equilibrio a partir del Principio de Trabajos Virtuales 2) Determinar el valor de la reacción de apoyo " RB " en la viga del ejemplo (1) MB

δθ B MB

δy

δ yB

RB

M ( x) = M B + RB (l − x) Q( x) = RB Figura 3.5

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -7-

CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________

Se introduce un desplazamiento virtual de la forma:

δ y = x2 − x

(Ec. 3.12)

δ yB = δ y (l ) = l 2 − l δθ =

d (δ y ) = 2.x − 1 dx

d (δθ ) d 2 (δ y ) δκ = = =2 dx dx 2

Nótese que la curvatura virtual es constante, mientras que la curvatura real, causada por el M real es en general variable.

κ=

M ( x) E.I

δ We = ∑ Pi .δ ui = RB .δ yB + M B .δθ B

δ We = RB . ( l 2 − l ) + M B . ( 2.l − 1) l

l

0

0

δ Wi = − ∫ M .δκ .dx = − ∫ ⎡⎣ M B + RB . ( l − x ) ⎤⎦ . ( 2 ) .dx Si se supone que el sistema de fuerzas de la Figura 3.5.b está en equilibrio, como el desplazamiento virtual es compatible se puede aplicar la ecuación (Ec. 3.11) de T.V.

⎧ ⎡

l2 ⎤ ⎪⎫ 2 l R l R . . . .(2) ⎬ = 0 + − B B B ⎥ 2⎦ ⎪ ⎣ ⎩⎪144444 244444 3⎭

⎪ R .l − R .l + M .2.l − M ) + ⎨− ⎢ M (14444 4244444 3 2

B

B

B

B

δ We

δ Wi

− M B − RB .l = 0

(Ec. 3.13)

Se llega así a la ecuación de equilibrio de momentos respecto al punto “A”, de donde se puede despejar la fuerza incógnita RB = −

MB (el signo “–“ indica que la reacción tiene el signo l

opuesto al adoptado en el planteo del problema). Conviene destacar que en los dos ejemplos anteriores no se ha despreciado el trabajo virtual de las fuerzas internas de corte, simplemente se ha definido un desplazamiento virtual que no implica distorsiones de corte. Es interesante notar que como la viga es isostática, se puede llegar a la expresión (Ec. 3.13) utilizando un desplazamiento virtual de cuerpo rígido como en el curso de Estática.

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -8-

CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________

Por ejemplo:

MB RB

α

Figura 3.6

δ y = α .x ;

δθ =

dy =α dx

δ yB = α .l ; δκ = 0

;

Como la curvatura es nula para este desplazamiento virtual, no hay trabajo interno δ Wi ≡ 0 y la ecuación de T.V. es:

M B .α + RB .α .l + { 0 =0 144244 3 δ Wi δ We

3) Sea la viga hiperestática de la Figura 3.7 que tiene cuatro incógnitas y cuya única carga externa es un momento en el punto B. MB

RA H

MA

MB

RAV

RB Figura 3.7

Dando el mismo desplazamiento virtual del ejemplo (2) se llega a:

M A − M B − RB .l = 0

(Ec. 3.14)

Se tiene entonces una sola ecuación con dos incógnitas ( M A , RB ) . Como el P.T.V. vale para cualquier desplazamiento virtual podría pensarse que dando al sistema en equilibrio Figura 3.4.b (fuerzas externas e internas), otros desplazamientos virtuales, se podría formular el número suficiente de ecuaciones para resolver el problema. Esto no es posible ya que el P.T.V. vale para cualquier desplazamiento virtual del sistema en equilibrio, pero siempre se llega a una ecuación de equilibrio. Como el número máximo de ecuaciones independientes de equilibrio (para un cuerpo en el plano es tres), este procedimiento no permite resolver por sí mismo el problema hiperestático. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -9-

CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________

3.3 Distintas formas de utilizar el principio de trabajos virtuales Hasta aquí se ha utilizado el P.T.V. para formular ecuaciones de equilibrio, pero este modo de aplicar el P.T.V., muy útil en el curso de Estática, resulta poco interesante al estudiar cuerpos deformables y problemas hiperestáticos. El P.T.V. relaciona tres aspectos: I) Fuerzas en Equilibrio II) Desplazamientos virtuales III) Suma de T.V. igual a cero Siempre que se cumplan dos de estos tres aspectos, el restante se cumple también. En el ejemplo (1), se vio que partiendo de I) fuerzas en equilibrio, II) desplazamientos compatibles, se puede verificar que

∑ T .V . = 0 [(Ec. 3.11)]

En los ejemplos (2) y (3) se vio que partiendo de un sistema de fuerzas, al dar II) un desplazamiento virtual compatible, y III) anular la sumatoria de los T.V. se llega a I) un sistema de fuerzas en equilibrio ((Ec. 3.13) y (Ec. 3.14)) Se tratará ahora una tercera forma de utilizar el P.T.V. que resulta sumamente útil en este curso para su aplicación en cuerpos deformables.

Si a la ecuación de T.V.

( ∑ T .V . = 0 )

se le agregan las condiciones de equilibrio, se

puede obtener de la ecuación de T.V. un desplazamiento desconocido. Este procedimiento es simplemente una aplicación práctica del P.T.V. que establece que las fuerzas están en equilibrio, y a partir de esa condición se obtiene el desplazamiento buscado..

3.4 Cálculo de desplazamientos por aplicación del principio de T.V. 4) Calcular el giro θ B en el extremo “B” de la viga simplemente apoyada de la Figura 3.8 con carga uniforme " q " .

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -10-

CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________

θB

M ( x) =

Q( x) =

q.l x2 .x − q. 2 2

q.l − q.x 2

Figura 3.8 Se concentra la atención en un sistema auxiliar (B) (Figura 3.9) que tiene como única carga externa un momento en el extremo “B” de la viga de valor unitario M B = 1 .

θB δy M

Q

1 1 M ( x ) = .x l 1 l Figura 3.9

1) El sistema auxiliar (B) está en equilibrio (porque los esfuerzos M y Q se han determinado de modo de satisfacer equilibrio). 2)

Se impone un desplazamiento virtual al sistema auxiliar (B) que es el desplazamiento del

sistema real. Este desplazamiento es compatible con los vínculos por lo que estos no realizan trabajo, y además es compatible con la continuidad interna de la viga. Se adoptan como deformaciones virtuales las correspondientes al sistema real, que dependen de los esfuerzos internos a través de las ecuaciones constitutivas del material supuesto lineal y elástico. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -11-

CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________

Para materiales linealmente elásticos (que responden a la ley de Hooke) se tiene:

δκ =

M Q ; δγ = Ac .G E.I

(Ec. 3.15)

3) Planteando la ecuación de T.V. :

δ We = −δ Wi l ⎛ Q ⎞ ⎛ M ⎞ 1.θ B = ∫ M . ⎜ ⎟ .dx ⎟ .dx + ∫ Q. ⎜ ⎝ E .I ⎠ ⎝ Ac .G ⎠ 0 0 l

(Ec. 3.16)

Como los valores del segundo miembro son conocidos, se puede determinar la única incógnita “ θ B ”. ⎛ q.l x2 . . − x q ⎛1 ⎞ ⎜ 2 θ B = ∫ ⎜ .x ⎟ . ⎜ 2 l ⎠⎜ E.I 0⎝ ⎜ ⎝ l

⎞ ⎛ q.l ⎞ l − q.x ⎟ ⎟ ⎜ ⎛1⎞ ⎟ .dx + ∫ ⎜ ⎟ . ⎜ 2 ⎟ .dx . l A G ⎝ ⎠ ⎟⎟ c 0 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎠

(Ec. 3.17)

Debe considerarse la conveniencia de utilizar un estado auxiliar con una única carga externa, de modo que se evalúe una única incógnita. Resulta fundamental que el sistema sea isostático porque de esa manera se puede garantizar equilibrio simplemente calculando los esfuerzos M y M con las ecuaciones de la estática. En esta forma de aplicar el P.T.V., en lugar de proponer una elástica y luego derivar para obtener las distorsiones (δκ , δε , δθ , δγ ) , se propone como elástica virtual para el estado auxiliar (b), a la elástica real del sistema (a), y se calculan las deformaciones virtuales por expresiones del tipo (Ec. 3.15). Este último ejemplo se ilustra con un ejemplo práctico. Para calcular una componente del desplazamiento de un punto se procede de la siguiente manera: 1) Se determinan los diagramas de esfuerzos internos para el estado de cargas reales. 2) Se define un estado auxiliar en una estructura igual a la dada pero con una única carga unitaria colocada en el punto cuyo desplazamiento se busca, aplicada en la dirección de la componente deseada del mismo. 3) Se determinan los esfuerzos internos para el estado auxiliar. 4) Se calcula el desplazamiento por la expresión: ⎛ Mt ⎛ Q ⎞ ⎛ M ⎞ + + . dx Q . . dx M . ⎟ ∫ ⎜⎝ Ac .G ⎟⎠ ∫ t ⎜⎜ G.I p ⎝ E .I ⎠ ⎝

δ = ∫ M .⎜

⎞ ⎛ N ⎞ ⎟⎟ .dx + ∫ N . ⎜ ⎟ .dx ⎝ A.E ⎠ ⎠

(Ec. 3.18)

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -12-

CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________

Es importante reconocer que este método permite calcular sólo una componente del desplazamiento de un solo punto por vez. Por lo tanto se deben plantear tantos estados auxiliares como componentes de desplazamiento se deseen calcular. El primer paso no necesita repetirse.

5) Calcular la componente horizontal del desplazamiento del punto “C” de la torre reticulada de la Figura 3.10 .

δC H

Nj ⎛ A.E ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ l ⎠

Nj

Figura 3.10 Damos al sistema auxiliar un desplazamiento virtual que coincide con el desplazamiento del sistema real y planteamos la ecuación de T.V. n

1.δ C H = ∑ N j .δ e j

(Ec. 3.19)

j =1

Las elongaciones δ e j son las deformaciones del sistema real que según la ley de Hooke son:

δ ej =

Nj ⎛ A j .E ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ lj ⎠

(Ec. 3.20)

Finalmente:

δC H

⎛ ⎞ ⎜ N ⎟ ⎟ = ∑ N j .⎜ ⎜ ⎛ A.E ⎞ ⎟ j =1 ⎜⎜ l ⎟⎟ ⎠ ⎠j ⎝⎝ n

(Ec. 3.21)

La expresión (Ec. 3.19) vale para cualquier material mientras que la expresión (Ec. 3.20) vale sólo para materiales linealmente elásticos. Conviene aquí insistir sobre un concepto: “el desplazamiento virtual no debe necesariamente ser pequeño”. Resulta que en la aplicación práctica del P.T.V. se emplean como virtuales a las _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -13-

CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________

deformaciones reales que, en muchos casos son pequeños. La hipótesis (generalmente aplicable) de que las deformaciones son pequeñas, permite calcular los esfuerzos en el estado indeformado; lo que en la mayoría de los casos es una buena aproximación, a menos que exista una tendencia al pandeo. Para determinar los N j se determinan las fuerzas en las barras suponiendo que éstas actúan paralelas al eje de las barras en la estructura sin deformar. Los cálculos necesarios para emplear (Ec. 3.21) se suelen ordenar en una tabla como sigue: Barra

Nj

Nj

⎛ ⎞ ⎜ N ⎟ ⎟ N j .⎜ ⎜ ⎛ A.E ⎞ ⎟ ⎜⎜ l ⎟⎟ ⎠ ⎠j ⎝⎝

L

L

L

L

L

L

L

L

L

M

M

M

M

M

M

L

L

L

L

L

L

lj

Aj

1

L

L

2

L

M n

Nº

Aj .E lj

∑KK Cálculo de desplazamientos relativos 6) Calcular la componente en la dirección DE del desplazamiento relativo entre los puntos D y E, en el reticulado de la Figura 3.10.

(N )

j E

(N )

j D

Nj

Figura 3.11

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -14-

CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________

⎛ ⎞ ⎜ N ⎟ ⎟ δ E = ∑ ( N j )E .⎜ ⎜ ⎛ A.E ⎞ ⎟ ⎜⎜ l ⎟⎟ ⎠ ⎠j ⎝⎝

;

⎛ ⎞ ⎜ N ⎟ ⎟ δ D = ∑ ( N j )D .⎜ ⎜ ⎛ A.E ⎞ ⎟ ⎜⎜ l ⎟⎟ ⎠ ⎠j ⎝⎝

El desplazamiento relativo δ ED se obtiene como suma de los desplazamientos de E y D, δ E y

δD .

δ ED

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ N ⎟ ⎜ N ⎟ n ⎟ + ∑ ( N j ) .⎜ ⎟ = δ E + δ D = ∑ ( N j ) .⎜ E D ⎜ ⎛ A.E ⎞ ⎟ ⎜ ⎛ A.E ⎞ ⎟ j =1 j =1 ⎜⎜ l ⎟⎟ ⎜⎜ l ⎟⎟ ⎠⎠j ⎠ ⎠j ⎝⎝ ⎝⎝ n

n

δ ED = ∑ ⎡⎣( N j ) E j =1

⎛ ⎞ ⎜ N ⎟ ⎟ + ( N j ) ⎤ .⎜ D⎦ ⎜ ⎛ A.E ⎞ ⎟ ⎜⎜ l ⎟⎟ ⎠ ⎠j ⎝⎝

(Ec. 3.22)

(Ec. 3.23)

La (Ec. 3.23) sugiere que en lugar de utilizar dos sistemas auxiliares con dos análisis independientes, se utilice un único estado auxiliar como el de la Figura 3.12.a.

Nj = (Nj ) +(Nj ) E

D

Figura 3.12 Esto trae aparejado una ventaja operativa ya que el sistema de cargas de la Figura 3.12.a es autoequilibrado (no requiere reacciones exteriores), y las únicas barras con esfuerzos son las correspondientes al marco cerrado de la Figura 3.12.b. En consecuencia la sumatoria de la expresión (Ec. 3.23) se extiende sólo a esas cinco barras.

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -15-

CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________

7) Calcular el giro de la barra CG de la Figura 3.13 (este cálculo es de interés en caso de llevar montada una antena de telecomunicaciones).

Nj

Nj

Figura 3.13 Se utiliza un sistema auxiliar consistente en dos fuerzas unitarias perpendiculares a la dirección de la barra considerada, que permiten calcular la componente del desplazamiento relativo entre los extremos de la barra en la dirección normal a la misma.

δ CG ( normal )

⎛ ⎞ ⎜ N ⎟ ⎟ = ∑ N j .⎜ ⎜ ⎛ A.E ⎞ ⎟ j =1 ⎜⎜ l ⎟⎟ ⎠ ⎠j ⎝⎝ n

(Ec. 3.24)

Luego el giro, en radianes, se obtiene dividiendo por la longitud de la barra CG (aproximadamente aceptable cuando el ángulo es pequeño, entonces es prácticamente igual a su tangente)

φCG =

δ CG ( normal ) lCG

(Ec. 3.25)

Si este valor resulta positivo, se asocia el sentido de las fuerzas unitarias en la Figura 3.13.b, y se concluye que el giro es antihorario.

Desplazamientos por defectos de montaje en reticulados isostáticos Si en un reticulado isostático las barras no tienen exactamente la longitud teórica, el reticulado se puede montar de todos modos sin introducir tensiones en las barras, pero la estructura presenta deformaciones iniciales y la forma real del reticulado no coincide con la teórica. _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -16-

CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________

ej

Nj

Figura 3.14 Para “ver” la forma real se procede a dibujar la estructura de la siguiente manera: El punto “B” se encuentra sobre la horizontal de A considerando el largo real de la barra 1. El punto E’ se obtiene haciendo centro con el compás en B’ con la longitud real de 4, y trazando un arco, haciendo centro en A, y con una abertura de compás igual al largo de la barra 3, intersectamos al arco anterior en E’ (posición real del punto E). Luego se determina por el mismo procedimiento el punto F’, luego H’,etc. En realidad para trazar el diagrama deformado y a escala hay métodos gráficos como el de Willot. El procedimiento del compás es sólo para visualizar que la estructura puede montarse sin problemas aunque las barras tengan defectos de longitud (siempre que la estructura sea isostática). Como ejercicio se sugiere determinar a mano alzada la posición deformada para el caso en que todas las barras de la Figura 3.14 tienen la longitud teórica excepto la barra 11 que resulta corta.

8) Calcular el corrimiento horizontal del punto “C” respecto a la configuración teórica en el reticulado de la Figura 3.14.a . I) Se calculan los esfuerzos N j en el sistema auxiliar que tiene la forma teórica debidos a una carga unitaria horizontal en C. II) Se aplica sobre el sistema auxiliar (en equilibrio) una deformada virtual que es la correspondiente a la estructura real (Figura 3.14.b).

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -17-

CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________

Las elongaciones del sistema real son los errores en la longitud de las barras e j . Una barra larga presenta una elongación del mismo signo que el alargamiento por tracción que es positivo. Luego:

Barra larga ⇒ e j es positivo ⎫⎪ ⎬ Barra corta ⇒ e j es negativo ⎪⎭

(Ec. 3.26)

⎛ ⎞ ⎜ N ⎟ ⎟ e j reemplaza a los alargamientos ⎜ ⎜ ⎛ A.E ⎞ ⎟ ⎜⎜ l ⎟⎟ ⎠ ⎠j ⎝⎝ Se aplica la ecuación de T.V.: n

δ C H = ∑ N j .e j

(Ec. 3.27)

j =1

Desplazamientos por variaciones térmicas en reticulados isostáticos Si alguna o todas las barras de un reticulado isostático experimentan una variación de temperatura ( ∆t ) j respecto a la temperatura de montaje, el mismo se dilata cambiando su forma, pero sin introducir tensiones en las barras. Para calcular el desplazamiento de un nudo del reticulado se procede igual que en el caso anterior, teniendo presente que una dilatación térmica causado por un ∆t > 0 es equivalente a la elongación de una barra traccionada, que es positiva:

e∆t = α .∆t.l

(Ec. 3.28)

Donde α es el coeficiente de dilatación térmica.

∆t positivo ⇒ elongación e∆t positiva La componente horizontal del desplazamiento del nudo “C” resulta: n

δ C H = ∑ N j . ( e∆t ) j

(Ec. 3.29)

j =1

Finalmente, en el caso general de considerar simultáneamente cargas, cambios térmicos y defectos de montaje, se superponen los efectos y considerando las expresiones (Ec. 3.21), (Ec. 3.27) y (Ec. 3.29), se tiene:

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -18-

CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________

δC H

⎛ ⎞ ⎜ N ⎟ = ∑ N j .⎜ + e + α .∆t.l ⎟ ⎜ ⎛ A.E ⎞ ⎟ j =1 ⎜⎜ l ⎟ ⎟ ⎠ ⎝⎝ ⎠j n

(Ec. 3.30)

Recuérdese que N j corresponde al sistema auxiliar de la carga unitaria mientras que el paréntesis contiene las elongaciones virtuales que son las de la estructura real.

Desplazamientos por variaciones térmicas en sistemas isostáticos de alma llena Se supone que el cambio de temperatura es pequeño, de modo que no cambian las propiedades del material, y que la variación de temperatura en altura de la viga es lineal. La dilatación térmica que sufren las fibras superiores e inferiores de un tramo de viga de longitud dx es según la ecuación (Ec. 3.28):

∆ts dx

∆ti

α .∆ts .dx

h

h 2

dθ

DD '' = α .∆ts .dx CC '' = α .∆ti .dx

α .∆ti .dx Figura 3.15 La sección plana CD se ha desplazado una distancia dl hasta la posición D’C’ y luego ha rotado un ángulo dθ para llegar a la posición final C’’D’’.

dl = α .

∆ts + ∆ti .dx = α .∆tm .dx 2

La deformación específica por cambio de temperatura resulta:

ε t = α .∆tm

(Ec. 3.31)

El ángulo girado se puede aproximar por la tangente:

dθ =

D ''' D '' DD ''− CC '' α .∆ts .dx − α .∆ti .dx α = = = . ( ∆ts − ∆ti ) .dx h h h h

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -19-

CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________

De modo que la curvatura térmica κ t es:

κt =

α h

κt =

dθ dx

. ( ∆ts − ∆ti )

(Ec. 3.32)

Para considerar el efecto térmico sobre los desplazamientos basta tener en cuenta en la estructura real las deformaciones térmicas, dadas por (Ec. 3.31) y (Ec. 3.32). El resto del cálculo es el mismo de los casos anteriores.

9) Calcular el desplazamiento horizontal del punto C de la estructura de la Figura 3.16 que sufre un aumento de temperatura ∆t > 0 en la parte inferior del tramo AB.

l 2

κt

(+)

εt

(−) Figura 3.16

l

l

⎛ x⎞ δ = ∫ ⎜ ⎟ .κ t .dx + ∫ ( −1) .ε t .dx 2⎠ 0⎝ 0 ⎛ α .l ⎞ ⎛ ∆t ⎞ ⎛ ∆t ⎞ ⎟ . ⎜ ⎟ .l − α . ⎜ ⎟ .l 24 23 ⎝14 ⎠244 ⎝ h3 ⎠ 14 ⎝24 ⎠

δ =⎜

{1}

(Ec. 3.33)

{2}

El desplazamiento se compone de dos términos: el primero se debe a la rotación del punto “A” causado por la curvatura en el tramo AB, y el segundo, a la dilatación del tramo AB (ver Figura 3.17)

{1} θA

C'

{2} Figura 3.17 _____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -20-

CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________

3.5- Teorema de reciprocidad para sólidos linealmente elásticos Como corolario del principio de Trabajos Virtuales aplicado a sólidos linealmente elásticos se puede demostrar el Teorema de Reciprocidad que es muy útil desde el punto de vista conceptual y práctico. Se demostrará este teorema para el caso de una viga simple. Supongase un estado (I) provocado por las cargas P1I , P2 I ,....., Pn I para el cual se ha determinado el estado de solicitaciones, y otro estado (II) provocado por las cargas P1II , P2 II ,....., Pm II .

(I )

P1I

P2 I

Pi I

Pn I

i

( II )

i

j

δj

Pj II Pm II

P1II

δ i II

I

M

j

M II

I

Se aplica la ecuación de T.V. para el estado (I) tomando como desplazamiento virtual el provocado por las fuerzas del estado (II). ⎡ ⎤ − ⎢ ∫ M I .κ II .dx + ∫ Q I .γ II .dx ⎥ = 0 i =1 ⎣ ⎦ 1 424 3 14444244443 n

∑ P .δ I

i

II

i

Trabajo de Fuerzas Externas

(Ec. 3.34)

Trabajo de Fuerzas Internas

Nótese que los desplazamientos δ i II son causados por las cargas Pj II pero se refieren al lugar donde se aplican las cargas Pi I . Recíprocamente se puede plantear: m

∑P j =1

j

II

⎡ ⎤ .δ j I − ⎢ ∫ M II .κ I .dx + ∫ Q II .γ I .dx ⎥ = 0 ⎣ ⎦

(Ec. 3.35)

Suponiendo proporcionalidad entre tensión y deformaciones: ⎛ 1 ⎞

I κI =⎜ ⎟ .M ⎝ E.I ⎠

⎛ 1 ⎞ I ⎟ .Q A G . ⎝ c ⎠

γI =⎜

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -21-

CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________

⎛ 1 ⎞

II κ II = ⎜ ⎟ .M ⎝ E.I ⎠

⎛ 1 ⎞ II ⎟ .Q ⎝ Ac .G ⎠

γ II = ⎜

Reemplazando estas expresiones en (Ec. 3.34) y (Ec. 3.35), y restando miembro a miembro se tiene: n

∑ P .δ i =1

I

i

II i

m

− ∑ Pj II .δ j I = 0 j =1

Por lo tanto: n

m

i =1

j =1

∑ Pi I .δ i II = ∑ Pj II .δ j I

(Ec. 3.36)

El teorema de reciprocidad se sintetiza en la expresión (Ec. 3.36) que expresa que el trabajo de las fuerzas del estado (I) a través de los desplazamientos de sus puntos de aplicación en el estado (II), es igual al trabajo de las fuerzas del estado (II) a través de los desplazamientos en el estado (I). Este resultado puede generalizarse. Designando N K a una solicitación ( M , M t , Q, N , etc ) y

ξ K a su deformación específica asociada (κ , θ , γ , ε , etc ) las expresiones (Ec. 3.34) y (Ec. 3.35) quedan: n

∑ P .δ i =1 n

∑P j =1

− ∑ ∫ N K I .ξ K II .dx = 0

(Ec. 3.37)

.δ j I − ∑ ∫ N K II .ξ K I .dx = 0

(Ec. 3.38)

I

i

j

II

II i

K

K

Las condiciones de linealidad expresan: ξ K I = α K .N K I

; ξ K II = α K .N K II

Por lo tanto: n

∑ P .δ i =1

I

i

II i

m

= ∑ Pj II .δ j I j =1

Es importante destacar que el teorema de reciprocidad vale sólo para sólidos lineales mientras que el principio de Trabajos Virtuales vale aun en el caso No Lineal. En el caso No Lineal (Ec. 3.37) mantiene vigencia pero ξ K II puede ser bastante complicado. Entre las aplicaciones del teorema de reciprocidad para sólidos linealmente elásticos se destacan dos:

1) Probar la simetría de la Matriz de Flexibilidad en el método de las fuerzas y de la matriz de Rigidez en el método de los desplazamientos.

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -22-

CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________

2) Trazado de líneas de influencia de reacciones y solicitaciones en sistemas hiperestáticos y de deformaciones en sistemas isostáticos e hiperestáticos. Por reciprocidad se puede afirmar que el giro en el extremo de una viga simple (en radianes) causado por una carga de 1Kg actuando en el centro es numéricamente igual al descenso del centro de la viga (en metros) causada por un momento de 1 Kg.m actuando en el extremo.

(I ) θA

( II ) δC s ) 1.θ A = 1.δ C

θ A = δC

(Ec. 3.39)

Como ejercicio el lector puede calcular por separado θ A y δ C , y comparar.

Ejercicio N°1: Determinar el corrimiento de los nudos B, C y D y trazar la deformada para un aumento uniforme de temperatura. ∆t = +200º C

;

α = 11×10−6.

1 ºC

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -23-

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εt (+)

εt

(+)

ε t = α .∆t

(+)

(+)

(+)

ε t = 11×10−6.

1 × 200 ºC

δDH

δ DV

ε t = 2, 2 × 10−3

(−)

(+)

(+)

θB

δB

B

200

A

0

δ DV = ∫ ε t .N .dx = ∫

H

δ BV

2, 2 × 10−3 × 0, 667.dx = 2, 2 × 10−3 × 0, 667 × 200 = 0, 293cm ⇓

δ D H = 2, 2 ×10−3 ×1,33 × 200 + 2, 2 × 10−3 × 1× 250 = 1,135cm ⇒ θ B = 2, 2 ×10−3 × 0, 0067 × 200 = 0, 003[rad ] (horario) δ BV = 2, 2 ×10−3 × 1× 200 = 0, 44cm ⇑ δ BV = 2, 2 × 10−3 × (−1,33) × 200 = −0,585cm ⇒

θB

θB

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -24-

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Nota: el efecto térmico no produce esfuerzos en este sistema isostático. Se dilatan libremente los tramos vertical y horizontal produciéndose un giro del conjunto de valor θ B y hay también un desplazamiento del apoyo “C” hacia la derecha. Se deja al lector verificar que el giro de cualquier sección es θ B .

Ejercicio N° 2: Determinar el máximo descenso del punto B que puede producir una carga P aplicada en C sin producir fluencia.

Tubo: diámetro exterior: 15cm ; σ f = 3000

Kg cm 2

Espesor: 0,50cm Tensor: Diámetro: 2 cm ; σ f = 4000

Kg cm 2

( +)

(−) Tensor: At =

π .D 2 4

= 3,14cm 2

_____________________________________________________________________________________________ PRATO, MASSA -25-

CAPITULO 3 PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES _____________________________________________________________________________________________

σ=

N 2,83.P =