Libro - 2s Mate Area PDF

 

1    r    a    c     i    t    c    a    r    p    e   e     d    l    a    b     i    a    c   s    n   n    a    t    o    r    p    o   s    p   e    r    m   a     i    r     l    a   e    n    s   a    o   m    m   e    e    d    c    o   e    n   t    r    o   o    c   p    e   e     R     d 8

Tus aprendizajes •

Establece relaciones entre datos y las transforma a expresiones que incluyan la teoría y problemas con conjuntos.

•

Comunica   su comprensión sobre las relaciones algebraicas mediante los polinomios y sus operaciones.

•

Expresa con dibujos y lenguaje geométrico lo que comprende sobre los segmentos y ángulos en diversas situaciones. situaciones.

•

Representa   las características de una población en estudio mediante variables cualitativas o cuantitativas.

 

Autonomía

TIC

Vida Vi da sa sana na

Ambi Am bient ental al

Resp Re spon onsa sabi bili lida dad d

Observa, refexiona y comenta 1.

¿Qué observas en la imagen? Describe  cada detalle.

2.

¿Qué tan importante es el deporte en nuestra vida diaria? Menciona. 

3.

¿Cuáles son los beneficios de hacer deporte en la adolescencia?

4.

Comenta. ¿En qué medida el deporte hace más responsables a los adolescentes?

Entorno virtual

Ingresa a Youtube y observa el video

“Beneficios del deporte en la adolescencia”. https://www.youtube.com/  watch?v=LaHjSwa8u84 Reflexiona y responde. ¿Qué beneficio consideras más importante? ¿Por qué? Las páginas web propuestas han sido verificadas. Es importante recordar que muchas de ellas tienen período determinado de vigencia.

9

 

Resuelve problemas de cantidad - Aritmética

Teoría de conjuntos

               I                I

   a    c     i    t     á    m    e    t    a     M      a    e    r     Á     l    e     d    o    r     b     i     L

Activa tus saberes   ¿De qué manera organizas tus materiales escolares?



Analiza la información Durante las olimpiadas escolares desarrolladas por un colegio, se han formado grupos con los estudiantes de diversas aulas, tal como se observa en la imagen. ¿Qué características se podrían tomar en cuenta para formar los equipos?

Construye tus aprendizajes   ¿Qué diferencia existe entre un conjunto vacío y un conjunto unitario?



Conjunto

Determinación de un conjunto

Un es de unacualquier colecciónnaturaleza. correctamente definidaconjunto de objetos

a. Por formauno tabular Si seextensión mencionao cada de los elementos del conjunto. Ejemplo: B = {2; 4; 6; 8} b. Por comprensión o forma constructiva Si se indican las cualidades o propiedades que caracterizan a todos los elementos del conjunto. Ejemplo:

A estos objetos también los denominamos elementos del conjunto, los cuales se representan por letras minúsculas, números, palabras y figuras. Entre un conjunto y un elemento existe una relación de pertenencia; recuerda que el símbolo ∈  significa “ … pertenece a …” y el símbolo ∉  se lee “ … no pertenece a …”. Gráficamente los conjuntos se representan por medio de los Diagramas de Venn  Venn  que tienen las formas de figuras cerradas de superficie plana en cuyo interior se representa por medio de puntos a los elementos de los conjuntos dados y sus operaciones.

A .e .i .u .o

E N T O R N O 

VIRTUAL

10

/ x es un número par menor que 10}

Cardinal de un conjunto A Es el número de elementos del conjunto A. Este número se denota como n(A) o card(A). Ejemplo: Sea el conjunto A = {2; 4; 6; 8; 10}  Tiene 5 elementos, entonces n(A) =  5. Clases de conjuntos •

Ejemplos: A =  {a; e; i; o; u} Por el diagrama de Venn:

.a

B =  {x ∈ 

Promueve el aprendizaje autónomo.

a.   Conjunto finito a. Si tiene una cantidad limitada de elementos. Ejemplo: P =  {x/x es un divisor de 20}

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    2     2     8  .     L  .     D  .    r     i    c    u     d    o    r    p    e    r

   o     d     i     b     i     h    o    r     P  .     C  .     A  .     S    o     f    e    r    o     C    s    e    n    o     i    c     i     d     E    ©

 

Resuelve problemas de cantidad - Aritmética                I                I

   a    c     i    t     á    m    e    t    a     M      a    e    r     Á     l    e     d    o    r     b     i     L

b.  Conjunto infinito b.  Si tiene una cantidad ilimitada de elementos. Ejemplo: P =  {x/x ∈  , x >  8}

Conjun Conj unto to uni unive vers rsal al ( ) Se llama así a un conjunto que nos sirve de referencia para el estudio de otros conjuntos incluidos en él. Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {x/x es un gallo}, BLuego, = {x/xelesconjunto una gallina}. universal de A y B podría ser considerado como = {x/x es un ave de corral}.

   o     d     i     b     i     h    o    r     P  .     C  .     A  .     S    o     f    e    r    o     C    s    e    n    o     i    c     i     d     E    ©

N.° de subconjuntos de A : n[P(A)] =  2n(A)

Conjuntos especiales a. Conjunto nulo o vacío Es aquel conjunto que no tiene elementos. Su notación es ∅. b. Conjunto unitario  unitario  Es aquel conjunto que tiene un único elemento.

    2     2     8  .     L  .     D  .    r     i    c    u     d    o    r    p    e    r

Conjunto potencia de A [P(A)] Es aquel conjunto formado por todos los subcon juntos posibles del conjunto A. Propiedades:

Relaciones entre conjuntos a. Inclusión de conjuntos () Se dice que un conjunto está incluido en otro conjunto cuando todos los elementos del primero forman parte del segundo. : “incluido o contenido en” B : "contiene a" A  B: A “A está contenido en B” “A es subconjunto de B” B  A: "B contiene a A" A

  B   ∀  x

∈ A : x ∈  B

  B   A

b.   Igualdad de conjuntos b. Dos conjuntos son iguales si ambos tienen los mismos elementos.

N.° de subconjuntos propios de A : 2 n(A)  – 1

El conjunto vacío está incluido en todo conjunto. Operaciones con conjuntos Unión o reunión () Es la agrupación de todos los elementos de los conjuntos que intervienen. Simbólicamente: A   B = {x/x ∈  A ∨  x ∈  B} Gráficamente se tienen los siguientes casos: • 

A

 

B

A

A

 

B

B

A   B

A   B

A   B

Observación: •  Si A

  B,

entonces A

  B

=  B.

Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {1; 3; 4; 5; 6} y B = {2; 3; 5; 8}, entonces A   B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8}. Gráficamente: A

B .1 .4

.3   .2 .5

.8

.6

A   B Intersección  () Intersección  La intersección de los conjuntos A y B está formada por todos los elementos comunes a ambos. Simbólicamente: A   B = {x/x ∈  A ∧  x ∈  B} Gráficamente se tienen los siguientes casos: A

 

B

A

 

A

 

B

B

c.   Conjuntos c. disjuntos Son aquellos conjuntos que no tienen elementos en común.

A   B

A   B

A   B =  ∅ 11

 

Resuelve problemas de cantidad - Aritmética

Observación: •  Si A

  B,

entonces A

  B

=  A

Ejemplo: Sean los conjuntos A = {1; 3; 4; 5; 6} y B = {2; 3; 5; 8},

entonces A   B = {3; 5}. Gráficamente:

Diferencia simétrica  simétrica  (∆) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B pero no a ambos. Simbólicamente: A ∆ B = {x/x ∈ (A  B) ∧ x ∉ (A  B)} Gráficamente se tienen los siguientes casos: A

B

 

A

A

 

               I                I

   a    c     i    t     á    m    e    t    a     M      a    e    r     Á     l    e     d    o    r     b     i     L

B

B

A

B .1

.3

.4

.5

A ∆B

  .2

•  A ∆ B • 

A   B

• 

Diferencia (–) El conjunto diferencia A – B está formado por los elementos que pertenecen a A pero que no pertenecen a B. Simbólicamente: A – B = {x/x ∈  A ∧  x ∉  B} Gráficamente se tienen los siguientes casos: B

 

A

A

 

= B ∆ A

Si A  B, entonces A ∆ B =  B – A Si A y B son conjuntos disjuntos, entonces A ∆ B =  A   B.

Ejemplo: Sean los conjuntos A = {1; 3; 4; 5; 6} y B = {2; 3; 5; 8},

entonces A ∆ B = {1; 2; 4; 6; 8}. Gráficamente: A

B

B

A–B

A ∆B

Observación:

.8

.6

A

A ∆B

A–B

B .1

.3

.4

.5

.2 .8

.6

A–B

A ∆  B Complemento de A (CA, Ac, A')  A')  El complemento del conjunto A es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al con-

Observación: •  A – B ≠  B – A

Ejemplo: Sean A = {1;los3;conjuntos: 4; 5; 6} y B = {2; 3; 5; 8}, entonces A – B = {1; 4; 6}. Gráficamente: A

 junto universal pero no al conjunto A. Simbólicamente Ac  =  A'  =  B

.1

.3

.4

.5

– A = {x/x ∈

∧  x ∉  A}

Gráficamente:

.2 A .8

.6 c A

A–B

Utiliza la estrategia   Sintetiza Sintetiza    en un organizador gráfico lo aprendido sobre la teoría de conjuntos y las operaciones entre 

conjuntos. 12

L. Act. Pág. 12

    2     2     8  .     L  .     D  .    r     i    c    u     d    o    r    p    e    r

   o     d     i     b     i     h    o    r     P  .     C  .     A  .     S    o     f    e    r    o     C    s    e    n    o     i    c     i     d     E    ©

 

Resuelve problemas de cantidad - Aritmética                I                I

   a    c     i    t     á    m    e    t    a     M      a    e    r     Á     l    e     d    o    r     b     i     L

Analiza los ejemplos 1. 

Dados los siguientes conjuntos: A = {Mónica, Elva, Claudia, Juan}, B = {Joel, Elva, Carlos, Juan},

Resolución:

a.  2 ∈ A, verdadero porque 2 es elemento de A. a.  b.   {3}   A, falso porque {3} no es subconjunto b. de A, en este caso es un elemento de A. c. {4; 5} ∈  A, verdadero porque {4; 5} es elemento de A. d.   ∅  ∈ A, verdadero porque ∅ es elemento de A. d. e.   {{3}}   A, verdadero porque {{3}} es sube. conjunto de A. f. 2; ∅  ∈ A, verdadero porque 2; ∅ son elementos de A.

determina  la suma del cardinal de la unión e determina  intersección de ambos conjuntos. Resolución:

A  B = {Mónica, Elva, Claudia, Juan, Joel, Carlos} n(A   B) =  6 A   B = {Elva, Juan} → n(A   B) =  2 Piden: n(A  B) + n(A   B) = 6 + 2 =  8

Rpta.: La suma pedida es 8.

2. 

Se tienen los siguientes conjuntos:

Rpta.: V F V V V 4. 

   

Si los siguientes conjuntos conjuntos son iguales: A = {a + 3; 4 – a}, B = {a; 7 – a}, C = {2; b + c}, calcula calcula el  el valor de “b + c – a”. Resolución:

 

P = {x/x es una vocal de la palabra murciélago}, Q = {x/x no es una consonante de la palabra solidario}. Indica los Indica  los elementos de P – Q.

Por conjuntos iguales se cumple: a + 3 = 7 – a →  a =  2 Luego: A = {5; 2}; B = {2; 5}; C = {2; 5} → b + c =  5 Piden: b + c – a = 5 – 2 =  3

Resolución:

Determina por extensión cada conjunto: P = {a, e, i, o, u} Q = {a, i, o} Piden: P – Q = {e, u}

Rpta.: El valor de “b + c – a” es 3. 5. 

    2     2     8  .     L  .     D  .    r     i    c    u     d    o    r    p    e    r

   o     d     i     b     i     h    o    r     P  .     C  .     A  .     S    o     f    e    r    o     C    s    e    n    o     i    c     i     d     E    ©

Resolución:

Rpta.: P – Q = {e, u}

3. 

Se tiene el siguiente conjunto: A = {2; {3}; {4; 5}; ∅}.

 

Si A =  {4x + 1; 2y + 1; 3x + 4} es un conjunto unitario, calcula calcula el  el valor de (x + y) x.

Determina  el valor de verdad de las siguientes Determina  proposiciones: a.   2 ∈  A a.

b. {3}   A b. {3}

c. {4; c.  {4; 5} ∈  A

d.   ∅  ∈  A d.

e. {{3}} e.  {{3}}   A

f. 2; ∅  ∈  A

Por conjunto unitario se cumple: 4x + 1 = 3x + 4   x =  3 Luego: 2y + 1 = 3x + 4 Reemplaza el valor de x =  3: 2y + 1 = 3(3) + 4 =  13 →  y =  6 Piden: (x + y)x  = (3 + 6)3  =  93  =  729 Rpta.: El valor de (x + y) x es 729. 13

 

Resuelve problemas de cantidad - Aritmética 6.     

Clasifica cada uno de los siguientes conjuntos: Clasifica cada A =  {x ∈  / x2 + 6x + 9 =  0}, B =  {y ∈  / y = 2x + 1, x ∈ ∧  3