Libro Cálculo integral 7 julio 2010
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Archivo PDF de la nueva versión del libro Metodología del aprendizaje del cálculo integral ISBN: 978-1-4251-5512-4 del a...
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Metodología para el Aprendizaje del
Calculo Integral
Conforme al programa de estudio de Cálculo Integral orientado a competencias del Sistema Nacional de Educación Superior Tecnológica
José Santos Valdez Pérez y Cristina Pérez Pérez
Instituto Tecnológico de Saltillo Instituto Tecnológico de Celaya Segunda edición
DEDICATORIA:
Mi verdad: Lo mejor de la educación orientada a competencias, es haber dejado atrás la percepción incompleta de la enseñanza centrada en el aprendizaje.
Dedicatoria: A mis Madres: María Pérez y Josefina Rico. A mi Padre: Francisco Valdez García. A mis hijos. A mis nietos.
AGRADECIMIENTOS:
He de agradecer a las Ciudades que cobijaron mi existencia y de las cuales guardo gratos recuerdos: A mi tierra Palma Grande, Nay.; Xalisco; Tepic; Morelia, cuna de mi cultura; Villahermosa, la inolvidable; Tehuacan el irresistible; Distrito Federal el combativo y Saltillo de mis esperanzas; de la misma forma a Delicias Chih., Mazatlán, Sin.; Querétaro, Qro.; y Celaya, Gto. por recibir el influjo de esas tierras de inspiración. Me es imposible nombrar a tantas personas, quienes de algún modo influyeron en la realización de la presente obra; sin embargo he de recordar a mis exalumnos, compañeros de estudio y de trabajo, así como mis maestros y directivos a quienes doy un profundo agradecimiento. Directivos: Max Novelo Ramírez, Carlos García Ibarra,
José Guerrero Guerrero,
Juan Leonardo Sánchez
Cuellar, Bulmaro Fuentes Lemus, Enriqueta González Aguilar, Carlos Fernández Pérez, Jesús Contreras García, Mario Madrigal Lápiz, Mario Valdés Garza, Javier Alonso Banda, Fidel Aguillón Hernández, Alejandro Guzmán Lerma, José Callejas Mejía, David Hernández Ochoa y Agustín Vázquez Vera. Maestros: Sergio Alaníz Mancera, Heber Soto Fierro, Germán Maynes Meléndez, Salvador Montoya Luján, Elisa Álvarez Constantino, Salvador Campa, y Rosario Vitalle DiBenedeto. Compañeros de trabajo: Ramón Tolentino Quilatan, Salvador Aarón Antuna García, Roberto Sánchez Alvarado, Rodolfo Rosas Morales, Araceli Rodríguez Contreras, Isabel Piña Villanueva, Norma Herrera Flores, Romina Sánchez González, Mayra Maycotte de la Péña, Elizabeth Sorkee Quiroz, Leonilo Rodríguez Borrego, Miguel Ángel Cabrera Navarro, Sergio Gaytán Aguirre, Francisco Javier Rodríguez Sánchez, Adrián Martínez Burceaga, Olivia García Calvillo, Javier Cuellar Villarreal, Alberto Córdoba García, Genaro Dávila Ramos, Josefina González Muñoz; Rosa María Hernández González, José Luís Quero Durán, Beatriz Barrón González, Noé Isaac García Hernández, Francisco Ruíz López, Roberto Wilson Alamilla, Jaime Edwald Montaño, José Luis Meneses Hernández; Antelmo Ventura Pérez, Rubén Medina Vilchis, Juan Manuel Nuché, Alberto Gutiérrez Alcalá, Marco Antonio Ledesma González, y Bernardo González Nava. Compañeros de estudios: Mario Madrigal Lépiz, Bulmaro Fuentes Lemus, Jorge Maldonado Brizuela, Jaime Rebollo Rico, Cecilia Guzmán Hernández, Francisco Orizaga Espinosa, Miguel Espericueta Corro, Carlos Díaz Ramos, Juan Manuel Vargas Dimas, Fernando Aguilar Barragán y Delia Amador Gil. Exalumnos: Martha Madero Estrada, Felicitas Cisneros Romero, Ma. Reyna Rivera Rivera, Fernando Treviño Montemayor, Enedina Sierra Ramos, Ema Aguilar Ibarra, Lizet Mancinas Pérez, Lucia Rosalía Paredes Hernández, Edgar Alonso Carrillo Quintero, Miriam Alcázar Ascacio, y Miriam Ávila García.
iv
Así también a: Ricardo Llanos y Cecilia Guzmán ; David Obregón y Yolanda Pérez, Jesús Ramos y Araceli Pérez, Camerina Valdés y Rubén Saldaña; Andrés
Valdés y Ma. de Jesús Guitrón; Jorge Pérez y Teresa Guevara;
Gildardo Medina y Anita Pérez; Víctor Burciaga y Angélica Baena; Bernardo González Macías y Margarita Nava; Fernando García Rangel; Donaciano Quintero Salazar; Ivonne Muñoz, Ociel Ramírez, Sandra Herrera y Francisco Villaseñor; Leandro Ocampo López; Antonio Duarte Morales; Lupita Cárdenas Oyervides; Carolina Baez Olivo; Irene Valdés; Mario Manríquez Campos, Isabel Solís Serrano, Martha Hernández, Faviola Lara Cervantes, Luís Muñoz Romero, David Jaime González, Roberto Jaime González, Oscar Romero Rivera, Javier Valdés, Víctor García Martínez y José Guadalupe Torres.
PREFACIO DE LA SEGUNDA EDICIÓN:
El perfeccionamiento, no es otra cosa mas que el proceso de revisar y detectar actualizaciones, vacíos y errores; por lo que resulta natural, que lejos de la decepción surja el reto de hacer mejor lo que ya hemos hecho; después de todo, es válida la siguiente redundancia: “hacer constantemente lo mismo se compensa con perfeccionar lo que siempre hemos hecho”; desde luego sin haber olvidado la sentencia “Trabajos perfectos a tiempos infinitos tienen valor cero”; Es así como en la presente edición se han realizado las siguientes mejoras.
En lo general: -
Revisión de las teorías del aprendizaje. Completes de los supuestos pedagógicos. Adaptación del trabajo realizado orientado a competencias. Amplitud sobre el contenido del libro. Revisión general de las unidades.
Unidad 1:
Unidad 4:
- Las unidades 1 y 2 (Diferenciales y La integral indefinida) se unieron para formar esta unidad. - Los fundamentos cognitivos por temas de la unidad 1, se trasladaron a los anexos.
- Antes era la unidad 6.
Unidad 2:
Unidad 5:
- Antes era la unidad 3.
- Se suma un nuevo contenido “Series”
Unidad 3: - Antes era la unidad 4 y se sumó la unidad 5. Anexos: - Se suma el anexo “Fundamentos cognitivos del cálculo integral”. - Dentro de los fundamentos cognitivos se desarrolló el tema: “Funciones y sus gráficas”. - Perfeccionamiento y desarrollo de la instrumentación didáctica orientada a competencias.
v
PREFACIO:
Recomendaciones a los maestros: Este libro ha sido escrito en paralelo a desarrollos pedagógicos expresos para tal fin, de igual forma se han delineado teorías y técnicas aún en proceso de desarrollo, sin embargo el máximo valor esperado, es el que tú como maestro le puedas adherir, mediante la apropiación y praxis de tales instrumentos así como el de su enriquecimiento. Teorías del aprendizaje:
Nivel de aprendizaje
Se ha supuesto que la generación del aprendizaje tiene un comportamiento helicoidal ascendente en forma de cono irregular invertido “Teoría tornado”. También se afirma que su desarrollo es cíclico ascendente, porque a medida que avanza se aprende lo mismo pero a otro nivel y se adhieren nuevos conocimientos, por lo que es de suponer que las “Corrientes pedagógicas constructivistas” que describen la construcción del aprendizaje fundamentado en otros aprendizajes, se hacen presentes en cada momento; sin embargo también se han supuesto “Teorías biogenéticas” que insinúan que el conocimiento existe en cada ser humano y su
Conocimiento
aprendizaje es accesible. De la misma manera y en forma constante, se deberá tener presente la “Teoría de los aprendizajes equiparables” que afirma: Todos los aprendizajes tienen el mismo grado de dificultad y son directamente proporcionales al grado cuantitativo y cualitativo de la información que se tenga del conocimiento. Así podemos afirmar que se aplica el mismo esfuerzo en apropiarse del conocimiento de cualquier ciencia, llámense estas sociales ó exactas; la clave de nuestra visión, es que en las ciencias exactas existe mucho conocimiento en poca información, por lo que en el campo del cálculo integral es necesario girar constantemente sobre la información disponible. Otra teoría que se ha tomado en consideración y de aplicación práctica es la “Teoría del bao cognitivo” que infiere la existencia de un flujo constante y mutuo de energía cognitiva entre alumnos y docentes; de aquí la afirmación sobre la “Eternidad del Maestro”; y hace extensiva la generalidad de esta teoría infiriendo la existencia de flujos cognitivos universales, que se manifiestan en saberes similares adquiridos por las sociedades y las naciones en forma independiente. Por supuesto que en su mayoría las diferentes teorías se encuentran en etapa de desarrollo, sin embargo y me consta que sus inferencias son aplicadas con resultados pedagógicos asombrosos.
No entraremos en
polémicas sobre estas teorías ya que no es el propósito, sin embargo una simbiosis de tales teorías sería deseable en la praxis educativa. vi
Técnica de los aprendizajes por justificandos: Esta técnica se ha desarrollado con el propósito de ser mas efectivos en el proceso enseñanza-aprendizaje; su aplicación en las matemáticas y en la física ha sido exitosa, sin embargo es extensible al campo de otras ciencias, por lo que aquí se presenta la dinámica de su proceso. Información de entrada
Justificación del proceso
Información de salida
Información de entrada: Es el problema que se plantea y es sujeto a ser resuelto. Justificación del proceso: Son todos los elementos necesarios para justificar un resultado. Información de salida: Es el resultado fundamentado en la justificación de un proceso. El proceso se caracteriza por ser cíclico, progresivo, repetitivo y cada vez que esto sucede avanza, ya que la información de salida automáticamente se convierte en información de entrada hasta obtener el resultado final. Ejemplo: Por la fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn y la propiedad de la constante, integrar la siguiente función:
Entrada
Proceso
Justificación
Justificación Problema
Salida
Resultado intermedio
ku dx k u dx 4 2 ( x 4 ) dx (2 x ) dx k 2 4 ux
k ( x n ) dx k
n 1
x c n 1
k2 n 4; n 1 5
Resultado intermedio
2
Resultado final
2x5 x ( 5) c c 5 5
Técnica de los aprendizajes por agrupamiento: El propósito de esta técnica es que el alumno aprenda a un determinado nivel de conocimientos, el cual incluye un eficiente dominio de las operaciones, entendiéndose estas rápidas y directas, además de mantener sensible el resultado esperado; las etapas que deberán cubrirse las podríamos delinear de la siguiente forma: 1) Presentación del problema. 2) Identificación de las fórmulas. 3) Aplicación directa de las fórmulas utilizando paréntesis. 4) Eliminación de paréntesis y simplificación.
vii
Ejemplo: Aplicando la propiedad de la constante y la fórmula de diferenciación de la función seno; obtener:
d 3sen 2 x Paso 1) d 3 sen 2 x
Paso 2)
Paso 3)
Paso 4)
d (k f ( x)) k d f ( x) ; d senu cos u du 3cos 2 x 2dx 6 cos 2 x dx k 3; f ( x) sen2 x; u 2 x; du 2 dx
Instrumentación didáctica: Para este curso se ha elaborado en particular la instrumentación didáctica orientada a competencias, adjuntada en uno de sus anexos, y toda su estructura tienen como base los trabajos realizados sobre “Metodología para la instrumentación didáctica orientada a competencias”, misma que previamente se desarrolló en exclusivo para tal fin: Lo importante de esta instrumentación didáctica, es que nos resuelve las siguientes preguntas: ¿qué?, ¿cómo?, ¿cuándo?, ¿con qué?, ¿para qué? y cuantas clases hay que desarrollar para obtener un curso de calidad, en el entendido de que toda calidad educativa deja mucho que desear si la misma no permea la labor docente y en última instancia el aprendizaje de los alumnos. Supuestos pedagógicos: Para un curso eficaz se han supuesto las siguientes condiciones pedagógicas: - Apegarse en la instrumentación didáctica, en lo general, y cada maestro en función de su experiencia y de su estilo personal, irá haciendo los cambios y adaptaciones correspondientes, sobre todo en el campo de los métodos, las técnicas y las dinámicas educativas. - Exposiciones globalizadas a través de proyector de transparencias ó cañón electrónico; máxime, cuando los aprendizajes sean de información extensa y/ó sistematizada. - Crear confianza en los alumnos para que pregunten; la regla es ¡ No hay preguntas tontas ! - Paralelamente al curso se requieren acciones que permitan la educación en valores para que la misma sea integral, por lo que deben irse aprovechando los eventos institucionales o bien creando las actividades e incentivos correspondientes; De la misma forma y con propósitos educativos, continuamente se deberá observar la disciplina del grupo así como las actitudes de cada uno de sus integrantes. - Tener conocimiento y control de los alumnos e identificación del grupo, para lo cual en los anexos se ha incluido un registro escolar y el formato de lista. - Inhibir la copia a través de una concientización y en casos extremos aplicar las sanciones previamente establecidas e informadas al alumnado. En los anexos se encuentra un formato de examen, con el propósito de ser utilizado en la presentación de exámenes cuando así se requiera.
viii
- No abusar de la aplicación de exámenes repetidos, para lo cual se sugiere elaborar una amplia batería de evaluaciones, ya que el alumno tiende a informarse de exámenes aplicados con anterioridad y confiarse en su posible aplicación, siendo ésta una de las causas de deficiencias en sus estudios. Recomendaciones a los alumnos: Existe una técnica para obtener buenos resultados en un curso, y lo mejor de esta técnica es que tú ya la conoces. Se trata de la técnica “ege” que significa ¡ échale ganas ! esa es la clave. Las matemáticas son una disciplina y por lo mismo requiere de alumnos disciplinados en sus estudios, por lo que se requerirá de ti los siguientes condicionamientos mínimos: - Un espacio de estudio, en tu casa preferentemente. - Un horario de estudio, de al menos una hora de lunes a viernes y sólo para esta materia. - Reorganización de los conocimientos, el domingo en la noche ó lunes en la mañana. La técnica de estudio que deberás de aplicar es: - Lectura de la teoría. - Visualización de la estrategia empleada en la solución de problemas de tu libro. - Resolución de los problemas ya resueltos en el libro. Toma en cuenta que es válido echar un ojito cuando te bloques, no sin antes preguntarte ¿Qué sigue?, ¿Qué hago?, ¿ Qué se me ocurre?, etc., etc., etc.. - Solución a los ejercicios del libro. - Si te es posible, intenta trabajar en equipo integrado por no más de cinco de tus compañeros. - Recuerda: Tienes derecho a que se te desarrollen completamente los programas de estudio y a ser evaluado en tiempo, forma, contenido y nivel de lo que se te enseña. En este libro se ha considerado que aún si tus bases de conocimiento son deficientes, es posible tener un excelente curso, ya que se previeron en las cadenas de aprendizajes los fundamentos indispensables para ir avanzando, sin embargo es de tu entera responsabilidad ser sistemático en tus estudios y si lo consideras necesario debes de consultar otras fuentes de información para el dominio correspondiente. Se han desarrollado una serie de recursos pedagógicos para que tu aprendizaje sea más eficiente; así tenemos: Teorías del aprendizaje, Técnica de los aprendizajes por justificandos, Técnica de los aprendizajes por agrupamiento, Instrumentación didáctica, etc.. de los cuales no tienes que preocuparte por aprender, el maestro te los irá mostrando en todo el curso, y a ti te corresponde en paralelo instruirte en su uso ya que de seguro te servirá en toda tu carrera.
ix
Sobre el libro: Escribir un libro de matemáticas en el área de cálculo integral, tiene poco sentido, ya que existen en el mercado varias decenas escritos por autores extranjeros y la moda actual es que autores mexicanos por fin están elaborando libros y alguno de ellos de excelentes calidad en sus contenidos, pero pocos de ellos en sus métodos de presentación del conocimiento, y aun mas escasos en la didáctica recomendada para el maestro y metodologías de aprendizaje para el alumno. Y es aquí en donde se encuentra un desierto y la aportación de un esfuerzo que intenta mitigar el vacío y donde el crédito si es que lo existe debe reconocerse. También debe citarse que el éxtasis de la presente obra se encuentra en la idea de crear un libro para cada Programa de estudio y en específico para una Institución ó bien para todo un sistema como lo es el Sistema Nacional de Educación Superior Tecnológica. El nivel de comprensión es para alumnos de inteligencia normal y aquellos que tienen leves problemas de aprendizajes, y de ninguna manera se ha escrito para alumnos de alto rendimiento a menos que su interés se concentre en la realización de ejercicios básicos de desarrollo de la creatividad, ya que los mismos descubrirán que el texto intencionalmente esta muy lejos de provocar el conflicto cognitivo necesario para su evolución. La estrategia de enseñanza y aprendizaje va dirigida a estudiantes que han iniciado una carrera profesional sin incluir la de licenciatura en matemáticas, ya que esta orientada a la aplicación estructural de las matemáticas y algunas demostraciones son solamente intuitivas, y para nada se realiza un análisis matemático riguroso; Debemos de recordar que los métodos son para iniciar un aprendizaje que difícilmente lo podemos asimilar, pero una vez que se han tenido los fundamentos del conocimiento, los métodos deben desecharse porque de no ser así los mismos métodos nos limitan. Aquí opera el principio fundamental que versa sobre la existencia de cada método para cada nivel de desarrollo cognitivo e intelectual. La utilidad para los maestros se hace patente, cuando el docente domina los métodos que se muestran, y se adquieren fundamentos de métodos y técnicas educativas así como de un leve repertorio de dinámicas grupales, pero se debe entender que sin una actitud responsable como profesor todo deja de tener sentido. Como complemento de utilidad para los docentes se anexa al final del libro la instrumentación didáctica orientada a competencias del curso, y para el mismo objetivo se ha desarrollado y aplicado con gran éxito las técnicas de aprendizajes por justificandos y por agrupamiento, como estrategia fundamental de desarrollo para los educandos, que de seguro le serán de utilidad en casi todas sus materias. La ciencia avanza enormemente día con día, y es menester señalar que el aprendizaje con una estrategia metódica resulta más eficiente. Además los medios son eso, sólo medios únicamente, como paráfrasis podríamos afirmar que para nada importan los procesos internos que una computadora realice, ese es problema de los profesionales en electrónica; lo que si importa, son los resultados que se obtienen; Ahora bien y en nuestro caso son los aprendizajes que el alumno adquiere. En este sentido es oportuno señalar que intencionalmente se ha sacrificado la rigidez matemática por un intento de ser más claro en la comprensión del conocimiento. x
Durante el proceso de su elaboración se tuvieron presentes las siguientes premisas fundamentales: 1) La ciencia y la tecnología tienen un avance potencialmente creciente, sin embargo el desarrollo de la naturaleza del ser humano tarda cientos y quizá miles de años para asimilar un pequeño progreso. 2) Los programas de estudio incorporan cada vez mas nuevos conocimientos, al grado que la cantidad que se estudia actualmente representa al menos el doble que en una década anterior, sin embargo el tiempo de 10 semestres en promedio que tarda un estudiante en realizar su carrera profesional no se ha incrementado por lo que la administración educativa tendrá que crear simbiosis de las siguientes alternativas: - Incrementar el tiempo de realización de una carrera profesional, lo que hace más costosa a la educación y sus resultados no garantizan ser favorables. - Quitar conocimientos de los programas de estudios, que seria un error al romperse las cadenas cognitivas. - Tender a una especialización de las carreras profesionales, seleccionando aquellas áreas cognitivas específicas de mayor interés, siendo esta una opción a medias. - Eficientar la labor pedagógica, a través de la teoría fundamentada en las cuatro potencialidades del docente: . Conocimiento: Dominio del conocimiento requerido por los programas de estudio. . Didáctica: Capacitación en métodos, técnicas, dinámicas grupales y estrategias de enseñanza que incidan en la instrumentación didáctica orientada a competencias. . Ética docente: Crear los lineamientos individuales, departamentales, institucionales y del sistema en que deba de ubicarse la labor docente. . Filosofía de vida: Proporcionar la cultura de aplicación práctica y operativa para que los docentes en función de sus intereses tengan alternativas de su existencia promoviendo un humanismo propio del Modelo Educativo orientado a competencias. - Un indicador importante son los altos índices de reprobación en los primeros semestres, y un factor de aminoramiento lo es aplicando exámenes de admisión más selectivos, prestando atención en: . Fundamentos en el conocimiento necesario. . Vocación probada en el campo de la profesión elegida. . Actitudes para aminorar la siguiente sentencia: Cuando el alumno no desea estudiar el pedagogo más hábil fracasa. 3) Necesitamos entender y actuar en consecuencia que existen enormes vacíos no escritos en las matemáticas y que por lo general los docentes lo damos por entendidos y dominados por los educandos, sin embargo esto es falso al menos en la generalidad de los estudiantes de inteligencia normal, por lo que se deben de minimizar los efectos de estos vacíos a través de la elaboración de rutas pedagógicas que le permitan la madurez cognitiva. 4) También es necesario reubicar el nivel en que se imparte la educación pública superior asignando el supuesto de que este tipo de educación es para alumnos de inteligencia normal y por lo tanto se requiere de una pedagogía para alumnos de este nivel.
xi
5) Para finalizar tenemos que darnos cuenta que aún no ha sido posible inventar un MODEM que permita al ser humano accesar a los archivos akásicos de las ciencias, y esto es una fantasía al menos en un futuro cercano. Al leer este libro se verá que existen errores incluyendo hasta los de dedo, sin embargo he creído que sería un error aun más grande el no tener el valor de haberlo editado y sin importar que el mismo acuse de ignorancia. En la práctica docente he observado que en el cajón del escritorio de cada maestro existe un libro que espera ser publicado, tengo la esperanza en la satisfacción de leer uno de los libros escritos por mis compañeros, que de seguro tendrá el éxito esperado. En la presente como en todas las obras, el conocimiento tiene sus límites, sólo basta observar, lo escaso de las aplicaciones prácticas ó bien la aplicación de programas específicos de cómputo, pero insisto, lo primero siempre será lo primero y lo demás serán el resultado de la completes, enriquecimiento y perfeccionamiento de la presente obra en futuras ediciones. Motivos: Se que existen tanto vacío en el universo como vacío escrito hay en las matemáticas, y éste libro se ha elaborado pensando como maestro de la materia y no como matemático, puesto que si pensara como tal, jamás lo hubiese escrito, y la razón principal es la infinidad de alumnos que desean hacer una carrera profesional y se encuentran con la muralla de los números y la escasa tutoría en su aprendizaje. Podría señalar una larga lista de motivos y cualquiera de ellos sería suficiente para la emisión del presente trabajo; sin embargo aseguro, que cuando las sociedades se den cuenta que la educación ya no es solo problema de bienestar social o económico, sino de existencia humana en toda la extensión de la palabra, llámese a esta existencia individual, familiar, social, económica, institucional, de un sistema, de un País, de un continente ó mundial, será entonces cuando habrá un viraje real y no simulado en el rumbo de las políticas públicas en materia educativa; y entenderemos que hacer la calidad con discursos no tiene sentido. Me es imposible no mencionar los estudios realizados por Antuna, Valdés e Hinojosa (2004) “Índices de reprobación, un estudio exploratorio en el departamento de Ciencias Básicas del Instituto Tecnológico de Saltillo” donde se bosqueja la enorme problemática educativa sintetizada en tres resultados: La eficiencia Terminal total no rebasa
el 40%; De ocho carreras, sólo 2 tienen eficiencia Terminal aceptable; existe una
carrera acreditada y certificada por su calidad? donde sólo 1 de cada 10 estudiantes egresa y 9 desertan ¡¡¡¡¡; y la causa principal de deserción es el alto índice de reprobación en cálculo integral. Sin embargo otros indicadores infieren que la institución investigada es una de las mejores instituciones del Sistema Educativo Nacional, quedando interesante la respuesta a la pregunta; ¿Cómo estarán las demás? Saltillo, Coah., verano del año 2010. José Santos Valdez Pérez.
xii
CONTENIDO:
UNIDAD: 1. LA INTEGRAL INDEFINIDA.
1
1.1 Diferenciales. 1.2 Diferenciación de funciones elementales. 1.3 Diferenciación de funciones algebraicas que contienen “xn”. 1.4 Diferenciación de funciones que contienen “u”. 1.5 La antiderivada e integración indefinida de funciones elementales. 1.6 Integración de funciones algebraicas que contienen “xn”. 1.7 Integración de funciones que contiene “u”. - Evaluación tipo. - Formulario de diferenciales de funciones que contienen xn, u, y v. - Formulario de integración indefinida de funciones que contienen xn y u.
2 4 9 11 16 21 23 29 30 31
UNIDAD: 2. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN.
32
2.1
Técnica de integración por uso de tablas de fórmulas de funciones que contienen 2 2 las formas: u a . Técnica de integración por cambio de variable. 2.2 2.3 Técnica de integración por partes. Técnica de integración del seno y coseno de m y n potencia. 2.4 2.5 Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia. 2.6 Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia. 2.7 Técnica de integración por sustitución trigonométrica. 2.8 Técnica de integración de fracciones parciales. 2.9 Técnica de integración por series de potencia. 2.10 Técnica de integración por series de Maclaurin y series de Taylor. - Evaluaciones tipo. - Formulario de técnicas de integración indefinida.
33 36 38 41 44 47 50 54 58 59 61 62
UNIDAD: 3. LA INTEGRAL DEFINIDA.
63
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
64 67 68 76 78 84
La integral definida. Teoremas de cálculo integral. Integración definida de funciones elementales. Integración definida de funciones algebraicas que contienen “xn”. Integración definida de funciones que contienen “u”. Integración definida de funciones que contienen las formas u 2 a 2 . 3.7 Integrales impropias. - Evaluaciones tipo. - Formulario de integración definida de funciones elementales. - Formulario de integración definida de funciones que contienen xn y u. - Formulario de integración definida de funciones que contienen las formas u 2 a 2 . - Formulario de integrales impropias.
86 93 94 96 97 98
UNIDAD: 4. TEMA: APLICACIONES DE LA INTEGRAL.
99
Cálculo de longitud de curvas. 4.1 Cálculo de áreas. 4.2 4.3 Cálculo de volúmenes. 4.4 Cálculo de momentos y centros de masa. Cálculo del trabajo. 4.5 - Evaluaciones tipo. - Formulario de aplicaciones de la integral.
100 103 108 111 117 121 122
xiii
UNIDAD: 5. TEMA: INTEGRACIÓN POR SERIES.
123
5.1
124
Definición, clasificación y tipos de series.
5.2 Generación del enésimo término de una serie. 5.3 Convergencia de series. 5.4 Intervalo y radio de convergencia de series de potencias. 5.5 Derivación e integración indefinida de series de potencia. 5.6 Integración definida de funciones por series de potencia. 5.7 Integración definida de funciones por series de Maclaurin y series de Taylor. - Evaluaciones tipo. - Formulario de series.
129 134 137 140 141 144 151 152
ANEXOS:
153
A. A1. A2. A3. A4. A5. A6. A7. A8.
Fundamentos cognitivos del cálculo integral: Funciones y sus gráficas. Propiedades de los exponentes. Propiedades de los logaritmos. Funciones trigonométricas. Identidades de funciones trigonométricas. Funciones hiperbólicas. Identidades de funciones hiperbólicas. Funciones hiperbólicas inversas.
153 154 168 168 168 169 170 170 170
B B1. B2. B3. B4. B5. B6.
B7. B8. B9. B10.
Instrumentación didáctica: Identificación: Caracterización de la asignatura: Competencias a desarrollar: Análisis del tiempo para el avance programático. Avance programático. Actividades de enseñanza y aprendizaje. Unidad 1. Unidad 2. Unidad 3. Unidad 4. Unidad 5. Apoyos didácticos: Fuentes de información. Calendarización de evaluación. Corresponsabilidades.
171 171 171 171 171 172 174 174 176 178 180 181 182 183 183 183
C C1. C2. C3.
Simbología: Simbología de caracteres. Simbología de letras. Simbología de funciones.
184 184 185 186
D. E. F.
Registro escolar. Formato de examen. Lista de alumnos.
187 188 188
Bibliografía.
183
Indice.
189
xiv
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
El proceso de aprendizaje, es como en las empresas; estas, difícilmente alcanzan sus objetivos cuando la motivación de quienes laboran se encuentra debilitada. Así sucede con los alumnos, estos requieren de una disciplina y una moral muy elevada para poder accesar al éxtasis del conocimiento. José Santos Valdez Pérez
UNIDAD 1. LA INTEGRAL INDEFINIDA. Clases: 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
Diferenciales. Diferenciación de funciones elementales. Diferenciación de funciones algebraicas que contienen xn. Diferenciación de funciones que contienen u. La antiderivada e integración de funciones elementales. Integración de funciones algebraicas que contienen xn. Integración de funciones que contiene u.
- Evaluación tipo. - Formulario de diferenciales de funciones que contienen xn, y u. - Formulario de integración indefinida de funciones que contienen xn y u.
1
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 1.1 Diferenciales. Guía: - Definición e interpretación geométrica de incrementos y diferenciales. - Propiedades de las diferenciales. - Clasificación de funciones. - Introducción a las diferenciales por fórmulas.
- Ejemplos. - Ejercicios.
Definición e interpretación geométrica de incrementos y diferenciales: Sean:
R 2 un plano rectangular. f la gráfica de una función y f (x) derivable. - P x, f ( x ) y Q ( x x ), f ( x x ) dos puntos f . f ( x x) - S una recta secante de f P y Q. - T una recta tangente de f P. - m S y mT las pendientes de S y de T respectivamente. - W el punto común de T y la ordenada x x f (x) - dy la distancia entre los puntos W y (( x x), f ( x )) . x ( x x) x es el incremento de " x". y f ( x x) f ( x) es el incremento de " y". Si x 0 Q P; S gira hacia T ; y m S mT entonces: -
mT lím x 0 Como:
S
f Q
y T
W dy
P
x
x
x x
otras llamada derivada de y lím f ( x x) f ( x) dy x 0 f ( x) y x x notaciones dx la función y f ( x)
mT
Sí x 0 dy dy f ( x) dy f ( x)dx x x dx dx
llamada diferencial de
" y" .
Propiedad de las diferenciales: Propiedad de la constante: Esta propiedad establece que: Para todo
d k f ( x) k d f ( x)
k
que sea una constante y
f (x)
una función, se cumple lo siguiente:
Esto nos sugiere y según nos convenga, ubicar la constante dentro ó fuera de la diferencial.
Propiedad de la suma y/o diferencia de funciones: Esta propiedad nos indica que: Para
f ( x) y g ( x)
d f ( x ) g ( x ) d f ( x) d g ( x )
que sean funciones, se cumple lo siguiente:
Entendiendo lo anterior como: “la diferencial de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus diferenciales”.
2
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clasificación de funciones: Antes de iniciar el proceso de obtención de diferenciales daremos una mirada a las dos clasificaciones de funciones sujetas a nuestro interés, lo anterior obedece a la completes y fluidez didáctica en el proceso de aprendizaje. Con el propósito de cubrir las posibles deficiencias cognitivas antecedentes de este curso, es recomendable consultar el “Anexo: A1. Funciones y sus gráficas”, desarrollado al final del libro. La primera clasificación presenta el universo de funciones en que opera el cálculo integral y por lo mismo en cada etapa de aprendizaje se trata de globalizar el conocimiento atendiendo a este orden. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
Funciones Funciones Funciones Funciones Funciones Funciones Funciones
algebraicas. exponenciales. logarítmicas. trigonométricas. trigonométricas inversas. hiperbólicas. hiperbólicas inversas.
La segunda clasificación obedece al grado de complejidad de las funciones y las hemos observado de la siguiente manera: 1) Funciones elementales. 2) Funciones básicas. 3) Funciones metabásicas. Las funciones elementales las hemos concebido como las funciones que contienen en su estructura una constante ó bien una variable, y para nuestro caso nos referiremos a la variable “x”. Ejemplos:
y 4;
y
1 ; x
y sen x; etc..
Las funciones básicas las definiremos como las funciones que contienen en su estructura un binomio de la forma:
y ax b a, b k
Ejemplos:
y 3 x 2;
y a0
y ln (2 x 1);
y cos ( x 1); etc..
Y por último; las funciones metabásicas las podemos inferir como aquellas que contienen en su estructura un polinomio de la forma: Ejemplo:
y p ( x) ax n bx n 1 z a, b, z k y x3 3x 2 2
y nZ
Introducción a las diferenciales por fórmulas: Las fórmulas de diferenciales se fundamentan en teoremas previamente demostrados en cálculo diferencial; al revisar su análisis se observa que son las mismas fórmulas que se utilizan para las derivadas, excepto que se multiplican ambos lados por "dx" (se dice “de equis ó diferencial de equis”). Como punto de partida tenemos que aceptar por principio didáctico y por norma de jerarquía, que el objetivo principal del estudiante de cualquiera de las licenciaturas es el aprendizaje del proceso de obtención de las diferenciales, y no necesariamente el análisis matemático en el proceso de demostración de fórmulas, propiedades y reglas, muy propio de los aspirantes a profesionales del área de las matemáticas específicamente, sin que con esto se afirme que deba existir un total desconocimiento por parte de los aspirantes a profesionales de áreas ajenas. De lo anterior y en lo sucesivo, iniciaremos cada aprendizaje con la aplicación directa de las propiedades y fórmulas, y sólo en algunos casos haremos su demostración intuitiva. 3
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 1.2 Diferenciación de funciones elementales. Guía: - Diferenciación de funciones elementales: . Algebraicas. . Exponenciales. . Logarítmicas. . Trigonométricas.
. Trigonométricas inversas. . Hiperbólicas. . Hiperbólicas inversas. - Ejemplos. - Ejercicios.
Diferenciación de funciones elementales algebraicas. Funciones elementales algebraicas: Es de observarse que existe una infinidad de funciones elementales algebraicas, sin embargo y según sea el caso, sólo mencionaremos las que sean de nuestro interés; y es así como ahora consideramos las siguientes: Fórmulas de diferenciales
Función
1) d (k ) 0 2) d x dx x 3) d x dx x
yk yx
y x
x 2 1 x dx
4) d
y x
1 1 5) d 2 dx x x
y
1 x
Nombre Constante Identidad Valor absoluto Raíz
Inversa de “x”
Ejemplos:
1) 2) 3) 4)
d 2 0 d pancho 0 observe que todo lo que no sea “x” es constante. d 2 x 2 d x 2 dx es de observarse que estamos aplicando la propiedad de la constante. d sixto sito d x sito dx aquí hemos aprendido que todo lo que no sea “x” es constante.
5) d 5 x 4 d 5 x d 4 5 d x 4 d 1 51 4 4 5 6)
7)
x 5x d 5 x d 5 x 5 d x 5 dx dx x x x 1 1 1 1 d x d dx . dx 6 x 3 2 x 3 3
x 2
2 1 dx . dx dx 2 x 2 x 2 x 1 2x x 1 9) d dx dx 2d 2 d x 2 x x x 2 x 2 2 2 1 2 1 dx 10 ) d d 2 dx . x x 3 3 3 3x 2 x 8)
d
2x
2d
1
1 dx 2x
4
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Diferenciación de funciones elementales exponenciales: Funciones elementales exponenciales: Fórmulas de diferenciales
1) d e x e x dx 2) d a x a x ln a dx
Función
e 2.71828.... a 0 1
y ex y ax
Nombre Exponencial de base
a 0 1
Exponencial de base
e a
Ejemplos:
ex ex 1 1 x d ex dx 1) d e dx 2 2 2 2
2) d 2 x 3 d 2 x d 3 2 x ln 2 dx 0 2 x ln 2 dx Diferenciación de funciones elementales logarítmicas: Funciones elementales logarítmicas: Fórmulas de diferenciales
1 dx x 0 x 1 dx 2) d log a x x ln a
1) d ln x
Función
Nombre
y ln x
Logaritmo de base (logaritmo natural)
e
y log a x
Logaritmo de base
a
Ejemplos:
2 1 2 2 ln x 2 dx 1) d d ln x dx 5 x 5x 5 5 d 4 dx 2) d 4 log10 x 4 log10 x dx dx x ln 10 Diferenciación de funciones elementales trigonométricas: Funciones elementales trigonométricas: Fórmulas de diferenciales
1) 2) 3) 4) 5) 6)
d sen x cos x dx d cos x sen x dx d tan x sec 2 x dx d cot x csc 2 x dx d sec x sec x tan x dx d csc x cot x csc x dx
Función
y sen x y cos x
y tan x y cot x y sec x y csc x
Nombre Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante
5
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Ejemplos:
1 cos x 1 1) d ( senx) dx senx dx 2 2 2 2 2 tan x 2 sec 2 x dx 2) d tan d x 3 3 3
2 sec 2 x dx 3
2 1 3) d 2d 2d sec x 2 sec x tan x dx cos x cos x
Diferenciación de funciones elementales trigonométricas inversas: Funciones elementales trigonométricas inversas: Fórmulas de diferenciales
1) d arc sen x 2) d arc cos x 3) 4)
5) 6)
1 1 x2 1
Función
dx
dx 1 x2 1 d arc tan x dx 1 x2 1 d arc cot x dx 1 x2 1 d arc sec x dx x x2 1 1 d arc csc x dx x x2 1
Nombre
y arc sen x
Seno inverso
y arc cos x
Coseno inverso
y arc tan x
Tangente inversa
y arc cot x
Cotangente inversa
y arc sec x
Secante inversa
y arc csc x
Cosecante inversa
Ejemplos:
1 3 dx dx 1) d 3arcsenx 3 d arcsenx 3 2 1 x2 1 x 1 2 2arc cot x 2 2 d arc cot x dx dx 2) d 2 2 3 3 3 1 x 3 1 x
3)
1 1 1 1 arc sec x 1 1 d d arc sec x dx dx dx dx 2 2 2 2 2 2 x x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2x 2 2
6
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Diferenciación de funciones elementales hiperbólicas: Funciones elementales hiperbólicas: Fórmulas de diferenciales
1) 2) 3) 4) 5) 6)
Función
d senh x cosh x dx d cosh x senh x dx d tanh x sec h 2 x dx d coth x csc h 2 x dx d sec h x tanh x sec h x dx d csc h x coth x csc h x dx
Nombre
y senh x y cosh x y tanh x
Seno hiperbólico
y coth x
Cotangente hiperbólica
y sec h x y csc h x
Secante hiperbólica
Coseno hiperbólico Tangente hiperbólica
Cosecante hiperbólica
Ejemplo:
1) d 2 cosh x 5 x 2 d cosh x 5d ( x) 2senh x dx 51 2senh x dx 5 3 3 tanh x 3 3 2 2 2) d d tanh x sec h x dx sec h x dx 4 4 4 4 Diferenciación de funciones elementales hiperbólicas inversas: Funciones hiperbólicas inversas: Fórmulas de diferenciales
1
1) d arcsenh x 2) d arccos h x 3) 4) 5) 6)
Función
x2 1 1
dx dx
x 1
x2 1 1 d arctan h x dx x 1 1 x2 1 d arc coth x dx x 1 1 x2 1 d arc sec h x dx 0 x 1 x 1 x2 1 d arc csc h x dx x 0 x 1 x2
Nombre
y arc senh x
Seno hiperbólico inverso
y arc cosh x
Coseno hiperbólico inverso
y arc tanh x
Tangente hiperbólico inverso
y arc coth x
Cotangente hiperbólico inverso
y arc sec h x
Secante hiperbólico inverso
y arc csc h x
Cosecante hiperbólico inverso
Ejemplos:
2 1 1x
2 dx dx 2 1 x 1 2 2 arc csc h x 2 2 2) d dx dx d arc csc h x 2 2 3 3 x 1 x 3 3 1 x x
1) d
2 arc tanh x
2
7
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Ejercicios: Tipo I. Obtener la diferencial por fórmula de las siguientes funciones elementales algebraicas.
1) d (2 x) ?
x 2) d ? 4 2x 3) d ? 3
x 4) d ? 2
7) d
3 10) d ? x 2 11) d ? 3x 2 12) d 3 x 2 ? x
5x ?
2x 8) d ? x 2x 9) d 3x
5) d (2 x ) ?
2x ? 6) d 4
Tipo II. Obtener la diferencial por fórmula de las siguientes funciones elementales exponenciales.
ex 1) d ? 3
?
5 5x 2) d 4
3) d 2 3e x 4 ?
Tipo III. Obtener la diferencial por fórmula de las siguientes funciones elementales logarítmicas.
1)
2 ln x d ? 9
2) d 5 log10 x ?
3)
ln x d ? 5
Tipo IV. Obtener la diferencial por fórmula de las siguientes funciones elementales trigonométricas.
1) d 3 cos x ?
3 cot x 2) d ? 4
2 3) d csc x ? 3
Tipo V. Obtener la diferencial por fórmula de las siguientes funciones elementales trigonométricas inversas.
d 3arc sen x ?
3arc tan x d ? 8
2 d arc csc x ? 3
Tipo VI. Obtener la diferencial por fórmula de las siguientes funciones elementales hiperbólicas.
1) d 2 cosh x ?
5 tanh x 2) d ? 4
3 3) d csc h x ? 2
Tipo VII. Obtener la diferencial por fórmula de las siguientes funciones elementales hiperbólicas inversas.
2arcsenh x 1) d ? 3
arccos h x 2) d ? 10
5) d 5arc sec h x ?
8
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 1.3 Diferenciación de funciones algebraicas que contienen xn. Guía: - Diferenciación de funciones algebraicas que contienen xn. - Ejemplos. - Ejercicios.
Diferenciación de funciones algebraicas que contienen xn. Fórmulas de diferenciales
Función
1) d x n nx n 1 dx
Ejemplos:
d x n nx n 1dx
1) d ( x ) n 3 n 1 2 3
d ku k d (u )
2) d 2 x
k 2 u x4
4
7x 3) d 4 3 x
Nombre Potencia de
y xn
x
3 x 2 dx 3 x 2 dx
2 d x 4 2(4) x 3 dx 8 x 3dx
4 4 1 4 1 x 1 7 7d 7 d x1 x 3 7 d x 3 7 d x 3 7 x 3 dx dx 3 4 3 3 3 x4 x
4)
d u v d ( u ) d ( v ) d x 1 u x d ( x ) d (1) dx 0 dx v 1
5)
d u v d ( u ) d ( v ) d 3x x u 3x 2 d 3 x 2 d ( x ) 6 xdx dx ( 6 x 1) dx v x
6)
23 x 3 x 2 d 2 d 2 d 2 x x x
2
3 2 d x 2 3 d x 2 2 ( 2 ) x 3 dx 3
3 2
x
5 2
4 9 dx 3 2 x5 x
dx
3 3 1 3x 1 3x 1 3x 1 1 3 7) d d d d d 1 d x 0 1 dx dx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
9
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
1 1 3 12 1 1 1 1 1 1 2 1 2 x 1 x 1 x 2 d d d x x x x dx 8) d x 3 2 3 2x 3 2 x 3 2 x 3 2 2 2
1 1 1 3 2 2 x 2 x3
2 x 2 d 9) d x x
1 1 dx 6 2x 6 2x3
dx
3 3 1 1 1 x d 2 x 2 1 2 x 2 dx x 2 dx dx x 2 x3
1 1 bx a bx a a bx 1 x 10) d d d d ad bd a d x 2 bd x 2 x x x x x x x 3 1 a b a b 1 1 dx a x 2 dx b x 2 dx dx dx 3 3 2 x x 2 2 2 2 2 x x
Ejercicios: Tipo I. Por la fórmula de diferenciación de funciones algebraicas que contienen xn; obtener: 1)
d
2x ?
7)
d ( x 2) ?
13)
5 2x d ? 3
14)
3x x 2 ? d x
15)
2 3x d ? x
2)
d 8 7 x3 ?
8)
d (x 2 3x) ?
3)
2 d 3 ? 3x
9)
d x 2 x 1 ?
10)
d ( 2 x 1) 2 ?
16)
d (1 z 2 ) z ?
11)
d x 1 x 1 ?
17)
1 t ? d 2t
18)
2 x 2 3x 1 ? d 2 x
4)
2x d ? x
5)
3x 3 d 5 x5
6)
7x d 4 3 x
?
?
12)
d 4
x ?
10
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 1.4 Diferenciación de funciones que contienen u. Guía: - Diferenciación de funciones que contienen u. - Ejemplos. - Ejercicios.
Diferenciación de funciones que contienen u: Sí
u
es cualquier función y
n
es un número real se cumple los siguientes diferenciales:
Diferenciación de funciones algebraicas que contienen u. Fórmulas de diferenciales
Función
1) d u n nu n 1 du 1 2) d x du 2 u 1 1 3) d 2 du u u
Nombre
y un
Potencia de
y u
Raíz de
y
1 u
u
u
Inversa de u
Ejemplos:
1) d ( x 5 )
d ( x n ) nx n 1 Por la fórmula n5 5 x 4 dx n que contiene " x " n 1 4
2) d 3x 2
3) d
n 1
d (u ) nu du Por la fórmula n 5; n 1 4 (5)( x ( 4) ) (dx) 5 x 4 dx que contiene " u" u x; du d ( x) dx
1 2x
n
5 x 4 dx
d u n n u n 1 du; n 4; n 1 3 3 3 43x 2 3dx 12 3x 2 dx u 3x 2; du 3 dx d
u 2 1u du
1 1 dx 2 dx 2 1 2x 1 2x u 1 2 x; du 2 dx
1 2 4x 3 5 d u du 1 4x 2 2 12 x 2 dx dx 4) d 2 u 3 1 2x 3 2 4 x 3 5 3 2 u 4 x 5; du 12 x dx
11
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Diferenciación de funciones exponenciales que contienen u: Fórmulas de diferenciales 1) 2) 3)
d (e u ) e u d (u ) d (a u ) a u ln a d (u ) d (u v ) u v ln u d (v) vu v 1d (u )
Función
y eu y au y uv
Nombre Exponencial de base Exponencial de base
e a
Potencia de potencia
Ejemplo:
2x 2x 2 2 2x 1) d e 3 e 3 dx e 3 dx 3 3 Diferenciación de funciones logarítmicas que contienen u: Fórmulas de diferenciales 1) 2)
1 d (u ) u log a e d (log a u ) d (u ) u d (ln u )
Función
Nombre
y log a u
Logaritmo de base (logaritmo natural)
e
y ln u
Logaritmo de base
a
Ejemplo:
10 1 dx 1) d 5 ln 1 2 x 5d ln (1 2 x) 5 2 dx 1 2x 1 2x Diferenciación de funciones trigonométricas que contienen u: Fórmulas de diferenciales
1) d ( sen u ) cos u du 2) d (cos u ) sen u du
3) 4) 5) 6)
d (tan u ) sec u du d (cot u ) csc 2 u du d (sec u ) sec u tan u du d (csc u ) cot u csc u du 2
Función
y sen u y cos u
y tan u y cot u y sec u y csc u
Nombre Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante
Ejemplos:
d (cos u ) sen u du 1) d (cos 2 x) u 2 x du 2dx
( sen 2 x) ( 2dx) 2sen 2 x dx
2) d (2 tan (1 3 x)) 2 sec 2 (1 3 x)(3dx) 6 sec 2 (1 3x) dx x x x1 x x 1 3) d csc cot csc dx cot csc dx 2 2 2 2 2 2 2 12
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Diferenciación de funciones trigonométricas inversas que contienen u: Fórmulas de diferenciales
1
1) d (arc sen u ) 2) 3) 4) 5) 6)
Función
du
1 u2 1 d (arc cos u ) du 1 u2 1 d (arc tan u ) du 1 u2 1 d (arc cot u ) du 1 u2 1 d (arc sec u ) d (u ) u u 2 1 1 d (arc csc u ) du u u 2 1
Nombre
y arc sen u
Arco seno
y arc cos u
Arco coseno
y arc tan u
Arco tangente
y arc cot u
Arco cotangente
y arc sec u
Arco secante
y arc csc u
Arco cosecante
Ejemplos:
1 4 4 dx 1) d arccos 4 x dx 2 2 1 ( 4 ) 1 16 x x 1 2 2 x dx 2) d arc sec( x 2 dx 2 2 2 2 x ( x ) 1 1 16 x x
Diferenciación de funciones hiperbólicas que contienen u: Fórmulas de diferenciales
1) 2) 3) 4) 5) 6)
Función
d senh u cosh u du d cosh u senh u du d tanh u sec h 2 u du d coth u csc h 2 u du d sec h u tanh u sec h u du d csc h u coth u csc h u du
Nombre
y senh u y cosh u y tanh u
Seno hiperbólico
y coth u
Cotangente hiperbólica
y sec h u y csc h u
Secante hiperbólica
Coseno hiperbólico Tangente hiperbólica
Cosecante hiperbólica
Ejemplos:
1) d senh ( x 2 1) 2) d cosh (2 x)
d ( senhu cosh u du u x 1; du 2 x dx 2
cosh ( x 2 1) (2 x dx) 2 x cosh ( x 2 1) dx
d (cosh u senh u du senh 2 x 2 dx 2 x senh 2 x dx u 2 x; du 2 dx
13
José Santos Valdez y Cristina Pérez
3) d coth 1 2 x
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
d coth u csc h 2 u du csc h 2 (1 2 x)(2 dx) 2 csc h 2 (1 2 x) dx u 1 2 x; du 2 dx
Diferenciación de funciones hiperbólicas inversas que contienen u: Fórmulas de diferenciales
1) d arcsenh u 2) d arccos h u 3) 4) 5)
6)
Función
1 u2 1 1
du du u 1
u 2 1 1 d arctan h u du u 1 1 u2 1 d arc coth u du u 1 1 u2 1 d arc sec h u du 0 u 1 u 1 u2 1 d arc csc h u du u 0 u 1 u2
Nombre
y arc senh u
Arco seno hiperbólico
y arc cosh u
Arco coseno hiperbólico
y arc tanh u
Arco tangente hiperbólica
y arc coth u
Arco cotangente hiperbólica
y arc sec h u
Arco secante hiperbólica
y arc csc h u
Arco cosecante hiperbólica
Ejemplos:
1) d 2 arccos h 5 x
d arccos h u
1
u 2 1 u 5 x; du 5 dx
2) d arc sec h (1 2 x)
d arc sec h
du
1 2 5 dx (5 x) 2
1 u 1 u2
du
u 1 2 x; du 2 dx
2 (1 2 x) 1 (1 4 x 4 x ) 2
dx
10 25 x 2 1
1 (1 2 x) 1 (1 2 x) 2 2
(1 2 x) 4 x 4 x
2
dx
dx
(2 dx) 1
(1 2 x) x x 2
dx
14
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Ejercicios: TIPO I. Por la fórmula de diferenciación de funciones algebraicas que contienen u; obtener:
2) d
7) d
5) d 1 2 x ?
1) d ( x) ?
2
x ?
1 3) d ? x
4) d
3
6) d 3 2 x 2 3 ?
9)
3 2x ?
1 x2 8) d 3
2x ?
?
3 d 2 1 2x
?
Tipo II. Por las fórmulas de diferenciación de funciones exponenciales que contienen u; obtener:
1) d (3 2 x ) ?
3) d e 2 x ?
2x 2) d 10 3 ?
4) d 2e
x
2e 3 x 5) d 3
?
?
6) d 2 x ? 3x
Tipo III. Por las fórmulas de diferenciación de funciones logarítmicas que contienen u; obtener:
1) d (log10 3x) ? 2)
3x d 2 log 10 ? 5
3) d (ln 2 x) ?
5)
2x d ln ? 3
6) d ln (1 2 x) 2 ?
4) d ln c ?
Tipo IV. Por las fórmulas de diferenciación de funciones trigonométricas que contienen u; obtener:
1) d sen2 x ?
2) d cos x ?
5) d sec(1 2 x) 2 ?
1 3) d tan ? x
x 6) d 2 csc ? 2
4) d cot x 2 ?
Tipo V. Por las fórmulas de diferenciación de funciones trigonométricas inversas que contienen u; obtener:
1) d arc sen 3x ?
3) d arc tan 2 x ?
4)
3x d arc csc 2
Tipo VI. Por las fórmulas de diferenciación de funciones hiperbólicas que contienen u; obtener:
d coth 3e ?
1) d senh 2 x ?
3) d tanh 3 x ?
2) d cosh(2 x 1) ?
4)
2x
5)
1 d sec h ? 2x
6) d csc h (ln 2 x ?
Tipo VII. Por las fórmulas de diferenciación de funciones hiperbólicas inversas que contienen u; obtener:
1) d arccos h2 x ?
2) d arctan h 3 x ?
3) d arc csc h(1 x) ? 15
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 1.5 La antiderivada e integración de funciones elementales. Guía: - Familia de funciones. - Integración de funciones elementales: - Antiderivada de una función. - Ejemplos. - Ejercicios. - Integración indefinida. - Propiedades de la integral indefinida.
Familia de funciones: Es un conjunto de funciones que difieren en una constante. Ejemplo: Las siguientes funciones representan una familia de funciones puesto que difieren en una constante. y = x2 y = x2 + 2 y = x2 – 5
T y = x2 y = x2 + 2 T
Observe: que al trazar la recta “L” (perpendicular al eje de las Xs ) esta toca a las curvas en los puntos de las curvas donde la pendiente de otras rectas “T” es la misma en todos los puntos que se tocan.
y = x2 – 5 T Recta
“L”
Antiderivada de una función: De la siguiente familia de funciones observe lo siguiente: a) A cada función de la familia se llama función primitiva. b) De cada función primitiva se obtiene su derivada (todas las derivadas son iguales). c) De cada derivada se obtiene su antiderivada; de donde antiderivada y función primitiva es lo mismo. d) De cada antiderivada se obtiene su diferencial (todos los diferenciales son iguales). e) De cada diferencial se infiere su integral que es la función primitiva, sólo que en lugar del número aparece una “c” (constante). Función primitiva
y x2 y x2 2 y x2 5
Derivada
Antiderivada
Diferencial
Integral
dy 2x dx dy 2x dx dy 2x dx
y x2 c
dy 2 x dx
dy 2 x dx x
2
c
y x2 c
dy 2 x dx
dy 2 x dx x
2
c
y x2 c
dy 2 x dx
dy 2 x dx x
2
c
dy f (x) dx
y f ( x) c
dy f ' ( x)dx
dy f ' ( x)dx f ( x) c
Conclusión: Sí
y f ( x) c
De donde: La integración indefinida es el proceso de encontrar la familia de antiderivadas de una función. A partir de aquí y a menos que otra cosa se indique, cuando tratemos las integrales nos estaremos refiriendo a la integración indefinida de funciones. Para efectos prácticos, haremos los siguientes cambios: La integral la siguiente forma:
f ( x) dx F ( x) c
donde
f (x)
f ( x) dx f ( x) c
es la función a integrar y
F ( x) c
la concebiremos de es su resultado. 16
José Santos Valdez y Cristina Pérez
f ( x) dx F ( x) c
Notación:
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Donde:
Es el signo de integración. Es el integrando.
f ( x) dx x F ( x) c c
Es la variable de integración. Es la familia de antiderivadas. Es la constante de integración.
Propiedades de la integral indefinida: Sí
f y g
son funciones de una misma variable, continuas e integrables y
k
es una constante, se cumplen las
siguientes propiedades:
1) 2)
k f ( x) dx k f ( x) dx f ( x) g ( x) dx f ( x) dx g ( x) dx
Del producto constante y función. De la suma y/o diferencia de funciones.
Integración de funciones elementales. Integración de funciones elementales algebraicas: Fórmulas de integración de funciones elementales algebraicas: Para el propósito de integración se han considerado únicamente las siguientes funciones algebraicas elementales:
1)
0dx c
2)
dx x c
3)
x dx
x2 c 2
4)
dx ln x c x
Ejemplos:
1) 2)
o dx c 3 dx 3x c
x2 5x 2 c c 2 2 dx 1 dx 1 dx dx 1 4) ln x c ln x c 2x 2 x 2 x x 2 2 2 3x 3 3x 3 x 5) dx x dx c c 2 2 4 2 2 2 2 1 2 2 6) dx dx ln x c ln x c 3x 3 x 3 3 3)
5 x dx 5 x dx (5)
7)
2 2x 5 2 5 2x 5 2 x dx dx x dx dx 3 3 3 3 3 3 2
8)
9)
5 x 2 5x x c c 3 3 3
2 3x 2 3x 1 2 3x dx dx dx 2 dx 3 dx 2 ln x 3 x c x x x x x x
x 2 4 x 4 dx ( x 2) 2 dx ( x 2) dx x dx 2dx
x2 2x c 2 17
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Integración de funciones elementales exponenciales: Fórmulas de integración de funciones elementales exponenciales:
1)
e
x
2)
dx e c x
x a dx
ax c ln a
Ejemplos:
1)
2e
x
dx 2e x c
3e x 3e x dx c 4 4 3x 3x 3) dx c 2 2 ln 3 2)
Integración de funciones elementales logarítmicas: Fórmulas de integración de funciones elementales logarítmicas:
1)
ln x dx x ln
x 1 c
2)
log
a
x c x dx x log a e
Ejemplos:
1)
3 ln x dx 3x ln x 1 c
2)
x log10 x x dx log10 c 3 3 e
Integración de funciones elementales trigonométricas: Fórmulas de integración indefinida de funciones elementales trigonométricas:
1) 2) 3)
sen x dx cos x c cos x dx sen x c tan x dx ln cos x
4) 5) c
6)
ctg x dx ln sen x c sec x dx ln sec x tan x c csc x dx ln csc x cot x c
Ejemplos:
1)
2 cos xdx 2senx c
2 cot x 2 dx ln senx c 3 3 sec x 1 1 1 3) dx sec x dx ln sec x tan x c ln sec x tan x c 5 5 5 5 identidad trigonométrica 4) (4sen 2 x 4 cos 2 ) dx 4( sen 2 x cos 2 x)dx 4 dx 4 x c sen 2 x cos 2 x 1 2)
18
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Integración de funciones elementales trigonométricas inversas: Fórmulas de integración de funciones elementales trigonométricas inversas:
1)
arc sen x dx xarc senx
2)
arc cos x dx x arc cos x
3)
arc tan x dx xarc tan x 2 ln
1 x2 c 1 x2 c
1
arc cot x dx x arc cot x 2 ln
5)
arc sec x dx xarc sec x ln arc csc x dx xarc csc x ln
6)
x2 1 c
1
4)
x2 1 c
x x2 1 c x x2 1 c
Ejemplos:
1) 2)
2 arccos x dx 2 x arccos x 1 x c 2 x arccos x 2 1 x c 3 arc sec x 3 3 3 5 dx 5 x arc sec x ln x x 1 c 5 x arc sec x 5 ln 2
2
2
x x2 1 c
Integración de funciones elementales hiperbólicas: Fórmulas de integración de funciones elementales hiperbólicas:
1) 2) 3)
senh x dx cosh x c cosh x dx senh x c tanh x dx ln
cosh x c
4)
coth x dx ln senh x c
5)
sec h x dx 2 arctan tanh 2 c
6)
csc hx dx ln
tanh
x
x c 2
Ejemplos:
1)
2 cosh x dx 2 senh x c
2)
tanh x 1 dx ln (cosh x) c 3 3
2 2 1 3) dx dx 3 csc hx 3 csc hx
identidad hiperbólica 2 2 senh x dx cosh x c 1 senh x 3 3 csc h x
Integración de funciones elementales hiperbólicas inversas: Fórmulas de integración de funciones elementales hiperbólicas inversas:
1)
arcsenhxdx xarcsenhx x 1 c
2)
arccos hxdx x arccos hx
3)
arctan hx dx x arctan hx 2 ln x
2
1
x2 1 c 2
1 c
1
4)
arc coth x dx xarc coth x 2 ln x
5)
arc sec hx dx xarc sec hx arctan
6)
arc csc chx dx xarc csc hx ln
2
1 c
x 2 c x 1
x x 2 1 c
19
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Ejemplos:
1) 2)
3arcsenhxdx 3xarcsenhx 3
x2 1 c
1 1 1 arc csc hx x dx arc csc h x dx xarc csc h x ln x x 2 1 c arc csc h x ln x 2 2 2 2 2
x2 1 c
Ejercicios: Tipo I. Por las fórmulas de integración de funciones elementales algebraicas; obtener:
1)
dx ?
2)
2dx ?
3)
x 3 dx ?
3 (5) x dx ? 4) 10
Tipo II. Por las fórmulas de integración de funciones elementales exponenciales; obtener:
1)
5e dx ? x
2)
3e x 5 dx ?
3)
2x 3 dx ?
4)
x
3 dx ?
Tipo III. Por las fórmulas de integración de funciones elementales logarítmicas; obtener:
1)
5 ln xdx ?
2)
3 ln x dx ? 5
ln x dx 8
3)
4)
2 log
5
3 log 5 x dx ? 10 log 5 x 6) dx ? 3
5) xdx ?
Tipo IV. Por las fórmulas de integración de funciones elementales trigonométricas; obtener:
1)
5 sen xdx ?
2)
3 cos x dx ? 5
tan x dx ? 8
3)
4)
2 cot x dx ?
3 sec x dx ? 10 csc x 6) dx ? 3
5)
Tipo V. Por las fórmulas de integración de funciones elementales trigonométricas inversas; obtener:
1)
2arc sen xdx ?
2)
3arc cos x dx ? 5
arc tan x dx 10
3)
4)
2arc cot x dx ?
3 arc sec x dx ? 5 arc csc x 6) dx ? 6
5)
Tipo VI. Por las fórmulas de integración indefinida de funciones elementales hiperbólicas; obtener:
1)
5 senh xdx ?
2)
tanh x dx ? 2
3)
3 sec hx dx ? 5
Tipo VII. Por las fórmulas de integración de funciones elementales hiperbólicas inversas; obtener:
1)
3arc cosh x dx ? 5
2)
2arc coth x dx ?
3)
2arc csc hx dx ? 3 20
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 1.6 Integración de funciones algebraicas que contienen xn. Guía: - Integración de funciones algebraicas que contienen xn. - Ejemplos. - Ejercicios.
Integración de funciones algebraicas que contienen xn. Fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn.
1)
n x dx
x n 1 c (n 1) 0 n 1
Ejemplos:
x n1 n 1 x2 x dx c 1) xdx c n 1 2 n 1; n 1 2 x n 1 n x (2) 3x 2 k x dx k c c c 2) 3 xdx 3 xdx ( 3 ) n 1 ( 2 ) 2 k 3; n 1; n 1 2 x n 1 x ( 3) x3 c c 3) x 2 dx x dx n 1 c ( 3 ) 3 n 2; n 1 3 n
x n 1 1 x dx x 1 c x dx x 2 dx 1 3 n ; n 1 2 2
3
n
4)
5)
2 x dx 2 x dx
2x 3 2
3 2
x2 3 2
c
2 2 x3 2 2x3 c c c 3 3
x n 1 c dx 2 x 3 dx n 1 3 x n 3; n 1 2 n x dx
2
6)
7)
3x
2
2 x3 c 3
2 x dx 3 x 2 dx 2 x dx
2 x 2 2 1 c 2 c 2 c 2 2x x 2
3x 3 2 x 2 c x3 x2 c 3 2
21
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
3
1 3 x2 x2 x3 2 x3 1 1 x x 2 c 8) x dx dx x dx x 2 dx x 2 dx 3 c 3 3 3 3 3 9 3 2
9)
10)
3x 5 dx 4
5 3x 4 4 dx
3x dx 4
1 2
5 3 dx 4 4
1 2
x dx 3 2
2 5 3 x dx 4 4 2
5 3x 2 5x x c c 8 4 4
1 2
x 1 x 1 x x 2 x3 dx dx x dx x dx c 2 x c x x x 3 1 3 2 2
Ejercicios: Tipo I. Por la fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn; obtener:
x dx ?
2)
3 dx ?
1 dx ? x 1 5) 2 dx ? x
3)
2x 2 3 dx ?
6)
1)
3
x
4)
2
x dx ?
2
7)
3x
8)
2
9)
2
dx
3
dx ? x5 5 dx ? 3 2x
Tipo II. Por la fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn; obtener:
1)
(2 x)
2)
dx ?
3)
4 x dx ?
4)
2
2 dx ? 2x 2x dx ? x
3x 3 5 x 5 dx ? 7x dx ? 6) 4 3 x
5)
Tipo III. Por la fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn ; obtener:
1)
(3 x) dx ?
4)
2)
( x 1) dx ?
5)
3)
(2 x
2
2
x) dx ?
(1 2 x ) dx ?
1 2x dx ? 3 3x x 2 dx ? 6) x
x 1 dx ? x a bx 8) dx ? x 2 3x 9) dx ? 2x 7)
22
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 1.7 Integración de funciones que contienen u. Guía: - Integración de funciones que contienen u. - Fórmulas de integración de funciones que contienen u:
- Ejemplos. - Ejercicios.
Integración de funciones que contienen u. Para toda “u” que sea cualquier función, se cumplen las siguientes fórmulas de integración: Integración de funciones algebraicas que contienen u. Fórmulas de integración de funciones algebraicas que contienen u.
1)
0 du c
2)
du u c
u n 1 3) u du c (n 1) 0 n 1
4)
n
1
u du ln
u c
Ejemplos:
u n 1 c 1 n 3 1) 2 5 x dx u 2 5 x ; du 5dx n 3; n 1 4 n u du
1 3 5 dx 3 2 5 x 2 5 x (5 dx) 5 5
4 2 5 x 4 c 1 2 5 x c 4 20 5
2)
du dx 1 3dx 1 (3dx) 1 ln u c ln 1 3 x c u 1 3x 1 3x 3 3 1 3x 3 u 1 3 x; du 3dx
3)
2 x 1 3x
2 5
1 2 dx 2 1 3x 6
5
6 dx 1 3
(1 3x 2 ) 6 6
1 3x 2 c 18
6
c
1
x3 2 1 2 2 3 x 2 35 5 7x2 7 5 x3 c 35 dx 2 dx 4) 3 1 3 23 5 x 5 6 2 2 2 5
x3 2 c 5 6
1 5 1 1 1 5 3 u 1 (2) 1 1 1 2x 5 c dx 1 1 dx 2x 3 2x 2 dx 5) 3 2 4 2 x (2) x 2 6 2 1 4 2x x 4x 6 du 2 dx 1 1 2x 1 c 12 2 x 23
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
1
2 2 4 1 1 3 3 2 3 2 1 2 2 (2) 3 x dx 4 dx c 6) 4 2 dx 4 1 2 2 2 x 2 (2) x 2 x x 2 4 2x 3 2 x 4 c 2 x 3x 3x 6 6 6 7) dx 3 3 3 x 6 ln 2 x c dx 3dx 2 x 2x 2x 2x 2x 1 11 3x 6 dx x 2 2 2 1 3 x 3x 2 1 1 3x 2 1 3x 2 1 11 6 x 11 ln( x 2) c dx dx 3x 6 8) x2 x2 2x 4 2 x2 2 2
3x 2 11 3 x ln( x 2) c 4 2
Integración de funciones exponenciales que contienen u. Fórmulas de integración de funciones exponenciales que contienen u:
1)
e
u
du e u c
2)
u a du
au c ln a
Ejemplos: x
x
x
e3 1 1 3 dx 3 e 3 dx e 3 c 1) 4 4 3 4 2x 32 x 1 1 3 2) 3 2 x dx 3 2 x (2dx) c c 2 ln 3 2 2 ln 3 5 (2) 5e x 5 1 1 5 2 dx e x dx e x dx e 3) 3 x 3 2x 3 2 3 2 (2) x
x
c
Integración de funciones logarítmicas que contienen u. Fórmulas de integración de funciones logarítmicas que contienen u.
1)
ln u du u ln u 1 c
2)
u c log u du u log a a e
Ejemplos:
3x 2 15 2 x 2 x 1 c 3 x ln 1 c dx ln 5 5 2 5 5 5x 2 5x 2 3 2 3 x 2 1 2 2 c c log10 2) 3 x log10 5 x dx 3 log10 5 x 10 x dx 5 x log 10 e e 10 2 10
1)
3 ln
2x 2x 2x 5 dx 3 ln dx 3 ln 5 5 5 2
24
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
2 2 ln 1 2 2 1 2 3 2 2 3 2 2 3x 3) dx ln 1 dx ln 1 2 dx 1 ln 1 1 c 2 5 5 2 5 3x 3x 5x 3x x 2 3x 3x Integración de funciones trigonométricas que contienen u. Fórmulas de integración de funciones trigonométricas que contienen u.
5)
sen u du cos u c cos u du sen u c tan u du ln cos u c cot u du ln sen u c sec u du ln sec u tan u c
6)
csc u du ln
1) 2) 3) 4)
7) 8) 9) 10)
11)
sec u tan u du sec u c csc u cot u du csc u c sec u du tan u c csc u du cot u c 2
2
sec
3
u du
1 1 sec u tan u ln sec u tan u c 2 2
csc u cot u c
Ejemplos:
1)
cos 2u du sen u c cos 2 x dx u 2 x; du 2 dx
1 1 cos 2 x (2 dx) sen 2 x c 2 2
k sec 2 u du k tg u c 3 x 3dx 8 3 x x x 3 3 4 2 sec 2 2) 2 sec 2 dx 2 sec 2 dx tg c 3x 3dx 4 4 3 4 4 4 u ; du 3 4 4 3dx
dx 3 31 3 3 1 sec u sec 2 5 x dx sec 2 5 x (5dx ) tg 5 x c 2 10 25 2 2 cos 5 x cos u
3)
2 cos
4)
u cos 3x Integral tipo 3 n 1 cos 3x sen3x dx u n du u c Estrategia cos 3x sen 3xdx n 3; n 1 4 n 1 du 3sen3 x dx
2
5x
3
4 cos 4 3x 1 1 cos 3x 3 cos 3 x 3sen3 x dx c c 4 12 3 3
5)
1 1 sen2 x 1 sen2 x 1 sen2 x dx 3 dx dx 3 2 1 sen2 x 1 sen2 x 1 sen 2 x cos 2 2 x 1 sen 2 x sen2 x 1 dx 3 dx 3 sec 2 2 x dx 3 3 dx 2 2 cos 2 x cos 2 x cos 2 x cos 2 x 3 3 3 3 3 sec2 2 x dx 3 tg 2 x sec 2 x dx sec2 2 x 2dx tg 2 x sec 2 x2dx tg 2 x sec 2 x c 2 2 2 2 3dx
1 sen2 x Estrategia
3
25
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Integración de funciones trigonométricas inversas que contienen u. Fórmulas de integración de funciones trigonométricas inversas que contienen u.
arc sen u du u arc sen u arc cos u du u arc cos u
1) 2)
arctan
3)
u du u arctan u
1 u2 c
4)
1 u2 c
5)
1 ln u 2 1 c 2
6)
arc cot u du
u arc cot u
1 ln u 2 1 c 2
arc sec u du u arc sec u ln u arc csc u du u arc csc u ln u
u2 1 c u2 1 c
Ejemplos:
1)
2)
2 arccos( 1 3 x ) 2 1 2 dx (1 3 x ) arccos( 1 3 x ) 1 (1 3 x ) 2 c arccos( 1 3 x )( 3 dx ) 7 7 3 21 2 (1 3 x ) 2 2 (1 3 x ) 2 9x2 6x c arccos( 1 3 x ) 1 (1 6 x 9 x 2 c arccos( 1 3 x ) 21 21 21 21
4arc csc(2 x) 4 1 dx arc csc(2 x) (2 dx) 5 5 2 2 4 2 (2 x) arc csc (2 x) ln (2 x) (2 x) 2 1 c arc csc (2 x) ln 2 x 4 x 2 1 c 5 5 5
Integración de funciones hiperbólicas que contienen u. Fórmulas de integración de funciones hiperbólicas que contienen u.
1) 2) 3) 4)
senh u du cosh u c cosh u du senhu c tanh u du ln cosh u c coth u du ln senh u c
7) 8) 9) 10)
2
2
u
5)
sec h u du 2 arctan tanh 2 c
6)
csc h u du ln
tanh
sec h u du tanh u c csc h u du coth u c sec h u tanh u du sec h u c csc h u coth u du csc h u c
u c 2
Ejemplos:
1
1)
2 cosh 2 x dx 2 2 cosh 2 x (2dx) senh 2 x c
2)
sec h 3 x tanh 3 x 1 1 1 dx sec h 3 x tanh 3 x 3dx sec h 3 x c 5 15 5 3 26
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Integración de funciones hiperbólicas inversas que contienen u. Fórmulas de integración de funciones hiperbólicas inversas que contienen u.
1)
arcsenh u du u arcsenh u
u2 1 c
2)
arccos hu du u arccos h u
u 1 c
3)
arctan hu du u arctan hu 2 ln u
2
1
2
arc coth u du u arc coth u 2 ln u
5)
arc sec hu du uarc sec hu arctan
6)
1 c
1
4)
arc csc hu du
2
1 c
u 2 c u 1
u arc csc hu ln u
u2 1 c
Ejemplos:
1)
1
3
3 x arcsenh 2 x
2)
3
3arcsenh 2 xdx 3 2 arcsenh 2 x 2dx 2 (2 x) arcsenh (2 x) 2
arc csc h 2
(2 x) 2 1 c
3 4x 2 1 c 2
x 2 3 dx 1 3 arc csc h x dx 3 x arc csc h x ln x x 1 c 3 3 23 3 3 2 3 x x 3 x arc csc h ln 2 3 2 3
x2 x x 3 x 1 2 1 c arc csc h ln x 9 c 9 2 3 2 3 3
Ejercicios: Tipo I. Por las fórmulas de integración de funciones algebraicas que contienen u; obtener:
1)
dx ?
8)
2)
xdx ?
16)
x 3 4 x dx ?
3)
x dx ?
1 2x dx ? 9) 3 3 1 x dx ? 10) 2
17)
x (x
a (a bx) 2 b dx 3 2 1 x dx ? 3x 2 2 x dx ? 3 2 x 3 dx ?
18)
5x (1 x
19)
20)
5x
21)
(1 3t )t dt ?
3
4)
dx x ?
11)
5)
12)
2 x dx ?
6)
(1 x) dx ?
13)
7)
(1 2 x) dx ?
14)
3
2
3 2 x dx ?
15)
dx
22)
x 1 ?
2 2
2
3
1) 4 dx ?
4x 1 x2
) dx ?
2 7
u
3
u 4 2 du
x2 23) 3 dx ( x 1) 2 24)
b
2
3ax dx c2x2
25) x a 2 b 2 x 2 dx
dx ?
1 x 2 dx ? 2
27
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Tipo II. Por las fórmulas de integración de funciones exponenciales que contienen u; obtener:
e dx ?
4)
2x 3x2 3 e dx ?
7)
3
2e 5 x 3 dx ? 3) e(1 2 x ) dx ?
5)
4x e
8)
2
6)
2x e
9)
3
1)
2x
2)
2 2x3
dx ?
(1 2 x 2 )
dx ?
(4 x)
dx ?
(1 2 x )
2 x2
dx ?
2 x dx ?
Tipo III. Por las fórmulas de integración de funciones logarítmicas que contienen u; obtener:
1) 2)
ln 5 x dx ? ln(1 2 x) dx ?
3)
4)
ln 2x
5x log
2
dx ?
5)
log
(2 x 8) dx ?
4 x dx ?
6)
3e
log10 e 2 x dx ?
10
10
2x
Tipo IV. Por las fórmulas de integración de funciones trigonométricas que contienen u; obtener:
1)
sen 2 x dx ?
2)
2 cos 3x dx ? tan bx dx ?
3)
4)
5) 6)
2 sec x dx ? 3
7)
dx Sen2 x ?
13)
sen x cos x dx ?
8)
x ( sen 4 x ) dx ?
14)
sen 3x cos
9)
1 sen
15)
2 2
1
2
x
dx ?
dx
3
4
3 x dx ?
cos ax dx ? b sen ax sen x
10)
1 cos x ?
16)
1 cos x dx ?
csc (a bx) dx ?
11)
sen x cos x dx ?
17)
(sec t 1) dt ?
12
cos 2t sen 2t dt ?
18)
2
2
sen 2 d ? cos 2 sen 2 x dx ? sec 5 2 x
Tipo V. Por las fórmulas de integración de funciones trigonométricas inversas que contienen u; obtener:
1) 2)
arc sen 2 x dx ?
arccos 31x 5x
2
dx ?
3)
arc tan (3x) dx ?
5)
4)
arc cot u (1 2 x ) dx ?
6)
2 x arc sec 3x 2 dx ? 5 arc csc ln 2 x dx ? 3x
Tipo VI. Por las fórmulas de integración de funciones hiperbólicas que contienen u; obtener:
1)
5 senh 5 xdx ?
2)
tanh 2 x dx ? 2
3)
3 sec h 3 x dx ? 5
Tipo VII. Por las fórmulas de integración de funciones hiperbólicas inversas que contienen u; obtener:
1)
3arc cosh 5 x dx ? 5
2)
x
2 arc coth 3 dx ?
3)
arc csc h3 x dx ? 2
28
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral Fecha:
Evaluación tipo: Unidad 1.
Apellido paterno
EXAMEN DE CÁLCULO INTEGRAL
Apellido materno Calificaciones: Participaciones
Examen
Nombre(s)
Tareas
Examen sorpresa
Hora: No. de lista: Oportunidad: 123 Unidad: 1. Tema: La integral indefinida Elab: Otras
Clave: Evaluación Tipo Calificación final
1) En la celda “RC” (Respuesta correcta) escriba con tinta la clave correspondiente a la solución correcta del problema. 2) En el reverso de la hoja resuelva únicamente los problemas que contienen en la celda “RC” las siglas (SRD). 3) En caso de que asigne la clave correcta en celdas con siglas (SRD) sin haber resuelto el problema adecuadamente, se restaran por cada celda 20 puntos del total de la calificación. 4) Para tener derecho a puntos extras, deberá obtener como mínimo el 40% del examen aprobado. 5) Iniciada la evaluación no se permite el uso de celulares, internet, ni intercambiar información ó material. 6) Cualquier operación, actitud ó intento de fraude será sancionada con la no aprobación del examen.
2x 1) d 2
1 dx 2 2x
Clave: 10SWA
5 dx 2x2
Clave: 1BNGH
e
x 2
e
1
Clave: 3NMHO
2 x 5
4
2x 5 dx 2
32
5
c
Clave: 4ASDI
6)
7)
8)
9)
x 3 dx 4
3x 2x 2 5
2 ln 3 x 2 2x
dx
dx
Ninguna Clave: 5ASDQ
2 x
2 3
10
3 ln 1 c 2x
Clave: 7MNBH
Ninguna Clave: 8UHKP
10 )
arcsen x dx 2 x
2e
Clave: 3BNML
2 x 5
x arcsen x
x 2
160
RC
5 dx 2x2
Clave: 1LPIO RC
3
Clave: 2BNDP
3
dx
1 3x 2
Clave: 3CVBR
dx
1 9x2
2 x 5 2 c
Clave: 4LKUP
Clave: 4KHMU
3
3
3 x 3 c 2 4
8 x 3 c 3 4
Clave: 5OPUH
Clave: 5TREH
Clave: 5LKMA
2 x
8x c 5 Clave: 6NMGP
5
ln
1
Clave: 7HYRA
Clave: 7POUL
1 sen 4 2 x c 16
Clave: 8RGMH
x arcsen x
Ninguna
c
Ninguna
RC (SRD)
RC
Clave: 6PLOH 2 3x
RC
2
1 x 3 c 4 4
2 3
RC
Clave: 3RTQE
Ninguna
c 3
Ninguna
5
Clave: 4TRES
Clave: 10MCV
dx
Clave: 2PLUY
Ninguna
c
2 3x
1 2
Clave: 1NHYK
6
Clave: 6NHGN
cos3 2x sen 2x dx 2
Clave: 10NMX
dx
Clave: 2RTFH
dx
1 9x2
x 2
RC
1 dx 4 2x
Ninguna
1 5 2 dx 2 2x
Clave: 1YURT
dx
Clave: 2MHNS
4) d arc sen 3x
Clave: 10YRJ
Ninguna
5 x 2) d 2x x 3) d 2e 2
5)
1 dx 2 2x
4x
Clave: 6RTEY
c
1 cos 4 2 x c 16
Clave: 8BEQO
x arcsen x
12 1 x c
1 x c
1 x c
Clave: 9TUTR
Clave: 9PLOS
Clave: 9WQPE
ln
2 3x
1
2x
c
RC
Clave: 7TRET
1 cos 4 2 x c 8
RC
Clave: 8LMNV
Ninguna
RC (SRD)
Clave: 9PLTH 29
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Formulario de diferenciales de funciones que contienen xn y u: Unidad 1.
1) d k f ( x) k d f ( x)
Propiedades:
Fórmula de diferenciación de funciones que contienen xn
2)
d f ( x ) g ( x ) d f ( x) d g ( x)
1)
d x n nx n 1 dx
Fórmulas de diferenciación de funciones que contienen u: Algebraicas:
1) d u n nu
n 1
2 ) d ( u ) du
du
3) d
Exponenciales:
u
u du u
u
4) d
e 2.71828....
d e u e u du
2)
d a u a u ln a du
3)
d u v u v ln u dv vu v 1 du
1)
d ln u
2)
d
log
a
1 du u
1)
d
2)
d cos u sen u du
2)
d
arc
3)
d tan u sec
3)
4)
d cot u csc 2 u du
4)
5)
d sec u tan u sec u du
5)
d
arc
sec u
6)
d
arc
csc u
2
udu
d csc u cot u csc u du
Hiperbólicas:
2)
cosh
arc
1
senu
1 u
1 du 1 u2 1 d arc tan u du 1 u2 1 d arc cot u du 1 u2 cos u
1 u
1
2
u
du
1 u
du
1
2
u
u
senh u du
1
1)
d
arcsenh
u
2)
d
arccos
h u
u
2
2
d tanh u sec h 2 u du
3)
d
arctan
4)
d coth u csc h 2 u du
4)
d
arc
coth
u
1 1 u
5) d sec h u tanh u sec h u du
5)
d
arc
sec h u
d csc h u coth u csc h u du
6)
d
arc
csc h u
h u
1
du
1 u
3)
6)
du
2
Hiperbólicas inversas:
d senh u cosh u du d
a 0 1
Trigonométricas inversas:
d sen u cos u du
1)
2 u
1 du u ln a
u
Trigonométricas:
6)
1 1 5 ) d 2 du u u
du
Logarítmicas:
1)
1)
1
1 1 u
2
1
u 1
du 2
u 1
du
u 1
du
1 u
1 u 1
u
1 u
2
2
du
0 u 1
du
u 0
30
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Formulario de integración indefinida de funciones que contienen xn y u: Unidad 1. Propiedades:
1)
k f ( x) dx k f ( x) dx
f ( x) g ( x) dx f ( x) dx g ( x) dx
2)
Fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn:
x
1)
n
dx
x n 1 c n 1
Fórmulas de integración de funciones que contienen u: Algebraicas:
1)
Exponenciales: Logarítmicas:
1) 1)
0 du
c
2)
e du e c ln u du u ln u
3)
du u c
u
u 1 c
u n 1 c n 1
n u du
2)
a
2)
log
u
4)
au c ln a u du u log
du ln u c u
du a
u c e
a
Trigonométricas:
1) 2) 3) 4)
sen u du cos u c cos u du sen u c tg u du ln cos u c ctg u du ln sen u c
5) 6)
sec u du ln sec u tan u c csc u du ln csc u ctg u c
7) 8)
tan u sec u du sec u c cot u csc u du csc u c
sec u du tan u c csc u du cot u c 2
9) 10) 11 )
2
sec
3
1 sec u tan u 2
u du 1 ln 2
sec u tan u c
Trigonométricas inversas:
1)
arc sen u du uarc senu
1 u2 c
4)
arc
2)
arc cos u du u arc cos u
1 u2 c
5)
arc sec u du
6)
arc
3)
arctan
u du u arctan u
1 ln u 2 1 c 2
Hiperbólicas:
1) 2) 3) 4) 5)
6)
7) 8) 9) 10)
senh u dx cosh u c
cosh u dx senh u c tanh u du ln cosh u c coth u du ln senh u c u sec h u du 2 arctan tanh 2 c u csc h u du ln tanh 2 c
sec h u du tanh u c csc h u du coth u c sec h u tanh u du sec h u c csc h u coth u du csc h u c 2
cot u du u arc cot u
1 ln u 2
2
u arc sec u ln u
csc u du u arc csc u ln u
1 c
u2 1 c u
2
1 c
Hiperbólicas inversas:
arcsenh u du u arcsenh u u 1 c 2) arccos hu du u arccos h u u 1 c 1 3) arctan hu du u arctan hu ln u 1 c 2 2
1)
2
2
1
4)
arc coth u du u arc coth u 2 ln u
5)
arc sec hu du uarc sec hu arctan
6)
arc csc hu du
u arc csc hu ln u
2
1 c
u 2 c u 1 u2 1 c
2
31
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
El valor mas escaso de la naturaleza humana es la lealtad, ¡ Es ahí donde se encuentra lo interesante de las matemáticas !. José Santos Valdez Pérez
UNIDAD 2. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. Clases: 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10
Técnica de integración formas u2 ± a2. Técnica de integración Técnica de integración Técnica de integración Técnica de integración Técnica de integración Técnica de integración Técnica de integración Técnica de integración Técnica de integración
por uso de tablas de fórmulas que contienen las por cambio de variable. por partes. del seno y coseno de m y n potencia. de la tangente y secante de m y n potencia. de la cotangente y cosecante de m y n potencia. por sustitución trigonométrica. de fracciones parciales. por series de potencia. por series de Maclaurin y de Taylor.
- Evaluaciones tipo. - Formulario de técnicas de integración.
32
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 2.1 Técnica de integración por uso de tablas de fórmulas que contienen las formas u2 ± a2. Guía: - Técnica de integración por uso de tablas de fórmulas que contienen las formas u2 ± a2. a 0. - Tabla: Fórmulas de integración que contienen las formas u 2 a 2 - Ejemplos. - Ejercicios.
Técnica de integración por uso de tablas de fórmulas que contienen las formas u2 ± a2: Introducción. Con el propósito de hacer más ágil la integración, existen tablas que contienen cientos y quizá miles de fórmulas. A continuación en la tabla respectiva hemos seleccionado sólo diez de ellas y forman parte de una muestra representativa que contienen en su estructura la característica común u 2 a 2 y la finalidad es el aprendizaje en la identificación y aplicación de estas fórmulas a problemas concretos útil para el ejercicio de la aplicación de la técnica y que servirá como base para la integración de problemas similares. Tabla: Fórmulas de integración que contienen las formas:
du u 1 arctan c 2 a a a du 1 ua 2) 2 ln c 2 2a u a u a
1)
u
2
du 1 ua a 2 u 2 2a ln u a c du 4) ln u u 2 a 2 c 2 2 u a du 5) ln u u 2 a 2 c 2 2 u a
3)
u2 a2 a 0
du
u arcsen c a a u
6)
7)
1 a u2 a2 c u u 2 a 2 a ln u
8)
9)
10)
2
2
du
u a2 u2 a2 ln u u 2 a 2 c 2 2 u a2 2 2 2 2 u a du u a ln u u 2 a 2 c 2 2 u a2 u a 2 u 2 du a 2 u 2 arcsen c 2 2 a
u 2 a 2 du
Método: 1) Identifique el problema que se plantea con alguna de las fórmulas de la tabla.
u2 a2
u y du. 3) Identifique y obtenga a. 4) Sustituya el valor de du ( y u de ser necesario ) en una nueva integral y haga el ajuste correspondiente. 2) Identifique
y obtenga
5) Integre aplicando la fórmula seleccionada.
33
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Ejemplos:
du u 1 arc tan c 2x 1 (2dx) 5 1 2 5 2 arctan c a a a dx 5dx 3 2 4x 9 2 3 1) 2 5 2 u 2 4 x 2 u 2 x; du 2dx 5 2 x 4x 9 4x 9 arctan c a2 9 a 3 6 3
u
2)
3)
2
3dx
2
x 5 2
2
4x
dx 2x 4 2
2
2
a 2 5; a 5
u a 2
u 2x2; a 2 4;
ln u u 2 a 2 c
u a 2 u x 2 ; u x; du dx
1
2
du
3 dx 2 x2 5
u 4)
du
2
1 a u2 a2 ln c a u
u x 2;
du
Integral tipo : a u du
16
3x 2 dx 5
2 dx
a2
2
5)
du 1 ua 2 dx 1 1 1 ln c 2 1 2 x 2 2 2 (1) ln 2a u a u 2 a 2 1 a 1 2 x 1 u 2 2 x 2 ; u 2 x; du 2 dx 1 ln c 2 2 2 x 1
a
dx
1 2x
2
a 2 16; a 4 u2
3x2 5
du
3 5
; ux dx
3 5
2
c 2 x 1
2 x 1
dx 3 2 x2 5 3 ln x x 2 5 c 2
1 ( 2) 1 2 dx 4 ( 2) (x 2) 2x2 4 1 1 2 2x2 4 ln c 4 2 x 2 2 1 2 2x 4 ln c 8 x 2
5 3x 2 3 16 dx 3 5 5 3 x 3 5 x 5 3 x 2 16 16 arcsen 5 c 3 2 5 2 4 2 x 3x 5 x 3 16 8 arcsen c 2 5 3 4 5
34
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Integral tipo :
x 2 2 x 5 x 1 ? 2
6)
3dx x 2x 5 2
dx
3
x 2 2x 1 4 x 1 4 2
dx
x 12
4
u 2 ( x 1) 2 ; du dx ;
1 u a2 u x 1 2
a 2 4;
du
a2
3 ln ( x 1) ( x 1) 2 4 c 3 ln x 1 x 2 2 x 1 c
2x 2 8x 1 2 x 2 4x 7)
5 dx dx 2x 2 8x 1
2 x 2 ?
1 2
2
5
2 x 4x 4 7 2
dx ( x 2) 2 7
x 2 7 2
Integral tipo : u 2 ( x 2) 2 ; du dx ;
1 du u a2 u x2 2
a 2 7;
a
7
1 ( x 2) ( 7 ) 5 x2 7 ln ln c 5 c 2 7 ( x 2) ( 7 ) x2 7 2 7
Ejercicios: Tipo I. Integrar por tabla de fórmulas de integración que contienen las formas funciones:
3dx 2 3
4)
3x
dx 2 3
5)
6)
1)
4x
2)
4x
3)
4 9x
dx
2
a 2 u 2 , las siguientes
2dx 2 8
7)
x
2dx
8)
x 2 2 x 5 dx
9)
2 x 2 4 dx
2 x 2 16 dx 16 9 x
2
3dx 4x 2 4
35
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 2.2 Técnica de integración por cambio de variable. Guía: - Técnica de integración por cambio de variable. - Método de integración por cambio de variable. - Ejemplos. - Ejercicios.
Técnica de integración por cambio de variable: Sí tenemos
f ( x)dx
y asignamos a
u
f (x)
una parte de
f ( x)dx f (u )du
f ( g ( x) g ' ( x))dx F ( g ( x)) c y sí u g (x) y f ( g ( x) g ' ( x))dx f (u )du F (u ) c
De otra forma: Sí
du g ' ( x)dx
Método de integración por cambio de variable: 1) Obtener:
u; x; y dx.
a) A una parte de la función darle el valor de b) A partir de u obtener x. c) A partir de
x
obtener
u.
dx.
2) Hacer cambio de variable. Nota: todo el resultado debe de estar en términos de
u.
3) Integrar. 4) Sustituir u por su valor original. Nota: Todo el resultado debe de estar en términos de
x.
Ejemplos:
1)
2 4 3 x ( x 1) dx
Por la fórmula de funciones que contienen " u " Por cambio de var iable
2 xdx 103 x
1 3 x2 1 2
4
x2 1 u
x
u 1 du dx 2 u 1
2
5
1 c
3 u 1 u
4
du 3 u 4 du 2 u 1 2
5 3 5 3 2 u c x 1 c 10 10
36
José Santos Valdez y Cristina Pérez
4x 1 u u 1 x 4 du dx 4
3x dx 4x 1
2)
2
3)
5 x 1 2 x
5
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
u 1 1 du 3 3 u 1 3 3 4 du u du u 2 du 2 32 32 u 4 32 u 1 3 1 3 (u ) 3 u c (4 x 1) 3 4x 1 c 16 16 16 16
u 1 2 x; du 2dx dx
du 1 u x ; dx 2 2
5 1 u 5 du 5 5 u (1 u u du 4 2 2
5u6 5u 7 5 1 2 x 5 1 2 x 5 5 6 u u du c c 4 4 (6) 4 (7) 24 28
6
7
u 2 x 1; du 2dx du 1 u 1 4) x 2 x 1 dx u (u 1 u du u 1 du x ; dx 2 4 2 2 2 3
5
3 1 u5 u3 1 1 u2 1 u2 u 2 u 2 du c c 3 5 4 4 4 10 6 2 2
(2 x 1) 5 (2 x 1) 3 c 10 6
Ejercicios: Tipo I. Por la técnica de integración por cambio de variable; integrar las siguientes funciones:
1)
(x
2)
x
2
1) 4 3 x dx
3)
3x
x 2 1 dx
4)
5 x 1 dx
x dx 2x 1
5)
2 x 2 5x
6)
5
7
dx
2x dx 3 4x
37
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 2.3 Técnica de integración por partes. Guía: - Técnica de integración indefinida por partes. - Requisitos para poder integrar por partes. - Recomendaciones. - Aplicaciones. - Método de integración por partes. - Ejemplos. - Ejercicios.
Técnica de integración por partes: Sean: - u, v Sí
Sí
funciones de la misma variable independiente.
d (uv) udv vdu es el diferencial del producto uv . udv d (uv) vdu
udv d (uv) vdu
Y por paráfrasis matemática:
udv uv vdu v du v u u dv
Llamada fórmula de integración por partes.
Requisitos para poder integrar por partes: 1) Siempre
dx
dv . dv .
debe ser una parte de
2) Siempre debe ser posible integrar Recomendaciones: 1) Si no hay producto 2) Elegir como
dv
u dv
entonces formarlo haciendo dv
dx. .
a la función que tenga apariencia más complicada.
Aplicaciones: Se aplica en algunas integrales que contienen productos de funciones, como: 1) 2) 3) 4) 5)
Algebraicas y algebraicas. Algebraicas y trigonométricas. Algebraicas y logarítmicas. Algebraicas y exponenciales. Trigonométricas inversas.
Método de integración por partes: 1) Seleccione 2) A partir de 3) A partir de 4) Sustituir
u y dv . "u" obtener du . dv obtener v dv .
u , v, y du
en la fórmula de integración por partes.
5) Nuevamente integre; el proceso puede ser reiterativo.
38
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Ejemplos:
Por la fórmula que contiene x n 1)
x
x dx
Por int egración por partes
3
x 2 dx
2 5 x c 5
udv uv vdu
u x; dv x dx; du dx
2 3 2 ( x) x 3 x dx 3 3
2 3 x 3 2 5 4 2 5 x x5 c x c 3 15 5 v dv x dx
udv uv vdu
2)
2 x cos x dx
u 2 x; dv cos x dx v dv cos x dx sen x c
2 x sen x sen x 2dx
du 2dx
2 xsenx 2 senx dx 2 x sen x 2 cos x c 2 x sen x 2 cos x c
udv uv vdu 3)
2 x ln 3x dx
u 2 x; du 2dx
v dv ln 3x dx x ln 3x 1 c
ln 3x 2 x dx
se sugiere cambio en orden de funciones
u ln 3x; du 1x dx v 2 xdx x 2 c
x2 1 (ln 3 x)( x 2 ) x 2 dx x 2 ln 3 x x dx x 2 ln 3 x c 2 x
udv uv vdu
4)
xe
2x
dx
u x; dv e 2 x dx 1 v dv e dx e 2 x c 2 du dx 2x
1 1 1 1 x e 2 x e 2 x dx xe 2 x e 2 x c 2 4 2 2
39
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
5) Por la técnica de integración por partes, integrar:
arcsen
2 x dx
u dv
estrategia : tome a dx como
una función
uv v du
u arcsen 2 x ;
du
dv dx
xc
v
2 1 4x2
dx
1 1 dx x arcsen 2 x 2 1 4 x 2 8 x dx 8 1 4x2 1 1 (1 4 x 2 ) 2 1 x arcsen 2 x c x arcsen 2 x 1 4x2 c 1 4 2 2
arcsen 2 x x
arcsen 2 x dx
x
2
udv uv vdu
6)
3e sen 2 x dx x
3 e x cos 2 x 2
x
u 32 e x ; du 32 e x dx 3 x 1 3 x 3 x 1 2 e cos 2 xdx v cos 2 xdx 1 sen 2 x c 2 e 2 sen 2 x 2 sen 2 x 2 e dx 2 3 3 x 3 e cos 2 x e x sen 2 x e x sen 2 xdx 4 4 2 3 3 3 3 e x sen 2 xdx e x sen 2 xdx e x cos 2 x e x sen 2 x 4 4 2 15 3 3 e x sen 2 xdx e x cos 2 x e x sen 2 x 4 2 4
3e
Sí
1 1 3e x cos 2 x cos 2 x 3e x dx 2 2 u 3e ; du 3e dx 3 x 3 x v dv sen 2 x dx 12 cos 2 x c 2 e cos 2 x 2 e cos 2 x dx x
3 x 3 3 e cos 2 x e x sen 2 x e x sen 2 xdx 2 4 4
15 3 3 e x sen 2 xdx e x cos 2 x e x sen 2 x 4 2 4 4 3 3 3e x sen 2 xdx e x cos 2 x e x sen 2 x 4 5 2
x
sen 2 x
Sí
6 x 3 e cos 2 x e x sen 2 x c 5 5
Ejercicios: Tipo I. Por la técnica de integración por partes; integrar las siguientes funciones
1)
x cos x dx
5)
xe
2)
6)
2 xe
3)
3x ln 2 x dx
7)
2x e
4)
2 x ln (1 x) dx
8)
3x cos 2 x dx
2x sen 5 x dx 3
ax
x
dx 3
dx
2 3x
dx
9)
arc sen x dx
10)
4 arc cos 2 x dx
11)
arc tg 2 x dx
12)
3 arc tg 4 dx
2
x
40
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 2.4 Técnica de integración del seno y coseno de m y n potencia. Guía: - Análisis de la “Tabla: Técnica de integración del seno y coseno de m y n potencia”. - Método de integración del seno y coseno de m y n potencia. - Tabla: Técnica de integración del seno y coseno de m y n potencia. - Ejemplos. - Ejercicios.
Análisis de la tabla: Método de integración del seno y coseno de m y n potencia. Al observar la tabla “Método de integración del seno y coseno de m y n presenta obtenemos lo siguiente:
potencia”; que a continuación se
Resultado del análisis: 1) Existen 3 tipos de integrales. 2) Cada forma de integral presenta casos que se caracterizan por las potencias de las funciones. 3) Para cada forma y caso se dan las recomendaciones de sustituir, aplicar y/ó desarrollar.
TIPO
RECOMENDACION CASOS
Para:
FORMA I. II. III.
sen u du cos u du sen u cos
myn
Z+
SUSTITUIR, APLICAR Y/Ó DESARROLLAR
m
n
m
n
u du
Método de integración del seno y coseno de m y n potencia: 1) Identifique la integral del problema planteado con la forma y caso de la integral de la tabla. 2) Sustituya, aplique y/ó desarrolle las recomendaciones. Notas: a) Es posible, que en un mismo problema después de aplicar las recomendaciones de la forma identificada, el resultado nos lleve a otra integral, donde de nuevo tengamos que repetir el método. b) Cuando se agotan las recomendaciones dadas, y el resultado es una nueva integral, se supone que ésta integral, ya es del dominio de quien aplica el método. c) Si dos ó mas casos son aplicables a una integral, entonces use el caso de la función de menor potencia. d) Cuando en una recomendación resultan sumas y/ó restas, primero se hacen las operaciones de suma y/ó resta y se separan las integrales antes de seguir adelante. e) En un grupo de integrales se recomienda “no integrar hasta que todas las integrales sean directamente solucionables”.
41
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Tabla: Método de integración del seno y coseno de m y n potencia. TIPO
RECOMENDACION CASOS
I.
II.
III.
FORMA
Para:
sen
1) Sí
m
u du
cos u du
SUSTITUIR, APLICAR Y/Ó DESARROLLAR
Aplicar:
sen u du cos u c
Sustituir:
sen 2 u
Desarrollar:
1a. sen m u sen m2 u sen 2 u 2a. sen 2 u (1 cos 2 u )
1 1 cos 2 u 2 2
2) Sí
m2
3) Sí
m2
1) Sí
n 1
Aplicar:
2) Sí
n2
Sustituir:
cos 2 u
3) Sí
n2
Desarrollar:
1a. cos n u cos n2 u cos 2 u 2a. cos 2 u (1 sen 2 u )
m y/o n 1
1) Sí m
Z+
m 1
n
sen
myn
u cosn u du
impar 1 n 1
2) Sí m y 3) Sí y 4) Sí y
5) Sí y
n impar 1 m 1
Sustituir:
Sustituir:
Aplicar: Desarrollar: Sustituir: Desarrollar: Sustituir:
m y n par mn
Desarrollar:
m y n par mn
Desarrollar:
Sustituir:
Sustituir: Sustituir:
m y n par mn
6) Sí y
Desarrollar: Sustituir: Sustituir:
cos u du sen u c 1 1 cos 2u 2 2
u n 1 c n 1 1a. sen m u sen m1u sen u 2a. sen 2 u 1 cos 2 u n u du
1a. cos n u cos n1 u cos u 2a. cos 2 u 1 sen 2 u 1a. sen m u cos n u sen u cos u 1 2 a. sen u cos u sen 2u 2 n m n 1a. sen u cos u sen u cos u sen m n u 1 2 a . sen u cos u sen 2 u 2 mon
3a.
sen 2 u
1 1 cos 2 u 2 2
1a. sen m u cos n u sen u cos u cos n m u 1 2 a. sen u cos u sen 2u 2 1 1 3 a . cos 2 u cos 2 u 2 2 m
42
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Ejemplos:
forma I ; caso1
1)
sen2 x dx
2)
2 3 cos 5 x dx recomendac ión :
Aplicar : senudu cos u c forma II ; cos 2 u
cos
3)
3
4)
cos 2 x dx sen
1 5
5)
sen
3
5
sen
3 3 3x 3 1 1 sen10 x c 3 cos 10 x dx dx cos 10 x dx 2 2 2 20 2 2
12 cos 2u
forma II ; caso 3 2 x dx 1a . recomendac ión : m
cos
1 2
caso 2
u cos
2 x cos 2 x dx
2
2
sen m u sen
4
cos
2
m2
sen
2
2 x cos 2 xdx
forma III ;
u sen 2 u
x x sen dx 2 2
cos 2 x cos
2 x dx
2
u
x forma I ; caso 3 2 dx 1a . recomendac ión :
1 x dx 2 5
cos
u cos
m2
1 1 sen 2 x 2dx cos 2 x c (2) 2
1 5
caso 1
sen
x sen 2
2
2 x dx cos 2 2 x cos 2 2 x dx
cos
2
cos
2
u 1 sen 2 u
cos 2 x dx sen 2 x 2
x x sen dx 1 2 2 5 forma III ; caso 1
cos
2 a . recomendac ión
2
cos 2 x dx
2 a . recomendac ión x dx 2 sen 2 u 1 cos 2 u
sen
1 x dx 2 5
cos
2 x 1 sen 2 2 x dx
cos 2 x 1 sen
1 5
2
2 x dx
1 1 sen 2 x sen 3 2 x c 2 6
x 1 cos 2
sen
2
2
2 2 x x x cos sen dx cos 2 2 5 2 15
cos
x dx 2
2
3
x c 2
2 x dx cos 2 2 x sen 2 2 x dx 2
6)
1 1 1 1 1 2 cos 4 x dx cos 2 x sen 2 x dx dx cos 4 x dx sen 8 x dx 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 dx cos 4 x dx sen 2 8 x dx dx cos 4 x dx cos 16 x dx 2 2 4 2 2 4 2 2 1 1 1 1 1 x 1 x dx cos 4 x dx dx cos 16 x dx sen 4 x sen 16 x c 2 2 8 8 2 8 8 128 2 1 1 1 1 2 4 2 2 cos cos 2 sen x x dx senx x sen x dx sen x sen 2 x dx sen 2 2 x cos 2 x dx 2 4 2 2
1 1 1 1 1 1 2 sen 2 2 x dx sen 2 2 x cos 2 x dx cos 4 x dx sen 2 x cos 2 x dx 8 8 8 2 2 8 1 1 1 x 1 1 2 dx cos 4 x dx sen 2 x cos 2 x dx sen 4 x sen 3 2 x c 16 16 8 16 64 48
Ejercicios: Tipo I. Por la técnica de integración del seno y coseno de m y n potencia, integrar las siguientes funciones:
2)
sen 2 x dx ? 3 sen 2 x dx ?
3)
3 cos 2 x dx ?
4)
2 cos
1)
2
1
2
x dx ? 3
5)
sen x cos x dx ? 5
1 3 4 2 sen x cos x dx ? 7) sen 2 x cos5 x dx ?
6)
8)
sen
2
2 x cos 2 2 x dx ?
9) 10) 11) 12)
sen x cos x dx ? 3sen x cos x dx ? 4
2
2
4
sen x dx ? 3 cos 2 x dx ? 3
4
43
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 2.5 Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia. Guía: - Análisis de la “Tabla: Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia”. - Método de integración de la tangente y secante de m y n potencia. - Tabla: Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia. - Ejemplos. - Ejercicios.
Análisis de la tabla: Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia. Al observar la tabla “Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia”; que a continuación se presenta obtenemos lo siguiente: Resultado del análisis: 1) Existen 3 tipos de integrales. 2) Cada forma de integral presenta casos que se caracterizan por las potencias de las funciones. 3) Para cada forma y caso se dan las recomendaciones de sustituir, aplicar y/ó desarrollar.
TIPO
RECOMENDACION CASOS
Para:
FORMA I. II. III.
myn
Z+
SUSTITUIR, APLICAR Y/Ó DESARROLLAR
tg u du sec u du tg u sec u du m
n
m
n
Método de integración de la tangente y secante de m y n potencia: 1) Identifique la integral del problema planteado con la forma y caso de la integral de la tabla. 2) Sustituya, aplique y/ó desarrolle las recomendaciones. Notas: a) Es posible, que en un mismo problema después de aplicar las recomendaciones de la forma identificada, el resultado nos lleve a otra integral, donde de nuevo tengamos que repetir el método. b) Cuando se agotan las recomendaciones dadas, y el resultado es una nueva integral, se supone que ésta integral, ya es del dominio de quien aplica el método. c) Si dos ó mas casos son aplicables a una integral, entonces use el caso de la función de menor potencia. d) Cuando en una recomendación resultan sumas y/ó restas, primero se hacen las operaciones de suma y/ó resta y se separan las integrales antes de seguir adelante. e) En un grupo de integrales se recomienda “no integrar hasta que todas las integrales sean directamente solucionables”.
44
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Tabla: Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia. TIPO
I.
RECOMENDACIÓN
FORMA
CASOS Para: m y n Z+
tan
1) Sí
m
u du
m 1
SUSTITUIR, APLICAR Y/Ó DESARROLLAR
Aplicar: ó
II.
sec
n
u du
2) Sí
m2
3) Sí
m 2
u secn u du
2a. tan 2 u sec 2 u 1
Aplicar:
3a.
n u du
u n 1 c n 1
Aplicar:
sec u du ln
2) Sí
n2
Aplicar:
sec
Aplicar:
sec
Desarrollar:
1a. sec n u sec n2 u sec 2 u
n3 n par 2
n impar 3
5) Sí m
Sustituir:
n 1
4) Sí
tan
Desarrollar:
tan 2 u sec 2 u 1 1a. tan m u tan m 2 u tan 2 u
Sustituir:
1) Sí
3) Sí
III.
tan u du ln sec u c tan u du ln cos u c
1) Sí m 1 2) Sí
3) Sí
y n 1
n2
n par 2
impar 1
m 2 y n impar 1
u du tan u c
3
u du
n2
1 1 tan u sec u ln tan u sec u c 2 2
u (tan u 1) 2
n2 2
2a. sec
Aplicar:
Técnica de integración por partes.
Aplicar: Aplicar: Desarrollar:
Desarrollar: Sustituir:
5) Sí
2
Sustituir:
Sustituir: 4)Sí m
tan u sec u c
tan u sec u du sec u c u n 1 u du n 1 c 1a. sec n u sec n2 u sec 2 u n
2a. sec
n2
u (tan u 1) 2
n2 2
1a. tan u sec n u tan m1 u sec n 1 u tan u sec u 2a. tan 2 u sec 2 u 1 m
n u du
u n 1 c n 1
Aplicar:
3a.
Aplicar:
Técnica de integración por partes
45
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Ejemplos:
forma I ; caso1 1)
tan 2 x dx
Aplicar : tan udu ln sec u c ó tan u du ln cos u c
2)
3)
1 1 tan 2 x 2dx ln sec 2 x c (2) 2
forma I ; caso 2 x x 2 x 2 x 2 tan 3 dx recomendac ión : 2 sec 3 1 dx 2 sec 3 dx 2 dx 6 tan 3 2 x c tan 2 u sec 2 u 1 2
2 x dx
1a. recomendac ión 4)
3 tan
4
5)
2 tan
5
51 1 tan 2 x sec 2 x ln tan 2 x sec 2 x c 82 2 5 5 tan g 2 x sec 2 x ln tan 2 x sec 2 x c 16 16
forma II ; caso 3 1a . recomendac ión ; aplicar : 1 1 3 sec u 2 tan u sec u 2 ln tan u sec u c
3
5 sec 4
2 x sec 2 x dx 2
x sec 3 x dx
3 tan 2 x sec 2 2 x dx 4
u n 1 u du c n 1 1a. recomendac ión n
tan u sec u tan m
n
2 a. recomendac ión
tan 2 u sec 2 u 1 tan 4 u sec 2
m 1
sec
n 1
2
2 tan 4 x sec 2 x tan x sec x dx
u tan u sec u
u 1 2 sec
3 tan 5 2 x c 10
2
2 sec 2 x 1 sec 2 x tan x sec x dx 4
x 2 sec 2 x 1 sec 2 x tan x sec x dx 3a. recomendac ión
2 sec x tan x sec x dx 4 sec x tan x sec x dx 2 sec x tan x sec x dx 6
4
2
n u du
u n 1 c n 1
2 sec x tan x sec x dx 4 sec x tan x sec x dx 2 sec x tan x sec x dx 6
4
2
2 sec 7 x 4 sec 5 x 2 sec 3 x c 7 5 3
Ejercicios: Tipo I. Por la técnica de integración de la tangente y secante de
" m" y " n" potencia, integrar las
siguientes funciones:
1) 2) 3) 4)
tg 2 x dx ? 3tg 2 x dx ? 3tg 2 x dx ? 4 sec 2 x dx ?
5)
2
6)
3
7) 8)
sec 2 x dx ? sec 2 x dx ? 3 sec 2 x dx ? 4tg 2 x sec 2 x dx ? 2
9)
3
10)
tg 2 x sec 2 x dx ? tg 2 x sec 2 x dx ? 5
4
3
4
4
46
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 2.6 Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia. Guía: - Análisis de la “Tabla: Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia”. - Método de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia. - Tabla: Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia. - Ejemplos. - Ejercicios. Análisis de la tabla: Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia. Al observar la tabla “Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia”; que a continuación se presenta obtenemos lo siguiente: Resultado del análisis: 1) Existen 3 tipos de integrales. 2) Cada forma de integral presenta casos que se caracterizan por las potencias de las funciones. 3) Para cada forma y caso se dan las recomendaciones de sustituir, aplicar y/ó desarrollar.
TIPO
RECOMENDACION CASOS
Para:
FORMA I. II. III.
ctg u du csc u du ctg u csc
myn
Z+
SUSTITUIR, APLICAR Y/Ó DESARROLLAR
m
n
m
n
udu
Método de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia: 1) Identifique la integral del problema planteado con la forma y caso de la integral de la tabla. 2) Sustituya, aplique y/ó desarrolle las recomendaciones. Notas: a) Es posible, que en un mismo problema después de aplicar las recomendaciones de la forma identificada, el resultado nos lleve a otra integral, donde de nuevo tengamos que repetir el método. b) Cuando se agotan las recomendaciones dadas, y el resultado es una nueva integral, se supone que ésta integral, ya es del dominio de quien aplica el método. c) Si dos ó mas casos son aplicables a una integral, entonces use el caso de la función de menor potencia. d) Cuando en una recomendación resultan sumas y/ó restas, primero se hacen las operaciones de suma y/ó resta y se separan las integrales antes de seguir adelante. e) En un grupo de integrales se recomienda “no integrar hasta que todas las integrales sean directamente solucionables”.
47
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Tabla: Método de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia: TIPO
I.
RECOMENDACIÓN
FORMA
CASOS Para: m y n Z+
cot
1) Sí m 1
Aplicar:
cot u du ln
2) Sí m 2
Sustituir:
cot 2 u csc 2 u 1
3) Sí m 2
Desarrollar:
1a. cot m u cot m 2 u cot 2 u 2a. cot 2 u csc 2 u 1
m
u du
SUSTITUIR, APLICAR Y/Ó DESARROLLAR
Sustituir: Aplicar:
II.
csc
n
u du
cot
m
u csc n u du
u n 1 3a. u du c n 1 n
1) Sí n 1
Aplicar:
csc u du
2) Sí n 2
Aplicar:
csc
3) Sí n impar 1
Aplicar:
Técnica de integración por partes.
4) Sí n par 2
Desarrollar:
1a. csc n u csc n2 u csc 2 u
Sustituir: III.
sen u c
1) Sí m 1 y n 1
2) Sí n 2 3) Sí n par 2
4) Sí m impar 1
u du cot u c
2a. csc
n 2
u (cot u 1) 2
n 2 2
Aplicar:
cot u csc u du csc u c
Aplicar:
u
Desarrollar:
1a. csc n u csc n2 u csc 2 u
Sustituir:
2a. csc n 2 u (cot 2 u 1)
Desarrollar: Sustituir: Aplicar:
5) m par 2 y / o
2
ln csc u cot u c
Aplicar:
n
du
u n 1 c n 1
n 2 2
1a. cotm u cscn u cot m1 u cscn1 u cot u cscu 2a. cot 2 u csc 2 u 1
u n du
u n 1 c n 1
Técnica de integración por partes
n impar 1 48
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Ejemplos:
forma I ; caso1 1)
cot 2 x dx
Aplicar : cot udu ln senu c
ó tan u du ln cos u c 2)
3)
1 1 cot 2 x 2dx ln sen 2 x c (2) 2
forma I ; caso 2 x x 2 x 2 x 3 cot 2 dx recomendac ión : 3 csc 2 1 dx 3 csc 2 dx 3 dx 6 cot 2 3 x c cot 2 u csc 2 u 1 2
2 a. recomendac ión 1 2 2 ; 4 forma II caso csc csc x x dx n2 csc 4 x n2 2 3 2 csc cot 1 u u 1 . dx a recomendac ión 3 csc 2 u csc n 2 u csc 2 u 1 cot 2 x 1 csc 2 x dx 1 cot 2 x csc 2 x dx 1 csc 2 x dx 3 3 3 1 1 1 1 2 cot x csc 2 x dx csc 2 x dx cot 3 x cot x c 3 3 9 3
cot 4 x csc 2 x cot x csc x dx
forma III ; caso 4 4) cot x csc x dx 1a. recomendación : 5
2a. recomendación
3
cot m u csc n u cot m1 u csc n1 u cot u csc u
2
cot 2 u csc 2 u 1
cot 4 u csc 2 u 1
2
csc 2 x 1 csc 2 x cot x csc x dx csc 4 x 2 csc 2 x 1 csc 2 x cot x csc x dx csc6 x cot x csc x dx 2 csc 4 x cot x csc x dx csc 2 x cot x csc x dx
csc7 x 2 csc5 x csc3 x c 7 5 3
Ejercicios: Tipo I. Por la técnica de integración de la cotangente y cosecante m y n potencia, integrar las siguientes funciones:
1
x
1)
2 cot 3 dx ?
2)
cot
3)
2 cot
1
4
x dx ? 3
x dx ?
4)
csc 3x dx ?
7)
cot 2 x
5)
csc
8)
cot
3
2 x csc 2 2 x dx ?
6)
3 csc
9)
cot
3
2 x csc 4 2 x dx ?
2
3 x dx ? 4
2 x dx ?
csc 2 x dx ?
49
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 2.7 Técnica de integración por sustitución trigonométrica. Guía: - Método de integración por sustitución trigonométrica. - Ejemplos. - Ejercicios.
Método de integración por sustitución trigonométrica: Sea una integral que contenga alguna de las siguientes formas:
u2 a2
;
u2 a2
;
a2 u2
1) Haga cambio de variable (todo debe de quedar en términos de “u” y de “a”). 2) Haga sustitución trigonométrica, cambiando los términos de la integral en la siguiente forma: a) Sí se tiene:
u2 a2
sustituir:
b) Sí se tiene:
u2 a2
c) Sí se tiene:
a2 u 2
u por a tan z
u 2 a 2 por a sec z
y
sustituir:
du por a sec 2 z dz ; du por a sec z tan z dz ;
u 2 a 2 por a tan z
y
u por a sec z
sustituir:
du por a cos z dz ;
a 2 u 2 por a cos z
y
u por a sen z
3) Integrar la función. 4) Haga sustitución triangular, cambiando las funciones trigonométrica del resultado de la integral por las funciones trigonométrica que se obtengan del triángulo que se muestra: a)
Sí se tiene
u2 a2
b)
Sí se tiene
u2 a2
c)
Sí se tiene
a2 u2
sustituir las funciones trigonométricas (del resultado de la integral) por las funciones trigonométrica que se obtengan del triángulo que se muestra: sustituir las funciones trigonométricas (del resultado de la integral) por las funciones trigonométrica que se obtengan del triángulo que se muestra: sustituir las funciones trigonométricas (del resultado de la integral) por las funciones trigonométrica que se obtengan del triángulo que se muestra:
u2 a2 z a
u
u a 2
z
u a
z arc tan
u
2
z arc sec
u a
z arc sen
u a
a a
u z
a2 u2
5) Restituir la variable original.
50
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Ejemplos:
1)
Paso 1 u 2 4 x 2 ; u 2 x; a 2 1; a 1 3 1 1 du 3 dx 3 du 2 du 2 2 2 du 2dx; dx 4x 1 u a 2 2 u a2 2 Paso 2 Paso 3 sustituir 3 1 3 3 du por a sec 2 zdz a sec 2 z dz sec z dz ln sec z tan z c 2 a sec z 2 2 u 2 a 2 por a sec z
Paso 4
El triángulo es:
como se tiene
3 ln 2
u2 a2
u2 a2
3 u2 a2 u c ln 2 a a
2 9 x
x 3 u2 a2 u c como ln ln x ln y ln u u 2 a 2 ln a c y 2 a
3 3 ln u u 2 a 2 c Paso 5 ln 2 x 2 2
Paso 1 u 2 9 x 2 ; u 3 x; a 2 1
5 2
u2 a2 sec z a u tan z a
u
z a
como ( ln c c ) c
2)
dx
1
2
du a 1 du 3dx; dx 3
Paso 2
5 2
u
4x 2 1 c
1 2
a
4
2
du 5 3 6
u
1 2
a
2
4
du
Paso 3 5 1 5 1 5 a sec 2 z dz 3 dz 3 cos 2 z dz 4 2 6 a sec 6a sec z 6a sustituir 5 1 1 5 5 3 cos 2 z dz cos 2 z dz dz du por a sec 2 z dz 3 6a 2 2 12a 12a 3 u 2 a 2 por a sec z 5 5 z sen 2 z c 3 12a 24a 3 Paso 4
5 12 a 3
u a 2
sen 2 z 2 senz cos z
El triángulo es:
como se tiene 2
u2 a2
u
z a
sen 2 z 2
u a 2 2 2 2 u a u a2 5 3 x 3x arctan 2 1 12 1 9 x 2 1
u 5 arctan 3 a 24 a
Paso 5
5
12 1
3
(identidad trigonométrica)
u
a
u2 a2
u2 a2
u 5 5u c arctan c 3 2 2 2 a 12 a 12 a u a 5 5x c c arctan 3 x 12 4 9x2 1
51
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Paso 1
2x3
3)
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
x2 5
u2 a2
a 2 5; a 5
a sec z 3 a sec z tan zdz 2a 3 sec 4 zdz a tan z
2
u3
dx u 2 x 2 ; u x; du dx; dx du 2
Paso 2 sustituir du por a sec z tan zdz
du
u 2 a 2 a tan z u a sec z
Paso 3 2a 3 sec 2 z sec 2 z dx
2a 3 tan 2 z 1 sec 2 z dz 2a 3 tan z sec 2 z dz 2a 2 sec 2 z dz El triángulo es:
Paso 4
u
como se tiene u a 2
x
2
3
5
1 5
u a a
u2 a2 2 a 3 u 2 a 2 c a a 3 2 1 2 2 3 2 2 u a u a c 3 a
2
2 .Paso 2 2
3 2
dx
x2 5 c
Paso 1 u 2 4 x 2 ; u 2 x; a 2 2; a 2
1
4 x
tan z
2
a 2 3
2a 3 tan 3 z tan z c 3 3
u2 a2
z
2
Paso 5
4)
2
du du 2 dx ; dx 2
u
1 2
a2
3
du 1 2 2
u
1 2
a2
3
du
Paso 3
1 1 a sec z tan zdz 1 2 12 sec zdz 1 2 ctg 2 z sec zdz 3 2 a tan z 2a 2a tan z du por a sec z tan zdz 1 cos 2 z 1 1 1 2 u 2 a 2 por a tan z 2 a 2 sen 2 z cos z dz 2 a 2 senz cos zdz 2 a 2 senz c sustituir
El triángulo es:
Paso 4 como se tiene
u
u2 a2
u a 2
z
2
u2 a2 u
senz
a
1 u a 2a u 2
2
2
c
u 2a
2
u a 2
2
c paso 5
2 x
22 4 x 2 2
c
x 2 4x 2 2
c
52
José Santos Valdez y Cristina Pérez
5)
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Paso 1 u 2 9 x 2 ; u 3 x; a 2 2; a 2
5
3 2 9x 2 .Paso 2
3 2
dx
sustituir du por a cos zdz
a 2 u 2 por a cos z Paso 4
5 3
a
2
1
cos
2
El triángulo es:
a
a2 u2
1 u2
3
du 5 3 9
u
tan z
z
z
dz
5)
53x
92 2 9 x
2
c
2
u2
3
du
5 5 sec 2 zdz 2 tan z c 2 9a 9a
u c 2 2 a u 5u c 9a 2 a 2 u 2
u
a2 u2
a2 u2
paso 5
a
1
Paso 3
5 1 a cos z dz 5 2 9 a cos z 3 9a
como se tiene
du du 3dx; dx 3
5x
5 9a 2
c
6 2 9x 2
Paso 1 u x 2 ; u x; a 2 1; a 1 4x u3 u3 du 4 2 2 du dx 4 du dx; dx du a2 u2 a u 1 x2 Paso 2 Paso 3 3 asenz sustituir 4 a cos z dz 4a 3 sen 3 z dz 4a 3 sen 2 z senz dz a cos z du por a cos z dz 2 3 4a 1 cos 2 z senz dz 4a 3 senz dz 4a 3 cos z senz dz 2 2 a u por a cos z 4a 3 4a 3 cos z cos 3 z c u a sen z 3 2
3
El triángulo es:
Paso 4
como se tiene
a u 2
a
2
cos z
u
z
a u 2
paso 5 41
2
senz
2
1 x 43 x c 4 1 x 2
a2 u2 a
3
2
u a
a2 u2 4a a 3
4 a 2
4a 3 u 3 c 3 a 4 a2 u2 u3 c 3
4 3 x c 3
Ejercicios: Tipo I. Por la técnica de integración por sustitución trigonométrica; integrar las siguientes funciones:
1)
2)
2 x2 1
3x
3)
dx
4 4x2 5
dx
4)
dx
4 x
x
2
3
2 3
5)
3 2
x2 9
dx
6)
2
5x 3 2 9x 2
dx
9 x2 dx 5x 2 53
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 2.8 Técnica de integración de fracciones parciales. Guía: - Método de integración de fracciones parciales. - Ejemplos. - Ejercicios.
Método de integración de fracciones parciales: Sí
p( x)
g ( x) dx
es una fracción parcial donde
p( x) g ( x)
en grado y
g (x)
sea factorizable
Entonces:
1) Factorice el denominador:
g ( x) f1 f 2 f 3 ó g ( x) f
n
2) Identifique los tipos de factores y sustituya la fracción parcial por la integral como se indica:
p( x)
g ( x) dx f
a) Sí
p( x)
g ( x) dx
b) Sí
p( x) dx 1 f2 f3
p ( x) dx fn
f
p( x) dx 1 f 2 f3
p( x) dx fn
3) Separe la fracción parcial y obtenga los valores de
=
=
A
f
A; B; C ;
A
f
1
B C dx f2 f3
B C 3 dx 2 f f
y compruebe la igualdad si lo desea.
p ( x) ax b ; y g (x) con dos factores: ax b A B ; Sí f1 f 2 f1 f 2 ax b A ( f 2 ) B ( f 1 ) x ( A B) A B a A B
Ejemplo: Para a)
b A B
b) Sí
De donde : A ? B?
ax b A B 1 2 2 f f f
ax b A ( f 1 ) B x (cA) A B a cA b A B De donde : A ? B?
4) Sustituya los valores de
A; B; C ;
en la integral.
5) Integre.
54
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Ejemplos:
1)
Paso 2); Identificación : g ( x) f1 f 2
Paso 1) : 2x 3 2x 3 dx 2 dx 2 x x x x 1 x x 1 x
x
f1 x;
f2 x 1
Sustituir : A
p( x)
g ( x) dx por f
1
Paso 3) : 2x 3 A B x x 1 x x 1 2 x 3 A x 1 B x Ax A Bx 2 x Ax Bx 2 A B 3 A A 3 2 3 B B 5
A B dx x x 1
B f 2
Comprobación : 2x 3 3 5 x x 1 x x 1 3 x 1 5 x x x 1 3x 3 5 x x ( x 1) 2x 3 x x 1
Paso 4) : sustituya valores de " A" y de " B"
Paso 5) : 5 dx dx 3 3 5 3 ln x 5 ln x 1 c dx Integre x 1 x x 1 x
Paso 1) : 1 1 2 2) 2 dx 2 x 4 x dx 2x 4x 2 xx 2 2 xx 2
Paso 3) : 1 A B 2 x x 2 2 x x 2 1 A x 2 B 2 x Ax 2 A 2Bx x( A 2B) 2 A 0 x A 2B 0 A 2B A 2B 1 1 2 A A 2 1 A 1 B 2 2 2 4
Paso 2) Identificación : g ( x) f1 f 2 f1 2 x; f 2 x 2 p ( x) Sustitir : dx por g ( x) A B f1 f 2 dx Demostración : 1 1 1 2 4 2 x x 2 2 x x 2 1 x 2 1 2 x 4 2 2 x x 2 4x 8 4x (8) 2x ( x 2) 1 2x x 2
B A dx 2x x 2
Paso 4) : sustituyavalores de " A" y de " B"
55
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Paso 5) : 1 dx 1 dx 1 14 1 1 2 ln x ln x 2 c dx Integre 4 x 4 x2 4 4 2x x 2
Paso 2) Identificación : Paso 1) : x5 x5 2 dx x 1 dx 3) 2 x 1 x 1 x 1 x 1x 1
B A dx x 1 x 1
Paso 4) : sustituya valores de " A" y de " B"
g ( x) f1 f 2 f1 x 1;
f2 x 1 p( x) Sustitir : dx por g ( x)
Paso 3) : x5 A B x 1x 1 x 1 x 1 x 5 A x 1 B x 1 Ax A Bx B x x A B 1 A B 5 A B 1 A B 5 A B 4 2 B B 2 1 A2 A 3
A
f
1
B dx f 2
Demostración : x5 3 2 x 1x 1 x 1 x 1 3x 1 2 x 1 x 1x 1 3x 3 2 x 2 ( x 1) x 1 x5 x 1x 1
dx dx Paso 5) : 3 2 2 3 dx x 1 x 1 Integre 3 ln x 1 2 ln x 1 c x 1 x 1
Paso 2) : Paso 1) : 2 1 3x 1 3x dx dx 4 x 4 x 1 4) 2 4x 4x 1 2 x 12 2 2 x 1
Identificación : g ( x) f 2 f 2 x 1; f 2 (2 x 1) 2 Sustitir : A B p( x) g ( x) dx por f f 2 dx
56
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Paso 3) : A B dx 2 x 2 1 2 x 1
1 3x
2x 12
A B 2 x 1 (2 x 1) 2
1 3x A 2 x 1 B 2 Ax A B 3x x2 A 3 2 A 3 A 2 1 A B 1 B 2
Demostración : 3 1 1 3x 2 2 2 2x 1 2x 1 (2x 1) 2 2 3 2x 1 1 2 x 1 2 2 2x 12x 12 3 2x 1 1 2 2 62 x 1 2 2 42x 1 2x 1 12x 6 2 1 3x 2 2x 12 42 x 1
3 dx 1 dx 1 3 Paso 5 ) : 2 2 x 1 2 2 x 12 2 2 dx Sustituya valores (2 x 1) (2 x 1) 2 3 dx 1 Integre 2 2 x 1 dx de " A" y de " B" 2 2x 1 2 Paso 4)
1 3 1 2dx 1 1 3 1 2 x 1 3 1 c ln 2 x 1 (2 x 1) 2 2dx ln 2 x 1 c 2 2 2x 1 2 2 4 4 1 4 8x 4
Ejercicios: Tipo I. Por la técnica de integración de fracciones parciales; integrar las siguientes funciones:
1)
x
x 1 dx 3x
2
2x dx 4 x5 3) 2 dx x 2x 1 2)
x
2
4)
x 5
( x 4)
2
dx
x2 dx 3 x 8 2x 6) 3 dx 4x 2x
5)
x
7)
4x
8)
x
9)
3
2
x2 dx 4x 1
2x 3 dx x 2 2x x 1
4 x 4 8x 3 4 x 2
dx
57
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 2.9 Técnica de integración por series de potencias. Guía: - Fundamentos. - Método de integración por series de potencias.
Fundamentos:
Sí
y
1 1 x
- Ejemplos. - Ejercicios.
1 1 x x 2 x 3 1, 1 1 x
y
1 x dx 1 x x 1
2
x 3 dx 1, 1
Mas adelante en la unidad 5 trataremos este tema con más profundidad. Método de integración por series de potencia: 1) Acople la función a integrar en el modelo
1 1 x
.
" x" de la función a integrar. " x" en la serie: 1 x x 2 x 3
2) Identifique el nuevo valor de 3) Sustituya el nuevo valor de 4) Integre.
hasta 4 términos no nulos
Ejemplos:
Paso 1)
Paso 2)
Paso 3)
2 3 el nuevo valor 2 1 (2 x) (2 x) (2 x) dx 2 1 dx 2 dx 1) de " x" es "2 x" 2 1 2 x 4 x 2 8 x 3 dx 1 2x 1 2x
4x3 8x 3 Paso 4) c 2 x x 2 2 x 4 c 2 x 2 x 2 4x 3 3 10 1 2) dx 10 dx 10 1 (3 x 3 ) (3 x 3 ) 2 (3 x 3 ) 3 dx 3 3 1 3x 1 ( 3 x ) 3 x 4 9 x 7 27 x 10 10 1 3x 3 9 x 6 27 x 9 dx c 10 x 4 7 10 4 7 15 x 90 x c 10 x 27 x10 2 7 2 3 3 1 1 1 x x x x dx x 3 1 dx 3) dx x 3 x 2 2 2 2x 2 2 1 2 4 5 6 4 5 1 x x x x x x6 x7 x 3 dx c 2 2 4 8 8 10 24 56
Ejercicios: Tipo I. Integrar por serie de potencia las siguientes funciones: 1)
3 1 2 x dx
2)
2 1 x 2 dx
3)
2 3 x 3 dx
4)
2x3 3 x dx 58
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 2.10 Técnica de integración por series de Maclaurin y series de Taylor. Guía: - Fundamentos. - Método de integración por series de Maclaurin y series de Taylor.
- Ejemplos. - Ejercicios.
Fundamentos:
Sí y f ( x) y f ( x)
f (0) f (0) x f (0) x 2 f (0) x 3 0! 1! 2! 3!
llamada serie de Maclaurin.
f (0) f (0) x f (0) f (0) dx f ( x) dx 1! 2! 3! 0! 2 3 f (c) ( x c) f (c) f (c) ( x c) f (c) ( x c) Sí y f ( x) y f ( x) llamada serie de Taylor. 0! 1! 2! 3!
Y si la serie es integrable entonces:
Y si la serie es integrable, entonces:
f ( x ) dx
b
a
f ( c ) f (c ) ( x c ) f ( c )( x c ) 2 f ( c )( x c ) 3 dx 0 ! 1 ! 2 ! 3 !
Método de integración por series de Maclaurin y series de Taylor: 1. Identifique la función elemental de la función a evaluar. 2. Obtenga la representación de la función elemental en serie de Maclaurin ó de la serie de Taylor de la siguiente forma: 2.1. Obtenga los primeros cuatro términos no nulos de la función elemental. Sí f (0) es definido evalúe: f (0); f (0); f (0); f (0) Sí
f (0) es indefinido busque el valor "c" y evalúe: f (c); f (c); ( "c" es el número fácil de evaluar que hace que f (c ) R )
2.1 Forme la serie:
f (c)
f (0) f (0) x f (0) x 2 f (0) x 3 0! 1! 2! 3!
Para la serie de Maclaurin:
Para la serie de Taylor:
f (c);
f (c) f (c) ( x c) f (c) ( x c) 2 f (c) ( x c)3 0! 1! 2! 3!
3. Identifique el nuevo valor de " x" en la función a integrar. 4. Sustituya el nuevo valor de 5. Integre.
" x" en la serie de la integral
Ejemplo 1) Resolver la integral
e
x
dx Paso 2 )
Paso 1) e x dx la función elemental de y e
x
es y e
x
f (0) e ( 0 ) 1
f ( 0 ) e x
x0
f ( 0 ) e x e (0) 1
x0
e (0) 1
f ( 0 ) e 0
x0
la serie de Maclaurin es
e (0) 1
Paso 3) el nuevo valor de " x" es
x
x2 x3 1 1x 1 x 2 1 x 3 1 x 0 ! 1! 2! 3! 2 ! 3! Paso 4 )
1
Paso 5) x
( x )2 ( x )3 dx 1 2! 3!
x
x ( x)3 2 x3 2x 2 2 x5 dx c x 2! 3! 3 ( 2 )( 2 ! ) (5 )( 3 ! ) 59
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Ejemplo 2) Resolver la integral
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
ln
x dx Paso 2) f (0) ln( 0) inefinido c 1
f (1) 1x x 1 1
Paso 1) ln x dx la funciónón elemental
f (1)
2 2 f (1) 3 3 2 x x 1 (1) la serie de Taylor es :
de y ln x es y ln x
f (1) ln(1) 0 1 2 1 x 1 (1)
1 x2
6 6 f 4 (1) 4 4 6 (1) x x 1
1( x 1) 1( x 1) 2 2( x 1) 3 6( x 1) 4 1! 2! 3! 4! ( x 1) 2 2( x 1) 3 6( x 1) 4 2! 3! 4!
( x 1) Paso 3) el nuevo valor de " x" es
x
Paso 4 dx ( x 1) 2 2( x 1) 3 6( x 1) 4 ( x 1) 2 ! 3 ! 4 !
x 2 x 1 2( x x 3 x 3 x 1 x 2 4 x x 6 x 4 x 1 x 1 dx 2! 3! 4! c
2 x3 4 x3 4 x5 6 x 2 12 x 3 2 x 8 x5 6x2 8 x3 x2 x3 x x 3 2( 2!) 3( 2!) 5(3!) 2(3!) 3(3!) 3! 3( 4!) 5( 4!) 2( 4!) 3( 4!)
Ejemplo 3) Integrar la función:
cos x
2
dx Paso 2 ) f ( 0 ) cos( 0 ) 1 f ( 0 ) senx x 0 sen ( 0 ) 0 f ( 0 ) cos x x 0 cos( 0 ) 1 f ( 0 ) senx x 0 sen ( 0 ) 0
f 4 ( 0 ) cos x x 0 cos( 0 ) 1
Paso 1) cos x 2 dx la función elemental
f 5 ( 0 ) senx x 0 sen ( 0 ) 0
de y cos x 2 es y cos x
f 6 ( 0 ) cos x x 0 cos( 0 ) 1 la serie de Maclaurin es 1 ( 0 ) x 1 x 2 ( 0 ) x 3 (1) x 4 ( 0 ) x 5 ( 1) x 6 0! 1! 2! 3! 4! 5! 6! 1
Paso 3 )
el nuevo valor de " x " es " x 2 "
x2 x4 x6 2! 4! 6!
(x 2 )2 (x2 )4 (x 2 )6 1 dx 2! 4! 6! x5 x9 x 13 Paso 5 ) c x ( 5 )( 2 ! ) ( 9 )( 4 ! ) (13 )( 6 ! ) Paso 4 )
x4 x8 x 12 1 2 ! 4 ! 6 ! dx
Ejercicios: Tipo I. Integrar por series de Maclaurin ó series de Taylor las siguientes funciones: 1 1) 5) sen x 2 dx 3) ln 2 x dx 2 x dx
2)
2x
e dx
4)
cos
x dx
6)
arctag
x dx 60
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Evaluaciones tipo: Unidad 2.
EXAMEN Cálculo Integral
Número de lista: Unidad: 2 Clave: Evaluación tipo 1
5dx 1) 2 dx 9x 2 x 2) cos5 dx 2 x2 3) 2 dx x 5x
Técnica: Uso de tablas de fórmulas.
Valor: 30 puntos.
Técnica: Integración del seno y coseno de “m” y “n” potencia.
Valor: 30 puntos.
Técnica: Integración de fracciones parciales.
Valor: 40 puntos.
EXAMEN Cálculo Integral
Número de lista: Unidad: 2 Clave: Evaluación tipo 2
xdx ? 2x 1
1)
2)
sen
3)
2 x
4
2 xdx ?
5
3
dx
Técnica: Integración por cambio de variable.
Valor: 30 puntos.
Técnica: Integración del seno y coseno de “m” y “n” potencia.
Valor: 40 puntos.
Técnica: Integración por series de potencia.
Valor: 30 puntos.
EXAMEN Cálculo Integral
Número de lista: Unidad: 2 Clave: Evaluación tipo 3
1)
2) 3)
sen 2 x cos 2dx ( x 4) 3
3
2
3 cos
7
2 xdx
2
x dx
Técnica: Integración del seno y coseno de “m” y “n” potencia.
Valor: 30 puntos.
Técnica: Integración por sustitución trigonométrica.
Valor: 40 puntos.
Técnica: Integración por series de Maclaurin.
Valor: 30 puntos.
EXAMEN Cálculo Integral
Número de lista: Unidad: 2 Clave: Evaluación tipo 4
1) 2)
3)
2 x ln xdx ? ctg 2 xdx ? 5
x2 dx ? 2 x
2x
Técnica: de integración por partes.
Valor: 30 puntos.
Técnica: Integración de la cotangente y cosecante de “m” y “n” potencia.
Valor: 30 puntos.
Técnica: Integración de fracciones parciales.
Valor: 40 puntos.
61
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Formulario de técnicas de integración: Unidad 2.
1. Fórmulas de integración de funciones que contienen las formas:
6)
du 1 ua ln c 2 2a u a a
7)
1 a u2 a2 c u u 2 a 2 a ln u
du 1 ua a 2 u 2 2a ln u a c
8)
9)
u
2)
u
3)
5)
du
du u 1 arc tan c 2 a a a
1)
4)
u2 a2 a 0
2
2
du u2 a2 du u2 a2
ln u u 2 a 2 c ln u u 2 a 2 c
10)
u arcsen c a a2 u2
du
u 2 a 2 du
u a2 u2 a2 ln u u 2 a 2 c 2 2
u 2 a 2 du
u a2 u2 a2 ln u u 2 a 2 c 2 2
u a2 u 2 2 a u du a u arcsen c 2 2 a
2
2
2. Técnica de integración por cambio de variable:
f ( g ( x) g ' ( x))dx f (u)du F (u ) c
3. Técnica de integración por partes:
udv uv vdu
Forman parte de este contenido las siguientes tablas: 4. Método de integración del seno y coseno de m y n potencia. 5. Método de integración de la tangente y secante de m y n potencia. 6. Método de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia. 7. Método de integración por sustitución trigonométrica. 8. Método de integración de fracciones parciales. 9. Método de integración por series de potencia. 10. Método de integración por series de Maclaurin y series de Taylor.
62
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Las Grandes Naciones, se formaron por hombres que tuvieron buenos principios y a los cuales fueron fieles toda su vida.
José Santos Valdez Pérez
UNIDAD 3. LA INTEGRAL DEFINIDA. Clases: 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 -
La integral definida. Teoremas de cálculo integral. Integración definida de funciones Integración definida de funciones Integración definida de funciones Integración definida de funciones Integrales impropias.
elementales: algebraicas que contienen xn. que contienen u. que contienen las formas u 2 a 2
Evaluaciones tipo. Formulario de integración definidas de funciones elementales. Formulario de integración definidas de funciones que contienen xn y u. formulario de integración definida de funciones que contienen las formas u 2 a 2 Formulario de integrales impropias.
63
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 3.1 La integral definida. Guía: - Definición de la integral definida. - Propiedades de la integral definida. - Teorema fundamental del cálculo integral.
- Interpretación del resultado de la integral definida. - Ejemplos. - Ejercicios.
Definición de la integral definida: Sean:
R 2 un plano rectangular - a, b un intervalo cerrado en el eje de las “X”. - f la gráfica de una función y f (x ) continua a, b - A el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son: y f (x) ; y 0 ó el eje X ; x a ; y x b . - n 1, 2, 3, n las particiones del intervalo a, b de tal forma que x0 a; x0 x1 x2 xn ; y xn b - xi xi xi 1 un iésimo subintervalo de a, b - ci un iésimo punto en xi - f (ci ) la imagen de ci
y f (x)
-
A
i
i
y
-
b
A lím x 0 f (ci ) xi f ( x ) dx
y
a
n 1
eje X
b
f (ci ) xi la iésima área de A .
Es el área “ A ” aproximada bajo la gráfica en el intervalo
xi 0 n
ci xi
a
n
f ( c ) x i 1
Sí
f ( ci )
a, b ; llamada Suma de Riemann.
es el área exacta bajo la curva
a, b
Más adelante veremos que esta integral también es aplicable para muchos casos en la solución de problemas de las ciencias. También es recomendable señalar, que durante el proceso de estructuración de fórmulas en problemas específicos generalmente es repetitivo; y como nuestro propósito en hacer del cálculo integral una ciencia más amigable entenderemos esta integral de la forma siguiente: Sí
b a
f ( x) dx
es la integral definida entonces definiremos a:
b
b a dx
como el intervalo de cálculo y a:
a
f (x)
como la función.
Propiedades de la integral definida: Sí
f y g son
funciones continuas e integrables
a, b
y
k
constante;
se cumplen las siguientes
propiedades: b
1)
2)
3)
4)
5)
f ( x) g ( x) dx
a b a b a c a
f ( x) dx 0 a b
Del intervalo cero.
a
f ( x) dx f ( x) dx
Del cambio de intervalos.
b
b
k f ( x) dx k f ( x) dx
Del producto constante y función.
a
b
c
a
b
f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx a b c
b
b
a
a
De la suma de intervalos.
b
f ( x) dx g ( x) dx a
De la suma y/o diferencia de funciones. 64
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Teorema fundamental del cálculo integral: El teorema fundamental del cálculo integral; sirve para evaluar la integral definida y afirma que:
b a
f ( x ) dx F (b) F ( a ) F ' f ( x )
Interpretación del resultado de la integral definida: Retomando la definición, hemos afirmado que el valor de la integral definida de una función es el valor del área bajo la curva, entendida ésta de signo positivo; sin embargo, es necesario reafirmar que uno de los objetivos esenciales de esta unidad es el desarrollo de las habilidades de cálculo sin limitar la creatividad del proceso pedagógico que se cumple al implementar problemas creados en el instante, aunque éstos no nos den resultados con signo positivos e incluso estos resultados sean falsos. Desde luego en la Unidad 6 durante la aplicación del cálculo integral en el análisis de áreas, haremos una evaluación precisa de las mismas; por lo pronto se recomienda dar por inferencia la interpretación del resultado de la integral de la forma siguiente:
Resultado
Posibilidades
Resultado con signo (+)
1ª. El área limitada de la gráfica de la función en su intervalo dado se sitúa en la parte positiva del eje de las “Y”.
Ejemplo
1
1
Gráfica
y x2 1
( x 2 1) dx 1
1
2ª. El área limitada de la gráfica de la función en su intervalo dado se sitúa en las partes positiva y negativa del eje de las “Y”; pero el área de la parte positiva es mayor que el área de la parte negativa.
Resultado cero
1ª. Los límites superior e inferior del intervalo son iguales.
2
1
yx
x dx 1 2
3 3
y2
2 dx 3
2ª. El área limitada de la gráfica de la función en su intervalo dado, se sitúa en las partes positiva y negativa del eje de las “Y”; y además ambas áreas de las partes positiva y negativa son iguales.
sen x dx
65
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Resultado con signo ( - )
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
1ª. El área limitada de la gráfica de la función en su intervalo dado se sitúa en la parte negativa del eje de las “Y”.
2ª. El área limitada de la gráfica de la función en su intervalo dado se sitúa en las partes positiva y negativa del eje de las “Y”; pero el área de la parte positiva es menor que el área de la parte negativa.
Resultado indefinido
1ª. Al menos uno de los límites superior e inferior es indefinido.
4
0
4
x dx
y x
1
2
x dx
yx
2 1
3
2
y
x dx 2
Resultado falso
1ª. Existe al menos un punto de discontinuidad en la gráfica dentro del intervalo.
x
3
y
1 1 x 2 dx 1
1
1 x2
1
Ejercicios: Tipo I. Dada una integral y su intervalo: a) Hacer el bosquejo de la gráfica con su intervalo. b) Predecir el resultado (signo (+); ó signo (-); ó valor 0; ó Indefinido; ó resultado falso).
1)
4)
1
sen x dx
5)
0
cos x dx
6)
1
1 x dx 1
2
1
2
2)
3)
0 2
2
4
0
1
1
x dx
1 dx x
1 dx x
66
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 3.2 Teoremas de cálculo integral. Guía: - Tarea: Teoremas de cálculo integral.
TAREA: TEOREMAS DE CÁLCULO INTEGRAL. Título: Teoremas de Cálculo Integral. Fecha de entrega: La que el Maestro indique. Participación: Por equipos (máximo 3 alumnos). Material: Hojas blancas tamaño carta; impresas en un solo lado; engrapadas. Elaboración: En computadora: Un teorema por hoja; más hoja de presentación; más hoja de bibliografía que hacen un total de 5 hojas, que se entregarán engrapadas más el CD con identificación (Primer apellido de los integrantes del equipo, título de la tarea y hora de clase). Formato: - Nombre del teorema. - Lo que el teorema afirma. - Trazar gráficas cuando se requieran. - Para las ecuaciones usar editor de fórmulas. - Un ejemplo de aplicación.
grapa
I NOMBRE DE LA INSTITUCIÒN EDUCATIVA Cálculo Integral Tarea: Teoremas de Cálculo Integral.
Evaluación: - Tarea obligatoria para tener derecho a examen de la unidad. - De 0 a 20 puntos extras en la unidad; más reconsideración al final del curso. - El equipo que presente la mejor tarea excenta la unidad con 80.
- Teorema de existencia para integrales definidas. - Teorema fundamental del cálculo integral. - Teorema del valor medio para integrales.
Valoración: NA = No acredita la unidad;
T0 0 puntos. T1 5 puntos. T2 10 puntos. T3 15 puntos.
T4 20 puntos
Libre a tu imaginación
Alumno: y reconsideración al final del
Curso. Hoja de presentación: Información mínima requerida; (vea formato); se permite hoja de color.
A . paterno
A. materno
Nombre ( s ) Nl
A. paterno
A. materno
Nombre ( s ) Nl
Alumno:
Maestro:_____________________Hora de clase_____
67
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 3.3 Integración definida de funciones elementales. Guía: - Integración definida de funciones elementales: - Ejemplos. . Algebraicas. - Ejercicios. . Exponenciales. . Logarítmicas. . Trigonométricas. . Trigonométricas inversas. . Hiperbólicas. . Hiperbólicas inversas.
Integración definida de funciones elementales algebraicas: Las funciones elementales algebraicas de interés a considerar son: Gráfica
Nombre
Dominio
Recorrido
y0
Constante cero
( , )
0, 0
y 1
Constante uno
( , )
1, 1
yk
Constante
( , )
k, k
yx
Identidad
( , )
( , )
Racional
( , 0) 0,
( , 0) 0,
Función
y
1 x
y 0 y 1
yk
y x
y
1 x
Fórmulas de integración definida de funciones elementales algebraicas: b
1)
0 dx 0
2)
3)
a
b a
dx x
b a
b a
k dx kx
ba
5)
b a
1 dx ln x x
b a
b
x2 4) x dx a 2 a b
68
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Ejemplos:
1)
5
0
2dx
b
b
a
a
k f ( x)dx k
k 2;
f ( x)dx
2)
f ( x) 1
3)
1
1
b
a
b a
a 0; b 5
3
x2 2 x2 2 1
3
1
2( x)
5 0
2(5) 2(0) 10
3 1 9 1 8 2
b
k f ( x) dx k f ( x) dx
a 1 dx 1 3x k ; 3
3
b
dx x
b
x2 k x dx k a 2 a k2 a 1; b 3
(2 x) dx
2 dx a
b
3
b
a
1 f ( x) x
1 31 dx 3 1 x
2
1 dx ln x a x a 1; b 3
b
b a
3
1 1 1 ln x ln 3 ln 1 0.3662 0 0.3662 3 1 3 3 Integración definida de funciones elementales exponenciales: Funciones elementales exponenciales: Función
Nombre
y ex
De base
De base
y ax
a R
Dominio
Recorrido
"e"
( , )
(0, )
"a"
( , )
(0, )
Gráfica representativa
y ex
Fórmulas de integración definida de funciones elementales exponenciales:
1)
b a
e x dx e x
b
2)
a
b a
b
ax a dx ln a a x
Ejemplos:
1)
0
1
0
2e x dx (2) e x (dx) 2e x 1
0
1
1
3e (1) 3e ( 0 ) 3e x 3e x 2) dx 0 4 4 0 4 4 1
3)
2
0
2e ( 0 ) 2e ( 1) 2 0.7357 1.2643 3e 3 1.2887 4
2
3( 2) 3( 0) 9 1 3x 3x 1 2 dx 3 x dx 3.6409 2 2 ln 3 0 2 ln 3 2 ln 3 2 ln 3 2 0 69
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Integración definida de funciones elementales logarítmicas: Funciones elementales logarítmicas: Nombre
Función
y ln x
y log a x
De base
De base
a R
"e"
"a"
Dominio
Recorrido
(0, )
( , )
(0, )
( , )
Gráfica representativa
y ln x
Fórmulas de integración definida de funciones elementales logarítmicas:
1)
a
b
x 2) log a x dx x log a a e a
ln x dx x ln x 1a
b
b
b
Ejemplos:
1)
2
1
ln x dx 3 x ln x 112 3 (2) ln 2 1 3(1) ln 1 1 6 0.3068 3 1 1.1592 4
(4) x (4) (2) 2 x log10 x log10 log10 dx log10 2) 3 2 e e 3 e 3 3 2 4
4 4 2 2 log10 log10 e 3 e 3
4 2 log10 1.4715 log10 0.7357 0.2236 (0.0888) 0.3124 3 3
Integración definida de funciones elementales trigonométricas: Funciones elementales trigonométricas: Nombre
Dominio
Recorrido
y sen x
Seno
,
1,1
y cos x
Coseno
,
1,1
y tan x
Tangente
x 2, 3 2,
,
Función
Gráfica
70
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
y cot x
Cotangente
x 0, ,2 ,
,
y sec x
Secante
x 2, 3 2,
( , 1) (1, )
y csc x
Cosecante
x 0, ,2 ,
( , 1) (1, )
Fórmulas de integración definida de funciones elementales trigonométricas:
1) 2) 3)
b a
sen x dx cos x
b
cos x dx sen x
a b
a
b a
b a
tan x dx ln cos x
Ejemplos:
1)
2)
0
2 sen x dx 2 cos x
2 4
4) 5)
b
6)
a
0
b
b
a
a
cot x dx ln sen x
b a
sec x dx ln sec x tan x
b
csc x dx ln csc x cot x a
b a
b a
2 cos 2 cos 0 2 (1) 2 (1) 4
2 cot x 2 2 2 dx ln sen x ln sen 3 3 2 3 4
2 ln sen 4 3
2 2 ln(1) ln(0.7071) 0.2308 3 3
Integración definida de funciones elementales trigonométricas inversas: Funciones elementales trigonométricas inversas: Función
Nombre
y arc sen x
Seno inverso
y arc cos x
Coseno inverso
Dominio
Recorrido
1,1
1,1
0,
Gráfica
2 , 2
71
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
y arc tan x
Tangente inversa
( , )
( 2 , 2)
y arc cot x
Cotangente inversa
( , )
, 2 2
y arc sec x
Secante inversa
( , 1] [1, )
[0, 2) ( 2, ]
y arc csc x
Cosecante inversa
( , 1] [1, )
[ 2 , 0) (0, 2]
Fórmulas de integración definida de funciones elementales trigonométricas inversas:
1) 2)
b a
arcsen x dx x arcsen x 1 x 2
b a
arccos x dx x arccos x 1 x 2
4)
5)
b a
b a b
1 3) arctan x dx x arctan x ln x 2 1 a 2 a b
6)
b
1 2 a arc cot x dx x arc cot x 2 ln x 1 a b
b a
b a
x 1
arc sec x dx x arc sec x ln x x 2 1 arc csc x dx x arc csc x ln x
2
b a b a
Ejemplos:
1)
1
1
2 arccos x dx 2 x arccos x 1 x 2
1
2 1 2 x arccos x 2 1 x
1
1
2(1) arccos(1) 2 1 (1) 2 2(1) arccos(1) 2 1 (1) 2 0 0 6.2831 0 6.2831
2)
2
1
2
2
3arc sec x 3 3 3 dx x arc sec x ln x x 2 1 xarc sec x ln x x 2 1 5 5 5 1 5 1
3 3 3 3 (2)arc sec(2) ln (2) (2) 2 1 (1)arc sec(1) ln (1) (1) 2 1 5 5 5 5 1.2566 0.7901 0 0 0.4665
72
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Integración definida de funciones elementales hiperbólicas: Funciones elementales hiperbólicas: Nombre
Dominio
Recorrido
y senh x
Seno Hiperbólico
( , )
( , )
y cosh x
Coseno hiperbólico
( , )
[1, )
Tangente hiperbólica
( , )
(1, 1)
Cotangente Hiperbólica
( , 0) (0, )
( , 1) (1, )
Secante hiperbólica
( , )
(0, 1)
Cosecante hiperbólica
( , 0) (0, )
( , 0) (0, )
Función
y tanh x
y coth x
y sec h x
y csc h x
Gráfica
Fórmulas de integración definida de funciones elementales hiperbólicas: b
1)
2)
3)
4)
cosh x dx senh x a
x 5) sec h x dx 2 arctan tanh a 2a
b a
b a
senh x dx cosh x a b
a
b
tanh x dx ln cosh x
b a
coth x dx ln senh x
b a
b
b
b
b
x 6) csc h x dx ln tanh a 2 a b
a
Ejemplos:
1)
2)
1 1
2
1
2 cosh x dx 2 senh x 1 2 senh(1) 2 senh(1) 2.3504 2.3504 4.7008 1
2
2 1 x 2 csc h x dx 2 ln tanh 2 ln tanh 2 ln tanh 0.5446 1.5438 0.9992 2 1 2 2 73
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Integración definida de funciones elementales hiperbólicas inversas: Funciones elementales hiperbólicas inversas: Nombre
Dominio
Recorrido
y arcsenh x
Seno hiperbólico Inverso
( , )
( , )
y arccos h x
Coseno hiperbólico inverso
[1, )
[0, )
y arctan h x
Tangente hiperbólica inversa
(1, 1)
( , )
y arc coth x
Cotangente hiperbólica inversa
( , 1) (1, )
( , 0) (0, )
y arc sec h x
Secante hiperbólica inversa
(0, 1
0, )
y arc csc h x
Cosecante hiperbólica inversa
( , 0) (0, )
( , 0) (0, )
Función
Gráfica
Fórmulas de integración definida de funciones elementales hiperbólicas inversas: b
1)
2)
arccos h x dx x arccos h x
a
b
arcsenh x dx x arcsenh x x 2 1
b
a
x2 1
b
b
x 5) arc sec h x dx xarc sec h x arctan a 1 x2 a b
a
b
1 3) arctan h x dx x arctan h x ln x 2 1 a 2 a b
b
1 4) arc coth x dx xarc coth x ln x 2 1 a 2 a b
a
6)
b a
arc csc h x dx xarc csc hx ln x x 2 1
b a
Ejemplos:
1)
1
3arcsenh x dx 3xarcsenhx 3 0
x2 1
1 0
3(1)arcsenh(1) 3 (1) 2 1 3(0)arcsenh(0) 3 (0) 2 1 2.6441 4.2426 0 3 1.4015 74
José Santos Valdez y Cristina Pérez
2)
2
arc csc hx 1 1 dx xarc csc hx ln x x 2 1 2 2 2 1
2
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
1
1 1 1 1 (2)arc csc h(2) ln (2) (2) 2 1 (1)arc csc h(1) ln (1) (1) 2 1 2 2 2 2 0.4812 0.7218 0.4406 0.4406 0.3218 Ejercicios: Tipo I. Por las fórmulas de integración definida de funciones elementales algebraicas; obtener: 0
1)
2)
1
1
0 dx
3)
dx
4)
2 x dx
3
2
1
2 dx
4
0
x dx 3 1 2 6) dx 3 3x
5)
2
1
Tipo II. Por las fórmulas de integración definida de funciones elementales exponenciales; obtener:
1)
2)
2
0
5e x dx
1
1
x
3e dx 5
4
3)
4)
2 4 0
ex dx 8 2(3) x dx
3(5) x 4 10 dx x 2 2 6) dx 1 3 0
5)
Tipo III. Por las fórmulas de integración definida de funciones elementales logarítmicas; obtener:
1) 2)
2
1
5 ln x dx
2
1
3 ln x dx 5
3) 4)
4 3
6 5
ln x dx 8 2 log10 x dx
3 log10 x dx 7 10 4 log x 10 6) dx 1 3
5)
8
Tipo IV. Por las fórmulas de integración definida de funciones elementales trigonométricas; obtener:
1)
0
5sen x dx
2)
2 3
2 cot x dx
3)
4 0
3 sec x dx 10
Tipo V. Por las fórmulas de integración definida de funciones elementales trigonométricas inversas; obtener:
1)
3 arccos x 1 5 dx 1
2)
3 0
arctan x dx 2
3)
2
1
arc csc x dx 6
Tipo VI. Por las fórmulas de integración definida de funciones elementales hiperbólicas; obtener:
1)
1
0
5senh x dx
2)
0
1
tanh x dx 2
3)
3
3
3 sec h x dx 4
Tipo VII. Por las fórmulas de integración definida de funciones elementales hiperbólicas inversas; obtener:
1)
2
0
3 arccos h x dx 5
2)
3 2
2arc coth x dx
3)
1
2
arc csc h x dx 2
75
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 3.4 Integración definida de funciones algebraicas que contienen xn. Guía: - Integración de funciones algebraicas que contienen xn. - Ejemplos. - Ejercicios. . Funciones algebraica que contienen xn. . Fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn.
Integración definida de funciones algebraicas que contienen xn. Función algebraica que contienen xn. Nombre
Función
y xn
Dominio
Algebraica que contiene xn
Recorrido
A obtenerse
Gráficas representativas
y x3
y x2
A obtenerse
Fórmula de integración de funciones algebraicas que contienen xn.
1)
b a
b
x n 1 x dx n 1 a
n 1 0
n
Ejemplos:
1)
2)
3
1
1 2
3
x dx x dx 1
5 2
3 x 4 dx
b a
b
k f ( x)dx k f ( x) dx
k 3;
3
3 3 n 1 2 x x b x n 3 a x dx n 1 3 2 1 a a 1 3 2 (3)3 2 (1)3 a 1; b 3; n ; n 1 2 2 3 3 3 2
b
a
f ( x) x 4
2.7974 5
5
b
x 5 x n 1 3x5 3 x 4 dx x n dx 3 5 a 2 n 1 a 5 2 2 5
b
3(5)5 3(2)5 1855.8 5 5 3)
2
1
b
x n 1 ( ) ( ) k f x dx k f x dx 2 2 x dx 2 1 a 2 3 dx 2 x 3dx a dx a n 1 a 3 1 1 x x k 2 ; f ( x) x13 a 1; b 2 b
b
2
b
n
2
x 2 1 1 1 0.5303 2 2 2 2 x 1 2 (2) 2 (1) 2 2 1
76
José Santos Valdez y Cristina Pérez
4)
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
a f ( x) g ( x)dx a b
3
(2 x 1) dx
2
b
f ( x) 2 x; g ( x) 1
b
f ( x) dx g ( x) dx a
3
3
2
2
2 x dx dx x 2 x
3 2
(3) 2 (3) (2) 2 (2) 4 5)
6)
x2 2
4
1
x 1 dx x
4
1
4
x3 2 x3 4 ( 4) 3 2 (1) 3 2 x2 3 ( 4 ) (1) 3 dx x dx 1 2 1 3 3 3 6 6 6 1 32 16 1 2 46 1 91 15 .1667 3 3 6 3 3 6 6
x dx
4
4
4
1
x dx
4
1
2 x3 2 2 x 2 dx (4) 3 2 (4) (1) 3 2 (1) 2 x 3 1 3 3 1
16 2 4 2 6 .6666 3 3
Ejercicios: Tipo I. Por la fórmula de integración definida de funciones algebraicas que contienen xn; obtener: 1
1)
x dx
7)
2)
x 2 2 dx
8)
3) 4) 5) 6)
2 1
4
0 4 0 2
x dx
9)
x dx
10
3
0
x dx
1 dx 2 x
1
11) 12)
2
2
1 dx x2 1 dx x
1
1
1
(3 x) dx 1 x dx 1 3
( x 2 1) dx
0
1
2
1 1
1
(2 x 2 x) dx
0
13)
14)
1 x dx
15) 16)
5
( x 2 1) 2 dx
4
0
1
( x x ) dx ( x x) dx 0 1
2
2
0
x 1 dx x 2 1 3x x dx 18) 1 x 17)
2
1
77
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 3.5 Integración definida de funciones que contienen u. Guía: - Integración definida de funciones que contienen u. . Trigonométricas. . Algebraicas. . Trigonométricas inversas. . Exponenciales. . Hiperbólica. . Logarítmicas. . Hiperbólicas inversas.
- Ejemplos. - Ejercicios.
Integración definida de funciones que contienen u. Sí
u
n Z
es cualquier función y
entonces se cumplen las siguientes fórmulas de integración:
Integración definida de funciones algebraicas que contienen u. Fórmulas de integración definida de funciones algebraicas que contienen u.
1)
du u b
b
a
2)
a
b
a
b
u n 1 u du n 1 a
3)
n
b a
1 du ln u u
b a
Ejemplos:
du u a 2 2 1) dx du dx x 1 2 1 1 1 a 1; b 2
b
b
a
Para hacer el ajuste 1 1 1 4 3dx 4 2) 2 3x dx u 2 3x 2 3x 3dx 2 3 x 0 0 0 3 3 du 3 dx 1
4
1
u n1 u du a n 1 0 u 2 3x; du 3 dx n 4; n 1 5 a 0; b 1 b
n
1
5 2 3x 5 1 2 3x 5 15 0 3 0 1
2 3(1) 5 2 3(0) 5 55 25 3125 32 3093 1031 206.2 15 15 15 5 15 15 15
3)
5
1
1 dx 2x
1 b du ln u a u u 2 x; du 2 dx a 1; b 5
b
a
5
1 1 5 1 1 1 2 dx ln 2 x ln 10 ln 2 0.8047 2 2 1 2x 1 2 2
78
José Santos Valdez y Cristina Pérez
4)
1
3
5 x 1 x 2 dx
0
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Estrategia : sacar la cons tan te y unir " x" a " dx "
1 1 2 5 1 x 2 0
5 1 x2 8
4
3
1
5 1 x 2 0
u n 1 u du a n 1 b
xdx 3
u 1 x2;
2 2 x dx 5 1 x 4 2
1
5 1 (1) 4 8 0
4
b
a 0;
n
b 1
a
du 2 xdx ;
1
0
5 1 (0 ) 0 .6250 4
8
Integración definida de funciones exponenciales que contienen u. Fórmulas de integración definida de funciones exponenciales que contienen u.
1)
b a
eu du eu
b
2)
a
b a
b
au a du ln a a u
Ejemplos: 0
2e 3( 0 ) 2e 3( 1) 2 2e 2 2e 3 x 1 0 1) 2e dx 2 e 3 x 3dx 1 3 1 3 3 3 3 3 1 0
3x
1
3e ( 2 (1) 1) 3e ( 2 x 1) 3e ( 2 x 1) 3 1 1 2) dx e ( 2 x 1) 2dx 0 4 8 0 8 4 2 0 1
e du e b
1x
2e 3) 0 5 1
4)
2 0
x 5
3e ( 2 ( 0 ) 1) 8
0.6334
3e 3 3e 6.512 8
u b a
u
1
a 1 2 1 2 2e1x 2e 2 dx e1x dx u 1 x; du dx e1x dx 0.6873 0 5 0 5 5 0 5 5 a 0; b 1
2 3 1 dx 5 0 2 2
2
5x 5 3 52 5 3 05 5 30.4 3 1 5 3 dx 2 ln 3 2 ln 3 2 ln 3 5 2 ln 3 0 x 5
5 2 ln 3 1.2557
Integración definida de funciones logarítmicas que contienen u. Fórmulas de integración definida de funciones logarítmicas que contienen u.
1)
b a
ln u du u ln u 1 a
b
b
2)
b a
u log a u du u log a e a
Ejemplos:
1)
2
1
2
3 1 2 3 ln 2 x dx 3 ln 2 x 2 dx 2 x ln (2 x) 1 3 x ln 2 x 1 1 2 2 1
2 1
3(2) ln 2(2) 1 3(1) ln 2(1) 1 6 ln 4 1 3 ln 2 1 2.3177 (0.9205) 3.2382 79
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
4
log10 2 x 2 x x 1 1 4 dx log10 2 x 2dx log10 2) 2 e 2 3 3 3 2 2 2( 4) (2) 2( 2) ( 4) log10 log10 (0.6250) (0.1118) 0.5132 e 3 e 3 4
Integración definida de funciones trigonométricas que contienen u. Fórmulas de integración definida de funciones trigonométricas que contienen u.
1) 2) 3) 4)
b a
b a b
a
b a b
5)
6)
a b a
sen u du cos u cos u du sen u
b
7)
a
b
8)
a
tan u du ln cos u
cot u du ln sen u
b
b
sec u du ln sec u tan u
csc u du ln csc u cot u
b
a b
a
10)
a
a b
9)
a
b
sec u tan u du sec u
b
csc u cot u du csc u sec 2 u du tan u b a
a
b a
b a
csc 2 u du cot u
b a
b
1 1 11) sec u du sec u tan u ln sec u tan u a 2 2 a b
a
3
b a
Ejemplos: b
cos u sen u a
1 1 cos 2 x 2dx sen2 x a 2 0 2 0 1) cos 2 x dx u 2 x; du 2dx 0 1 1 a 0; b sen2( ) sen2(0) 0 2 2 b
b
sec a
2)
2
u du tan u a b
3x 3 8 3x 4 4 4 dx tan 2 sec 2 4 4 3 4 0 3 0 3 8 8 3 (0) tan 4 tan 1.7818 4 3 4 3
4 0
2 sec 2
6 20
b ident . trig csc 2 udu cot u a a 3 3 dx 6 csc 2 5 x dx 1 2 csc u 2 sen 5 x 2 20 u 5 x; du 5dx; a ; b sen u 20 6
3x dx 4
3x 3 ; du dx 4 4 a 0; b 4
u
b
3)
31 3 6 3 3 6 csc 2 5 x 5dx cot 5 x cot 5 cot 5 0.5196 0.3 0.8196 2 5 20 10 20 6 10 10 20
80
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
4)
b
u n 1 u du cos3 2 x sen2 x dx a n 1 a b
n
u cos 2 x;
1 3 cos 2 x 2 sen2 x dx 2
du 2 sen2 xdx; a ; b
1 cos 4 2 x 1 1 1 1 1 cos 4 2 x cos 4 2( ) cos 4 2( ) 0 2 4 8 8 8 8 8
Integración definida de funciones trigonométricas inversas que contienen u. Fórmulas de integración definida de funciones trigonométricas inversas que contienen “u”.
1) 2)
3)
b
arcsen u du u arcsen u 1 u 2
a
b a
b a
arccos u du u arccos u 1 u 2
b a
b a
b
arctan u du u arctan u
1 ln u 2 1 2 a
4)
5)
6)
b a
b a b a
b
arc cot u du u arc cot u
1 ln u 2 1 2 a
1
arc sec u du u arc sec u ln u u 2 1 arc csc u du u arc csc u ln u
u2
b a b a
Ejemplos: 2 x x x dx x x 1) 3 arccos dx 3 (2) arccos 6 arccos 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1
1
1
1
2 2 (1) (1) (1) (1) (1) (1) 6 arccos 1 6 arccos 1 2 2 2 2 2 2 6 0.5235 0.8660 6 1.0472 0.8660 2.055 11.4792 9.4242
2)
11 2 arc sec( 2 x 1) dx arc sec( 2 x 1)(2dx ) 1 2 22 1 2 1 (2 x 1)arc sec(2 x 1) ln ( 2 x 1) ( 2 x 1) 2 1 1 4 1 (2(2) 1) arc sec(2( 2) 1) ln ( 2( 2) 1) ( 2( 2) 1) 2 1 4 1 (2(1) 1) arc sec(2(1) 1) ln ( 2(1) 1) ( 2(1) 1) 2 1 4 1 1 1 1 3arc sec(3) ln 3 8 arc sec(1) ln 1 0 3.6928 1.7627 0 0 0.4825 4 4 4 4
2
81
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Integración definida de funciones hiperbólicas que contienen u. Fórmulas de integración definida de funciones hiperbólicas que contienen u.
2)
cosh u du senh u
3)
4)
1)
b
senh u du cosh u
a
b a
b
b
a
a
b
tanh u du ln cosh u
a
b a
coth u du ln senh u
b
sec h
8)
9)
a
b
10)
a
b
7)
2
a
b a
u du tanh u
b a
2
csc h u du coth u
b a
sec h u tanh u du sec hu b
b
a
a
b a
csc h u coth u du csc h u
b a
b
u 5) sec h u du 2 arctan tanh a 2a b
b
u 6) csc h u du ln tanh a 2 a b
Ejemplos: 1
2 1 1 2 2 1) 2 cosh 3xdx 2 cosh 3x 3dx senh 3x senh3(1) senh3(1) 1 3 3 1 1 3 3 6.6785 (6.6785) 13.3572 1
2)
sec h 2 x tanh 2 x 1 1 dx 0 3 3 2 1
1 sec h 2 x tanh 2 x 2dx 6 sec h 2 x 1
1 0
0
1 1 sec h 2(1) sec h 2 (0) 0.0443 (0.1666 0.1223 6 6
Integración definida de funciones hiperbólicas inversas que contienen u. Fórmulas de integración definida de funcione hiperbólicas inversas que contienen u. b
1)
2)
a
arcsenh u du u arcsenh u u 2 1
b a
arccos h u du u arccos h u u 2 1
b
b a
b
1 3) arctan h u du u arctan h u ln u 2 1 a 2 a b
b
1 4) arc coth u du uarc coth u ln u 2 1 a 2 a b
a
5)
6)
b a
arc sec h u du uarc sec h u arctan
b a
arc csc h u du u arc csc h u ln u
b
2 1 u a u
u2 1
b a
82
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Ejemplos: 1
2 1 x x dx x x x 1) 3arcsenh dx 32 arcsenh 6 arcsenh 6 1 0 0 2 2 2 2 2 2 0 1
1
x x2 (1) 3xarcsenh 6 1 3(1)arcsenh 6 2 4 2 0
(1) 2 1 4
2 (0) (0) 3(0)arcsenh 6 1 1.4436 6.7082 0 6 0.7354 2 4
2)
10
1
10
arc csc h3x 1 1 10 1 dx arccsh3x3dx (3x)arc csc h(3x) ln (3x) (3x) 2 1 2 2 3 1 6 1 10
x 1 1 (10) arc csc h3x ln 3x 9 x 2 1 arc csc 3(10) ln 3(10) 9(10) 2 1 2 6 6 1 2 1 (1) arc csc h3(1) ln 3(1) 9(1) 2 1 0.1666 0.6824 0.1637 0.3030 0.3823 6 2
Ejercicios: Tipo I. Por las fórmulas de integración definida de funciones algebraicas que contienen “u”; obtener:
1)
3 0 2 x 1 dx 4
2)
3
0
1 2 x
2
1
dx
3)
3 1
2 dx 1 4x
Tipo II. Por las fórmulas de integración definida de funciones exponenciales que contienen “u”; obtener:
1)
2
0
3e 2 x dx 4
2)
0
1
3e (3 x 1) dx
3)
3 1
x
2 ( 3 ) 4 dx
Tipo III. Por las fórmulas de integración definida de funciones logarítmicas que contienen “u”; obtener:
1)
2
1
5 ln 2 x dx
1)
3 ln( 4 x 1) dx 2
4 2
3)
5
0
3 log 10 ( 2 x 1) dx 5
Tipo IV. Por las fórmulas de integración definida de funciones trigonométricas que contienen “u”; obtener: 3 sec 5 x 5 sen 2 x 5 cos ( 2 x 1) dx 3) 2 dx 2) 1) dx 0 10 0
4
2
3
Tipo V. Por las fórmulas de integración definida de funciones trigonométricas inversas que contienen “u”; obtener: 2 arc csc 2 x 1 3 arctan( 2 x 1 ) 3) dx 2) dx 1) 3arcsen2 x dx 1 0 6 4 0
Tipo VI. Por las fórmulas de integración definida de funciones hiperbólicas que contienen “u”; obtener: 0 tanh( 3 x 1 ) 3 3 sec h 3 x 1 2) 3) dx dx 1) 5senh2 x dx 1 3 2 5 0
Tipo VII. Por las fórmulas de integración definida de funciones hiperbólicas inversas que contienen “u”; obtener:
1)
2 0
3 arccos h 2 x dx 5
2)
3 2
2arc coth 3 x dx
3)
1
2
3 arc csc h 2 x dx 5
83
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 3.6 Integración definida de funciones que contienen las formas u2 ± a2. Guía: - Integración definida de funciones que contienen las formas u2 ± a2. - Fórmulas de integración definida de funciones que contienen las formas u 2 a 2 .
- Ejemplos. - Ejercicios.
Integración definida de funciones que contienen las formas u2 ± a2. Fórmulas de integración definida de funciones que contienen las formas u 2 a 2
1) 2)
b
du u 1 arctan 2 u a a a a
b a
a2 u2
a
b
1 du ua ln u 2 a 2 2a u a a
7)
b
du ua 1 a a 2 u 2 2a ln u a a b du 4) ln u u 2 a 2 2 2 a u a b du 5) ln u u 2 a 2 2 2 a u a b
3)
du
b
6)
2
a
b
8)
b a
b a
10 )
u a a b
a u2 a2 1 ln a u u u2 a2 a
a
a b a
du arcsen
du
b
b
9)
a 0
b
u 2 a 2 du
u a2 u2 a2 ln u u 2 a 2 2 2
u 2 a 2 du
u a2 u2 a2 ln u u 2 a 2 2 2
b a
a 2 u 2 du
2
b a
b a
b
u a u a2 u2 arcsen 2 2 a a
Ejemplos: b
1 du u a u 2 a 2 a arctan a a u 2 4 x 2 ; u 2 x; du 2dx a 2 9; a 3 b
1)
5 dx 5 4 x 2 9 5
2)
1 dx 1 2x 2
5
5
b
1 ua du a a 2 u 2 2a ln u a a b
1 2 1 2
5 1 2x 1 5 2 dx arctan 5 2 5 3 2 4x 3 2 3 10 5 10 5 arctan arctan 3 6 3 6 1.0661 1.0661 2.1322
a 2 1; a 1; u 2 2 x; u x 2 ; du 2 dx
1 2
2 dx 1 x 2 1 1 ln 2 2 2 x 2 1 1 2 1 2x 1 2 1 2
2
1 1 2 1 1 1 2 1 1 1.7071 1 0.2928 ln 2 ln 2 ln ln 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 0.2928 2 2 1.7071 2 1 2 2 1 1 1 1.7626 1 1.7630 0.6231 0.6233 1.2464 ln 5.8280 ln 0.1715 2 2 2 2 2 2 2 2
84
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
du
b
u 2 a2 u x 2 ; u x; du dx a
3)
4
3dx
3
2 x2 5
ln u u 2 a 2
b a
2
4
a 2 5; a 5
3 4 (dx) 3 ln x x 2 5 2 3 2 2 2 3 ( x) ( 5 )
ba 34
3 ln 4 (4) 2 5 2 4)
2
1
4 x 2 1 dx
b a
3 2 2 ln 3 (3) 5 2.985 2.414 0.571 b
u 2 a2 u a du u a 2 ln u u 2 a 2 2 2 a 2
2
1 2 4 x 2 1 2dx 2 1
u 2 4 x 2 ; u 2 x; du 2dx; a 2 1; a 1 2
2
x 1 (2 x ) (1) 2 1 2 4x 1 ln (2 x) 4 x 2 1 4 x 2 1 ln 2 x 4 x 2 1 2 2 2 4 1 1 2 1 1 ( 2) (1) 4 (2) 2 1 ln 2(2) 4 (2) 2 1 4 (1) 2 1 ln 2 (1) 4 (1) 2 1 4 4 2 2 1 5 1 ln 2 5 4.1231 0.5236 1.1180 0.3609 6.1256 17 ln 4 17 4 2 4
5)
2 0
y 4 1 2 dy y 2 4 dy 2 2 0 2
b
u 2 u a du u a 2 ln u u 2 a 2 2 a
b
2
a
2
u 2 y 2 ; u y; du dy; a 2 4; a 2 2
1 ( y) (4) y y2 4 ln ( y ) y 2 4 2 2 2 0 4
2
y 4 ln ( y ) y 4 0 2
2
(0) (2) (2) 2 4 ln (2) (2) 2 4 (0) 2 (4) ln (0) (0) 2 (4) 4 4 1.4142 1.5745 0 0.6931 2.2956 Ejercicios: Tipo I. Por las fórmulas de integración definida de funciones que contienen las formas u 2 a 2 integrar: 2
1)
2)
3)
2 0
5
1 2 1 2
dx 4 x2
4)
2 1 3x 2 8 dx
5 dx x 9
5)
2 dx 4 9 x2
6)
2
1
4
6
4 3
8)
dx x2 1 2 2 x 2 16
dx
1 2 1 2
7)
9)
4 2
16 4 x 2
dx
3 2 x 2 4 dx
1 4 1 4
5
5 10 5 x 2 dx 3 85
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 3.7 Integrales impropias. Guía: - Definición de las integrales impropias.
- Clasificación de las integrales impropias. - Cálculo de las integrales impropias. - Ejemplos. - Ejercicios.
Definición de las integral impropia: Son las integrales definidas de funciones que se caracterizan porque al menos uno de los extremos del intervalos es infinito; o bien presentan al menos un punto de discontinuidad. Las integrales impropias son evaluables si existe el límite y se dice que la función es convergentes; en cambio no son evaluables si no existe el límite y se dice que la función es divergentes.
Clasificación de las integrales impropias: Las integrales impropias se clasifican según su intervalo de definición, así tenemos: Clasificación
Sub tipo
Tipo 1 ó de 1ª clase
1A
Intervalo
Representación gráfica
, a
y f (x)
Característica: Presentan al menos un intervalo infinito
b,
y f (x)
b 1C
a
f ( x)dx
lím t1
a t1
f ( x) dx
a
t1
1B
Estructuración de la integral
t2
,
b
t2
f ( x )dx lím f ( x) dx t 2 b
y f (x)
f ( x) dx
c
f ( x) dx f ( x) dx
t1
c
t2
lím t1
c
c
t1
f ( x)dx lím t 2
t2 c
f ( x)dx
86
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Tipo 2 ó de 2ª clase
2A
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
a, b
Asíntota vertical
b a
t1
f ( x ) dx lím f ( x ) dx t1 b a
y f (x)
Característica: Presentan al menos un punto de discontinuidad
a
2B
t1 b
b, c
Asíntota vertical
c
c
b
c
f ( x ) dx lím f ( x ) dx t b t2
2
y f (x)
b
2C
t2
c
Asíntota vertical
abc
y f (x)
a
f ( x) dx b
c
f ( x) dx f ( x) dx a
a
Ejemplo 1) Dada la función
y
1 x2
t1 b t 2
y extremos de intervalos
c
x 2;
y
lím t1 b
b
t1
a
f ( x)dx lím t b 2
c t2
f ( x)dx
x 1:
a) Haga el bosquejo de la gráfica. b) Determine los intervalos sujetos a una posible evaluación de la integral impropia. c) Clasifíquela según corresponda. d) Estructurar las integrales impropia.
2
0
1
, 2 Integral impropia tipo 1 b) En el intervalo 1, Integral impropia tipo 1 c) En el intervalo 2, 0 Integral impropia tipo 2 d) En el intervalo 0, 1 Integral impropia tipo 2 e) En el intervalo 2,1 Integral impropia tipo 2 a) En el intervalo
1 y 2 x
87
José Santos Valdez y Cristina Pérez 2
1
a)
x
d)
1
0
2
dx lím t1
1 dx lím t2 0 2 x
1
t2
2 t1
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
1 dx x2
1 dx x2
Ejemplo 2) Dada la función
b)
e)
1 x
y
1
1 dx lím t2 x2
t2
1
1 dx x2
c)
0 1 1 1 1 dx 2 dx 2 dx lím t1 0 2 0 x 2 x 2 x
0
1 dx lím t2 0 2 x2
1
y extremos de intervalos
1 dx lím t1 0 2 x2
x 0; x 1;
t1
y
1
t2
1 dx 2 x2
t1
1 dx x2
x :
a) Haga el bosquejo de la gráfica. b) Determine los intervalos sujetos a una posible evaluación de la integral impropia c) Clasifíquela según corresponda, d) Estructurar las integrales impropia.
0, 1 Integral impropia tipo 2 b) En el intervalo 1, Integral impropia tipo 1
a) En el intervalo
y
1 x
1
0
a)
b)
1 0
1
1 dx lím t2 0 x 1 dx lím t 2 x
1 dx x
1 t2
t2
1
1 dx x
Cálculo de las integrales impropias. Integrales impropias del tipo 1 con intervalo de (α, a].
y
Ejemplos 1) Sea:
1
1 dx lím t 2 x
1 t
1 x2
Calcula el valor de la integral en el intervalo
, 1 .
1
x 1 x dx lím t 1 t
y
2
1 x2
1
1 1 1 lím lím 1 t t x t 1 t Ejemplo 2) Sea:
1
1
2 x dx ()
y
1 2 x
Calcula el valor de la integral en el intervalo
,1 .
1 2 x (dx) ln 2 x ln 2 (1) ln 2 (t )
1 lím t t
lím t
1
y
1
1 2x
lím t
0 Interpretación del resultado: Esta integral no es evaluable y la función es divergente.
1 88
José Santos Valdez y Cristina Pérez
y ex
Ejemplo 3) Sea:
0
e
x
dx
Calcula el valor de la integral en el intervalo
0 lím x t t
x e dx lím t e
lím t
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
0 t
e e e 0
t
, 0 .
0
e
y ex
1 0 1
0
Integrales impropias del tipo 1 con intervalo [b, α). Ejemplo: Sea:
1
y
1 x2
Calcula el valor de la integral en el intervalo
1,
t
lím t 2 lím x 1 1 dx x dx t 1 t 1 x2 1 t
lím 1 1 lím 1 1 t x 1 t t 1
1
Integrales impropias del tipo 1 con intervalo de (-α, α). Ejemplo: Sea:
x
2
1 x 1
y
2
1 dx lím t1 1
0 t1
lím t 1 arc tan x t 1 0
lím t 1
Calcular el valor de la integral en el intervalo:
1 dx lím t2 x 1 2
lím t2
t2 0
,
1 dx x2 1
y
arc tan x t0
1 x 1 2
2
arc tan 0 arc tan t1 lím t arc tan t 2 arc tan 0
t1
0 t 2
2
0 0 2 2
89
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Integrales impropias del tipo 2 con intervalo de [a, b) y discontinuidad en b. Ejemplo: Sea:
0
4
1 dx x
lím t 0
1 x
y b a
Calcula el valor de la integral en el intervalo
f ( x) dx
lím t b
t a
4, 0.
f ( x) dx
1 x a 4; b 0 f ( x)
t
4
1 dx x
lím t 0
0
(1) x 0
4
1
2
t
4
1dx
0
1 2 lím x 2 lím (0) 2 lím (4) 0 2 4 4 t 0 t 0 t 0 1 2 4
Integrales impropias del tipo 2 con intervalo de (b, c] y discontinuidad en b. Ejemplo: Sea:
1 0
1 x
y 1
Calcula el valor de la integral en el intervalo:
0,1 .
1 1 1 1 1 lím lím dx dx t 0 t 1 1 dx t 0 t 1 x x x
lím x2 x t 0
y 1
1 x
1 2 1 t 2 t 1 t
lím t 0
(1 2) (0 0) 3
0
t
1
90
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Integrales impropias del tipo 2 con intervalo de a < b < c y discontinuidad en b. Ejemplo: Sea:
3dx
4 03
x2 4x 4
3
3
y
3 4
( x 2)
lím 3 t 2 1
lím 3 t 2 1
dx
t1
( x 2)
0 3
dx
t1 0 3
3
2
( x 2)
2
2
dx
4
( x 2) 2
2 3
lím 3 t 2 2
lím 3 t 2
t1 3
4
t1 3
2
t1
dx
4
( x 2) 2
0 t1 2 t2 t1
3 ( x 2) 13 lím t 2 1 1 ( x 2) 2 3 0 dx
4
4 4
3 ( x 2 ) 13 lím t2 2 1 3 t2
3 3 3 ( 4) 2 3 (t ) 2 9 lím 9 lím x 2 9 lím x 2 9 lím 1 t1 2 t 2 2 t1 2 t2 2 0 t2
0, 4
( x 2) 2
0 3
dx
2 0 3
Calcula el valor de la integral en el intervalo:
x 2 4x 4 3dx
3 ( 0) 2 9 lím 3 (t ) 2 ( 0 11.3393) ( 11.3393 0) 22.6786 9 lím 2 t 2 t 2 1
2
Ejercicios: Tipo I. Dada la función y extremos de intervalos: a) Haga el bosquejo de la gráfica. b) Determine los intervalos sujetos a una posible evaluación de la integral impropia c) Clasifíquela según corresponda.
1)
y
1 x
2)
y
1 x
3)
y
4 x 4 2
x ; x 1; x 0;
x ; x 1; x 0
4)
y
1 1 x
x ; x 0; x 1
5)
y
1 x 1
x 1; x 0; x
x ; x 1; x 0 x 1; x
Tipo II. Calcular el valor de las integrales impropias tipo 1 con intervalo (α, a]; en el intervalo que se indica.
1)
y
2)
y
3)
y
1 x
1 x
, 1 , 2
1 x
, 1
4) 5)
6)
1 1 x 1 y 2 x 4 10 y 2 2x 3 y
, 0 , 2
, 4 91
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Tipo III. Calcular el valor de las integrales impropias tipo 1 con intervalo [b, α); en el intervalo que se indica.
1)
y
2)
y
1 x
1 x
1, 1,
3) 4)
1 1, x 1 0, y x 1
y
5)
y
1 x 4 2
2,
Tipo IV. Calcular el valor de las integrales impropias tipo 1 con intervalo (-α, α); en el intervalo que se indica.
1)
y
1 x 9
,
2
2)
y
1 x 4 2
,
Tipo V. Calcular el valor de las integrales impropias tipo 2 con intervalo[a, b) y discontinuidad en b; en el intervalo que se indica.
1)
y
2)
y
1 x
1 x
1, 0
3)
y
1 x
3, 0
4)
1 1 x
y
0,1
2, 0
Tipo VI. Calcular el valor de las integrales impropias tipo 2 con intervalo (b, c] y discontinuidad en b; en el intervalo que se indica.
1)
y
2)
y
1 x
1 x
0, 2
3)
y
1 x
0, 3
4)
1 x 1
y
1, 0
0,1
Tipo VII. Calcular el valor de las integrales impropias tipo 2 con intervalo de a < b < c y discontinuidad en b; en el intervalo que se indica.
1)
5dx
2
0 3
x 2x 1 2
2)
y
1 x2
2, 2
3)
y
3 3
(2 x 1) 2
2, 3
92
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Evaluaciones tipo: Unidad 3
EXAMEN Cálculo Integral
Número de lista: Unidad: 3 Clave: Evaluación tipo 1
4
Indicadores a evaluar: - Hacer el bosquejo de la gráfica. - Hacer el cálculo.
Valor: 20 puntos.
Indicadores a evaluar: - Hacer el cálculo.
Valor: 20 puntos.
Indicadores a evaluar: - Hacer el cálculo.
Valor: 20 puntos.
3 cos x dx 2
Indicadores a evaluar: - Hacer el bosquejo de la gráfica. - Hacer el cálculo.
Valor: 20 puntos.
2
Indicadores a evaluar: - Hacer el bosquejo de la gráfica. - Estructurar la integral impropia. - Hacer el cálculo.
1)
2)
x
3)
4)
2 x dx
1
1
4 dx
2
1
0
1
3 1 4 x dx 2
0
Valor: 20 puntos.
5)
2
4
3
( x 2) 2
dx
EXAMEN Cálculo Integral
Número de lista: Unidad: 3 Clave: Evaluación tipo 2
1
Indicadores a evaluar: - Hacer el bosquejo de la gráfica. - Hacer el cálculo.
Valor: 20 puntos.
Indicadores a evaluar: - Hacer el cálculo.
Valor: 20 puntos.
Indicadores a evaluar: - Hacer el cálculo.
Valor: 20 puntos.
Sen x dx 4
Indicadores a evaluar: - Hacer el bosquejo de la gráfica. - Hacer el cálculo.
Valor: 20 puntos.
10 dx 4 x2 9
Indicadores a evaluar: - Hacer el bosquejo de la gráfica. - Hacer el cálculo.
Valor: 20 puntos.
1)
2)
1 x dx
3)
1
4 dx
1
2
0
1
4)
5)
3
0
0
2 x 2 dx
93
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Formulario de integración definida de funciones elementales: Unidad 3. Propiedades de la integral definida de funciones elementales:
1) 2) 3)
b
f ( x) dx 0 a b
a
b a
a
f ( x) dx f ( x) dx b
b
c
b
c
4)
5)
f ( x) g ( x) dx
a
f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx a b c a
b
b
b
a
a
b
f ( x) dx g ( x) dx a
b
k f ( x) dx k f ( x) dx
a
a
Fórmulas de integración definida de funciones elementales: Algebraicas:
1) 2)
b a
0 dx 0
b a
dx x
3)
b
Exponenciales:
1)
b
e x dx e x
a
4)
a
b
a
b a
k dx kx
ba
5)
b a
1 dx ln x x
b a
b
x dx
x2 2 a
b
2)
a
b a
b
ax a dx ln a a x
Logarítmicas:
1)
ln x dx x ln x 1 b
a
Trigonométricas:
1) 2) 3)
b a
sen x dx cos x
b a b
a
cos x dx sen x
b a
b
4)
a
b a
tan x dx ln cos x
5)
b
2)
b a
arcsen x dx x arcsen x 1 x 2
b a
arccos x dx x arccos x 1 x 2
a
sen x
b a
b
sec x dx ln sec x tan x a
b
b a
b
csc x dx ln csc x cot x
4)
1 2 a arc cot x dx x arc cot x 2 ln x 1 a
5)
b a
b a b
1 3) arctan x dx x arctan x ln x 2 1 a 2 a b
b
cot x dx ln
6)
a
Trigonométricas inversas:
1)
b
x 2) log a x dx x log a a e a b
6)
a
a
b
b
b a
b a
x 1
arc sec x dx x arc sec x ln x x 2 1 arc csc x dx x arc csc x ln x
2
b a b a
94
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Hiperbólicas: b
1)
2)
3)
4)
cosh x dx senh x a
x 5) sec h x dx 2 arctan tanh a 2a
b
a b a
b a
senh x dx cosh x a b
tanh x dx ln cosh x
b a
coth x dx ln senh x
b a
b
b
b
b
x 6) csc h x dx ln tanh a 2 a b
a
Hiperbólicas inversas: b
1)
2)
arccos h x dx x arccos h x
a
arcsenh x dx x arcsenh x x 2 1
b
a
x2 1
b
b
b
x 5) arc sec h x dx xarc sec h x arctan a 1 x2 a b
a
b
1 3) arctan h x dx x arctan h x ln x 2 1 a 2 a b
b
1 4) arc coth x dx xarc coth x ln x 2 1 a 2 a b
a
6)
b a
arc csc h x dx xarc csc hx ln x x 2 1
b a
95
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Formulario de integración definida de funciones que contienen xn y u: Unidad 3. Propiedades de la integral definida de funciones que contienen xn y u.
1) 2) 3)
b
f ( x) dx 0 a b
a
b a
a
f ( x) dx f ( x) dx b
b
c
b
c
4)
f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx a b c
5)
f ( x) g ( x) dx
a
a
b
b
b
a
a
b
f ( x) dx g ( x) dx a
b
k f ( x) dx k f ( x) dx
a
a
Fórmula de funciones algebraicas que contienen “xn.
b
1)
a
b
x n 1 x dx n 1 a
n 1 0
n
Fórmulas de integración definida de funciones que contienen u. Algebraicas:
Exponenciales:
Logarítmicas:
1) 1) 1)
Trigonométricas: b
1)
2)
3)
4)
sen u du cos u
a b a b a
b a b
5)
6)
a b a
cos u du sen u
b
du u
a b a
e du e u
2)
b a
u
b
a
a
b a
tan u du ln cos u cot u du ln sen u
b a
b
sec u du ln sec u tan u
csc u du ln csc u cot u
b
2)
3)
b
b a
b a
b a
b
au a du ln a a u
8)
9)
b a b
a b
a
sec u tan u du sec u
csc u cot u du csc u sec 2 u du tan u b a
b a
b a
b a
csc 2 u du cot u
b a
b
1 1 11) sec u du sec u tan u ln sec u tan u a 2 2 a 3
b a
arccos u du u arccos u 1 u 2
b a
b a
b
arctan u du u arctan u
7)
b
a
arcsen u du u arcsen u 1 u 2
a
a
1 du ln u u
b
10)
a
b
b a
b
b
b
a
3)
n
u 2) log a u du u log a a e a
ln u du u ln u 1 a
b
Trigonométricas inversas:
1)
2)
a
b
u n 1 u du n 1 a
b
4)
5)
1 ln u 2 1 6 ) 2 a
b a
b a b a
b
arc cot u du u arc cot u
1 ln u 2 1 2 a
1
arc sec u du u arc sec u ln u u 2 1 arc csc u du u arc csc u ln u
u2
b a b a
96
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Hiperbólicas:
1) 2) 3) 4)
5) 6)
cosh u du senh u b
a
senh u du cosh u
b a
b
b
a
a
tanh u du ln cosh u
a
b
b
a
a
u
a
u
b
csc h u du ln tanh 2 a
2)
b a
b
2
csc h u du coth u
a
b a
b a
a
b a
csc h u coth u du csc h u
b a
b a
a
b
a
arcsenh u du u arcsenh u u 2 1
b
arccos h u du u arccos h u u 2 1
a
a
b
Hiperbólicas inversas:
1)
2
sec h u du tanh u
sec h u tanh u du sec hu
10)
sec h u du 2 arctan tanh 2
b
b
9)
a
b
b
8)
coth u du ln senh u
b
7)
b a
b a b
1 3) arctan h u du u arctan h u ln u 2 1 a 2 a b
b
1 4) arc coth u du uarc coth u ln u 2 1 a 2 a b
5)
6)
b a
b a
b
2 1 u a u
arc sec h u du uarc sec h u arctan arc csc h u du u arc csc h u ln u
u2 1
b a
Formulario de integración definida de funciones que contienen las formas u 2 a 2 : Unidad 3.
1) 2)
b a
b a
b
du u 1 arctan 2 2 u a a a a
6)
a
b
du ua 1 ln 2 2 u a u a a 2a
7)
b
du ua 1 3) 2 ln a a u2 u a a 2a b du 4) ln u u 2 a 2 2 a u a2 b du 5) ln u u 2 a 2 2 2 a u a b
9)
b a
10 )
1 a u2 a2 ln a u u u2 a2 du
b a
b
8) b a
a b a
b
u du arcsen 2 2 a a a u du
b
b a
b
a
u 2 a 2 du
u a2 u2 a2 ln u u 2 a 2 2 2
u 2 a 2 du
u a2 u2 a2 ln u u 2 a 2 2 2
b a
b a
b
a 2 u 2 du
u a2 u a2 u2 arcsen 2 2 a a
97
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Formulario de integrales impropias: Unidad 3.
, a :
Integrales impropias del tipo 1 con intervalo de a
∫ f ( x) dx
lím t → -∝
-
∫
a
f ( x ) dx
t
b, :
Integrales impropias del tipo 1 con intervalo de
b
f ( x) dx
lím t
t b
a
t
f ( x ) dx
b
, :
Integrales impropias del tipo 1 con intervalo de
c
-
-
c
∫ f ( x) dx ∫ f ( x) dx ∫
lím t 1 -
∫
c
t1
f ( x) dx
lím t 2 →∝
t2
∫
c
b a
y f (x)
f ( x) dx t1
f ( x) dx
Integrales impropias del tipo 2 con intervalo de discontinuidad en
a, b
c
y f (x)
y
Asíntota vertical
t
f ( x) dx lím f ( x) dx t b
a
a
b, c
t b Asíntota vertical
y
y f (x)
discontinuidad en a: c b
f ( x ) dx
lím t b
c t
f ( x ) dx
b Integrales impropias del tipo 2 con intervalo de discontinuidad en
c a
t2
b:
Integrales impropias del tipo 2 con intervalo de
t
abc
t
c Asíntota vertical
y
b.
f ( x) dx
b a
c
f ( x) dx f ( x) dx
lím t1 b
b
t1 a
f ( x) dx
lím t2 b
c t2
f ( x) dx
a
t1 b t 2
c
98
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Es difícil y a veces hasta imposible, poder coexistir en una sociedad donde impera la corrupción. La simulación es otra forma mas de mentir, sólo que ahora se encuentra potenciada con el engaño y es el principio de ser perverso. Lo bueno de las matemáticas, es que no permiten el uso de estas deficiencias humanas. José Santos Valdez Pérez
UNIDAD 4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL.
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
Clases: Cálculo Cálculo Cálculo Cálculo Cálculo
de longitud de curvas. de áreas. de volúmenes. de momentos y centros de masa. del trabajo.
- Evaluaciones tipo. - Formulario de aplicaciones de la integral.
99
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 4.1 Cálculo de longitud de curvas. Guía: - Conceptos básicos. - Integral para el cálculo de longitud de curva. - Método.
- Ejemplos. - Ejercicios.
Conceptos básicos: Curva: Es una porción de la gráfica de una función limitada por un intervalo. Arco: Es una porción limitada de la curva. Cuerda: Es la recta que toca los puntos extremos de un arco. Curva rectificable; (Definición):
Curva
Arco Cuerda
Sean: 2
R Un plano rectangular. [a, b] un intervalo cerrado en el eje de las “X”. f la gráfica de una función continua y f ( x) a, b . 1, 2, 3,, n las particiones del intervalo [a, b] de tal forma que x0 a; x0 x1 x2 xn ; y xn b una partición en el intervalo [a, b] xi xi xi 1 una iésima partición de [a, b] Li la cuerda de xi
Li
la longitud de la cuerda de i
i 1
Sí
la sumatoria de las longitudes de todas de la cuerdas en
xi 0 n
lím x i 0
a
Li
[ a, b ] .
que transformada a límites quedaría:
a
x
i
n 1
b
x 0 x1 x 2 x n 1 x n
xi
n
L
Intervalo
Sí el límite existe entonces se dice que la curva es rectificable.
xi
b
Integral para el cálculo de longitud de curva. Sean:
y f (x) una curva rectificable. xi un iésimo subintervalo de [a, b]
yi Li
Li
un iésimo subintervalo en el eje “Y” como resultado de las imágenes de la iésima hipotenusa del triángulo cuyos catetos son
xi y yi
n
x i 1
Sí
i
es la longitud aproximada de la curva en el intervalo
xi 0 n
a
yi
b
a, b .
entonces:
L lím x i 0 xi
xi
xi
es la longitud exacta de la curva en el intervalo
[ a, b ]
n 1
100
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Li
Como:
Entonces:
L
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
xi yi 2
2
x
lím x i 0
n 1
i
lím x i 0
n 1
2
y 1 i xi
xi 2 yi 2 x xi 2 xi 2 i
xi xi
xi yi 2
2
xi
Que traducido a una integral, esta quedaría:
L
b
De la misma forma y por paráfrasis matemática
L
d
a
c
2
y 1 i (xi ) xi
d
1 f ( x ) dx 2
c a
1 f ( y ) dy 2
b
Método: 1) Haga el bosquejo de las gráficas e identifique la longitud de la curva a calcular. 2) Identifique a, b, f ( x) ó f ( y ) 3) Formule la integral para el cálculo de la longitud de la curvas. 4) Calcule la longitud de la curva. Ejemplos: 1.- Calcular la longitud de la recta
L
b a
1 f ( x) dx 2
y2
f ( x) 2.- Calcular la longitud de la recta
b a
1 f ( x) dx 2
x 1 y
3
3
a 1 b3 f ( x) 2 f ( x) 0 2
L
entre el intervalo
1
3.- Calcular la longitud de la curva
-1
entre el intervalo
x 1 y
b a
1 f ( x) dx 2
3
x 2:
y x
2
1
1 1 dx x 2
2
1
1.4142 1 2
1
y x2 2
entre el intervalo
x 1 y x 2 :
a 1 b2 L
y 2
31
(3) (1) 3 1 4
a 1 b2 f ( x) x f ( x) 1
f ( x)
1
1 dx x
0
yx
2
1 0 dx
x 3:
f ( x) x 2 2 f ( x) 2 x
2
1
y x2 2 -1
1 4 x 2 dx 6.1256
2
f ( x) 2 4 x 2 101
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
4.- Calcular la longitud de la curva la recta
y x2 3
entre el intervalo de intersección con
y x 1:
x 2 3 x 1; x1 1; x2 2 L
b a
a 1; b 2
1 f ( x) dx 2
5.- Calcular la longitud de la curva
f ( x)2 4 x 2
y 4x
2
1
f ( x) x 2 3 f ( x) 2 x;
entre el intervalo
1 4 x 2 dx
b a
1 f ( x) dx 2
x0
y
2 4x
x 1:
y 4x
f ( x) 4 x f ( x)
2
6.1256
a 0; b 1 L
-1
1 x
;
f ( x) 2 1x
1
1
0
1 dx x 1
El resultado es una integral que parece difícil de resolver en ausencia de software, sin embargo al calcular la longitud de la curva con respecto al eje “Y”, se observa que la integral es solucionable con métodos ya conocidos, como lo veremos a continuación.
Sí y 4 x x L
d c
1 f ( y ) dy 2
como
y2 4
como
y2 4
2 0
1
y2 4
0 y0
2
y2 x 4
c0
1 y 2 d 2 2
f ( y)
y2 4
y 4
f ( y ) 2y ;
;
f ( y) 2 y4
2
1 2 4 y 2 dy 2.2956 0 2
dy
Ejercicios: Tipo I. Calcular la longitud de las siguientes curvas en el intervalo especificado: 1)
y x 1
Intervalo:
x0
x4
y
2)
y 4 x2
Intervalo:
x 2
y
x0
Tipo II. Calcular la longitud de las siguientes curvas en el intervalo especificado:
1) y x 2 1 2) y 3 x 2 3) y x 2 2
entre el intervalo de intersección con la recta
y 3
entre el intervalo de intersección con la curva
y 2x 2 yx
entre el intervalo de intersección con la curva
Tipo III. Calcular la longitud de las siguientes curvas en el intervalo especificado: 1)
y x
2)
y 1 2 x
Intervalo:
x 1 y
Intervalo:
x0
x2 y
3)
y 3 x Intervalo: x 1 y
x4
x2
102
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Clase: 4.2 Cálculo de áreas. Guía: - Clasificación de las áreas. - Cálculo de áreas limitadas por - Cálculo de áreas limitadas por - Cálculo de áreas limitadas por - Cálculo de áreas limitadas por - Cálculo de áreas limitadas por - Ejemplos. - Ejercicios.
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
una función y el eje “x”; que se localizan arriba del eje de las “x”. una función y el eje “x”; que se localizan abajo del eje de las “x”. una función y el eje “x”; que se localizan arriba y abajo del eje de las “x”. dos funciones y localizadas en cualquier parte de R2. dos ecuaciones y localizadas en cualquier parte de R2.
Clasificación de las áreas: Las áreas para efectos de cálculo se clasifican según sus características y localización, así tenemos: Clasificación
Localización
Tipo I
Áreas limitadas por una función y el eje “x”; que se localizan arriba del eje de las “x”.
Tipo II
Tipo III
Tipo IV
Representación gráfica
Estructuración de la integral
y f (x )
b
A f ( x) dx
A
a
a
b
a
Áreas limitadas por una función y el eje “x”; que se localizan abajo del eje de las “x”.
b
A
a
y f (x )
A A1 A2
y f (x )
Áreas limitadas por una función y el eje “x”; que se localizan arriba y abajo del eje de las “x”.
a
A1
b A2
c
c
a
b
A f ( x) g ( x) dx b
A
a Áreas limitadas por dos ecuaciones y localizadas en cualquier parte de R2.
b
f ( x )dx f ( x) dx
y f (x )
Las áreas limitadas por dos funciones y localizadas en cualquier parte de R2.
a
y g (x )
Tipo V
b
A f ( x)dx
d
c
b A
x g ( y)
A
d c
f ( y ) g ( y) dy
x f ( y)
103
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Cálculo de áreas limitadas por una función y el eje “x”; que se localizan arriba del eje de las “x”. Por definición de la integral definida, se entiende que el valor de la integral de la función y f (x ) para f ( x ) 0 es el área bajo la gráfica de la función entre las rectas
xa
y
x b;
y f (x )
A
entonces podemos concluir:
b
a
A f ( x )dx
b
a
Cálculo de áreas limitadas por una función y el eje “x”; que se localizan abajo del eje de las “x”. Sí para una función
y f (x )
en el intervalo
bajo la gráfica de la función, entonces para
a, b
para
f ( x ) 0 es
el área
f ( x ) 0 podemos inferir que:
b
a A
b
A f ( x) dx
y f (x )
a
Cálculo de áreas limitadas por una función y el eje “x”; que se localizan arriba y abajo del eje de las “x”. De las dos inferencias anteriores podemos concluir la presente fórmula para el cálculo del valor del área, y desde luego podemos hace extensivo el razonamiento para casos similares. Así en el presente caso tenemos: b
c
a
b
A A1 A2 f ( x ) dx f ( x ) dx
y f (x )
a
A1
b A2
c
Cálculo de áreas limitadas por dos funciones y localizadas en cualquier parte de R2. Al analizar la función
y f (x )
en el intervalo
a, b para
bajo la gráfica de la función con signo positivo, y que para
f ( x ) 0 es el área f ( x ) 0 también
es el área pero con signo negativo, ahora podemos inferir una nueva fórmula para el caso de áreas limitadas entre dos ó más gráficas y que desde luego podemos hace extensivo el razonamiento para casos en todo el espacio rectangular.
A
f ( x) g ( x)dx a b
y f (x ) A
y g (x )
a
b
Método; (áreas limitadas por una función y el eje de las “X”): 1) Haga el bosquejo de la gráfica e identifique el área limitada. 2) Identifique la fórmula. 3) Identifique a ; b y f ( x ). Notas: a) De ser necesario obtenga los puntos de intersección entre la gráfica de y f ( x ) y el eje de las “X” b) Para el caso en que el área se localice en la parte superior e inferior del eje “X” también será necesario identificar u obtener el punto c . 4) Formule la integral definida. 5) Calcule el área. Método; (áreas limitadas por dos funciones) 1) Haga el bosquejo de las gráficas e identifique el área limitada. 2) Identifique la fórmula. 3) Identifique a ; b; f ( x ) y g ( x ). Nota: De ser necesario obtenga los puntos de intersección entre las gráficas de y f ( x ) y 4) Formule la integral definida. 5) Calcule el área.
y g (x)
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José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Ejemplos: 1) Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son: y = 2; y = 0; x = 1; y x = 5
x=1
x=5 y=2
A
a 1
y=0
A f ( x) dx b 5 2 dx 2 x 1 2(5) 2(1) 8 a 1 f ( x) 2 b
5
5
Nota: Esta área la podemos corroborar al calcular por geometría el área de un rectángulo que es: A lado x lado ( 4) ( 2) 8 ; sin embargo el cálculo integral se ocupa de problemas mas complejos como lo veremos a continuación. 2) Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
y 1 x2
y
y0 1
b
1 x 2 0 x1 1; x2 1
a
a 1; b 1;
A f ( x) dx
f ( x) 1 x
2
y 1 x2
1 x dx 1
2
A
1
x3 4 x 3 1 3
3) Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
y x;
y 0;
y
b
a
f ( x) x
A f ( x) dx
x4
x4
a 0; b 4
y0
A
4
4 2 x 16 x dx 0 3 3 0 3
y f (x )
4) Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
y x;
y 0;
x 1
b
c
a
b
A A1 A2 f ( x) dx f ( x) dx 0
1
1
0
x dx x dx
yx
x 1
y
0
y0
a 1; b 0; c 1 f ( x) x
A2
x 1
A1
x 1
1
x2 x2 1 2 1 2 0
5) Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son: y = 2; y = 1; x = 1; y x = 5
a 1 5 b b5 5 A f ( x) g ( x)dx 2 1dx x 1 (5) (1) 4 1 a f ( x) 2 g ( x) 1
y=2
A
y=1 x=1
x=5
Nota: Nuevamente insistimos que esta área la podemos corroborar al calcular por geometría el área de un rectángulo que es: A lado x lado ( 4 ) (1) 4 ; sin embargo el cálculo integral se ocupa de problemas mas complejos como lo veremos a continuación.
105
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
6) Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
y x2;
x x x1 0; x2 1
a 0; b 1
2
A f ( x) g ( x) dx b
a
f ( x) x ; g ( x) x 2 7)
Calcular
y 2 x ; 2
y x2
y x
y
el
área
limitada
por
las
gráficas
y 2
y
A f ( x) g ( x) dx b
a
1 0
x x 2 dx
A
1
2 x x 1 3 3 3 0 3
cuyas
3
y x
ecuaciones
son:
4 x dx
y 2 x2
2
(2 x 2 ) (2) dx
2 x 2 2 x1 2; x2 2
2 2
y 2
A
2
2
a 2; b 2
2
x3 32 2 4 x f ( x ) 2 x ; g ( x ) 2 3 2 3
Cálculo de áreas limitadas por dos ecuaciones y localizadas en cualquier parte de R2. Aplicando los conocimientos sobre cálculo de áreas de dos ó más funciones localizadas en cualquier parte de R2 y por paráfrasis matemática podemos inferir que:
A
f ( y ) g ( y) dy c d
d x g ( y)
A
c
x f ( y)
Método; (para una ecuación y el eje “Y”): 1) Haga el bosquejo de la gráfica e identifique el área limitada. 2) Identifique la fórmula. 3) Identifique a ; b; y f ( y ). Nota: De ser necesario obtenga los puntos de intersección entre la gráfica de
x f ( y)
y el eje de las “Y”.
x f ( y)
y de
4) Formule la integral definida. 5) Calcule el área. Método; (para dos ecuaciones): 1) Haga el bosquejo de las gráficas e identifique el área limitada. 2) Identifique la fórmula. 3) Identifique a ; b; f ( y ) y g ( y ). Nota: De ser necesario obtenga los puntos de intersección entre las gráficas de
x g ( y)
4) Formule la integral definida. 5) Calcule el área. Ejemplos: 1) Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
x y 2 2 y;
y
x0 2
d
2 y y 2 0 y 0; y 2
c
c 0; d 2;
A f ( y ) dy
f ( y) 2 y y
y2
2 y y 2 dy 0
2
2
4 y3 y 3 0 3
A
y0
2
106
José Santos Valdez y Cristina Pérez
2)
Calcular
el
x y 2 y; 2
área
por
las
gráficas
cuyas
d
y 2 2 y 0 y1 2; y2 0
c
c 2; d 0;
Calcular
x y 2 2
A
limitada
d c
el
y
área
limitada
2 0
y
2
y0
2 y dy
A
3 f ( y) y 2 2 y y 2 y 4 3 0 3
las
gráficas
c 1; d 2; 2
1
y 2
2
cuyas
ecuaciones
son:
2
y 2 2 y y1 1; y2 2
( y ) ( y 2 2) dy 1
por
son:
x y
f ( y) g ( y) dy 2
ecuaciones
x0
y
A f ( y ) dy
3)
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
A
f ( y ) y; g ( y ) y 2 2
1
2
y3 y 2 y 2 y 2 dy 2 y 4.5 3 2 1
Ejercicios:
Tipo I. Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son: 1)
2)
y=3 y=0 x=0 x=5
y 4 2x
4)
y 4 x2 y0
7)
y0 x4 5)
y0 x0
3)
y x
8)
y3 x
y 1
10)
y 1
11)
y 2 x2 yx
12)
y x2 2
y3 x2
y0 x 8 6)
y 1 x3 x 2 y0
y x
13)
y 4 x2 y x2
y x2
x5 x
9)
y x 1 y 1 x 1
y0 x0
y x2
x4 Tipo II. Calcular el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
1)
x y2 2y x0
2)
x y2 x0 y 2
3)
x y2 2 x0
4)
x y2 x 1
5)
x y2 x2
107
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 4.3 Cálculo de volúmenes. Guía: - Integral para el cálculo del volumen generado por giro de áreas bajo la gráfica de una función. - Integral para el cálculo del volumen generado por áreas entre gráficas de funciones. - Métodos de investigación. - Ejemplos. - Ejercicios. Integral para el cálculo del volumen generado por giro de áreas bajo la gráfica de una función. Sean:
h
2
- R - a , b un intervalo cerrado
h
X
A el área limitada por las gráficas de las funciones y f (x) y 0 definidas en a , b y las gráficas de las ecuaciones x a y x b. - Si giramos el área A alrededor del eje de las X se forma
-
A
y
r
A
a
r
b
un volumen cilíndrico llamado "Sólido de revolución".
A' el área transversal del cilindro en x b - h la altura del cilindro. - r el radio del cilindro en x b . - Si r es constante entonces el cilindro es recto, y su volumen es: V A' h ; -
- Si
r es variable entonces r f (x) ; r 2 ( f ( x)) 2 b
V ( f ( x)) 2 dx a
y
como
A' r 2
V r 2h
b
h b a dx a
Llamado método de los discos.
Método de investigación: 1) 2) 3) 4) 5) 6)
Haga el bosquejo de las gráficas e identifique el área a girar. Haga el bosquejo del volumen generado al girar el área alrededor del eje de las “X”. De ser necesario obtenga los puntos de intersección entre gráficas. Aplique la integral general de cálculo, e identifique sus componentes. Formule la integral específica. Calcule el volumen.
Ejemplos: 1) Calcular el volumen del sólido de revolución, generado al hacer girar alredor del eje de las “X” el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son: y 2; y 0; x 1; y x 3. Paso 1)
Paso 2)
y2
Paso 3) No es necesario. Paso 4); 5) y 6).
V
b
a
x 1
y0 x3
f ( x)
a 1; b 3 2
dx
f ( x) 2
f ( x ) 2 3
4
4 dx 4 x 1
3 1
8
108
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
2) Calcular el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alredor del eje de las “X” el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
x 0
y x;
y 0;
x 4.
y
x1 0.
a 0; b 4
y x
V
b a
f ( x)
2
dx
f ( x) x
f ( x ) 2
y0 x4
4
0
x
4
x 2 16 0 x dx 8 2 0 2 2
Integral para el cálculo del volumen generado por áreas entre gráficas de funciones. En la clase anterior estudiamos el volumen generado al girar el área bajo la gráfica de una función y obtuvimos que para el cálculo del volumen la ecuación era:
h
y f (x)
b
V ( f ( x))2 dx a
A
Sí ahora el área A es limitada por las gráficas de las funciones: y f ( x) y y g ( x) tales que f ( x) g ( x) y por las rectas
b
y g (x)
x a y x b entonces:
a
V ( f ( x)) 2 ( g ( x)) 2 dx a
A'
b
Llamado método de las arandelas. Método de investigación: 1) 2) 3) 4) 5) 6)
Haga el bosquejo de las gráficas e identifique el área a girar. Haga el bosquejo del volumen generado al girar el área alrededor del eje de las “X”. De ser necesario obtenga los puntos de intersección entre gráficas. Aplique la integral general de cálculo, e identifique sus componentes. Formule la integral específica. Calcule el volumen.
Ejemplos: 1) Calcular el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alredor del eje de las “X” el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son: y 5; y 1; x 2; y x 4
a2
y5
b
y 1
V ( f ( x)) 2 ( g ( x)) 2 dx a
b4 f ( x) 5; g ( x) 1;
2
4
f ( x) 2 25 g ( x)2 1
25 1 dx 24 dx 24 x 2 48 4
4
2
2
4
109
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
2) Calcular el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alredor del eje de las “X” el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son: y x; y 1; x 1; y x 4.
yx
a 1; b 4
V ( f ( x)) ( g ( x)) dx a
y 1 x 1
b
2
x4
4
1
2
f ( x) x; ( f ( x)) 2 x 2 g ( x) 1; ( g ( x)) 2 1 4
x3 x 1 dx x 18 3 1
2
3) Calcular el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar el área alredor del eje de las “X” el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son: Paso 1)
y 2 x2;
y
y 1.
Paso 2)
Paso 3)
y 2 x2
2 x2 1 x2 1 x1 1; x2 1
y 1
Pasos 4): 5) y 6)
a 1; b 1;
b
V ( f ( x)) 2 ( g ( x) 2 ) dx a
f ( x)
2
x g ( x) 1
2x
g ( x) 1;
f ( x) 2 x 2 2 2
4
1
( x 4 4 x 2 4) (1) dx 1
4 x2 4
1
x5 4 x3 56 3 x 3 5 1 15
2
Ejercicios: Tipo I. Calcular el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alrededor del eje de las “X”s el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
1)
y 2;
y 0;
x2
y
x 4.
3)
y 4 x2
y
y 0.
2)
y x;
y 0;
x 1 y
x 3.
4)
y 3 x;
y0
y
x 8.
Tipo II. Calcular el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alrededor del eje de las “X”s el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
1)
y 3;
y 1;
x2
2)
y x;
y 1 y
y
x 5.
3)
y x2
y
y x.
x3
110
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 4.4 Cálculo de momentos y centros de masa. Guía: - Conceptos básicos. - Integrales para el cálculo de momentos y centros de masa; de láminas con área bajo la gráfica de una función. - Método de investigación. - Integrales para el cálculo de momentos y centros de masa; de láminas con área entre gráficas de funciones. - Método de investigación. - Ejemplos. - Ejercicios.
Conceptos básicos: Masa: es la cantidad de materia de un cuerpo. Densidad de masa: Es la masa por unidad de volumen.
m
m V
Donde:
m es la densidad de masa en: kg m m3 ; lbm ft 3 ; etc.. m la masa en: kg m ; lbm ; etc.. V
m3 ; ft 3 ; etc.. m m m mV V
el volumen en:
Fórmula para el cálculo de la masa:
Sí
A continuación se presenta una tabla de densidades de masa de los materiales más comunes. Tabla: Densidades de masa Material Acero Aluminio Cobre Hielo
kg m
m
7800 2700 8890 920
3
lbm
ft
3
487 169 555 57
Material Hierro Latón Madera (Roble) Oro
kg m
m
7850 8700 810 19300
" m" . 3
lbm
ft
Material
3
490 540 51 1 204
Plata Plomo Vidrio
Lámina: Es una placa de material con densidad de masa uniforme, cuyo espesor “h” es despreciable con respecto a las dimensiones de la área, y por lo tanto la masa por área es la medida que usaremos; como extensión a este concepto observemos que el manejo comercial para la adquisición de estos materiales se efectúa en
kg / m 2 ; lb / ft 2 ; etc.. ;
es de aclarar, que aunque el
kg
es una
medida de fuerza y no de masa, haremos los cálculos en kilogramos masa
kg m
kg m
m
10500 11300 2600
3
lbm
ft 3
654 705 162
A h
por ser estos mas cercanos a la realidad profesional. Región laminar: Es el área de una lámina localizada en el plano rectangular. Centro de masa laminar: Es el punto de equilibrio de la lámina; entendiéndose este como el punto de apoyo donde tiene su efecto una fuerza hipotética perpendicular a la lámina que la mantiene estable. En realidad es el “centro de área” de la lámina, con la particularidad de que su espesor es despreciable.
111
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Densidad laminar: Es la masa por unidad de área.
l
m A
l
Donde:
kg m ; m2
es la densidad laminar en:
A es el área en: m 2 ;
lb m ; ft 2
m
la masa en:
kg m ; lbm ;
y
ft 2 .
Otra fórmula para el cálculo de la densidad laminar:
m V Ah como : m mV m como : V Ah m m h l m h A A A m Fórmula para el cálculo de la masa: Si l m l A A Sí l
Momentos de masa: Momentos de masa con respecto a un punto: Punto
Definición: Es la masa por la distancia a un punto de referencia. Fórmula del momento de masa con respecto a un punto:
M mx
donde:
m
x
"m"
es la masa y " x" es la distancia. Nota: La definición común de “Momento” relaciona a la fuerza por la distancia, sin embargo el peso de una masa es un tipo de fuerza que es variable por el lugar en que se encuentra con respecto a la atracción de la gravedad, por lo que hemos preferido definir el “Momento de masa” por ser constante. Momento de masa con respecto al eje “Y”: Definición: Es la masa de la región laminar por la distancia horizontal entre el centro de masa laminar y el eje de las “Y”.
M y mx
c.m.
x
Fórmula del momento de masa con respecto al eje “Y”; b b como : l A x como : A f ( x) dx l x f ( x) dx a a m l A
a
b
Momento de masa con respecto al eje “X”: Definición: Es la masa de la región laminar por la distancia vertical entre el centro de masa laminar y el eje de las “X”.
c.m.
Fórmula del momento de masa con respecto al eje “Y”;
M
x
my
como : m l A
A l A y
b a
y
f ( x ) dx
f (x) y 2
l 2
a
f ( x ) dx b
2
b
a
Centro de masa: Definición: Es el centro del área de la región laminar. Fórmula del centro de masa:
c .m . x , y
Sí
M
y
mx
Sí
M
x
my
x
M
y
m Mx y m
x
My Mx , m m
c.m. y
a
b 112
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Integrales para el cálculo de momentos y centros de masa; de láminas con área bajo la gráfica de una función.
R 2 un plano cartesiano. a, b un intervalo cerrado en el eje “X”. f la gráfica de una función y f (x) continua en a, b A el área de una región laminar de espesor "h" área bajo la gráfica
y f (x)
b
A f ( x) dx
en m
l m h m l A
en
A
xa
de una función, y limitada por gráficas cuyas ecuaciones son: y f ( x); y 0; x a; y x b; entonces:
xb
a
b
es el área.
2
a
kg m m2
es la densidad laminar. es la masa.
en
kg m kg m . m
es el momento laminar con respecto al eje
Y.
2
en
kg m . m
es el momento laminar con respecto al eje
X
en
m, m
es el centro de masa.
en b
M y l x f ( x) dx a
Mx l 2
f ( x) dx b
a
M Mx c .m . y , m m
.
Observación: Como el Momento y la Masa contienen en su estructura formular la densidad laminar y dentro de esta a la densidad de masa y al tratarse de un cociente estas se eliminan por lo que al centro de masa también es conocido con el nombre de “centroide”. Método de investigación: 1) 2) 3) 4)
Haga el bosquejo del área. De ser necesario obtenga los puntos de intersección. Aplique las integrales generales de cálculo, e identifique sus componentes. Formule las integrales específicas y proceda a su cálculo.
Ejemplos: Ejemplo 1.- Dada la lámina de aluminio de 10 mm de espesor y área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son: y 2; x 1; x 4 y el eje de las X ; con medidas en metros; Calcular: a ) El área; b) La densidad laminar;
c) La masa; d )
f)
El centro de masa.
a)
A f ( x) dx
b
a
b) l m h
c) m l A
El momentos con respecto al eje
"Y " ; e)
El momentos con respecto al eje
4 a 1; b 4 4 2 dx 2 x 1 6.0 m 2 1 f ( x) 2
m 2700 kgm h 10 mm
1m 1000 mm
l 27.00 kgm A 6.0 m 2
m 3
m 2
0.01m
(2700)(0.01) 27.00
" X ";
y
x4 x 1 y2
kg m m2
A
(27.00)(6.0) 162.00 kg m
113
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
b
4
4
d ) M y l x f ( x) dx (27) x (2) dx 27 2 x dx 27 x 2 a
1
1
4
1
405 kg m . m
l b (27) 4 2 27 4 2 4 2 dx f ( x) dx 4 dx 54 x 1 162.00 kg m . m 1 a 1 2 2 2 M M 405 162 f ) c.m. y , x , 2.5, 1 (m, m) m m 162 162
e) M x
1
Es de observarse que a primera vista del rectángulo, el centro de masa se ubica en ( 2.5, 1)
c.m.
2.5 Ejemplo 2.- Dada la lámina de latón de 6.0 mm de espesor y área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
y 2 x 2 y y 0 (el eje de las X), con medidas en metros; calcular: a ) El área; b) La densidad laminar; c) La masa; d ) El momentos con respecto al eje "Y " ; e) El momentos con respecto al eje " X " ; y f ) El centro de masa.
a)
2 x 2 0; x1 2 ; x2 2
b
2
A f ( x) dx a 2 ; b 2 a
f ( x) 2 x
b) l m h
m 8700 kgm h 6.0 mm
m 3
1m 1000 mm
l 52.200 kgm
c) m l A
8 2 2 A m 3
m 2
b
2
a
2
(52.20) a f ( x) dx 2 b
2
2
2
2
(8700)(0.006) 52.20
8 2 2 m 3
A 2
2
kg m m2
8 2 196.85 kg m (52.20) 3
d ) M y l x f ( x) dx (52.20)
e) M x l 2
2 x dx
x3 2x 3
2
0.006 m
2
x 4 x (2 x ) dx 52.20 x 2 4
2
0.00 kg m . m
2
2 2
2 x
2 2
2
52.20 x 5 4 x 3 dx 4 x 2 5 3
2
157.48 kg m . m 2
M M 0 157.48 f ) c.m. y , x , 0, 0.8 (m, m) m m 196.85 196.85 Integrales para el cálculo de momentos y centros de masa; de láminas con área entre gráficas de funciones: En la sección anterior estudiamos los momentos y centros de masa para láminas con área bajo la gráfica de una función, y mostramos para el cálculo las ecuaciones correspondientes al área, la densidad laminar, la masa, los momentos y el centro de masa; Ahora consideraremos el área " A" circunscrita por dos funciones y limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son: y f (x ) ; y g (x ) ; x a ; y x b f ( x ) g ( x ) Entonces por paráfrasis matemática obtenemos las siguientes fórmulas
y f (x) A y g (x)
a
b 114
José Santos Valdez y Cristina Pérez
A
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
f ( x) g ( x) dx a b
en m
es el área.
2
l m h
en
m l A
en
kg m m2 kg m
en
kg m . m
es el momento laminar con respecto al eje
Y.
en
kg m . m
es el momento laminar con respecto al eje
X
en
m, m
es el centro de masa.
M y l x f ( x) g ( x) dx b
es la densidad laminar. es la masa.
a
Mx
l 2
( f ( x)) b
a
2
( g ( x)) 2 dx
M Mx c .m . y , m m
.
Método de investigación: 1.- Haga el bosquejo del área entre las gráficas. 2.- Aplique las integrales generales de cálculo, e identifique sus componentes. 3.- Formule las integrales específicas y proceda a su cálculo. Ejemplos: 1) Dada la lámina de cobre de 3.0 mm de espesor y el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son: y 3; y 1; x 2; y x 5; con medidas en metros; Calcular: a ) El área; b) La densidad laminar; c) La masa;
d)
El momentos con respecto al eje
"Y " ; e)
El momentos con respecto al eje
" X ";
y
f)
El centro
de masa.
a)
b)
A f ( x) g ( x) dx b
a
m 8890
l mh
h 3.0 mm
5
5
2
f ( x) 3; g ( x) 1 2 x 6.0 m 2
m3
1m 1000 mm
A 6.0 m 2
m 2
0.003 m
(8890 )( 0.003 ) 26 .67
A kg m m2
b
5
a
2
b
a
x2
y 1 x5
(26.67)6.0 160.02 kg m
d ) M y l x f ( x) g ( x) dx (26.67) x (3 1) dx 26.67 x 2
e) M x l 2
y 3
2
5 2
kg m
l 26.67 kgm
c) m l A
3 1 dx 2 dx
a 2; b 5
5 2
560.07 kg m . m 5
(26.67) 5 2 26.67 ( f ( x)) ( g ( x) dx (3) (1) 2 dx 8 x 320.04 kg m . m 2 2 2 2 2
2
M M 560.07 320.04 f ) c.m. y , x , 3.5, 5.2 (m, m) m m 160.02 160.02
Es de observarse que a primera vista del rectángulo, el centro de masa se ubica en (3.5, 2)
2
c.m.
3 .5 115
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Ejemplo 2.- Dada la lámina de plata de 2mm de espesor y el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
y x; y y x 2 .
con medidas en metros; Calcular:
El momentos con respecto al eje
a)
b)
"Y " ; e)
a)
1
0
m 10500
kg m m3
h 2.0 mm
1m 1000 mm
l 21.00 kgm
c) m l A
A 16 m
2
m 2
0.002 m
yx
x2 x3 1 m2 2 3 0 6
A
y x2
kg m m2
1
1
a
0
x3 x4 x ( x x ) dx 21.00 1.75 kg m . m 4 0 3 2
1
(21.00) 1 21.00 x 3 x 5 2 2 2 1.4 kg m . m ( f ( x)) ( g ( x) dx ( x ) ( x ) dx 2 0 2 3 5 0
a
El centro de masa.
(10500 )( 0.002 ) 21 .00
b
b
f)
y
1 (21.00) 3.50 kg m 6
d ) M y l x f ( x) g ( x) dx (21.00)
e) M x l 2
" X ";
c) La masa; d )
1
f ( x) x; g ( x) x 2
l mh
La densidad laminar;
x x 2 dx
A f ( x) g ( x) dx x2 1 a 0; b 1 a
b)
El momentos con respecto al eje
Sí x x 2 x1 0;
b
El área;
2
2
M M 1.75 1.4 f ) c.m. y , x , 0.5, 0.4 (m, m) m m 3.50 3.50 Ejercicios: Tipo I. Dado el material y espesor de la lámina y las ecuaciones de las gráficas del área limitada con medidas en metros; Calcular: a ) El área; b) La densidad laminar; c) La masa; d ) El momentos con respecto al eje "Y " ;
e)
El momentos con respecto al eje
" X ";
y
f)
El centro de masa.
2) Lámina de vidrio; espesor 6.0 mm; gráficas del área limitada
y 2; y 0; x 0 y x 2 y 2; y 0; x 2 y x 4
3) Lámina de cobre; espesor 5.0 mm; gráficas del área limitada
y 4 x2; y y 0 .
1) Lámina de acero; espesor 3.0 mm; gráficas del área limitada
4) Lámina de oro; espesor 2.0 mm; gráficas del área limitada
y x ; y 0;
x4
y
Tipo II. Dado el material y espesor de la lámina y las ecuaciones de las gráficas del área limitada, con medidas en metros; Calcular: a ) El área; b) La densidad laminar; c) La masa; d ) El momentos con respecto al eje "Y " ;
e)
El momentos con respecto al eje
" X ";
y
f)
El centro de masa.
2) Lámina de hierro; espesor 3.0 mm; gráficas del área limitada
y 2; y 1; x 1 y x 1 y 4; y 2; x 3 y x 5
3) Lámina de cobre; espesor 4.0 mm; gráficas del área limitada
y 4 x2; y y 0 .
1) Lámina de roble; espesor 12.0 mm; gráficas del área limitada
4) Lámina de oro; espesor 1.0 mm; gráficas del área limitada
y x ; y 1;
y
x4 116
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 4.5 Cálculo del trabajo. Guía: - Trabajo realizado por desplazamiento de cuerpos. - Integral para el cálculo del trabajo realizado por desplazamiento de cuerpos. - Trabajo realizado por un resorte elástico - Integral para el cálculo del trabajo realizado por un resorte elástico. - Trabajo realizado por presión en los gases. - Integral para el cálculo del trabajo realizado por presión en los gases.
- Ejemplos. - Ejercicios.
Trabajo realizado por desplazamiento de cuerpos: Conceptos básicos: Trabajo realizado por fuerza constante: Es el producto de la fuerza aplicada constantemente a un cuerpo por la distancia de su desplazamiento.
W Fd
Donde:
d
F
W es el trabajo en kg f .m .
F
F es la fuerza en kilogramos " kg f " d es la distancia en metros "m" entre " a" y " b" .
c
a
b
Trabajo realizado por fuerza variable: Es el producto de la fuerza variable aplicada a un cuerpo por la distancia de su desplazamiento. Integral para el cálculo del trabajo realizado por desplazamiento de cuerpos.
W Fd
como F es var iable F f ( x)
b
b
y d b a dx
f ( x) dx a
b
W f ( x) dx a
a
d
Y por paráfrasis matemática también:
W f ( y ) dy c
Nota: Para efectos de aprendizaje, durante el proceso de cálculo omitiremos las unidades y hasta el final las mismas serán especificadas. Ejemplo 1) Movimiento de cuerpos por fuerza constante. Calcular el trabajo realizado para deslizar un cuerpo sobre el piso, desde una posición x 1m a otra posición x 4 m si se le ha aplicado una fuerza constante de 10kg . Por ser de fuerza constante:
W Fd
10kg 1
4
F 10 (10) (3) 30 kg f .m d 4 1 3
y aplicando la integral del trabajo veremos que el resultado es el mismo:
W
b a
4 a 1; b 4 4 f ( x) dx 10 dx 10 x 1 30 kg f . m 1 f ( x) 10
f ( x) 10
1
4 117
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Ejemplo 2) Movimiento de cuerpos por fuerza variable.
y x
Cuanto trabajo se efectúa al mover un cuerpo si al cual se le ha aplicado un
x kg f
fuerza variable de comportamiento igual a
x 1m a otra
entre una distancia
x 4m.
1
a 1; b 4
b
W f ( x) dx
f ( x) x
a
4
4
4
1
2 x3 14 x dx kg f . m 3 3 1
Observación: El ejemplo anterior al parecer es relativamente sencillo, sin embargo en la aplicación práctica los problemas no resultan ser así, ya que estos requieren de otras áreas del conocimiento un tanto ajenas al cálculo, llámense estos conocimientos de la física, de la química, etc., donde se hace necesario estructurar sus propias integrales partiendo siempre de la fórmula fundamental
b
W f ( x) dx a
Trabajo realizado por un resorte elástico. Conceptos básicos: Deformación.- Son los cambios relativos de las dimensiones de los cuerpos por fuerzas que operan sobre los mismos. Esfuerzo.- Es la capacidad de resistencia a la deformación que tienen los cuerpos
E
F . A
Elasticidad.- Es la capacidad que tienen los cuerpos de recuperar su forma original cuando han sido deformados. Análisis del gráfico de elasticidad: Experimento: Sí a un cuerpo se le aplica una fuerza creciente tal, que al final se rompe, se puede observar su comportamiento en el gráfico Deformación-Esfuerzo.
Curva
Esfuerzo Recta
Resistencia final.- Es el esfuerzo máximo que un cuerpo puede soportar antes de romperse.
Zona de deformación permanente.
Límite elástico.- Es el esfuerzo máximo que un cuerpo puede soportar y recuperar su forma original. Zona de deformación proporcional y recuperable.
Deformación
Deformación Conclusión (Llamada Ley de Hooke).- Dentro del límite elástico, el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación.
"F " es
Paráfrasis de la ley de Hooke.- Dentro del límite elástico y para áreas transversales contantes, la fuerza directamente proporcional a la distancia de estiramiento " x" , o sea:
Cuando
F x
F kx k
F x
Donde:
k
es la constante de proporcionalidad en
kg
f
m
F es la fuerza en " kg f " . x es la distancia de estiramiento en metros "m" . 118
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Extensión de la paráfrasis de la ley de Hooke.- Dentro del límite elástico y para áreas transversales contantes, la fuerza variable es directamente proporcional a la variable de la distancia de estiramiento.
f ( x) k x
Donde:
f
f (x) es la función. k es la constante de proporcionalidad. x es la variable de estiramiento.
ykx
x
Integral para el cálculo del trabajo realizado por un resorte elástico: b
b
b
a
a
a
Sí W f ( x) dx f ( x) kx k x dx W k x dx Ejemplo: Para estirar un resorte de 10 cm de longitud inicial a una longitud final de 15 cm se requieren de 20 kilogramos de fuerza; Calcular: a) La constante de proporcionalidad del resorte. b) El trabajo realizado durante el estiramiento de 10 cm a 15 cm. c) El trabajo realizado durante el estiramiento de 12 cm a 15 cm. d) Cuál sería el trabajo realizado si el resorte después de los 15cm se estiraría 5 cm más?.
20kg
F 20 kg f kg F 20 a) k 400 f x m 0.05 x 15 10 5 cm 0.05m
0 kg f
b
k 400
a
a 0.0m; b 0.05m
b
k 400kg f / m
a
a 0.02m; b 0.05m
b) W k x dx
c) W k x dx
m
kg f
b
k 400
a
a 0.05m; b 0.10m
d ) W k x dx
m
400
0.05
x dx 200 x 2
0.0
400
0.05
0.02
400
x dx 200 x 2
0.10 0.05
0.05 0.00
x dx 200 x 2
0.5 kg f .m
0.05 0.02
5
0.10 0.05
0.42 kg f .m 1.5 kg f .m
Trabajo realizado por presión en los gases: Conceptos básicos: Presión: Es la fuerza aplicada a un cuerpo por unidad de área.
p
F A
F
Ley de los gases: La presión es inversamente proporcional al volumen.
Cuando Donde:
p
1 v
1 k p k k pv v v
vi A
k es la constante de proporcionalidad. kg p es la presión en m 2f
v
es el volumen correspondiente a una presión en
vf
p
f ( x)
k v
v
m3 . 119
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Paráfrasis de la ley de los gases: Para áreas constantes, la fuerza variable es inversamente proporcional al volumen.
Cuando
f ( x)
Donde:
k 1 f ( x) v v
k
v
es la constante de proporcionalidad en es la variable del volumen en
m
3
kg f . m
.
Integral para el cálculo del trabajo realizado por presión en los gases: b
Sí W f ( x) dx a
a vi ; b v f
k
k f ( x) V
vf vi
vf 1 1 dv W k dv v i V V
Ejemplo: Calcular el trabajo realizado por un gas con volumen inicial de
W k
vf vi
1 dv v
k pv
kg
kg
12000 m 2f
si se
f
m2
v 0 .1 m 3
vi 0 . 1 m 3 ;
presión de
0.2m 3 .
expande hasta ocupar un volumen final de
p 12000
0.1m 3 y
1200 kg f . m
1200
0.2 0 .1
v f 0 .2 m 3
1 0 .2 dv 1200 ln v 0.1 831 .77 kg f . m v
Ejercicios: Tipo I. Calcular el trabajo según las indicaciones que se establezcan: 1) Calcular el trabajo realizado para levantar verticalmente un cuerpo sobre el piso, desde una posición
y 0 .0 m
a otra posición
y 5.0 m
si se le ha aplicado una fuerza constante de 20kg f
.
2) Cuanto trabajo se efectúa al mover un cuerpo si al cual se le ha aplicado un fuerza variable de comportamiento igual a
4 x 2 kg f
entre una distancia
x 1m
y
x 2m.
3) Calcular el trabajo realizado al comprimir un resorte de longitud inicial de 1000 lb f , y la longitud final fue de
la fuerza aplicada es
10 pu lg .
4) Calcular el trabajo realizado por un gas con volumen inicial de hasta ocupar un volumen final de
20 pu lg , si
10 ft 3
y presión de 100 lb/ft2 si se comprime
5 ft 3 .
120
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Evaluaciones tipo: Unidad 4.
EXAMEN
Número de lista:
Cálculo Integral
Unidad: 4 Clave: Evaluación tipo 1
y x2
1) Calcular la longitud de la recta: entre el intervalo
x 2
Indicadores a evaluar: a) Bosquejo de la gráfica. b) Estructuración de la integral. c) Resultado.
x3
y
2) Calcular el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar alrededor del eje de las “X” el área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
y 4 x2
y
f
entre una distancia inicial
una distancia final
Indicadores a evaluar: a) Bosquejo de la gráfica. b) Estructuración de la integral. c) Resultado.
Valor: 40 puntos.
Indicadores a evaluar: a) Bosquejo de la gráfica. b) Estructuración de la integral. c) Resultado.
Valor: 30 puntos.
y 0.
3) Calcular el trabajo realizado al mover un cuerpo con fuerza variable de comportamiento igual a
2 kg 3x
Valor: 30 puntos.
x 2 m
y
x 5m.
EXAMEN Cálculo Integral
Número de lista: Unidad: 4 Clave: Evaluación tipo 2
1) Calcular la longitud de la curva: entre el intervalo
x 2
y
y 1
x2
x2 4
2) Dada la lámina de cobre de 10 mm de espesor y área limitada por las gráficas cuyas ecuaciones son:
y 1 x2
y
y 0;
con medidas en metros.
Calcular: a) A ?
(el área).
b)
(la densidad laminar).
l ? c) m ? d) M y ? e)
f)
Mx ? c.m. ?
Indicadores a evaluar: a) Bosquejo de la gráfica. b) Estructuración de la integral. c) Resultado.
Indicadores a evaluar: a) Bosquejo de la gráfica. b) Estructuración de las integrales. c) Resultado.
Valor: 40 puntos.
Valor: 60 puntos.
(la masa). (el momento con respecto al eje “Y”). (el momento con respecto al eje “X”). (el centro de masa).
121
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Formulario de aplicaciones de la integral: Unidad 4.
Integrales para el cálculo de la longitud de curvas:
1 f ( x) dx
b
Con respecto al Eje “X”:
L
Con respecto al Eje “Y”:
L
Cálculo de áreas bajo la gráfica:
A f ( x)dx
Cálculo de áreas entre gráficas:
A f ( x) g ( x) dx
Cálculo de áreas entre gráficas que no son funciones:
A
2
a
1 f ( y ) dy
b
2
a
b
Integrales para el cálculo de áreas:
Integrales para el cálculo de volúmenes:
a b a
Cálculo de volúmenes generados al girar áreas bajo una gráficas:
d c
f ( y) g ( y) dy b
V ( f ( x))2 dx a
Cálculo de volúmenes generados al girar áreas entre gráficas:
b
V ( f ( x)) 2 ( g ( x)) 2 dx a
Integrales para el cálculo de momentos y centros de masa; de láminas con área bajo la gráfica de una función: b
b
M y l x f ( x) dx
A f ( x)dx
es el área
l m h
es la densidad laminar
m l A
es la masa
a
es el momento con respecto al eje
Y
es el momento con respecto al eje
X
a
l b 2 f ( x) dx 2 a M M c.m. y , x m m Mx
es el centro de masa
Integrales para el cálculo de momentos y centros de masa; de láminas con área entre gráficas de funciones:
M y l x f ( x) g ( x) dx b
l m h
es la densidad laminar
f ( x) g ( x)dx a
A
b
m l A
es la masa.
es el área
es el momento con respecto al eje
a
Mx
l 2
( f ( x)) b
2
a
M M c.m. y , x m m
( g ( x))2 dx
Trabajo realizado por fuerza variable: Trabajo realizado por un resorte elástico: Trabajo realizado por presión en los gases:
X
es el centro de masa b
Integrales para el cálculo del trabajo:
es el momento con el eje
Y
W f ( x) dx a
b
W k x dx a
W k
vf vi
1 dv v
W
d c
f ( y ) dy
F x k pv
k
122
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
La pareja ideal de la verdad, es la matemática, porque ambas contienen inferencias que conducen al conocimiento exacto de la existencia humana. José Santos Valdez Pérez Lo mejor de la educación orientada a competencias, es haber dejado atrás la percepción incompleta de la enseñanza centrada en el aprendizaje. José Santos Valdez Pérez
UNIDAD 5. INTEGRACIÓN POR SERIES. Clases: 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7
Definición, clasificación y tipos de series. Generación del enésimo término de una serie. Convergencia de series. Intervalo y radio de convergencia de series de potencias. Derivación e integración indefinida de series de potencia. Integración definida de funciones por series de potencia. Integración definida de funciones por series de Maclaurin y series de Taylor.
- Evaluaciones tipo. - Formulario de integración por series.
123
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 5.1 Definición, clasificación y tipos de series. Guía: - Definición de una sucesión. - Definición de una serie. - Clasificación de las series. - Cálculo de los términos de una serie. - Tipos de series.
- Ejemplos. - Ejercicios.
Definición de una sucesión. Es un listado de números que obedecen a una regla de orden. Ejemplos:
n2 n Z 2) 1, 2, 6, 24 es un listado de números que obedece la regla de orden n ! n Z 4 3) 1, x, x 2 , x 3 , es un listado de números (variable) que obedece la regla de orden x n n 0 Z
1) 1, 4, 9, 16,
es un listado de números que obedece la regla de orden
an nk
Notación:
n
1)
Ejemplos:
a k a k 1 a k 2 a k 3
2 n 1
1, 4, 9, 16,
2)
n ! 4n1 1, 2, 6, 24.
3)
x n
n 0
1, x, x 2 , x 3 ,
Definición de una serie. Es la sumatoria del listado de números de una sucesión. Ejemplos:
1) 1 4 9 16 2) 1 2 6 24
es la sumatoria del listado de números de la sucesión es la sumatoria del listado de números de la sucesión
3) 1 x x x 2
3
es la sumatoria del listado de números de la sucesión
1, 4, 9, 16, 1, 2, 6, 24 .
1, x, x 2 , x 3 ,
Clasificación de las series. Sí el listado de números es ilimitado la serie es infinita;
Ejemplo:
Sí el listado de números es limitado la serie es finita;
Ejemplo:
1 4 6 16 1 2 6 24.
Para el propósito de nuestro estudio, a partir de aquí y a menos que otra cosa se indique, siempre nos estaremos refiriendo a las series infinitas.
a
Notación:
nk
Donde:
n k
n
a k a k 1 a k 2 a k 3
Es cualquier número entero positivo ó el cero. Es el valor de
n
en que inicia la serie; donde
n 0 y n Z .
Es el símbolo de la sumatoria de
an
Es la fórmula del enésimo término ó simplemente enésimo término de la serie y representa la regla de orden.
nk
an
desde
nk
hasta
.
124
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
a nk
Es la abreviatura de la sumatoria de los términos de la serie.
n
ak , ak 1 , ak 2 , ak 3 , ...
Son lo términos de la serie y a menos que otra cosa se indique la serie se presentará con los primeros 4 términos.
ak ak 1
Es el primer término de la serie.
ak 2
Es el tercer término de la serie.
...
Nos indican continuidad de la serie.
Es el segundo término de la serie.
Para el propósito de nuestro estudio diremos que una serie es completa, si esta representada por la sumatoria del enésimo término y los primeros cuatro términos no nulos. Ejemplo:
En la serie
1
1
1
1
1
n 1 2 3 4 n 1
Solución: a)
Identificar: a) Los términos de la serie. c) El segundo término. d) El término
b) El valor de
ak 2
k.
e) El enésimo término.
f) La abreviatura de la sumatoria de los términos de la serie. g) La serie completa.
1 1 1 1 , , , , 1 2 3 4 f)
b) k 1 ;
1
n
g)
n 1
1 1 ; d ) ak 2 2 3 1 1 1 1 1 n 1 2 3 4 c)
n 1
e ) an
1 n
Cálculo de los términos de una serie. Cuando una serie se expresa únicamente por la fórmula del enésimo término, y se hace necesario calcular los términos de la serie, se parte de la siguiente afirmación: La fórmula del enésimo término de una serie, es la fórmula matemática que obedece la siguiente regla: “Para cualquier valor de n el resultado nos muestra el valor del enésimo término”. Nota: Con el propósito de realizar procesos inversos, y a menos que otra cosa se indique; cuando los términos de las series se presentan en cocientes, se tiene que respetar cada elemento del cociente no haciendo las operaciones de división. Para fortalecer el concepto anterior obsérvese que en los términos de la serie: 0
n 1
1 n
11 12 13 14 se presenta el término
1 1
sin haberse realizado la operación de división que sería uno.
Método de investigación para el cálculo de los términos de una serie: 1) Sustituya los valores de no nulos.
"k "
en la fórmula del enésimo término hasta obtener los primeros cuatro términos
Ejemplo 1.- Calcular los términos de la serie;
n0
n 0
n n 1
n 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 n 1 0 1 11 2 1 3 1 4 1 1 2 3 4 5 125
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
n 1 n 1 1 2 3 4 1 2 3 4 n 1 2 3 4 n 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 3 7 15
2
Ejemplo 2.- Calcular los términos de la serie;
n 1
xn n!
Ejemplo 3.- Calcular los términos de la serie;
n 0
n 0
x x x x x x 2 x3 1 x x2 x3 1 x n! 0! 1! 2! 3! 1 1 2! 3! 2! 3! n
0
1
2
n
3
Observe que en las series que contienen variables, sí se realizan las operaciones las operaciones de
n 0
n0
3 ( 1) x (2n) !
2n
x 1
y además no se efectúan
3 (1) n x 2 n ( 2n ) !
n
y
2! y 3! .
Ejemplo 4.- Calcular los términos de la serie;
1 1
3( 1) x ( 2 ( 0 )) ! (0)
2(0)
3 ( 1) x ( 2 (1)) ! (1 )
2 (1 )
3 ( 1) ( 2 ) x 2 ( 2 ) 3 ( 1) ( 3 ) x 2 ( 3 ) 3 3x 2 3x 4 x 6 ( 2 ( 2 )) ! ( 2 (3 )) ! 1 2! 4! 6!
Nota: Habrá ocasiones donde sea conveniente evaluar por separado cada uno de los términos de la serie, y al final representar la serie completa.
Ejemplo 5.- Calcular los términos de la serie;
1 (1)
n
n 1
a1 1 (1) 1 (1) 0 a3 1 (1) 3 1 (1) 0
a 2 1 (1) 2 1 (1) 2 a 4 1 (1) 4 1 (1) 2
1
1 (1) 0 2 0 2 n
n 1
f
Ejemplo 6.- Calcular los términos de la serie;
n 1
Paso 1)
f n 1 f n 2
n 3
y
f 1 1; f 2 1
a1 f 1 1 f1 1 ; a2 f 2 1 ; a 3 f 3 f 31 f 3 2 f 2 f 1 1 1 2 ; a 4 f 4 f 4 1 f 4 2 f 3 f 2 2 1 3 a 5 f 5 f 51 f 5 2 f 4 f 3 3 2 5
Paso 2)
n
f n 1
n
f n 1 f n 2
n 3
y
f1 1; f 2 1 1 1 2 3 5
Nota: En el análisis del listado de los términos de la serie se observa, que cada término es la suma de sus dos antecesores (al listado de términos de la serie, se le llama Sucesión de Fibonacci).
126
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Tipos de series: Tipo
Caracterización
p-serie
Familia de series que presentan la forma:
1 np
n k
Armónica
Ejemplo
p0
1
n n 1
Serie del tipo p-serie donde
p 1 , de tal
forma que su estructura final queda:
1
n
2
1 1 1 1 1 4 9 16
1
1
1
1
1
3
3
n 1 2 3 4 n 1
nk
Armónica general
Familia de series que presentan la forma:
1 an b
nk
Alternantes
Familia de series que presentan sus términos alternativamente en positivos y negativos:
Familia de series que presentan la forma:
(a nk
n
n 1
n 1
a n1 )
Familia de series que presentan la forma:
ar
n
a 0 y r R
n 0
a
3
3
n 1
Geométricas
3
(1) n 1 1 1 1 1 n 1 2 3 4
a n (1) n1
n k
Telescópicas:
a0
2n 1 1 3 5 7
"r" se le llama la “razón de la serie” .
1 1 1 1 1 1 2 (n 1) 2 1 4 4 9 n 1 1 1 1 9 16 16 25 1
2 n 0
n
1 1 1 1 1 2 4 8
Observe que:
1 1 1 n 2 2 a 1 y
n
r
1 2
De potencias
familia de series que presentan la forma:
a n 0
n
xn
donde
x
es una variable.
xn 1 x x2 x3 0! 1! 2! 3! n 0 n ! 1 x x2 x3 1 1 2 6 127
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
x 1 , se tendría lo siguiente: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.5 0.1666... 0.04166... 2.718... e 2 6 24 0! 1! 2! 3! 4! n0 n!
Nota: Para el caso especial donde
De potencias centrada en c
Es una familia de series de potencia que presentan la forma:
a n 0
n
( x c) n
n 0
( x 2) n 1 x 2 ( x 2) 2 n! 0! 1! 2! 1 x 2 ( x 2) 2 1 1 2
donde “c” es una
constante.
Ejercicios: Tipo I. En las siguientes series, identificar: a) Los términos de la serie; b) El valor de
k;
c) El segundo término; d) El término
ak 2 ;
e) El enésimo término; y f) La abreviatura de la sumatoria de los términos de la serie.
1)
2n 2 4 6 8
3)
n 1
2)
n 1
n 1 1 3 5 7
4)
n 1
n
2n 2 4 8 16 2n 1 1 3 5 7 2n 1 1 3 7 15 2n 2 4 8 16
Tipo II. Calcular los términos de las siguientes series:
1)
4)
n
n 1
2)
3)
n 1
n0
1
2n
1 n!
5)
n 1
n 1
6)
n 1
n 1 n2 n sen 3
n2 n 1
3 n 1 n 2 ln n 2 8) n 1 n 1 7)
9)
n
e n 1
n
10)
n
n 1
11) 12)
(1) 2 n x n n2 n 0
n 0
2 (1) n x 2 n 1 n!
Tipo III. Dar al menos tres ejemplos de los siguientes tipos de series: 1) Series p-serie. 2) Armónica general. 3) Series alternantes. 4) Series telescópicas. 5) Series geométricas. 6) Series de potencias. 7) Series de potencias centrada en c.
128
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase; 5.2 Generación de la fórmula del enésimo término de una serie. Guía: - Estructuras típicas de fórmulas de enésimos términos. - Enésimos términos elementales. - Operador de alternancia. - Tabla: Estructuras típicas de fórmulas de enésimos términos. - Generación de la fórmula del enésimo término.
- Ejemplos. - Ejercicios.
Estructuras típicas de fórmulas de enésimos términos: Son estructuras genéricas de las series, que se transforman en fórmulas de enésimos términos al asignarles los valores específicos a cada una de sus componentes.
an n p q
Ejemplo: Sea
la estructura típica del enésimo término de una serie; Obtener la fórmula del enésimo término para
an n
Solución:
(2)
(1) n 1 2
p2
y q 1:
la fórmula del enésimo término es:
an n 2 1
Enésimos términos elementales: Son estructuras típicas que contienen
" p" ó " n"
siendo
" p"
una constante y se caracterizan porque al
observar los términos de las series, directamente se presenta la fórmula del enésimo término. Ejemplo:
1 2 3 4
Para
an n
k 1
Operador de alternancia: Es la estructura típica del enésimo término
(1) n p que presenta una serie alternante.
Ejemplo: Obtener la serie completa cuya fórmula del enésimo términos es;
n 1
(1) n n 1
Solución:
n 1
( 1) n 1 : n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 1 2 3 4
Tabla: Estructuras típicas de fórmulas de enésimos términos. A continuación se presenta una tabla de las estructuras típicas de fórmulas mas comunes, y que a la vez son punto de partida en el aprendizaje para generar fórmulas de enésimos términos de series mas complejas. Tabla: Estructuras típicas de fórmulas de enésimos términos. Para:
Enésimos términos elementales Ejemplo: pón
n, p, q 0 y Z
Estructuras típicas de enésimos términos Para:
nyp 1) a n pn
Para:
n, p y q 1) a n pn q
2) an n p
2) an pn q
1) a n p 2) a n p
an 2 2 2 2 a n 2 2 2 2
3) a n n
an 1 2 3 4
Para
k 1
3) an p n
3) an n p q
4) a n n !
an 1 1 2 6
Para
k 0
4) an n p
4) an n p q
5) a n n n
a n 1 4 27 256
Para
k 1
5) an n p
5) an p n q
6) a n (1) n
an 1 1 1 1
Para
k 0
6) a n p n
6) an p n q 129
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Generación de la fórmula del enésimo término: Cuando una serie se expresa únicamente por sus términos, se supone que los términos subsecuentes (indicados por los tres puntos ) obedecen a la regla de orden implícita en los términos que sí están presentes. Es aquí donde se hace necesario generar la fórmula del enésimo término por lo que se ofrece el siguiente método. Método de investigación para la generación del enésimo término: 1) Analizar cada estructura típica de enésimos términos de cuerdo a la “Tabla: Prueba de estructuras típicas” que se presenta, hasta encontrar la estructura que cumpla con todos y cada uno de los términos de la serie. Notas: a) Esto no necesariamente implica que siempre se deban de probar en determinado orden todas las estructuras hasta encontrar la que estamos buscando, sino que una ves que se domina el método se pueden hacer saltos de estructuras típicas de acuerdo a la intuición de cada estudiante. b) Cocientes, múltiplos, potencias y operadores de alternancia se analizan por separado. Ejemplo 1)
1 2 3 4 1 2 6 24
Se analizan por separado las series:
Ejemplo 2)
2 x 4 x 2 6 x 3 8x 4
Se analizan por separado las series:
1 2 3 4 y 1 2 6 24 2 4 6 8 y 1 2 3 4
2) Identificar la fórmula de la estructura típica del enésimo término. 3) Generar la fórmula del enésimo término. 4) Estructurar la serie completa (con el enésimo término incluido). Tabla: Prueba de estructuras típicas. Valo a k a k 1 a k 2 a k 3 para k ? Estructura res típica nk n k 1 nk2 p q a1 ? Cumple? a 2 ? Cumple? a3 ? Cumple?
n k 3 a 4 ? Cumple?
Fórmula enésimo término
an p an p an n an n n
an p n q Ejemplo 1) Sea:
an ? 1 2 6 24
Generar la fórmula del enésimo término de la serie para
k 1.
Paso 1) Tabla: Prueba de estructuras típicas.
Estructura típica
an p an p
1 2 6 24
Valo res
Serie:
p
n 1 a1 1 Cumple?
n2 a 2 2 Cumple?
a1 1 a1 1
a2 1
1
q
Sí
para
k 1. n3 a 3 6 Cumple?
n4 a 4 24
Cumple?
Fórmula enésimo término
No
No
130
José Santos Valdez y Cristina Pérez
a1 1
an n an n
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
a1 1 1 a1 1! 1
n
1
an n!
Sí
a2 2
Sí
a2 2 4 a2 2! 2
Sí 2
Sí
a3 3
No
a3 3! 6
Sí
No Sí
Paso 2) Fórmula de la estructura típica del enésimo término:
a4 4! 24
Sí
an n!
an n!
an n!
Paso 3) Fórmula del enésimo término:
Paso 4)
n ! 1 2 6 24
Serie completa:
n 1
Ejemplo 2) Sea:
Generar la fórmula del enésimo término de la serie para
1 x x x 2
3
Observe que
x 1 0
de donde la serie similar sería
k 0. x x1 x 2 x3 0
Paso 1) Tabla: Prueba de estructuras típicas. Valo res Estructura típica
an p an p an n
p
0 1 2 3
Serie: q
1
para
n0 a1 0 Cumple?
n 1 a2 1 Cumple?
a1 1
a2 1
No
a2 1
Sí
Sí
k 0. n2 a3 2
Cumple?
No
a1 0
Sí
a3 2
Paso 2) Fórmula de la estructura típica del enésimo término:
Serie completa:
x
n
Sí
a3 3
an n
Sí
an x n
an x n
Paso 3) Fórmula del enésimo término: Paso 4)
Cumple?
n3 a4 3
Fórmula enésimo término
1 x x 2 x3
n 0
Ejemplo 3.-
Sea:
2 4 8 16 1 3 5 7
Generar la fórmula del enésimo término para de la serie para k 1
Paso 1) Tabla: Prueba de estructuras típicas. Valo Para Serie 2 4 8 16 res Estructura n 1 n2 típica p q a1 2 Cumple? a 2 4 Cumple?
an n an n
n
a1 1
No
a1 1 1 a1 1! 1
No
1
k 1 n3 a3 8 Cumple?
an n! a n pn
2
a1 2.1 2
SÍ
a 2 2.2 4 Sí
a3 2.3 6 No
an p n
2
a1 21 2
Sí
a2 2 2 5
a3 2 3 8
n4 a 4 16
Cumple?
Fórmula enésimo término
No
Sí
Sí
a 4 2 4 16
Sí
an 2 n
131
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Valo res Estructura típica
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
1 3 5 7
Serie:
k 1
Para
n 1 a1 1 Cumple?
n2 a 2 3 Cumple?
an n
a1 1
Sí
a2 2
an n n
a1 11 1
Sí
an n! a n pn q
a1 1! 1
a 2 2 2 4 No
Sí
p
q
n3 a 3 5 Cumple
n4 a4 7
Cumple?
Fórmula enésimo término
?
2
1
No
a 2 2! 2
a1 2.1 1 1
No
a 2 2.2 1 3 a3 2.3 1 5 Sí
Sí
n 1
Ejemplo 4.- Sea: Paso 1)
2n 2n 1 2n 1 4 8 16 2n 1 2 3 5 7
1 3 7 15 2 3 4 5
Generar la fórmula del enésimo término para de la serie para
k 1
Tabla: Prueba de estructuras típicas.
Estructura típica
1 3 7 15
Valores
Serie:
p
n 1 a1 1 Cumple?
q
a1 1
an n an n
pn pn q
an
Paso 3) Fórmula del enésimo término:
an
a n 2n 1
Sí
Sí
Paso 2) Fórmula de la estructura típica del enésimo término:
Paso 4) Serie completa:
a1 2.4 1 7
a1 1 1
n
1
cn p n q 2
1
1
n2 a 2 3 Cumple?
Sí
a2 2
Sí
a2 2
a1 21 1
Para
Sí
Tabla: Prueba de estructuras típicas. Valores Serie: 2 3 4 5
Para
p
q
n 1 a1 2 Cumple
n4 a 4 15 Cumple
?
?
a3 2 3 1
a4 2 4 1
n2 a1 3 Cumple?
7
Sí
15
an 2 n 1
Sí
k 1 n3 a1 4 Cumple?
n4 a1 5 Cumple?
a3 3 1 4
a4 4 1 5
?
an n
a1 1
Sí
a2 2
No
an n n
a1 11 1
Sí
a2 22
No
an n 1
a1 1 1 2 Sí
Fórmula enésimo término
No
3
Estructura típica
n3 a 3 7 Cumple
No 2
a2 2 2 1
Sí
k 1
a2 2 1 3 Sí
Sí
Sí
Fórmula enésimo término
an n 1 132
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
n Paso 2) Formula de la estructura típica del enésimo término: a p q n
n 1
Paso 3) Fórmula de enésimo término:
2n 1 an 2n
2 n 1 1 3 7 15 2 4 8 16 2n n 1
Paso 4) Serie completa:
Ejemplo 5) Sea:
x 2 x3 1 x 2! 3!
Generar la fórmula del enésimo término de la serie para Observe que una serie similar es:
k 0.
x0 x1 x2 x3 0! 1! 2! 3!
Paso 1) Observe que los signos cambias de positivo a negativo alternativamente, por lo que Para la serie
x 0 x1 x 2 x 3
el enésimo término es:
an x n
Para la serie
0! 1! 2! 3!
el enésimo término es:
an n!
Paso 2) La fórmula de la estructura típica del enésimo término es: Paso 3) La fórmula del enésimo término es:
Paso 4) La serie completa es:
n 0
an
an
an (1) n
( 1) n x n n!
( 1) n x n n!
(1) n x n x 2 x3 1 x n! 2! 3!
Ejercicios: Tipo I. Generar el enésimo término de las siguientes series:
1) 2 4 6 8 k 1 2) 3 4 5 6 k 1
3)
1 1 1 1 k 1 1 2 3 4
x2 x3 k 0 2! 3! 1 1 1 1 5) k 1 1 4 9 16 4) 1 x
3 3 3 3 k 1 3 5 7 9 1 1 1 1 7) k 1 1 1 2 6 x3 x4 8) x x 2 k 0 2 ! 3! 1 1 1 1 9) k 1 1 2 4 8 6)
10) 1 x
x2 x3 k 0 2 ! 3!
133
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 5.3 Convergencia de series. Guía: - Sumas parciales de una serie. - Estrategias para investigar la convergencia de series. - Intervalo y radio de convergencia de series de potencias:
- Ejemplos. - Ejercicios.
Sumas parciales de una serie:
Sí se tiene una serie:
a nk
n
s1 ak s2 ak ak 1 s3 ak ak 1 ak 2 sn ak ak 1 ak 2 . . .
a k a k 1 a k 2 a k 3
entonces las sumas parciales de la serie infinita son:
llamada enésima suma parcial de la serie infinita
a
n
Sí a las sumas parciales le asociamos una serie de sumas parciales entonces tenemos:
S s n s1 s 2 s3 s 4 n k
La suma
"S "
S s
1
n k
s 2 s3 s 4
De donde podemos inferir que:
de la serie infinita
a nk
n
es el límite del enésimo término de la serie de sumas parciales, siempre y cuando el límite exista ó sea:
S lím n s n
lím n
sn R
Estrategias para investigar la convergencia de series. Debido a que el proceso de investigación de la convergencia de series en algunos casos resultan ser de un grado de complejidad apreciable, a continuación se describen las estrategias mas conocidas para simplificar la investigación y acceder a las que presenten mayores dificultades. Convergencia de series por la definición: La definición de convergencia de una serie afirma que: Una serie es convergentes, si el límite del enésimo término de la serie de sumas parciales existe, ó bien es divergente si el límite no existe. Método para investigar la convergencia de series por la definición: 1) 2) 3) 4)
Calcular los términos de la serie Calcular las sumas parciales. Estructurar la serie de sumas parciales. Obtener el enésimo término de la serie de sumas parciales ó determinar por observación directa de los términos la existencia ó no del límite 5) Obtener el límite del enésimo término de las sumas parciales. 6) Declarar aplicando la definición si la serie es convergente ó divergente.
(1)
Ejemplo 1. Investigar por la definición la convergencia de la serie:
n
1
n 1
(1)
Paso 1)
n
1 0 2 0 2
n 1
Paso 2)
S1 0 ; S 2 0 2 2 ; S 3 0 2 0 2 ; S 4 0 2 0 2 4
S 0, 2, 2, 4, 134
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Paso 3)
S 0 2 2 4 n 1
Paso 4) Por observación directa se declara que no hay límite. Paso 5) No hay límite. Paso 6) La serie es divergente.
Ejemplo 2. Investigar por la definición la convergencia de la serie:
Paso 2) Paso 3)
Paso 4)
Paso 5)
n
n
Paso 1)
1 n 1 2
1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 n 1 2 1 1 1 3 1 1 1 3 1 7 1 1 1 1 7 1 15 S1 ; S 2 ; S 3 ; S 4 2 2 4 4 2 4 8 4 8 8 2 4 8 16 8 16 16 1 3 7 15 S 2 4 8 16 n 1
2n 1 ya resuelto en el apartado: “Generación del enésimos término de una serie”. 2n n 1 lím 2 1 lím 1 por lo tanto el límite existe. n n 1 n 2 2n
Paso 6) La serie es convergente. Es de observarse que: n
n
1 1 1 1 1 1 1 1 0.992188 S 2 4 8 16 32 64 128 n 1 2
lìm n
1 1 n 1 2
Convergencia de series por el criterio de la raíz: El criterio establece que si se tiene una serie
a
n
entonces se puede afirmar lo siguiente:
lím n n
an 1
es divergente si
lím n n
an 1
3º. El criterio no decide si
lím n n
an 1
a
1º. 2º.
a
n
n
es convergente si
Ejemplo: Investigar por el criterio de la raíz la convergencia ó divergencia de la serie
n 1
lím n n
Como
2n n n 2n lím n n
lím n
2n n n 2n
n
lím n
2 2 n n
2
2n : n 2n
n 0 n 0 0
a n 1 se concluye que la serie es convergente.
135
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Convergencia de series por el criterio del cociente:
a
El criterio establece que si se tiene una serie 1º.
2º.
Sí
lím n
an1 1 an
La serie converge.
Sí
lím n
a n1 1 an
La serie converge.
a n 1 1 an
El criterio no decide.
lím n
3o. Sí
con términos no nulos, entonces se puede afirmar:
n
Método para investigar la convergencia de series por el criterio del cociente: 1. Obtener los términos de la serie 2. A partir de
a
3. Obtenga el
lím n
n
obtenga
a
a
y verificar que sus términos sean no nulo.
n
n 1
an1 an
4. Aplique el criterio del cociente.
2n
n! :
Ejemplo: Investigar por el criterio del cociente la convergencia de la serie
n 0
Paso 1) Análisis:
2
n
1
2
n
4
8
n! 1 1 2 6
se concluye que
n 0
Paso 2) Análisis: si
Paso 3)
Paso 4)
lím n
lím n
2 n 0 n !
an
a n1 lím n an
2 n 1 ( n 1) ! 2n n!
2n
n! no tiene términos no nulos. n 0
n 1
2 n 0 (n 1)!
a n1 lím n
2 n1 n ! 2 n (n 1) !
lím n
2 2 0 n 1 1
an1 1 se concluye que la serie es convergente. an
Ejercicios: Tipo I. Investigar la convergencia de las siguientes serie:
1)
2n
3)
n 1
2)
n 1
n 1 n
n0
4)
n 0
2 3n n
2
5)
n 0
6)
n 1
en 1 n 3n 1 2n
136
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 5.4 Intervalo y radio de convergencia de series de potencias. Guía: - Intervalo y radio de convergencia de series de potencias. - Método para investigar el intervalo y el radio de convergencia de una serie de potencia: - Ejemplos. - Ejercicios. Intervalo y radio de convergencia de series de potencias: El intervalo de convergencia es el conjunto de valores donde la serie converge. El teorema de convergencias de una serie de potencias centrada en “c” afirma que: “Existe un número real R 0 ( " R" es el radio de convergencia) en la serie a n ( x c ) n en la cual: 1º. Sí la serie converge, para toda
" x" ; entonces R
n0
y su intervalo de convergencia es:
x c ; entonces (por convención) R 0 convergencia consta de un solo punto y es el punto "c" ; ó sea: (c, c)
2º. Sí la serie converge, solo cuando
3º. Sí la serie converge, para
( , )
y su intervalo de
x c R ; entonces x1 c R y x 2 c R son su puntos extremos y su
intervalo de convergencia tiene cuatro posibilidades:
x1 ,
x 2 ;
x1 ,
x 2 ;
x1 ,
x 2 ; y x1 , x 2
Método para investigar el intervalo y el radio de convergencia de una serie de potencia: 1.- Seleccione alguna estrategia para investigar la convergencia de la serie. 2.- Identificar el radio de convergencia. 3.- Investigar el intervalo de convergencia.
(1) n x n 1 n! n 0
Ejemplo 1. Investigar el radio e intervalo de convergencia de la serie; Paso 1. La estrategia seleccionada es “Criterio del cociente”.
Paso 1.1.
n 0
Paso 1.2.
Paso 1.3. Paso 1.4.
(1) n x n 1 x x 2 x 3 x 4 0! 1! 3! 4! n!
an lím n
(1) n x n 1 n!
a n1 an
lím n
a n 1 ( 1) n 1 x n 2 ( n 1) ! n
( 1) x n!
n 1
No tiene términos nulos.
(1) n 1 x n 2 (n 1) ! lím n
n !(1) n 1 x n 2 (n 1) !(1) n x n 1
lím n
x x 0 n 1 1
" x " ; según el criterio del cociente. R ( , )
La serie converge para toda
Paso 2. El radio de convergencia es: Paso 3. El intervalo de convergencia es:
137
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
xn 2n
Ejemplo 2. Investigar el radio e intervalo de convergencia de la serie;
n 1
Paso 1. La estrategia seleccionada es “Criterio del cociente”.
xn x x2 x3 x4 2n 2 4 6 8
Paso 1.1.
n 1
an
Paso 1.2.
a n1 an
lím n
Paso 1.3.
xn 2n
No tiene términos nulos.
x n 1 2 (n 1)
a n 1
x n 1 2 ( n 1) lím n xn 2n
lím n
2n x n 1 2 (n 1) x n
lím n
nx n 1
nx lóm n n n 1 n n
x 1 según el criterio del cociente. El radio de convergencia es: R 1 Sí la serie es convergente en x 1 entonces los puntos extremos de " x "
Paso 1.4. Paso 2. Paso 3.
lím n
x x x 1 1 n 1 0
La serie converge para
Son:
x 1 y
x 1
(1) n 1 1 1 1 la serie converge; y por lo tanto su intervalo es cerrado. n 1 2 3 4 n 1 (1) n 1 1 1 1 Para x 1 la serie diverge; y por lo tanto su intervalo es abierto. 1 2 3 4 n 1 n Conclusión: El intervalo de convergencia es: 1, 1 Para
x 1
Ejemplo 3. Investigar el radio de convergencia de la serie;
x 2
n
n 0
Paso 1) La estrategia seleccionada es “Criterio del cociente”.
Paso 1.1.
( x 2) n ( x 2) 0 ( x 2)1 ( x 2) 2 ( x 2) 3
n 0
términos nulos en
Paso 1.2.
a n x 2
( x 2) , excepto para x 2 n
n 0
Paso 1 . 3
a n 1 an
lím n
x2
el criterio es aplicable.
a n 1 ( x 2) n 1 n 0
lím n
de donde para
donde se observa que no tiene
( x 2 ) n 1
n0
( x 2) n
lím n
( x 2) x 2
x 2 1 x 2 R 1 según el criterio del cociente. de " x "
Paso 1.4. se concluye que la serie es convergente en Paso 2) Se concluye que:
Paso 3) Sí la serie es convergente en Para
Para
x 1 x3
n 0
x 2 1x 2
(1 2) n 1 1 1 1
Por lo tanto el intervalo de convergencia es:
x 1 y x 3
la serie diverge; y su intervalo es abierto.
(3 2) n 1 1 1 1
n 0
entonces los puntos extremos son:
la serie converge; y su intervalo es cerrado.
1, 3
x2 138
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Ejemplo 4. Investigar el radio e intervalo de convergencia de la serie;
n 0
(1) n x n 2 n 1
Paso 1. La estrategia seleccionada es “Criterio del cociente”.
(1) n x n 2 x 2 x 3 x 4 x 5 No tiene términos nulos. 1 2 3 4 n 1 n 0 (1) n x n 2 (1) n1 x n3 an a n1 n 1 n2 n 0
Paso 1.1.
Paso 1.2. Paso 1.3. lím n
a n1 an
Paso 1.4. Paso 2.
n
n2
( 1) x n 1
lím n
La serie converge para
x 1
x 1 x 1
n 0
(n 1)(1) n 1 x n 3 (n 2) (1) n x n 2
x 1
lím n
(n 1) x n2
lóm n
1 x 1 x n 2
según el criterio del cociente.
R 1
entonces los puntos extremos son
n 0
Para
( 1) n 1 x n 3 n 2
El radio de convergencia es:
Paso 3. Sí Para
lím n
1 y 1.
(1) n (1) n 2 1 1 1 1 n 1 1 2 3 4
(1) n (1) n 2 1 1 1 1 n 1 1 2 3 4
la serie diverge; y su intervalo es abierto.
la serie converge; y su intervalo es cerrado.
Por lo tanto se concluye que; el intervalo de convergencia es:
1, 1
Ejercicios: Tipo I. Investigar el radio e intervalo de convergencia de las siguientes series:
1)
(1) n n 0
xn n 1
3)
n 0
2)
(3x) n n! n 0
(1) n1
xn 2n
4)
3x n n 0 2 n !
139
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 5.5 Derivación e integración indefinida de series de potencia. Guía: - Derivación e integración indefinida de series de potencias. - Ejemplos. - Ejercicios. Derivación e integración indefinida de series de potencias:
f
Sí
es una función que tiene una representación en la serie de potencia, entonces:
f ( x) a n x n a0 a1 x a 2 x 2 a3 x 3
y si
f
es derivable e integrable, se infiere que:
n 0
f ( x) nan x n 1 a1 2a2 x 3a3 x 2 4a4 x 3
es decir, el proceso se lleva a cabo derivando cada término de la serie.
n 0
f ( x)dx c a 0 x a1
x2 x3 a2 2 3
o sea, el proceso se lleva a cabo integrando cada término de la serie.
Método de derivación e integración indefinida de series de potencia: 1. Obtenga los primeros cuatro términos no nulos de la serie. 2. Derive la serie. 3. Integre la serie.
Ejemplo 1. Derivar e integrar la serie;
f ( x) x n
x
n 0
xn =
n x dx c x
n 0
f ( x) n 0
f ' ( x) x
n 1
f ( x) n0
f ( x) n0
2 n 1
3
x
n 1
x 2 x3 x4 2 3 4
x x2 x3 x4 x5 n dx c 2 6 12 20
n 1
xn
n
x2 x3 x4 2 3 4
n
4
Ejemplo 3. Derivar e integrar la serie;
xn n
1 x x x 2
1 x x2 x3
n 0
f ' ( x) 1 2 x 3 x 2 4 x 3
Ejemplo 2. Derivar e integrar la serie;
n
5
x 2n (3n) !
7
2nx 2x 4x 6x 8x (3n) ! 3! 6! 9! 12 !
n 0
x 2n 1 x2 x4 x6 (3n) ! 0! 3! 6 ! 9 !
2n
x x x3 x5 dx c (3n) ! 1 (0 !) 3 (3!) 5 (6!)
Ejercicios: Tipo I. Derivar e integrar las siguientes series:
1)
(2 x) n n 0
2)
(3n) !5 x n 2! n 0
(1) n 1 x n 3) 2n n 1
4)
n (3x) n 1 n 1 n 1
(1) n 1 x 3n 1 5) 3n 1 n 1
6)
x 2n n 0 n !
140
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 5.6 Integración definida de funciones por series de potencias. Guía: - Representación de funciones en series de potencias. - Ejemplos. - Integración definida de funciones por series de potencias. - Ejercicios. Representación de funciones en series de potencias: Ya hemos definido que:
x
n
1 x x2 x3
es una serie de potencia y además
1 x x 2 x3
n 0
1 1 x
x 1
De donde podemos inferir que la serie de potencia también es una función por lo que concluimos que:
f ( x)
1 x n 1 x x2 x3 1 x n 0
x 1
Para fortalecer estas afirmaciones se presenta el siguiente análisis: Evaluar la función
f ( x)
Solución:
1 1 x
f (0.5)
y la serie
x
n
1 x x2 x3
para
x 0 .5 .
n 0
1 2; 1 (0.5)
(0.5)
n
1 (0.5) (0.5) 2 (0.5) 3 (0.5) 4 2
n 0
Método de investigación para representar funciones en series de potencia: 1.- Acoplar la función a investigar en el modelo
1 1 x
" x" 2 3 3.- Sustituir el nuevo valor de " x" en la serie: 1 x x x 2.- Identificar el nuevo valor de
hasta 4 términos no nulos.
Ejemplos: Expresar las siguientes funciones en series de potencias:
1)
f ( x)
1 : 1 x
Paso 1) Paso 2)
1 1 ; 1 x 1 ( x) el nuevo valor de " x"
es
" x"
Paso 3)
f ( x ) ( x) n 1 ( x) ( x ) 2 ( x )3 1 x x 2 x 3 n0
2)
f ( x)
1 ; x3
Paso 2)
Paso 3)
1 1 1 x 3 3 x x 31 3 " x " el nuevo valor de " x" es 3
Paso 1)
;
2 3 n 1 x x 2 x3 1 x 1 x x x f ( x) 1 3 n0 3 3 3 3 3 3 9 27 81
141
José Santos Valdez y Cristina Pérez
f ( x)
3)
x3 ; 1 x
x3 1 x3 1 x 1 x 3 el nuevo valor de " x" es " x" y la serie multiplica a " x " x3 1 n 3 3 2 3 3 4 5 6 x3 x x x 1 x x x x x x x 1 x 1 x n 0
Paso 1)
Paso 2)
Paso 3)
f ( x)
4)
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
2x ; x 2x 1 2
2 1 1 2x 2 2 2 2 2 x 2 2 x 1 x 1 ( x 1) 2 1 ( x) 1 ( x)2 1 ( x) 1 ( x) el nuevo valor de " x" es: " x" y la serie multiplica a "2"
Paso 1) Paso 2)
Paso 3)
2 x x
2 ( x ) n ( x ) 2 n 2 1 x x 2 x 3 2 1 x 2 x 4 x 6 x 0
2 (1 1 x x 2 x 2 x 3 x 4 x 6
3
x4 x6
Integración definida de funciones por series de potencia:
y
Introducción: Es una técnica que se utiliza para integrar funciones del tipo
Fundamentos:
y
Sí
k1 k2 xn
1 1 x x 2 x 3 x n 1, 1 1 x n 0 b 1 b dx 1 x x 2 x 3 dx ba 11 y a 1 x a
1 1 x
y
Método de integración definida de funciones por series de potencia: 1) Acople la función a integrar en el modelo
1 1 x
.
" x" . " x" en la serie: 1 x x 2 x 3
2) Identifique el nuevo valor de 3) Sustituya el nuevo valor de 4) Integre.
hasta 4 términos no nulos
Ejemplos:
1.
0.5
0
el nuevo de 0.5 1 2 dx 2 dx 0 1 ( x 2 ) 1 x2 " x" es ( x) 2 2
0.5
0
2
0.5
0
1 ( x
2
) ( x 2 ) 2 ( x 2 ) 3 dx
0.5
x 3 x 5 x 7 1 x x x dx 2 x 0.9269 3 5 7 0
2
4
6
142
José Santos Valdez y Cristina Pérez
2)
0.5
0
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
2 3 0.5 5x 3 5 0.5 3 1 5 1 5 0.5 3 2 x 2 x 2 x 3 dx x 3 dx x dx x 1 dx 3 2x 2 0 (2) 32 0 1 23x 3 0 3 3 3 2 x
5 0.5 3 2 x 4 4 x 5 8 x 6 x dx 3 0 3 9 27 3)
0.5
0
0.5
2 x5 4 x6 8 x 7 5 x4 0.0356 3 4 (5)(3) (6)(9) (7)(27) 0
0.5 0.5 0.5 1 1 dx dx 1 ( x 3 ) ( x 3 ) 2 ( x 3 ) 3 dx 1 x 3 x 6 x 9 dx 3 3 0 1 ( x ) 0 0 1 x 0.5
x 4 x 7 x 10 x 0.4853 4 7 10 0
Ejercicios: Tipo I. Representar en serie de potencias las siguientes funciones:
1) 2) 3)
1 1 2x 1 f ( x) 1 x2 2 f ( x) x2
f ( x)
4) 5) 6)
x3 2 x 1 f ( x) (1 x) 2 1 f ( x) 1 x 2
8)
10 dx 1 x3
3)
f ( x)
7)
9)
3x x 2x 1 3x 2 f ( x) 2 x 1 1 2x f ( x) 1 4x 2 f ( x)
2
Tipo II. Integrar las siguientes funciones:
1)
0.5 0
4 dx x2
2)
0.5 0
0.1 0
1 2x dx 1 4x 2
143
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Clase: 5.7 Integración definida de funciones por series de Maclaurin y series de Taylor. Guía: - Serie de Maclaurin. - Serie de Taylor. - Representación de funciones elementales en series de Maclaurin y series de Taylor. Tabla: Lista básica de funciones representadas en series de Maclaurin y series de Taylor. - Representación de funciones en serie de Maclaurin y serie de Taylor con uso de tablas. - Integración definida de funciones por series de Maclaurin y series de Taylor.
- Ejemplos. - Ejercicios.
Serie de Maclaurin:
Definición: Es una función representada por la serie
a n 0
donde
an
f ( n ) (0) n!
y
f ( x)
por lo tanto:
n 0
"(n ) "
n
xn
(serie de potencia)
es el orden de la derivada de la función y además
f ( 0) (0) f (0)
f ( n ) (0) x n f (0) f ' (0) x f '' (0) x 2 f ''' (0) x 3 0! 1! 2! 3! n!
Para observar que la igualdad se cumple se presenta la función
f ( x) x 2
donde al aplicar la serie de
Maclaurin tenemos:
( x 2 ) ( n ) x n (02 ) 2(0) x 2 x 2 0 0 2 x 2 2 x 2 x2 ! 0 ! 1 ! 2 ! 1 1 2 2 n n 0
f ( x)
Serie de Taylor:
Definición: Es una función representada por la serie
a n 0
donde
an
f
(n)
(c ) n!
y
"(n ) "
n
( x c) n
(serie de potencia centrada en “c”)
es el orden de la derivada de la función y además
f ( 0 ) (c) f (c)
f ( n ) (c ) ( x c ) n f ( c ) f ' ( c ) ( x c ) f ' ' (c ) ( x c ) 2 f ' ' ' (c ) ( x c ) 3 n! 0! 1! 2! 3! n 0 Para corroborar lo afirmado anteriormente; se presenta la función f ( x ) 2 x c 1 donde al aplicar la serie Por lo tanto:
f ( x)
de Taylor tenemos:
2 x ( x 1) n 2(1) 2 ( x 1) 2 2 x 2 2 2x 2 2x n! 0! 1! 1 1 n 0
f ( x)
Es de observarse, que la serie de Maclaurin es un caso particular de la serie de Taylor donde c 0 . Al abordar un problema se inicia generalmente con la aplicación de la serie de Maclaurin, y la serie de Taylor se utiliza cuando al evaluar el primer término de la serie de Maclaurin la función es indefinida; cuando esto pasa, se busca un número (el mas censillo para efectos de cálculos) donde la función evaluada en ese número es definida. Ejemplo 1) Ejemplo 2)
f ( x) cos x f (0) 1 (la función es definida) se aplica la serie de Maclaurin. 1 1 f ( x) f (0) Indefinido el número buscado es “ " c 1" y se aplica la serie de Taylor. x 0 1 Por lo tanto: f (1) 1 (la función es definida) 1 144
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Representación de funciones elementales en series de Maclaurin y series de Taylor: Método de investigación: 1. Obtenga los primeros cuatro términos no nulos de la función elemental. f (0); f (0); f (0); f (0) Sí f (0) es definido evalúe: Sí
f (0) es indefinido busque el valor de "c"
2. Forme la serie:
Para la serie de Maclaurin:
f (c); f (c) f (0) f (0) x f (0) x 2 f (0) x 3 0! 1! 2! 3! f (c);
y evalúe:
f (c);
f (c) f (c) ( x c) f (c) ( x c) 2 f (c) ( x c)3 0! 1! 2! 3!
Para la serie de Taylor: 3.- Obtenga el enésimo término de la serie. 4.- Forme la serie completa:
f ( x)
Para la serie de Maclaurin:
n 0
f ( x)
Para la serie de Taylor:
f
(n)
n 0
f ( n ) (0) x n f (0) f ' (0) x f '' (0) x 2 f ''' (0) x 3 0! 1! 2! 3! n!
(c ) ( x c ) n f ( c ) f ' ( c ) ( x c ) f '' ( c ) ( x c ) 2 f ''' ( c ) ( x c ) 3 0! 1! 2! 3! n!
5.- Sí lo desea y si es posible; obtenga de la nueva serie el nuevo enésimo término. Ejemplo 1. Representar la serie de la función elemental f ( x )
1: x
Paso 1. f (0) 10 indefinido ; el número buscado es c 1 1 x
f (1)
1
1 (1)
f (1)
1 x 2 x 1
f (1)
Paso 4) Ejemplo 2.
1 (2 x) ( x2 )2 x 1
2 2 (3 x ) ( x3 )2 x 1
f (1) Paso 3)
(11) 2 1
2 x 3 x 1
6 x 4 x 1
Para
1, 1, 2, 6
Para
0!, 1!, 2!, 3!, 4!
2 (1) 3
Paso 2 1 1 ( x 1) 2 ( x 1) 2 6 ( x 1) 3 0! 1! 2! 3!
2
(16) 4 6
se cumple la fórmula: se cumple la fórmula
(1) n n!
n n! el enésimo término es ( 1) n ! ( 1) n
n!
1 (1) n ( x 1) n 1 ( x 1) ( x 1) 2 ( x 1) 3 ( x 1) 4 x n 0 x Representar la serie de la función elemental f ( x ) e : f (x)
Paso 1. f (0) e ( 0 ) 1
ex
f (0) e f (0) e f ( 0 ) e x
x
x
x 0
e(0) 1
x 0
e ( 0) 1
x 0
e(0) 1
Paso 2 x2 x3 1 (1) x (1) x 2 (1) x 3 1 x 0 ! 1! 2! 3! 2 ! 3!
145
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Paso 3)
Para
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
x 0 x1 x 2 x 3 se cumple la fórmula x n . n Para 0!, 1!, 2!, 3!, 4! se cumple la fórmula n! el enésimo término es x
n!
Paso 4)
ex
n
n0
2
3
4
x x x x x 1 n ! 0 ! 1! 2 ! 3 ! 4!
f ( x) cos x .
Ejemplo 3. Representar la serie de la función elemental
cos x
Paso 1. f (0) cos( 0) 1 f (0) sen x x 0 sen (0) 0 f (0) cos x x 0 cos( 0) 1 f (0) sen x x 0 sen (0) 0
f 4 (0) ( cos x ) x 0 cos( 0) 1 f 5 (0) ( sen x ) x 0 sen (0) 0
Paso 2 1 (0) x ( 1) x 2 (0) x 3 (1) x 4 (0) x 5 ( 1) x 6 4! 5! 6! 0! 1! 2! 3! x2 x4 x6 1 2! 4! 6!
f 6 (0) (cos x ) x 0 cos( 0) 1 Paso 3)
Para
1111
Para
0!, 1!, 2!, 3!, 4!
Paso 4)
se cumple la fórmula
(1) n
se cumple la fórmula
n!
el enésimo término es
( 1) n n!
n
(1) n x 1 x 2 x4 x6 0! 2! 4! 6! n! n 0
cos x
x0 x 2 x 4 x6
Paso 5) Para Para
0!, 1!, 2!, 4!, 6!
Y finalmente queda
se cumple la fórmula:
se cumple la fórmula
cos x
n0
( 1) n x (2n)!
( 2 n) !
2n
(1) n x 2 n
el nuevo enésimo término es
( 1) n x 2 n (2 n )!
x2 x4 x6 1 0! 2! 4! 6!
Nota: Mediante éste método, se obtienen representaciones de funciones elementales1 y similares2 para formar una lista básica de funciones representadas en series, cuya utilidad hace mas amigable la representación de otras funciones mas complejas, por lo que a continuación se presenta dicha lista: (1) Entenderemos como función elementales de otra función a calcular, la que contiene en su estructura una sola " x" ; y además es posible sustituir el nuevo valor de la función a calcular en la serie de la función elemental sin alterar el valor de la función a calcular. (2) Entenderemos como función similar de otra función a calcular, aquella que contiene un valor diferente pero mantiene la misma estructura; y además es posible sustituir el nuevo valor de la función a calcular en la serie de la función similar sin alterar el valor de la función a calcular. Ejemplo 1)
Función a calcular:
Ejemplo 2)
Función a calcular:
1 2x f ( x) cos x
Ejemplo 3)
Función a calcular:
f ( x) (1 2 x) 2
f ( x)
La función elemental es La función elemental es La función similar es
1 x y cos x
y
y (1 x) k 146
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Tabla: Lista básica de funciones representadas en series. Función
Intervalo de convergencia
1 (1) n ( x 1) n 1 ( x 1) ( x 1) 2 ( x 1) 3 x n 0 1 f ( x) (1) n x n 1 x x 2 x 3 1 x n 0 f ( x)
xn x2 x3 1 x n! 2! 3!
f ( x) e x n0
(1) n1 ( x 1) n ( x 1) 2 ( x 1) 3 ( x 1) 4 ( x 1) 2 3 4 n
f ( x) ln x n 0
f ( x) ln ( x 1) n o
f ( x) sen x n0
f ( x) cos x n0
(1) n x n1 x2 x3 x4 x 2 3 4 n 1
n 0
f ( x) senhx n 0
f ( x) cosh x n0
n0
1, 1
( , )
f ( x) arctan x
f ( x ) (1 x ) k
0, 2
(1) n x 2 n x2 x4 x6 1 ( 2 n) ! 2! 4! 6 ! (2n)! x 2 n 1 x 3 1.3x 5 1.3.5 x 7 x n 2 2.3 2.4.5 2.4.6.7 n 0 ( 2 n !) ( 2n 1)
n0
( , )
( , )
(1, 1)
(1) n x 2 n 1 x3 x5 x7 x (2n 1) ! 3! 5! 7 !
f ( x) arcsen x
f ( x) (1 x ) k
(0, 2)
(1) n x 2 n 1 x3 x5 x7 x 2n 1 3 5 7
1, 1 1, 1
x 2 n 1 x3 x5 x7 x (2n 1) ! 3! 5! 7 !
( , )
x 2n x2 x4 x6 1 ( 2n ) ! 2! 4! 6!
( , )
k ( k 1) ( k n 1) x n k ( k 1) x 2 k ( k 1) ( k 2) x 3 1 k x n! 2! 3! k ( k 1) x 2 k ( k 1) ( k 2 ) x 3 ( 1) n k ( k 1) k ( k n 1) x n 1 k x 2! 3! n!
1, 1 k Z , k Z 1, 1 k Z , k Z
Representación de funciones en serie de Maclaurin y serie de Taylor con uso de tablas: Método: 1) Identifique la función elemental ó similar, en la tabla: “Lista básica de funciones representadas en series”. 2) Identifique el nuevo valor de " x" en la función a determinar. 3) Sustituya el nuevo valor identificado
"x"en la serie de la función elemental ó similar identificada. 147
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Ejemplo 1) Representar en serie la función:
Paso 3)
f ( x)
1 2x
1 (1) n ( x 1) n 1 ( x 1) ( x 1) 2 ( x 1) 3 x n 0 "2 x"
f ( x)
Paso 1) Función elemental:
"x" es
Paso 2) El nuevo valor de
f ( x)
1 1 ((2 x) 1) ((2 x) 1) 2 ((2 x) 1) 3 (2 x) 1 (2 x 1) (2 x 1) 2 (2 x 1) 3
Ejemplo 2) Representar en serie la función:
f ( x) cos x
(1) n x 2 n x 2 x 4 x 6 x8 1 ( 2 n) ! 2! 4! 6! 8! n0
f ( x) cos x
Paso 1) Función elemental:
"x" es " x "
Paso 2) El nuevo valor de Paso 3)
cos x 1
( x ) 2 ( x ) 4 ( x ) 6 ( x )8 x x2 x3 x 4 1 2! 4! 6! 8! 2! 4! 6! 8!
Ejemplo 3) Representar en serie la función:
f ( x) (1 2 x) 2
Paso 1) La función similar es:
f ( x ) (1 x ) k n0
k ( k 1) ( k n 1) x n k ( k 1) x 2 k ( k 1) ( k 2) x 3 1 k x 2! 3! n!
" x" es "2 x"
Paso 2) El nuevo valor de Paso 3)
(1 2 x) 2 1 (2)(2 x)
"k "
y de
es 2.
(2)(2 1)(2 x) 2(2 1)(2 2)(2 x) 3 1 4x 4x 2 2! 3! 2
Integración definida de funciones por series de Maclaurin y series de Taylor. Un interés de las series de Maclaurin y de Taylor es la posibilidad de evaluar integrales de funciones que no han sido posible ser calculadas por los métodos hasta ahora conocidos, por lo que se convierte en una técnica de integración de mucha ayuda. Fundamentación: Sí
y f (x)
f (0) es definido
f (0) es indefinido
b
a
b
a
y
b f (0) a R y f (0) x f (0) f (0) dx f ( x) dx a 1! 2! 3! b R 0!
f ( x ) dx
b
a
f ( c ) f ( c ) ( x c ) f (c )( x c ) 2 f ( c )( x c ) 3 dx 0 ! 1 ! 2 ! 3 !
a c R y b c R
148
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Método de integración definida de funciones por series de Maclaurin y series de Taylor: 1) Identifique la función elemental ó similar, en la tabla: “Lista básica de funciones representadas en series”. 1.1. Sí la función elemental ó similar ya esta en la tabla, identifíquela y continúe en el paso 3. 1.2. Sí la función elemental ó similar no está en la tabla continúe en el paso 2. 2. Obtenga la representación de la función elemental en serie de Maclaurin ó de Taylor: 2.1. Obtenga los primeros cuatro términos no nulos de la función elemental. Sí f (0) es definido evalúe: f (0); f (0); f (0); f (0) Sí
f (0) es indefinido busque el valor "c"
y evalúe:
f (c);
f (c);
f (c);
f (c)
2.1 Forme la serie:
f (0) f (0) x f (0) x 2 f (0) x 3 0! 1! 2! 3!
Para la serie de Maclaurin:
f (c) f (c) ( x c) f (c) ( x c) 2 f (c) ( x c)3 0! 1! 2! 3!
Para la serie de Taylor:
3) Identifique el nuevo valor de " x" de la función a calcular. 4) Sustituya el nuevo valor identificado 5. Integre. 6. Evalúe. Ejemplo 1) Resolver la integral
1
0
"x"en la serie de la función elemental ó similar identificada u obtenida.
e x dx
con precisión de los primeros 4 términos y 4 cifras;
(suponga que la representación de la función elemental no se encuentra en tablas).
Paso 1) función elemental y e
x
f (0) e ( 0 ) 1 1
0
e
x
dx
f ( 0 ) e f ( 0 ) e f ( 0 ) e x
x0
e (0) 1
x0
e (0) 1
x0
e (0) 1
x
el nuevo valor de " x" es : " x " Paso 4 )
Paso 2 )
Paso 3)
( x)2 ( x)3 ( x )4 1 x 2! 3! 4! Paso 5)
2
1
dx 1
la serie de Maclaurin es
x x 2x 2x x 3 ( 2 )( 2 ! ) (3)( 3 ! ) (3)( 4 ! ) 0
x2 x3 1 1x 1x 2 1 x 3 1 x 0 ! 1! 2! 3! 2 ! 3!
Paso 6 ) 1 .9833
0
Ejemplo 2) Resolver la integral
2
1
3 2
ln x dx
2
5 2
3
con precisión de los primeros 4 términos y 4 cifras;
(suponga que la representación en serie de la función elemental no se encuentra en tablas). Paso 1) función elemental y ln x la nueva serie de Taylor es Paso 2) 2 f (0) ln( 0) inefinido c 1 f (1) ln(1) 0 1( x 1) 1( x 1) 2 2 ( x 1) 3 6 ( x 1) 4 1 ln x dx 1 1! 2! 3! 4! f (1) 1x x 1 1 f (1) x12 x 1 2 1 (1) ( x 1) 2 2 ( x 1)3 6 ( x 1) 4 ( x 1) 2 6 2! 3! 4! 2 6 f (1) 3 3 2 f 4 (1) 4 4 6 (1) x x 1 (1) x x 1
Paso 3) el nuevo valor de " x" es : " x "
Paso 4)
2
1
( x 1) 2 2( x 1)3 6( x 1) 4 dx Paso 5) y 6) 0.1927 ( x 1) 2! 3! 4!
149
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Ejemplo 3) Resolver la integral
1 0
sen x 2 dx
con precisión de los primeros 4 términos y 4 cifras
(con uso de la tabla).
y sen x
Paso 1) 1
sen x 0
2
dx
3
5
7
x x x 3! 5! 7 !
Paso 2) x Paso 3) x 2
Paso 4) 2 (x ) (x 2 )5 (x 2 )7 x 0 3! 5! 7! 6 10 14 1 x x x dx x 2 0 3! 5! 7 ! 2 3
1
dx
1
x3 x7 x 11 x15 Paso 5) Paso 6) 0.3102 3 7 (3!) 11 (5!) 15 (7 !) 0
Ejemplo 4) Integrar la función:
1 0
cos x dx
con precisión de los primeros 4 términos y 4 cifras.
(con uso de la tabla).
Paso 1)
2
0
x dx
cos
y cos x
Paso 2) 1 Paso 3)
x2 x4 x6 2! 4! 6!
Paso 4)
2
0
( x)2 ( x)4 ( x)6 1 2! 4! 6!
dx
2
0
x x2 x3 1 2! 4! 6!
x 2
x2 x3 x4 Paso 5) x Paso 6) 01.1056 2 (2!) 3 (4!) 4 (6 !) 0 Ejercicios: Tipo I. Integrar las siguientes funciones (suponga que la representación de la serie no se encuentra en la tabla):
1)
1 0.1
2e
x3
dx
2)
2
1
5 ln 3 x dx
3)
1 0
senh x dx
4)
2 0
cosh x 2 dx
Tipo II. Demostrar al comparar en la tabla “Lista básica de funciones representadas en series”; la representación de series de Maclaurin ó de Taylor las siguiente funciones:
1)
f ( x) sen x
2)
f ( x) cosh x
3)
f ( x) arctan x
Tipo III. Integrar con uso de tablas las siguientes funciones con precisión de los primeros 4 términos y 4 cifras:
1 1 2 x dx 1 1 2) dx 0 1 x 2
1)
3)
0 1
2x
e dx
4)
2
5)
1
6)
1
0 1 0
ln 2 x dx
7)
0.5
3sen x dx
8)
1
2 cos x 2 dx
9)
1
0
0
cosh x dx
0.5
0
5 arctan x dx
3
x dx
150
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Evaluaciones tipo: Unidad 5.
EXAMEN Cálculo Integral
Número de lista: Unidad: 5 Clave: Evaluación tipo 1
1) Calcular los primeros cuatro términos no nulos
5 1 x n
2n !
de la serie:
2n
Indicadores a evaluar: - Desarrollo. - Resultado.
Valor: 30 puntos.
n 0
0.25
2) Calcular por series de potencia:
0
3) Calcular por series de Maclaurin:
1
0
2 dx 1 x3
cos x 2 dx
Indicadores a evaluar: - Desarrollo. - Resultado.
Valor: 40 puntos.
Indicadores a evaluar: - Desarrollo. - Resultado.
Valor: 30 puntos.
EXAMEN Cálculo Integral
Número de lista: Unidad: 5 Clave: Evaluación tipo 2
1) Obtener el enésimo término de la serie:
2 2x2
4
6
2x 2x 2! 3!
2) Demostrar por series de Maclaurin que:
cosh x 1
2
4
6
x x x 2 ! 4! 6 !
3) Calcular por series de Taylor:
2
1
ln x dx
Indicadores a evaluar: - Desarrollo. - Resultado.
Valor: 30 puntos.
Indicadores a evaluar: - Desarrollo. - Resultado.
Valor: 30 puntos.
Indicadores a evaluar: - Desarrollo. - Resultado.
Valor: 40 puntos.
EXAMEN Cálculo Integral
Número de lista: Unidad: 5 Clave: Evaluación tipo 3
1) Calcular los primeros cuatro términos no nulos
2 1 x 1 2 n 1 n 0
de la serie:
n
n
2) Obtener el enésimo término de la serie:
5 5 x 2
5 x 2 5 x 2 2! 3!
3) Calcular por serie de Maclaurin:
0.5
0
4arcsen x dx
2
Indicadores a evaluar: - Desarrollo. - Resultado.
Valor: 30 puntos.
Indicadores a evaluar: - Desarrollo. - Resultado.
Valor: 30 puntos.
Indicadores a evaluar: - Desarrollo. - Resultado.
Valor: 40 puntos.
151
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Formulario de integración por series: Unidad 5.
Tipo
Caracterización
p-serie
n k
Armónica
1 np 1
Tipo
Caracterización
Telescópicas:
p0
(a nk
Geométricas
n
ar
Alternantes
nk
n k
1 an b
De potencias
a0
a 0 y r R
n
a n (1) n1
a
n
xn
a
n
( x c) n
n 0
De potencias centrada en c
n 0
Tabla: Estructuras típicas de fórmulas de enésimos términos. Para:
a n1 )
n 0
nk
Armónica general
n
Enésimos términos elementales Ejemplo: pón
n, p, q 0 y Z
Estructuras típicas de enésimos términos Para:
nyp 1) a n pn
Para:
n, p y q 1) a n pn q
2) an n p
2) an pn q
1) a n p 2) a n p
an 2 2 2 2 a n 2 2 2 2
3) a n n
an 1 2 3 4
Para
k 1
3) an p n
3) an n p q
4) a n n !
an 1 1 2 6
Para
k 0
4) an n p
4) an n p q
5) a n n n
a n 1 4 27 256
Para
k 1
5) an n p
5) an p n q
6) a n (1) n
an 1 1 1 1
Para
k 0
6) a n p n
6) an p n q
Serie de Maclaurin:
f ( x) n 0
f ( n ) (0) x n f (0) f ' (0) x f '' (0) x 2 f ''' (0) x 3 n! 0! 1! 2! 3!
Serie de Taylor:
f ( x) n 0
f ( n ) (c ) ( x c ) n f ( c ) f ' ( c ) ( x c ) f ' ' (c ) ( x c ) 2 f ' ' ' (c ) ( x c ) 3 n! 0! 1! 2! 3!
Forma parte de este formulario: La tabla: Lista básica de funciones representadas en series.
152
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Decía un gran amigo: “Tanta fuerza tiene la verdad como la mentira”. ¡ Admiro a las matemáticas porque encuentro imposible ser víctima de un engaño ¡ José Santos Valdez Pérez
ANEXOS: A
Fundamentos cognitivos del cálculo integral. A1. Funciones y sus gráficas. A2. Propiedades de los exponentes. A3. Propiedades de los logaritmos. A4. Funciones trigonométricas. A5. Identidades de funciones trigonométricas. A6. Funciones hiperbólicas. A7. Identidades de funciones hiperbólicas. A8. Funciones hiperbólicas inversas.
B
Instrumentación didáctica. B1. Identificación: B2. Caracterización de la asignatura: B3. Competencias a desarrollar: B4. Análisis del tiempo para el avance programático. B5. Avance programático. B6. Actividades de enseñanza y aprendizaje. B7. Apoyos didácticos: B8. Fuentes de información. B9. Calendarización de evaluación. B10. Corresponsabilidades.
C
Simbología: C1. Simbología de caracteres. C2. Simbología de letras. C3. Simbología de funciones.
D
Registro escolar.
E
Formato de examen.
F
Lista de alumnos.
153
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Anexo A. FUNDAMENTOS COGNITIVOS DEL CÁLCULO INTEGRAL. Anexo A1: Funciones y sus gráficas: Guía: - Plano rectangular:
- Método de graficación de funciones básicas.
- Función.
- Reglas fundamentales de graficación.
- Clasificación de funciones.
- Técnica de graficación a través del criterio de la primera derivada.
- Estructuras de funciones.
- Técnica de graficación a través del criterio de la segunda derivada.
- Gráficas de funciones elementales
- Ejemplos. - Ejercicios. Y
Plano rectangular: X
El plano cartesiano; es el conjunto cerrado de puntos que se encuentran en el plano generado por las rectas "X" e "Y". Función: Es una relación entre las variables asignar a cada elemento
" x"
" x" e " y" del
plano rectangular, cuya regla de correspondencia consiste en
uno y solamente un elemento
" y" .
Nota: Todas las ecuaciones (modelos matemáticos) que obedecen ésta regla son funciones, y se diferencian por su estructura: y f (x ) significa que la parte f (x ) debe estar expresada en términos de " x" y/ó números reales. La característica gráfica de las funciones es que: “Toda recta vertical toca la gráfica de una función a lo más una sola vez”.
Es funcion
No es funcion
Es funcion
No es funcion
Clasificación de funciones: Antes de iniciar el proceso de aprendizaje del cálculo integral, daremos una mirada a las dos clasificaciones de funciones sujetas a nuestro interés, lo anterior obedece a la completes y fluidez didáctica. La primera clasificación de interés presenta el universo de funciones en que opera el cálculo integral y por lo mismo en cada etapa de aprendizaje se trata de globalizar el conocimiento atendiendo a este orden. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
Funciones Funciones Funciones Funciones Funciones Funciones Funciones
algebraicas. exponenciales. logarítmicas. trigonométricas. trigonométricas inversas. hiperbólicas. hiperbólicas inversas. 154
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
La segunda clasificación obedece al grado de complejidad de las funciones y las hemos observado de la siguiente manera: 1) Funciones elementales. 2) Funciones básicas. 3) Funciones metabásicas. Las funciones elementales las hemos concebido como las funciones que contienen en su estructura una constante ó bien una variable, y para nuestro caso nos referiremos a la variable “x”. Ejemplos:
y 4;
y
1 ; x
y sen x; etc..
Las funciones básicas las definiremos como las funciones que contienen en su estructura un binomio de la forma:
y ax b a, b k a 0
Ejemplos:
y 3 x 2;
y ln(2 x 1);
y cos( x 1).
Y por último; las funciones metabásicas las podemos inferir como aquellas que contienen en su estructura uno
y p ( x) ax n bx n 1 z a, b, z k y x3 3x 2 2
ó más polinomios de la forma: Ejemplo:
y nZ
Estructuras de las funciones: Función
Nombre Constante
Elementales
y ax b
Binómica
Exponenciales:
Logarítmicas
Metabásicas
yk yx
Identidad
Algebraicas:
Estructura Básicas
y p (x)
Polinómica Valor absoluto
y x
y ax b
y p(x)
Raíz
y x
y
Racional
y
Racional raíz.
y
y ax b 1 y ax b 1 y ax b
p(x) 1 y p ( x) 1 y p ( x)
Exponencia de base “ e ” Exponencial de base “ a ”
y ex
y e ( ax b )
y e p( x)
y ax
y a ( ax b )
y a p(x)
y ln (ax b)
y ln p ( x)
y log a (ax b)
y log a p ( x)
Logaritmo base “ e ” Logarítmica base “ a ”
1 x
1 x
a R
de
y ln x
de
y log a x a R
155
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Trigonométricas
Trigonométricas inversas
Hiperbólicas
Hiperbólicas inversas
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Seno
y sen x
Coseno
y cos x
Tangente
y tan x
Cotangente
y cot x
Secante
y sec x
Cosecante
y csc x
Arco seno
y arc sen x
Arco coseno
y arccos x
Arco tangente
y arctan x
Arco cotangente
y arc cot x
Arco secante
y arc sec x
Arco cosecante
y arc csc x
Seno hiperbólico Coseno hiperbólico Tangente hiperbólico Cotangente hiperbólico Secante hiperbólico Cosecante hiperbólico
Arco seno hiperbólico Arco coseno hiperbólico Arco tangente hiperbólica Arco cotangente hiperbólica Arco secante hiperbólica Arco cosecante hiperbólica
y sen (ax b) y cos (ax b) y tan (ax b) y cot (ax b) y sec (ax b) y csc (ax b)
y sen p (x) y cos p ( x) y tan p ( x) y cot p ( x) y sec p ( x) y csc p ( x)
y arc sen (ax b) y arccos (ax b) y arctan (ax b) y arc cot (ax b) y arc sec (ax b) y arc csc (ax b)
y Arc sen p (x) y Arc cos p ( x) y Arc tan p ( x) y Arc cot p ( x) y Arc sec p ( x) y Arc csc p ( x)
y senh x y cosh x
y senh (ax b) y cosh (ax b)
y senh p (x) y cosh p ( x)
y tanh x
y tanh (ax b)
y tanh p ( x)
y coth x
y coth (ax b)
y coth p ( x)
y sec h x
y sec h (ax b)
y sec h p ( x)
y csc h x
y csc h (ax b)
y csc h p ( x)
y arcsenh x
y arcsenh (ax b)
y arcsenh p (x)
y arc cosh x
y arc cosh (ax b)
y arc cosh p ( x)
y arc tanh x
y arc tanh (ax b)
y arc tanh p ( x)
y arc coth x
y arc coth (ax b)
y arc coth p ( x)
y arc sec h x
y arc sec h (ax b)
y arc sec h p ( x)
y arc csc h x
y arc csc h (ax b)
y arc csc h p ( x)
156
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Gráficas de funciones elementales: Algebraicas: Función
Estructura
Dominio
Recorrido
Constante
yk
( , )
( k, k )
Identidad
yx
( , )
( , )
y x
( , )
0,
y x
0,
0,
Valor absoluto
Raíz
Racional
y
Racional raíz
y
1 x
1 x
Gráfica
yk
y x
y
( , 0) 0,
( , 0) 0,
(0, )
(0, )
y
y
x
1 x
1 x
Exponenciales Función
Estructura
De base
"e"
y ex
De base
"a"
y ax a R
Dominio
Recorrido
( , )
(0, )
( , )
(0, )
Gráfica representativa
y ex
157
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Logarítmicas Función
Estructura
De base
"e"
y ln x
De base
"a"
y log a x a R
Dominio
Recorrido
(0, )
( , )
(0, )
( , )
Gráfica representativa
y ln x
Trigonométricas Función
Estructura
Dominio
Recorrido
Seno
y sen x
,
1,1
Coseno
y cos x
,
1,1
Tangente
y tan x
x 2, 3 2,
,
Cotangente
y cot x
x 0, ,2 ,
,
Secante
y sec x
x 2, 3 2,
( , 1)
Gráfica
(1, )
Cosecante
y csc x
x 0, ,2 ,
( , 1) (1, )
158
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Trigonométricas inversas: Función
Seno inverso
Estructura
y arc sen x
Dominio
1,1
Recorrido
Gráfica
2 , 2
Coseno inverso
y arc cos x
1,1
0,
Tangente inversa
y arc tan x
( , )
( 2 , 2)
Cotangente inversa
y arc cot x
( , )
( 2 , 2)
Secante inversa
y arc sec x
( , 1] [1, )
[0, 2] [ 2, ]
Cosecante inversa
y arc csc x
( , 1] [1, )
[ 2 , 0) (0, 2]
159
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Hiperbólicas: Función
Estructura
Dominio
Recorrido
Seno Hiperbólico
e x e x y senh x 2
( , )
( , )
Coseno hiperbólico
y cosh x
e x e x 2
( , )
[1, )
y tanh x
senh x cosh x
( , )
(1, 1)
y coth x
1 tanh x
( , 0) (0, )
( , 1) (1, )
Tangente hiperbólica
Cotangente hiperbólica
Gráfica
x 0
Secante hiperbólica
y sec h x
1 cosh x
( , )
(0, 1)
Cosecante hiperbólica
y csc h x
1 senh x
( , 0) (0, )
( , 0) (0, )
x 0
160
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Hiperbólicas inversas: Función
Estructura
( , )
( , )
[1, )
[0, )
1 1 x ln 2 1 x
(1, 1)
( , )
1 x 1 ln 2 x 1
( , 1)
( , 0)
(1, )
(0, )
(0, 1
0, )
y arcsenh x ln x x 2 1
Coseno hiperbólico inverso
y arccos h x ln x x 2 1
Tangente hiperbólica inversa
y arctan h x
Cotangente hiperbólica inversa
y arc coth x
Cosecante hiperbólica inversa
Recorrido
Seno hiperbólico inverso
Secante hiperbólica inversa
Dominio
1 1 x2 y arc sec h x ln x
1 1 x2 y arc csc h x ln x x
Gráfica
( , 0)
( , 0)
(0, )
(0, )
Método de graficación de funciones básicas: 1) 2) 3) 4) 5)
Identifique la función dada en la tabla: “Método de graficación de funciones básicas”. Determine el punto medio de graficación de acuerdo a la regla dada en la tabla. Evalúe la función en el intervalo mínimo de graficación de acuerdo a la tabla. Marque los puntos. Trace la gráfica.
Conceptos: El punto central de graficación de una función básica; Es el valor de la traza de la función a graficar.
" x" en donde se presume sea el centro de
El punto tope de graficación de una función básica; Es el valor de " x" en donde se presume sea el inicio de la gráfica de la función y a partir del cual se inicia la traza de la función. El punto límite de graficación de una función básica; Es el valor de indefinido de
" x" mas cercano a dicha gráfica;
" x" en
donde se presume sea el valor
y cerca del cual se inicia la traza de la función. 161
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
El punto medio de graficación de una función básica “Pm”: Es el punto central ó punto tope ó punto límite de la gráfica de una función; Para identificar estos puntos observe la tabla "Reglas de graficación de funciones básicas". Tabla: Método de graficación de funciones básicas:
p ( x) ax b
Función
Regla:
Binómica
PM 0
Valor absoluto
PM x
donde
p( x) 0
PM x
donde
p( x) 0
Raíz
Punto medio de graficación
PM IPT
Intervalo parcial de trazo
Intervalo de graficación
IPT
Ejemplo
[3, 3]
1
PM
y x2
y x2
PM 0 PM 2
1
y x3
PM 3
( PM 3, PM 3)
1
y
( PM 3, PM 3)
1
3, 3 PM 3, PM
1
3
en el intervalo definido
Racional
PM x p( x) 0
Racional raiz
PM x
donde
donde
p( x) 0
en el intervalo definido Exponencial
PM 0
Logarítmica
PM x
donde
p( x) 0
y
PM 2
3 x2
PM 3
2 3 x3
[3, 3]
1
y e 2 x 1
PM 0
( PL 3, PL 3)
1
y ln ( x 2)
PM 2
en el intervalo definido Trigonométrica
PM x
donde
p( x) 0
PM
3, PM 3
1
y cos ( x 4)
PM 4
Hiperbólica
PM x
donde
p( x) 0
PM
3, PM 3
1
y cosh( x 3)
PM 3
Ejemplos:
x
1) Graficar la función
y 3 x PM
2) Graficar la función
y
1 x 3
0 1 2 3 4 5 6
x 0 1 2
PM 3 4 5 6
y 3 x
y 3 x
1.73… 1.41… 1 0 Indefinido Indefinido Indefinido
y
PL 0
1 x 3
- 0.333… - 0.5 -1
Indefinido 1 0.5 0.333…
PM
3
y
1 x3
0 3
162
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
3) Graficar la función
y
y
x
1 x2
5 4 3 PM 2
1 0 1
y ln (2 x)
PM
-1 0 1 2 3 4 5
1 x2
y
PM
Indefinido Indefinido
Indefinido
0 -2
Indefinido
1 0.707... 0.577...
x
4) Graficar la función
1 x2
y ln (2 x)
y ln (2 x)
1.09… 0.69… 0 Indefinido Indefinido Indefinido Indefinido
PM 0
Reglas fundamentales de graficación de funciones. 1) Regla de la ecuación constante: Sí x = k
la gráfica es una recta que toca al eje “X”
x=2 en (k, 0);
y es paralela al eje “Y”.
•
Ejemplo: Trazar la gráfica cuya ecuación es: x = 2 2) Regla de la función constante: Sí y = k
(2, 0)
•
la gráfica es una recta que toca al eje “Y” en (0, k);
y=3
(0, 3)
y es paralela al eje “X”,
Ejemplo: Trazar la gráfica cuya ecuación es: y = 3 3) Regla de la función lineal: Sí y = ax + b
y = 2x - 1
la gráfica es una recta que toca al eje “Y” en (0, b); y además es creciente si “a” es positiva“+” y decreciente si “a” es negativa “-“)
•
(0, -1)
Ejemplo: Trazar la gráfica cuya ecuación es: y = 2x – 1 4) Regla de la función cuadrática y binómica: Sí y = ax2 + b
la gráfica es una parábola que toca al eje “Y” en
(0, b);
y es cóncava hacia arriba sí “a” es positiva “+”
Ejemplo: Trazar la gráfica cuya ecuación es: y = 2x2 + 1 Extensión: Todas las gráficas de la forma axn + b donde n es par, presentan este bosquejo.
(0, 1)
• 2
y = 2x + 1
163
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
5) Regla de la función cuadrática y trinómica:
y ax 2 bx c a x
Sí
b 2a
2 d
la gráfica es una parábola que toca el punto 2ba , d ; y es cóncava hacia arriba sí “ a ” es positiva “+” ; y cóncava hacia abajo sí “ a ” es negativa “-“. Ejemplo 1. Trazar la gráfica cuya ecuación es:
(-3, 2)
y x 6 x 11
2
y = x + 6x+11
y x 6 x 11 x 3 ? x 6 x 9 2 x 3 2 De donde 2ba , d 3, 2 2
2
2
2
Ejemplo 2. Trazar la gráfica cuya ecuación es:
2
y 2x 2 4x 8
y 2 x 2 4 x 8 2 x 2 2 x 4 2 x 1 ? 2
(-1, -10)
2 ( x 2 2 x 1 5) 2 x 1 10 De donde: 2ba , d 1, 10 2
2
y = 2x + 1
6) Regla de la función cúbica: Sí y = ax3 + b
3
y = 2x + 1
la gráfica es una curva que toca al eje “Y” en (0, b);
similar a una ese “S” “ invertida sí “a” es positiva “+” y similar a una “S” normal sí “a” es negativa “-”.
•
Ejemplo: Trazar la gráfica cuya ecuación es: y = 2x3 + 1 Extensión: Todas las gráficas de la forma axn + b donde n es impar > 1, presentan este bosquejo. 7) Regla de los desplazamientos: Para y = f(x) y k > 0 se cumple lo siguiente: Sí Sí Sí Sí
y y y y
= = = =
f(x) + k f(x) - k f(x + k) f(x- k)
la la la la
gráfica gráfica gráfica gráfica
y y y y
= = = =
f(x) f(x) f(x) f(x)
se se se se
desplaza desplaza desplaza desplaza
k k k k
unidades unidades unidades unidades
hacia hacia hacia hacia
arriba. abajo. la izquierda. la derecha.
Ejemplo 1): Sea: y = x2 para k = 2 bosquejar a) y = f(x) + k; b) y = f(x) – k; c) y = f(x + k); d) y = f(x - k). a) y = f(x) + k = x2 + 2 b) y = f(x) – k = x2 - 2
c) y = f(x + k) = (x + 2)2 = x2 + 4x +4 d) y = f(x - k) = ( x – 2)2 = x2 – 4x +4
2
2
y=x
2
2
0 2
y=x +2
2
2
y=x -2
2
y = (x + 2)
2
y = (x - 2)
164
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Ejemplo 2): Sea: y = x2 + 1 para k = 2 bosquejar a) y = f(x) + k; b) y = f(x) – k; c) y = f(x + k); d) y = f(x - k). a) y = f(x) + k = (x2 + 1) + 2 = x2 + 3 b) y = f(x) – k = (x2 +1) - 2 = x2 - 1
c) y = f(x + k) = (x + 2)2 +1 = x2 + 4x + 5 d) y = f(x - k) = ( x – 2)2 + 1 = x2 – 4x + 1
3
1
2
1
y = x2 + 1
y = x2 + 3
y = x2 -1
2
y = (x + 2)2 + 1
y = (x - 2)2 + 1
8) Regla de los estiramientos y compresiones: Para y = f(x) y k > 0 se cumple lo siguiente: Sí Sí Sí Sí
y y y y
= = = =
k f(x) f(x)/k f(kx) f(x/k)
la la la la
Ejemplo: Sea: y = x2
y y y y
para k = 2
a) y = k f(x) = 2 (x2 ) = 2x2 b) y = f(x)/k = (x2 )/2 = x2/2
y = x2
gráfica gráfica gráfica gráfica
= = = =
f(x) f(x) f(x) f(x)
se se se se
estira k veces en dirección vertical. comprime k veces en dirección vertical. comprime k veces en dirección horizontal. estira k veces en dirección horizontal.
bosquejar a) y = k f(x); b) y = f(x)/k; c) y = f(kx); d) y = f(x/k). c) y = f(kx) = (2x)2 =4x2 d) y = f(x/k) = (x/2)2 = x2/4
y = 2x2
y = x2/2
y = 4x2
y = x2/4
9) Regla de las reflexiones: Para y = f(x) se cumple lo siguiente:
Sí y = - f(x) Sí y = f(-x) Ejemplo: Sea: a) y = - f(x) = b) y = f(-x) =
y x
la gráfica y = f(x) la gráfica y = f(x) para k = 2
se refleja respeto al eje “X”. se refleja respecto al eje “Y”.
bosquejar a) y = - f(x); b) y = f(-x).
x x
y x
y x
y x 165
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Técnica de graficación a través del criterio de la primera derivada. El criterio de la primera derivada establece: Cuando en f existen puntos estacionarios (c, tales que
f (c) 0
f (c) 0 f ' 0
f (c)) I
se infiere que:
f ' 0
(c, f (c)) ; f ´ 0 f es curva creciente. b) Sí antes ó después de (c, f (c )) ; f ´ 0 f es curva decreciente. c) Si de antes a después de (c, f (c )) hay cambio de f ' 0 a f ' 0 (c, f (c)) es un máximo relativo.
a) Sí antes ó después de
c
Máximo relativo
(c, f (c)) hay cambio de f ' 0 (c, f (c)) es un mínimo relativo.
e) Si de antes a después de
f ' (c, f (c))
(c, f (c))
f (c) 0
c
Punto de inflexión
d) Si de antes a después de
f ' 0 a
f ' 0
f ' 0
f ' 0
f ' 0
Mínimo relativo
no hay cambio de
es un punto de inflexión.
3 2 Ejemplo: Investigar números y puntos críticos de la función y x x 2 x .
3
2
f ´ x x 2 x x20 ( x 1) ( x 2) 0 x1 1 y x2 2 Son los números estacionarios. f (1) 7 / 6 1, 7 / 6 Son los puntos estacionarios f (2) 10 / 3 2, 10 / 3 2
2
2 x
1 x 2
-2
0
f ' (2) (2) (2) 2 0 () 2
3
f ' (0) (0) (0) 2 0 ()
f ' (3) (3) (3) 2 0 ()
2
Creciente
2, 103
(2, - 10/3) 2
(- 1, 7/6 ) -1
x 1
1, 76
2
Decreciente Máximo relativo
Creciente Mínimo relativo
Técnica de graficación a través del criterio de la segunda derivada. Primera parte: Si en f existen puntos estacionarios
(c, f (c)) I
(obtenidos de la 1a. derivada); se infiere que: a) Sí b) Sí c) Sí
f 0 ó f ' ' (c) 0 (c, f (c)) es un máximo relativo f 0 ó f ' ' (c) 0 (c, f (c)) es un mínimo relativo f ' ' (c) 0 el criterio no decide.
Máximo relativo
f ' ' (c ) 0
f ' ' (c ) 0
Mínimo relativo
166
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Segunda parte: Si en f existen puntos
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
(c, f (c)) I
f '' 0
b) Sí
f
f
es cóncava hacia abajo I n
antes o después de
f '' 0
f '' 0
obtenido de la 2a. derivada, se infiere que: a) Sí f ' ' 0 antes o después de (c, f (c ))
Cóncava hacia abajo
(c, f (c))
es cóncava hacia arriba
In
Cóncava hacia arriba
Punto de inflexión
c) Sí hay cambio de concavidad de antes a después de (c, f (c )) (c, f (c )) es un punto de inflexión. Método de investigación:
1) Obtenga números y puntos estacionarios de la primera derivada. 2) Obtenga f ' ' (c ) de los números estacionarios de la 1a. derivada y aplique la 1a. parte del criterio. 3) Obtenga números y puntos estacionarios de la 2a. derivada. 4) Elabore la matriz de intervalos abiertos y aplique la 2a. parte del criterio. 5) Haga el bosquejo de la gráfica. Ejemplo.- Por el criterio de la segunda derivada, graficar la función
12 x ( x 2 3) 2
f ´
f (0)
f
x
(0)
6 2
3
36 x 2 36
x
3
2
36 x 2 36 2
12 x 0; ( x 2 3) 2
;
3
3
3
x1 1 y
0;
es el punto estacionarios de la 1ª derivada.
36(0) 2 36
(0)
2
3
3
0 como f 0
(2) 3
3
Cóncava hacia arriba
f (2)
Punto de inflexión
1, 1.5
1 x
1 x 1 0
0
(1, 1.5) 1
-2
36(2)2 36
1, 1.5
es otro punto estacionario de la 2ª derivada.
(-1, 1.5) -1
2
0, 2 es un máximo relativo 0, 2
es un punto estacionario de la 2ª derivada.
6 f ( 1) 1 . 5 ( 1, 1 . 5 ) ( 1) 2 3 6 f ( 1) 1 . 5 (1, 1 . 5 ) (1) 2 3
f (2)
estos son los números estacionario de la 2ª derivada.
x2 1
x 1
6 x 3 2
es el número estacionarios de la 1ª derivada.
0, 2
2
f (0)
x0
y
2
36(0)2 36
(0) 3 2
3
Cóncava hacia abajo
0
f (2)
Punto de inflexión
36(2)2 36
(2) 3 2
3
0
Cóncava hacia arriba
167
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Anexo: A2. Propiedades de los exponentes:
1) a 0 1 2)
3) (ab) x a x b x
ax a x y ay
5)
a x
y
e ln x x
axy
x
4) a a a x
y
x y
ax a 6) x b b
a log a x x a 0 1
Anexo: A3. Propiedades de los logaritmos: Logaritmos de base "a" ;
Sí a, b 1
Logaritmos de base "e" ;
1) ln 1 0
1) log a 1 0 2) log a a 1 3) log a ( xy ) log a x log a y x log a log y
4)
a
x log
a
2) ln e 1
3) ln xy ln x ln y 4)
y
x ln ln x ln y y
5) ln ( x n ) n ln x
5) log a ( x n ) n log a x
6) log a x
log b x log b a
6) ln x
log a x log a e
log a b
1 log b a
7)
ln a
1 log a e
7)
Sí a 1
8) ln e x x
8) log a a x x a 0 1 Anexo: A4. Funciones trigonométricas:
Las funciones trigonométricas son funciones que se definen por la relación entre los lados de un triángulo rectángulo, cuyo ángulo de referencia tiene como vértice el origen del plano cartesiano. Función
1)
2)
3) 4) 5) 6)
B C A y cos x C
y sen x
B y tan x A A B C y sec x A C y csc x B y cot x
Nombre
Gráfico
Seno Coseno Tangente Cotangente
C
B
x A
Secante Cosecante
168
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Anexo: A5. Identidades de funciones trigonométricas: Seno:
1) sen x
1 csc x
2) sen( x) sen x
3)
1 5) sen x cos x sen 2 x 2 sen x 6) tan x cos x
1 csc x sen x
4) sen 2 x 2 sen x cos x Coseno:
1) cos x
1 Sec x
2) cos( x) cos x
3)
1 sec x cos x
4) cos 2 x 2 cos 2 x 1
Tangente:
1 cot x 2) tan ( x) tan x
1) tan x
1 cot x tan x 1 1) cot x tan x 2) cot ( x) cot x
7) sen 2 x 1 cos 2 x 1 1 cos 2 x 2 2 1 1 1 9) sen 2 x cos x 2 2 2
8) sen 2 x
10) sen 2 x cos 2 x 1 5) cos 2 x 1 2sen 2 x
9) cos 2 x 1 sen 2 x
6) cos 2 x cos 2 x Sen 2 x
1 1 10) cos 2 x cos 2 x 2 2
1 7) sen x cos x sen 2 x 2 sen x 8) tan x cos x 4) tan x
sen x cos x
11) cos 2
1 1 1 x cos x 2 2 2
12) sen 2 x cos 2 x 1
5) tan 2 x sec 2 x 1 6) sec 2 x tan 2 x 1
3)
Cotangente:
2 tan x 1 tan 2 x 1 1) sec x cos x 2) sec ( x) sec x
1 tan x cot x cos x 5) cot x sen x
3)
6) cot 2 x csc 2 x 1 7) csc 2 u cot 2 u 1
4) tan 2 x
Secante:
Cosecante:
1 sen x 2) csc ( x) csc x
1) csc x
3)
1 cos x sec x
4) sec 2 x 1 tan 2 x 5) sec 2 x tan 2 x 1
3)
1 sen x csc x
4) csc 2 x 1 cot 2 x 5) csc 2 u cot 2 u 1
169
José Santos Valdez y Cristina Pérez
Metodología para el aprendizaje del cálculo integral
Anexo: A6. Funciones hiperbólicas: Es una clase de funciones exponenciales que surgió al observar la relación del área de un semicírculo con el área de una parábola, quedando definida de la siguiente forma: Función
Nombre
1)
ex ex y senh x 2
2)
y cosh x
ex ex 2
3)
y tanh x
senh x ex ex x cosh x e ex
Función
Nombre
Seno hiperbólico
4)
e x ex 1 y coth x x tgh x e e x
Coseno hiperbólico
5)
y sec h x
1 2 cosh x e x e x
Tangente hiperbólica
6)
y csc h x
1 2 senh x e x e x
Cotangente hiperbólica Secante hiperbólica Cosecante hiperbólica
Anexo: A7. Identidades de funciones hiperbólicas: Seno hiperbólico
1) senh( x) senh x 2) senh 2 x 2 senh x cosh x 3 ) senh 2 x
Coseno hiperbólico
Cotangente hiperbólica Secante hiperbólica Cosecante hiperbólica
5) cosh 2 x senh 2 x 1
1 cosh 2 x 1 2
1) cosh( x) cosh x
4 ) cosh
2) cosh 2 x cosh 2 x senh 2 x
5) cosh 2 x senh 2 x 1
3 ) cosh
Tangente hiperbólica
1 cosh 2 x 2
4 ) senh 2 x
2x
1 cosh 2
senh cosh cosh 1) coth x senh
1) csc h x
x
1 cosh 2 x 2
2 x 1
x x x x
2) tanh 2 x sec h 2 x 1
1 cosh x
2) tanh 2 x sec h 2 x 1
1) tanh x
1 ) sec h x
2
1 senh x
2) coth 2 x csc h 2 x 1
2) coth 2 x csc h 2 x 1
Anexo: A8. Funciones hiperbólicas inversas: Función
2)
y arccos h x ln x
3)
y arctan h x
Nombre Seno hiperbólico inverso
1
y arc senh x ln x x 1
1)
4)
5)
6)
2
x2
1 1 x ln 2 1 x 1 x 1 y arc coth x ln 2 x 1 1 1 x2 y arc sec h x ln x 1 1 x2 y arc csc h x ln x x
Coseno hiperbólico inverso Tangente hiperbólico inverso Cotangente hiperbólico inverso Secante hiperbólico inverso
Cosecante hiperbólico inverso
170
Anexos: B. INSTRUMENTACIÓN DIDÁCTICA. B1. Identificación. B2. Caracterización de la asignatura. B3. Competencias a desarrollar: B4. Análisis del tiempo para el avance programático. B5. Avance programático. B6. Instrumentación didáctica. B7. Apoyos didácticos. B8. Fuentes de información. B9. Calendarización de evaluación. B10. Corresponsabilidades. Anexo: B1. Identificación: Asignatura: Cálculo integral Descripción: Cálculo integral. Clave: Sin.
Carrera: Todas las ingenierías. Horas teóricas: 3 Horas prácticas: 2 Unidades: 5
Versión: Agosto del año 2010.
Anexo: B2. Caracterización de la asignatura: - Esta asignatura contribuye a desarrollar un pensamiento lógico, heurístico y algorítmico al modelar fenómenos y resolver problemas en los que interviene la variación. - Hay una diversidad de problemas en la ingeniería que son modelados y resueltos a través de una integral, por lo que resulta importante que el ingeniero domine el Cálculo integral. Anexo: B3. Competencias a desarrollar: -
Contextualizar el concepto de Integral. Discernir método más adecuado para resolver una integral dada y resolverla usándolo. Resolver problemas de cálculo de longitud de arco, áreas, volúmenes de sólidos de revolución, y centroides. Reconocer el potencial del Cálculo integral en la ingeniería.
Anexo: B4. Análisis del tiempo para el avance programático. No 1 2
3 4
Indicador Horas programadas por semestre Horas no impartidas:
Subindicador 16 Semanas programadas por 5 horas/semana Subtotal
Hrs. 80
Suspensiones de ley (promedio) Eventos institucionales Faltas del maestro Juntas de academia Juntas departamentales Juntas sindicales Subtotal
-4 -3 -3 -2 -2 -2 -16
Total
-64 -80
Horas reales
Hrs. +80
+80
171
Anexo: B5. Avance programático: UNIDAD: 1. LA INTEGRAL INDEFINIDA.
Avance programático T/h T/h/a %
Clase
Tema
0.0
Presentación del programa de estudio, la bibliografía, los lineamientos en que se desarrollará el curso y los criterios de evaluación. Diferenciales. Diferenciación de funciones elementales. Diferenciación de funciones algebraicas que contienen “xn”. Diferenciación de funciones que contienen “u”. La antiderivada e integración indefinida de funciones elementales. Integración indefinida de funciones algebraicas que contienen “xn”. Integración indefinida de funciones que contiene “u”. Evaluación de la unidad. Subtotal:
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
UNIDAD: 2. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. Tema
2.1
Técnica de integración por uso de tablas de fórmulas de funciones que contienen 2 2 las formas: u a . Técnica de integración por cambio de variable. Técnica de integración por partes. Técnica de integración del seno y coseno de m y n potencia. Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia. Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia. Técnica de integración por sustitución trigonométrica. Técnica de integración de fracciones parciales. Técnica de integración por series de potencia. Técnica de integración por series de Maclaurin y series de Taylor. Evaluación de la unidad. Subtotal:
UNIDAD: 3. LA INTEGRAL DEFINIDA. Clase
Tema
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
La integral definida. Teoremas de cálculo integral. Integración definida de funciones elementales. Integración definida de funciones algebraicas que contienen “xn”. Integración definida de funciones que contienen “u”.
3.7
Integración definida de funciones que contienen las formas: u 2 a 2 Integrales impropias. Evaluación de la unidad.
1
2
1 2 1 2 2 1 2 1 13
2 4 5 7 9 10 12 13
3 6 8 11 14 16 19 20
Avance programático T/h T/h/a %
Clase
2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10
1
1
14
22
1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 15
15 16 18 19 20 22 24 25 27 28
23 25 28 30 31 34 37 39 42 44
Avance programático T/h T/h/a %
a 0 Subtotal:
1 1 3 1 3 2
29 30 33 34 37 39
45 47 52 53 58 61
3 1 15
42 43
66 67
172
UNIDAD: 4. TEMA: APLICACIONES DE LA INTEGRAL. Clase
Tema
Avance programático T/h T/h/a %
4.1 4.2
Cálculo de longitud de curvas. Cálculo de áreas.
1 2
44 46
69 72
4.3 4.4 4.5
Cálculo de volúmenes. Cálculo de momentos y centros de masa. Cálculo del trabajo. Evaluación de La unidad.
2 2 2 1 10
48 50 52 53
75 78 81 83
Subtotal:
UNIDAD: 5. TEMA: INTEGRACIÓN POR SERIES. Clase
Tema
Avance programático T/h T/h/a %
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 0.0
Definición, clasificación y tipos de series. Generación del enésimo término de una serie. Convergencia de series. Intervalo y radio de convergencia de series de potencias. Derivación e integración indefinida de series de potencia. Integración definida de funciones por series de potencia. Integración definida de funciones por series de Maclaurin y series de Taylor. Evaluación y clausura del curso. Evaluación de la unidad. Subtotal:
1 2 1 1 1 2 1 1 1 11
54 56 57 58 59 61 62 63 64
84 87 89 91 92 95 97 98 100
173
Anexo: B6. Actividades de enseñanza y aprendizaje. Identificación:
Competencias específicas:
Criterios de evaluación:
No. de unidad: 1. Tema: La integral.
- Solución de las diferenciales necesarias para el cálculo de integrales. - Discernir sobre métodos más adecuados para resolver una integral. - Solucionar las integrales indefinidas como apoyo para el cálculo de las integrales definidas.
-
Cla se
Actividades de enseñanza
Actividades de aprendizaje
Descripción 0.0
1.1
Competencias genéricas
N de la
C2
Participar en presentación.
- Por el método globalizado y con la técnica expositiva; presentar el programa de estudio, la bibliografía, los lineamientos en que se desarrollará el curso y los criterios de evaluación.
C2
Participar haciendo preguntas, comentarios y aclarando dudas.
- Interpretar conceptos. - Establecer generalizaciones. - Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
- Coordinar la formación de equipos que participarán en la exposición de temas y elaboración de tareas.
C2
Formar equipos de investigación para la elaboración de tareas y presentación de exposiciones.
- Tomar decisiones.
- Por el método psicológico y con la técnica de la comisión, asignar a los equipos los temas sujetos a investigación y presentación ante el grupo.
C2
Tomar notas y participar haciendo preguntas, comentarios y aclarando dudas.
- Interpretar conceptos. - Establecer generalizaciones. - Tomar decisiones.
Por el método inductivo y con la técnica expositiva presentar el tema “Diferenciales”. A continuación se forman parejas que por la técnica de cuchicheo discuten la solución a problemas planteados.
C2
Haber investigado el tema “Diferenciales”; y participar haciendo preguntas y aclarando dudas.
- Interpretar y procesar datos.
Con la dinámica presentación, promover identificación del grupo.
Por el método heurístico y con la técnica expositiva presentar el tema “Diferenciación de funciones elementales”. A continuación se forman parejas que por la técnica de cuchicheo discuten la solución a problemas planteados.
la
dinámica
de
- Comunicar ideas.
- Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
hr s % 1 1 2
1 2 3
- Transferir el conocimiento adquirido a otros campos de aplicación.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
1.2
Solución de problemas. Participaciones. Tareas. Disciplina; Actitud; Valores.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
C3
Haber investigado “Diferenciación de elementales”; y haciendo preguntas y dudas.
el tema funciones participar aclarando
- Comunicar ideas en el lenguaje matemático.
- Interpretar y procesar datos. - Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
2 4 6
- Analizar la factibilidad de las soluciones. - Resolver problemas.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
174
1.3
Por el método analógico hacer una introducción al tema “Diferenciación de funciones algebraicas que contienen xn” . A continuación se hace la presentación del equipo que por la técnica de la comisión hará una exposición del tema.
C3
Por el método analógico hacer una introducción al tema “Diferenciación de funciones que contienen u”. A continuación se hace la presentación del equipo que por la técnica de la comisión hará una exposición del tema.
C3
Por el método activo y con técnica expositiva presentar tema “La antiderivada integración indefinida funciones elementales”.
la el e de
C4
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios. 1.6
Por el método psicológico hacer una introducción al tema “Integración indefinida de funciones algebraicas que contienen xn”. A continuación se organiza al grupo en discusión circular, luego se hace la presentación de los equipos que por la técnica del seminario presentan el tema.
C3
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios. 1.7
Por el método sistematizado y por la técnica de la exposición presentar el tema “Integración indefinida de funciones que contienen u”.
- Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
1 5 8
- Analizar la factibilidad de las soluciones.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Establecer generalizaciones.
El equipo participante presenta el tema “Diferenciación de funciones que contienen u”. El resto del grupo haber investigado el tema y participar haciendo preguntas y aclarando dudas.
- Interpretar y procesar datos.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios. 1.5
- Interpretar y procesar datos.
- Resolver problemas.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
1.4
El equipo participante presenta el tema “Diferenciación de funciones algebraicas que contienen xn” . El resto del grupo haber investigado el tema y participar haciendo preguntas y aclarando dudas.
- Resolver problemas. - Establecer generalizaciones.
Haber investigado el tema “La antiderivada e integración indefinida de funciones elementales”; y participar haciendo preguntas y aclarando dudas.
- Interpretar y procesar datos.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Comunicar ideas en el lenguaje matemático.
Los equipos participantes presentan el tema “Integración indefinida de funciones algebraicas que contienen xn”. El resto del grupo haber investigado el tema y organizado en discusión circular participan haciendo preguntas y aclarando dudas.
- Interpretar y procesar datos.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
C4
- Analizar la factibilidad de las soluciones.
Haber investigado el tema “Integración indefinida de funciones que contienen u”; y participar haciendo preguntas y aclarando dudas.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
Evaluación de la unidad.
Participar presentando exámenes.
2 7 11
- Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
2 9 14
- Resolver problemas.
- Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
1 10 16
- Resolver problemas. - Establecer generalizaciones. - Comunicar ideas en el lenguaje matemático.
- Interpretar y procesar datos. - Analizar la factibilidad de las soluciones. - Resolver problemas. - Establecer generalizaciones. - Potenciar las habilidades para el uso de tecnologías de la información.
2 12 19
- Resolver problemas. - Comunicar ideas. - Tomar decisiones.
1 13 20
175
Identificación:
Competencias específicas:
Criterios de evaluación:
No. de unidad: 2. Tema: Técnicas de integración.
- Discernir sobre métodos más adecuados para resolver una integral dada y aplicarlo. - Solucionar las integrales indefinidas de cierto grado de dificultad como apoyo para el cálculo de las integrales definidas.
-
Cla se 2.1
2.2
Actividades de enseñanza Descripción
N
Por el método analógico hacer una introducción al tema “Técnica de integración por uso de tablas de fórmulas de funciones que contienen las formas u2 ± a2”. A continuación por el método de investigación se dan los temas sujetos de investigación y los lineamientos de presentación del informe.
C3
Por el método sistematizado hacer una introducción al tema “Técnica de integración por cambio de variable”. A continuación se hace la presentación del equipo que por la técnica de la comisión hace una exposición del tema.
C4
Por el método intuitivo y por la técnica de presentación se expone el tema “Técnica de integración por partes”. A continuación se forman parejas que por la técnica de cuchicheo discuten la solución a problemas planteados.
Por el método intuitivo y por la técnica de presentación se expone el tema “Técnica de integración del seno y coseno de m y n potencia”. A continuación se forman equipos que por la técnica de corrillos discuten la solución a problemas planteados. Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
Competencias genéricas
El grupo participa haciendo preguntas y aclarando dudas sobre la investigación y la presentación del informe sobre el tema “Técnica de integración por uso de tablas de fórmulas de funciones que contienen las formas u2 ± a2”. Realizan la investigación y entregan el informe.
- Interpretar y procesar datos.
El equipo participante presenta el tema “Técnica de integración por cambio de variable”. El resto del grupo haber investigado el tema y participar haciendo preguntas y aclarando dudas.
- Interpretar y procesar datos.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios. C4
- Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
hr s % 1 14 22
- Resolver problemas. - Establecer generalizaciones.
- Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
1 15 23
Haber investigado el tema “Técnica de integración por partes”, y formar parejas para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.
- Establecer generalizaciones.
- Interpretar y procesar datos. - Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
1 16 25
- Resolver problemas. Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios. 2.4
Actividades de aprendizaje
- Resolver problemas.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios. 2.3
Solución de problemas. Participaciones. Tareas. Disciplina; Actitud; Valores.
C4
Haber investigado el tema “Técnica de integración del seno y coseno de m y n potencia”, y formar equipos para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.
- Establecer generalizaciones.
- Interpretar y procesar datos. - Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
2 18 28
- Resolver problemas. - Establecer generalizaciones. Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
176
2.5
Por el método intuitivo y por la técnica de presentación se expone el tema “Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia”; y por la técnica de la caja de entrada a continuación se plantea al grupo problemas a los que tiene que dar solución.
C4
Por el método inductivo hacer una introducción al tema “”Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia. A continuación se hace la presentación de los equipos que por la técnica del seminario presentan el tema.
Por el método intuitivo y por la técnica de presentación hacer una introducción al tema “Técnica de integración por sustitución trigonométrica”; y por la técnica de la comisión un equipo presenta el tema.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios. C4
Por el método heurístico y por la técnica de presentación se expone el tema “Técnica de integración de fracciones parciales”. A continuación se forman grupos que por la técnica de corrillos analizan problemas propuestos.
C4
C4
Por el método heurístico y por la técnica de presentación se expone el tema “Técnica de integración por series de potencia”. A continuación se forman grupos que por la técnica de corrillos analizan problemas propuestos. Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
- Interpretar y procesar datos. - Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
1 20 31
- Resolver problemas. - Establecer generalizaciones.
El equipo comisionado presenta el tema “Técnica de integración por sustitución trigonométrica”. El resto del grupo haber investigado el tema y participan haciendo preguntas y aclarando dudas.
- Interpretar y procesar datos.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Establecer generalizaciones.
Haber investigado el tema “Técnica de integración de fracciones parciales”, y formar equipos para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.
- Interpretar y procesar datos.
- Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
2 22 34
- Resolver problemas.
- Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
2 24 37
- Resolver problemas. Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios. 2.9
Los equipos participantes presentan el tema “Técnica de integración de la cotangente y cosecante de m y n potencia”. El resto del grupo haber investigado el tema y participan haciendo preguntas y aclarando dudas. Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios. 2.8
- Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
1 19 30
- Establecer generalizaciones.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios. 2.7
- Interpretar y procesar datos.
- Resolver problemas.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios. 2.6
Haber investigado el tema “Técnica de integración de la tangente y secante de m y n potencia”, y dar solución y exponer problemas planteados.
C4
Haber investigado el tema “Técnica de integración por series de potencia”, y formar equipos para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.
- Establecer generalizaciones.
- Interpretar y procesar datos. - Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
1 25 39
- Resolver problemas. Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Establecer generalizaciones.
177
2.1 0
Por el método analógico y por la técnica de presentación se expone el tema “Técnica de integración por series de Maclaurin y series de Taylor”. A continuación se forman grupos que por la técnica de corrillos analizan problemas propuestos.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
Evaluación de la unidad.
Participar presentando exámenes.
No. de unidad: 3. Tema: La integral definida.
3.1
Haber investigado el tema “Técnica de integración por series de Maclaurin y series de Taylor”, y formar equipos para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
Identificación:
Cla se
C4
- Interpretar y procesar datos. - Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente. - Resolver problemas. - Establecer generalizaciones. - Potenciar las habilidades para el uso de tecnologías de la información. - Resolver problemas. - Comunicar ideas. - Tomar decisiones.
Competencias específicas: - Discernir sobre métodos más adecuado para resolver una integral definida y aplicarlo. - Evaluar las integrales definidas como dominio previo a las aplicaciones en la solución de problemas prácticas del campo de la ingeniería.
Actividades de enseñanza
Actividades de aprendizaje
Descripción
N
Por el método inductivo y con la técnica expositiva presentar el tema “Definición de la integral definida”.
C3
Haber investigado el tema “Definición de la integral definida”; y participar haciendo preguntas y aclarando dudas. Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
2 27 42
1 28 44
Criterios de evaluación: -
Solución de problemas. Participaciones. Tareas. Disciplina; Actitud; Valores.
Competencias genéricas - Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente. - Transferir el conocimiento adquirido a otros campos de aplicación.
hr s % 1 29 45
- Comunicar ideas en el lenguaje matemático. 3.2
3.3
Por el método analógico hacer una introducción al tema “Teoremas de cálculo integral”. A continuación por el método de investigación se dan los temas sujetos de investigación y los lineamientos de presentación del informe.
C3
Empleando el método lógico y con la técnica expositiva presentar el tema “Integración definida de funciones elementales”. A continuación se forman equipos quienes por la técnica de corrillos discuten la solución a problemas planteados.
C4
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
El grupo participa haciendo preguntas y aclarando dudas sobre la investigación y la presentación del informe sobre el tema “Teoremas de cálculo integral”. Realizan la investigación y entregan el informe.
- Interpretar y procesar datos.
Haber investigado el tema “Integración definida de funciones elementales”, y formar equipos para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.
- Interpretar y procesar datos.
- Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
1 30 47
- Comunicar ideas en el lenguaje matemático.
- Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
3 33 52
- Analizar la factibilidad de las soluciones. - Resolver problemas.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
178
3.4
Por el método deductivo y con la técnica expositiva presentar el tema “Integración definida de funciones algebraicas que contienen xn”. A continuación se forman parejas de alumnos que por la técnica de cuchicheo discuten la solución a problemas planteados.
C4
Por el método activo y por la técnica expositiva se presenta el tema “Integración definida de funciones que contienen u”. A continuación se forman equipos que por la técnica de corrillos discuten la solución a problemas planteados.
Por el método activo y por la técnica expositiva se presenta el tema “Integración definida de funciones que contienen las forma u2 ± a2”. A continuación se forman equipos que por la técnica de corrillos discuten la solución a problemas planteados.
C4
Por el método inductivo y con la técnica expositiva presentar el tema “Integrales impropias”.
Haber investigado el tema “Integración definida de funciones que contienen u”, y formar equipos para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
C4
- Analizar la factibilidad de las soluciones.
Haber investigado el tema “Integración definida de funciones que contienen las formas u2 ± a2” y formar equipos para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.
- Interpretar y procesar datos. - Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
3 37 58
- Analizar la factibilidad de las soluciones. - Resolver problemas.
- Interpretar y procesar datos. - Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
2 39 61
- Analizar la factibilidad de las soluciones. - Resolver problemas.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
3.7
- Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
1 34 53
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
3.6
- Interpretar y procesar datos.
- Resolver problemas.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
3.5
Haber investigado el tema “Integración definida de funciones algebraicas que contienen xn”, y formar parejas de alumnos para la discusión a problemas planteados y exponer sus soluciones.
C3
Haber investigado el tema “Integrales impropias”; y participar haciendo preguntas y aclarando dudas.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
Evaluación de la unidad.
Participar presentando exámenes.
- Interpretar y procesar datos. - Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones. - Resolver problemas. - Potenciar las habilidades para el uso de software.
- Resolver problemas. - Comunicar ideas. - Tomar decisiones.
3 42 66
1 43 67
179
Identificación:
Competencias específicas:
Criterios de evaluación:
No. de unidad: 4. Tema: Aplicaciones de la integral
- Discernir sobre métodos más adecuado para resolver problemas prácticos del campo de la ingeniería.
-
- Solucionar problemas específicos del campo de la ingeniería.
Cla se 4.1
Actividades de enseñanza Por el método especializado hacer una introducción al tema “Cálculo de la longitud de curvas”. A continuación se hace la presentación del equipo que por la técnica del simposio hará una exposición del tema.
C 2
4.2
Por el método analógico y por la técnica expositiva se presenta el tema “Cálculo de áreas”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos den soluciones.
C 3
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
4.3
Por el método inductivo y por la técnica expositiva se presenta el tema “Cálculo de volúmenes”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos sugieran soluciones.
Por el método especializado y por la técnica expositiva se presenta el tema “Cálculo de la masa, momentos y centros de masa”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos den soluciones. Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
Competencias genéricas
El equipo participante presenta el tema “Cálculo de la longitud de curvas”. El resto del grupo haber investigado el tema y participar preguntando y aclarando dudas.
- Interpretar y procesar datos.
Haber investigado el tema “Cálculo de áreas”, y sugerir soluciones a problemas planteados.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
C 3
Haber investigado el tema “Cálculo de volúmenes”, y sugerir soluciones a problemas planteados.
- Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
hr s % 1 44 69
- Discernir sobre métodos más adecuado para resolver un problema y aplicarlo. - Resolver problemas. - Interpretar y procesar datos. - Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
2 46 72
- Discernir sobre métodos más adecuado para resolver un problema y aplicarlo. - Resolver problemas.
- Interpretar y procesar datos. - Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
2 48 75
- Discernir sobre métodos más adecuado para resolver un problema y aplicarlo. Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
4.4
Actividades de aprendizaje
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
Solución de problemas. Participaciones. Tareas. Disciplina; Actitud; Valores.
C 3
Haber investigado el tema “Cálculo de la masa, momentos y centros de masa”, y sugerir soluciones a problemas planteados.
- Resolver problemas.
- Interpretar y procesar datos. - Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.
2 50 78
- Discernir sobre métodos más adecuado para resolver un problema y aplicarlo. Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Resolver problemas. - Potenciar las habilidades para el uso de software.
180
4.5
Por el método analógico y por la técnica expositiva se presenta el tema “Cálculo del trabajo”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos den soluciones.
C 4
Haber investigado el tema “Cálculo del trabajo”, y sugerir soluciones a problemas planteados.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
Evaluación de la unidad.
Participar presentando exámenes.
- Interpretar y procesar datos. - Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones. - Discernir sobre métodos más adecuado para resolver un problema y aplicarlo. - Resolver problemas. - Resolver problemas. - Comunicar ideas. - Tomar decisiones.
Identificación:
Competencias específicas:
Criterios de evaluación:
No. de unidad: 5. Tema: Integración por series.
- Discernir sobre métodos para resolver problemas. - Evaluar las integrales definidas por series como dominio previo a las aplicaciones en la solución de problemas prácticas del campo de la ingeniería.
-
Cla se 5.1
Actividades de enseñanza Por el método especializado hacer una introducción al tema “Definición, clasificación y tipos de series”. A continuación se hace la presentación del equipo que por la técnica del simposio hará una exposición del tema.
C 3
Por el método analógico y por la técnica expositiva se presenta el tema “Generación del enésimo término de una serie”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos den soluciones.
C 3
Por el método inductivo y por la técnica expositiva se presenta el tema “Convergencia de series”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos sugieran soluciones. Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
Solución de problemas. Participaciones. Tareas. Disciplina; Actitud; Valores.
Actividades de aprendizaje
Competencias genéricas
El equipo participante presenta el tema “Definición, clasificación y tipos de series”. El resto del grupo haber investigado el tema y participar preguntando y aclarando dudas.
- Interpretar y procesar datos. - Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
hr s % 1 54 84
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Establecer generalizaciones.
Haber investigado el tema “Generación del enésimo término de una serie”, y sugerir soluciones a problemas planteados.
- Interpretar y procesar datos. - Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.
2 56 87
- Resolver problemas. Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios. 5.3
1 53 83
- Resolver problemas.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios. 5.2
2 52 81
C 3
Haber investigado el tema “Convergencia de series”, y sugerir soluciones a problemas planteados.
- Establecer generalizaciones.
- Interpretar y procesar datos. - Analizar la factibilidad de las soluciones.
1 57 89
- Resolver problemas. Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
- Establecer generalizaciones.
181
5.4
5.5
5.6
Por el método especializado y por la técnica expositiva se presenta el tema “Intervalo y radio de convergencia de una serie de potencia”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos den soluciones.
C 4
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
Por el método analógico y por la técnica expositiva se presenta el tema “Derivación e integración indefinida de series de potencia”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos den soluciones.
Haber investigado el tema “Derivación e integración indefinida de series de potencia”, y sugerir soluciones a problemas planteados.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
0.0
Por el método analógico y por la técnica expositiva se presenta el tema “Integración definida por series de Maclaurin y series de Taylor”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos den soluciones.
- Analizar la factibilidad de las soluciones.
1 58 91
- Establecer generalizaciones.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
Por el método especializado y por la técnica expositiva se presenta el tema “Integración definida por series de potencia”. A continuación por la técnica de problemas se plantean los mismos para que los alumnos den soluciones.
- Interpretar y procesar datos.
- Resolver problemas.
- Interpretar y procesar datos. - Analizar la factibilidad de las soluciones.
1 59 92
- Resolver problemas. - Establecer generalizaciones.
C 4
Haber investigado el tema “Integración definida por series de potencia”, y sugerir soluciones a problemas planteados.
- Interpretar y procesar datos. - Analizar la factibilidad de las Soluciones y resolver problemas.
2 61 95
- Establecer generalizaciones.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios. 5.7
Haber investigado el tema “Intervalo y radio de convergencia de una serie de potencia”, y sugerir soluciones a problemas planteados.
C 4
Haber investigado el tema “Integración definida por series de Maclaurin y series de Taylor”, y sugerir soluciones a problemas planteados.
- Potenciar las habilidades para el uso de software.
- Interpretar y procesar datos. - Resolver problemas. - Establecer generalizaciones.
1 62 97
- Comunicar ideas en el lenguaje Matemático.
Por el método activo resolver ejemplos y asignar ejercicios.
Participar en la resolución de ejemplos y solucionar ejercicios.
Evaluación y clausura del curso.
Participar haciendo comentarios.
Evaluación de la unidad.
Participar presentando exámenes
- Potenciar las habilidades para el uso de software. - Comunicar ideas. - Tomar decisiones. - Resolver problemas. - Comunicar ideas. - Tomar decisiones.
1 63 98 1 64 100
Anexo: B7. Apoyos didácticos: - Aula básica. - Cañón electrónico
- Fuentes de información. - Lap-top
- Proyector de acetatos. - Software
182
Anexo: B8. Fuentes de información: Clave
AUTOR
TÍTULO
EDITORIAL
Metodología para el Aprendizaje del Cálculo Integral
Trafford, 2010.
Bibliografia del Maestro: BM/1
José Santos Valdez y Cristina Pérez
BM/2.
Wolfram Research, Inc
Mathematica 7 (Software ).
BM/3.
José Santos Valdez Pérez
Metodología para el Aprendizaje del Cálculo Diferencial: Versión 2008
Trafford, 2008.
Bibliografia del Programa de estúdio: BP/1
Stewart, James B.
Cálculo con una variable.
Thomson
BP/2
Larson, Ron.
Matemáticas 2 (Cálculo integral)
McGraw-Hill, 2009.
BP/3.
Swokowski Earl W.
Cálculo con Geometría Analítica.
Iberoamérica, 2009
BP/4.
Leithold Louis.
El Cálculo con Geometría Analítica
Oxford University Press, 2009.
BP/5.
Purcell, Edwing J.
Cálculo
Pearson, 2007.
BP/6.
Ayres, Frank.
Cálculo
McGraw-Hill, 2005
BP/7. Hasser, Norman B.
Análisis matemático Vol 1.
Trillas, 2009.
BP/8. Courant, Richard.
Introducción al cálculo y Análisis matemático Vol 1.
Limusa, 2008.
Anexo: B9. Calendarización de evaluación: Semana Tiempo Planeado Tiempo Real
1
2
Ed
3
4
5
Eu1
6
7 Eu2
8
9
10
11
12
13
Eu3
14 Eu4
15
16
17
18
Eu5
Eo2
Eo3
Anexo: B10. Corresponsabilidades: Autor de elaboración
Nombre:
Fecha:
Docente
Nombre:
Firma:
Jefe del Departamento
Nombre:
Vo.Bo.
Presidente de academia
Nombre:
Vo.Bo.
Día:
Mes:
Año:
183
Anexos: C. SIMBOLOGÍA: C1. Simbología de caracteres. C2. Simbología de letras. C3. Simbología de funciones.
Anexo: C1. Simbología de caracteres: SÍMBOLO
SIGNIFICADO
SÍMBOLO
SIGNIFICADO
Aproximadamente
b,
Intervalo infinito y cerrado por la izquierda
Aproximadamente ó igual
l m
Beta
=
x y
b
a, b a, b
Intervalo semiabierto por la derecha Intervalo semiabierto por la izquierda
Densidad laminar
+
Más; Signo de suma
Densidad de masa
Más ó menos
Diferente Entre; Signo de división Es, está, existe, pertenece Igual Implica; tiende a Incremento, delta Incremento de “x”
>
Mayor que Menor ó igual que Menor que Mayor ó igual que Menos, Menor que; Signo de resta Menos infinito No existe, no pertenece
Incremento de “y” Infinito, alfa Integral indefinida
<
-
Para todo Perpendicular Pi
3.1416
Integral definida
Por; Signo de multiplicación
Interrogación (apertura). Interrogación (cierre). Intersección
.
Por; Signo de multiplicación Por lo tanto; de donde Raíz cuadrada
a
¿ ?
Raíz enésima
n
a, b , , a b, , a
Sí y sólo sí Sumatoria
Intervalo cerrado
Intervalo infinito
Sumatorio que inicia en
Intervalo infinito y abierto por la derecha Intervalo infinito y abierto por la izquierda Intervalo infinito y cerrado por la derecha
Unión
a
Valor absoluto de
b
"a" y termina en "b".
a
a
184
Anexo: C2. Simbología de letras: SÍMBOLO
SIGNIFICADO
SÍMBOLO
a A b
Límite inferior de la integral definida
NA
Límite superior de la integral definida
PM ab
p ”, Presión Punto medio entre " a" y " b"
c
P(x, y)
Punto “P”
cm
Punto “c”; Punto límite “c”; Constante de integración Centímetros
c.m.
Centro de masa
Q
Punto “Q”
du dv
Diferencial de “u”
Radio
dy
Diferencial de “y”
d e
Distancia
r R R2 s t
f F
Función;
Recta tangente
ft
Pies
h
Altura
I
Intervalo;
T T0 T1 T2 T3
k
Constante; Constante de proporcionalidad
T4
Tarea evaluada con veinte puntos
lb
Libras
u
Cualquier función; Unidades
lím
Límite
v
Cualquier función; Velocidad
ln
Logaritmo natural
Volumen
lt
Litro
V W
L
Límite; Longitud de arco
x
Coordenada “x” ó absisa
L L m
Límite lateral izquierdo
X
Recta horizontal; Eje de las “xs”
Límite lateral derecho
xc
“x” tiende a “c”
Pendiente; masa; eme
xc+
“x” tiende a “c” por la derecha
mT mS Mx
Pendiente de la recta tangente
xc-
“x” tiende a “c” por la izquierda
Pendiente de la recta secante
(x, y)
Pareja ordenada “x” e “y”; Punto en R2
Momento con respecto a “x”
y
Coordenada “y” ú ordenada
My "n"
Momento con respecto a “y”
Y
Eje de las “Ys”
Ene potencia
Z
Números enteros
n!
n factorial
Z
Números enteros negativos
N
Números naturales
Z
Números enteros positivos
Área
Diferencial de “v”
Número " e " e 2 . 71828 Fuerza
p
p (x)
+
SIGNIFICADO No aprueba Punto “
Polinomio de variable “x”
Números reales positivos Plano cartesiano Espacio Tiempo
Tarea evaluada con cero puntos Tarea evaluada con cinco puntos Tarea evaluada con diez puntos Tarea evaluada con quince puntos
Trabajo
185
Anexo: C3. Simbología de funciones: SÍMBOLO
f f (x) f' f '' n
SIGNIFICADO
SÍMBOLO
Función; Función
f
" x"
de variable
Primera derivada de la función Segunda derivada de la función
y cos x
Función coseno
y cosh x
Función coseno hiperbólico
f
y csc x
Función cosecante
f f
y cot x
Función cotangente
y coth x
Función cotangente hiperbólica
y csc h x
Función cosecante hiperbólica Función elemental trigonométrica Función hiperbólica
f f ' ( x)
Enésima derivada de la función
f ' ' ( x)
Segunda derivada de la función
f
y f trig x
f n (x) f (k x) ( fg )( x) ( f g ) ( x) ( f g )( x) g (x)
Enésima derivada de la función
f
y f hiper p (x)
u
Cualquier función; Unidades
v
Cualquier función; Velocidad
y ax
Función elemental exponencial de base "a"
y a p( x)
Función exponencial de base
y arc cos x
y arccos h x y arc coth x y arc csc x
y arc csc h x y arc sec x
y arc sec h x y arc sen x
Derivada de la función
y f (x)
y y y y y y y
Función múltiplo escalar Función producto Función cociente Función composición Función g de variable
SIGNIFICADO
" x"
f hiper x f log p ( x) f log x f trig p (x) f exp p ( x) f exp x f (x)
Función elemental hiperbólica
p (x)
Función logarítmica de
Función elemental logarítmica Función trigonométrica Función exponencial Función elemental exponencial Función
y sec h x
Función secante hiperbólica
y sen x
Función seno
Función inversa del coseno
y ln p ( x)
Función de p (x )
Función inversa del coseno hiperbólico Función inversa de la cotangente hiperbólica Función inversa de la cosecante
y ln x
Función logaritmo natural de x
y log a p ( x)
Función logaritmo de base
y log a x y senh x
Función elemental logaritmo de base "a" Función seno hiperbólico
y tan x
Función tangente
y tgh x
Función tangente hiperbólica
y log10 p ( x)
Función logaritmo común base
y log10 x
Función elemental común de base "10" Función secante
"a" .
Función inversa de la cosecante hiperbólica Función inversa de la secante Función inversa de la hiperbólica Función inversa del seno
secante
y arcsenh x
Función inversa hiperbólico
y arc tan x
Función inversa de la tangente
y arctan h x
Función inversa de la tangente hiperbólica
del
seno
y sec x
logaritmo
natural
"a"
"10" logaritmo
186
NOMBRE DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA
Anexo D: REGISTRO ESCOLAR
No. de lista: Fecha: Hora de clase: Años cumplidos: Sexo: Recursando:
Registro escolar Cálculo Integral
Alumno: Apellido Paterno
Apellido Materno
Nombre (s)
___________ ___/___/___ _____/_____ ___________ MO FO
Si O No O
1. INFORMACIÓN PERSONAL: Semestre que cursas: ___ Especialidad:______________ Correo electrónico:__________________________________________________ Si estas recursando la materia, con qué Maestro la reprobaste?____________________________________________________________ Cuáles consideras las tres causas de reprobación:1ª_________________________2ª_______________________3ª__________________ Es la especialidad que tu elegiste ? Si O No O Si la respuesta es no entonces cuál te gustaría cursar?____________________ Trabajas?: Sí O No O Si la respuesta es sí donde y en qué?_______________________________________________________________ Realizas otros estudios: Si O No O Si la respuesta es sí donde y qué?____________________________________________________ Lugar de nacimiento: Población:_______________________________________ Estado:___________________________________________ Estudios de bachillerato: Nombre de la escuela:_________________________________________________________________________ Población:__________________________________________Estado:____________________________________ Especialidad del bachillerato:___________________________________________________________________ 1. Tiene un método para estudiar: 2. Tienes un horario de estudio: 3. Sabes estudiar en libros: 4. Sabes estudiar en computadora: 5. Sabes estudiar en equipo: 6. Tienes cuarto de estudio: 7. Tienes un lugar de estudio:
Si Si Si Si Si Si Si
O O O O O O O
Más o Más o Más o Más o Más o No O No O
menos menos menos menos menos
O O O O O
No No No No No
O O O O O
8. Tienes Internet en tu casa: 9. Tienes correo electrónico: 10. Tiene calculadora científica: 11. Tienes calculadora graficadora: 12. Tienes computadora personal: 13. Tienes computadora portátil: 14. Tienes mini laptop:
Si Si Si Si Si Si Si
O O O O O O O
No No No No No No No
O O O O O O O
2.- EXPECTATIVAS: Qué esperas del curso?
Qué esperas del Maestro?:
1. 2. 3.
1. 2. 3.
3. INFORMACIÓN ACADÉMICA: En el bachillerato cursaste cálc. Integral?____ Promedio de matemáticas en el bachillerato:___ Qué calificación esperas:____ Materias cursadas en el tecnológico
Habilidades tecnológicas:
1. _______________________ 2. _______________________ 3. _______________________ 4. _______________________ 5. _______________________ 6. _______________________ 7. _______________________
1. Sabes 2. Sabes 3. Sabes 4. Sabes 5. Sabes 6. Sabes 7. Sabes
Conoces lo siguiente: 1. Números reales: 2. Factorización: 3. Funciones: 4. Límites: 5. Graficación básica: 6. Reglas de graficación:
Si Si Si Si Si Si
Cal_____ Cal_____ Cal_____ Cal_____ Cal_____ Cal_____ Cal_____
O O O O O O
Más Más Más Más Más Más
o o o o o o
menos menos menos menos menos menos
O O O O O O
No No No No No No
usar Internet: usar la calculadora científica: usar una calculadora graficadora: obtener una derivada con calculadora: obtener un límite con software de matemáticas: obtener una derivada con software de matemáticas: usar software: Mathematica; Derive, Maple; Matlab; Otro?
O O O O O O
7. Derivadas básicas: 8. Derivadas (productos y cocientes): 9. Integral indefinida: 10. Integral definida: 11. Calcular áreas con cálculo integral: 12. Calcular volúmenes con cálculo integral:
Si Si Si Si Si Si
O O O O O O
Más Más Más Más Más Más
o o o o o o
Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí
O O O O O O O
menos menos menos menos menos menos
No O No O No O No O No O No O No O
O O O O O O
No No No No No No
O O O O O O
4.- DEPORTE Y/O CULTURA: Practicas deporte: Sí O No O Practicas cultura: Sí O No O
Para el tecnológico Para el tecnológico
Sí O No O Sí O No O
Nivel: Nivel:
Inicial O Inicial O
Medio: O Medio: O
Selección: O Avanzado: O
5.- Algún comentario o recomendación que quieras hacer:________________________________________________________________
187
Anexo: E. FORMATO DE EXÁMEN. ITS
Unidad: Tema: Oportunidad: 1a.O 2a.O 3a.O
EXÁMEN DE CALCULO INTEGRAL
Apellido paterno Examen
Apellido materno
Nombre(s)
Participaciones
Fecha:
Tareas
No. de lista
Hora:
Otras
Calificación final
Anexo: F. LISTA DE ALUMNOS. NOMBRE DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA
LISTA DE ALUMNOS Materia: Cálculo integral Semestre:
Hora:
Aula:
ALUMNO No
Nombre
Maestro:
UNIDADES Esp
Op
1
2
3
4
5
Prom edio
Calificación Op final
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 CLAVES: 1a oportunidad Participación 2a oportunidad T Tarea 3a oportunidad C Conferencia Op Oportunidad NP No presento
A F
Asistencia Falta
Esp Especialidad Exe Examen sorpresa
188
ÍNDICE:
CONCEPTO
Página
CONCEPTO
Página
- Anexos
153
- Diferenciación de funciones algebraicas que contienen xn
9
- Antiderivada
16
- Aplicaciones de la integral: . cálculo de áreas . cálculo de la masa . cálculo de longitud de curvas. . cálculo de momentos . cálculo de volúmenes . cálculo del centro de masa . cálculo del trabajo . formulario
99 103 113,114 100 111 108,109 113,114 119,120 122
- Diferenciación de funciones elementales . algebraicas . exponenciales . hiperbólicas . hiperbólicas inversas . logarítmicas . trigonométricas . trigonométricas inversas
4 4 5 7 7 5 5 6
- Diferenciación de funciones que contienen u: . algebraicas . exponenciales . hiperbólicas . hiperbólicas inversas . logarítmicas . trigonométricas . trigonométricas inversas
11 11 12 13 14 12 12 13
- Diferenciales: . Definición . Interpretación geométrica . Por fórmulas . Propiedades
2 2 2 3 2
- Evaluaciones tipo: . Unidad 1 (La integral indefinida) . Unidad 2 (Técnicas de integración) . Unidad 3 (La integral definida) . Unidad 4 (Aplicaciones de la integral) . Unidad 5 (Integración por series)
29 61 93 121 151
- Formato de examen
188
111, 117,
- Arco
100
- Bibliografía
183
- Cálculo de áreas: . clasificación . localización . representación gráfica . estructuración de la integral
103 103 103 103 103
- Centro de masa
112
- Centro de masa laminar
111
- Centroide
113
- Contenido (del libro)
xiii
- Constante de integración
17
- Cuerda
100
- Curva
100
- Curva rectificable
100
- Densidad de masa
111
- Densidad laminar
112
189
CONCEPTO
Página
CONCEPTO
Página
- Formulario de aplicaciones de la integral
122
- Fórmulas de integración definida de funciones algebraicas que contienen xn
76
- Fórmulas de integración definida de funciones elementales: . algebraicas . exponenciales . hiperbólicas . hiperbólicas inversas . logarítmicas . trigonométricas . trigonométricas inversas
68 68 69 73 74 70 71 72
- Fórmulas de integración definida de funciones que contienen las formas u2 ± a2
84 78 78 79 82 82 79 80 81 144 142 144
- Formulario de diferenciales de: . funciones algebraicas que contienen xn . funciones que contienen u - Formulario de integración definida de: . funciones elementales . funciones algebraicas que contienen xn . funciones que contienen u . funciones que contienen las formas u
2
a
2
. integrales impropias
30 30 94 94 96 96 97 98
- Formulario de integración indefinida de: . funciones algebraicas que contienen xn . funciones que contienen u
31 31 31
- Formulario de series
152
- formulario de técnicas de integración
62
- Formularios de unidades: . unidad 1 (La integral indefinida) . unidad 2 (Técnicas de integración) . unidad 3 (La integral definida) . unidad 4 (Aplicaciones de la integral) . unidad 5 (Integración por series)
30 62 94 122 152
- Fórmulas de integración definida de funciones que contienen u: . algebraicas . exponenciales . hiperbólicas . hiperbólicas inversas . logarítmicas . trigonométricas . trigonométricas inversas . series de Maclaurin . series de potencia . series de Taylor
9
- Fórmulas de integración definida de integrales impropias
98
- Fórmulas de diferenciales de funciones elementales: . algebraicas . exponenciales . hiperbólicas . hiperbólicas inversas . logarítmicas . trigonométricas . trigonométricas inversas
4 4 5 7 7 5 5 6
- Funciones: . básicas . clasificación . definición . familia . identidades . metabásicas . estructuras . reglas fundamentales de graficación de
154 3 154 154 16 169,170 3 155 163
- Fórmulas de diferenciales de funciones que contienen u: . algebraicas . exponenciales . hiperbólicas . hiperbólicas inversas . logarítmicas . trigonométricas . trigonométricas inversas
11 11 12 13 14 12 13 13
- Funciones elementales: . algebraicas. . exponenciales . hiperbólicas . hiperbólicas inversas . logarítmicas . trigonométricas . trigonométricas inversas
3 157 157 160,170 161,170 158 158,168 159
- Formulas de diferenciales de funciones algebraicas que contienen xn
190
CONCEPTO - Fundamentos cognitivos del cálculo integral . funciones y sus gráficas . propiedades de los exponentes . propiedades de los logaritmos . funciones trigonométricas . identidades de funciones trigonométrica . funciones hiperbólicas . identidades de funciones hiperbólicas . funciones hiperbólicas inversas - Identidades de funciones: . hiperbólicas . trigonométricas - Incrementos: . de “x” . de “y” . definición . interpretación geométrica - Indice - Instrumentación didáctica . identificación . caracterización de la asignatura . competencias a desarrollar . análisis del tiempo para el avance programático . avance programático . actividades de enseñanza aprendizaje .. unidad 1
. . . .
.. unidad 2 .. unidad 3 .. unidad 4 .. unidad 5 apoyos didácticos fuentes de información calendarización de evaluaciones corresponsabilidades
- Integración definida de funciones: . definición . interpretación de resultados . formulario . propiedades
Página
153 154 168 169 168 169 170 170 170 170 169 2 2 2 2 2 189 viii,171 171 171 171 171 172 174 174 176 178 180 181 182 183 183 183 63 64 65 64 94
CONCEPTO
Página
- Integración definida de funciones: algebraicas que contienen xn
76
- Integración definida de funciones elementales: . algebraicas . exponenciales . hiperbólicas . hiperbólicas inversas . logarítmicas . trigonométricas . trigonométricas inversas
68 68 69 73 74 70 70 71
- Integración definida de funciones que contienen las formas u2 ± a2
84
- Integración definida de funciones que que contienen u: . algebraicas . exponenciales . hiperbólicas . hiperbólicas inversas . logarítmicas . trigonométricas . trigonométricas inversas . formulario
78 78 79 82 82 79 80 81
- Integración definida de funciones impropias
86
- Integración definida de funciones por: . Series de Maclaurin - Series de potencia - Series de Taylor
144 141 144
- Integración indefinida de funciones: . Definición . Propiedades
2 2
- Integración indefinida de funciones algebraicas que contienen xn
21
- Integración indefinida de funciones elementales: . algebraicas . exponenciales . hiperbólicas . hiperbólicas inversas . logarítmicas . trigonométricas . trigonométricas inversas
17 17 18 19 19 18 18 19
191
CONCEPTO
Página
- Integración indefinida de funciones que contienen u: . algebraicas . exponenciales . hiperbólicas . hiperbólicas inversas . logarítmicas . trigonométricas . trigonométricas inversas
23 23 24 26 27 25 25 26
- Integración indefinida de funciones por . Series de Maclaurin - Series de potencia - Series de Taylor
59 58,140 59
- Integral definida de funciones: . definición . propiedades . interpretación de resultados
63 64 64 65
- Integral: . para el cálculo de áreas . para el cálculo de la longitud de curva . para el cálculo de la masa . pra el cálculo del centros de masa . para el cálculo del momentos . para el cálculo del trabajo 117, . para el cálculo del volumen
103 100 113,114 113,114 113,114 119,120 108,109
- Integrales impropias: . definición . cálculo . clasificación . tipo 1 con intervalo de . tipo 1 con intervalo de . tipo 1 con intervalo de . tipo 2 con intervalo de . tipo 2 con intervalo de . tipo 2 con intervalo de
86 86 88 86 88 89 89 90 90 91
(-α, a] [b, α) (-α, α) [a, b) (b, c] a < b
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