Libro CokitoRM (Completo)

JOHN MAMANI M.

© Cokito RM Autor: John Mamani Machaca Editado por: John Mamani Machaca E-mail: [email protected] Facebook: Cokito RM Cel: 953273644 Todos los Derechos son Compartidos. 4

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JOHN MAMANI M.

La sociedad actual evidencia grandes logros en el campo de los conocimientos, principalmente en lo científico y tecnológico; pero, paradójicamente, dichos avances no están al alcance de las grandes mayorías. Es el caso de la educación, la cual se ha convertido en privilegio de una minoría, cuyos fines, muchas veces, están puestos al servicio de intereses particulares. La educación, desde una concepción científica, es la formación integral de la personalidad del educando en el aspecto intelectual, moral, artístico y físico. Solo así el hombre estará en la capacidad de explicarse objetivamente la realidad, asumir una actitud crítica ante los problemas, expresar sensibilidad ante el dolor humano, profesar y aplicar principios nobles. De lo contrario, resulta un autómata, objeto de manipulación, inconsciente ante la tragedia, incapaz de comprender los procesos naturales, sociales y psíquicos. Nuestra Institución, como un centro pre-universitario y cultural, consciente de los problemas estructurales que aquejan a nuestra sociedad, los cuales no permiten instituir una educación acorde a las necesidades y objetivos del ser humano, a través de nuestra academia, contribuye una sólida formación al brindar una enseñanza académica de nivel y una producción bibliográfica de calidad. El presente Libro CokitoRM, expresión de la creatividad, originalidad e innovación, al igual que todas nuestras actividades, es producto de un trabajo planificado y organizado en función a objetivos. Está dirigido a nuestros alumnos, principalmente provenientes de los sectores populares, y a la sociedad en general, quienes emulan y practican nuestra forma de trabajo. Saludamos a los estudiantes y padres de familia quienes, a pesar de los grandes problemas sociales y económicos, con perseverancia y convicción buscan una educación de carácter científico, pues son conscientes de su rol para alcanzar una sociedad más justa y humana.

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Para ti, por los recuerdos.

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ÍNDICE Pág. Relaciones de Parentesco……...…..………………………………

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Relaciones de Tiempo……….....…..………………………………

21

Verdades y Mentiras……….....…..…………….…………………

33

Orden de Información……….....…..………………………………

41

Razonamiento Inductivo……...…..…………………………………

56

Sistemas de Numeración……...….…………………………..…….

83

Criptoaritmética……...…..………………………….……….......…

137

Sucesiones……...…..………….………………….……….......……

175

Analogías y Distribuciones……...…..……...…….………..............…

208

Series……..………….………………....…….…..…….…….......…

234

Sumatorias…….…............…….…..…………….……….….........…

292

Cuatro Operaciones……............…….…..…………….……........…

322

Métodos Prácticos…….............…….…..…………….…..….........…

341

Planteo de Ecuaciones…….............….…..…………….……........…

373

Edades…….............….…..…………….……………………........…

413

Cronometría…….............….…..……….……………………........…

457

Promedios…….............….…..……….…………………...…........…

474

Operadores Matemáticos…….............….……….…………........…

485

Operadores Binarios…….............….…………….…………........…

550

Conteo de Figuras.......….……………..…………….……….......…

572

Áreas Sombreadas y Perímetros…….....………..….………........…

582

Análisis Combinatorio………............….….…………………........…

644

Probabilidades……............…..……….…………….………........…

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Relaciones de Parentesco CAPÍTULO I En este tema es necesario conocer las relaciones de parentesco entre los miembros de una familia.

VÍNCULOS CONSANGUÍNIOS Padres, hijos, hermanos, abuelos, bisabuelos, nietos, bisnietos, tíos, sobrinos, primos…

VÍNCULOS LEGALES (AFINIDAD) Esposos, sueros, yernos, concuñados, consuegros…

nueras,

cuñados,

Veamos el siguiente esquema familiar:

Juan

Zoila

Audina

hermanos Lisbeth

Christian

Álex

Jéssica

hermanas Mathías

Alejandra

Gabriela

Se observa lo siguiente: Juan y Audina son consuegros. Zoila es suegra de Christian. Lisbeth y Jéssica son concuñadas. Audina es abuela de Mathías. Alejandra es sobrina de Lisbeth. Mathías y Gabriela son primos. Christian es cuñado de Jéssica. Zoila no tiene ninguna relación de parentesco con Jéssica.  Lisbeth es la nuera de Audina.  Álex es el tío de Mathías.        

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TIPOS DE PROBLEMAS A. PROBLEMAS FAMILIARES

SOBRE

RELACIONES

En este tipo de ejercicios, es necesario reconocer las relaciones de parentesco que hay entre los miembros de una familia. Observación En los problemas donde se quiere encontrar la relación de parentesco entre dos personas, se puede tener en cuenta lo siguiente:  Lea atentamente e identifique una relación directa o una persona de referencia. … su única hermana. … la madre de Pedro.  Continúe la lectura, en forma regresiva, hasta establecer la relación familiar que tiene con la persona de referencia. ¡Tenga en cuenta que…! Otro de los criterios para resolución de este tipo de problemas es establecer mediante un gráfico el árbol genealógico familiar de una persona de referencia e ir determinando las relaciones de parentesco, comenzando por la parte final del enunciado hasta determinar la primera persona (relación de parentesco) ubicada en el enunciado. Ejemplo 01 ¿Qué viene a ser de mí la madre del hijo de la esposa de mi padre?

Resolución Empleamos el procedimiento regresivo. La madre del hijo de la esposa de mi padre.  mi madre

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JOHN MAMANI M. La madre del hijo de mi madre   yo o mi hermano

BETO

La madre de yo o mi hermano   mi madre

Por lo tanto, la madre del hijo de la esposa de mi padre es mi madre. PABLO

B. PROBLEMAS SOBRE CANTIDAD MÍNIMA DE INTEGRANTES DE UNA FAMILIA En este tipo de ejercicios, se debe tener en cuenta que cada integrante de la familia puede asumir la mayor cantidad de roles familiares. Por ejemplo, una persona al ser abuela ya es madre. Observación En este tipo de problemas, se sugiere iniciar reconociendo la máxima cantidad de generaciones que integran la familia.  padre – hijo: 2 generaciones  abuelo – padre – nieto: 3 generaciones  bisabuelo – abuelo – padre – bisnieto: 4 generaciones Y así sucesivamente. Luego, para que la cantidad de personas sea la menor posible, debemos buscar que cada integrante asuma la mayor cantidad de roles familiares (por ejemplo: padre, tío, hijo, hermano, cuñado, esposo, etc.) ¡Tenga en cuenta que…! En los problemas sobre cantidad mínima de personas, se sugiere iniciar reconociendo la cantidad de generaciones que integran la familia (2; 3 o más), luego ubicar la cantidad de integrantes que pertenecen a la generación de mayor jerarquía (primera generación) y a la menor jerarquía (última generación), completando el resto de las relaciones de parentesco. Para estos casos de cantidad mínima de personas, debe tener en cuenta el siguiente ejemplo.

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JUAN

LILIAN

 Beto es padre, abuelo y suegro.  Juan es hijo, padre, hermano y esposo.  Lilian es madre, nuera, cuñada y esposa. Ejemplo 02 Una familia está compuesta por un padre, una madre, un hijo, un suegro, una suegra, una nuera, dos esposos y dos esposas. ¿Cuántas personas, como mínimo, conforman dicha familia?

Resolución De los datos se deduce que solo hay dos generaciones en esta familia. − padre − suegro − esposo

− hijo − esposo

− madre − suegra − esposa − esposa − nuera

El mínimo número de personas es: 4 GLOSARIO Yerno. Respecto de una persona, el esposo de su hija. Nuera. Respecto de una persona, la esposa de su hijo. Tío abuelo. Respecto de una persona, el hermano de su abuelo Consuegro. Padre o madre de una de dos personas unidas en matrimonio, respecto del padre o madre de la otra. Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. RELACIONES FAMILIARES PROBLEMA 01 ¿Qué parentesco tiene conmigo Rocío, si se sabe que su madre fue la única hija de mi madre? a) sobrina b) hija c) hermana d) prima e) nieta

 la hija de la esposa de Yo   mi esposa

 la hija de mi esposa    mi hija

Graficado:

Resolución Relacionando de forma vertical los que tienen distinto parentesco y los que tienen similar e igual parentesco de forma horizontal.

Mamá El único vástago de mi madre

Mi madre

Yo

Mamá de Rocío

Hermanos

Tio - sobrina

Rocío

Esposa

Yo

única hija

Padre - hija

Hija

∴ Hija

∴ Sobrina

PROBLEMA 03 PROBLEMA 02 ¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre? a) nieta b) hija c) hermana d) sobrina e) prima

Resolución En este problema se tiene que analizar el enunciado del problema de forma inversa (de adelante para atrás). A continuación se da el análisis del enunciado del problema, además de la gráfica. Analizando:  … esposa del único vástago de mi madre   

Juan es el padre de Carlos, Oscar es hijo de Pedro y a la vez hermano de Juan. ¿Quién es el padre del tío del padre del hijo de Carlos? a) Carlos b) Oscar c) Pedro d) Juan e) tío de Juan

Resolución Graficando parte del enunciado, tenemos: Pedro Padre Juan Padre

hermanos

Oscar Tío de Carlos

Carlos

Yo

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JOHN MAMANI M. Analizando la pregunta del enunciado:  ¿Padre del tío del padre del hijo de Carlos ?    Carlos  ¿ Padre del tío del Carlos   ?

Oscar  Pedro

a) hermana d) tía

b) hija e) sobrina

c) prima

Resolución Analizando: Como “mi abuela tuvo una hija solamente”  la hija del nuero de la mamáde mi madre    mi abuela  la hija del nuero de mi abuela   

 ¿ Padre Oscar  del  ? Pedro

∴ Pedro

mi papá

 la hija de mi papá  soy yo - mi hermana

PROBLEMA 04 Mi nombre es Rocío y mi hermana es Yuli, además mi abuela tuvo una hija solamente. ¿Qué parentesco tiene conmigo la hija del nuero de la mamá de mi madre?

De las alternativas: hermana

¡Comprueba lo que sabes! 01. ¿Qué parentesco tengo con el único hermano del hijo de mi padre? a) yo mismo b) mi primo c) mi abuelo d) mi padre e) mi tio

05. ¿Qué representa para JohnsRM el único nieto del abuelo del padre de JohnsRM? a) El mismo b) El nieto c) Su hijo d) Su papá e) Su abuelo

02. ¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre? a) mi hermana b) mi sobrina c) mi hija d) mi abuela e) mi madre

06. ¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre? a) hija b) madre c) tía d) sobrina e) esposa

03. ¿Qué parentesco tiene conmigo, la hija de la nuera de la mama de mi madre? a) mama b) suegra c) cunada d) tia e) prima

07. La mamá de Samuel es la hermana de mi madre. ¿Qué representa para mí el abuelo del gemelo de Samuel? a) Mi hermano b) Mi sobrino c) Mi tío d) Mi hijo e) Mi abuelo

04. ¿Qué relación de parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre si soy hijo único? a) su padre b) su esposo c) su hijo d) su tío e) su abuelo

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08. Juan se jactaba de tratar muy bien con la esposa del suegro de la mujer de su hermano ¿por qué? a) es su hermana b) es su hija c) es su tío d) es su mamá e) es su abuela Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 09. El único tío del hijo de la hermana del esposo de mi padre es mi: a) Hermano b) Tío c) Abuelo d) Primo e) Padre

16. Si el hijo de JohnsRM es el padre de mi hijo, ¿qué parentesco tengo con JohnsRM? a) Es mi suegro b) Es mi tío abuelo c) Es mi abuelo d) Es mi primo e) Es mi yerno

10. ¿Qué parentesco tiene conmigo la hija de la esposa del único vástago de mi abuela, si yo soy el único hijo varón? a) Hermana b) Tía c) Sobrina d) Prima e) Hija

17. Paulina es hija de Andrés, quien es el esposo de Carmen. Si Carolina es hija de Paulina, entonces podemos decir que Carolina es para Carmen a) su madre. b) su nieta. c) su abuela. d) su hija. e) su hermana.

11. JohnsRM es padre de Mariana, Heber es hijo de Antonio y a la vez hermano de JohnsRM. ¿Quién es el padre del tío del padre del hijo de Mariana? a) Walter b) Antonio c) Heber d) Su hermano e) Su primo 12. Mi nombre es JohnsRM, ¿qué parentesco tiene conmigo el tío del hijo de la única hermana de mi padre? a) Mi amigo b) Mi primo c) Mi padre d) Mi hermanastro e) Ninguna relación 13. Si el hijo de Manuel es el padre de mi hijo. ¿Qué parentesco tengo con Manuel? a) es mi esposo b) es mi amante c) es mi tío d) es mi suegro e) ninguna 14. La comadre de la madrina del sobrino de mi única hermana, ¿Qué relación de parentesco tiene conmigo? a) mi hermana b) mi sobrina c) mi tía d) mi hija e) mi esposa 15. Mi nombre es Micaela, ¿qué parentesco tiene conmigo el tío del hijo de la única hermana de mi padre? a) Es mi hermano b) Es mi tío c) Es mi abuelo d) Es mi primo e) Es mi padre Academia GAUUS

18. ¿Qué parentesco tiene Toribio con la hija de la esposa del único vástago de su madre? a) hijo – madre b) abuelo – nieta c) tío – sobrina d) padre – hija e) primos 19. Si el hijo de Pedro es primo de Juan, ¿qué es para Pedro el hijo del hermano de Juan? a) su tío b) su abuelo c) su padre d) su tío abuelo e) su primo 20. Si soy el hijo de la esposa del hijo único de la abuela de Lilian, entonces el primo de Lilian es mi a) hermano. b) primo. c) cuñado. d) tío. e) padre. 21. La señorita María, cuyo padre es hijo único, al mirar el retrato de un hombre dijo: La madre de ese hombre es la suegra de mi madre. ¿Qué parentesco hay entre la señorita María y el retrato del hombre? a) hija – padre b) nieta – abuelo c) sobrina – tío d) nuera – suegra e) esposa – esposo 22. Lilian es sobrina de Juan. Si Juan no tiene hermanos y su única hermana se ha casado con José, ¿qué parentesco hay entre Lilian y José, respectivamente?

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JOHN MAMANI M. a) primos c) hija – padre e) madre – hijo

b) hermanos d) nieta – abuelo

23. El único hermano del padre del esposo de la única hermana de mi padre es Álex. ¿Qué es de la hermana de mi padre el hermano de Álex? a) su abuelo b) su papá c) su tío d) su suegro e) su tío abuelo 24. Si Anibal es el hijo de la hermana de la madre de Amelia, ¿qué parentesco existe entre el hijo de Amelia y Anibal? a) sobrino – tío b) nieto – abuelo c) hijo – padre d) primos e) hermanos 25. ¿Qué relación de parentesco existe entre el abuelo paterno del hijo de mi hermana y la única cuñada de la tía de mi único sobrino? Considere que yo soy soltero y solo tengo una hermana. a) padre – hija b) tía – sobrino c) abuelo – nieta d) madre – hijo e) suegro – nuera 26. ¿Qué viene a ser de Mario la suegra de la esposa del único hermano del abuelo de la mamá de su hermana? a) bisabuela b) abuela c) cuñada d) tatarabuela e) madre 27. ¿Qué viene a ser del hijo de José, la suegra de la esposa del único hermano del padre de la mamá de la esposa de José? a) su bisabuela b) su tatarabuela c) su abuela d) su cuñada e) su madre 28. ¿Qué parentesco tiene con Johns, la única hermana de la suegra de la esposa del padre de su hermana?

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a) su tía – abuela c) su madre e) su suegra

b) su abuela d) su bisabuela

29. El hijo del único primo de mi único sobrino, ¿qué viene a ser del papá del padre de mi nieto? Considere que yo solo tengo un hermano y mi esposa es hija única. a) su hermano b) su nieto c) su padre d) su hijo e) su sobrino 30. La mamá de Sofía es suegra del único hijo de Roberto. ¿Qué viene a ser el hijo del único hijo de Roberto respecto de la madre de la hija de Sofía si Sofía es hija única? a) yerno b) hijo c) nieto d) hermano e) abuelo 31. ¿Qué es, con respecto a mí, la única hermana del cuñado del único hijo del abuelo paterno del yerno del esposo de la madre de la única hermana, de 6 años, de mi esposa? Considere que mi padre es hijo único. a) mi hermana b) mi tía c) mi madre d) mi prima e) mi abuela 32. ¿Qué es de mi hermana, la sobrina de la única cuñada del tío del único tío del hijo de mi hermana? Considere que mi madre es hija única. a) su nieta b) su hija c) su prima d) su sobrina e) su hermana 33. ¿Qué relación existe entre la esposa del nieto de la hermana de mi hermano, y la hermana del hijo de la hija de mi único cuñado si mi única hermana tiene una sola hija y yo soy soltero? a) abuela – nieta b) cuñadas c) madre – hija d) hermanas e) sobrinas – tía Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 34. Si mi primo y yo somos hijos únicos y mi padre no tiene hermanos ni hermanas, ¿qué representa el padre del tío del único primo del único sobrino de la abuela paterna del único sobrino de mi primo respecto del único cuñado del tío abuelo de mi hijo? a) su yerno b) su padre c) su tío d) su suegro e) su hijo 35. Si mi padre fuese hijo único, A sería el hijo del hijo de la suegra de la esposa del único cuñado de mi padre. Si mi madre fuese hija única, B sería la madre de la única cuñada de mi tía. ¿Qué relación de parentesco existe entre la madre de A y el hijo de B? a) cuñados b) hermanos c) primos d) esposos e) sobrina – tío 36. Sonia le dice a María: Tú tienes el mismo parentesco con mi hija, que el que Gloria tiene conmigo, y María le responde: Es cierto, y tú tienes el mismo parentesco conmigo, como el que yo tengo con Gloria. Entonces es cierto que a) María es hermana de Gloria. b) Sonia es hija de María. c) Gloria es madre de Sonia. d) Sonia es tía de María. e) Gloria es hija de Sonia. 37. Si José tiene un solo hermano, ¿quién es el otro hijo del padre del tío del hijo de la esposa del hijo del padre de José que no es el tío del hijo de José? Considere que la esposa de José es hija única. a) su padre b) su tío c) su cuñado d) su hijo e) José

a) O bien ahijados o bien hijos. b) Ambos, sus sobrinos naturales. c) Uno, su sobrino natural; el otro, su ahijado. d) Uno, su sobrino político; el otro, su ahijado. e) Uno, su sobrino natural, el otro, su sobrino político. 39. Alberto le dice a Carlos: Benito tiene el mismo parentesco contigo que el que yo tengo con tu hijo; a lo que responde: y tú tienes el mismo parentesco conmigo que Benito contigo. ¿Cuál es el parentesco entre Carlos y Benito? a) nieto – abuelo b) sobrino – tío c) tío – sobrino d) primos hermanos e) hijo – padre 40. El matrimonio Silva tiene 3 hijos: Jorge, Nancy y Antonio. El matrimonio Álvarez tiene 4 hijos: Rosa, Carmen, Pablo y Walter. Y, finalmente, el matrimonio Castro tiene 2 hijos: Elena y Estela. Antonio se casó con una de las hijas de la familia Álvarez, matrimonio del cual nacen Alejandro y Juana. Walter se casó con Elena, matrimonio del cuál nace Víctor. La tía, por parte de madre, de Víctor se casa con el señor Manuel Ramirez, con quien tiene una hija llamada Betty, la que con el tiempo llega a casarse con Alejandro Silva Álvarez, y tiene un hijo llamado Ernesto. ¿Qué viene a ser de Ernesto la mamá de Jorge Silva? a) tatarabuela b) tía c) abuela d) tía abuela e) bisabuela

38. Pedro es concuñado de José porque su única hermana se ha casado con el único hermano de este. Si Juan es hermano de José, entonces, ¿qué resultan ser el hijo de Pedro y el hijo de José en relación con Juan? Academia GAUUS

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JOHN MAMANI M. CANTIDAD MÍNIMA DE INTEGRANTES DE UNA FAMILIA PROBLEMA 01

PROBLEMA 02

En una fábrica trabajan tres padres y tres hijos. ¿Cuál es el menor número de personas que pueden trabajar en esa fábrica? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Atendiendo en un almuerzo, el mozo de un restaurante preguntó a una familia: “¿Cuántos son?” El papá contestó: “somos padre, madre, tío, tía, hermano, hermana, sobrino, sobrina y dos primos”. ¿Cuál es el mínimo número de personas en esa familia? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Resolución En primer lugar, no nos olvidemos de atribuir las mayores características posibles a las personas para que su número sea mínimo. Analizando, tenemos Bisabuelo y padre a la vez

Resolución Aparentemente se trata de una familia numerosa; pero… ¡cuidado!..., preguntan por la cantidad mínima, no se deje llevar por la apariencia, pues son solamente 4, ¿Por qué? Observa el siguiente esquema, la resolución se aprecia mejor con un cuadro:

Hermanos

Abuelo, padre e hijo a la vez

Padre Tío

Tía Madre

Padre e hijo a la vez

Hija

Hijo Hijo

Primos ∴ El mínimo número de personas es: 4

∴ Número de personas: 4

¡Comprueba lo que sabes! 01. La familia Romero consta de madre, 2 hijas, 2 hermanas. ¿Cuantas personas como mínimo conforman dicha familia? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 02. Mi hermana Ana tiene 2 hermanos y cada hermano tiene una hermana. ¿Cuántos son en la familia si contamos también a nuestros padres?

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a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

03. La familia Daza consta de un padre, una madre, 3 hijos y cada hijo tiene una hermana. ¿Cuantas personas, como mínimo forman esta familia? a) 6 b) 2 c) 8 d) 10 e) 4 Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 04. A una fiesta asistieron 1 padre, 1 tío, 1 hijo, 1 sobrino y 2 primos. ¿Cuántas personas como mínimo fueron a esa fiesta? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 05. Halla el menor número de personas que conforma una familia, si en ella hay 1 abuelo, 2 esposos, 2 nietos, 3 hijos y 2 hermanos. a) 8 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 06. Una familia consta de 2 padres, 2 madres, 4 hijos, 2 hermanos, una hermana, un abuelo, una abuela, 2 nietos, una nieta, 4 esposos y una nuera. ¿Cuántas personas como mínimo conforman dicha familia? a) 8 b) 9 c) 10 d) 6 e) 7 07. Halla el menor número de integrantes de una familia que tiene: 2 esposos, 2 esposas, 2 hermanos, 2 hermanas, 2 hijos, 2 primos, 2 sobrinos, 2 tíos, 2 tías y 4 cuñados. a) 12 b) 10 c) 4 d) 6 e) 8 08. Una pareja de ratones da una vez por mes una cría de dos ratoncitos (macho y hembra); al cabo de dos meses de nacimiento, los ratoncitos recién nacidos ya dan cría. ¿Cuántos ratones habrá al cabo de 3 meses? a) 14 b) 10 c) 12 d) 6 e) 8 09. En una cena familiar se encuentran 2 padres, 2 hijos y 1 nieto. ¿cuántas personas como mínimo están compartiendo la cena? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 10. En un almuerzo estaban presentes: padre, madre, tío, tía, hermano, hermana, sobrino, sobrina y dos primos. ¿Cuál es el menor número de personas presentes? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Academia GAUUS

11. En una reunión se encuentran 1 abuelo, 2 padres, 2 hijos y 1 nieto. ¿Cuantas personas como mínimo se encuentran en dicha reunión? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12. En una fábrica trabajan tres padres y tres hijos, ¿cuál es el menor número de personas que pueden trabajar en esa fábrica? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 13. En una reunión familiar se encuentran presentes una abuela, dos madres, un padre, dos hermanos, un esposo, una esposa, un cuñado, una cañada, un tío, tres hijos, un sobrino y un nieto. ¿Cuántas personas hay como mínimo en dicha reunión? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 14. Una familia consta de 2 padres, 2 madres, 3 hijos, 2 hermanos, una hermana, un abuelo, una abuela, 2 nietos, una nieta, 2 esposos y una nuera. ¿Cuál es el mínimo número de personas en dicha familia? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 15. Los esposos Álvarez tienen 4 hijos (varones), cada hijo tiene una hermana y cada hermano tiene 3 sobrinos. ¿Cuál es el número mínimo de personas que conforman esta familia? a) 9 b) 10 c) 15 d) 17 e) 22 16. ¿Cuántas personas como mínimo hay una reunión familiar si se observa a un abuelo, un padre, una madre, dos hijos, dos hijas, dos hermanos, dos hermanas, un tío, un nieto y una nieta? a) 6 b) 5 c) 3 d) 7 e) 4 17. En el cumpleaños de las mellizas Angélica y Anita se encontraban presentes dos abuelos,

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JOHN MAMANI M. una abuela, dos padres, dos madres, dos hermanas, dos suegros, una suegra, un yerno, una nuera, un tío, dos cuñados, dos hijos, tres hijas. ¿Cuántas personas como mínimo se encontraban reunidas incluyendo a las mellizas? a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) 12 18. Dos abuelas, dos abuelos, tres padres, tres madres, dos suegras, dos suegros, cuatro hijas, cuatro hijos, un yerno, una nuera, tres hermanas y tres hermanos, consumieron en un almuerzo familiar cinco ciruelas cada uno. ¿Cuántas ciruelas se consumieron, como mínimo, en esta reunión familiar? a) 55 b) 50 c) 60 d) 48 e) 65 19. En una reunión familiar se encuentran presentes un abuelo, dos padres, una madre, dos hijos, un esposo, una esposa, un hermano, una hermana, una nuera, un suegro, dos cuñados, un tío, un sobrino y un nieto. ¿Cuántas personas hay, como mínimo en dicha reunión? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 20. En una familia, cada hermano tiene 4 hermanas y 4 hermanos, y cada hermana tiene 5 hermanos y 3 hermanas. ¿Cuántos hijos son en total? a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 15 21. En una reunión se encuentran 2 padres, 2 madres, un nieto, un hijo, una hija, un abuelo, una abuela, un yerno, un suegro y una suegra. ¿Cuántas personas como mínimo se encuentran en dicha reunión? a) 3 b) 5 c) 8 d) 10 e) 12 22. En una reunión familiar se encuentra 3 padres, 3 hermanos, 3 tíos, 3 sobrinos y 3 primos. ¿Cuál es el menor número de asistentes a dicha reunión?

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a) 5 d) 9

b) 7 e) 4

c) 6

23. Una familia está compuesta por 2 hijos, un padre, una madre, 2 hermanos, 2 hermanas, 2 sobrinos, una tía, un cuñado y una cuñada. ¿Cuántas personas, como mínimo, conforman dicha familia? a) 5 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7 24. En una reunión hay 3 padres, 2 hermanas, 2 primos, 3 hijos, 3 tíos, 2 sobrinos, un nieto, un abuelo y un tío abuelo. ¿Cuántas personas, como mínimo están presentes en la reunión? a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10 25. En una reunión familiar se observa a un abuelo, una abuela, tres padres, dos madres, dos tíos, una tía, cuatro hijos, una hija, un suegro, una suegra, un cuñado, una cuñada, dos nietos, dos sobrinos, dos primos, un yerno y una nuera. Si Luchito es uno de ellos, ¿cuántas personas como mínimo lo acompañan? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10 26. En una reunión por el onomástico de Luis se encontraban reunidos dos abuelos, dos abuelas, tres esposos, tres esposas, un hermano, una hermana, dos hijos, dos hijas, un nieto, una nieta, dos suegros, dos suegras, tres madres, tres padres, un yerno y una nuera. ¿Cuántas personas como mínimo hay en dicha reunión? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 27. En una reunión familiar se observa que hay un abuelo, una abuela, un yerno, una nuera, un suegro, una suegra, 4 hijos, 2 hijas, 2 tíos, 2 tías, 3 primos, una prima, 3 hermanos, 3 nietos y una nieta. ¿Cuántas personas como mínimo se encuentran reunidas? Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. a) 7 d) 10

b) 8 e) 12

c) 9

28. Los esposos José y Elena tienen 4 hijos: Carlos es el hijo único del hijo mayor de José, Ana es la única hija de la única hija de Elena, Pedro es el único hijo del hijo menor de José, y los hijos del otro hijo de José son César y Cristina. ¿Cuántos sobrinos y sobrinas en total tiene el hijo menor de José y Elena y cuántos primos y primas en total tiene César? Dé como respuesta la suma de los resultados. a) 4 b) 8 c) 5 d) 7 e) 6 29. Los esposos Wálter y Marcela tienen 3 hijos. Sandra y Marcos son hijos del hijo de Marcela. Nicolás y Gabriela son hijos del hijo de Wálter. Si los hijos del otro hijo de Wálter son tres, y Marcela con Wálter antes de su matrimonio no tuvieron ningún hijo, ¿cuántos primos, como mínimo, tiene Gabriela? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 30. En la oficina de una compañía de seguros se encuentran 5 hermanos, 5 padres, 5 hijos, 5 tíos, 5 sobrinos y 5 primos; para firmar sus respectivos contratos, el menor número de contratos que firmaron fueron: a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 11 31. La familia Orozco está conformada por el padre, madre y 8 hijas y se sabe que cada hija tiene un solo hermano. ¿Cuántas personas hay en dicha Familia? a) 20 b) 11 c) 18 d) 12 e) 10 32. En una familia hay 1 abuelo, 1 abuela, 2 padres, 3 madres, 2 sobrinos, 1 sobrina, 1 tío, 2 tías, 2 nietos, 1 nieta, 1 nuera, 1 suegro, 1 suegra, 2 cuñadas, 2 primos, 1 prima, 3 hijos y 2 hijas. Indicar el mínimo número de personas presentes. Academia GAUUS

a) 5 d) 8

b) 6 e) 21

c) 7

33. ¿Cuál es el menor número de niños (en total) que puede haber en una familia, si cada niño o niña tiene al menos un hermano y una hermana? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 34. El nieto de mis padres es uno de mis sobrinos y tengo tres sobrinos más, que ninguno de ellos son hermanos entre sí. Si todos los hijos viven con sus padres biológicos, ¿cuántos hijos e hijas tienen, como mínimo, mis padres? a) 5 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8 35. En una reunión familiar están presentes dos abuelos, dos abuelas, tres padres, tres madres, tres hijos, tres hijas, dos suegras, dos suegros, un cuñado, una cuñada, un yerno, una nuera, tres hermanos, un tío, dos nietas, un nieto y dos hermanas. ¿Cuántas personas se encuentran, como mínimo, en dicha reunión? a) 8 b) 9 c) 11 d) 10 e) 7 36. Durante un viaje me encontré a una familia que estaba integrada por dos hermanos, dos esposos, dos esposas, cuatro hermanas, dos cuñados, dos cuñadas, un padre, una madre, dos hijas, un tío, una tía, dos concuñados, dos concuñadas y dos sobrinas. ¿A cuántas personas de esa familia, como mínimo, conocí en aquel viaje? a) 6 b) 7 c) 9 d) 8 e) 10 37. En una reunión familiar se encuentran presentes un bisabuelo, dos abuelos, una abuela, tres padres, dos madres, dos suegros, dos nueras, dos nietos, un bisnieto y tres hijos. ¿Cuántas personas, como mínimo, hay en dicha reunión familiar?

19

JOHN MAMANI M. a) 4 d) 6

b) 9 e) 7

c) 8

38. En un avión viajan dos padres, dos madres, tres hijos, un abuelo, una abuela, un tío, un sobrino, dos hermanos, un nieto, una suegra, un suegro, una nuera, una cuñada y un cuñado. ¿Cuántas personas, como mínimo, viajan en dicho avión? a) 4 b) 7 c) 6 d) 8 e) 5 39. Observé en una reunión familiar que había dos abuelos, dos abuelas, tres esposos, tres esposas, un hermano, una hermana, dos hijos, dos hijas, un nieto, una nieta, dos suegros, dos suegras, tres madres, tres padres, un yerno y una nuera. ¿Cuántas personas, como mínimo, integran la familia que observé? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 40. Cuando mi familia decidió viajar por vacaciones al Cusco se contrató un bus. Mi familia está conformada por un abuelo, una abuela, dos padres, tres madres, dos nietos, tres hijos, dos hijas, tres hermanas, un hermano, dos tíos, dos tías, tres sobrinos, dos primos, un tío abuelo, un sobrino nieto, un esposo y una esposa. Si el bus dispone de 20 asientos y cada integrante de la familia ocupó un asiento, ¿Cuántos asientos, como máximo, quedaron vacíos? a) 10 b) 14 c) 11 d) 13 e) 12 41. En una reunión familiar Ítalo observó que habían dos abuelos, dos abuelas, tres esposos, tres esposas, un hermano, una hermana, dos hijos, dos hijas, un nieto, una nieta, dos suegros, dos suegras, tres madres, tres padres, un yerno y una nuera. ¿Cuántas personas como mínimo integran la familia de Ítalo? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

20

42. En una reunión familiar están presentes un abuelo, dos tíos abuelos, una nieta, dos tíos, dos primas, una sobrina nieta, dos primos, dos primas, dos hermanos, un esposo, una esposa, tres padres, una madre, tres hijas, un suegro, un yerno, un cuñado y una cuñada. ¿Cuántas personas como mínimo hay en dicha reunión? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 43. Me preguntaron cuántos hermanos tengo y respondí: Tengo 10, pero conmigo no somos 11, porque somos 9 y somos 3, y además, porque soy el último y el primero. ¿De cuántas personas se habla? a) 10 b) 11 c) 12 d) 8 e) 9 44. En una reunión familiar se encuentran presentes 2 padres, 3 madres, 2 hijos, 2 hijas, un hermano, una hermana, un tío, 2 tías, un sobrino, una sobrina, 2 primos (en total), un nieto, una nieta, un abuelo, una abuela, 2 cuñadas, un suegro y una nuera. ¿Cuántas personas, como mínimo, hay en dicha reunión? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 45. En el aniversario de bodas de los abuelos de Iván se observó a 2 abuelos, 2 abuelas, 2 primas, un primo, 3 hijos, 3 hijas, 4 padres, 3 madres, un yerno, una nuera, 2 suegros, 2 suegras, 2 tíos, una tía, 2 hermanas, 2 hermanos, 2 sobrinas, un sobrino, 2 nietas y un nieto. ¿Cuál es el mínimo número de personas presentes en dicho aniversario? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M.

Relaciones de Tiempo CAPÍTULO II PROBLEMAS SOBRE VARIACIÓN DE DÍAS En este tipo de problemas debes determinar qué día de la semana fue, es o será, debido a cierta variación de días respecto a un día de referencia (generalmente hoy). Regla práctica A. Equivalencias numéricas

+ 3 < > jueves Es decir, dentro de 3 días será jueves. −3

−2

−1

0

+1

+2

+3

V

S

D

L

M

M

J

Nos piden: x < > − 1

−2

−1

0

+1

anteayer

ayer

hoy

mañana

+2 pasado

mañana

¡Tenga en cuenta que…!  Anteayer –2  Ayer –1  Hoy 0  Mañana + 1  Pasado mañana + 2 ¡Recuerde que…! En los enunciados, podemos encontrar términos que no necesariamente son los que habitualmente se utilizan para representar variación de días (mañana, pasado mañana, …), entre ellos tenemos:  Anteayer hace 2 días  Ayer el día que precede el día que antecede el día anterior  Mañana el día posterior el siguiente día el día que sigue  Pasado mañana el día que subsigue Ejemplo 01 Si dentro de 6 días del ayer del subsiguiente día del día que precede al mañana de hace 4 días es jueves. ¿Qué día fue ayer? Academia GAUUS

Resolución Dato: + 6 − 1 + 2 − 1 + 1 − 4 < > jueves

x < > domingo B. Para determinar qué día de la semana fue hace n días o será dentro de n días, podemos utilizar la siguiente regla práctica. Dividida el número de días n entre 7 utilice el resto. Ejemplo 02 Si hoy es sábado, ¿Qué día fue hace 124 días?

Resolución − 124 días

124 7 5 17

SÁB.

o

LUN.

7− 5

Por lo tanto es lunes.

PROBLEMAS SOBRE CALENDARIOS En este tipo de problemas se determinara el día y/o fecha en un mes que cumpla ciertas condiciones. Se debe tener en cuenta la cantidad de días que tiene cada mes. Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. 31 28 31 30 31 30 29 Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic. 31 31 30 31 30 31

21

JOHN MAMANI M. ¡Recuerde que…! En problemas sobre calendarios  No hay dos meses seguidos que tengan 30 días cada uno.  Si un mes tiene más lunes que otros días de la semana, dicho mes tiene 29 días y el primero cae lunes.  Si un mes tiene más lunes y martes que otros días de la semana, dicho mes tiene 30 días y el primero cae lunes.  Si un mes tiene más jueves, viernes y sábados que otros días de la semana. Dicho mes tiene 31 días y el primero cae jueves. Ejemplo 03 En un determinado mes existe 5 miércoles y 5 viernes. ¿Cuál es la suma del número correspondiente al tercer domingo del mes y el número de días de dicho mes?

Resolución Como los días son consecutivos, decir que existen 5 miércoles y 5 viernes implica que también deben existir 5 jueves. Ahora, si el mes tiene 5 miércoles, 5 jueves y 5 viernes, entonces dicho mes tiene 31 días e inicia un día miércoles. Así. L

Reconocimiento de un año bisiesto



o   cd= 4 →   abcd es bisiesto abcd , si cd ≠ 00    o año  cd ≠ 4 →   abcd no es bisiesto



o   ab= 4 →   abcd es bisiesto abcd , si cd = 00    o año  ab ≠ 4 →   abcd no es bisiesto

Variación del día de la semana de un año a otro Esquema para una misma fecha + n años

M

M J V S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

AÑO A

AÑO B

variación de días

(n + x ) días n° de años

Nos piden: 19 + 31=50

PROBLEMAS SOBRE VARIACIÓN DEL DÍA DE LA SEMANA A TRAVÉS DE LOS AÑOS

n° de años bisiestos

Además

 n° de años   ultimo bisiesto − primer bisiesto  =  bisiestos   +1 4    

Para determinar cómo varían los días de una fecha en la sucesión de años, debemos considerar lo siguiente. AÑO COMÚN o

AÑO BISIESTO o

365 días 7 + 1 366 días 7 + 2 Por cada año Por cada año transcurre un día transcurre dos días Febrero: 28 días Febrero: 29 días

22

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. VARIACIÓN DE DÍAS PROBLEMA 01

PROBLEMA 03

Si el mañana de ayer fue miércoles, ¿Qué día fue el pasado mañana de ayer de hace tres días? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes

Si el anteayer de pasado mañana del día que precede al ayer del anteayer de mañana es viernes, ¿Qué día sea el ayer del pasado mañana del subsiguiente día de hoy? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes

Resolución Dato: + 1 − 1 miércoles 0 miércoles Es decir, hoy es miércoles.

Resolución

−2

−1

0

+1

+2

L

M

M

J

V

Dato: − 2 + 2 − 1 − 1 − 2 + 1 viernes − 3 viernes Es decir, hace tres días era viernes.

Nos piden: x + 2 − 1 − 3 x − 2 x lunes

−3

−2

−1

0

+1

+2

+3

V

S

D

L

M

M

J

Nos piden: x − 1 + 2 + 2 x + 3 x jueves

PROBLEMA 02 Si el pasado mañana de mañana del anteayer de ayer de hace tres días fue lunes, ¿Qué día será el ayer de pasado mañana? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes

Resolución

PROBLEMA 04 Si hoy es domingo, dentro de 187 días, ¿Qué día será? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes

Dato: + 2 + 1 − 2 − 1 − 3 lunes

Resolución

− 3 lunes Es decir, hace tres días era lunes. −3

−2

−1

0

L

M

M

J

Nos piden: x − 1 + 2 x + 1 x viernes

Academia GAUUS

+1

+2

+3

V

S

D

Procedemos a dividir 187 entre 7 y utilizamos el resto. + 187 días

DOM.

o

VIER.

7 + 5 días

Por lo tanto, será viernes

23

JOHN MAMANI M. PROBLEMA 05 Si el mañana de anteayer es lunes, ¿Qué día de la semana será dentro de 53 días? a) sábado b) martes c) miércoles d) jueves e) domingo

Luego Procedemos a dividir 53 entre 7 y utilizamos el resto. + 53 días

MAR.

Resolución

o

SÁB.

7 + 4 días

Primero hallemos que día es hoy Dato: + 1 − 2 lunes − 1 lunes Es decir, hace tres días era viernes.

Por lo tanto, será sábado

−2

−1

0

+1

+2

D

L

M

M

J

Entonces hoy es martes.

¡Comprueba lo que sabes! 01. Si hoy es lunes, ¿qué día será el ayer de pasado mañana? a) lunes b) miércoles c) jueves d) martes e) viernes 02. Si el ayer de pasado mañana es martes, ¿qué día será el subsiguiente día de ayer? a) lunes b) miércoles c) jueves d) martes e) domingo 03. Si el mañana de ayer es jueves, ¿qué día será el anteayer de pasado mañana? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) sábado 04. Si el anteayer del mañana de pasado mañana es viernes, ¿qué día fue anteayer? a) domingo b) lunes c) jueves d) miércoles e) martes

a) lunes d) domingo

b) jueves e) miercoles

c) martes

07. Si el viernes es el pasado mañana de ayer, ¿qué día será el mañana de anteayer de pasado mañana? a) lunes b) martes c) miercoles d) jueves e) viernes 08. Si anteayer fuera hoy, mañana sería miércoles, ¿qué día será pasado mañana? a) jueves b) sábado c) miercoles d) domingo e) viernes 09. Si el viernes es el pasado mañana de ayer, ¿qué día será el mañana de anteayer de pasado mañana? a) jueves b) sábado c) miercoles d) domingo e) viernes

05. Si el ayer de mañana es domingo, ¿qué día será el mañana de ayer de pasado mañana? a) martes b) miércoles c) jueves d) viernes e) martes

10. Si el lunes es el martes del miércoles, el jueves es el viernes del sábado, ¿qué día es el domingo del lunes? a) martes b) miércoles c) jueves d) viernes e) sábado

06. Si el anteayer de dentro de cuatro días es domingo, ¿qué día será el pasado mañana del ayer de dentro de tres días?

11. El mañana del pasado mañana del anterior día al día anterior al anteayer a hoy es equivalente al

24

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. a) ayer. d) hoy.

b) mañana. c) anteayer. e) pasado mañana.

12. Si el anteayer del mañana de pasado mañana es viernes, ¿qué día fue ayer? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes 13. Si el ayer del pasado mañana del mañana es el mañana del pasado mañana del jueves, ¿qué día será dentro de 5 días? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes 14. Si el pasado mañana del ayer del pasado mañana del mañana es el ayer del anteayer del mañana del jueves, ¿qué día será el mañana del inmediato anterior de hace dos días? a) martes b) viernes c) lunes d) jueves e) miércoles 15. Si el ayer del mañana del subsiguiente día será viernes, ¿qué día de la semana será el mañana del pasado mañana del día que antecede al día que precede a hoy? a) domingo b) jueves c) martes d) miércoles e) viernes 16. ¿Qué día de la semana fue hace tres días del pasado mañana del mañana del ayer del anteayer de mañana de anteayer, si hoy es viernes? a) sábado b) jueves c) domingo d) lunes e) martes 17. ¿Qué día fue el ayer del anteayer del pasado mañana del subsiguiente día al día anterior del que precede al que antecede al posterior día de hace 20 días? Considere que hoy es jueves. a) miércoles b) jueves c) martes d) sábado e) domingo 18. Si el ayer del mañana del ayer del anteayer del pasado mañana del mañana del ayer del mañana del ayer del mañana de anteayer de Academia GAUUS

pasado mañana es lunes, ¿qué día será pasado mañana? a) domingo b) lunes c) martes d) miércoles e) sábado 19. ¿Qué día será el ayer del mañana del anteayer del subsiguiente día al pasado mañana de hoy si ayer fue jueves? a) domingo b) lunes c) martes d) miércoles e) jueves 20. Si el ayer fuese como pasado mañana, faltarían 5 días para ser sábado. ¿Qué día fue anteayer? a) lunes b) martes c) miércoles d) viernes e) domingo 21. ¿Cuál es el día que está antes del anterior al siguiente día del que subsigue al posterior día del que está después del día que precede al anterior día de hoy miércoles? a) martes b) lunes c) miércoles d) jueves e) sábado 22. Si el ayer del mañana del ayer del anteayer del pasado mañana del mañana del ayer del mañana del ayer fue lunes, ¿qué día de la semana será dentro de 300 días? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes 23. Si hoy es domingo, ¿qué día de la semana será el mañana del anteayer del subsiguiente día de hace tres días al día que antecede al mañana dentro de 251 días? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) sábado 24. ¿Qué día será el día que subsigue al inmediato anterior día que precede al pasado mañana del día anterior al pasado mañana de dentro de 5 días si el ayer del día que antecede al posterior día a anteayer fue sábado? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes

25

JOHN MAMANI M. 25. El día que sigue al anteayer de 3 días antes del día posterior al ayer de 5 días después de tantos días antes como semanas completas tiene un año del lunes es a) viernes. b) sábado. c) lunes. d) miércoles. e) domingo. 26. Si el ayer del pasado mañana del día que está inmediatamente antes del día que subsigue al día posterior del mañana del anteayer del pasado mañana de ayer es el anteayer del mañana del día viernes, ¿qué día de la semana fue el ayer del mañana de hace 69 días? a) sábado b) domingo c) lunes d) jueves e) martes

30. Se sabe que el martes del miércoles es el ayer del mañana del día que antecede al viernes. ¿Qué día de la semana será el viernes del ayer del domingo? Considere que el ayer del jueves es el lunes del martes. a) lunes b) domingo c) martes d) jueves e) miércoles 31. Si el día de mañana fuese como pasado mañana, entonces, faltarían 2 días a partir de hoy para ser domingo. ¿Qué día de la semana será el día anterior al mañana del ayer del anteayer del subsiguiente día al pasado mañana de hace 100 días de hoy? a) viernes b) lunes c) sábado d) jueves e) miércoles

27. Carlitos le pregunta a su profesor cuándo es su cumpleaños y este le responde: Mi cumpleaños será (o fue) un día después del ayer del pasado mañana del anteayer del mañana de hace 2 días. Si hoy es domingo, ¿qué día será (o fue) el cumpleaños del profesor? a) sábado b) domingo c) lunes d) martes e) miércoles

32. ¿Qué día de la semana será el pasado mañana del ayer del mañana del día que precede al mañana del pasado mañana del ayer al pasado mañana del ayer y así sucesivamente tantas veces el pasado mañana del ayer como días tiene un año bisiesto? Considere que dentro de dos días será lunes. a) domingo b) viernes c) lunes d) martes e) miércoles

28. Si hace 5 días faltaban 2 días para ser el mañana del martes, ¿cuántos días faltaron como mínimo hace 4 días para que sea domingo? a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 5

33. Si el anteayer del mañana fue el pasado mañana del ayer del pasado mañana del ayer, así sucesivamente tantas veces el pasado mañana del ayer como la cantidad de letras que tiene el abecedario respecto del ayer de hoy jueves, ¿qué día será el subsiguiente día al anteayer de hace tres días? a) domingo b) lunes c) martes d) viernes e) sábado

29. Si el anteayer del mañana fue el pasado mañana del ayer del pasado mañana del ayer, así sucesivamente tantas veces el pasado mañana del ayer como ensayos presenta la obra principal de José Carlos Mariátegui respecto del ayer de hoy jueves, ¿qué día será el subsiguiente día al anteayer del mañana del día que sigue al anteayer de hace 20 días? a) miércoles b) jueves c) viernes d) martes e) lunes

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34. Si el mañana del pasado mañana de 5 días antes al posterior día al día que antecede al día que precede al subsiguiente día del jueves es el mañana del pasado mañana del día anterior al anteayer del inmediato posterior del día que sigue al mañana de hoy, ¿qué día será dentro de 2013 días? a) domingo b) lunes c) martes d) miércoles e) jueves Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. CALENDARIOS PROBLEMA 01 El 1 de enero de cierto año fue martes. ¿Qué día fue 24 de enero de ese mismo año? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes

Resolución M M J V S D 1 2 3 4 5 6 8 15 22 23 24 25 26 27 28 29 30 21

a) 2 marzo d) 6 abril

b) 3 abril e) 7 mayo

Resolución Del dato: presente mes L

M

M

J

V S D Se trata del mes 1 de febrero 8 15 22 23 24

L

Del cuadro, el 24 de enero fue jueves.

PROBLEMA 02

Resolución Para que exista 5 lunes, 5 martes y 5 miércoles el primero debe ser un lunes. L M M J V S D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Por lo tanto, el 25 de este mes es jueves.

Próximo mes (marzo) L M M 5

6

PROBLEMA 03

Academia GAUUS

J V S D 1 2 3 7

Por lo tanto el primer martes del próximo mes es 5 de marzo.

PROBLEMA 04 En un determinado mes existían 5 jueves y 5 sábados. ¿Cuál es la suma del número correspondiente al tercer domingo del mes y el número de días de dicho mes? a) 46 b) 48 c) 50 d) 47 e) 49

Resolución Como lo días son consecutivos, es decir que existen 5 jueves y 5 sábados da a entender que también deben existir 5 viernes. Además, deducimos que el mes trae 31 días y comienza jueves. L M M

Si el último viernes de este mes tuvo como fecha 22, ¿Cuál será la fecha del primer martes del próximo mes?

último viernes

25 26 27 28

4

En un determinado ms hay 5 lunes, 5 martes, 5 miércoles. Determine que día de la semana cae 25? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes

c) 5 marzo

J V S D 1 2 3 4 8 11 15 18 22 29 30 31

27

JOHN MAMANI M. El único mes que tiene 29 días es febrero (año bisiesto). Si ese día de más fue domingo, dicho mes debe iniciar en domingo.

Pide: 31 + 18 = 49

PROBLEMA 05 En cierto mes se observó que había más días domingos que otros días de la semana. ¿Qué día de la semana será el 17 en dicho mes? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes

Resolución

L

M

M

J

V

S

D 1 8 15 16 17 18 19 20 21 22 29

Por lo tanto, el día será martes.

Para que un mes tenga un día más que los demás, ese mes debe tener 29 días.

¡Comprueba lo que sabes! 01. En un determinado mes existen 5 viernes, 5 sábados y 5 domingos. ¿Qué día será 26 de dicho mes? a) lunes b) martes c) miércoles d) sábado e) jueves 02. En un determinado mes existen 5 jueves, 5 viernes y 5 sábados. ¿qué día será el 17 del siguiente mes? a) Sábado b) Jueves c) Domingo d) Martes e) Miércoles 03. Si el último viernes de este mes tuvo como fecha 22, ¿cuál será la fecha del primer martes del próximo mes? a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 7 04. En el mes actual, la cantidad de jueves y domingos es la menor posible, y la cantidad de viernes y sábados es la mayor posible. ¿En qué día de la semana terminará el próximo mes? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes 05. El mes pasado tuvo más martes y miércoles que otros días de la semana. ¿Qué día de la semana es el último día de este mes?

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a) domingo d) sábado

b) jueves e) miércoles

c) viernes

06. Si el mes pasado tuvo más lunes y martes que otros días de la semana, ¿qué día de la semana empezará el próximo mes? a) lunes b) miércoles c) viernes d) sábado e) domingo 07. Se sabe que mi cumpleaños es el 27 de este mes y que el mes pasado tuvo más días viernes, sábados y domingos, que otros días de la semana. ¿Qué día de la semana cae mi cumpleaños? a) lunes b) martes c) miércoles d) sábado e) jueves 08. La fecha del último lunes del mes pasado sumado a la del primer viernes del mes que viene da 37. ¿En qué mes estamos? Considere que los meses son de un mismo año. a) junio b) julio c) agosto d) septiembre e) octubre 09. El tercer día de este mes y el tercer día del próximo mes son lunes. ¿Qué día de la semana será el 13 del subsiguiente mes? a) lunes b) miércoles c) viernes d) sábado e) domingo Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 10. Se observa que un determinado mes tiene más lunes que miércoles y menos jueves que sábados. ¿Qué día de la semana es el día 18 de dicho mes? a) martes b) viernes c) lunes d) domingo e) jueves 11. La fecha de hoy coincide con la fecha del último miércoles del mes pasado que tuvo más domingos, lunes y martes que otros días de la semana. ¿Qué día de la semana será dentro de 9 días? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) domingo 12. Si el mes pasado tuvo más jueves y viernes que los demás días de la semana y el mes actual tiene un día más que este, ¿qué día será el 18 del mes siguiente? a) domingo b) viernes c) miércoles d) lunes e) sábado 13. Si se sabe que en el mes pasado había exactamente 5 lunes y 5 miércoles y que el próximo mes tiene exactamente 30 días, ¿en qué mes podríamos estar? a) diciembre b) mayo c) octubre d) marzo e) agosto 14. El primer día de un determinado mes cayó domingo, el último día del mes siguiente fue miércoles y el siguiente a este último tuvo 31 días. ¿A qué mes nos referimos inicialmente? a) enero b) febrero c) marzo d) abril e) diciembre 15. Si el mes anterior tiene más viernes y domingos que otros días de la semana y el siguiente mes empezará un martes, ¿qué día de la semana será el 9 de abril del año actual? a) viernes b) domingo c) martes d) sábado e) lunes 16. Si la suma de las fechas de todos los viernes de un determinado mes es igual a 80, entonces, ¿qué día cae el 15 de dicho mes? Academia GAUUS

a) miércoles d) martes

b) jueves e) lunes

c) viernes

17. Si la suma de las fechas de todos los días lunes de cierto mes resulta 80, ¿qué día de la semana viene a ser el 18 de dicho mes? a) martes b) miércoles c) jueves d) viernes e) sábado 18. En un determinado mes, el primer día fue lunes y el último también lunes. ¿Qué día fue el 2 de septiembre de dicho año? a) sábado b) viernes c) jueves d) martes e) lunes 19. En un determinado mes, se observa que el primer y último día fueron lunes. ¿Qué día de la semana fue el 5 de julio de ese mismo año? a) sábado b) viernes c) jueves d) martes e) lunes 20. En cierto año, ocurrió que el primer día de un determinado mes fue lunes, mientras que el último día también fue lunes. ¿Qué fecha fue el penúltimo jueves del mes siguiente? a) 17 b) 24 c) 23 d) 18 e) 16 21. El tercer día d este mes y el tercer día del próximo mes son lunes. ¿qué día de la semana será el 13 del subsiguiente mes? a) jueves b) martes c) miércoles d) viernes e) lunes 22. El mes anterior tuvo más miércoles que domingos y menos martes que viernes. ¿Qué día de la semana será el 19 del presente mes? a) jueves b) martes c) miércoles d) sábado e) lunes 23. En un determinado mes, hubo cinco lunes, cinco martes y cinco miércoles. En el mes anterior, hubo solo cuatro domingos. Entonces, el próximo mes incluirá, necesariamente. a) cinco domingos b) cuatro jueves

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JOHN MAMANI M. c) exactamente cuatro viernes d) cinco miércoles e) exactamente cuatro sábados 24. Las fechas de tres martes de este mes resultan ser números pares. Lo mismo ocurrió el mes pasado, pero con los domingos. ¿Qué día de la semana será el 21 del próximo mes? a) jueves b) martes c) miércoles d) sábado e) lunes 25. Cierto año tiene más martes que otros días de la semana. ¿Qué día de la semana es el 1 de marzo de dicho año? a) domingo b) martes c) jueves d) viernes e) sábado 26. Si el producto de la fecha del primer miércoles de este mes con la fecha del primer sábado del mes siguiente es 4, además, el subsiguiente mes tiene 31 días, ¿qué día de la semana fue el 13 del mes anterior? a) jueves b) martes c) viernes d) sábado e) lunes 27. En dos meses consecutivos se cumple que todos los días aparecieron igual número de veces, excepto el viernes. ¿Qué día de la semana será el noveno día del mes con tantos lunes como viernes, si dicho mes es uno de los dos mencionados? a) lunes b) miércoles c) viernes d) sábado e) domingo 28. El primer día de un determinando mes cayó domingo, el último día del mes siguiente fue miércoles y el siguiente a este último tuvo 31 días. ¿A qué mes nos referimos inicialmente? a) enero b) febrero c) marzo d) abril e) diciembre

del próximo año? Considere que los meses mencionados pertenecen a un mismo año. a) jueves b) martes c) viernes d) sábado e) lunes 30. Se conoce que las fechas del último lunes del primer mes de tres meses consecutivos con la del primer miércoles del último de estos meses suman 35. ¿Qué fecha resultará el último día del último de los meses consecutivos si ninguno de estos meses mencionados pertenece a un mes veraniego? a) domingo 30 de setiembre b) lunes 31 de julio c) sábado 31 de diciembre d) domingo 31 de octubre e) lunes 30 de setiembre 31. Alicia y Bruno visitaron a Laura durante un mes de 31 días. Alicia empezó sus visitas el primer lunes del mes y lo hizo cada 5 días. Bruno empezó el primer martes del mismo mes y la visitó cada 4 días. Si coincidieron un solo día del mes en visitar ambos a Laura, ¿qué día de ese mes fue? a) 26 b) 12 c) 17 d) 20 e) 27 32. Pedrito observó el almanaque del año actual y se percató de que el mes anterior había tenido más días martes, miércoles y jueves que el resto de días de la semana, y que el penúltimo domingo del mes actual sumado al segundo lunes del próximo mes resulta 32. ¿Qué día será el anterior al mañana del pasado mañana del posterior al subsiguiente día del anterior al anteayer de 60 días más? Considere que hoy está comenzando el mes. a) sábado b) domingo c) lunes d) jueves e) viernes

29. Si la fecha del último del mes pasado sumado a la fecha del primer domingo del subsiguiente mes resulta 37 y la fecha del primer lunes de este mes sumado a la fecha del último sábado del siguiente mes resulta también 37, ¿qué día resulta el 28 de febrero

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JOHN MAMANI M. VARIACIÓN DEL DÍA DE LA SEMANA A TRAVÉS DE LOS AÑOS PROBLEMA 01

PROBLEMA 02

Si Lilian cumplió 17 años el jueves 10 de junio de 2010, ¿Qué día de la semana cumplirá 22 años? a) jueves b) martes c) miércoles d) domingo e) lunes

Si el 7 de marzo del 2010 fue domingo, ¿Qué día será el 7 de marzo del 2047? a) jueves b) martes c) miércoles d) domingo e) lunes

Resolución

Resolución

Analicemos en el esquema:

Analicemos en el esquema: + 37 años

+ 5 años

10 de junio de 2010 (17 años)

10 de junio de 2015 (22 años)

jueves

???

7 de marzo de 2010

(5 + 1) = días 6 días < > 7 − 1 n° de años bisiestos

Del 2010 a 2015 solo existe solo un año bisiesto que es el 2012. ∴ Cumplirá 22 años un día miércoles (jueves − 1 )

???

domingo

o

(37 + 9) = días 46 días < > 7 + 4

o

n° de años

7 de marzo de 2047

n° de años

n° de años bisiestos

 n° de años   2044 − 2012  = +1 9 =   4   bisiestos   ∴ El 7 de marzo de 2047 será jueves (domingo + 4 )

¡Comprueba lo que sabes! 01. Si Lilian nació un día lunes del año 1989, ¿qué día de la semana será su cumpleaños número 12? a) jueves b) lunes c) martes d) viernes e) sábado

03. Si en el año 2003 el 1.º de enero fue día martes, ¿qué día de la semana será el 1.º de enero del año 2033? a) viernes b) lunes c) martes d) jueves e) sábado

02. El jueves 28 de marzo del 2004 nació mi hermano menor. ¿En qué día de la semana cumplirá 11 años? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes

04. Si un sábado del año 1996 Marcos cumplió 32 años, ¿en qué día de la semana nació? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes 05. Si un sábado del año 1996 Marcos cumplió 32 años, ¿en qué día de la semana nació?

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JOHN MAMANI M. a) lunes d) jueves

b) martes e) viernes

c) miércoles

06. El 15 de febrero del 2008, JohnsRM ingresó a la UNA y exactamente 5 años después, un día sábado, terminó su carrera. ¿Qué día de la semana ingresó JohnsRM? a) domingo b) martes c) jueves d) sábado e) lunes 07. El cumpleaños número 7 de Anita fue el martes 7 de agosto de 1907. ¿Qué día de la semana celebró su cumpleaños número 17? a) lunes b) martes c) miércoles d) sábado e) domingo 08. El cumpleaños número 25 de Carlos fue el jueves 9 de febrero del año 1989. ¿Qué día será su cumpleaños número 44? a) jueves b) lunes c) martes d) sábado e) miércoles 09. Si el 3 de febrero del 2010 será miércoles, ¿qué día de la semana fue el 3 de febrero de 1964? a) martes b) sábado c) domingo d) lunes e) miércoles 10. Si el señor Jaime nació el martes 8 de octubre de 1975, ¿qué día de la semana cumplirá 40 años? a) viernes b) domingo c) lunes d) sábado e) miércoles 11. Jacinta nació el domingo 7 de febrero de 1960. ¿Qué día de la semana será el cumpleaños de su prima Rosenda en el 2028 si nació 17 días después que Jacinta? a) jueves b) martes c) miércoles d) domingo e) lunes 12. Mis abuelos contrajeron matrimonio el lunes 16 de febrero de 1954. ¿Qué día de la semana celebraron sus bodas de oro si hasta hoy siguen felizmente casados? a) miércoles b) viernes c) domingo d) martes e) lunes

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13. Si el 20 de enero del 2005 fue lunes, ¿qué día de la semana será el 21 de julio del 2095? a) lunes b) martes c) miércoles d) sábado e) viernes 14. Fiorella nació el martes 11 de abril de 1880 y un descendiente suyo, Fabián, nació el 8 de abril del 2013. ¿Qué día de la semana Fabián cumplirá 50 años? a) martes b) miércoles c) jueves d) viernes e) sábado 15. El 20 de junio de 1991 nació mi primo Arturo y cinco años después, el jueves 19 de junio, nació su hermana Elvira. ¿Qué día de la semana Arturo cumplió 18 años? a) domingo d) jueves

b) viernes e) lunes

c) sábado

16. Si el año actual tiene más martes y miércoles que otros días de la semana, ¿qué día será el 15 de octubre del año actual? a) martes b) jueves c) miércoles d) sábado e) domingo 17. Si el 20 de febrero de 1990 nació Bertha y el 15 de abril del siguiente año nació Francisco, además se sabe que Francisco cumplió 18 años un día lunes, ¿en qué día de la semana Bertha celebró sus 15 años? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) viernes 18. Guillermo nació el lunes 7 de enero de 1979. En su cumpleaños más próximo que fue un día domingo, ya sabía leer, y cuando su cumpleaños más próximo coincidió con el día que nació, ya sabía tocar la guitarra. ¿En qué años ocurrieron tales situaciones? Dé como respuesta la suma de dichas cantidades. a) 3984 b) 3972 c) 3982 d) 3974 e) 3970

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Verdades y Mentiras CAPÍTULO III Resolver este tipo de problemas implica obtener conclusiones a partir de un conjunto de proposiciones cuyo valor de verdad de cada una se desconoce; sin embargo, debido a que están relacionados entre sí, con condiciones particulares dadas, se puede determinar cuál es verdadera y cual es falsa.

PROPOSICIÓN Enunciado que puede ser verdadero o falso, pero no ambos. Ejemplos  Lima es la capital del Perú.  José es ingeniero  Rosa es más alta que JohnsRM

TIPOS DE PROPOSICIONES a. Proposiciones contradictorias Dos proposiciones son contradictorias cuando se oponen, de tal manera que si la primera es falsa, la segunda será verdadera, y si la primera es verdadera, la segunda será falsa. Ejemplo María: Lilian es mayor de edad Lilian: Yo soy menor de edad. Se sabe que una persona es mayor o menor de edad; por lo tanto, deducimos que una de las afirmaciones es verdadera o falsa.

decir, puede darse el caso de que ambas proposiciones sean falsa. Ejemplo Edwin: Hoy es lunes Renzo: Hoy es viernes Observación La negación de una proposición verdadera es falsa y la negación de una proposición falsa es verdadera. Ejemplo  Lilian postula a Ing. Económica Entonces su negación:  Lilian no postula a Ing. Económica.  No es el caso que Lilian postula a Ing. Económica. ¡Cuidado! Analicemos las siguientes afirmaciones: Juan: María tiene 20 años Luis: María tiene 24 años De las dos afirmaciones, no podemos concluir que son contradictorias (si una es verdadera, la otra es falsa o viceversa); sin embargo, si concluimos que son contrarias (al menos una de ellas es falsa), es decir, o hay una verdadera y una falsa o las dos proposiciones son falsas

b. Proposiciones contrarias Dos proposiciones son contrarias cuando al menos hay una posición falsa entre ellas, es Academia GAUUS

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JOHN MAMANI M. CRITERIOS DE RESOLUCIÓN 1. POR CONTRADICCIÓN Se agrupa las proposiciones contradictorias en forma parcial o total, de este modo se asegura la existencia de proposiciones falsas. Luego, a partir de las condiciones y ciertas relaciones, se obtiene el valor de verdad de las proposiciones. Ejemplo 01 Tres amigos, Gustavo, César y Tito, tienen la siguiente conversación. Gustavo: Yo soy menor de edad. César: Gustavo miente. Tito: Cesar es mayor de edad. Si solo uno de ellos miente y solo uno es mayor de edad, ¿Quién miente y quien es mayor edad respectivamente?

Resolución Si analizamos lo mencionado por Gustavo y César, notaremos una contradicción. Entonces uno de estos enunciados es verdadero y el otro es falso. Gustavo: Yo soy menor de edad. (V y F) César: Gustavo miente. (V y F) Tito: Cesar es mayor de edad. (V) Como solo uno es mayor de edad, entonces Gustavo y Tito son menores de edad. Por lo tanto, miente César y él mismo es el mayor de edad.

Luego, cuando se cumplan todas las condiciones dadas habremos obtenido la solución. Ejemplo 02 Cuatro atletas participan en una carrera y al final cada uno hizo las siguientes afirmaciones: Pablo: Yo fui primero. Sergio: Yo fui último. Lalo: No llegué primero ni último Marcos: Yo no llegué último. Si se sabe que solo uno de ellos mintió, ¿Quién ganó la carrera?

Resolución No se observa contradicciones entre las proposiciones, entonces evaluaremos. Como solo hay una afirmación falsa, iniciaremos buscando dicha proposición. Pablo: Yo fui primero. (F) ← evaluemos Sergio: Yo fui último. (V) Lalo: No llegué primero ni último (V) Marcos: Yo no llegué último. (V) Al analizar los valores no se establece ningún absurdo, entonces se considera como válido el supuesto inicial. Por lo tanto, gano Marcos. ¡Tenga en cuenta que…! En problemas sobre verdades y mentiras, debemos garantizar las condiciones dadas, las cuales se priorizan sobre las afirmaciones de las personas que participan en el problema.

2. POR SUPOSICIÓN A falta de proposiciones que sean contradictorias se asigna convenientemente un valor de verdad a una proposición y se examina el valor de vedad de las demás.

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JOHN MAMANI M. VERDADES Y MENTIRAS PROBLEMA 01

PROBLEMA 03

Cuatro personas son acusadas de haber pintado la pared del colegio; al ser interrogadas hicieron las siguientes afirmaciones: Marco: Fue Lucio Lucio: Fue Lenin Iván: Yo no fui Lenin: Lucio miente Si uno de ellos miente, ¿quién pinto la pared? a) Marco b) Lenin c) Iván d) Lucio e) Lilian

Isaías, Aldo y Juan reciben el resultado de su examen de RM y comentan: Isaías: Yo aprobé Aldo: Yo no aprobé Juan: Isaías dice la verdad Si solo uno de ellos miente y hay dos aprobados, ¿Quién miente? a) Juan b) Isaías c) Percy d) Ronald e) Aldo

Resolución

Isaías y Juan confirman lo que dicen por lo tanto ambos mienten o dicen la verdad, como uno miente, entonces es Aldo. Por lo tanto, Aldo miente

Lucio y Lenin se contradicen Entonces Marco dice la verdad Por lo tanto fue Lucio.

Resolución

PROBLEMA 04

PROBLEMA 02 Tres compañeros de clases tienen 10, 11 y 12 años. Al consultarles su edad manifestaron: Aldo: Yo tengo 11 años Beto: Cesar tiene 10 años Cesar: Aldo tiene 10 años Si solo uno de los tres miente, ¿Quién es el mayor? a) Raúl b) Juan c) Aldo d) César e) Beto

Resolución Aldo y César se contradicen, entonces Beto dice la verdad César tiene 10 años y miente Aldo tiene 11 años y dice la verdad Beto tiene 12 años y dice la verdad Por lo tanto, el mayor es Beto

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Tres amigas sostienen la siguiente conversación, luego de observar el resultado del examen de admisión a la Universidad Nacional del Altiplano. Ana: Yo ingresé Brenda: Yo también Celia: Ana miente Si se sabe que solo una de las amigas miente y solo una ingreso, ¿Quién miente? a) Ana b) Celia c) Katia d) Brenda e) Roció

Resolución Ana y Celia se contradicen, entonces Brenda dice la verdad, como una de ellas ingresó y es Brenda, entonces Ana miente. Por lo tanto, Ana es la que miente

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JOHN MAMANI M. PROBLEMA 05

PROBLEMA 06

Cuatro hermanos son interrogados por su padre, pues uno de ellos uso su corbata favorita sin su permiso. Ellos contestaron lo siguiente: Víctor: Ángel fue. Ángel: Freddy fue. Freddy: Yo no fui. Armando: Yo no fui Si tres de ellos mienten, ¿Quién es el culpable? a) Ángel b) Víctor c) Freddy d) Armando e) JohnsRM

Dora, Nelly, Lucy y Liz tienen S/.20, S/5, S/.4 y S/.2, aunque no necesariamente en ese orden. Se sabe que cada una dijo: Dora: Yo tengo más que Nelly. Nelly: Yo tengo el doble que Lucy. Lucy: Yo tengo S/.2. Liz: Yo tengo S/.10. Si solo una de ellas miente, ¿Cuánto tienen Liz y Dora juntas? a) S/.22 b) S/.6 c) S/.24 d) S/.25 e) S/.9

Resolución Nos piden determinar quién es el culpable. Buscamos dos proposiciones contradictorias. Ángel: Freddy fue. (V/F) Freddy: Yo no fui. (V/F) Uno de ellos dice la verdad y el otro miente necesariamente. Se sabe que tres mienten, entonces Víctor: Ángel fue. (F) Armando: Yo no fui (F) Ambos están mintiendo. Por lo tanto, Armando es el culpable.

Resolución Tienen: 20; 5 ; 4; 2. Dora: D > N Nelly: N = 2(Lucy) Lucy: Lu = 2 Liz: Liz = 10 Si Lucy miente haría mentirosa a Nelly también, por lo tanto ambas dicen la verdad y tienen 2 y 4 soles respectivamente. Entonces Dora + Liz = 20 + 5 = S/.25

¡Comprueba lo que sabes! 01. Cuatro amigas de 12; 13; 14 y 15 años de edad tienen la siguiente conversación: María: “Yo tengo 12 años” Lucila: “Yo tengo 14 años” Carolina: “María tiene 13 años” Verónica: “Yo tengo 13 años” Si una de ellas miente y las otras dicen la verdad, ¿cuánto suman las edades en años, de María y Verónica? a) 31 b) 26 c) 27 d) 25 e) 30 02. Una persona zurda y otra diestra conversan. Una de ellas dice: “Yo soy zurdo” y la otra agrega: “Yo también soy zurdo”. De acuerdo al dialogo, siempre se cumple que:

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a) Ambos mienten b) Ambos dicen la verdad c) Solo el zurdo dice la verdad d) Solo el diestro dice la verdad e) Solo uno de ellos dice la verdad 03. Sandra miente los días martes y jueves. El día que le invito al cine a Patricia dijo: “Vamos hoy día que es Jueves”. ¿Cuál fue el día anterior a la invitación, si ese día efectivamente era Jueves? a) Lunes b) Martes c) Miércoles d) Jueves e) Domingo 04. Después de haber desaparecido un pastel, se interroga a cuatro sospechosos con la pregunta: ¿Quién desapareció el pastel? Los sospechosos dieron las siguientes respuestas: Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. Aníbal: “Uno de nosotros miente” Boris: “Los cuatro decimos la verdad” César: “Dos de nosotros mienten” Dante: “Tres de nosotros mienten” Si solo uno de ellos dice la verdad, ¿quién es? a) Aníbal b) Boris c) Cesar d) Dante e) Aníbal o Cesar 05. De tres amigos que fueron al circo, uno de ellos no pagó la entrada. Pedro dice: “Yo si pagué” Sergio dice: “Javier si pagó” Javier dice: “Pedro si pagó” Si se sabe que solo uno de ellos miente, ¿quién no pagó la entrada? a) Pedro b) Sergio c) Javier d) Faltan datos e) Ninguno pagó la cuenta 06. Abel es un joven con una característica extraña, pues miente los lunes, martes y miércoles, pero dice la verdad los otros días de la semana. ¿En qué día de la semana le es posible decir: Ayer mentí y mañana mentiré de nuevo? a) lunes b) miércoles c) lunes o miércoles d) martes o jueves e) lunes o viernes 07. Alicia, Beatriz y Carmen son tres amigas. Se sabe que dos de ellas tienen 16 años y siempre mienten, mientras la edad de la otra es 18 años y siempre dice la verdad. Si Beatriz dijo: Carmen no tiene 16 años, entonces es cierto que a) Carmen y Alicia mienten. b) Beatriz tiene 18 años. c) Alicia y Beatriz tienen 16 años. d) Alicia es mayor de edad. e) Carmen no tiene 16 años. 08. Al formar un número de 3 cifras con las primeras cifras significativas, cuatro amigos comentan: Pablo: El número es impar. Miguel: El número es múltiplo de 3. Enrique: El número es primo. Academia GAUUS

Gabriel: La cifra central es 1. Si uno de ellos dice la verdad, indique el número formado. a) 132 b) 102 c) 213 d) 123 e) 312 09. Cuatro sospechosos son interrogados, pues uno de ellos cometió un robo al banco. Cada uno afirmó lo siguiente: Abel: Fue Miguel. César: Yo no fui. Rafael: Fue Abel. Miguel: Abel miente al decir que fui yo. Si solo uno de ellos dice la verdad, ¿quién robó el banco? a) Abel b) Rafael c) Miguel d) César e) no se puede determinar 10. Tres amigos, Hugo, Gerald y José, tienen la siguiente conversación: Hugo: Yo soy menor de edad. Gerald: Hugo miente. José: Gerald es mayor de edad. Se sabe que solo uno de ellos miente y que solo uno es mayor de edad. ¿Quién miente y quién es mayor de edad, respectivamente? a) Hugo y José b) Hugo y Gerald c) José y Gerald d) José y Hugo e) Gerald y Gerald 11. Cuatro primas, cada una con lentes oscuros, tienen la siguiente conversación: Patty: Yo no tengo ojos azules. Betty: Yo no tengo ojos pardos. María: Yo tengo ojos pardos. Mónica: Yo no tengo ojos verdes. Si se sabe que una de ellas tiene ojos azules y las demás tienen ojos pardos, y que solo una de las afirmaciones es incorrecta, ¿quién tiene ojos azules? a) María b) Betty c) Patty d) Mónica e) ninguna 12. Dos hermanas tienen una rara característica, una de ellas miente los lunes, miércoles y viernes, y dice la verdad los otros días de la

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JOHN MAMANI M. semana; la otra hermana miente los martes, jueves y sábados, y dice la verdad los otros días. Cierto día se le oyó la siguiente conversación. Noelia: Mañana iré al cine. Noemí: Mañana es lunes. Noelia: Hace dos días fue domingo. ¿Qué día de la semana se realizó dicha conversación? a) lunes b) martes c) miércoles d) jueves e) domingo 13. Un viajero llega a una isla en la que todos sus habitantes dicen la verdad los lunes, miércoles, viernes y domingos; mientras que los demás días de la semana siempre mienten. El viajero mantiene el siguiente diálogo con un nativo de la isla: Viajero: ¿Qué día es hoy? Nativo: sábado Viajero: ¿Qué día será mañana? Nativo: miércoles ¿Qué día de la semana es realmente? a) martes b) viernes c) domingo d) sábado e) jueves 14. Cuatro amigos de 15; 17; 18 y 20 años tienen la siguiente conversación: Marco: Yo tengo 15 años. Lucio: Yo tengo 18 años. Carlos: Marco tiene 17 años. Víctor: Yo tengo 17 años. Si solo uno de ellos miente y los otros dicen la verdad, ¿cuánto suman las edades en años de Marco y Víctor? a) 38 b) 33 c) 34 d) 32 e) 37 15. El profesor de un colegio interroga a tres alumnos que rompieron el vidrio de su aula: ¿Quién pateó la pelota? y ellos respondieron: Eduardo: Yo no fui. Patricio: Raúl pateó la pelota. Raúl: Patricio miente. Si solo uno de ellos pateó la pelota y solo uno de ellos dice la verdad, entonces es necesariamente cierto que

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a) Raúl miente. b) Eduardo y Patricio son inocentes. c) Raúl dice la verdad y es inocente. d) Eduardo es el culpable. e) Eduardo y Raúl mienten. 16. Nilda, Lucía, Míriam, Sonia y Ángela son amigas y se sabe que solo una de ellas es casada. Al preguntárseles quién es la casada, ellas respondieron: Nilda: Lucía es la casada. Lucía: Míriam es la casada. Míriam: Ángela es la casada. Sonia: Yo no soy casada. Ángela: Míriam mintió cuando dijo que yo soy casada. Si solamente es cierta una de las afirmaciones, ¿quién es la casada? a) Lucía b) Míriam c) Nilda d) Sonia e) Ángela 17. Durante el receso, cuatro alumnos, Abel, Andrés, Arturo y Abelardo, empiezan a jugar y resulta herida Alejandra, después de que uno de ellos la empujó. La maestra se entera de la situación y llama a los alumnos para averiguar quién empujó a su compañera y ellos respondieron: Abel: Yo no fui. Andrés: Abel miente. Arturo: Andrés no miente. Abelardo: Todos ellos son mentirosos. Si la maestra sabe que solo dos de ellos mienten, ¿quién golpeó a Alejandra? a) Abel b) Andrés c) Arturo d) Abelardo e) Abel o Andrés 18. Lucía repartió monedas de S/.5; S/.2; S/.1 y S/.0,5 entre sus 4 hijos. Se sabe que cada hijo recibió solo una de estas cuatro monedas y que, además, cada uno de ellos dijo: Álex: Yo recibí S/.5. Alberto: Yo recibí S/.1. César: Álex recibió S/.0,5. Miguel: Yo recibí S/.0,5. Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. Si solo uno de ellos miente y los demás dicen la verdad, ¿cuánto suman las cantidades de Álex y Miguel? a) S/.5,5 b) S/.6 c) S/.7 D) S/.3 e) S/.1,5 19. Verónica, Ariana y Micaela son tres amigas cuyas edades son 23; 29 y 28 años, no necesariamente en el mismo orden. Aquellas que tienen edades cuya numeración es impar mienten siempre, mientras que la otra amiga siempre dice la verdad. Si Ariana dice que Verónica es la menor de todas, Verónica dice que Micaela miente y Micaela dice que Ariana tiene 28 años, ¿cuántos años tiene Ariana? a) 23 b) 28 c) 29 d) 30 e) no se puede determinar 20. Cuatro atletas participan en una carrera y al final cada uno hizo las siguientes afirmaciones: Pamela: Yo fui primera. Sofía: Yo fui última. Liz: No llegué primera ni última. Marisella: Yo no llegué última. Si se sabe que solo una de ellas mintió, ¿quién ganó la carrera? a) Liz b) Sofía c) Pamela d) Marisella e) no se puede determinar 21. Dos gemelos, Arthur y Andrew, tienen una extraña característica, uno de ellos mienten los lunes, miércoles y viernes, pero dice la verdad los otros días; y el otro miente los martes, jueves y sábados, más no los otros días. Cierto día se les oyó la siguiente conversación: Arthur: Hoy es domingo. Andrew: Ayer fue domingo. Arthur: Es verano. ¿Qué podemos afirmar respecto al día de hoy? a) Es un domingo de verano. b) Es un lunes de verano. c) No se puede saber. d) Es lunes, pero no es verano. e) Es domingo, pero no es verano. Academia GAUUS

22. Jacinto dispone solo de cinco monedas: una de S/.0,20, dos de S/.0,50, una de S/.1 y otra de S/.2, que repartió entre sus cinco hijos. Cada hijo comentó lo siguiente: Carlos: Recibí menos de S/.1. Andrés: Recibí S/.1. Juan: Recibí el doble que Carlos. Braulio: No recibí los S/.0,20. Ernesto: Recibí S/.1 más que Juan. ¿Cuánto recibió el único que mintió? a) S/.1 b) S/.0,50 c) S/.0,40 d) S/.0,20 e) S/.2 23. Tres parejas de esposos asisten a una reunión. Los nombres de las seis personas son Álex, Mario, César, Ana, Beatriz y Carmen. A cuatro de ellos se les pregunta sobre sus respectivos cónyugues y se obtienen las siguientes respuestas: Mario: Ana es mi esposa. Álex: No estoy casado con Beatriz. César: Soy esposo de Carmen. Beatriz: Mi esposo está mintiendo. Si solo uno de los interrogados dijo la verdad, indique una pareja de esposos. a) Álex – Carmen b) Mario – Ana c) César – Carmen d) César – Beatriz e) Mario – Carmen 24. Al formar un número de 3 cifras con las primeras cifras significativas, cuatro amigos comentan: Pablo: El número es impar. Miguel: El número es múltiplo de 3. Enrique: El número es primo. Gabriel: La cifra central es 1. Si solo uno de ellos dice la verdad, indique el número formado. a) 132 b) 102 c) 213 d) 123 e) 312 25. En un pueblo lejano existen habitantes de dos tipos, los del tipo A, quienes siempre mienten, y los del tipo B, quienes siempre dicen la verdad. Cierto día se escuchó la siguiente conversación entre algunos habitantes del pueblo.

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JOHN MAMANI M. Andrés: Benito miente. Benito: César dice la verdad. César: Diego miente. Diego: Andrés y Benito son del mismo tipo. ¿Cuántas afirmaciones son verdaderas? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) ninguno 26. Cinco sospechosos son interrogados, pues uno de ellos robó una joya. Cada uno dio su declaración. Pablo: Enrique robó una joya. Enrique: Carlos es inocente. Rubén: Darío robó la joya. Darío: Enrique es inocente. Carlos: Pablo robó la joya. Si solo dos de ellos mienten y uno de estos es el ladrón, ¿quién robó la joya? a) Pablo b) Enrique c) Rubén d) Darío e) Carlos 27. En una reunión están presentes 50 políticos. Cada político o bien siempre dice la verdad o bien siempre miente. En pleno debate, uno de ellos se pone de pie y dice: Todos ustedes son mentirosos y se retira. Acto seguido, otro de ellos se pone de pie, afirma lo mismo sobre los restantes y se retira, y así sucesivamente hasta que queda solo un político. ¿Cuántos políticos veraces había en la reunión? a) 0 b) 1 c) 2 d) 50 e) 49

a) 3 d) 6

b) 4 e) 2

c) 5

29. La oruga piensa que tanto ella como el lagarto están locos. Si lo que cree el cuerdo es siempre cierto y lo que cree el loco es siempre falso, se deduce que a) el lagarto está loco. b) la oruga está loca. c) los dos están locos. d) ninguno está loco. e) la oruga dijo la verdad. 30. El señor Carpintero, el señor Mayordomo, el señor Ingeniero y el señor Lechero están empleados como carpintero, mayordomo, ingeniero y lechero, aunque sus apellidos no corresponden con sus profesiones. Ellos afirmanlo siguiente: Sr. Carpintero: Yo soy el lechero. Sr. Ingeniero: Yo soy el carpintero. Sr. Mayordomo: Yo no soy el lechero. Sr. Lechero: Yo no soy el mayordomo. Si tres de las cuatro afirmaciones son falsas, ¿quién es el ingeniero? a) Sr. Carpintero b) Sr. Mayordomo c) Sr. Ingeniero d) Sr. Lechero e) no se puede precisar

28. Siete sospechosos son interrogados, pues algunos de ellos cometieron un robo. Cada uno declaró lo siguiente: Antonio: Manuel es culpable. Manuel: Luis es culpable. Luis: Pedro es culpable. Pedro: Esteban es inocente. Carlos: Mario es culpable. Mario: Antonio y Pedro son culpables. Esteban: Carlos es culpable. Si solo los inocentes dicen la verdad, ¿cuántos de los sospechosos son culpables?

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Orden de Información CAPÍTULO IV ORDENAMIENTO LINEAL Se ubican los elementos (personas, animales, objetos, etc.) en un esquema lineal (horizontal o vertical). A. De izquierda y derecha se considera lo siguiente. izquierda

 Si A no es mayor que B, equivale a decir que A es menor o igual que B.  Si Raúl se ubica a la derecha de Luis, no implica que necesariamente estén juntos.  Si Carlos llego tres lugares detrás de Abel, se puede interpretar como: 1

4° 

3°

2°

después

C. Ascendente y descendente

EDIFICIO

5.° piso

Carlos

Ejemplo 01 San Mateo está ubicado al este de Chosica. Huancayo se ubica al oeste de Pucallpa. Chosica a su vez está ubicado al oeste de Huancayo. ¿Cuál de los pueblos está más al oeste?

B. Orden de llegada. 1°

Resolución

arriba

4.° piso

Oeste

Chosica

3.° piso

San Mateo

Huancayo

Este

Pucallpa

Por lo tanto, el pueblo que está más al oeste es Chosica.

2.° piso abajo

1.° piso

3

Abel

derecha

antes

2

ORDENAMIENTO CIRCULAR Observación Considere el siguiente grafico ordenamiento de 5 personas. A

B

C

D

referido

al

E

 La persona ubicada en el lugar B está a la izquierda de las personas situadas en C, D y E.  La persona ubicada en D esta junto y a la derecha de C. ¡Recuerde que…! Respecto al ordenamiento lineal, considere las siguientes interpretaciones que podrían darse para cierta información. Academia GAUUS

A través de la información brindada, se ubicarán los elementos (personas, animales, objetos, etc.) en un esquema cerrado (Circular, cuadrado, etc.) Si deseamos ordenar a 6 personas ubicadas de manera simétrica alrededor de una mesa circular, se debe considerar lo siguiente. sentado frente a A

D

izquierda de A

E

C

F

B A

derecha de A

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JOHN MAMANI M. Además  B está sentado junto a la derecha de A.  D está entre B y E. ¡Sabía que…! En algunos problemas de ordenamiento, aparecen en el enunciado los puntos cardinales. Norte NE NO

Oeste

ORDENAMIENTO POR CATEGORÍAS La información se ordena a través de una tabla de Categorías. Las categorías (características) pueden ser nombres, apellidos, profesiones, deportes, lugares, etc. A. Para dos categorías, se emplea una tabla de doble entrada. Categoría B

SO

Categoría A

Este SE Sur

¡Recuerde que…!

Sentido Horario

B

A

Sentido Antihorario

Categoría A Categoría B Categoría C  Categoría n

C

D

Ejemplo 02 Durante una reunión cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa redonda en la que hay cuatro sillas distribuidas simétricamente. Carlos se sienta junto y a la izquierda de Luis, Juan se sienta junto a Luis, Roberto está muy entretenido observando cómo los otros tres juegan ludo. ¿Quién se sienta a la derecha de Roberto?

Resolución Carlos

Segundo

Luis



Ejemplo 03 Carlos, Dante y Luis son: chileno, peruano y ecuatoriano, pero no en ese orden necesariamente. Carlos no es chileno y Dante es ecuatoriano. Entonces Luis es:

 A está al frente de C  A está a la izquierda de D  A está a ala derecha de B

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B. Para más de dos categorías.

Resolución chileno peruano ecuatoriano Carlos Dante Luis Por lo tanto, Luis es chileno.

Primero Roberto

Juan

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. ORDENAMIENTO LINEAL PROBLEMA 01 Pilar es más baja que Mirza. Dora es más alta que Ada y más baja que Luz. Ada es más alta que Mirza y Pilar es más alta que Rosa. ¿Quién es la más alta de todas? a) Luz b) Pilar c) Ada d) Dora e) Mirza

Resolución L

más alta

D A M P R Por lo tanto, Luz es la más alta

PROBLEMA 02 En un examen Ana obtuvo menos puntos que Bertha; David menos puntos que Ana y Carlos más puntos que Elena. Si Elena obtuvo más puntos que Bertha, ¿Quién obtuvo el puntaje más alto? a) Ana b) Bertha c) Carlos d) David e) Elena

Resolución Se trata de formar en un solo sentido las desigualdades (ya sea “”).  Ana < Bertha  David < Ana  Carlos > Elena ⇒ Elena < Carlos  Elena > Bertha ⇒ Bertha < Elena Academia GAUUS

Gráficamente se tendrá: --

+

David Ana Bertha Elena Carlos Por lo tanto, el más alto puntaje lo obtuvo Carlos.

PROBLEMA 03 Cinco personas A, B, C, D y E trabajan en un edificio de 6 pisos, cada una e un piso diferente. Si se sabe que:  A trabaja en un piso adyacente al de B y C.  D trabaja en el quinto piso.  Adyacente y debajo de B, hay un piso vacío. ¿Quiénes trabajan en el 4º y 6º piso respectivamente? a) B y C b) C y A c) E y C d) C y E e) C y B

Resolución Se tratará de empezar por los datos más claros (aquellos que no presentan varias posibilidades).  Tenemos clara la posición de “D”.  Del último dato se deduce que “B” no puede estar ni en el 1º ni en el 6º piso (es evidente que tampoco en el 5º), luego las posibilidades restantes serán. 1er Intento D B

2do Intento

3er Intento

D

E D C

B

↓ ↓ No se puede No se puede colocar "A" colocar "A" y "C"

A B ↓ Ahora si coincide

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JOHN MAMANI M. Por lo tanto, las personas que están en el 4º y 6º piso son: C y E.

Resolución

PROBLEMA 04 El volcán Temboro está ubicado al este de Krakatoa. El volcán Singapur al oeste al oeste del Krakatoa. El Sumatra a su vez está ubicado al oeste de Singapur. ¿Cuál es el volcán ubicado más al este? a) Sumatra b) Singapur c) Krakatoa d) Temboro e) a o b

Krakatoa

Temboro

Singapur

Krakatoa

Sumatra

Singapur

Juntando los Datos: Oeste

Este

Sumatra Singapur Krakatoa Temboro

El Temboro estará más al este que los demás

¡Comprueba lo que sabes! 01. Betty es mayor que Mary. Nancy es menor que Mary. Si Betty es menor que Teresa. ¿Quién es la mayor? a) Betty b) Mary c) Teresa d) Betty y Mary e) No se puede determinar 02. Miguel es más bajo que Alberto, Gabriel es más bajo que Julio y Miguel es más alto que Julio. ¿Quién es el más bajo? a) Miguel b) Alberto c) Gabriel d) Julio e) Jorge 03. Juan es mayor que Luis, Rodolfo mayor que Ángel pero menor que Luis y Juan es menor que Eduardo. ¿Quién es el menor de todos? a) Ángel b) Juan c) Luis d) Rodolfo e) Eduardo 04. Pedro es 7 años menor que Víctor, Raúl es 8 años mayor que Alberto y Pedro es 3 años menor que Raúl, ¿cuántos años le lleva Víctor a Alberto? a) 12 años b) 10 años c) 11 años d) 9 años. e) 13 años 05. Cuatro hermanos viven en un edificio familiar de cuatro pisos y en pisos diferentes, se sabe que: Arturo vive en el primer piso, Mario vive más abajo que Jorge, y que Willy vive en el

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piso inmediato superior al de Mario. Indique en qué piso vive Willy. a) Primero b) Segundo c) Tercero d) Cuarto e) Vive con Mario 06. En una competencia de velocidad de una sección, llegan a la meta: Enrique delante de Aníbal, pero detrás de José, Yuri detrás de Sebastián y delante de José, si Luis llego entre Enrique y Aníbal. ¿Quién ganó la carrera? a) Anibal b) Jose c) Sebastian d) Yuri e) Luis 07. En una competencia atlética entre cinco amigas: María va en primer lugar y Lucía en el quinto puesto. Si Leticia va en el puesto intermedio entre ambas, Juanita le sigue a Leticia e Irene está mejor ubicada que Juanita, ¿cuál de ellas ocupa el segundo lugar? a) Irene b) Leticia c) Juanita d) Lucía e) María 08. Cuatro amigos hacen cola para ingresar al cine. A está detrás de B y C; en el momento de ingresar B empuja a C y D se molesta con él. El orden en que están colocados en la cola, de atrás hacia delante es: Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. a) BACD d) BCDA

b) ACBD e) ADCB

c) ABDC

09. En una competencia de carreras, Rosa está ubicada delante de Gina y detrás de Julia. Si Julia está detrás de María. .Quien ocupa el primer lugar y quien es el último? a) Maria y Julia b) Julia y Rosa c) Rosa y Gina d) Maria y Rosa e) Maria y Gina 10. Se sabe que Juan es menor que José, Julio es mayor que Jesús y José no es menor que Jesús. ¿Quién es el menor de todos? a) Juan b) Julio c) Jose d) Jesus e) Mario 11. Si “A” es mayor que “B”, pero menor que “C”. “C” es mayor que “B”; pero menor que “E”. “D” es mayor que “A” .Quien es el menor de todos? a) A b) B c) C d) D e) E 12. Sobre una mesa hay 3 naipes en hilera. Si sabemos que: • A la izquierda del Rey hay un As. • A la derecha de una Jota hay un diamante. • A la izquierda del diamante hay un trébol. • A la derecha del corazón hay una Jota. ¿Cuál es el naipe del centro? a) Coco b) Diamante c) Corazón d) Trébol e) Espada 13. Glicerio tiene 3 años menos que Alberto, Hirineo 6 años menos que Glicerio y Carlos 9 años más que Eliseo; si Eliseo tiene más años que Alberto. ¿Quién tiene más años? a) Hirineo b) Eliseo c) Carlos d) Glicerio e) Pedro 14. Juan es mayor que Pedro; Pedro no es igual ni mayor que Luis; pero Luis es menor que Juan. Entonces la relación correcta de mayor a menor es: Academia GAUUS

a) Juan, Luis y Pedro b) Juan, Pedro y Luis c) Pedro, Luis y Juan d) Pedro, Juan y Luis e) Falta más informacion 15. En un campeonato de futbol el equipo B va a la cabeza, el A ocupa el 5° puesto y el C el lugar intermedio entre ambos. Si el equipo D esta delante de A y el equipo E aparece clasificado entre A y C. ¿Qué equipo figura en el 2° puesto del campeonato? a) E b) D c) B d) C e) A 16. Si se sabe que Lucia es mayor que Leticia y que María es mayor que Irene, pero esta última no es menor que Lucia. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera? a) Leticia no es mayor que Irene b) María no es menor que Lucia c) Irene no es menor que Leticia d) Leticia no es menor que María e) Leticia es menor que María 17. Si se sabe que Juanito es mayor que Marcos y que Paolo, pero este último es mayor que José y que Mario. ¿Cuál de las siguientes relaciones no es verdadera? a) Mario es menor que Paolo b) José es menor que Juan c) Juan es mayor que Mario d) Marcos es menor que Juan e) Paolo es menor que Marcos 18. Seis amigos viven en un edificio, cada uno en un piso distinto, Gabriela vive más abajo que Jorge, pero más arriba que Marcos; Nicolás vive tres pisos más abajo que Gabriela, Abel vive dos pisos más arriba que Gabriela y a cuatro pisos de Sandra. ¿Quien vive en el tercer piso? a) Sandra b) Gabriela c) Marcos d) Jorge e) Abel

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JOHN MAMANI M. 19. Suponga que en las eliminatorias para el campeonato mundial, el Perú ocupa el primer puesto y Chile el quinto lugar, además, el lugar intermedio de ambos lo ocupa Ecuador. Si Brasil aparece clasificado antes de Chile y Colombia inmediatamente después de Ecuador, ¿quién ocupa el segundo lugar? a) Perú b) Chile c) Colombia d) Brasil e) Ecuador 20. Un edificio de 6 pisos está ocupado por 6 familias. Cada familia ocupa un piso. La familia Arellano viven 2 pisos más arriba que la familia Calderón y 2 pisos más abajo que la familia Bustamante. La familia Durán viven en el segundo piso y la familia González no viven adyacente con la familia Arellano. ¿En qué piso viven la familia Martínez? a) 1° b) 3° c) 4° d) 5° e) 6° 21. Juan, José, Pedro y María se encuentran sentados uno al lado de otro. Ni Juan ni José están junto a María. José está entre Pedro y Juan. Dadas las siguientes proposiciones, ¿cuáles son correctas? I. Juan está más lejos de María. II. Juan está al lado de José. III. Pedro no está al lado de María. a) solo I b) solo II c) solo III d) I y II e) II y III 22. Cinco amigos van al cine y ocupan una fila de cinco asientos. De acuerdo con lo anterior, se observa que: • Érika está en el extremo izquierdo. • Paolo está al lado de Andrea y Sebastián. • Matías está a la derecha de Sebastián, quien está sentado junto a Érika. ¿Quién ocupa la cuarta posición desde la derecha? a) Matías b) Sebastián c) Paolo d) Andrea e) no se puede determinar

de un teatro. Toño está junto y a la izquierda de Beto; Carlos a la derecha de Toño, junto y entre Flavio y Dante; Dante está junto y a la izquierda de Erick. ¿Quién ocupa el tercer asiento si los contamos de izquierda a derecha? a) Carlos b) Erick c) Dante d) Flavio e) Toño 24. Se tiene un castillo de 4 pisos, en cada uno de los cuales vive una familia. La familia Durán vive en un piso más arriba que la familia Fernández; la familia Rojas habita más arriba que la familia Mondragón y los Durán viven más abajo que los Mondragón. ¿En qué piso viven los Durán? a) primero b) segundo c) tercero d) cuarto e) segundo o tercero 25. En un edificio de 5 pisos viven las familias, Álvarez, Berna, Cáceres, Pérez y Durán, cada una en pisos diferentes. Además, se sabe lo siguiente: • Los Durán viven en el piso inmediato superior de los Berna. • Los Álvarez viven lo más alejado posible de los Pérez. • El patriarca de los Cáceres no puede subir las escalera, por lo que habitan en el primer piso. • A los Pérez les hubiera gustado vivir en el último piso. De acuerdo a la información dada, indique cuáles de las siguientes proposiciones son ciertas. I. Los Álvarez viven en el piso dos. II. Los Pérez viven en el piso tres. III. Los Duran viven en el piso cuatro. a) solo I b) solo III c) I y III d) todas e) ninguna

23. Carlos, Dante, Toño, Erick, Beto y Flavio se ubican en 6 asientos contiguos en una hilera

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JOHN MAMANI M. ORDENAMIENTO CIRCULAR PROBLEMA 01 4 amigos se sientan alrededor de una mesa redonda con 4 sillas distribuidas simétricamente, se sabe que:  PI no se sienta junto a PU  PA se sienta junto y a la derecha de PU ¿Dónde se sienta PO? a) frente a PA b) frente a PI c) a la izquierda de PU d) a la derecha de PI e) más de una es correcta

Resolución Considerando primero el segundo dato por ser más conciso: PA

Como PI no se sienta junto a PU, entonces necesariamente estará al frente de PU y para PO le queda al frente de PA; quedando el gráfico así: PA

PI

PU

PO

Luego analizando las alternativas son 3 las que cumplen las condiciones del problema (a, c y d). Por lo tanto, más de una es correcta

PU

¡Comprueba lo que sabes! 01. En una mesa circular se encuentran sentados simétricamente tres niños: Gabriel, Cesar y Freddy. Si Freddy está a la izquierda de Cesar; ¿cuál es el orden en que se sientan dichos niños empezando por Gabriel y siguiendo el sentido anti horario? a) Gabriel, Freddy, Cesar b) Freddy, Cesar, Gabriel c) Gabriel, Cesar, Freddy d) Cesar, Gabriel, Freddy e) Cesar, Freddy, Gabriel 02. En una mesa circular con cuatro sillas distribuidas simétricamente están sentadas cuatro personas de la siguiente manera: Andrea se sienta frente a Natalia y a la izquierda de Lady, además Elissa está conversando entretenidamente con Natalia. ¿Quién se sienta frente a Lady? Academia GAUUS

a) Andrea d) Janisse

b) Elissa e) Lady

c) Natalia

03. En una mesa redonda con cuatro sillas distribuidas simétricamente se encuentran sentados cuatro siniestros monstruos del siguiente modo: La Momia está a la izquierda del Hombre Lobo y a la derecha del Conde Drácula, además Frankenstein está durmiendo. ¿Quién se sienta junto y a la izquierda del Conde Drácula? a) Frankenstein b) Momia c). Hombre Lobo d) Zombie e) Conde Dracula 04. En una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente se sientan seis personas del modo siguiente: Jorge se sienta junto y a la derecha de Raúl y frente a José;

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JOHN MAMANI M. además José se sienta a la izquierda de Eduardo y junto a Alex. Si Luis es el más callado de los que están sentados en dicha mesa, responder: ¿Frente a quien se sienta Luis? a) Raul b) Jorge c) Eduardo d) Jose e) Alex

08. Aldo y sus 5 amigos se sentaron alrededor de una mesa circular. Él se sentó entre Boris y Cesar, Dante se sentó junto a Eloy. Fidel se sentó frente a Boris y a la izquierda, junto a Dante. ¿Quién se sentó frente a Cesar? a) Aldo b) Boris c) Cesar d) Dante e) Eloy

05. Tres parejas se sientan alrededor de una mesa circular con 6 asientos distribuidos, simétricamente se sabe que: • A la derecha de la novia de Antonio se sienta Gabriel. • Maritza, que está sentada a la derecha de Dora, está al frente de su propio novio. • Antonio está a la izquierda de Mario • Esperanza está al frente de la novia de Gabriel. ¿Quién es el novio de Dora? a) Mario b) Dora c) Gabriel d) Antonio e) Raúl

09. Alicia invitó a cenar a sus amigos: Brenda, Carmen, Doris, Elvis y Fidel. Doris no asistió a la cena. Las amigas se sentaron alrededor de una mesa circular con 6 asientos simétricamente distribuidos. Alicia se sentó junto a Carmen y a Brenda, frente a Carmen se sentó Elvis. Ninguna dama se sentó junto al asiento vacío. ¿Quién se sentó frente al asiento vacío? a) Alicia b) Brenda c) Carmen d) Elvis e) Fidel

06. Ana, Bertha, Carla, Diana, Elena y Felia se sientan, simétricamente, alrededor de una mesa circular. Se sabe lo siguiente: • Ana se sienta junto y a la derecha de Bertha y frente a Carla. • Diana no se sienta junto a Bertha. • Elena no se sienta junto a Carla. ¿Quién se sienta junto y a la izquierda de Felia? a) Carla b) Bertha c) Elena d) Diana e) Ana 07. Ana, Benito, Cesar, Ever y Fanny se encuentran sentados alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente se sabe que: • Ana está sentada adyacente a Cesar y Fanny. • Benito está sentado adyacente a Ever y Diana. • Diana está sentado frente a Fanny. ¿Cuantos ordenamientos en la mesa son posibles? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

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10. En una mesa circular, con 6 sillas distribuidas simétricamente, están sentadas 6 personas. Si se sabe que: Lea no está al lado de Dora ni de Judith, Dora no está al lado de Carlos ni de Mario, y además Iris esta junto y a la derecha de Dora. ¿Quién se encuentra sentado(a) junto a la izquierda de Mario? a) Iris b) Carlos c) Lea d) Judith e) Dora 11. En un comedor ocho comensales se sientan en una misma mesa circular. Las 8 personas son estudiantes de diversas especialidades: el de ingeniería esta frente al de educación y entre los de economía y farmacia; el de periodismo está a la izquierda del de educación y frente al de economía. Frente al de farmacia está el de derecho, y este a su vez a la simetría del de arquitectura. ¿Cuál es su profesión del que esta entre el de biología y educación? a) periodismo b) farmacia c) derecho d) ingeniería e) economía

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JOHN MAMANI M. 12. Durante una cena, cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa redonda en la que hay cuatro sillas distribuidas simétricamente. Carlos se sienta junto y a la derecha de Luis; Juan se sienta junto a Luis; Marcos está muy entretenido, observando como los otros tres discuten. Respecto a lo anterior señale lo incorrecto. a) Marcos y Carlos se sientan juntos. b) Luis y Marcos no están juntos. c) Luis se sienta frente a Marcos. d) Juan se sienta junto y a la derecha de Marcos. e) Juan se sienta junto y a la derecha de Carlos. 13. Seis amigas se sientan alrededor de una mesa circular en asientos simétricamente distribuidos. Mary, que está sentada a la derecha de Pilar, se encuentra frente a Nadia; Pilar está frente a la que está junto y a la derecha de Susi, quien está frente a Rosa. ¿Quién está junto y a la derecha de Cielo? a) Rosa b) Nadia c) Pilar d) Mary e) Susi 14. Abel, Beto, Carlos, Darío, Enrique y Félix se sientan alrededor de una mesa circular con 6 asientos distribuidos simétricamente. Además sabemos lo siguiente: • Abel se sienta junto y a la derecha de Beto, y frente a Carlos. • Darío no se sienta junto a Beto. • Enrique no se sienta junto a Carlos. ¿Quién se sienta junto y a la izquierda de Félix? a) Abel b) Beto c) Carlos d) Enrique e) Darío 15. Cinco amigos se sientan alrededor de una mesa circular de seis asientos. Jorge se sentó frente a Carlos y junto a Renzo; Manuel se sentó frente a Renzo y a la izquierda de Carlos; Manuel no se sienta junto a Juan. Respecto a lo anterior, ¿qué se puede afirmar? Academia GAUUS

a) Juan está frente a Jorge. b) Renzo está a la izquierda de Juan. c) Carlos está a la derecha de Juan. d) Jorge está entre Manuel y Carlos. e) Juan está frente a un lugar vacío. 16. Ángel, Boris, César y Diego se sientan alrededor de una mesa circular con 6 asientos distribuidos simétricamente. De acuerdo con lo anterior, se sabe lo siguiente: • César está sentado frente a un asiento vacío. • Entre Ángel y César hay un asiento vacío. • Diego está junto y a la derecha de Boris, quien no está junto a César. ¿Quién está sentado al frente del asiento que está junto y a la izquierda de Boris? a) Diego b) César c) Ángel d) no se puede determinar e) el asiento está vacío 17. En un comedor, 8 comensales se sientan alrededor de una mesa circular. Las 8 personas son estudiantes de diversas especialidades. Se sabe lo siguiente: • El de Ingeniería está frente al de Educación y junto a los de Economía y Farmacia. • El de Periodismo está a la izquierda del de Educación y frente al de Arquitectura. • Frente al de Farmacia está el de Derecho; este, a su vez, está a la siniestra del de Biología. Por lo tanto, el de Derecho está junto y entre los de a) Arquitectura y Economía. b) Biología y Derecho. c) Periodismo y Educación. d) Biología y Farmacia. e) Economía y Biología.

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JOHN MAMANI M. ORDENAMIENTO POR CATEGORÍAS PROBLEMA 01 A, B y C se encuentran en la antigua parada y comentan sobre sus vicios.  A dice: A mi no me gusta fumar ni beber.  C dice: Me hubiera gustado aprender a fumar. Considerando que solo hay 3 vicios: fumar, beber y jugar; y que cada uno de ellos tiene un solo vicio. ¿Cuál es el vicio de B? a) fumar b) beber c) jugar d) faltan datos e) mirar TV

Resolución Construyamos un cuadro de doble entrada, para así mostrar todas las posibilidades. Características

FUMA BEBE JUEGA Nombres

A B C

Como a “A” no le gusta fumar ni beber, entonces el juega, y el cuadro resultará así:

FUMA BEBE JUEGA A B C Como el juego le corresponde a “A” entonces el juego no será para “B”. Considerando el segundo dato, se tendrá que “C” no fuma.

FUMA BEBE JUEGA A B C Se deduce que debe ser "SI"

Se deduce que debe ser "SI"

Por lo tanto, B fuma.

¡Comprueba lo que sabes! 01. Arón, Ben y Ken se van a la escuela. Uno va a pie, otro en el auto de su papá y el otro en el ómnibus. Ken no viaja en ningún vehículo y el papá de Ben no tiene auto. ¿Cómo va Aron a la escuela? a) A pie b) En avión c) En auto d) En ómnibus e) En patines

03. Ana, Betty, Cira y Dora tienen12; 16; 8 y 24 años. Bety tiene el doble de los años que Cira, la suma de las edades de Ana y Dora da la edad de Bety,Cira no es la mayor de todas. ¿Quién tiene 12 años y qué edad tiene Ana? a) Ana –16 b) Dora – 8 c) Cira – 16 d) Betty – 24 e) Cira – 24

02. Boris, César y Elvis toman diferentes jugos: naranja, piña y fresa. Boris y Elvis no toman jugo de fresa, César le pidió a Elvis un poco de su jugo de naranja para probarlo. ¿Quién toma jugo de piña y qué jugo toma Elvis? a) Boris – fresa b) César – naranja c) Boris – naranja d) Elvis – naranja e) César – piña

04. Mirza, Julia y Elsa se apellidan Díaz, Bravo y Espino. Elsa es vecina de Bravo, Espino es amiga de Mirza, Julia no apellida Díaz y ninguna lleva la misma letra inicial en su nombre y apellido. ¿Cómo apellida Elsa y cuál es el nombre de la que apellida Bravo?

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JOHN MAMANI M. a) Espino – Mirza c) Díaz – Mirza e) Díaz – Julia

b) Díaz – Elsa d) Bravo – Elsa

05. Aldo, César y Dante juegan en un equipo de fulbito: arquero, defensa y delantero. Aldo va a la escuela con el arquero, César es hermano del delantero, Dante es hijo único y César no es defensa. ¿Quién es el defensa y de qué juega Ángel? a) Dante – defensa b) Dante – delantero c) Aldo – delanterod d) César – delantero e) Dante – arquero 06. Ada, Flor y Luz tocan flauta, guitarra y tambor. Ada está en primer año de secundaria, Flor está en segundo año de secundaria, la que toca flauta y Luz están en 2do secundaria, la que toca tambor y luz se conocen de mucho tiempo. ¿Qué instrumento toca Flor y quién toca el tambor? a) Flauta – Ada b) Flauta – Flor c) Tambor – Ada d) Flauta – Luz e) Guitarra – luz 07. Tres amigas: Blanca, Carla y Dina, viven en Tacna, Puno y Cusco y practican distintos deportes. Blanca no vive en Tacna, Carla no vive en Puno, la que vive en Puno practica vóley; la que vive en Tacna no practica básquet, Carla no practica natación. ¿Dónde vive Dina y que deporte practica? a) Tacna – vóley b) Cusco – natación c) Puno – básquet d) Tacna – natación e) Cusco – básquet 08. Alberto, Brian y Carlos tienen distintas profesiones. Carlos y el abogado no se conocen, Alberto es hermano del abogado y amigo del profesor. Si uno de ellos es médico, entonces es correcto que: a) Alberto es profesor b) Alberto es abogado c) Brian es abogado d) Brian es profesor e) Carlos es médico 09. Betty, Lenny, Miriam, Pamela y Juana tienen ocupaciones diferentes. Betty, Juana y la Academia GAUUS

profesora están enojadas con Pamela; Lenny es amiga de la contadora y de la economista, la doctora es familiar de Pamela. La Peluquera es muy amiga de Miriam, Juana y la contadora, a Betty siempre le gustó la medicina. ¿Quién es la peluquera? a) Betty b) Lenny c) Pamela d) Juana e) Miriam 10. Se va a montar una escena teatral con cinco personajes: juez, abogado, fiscal, testigo y acusado, para ello se reúnen: Mario, Jorge, Willy, Sonia y Claudia, estos personajes deberán tener por características ser: furioso, tranquilo, enojado, alegre y triste. El juez estará tranquilo en escena, Sonia será la fiscal, el papel de testigo alegre se lo dieron a Willy, Jorge no será el acusado porque tendría que estar triste. A Claudia le dieron el papel de abogado y no estará furiosa. Según esto: a) Sonia estará enojada. b) Mario hará de juez. c) Sonia estará tranquila. d) Jorge hará de juez. e) Claudia estará tranquila. 11. Tres estudiantes de: Historia, Economía e Ingeniería lo hacen en universidades de Chiclayo, Lima y Arequipa (no necesariamente en ese orden). El primero de los nombrados no vive en Lima ni estudia Ingeniería. El segundo vive en Chiclayo y estudia Economía, el estudiante de Historia vive en Arequipa. Entonces determine qué estudia el tercero y su lugar de residencia: a) Ingeniería - Lima. b) Historia - Arequipa. c) Historia - Lima. d) Ingeniería - Chiclayo. e) Economía - Chiclayo. 12. Javier, Luis y Manuel forman parejas con Martha, Susy y Ana, cuyas profesiones son enfermera, profesora y secretaria (no necesariamente en ese orden). Luis es cuñado de Martha, que no es enfermera. Manuel fue

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JOHN MAMANI M. con la profesora al matrimonio de Susy. Hace dos años que Ana peleó con Luis y desde entonces es secretaria. De acuerdo a esta información; ¿quién es la pareja de Luis y cuál es su profesión? a) Susy - enfermera. b) Susy - profesora. c) Susy - secretaria. d) Ana - secretaria. e) Ana - enfermera. 13. Cuatro amigos se reúnen el fin de semana en casa de José, cada uno de ellos tiene un carro de distinto color y son aficionados a diferentes deportes: tenis, frontón, billas y básquet, se sabe además que: Juan mandó pintar su carro de verde, el que juega frontón jamás lleva su carro porque el negro es muy fúnebre para los deportes. Hernando ganó el campeonato de billas en el último verano, y su primo José el de tenis, un carro es de color rojo y el otro azul. Según esto, ¿de qué color es el carro del que juega básquet? a) Azul b) Negro c) Verde d) Rojo e) Amarillo 14. Tres hermanos practican Natación, Atletismo y Fútbol: cada deporte se identifica con un color: azul, rojo y verde. Alberto no participa por el color verde, quien juega por el verde es atleta. Los rojos no juegan fútbol, Juan no sabe nadar. ¿Qué deporte y qué color pueden corresponder a Gustavo? a) Natación – rojo b) Natación – azul c) Atletismo – azul d) Fútbol – verde e) Atletismo – rojo 15. En una reunión deportiva se encuentran tres amigas: Elena, Cristina, Nadia; ellas a su vez son nadadora, voleibolista y gimnasta, aunque no necesariamente en ese orden. Cristina, que es vecina de la nadadora, siempre va al estadio con la gimnasta. Si la nadadora es prima de Nadia. ¿Quién es la gimnasta? a) Elena b) Nadia c) Cristina d) María e) Cristina y Elena

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16. Manuel, José y Horacio compraron, entre los tres, 6 camisas de distinto color (rojo, azul, blanco, verde, amarillo y guinda), y convinieron regalar cada uno dos camisas a sus respectivos padres. Manuel no regaló ni una camisa roja ni blanca. José regaló una camisa verde pero no regaló una camisa amarilla. Horacio no regaló una camisa guinda ni blanca. ¿Qué colores de camisa eligió Horacio para regalar a su padre si Manuel eligió el color amarillo? a) rojo y verde b) verde y azul c) blanco y azul d) rojo y azul e) blanco y rojo 17. En una pequeña empresa trabajan las siguientes personas: el Sr. Andrade, el Sr. Benítez, el Sr. Céspedes, la Srta. Dávila, la Sra. Espejo y la Srta. Franco, que son gerente, subgerente, contador, taquígrafo, cajero y oficinista, aunque no necesariamente en ese orden. El subgerente es nieto del gerente, el contador es yerno del taquígrafo, el Sr. Benítez tiene 24 años, la Srta. Franco es la hermanastra del cajero, el Sr. Céspedes es vecino del gerente y el Sr. Andrade es soltero. ¿Cuál es el apellido del taquígrafo? Considere que el gerente es varón. a) Andrade b) Franco c) Benítez d) Céspedes e) Espejo 18. Los señores Trujillo, Lara, Bolívar y Sucre nacieron en los lugares llamados Trujillo, Lara, Bolívar y Sucre, más en ningún caso el apellido coincide con el nombre del lugar de nacimiento. El nacido en Trujillo no tiene el mismo apellido que el nombre del lugar de nacimiento del señor Bolívar, el nacido en Lara no es el señor Sucre ni tiene como apellido el nombre del lugar de nacimiento del señor Lara. ¿Quién nació en Sucre? a) señor Lara b) señor Sucre c) señor Trujillo d) señor Bolívar e) no se puede determinar Academia GAUUS

JOHN MAMANI M.

01. ¿Qué es para mí, el sobrino del hijo del padre de mi madre? UNAP–EXT–2001

a) abuelo d) padre

b) tío e) sobrino

c) hermano

UNAP–EXT–2007

02. ¿Qué parentesco tiene conmigo, si su madre fue la única hija de mi madre? UNAP–EXT–2002

a) Abuelo y nieto b) Hermano y hermana c) Tío y sobrina d) Madre e hijo e) Eran hijo y padre 03. ¿Quién será el nieto de la madre del único nieto del bisabuelo de la única bisnieta de Dionisio? UNAP–EXT–2003

a) Dionisio b) Bisnieto de Dionisio c) Padre de Dionisio d) Nieto de Dionisio e) Faltan datos

c) Miércoles

• El perro y el gato peleaban. • Jorge le decía al dueño del gato que el otro amigo tiene un canario. • Julio le dice Luis que su hijo es veterinario. • Julio le dice al dueño del gato que este quiso comer al canario.

UNAP–EXT–2008

UNAP–EXT–2004

c) Jueves

05. Dos personas que no tienen parentesco alguno y no se conocen; ¿pueden tener una hermana sanguínea? UNAP–EXT–2005

Academia GAUUS

b) Martes e) Viernes

07. Tres amigos con nombres diferentes tienen cada uno un animal diferente. Se sabe que:

a) perro d) gato

b) Miércoles e) Sábado

a) No se sabe c) Nunca e) Es posible

a) Lunes d) Jueves

¿Qué animal tiene Luis?

04. Si el ayer de anteayer de la mañana es domingo, ¿Qué día será el pasado mañana del mañana de anteayer? a) Martes d) Viernes

06. ¿Cuál es el día que esta antes del anterior al siguiente día que subsigue al posterior día que esta inmediatamente después del día que precede al anterior día de hoy miércoles?

b) Si d) Algunas veces

b) mono e) loro

c) canario

08. En un almuerzo estaban presentes, padre, madre, tío, tía, hermano, hermana, sobrino, sobrina y 2 primos. ¿Cuál es el número de persona presentes? UNAP–EXT–2004/2009

a) 4 d) 5

b) 2 e) 8

c) 10

09. Un distribuidor de productos alimenticios tiene 3 diferentes vendedores en tres diferentes ciudades. Trujillo, Lima y Arequipa. Cada uno de los vendedores comercializa distintos productos. Arroz, leche y azúcar. Además se sabe que:

53

JOHN MAMANI M. I. Javier no vende en Trujillo. II. Daniel no vive en Lima. III. El que vive en Trujillo no vende arroz IV. El que vive en Lima vende leche. V. Daniel no vende azúcar. ¿Qué vende Teófilo y donde vive? UNAP–EXT–2010

a) Azúcar en Arequipa. b) Azúcar en Trujillo. c) Leche en Lima. d) Azúcar en Lima e) Leche el Trujillo.

UNAP–EXT–2014

UNAP–EXT–2010

b) 2 e) 5

• B tiene menos población que A pero más que C. • D tiene más población que C. • A tiene la mitad de la suma de las poblaciones de D y E. • D tiene más población que B y menos que E. ¿Cuáles son las ciudades de mínima y máxima población?

10. En una cena familiar se encuentran 2 padres y 2 nietos. ¿Cuántas personas como mínimo están compartiendo la mesa? a) 6 d) 3

12. De las siguientes ciudades se sabe que:

c) 4

11. En un evento se encuentran: un ingeniero, un contador, un abogado y un médico. Los nombres, aunque no necesariamente en el orden de las profesiones son: Pedro, Daniel, Juan y Luis. Si se sabe que: • Pedro y el contador no se llevan bien. • Juan se lleva muy bien con el médico. • Daniel es el pariente del abogado y este es amigo de Luis. • El ingeniero es muy amigo de Luis y del médico.

a) A tiene máxima y B mínima. b) B tiene mínima y A máxima. c) C tiene mínima y E máxima. d) D tiene máxima y C mínima. e) D tiene mínima y A máxima. 13. Emma es esposa de Wily con quien tuvo tres hijos y una hija, la que se casó con Juan Carlos y tuvieron a Pedro, si Pablo es hijo de Fernando y este de Emma. ¿Qué viene a ser Pablo de Pedro? UNAP–2003

a) nieto d) primo

b) hermano e) sobrino

c) tio

14. Alfredo es cuñado de David, David es cuñado de María y María es hermana de la esposa de David. ¿Qué parentesco hay entre el esposo de María y Alfredo? UNAP–2005

¿Quién es el abogado? UNAP–EXT–2011

a) Pedro d) Juan

54

b) Roberto e) Daniel

c) Luis

a) Son concuñados. b) Son hermanos. c) Son padre e hijo. d) Son primos. e) Son cuñados.

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 15. La señorita Janeth al mirar el retrato de un hombre le dijo a su padre: “la madre de ese hombre era la suegra de mi madre”. ¿Qué parentesco hay entre la señorita Janeth y el hombre del cuadro? UNAP–2006

a) Sobrina-tío. b) Hija-padre c) Prima-primo d) Nieta-abuelo e) Suegra-yerno 16. Acerca de las edades de un grupo de amigos se tiene la siguiente información: Juan es menor que Percy. Alberto es mayor que Julio, Ernesto y José son mellizos, Julio y Percy tienen la misma edad, Víctor es menor que Juan, así como Alberto es menor que Ernesto. ¿Quién es el menor de todos los amigos?

a) 25 d) 15

b) 11 e) 20

c) 10

19. Cuatro amigos: Aida, Carmen, Juan y Enrique se sientan alrededor de una mesa circular de cuatro asientos distribuidos simétricamente: Si se sabe que: • Carmen se sienta ala izquierda de Enrique. • Dos personas del mismo sexo no se sientan juntas. Podemos afirmar que: CEPREUNA–BIO–2013

a) b) c) d) e)

Enrique se sienta a la derecha de Aida Juan se sienta a la derecha de Carmen Aida se sienta frente a Juan Carmen se sienta a la izquierda de Juan Aida se sienta a la izquierda de Juan

UNAP–2010

a) Alberto d) Juan

b) Julio e) Percy

c) Víctor

17. El señor Cornejo tiene dos hijos, estos a su vez son padres de Juan y Mario, respectivamente. ¿Quién es el único sobrino del padre del primo hermano del hijo del padre de Mario?

20. Si la mamá de Daniela es la hermana de mi hermano gemelo, ¿qué es respecto a mí, el abuelo del mellizo de Daniela? CEPREUNA–2007

a) mi abuelo b) mi padre d) mi sobrino e) mi primo

c) mi hermano

UNAP–EXT–2014

a) El señor Cornejo. b) El padre de Mario. c) El padre de Juan. d) Juan. e) Mario. 18. En una oficina de una compañía de seguros se encuentran 5 hermanos, 5 padres, 5 hijos, 5 tíos, 5 sobrinos y 5 primos para firmar sus respectivos contratos. El número de contratos que firmaron es: CEPREUNA–SOC–2013

Academia GAUUS

55

JOHN MAMANI M.

Razonamiento Inductivo CAPÍTULO V RAZONAMIENTO INDUCTIVO Es un razonamiento que consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas que contienen datos particulares. Por ejemplo, de la observación repetida de objetos o acontecimientos de la misma índole se establece una conclusión para todos los objetos o eventos de dicha naturaleza. Es decir

Casos particulares N= 1 97 × 92 N = 997 × 992 2 = N 3 9997 × 9992

B. EN ARREGLOS GRÁFICOS Caso General

CASO 1 CASO 2 INDUCCIÓN CASO 3

CASO GENERAL

1

99 100

2

Casos particulares Casos particulares Para obtener una conclusión general (fórmula) correcta es importante que los casos particulares cumplan las siguientes condiciones.  Deben ser casos que partan de lo simple a lo complejo.  Sus estructuras deben ser similares, pero a menor escala, a la que presenta el arreglo o la expresión original.  Se deben analizar como mínimo 3 casos particulares. En este tema podemos observar cuatro tipos de problemas.

1

2

1

C. EN ARREGLOS LITERALES Caso General A Y I

50 cifras

56

D

A

Y I

Y

I R R R R R O O O O O O

I

Casos particulares

A. EN ARREGLOS NUMÉRICOS Caso General = N 999......97  × 999......92 

3

2

1

A

D

A

A Y

D Y

A A Y

I

Y

I

D Y

A I

Y

I

50 cifras

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. D. EN ARREGLOS SOMBREADOS

 Para arreglos de esta forma

Caso General O N N H H H S S S S

J O N H S

O N N H H H S S S S

5 niveles

El número de maneras de leer la palabra JOHNS se determina mediante la siguiente expresión: 1 2 3

3

18 19 20

Casos particulares

n −1

n: número de niveles de letras En el ejemplo, el número de maneras de leer 5 −1

4

JOHNS será 3 = 3= 81  Para arreglos de esta forma 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4

1 2

Si en cada caso se requiere saber el resultado, el número de cerecillos, el número de palabras y el número de esferas sombreados, lo podemos obtener relacionando los resultados de los casos particulares con la cantidad de cifras, el número de filas, número de letras… Observación

J

J J O J O N O N H

C O

I

O

I

C O

I

C O

5 niveles

I

O

El número de maneras de leer la palabra ROCIO se determina mediante la siguiente expresión: 2

n

4

JOHNS será 2 = 2= 16

Academia GAUUS

2 −1

5

JOHNS será 2 − 1 = 31 ¡Tenga en cuenta que…! Además en este tema, los números triangulares son muy usados.

n −1

n: número de niveles de letras En el ejemplo, el número de maneras de leer 5 −1

5 niveles

n: número de niveles de letras En el ejemplo, el número de maneras de leer

R O

J O J N O J H N O J

El número de maneras de leer la palabra JOHNS se determina mediante la siguiente expresión:

 Para arreglos de la siguiente forma O

J O N H S

1

1 2

1 2 3

1 2 3 4

1

3

6

10

1× 2 2

2× 3 2

3× 4 2

5× 6 2

57

JOHN MAMANI M. ARREGLOS NUMÉRICOS PROBLEMA 01

Calcule el valor de E y de cómo respuesta la suma de las cifras del resultado. 2 E = (999....995)   

2+ 3 sumandos ; R = 1 +  4 2 3 −1

4 sumandos ; R = 1+ 2 + 4 +8   2 4 −1

101 cifras

a) 901 d) 907

b) 307 e) 607

c) 405

40 sumandos ; R = 1+ 2 4 8 +....... + + 

Resolución

2 40 −1

Analicemos por Inducción. 95 2

=

Resultado Suma de cifras 9025 → 1 ×9 +7

2 99 5

=

990025

→

2 ×9 +7

99952

Halle el valor de M.

=

99900025

→

3 ×9 +7

2 9999  5

= 9999000025 →

4 ×9 +7

M = 3 9999 × 10000 × 10001 + 10000 a) 2 b) 10000 c) 9999 d) 1 e) 10001

Cantidad de cifras "9" (999...995)2 =

PROBLEMA 04

Resolución

→ 100 × 9 + 7 = 907

Analicemos los tres casos particulares

100 cifras

M1 = 3 1 × 2 × 3 + 2 = 2 PROBLEMA 02

M 2= 3 2 × 3 × 4 + 3= 3

Calcular: R = 1 + 2 + 4 +  8 + 16 + ...... 

a) 2

40

d) 2

39

−1

−1

b) 2 e) 2

40 sumandos 40

+1

39

+1

Resolución Analizando por partes, tenemos:

c) 2

40

M 2 = 3 3 × 4 × 5 + 4= 4 Siempre sale el último número Entonces

M = 3 9999 × 10000 × 10001 + 10000 M = 10000

1 sumando ; R = 1 2 1 −1

2 sumandos ; R = 1 + 2 2 2 −1

58

PROBLEMA 03

Si:

a5 × a6 × a7 × a8 + 1 = 2161

+ aa + aaa + ..... Calcular: R =a  " a " sumandos

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. a) 4924 d) 4936

b) 4862 e) 4816

c) 4546

3 × 4× 5× 6 = +1 3× 6

Resolución Analizamos los casos particulares con el producto de cuatro números consecutivos.

1 × 2 × 3 × 4 += 1 1× 4

2× 5

+1

Luego para el caso pedido a5 × a8 + 1 = 2161 a5 × a8 = 2160 45 × 48 = 2160

= 5 25

Por tanteo a = 4

+1

2 × 3× 4 × 5 = +1

361 = 19

Entonces: R =4 + 44 + 444 + 4444 R = 4936

121 = 11

+1

¡Comprueba lo que sabes! 01. Halle la suma de las tres últimas cifras del resultado. (666 666)   

b) 10 e) 17

100 cifras

a) 1800 d) 720

c) 13

a) 900 d) 450

c) 1760

a) 606 d) 500 2

Academia GAUUS

b) 600 e) 909

c) 630

08. Calcular la suma de cifras del resultado de: 2 E = (33......34) 

100 cifras

b) 900 e) 320

2

101cifras

c) 420

04. La suma de cifras de: E = (333...333)    a) 9000 d) 300

c) 630

= A 36 × (111...111 ) 

222 cifras

b) 441 e) 453

b) 360 e) 540

07. Calcular la suma de las cifras de A

03. Halle la suma de cifras de N = N 37 × (222 222)    a) 451 d) 160

c) 180

50 cifras

200 cifras

b) 1820 e) 1800

b) 900 e) 1080

06. Calcula la suma de las cifras del resultado de: = A (999...999) × 12 

02. Determine la suma de cifras de (222 222)    × 12 a) 1200 d) 1560

2 E = (999......99)   

2

40 cifras

a) 16 d) 15

05. Hallar la suma de cifras de:

c) 1089

21 cifras

a) 127 d) 130

b) 128 e) 125

c) 129

59

JOHN MAMANI M. 09. Hallar la suma de cifras del resultado:

E = (999....994)   

2

30 cifras

a) 277 d) 130

b) 228 e) 265

c) 229

b) 174 e) 176

2

c) 178

16. Calcule la suma de cifras del resultado de la siguiente operación. = N 999......97  × 999......93  100 cifras

10. Hallar la suma de las cifras de: A = (999...995) 

a) 179 d) 271

a) 900 d) 907

b) 905 e) 903

100 cifras

c) 921

31cifras

a) 925 d) 62

b) 279 e) 155

c) 277

11. Hallar la suma de las cifras del resultado de: 3 (999......999)  

17. Hallar a ÷ b si "a" es la suma de cifras de M y "b" es la suma de cifras de N. = M 999......93  × 999......97  101 cifras

101 cifras

2003 cifras

Indicar la última cifra de dicha suma. a) 8 b) 4 c) 6 d) 7 e) 5 12. Hallar la suma de cifras del resultado: 2 2 = A (333......33)    + (999......99)    21 cifras

a) 199 d) 201

b) 189 e) 203

21 cifras

c) 198

a) 450 d) 700

307 a) 308 d)

298 b) 299

301 302

e)

50 cifras

50 cifras

b) 630 e) 2500

c) 350

100 cifras

a) 800 d) 700

b) 900 e) 1200

60

305 306

a) 567 d) 163

b) 546 e) 357

51 cifras

c) 239

19. Calcula el valor de "N" y dar como respuesta la suma de sus cifras en: = E 999.....992  × 999.....992  a) 9n + 18

b) 9n + 27

d) 9n − 20

e) 9n − 23

(n − 3) cifras

c) 9n + 20

100 cifras

c) 1000

15. Hallar la suma de cifras del resultado: = N 999......97  × 999......93  20 cifras

c)

18. Calcule la suma de cifras del siguiente producto: 222.....222  × 999.....998 

(n − 3) cifras

14. Halle la suma de cifras del resultado de: = A 888.....888  × 999.....999 

101 cifras

300 301

51 cifras

13. Hallar la suma de las cifras del resultado de: = E (999...999)  × (777...777) 

101 cifras

= N 999......94  × 999......96 

20 cifras

2

20. Hallar " K ", si: "n"  sumandos   9 + 45 + 105 + ...... + 3n K= 3 + 12 + 27 + ......   " n " sumandos

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. a) 1 d) 16

b) 4 e) 25

26. Calcular “E”

c) 9

24 cifras

 13 1313 131313 1313...13 E= + + + ... + 12 1212 121212 1212..13  

21. Halle el valor de m. 100 sumandos   1 + 9 + 25 + 49 +  m= 4 + 16 + 36 + 64 +  

24 cifras

a) 12 d) 1/2

100 sumandos

a) 199/200 d) 199/202

b) 199/201 e) 99/201

c) 100/159

444....444 − 888....888   100 cifras

a) 100 d) 300

20 sumandos  1 + 9 + 25 + ...... M= 4 + 16 + 36 + ......  

c) 13/12

= A

23. Calcule el resultado en la expresión

a) 100 d) 90

20  sumandos    2 + 5 + 8 + 11 + 14...... M= 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + ......  

b) 62/65 e) 61/65

= M

c) 20/25

2

2

2

2

a) 300 d) 900

2

1 − 2 + 3 − 4 + 5 −  + 21 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +  + 21 a) 1 b) 21 c) 3 d) 1/21 e) 4

2

25. Calcule el valor de la siguiente expresión A=

a) 1 d) 90

1 × 3 + 3 × 5 + 5 × 7 +  + 59 × 61 + 30 2

2

2

2

1 + 2 + 3 + 4 +  + 30 b) 2 c) 30 e) 40

Academia GAUUS

1000....000    − 1999....999    20 cifras

10 cifras

b) 99 e) 200

c) 180

111....111  − 222....222  200 cifras

24. Calcule el valor de la expresión

P=

c) 600

29. Hallar la suma de las cifras del resultado de:

20 sumandos

a) 18/11 d) 80/81

b) 200 e) 400

50 cifras

28. Calcula la suma de cifras del resultado de la siguiente operación.

20 sumandos

b) 13 e) 13/14

c) 13/12

27. Hallar la suma de las cifras del resultado de:

22. Calcule el valor de la expresión

a) 12/13 d) 14/11

b) 13 e) 13/24

2

b) 100 e) 200

100 cifras

c) 450

30. Calcule el valor de M= 40 × 41 × 42 × 43 + 1 Dé como respuesta la suma de sus cifras a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

31. Hallar: E= a) 10310 d) 10410

100 × 101 × 102 × 103 + 1 b) 10030 c) 13001 e) 10301

61

JOHN MAMANI M. 32. Halle el valor de: S=

38. Halle el valor de N(152) si N(1) = (1 × 2) + 3 N(2) = (2 + 3) × 4 N(3) = (3 × 4) + 5 N(4) = (4 + 5) × 6

94 × 96 × 98 × 100 + 16 b) 9440 c) 9040 e) 9004

a) 9404 d) 9044

33. Calcule la suma de cifras del resultado que se obtiene de operar A. A= 3 2011 × 2012 × 2013 + 2012 a) 3 b) 7 c) 5 d) 11 e) 9

34. Determine expresión.

el

resultado

de

la

siguiente

100 × 101 × 102 × 103 + 1 − 100

a) 99 d) 101

b) 100 e) 102

c) 201

a) 9404 d) 9044

94 × 96 × 98 × 100 + 16 b) 9440 c) 9040 e) 9004

36. Sabiendo que: A(1) = 1 × 100 + 50 A(2) =2 × 99 + 49 A(3) =3 × 98 + 48 Calcular: A(20) a) 1551 d) 1546

b) 1651 e) 1561

39. Dada la siguiente sucesión R(1) = 1 × 2 + 3 R(2) = 2 + 4 + 1 R(3) = 3 × 4 + 3 R(4) =4 + 16 + 1 R(5) = 5 × 6 + 3 R(6) =6 + 36 + 1 Hallar el valor de: R(14) + R(17) a) 520 d) 420

35. Halle el valor de E=

Dé como respuesta la suma de sus cifras. a) 24 b) 25 c) 26 d) 18 e) 29

c) 2236

b) 400 e) 440

c) 540

40. Calcule; f(24) si: f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = f(5) = f(6) = a) 22 d) 30

2 + 1−1 6 − 3× 2 12 × 6 ÷ 3 20 ÷ 10 + 4 30 + 15 − 5 42 − 21 × 6

b) 24 e) 876

c) 26

37. Si se cumple que: M(1) = 2 + 1 − 1 M(2) = 4 − 4 ÷ 3 M(3) = 6 × 9 − 5 M(4) =8 + 16 ÷ 7 Halle: M(19) a) 348 d) 286

62

b) 362 e) 456

c) 452

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. ARREGLOS GRÁFICOS SUCESIVOS PROBLEMA 01

¿Cuántos puntos de contacto habrá en la figura 20?

9 puntos de contacto = 3 × 3 = 3(1+2) 2 ×3 2

Fig. 2

18 puntos de contacto = 3 × 6 = 3(1+2+3) 3 ×4 2

Fig. 3 Fig.1

Fig.2

a) 260 d) 644

Fig.3

b) 307 e) 630

Fig.20

c) 635 3(1+2+3+.....+20) = 630

Resolución

20 × 21 2

3 puntos de contacto = 3 × 1 = 3(1) 1 ×2 2

Fig. 1

Fig. 20

¡Comprueba lo que sabes! 01. ¿Cuántos puntos de corte tendrá la figura 100?

03. ¿Cuántas bolitas hay en la figura 18?

 Fig. 1 a) 100 d) 600

Fig. 2 b) 200 e) 800

Fig. 3 c) 400

F1

02. Se sigue la secuencia, ¿Cuántos cuadrados se contarán en la figura 100?

a) 225 d) 164

F2

F3

b) 464 e) 324

F4

c) 400

04. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 30?

  Fig. 1 a) 200 d) 404

Fig. 2 b) 400 e) 800

Academia GAUUS

Fig. 3 c) 440

Fig. 1 a) 59 d) 63

Fig. 2 b) 60 e) 64

Fig. 3 c) 61

63

JOHN MAMANI M. 05. Siguiendo la secuencia mostrada, determine cuántos segmentos tendrá la figura 100.

Fig. 1 a) 299 d) 399

Fig. 2 b) 300 e) 400

a) 440 d) 380

b) 450 e) 500

c) 400

10. En la sucesión mostrada de figuras construidas con palitos de fósforo, calcula el doble de número de palitos de la figura que ocupa el decimotercer lugar.

Fig. 3 c) 397



06. Halle la cantidad de triángulos de la figura 20. Fig. 1

 Fig. 1 a) 41 d) 320

Fig. 2 b) 80 e) 400

Fig. 3 c) 210

a) 448 d) 390

a) 232 d) 244

b) 260 e) 250

b) 335 e) 364

c) 194



 Fig. 2

Fig. 3

11. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura 20?

07. ¿Cuántos palitos se necesitan para formar la figura 30?

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 1 a) 21 d) 25

Fig. 2 b) 22 e) 26

Fig. 3 c) 24

12. En la siguiente secuencia gráfica, ¿Cuál será el número de puntos de corte de la figura 20?

c) 248



08. ¿De cuántos lados constará la figura 2002?

 F(1) a) 2002 d) 8007

F(2) b) 4004 e) 1608

F(3) c) 8008

Fig. 1 a) 450 d) 480

Fig. 2 b) 400 e) 420

Fig. 3 c) 500

13. ¿Cuántos puntos de cortes tenemos en la figura 20?

09. ¿Cuántos palitos de fósforos son necesarios para formar la figura 20?

 Fig. 1

64

Fig. 2

Fig. 3

 Fig. 1 a) 420 d) 480

Fig. 2 b) 440 e) 500

Fig. 3 c) 460

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 14. De acuerdo a la secuencia de las figuras. ¿Cuántos cuadraditos no sombreados habría en la figura 150?

18. Calcule el número total de bolas que se ubican en la figura 10.



 Fig. 1 a) 11250 d) 11320

Fig. 2 b) 11235 e) 11325

Fig. 1

Fig. 3

a) 100 d) 101

c) 11415

Fig. 2

Fig. 3

b) 90 e) 120

c) 99

19. Calcule el número de esferas que tiene la figura 50.

15. ¿Cuántos triángulos hay en la figura 20?



 Fig. 1 a) 210 d) 240

Fig. 2 b) 220 e) 250

Fig. 3 Fig. 1

c) 230

16. Halle el número de esferas que hay en la figura 15.

 Fig. 1 a) 133 d) 132

Fig. 2 b) 134 e) 136

a) 250 d) 200

Fig. 2 b) 110 e) 400

Fig. 3 c) 120

20. Halle la suma de las cifras del número de palitos que forman la figura 100.



Fig. 3 c) 135

17. Determine el número total de esferas oscuras que habrá en la figura 10.

Fig. 1 a) 12 d) 15

Fig. 2 b) 13 e) 18

Fig. 3 c) 14

21. Dada la siguiente sucesión de figuras:

 Fig. 1 a) 50 d) 42

Fig. 2 b) 55 e) 100

Academia GAUUS

Fig. 3 c) 27

 Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Si en la figura 20 hay “x” triángulos más que el total de triángulos de las 3 primeras figuras, determine el valor de “x”

65

JOHN MAMANI M. a) 360 d) 436

b) 530 e) 410

c) 483

a) 200 d) 320

22. Calcule el número de intersecciones que hay entre el cuadrado y rectas en la figura 20.

Fig (1)

a) 760 d) 420

Fig (2)

b) 800 e) 400

b) 130 e) 400

c) 210

26. En la siguiente sucesión, determinar el número de círculos sin pintar, en la colección de círculos que ocupe el décimo lugar.

Fig (3)

c) 840

23. En la siguiente secuencia, calcule el número de círculos en la figura 17.

a) 201 d) 181

b) 131 e) 231

27. ¿Cuántos triángulos ubicación 100?

c) 151 se

contarán

en

la

 Fig (1)

a) 200 d) 208

Fig (2)

Fig (3)

b) 155 e) 180

c) 210

Fig. 1

24. ¿Cuántas bolitas pintadas hay en la figura 15?

a) 103 d) 275

Fig. 2

Fig. 3

b) 300 e) 725

c) 301

28. ¿Cuántos triángulos hay en total en f(n)?



Fig. 1 a) 240 d) 225

Fig. 2 b) 140 e) 150

Fig. 3 c) 340

25. Halle el número de círculos sin sombrear en la figura 10.

 F(1)

F(2)

a) 4n d) 4n + 2

b) 4n –1 e) 3n –1

F(3) c) 4n + 1

29. ¿Cuántos cuadrados sombreados se contaran en la figura 25?





Fig. 1

66

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3 Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. a) 625 d) 250

b) 600 e) 750

c) 500

a) 8372 d) 7024

30. Halle el número de cerillas de la figura 20.

b) 6162 e) 3080

c) 4422

34. ¿Cuánto suman los números de la figura 20?

 Fig. 1 a) 842 d) 867

Fig. 2 b) 754 e) 859

Fig. 3 c) 782

a) 44400 d) 44100

31. Determine el número total de cerillas desde la figura 1 hasta la figura 20.

b) 44300 e) 44000

c) 44200

35. Calcule la cantidad de esferas del gráfico 39.



Fig. 1 a) 2250 d) 2050

Fig. 2 b) 2450 e) 2375

Fig. 3

a) 780 d) 819

c) 6160

32. ¿Cuál es la suma del número de triángulos de la figura n + 1 y el número de cuadriláteros de la figura n − 1 ?

b) 840 e) 849

c) 860

36. Halle el número de rombos que contiene el hexágono H(25).

 Fig. 1 a) 4n + 1 d) n

Fig. 2 b) 4n e) 4 + n

Fig. 3 c) 2n + 1

33. En el gráfico se muestra una sucesión de rumas, formadas por fichas numeradas. ¿Cuál es la suma de todos los números de la ruma T 12 ?

Academia GAUUS

a) 1950 d) 1875

b) 2025 e) 15625

c) 1200

67

JOHN MAMANI M. ARREGLOS GRÁFICOS En el problema:

PROBLEMA 01

Calcular el número total de palitos de fósforos que conforman la torre.

1

2

3

28 29 30

2

1 2 a) 900 d) 907

3

28 29 30 c) 405

b) 307 e) 899

Resolución

⇒ 30 − 1

∴ Nº de palitos = 899 PROBLEMA 02

¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?

Caso 1:

1

2

= 3 2 −1

1

2

2

3

Caso 2: 2

= 8 3 −1

1

2

3

18 19 20 a) 400 d) 907

Caso 3:

b) 307 e) 300

c) 405

Resolución 2

15 = 4 −1

Analizando por partes, tenemos: Caso 1

1 triángulo = 12 1

68

2

3

4

1 Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. Caso 2

En el problema: 1

4 triángulos = 22

1

2 3

2

20 2 = 400 triángulos 18 19 20

Caso 3

1

∴ el total de triángulos es 400.

9 triángulos = 32

2 3

¡Comprueba lo que sabes! 01. Halle la cantidad total de esferas en el siguiente arreglo triangular.

1 2 a) 4950 d) 5050

3

b) 5000 e) 5151

98 99 100 c) 4850

02. ¿Cuántos palitos de fósforo conforman la siguiente torre?

1 2 a) 2450 d) 4500

3

4 47 48 49 b) 1350 c) 1225 e) 1325

Academia GAUUS

03. Calcule el número total de cerillos en el siguiente gráfico.

a) 2400 d) 2560

b) 2460 e) 2580

c) 2500

04. Halle el número total de palitos utilizados en la construcción del siguiente gráfico.

50 1

2

3

48

49

50

69

JOHN MAMANI M. Dé como respuesta la suma de sus cifras. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

08. ¿Cuántos palitos hay en total en el siguiente gráfico?

05. Halle el número total de cerillos en el gráfico.

1

2 3 4

a) 800 d) 982

38 39 40 41

b) 881 e) 884

c) 882

06. Halle el número de cerillos que forma la siguiente figura

1

2

a) 1010 d) 10197

3

1

70

2

b) 610 e) 560

c) 850

09. ¿Cuántos cerillos se cuentan en total en el siguiente gráfico?

98 99 100

b) 5000 e) 20097

c) 10027

07. Halle el número de cerillos que forma la siguiente figura

a) 5000 d) 4080

a) 720 d) 960

3

b) 5050 e) 5060

48

49

c) 4060

50

a) 780 d) 779

b) 859 e) 616

c) 860

10. Hallar el número total de puntos de contacto.

1 2 3 a) 290 b) 870 d) 1305 e) 2875

28 29 30 c) 420 Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 11. ¿Cuántos palitos conforman la siguiente torre?

1

2 a) 6225 d) 4525

3

4 b) 7550 e) 3125

97 98 99 100 c) 8950

12. Halle el número total de palitos en la siguiente figura:

1

2 3

a) 250 d) 5050

4

b) 2450 e) 1275

47

48 49

14. Halle el número total de cerillos en el siguiente gráfico.

a) 1487 d) 1427

b) 1457 e) 1367

c) 1447

15. Halle el total de cerillos que se utilizaron en la construcción del siguiente arreglo.

50

c) 1324

13. ¿Cuántas esferitas sombreadas en total se pueden contar en la siguiente figura?

a) 1220 d) 1218

b) 1180 e) 1829

c) 1058

16. En la siguiente figura, se han contado 570 puntos de contacto. Calcule el número de monedas colocadas en la base.

48 49 50

1 2 3

a) 625 d) 450

b) 756 e) 650

Academia GAUUS

c) 240

a) 10 d) 18

b) 12 e) 20

c) 19

71

JOHN MAMANI M. ARREGLO MATRICIALES PROBLEMA 01

Calcule la suma de todos siguiente arreglo. 3 5 7 1  3 5 7 9   5 7 9 11        49 51 53 55  a) 30625 d) 87815

los elementos del

b) 12254 e) 13315

... 49   ... 51  ... 53      ...  c) 32350

Resolución Analizamos tres casos particulares de matrices más pequeñas.

[ 1]

 1+ 1 2 Suma : 1 = 1 × 1 = 1 × 1 = 1    2 

2  1 3  3+1 2  3 5  Suma : 12 = 3 × 4 = 3 × 2 = 3    2   

1 3 5 2 3 5 7  5+1 2   Suma : 45 = 5 × 9 = 5 × 3 = 5  2   5 7 9 

Por lo tanto para la matriz de 49 3 5  1 2     49 + 1     = = 30625     Suma : 49  2   49 51  

2

¡Comprueba lo que sabes! 01. Hallar la suma total en el siguiente arreglo: 1 2 3 4  12 2 3 4 5  13 3 4 5 6  14 4 5 6 7  15      12 13 14 15  23 a) 1608 b) 1728 c) 1624 d) 1526 e) 1804 02. Hallar la suma de siguiente matriz 1 2 2 3  3 4  4 5      10 11

72

a) 100 d) 2000

... ... ... ...

10  11  12   13     ... 19 

c) 8000

03. calcule la suma de todos los números del siguiente arreglo: 10

5 4 3 4 5 4 3 2 3 4 10

3 2 1 2 3

10

4 3 2 3 4

todos los elementos de la

3 4 4 5 5 6 6 7   12 13

b) 1000 e) 1500

5 4 3 4 5

a) 1000 d) 3781

10 b) 2000 e) 1331

c) 3000

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 04. Calcule la suma de todos los números de la siguiente distribución numérica cuadrada si consta de 400 números  1 5 9 13 ... 77   5 9 13 17 ...      9 13 17 21 ...      13 17 21 25 ...             77 ... ... ... ...  a) 32800 b) 30800 c) 30600 d) 32600 e) 30400 05. Hallar la suma de los siguiente matriz de 10 × 10 6 8 2 4  8 10 4 6 6 8 10 12   8 10 12 14        20 22 24 26 a) 1800 b) 2000 d) 2400 e) 2700

elementos de la

... ... ... ...

20   22  24   26     ... 38 

c) 2100

06. Calcule la suma de todos los números de la siguiente distribución cuadrada de 20 × 20  2 5 8 11 ... 59   5 8 11 14 ...      8 11 14 17 ...      11 14 17 20 ...             59 ... ... ... ...  a) 22600 b) 21600 c) 23400 d) 23800 e) 23600 07. Hallar la suma numérico: 1 + 3 3 + 5 5 + 7 7 + 9  19 + 21 Academia GAUUS

a) 3780 d) 1650

b) 1700 e) 1500

c) 1900

08. Calcular la suma de los términos de las veinte primeras filas en el triángulo numérico siguiente. F1 F2 F3 F4

1 4 9 16 

a) 44000 d) 10000

4 9

16 

9 16

.

16 

b) 44100 e) 12100



c) 14400

09. Calcular la suma de la fila 50 Fila 1 : 1

Fila Fila a) 125000 d) 75000

2 : 3 + 5 3 : 7 + 9 + 11 b) 12500 c) 25000 e) 250000

10. Calcular el valor de "R", si: (n + 2) R= (n + 1) (n + 2) + n (n + 1) + 

3 2

3+ 2+

1 1+

n+2 n+1 n+3 d) n+4

a)

n+3 n+1 n+3 e) n+2 b)

c)

1 2

n+5 n+3

total en el siguiente arreglo + + + +

5 7 9 11

+ + + +

7 9 11 13

+ + + +

... ... ... ...

+ + + +

19 21 23 25

+ 23 + 25 + ... + 37

73

JOHN MAMANI M. ARREGLO LITERALES En el problema:

PROBLEMA 01 ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "SEBASTIÁN"?

SEBASTIAN : 9 letras

S E A

I

A

A

N

S T

I A

N

a) 256 d) 444

A S

T

I

A N

S T

I

A N

T

B A

S

T I

B A

S

2 8 = 256 formas

E

B

N

T I

N

PROBLEMA 02

I

A

A N

b) 307 e) 322

A N

N

¿De cuántas formas diferentes se puede leer la palabra LIBROS uniendo las letras adyacentes?

c) 435 L I

Resolución

B

Cuando la palabra tiene:

R

−1

S : 1 letra

O

S

S

O S

O S

b) 63 e) 31

S

c) 62

Resolución

−1

1

1

−1

S E

3 4

5

1 2

1 3

6 10

1 4

10

1 5

1

∴ Total de palabras 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31

E B

A

1 1

SEBA : 4 letras

B

1

→ 4 formas = 2 2

E

B B B

74

O

R

Resolveremos por el triángulo de pascal

SEB : 3 letras

A

B R

S

→ 2 formas = 2 1

E E

E

O

a) 64 d) 32

−1

I B

R

S

S → 1 formas = 2 0 SE : 2 letras

−1

→ 8 formas =2 3

B A

A Academia GAUUS

JOHN MAMANI M.

Resolución

PROBLEMA 03 ¿Cuántas palabras RAZONAMIENTO se pueden leer en total uniendo letras adyacentes? Z N E A A I T R Z O N M E N O A A I T Z N E a) 64 d) 256

b) 128 e) 36

1

4

1 1

16 8

2

4

4

1

16 16

8 1

4

64 32

64

16

128 64

16

∴ Total de palabras 128

c) 72

¡Comprueba lo que sabes! 01. Halle de cuantas maneras se puede leer la palabra RIOS, en el siguiente arreglo numérico R I I O O O S S S S a) 4 b) 8 c) 16 d) 32 e) 2 02. En el siguiente arreglo, ¿de cuántas formas diferentes se puede leer la palabra YELSIN? Y E E L L L S S S S I I I I I N N N N N N a) 4 b) 128 c) 16 d) 32 e) 64

a) 64 d) 128

b) 32 e) 49

c) 56

04. En el siguiente arreglo, ¿de cuántas formas diferentes se puede leer la palabra PERUANO?

a) 16 d) 128

b) 32 e) 256

c) 64

05. En el arreglo mostrado, halle el número de maneras distintas que se lee la palabra TRABAJO.

03. ¿De cuantas maneras diferentes se puede leer la palabra “ESTUDIO”, uniendo círculos consecutivos? E S S T T T U U U U D D D D D I I I I I I O O O O O O O Academia GAUUS

a) 2187 d) 64

b) 192 e) 729

c) 343

75

JOHN MAMANI M. 06. En el siguiente triángulo numérico, ¿de cuántas formas diferentes se puede leer el número ciento veintitrés mil cuatrocientos cincuenta y seis?

a) 16 d) 128

b) 32 e) 512

c) 64

07. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra INGENIO uniendo letras vecinas?

a) 64 d) 120

b) 128 e) 256

b) 64 e) 256

c) 127

10. ¿De cuantas maneras distintas se puede leer la palabra ROMA en el siguiente arreglo triangular: R R O R R O M O R R O M A M O R a) 12 b) 32 c) 15 d) 18 e) 23 11. Determine el número de formas diferentes en que se puede leer la palabra CULTURAL uniendo letras vecinas.

c) 60

08. De cuantas maneras diferentes se puede leer la palabra INDUCE uniendo letras vecinas. E C U D N I N D U C E E C U D N D U C E E C U D U C E E C U C E E C E E a) 16 b) 32 c) 31 d) 64 e) 63 09. ¿De cuantas formas diferentes se puede leer la palabra RAZONAR, uniendo letras vecinas, en el siguiente arreglo? RAZONARANOZAR RAZONANOZAR RAZONOZAR RAZOZAR RAZAR RAR R

76

a) 63 d) 128

a) 128 d) 138

b) 168 e) 252

c) 140

12. En el siguiente arreglo, ¿de cuántas formas distintas se lee la palabra INDUCTIVO uniendo letras vecinas?

a) 60 d) 68

b) 65 e) 120

c) 75

13. En el siguiente arreglo, ¿de cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra EXITOSA? Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. a) 256 d) 128

a) 130 d) 256

b) 132 e) 246

c) 128

14. ¿De cuantas maneras se pude leer la palabra COMPLETA, de modo continuo y uniendo letras vecinas en la siguiente distribución? C O O M M M P P P P L L L L L E E E E E E T T T T T T T A A A A A A a) 124 b) 126 c) 253 d) 128 e) 254 15. ¿De cuantas maneras se puede leer, de forma continua y uniendo letras vecinas, la palabra LEONEL en el siguiente esquema? L L L E E E E O O O O O N N N N N N E E E E E E E L L L L L L a) 96 b) 95 c) 92 d) 93 e) 94 16. ¿De cuántas maneras distintas se puede leer ESTUDIOSO en el arreglo mostrado? E S S T T T U U U U D D D D D I I I I I I O O O O O O O S S S S S S S S Academia GAUUS

b) 254 e) 126

c) 512

17. ¿De cuantas maneras se puede leer la palabra SALSA, de forma continua y uniendo letras vecinas en el siguiente esquema? S A A L L L S S S S A A A A A L L L L L L S S S S S S S A A A A A A a) 80 b) 90 c) 88 d) 76 e) 78 18. ¿De cuantas maneras se puede leer la palabra música, de forma continua y uniendo letras consecutivas en el siguiente diagrama? C I S U M U S I C A C I S U S I C A A C I S I C A A C I C A A C A a) 63 b) 62 c) 61 d) 60 e) 59 19. En el arreglo mostrado, ¿de cuántas maneras distintas se puede leer la palabra ACTIVIDAD uniendo letras vecinas?

a) 172 d) 154

b) 162 e) 254

c) 170

77

JOHN MAMANI M.

01. Halle la suma de las cifras del producto de: = A 7777777 × 999999999 a) 82 d) 19

b) 18 e) 81

c) 80

2 E = (3333......3333)    100 cifras

CEPREUNA–BIO–2012

b) 1000 e) 9000

b) 24 e) 20

c) 26

UNAP–2008

02. Halle la suma de cifras del resultado de:

a) 900 d) 1098

a) 22 d) 30

c) 300

03. Calcular la suma de cifras del resultado de: 2 = E (333.....333)    ×6

06. Si

R(1) = 1 + 2 × 3 R(2) = 2 + 3 × 4 R(3) = 3 × 4 + 5 R(4) = 4 + 5 × 6 Halle el valor de R(22) a) 542 d) 574

UNAP–EXT–BIO–2015

b) 745 e) 457

c) 225

07. ¿Cuántas bolitas tiene la posición número 20?

50 cifras

CEPREUNA–BIO–2014

a) 650 d) 750

b) 450 e) 350

c) 550

Nº 1

Nº 2

a) 180 d) 420

04. Si se observa que: 2

1 = 2 − 3×1

Nº 3 UNAP–EXT–2014

b) 280 e) 400

c) 300

08. ¿Cuántas bolitas hay en la figura 10?

2

2 = 3 + 4×2 2

3 = 4 − 5× 3 2

4 = 5 + 6× 4 Halle el valor de: 15 a) 2 d) 5

b) 3 e) 1

05. Calcule; f(20) si: f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = f(5) = f(6) =

CEPREUNA–BIO–2014

c) 4

2 + 1−1 6 − 3× 2 12 × 6 ÷ 3 20 ÷ 10 + 4 30 + 15 − 5 42 − 21 × 6 UNAP–SOC–2013

F2

F1

a) 150 d) 100

F3

F4 UNAP–SOC–2015

b) 50 e) 160

c) 90

09. ¿Cuánto triángulos habrá en la figura F10 ?

 F1

F2

F3

F4

UNAP–EXT–SOC–2015

78

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. a) 14 d) 19

b) 15 e) 21

14. Si se dispone del siguiente arreglo de esferas

c) 17

10. Halle el numero de cuadradosque hay em la figura 10. ¿Cuántas esferas se necesitan cuando en la base del arreglo existan 30 esferas? Figura 3

Figura 1 Figura 2

a) 19 d) 23

CEPREUNA–SOC–2014

b) 21 e) 17

a) 425 d) 496

b) 450 e) 435

UNAP–SOC–2012

c) 465

c) 25

15. ¿Cuántas esferas hay en la f(11)?

11. ¿Cuántos triángulos hay en total en f(10)?

F(2)

F(1) a) 47 d) 42

f (1)

F(3) CEPREUNA–ING–2015

b) 43 e) 41

c) 44

12. ¿Cuántos triángulos hay en total en f(20)?

F(1) a) 77 d) 92

F(2)

F(3) c) 64

13. ¿Cuántos cuadrados posición número 20?

F(1)

F(2)

se

encontraran

b) 81 e) 400

Academia GAUUS

UNAP–EXT–ING–2015

b) 20 e) 36

#1

#2

a) 1475 d) 1275 en

c) 25

#3 b) 1175 e) 1375

#4 UNAP-ING-2012

c) 1075

17. ¿Cuántos triángulos habrá en la figura de posición 19?

F(3) CEPREUNA–BIO–2013

a) 96 d) 144

a) 28 d) 30

16. ¿Cuántos cuadrados se obtiene en la posición número 50 de esta figura?

UNAP–ING–2007/2014

b) 88 e) 81

f (3)

f (2)

c) 399

Fig. 1 a) 190 d) 210

Fig. 2 b) 240 e) 200

Fig. 3 CEPREUNA–ING–2014

c) 120

79

JOHN MAMANI M. 18. ¿Cuántos puntos de intersección hay en la figura 20?

22. Dado el esquema: S1 = S2 =

Fig (1)

a) 490 d) 480

Fig (2)

b) 840 e) 449

S3 =

Fig (3) UNAP–ING–2012

c) 400

S4 =

19. Halle el total de palitos de fosforo en P(10). ¿Cuántas bolitas habrá en S12 ? a) 4095 d) 1645 F(1)

F(2)

F(3) CEPREUNA–BIO–2015

a) 440 d) 210

b) 220 e) 110

CEPREUNA–BIO–2014

b) 380 e) 400

c) 320

21. ¿Cuántas bolitas se contaran en la figura f(20)?

f(1)

f(2)

80

b) 1060 e) 1260

23. En la siguiente secuencia, calcular el número de circunferencias en la figura 20.

Fig (1)

Fig (2)

Fig (3) CEPREUNA–BIO–2014

a) 3

21

d) 3

−1

20

b) 2

21

e) 2

21

−1

c) 2

20

−1

24. Calcule la cantidad total de esferas que hay en el siguiente arreglo triangular

f(3) UNAP–BIO–2014

a) 1000 d) 1200

CEPREUNA–2007

c) 5155

c) 100

20. ¿Cuántos puntos de intersección se contaran como máximo al intersectar 20 circunferencias? a) 225 d) 256

b) 4810 e) 4050

c) 1160

1

2 3

48 49 50

UNAP–EXT–SOC–2015/CEPREUNA–SOC–2015

a) 1215 d) 1275

b) 1200 e) 1300

c) 1225

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 25. Se tiene la siguiente formación de ladrillos, cuantos ladrillos se contaran en total.

1

2

a) 250 d) 210

3

18 19 20

b) 710 e) 211

CEPREUNA–BIO–2012

2

a) 1395 d) 1590

29

b) 1585 e) 1251

1

c) 510

26. Calcular el número total de palitos usados en la construcción del castillo.

1

28. Calcule el número total de palitos que conforman la figura siguiente

2

3

a) 690 d) 906

4

27 28 29 30

b) 890 e) 899

c) 900

UNAP–2010

29. Halle el número máximo de triángulos que hay en la figura.

30

UNAP–SOC–2008/2014

c) 1495

27. Halle la cantidad de palitos de la figura.

1 a) 4851 d) 5253

2

3

4

47 48 49 50

b) 5000 e) 4735

CEPREUNA–ING–2014

c) 5050

30. ¿Cuantos ladrillos hay en total? 1 2 3

1

a) 14250 d) 15650

2

3

b) 13250 e) 15150

100 UNAP–ING–2015

38 39 40

c) 14650

a) 4000 d) 1800 Academia GAUUS

b) 1000 e) 2000

CEPREUNA–BIO–2013

c) 1600

81

JOHN MAMANI M. 31. En una hoja cuadriculada con 40 cuadraditos por lado, se traza una diagonal principal. ¿Cuántos triángulos como máximo podrán contarse en total? a) 120 d) 1640

UNAP–EXT–2014

b) 240 e) 1820

c) 1200

32. Según el siguiente el esquema ¿de cuántas maneras se puede leer la palabra SOCIALES?

794 793 793 d) 794

791 792 792 e) 793

b)

a)

c)

793 792

35. Si a la siguiente figura le trazamos 50 rectas paralelas a PQ al interior del triángulo. ¿Cuántos triángulos se contaran en total?

S O C I A L E S

S

a) 120 d) 128

I A

L E

C I

A L

E S

O C

S

A

L E

P

I A L E

S

a) 81 d) 163

L E

S

E S

S

CEPREUNA–SOC–2013

b) 200 e) 512

c) 256

33. ¿De cuantas formas se puede leer la palabra “NUMERO”? N U U M M M E E E E R R R R R O O O O O O a) 8 d) 32

b) 16 e) 36

UNAP–2006

34. Calcule: 792 791 792 + 790 791 + 

3 2

3+ 2+

1 1+

1 2

b) 144 e) 177

c) 153

36. Calcule la suma de todos siguiente arreglo: 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7     20 21 22 23 a) 6000 d) 7000

c) 24

Q CEPREUNA–BIO–2014

b) 8000 e) 5000

los números del 20 21 22 23   39    

UNAJ–2014

c) 9000

37. Calcula la suma de todos los siguiente matriz 3 5 7 1  3 5 7 9  5 7 9 11  9 11 13 7        99 101 103 105 a) 247500 d) 254700

b) 275400 e) 245700

elementos de la ... 99   ... 101  ... 103   ... 105     ... 

CEPREUNA–ING–2014

c) 274500

CEPREUNA–ING–2013

82

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M.

Sistemas de Numeración CAPÍTULO VI NUMERACIÓN Es la parte de la matemática que estudia la formación, representación y conteo de los números.

BASE DE UN NÚMERO n ≥ 2  abcd (n)   n > a, b, c, d

Sea: a(5a)b (b + 4) (c − 3) a ≠ 0, el número tiene 5 cifras.

 abc (10) = abc

Ejemplo 01 Si los números están correctamente escritos:

PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN Base 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Sistema binario ternario cuaternario quinario senario eptal octal nonal decimal

Cifras 0,1 0,1, 2 0,1, 2, 3 0,1, 2, 3, 4 0,1, 2, 3, 4, 5 0,1, 2, 3, 4, 5,6 0,1, 2, 3, 4, 5,6,7 0,1, 2, 3, 4, 5,6,7, 8 0,1, 2, 3, 4, 5,6,7, 8,9

2m3 (p) ; 54n (7) ; 213 ; 3p1 (m) (n) Hallar: m + n + p

Resolución Aplicando principios tenemos m< p ;n M.G. > M.H.

Si todos los valores son iguales, entonces: M.A. = M.G. = M.H.

Para 2 números:

a p + a 2 p2 + a 3p 3 +  + a n pn PP = 1 1 p1 + p 2 + p 3 +  + p n

Donde: a n = Cantidades (Notas; Precios; etc.) Pn = Pesos (Créditos, frecuencias; etc.)

2

(M.G.) = (M.A.)(M.H.) 2 2 (a = − b) 4  (M.A.) − (M.G.)    2

Ejemplo 07 Se muestra en el cuadro las notas de un estudiante de la Facultada de Ingeniería Eléctrica

VARIACIÓN DE LA MEDIA ARITMÉTICA  aumento y/o disminución   en la suma de datos    ∆M.A. = cantidad de datos

Ejemplo 06 El promedio de 5 números es 16, luego se aumenta a los tres primeros números dos unidades a cada uno y se disminuye al resto una unidad a cada uno. Calcule el nuevo promedio Academia GAUUS

Nota

N° de Crédito

1 2 3 4

12 15 14 13

4 3 5 2

Calcule su promedio

Además:  promedio   promedio  =    + ∆M.A.  final   inicial 

Curso

Resolución Calculando con promedio ponderado x p + x 2 p2 + x 3 p 3 + x 4 p 4 P.P. = 1 1 p1 + p 2 + p 3 + p 4 12(4) + 15(3) + 14(5) + 13(2) 4+ 3+ 5+ 2 189 P.P. = = 13, 5 14

P.P.=

475

JOHN MAMANI M. Ejemplo 08 El promedio de 6 números es 8 y el promedio de otros 4 números es 9. Hallar el promedio de todos los números.

Resolución Por promedio ponderado: Promedio=

6(8) + 4(9) = 8, 4 6+ 4

Ejemplo 09 En una clase de Razonamiento Matemático el promedio de 20 alumnos es 12, de otros 15 es 14 y de los restantes 27 es 15. ¿Cuál es el promedio de todos?

Resolución Por promedio ponderado: 20(12) + 15(4) + 27(15) Promedio= = 13,79 20 + 15 + 27 Ejemplo 10 Si la razón de la suma con la diferencia de dos números enteros positivos es 5/3 ¿calcular la media aritmética de los números? si su producto es 64.

Resolución: n1 + n 2 + n 3 + n 4 + n 5 + n 6 = 48 6 Como la menor edad es 46, para que uno tenga la máxima los otros deben tener lo mínimo. Luego: n (MAX) + 46 + 46 + 46 + 46 + 46 = 48 6 n (MAX) + 230 = 288

n (MAX) = 58

Ejemplo 12 La diferencia de dos números es 7 y la suma de su media geométrica y su media aritmética es 24,5. Hallar el exceso de su media aritmética sobre su media geométrica.

Resolución: Del enunciado: M.A (a,b) + M.G(a,b) = 24, 5 a+b + 2

a + b + 2 ab = 49

(

Resolución: Sean a y b los números (a>b) a+b 5 = ⇒ a = 4 b.......(1) a−b 3 ab = 64 ⇒ ( 4 b ) b = 64 ⇒ b = 4.......(2) (2) en (1): a = 4 b ⇒ a = 4 ( 4 ) ⇒ a = 16 16 + 4 M.A = = 10 (a,b) 2 M.A (a,b) = 10 Ejemplo 11 El promedio de las edades de 6 personas es 48, si ninguno de ellos es menor de 46 ¿Cuál es la máxima edad que podría tener uno de ellos?

476

ab = 24, 5

a+

b

)

a+

Del enunciado:

2

49 =

b= 7.......(1)

a−b= 7

7 ( a) −( b) = 7 ( a + b )( a − b ) = 7( a − b ) = 7 2

2

a−

Pide: M.A (a,b) − M.G(a,b) =

b= 1........(2)

(

a− 2

b

)= 2

1 2

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. PROBLEMAS DE PROMEDIOS 01. Calcular el promedio aritmético de los números 15; 19; 20; 35; y 46 a) 34 b) 17 c) 27 d) 38 e) 28 02. El promedio aritmético de 7; 9; 16; 23 y 45 es: a) 18 b) 20 c) 34 d) 46 e) 51 03. Calcular el promedio geométrico de 12; 6 y 24. a) 8 b) 10 c) 4 d) 12 e) 6 04. Calcular el promedio armónico de 1; 2: 3 y 6 a) 1,8 b) 2 c) 2,1 d) 3 e) 4 05. Luis Ángel obtuvo 14; 10 y 18 en tres evaluaciones. ¿Qué nota obtuvo en el cuarto examen si su promedio final fue de 15? a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 06. El promedio aritmético de a; b y c es 29. Si b es el promedio aritmético de 12 y 20, calcular (a+c) a) 72 b) 61 c) 71 d) 62 e) 51 07. El promedio aritmético de 30 números es 14. Si agregamos un número, el promedio se incrementa en 2 unidades. ¿Qué número estamos agregando? a) 75 b) 76 c) 77 d) 78 e) 79 08. Si la media armónica de dos números es 4 y su media geométrica es 12, ¿cuál es su media aritmética? a) 26 b) 36 c) 42 d) 34 e) 50 Academia GAUUS

09. El promedio aritmético de 60 números es 13,8. Si a cada uno de éstos se multiplica por 2,5 ¿cuál es el nuevo promedio? a) 32,4 b) 35,4 c) 36,5 d) 35,6 e) 34,5 10. ¿Cuál es el promedio de los 20 primeros números enteros positivos? a) 11,5 b) 12,5 c) 9,5 d) 10,5 e) 13,5 11. Si el promedio aritmético de 15; 40; B y 16 es 24, calcular el valor de “B”. a) 24 b) 25 c) 30 d) 40 e) 58 12. La media aritmética de 30 números es 20. Si se quita 2 de éstos cuya media aritmética es 48, ¿en cuánto disminuye la media aritmética de los restantes? a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3 13. Se sabe que la media aritmética de dos números es 5 y su media armónica es 24/5, calcular dichos números. a) 5 y 4,5 b) 8 y 2 c) 6 y 4 d) 6,5 y 3,5 e) 7 y 3 14. Calcular la media armónica de dos números cuya media aritmética es 20 y su media geométrica es 10. a) 10 b) 5 c) 8 d) 12 e) 6 15. El promedio de edades de cuatro personas es 44 años. Sabiendo que ninguno de ellos es menor de 36 años, ¿cuál es la máxima edad que podría tener uno de ellos? a) 65 años b) 67 años c) 44 años d) 68 años e) 86 años

477

JOHN MAMANI M. 16. El promedio geométrico de dos números es 12 y su promedio armónico es 4, calcular su promedio aritmético. a) 38 b) 20 c) 16 d) 24 e) 36 17. La media aritmética de dos números es 8. Si se cuadruplica el primero de ellos y se aumenta en 5 unidades el otro, el nuevo promedio sería 26. ¿Cuál es la diferencia de dichos números? a) 4 b) 2 c) 3 d) 5 e) 7 18. El promedio de edades de cuatro personas es 44 años. Sabiendo que ninguno de ellos es menor de 36 años, ¿cuál es la máxima edad que podría tener uno de ellos? a) 65 años b) 67 años c) 44 años d) 68 años e) 86 años 19. Si el promedio de tres números consecutivos es 12, calcular el promedio de los tres números consecutivos siguientes: a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 20. Un ciclista recorre desde su casa al trabajo a una velocidad de 120m/seg y de retorno por el mismo camino a una velocidad de 280m/seg. Hallar la velocidad media del recorrido. a) 168 b) 194 c) 200 d) 140 e) 175 21. Un automóvil viaja de Lima a Arequipa a una velocidad de 120km/hr y regresa por Cusco, Apurimac, Ayacucho llegando a Lima en el mismo tiempo, con una velocidad de 180km/hr. ¿Cuál es la velocidad promedio del recorrido? a) 150 b) 144 c) 136 d) 186 e) 140 22. La edad promedio de 10 personas es 40 años. Si ninguno tiene más de 44 años. ¿Cuál

478

es la menor edad que uno de ellos puede tener? a) 8 b) 7 c) 4 d) 5 e) 6 23. La edad promedio de 15 personas es 16, si ninguno tiene menos de 8 años, ¿cuál es la máxima edad que uno de ellos puede tener, si además todos tienen edades diferentes? a) 35 b) 40 c) 22 d) 37 e) 21 24. El promedio de 100 números es 47. Hallar uno de los números si el promedio de los restantes es 43. a) 443 b) 325 c) 54 d) 1201 e) 356 25. La media armónica de 40 números es 20 y la media armónica de otros 60 números es 15. Hallar la media armónica de los 100 números. a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 26. Durante el recorrido de 420 km se malograron dos de las llantas de un automóvil, por lo que se utilizaron 6 en lugar de 4. ¿Cuál es el recorrido promedio por cada llanta? a) 420 b) 280 c) 340 d) 70 e) 105 27. El promedio de un conjunto de números es un número “P”. Si se eliminan 31 números cuya suma es 527, el promedio de los números restantes sigue siendo “P”. ¿Cuánto deben sumar 23 números de tal manera que, agregado a los anteriores, el promedio sea “P”? a) 531 b) 297 c) 374 d) 451 e) 391 28. de Ingeniería y Administración rinden conjuntamente un examen de estadística, el promedio general es de 11,5; la media o promedio de los estudiantes de Ingeniería es Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 10,8, los 49 estudiantes de Administración obtuvieron un promedio de 12. ¿Cuántos estudiantes de Ingeniería rindieron examen? a) 42 b) 36 c) 32 d) 35 e) 28 29. El sueldo promedio de una empresa es $ 500, posteriormente se incorporan a la empresa un conjunto de empleados igual al 25% de los que trabajan inicialmente. El nuevo empleado ingresa a la empresa con un sueldo promedio igual al 60% del sueldo promedio de un empleado antiguo. Tres meses después la empresa concedió un aumento $ 70. ¿Cuál será el nuevo sueldo promedio de todos los empleados. a) $ 460 b) $ 530 c) $ 525 d) $ 480 e) $ 490 30. En una serie de 3 razones geométricas, la media geométrica de los promedios aritméticos de los términos de cada razón es 2. Hallar la media aritmética de la media geométrica de los antecedentes y la media geométrica de los consecuentes. a) 1,5 b) 3,5 c) 3 d) 2,5 e) 2

34. La edad promedio de 4 personas es de 25 años, si ninguno tiene menos de 18 años. Cuál es la edad mayor que podría tener una de ellas. a) 40 b) 45 c) 44 d) 43 e) 46 35. El promedio geométrico de 4 números pares distintos es 6 3. aritmético de ellos. a) 20 b) 16 d) 16 e) 10

Hallar

el

promedio

c) 18

36. El promedio aritmético de 5 números pares consecutivos es 24. hallar el promedio geométrico de la quinta parte del menor y la séptima parte del mayor. a) 5 b) 4 c) 6 d) 16 e) 18 37. El promedio aritmético de 30 números es 20. si se quita dos de ellos, cuyo promedio aritmético es 48, en cuanto disminuye el promedio aritmético. a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3

31. Un auto de Cusco a Puno lo hace a una velocidad de 80km/hr y de retorno lo hace a 20km/hr. Halle usted la velocidad promedio. a) 48 b) 49 c) 32 d) 30 e) 38

38. El promedio de 8 números es 12, si se aumenta a dichos números 1, 2, 3, . . . , respectivamente, ¿Cuál será el promedio de los nuevos números? a) 14 b) 14,5 c) 15 d) 16 e) 16,5

32. La edad promedio de tres personas es de 56 años, si ninguno tiene más de 59 años. Cuál es la edad mínima que podría tener una de ellas. a) 51 b) 52 c) 50 d) 54 e) 53

39. Un bebe recorre de su cuna a la cama de sus papis a una velocidad de 200cm/minuto, y retorna por el mismo camino a una velocidad de 300cm/minuto. La velocidad promedio es: a) 150 b) 240 c) 260 d) 280 e) 250

33. La edad promedio de 4 personas es de 35 años, si ninguno tiene más de 40 años. Cuál es la edad mínima que podría tener una de ellas. a) 25 b) 20 c) 28 d) 26 e) 29

40. El mayor de los promedios de dos números es 25 y el menor de los promedios es 24. Hallar el mayor de ellos. a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

Academia GAUUS

479

JOHN MAMANI M. 41. El promedio aritmético de dos números es 29 y su media geométrica es 20. Hallar el menor de ellos. a) 4 b) 5 c) 8 d) 11 e) 20 42. El precio promedio de 5 artículos es $ 50, si ninguno de ellos puede costar menos de $ 35. ¿Cuál es el mayor costo para uno de ellos? a) 100 b) 110 c) 120 d) 180 e) 80 43. El promedio de edad de 18 hombres es 16 años y la edad promedio de 12 mujeres es 14 años. Calcular el promedio del salón. a) 15 b) 16,2 c) 15,2 d) 15,1 e) 16,1 44. De los 20 integrantes de un club de tiro todos ellos aciertan de 25 tiros amas. ¿Cuál será la máxima cantidad de aciertos que uno de ellos puede obtener para que el promedio de aciertos del club sea 27? a) 27 b) 75 c) 55 d) 65 e) 54 45. En el aula A de un colegio hay 60 alumnos y en el aula B, 40. El promedio de notas en matemáticas de los alumnos del aula A es 15 y el de los del aula B es 17,5. Si se juntaran ambos salones en uno solo. ¿Cuál sería el promedio de notas en matemáticas de los 100 alumnos? a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 46. El promedio de edad de 5 personas es 46, si ninguna de ellas es menor de 44 años. ¿Cuál es la máxima edad que una de ellas puede tener? a) 45 b) 46 c) 48 d) 54 e) 56 47. En un aula de 230 alumnos la menor edad es de 12 años, la mayor es de 24 años y el promedio de las 18 edades intermedias es 16

480

años. Cuál es el promedio de todas las edades. a) 16,5 b) 16,2 c) 17,4 d) 16,6 e) 17,5 48. La edad promedio de 25 personas es 22 años. Calcular cuantas perdonas de las que tienen 25 años deben retirase para que el promedio de los restantes sea de 20 años. a) 10 b) 11 c) 20 d) 25 e) 15 49. Si tenemos 4 números enteros positivos, se seleccionan 3 cualesquiera de ellos y se calcula su media aritmética, a la cual se agrega el número restante, esto da 29. Repitiendo el proceso 3 veces más se obtienen como resultados 23, 21 y 17, la suma del menor con el mayor es: a) 15 b) 21 c) 24 d) 30 e) 33 50. Para un curso de química se tiene alumnos de primera matricula y alumnos de segunda matricula. Si la nota promedio de la sección fue de 15 puntos y el grupo de alumnos de primera matricula obtuvo nota promedio de 17 puntos y los de segunda matricula obtuvieron en promedio 12 puntos. ¿Qué porcentaje de los alumnos son de la segunda matricula? a) 30% b) 40% c) 50% d) 60% e) 80% 51. EL promedio de 50 números es 38; siendo 28 y 62 dos de los números, eliminando estos números el promedio de los restantes es: a) 36,5 b) 38 c) 37,2 d) 38 e) 37,5 52. El promedio de 50 números es 62,1, se retiran 5 números cuyo promedio es 18. ¿En cuánto varia el promedio? a) 5 b) 4,7 c) 5,7 d) 4,9 e) 3,9

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 53. El promedio aritmético de 60 números es 15. Si a la cuarta parte de ellos se les aumenta en 6 unidades y alas restantes se les disminuye en 4 unidades, el nuevo promedio aritmético es: a) 12 b) 12,5 c) 13 d) 13,5 e) 14 54. La media geométrica de dos números enteros A y B es 6 2. Se sabe que su media armónica y su media aritmética son dos enteros consecutivos. Entonces la diferencia en valor absoluto de dichos números es: a) 1 b) 6 c) 12 d) 18 e) 24 55. De 500 estudiantes de un colegio, cuya estatura es de 1,67m; 150 son mujeres. Si la estatura promedio de las mujeres es 1,60m. Calcular la estatura promedio de los varones del grupo. a) 1,70m b) 1,64m c) 1,71m d) 1,69m e) 1,68m 56. La suma de las edades de los alumnos de un salón de clases es 1800 y su promedio es 20. Si a cada hombre se le agrega 4 años y a cada mujer se le resta 2 años el nuevo promedio es 21. Hallar el número de mujeres. a) 354 b) 45 c) 48 d) 50 e) 55 57. Se ha mezclado 52 litros de alcohol de 60% de pureza con 48 litros de 85% y 50 litros de alcohol de 96%. ¿Cuál es la concentración media de la mezcla final? a) 80% b) 75% c) 88% d) 65% e) 72%

mezcla de 20 litros que cueste 9 soles cada litro. Cuantos litros de calidad B se debe comprar. a) 15 b) 14 c) 17 d) 13 e) 16 60. El promedio de 6 números es x. Si se retira el mayor, el promedio se reduce en 4 unidades. Halle la diferencia entre el promedio y el y el número mayor retirado. a) -24 b) 24 c) 20 d) -20 e) 30 61. La media aritmética de dos números enteros positivos es a la media geométrica de los mismos números como 13 es a 12. El menor de dichos números puede ser: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 62. La media aritmética de dos números es 5, y la media es 6. Hallar la suma de los cuadrados de los números. a) 36 b) 28 c) 10 d) 72 e) 30 63. La edad promedio de Juan, Héctor y Alberto es 22 años y ninguno de ellos tiene más de 23 años. ¿Cuál es la edad mínima que puede tener uno de ellos? a) 18 años b) 19 años c) 20 años d) 12 años e) 17 años 64. El promedio de 40 números es “n” y el promedio aritmético de otros 20 números es “(n-9)”. Calcular el valor de “n” si el promedio aritmético de los 60 números es12. a) 15 b) 18 c) 21 d) 24 e) 12

58. El mayor promedio de dos números es 40 y el menor promedio es 30. Hallar la diferencia de los números. a) 30 b) 20 c) 10 d) 40 e) 22 59. El litro de vino de calidad A cuesta 5 soles y el de calidad B, 10 soles. Se desea obtener una Academia GAUUS

481

JOHN MAMANI M.

01. La medida aritmética de tres números es nueve. Si el mayor de los números es el doble del menor y el intermedio es la medida aritmética de los otros dos, el menor de ellos es: CEPREUNA–2005

a) 14 d) 8

b) 12 e) 10

c) 6

02. Halle la media aritmética (MA) de m, n y p, si la MA de mn5 y 3(m − 2) p es mn5 . CEPREUNA–2008

a) 4 d) 2

b) 6 e) 5

c) 3

03. El promedio aritmético de cuatro números es 11 y cuando se les agrupa de 3 en 3 dichos promedios aritméticos son números pares consecutivos. ¿Cuál es el mayor de los cuatro números? CEPREUNA–2008

a) 10 d) 22

b) 30 e) 20

c) 18

a

a

04. Si el promedio geométrico de 2 , 4 , 8 2

2a

a

y

a es 32 , halle b b

CEPREUNA–2009

a) 5/2 d) 4/3

b) 2/5 e) 3/2

c) 7/9

05. El promedio de 12 números es 15; al agregar 2 números, el promedio aumenta en 5. Halle el mayor número agregado, si la diferencia de estos dos números es 50. CEPREUNA–2010

a) 75 d) 100

482

b) 25 e) 150

c) 50

06. Halle la media armónica de: 6 ; 12 ; 20 ; …… ; 552 CEPREUNA–2010

a) 48 d) 64

b) 52 e) 36

c) 42

07. Si la MA y la MH de dos números están en la misma relación que los números 49 y 9. Hallar el mínimo valor que puede tomar la MG de dichos números si esta es entera. MA (media aritmética) MH (media armónica) MG (media geométrica) a) 1 d) 5

b) 7 e) 6

CEPREUNA–2010

c) 3

08. El promedio de edades de cuatro personas es 48 años, ninguno de ellos es menor de 45 años. ¿Cuál es la edad máxima que puede tener uno de ellos? a) 60 d) 56

b) 61 e) 58

CEPREUNA–2011

c) 57

09. De 500 alumnos de la Escuela Profesional de Arquitectura, cuya estatura promedio es de 1,67m, 150 son mujeres. Si la estatura promedio de las mujeres es 1,60. Calcule la estatura promedio de los varones de dicha Escuela a) 1,67m d) 1,65m

b) 1,60m e) 1,70m

CEPREUNA–ING–2012

c) 1,75m

10. ¿Cuál es la media aritmética de dos números, si su media geométrica es 12 y su media armónica es 4? a) 26 d) 36

b) 46 e) 16

CEPREUNA–SOC–2012

c) 56

11. Se tiene 60 personas, cuyos pesos son números enteros en kilogramos. Sabiendo Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. que el promedio de los pesos es 50kg. ¿Cuánto puede pesar como máximo uno de ellos, si ninguno pesa menos de 48kg? a) 167 d) 178

b) 188 e) 169

CEPREUNA–BIO–2013

c) 168

12. La suma de dos números es 200 y su media geométrica es 40, la media armónica es: a) 18 d) 31

b) 16 e) 22

CEPREUNA–SOC–2013

c) 61

13. Halle a + b , si la media geométrica de 2; 4 ; 8; 16; …. ; 2 a) 7 d) 9

ab

es igual a 2048.

b) 10 e) 5

CEPREUNA–ING–2013

c) 3

14. Halle la media aritmética de: 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; ….; 60 a) 30,5 d) 27,5

b) 32,5 e) 28,5

CEPREUNA–ING–2013

c) 31,5

15. El promedio aritmético de las edades de 3 hermanos es 20 si sus edades están relación 5, 3 y 2, calcule la edad del menor a) 12 d) 30

b) 18 e) 15

CEPREUNA–SOC–2013

c) 10

16. El doble de la media aritmética de dos números es igual al cuadrado de su media geométrica más uno. Si uno de los números es 28 halle el otro número. a) 2 d) 5

b) 1 e) 3

CEPREUNA–SOC–2014

c) 4

17. Un tren recorre la distancia que separa dos ciudades (A y B) a una velocidad de 80km/h de ida y 120km/h de regreso ¿Cuál es la velocidad promedio del recorrido? a) 105km/h d) 110km/h

b) 100km/h e) 98km/h

Academia GAUUS

CEPREUNA–ING–2014

c) 96km/h

18. La media aritmética de dos números es 15 y su media geométrica es 12. Calcule la diferencia de dichos números. a) 25 d) 38

b) 18 e) 20

CEPREUNA–BIO–2014

c) 28

19. La media aritmética de dos números enteros positivos es a la media geométrica de los mismos como 13 es a 12. El menor de dichos números es: a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

CEPREUNA–SOC–2014

c) 4

20. Halle el promedio de los términos de la siguiente sucesión. 2 ; 6 ; 12 ; 20 ; …. ; 10100 a) 3636 d) 3434

b) 3131 e) 3838

CEPREUNA–ING–2014

c) 3333

21. Si la media armónica del 40% y el 60% de un número entero es 384, entonces halle dicho número a) 600 d) 350

b) 800 e) 900

CEPREUNA–SOC–2014

c) 400

22. El promedio de edad de 18 varones es 16 años y la edad promedio de 12 mujeres es 14 años. Calcular el promedio de edad del grupo UNAP–2004

a) 16,1 d) 15,2

b) 15,0 e) 15,1

c) 16,2

23. El promedio geométrico de 4 números pares distintos es 6 3 . aritmético de ellos. a) 30 d) 50

b) 60 e) 40

Halle

el

c) 20

promedio UNAP–2009

24. La media aritmética de 20 números es 40; cuando se considera un número más, la media aritmética disminuye en una unidad. ¿Cuál es el número considerado? UNAP–2011

483

JOHN MAMANI M. a) 19 d) 17

b) 15 e) 16

c) 18

a) 3 2 d) 2

25. La media aritmética de 30 números es 20, si se quita dos de ellos cuya media aritmética es 48 ¿en cuánto disminuye la media aritmética de los restantes? a) 2 d) 3

b) 1 e) 3/2

UNAP–SOC–2011

c) 5/2

26. En el aula A de un colegio hay 60 alumnos y en el aula B, 40 alumnos. E l promedio de notas en matemáticas de los alumnos del aula A es de 15 y el de B es de 16. S i se juntaran ambos salones en uno solo; ¿Cuál sería el promedio de notas de matemáticas de 100 alumnos? a) 15,2 d) 15,6

b) 15,4 e) 15,8

UNAP–EXT–2000

c) 15,5

27. Hallar la media geométrica de: 8 ; 16 ; 1/64 y 128 a) 6 d) 16

b) 8 e) 2

UNAP–EXT–2001

c) 4

28. El promedio de 50 números es 62.1; se retiran 5 números cuyo promedio es 18. ¿En cuánto varia el promedio? a) 5 d) 4,9

b) 4,7 e) 3,9

UNAP–EXT–2004

c) 5,7

29. La media aritmética de 200 números pares de 3 cifras es 699, de otros 200 números pares también de 3 cifras es 299 ¿Cuál es la media aritmética de los mismos números pares de 3 cifras no consideradas? a) 969 d) 498

b) 949 e) 721

UNAP–EXT–2008

b) 2 e) 1

c)

3

31. La suma de las edades de los alumnos de un salón de clases es 1800 y su promedio es 20. Si a cada hombre se le agrega 4 años y a cada mujer se le resta 2 años el nuevo promedio es 21. Hallar el número de mujeres. a) 35 d) 50

UNAP–EXT–2009

b) 45 e) 55

c) 48

32. Los siguientes datos corresponden al ingreso familiar de 20 familias de un barrio popular. Halle el ingreso promedio por familia. N° de familias Ingreso (S/.) 8 180 6 190 3 200 2 240 1 260 a) S/. 196 d) S/. 194

UNAP–EXT–2010

b) S/. 200 e) S/. 192

c) S/. 198

33. La media armónica de tres números es 9/19, si dos de ellas son 1/2 y 1/4, el tercer número es: a) 1/3 d) 13/3

UNAP–EXT–2011

b) 3 e) 9

c) 19/3

34. Si la media geométrica de: 4 ; 4 Halle “x”

2

a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

1

; 4

3

; ….. ; 4

x

es 512

UNAP–EXT–2012

c) 8

c) 953

30. Si la media aritmética y la media geométrica de dos números enteros positivos x e y son enteros consecutivos, halle

x−

y

UNAP–EXT–2008

484

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M.

Operadores Matemáticos CAPÍTULO XXIII MÁQUINA

Materia prima Números

+

Adición

−

Sustracción

×

Multiplicación

÷

División

Producto Terminado Resultado

Botones Operadores Proceso de producción Operación Matemática

OPERACIÓN MATEMÁTICA

NOTA:

Estructura matemática que relaciona operadores matemáticos con cantidades numéricas y/o literales mediante una llamada ley de formación o regla de correspondencia

Para resolver ejercicios con operadores matemáticos arbitrarios tenemos que conocer la definición del operador matemático, para luego comparar a la pregunta que se le hace, identificar, remplazar y resolver.

OPERADOR MATEMÁTICO Es aquel símbolo que representa a una operación matemática. Nos permite reconocer a la operación matemática a realizar con su respectiva regla de definición:

Ejemplo de operación arbitraria m ⊗ n= operador matemático

m

n

+ 6m + 5n regla de definición

 Operadores Matemáticos clásicos: + ; − ; × ; ÷ ;

; ∑ ; π ; 

Calcular: 3 ⊗ 2 n

m ⊗ n= m + 6m + 5n

 Operadores Matemáticos arbitrarios ∗ ; ⊕ ; ∆ ; ⊗ ; %; # ; θ ; 

Academia GAUUS

2

3 ⊗ 2 = 3 + 6(3) + 5(2) = 37 3⊗ 2 = 37

485

JOHN MAMANI M. TIPOS DE OPERADORES MATEMÁTICOS  DEFINICIÓN SIMPLE

Son aquellas que solamente hay que reconocer los elementos, remplazar y operar. Ejemplo 01 Se define en  : a ∗ b = 3a − 2b + 5 Calcule: 4 ∗ 2

3

128 ⊗ 243 = 2 ⋅ 4 ⊗ 3 ⋅ 3 2

128 ⊗ 243 = 4 +3 128 ⊗ 243 = 5

4

2

Ejemplo 04 Se define: x + 3 = 4x + 8

Resolución Remplazando en la regla de definición a ∗ b = 3a − 2b + 5 ↓ ↓ 4 ∗ 2= 3(4) − 2(2) + 5 4∗2 = 13

Hallar: 8

Resolución Dando la forma de la regla de definición x=5 8 = 5 + 3 = 4(5) + 10 = 30

Ejemplo 02 Definimos en  : m # n =

3m − n m+n

 DEFINICIÓN CON CONDICIÓN

Calcule: 4 # 4

Resolución Remplazando en la regla de definición 3(4) − 4 ∴ 4#4 = 4+4 8 4#4 = 8 4#4 = 1  DEFINICIÓN EXPLÍCITA

Ejemplo 03 De acuerdo a: b

a

2a ⊗ 3b =

Calcular: 128 ⊗ 243

En este tipo de ejercicio la operación tiene 2 o más “Reglas de operaciones” a elegir según algunas condiciones que deben reunir las variables. Ejemplo 05 Se define: a+ 3 , si: "a" es impar  a = 2  a + 4 , si: "a" es par  2 Hallar: 8 + 13

Son aquellos en las que antes de remplazar y operar, hay que darle la forma de la definición a lo que nos piden para poder reconocer los elementos a remplazar.

486

Resolución Dando la forma de la regla de definición

2

a +b

2

Resolución De la expresión 8+ 4 = 8 = 6 ; puesto que 8 es par 2 13 + 3 = 13 = 8 ; puesto que 13 es impar 2 Piden:

8 + 13 = 6 + 8 = 14

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. Ejemplo 06 Sabiendo que:

Resolución

 5a − 3b; si: a < b a∗b =   3b − 5a; si: a ≥ b Calcular: (2 ∗ 1) ∗ (1 ∗ 2)

Resolución Calculemos (2 ∗ 1) puesto que 2 > 1 , entonces utilizaremos: a ∗ b = 3b − 5a

2 ∗ 1 =3(1) − 5(2) =− 7 Calculemos (1 ∗ 2) puesto que 1 < 2 , entonces

Primero calculemos y ∗ x , invirtiendo términos en el dato: y ∗ x= 2( x ∗ y) + y Luego, remplazamos lo obtenido en la expresión original, obtenemos: x ∗ y= 2(y ∗ x ) + x ∗ y 2  2( x ∗ y) + y  + x x= Luego despejamos ( x ∗ y) x ∗ y= 4( x ∗ y) + 2 y + x − 2 y − x = 3( x ∗ y) Entonces nuestra regla definición es:

utilizaremos: a ∗ b = 5a − 3b

−2y − x x∗y = 3

1 ∗ 2 =5(1) − 3(2) =− 1 Remplazando, tenemos: A = (2 ∗ 1) ∗ (1 ∗ 2) A = −7 ∗ −1 Luego,

calculemos

(− 7 ∗ − 1)

puesto

que

− 7 < − 1 , entonces utilizaremos la definición: a ∗ b = 5a − 3b A = −7 ∗ −1 A = 5(− 7) − 3(− 1) A = − 32  DEFINICIÓN IMPLICITA

La regla de definición aparece en función de la misma operación matemática, es decir, en la que no se puede hacer un remplazo directo del valor de los componentes de la operación, sino que es necesario hacer un despeje previo para conseguir una operación con regla de definición explícita o, a veces, asignar valores que nos permitan conseguir lo pedido sin obtener previamente la regla de definición explicita. Ejemplo 07 Si:

x ∗ y= 2(y ∗ x ) + x

Calcular: 5 ∗ 8 Academia GAUUS

Remplacemos la incógnita en la regla de definición. − 2(8) − 5 5∗ 8 = 3 5 ∗ 8 =− 7 Ejemplo 08 Si:

a ∗ b= 3(b ∗ a) − 5b

Calcule: E = (7 ∗ 5) +

3 4

Resolución Primero calculemos b ∗ a , invirtiendo términos en el dato: b ∗ a= 3(a ∗ b) − 5a Luego, remplazamos lo obtenido en la expresión original, obtenemos: a ∗ b= 3(b ∗ a) − 5b a ∗= b 3  3(a ∗ b) − 5a  − 5b Luego despejamos (a ∗ b) a ∗ b= 9(a ∗ b) − 15a − 5b 15a + 5b = 8(a ∗ b) Entonces nuestra regla definición es:

15a + 5b a∗b = 8

487

JOHN MAMANI M. Aplicando esta definición en “E” 3 E = (7 ∗ 5) + 4  15(7) + 5(5)  3 = E  + 8   4 130 3 = + E 8 4 75 3 = + E 4 4 E = 17  SIN DEFINICIÓN

La regla de definición no aparece como dato ni explícitamente, ni implícitamente; en este caso tendremos que hacer uso de mucha creatividad e ingenio, pues el resultado se puede obtener de muy diversas maneras, veamos algunos de ellos: Sumar los números dados Restar los números dados Promediar los números dados Multiplicar los números dados Dividir los números dados Realizar operaciones entre los dígitos que componen cada número y luego operar ambos resultados Realizar una operación entre el dígito de un número y un dígito del otro; operar, luego, el dígito sobrante de uno de los números con el dígito sobrante del otro y operar, finalmente, ambos resultados. En resumen, realizar la mayor cantidad posible de operaciones con los datos dados hasta obtener una regla adecuada que se cumpla para todos los casos dados como información. Dicha regla no debe fallar en ningún caso. En fin, la lista de posibilidades puede ser muy amplia y tan solo la práctica constante nos permita visualizar, en forma rápida, la regla de definición de la operación matemática utilizada.

Resolución Observamos atentamente, lo que ocurre con los números operados, así: 23 ∗ 42 = 2 × 2 + 3 × 4 = 16 35 ∗ 16 = 3 × 6 + 5 × 1 = 23 64 ∗ 71 = 6 × 1 + 4 × 7 = 34 Luego la regla de definición es: ab ∗ cd = a × d + b × c Calculemos lo que pide: A = 59 ∗ 86 = 5 × 6 + 9 × 8 = 102 Ejemplo 10 Se tiene:

72 #10 = 56 48 #15 = 54 100 #1 = 52 Calcule: A = 12 # 40

Resolución Observamos atentamente, lo que ocurre con los números operados, así: 72 72 #10 = + 2(10) = 56 2 48 48 #15 = + 2(15) = 54 2 100 + 2(1) = 52 100 #1 = 2 ⇒ La regla de es:

m #= n

m + 2n 2

Calculemos lo que pide: 12 A= 12 # 40 = + 2(40) = 86 2

Ejemplo 09 Dado:

23 ∗ 42 = 16 35 ∗ 16 = 23 64 ∗ 71 = 34 Calcule: = A 59 ∗ 86

488

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. OPERADORES MATEMÁTICOS I Calcular: (4 # 6)%(6 # 2) a) 1 b) 2 d) 4 e) 5

PROBLEMA 01 2

Si: aθ= b a − 3b Hallar: (2θ1) + (4 θ 2) a) 11 b) 12 d) 14 e) 10

c) 13

c) 3

Resolución 2x − y 2

De la primera condición: x # y =

Resolución

M = (4 # 6)%(6 # 2)

2

Con la condición: aθ= b a − 3b = M (2θ1) + (4 θ 2)

 2(4) − 6   2(6) − 2  M= %  2 2     M = 1%5

2 2 M =  2 − 3(1)  +  4 − 3(2)      M= 1 + 10 M = 11

x+y 2

De la segunda condición: x % y =

PROBLEMA 02

Definidas las operaciones: 2x − y x+y ; x %y = x#y = 2 2

M = 1%5 1+ 5 M= 2 M=3

¡Comprueba lo que sabes! 01. Se define: a Ω b = 2a + 3b

04. Si: a∆b= a + b

Calcule: 5 Ω 8 a) 32 d) 30

b) 34 e) 38

c) 36

02. Se define: x #= y 2x − y Hallar: 3# 4 a) 1 b) 2 d) 4 e) 5 03. Si: a # b =

Academia GAUUS

c) 5

2

05. Se define: f ( x ) = x + 5 x − 2 c) 3

a + 2b a−b

Calcular: 6 # 4 a) 5 b) 6 d) 8 e) 9

Hallar el valor de: 7 ∆ 9 a) 3 b) 4 d) 6 e) 7

Hallar: f ( 2) a) 5 2

b) 3 2

d)

e) − 2

2

c) 2 2

2

c) 7

06. Si: f ( x ) = x − 3 x + 1 Hallar: f (4) − f (3) − f (1) a) 5 b) 6 d) –1 e) 0

c) 1

489

JOHN MAMANI M. 07. Si: m ∗ n= 3m + n 6∗2 Calcular: E = 4∗2 a) 7/10 b) 3/5 d) 10/7 e) 8/9

c) 5/7

2

c) 8

2

09. Si: a%b = a + 3b Calcular: (2%2) + (3%3) a) 27 b) 74 d) 36 e) 18

c) 0

2

10. Si: m ⊗ n= m + 3n + 1 Calcule: I = (2 ⊗ 1) + (2 ⊗ 3) a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 b

a

b

a

11. Se define : a ∗ b= a − 2 Calcular: (1 ∗ 2) + (2 ∗ 1) a) 3 b) 6 c) –1 d) –6 e) –3 2

= n 2m − n 12. Si: m∆ Calcular el valor de: (3∆ 2)∆1 a) 3 b) 7 c) 8 d) 9 e) 4 13. Si: a #= b 7a − 13b Calcular: E = (4 # 2)#(2 #1) a) 1 b) 3 c) 2 d) 0 e) 4 14. Si: a ⊗ b = 5a − 3b Calcular: (5 ⊗ 2) ⊗ (3 ⊗ 1) a) 30 b) 35 d) 56 e) 61 15. Si: a∆ = b a+b Hallar la raíz cuadrada de:

490

x y + y x 5 Hallar: (1@ 2)@ 2 a) 0,5 b) 1,5 d) 3 e) 4

16. Si: x @ y=

08. Si: a ⊗ b = a − b Calcular: (3 ⊗ 4) + (2 ⊗ 1) a) 5 b) 7 d) 9 e) 10 3

P = (4 ∆7)∆(25 ∆ 8) b) 2 c) 4 e) 25

a) 16 d) 5

c) 59

c) 2

17. Si: m ⊕ n= 2m + n y m ∗ n= 3m − n Calcular: (6 ⊕ 4) − (4 ∗ 2) a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 11 18. Si: m = n 5m − n y a ∗ b = 3a − b Calcular: (2 ∗ 3) ∗ (14) a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 12 19. Si:

a = b 3a − b

2

2

a = b a +b Calcular: E = (2  1)  (1  2) a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10 20. Si:

x %y =x + xy + y 2

2

x ∆y = x + xy − y Calcular: I = (2%4)%(3∆ 2) a) 124 b) 168 c) 153 d) 160 e) 179

21. Un comando para descifrar mensajes utiliza el operador M (mensaje) que aplicado a una palabra devuelve: Por cada consonante, la consonante inmediata posterior y por cada vocal, la vocal inmediata anterior. Al descifrar M(IK SOFQI). ¿Qué mensaje recibió?. a) EL TURNO d) AL FINAL b) EL TIFON e) EL TACHO c) EL TIGRE

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 22. Si el operador ∇ aplicado a una palabra devuelve el número de sílabas de la palabra. Hallar: ∇(estudio) + ∇(Razonamiento) ∇(Leo) + ∇(Trilce) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 23. Si: a ∗ b = (b + a)b Hallar el valor de “m”: (3 ∗ 2) + m = (2 ∗ 3) a) 5 b) –5 c) 3 d) –3 e) 4 2

24. Sabiendo que: a∆= b a + 2b Además: (m = Θn) (m∆n) + 1 Calcular: (M = 7 Θ(5Θ(4 Θ 3)) a) 70 b) 194 c) 250 d) 36 e) 195 a∗b ; a ≠ −b a+b Además: x ∗ y = x − 2 y Halle: 6 ∆ 2 a) 2/3 b) 1/4 d) 4/5 e) 1/9

25. Si: a∆b =

26. Si: a∆b = a ∗ a + b Además: x ∗ y = x − 2 y Halle: 6 ∆ 2 a) −4 b) −3 d) 1 e) 2

Calcular: 6 ∆ 2 a) −1 b) 1/2 d) 3/2 e) 2

Academia GAUUS

a ∗ b = ab ⊗ (a + b) a ⊗ b = 2a + b Calcular: 2 ∗ 3 a) 12 b) 14 d) 17 e) 19

29. Si:

c) 16

a∗b = a− b m +1 m∆= n n

5 Halle “x” en: (4 ∗ 5)∆x = 6 a) 1 b) 3 c) 6 d) 11 e) 8

30. Se define la operación (%), para cualquier par de números reales “a” y “b”, como 2

a%b = a − ab Calcular el valor de “x” en: ( x + 2)%( x − 1) = 5x a) 1 b) 3 c) 4 d) 2 e) 5 2

c) 1/6

31. Si: a ∗ b = a − ab Hallar “x” en: ( x + 2) ∗ ( x + 1) = 3 x − 4 a) −6 b) −3 c) 6 d) 3 e) 4

c) 4

32. Si: p%q = 2p + 5q Halle " x " para que cumpla la igualdad: (2 x − 2)%(4 x + 2) = 9%( x − 10) a) –1 b) 1 c) 2 d) –2 e) 3

27. Definamos las operaciones “S” y “∆” como : 2a − b aSb= 2 a∆b=

28. Si:

a S 4b 2

c) 1

33. Si: a ∗ b = 2a + b Hallar “x”: ( x ∗ 3) ∗ (1 ∗ 2) = 14 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5 34. Si: m ∗ n = p + 2 ⇔ p ⋅ n = m − 1 Encontrar el valor de “x” en: x ∗ 7 + ( x + 1) ∗ 7 = (6 ∗ 5) + 8 a) 10 b) 35 c) 20 d) 30 e) 25

491

JOHN MAMANI M. 35. Se define las siguiente operación 2

= a # b ab (a + 2) Si: a= x + 3 y b= x + k Hallar “k”; k>0, si el termino independiente de a # b = 60 a) 3 b) 5 c) 4 d) 2 e) 6 2

2

36. Si: a ∗ b = a − b Además: 8 ∗ θ = 39 Hallar " θ " , si se sabe que es positivo. a) 2 b) 4 c) 5 d) 3 e) 6

a+b a−b − 2 2 Además que: 15 S b = 5 Hallar: 6 S b a) 7/3 b) 1/6 c) 7/2 d) 5/6 e) 5

aSb =

3

3

a −b 40. Si: a ∗ b = 2 2 a + ab + b m

a) 0 d) 1

b

Además: m # n = n 1 Calcule: = A   #(102 ∗ 38)  3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

43. De acuerdo: − n − m + n + m − n − m + n + m⊗n = m 

( (1⊗ 7)

9⊗ 9  3⊗15   

 

b) 0 e) 3

Si: x∇ x = a) 1 d) 4 2

)

2⊗16

45. Si: a α b = a

  

17 ⊗1

  

c) 1

44. Se define: a∇ b = a

b −1

; halle " x ",

2∇ 3 b) 2 e) 5

c) 3

b

Hallar “x” en: ( x α x )2 = a) 2

−6

b) 2

−1

d) 2

−8

e) 2

−3

a 46. Si: a ∗ b =    b

2 c) 2

−4

b+1

Encontrar el valor de x

2

en:

x∗ 2 = 2 a) 2 d)

492

a

42. Si: a ⊗ b = a + b Hallar el valor de: (− 2) ⊗ (1 ⊗ (0 ⊗ (1 ⊗ (2 ⊗ (3 ⊗ ))))) a) –3 b) –1 c) 15/4 d) 4 e) 17/4

a) 4 d) 2

38. Si se cumple que:

3

2

(4 x + 3 x )%( x + 3 x ) =+ 1 2x b) 2 c) 3 e) 1/2

   E    =   

c) 32

39. Se define: a∆b= a b + 1 + b − 2ab Hallar: 2013∆ 2012 a) 2012 b) 0 c) 1 d) 2013 e) 2

b ; resolver en  :

Calcule:

2

2

a+ 2

(m + n) sumandos

37. Sabiendo que: m ∗ n= 3m − 2n Además: 2 ∗ a =− 2 Hallar: a ∗ 2a a) 4 b) 16 d) 64 e) 128

41. Si: a%b =

2

2 +1

b) 1

c)

2

e) 0 Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. b

47. Se define: a #= b a ×b Hallar: a + b

4

4

a) 2 d) 2

b) 4 e) 6

53. Se define:

a

( x ⊗ y)

c) 8

48. Se define: m θ n = m n Hallar: 10 θ ( xyz)

d) x

49. Si:

3

b)

x

e) x

6

c) x

2

2 2 (3a ⊕ 2a )

b≠0 d≠0

50. Si: a ⊗ b = M ↔ a = b Hallar “x” en:

51. Si

entonces:

b = 16, es: a) 8π d) 16π

y

b) a

d) a

−2

e) a

7

c) a

entonces

2 2 2 a) −  (b + b + 1)(a + b + b + 1) + a   

2

2

b) (b + b + 1)(a + b + b + 1) + a 2

2

2

2

2

d) (b + b + 1)(a + b + b + 1) − a x −1

2

2

2 2 2 e) −  (b + b + 1)(a + b + b + 1) − a   

⊗ 9) c) 3

2

a= b

[ (a  b) ∗ (a ∗ b)] 18π

8

2

c) −(b + b + 1)(a + b + b + 1) + a

= ⊗ 3 2(4 b) 2 e) –2

a∗b = πab

2

2

M

x +1

a) a

55. Si: a ∗ b = ab − a − b , a ∗ (b ∗ (b + 1)) es igual a:

 n − 1   n − 1   n   Halle:   ∆  ∆   n   n   n − 1   a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

a) 1 d) –3

2

Hallar: (5 ⊗ 3)

1 a+ a c b ∆ = 1 b d c+ d

2

2

a⊗b= a − b a⊕ = b log 2 (a − b)

54. Si:

Si: 2= θ x 3= θy 5θz a) x

(y − x )

x= y ; x ≠ y ∀ x, y Calcular el valor de: (2 ⊗ 5)(5 ⊗ 2) R= (99 ⊗ 100)(100 ⊗ 99) a) –6 b) 6 c) 9 d) –9 e) 12

2

en a # b = 2

a+b + 2

ab

, para a = 4 y

b) 24π e) 4π

c) 64π

56. Si: f ( x= ) x ( x − 3) + 3( x + 1) − 4 Determine −

E=

8 27

f ( x)

1/ 3

[ f ( x − 1)]

1 1 f  3  3 1/ 3

+ [ f ( x + 1) ]

20

Para: x= 2 × 10 a) 1/2 b) 1/4 d) 1/32 e) 1/16

c) 1/8

52. Se define: a

a∆b

Calcular: 2 ∆ 4 a) 1 b) 2 d) 8 e) 0 Academia GAUUS

=b

log

a

b

c) 4

493

JOHN MAMANI M. OPERADORES MATEMÁTICOS II PROBLEMA 01

PROBLEMA 02

Se define:

2

Si: = A 2A − 5 Hallar:= V

n= 3n − 1

2 +3 3

a) 1210 d) 1021

m= 2m + 1

b) 1012 e) 2011

c) 2101

Calcular:

5

a) 4225 d) 400

Resolución

b) 65 e) 100

2 +3 3

Se pide el resultado de:

Para calcular lo pedido, hallaremos primero 2

c) 36

Resolución Calculemos a partir de las reglas de definición:

y 3 a partir de la regla de definición. 2

5

= A 2A − 5

= 2(5)+1

2

= 2 2(2) −= 5 3

= 11

2

= 3 2(3) −= 5 13 =

Remplacemos en la incógnita: = V

= V

3(11) − 1

=

2 +3 3

= 32 2(32) + 1

= 65

3 + 3 13

2 V= 13 + 3  2(13) − 5    ∴ V= 1012

¡Comprueba lo que sabes! 01. Se define el operador:

02. Se define: = x x( x − 1)

2

a= a − 3a

Calcular: a) 10 d) 8

Hallar: 10 + 9

4 − 3

b) 25 e) 5

c) 4

a) 70 d) 80

b) 162 e) 50

c) 90

03. Sabemos que: 2

m = m −1

494

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. Calcular el valor de: a) 6 d) 12

a) 8 d) 10

2

b) 8 e) 15

c) 10

b) 11 e) 4

c) 0

09. Sabiendo que: 2

x= x + 3

04. Se define el operador:

x= 5 x − 4

x= 2 x − 5

Calcular: Calcular:

4

a) –3 d) 0

b) 3 e) 7

c) 1

a) 36 d) 53

b) 39 e) 64

n =(n − 1)(n + 1) 2

x = x − 2x + 1

b) 48 e) 72

c) 56

x =

a) 3 d) 1

c) 4

07. Sabemos que: a = 3a

c) 8

5

Calcular: a) 51 d) 400

b) 65 e) 101

c) 100

n= 2n − 3

÷ 1 3

b) 43 e) 56

8

12. Se define:

Determine el valor de:

08. Si:

b) 9 e) 5

m= 2m + 1

b) 9 e) 2

a) 45 d) 41/3

a) 6 d) 7

n= 3n − 1

 → 400 operadores

3



2

11. Se define:

x+1 x −1 Calcule el valor de:

06. Si:

= m m(m − 1) Halle:

3

a) 36 d) 64

c) 42

10. Si se sabe que:

05. Si se sabe que:

Calcular:

2

n= 3n − 5

c) 30/2

Calcular: a) 1 d) 5

a = a ; ∀a∈ 

2

+ 3 b) 3 e) 6

c) 4

13. Se defínelos operadores: Halle:

1

+

2

+ 3 + 4

x= 2 x − 3 x= 3 x − 4

Academia GAUUS

495

JOHN MAMANI M. −

Evaluar:

2

a) 3 d) 1

b) 9 e) 2 ∗

14. Si: m= (m + 2) Además: a

∗

c) 8

2

c) 1

15. Se define:

b

2n + 5 n + 1 − 3 4 2

b) 2 e) 0

x =2

c) 14/5

Además: x = 1, 5

29 Calcular: 3 4

a) 3 d) 4

b) 19/4 e) 16/5

19. Si: = n

2

a = 2, 5

Hallar “a” en: a) 24/5 d) 1/5

= 16 a

3x + 2 x − 4 3

18. Se define: = x

2

x−2 n

Además: = ∫x a

x = 64

;

x − 64

1 n+ 1 n+ 1 b −a n+1

Hallar: 6

3 +∫x

Hallar:= E 5x + 1 a) 5/6 b) 6/5 d) 7/6 e) 1 3

x + 27

20. Se define: x =

2

x − 3x + 9 Calcule el valor de:  → 20 operadores

1



a) 61 d) 58

2

c) 6/7

b) 64 e) 60

c) 67

3

a) 64 d) 1/64

b) 0 e) 65

c) 1

= a 2= a y a

Calcule:

a+1 3

5 + 8 + 11 b) 18 e) 40

17. Se define:

c) 24

Calcule: 2 ∗ 3 + 5 − 6 a) 15 d) 17

b) 14 e) 20

c) 5

22. Se tiene los operadores: 2

Calcular el valor de: M = 1 % 3

Calcule:

a) 2/3 c) 1/4

a) 1 d) 4

496

+ 3

x = 2x

a + 5a a 2= a y a 3 x Además: x %y = y

b) 6/4 e) 4

a

x = 2x

16. Sea el operador:

a) 12 d) 32

21. Se define: a = ∗b

c) 3/4

x

x

−x

x

−x

x

=

e +e 2

x

=

e −e 2

2

− b) 2 e) 5

x

2

c) 3 Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. ( x + 136)

23. Si: x = ( x − 135)

∀x ∈ 

a =⋅ a

28. Si:

Calcular:  23  16      9     2 A = ......     ......                

a −1

Calcular: a

( )

40 exponentes

a) 0 d) 2

b) 1 e) –2

24. Si: x = a) x d) –x

c) –1

x −1 ; entonces x+1 b) –1/ x e) 1/ x

x , es: c) 2x

a) a

b) a

d) 1

e) a − 1 4

x x

1 + 2

Calcule:

1 + 2

1 + 2

b) 2 e) 5

c) 3/4

3

9

 x  =a + b x − 1

Además:

  

Calcule: 8

9 operadores

a) 2 d) 16

b) 1 e) 8

c)

2

x

26. Se define x = x − 3 Determine el valor de:

Calcule: ab a) 32 d) 256

4

b) 2 e) 1/4

2

4

x= x + 4

c) 4

2

b = b − 2b + 2 2

m

Si: M = 18 × 18 × 18

Calcule: M = 99 × 98 × 97 ×  × 3 × 2

Academia GAUUS

c) 128

a = a + 2a + 2

27. Si: m = m − 1,

b) 4 e) 0

b) 64 e) 1024

31. Se define que:

7 × 10 × 13 × 16

a) 2 d) 1

2

30. Sea: x= 2 x + 1

x 

a) 1 d) 1/2

c) 0

29. Si: x = x − x − x

a) 1/4 d) 4

25. Se define: x =

a −1 ⋅ a ⋅ a −1 ⋅ a ⋅ a −1 ⋅a

c) 3

Calcular: M − 328 a) 18

4

4

b) 18 − 18

4

3

2

2

c) 18 − 8

4

d) 18 − 1

e) 18 (18 − 1)

497

JOHN MAMANI M. OPERADORES MATEMÁTICOS III PROBLEMA 01

PROBLEMA 02

Sea el operador:

Se define:

a = a 3 − 2bc b c

Hallar “m” en:

Calcule: 2 + 2 1

a) 11 d) 13

3 4 3

4 6 5

+

b) 9 e) 1

c) 12

4 1 3 n 5 1 + = 6 5 1 m n m a) 4 d) 1

b) 7 e) 5

Calculemos con la regla de definición.

Calculemos con la regla de definición. 2 2 1

E=  2 E=

3

3 4 3

+

+

4 6 5

4 1 3 n 5 1 + = 6 5 1 m n m 4(5) − 6(1) + 3(m) − 1(n) = 5(m) − n(1) 20 − 6 + 3m −= n 5m − n

3 3 − 2(2)(1)  +  3 − 2(4)(3)  +  4 − 2(6)(5)      

[ 4]

[ 3]

+

c) 9

Resolución

Resolución E=

a c = ad − bc b d

14 + 3m = 5m m=7

[ 4]

+

E = 11

¡Comprueba lo que sabes! 01. Si: b a c

Calcular: a) 2 d) 6

=

a) 2/7 d) 6/5

2a + b − c 2

c) 5/3

03. Se define el operador:

4 3 2

a = b

b) 4 e) 8

c) 5

02. Se define el operador:

b

Calcule: 5 9

498

b) 7/2 e) 8

a+b = a−b a

a+b a−b − 2 3

Hallar el valor de: 6 a) 2/3 d) 6/3

b) 4/3 e) 8/3

2 c) 5/3

04. Sabiendo que: a b c = ad + be − cf d e f Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. Cuál es el valor de: 4 5 6 6 3 7 + 3 2 1 4 5 4 a) 24 d) 28

b) 27 e) 32

c) 17

a) 22 d) 28

b) 36 e) 45

08. Se define:

b a

05. Se define el operador: a = 4a − 3b b

c

3

2

4

a) 91 d) 92

5 ×

2

3

c) 64

=

a) 27 d) 28

b) 26 e) 29

c) 24

Calcular: 1 2 3

6 3

1

6

2

2

b) 44,5 e) 48

2 3 4

1

4

4

3

3

c) 45

a) 44 d) 42

2

b) 47 e) 45

c) 48

10. Si:

07. Se define:

a b

= 3a + 2b + c

c Hallar:

3

a 2 = b − ac b c

ab − abc 2

Calcular:

a) 40 d) 43

1

2

09. Si se cumple:

06. Sea el operador:

a c

1

1

3 2

b) 62 e) 63

b

= 3a − 2b + c

Calcular:

Determine el valor de: 1 3

c) 20

1 5

a = a+ b+c b c a =a

2

Halle el valor de: 1

7 Academia GAUUS

1 −2

1 −3

499

JOHN MAMANI M. a) 16 d) 9

b) 1 e) 169

Calcular: a) 6 d) 12

H

−1

1 11. Si: = x y 3  x

4 2

15. Si:

c) 4

1 − 2  y

P

−1

n 3

5 3

b) 8 e) 9

= 14

Calcular:

5

c) 10

n a) 125 d) 81

12. Se define el operador:

a+b a−b − 3 5 2 Hallar “n” en: n 4 = 3 a) –11 b) 12 c) 11 d) –12 e) –8

a = b

2

b) 120 e) 60

c) 205

+

16. Se define en  : a b =

2

2

2

2

a + 2ab + b a − 2ab + b

Calcular: a+ b+c c = a b 2

x y

a) 100/121 d) 100/81

Además:

b) 144/121 e) 121/81

c) 16 a −2

4

17. Sea el operador: y a = y y

= 12

x 5

Donde: n

Calcular el valor de:

x x b) 6 e) 12

2

3 = 81

−8

−3

−1

Calcule el valor de “n” a) 3 b) 9 d) 1/9 e) 1/3

2

c) 8

c) 81

18. Si: y

a b 14. Definimos: = ad − bc c d

500

x 1 1 2 x 1 − = 2 x 3 x 2 4 3 b) –3 c) –2 e) 3

y 2

2

x= x − y

Halle el mayor número que satisface la ecuación.

a) 4 d) –1

; a≠b

Además: 2 x = 9∧ y 6 = 16

13. Si:

a) 4 d) 16

P + H + 15 2

=

Además: 3

0 1

x= y − x

m

 m  = −   5 

Calcule “m” si m ∈  a) 1 b) 2 d) 4 e) 5

   + 10   

+

c) 3 Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. OPERADORES MATEMÁTICOS IV PROBLEMA 01

PROBLEMA 03

Definimos en  la siguiente operación:

Se define la operación:

3

2

a ⊗ b = 3b − 2a Calcule: 27 ⊗ 16 a) 2 b) 3 c) 6 d) 5 e) 4

2

4

3

2

2b ∗ a = b + a Calculemos: 32 ∗ 81 a) 72 b) 73 c) 74 d) 75 e) 76

Resolución

Resolución

Observamos que para identificar los valores que Dándole forma la incógnita corresponden a “a” y “b”, debemos previamente 2 4 32 ∗ 81 =2 ⋅ 4 ∗ 3 darle forma a 27 y 16 de acuerdo a la definición, luego: Remplacemos en la condición dada 3 2 a ⊗ b = 3b − 2a 2 4 3 2 2b ∗ a = b + a Entonces: 3

2

27 ⊗ 16 = 3 ⊗ 4 Al acomodar adecuadamente obtenemos a=3, b=4, valores que remplazamos en la regla de definición. 3

2

3

2

3

2

3

2

2

4

2

4

2

4

3

2⋅ 4 ∗ 3 = 4 + 3

2

2 ⋅ 4 ∗ 3 = 64 + 9

2⋅ 4 ∗ 3 = 73

a ⊗ b = 3b − 2a 3 ⊗ 4 = 3(4) − 2(3)

∴ 32 ∗ 81 = 73

3 ⊗ 4 = 12 − 6 3 ⊗4 = 6 ∴ 27 ⊗ 16 = 6

¡Comprueba lo que sabes! 01. Se define:

3

b

2

a ⊗ b = (a + b) − ab Hallar: 8 ⊗ 3 a) 20 b) 19 c) 17 d) 18 e) 15

02. Dada la operación matemática: 2

3

a ∗ b = 3a + 4b Calcular: 16 ∗ 27 a) 20 b) 21 c) 17 d) 24 e) 15 Academia GAUUS

2

03. Definimos en  : a ⊗ b = 3b + 2a Calcule: 27 ⊗ 4 a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 04. Sabiendo que: 3

4

a ⊕ b = 5a + 6b Calcular: 8 ⊕ 16 a) 12 b) 22 c) 32 d) 26 e) 14

501

JOHN MAMANI M. 05. Si: (3a) ⊗ (2b) = a − Calcular: 48 ⊗ 18 a) 0 b) 1 d) 3 e) 4

2 13. Sabemos que: 3 x @ y = x – 4 y

b c) 2

06. Dada la operación matemática: 4 x ⊗ 3y =

x−

Calcular: 64 ⊗ 27 a) 4 b) 2 d) 0 e) 3

x−

3

x ⊗

y

(27∗6)

Calcular: (12 ∗ 2) a) 4 b) 2 d) 0 e) 3

c) 1

2

08. Si: 4a ⊗ 2b = a − 2a + b Hallar: E =(8 ⊕ 10) + (12 ⊕ 8) a) 14 b) 12 c) 11 d) 10 e) 13 09. Dada la operación matemática 2

2a ∆ (b + 1) = a + b

2

Calcule: 8 ∆ 8 a) 64 d) 66

b) 63 e) 65 +

c) 61

y

x

10. Definimos en  : x ∗ y = 4 x − y Calcular: 16 ∗ 16 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 2

3

2

2

11. Si: a ⊕ b = 2ab − a + b Hallar: (16 ⊕ 27) + (9 ⊕ 64) a) 58 b) 18 c) 28 d) 38 e) 48 3 2 12. Si se sabe que: 3 x ∗ y = x + y

Calcular: 2 ∗ 3 a) 593 b) 81 d) 512 e) 18

502

c) 9

14.Se define lo siguiente: y

c) 1

07. De acuerdo a: 3 x ∗ 2 y =

Hallar: 3@ 36 a) 3 b) 6 d) 7 e) 24

c) 13

y=

2 x 3y + 3 2

Calcule: 27 ⊗ 4 a) 20 b) 22 d) 26 e) 25

c) 23

4

x ∆ y = 5 x − 3y

15. Sabemos que:

Hallar: (3 ∆ 16) + (6 ∆ 81) a) 210 d) 510

b) 310 e) 610

m+n n ∗m = m Calcular: = ψ 32 ∗ 16 a) 6 b) 9 d) 8 e) 4

16. Si: m

c) 104

n +1

a +1

a −1

17. Se define: a ∗b Calcule: 1024 ∗ 512 a) 121 b) 144 d) 169 e) 196

c) 3

=+ (a b)

2

c) 100

2 x 3y = + 3 2 Determine: 27 ∗ 4 a) 19 b) 20 c) 16 d) 18 e) 22

18. Si:

3

3

2

3

3

2

x ∗ y

19. Si: a ∗ b = (a + 3)(b − 2) Halle el valor de: 8 ∗ 9 a) 17 b) 125 c) 38 d) 93 e) 175 20.Si: x

y

x ∆ y = 3 x+y

Calcular: 125 ∆ 243 Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. a) 2 d) 5

b) 3 e) 6 y

28. Dada la operación matemática:

c) 4

m

n

⊕ n =m − n 1 Calcular: E= 1 ⊕ 4 a) 1/2 b) 3 c) 3/2 d) 1 e) 2 m

x

21.De acuerdo a: x ∗ y = 5 x + 2 y Calcule: 81 ∗ 64 a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25

29. Se define los operadores: y

y 2 x

x

22.Se define: x = y

Halle el valor de: 81  64 a) 15 b) 1 d) 8 e) 5 23. Definimos en Calcular: = M a) 214 d) 223

b

x

y 2 +y

y

c) 4

18

a

x

y

b) 3 8

d) 8 2

e) 5 3

b

a

2

25. Si: 2a ⊗ 3b = a + b Calcular: 128 ⊗ 243 a) 5 b) 1 d) 3 e) 4

24

⊗2 ) c) 13

30. Se define en  : b 2 = a ×4 b a 4

Calcule:

9 2

a) 70 d) 62

b) 72 e) 65

c) 60

2

c) 2

y

x

31. Si se sabe que: ( x + 1) ⊕ (y − 1) = x + y Calcular el valor de “m” en: (5 ⊕ 4) ⊕ (m ⊕ 2) = 14 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 32. Si: x

2

m ⊗m = x +1 4

Calcule: 2 4 2 ⊗ 4 4 a) 601/756 b) 501/576 c) 601/576 d) 576/601 e) 756/601

27. Si:

Academia GAUUS

a) 9 d) 14

c) 8 3

26. Se sabe que: ( x + y) ∗ ( x − y) = x + y Calcular: 7 ∗ 3 a) 60 b) 57 c) 35 d) 25 e) 50 m 3n − m #n = 3 mn 1  Calcule:  # − 2  #(− 3) 6   a) 19/39 b) 15/17 d) 15/29 e) 21/29

(4 ⊗ 1) + (3 b) 11 e) 16

3

24. Se define: 2 x ⊗ 4 y = x +x +2 Determine el valor de: 6 ⊗ 4 a) 2 8

x

x ∗ y = 2x + y Determine el valor de:

= 23b + 11a  : a %b (64%81) + (25%32) b) 263 c) 234 e) 174 y

y

x ⊗ y =y ∗ x

c) 20/27

503

JOHN MAMANI M. OPERADORES MATEMÁTICOS V PROBLEMA 01 Se define la siguiente operación en el conjunto :

Remplacemos la incógnita en la regla de definición. 8 ∗1 = 3

2

m ∗ n= m(n ∗ m) ; (m ∗ n) ≠ 0 Calcule: 8 ∗ 1 a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 2/5 e) 7/6

Resolución

n ∗ m= n(m ∗ n)2 Luego, remplazamos lo obtenido en la expresión original, obtenemos: m ∗ n= m(n ∗ m)2 2 m = ∗ n m  n ( m ∗ n )   

2

Luego despejamos (m ∗ n) m= ∗ n mn 2 (m ∗ n) 4 1 3 = (m ∗ n) 2 mn Entonces nuestra regla definición es: 1 mn

2

1 ∴ 8 ∗1 = 2

PROBLEMA 02

Como en este ejemplo la operación no ha sido definida de manera explícita, tenemos que encontrar la regla de definición y para esto procedemos de la siguiente manera: Primero calculemos (n ∗ m) , invirtiendo términos en el dato:

3 m∗n =

1 8(1)

Se define el operador: a ⊕ b = a + b + 4(b ⊕ a) Calcule: 1 ⊕ 2 a) 1 b) –1 c) –15 d) –2 e) 2

Resolución Calculemos (1 ⊕ 2) con la definición. 1 ⊕ 2 = 1 + 2 + 4(2 ⊕ 1)

1 ⊕ 2 = 3 + 4(2 ⊕ 1)......(1) Calculemos (2 ⊕ 1) con la definición. 2 ⊕ 1 = 2 + 1 + 4(1 ⊕ 2)

2 ⊕ 1 = 3 + 4(1 ⊕ 2)......(2) Remplazando (2) en (1) 1 ⊕ 2 = 3 + 4(2 ⊕ 1) 1 ⊕ 2 = 3 + 4(3 + 4(1 ⊕ 2)) 1 ⊕ 2 = 15 + 16(1 ⊕ 2) 1 ⊕ 2 =− 1

2

¡Comprueba lo que sabes! 01. De acuerdo a a ∗ b= 2(b ∗ a) − 3a Halle: 7 ∗ 9 a) 24 b) 23 c) 27 d) 26 e) 25

504

02. Se define:

a ∗ b = 2a + b − 3(b ∗ a) Determine e valor de: 8 ∗ 16 a) 10 b) 15 c) 23 d) 25 e) 11 Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 03. Se define:

a ⊕ b= 4(b ⊕ a) + a − b Calcule: 5 ⊕ 3 a) 5 b) 2/3 c) 2/5 d) 2/7 e) 8

04. De acuerdo a: a ∗ b =− 2(b ∗ a) + 3a + 3b Halle: 10 ∗ 20 a) 20 b) 10 c) 5/8 d) 30 e) 60 05. Dada la operación matemática a ∗ b= 3(b ∗ a) − 5b Calcule: E = (7 ∗ 5) + a) 11 d) 17

b) 13 e) 19

3 4

c) 15

06. Se define en el conjunto  : 2

a ∗ b = a − 2b + 3(b ∗ a) Calcular: (2 ∗ 2) + (3 ∗ 1) a) –1/2 b) –1 c) 1 d) 1/2 e) 0

07. Si: x ∗ y = 3 x − y + 4(y ∗ x ) Calcular: (41 ∗ 1) + (37 ∗ 2) a) 3 b) –1 c) 1 d) 1/2 e) 2 08. Se define: a ∗ b = (b ∗ a)2 a Calcule: 0, 25 ∗ 2 a) 1 b) 1/3 c) 1/4 d) 2 e) 1/6 2

09. Si: aθb = a(bθa) con aθb ≠ 0 Calcular: 1θ 8 a) 1/2 b) 1/8 c) 4 d) 2 e) 1/4 10. Se define en  , la operación: (b ∗ a) a∗b = 4 Academia GAUUS

2

Calcule: 3 ∗ 5 a) 2 b) 4 d) 5 e) 1

c) 3

11. Se define en  2

= (m ⊗ n)

(n ⊗ m) 5

Calcule: 10 ⊗ 11 a) 10 b) 11 d) 25 e) 5

; m⊗n > 0 c) 21

12. Si: a ∗ = b a 2 (b ∗ a) + b Calcular: (1 ∗ 3)(3 ∗ 1) a) 7/4 b) 0 d) 7/2 e) 8/5 13. Se define: a ⊕= b

3

c) 57

a(b ⊕ a)

Calcular: 16 ⊕ 2 a) 5 b) 6 d) 7 e) 8

c) 9

14. Se define: m∗n = Calcular: M= a) 55 d) 76

(m + n) n ∗ m ; m ∗ n > 0 (2 ∗ 4) b) 36 c) 56 e) 85

15. Se define la operación ∗ en  siguiente manera: m∗n =

1 ∗8 8 Halle: M = 1 ∗ 27 27 a) 2/7 b) 1/3 d) 3/2 e) 3

de la

n∗m 2m

c) 2/3

16. Se define en  2a ∗ = b 3(2b ∗ a) − ab Calcule: 10 ∗ 6 a) 60 b) 30 c) 20 d) 15 e) 40

505

JOHN MAMANI M. 17. Se define:

Calcule: 2 ∗ 1 2

2

m  = n (m + n) n  m Calcule: (1  2) + (2  1) a) 18 b) 81 c) 19 d) 91 e) 80 2

2

Calcule: (0 ∗ 1) + (1 ∗ 0)  ∗ 1 a) 0 b) 1 c) –1 d) 2 e) –2 19. Se define: 4(3a θ= 4b) (6b θ 2a) + 7a + b Calcule: 18 θ 12 c) 24

20. Se definen los operadores: 2

a ∗ b= 4(b ∗ a) − 2a + b m ∆= n 2m − n Calcule (15 ∆ 25) ∗ 5

b) 15 e) 30

24. Si: a ⊕ b= 3(b ⊕ a) − ab

Calcular: 6 ⊕ 4 a) 5 d) 7

b) 0 e) 8

c) 6

25. Se define el operador: a b c =b c b a

c) 35

a) 1 d) 1/4

b) 1/2 e) 4

2

y∗ x +

x∗y ; x∗y > 0

Calcule: 1∗ 2 + 2 ∗ 3 + 3 ∗ 4 + 4 ∗ 5 + 5 ∗ 6 a) 10 b) 12 c) 16 d) 20 e) 24 22. Se define el operador "⊗ " se cumple 3

3

a ⊗ 3 b = 3(b ⊗ 3 a ) − 4a Calcule: 8 ⊗ 2 a) 15 b) 14 c) 16 d) 13 e) 18 23. Se define los operadores

2

a ∗ b ∗= c ab(c ∗ b ∗ a) ; a ∗ b ∗ c > 0 Calcule el valor de: 2 ∗ a) 1 d) 1/4

2

1 1 ∗ 2 4

b) 1/2 e) 4

27. Se define en  :

c) 2

m∗n (n ∗ m)

2

=

2

m n

) )

( (

1 Calcule:  ( ( 1 ∗ 2 ) ∗ 3 ) ∗ 4  ∗  n n − 2 paréntesis

a) 1

b) n

d) n + 1

e) n

c) 2 2

28. Si: x # y = n y(y # x ) 2 n −1

Calcule: E = (a # b) b) b − a a) ab n

x = x − 7 x + 10

c) 2

26. Si:

21. De acuerdo a x ∗ y=

c) 6

Calcule: 1 2 3

b) 18 e) 21

a) 20 d) 45

b) 12 e) 8

Además m + 2 = m − 2

2

18. Si: x ∗ y = 2(y ∗ x ) − y

a) 12 d) 15

a) 10 d) 4

d) b a

c) a

n

e) a b

a

a ∗ b = (b ∗ a) − b − a

506

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. OPERADORES MATEMÁTICOS VI PROBLEMA 01

PROBLEMA 03 2

Se define: f ( x − 2) = x + 3 x + 1 Calcular: f (3) a) 42 b) 40 c) 43 d) 39 e) 41

Resolución

Si: m + 1 = 2m + 1 4 + 6

Calcular: a) 20 d) 35

b) 28 e) 24

c) 23

Resolución

Dando forma a la incógnita Hallando la regla de como operar: f (3) = f (5 − 2) m + 1 = 2m + 1 Al dar forma adecuadamente obtenemos x = 5 , valor que remplazamos en la regla de definición. ×2 − 1 f (3) = f (5 − 2) 2 Calculemos 4 y 6 f (3) =5 + 3(5) + 1 f (3) = 41

4

=

7

6

×2 − 1

PROBLEMA 02

11

×2 − 1

Luego:

Se define: x − 2 = 4 x + 3

= M

Hallar: 9 + 10 + 5 a) 122 d) 129

=

b) 123 e) 126

c) 124

4 + 6

M =

7 + 11

= M

= 18

35

×2 − 1

Resolución

∴ 4 + 6 = 35

Dando forma a la operación: M= M=

9

+

10

+

5

11 − 2 + 12 − 2 + 7 − 2

PROBLEMA 04 Al dar forma adecuadamente obtenemos x = 11 , x = 12 , x = 7 , valores que remplazamos en la Si: 3 x + 2 = 3 x 3x − 2 2 regla de definición. Halle el valor de: M  4(11) + 3  +  4(12) + 3  +  4(7) + 3  =

E=

M = 47 + 51 + 31 M = 129

Academia GAUUS

a) 98 d) 101

3 × 5 × 7 ×  × 199 b) 99 e) 100

c) 102

507

JOHN MAMANI M.

Resolución De la definición, haciendo cambio de variable. 3x + 2 =m 3x − 2 3x + = 2 3 xm − 2m 3 x − 3 xm =− 2 − 2m 3 x(1 − m) =− 2 − 2m 2(m + 1) 3x = m−1 Remplazando en la definición 3x + 2 3x = 3x − 2 2

2(m + 1) m = m−1 2 m+1 m = m−1 Hallando lo que pide con la nueva definición E=

3 × 5 × 7 ×  × 199

 3 + 1   5 + 1   7 + 1   199 + 1  E=      3 − 1   5 − 1   7 − 1   199 − 1 

 4 E=  2  E = 100

  6   8   200        4   6   198      

¡Comprueba lo que sabes! 05. Se define el operador:

01. Si: x + 1 = 2 x − 1 Halle:= E a) 16 d) 20

x + 1 = 2x − 1

4 + 6 b) 14 e) 12

c) 13

Calcular: 10 − 3 c) 65

a) 24 d) 21

Hallar: 11 + 5 b) 36 e) 27

c) 34

2

x − 3 = x − 2x + 1

a) 74 d) 76

508

3

b) 29 e) 25

3

b) 73 e) 77

c) 75

c) 27

x

07. Si: x − 2 = 2 Hallar el valor de: E =

04. Sea el operador:

5 +

c) 8

06. Sea x + 1 = x − 1 Calcular 3

2

Calcular:

b) 6 e) 0 2

b) 63 e) 62

03. Se define: 3 x − 4 = x + 1

a) 8 d) 51

3 − 2 a) 3 d) 1

2

02. Si: x + 2 = x − 1 a) 64 d) 66

Halle el valor de:

a) 4 d) 9

b) 8 e) 12

4 3

c) 2

08. Si: x + 1 = 2 x − 1 Hallar:

4 + 6

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. a) 20 d) 16

b) 25 e) 18

a) 23 d) 36

c) 24

2

09. Si: 2 x − 1 = x − 3 Hallar: a) 13 d) 256

5 + 3

b) 16 e) 259

c) 19

2

10. Si: x − 2 = x Halle: 3 + 1 a) 146 d) 150

b) 130 e) 115

a) 25 d) 10

15. Si: f (2 x − 5) = 2x + 1 + Hallar: f (3) a) 4 b) 6 d) 8 e) 5

x+5

16. Si: f (3 x − 5) = 5x + 9 + Hallar: f (19) a) 10 b) 11 d) 9 e) 13

x+1 c) 12

3 + 7

b) 125 e) 15

x + 2= x

18. Si: x + 1 = 2 x + 3

c) 60

Determinar “w” en: 4 = w a) 3 d) 9

1997

+

x

a) 3 d) 9

c) 0

Determine el valor de: a) 5 b) 15 d) 4 e) 25

x+1 =

b) 5 e) 11

c) 7

u + 3 = 4u + 1 x +1

Determine w en la siguiente igualdad w+ 8 + w−7 = 54

2

c) 8

 x3 + 3   =x 3 − 2 x 2 + 6 14. Si: P   x    Halle P(10)

Academia GAUUS

2n + 20

20. Si se cumple que:

13. Para “x” en ; tenemos que: y

c) 7

19. Si: x − 1 = 4 x + 1 Hallar: “n” en: = 3n

b) –2 e) –1

= 2x + 6

b) 5 e) 11

3w + 14

1 1998

Calcular el valor de: 1

x

c) 8

17. Si: f (2 x + 1)= x + 3 + 3 x + 10 Hallar la raíz cuadrada de: f (5) + 13 a) 4 b) 12 c) 7 d) 3 e) 5

12. Se define el operador:

a) 2 d) 1

c) 24

c) 122

11. Si: 2a + 1 = 5a Hallar:

b) 15 e) 42

a) 7 d) 13

b) 9 e) 15

c) 11

21. Se define la operación: 2x + 3 2x + 1 = 2

Halle el valor de “n” en:

509

JOHN MAMANI M.

a) 4 d) 3

26. Si: x + 2 = x + 7

= 2n

2

b) 2 e) 1

c) 5

2 x = x

∧

n= +1 n

Calcule:

A= 3 + 4 − 5 b) 2 e) 7

c) 1

23. Sea el operador:

a) 9 d) 12

5

b) 10 e) 13

c) 11

x −1 = 2x + 3 2

Calcular: n − a) n + 4 d) n − 1

1 4 b) 4(n + 1) e) 4 + 2n

a) 4 x + 17

b) 4 x − 17

d) 2 x + 7

e) x − 17

29. Si se sabe que:

2

x= x + 2

Calcular: f (3 x + 2) 2

a) 18 x − 24 x + 14 2

b) 18 x + 24 x + 14 2

Halle “m” en= m m ; m∈ 

c) 18 x − 24 x − 14

a) 2 d) 5

d) 18 x + 24 x − 14

b) 7 e) 11

c) 1

2

30. Se define: 2

x − 1 = x + 2x − 3

=6 x + 2

Encuentre el término independiente de:

Determinar el valor de: = E

a) 668 d) 596

510

12

2

e) 18 x − 24 x − 14

x + 5 = 3x − 1 x−2

c) x − 1

2

x= 2 x + 5

Además:

c) n + 1

f ( x + 4)= 2 x + 6

24. En  se define la operación matemática

25. Si:

c) n + 8

Calcule: H(2 x + 1)

b= 5b − 4 x =

27. Si:

b) n + 5 e) 2n − 7

28. Se define el operador: H( x − 3) = 2 x + 9

a = 3 a −1 + 8

Calcular “x” en:

n−7

a) n + 2 d) 2n + 7

22. Se define:

a) 10 d) 5

Calcular:

+

b) 682 e) 562

2x − 1

1

c) 586

a) 1 d) 4

b) 2 e) –3

c) 3

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 31. Se define en  :

36. Se define en  :

a= ∗ b 5a ; a ∗ b > 0

m+ 2 =m−2

2

a+1 = a − 4

Calcule a) 1 d) 4

12 ∗ 8 b) 2 e) 5

c) 3

Calcular:= A ..... 8 + 8 + 8 .....  30 operadores

a) 930 d) 780

32. Se define: 2

b) 900 e) 760

37. Se define en  :

x −1 = x −9

x − 5 =x − 9

m∗ n = 9n

Determine el valor: = M 225 ∗ 15 a) 11 b) 10 c) 9 d) 20 e) 14 33. Se define una operación: m∗ n = 16n

Calcular: = E ..... 6 + 6 + 6 .....  125 operadores

a) 125 d) 375

b) 250 e) 500

a − 2 =a + 2

x−2 = x −4 Calcula:= R 216 ∗ 6 a) 2 b) 4 d) 8 e) 10

Determine el valor de: c) 6

34. Se define: x + 3 = 2x

 a − 500  a) a d) a + 500

4 + 4 + 3 + 1 + 

b) 980 e) 930

c) 560

x −1 =x +1 Determine el valor de:  x+5 

35. Se define: x − 3 =x + 7 Calcular: A =

..... 15 ..... 

a) 1015 d) 905

b) 1005 e) 915

100 operadores

Academia GAUUS

250 operadores b) –500 c) 500 e) 500a

39. Se define:

30 operadores

a) 840 d) 710

c) 300

38. De acuerdo a:

2

Calcular:

c) 120

c) 1000

a) x + 205 c) x + 200 e) x + 220

100 operadores b) x + 210 d) x + 207

40. Se define: x

100

3x −x =

100

+ 2 x + 14 5 x + 35

511

JOHN MAMANI M. Calcule: 7 a) 1 d) 7

b) 100 e) 20000

c) 35

b) 1/2 e) 2

c) 1/4

2

46. Dado: P(2a + b ; a − 2b) = a + b

1 1 − , donde “x” es un x+2 x+3 entero, x ≠ − 2, x ≠ 3; entonces el valor de:

41. Si:

a) –4 d) –5

x + 2=

2

Calcular: P( 5 + 3 ; 5 − 3 ) a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 2

1 + 2 + 3 +  + 200 , es: a) 200/201 d) 1

b) 2/7 e) 201/200

c) 7/2

47. Se define: m + 5 =m m m  Halle el valor de:

42. Se define: 2x + 3 x+1 = x+1

Halle: 1 +

1 1 1 + ++ 2 3 20

a) 40 d) 250

b) 210 e) 230

c) 200

43. Se define en  2

4

2

x + 2 = x + 4x + 5 Calcule: 1 + 2 + 3 +  + 20 a) 2870 d) 2860

b) 2770 e) 2970

c) 2890

e) 13 5

48. Dada la operación matemática en  ( x + y)  ( x − y) = 4 xy Calcule: (13  12) + (12  11) + (11  10) +  + (4  3)

a) 170 d) 160

c) 11 5

x

a+

512

c) 164

2

2

=8

1 a

1

2

=a +

a

2

; a∈

+

Calcule el valor de: 3 +

Encontrar el valor de “n” en 2n + 2

b) 156 e) 158

49. Se define en 

45. Si se sabe que: x − 1 = 2 n

c) 110

50. Se define:

Calcule 1 d) 12 5

b) 90 e) 150

Calcule: (1 ∗ 1) + (2 ∗ 2) + (3 ∗ 3) +  + (10 ∗ 10) a) 497 b) 495 c) 485 d) 475 e) 477

1 1 7 , =n + 7 n n 1 Donde n − > 0 n b) 10 5

a) 100 d) 120

(a + b) ∗ ab = a + 4ab + b

44. Si: n −

a) 9 5

20 + 1 + 2 + 3 +  + 19

a) 50 d) 55

4 +

b) 52 e) 60

5 ++

12

c) 54

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. OPERADORES MATEMÁTICOS VII

Resolución

PROBLEMA 01 2

x= ( x − 1) ; x ∈ 

Se acuerdo a: Hallar “n” en: a) 1 d) 4

Se sabe de la regla de definición:

+

= x x ( x − 1)

= 64

n

Del dato

b) 2 e) 5

c) 3

a − 9 = 380= 20(20 − 1)=

Simplificando el operador se tiene

Resolución Se sabe de la regla de definición: x= ( x − 1)

a − 9 = 20 = 5(5 − 1) =

2

Demos forma al resultado de la incógnita según la regla de definición, hasta llegar a la respuesta, es decir: n

20

2

=64 =(9 − 1) = 9

5

Simplificando el operador se tiene a−9 = 5 ∴ a= 14

PROBLEMA 03 De acuerdo a:

Simplificando el operador se tiene:

2

2

x + 2 x − 3 = x + 10 x + 21

2

n =9 =(4 − 1) =4

x−2

Halle “x” en: Simplificando el operador se tiene:

a) 7 d) 6

2

n =4 =(3 − 1) =3

= 221

b) –1 e) 8

c) –4

Resolución

Simplificando el operador se tiene: ∴n = 3

Se sabe de la regla de definición: 2

2

x + 2 x − 3 = x + 10 x + 21 PROBLEMA 02 Se define:

2

+

x= x ( x − 1); ∀x ∈  ,

hallar el 2

+1 ( ) − 4

valor de " a " en: a−9 = 380

a) 14 d) 13

2

( x + 1) − 4 = x + 10 x + 21

b) 17 e) 15

c) 18

Demos forma al resultado de la incógnita según la regla de definición.

x−2

2

= 221 = 10 + 10(10) + 21 =

117

2

Academia GAUUS

+1 ( ) − 4

513

JOHN MAMANI M. Simplificando el operador se tiene: 2

x − 2 = 117 = 6 + 10(6) + 21 = 45 2

+1 ( ) − 4

Simplificando el operador se tiene:

Simplificando el operador se tiene: x−2= 5 x=7 Por lo tanto el valor de “x” es 7

2

x − 2 = 45 = 2 + 10(2) + 21 = 5 2

+1 ( ) − 4

¡Comprueba lo que sabes! 01. De acuerdo a:

3

05. Si: x= ( x + 1) ,

n= 2n − 1

Hallar el valor de “n” en:

Halle “x” en:

a) 5 d) 6

n

= 17

x

b) 3 e) 7

c) 4

02. Si se define el siguiente operador:

a = 3a + 4

b) 12 e) 1

m c) 9

2

b) 9 e) 8

c) 14

x −1 = 13

Hallar “x” en: n

= 63

b) 2 e) 5

c) 3

a) 5 d) 7

b) 6 e) 0

c) 2

08. Si: n= 2n + 1

04. Si: x= 6 x + 3 Hallar el valor de “n” en: n

514

a) 12 d) 6

= 55

07. Si: n = 1 + 3n

Calcular “n”, si:

b) 1 e) 4

a = 2a + 1 2

03. Si: = x x −1

a) 0 d) 3

c) 2

06. Se define el siguiente operador

= 97

z

a) 1 d) 4

b) 1 e) 4

Determine la suma de cifras de m , sabiendo que:

Halle el valor de “z” en:

a) 3 d) 6

a) 0 d) 3

= 729

Hallar “x” en:

= 561

c) 2

a) 5,4 d) 7,0

x−2 = 13

b) 6,5 e) 8,5

c) 4,5

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 09. Si: = x x( x + 1) Calcular m

14. Se define en 

7

2

3m − 8

en:

a) 5 d) 25

b) 9 e) 16

= 42

3x − 4

Calcular “x” en: a) 1 d) 6

b) 2 e) 8

11. Se tiene en 

= 84

x( x + 1) ; ( x ≥ 0) 15. Se define: x = Hallar “n” en:

n +5 = 2070 3

2

12. Se define: x = x +1 ; x > 0 Halle la suma de las cifras de “n” = 26

b) 6 e) 4

b) 9 e) 6

Academia GAUUS

m −2 20 a) 1270 d) 1732

= 3486

b) 1720 e) 1750

c) 1240

+

17. Se define en  : = m m(m − 3) Hallar “n” si: 3

n −n+ 4 = 10 2 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5 +

c) 3

3

18. Se define  ; n = n −n

= x x( x + 1) n+1

c) 104

x( x − 1) ; ( x ≥ 0) 2 Halle el valor de m en:

c) 2

+

Halle “n”, en:

b) 103 e) 70

= x

c) –3

2n − 25

c) 11

16. Se define:

= 21

b) 3 e) 8/9

= 2197

b) 9 e) 6

c) 4

x( x + 1) 2

3 x − 10

13. Se define en 

n− 8

a) 120 d) 60

Halle “x”, en:

a) 5 d) 3

Halle “n”, en:

a) 8 d) 7

+

x =

a) 4 d) –4

x = x + 3x + 1

c) 7

m(m + 2) 10. Se define: m = 2

a) 8 d) 7

+

= 5256

c) 10

Hallar “x” en: a) 5 d) 8

x−8

b) 10 e) 9

= 210

c) 7

515

JOHN MAMANI M. 24. Se define el operador:

19. Si: N =2N + 6; N > 0

x − 1 = 2x + 1

2

x −6

Además:

66 =

Halle “n” en:

Calcule: 2x a) 15 d) 18

b) 16 e) 19

c) 17

2m + 1

Si:

Halle el valor de m en:

b) 325 e) 140

1 − 3n

a) –2 d) 1

a) 1 d) 4

2

x − 16 , ∀ x ≠ −4 x+4

m−1 2

b) 0 e) 8

= 231

d)

516

e)

b) 2 e) 5

c) 3

2

Calcule el valor de “m” en: 2m − 6 = 20 b) 2 e) 13

c) 3

28. Dada la operación matemática:

= 101

m

= 19

27. Si: x + 1 = x − x ; x > 0

a) 5 d) 8

b) 4 3

Halle el valor de m en:

c) 5

23. Si: = x x +1

a) 1

x − 2 = 2x + 1

a) 1 d) 4

2

Calcule m en:

c) 3

m

22. Si: n = 1 + 2 + 3 +  + n Calcular " m " en:

b) 2 e) 5

26. Se define:

= − 14; hallar: n + 1 c) 0

= 20

m

c) 135

b) –1 e) 2

a) 5 d) 7

c) 4

x + 1 = x( x − 1)

2

21. Se define: = x

b) 3 e) 2

= 16

Calcule: m − 4 a) 137 d) 132

a) 0 d) 1 25. Se define:

20. Se define: x = x − 3 Además:

= 17

n

c) 3

= x −1

2

x −1 ; n>0 2

2

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. Además:

x −1

Además:

10 − m

= 84 m

Halle la suma de las cifras de: a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

= 676

2

x +1 b) 6 e) 10

Halle: a) 5 d) 7

c) 8

33. Se define: 2

x + 1 = x − 6x + 9

( x + 1)( x + 3) 29. Si: x − 1 = 2

Calcular “n” en a) 1/3 d) 4/9

Halle el valor de m en:

3n − 1 = 24

b) 2/7 e) 3

a) 1 d) 4

30. Se define en los números reales. x =

x +1

∧

x =x

a) 9 d) 5

= 2 7

b) 10 e) 17

c) 3

2

2

x−4

Halle “x” en: a) –2 d) 1

= 340

b) –1 e) 2 2

c) –3

2

35. Si: n − 3n + 2 = n + 7n + 12; n ∈ 

x

x = x +1 ;x ∈

b) 8 e) 12

+

x+2 = 156

b) 6 e) 8

c) 4

36. Si:

= 3126

Calcule la suma de cifras de

Calcular “x” si: a) 5 d) 7

Además:

a) 6 d) 10

b) 2 e) 5

34. Si: x + x − 2 = x + 13 x + 40

c) 19

31. Dada la operación matemática

2n − 5

= 441

3

Calcular el valor de m en la siguiente ecuación m−7

2m + 1

c) 1/4

2

2

n − 2n + 1 = n + 2n + 1; n > 0 n

Además:

3x + 1

= 225

c) 9

32. Si: 2

Calcular la suma de cifras de “x”: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

m + 3 = (m + 1) + 6(m + 3) − 3

Academia GAUUS

517

JOHN MAMANI M. OPERADORES MATEMÁTICOS VIII

Resolución

PROBLEMA 01 Dada la operación matemática: x = 2x + 1

x= 6 x + 5

∧

Se deduce que todo lo que está dentro del operador círculo se eleva al cuadrado y se resta 25.

Determine el valor de:

2

7 +

a) 33 d) 36

x= x − 25

4

b) 32 e) 37

2

( ) − 25

c) 35

Resolución

Luego aplicamos dicha idea de la operación a la otra definición.

Se deduce que todo lo que está dentro del operador cuadrado se multiplica por 2 y se suma 1: x= 2 x + 1

x= x( x + 10) x

Luego aplicamos dicha idea de la operación a la otra definición.

2

2

Ahora calculemos lo que nos pide = M

x= 3 x + 2

Ahora calculemos lo que nos pide 4

37  3(7) + 2  +  3(4) + 2  = 4

2

=x + 10 x + 25

x= x + 5

2 x + 1= 6 x + 5

7 +

2

x = ( x + 5)

x= 6 x + 5

∴

2

− 25 = x + 10 x x

×2 + 1

7 +

2

= 37

37 + 21

M = (37 + 5) + (21 + 5) M = 68 PROBLEMA 03 Se define: x − 1 = 2x + 1

PROBLEMA 02

x + 1 = 8x + 9

Se define:

Calcular el valor de: 2

x= x − 25 y

x= x( x + 10)

a) 76 d) 82

Calcular: 37 + 21 a) 72 d) 66

518

b) 70 e) 68

2 + 5

b) 77 e) 78

c) 80

c) 64 Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. Deducimos que:

Resolución Deducimos que:

×4 − 1

×2 + 3

x + 1 = 4x + 3

x − 1 = 2x + 1

Finalmente hallemos lo que pide: ×4 − 1 ×4 − 1

Luego: ×2 + 3

= 2

x+1 = 2 x+1 + 3

= 7 27

×2 + 3

= 5

8 x + 9= 2 x + 1 + 3

×4 − 1

= 13

51

∴ 2 + 5

x + 1 = 4x + 3

= 78

¡Comprueba lo que sabes! 01. Dada la operación matemática x= 2 x + 1

x = 3x + 2

x = 6x + 5

Calcular:

Calcular: 7 + 4 a) 33 d) 37

b) 35 e) 34

c) 36

02. Se define:

x = 6 x + 11

y

5

a) 35 d) 42

b) 37 e) 48

c) 39

05. Se define:

x = 2x + 3 Calcular:

04. Se define:

y

x= 4x − 3

x= 4x + 7

y

Calcular: 3 + 3

7

a) 19 d) 23

x= 2 x − 1

b) 11 e) 31

c) 7

a) 10 d) 32

b) 20 e) 34

c) 24

06. Sabiendo que:

03. Se define:

m= 3m + 1

y

m= 6m + 13

x

2

=4 x + 1 ; x > 0 2

x= x + 1

Calcular: a) 21 d) 23

−1 + 3

b) 20 e) 28

Academia GAUUS

c) 24

Calcular: 4 +

2

− 8

519

JOHN MAMANI M. a) 19 d) 18

b) 20 e) 22

c) 21

a) 4 x + 1 d) x − 1

07. Se define

b) 4 x − 1 e) 4 x

c) x + 1

12. Sabiendo que:

2

x= x − 1

y

x= 2 x + 3

x x ( x + 2) =

Calcular: 6 + 16 a) 10 d) 36

b) 12 e) 18

= 35

x

c) 25

Calcular el valor de:

2

x = x( x + 2) y

x= x − 1

Determine el valor de: a) 6 d) 8

… 2013 veces

5

08. Se sabe que:

3

b) 5 e) 9

+

2

a) 7 d) 5

b) 9 e) 6

c) 8

13. Sabiendo que: = x x ( x + 2)

c) 7

4 = 24

09. Se define

Calcular el valor de: 2

x= x − 9

y

Calcular el valor de: 3 + 2 + 4

a) 71 d) 74

a) 4 d) 5

−1

b) 72 e) 75

c) 73

… 2014 veces

4

x= x ( x + 6)

b) 6 e) 7

c) 8

14. Se define los operadores: x

2

=− 1 + x

4

2

n= n + 2n

10. Se define en  m = m(m + 24); m > 0

3 + 2

x= 4 x − 40

a) 7 d) 8

Halle: 23 a) –2 d) –26

b) 2 e) 26

11. Sabiendo que: x = 8x + 7

x= 2 x + 5

Calcular el valor de:

c) 3

b) 9 e) 6

c) 10

15. Si: x −1

2

= 2x − 3

x = 8x + 5

Calcule: 8 + 15

Calcular: x

520

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. a) 15 d) 11

b) 14 e) 10

c) 12

a) 34 d) 32

16. Dada las siguientes operaciones: x

= x

2

∧

x+1

= 4x

2

x −1 =x +1 y

Calcular el valor de: a) 10 d) 36

6

b) 198 e) 81

c) 64

2x − 1

b) 58 e) 81

c) 64

18. Se define los operadores: x − 2 = 2x + 8

Hallar: a) 52 d) 130

8

+

10

b) 50 e) 189

c) 125

n+1

Calcular: 2 + 5

Academia GAUUS

= 12n + 25

4

b) 64 e) 125

c) 225

22. Se define los operadores: = 9x ; x + 2

x −1

= 3x

x

a) 8 x + 13 c) 8 x − 13 e) x − 1

b) 9 x − 13 d) 9 x + 13

23. Se define: 2

x = 2 x + 3 x − 10

19. Dados los operadores: n + 2 = 3n + 10

+

3

Calcular: =10 x + 4

= 16 x + 9

Calcular el valor de:

a) 81 d) 188

x+3

c) 15

21. Dados los operadores:

= 12 x + 14

2

a) 55 d) 27

4 +1

2x − 1 = 4 x + 1

x + 2 = 3 x + 11 x+1

x +1 =x −1

b) 13 e) 14

17. Se define la siguiente operación matemática.

Calcule:

c) 36

20. Se define

Calcule el valor de:

a) 125 d) 144

b) 35 e) 33

2

= x

x

;

x >0

Calcule: 1 + 2 + 3 +  + 99 + 100

521

JOHN MAMANI M. a) 0 d) 9900

b) 2 e) 900

c) 100

28. Si:

x − 2 =x − 1

24. Para un entero “x”, x > 0 se define: x

= 2x + 5 ;

x

Hallar el valor de “a” en: a) 1 b) 2 d) –1 e) 1/2

x+2

2

= x +2 a =a c) 3

x=

2

x = x − 20 x

x

+

x

6

Calcule:

25. Se define:

= 2x + 3

a) 15 d) 17

b) 14 e) 16

c) 5

2

= x + 6 x − 91

x

29. Sabiendo que:

Hallar: 20 a) 33 d) 34

b) 31 e) 35

x= x−3

c) 32 x+1

= 2x

26. Se define: x = 2x + 5

x = x+5

Calcular el valor de:

3

= x + 2x − 5

x

3

Hallar:

1 +

a) –335 d) –345

2 b) –315 e) –355

c) –325

a) 100 d) 150

… 50 operadores

b) 103 e) 251

30. Si:

27. Si:

x = x+4

x + 2 = 2x + 5

x+3 x+1

c) 50

= x −1

= 2x + 1

x = x+8 x

= 2x

Calcular: Calcule: a) 13 d) 14

522

7

b) 11 e) 15

c) 12

1 a) –3 d) 4

b) –4 e) 5

+

3 c) –6

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. OPERADORES MATEMÁTICOS IX PROBLEMA 01

PROBLEMA 02

Se define el operador:

Se define: x= ax − b

= x 16 x − 15 Además:

x = 8 x − 21

= x 25 x + 36 Hallar:

Calcule el valor de: A =

−

1 a) –14 d) –12

a) 16 d) 121

3

b) –17 e) –10

c) –13

Resolución

x = 8 x − 21 x= 2 [ 2(2 x − 3) − 3 ] − 3

x = 4(4 x − 3) − 3

Por lo tanto se tiene que:

x= 2 x − 3

⇒ x = 4x − 3

Calculemos lo que pide:

= x 25 x + 36

A=

x = 5(5 x + 6) + 6 ⇒ x =5x + 6

E= = E

= E

1

−

3

5(1) + 6 − 11

−

Academia GAUUS

2

2

(1 + 3 + 5)2

A = 81

PROBLEMA 03 4(3) − 3

9

[ 4(11) − 3 ] − [ 5(9) + 6 ]

∴ E =− 10

(2+3+4)

= A  ( 2(2) − 3 ) + ( 2(3) − 3 ) + ( 2(4) − 3 )  A=

Por lo tanto ahora hallemos lo que nos pide = E

c) 36

Resolución

= x 16 x − 15



2

Descomponemos

Descomponemos ambas definiciones 

b) 81 e) 225

(2+3+4)

Si:= a ∆ b 2(b ∆ a) − a Además: 5 ∆

x

=

16 x + 33 3

Halle: 8 + 7 a) 30 d) 36

b) 31 e) 40

c) 34

523

JOHN MAMANI M.

Resolución Como en este ejercicio la operación = a ∆ b 2(b ∆ a) − a , no ha sido definida de manera explícita, tenemos que encontrar la regla de definición y para esto procedemos de la siguiente manera: Primero calculemos (b ∆ a) , invirtiendo términos en el dato:

b ∆ a 2(a ∆ b) − b =

Luego, remplazamos lo obtenido en la expresión original, obtenemos: a ∆ b 2(b ∆ a) − a = = a ∆ b 2  2(a ∆ b) − b  − a Luego despejamos (a ∆ b)

= a∆ b 4(a ∆ b) − 2b − a

=

3

2

16 x + 33 3

+ 5= 16 x + 33

x

x = 8 x + 14 Descomponiendo

x= 2 [ 2(2 x + 2) + 2 ] + 2 Por lo tanto se tiene que: x= 2 x + 2 Calculemos lo que pide:

3(a ∆ b) = 2b + a

= M

2b + a 3

M=

a∆b =

+5

x

2

8 + 7

[ 2(8) + 2 ] + [ 2(7) + 2 ]

M = 34

Con el otro dato hallemos x

5∆

x

=

16 x + 33 3

¡Comprueba lo que sabes! 01. Se define el operador:

x= 4 x + 3

a) –2 d) –11

Calcular: = E a) 10 d) 8 02. De acuerdo a:

2 + 3

b) 12 e) 9

c) 15

x= 9 x + 20

b) 35 e) 32

c) 40

03. Se define el operador:

x= 64 x − 63

524

b) 8 e) 11

c) –10

04. Se define el operador: = x 125 x + 124;

Calcular: 10 a) 30 d) 36

Halle: − 2

Halle: J = 1 + 2 − 3 a) 11 d) 2

b) 4 e) 5

c) 7

05. Se define: m= 9m + 8

m = 16m + 10

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. Calcule el valor de: +

2

a) 94 d) 106

a) 10 d) 14

1

b) 80 e) 100

c) 98

b) 12 e) 13 m−3

10. Se cumple:

c) 11

=m − 15

Determine el valor de:

06. Se define el operador:

a) 9 d) –3

x= 4 x − 3

x= 4 x + 9

2 + 1

b) 4 e) –4

c) –9

11. Se define los operadores:

x = x

Hallar:

+

2 a) 24 d) 19

x = x + 15

3

b) 26 e) 16

c) 28

Calcular:

8 + 8 a) 31 d) 28

07. Dado: x = 8 x + 21

x

S = 1 + 2 + 3 +  + 20 b) 480 e) 200

Hallar:

Además:

b) 8 e) 2

c) 7

13. Dado el operador: x= 27 x + 10

x − 8 = 2x − 2x + 2x − 2x + 

Calcule: 10

Calcule: 2a + b a) 42 d) 40

x

4

a) 9 d) 10

x= ax + b

=

x= 8x + 7

c) 840

08. Se define:

c) 24

12. Se define los operadores

Calcule: a) 420 d) 400

b) 25 e) 47

b) 22 e) 20

c) 32

a) 14 d) 10

b) 12 e) 13

c) 11

14. Si se cumple que. 09. Se define: x −1

=8 x + 6

x

= 125 x + 31 ;

m

= 5

Calcule el valor de: Halle: 5 Academia GAUUS

2 + 2

525

JOHN MAMANI M. a) 11 d) 16

b) 12 e) 17

c) 14

a) 0 d) –3

15. Se define:

b) –1 e) –4

c) 4

19. Se define el operador:

x = x

3x + 6

x = x + 15 Calcular:

Determine el valor de: 5 x − 1 a) 5 x + 5 d) x − 1

x + x

a) 2 x + 15 d) x − 15

=3 x + 12

b) x + 15 e) 2 x + 23

c) 4 x

b) 5 x + 1 e) 4 x

c) 2 x + 1

20. Si se cumple que.

16. Si se sabe que:

x+1 =

x+1

x = ax + b ; a > 0 =

x

Ademas: 2

x+3

2

= 16( x + 6 x + 9) + 75

x 8

Calcule el valor de: 49 + 32

Calcule:

+

1

a) 38 d) 44

−1

b) 40 e) 46

c) 42

a) 21 d) 42

x = a( x + 1) − b( x − 1); a > b

2

= x ax + b

Además:

Ademas:

Calcule:

4

2

= 27 x + 36 x + 14 2 +

a) 41 d) 39

c) 30

21. Dada la definición matemática

17. Definimos los operadoes:

x

b) 23 e) 15

3

b) 43 e) 45

c) 40

= x 16 x + 50

Calcule: a ⋅ b a) 80 d) 75

b) 85 e) 84

c) 90

22. Si se cumple:

= x

x

18. Se define el operador:

= x

x= 4x + 5

4x − 9

Calcular " y " en:

x= 16 x − 15 Calcular:

M =

526

x − x

y a) 1 d) 4

b) 3 e) 5

=

y c) 2 Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. OPERADORES MATEMÁTICOS X PROBLEMA 01

= 4

Calcular: 6 Si: a + 3 =

2a + 1 + a

Además: 9 = 5 a) 12 d) 15

b) 13 e) 16

c) 14

2 2   × 2  5 4 

4 =

2 2 2    × 1  5 4 3 

= 4

2 2 2    × 15   5 4 3 

4 =2

Resolución Calculemos 6 con la definición (a = 3) 3 + 3= 6 =

2(3) + 1 + 3

PROBLEMA 03 Se define:

7 +3

x =

Calculemos 7 con la definición (a = 4)

6 =  9 + 4  + 3  

Además se tiene como dato 7 = 5

a) –6 d) 6

b) 5 e) 7

6 = 12

c) –5

Resolución

PROBLEMA 02 Se define la siguiente operación matemática. 2 n + 1= × n n+ 2

2 x −1 Del dato despejamos: x + 3 = 2 Cuando x = 7 t1= : 10

Además: 1 = 15

2 7 − 1 2(5) − 1 = = 4, 5 2 2

Cuando x = 10

Calcule: 4 b) 8 e) 6

c) 14

Resolución Calculemos 4 con la definición ( x = 3) 4=

2

Calcule el valor de: 73

6 = [5 + 4] + 3

a) 10 d) 2

2 x+ 3 +1

2 × 3 5

Academia GAUUS

= t 2 : 13

2 10 − 1 2(4, 5) − 1 = = 4 2 2

Cuando x = 13 t 3= : 16

2 13 − 1 2(4) − 1 = = 3, 5 2 2

527

JOHN MAMANI M. Hallemos el número de términos desde hasta 73 que tiene razón 3.

10

Hallemos el término 22 en la siguiente progresión aritmética de razón (− 0, 5) . 4, 5 ; 4 ; 3, 5 ;  ; t 22 t n = t1 + (n − 1)r

t n = t1 + (n − 1)r

t 22 = 4, 5 + (22 − 1)(− 0, 5)

73 = 10 + (n − 1)3

t 22 = − 6

n = 22

∴ 73 = −6

¡Comprueba lo que sabes! 05. De acuerdo a:

01. Sea: x + 1= 3 x − 2 x − 1

Además: 4

=1 y

6 =4

Hallar: 5 a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

02. Se define: n= 2 n − 1 + 3 ; ∀n > 1 Además: 1 = 4 b) 27 e) 20

Además:

1

Calcule: a) 63 d) 66

4

c) 28

b) 5 e) 6

c) 4

Hallar:

528

x 1 =3

x 5

a) 12 d) 16

b) 15 e) 33

c) 17

2 x −1 x+1 = x+2

b) 1 e) 1/6

c) 1/2

2

08. Se define: n − n − 1= n ; ∀n > 0

2x + 1 − x + 1

b) 6 e) 8

Hallar: 5 a) 2 d) 1/4

Además: 0 = 3

Además: 3 = 1 a) 5 d) 7

c) 65

Además: − 1 = 3

04. Calcular el valor de 7 Si: 2 x − 1 =

b) 64 e) 67

x 0 =2 y

07. Se define:

Calcular: 5 a) 2 d) 3

=1

x n= +1 3 x n − 2 x n−1

03. Si: x = 2 x − 2 + 1 Además: 1 = 0

+ 2n

06. Se define: Además:

Calcule: 3 a) 24 d) 25

n+1 = 3 n

c) 4

Calcule: 7 Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. a) 133 d) 142

b) 136 e) 143

c) 139

Calcule el valor de: 67

09. Si: 2

x +1

=

x

a) –2 d) 1

2

+1

−

11

12

Halle el valor de:

10. Sea

b) –1 e) 2

c) 0

un operador del que: x+1 =

x +2

Hallar: 8 − 6 a) 1 d) 3

b) 0 e) 4

c) 2

Calcula el valor de: 3 − − 3 a) –1 d) –4

b) 4 e) –6

c) 0

c) 91

15. Se define: 2 x + 1 − x − x = 0 Calcule:

15 − 1 7 − 3

a) 11/2 d) 11/3

x +1

Calcular: 24

c) 3/11

16. Se define en  : x = x + 5 + 2 Además 10 = 10

a) –15 d) 24 17. Si: n + 1 =

a) 2002 d) 2001

19. Dado x = b) 5 e) 6

Academia GAUUS

b) 11/5 e) 5/11

c) 6

x =

b) –14 e) 14 n +

c) 25

1 2

1 2

b) 1001 e) 1/2

c) 2000

18. Se define: f ( x + 5) = f ( x + 2) + 2 Además: f (12) = 20 Calcule: f (300) a) 212 b) 215 c) 224 d) 216 e) 214

9 =2

14. Se define en  :

c) –3

Calcular: 2002

13. Se define:

Además:

b) –2 e) –5

Además: 1 =

12. Si: f (n + 2) = nf (n) ; n ∈  Además: f (2) = 2 Calcular: = S f (8) − f (4) a) 89 b) 90 d) 92 e) 96

x+5=

a) –1 d) –4

Calcule 70

11. Se sabe que: x + 1 − x = 2x

a) 4 d) 10

Además 7 = 5

2 x+ 3 +1 2

1+ x −1

Además: 1 = 63 Calcular: 1999 − 2000 a) 1 d) 3

b) 0 e) 314

4

c) –1

529

JOHN MAMANI M. OPERADORES MATEMÁTICOS XI PROBLEMA 01

PROBLEMA 03

Si " ∆ " es un operador tal que:

Dados los operadores:

2

a ∗ b= a − a − 1 Calcular: 5 ∗ (5 ∗ (5 ∗ (5 ∗))) a) 12 b) 19 c) 13 d) 5 e) 25

Resolución Se aprecia que la regla de definición depende únicamente de “a” (1er. elemento); el 2do. Elemento no interviene en los cálculos. Ahora veamos lo que nos pide ∗ (5∗ M =5 (5 ∗ )))  ∗ (5  a b 2 M= 5 − 5 − 1 M = 19

x = 2 2x − 1 + 5 x+1 =

x −1 − 4

Calcular el valor de: 3 + 5 a) –1 b) 3 c) 2 d) 7 e) 5

Resolución En la primera condición con ( x = 3) x= 2 2 x − 1 + 5

= 3 2 5 + 5.............(*)

En la segunda condición con ( x = 4) x+1 =

= 5

PROBLEMA 02 2

Si: a ⊗ b = a − ab − 1 Calcular: 3 ⊗ (3 ⊗ (3 ⊗ (3 ⊗ ))) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3 − 4.............(**)

Remplazando (*) en (**) = 5

3 −4

5= 2 5 + 5 − 4

Resolución Con: M = 3 ⊗ (3 ⊗ (3 ⊗ (3 ⊗  ))) 

x −1 − 4

5 = −1

Para calcular

M

3

remplacemos en (*)

3 2 5 +5 =

M= 3 ⊗ M

3 = 2(− 1) + 5

Remplacemos en la definición M= 3 ⊗ M 2

M = 3 − 3M − 1 4M = 8 ∴ M= 2

3 =3

Pide: = M

3 + 5

M= 3 − 1 M =2

530

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M.

¡Comprueba lo que sabes! 2

01. Si: m∆n = m − m − 1 Calcular: S = 3∆(3∆(3∆(3∆ ))) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 02. Si ∗ es un operador tal que: 2

a ∗ b= a − a − 1 Calcular: 9 ∗ (9 ∗ (9 ∗ (9 ∗))) a) 12 b) 19 c) 13 d) 71 e) 9 2

03. Si: a ∗ b= 3a + 2a + 1 Hallar: E = 5 ∗ (4 ∗ (3 ∗ (2 ∗  ∞ ))) a) 26 b) 46 c) 86 d) 16 e) 56 2

04. Se define: m ∗ n= 3m − m Calcular: R =1 ∗ (2 ∗ (3 ∗ ())) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) –2 3

05. Siendo: a ⊕ b = a + 2a Calcule: E = 3 ⊕ (4 ⊕ (5 ⊕  (19 ⊕ 20))) a) 44 b) 33 c) 34 d) 36 e) 38 2

m +3 2 4 ∗ (5 ∗ (6 ∗ )) Halle: E = 

06. Si: m ∗ n=

b) 2200 e) 1100

c) 120

2

5 ∗ (7 ∗ (9 ∗  (2012 ∗ 2015))) b) 2014 e) 6

Academia GAUUS

b) 2 e) 12

c) 3

09. Dada la operación matemática 3RS + 3R + 4S + 4 R⊗S = 2S + 2 Calcule: E = 16 ⊕ (15 ⊕ (14 ⊕  (2 ⊕ 1))) a) 24 b) 20 c) 32 d) 26 e) 28 2

10. Si: m ⊗ n= m − mn − 10 Calcular: M = 8 ⊗ (8 ⊗ (8 ⊗ )) a) 8 b) 6 c) 7 d) 10 e) 13 11. Se define: m ∗ n = 3n − m Calcular: R = 4 ∗ (4 ∗ (4 ∗ ())) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) –2 2

12. Si: m∆n= m − n − 1 Calcular: S = 3∆(3∆(3∆(3∆ ))) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Calcular: E = a) 4 d) 0

x ∗ y= x + 2x + 1 Halle el valor de: a) 100 d) 25

a) 1 d) 6

2

07. Dado el siguiente operador:

M=

Halle: M = 5 # { 5 #(5 # )}

13. Si: x  = y 3y − 10 x

2013 operadores

a) 2002 d) 11

 a 2 b + 35b  −1  b ,a ≠ 0; 08. Si: a # b  =   4a  

c) 10

5  5  5  ...

b) 6 e) 2

c) 5

2

14. Si: m ∗= n (2n) − 3m Hallar: F =

4 ∗ 4 ∗ 4 ∗∞

a) 4 d) 5

b) 2 e) 1

c) 3

531

JOHN MAMANI M. Hallar el valor de:

2

15. Si: a ∗ b= 2b − 3a Calcule: E =

3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ ; E > 0

a) 3 d) 4

b) 21 e) 6

c) 1

6 + 12

a) 1 d) –6

b) 2 e) –1

c) –7

21. De acuerdo a:

2

16. Si: m ∗ n= 4n − 50m Calcular: E =

5x =

6 ∗ 6 ∗ 6 ∗∞

a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

c) 8

x+1

x+6

+7

= 3 x + 3 − 2x − 1

Calcule: 10 3

17. Si: a ∗ b= 4b − 3a Halle: M =

3

a) 8 d) 10

8∗

3

8 ∗ 3 8 ∗

b) 2 e) 4

c) 12

a) 8 d) 4

b) 5 e) 6

c) 2

22. Dados los operadores: = x 2 2x + 5

18. Dados los operadores:

x + 2= 3 2 x − 5

x = 5 4 x − 1 + 5x x+1 =

Calcular el valor de:

x−4 −8

a) –1 d) –7

Calcular el valor de: 2 + 7

a) –1 d) 7

b) 3 e) 5

c) 2

3 + 6

b) 3 e) –4

c) –3

23. Si se cumple: 2

9 x + 2 − 10 = x − 5 x + 3

19. Dada las operaciones matemáticas: x= 2

2x − 1

4 x + 3 =9 − 2 x + 3 x + 2

+5

Calcule el valor de: x+1

= x−2 −4

Halle el valor de: 4 + a) –1 d) 0

11

7

b) 1 e) 3

c) 2

a) 1 d) 8

b) 5 e) 11

c) 3

20. Sea los operadores: 2x =

x + x −1

x −1= 2 x + 5 − x + 3

532

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. OPERADORES MATEMÁTICOS XII PROBLEMA 01

De la segunda condición

Definido el operador "

" mediante:

es impar), calculemos 5 .

 (n − 1)2 ; si "n" es par n = ; si "n" es impar  2n Determinar: L = a) 10 d) 40

= L

= 5 2(5)

∴L = 10

3 × 2 − 2

b) 20 e) 50

PROBLEMA 02

c) 30

Se define:

Resolución De la segunda condición

x+2 ; para " x " par  x = 2  x + 1 ; para " x " impar  2 Determine el valor de: #

n = 2n cuando (“n”

es impar), calculemos 3 .

#

3 2(3) = = 6

De la primera condición

n= (n − 1)

2

cuando

a) 4 d) 2

#

#

Resolución

2

2 =(2 − 1) =1

K = (6

Remplazando en L:

L=

#

K = (6 − 3 ) + (7 − 4 ) b) 6 c) 3 e) 1

(“n” es par), calculemos 2 .

L=

n = 2n cuando (“n”

#

#

− 3 ) + (7

#

#

−4 )

 6 + 2 3 + 1 7 + 1 4 + 2  − + − K=  2   2 2   2

3 × 2 − 2

K = [ 4 − 2 ] + [ 4 − 3]

6×1− 1

K= 2 + 1 K= 3

L= 5

¡Comprueba lo que sabes! 01. Se define la operación (%) como: a+ b , si: a + b = par  a%b =  3  a − b, si: a + b = impar Hallar el resultado de: (5%1) × (7%4) a) 4 d) 8

b) 5 e) 12

Academia GAUUS

c) 6

02. Sabiendo que:  2a − b, si: a ≠ b a∗b =  b  a + 2b, si: a = Hallar: (3 ∗ 1) ∗ 5 a) 10 d) 25

b) 15 e) 30

c) 20

533

JOHN MAMANI M. 03. Sabiendo que:

08. Se define:

a+ b , si: a < b  a%b =  3  a − b , si: a > b  3 Hallar el valor de: (4%6)%(7%3) a) 5/2 b) 7/2 c) 2/3 d) 3 e) 5 04. En:  a ; si : a < b a∗b =   b; si: a > b Luego son verdaderas I. 7 ∗ 8 = 8 ∗ 7 II. 5 ∗ 3 = 3 III. (5 ∗ 3) ∗ 4 = 5 ∗ (3 ∗ 4) a) Solo I b) Solo II d) Solo III e) I, II y III

 2m + n  3 , si: m ≥ n m∗n =   m + 2n , si: n > m  2 Calcular: (9 ∗ 9) ∗ (2 ∗ 5) a) 6 b) 9 c) 3 d) 8 e) 4 09. En el conjunto de los números naturales se define la operación:  3m − 2n ; si: m>n m%n =   3n − 2m ; si: m ≤ n Calcular: E =

c) I y II

05. Sabiendo que:  2m − n ; si: m>n m%n =  ; si: m ≤ n m + n Calcular: ( 3 % 4 ) % ( 5 % 2 ) a) 12 b) 16 c) 10 d) 15 e) 18 06. Sabiendo que:  2a + 3b, si: a ≥ b a∗b =   3a − b, si: a < b

a) 71 d) −73 10. Si:

a+ 2 , si a = par o cero  a = 2  a + 1 , si a = impar  2 ∗

∗

b) 35 e) 37

 a 2 − b ; si: a>b a#b =  2 3  2a − b ; si: a ≤ b Calcular: = R ( 3# 2 ) − ( 2 # 3 ) a) 0 b) 12 c) –12 d) 26 e) 30

534

∗

∗ ∗ ∗

11. Se define: a+ 2 , si: "a" es par  a = 2  a + 3 , si: "a" es impar  3

c) 20

07. Se definen:

∗ ∗

Calcular: E = ((4 + 3 ) − (5 + 2 ) ) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Hallar: (4 ∗ 2) ∗ (2 ∗ 3) a) 12 d) 25

2

(5%2) %(1%2) 5 b) −71 c) 73 e) 5

Hallar:

3 −

a) 1 d) 6

3 2 5

b) 2 e) 0,25

c) 3

12. Se define: −b

−a

 (a ) × (− b ) ; si: a < b a%b =  −a −b  (a ) × (− b ) ; si: a ≥ b

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. Halle: = E (2% − 2) − (− 2%2) a) –1 b) –2 c) 0 d) 2 e) 1

 a − b, si a < b  a ∗ b =  a + b, si a = b  2  b − a, si a > b 2

Calcule: E = (− 5 ∗ − 3) ∗ 4 + (5 ∗ 7) ∗ − 6 a) –12 b) 10 c) 6 d) –4 e) –6 14. Si:  2 x + 3; x ≤ 2  2 x =  x − 2; 2 ≤ x ≤ 3  3 x − 1; x > 3  Calcular: E=

2 + −1 + 4 − −6

a) 21 d) 20

b) 22 e) 24

c) 23

15. Sabiendo que:  m 2 − 1; si: m > n m%n =  2  n − m : si: n > m Simplificar: 5%( 4% 17 ) a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25 16. Defina los siguientes operadores:  a 2 b 3 si: a ≠ b a∗b =  b  2a + b si: a = 2 2

a#b = a b Entonces el valor de  (1 ∗ 1) ∗ ( 3 ∗ 1)  N= #4 4∗4   b) 8 e) 10

Academia GAUUS

 x − 1 ; si x ≤ 10 x =  x − 2 ; si x > 10 Calcule: 1 + 2 + 3 +  + 20

13. Se define en 

Es igual a: a) 7 d) 21

17. Si:

a) 93 d) 146

b) 170 e) 190

c) 180

+

18. Se define en  , la siguiente operación ; Si x ≥ 100 x − 3  x =  x + 5 ; Si x < 100 Calcule: 97 a) 95 d) 98

b) 96 e) 99

c) 97

19. Se define:  3 − n 2 , si: n 0 ∆(P) =   0, si: P ≤ 0 Calcule: ∆(6, 5) a) 16 b) 24,5 c) 22,5 d) 24 e) 25

c) 9

535

JOHN MAMANI M. OPERADORES MATEMÁTICOS XIII

Resolución

PROBLEMA 01 Se define: P M = N↔M

= P

Entonces los operadores círculos se simplifican, se tiene:

Calcule el valor de x en: 2

x −1

a) 2 d) 5

y =a

2

x +1

b) 3 e) 6

b = −1

y = 3a

2

b + 2b = −1

c) 4

2

b + 2b + 1 = 0 2

(b + 1) = 0 b+1= 0 b = −1 ∴ b + 5 =− 1 + 5 =4

Resolución 2

x −1

y =a a

y =2

3

=0 =(− 1) + 1 = − 1

b

N

2

x +1

x −1

y = 3a y

3a

(y ) (2 ) a

x −1

2

3 3

3 x− 3

=2

x +1

PROBLEMA 03

=2

x +1

=2

x +1

= 2

x+ 1

3x − 3 = x + 1 x=2

En  se define:  x  = n ⇔ n ≤ x < n + 1, n ∈ 

Encuentre el valor de: 4 E=   +  9 −  1, 5 −  π  + 4,7   5 a) 6 d) 8

b) 7 e) –3

c) 5

Resolución PROBLEMA 02 En el conjunto de los números enteros se definen: x

3

2

= x + 1;

x = x + 2x b

=0

Calcular el valor de: b + 5 a) –1 b) 2 d) 4 e) –5

536

c) –3

Con la definición, calculamos los máximos enteros. 4   = = 0, 8  0 porque 0 ≤ 0, 8 < 1  5  3,1   =

= π

3 porque 3 ≤ 3,1 < 4

Remplazando en “E” 4 E=   +  9 −  1, 5 −  π  + 4,7   5 E = 0 +  9 − 1, 5 − 3 + 4,7  E =0 +  9 −  3, 2  Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. E =0 +  9 − 3 

Calculemos  3, 2  

 3, 2  = 3

E= 0 +  6 

porque 3 ≤ 3, 2 < 4

E= 6

Remplazando en “E” E =0 +  9 −  3, 2 

¡Comprueba lo que sabes! 01. Se definen:

Calcular el valor de: b + 5 a) 2 b) 3 d) 6 e) 4

2

m = m + 3m a b= (a − b)

2

05. Se define en  1 2 ( x + 1) x = 2

Determine el valor de: 2 a) 4280 d) 4292

2

( x − y)

x ∗ y = ( x + y)

b) 4288 e) 4296

c) 4289

Además: m ∗ n = 53 2

a b= 2a + b a b= 2b − a

x =

2 m =5

b) 2 e) 5

03. Se define: = P

Calcule el valor de x en: 3

x −1

y =a

a) 2 d) 5

3

x +1

3

y = 2a

8 + 7

c) 4

−4 + 3

Academia GAUUS

=8

Calcule: 2

x = x + 3x b

c) 4

07. Sea x una función constante tal que:

b) 3 e) 6

= x + 1;

2

Halle: m + n a) 2 b) 3 d) 5 e) 6

1989 − 2010 − 21

04. Sea “x” un número entero, x > − 2 : x

( x − y)

Además: m ∗ n = 31 2

P M = N↔M

2

x +1 2

x ∗ y = ( x + y) c) 3

N

c) 4

06. Se define en 

Determine el valor de m en:

a) 0 d) 4

2

Halle: m + n a) 2 b) 3 d) 5 e) 6

02. Se definen los operadores:

4 3

c) 5

a) –9 d) 4

b) 4 e) –4

c) 19

= −7

537

JOHN MAMANI M. a) –1 d) –3

08. Si: x − 2 = x + 2 − x ab= ba − ab

Halle el valor: a) 31 d) 34

17 − 1

b) 36 e) 27

n−2

c) 32

10. Se define los operadores: 2

= x − 4x + 5 ∧

2

x= x − 1

Calcule: a) 7 d) 27

a) 7/9 d) 19/17

3 +

2

b) 24 e) 21

24 ∆15 = 3 49 ∆ 26 = 24 18 ∆ 23 = 2

bb∆ ab

; si: a ≠ b

ba∆ aa b) 9/7 e) 79/2

c) 17/19

x+3

x −1 =

x

= x+8

Calcular:

1

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

16. Se cumple que:

2

2 2 2

Además 0 = 1

(a ∗ b ∗ c) − 4abc(a ∗ b ∗ c) + 4a b c = 0 2

2 −1

Calcule: (m + n) ∗ (m − n) ∗ (m − n ) a) 6 b) 1 c) 4 d) 3 e) 2 n

13. Si: x + 1 = x − 1

Calcule “n”

538

c) 3

= x x x−2

12. Si:

Además: 3 = − 7

c) 3

15. Si:

c) 65

a 5∆ 3b = 8 Calcule: N =

= n2 + 2n

x = x+4

b) 67 e) 68

11. Si se sabe que:

= n(n + 2)

n−2

Calcular: 8 + 4 a) 64 d) 66

c) –1/3

14. Se define en 

P(4) x 09. Si: P  =  P( x ) − P( y) , calcule: y P(2)   a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1

x

b) 1/3 e) 0

Halle el valor de a) 2 d) 100

100 50!

b) 50 e) 1

c) 2

50

17. Se define x −1 + x + x +1 = 20

3 Además

0 =7

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 21. Se define:

Calcule: M = 1 + 2 + 3 + 4 +  + 92 a) 607 d) 615

b) 610 e) 617

c) 613

3 x + 4 = 15 x + 18 Además: x + 1 − 3x =

18. Si se sabe que:

Calcule:

x= 2 x + 5

x

+ 10 =x

=

a) 21 d) 24

x+1 +

x

=x + 6

x+1 −

x

= x

x+2

Calcule: b) 22 e) 25

c) 0

19. En  se define:

 x  = n ⇔ n ≤ x < n + 1, n ∈  E=  −3, 5  + 1 +  π  ⋅  2  b) –1 e) –2

c) 1

2

a) 1 d) 3

b) –1 e) 5

c) 2

23. De acuerdo a: n = xn + y ; x > 0

Encuentre el valor de:

a) 0 d) 2

c) 39

Además:

5

Calcule:

b) 40 e) 36

22. Si: x = x + 2

Siendo además que: x+2

2

a) 32 d) 37

x= 2 x + a

2 x − 1 + 2 x + 20

Además

n + xn + 2 y = 18n + 20

Calcule: 15 + 5 a) 62 d) 58

b) 64 e) 60

c) 54

20. En  se define:

 x  = n ⇔ n ≤ x < n + 1, n ∈ 

Simplifique: E= a) –5/7 d) –10/7

 4, 2  +  6, 5   −3,7  +  −2, 2 

b) 3/2 e) 9/20

Academia GAUUS

c) –10/11

539

JOHN MAMANI M.

07. Se define el operador:

+

01. Se define en  :

2

Calcule: 25 ∆ 9 a) 8 d) 15

UNAP–EXT–SOC–2015

b) 17 e) 12 2

02. Si: a θ b = a − a + b

c) 10

2

a) 35 d) 41

UNAP–SOC–2012

b) 12 e) 10

c) 13

b a + 2b 04. Si: a #=  6#3  Hallar: P =   #18  2# 5  b) 30 e) 61

c) 36

UANCV–2013

UNAP–2003

2

540

b) 340 e) 405

c) 14

b a

x

5

∫ 2 f (m) = 13 UNAP–2004/2014

b) 9 e) –5 2

c) 3

2

( x − 10) θ 3 = 91

a) 20 d) 22

2

UNAP–2009

11. Si m θ= n m − n , halle “x” en:

c) 2

UNAP–ING–2014

b) 18 e) 26

c) 24

2

UNAP–BIO–2015

a) 413 d) 407

b) 7 e) –1

10. De acuerdo a: ∫ f (= x) a + b

a) 4 d) 1

(4 # 3)#(2 #1) 1#(2 # 3)

06. Si: a ∗ b = a + ab + b Calcule: (2 ∗ 3) ∗ 2

c) 39

Si se pide calcular “m” si:

05. Si: a #= b 2a − b

b) 3 e) 7

CEPREUNA–ING–2015

b) 37 e) 43

09. Sea la operación # definida en los números reales como: a+b a#b = a−b Halle el valor de “x”, si x # 2 = 2 x # 3 a) 0 d) 1

2

a) 5 d) 8

2

UNAP–SOC–2014

c) 50

2

Hallar: E =

c) 4

2

03. Si: aθ= b a − 3b Hallar: (2θ1) + (4 θ 2)

a) 25 d) 45

CEPREUNA–SOC–2015

b) –3 e) 1

08. Si: m # n = m − mn + n Calcule: (2 #1)#(2 # 3)

b) 42 e) 60

a) 11 d) 14

Determine el valor de “P” Si: P = (1  2)  (1) a) –4 d) 3

Halle: 8 θ 2 a) 82 d) 72

2

a  b = 2a − 3b + 4ab

x ∆= y 3 x −2 y

c) 403

12. Se define: f= ( x ) ax − 8 Hallar “a” si: 2

f ( x ) + f (2 x ) + f (3 x ) = 280 x − 24 UNAP–EXT–2005

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. a) 21 d) 41

b) 20 e) 25

c) 40

Halle: 24 ∗ x Si: x ∗ 25 =25

13. Si en el conjunto de los números enteros  a −1

se define la operación: a ∗ b = b (a + 1) ∗ (ab + a) Calcule: (a + 1) ∗ (b + 1)

a) 1/2 d) 1 19. Siendo:

UNAP–EXT–2010

a) a

a +1

d) b

a

b) a

b

e) a

a −1

c) a

a

Halle: x ⇐ x

UNAP–BIO–2012

b) 6 e) 9

c) 5

c) 21700

2

CEPREUNA–BIO–2014

b) 3 e) 16 θ

c) 4

1 (a + b + 5) 2

θ

17. Sabiendo que: a # b = θ

θ

a) 10 d) 25

θ UNAP–EXT–2006

b) 8 e) 15

c) 20

18. Se define la operación “ ∗ ” en  x

x∗y = y

Academia GAUUS

a ⇐ b = a − 3b UNAP–EXT–2014

b) 8 e) 11

c) 9

20. Se define a∆ b = log b a

a) 20 d) 25 21. Si:

2

+

CEPREUNA–2004

b) 27 e) 41

c) 14

a%b = 2b − a m # n = 2(n − m) + 3

Halle: CEPRE = 3% [ (4%5)# 2 ] a) 17 d) 13

CEPREUNA–BIO–2013

b) –11 e) –13

22. Se define en  :

c) 12

2

2

a∗b= a + b a # b = 4ab Hallar el conjunto solución de:

(x ∗ a) + (2a = # x) a) {2; 24b} d) {8; 24a}

θ

Además 3 # x = 14 Halle: x # 5

a) 7 d) 10

UNAP–EXT–2006

16. Al definir el operador por: x ∗ y= ax − xy Se obtuvo 2 ∗ 1 = 10 Halle “b”, si 3 ∗ b = 0 a) 9 d) 1

a ⇒ b = 3a − 2b 6⇒ x= 8

(5 ∆ 3)

15. Si: f (n) = (2n) Halle el valor de “R” en: R= f (1) + f (2) + f (3) + f (4) +  + f (10) b) 23400 e) 22800

c) 2

Calcular: S = 3

3

a) 25100 d) 24200

CEPREUNA–SOC–2014

b) 6 e) 5

2

14. Si a ∗ m= m + a , halle la suma de las cifras del décimo sexto término de la sucesión. 3 ∗ 9 ; 4 ∗ 16 ; 5 ∗ 25 ;  a) 2 d) 3

25∗ x

[ a #(2x)] + a 2 + 6(b # x) CEPREUNA–2005

b) {0; 24a} c) {0; 24b} e) {24a; 24b}

a∗b ; a≠b a−b Además: m ∗ n = m + 2n 8⊕4 Halle el valor de: E = 2⊕1

23. Dado que:= a⊕b

UNAP–ING–2012

541

JOHN MAMANI M. a) 2 d) 5

b) 4 e) 3

29. Se define:

c) 1

P M = N↔M

24. Si: (a + b) 2

2

2

a %= b b +a

2

−3

a) 32 d) 4

b) 64 e) 16

UNAJ–2014

c) 8

b

26. Se define: a ∗ b = a × b

c) 13

a) 1/2

b)

d) 1

e) 2

a)θa = a+4 c)

3

1 (9 + 17) 2

 a b − b a si : a > b a = b  a a − b b si : a < b  2 3 − 3 2 UNAP–1997

a) 24 d) –24

b) 22 e) –42

c) 23

32. Sabiendo que:

en a # b = 2

b) 4 e) 6

2

c) 8

Calcular: (− 2 ⊕ − 1) − (− 1 ⊕ − 2) a) 3 d) –2

b) –7 e) –3

UNAP–2011

c) 4

33. Se define:

 a∆b  28. Si: = a  

b b  ; a ≠ b a b  (7 ∆ 6)(6 ∆ 7) Calcule: R = (3∆ 8)(8 ∆ 3)

b) 1/25 e) 1/27

 2a − 5b; si: a > b a⊕b =   3a − 7b; si: a < b

a

UNAP– EXT–2005

a) 2 d) 2

Hallar “a”, si: (a −

a− 3

5

UNAP–BIO–2014

27. Se define: a #= b a ×b 4

y = 3a c) 4

30. Se define en  : a θ b = b

Calcular:

a

2

b

4

x +1

b) 3 e) 6

c) 13/4

b) 17 e) 11

Hallar: a + b

2

31. Sabiendo que:

Calcular ( x + y ), si: x ∗ y = 5 a) 14 d) 10

a) 2 d) 5

UNAP–SOC–2013

b) 26/12 e) 11/4

2

y =a

UNAP–EXT–2008

25. Sabiendo que: a ⇒ b = b ↔ a y + xy Además: ( x + y) ↔ y = x+y Calcule: 4 ⇒ 16 a) 13/8 d) 15/4

x −1

UNAP–2001

2

1 Halle (r − s) en (r%s) − (r # s) =    2

542

= P

Calcule el valor de x en: a#b =

a) 1 d) 5

N

x+2 ; para " x " par  x = 2  x + 1 ; para " x " impar  2 Determine el valor de: #

CEPREUNA–BIO–2014

c) 1/5

K = (6

#

#

− 3 ) + (7

#

#

−4 )

CEPREUNA–BIO–2012

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. a) 4 d) 2

b) 6 e) 1

39. Si: (2 x − 3)  (5 y + 2) = 4 xy Halle: 7  17

c) 3

34. En  se define:

a+ b  a − b , si: a ≠ b a∗b =   a + b , si: a = b  2 Halle “x” en:  x∗5 (4 ∗ 3) = ∗ (8 ∗ 6)   (12 ∗ 9)  2  a) 15 d) 4

UNAP– EXT–2013

b) 18 e) –1 5

y

c) 5

35. Si: x ∗ y = 2( x + y) − x Halle: 5 ∗ 243 a) 120 d) 125

CEPREUNA–ING–2013

c) 141

x

3

x #= m x +m Calcule el valor de: 16 #16 b) 10 6

d) 2 6

e) 16 2

c) 6 2

x y ∆= y x 18 y − 11x Calcule: A = (1∆ 2)∆(8 ∆ 9) b) –13 e) –32

b

a

c) 13

UNAP–2010

b) 7 2

d)

e)

99

Academia GAUUS

96

b

b

b= a +b

b

a

4 0, 25

a) 4,25 d) 2,75

CEPREUNA–2011

b) 1 e) 2

c) 0

m m − 4n ∆n = 4 mn 1 2 6 Calcule: M =  ∆  ∆  3 3 5

4

c) 8/3

2

aφb = a − a + 1 Encuentre el valor de: E = 7 φ(7 φ(7 φ())) 2n operadores

b) 21 e) 13

UNAP– EXT–2013

c) 5

2

s − sr − 1; s − r ≠ 0 s−r

Calcule: a) 4 d) 7

a +a +b

UNAP– EXT–2007

b) 7/2 e) 5/4

8 @(8 @(8 @(8 @))) b) 5 e) 8

CEPREUNA–SOC–2012

c) 6

3

UNAP–BIO–2012

a) 9 2

Calcule:

43. Si: s= @r

38. Se define el siguiente operador:

3a ∗ 5b = Calcule: = S 27 ∗ 40

a

a) 58 d) 43

37. Definimos en  :

a) –19 d) 19

a

42. En  se define:

3

CEPREUNA–ING–2012

a) 5 2

c) 62

40. Si:

a) 4/3 d) 3/2

36. Se define el operador: m

CEPREUNA–BIO–2013

b) 72 e) 50

41. Si:

y

b) 140 e) 131

a) 60 d) 70

c) 6 2

2

44. Si: a ⊗ b = a − ab − 1 Calcular: 3 ⊗ (3 ⊗ (3 ⊗ (3 ⊗ ))) a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

CEPREUNA–SOC–2013

c) 3

543

JOHN MAMANI M. a) 1/2 d) 3

3

45. Si: a ∗ b= 2b − 16a Halle: E = a) 8 d) 10

3

4∗

3

4 ∗ 3 4 ∗ CEPREUNA–SOC–2013

b) 2 e) 4

c) 12

UNAP–SOC–2007/2012

b) 3 e) 7

c) 2

47. Se define en  :

m ∗ n= m(n ∗ m)2 ; (m ∗ n) ≠ 0 Calcule: 8 ∗ 1 a) 1/2 d) 2/5

b) 1/3 e) 7/6

c) 1/4

UNAP–2004

3

c) 1/2

UNAP–2001

49. Si: (b ∗ a) = a(a ∗ b) ; a ∗ b > 0 Hallar: 24 ∗ 3 UNAP–2006/2007

b) 7 e) 10

c) 6

Encuentre el valor de: 4 E=   +  9 −  1, 5 −  π  + 4,7   5

a) 6 d) 8

c) 5

a+ b b+c a= b + a−b b−c c Entonces, hallar: 14 10 8

b) 36 e) 48

c) 14

Calcule: 2 + 2 1

c) 24

a) 11 d) 13

2

UNAP–EXT–2004

b) 19 e) 16

55. Sea el operador:

CEPREUNA–2011

51. Se define:

3 4 3

+

4 6 5

CEPREUNA–SOC–2012

b) 9 e) 1

c) 12

2

a ∗ b = 2( b ∗ a ) − ab 4

3∗2

2

56. Se define el operador: a b= a − 3b Halle:

6 UNAP–2007

544

UNAP– EXT–2013

b) 7 e) –3

a = a 3 − 2bc b c

50. De acuerdo a: a ∗= b 2a b ∗ a ; a ∗ b > 0 Halle: 1 ∗ 27

Calculemos el valor de:

c) 16

53. En  se define:  x  = n ⇔ n ≤ x < n + 1, n ∈ 

a) 15 d) 10

2

a) 30 d) 25

UNMSM–2007

b) 14 e) 18

54. Se define:

b) 1 e) 1/3

a) 9 d) 8

3

a ⊗ 3 b = 3(b ⊗ 3 a ) − 4a Calcule: 8 ⊗ 2

b 3 , calcular: (2 ⊗ 8) 48. Si: a ⊗ b = 2 (b ⊗ a)

a) 3/2 d) 10

c) –1

52. Se define el operador "⊗ " se cumple

a) 15 d) 13

46. Se define el operador: x ∗ y = x − y + 2(y ∗ x ) Hallar: 12 ∗ 3 a) 5 d) 8

b) 7 e) 1

2 1

4 2 UNAP–EXT–2011

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. a) –11 d) –29

b) 21 e) 18

c) 10

x 1 1 2 x 1 + = 2 x 3 x 2 4 3

57. Sea el operador:

a 2 = a − bc b c

a) 4 d) –1

Calcular:

1

1 1

b) 190 e) 165

3

3

c) –2

c) 145

a c = ad − bc b d Hallar “m” en:

4 1 3 n 5 1 + = 6 5 1 m n m CEPREUNA–2006/2012

b) 7 e) 5

c) 9

b = ad − bc d valor que satisface la

1 2 1 x 2

UNAP–EXT–2004/2005

58. Se define:

a) 4 d) 0

a b  c d=  ac − bd   Halle “x” en:  x + 1 2( x + 1)   x − 1 x + 2  =  5 3   − 4 1   b) 7/5 e) 3/4

UNAP–2005/2006

=

x

2 3 x 7 CEPREUNA–ING–2013

c) 1

6

62. Sabiendo que: m = n m −n

6

Calcule el valor de:

1 2 + 2 3 + 3 4 +  + 9 10 a) 444444 d) 999999

b) 777777 e) 555555

a+b ;a≠b a−b

x = 3∧ y 3 = 4

Además:

4

Calcule:

3x y

a) 14 d) 10

CEPREUNA–2009

c) 888888

b) 12 e) 13

UNAP–BIO–2013

c) 11

c) 4/3

64. Para todo número real, definimos x , como: 2

= x x − 1.

60. Definimos a b = ad − bc c d

Halle el mayor número que satisface la ecuación. Academia GAUUS

3

b) 2 e) 3

63. Se define: = a b

59. Si:

a) 1/2 d) 5/7

b) –3 e) 3

a c Halle el mayor ecuación:

4

2 2

a) 4 d) 1

1

UNAP–BIO–2007/2012

61. Se tiene el operador: 4

a) 154 d) 160

0

Según

esto,

¿Cuál

es

resultado al efectuar el producto de

el 3

por 4 ? CEPREUNA–SOC–2012

545

JOHN MAMANI M. a) 120 d) 420

b) 12 e) 520

c) 320

x+1 ; x>1 x −1 Halle el valor de “x”, si:

69.= Si: x

65. Sabiendo que:

x

x= 2 x − 1 x= 3 x + 1

a) 3 d) 5

Calcular: 3 a) 20 d) 14

b) 12 e) 16

CEPREUNA–SOC–2012

66. Se define el operador: x =

Calcule:

2

c) 18

CEPREUNA–BIO–2013

c) 2

n =

70. Se la operación

valor entero de “n” en x+1 x −1

a) 4 d) 2

 200 operadores b) 9 e) 2

+2 x +4= 19

b) 4 e) 1

3n + 2 , entonces el 2n n = n; es: UNAP–ING–2007/2014

b) 4 e) 5

c) 27

71. Se define lo siguiente: = n n n +1

UNAP–2003

a) 3 d) 1

2

c) 8

= m x m −1 a= 2a + 4

67. Si: x = x( x + 1) − x( x − 1)

Calcule el valor de:

Halle: −2

S = 1 + 2 + 3 + 4 +  + 100 CEPREUNA–2009

a) 10100 d) 22000

b) 20200 e) 0

c) 11000

a) 2 d) 3

b) 1 e) 0 2

x= x + 1

x = 2x

2

x= x − 1

x= 3 x − 1 x= 2 x + 1

Evaluar:

Calcular “n” en:

UNAP–BIO–2012

c) 6

4

a 4

a) 2(a + 1) b) 2(a − 1) 4

d) a + 1 73. Si:

x =

546

+

a

UNAP–EXT–2000

n−4 + 4 + 5 = 26 b) 5 e) 8

UNAP–2007

72. Se define

68. Se define los operadores:

a) 4 d) 7

c) 4

c) 2a

4

4

e) a − 1

x+1 x −1

y

x −1 x+1 Academia GAUUS x =

JOHN MAMANI M. Calcular:

79. Si: m + 1 = 2m + 1

x

4 + 6

Calcular:

a) x + 1 x+1 d) x −1

UNAJ–2014

b) − x

c) x − 1

e) x

a) 20 d) 35

UNAP–SOC–2012

b) 28 e) 24

c) 23

80. Si: 2 x + 1 = 3 x − 2

2

74. Se define: f ( x − 2) = x + 3 x + 1 Calcular: f (3)

Hallar:

11 + 9

UNAP– EXT–2001

a) 42 d) 39

b) 40 e) 41

c) 43

a) 13 d) 23

75. Se define: f (5 x − = 3)

x+7 +

2x + 7x + 2

Halle: f ( f (7) + 4 ) a) 4 d) 3

c) 8

3 + 7

UNAP–2005

76. Si: 3 x − 1 = 2 x + 5

a) 25 d) 10

b) 125 e) 15

82. Si:

x − 1 = 2x + 5

c) 22

Halle: − 2

77. Se define el operador:

x + 1 = 2x − 1 Halle el valor de: 3 − 2 a) 3 d) 1 78. Se define: Calcule: a) 42 d) 121

a) 22 d) 15

c) 29

UNAJ–2014

83. Si se sabe que: c) 8

x−8

= 3 x + 1 ; x + 3 = 12 − 2 x

Calcular: 2

x + 2 = 3x + 1 3 + 4 + 5 3 b) 99 e) 101

b) 10 e) 21

CEPREUNA–BIO–2014

b) 6 e) 0

Academia GAUUS

UNAP–1998

= x 3x − 1 UNAP–ING–2011

b) 23 e) 25

c) 60

2

Calcular: el valor de: 5 + 14 a) 20 d) 24

c) 10

81. Si: 2 x + 1 = 5x Hallar:

b) 7 e) 5

CEPREUNA–2010

b) 31 e) 33

CEPREUNA–2009/2010

6

a) –68 d) 28

+

b) –31 e) 42

7 CEPREUNA–2005/2012

c) 37

c) 84

547

JOHN MAMANI M. 2

84. Si: x + 3 = x − 1 , halle el valor de: a+2 − 2

E =

a−2

2

2

b) a

3

e) a + 1

d) a + 1

4

2

x + 2 = x + 4x + 5 ,a≠2 CEPREUNA–2011

a) a − 1

89. Se define en 

c) a

2

Calcule: 2 + 3 +  + 20 a) 2888 d) 2878

CEPREUNA–ING–2014

b) 3002 e) 2856

c) 2869

90. Se define:

85. Si:

2

x= x − 25 y

a ∗= b 4a ; a ∗ b > 0 2

a+1 = a + 4

Calcular: 37 + 21

Calcular: 10 ∗ 80 a) 5 d) 11

x= x( x + 10)

UNAP– EXT–2006

b) 7 e) 3

c) 9

a) 72 d) 66

UNAP–SOC–2012

b) 70 e) 68

c) 64

91. Dado el operador en 

86. Se define: = x 2 x

∧

x

n= +1 n

+

2

= x +2 y

= 4x + 2

x

Calcule el valor de:

Calcule: A= 6 + 4 − 5 a) 10 d) 5

c) 8



1 1  2 87. Si: θ  x +  = x + 2 x  x Calcule: θ(5) a) 25 d) 22

999 operadores

UNAP– EXT–2008

b) 2 e) 7

a) 4 d) 3

4

b) 7 e) 5

c) 23

UNAP–2008

92. Se define en 

+ 2

x = x − 10 x−2 = x

x+2

x= x ( x − 6)

Hallar los valores de “n” en: n

548

c) 8

CEPREUNA–SOC–2014

b) 21 e) 24

88. Se define:

a) 1 y 7 d) –1 y 1



= 3n

Hallar:

−1

b) 6 y 8 e) 6 y 7

UNAP–2001

c) 1 y 6

a) 14 d) 12

5 2

b) 17 e) 10

UNAP– EXT–2001

c) 13

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 93. Dados los operadores: 4x − 3 y x =

x

8x + 9 =

97. Se define: x =9 Determine el valor de A: A=

x

Calcular: a) 8 x + 3 d) 4 x − 5

b) 4 x + 5 e) x + 1

CEPREUNA–ING–2013

c) 8 x − 3

a) 37 d) 100

+

x

x

b) 64 e) 93

+

x

2

UNAP–ING–2015

c) 27

98. Para cualquier número entero se define el operador:

94. Se define: x= 3 x + 6 ;

x+1

=3 x − 6

= x x ( x + 1)

Halle “n” en:

Calcule:

n − 36 = 240

10

a) 42 d) 23

b) 31 e) 13

c) 32

UNAP–2008

a) 151 d) 18

b) 16 e) 42

UNAP–BIO–2015

c) 51

+

99. Se define en  :

95. Si:

a(a + 1) 2 Halle el valor de “x” si: a =

x+4

= x+3

3 x − 10 x + 3 = 3x + 1

Calcular: el valor de: a) 3 d) 6

a) 2 d) 5

5 +1

b) 4 e) 7

CEPREUNA–ING–2014

c) 5

96. Se define: x − 1 = 2x + 1

 2x − 3 ; si x es par  x= 5  2 x + 2 ; si x es impar  4 Halle el valor de: UNAP–EXT–BIO–2015

a) 4 d) 5

2 + 5

Academia GAUUS

c) 4

10 + 8 + 7 − 11

Calcular el valor de:

b) 77 e) 78

UNAP–EXT–ING–2015

100. Sea

x + 1 = 8x + 9

a) 76 d) 82

b) 3 e) 6

= 21

b) 2 e) 6

c) 3

UNAP–EXT–2014

c) 80

549

JOHN MAMANI M.

Operadores Binarios CAPÍTULO XIX OPERACIÓN BINARIA Se presenta mediante de una tabla de doble entrada. OPERADOR

 CONMUTATIVA Presentación Algebraica Presentación Tabular “El orden de los operandos no altera el resultado final”

Fila de entrada

∗ a Columna b de entrada c d

a c d a b

b d a b c

c a b c d

d b c d a

Cuerpo de la tabla (son los resultados)

Elementos que han participado en la operación.

a*b=b*a

c c a b

Mantén el mismo orden ∆

a b c d

550

b a b c d

c b c d a

La matriz es simétrica con respecto a su diagonal principal

d c d a b

Filas iguales

Columnas iguales

−1

−1

)

−1

a∗a = a

∗ a= e

e = elemento neutro

Presentación Tabular Presentación Algebraica En el conjunto: Dado el Conjunto: A = {1, 2, 3, 4} A = {a, b, c, d} Se define: y la operación a*b=d * 1 2 3 4 Los A

a d a b c

 ELEMENTO INVERSO (a

 CLAUSURA O CERRADA

Si: a,b A ⇒ d

4 2 4 1 3

a ∗ e = e∗a = a

a

2 3 4 1

3 4 3 2 1

∴ e= b

PROPIEDADES

1 2 3 4

2 1 2 3 4

En tablas (Criterio de intersección) Veamos:

2º elemento

1º elemento

1 3 1 4 2

 ELEMENTO NEUTRO (e)

En la tabla  Ubicar el primer elemento en la columna de entrada y al segundo elemento en la fila de entrada, el resultado de la operación le encontramos en la intersección de la columna de la fila del primero y el segundo elemento, veamos:

∗ a b a a b b b c c c a

* 1 2 3 4

3 1 2 4

1 2 3 4

4 3 1 2

elementos de la tabla pertenecen al conjunto A.

−1

 −1 1  = elemento inverso de a  a ≠  a 

En la tabla:  Se busca el elemento neutro y se considera todos iguales a él.  Se traza una ele volteada →↑ es decir: ∗ a

a

−1

e

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. OPERACIÓN BINARIA 6∗ 4 46 2 1 = E = 46 23

PROBLEMA 01

E=

Se define: ∗ 6 4 2 6 4 2 6 4 24 26 46 2 6 4 2

Calcular: a) 1/13 d) 1

E=

(6 ∗ 2) ∗ (2 ∗ 4) (4 ∗ 2) b) 13 c) 1/23 e) 2

PROBLEMA 02 Dado la tabla: ∗ 1 2 3 4

Resolución Forma de ubicar valores en la tabla: ∗ → b  ⇒ a∗b = R ↑  a  R De la tabla obtenemos los siguientes valores: 6∗ 2 = 6 2∗ 4 = 4 4∗2 = 46 Remplacemos en la incógnita (6 ∗ 2) ∗ (2 ∗ 4) E= (4 ∗ 2)

Calcular:

1 4 1 2 3

2 1 2 3 4

3 2 3 4 1

4 3 4 1 2

[ (2 ∗ 1) ∗ (3 ∗ 4)](2∗2)

a) 49 d) 9

b) 16 e) 36

c) 25

Resolución De la tabla:

M=

[ (2 ∗ 1) ∗ (3 ∗ 4)](2∗2)

M=

[ 1 ∗ 1] 2 2

= M 4= 16

¡Comprueba lo que sabes! 01. Dada la siguiente tabla: ∆ 1 2 1 2 4 2 4 1 3 1 3 4 3 2 Calcular: (3∆ 2) + (4 ∆ 2) a) 1 b) 2 d) 4 e) 5 Academia GAUUS

02. Dada la tabla 3 4 1 3 3 2 2 4 4 1

c) 3

⊕ 1 2 3

1 1 2 3

2 2 3 1

3 3 1 2

Calcular: E = (2 ⊕ 1) ⊕ (3 ⊕ 2) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

551

JOHN MAMANI M. 03. De acuerdo a: ∗ a b c Reducir: E = a) a d) c

a a b c

b b a c

c c c a

((a ∗ b) ∗ c) ∗ a a ∗ (b ∗ c) b) 0 c) b e) 1

04. Dada la tabla ∗ 1 2 3 Calcular: R = a) 1 d) 4

1 1 2 3

2 2 3 1

3 3 1 2

Calcule [ ((a ∗ b) ∗ c) ∗ (d ∗ a) ] ∗ d c) c

Calcular: a) a d) d

552

a a b c d

b b c d a

c c d a b

d d a b c

P = [ (b  a)  (c  c)]  d b) b e) e

6 6 8 2

8 8 2 4

2 4 6

∗ 1 2 3 4

1 4 1 2 3

2 1 2 3 4

3 2 3 4 1

4 3 4 1 2

 (2 ∗ 3) ∗ (3 ∗ 1)  (1∗ 3) Calcular:   + (2 ∗ 4) (3 ∗ 4)   a) 7 b) 17 c) 19 d) 16 e) 25

09. Dado la tabla

⊗ 1 2 3

1 1 2 3

2 2 3 1

3 3 1 2 (2⊗ 2)

06. Dada la tabla  a b c d

4 4 6 8

Halle el valor de: (4 ∗ 2) ∗ (4 ∗ 6) 2 ∗ 4 P = + (8 ∗ 2) ∗ (6 ∗ 8) 8 ∗ 4 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

(3 ∗ 3) ∗ (2 ∗ 3) 2∗1 b) 2 c) 3 e) 6

b) b e) e

se define la operación ∗

08. Dado la tabla:

05. Se define en A={a; b; c; d} la operación matemática mediante la siguiente tabla: ∗ a b c d a c a b d b a b d c c b d c a d d c a b a) a d) d

07. En: A = [2; 4; 6; 8] mediante la tabla: ∗ 2 2 2 4 4 6 6 8 8

c) c

 (3 ⊗ 2) ⊗ (2 ⊗ 1)  Calcular:   (3 ⊗ 2)   a) 2 b) 4 c) 8 d) 1 e) 3

10. Dada la siguiente tabla: ∆ a b a b d b c a c d b d a c

c c d a b

d a b c d

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. Hallar “n” en: (a∆n)∆c = (d∆b)∆c a) a b) b c) c d) d e) e 11. Se define en A={a; b; c; d} la operación matemática mediante la siguiente tabla ∗ a b c d a c d a b b b c d a c a b c d d d a b c Si: ((b ∗ c) ∗ x ) ∗ a = d Calcule el valor de: M = {(a ∗ x ) ∗ (c ∗ d)} ∗ x a) a b) b c) c d) d e) e 12. Se define en A={1; 3; 5; 7; 9} la operación matemática mediante la siguiente tabla ⊕ 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 Hallar “x” en: (3 ⊕ 5) ⊕ (1 ⊕ x ) = 7 ⊕ 9 a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 13. Se define en A={a; b; c; d} la operación matemática mediante la siguiente tabla @ a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d

14. Calcule “x” según la tabla: @ 1 2 4 1 4 8 2 2 8 9 8 4 2 8 4

a) 1 d) 4

8 1 4 9

9 9 2 1

8

9 4 1 2 8

9

1 9 2 8 4

(8 @9)@(8 @ 8) = (8 @ x )( x @9) (9 @9) b) 2 c) 3 e) 5

15. De la siguiente tabla: ∗ 1 2 3 4 5 1 0 1 2 3 5 2 1 2 3 5 0 3 2 3 5 0 1 4 3 5 0 1 2 5 5 0 1 2 3 Halle “x” en: (( x ∗ x ) ∗ 1) ∗ (3 ∗ 5) = (1 ∗ 4) ∗ (3 ∗ 2) a) 1 b) 0 c) 3 d) 2 e) 5 16. Se define la operación matemática ∗ a b c d a c a d b b a d c d c d c b a d b d a c Halle el valor de “x” en: (  ((a ∗ b) ∗ b) ∗ b) = (c ∗ d) ∗ (x ∗ d) 2014 operadores

a) a d) d

b) b e) e

c) c

Determine el valor de “n” en: [(n @ b)@c]@(d @ d) = (a @c)@ b a) b b) c c) a d) d e) a ó b Academia GAUUS

553

JOHN MAMANI M. REGLA DE FORMACIÓN PROBLEMA 01

PROBLEMA 02

Se define en  una operación representada por ∗ , mediante la siguiente tabla: ∗ 2 3 4 5 2 10 12 14 16 3 13 15 17 19 4 16 18 20 22 5 19 21 23 25

Se define la siguiente tabla ∗ 1 3 11 6 20 9 29 12 38

Calcule: 9 ∗ 8 a) 40 b) 41 d) 44 e) 45

Determine el valor de 32 ∗ 18 a) 112 b) 124 c) 132 d) 164 e) 196

c) 43

operación en la presente 2 13 22 31 40

3 15 24 33 42

4 17 26 35 44

Resolución

Resolución Notamos que los elementos de la tabla presentan una cierta formación; por lo tanto la deducimos tomando algunas operaciones de la tabla: 2 ∗ 3 = 12 = 3(2) + 2(3) 3 ∗ 5 = 19 = 3(3) + 2(5) 4 ∗ 4 = 20 = 3(4) + 2(4)

Busquemos la regla de formación de la tabla 3 ∗ 2 = 13 = 3(3) + 2(2) 9 ∗ 4 = 35 = 3(9) + 2(4) 12 ∗ 2 = 40 = 3(12) + 2(2) La regla seria:

a ∗ b = 3a + 2b

Hallando lo que pide: 32 ∗ 18= 3(32) + 2(18)

Luego: m ∗ n= 3m + 2n Hallando lo que pide: ∴9∗8 = 3(9) + 2(8) = 43

32 ∗ 18 = 132

¡Comprueba lo que sabes! 01. Dada la tabla: ⊗ 1 2 3

1 2 3 4 6 8 6 8 10 8 10 12

Calcular el valor de: M = (13 ⊗ 4) ⊗ 5 a) 72 d) 78

554

b) 74 e) 76

c) 70

02. Se define una operación mediante la tabla: ∗ 1 2 3 4 1 3 5 7 9 2 7 9 11 13 3 11 13 15 17 4 15 17 19 21 Calcule 21 ∗ 20 a) 121 b) 120 d) 138 e) 136

c) 170

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 03. Dada la siguiente tabla

4 5 ∗ 2 3 1 2 3 4 5 2 4 9 16 25 4 16 81 256 625 Halla el valor de M = (3 ∗ 5) + (2 ∗ 15) a) 160 d) 320

b) 420 e) 350

04. Dada la siguiente tabla ∗ 1 2 1 2 5 2 5 8 3 10 13 4 17 20

A = ( 3 * 2 3) 27

c) 180

3 10 13 18 25

Halle el valor de 12 ∗ 15 a) 169 b) 369 d) 225 e) 900

4 17 20 25 32

c) 400

# 1 2 3 4 1 1 9/4 4 25/4 2 9/4 4 25/4 9 3 4 25/4 9 49/4 Hallar: 1/2 # 3/4 a) 64/25 b) 25/64 d) 25/9 e) 4/9

c) 36/64

06. Se define la tabla: # 1 2 3 4 1 5 7 9 11 2 8 10 12 14 3 11 13 15 17 4 14 16 18 20 Calcule: M =

(8 # 3) + (7 # 5) (4 # 8)

a) 61/28 d) 30/68

b) 50/68 e) 81/68

a) 12 3

b) 13 3

d) 15 3

e) 16 3

c) 14 3

08. Si: ∗ 2 5 8

1 5 9 3 15 27 9 21 33 15 27 39

13 39 45 51

11 21 33 45 57

05. Si:

Academia GAUUS

07. En la siguiente tabla operativa: ∗ 1 2 3 4 1 5 3 1 − 11 2 12 10 8 6 3 19 17 15 13 Calcule el valor de:

Halle: (2003 ∗ 1) − (2 ∗ 2001) a) 2002 b) –2002 c) –2000 d) –1998 e) 2000 09. Si: ∗ 1 2 3 123 312 123 312

Calcule: [(1 ∗ 2) ∗ 3] ∗ [(3 ∗ 2) ∗ 1] a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 10. Si la siguiente tabla es conmutativa en el conjunto A = {1; 3; 5; 7}, y se define por: ⊗ 1 3 5 7 1537 3751 5173 7315 1537 Entonces reduzca el valor de:  (3 ⊗ 5) ⊗ (1 ⊗ 5)   (7 ⊗ 5) ⊗ (3 ⊗ 7)  ⊗ (5 ⊗ 3) ⊗ 1 ⊗ 3   a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

c) 51/68

555

JOHN MAMANI M. ELEMENTO INVERSO EN TABLAS Calculemos b ∗ d en tabla

PROBLEMA 01 De la tabla: # a b c d

a a b c d

b b c d a

c c d a b

d d a b c −1

 (d ∗ a −1 )−1 ∗ b −1  Halle: E =   a) a b) b c) c d) d e) e

Resolución Calculando el elemento neutro # a b c d

a a b c d

b b c d a

c c d a b

a a b c d

b b c d a

c c d a b

d d a ⇒ e= a b c

d d a b c

−1

E=a

PROBLEMA 02 En el conjunto: A={–2; –1; 0; operación. ∗ −2 −1 0 −2 −1 0 1 −1 0 1 −2 0 1 −2 −1 1 −2 −1 0 −1

Calculando las inversas: # a b c d

E = [a]

−1

Si: ( x ∗ 1) ∗ (− 2 ∗ 0) Entonces “x” es: a) 0 b) –1 d) 1 e) 4

⇒

 (d ∗ a −1 )−1 ∗ b −1  E=  

556

−1

c) –2

Resolución Las inversas son

−1

=a

b

−1

=d

(− 2)

−1

=c

(− 1)

−1

=b

c

−1

−1

−1

= −2

−1

= 1

= 0 0 = −1 1

Nos piden calcular “x” en: ⇒ (x

−1

∗ 1)

(x

−1

−1

−1

−1

= (− 1)

−1

= (− 1)

∗ (− 2 ∗ 0)

∗ 1)

−1

−1

∗ (1)

−1

−1

−1

( x ∗ 1) ∗ 1 =− 1

−1

E =  b ∗ d 

−1

De la tabla:

a

d

−1 E = (d ∗ a) ∗ d    Calculemos d ∗ a en tabla −1 E  (d) ∗ d  =  

= (− 1)

1 −2 −1 0 1

El elemento neutro es e = 1

Ahora, calculemos lo que nos pide:

−1

−1

1}, se define la

−1

⇒ (x

−1

(x

−1

∗ 1)

−1

= −1

−1

= (− 1)

∗ 1)

−1

−1

x ∗ 1 =− 1 ↓ − 1 ∗ 1 =− 1

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. −1

= −1

−1

= (− 1)

⇒x x

2 ∗ ( x ∗ 1) ] ∗ 3 = 2 [

−1

2

x ∗ 1) = ⇒ 2 ∗ ( 2

∴ x =− 1

3

PROBLEMA 03 Se define en A={1; 2; ∗ mediante la tabla. ∗ 1 1 3 2 4 3 1 4 2

3; 4} la operación binaria

⇒ x ∗1 = 3 ↓ 1∗ 1 = 3 1 ∴x =

2 4 1 2 3

3 1 2 3 4

4 2 3 4 1

De la tabla: El elemento neutro es e = 3 Las inversas son

Donde a a) 1 d) 3

−1

−1

∗2

−1

−1

−1

−1

= 2 4= 4 2

Si: [ 2 ∗ ( x ∗ 1) ] ∗ 3 = 1 ∗ 4 Calcule: R = (1

−1

= 1 1= 3 3

) ∗ (x

−1

∗ x)

Nos piden calcular:

−1

es elemento inverso de a. b) 0 c) 2 e) 4

R = (1

−1

∗2

−1

) ∗ (x

R = (1

−1

∗2

−1

) ∗ (1

R = (1 ∗ 4) ∗ (1 ∗ 1) R= 2 ∗ 3

Resolución

−1

∗ x)

−1

∗ 1)

−1

−1

−1

−1

R= 2 ∗ 3

Con la tabla calculamos:

R=2

⇒ [ 2 ∗ ( x ∗ 1) ] ∗ 3 = 1 ∗ 4

¡Comprueba lo que sabes! 01. Se define la tabla: @ 1 3 5 7 −1

02. Se define: 1 5 7 1 3

3 7 1 3 5

5 1 3 5 7

7 3 5 7 1

Calcule: A = 3 sabiendo que “ a elemento inverso de “a”. a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 10

Academia GAUUS

@ 1 2 3 4 −1

” es el

Donde: a Calcule:

−1

2 2 3 4 1

3 3 4 1 2

4 4 1 2 3

elemento inverso de a. (4 @ 2

a) 1 d) 4

1 1 2 3 4

b) 2 e) 0

−1

)@(3

−1

@1)

c) 3

557

JOHN MAMANI M. 03. Se define la tabla: ∆ 1 2 3 4

06. Se define el operador (@) @ 3 1 4 1 2 4 1 2 1 3 2 3 4 2 3 4 3 1 4

1 2 3 4 3 1 4 2 1 2 3 4 4 3 2 1 2 4 1

3

−1

−1

Calcular: E= Donde: a a) 1,5

−1

d) 0,5

(1 ∆ 2

2 ∆(1

)∆(3

−1

∆4

∆ 4)

−1

04. Se define el operador ∗ mediante la tabla:

Donde: a Calcular:

−1

2 2 3 1

(

−1

∗3

−1

)

−1

b) 2 e) 5

∗1

−1

c) 3

a

−1

b a b c

c b c a

: elemento neutro de “a”

Halle: E = (a ∗ c) a) 1 d) b

a c a b

−1

b) c e) 0

b) 2 e)1/2

c) 3

07. En la tabla: % −1 0 1 2 −1 0 1 2 −1 0 1 2 −1 0 1 2 −1 0 1 2 −1 0 1 2 Donde: a

−1

elemento inverso de a.

−1 −1 Halle: E=  (− 1) %2    a) –1 b) 2 d) 3 e) 4

∗b

−1

c) 0

5 2 3 4 5 1

Halle el valor de c) a

−1 M =  (4 ∗ 3) ∗ (2 ∗ 1)   

a) 7 d) 1

558

elemento inverso de a.

08. Dada la siguiente tabla binaria ∗ 1 2 3 4 1 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5

05. Dada la siguiente tabla:

∗ a b c

a) 1 d) 4

3 3 1 2

elemento inverso de a.

E =2

a) 1 d) 3

1 1 2 3

−1

 3 −1 @ 2 −1  −1 −1   @(2@ 3 )  4 −1 @1−1 

)

elemento inverso de a. b) 1 b) 2  e) 0,6

∗ 1 2 3

Donde: a Halle:

2 3 4 1 2

b) 5 e) 11

−1

∗5

−1

c) 3 Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 09. En el conjunto A={0; 2; 4; 6; 8} definimos la operación representada por @, mediante la siguiente tabla @ 0 2 4 6 8 0 4 6 8 0 2 8 2 4 6 8 0 6 0 2 4 6 8 4 8 0 2 4 6 2 6 8 0 2 4 Calcule:

)

(

)

(

−1 −1   −1 −1 −1 −1 @ 6@8  2 @6 @4  

a) 5 d) 4

b) 7 e) 6

12. Se define: @ 1 2 3 4 Donde: a

−1

2 2 4 6

4 4 6 2

6 6 2 4

−1

−1 −1 −1 Calcule: x en:  2 @ 3  = x  

a) 1 d) 4

b) 2 e) 0

∗ 1 2 3 4

2 4 1 2 3

3 1 2 3 4

2 2 4 1 3

)

(

Donde: a a) 0 d) 3

4 2 3 4 1

3 3 1 4 2

4 4 3 2 1

)

(

−1

elemento inverso de a. b) 1 c) 2 e) 4

14. Si: ∗ 3 4 5 6 3 6 3 4 5 4 3 4 5 6 5 4 5 6 3 6 5 6 3 4

−1

es el elemento inverso de m. b) 2 c) 0 e) 4

Academia GAUUS

1 1 2 3 4

−1 −1  −1  −1 ∗ x  ∗  4 ∗ 2 ∗ 3  = 1  2 ∗3    

−1

−1 −1 −1 −1 Calcule: R =  (4 ∆ 3 ) ∆ 2   

−1

c) 3

Calcular “x” en:

11. De la tabla:

Donde: m a) 1 d) 3

4 4 1 2 3

A={1; 2; 3; 4}

2(6 ∗ 4) + 3(4 ∗ 2) b) 30 c) 28 e) 36

∆ 1 1 3 2 4 3 1 4 2

3 3 4 1 2

13. Definamos la operación (∗) en el conjunto

c) 9

Halle: a) 32 d) 24

2 2 3 4 1

elemento inverso de a.

10. Sea ∗ el operador finido por la tabla: ∗ 2 4 6

1 1 2 3 4

Calcule: “x” en: (x

−1

∗ 3)

−1

Donde: a

−1

elemento inverso de a.

∗ (6

−1

∗ 4)

−1

−1

= 5

559

JOHN MAMANI M. a) 8 d) 3

b) 6 e) 4

c) –6

Calcule “x” en: −1

15. Se define: ∗ 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 1 3

3 3 1 4 2

a) 8 d) 6

4 4 3 2 1

−1

Donde: a elemento inverso de a. Calcular “x” en:  (2 −1 ∗ 3)−1 ∗ x  ∗  (4 −1 ∗ 2) ∗ 3     

a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

−1

= 1

c) 2

conjunto A={1; 5; 8; 10} @ 8 10 1 5 8 5 8 10 1 10 8 10 1 5 1 10 1 5 8 5 1 5 8 10 Calcule: x en:  ( x −1 @ 5)@ 8 −1  @1 = 10 −1   b) 10 c) 7 e) 5

17. Definimos la tabla: @ 0 0 4 2 6 4 8 6 0 8 2

560

18. En el conjunto A={1; 2; 3; 4} Se define el operador mediante la tabla: ∆ 1 2 3 4 1 4 1 2 3 2 1 2 3 4 3 2 3 4 1 4 3 4 1 2 Calcule: “x” en:  (2 −1 ∆ 3)−1 ∆x −1  ∆  ((4 −1 ∆ 2)−1 ∆ 3 −1 )∆ 3     

16. Dada la siguiente tabla de doble entrada y de módulo 4, definamos la operación (@) en el

a) 9 d) 6

 ( x −1 ∗ 2 −1 ) ∗ (6 ∗ 8)−1  = 2   b) 0 c) 2 e) 4

Donde: a a) 1 d) 4

−1

4 8 0 2 4 6

6 0 2 4 6 8

8 2 4 6 8 0

=1

elemento inverso de a. b) 2 c) 3 e) 0

19. En el conjunto A={0; 1; 2; 3} Se define el operador @ mediante la tabla: @ 0 1 2 3 0 0 p 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 q r 3 −1

Donde: a elemento inverso de a. Sabiendo que @ es conmutativo. Halle: L = p

2 6 8 0 2 4

−1

a) 1 d) 4

−1

+1

b) 2 e) 5

−1

+q

−1

c) 6

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. OPERACIONES BINARIAS ARITMÉTICAS a♥ b = a + b − 7

PROBLEMA 01 Se define el operador: a♥ b = a + b − 7

−1

a = 14 − a

Calcular el valor de: = S 3

Además: a a) 13 d) 8

−1

−1

♥5

−1

Ahora, calculemos las inversas:

elemento inverso de a. b) 6 c) 12 e) 9

3

−1

= 14 − 3 = 11

−1

5 = 14 − 5 = 9 Remplazando en la incógnita

= S 3

Resolución

−1

♥5

−1

S = 11♥ 9

−1

OJO: a calcularemos multiplicando por (− 2) al término independiente de la regla de definición y luego le restamos (a).

Remplazando en la condición del enunciado S = 11 + 9 − 7 S = 13

¡Comprueba lo que sabes! 01. Se define  : Si a

−1

es el elemento inverso de “a”

Calcular: 3 a) 2 d) 5

−1

b) 3 e) 9

02. Se define  : Si a

−1

04. Se define:

c) 4

a∗b = a+ b− 5

es el elemento inverso de “a”

Calcular: 3 a) 2 d) 7

a ⊗ b = a + b − 100

a@b = a + b − 6

−1

b) 8 e) 9

c) 5

−1

Si a es el elemento inverso de “a” Calcular el inverso de 100 a) 100 b) 200 c) 300 d) 150 e) 122 05. Se define en  : a ∗ b = a + b − 12 −1

Si a es el elemento inverso de “a” Hallar el inverso de 3 a) 1/3 b) 1/4 c) 21 d) 11 e) 12 06. Se define:

03. Se define: a∗b = a+ b+1 −1

Si a es el elemento inverso de “a” Calcular el inverso de –28 a) 26 b) 25 c) 24 d) 30 e) 32 Academia GAUUS

Si a

−1

x ∆ y = x + y − 10

es el elemento inverso de “a” −1

−1

Calcular: 20 + 5 + 10 a) 20 b) 25 d) –20 e) –10

−1

c) –25

561

JOHN MAMANI M. 07. Se define: Si a

−1

13. Si: a ∗ b = a + b + 3

m∗n = m + n − 2

es el elemento inverso de “a”

Calcular: 3 a) –6 d) –5

−1

−1

+ 7 + 10 b) –7 e) –8

−1

c) –4

Si a

Halle:= A 8 ∗ 18 a) 1 b) –4 d) –2 e) –5

−1

−1

−1

c) –32

es el elemento inverso de “a” −1

11. Se define: Si a

−1

c) –2,4

es el elemento inverso de “a”

Calcular: (8 a) –40 d) –35

−1

⊗ 2 ) ⊗ (2 b) –45 e) –30

−1

−1

⊗8 ) c) –50

12. Se define: m∗n = 4 + m + n Si a

−1

es el elemento inverso de “a”

Calcular: (2 a) –40 d) –41

562

−1

−1

∗ 7 ) + 12 b) –42 e) –44

) ∗ (3

−1

∗ 1) c) 3

es el elemento inverso de “a” −1

16. Se define  : Si a

−1

−1

) − (20

−1

∗5 c) 4

−1

)

a∗b = a+ b+ 5

−1

−1

∗ 4 ) ∗ (2 b) –40 e) 45

−1

−1

∗6 ) c) –38

17. Se define: a ∗ b = a + b − 4 Halle: M = (2 Si a a) 0 d) 8

−1

−1

∗ 4)

−1

∗ (6

−1

∗ 8)

−1

es el elemento inverso de “a” b) –1 c) –4 e) 7

18. Se define la operación matemática: a∗b = a+ b− 5 Halle: ((3

c) –43

−1

es el elemento inverso de “a”

Calcular: (3 a) –45 d) 40

x⊗y = x+ 5+ y −1

−1

Calcular: (10 ∗ 15 a) 6 b) 2 d) 0 e) 1

−1

Halle:= A 5 ∗2 a) –1 b) –4 d) –2 e) –5

−1

a ∗ b = a + b − 20 Si a

10. Si: a ∗ b = a + b − 1 ∀ a, b ∈ , Si a

(4 ∗ 2 b) 2 e) 0

15. Se define:

−1

∗2 ) b) –30 e) –28

c) 3

Si a es el elemento inverso de “a” Determinar el valor de:

es el elemento inverso de “a”

Calcular: (5 a) –31 d) –29

−1

−1

a) 1 d) 5

a∗b = a+ b+ 8 Si a

−1

Halle: E = (3 ∗ 2 ) ∗ 3 a) –8 b) –7 d) 8 e) –11

c) –3

09. Se define: −1

es el elemento inverso de “a”

a∗b = a+ b− 2

es el elemento inverso de “a” −1

−1

14. Sabiendo que:

08. Si: a ∗ b = a + b − 9 ∀ a, b ∈ , −1

Si a

−1

∗2

−1

−1

)∗1 )∗ 0

−1

−1

Si a es el elemento inverso de “a” a) 19 b) 18 c) 14 d) 20 e) 24 Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. a) –47/2 d) –35/2

19. Se define en  : a∗b = a+ b− 5 Si a

−1

es el elemento inverso de “a”

−1 −1 −1 Calcular:  (2 ∗ 5) ∗ (3 ∗ 4 )    a) 7 b) 8 c) 9 d) 11 e) 90

x∗y = x + y−7

20. Se define en  : Si a

−1

−1

es el elemento inverso de “a” −1

−1 −1 Halle:  (3 ∗ 5) + (6 ∗ 2)    a) –11 b) –12 c) –13 d) –14 e) –15

21. Se define: a ∗ b = a + b − Si a

−1

5 4

−1

−1

+2 +3 b) 7/2 e) 1

22. Si: a ∗ b = a + b + Hallar: E = 5

−1

−1

c) 1/2

−1

+1

−1

13 23. Se define: m ∗ n = m + n − 2

es el elemento inverso de “a”

Calcular: (3 a) 13/2 d) 0

−1

−1

−1

∗ 10 ) + 13 b) 11/2 c) 11/3 e) –3

7 24. Se define: x ∗ y = x + y + 2

Si a

−1

es el elemento inverso de “a”

Calcular: 5

−1

∗8

Academia GAUUS

−1

es el elemento inverso de “a”.

−1

para dicha operación es de la forma Él 2 n/m, donde n/m es una fracción irreducible. Entonces “nm” es igual a: a) 5 b) 4 c) 6 d) 0 e) 1 26. Se define  : a ∗ b = a + b − 2 −1

Si a es el elemento inverso de “a” Calcular “x” en: x = (x ∗ 5 b) 3 e) 7

a) 5 d) 1

−1

)+ 3 c) 2

27. Se define  : a ∗ b = a + b − 7

x

−1

−1

Si a

4 3

−1

Si a es el elemento inverso de “a” a) –13 b) –14 c) –15 d) –23 e) –24

Si a

a⊗b = a+ b−

Si a es el elemento inverso de “a” Calcular “x” en:

5 2

+2

c) –51/4

25. Se define en  :

−1

es el elemento inverso de “a”

Calcular: 1 a) 3/2 d) 5/2

b) –41/2 e) –3/2

−1

a) 5 d) 1

−1

=((2 x ) ∗ 10 ) + 2 b) 3 c) 2 e) 7

28. Se define en  : a ∗ b = a + b + 2 Hallar el conjunto solución de: x∗2

−1

=5

−1

∗x

−1

−1

Si a es el elemento inverso de “a” a) 5/2 b) –5/2 c) 7/2 d) 1 e) –7/2 29. Se define en  , la operación “ ∗ ”: a∗b = a+ b− 5 Resolver x

−1

∗2

−1

= 0

−1

Si a es el elemento inverso de “a” a) 22 b) 13 c) 18 d) 14 e) 10

−1

563

JOHN MAMANI M. OPERACIONES BINARIAS GEOMÉTRICAS PROBLEMA 01

ab =

Se define la operación matemática 7 a  b = ab . 5 Calcule

a

−1

7 ab 5 =

25 49a

49 −1 −1 (7 ) + 4 1 . 25

Calculando las inversas de la incógnita 25 25 −1 −1 y 1 = 7 = −1 Considere que a es el elemento inverso de “a” 49(7) 49(1) a) 1 b) 3 c) 8 Calculando lo que pide: d) 9 e) 4 49 −1 −1 = M (7 ) + 4 1 25

Resolución

49  25  25 M =  +4 25  49(7)  49(1) −1 OJO: a calcularemos invirtiendo el coeficiente M=3 de la regla de definición y luego elevarlo al 1 cuadrado y multiplicarlo por   . a

¡Comprueba lo que sabes! 01. Se define en  :

−1

Hallar: 2

es el elemento inverso de a.

(a

Halle 4 Si a

−1

a) 7 d) 8

b) 2 e) 1

02. Se define en  :

Halle 7 Si a a) 7 d) 8

564

−1

03. Se define en  :

ab a⊗b = 2

c) 0

−1

3ab a∗b = 4

−1

= es el elemento inverso de a)

a) 16/18 d) 13/18

b) 1/4 e) 13/3

c) 15/8

04. Se define: ab a∗b = 7

2 a×b 3 Halle el elemento inverso de 24. a = b

−1

es el elemento inverso de a. b) 2 e) 5

c) 4

Si a

−1

a) 32/3 d) 3/2

es el elemento inverso de a. b) 3/32 e) 1/29

c) 2/3

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 05. Se define en  :

Si a

ab a∗b = 5 Determine el valor de: = E 25

Si a

−1

−1

+5

b) 5 e) 6

−1

Si a

−1

# 3)

a) 1 d) 8

−1

b) 1/3 e) 8/3

−1

Considere que a a. a) 1/2 d) 1/8

−1

(a

es el elemento inverso de

b) 4 e) 3

Si a

a) 123 d) 120

−1

−5 c) 4

−1

∗3

−1

b) 1/324 e) 1/438

c) 1/384

5 xy 12. Se define en  : x ⊕ y = 2

Si a

b) 200 e) 25

−1

1 ∗  4

c) 12

−1

a) 26 d) 84

2

es el elemento inverso de a.

Calcule:= A 4 −1

−1

12(b ⊗ a) 13. Se define en  a ⊗ b = ab

c) 165

 (3 −1 ∗ 2 −1 ) ∗ (1−1 ∗ 5 −1 )   

−1

+9

= es el elemento inverso de a)

a) 120 d) 180

09. Se define en  : a ∗ b = ab Calcule el valor de:

Academia GAUUS

1    2

−1

Si x es el elemento inverso de “x” Hallar:   1  −1  1  −1   4  −1   ⊕  ⊕   50    25    25 

es el elemento inverso de a. b) 115 e) 146

+3

−1

c) 1/4

−1 1 −1 1 E=  (3 ∗ 2 ) ∗ (4 ∗ 5 )   

−1

a) 1/225 d) 1/272

−1

08. Se define en  : a ∗ b = ab Determine el valor de:

−1

−1

b) 2 e) 5

Hallar:= E 2

∆ 2) ∆ 1

1

11. Se define en  : a ∗ b = 4ab

c) 5/3

07. Se define la operación matemática m ∆ n = 2mn Determine (4

nm 3

es el elemento inverso de a.

ab 4

es el elemento inverso de “a”

a) 1/6 d) 4/3

−1

Calcular: S =

Calcule: 4 #(2

c) 136

mn =

c) 30

a#b = −1

b) 120 e) 240

10. Definimos en  :

06. Se define:

Si a

es el elemento inverso de a.

a) 64 d) 150

es el elemento inverso de a.

a) 3 d) 0

−1

−1

+9

b) 32 e) 94

−1

c) 52

565

JOHN MAMANI M. OPERACIONES BINARIAS MIXTAS PROBLEMA 03

 Hallemos el elemento inverso ( a

Para los números reales se tiene la operación ∗ , definida de la siguiente forma: a ∗ b = a + b + 4ab Hallar el inverso de 4 para la operación ∗ a) –4/17 b) –4/7 c) –4/15 d) 4/15 e) 4/17

propiedad a ∗ a a∗a a+a

−1

a

), con la

= e

= e

−1

= 0

(1 + 4a) = −a

Resolución

a

 Hallemos el elemento neutro (e), con la

propiedad a ∗ e = a

−1

+ 4a × a −1

−1

−1

−1

=

−a 1 + 4a

Hallemos lo que pide −4 4 −1 4 = = − 1 + 4(4) 17

a∗e = a a + e + 4ae =a

e(1 + 4a) = 0 0 (1 + 4a) ⇒e= 0 e=

¡Comprueba lo que sabes! 01. Se define en  : a ∗ b = a + b − 1 El elemento neutro en la operación es: a) 3 b) 6 c) 0 d) –3 e) 1

05. Se define en  : a ∗ b = 1 + a + b El elemento neutro en la operación es: a) 2 b) 5 c) –1 d) –2 e) 1

02. Se define en  : a ∗ b = a + b + 20 El elemento neutro en la operación es: a) 20 b) 50 c) –10 d) –20 e) 10

06. Se define en  : a ∗ b = a + 6 + b El elemento neutro en la operación es: a) 2 b) 5 c) –6 d) –2 e) 6

03. Se define en  : a ∗ b = a + b − 2 El elemento neutro en la operación es: a) 2 b) 5 c) –1 d) –2 e) 1

07. Se define en  : a ⊗ b = ab ¿Cuál es el elemento neutro de la operación? a) 2 b) 0 c) –1 d) –2 e) 1

04. Se define en  : a ∗ b = a + b + 30 El elemento neutro en la operación es: a) 2 b) 5 c) –1 d) –30 e) 30

08. Se define en  : a ∗ b = 2ab El elemento neutro en la operación es: a) 1/2 b) 2 c) –1/2 d) –2 e) 1

566

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. La inversa de 2 para dicha operación “ ∗ ” es de la forma n/m. entonces “ a × b ” es igual a: a) –2 b) –60 c) –66 d) –77 e) –42

09. Se define en  : a ∗ b = a − b + 6 Calcular el elemento neutro a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) no existe 10. Dada la operación binaria: a ∗ b = a + b + ab Calcular el elemento neutro. a) 1 b) 1/2 c) 0 d) –1 e) –2 p+q 11. Se define el operador: p ∗ q = 1 + pq ¿Cuál es el elemento neutro de la operación? a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) –1 2

12. Se define: x ⊗ y = ( x + y) − ( x − y) Calcular el elemento neutro. a) 2/3 b) 1/4 c) 4 d) 3/2 e) 0

2

13. En la siguiente operación matemática a ∗ b =−(b ∗ a) + 3a + 3b Halle su elemento neutro a) 3 b) 6 c) 0 d) –3 e) 1 14. Se define en  : a ∗ b = a + b − 8 Halle la suma del elemento neutro con el inverso de − 25 a) 39 b) 37 c) 41 d) 43 e) 49

17. En  ×  definimos: (a; b) ∗ (c; d) = (a + c − 4; 3bd) Calcular su elemento neutro a) (4;1/2) b) (4;2) c) (4; –2) d) (–4;2) e) (–4;1/2) 18. Se define en  ×  : (a; b) ∗ (c; d) =(ad + bc;ac + bd) Si el elemento neutro de esta operación es ( x ; y), calcule el valor de x + y a) 1 b) 0 c) –1 d) 2 e) –2 19. Se define en  : a ⊗ b = a + b + ab Calcule " x + y " en el sistema:

−1

−1

a) –3/5 d) 5/7

a∗b = a+ b+

Academia GAUUS

5

−1

x+3

−1

y= − 10

x+7

−1

y= 2

( a = Elemento inverso de “a”) a) 12 b) 14 c) 16 d) 20 e) 21 20. En  definimos la operación ∗ por la siguiente ley: a ∗ b = a − b + 2 −1

Si denotamos por a al inverso de a bajo la operación ∗ , calcule el valor de “x” de la siguiente igualdad x

−1

∗2

−1

a) 2

b) ∃

d) 1

e) 5

=5

−1

∗x

−1

c) –1

−1

( − 2) ∗ n = 3 b) 35 c) –5/4 e) –7/2

16. Se define en  :

−1

−1

15. Se define en  : a ∗ b= a(b + 1) + b a = Elemento inverso de “a” Halle el valor de “n” en:

2

4ab 3

21. Se define en  la operación matemática conmutativa a ∗ b = (a + b) ∗ (b ∗ a)  + (2a ∗ b) + (2b ∗ a) − 10

Determine el resultado de: E = (7 ∗ 5) + (4 ∗ 5) a) 6 b) 10 d) 5 e) 11

c) 7

567

JOHN MAMANI M.

04. Se define las tablas: # a b c d a a b c d b b d a c c d a d b d d c b a

01. Dada la tabla ∗ 2 3 5 7

2 5 7 2 3

3 2 3 5 7

5 3 5 7 2

7 7 2 3 5

UANCV–2014

3 b) 5 5 e) 3

5 c) 7

1 4 1 2 3

2 1 2 3 4

3 2 3 4 1

4 3 4 1 2 (2∗ 2)

[ (2 ∗ 1) ∗ (3 ∗ 4)] b) 16 e) 36

CEPREUNA–SOC–2014

c) 25

03. Consideramos al conjunto A={a; b; c} y definamos en este conjunto una operación ∗ definida por la tabla: ∗ a b c a b c a b c a b c a b c Calcule: (c ∗ a) ∗ b  ∗ (a ∗ b) ∗ c  a) 1 d) b

568

b) 0 e) c

c a c d b

d a d b c

UNAP–EXT–2012

a) a d) d

b) b e) –1

c) c

Hallar “x” en: (3# x )#(2 # 0) = (3# 3)# 0

Calcular:

a) 49 d) 9

b a b c d

05. Se define la operación # en: A={0; 1; 2; 3} # 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 3 0 2 2 2 0 3 1 3 3 2 1 0

02. Dado la tabla: ∗ 1 2 3 4

a a a a a

Si: x = b#c Determine el valor de: (c # x )@(b # a)

Calcule el valor de: (2 ∗ 3) ∗ (5 ∗ 7) P= (3 ∗ 2) ∗ (7 ∗ 5) 2 a) 3 7 d) 3

@ a b c d

UNAP–EXT–2010

a) 1 d) 3

b) 0 e) 4

CEPREUNA–SOC–2014

c) 2

06. En el conjunto {0; 1; 2; 3} siguientes operaciones binarias: ⊕ 0 1 2 3 ⊗ 0 0 0 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 1 0 2 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 3 0

se define las 1 2 3 0 0 0 1 2 3 2 0 2 3 2 1

Resuelva la ecuación: (3 ⊗ x ) ⊕ 1 = 2 a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

UNAP–EXT–2011

c) 2

c) a

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 07. De las siguientes tablas: ⊗ 1 2 ⊕ 1 2 3 1 1 1 1 1 2 3 2 1 2 2 2 3 1 3 1 3 3 3 1 2 Halle el valor de (a − b) si: (2 ⊗ a) ⊕ (3 ⊗ b) = 1 (3 ⊗ a) ⊕ (1 ⊗ b) = 2 a) 1 d) 2

1 3

11. Se define la siguiente tabla: ∗ 2 1 2 4 6 1 −3 −1

2

Calcule: (4 ∗ 40) + (3 ∗ 13)

3

CEPREUNA–2009

a) –14 d) –12

b) –17 e) –15

CEPREUNA–2011

b) –1 e) 0

c) –2

12. Si el operador ⊗ está definido por:

08. Se define en  una operación representada por ∗ , mediante la siguiente tabla: ∗ 2 3 4 5 2 10 12 14 16 3 13 15 17 19 4 16 18 20 22 5 19 21 23 25

xy x⊗y = 6 Además: ⊗

b) 41 e) 45

UNAP–EXT–2009/2014

c) 43

Calcular: S = (5 ⊗ 1) + (6 ⊗ 2) b) 50 e) 20

3

6

a

3

b

6

c

4c 6

Calcule: a + b −

CEPREUNA–ING–2014

09. Se define la operación ⊗ mediante la tabla: ⊗ 2 3 4 2 4 3 2 3 7 5 6 4 10 9 8

a) 10 d) 30

2

2

Calcule: 9 ∗ 8 a) 40 d) 44

c) –13

a)

3+

d)

6 2

b)

3−

e)

3− 6 3

6

c)

6 6

13. Sea la tabla ∆ 3 4 5 3 A 5 7 4 5 V 11 5 7 11 E

UNAP–EXT–2005

c) 40

10. Se define: ⊕ 3 4 5 3 6 5 4 4 9 8 7 5 12 11 10

6

Calcule: " A + V + E " CEPREUNA–BIO–2014

a) 24 d) 22

b) 26 e) 30

c) 28

Hallar: S = (7 ⊕ 2) + (2 ⊗ 1) a) 17 d) 10

b) 23 e) 15

Academia GAUUS

c) 24

UNAP–2003

569

JOHN MAMANI M. 14. Se define en: L={2; 4; 6; 8} la operación # mediante la siguiente tabla # 2 4 6 8 2 6 8 2 4 4 8 2 4 6 6 2 4 6 8 8 4 6 8 2 a

−1

elemento inverso de “a”

Calcule: 8

−1

17. Dada la siguiente tabla ∗ 3 5 3 7 9 5 9 3 7 3 5 9 5 7

b) 4 e) 9

−1

E= (3 ∗ 7

c) 6

a

−1

elemento inverso de “a”

Calcule: 6

b) 4 e) 9

c) 6

2 2 4 6

4 4 6 2

6 6 2 4

Halle: 2(6

−1

∗ 4) + 3(4

−1

∗ 2) UNAJ–EXT–2013

a) 32 d) 24

b) 30 e) 36

−1

∗3

−1

)

b) 5 e) 2

c) 7

18. Se define en A={1; 2; 3; binaria ∗ mediante la tabla. ∗ 1 2 3 1 3 4 1 2 4 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4

4} la operación 4 2 3 4 1

Calcule: R = (1 Donde a

−1

−1

∗2

−1

) ∗ (x

−1

∗ x)

−1

es elemento inverso de a. CEPREUNA–BIO–2014

16. Sea ∗ el operador finido por la tabla: ∗ 2 4 6

) ∗ (5

Si: [ 2 ∗ ( x ∗ 1) ] ∗ 3 = 1 ∗ 4

−1 UNAP–SOC–2015

a) 2 d) 8

−1

UNAP–EXT–ING–2015

a) 3 d) 9

15. Se define en: L={2; 4; 6; 8} la operación # mediante la siguiente tabla # 2 4 6 8 2 6 8 2 4 4 8 2 4 6 6 2 4 6 8 8 4 6 8 2

9 5 7 9 3

es un elemento inverso de dicha Donde a operación. Calcule:

UNAP–SOC–2014

a) 2 d) 8

7 3 5 7 9

c) 28

a) 1 d) 3

b) 0 e) 4

c) 2

19. En el conjunto: A={–2; –1; 0; 1}, se define. ∗ −2 −1 0 1 −2 −1 0 1 −2 −1 0 1 −2 −1 0 1 −2 −1 0 1 −2 −1 0 1 Si: ( x

−1

∗ 1)

−1

∗ (− 2 ∗ 0)

−1

= (− 1)

−1

Entonces “x” es: CEPREUNA–2006/2014

570

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. a) 0 b) –1 c) –2 d) 1 e) 4

c) 1 d) 0 e) –1 23. Se define el operador @ por la regla:

20. Mediante la tabla: ∆ 1 2 3 4

a@b =

1 2 3 4 4 1 2 3

1 2 3 4

2 3 4 1

−1

Calcule: 4 sabiendo que: elemento inverso de a.

3 4 1 2

 (2 −1 ∆ 3)−1 ∆x −1  ∆  ((4 −1 ∆ 2)∆ 3 −1 )∆ 3      −1

−1

=1

es elemento inverso de a. CEPREUNA–SOC–2013

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

−1

es el

a) 9/13 b) 16/4 c) 4/16 d) 9/16 e) 16/9 24. Se define en  : a ∗ b = a + b − 3 ¿Cuál es el elemento neutro? CEPREUNA–ING–2012

a) No existe b) 2 c) –2 d) 1 e) 3

21. Si: a ∗ b = a + b + 2. Si a

a

UNAP–2009

Calcule: “x” en:

Donde: a

2ab 3

−1

elemento inverso de “a”

Halle: E = (3 ∗ 2

−1

)∗ 3

−1 UNAP–ING–2013

a) –1 b) –3 c) 3 d) –6 e) 6 22. Se define  : aθb = a + b − 4 Donde: a

−1

elemento inverso de a.

Calcular: M = (2

−1

θ 5)

−1

θ(6

−1

θ 8)

−1

CEPREUNA–2008

a) 5 b) 2 Academia GAUUS

571

JOHN MAMANI M.

Conteo de Figuras CAPÍTULO XX FIGURAS PLANAS CONVEXAS

Nº ∆ =

1. Número de segmentos Si se considera los puntos: 1

2

3

5

4

6

Nº seg =

m− 2 m−1 m

7

m(m − 1) 2

m(m − 1) 2

ó

Nº ∆ =

Donde: m: número de lados adyacentes a la base. n: número de espacios triangulares simples. Caso II: N

.. .

Si se considera los espacios: 1

2

3

5

4

n−1

6

4

n

3

n(n + 1) Nº seg = 2

1

3

2

...

4

m 2

. .. .

3

3 2

m−1

m(m  1) 2

ó

3

2

1

Nº  

n(n  1) 2

Donde: m: número de rayos n: número de ángulos simples

1

572

3

2

3

4 4

5

mn(m + n) 2

n . .. .

..

3 2

1

2

n

Donde: m y n: indican la cantidad de espacios triangulares, pero si m = n ; entonces la fórmula se reduce a la siguiente forma:

3. Número de Triángulos Caso I:

1

1

... ...

4

Nº ∆ =

m

Nº  

..

4

.. .. ..

n

1

Caso III:

1

.. .

2 n

n−1

 n(n + 1)  = Nº ∆  ×N  2 

2. Número de ángulos agudos

1 2 3

n(n + 1) 2

... ...

n−1 n m− 2 m−1

2

3

4

Nº ∆ = n

... ...

1

n

3

m

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. Caso IV: n−1

.. .

.. .

 n(n  1)  m(m  1)

Nº

n n−1

n

2

5. Número de Cuadrados 1

4 . .. n

4 . ..

2 1 1

n

n(n + 1)(n + 2) 3

Nº





n(n  1)(2n  1) 6

6. Número de Triángulos Rectángulos

Caso IV: ..

. n

Caso I:

3

1 2

2

3

1

Nº ∆ =

n(n + 1)(n + 2) 6

1 2

3

4 .. . 4 . .. n

3

4 . .. n

Nº

=

n(n + 1) 2

Caso II:

4. Número de Cuadriláteros Caso I:

1

2

2

1 2 3 . . .

3

Nº= n(n + 1)

4 . .. n

n−1 n

Nº

7. Número de sectores circulares

 n(n  1) 2

Caso I:

Caso II: 1 2 3 . ..

3

3

2

Nº ∆ =

2

2

3 3

2

1 2

3

n−1 n

Academia GAUUS

4

...

m

2 3

. . .

Nº sect. =

n(n + 1) 2

n

573

JOHN MAMANI M. Caso II 3

Nº octog. =

1

1 2

. .. . . .

4

2

n

n(n + 1) 2

10. Número de letras superpuestas

3

n=3

. . .

4=m

2

1 n

Nº= sect.

n(n + 1) ×N 2

1 2

n=3

8. Número de trapecios

(n + 1)(n + 2) 2 m(m + 1) Nº = 2

1

Nº =

2 3

. . . n−1 n

Nº sect. =

4=m

11. Número de semicírculos

n(n + 1) 2

9. Número de polígonos (exágonos, octógonos, etc.)

Caso I:

3

superpuestos:

4=D

2

1

1

2

4 n ... 3 2 1

1

2 3 ... n

3

n(n + 1) Nº exag. = 2

Nº semicir = 2D Caso II:

3 2

n

4

. ..

3 2 1 1 2 3 .. .

n

574

1 ... 2 3 4 = C

1

2

D=4

3

Nº semicir = 2CD Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 12. Número de triángulos formados por las diagonales de un polígono regular

CONTEO DE FIGURAS GEOMÉTRICAS EN EL ESPACIO 1. Número de cubos

5=n

4 3

n(n − 3) D= 2

Nº= ∆ D(D + 2)

n=5

13. Número de segmentos entre rectas secantes 1

2

3

...

4

2 4

3

2

1 1

2

3

4

5=n

 n(n + 1)  Nº cubos =   2 

2

n

2. Número de Paralelepípedos

1 2 3

4

4=p 3 3 2 2 n=6 5 4 3 2 1 1

n

Nº seg. = n(n + 1)(n + 2) 14. Número de triángulos de la forma siguiente:

..

3. Número de Pirámides

n 6=p

4 3

1

n(n + 1)(n + 2) 6

5

m=4

2

Nº ∆ =

4

3

3

2 1

2 2

Nº pirám=

Academia GAUUS

m

n(n + 1) m(m + 1) p(p + 1) Nº paralelepipedos = × × 2 2 2

. .... .

.

...

. ..

3

n=4 1

[ nm + (n − 1)(m − 1) + (n − 2)(m − 2) + ...] p

575

JOHN MAMANI M. MISCELÁNEA 01. ¿Cuántos triángulos y cuadrados hay en las siguientes figuras?

a) 11 y 8 d) 13 y 13

b) 12 y 8 e) 11 y 12

c) 13 y 9

02. ¿Cuantos triángulos hay en a figura?

a) 12 d) 16

b) 5 e) 9

05. ¿Cuántos triángulos hay en?

a) 10 d) 16

b) 12 e) 14

c) 13

06. ¿Cuántos segmentos hay en a figura?

c) 10

03. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

a) 24 d) 18

b) 26 e) 27

c) 21

07. El número de ángulos agudos es:

a) 18 d) 37

b) 28 e) 41

c) 35

04. ¿Cuántos triángulos tienen al menos un “*”?

A) 9 d) 8

576

b) 10 e) 12

a) 10 d) 16

b) 12 e) 14

c) 13

08. En la siguiente figura. ¿Cuántos triángulos hay?

c) 7 a) 46 d) 21

b) 56 e) 36

c) 78 Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 09. ¿Cuántos triángulos tienen por lo menos un (*)?

13. Calcular el número de cuadriláteros.

a) 316 d) 315 a) 10 d) 16

b) 12 e) 14

c) 13

b) 320 e) 318

c) 310

14. ¿Cuántos cuadriláteros hay en?

10. ¿Cuántos sectores circulares hay en?

a) 45 d) 51

b) 49 e) 42

c) 50

11. El número de triángulos en a figura es:

a) 256 d) 190

b) 310 e) 118

c) 210

15. Hallar el número total de cuadriláteros en la figura adjunta.

a) 44 d) 48

b) 40 e) 36

c) 16

12. ¿Cuántos cuadriláteros hay como máximo en la figura?

a) 72 d) 82

b) 78 e) 86

Academia GAUUS

a) 1740 d) 1780

b) 1830 e) 1870

c) 1810

16. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura adjunta?

c) 80

577

JOHN MAMANI M. a) 100 d) 125

b) 93 e) 64

c) 81

17. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura?

a) 60 d) 74

b) 68 e) 70

c) 72

18. ¿Cuántos cuadrados hay en total en?

a) 320 d) 152

b) 132 e) 201

c) 121

21. ¿Cuántos triángulos hay en?

a) 24 d) 21

b) 19 e) 22

c) 20

22. ¿Cuántos triángulos hay en?

a) 30 d) 165

b) 90 e) 225

c) 75

23. Calcular el número total de triángulos. a) 391 d) 803

b) 894 e) 791

c) 409

19. Hallar el máximo número de triángulos en a figura:

a) 1520 d) 1840 a) 24 d) 21

b) 19 e) 22

c) 20

b) 1540 e) 2100

c) 1270

24. ¿Cuántos cuadriláteros hay en?

20. ¿Cuántos cuadriláteros que por lo menos tengan un asterisco hay en al figura?

a) 92 d) 218

578

b) 168 e) 351

c) 350

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 25. ¿Cuántos segmentos hay en total?

a) 11111 d) 21212

b) 12121 e) 22221

29. ¿Cuántos triángulos hay en?

c) 11112 a) 30 d) 165

26. Hallar el total de triángulos

b) 90 e) 225

c) 75

30. ¿Cuántos triángulos se encuentran como máximo?

a) 214 d) 215

b) 216 e) 220

c) 260

27. ¿Cuántos triángulos se encuentran que por lo menos tengan un asterisco en su interior?

*

a) 60 d) 45

a) 195 d) 55

2

3

b) 180 e) 100

... ...

10

c) 190

31. Determinar el número de cuadriláteros en:

*

*

1

*

* b) 55 e) 40

* c) 50

28. En la siguiente figura. ¿Cuántos triángulos poseen en su interior solo un asterisco?

a) 120 d) 200

b) 100 e) 150

c) 210

32. Total de triángulos:

* * * a) 5 d) 10

b) 6 e) 11

Academia GAUUS

c) 8

579

JOHN MAMANI M. a) 96 d) 168

b) 144 e) 170

c) 150

36. ¿Cuántos triángulos existen en la figura?

33. Señale el número total de triángulos en la figura:

a) 90 d) 95

b) 98 e) 81

c) 100

37. Hallar el máximo de cuadriláteros a) 28 d) 40

b) 25 e) 45

c) 32

34. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? a) 500 d) 670

b) 730 e) 630

c) 315

38. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?

a) 20 d) 26

b) 22 e) 28

c) 24

35. Cuántos triángulos existen en la figura:

a) 214 d) 210

b) 212 e) 208

c) 200

39. ¿Cuántos semicírculos hay en la figura adjunta?

a) 45 d) 62

580

b) 43 e) 40

c) 54

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. a) 12 d) 44

b) 24 e) 53

c) 36

40. Calcule el número total de triángulos en:

a) 20 d) 35

b) 25 e) 40

c) 30

41. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

a) 32 d) 30

b) 34 e) 35

a) 17 d) 25

b) 18 e) 27

c) 20

44. Calcular el total de sectores circulares en:

a) 40 d) 38

b) 42 e) 48

c) 36

45. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

c) 31

42. ¿Cuántos sectores circulares presentan en su interior el asterisco?

a) 60 d) 61

b) 59 e) 62

c) 58

46. ¿Cuántos segmentos hay en la figura?

* a) 9 d) 12

b) 10 e) 8

c) 14 a) 76 d) 81

b) 55 e) 123

c) 80

43. Determinar la cantidad máxima de triángulos en el gráfico.

Academia GAUUS

581

JOHN MAMANI M.

Áreas Sombreadas y Perímetros CAPÍTULO XXI Formula Trigonométrica

ÁREAS SOMBREADAS El cálculo de áreas de figuras geométricas se hace útil cuando debemos determinar el área de una región no convencional; es decir, regiones cuya forma no es geométricamente tradicional como los cuadriláteros, triángulos, círculos y polígonos en general. A veces debemos determinar el área para calcular otras variables como la cantidad y el costo de los materiales con los cuales se construye algo como un edificio (pisos, paredes, ventanas, etc.), o contenedores (cartón, acrílico, madera, entre otros). En esta unidad se presentan algunas regiones no convencionales para el cálculo de su área.

b

α

h

b

n

Triángulo circunscrito. a

A=

b

b

h× b 2

h

L

p(p − a)(p − b)(p − c)

582

b

a

a+ b+c 2

A=

a× b× c 4r

Círculo.

r

a+ b+c 2

A= π × r

2

Sector circular. A=

A=

L

Donde: p =

c r

Triángulo Equilátero

L

A= p × r

ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES

Donde: p =

c

b

r

Triángulo inscrito.

Formula de Herón a

A= m × n

m

c

h b

A=

ab Sen α 2

a Triángulo rectángulo circunscrito.

ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES

h

A=

2

L

3 4

h

2

3 3

r

α

A=

2

π× r × α 360

r

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. *

h

2

A=

r

πr 2

 L1 + L 2 L1 A =  2 

L2

r

 h 

h

r

A=

πr 4

2

ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES Cuadrado L

r

2

r

D

L

60º

A=

πr 6

A=L

L

A=

2

2

D 2

L

r

Rectángulo. r

h

A= b × h

2

πr A= 12

30º r

b Área de un paralelogramo.

Corona circular. A

B R

A π(R − r = 2

r A=

( )

π AB

2

)

h

2

4

b Rombo.

Trapecio circular. * R α

D d

r = A

Academia GAUUS

A= b × h

πα ( 2 2 R −r ) 360

A=

D× d 2

583

JOHN MAMANI M. Trapecio.

5. En un trapecio.

b

 B+b A= h  2 

m

h

S1

S2

A= m × h

6. En un trapecio.

B

S1

Área de un cuadrilátero.

= AT

S2

d

S1 = S 2

θ D

A=

Dd Sen θ 2

S=

AT

S=

AT

S=

AT

S=

AT

5

8. En un paralelogramo.

1. S=

S

S

S2

7. En un trapecio.

S PROPIEDADES

S1 +

AT

S

S

S

2

4

S 9. En un paralelogramo.

2. S

S

S

S

S S

S=

AT

S

6

3.

4

10. En un cuadrilátero. S S

S=

S

AT 4

S

S

2

4. 11. En un cuadrado

3S 2S

584

S 4S

S=

2S

AT 12

S

S=

AT 5

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 12. Para áreas semejantes.

18.

S2

S2

S1

S1

S1 + S 2 = S3

S3

PERÍMETROS

13. En un cuadrado

Es la longitud de la línea que describe su borde, contorno o sus lados. AT

S=

S

S1 = S 2

20

1)

Perímetro = 4L

L 14. Lúnulas de Hipócrates.

L

S2 S1

S1 + S 2 =A∆

2)

b

15. En un cuadrado

3) S=

S

S

b

a

AT 30

Perímetro = a + b + c

c 4)

16. En un cuadrado

L

Perímetro = 2(a + b)

a

A∆

= S

Rr

2

L (π − 2) 2

Perímetro = 2πR

5)

L

17.

S2 S1

Academia GAUUS

r1

S1 = S 2

r2

r3

r4

R

Suma de las Longitud de la longitudes de las = semicircunferencia = πR semicircunferencias de radio R

585

JOHN MAMANI M. CRITERIOS PARA RESOLUCIÓN DE ÁREAS

POR MEDIANAS

POR TRASLADO

Ejemplo 03 Si A, B, C y D son los vértices de un cuadrado cuyo lado mide 30cm. M y N son puntos medios. Calcule el área de la región sombreada. M A B

Ejemplo 01 Si ABCD es un cuadrado de 6m de lado, entonces el área de la región sombreada mide. B C

N

A

D

D

C

Resolución

Resolución 6

S somb =

S

2

2

6

S

S cuadrado

6 S somb = 2 S somb = 18

6S

S S

2

S

S cuadrado = L

12S = 30

S

2

S = 75

Luego: S somb = 8S = 8(75) = 600

POR DIFERENCIA

POR TANGENTES

Ejemplo 02 Hallar el área de la región sombreado.

Ejemplo 04 En el siguiente cuadrado, hallar el área de la región sombreada.

2

2

2 2

2

Resolución

Resolución S somb =

−

4

4 2

−

4

2

S somb = 4 −

S somb= 8 − π

Aplicando Pitágoras 4

2

−

2

2

(6 − r) + 2 =(2 + r) 9 r= 4

2 2

2

4× 2 2× 4 2 π − − 2 2 4

S somb = 16 − 4 − 4 − π

586

2

2

2

Pide el área del círculo 2

2 9 S somb = π= r   π 4 81π S somb = 16

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. PRINCIPALES FÓRMULAS PROBLEMA 01

B

Si AB = BC y CD = DE, el área de la región sombreada es: B

10 m

D

10 m

x

x

A

D

y

y

C

E 2

2

Por Pitágoras se tiene que: 10= x + y A

C

a) 100 d) 60

b) 50 e) 85

E

c) 75

2

Entonces el área sombreada son dos triángulos rectángulos: A S =

2

y x + = 50 2 2

Resolución Por dato: AB = BC, además CD = DE, entonces se tiene:

¡Comprueba lo que sabes! 01. En el rectángulo mostrado, Calcula el área de la región sombreada. 10

a) 25 d) 10

b) 32 e) 20

c) 15

03. Calcule el área de la región sombreada.

4

6

4 4

a) 60 d) 10

b) 12 e) 30

4

c) 15

02. Determine el área de la región sombreada de la siguiente figura

10 5

a) 4u

2

b) 8u

d) 2u

2

e) 6u

2

c) 16u

2

2

04. Calcula el área del círculo mostrado, si ABCD es un cuadrado de lado 30. B C

8 5 16 A Academia GAUUS

D

587

JOHN MAMANI M. a) 135 π

b) 225 π

d) 180 π

e) 160 π

c) 140 π a) 8( 3 + 3) b) 2 3

05. Calcule el área de la región sombreada.

3−4

d)

3 +1

c)

e) 4( 3 + 1)

09. Hallar el área de la región sombreada

2

3

3 a) 3 d) 4,5

2

b) 9 e) 3,5

c) 4

06. Calcula el área de la región sombreada, si el radio de la circunferencia es 2 2 .

a)

3 +1

b)

6+

2

d)

3 +1

e)

6−

2

c) 8 3

10. Se sabe que ABC y CDE son dos triángulos equiláteros de lados 4 y 8. Calcule el área de la región sombreada. B a) 25 d) 32

b) 16 e) 4

c) 8 D

07. En la figura mostrada, calcule el área de la región sombreada. A

9

6 10 b) 105 e) 98

a) 100 d) 114

E

C

a) 16 3

b) 8

c) 8 3

d) 16

e) 4 3

11. Calcular el área de la región sombreada.

4

c) 108

08. Hallar el área sombreado

4 4

4 4

588

4

a) 8 d) 5

b) 7 e) 5,5

c) 6 Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 12. Hallar el área de la región sombreada.

6

12 b) 24 e) 16

a) 48 d) 4

a) 2 3 / 3

b)

d) 2 3

e) 3 3 / 2

7

A

3/3

16. Hallar el área del círculo.

c) 12

13. Hallar el área de la región sombreada, sabiendo que: AB = 20m

c)

3

. . .

a) 4 d) 16

.

15º

b) 9 e) 8

c) 10

2

2

2

17. En la figura: 3u , 4u , 6u , y S son las áreas de las regiones mostradas. Hallar S. B

4 S

3 b) 90π e) 100π

a) 80π d) 120π

14. Halle el área de la región sombreada.

2

a) π( 2 + 5) c) π( 2 − 5)

2

e) π(2 −

2

5)

7 2 2 b) π(4 2 + 5)

2

6

c) 110π

d) π(4 2 − 5)

a) 8 d) 6

b) 10 e) 7

c) 9

18. Un cubito sólido descansa en el fondo de una prisma recto lleno de agua. Al extraer el cubito la altura de agua disminuyen 1/8. Hallar el área de la región sombreada.

2

16

15. En la figura. Calcular el área sombreada.

4 2 4 2

a)

3

b) 4 3

d)

3/2

e)

c) 8 3

3/4

60º 1

Academia GAUUS

589

JOHN MAMANI M. SUMAS DE ÁREAS 01. Determine el área de la región sombreada. 4

4

4 2

6 2

a) 80 d) 72

b) 88 e) 90

c) 96

02. Halle el área de la región sombreada si el lado del cuadrado mide 6 metros.

a) 96 d) 114

b) 100 e) 120

c) 80

05. Si ABCD es un cuadrado, cuyo lado mide 4u y CED es un triángulo equilátero, calcule el área de la región sombreada. C B

E

A a) 15 d) 14

b) 16 e) 20

c) 25

a) 4 + 2 5

D b) 8 + 2 5

c) 8 + 2 3

d) 10 + 2 3

e) 8 + 2 3

03. En la figura mostrada, cada “cuadradito” 2

tiene un área de 4cm . ¿Cuál es el área de la región sombreada?

06. Hallar el área sombreada señalado en el cuadrado ABCD, de lado L. D C

A a) 23 d) 15

b) 18 e) 20

c) 16

04. Calcular el área de la región sombreada, si cada cuadrito tiene 2cm. de lado.

590

B

2

2

2

2

a)

L L π (2 π − 1) b) 2 8

d)

L L (π − 2) e) (2 π) 3 4

c)

2

L (π + 2) 16

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. TRASLACION DE ÁREAS

Resolución

PROBLEMA 01 2

Si el área de la figura sombreada es 8m , entonces el lado del cuadrado ABCD mide: A

B

L

D

El área sombreada es la mitad del área de todo el cuadrado: AS = 8

C

a) 6 2m

b) 6 m

d) 4 m

e) 4 2m

L

c) 2 m

2

L =8 2 ∴ L= 4

¡Comprueba lo que sabes! 01. Si ABCD es un cuadrado de 6m de lado, entonces el área de la región sombreada mide. B C

03. Sabiendo que el lado del cuadrado mide 20m, calcular el área de la región sombreada. B C

O

A D c) 10

A a) 8 d) 18

b) 12 e) 20

02. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de “a” m de lado.

2

a) a /4 2

d) 5a /8

B

C

A

D 2

b) 3a /4 2

a) 108 d) 320

b) 200 e) 240

2

c) 100

04. Halle el área de la región sombreada de la siguiente figura

1,5

c) a /2

D

a) 3π / 2 d) 12

1,5

b) 9 e) 2 π / 3

1,5

1,5

c) 3π

e) 2a /5

Academia GAUUS

591

JOHN MAMANI M. 05. Sabiendo que el lado del cuadrado mide 8m, calcular el área sombreado.

09. Calcular el área de la región sombreada.

4

a) 8 d) 8π

b) 32π e) 32

c) 4

06. Hallar el área sombreada si el lado del cuadrado es 8.

4 b) 10π e) 4(π − 2)

a) 4π d) 8π

c) 2π

10. Hallar el área de la región sombreada.

6

6 a) 32 d) 8

b) 64 e) 2 π

c) 16

a) 3π d) 12π

b) 18π e) 20π

a) 30π d) 15π

c) 25π

11. Sabiendo que el lado del cuadrado mide 8m, calcular el área sombreado. 4 4

C

A

D

F

30º 30º 30º

6

07. Calcule el área sombreado, si ABCDEF es un hexágono regular de lado 6m. B

6

4

E

4

b) 9π e) π

c) 6π

08. Hallar el área de la región sombreada.

a) 24 d) 8

b) 28 e) 26

c) 16

12. Hallar el área sombreada.

14 8

a) 100 d) 50

592

b) 98 e) 70

c) 49

8 Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. a) 4π d) 8π

b) 10π e) 16π

c) 2π

17. Hallar el área de la región sombreada.

13. Hallar el área sombreada.

4

1

6

4 a) 2π d) 16 π

1 1

a) 10 d) 13

6

b) 11 e) 14

c) 12

b) π e) 32π

18. Hallar el área de la región sombreada.

14. Calcular el área de la siguiente región sombreada.

8

b) 8 (π + 2) e) 16

8

c) 8 (π − 2)

19. Hallar el área de la región sombreada.

4

2 a) 16 d) 10

8 b) 16 e) 16 π

c) 4 π

4

15. Hallar el área sombreada.

a) 64 d) 32 π

8 b) 8 π e) 32π

a) 2π d) 16 π

8 a) 64 d) 32

c) 4 π

c) 32

4 b) 18 e) 12

2 c) 8

20. Hallar el área sombreada si el lado del cuadrado es 8.

16. Hallar el área sombreada.

10 a) 16 d) 16 π

10 a) 100 d) 50

b) 10 e) 25

Academia GAUUS

b) 64 e) 32

c) 32 π

c) 20

593

JOHN MAMANI M. 25. Calcular el área sombreada, si la figura es un cuadrado.

21. Calcular el área sombreada.

10 8 10

a) 30 d) 10

b) 100 e) 25

c) 50

22. Hallar el área de la región sombreada.

a) 8 d) 16

b) 4 e) 32

26. Calcular el área sombreada, si la figura es un cuadrado.

4

a) 8 d) 16

b) 4 e) 32

c) 2

8

a) 8 d) 16

c) 2

23. Calcular el área sombreada, si la figura es un cuadrado.

b) 4 e) 32

c) 2

27. Calcular el área sombreada, si la figura es un cuadrado.

2 2

2

2 2 a) 8 d) 16

2 2 b) 4 e) 32

2

2 c) 2

24. Cuál es el área de la región marcada en:

a) 1 d) 5

b) 2 e) 4

c) 3

28. Calcular el área sombreada, si la figura es un cuadrado.

20

10

a) 100 d) 25 π

594

b) 100 π e) 50

c) 25

a) 100 d) 500

b) 200 e) 400

c) 300

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 29. Calcular el área de la siguiente región sombreada.

10

10 a) 100 d) 50

b) 10 e) 25

a) 400 d) 360

c) 20

2

30. Si el área de la figura sombreada es 8m , entonces el lado del cuadrado ABCD mide:

a) 5 m d) 4 m

B

C

A

D b) 6 m e) 1 m

c) 2 m

b) 420 e) 380

33. Calcule el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado es 2m.

a) 4( 3 + 1) b) 4( 3 − 1) c) 8 3 d) 4( 2 − 1) e) 4(2 −

31. Se tiene un cuadrado de lado 8 , y todos los semicírculos son iguales. Hallar el área de la región sombreada.

c) 480

3)

34. Sea ABCD un cuadrado cuyo lado mide 6m.  es congruente a ASQ . Además, APQ Calcule el área de la región sombreada

B

Q

C

P S

a) 2 2

b) 4

d) 2π

e)

c) 6 − π

3π 4

32. Se tiene un círculo mayor de radio igual a 20m, y cuatro círculos menores congruentes. Calcule el área de la región sombreada. Academia GAUUS

A

D

a) 4π

b) 2π

d) 5π

e) 3π

c) 6π

595

JOHN MAMANI M. DIFERENCIA DE ÁREAS

Resolución

PROBLEMA 01 En la siguiente figura, R es punto medio de GH

R

6

del triángulo SFR, si EH = 8 cm y EF = 6 cm .

3

G

⇒ A ∆ SFR =

S

4

E

R

G 3

y S es punto medio del lado EH . Halla el área F

8

F

4

H

8

−

6

−

6 4

8

8 3

−

6× 4 8× 3 4× 3 − − 2 2 2 = 48 − 12 − 12 − 6

3 4

= 8×6 − E

H

S

a) 20 cm 2

b) 15 cm 2

d) 18 cm 2

e) 19 cm 2

c) 16 cm 2

= 18cm

2

¡Comprueba lo que sabes! 01. Calcule el área de la región sombreada.

03. Calcule el área de la región sombreada. 2

4 2

4 10 a) 10 d) 160

10

b) 40 e) 100

c) 80

02. Hallar el área de la región sombreada

2

2

a) 3 + π

b) π − 3

d) π − 2

e) 8 − 2π

c) 4 − π

04. Hallar el área de la región sombreado.

2 2

2 a) 8(4 − π)

b) 2(4 − π)

d) 5(2 − π)

e) 4(4 − π)

596

c) 3(1 − π)

2 a) π/2

b) π

d) 4 − π

e) π/4

c) 2 − π

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 05. Hallar el área de la región sombreado.

4

a) 2 d) 3,5

b) 3 e) 4

c) 2,5

09. Hallar el área de la región sombreada

16 4 a) 8(4 − π)

b) 4(2 − π)

d) 8(2 − π)

e) 4(4 − π)

16

c) 5(1 − π)

06. Hallar el área sombreado. 2 2

a) 126 − 9π

b) 112 − 6π

c) 30 − 6π

d) 192 − 32π e) 142 − 16π 2 10. El área sombreado es: 2

a) 2(2-π) d) 4(4-π)

b) 4(2-π) e) 4(π-2)

c) 2(4-π)

07. Hallar el área de la región sombreado. 2

2 2

26

10

24 a) 120 − π

b) 120 − 6π

d) 120 − 9π

e) 120 − 16π

c) 30 − 6π

11. Hallar el área de la región sombreada

2 a) 8 − π

b) 8 − 2π

d) 7 − π

e) 16 − 2π

2

c) 2 − π 60º

08. Hallar el área de la región sombreada, si M y N son puntos medios.

a) 2π

b) 5π

d) π

e) 3π

c) 6π

M 12. Calcular el área de la figura sombreada. N

2 2

2 2

Academia GAUUS

1 12 20

597

JOHN MAMANI M. a) 44 d) 42

b) 38 e) 46

c) 40

a) 6 π − 5 3 b) π − d) 5 π − 6 3 e) 5π

13. Hallar el área de la región sombreada

1

17. Calcule el área de la región sombreada.

2

a) 8 − π /2

b) 16 + π /2

d) 16 + π /4

e) 12 − 16π

6m

c) 8 + π /2

14. Calcular el área de la región sombreada.

a

6m

a) 4(6 − π)

b) 4(5 − π)

d) 5(4 − π)

e) 4(5π − 2)

Calcule el área sombreado. B

a

a

a

2

2

2

2

c) 6(4 − π)

4. 18. En la figura adjunta, AC = 6 y h 2 − h1 =

a a

c) 10π

3

h2

a) a (8 − π) b) a (π − 8)

c) a(π − 1)

d) a (5 − π) e) a (5 + π)

h1

A

15. En el cuadrado ABCD de lado “4m”, calcular el área de la región sombreado.

a) 13 d) 6

C

b) 12 e) 24

c) 14

19. Hallar el area de la region sombreada.

4 a) 16 − 4π

b) 12 − 6π

d) 2 π − 14

e) 10 − π

c) 16 − 2π

4

4 4

16. Hallar el área de la región sombreada 2 3

4

4

a) 8(3 3 − 2π)

b) 2(8 3 − π)

c) 4(2 3 − π)

d) 8(π −

3)

e) 8(2 3 − π) 2 3

598

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 20. Hallar el área de la región sombreado.

23. Hallar el área de la región sombreada

4

3 4

a) 3(π − 2)

b) 2(π − 1)

d) 4(π − 3)

e) 3(π − 1)

3

c) 2(π − 2)

21. La figura está formada por 20 cuadraditos iguales en la que cada uno tiene un lado que mide 2m. Halle el área de la región sombreada.

a) 3(2π + 3 3 − 9)

b) 3(π + 3 3 − 9)

c) 3(2π +

d) 3(3π + 2 3 − 9)

3 − 9)

e) 3(3π + 2 3 − 12) 24. En la figura mostrada, el área de la región cuadrada es numéricamente igual a su perímetro; P y T son puntos de tangencia, entonces el área de la región sombreada es:

P

a) 42 d) 48

b) 44 e) 56

r

R

22. Hallar el área de la región sombreada de la siguiente figura, sabiendo que el triángulo ABC es equilátero y su lado mide 12cm. Además M, N, y P son puntos medios de los lados del triángulo. B

M

T

c) 52

a) 1 π d) 4 π

b) 2 π e) 5 π

c) 3 π

25. En la siguiente figura, hallar el área de la región sombreada.

N

4

6 A a) 3(12 3 − 2π)

b) 3(12 3 − π)

c) 3(2 3 − 2π)

d) 3(3 3 − π)

e) 3(2 3 − π) Academia GAUUS

16

C a) 256 – 52 π c) 360 – 52 π e) 253 + 25 π

b) 288 – 52 π d) 256 + 52 π

599

JOHN MAMANI M. ÁREAS CON HOJAS 01. Calcule el área de la región sombreada 2 a) 3(2 π − 1) b) 2(π − 2) c) 6(π − 2) 2 d) π − 2 e) 4(π − 2) 02. Halle el área de la región sombreada 2

a) r (π − 2) / 2 2

r (π − 2) 4 d) 2(π − 2) e) π − 1

r r

03. Hallar el area de la región sombreada. a) 8(π − 2) b) 16(π − 2) 4 c) 8(π + 4) d) 4(π − 2) e) 64(π + 4)

4

04. Hallar el area de la región sombreada. a) 2(π − 2) b) 16(π − 2) c) 8(π + 4) 2 d) 8(π − 2) e) 4(π − 2) 05. Calcule el área de la región sombreada 4 a) 3(2 π − 1) b) 2(π − 4) c) 6(π − 2) 4 d) π − 4 e) 4(π − 2)

600

07. Si los radios de los círculos iguales mide 0,5 m. Hallar el área sombreada. a) b) c) d) e)

2

b) r (π − 2) c)

06. Halle el área de la región sombreada a) 2 π − 1 b) π − 2 c) 2(π − 2) 4 d) 4(π − 2) e) π − 1 4

2π − 5 2π π−2 2π − 7 π− 3

08. Hallar el area sombreada. a)

2

a (π − 2) 2 2

b) a (π − 3) c)

2

a (π − 2) 4 2

d) a (π − 2) e) π − 3

a

a

09. Hallar el área sombreada. a) 2(π − 2) b) c) d) e)

4(π − 2) 8π − 7 7(π − 2) 2(π + 2)

4

4

10. Hallar el área sombreado 8 a) 16(π − 2) b) 16π c) π − 2 d) 4(π + 2) e) 8(π + 2)

8

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 11. Hallar el área de la región sombreada. a) 3(3π − 2) b) 3(π − 2) c) 3(3π + 2)

4

d) 3(π + 2) e) 3(4 π − 2)

C 4

d) 4(π − 2) D

A

17. Halle el área de la región sombreada a) 36(4 + π)

6

b) 18(4 − π) c) 36(4 − π) e) 62(4 − π)

b) 16 π − 12 c) 16 π − 2

6

d) 72(4 − π)

13. Hallar el área sombreado 8 a) 16 π − 32

8

d) 16(π + 2)

18. Hallar el área de la región sombreada. a) 8(4 − π) b) 4(8 − 2π)

e) 8(π + 2)

4

c) 2(4 − 6π)

14. Hallar el area de la región sombreada. a) aπ 2a 2 b) a (π + 2) 2

c) a π − 3

2a

2

d) a (π − 2)

d) 8(8 − π) e) 8(2 − π)

4

19. Calcular el área de la región sombreada. a) 2(π − 2) b) 4(π − 2) c) 8 π − 3

2

e) 2a (π − 2)

d) 3(2 − π)

15. Hallar el área de la región sombreada. a) 2π b) 2(2π − 3)

2

c) π − 2 d) 2(π − 2)

e) 3π + 2

2

2

20. Calcular el área de la región sombreada. a) 2(π − 2) b) π − 2 c) π − 3

2

d) 2 − π e) 3π + 2

Academia GAUUS

B

b) 16(π − 2)

e) 64(π + 4)

12. Hallar el area sombreada. 6 a) 16 b) 16π

e) 4(π − 2)

a) 8(π − 2) c) 8(π + 4)

4

c) π − 2 d) 18 e) 9(π − 2)

16. Si ABCD es un cuadrado, calcule el área de la región sombreada.

2

2

601

JOHN MAMANI M. ÁREAS POR TANGENTES 01. Calcular el área del círculo sombreado.

04. Hallar el área de la figura sombreada si el área del cuadrado es de 144m

4m

4m a)

25 π 9

b)

16 π 9

c)

14 π 9

20 π e) 9

15 π d) 9

2

02. Calcule el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de 20cm de lado.

B

a) 4π

b) 2π

d) 16π

e) 3π

c) 9π

05. Calcule el área de la región sombreada. 36

C 36

A

D

a) 64π

b) 60π

d) 49π

e) 81π

c) 36π

03. Hallar el área de la región sombreada

a) 16π

b) 36π

d) 64π

e) 9π

c) 81π

06. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 36m, calcule el área de la región sombreada.

12

B

C

A

D

12

a) 4π

b) 2π

d) 6π

e) 9π

602

c) 8π

a) 16π

b) 36π

d) 64π

e) 9π

c) 25π

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 07. Sea ABCD un cuadrado de lado 6m. Si P es el punto de tangencia y O el centro del círculo, halle el área de la región sombreada.

B P

C O

π π (21 − 8 3) b) (57 − 32 3) 2 2 π π c) (50 − 29 3) d) (55 − 32 3) 2 2 π e) (57 − 32 3) 4 a)

10. Hallar el área de la región sombreada.

.

D

A a) 3 6

b) 5 6

d) 2 6

e) 6 6

B

C

A

D

25 π 26

b)

64 π 144

d)

9π 16

e) 2π

c)

2

a) 17 π − 30

4 4 b) 15π − 28 c) 15π − 30

d) 18 π − 36

e) 17 π − 32 2

11. Si el área del cuadrado es 64m . Hallar el área del círculo.

36 π 49

09. Hallar el área sombreada, si se sabe que ABCD es un cuadrado de lado 2.

B

.

c) 4 6

08. Halle el área de la figura sombreada. Si ABCD es un cuadrado.

a)

.

C

a) 3 π d) 2 π

b) 9 π e) 12 π

c) 4 π

12. Si la figura es un cuadrado de lado 10, halla el área marcada. 7 (asume que : 2 = ) 5

2

A Academia GAUUS

D

a) 4 π d) 5 π

b) 2 π e) 10 π

c) 8 π

603

JOHN MAMANI M. ÁREAS POR MEDIANAS 01. Hallar el área de la región sombreada. 6

04. En el cuadrado ABCD, si W = 2m Halle “X” A B

2

W

6 X a) 3 d) 2

b) 4 e) 5

c) 6

02. Hallar el área de la región sombreada. 3

D a) 6 d) 11

a

b) 2/3 e) 3/4

c) 1

03. Si A, B, C y D son los vértices de un cuadrado cuyo lado mide 30cm. M y N son puntos medios. Calcule el área de la región sombreada. A

M

D a) 550 d) 600

604

c) 10

05. Halle el área de la región sombreada. a

3

a) 1/3 d) 4/3

C b) 8 e) 12

1 2 a 10

b)

1 2 a 3

d)

1 2 a 4

e)

1 2 a 12

c)

1 2 a 14

06. Halle el área de la región sombreada

B

a/2

N

a/2

C b) 450 e) 700

a)

a)

1 2 a 10

b)

1 2 a 3

d)

1 2 a 4

e)

1 2 a 12

c) 500

c)

1 2 a 14

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 07. Halle el área de la región sombreada, si

10. Si ABCD es un cuadrado de área igual a 2

120m , determine el área de la región sombreada. C B

ab −= 1 2(ba − 1)

(a + b)

(a + b) b) 3 e) 5

a) 4 d) 6

D

A

c) 2

a) 39 d) 42

08. Halle el área de la región sombreada a

b) 45 e) 38

c) 41

11. En la figura ABCD es un cuadrado de lado “L”. Halle el área de la región sombreada.

a/2

B

C

A

D

a/2

a)

2

a 6

b) 2

2a d) 3

2

a 3

2a e) 5

c)

2

a 8

2

09. Sabiendo que ABCD es un cuadrado de lado “a”. Calcule entonces el área de la región sombreada. C B

A a)

2

a 8

2

a d) 12

2

a)

2L 11

d)

L 25

2

2

3a 40 2

a e) 20

Academia GAUUS

c)

3L 10

e)

5L 24

c)

2

4L 15

2

12. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 6 2cm , además P y Q son puntos medios de los lados, Calcule el área de la región sombreada.

D

b)

2

b)

A

B

P

Q

D

C

2

5a 36

a) 44 d) 48

b) 45 e) 40

c) 42

605

JOHN MAMANI M. ÁREAS POR PROPORCIONALIDAD 01. Calcule el área de la región sombreada, si el área de la región triangular ABC es 120m

2

B

04. En la figura S1 es el área de la región triangular PQR y S 2 el área de la región S1

triangular RCV, Halle

S2

C

A

7

5

a) 50m

2

d) 30m

2

b) 70m

2

e) 60m

2

3c

C c) 30m

S2

2

B

02. Calcule el ara de la región sombreada, si 4(PC)=BC, AP=3(AM) y, además, el área de la región triangular ABC es 60m

2

V

2b

R b

5a

a) 1/3 d) 1/6

b) 1/2 e) 3/4

c S1 P a

Q

c) 2/3

05. En el gráfico. ¿Qué parte del área de la región triangular ABC representa el área de la región sombreada?

B P

C 3c

M

A a) 1 d) 8

C

b) 4 e) 12

B

03. Halle la relación entre las áreas S 2 y S1 .

S2

606

b) 1/7 e) 3/4

c) 2/3

B

b

3

2a

2b

c

a) 1/5 d) 1/3

a) 3/7 d) 1/6

A

a

a

06. Hallar la razón entre las áreas de las dos regiones sombreadas

3a

S1

c

c) 6

1

4c b) 2/5 e) 4/5

c) 2/3

A

1

3

C

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. a) 1 d) 2/3

b) 1/2 e) 1/4

c) 1/3

a) 1 d) 3

07. El área de la región triangular ABC mide 2

105m . Calcule el área de la región sombreada

b) 1/2 e) 1/4 2

BC = 6(RC) ; BQ = 3(BP) , Calcule el área de

B

2 P

1 A

2

1

a) 35 d) 56

AC = 4(AQ) ;

S ABQ = 12m ;

10. Si:

la región sombreada.

C

B

c) 2

b) 40 e) 48

R

c) 50 A

08. El área de la región triangular ABC mide

C

Q

2

420m . Calcule el área de la región sombreada C

a) 28 d) 25

b) 26 e) 27

c) 20

11. Hallar el área de la región sombreada, si el

4p

2

área de la región ABC es 30u ; AP = 2BP y BM = MN = NC .

3p B

k

a) 128 d) 132

b) 160 e) 164

B

A

2k

c) 120

P

09. Halle el área de la región sombreada, Si el área de la región limitada por el triángulo ABC es 42m

M Q N

2

B

A

a

a) 3,2 d) 3

C b) 2 e) 1,5

c) 2,5

2a A Academia GAUUS

2b

b

C

607

JOHN MAMANI M. ÁREAS CON PARTE TODO 01. En la figura ABCD y PQRC son cuadrados; siendo “P” un punto medio del lado BC, calcular la relación del área de la región sombreada respecto al área de la región no sombreada. A

B P

D

Q

b) 2/3 e) 5/6

A a) 4/3 d) 3/4

C

G

F

D b) 1/2 e) 7/8

c) 3/8

04. En la figura, AB y AD son diámetros de círculos; C y D son centros de arcos de circunferencias. ¿Qué parte del área del cuadrado ABCD es el área de la región sombreada? B C

c) 5/7

02. En la figura mostrada; ADCB, CDEF, FEHG y CFJI son cuadrados de igual área. Calcular que parte del área total es el área de la región sombreada. I J

B

b) 3/2 e) 8/5

R

C

a) 3/2 d) 5/12

a) 4/5 d) 2/5

a) 1 d) 2/3

A

05. ¿Qué fracción representa el área de la región sombreada respecto del área de la región no sombreada, si M, N, P y Q son puntos medios? M

Q

N

H

E c) 17/37

03. ¿Qué parte del área total representa el área de la zona sombreada?

D c) 1/3

b) 1/2 e) 1/4

P a) 1/4 d) 4/5

b) 1/3 e) 4

c) 1/2

06. En la figura la relación entre el área sombreada y el área no sombreada es: 4 4 5

608

12

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. a) 7/12 d) 2/3

b) 5/7 e) 1/2

c) 3/4

10. La relación entre el área sombreada y el área del trapecio es: m

07. En la figura AD es diámetro y AB=BC=CD, calcule la relación entre el área de la región sombreada y el de la no sombreada (todas las curvas son semicircunferencias)

A

C

B

a) 1/3 d) 1

b) 2/5 e) 2/3

D

c) 1/2

08. En la figura, ¿Qué fracción del área del cuadrado MNPQ representa la región sombreada? P N

2m b) 1/4 e) 5/3

a) 1/2 d) 2/5

11. En la figura, AB y AD son diámetros de círculos; C y D son centros de arcos de circunferencias. ¿Qué parte del área del cuadrado ABCD es el área de la región sombreada? B C

A M a) 2/5 d) 3/4

b) 2/3 e) 1/2

Q c) 4/5

09. E, F, G y H son puntos medios del cuadrado ABCD entonces la razón entre el área sombreada y el área no sombreada, es: F

B

a) 3/16 d) 3/13

G

A

D

H b) 5/21 e) 7/12

Academia GAUUS

a) 1 d) 2/3

c) 1/3

b) 1/2 e) 1/4

D c) 1/3

12. Dado el cuadrado de la figura, sabiendo que EF //BC y CF = AD/4 , determine la razón entre el área de la región sombreada y el área de la región no sombreada.

C

E

c) 1/3

a) 11/5 d) 16/11

B

C

E

F

A

D

b) 5/11 e) 4/3

c) 11/16

609

JOHN MAMANI M. 13. Hallar la razón entre las áreas de las dos regiones sombreadas B

16. Si M y N son puntos medios de los lados del cuadrado, halle la razón del área de la región no sombreada y el área de la región sombrada

3 1 A

1

a) 1 d) 2/3

3

b) 1/2 e) 1/4

N C

c) 1/3

M

14. En la figura se tiene un cuadrado ABCD. Si M es punto medio, ¿Qué parte del total representa el área de la región sombreada? C

B

a) 7/8 d) 2/5

b) 3/8 e) 5/3

c) 1/8

17. ¿Qué porcentaje del área del hexágono es el área sombreada?

M

D

A a) 1/3 d) 1/10

b) 1/4 e) 1/12

c) 1/6

a) 40,8% d) 65%

15. En la figura. ¿Qué parte del área del paralelogramo ABCD es el área de la región sombreada? B

b) 50% e) 42%

c) 37,5%

18. En el paralelogramo ABCD. Hallar: B

C

S1 S2 C

S1

S2 A

A a) 1/3 d) 1

610

D

D b) 1/4 e) 1/2

c) 1/6

a) 1 d) 1/3

b) 2 e) 2/3

c) 1/2

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. PERÍMETROS LINEALES PROBLEMA 01

N

B

C

Hallar el perímetro de la siguiente figura: P6

M

15

A

60

a) 230 d) 120

b) 120 e) 150

c) 180

D

8

a) 31 73

b) 20 + 73

d) 31 + 73

e) 21 + 73

c) 31

Resolución

Resolución En realidad se trata de una situación análoga a calcular el perímetro del rectángulo:

B

4

4

N

5

3 M

10

73

C 3 P6 3

15

A 60

= P 2(60 + 15) P = 150

8

D

P = MB + MN + NP + PA + BD + AD P = 3 + 5 + 5 + 73 + 10 + 8 = P 31 + 73

PROBLEMA 02 En la figura, ABCD es un rectángulo y además M, N y P son puntos medios. Calcular el perímetro de la región sombreada.

¡Comprueba lo que sabes! 01. Hallar el perímetro de la siguiente figura:

02. Hallar el perímetro de la siguiente figura:

a) 26

a) 60

b) 24

b) 86

c) 48

c) 39

d) 52

d) 48

e) 50

e) 72

Academia GAUUS

611

JOHN MAMANI M. 03. Hallar el perímetro de la siguiente figura:

07. Hallar el perímetro de la siguiente figura: a) 35

a) 48 b) 78 c) 56 d) 86 e) 66 04. Hallar el perímetro de la siguiente figura:

b) 50 c) 70 d) 60 e) 20 08. Hallar el perímetro de la siguiente figura: a) 64

a) 58

b) 22

b) 78

c) 44

c) 64

d) 56

d) 88

e) 50

e) 100 09. En 05. Hallar el perímetro de la siguiente figura:

la

figura,

ABCD

es un

cuadrado.

Determine la razón entre el perímetro de la parte sombreada y el lado del cuadrado.

a) 92 b) 82 c) 72 d) 100 e) 70 06. Hallar el perímetro de la siguiente figura: a) 64 b) 80

a) 3 b) 1 c) 2 d) 6 e) 4 10. Hallar el perímetro de la siguiente figura, si existen seis rectángulos iguales cada uno, de largo “L” y de ancho “A”.

c) 86 d) 40 e) 84

612

a) 6L+4A d) 8L+6A

b) 6(L+A) e) 4(L+A)

c) 6L+8A Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 11. Calcula el perímetro de la siguiente figura:

7

10

a) 110 d) 164

15. El perímetro de la figura es:

6

b) 44 e) 50

c) 48

12. Hallar el perímetro de la siguiente figura: 3 3

6 4

4

5

a) 26 d) 52

b) 24 e) 50

8

a) 14 d) 16

b) 28 e) 18

10 23 b) 65 e) 50

c) 33

14. Calcula el perímetro de la región sombreada de la siguiente figura.

16. Hallar el perímetro de la siguiente figura, todas las piezas son iguales, de largo “a” y de ancho “b”

a) 6a + 8b

b) 8a + 6b

d) 6a + 10b

e) 6a + 6b

12

c) 8a + 8b

17. El perímetro del cuadrado “A” es 48cm. Hallar la suma de los perímetros de los cuadrados “B” y “C” a) 96cm b) 24 c) 48 d) 64 e) 34 18. Hallar el perímetro de la región sombreada: a

10

c b

b c

8

Academia GAUUS

c) 20

c) 48

13. Calcula el perímetro de la región sombreada de la siguiente figura.

a) 66 d) 64

c) 33

8

12

a) 46 d) 54

b) 165 e) 120

c

30

c

c

613

JOHN MAMANI M. a) b) c) d) e)

3a + 4b – 6c 4a + 6b – 4c 2(a + b – 3c) 4(a + b –a 2c) N.A.

21. En la figura mostrada, hallar el perímetro de la región sombreada. Si ABCD es un cuadrado de lado 10µ y RC=8µ.

B

C





19. Dado el cuadrado ABCD y el triángulo isósceles EFG de lados EF=FG=a. Hallar el perímetro de la región sombreada en la figura. a

B

C

E 

F

R



A

D

a) 19 + 5 5µ

b) 9 + 5 5µ

c) 29 + 5 5µ

d) 29 + 3 5µ

e) 19 + 2 5µ

E

F

P

A

22. Un cuadrado y un triángulo equilátero tienen perímetros iguales. Si el área del cuadrado es 36m2, entonces, el área del triángulo es:

Q

D

G a) (4- 2)a

b) (1 + 2)a

d) 8a

e) (4 + 2)a

c) 5 2a

20. En la figura se muestra los cuadrados A, B y C. Hallar: Perímetro de A + Perímetro de + B Perimetro de C

a) 9 3m2

b) 12 3m2

d) 20 3m

2

e) 24 3m

c) 16 3m2

2

23. Un terreno tiene forma rectangular y se sabe que su perímetro mide 46m y su diagonal 17m. ¿Cuál es el área del terreno? b) 120m2 c) 210m2 a) 100m2 e) 92m2 d) 80m2 24. En la figura mostrada, el perímetro de la región sombreada es: (sabiendo que E es punto medio de AC)

B 15 30º

37º

A a) 1/4 d) 4

614

b) 1/2 e) 16

c) 1

C

E

a) 2(17 + 4 3)

b) 3(19 + 5 3)

c) 3(17 + 5 3)

d) 2(17 + 5 3)

e) 17 + 5 3 Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 25. La suma total del perímetro externo de las siguientes letras es:

28. Calcular el perímetro de la figura sombreada, si AC = 6 2 A 45º

Cada cuadrado tiene una unidad de lado a) 99 + 2 5

b) 97 + 2 5

c) 96 + 2 5

d) 98 + 2 5

C

B

a) 6 + 2

e) 100 + 2 5 26. La suma total del perímetro externo de las siguientes letras es:

(

b) 6 2 +

2

2

d) 2 + 6

c) 12

2

e) 12

2 + 6

)

2

29. Los 6 segmentos verticales están igualmente distanciados entre sí. ¿Cuál es la suma de sus longitudes Cada cuadrado tiene una unidad de lado a) 85 + 2 13

b) 87 + 2 13

c) 86 + 2 13

d) 86 + 2 5

6m

e) 89 + 2 5

18 m

27. Si el lado del triángulo equilátero ABC mide 6 y AP=PM=MB=BN=NQ=QC. Calcule el perímetro de la región sombreada. B

a) 30 m d) 40

b) 21 e) 36

c) 18

30. En el triángulo equilátero ABC de perímetro 12cm. PM//BC y MQ//AB, ¿cuál es el perímetro de la superficie sombreada? B

M

Q Q

P

C

A a) 7 +

P

3

d) 8 + 7

b) 7 + 2 3 e) 14 +

Academia GAUUS

3

c) 14 + 2 3

A a) 8 m d) 6

M b) 15 e) 12

C c) 18

615

JOHN MAMANI M. PERÍMETROS CIRCULARES PROBLEMA 01

a) 2π

b) 4π

Hallar el perímetro de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de 8 cm. de lado.

d)

e) 8π

3π

Resolución

C

B

c) 10π

R/2

R A

a) 2π d) 3π

R

D

b) 4π e) 24π

c) 5π

Resolución

Perímetro: = 2πR + 6 

R'=2



R=4

2π(R / 2)   2 

= 2π(2) + 3π(2) 8

= 4 π + 6π = 10π

PROBLEMA 03 L ( INT ) = 2 πR = 2 π × 4 = 8 π

L ( EXT ) = 8( πR) = 8( π × 2) = 16 π L ( TOTAL ) = L ( INT ) + L ( EXT ) = 24π

En la figura, hallar el perímetro de la región sombreada. (AB = AC = 4 cm) B a) 8 π cm b) 4(π − 2) cm c) 6π cm d) 8(π − 2) cm C A e) 10π cm

PROBLEMA 02 Hallar el perímetro de la región sombreada, si las semicircunferencias son iguales; ( R = 2 )

Resolución Sea “P” el perímetro, en la figura se tiene:

B

R

R=4 m r=2

A

616

C

r=2

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 2

= P

= P 2πr +

PROBLEMA 05

+

4

Hallar el perímetro de la parte sombreada, cuyos arcos corresponden a partes de circunferencia. a) 24 π cm. b) 12 π cm.

2πR 4

P 2π(2) + =

c) 16 π ( 2 + 1 ) cm.

2π(4) 4

d) 16 π ( 2 − 1 ) cm.

P = 6π cm

4 cm

e) 8 π ( 2 + 1 ) cm.

PROBLEMA 04

Resolución

Calcular el perímetro de la figura, si ABCD es un cuadrado de perímetro 8 2 y el triángulo BEC es equilátero. B A a) 2 + 2 2π b) 4 2 + 8 2π + 8

E

c) 8 2π + 8 2

4

O

d) 16π + 8 + 4 2

D

C

e) 4 2 + 2 2π + 4

Del triángulo:

r

2

4 cm

4

4

= r 4( 2 − 1) 4+r= 4 2 ⇒

Resolución B

2π A

2 2

2

E

2 2

O

2

2 2 C

Como: “O” es centro del cuadrado: 8 2 2 2 4

Diagonal: AC = BD = 2 2 × 2 = 4 ⇒ AO= OD =

r

4

Perímetro =2 [ 2π(4)] + 2π  4( 2 − 1)  Perímetro = 16π + 8 π 2 − 8 π Perímetro = 8π( 2 + 1) cm

D

2π

Lado  

long

Perímetro  Long 2

PROBLEMA 06 En la figura adjunta, determinar el perímetro de la región sombreada; si el diámetro AB de la semicircunferencia mayor es 2 cm.

4 = 2 2

Luego: Perímetro = AO + DO + BE + CE + BA + CD

2 2 2 2 = 2+ 2+ 2 2 + 2 2 + π +  π  2   2 

= 4+ 4 2 + 2 2π

Academia GAUUS

A

a) ( 3π − 4 ) cm c) ( 3π + 4 ) cm e) ( 3π − 3 ) cm

O

B

b) ( 3π + 3 ) cm d) ( 3π + 2 ) cm

617

JOHN MAMANI M.

Resolución

P=

Resolviendo:

1

+

1

1

1 2

1

1

O

+2

1 2

1   Perimetro = 4 + π + 2  2 π 2   Perimetro= 4 + 3π

1 2

A

1 1

B

1

¡Comprueba lo que sabes! 01. Calcular el perímetro del área sombreada, si

04. Calcular el perímetro de la región sombreada.

la figura es un cuadrado.

a) 2π

a) 11 π

b) 4π

b) 12 π

4

6

c) 6π

4

c) 13 π

d) 8π

4

d) 15 π

6

e) 7π

4

e) 14 π

05. Calcular el perímetro de la región sombreada. 02. Calcular el perímetro de la región sombreada.

a) 2π

a) 4(π + 4)

b) 4π

b) 8(π + 1)

c) 6π

c) 4(π + 1) d) 2(π + 1)

4

4

e) 10π

4

4

06. Calcule el perímetro de la región sombreada.

03. Calcular el perímetro de la región sombreada. a) 8(4 + π)

a) 32π b) 32 π + 1

8

c) 16π

b) 4(2 + π) 4

c) 5(1 − π)

8

d) 16(π + 1) e) 32(π + 1)

d) 8(1 − π)

618

d) 8π

8

e) 8(π + 2)

e) 2(4 + π)

4

8

8

4 Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 07. Halle el perímetro de la región sombreada, si

a) 24π

las semicircunferencias son iguales.

b) 25π

a) 3πR

c) 12π

b) 4πR

d) 48π

R

c) 5πR

e) 6π

d) 8πR 11. Halle el perímetro del cuadrado ABCD, si M

e) 6πR

es punto medio del lado CD y AM = 2

08. Si el área del cuadrado es 100m , calcule el

a) 4

perímetro del área sombreado

b) 6

a) 20(π + 1)

c) 8

b) 20(π − 1)

d) 10 e) 12

c) 50π d) 25

5

C

B

M A

D

4

12. Calcular el perímetro de la región sombreada.

e) 25π

a) 4(π + 1)

09. Halle el perímetro de la región no sombreada.

b) 8(π − 1)

4

4

c) 8(π + 1) d) 2(π − 1) 4 4 a) 6(π + 4)

b) 6(π + 3)

d) 8(π + 1)

e) 10(π + 2)

e) 8(π − 2)

4

13. Calcular el perímetro de la región sombreada.

c) 8(π + 3)

a) 2π

c) 5π 10. Los radios de los círculos mostrados en la figura adjunta son R 1 ;

2

b) 4π

R2; R3 y

R4

d) 3π e) π

2

2

2 2

2

respectivamente. Halle el perímetro de la región sombreada si: R1 + R 2 + R 3 + R 4 = 12 Academia GAUUS

619

JOHN MAMANI M. 14. Calcular el perímetro de la región sombreada. a) 4a(π + 4) b) 4a(π + 2)

a

a

2

18. Si el área del cuadrado es 16m , calcular el perímetro de la región sombreada.

a

c) a(π + 1) d) 2a(π + 1)

a

e) 8a(π + 1)

15. Calcular el perímetro de la región sombreada. a) 2(π + 1) b) 4(π + 2) 4

c) 2 π + 1

a) 16π d) 8π

b) 12π e) 18π

c) 32π

19. Calcule el perímetro de la región sombreada; si el triángulo es equilátero de lado 10.

d) 4(π + 1) 4

e) 2 π + 8

16. Calcular el perímetro de la región sombreada. a) 24π b) 15π 6 c) 12π d) 18π e) 6π 6 17. Halle el perímetro de la región sombreada si el lado del cuadrado es 8

a) 10(3 + π +

3)

b) 10(1 + π +

c) 10(5 + π +

3)

d) 3(2 + π +

e) 6(5 + π +

620

b) 32π e) 16π

3)

3)

20. Calcule la longitud de la línea curva, formada por semicircunferencias que van desde A hasta B y que corte al segmento AB en los puntos mostrados

A

a) 24π d) 18π

3)

r1

r3

a)

AB π 2

b)

AB π 4

d)

AB π 3

e)

AB π 4

c) 12π

r4

r2

B

c) ABπ

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 21. Calcular el perímetro de la región sombreada. a) 2 2π + 8 2 − 8 b) 2 2π + c)

2−8 2

2π + 8 2 − 8

2π +

b) 4π e) 10π

2

2

2 −1

c) 6π

25. Hallar el perímetro de la región sombreada, sabiendo que el área del cuadrado ABCD es 64m

d) 2 2π + 2 2 − 2 e)

a) 2π d) 8π

B

C

A

D

22. En la figura, calcule el perímetro de la región sombreada, si el lado del hexágono regular mide 2.

a) 4π d) 8π

b) 3π e) 6π

c) 12π

a) 4 π(2 +

2)

b) 4 π(2 −

2)

c) 2 π(2 +

2)

d) 2 π(1 +

2)

e) 4 π(1 +

2)

26. Encontrar el perímetro de la región sombreada, si el lado del cuadrado mide 12m

23. Calcular el perímetro de la región sombreada. 2

2

2

2 2 b) 4π e) π

a) 2π d) 3π 24. Encontrar el sombreada.

2

perímetro

a) 4π d) 12π

c) 5π

de

la

región

b) 6π e) 16π

c) 8π

27. En la siguiente figura encontrar el perímetro de la región sombreada. a) 5(π + 2) b) 5(π − 2)

4

c) 10(π + 2) d) 10(π − 2) e) π + 2

10

4 Academia GAUUS

621

JOHN MAMANI M. 28. Calcular el perímetro de la siguiente región sombreada. a) 64 b) 8 (π + 2) 8 c) 8 (π − 2)

32. Halle el perímetro de la región sombreada. a) 68 + 20π b) 32 + 40π

4

c) 64 − 10π

6

16

d) 64 + 15π

d) 32 e) 16

8

e) 32 + 20π

29. Hallar el perímetro del área sombreada.

4

33. Calcular el perímetro de la siguiente región sombreada. a) 100π b) 10π

a) 8 (π + 2)

8 b) 8 (π + 1)

d) 32 π

e) 16 π

10

c) 20π d) 50π

c) 32

10

e) 25π

30. En la figura mostrada, calcular el perímetro de la región sombreada.

34. Calcular el perímetro de la región sombreada, si la figura es un cuadrado. a) 8 π + 16 b) 2π + 8 8

c) 4 π + 8

4

d) 4 π + 4 4

2 a) 16 π d) 10 π

b) 18 π e) 12 π

e) 4π

2 c) 8 π

35. Calcular el perímetro de la región sombreada, si la figura es un cuadrado.

31. Hallar el perímetro de la región sombreada si el lado del cuadrado es 8. a) 8 π + 8 + 8 2

d) π + e) 2 π

622

2

b) 4 π + 8 2 c) 4 π +

b) 8 π + 8 2 c) 8 π + 7 + 8 2

a) 4 π + 3 2

8

2

8

d) 3π + 5 2 e) 4 π + 4 2

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 36. Hallar el perímetro del área sombreada si el

40. Calcular el perímetro de la región sombreada,

lado del cuadrado es 8.

si la figura es un cuadrado.

a) 8 π + 8

a) 1 π

b) 8 π + 16

b) 2 π

8

c) 15π + 8

4

c) 3 π

d) 8 π

d) 5 π

e) 32

e) 4 π

37. Calcular el perímetro de la región sombreada,

4

4 4

si la figura es un cuadrado.

a) 8 π

a) 144 b) 18 π c) 72 π d) 144 π e) 18 π

4

c) 2 π d) 16 π e) 32 π

38. Hallar el perímetro de la región sombreada. a) 2π

4

41. Calcular el perímetro de la región sombreada,

si la figura es un cuadrado. b) 4 π

4

12

42. Calcule el perímetro de la región sombreada si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide π cm. C B

b) π 4

c) 4 π d) 6, 5π e) 3, 2π

4

a) 2π

39. Calcular el perímetro de la siguiente región sombreada

d)

π 2

2

A b) π e)

D

2

3π 2

c) 4π

2

2

43. Si el lado del cuadrado mide 6cm, hallar el perímetro de la región sombreada

a) 12π + 8 b) 8 π + 8

8

c) 4 π + 8 d) 16 π

8

e) 32π Academia GAUUS

623

JOHN MAMANI M. 7π 3 d) 7π a)

b) 14π

c)

14 π 3

a) 4π d) 12π

b) 6π e) 16π

c) 8π

e) 5π

44. En la figura "O" es el centro del cuadrante y OCB es el diámetro de la semicircunferencia, si OB = 12m , el perímetro de la región sombreada es:

A

O

47. En el gráfico, halle el perímetro de la región sombreada, si el lado del cuadrado es 6m.

D

a) 4π d) 7π

60º C

b) 25π e) 12π

c) 18π

B

a) 2 ( 4 π + 4 )

b) 2 ( π + 3 )

c) 2 ( 4 π + 8 )

d) 2 ( 3 + 4π )

48. Si el perímetro del cuadrado es 24m, hallar el perímetro de la región sombreada.

e) 2 ( 3 + 2π ) 45. En el gráfico, calcule el perímetro de la región sombreada, si el lado del cuadrado es 8m.

a) 2π d) 6π a) 12π d) 27π

b) 25π e) 16π

c) 18π

b) 3π e) 8π

c) 5π

49. El perímetro del cuadrado es 24cm. Hallar el perímetro de la región sombreada, si las curvas son cuadrantes.

46. En la figura, encontrar el perímetro de la región sombreada, si el lado del cuadrado mide 12m.

624

a) 6(π + 2)

b) 6π

d) 3π + 12

e) π + 2

c) 5 π + 24

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 50. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 2 2cm , halle el perímetro de la región sombreada. C B

el perímetro de la región sombreada. Si: AB , BC , CD , DE , EF y AF son diámetros.

C

B

D

A D

A a)

2 (5 π + 12) 3

b) 2 2(π + 2)

c)

2 (5 π + 10) 6

d)

e)

2 (5 π + 12) 6

2(2 π + 3)

a) 60 π d) 65π

E

F

b) 48 π e) 56 π

c) 68 π

54. Del gráfico, calcular el perímetro de la región sombreada

51. En el gráfico, el lado del cuadrado es 6cm. Determine el perímetro de la región sombreada.

a) π −

2+2

b) π −

2+4

c) π − 2 2 + 2

2

d) π − 2 2 + 4 e) π − 2 2 + 1

2

55. En la figura ABCD es un cuadrado de lado a) 12 + 7π d) 10 + 5π

b) 12 + 5π e) 12 + 4π

c) 6 + 7π

2 2cm , halle el perímetro de la región sombreada. C B

52. En el gráfico, halle el perímetro de la región sombreada, si el lado del cuadrado es 6m.

a) 2 π + 6 d) 3π + 12

b) 5 π + 12 e) 5 π + 6

c) 5 π + 2

53. En la figura A, B, C, D, E y F son vértices de un hexágono regular de 24cm de lado. Hallar Academia GAUUS

D

a)

A 2 (5 π + 12) 3

b) 2 2(π + 2)

c)

2 (5 π + 10) 6

d)

e)

2 (5 π + 12) 6

2(2 π + 3)

625

JOHN MAMANI M.

01. Determine el área de la región sombreada: 4

4

4

04. En la figura se muestra un cuadrado de 8 metros de lado. Halle el área de la región sombreada:

2

6 2

a) 66 d) 99

CEPREUNA–SOC–2015

b) 77 e) 55

c) 88

02. Determine el área de la región sombreada. 4

4

a) 29 d) 32

b) 30 e) 33

CEPREUNA–2011

c) 31

05. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 6m determine el area de la region sombreada.

4

B

C

2

6

a) 80 d) 72

UNAP–SOC–2015

b) 88 e) 90

c) 96

03. Halle el área de la región sombreada, si las circunferencia son concéntricas: Si AB = 10m

D

A

2

a) 16 d) 20

b) 14 e) 12

CEPREUNA–SOC–2014

c) 18

06. Halle el área de la región sombreada si el lado del cuadrado mide 6 metros.

A

B

UNAP–BIO–2015

a) 25 π m

2

d) 75 π m

2

626

b) 45 π m

2

e) 100 π m

2

c) 55 π m

2

a) 15 d) 14

b) 16 e) 20

CEPREUNA–SOC–2015

c) 25

07. Halle el área de la región sombreada, si ABCD un cuadrado de lado “L” Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. B

C

A

D

10. Determine el área de la región sombreada, si la figura es un cuadrado perfecto de lado “a”

UNAP–ING–2015

a)

2

L 6

b)

2

2

L 12

c)

2

UNAP–BIO–2015

L 3

2

L d) 4

L e) 5

08. Si ABCD es un cuadrado, cuyo lado mide 4u y CED es un triángulo equilátero, calcule el área de la región sombreada.

C

B

2

a)

4a 13

d)

2a 5

2

b)

3a 8

e)

3a 7

2

2

a 2

c)

2

11. Hallar el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD mide “a” D

C

A

B

E

A

D UNAP–BIO–2014

a) 4 + 2 5

b) 8 + 2 5

c) 8 + 2 3

d) 10 + 2 3

e) 8 + 2 3

UNAP–2001

a) π d) a

a

2

2 2

2 2

b) π e)

2

a 4

c)

2

a 5

2

a 2

09. Hallar el área de la región sombreado. 12. Calcular el área sombreada, si la figura es un cuadrado.

2

2

2m

2

a) 8 − π d) π + 2

2

b) 6 − π e) 10 − 3π

UNAP–SOC–EXT–2015

c) π − 2

8m UNAP–ING–2014

Academia GAUUS

627

JOHN MAMANI M. a) 36 d) 24

b) 18 e) 32

16. Hallar el área de la región sombreada.

c) 64

13. Calcular el área de la región sombreada.

2 3

θ θ θ 2 3 UNAP–2002

a) π

2m a) 8 d) 2

b) 16 e) 32

UNAP–SOC–2014

c) 4

c) 2 π −

b) π − 2

d) π −

3

e) 2π

3

17. Hallar el área de la región sombreada, sí

14. Si AB mide 6m todos los radios son iguales. Calcular el área sombreado.

AE = ED .

B

C

2

A

A

B

a) 8 d) 6

b) 6,5 e) 9

c) 5

UNAP–2004

15. Hallar el área de la región sombreada.

D

E

UNAP–EXT–2007

a) 12 d) 6

b) 4 e) 8

c) 5

18. Calcular el área sombreado.

6

6

6 30º 30º 30º

a

a

6

UNAP–EXT–2010 UNAP–SOC–2008/2012

a) 30π d) 15π

628

b) 18π e) 20π

c) 25π

a)

2a

d) 2a

2

2

b) a

2

e) 3a

c) 4a

2

2

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 19. Hallar el área de la región sombreada:

8

22. Hallar el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado y el radio del círculo es “R”, M, N, P y Q son los puntos medios del cuadrado. B M

8

A

UNAP–EXT–2001/2012

a) 32 d) 20

b) 18 e) 22

C

c) 16

, 20. Si M, N, P, y Q son puntos medios y MN  , PQ  y QM  son arcos de circunferencia. NP Calcular el área de la región sombreada. N

Q D UNAP–2007

a) 2R

b) 2R

d) R

e) 5R

P

a

Q a a) a /4 2

d) 5a /8

b) 3a /4

a) πa

2

c) a /2

2

e) 2a /5

21. Calcule el lado del cuadrado si el área de la 2

región sombreada es de 4m .

d)

2

3 2 πa 4

b) 5 e) 1

Academia GAUUS

2

2

a

a

a

c) 3

3 2 b) πa 2 2 2 e) πa 5

2 2 c) πa 3

24. Hallar el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD mide 4; M y N son puntos medios de los lados y O centro del cuadrado. D C

A

CEPREUNA–2007

a) 4 d) 2

c) R

UNAP–1999 CEPREUNA–2004

2

2

23. En la figura, hallar el área sombreado

aM

2

N

a) 4 − π d) 8 − π

B b) 6 − π e) 2 + π

UNAP–2001

c) 4 + π

629

JOHN MAMANI M. 25. Hallar el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado es “a”

2

2

2

2

a) a (8 − π) b) a (π − 8)

c) a(π − 1)

d) a (5 − π) e) a (5 + π) 28. En la siguiente figura; ABCD es un rectángulo. Calcular el área de la región sombreada. y

UNAP–2003

3 π  a) a  −   8 16 

π 8 b) a  −   8 3

π  28 c) a  −   3 16 

3 2 π −  d) a   16 8 

2

2

3  2π e) a  −   8 16  26. En la figura adjunta calcular el área de la figura sombreada.

x

(–4;0) a) 8(2 − π) d) 6(4 − π)

UNAP–EXT–2000

b) 2(2 − π) e) 4(2 − π)

c) 12(4 − π)

29. En el cuadrado ABCD de lado “a”, calcular el área sombreado. C

D

1u 12u

UNAP–EXT–2008

UNAP–2006

a) 44 d) 42

b) 38 e) 46

c) 40

27. Si ABCD es un cuadrado de lado 3a, y los puntos ubicados en los lados del cuadrado trisecan a estos. Calcule el área de la superficie sombreada. B

B

A

20u

C

2

a)

a 2 (1 − π) b) a (4 − π) 2

d)

a a (4 − π) e) (2 − π) 4 4

2

2

30. Calcule el área de la región sombreada. Si A, B y C son puntos medios. A

B

8 A

D UNAP–ING–2011

2

c) a (2 − π)

C 20 UNAP–EXT–2011

630

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. a) 60 d) 80

b) 84 e) 85

c) 72

31. Calcular el área de la región sombreada si:

OM = AM = 2 3 B

a) 4(6 − π) d) 4(4 − π)

b) 2(2 − π) e) 4(3 − π)

c) 2(4 − π)

34. Hallar el área de la región sombreada:

N r

O

A

M

CEPREUNA–BIO–2011 CEPREUNA–2004

a) 6 π − 5 3 b) 3π −

3

d) 5 π − 6 3 e) 5 π −

2

c) 144π

32. Calcular el área de la región sombreada si ABCD es un cuadrado. Cuyo lado mide 12m. B C

2

b) r (2 − π) c) r (π − 2)

2

e) πr (4 π − 1)

a) πr − 2r d) πr + 2r

2

2

2

35. ABCD es un cuadrado de lado “a” y “O” es el centro del cuadrado. ¿Cuál es el área de la región sombreada? A

C O

A

D

E

CEPREUNA–BIO–2014

a) 3(4 π −

3)

c) 3(5 π − 8 3)

b) 3(5 π −

3)

d) 3(5 π − 2 3)

e) 3(5 π − 6 3) 33. En la figura AB = CD = 4m ; ambas rectas son tangentes a la circunferencias. Halle el área de la región sombreada. A B

C

D CEPREUNA–2005

Academia GAUUS

D CEPREUNA–ING–2012

2

a) a /4 2

d) πa /4

2

b) πa /2 e) πa

2

c) a /2

2

36. En un círculo de 1m de radio, se trazan dos diámetros perpendiculares. Tomando como diámetro los radios, se construyen cuatro círculos. El área de la región sombreada es:

a) 2 π − 5 d) 2 π − 7

CEPREUNA–BIO–2013

b) 2π e) π − 3

c) π − 2

631

JOHN MAMANI M. 37. Hallar el área de la región sombreada 6

40. Halle el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 4cm B

C

A

D

4

2 CEPREUNA–SOC–2012

a) 32 d) 30

b) 35 e) 20

c) 25

UNAP–ING–2012

a) 2(1 + π)

b) π + 4

d) 2(π + 4)

e) 2(π + 2)

c) 2 + π

38. Halle el área de la región sombreada. 41. Hallar el área sombreada.

3

4

5 UNAP–2002

a) 16π

b) 32π

d) 50π

e) 20π

4

c) 40π

39. Hallar el área sombreada señalado en el cuadrado ABCD, de lado L. D

C

UNAP–SOC–2000/2012/2014

a) 2(π − 2)

b) 4(π + 2)

d) 4(π − 2)

e) 2(π + 2)

c) 4 π − 4

42. Hallar el área de la región sombreada, si los vértices del cuadrado ABCD son centros de los cuartos de circunferencia de igual radio. A

A

B

4

B UNAP–2000

a)

2

2

2

2

L L (2 π − 1) b) π 2 8

L L d) (π − 2) e) (2 π) 4 3

632

c)

2

D

L (π + 2) 16

C UNAP–2001

a) 8(π − 2)

b) 4(π − 2)

c) 2(π − 2)

d) π − 2

e) 12(π − 2)

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 43. Hallar el area de la región sombreada.

46. Halle el área de la región sombreada

4

4

4

4 UNAP–2005

a) 5(2 − π) d)

b) 8(π − 2)

4 (π − 2) 5

e)

c) (π − 4)

π 3

a) 2 π − 1

b) π − 2

d) 4(π − 2)

e) π − 1

UNAP–SOC–2012

c) 2(π − 2)

47. Halle el área de la región sombreada

44. Hallar el area sombreada.

6m

a

6m

a UNAP–2007

2

a 2 a) (π − 2) b) a (π − 3) 2 2

d) a (π − 2)

2

a c) (π − 2) 4

e) π − 3

UNAP–ING–2012

a) 36(4 + π) b) 18(4 − π)

c) 36(4 − π)

d) 72(4 − π) e) 62(4 − π) 48. Hallar el área de la región sombreado. m

45. Calcule el área de la región sombreada

4 m

4

CEPREUNA–ING–2013 UNAP–ING–2012

a) 3(2 π − 1) d) π − 4

b) 2(π − 4) e) 4(π − 2)

Academia GAUUS

c) 6(π − 2)

2

a) m −

π 4

b)

πm 4

2

 π−2 c)  m  2 

2  π−2 2 d) m (2 − π) e) m    4 

633

JOHN MAMANI M. 49. Halle el área de la región sombreada

r

52. En la figura mostrada; ADCB, CDEF, FEHG y CFJI son cuadrados de igual área. Calcular que parte del área total es el área de la región sombreada. I J

r

B

CEPREUNA–SOC–2013

2

a) π − 1

b) r (π − 2)

d) 2(π − 2)

e)

c)

2

C

G

F

r (π − 2) 4

A

2

r (π − 2) 2

50. Si M y N son puntos medios de los lados del cuadrado, halle la razón del área de la región no sombreada y el área de la región sombrada.

a) 4/3 d) 3/4

D

H

E

UNAP–2000

b) 1/2 e) 17/40

c) 17/37

53. ¿Qué fracción representa el área de la región sombreada respecto del área de la región no sombreada, si M, N, P y Q son puntos medios? M

N Q

N M a) 7/8 d) 2/5

UNAP–EXT–2012

b) 3/8 e) 5/3

c) 1/8

P UNAP–2009

51. En la figura ABCD y PQRC son cuadrados; siendo “P” un punto medio del lado BC, calcular la relación del área de la región sombreada respecto al área de la región no sombreada. A B P

D a) 3/2 d) 5/12

634

b) 1/3 e) 4

c) 1/2

54. La relación entre el área sombreada y el área del trapecio es: a

Q 2a

R

C b) 2/3 e) 5/6

a) 1/4 d) 4/5

c) 5/7

UNAP–1999

a) 1/2 d) 2/5

b) 1/4 e) 5/3

UNAP–ING–2013

c) 1/3

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 55. ¿Qué parte del área total representa el área de la zona sombreada?

 2  c) 36 π  1 −  2    2  e) 6 π  1 −  2  

2

 2  d) 54 π  1 −  2  

2

2

58. Calcular el área del círculo máximo inscrito 2 a) 4/5 d) 2/5

UNAP–EXT–2012

b) 3/2 e) 8/5

c) 3/8

2

56. Hallar el valor del área sombreada en la siguiente figura, si se sabe que ABCD es un cuadrado de lado 4m. B C

A a) 32 + 9π d) 16 − 9π

D b) 32 − 9π e) 16 + 9π

UNAP–1998

c) 30 + 8π

UNAP–2003

a) 2 π(3 − 2 2)

b) 5 π(3 −

2)

c) π(3 − 2 2) e) 2π

d) 3π(3 −

2)

59. De la figura mostrada T es un punto de tangencia, calcule la razón de las áreas de los semicírculos mayor y menor. B

57. Hallar el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado inscrito, M es el punto medio del lado del cuadrado. B

C

M

A a) 9/4 d) 7/3

12

A

T O UNAP–BIO–2012

b) 25/16 e) 7/4

c) 16/9

60. Hallar el área de la región sombreada:

D UNAP–2003

 2  a) 12 π  1 −  2  

2

 2  b) 18 π  1 −  2  

2

3

3

3

3 UNAP–EXT–2002/2010

Academia GAUUS

635

JOHN MAMANI M. a) 3π d) 11π

b) 5π e) 9π

c) 7π

a) 36π d) 81π

61. En la figura P, Q y O son centros de los semicírculos. Si el rectángulo ABCD tiene perímetro 24cm el área de la región sombreada será de: B

Q

P

b) 25π e) 64π

c) 100π

64. Halle el área del círculo sombreado. 1 1 1

C 1 CEPREUNA–BIO–2013

O

A

b) 4 − 8π e) 32 − 9π

a) 8 − 4π d) 8 − 9π

D UNAP–BIO–2012

c) 9 − 8π

a) π(3 − 2 2)

b) π(2 +

2)

c) π(3 − 4 2)

d) π(2 −

2)

e) π(3 + 2 2) 65. Halle el área del círculo sombreado.

4

62. Halle el área sombreada, si el área del cuadrado es 36m

2

4

CEPREUNA–200/2009

a) 36 π( 2 − 1) c) 6 π( 3 − 1)

4

e) 6 π( 2 − 1)

4

b) 24 π( 2 − π) d) 18( 3 − 1)

3

2

2

63. Calcular el área sombreada en la siguiente figura.

a) π d) 2 π / 5

b) π / 2 e) π / 3

CEPREUNA–ING–2013

c) 2 π / 3

66. Calcule el área de la región sombreada. 36

36

CEPREUNA–ING–2013

30

30

a) 16π d) 64π

b) 36π e) 9π

c) 81π

CEPREUNA–ING–2011

636

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 67. Calcule el área sombreada, si ABCD es un cuadrado. 2

A

B

70. Calcular el área de la región cuadra sombreada, que se encuentra superpuesta entre dos sectores circulares como se muestra en la figura. 10

10

5

D

E

a) 36 d) 40

CEPREUNA–SOC–2013

b) 50 e) 20

c) 64

68. En el siguiente cuadrado, hallar el área de la región sombreada.

a) 12 d) 48

b) 36 e) 32

c) 24

UNAP–2006

71. Hallar el área de la región sombreada sabiendo que O es el centro de circulo mayor además MP = 4 y NQ = 6 P

2

2

M A

O

Q

N

CEPREUNA–2007

25 a) π 16

81 b) π 16 49 e) π 36

d) 64π

c)

49 π 9

UNAP–2000

a) 39π d) 36π

69. Calcule el área de la región limitada por el rectángulo inscrito en la circunferencia, si las flechas PQ y RS miden 1cm y 2cm, Respectivamente.

b) 29π e) 37π

c) 49π

72. Calcule el área de la región sombreada, si el área de la región triangular ABC es 120m

2

B

R S P

Q

A

C

7

5

CEPREUNA–2011

a) 48 d) 54

b) 49 e) 52

Academia GAUUS

CEPREUNA–ING–2014

c) 50

a) 50m

2

b) 70m

2

d) 30m

2

e) 60m

2

c) 30m

2

637

JOHN MAMANI M. 73. Hallar el área de la región sombreada. a

76. En el cuadrado ABCD, si W = 2m Halle “X” A

2

B W

a X UNAP–EXT–2003

2

2

a) a /15

b) a /12

2

e) a /18

2

d) a /4

2

área de la región ABC es 30u ; AP = 2BP y

UNAP–EXT–2006

b) 8 e) 12

c) 10

77. Halle el área de la región sombreada. a

B

P

a

M Q

A

N CEPREUNA–BIO–2013

C UNAP–EXT–2005

a) 3,2 d) 3

C

a) 6 d) 11

74. Hallar el área de la región sombreada, si el BM = MN = NC .

D

2

c) a /6

b) 2 e) 1,5

a)

1 2 a 10

b)

1 2 a 3

d)

1 2 a 4

e)

1 2 a 12

c) 2,5

75. ¿Qué tanto por ciento representa la parte sombreada del hexágono regular?

1 2 a 14

c)

78. Calcule el área de la región sombreada, si ABC es un triángulo equilátero de lado 3.

A

C

B a) 25%

 b) 33, 3%

d) 31,2%

e) 30%

638

CEPREUNA–2011

CEPREUNA–2007

c) 37% a)

3

b) 3 3

d)

3 /5

e) 7 3 / 4

c) 1 +

3

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 79. Hallar el área de la región sombreada. 6

2

82. Si el área del cuadrado ABCD mide 40m , y PQRS son los puntos medios de los lados. ¿Cuál será el área de figura sombreada? Q C B

6

P

R

CEPREUNA–SOC–2013

a) 3 d) 2

b) 4 e) 5

c) 6

A

80. En la figura adjunta es un paralelogramo de 2

vértices ABCD cuya área mide 208m , halle el área de la región sombreada, si R y S son puntos medios de los lados S B C

D

S

a) 25 d) 15

b) 20 e) 10

c) 12

UNAP–2003

83. El área de la región paralelogramo ABCD es 2

24u . Halle el área sombreado. D

C

R A

A

D UNAP–BIO–2011

a) 13m

2

b) 26m

2

2

e) 30m

2

d) 52m

c) 104m

2

B

a) 8 d) 12

UNAP–EXT–2009

b) 9 e) 10

c) 14

84. En la figura adjunta, el radio del círculo es R. Calcular el área de la región sombreada.

81. ¿Qué porcentaje representa el área no sombreado? Q

B

C

A

S

D UNAP–SOC–2011

a) 50% d) 10,4%

UNAP–1997

R

P

b) 25% e) 50,75%

Academia GAUUS

c) 75%

2

a)

R (4 π − 3 3) 3

c)

R (4 π + 3 3) 2

2

2

e) 2R (4 π −

b)

2

R (3 3 − 4 π) 3

d) R

2

3(4 π − 6)

3)

639

JOHN MAMANI M. 85. Hallar el área de la región sombreada, sabiendo que: AB = 20m

además AB es diámetro, O1 y O 2 son centros. Entonces, el área S es:

A

S2 O2

B

S

A a) 80π d) 120π

b) 90π e) 100π

S1

c) 110π

86. En el rectángulo PQRS, PS=6 y PT=2, el área de la región sombreada es igual a: P

T

Q

B

O1

UNAP–1999

a) 20 d) 6

UNAP–2010/2011

b) 12 e) 10

c) 8

89. El área de las regiones sombreadas es igual a: 2L L

L L

2L

L/2

L

L L

L/2

a) 47 d) 57

b) 54 e) 52

UNAP–2002

c) 50

87. Calcular el área de la corona circular sombreado, formado por círculos inscrito y circunscrito a un cuadrado cuya área es “S”.

L

L L

L/2

UNAP–SOC–2012

R

S

L/2

2

a) L

2

3  b) L  6 +   4  

3 2 + 4L 4

3 2  d) L  1, 5 +  4  

3 2  c) L  8 +  4   3 2  e) L  4 +  4  

90. Si el lado del cuadrado es de 2 3 , hallar el valor de la región sombreada. a a a

3a

UNAP–2004

a) Sπ / 4 d) 2Sπ

b) Sπ / 2 e) 4Sπ

a

88. En la figura, las áreas de las regiones 2 sombreadas son: S 2 = 20u y

640

3a

c) Sπ

S1 = 12u 2 ;

a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

a

a UNAP–ING–2003/2012

c) 5

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 91. Hallar el área de la región sombreada de la siguiente figura, sabiendo que el triángulo ABC es equilátero y su lado mide 12cm. Además M, N, y P son puntos medios de los lados del triángulo.

94. ABCD es un paralelogramo, P y Q son puntos medios. Calcule el área sombreado si: AB = 10 y DH = 4 P D C

B

M

Q A

N

A

P

a) 10 d) 40

C UNAP–ING–2012

a) 3(12 3 − 2π)

b) 3(12 3 − π)

c) 3(2 3 − 2π)

d) 3(3 3 − π)

B

H

UNAP–BIO–2013

b) 20 e) 50

c) 30

95. Hallar el área de la región sombreada, si M y N son puntos medios. M

e) 3(2 3 − π) N

2 2

2

92. El área de la sala es de 27m ; el área de la 2

oficina es de 12m . Si todas las habitaciones son cuadradas. ¿Cuál es el área del salón de actos? Oficina Salón de actos

Sala

2 2

a) 2 d) 3,5

b) 3 e) 4

c) 2,5

UNAP–2002

96. Halle el área de la región del trapecio ABCD, 2

si el área del triángulo ABH = 8m , además a) 64 d) 84

b) 75 e) 40

UNAP–BIO–2013

c) 54

93. El área de la región sombreada es igual a 15 veces el área de la región no sombrada y la suma de los perímetros de ambos cuadrados es 40m. Encuentre el área de la región no sombreada.

CD × AH = 24m A

D a) 20 d) 32

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

Academia GAUUS

2

B

H b) 16 e) 30

C UNAP–SOC–2000/2013

c) 24

UNAP–SOC–2005/2013

c) 3

641

JOHN MAMANI M. 97. Se sabe que ABC y CDE son 2 triángulos equiláteros de lados a y 2a. Calcule el área de la región sombreada. B

D

A

2a

b) 2π e) 9π

c) 8π

100. Se sabe que ABC y CDE son dos triángulos equiláteros de lados 4 y 8. Calcule el área de la región sombreada. B

D

E

a

C

a) 4π d) 6π

UNAP–EXT–2006

a) a d)

2

a

b)

2

2

2

a

2

2

e) a

3

2

2

c)

a

2

3

A

2

E

C

UNAP–EXT–2013

3

98. Halle el área de la región sombreada.

a) 16 3

b) 8

c) 8 3

d) 16

e) 4 3

101. En la figura mostrada, A, B, C, D, E y F son puntos medios de las aristas del cubo cuyo 3

volumen es 64 cm . Calcule el área de la región sombreada.

2 7 2 a) π( 2 + 5)

2

c) π( 2 − 5)

2

e) π(2 −

2

5)

C B

UNAP–EXT–2011

b) π(4 2 + 5) d) π(4 2 − 5)

2

2

D A

99. Halle el área de la región sombreada. E F UNAP–EXT–2013

12

a) 24 3

b) 12 3

d) 16 3

e) 6 3

c) 8 3

102. Si la región sombreada es un triángulo 2

rectángulo de 50m de área, encuentre el área del cuadrado ABCD, Además M es el punto medio del lado BC.

5 UNAP–EXT–2014

642

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. A

3b

B a M

D

a b

C

b

b

CEPREUNA–2009

a) 250 d) 220

b) 180 e) 160

c) 200

CEPREUNA–ING–2013

a) 8 d) 12

103. En la figura mostrada, calcule el área de la región sombreada.

b) 10 e) 6

106. En la figura, se tiene un rectángulo ABCD, AB= 5 y BF= 1, el área de la región sombreada es igual a: F

B

8

C

6 10

D

A CEPREUNA–SOC–2013

a) 100 d) 118

c) 4

b) 105 e) 98

c) 108

CEPREUNA–ING–2013

a) 66 d) 65

104. Determine el área de la región sombreada de la siguiente figura

10 5

b) 60 e) 70

107. Si ABCD es un cuadrado con lado 8m y las cuatro semicircunferencias tangentes tienen la misma longitud, halle el área de la sección sombreada. B

6

c) 64

C

5 10 CEPREUNA–BIO–2012

a) 25 d) 10

b) 5 e) 20

c) 15

105. Halle el área de la región sombreada, si el 2

área del paralelogramo es 12m .

Academia GAUUS

A

D CEPREUNA–ING–2014

a) 16(4 + π)

b) 4(4 + π)

c) 8(4 − π)

d) 16(4 − π)

e) 4(4 − π)

643

JOHN MAMANI M.

Análisis Combinatorio CAPÍTULO XXII FACTORIALES n = n ! = 1 × 2 × 3 (n − 1)n

; n∈ 

+

Propiedades: 1. Por convención: 0!= 1! = 1 2. n ! = n(n − 1)(n − 2)! 3. n !! = 2 × 4 × 6 ×  × n ; n es par 4. n !! = 1 × 3 × 5 ×  × n ; n es impar

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

PERMUTACIONES CIRCULARES: Es aquella permutación donde los elementos se ordenan formando una línea cerrada o cuando se ordenan alrededor de un objeto circular. Pc (n) = (n − 1)! PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN Se van a ordenar n elementos, de los cuales hay algunos que se repiten: n! n P k ,k ,k = 1 2 3 k 1 ! × k 2 ! × k 3 ! ......k n !

PRINCIPIOS ADICIÓN

MULTIPLICACIÓN

No simultáneamente (ó)

Simultáneamente (y)

PERMUTACIÓN Y COMBINACIÓN TÉCNICAS PERMUTACIÓN

COMBINACIÓN

Si importa el orden como se toman los elementos.

No importa el orden como se toman los elementos.

Donde:  n : número total de elementos  k 1 , k 2 , k 3 ,…,k n : número de elementos repetidos de cada clase.  k 1 + k 2 + k 3 + ……… + kn ≤ N COMBINACIONES: Son los diferentes agrupamientos que se obtienen con n elementos tomados de k en k. En una combinación no importa el orden como se toman los elementos.

= Cn k

n! ;0 ≤ k ≤ n k !(n − k ) !

Propiedades

PERMUTACIONES: Las permutaciones de “n” elementos tomados de r en r se pueden calcular así: n

Pr = n(n − 1)(n − 2)   

1≤ r ≤ n

" r " factores

PERMUTACIONES LINEALES: Cuando se ordenan los distintos elementos de un conjunto en una fila.

n 1 n  C =1 n n C + Cn = C n +1 k −1 k k n n n  C + C + C ++ 1 2 3

 C =n

C n = 2n − 1 n

Pn = n !

644

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. FACTORIALES Donde: x !− 24 = 0 x! = 4! x=4

PROBLEMA 01 Calcular: “R” 11!+ 10! 12!+ 11!+ 10! b) 1/12 e) 1/34

R=

a) 1/7 d) 1/16

c) 1/13

PROBLEMA 03 Hallar “x” en:

( x + 9 ) !( x + 7 ) ! = 14 ! ( x + 8 ) !+ ( x + 7 ) !

Resolución R=

R=

11 × 10!+ 10! 12 × 11 × 10!+ 11 × 10!+ 10!

a) 1 d) 4

10! ( 11 + 1 )

b) 2 e) 5

10! ( 132 + 11 + 1 )

Resolución Factorizando el denominador. ( x + 9 ) !( x + 7 ) ! = 14 ! ( x + 8 ) ( x + 7 ) !+ ( x + 7 ) !

12 R= 144 1 R= 12

( x + 9 ) !( x + 7 ) ! = 14 ! ( x + 7 ) !  ( x + 8 ) + 1 ( x + 9)!

PROBLEMA 02 Hallar “x”

c) 6

x+9 ( x + 9)( x + 8)!

20 ( x !− 6 = ) x ! ( x !+ 1 )

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

20 x !+ 120=

= 14 !

= 14 !

( x + 9) 14 ! ( x + 8)! =

c) 3

14 x+8= x=6

Resolución ( x !) 2 + x ! 2

0 =( x ! ) − 19 ( x ! ) − 120 0 =− ( x ! 24 ) ( x !+ 5 )

¡Comprueba lo que sabes! 01. Calcular:

a) 1 d) 121

02. Calcular: 80! 40! + 79! 39! b) 120 c) 119 e) 122

Academia GAUUS

M=

a) 55 d) 88

b) 66 e) 99

78! 76! + 77!

c) 77

645

JOHN MAMANI M. 03. Hallar: E=

a) 5 d) 8

5! + 6! + 7! 5! + 6!

b) 6 e) 9

c) 7

04. Reducir: F=

a) 1/17 d) 1/3

15! + 16! 15! + 16! + 17!

b) 1/15 e) 1/2

c) 1/16

05. Calcular: F=

a) 121/120 d) 121/12

10! + 9!+ 11! 10! + 11!

b) 12/125 e) 12/221

c) 1/120

06. Calcular: P=

a) 12 d) 15 07. Reducir:

b) 13 e) 10

= E

a) 100 d) 98

13! + 12!+ 14 ! 12! + 13!

a) 22 d) 25

12! 14 ! + 11!+ 10! 13! + 12!

b) 23 e) 26

c) 24

09. Calcular:  9!+ 8!   10!+ 9!      8!   9! 

646

c) 130

10. Simplificar: 83! 40!+ 41! × 81!+ 82! 42! b) 5 c) 3 e) 4

a) 1 d) 2 11. Simplificar:

 41!   19!+ 20!      40!+ 39!   21! 

a) 1 d) 4

b) 2 e) 6

c) 3

12. Calcular: 124 !  40!+ 41!        42!   123!+ 122! 

a) 1 d) 4 13. Reducir:

b) 2 e) 6 S=

a) 1 d) 1/4

b) 2 e) 6

c) 3

9!× 17! 8!× 18! c) 1/2

14. Halle:

c) 108

08. Calcular: E =

b) 120 e) 12

c) 14

10! 100! + 9!+ 8! 99! + 98!

b) 99 e) 81

a) 110 d) 10

 4 ! × 15!  B=   7! × 13! 

a) 1 d) 32

b) 64 e) 128

3!

c) 16

15. Simplifique: 2

a) 3700 d) 3600

(6!) 4 !+ 5! b) 3500 c) 3400 e) 3800

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 16. Calcule: ((3!)!)!+ 719! 359 = E + 721! (3!)!

a) 1/2 d) 1/3

b) 1/6 e) 1/5

c) 1/4

17. Halle la suma de cifras de (2x)! Si ( x + 1)! = 24 a) 7 d) 3

b) 2 e) 11

b) 4 e) 8

c) 5

20. Hallar “n” si: [(n! + 2)! – 4]! = 20! a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 21. Calcular la suma de los valores que toma “x” en: (x – 5)! = 1 a) 5 b) 6 c) 7 d) 10 e) 11 22. Calcular el valor de “n” en: (4n – 6)! = 1 a) 7/4 b) 3/2 c) 1/4 d) a y b e) a o b

a) 6 d) 8

(x + 3)! = 56 (x + 1)!

b) 7 e) 5

Academia GAUUS

b) 7 e) 10

c) 8

25. Resolver: ( x + 2)! ( x − 5)! + = 28 x! ( x − 7)!

a) 6 d) 8

19. Hallar “x” en la expresión (2 x − 3)! = 120

23. Calcular "x" si:

a) 6 d) 9

c) 9

18. Calcular el valor de “n”: (n – 10)! = 120 a) 1 b) 2 c) 10 d) 14 e) 15

a) 3 d) 6

24. Resolver “x” en: (x + 5)! = 156 (x + 3)!

b) 7 e) 5

c) 4

26. Hallar “n” (n + 1)! 8! 18! + = n! 7!+ 6! 17! ⋅ 16!

a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

c) 8

27. Calcule: E =

((3!)!)!+ 719! 359 + 721! (3!)!

a) 1/2 d) 1/3

b) 1/6 e) 1/5

c) 1/4

28. Calcular:

a) 1 d) 1/7

(7!!− 1)! (7!− 1)! (7 − 1)! 7!!! b) 7! c) 1/7! e) 49

29. Reduzca: ( x + 1)!+ x ! −x+2 ( x − 1)!+ ( x − 2)!

a) x

b) − x

d) 1

2

e) x

c) 0

c) 4

647

JOHN MAMANI M. 30. Reduzca la siguiente expresión R = 3 × 6 × 9 × 12 × 15 ×  × 3n n

a) 3 × n ! d) 3

2n

× n!

b) n × 3

n

2

37. Halla “n” en:

e) 3 × n !

n

32. Encuentre la suma: 0! 1! 2! 3! + + + +  (n sumandos) 2! 3! 4 ! 5! n n+4

b)

n n+1

d)

n n−1

e)

n n+3

2 c− 8

33. Si: 3 = 3(4 !) + 3 Halle: 2 c − 2 a) 14 b) 15 d) 20 e) 18

a) 4 d) 8

c)

n n+2

2

c) 16

c) 16

38. Hallar el valor de “a” en la siguiente igualdad: a !(a !− 3)= 18(a !+ 4) b) 2 e) 6

c) 4

39. Hallar “n”: 22(n !+ 1) 1 + n !− 5 n !− 5 b) 6 c) 4 e) 2

= n !+ 5

a) 3 d) 8

40. Calcule “x” en: x ( x − 1)!( x !− 21) = 1 + 2! 4! a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6

n

(n + 2)! (n − 5)! 28 − = n! (n − 7)!

b) 10 e) 12

c) 16

35. Hallar “n” (n − 5)!(n − 6)! 2 = 720(n − 12n + 35) (n − 5)!− (n − 6)! a) 22 d) 18

n !+ 6 1 = n !(n !+ 1) 20

41. Simplificar:

34. Resolver:

a) 4 d) 8

c) 5

b) 10 e) 12

a) 5 d) 3

e) 2 × n !

a)

b) 4 e) 8

c) 3!× n !

n!

31. En forma reducida, ¿Cómo se podría escribir la expresión? E = 2 × 4 × 6 × 8 × 10 ×  × 2n b) n × n !(2) c) n × n ! a) 2 × n ! d) n × n !

a) 3 d) 6

b) 14 e) 20

c) 16

36. Hallar “n”

n !+ 1

(n + 1)!

(n − 1)!

n!

n(n !)

n ! (n − 1)!

a) n! d) 1/n

b) n+1 e) n2

c) n

42. Si: a + b = 5! ; además: a b c d = = = = k 5! 6! 7! 8!

Hallar: d − c a) 6! b) 0 d) 7! e) 5!

c) 1

20(n !+ 6)= n !(n !+ 1)

648

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

Resolución

PROBLEMA 01 Una persona puede viajar de “A” a “B” por vía aérea o por vía terrestre y tienen a su disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas terrestres, ¿De cuántas maneras distintas pueden realizar el viaje? a) 7 b) 12 c) 10 d) 13 e) 24

Los resultados del dado en nada afectan a los resultados de la moneda. Entonces los eventos no ocurren simultáneamente. Nº de resultados = 2 + 6 = 8

Resolución

Una persona puede viajar de “A” a “B” de 3 formas y de “B” a “C” de 2 formas, ¿De cuántas maneras distintas puede ir de “A” a “C” pasando por “B” y sin retroceder? a) 7 b) 12 c) 10 d) 12 e) 6

PROBLEMA 03 Si viaja por vía terrestre ya no viaja por vía aérea. Entonces los eventos no ocurren simultáneamente. Nº de maneras = 2 + 5 = 7

Resolución

PROBLEMA 02 ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar un dado o una moneda? a) 2 b) 12 c) 8 d) 13 e) 6

Para ir de “A” a “C”, debe tomar uno de los caminos de “A” a “B”, y seguidamente debe tomar uno de los caminos de “B” a “C”. Nº de maneras = 3 x 2 = 6

¡Comprueba lo que sabes! 01. Fausto desea viajar hoy de Lima a Piura y tiene a su disposición 3 líneas aéreas y 2 líneas terrestres. ¿De cuantas maneras diferentes puede realizar el viaje? a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 7 02. Rosita para ir a de su casa al colegio lo hace tomando un solo microbús. Si por su casa pasan 3 líneas de transporte que la llevan al colegio, ¿de cuantas maneras diferentes, según el microbús que tome, llegara Rosita al colegio?(Se sabe que la línea A tiene 3 microbuses, la línea B tiene 4 microbuses y la línea C tiene 8 microbuses) a) 11 b) 12 c) 15 d) 14 e) 16 Academia GAUUS

03. ¿Cuántas parejas de baile diferentes pueden formarse con 4 niños y 2 niñas? a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e) 5 04. Rosa posee 3 blusas, 2 pantalones y 4 pares de zapatos, todos diferentes. ¿De cuantas maneras distintas puede vestirse utilizando las prendas mencionadas? a) 20 b) 24 c) 28 d) 21 e) 22 05. Para comprar un libro de Razonamiento Matemático Valery tiene tres lugares distintos para hacerlo: frente a su colegio donde hay 2 librerías, en la Av. Canadá donde hay 3 librerías y en una feria de libros escolar donde

649

JOHN MAMANI M. hay 4 puestos. ¿De cuantas maneras diferentes puede obtener el libro de razonamiento matemático? a) 12 b) 8 c) 14 d) 10 e) 9 06. Para ir de Lima a Ica hay 3 líneas de transporte diferentes, para ir de Ica a Arequipa hay 4 líneas de transporte y para llegar de Arequipa a Tacna hay 2 líneas de transporte. ¿De cuantas maneras diferentes puede ir una persona de Lima a Tacna pasando por Ica y Arequipa? a) 24 b) 28 c) 30 d) 21 e) 27 07. Carlos lleva al cine a María y a sus tres hermanos y encuentra 5 asientos libres en una fila. ¿De cuantas maneras diferentes podrán sentarse? a) 124 b) 132 c) 120 d) 122 e) 100 08. Cuatro viajeros llegan a una ciudad que tiene 7 hoteles; ¿de cuantas maneras pueden ocupar sus habitaciones, si cada viajero se hospeda en un hotel diferente? a) 866 b) 835 c) 884 d) 840 e) 804 09. ¿De cuantas acomodar 4 asientos? a) 128 d) 120

maneras diferentes se pueden alumnos en una fila de 5 b) 126 e) 124

c) 122

a) 10 d) 6

b) 12 e) 7

c) 9

12. ¿Cuántos números pares de dos cifras existen? a) 42 b) 38 c) 29 d) 40 e) 45 13. De Perú a Estados Unidos hay 4 aerolíneas diferentes; ¿de cuantas maneras se puede viajar de Perú a Estados Unidos y regresar en aerolínea distinta? a) 10 b) 14 c) 13 d) 12 e) 15 14. En el menú de un restaurante se ofrece 3 platos diferentes y 4 postres. ¿De cuantas maneras diferentes se puede elegir un almuerzo de 1 plato y 1 postre? a) 18 b) 13 c) 17 d) 12 e) 15 15. ¿De cuantas maneras diferentes se puede vestir una persona que tiene 6 ternos(iguales), cinco pares de medias(tres iguales), dos pares de zapatos, ocho corbatas(dos iguales) y seis camisas(tres iguales)? a) 154 b) 168 c) 135 d) 160 e) 162 16. ¿Cuántos números de dos cifras no tienen en su escritura al 2, ni al 5, ni al 8? a) 35 b) 42 c) 49 d) 63 e) 72

10. ¿Cuántos números de 3 cifras existen tales que su cifra central es par y el producto de las cifras extremas, impar? a) 125 b) 120 c) 118 d) 115 e) 124

17. En una carrera de 100 metros participan 6 atletas. ¿De cuantas formas distintas se podrá premiar a los tres primeros lugares con medalla de oro, plata y bronce? a) 216 b) 18 c) 15 d) 120 e) 60

11. Existen 5 profesores y 2 profesoras que imparten el curso de Aritmética. ¿De cuantas maneras diferentes un estudiante puede escoger a un profesor?

18. En una biblioteca hay 4 libros de novelas de misterio, 5 novelas de romance y 3 novelas de aventuras. ¿De cuantas maneras diferentes se puede leer 2 libros del mismo género?

650

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. a) 12 d) 65

b) 132 e) 44

c) 38

19. ¿Cuántos números de tres cifras tienen todas su cifras diferentes entre si? a) 540 b) 480 c) 648 d) 610 e) 360 20. Un alumno debe matricularse en 3 cursos para su horario. Si puede escoger su horario entre mañana o tarde, y en cada curso tiene 3 maestros diferentes y tiene que escoger uno, ¿de cuantas maneras diferentes puede matricularse el alumno? a) 36 b) 35 c) 54 d) 28 e) 10 21. Una placa de rodaje consta de tres letras seguidas de tres dígitos y se usan 26 letras del alfabeto para formarlas. ¿Cuántas placas de rodaje diferentes saldrán, si los dígitos pueden ser desde el 0 hasta el 9? a) 160

3

d) 260

3

b) 360

3

e) 240

3

c) 340

3

22. Rocío consulta en tres tiendas comerciales para comprar un televisor. Le ofrecieron tres, cinco y ocho líneas de crédito, respectivamente, todas distintas. ¿De cuantas maneras diferentes podrá adquirir el televisor, escogiendo una de las líneas de crédito que le ofrecieron? a) 10 b) 17 c) 16 d) 14 e) 24 23. Christian va a salir a una reunión con sus amigos del colegio. Al ir a su ropero, donde guarda su ropa, encuentra 7 polos de distinto color y 5 camisas de distinto color. Si ya eligió sus zapatos y pantalón, ¿de cuantas formas se podrá vestir con las prendas que le faltan? a) 12 b) 14 c) 35 d) 11 e) 10 24. Luis posee 2 pares de zapatillas, 5 polos deportivos y 6 shorts. Si todas las prendas son Academia GAUUS

de distinto color y desea salir a jugar futbol, ¿de cuantas maneras se podrá vestir con esas prendas? a) 30 b) 18 c) 43 d) 55 e) 60 25. Jorge necesita comprar un saco de harina para elaborar pan en su panadería. Al ir al mercado, en uno de los puestos, encuentra 4 marcas distintas y en otra tienda encuentra otras 6 marcas a su disposición. ¿de cuantas formas podrá elegir la compra del saco de harina que necesita? a) 20 b) 30 c) 25 d) 10 e) 15 26. Carlitos posee 5 pantalones, 2 shorts, 3 polos, 3 pares de zapatillas y 3 gorros, todas estas prendas de distinto color. ¿De cuantas maneras se podrá vestir con estas prendas? a) 194 b) 156 c) 189 d) 198 e) 137 27. Un código consta de 4 cifras que se podrán elegir de los dígitos 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. ¿Cuántos códigos se podrán formar, si estos deben tener cifras diferentes? a) 866 b) 835 c) 884 d) 840 e) 804 28. Jacinto tiene 6 camisas (3 del mismo color), 6 pantalones (2 del mismo color) y 3 pares de zapatillas. ¿De cuantas formas se podrá vestir con estas prendas? a) 50 b) 64 c) 65 d) 55 e) 60 29. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar 2 dados y una moneda? a) 14 b) 24 c) 72 d) 143 e) 74 30. Omar desea comprar un celular y la empresa “Clarito” le ofrece 7 modelos distintos, la empresa “Moviton” 6 modelos distintos y la empresa “Next”, otros 8 modelos distintos.

651

JOHN MAMANI M. ¿Cuántas opciones tendrá para escoger su celular? a) 12 b) 13 c) 20 d) 32 e) 21 31. Arturo desea estudiar 2 carreras distintas en 2 universidades diferentes. Si la Universidad del Sur le ofrece 5 carreras de su agrado y la Universidad del centro le ofrece otras 7, ¿de cuantas formas podrá elegir las carreras a estudiar? a) 12 b) 16 c) 17 d) 35 e) 32 32. ¿Cuántas banderas tricolor podre formar con los colores: rojo, azul, verde, blanco, plomo y amarillo?(la bandera está compuesta por franjas horizontales) a) 210 b) 60 c) 120 d) 240 e) 180 33. ¿Cuántos menús podre escoger con 3 entradas distintas, 6 platos de fondo diferentes y 3 tipos de bebida, si puedo escoger uno de cada tipo? a) 54 b) 12 c) 36 d) 108 e) 72 34. Ana ira al mercado a comprar frutas, pero solo podrá escoger 2 tipos de estas. En un puesto encuentra 4 frutas distintas y en otro 6 frutas distintas a las anteriores. Si compra una fruta de cada puesto, ¿de cuantas formas podría realizar dicha compra? a) 12 b) 14 c) 24 d) 18 e) 36 35. Se tiene 3 pares de zapatos, 5 pantalones, 4 camisas (todos de distinto color). ¿De cuantas formas se podrá vestir con estas prendas?

652

a) 12 d) 23

b) 60 e) 62

c) 19

36. En el aula de una I.E. se desea elegir a una pareja (hombre y mujer) para que los represente en el baile de la primavera. Si en dicho salón hay 20 mujeres y 17 hombres, ¿Cuántas posibles parejas se podrán formar? a) 310 b) 320 c) 340 d) 375 e) 420 37. ¿Cuántos números pares de 3 cifras se podrán formar con los números 2; 3; 4; 5; 6; 7? a) 100 b) 120 c) 108 d) 110 e) 112 38. Aldo, Beto, Carlos y Dante participaron en una carrera de 100 metros planos donde se premió con notas de 20 y 19 a los dos primeros lugares. ¿De cuantas formas se realizó la premiación, si no hubo empates? a) 10 d) 18

b) 12 e) 16

c) 14

39. Ana, María, Lucero y Rubí compraran un edificio de 4 pisos y se repartirán la propiedad tocándole un piso a cada una. ¿De cuantas formas podrán hacer dicha repartición? a) 16 b) 32 c) 48 d) 24 e) 36 40. Se desea premiar a los 3 primeros lugares de una carrera de caballos con diferentes premios. Si se inscriben 8 caballos, pero se retiran 2, antes del inicio de la carrera. ¿De cuantas formas se podrá hacer la premiación, si no habrá empates? a) 10 b) 100 c) 130 d) 120 e) 150 Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 41. Carlos tiene 5 pantalones (tres iguales), 6 camisas (4 iguales) y 3 pares de zapatos distintos. ¿De cuantas formas distintas podrá vestirse con estas prendas? a) 180 b) 60 c) 27 d) 36 e) 72 42. María desea viajar de Lima a Cusco. Si dispone de 4 líneas aéreas y 3 líneas terrestres, ¿de cuantas maneras diferentes puede realizar el viaje? a) 7 b) 14 c) 10 d) 15 e) 14 43. Betty tiene 4 pares de zapatos, 6 pares de zapatillas y 2 pares de sandalias. ¿De cuantas maneras diferentes podrá usar los calzados? a) 15 b) 12 c) 14 d) 20 e) 14 44. Jackie tiene 3 blusas diferentes, 4 faldas de diferentes modelos y 2 pares de zapatos diferentes. ¿De cuantas maneras diferentes se puede vestir? a) 14 b) 27 c) 23 d) 24 e) 74 45. Una persona puede viajar de “A” a “B” por 2 caminos y de “B” a “C” por 5 caminos. ¿Por cuantos caminos diferentes puede ir dicha persona de “A” a “C” siempre pasando por “B”? a) 10 b) 15 c) 19 d) 12 e) 13 46. Entre Lima y Huancayo hay 5 líneas de automóviles diferentes y entre Huancayo y Ayacucho hay 3 líneas de automóviles también diferentes. ¿De cuantas maneras puede una persona ir de Lima a Ayacucho y regresar en líneas diferentes? Academia GAUUS

a) 100 d) 110

b) 120 e) 112

c) 108

47. ¿De cuantas maneras diferentes podrá vestirse una persona que tiene 3 pares de zapatillas, 4 buzos, 3 pares de medias y 6 polos (2 iguales)? a) 180 b) 688 c) 14 d) 83 e) 79 48. ¿Cuántos números de 4 cifras existen en el sistema heptanario? a) 2564 b) 2455 c) 1353 d) 2058 e) 2133 49. Un grupo de estudios consta de 12 alumnos a los cuales se les toma un examen. ¿Cuántas opciones distintas se tiene para ocupar los 3 primeros puestos, si no hay empate? a) 1320 b) 1476 c) 1012 d) 1647 e) 1427 50. Si un club tiene 4 candidatos para presidente, 3 candidatos para secretario y 2 candidatos para tesorero, ¿de cuantas maneras puede elegirse la mesa directiva? a) 32 b) 76 c) 12 d) 24 e) 42 51. ¿Cuántas placas diferentes para automóviles pueden hacerse, si cada una consta de dos letras diferentes seguidas de tres dígitos distintos? (considerar 26 letras del alfabeto). a) 486 × 10

4

d) 468 × 10

3

b) 378 × 10

3

e) 634 × 10

4

c) 35 × 10

3

52. Liliana puede viajar de Lima a Huancayo por vía aérea o por vía terrestre; tiene a su disposición 3 líneas aéreas y 6 líneas

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JOHN MAMANI M. terrestres. ¿De cuantas maneras distintas puede realizar el viaje? a) 10 b) 13 c) 9 d) 6 e) 8 53. ¿Cuántos resultados diferentes se puede obtener al lanzar un dado o una moneda? a) 12 b) 6 c) 4 d) 2 e) 8 54. Jessica tiene 4 blusas, 3 pantalones y 2 pares de zapatos, todos de diferentes colores. ¿De cuantas maneras podrá vestirse correctamente usando dichas prendas? a) 9 b) 24 c) 12 d) 20 e) 19 55. Emily puede viajar de Tumbes a Lima por 3 caminos diferentes y de Lima a Tacna por otros 2 caminos diferentes. ¿Por cuantos caminos puede viajar de tumbes a Tacna pasando por Lima? a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) 16 56. Con 6 hombres y 6 mujeres, ¿de cuantas maneras se puede formar una pareja? a) 12 b) 18 c) 26 d) 32 e) 36 57. ¿De cuantas maneras diferentes podrá vestirse una persona que tiene 3 pares de zapatillas, 4 buzos (2 iguales), 5 pares de medias y 6 polos (3 iguales)? a) 360 b) 300 c) 280 d) 220 e) 180

a) 3280 d) 6030

b) 4900 e) 6840

c) 5648

59. El edificio de la Sunat tiene cinco puertas de entrada y cinco de salida para el público. Si Jorge se encuentra fuera del edificio, ¿de cuantas maneras diferentes podrá entrar y salir de la Sunat utilizando puertas diferentes en cada caso? a) 20 b) 18 c) 25 d) 10 e) 9 60. Carlos desea comprar un producto y sabe que lo venden en tres mercados distintos. En el primero lo tiene 8 tiendas, en el segundo tres y en el tercero dos. ¿En cuántas tiendas distintas puede adquirir el producto? a) 13 b) 16 c) 24 d) 218 e) 15 61. De Lima a Ica existen 4 caminos diferentes, de Ica a Tacna 5 caminos también diferentes. ¿De cuantas maneras diferentes podrá ir de Lima a Tacna y regresar si la ruta de regreso debe ser diferente a la de ida? a) 400 b) 240 c) 401 d) 380 e) 399 62. Susana tiene 6 blusas de colores diferentes y 6 minifaldas también de colores distintos. ¿De cuantas maneras diferentes puede lucir ambas prendas a la vez, si la blusa azul y la minifalda blanca las usa siempre juntas y la minifalda roja con la blusa negra nunca las usa juntas? a) 64 b) 49 c) 100 d) 36 e) 25

58. Veinte corredores compiten en un Rally para el cual hay 1º, 2º y 3º premio. ¿De cuantas maneras pueden concederse los premios?

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JOHN MAMANI M. PERMUTACIÓN PROBLEMA 01 ¿De cuántas maneras diferentes puede colocarse 4 soldados en una fila? a) 21 b) 20 c) 24 d) 120 e) 14

a) 6 d) 120

b) 720 e) 14

c) 24

Resolución PC (6) = (6 − 1)! PC (6) = 5!

Resolución

PC (6) = 5 × 4 × 3 × 2 × 1

P(4) = 4 ! P(4) = 4 × 3 × 2 × 1 P(4) = 24

PC (6) = 120

PROBLEMA 04 PROBLEMA 02 En una asamblea de accionistas, hay 6 personas que han solicitado el uso de la palabra. ¿En cuántos órdenes diferentes pueden hablar si es que no se ha establecido un orden de prioridades? a) 21 b) 20 c) 24 d) 120 e) 14

Resolución P(6) = 6! P(6) = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 P(6) = 120

Se tienen 3 fichas rojas, 2 azules, 1 verde y 1 negra todas de igual forma. ¿De cuántas formas diferentes se podrán colocar estas 7 fichas en línea recta? a) 610 b) 220 c) 240 d) 320 e) 420

Resolución 7! = 3!× 2! 7 × 6 × 5 × 4 × 3! 7 P3;2 = 3!× 2

7 P3;2

7

P3;2 = 420

PROBLEMA 03 ¿De cuántas maneras distintas se podrá ubicar 6 personas alrededor de una mesa circular?

¡Comprueba lo que sabes! 01. De cuántas maneras diferentes se pueden tomarse una foto 3 amigas? a) 4 b) 8 c) 7 d) 5 e) 6 02. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 5 personas en una fila de 5 asientos? Academia GAUUS

a) 60 d) 100

b) 24 e) 120

c) 90

03. ¿Cuantas palabras diferentes se puede formar intercambiando de orden las letras de la palabra MIRA? a) 720 b) 24 c) 120 d) 56 e) 28

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JOHN MAMANI M. 04. ¿De cuántas maneras distintas pueden ubicarse 4 alumnos en una fila de 4 asientos? a) 24 b) 28 c) 22 d) 10 e) 16 05. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar intercambiando de lugar las letras de la palabra CASERO? a) 120 b) 125 c) 130 d) 720 e) 345 06. Con todas las letras de la palabra “ALIBABA” ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar, sin importar lo que diga? a) 560 b) 420 c) 240 d) 360 e) 340 07. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar en una fila 5 amigas (Ana, Rosa, Luz, Paola y Dina?, si Luz y Ana siempre deben estar juntas. a) 24 b) 36 c) 48 d) 42 e) 56 08. ¿De cuántas maneras diferentes podrían hacer cola para comprar pan, 5 amigas, si Sandra estará siempre adelante y Claudia siempre estará ultima? a) 24 b) 10 c) 6 d) 12 e) 8 09. Seis amigos (3 varones y 3 mujeres), ¿de cuántas maneras diferentes podrán ubicarse en fila, si en ningún momento 2 personas del mismo sexo estarán juntas? a) 144 b) 48 c) 36 d) 72 e) 24 10. Cuatro parejas de novios, ¿De cuántas maneras pueden ubicarse alrededor de una fogata, de modo que cada pareja no se separe? a) 72 b) 120 c) 96 d) 90 e) 92

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11. ¿Cuántas señales diferentes de dos banderas se podrán hacer, si se dispone de 8 banderas de diferentes colores? a) 28 b) 72 c) 48 d) 56 e) 36 12. ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de una mesa circular 6 personas? a) 120 b) 125 c) 130 d) 720 e) 345 13. ¿De cuántas maneras diferentes siete amigos podrán ubicarse en fila, si Carlos y Daniel estarán siempre en los extremos y además Boris estará en el medio? a) 64 b) 96 c) 24 d) 48 e) 36 14. ¿De cuántas maneras diferentes 4 varones y 2 mujeres se podrán ubicar en una fila, si los varones deben estar juntos, y las mujeres también? a) 144 b) 288 c) 140 d) 96 e) 36 15. ¿De cuántas maneras diferentes 5 amigos A, B, C, D y E pueden ubicarse en la fila, si A y B deben estar siempre juntos y en un extremo? a) 24 b) 12 c) 48 d) 36 e) 28 16. De cuantas maneras diferentes se pueden sentar 4 hombres y 5 mujeres de modo que todas las mujeres esten juntas y los hombres por su lado? a) 120 b) 240 c) 720 d) 1 024 e) 1 500 17. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden sentar las 9 personas, de modo que la esposa y las novias estén juntos y a la derecha de sus respectivas pareja si hay una esposa y 2 novios? a) 72 b) 120 c) 150 d) 225 e) 625 Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 18. Calcula el número de variaciones que se pueden formar con las letras de la palabra “AMARRA” sin necesidad que tenga significado. a) 24 b) 120 c) 60 d) 72 e) 360 19. ¿De cuántas maneras 3 parejas de esposos se pueden ubicar en una mesa circular, si en ningún momento las parejas estarán separados? a) 120 b) 16 c) 48 d) 144 e) 72 20. ¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar con las letras de la palabra CARACOL? a) 1260 b) 1320 c) 1140 d) 1200 e) 1 500 21. Alrededor de una mesa circular se sientan 4 damas y 4 varones. ¿De cuántas formas se pueden sentar, si deben estar alternados un varón y una dama? a) 144 b) 128 c) 168 d) 184 e) 116 22. ¿De cuantas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra HABANA? a) 240 b) 120 c) 110 d) 160 e) 180 23. ¿Cuantas palabras se pueden formar con las letras de la palabra “SUSURRO”? a) 630 b) 620 c) 640 d) 580 e) 590

a) 280 d) 720

b) 360 e) 120

c) 240

26. 5 tomos de una colección de matemáticas, ¿de cuantas maneras distintas se pueden ubicar en una biblioteca? a) 720 b) 24 c) 120 d) 56 e) 28 27. ¿De cuantas maneras diferentes 2 peruanos, 3 argentinos y 4 colombianos pueden sentarse en la fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos? a) 288 b) 1688 c) 1728 d) 728 e) 1288 28. Se quieren sentar 5 hombres y 4 mujeres en fila, de modo que las mujeres ocupen los sitios pares. ¿De cuantas formas pueden sentarse? a) 144 b) 5040 c) 2880 d) 3558 e) 1024 29. Una pareja de esposos y sus cuatro hijos van al cine y encuentran 6 asientos en la misma fila. ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse si los 4 niños quieren estar juntos? a) 36 b) 134 c) 48 d) 120 e) 144 30. Con fines de criptografía ¿Cuántas palabras cualquiera de 9 letras, pueden formarse por permutaciones de las letras de las palabras TENNESSE? a) 1608 b) 1680 c) 1860 d) 1068 e) 1034

24. ¿Cuántas palabras de 5 letras se pueden formar con las letras de las palabras NONOM? a) 30 b) 32 c) 34 d) 10 e) 34

31. ¿De cuantas maneras 5 parejas de novios pueden ubicarse alrededor de una mesa circular, de modo que las parejas siempre estén juntas? a) 256 b) 812 c) 768 d) 1024 e) 702

25. ¿Cuantas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra: KIKIRIKI; sin importar si tienen o no sentido las palabras?

32. ¿De cuantas maneras seis parejas de novios pueden ubicarse alrededor de una mesa circular, de modo que las parejas siempre estén juntas?

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JOHN MAMANI M. a) 96 d) 7680

b) 45080 e) 720

c) 768

33. ¿De cuantas formas pueden sentarse en una misma mesa circular de 8 asientos un grupo de 8 personas?, si 3 de las personas siempre deben estar juntas. a) 700 b) 740 c) 730 d) 710 e) 720 34. Antonio invita a su novia y a sus tres futuros cuñados a un almuerzo, que se realiza en un restaurante cuyas mesas tenían la forma de un pentágono regular. ¿De cuantas maneras distintas se podrán ubicar, si Antonio y su novia siempre están juntos? a) 16 b) 14 c) 12 d) 18 e) 10 35. Ocho personas se ubican alrededor de una mesa circular. ¿De cuantas formas podrán ubicarse si cuatro de ellas deben estar siempre juntas? a) 586 b) 144 c) 95 d) 48 e) 576 36. ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de una fogata, cuatro parejas de esposos, de manera que los hombres y mujeres queden alternadas? a) 12 b) 152 c) 160 d) 144 e) 142 37. ¿De cuantas maneras distintas se puede ordenar linealmente 8 monedas, de las cuales 5 son de 20 céntimos y 3 de 10 céntimos? a) 60 b) 52 c) 54 d) 56 e) 58 38. Una ama de casa tiene 2 manzanas y 3 plátanos. Durante 5 días seguidos da a su hijo una fruta. ¿De cuantas maneras puede efectuar esto? a) 8 b) 10 c) 16 d) 25 e) 30

39. Se tienen 9 vasos diferentes, 5 de los cuales deben ser llenados con vino y los 4 restantes con chicha. ¿De cuantas maneras diferentes, se puede realizar el llenado? a) 120 b) 121 c) 125 d) 126 e) 130 40. Una compañía aérea debe realizar diariamente cinco viajes al Cusco, tres a Trujillo y dos a Iquitos. ¿De cuantas maneras distintas puede realizar itinerario? a) 2520 b) 2600 c) 2020 d) 2400 e) 2120 41. KiKo tiene 4 pelotas blancas (B), 5 negras (N) y 3 amarillas (A). un día vendió sus pelotas en el siguiente orden: BBAANBBANNNN, ¿En cuántas otros órdenes podría haber vendido sus 12 pelotas? a) 60249 b) 36419 c) 14329 d) 27719 e) 15314 42. Roger sufre de obesidad y le recomiendan que para que baje de peso acuda tres días de al gimnasio, dos días al sauna y haga dieta un día, en diferentes días de lunes a sábado. ¿De cuantas formas diferentes puede elaborar una programación para cumplir con la recomendación? a) 120 b) 240 c) 60 d) 90 e) 30 43. Determina todas las señales posibles que se pueden diseñar con 7 banderas de las cuales 5 son rojas y 2 son azules. a) 21 b) 14 c) 15 d) 19 e) 23 44. ¿De cuantas maneras se pueden colocar en un estante cinco libros de diferentes asignaturas, si se sabe que el de Matemática siempre debe ir al centro? a) 22 b) 16 c) 24 d) 20 e) 26 45. Una familia esta formada por un padre, una madre y tres hijos. ¿De cuantas maneras

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JOHN MAMANI M. diferentes se pueden ubicar en una mesa circular todos los integrantes de esta familia? a) 20 b) 24 c) 22 d) 16 e) 18 46. Un estante tiene una capacidad para 4 libros de Análisis Combinatorio, de pasta azul, 3 de Estadística, de pasta roja y 4 de Probabilidades, de pasta marrón. ¿De cuantas maneras puede ordenarse los libros según el color? a) 20134 b) 20736 c) 28848 d) 46764 e) 65355 47. ¿Cuántos números de cinco cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 1, 3, 4, 6, 8 si se sabe que los números 3 y 4 siempre deben estar junto? a) 24 b) 83 c) 42 d) 100 e) 48 48. ¿De cuantas maneras diferentes se puede ordenar en fila 4 monedas de S/.0.20 y 5 monedas de S/.0.50? a) 126 b) 134 c) 124 d) 212 e) 133 49. ¿Cuántos números de cuatro cifras diferentes se puede formar con los dígitos 1, 2, 3 y 4? a) 4 b) 8 c) 24 d) 20 e) 12 50. ¿Cuántas palabras cualquiera se puede formar con las letras de la palabra “PADRE”? a) 24 b) 48 c) 120 d) 60 e) 6 51. Si los integrantes de un grupo de estudios descubrieron que se podían ubicar de 24 formas diferentes alrededor de una mesa circular, ¿Cuántos estudiantes eran? a) 3 b) 5 c) 24 d) 2 e) 4 52. ¿Cuántos números de siete cifras se pueden se pueden formar con los digitos: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3? Academia GAUUS

a) 140 d) 60

b) 150 e) 720

c) 120

53. ¿Cuántos números de 4 cifras diferentes mayores de 4000 se pueden formar con los dígitos 2, 0, 4 y 3? a) 24 b) 18 c) 6 d) 48 e) 12 54. ¿De cuantas formas diferentes se pueden ubicar en una fila 7 niñas, si Sara siempre debe estar en un extremo? a) 120 b) 360 c) 720 d) 240 e) 1440 55. ¿De cuantas maneras distintas se pueden ubicar 6 personas en un automóvil con seis asientos, si Augusto es el único que sabe manejar a) 720 b) 24 c) 1440 d) 120 e) 240 56. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden ubicaren una fila 6 niños, si 3 de ellos siempre deben estar juntos? a) 144 b) 120 c) 72 d) 30 e) 720 57. ¿Cuántos números de cinco cifras que sean diferentes se puede formar con los dígitos 1, 3, 5, 7 y 8, si el 3 y el 5 siempre deben estar juntos y además deben ser pares? a) 12 b) 60 c) 24 d) 36 e) 48 58. Si el palo de señales de un barco se puede izar 3 banderas rojas, 2 azules y 4 verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las 9 banderas? a) 1260 b) 2160 c) 1620 d) 1160 e) 1360 59. ¿Cuántos números pares de seis cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 8, sabiendo que siempre deben empezar en 3?

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JOHN MAMANI M. a) 72 d) 20

b) 12 e) 24

c) 36

60. Si un equipo de futbol participa en 10 partidos de una temporada, ¿Cuántas maneras hay de que entre en total de juegos, obtenga 5 triunfos, 3 derrotas y 2 empates? a) 2520 b) 1260 c) 1520 d) 5040 e) 4220 61. ¿De cuantas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de futbol, si se sabe que consta de tres delanteros, tres volantes, 4 defensas y un arquero, y además se sabe que solo se pueden permutar entre sus respectivas ubicaciones? a) 216 b) 570 c) 664 d) 864 e) 37 62. ¿De cuantas maneras se pueden ubicar en una mesa circular cuatro parejas de esposos que desean jugar Monopolio si se sabe además que estas no deben estar separados? a) 16 b) 48 c) 24 d) 96 e) 32 63. 6 amigos jugaran a las cartas alrededor de una mesa circular. ¿De cuantas formas se podrán sentar alrededor de la mesa? a) 103 b) 132 c) 120 d) 142 e) 246 64. Cinco parejas de esposos se desean sentar a cenar en una mesa circular. ¿De cuantas formas lo podrán hacer, si las parejas desean estar siempre juntas? a) 768 b) 356 c) 664 d) 114 e) 103 65. ¿Cuántas palabras distintas sin importar su significado se podrán formar con todas las letras de la palabra “Meteorito”? a) 30352 b) 18213 c) 43333 d) 55532 e) 45360 66. 3 amigos y 4 amigas van al cine y se sientan en una fila de 7 asientos. ¿De cuantas formas

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se podrán sentar si las personas del mismo sexo siempre deben estar juntas? a) 285 b) 289 c) 280 d) 295 e) 288 67. Tres parejas de novios cenan alrededor de una mesa circular con seis sillas. ¿De cuantas formas se podrán sentar, si los novios deben estar siempre juntos? a) 11 b) 15 c) 18 d) 16 e) 17 68. La caja fuerte de Arturo consta de cinco cifras naturales, en un gran descuido Arturo perdió la clave pero sabe que solo esta compuesta por números impares diferentes. ¿Cuántas veces tendría que probar con claves distintas hasta abrir la caja fuerte? a) 140 b) 120 c) 125 d) 150 e) 130 69. ¿Cuántas palabras distintas se podrán formar con todas las letras de la palabra “MAMITA” (no importa el significado)? a) 190 b) 160 c) 170 d) 150 e) 180 70. Cinco personas van de excursión hacia el nevado Huascaran. ¿De cuantas formas podrían estar ubicados en fila india, si han contratado un guía y este siempre debe ir delante de todos? a) 130 b) 170 c) 120 d) 150 e) 100 71. Adolfo posee cinco cortes de la tela de distinto color y desea hacer banderas con 5 franjas horizontales de la misma medida con diferentes colores. ¿Cuántos modelos distintos podrá realizar? a) 150 b) 200 c) 180 d) 200 e) 120 72. Percy desea acomodar sus 4 libros de RM y sus tres libros de Ingles en un estante. ¿De cuantas formas los podrá acomodar, si en su Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. estante hay espacio para todos y los de la misma materia deben estar siempre juntos? (todos los libros son distintos) a) 300 b) 250 c) 280 d) 288 e) 270

78. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden colocar seis alumnas en una fila, de manera que Rocío y Susana siempre estén juntas a) 225 b) 120 c) 240 d) 216 e) 180

73. ¿Cuántas palabras distintas se podrán formar con las letras de la palabra COREFO, si las vocales deben estar siempre juntas, al igual que las consonantes? a) 40 b) 36 c) 36 d) 35 e) 27

79. Cinco amigos se sientan alrededor de una mesa circular. ¿De cuantas maneras diferentes podrán ubicarse? a) 20 b) 24 c) 26 d) 18 e) 22

74. Siete caballos participan en una carrera. ¿De cuantas formas podrán llegar a la meta, si dos de ellos se retiraron antes de partir? a) 120 b) 124 c) 363 d) 158 e) 723

80. ¿Cuántas palabras distintas se puede formar con todas las letras de la palabra CARRERA? a) 163 b) 323 c) 482 d) 420 e) 365 81. Con 5 soldados, ¿Cuántas filas diferentes podemos formar? a) 10 b) 100 c) 130 d) 120 e) 150

75. Luisa, Pedro y los padres de cada uno de ellos se sentaran a cenar alrededor de una mesa circular. ¿De cuantas formas se podrán acomodar si Luisa y Pedro siempre deben estar adyacentes a su papa y su mama, respectivamente? a) 5 b) 6 c) 4 d) 3 e) 7

82. ¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con 9 banderas de diferentes colores izando solo 3 cada vez? a) 180 b) 604 c) 504 d) 362 e) 723

76. En un auto pueden ingresar 5 personas. ¿De cuantas formas se podrán sentar 5 amigos, si solo dos de ellos saben manejar? a) 50 b) 48 c) 49 d) 45 e) 40

¿Cuántos comités de 3 personas: un presidente, un vicepresidente y un secretario, podemos formar con 8 personas? a) 355 b) 244 c) 336 d) 365 e) 253

77. Carlos, Jaime y Rubén van al cine y encuentran cuatro asientos consecutivos vacios. ¿De cuantas maneras pueden sentarse? a) 31 b) 32 c) 24 d) 75 e) 20

83. ¿Cuántos números de cuatro cifras diferentes y mayores de 5000 se pueden formar con los dígitos {1; 3; 4; 6; 9} ?

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a) 43 d) 48

b) 34 e) 743

c) 23

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JOHN MAMANI M. 84. ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con los dígitos 3; 5; 7; 8 y 9? a) 120 b) 155 c) 193 d) 125 e) 134 85. ¿De cuantas maneras distintas se pueden sentar 8 personas alrededor de una mesa circular? a) 720 b) 5040 c) 3210 d) 4100 e) 1125 86. ¿Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabra “OSHKOSH”, tomadas todas a la vez? a) 630 b) 526 c) 600 d) 834 e) 794 87. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar con los dígitos: 1; 3; 5; 7 y 8? a) 36 b) 42 c) 6 d) 60 e) 24 88. Si hay cinco objetos diferentes y 3 cajas, ¿de cuantas formas diferentes podemos colocar un objeto en cada caja? a) 60 b) 16 c) 12 d) 67 e) 47 89. La señora María tiene cinco hijos (no hay mellizos). Se desea averiguar el orden en que nacieron estos hermanos. ¿Cuántas posibilidades hay? a) 325 b) 176 c) 123 d) 120 e) 142

91. Un entrenador de basquetbol dispone de 8 jugadores que pueden jugar en cualquier posición. ¿Cuántas formaciones de 5 jugadores diferentes de basquetbol podrán formarse? a) 23510 b) 1351 c) 6720 d) 6646 e) 3458 92. La banca en una cafetería tiene 7 asientos en una fila. Si 4 personas desconocidas entre si ocupan lugares al azar, ¿de cuantas maneras diferentes pueden quedar los 3 asientos restantes desocupados? a) 912 b) 645 c) 234 d) 852 e) 840 93. Al acudir cuatro parejas de amigos al cine encuentran solamente cuatro asientos en una fila. ¿De cuantas maneras se podrán sentar, si se quiere que por lo menos este ubicado un hombre y una mujer juntos? a) 2942 b) 1632 c) 12323 d) 1320 e) 1932 94. María tiene 5 aretes diferentes y para usarlos todos se hace 2 perforaciones en la oreja derecha y 3 perforaciones en la de la izquierda. ¿De cuantas maneras diferentes puede lucir todos los aretes? a) 142 b) 152 c) 120 d) 123 e) 166

90. ¿De cuantas maneras diferentes cinco personas pueden hacer la cola en un cine? a) 123 b) 120 c) 323 d) 160 e) 123

662

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. VARIACIÓN Y COMBINACIÓN x

PROBLEMA 01 ¿Cuántas variaciones pueden formarse de 10 objetos tomados de tres en tres? a) 780 b) 720 c) 730 d) 760 e) 740

Resolución 10 Piden: V3 10 V3 = 10 × 9 × 8 10 V3 = 1720

PROBLEMA 02 Un individuo descansa 2 días cualesquiera de la semana. ¿Cuántas semanas podrán transcurrir para que no se repitan los días de descanso? a) 14 b) 20 c) 21 d) 25 e) 19

Resolución

Entonces: C 3 = 12x (x)(x − 1)(x − 2) = 12x 3× 2×1 (x)(x − 1)(x − 2) = 72x (x − 1)(x − 2) = 72 x = 10

PROBLEMA 04 Elías desea comprar 8 libros de cálculo y 10 libros de análisis. ¿De cuántas maneras diferentes puede escoger 8 libros de análisis y 5 libros de cálculo? a) 2520 b) 2530 c) 3620 d) 2730 e) 3520

Resolución Del enunciado: 8

10

Total = C 5 . C 8 =

Es una combinación ya que no interesa el orden en el que interviene los elementos. = 7×6 7 C2 = = 2×1 = 7 C 2 = 21

8!

.

10!

( 8 − 5 ) !5! ( 10 − 8 ) !8! 8 × 7 × 6 × 5 × 4 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 . 5× 4 × 3× 2×1 8 × 7 × 6 × 5× 4 × 3× 2×1 28 × 90 2520

PROBLEMA 05

PROBLEMA 03 ¿Cuántos objetos distintos tienen que haber para que el número de combinaciones que se pueden formar, tomándolo de 3 en 3 para que sea igual a 12 veces el número de obreros?. a) 8 b) 10 c) 12 d) 9 e) 7

Resolución

¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con 9 banderas izando 3 de cada vez? a) 550 b) 508 c) 505 d) 480 e) 504

Resolución Observamos que si interesa el orden 9

V3 = 9 × 8 × 7 = 504

Se “x” el número de obreros Academia GAUUS

663

JOHN MAMANI M. a) 120 d) 160

PROBLEMA 06 Hallar “n” si: n

b) 180 e) 140

n −1

6C 3 = V4 a) 5 d) 6

b) 7 e) 8

c) 9

Resolución De las formulas:

( n − 1)! n! = ( n − 3 ) ! . 3! ( n − 1 − 4 ) ! ( n − 1)! ( 6n n − 1 ) ! = ( n − 3 ) ( n − 4 ) ( n − 5 )! . 6 ( n − 5 )! 6.

Reduciendo:

n =1 ⇒ n = 6 ( n − 3)( n − 4 )

Resolución 123 ≠ 321 , interesa el orden, luego es una variación

6! ( 6 − 3 )! 6! 6 . 5 . 4 120 = V3 = 6= ( 6 − 3 )! 6

V3 =

PROBLEMA 09 Se tienen grifos de: 1, 3, 5 y 8 litros por segundo. ¿En cuántos tiempos diferentes se podrán llenar un recipiente empleando cada vez 3 de ellos? a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 7

PROBLEMA 07 Al término de una reunión hubieron 28 estrechones de mano; suponiendo que cada de los participantes fue cortés con cada uno de los demás; el número de personas era de: a) 14 b) 56 c) 28 d) 9 e)8

Resolución Al darse un apretón entre 2 personas no interesa el orden, luego es una combinación. x

C 2 = 28 x! = 28 ( x − 2 ) ! 2! x ( x − 1) = 28 ⇒ x ( x − 1 ) = 56 2 x ( x − 1) = 8(7 ) x=8

Resolución 1, 3, 5, 8 ⇒ total=4 cada vez 3; no interesa el orden, luego: 4

C3 =

4! ( 4 − 3 ) !3!

4

C3 = 4 PROBLEMA 10 ¿7 corredores, de cuántas maneras diferentes pueden obtener 3 premios? a) 200 b) 230 c) 180 d) 210 e) 190

Resolución Interesa el orden como obtiene los premios, luego: 7

PROBLEMA 08 ¿Cuántos números de 3 dígitos diferentes pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y en los cuales no se repita ningún dígito?

664

c) 150

V3 = 7

V3 =

7! (7 − 3 )! 7 × 6 × 5 × 4! 4!

= 210 Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. PROBLEMA 11 De 14 hombres. ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse 2 personas? a) 366 b) 364 c) 324 d) 346 e) 234

Nro de comites = 720 PROBLEMA 13 Hallar el valor de “n” sabiendo que.

Resolución Interesa seleccionar 11 hombres de 14 sin interesar el orden, se trata entonces de una combinación: 14 = C11

Nro de comites=C 52 × C74

14! 14 × 13 × 12 × 11! = = 364 11! 3! 11!× 3 × 2 × 1

2n

C3 n C2 a) 6 d) 7

=

44 3

b) 8 e) 9

c) 10

Resolución

( 2n ) ! ( 3! 2n − 3 ) ! 44 = ( n )! 3 2! ( n − 2 ) !

PROBLEMA 12 7 hombres y 5 mujeres se van a formar comités mixtos de 6 personas. ¿De cuantas maneras pueden formarse si en el comité hay dos mujeres? a) 520 b) 340 c) 220 d) 720 e) 640

2!2n ( 2n − 1 ) ( 2n − 2 ) ( 2n − 3 ) ! ( n − 2 ) ! 44 = 3 × 2! ( 2n − 3 ) !n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ! 3

4n ( 2n − 1 ) ( n − 1 ) 44 = 3n ( n − 1 ) 3 2n − 1 = 11 n=6

Resolución En este caso tenemos que escoger 2 mujeres y 4 hombres. Las mujeres pueden escogerse de maneras y los hombres de

7

C4

5

C2

maneras, a su vez

cada uno de los grupos conformados por mujeres puede asociarse con cada uno de los grupos formados por hombres, entonces.

¡Comprueba lo que sabes! 01. Calcule:

6

6 × 2

C C a) 420 d) 220

b) 120 e) 320

8 2

c) 210

a) 1 d) 5

4

C4×C3 5 C3 b) 6 e) 4

c) 2

04. Hallar el valor de “E”, sabiendo que:

02. Calcule.

C a) 4220 d) 2220

03. Reducir: M =

10 × 2

b) 4880 e) 4320

Academia GAUUS

C

7

7

3C 3 + C 4 E= 7 4C 3

20 4

c) 4890 a) 1 d) 2

b) 3/4 e) 4

c) 1/4

665

JOHN MAMANI M. 05. Simplificar: E=

2C

a) 1 d) 2

15 +8 6 15 5 6

C

preguntas del examen. ¿De cuantas maneras el estudiante puede escoger las 8 preguntas? a) 80 b) 40 c) 10 d) 45 e) 8

15 9

C

b) 5 e) 4

c) 3

06. Hallar “n” si: n

C 2 = 28 a) 5 d) 7

b) 8 e) 6

c) 10

07. Halle el valor de “x” en: x

C 4= a) 8 d) 13

x−3

b) 7 e) 4

c) 6

08. Halle el valor de “x” en: x

x

x 1 C 3 + C 4 =+ a) 8 d) 13

b) 7 e) 4

c) 6

09. En la Copa Perú participaron 12 equipos de futbol ¿Cuántos partidos se jugaron, todos contra todos? a) 66 b) 70 c) 76 d) 50 e) 69 10. ¿Cuántas ensaladas que contienen exactamente 4 frutas podemos hacer si disponemos de 10 frutas diferentes? a) 120 b) 180 c) 200 d) 210 e) 240 11. ¿De cuantas maneras se pueden escoger un comité compuesto de 3 hombres de un grupo de 7 hombres? a) 6 b) 24 c) 35 d) 120 e) 72 12. Un estudiante en el concurso regional de matemática tiene que contestar 8 de 10

666

13. ¿Cuántos apretones de mano se producirán al saludarse las 40 personas asistentes a una reunión? a) 680 b) 570 c) 780 d) 470 e) 870 14. ¿Cuántos apretones de manos se producirán al saludarse las 46 personas asistentes a una reunión? a) 1820 b) 2206 c) 2116 d) 2070 e) 1035 15. Con 7 clases de vinos, tomados de tres en tres, ¿Cuántas mezclas diferentes se pueden obtener al mezclar igual cantidad de cada clase? a) 42 b) 36 c) 35 d) 38 e) 28 16. Un estudiante debe responder como mínimo 8 preguntas en un examen de 12 preguntas ¿de cuantas formas posibles puede el estudiante elegir las 8 preguntas a escoger? a) 495 b) 225 c) 550 d) 360 e) 275 17. ¿Cuántos diccionarios Bilingües hay que editar si consideramos los idiomas: español, inglés, francés, portugués y alemán? a) 2 b) 5 c) 10 d) 9 e) 7 18. Si disponemos de 8 puntos no colineales, ¿Cuál es el máximo de pentágonos que se podría formar? a) 40 b) 56 c) 120 d) 60 e) 30 19. ¿De cuantas maneras se puede formar una terna, siendo 8 candidatos? a) 28 b) 112 c) 56 d) 336 e) 72 Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 20. Si se tienen 7 candidatos a la Alcaldía de un distrito, ¿Cuántas ternas se puede formar? a) 28 b) 35 c) 30 d) 42 e) 45 21. ¿Cuántos comités de 5 personas se pueden formar con 12 personas? a) 812 b) 686 c) 792 d) 704 e) 914 22. Si se tiene un grupo de 5 personas, ¿cuántos grupos diferentes de 3 personas se podrán formar? a) 15 b) 40 c) 25 d) 30 e) 60 23. Se extraen dos cartas de una baraja ¿de cuantas maneras se puede hacer eso? a) 1228 b) 128 c) 156 d) 1326 e) 756 24. ¿Cuántos productos diferentes pueden formarse con los números: 3; 8; 11; 15 y 19 tomados tres a tres? a) 10 b) 16 c) 15 d) 12 e) 34 25. ¿Cuántas selecciones de 8 artículos se pueden realizar en un almacén que tiene 15 artículos? a) 3215 b) 4820 c) 2368 d) 6435 e) 5180 26. En un campeonato de futbol, 10 equipos deben jugar todos contra todos; si llegan 2 equipos más, el número de partidos adicionales que se debe jugar es: a) 22 b) 20 c) 11 d) 21 e) 10 27. En una reunión se dieron 120 estrechadas de mano. ¿Si, todos se saludaron cuantas personas habían? a) 15 b) 16 c) 8 d) 119 e) 120

Academia GAUUS

28. ¿De cuantas formas se puede escoger u comité compuesto de 3 hombres y 2 mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres? a) 530 b) 350 c) 335 d) 450 e) 305 29. Si 7 varones y 5 mujeres van a formar comités mixtos de 6 personas. ¿De cuantas maneras pueden agruparse si en el comité hay 2 mujeres? a) 120 b) 540 c) 350 d) 710 e) 240 30. Una urna contiene 6 bolas blancas y 5 bolas negras. Encontrar el número de maneras en que se pueden sacar 4 bolas de la urnas 2 deben ser blancas y 2 deben ser negras. a) 315 b) 140 c) 130 d) 150 e) 125 31. Un conjunto de alumnos está integrado por 5 mujeres y 3 varones. ¿de cuantas maneras se puede formar grupos diferentes de 4 personas de forma que por lo menos existan 2 varones? a) 35 b) 40 c) 30 d) 50 e) 25 32. Con las frutas: piña, papaya; manzana, naranja y plátano. ¿Cuántos jugos de diferentes sabores se puede hacer? a) 25 b) 5 c) 31 d) 6 e) 16 33. María tiene 3 amigos y siempre va al colegio acompañada, por lo menos de uno de sus amigos. ¿Cuántas alternativas de acompañamiento tiene María para ir al colegio? a) 6 b) 7 c) 8 d) 5 e) 9 34. ¿De cuantas maneras diferentes podemos elegir a 5 personas de un grupo de 11 para ir a una fiesta, si se sabe que entre las 11 hay una pareja de esposos que no va el uno sin el otro?

667

JOHN MAMANI M. a) 3528 d) 3024

b) 210 e) 126

c) 630

35. ¿De cuantas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club deportivo, si se sabe que hay 8 posibles candidatos? a) 366 b) 367 c) 135 d) 354 e) 233 36. En una carrera de 100 metros planos participan 6 atletas, ¿de cuantas maneras diferentes se puede premiar a tres de ellos con medallas de oro, plata y bronce? a) 122 b) 160 c) 120 d) 130 e) 260 37. ¿De cuántos partidos de futbol consta una liguilla formada por cinco equipos? a) 29 b) 20 c) 22 d) 16 e) 18 38. ¿Cuántas números de tres cifras, todas diferentes entre si, se puede formar con los dígitos: 1; 2; 3; 4; 5 y 6? a) 134 b) 120 c) 282 d) 124 e) 126 39. ¿Cuántas señales se pueden hacer con 5 banderolas de colores diferentes, usando tres de ellas en cada señal? a) 24 b) 83 c) 42 d) 100 e) 60 40. 4 viajeros llegan a una comunidad en la que hay 6 hospedajes, ¿de cuantas maneras pueden ocupar una habitación, debiendo estar cada uno en hospedajes diferentes? a) 360 b) 334 c) 180 d) 212 e) 120 41. ¿Cuántos apretones de mano se pueden dar en una fiesta a la que asisten 12 personas? a) 64 b) 68 c) 66 d) 60 e) 132

668

42. ¿Cuántos diagonales tiene un pentágono? a) 5 b) 15 c) 12 d) 6 e) 20 43. ¿Cuántos triángulos se pueden formar con los vértices de un hexágono? a) 24 b) 18 c) 20 d) 28 e) 12 44. ¿De cuantas maneras distintas se pueden ubicar 6 personas en un automóvil con seis asientos, si Augusto es el único que sabe manejar a) 720 b) 24 c) 1440 d) 120 e) 240 45. ¿Cuántos diccionarios bilingües se tienen que editar para que se pueda efectuar las traducciones entre cualquiera de estos 5 idiomas: español, ingles, francés, ruso y aleman? a) 20 b) 25 c) 30 d) 9 e) 16 46. Cuatro personas abordan un automóvil en el que hay 6 asientos. Si solo dos de ellos saben conducir, ¿de cuantas maneras diferentes pueden sentarse en el auto? a) 120 b) 160 c) 124 d) 316 e) 148 47. Si el palo de señales de un barco se puede izar 3 banderas rojas, 2 azules y 4 verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las 9 banderas? a) 1260 b) 2160 c) 1620 d) 1160 e) 1360 48. Carmen tiene 3 anillos diferentes. ¿De cuantas maneras puede colocarlos en sus dedos de la mano izquierda, poniéndose solo un anillo por dedo, sin contar el pulgar? a) 24 b) 12 c) 36 d) 20 e) 24 49. En una jugueria se disponen de las siguientes frutas: plátano, sandia, piña y fresa. ¿Cuántos Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. jugos surtidos de diferentes sabores se podrá hacer? a) 26 b) 22 c) 26 d) 18 e) 24 50. Un total de 120 estrechadas de mano se dan al final de una fiesta; si cada asistente a la fiesta es cortes con los demás, el número que asistieron a la fiesta es: a) 15 b) 17 c) 14 d) 16 e) 27 51. En una carrera de caballos participan 8 ejemplares. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden premiar a 3 caballos que lleguen en los 3 primeros lugares? a) 56 b) 336 c) 672 d) 184 e) 472 52. Se tiene 6 libros diferentes de razonamiento matemático. ¿De cuantas formas distintas pueden ordenarse en un estante donde solo entran 4 libros? a) 360 b) 120 c) 240 d) 720 e) 840 53. ¿De cuantas maneras se puede exhibir 7 juguetes diferentes, si el estante solo tiene 3 lugares disponibles? a) 105 b) 315 c) 245 d) 185 e) 210 54. ¿De cuantas maneras diferentes se puede escoger 3 niños de un total de 7? a) 105 b) 35 c) 70 d) 210 e) 140 55. A la final de un torneo de ajedrez se clasifican 5 jugadores. ¿Cuántas partidas se jugara si se enfrentan todos contra todos? a) 19 b) 13 c) 10 d) 15 e) 12 56. ¿Cuántas rectas se pueden trazar con 10 puntos no colineales? a) 54 b) 53 c) 45 d) 22 e) 40 Academia GAUUS

57. Seis hombres y seis mujeres compiten realizando cierta tarea. Si los seis primeros puestos son ocupados por 4 hombres y 2 mujeres, determina el número de casos. a) 4320 b) 11200 c) 3240 d) 225 e) 3600 58. Con cinco varones y ocho señoritas, ¿Cuántos equipos de natación diferentes pueden formarse, si estos deben ser de un varón y dos señoritas? a) 130 b) 140 c) 180 d) 150 e) 120 59. Con 4 banderas de diferente color se debe mandar un mensaje de un barco a otro. ¿Cuántos mensajes diferentes se pueden enviar si empleamos 2 o 3 banderas? a) 48 b) 24 c) 36 d) 72 e) 16 60. ¿Cuántas banderas bicolores diferentes pueden elaborarse con las telas de 4 colores diferentes? a) 15 b) 20 c) 18 d) 13 e) 12 61. Se desea formar una comisión integrada por un presidente y un secretario. Si hay 6 candidatos, ¿Cuántas combinaciones diferentes pueden formarse? a) 32 b) 25 c) 28 d) 30 e) 27 62. Con los

{1; 3; 5; 7; 9} ,

¿Cuántos números

diferentes de dos cifras se podrán formar? a) 40 b) 36 c) 20 d) 35 e) 27 63. ¿De cuantas maneras distintas pueden sentarse tres amigos en una banca de 6 asientos? a) 120 b) 124 c) 363 d) 158 e) 723 64. Siente caballos: “A”, “B”, “C”, “D”, “E”, y “G” participan en una carrera. ¿De cuantas

669

JOHN MAMANI M. maneras pueden ocuparse los tres primeros puestos? a) 752 b) 764 c) 792 d) 725 e) 793 65. De un grupo de 3 varones y 4 mujeres, se va a elegir un comité de 4 personas que esta integrada por 2 mujeres y 2 varones. ¿Cuántos comités diferentes pueden ser elegidos? a) 17 b) 18 c) 19 d) 15 e) 14 66. Con 8 hombres y 6 mujeres, ¿Cuántos comités mixtos de 5 personas pueden formarse, si deben haber en el comité 3 mujeres y 2 hombres? a) 324 b) 532 c) 560 d) 472 e) 533 67. ¿Cuántos objetos diferentes entre sí debe haber, si el número de combinaciones tomadas de 3 en 3, resulta el quíntuplo del número de objetos? a) 5 b) 6 c) 7 d) 2 e) 8 68. ¿De cuantas maneras distintas se puede elegir 5 monedas, si se tienen ocho monedas de 1; 5; 10; 20 y 50 céntimos y de 1; 2 y 5 nuevos soles? a) 50 b) 56 c) 53 d) 58 e) 52 69. ¿Cuántos triángulos como máximo se podrán formar con 7 puntos no colineales? a) 36 b) 33 c) 39 d) 35 e) 32

670

70. Con 6 pesas de: 2; 3; 5; 10; 30 y 70 kg, ¿Cuántas pesadas pueden obtenerse agrupando 3 de estas? a) 21 b) 23 c) 28 d) 20 e) 24 71. Se desea colocar un mapa de 4 países con colores distintos para cada uno. Si hay 6 colores distintos, ¿de cuantas maneras pueden colorear el mapa? a) 430 b) 340 c) 293 d) 360 e) 743 72. Sin permitirse repeticiones, ¿Cuántos números de 2 cifras se pueden formar con los dígitos { 2; 4; 6; 8} ? a) 12 d) 15

b) 14 e) 13

c) 17

73. ¿Cuántos comités de tres miembros se puede elegir de un grupo de cinco personas? a) 20 b) 10 c) 14 d) 12 e) 15 74. ¿De cuantas maneras puede escogerse un comité compuesto de 2 hombres y 3 mujeres de un grupo de 4 hombres y 5 mujeres? a) 60 b) 56 c) 63 d) 64 e) 74 75. ¿Cuántos diptongos se pueden formar con las vocales a, i, u? a) 7 b) 9 c) 2 d) 6 e) 5 76. Una caja contiene focos: 2 de 25 watts, 3 de 50 watts y 4 de 100 watts. ¿De cuantas maneras puede escogerse 3 de ellos? a) 84 b) 60 c) 74 d) 80 e) 76 Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 77. Con los dígitos: 1; 3; 4; 6; 9, ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar? a) 28 b) 42 c) 63 d) 60 e) 35

84. Si el número de combinaciones de “n” objetos tomados de dos en dos es igual a 36, calcula “n” a) 9 b) 6 c) 8 d) 6 e) 7

78. Con 8 jugadores para cada posición, ¿Cuántos equipos de básquet se formaran? a) 12 b) 6 c) 23 d) 16 e) 14

85. En una mesa se tienen 12 manzanas. ¿De cuantas formas se pueden coger 3 de ellas? a) 220 b) 266 c) 263 d) 224 e) 274

79. ¿Cuántos números de 4 cifras se podrán

86. En una fiesta se produjeron 435 apretones de manos al saludarse cada una de las personas. ¿Cuántas asistieron? a) 30 b) 36 c) 63 d) 34 e) 39

formar con {1; 2; 3; 4; 5; 6;7} ? a) 510 d) 646

b) 836 e) 353

c) 840

80. Con 7 clases de vías, ¿Cuántos caminos diferentes se pueden recorrer tomándolas de 3 en 3? a) 32 b) 65 c) 34 d) 37 e) 35 81. Con 20 puntos no coliniales, ¿Cuántos segmentos se pueden formar? a) 942 b) 190 c) 193 d) 132 e) 195 82. ¿Cuántos apretones de manos se dieron al despedirse 24 personas en una reunión, si todos fueron gentiles? a) 282 b) 272 c) 276 d) 723 e) 236 83. ¿Cuántas sumas diferentes de dos sumandos se pueden efectuar con los números: 1; 3; 5; 13; 37; 59? a) 12 b) 22 c) 15 d) 13 e) 16

87. En una carrera donde participan 7 atletas, se otorgara distintos premios a los 3 primeros lugares. ¿De cuantas formas se podrá realizar dicha premiación? a) 210 b) 136 c) 163 d) 134 e) 139 88. Anita desea adornar todos sus dedos con ellos distintos, pero solo posee 4 anillos. ¿De cuantas formas distintas se podría acomodar los anillos en los dedos de su mano? a) 5510 b) 5836 c) 5040 d) 5646 e) 5353 89. En un automóvil pueden entrar sentadas 5 personas (incluido el conductor). Si 4 amigos desean ir de paseo y 2 de ellos saben conducir, ¿de cuantas maneras podrían ordenarse para realizar dicho paseo? a) 430 b) 340 c) 293 d) 360 e) 743 90. ¿Cuántos partidos de futbol se deben programar con un total de 10 equipos, si

Academia GAUUS

671

JOHN MAMANI M. deben jugar todos contra todos en una sola rueda? a) 45 b) 46 c) 43 d) 44 e) 47 91. En la jugueria “Frutita” se ofrecen jugos surtidos. ¿Cuántos jugos surtidos se podrá preparar con 10 frutas disponibles, si el jugo surtido se prepara utilizando solo 5 de las frutas? a) 250 b) 252 c) 254 d) 152 e) 255 92. Para un almuerzo familiar se necesita preparar una ensalada de vegetales. Si se dispone de cebolla, tomate, pepino, lechuga, brócoli y berro, ¿Cuántas ensaladas distintas se podrían preparar? a) 56 b) 40 c) 23 d) 63 e) 74 93. Carolina desea ir de paseo al Cusco y alista su ropa. Si lleva 5 pantalones de los 8 que tiene, ¿de cuantas maneras los podrá escoger? a) 6 b) 10 c) 13 d) 56 e) 14 94. Con 4 letras de la palabra “Orquídea”, ¿Cuántas palabras distintas se podrá formar sin importar su significado? a) 1250 b) 1260 c) 1680 d) 1220 e) 1580

96. Con las frutas: plátano, fresa, mango, pera, maracuyá y manzana, ¿Cuántos jugos surtidos diferentes se podrán preparar? a) 25 b) 60 c) 57 d) 20 e) 50 97. Andrea recibe 3 pases para ingresar a su fiesta de graduación. Si desea escoger a sus invitados de entre 7 amigos, ¿de cuantas formas podría hacer su elección? a) 46 b) 29 c) 32 d) 35 e) 38 98. ¿Cuántos números de 4 cifras diferentes se podrá formar si no se incluye al cero dentro de su formación? a) 3240 b) 3668 c) 3378 d) 3942 e) 3024 99. Daniel rendirá un examen de 10 preguntas, de las cuales debe responder solo 6. ¿De cuantas formas podrá elegir las preguntas, si el número 4 es obligatorio? a) 18 b) 17 c) 162 d) 126 e) 122 100. En la Marina se utilizan señales de alerta con 4 banderolas en línea a la vez. ¿Cuántas señales distintas se podrá realizar, si se tienen 7 banderines de distintos colores? a) 825 b) 760 c) 840 d) 820 e) 950

95. De un total de 12 niños se elegirá a 4 de ellos para el coro de la iglesia. ¿Cuántos posibles grupos se podrá formar? a) 456 b) 4329 c) 362 d) 495 e) 382

672

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M.

01. Establezca si son verdaderos (V) o falsas (F) las siguientes proposiciones: I. 1! + 2! + 3! = 6! II.

4

C2 = 6

III. 6! = 3! × 5! ¿Cuál es la alternativa correcta? a) VVF d) FVV

UNAP–SOC–2015

b) VFF e) VFV

c) FFV

02. Calcule el valor de “x” que verifique la igualdad: x

C 3 = 2x a) 5 d) 8

b) 6 e) 4

c) 7

UNAP–BIO–2015

b) –2 e) 4

c) –4

UNAP–2004

04. El triplete del número de combinaciones de “x” objetos tomados de tres en tres, es igual al quíntuplo del número de combinaciones de x objetos tomados de dos en dos. Hallar el valor de “x” a) 8 d) 7

b) 6 e) 4

UNAP–EXT–2001

c) 5

05. ¿Cuántos partidos se juegan en el campeonato descentralizado de futbol en una rueda, en la que participan 16 equipos? a) 80 d) 260

b) 120 e) 180

a) 33 d) 12

b) 22 e) 31

c) 9

UNAP–ING–2015

07. ¿De cuantas formas se puede colocar en una fila 6 hombres y 5 mujeres, de tal forma que los lugares a) 88600 d) 84200

b) 86400 e) 84400

UNAP–EXT–2000

c) 82800

08. Entre las permutaciones de las letras: a, b, c, d. ¿Cuántas principian con “a”? a) 4 d) 6

b) 9 e) 12

UNAP–EXT–2002

c) 24

09. Hay 8 carros que deben de viajar entre Puno y Juliaca. ¿De cuantas maneras puede una persona viajar de Puno a Juliaca, regresando en un carro diferente?

03. Resolver para “x”:  x  x   +   =− 5 + 2 x 0  1 a) 6 d) –5

¿Cuántos partidos más se deberán programar, si llegan 3 equipos más?

UNAP–SOC–2015

c) 160

a) 720 d) 56

b) 24 e) 28

UNAP–EXT–2004

c) 120

10. Se quieren sentar 5 hombres y 4 mujeres en fila, de modo que las mujeres ocupen los sitios pares. ¿De cuantas formas pueden sentarse? a) 144 d) 3558

b) 5040 e) 1024

UNAP–EXT–2004

c) 2880

11. En un torneo de futbol se jugaron en total 524 partidos. En la primera rueda jugaron todos contra todos y en la segunda jugaron los 8 mejores. ¿Cuántos equipos participaron? a) 40 d) 36

UNAP–EXT–2005/UNAP–2007/UNAP–ING–2014

b) 32 e) 38

c) 34

06. Diez equipos de fútbol participan en un campeonato (una rueda todos contra todos) Academia GAUUS

673

JOHN MAMANI M. 12. En un campamento de futbol, 10 equipos deben jugar todos contra todos, si llegan 2 equipos más, el número de partidos adicionales que deben jugarse son: CEPREUNA–2003/UNAP–EXT–2006/ UNAP–2015

a) 22 d) 11

b) 20 e) 10

c) 21

13. Antonio invita a su novia y a sus tres futuros cuñados a un almuerzo, que se realiza en un restaurante cuyas mesas tenían la forma de un pentágono regular. ¿De cuantas maneras distintas se podrán ubicar, si Antonio y su novia siempre están juntos? a) 16 d) 18

b) 14 e) 10

UNAP–EXT–2006

c) 12

14. Una estudiante tiene para vestirse 4 camisas; 3 faldas; 2 pantalones y 5 pares de zapatos. ¿De cuantas formas se podrá vestir? a) 120 d) 64

b) 100 e) 56

UNAP–EXT–2006

c) 144

15. ¿De cuantas formas se puede escoger un comité compuesto de 3 hombres y 2 mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres? a) 530 d) 450

b) 350 e) 305

UNAP–EXT–2008

c) 335

16. ¿Cuántos números de cuatro cifras que sean mayores de 4000 se pueden formar con los dígitos 1, 3, 5, 7, si estos números pueden repetirse?

18. En un mercado se necesitan 6 varones y 3 damas. ¿De cuántos modos puede hacer la selección el gerente, si los solicitantes son 9 varones y 5 damas? a) 640 d) 940

b) 740 e) 1040

UNAP–EXT–2012

c) 840

19. Un estudiante debe responder como mínimo 8 preguntas en un examen de 12 preguntas. ¿De cuantas formas posibles puede el estudiante elegir las 8 preguntas a responder? a) 495 d) 275

b) 360 e) 550

c) 225

20. ¿Cuántas palabras de 8 letras con significado o no, se pueden formar con las letra de la palabra AAMMOOOR? a) 1380 d) 1531

b) 1720 e) 1680

UNAP–2005

c) 2480

21. Se tiene una suma con fichas azules y verdes para ganar 1 nuevo sol, es necesario sacar 2 fichas azules seguidas o 2 fichas verdes de cualquier forma. ¿de cuantas maneras se puede ganar 1 nuevo sol? a) 8 d) 5

b) 7 e) 4

c) 3

b) 200 e) 128

c) 180

17. Ocho personas se ubican alrededor de una mesa circular. ¿De cuantas formas podrán ubicarse si cuatro de ellas deben estar siempre juntas? UNAP–EXT–2011

a) 586 d) 48

674

b) 144 e) 576

c) 95

UNAP–2005

22. Un conjunto de alumnos está integrado por 5 mujeres y 3 varones. ¿De cuantas maneras se puede formar grupos diferentes de 4 personas de forma que por lo menos existan 2 varones?

UNAP–EXT–2010

a) 162 d) 124

UNAP–2004

UNAP–2006

a) 35 d) 50

b) 40 e) 25

c) 30

23. Calcular el número de arreglos diferentes que se puede formar con todas las letras de la palabra “INGENIERO” de tal modo que todas las vocales estén juntas. a) 80 d) 800

b) 1800 e) 2800

UNAP–2006

c) 3800

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. 24. Un grupo de profesionales asignados a un proyecto está formado por dos ingenieros y tres técnicos y deben ser elegidos de una empresa contratista que dispone de 5 ingenieros y 8 técnicos. ¿Cuántos grupos de proyectos distintos pueden formarse a partir de los 13 profesionales distintos? UNAP–2007

a) 860 d) 760

b) 660 e) 460

c) 560

25. ¿Cuántos apretones de manos se producirán al saludarse las 46 personas asistentes a una reunión?

29. En una reunión se dieron 120 estrechadas de mano. ¿Si, todos se saludaron cuantas personas habían? UNAP–SOC–2014

a) 15 d) 119

b) 16 e) 120

c) 8

30. En un campeonato de futbol, 10 equipos deben jugar todos contra todos; si llegan 2 equipos más, el número de partidos adicionales que se debe jugar es: CEPREUNA–2003

a) 22 d) 21

b) 20 e) 10

c) 11

UNAP–2009/UNAP–2014

a) 1820 d) 2070

b) 2206 e) 1035

c) 2116

26. ¿Cuántas ensaladas que contienen exactamente 4 frutas podemos hacer si disponemos de 10 frutas diferentes? UNAP–BIO–2014

a) 120 d) 210

b) 180 e) 240

UNAP–SOC–2014

b) 40 e) 8

CEPREUNA–2004

a) 288 d) 728

b) 1688 e) 1288

c) 1728

c) 200

27. Un estudiante en el concurso regional de matemática tiene que contestar 8 de 10 preguntas del examen. ¿De cuantas maneras el estudiante puede escoger las 8 preguntas? a) 80 d) 45

31. ¿De cuantas maneras diferentes 2 peruanos, 3 argentinos y 4 colombianos pueden sentarse en la fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos?

32. Con cuatro consonantes y tres vocales, ¿Cuántas palabras de cinco letras pueden formarse, conteniendo cada palabra 3 consonantes y 2 vocales? CEPREUNA–2005

a) 1550 d) 1000

b) 60 e) 1440

c) 600

c) 10

28. Con 7 clases de vinos, tomados de tres en tres, ¿Cuántas mezclas diferentes se pueden obtener al mezclar igual cantidad de cada clase?

33. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden sentar 10 personas en una mesa redonda de 6 asientos, si quedan 4 de pie? CEPREUNA–2007

a) 13000 d) 12000

b) 7200 e) 25200

c) 2520

UNAP–ING–2014

a) 42 d) 38

b) 36 e) 28

c) 35

34. Un mástil tiene 3 posiciones y se disponen de 4 banderas diferentes. ¿Cuántas señales diferentes se pueden hacer colocando 2 banderas? CEPREUNA–2010

Academia GAUUS

675

JOHN MAMANI M. a) 60 d) 72

b) 48 e) 84

c) 36

35. En la Copa Perú participaron 12 equipos de futbol ¿Cuántos partidos se jugaron, todos contra todos? CEPREUNA–2010

a) 66 d) 50

b) 70 e) 69

CEPREUNA–2010

b) 144 e) 60

c) 288

37. Con las frutas: piña, papaya; manzana, naranja y plátano. ¿Cuántos jugos de diferentes sabores se puede hacer? CEPREUNA–2011

a) 25 d) 6

b) 5 e) 16

CEPREUNA–2008/CEPREUNA–ING–2013

a) 96 d) 7680

b) 45080 e) 720

c) 768

c) 76

36. Felicitas tiene para vestirse 4 blusas, 3 plantones, 2 faldas y 6 pares de zapatos ¿De cuantas formas se puede vestir? a) 120 d) 240

40. ¿De cuantas maneras seis parejas de novios pueden ubicarse alrededor de una mesa circular, de modo que las parejas siempre estén juntas?

41. ¿De cuantas formas pueden sentarse en una misma mesa circular de 8 asientos un grupo de 8 personas?, si 3 de las personas siempre deben estar juntas. CEPREUNA–ING–2013

a) 700 d) 710

b) 740 e) 720

c) 730

42. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra BEBES? CEPREUNA–SOC–2013

a) 35 d) 20

b) 25 e) 40

c) 30

c) 31

38. En una biblioteca hay 8 libros de Geometría, 14 de Algebra, 10 de Física y 5 de Química ¿De cuantas maneras puede un estudiante seleccionar 4 libro, de manera que sea uno de cada curso mencionado?

43. Una compañía aérea debe realizar diariamente cinco viajes al Cusco, tres a Trujillo y dos a Iquitos. ¿De cuantas maneras distintas puede realizar itinerario? CEPREUNA–SOC–2013

a) 2520 d) 2400

b) 2600 e) 2120

c) 2020

CEPREUNA–BIO–2013

a) 4360 d) 1800

b) 3200 e) 2700

c) 5600

39. Si 7 varones y 5 mujeres van a formar comités mixtos de 6 personas. ¿De cuantas maneras pueden agruparse si en el comité hay 2 mujeres?

44. Una urna contiene 6 bolas blancas y 5 bolas negras. Encuentre el número de maneras en que se pueden sacar 4 bolas de la urna, si 2 deben ser blancas y 2 deben ser negras. CEPREUNA–SOC–2014

a) 150 d) 151

b) 147 e) 149

c) 148

CEPREUNA–ING–2013

a) 120 d) 710

b) 540 e) 240

c) 350

45. ¿Cuántos apretones de mano se producirán al saludarse las 40 personas asistentes a una reunión? UNAP–SOC–2014

676

Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. a) 680 d) 470

b) 570 e) 870

c) 780

46. Se va a colorear un mapa de 4 países con colores diferentes para cada uno. Si hay 6 colores distintos, ¿de cuantas maneras se puede colorear el mapa?

a) 12 d) 144

b) 152 e) 142

51. Se tienen 9 vasos diferentes, 5 de los cuales deben ser llenados con vino y los 4 restantes con chicha. ¿De cuantas maneras diferentes, se puede realizar el llenado?

UNAP–ING–2014

a) 280 d) 780

b) 320 e) 360

c) 420

47. Para ir de Puno a Juliaca hay dos formas, de Juliaca a Cuzco 3 formas, de Cuzco a Lima 2 formas, de Juliaca a Arequipa 3 formas, de Arequipa a Lima 2 formas. ¿De cuantas formas se puede llegar a Lima partiendo de Puno? UNAP–EXT–2000

a) 22 d) 24

b) 28 e) 25

UNAP–EXT–2005

b) 52 e) 58

c) 54

UNAP–EXT–2006

b) 48 e) 84

b) 121 e) 130

c) 125

52. Una ama de casa tiene 2 manzanas y 3 plátanos. Durante 5 días seguidos da a su hijo una fruta. ¿De cuantas maneras puede efectuar esto? UANCV–2013/2014

a) 8 d) 25

b) 10 e) 30

c) 16

53. Roger sufre de obesidad y le recomiendan que para que baje de peso acuda tres días de al gimnasio, dos días al sauna y haga dieta un día, en diferentes días de lunes a sábado. ¿De cuantas formas diferentes puede elaborar una programación para cumplir con la recomendación? UNAJ–2013

49. En un torneo de ajedrez intervienen 8 jugadores. ¿Cuántas partidas deben programarse, si cada jugador debe enfrentarse tres veces con cada uno de los restantes? a) 56 d) 60

UNAP–EXT–2014

a) 120 d) 126

c) 26

48. ¿De cuantas maneras distintas se puede ordenar linealmente 8 monedas, de las cuales 5 son de 20 céntimos y 3 de 10 céntimos? a) 60 d) 56

c) 160

c) 72

a) 120 d) 90

b) 240 e) 30

c) 60

54. Una pareja de esposos y sus cuatro hijos van al cine y encuentran 6 asientos en la misma fila. ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse si los 4 niños quieren estar juntos? CEPREUNAJ–2013

a) 36 d) 120

b) 134 e) 144

c) 48

50. ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de una fogata, cuatro parejas de esposos, de manera que los hombres y mujeres queden alternadas? UNAP–EXT–2010

Academia GAUUS

677

JOHN MAMANI M.

Probabilidades CAPÍTULO XXIII Es una rama de la matemática que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso produzca un determinado resultado

• Evento imposible (B) Si n(B) = φ • Evento elemental (C) Si n(C) = 1

DEFINICIONES PREVIAS

Ejemplo: Experimento aleatorio: “Lanzar un dado” Evento: “Obtener un puntaje impar” Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {1, 3, 5}

A. EXPERIMENTO ALEATORIO ( ε ) Es todo experimento en el que a pesar de repetirse en las mismas condiciones es imposible predecir los resultados. Ejemplo: No podemos predecir qué resultado saldrá ya que podría ser: 1, 2, 3, 4, 5 ó 6 puntos.

→ n(Ω) = 6

DEFINICIÓN CLÁSICA Para un espacio muestral donde sus elementos tienen las mismas probabilidades, la probabilidad de que ocurra (A) es:

= P(A)

B. ESPACIO MUESTRAL ( Ω )

Es el conjunto cuyos elementos son los posibles resultados de un experimento aleatorio. Ejemplo: Experimento aleatorio: “Lanzamiento de un dado”. Espacio muestral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Número de elementos del espacio muestral: n(Ω) = 6

C. EVENTOS Es cualquier subconjunto del espacio muestral y se denota con A; B; C; D; … Clases de eventos • Evento seguro (A): Si n(A) = n(Ω)

678

→ n(A) = 3

n(A) N° de casos a favor de A = N° total de casos posibles en Ω n(Ω)

Propiedades • 0 ≤ P(A) ≤ 1 • •

C

C

donde es el A P(A) + P(A ) = 1 complemento del suceso A. P(A ∪ B)= P(A) + P(B) − P(A ∩ B) , donde A y B son sucesos cualesquiera.

CASO PARTICULAR PROBABILIDAD CONDICIONAL Sean los eventos A y B son P(B) > 0 . La probabilidad de que ocurra el evento A. dado que ha ocurrido B, se denomina probabilidad condicional y se denota P(A/B) . P(A/B) =

P(A ∩ B) P(B)

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JOHN MAMANI M. MISCELÁNEA PROBLEMA 01

PROBLEMA 03

Si se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un puntaje impar? a) 1/3 b) 1/2 c) 4/5 d) 1/6 e) 2/3

Si se lanzan dos dados, uno de color blanco y otro de color rojo, ¿cuál es la probabilidad de obtener 7 puntos en total? a) 2/18 b) 1/4 c) 1/6 d) 3/7 e) 1/12

Resolución

Resolución

Resultados posibles: 6 Resultado de que sea impar: 3 3 1 Probabilidad: P= = 6 2

Cuando tengamos experimentos en los que se lanzan dos dados es recomendable usar el siguiente esquema: dado rojo

1

PROBLEMA 02 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos monedas se obtenga en ambas sello? a) 1/3 b) 5/6 c) 1/5 d) 1/4 e) 1/2

c c s s Espacio = :Ω muestral

Suceso : A =

Luego: = P

n(A) 1 = n(Ω) 4

Academia GAUUS

5

6

⊕ ⊕

⊕

3

⊕

4

Este resultado indica que se obtuvo 1 punto en el dado blanco y 6 en el rojo

⊕ ⊕

Casos totales: , , ,

( 1, 2 ) , ( 1, 3 ) , ... , ( 1,6 )  ( 2, 2 ) , ( 2, 3 ) , ... , ( 2,6 )   ( 3, 2 ) , ( 3, 3 ) , ... , ( 3,6 ) 

,

( 6, 2 ) , ( 6, 3 )

  , ... , ( 6,6 ) 

→ n( Ω) = 36

) , ( s ,s )} → n ( Ω ) { ( c ,c ) , ( c ,s ) , ( s ,c=

{ ( s , s ) } → n ( A )=

dado blanco

 ( 1,1 )   ( 2,1 ) Ω =  ( 3,1 )     ( 6,1 )

c s c s

4

2

6

Al lanzar dos monedas los posibles resultados son:

3

1

5

Resolución

2

1

4

Casos a favor: A = { ( 1,6 ) , ( 2,5 ) , ( 3, 4 ) , ( 4 , 3 ) , ( 5, 2 ) , ( 6,1 ) }

→ n( A ) = 6 n( A ) 6 P = = 1 Luego:= 6 ( ) n Ω 36

679

JOHN MAMANI M.

Resolución

PROBLEMA 04

Para una rifa se venden 20 cupones; Mario n ( Ω )= 2 2= 4 n ( CF )= 1 compra dos cupones, si se ofrecen dos premios. n(Ω ) 1 ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga solo uno = P( A ) = ( CF ) 4 n de los premios? a) 9/5 b) 9/10 c) 9/8 d) 9/4 e) 21/2 PROBLEMA 07

Resolución 19 × 18 10 C2 2= 9 = = Probabilidad 20 × 19 10 20 C2 2

De una urna que contiene 4 bolas blancas y 5 negras, extraen al azar sucesivamente 3 bolas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea negra, la segunda blanca y la tercera negra? a) 13/42 b) 5/42 c) 5/63 d) 13/63 e) 10/63

PROBLEMA 05 Si se lanzan dos dados simultáneamente, la probabilidad de que el resultado del segundo dado sea mayor que el primero, es: a) 1/4 c) 5/9 c) 1/2 d) 2/3 e) 5/12

Resolución

dado 2º   1 2 3 4 5 6

1 2  3 1º dado  4 5  6

n ( CF ) = 15 ;

) P( A =

1N

1B

1N

4B 5N

4B 4N

3B 4N

Total : 9

Total : 8

Total : 7

P(1N,1B,1N) =

5 4 4 10 × × = 9 8 7 63

PROBLEMA 08 Una casa está conformado por 11 niños y 7 niñas, si se escoge 4 estudiantes al azar ¿Cuál es la probabilidad que todos sean niños? a) 11/50 b) 11/102 c) 11/40 d) 11/100 e) 1/2 n( Ω ) = 36

15 5 = 36 12

PROBLEMA 06

Al lanzar una moneda dos veces en forma consecutiva, la probabilidad de que en ambos lanzamientos salga “cara”, asumiendo que los lanzamientos son independientes, es: a) 1/8 b) 1/2 c) 3/4 d) 1/3 e) 1/4

680

Resolución

Resolución: 11

Probabilidad =

C4 18 C4

(# casos fav.) (# Total casos fav.)

11 × 10 × 9 × 8 18 × 17 × 16 × 15 11 Probabilidad = 102 Probabilidad =

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JOHN MAMANI M.

¡Comprueba lo que sabes! 01. Marta compro un disco de música de dos artistas, que contienen 4 canciones de Coldplay y 6 de David Guetta. Si el equipo de música escoge el orden de las canciones al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que la primera canción que oyó fuera del Coldplay? a) 2/5 b) 3/5 c) 4/5 d) 1/10 e) 3/10 02. En un cajón de una cómoda hay camisetas de varios colores: 2 rojas y 4 azules. Si Eva toma una camiseta del cajón, ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja? a) 1/2 b) 1/6 c) 1/3 d) 2/3 e) 3/5 03. Si Elvis va a la ciudad en autobús con 2 varones y 3 mujeres, y tiene que sentarse con alguien, calcula la probabilidad de que se siente con un varón. a) 1/5 b) 2/5 c) 4/5 d) 2/3 e) 1/3 04. Hoy Anita viajo a Puno y se dedicó a pescar en una piscigranja del lago Titicaca, donde habían 600 truchas y 460 suches. Si Ana llevo solo un pez cuando regreso al hotel, ¿Cuál es la probabilidad de que este sea un suche? a) 46/107 b) 18/43 c) 30/53 d) 23/43 e) 23/53 05. Se tiene 20 libros diferentes: 6 de Aritmética y el resto de Lenguaje. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger al azar un libro resulte de Aritmética? a) 1/5 b) 2/3 c) 3/7 d) 3/10 e) 7/10 06. Don Fausto es pescador de Chorrillos. Vende pescado a 4 supermercados y 2 restaurantes, por lo general todos le pagan con cheques, pero hoy uno le pago con efectivo. ¿Cuál es la probabilidad de que el efectivo fuera de un supermercado? Academia GAUUS

a) 1/3 d) 1/4

b) 5/6 e) 2/3

c) 1/6

07. Rosita ha comprado una caja de chocolates y son de sabores diferentes: 8 de almendra, 6 de pasas y 6 de coco. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer chocolate que Rosa coma sea de pasas? a) 0,6 b) 0,4 c) 0,3 d) 0,5 e) 0,8 08. De 8 latas que están sobre una mesa, hay 2 de frijoles, 5 de atún y 1 de espinacas. Si una lata se cae y se daña, ¿Cuál es la probabilidad de que la lata dañada sea de frijoles o espinaca? a) 3/8 b) 1/6 c) 2/3 d) 5/12 e) 5/6 09. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos resultados iguales al lanzar dos dados al mismo tiempo? a) 3/5 b) 1/6 c) 2/3 d) 5/12 e) 5/6 10. Las 8 salas de conferencia en un edificio tienen vistas diferentes: 3 miran al norte y 5 miran al sur. Si el señor Ruiz asiste a una reunión en una de ellas esta tarde, ¿Cuál es la probabilidad de que tenga una vista al norte? a) 1/8 b) 3/4 c) 1/4 d) 5/8 e) 3/8 11. Marco tiene monedas en su bolsillo: 4 de un sol y 6 de dos soles. Si Marco compra una bolsita de papas de un sol y paga con una moneda, ¿Cuál es la probabilidad de que pague con un nuevo sol? a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4 d) 0,6 e) 0,8 12. De un lote de 40 artefactos, se observa que 25 son buenos, 10 están dañados levemente y el resto presenta daños graves. ¿Cuál es la

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JOHN MAMANI M. probabilidad de que al sacar 2 artefactos al azar, resulten buenos? a) 3/9 b) 2/39 c) 1/20 d) 5/13 e) 5/21 13. Se lanza una moneda sobre una mesa. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga cara? a) 7/2 b) 2/4 c) 1/4 d) 1/2 e) 2/7 14. Se lanza un dado. Calcula la probabilidad de que el resultado sea un número primo. a) 1/2 b) 2/5 c) 1/3 d) 2/9 e) 1/6 15. En el quiosco del colegio, el vencedor tiene 32 caramelos dentro de un frasco: 10 son de fresa, 8 de limón, y 14 de menta. Si Luis compra un caramelo, y el vendedor extrae uno sin mirar, ¿Cuál es la probabilidad que el caramelo sea de limón? a) 1/4 b) 1/6 c) 1/2 d) 3/1 e) 1/8 16. Se lanzan 3 monedas al mismo tiempo, calcula la probabilidad de obtener 2 caras y un sello a) 1/60 b) 2/6 c) 6/2 d) 11/6 e) 3/8 17. De un mazo de 52 cartas se extrae una carta al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que dicha carta sea de diamantes? a) 2/4 b) 1/4 c) 3/6 d) 2/9 e) 1/7 18. Al lanzar dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntajes obtenidos sea 7? a) 1/6 b) 2/2 c) 2/6 d) 1/8 e) 2/4 19. En una urna hay diez bolillas numeradas del 1 al 10. Si se extraen dos bolillas de manera consecutiva, calcula la probabilidad que el numero tenga numeración par y el segundo numeración impar.

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a) 1/15 d) 5/18

b) 2/17 e) 1/27

c) 1/14

20. Al lanzar dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia de los resultados de ambos dados sea 2? a) 5/6 b) 2/9 c) 6/2 d) 1/8 e) 4/2 21. En una urna hay 5 bolas azules, 4 bolas blancas y 6 bolas rojas. Si se extraen dos bolas sin reposición, calcula la probabilidad de que las dos sean rojas. a) 1/7 b) 1/2 c) 2/4 d) 7/2 e) 8/4 22. En una urna hay 5 bolas azules, 4 bolas blancas y 6 bolas rojas. Si se extraen dos bolas sin reposición, calcula la probabilidad de que la primera sea azul y la segunda blanca. a) 1/5 b) 3/15 c) 2/15 d) 1/8 e) 2/21 23. En una urna hay 5 bolas azules, 4 bolas blancas y 6 bolas rojas. Si se extraen dos bolas sin reposición, calcula la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda blanca. a) 1/5 b) 4/35 c) 1/25 d) 2/10 e) 1/40 24. Sara aposto que al lanzar un dado saldría un número mayor que 4. Calcula la probabilidad que tiene Sara de ganar. a) 1/9 b) 1/4 c) 1/3 d) 1/5 e) 1/2 25. Se lanza una moneda y un dado, calcula la probabilidad de que salga cara y un puntaje no mayor que 3. a) 5/4 b) 5/3 c) 1/4 d) 2/2 e) 2/4 26. Al lanzar un dado, ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea un número par? Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. a) 3/2 d) 1/2

b) 1/7 e) 3/6

c) 2/4

27. Al lanzar dos monedas, ¿Cuál probabilidad de obtener dos caras? a) 1/3 b) 1/4 c) 1/8 d) 1/5 e) 1/2

es

la

28. Al extraer de una baraja de 52 cartas una de estas al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que se pueda obtener un rey? a) 1/17 b) 1/16 c) 2/8 d) 1/48 e) 1/13 29. Al extraer 2 bolas de una urna donde hay 5 bolas blancas, 3 azules y 4 rojas, ¿Cuál es la probabilidad de obtener una roja y una blanca? (el evento se da sin reposición) a) 4/8 b) 3/24 c) 5/33 d) 3/72 e) 3/55 30. Al lanzar dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea un número menor que 6? a) 1/15 b) 2/15 c) 18 d) 2/13 e) 5/18 31. De una baraja de 52 naipes, calcula la probabilidad que al extraer dos cartas de manera consecutiva (sin reposición) la primera sea roja y la segunda negra. a) 13/32 b) 1/25 c) 5/28 d) 13/51 e) 10/27 32. De una baraja de 52 naipes, calcula la probabilidad que al extraer dos cartas de manera consecutiva (sin reposición) las dos sean de espadas. a) 1/14 b) 3/6 c) 1/17 d) 2/35 e) 2/7 33. Se lanzan dos dados sobre una mesa, calcula la probabilidad de que la suma de los resultados de los puntos sea 5. a) 1/3 b) 1/6 c) 1/5 d) 3/4 e) 1/9 Academia GAUUS

34. Se lanzan dos dados sobre la probabilidad de que resultados de los puntos menor que 5. a) 1/4 b) 1/6 d) 1/5 e) 1/4

una mesa, calcula la suma de los sea un número c) 1/3

35. Se lanzan dos dados sobre una mesa, calcula la probabilidad de obtener puntajes iguales. a) 1/3 b) 1/5 c) 1/9 d) 1/6 e) 2/3 36. Sobre una mesa se lanzan 3 monedas legales, calcula la probabilidad de obtener resultados iguales. a) 2/5 b) 3/4 c) 4/9 d) 1/3 e) 1/4 37. Sobre una mesa se lanzan 3 monedas legales, calcula la probabilidad de obtener como mínimo 2 sellos. a) 1/4 b) 1/2 c) 2/3 d) 1/5 e) 2/9 38. Sobre una mesa se lanzan 3 monedas legales, calcula la probabilidad de no obtener caras. a) 7/9 b) 6/9 c) 1/8 d) 3/8 e) 5/8 39. Al extraer una carta de una baraja, calcula la probabilidad de obtener una reina. a) 1/12 b) 1/13 c) 1/19 d) 2/13 e) 7/9 40. Al extraer una carta de una baraja, calcula la probabilidad de obtener una carta roja. a) 1/5 b) 1/9 c) 1/2 d) 4/7 e) 1/8 41. Al extraer una carta de una baraja, calcula la probabilidad de obtener un as o una jota. a) 2/5 b) 1/4 c) 1/6 d) 2/13 e) 3/4 42. Al extraer una carta de una baraja, calcula la probabilidad de obtener una carta roja o un trébol.

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JOHN MAMANI M. a) 1/4 d) 3/8

b) 3/5 e) 3/4

c) 2/7

43. Al sacar 2 cartas de una baraja, calcula la probabilidad de que ambas sean de espadas. a) 1/16 b) 3/17 c) 3/5 d) 6/17 e) 1/17

caramelos de fresa y 30 de limón le dan 2 caramelos de manera consecutiva, ¿Cuál es la probabilidad de que ambos caramelos sean de su sabor preferido? a) 12/62 b) 38/245 c) 23/62 d) 16/26 e) 146/517

44. Al lanzar un dado, ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca un número impar? a) 1/4 b) 1/2 c) 2/3 d) 1/5 e) 2/9

50. Miguel lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea un número par? a) 5/8 b) 3/6 c) 1/2 d) 6/7 e) 3/5

45. Al extraer una carta de una baraja de 52 cartas, ¿Cuál es la probabilidad de extraer un as? a) 1/12 b) 1/13 c) 1/19 d) 2/13 e) 7/9

51. Al lanzar un dado, ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea un número mayor que 4? a) 3/8 b) 6/5 c) 3/4 d) 3/7 e) 1/3

46. Sin mirar se oprime una de las 27 letras que tiene el teclado de una computadora. Determina la probabilidad de que sea una consonante. a) 5/27 b) 20/27 c) 22/27 d) 1/27 e) 15/27

52. Al lanzar una moneda, ¿Cuál probabilidad de que salga cara? a) 0,6 b) 0,5 c) 0,2 d) 0,1 e) 0,9

47. Al lanzar dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma menor que 9? a) 15/26 b) 18/36 c) 7/18 d) 13/18 e) 11/36 48. En una caja hay 9 bolas numeradas del 1 al 9. Si se extraen dos bolas al azar, calcula la probabilidad que el producto de los números de las bolas sea un número impar. a)4/17 b) 9/19 c) 3/18 d) 5/9 e) 3/17 49. A Hugo le gustan los caramelos y su sabor preferido es el de fresa. Si ingresa a una tienda y de un frasco donde hay 20

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es

la

53. En una caja hay 10 colas rojas, 5 bolas negras y 5 bolas verdes. Si sacamos una bola al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea roja? a) 1/8 b) 2/7 c) 1/2 d) 2/3 e) 2/6 54. En una caja hay 12 bolas verdes, 4 azules y 15 negras. Si se extrae tres bolas al azar una tras otra sin reposición, ¿Cuál es la probabilidad que las dos primeras sean azules y la tercera verde? a) 1/2 b) 22/53 c) 24/449 d) 1/3 e) 1/6 55. En una caja hay 12 bolas blancas, 7 bolas negras y 10 amarillas. Si sacamos dos al azar, Academia GAUUS

JOHN MAMANI M. una tras otra probabilidad amarillas? a) 100/841 d) 66/392

y con reposición, ¿Cuál es la de que ambas bolas sean b) 66/382 e) 74/362

c) 81/873

56. En una caja hay 4 bolas rojas y 2 bolas verdes. Si sacamos dos bolas al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean rojas? a) 2/5 b) 2/6 c) 2/3 d) 2/4 e) 2/7 57. En una caja hay 5 bolas verdes, 2 bolas azules y 3 bolas negras. Si sacamos tres bolas al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que las tres bolas extraídas sean verdes? a) 1/12 b) 1/16 c) 1/13 d) 1/14 e) 1/19 58. Se eligen al azar dos números diferentes del 1 al 20. Calcula la probabilidad de que la suma de los números obtenidos sea 14, dado que resultaron impares. a) 1/15 b) 1/16 c) 1/12 d) 2/24 e) 1/19 59. La probabilidad de que un alumno ingrese a la universidad es 0,8. ¿Cuál es la probabilidad de que de cuatro postulantes, los tres primeros hayan ingresado, pero el cuarto no? a) 0,328 b) 0,642 c) 0,563 d) 0,1024 e) 0,535 60. ¿Cuál es la probabilidad de extraer 3 o 4 al lanzar un dado? a) 1/3 b) 2/6 c) 7/3 d) 2/4 e) 7/4 61. Se lanza un dado no cargado. Dado que el resultado es un numero par, ¿Cuál es la probabilidad de que dicho resultado sea mayor que 3? Academia GAUUS

a) 5/7 d) 5/6

b) 2/3 e) 5/8

c) 5/9

62. ¿Cuál es probabilidad de que al extraer una bola de una urna donde hay 3 bolas rojas, 7 azules, 4 blancas y 2 negras, esta no sea roja? a) 13/15 b) 13/16 c) 13/64 d) 1/352 e) 1/355 63. Se lanza un par de dados. Si la suma es 6, ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los dados sea 2? a) 2/5 b) 3/8 c) 1/3 d) 3/4 e) 1/9 64. Se lanza un dado y una moneda simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo y un sello? a) 1/9 b) 1/6 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/3 65. Se lanzan 2 dados legales simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 8 puntos? a) 4/30 b) 3/40 c) 29/3 d) 5/36 e) 7/43 66. Al lanzar un dado, ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo? a) 1/5 b) 1/6 c) 1/2 d) 1/9 e) 1/8 67. Al lanzar un dado, ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número menor a 3? a) 1/3 b) 1/6 c) 1/9 d) 1/4 e) 1/7 68. Al lanzar un dado, ¿Cuál es la probabilidad de no obtener un número cuya raíz cuadrada sea exacta? a) 2/5 b) 2/3 c) 2/7 d) 15/ e) 2/6

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JOHN MAMANI M. 69. En una urna donde hay 7 bolas blancas, 5 rojas y 3 azules, ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer 2 bolas estas sean rojas? a) 2/15 b) 2/21 c) 2/64 d) 2/22 e) 2/45

76. De una baraja de 52 cartas se extrae una. Calcula la probabilidad de que sea un as o un diamante. a) 3/13 b) 3/21 c) 3/23 d) 3/19 e) 4/13

70. Se lanza un dado y una moneda simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo y un sello? a) 5/6 b) 2/5 c) 2/3 d) 1/4 e) 2/4

77. Una urna contiene 5 bolas blancas y 3 negras, otra contiene 6 blancas y 4 negras. Si se extrae al azar una bola de cada urna, calcula la probabilidad de que ambas sean de color blanco. a) 3/8 b) 4/6 c) 6/8 d) 2/4 e) 7/4

71. Se lanzas dos dados simultáneamente, ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? a) 30 b) 35 c) 38 d) 39 e) 36 72. Se extrae una carta de una baraja normal. Calcula la probabilidad de obtener un 4 o un 6. a) 2/16 b) 1/13 c) 1/16 d) 2/13 e) 1/14 73. Si lanzamos dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea 8? a) 3/56 b) 4/30 c) 3/23 d) 5/36 e) 3/74 74. Si lanzamos tres monedas, ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 2 caras y 1 sello? a) 7/9 b) 3/4 c) 2/3 d) 3/8 e) 7/8 75. En una caja se dispone de 9 bolas numeradas del 1 al 9, y se extrae dos bolas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos números primos? a) 2/5 b) 1/6 c) 1/5 d) 1/2 e) 4/5

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78. En una lavandería se tiene 40 camisas blancas nuevas y 60 usadas, también se tiene 30 camisas rojas nuevas y 50 usadas. Se extrae una camisa al azar. Calcula la probabilidad de que sea blanca, dado que es nueva. a) 6/8 b) 9/10 c) 2/13 d) 4/7 e) 6/14 79. En una urna se tiene 12 bolas; 7 blancas y 5 negras. Se extraen 2 bolas al azar una tras otra. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda negra? a) 12/50 b) 12/60 c) 35/132 d) 1/220 e) 15/80 80. En una urna hay 4 bolas blancas y 6 rojas. Se extraen al azar una por una. ¿Cuál es la probabilidad de que en la tercera extracción se obtenga por primera vez la bola blanca? a) 1/7 b) 6/9 c) 1/6 d) 1/9 e) 1/6

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01. En una caja hay 30 fichas numeradas del 1 al 30 todas del mismo tamaño y forma. Si se extrae una ficha al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que esta sea múltiplo de 3 o 5?

A es 0,3 y de que ingrese a la universidad B es 0,9. Si la probabilidad de que ingrese solo a una de dichas universidades es 0,7. ¿Cuál es la probabilidad de que ingrese a ambas a la vez? CEPREUNA–BIO–2013

CEPREUNA–ING–2013

a) 0,24 b) 0,45 c) 0,25 d) 0,35 e) 0,65

a) 7/15 b) 6/15 c) 5/13 d) 4/13 e) 3/13 02. A una reunión asisten 90 personas, resulta que 70 fuman, 50 beben y 15 no fuman ni beben, si de estas personas se elige una de ellas al azar. ¿Cuál es la probabilidad que beba y fume? CEPREUNA–BIO–2013

a) 1/2 b) 2/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6

CEPREUNA–ING–2014

a) 1/5 b) 1/6 c) 1/9 d) 2/11 e) 1/24

03. Carlos rinde su práctica calificada y la calificación es de 0 a 20. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga una nota impar mayor que 13? CEPREUNA–SOC–2013

a) 1 b) 1/7 c) 1/3 d) 1/8 e) 1/2 04. Rosa se presenta a los exámenes de la Universidad A y de la Universidad B, la probabilidad de que ingrese a la universidad Academia GAUUS

05. En una carretera de autos participan cuatro competidores A, B, C y D. Uno de ellos debe ganar necesariamente. Si la probabilidad de que gane A es el doble de la de B, la de B es la mitad de C y la de D es el triple de A. ¿Cuál es la probabilidad de que gane A?

06. En una baraja de 52 cartas, ¿Cuál es la probabilidad de obtener una carta de espadas con un valor menor que 7 o un valor mayor que 10? CEPREUNA–SOC–2014

a) 9/52 b) 1/3 c) 7/91 d) 5/37 e) 2/17 07. Sobre el piso, Jaimito ha dibujado una circunferencia, luego duplica el radio y dibuja

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JOHN MAMANI M. una circunferencia concéntrica. ¿Cuál es la probabilidad de que al arrojar una canica dentro de los círculos, esta no caiga en el círculo pequeño? CEPREUNA–ING–2014

a) 0.25 b) 0.40 c) 0.50 d) 0.75 e) 0.80 08. De una reunión de 5 varones y 6 mujeres se desea escoger un grupo de 4 personas. Halle la probabilidad de que dicho grupo este conformado por más de 2 varones. CEPREUNA–ING–2014

a) 5/33 b) 19/33 c) 17/66 d) 13/66 e) 11/54 09. Josefa, Josefina y 4 amigas van a ser ubicadas en 6 asientos contiguos. ¿Cuál es la probabilidad de que no se sientan juntas? UNAP–EXT–2004

a) 1/2 b) 2/3 c) 1/5 d) 2/9 e) 4/7 10. Se tiene una baraja de 52 cartas y de ella se extrae una al azar. Halle la probabilidad de que la carta sea un “as” o un “trébol”.

11. Se lanzan dos dados normales. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 10 puntos? UNAP–EXT–2011

a) 1/10 b) 3/8 c) 1/12 d) 4/36 e) 5/8 12. Rosita se encuentra embarazada y le diagnosticaron que tendría cuatrillizos. ¿Cuál es la probabilidad que nazcan 4 varones? UNAP–2010/2006

a) 1/8 b) 1/2 c) 1/24 d) 1/16 e) 1/6 13. Tres cazadores A, B y C están apuntando con sus rifles a un león. La probabilidad de que A acierte el disparo es 4/5; la de B es 3/7; y, la de C es 2/3. La probabilidad de que acierten los tres es: UNAP–2010

a) 8/15 b) 8/25 c) 8/35 d) 8/45 e) 8/20 14. Se tiene una caja con 3 bolas rojas, 5 bolas blancas y 4 bolas verdes. Determine ¿Cuál es la probabilidad de que se extraiga una bola roja o blanca?

UNAP–EXT–2010

a) 9/13 b) 17/52 c) 3/26 d) 2/13 e) 4/13

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UNAP–BIO–2011

a) 2/3 b) 1/3 c) 4/9 d) 5/9 e) 7/9 Academia GAUUS

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Separatas CEPREUNA-Puno

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