Libro de Aritmetica I Jose Maury Leidy Jerez

ARIMETICA I

JOSE DE JESUS MAURY OTERO LEIDY JASBLEIDY JEREZ MOSQUERA

EL   PROCESO  DE CONTAR E INDUCIR

JOSE DE JESUS MAURY OTERO LEIDY JASBLEIDY JEREZ MOSQUERA SEMESTRE I

CARLOS LUQUE ARIAS DOCENTE

UNIVERSIDAD PEDAGOGICA NACIONAL FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGIA PROGRAMA LICENCIATURA EN MATEMATICAS BOGOTÁ – COLOMBIA 2008.

Dedicatoria: A nuestros  padres.

PROLOGO En esta obra se expone de forma amplia los contenidos que pertenecen al área de aritmética durante el primer semestre del año 208, en el programa de matemáticas de la universidad pedagógica nacional, es un compendio del trabajo desempeñado por sus autores durante el desarrollo académico que se ha llevado a cabo, en esta obra se explican en forma temática contenidos como: Los sistemas numéricos y se da trato amplio a las operaciones con los números naturales. Ese texto busca servir de fundamentación en el área de matemáticas para estudiantes de bachillerato y primeros semestres de los programas de ciencias.

TABLA DE CONTENIDO. Prologo Capitulo I

CONSTRUYENDO NÚMEROS Introducción 1 SISTEMASNUMÉRICOS 1.1Numeración E Historia 1.2 Sistemas Numéricos 1.3 Sistemas De Numeración Posiciónales Investigación: El Ábaco  Actividades (sistema numérico propio)

Capitulo II

BASES NUMÉRICAS Introducción 2 EL PRINCIPIO DE LA BASE Y EL NACIMIENTO DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN 2.1 El Número Y Sus Simbolizaciones 2.2 El Descubrimiento Del Principio De La Base 2.3 El Principio De La Base Decimal 2.4 El Origen De Las Otras Bases 2.5 La Mano, Primera “Maquina De Contar” 2.6 Las Cifras Romanas Investigación: Código De Barras Actividades

Capitulo III

SISTEMAS NUMERICOS EN OTRAS CULTURAS Introducción 3 SISTEMAS NUMÉRICOS EN OTRAS CULTURAS Investigación: Sistemas De Numeración En Las Culturas De América Precolombina  Actividades Capitulo IV

NÚMEROS NATURALES Introducción 4 OPERACIONES 4.1 Números Primos 4.2 MAXIMO COMÚN DIVISOR Y MINIMO COMÚN MULTIPLO 4.3 Máximo Común Divisor 4.4 Mínimo Común Múltiplo 4.5 Cuadrados Mágicos  4.6 Cual es el Número Más Grande 4.7 Algunas Veces no se Puede 4.8 Ecuaciones diofanticas Lineales con Dos Incógnitas 4.9 Ecuaciones  de Segundo Grado 4.10 TEOREMA DEL BINOMIO Investigación 1: Criba De Eratostenes Investigación 2: Cuadrados Mágicos Actividades Capitulo V

METODO DE DEMOSTRACIÓN POR INDUCCIÓN MATEMATICA Introducción 5 Metodo De Demostración Por Inducción Matematica Actividades BIBLIOGRAFIA

CAPITULO I CONSTRUYENDO NUMEROS

El sabio comienza por hacer lo que quiere enseñar y después enseña. CONFUCIO

SISTEMAS NUMÉRICOS INTRODUCCIÓN. En este capitulo nos interesaremos por construir un sistema numérico propio basándonos en las necesidades de contar cantidades no mayores a tres en correspondencia con el sistema decimal. Utilizaremos nuestra propia simbología tomando como base dicho sistema.

y representaremos las cantidades numéricas

Luego trataremos las operaciones aritméticas comunes como suma y multiplicación dentro de nuestro propio sistema numérico, haciendo definiciones posiciónales y luego transformando tal base inicialmente tomada por la intuición hasta llegar a la utilización de los números arábigos actuales. Para ello veremos en forma inicial una muestra de lo que durante siglos han sido los sistemas numéricos y como la humanidad a tratado de formarlos, desarrollarlos y entenderlos hasta concurrir en lo que hoy actualmente utilizamos como números. Es de anotar que cada cultura se caracteriza por darle una característica propia desde el punto de vista de sus necesidades. NUMERACIÓN E HISTORIA Sistema de símbolos o signos utilizados para expresar los números. Las primeras formas de notación numérica consistían simplemente en líneas rectas, verticales u horizontales; cada una de ellas representa el numero 1. Por lo que este sistema era extremadamente engorroso para manejar grandes números y para hacer operaciones. Ya en el año 3400 a.C. en Egipto y Mesopotámica se utilizaba un símbolo específico para representar el número 10. En la notación cuneiforme de babilonia el símbolo utilizado para el 1, era el mismo para el 60 y sus potencias.; el valor del símbolo venía dado por su contexto. En la antigua Grecia coexistieron dos sistemas de numeración paralelos. El primero de ellos estaba basado en las iniciales de los números, el número 5 se indicaba con la letra π (PI); el 10 con la letra Δ (delta) el 100 con la letra ŋ(eta); el 1000 con la letra χ (chi) y el 1000 con la letra µ (mu). En el segundo sistema eran usadas todas las letras del alfabeto griego más otras tres tomadas del alfabeto fenicio como guarismos. La ventaja de este sistema era que con poca cantidad de números se podían expresar grandes cifras;

pero había que saberse de memoria un total de 27 símbolos. Numeración Romana Este sistema (tan bien conocido por nosotros) tuvo el mérito de ser capaz de expresar los números del 1 al 1.000.000 con solo siete símbolos: I para el 1, V para el 5, X para el 10, L para el 50, C para el 100, D para el 500 y M para el 1000. Es importante acotar que una pequeña línea sobre el número multiplica su valor por mil. En la actualidad los números romanos se usan para la historia y con fines decorativos. La numeración romana tiene el inconveniente de no ser práctica para realizar cálculos escritos con rapidez. Numeración Arábiga El sistema corriente de notación numérica que es utilizado hoy y en casi todo el mundo es la numeración arábiga. Este sistema fue desarrollado primero por los hindúes y luego por los árabes  que introdujeron la innovación de la notación posicional; en la que los números cambian su valor según su posición. La notación posicional solo es posible si existe un número para el cero. El guarismo 0 permite distinguir entre 11, 101 y 1001 sin tener que agregar símbolos adicionales. Además todos los números se pueden expresar con sólo diez guarismos, del 1 al 9 más el 0. La notación posicional ha facilitado muchísimo todos los tipos de cálculos numéricos por escrito. SISTEMAS NUMÉRICOS En matemáticas, varios sistemas de notación que se han usado o se usan para representar cantidades abstractas denominadas números. Un sistema numérico está definido por la base que utiliza. La base de un sistema numérico es el número de símbolos diferentes o guarismos, necesarios para representar un número cualquiera de los infinitos posibles en el sistema. A lo largo de la historia se han utilizado multitud de sistemas numéricos diferentes.

Valores posiciónales La posición de una cifra indica el valor de dicha cifra en función de los valores exponenciales de la base. En el sistema decimal, la cantidad representada por uno de los diez dígitos -0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9- depende de la posición del número completo. Para convertir un número n dado en base 10 a un número en base b, se divide (en el sistema decimal) n por b, el cociente se divide de nuevo por b, y así sucesivamente hasta obtener un cociente cero.

Sistemas de Numeración Aditivos Para ver cómo es la forma de representación aditiva consideremos el sistema jeroglífico egipcio. Por cada unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena un símbolo en forma de arco y por cada centena, millar, decena y centena de millar y millón un jeroglífico específico. Así para escribir 754 usaban 7 jeroglíficos de centenas 5 de

decenas y 4 trazos. De alguna forma todas las unidades están físicamente presentes. Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas... como sean necesarios hasta completar el número. Una de sus características es por tanto que se pueden poner los símbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido una determinada disposición. Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabéticas de los griegos, armenios, judíos y árabes.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIÓNALES Mucho más efectivos que los sistemas anteriores son los posiciónales. En ellos la posición de una cifra nos dice si son decenas, centenas... o en general la potencia de la base correspondiente. Sólo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo. Babilonios, chinos y mayas en distintas épocas llegaron al mismo principio. La ausencia del cero impidió a los chinos un desarrollo completo hasta la introducción del mismo. Los sistemas babilónico y maya no eran prácticos para operar porque no disponían de símbolos particulares para los dígitos, usando para representarlos una acumulación del signo de la unidad y la decena. El hecho que sus bases fuese 60 y 20 respectivamente no hubiese representado en principio ningún obstáculo. Los mayas por su parte cometían una irregularidad a partir de las unidades de tercer orden, ya que detrás de las veintenas no usaban 20x20=400 sino 20x18=360 para adecuar los números al calendario, una de sus mayores preocupaciones culturales. Fueron los indios antes del siglo VII los que idearon el sistema tal y como hoy lo conocemos, sin más que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve dígitos y el cero. Aunque con frecuencia nos referimos a nuestro sistema de numeración cómo árabe, las pruebas arqueológicas y documentales demuestran el uso del cero tanto en posiciones intermedias como finales en la India. Los árabes transmitieron esta forma de representar los números y sobre todo el cálculo asociado a ellas, aunque tardaron siglos en ser usadas y aceptadas. Una vez más se produjo una gran resistencia a algo por el mero hecho de ser nuevo o ajeno, aunque sus ventajas eran evidentes. Sin esta forma eficaz de numerar y efectuar cálculos difícilmente la ciencia hubiese podido avanzar.

Investigación. EL ÁBACO El   ábaco   es   un   bastidor     rectangular     cuya   superficie   esta   dividida     en   dos   zonas  desiguales     por  una  barra  horizontal    que  une   a  los   dos   lados   mas  cortos;  la  zona  superior  es mas pequeña que la inferior.  El ábaco tiene 13 columnas  para identificarlas les asignaremos una letra del alfabeto, 

empezando de derecha a izquierda. La columna de la extrema derecha  será la columna  A la que sigue  la columna B  la siguiente la C  y así sucesivamente  hasta llegar a la  columna  de la extrema izquierda  que será  la columna M  en cada columna hay  cinco  esferitas  llamadas contadores  que  se distribuyen  así: uno en la parte superior  de la  barra  y cuatro en la parte inferior de está.  En la barra  y en uno de los lados  más largos  del rectángulo  hay dos tipos de marcas  metálicas  que sirven como indicadores. El primer tipo  consiste en unos puntitos  colocados en las partes inferior  y media de  cada columna, y sirven para darnos la ubicación   de las mismas; el segundo tipo está  constituido  por unas rayitas  verticales colocadas entre la  tercera y la cuarta columnas,  entre la sexta  y la séptima  entre la novena y la décima , entre la duodécima y la décimo  tercera  y sirven para identificar  los periodos decimales que se forman con tres cifras  cada uno  las rayitas metálicas también sirven  para representar el punto decimal  en las  operaciones. El valor de los contadores   La posición inicial de los contadores  de la parte  inferior  debe ser aquella  en la que  estén  más lejos de la barra , es decir, hasta abajo,  y la posición inicial  del contador de  la parte superior  debe ser aquella  en la que se encuentre  lo mas  lejos posible de la  barra, esto es, lo más arriba  que se pueda.   Cuando los contadores se acerquen a la barra se les asignara un valor numérico, que  perderán cuando se alejen de ella. Los contadores  de la columna A  tendrán los siguientes valores: Los de la parte inferior valdrán 1  cada uno  y el de la parte superior  valdrá 5. Los contadores  de la columna A  tendrán los siguientes valores: Los de la parte inferior valdrán 10  cada uno  y el de la parte superior  valdrá 50,  Y así sucesivamente.  De este modo, los contadores  de cada columna que se encuentre a la izquierda  de otra  tendrán un valor de  10 veces el valor de los contadores  de la columna  que estén a la  derecha inmediata. Procedimiento para sumar 1. el primer sumando  se pone  respetando el valor  relativo  de cada cifra  que lo  compone; es decir, las unidades de millar, en la columna D; las centenas, en la  columna C; las decenas, en la columna B  y las unidades en la columna A.

2. los   siguientes   sumandos   deben   ponerse   respetando     el   mismo   orden.   Al  representar alguna cantidad  no se debe empezar por las unidades. 3. para representar   un número en el ábaco   debe ponerse   primero la cifra   de  mayor valor relativo. 4. para   acumular   una   cifra     debe   elegirse     la   regla   correspondiente     según   el  número     que   se   desee   acumular,   y   considerar     la   disponibilidad     de   los  contadores  que se queden  a la izquierda  de la columna  en  la que se quiera  efectuar la acumulación. Procedimiento para restar 1. se coloca el minuendo  en las columnas  correspondientes  2.   se quita el sustraendo, retirando   cada cifra   que lo compone   de la columna  correspondiente 3. el sustraendo se quita empezando  por las cantidades de mayor valor relativo  4.  para quitar una cifra  debe elegirse  la regla adecuada  según el número  que se  desee quitar,  considerando la disponibilidad  de los contadores  que queden a la  izquierda  o en una columna  en la que se desea efectuar  la operación. Procedimiento para multiplicar 1. se ponen los números respetando el valor  relativo  de cada cifra. 2.  se coloca el multiplicador  en la columna de la extrema izquierda del ábaco se  empieza por la columna M y  avanza  hacia  la derecha. 3.   Se   multiplican   las   unidades     del   multiplicador     por   los   valores   del  multiplicando;   se empieza por el mayor valor relativo, después se multiplican  las decenas del multiplicador  por los valores del multiplicando, en la forma que  esta indicada. Posteriormente  se multiplican  las centenas del multiplicador  por  los   valores   del   multiplicando     y   así   sucesivamente     hasta   agotar     todos   los  valores del  multiplicador. 4.   Los productos de cada digito multiplicado por otro  deberán colocarse  en las  columnas que están  a la derecha del multiplicador  de la siguiente manera:  en la  primera   y   en la segunda   el primer producto;   en la segunda y la tercera   el  segundo producto; en la tercera y en la cuarta  el tercer producto, etc. Es de anotar que el producto indica   la columna en la que debe colocarse   las  posibles decenas  de dicho producto, cuyas posibles  unidades  deberán colocarse  en la columna de la derecha inmediata. 5. Una   vez  multiplicadas   todas   las   unidades     del   multiplicador,   este   deberá   ser  removido   de su lugar. Para multiplicar   las decenas del   multiplicador   deben  tenerse las mismas consideraciones  que en el caso de las multiplicaciones  del  primer digito, es decir,  al terminar de multiplicar  las decenas del multiplicador  este deberá ser removido  nuevamente de su lugar. Tal   procedimiento     deberá   repetirse     hasta   agotar     todos   los   dígitos   del  multiplicador. Si se aplica  este procedimiento se obtendrá el producto en forma inmediata  y  sin realizar esfuerzos mentales.

La división  Es un proceso compuesto de la disminución  de  objetos de la misma especie. El dividendo se pone en la extrema izquierda   del ábaco   dejando dos columnas en  ceros;   el   divisor,   en   las   columnas     de   la   extrema   derecha;   el   coeficiente   e   en   las  columnas que quedaron  en ceros a la izquierda  del dividendo  y por último el residuo  queda en la columna  a la derecha  de las que ocupe  el dividendo.

Actividades

• Invente sus propios símbolos, elija sus propias reglas y construya un sistema de números para contar, luego proponga soluciones para el problema de escribir números grandes.

SISTEMA NUMÉRICO En este sistema numérico encontraremos unas imágenes de diferente índole para girarnos y tener la noción de lo que estamos haciendo por favor tener muy encuentra la notación.

 1   

7 14 0 REGLAS 1) El orden de los símbolos no importa, pero se sugiere de mayor a menor. 2) El solo se permite poner una vez. 3) Utilizando la menor cantidad de cifras.

 

15 210 42 500 21

420

• El ordenador no importa, pero es mejor de mayor o menor • El solo se permite poner una vez • Utilizando la menor cantidad de cifras

 

15 210 42 100

 

 

1000  

 1   10 

 

 500

 

21 

   

 

 420

 10

 

100

 

SUMA

                

 

    

 

RESTA

           

   

   

                                                                                  

 

             

En la suma la idea es colocar todos los números en un reglón y organiza de tal manera de colocar menos cantidad de símbolos. 2. La resta la idea es eliminar los números que se resta al otro, al caso de no poder eliminar al tiempo, entonces descomponerlo en mas números de otra manera

 = 

DIVIDIR

   

 

Resultado

DIVIDIR Al dividir la idea es colocar los números en igual de condiciones y que el dividendo sea mas grande que el dividir y en casos de tener en función el numero para que quede como el otro ejemplo:  

simplificar el

 =   = 

 =  

MULTIPLICACIÓN

= 

+

+

+

+

+

 = 

128 = +

+

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+  = 728 

=  = 

 = 

Multiplicación el ordenador de los multiplicandos no importa y se repiten como suma La cantidad de veces que se determina.

•

Encuentre otras regularidades comunes a todas las sumas. No interesa si el sumando superior es mayor que el sumando inferior siempre: a +b =b +a Es asociativa a + (b +c) = (b +a) +c Si no adicionamos ningún elemento (0) queda el mismo

• ¿Encuentra algunas regularidades que se cumplan para todas las sustracciones? Enumérelas, compárelas con las observadas para la adición. El sustraendo debe ser mayor del minueto para que exista la operación en los números naturales Si a un elemento le sustraemos uno del mismo valor el residuo es 0 (tiene elemento inverso) Observaciones: No es conmutativa (a –b es diferente a b-a) No es asociativa (a – (b – c) es diferente a (b –a) –c • haga una analogía con la operación de multiplicación para definir una nueva operación (en el sistema numérico construido en clase) basada en la repetición de la potenciación, se sugiere definir por ejemplo: n

X= ((((X)x)x)….)x

Donde n es el número de veces que se repite X.

Utilice los símbolos del sistema numérico desarrollado en clase para desarrollar este ejercicio. Escriba las propiedades que cumple esta nueva operación y justifíquelas. Tomando n=II y X=O tenemos: II

X= (((O)O)O)= (O)O*(O)O*(O)O*(O)O*(O)O= O*O*O*O*O* O*O*O*O*O* O*O*O*O*O O*O*O*O*O*O*O*O*O*O=(O)XO=(O)O*O En general se tiene que nX=Xn*X

• Seguramente usted ya notó que existen otros procesos para realizar este mismo cálculo y está sacando sus propias conclusiones. Verifique si las observaciones que se cumplen para multiplicar los símbolos básicos también se tienen cuando un número tiene varios símbolos. xooii ooi ----------xooii xxxxxxoxooo xxxxxxoxooo ---------------------------xxxxxxxxxxxxxxxxxooii Si se cumple cuando utilizamos varios símbolos • Plantee un procedimiento para resolver el problema: “Repartir la cantidad X en grupos de O elementos” Para resolver el segundo problema, un camino es:  Descomponemos el dividendo en símbolo “O”  Repartir en cada recipiente 5 (O)  De esta manera la respuesta es 4 grupo (IIII) X = OOOO

OOOO/O =IIII (grupos)

•Proponga su propio procedimiento para dividir. Observar la cantidad de veces que esta el divisor en el dividendo según la cantidad de

cifras que tenga el divisor Las veces que se encuentre (paso anterior) le restamos esta cifra al dividendo. Con el residuo se repite el procedimiento anterior las veces que sea necesario Xm Xn = Xmn n • Xm = Xm•n Xm • Xn = XXm•n •

Justifique las fórmulas anteriores.

1. Ejemplos: XXX = XIII XXXXX = XO XIII. XO = XIIIO 2. Ejemplo O • XII = XII • O = XX • O = XOXO 3. Ejemplo XIII • XII = XXOI • Estudie la propuesta de notación multiplicativa y proponga un conjunto de reglas para formar un sistema de representación de números, con sus operaciones básicas. ¿Cómo se comportan las potencias23 de Xn? (Xn)II = XXnII (Xn)III = XXnIII (Xn)n = XXn (Xn)III=XXXnIII Xn • XXm = XXn•XnII =XXXn.nII • Represente el número de días de un año en el calendario juliano en este sistema. Este es el número del año juliano XOOOIIIO • Escriba el número anterior a OX OOOIIII O • Defina procedimientos para las operaciones elementales con la notación exponencial reintente con la notación multiplicativa; es posible que esta discusión e haya sugerido alguna idea.

EXPONENCIAL OII + OII ------

OIIOII OIII - OII -------

OI On • Om = On+m On --- = On-m (n>= m) Om MULTIPLICATIVA OII +OIII=OO IO - IIII= III On • Om =On+m On / Om =On-m

(n>= m)

CAPITULO II BASES  NUMÉRICAS

Lo último que uno sabe, es por donde empezar. BLAISE PASCAL

BASES NUMÉRICAS INTRODUCCIÓN. En   este  capítulo    nos   interesaremos   por  estudiar    los  números  naturales  desde    el   comportamiento     de   regularidades   y   sus   operaciones   en   bases   distintas   de   diez   trabajaremos   con cantidades expresadas en bases diferentes de la base decimal   y   observaremos su correspondencia con el sistema decimal. Luego  trataremos las operaciones  aritméticas  comunes  como suma y multiplicación  dentro de las diferentes bases, haciendo uso  de las operaciones aritméticas conocidas   ya para la base decimal, además  transformaremos  números de una base a otra sin la   necesidad de pasar  por la base decimal. Para ello veremos en forma inicial  como surgieron estas bases desde  las necesidades   del hombre en sus respectivos entornos hasta conocer por último el   nacimiento de   nuestro sistema decimal.

EL PRINCIPIO DE LA BASE Y EL NACIMIENTO DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÒN EL NÚMERO Y SUS SIMBOLIZACIONES Una vez que el ser humano hubo accedido a la abstracción de los números y aprendió a  distinguir sutilmente entre el aspecto cardinal y el aspecto ordinal de esa noción, se vio  llevado   a   revisar   sus   concepciones   respecto   a   sus   antiguos   instrumentos   numéricos  (guijarros, conchas palillos, collares de perlas, estos relativos a las partes del cuerpo,  etc.).y así fue como de simples intermediarios materiales se convirtieron en verdaderos  símbolos numéricos, mucho más cómodos desde esta perspectiva para asimilar, retener, 

distinguir y combinar los números. La creación de los nombres de número supuso otro progreso, ya que, en lo sucesivo,  podría realizarse para designación oral mucho más precisa de las cantidades y permitiría  acceder definitivamente al universo de los números abstractos. Lo que hasta entonces había sido expresado en lenguaje articulado eran simplemente  conjuntos­modelo   que   en   apariencia   no   tenían   relación   alguna   unos   con   otros:   los  números eran descritos por medio de términos intuitivos, a menudo en relación directa  con la naturaleza y el entorno (el sol, la luna o el miembro viril). En consecuencia, las  cosas   se   estructuraron   un   poco   gracias   a   las   técnicas   corporales.   Se   comenzó  probablemente por descripciones del tipo: dispuesto para comenzar, para el 1; levantado  con el dedo procedente, para el 2; el dedo que divide en partes iguales; para el 3; todos  los dedos levantados salvo uno, para el 4; la mano, para el 5; etc. Luego, gracias a una  transposición   anatómica   al   vocabulario,   se   pasa   a   expresiones   del   siguiente   estilo:  meñique, para 1; anular, para 2; corazón, para 3; índice, para 4; para 5; etc. Pero la  necesidad de distinguir entre el símbolo del numero en sí mismo y el nombre del objeto  o de la imagen de que se sirve, llevo al hombre a realizar, a lo largo del tiempo, esa  notable distinción, hasta que finalmente el verdadero vínculo entre ambos desapareció  por   completo   de   la   memoria.   A   medida   qu8e   aprendió   a   servirse   de   su   lenguaje  articulado, los sonidos fueron sustituyendo, poco a poco, a los objetos a partir de los  cuales habían sido creados. Al instalarse la idea de la sucesión natural paulatinamente  en el espíritu humano, el conjunto heterogéneo de los modelos concretos iníciales tomo  desde entonces de la forma de un verdadero sistema de nombres de número. Y como  la memoria y el hábito han dado una forma concreta a esas abstracciones, fue así como  simples palabras se convirtieron en medidas de pluralidad. Pero la simbolización concreta y la expresión oral de los números no fueron las únicas  posibilidades explotadas por el hombre en el transcurso del tiempo. Hubo también, aunque mucho más tarde, simbolización escrita: la recurre a las cifras,  es   decir;   a   los   signos   gráficos   de  todo  tipo   (trazos   grabados,   dibujados   o  pintados,  huecograbado   sobre   arcilla   o   piedra,   signos   figurativos,   letras   del   alfabeto,   signos  convencionales, etc.). Esas   creaciones   fueron   evidentemente,   muy   importantes,   pues   permitieron   sustituir  cualquier   cosa  operación  con   las   cosas   por   la   correspondiente   operación   con   los  símbolos numéricos, lo que prueba que los números no proceden  de las cosas, sino de  las leyes del pensamiento humano al trabajar con las cosas. Pues, aunque la realidad sugiere el número, apenas lo constituye.

EL DESCUBRIMIENTO DEL PRINCIPIO DE LA BASE Para   simbolizar   los   números   el   hombre   dispuso   de   dos   principios:   el   primero,   que  podemos calificar de cardinal, consiste en adoptar de entrada un símbolo­patrón como  representante de la unidad y repetirlo tantas veces como unidades tenga el número; el  segundo,  que   podemos   calificar   de  ordinal,   consiste   en   atribuir     a   cada   numero   un  símbolo original y considerar entonces una sucesión de símbolos que no tiene relación  alguna unos con otros.

Conforma   al   primer   principio,   los   cuatro   primeros   números,   por   ejemplo,   son  representados por una simple repetición del nombre del número 1 tantas veces como sea  preciso,   por   el   alineamiento,   yuxtaposición   o   superposición   de   guijarros,   dedos  muescas, trazos o círculos que simbolizan la unidad. Atendiendo   al   segundo   principio,   por   el   contrario,     los   mismos   números   son  representados por palabras, objetos, gestos o signos, cada uno de ellos distinto a los  demás. Partiendo de una u otra regla fundamental, desde entonces el hombre pudo aprender a  concebir conjuntos cada vez más extensos.  Pero en Ambos casos tropezó pronto con grandes dificultades. Para representar números  cada vez mayores no se podía, evidentemente, multiplicar de forma indefinida de los  guijarros, palillos, muescas o nudos de cuerda; tampoco el numero de dedos de la mano  ni el de las partes del cuerpo eran extensibles a voluntad. Dicha solución fue privilegiar a un grupo particular (como la decena, la docena, la  veintena o la sesentona, por ejemplo) y organizar la serie regular de los números según  una   clasificación   jerarquizada   fundada   sobre   esta   base.   Dicho   de   otra   manera,   se  convino una  escala  a partir de la cual es posible repartir los números y los diversos  símbolos según grados sucesivos, a los que se pueden dar los nombres respectivos de:  unidades de primer orden, unidades de segundo orden, unidades de tercer orden, etc. De  esta manera se llego a una simbolización estructurada de los números, lo que permitía  evitar esfuerzos considerables de memoria o de representación. Es lo que llamamos el  principio   de   la   base.   Su   descubrimiento   marco   el   nacimiento   de   los   sistemas   de  numeración: sistemas cuya base no es otra que el número de unidades que es necesario  agrupar dentro de un orden dado para formar una unidad del orden inmediatamente  superior. Según si ese principio ha sido aplicado a intermediarios materiales, a palabras de una  lengua o signos gráficos, ha dado lugar a numeraciones concretas, orales o escritas.

EL PRINCIPIO DE LA BASE DECIMAL Todavía no hace mucho tiempo que ciertas regiones de África occidental los pastores  mantenían   una   costumbre   muy   practica   para   contar   un   rebaño.   Hacían   desfilar   los  animales   uno   tras   otro.   Al   paso   del   primero   enhebraban   una   concha   en   una   correa  blanca, otra concha por el segundo, etc. Al paso del décimo animal deshacían el collar y  enhebraban una concha en una correa azul, asociada a las decenas. Luego volvían a  enhebrar conchas en la correa blanca hasta que pasaba el vigésimo animal, y entonces  enhebraban una segunda concha en la correa azul. Cuando   esta   ,   a   su   vez,   contenía   diez   conchas,   al   haber   contado   cien   animales,   se  deshacía   la   correa   de   las   decenas     y   enhebraban   una   concha   en   una   correa   roja,  reservada parta las centenas. Y  así continuaban hasta acabar la cuenta de los animales.  Al enumerar doscientos cincuenta  y ocho animales, por ejemplo se tenían ocho conchas 

enhebradas en la correa blanca, cinco en la azul y dos en la roja. No vayamos a creer, no  obstante,   que   esa   gente   razonaba   como   primitivos:   au7n   contamos   según   el   mismo  principio   de   ellos,   pero   con   símbolos   diferentes.   La   idea   fundamental   de   ese  procedimientos reside en el predominio del agrupamiento (y del ritmo de los símbolos  de  la   serie  regular)  por decenas  (o paquetes  de diez),  centenas  (o paquetes  de diez  decenas),   millares   (o   paquetes   de   diez   centenas)   etc.   En   esa   técnica   concreta,   cada  concha de la correa blanca equivale a una unidad simple, cada concha de la correa azul  vale por diez, mientras una concha de la correa roja indica un agrupamiento de cien  unidades.   Es   lo   que   se   llama   el   principio   de   base   10.   Tenemos   ahí   un   ejemplo   de  numeración decimal concreta. Naturalmente, en lugar de usar conchas y7 correas, ese principio podría ser aplicado  tanto a palabras como a signos gráficos: obtendríamos entonces numeraciones orales o  escritas de base 10. Nuestra   numeración   escrita   actual   proviene   de   la   misma   idea,   pero   se   sirve   de   los  simboliza gráficos siguientes (a los que se le da a menudo el nombre de cifras árabes):   1  2   3   4  5  6  7  8  9  0 Los nueve primeros símbolos representan las unidades simples (o unidades de primer  orden decimal). Se hallan sometidas al principio de posición, puesto que su valor varía  en función del lugar que ocupa en la escritura del número (un 3, por ejemplo, vale 3  unidades, 3 decenas o 3 centenas según ocupe la primera, segunda o tercera posición en  la cifra representada). En Al décimo símbolo, representa lo que llamamos el cero: sirve  para señalar la ausencia de cifras de un cierto orden; tiene también el sentido de número  nulo, resultado, por ejemplo, de restar un número así mismo. La base 10, que es el primer número representado por medio de dos cifras, se escribe 10 (Notación que no es sino una forma abreviada de la expresión una decena, 0 unidades). Después se representan los números desde el 11 hasta el 99, combinando sucesivamente  dos de esas cifras (según la regla de posición): 11 (1 decena, 1 unidad) 12 (1 decena,  2 unidades) 20 (2 decenas ,0 unidades) 21(2 decenas, 1 unidad) 30(3 decenas, 0 unidades) 40(4decenas, 0 unidades) La centena, que   es igual al cuadrado de la base, se escribe 100(lo que significa 1  centena, 0 decenas, 0 unidades); es el número menor representado mediante 3 cifras. Los números desde 101 hasta 999 se anotan combinando  sucesivamente  tres de las 10  cifras fundamentales: 101 (1 centena, 0 decenas, 1unidad) 358 (3 centenas, 5 decenas, 8 unidades), etc.

EL ORIGEN DE LAS OTRAS BASES La razón por la que algunas culturas adoptaron la base 20 reside en la numeración  azteca, pues en dicha lengua: -

los cinco primeros nombres de número pueden ser asociados a los cinco dedos  de una mano. Los cinco siguientes a los cinco dedos de la otra. Los cincos siguientes a los cinco dedos de un pie. Los cinco últimos, a los cinco dedos del otro pie.

De manera que con el último dedo del segundo pie se alcanza la veintena. Esta  comparación no es  fortuita, evidentemente; por ello, diversos  pueblos, al darse  cuenta   de   que   inclinándose   un   poco   podían   contar   también   los   dedos   de   los   pies  adoptaron la base 20. Un  hecho notable es que los esquimales  de Groenlandia (así como los tamaños del  Orinoco) empleaban para el número 53 una expresión que significaba literalmente: del  tercer hombre, tres del primer pie. Según   C.Zaslavsky,   los   banda   de   África   central   expresaban   todavía   el   numero   20  diciendo algo así como ‘colgar un hombre’, queriendo expresar con ello que al colgar un  individuo salta inmediatamente a la vista del observador la cuenta de los dedos de sus  manos y pies. En ciertos dialectos mayas la expresión hun única, que quiere decir 20,  significa también ‘un hombre’. Los malinké del Alto Senegal expresan los números 20 y  40 con palabras que significan, respectivamente, ‘un hombre completo’ y ‘una cama’,  encantadora alusión a la voluptuosa reunión de los dedos de pies y manos de una pareja  acostada en una cama. No hay duda, ante tales circunstancias: el empleo del sistema vigesimal tiene su origen  en el hábito de contar con los dedos de las manos y de los pies conjuntamente. El origen  de   la   base   5es   también   antropomorfo:   esa   manera   de   contar   ha   sido   común,   en   la  mayoría de los casos, entre los pueblos que han aprendido a contar con una sola mano. La siguiente técnica digital (de la que se encuentran huellas en diversas regiones de  África y Oceanía, y que comerciantes hindúes de Bombay usan aun con diversos fines)  nos da una idea muy clara de la manera en que esa cuenta manual primitiva, superada  ulteriormente por un esfuerzo intelectual, ha dado origen a una elaboración superior.  Primero se cuentan las cinco primeras unidades extendiendo sucesivamente los dedos de  la mano izquierda. Una vez alcanzado ese número se despliega el pulgar derecho y luego  se continúa contando hasta 10 extendiendo de nuevo los dedos de la mano izquierda, tras  lo   cual  se despliega  el  índice  derecho  para  registrar  las  unidades  suplementarias  ya  consideradas. Se puede contar de esa manera hasta 25. Y si no basta, se puede prolongar  la operación hasta 30, acudiendo una vez más a los dedos libres de la mano izquierda.

LA  MANO, PRIMERA ‘MAQUINA DE CONTAR’ Maravilla de movilidad y eficacia, la mano es ciertamente el más antiguo y extendido de  los auxiliares de cuenta y calculo que los pueblos han usado en el transcurso de los  tiempos. Desde Aristòfanes hasta Plutarco, los autores griegos lo mencionan. Y   esta frase de  Cicerón  testimonia que la practica era, asimismo, muy corriente en Roma: tuos dígitos  novi (‘conozco tu habilidad para contar con los dedos’). El filosofo Séneca escribía en una de sus epístolas  (LXXXVII): ‘La avaricia me enseño  a contar y poner mis dedos a disposición de mi pasión’. Poco   después,   Tertuliano   declamaba   en   su   discurso   apologético:   ‘pero,   durante   ese  tiempo, hay que permanecer sentado rodeado de un montón de papeles, y gesticulando  con los dedos para expresar los números’. 

LAS CIFRAS ROMANAS Al igual que los signos de numeraciones procedentes, las cifras romanas no permitieron  a sus usuarios hacer cálculos. Para   convencernos,   intentemos   simplemente   efectuar   una   suma   por   medio   de   estas  cifras; no será muy difícil conseguirlo, por no decir imposible, sin traducirla a nuestro  sistema actual. Las cifras romanas no son signos que sirven para efectuar operaciones aritméticas, sino  abreviaturas destinadas a anotar y retener los números. Por eso, los contables romanos  (y   después   las   calculadores   europeos  de  la   Edad  Media)   hubieron  de  recurrir   a  los  ábacos de fichas para efectuar los cálculos. Como la mayoría de los sistemas de la antigüedad, la numeración romana estuvo regida,  por el principio aditivo; siendo sus cifras (I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500 Y  M=1000)   independientes   unas   de   otras,   su   yuxtaposición   implicaba   generalmente   la  suma de los valores correspondientes: CLXXXVII= 100+50+10+10+10+5+1+1=187 MDCXXVI= 1000+500+100+10+10+5+1=1.626 Sin embargo, los romanos complicaron su sistema introduciendo en él una regla por la  que todo signo numérico colocado a la izquierda de una cifra de valor superior se resta.  Y  es así como los números  4, 9, 19, 40, 90, 400 y 900, por ejemplo, fueron a menudo  representados  de la forma siguiente: IV     (=5­1)                        en lugar de                        IIII

  IX     (=10­1)                      en lugar de                        VIIII   XIX   (=10+10­1)                en lugar de                        XVIIII      XL     (=50­10)                     en lugar de                        XXXX  XC     (=100­10)                   en lugar de                        LXXXX  CD     (=500­100)                  en lugar de                        CCCC   CM    (=1.000­100)                en lugar de                       DCCCC

Un pueblo que en pocos siglos alcanza un nivel técnico muy alto, curiosamente conserva durante toda su existencia un sistema inútilmente complicado, poco operativo y que denota una forma de pensamiento arcaico.

La siguiente es la exposición de las tablas de multiplicar en la base que se indica: B2 ∙ 0 1 10 11 100 101 110 111 100 0 100 1 101 0

B3 ∙ 0 1 2 10 11 12 20 21 22 100

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 10 11 100 101 110 111 1000

10 0 10 100 110 1000 1010 1100 1110 10000

11 0 11 110 1001 1100 1111 10010 10101 11000

100 0 100 1000 1100 10000 10100 11000 11100 100000

101 0 101 1010 1111 10100 11001 11110 100011 101000

110 0 110 1100 10010 11000 11110 100100 101010 110000

111 0 111 1110 10101 11100 100011 101010 110001 111000

1000 0 1000 10000 11000 100000 101000 110000 111000 1000000

1001 0 1001 10010 11011 100100 101101 110110 111111 1001000

1010 0 1010 101000 11110 101000 110110 111100 1000110 1010000

0

1001

10010

11011

100100

101101

110110

111111

1001000

1010001

1011010

0

1010

10100

11110

101000

110110

111100

1000110

1010000

1011010

1100100

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 10 11 12 20 21 22 100

2 0 2 11 20 22 101 110 112 121 200

10 0 10 20 100 110 120 200 210 220 1000

11 0 11 22 110 121 202 220 1001 1012 1100

12 0 12 101 120 202 221 1010 1022 1111 1200

20 0 20 110 200 220 1010 1100 1120 1210 2000

21 0 21 112 210 1001 1022 1120 1211 2002 2100

22 0 22 121 220 1012 1111 1210 2002 2101 2200

100 0 100 200 1000 1100 1200 2000 2100 2200 10000

101 0 101 202 1010 1111 1212 2020 2121 2222 10100

101

0

101

202

1010

1111

1212

2020

B4 ∙ 0 1 2 3 10 11 12 13 20 21 22

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 10 11 12 13 20 21 22

2 0 2 10 12 20 22 30 32 100 102 110

3 0 3 12 21 30 33 102 111 120 123 132

10 0 10 20 30 100 110 120 130 200 210 220

11 0 11 22 33 110 121 132 203 220 231 302

12 0 12 30 102 120 132 210 222 300 312 330

B5 ∙ 0 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 B6 ∙ 0 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 1 0 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14

2 0 2 4 11 13 20 22 24 31 33 40 2 0 2 4 10 12 14 20 22 24 30 32

3 0 3 11 14 22 30 33 41 44 102 110 3 0 3 10 13 20 23 30 33 40 43 50

4 0 4 13 22 31 40 44 103 120 121 130 4 0 4 12 20 24 32 40 44 52 100 104

10 0 10 20 30 40 100 110 120 130 140 200 5 0 5 14 23 32 41 50 55 104 113 122

11 0 11 22 33 44 110 121 132 143 204 220 10 0 10 20 30 40 50 100 110 120 130 140

B7 ∙ 0 1 2 3 4 5 6 10 11 12

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 10 11 12

2 0 2 4 6 11 13 15 20 22 24

3 0 3 6 12 15 21 24 30 33 36

4 0 4 11 15 22 26 33 40 44 51

5 0 5 13 21 26 34 42 50 55 63

6 0 6 15 24 33 42 51 60 66 105

2121

2222

10100

10201

20 0 20 100 120 200 220 300 320 1000 1020 1100

21 0 21 102 123 210 231 312 333 1020 1101 1122

22 0 22 110 132 220 302 330 1012 1100 1122 1210

12 0 12 24 41 103 120 132 144 211 223 240 11 0 11 22 33 44 55 110 121 132 143 154

13 0 13 31 44 120 130 143 211 224 242 310 12 0 12 24 40 52 104 120 132 144 200 212

14 0 14 33 102 121 140 204 223 242 311 330 13 0 13 30 43 100 113 130 143 200 213 230

20 0 20 40 110 130 200 220 240 310 330 400 14 0 14 32 50 104 122 140 154 212 230 244

10 0 10 20 30 40 50 60 100 110 120

11 0 11 22 33 44 55 66 110 121 132

12 0 12 24 36 51 63 105 120 132 144

13 0 13 26 42 55 101 114 130 143 156

13 0 13 32 111 130 203 222 301 320 333 1012

13

0

13

26

42

55

101

114

130

143

156

202

B8 ∙ 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12

2 0 2 4 6 10 12 14 16 20 22 24

3 0 3 6 11 14 17 22 23 30 33 36

4 0 4 10 14 20 24 30 34 40 44 50

5 0 5 12 17 24 31 36 43 50 55 62

6 0 6 14 22 30 36 44 52 60 66 74

7 0 7 16 25 34 43 52 61 70 77 106

10 0 10 20 30 40 50 60 70 100 110 120

11 0 11 22 33 44 55 66 77 110 121 132

12 0 12 24 36 50 62 74 106 120 132 144

B9 ∙ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11

2 0 2 4 6 8 11 13 15 17 20 22

3 0 3 6 10 13 16 20 23 26 30 33

4 0 4 8 13 17 22 26 31 35 40 44

5 0 5 11 16 22 27 33 38 55 50 55

6 0 6 13 20 26 33 40 46 53 60 66

7 0 7 15 23 31 38 46 54 62 70 77

8 0 8 17 26 35 44 53 62 71 80 88

10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 100 110

11 0 11 22 33 44 55 66 77 88 110 121

Equivalencias entre números de una base y otra: B10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

B2 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001

10

1010

11

1011

12 13 14 15

1100 1101 1110 1111

B3 0 1 2 10 11 12 20 21 22 10 0 10 1 10 2 110 111 112 12

B4 0 1 2 3 10 11 12 13 20 21

B5 0 1 2 3 4 10 11 12 13 14

B6 0 1 2 3 4 5 10 11 12 13

B7 0 1 2 3 4 5 6 10 11 12

B8 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11

B9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10

B16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

22

20

14

13

12

11

A

23

21

15

14

13

12

B

30 31 32 33

22 23 24 30

20 21 22 23

15 16 20 21

14 15 16 17

13 14 15 16

C D E F

16 17 18 19 20

1000 0 1000 1 1001 0 10011 1010 0

0 12 1 12 2 20 0 20 1 20 2

100

31

24

22

20

17

10

101

32

25

23

21

18

11

102

33

30

24

22

20

12

103

34

31

25

23

21

13

110

40

32

26

24

22

14

Investigación. LOS CÓDIGOS DE BARRA Los códigos de barras son dibujos formados por barras y espacios paralelos, que codifica información mediante las anchuras relativas de estos elementos. Los códigos de barras representan datos en una forma legible por las máquinas, y son uno de los medios más eficientes para la captación automática de datos. Esta información puede ser leída por dispositivos ópticos, los cuales envían la información leída hacia una computadora como si la información se hubiera tecleado. El código de barras almacena datos que pueden ser reunidos de manera rápida y con una gran precisión y ofrecen con un método simple y fácil la codificación de información de texto que puede ser leída por lectores electrónicos de bajo costo. Los códigos de barras se pueden imaginar como si fueran la versión impresa del código Morse, con barras angostas (y espacios) representando puntos, y barras. El lector decodifica el código de barras a través de la digitalización proveniente de una fuente de luz que cruza el código y mide la intensidad de la luz reflejada por los espacios blancos. El patrón de la luz reflejada se detecta a través de una foto diodo el cual produce una señal eléctrica que coincide exactamente con el patrón impreso del código de barras. Luego esta señal es decodificada de regreso de acuerdo con la información original por circuitos electrónicos de bajo costo. Debido a que el diseño de muchas simbologías de código de barras no marca diferencia alguna, se puede digitalizar el código de barras de derecha a izquierda o viceversa. La información es leída por dispositivos ópticos los cuales envían la información a una computadora como si la información hubiese sido tecleada. Un símbolo de código de barras es la visualización física de un código de barras. Una simbología es la forma en que se codifica la información en las barras y espacios del símbolo de código de barras. Los Código de barras han sido creados para identificar objetos y facilitar el ingreso de información eliminando la posibilidad de error en la captura.

Su estructura básica consiste de zona de inicio y terminó en la que se incluye: un patrón de inicio, uno o más caracteres de datos, opcionalmente unos o dos caracteres de verificación y patrón de término. Esta ampliamente difundido en el comercio y en la industria, siendo que una computadora se conecta a través de la interfaz puerto de serie. Posibilita la recolección de datos con rapidez, muy baja tasa de errores, facilidad y bajo costo, en comparación con la lectura visual de códigos numéricos seguida de entrada manual por teclado. Uno de los medios más modernos, y que está tomando cada vez un mayor auge, de introducir información en una computadora es por medio de una codificación de barras verticales. Cada vez son más los productos que llevan en su etiqueta uno de estos códigos donde, por medio de las barras verticales de color negro, se consigue una identificación para todo tipo de productos, desde libros hasta bolsas de papas fritas. Esta codificación ha sido definida de forma estándar por la Organización de Estándares Internacionales y, en ella, cada una de las líneas tiene un determinado valor dependiendo, en principio, de su presencia o ausencia y también de su grosor. En general los códigos de barra no son descifrables por las personas. Las lectoras son las encargadas de convertirlos en unos y ceros que irán a la computadora. Representan caracteres de información mediante barras negras y blancas dispuestas verticalmente. El ancho de las barras y espacios puede ser variable, siendo la más ancha un múltiplo de la más angosta. En binario las barras significaran unos y los espacios ceros. CLASES DE CODIGOS DE BARRAS Uno de los códigos de barras más corrientes es el UPC (Universal Product Code). Emparentado con el UPC, existe el código ISBN, usado en la cubierta de libros y revistas, también de 12 dígitos, así como el código 39 codifica números y letras para usos generales, siendo muy popular. Este código se usa mucho en la industria y para inventarios. Otro es el código entrelazado 2 de 5 (ITF), puede ser de cualquier longitud, pero con un numero par de dígitos, siendo que codifica dos dígitos por vez. Este es uno de los pocos códigos en que los espacios en blanco tienen significado. Al presente existen unos 20 códigos de barra. También existen códigos de barra en 2 dimensiones, que se deben escanear mediante un escáner o una cámara fotográfica digital. Una de las más utilizadas es el símbolo internacional de número de artículo, llamado símbolo EAN por las siglas en inglés de la Asociación Europea para la Numeración de Artículos. Este símbolo se emplea en el comercio abierto para identificar los productos al pasar del fabricante a los mayoristas, distribuidores y minoristas, y de ahí al cliente final. El código de barras EAN-13 representa el número de artículo indicado debajo del mismo, y no contiene ninguna información sobre el producto al que identifica. Toda la

información sobre el producto figura en una base de datos, y se accede a ella indicando el número de artículo. Cada una de las empresas que utilizan el sistema EAN recibe un bloque de números de artículos que puede emplear para identificar todos sus productos. Estos bloques son asignados por una organización nacional de numeración, que a su vez recibe los números del organismo rector internacional, EAN Internacional. Cada código de barras EAN-13 está formado por: Un margen, un dibujo normalizado de separación, un dibujo que representa directamente, seis dígitos e indirectamente un séptimo, un dibujo central de separación, un dibujo de barras y espacios que representa directamente seis dígitos, un dibujo normalizado de separación, un margen como se ilustra a continuación:

Cada dígito se representa mediante dos barras y dos espacios que tienen una anchura total de siete unidades; cada barra y cada espacio pueden tener una anchura de una, dos, tres o cuatro unidades. En la simbología EAN pueden elegirse tres formas distintas, A, B y C, para representar cada dígito. Estas formas se conocen como conjuntos numéricos. Para representar la primera mitad del código de barras se emplea una combinación de los conjuntos numéricos A y B; el orden de los conjuntos numéricos utilizados representa a su vez un séptimo dígito, que aparece al principio de la secuencia de caracteres situada debajo del código de barras. El conjunto numérico C se emplea sólo para la segunda mitad del código de barras. Esto hace que el dispositivo lector pueda leer el código en cualquier sentido y decodificarlo correctamente. HISTORIA DE LOS CODIGOS DE BARRA La primera patente para un código de barras, que tenía forma circular, fue solicitada en 1949 en Estados Unidos por N. J. Woodland; los códigos de barras se emplearon por primera vez a principios de la década de 1960 para identificar material rodante ferroviario. y de ahí en adelante ha venido avanzando su aplicación y desarrollo así: En los sesenta:

1961 es el año de aparición del primer escáner fijo de códigos de barras instalado por Sylvania General Telephone. Este aparato leía barras de colores rojo, azul, blanco y negro identificando vagones de ferrocarriles. Para 1967 la Asociación de Ferrocarriles de Norteamérica ( EEUU) aplica códigos de barras para control de tránsito de embarques. El proyecto no duró mucho por falta de adecuado mantenimiento de las etiquetas conteniendo los códigos. Alguien conoce la cadena de supermercados Kroger? En 1967 la sucursal de Cincinnati (Ohio, EEUU) instala el primer sistema de "retail" basado en códigos de barras. Al cliente que encontraba un código que no se podía escanear correctamente se le ofrecía cupones de compra gratis!!! 1969, el láser hace su aparición. Usando luz de gas de Helio-Neón, el primer escáner fijo es instalado. Su costo: $10 000!!!!. Hoy por hoy el mismo tipo de escáner estaría costando menos de $ 2 000. A fines de los años 60 y comienzos de los 70 aparecieron las primeras aplicaciones industriales pero solo para manejo de información. En 1969, Rust-Oleum fue el primero en interactuar un lector de códigos con un computador (ordenador). El programa ejecutaba funciones de mantenimiento de inventarios e impresión de reportes de embarque. En los setenta: En 1970 aparece el primer terminal portátil de datos fabricado por Norand. Este utilizaba un "wand" o lápiz de contacto. El código Plessey hace su aparición en Inglaterra ( The Plessey Company, Dorset, Inglaterra), para control de archivos en organismos militares en 1971. Su aplicación se difundió para control de documentos en bibliotecas. Codabar aparece en 1971 y encuentra su mayor aplicación en los bancos de sangre, donde un medio de identificación y verificación automática eran indispensables.

Buick ( si, la fábrica de automóviles) utilizó identificación automática en las operaciones de ensamble de transmisiones, también por los años 70. El sistema era utilizado para conteo de los diferentes tipos de transmisión ensamblados diariamente. Todo un éxito. ITF marca su aparición en 1972, creado por el Dr. David Allais, en ese entonces de Intermec.

En el año 1973 se anuncia el código U.P.C. ( Universal Product Code) que se convertiría en el estándar de identificación de productos. De esta forma la actualización automática de inventarios permitía una mejor y más oportuna compra y reabastecimiento de bienes. Europa se hace presente con su propia versión de U.P.C. En 1976, el código EAN (European Article Number).

En 1974, nuevamente el Dr. Allais conjuntamente con Ray Stevens de Intermec inventan el código 39, el primero de tipo alfanumérico. El primer sistema patentado de verificación de códigos de barras por medio de láser aparece en el mercado en 1978. En los Ochenta: Revisen su correspondencia postal y muchos observarán lo siguiente marcado en los sobres:

Esto es el PostNet, aparece en 1980 siendo usado por el Servicio Postal de los EEUU. La tecnología de CCD (Charge Coupled Device) es aplicada en un escáner, 1981. En la actualidad este tipo de tecnología tiene bastante difusión en el mercado asiático, mientras que el láser domina en el mundo occidental. En ese año también aparece el código 128, de tipo alfanumérico. Aparece la norma ANSI MH10.8M que especifica las características técnicas de los códigos 39, Codabar, e ITF (Interleaved Two of Five).

El Dr. Allais es incansable. En 1987 desarrolla el primer código bidimensional, el código 49. Le sigue Ted Williams ( Láser Light Systems) con el código 16K (1988).

En los Noventa: En 1990 se publica la especificación ANS X3.182, que regula la calidad de impresión de códigos de barras lineales. En ese mismo año, Symbol Technologies presenta el código bidimensional PDF417.

Mas y más códigos se están desarrollando, sobre todo en los del tipo de alta densidad. La tecnología de identificación y manejo de datos a través de códigos de barras, ha logrado convertirse en un estándar "de facto" al ser aplicada, cada vez con más frecuencia, tanto en operaciones de distribución y manejo de materiales, como en organizaciones de manufactura industrial.

BENEFICIOS DE LOS CÓDIGOS DE BARRA Aunque los beneficios en la implementación del sistema de identificación EAN-UCC son muchos, los cinco de los más importantes para que una empresa se desarrolle más competitivamente: •

Optimización en el control de inventarios y aumento de productividad en el punto de pago, eliminando colas y disminuyendo el tiempo de espera. Mejor servicio al cliente.

•

Disminución de los procesos de marcación de precios, eliminación de errores de digitación y captura de datos de venta en forma rápida y segura.

•

Identificación de las principales áreas de mermas

•

Obtención de información confiable para el manejo del negocio.

•

Establecimiento de un lenguaje común con sus proveedores a través del código de barras, incrementando la productividad de la relación comercial, lo que facilita la implementación de otras tecnologías como el Intercambio Electrónico de Documentos (EDI).

CARACTERÍSTICAS DE UN CÓDIGO DE BARRAS Un símbolo de código de barras puede tener, a su vez, varias características, entre las cuales podemos nombrar: Densidad

Es la anchura del elemento (barra o espacio) más angosto dentro del símbolo de código de barras. Está dado en miles (milésimas de pulgada). Un código de barras no se mide por su longitud física sino por su densidad. WNR: (Wide to Narrow Ratio) Es la razón del grosor del elemento más angosto contra el más ancho. Usualmente es 1:3 o 1:2.

Quiet Zone: Es el área blanca al principio y al final de un símbolo de código de barras. Esta área es necesaria para una lectura conveniente del símbolo.

Actividades. • En base diez se tiene que

(1*8)+1=9 (12*8)+1=98 (123*8)+3=987 (1234*8)+4=9876 (12345*8)+5=98765 (123456*8)+6=987654

Construya una tabla similar en base ocho e intente dar una generalidad. Sol. En base 8: (1*6)+1=7

(12*6)+2=76 (123*6)+3=765 (1234*6)+4=7654 (12345*6)+5=76543 (123456*6)+6=765432 Ya que en base 8: 1*6 = 6 y 6+1 = 7 12 * 6 = 74 +2 = 76 123 * 6 = 762 + 3 = 765 . . . 123.... (n)*(b-2) +n = (b-1) (b-2)..... (b-n) •

observe la secuencia y escriba una regularidad:

Base 3

Base 4

Base 5

Base 6

Base n

2*2=11 2*11=22

13*3=111 13*12=222 13*21=333

124*4=1111 124*13=2222 124*22=3333 124*31=4444

1235*5=11111 1235*14=22222 1235*23=33333 1235*32=44444 1235*41=55555

12…(n-3)(n-1)*d1 d2=d1+1… d1+1

•

(n-1) veces donde d1 d2 son los dígitos que conforman la base tales que d1 + d2= n-1

enuncie un argumento que explique la siguiente adición. 123456789 123456789 987654321 987654321 2 2222222222

Basados en que la suma se encuentra en base diez se puede decir así: La suma de dos veces los números que conforman la base organizados en forma ascendente sumados con dos veces la misma cifra en forma descendente sumado estos con el número dos da como resultado la repetición consecutiva del dos el número de veces de la base. • Construya una adición similar al ejercicio anterior cuyo resultado sean solo cuatros.

Repita el ejercicio en base ocho, enuncie un resultado general para cualquier base. Explique. 123456789 123456789 123456789 123456789 987654321 987654321 987654321 987654321 4 4444444444 1234567 1234567 1234567 1234567 7654321 7654321 7654321 7654321 4 444444444

Siendo n la base y 1≤ k ≤ n-1 12…(n-2)(n-1) 12…(n-2)(n-1) . . . 12…(n-2)(n-1) (n-1)(n-2)…21 (n-1)(n-2)…21 . . . (n-1)(n-2)…21

k…………………k

k veces.

k veces.

n veces

Resuelva el siguiente acertijo en base 7. ___ ×666 ____ ____ ____ 45___4 456 x 666 4044 4044 4 0 4 4 ____ 452214

CAPITULO III SISTEMAS NUMÉRICOS EN OTRAS  CULTURAS

Para Tales... la cuestión primaria no era qué sabemos, sino cómo lo sabemos Aristóteles.

SISTEMAS NUMÉRICOS EN OTRAS  CULTURAS INTRODUCCIÓN. En este capitulo se observará  el desarrollo  al que se han visto  expuestos los sistemas  numéricos a lo  largo de la historia sus  formas  de carácter primitivo que respondía en  esencia a sus necesidades básicas  de comercio o interés científico. Su forma  aunque con grafías un tanto primitivas  son el origen de  lo que actualmente  utilizamos como  símbolos para representar los números  con los que habitualmente  trabajamos. Sus formas, por ejemplo la de los números  de la cultura babilónica   se escribían con  una especies de lanzas terminadas en punta, el interés de estos pueblos por  lo que les   rodeaba los conlleva  a buscar un  mecanismo que les permita dar explicaciones como  es el caso de la cultura maya  cuyo interés primordial siempre ha sido reconocido  por  su dedicación al tratar de dar una explicación al mundo  y al espacio que les rodeaba.

El Sistema de Numeración Egipcio Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema describir los números en base diez utilizando los jeroglíficos de la figura para representar los distintos ordenes de unidades.  

Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente

de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso. Al ser indiferente el orden se escribían a veces según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo número indicaban. En la figura aparece el 276 tal y como figura en una estela en Karnak. Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y demótica, formas más simples que preemitían mayor rapidez y comodidad a los escribas En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia, y así se introdujeron símbolos particulares para 20, 30....90....200, 300.....900, 2000, 3000...... Con lo que disminuye el número de signos necesarios para escribir una cifra. El Sistema de Numeración Griego El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas.

Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico. los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema ático fue

reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la tabla siguiente

De esta forma los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen un valor numérico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras que las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina mágica que estudiaba la relación entre los números y las palabras. En algunas sociedades como la judía y la árabe, que utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relación ha tenido una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kábala, que persigue fines místicos y adivinatorios

El Sistema de Numeración Babilónico Los babilonios empleaban un sistema sexagesimal posicional adaptado tras tomar el de los sumerios y también de la civilización de Acadia. Los números babilónicos se escribían en cuneiforme, usando una aguja de lámina inclinada para acuñar marcas en unas tablas de arcilla suave que luego se exponían al sol para endurecerlas y que quedasen permanentemente.

Este sistema apareció por vez primera alrededor de 1900-1800 a. C. También se acredita como el primer sistema de numeración posicional, es decir, en el cual el valor de un dígito particular depende tanto de su valor como de su posición en el número que se quiere representar. Esto era un avance extremadamente importante, porque, antes de lugar-valor obligaron a los técnicos de sistema a utilizar símbolos únicos para representar cada energía de una base (diez, cien, mil, y así sucesivamente), llegando a ser incluso los cálculos más básicos poco manejables. Aunque su sistema tenía claramente un sistema decimal interno prefirieron utilizar 60 como la segunda unidad más pequeña en vez de 100 como lo hacemos hoy, más apropiadamente se considera un sistema mixto de las bases 10 y 60. Un valor grande al tener como base sesenta es el número da como resultado un guarismo más pequeño y que además se puede dividir sin resto por dos, tres, cuatro, cinco, y seis, por lo tanto también diez, quince, veinte, y treinta. Solamente dos símbolos usados en una variedad de combinaciones eran utilizados para denotar los 59 números. Un espacio fue dejado para indicar un cero (siglo III a. C.), aunque idearon más adelante una muestra de representar un lugar vacío.

El Sistema de Numeración Maya Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas.

Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.    Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo  para   el   cero,   con   el   que   indicar   la   ausencia   de   unidades   de   algún   orden,   se   hace  imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto  de cantidad nula. Cómo los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia  de otro número.  Pero   los   científicos   mayas   eran   a   la   vez   sacerdotes   ocupados   en   la   observación  astronómica   y  para  expresar   los   números  correspondientes  a   las   fechas   usaron  unas  unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así la cifra que ocupaba el tercer  lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18=360 para completar una cifra muy próxima  a la duración de un año.     El  año   lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba cada  uno de 20 días. Se  añadían algunos festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía que durara justo lo que  una de las unidades de tercer orden del sistema numérico. Además de éste calendario  solar, usaron otro de carácter religioso en el que el año se divide en 20 ciclos de 13 días.  Al romperse la unidad del sistema éste se hace poco práctico para el cálculo y aunque  los   conocimientos   astronómicos   y   de   otro   tipo   fueron   notables   los   mayas   no  desarrollaron una matemática más allá del calendario. 

Investigación. SISTEMAS DE NUMERACIÓN EN LAS CULTURAS DE LA AMÉRICA PRECOLOMBINA En la Introducción hemos indicado los posibles sistemas de numeración que utilizar según empleemos la vista, el lenguaje oral o la escritura. Igualmente, hemos hecho referencia a que en estos sistemas suelen emplearse. Además agrupaciones de las unidades y, por tanto, son sistemas de numeración que poseen una base. En esta sección indicaremos algunos sistemas de numeración empleados por las civilizaciones precolombinas de Íberoamerica. Posteriormente Profundizaremos en las de las tres civilizaciones más importantes de la misma: la civilización maya, la azteca y la inca. Debido a que no posean un lenguaje escrito o a que aun no se ha podido descifrar dicha escritura (como ocurre con el caso de los mayas y de los aztecas), los datos escritos de los que tenemos constancia directa sobre estas civilizaciones y que sean contemporáneos a las mismas se han obtenido por medio de los documentos que elaboraron los españoles durante los siglos xvi y xvii, tras la conquista y destrucción de dichas civilizaciones. No obstante, en los monumentos y papiros con jeroglíficos que nos han llegado a la actualidad (y que no siempre corresponden a un lenguaje escrito) y en la información recopilada por algunos de los Españoles que conquistaron y colonizaron las América, se ha podido Deducir algún conocimiento de sus matemáticas. De hecho, según la mayoría de los autores que han tratado este tema, el único conocimiento Matemático del que se puede asegurar su existencia es el obtenido de dichas fuentes y de las obtenidas gracias a etnólogos, viajeros y lingüistas (Aficionados o profesionales) que han desarrollado sus estudios durante los siglos xix y xx.  Como hemos dicho antes, tres fueron las civilizaciones precolombinas principales: la maya, la azteca y la inca. Las dos primeras usaban un sistema de numeración que suele clasificarse como vigesimal (aunque los mayas empleaban también la base cinco en dicho sistema), Mientras que los incas empleaban uno decimal posicional. Sin embargo, no fueron las únicas poblaciones que desarrollaron sistemas de numeración y ni siquiera fueron siempre esas las bases empleadas. Los sistema ternarios (base tres) fueron empleados, por ejemplo, por una tribu brasileña que para contar hacia uso de las tres articulaciones de las falanges de los dedos. Si queremos ejemplos de sistemas cuaternarios (base cuatro) podemos encontrarlos tanto en diversas tribus sudamericanas como en la tribu de indios yuki, en California. Estos últimos empleaban para contar los huecos que hay entre los dedos de la mano.

Pero los sistemas de numeración que alcanzaron mayor difusión fue-ron los quinarios, que empleaban el cinco como base. Una explicación para convencerse del uso del cinco como la base mas difundida para los sistemas de numeración puede hallarse, según diversos autores [del Rey, 2004; Joseph, 2000], en que existen diversos idiomas donde las palabras “cinco” y mano” eran coincidentes o tenían un parentesco muy marca-do. Por poner un ejemplo, la tribu de indios tamancos de Sudamérica usaba para “cinco” la misma palabra que para “mano”; para “seis” la correspondiente a “uno en la otra mano”; así se continuaría hasta “diez” que sería “ambas manos”; para “once” se comenzaban a contar los dedos del pie, por lo que emplean la palabra “uno del pie”; para “quince”, la palabra “un pie completo”; y para “veinte”, la palabra “un indio”. Una vez completados los dedos de las extremidades de un indio, se pasa ya a un segundo indio, por lo que para “veintiuno” usarían la palabra “uno en la mano de otro indio”, y así “dos indios”, “tres indios”...

Actividades. • Proponga procedimientos para operar con números romanos. X+L=LX Cada digito se debe escribir máximo tres veces y tiene que ser posicional XXXXVV-XV=XXXV El sustraendo debe ser mayor que el minuendo V*III=VVV=XV L/X=V El dividendo debe ser mayor que el divisor y al mismo tiempo este debe ser diferente de 0 •

Con siete palillos podemos formar con números romanos la expresión indicada enseguida (dos palillos deben ser usados para formar el signo de igualdad). Mueva sólo un palillo para que la ecuación se transforme en verdadera. VI=II VI >II

• Idee procedimientos para efectuar operaciones de suma y resta de números Romanos. ¿Hay alguna manera de multiplicarlos y dividirlos? Una de los problemas que tuvo esta numeración fue no tener una forma sencilla de escribir números grandes

Para sumar nunca se tiene un orden específico para ordenar los sumandos; algo que se debe hacer es que no se puede utilizar más de tres veces el mismo número para expresar otro por que serían demasiados •

Escriba un algoritmo para pasar del sistema maya al sistema decimal y viceversa.

Como su base es 20 tenemos que tomar los dígitos del número y multiplicar el primer número de derecha ha izquierda por uno y escribir el resultado en base 10. Después el 2 lo multiplicamos por 20 (Qué es la base) y escribir el resultado en base 10, el siguiente número se realiza el mismo procedimiento pero esta vez con 202 y así sucesivamente hasta que el ultimo dígito. Al terminar se suma todos los resultados y da el número en base 10

Intente definir operaciones básicas, como suma, resta multiplicación y división en el sistema numérico maya, ¿qué dificultad encuentra? Para la suma y resta son los mismos procedimientos mencionados anteriormente; el problema se crea a través de la multiplicación y la división por cualquier algoritmo utilizado si escritura no da para esto.

CAPITULO IV NUMÉROS NATURALES

Un Matemático es un quijote moderno que lucha en un mundo real con armas imaginarias. P. Corcho

NUMÉROS NATURALES INTRODUCCIÓN En este capitulo se estudia en forma detallada los números naturales junto con las propiedades de la adición y la multiplicación dándose trato especial al carácter de la sustracción y la división de números naturales al presentarse dificultades para realizar las sustracciones cuando intentamos restar de una cantidad menor una mayor, al igual sucede con el proceso de dividir entre números naturales. Se estudiaran y definirán las operaciones superiores de la aritmética tales como la logaritmación y la potenciación de números naturales.

OPERACIONES ADICIÓN La operación aritmética de la adición (suma) se indica con el signo más (+) y es una manera de contar utilizando incrementos mayores que 1. La adición, sin embargo, hace posible calcular sumas más fácilmente. Las sumas más sencillas deben aprenderse de memoria. En aritmética, es posible sumar largas listas de números con más de una cifra si se aplican ciertas reglas que simplifican bastante la operación. PROPIEDADES DE LA ADICIÓN

 Asociativa: Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: (a + b) + c = a + (b + c) Por ejemplo: (8 + 5) + 6 = 13 + 6 = 19 8 + (5 + 6) = 8 + 11 = 19 Los resultados coinciden, es decir, (8 + 5) + 6 = 8+ (5 + 6)  Conmutativa: Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: a+b=b+a En particular, para los números 7 y 4, se verifica que: 7+4=4+7 Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden. Otras regularidades o propiedades de la adición son:  El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: a+0=a Y a esta regularidad se le conoce como elemento neutro o propiedad modulativa. La sustracción que se realiza entre números naturales solo es posible cuando el minuendo es mayor que el sustraendo pero cabe anotar que este procedimiento no cumple con: La Asociatividad por que no es igual (10-7)-3≠ 10-(7-3) Al   igual   no   se   satisface   la   Conmutativa  por   que   en   los   números   naturales   al  número que se le resta debe ser mayor que el que se le va restar

MULTIPLICACIÓN Ésta no es más que una forma de simbolizar la expresión "sumar m a sí mismo n veces".  Puede facilitar la comprensión el expandir la expresión anterior: m×n = m + m + m +...+ m  tal que hay n sumandos. Así, por ejemplo: 5×2 = 5 + 5 = 10  2×5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10  4×3 = 4 + 4 + 4 = 12  m×6 = m + m + m + m + m + m = 6m  Utilizando esta definición, es fácil demostrar algunas  propiedades  interesantes de la  multiplicación. Como indican los dos primeros ejemplos, el orden en que se multiplican  dos números es irrelevante, lo que se conoce como  Propiedad conmutativa,  y se cumple en general para dos números cualesquiera x é y: x∙y = y∙x La multiplicación también cumple la propiedad asociativa, que consiste en que, para tres números cualesquiera x, y, z, se cumplen: (x∙y)z = x(y∙z) En la notación algebraica, los paréntesis indican que las operaciones dentro de los mismos deben ser realizadas con preferencia a cualquier otra operación. La multiplicación también tiene lo que se llama propiedad distributiva con la suma, porque: x∙(y + z) = xy + xz Asimismo: (x + t)(y + z) = x(y + z) + t(y + z) = xy + xz + ty + tz También es de interés que cualquier número multiplicado por 1 es igual a sí mismo: 1∙x = x Es decir, la multiplicación tiene un elemento identidad que es el 1. Tabla de la multiplicación de números naturales 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66

7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77

8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88

9 10 11 12 18 20 22 24 27 30 33 36 36 40 44 48 45 50 55 60 54 60 66 72 63 70 77 84 72 80 88 96 81 90 99 108 90 100 110 120 99 110 121 132

Podríamos hacernos diversas preguntas en relación con la tabla anterior por ejemplo, cuando suman los primeros n números que aparecen en la primera fila vemos que los primeros n números que aparecen en la primera fila son: 1,2,3,4,….. n que como hemos visto suman m,n+n/2 si ubicamos estas sumas en la tabla de la multiplicación, obtenemos el siguiente patrón 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66

7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77

8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88

9 10 11 12 18 20 22 24 27 30 33 36 36 40 44 48 45 50 55 60 54 60 66 72 63 70 77 84 72 80 88 96 81 90 99 108 90 100 110 120 99 110 121 132

Lo anterior sugiere escribir los números marcados como producto de los números que  aparecen en la fila y la columna correspondiente así:  

1 3

  =    = 

1 1

x x

1 3

6

  = 

2 1

x

3

10 15 21 28 36 45 55

  =    =    =    =    =    =    = 

2 3 3 4 4 5 5

x x x x x x x

5 5 7 7 9 9 11

NÚMEROS PRIMOS El conjunto de los números primos es un subconjunto propio de los números naturales que engloba a todos los elementos de este conjunto mayores que 1 que son divisibles únicamente por sí mismos y por la unidad. Por ejemplo, el número 7 tiene sólo dos divisores que son el 1 y el mismo 7 por lo que 7 es número primo. En otros términos, un número natural es primo o lineal si tiene exactamente dos divisores distintos que son el 1 y el mismo número en cuestión. El número 1, al ser solo divisor sí mismo, se conoce como número unitario. Un número natural con más de dos divisores distintos se conoce como número compuesto o rectangular. Por ejemplo, el número 4 tiene más de dos divisores distintos: el 1, el 2 y el 4, por lo que 4 es un número compuesto o rectangular, porque se puede formar un rectángulo con el número de puntos mientras que con el número primo solo se puede formar una hilera de puntos, por lo que es conocido también como número lineal. Los números primos menores que cien son 25, a saber: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. El teorema fundamental de la Aritmética establece que cualquier número natural mayor que 1 siempre puede representarse como un producto de números primos, y esta representación (factorización) es única módulo el orden de los factores. Investigación La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado N. Se forma una tabla con todos los números naturales comprendidos entre 2 y N y se van tachando los números que no son primos

de la siguiente manera: cuando se encuentra un número entero que no ha sido tachado, ese número es declarado primo, y se procede a tachar todos sus múltiplos. El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es mayor que N. Proceso de criba Determinemos, mediante este procedimiento, la lista de los números primos menores de 20. 1. Primer paso: pongamos los números naturales comprendidos entre 2 y 20. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2. Segundo paso: Marcamos el primer número, no rayado ni marcado, como número primo. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3. Tercer paso: Tachamos todos los múltiplos del número que acabamos de marcar como primo. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4. Cuarto paso: Si el cuadrado del primer número que no ha sido rayado ni marcado es inferior a 20, entonces repetimos el segundo paso. Si no, el algoritmo termina, y todos los enteros no tachados son declarados primos. Como 3² = 9 < 20, volvemos al segundo paso: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 En el cuarto paso, el primer número que no ha sido tachado ni marcado es 5. Como su cuadrado es mayor que 20, el algoritmo termina y consideraremos primos todos los números que no han sido tachados. Resultado: Los números primos comprendidos entre 2 y 20 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Criba de Eratóstenes. ¿Cuántos números primos existen? Existen infinitos números primos. Euclides realizó la primera demostración alrededor del año 300 a. C. Otros matemáticos han demostrado la infinitud de los números primos con métodos diversos, contándose entre ellos Algebra Conmutativa y Topología. A pesar de que sabemos que hay infinitos números primos, aún quedan preguntas en el aire sobre procedimientos exactos para saber con certeza si un número determinado es primo o no en tiempo computacionalmente bajo. Un procedimiento empleado para hallar todos los números primos menores que un entero dado es el de la criba de Eratóstenes.

MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO MÁXIMO COMÚN DIVISOR El máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que  permite dividir a esos números. •

Para calcularlo. De los números que vayas a sacar el máximo común divisor, se  ponen uno debajo del otro, se sacan todos los divisores de los dos números y el  máximo que se repita es el máximo común divisor (M.C.D.) 

•

Ejemplo: Sacar el M.C.D. de 20 y 10: 

20:

1, 2, 4, 5, 10 y 20

10:

1, 2, 5 y 10

Esto   sirve   para   números   pequeños.  Pero   para   números   grandes   hay   otra   manera:   la  descomposición de factores. Forma rápida de calcular el Máximo común Divisor (M.C.D.). Ejemplo: Sacar el M. C. D. de 40 y 60: 1º   Tienes   que   saber   las  reglas   divisibilidad.   Haces   la  descomposición   de   factores  poniendo  números   primos.   Por   ejemplo   para   40,   en   la   tabla   de   abajo,   se   va  descomponiendo en 2, 2, 2 y 5.

40 2

60 2

20 2

30 2

10   2

15   3

5

5

5

5

1

 

1

 

2º De los resultados, se cogen los números repetidos de menor exponente y se  multiplican y ese es el M.C.D. M.C.D. 40 = 2x2x2x5 M.C.D. 60 = 2x2x3x5 MCD = 2x2x5= 20 TABLA DE MÁXIMO COMÚN DIVISOR ( )

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

3

1

1

3

1

1

3

1

1

1

1

1

1

1

1

3

3

1

1

4

1

2

1

4

1

2

1

4

1

2

1

4

1

2

1

4

1

2

5

1

1

1

1

5

1

1

1

1

5

1

1

1

1

5

1

1

1

6

1

2

3

2

1

6

1

2

3

2

1

6

1

2

3

2

1

6

7

1

1

1

1

1

1

7

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

8

1

2

1

4

1

2

1

8

1

2

1

4

1

2

1

8

1

2

9

1

1

3

1

1

3

1

1

9

1

1

3

1

1

3

1

1

9

10

1

2

3

2

1

2

1

2

1

10

1

2

1

2

5

2

1

2

11

1

1

1

1

5

1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

1

1

12

1

2

1

4

1

6

1

4

3

2

1

12

1

2

3

4

1

6

13

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

13

1

1

1

1

1

14

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

114

1

2

1

2

15

1

1

1

1

1

3

1

1

3

5

1

3

1

1

15

1

1

3

16

1

2

3

4

5

2

1

8

1

2

1

4

1

2

1

16

1

2

17

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

17

1

18

1

2

1

2

1

6

1

2

3

2

1

6

1

2

3

2

1

18

REGULARIDADES σ (n) := suma de los divisores de n Para p primo tenemos: σ (p)=p+1 σ (pk)=1+p+p2+p3+…+pk Sea: S=1+p+p2+p3+…+pk Entonces   ps=p+ p2+p3+…+pk+1 Luego: ps­s = pk+1­1 De donde: s(p­1)= pk+1­1 así:  s= (pk+1­1)/ (p­1) G (n) = suma de los  divisores de n   G (p*q) = 1+p+q+pq

MINIMO COMÚN MULTIPLO El mínimo común múltiplo («m.c.m.» o «mcm») de dos o más números naturales es el menor número natural (distinto de cero) que es múltiplo de todos ellos. Para el cálculo del mínimo común múltiplo de dos o más números se descompondrán los números en

factores primos y se tomarán los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. Por ejemplo, de las factorizaciones de 6936 y 1200, 6936 = 23 ∙ 3 ∙ 172 1200 = 24 ∙ 3 ∙ 52 Podemos inferir que su m.c.m. es 24 ∙ 3 ∙ 52 ∙ 172 = 346 800. Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido entre su máximo común divisor.

Tabla  de mínimo común múltiplo  [

] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

2 2 2 4 10 10 14 14 18 10 11 22 13 13 15 16 14 16

3 3 6 3 12 15 6 21 24 9 30 33 12 39 42 15 48 51

4 4 4 12 4 20 12 28 8 36 20 44 12 52 56 60 16 68

5 6 7 5 6 7 10 6 14 15 6 21 20 12 28 5 30 35 30 6 42 35 42 49 40 24 56 45 18 63 10 30 70 55 66 77 60 6 84 65 78 91 70 42 98 15 30 105 80 48 112 85 102 119

8 8 8 24 8 40 24 56 8 72 40 88 88 104 56 120 16 136

9 9 18 9 36 45 18 63 72 9 90 99 36 117 126 45 144 153

10 10 10 30 20 10 30 70 40 40 10 110 60 130 70 150 80 170

11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 11 132 143 154 165 176 187

CUADRADOS MÁGICOS

12 12 12 12 12 60 6 84 24 60 122 122 12 156 84 60 48 204

13 13 13 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 13 182 195 208 221

14 14 14 42 56 70 42 98 56 126 70 154 84 182 14 210 112 238

15 15 15 15 60 15 30 105 120 45 150 165 60 195 210 15 240 255

16 16 16 48 16 80 48 112 16 144 80 176 48 208 112 240 16 272

17 17 17 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 17

Los cuadros de los números representan los 9 primeros números y compone un  cuadrado mágico. La idea es disponer de las 9 casillas de manera que todas las  filas, columnas y  diagonales sumen lo mismo ósea 15  8

3

4

1

5

9

6

7

2

La idea es desarrollar un problema similar con 16 primeros números y cuya suma de  filas, columnas y diagonales sea 34.   16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

=34

Trucos para desarrollar los cuadrados mágicos La idea es colocar en el centro el 5,después pensar como debe ir ubicados el resto  teniendo en cuenta que su suma es 15 con el pequeño truco de Gauss sumar los números  (9+1)x 9/2=45 entonces sabríamos cuanto sumaria cada fila y cada columna.45/3=15  sabiendo que el 5 esta en el centro hay dos posibilidades que otros dos números den 14  en su suma que son 9 y 1 y también 8 y 6 después llegamos a la conclusión que el 1 no  puede estar en una esquina debe estar en el medio y por ultimo completar los espacios  de tal manera que se adecuen las sumas. 

Investigación CUADRADOS MÁGICOS. "Los sabios antiguos distribuían los cuadros colocándolos en aquel orden en que si se  los sumaba, en cualquier dirección, según estaban dispuestos en las casillas, siempre  daban el mismo producto y la suma de todos ellos representaba también un misterio. Se  llamaban sellos o misterios de los dioses, como decían, por el hecho de que bajo ellos se  encontraba de forma maravillosa su dominio y potestad sobre todas las cosas." 

"Aritmología. Historia real y esotérica de los números". Atanasius Kircher, (1601­1680) Los siete Sellos:

SATURNO

SOL

MERCURIO

JUPITER

VENUS  MARTE

LUNA

El sello de Júpiter presenta más sumas idénticas, en otras diagonales. Así es tomando las de dos casillas opuestas (14,9,3,8), las de tres casillas duplicada la central (5,7,7,15), las diagonales con las centrales cruzadas (4,6,11,13). También suman 34 los cuadros internos (4,14,9,7), (7,6,11,10). Las esquinas suman 34 (4,1,16,13). El interior de lados opuestos (9,5,12,8) .... Este cuadro mágico se repite, invertido, en el cuadro de A. Durero, Melancolía. Los astrólogos de la época lo recomendaban como amuleto contra la melancolía. El sello del Sol reúne por supuesto los números más esotéricos siendo su clave 6,36,111,666. Otro singular cuadrado mágico de orden nueve sería el siguiente:

Cada uno de los cuadros de orden tres también es mágico. Si en lugar de cada uno de ellos colocamos su valor obtenemos otro con la misma configuración del sello de Saturno Existen infinidad de configuraciones, pero a las más simples se les ha otorgado el valor de mágicas. ¿CUAL ES EL NUMERO MÁS GRANDE? Escribir números grandes en distintas bases. Queremos estudiar ahora, cual es el numero  mas grande que se puede escribir con tres cifras iguales con los convenios establecidos  para la escritura de los números, pero sin signos de operaciones entre ellos, salvo lo  acordado para la notación exponencial.  En base 2 solo tenemos dos símbolos, o y 1 números más grande que se puede escribir  con tres cifras repetidas y sin colocar signos de operaciones entre ellos es, naturalmente,  1 1 1, puesto que: 

¿Es valido este ordenamiento con tres unos, en cualquier base? En base tres, la secuencia con tres dos es: 

¿La secuencia es la mismo en cualquier base?  ¿Cuál es el orden con tres tres en base 4? 

¿Es el mismo en otras bases? Con tres cuatros en base 5, la secuencia es:  

Puesto que 

En base 10 el mayor numero que se puede escribir con tres doces, sin ningún signo de  operación, es 2 22,  puesto que: 

Ahora, con tres el mayor numero que podemos escribir es 3 33, debido a que: 

          ALGUNAS VECES NO SE PUEDE En   algunas   ocasiones   encontramos  problemas   que  tienen  una solución  para  algunos  valores de los datos del problema, pero que en general no se pueden resolver con datos  arbitrarios. Veamos un ejemplo:  Con las siguientes seis cifras 1, 1 , 2 , 2, 3 y 3 es posible escribir un numero donde los  ”1” estén separados por un digito, los “2” por dos dígitos y los “3” por 3.  Por ejemplo:   3 1 2 1 3 2  y por supuesto, escritos en orden inverso 2 3 1 2 1 3  Solo con las cifras 1, 1, 2 y 2 no es posible  escribir un numero don de los “1” estén  separados por digito y los “2” por dos dígitos pues en cualquier configuraciones nos  falta  una cifra. 

Con las cifras 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4 y 4 escriba un número donde los “1” estén separados por  un digito, los “3” por 3 y los “4” por 4.  El mismo problema con los número 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5 y 5 no tiene solución.  Tampoco si los números van hasta 6, pero si tiene para 7 y 8.  Una solución para 7 es: 4 6 1 7 1 4 3 5 6 2 3 7 2 5 ¿para cuales valores de K, el problema de escribir 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 .. kk  Con las condiciones expuestas es posible? a. Con 1 1 2 2 no es posible  2                 2     b. Con 1 1 2 2 3 3 si es posible 2   3  1  2  1  3     c. Con 1 1 2 2 3 3 4 4 si es posible   2  3  4  2  1  3  1  4  Posible solución  5  

  4 posible 

4 

 4 posible 

3 

 4 posible 

2 

 4 posible  

1 

 8   4  

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 

Hay   problemas   en   matemáticas   que   no   tienen   solución;   no   por   incapacidad   del  matemático, si no por que la solución no existe, generalmente por que las condiciones lo  impiden.  Por ejemplo, es imposible dividir un ángulo arbitrario en tres ángulos iguales utilizando  regla   y   compás   construir   un   cubo   cuyo   volumen   sea   el   doble   de   un   cubo   dado   o  construir un cuadrado de área equivalente a un circulo dado 1; también es imposible  encontrar una formula que permita resolver cualquier ecuación de grado 5 o superior,  utilizando las operaciones básicas del algebra 2.  Demostrar que un problema no tiene solución suele ser más complicado que encontrar  una;   tal   vez   sea   Evariste   Galois   el   matemático   mas   recordado   por   haber   generado  solución a problemas de este tipo. El demostró la imposibilidad de solución de algunos  problemas   milenarios,   como   la   duplicación   del   cubo,   la   trisección   del   ángulo   y   la  ecuación general de 5 grado por radicales.  Generalmente,   en   la   búsqueda   de   soluciones   para   problemas   insolubles,   se   aprende  mucho   sobre   otros   problemas   que  si   tienen   solución   y  se  desarrolla   teorías   nuevas.  Galois no solo resolvió los problemas clásicos si no que puso las bases para el desarrollo  de las teorías de Galois. 

ECUACIONES DIOFANTICAS LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Una ecuación diofantica lineal con dos incógnitas, es una ecuación de la forma ax±by=c con a,b y c números naturales e incógnitas o valores desconocidos x y y Teorema Si (x,y) es solución de ax+by=c, donde a,b,c son números naturales, entonces (x+b,y-a) o (x-b,y+a) es también, solución de la ecuación siempre que y-a y x-b sean números naturales. Como (x,y) es solución de ax+by=c se cumple que : ax+by=c Por la propiedad modulativa de la adición entre números naturales y de 0=ab-ab se tiene: ax+by+(ab-ab)=c Aplicando ahora la propiedad asociativa y conmutativa de la adición; tenemos: ax+(ab+by)-ab=c Asociando nuevamente (ax+ab)+(by-ab)=c

Conmutando ab y utilizando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición y a la sustracción, esta ultima solo si y-a es un número natural. Se concluye que a(x+b)+b(y-a)=c Lo cual es (x+b,y-a) es también solución de la ecuación. SEGUNDA PARTE Como (x,y) es solución de ax+by=c se cumple que : ax+by=c Por la propiedad modulativa de la adición entre números naturales y de 0=ab-ab se tiene: ax+by+(ab-ab)=c Aplicando ahora la propiedad asociativa y conmutativa de la adición; tenemos: ax+(ab+by)-ab=c Asociando nuevamente (ab+by)+(ax-ab)=c (ax-ab)+(by+ba)=c Aplicando la propiedad distributiva tenemos: a(x-b)+b(y+a)=c Luego el punto (x-b,y+a) es también solución de la ecuación. Dentro del conjunto de los números naturales: encuentre los valores para x e y que satisfagan las siguientes ecuaciones y justifique sus respuestas. a. en base siete : 3x+5y =126 Tomando x=0 3(0)+5y=126 entonces 5y=126 y=126/5 de donde al realizar la división se obtiene: como conciente 16 y residuo4. Por tanto no es solución de la ecuación. Después de los intentos pertinentes sobre x variando en los posibles valores de la base 7 es decir, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 obtenemos para x=3 lo siguiente: Para x=3 obtenemos: 3(3)+5y=126 Entonces 12+5y=126 entonces y = (126-12)/5 entonces y=114/5=15 Luego dado que esta división es exacta se tiene como solución al punto (3,15).

b. en base seis: 2x+3y=244. Después de prueba obtenemos una solución cuando x=2, ya que 2(2)+3y=244 Entonces 4+3y=244 entonces y= (244-4)/3=240/3=52 Luego una solución es el punto (2,52). b. en base cinco: 4x+2y =30 Obtenemos después de pruebas entonces

para x=3 que 4(3)+2y=30 entonces 22+2y=30

y= (30-22)/2=13/2=4 c. x+y=32, donde x,y y 32 están en base siete. En este ejercicio podemos tomar para x=0 tendríamos que y=32 Así el punto (0,32) es solución de la ecuación Ahora para x=1 tendríamos: 1+y=32 entonces y=32-1=31 luego el punto (1,31) es solución de la ecuación Para x=2 2+y=32 entonces y=32-2=30 luego el punto (2,30) es solución de la ecuación Siguiendo con este proceso tenemos: x y

0 32

1 31

2 30

3 26

4 25

5 24

6 23

10 22

…… ……

26 3

30 2

Encuentre todos los valores de x y y que satisfacen las siguientes ecuaciones, justifique su procedimiento. a. 4x-3y=21, en base cinco. b. 2y-5x=245, en base seis. Solución a. 4x-3y=21, en base cinco.

Después de probar encontramos que en x=5 tenemos: 4(5)-3y=21 entonces 40-21=3y entonces y=(40-21)/3=14/3=3 Luego el punto (4,3) es solución de la ecuación. Por el teorema anterior soluciones además

son

b. 2y-5x=245, en base seis. Después de probar encontramos para x=1 que: 2y-5(1)=245 entonces y=(245+5)/2= 254/2=125 Luego es el punto (1,125) es solución de la ecuación. Grafique las soluciones de las anteriores ecuaciones en un plano coordenado cuyos ejes formen un ángulo diferente a 90º ¿Qué forma geométrica determinan dichas soluciones?

16

15

(3,15) (11,12)

12 3x+5y=126 6

(16,6)

(24,3)

3 31

33

Forman una línea recta los puntos de la solución dado que son colíneales.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Las ecuaciones de segundo grado han sido objeto de  estudio  durante  varias épocas  y  en   distintas   civilizaciones;   especialmente     en   relación   con   procedimientos     para  encontrar  sus soluciones.   Con  los elementos    que hemos  construido hasta el   momento tenemos  argumentos  validos  para resolver  ecuaciones de la forma  ax2=b  e incluso ax2+b=c;  pero para una  ecuación de la forma   ax2+bx=c, evidentemente más elaborada,   los argumentos que  tenemos  resultan insuficientes  para buscar su solución. Sin   embargo,   la   historia     de   las   matemáticas     nos   ofrece   una   amplia     gama   de  posibilidades  o métodos  geométricos, dado que en ellos no hay cantidades negativas.  ECUACIONES DE LA FORMA    x2+bx=c Para resolver una ecuación de este tipo podríamos interpretarla  de la siguiente forma: Basados en áreas de rectángulos y cuadrados así: un cuadrado de lado x  y un rectángulo  de lado b  y altura  x,  cuya suma como área total  debe ser igual a c. Resolver utilizando argumentos geométricos  las siguientes ecuaciones: •

x2+20x=69.

X

X

X^2

20

20X

(x+10)2 = (x2+10x+10x)+100 (x+10) 2 = (x2+20x)+100 (x+10)2  = 69+100 (x+10)2 = 169 x+10  =   169 x+10 = 13 x= 13­10 x=3

X

10

X

X^2

10X

10

10X

100

•

x2+6x=16.

X

X

X^2

6

6X

X

3

X

X^2

3X

3

10X

9

(x+3)2 = (x2+3x+3x)+9 (x+3) 2 = (x2+6x)+9 (x+3)2  = 16+9 (x+3)2 = 25 x+3  =   25 x+3 = 5 x= 5­3 x=2

• x2+7x=18   En este ejercicio procedemos a multiplicar toda la ecuación por el primer cuadrado   diferente de 1, es decir: 4.  Así: 4x2+28x= 72  De donde obtenemos haciendo la sustitución y=2x (2x)2+14(2x)=72 y2+14y=72

2y

2y

4y^2

y

7

y

y^2

7y

7

7y

49

7

14y

 (y+7)2=y2+7y+7y+49 (y+7)2=y2+14y+49 (y+7)2=72 +49 (y+7)2=72 +49 (y+7)2 =121 y+7= 121 y=11­7 y=4 2x=4 x=2

•

5x2+3x=92

(5x)2+15x=460  Tomando la sustitución y=5x obtenemos la ecuación: y2+3y=460 Que   dado   que  tiene   coeficiente   impar   acompañando  a   la   variable   x   procedemos   a   multiplicarlo   por   4   para   convertirlo     en   un   número   par   y   poder   continuar   con   el   proceso como en los casos anteriores. 4y2+12y=1840

2y

2y

4y^2

6

12y

2y 2y

4y^2

3

6y

3 6y 9

(2y+3)2=(4y2+6y+6y)+9 (2y+3)2=(4y2+12y)+9 (2y+3)2=(4y2+12y)+9 (2y+3)2=1840+9 (2y+3)2=1849 2y+3= 1849 2y+3=43 2y=43­3 2y=40 y=40/2=20 5x=20 x=20/5 x=4 ECUACIONES DE LA FORMA  x2+c=bx   Esta ecuación podemos representarla de la siguiente forma: Dibujando un rectángulo de lado  x   cuya área representara  x2  al igual dibujamos un  rectángulo que represente  las c unidades cuadradas pero repartidas de tal manera  uno  de los lados sea x   El rectángulo compuesto por las áreas antes mencionadas   corresponderá entonces al  área del rectángulo  de área bx.  Resolver los siguientes ejercicios basados en argumentos geométricos •

x2+45=18x

x

9

x^2

45

x

9

x^2 a

a

45-a

9-x^2 9

18

x2+a=45­a x2+2a=45. x2+2a + (9­x)2=81 45+(9­x)2=81 (9­x)2=81­45 (9­x)2=36 9­x = 36 9=6+x x=9­6 x=3

•

x2+21=10x

x

5

x^2

21

x

5

x^2 a

10

x2+a=21­a x2+2a=21. x2 +2a+(5­x)2=25 21+(5­x)2=25 (5­x)2=25­21 (5­x)2=4

a 5-x^2

5

21-a

5­x= 4 x=5­2 x=3 EL TEOREMA DEL BINOMIO. Problema 1: ¿De cuántas formas es posible organizar n elementos de un conjunto? Para comenzar tomaremos conjuntos con 2, 3, y 4 elementos, por ejemplo si tenemos las  letras A y B, existen dos formas de organizarlas: AB y BA; ahora si tuviéramos las letras  A, B y C habrían 6 maneras posibles de organizarlas: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB y  CBA. En el último ejemplo observamos que cada una de las letras dadas, aparece tres veces en  la  primera  posición,  junto con  todas  las  formas  posibles  de organizar las  dos  letras  restantes; con lo cual habría de esperarse que dadas cuatro letras, cada una de ellas  aparezca 4 veces en la primera posición junto con todas las formas posibles de organizar  las tres letras restantes, es decir que habrían 6 formas de que cada una de las letras dadas  aparezca en la primera posición; por tanto existirían   6 × 4 = 24   maneras de organizar  las cuatro letras dadas. Con razonamiento análogo al anterior podemos encontrar el número de formas posibles  de organizar 5 letras, dado que cada letra aparecerá 5 veces el la primera posición y  habrían 24 formas de organizar las letras restantes es decir que existirían  24 × 5 = 120   posibilidades de organizar las 5 letras dadas. Lo anterior conlleva a realizar la siguiente tabla: Número de letras 1 2 3 4 5 6 n

Número de maneras posibles de  organizarlas. 1 2 2×3 = 6 2 × 3 × 4 = 24 2 × 3 × 4 × 5 = 120 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720

2 × 3 × 4 × 5 × 6 × × ( n − 2) × ( n −1) × n = n!

Definición:  0! =1 Problema 2: De n elementos dados, ¿Cuántas formas posibles hay de tomar k elementos  teniendo en cuenta su orden?

Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e}, los puedo colocar ordenadamente poniendo como primer elemento del grupo o bien la 'a' o la 'b' o la 'c' o la 'd' o la 'e'. Por tanto, hay 5 posibilidades para empezar: a____ b____ c____ d____ e____ Por cada una de estas 5 posibilidades, para colocar el 2º elemento tengo 4 posibilidades: elegir una cualquiera de las letras restantes. Por ejemplo, suponiendo que he colocado 1º la 'a', tendría: ab___ ac___ ad___ ae___ De forma que si por cada elección del 1º tengo 4 posibilidades para el 2º, en conjunto tendré para los dos primeros elementos 5x4 = 20 posibilidades. Análogamente, para colocar el 3º elemento, tendré, por cada elección del 1º y 2º, 3 nuevas posibilidades. Por ejemplo, si había colocado 1º la 'b' y 2º la 'e', tendría las siguientes posibilidades: bea__ bec__ bed__ Así que para el conjunto de los tres primeros elementos tengo 5x4x3 = 60 posibilidades. Análogamente, para los cuatro primeros elementos tengo 5x4x3x2 = 120 posibilidades. Y para los cinco, 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 colocaciones posibles.

Con lo anterior, podríamos esperar que dados n elementos, existen n posibilidades de tomar 1 elemento, n ( n −1) posibilidades de tomar dos elementos, n ( n −1)( n − 2) posibilidades de tomar 3 elementos, y así sucesivamente, lo cual conlleva a construir la siguiente tabla: Número dados

de

elementos Número de elementos a Número de posibilidades tomar teniendo en cuenta el orden

n

1

n

n

2

n ( n −1)

n

3

n ( n −1)( n − 2)





M

n

k

n ( n − 1)( n − 2)  ( n − ( k − 1) )

El número n ( n − 1)( n − 2)  ( n − ( k − 1) ) lo podemos escribir como sigue: n ( n − 1)( n − 2)  ( n − ( k − 1) ) =

El número

n ( n − 1)( n − 2)  ( n − ( k − 1) )( n − k )  ⋅ 2 ⋅ 1 n! = ( n − k )! ( n − k )! .

n!

( n − k )! generalmente se denota como

P ( n, k ) que es la permutación de

n elementos si se seleccionan k elementos de ellos.

Problema 3: ¿De cuántas maneras es posible tomar k elementos de n elementos dados, sin distinguir su orden? Dado que no se distingue el orden en el cual se toman los k elementos, las combinaciones de k objetos tomados de entre n objetos pueden ser obtenidas a partir de las permutaciones de k objetos tomados de entre n objetos, esto se debe a que como en las combinaciones no nos importa el orden de los objetos, entonces si tenemos las permutaciones de esos objetos al dividirlas entre k!, les estamos quitando el orden y por tanto transformándolas en combinaciones. Lo anterior nos permite construir la siguiente tabla: Número dados

de

elementos Número de elementos a Número de posibilidades sin tomar tener en cuenta el orden

n

1

n

n

2

n ( n − 1) 2

n

3

n ( n − 1)( n − 2) 2⋅3

n

k

n ( n − 1)( n − 2)  ( n − ( k − 1) ) k!

El número

n ( n − 1)( n − 2)  ( n − ( k − 1) ) , lo podemos escribir como sigue: k!

n ( n − 1)( n − 2)  ( n − ( k − 1) ) n ( n − 1)( n − 2)  ( n − ( k − 1) )( n − k ) ⋅  ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 n! = = k! k! ( n − k )! ( n − k )! k!

El número

n! n  , usualmente se denota como C (n, k ) o   y se le conoce ( n −k )! k! k 

como coeficiente binomial, por su relación con el desarrollo de la potencia de un binomio es decir el desarrollo de ( a + b ) n . Actividades. ¿Cuántos números naturales menores que 200 no son divisibles por 2, por3, ni por 5? 1 18 35 52 69

2 19 36 53 70

3 20 37 54 71

4 21 38 55 72

5 22 39 56 73

6 23 40 57 74

7 24 41 58 75

8 25 42 59 76

9 26 43 60 77

10 27 44 61 78

11 28 45 62 79

12 29 46 63 80

13 30 47 64 81

14 31 48 65 82

86

87 10 4 12 1 13 8 15 5 17 2 18 9

88 10 5 12 2 13 9 15 6 17 3 19 0

89 10 6 12 3 14 0 15 7 17 4 19 1

90 10 7 12 4 14 1 15 8 17 5 19 2

91 10 8 12 5 14 2 15 9 17 6 19 3

92 10 9 12 6 14 3 16 0 17 7 19 4

93

94

95

96

97

98

110 12 7 14 4 16 1 17 8 19 5

111 112 113 13 128 129 0 14 145 146 7 16 162 163 4 18 179 180 1 19 196 197 8

114 13 1 14 8 16 5 18 2 19 9

115 13 2 14 9 16 6 18 3

103 120 137 154 171 188

99

15 32 49 66 83 10 0

16 33 50 67 84 10 1

17 34 51 68 85 10 2

116 13 3 15 0 16 7 18 4

117 13 4 15 1 16 8 18 5

118 13 5 15 2 16 9 18 6

119 13 6 15 3 17 0 18 7

¿Cuál es el menor número que al dividirlo por 2, 3, y 4 deja residuo 1 y es divisible por 51? Ningún número cumple estas condiciones puesto que 51 es múltiplo de 3, y todos los múltiplos de 51 son múltiplos de tres, su residuo siempre será 0 Otras Formas De Multiplicar Y Dividir Observando algoritmos para multiplicar A continuación aparecen algunas multiplicaciones (en base 10) efectuadas por medio de algoritmos distintos al usual, para cada uno de ellos, proponga sus propios ejemplos en diferentes bases y busque una justificación a cada procedimiento.

EL METODO CRUCESITA En este método se multiplica: 2*3=6 5*3=15 15+2=17 4*5=20 20+3+5=28 4*5=20 20+3+2=25 4*5=20 Luego Se suman así: 20+25+28+17+6 (20+2)…. (5+2)…. (8+1)…. (7+0)…. (6+0) 22 7 9 7 6 5

4

5

1

2

3

EL METODO PIRAMIDE 4521 7373 ________ 07 12 1403 2815 123506 350607 28151403 ________________ 33333333

Aquí el proceso que se sigue es el siguiente: 7*1=07 4*3=12 2*7=14 1*3=03 y se toma 1403 4*7=28 5*3=15 y se toma 2815, es decir los resultados. 4*3=12 5*7=35 2*3=06 y se toma 123506 5*7=35 2*3=06 7*1=07 y se toma 350607 4*7=28 5*3=15 2*7=14 1*3=03 y se toma 28151403 Luego se procede a sumar: En la forma piramidal: 07 12 1403 2815 123506 350607 28151403 33333333

Obteniéndose como resultado:

Un Método Grafico 12*23=276 3

2 6

4 En la grafica se colocan en cada punto de las cuatro líneas los números de los resultados de las siguientes multiplicaciones:

2*3=6 2*2=4 1*3=3 1*2=2 Luego se suman en la forma que indican las flechas en el dibujo: 2 (3+4) 6 Obteniéndose: 276.

2 1

4 2 6

6 3

9

Luego la multiplicación de 213*321=68373 Se ubican en la cuadricula de las rectas las multiplicaciones: 1*3=3 1*1=1 1*2=2 2*3=6 2*1=2 2*2=4

3

3*3=9 3*1=3 3*2=6 Luego se suman en el orden en que indican las flechas, así: 3 6+1=7 2+2+9=13 4+3+1=8 6 Luego el número que se obtiene es 68373 Un algoritmo para dividir De manera similar que en los ejemplos anteriores, se presenta a continuación un método para dividir dos números, su tarea es describirlo, buscar una justificación del mismo y modificarlo si es posible. Ejemplo 1 Efectuar 14578/93 en base 10: 93 186 372 744 1488 2976 5952 1190 4 1457 8

70 70 70 442 1186 2674 2674 2674

1 2 4 8 16 32 64 128 156

En este proceso de división se procede de la siguiente forma: Primero se toma el número 93 y se suman sucesivamente así: 93 93+93=186 186+186=372 744+744=1488 1488+1488=2976 2976+2976=5952 5952+5952=11904

11904+11904=23808 dado que este número supera al primer número de nuestra división es suprimido y colocamos el primero de ellos en el final de la tabla. En el extremo derecho de la tabla colocamos los números desde el 1 1+1=2 2+2=4 4+4=8 8+8=16 16+16=32 32+32=64 64+64=128 128+128=156 Sumando sucesivamente y deteniéndonos en el último que indique la operación anterior. 14578-11904=2674

este resultado se coloca en la columna dos

2674-5952=****** no es posible realizar la resta puesto que el primer numero es menor que el segundo por tanto se coloca en la columna numero tres 2674-2976=***** no es posible realizar la resta puesto que el primer numero es menor que el segundo por tanto se coloca en la columna numero tres 2674-1488=1186

este resultado se coloca en la columna dos

1186-744=442

este resultado se coloca en la columna dos

442-372=70

este resultado se coloca en la columna dos

70-186=****** no es posible realizar la resta puesto que el primer numero es menor que el segundo por tanto se coloca en la columna numero tres 70-93=******

no es posible realizar la resta puesto que el primer numero es menor que el segundo por tanto se coloca en la columna numero tres

Luego el cociente de dividir 14578 entre 93 es 156 y sobra 70.

Otro Ejercicio Para Afinar La Intuición A. Observe Las Siguientes Multiplicaciones: 36*76

3*7=21 21+6=27

21*81 4*6=24 24+7=31

6*6=36

2*8=16 16+1=17

7*7=49 36*37=2736

1*1=1 47*67=3149

47*67

21*81=1701

B. Siga los anteriores pasos y multiplique: 23*83 92*12 23*83 2*8=16 16+3=19 3*3=09 23*83=1909 54*54 5*5=25 25+4=29 4*4=16 54*54=2916 92*12 9*1=09 9+2=11 2*2=04 92*12=1104

54*54

CAPITULO V EL MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN POR  INDUCCIÓN MATEMÁTICA

Comprender las cosas que nos rodean es la mejor preparación para comprender las cosas que hay más allá. Hipatia

EL MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN POR  INDUCCIÓN MATEMÁTICA INTRODUCCIÓN El método que se presenta a continuación es una de las formas  de demostración  que  sigue una secuencia de procedimientos partiendo   de lo particular hasta   llegar a lo  más general. Que en esencia solo es valido para propiedades sobre los números naturales   o un   subconjunto de los mismos, cabe anotar que las propiedades  expresadas a lo largo de   este texto pueden en su mayoría ser  demostradas por este método.  Así la extencionalidad empírica expresada en los  primeros capítulos  toman forma  en   el contexto matemático. INDUCCIÓN MATEMATICA La   inducción   matemática  es  un  método  de   demostración  que  suele   ser  muy  útil   en  problemas en los que se trata de probar que todos los números naturales (1, 2, 3...)  cumplen una cierta propiedad: consta de dos pasos:  Primero, se demuestra que el 1 cumple la propiedad.  A   continuación,   se   supone   que   la   propiedad   es   verdadera   para   un   cierto   número   n  (arbitrario) y se demuestra para el número siguiente, el n+1.  Si  se  consigue,  esto  demuestra  la  propiedad  que  queríamos   para  todos  los   números  naturales,   de   forma   parecida   a   las   filas   de   fichas   de   dominó   cuando   caen:   hemos  demostrado que la primera ficha (el 1) cae (primer paso), y que si cae una ficha también  debe caer la siguiente (si es cierta para n, debe serlo para n+1, segundo paso). La idea de  la inducción es muy clara: si un número cumple algo, y si cuando un número lo cumple  el siguiente tiene que cumplirlo, entonces todos los números lo cumplen. Este   método   es   mucho   más   general   de   lo   que   pueda   parecer   a   primera   vista;   si  queremos,   por   ejemplo,   demostrar   una   propiedad   para   todos   los   números   pares,   no  tenemos   más   que   aplicar   la   inducción   a   la   afirmación   "el   número   2n   cumple   la 

propiedad,   para   todo   natural   n",   que   se   refiere   a   todos   los   números   naturales   y   es  equivalente a la inicial.  De la misma forma, la inducción es útil para demostrar algo sobre una cantidad finita de  cosas porque la misma idea de las fichas de dominó es aplicable; en este caso se suele  llamar "inducción finita", y es un caso particular de la inducción que se ha explicado  arriba. Pueden, de manera similar, demostrarse afirmaciones del tipo "todos los números  a   partir   del   8  cumplen   tal   cosa",   y   éstos   son   sólo   ejemplos   simples.   El   método   de  inducción   es   a  la   vez  muy  potente  y  muy   intuitivo,  y  puede  aplicarse   en  una  gran  variedad de problemas, entre ellos:

la   suma   de  los   primeros  n    números  cuadrados,   los   primeros  n  números  cuadrados  impares y los n primeros números cúbicos impares, están dadas respectivamente por: n( n + 1)( 2n + 1)        6 n b)  12 + 3 2 + 5 2 + ... + (2n − 1) 2 = (4n 2 − 1) 3

a)  12 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 =

c)  13 + 33 + 5 3 + ... + (2n −1) 3 = n 2 (2n 2 −1) •

12 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 =

n( n + 1)( 2n + 1) 6

Verificamos  si la condición se cumple para n = 1 12 =

1(1 +1)( 2(1) +1) 6

           1=1 Como nos damos cuenta la condición es valida para n = 1 Suponemos que n = k, de lo cual se tiene:                                12 + 2 2 + 3 2 + ... + k 2 =

k (k + 1)( 2k + 1)      Hipótesis de inducción  6

  Ahora probamos que para n = k + 1 tenemos la misma propiedad:          12 + 2 2 + 3 2 + ... + k 2 + ( k +1) 2 =

( k +1)( k + 2)( 2k + 3) 6

 {12 + 2 2 + 3 2 + ... + k 2 } + (k + 1) 2 k ( k +1)( 2k +1) 6(k + 1) 2 +  6 6 k (k +1)( 2k +1) + 6( k +1) 2 6

( k + 1)[ k ( 2k + 1) + 6( k + 1) ] 6 ( k + 1) ( 2k + 7k + 6) = (k +1)( k + 2)( 2k + 3) 6 6 2

•

n (4n 2 − 1) 3

12 + 3 2 + 5 2 + ... + (2n − 1) 2 =

Verificamos  la condición se cumple para n = 1 1 3

2     [2(1)­1] 2 =  ( 4(1) −1)

                 1=1 Como nos damos cuenta la condición es valida para n = 1 Suponemos que n = k, de lo cual se tiene:     12 + 3 2 + 5 2 + ... + ( 2k − 1) 2 =

k ( 2k + 1)( 2k − 1)    Hipótesis de inducción 3

Ahora probamos que funciona para n = k + 1 {  12 +32 +52 +... + (2k −1) 2 }+ [2(k + 1)­1] 2 =

( k + 1)( 2k + 1)( 2k + 3) 3

k ( 2k −1)( 2k +1) + (2k+1) 2 3 k ( 2k −1)( 2k +1) + 3( 2k +1) 2           3

         

          

( 2k + 1)[ k ( 2k − 1) + 3(2k + 1)]

3 ( 2k + 1) ( 2k + 5k + 3) = ( k + 1)( 2k + 1)( 2k + 3)             3 3 2

•

13 + 33 + 5 3 + ... + (2n −1) 3 = n 2 (2n 2 −1)

Evaluamos en el valor  n = 1   [ 2(1) −1] 3 = (1) 3 [2(1) 2 −1]                 1=1 Como nos damos cuenta la condición es valida para n = 1 Suponemos que n = k, de lo cual se tiene:              13 + 33 + 53 +... + (2k −1) 3 = k 2 (2k 2 −1)      Hipótesis de inducción Ahora probamos que  para n = k + 1 la propiedad también es valida              13 + 33 + 5 3 + ... + (2k − 1) 3 + [ 2(k + 1) − 1] 3 = (k + 1) 2 [2(k + 1) 2 − 1]

                 {  13 +33 +53 +... + ( 2k −1) 3 }+ ( 2k +1) 3                   k 2 (2k 2 −1)  +  ( 2k +1) 3                   k 2 (2k 2 −1)  + ( 2k +1)( 4k 2 + 4k +1)         2k 4 − k 2 + 8k 3 + 8k 2 + 2k + 4k 2 + 4k + 1           2k 4 + 8k 3 + 11k 2 + 6k + 1       2k 4 + 11k 2 + 4k 3 + 4k 3 + 6k + 2 − 1         2k 4 + 4k 3 + 2k 2 + 4k 3 + 8k 2 + 4k + 2k 2 + 4k + 2 − k 2 − 2k − 1       2k 2 (k 2 + 2k +1) + 4k (k 2 + 2k +1) + 2(k 2 + 2k +1) − ( k 2 + 2k +1) |       (2k 2 + 4k + 2 −1)( k 2 + 2k +1)       2 k 2 + 2k + 1 − 1 ( k + 1) 2 = [2(k +1) 2 −1](k +1) 2        Las dos formulas siguientes establecen una relación entre la suma de los primeros  n  números cúbicos y el n­esimo número triangular:

[(

) ]

a) 13 + 2 3 + 33 + ... + n 3 = b) (1 + 2 + 3 + ... + n ) 2 =

n2 (n + 1) 2 4

n2 ( n + 1) 2   4

a. 13 + 2 3 + 33 + ... + n 3 =

n2 (n + 1) 2 4

Verificamos si la condición se cumple para n = 1

(1) 3

=

(1) 2 (1 + 1) 2 4

1=1 Como se satisface para  n = 1 Suponemos que n = k, de lo cual se tiene: k2 ( k + 1) 2   Hipótesis de inducción 4

            13 + 2 3 + 33 + ... + k 3 =

 Ahora probamos que se cumple  para n = k + 1                           13 + 2 3 + 33 + ... + k 3 + (k + 1) 3 =            {13 + 2 3 + 33 + ... + k 3 }+ ( k +1) 3 k2 3 ( k +1) 2 + ( k +1) 4 k 2 (k + 1) 2 + 4(k + 1) 3            4

           

[

(k + 1) 2 k 2 + 4( k + 1) 4

]

(k + 1) 2 ( k + 2) 2 4

(k + 1) 2 ( k 2 + 4k + 4) (k +1) 2 =  ( k + 2) 2 4 4

•

(1 + 2 + 3 + ... + n ) 2

=

n2 ( n + 1) 2 4

Evaluamos  si la condición se cumple para n = 1 12 =

12 (1 +1) 2 4

1=1              Como es  valida para n = 1 Suponemos que n = k, de lo cual se tiene:                      (1 + 2 + 3 + ... + k ) 2 =

k2 (k + 1) 2    Hipótesis de inducción 4

 Ahora probamos que para n = k + 1 se tiene la  misma propiedad              2 (1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) ) 2 = (k + 1) (k + 2) 2      4 Para poder hacer inducción en este caso tenemos que demostrar con anterioridad la  suma de los números naturales por medio de inducción 1+2+3+…+n =

n(n +1) 2

 Verificamos  si la condición se cumple para n = 1                     1=

1(1 +1) 2

                1=1 Como nos damos cuenta la condición es valida para n = 1 Suponemos que n = k, de lo cual se tiene:                           1+2+3+…+k =

k ( k +1)    Hipótesis de inducción 2

 Ahora probamos para n = k + 1 se tiene  la misma afirmación                      1 + 2 + 3 +…+ k + (k +1 )=                 

(k +1)(k + 2) 2

{1 + 2 + 3 + ... + k} + (k +1)  

k ( k +1) +  (k +1) 2 k ( k +1) + 2(k +1) (k +1)(k + 2)           =       2 2

        

  Ahora   si   podemos   utilizar   esta   ecuación   para   representar   la   suma   de   los   números  naturales de otra manera:

 

[{1 + 2 + 3 + ... + k } + (k + 1)] 2  k ( k +1)  + (k +1) 2   2  

2

 k ( k +1) + 2( k +1) 2    2   2

2

2 (k +1)( k + 2)  (k +1) = ( k + 2) 2   2 4  

=

(k +1) 2 ( k + 2) 2 4

BIBLIOGRAFIA

BALDOR, A., Aritmética, ed. Cultural Colombiana, Bogotá, 1972. BURTON, Jones., Teoría de Números, ed. Trillas, México, 1969. DONADO, A., LUQUE, C Y PAEZ, J., El Proceso de Inducir, Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, 1998. GORDILLO, J., JIMENEZ, R. y RUBIANO, G., Teoría de Números Para Principiantes, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, 1999. MUÑOZ, J. M., Introducción a la Teoría de Conjuntos, Departamento de Matemáticas y Estadística, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, 1993. Investigaciones realizadas en: www.google.com.co www.wikipedia.com www.yahooo.com/buscador