Libro de Analisis Ing. Genaro

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

MG. ING. GENARO DELGADO CONTRERAS OCTUBRE 2014

A MI HIJA MARÍA ELENA, CON TODO CARIÑO Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

Esta obra está dedicada a mis queridos alumnos de la escuela de Ingeniería Civil de la UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO- SEDE PRINCIPAL TRUJILLO que gracias a su entusiasmo y perseverancia hicieron posible esta gran obra maestra la cual presentare a continuación.

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 1. Calcular 𝛿𝐵 =?

𝑀 = −20𝑋 𝑀(0) = 0 𝑀(20) = −400 𝑘𝑔

𝜃𝐴𝐵 = 𝜃𝐴 + 𝜃𝐵 𝜃𝐴𝐵 = 𝜃𝐵 𝐸𝐼 𝜃𝐴𝐵 = (𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐴𝐵 𝐸𝐼 𝜃𝐵 =

−(400)(20) 2

𝜃𝐵 =

𝐸𝐼 𝑡𝐵⁄ = (𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐵𝐴 × 𝑋̅𝐵 𝐴

𝐸𝐼 𝑡𝐵⁄ = 𝐴

−(400)(20) 2 × ( × 20) 2 3

𝑡𝐵⁄ = 𝐴

−160000 3 𝐸𝐼

−4000 𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 2. Calcular 𝛿𝐵 =?

𝑀 = −20𝑋 𝑀(25) = −500 𝑘𝑔

𝑀 = −10𝑋 𝑀(20) = −200 𝑘𝑔

𝑀 = −25𝑋 𝑀(20) = −125 𝑘𝑔

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

ℎ1 15 = 500 25 ℎ1 = 300 ℎ2 10 = 200 20 ℎ2 = 100

𝜃𝐴𝐵 = 𝜃𝐵 𝐸𝐼 𝜃𝐴𝐵 = (𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐴𝐵 𝐸𝐼 𝜃𝐵 = −(300) × (10) − (

200 × 10 100 × 10 125 × 5 )−( ) − (100 × 10) − ( ) 2 2 2 𝜃𝐵 =

−11625 2𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

𝑃𝐿2 𝑃𝐿2 + 16 𝐸𝐼 16 𝐸𝐼

𝜃12 =

𝜃12 =

𝑃𝐿2 8 𝐸𝐼

FLECHA MAXIMA

𝐿 𝑦 =2 𝑃𝐿 𝐿 2 𝑃𝐿2 𝑦= 4 𝐿 𝑦=

𝑃𝐿 4

𝐸𝐼 𝑡1⁄ = 𝛿𝑚𝑎𝑥. = 𝑃𝐿 3

𝛿𝑚𝑎𝑥. =

1 𝑃𝐿 𝐿 2 𝐿 ( )( )( ) 2 4 2 32

𝑃𝐿3 𝛿𝑚𝑎𝑥. = 48

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

3.

Calcular 𝜃1 , 𝜃2 , 𝛿𝑣2

DMF:

Deformada:

𝐸𝐼 𝑡2⁄ = (𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)12 . ̅̅̅ 𝑥2 1 1 2 𝐸𝐼 𝑡2⁄ = (−𝑃𝐿)(𝐿) ( 𝐿) 1 2 3 −𝑃𝐿3 𝐸𝐼 𝑡2⁄ = 1 3 𝐸𝐼

𝜃1 = 0

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 𝜃12

𝜃12 = 𝜃2 = (𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)12 𝐿

𝜃12 = (−𝑃𝐿) ( ) 𝜃12 =

−𝑃𝐿2

2

2 𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

Ejemplo 3:

Calcular 𝛿𝐻 3 , 𝜃3 𝑦 𝛿𝑉 2

∑ 𝑀1 = 0

∑ 𝐹𝐻 = 0

𝑀1 = 𝑃𝐿

𝑅𝐻1 = 𝑃

Barra 2-3 Barra 1-2

𝑀𝑥 = −𝑃𝐿 𝑀𝑥 = 𝑃𝑥 − 𝑃𝐿 𝑀𝑜 = −𝑃𝐿 𝑀𝐿 = 0

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

∆𝐻3 = 𝑡3⁄ + 𝜃2 𝐿 2

𝐸𝐼 𝑡3⁄ = ( −𝑃𝐿) ( 2

𝑡3⁄ = 2

∆𝐻3 =

𝐿 2 ) ( 𝐿) 2 3

−𝑃𝐿3 3𝐸𝐼

−𝑃𝐿3 𝑃𝐿2 − (𝐿) 3𝐸𝐼 𝐸𝐼

∆𝐻3

−4𝑃𝐿3 = 3𝐸𝐼

Calculo del 𝜃2

𝐸𝐼𝜃12 = ( 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹 )12 𝐸𝐼𝜃12 = (−𝑃𝐿)(𝐿) 𝐸𝐼𝜃12 = −𝑃𝐿2 𝜃12 = −

𝑃𝐿2 𝐸𝐼

𝜃2 = 𝜃12 * Por lo tanto:

𝜃2 = −

𝑃𝐿2 𝐸𝐼

Calculo del 𝜃3 𝐸𝐼𝜃23 = ( 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹 )23 𝐸𝐼𝜃23 = (−

𝑃𝐿 )(𝐿) 2

𝐸𝐼𝜃23 = − 𝜃23 = −

𝑃𝐿2 2

𝑃𝐿2 2𝐸𝐼

𝜃23 = 𝜃2 + 𝜃3 −𝜃3 = 𝜃2 − 𝜃23 −𝜃3 = − 𝜃3 =

𝑃𝐿2 𝐸𝐼

−

𝑃𝐿2 2𝐸𝐼

3𝑃𝐿2 2𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EJEMPLO 4: Calcular reacciones de las siguiente figura, 𝑅𝐴 , 𝑅𝐵 , 𝑀𝐴 , 𝑀𝐵 y flecha cuando 𝑥 = 3𝑎

DMF POR PARTES:

DEFORMADA:

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

ECUACIÓN DE MOMENTO POR PARTES: REACCION: 𝑀𝑥 = 𝑅𝑎𝑥

𝑀(4𝑎) = 4𝑎(𝑅𝑎 )

CARGA AUMENTADA: 𝑀𝑥 = −

𝑞𝑥 2

𝑀(3𝑎) =

2

−9𝑞𝑎2 2

CARGA FICTICIA: 𝑀𝑥 =

𝑞𝑥 2

𝑀(𝑎) =

2

𝑞𝑎2 2

MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO: 𝑀𝑥 = 𝑀𝑎

𝑀(4𝑎) = 𝑀𝑎

𝐂𝐀𝐋𝐂𝐔𝐋𝐎 𝐃𝐄: 𝐄𝐈𝐭 𝟐⁄ = 𝟎 𝟏

𝐸𝐼𝑡2⁄ = ( 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹 )21 . ̅̅̅ 𝑋2 1

4𝑎 1 1 1 𝑞𝑎2 𝑎 0 = ( 4𝑎 𝑀𝐴 ) ( ) + ( 4𝑎 𝑅𝐴 )(4𝑎 ) ( × 4𝑎 ) + ( ) (𝑎) 2 2 3 3 2 4 2 1 −9𝑞𝑎 1 − ( ) (3𝑎) ( ) (3𝑎) 3 2 4 32 𝑞𝑎4 27 4 3 0 = ( 8𝑎 𝑀𝐴 ) + 𝑅 (𝑎 ) + − 𝑞𝑎 3 𝐴 24 8 2

0 = ( 8𝑎2 𝑀𝐴 ) + 0 = ( 8 𝑀𝐴 ) +

32 3

32 3

𝑅𝐴 (𝑎3 ) −

𝑅𝐴 (𝑎 ) −

10 3

10 3

𝑞𝑎4 ……. (1)

𝑞𝑎2 …….. (1)

Calculo de 𝛉𝟏𝟐 = 𝟎 𝐸𝐼𝜃12 = ( 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹 )12

1 1 2 1 −9𝑞𝑎2 0 = ( 4𝑎 𝑀𝐴 ) + 4𝑎 𝑅𝐴 (4𝑎) + ( 𝑞𝑎 ) (𝑎) − ( ) (3𝑎) 2 3 3 2 0 = ( 4𝑎 𝑀𝐴 ) + 8𝑎2 𝑅𝐴 +

𝑞𝑎3 9𝑞𝑎3 − ( ) 6 2

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

0 = ( 4𝑎 𝑀𝐴 ) + 8𝑎2 𝑅𝐴 + 0 = ( 4 𝑀𝐴 ) + 8𝑎𝑅𝐴 +

13𝑞𝑎3 3

13𝑞𝑎2 3

……. (2) ……. (2)

Ecuaciones (1) y (2)

(8 𝑀𝐴 ) +

32 𝑎𝑅𝐴 3

( 4 𝑀𝐴 ) + 8𝑎𝑅𝐴 (8 𝑀𝐴 ) +

32 𝑎𝑅𝐴 3

(−8 𝑀𝐴 ) + 16𝑎𝑅𝐴

10 2 𝑞𝑎 3 13 3 = 𝑞𝑎 → 𝑥(−2) 3 10 2 = 𝑞𝑎 3 26 3 = − 𝑞𝑎 3 =

−16 −16 2 𝑎𝑅𝐴 = 𝑞𝑎 3 3 Reemplazando 3 en 2 13 2 𝑞𝑎 3 13 2 (4 𝑀𝐴 ) + 8 𝑎(𝑞𝑎) = 𝑞𝑎 3 13 2 ( 𝑀𝐴 ) + 2𝑞𝑎2 = 𝑞𝑎 12 −11 2 𝑀𝐴 = 𝑞𝑎 12 (4 𝑀𝐴 ) + 8 𝑎𝑅𝐴

=

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I Regresando a la imagen General 11 2 𝑞𝑎 = 𝑀𝐵 12

11 2 𝑞𝑎 = 𝑀𝐴 12

∑ 𝐹𝑦 = 0

∑ 𝑀𝐵 = 0

𝑞𝑎 − 2𝑞𝑎 − 𝑅𝐵 = 0

11 𝑞𝑎2 12

− 4𝑎𝑞𝑎 + 2𝑞𝑎(2𝑎) =

11 𝑞𝑎2 12

− 4𝑞𝑎2 + 4𝑞𝑎2 = 𝑀𝐵

𝑀𝐵 𝑅𝐵 = 𝑞𝑎

𝑀𝐵 =

11 2 𝑞𝑎 12

Calculo de la Flecha cuando 𝑥 = 3𝑎 , (trabajamos de Derecha a Izquierda) 𝑀𝐵 =

11 2 𝑞𝑎 12

𝑅𝐵 = 𝑞𝑎

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I Calculo de la Flecha cuando 𝑥 = 3𝑎 , (trabajamos de Derecha a Izquierda) 11 2 𝑀𝐵 = 𝑞𝑎 12

11 2 𝑞𝑎 12

𝑀𝑥 = −

11 2 𝑞𝑎 12

𝑀(𝑎) = −

𝑅𝐵 = 𝑞𝑎

11 2 𝑞𝑎 12

𝑀𝑥 = 𝑞𝑎𝑥 𝑞𝑎

𝑀(𝑎) = 𝑞𝑎2

𝑞𝑎2 −

11 2 𝑞𝑎 12

𝐸𝐼𝑡𝐶/𝐵 = (𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐶𝐵 ̅̅̅ 𝑋𝑐 𝑡𝐶𝐵

1 𝑎 11 𝑎 𝐸𝐼𝑡𝐶/𝐵 = (𝑞𝑎2 )(𝑎) − ( 𝑞𝑎2 ) (𝑎) 2 3 12 2 1 11 𝐸𝐼𝑡𝐶/𝐵 = 𝑞𝑎4 − 𝑞𝑎4 6 24 𝑡𝐶/𝐵 = −

7 𝑞𝑎4 24 𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I EJEMPLO 5: Para el pórtico Mostrado. Calcular el Desplazamiento en 2

Calculo de Reacciones 𝑅𝑉3 = 𝑃

𝑀1 = 0 −𝑃𝐿 + 𝑅𝑉3 (𝐿) = 0 𝑀𝑉3 = 𝑃

𝑅𝐻1 = 𝑃 𝑅𝑉1 = 𝑃

𝑀𝑋 = 𝑃𝑥

𝑀𝑋 = 𝑃𝑥

𝑀(𝐿) = 𝑃𝐿

𝑀(𝐿) = 𝑃𝐿 ∆𝐻2

∆𝐻2 𝜃2 𝑡3/2

𝜃2

𝜃1

𝑡1/2 𝜃2 𝐿 𝐸𝐼𝑡1/2 = (𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)12 ̅̅̅ 𝑋1 1

𝐸𝐼𝑡1/2 = 2 (𝑃𝐿)(𝐿) 𝐸𝐼𝑡1/2 =

𝐸𝐼𝑡3/2 = (𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)32 ̅̅̅ 𝑋3

2 𝐿 3

1

𝐸𝐼𝑡3/2 = 2 (𝑃𝐿)(𝐿)

𝑃𝐿3 3

𝐸𝐼𝑡3/2 =

𝑃𝐿3

2 𝐿 3

𝑃𝐿3 3

𝑃𝐿3

𝑡1/2 = 3𝐸𝐼

𝑡3/2 = 3𝐸𝐼

PL3 1 θ2 = ( ) 3 L θ2 =

PL2 3EI

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

∆H2 = T1⁄ + θ2 L 2

PL3 PL2 (L) ∆H2 = + 3EI 3EI

𝟐𝑷𝑳𝟑 ∆𝑯𝟐 = 𝟑𝑬𝑰

EJEMPLO 6: Para el pórtico mostrado calcular el ΔH2 y el ΔH4

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

t1/2 =

Ѳ2 =

𝑃𝐿3 3𝐸𝐼

t 3/2 𝑙

t3/2 =

Ѳ2 =

𝑃𝐿3 3𝐸𝐼

𝑃𝐿2 3𝐸𝐼

ΔH2 = t1/2 + Ѳ2 (L)

ΔH2 =

𝑃𝐿3 3𝐸𝐼

+

𝑃𝐿2 3𝐸𝐼

(𝑙)  ΔH2 =

𝟐𝑷𝑳𝟑 𝟑𝑬𝑰

Calculo del ΔH4

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EI t2/3 = (Área DMF)23 X2 1

𝐿

2

2

Ѳ3 =

EI t2/3 = (PL) (L) ( ) EI t2/3 = t2/3=

Ѳ3 =

𝑃𝐿3

Ѳ3 =

6

𝑡2/3 𝐿

𝑃𝐿3

1

x 6𝐸𝐼 𝐿 𝑷𝑳𝟐 𝟔𝑬𝑰

𝑷𝑳𝟑 𝟔𝑬𝑰

ΔH4 = ΔH2 + Ѳ3 L ΔH4 =

2𝑃𝐿3 3𝐸𝐼

ΔH4 =

+ 6𝐸𝐼 𝐿

2𝑃𝐿3 3𝐸𝐼

ΔH4 =

𝑃𝐿2

𝑃𝐿3

+ 6𝐸𝐼

𝟓𝑷𝑳𝟑 𝟔𝑬𝑰

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EJEMPLO 7: Calcular el ΔH3 y el Ѳ3

• EI Ѳ13 = (Área DMF)13 EI Ѳ13 =

1 2

(2𝑞𝑎

2 )(

𝑎) +

1 𝑞𝑎2 3

2

EI Ѳ13 = 2𝑞𝑎3 +

(𝑎) 𝑞𝑎3 6

Ѳ13 = −

𝑞𝑎2 2

- 𝑞𝑎3 -

1

(2𝑎) - (2𝑞𝑎2 )(𝑎) 3

4𝑞𝑎3 3

𝒒𝒂𝟑 𝟔𝑬𝑰

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EI tc/a= (Área DMF)31 X3 1

2𝑎

2

3

EI tc/a= (2𝑞𝑎2 )(𝑎) EI tc/a =

4𝑞𝑎4 3

+

𝑞𝑎4 24

+

1 𝑞𝑎2 3

4

− 𝑞𝑎 −

(𝑎)

2

𝑎 4

-

𝑞𝑎2 2

1

2𝑎

3

4

(2𝑎)(𝑎) - (2𝑞𝑎2 )(𝑎)

2𝑞𝑎4 3

tc/a = −-

𝟕𝒒𝒂𝟒 𝟐𝟒𝑬𝑰

EJEMPLO 7: Calcular el Δv3 y el Ѳ3

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

• EI t3/2 = (Área DMF)23 X3 EI t3/2 =

1 3

2

𝑥 − 2𝑞𝑎 𝑥 2𝑎 𝑥 4

EI t3/2 = −2𝑞𝑎 + t3/2 = −

𝟏𝟓𝒒𝒂𝟒 𝟖𝑬𝑰

3 4

2𝑎 +

1 𝑞𝑎2 3

(

2

1

)𝑥𝑎𝑥 𝑎 4

𝑞𝑎4 8

= Δv3

• EI Ѳ13 = (Área DMF)13 EI Ѳ13 = EI Ѳ13 =

1 𝑞𝑎2 3

2

𝑞𝑎3 6

(𝑎) −

−

1 3

(2𝑞𝑎2 )(2𝑎)

4𝑞𝑎3 3



Ѳ13 =

𝟕𝒒𝒂𝟑 𝟔𝑬𝑰

= Ѳ3 Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EJEMPLO 8: calcular ϴA ϴB

1.

Cálculo de reacciones:

∑ 𝑀A = 0 (RB) (3) - (300) (2) (2) = 0 RB = 400 N ∑ 𝑀C = 0 (300) (2) (1) – RA (3) = 0 RA = 200 N 2.

Cálculo de momentos:

M = 200x M(0) = 0

M(3) = 600

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

M= - 300x2 / 2 M(x=0) = 0

M(x=2) = -600

DMF

DEFORMADA

Calculo de ϴA = tC/A/3 EI tC/A = (Área DMF)CA Xc 1

1

1

2

EI tC/A = 2(600)(3)(3ˣ3) - 3(600)(2) (4) EI tC/A = 900-200 tC/A =

700 𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

700

ϴA= 3𝐸𝐼 ϴA=

tC/A 3

Cálculo ϴB = tA/C/3 EI tA/C = (Área DMF)AC XA 1

2

1

3

EI tA/C = 2(600)(2)(3ˣ3) - 3(600)(2) (1+4(2)) EI tA/C =1200-1000 TA/C =

200 𝐸𝐼

ϴB = tA/C/3 200

ϴA= 3𝐸𝐼

EJEMPLO 9: Calcular giros

1. Cálculos de reacciones: ∑ 𝑀A = 0 1

RB (6) = 2 (600) (3) (4) RB = 600

RA = 300 Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

2.

Cálculo de momentos:

M = 300x M(x=0) = 0

M(x=5) =1500

ℎ 𝑥

=

600 3

h = 200x

M= -100x2(x/3) M(x=0) = 0

M(x=3) = -900

Trabajamos de derecha a izquierda:

M= 600x

M(x=0) = 0

M(x=1) = 600

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

DMF

DEFORMADA

Calculo de tD/A EI tD/A = (Área DMF)DA XD 1

1

1

2

1

2

EI tD/A = 2(1500)(5)(1+3ˣ5)+ 2(600)(1) (3 ˣ1)- 4(900)(3)(1+3 ˣ3) EI tD/A = 10000 + 200 - 1080 TD/A =

9120 𝐸𝐼

Cálculo tA/D: EI tA/D = (Área DMF)AD XA 1

2

1

1

1

4

EI tA/D = 2(1500)(5)(3ˣ5)+ 2(600)(1) (5+3)- 4(900)(3)(2+5 ˣ3)

tA/D = 11130/EI

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EJEMPLO 10: Calcular la pendiente y la deflexión máxima en la viga en voladizo.

W A

B MC L

RC

Calculo de reacciones: ∑ 𝑀B = 0

∑ 𝑌=0

MB = (WL/2) (2L/3)

RB=WL/2

MB= WL2/3 Trabajando de derecha a izquierda

Mx= WL/2 M(x=0) = 0

M(x=L) = WL2/2

Mx= WL2/3

B

ℎ 𝑊

𝑥

=𝐿

h= Wx/L

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

1

Mx=-Wx2/2L (3x)

Mx=-Wx2/6L M(x=0) = 0 M(x=L) = WL2/2

DMF: L A

B

WL2/2

+

-WL2/3

-

-WL2/6

-

DEFORMADA: B

A

𝒕𝑨⁄𝑩

EI tA/B = (Área DMF)AB XA 1

𝐿

𝐿

1

𝐿

EI tA/B = 2(WL2/2)(L)(3) – (WL2/3) 2(L) - 4(WL2/6)(L)(3) EI tA/B = WL4/12 – WL4/6 – WL4/120 −11

TA/B = 120𝐸𝐼WL4

Calculo de ϴA ϴA= ϴAB= (Área DMF)AB 1

1

ϴA= 2(WL2/2)(L) - (WL2/3) - 4(WL2/6)(L) ϴA= WL3/4 – WL3/3 – WL3/24 ϴA= - WL3/8EI Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EJEMPLO 11: Calcular las deflexiones en A y B.

150 N/m A

B 2m

C MC 2m

RC

1.- Cálculo de reacciones: ∑ 𝑀C = 0 (150) (2) (3) – MC = 0 MC = 900 N/m

∑ 𝑀A = 0 (RC) (4) - (150) (2) (1) - 900 = 0 RC = 300 N

150 N/m

Mx =

−150𝑥 2 2

Mx 𝑀𝑥 = −75𝑥 2 x/2 x/2

M(0) = 0

M(4) = -1200

x x x/2 x/2

Mx =

−150𝑥 2 2

𝑀𝑥 = 75𝑥 2 Mx M(0) = 0 M(2) = 300

150 N/m

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I Diagrama de momento flector:

2m

2m 150

A

+

B

-1200 2m

2m

Deformada: A

C

B

𝒕𝑨⁄𝑪

𝒕𝑩⁄𝑪 = 𝜹𝑩

EI tA/C = (Área DMF)AC XA 1

3

1

𝒕𝑨⁄𝑪 = 𝜹𝑨 =

−4100

3

EI tA/C = 3(300)(2)(2+4ˣ2) - 3(1200)(4) (4 ˣ4) EI tA/C = 700 – 4800 𝐸𝐼

Para el cálculo de 𝛿𝐵 solo usamos el área de la figura (AB). Hacemos un nuevo DMF.

4m A

B +

-900

C

600

-

-300 EI tB/C = (Área DMF)BC 𝑋̅ B 1

1

2

EI tB/C = 2(600)(2)(2+3ˣ2) - (900)(2) (2) Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I EI tA/C = 400 – 1800 −1400

𝒕𝑩⁄𝑪 = 𝜹𝑩 =

𝐸𝐼

𝑁𝑚3

EJEMPLO 12: Calcular las 𝛿𝐴 2KN

4KN

A

B

C MC

1.5 m

1m

RC

1.- Cálculo de reacciones: ∑ 𝑀C = 0 (2) (2.5) + (4)(1) - MC = 0 MC = KN/m

∑ 𝐹V = 0 RC - 2 - 4 = 0 RC = 6 KN

2 KN

Mx = -2x KN.m Mx

x

M(0) = 0 M(2.5) = -5KN.m

4 KN

Mx = -4x KN.m Mx

x

M(0) = 0 M(1) = -4KN.m

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

Diagrama de momento flector: 𝟐

𝟏

𝟑

𝟑

- -4KN.m - -5KN.m

A 𝟐∗𝟐.𝟓

𝟐.𝟓

𝟑

𝟑

Deformada: A

C

B

𝒕𝑨⁄𝑪

𝒕𝑩⁄𝑪 = 𝜹𝑩

EI tA/C = (Área DMF)AC XA 1

2

1

2

EI tA/C = 2(-5)(2.5)(3ˣ2.5) - 2(4*1)(1.5 + 3) EI tA/C = −

125 𝐾𝑁.𝑚3 12

𝒕𝑨⁄𝑪 = 𝜹𝑨 = −



–

13 𝐾𝑁.𝑚3 3

14.75 𝐾𝑁.𝑚3 𝐸𝐼

cálculo de 𝛿𝐵 .

EI tB/C = (Área DMF)BC 𝑋̅ B 1

2

1

1

2

EI tB/C =- 2(4)(1)(3ˣ1) - (3)(1)(2) - 2(2)(1)(3ˣ1) EI tA/C = -

4 3

3

2

2

3

- -

𝒕𝑩⁄𝑪 = 𝜹𝑩 =

−7 2𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EJEMPLO 13.- Determinar la máxima deflexión para la figura.

Calculo de reacciones 𝑅𝐶 =

𝑊𝐿 2

∑𝑀𝐶 = 0 𝑊𝐿 3𝐿 ( ) = 𝑀𝐶 2 4 3𝑊𝐿2 𝑀𝐶 = 8

TRANSFORMADO LA FIGURA: Primer método

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

WX

Mx =

−𝑊𝑥 2 2

M(0)=0

x/2 x/2

M(L)=

−𝑊𝐿2 2

x x

Mx =

𝑊𝑥 2 2

x/2 x/2 𝐿

M(0)= 0 M(2) =

𝑊𝐿2 8

WX

DMF

EI tA/C = (Área DMF)AC XA 1

𝐿

𝐿

3𝐿

1

EI tA/C = 3(WL2/8)(2) (2 +4 2) – 3 (WL2/2) EI tA/C =

tA/C =

7𝑊𝐿4 384

-

3𝐿 4

(L)

𝑊𝐿4 8

−41𝑊𝐿4 384 𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I Segundo método

DMF

+

WL2/2

-

-3WL2/8 -WL2/8

-

M=

𝑊𝐿 2

x

M(x=L)=

𝑊𝐿2 2

3𝑊𝐿2

M= WX

Mx =

x/2 x/2

8 −𝑊𝑥 2

M(0)=0

2

𝐿

M(2)=

−𝑊𝐿2 8

x

Deformada A

𝒕𝑨⁄𝑪

B

C

𝒕𝑩⁄𝑪

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EI tA/C = (Área DMF)AC XA 3𝑊𝐿2

1

EI tA/C = 2(WL2/2)(L) - ( EI tA/C = tA/C =

𝑊𝐿4 12

-

3𝑊𝐿4 16

-

8

𝐿

1

𝐿

)(L) 2 – 3 (WL2/8) 2

𝑊𝐿4 384

−41𝑊𝐿4 384 𝐸𝐼

EJEMPLO 14.- calcular la deflexión y la pendiente en un punto x=2m.

CALCULO DE REACCIONES ∑𝑀𝐴 = 0 𝑀𝐴 = (

1200 ) (3)(2) 2

∑𝑀𝐴 = 3600 N.m

Calculo de DMF 𝑀𝑋 = 1800𝑋 𝑀0 = 0 𝑀3 = 5400 𝑅𝐴 = 1800 𝑀𝑋 = −3600

ℎ 𝑥 = 1200 3 h = 400x

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

𝑀𝑋 = (−200𝑋 2 )

𝑋 3

−200𝑋 3 𝑀𝑋 = ( ) 3 𝑀0 = 0

𝑀2 =

−1600 3

𝑀3 = −1800

DMF por partes:

DEFORMADA

Calculo de 𝒮𝐵 cuando x=2m

𝑡𝐵/𝐴 = 𝒮𝐵 𝐸𝐼𝑡𝐵/𝐴 =(𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐵/𝐴 ̅̅̅̅ 𝑋𝐵 1

1

2

3

𝐸𝐼𝑡𝐵/𝐴 = (3600 ∗ 2)

∗ 2 − (3600 ∗ 2)(1) −

1 1600 4

3

∗2

1 3

∗2

𝐸𝐼𝑡𝐵/𝐴 = 2400-7200-320/3 𝑡𝐵/𝐴 =

−14720 3𝐸𝐼

𝒮𝐵 = -

14720 3𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

Calculo de la pendiente cuando x=2m 𝜃𝐴𝐵 =𝜃𝐵 𝐸𝐼𝜃𝐵 =(𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐴𝐵 1

1 3600

2

4

𝐸𝐼𝜃𝐵 = (3600 ∗ 2) − (3600 ∗ 2) − 𝐸𝐼𝜃𝐵 =3600 − 7200 − 𝜃𝐵 =

3

∗2

800 3

−11600 3𝐸𝐼

EJEMPLO 15: Calcular la flecha máxima para la viga mostrada.

𝑀𝑋 = 100𝑋 𝑀(1) = 100 𝑀(3) = 300

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

𝑀𝑋 = −100𝑋 𝑀(1) = −300

DMF

DEFORMADA

𝐸𝐼tB/A= (𝐴𝐷𝑀𝐹)B/A XB 1

𝐸𝐼tD/A= 2 (300 ∗ 3) tD/A=

1 3

1

∗ 1 − 2 (800 ∗ 1)

400 𝐸𝐼

ΘA= ΘA=

tB/A 3

400 3𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

1

EIΘAC= 2 (100𝑋)(𝑋) ΘA=

50𝑋 2 𝐸𝐼

ΘA= ΘAC 400 50𝑋 2 = 3𝐸𝐼 𝐸𝐼 8 3

= 𝑋2

X = 1.63

𝐸𝐼tC/A= (𝐴𝐷𝑀𝐹)C/A XC 1

𝐸𝐼tC/A= 2 (100𝑋)(𝑋)

TC/A=

1 3

𝑋

50𝑋 3 3𝐸𝐼

Por relación de triángulos δmáx + tC/A 𝑋 = tB/A 3 δmáx =

(tB/A)(X) − tC/A 3

δmáx = (

400 50 ) (1.63) − (1.63)3 3EI 3EI

δmáx =

145.155 𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EJEMPLO 16: Calcular la deflexión en el punto D.

∑ 𝑀A = 0 𝑅𝐶(3) = (500)(1) + (100)(4) 𝑅𝐶 = 300 ∑ 𝑀C = 0 𝑅𝐴(3) = (500)(2) − (100)(1) 𝑅𝐴 = 300 𝑁

𝑴X = 300𝑋

M (3) = 900

M X = −500𝑋 M (2) = −1000

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

M X = −100𝑋 M (1) = −100

DMF

DEFORMADA

1. Calculo de tA/C 𝐸𝐼tA/C= (𝐴𝐷𝑀𝐹) A/C XA 1

𝐸𝐼tA/C= 2 (900 ∗ 3) 𝐸𝐼tA/C= 2700 − tA/C

=

2 3

1

2

∗ 3 − 2 (1000 ∗ 2)(1 + 3 ∗ 2)

7000 3

1100 3𝐸𝐼

tA/C

=

1100 3𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 2. Por relación de triángulos tenemos.

𝐷𝐸

= tA/C

1 3

𝐷𝐸 =

tA/C 1100 = 3 3 ∗ 3EI

𝐷𝐸 =

1100 9𝐸𝐼

3. Calculo de tD/C 𝐸𝐼tD/C= (𝐴𝐷𝑀𝐹) D/C XD 1

𝐸𝐼tD/C= − 2 (−100 ∗ 1) 100 TtD/C =100𝐸𝐼 D/C = 𝐸𝐼

2 3

∗1

4. Calculo de la deflexión en D (𝛿 D). 𝐷𝐸 = 𝛿𝐷 + tD/C 𝛿𝐷 = 𝐷𝐸 − tD/C 1100 100 𝛿𝐷 = − 9𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝛿𝐷 =

1100 9𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EJEMPLO 17: Calcular el valor de la deflexión en el punto medio claro de la viga mostrada.

Calculo de reacciones:



∑ 𝑀A = 0 𝑅𝐵(5) = 1200 + 4800 𝑅𝐵 = 1200

∑ 𝑀𝐹 Y = 0 𝑅𝐷 + 1200 − 1200 − 1200 = 0 𝑅𝐷 = 1200

DMF

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 𝑀𝑋 = 1200𝑋 𝑀(5) = 6000 𝑀(2.5) = 3000

𝑀𝑋 = −300𝑋2 𝑀(2.5) = −1875 𝑀(5) = −7500

𝑀𝑋 = −300𝑋2 𝑀(2) = −1200

𝑀𝑋 = −300𝑋2 𝑀(0.5) = 75 𝑀(3) = 2700

DEFORMADA

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I Solución N° 01 𝐸𝐼tD/A= (𝐴𝐷𝑀𝐹) D/A XD 1

𝐸𝐼tD/A= 3 (2700 ∗ 3)

1 4

1 2

∗ 3 + (6000 ∗ 5)

1 3

1 3

∗ 5 − (7500 ∗ 5)

1 4

1 3

1 4

∗ 5 − (1200 ∗ 2)( ∗ 2)

11000

tD/A =

𝐸𝐼

1

𝐸𝐼tE/A= 3 (75 ∗ 0.5) tE/A =

1

1

∗ 0.5 + 2 (3000 ∗ 2.5) 4

1

1

1

∗ 2.5 − 3 (1875 ∗ 2.5)(4 ∗ 2.5) 3

2150 𝐸𝐼

Por relación de triángulos tenemos. 𝛿𝐸 + tE/A 2.5 = tD/A 5 𝛿𝐸 =

(tD/A)(2.5) − tE/A 5

𝛿𝐸 = (

11000 2.5 2150 )( ) − 𝐸𝐼 5 𝐸𝐼

𝛿𝐸 =

3350 𝐸𝐼

Rpta.

Solución N° 02 (OTRA SOLUCIÓN) Trazar una tangente en el punto E.

𝛿𝐸 = tA/E 𝐸𝐼 tA/E= (𝐴𝐷𝑀𝐹)A/E XA 1

3

𝐸𝐼tA/E= 3 (75 ∗ 0.5) 2 + 4 ∗ 0.5 +

1 2

(3000 ∗ 2.5)

2 3

1

3

∗ 2.5 − 3 (1875 ∗ 2.5)(4 ∗ 2.5)

𝐸𝐼tA/E= 3350

tA/E=

3350 𝐸𝐼

= 𝛿𝐸

Rpta.

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EJEMPLO 18: Determinar el valor de 𝛿𝐵 de la viga

RC=400N

RC(3) = (600 ∗ 2)(1) RC = 400 ∑ 𝑀𝐹 Y = 0 400 + 𝑅𝐴 = 1200 𝑅𝐴 = 800

𝑀𝑋 = 400𝑋 𝑀(1) = 400 𝑀(3) = 1200

𝑀𝑋 = −300𝑋 2 𝑀(2) = −1200

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I DMF.

400

DEFORMADA 𝜹𝑩

𝐸𝐼tA/C= (𝐴𝐷𝑀𝐹) C/A XC 1

1

𝐸𝐼tA/C= 2 (1200 ∗ 3)

1

∗ 3 − 3 (1200 ∗ 2) 3

1 4

∗2

𝐸𝐼tA/C= 1400 tA/C =

1400 𝐸𝐼

𝐸𝐼tB/C= (𝐴𝐷𝑀𝐹) C/B XB 1

𝐸𝐼tB/C= 2 (400 ∗ 1) tB/C=

1 3

∗1

200 3𝐸𝐼

Por relación de triángulos tenemos. 𝛿B + tB/C 1 = tA/C 3 𝛿B =

𝑡𝐴/𝐶 − 𝑡𝐵/𝐶 3 Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

𝛿B =

𝛿B =

1400 200 − 3𝐸𝐼 𝐸𝐼

400 𝐸𝐼

EJEMPLO 19: Obtener el valor de 𝛿 bajo las cargas concentradas.

∑ 𝑀A = 0 RB(4) = (200 ∗ 1) + (500 ∗ 2) RB = 300

𝑀𝑋 = 400𝑋 𝑀(0) = 0 𝑀(2) = 800 𝑀(1) = 400

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

𝑀𝑋 = −200𝑋 𝑀(0) = 0 𝑀(1) = −200

𝑀𝑋 = 300𝑋 𝑀(0) = 0 𝑀(2) = 600 DMF

DEFORMADA

tD/A

𝐸𝐼tD/A= (𝐴𝐷𝑀𝐹)D/A XD 𝐸𝐼tD/A= 2 (600 ∗ 2)

1

2

6400

−

𝐸𝐼tD/A= 800 + tD/A=

2700 𝐸𝐼

3

𝑵𝒎3

3

1

1

1

1

∗ 2 + 2 (800 ∗ 2) 2 + 3 ∗ 2 − 2 (200 ∗ 1) 2 + 3 ∗ 1 700 3

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

1

𝐸𝐼tC/A= 2 (800 ∗ 2) 𝐸𝐼tC/A= TC/A=

1600 3

−

1 3

1

∗ 2 − 2 (200 ∗ 1)

1 3

∗1

100 3

500 𝐸𝐼

𝐸𝐼tB/A= (𝐴𝐷𝑀𝐹)B/A XB 1

𝐸𝐼tB/A= 2 (400 ∗ 1) TB/A=

1 3

∗1

200 3𝐸𝐼

Calculo de flecha en C (relación de triángulos deformada) δC + tA/C 2 = tD/A 4 δC =

2(tD/A) − tA/C 4

δC =

2 2700 500 ∗ − 4 𝐸𝐼 EI

δC =

850 EI

δB =

1(tD/A) − tB/A 4

δB =

1 2700 200 ( )− 4 𝐸𝐼 EI

δB =

1825 3EI

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EJEMPLO 20: Calcula el valor de la flecha bajo la carga concentrada de 100N.m

500 N

M = 1 0 0 N .m C

B

A 1m

D 1m

2m

R A = 400 N

R B = 100 N

CALCULO DE LAS REACCIONES: 𝑀𝐴 = 0 𝑅𝐵 (4) = 500(1) − 100 𝑅𝐵 = 100𝑁. 𝑚

𝑀𝐵 = 0 𝑅𝐴 (4) = 500(3) + 100 𝑅𝐵 = 400𝑁. 𝑚

𝑀𝑥 = 400𝑥 𝑀(0) = 0

𝑀(3) = 1200

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 𝑀𝑥 = −500𝑥 𝑀(0) = 0

𝑀(2) = −1000

𝑀𝑥 = 100𝑥 𝑀(0) = 0

𝑀(1) = 100

DMF:

1200

100

+

C

B

A

+

-

-1 0 0 0

DEFORMADA:

C

B

A 1m

1m

2m sc

t C /D

t A /D

𝐸𝐼𝑡𝐴/𝐷 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐴/𝐷 𝑋̅𝐴 Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

𝐸𝐼𝑡𝐴/𝐷 =

1 2 1 1 1 2 (1200 × 3) ( × 3) + (100 × 1) (3 + × 1) − (1000 × 2) (1 + × 2) 2 3 2 3 2 3

𝐸𝐼𝑡𝐴/𝐷 = 3600 + 𝑡𝐴/𝐷 =

500 7000 − 3 3

4300 3𝐸𝐼

𝐸𝐼𝑡𝐶/𝐷 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐶/𝐷 𝑋̅𝐶 1 1 𝐸𝐼𝑡𝐶/𝐷 = (100 × 1) ( × 1) 2 3 𝑡𝐶/𝐷 =

50 3𝐸𝐼

Por relación de triángulos, decimos: 𝛿𝐶 + 𝑡𝐶/𝐷 1 = 𝑡𝐴/𝐷 4 𝛿𝐶 =

𝑡𝐴/𝐷 − 𝑡𝐶/𝐷 4

4300 1 50 𝛿𝐶 = ( )( ) − 3𝐸𝐼 4 3𝐸𝐼 𝛿𝐶 =

1025 3𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EJEMPLO 21: Calcular la deflexión en el centro de la viga, x = 2m.

8 0 0 N /m

B

A

C

1m

3m

R A = 300

R B = 900

CALCULO DE LAS REACCIONES:

𝑀𝐴 = 0 𝑅𝐵 (4) = (

800 × 3 ) (3) 2

𝑅𝐵 = 900 𝑁

𝑀𝐵 = 0 800 × 3 1 𝑅𝐵 (4) = ( ) ( × 3) 2 3 𝑅𝐴 = 300 𝑁 𝑀𝑋 = 300𝑋 𝑀(0) = 0

𝑀(4) = 1200

𝑀(2) = 600

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I ℎ 𝑥 = 800 4 ℎ = 200𝑥

𝑀𝑥 =

−100𝑥 3 3

𝑀(0) = 0 𝑀(1) =

−100 3

𝑀(3) = −900 DMF:

1200 +

A

B

D

C

1 0 0 /3 -

900

DEFORMADA:

A

B

C

D

sD

t D /A t C /A

600

𝐸𝐼𝑡𝐶/𝐴 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐶/𝐴 𝑋̅𝐶 1 1 1 1 𝐸𝐼𝑡𝐶/𝐴 = (1200 × 4) ( × 4) − (900 × 3) ( × 3) 2 3 4 5

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 𝐸𝐼𝑡𝐶/𝐴 =

2795 𝐸𝐼

𝐸𝐼𝑡𝐷/𝐴 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐷/𝐴 𝑋̅𝐷 𝐸𝐼𝑡𝐷/𝐴 =

1 1 1 100 1 (600 × 2) ( × 2) − ( × 2) ( × 2) 2 3 4 3 5

𝐸𝐼𝑡𝐷/𝐴 =

1180 3𝐸𝐼

Por relación de triángulos: 𝛿𝐷 + 𝑡𝐷/𝐴 2 = 𝑡𝐶/𝐴 4 𝛿𝐷 =

𝑡𝐶/𝐴 − 𝑡𝐷/𝐴 2

2795 1180 𝛿𝐷 = ( )− 2𝐸𝐼 3𝐸𝐼 𝛿𝐷 =

6025 6𝐸𝐼

EJEMPLO 22 En la viga mostrada determinar la deflexión en el punto donde se aplica el momento

∑Ma=0 Rc (L)-M=0 Rc=M/L

∑Mc=0 Ra(L)-M=0 Ra=M/L Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

TRAMO A-B:

X V

Mx

M/L 𝑀

Mx = 𝐿 (X) M(0) = 0 M(L) = M M(a) =

𝑀𝑎 𝐿

TRAMO B-C: X M

Mx

Mx = −M 𝑀(𝑎) = −𝑀 𝑀(𝑏) = −𝑀

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I DMF:

DEFORMADA:

EI t B/A= (AREA DMF)BA XB 1 𝑀𝑎

EI t B/A= 2(

𝐿

𝑀𝑎3

EI t B/A=

6𝐿

𝑀𝑎3

T B/A=6𝐿𝐸𝐼

𝑎

)𝑥 𝑎 𝑥 3

EI t C/A= (AREA DMF)C/A XC 1

EI t C/A = 2 (𝑀𝑥𝐿) 𝑀𝐿2

EI t C/A= EI t C/A=

6

𝑀𝐿2 6

−

−

𝑀

𝑀 2

2

𝐿 3

− (𝑀)𝑥(𝐿 − 𝑎)(

𝐿−𝑎) 2

)

𝑥(𝐿 − 𝑎)2

𝑥(𝐿2 − 2𝐿𝑎 + 𝑎2 )

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EI t C/A=

𝑀𝐿2 −3𝑀(𝐿2 −2𝐿𝑎+𝑎2 ) 6 1

EI t C/A=6 (𝑚𝐿2 − 3𝑀𝐿2 + 6𝑀𝐿𝑎 − 3𝑀𝑎2 ) 1

t C/A=6𝐸𝐼 (−2𝑀𝐿2 + 6𝑀𝐿𝑎 − 3𝑀𝑎2 ) 𝑀

t C/A=6𝐸𝐼(−3𝑎2 − 2𝐿2 + 6𝐿𝑎)

Por relación de triángulo: 𝐵 𝑡 𝐴 − 𝛿𝐵 𝑡 𝐶/𝐴

=

𝑎 𝐿

𝐵

𝑎

𝛿𝐵 = 𝑡 𝐴 − 𝑡 𝐶/𝐴𝑥(𝐿 ) 𝛿𝐵 = 𝛿𝐵 = 𝛿𝐵 =

𝑀𝑎3 6𝐸𝐼 𝑀𝑎3 6𝐸𝐼

𝑀

𝐴

− 6𝐸𝐼 (−3𝑎2 − 2𝐿2 + 6𝐿𝑎)x 𝐿 𝑀

− 6𝐸𝐼 (−3𝑎3 − 2𝐿2 𝑎 + 6𝐿𝑎2 )

𝑀𝑎3 +3𝑀𝑎3 +2𝑀𝐿2 𝑎−6𝑀𝐿𝑎2 6𝐸𝐼 𝑀𝑎

𝛿𝐵 = 6𝐸𝐼 (4𝑎3 + 2𝐿2 − 6𝐿𝑎) 𝑀𝑎

𝛿𝐵 = 3𝐸𝐼 (2𝑎3 + 𝐿2 − 3𝐿𝑎)

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EJEMPLO 23: calcular el valor de p de manera que la viga elástica es apoyo derecha sea

horizontal ∑Ma=0

∑Mb=0

Rb(3) = P+300(5) Rb=

𝑃 3

Ra(3) = 2P-600 2𝑃

Ra= 3 − 200

+500

TRAMO A ANTES DE LA CARGA

X V

Mx

2𝑃 − 200 3 2𝑃

Mx=( 3 − 200)𝑋 M(3)= 2P-600

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I TRAMO B A LA IZQUIERDA

P X V

Mx

Mx=-Px M(2)=-2P

TRAMO C A LA IZQUIERDA

Mx

300N X Mx

Mx=-300x M(2)=-600

DMF:

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I DEFORMADA:

EI t A/B= CONDICION DEL PROBLEMA EI t A/B=(AREA DMF)ABXB 1

0=2 (2𝑝 − 600)(3)

2

1

2

𝑥3 − 2 (2𝑝)(2)(1 + 3 𝑥2) 3

7

0= 6p-1800 -2p(3) P=1350N

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I EJEMPLO 24: Calcule ʆ C

400N/m

200N

RB=750N

RA=50N CALCULO DE LAS REACCIONES:

MX= -200X3/9 M(3)=-600

Mx=-200X M(2)=-400

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

DMF:

200

+

-

-

-600

DEFORMADA:

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EJEMPLO 25: Calcular la deflexión en el punto medio entre apoyos de la viga

CALCULO DE REACCIONES:

Mx= - x2 M(2)= -4

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

Mx= 2x M(4)= 8

Mx=-x2 M(4)= -16

Mx= x2 M(2)= 4

DMF:

+

+

-

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I DEFORMADA TENTATIVA:

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

Como aquí vemos el resultado es negativo y la deformada anterior indica que tendría que ser positiva, entonces tenemos una nueva deformada. Ver:

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I EJEMPLO 26: Calcule 𝛿𝐴 (Extremo izquierdo de la viga con voladizo)

DEFORMADA

DMF:

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EJEMPLO 27: Calcular ʆ V3 y 𝜃4

P Rótula 1

3

M1

4

2

2L

L/2

L/2

PL

R1=

𝑷 𝟐

R3=

𝑷 𝟐

R4=

𝑷 𝟐

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I DMF:

2L

1

+

2

3 2

4

-

L/2

L/2

DEFORMADA:

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EJEMPLO 28: Calculas las reacciones, 𝜃2 y 𝛿𝑣2

1

2 w

L

Problema hiperestático: *Calcular DMF por partes (Derecha a izquierda).

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 𝑀𝑥 = 𝑅2 𝑥 𝑀(0) = 0

M x

𝑀(𝐿) = 𝑅2 𝐿

R2

𝑀𝑥 = −𝑊𝑥

wx

𝑥 2

M x /2

𝑀𝑥 = −

x /2 x

𝑊𝑥 2 2

𝑀(𝐿) = −

𝑊𝐿2 2

DMF:

(+ )

L

(-)

2 -W L 2

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I DEFORMADA:

1

L

2 02

t 1 /2



Calculo de t 2/1 = 0

𝐸𝐼 = (𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝐷𝑀𝐹)1/2 𝑋̅2 0=

1 2 1 𝑊𝐿2 3 (𝑃2𝐿) ∗ 𝐿 ∗ ( ∗ 𝐿) − ( ) ∗ 𝐿 ∗ ( ∗ 𝐿) 2 3 3 2 4

𝑅2𝐿3 𝑊𝐿4 0= − 3 8 𝑅2𝐿3 𝑊𝐿4 = 3 8 

Calculo de 𝜽𝟐

𝜃12 = 𝜃1 + 𝜃2

𝜃1 = 0

𝜃12 = 𝜃2 𝐸𝐼𝜃12 =

𝑅2𝐿 1 𝑊𝐿2 𝐿− ( )∗𝐿 2 3 2

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 1 3𝑊𝐿2 𝑊𝐿3 𝐸𝐼𝜃12 = 𝐿−( ) 2 8 6 𝐸𝐼𝜃12 =

3𝑊𝐿3 𝑊𝐿3 −( ) 16 6

𝐸𝐼𝜃12 =

𝑊𝐿3 48𝐸𝐼

VIGA:

1

2 w

L R 2 = 3 W L /8

𝑀=0 3𝑊𝐿(𝐿) 𝑊𝐿2 𝑀1 + − =0 8 2 𝑀1 =

𝑊𝐿2 3𝑊𝐿2 − 2 8

𝑊𝐿2 𝑀1 = 8 

Calculo de R1 𝑀2 = 0 𝐿 𝑀1 + 𝑊𝐿 − 𝑅1𝐿 = 0 2 𝑅1𝐿 = 𝑀1 +

𝑊𝐿2 2 Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 𝑊𝐿2 𝑊𝐿2 𝑅1𝐿 = + 8 2 𝑅1𝐿 =

5𝑊𝐿2 8

𝑅1 =

5𝑊𝐿 8

EJEMPLO 29: Calcular 𝛿𝑉𝐷 y 𝛿𝐻𝐶

A

B

3a

2a

P a

Empezamos a analizar de derecha a izquierda.

𝑀𝑥 = −𝑃𝑥 P

𝑀(𝑎) = −𝑃𝑎 M x

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I Mx

𝑀 = 𝑃𝑎

Pa P

P M

𝑀𝑥 = 𝑃𝑎 − 𝑃𝑥

Pa

𝑀(0) = 0

x

𝑀(𝑎) = 𝑃𝑎 𝑀(3𝑎) = −2𝑃𝑎

-2 P a

DMF: -

a

Pa

2a

+

2a

+

-P a a

-

DEFORMADA: -Linea Punteada marco original y proyecciones. -Linea continua marco deformado.

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

A

B

3a 0B

VB 0B

0B 2a 0BC

P a D

C 0C 0C

0ca VB

VB HC

0D

∆𝑉𝐵 = 𝑡𝐵/𝐴 𝐸𝐼 𝑡𝐵/𝐴 =

1 𝑎 1 2 𝑃𝑎 ∗ 𝑎 ∗ − 2𝑃𝑎 ∗ 2𝑎(𝑎 + 2𝑎) 2 3 2 3

𝐸𝐼 𝑡𝐵/𝐴 =

𝑃𝑎3 14𝑃𝑎3 − 6 3

𝑡𝐵/𝐴

−9𝑃𝑎3 = = ∆𝑉𝐵 2𝐸𝐼

𝜃𝐴𝐵 = 𝜃𝐴 + 𝜃𝐵 𝐸𝐼𝜃𝐴𝐵 =

1 1 𝑃𝑎 ∗ 𝑎 − 2𝑃𝑎 ∗ 2𝑎 2 2

𝐸𝐼𝜃𝐴𝐵 =

𝑃𝑎2 − 2𝑃𝑎2 2

𝜃𝐴𝐵 =

−3𝑃𝑎2 = 𝜃𝐵 2𝐸𝐼

𝜃𝐴 = 0

𝜃𝐵𝐶 = 𝜃𝐵 + 𝜃𝐶 𝐸𝐼𝜃𝐵𝐶 = 𝑃𝑎 ∗ 2𝑎 Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 2𝑃𝑎2 𝜃𝐵𝐶 = 𝐸𝐼 𝜃𝐵𝐶 − 𝜃𝐵 = 𝜃𝐶 2𝑃𝑎2 3𝑃𝑎2 𝜃𝐶 = − 𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝜃𝐶 =

−𝑃𝑎2 𝐸𝐼

𝐸𝐼 𝑡𝐷/𝐶 = 𝑡𝐷/𝐶

1 2𝑎 𝑃𝑎 ∗ 𝑎 ∗ 2 3

−𝑃𝑎3 = 3𝐸𝐼

𝐸𝐼 𝑡𝐶/𝐵 = 𝑃𝑎 ∗ 2𝑎 ∗

2𝑎 2 𝑡𝐶/𝐵 =

2𝑃𝑎3 𝐸𝐼

Calculo del desplazamiento vertical en D 𝛿𝑉𝐵 𝛿𝑉𝐵 = ∆𝑉𝐵 + 𝜃𝐶𝑎 + 𝑡𝐷/𝐶 𝛿𝑉𝐵 =

9𝑃𝑎3 𝑃𝑎3 𝑃𝑎3 + + 2𝐸𝐼 2𝐸𝐼 3𝐸𝐼

𝛿𝑉𝐵 =

16𝑃𝑎3 3𝐸𝐼

Calculo del desplazamiento horizontal en C. 2𝑎𝜃𝐵 = 𝑡𝐶/𝐵 + ∆𝐻𝐶 2𝑎

3𝑃𝑎2 2𝑃𝑎3 = + ∆𝐻𝐶 2𝐸𝐼 𝐸𝐼

𝑃𝑎3 ∆𝐻𝐶 = 𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EJEMPLO 30.- Calcular 𝛿𝑣𝑏 , 𝜃𝐴

P

2a 3

a 3

w

A

1. Cálculo de reacciones

B

∑𝑀𝐴 = 0

C

A rtic u la c ió n

a

b

P

R

A

2P B= 3

B

∑𝑀𝐵 = 0

𝑎

2𝑎

𝑅(𝐴) (𝑎) = 𝑃(3)

𝑅(𝐵) (𝑎) = 𝑃( 3 )

𝑅(𝐴) =

𝑅(𝐵) =

𝑃 3

2𝑃 3

2. Cálculo de diagrama momento por partes w

MB

B

Tramo A-B

C

MX R R

B=

2P 3

R C=

x

P A= 3

P 3

DMF por partes:

𝑀𝑥 =

𝑃𝑥 3

Pa 3

𝑀(0) = 0 𝑀(𝑎) =

𝑃𝑎 3

P

MX 1

+

x

2

Pa 3

a

𝑎

−𝑃𝑎

3

3

𝑀𝑥 = −𝑃𝑥 𝑀(0) = 0 𝑀( ) =

-

2P 3

MX x 3

-

4

-2 P b 3

𝑀𝑥 =

−2𝑃𝑥 3

-

𝑀(0) = 0 𝑀(𝑏) =

−2𝑃𝑏 3

wx

w b2 2

MX x

𝑀𝑥 =

−𝑤𝑥 2

𝑀(0) = 0 𝑀(𝑏) =

−𝑤𝑏2 2

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

Deformada: B

A

?

B

𝛿𝑣2 t t

𝐸𝐼 𝑡𝐵/𝐶 = (𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐵𝐶 . 𝑋𝐵 𝐸𝐼 𝑡𝐵/𝐶 =

−1 2 2 ( 𝑃𝑏) (𝑏) ( 𝑏) − 2 3 3

1 𝑤𝑏 2 3 ( )(𝑏)( 𝑏) 3 2 4 𝐸𝐼 𝑡𝐵/𝐶 =

−2𝑃𝑏 3 𝑤𝑏 4 − 9 8

𝐸𝐼 𝑡𝐵/𝐶 =

−2𝑃𝑏 3 𝑤𝑏 4 − 9𝐸𝐼 8𝐸𝐼

−𝛿𝑣2 =

2𝑃𝑏4 9𝐸𝐼

−

𝑤𝑏4 8𝐸𝐼

B /C

𝛿𝑣2

B /A

𝑡𝐵/𝐶 = 𝛿𝑣2

Rpta.

C

A

𝐸𝐼 𝑡𝐵/𝐴 = (𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐵𝐴 . 𝑋𝐵 1 𝑃𝑎 𝑎 1 𝑃𝑎 𝑏 1 𝑎 𝐸𝐼 𝑡𝐵/𝐴 = ( ) (𝑎) − ( )( )( ) 2 3 3 2 3 3 33 𝐸𝐼 𝑡𝐵/𝐴 =

𝑃𝑎4 𝑃𝑎4 − 18 162

𝐸𝐼 𝑡𝐵/𝐴 =

4𝑃𝑎4 81𝐸𝐼

𝜃𝐴 =

𝛿𝑣2 +𝑡𝐵/𝐴 𝑎

𝜃𝐴 =

2𝑃𝑏 4 𝑤𝑏 4 4𝑃𝑎4 + + 9𝑎𝐸𝐼 8𝑎𝐸𝐼 8𝑎𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EJEMPLO 31.- Calcular 𝛿𝑣𝐶 Cálculo de reacciones

1 0 m /m

∑𝑀𝐴 = 0

A B

C

4 m R A=

4𝑅𝐵 = (40)(2) + (20)(5)

2 m

𝑅𝐵 = 45

15 TN

R B=

DMF

45 TN

∑𝑀𝐴 = 0

60

4𝑅𝐵 = (40)(2) + (20)(5) 𝑅𝐵 = 45

4m

A 2

M x=15x M (4 )= 6 0

15

+

1

MX

x

10x 2m

B 3

MX

C

-

-

M x = -5 x ² M (4 )= - 8 0

x

10x

20

MX

M x = -5 x ²

80

x

M (2 )= - 2 0

Deformada 2m

4 m A

B

t

C

𝑡𝐵/𝐶 = 𝛿𝑣𝑐 =

160

B /A = 3 E I

𝑡𝐶/𝐴 =

𝐸𝐼𝑡𝐴/𝐵 = (𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐴𝐵 . 𝑋𝐴 𝐸𝐼 𝑡𝐴/𝐵

1 2 = (60)(4) ( 𝑥4) − 2 3

1 3 (80)(4)( 𝑥4) 3 4

20 𝐸𝐼

60 𝐸𝐼

𝐸𝐼 𝜃𝐴𝐵 = (𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐴𝐵 1 1 𝐸𝐼 𝜃𝐴𝐵 = (60)(4) − (80)(4) 2 3 𝐸𝐼 𝜃𝐴𝐵 =

40 3𝐸𝐼

𝐸𝐼 𝑡𝐴/𝐵 = 320 − 320 𝐸𝐼 𝑡𝐴/𝐵 = 0

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

𝐸𝐼 𝑡𝐶/𝐵 = (𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐶𝐵 . 𝑋𝐶 𝐸𝐼 𝑡𝐶/𝐵 =

−1 3 (20)(2) ( 𝑥2) 3 4

𝐸𝐼 𝑡𝐶/𝐵 =

−20 𝐸𝐼

Rpta

2. Método: 𝐸𝐼 𝑡𝐶/𝐴 = (𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐶𝐴 . 𝑋𝐶 −1 3 (20)(2) 𝑥2 3 4 1 1 (60𝑥4)(2 + 3 𝑥4) 2

𝐸𝐼 𝑡𝐶/𝐴 = 1 𝑥4 4

+

𝐸𝐼 𝑡𝐶/𝐴 =

−60 𝐸𝐼

1

− 3 (80𝑥4) 2 +

Rpta

Por triángulos rectángulos tienen: 𝑡𝐶/𝐵 + 𝑡𝐶/𝐴 6 = 𝑡𝐵/𝐴 4 𝑡𝐶/𝐵 =

3𝑡𝐵/𝐴 − 𝑡𝐶/𝐴 2

3 160 60 𝐸𝐼 𝑡𝐶/𝐵 = ( )− 2 3𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝑡𝐶/𝐵 =

20 𝐸𝐼

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EJEMPLO N° 32: Calcular las deflexiones 𝜕𝐵 𝑦 𝜕𝑐

I. Cálculo de DMF por partes

𝑀(𝑥) = −𝑃𝑥 𝑀(0) = 0 𝐿 −𝑃𝐿 𝑀( ) = 2 2 𝑀(𝐿) = −𝑃𝐿

𝑀(𝑥) = 𝑀𝑜 𝑀(0) = 𝑀0 𝐿 𝑀 ( ) = 𝑀0 2

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR

DEFORMADA

II.Cálculo de 𝜕𝐵 𝐸𝐼𝑡𝑏/𝑎 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝑏/𝑙 𝑋𝑏 𝐿 𝐿 𝐿 1 2 𝐸𝐼𝑡𝑏 = (𝑀0 ) ( ) ( + ) − (𝑃𝐿)(𝐿) ( 𝑋𝐿) 2 2 4 2 3 𝑎 𝐸𝐼𝑡𝑏/𝑎 𝐸𝐼𝑡𝑏/𝑎 =

3𝑀0 𝐿2 𝑃𝐿3 = − 8 3

3(36)(8)2 3.8(8)3 − 8 3 𝑡𝑏/𝑎 =

3232 15𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 𝐸𝐼𝑡𝑐/𝑎 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝑐/𝑎 𝑋𝑐 𝐿 𝐿 1 𝐿 𝐿 1 𝑃𝐿 𝐿 2 𝐿 𝐸𝐼𝑡𝑐/𝑎 = (𝑀0 ) ( ) ( ) − (𝑃𝐿) ( ) ( ) − ( ) ( ) ( . ) 2 4 2 2 4 2 2 2 3 2 𝐸𝐼𝑡𝑐/𝑎 = 𝐸𝐼𝑡𝑐/𝑎 𝑡𝑐/𝑎 = 𝑡𝑐 = 𝑎

𝑀0 𝐿2 𝑃𝐿3 𝑃𝐿3 − − 8 16 24 𝑀0 𝐿2 5𝑃𝐿3 = − 8 48

𝐿2 (6𝑀0 − 5𝑃𝐿) 48𝐸𝐼

64 (6(36) − 5(3.8)(8)) 48𝐸𝐼 𝑡𝑐/𝑎 =

256 3𝐸𝐼

EJEMPLO N° 33: Calcular las deflexiones 𝜃𝑎 , 𝜃𝑑 𝑦 𝜕𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜

Calculamos las reacciones y momentos para graficar el DMF

𝑀𝐴 = 0 20 𝑥 𝑅𝐷 = (200 𝑥 5) + (120 𝑥 15) 𝑅𝐷 = 140

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 𝑀𝐷 = 0 20 𝑥 𝑅𝐴 = (120 𝑥 5) + (200 𝑥 15) 𝑅𝐷 = 180

𝑀(𝑥) = 140𝑋 𝑀(0) = 0 𝑀(20) = 2800

𝑀(𝑥) = −120𝑋 𝑀(0) = 0 𝑀(15) = −1800

𝑀(𝑥) = −10𝑋 2 𝑀(0) = 0 𝑀(10) = −1000 Diagrama de momento flector

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I Se traza la deformada

I. 𝐸𝐼𝑡𝐴/𝐷 = (Á𝑅𝐸𝐴 𝐷𝑀𝐹)𝐴/𝐵 𝑋𝑛 𝐸𝐼𝑡𝐴/𝐷 =

1 1 1 1 1 1 (2800𝑥20) ( . 20) − (1800𝑥15) ( . 15) − (1000𝑥10) ( . 10) 2 3 2 3 3 4 𝐸𝐼𝑡𝐴/𝐷 =

560000 25000 − 67500 − 3 3 𝐸𝐼𝑡𝐴/𝐷 =

332500 3𝐸𝐼

II. 𝐸𝐼𝑡𝐷/𝐴 = (Á𝑅𝐸𝐴 𝐷𝑀𝐹)𝐵/𝐴 𝑋𝑛 𝐸𝐼𝑡𝐷/𝐴 =

1 2 1 2 (2800𝑥20) ( . 20) − (1800𝑥15) (5 + . 15) 2 3 2 3 1 3 − (1000𝑥10) (10 + . 10) 3 4

𝐸𝐼𝑡𝐷/𝐴 =

1120000 175000 − 202500 − 3 3 𝐸𝐼𝑡𝐷/𝐴 =

112500 𝐸𝐼

Finalmente, realizamos el cálculo de los giros 𝜃𝐴 =

𝑡𝐷/𝐴 20

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 𝜃𝐴 =

112500 20𝐸𝐼

𝜃𝐴 =

5625 𝐸𝐼

𝜃𝐵 =

𝑡𝐴/𝐷 20

𝜃𝐵 =

332500 60𝐸𝐼

𝜃𝐵 =

16625 3𝐸𝐼

Para el cálculo de ∫máx

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

ƟDF = ƟD ƟDF = (Área DMF) DF ƟDF = 12 (140𝑥)(𝑥) − 12 (120)(𝑥 − 5)(𝑥 − 5) ƟDF= 70𝑥 2 − 60(𝑥 − 5)2 ƟDF= 70𝑥 2 − 60(𝑥 2 − 10𝑥 + 25)2 ƟDF = 70𝑥 2 − 60𝑥 2 + 600𝑥 − 1500 ƟDF= 10𝑥 2 + 600𝑥 − 1500 ƟDF= 𝑥 2 + 60𝑥 − 150

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I EJEMPLO 34: Calcular el desplazamiento en B y la pendiente en A

I.

Cálculo de reacciones ⅀𝑀𝐴 = 0 2 𝑅𝐵 (2.5) = (85 ∗ ) + (170 ∗ 1.5) 3 + 150 ∗ 3

𝑅𝐵 =

914 𝐾𝑔 3

⅀𝑀𝐵 = 0 1 𝑅𝐴 (2.5) = (170 ∗ 1) + 85 ∗ (1.5 + ) 3 − 150 ∗ (0.5)

II.

Cálculo de momentos por partes

𝑀𝑋 =

301 𝑋 3

𝑀(0) = 0

𝑀(1) =

301 3

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

𝑀𝑋 =

914𝑋

𝑀(0) = 0

3

𝑀(1.5)) = 457

𝑀𝑋 =

−85𝑋 3 3

𝑀𝑋 = −85𝑋 2

𝑀𝑋 = −150𝑋

−85 3

𝑀(0) = 0

𝑀(1) =

𝑀(0) = 0

𝑀(1) = −85

𝑀(0) = 0

𝑀(2) = −300

Cálculo de desplazamientos 𝐸𝐼 𝑡𝐸/𝐷 = (𝐴𝑅𝐸𝐴 𝐷𝑀𝐹)𝐸/𝐷 𝑋𝐸 𝐸𝐼 𝑡𝐸/𝐷 =

−1

𝑡𝐸/𝐷 =

−25

2

(75)(0.5)

2𝑋 3

∗ 0.5

4𝐸𝐼

𝐸𝐼 𝑡𝐵/𝐴 = (𝐴𝑅𝐸𝐴 𝐷𝑀𝐹)𝐵/𝐴 𝑋𝐵 𝐸𝐼 𝑡𝐸/𝐷 = (𝐴𝑅𝐸𝐴 𝐷𝑀𝐹)𝐸/𝐷 𝑋𝐸 𝐸𝐼 𝑡𝐸 = 𝐷

1 301 2 1 85 1 ( ) (1) ( ) − ( ∗ 1) ( ) 2 3 3 4 3 5 301 17 𝐸𝐼 𝑡𝐸 = ( )− 9 12 𝐷 1153 𝑡𝐸 = ( ) 12𝐸𝐼 𝐷

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 𝐸𝐼 𝑡𝐷/𝐴 = (𝐴𝑅𝐸𝐴 𝐷𝑀𝐹)𝐷/𝐴 𝑋𝐷

𝐸𝐼 𝑡𝐷 = 𝐴

1 2 1 301 1 1 3 1 85 1 1.5 (457 ∗ 1.5) ( ∗ 1.5) + ( ∗ 1) (1.5 + ) − (85 ∗ 1) (0.5 + ) − ( ∗ 1) (1.5 + ) − (75 ∗ 1.5) ( ) 2 3 2 3 3 3 4 4 3 5 2 1 2 − (225 ∗ 1.5) ( ∗ 1.5) 2 3 𝐸𝐼 𝑡𝐷 = 𝐴

1371 3311 425 17 675 675 + − − − − 4 6 12 8 8 4 𝑡𝐷 = 𝐴

7247 12𝐸𝐼

Cálculo de ƟA Ɵ𝐴 =

𝑡𝐷/𝐴 7247 = (12)(2.5)𝐸𝐼 2.5 7247

Ɵ𝐴 = 30𝐸𝐼

𝑅𝑝𝑡𝑎

Cálculo de ∫B ∫B = ∫B =

7247 1 1153 ( )− 12𝐸𝐼 2.5 12𝐸𝐼

𝑡𝐷/𝐴 − 𝑡𝐵/𝐴 2.5 ∫B =

8729 12𝐸𝐼

Rpta

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EJEMPLO 35: Determinar la máxima deflexión:

𝑰. 𝑪á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒂𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔: ↺+ 3𝑅𝐷 =

𝑀𝐴 = 0

𝑤 𝑥1 + (𝑤𝑥2.5) 2 𝑅𝐷 = 𝑤

𝑰𝑰. 𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒇𝒍𝒆𝒙𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒚 𝒈𝒊𝒓𝒐𝒔: 𝐸𝐼𝑡𝐷⁄𝐴 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐷⁄𝐴 . 𝑥̅𝐷

𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐:

1 3𝑤 1 1 𝐸𝐼𝑡𝐷⁄𝐴 = ( ) (3)(1) − (𝑤. 2) ( . 2) 2 2 2 3 1 𝑤 1 (1) ( ) − 3 2 4 𝐸𝐼𝑡𝐷⁄𝐴 =

𝜃𝐴

𝑡𝐷⁄𝐴 37𝑤 1 = ( ) 3 24𝐸𝐼 3 𝜃𝐴 =

37𝑤 72𝐸𝐼

9𝑤 2𝑤 𝑤 37𝑤 − − → 𝑡𝐷⁄𝐴 = 4 3 24 24𝐸𝐼

𝑪á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒙: 𝜃𝐴𝐶 = 𝜃𝐴 → 𝐸𝐼𝜃𝐴𝐶 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐴𝐶 𝐸𝐼𝜃𝐴𝐶

1 𝑤𝑥 1 𝑤 𝑤𝑥 2 𝑤 2 (𝑥) − (𝑥 − 1)(𝑥 − 1) = = − (𝑥 − 2𝑥 + 1) 2 2 2 2 4 4

𝐸𝐼𝜃𝐴𝐶

𝑤𝑥 2 𝑤𝑥 2 𝑤𝑥 𝑤 𝑤𝑥 𝑤 𝐸𝐼37𝑤 𝑤𝑥 𝑤 = − + − = − → = − 4 4 2 4 2 4 72𝐸𝐼 2 4

37 𝑥 1 𝑥 55 = − → = 72 2 4 2 72

∴ 𝑥=

55 36

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

𝑪á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝜹𝒎á𝒙. : 𝛿𝑚𝑎𝑥 = 𝑡𝐴⁄𝐸 → 𝐸𝐼𝑡𝐴⁄𝐸 =

𝐸𝐼𝑡𝐴⁄𝐸 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐴𝐸 𝑥̅𝐴

1 𝑤𝑥 2𝑥 1 𝑤 2 (𝑥) ( ) − (𝑥 − 1)(𝑥 − 1) (1 + (𝑥 − 1)) 2 2 3 2 2 3

𝑹𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 =

𝟓𝟓 𝟑𝟔

𝐸𝐼𝑡𝐴⁄𝐸

𝑤 55 3 𝑤 55 55 2 55 = ( ) − ( − 1) ( − 1) (1 + ( − 1)) 6 36 4 36 36 3 36

𝐸𝐼𝑡𝐴⁄𝐸

𝑤 55 3 𝑤 361 73 = ( ) − ( )( ) 6 36 4 1296 54

𝐸𝐼𝑡𝐴⁄𝐸 = 0.57𝑤 → 𝑡𝐴⁄𝐸 =

0.57𝑤 𝐸𝐼

→ 𝛿𝑚𝑎𝑥. =

0.57𝑤 𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EJEMPLO 36: Calcular las reacciones: 𝑰. 𝑫𝒆𝒍

𝑫𝑴𝑭 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 ∶ 𝑬𝑰

EI t A⁄ = 0 B

EI t A⁄ = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹 )𝐴⁄

𝐵

B

0=

1 2 1 (5𝑅𝐴 × 5) ( × 5) + (3) 2 3 2

5 5 3 5 + 2 × (4) × (4𝑅𝐴 + 𝑅𝐴 ) [5 + ( )] 3 2 3 2+4 5 𝑀𝐴 2 −(𝑀𝐴 × 5) ( ) − ( × 3) (5 + × 3) 2 2 3

𝐵

1

5

0=2 (5𝑅𝐴 × 5) + 2 (3) × 4𝑅𝐴 + 2 𝑅𝐴 − (𝑀𝐴 × 5) − 0=

𝑀𝐴 2

125 129 25 34 𝑅𝐴 + 𝑅𝐴 − 𝑀𝐴 − 3 2 2 4

0=

637 89 𝑅𝐴 − 𝑀𝐴 − 315 6 4

637 89 𝑅𝐴 − = 315 … … … I 6 4

𝐸𝐼𝜃𝐴𝐵 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹 )𝐴⁄ 1

0=

De las ecuaciones…… I Y II

1

× 3 − 2 (30 × 3)

25 39 3 𝑅𝐴 + 𝑅𝐴 − 5𝑀𝐴 − 𝑀𝐴 − 45 2 4 2

637 89 𝑅𝐴 − 𝑀𝐴 = 315 6 4 (−

89 13 𝑅𝐴 − 𝑀𝐴 = 45 … … … … II 4 2

637 89 𝑅𝐴 − 𝑀𝐴 = 315 6 4 −

Reemplazando en III en (I) 𝑅𝐴 = 5.36 𝑇𝑛

1274 89 13 ) 𝑅𝐴 − 𝑀𝐴 = 45 267 4 2

637 8281 19110 𝑅𝐴 + 𝑀𝐴 = − 6 267 89 9361 8925 𝑀𝐴 = 1069 89 𝑀𝐴 = 11.45 … … … . III

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

𝐿 = 1𝑚.

EJEMPLO 37: Calcular las reacciones de la siguiente figura. EI𝜃1⁄5 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐴𝐵 1

1

0 = 2 (3𝐿𝑅1 𝑥3𝐿) − 𝑀1 (3𝐿) − 2 (2𝑤𝐿2 𝑥2𝐿) − 1 𝑤𝐿2 𝑥𝐿 3 2

0=

9𝐿2 𝑅1 2

9𝐿 𝑅 2 1

− 3𝐿𝑀1 − 2𝑤𝐿3 −

− 3𝑀1 =

𝑤𝐿3 6

13𝑤𝐿2 … … … … … (𝐼) 6

𝐸𝐼𝑡5⁄1 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)5⁄1 .̅𝑥5 0=

9𝐿2 3𝐿 𝑅1 (𝐿) − 3𝐿𝑀1 2 2

9𝐿 𝑅 2 1

−

9𝑀1 2

=

− 2𝑤𝐿3

2𝐿 3

−

𝑤𝐿3 𝐿 6 4

11 𝑤𝐿2 … … … … … (𝐼𝐼) 8

𝑰𝒈𝒖𝒂𝒍𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝑰 𝒚 𝑰𝑰: 9 𝐿𝑅1 2 9

− 3𝑀1 =

13 𝑤𝐿2 6

9

− 2 𝐿𝑅1 + 2 𝑀1 = − 3 𝑀 2 1

𝑅𝑝𝑡𝑎. → 𝑀1 =

11 𝑤𝐿2 8

19

= 24 𝑤𝐿2

19 2 𝑤𝐿 = 𝑀5 … … … … … (𝐼𝐼𝐼) 36

𝑅𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝑰𝑰𝑰 𝒆𝒏 𝑰𝑰: 5 𝑅1 = 𝑤𝐿 → 𝑅𝑝𝑡𝑎. 6

7 𝑅5 = 𝑤𝐿 6

∗ 𝑪á𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝜹𝒎𝒂𝒙 . 𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂 = 𝒙 𝐸𝐼𝑡3⁄1 = 𝛿𝑚𝑎𝑥. 𝐸𝐼𝑡3⁄1 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)3⁄1 . 𝑥̅3 1 5 𝑥 19 𝑥 1 𝑥−1 𝐸𝐼𝑡3⁄1 = ( 𝑤𝐿𝑥) (𝑥) − ( 𝑤𝐿2 ) (𝑥) − (𝑤𝐿)(𝑥 − 1)(𝑥 − 1) ( ) 2 6 3 36 2 2 3 𝐸𝐼𝑡3⁄1 =

5𝑤𝐿𝑥 3 19 2 2 𝑤𝐿(𝑥 − 𝐿)3 − 𝑤𝐿 𝑥 − 36 72 6

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

𝑡3⁄1 = −

0.14𝑤𝐿4 𝐸𝐼

𝛿𝑚𝑎𝑥. = −

0.14𝑤𝐿4 𝐸𝐼

→ 𝑹𝒑𝒕𝒂. → 𝑹𝒑𝒕𝒂.

𝐸𝐼𝑡1⁄3 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)1⁄3 . 𝑥̅1 1 5𝑤𝐿𝑥 2𝑥 19 𝑥 1 2𝑥 𝛿𝑚𝑎𝑥. = ( ) (𝑥) ( ) − ( 𝑤𝐿2 ) (𝑥) − (𝑤𝐿)(𝑥 − 𝐿)(𝑥 − 𝐿) (𝐿 + − 𝐿) 2 6 3 36 2 2 3 𝛿𝑚𝑎𝑥. =

5𝑤𝐿𝑥 3 19𝑤𝐿2 𝑥 2 𝑤𝐿(𝑥 − 𝐿)2 2 − − (𝐿 + (𝑥 − 𝐿)) 18 72 2 3 𝛿𝑚𝑎𝑥. =

0.14𝑤𝐿4 𝐸𝐼

→

𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂

𝐸𝐼𝜃1⁄3 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)1⁄3 . 𝜑 1 5 19 1 0 = ( 𝑤𝐿𝑥) (𝑥) − ( 𝑤𝐿2 ) (𝑥) − (𝑤𝐿)(𝑥 − 𝐿)(𝑥 − 𝐿) 2 6 36 2 5 19 𝑤𝐿 2 0= 𝑤𝐿𝑥 2 − 𝑤𝐿2 𝑥 − (𝑥 − 2𝑥𝐿 + 𝐿2 ) 12 36 2 0=

5 19 𝑤𝐿𝑥 2 𝑤𝐿3 𝑤𝐿𝑥 2 − 𝑤𝑥𝐿2 − + 𝑤𝐿2 𝑥 − 12 36 2 2 0=

−1 2 17 𝐿2 𝑥 + 𝐿𝑥 − 12 36 2

0=

1 2 17 𝐿2 𝑥 − 𝐿𝑥 + 12 36 2 𝑥1 = 4.25733𝐿 𝑥2 = 1.409332709𝐿

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

VIGA CONJUGADA Se trabaja con diagrama de momentos reducidas:  La cortante de la viga conjugada es el giro en la viga real.  El momento de la viga conjugada es la flecha en la viga real.  Un apoyo de rótula viga real

viga conjugada es un apoyo fijo.

 Un empotramiento viga real

viga conjugada es un voladizo.

1. Resolver por viga conjugada: 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝛿𝐵



Partimos de la viga en 2 (parte izquierda y parte derecha).



Trazamos DMF reducidos.



Calculamos Momentos (parte izquierda, parte derecha y luego lo igualamos para calcular la cortante en la rótula).



Reemplazamos en la ecuación de momentos se obtiene la flecha. 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏:

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

↺+

𝑴

𝑩 𝒊𝒛𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒅𝒂

=𝟎

1 2 1 𝑙 𝑙 2𝑙 M𝐵 = (𝑅𝐵 𝑙)(𝑙) ( 𝑙) − (𝑃𝑙) ( ) ( + ) 2 3 2 2 2 32 𝑀𝐵 = ↺+

𝑅𝐵 𝑙 3 5𝑝𝑙 3 − 3 24 𝑴𝑩 𝒅𝒆𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂 = 𝟎

1 2𝑙 1 𝑝𝑙 𝑙 𝑙 2 𝑙 𝑀𝐵 = − (𝑅𝐵 𝑙)(𝑙) ( ) − ( ) ( ) ( + ) 2 3 3 2 2 2 32 𝑀𝐵 = −

𝑰𝒈𝒖𝒂𝒍𝒂𝒎𝒐𝒔:

𝑅𝐵 𝑙 3 5𝑝𝑙 3 − 3 48 𝑹𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝑹𝑩 𝒆𝒏 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝑴𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔:

𝑴𝑩 𝒊𝒛𝒒. = 𝑴𝑩 𝒅𝒆𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂

𝑀𝐵 = 𝐹𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑒𝑛 𝐵

𝑅𝐵 𝑙 3 5𝑝𝑙 3 −𝑅𝐵 𝑙 3 5𝑝𝑙 3 − = − 3 24 3 48

𝑀𝐵 =

2𝑅𝐵 𝑙 3 5𝑝𝑙 3 = 3 48 5 𝑅𝐵 = 𝑝 32

𝑀𝐵 =

𝑅𝐵 . 𝑙 3 5𝑝𝑙 3 − 3 24

5𝑃 𝑙 3 5𝑃𝑙 3 ( )− 32 3 24

𝛿𝐵 =

−5𝑃𝑙 3 32𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 38) Calcular el giro y la flecha en B y desplazamiento en el rodillo. EI= 84 ton x m2

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I Calculo de reacciones en C y rótula Parte derecha: 𝑀𝑐 = 0 3𝑅𝑏 = 6(3) 𝑅𝑏 = 6 𝑡𝑜𝑛 𝑀𝑏 = 0 3𝑅𝑐 = 6𝑥6 𝑅𝑐 = 36/3 𝑅𝑐 = 12 𝑡𝑜𝑛 Calculo de t b/c 𝐸𝐼 𝑡

𝑏 1 2 = (− ) (18𝑥3) ( ) (3) 𝑐 2 3 𝑡

𝑏 54 =− 𝑐 𝐸𝐼

𝑏 𝑌 = 𝑡 + ∆𝑏 𝑐 𝑌 = |𝑡 𝑏/𝑐| + |𝑡 𝑏/𝑎| 𝑌=

54 33751 +( ) 𝐸𝐼 16𝐸𝐼

4239 𝑌=( ) 16𝐸𝐼 𝑦

Cálculo de 𝜃𝑐 = 3𝑚 𝜃𝑐 =

4239 (16𝐸𝐼)(3)

𝜃𝑐 = −

1413 16𝐸𝐼

Cálculo 𝜃𝑏𝑐 1 𝐸𝐼𝜃𝑏𝑐 = (− )(18𝑥3) 2 𝜃𝑏𝑐 = −

27 𝐸𝐼

𝜃𝑏𝑐 = 𝜃𝑏 + 𝜃𝑐 𝜃𝑏 = 𝜃𝑏𝑐 − 𝜃𝑐 𝜃𝑏 = |−

27 1413 |−| | 𝐸𝐼 16𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 𝜃𝑏 = −

981 16𝐸𝐼

𝐸𝐼 = 84 𝑡𝑜𝑛 𝑥 𝑚2 𝜃𝑏 = −

981 16𝑥84

𝜃𝑏 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 = −0.73 ∆𝑒 = 𝜃𝑐(𝐿) ∆𝑒 = 𝜃𝑐(4.5) ∆𝑒 = −

1413 𝑥4.5 16𝐸𝐼

𝐸𝐼 = 84 𝑡𝑜𝑛 𝑥 𝑚2 ∆𝑒 =

12717 32𝐸𝐼

∆𝑒 = 4.73 Cálculo ∆𝑣𝑏 = 𝑡 𝑏/𝑎 𝐸𝐼𝑡

𝑏 1 2 1 2 = (( ) (30𝑥5) ( 𝑥5)) − (( ) (7.5𝑥2.5) ((2.5) + ( 𝑥2.5))) 𝑎 2 3 2 3 𝐸𝐼 𝑡

𝑏 625 = 250 − ( ) 𝑎 16 𝑡

∆𝑣𝑏 =

𝑏 3375 = 𝑎 16𝐸𝐼

3375 𝑡𝑜𝑛 𝑥 𝑚3 (16)(84) (𝑡𝑜𝑛 𝑥 𝑚2 ) ∆𝑣𝑏 = 2.51𝑚 𝜃𝑎𝑏 = 𝜃𝑏

1 1 𝐸𝐼 𝜃𝑎𝑏 = (( ) (30𝑥5)) − (( ) (7.5𝑥2.5)) 2 2 𝜃𝑎𝑏 = 𝜃𝑏 =

525 8𝐸𝐼

525(𝑡𝑜𝑛 𝑥 𝑚3 ) (8𝑥84)(𝑡𝑜𝑛 𝑥 𝑚2 )

𝜃𝑏 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 = 0.78 𝑚

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 40) hallar𝜃𝑐, ∆𝑣𝑐 𝑦 ∆ℎ𝑒

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

𝑀𝑒 = 0 (𝑞(𝑎)

𝑎 ) − (𝑅𝑐(𝑎)) + (𝑞𝑎(𝑎)) = 0 2 (𝑎)𝑅𝑐 =

𝑞𝑎2 + 𝑞𝑎2 2

3 𝑅𝑐 = 𝑞𝑎 2

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 𝑀𝑐 (𝑞𝑥𝑎𝑥𝑎) − (𝑅𝑒(𝑎)) − (𝑞𝑥𝑎

𝑎 )=0 2

𝑞𝑎2 − 𝑅𝑒(𝑎) = 𝑞𝑎2 /2 𝑞𝑎2 2

𝑅𝑒 = 𝑞𝑎2 − 𝑅𝑒 =

𝑞𝑎 2

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EJEMPLO 41: Calcular 𝛿𝐵 , 𝜃𝐵 y 𝛿𝐷 , 𝜃𝐷

I.

δB = t B⁄

EI 𝜃𝐴𝐵 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐴𝐵

̅B EI 𝑡𝐵⁄ = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹) B/A X

EI 𝜃𝐷𝐸 =

A

𝐴

EI 𝑡𝐵⁄ =

−1

𝐴

𝑡𝐵⁄ = 𝐴

2

(𝑃𝐿)

𝐿

2𝐿

2

32

𝜃𝐴𝐵 =

−1 2

(𝑃𝐿)

𝐿 2

−𝑃𝐿2 4𝐸𝐼

−𝑃𝐿3 12𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

II.- Cálculo 𝛿𝐷 = 𝑡𝐷⁄

EI 𝜃𝐷𝐸 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐷𝐸

EI 𝑡𝐷⁄ = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹) D/E ̅ XD

EI 𝜃𝐷𝐸 =

𝐸

𝐸

EI 𝑡𝐷⁄ =

−1 𝑃𝐿 2

𝐸

𝑡𝐷⁄ = 𝐸

2

𝐿

2𝐿

2

32

𝜃𝐷𝐸 =

−1 𝑃𝐿 2

2

𝐿 2

−𝑃𝐿2 8𝐸𝐼

−𝑃𝐿3 24𝐸𝐼

𝜃𝐷𝐸 = 𝜃𝐷 − 𝜃𝐸 𝜃𝐷 = 𝜃𝐸 − 𝜃𝐷𝐸

𝜃𝐷 =

−𝑃𝐿2 8𝐸𝐼

III.- Calculo desplazamiento en la rótula de: 𝛿𝐶 = 𝑡𝐶⁄ = 𝑡𝐶⁄ 𝐴

𝐸

EI 𝑡𝐶⁄ = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹) C/A ̅ XC 𝐴

EI 𝑡𝐶⁄ = 𝐴

𝑡𝐶⁄ = 𝐴

−1 2

(𝑃𝐿)

𝐿

𝐿

2

2

+

2𝐿 32

−5𝑃𝐿3 24𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I I.

𝛿𝐵 = 𝑡𝐵⁄

Cálculo de

𝐴

EI 𝑡𝐵⁄ = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹) B/A ̅ XB 𝐴

−1

EI 𝑡𝐵⁄ =

2

𝐴

𝑡𝐵⁄ = 𝐴

II.

(𝑃𝐿)

𝐿

𝐿

2

6

− (𝑃𝐿)

𝐿

𝐿

2

4

−𝑃𝐿3

𝛿𝐵 =

12𝐸𝐼

12𝐸𝐼

Cálculo 𝜃𝐵

𝜃𝐴𝐵 = 𝜃𝐴 − 𝜃𝐵

EI 𝜃𝐴𝐵 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐴𝐵 1

EI 𝜃𝐷𝐸 =

𝜃𝐴𝐵 =

2

(𝑃𝐿)

𝐿 2

− (𝑃𝐿)

𝐿

𝜃𝐵 = 𝜃𝐴 − 𝜃𝐴𝐵

2

−𝑃𝐿2

𝜃𝐵 = 0 − (

4𝐸𝐼

𝜃𝐵 = III.

−𝑃𝐿3

Cálculo de

1 𝑃𝐿

𝐿

1𝐿

2

2

32

2

−

𝑃𝐿2 4𝐸𝐼

𝐿

𝐿

2

2

4

𝛿𝐷 =

24𝐸𝐼

1 𝑃𝐿

𝐿

2

2

𝜃𝐷𝐸 =

𝑃𝐿

−𝑃𝐿3

2

−𝑃𝐿2 8𝐸𝐼

−

−𝑃𝐿3 24𝐸𝐼

𝜃𝐷𝐸 = 𝜃𝐷 − 𝜃𝐸

EI 𝜃𝐷𝐸 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐷𝐸 EI 𝜃𝐷𝐸 =

)

𝐸

𝐸

𝐸

4𝐸𝐼

𝛿𝐷 = 𝑡𝐷⁄

EI 𝑡𝐷⁄ =

𝑡𝐷⁄ =

−𝑃𝐿2

𝑃𝐿

𝐿

2

2

𝜃𝐷 = 𝜃𝐸 − 𝜃𝐷𝐸

𝜃𝐷 =

−𝑃𝐿2 8𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EJEMPLO 42: Calcular 𝛿𝐵 𝑦 𝛿𝐶

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I I.

Calcular δB = t B⁄ A EI 𝑡𝐵⁄ = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹) B/A ̅ XB 𝐴

−1

EI 𝑡𝐵⁄ =

2

𝐴

(400)(4)

𝑡𝐵⁄ =

3

×4

−6400

𝐴

II.

2

𝛿𝐵 =

3𝐸𝐼

−6400 3𝐸𝐼

Calcular δC

δC = 𝛿𝐵 + 𝑦 EI 𝑡𝐷⁄ = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹) D/B ̅ XD 𝐵

1

EI 𝑡𝐷⁄ =

2

𝐵

𝑡𝐷⁄ = 𝐵

(400 × 4)

4 3

1

− 2 (400 × 2)

2 3

800 𝐸𝐼

EI 𝑡𝐶⁄ = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹) C/B ̅ XC 𝐵

EI 𝑡𝐶⁄ = 𝐴

1 2

(200 × 2)

𝑡𝐶⁄ = 𝐵

2 3

400 3𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 𝑦+𝑡𝐶⁄

𝐵

𝑡𝐶⁄

=

𝐵

2 4

𝑦 + 𝑡𝐶⁄ = 𝐵

𝑦= 𝑦=

𝑡𝐶⁄ 2

𝐵

800 2𝐸𝐼

𝑡𝐶⁄

𝐵

2

− 𝑡𝐶⁄

𝐵

−

400 3𝐸𝐼0

=

800 3𝐸𝐼

Por ultimo

𝛿𝐶 = |𝛿𝐵 | + |𝑦| 𝛿𝐶 = |

−6400 3𝐸𝐼

𝛿𝐶 =

6400

𝛿𝐶 =

2400

3𝐸𝐼

|+|

+

800 3𝐸𝐼

|

800 3𝐸𝐼

𝐸𝐼

EJEMPLO 43: Calcular las reacciones

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

∑ 𝑀𝐴 = 0

∑ 𝐹𝑌 = 0 1868

169

169

𝑀𝐴 = 2(14.5) − 1257 (13) − 419 (5)

𝑀𝐴 =

1868

𝑅𝐴 = 2 − 419 − 1257

9634

𝑅𝐴 =

1257

1153 1257

EI 𝑡𝐵⁄ = 0 𝐴

̅B EI 𝑡𝐵⁄ = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹) B/A X 𝐴

EI 𝑡𝐵⁄ = 𝐴

1 2

(5𝑅𝐵 )(5)

0=

2 3

1

× 5 + 2 (5𝑅𝐶 )(5)

125 3

𝑅𝐵 +

425 3

𝑅𝐶 −

125𝑅𝐵 + 425𝑅𝐶 = 5𝑅𝐵 + 85𝑅𝐶 =

385 3

2 3

× 5 + (8𝑅𝐶 )(5)

5 2

− (19)(5)

5 2

1

− 2 (10)(5)

2 3

×5

1925 6

1925 3

…… (1)

(÷ 25) = −425𝑅𝐵 − 7225𝑅𝐶 = −

32725 3

EI 𝑡𝐶⁄ = 0 𝐵

̅C EI 𝑡𝐶⁄ = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹) C/B X 𝐵

EI 𝑡𝐶⁄ = 𝐴

1 2

(200 × 2)

2 3

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 0=

5𝑅𝐵 × 5 2 1 2 13 1 2 (8 + (5)) + (13𝑅𝐶 )(13) ( × 13) − (3)(13) ( ) − (26)(13) ( × 13) 2 3 2 3 2 2 3 0=

425𝑅𝐵 + 2197𝑅𝐶 =

(-85)

425𝑅𝐵 2197𝑅𝐶 30509 + − 3 3 6

10309 3

……(2)

−425𝑅𝐵 − 7225𝑅𝐶 = 425𝑅𝐵 + 2197𝑅𝐶 =

−32725 3 10309 3

−5028𝑅𝐶 = −7472

𝑅𝐶 =

1868 1257

De (3) en (2)

425𝑅𝐵 + 2197 (

1868 10309 )= 1259 3

425𝑅𝐵 = 171.02

𝑅𝐵 =

169 419

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EJEMPLO 44: Calcular △ 𝑉𝐷 ; △ 𝐻𝐷 

Por método de Área de Momentos

𝑀𝑥 =

−𝑞𝑥2 2

𝑀(0) = 0 𝑀(4𝑎) = −8𝑞𝑎2

Deformada:

𝑀𝑥 = 8𝑞𝑎2 −

16 5

𝑞𝑎𝑥

𝑀(0) = 8𝑞𝑎2 𝑀(5𝑎) = −8𝑞𝑎2

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I I.

Calculo de t 𝐴⁄𝐵 1 2 1 2.5 𝐸𝐼𝑡𝐵⁄ = (8𝑞𝑎2 )(2.5) (2.5 + (2.5)) − (8𝑞𝑎2 )(2.5) ( ) 𝐴 2 3 2 3 125 4 25 4 𝐸𝐼𝑡𝐵⁄ = 𝑞𝑎 − 𝑞𝑎 𝐴 3 3 100 4 𝐸𝐼𝑡𝐵⁄ = 3𝐸𝐼 𝑞𝑎 𝐴

𝑦 3

=

𝑦=

II.

100𝑞𝑎4 3𝐸𝐼

∆𝐵

5

4

20𝑞𝑎4

=

∆𝐵 =

𝐸𝐼

100𝑞𝑎4 3𝐸𝐼

5 80𝑞𝑎4 3𝐸𝐼

𝜃𝐴𝐵 = 10𝑞𝑎3 − 10𝑞𝑎3

Cálculo

𝜃𝐴𝐵 = 0 𝜃𝐴 = 0

III.

𝜃𝐵 = 0 EI 𝜃𝐵𝐶 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐵𝐶

Cálculo de

EI 𝜃𝐵𝐶 = −8𝑞𝑎2 × 5𝑎 𝜃𝐵𝐶 =

𝜃𝐵𝐶 = 𝜃𝐵 − 𝜃𝐶

−40𝑞𝑎3

−40𝑞𝑎3

𝐸𝐼

𝐸𝐼

𝜃𝐶 = IV.

= 0 − 𝜃𝐶

40𝑞𝑎3 𝐸𝐼

Cálculo t C⁄

B

5 𝐸𝐼 𝑡𝐶⁄ = (−8𝑞𝑎2 )(5𝑎) ( 𝑎) 𝐵 2 𝑡𝐶⁄ =

−100 𝐸𝐼

𝐵

𝑞𝑎4

∆𝑉𝑐 = 𝑡𝐶⁄ − 𝑦 𝐵

100 20 − 𝐸𝐼 𝐸𝐼 80 4 ∆𝑉𝑐 = 𝑞𝑎 𝐸𝐼 ∆𝑉𝑐 =

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I V.

Cálculo ∆𝐻𝐷 ∆𝐻𝐷 = 𝑡𝐷⁄ + 𝜃𝐶 ∆𝑎 + ∆𝐵

𝐸𝐼𝑡𝐷⁄ =

𝐶

1 3

(−8𝑞𝑎2 )(4𝑎)

∆𝐻𝐷 =

∆𝐻𝐷 =

−32 𝑞𝑎4 𝐸𝐼

−

3 4

𝐶

4𝑎

40𝑞𝑎 3 (4𝑎) 𝐸𝐼

80

− 𝐸𝐼 𝑞𝑎4

𝑡𝐷⁄ = 𝐶

−32 𝐸𝐼

𝑞𝑎4

−656 4 𝑞𝑎 3𝐸𝐼

Respuesta:

∆𝑉𝐷 =

80

∆𝐻𝐷 =

−656

𝜃𝐷 =

𝐸𝐼

𝑞𝑎4

3𝐸𝐼

152 3𝐸𝐼

𝑞𝑎4

𝑞𝑎3

EJEMPLO 45: Calcular las reacciones y los momentos: Análisis de la parte derecha del marco 𝑀𝐷 = 0 𝑞𝑎

𝑎 − 𝑅𝐶 (𝑎) + 𝑞𝑎(𝑎) = 0 2 𝑞𝑎2 + 𝑞𝑎2 = 𝑅𝐶 2 3 𝑅𝐶 = 𝑞𝑎 2

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

𝐹𝑦 = 0 3 2

𝑞𝑎 − 𝑞𝑎 + 𝑅𝐸 = 0 𝑞𝑎 𝑅𝐸 = 2

Calculo del momento del empotramiento: Se hace sumatoria de momentos de todo el marco: 𝑀𝐷 = 0 𝑞𝑎

𝑎 3 − 𝑞𝑎(2𝑎) + 𝑀𝐴 + 𝑞𝑎(𝑎) − 2𝑞𝑎2 = 0 2 2 𝑞𝑎2 − 3𝑞𝑎2 + 𝑀𝐴 + 𝑞𝑎2 − 2𝑞𝑎2 = 0 2 𝑞𝑎2 𝑀𝐴 = 3𝑞𝑎2 − 𝑞𝑎2 − + 2𝑞𝑎2 2 7𝑞𝑎2 𝑀𝐴 = 2

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

PROBLEMAS CON RÓTULAS EJEMPLO 46: Calcular la flecha en la rótula.

Diagrama de Momentos por partes reducidas Parte izquierda:

Parte izquierda

Parte derecha:

Parte derecha

∑ 𝑀𝐵 = 0 1 2

(𝑅𝐵 𝑙)(𝑙)

𝑀𝐵 =

𝑙 − 3( 3

𝑅𝐵 𝑙 3 3

∴

1 𝑤𝑙2

2

−

𝑤𝑙 4 8

2

)(𝑙)

3 4

𝑙 = 𝑀𝐵

… (1)

1

2

𝑀𝐵 = 2 (𝑅𝐵 𝑙)(𝑙)(3 𝑙)

𝑀𝐵 = −

𝑅𝐵 𝑙 3 3

… (2)

𝑀𝐵 𝑖𝑧𝑞. = 𝑀𝐵 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑅𝐵 𝑙 3 3

−

𝑤𝑙 4 8

=−

2𝑅𝐵 𝑙 3 3

=

𝑅𝐵 𝑙 3 3

𝑤𝑙 4 8

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 𝑅𝐵 =

3𝑤𝑙 16

… . (3)

Reemplazando (3) en (2) 𝑅𝐵 𝑙 3

𝑀𝐵 = −

𝑀𝐵 =

3 3𝑤𝑙 𝑙 3

𝑀𝐵 = −

16 4

𝑤𝑙

𝑀𝐵 = − 16 4

𝑤𝑙

𝑓𝐵 = − 16

Reemplazando (2) en (1)

3

𝑀𝐵 = 𝑀𝐵 =

𝑅𝐵 𝑙 3 3

−

𝑤𝑙 4 8

3𝑤𝑙 𝑙 3 16 𝑤𝑙 4 16

−

3

−

𝑤𝑙 4 8

𝑤𝑙 4 8

4

𝑤𝑙

𝑓𝐵 = − 16

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

MÉTODO VIGA CONJUGADA EJEMPLO 46-1: Calcular el desplazamiento vertical punto B

∑ 𝑀𝐶 = 0

1 −60 × 3 1 60 × 1 1 [( ) ( × 3) + ( ) ( × 1)] + 𝑅𝐴 (3) = 0 𝐸𝐼 2 3 2 3 −90 10 + = −𝑅𝐴 (3) 𝐸𝐼 𝐸𝐼 −80 = −3𝑅𝐴 𝐸𝐼 𝑅𝐴 =

−80 3𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I I.

Calculo de flecha en B

ℎ 60

ℎ=

𝑀𝑥 =

−80𝑥

𝑀𝑥 =

−80𝑥

3𝐸𝐼 3𝐸𝐼

+ +

10𝑥 2 𝑥 𝐸𝐼

3

10𝑥 3

𝛿𝐵 = 𝑀(1) = 𝛿𝐵 =

𝑉=

𝐸𝐼

−

𝐸𝐼

𝑥

80 3𝐸𝐼 80

𝑉(0) = − 3𝐸𝐼

3𝐸𝐼 −80(1) 3𝐸𝐼

10𝑥 2

20

𝑥

=3

+

10(1)2 3𝐸𝐼

80

𝜃𝐴 = − 3𝐸𝐼

−70 3𝐸𝐼

Por convención de signos: Momentos (-)

flecha hacia abajo

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EJEMPLO 47: Calcular momento de empotramiento en A y flecha X=3a

Por simetría decimos que 𝑅𝐴 = 𝑞𝑎

Por área de momentos: EI 𝑡𝐵⁄ = 0 𝐴

EI 𝑡𝐵⁄ = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹) B/A ̅ XB 𝐴

0 =

0=

1 𝑞𝑎2 3

𝑞𝑎4 24

22𝑞𝑎4 3

𝑀𝐴 =

2

+

(𝑎)

16𝑞𝑎4 6

𝑎 4

1

+ 2 (4𝑞𝑎2 )(4𝑎)

− 8𝑀𝐴 𝑎2 −

𝑎 3

− (𝑀𝐴 )(4𝑎)(2𝑎) −

1 3

(3𝑎)

9𝑞𝑎2

3𝑎

2

4

27𝑞𝑎4 8

= 8𝑀𝐴 𝑎2 11𝑞𝑎2 22

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

Calculo 𝜃 con X = 3a 1 𝑞(𝑥 − 𝑎)2 11𝑞𝑎2 1 𝑞𝑎𝑥 𝑉= [ ] (𝑥 − 𝑎) + ( )𝑋 − 𝑋 3 2𝐸𝐼 12𝐸𝐼 2 𝐸𝐼 𝑞(𝑥 − 𝑎)3 11𝑞𝑎2 𝑥 𝑞𝑎𝑥 2 𝑉= + − 6𝐸𝐼 12𝐸𝐼 2𝐸𝐼

𝜃𝑋=3𝑎

=

𝑞(3𝑎 − 𝑎)3 11𝑞𝑎2 (3𝑎) 𝑞𝑎(3𝑎)2 + − 6𝐸𝐼 12𝐸𝐼 2𝐸𝐼

𝜃𝑋=3𝑎

=

−5𝑞𝑎3 12

1 𝑞(𝑥 − 𝑎)2 𝑥−𝑎 11𝑞𝑎2 𝑥 1 𝑞𝑎𝑥 𝑥 𝑀𝑋 = [ ] (𝑥 − 𝑎) +( )𝑋 − 𝑋 3 2𝐸𝐼 4 12𝐸𝐼 2 2 𝐸𝐼 3 𝑞(𝑥 − 𝑎)4 11𝑞𝑎2 𝑥 2 𝑞𝑎𝑥 3 𝑀𝑋 = + − 24𝐸𝐼 24𝐸𝐼 6𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

𝑀𝑋=3𝑎

2𝑞𝑎4

𝑓𝑋 =

3𝐸𝐼

+

33𝑞𝑎4 8𝐸𝐼

−

𝑓𝑥=3𝑎 =

𝑞(3𝑎−𝑎)4 24𝐸𝐼

9𝑞𝑎4

+

11𝑞𝑎2 (3𝑎)2

𝒇𝑿=𝟑𝒂 =

2𝐸𝐼

24𝐸𝐼

−

𝑞𝑎(3𝑎)3 6𝐸𝐼

𝟕𝒒𝒂𝟒 𝟐𝟒𝑬𝑰

EJEMPLO 48: calcular la flecha en el punto A y B.

∑ 𝑀𝐴 = 0 1 960 3

𝐸𝐼

15360 𝐸𝐼

−

𝑀𝐴 =

3

(8)

1 240

∗8 −3 4

2240 𝐸𝐼

𝐸𝐼

3

(4) 4 + ∗ 4 = 𝑀𝐴 4

= 𝑀𝐴

13120 𝐸𝐼

+ ↓ ∑ 𝐹𝑦 = 0 1 960

𝑅𝐴= 3

𝐸𝐼

𝑅𝐴=

2560

𝑅𝐴=

2240

𝐸𝐼

−

(8) −

1 240 3

𝐸𝐼

(4)

320 𝐸𝐼

𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

Cálculo de flechas en el punto A −𝑀𝑋 =

13120

−𝑀𝑋 =

13120

𝐸𝐼

𝐸𝐼

−

2240𝑋

−

2240𝑋

𝐸𝐼

𝐸𝐼

1 15𝑋 2

+3

𝐸𝐼

(𝑋)

𝑋 4

15𝑋 4

+ 12𝐸𝐼

−𝑀𝑋=0 = 𝐹𝑋=0 =

−13120

−𝑀𝑋=4 = 𝐹𝑋=4 =

−4480

𝐸𝐼 𝐸𝐼

EJEMPLO 49: Calcular Momento punto B. Así como el giro en A

∑ 𝑀𝑟𝑜𝑑𝑖𝑙𝑙𝑜 = 0 1 6𝑅𝐴 2

72 𝑅𝐴 𝐸𝐼

−

𝑅𝐴 =

2

(6)

𝐸𝐼

324 𝐸𝐼

137 18

3

−

1 36

∗6 −3 224 𝐸𝐼

𝐸𝐼

(6)

3 4

1 24

∗6 −2

𝐸𝐼

2

(4) 2 + ∗ 4 = 0 3

=0

𝑡𝑛 Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I Viga original ∑ 𝑀𝐵 = 0 𝑀𝐴 = (12 ∗ 3) + (6 ∗ 4) − 𝑀𝐵 =

43 3

137 18

(6)

𝑡𝑛. 𝑚

Cálculo de R + ↑ ∑ 𝐹𝑦 = 0 1

1

1

−𝑅𝐴 + 2 (6𝑅𝐴 ∗ 6) − 3 (36 ∗ 6) − 2 (24 ∗ 4) = 0 −𝑅𝐴 + 17 = 0 𝑅𝐴 =

17 𝐸𝐼

=

𝜃∆ =

17 𝐸𝐼

EJEMPLO 50: Determinar los momentos de empotramiento y la deflexión en el centro.

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I



ℎ 𝑤

Por simetría: MA=MB ; RA=RB

=

𝑥 𝐿 2

( )

ℎ=

EIϴAB=0

2𝑤𝑥 𝐿 * EIϴA − B = 2 [

0=

1 2

𝑅𝐴𝐿2 4

𝑅𝐴

𝐿

𝐿

2

2

− 𝑀𝐴𝐿 −

𝑅𝐴𝐿2 4

] − 2 [(𝑀𝐴)

𝐿 2

1𝑊𝐿2

𝑊𝐿2 96

24

𝐿 2

]

𝑀𝑥 =

96

− 𝑀𝐴 =

1 𝑊𝐿2

] − 2 [4

−𝑤𝑥 2 𝑥

( )

𝐿

3

𝑀𝑥 =

… … … … (1)

𝑀(0) = 0

−𝑤𝑥 3

𝐿

𝑀( ) =

3𝐿

2 𝐿 −𝑤( )3 2

3𝐿 𝐿

−𝑤𝐿3

2

8𝑥3𝐿

𝐿

−𝑤𝐿2

2

24

𝑀( ) = 𝑀( ) =

↑ ∑𝐹𝑌 = 0 … … … … (1) 1

𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 2 𝑊 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 =

𝑊𝐿 4

+

𝐿

1

2

𝐿

+ 2 𝑊(2)

𝑊𝐿 4

Reemplazando (2) EN (1) 𝑀𝐴 =

𝑅𝐴𝐿

𝑀𝐴 = (

4 𝑊𝐿 4

−

𝑊𝐿2

𝐿

96

)(4) −

𝑊𝐿2 96

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 2𝑅𝐴 = 𝑅𝐴 =

𝑊𝐿

𝑀𝐴 =

2

𝑊𝐿 4

5𝑊𝐿2 96

… … … … (2)

EJEMPLO 51: El empotramiento B ha tenido un asentamiento vertical. De valor 6𝐸𝐼△ comprobar que MB = −MA = 2 𝐿

EIt 𝐴⁄𝐵

(𝐴𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹) 𝐵⁄𝐴 . ̅̅̅̅ 𝑋𝐵

= 1

−EI △= 2 (𝑅𝐴𝐿)(𝐿) −EI △=

𝑅𝐴𝐿3

−EI △=

2𝑀𝐴𝐿3

−EI △=

𝑀𝐴𝐿2

6

−

6𝐿

3

−EI △= −

𝐿

0 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐴𝐵

− (𝑀𝐴)(𝐿)( ) 2

𝑀𝐴𝐿2

1

0 = 2 (𝑅𝐴𝐿)(𝐿) − (𝑀𝐴)(𝐿)

2

−

−

𝐿 3

ϴAB = 0

𝑀𝐴𝐿2

𝑅𝐴𝐿2

0=

2

𝑀𝐴𝐿2

𝑅𝐴𝐿2

2

2

1𝑀𝐴𝐿2

𝑅𝐴𝐿

6

𝑅𝐴 =

2

− 𝑀𝐴𝐿

= 𝑀𝐴𝐿 = 2𝑀𝐴

2𝑀𝐴 𝐿

MA = −

6EI △ 𝐿2

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

EJEMPLO 52: Calcular △ 𝑉𝐷 ∑⤹ +𝑀𝐴 = 0 𝑀𝐴 = 5𝑥2.5 𝑀𝐴 = 12.5 𝐾𝑁. 𝑀

→ ∑𝐹𝑋 = 0

↑ ∑𝐹𝑌 = 0

𝑅𝐻𝐴 = 5𝐾𝑁

𝑅𝑉𝐴 = 0

𝑀𝑋 = 5𝑋 − 12.5 𝑀(0) = −12.5

0 = 5𝑋 − 12.5 5𝑋 = 12.5

𝑀(5) = 12.5

𝑋 = 2.5

𝑀(2.5) = 0

1 2

1 2

2EIϴAB = (2.5)(12.5) − (2.5)(12.5)

ϴAB = 0

ϴA = 0

ϴB = 0

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

∆H B

∆H

C

tC/B

1 2.5 1 2 2𝐸𝐼 𝑡𝐵/𝐴 = (2.5𝑥12.5) ( ) − (2.5𝑥12.5)(2.5 + 𝑥2.5) 2 3 2 3 2𝐸𝐼 𝑡𝐵/𝐴 =

625 3125 − 48 48

𝑡𝐵/𝐴 = −

D ∆B θCL tD/C 4𝐸𝐼 𝑡𝐶/𝐵 = (12.5)(5)(2.5) ∆𝑉𝐷

𝑡𝐶/𝐵 = 39.0625

𝑡𝐷 =

(12.5𝑥2.5) 2 ( 𝑥2.5) 2 3

𝐶

𝑡𝐷/𝐶 = 26.04

4𝐸𝐼 ∝𝐵𝐶 = (12.5)(5) 𝜃𝐵𝐶 =

125 = 15.625 8𝐸𝐼

𝜃𝐵𝐶 = 𝜃𝐵 + 𝜃𝐶 𝜃𝐶 =

125 = 15.625 8𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

625 24𝐸𝐼

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

MÉTODO DE 3 MOMENTOS 1. Trazar DFC Y DMF

𝑀𝐴 = (1𝑇𝑛)(2𝑚) + (

5 Tn

2𝑇𝑛 ) (2𝑚)(1𝑚) = 6𝑇𝑛. 𝑚 𝑚

3 Tn

6 Tn.m

4 Tn 2 Tn/m

A

2 Tn/m

B 3m

3m

C 2m

3m

D 5m

Tramo ABC 𝑴𝑨 (𝑳𝑨𝑩 ) + 𝟐𝑴𝑩 (𝑳𝑨𝑩 + 𝑳𝑩𝑪 ) + 𝑴𝑪 (𝑳𝑩𝑪 ) = −𝟔(∝𝑨𝑩 ) − 𝟔(∝𝑩𝑪 ) 𝑷𝑳𝟐 𝒘𝒔𝟐 𝑷𝒂𝒃 (−𝟔)(𝟔) + 𝟐𝑴𝑩 (𝟔 + 𝟓) + 𝑴𝑪 (𝟓) = −𝟔 ( (𝟐𝑳 − 𝒔)𝟐 ) − 𝟔 ( + ) (𝒃 + 𝑳) 𝟏𝟔 𝟐𝟒𝑳 𝟔𝑳 (𝟒)(𝟐)(𝟑) 𝟑(𝟔)𝟐 𝟐(𝟑)𝟐 (𝟐(𝟔) − 𝟑)𝟐 ) − 𝟔 ( −𝟑𝟔 + 𝟐𝟐𝑴𝑩 + 𝟓𝑴𝑪 = −𝟔 ( + ) (𝟑 + 𝟓) 𝟏𝟔 𝟐𝟒(𝟔) 𝟔(𝟓)

𝟐𝟐𝑴𝑩 + 𝟓𝑴𝑪 = −

𝟐𝟎𝟕𝟑 … … … (𝟏) 𝟐𝟎

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

Tramo BCD 𝑷𝒂𝒃 𝒘𝑳𝟑 𝟓𝑴𝑩 + 𝟐𝑴𝑪 (𝟓 + 𝟓) + 𝟓𝑴𝑫 = −𝟔 ( ) (𝒃 + 𝑳) − 𝟔 ( ) 𝟔𝑳 𝟐𝟒 (𝟒)(𝟐)(𝟑) 𝟐(𝟓)𝟑 𝟓𝑴𝑩 + 𝟐𝟎𝑴𝑪 = −𝟔 ( ) (𝟐 + 𝟓) − 𝟔 ( ) 𝟔(𝟓) 𝟐𝟒 𝟓𝑴𝑩 + 𝟐𝟎𝑴𝑪 = −

−𝟗𝟔𝟏 … … . . (𝟐) 𝟏𝟎

De Ecuacion (1) y (2): 𝟐𝟎𝟕𝟑 𝟐𝟎

𝑴𝑩 = −𝟑. 𝟖𝟑𝟕

−𝟗𝟔𝟏 𝟓𝑴𝑩 + 𝟐𝟎𝑴𝑪 = − 𝟏𝟎

𝑴𝑪 = −𝟑. 𝟖𝟒𝟓

𝟐𝟐𝑴𝑩 + 𝟓𝑴𝑪 = −

MA=6 Tn MB=-3.84 Mc=-3.85

Para calcular las reacciones de nuevo se ahislan los tramos: 1 Tn 2 Tn/m

∑M1=0 2 Ra = (2 x 2 x 1)+6 Ra = 5 Tn

6 Tn.m 2m Ra= 5Tn

3 Tn

6RBA = (3x3) + (6x4.5) – 6 + 3.84 RBA = 5.64 Tn

2 Tn/m 6 Tn/m

3.84 Tn/m

RAB=3.36 Tn

RBA=5.64 Tn

↑ ∑Fy = 0 RAB = 3 + 6 – 5.64 RAB = 3.36 Tn

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

RA= 5 + 3.36 = 8.36 T RB= 5.64 + 2.40 = 8.04T

Σ𝑅 = 28

RC= 1.60 + 5.77 = 7.37T RD= 4.23T

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 1- TRAMO A*- A : [0 ≤ 𝑥 ≤ 2]

Mx= -𝑥 2 − 𝑥

V= 1- 2x V(0)= -1

M(0) = 0

V(2)= -5

M(0) = -6

2.- TRAMO A* - A – B: 2 ≤ 𝑥 ≤ 5 V= -1 – 4 + 8 .36

Mx= - x– 4(x-1)+ 8.36(x-

2) V= 3.36 V(2)= 3.36

M(2) = -6

V(5)= 3.36

M5) = 4.08

3.- TRAMO A* - A – B: 5 ≤ 𝑥 ≤ 8

V= -1 – 4 + 8.36 – 3 – 2x V= 0.36 – 2(x-5) Mx= - x – 4(x-1)+8.36(x-2)-3(x-5)-(x-5)

V(5)= 0.36

M(5) = 4.08

V(8)= -5.64

M(8) = -3.84

2

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 4.- De derecha a izquierda: D-C: 0 ≤ 𝑥 ≤ 5

V= 2x – 4.23 Mx= 4.23 -𝑥 2 V(0)= -4.23

M(0) = 0

V(5)= 5.77

M(5) = -3.85

V= 2x – 4.23 X= 2.45 ( MOMENTO MÁXIMO) Mmax= 4.23(2.45) – (2.45)2

Mmax= 4.56

5.- TRAMO DCB: 5 ≤ 𝑥 ≤ 8

V= -4.23 + 10 – 7.37 V= -1.6 Mx=4.23 – 10(x - 2.5) + 7.37(x-5) V(5)= -1.6

M(5) = -3.85

V(8)= -1.6

M(8) = 0.95

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 6.- TRAMO DCB: 8 ≤ 𝑥 ≤ 10

V=2.4 MX= 4.23X - 10(X-2.5) +7.37(X - 5) - 4(X - 8) V(8)= 2.4

M(8) = 0.95

V(10)= 2.4

M(10) = -3.85

VIGA REAL:

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 2. En el sistema mostrado, calcular los momentos en los apoyos y el desplazamiento vertical en “B” (𝐸 = 2x106 t/m2)

4T

A 1.5m

3T

1.5m

B

1m

I = 600cm4

3T

1m

1m

C

I = 800cm2

4T

3T

D

4m

I = 1000cm4

3T

A’ A L = 0m 1.5m 1.5m

I=∞

B ∆ 1m

C 1m

1m

D 4m

I1 = 600cm4

I2 = 800cm4

I3 = 1000cm4

I = 6x10−6 m2

I = 8x10−6 m4

I = 1x10−5 m4

E

L = 0m

I=∞

FORMULA GENERAL DESPLAZAMIENTO L1 L1 L2 L2 6(αDerc. )1 6(αizq. ) 6EhA 6EhC MA [ ] + 2MB [ + ] + MC [ ] = − − + + I1 I1 I2 I2 I1 I2 L1 L2

Tramo A’AB MB = 0  (Debido a que la rotula no genera momento) MA′ (

0 0 3 3 6(0) 4 x 32 6 x E x 0 (6)(E)(−∆) ) + 2MA [ + ] + MB [ ] = − − 6[ ]+ + I∞ 80 I1 I1 I∞ 16 x I1 0 3 6MA 27 =− − 2E∆ I1 2I1

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 6MA = −

27 27 − 2EI1 ∆ − − − −→ 6MA = − − [(2)(2x106 )(6x10−6 )(∆)] 2 2 6MA = 6MA + 24∆

6MA + 24∆= −13,5 … … … . (1)

Tramo BCD

(3)(1)[3 − 1] 3 3 4 4 0 6E(−∆ ) 6E(0 ) MB ( ) + 2MC ( + ) + MD ( ) = −6 [ ] − 6( ) + + I2 I2 I3 I3 2 x I2 I3 3 4

2MC

3 8x10−6

+

4 1x10−5

+ MD

4 1x10−5

=−

36 2x8x10−6

− 2(2x106 )

1,55 x 106 MC + 0,4 x 106 MD = −2,25 x 106 − 4 x 106 ∆ 1,55 MC + 0,4 MD = −2,25 − 4∆ 1,55 MC + 4∆ + 0,4 MD = −2,25 … … … (2) Tramo CDE

4 4 0 0 MC ( ) + MB ( + ) + ME ( ) = −6(0) − 6(0) I3 I3 ∞ ∞ 4MC 8MD + =0 I3 I3 4MC + 8MD = 0 … … … . (3) De 1, 2, 3 tenemos:

6MA + 24∆

= −13,5

4∆ + 1,55MC + 0,4MD = −2,25 4MC + 8MD = 0

MA = MB = 0 MC = MD =

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

MÉTODO ÁREA DE MOMENTOS Calcular giros A; C y TB

𝑅𝐴 =

𝑊𝐿 4

𝑅𝐶 =

𝑅𝐶 =

𝑊𝐿 4

𝑊𝐿 4

∑=MA=0 𝑅𝐶 𝐿 =

𝑊𝐿 𝐿 𝑊𝐿 𝐿 𝐿 ( )+ ( + ) 4 6 4 2 3

𝑅𝐶 =

𝑊𝐿2 5𝑊𝐿2 + 24 24

𝑅𝐶 𝐿 = 𝑅𝐶 =

𝐹𝐵 =

6𝑊𝐿2 24 𝑊𝐿 4

𝑞𝑊𝐿4 1920𝐸𝐼

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

𝑊1 𝑊𝑋 = 𝐿 𝑋 2 𝑊1 =

𝑊2 𝐿 −𝑋 2

=

𝑊 𝐿 2

𝑊2 =

𝐿 2

𝑊𝑋 𝐿 2

=>𝑊1 =

2𝑊𝑋 𝐿

( −𝑋)𝑊 𝐿 2

𝑊2 =

𝐿 2𝑊(2 − 𝑋) 𝐿

1 (2𝑊𝑋)𝑋 𝑊𝑋 2 = 2 𝐿 𝐿

1 𝑋 2𝑊 2 − 𝑋 ( 2 ) 𝑊𝐿 𝑊𝑋 2 2𝑋 𝑀𝑋 = 𝑋− ( )− 4 𝐿 3 𝐿

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 1 𝑊𝐿 2𝑊𝑋 3 𝑊𝑋 2 − 𝑋 𝑀𝑋 = 𝑋− − 4 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝑊(2) 2 − 2 𝑊𝐿(2) 2𝑊 𝐿 𝐿 𝑀( ) = − ( )3 − 2 4 3𝐿 2 𝐿 𝐿 𝑊𝐿2 𝑊𝐿2 𝑀( ) = − 2 8 12 𝐿 6𝑊𝐿 𝑀( ) = 2 24

𝑊𝐿2 24

𝐸𝐼 𝑡 𝐶 ⁄𝐴 = ( 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹) 𝐶 ⁄𝐴 𝑋𝐶 =

1 𝑊𝐿 𝐿 1 𝐿 ( )( )( ) 4 24 2 5 2

𝑊𝐿3 𝑡 𝐶 ⁄𝐴 = 1920𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I DEFORMADA:

C

𝜃𝐴

𝛿𝐶

𝐸𝐼 𝑡𝐵⁄ = (𝑎𝑟𝑒𝑎 𝐷𝑀𝐹)𝐵⁄ . 𝑋̅𝐵 𝐴

=

𝐴

1 𝑊𝐿2 𝐿 4 𝐿 1 𝑊𝐿2 𝐿 𝐿 1 𝐿 ( )( )( . ) + ( ) ( )( + ) 4 24 2 6 2 4 24 2 2 52 𝐸𝐼 𝑡𝐵

𝑤𝑙4 𝑤𝑙4 ⁄𝐴 = + 480 320 4

𝑊𝐿 𝑡 𝐵⁄𝐴 = 192 𝜃𝐴 =

𝑡𝐵⁄ 4 𝐴 => 𝑊𝐿 𝐿 192𝐿

𝑊𝐿3 𝜃𝐴 = 192𝐸𝐼

𝜃𝐴 =

𝛿𝐶 + 𝑡𝐶⁄𝐴 𝐿 2

𝜃𝐴 =

(𝛿𝐶 + 𝑡𝐶⁄𝐴 )2 𝐿

𝜃𝐴 𝐿 − 𝑡𝐶⁄𝐴 = 𝛿𝐶 2

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 𝑊𝐿3 𝐿 𝑊𝐿4 ( )− = 𝛿𝐶 192𝐸𝐼 2 1920𝐸𝐼 𝑊𝐿4 𝑊𝐿4 𝛿𝐶 = − 384𝐸𝐼 1920𝐸𝐼 𝛿𝐶 =

𝑊𝐿4 480𝐸𝐼

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

MÉTODO DE PENDIENTE Y DEFLEXIÓN 1. Son vigas hiperestáticas 2. La viga gira y se desplaza 3. Los MIJ y MJI rotan en sentido horario. 

ECUACIONES DE PENDIENTE Y DEFLEXIÓN (Fórmulas de Maney)

𝑀𝑖𝑗 = 𝑀𝑖𝑗 +

2𝐸𝐼 3∆ (2𝜃𝑖 + 𝜃𝑗 − ) 𝑙 𝑙

𝑀𝑗𝑖 = 𝑀𝑖𝑗 +

2𝐸𝐼 3∆ (2𝜃𝑗 + 𝜃𝑖 − ) 𝑙 𝑙

RESOLVER:

2𝐸𝐼 (𝜃2 ) 𝐿 2𝐸𝐼 (2𝜃2 ) = 𝐿

𝑀12 = 𝑀21

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

𝑀23 =

−𝑃𝐿 2𝐸𝐼 (2𝜃2 + 𝜃3 ) + 8 𝐿

𝑀32 =

𝑃𝐿 2𝐸𝐼 (2𝜃3 + 𝜃2 ) + 8 𝐿

𝑀34 =

2𝐸𝐼 (2𝜃3 ) 𝐿

𝑀43 =

2𝐸𝐼 (𝜃3 ) 𝐿

𝑀21 + 𝑀23 = 0 𝑀32 + 𝑀34 = 0 8𝐸𝐼𝜃2 2𝐸𝐼𝜃3 𝑃𝐿 + = 𝐿 𝐿 8 2𝐸𝐼𝜃2 8𝐸𝐼𝜃3 −𝑃𝐿 + = 𝐿 𝐿 8 𝑃𝐿 8 2 𝜃2 [ ][ ] = [ 8 ] −𝑃𝐿 2 8 𝜃3 8 𝑃𝐿2 𝜃2 = 48𝐸𝐼 𝜃3 = −

𝑃𝐿2 48𝐸𝐼

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

M12

MBC

M12 =

PL 24

𝑀12 =

𝑃𝐿 24

M21 =

PL 12

𝑀21 =

−𝑃𝐿 12

M23 =

−PL 12

𝑀23 =

−𝑃𝐿 12

M32 =

PL 12

𝑀32 =

−𝑃𝐿 12

M34 =

−PL 12

𝑀34 =

−𝑃𝐿 12

M43 =

−PL 24

𝑀43 =

𝑃𝐿 24

𝑃 2

𝑀𝑥 = 𝑥 𝑀

𝐿 2

=

𝑃 𝐿 2 2

𝑀 𝑃𝐿 6

− 𝐿 2

𝑃𝐿 12

=

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

𝑀𝑥 =

𝑃 𝐿 𝑃𝐿 𝑥 − 𝑃 (𝑥 − ) − 2 2 12

L 𝑃 𝐿 𝐿 𝐿 𝑃𝐿 𝑀( ) = ( )−𝑃( − )− 2 2 2 2 2 12 𝐿 𝑃𝐿 𝑃𝐿 𝑀( ) = −0− 2 4 12 𝐿 𝑃𝐿 𝑀( ) = 8 6

𝑃

𝑉12 = − 8 𝑉23 =

𝑃 2 𝑃

𝑃

𝑉23 = 2 − 𝑃 = − 2 𝑉34 =

𝑃 8

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL I DMF:

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 2. Encontrar todos los momentos de la viga mostrada en la figura usando el método de pendiente – deflexión. EI = 7

SOLUCIÓN: 30 𝑥 (7)2 12

−100(3)2 (4) 72 100(4)2 (3) 72

𝑀𝐴𝐵 = −122.5 +

14 7

(2𝜃𝐴 + 𝜃𝐵 ) → 𝑀𝐴𝐵 = −122.5 + 2 2

𝑀𝐵𝐴 = 122.5 + 2(2𝜃𝐵 + 𝜃𝐴 ) → 𝑀𝐵𝐴 = 122.5 + 2 2

−562 59

= 122.5

−3000

=

=

49

4800 49

1734 49

−

−

1734 49

562 59

=0

= 155.17 𝐾𝑛. 𝑚

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 𝑀𝐵𝐶 = −122.5 + 2(2𝜃𝐵 + 𝜃𝐶 ) → 𝑀𝐵𝐶 = −122.5 + 2 2 𝑀𝐶𝐵 = 122.5 + 2(2𝜃𝐶 + 𝜃𝐵 ) → 𝑀𝐶𝐵 = 122.5 + 2 2 𝑀𝐶𝐷 =

−3600

𝑀𝐷𝐶 =

4800

49 49

+ 2(2𝜃𝐶 + 𝜃𝐷 ) → 𝑀𝐶𝐷 =

+ 2(2𝜃𝐷 + 𝜃𝐶 ) → 𝑀𝐷𝐶 =

−3600 49

4800 49

+2 2

+2 2

19 7 19 7

−2533 98

−562 59 562

− −

59

2533

−

98 19 7

−

19 7

= −155.17 𝐾𝑛. 𝑚

= 114.31 𝐾𝑛. 𝑚 = 114.31 𝐾𝑛. 𝑚 =0

ECUACIONES: 1. 𝑀𝐴𝐵 + 𝑀𝐵𝐶 = 0 122.5 + 4𝜃𝐵 + 2𝜃𝐴 − 122.5 + 4𝜃𝐵 + 2𝜃𝐶 = 0 2𝜃𝐴 + 8𝜃𝐵 + 2𝜃𝐶 = 0 … … … . (1)

2. 𝑀𝐶𝐵 + 𝑀𝐶𝐷 = 0

3600 + 4𝜃𝐶 + 2𝜃𝐷 = 0 49 4805 2𝜃𝐵 + 8𝜃𝐶 + 2𝜃𝐷 = − … … … . (2) 98 122.5 + 4𝜃𝐶 + 2𝜃𝐵 −

3. 𝑀𝐴𝐵 = 0 4𝜃𝐴 + 2𝜃𝐵 = 122.5 … … … . (3) 4. 𝑀𝐷𝐶 = 0 4𝜃𝐷 + 2𝜃𝐶 = − [k] 2 (0 4 0

8 2 2 0

4800 … … … . (4) 49

[∆] 2 8 0 2

0 2) 0 4

𝜃𝐴 𝜃 ( 𝐵) = 𝜃𝐶 𝜃𝐷

[F] 0 −4805 98 122.5 −4800 ( 49 )

[𝐾][∆] = −[𝐹] 𝑜 ∆= [−𝐹][𝐾]−1

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

𝜃𝐴 =

1734 49

𝜃𝐴 =

−562 59

𝜃𝐴 =

19 7

𝜃𝐴 =

−2533 49

Esto se reemplaza en cada una de las ecuaciones de cada momento respectivamente.

Graficando diagrama de fuerza cortante y momento flector:

Barra A-B: 𝑣 = 82.83 − 30𝑥

𝑀𝑥 = 82.83𝑥 − 15𝑥 2

𝑣(0) = 82.83

𝑀(0) = 0

𝑣(7) = −127.17

𝑀(7) = 155.17

0 = 82.83 − 30𝑥

𝑀𝑚𝑎𝑥 → 𝑀(2.761) = 114.35 𝑥 = 2.761

Barra B-C: 𝑣 = 110.84 − 30𝑥

𝑀𝑥 = 110.84𝑥 − 15𝑥 2 − 155.17

𝑣(0) = 110.84

𝑀(0) = −155.17

𝑣(7) = −99.16

𝑀(7) = −114.31

0 = 110.84 − 30𝑥

𝑀𝑚𝑎𝑥 → 𝑀(3.69467) = 49.59 𝑥 = 3.69467

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

Barra C-D: 𝑣 = 59.19 − 100 𝑣(0) = 59.19

𝑀𝑥 = 59.19𝑥 − 100(𝑥 − 4) − 114.31 𝑀(0) = −114.31

𝑣(7) = −40.81

𝑀(7) = 122.45 𝑉(7) = 0

DFC:

DMF:

DEFORMACIÓN:

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 3. Encuentre los momentos de la viga si el soporte en B se asienta 6mm.

𝑃𝐿 8

[ 𝑀𝐴𝐵 = −75 + 𝑀𝐵𝐴 = 75 +

=

200 𝑥 3 8

= 75

3∆ 3 𝑥 0.006𝑚 = 0.006 ]= 𝐿 3𝑚

2𝐸𝐼 2𝐸𝐼 2𝑥84.378 −56.25 [2𝜃𝐴 + 𝜃𝐵 − 0.006] = −75 + + − 0.006] = 0 [ 3 3 𝐸𝐼 𝐸𝐼

2𝐸𝐼 2𝐸𝐼 −2𝑥56.25 84.378 [2𝜃𝐵 + 𝜃𝐴 − 0.006] = 75 + + − 0.006] = 56.248 [ 3 3 𝐸𝐼 𝐸𝐼

𝑀𝐵𝐶 =

2𝐸𝐼 2𝐸𝐼 −2𝑥56.25 28.122 [2𝜃𝐵 + 𝜃𝐶 + 0.006] = + + 0.006] = −56.248 [ 3 3 𝐸𝐼 𝐸𝐼

𝑀𝐶𝐵 =

2𝐸𝐼 2𝐸𝐼 2𝑥28.122 56.25 [2𝜃𝐶 + 𝜃𝐵 + 0.006] = − + 0.006] = 0 [ 3 3 𝐸𝐼 𝐸𝐼

ECUACIONES: 𝑀𝐵𝐴 + 𝑀𝐵𝐶 = 0 2𝐸𝐼𝜃𝐴 4𝐸𝐼𝜃𝐵 2𝐸𝐼0.006 4𝐸𝐼𝜃𝐵 2𝐸𝐼𝜃𝐶 2𝐸𝐼0.006 + − + 75 + + + =0 3 3 3 3 3 3 2𝐸𝐼𝜃𝐴 8𝐸𝐼𝜃𝐵 2𝐸𝐼𝜃𝐶 + + = −75 … (1) 3 3 3 𝑀𝐴𝐵 = 0 4𝐸𝐼𝜃𝐴 2𝐸𝐼𝜃𝐵 + = 75.004 … (2) 3 3 𝑀𝐶𝐵 = 0 2𝐸𝐼𝜃𝐵 4𝐸𝐼𝜃𝐶 + = −0.004 … (3) 3 3

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ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 2 3 4 3 [0

8 3 2 3 2 3

2 3

84.378 𝐸𝐼 −56.25 𝜃𝐵 = 𝐸𝐼 28.122 𝜃𝐶 = 𝐸𝐼 𝜃𝐴 =

𝜃𝐴 −75 [𝜃𝐵 ] = [ 75.004 ] 𝜃𝐶 −0.004

0 4 3]

4.- Calcular los asentamientos de la viga si los asentamientos en los apoyos son: 𝐸𝐼 = 210 000 000 ∗ 8 ∗ 10−4

𝐴 = 32 𝑚𝑚

𝐸𝐼 = 180 000 KN/𝑚2

𝐵 = 62 𝑚𝑚 𝐶 = 70 𝑚𝑚 𝐷 = 28 𝑚𝑚 𝐸 = 210 𝐺𝑝 = 210 000 000 KN/𝑚2

1𝑚4 𝐼 = 800 ∗ 10 𝑚𝑚 = 800 ∗ 10 𝑚𝑚 ∗ 6 ∗ 8 ∗ 10−4 𝑚4 4 10 𝑚𝑚 6

4

6

4

200 KN

𝑀= 𝑀1 =

A

B

C

D

300 ∗ 6 8

𝑀1 = 225 𝑀2 =

3m

𝑃𝐿 8

200 ∗ 6 8

𝑀2 = 150

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

TRAMO AB

A

TRAMO BC B

B

6 000 mm

32

TRAMO CD

C

C

D 28mm

62 m m

70mm

70

+

3∆ 3 ∗ (0.03𝑚) = 𝐿 6𝑚

+

3∆ 3 ∗ (0.008𝑚) = 𝐿 6𝑚

+

3∆ −3 ∗ (0.042𝑚) = 𝐿 6𝑚

+

3∆ = +0.015 𝐿

+

3∆ 𝐿

+

3∆ = −0.021 𝐿

𝑀𝐴𝐵 = −225 +

2∗(168 000) 6

= +0.004

∗ [2𝜃𝐴 + 𝜃𝐵 − 0.015]

 𝑀𝐴𝐵 = −225 + 56 000 ∗ [2𝜃𝐴 + 𝜃𝐵 − 0.015]

𝑀𝐴𝐵 = 0

 𝑀𝐵𝐴 = 225 + 56 000 ∗ [2𝜃𝐵 + 𝜃𝐴 − 0.015]

𝑀𝐵𝐴 = 154.07 𝐾𝑁. 𝑚

 𝑀𝐵𝐶 = −150 + 56 000 ∗ [2𝜃𝐵 + 𝜃𝐶 − 0.004]

𝑀𝐵𝐶 = −154.07 𝐾𝑁. 𝑚

 𝑀𝐶𝐵 = 150 + 56 000 ∗ [2𝜃𝐶 + 𝜃𝐵 − 0.004]

𝑀𝐶𝐵 = −107.27 𝐾𝑁. 𝑚

 𝑀𝐶𝐷 = −225 + 56 000 ∗ [2𝜃𝐶 + 𝜃𝐷 + 0.021]

𝑀𝐶𝐷 = 107.27 𝐾𝑁. 𝑚

 𝑀𝐷𝐶 = 225 + 56 000 ∗ [2𝜃𝐷 + 𝜃𝐶 + 0.021]

𝑀𝐷𝐶 = 0

Ecuaciones: 1. 𝑀𝐴𝐵 = 0 112 000 𝜃𝐴 + 56 000 𝜃𝐵 = 1065 … … … … … (1)

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 2. 𝑀𝐵𝐴 + 𝑀𝐵𝐶 = 0 112 000 𝜃𝐵 + 56 000 𝜃𝐴 − 615 + 112 000 𝜃𝐵 + 56 000 𝜃𝐶 − 374 = 0 56 000 𝜃𝐴 + 224 000 𝜃𝐵 + 56 000 𝜃𝐶 = 989 … … … … (2) 3. 𝑀𝐶𝐵 + 𝑀𝐶𝐷 = 0 150 + 56 000 ∗ [2𝜃𝐶 + 𝜃𝐵 − 0.004] + (−225) + 56 000 ∗ [2𝜃𝐶 + 𝜃𝐷 + 0.021] = 0 −74 + 112 000 𝜃𝐶 + 56 000 𝜃𝐵 + 951 + 112 000 𝜃𝐶 + 56 000 𝜃𝐷 = 0 56 000 𝜃𝐵 + 224 000 𝜃𝐶 + 56 000 𝜃𝐷 = −877 … … … … (3) 4. 𝑀𝐷𝐶 = 0 225 + 56 000 ∗ [2𝜃𝐷 + 𝜃𝐶 + 0.021] 225 + 112 000 𝜃𝐷 + 56 000 𝜃𝐶 + 1176 = 0 112 000 𝜃𝐷 + 56 000 𝜃𝐶 = −1401

112 000 56 000 [ 0 0

56 000 224 000 56 000 0

0 56 000 224 000 56 000

𝜃𝐴 0 1065 𝜃 0 987 ] [ 𝐵] = [ ] 56 000 𝜃𝐶 −877 112 000 𝜃𝐷 −1401

𝜃𝐴 = 0.0081 𝑟𝑎𝑑

𝜃𝐴 = 0.00810079 𝑟𝑎𝑑

𝜃𝐵 = 0.0028 𝑟𝑎𝑑

𝜃𝐵 = 0.00281627 𝑟𝑎𝑑

𝜃𝐶 = −0.0017 𝑟𝑎𝑑

𝜃𝐶 = −0.00170516 𝑟𝑎𝑑

𝜃𝐷 = −0.01117 𝑟𝑎𝑑

𝜃𝐷 = −0.01165635 𝑟𝑎𝑑

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 4.1.- Calcular los momentos de la siguiente viga: 3.6 KN/m 1.2 KN/m

A

B

30 m

C

20 m

−𝑊𝐿2 −(3.6)(30)2 = = −162 20 20 𝑊𝐿2 (3.6)(30)2 𝑀𝐵𝐴 = = = −108 30 30 −𝑊𝐿2 −(1.2)(20)2 𝑀𝐵𝐶 = = = −40 12 12 𝑊𝐿2 (1.2)(20)2 𝑀𝐶𝐵 = = = 40 12 12 𝑀𝐴𝐵 =

Encontramos las ecuaciones: 𝐸𝐼 2946 (𝜃𝐵 ) = − 15 17 𝐸𝐼 1452 (2𝜃𝐵 ) = = 108 + 15 17

𝑀𝐴𝐵 = −162 + 𝑀𝐵𝐴

𝑀𝐵𝐶 = −40 +

𝐸𝐼 −1452 (2𝜃𝐵 + 𝜃𝐶 ) = 10 17

𝑀𝐶𝐵 = 40 +

𝐸𝐼 (2𝜃𝐶 + 𝜃𝐵 ) = 0 10

Ecuaciones : 1. −𝑀𝐵𝐴 + 𝑀𝐵𝐶 = 0 𝐸𝐼 𝐸𝐼 (2𝜃𝐵 ) − 40 + (2𝜃𝐵 + 𝜃𝐶 ) = 0 15 10 𝐸𝐼𝜃𝐵 𝐸𝐼𝜃𝑐 + = −68 … … … … … … (1) 3 10 108 +

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

2. − 𝑀𝐶𝐵 = 0 𝐸𝐼 (2𝜃𝐶 + 𝜃𝐵 ) = −40 … … … . (2) 10 Resolviendo (1) y (2): 1 1 𝜃 −68 [ 3 10] [ 𝐵 ] = [ ] 1 1 𝜃𝑐 −40 10 5 De la cual resolviendo de obtiene: −2880 17 −1960 𝜃𝑐 = 17 𝜃𝐵 =

Remplazando en las ecuaciones de los momentos obtenemos:

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

Y calculamos el DFC: 3309 3309 85 85 1383 85

1281 85

DMF: 2946 17 1452 17

657 85

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

5.- Trazar el DFC y DMF 3 Tn/m

3

4m

2 Tn/m

2

2 Tn

4

1

5m

De los momentos: 𝑊𝐿2 2𝑥42 8 = = 12 12 3 𝑊𝐿2 2𝑥52 25 = = 12 12 4 𝑃𝐿 2𝑥4 = =1 8 8

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

8 2𝐸𝐼 3∆ 𝑀12 = − + (2𝜃1 + 𝜃2 − ) = 0 3 4 4 8 2𝐸𝐼 3∆ −89 𝑀21 = + (2𝜃2 + 𝜃1 − ) = 3 4 4 92 25 2𝐸𝐼 89 (2𝜃2 + 𝜃3 ) = 𝑀23 = − + 4 5 92 25 2𝐸𝐼 1015 (2𝜃3 + 𝜃2 ) = 𝑀32 = + 4 5 92 2𝐸𝐼 3∆ 1015 (2𝜃3 + 𝜃4 − ) = − 4 4 92 2𝐸𝐼 3∆ = 1+ (2𝜃4 + 𝜃3 − ) = 0 4 4

𝑀34 = −1 + 𝑀43

Ecuaciones de equilibrio: 1) 𝑀12 = 0 8 2𝐸𝐼 3∆ − + (2𝜃1 + 𝜃2 − ) = 0 3 4 4 𝐸𝐼𝜃1 +

2𝐸𝐼𝜃2 6𝐸𝐼∆ 8 − = … … … … … . (1) 4 16 3

2) 𝑀21 + 𝑀23 = 0 8 2𝐸𝐼 3∆ 25 2𝐸𝐼 (2𝜃2 + 𝜃3 ) = 0 + (2𝜃2 + 𝜃1 − ) − − + 3 4 4 4 5 2𝐸𝐼𝜃1 9𝐸𝐼𝜃2 2𝐸𝐼𝜃3 6𝐸𝐼∆ 43 + + − = … … … … … . (2) 4 5 5 16 12 3) 𝑀32 + 𝑀34 = 0 25 2𝐸𝐼 2𝐸𝐼 3∆ (2𝜃3 + 𝜃2 ) − 1 + + (2𝜃3 + 𝜃4 − ) = 0 4 5 4 4 2𝐸𝐼𝜃1 9𝐸𝐼𝜃2 2𝐸𝐼𝜃4 6𝐸𝐼∆ 21 + + − = − … … … … … . (3) 5 5 4 16 4 4) 𝑀43 = 0 2𝐸𝐼 3∆ (2𝜃4 + 𝜃3 − ) = 0 4 4 2𝐸𝐼𝜃3 6𝐸𝐼∆ + 𝐸𝐼𝜃4 − = −1 4 16 1+

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 5) 𝐻1 + 𝐻2 = 6 1 1 − (𝑀12 + 𝑀21 ) − (𝑀34 + 𝑀43 ) = 3 𝐿 𝐿 1 1 − (𝑀12 + 𝑀21 ) − (𝑀34 + 𝑀43 ) = 3 4 4 1 − (𝑀12 + 𝑀21 ) + (𝑀34 + 𝑀43 ) = 3 4 1 8 2𝐸𝐼𝜃2 6𝐸𝐼∆ 8 2𝐸𝐼𝜃1 6𝐸𝐼∆ − [(− + 𝐸𝐼𝜃1 + − + + 𝐸𝐼𝜃2 + − ) 4 3 4 16 3 4 16 2𝐸𝐼𝜃4 6𝐸𝐼∆ 2𝐸𝐼𝜃3 6𝐸𝐼∆ + (−1 + 𝐸𝐼𝜃3 + − + 1 + 𝐸𝐼𝜃4 + − )] = 3 4 16 4 16 1 3𝐸𝐼𝜃1 3𝐸𝐼𝜃2 12𝐸𝐼∆ 3𝐸𝐼𝜃3 3𝐸𝐼𝜃4 12𝐸𝐼∆ − [ + − + + − ]=3 4 2 2 16 2 2 16 𝐸𝐼 [−

3𝜃1 3𝜃2 3𝜃3 3𝜃4 3∆ − − − − ]=3 8 8 8 8 8

En resumen tenemos la siguiente matriz: 1 2 4 0 0 3 [− 8

2 4 9 5 2 5

3 8 8 2 3 𝜃 0 − 3 5 8 1 43 𝜃 2 9 2 3 𝜃 = 12 − 5 4 8 3 −21 2 3 [𝜃4 ] ∆ 0 1 − 4 4 8 [ −1 ] 3 3 3 3 − − − 8 8 8 8 ] 0

0

−

Resolviendo tenemos: 2849 138 185 𝜃2 = 23 45 𝜃3 = 23 921 𝜃4 = 46 176 ∆= 3

𝜃1 =

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I Se calcula lo siguiente:

Calculamos datos para los diagramas:

𝑉= 𝑉(0) =

1561 − 2𝑋 368

1561 368

𝑉(4) =

−1383 368

𝑆𝑖 𝑉 = 0 0=

1561 − 2𝑋 368

𝑋=

1561 736

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 𝑀𝑥 = 𝑀(0) = 0

𝑀(

1561 𝑋 − 𝑋2 368

1561 ) = 4.498 736

𝑉= 𝑉(0) =

51 10

𝑀(4) =

89 92

51 − 3𝑋 10 𝑉(5) = −

99 10

𝑆𝑖 𝑉 = 0 0=

51 − 3𝑋 10

𝑋 = 1.7 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠 0 𝑦 𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑉= 𝑀(0) =

89 92

51 3𝑋 2 89 𝑋− + 10 2 92 𝑀(1.7) = 5.30

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

𝑉= 𝑉(0) =

647 368

𝑀𝑥 = 𝑀(0) = 0

647 +2 368 𝑉=

1383 368

647 𝑋 + 2(𝑋 − 2) 368

𝑀(2) =

−647 169

𝑀(4) =

1015 92

De los datos obtenidos se dibujan los siguientes diagramas:

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I DFC 51/10

1383/368

-1383/368

-99/100

1561/368

647/368

DMF

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I -1015/92

89/92

-1015/92

89/92

4.498 -647/164

DEFORMADA

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 6.- Trazar el DFC Y DMF, para la estructura mostrada:

C

P

F

B E

2L

2P

D A

L

L

Momentos derechos cambian de signo:

𝑀𝐴𝐵 =

2𝐸𝐼 3∆1 −97𝑃𝐿 (𝜃𝐵 − ) → 𝑀𝐴𝐵 = 𝐿 𝐿 110

𝑀𝐵𝐴 =

2𝐸𝐼 3∆1 −34𝑃𝐿 (2𝜃𝐵 − ) → 𝑀𝐵𝐴 = 𝐿 𝐿 55

𝑀𝐵𝐴 =

34𝑃𝐿 55

𝑀𝐵𝐶 =

2𝐸𝐼 3∆2 −19𝑃𝐿 (2𝜃𝐵 + 𝜃𝐶 − ) → 𝑀𝐵𝐶 = 𝐿 𝐿 110

𝑀𝐵𝐶 =

−19𝑃𝐿 110

𝑀𝐶𝐵 =

2𝐸𝐼 3∆2 −18𝑃𝐿 (2𝜃𝐶 + 𝜃𝐵 − ) → 𝑀𝐶𝐵 = 𝐿 𝐿 55

𝑀𝐶𝐵 =

−18𝑃𝐿 55

𝑀𝐶𝐹 =

2𝐸𝐼 18𝑃𝐿 (2𝜃𝐶 + 𝜃𝐹 ) → 𝑀𝐶𝐹 = 𝐿 55

𝑀𝐶𝐹 =

18𝑃𝐿 55

𝑀𝐴𝐵 = −

97𝑃𝐿 110

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

𝑀𝐹𝐶 =

2𝐸𝐼 18𝑃𝐿 (2𝜃𝐹 + 𝜃𝐶 ) → 𝑀𝐹𝐶 = 𝐿 55

𝑀𝐹𝐶 =

−18𝑃𝐿 55

𝑀𝐵𝐸 =

2𝐸𝐼 87𝑃𝐿 (2𝜃𝐵 + 𝜃𝐸 ) → 𝑀𝐵𝐸 = 𝐿 110

𝑀𝐵𝐸 =

87𝑃𝐿 110

𝑀𝐸𝐵 =

2𝐸𝐼 87𝑃𝐿 (2𝜃𝐸 + 𝜃𝐵 ) → 𝑀𝐸𝐵 = 𝐿 110

𝑀𝐸𝐵 =

−87𝑃𝐿 110

𝑀𝐹𝐸 =

2𝐸𝐼 3∆2 −18𝑃𝐿 (2𝜃𝐹 + 𝜃𝐸 − ) → 𝑀𝐹𝐸 = 𝐿 𝐿 55

𝑀𝐹𝐸 =

−18𝑃𝐿 55

𝑀𝐸𝐹 =

2𝐸𝐼 3∆2 −19𝑃𝐿 (2𝜃𝐸 + 𝜃𝐹 − ) → 𝑀𝐸𝐹 = 𝐿 𝐿 110

𝑀𝐸𝐹 =

19𝑃𝐿 110

𝑀𝐸𝐷 =

2𝐸𝐼 3∆1 −34𝑃𝐿 (2𝜃𝐸 − ) → 𝑀𝐸𝐷 = 𝐿 𝐿 55

𝑀𝐷𝐸 =

2𝐸𝐼 3∆1 −97𝑃𝐿 (𝜃𝐸 − ) → 𝑀𝐷𝐸 = 𝐿 𝐿 110

𝑀𝐸𝐷 = 𝑀𝐷𝐸 =

−34𝑃𝐿 55

97𝑃𝐿 110

Condiciones de equilibrio: 1. ) 𝑀𝐵𝐴 + 𝑀𝐵𝐶 + 𝑀𝐵𝐸 = 0 2. ) 𝑀𝐶𝐵 + 𝑀𝐶𝐹 = 0 3. ) 𝑀𝐹𝐶 + 𝑀𝐹𝐸 = 0 4. ) 𝑀𝐸𝐵 + 𝑀𝐸𝐷 + 𝑀𝐸𝐹 = 0 5. )𝑉𝐶𝐵 + 𝑉𝐹𝐸 = 𝑃 6. ) 𝑉𝐵𝐴 + 𝑉𝐸𝐷 = 3𝑃

→

−1 [(𝑀𝐵𝐶 + 𝑀𝐶𝐵 ) + (𝑀𝐹𝐸 + 𝑀𝐸𝐹 )] = 𝑃 𝐿

→

−1 [(𝑀𝐴𝐵 + 𝑀𝐵𝐴 ) + (𝑀𝐷𝐸 + 𝑀𝐸𝐷 )] = 3𝑃 𝐿

Resolvemos las ecuaciones: 1. ) 𝑀𝐵𝐴 + 𝑀𝐵𝐶 + 𝑀𝐵𝐸 = 0 2𝐸𝐼 3∆1 2𝐸𝐼 3∆2 2𝐸𝐼 (2𝜃𝐵 + 𝜃𝐸 ) = 0 (2𝜃𝐵 − )+ (2𝜃𝐵 + 𝜃𝐶 − )+ 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 4𝐸𝐼𝜃𝐵 6𝐸𝐼∆1 4𝐸𝐼𝜃𝐵 2𝐸𝐼𝜃𝐶 6𝐸𝐼∆2 4𝐸𝐼𝜃𝐵 2𝐸𝐼𝜃𝐸 − + + − + + =0 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 12𝐸𝐼𝜃𝐵 2𝐸𝐼𝜃𝐶 2𝐸𝐼𝜃𝐸 6𝐸𝐼∆1 6𝐸𝐼∆2 + + − − = 0 … … … … … … . . (1) 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 2. ) 𝑀𝐶𝐵 + 𝑀𝐶𝐹 = 0 2𝐸𝐼 3∆2 2𝐸𝐼 18𝑃𝐿 (2𝜃𝐶 + 𝜃𝐹 ) → 𝑀𝐶𝐹 = (2𝜃𝐶 + 𝜃𝐵 − ) + 𝑀𝐶𝐹 = =0 𝐿 𝐿 𝐿 55 4𝐸𝐼𝜃𝐶 2𝐸𝐼𝜃𝐵 6𝐸𝐼∆2 4𝐸𝐼𝜃𝐶 2𝐸𝐼𝜃𝐹 + − + + =0 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 2𝐸𝐼𝜃𝐵 8𝐸𝐼𝜃𝐶 2𝐸𝐼𝜃𝐹 6𝐸𝐼∆2 + + − = 0 … … … … … … . (2) 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 3. ) 𝑀𝐹𝐶 + 𝑀𝐹𝐸 = 0 2𝐸𝐼 2𝐸𝐼 3∆2 (2𝜃𝐹 + 𝜃𝐶 ) + (2𝜃𝐹 + 𝜃𝐸 − )=0 𝐿 𝐿 𝐿 4𝐸𝐼𝜃𝐹 2𝐸𝐼𝜃𝐶 4𝐸𝐼𝜃𝐹 2𝐸𝐼𝜃𝐸 6𝐸𝐼∆2 + + + − =0 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 2𝐸𝐼𝜃𝐶 2𝐸𝐼𝜃𝐸 8𝐸𝐼𝜃𝐹 6𝐸𝐼∆2 + + − = 0 … … … … … … . (3) 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 4. ) 𝑀𝐸𝐵 + 𝑀𝐸𝐷 + 𝑀𝐸𝐹 = 0 2𝐸𝐼 2𝐸𝐼 3∆1 2𝐸𝐼 3∆2 (2𝜃𝐸 + 𝜃𝐵 ) + (2𝜃𝐸 − )+ (2𝜃𝐸 + 𝜃𝐹 − )=0 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 4𝐸𝐼𝜃𝐸 2𝐸𝐼𝜃𝐵 4𝐸𝐼𝜃𝐹 6𝐸𝐼∆1 4𝐸𝐼𝜃𝐸 2𝐸𝐼𝜃𝐹 6𝐸𝐼∆2 + + − + + − =0 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 2𝐸𝐼𝜃𝐵 12𝐸𝐼𝜃𝐸 2𝐸𝐼𝜃𝐹 6𝐸𝐼∆1 6𝐸𝐼∆2 + + − − = 0 … … … … … . . (4) 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿



−1 𝐿

[(𝑀𝐵𝐶 + 𝑀𝐶𝐵 ) + (𝑀𝐸𝐹 + 𝑀𝐹𝐸 )] = 𝑃

−1 4𝜃𝐵 2𝜃𝑐 6∆2 4𝜃𝑐 2𝜃𝐵 6∆2 4𝜃𝐸 2𝜃𝐹 6∆2 4𝜃𝐹 2𝜃𝐸 𝐸𝐼[( + − 2 + + − 2 )+( + − 2 + + 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 6∆2 − 2 )=𝑃 𝐿 −1 6𝜃𝐵 6𝜃𝑐 6𝜃𝐸 6𝜃𝐹 24∆2 𝐸𝐼[ + + + − 2 ]=𝑃 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 −6𝐸𝐼𝜃𝐵 6𝐸𝐼𝜃𝐶 6𝜃𝐸 6𝐸𝐼𝜃𝐹 24𝐸𝐼∆2 − − 2 − + = 𝑃 … … … … … … (5) 𝐿2 𝐿2 𝐿 𝐿2 𝐿2

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 

−1 𝐿

[(𝑀𝐴𝐵 + 𝑀𝐵𝐴 ) + (𝑀𝐷𝐸 + 𝑀𝐸𝐷 )] = 3𝑃

−1 2𝜃𝐵 6∆1 4𝜃𝐵 6∆1 2𝜃𝐸 6∆1 4𝜃𝐸 6∆1 𝐸𝐼[( − 2 + − 2 )+( − 2 + − 2 )] = 3𝑃 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 −6𝐸𝐼𝜃𝐵 6𝐸𝐼𝜃𝐸 24𝐸𝐼∆1 − + = 3𝑃 … … … … … … (6) 𝐿2 𝐿2 𝐿2 𝐵 𝐶 𝐸 12 2 2 2 8 0 EI 2 0 12 0 2 2 −6 −0 −6 [−6 −6 −6 29 𝑃𝐿2

𝜃𝐵 = 220 𝐸𝐼

𝜃𝐶 =

3 𝑃𝐿2 55 𝐸𝐼

𝜃𝐸 =

29 𝑃𝐿2 220 𝐸𝐼

𝜃𝐹 =

29 𝑃𝐿2 220 𝐸𝐼

∆1 =

𝐹 0 2 2 8 0 6

∆1 −6 0 −6 0 24 6

∆2 𝜃 0 𝐵 −6 𝜃 0 𝐶 −6 𝜃 0 −6 𝐸 = 𝜃𝐹 0 −6 ∆1 3𝑃 0 [ [ ] ∆ 𝑃] 24 ] 2

21 𝑃𝐿3 100 𝐸𝐼

89 𝑃𝐿3 ∆2 = 660 𝐸𝐼

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

18𝑃𝐿 55

C

36𝑃 55

18𝑃𝐿 55

𝑃 2 𝑃 2 87𝑃 55

19𝑃𝐿 110 34𝑃𝐿 55

B

87𝑃 55

18𝑃𝐿 55

87𝑃 55

𝑅𝐴 =

𝑃 2 𝑃 2

19𝑃𝐿 110

55

3𝑃 2 3𝑃 2

3𝑃 2 97𝑃𝐿 𝑀𝐴 = 110

97𝑃𝐿 110

3𝑃 2 97𝑃𝐿 D 𝑀 = 123𝑃 𝐷 110 𝑅𝐷 = 55

𝑅𝐴 =

A

18𝑃𝐿 55

E34𝑃𝐿

87𝑃𝐿 3𝑃 110 2 3𝑃 2

97𝑃𝐿 110

F

36𝑃 55

𝑅𝐷 =

123𝑃 55

𝑅𝐷 =

18𝑃𝐿 55

DMF

18𝑃𝐿 55

-

-

18𝑃𝐿 + 55

19𝑃𝐿 − 55

-19𝑃𝐿 110

+

97𝑃𝐿 110

-

−

+

87𝑃𝐿 110 −

18𝑃𝐿 55

87𝑃𝐿 110

34𝑃𝐿 55

-

−

123𝑃 55

97𝑃𝐿 110

34𝑃𝐿 55

-

+

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I DFC:

DEFORMADA:

𝑃 2

−

+

36𝑃𝐿 55

𝑃 2

+

∆1

∆1

3𝑃 2

+ −

+

87𝑃𝐿 55

7. Determinar los momentos flectores y fuerzas cortantes 3Tn/m 2

Incógnitas: 𝜃2 , 𝜃3 Momento carga distribuida

3

1

𝑀12 =

=

−3(2)2 12

𝑀12 = −1𝑚. 𝑚

3m

𝑀21 =

𝑊𝐿2 3(2)2 = 12 12

𝑀21 = 1𝑚. 𝑚

4 2m

−𝑊𝐿2 12

3m

MOMENTO DERECHO CAMBIA DE SIGNO −3 𝑀12 = −1 + 𝐸𝐼[𝜃2 ] → −1 + 𝐸𝐼 ( ) 13𝐸𝐼

𝑀12 =

−16 13

−2 × 3 𝑀21 = 1 + 𝐸𝐼[2𝜃2 ] → 1 + 𝐸𝐼 ( ) 13𝐸𝐼

𝑀21 =

7 13

→

𝑀21 =

−7 13

−3 13

→

𝑀23 =

−3 13

𝑀23 =

2𝐸𝐼 2𝐸𝐼 −2 × 3 3 [2𝜃2 + 𝜃3 ] → [ + ] 3 3𝐸𝐼 13 26

𝑀23 =

𝑀32 =

2𝐸𝐼 2𝐸𝐼 2 × 3 3 [2𝜃3 + 𝜃2 ] → [ − ] 3 3𝐸𝐼 26 13

𝑀32 = 0

→

→

𝑀21 =

−16 13

𝑀32 = 0

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 𝑀24 =

2𝐸𝐼 2𝐸𝐼 −2 × 3 [2𝜃2 ] → [ ] 3 3𝐸𝐼 13

𝑀24 =

−4 13

→

𝑀24 =

−4 13

𝑀42 =

2𝐸𝐼 2𝐸𝐼 3 [𝜃2 ] → [− ] 3 3𝐸𝐼 13

𝑀42 =

−2 13

→

𝑀42 =

2 13

Las ecuaciones de equilibrio estático son: a) 𝑀21 + 𝑀23 + 𝑀24 = 0 4𝐸𝐼𝜃2 2𝐸𝐼𝜃3 4𝐸𝐼𝜃2 + + =0 3 3 3 14𝐸𝐼𝜃2 2𝐸𝐼𝜃3 + = −1 3 3 1 + 2𝐸𝐼𝜃2 +

b) 𝑀32 = 0

2𝐸𝐼𝜃2 4𝐸𝐼𝜃3 + =0 3 3

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

14 𝐸𝐼 [ 3 2 3

𝑅1 =

2 13

2 3] [𝜃2 ] = [−1] 4 𝜃3 0 3

16 13

1 𝑅1 =

16 87 13 26

87 26

→

7 13

3Tn/m

−3 13𝐸𝐼 3 𝜃3 = 26𝐸𝐼

3 13

2

7 69 69 13 26 26

4 13

2 13

Esto se reemplaza en ecuaciones de momentos

𝜃2 =

1 13

Barra 1-2

3 1 13

1 13

1 𝑅3 = 13

3Tn/m 1

𝑅↑ =

2 13

2 13

4

2 𝑀4 = 13

𝑅4 =

𝑅4 =

2

87 26

𝑅2 =

69 26

2 13

71 26

4

Cálculo momento máximo

𝑉=

87 − 3𝑥 26

0=

87𝑥 − 3𝑥 26

𝑥=

29 26

𝑀𝑥 =

→

16 13

87 26 −69 = 26

𝑉(0) =

{ 𝑉(2)

𝑀𝑂𝑀𝐸𝑁𝑇𝑂 𝑀Á𝑋𝐼𝑀𝑂

87𝑥 3𝑥 2 16 − − 26 2 13

𝑀(0) =

−16 13

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 𝑀

29 62

= 𝑂. 635

𝑀(2) =

−7 13

DFC: 87 26 1⁄ 13

+

+

−69⁄ 26

2⁄ 13

+

DMF:

−

16 13

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

DEFORMADA:

8. Determinar DFC y DMF para la siguiente estructura

5T 2Tm

2

𝐼 = 20

3

𝐼 = 30

1 4.6m

2.2m 𝑀23 =

2𝐸(30) [2𝜃2 ] → 4.60

𝑀23 = −13 𝑡𝑛. 𝑚 = −13 𝑡𝑛. 𝑚

𝑀23 = [2 + 5 × 2.20]

𝑀32 =

2𝐸(30) [𝜃2 ] 4.60

𝑀32 = −6.3 𝑡𝑛. 𝑚 = +6.3 𝑡𝑛. 𝑚

𝑀23 = 13 𝑡𝑛. 𝑚

→

Ecuaciones: 𝑀21 + 𝑀23 = 0 13 +

600𝐸(𝜃2 ) =0 23

𝜃2 =

13

5

−13 × 23 600𝐸

4.24

299 600𝐸

6.5

13 5

⟹ 𝜃2 = −

4.24

9.24

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

DFC: 4.24

+

−𝑀𝑥 = 4.24𝑥 − 13

-

𝑀0 = −13 𝑀(4.60) = 6.5

−5

0 = 4.24𝑋 − 13 𝑋 = 3.07 DMF:

4.24

-

+ 4.24

DEFORMADA:

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 9. Determinar Momentos Flectores y Fuerzas Cortantes.

0.6T/m 3

2

BARRA 1-2:

9 30T

2 24

21

𝑀12 = 4

𝑀12 =

𝑀𝑎 3𝑏 ( − 1) 𝐿 𝐿

60 ∗ 9 3 ∗ 21 ( − 1) 30 30

1

28

𝑀21 =

𝑀𝑏 3𝑎 ( − 1) 𝐿 𝐿

𝑀21 =

60 ∗ 21 3 ∗ 9 ( − 1) 30 30

𝑀21 = −4.2

0.6T/m

BARRA 2-3: 𝑤𝐿2 12

𝑤𝐿2 12

0.6T/m

60Tm

−𝑤𝐿2

𝑀23 = 60Tm = 12 𝑀32 =

𝑤𝐿2 12

=

−(0.6)(28)2 12

(0.6)(28)2 12

=-39.2 Tm

=39.2 Tm

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

𝑀12 = 19.8 +

2𝐸(1.5) 3∆ 𝐸 ∆ [𝜃2 − ] ⇒ 19.8 + [𝜃2 − ] ⇒ 𝑀12 = 11.201 30 30 10 10

𝑀21 = −4.2 +

2𝐸(1.5) 3∆ 𝐸 ∆ [2𝜃2 − ] ⇒ −4.2 + [2𝜃2 − ] ⇒ 𝑀21 = 16.964 30 30 10 10

𝑀23 = −39.2 + 𝑀32 = 39.2 +

2𝐸(0.7) 𝐸 [2𝜃2 + 𝜃3 ] ⇒ −39.2 + [2𝜃2 + 𝜃3 ] ⇒ 𝑀23 = −16.964 28 20

2𝐸(0.7) 𝐸 [2𝜃3 + 𝜃2 ] ⇒ 39.2 + [2𝜃3 + 𝜃2 ] ⇒ 𝑀32 = 39.029 28 20

𝑀34 =

2𝐸(0.6) 3∆ 𝐸 ∆ [2𝜃3 − ] ⇒ [2𝜃3 − ] ⇒ 𝑀34 = −39.029 24 24 20 8

𝑀43 =

2𝐸(0.6) 3∆ 𝐸 ∆ [𝜃3 − ] ⇒ [𝜃3 − ] ⇒ 𝑀43 = −31.503 24 24 20 8

Ecuaciones de Equilibrio Estático a) 𝑀12 + 𝑀23 = 0

𝐸𝜃2 𝐸∆ 𝐸𝐼𝜃2 𝐸𝜃3 − − 39.2 + + =0 5 100 10 20 3𝐸𝜃2 𝐸𝜃3 𝐸∆ + − = 43.4 … … (1) 10 20 100 −4.2 +

b) 𝑀32 + 𝑀34 = 0

𝐸𝜃3 𝐸𝜃2 𝐸𝜃3 𝐸∆ + + − =0 10 20 10 160 𝑬𝜽𝟐 𝐸𝜃3 𝐸∆ + − = −39.2 𝟐𝟎 5 160 39.2 +

… … (2)

|Las fuerzas cortantes de la columna son: −

1 30

[𝑀12 + 𝑀21 ] − −

1 24

60 𝑇𝑚

[𝑀34 + 𝑀43 ] = 2

𝑅 = 2𝑇

1 𝐸𝜃2 𝐸∆ 𝐸𝜃2 𝐸∆ 1 𝐸𝜃3 𝐸∆ 𝐸𝜃3 𝐸∆ [[19.8 + − ] + [−4.2 + − ]] − [[ − ]+[ − ]] = 2 30 10 100 5 100 24 10 160 20 160

−

19.8 𝐸𝜃2 𝐸∆ 4.2 𝐸𝜃2 𝐸∆ 𝐸𝜃3 𝐸∆ 𝐸𝜃3 𝐸∆ + − + − + − − − + =2 30 300 3000 30 150 3000 240 3840 480 3840

−

𝐸𝜃2 𝐸𝜃3 19𝐸∆ 63 − + = 100 160 32000 25

… … (3)

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

2𝑇

∑𝑀2 = 0 𝑅 × 30 = 60 𝑅 = 2𝑇

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 3⁄ 10 𝐸 1⁄20 −1 [ ⁄100

1⁄ 20 1⁄ 5 −1⁄ 160

−1⁄ 43.4 100 𝜃2 −1⁄ −39.2 𝜃 [ ] = [ ] 3 160 63⁄ ∆ 23 19⁄ 25 16000]

𝜃2 = 40775⁄137𝐸 ⟹ 𝜃3 = −20622⁄137𝐸 ∆23 = 525560⁄137𝐸 19.694 +

19.694

16.964

7.709

0.6𝑇

-

39.029

−9.091

9.091

+

39.029

2.939

2.939

11.201

−2.939

2.939 31.503

60 𝑇𝑚 2.939

2.939

-

𝑀4 = 31.503

16.464 −16.464 -

𝑅4= 9.091

𝑅1 = 2.939

+

−39.029 -

39.029

+

-

9.482

-

𝑅1 = 7.709

31.503

+

+

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I 11. Trazar el DFC Y DMF para la siguiente estructura

−𝑀12 = 𝑀21

−𝑀34 = 𝑀43

𝑀12 =

−𝑃𝐿 8

𝑀12 =

−2𝑃𝐿 8

𝑀12 =

−𝑃𝐿 4

𝑴𝟐𝟏 =

𝑷𝑳 𝟒

𝑀34 =

−𝑃𝐿 8

𝑀34 =

−𝑃𝐿 8

𝑴𝟒𝟑 =

𝑷𝑳 𝟖

Mg. Ing. Genaro Delgado Contreras

𝑀12 = −

𝑃𝐿 2𝐸𝐼 3𝐴 7𝑃𝐿 + [𝜃2 − ] = − 4 𝐿 𝐿 10

𝑀21 = −

𝑃𝐿 4

𝑀23 = +

2𝐸𝐼 7𝑃𝐿 [2𝜃2 − 𝜃3 ] = 𝐿 80

𝑀32 = +

2𝐸𝐼 13𝑃𝐿 [2𝜃3 − 𝜃2 ] = − 𝐿 80

𝑀34 = −

𝑃𝐿 2𝐸𝐼 3𝐴 13𝑃𝐿 + [2𝜃3 − ] = 8 𝐿 𝐿 80

𝑀43 =

+

2𝐸𝐼 [2𝜃2 𝐿

−

3𝐴 ] 𝐿

=−

7𝑃𝐿 80

𝑃𝐿 2𝐸𝐼 3𝐴 11𝑃𝐿 + [𝜃3 − ] = 8 𝐿 𝐿 20

Ecuaciones de equilibrio estático

1.

𝑀12 + 𝑀23 = 0 𝑃𝐿 4𝐸𝐼𝜃2 6𝐸𝐼𝐴 4𝐸𝐼𝜃2 2𝐸𝐼𝜃3 + − 2 + + =0 4 𝐿 𝐿 2 𝐿 8𝐸𝐼𝜃2 2𝐸𝐼𝜃3 6𝐸𝐼𝐴 𝑃𝐿 + − 2 = − … … … … … (1) 𝐿 𝐿 𝐿 4

2.

𝑀32 + 𝑀34 = 0 4𝐸𝐼𝜃3 2𝐸𝐼𝜃2 𝑃𝐿 4𝐸𝐼𝜃3 6𝐸𝐼𝐴 + − + + 2 =0 𝐿 𝐿 8 𝐿 𝐿 2𝐸𝐼𝜃2 8𝐸𝐼𝜃3 6𝐸𝐼𝐴 𝑃𝐿 + − 2 =− … … … … … (2) 𝐿 𝐿 𝐿 8 1

3.

1

3

− 𝐿 (𝑀12 + 𝑀21 ) + 𝐿 (𝑀34 + 𝑀43 ) = 2 𝑃

1 𝑃𝐿 2𝐸𝐼𝜃2 6𝐸𝐼𝐴 𝑃𝐿 4𝐸𝐼𝜃2 6𝐸𝐼𝐴 − [− + − 2 + + − 2 ] 𝐿 4 𝐿 𝐿 4 𝐿 𝐿 1 𝑃𝐿 4𝐸𝐼𝜃3 6𝐸𝐼𝐴 𝑃𝐿 2𝐸𝐼𝜃3 6𝐸𝐼𝐴 3𝜃 + [− + − 2 + + − 2 ]= 𝐿 8 𝐿 𝐿 8 𝐿 𝐿 2 −

6𝐸𝐼𝜃2 12𝐸𝐼𝐴 6𝐸𝐼𝜃3 12𝐸𝐼𝐴 3𝑃 + − + =− 2 2 2 3 𝐿 𝐿 𝐿 𝐿 2

−

𝐸𝐼

𝜃

2

𝐿 2

𝐿 8

𝐿

6

[− 𝐿2

6𝐸𝐼𝜃2 6𝐸𝐼𝜃3 24𝐸𝐼𝐴 3𝑃 + − = … … … … … (3) 𝐿2 𝐿2 𝐿3 2

6

− 𝐿2 6

𝐿 6

𝐿2 24

𝐿2

𝐿2

]

𝜃2 [ 𝜃3 ] = ∆12

−

𝑃𝐿

4 𝑃𝐿

[

8 30 2

]

9𝑃𝐿2 𝜃2 = 160𝐸𝐼 −11𝑃𝐿2 𝜃3 = 160𝐸𝐼 3𝑃𝐿3 ∆12 = 32𝐸𝐼

𝑀𝑋 =

143 7 𝑋− 80 10

𝑀(0) = −7/10 𝐿 31 𝑀( ) = 2 160

𝑉=−

17𝑃 −𝑃 80

𝑉=−

97𝑃 80 𝑀𝑋 =

13 17 𝐿 𝑃𝐿 − 𝑃𝑋 − 𝑃(𝑋 − ) 80 80 2

𝐿 9𝑃𝐿 𝑀( ) = 2 160 𝑀(𝐿) = −

11 20

deformada

𝑀23 =

13.-Resolver el siguiente problema

𝑀23 = 𝑀32 =

𝑀12 = 𝑀12 =

M21 =

16 3

M23 = −

M32 =

16

+

𝐸𝐼

+

𝐸𝐼

(𝜃2 ) =

192

+

3

99

144 49

2

+

2

4×42 ×3 49

−192 49

4×32 ×4 72 144 49

4 × 42 12 16 3

𝑀12 = 𝑀21 =

M12 = −

L2

𝑀32 =

12

=

pb2 a L2

𝑀32 = 𝑊𝐿2

pa2 b

(𝜃2 ) =

2𝐸𝐼 7

2𝐸𝐼 7

−186

−186

35

35

−188

−188

35

35

(2𝜃2 + 𝜃3 ) =

−188

−188

35

35

(2𝜃3 + 𝜃2 ) = 0

Ecuaciones de equilibrio estático 1.- M21 + M23 = 0 16 3

+

2𝐸𝐼𝜃2 2

−

2.- M32 = 0 192 49

+

4𝐸𝐼𝜃2 7

+

11𝐸𝐼𝜃2 2𝐸𝐼𝜃3 208 + =− … (1) 7 7 147

2𝐸𝐼𝜃3 7

=0

2𝐸𝐼𝜃2 7

+

4𝐸𝐼𝜃3 7

=−

144 49

… (2)

Resolviendo (1) y (2):

𝜃2 =

4

𝜃2 =

105𝐸𝐼

−542

Reemplazando valores en

105𝐸𝐼

Ecuaciones de momentos

𝑉=

559 70

𝑉(𝑜) = 𝑉(4) =

559

= 𝑀𝑥

=

280

− 4𝑥 559 70 561 70

→ 𝑀𝑚𝑎𝑥

559 186 𝑥− − 2𝑥 2 70 35

𝑀(0) = 𝑀(

−186 35

559 ) = 2.657 280

𝑀(4) =

−188 35

14. Resolver la siguiente estructura: Trazar DFC y DMF:

𝑀12 =

𝐸𝐼 [𝜃2 2

𝑀21 =

𝐸𝐼 [2𝜃2 2

𝑀23 = − 𝑀32 =

25 6

+

3

− 4] = +0.909 𝑇𝑚  +0.909 Tm −

3𝛥 ] 4

= +2.340 𝑇𝑚 -2.34 Tm

2𝐸𝐼 [2𝜃2 5

+ 𝜃3 ] = −2.340 𝑇𝑚  -2.340 Tm

25 2𝐸𝐼 [2𝜃3 + 𝜃2 ] = 4.389 𝑇𝑚  − 4.389 𝑇𝑚 + 6 5

𝑀34 = 𝐸𝐼 [2𝜃3 −

3𝛥 ] = −4.389 𝑇𝑚  − 4.389 𝑇𝑚 2

𝑀43 = 𝐸𝐼 [𝜃3 −

3𝛥 ] = −3.236 𝑇𝑚  + 3.236 𝑇𝑚 2

Ecuaciones:

1.

𝑀21 + 𝑀23 = 0 𝐸𝐼𝜃2 −

3𝐸𝐼𝛥 25 4𝜃2 2𝐸𝐼𝜃3 − + + =0 8 6 5 5

9𝐸𝐼𝜃2 2𝐸𝐼𝜃3 6𝐸𝐼𝛥 25 + − = − … … … … … (1) 8 5 8 6

2.

𝑀32 + 𝑀34 = 0 25 4𝐸𝐼𝜃3 2𝐸𝐼𝜃2 3𝐸𝐼𝛥 + + + 2𝐸𝐼𝜃3 − =0 6 5 5 2 2𝐸𝐼𝜃2 14𝐸𝐼𝜃3 3𝐸𝐼𝛥 25 + − = − … … … … … (2) 5 5 2 6 1

3.

1

− 4 (𝑀12 + 𝑀21 ) + 2 (𝑀34 + 𝑀43 ) = 3𝑇

1 𝐸𝐼𝜃2 3𝐸𝐼𝛥 3𝐸𝐼𝛥 1 3𝐸𝐼𝛥 3𝐸𝐼𝛥 − [ − + 𝐸𝐼𝜃2 − + 𝐸𝐼𝜃3 − ] − [2𝐸𝐼𝜃3 − ]=3 4 2 8 8 2 2 2 −

𝐸𝐼𝜃2 3𝐸𝐼𝛥 𝐸𝐼𝜃2 3𝐸𝐼𝛥 3𝐸𝐼𝛥 𝐸𝐼𝜃3 3𝐸𝐼𝛥 + − + − 𝐸𝐼𝜃3 + − + =3 8 32 4 32 4 2 4 −

3𝐸𝐼𝜃2 3𝐸𝐼𝜃3 27𝐸𝐼𝛥 − − = 3 … … … … … (3) 8 2 16

Resolviendo (1), (2) y (3): 𝜃2 =

389 136𝐸𝐼

𝜃3 =

−883 766

𝛥12 =

518 373

𝛥12 =

518 373

METODO VIGA CONJUGADA 1.- Determinar la deflexión en B

2.- Calcular ƟA Y δ C

103 𝑇

E = 2 x 𝑐𝑚2 x

1002

𝑇

→ 𝐸 = 2 𝑥 107 𝑚2

1𝑚2

I = 4000𝑐𝑚2 𝑥

1𝑚4

(100)4 𝑐𝑚4

I = 4x10−5 𝑚4

𝑀𝑋 = 2𝑋 − 2(𝑋 − 3) − 2(𝑋 − 7) 𝑀(0) = 0

𝑀(3) = 6 𝑀(7) = 6

𝑀(3) = 6

𝑀(7) = 6 𝑀(10) = 0

*Cálculo del desplazamiento −36 𝑇𝑚

Σ𝑀𝐶 = 0

𝛿𝐶 = 2𝑥107 𝑥4𝑥10−5

(3X4)(2) + (9)(5) − (15𝑋7) = 𝑀𝐶 𝑀𝐶 =

−36 𝐸𝐼

𝛿𝐶 = 0.045𝑚 𝛿𝐶 = 4.5𝑐𝑚

RA = σA

Calculo giro en A + Σ𝑀𝐷 = 0

1 1 𝑅𝐴(10) = (6 × 3)(8) + (3 × 4)(5) + (6 × 3)(2) 2 2 𝑅𝐴 =

72 + 60 + 18 10

𝑅𝐴 =

15Tn EI

𝑅𝐴 =

2×

15Tn × 4 × 10−5

107

3.-Determinar la deflexión en B.

EI =420Tm2

Parte izquierda de la viga + Σ𝑀𝐵 = 0 2 − 𝑅𝐵(2) = 0 𝑅𝐵 = 1𝑇𝑚

𝑋 𝑀𝑋= − 4𝑋 ( ) 2 𝑀𝑋= − 2𝑋 2

+ Σ𝑀𝐵 = 0 1 2 1 1 3 (2 × 2) ( × 2) − (3 × 3)(2) + (8 × 2) (1 + × 2) − 𝑅𝐴 (2) = 0 2 3 2 3 4 −8 40 −9+ = 𝑅𝐴 (2) 3 3 𝑅𝐴 =

5𝑇 6

Cálculo de flecha en B: calculamos momento en B.

+ Σ𝑀𝐵 = 0 5 1 2 −MB = ( × 2) − (2 × 2) ( × 2) = 0 2 2 3 −MB = 𝑀𝐵 = 𝛿𝐵 =

−13 Tn. m 3EI

𝛿𝐵 =

−13 Tn. m 3 × 420Tn. m2

5 8 + 3 3

−13 3EI

𝛿𝐵 = −0.0103m

Trazar DMF y DFC: Usar EI=140

B

C

3.5 m

2I

4m

I

A

I

D

E

4m

3m

3m

Momentos derechos cambian de signos

𝑀𝐵𝐶 = −

MAB =

MBC =

𝑃𝐿 8

= −

2𝑥140 4

2𝑥140 4

MBC = −

175 4

50∗7 8

𝑀𝐵𝐶 = −

(𝜃𝐵 )

70 𝜃𝐵

(2𝜃𝐵 )

+

140 𝜃𝐵

4 𝑥 140 7

(2𝜃𝐵 + 𝜃𝐶 )

175 4

= 𝐾𝑛. 𝑚

𝑀𝐶𝐵 =

MAB = 13.58 Kg.m

MBA = 27.16 Kg.m

−

175 4

+ 160𝜃𝐵 + 80𝜃𝐶

175 4

𝐾𝑛. 𝑚

13.58

-27.16

MBC= -27.16

-

27.16

MCB =

175 4

+

4 𝑥 140 7

(2𝜃𝐶 + 𝜃𝐵 )

175 4

+ 160𝜃𝐶 + 80𝜃𝐵

MCB = 30.36

- 30.36

MCD =

2 𝑥 140 5

(2𝜃𝐶 + 𝜃𝐵 )

112𝜃𝐶 + 56𝜃𝐵

(2𝜃𝐷 + 𝜃𝐶 )

112𝜃𝐷 + 56𝜃𝐶

MCD = -15.18

- 15.18 MDC =

2 𝑥 140 5

MCD = 0

0

MCE =

2 𝑥 140 5

(2𝜃𝐶 + 𝜃𝐸 )

112𝜃𝐶 + 56𝜃𝐸

MCD = -15.18

-

(2𝜃𝐸 + 𝜃𝐶 )

112𝜃𝐸 + 56𝜃𝐶

MEC = 0

0

15.18

MEC =

2 𝑥 140 5

Ecuaciones de Equilibrio:

1. MBA + MBC = 0 140𝜃𝐵 − 43.75 + 160𝜃𝐵 + 80𝜃𝐶 = 0 300𝜃𝐵 + 80𝜃𝐶 = 43.75……. (1) 2. MCB + MCD + MCE = 0 43.75 + 160𝜃𝐶 + 80𝜃𝐵 + 112𝜃𝐶 + 56𝜃𝐵 + 112𝜃𝐶 + 56𝜃𝐸 = 0 80𝜃𝐵 + 384𝜃𝐶 + 56𝜃𝐷 + 56𝜃𝐸 = −43.75…………. (2)

3. MDC = 0 56𝜃𝐶 + 112𝜃𝐷 ……………… (3)

4. MEC = 0 56𝜃𝐶 + 112𝜃𝐸 ……………… (4)

13

𝜃𝐵 = 67

𝜃𝐶 = −

−133 736

59

𝜃𝐷 = 653

59

𝜃𝐸 = 653

DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE

DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR

DEFORMADO

16.-Trazar el DFC y DMF para la siguiente viga mostrada: P1

W

P2

A C

B L

L 𝑃1 = 𝑃2 = 3 𝑇𝑛 𝑊 = 6 𝑇𝑛 𝐿 = 4𝑚

𝑀𝐴𝐵 =

−𝑃1 𝐿 2𝐸𝐼𝜃𝐵 −𝑃𝐿 𝑊𝐿2 −3 𝑥 4 6𝑥42 + → + → + = 0.5 8 𝐿 8 48 8 48

𝑀𝐵𝐴

𝑃1 𝐿 4𝐸𝐼𝜃𝐵 𝑃𝐿 𝑊𝐿2 3 𝑥 4 6𝑥42 = + → + → + = 5.5 8 𝐿 8 24 8 24

𝑀𝐵𝐶 =

−𝑊𝐿2 𝑃2 𝐿 4𝐸𝐼𝜃𝐵 −𝑊𝐿2 𝑃2 𝐿 𝑊𝐿2 −6𝑥42 3𝑥4 6𝑥42 − + → − + → − + = −5 − 5 12 8 𝐿 12 8 24 12 8 24

𝑀𝐶𝐵

𝑊𝐿2 𝑃2 𝐿 2𝐸𝐼𝜃𝐵 𝑊𝐿2 𝑃2 𝐿 𝑊𝐿2 6𝑥42 3𝑥4 6𝑥42 = + + → − + → + + = 11.5 12 8 𝐿 12 8 48 12 8 48

Ecuaciones de equilibrio: 𝑀𝐵𝐴 + 𝑀𝐵𝐶 = 0 𝑃1 𝐿 4𝐸𝐼𝜃𝐵 𝑊𝐿2 𝑃2 𝐿 4𝐸𝐼𝜃𝐵 + − − + =0 8 𝐿 12 8 𝐿 4𝐸𝐼𝜃𝐵 𝑊𝐿2 = 𝐿 12 𝑊𝐿3 𝜃𝐵 = 96𝐸𝐼 Donde: 0≤𝑥≤2

𝑉 = 12 − 6𝑥 𝑉(0) = 12 𝑉(2) = 0

𝑀𝑥 = 12𝑥 − 6𝑥 2 − 5.5 𝑀(0) = −5.5 𝑀(2) = 6.5

2≤𝑥≤4

𝑀𝑥 = 12𝑥3𝑥 2 − 3(𝑥 − 2) − 5.5

𝑉 = 12 − 6𝑥 − 3 = 𝑉(2) = −3 𝑉(4) = −15

𝑀(2) = 6.5 𝑀(4) = −11.5

Se concluye en:

Se concluye con los siguientes diagramas: DFC

12-3 Tn

-3 Tn

-3 Tn

-3 Tn -11.5 Tn

-5.5 Tn

0.5 Tn

6.5 Tn

DEFORMADA

17.-Trazar el DFC y DMF para la siguiente viga mostrada: 10 KN

6 KN/m

A

B

C

8m

6m

Del grafico:

𝑤𝑙 2 = 7.21 𝐾𝑛. 𝑚 30

𝑤𝑙 2 = 10.8 𝐾𝑛. 𝑚 20

𝑃 = 10 𝐾𝑛. 𝑚 8

𝑃 = 10 𝐾𝑛. 𝑚 8

Ecuaciones de momentos: Momento de la derecha cambian de signo:

𝑀𝐴𝐵 = −10 + 𝑀𝐴𝐵 = 10 +

2𝐸𝐼𝜃𝐵 → −10.6 8

4𝐸𝐼𝜃𝐵 → 8.8 8

− 10.6 − 8.8

𝑀𝐵𝐶 = −7.2 +

4𝐸𝐼𝜃𝐵 → −8.8 6

− 8.8

𝑀𝐶𝐵 = 10.8 +

2𝐸𝐼𝜃𝐵 → 10 6

− 10

Ecuaciones de equilibrio: 𝑀𝐵𝐴 + 𝑀𝐵𝐶 = 0 4𝐸𝐼𝜃𝐵 4𝐸𝐼𝜃𝐵 10 + − 7.2 + =0 8 6 7𝐸𝐼𝜃𝐵 = −2.8 6 −2.4 𝜃𝐵 = 𝐸𝐼 𝐴−𝐵 0≤𝑋 ≤4

𝑀𝑥 = 5.225𝑥 − 10.6 𝑀(4) = 10.3 𝐵−𝐶

0≤𝑋≤6

𝑉 = 5.8 −

𝑥2 2

𝑠𝑖 𝑣 = 0 𝑥2 0 = 5.8 − 2 𝑥 = 3.406 𝑚 (𝑀𝑚𝑎𝑥) 𝑥2 𝑀𝑥 = 5.8𝑥 − − 8.8 2 𝑀(0) = −8.8

𝑀(3.406) = 4.369 𝑀(6) = −10

De los cálculos obtenemos:

DFC: -4.775

5.225

-4.775

-12.2

DMF:

-10

-10.6 -8.8

4.396

10.3

DEFORMADA

18. Trazar DFC y DMF de la siguiente viga ocurriendo un desplazamiento de 10 mm en el punto B [EI= 40000T.m2 ]

𝑀𝐴𝐵 = −10 +

𝑀𝐵𝐴 = 10 +

4𝐸𝐼 [2∅𝐴 + ∅𝐵 ] 8 0.00375(40000) − =0 2

4𝐸𝐼 0.00375(40000) [2∅𝐵 + ∅𝐴 ] − = −68.945𝑇. 𝑚 8 2

𝑀𝐵𝐶 = −7.2 +

6𝐸𝐼 [2∅𝐵 ] + 0.005 ∗ 40000 = 68.945𝑇. 𝑚 6

𝑀𝐶𝐵 = 10.8 +

6𝐸𝐼 (∅𝐵 ) + 0.005 ∗ 40000 = 148.873𝑇. 𝑚 6

1. 𝑀𝐵𝐴 + 𝑀𝐵𝐶 = 0 10𝐸𝐼∅𝐵 + 0.5𝐸𝐼∅𝐴 − 75 − 7.2 + 2𝐸𝐼∅𝐵 + 200 = 0 0.5𝐸𝐼∅𝐴 + 3𝐸𝐼∅𝐵 = −127.8 … … … (1) 𝑀𝐴𝐵 = 0 −10 + 𝐸𝐼∅𝐴 + 0.5𝐸𝐼∅𝐵 − 75 = 0 𝐸𝐼∅𝐴 + 0.5𝐸𝐼∅𝐵 = 85 … … … (2) 6378 ∅ = 𝐴 −127.8 0.5 3 ∅𝐴 55𝐸𝐼 𝐸𝐼 [ ][ ] = [ ] 3406 85 1 0.5 ∅𝐵 ∅𝐵 = − 55𝐸𝐼

DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE 0≤𝑥 Mmax 0 = −30.303 −

𝑥2 2

𝑥 = 7.78

DEFORMADA:

19. Determine las reacciones DFC y DMF e=200 gpa 50(106)mm4 y en “c” se desplaza 10 mm

𝐸 = 200𝐺𝑃𝑎 = 200000000𝐾𝑁. 𝑚2 𝐼 = 50 ∗ 10−5 𝑚𝑚4 ∆= 0.01𝑚. 4𝐸𝐼 (∅𝐵) = 20.08 𝑀𝐴𝐵 = 3 4𝐸𝐼 (2∅𝐵) = 40.16 𝑀𝐵𝐴 = 3 𝑀𝐵𝐶 = −4.5 + 𝐸𝐼(2∅𝐵 + ∅𝐶) 3𝐸𝐼(0.01) − = −40.16 3 3𝐸𝐼(0.01) 𝑀𝐶𝐵 = 4.5 + 𝐸𝐼(∅𝐵 + 2∅𝐶) + 3 = −12 1. 𝑀𝐵𝐴 + 𝑀𝐵𝐶 = 0 14𝐸𝐼∅𝐵 3

+ 𝐸𝐼∅𝐶 = 104.5 … … … … … (1)

6X

𝑉 = 26.34 − 6𝑥 0 = 26. .34 − 6𝑥 𝑋 = 4.4 → 𝑀𝑚𝑎𝑥 𝑀𝑥 = 26.39𝑥 − 3𝑋 2 − 40.16 𝑀(0) = −40.16 𝑀𝐵 = 12

2. 𝑀𝐶𝐵 + 12 = 0 4.5 + 𝐸𝐼(∅𝐵 + 2∅𝐶) +

3𝐸𝐼(0.01)

12 = 0 𝐸𝐼∅𝐵 + 2𝐸𝐼∅𝐶 = 83.5 14 ∅ 104.5 𝐸𝐼 { 3 1} [ 𝐵 ] = [ ] ∅𝐶 83.5 1 2 15.06 ∅𝐵 = 𝐸𝐼 34.22 ∅𝐶 = 𝐸𝐼

DMF:

DEFORMADA:

3

+

19.

Trazar DFC y DMF para la sgt. Figura

AB 𝑀=

𝑃𝐿 8

=

40∗6 8

= 30KN

BC 12∗62 12

M=

76 3 118 𝑀𝐵𝐴 = 30 + 𝐸𝐼2∅𝐵 = 3 2𝐸𝐼 148 (2∅𝐵 + ∅𝐶) = − 𝑀𝐵𝐶 = −36 + 3 3 2𝐸𝐼 (2∅𝐶 + ∅𝐵) = 0 𝑀𝐶𝐵 = 36 + 3 Ecuaciones de equilibrio estatico 1. 𝑀𝐵𝐴 + 𝑀𝐵𝐶 + 𝑀𝐵𝐷 = 0 4𝐸𝐼∅𝐵 4𝐸𝐼∅𝐶 30 + 2𝐸𝐼∅𝐵 + + − 36 + 10 = 0 3 3 10𝐸𝐼∅𝐵 2𝐸𝐼∅𝐶 + = −4 3 3 2. 𝑀𝐶𝐵 = 0 4𝐸𝐼∅𝐶 2𝐸𝐼∅𝐵 36 + + =0 3 3 2𝐸𝐼∅𝐵 4𝐸𝐼∅𝐶 + = −36 3 3 ∅𝐵= 14 10/3 2/3 −4 3𝐸𝐼 𝐸𝐼 [ ]=[ ] 2/3 4/3 ∅𝐶=− 88 −36 𝑀𝐴𝐵 = 30 + 𝐸𝐼∅𝐵 = −

3𝐸𝐼

= 36𝐾𝑁

Equilibrio de nodos:

𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎 𝐵𝐶

398 398 4 𝑉= − 12𝑋 { 250 9 𝑀(8) = − 9 398 0= − 12𝑋 9 𝑋 = 3.685 𝑚 (𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑦 𝑉 = 0) −148 𝑀(0) = 398 148 3 𝑀𝑥 = 𝑋 − 6𝑋 2 − { 9 3 𝑀(3.685) = 32.15 𝑀(6) = 0 𝑉(0) =

𝐵𝐴𝑅𝑅𝐴 𝐴 − 𝐵

−76 53 76 𝑀(0) = 3 𝑀𝑥 = 𝑋− { 83 3 3 𝑀(3) = 3 OBTENEMOS EL DFC 396/3

-10

53/3

-67/3

-250/9

DMF

148/3 -10

-118/3 32.5

-76/3

83/3

DEFORMADA:

21.- Trazar los DFC y DMF en el marco mostrado. Donde en el nodo C tiene una articulación y empotrado perfecto en A y D

Una sola flecha Hay

uno por la izquierda Dos giros diferentes Otro por la derecha

Articulación 10 KN

4m

3m

𝑃𝑎2 𝑏 = 5.625 𝐿2

𝑃𝑎𝑏 2 = 1.875 𝐿2

MAB = −1.875 + MBA = 5.625 + MBC =

2EI 4

θB −

3∆ 4

= −15.9375

2EI 3∆ (2θB − ) = −5.625 4 4

2EI (2θB + 𝜃𝐶 ) = 5.625 3

MCB =

2EI (2θC1 + θB ) = 0 3

MCD =

2EI 3∆ (2θC2 − ) = 0 4 4

MDC =

2EI 3∆ (θC2 − ) = −8.4375 4 4

Ecuaciones de equilibrio estático 1.- 𝑀𝐵𝐴 + 𝑀𝐵𝐶 = 0 5.625 + 𝐸𝐼𝜃𝐵 −

6𝐸𝐼∆ 16

+

4𝐸𝐼𝜃𝐵 3

+

2𝐸𝐼𝜃𝐶1 3

=0

7 𝐸𝐼 𝜃𝐵 2𝐸𝐼 𝜃𝐶1 6𝐸𝐼 ∆ + − = −5.625 … … (1) 3 3 16 2.- 𝑀𝐶𝐵 = 0 2𝐸𝐼 𝜃𝐵 4𝐸𝐼 𝜃𝐶1 + = 0 … … … … … … (2) 3 3 3.- 𝑀𝐶𝐷 = 0 𝐸𝐼𝜃𝐶2 −

6 𝐸𝐼 ∆ 16

= 0 ……………………………………(3)

1

4.- − 4 [𝑀𝐴𝐵 + 𝑀𝐵𝐴 + 𝑀𝐶𝐷 + 𝑀𝐷𝐶 ] = 7.5 1

− 4 [−1.875 +

2𝐸𝐼 𝜃𝐵 4

−

6𝐸𝐼 ∆ 16

+ 5.625 + 𝐸𝐼 𝜃𝐵 −

1 3𝐸𝐼 𝜃𝐵 3𝐸𝐼 𝜃𝐶2 3𝐸𝐼 ∆ − [ + − + 3.75] = 7.5 4 2 2 2

−

3𝐸𝐼𝜃𝐵 3𝐸𝐼𝜃𝐶2 3𝐸𝐼∆ 135 − + = 8 8 8 16

6𝐸𝐼 ∆ 16

+ 𝐸𝐼𝜃𝐶2 −

6𝐸𝐼 ∆ 16

+

2𝐸𝐼 𝜃𝐶1 4

−

6𝐸𝐼 ∆ 16

] = 7.5

7/3

EI

2/3

2/3

4/3

0

0

-3/8

0

-3/8

0 1

0 -3/8

ƟB

ƟB= 45/8EI

-5.625

=

ƟC1= -45/16EI

0

ƟC1

0

-3/8

ƟC2

0

ƟC2= 135/8EI

3/8

ΔAD

0

ΔAD= 45/EI

1.875

5.625

2.1094 1.875

2.1094

1.875

5.625 2.1094

10

7.8906

2.1094

2.1094 8.4375

15.937 5

RHD=2.1094

RHA=7.8906 MA=15.9375 RVA=1.875

MD=8.4375 RVD=1.87 5

+5.625 +5.625

+7.7343

D.M.F -15.9375

+8.4375

Δ=45

Δ=45

ƟB

ƟC2 ƟC2

ƟB

DEFORMADA

22.- Trazar el DFC y DMF

2𝐸𝐼 3∆ (𝜃𝐵 − ) = −12.992 4 4 2𝐸𝐼 3∆ =5+ (2𝜃𝐵 − ) = −2.603 4 4

𝑀𝐴𝐵 = −5 + 𝑀𝐵𝐴

𝑀𝐵𝐶 =

2𝐸𝐼 3 ∗ 3∆ (2𝜃𝐵 + 𝜃𝐶1 + ) = 2.603 4 4∗4

𝑀𝐶𝐵 =

2𝐸𝐼 3 ∗ 3∆ (2𝜃𝐶1 𝜃𝐵 + 𝜃𝐵 + )=0 4 4∗4

𝑀𝐶𝐷 =

2𝐸𝐼 3 ∗ 5∆ (2𝜃𝐶2 − )=0 5 5∗4

𝑀𝐷𝐶 =

2𝐸𝐼 3 ∗ 5∆ (2𝜃𝐶2 − ) = −2.953 4 5∗4

2𝐸𝐼 3∆ (𝜃𝐵 − ) = −12.992 4 4 2𝐸𝐼 3∆ =5+ (2𝜃𝐵 − ) = −2.603 4 4

𝑀𝐴𝐵 = −5 + 𝑀𝐵𝐴

𝑀𝐵𝐶 =

2𝐸𝐼 3 ∗ 3∆ (2𝜃𝐵 + 𝜃𝐶1 + ) = 2.603 4 4∗4

𝑀𝐶𝐵 =

2𝐸𝐼 3 ∗ 3∆ (2𝜃𝐶1 𝜃𝐵 + 𝜃𝐵 + )=0 4 4∗4

𝑀𝐶𝐷 =

2𝐸𝐼 3 ∗ 5∆ (2𝜃𝐶2 − )=0 5 5∗4

𝑀𝐷𝐶 =

2𝐸𝐼 3 ∗ 5∆ (2𝜃𝐶2 − ) = −2.953 4 5∗4

ECUACIONES DE EQUILIBRIO ESTÁTICO 1. 𝑀𝐵𝐴 + 𝑀𝐵𝐶 = 0

6𝐸𝐼∆ 2𝐸𝐼𝜃𝐶1 18𝐸𝐼∆ + 𝐸𝐼𝜃𝐵 + + =0 16 4 64 2𝐸𝐼𝜃𝐶1 3𝐸𝐼∆ 2𝐸𝐼𝜃𝐵 + − = −5 … … … … . . (1) 4 32 5 + 𝐸𝐼𝜃𝐵 −

2. 𝑀𝐶𝐵 = 0

3. 𝑀𝐶𝐷 = 0

2𝐸𝐼𝜃𝐵 9𝐸𝐼∆ + 𝐸𝐼𝜃𝐶1 + = 0 … … . . (2) 4 32

4𝐸𝐼𝜃𝐶1 3𝐸𝐼∆ − = 0 … … … … … . (3) 5 10

PARA EL ANALISIS DE FUERZAS HOTIZONTALES 𝐻𝑅 + 𝐻𝐷 = 10

ANALIZAMOS EL NODO C

+

𝐹𝑦 = 0

𝑀𝐵𝐶 + 𝑀𝐶𝐵 𝑀𝐶𝐷 + 𝑀𝐷𝐶 − ∗ 𝑆𝑒𝑛𝜃 4 5 4 𝑀𝐵𝐶 + 𝑀𝐶𝐵 𝑀𝐶𝐷 + 𝑀𝐷𝐶 3 𝑁1 ( ) = − ∗( ) 5 4 5 5 5 1 3 𝑁1 = [( (𝑀𝐵𝐶 + 𝑀𝐶𝐵) − (𝑀𝐶𝐷 + 𝑀𝐷𝐶)] 4 4 25 5 3 (𝑀𝐵𝐶 + 𝑀𝐶𝐵) − (𝑀𝐶𝐷 + 𝑀𝐷𝐶) 𝑁1 = 16 20 𝑁1𝑐𝑜𝑠𝜃 =

+

𝐹𝑥 = 0

𝑁2 = 𝑁1𝑆𝑒𝑛𝜃 −

𝑀𝐷𝐶 + 𝑀𝐶𝐷 ∗ 𝐶𝑂𝑆𝜃 5

3 𝑀𝐷𝐶 + 𝑀𝐶𝐷 4 𝑁2 = 𝑁1 ( ) − ∗( ) 5 5 5 5 3 3 𝑀𝐷𝐶 + 𝑀𝐶𝐷 4 (𝑀𝐶𝐷 + 𝑀𝐷𝐶)] ( ) − 𝑁2 = [ (𝑀𝐵𝐶 + 𝑀𝐶𝐵) − ( ) 16 20 5 5 5 3 9 4 (𝑀𝐵𝐶 + 𝑀𝐶𝐵) − (𝑀𝐶𝐷 + 𝑀𝐷𝐶) − (𝑀𝐷𝐶 + 𝑀𝐶𝐵) 𝑁2 = 16 100 25 3 𝑀𝐶𝐷 + 𝑀𝐷𝐶 (𝑀𝐵𝐶 + 𝑀𝐶𝐵) − 𝑁2 = 16 4 1 3 𝑁2 = [ (𝑀𝐵𝐶 + 𝑀𝐶𝐵) − (𝑀𝐶𝐷 + 𝑀𝐷𝐶)] 4 4

Cuarta condición

+ →

𝐹𝑥 = 0

𝑀𝐴𝐵 + 𝑀𝐵𝐴 −( ) + 𝑁2 − 5 = 0 4 𝑀𝐴𝐵 + 𝑀𝐵𝐴 1 3 −( ) + [ (𝑀𝐵𝐶 + 𝑀𝐶𝐵 ) − (𝑀𝐶𝐷 + 𝑀𝐷𝐶 )] = 5 4 4 4 1 3 − [𝑀𝐴𝐵 + 𝑀𝐵𝐴 − (𝑀𝐵𝐶 + 𝑀𝐶𝐵 ) + (𝑀𝐶𝐷 + 𝑀𝐷𝐶 )] = 5 4 4 −

𝐸𝐼 3 3∆ 3 3 3 9∆ 6𝜃𝐶2 3∆ [ 𝜃𝐵 − − ( 𝜃𝐵 + 𝜃𝐶1 + ) + ( − )] = 5 4 2 4 4 2 2 16 5 5 −

𝐸𝐼 3 3∆ 9 9𝜃𝐶1 27∆ 6𝜃𝐶2 3∆ [ 𝜃𝐵 − − 𝜃𝐵 − − + − ]=5 4 2 4 8 8 64 5 5 −

𝐸𝐼 3 9𝜃𝐶1 6𝜃𝐶2 567∆ [ 𝜃𝐵 − + − ]=5 4 8 8 5 320

−

3𝐸𝐼 9𝜃𝐶1 6𝜃𝐶2 567 𝜃𝐵 + − + ∆= 5 32 32 20 1280

Resolviendo (1), (2), (3) y (4) 2 2/4 𝐸𝐼 [ 0 −3/32

2/4 1 0 9/32

0 0 4/5 −3/10

−3/32 𝜃𝐵 −5 9/32 𝜃𝐶1 0 ][ ] = [ ] −3/10 0 𝜃𝐶2 567/1280 ∆ 5

𝜃𝐵 = − 𝜃𝐶1 =

145 657𝐸𝐼

4850 657𝐸𝐼

𝜃𝐶2 = − ∆=

3565 657𝐸𝐼

14331 728𝐸𝐼

Aplicando estos resultados en la ecuación de momentos tenemos.

𝑀𝐴𝐵 = −12. 𝑀𝐵𝐴 = −2.603 𝑀𝐵𝐶 = 2.603 𝑀𝐶𝐵 = 0 𝑀𝐶𝐷 = 0 𝑀𝐷𝐶 = −2.953

Diagrama de fuerza cortante

Diagrama de momento flector.

Deformada.

23.-Trazar DFC y DMF 3 m 3I

3m

20 kn/m

B

Articulación C

2I 4I

4m

A D

𝑀𝐴𝐵 = −15 +

𝑀𝐵𝐴 = 15 +

𝑅𝐹 3𝐴 (𝜃𝐵 − ) = −53.918 𝐾𝑛. 𝑚 3 3

𝑅𝐹 3𝐴 (2𝜃𝐵 − ) = −16.559 𝐾𝑛. 𝑚 3 3

𝑀𝐵𝐶 = 2𝐸𝐼 + (2𝜃𝐵 − 𝜃𝐶𝐼 ) = 16.559 𝐾𝑛. 𝑚 𝑀𝐶𝐵 = 2𝐸𝐼 + (2𝜃𝐶1 − 𝜃5 ) = 0 𝑀𝐶𝐷 = 2𝐸𝐼 + (2𝜃𝐶2 − 𝑀𝐷𝐶 = 2𝐸𝐼 + (𝜃𝐶2 −

3𝐴 )= 0 4

3𝐴 ) = −26.031 4

ECUACION DE EQUILIBRIO ESTATICO 1:_ 𝑀𝐵𝐴 + 𝑀𝐵𝐶 = 0 15 + 20𝐸𝐼𝜃𝐵 3

𝐵𝐸𝐼 𝜃𝐵 3

−

4𝐸𝐼1∆

+ 2𝐸𝐼𝜃𝐶1

3

+ ∆𝑟1𝜃𝐵 + 2𝐸𝐼𝜃𝐶1 = 0

4𝐸𝐼∆ 3

= −15 ………………………………………(1)

2:_ 𝑀𝐶𝐵 = 0 2𝐸𝐼 ∶ 𝜃𝐵 + 4𝐸𝐼𝜃𝐶1 = 0

3:_ 𝑀𝐶𝐷 = 0

……………………………………………(2)

4𝐸𝐼𝜃𝐶2 −

6𝐸𝐼∆ 4

= 0 …………………………………………………….. (3)

1

1

4:_− 3 [𝑀𝐴𝐵 + 𝑀𝐵𝐴 ] − 4 [𝑀𝐶𝐷 + 𝑀𝐷𝐶 ] = 30 1 4𝐸𝐼𝜃𝐵 4𝐸𝐼∆ 8𝐸𝐼𝜃𝐵 4𝐸𝐼∆ 1 5𝐸𝐼∆ 6𝐸𝐼∆ − [−15 + − + 15 + − ] − [4𝐸𝐼𝜃𝐶2 − + 2𝐸𝐼𝜃𝐶1 − ] 3 3 3 3 3 4 4 4 = 30

1 8𝐸𝐼𝜃𝐵 1 − [ 4𝐸𝐼𝜃𝐵 − −] − [6𝐸𝐼𝜃𝐶2 − 3𝐸𝐼∆] = 30 3 3 4

−

4𝐸𝐼𝜃𝐵 8𝐸𝐼𝜃𝐵 8𝐸𝐼𝜃𝐶2 2𝐸𝐼𝜃 + − − = 30 3 3 4 4

−

4𝐸𝐼𝜃𝐵 3𝐸𝐼𝜃𝐶2 59𝐸𝐼𝜃 +− − = 30 3 2 36

20 3

2 𝐸𝐼 0 4

2

0

4 0

0 4 3

[− 3 0 − 2

𝜃𝐵=

988 179𝐸𝐼

𝜃𝐶1= −494

179𝐸𝐼

4

−3 0 3 −2 59

36

]

𝜃𝐵 15 𝜃𝐶1 0 [ ] =[ ] 0 𝜃𝐶2 30 ∆

𝜃𝐶2=

∆=

6703 515𝐸𝐼

17517 507𝐸𝐼

16.55 9 5.520 16.55 9

5.520

5.520

kN

kN

5.520

6.508

6.508 KN 6.508 KN 26.031 KN.m RMA= 6.508 KN

20Tn/m 53.492 53.918

6.508 KN

KN

MA= 53.918 KN.m RVA= 5.520 KN

RVD= 5.520 KN

DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE 6.508

Barra A-B 53.918

2.6746

+6.508

-5.520

Mx

20 X

20 X

x 53.492

V= 53.492 – V(0)= 53.492

V

V(3)= 6.508 Mx= 53.492X – 10X -

0= 53.492 – 20 max. a esta X

53.918

X= 2.6746

2

M(0)= -53.918 Mmax (x=2.6746) = 17.617 M(3)= 16.559

distancia

DIAGRAMA MOMENTO FLECTOR +16.559 +16.559

17.617

Deformada +∆

+∆ +θB -θC1

+θB

+θC2

24.-Trazar DFC Y DMF para la siguiente viga continua

6 km

18 km

20 km

3 km/m 2 km/m

3I

12m

𝟔𝑬𝑰

(𝟐𝟎𝟎) =

𝟏𝟐

MCB = 156 + MCD = -32 +

= 𝟖𝟖 =

𝟏𝟐

MBC = -156 +

MDC = 16 +

12m

𝟔𝑬𝑰

MAB = - 36 + MBA = 36 +

2 I

10 I

𝟐𝟎𝑰𝑰 𝟐𝟒

𝟐𝟎𝑰𝑰 𝟐𝟒 𝟒𝑬𝑭 𝟏𝟐

𝟒𝟎𝟐 𝟏𝟐

12m

−𝟏𝟏 𝟔𝟏

4m

2 I 8m

= −𝟎. 𝟏𝟖𝟎

𝟖𝟓𝟓𝟔 𝟔𝟏

= −𝟏𝟎𝟕. 𝟔𝟑𝟗

(𝟐𝜽𝑬 + 𝜽𝑪 ) =

𝟔𝟏 𝟒𝟒𝟗𝟏

(𝟐𝜽𝑪 + 𝜽𝑫 ) =

(𝟐𝜽𝑪 + 𝜽𝑫 ) =

𝟔𝟓𝟔𝟔

𝟔𝟏 𝟒𝟒𝟗𝟏 𝟔𝟏

= −𝟏𝟎𝟕. 𝟔𝟑𝟗

= −𝟕𝟑. 𝟔𝟐𝟑

= −𝟕𝟑. 𝟔𝟐𝟑

(𝟐𝜽𝑫 + 𝜽𝑪 ) = 𝟏𝟖 = 𝟏𝟖

Ecuaciones de equilibrio estático 1. MBA + MBC = O 36 + 𝑬𝑰𝜽𝑬 − 𝟏𝟓𝟔 +

𝟗𝟎𝑬𝑰𝜽𝑩 𝟐𝟒

+

𝟐𝟎𝑬𝑰𝜽𝑪 𝟐𝟒

𝜽𝑬𝑰𝜽𝑩 𝟓𝑬𝑰𝑰𝜽𝑪 + = 𝟏𝟐𝟎 … . (𝟏) 𝟑 +𝟔 2. MCB + MCD = 0 𝟏𝟓𝟔 +

𝟒𝟎𝑬𝑰𝜽𝑪 𝟐𝟎𝑬𝑰𝜽𝑩 𝟖𝑬𝑰𝜽𝑪 𝟒𝑬𝑰𝜽𝑪 + − 𝟑𝟐 + + =𝟎 𝟐𝟒 𝟐𝟒 𝟏𝟐 𝟏𝟐

𝟓𝑬𝑰𝜽𝑩 𝟕𝑬𝑰𝜽𝑩 𝑬𝑰𝜽𝑩 + + = −𝟏𝟐𝟒 … . (𝟐) 𝟔 𝟑 𝟓 3. MDC + MDE = O

3m

E

𝟏𝟔 +

𝟖𝑬𝑰𝜽𝑫 𝟒𝑬𝑰𝜽𝑪 + − 𝟏𝟖 = 𝟎 𝟏𝟐 𝟏𝟐

𝑬𝑰𝜽𝑪 𝟐𝑬𝑰𝜽𝑫 + = 𝟐 … … (𝟑) 𝟑 𝟑

8/3

8/6

𝜽𝑩

0

5/6

7/3

1/3

𝜽𝑪

0

1/3

7/3

𝜽𝑫

120 =

-124 2

0.18 KN.m

73.623

73.623

𝟓𝟐𝟎𝟎 𝟔𝟏𝑰𝑰

𝜽𝑶 =

𝟐𝟕𝟖𝟑 𝟓𝑰𝑬𝑰

18

18

RB=6.365 KN

RB=49.218 KN

TRAZO DE DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE 35.417 KN 16.635 KN 9.045 KN 6 KN

-1.365 KN

-8.583 KN

-26.955 KN -32.583 KN

6 KN

6 KN

1.365 KN

16.635 KN

16.635 KN

32.583 KN

32.583 KN

RB=62.372 KN

32.417 KN

RA=9.045 KN

𝜽𝑪 =

18

2 kn/m

107.639

32.417 KN

9.045

26.955 KN

9.045

26.955 KN

M=0.18 KN.m

3 kn/m 107.639 KN.m

𝟒𝟑𝟕𝟎 𝟔𝑰𝑬 𝑳

6KN

20 kn

𝜽𝑫 =

TRAZO DE DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR -107.639 KN -73.623 KN

-0.18 KN

+

-18 KN

- -

- +

13.455 KN

-7.082 KN

-

+

173.369 KN

2.5. Trazar DFC y DMF 24 KN/m B’ 1.5m

I

B

12 KN

1.5m

C

I A

1.5m

4m

𝐌𝐀𝐁 = −𝟒. 𝟓 + 𝐌𝐁𝐀 = 𝟒. 𝟓 + 𝐌𝐁𝐂 = −𝟑𝟐 +

𝟐𝐄𝐈 −𝟏𝟑 (𝛉𝐁) = 𝟑 𝟏𝟒

𝟐𝐄𝐈 𝟏𝟔𝟑 (𝟐𝛉𝐁) = 𝟑 𝟏𝟒 𝟐𝐄𝐈 −𝟑𝟕𝟑 (𝟐𝛉𝐁) = 𝟒 𝟏𝟒

Ecuaciones de equilibrio Estático 1. 𝐌𝐁𝐀 + 𝐌𝐁𝐂 + 𝐌𝐁𝐁´ = 𝟎 𝟒. 𝟓 +

𝟒𝑬𝑰 (𝜽𝑩) − 𝟑𝟐 + (𝑬𝑰𝜽𝑩) + 𝟏𝟓 = 𝟎 𝟑 𝟕𝐄𝐈 𝛉𝐁 = 𝟏𝟐. 𝟓 𝟑 𝛉𝐁 =

𝟕𝟓 𝟏𝟒𝐄𝐈

-

Reemplazando en Ecuaciones de Momentos. 10 KN

373 14

15 B’ 10 10

5151 112

163 14

24 KN/m

5151 112

67 7 12

17 7 𝟏𝟑 𝟏𝟒

A

R HA =

6271 112

𝟏𝟕 𝐊𝐍 𝟕 𝟏𝟑 𝐌𝐀 = 𝐊𝐍. 𝐦 𝟏𝟒

𝐑 𝐇𝐀 =

5601 112

971 28

67 KN 7 C 971 MC = KN. m 5601 28 5601 112 R VC = KN 112 R MC =

515𝑙

DFC:

112

−

−10

67 7

17

560𝑙

− 112

7

DMF: −15

−

−

373 14

163

17.423

14

2.714

17

− 14

Deformada: +𝜃𝐵 +𝜃𝐵 +𝜃𝐵

26. Se traza la deformada de fuerza cortante. Momento flector y bosquejar la deformada. 24𝐾𝑁

10𝐾𝑁

𝑀

1.5𝑚 12𝐾𝑁

1.5𝑚

4𝑚 𝑀𝐴𝐵 = −32 +

2𝐸𝐼 971 (𝑄𝐵 ) = − 4 28

1.5𝑚 𝑀𝐵𝐴 = 32 +

2𝐸𝐼 373 (2𝑄𝐵 ) = 4 14

𝑀𝐵𝐶 = −4.5 +

2𝐸𝐼 163 (2𝑄𝐵 ) = − 3 14

𝑀𝐶𝐵 = 4.5 +

2𝐸𝐼 13 (𝑄𝐵 ) = 3 14

Ecuaciones de equilibrio estático: 𝑀𝐵𝐴 + 𝑀𝐵𝐶 − 15 = 0 32 + 𝐸𝐼𝜃𝐵 − 4.5 +

4𝐸𝐼 2𝐸𝐼 𝜃𝐵 + 𝜃 − 15 = 0 3 3 𝐵

75

𝜃𝐵 = −

14𝐸𝐼

971

971

28

28

𝑀𝐴 =

24𝐾𝑁/𝑚

373

𝑅𝐴𝑋 = 9.571 𝑅𝐴𝑌 = 50.009𝐾𝑁

15

14

45.991𝐾𝑁 50.009𝐾𝑁

10𝐾𝑁

10𝐾𝑁

45.991𝐾𝑁

10𝐾𝑁

9.571𝐾𝑁

12𝐾𝑁

2.429𝐾𝑁 13 14 𝑅𝐶 = 2.429𝐾𝑁 𝑅𝐶 = 55.991𝐾𝑁

Diagrama Momento Flector

−

971

−

28

373 14

−

163 14

17.423 2.714

−13 14

Diagrama de Fuerza Cortante 50.009

45.991

9.571 −2.429

Deformada Ɵ Ɵ Ɵ

27.- Trazar DFC y DMF para el siguiente Marco

EI=Constante

1000KN

1000 B

B

C

VAB

VDC

A 1m

1m

3m

4m

D 3m

MAB= 2EI/4 (ƟB - 3∆/4) = 98.214 MBA= 2EI/4 (2ƟB - 3∆/4) = 276.786 MBC= -562.5 + 2EI/4 (2ƟB+ƟC) = -276.786 MCB= 187.5 + 2EI/4 (2ƟC+ƟB) = 223.214 MCD= 2EI/4 (2ƟC- 3∆/4) = -223.214 MDC= 2EI/4 (ƟC - 3∆/4) = -151.786 Ecuaciones Equilibrio Estático.

4.- De las ecuaciones (1)(2)y(3)

1.- MBA + MBC= 0

2 1/2 -3/8

ƟB

362.5

EIƟB – 562.5 + EIƟB + EIƟC/2 – 3EI∆/8

1/2 2

-3/8

ƟC

-187.5

-3/8 -3/8 3/8

∆BC

O

2EIƟB + EIƟC/2 – 3EI∆/8 = 562.5......(1) 2.- MCB + MCD = 0 187.5 + EIƟC + EIƟB/2 +EIƟC – 3EI∆/8 = 0

ƟB= 2500/7EI

EIƟB/2 + 2EIƟC – 3EI∆/8 = -187.5

ƟC= -1000/7EI

…(2)

3.- VAB + VBC = 0

∆BC= 1500/7EI

-1/4(MAB+ MBC) -1/4(MCD + MDC)= 0 -1/4(EIƟB/2 -3EI∆/8 +4EIƟB/4 –3EI∆/8 + 4EIƟC/4 –3EI∆/8+2EIƟC/4–3EI∆/8)=0 -1/4(3EIƟB/2 +3EIƟC/2 -3EI∆/2) = 0 -3EIƟB/8 -3EIƟC/8 +3EI∆/8 = 0

28. Trazar Diagrama de Fuerza Cortante y Diagrama de Momento Flector

−𝜔ℓ2 2𝐸𝐼 5Δ −5𝜔ℓ2 MAB = + (ƟB1 − ) = 12 ℓ ℓ 16 −𝜔ℓ2 2𝐸𝐼 3Δ MAB = + (2ƟB2 − ) = 0 12 ℓ ℓ 2𝐸𝐼 3Δ MAB = (2ƟB2 − ) = 0 ℓ ℓ 2𝐸𝐼 3Δ 3𝜔ℓ2 MAB = (ƟB − ) = ℓ ℓ 16 ANALISIS EQUILIBRIO ESTÁTICO

1. MAB = 0 −𝜔ℓ2 4𝐸𝐼 6EI + ƟB1 − 2 = 0 12 2 ℓ 4𝐸𝐼 6EI −𝜔ℓ2 MAB = ƟB1 − 2 = − − − (1) 2 ℓ 12 2. MBC = 0 MAB =

4𝐸𝐼 6EI ƟB2 − 2 = 0 − − − (2) 2 ℓ

−1 1 𝜔ℓ (MAB + MBA + (MBC + MCB) = 2 ℓ 2 −1 6𝐸𝐼 12𝐸𝐼A 1 6𝐸𝐼 12𝐸𝐼A 𝜔ℓ ( ƟB1 − ) + ( Ɵ B2 + )= 2 ℓ ℓ2 2 ℓ ℓ2 2 −

6𝐸𝐼 12𝐸𝐼A 6𝐸𝐼 12𝐸𝐼A 𝜔ℓ Ɵ B1 + + Ɵ B2 + = ℓ2 ℓ2 ℓ2 ℓ3 2 −

6𝐸𝐼 6𝐸𝐼 24𝐸𝐼A 𝜔ℓ Ɵ B1 + Ɵ B2 + = ℓ2 ℓ2 ℓ3 2

4 ℓ

0 −

−

0 6 ℓ2

4

6

ℓ

ℓ2

6 ℓ

2

6 ℓ2

ƟB2 = 24

Δ

ℓ

ƟB1 =

−𝜔ℓ2

ƟB1

7𝜔ℓ3 96𝐸𝐼

3𝜔ℓ3 ƟB2 = − 32𝐸𝐼 4

𝜔ℓ Δ=− 16𝐸𝐼

12

0 𝜔ℓ 2

13wl /16 13wl /16

3wl/ 16

13wl /16

3wl/ 16

3wl/ 16

3wl/ 16

3wl/ 16

Rb=0 Rc = 3wl/16

DIAGRAMA FUERZA CORTANTE

5wl˄2/16 W

⁺

Mx X

⁻

⁻

-3WLl/16

V

13wl /16

-3wl/16

𝑣 =13𝑤𝑙 16 − 𝑤𝑥

9𝑤𝑙˄2 𝑀(13 6 ) =512

Cuando v=0

-5wl ˄2/16

𝑜 =13𝑤𝑙 16 − 𝑤𝑥

DIAGRAMA MOMENTO FLECTOR 3wl˄2/16

⁻

⁻ ⁺

𝑤𝑥 =13𝑤𝑙 16 𝑥 =13𝑙 16

5𝑤𝑙˄2 𝑀𝑥 =13𝑤𝑙 𝑥−𝑤𝑥˄2 −16 16 2 −5𝑤𝑙˄2 𝑀(0) =16

9wl˄2/ 512

𝑀(13 =9𝑤𝑙˄2 6M)(l)=0 512 DEFORMADA

θB1

máximo

-θB2

MÉTODO ENERGÉTICO



Calcular

H4 W

2

W

1

1

3

L

1

1

L

𝑊𝐿 2

L

1

4

1

1

V 𝑊𝐿 2

𝑅2 =𝑊𝐿 2

𝑅1 =𝑊𝐿 2

𝑊𝐿 2 M

1-2 2-3

1

M

m

0

x

𝑊𝐿𝑥 𝑊𝐿𝑥˄2 − 2 2

L

0

L-x

𝑙

∫ 𝑦 = 𝐸𝐼 ∫0 𝑀𝑚𝑑𝑥

1

𝑙 𝑊𝐿𝑥

𝑊𝐿˄2

∫ 𝑀4 = 𝐸𝐼 ∫0 ( 2 − 2 )Ldx 𝑙 𝑊𝑙˄2𝑋 𝑊𝑙𝑥˄2 1 − )Dx ∫ 𝑀4 = ∫0 ( 𝐸𝐼

2

2

∫ 𝑀4 =

1 𝑊𝑙˄2𝑥˄2 𝑊𝑙𝑥˄3 𝑙 ( − )/0 𝐸𝐼 4 6

∫ 𝑀4 =

1 𝑊𝑙˄4 𝑊𝑙˄4 ( − ) 𝐸𝐼 4 6

Escriba aquí la ecuación. 𝑊𝑙˄4

∫ 𝑀4 =Escriba aquí la ecuación. 12𝐸𝐼

2) Calcular 𝜃𝐵 𝑦 𝛿𝑣𝐵 Escriba aquí la ecuación.

Escriba aquí la ecuación.

Para cálculo de giro en B

1 20Kg A

B

Barras

longitud

B–A

0 – 20

M -20X

𝑙

1

1

𝜃𝐵 = 𝐸𝐼 ∫0 𝑀𝑚1 𝑑𝑥 𝜃𝐵 =

1

ΔVB m1 -X

m1 -1

𝑙

𝛿𝑣𝐵 = 𝐸𝐼 ∫º (𝑀)(𝑚2 )𝑑𝑥

1 𝑙 ∫ (−20𝑥)(−1)𝑑𝑥 𝐸𝐼 º

𝛿𝑣𝐵 =

1

𝜃𝐵 = 𝐸𝐼 (10𝑥 2 )/20 0 𝜃𝐵 =

Para cálculo de flecha en B

4 000 𝐸𝐼

1 20 ∫ (−20𝑥)(−𝑥)𝑑𝑥 𝐸𝐼 0

𝐸𝐼 𝛿𝑣𝐵 =

20𝑥 3 20 /0 3

𝐸𝐼 𝛿𝑣𝐵 =

160 000 3𝐸𝐼

3) 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝜃𝐴 𝑦 𝜃𝐵 𝑦 𝛿𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝜃𝐴

P A B

B l/2

A

B

l/2

𝑃 2 X

1 𝑙

X

1 A

B

1 2 X

1 𝑙 X

𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝛿𝑚𝑎𝑥

1 2

1

A

l 𝑃 2

X

1

𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝜃𝐵

X

1 𝑙

1 𝑙 X

X

Barras

longitud

A - 1

0 – l/2

B - 1

0 – l/2

1

𝑙/2

1

𝑙/2 𝑃𝑥 2

−

𝑙/2 𝑃𝑥

𝑑𝑥

𝜃𝐴 = 𝐸𝐼 ∫0

𝜃𝐴 =

1 𝐸𝐼

(∫0

1

2

1 x) 𝑙

(1 −

1 𝑥 𝑙 1

𝑙

1

𝑙/2

𝜃𝐵

𝛿𝑚𝑎𝑥

m2 1 − 𝑥 𝑙 𝑥 ( − 1) 2

m3 𝑥 2 𝑥 2

𝜃𝐵 = 𝐸𝐼 ∫0 𝑀𝑚2 𝑑𝑥

𝑃𝑥 2 2𝑙

+

𝑃𝑥 2 2𝑙

𝑑𝑥

𝜃𝐵 = 𝐸𝐼 ∫0 (− 𝜃𝐵 =

𝑃𝑥 2 𝑙/2 )/0 4

1 𝐸𝐼

𝑙/2

(∫0

−

𝑃𝑥 2 2𝑙

+

𝑃𝑥 2 2𝑙

−

𝑃𝑥 )𝑑𝑥 2

𝑃𝑥 𝑑𝑥) 2

𝑃𝑙 2

𝜃𝐴 = 𝐸𝐼 ( 𝜃𝐵 =

m1

𝑃𝑥 2 𝑃𝑥 2

𝑀𝑚1 𝑑𝑥

𝜃𝐴 = 𝐸𝐼 ∫º

𝜃𝐴

M

𝜃𝐵 = − 16𝐸𝐼

𝑃𝑙 2 16𝐸𝐼

𝛿𝑚𝑎𝑥 =

1 𝑙/2 ∫ 𝑀𝑚3 𝑑𝑥 𝐸𝐼 0

𝛿𝑚𝑎𝑥 =

1 𝑙/2 𝑃𝑥 2 ∫ ( 4 𝐸𝐼 0 1

+

𝑃𝑥 2 )𝑑𝑥 4

𝑙/2 𝑃𝑥

𝛿𝑚𝑎𝑥 = 𝐸𝐼 ∫0 ( 2 𝑑𝑥 ) 𝛿𝑚𝑎𝑥

𝑃𝑙 3 = 48𝐸𝐼

3.- Calcular el desplazamiento horizontal en el punto 2

L

P

L

Viga con cargas reales.

1

Viga con carga unitaria.

𝐿

∆H2=𝐸𝐼 ∫0 𝑀𝑚 1

𝐿

1

𝐿

𝐿

∆H2=𝐸𝐼 [∫0 (𝑃𝑥)(𝑥)𝑑𝑥 + ∫0 (𝑃𝑥)(𝑥)𝑑𝑥] ∆H2=𝐸𝐼 [∫0 (𝑃𝑥 2 + 𝑃𝑥 2 )𝑑𝑥 ] 1 2𝑃𝑥 3

∆H2=𝐸𝐼 [

2𝑃𝐿³

∆H2= 3𝐸𝐼

3

L

] 0

4. - Calcular ∆v en D

Pa

P 3a a

A

B P

1

Pa C

D

Pa

1 C

D D

P

P 𝑙

1

∆vD = 𝐸𝐼 ∫0 𝑀𝑚 𝑎 2𝑎 3𝑎 EI ∆vD = ∫0 (−𝑃𝑋)(−𝑋) 𝑑𝑥 + ∫0 (𝑃𝑎)(𝑎)𝑑𝑥 + ∫0 (−𝑃𝑥 + 𝑃𝑎)(−𝑥 + 𝑎)𝑑𝑥

EI ∆vD =

𝑃𝑥 3

EI ∆vD =

𝑃𝑎³

EI ∆vD =

7𝑃𝑎³

EI ∆vD =

7𝑃𝑎³

∆vD =

3 3

3𝑎

/ 𝑎0 + 𝑃𝑎²𝑥/ 2𝑎 + ∫0 (𝑃𝑥 2 − 𝑃𝑎𝑥 − 𝑃𝑎𝑥 + 𝑃𝑎2 )𝑑𝑥 0

3 3

3𝑎

+ 2𝑃𝑎³ + ∫0 (𝑃𝑥 2 − 2𝑃𝑎𝑥 + 𝑃𝑎2 )𝑑𝑥 +( +

𝑃𝑥 3 3

− 𝑃𝑎𝑥 2 + 𝑃𝑎𝑥 2 )/ 3𝑎 0

27𝑃𝑎³

− 9𝑃𝑎2 + 3𝑃𝑎³

3

16𝑃𝑎³ 3𝐸𝐼

5.- Calcular el ∆Vc de la estructura mostrada P 2a

C

P B 2P

1

1

2a

B 2a

A

R1=p

a A

2a

D

Tramo C-B B-A D-A E-A

a

R2=p

A

Longitud 0-2a 0-a 0-2a 0-a

M -Px -2Pa Px 0

R1=1

A

m -x -2a X 0

2𝑎

a R1=0

A

𝑎

2𝑎

/ 2𝑎 + 4𝑃𝑎²𝑥/ 𝑎0 + 0

𝑃𝑥 3

EI∆Vc=∫0 𝑃𝑥² + ∫0 4𝑃𝑎² + ∫0 𝑃𝑥² 𝑃𝑥 3

EI∆Vc=

3

8𝑃𝑎³

EI∆Vc=

3

28𝑃𝑎³

EI∆Vc= 6.- Calcular el ∆V₃

a A A

2a

E

3𝐸𝐼

+ 4𝑃𝑎³ +

8𝑃𝑎³ 3

3

/ 2𝑎 0

A

l

P

l

3

l

1 3

l

1 P/2

2

l

l

l

l

1

5

1

5

2

P/2

P/2 Tramo 1–2 2–3

Longitud 0–l 0–l

5–3 4–3

0–l 0–l

M 0 𝑃𝑥 2 0 𝑃𝑥 2

1/2

1/2

P/2

1 1/2

1/2

m 0 𝑥 2 0 𝑥 2

7.- Calcular ∆Hz

ω 2ωl 1

l

l 1 R1 = 2ωl

1

3

1

Rɜ = 1

Rɜ = 5ωl 2 1

R1 = 3ωl 3

3

R1 = 1

6𝛴𝐻1 = 0 𝑙 𝑅3 𝑙 = 𝜔𝑙 ( ) + 2𝜔𝑙 2 2 𝑅3 =

5𝜔𝑙 2

7.- Calcular el ∆VE, ∆HE y ӨE de la siguiente estructura

R1 = 1

1) Estructura real P/2

2a

B

2) ∆VE (carga unitaria)

P/2

C

a

a P

D

E

a

a

1/2

Pa

F

A

1/2

2a

B

a

C D F

A

RF = 3P/2

3) ∆HE (carga unitaria) 1/2

2a

2a

B

2a

B

1 E

D a A

4) ӨE Mancho unitaria

RA = 1/2

C D

a A

F RH A=1

1/2a 1

a

a

a

RF = 3/2

RA = 1/2

a 1

C

a

a

1/2a

1/2

E

a

a

a RA = P/2

1

a

a

1 E

F a

a

RF = 1/2

3) Calculo de Giro en E (ӨE)

RA = 1/2a

RF = 1/2a

EIӨE =∫ 𝑀𝑚3 𝑑𝑥 2𝑎

−

EIӨE =∫0

2𝑎 𝑃𝑋 2

EIӨE =∫0

EIӨE =

EIӨE =

EIӨE =

ӨE =

2𝑎

𝑃𝑋 3

𝑃𝑥 2

𝑎

𝑋

𝑎

𝑎

𝑑𝑥 + ∫0 𝑃𝑎𝑑𝑥 + ∫0 𝑃𝑥𝑑𝑥

2𝑎

𝑎

∫ + 𝑃𝑎𝑥 ∫0 + 12𝑎 0

8𝑃𝑎3 12𝑎

8𝑃𝑎2 12

+ 𝑃𝑎2 +

+ 𝑃𝑎2 +

13𝑃𝑎2 6𝐸𝐼

8. Calcular  V C ,  H C ,  C .

𝑎

− 2𝑎 𝑑𝑥 + ∫0 (−𝑃𝑎)(−1)𝑑𝑥 + ∫0 (−𝑃𝑥)(−1)𝑑𝑥

𝑃𝑎2 2

𝑃𝑎2 2

𝑃𝑋 2 2

𝑎

∫0

Barra C–B B–A

Longitud 0–a 0 -a

M M M

EI  V C 

 Mxdx

EI  V C 



EI  V C

VC

 Mxdx

0

 Mx   2 

 Mx   2 

VC   VC 

2

a

  0

2

a

  0

2

Ma 2 EI 2

Ma



2 EI

2. Cálculo de  H C . EI  H C 

 Mxdx

EI  H



EI  H EI  H

H

C



3 Ma

C

C

C



a



Mxdx

0





a

Ma

0

 Mx    2

Ma

-x

X 0 3. Cálculo de  C .

1. Calculo de  V C

a

0

2

a

    Max 0

2

 Ma

2

2



2 EI

9. Calcular el ∆𝑉𝐷 , ∆𝐻𝐷 y 𝜃𝐷 .

2

0

a

-1 -1

1) Viga Real

1) Calcula ∆𝑉𝐷 𝑎

2𝑎

2𝑎

EI∆𝑉𝐷 = ∫0 ( 𝑃𝑥)(0)𝑑𝑥 + ∫0 ( 𝑃𝑎)(−𝑥)𝑑𝑥 + ∫0 ( 𝑃𝑎 − 𝑃𝑥)(−2𝑎)𝑑𝑥 2𝑎

2𝑎

EI∆𝑉𝐷 = ∫0 − 𝑃𝑎 𝑥 𝑑𝑥 + ∫0 ( − 2𝑃𝑎2 + 2𝑃𝑎𝑥)𝑑𝑥 2a

2

EI∆𝑉𝐷 =

  Pax  2 

EI∆𝑉𝐷 =

 2 Pa

 4 Pa

 2 Pa

∆𝑉𝐷 =

3

    2 Pax  Pax 0



3

 4 Pa

3

EI

0

3

2 Pa

∆𝑉𝐷 =





2 2a

3



EI

2. Calcular ∆𝐻𝐷 a

𝐸𝐼∆𝐻𝐷 =



𝐸𝐼∆𝐻𝐷 =

 Px  2    Pa x 3  0

0

Pa

𝐸𝐼∆𝐻𝐷 =

2a

( Pa )( a ) dx 

0

a

3





2a

( Pa  Px )( a  x ) dx

0

 Pax 2   Pa x  2 



2a

0

2



3

 2 Pa

3

 2 Pa

3

 2 Pa

3

Pax

2

2

 2 Pa

3



3

3 Pa

∆𝐻𝐷 =



( Px )( x ) dx 

8 Pa

2a

Px    3 0 3

3

3

3



EI

3. Calcular 𝜃𝐷 a

𝐸𝐼𝜃𝐷 =



𝐸𝐼𝜃𝐷 =

 Px      Pax 2  0

( Px )(  1 ) dx 

0

𝜃𝐷 = 

2a

( Pa )(  1 ) dx 

0

2

𝐸𝐼𝜃𝐷 = 



Pa

5 Pa 2 EI

0

2a

( Pa  Px )(  1 ) dx

0

a

2a



  Pax

0

2a

 Px      2 0 2

2a

2

 2 Pa

2

 2 Pa

2

 2 Pa

2

2 2

𝜃𝐷 =

10.- Calcular ∆Vᴅ, ∆Hᴅ, Өᴅ

5 Pa

2

2 EI

135

² 8qa

² 8q a 4qa

4qa

C

4a

4a

B

C

A

D

2a

5a

1 1

D

2a

Өᴅ Unitario

M

𝑚1 (∆𝑉ᴅ)

𝑚2 (∆𝐻ᴅ)

𝑚3 (Өᴅ)

D–C

0 – 4a

𝑞𝑟 2 − 2

0

X

-1

C–B

0 – 5a

- 8𝑞𝑎2

-x

4a

-1

0 – 5a

16𝑞𝑎𝑟 5 − 8𝑞𝑎2

- 5𝑥 − 5𝑎

3

4𝑥 5

-1

𝑁1 = 4𝑞𝑎 cos 𝜃

N2

1) Calculo de ∆Vᴅ

𝑁1 =

16𝑞𝑎 5

𝑁2 = 1𝑠𝑒𝑛𝜃

B ø

𝑁1 =

4 4𝑞𝑎( 5

) N1

4qa

4a -

∆Vᴅ Unitario Nodo B

Viga Real Nodo B ø B ø

1

5a

Longitud

N1

C

A

1

5a

B–A

1

B

ø

∆Hᴅ Unitario

Tramo

1

∆Vᴅ Unitario

Viga Real

ø

D

2a

5a

1

C

A

D

2a

1

4a

9

A

5a

B

ø

16qa 5

4 5

1

1

N2

ø

B

3 5

𝑁2 =

3 5

5𝑎

5𝑎 16𝑞𝑎

EI∆Vᴅ = ∫0 8𝑞𝑎2 𝑋𝑑𝑥 + ∫0 ( 5𝑎

5𝑎

EI∆Vᴅ = ∫0 8𝑞𝑎2 𝑋𝑑𝑥 + ∫0 5𝑎

EI∆Vᴅ = 4𝑞𝑎2 𝑥 2 ∫0 + (−

5

−

16𝑞𝑎𝑥 3 25

𝑥 − 8𝑞𝑎2 )(−

48𝑞𝑎𝑥 2

+

24𝑞𝑎𝑥 2

25 12𝑞𝑎𝑥 2

+

5

5

3𝑥 5

− 5𝑎)𝑑𝑥

− 16𝑞𝑎2 𝑥 + 40𝑞𝑎3 𝑑𝑥 5𝑎

− 8𝑞𝑎2 𝑥 2 + 40𝑞𝑎3 𝑥) ∫0

EI∆Vᴅ = 100𝑞𝑎4 − 80𝑞𝑎4 + 60𝑞𝑎4 − 200𝑞𝑎4 + 200𝑞𝑎4 ∆Vᴅ =

80𝑞𝑎4 𝐸𝐼

↓

2) Calculo de ∆Hᴅ 4𝑎

EI∆Hᴅ = ∫0 − 32𝑞𝑎2 𝑥 5

9𝑋 3 2

5𝑎 64𝑞𝑎2 𝑥

5𝑎

𝑑𝑥 + ∫0 −32𝑞𝑎3 𝑑𝑥 + ∫0

5

− 32𝑞𝑎3 −

64𝑞𝑎𝑥 2 25

+

𝑑𝑥

EI∆Hᴅ =

−𝑞𝑥 4 8

4𝑎

32𝑞𝑎2 𝑥 2

5𝑎

∫0 +32𝑞𝑎3 𝑥 ∫0 +[ 4

5

4

− 32𝑞𝑎3 𝑥 −

4

4

EI∆Hᴅ = −32𝑞𝑎 − 160𝑞𝑎 + 160𝑞𝑎 − 160𝑞𝑎 − ∆Hᴅ = ∆Hᴅ =

64𝑞𝑎𝑥 3

75 320𝑞𝑎4

−656𝑞𝑎4

3

+

16𝑞𝑎2 𝑥 2 5

+ 80𝑞𝑎

5𝑞

] ∫0

4

3𝐸𝐼 656𝑞𝑎4 3𝐸𝐼

←

3) Calculo de Өᴅ 4𝑎

EIӨᴅ = ∫0

−

4𝑎 𝑞𝑥 2

EIӨᴅ = ∫0 EIӨᴅ = EIӨᴅ = Өᴅ =

𝑞𝑥 2 2

5𝑎

5𝑎

5𝑎

8𝑞𝑎2 𝑥 ∫0 + (− 3

3

8𝑞𝑎𝑥 2 5

16𝑞𝑎𝑥 5

5

+ 8𝑞𝑎2 )(−1)𝑑𝑥 5𝑎

+ 8𝑞𝑎2 𝑥) ∫0

+ 40𝑞𝑎 − 40𝑞𝑎 + 40𝑞𝑎3

152𝑞𝑎3 3𝐸𝐼

5𝑎 16𝑞𝑎𝑥

𝑑𝑥 + ∫0 8𝑞𝑎2 𝑑𝑥 + ∫0 (−

2 𝑞𝑥 3 4𝑎 ∫ + 6 0 32𝑞𝑎3 3

5𝑎

(−1)𝑑𝑥 + ∫0 (−8𝑞𝑎4 )(−1)𝑑𝑥 + ∫0

− 8𝑞𝑎2 (−1)𝑑𝑥

3.- Calculo de θD

4𝑎 −𝑞𝑥 2

EI θD= ∫0

2

4𝑎 𝑞𝑥²

EI θD=∫0

𝑞𝑥 3

EI θD=

6

2

3

5𝑎

3𝐸𝐼

5𝑎 −16𝑞𝑎𝑥 5

8𝑞𝑎𝑥 2 5

+ 40𝑞𝑎³ − 40𝑞𝑎3 + 40𝑞𝑎³

152𝑞𝑎³

EI θD=

5𝑎 16𝑞𝑎𝑥

𝑑𝑥 + ∫0 8𝑞𝑎²𝑑𝑥 + ∫0

/ 4𝑎 + 8𝑞𝑎²𝑥/ 5𝑎 + (− 0 0

32𝑞𝑎³

EI θD=

5𝑎

(−1)𝑑𝑥 + ∫0 (−8𝑞𝑎2 )(−1)𝑑𝑥 + ∫0

+ 8𝑞𝑎2 𝑑𝑥

+ 8𝑞𝑎2 𝑥)/ 5𝑎 0

5

− 8𝑞𝑎2 (−1)𝑑𝑥