Libro Cap 08

 

  2009 

METODOS CUANTITATIVOS PARA LOS NEGOCIOS

CAPITULO 8. INTRODUCCION AL MÉTODO DE SIMULACIÓN MONTE CARLO Objetivos del Capítulo 

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Introducir los conceptos e ideas clave de la simulación Monte Carlo. Introducirse en las capacidades que ofrece Excel en los campos de modelado y simulación. Conocer algunas aplicaciones de la simulación Monte Carlo.

8.0 Introducción 

Bajo el nombre de Método Monte Carlo o Simulación Monte Carlo se agrupan una serie de procedimientos que analizan distribuciones de variables aleatorias ale atorias usando simulación de números aleatorios. El Método de Monte Carlo da solución a una gran variedad de problemas matemáticos haciendo experimentos con muestreos estadísticos en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico e stocástico o determinístico. Generalmente en estadística los modelos aleatorios se usan para simular fenómenos que poseen algún componente aleatorio. Pero en el método Monte Carlo, por otro lado, el objeto de la investigación es el objeto en sí mismo, un suceso aleatorio o pseudo‐aleatorio se usa para estudiar el modelo. A veces la aplicación del método Monte Carlo se usa para analizar problemas que no tienen un componente aleatorio explícito; en estos casos un parámetro determinista deter minista del problema elsefamoso expresaproblema como unadedistribución las Agujas dealeatoria Bufón. y se simula dicha distribución. Un ejemplo sería La simulación de Monte Carlo también fue creada para resolver integrales que no se pueden resolver por métodos analíticos, para solucionar estas integrales se usaron números aleatorios. Posteriormente se utilizó para cualquier esquema que emplee números aleatorios, usando variables aleatorias con distribuciones de probabilidad conocidas, el cual es usado para resolver ciertos problemas estocásticos y determinísticos, donde el tiempo no juega un papel importante. importan te. La simulación de Monte Carlo es una técnica que combina conceptos estadísticos esta dísticos (muestreo aleatorio) con la capacidad que tienen los ordenadores para generar números pseudo‐ aleatorios y automatizar cálculos.

     O      L      R      A      C      E      T      N      O      M      N       Ó      I      C      A      L      U      M      S      I      E      D      O      D      O      T       É      M      L      A      N      O      I      C      C      U      D      O      R      T      N      I  .      8      O      L      U      T      I      P      A      C

Compilación: Ybnias Elí Grijalva Yauri

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METODOS CUANTITATIVOS PARA LOS NEGOCIOS 8.1 Inicios del Método de Monte Carlo 

El método fue llamado así por el principado de Mónaco por p or ser ``la capital del juego de azar'', al tomar una ruleta como un generador gener ador simple de números aleatorios. El nombre y el eldesarrollo desarrollo sistemático de la computadora. de los métodos Sin de Monte embargo Carlo hay datan varias aproximadamente instancias (aisladas de 1944 y con no desarrolladas) en muchas ocasiones anteriores a 1944. El uso real de los métodos de Monte Carlo como una herramienta de investigación, proviene del trabajo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial. Este trabajo involucraba la simulación directa de problemas probabilísticos de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones neutr ones aleatorios en material de fusión. Aún en la primera etapa de estas investigaciones, John von Neumann y Stanislao Ulam refinaron esta curiosa ``Ruleta rusa'' y los métodos``de métodos` `de división''. Sin embargo, el desarrollo sistemático de estas ideas tuvo que esperar el trabajo de Harris y Herman Kahn en 1948. Aproximadamente en el mismo año, Fermi, Metropolos y Ulam obtuvieron estimadores para los valores característicos de la ecuación de Schrödinger para la captura de neutrones n eutrones a nivel nuclear. Alrededor de 1970, los desarrollos teóricos en complejidad computacional comienzan a proveer mayor precisión y relación para el empleo del método Monte Carlo. La teoría identifica una clase de problemas para los cuales el tiempo necesario para evaluar la solución exacta al problema crece con la clase, al menos exponencialmente con M. La cuestión a ser resuelta era si MC pudiese o no estimar la solución al problema de tipo intratable con una adecuación estadística acotada a una complejidad complej idad temporal polinomial en M. Karp(1985) muestra esta propiedad propieda d para estimar en una red plana multiterminal con arcos fallidos aleatorios. Dyer(1989) utiliza MC para estimar el volumen de un convex body en el espacio Euclidiano M‐dimensional. Broder(1986), Jerrum y Sinclair (1988) establecen la propiedad para estimar la persistencia pe rsistencia de una matriz o en forma eq equivalente, uivalente, el número de matching perfectos en un grafo bipartito. Los orígenesa finales de esta detécnica al trabajo traba jodedesarrollado Stan Ulam y John Vonel Neumann los 40están en ligados el laboratorio Los Alamos,porcuando investigaban movimiento aleatorio de los neutrones. En años posteriores, la simulación de Monte Carlo se ha venido aplicando a una infinidad de ámbitos como alternativa a los modelos matemáticos exactos o incluso como único medio de estimar soluciones para problemas complejos. Así, en la actualidad es posible encontrar modelos que hacen uso de simulación MC en las áreas informática, empresarial, económica, industrial e incluso social. En otras palabras, la simulación de Monte Carlo está presente en e n todos aquellos ámbitos en los que el comportamiento aleatorio o probabilístico desempeña un papel fundamental ‐ precisamente, el nombre de Monte Carlo proviene de la famosa ciudad de Mónaco, donde abundan los casinos de juego y donde el azar, la probabilidad y el comportamiento aleatorio conforman todo un estilo de vida. Compilación: Ybnias Elí Grijalva Yauri

    o      l     r     a      C     e     t     n     o      M     e      d     o      d     o     t      é      M      l     e      d     s     o      i    c      i     n      I      1  .      8

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Son muchos los autores que han apostado por utilizar hojas de cálculo para realizar simulación MC. La potencia de las hojas de cálculo reside en su universalidad, en su facilidad de uso, en su capacidad para recalcular r ecalcular valores y, sobre todo, en las posibilidades que ofrece con respecto al análisis de escenarios (“what‐if analysis”). Las últimas versiones de Applications, Excel incorporan, además, es posible un lenguaje creardeauténticas de programación aplicaciones propio, de simulación eldeVisual Basic for al usuario final.conEnel elcualmercado existen hecho varios complementos Exceldestinadas (Add‐Ins) específicamente diseñados para realizar simulación MC, siendo los más conocidos: @Risk, Crystall Ball, Insight.xla, SimTools.xla, etc.. 8.2 Simulación: Método Monte Carlo 

es el proceso de diseñar y desarrollar un modelo computarizado de un sistema o proceso y conducir experimentos con este modelo con el propósito de entender el comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias con las cuales se puede operar el sistema. Simulación: 

 

•

 

•

 

 

Modelo de simulación:

 

sistema expresado como relaciones conjuntomatemáticas de hipótesisy/oacerca lógicasdelentrefuncionamiento los elementos del sistema. Proceso  de  simulación:  ejecución del modelo a través del tiempo en un ordenador para generar muestras representativas del comportamiento.

8.2.1 Métodos de simulación 

: Está basada en el muestreo sistemático de

  Simulación  estadística  o  Monte  Carlo

•

variables aleatorias.

  Simulación  continua

•

: Los estados del sistema cambian continuamente su valor.

Estas simulaciones se modelan generalmente ecuaciones : Se definecon el modelo cuyodiferenciales. comportamiento varía en instantes del tiempo dados. Los momentos en los que se producen los cambios son los que se identifican como los eventos del sistema o simulación. Simulación  por  autómatas  celulares: Se aplica a casos complejos, en los lo s que se divide al comportamiento del sistema en subsistemas más pequeños denominadas células. El resultado de la simulación está dado por la interacción de las diversas células.

  Simulación por eventos discretos

•

 

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8.2.2 Etapas del proceso de simulación   

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Definición, descripción del problema. Plan.

    o      l     r     a      C     e     t     n     o      M     o      d     o     t      é      M    :     n      ó      i    c     a      l    u     m      i      S      2  .      8

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Formulación del modelo. Programación. Verificación y Validación del modelo. Diseño de experimentos y plan de corridas. Análisis de resultados 8.2.3 Diagrama de flujo del modelo de simulación           

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8.3  Algoritmos  Algoritmos 

El algoritmo de Simulación Monte Carlo Crudo o Puro está fundamentado en la generación de números aleatorios por el método de Transformación Inversa, el cual se basa en las distribuciones acumuladas de frecuencias:   Determinar la/s Variable Aleatoria y sus distribuciones acumuladas(F)   Iterar tantas veces como muestras necesitamos   Generar un número aleatorio   Uniforme  (0,1).   Determinar el valor de la V.A. para el número aleatorio generado de acuerdo a las clases que tengamos.   Calcular media, desviación estándar error y realizar rea lizar el histograma.    Analizar resultados para distintos tamaños de muestra .  Otra opción para trabajar con Monte Carlo, cuando cuan do la variable aleatoria no es directamente el resultado de la simulación o tenemos relaciones entre entr e variables es la siguiente: •

•

o

o

o

•

•

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Diseñar el modelo ló ico de decisión Especifica  distribuc ones de probabilida  para las variables al atorias relevantes. Incluir po ibles dependencias entre varia les. Muestrear valores d  las variables aleatorias. Calcular l resultado del mo elo segú los valo es del m estreo (it eración) registrar el resultad   Repetir el proceso h sta tener na muestra estadísti amente r presentativa Obtener la distribuci n de frec encias del resultado de las iter ciones Calcular edia, desv o. Analizar l s resultad s

Las principales c racterísti as a tener en cuent  para la i plement  ción o utilización del algorit  o son:     El sistema debe ser escripto por 1 o más funciones de distrib ción de p obabilida (fdp)   Generado de núm ros aleat  rios: com se generan los n meros al atorios e important   para evit ar que se produzca c rrelación ntre los v lores muestrales.   Establecer límites y eglas de uestreo p ra las fdp: conocem s que valo es puede adoptar las variables.   Definir Scoring: Cuando un v lor aleatorio tiene   no sentido para e   modelo simular.   Estimació   Error: C n que error trabajamos, cuan o error p demos aceptar par que una c rrida sea álida?   Técnicas de reducción de varia za.   Paraleliza ión y vectorización: En aplic ciones con muchas variables se estudi trabajar c n varios procesador s paralelo  para real zar la sim lación. •

•

•

•

•

• •

Ejemplo    Tenemos la sig iente dist ribución

e probabilidades para una

emanda

leatoria

quere os ver qu  sucede c n el prom dio de la emanda e varias iteraciones:   Demand

 

0.4 0.4

0.3

0.2

0.2

0.2

0.1

0.1

0.1

0 42

45

48

51

54

 

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Utilizando la distribución acumulada(F(x) es la probabilidad que q ue la variable aleatoria tome valores menores o iguales a x) podemos pode mos determinar cual es el valor obtenido de unidades cuando se genera un número aleatorio a leatorio a partir de una distribución continua uniforme. Este método de generación de variable aleatoria se llama Transformación T ransformación Inversa. Frecuencia  Frecuencia   Acumulada 

Unidades 

42 45 48 51 54

0.1 0.2 0.4 0.2 0.1

0.1 0.3 0.7 0.9 1

Generando los valores aleatorios vamos a ver como se obtiene el valor de la demanda para cada día, interesándonos en este caso como es el orden de aparición de los valores. Se busca el número aleatorio generado en la tabla de probabilidades acumuladas, una vez encontrado (si no es el valor exacto, éste debe se menor que el de la fila seleccionada pero unidades mayor que(Cuando el de latrabajamos fila anterior),en de Excel e sadebemos esa fila tomada tomar como el límite solución inferior se toma del elintervalo valor depara las busca en las acumuladas, para poder emplear la función BUSCARV(), para 42 sería 0, para 43 0,100001 y así sucesivamente). Ejemplo: Supongamos que el número aleatorio generado sea 0,52, ¿a qué valor de unidades corresponde? Nos fijamos en la columna de frecuencias acumuladas, ese valor exacto no aparece, el siguiente mayor es 0,70 y corresponde a 48 unidades. Frecuencia 

1.2

Demanda 

Frecuencia Acumulada 

1 0.9

1

0.7

0.8 0.6 0.4 0.2

0.1 0.1

0.3 0.2

0.4 0.2 0.1

0 42

45

48

51

54

Se puede apreciar mejor en el gráfico, gr áfico, trazando una recta desde el eje de la frecuen frecuencia cia hasta que interseca con la línea de la función acumulada, luego se baja a la coordenada de unidades y se obtiene el valor correspondiente; correspondiente ; en este caso 48. Cuando trabajamos con variables discretas la función acumulada tiene un intervalo o salto para cada variable (para casos prácticos hay que definir los intervalos y luego con una función de búsqueda hallar el valor). Para funciones continuas se puede hallar la inversa de la función acumulada. Compilación: Ybnias Elí Grijalva Yauri

    s     o     m     t      i     r     o    g      l      A      3  .      8

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De esta forma logramos a partir de la distribución de densidad calcular los valores de la variable aleatoria dada. Número de  Números 

Valor de la 

Simulación  aleatorios 

Demanda 

1 2 3 ... n

0.92 0.71 0.85 ... 0.46

54 51 51 ... 48

En la siguiente tabla, vemos como a medida que aumenta el numero de simulaciones, el valor simulado se acerca al valor original or iginal de la media y desviación estándar, además de la disminución del error típico. Cantidad de  Media  simulaciones 

10 100 1000 10000

48.6 48.12 47.87 47.87

Desvío 

Error 

3.41 3.16 3.28 3.3

1.08 0.32 0.1 0.03

8.4 ¿Qué es la Simulación de Monte Carlo? 

La simulación de Monte Carlo es una un a técnica cuantitativa que hace uso de la estadística y los ordenadores para imitar, mediante modelos matemáticos, el comportamiento aleatorio de sistemas reales no dinámicos (por lo general, cuando se trata de sistemas cuyo estado va cambiando con el paso del tiempo, se recurre bien a la simulación de eventos discretos o bien a la simulación de sistemas continuos). clave de laquesimulación consisteidentificando en crear un modelo del sistema, proceso oLaactividad se quiereMCanalizar, aquellasmatemático variables (inputs del modelo) cuyo comportamiento aleatorio determina el comportamiento global del sistema. Una vez identificados dichos inputs o variables aleatorias, se lleva a cabo un experimento consistente en (1) generar – con ayuda del ordenador‐ muestras aleatorias (valores concretos) para dichos inputs, y (2) analizar el comportamiento del sistema ante los valores generados. Tras repetir n veces este experimento, dispondremos de n observaciones sobre el comportamiento del sistema, lo cual nos será de utilidad para entender el funcionamiento del mismo –obviamente, nuestro análisis será tanto más preciso cuanto mayor sea el número n de experimentos que llevemos a cabo. Veamos un ejemplo sencillo:

     ?     o      l     r     a      C     e     t     n     o      M     e      d     n      ó      i    c     a      l    u     m      i      S     a      l     s     e      é    u      Q     ¿      4  .      8

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En la imagen inferior se muestra un análisis histórico de 200 días sobre el número de consultas diarias realizadas a un sistema de información empresarial empresar ial (EIS) residente en un servidor central. La tabla incluye el número de consultas diarias (0 a 5) junto con las frecuencias absolutas (número de días que se producen 0, 1, ..., 5 consultas), las frecuencias relativas (10/200 = 0,05, ...), y las frecuencias relativas re lativas acumuladas.

Podemos interpretar la frecuencia relativa como la probabilidad proba bilidad de que ocurra el suceso asociado, en este caso, la probabilidad probab ilidad de un determinado número de consultas (así, p.e., la probabilidad de que se den 3 consultas en un día asociada sería de 0,30), lo quealeatoria la tabla anterior nos proporciona la distribución de probabilidad a unapor variable discreta (la variable aleatoria es el número de consultas al EIS, que sólo puede tomar valores enteros entre 0 y 5). Supongamos que queremos conocer el número esperado (o medio) de consultas por día. La respuesta a esta pregunta es fácil si recurrimos recurr imos a la teoría de la probabilidad. Denotando por X a la variable aleatoria que representa el número diario de consultas al EIS, sabemos que: 

EX   x PX  x  0 · 0.0055  1 · 0.10 0.10    5 · 0.1 0.155  2.9 2.955  Por otra parte, también podemos usar simulación de Monte Carlo Car lo para estimar el número esperado de consultas diarias (en este caso se ha podido obtener el valor exacto usando teoría de probabilidad, pero ello no n o siempre será factible). Veamos cómo: Cuando se conozca la distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria discreta, será posible usar la columna de frecuencias relativas acumuladas para obtener obten er los llamados intervalos de números aleatorios asociados a cada suceso. En este caso, los intervalos obtenidos son:   [0.00, 0.05) para el suceso 0   [0.05, 0.15) para el suceso 1   [0.15, 0.35) para el suceso 2 •

•

•

     ?     o      l     r     a      C     e     t     n     o      M     e      d     n      ó      i    c     a      l    u     m      i      S     a      l     s     e      é    u      Q     ¿      4  .      8

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[0.35, 0.65) para el suceso 3 [0.65, 0.85) para el suceso 4 [0.85, 1.00) para el suceso 5

Elsuceso consultas. gráfico siguiente él,quese éste aprecia nosocupa. muestra claramente cada launarelación de las existente probabilidades entre probabilidad sobre el número de cada de y el En área Número de Consultas EIS 0.05 0.10

0%

0.20

20%

0.30

40%

0

1

0.20

60%

2

3

80%

4

0.15

100%

5

Esto significa que, al generar un número pseudo‐aleatorio con el ordenador (proveniente de una distribución uniforme entre 0 y 1), estaremos llevando a cabo un u n experimento cuyo resultado, obtenido de forma aleatoria y según la distribución de probabilidad anterior, estará asociado a un suceso. Así por ejemplo, si el ordenador nos proporciona el número pseudo‐aleatorio 0,2567, podremos suponer que ese día se han producido pro ducido 2 consultas al EIS. Asignamos pues la función ALEATORIO a una casilla (la G1 en el caso de la imagen):

Seleccionando la celda y “arrastrando” con el ratón desde el borde inferior derecho de la misma podemos obtener un listado completo de números pseudo‐aleatorios: A continuación, podemos usar la función SI de Excel para asignar un suceso a cada uno de los números pseudo aleatorios generados (como veremos, otra forma de hacer esta asignación será usando la función BUSCARV):

     ?     o      l     r     a      C     e     t     n     o      M     e      d     n      ó      i    c     a      l    u     m      i      S     a      l     s     e      é    u      Q     ¿      4  .      8

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Repitiendo el proceso de seleccionar y “arrastrar” “arr astrar” obtendremos algo similar a:

Finalmente, usando la función PROMEDIO será posible calcular la media de los valores de la columna H:

En este caso, hemos obtenido un valor estimado que corresponde exactamente con el valor real anteriormente calculado vía la definición teórica de la media. Sin embargo, debido a la componente modelo,diferentes normalmente “cer canos” “cercanos” al valor real,aleatoria siendointrínseca dichos alvalores unosobtendremos de otros valores (cada simulación proporcionará sus propios resultados). Se puede comprobar este hecho pulsando repetidamente sobre la función F9 (cada vez que se pulsa dicha tecla, Excel genera nuevos valores aleatorios y, por tanto, nuevos valores para par a la columna H y la casilla I1). Si en lugar de usar una muestra aleatoria formada por 100 observaciones hubiésemos usado una formada por 10, los valores que obtendríamos al pulsar repetidamente F9 no serían estimaciones tan buenas al valor real. Por el contrario, es de esperar que si hubiésemos usado 1.000 (o mejor aún 10.000) observaciones, los valores que obtendríamos en la casilla I1 estarían todos muy cercanos cerca nos al valor real.

     ?     o      l     r     a      C     e     t     n     o      M     e      d     n      ó      i    c     a      l    u     m      i      S     a      l     s     e      é    u      Q     ¿      4  .      8

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METODOS CUANTITATIVOS PARA LOS NEGOCIOS 8.4.1 Simulación  MC con Variables Discretas 

Veamos un ejemplo algo más complejo del uso de Excel para construir modelos de simulación MC cuando las variables aleatorias sean discretas: d iscretas: Supongamos trabajamos en un grandealmacén aun lmacén informático, y queoperativo nos pidenque consejo para par a decidir sobreque el número de licencias determinado sistema conviene adquirir – las licencias se suministrarán con los ordenadores que se vendan durante el próximo trimestre, y es lógico pensar que en pocos meses habrá un nuevo sistema operativo en el mercado de características superiores. Cada licencia de sistema operativo le cuesta al almacén un total de 75 dólares, mientras que el precio al que la vende es de 100 dólares. Cuando salga al mercado la nueva versión del sistema operativo, el almacén podrá devolver al distribuidor las licencias sobrantes, obteniendo o bteniendo a cambio un total del 25 dólares por cada una. Basándose en los datos históricos de los últimos meses, los responsables responsab les del almacén han sido capaces de determinar la siguiente distribución de probabilidades pr obabilidades por lo que a las ventas de licencias del nuevo sistema operativo oper ativo se refiere:

Construimos nuestro modelo usando las fórmulas que se muestran en la figura inferior. En la casilla H2 usaremos la función ALEATORIO para generar el valor pseudo‐aleatorio que determinará el suceso resultante; en la celda I2 usamos la función BUSCARV para determinar que usamos eltambién sucesoEllacorrespondiente función MIN, yaasociado que ningún al valor casopseudo‐aleatorio podremos vender obtenido más licencias –notar que las disponibles. resto de fórmulas sonenbastante ba stante claras:

En la imagen anterior se muestra cómo construir el modelo con una observación (iteración). A fin de generar nuevas observaciones, deberemos deber emos seleccionar el rango H2:N2 y "arrastrar" hacia abajo (tantas casillas como iteraciones deseemos realizar):

     ?     o      l     r     a      C     e     t     n     o      M     e      d     n      ó      i    c     a      l    u     m      i      S     a      l     s     e      é    u      Q     ¿      4  .      8

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Finalmente, es posible estimar el valor esperado de la variable aleatoria que proporciona pro porciona los beneficios sin más que hallar la media de las 100 observaciones que acabamos de realizar. Asimismo, usaremos las funciones DESVEST e INTERVALO.CONFIANZA para hallar, respectivamente, la desviación estándar de la muestra obtenida y el intervalo de confianza (a un nivel del 95%) para el valor esperado:

La apariencia final de nuestro modelo será:

     ?     o      l     r     a      C     e     t     n     o      M     e      d     n      ó      i    c     a      l    u     m      i      S     a      l     s     e      é    u      Q     ¿      4  .      8

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A partir del modelo anterior es posible también realizar “what‐if” análisis (análisis de escenarios o preguntas del tipo “¿qué pasaría si cambiamos tal o cual input?”). Para ello es suficiente con ir cambiando los valores de las celdas C11:C14 (inputs del modelo en este ejemplo). Asimismo, muestrales) sin más que podemos repetirampliar los procesos fácilmente de seleccionar el númeroyde“arrastrar”. iteraciones (observaciones En el caso actual, hemos optado por tomar 1.000 iteraciones para cada una de los posibles inputs asociados a la cantidad de pedido (estos posibles inputs son: 100, 150, 200, 250, y 300). Si se realizase el experimento, se obtendrían unos resultados similares a los que se muestran a continuación (ya que 1.000 es un número ya bastante considerable para este ejemplo):  

Resultados para n=1000 iteraciones N° Licencias  Benef.Medio  

100 150 200 250 300

2500 2569 2079 333 ‐1868

Desv.Est. 

0 17 1743 3250 4154 4555

Intervalo confianza 95% 

225500 0 ‐2500 ‐‐55000 ‐7500

2500 3750 5000 6250 7500

Beneficio Esperado

8 6

    s4     e     r     a      l      ó2      d     e0      d     s ‐2     e      l      i ‐4      M

‐6 ‐8 100

150

200

250

N° de Licencias Adquiridas

300

A partir de los resultados, parece claro que la decisión óptima es hacer un pedido de 150 unidades, ya que con ello se consigue el beneficio máximo. 8.4.2 Generación de Números  Aleatorios  Aleatorios Provenientes de Otras Distribuciones 

Las últimas versiones de Excel incorporan un Add‐In llamado Análisis de datos. Este complemento proporciona nuevas funcionalidades estadísticas a la hoja de cálculo. Entre ellas, nos interesa destacar la de Generación de números aleatorios:

     ?     o      l     r     a      C     e     t     n     o      M     e      d     n      ó      i    c     a      l    u     m      i      S     a      l     s     e      é    u      Q     ¿      4  .      8

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Con esta opción, es posible generar fácilmente observaciones provenientes de diversas distribuciones de variable discreta (Bernoulli, Binomial, Poisson, Frecuencia relativa, y Discreta) o de variable continua (Uniforme y Normal). Normal ). Independientemente conocido de la teoría del estadística, complemento llamadoAnálisis métododededatos, la transformada es posible usar inversa, un resultado para derivar muy las fórmulas que permiten obtener valores pseudo‐aleatorios provenientes de distribuciones como la Weibull o la Lognormal. En la tabla siguiente se muestran algunas fórmulas que, implementadas en celdas de Excel, nos permiten obtener valores pseudo‐aleatorios de algunas de las distribuciones continuas con tinuas más usadas: Distribución 

Exponencial Weibull Normal

Parámetros 

Media = b Escala = b Forma = a Media = µ Desv. Estandar = σ Lognormal Media de Ln(X)de= µLn(X) = σ Desv. Estandar Uniforme entre a y b Extremo inferior = a Extremo superior = b

Formula Excel 

= ‐LN(ALEATORIO())*b = b*(‐LN(ALEATORIO())^(1/a) = DISTR.NORM.INV(ALEATORIO(),µ, σ) = DISTR.LOG.INV(ALEATORIO(),µ, σ) = a+(b‐a)*ALEATORIO()

Añadir, finalmente, que es relativamente sencillo implementar funciones VBA que, haciendo uso del método de la transformada transfor mada inversa o de otros métodos similares, permita la generación de valores provenientes de casi cualquier distribución teórica. 8.4.3 Simulación  MC con Variables Continuas 

Como hemos comentado, es posible usar las fórmulas anteriores para generar, a partir de la función ALEATORIO(), valores pseudo‐aleatorios provenientes de otras distribuciones

     ?     o      l     r     a      C     e     t     n     o      M     e      d     n      ó      i    c     a      l    u     m      i      S     a      l     s     e      é    u      Q     ¿      4  .      8

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continuas. En las páginas siguientes, veremos dos ejemplos de modelos que hacen uso de d e la distribución normal (la distribución estadística más importante y utilizada): Ejemplo: Tiempo de consultas a servidores en paralelo Supongamos queservidores desde un ordenador cliente seobjetivo realizaserá consultas bases esperado de datos situadas en dos distintos. Nuestro estimarSQLel atiempo (tiempo medio) que deberemos esperar para recibir la respuesta de ambos servidores. Dada la complejidad de la consulta que queremos realizar, rea lizar, y basándonos en experiencias anteriores, se calcula que el tiempo necesario para que cada uno de los servidores responda a la misma sigue una distribución normal con los parámetros (media y desviación estándar, en minutos) que se indican a continuación:

Pediremos a Excel que usaremos genere valores dichas distribuciones. Asimismo, la funciónpseudo‐aleatorios MAX para obtenerprovenientes el tiempo dederespuesta (que será el máximo de los tiempos de respuesta de cada servidor), y la función SI para determinar qué servidor ha sido el más rápido en responder:

Usaremos también las funciones CONTAR y CONTAR.SI para contar el número de iteraciones y el número de veces que un servidor ser vidor es más rápido que el otro:

Finalmente, las funciones PROMEDIO, DESVEST, e INTERVALO.CONFIANZA nos servirán para obtener, respectivamente, el tiempo muestral medio (esperado) de respuesta, la desviación estándar de la muestra (observaciones que generaremos), y un intervalo de confianza, a un nivel del 95%, para el tiempo medio (este intervalo nos permitirá saber si nuestra estimación es buena o si, por ele l contrario, necesitaremos más iteraciones).

     ?     o      l     r     a      C     e     t     n     o      M     e      d     n      ó      i    c     a      l    u     m      i      S     a      l     s     e      é    u      Q     ¿      4  .      8

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Una vez introducidas las fórmulas anteriores, bastará con seleccionar y “arrastrar” “arr astrar” hacia abajo el rango de celdas G3:J3, con lo que se generarán nuevas iteraciones. En la imagen siguiente se muestra el resultado obtenido al generar 2.077 2. 077 iteraciones. Observar que el tiempodemedio nivel confianza estimado del 95%,deque respuesta dicho tiempo es de medio 22,98 minutos, estará entre y podemos 22,88 y 23,08 asegurar, minutos. con un

2Finalmente, en el 68% de se observa las iteraciones. también que el servidor 1 ha respondido más rápido que el servidor Ejemplo: Inversión inicial y flujo de caja Consideremos ahora un nuevo problema: supongamos que disponemos de un capital inicial de 250 dólares que deseamos invertir en una pequeña pequeñ a empresa. Supondremos también que los flujos de caja ‐tanto los de entrada como los de salida‐ son aleatorios, siguiendo éstos una distribución normal.

Para el primer mes, el valor esperado e sperado del flujo de entrada es e s de 500 Euros, mientras que el valor esperado para el flujo de salida es de 400 Euros. En meses posteriores, el valor esperado será el valor obtenido para en el mes anterior. Por su parte, las desviaciones estándar valdrán, en todos los casos, un 25% del valor medio (esperado) (esper ado) asociado. En base a lo anterior, podemos construir un modelo como se muestra en las siguientes imágenes:

     ?     o      l     r     a      C     e     t     n     o      M     e      d     n      ó      i    c     a      l    u     m      i      S     a      l     s     e      é    u      Q     ¿      4  .      8

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Seleccionando resultados paray5.859 “arrastrando” iteraciones: hacia abajo el rango r ango G3:O3, hemos obtenido los siguientes

Observamos que elconvalor esperado para el capital de unos dólares, podemos afirmar, un nivel de confianza del 95%,finalqueesdicho valor543 estará entre y527quey 558 dólares. 8.5  Actividades  Actividades para el  Aprendizaje.  Aprendizaje. 

Luego de visitar estas direcciones de páginas web, elaborar un resumen y/o desarrollar los ejercicios propuestos para el tema correspondiente:

Compilación: Ybnias Elí Grijalva Yauri

 .     e      j     a    z      i      d     n     e     r     p      A      l     e     a     r     a     p     s     e      d     a      d      i    v      i     t    c      A      5  .      8

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Una Aplicación del Método de Monte Carlo Car lo en el Análisis de Riesgo de Proyectos: Su automatización a través de una planilla de cálculo. http://www.abcbolsa.com/montecarlo_excel_cyta1.htm  http://www.abcbolsa.com/montecarlo_excel_cyta1.htm   

El método deExcel MonteAvanzado, Carlo: http://www.monografias.com/trabajos12/carlo/carlo.shtml http://www.monografias.com/trabajos12/carlo/carlo.shtml    http://trucosexcel.blogspot.com/   Simulación: Macro, funciones. http://trucosexcel.blogspot.com/ Resolver los ejercicios al capitulo correspondiente: Cátedra de Métodos Cuantitativos para los Negocios. http://www.unsa.edu.ar/mcneco/mcn_tps.html Programación Matemática http://www.uv.es/~sala/programacion.htm http://www.uv.es/~sala/programacion.htm  

Bienvenidos a los cursos del Área de Operaciones – Descargar ejercicios: http://ucreanop.org/descarga_ejercicios.php   http://ucreanop.org/descarga_ejercicios.php

 .     e      j     a    z      i      d     n     e     r     p      A      l     e     a     r     a     p     s     e      d     a      d      i    v      i     t    c      A      5  .      8

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