Libro 150problemas

150 PROBLEMAS DE TEORIA DE CIRCUITOS EXÁMENES RESUELTOS Y PROBLEMAS ADICIONALES.

César Fernández Peris M.Asunción Vicente Ripoll

150 Problemas de Teoría de Circuitos

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INDICE Prefacio .....................................................................................................................pág.3 Problemas resueltos de exámenes.......................................................................pág.5 Tema 1:Análisis de Circuitos en DC.................................................................pág.7 Tema 2:Análisis Transitorio..................................................................................pág.37 Tema 3:Análisis en Régimen Estacionario Senoidal.......................................pág.97 Tema 4:Resonancia..............................................................................................pág.149 Tema 5:Acoplamiento magnético....................................................................pág.181 Problemas propuestos.........................................................................................pág.209 Tema 1:Análisis de Circuitos en DC..............................................................pág.211 Tema 2:Análisis Transitorio................................................................................pág.225 Tema 3:Análisis en Régimen Estacionario Senoidal...................................pág.231 Tema 4:Resonancia..............................................................................................pág.237 Tema 5:Acoplamiento magnético....................................................................pág.241 Soluciones a los problemas propuestos...............................................................pág.245

150 Problemas de Teoría de Circuitos

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PREFACIO El presente libro de problemas ha sido elaborado con la intención de servir de complemento a las clases recibidas. Está enfocado fundamentalmente a la asignatura ‘Teoría de Circuitos y Sistemas’ de segundo curso de Ingeniería Industrial, pero es también perfectamente válido para cualquier asignatura introductoria a la teoría de circuitos. El objetivo es el estudio autónomo del alumno, y para ello el libro incluye ejercicios resueltos paso a paso, que enseñan de un modo práctico las principales técnicas y procedimientos a emplear en el análisis de circuitos de todo tipo. También se ofrece un conjunto de ejercicios propuestos que han de servir para la ejercitación de los conceptos previamente aprendidos. Como método de comprobación, en el último capítulo se ofrece el resultado correcto de todos estos ejercicios propuestos Todos los problemas resueltos provienen de exámenes realizados en la asignatura previamente mencionada en la Universidad Miguel Hernández desde el curso 19981999 hasta el curso 2003-2004 y, por tanto, se ciñen completamente al temario de la asignatura. Tanto los problemas resueltos como los problemas planteados se estructuran en los siguientes bloques temáticos: •

Análisis de circuitos en corriente continua. El dominio de las técnicas de análisis de circuitos en DC es fundamental para la comprensión del resto de temas que engloba la asignatura. En este apartado se presenta una amplia colección de problemas que recopilan múltiples ejemplos prácticos de todas estas técnicas de análisis: leyes de nodos y mallas, y los teoremas de Thévenin y de máxima transferencia de potencia. Antes de estudiar cualquier otro bloque temático es necesario que el alumno haya practicado con estos métodos y se maneje con soltura en el análisis DC de cualquier configuración de circuito eléctrico.

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•

Análisis transitorio. Este apartado recopila ejercicios de análisis en regimen transitorio de primer y segundo orden. En este tipo de problemas aparecen ecuaciones diferenciales lineales, siendo ésta la principal dificultad a la que se enfrentan los alumnos puesto que han de conocer previamente los métodos de resolución de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, también es posible enfrentarse a este tipo de problemas haciendo uso del método de análisis “paso por paso”, que permite resolver circuitos en regimen transitorio sin necesidad de plantear la ecuación diferencial. De esta manera, dentro de los problemas resueltos, existen soluciones realizadas mediante la reducción del circuito y el planteamiento de su ecuación diferencial y otras que siguen el método de análisis “paso por paso”. Así el alumno puede entrenarse con ambas técnicas.

•

Análisis en régimen estacionario senoidal. En este bloque temático se recogen diversos problemas relativos al análisis de circuitos en AC. Las técnicas de análisis que se utilizan son las mismas que en DC pero con la dificultad que ahora los valores de las magnitudes eléctricas pertenecen al dominio de los números complejos, complicando ligeramente la resolución de las ecuaciones del circuito. El alumno dispone de numerosos ejemplos resueltos siguiendo siempre los mismos pasos con el fin de sistematizar el análisis de los circuitos en regimen AC.

•

Resonancia. En este apartado se presentan problemas referentes a este caso particular de análisis en frecuencia. Otros aspectos relativos a la respuesta en frecuencia de circuitos no son contemplados en esta asignatura y por tanto tampoco han sido incluidos en el presente libro de problemas.

•

Acoplamiento magnético. Este último bloque recoge algunos ejemplos de circuitos eléctricos donde existe acoplamiento magnético. Se presentan problemas generales con bobinas acopladas magnéticamente y con el caso particular del transformador ideal.

En conjunto, esta colección de problemas pretende ser una herramienta práctica para el estudio de la asignatura de Teoría de Circuitos puesto que permite el entrenamiento del alumno con el planteamiento y resolución de diversos problemas tipo de cada bloque temático.

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PROBLEMAS RESUELTOS DE EXÁMENES cursos 1998-99 : 2003-04

150 Problemas de Teoría de Circuitos

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TEMA 1: ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN DC

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Febrero 1999 PROBLEMA 1: Sobre un circuito desconocido, que sólo contiene resistencias y fuentes de tensión continua hacemos los siguientes experimentos: • •

Conectamos un voltímetro entre dos de sus terminales y observamos que hay una diferencia de tensión de 12V. Conectamos una resistencia de 4Ω entre esos mismos terminales y comprobamos que disipa una potencia de 16W.

¿Qué potencia disiparía una resistencia de 2Ω conectada entre los mencionados terminales? Razónese la respuesta. SOLUCIÓN 1:

Cualquier circuito puede ser representado por su equivalente Thévenin entre ambos terminales: RTH

RTH

+ VTH

+ -

VTH

12V

+ -

I 4Ω (consume 16W)

-

Los 12V a circuito abierto se corresponden directamente con VTH: VTH = 12V La intensidad que recorre el circuito se deduce a partir de la información de potencia: 16W = I2*4Ω; I2 = 4A; I = 2A Y RTH se obtiene a partir de esa intensidad: I = VTH/(RTH+4Ω); RTH + 4Ω = 6Ω;

RTH = 2Ω

Conocido el equivalente completo se puede obtener el dato pedido: 2Ω

+ -

12V

Con la resistencia de 2Ω: 2Ω (W?)

I = 12V/4Ω = 3A P = I2*2Ω = 18W

150 Problemas de Teoría de Circuitos

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Junio 1999 PROBLEMA 2: Sobre el circuito de la figura: 2k

A

3I0 + I0

4k

3V 2k

B

2mA

• •

Se pide: Obtener el equivalente Thevenin del circuito entre los terminales A y B Sobre el circuito anterior se añade una resistencia entre los terminales A y B. ¿Qué valor debe tener esa resistencia si queremos que consuma la máxima potencia posible? SOLUCIÓN 2:

Obtención del equivalente Thevenin: VTH IN Se calculará en primer lugar la tensión de circuito abierto VCA: VTH = VCA

•

I N = I CC

R TH =

Sin resolver completamente el circuito, podemos ver que VAB será igual a los 3V de la fuente de tensión más la caída de tensión en la resistencia de 2k. Como por esta resistencia circulan los 2mA de la fuente de intensidad, tendremos: VCA = 3V + 2mA*2kΩ = 7V •

A continuación se calculará la intensidad de cortocircuito ICC:

De nuevo sin resolver el circuito podemos ver que ICC será igual a los 2mA de la fuente de intensidad más la intensidad que circule por la resistencia de 2k. Como esta resistencia se encuentra en paralelo con la fuente de tensión de 3V, entre sus terminales habrá 3V. Por tanto, ICC = 2mA + 3V/2k = 3,5mA 150 Problemas de Teoría de Circuitos

2k 3I0 + I0

4k

3V 2k

+ VCA

-

2mA

2k 3I0 + I0

4k

3V

ICC

2k

2mA

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El equivalente será:

2k

VTH = VCA = 7V I N = I CC = 4.5mA R TH =

•

+ -

7V

VTH 7V = = 2kΩ IN 3.5mA

Según el teorema de máxima transferencia de potencia, para lograr un consumo máximo de potencia la resistencia de carga debe tener el mismo valor que la resistencia Thevenin:

2k

+ -

7V

RL = 2k

RL = 2kΩ

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Septiembre 1999 PROBLEMA 3: Dado el circuito de la figura: 160i1

20Ω

c

a

+4A

60Ω

80Ω

40Ω

i1

d

b

Se pide: • •

Obtener el equivalente Thevenin del circuito entre los terminales a y b Obtener el equivalente Thevenin del circuito entre los terminales c y d

SOLUCIÓN 3: Como primer paso se hace una transformación de fuente, con lo que el circuito queda: 160i1

20Ω

c

a

+-

60Ω

80Ω

40Ω

i1 + -

240V

d

b

Primer equivalente Thévenin: calculamos la tensión a circuito abierto y la intensidad de cortocircuito entre a y b. +

i2

i2

i1

VCA -

ICC

Tensión a circuito abierto: se resuelve por mallas, -240 + I2*60 + I2*20+160*I1+(I2-I1)*80=0 (I1-I2)*80+I1*40=0 Intensidad de cortocircuito: toda la corriente circula por el cortocircuito: -240+I2*60+I2*20+160*0=0

150 Problemas de Teoría de Circuitos

I2=1125mA I1=750mA VCA = 30V

I2=3A ICC = 3A

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Primer equivalente Thévenin 10Ω

VTH = VCA = 30V RTH = VCA/ICC = 10Ω

+ -

30V

Segundo equivalente Thévenin: calculamos la tensión a circuito abierto y la intensidad de cortocircuito entre c y d. + VCA -

i2

i1

Tensión a circuito abierto: se resuelve por mallas -240 + I2*60 + I2*20+160*I1+(I2-I1)*80=0 (I1-I2)*80+I1*40=0 I2=1125mA I1=750mA VCA = 172.5V

i2

ICC

Intensidad de cortocircuito: la parte derecha del circuito no aporta corriente, nos fijamos sólo en la malla de la izquierda: I2=240/60 I2=4A ICC = 4A

Segundo equivalente Thévenin 43.125Ω

VTH = VCA = 172.5V RTH = VCA/ICC = 43.125Ω

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+ -

172.5V

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Diciembre 1999 PROBLEMA 4: Calcular el equivalente Thevenin del circuito de la figura entre los terminales A y B: 4k A

+ VX − 4k + -

6k

12V _ 0.5VX +

B

SOLUCIÓN 4: Para la obtención del equivalente Thévenin se calculan la tensión de circuito abierto y la intensidad de cortocircuito: V1

4k + VX −

VCA: por análisis de nodos +

4k + -

6K

12V _ 0.5VX

VCA

-

+

Se obtiene V1 = VCA = 36/13 V

4k

ICC: por análisis de nodos:

+ VX −

I1

I2

I CC = I1 + I 2 + I3

I3

4k + -

12 − V1 − 0.5Vx − V1 − V1 =0 + + 3 3 4 ⋅ 10 4 ⋅ 10 6 ⋅ 103 Vx = 12 − V1

6k

12V

ICC

_ 0.5VX +

12 − 0.5VX + +0 3 4 ⋅ 10 4 ⋅ 103 VX = 12V

I CC =

Se obtiene ICC = 3/2 mA 24/13k

Por tanto:

VTH = VCA = 36/13 V RTH = VCA/ICC = 24/13 kΩ

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+ -

36/13V

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Febrero 2000 PROBLEMA 5:

En la figura, el cuadrado representa una combinación cualquiera de fuentes de tensión e intensidad y resistencias. Se conocen los siguientes datos: • Si la resistencia R es de 0,5Ω la intensidad i es de 5A • Si la resistencia R es de 2,5Ω la intensidad i es de 3A Se pide calcular el valor de la intensidad i si la resistencia R es de 5Ω 3Ω

fuentes y resistencias

R

5Ω

i

SOLUCIÓN 5: Se sustituye el conjunto de fuentes y resistencias más las resistencias de 3Ω y 5Ω por su equivalente Thévenin:

3Ω

fuentes y resistencias

Rth

5Ω

R

i

Sobre el equivalente Thévenin se cumplirá: i =

+ -

Vth

R

i

VTH R TH + R

Con lo cual se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: 5=

3=

VTH R TH + 0.5

VTH = 15V R TH = 2.5Ω

VTH R TH + 2.5

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Conocidos VTH y RTH se puede obtener el valor pedido: i=

VTH 15 = = 2A R TH + R 2.5 + 5

NOTA: el problema también se puede resolver sustituyendo por su equivalente Thévenin sólo la parte correspondiente al bloque desconocido.

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Junio 2000 PROBLEMA 6: En el circuito de la figura, todos los elementos son conocidos salvo la resistencia R. R 7Ω

1Ω

2Ω + VX − 3Ω

+ -

440V

+ -

0.5 Vx

220V

Se pide: • Valor de R que hace que la potencia consumida por la resistencia sea la máxima posible. • ¿Cuál es esa potencia? SOLUCIÓN 6: Se obtiene el equivalente Thévenin del circuito entre los extremos de la resistencia (terminales A y B): Tensión de circuito abierto (por nodos)

A

+

VCA

−

B

ICC

A

V2

7Ω

440V

Intensidad de cortocircuito (por nodos)

V1

1Ω

2Ω

+ VX −

440V

I1

V1

1Ω

+ VX − 3Ω

+ -

440V

7Ω

440V 2Ω

B

+ -

I2 3Ω

0.5 Vx

220V

150 Problemas de Teoría de Circuitos

+ -

440V

+ -

0.5 Vx

220V

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Tensión de circuito abierto (por nodos) V1 − 440 V1 − V2 V1 − 220 + + =0 2 1 3 V − 440 V2 − V1 2→ 2 + + 0.5VX = 0 7 1 VX = 440 − V1

1→

... resolviendo ... V1 = 299.2 V2 = 255.2

Intensidad de cortocircuito (por nodos) V1 − 440 V1 − 440 V1 − 220 + =0 + 2 1 3 ... resolviendo ...

1→

V1 = 400V I CC = I1 + I 2 + 0.5VX I CC = 0 +

440 − 400 + 0.5(440 − 400 ) = 60A 1

VCA = 440 − V2 = 184.8V

Con lo que el equivalente Thévenin queda: • •

3.08Ω

VTH = VCA = 184.8V RTH = VCA/ICC = 3.08Ω

A + -

184.8V B

Por lo tanto: • • •

Resistencia que absorbe máxima potencia: R=3.08Ω Intensidad: I = V/R = 184.8/6.16 = 30A Potencia consumida: P = I2⋅R = 900⋅3.08 = 2772W

150 Problemas de Teoría de Circuitos

3.08Ω

+ -

184.8V

R = 3.08Ω I = 30A

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Septiembre 2000 PROBLEMA 7: Dado el circuito de la figura: 10Ω

1.8kΩ A 10 ⋅IB 3

+ -

10V

900Ω

+ _

100Ω

225Ω

IB

B

Se pide obtener su equivalente Thevenin y su equivalente Norton entre los terminales A y B. SOLUCIÓN 7: Dado que hay fuentes dependientes, se obtendrá el equivalente Thévenin mediante el cálculo de la tensión de circuito abierto e intensidad de cortocircuito:

10Ω

V1

1.8kΩ

V2

A 10 ⋅IB 3

+ -

10V

900Ω

100Ω

+ _

IB

225Ω B

Tensión de circuito abierto: Se aplica análisis de nodos en la parte izquierda del circuito: V1 − 10 V1 V + + 1 = 0 → V1 = 9V 10 900 100

Con V1 se pueden hallar IB y V2:

IB =

V1 = 90mA → V2 = 103 I B = 90V 100

Y la tensión de circuito abierto se obtiene mediante un divisor de tensión: VCA = VAB = 90

225 = 10 V 1800 + 225

150 Problemas de Teoría de Circuitos

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Intensidad de cortocircuito: 10Ω

+ -

10V

900Ω

1.8kΩ

V2

V1

+ _

100Ω

103⋅IB ICC

225Ω

IB

Se aplica análisis de nodos en la parte izquierda del circuito: V1 − 10 V1 V + + 1 = 0 → V1 = 9V 10 900 100

Con V1 se pueden hallar IB y V2: IB =

V1 = 90mA → V2 = 10 3 I B = 90V 100

Y la intensidad de cortocircuito se obtiene directamente considerando que por la resistencia de 225Ω no circula intensidad al estar en paralelo con un cortocircuito:

I CC =

90 = 50mA 1800

Por lo tanto, los equivalentes quedan: RTH A

A + -

IN

VTH B

150 Problemas de Teoría de Circuitos

RN B

VTH = VCA = 10V I N = I CC = 50mA R TH = R N =

VCA = 200Ω ICC

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Febrero 2001 PROBLEMA 8:

Dado el circuito de la figura, se pide: • Calcular el equivalente Thévenin del circuito entre los puntos A y B. • Calcular la potencia que disiparía una resistencia de 60kΩ colocada entre los puntos A y B. 200k

200k A

+ 30μA

600k

VX

100k

_

+ _

100VX 100k

100k B

SOLUCIÓN 8:

•

Cálculo del equivalente Thévenin:

Dado que existen fuentes dependientes e independientes, se calcularán la tensión de circuito abierto y la intensidad de cortocircuito. Tensión de circuito abierto VCA: 200k + 30μA

600k

VX

200k iX 100k

_

+ + _

100VX 100k

100k

VCA _

La intensidad iX que pasa por la resistencia de 100k se obtiene mediante un divisor de intensidad: 600k i X = 30μA ⋅ = 20μA 600k + 300k Por tanto la tensión VX en esa resistencia será: VX = 20μA ⋅ 100K = 2V La tensión VCA se obtiene por divisor de tensión una vez conocido VX: 100k // 100k 50k VCA = 100 ⋅ VX ⋅ = 200 ⋅ = 40V 200k + (100k // 100k ) 250k

150 Problemas de Teoría de Circuitos

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Intensidad de cortocircuito ICC: 200k

200k iX

+ 30μA

600k

VX

+ _

100k

_

100VX 100k

100k

ICC

VX e iX se obtienen igual que antes llegando al mismo resultado: i X = 20μA; VX = 2V ICC se obtiene teniendo en cuenta que por las resistencias de 100K no circula intensidad al estar en paralelo con un cortocircuito: 100 ⋅ VX 200 = = 1mA I CC = 200K 200K Con lo que el equivalente Thevenin queda: 40K

A

VTH = VCA = 40V R TH =

•

+ -

VCA 40 = = 40kΩ I CC 0.001

40V

Si se coloca una resistencia de 60k entre A y B: 40k i + -

40V

A 60k

La intensidad que circulará por la resistencia será: 40V i= = 0.4mA 100k Y la potencia consumida: P = i 2 ⋅ R = (0.4 ⋅ 10−3 ) 2 ⋅ 60 ⋅ 103 = 9.6mW

150 Problemas de Teoría de Circuitos

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Febrero 2002 PROBLEMA 9: Dado el circuito de la figura, se pide: • el valor de las fuentes de tensión V1 y Vg en el circuito, sabiendo que Vo = 5V. • el valor de la resistencia de carga RL a situar entre los terminales A y B para que consuma máxima potencia. ¿Cuál es el valor de la potencia consumida por RL? I1

60Ω + -

Vg

+ 25I1

260Ω

20Ω

V1

+

I2 80Ω

40Ω

40I2

A Vo

10Ω

-

-

B

SOLUCIÓN 9:

•

Valor de las fuentes de tensión V1 y Vg en el circuito, sabiendo que Vo = 5V?

Para hallar el valor de la fuente de tensión Vg y la tensión en el nodo V1, se resolverá el circuito de izquierda a derecha: Se aplica análisis de nodos en el siguiente subcircuito, situando la tierra en el nodo B: VO + 40I2

40Ω

Nodos en VO: A

IB + IA + 40I2 = 0

IA

IB 10Ω

-

B

VO − 0 VO − 0 + + 40I 2 = 0 40 10

si VO = 5V, entonces I2 = - 0.015625 A I2 es la corriente que circula por la resistencia de 80 Ω, por tanto para hallar la tensión en V1 se aplica la ley de Ohm a la resistencia de 80 Ω: V1 = I2 · 80 = -1.25 V

150 Problemas de Teoría de Circuitos

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Ahora se hallará el valor de I1, aplicando nodos en el siguiente subcircuito: Nodos en V1:

V1 = -1.25V

+ 25I1

20Ω Ix

I2 + Ix + 25I1 = 0

I2 80Ω

V1

V1 − 0 V1 − 0 + + 25I 1 = 0 80 20

-

si V1 = -1.25V, entonces I1 = 0.003125 A Y por último en la malla de la derecha se obtiene el valor de Vg: I1

Vg = I1 · (60 +260)

60Ω + -

•

Vg

si I1 = 0.003125 A, entonces

260Ω

Vg = 1V

Valor de la resistencia de carga RL a situar entre los terminales A y B para que consuma máxima potencia. ¿Cuál es el valor de la potencia consumida por RL?

Por el teorema de máxima transferencia de potencia, la resistencia de carga RL que consumirá máxima potencia en la resistencia de Thevenin vista desde los terminales A y B. VTH IN Ya sabemos VTH: VTH = VO =5V, falta hallar IN: R TH =

Por lo tanto, se ha de calcular RTH :

+ 40I2

40Ω

A IN

10Ω

-

La IN es la corriente entre A y B en cortocircuito, por tanto: IN = -40·I2 = -40 · (-0.015625)=0.625 A

B

R TH =

VTH 5 = = 8Ω → R L = 8Ω IN 0.625

Y la potencia consumida: 2

V 52 25 P = TH = = = 0.78125W 4R TH 4 ⋅ 8 32

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Junio 2002 PROBLEMA 10: Calculad el valor de la tensión Vo en el circuito siguiente: +

R2

1kΩ

1mA

I1 2Vx

+

1kΩ

I2 2kΩ

−

Vx R4

Vo −

R5

R6

1kΩ

1kΩ

2kΩ

R1

I3

R3

4mA

SOLUCIÓN 10: Para hallar la tensión Vo, primero se calculará el valor de la corriente que circula por la resistencia R1. Para ello, se resolverá el circuito utilizando la ley de mallas, y utilizando el sistema de unidades V, mA, kΩ: +

R2

I2

i3

1mA

−

Vx R4

+ + VY -

i4

R1

−

R6

R5

Vo

malla 1: malla 2: malla 3: malla 4:

i1 = 2VX i2 = 4mA 2i3 + 1(i3-i1) + VY = 0 1i4 + 1i4 + VY + 1(i4-i2) = 0

Además, se cumplen las relaciones: i2

I1 2Vx

i1

R3

I3

4mA

VX = - i4· 1 i3+i4 = I2 = 1

Resolviendo las ecuaciones anteriores, se obtiene i 4 = Por tanto:

7 mA 4

7 Vo = -R1 ·i4 = − V 4

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También es posible hallar Vo utilizando la ley de nodos: +

V4

−

Vx

i2

V3

V2

−

i2 + i1 + I1= 0 I2 + i3 = i1 + i4 i4 + I3 = i5 i5 = i2 + I2

i4

I1 2Vx

Vo

i5

1mA

i1

V1

Nodo V1: Nodo V2: Nodo V3: Nodo V4:

+

I2

I3

i3

4mA

0V

Nodo V1: i2 + i1 + I1 = 0 I1 = 2Vx = 2 (-R4 · i5) = 2

V 4 − V3 2

→

V 4 − V1 V 2 − V1 V 4 − V3 + +2 =0 2 1 2

Nodo V2: I2 + i3 = i1 + i4

→

1+

0 − V 2 V 2 − V1 V 2 − V3 + = 2 1 1

Nodo V3: i4 + I3 = i5

→

Nodo V4: i5 = i2 + I2

→

V 2 − V3 V3 − V 4 +4= 1 2 V3 − V 4 V 4 − V1 = +1 2 2

Resolviendo el sistema anterior de 4 ecuaciones, se obtiene que 13 1 V y V4 = − V , 4 4 por tanto: 13 1 + V3 − V 4 4 4 = 14 = 7 mA i5 = = 2 2 8 4 V3 =

R4 V4

i5

+ Vo R1 V3

7 Vo = -R1 ·i5 = − V 4

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Junio 2003 PROBLEMA 11:

Para el circuito de la figura, obtened los circuitos equivalentes de Norton y de Thévenin entre los terminales A-B: Datos: k = 0.05 Vg = 10V R1 = 5Ω p = 100 R2 = 0.5Ω R1 IX

Vg

+ -

+ _

kV1

+

pIX

A V1

R2 -

B

SOLUCIÓN 11: •

Cálculo de la corriente de Norton, IN:

IN = (IAB)cortocircuito

R1

+ -

Vg

IX

+ _

kV1

A

+

pIX

V1

R2

IN

B

Si se cortocircuitan los terminales A-B, la resistencia R2 queda también cortocircuitada, por tanto V1 = 0, y la fuente de tensión kV1 también se anula. De esta forma, la corriente de Norton es igual a la corriente de la fuente pIX pero en sentido opuesto: I N = −pI X = − p

•

Vg R1

= −100

10 = −200A 5

Cálculo de la resistencia de Norton (de Thévenin), RN = RTH:

Para calcular la resistencia de Thévenin se utilizará el método test, para ello se anulan las fuentes independientes del circuito y se coloca una fuente test entre los terminales AB, en este caso, se utiliza una fuente de corriente como fuente test:

150 Problemas de Teoría de Circuitos

31

R1 IX

+ _

kV1

+

pIX I2

+ Vtest

V1

R2

Itest

-

-

Del circuito anterior, se deduce que: V1 = Vtest Ix =

0 − kV1 − kVtest = R1 R1

y aplicando análisis de nodos en el nodo Vtest: pI X + I 2 = I test Sustituyendo el valor de la corriente IX en esta última ecuación: p

⎛ −k 1 ⎞ − kVtest Vtest V 1 ⎟⎟Vtest = I test → R TH = test = + = I test → ⎜⎜ p + R1 R2 I test p − k + 1 ⎝ R1 R 2 ⎠ R1 R 2

R TH =

Vtest 1 1 = = =1 − 0.05 1 I test p − k + 1 + 100 R1 R 2 5 0.5

Y por último, a partir de los valores de RTH e IN, se obtiene la VTH : I N = −200A R TH = 1Ω VTH = I N ·R TH = −200V RTH A

A + -

IN

VTH B

THEVENIN

150 Problemas de Teoría de Circuitos

RN B

NORTON

32

Septiembre 2003 PROBLEMA 12: Sobre el circuito de la figura: Vx

R1

+4Ω R2

R3 4Ω

+ Vx -

R4 4Ω 100V

+ -

+ -

V1

A

4Ω

V2

R

20V B

• • •

Encuentra el valor de R que permite que el circuito que se muestra en la figura suministre la máxima potencia a los terminales A y B. Determina la máxima potencia administrada a R ¿Qué porcentaje de la potencia total generada por las fuentes se suministra a la resistencia de carga R?

SOLUCIÓN 12:

•

Encuentra el valor de R que permite que el circuito que se muestra en la figura suministre la máxima potencia a los terminales A y B.

Por el teorema de máxima transferencia de potencia se ha de cumplir que R=RTH, por tanto se debe calcular la resistencia de Thévenin entre los terminales A-B, para ello se aplica el método test, anulando las fuentes independientes del circuito y colocando una fuente test entre los terminales A-B, en este caso, se utiliza una fuente de tensión como fuente test: V 1 R TH = test = I test I test Y se obtiene el valor de Itest analizando el circuito por mallas: Malla 1 → − VX = 4I1 + 4(I1 + I test ) + 4(I1 − I 2 ) Malla 2 → 0 = 4(I 2 − I1 ) + 4(I 2 + I test ) Malla 3 → 1 = 4(I1 + I test ) + 4(I 2 + I test ) y además → VX = 4(I 2 + I test )

150 Problemas de Teoría de Circuitos

33

Vx

R1

+-

4Ω

+ Vx -

R4 4Ω

I2

4Ω R2

I1

R3

A

4Ω Itest

Itest

+ -

Vtest =1V

B

Resolviendo el sistema anterior de 4 ecuaciones, se obtiene que I test = R TH =

Vtest 1 = = 2Ω → I test I test

1 A , por tanto: 2

R = RTH = 2Ω

También es posible hallar el valor de RTH calculando la tensión en circuito abierto (VTH = 60V) y la corriente de Norton (IN =30A), siendo RTH = VTH / IN. Cálculo de VTH: Vx

R1

+-

4Ω

+ Vx -

R4 I2 100V

+ -

4Ω R2

I1

R3

4Ω + -

V1

A

4Ω

V2

20V B

Utilizando la ley de mallas, Malla 1 → − VX = 4I1 + 4I1 + 4(I1 − I 2 ) Malla 2 → 100 − 20 = 4(I 2 − I1 ) + 4I 2 y además → VX = 4I 2

....resolviendo: I1 = 0A y I2 = 10A

Luego, VTH = 20 + VX + 4I1 = 20 + 10·4 = 60V

150 Problemas de Teoría de Circuitos

34

Cálculo de IN : Vx

R1

+-

4Ω

+ Vx -

R4 I2 100V

+ -

4Ω R2

I1

R3

4Ω + -

V1

A

4Ω

IN

IN

V2

20V B

Utilizando la ley de mallas, Malla 1 → − VX = 4I1 + 4(I1 − I N ) + 4(I1 − I 2 ) Malla 2 → 100 − 20 = 4(I 2 − I1 ) + 4(I 2 − I N )

....resolviendo: IN = 30A

Malla 3 → 20 = 4(I N − I 2 ) + 4(I N − I1 ) y además → VX = 4(I 2 − I N ) •

Determina la máxima potencia administrada a R: 2Ω 2

P= + -

•

60V

R=2Ω

VTH 602 = = 450W 4R TH 4·2

P = 450W

¿Qué porcentaje de la potencia total generada por las fuentes se suministra a la resistencia de carga R?

Para responder a esta pregunta hay que averiguar la potencia que generan o consumen las fuentes con el circuito original cargado con R = 2Ω. Por lo tanto, se debe analizar el siguiente circuito:

150 Problemas de Teoría de Circuitos

35

Vx

R1

+-

4Ω

+ Vx -

R4 4Ω

I1 100V

+ -

4Ω R2

I3

R3

+ -

V1

A

4Ω

V2

I2

RTH = 2Ω

20V B

Utilizando la ley de mallas, Malla 1 → 100 − 20 = 4(I1 + I3 ) + 4(I1 − I 2 ) Malla 2 → 20 = 4(I 2 − I1 ) + 4(I 2 + I3 ) + 2I 2 Malla 3 → VX = 4(I3 + I1 ) + 4(I3 + I 2 ) + 4I3 y además → VX = 4(I1 − I 2 ) ....resolviendo: I1 = 22.5A, I2 = 15A, I3 = -10A. Cálculo de la potencia en las resistencias (elementos PASIVOS): 2

PR TH = I 2 ·R TH = 152 ·2 = 450 W 2

PR 1 = I3 ·R 1 = 102 ·4 = 400W PR 2 = (I 2 + I3 ) 2 ·R 2 = (15 − 10) 2 ·4 = 100W PR 3 = (I1 + I3 ) 2 ·R 2 = (22.5 − 10) 2 ·4 = 625W PR 4 = (I1 − I 2 ) 2 ·R 2 = (22.5 − 15) 2 ·4 = 225W Cálculo de la potencia en las fuentes, según el criterio de signos pasivo:

-22.5A

V1

+ -

P100V = V1·(-I1) = 100 · -22.5 = -2250 W → fuente ACTIVA

100V

I1 I2

7.5A V2

+ -

P20V = V2·(I1-I2) = 20 · 7.5 = 150 W → fuente PASIVA

20V

VX +-

PVx = VX·I3 = 30 · 10 = 300 W → fuente PASIVA I3 = -10A

150 Problemas de Teoría de Circuitos

36

Sólo hay una fuente que produce potencia, V1, por tanto el total de potencia generada es 2250W y la potencia consumida por RTH es 450W, y con estos dos valores se calcula el porcentaje pedido:

%P suministrada a la carga = 100 · 450 / 2250 = 20%

150 Problemas de Teoría de Circuitos

37

Junio 2004 PROBLEMA 13: Calculad el valor de la tensión V0 en el circuito siguiente: 12V

1k

2k

+ Vg

+

2000IX

+ IX

2k

2k

5k

V0 -

SOLUCIÓN 13:

Es posible simplificar el cálculo de V0 en el circuito anterior, obteniendo el equivalente Thévenin del circuito a la derecha de las resistencias de 2k y 5k. Por tanto, a continuación se realiza el cálculo de dicho circuito equivalente: NOTA: Se utiliza el sistema de unidades :V, mA, kΩ, así que Vg = 2IX con IX en mA. VTH: Tensión de circuito abierto Por mallas:

12V

1k

+ +

+

2IX IX

2k IY

2k

IX

VTH

Vg = 2(I Y + I X ) + I Y

-

− 12 = 2I X + 2(I X + I Y )

→IX = -3mA

Vg = 2I X

VTH = 2k · IX = 2· -3 = -6V IN: Corriente en cortocircuito 12V

1k

+ +

2IX 2k

IX

2k

IN

150 Problemas de Teoría de Circuitos

Al cortocircuitar los terminales, la corriente IX se anula, y por tanto la fuente Vg también y el circuito anterior se reduce al siguiente:

38

2k

1k

IN

+ -

La resistencia equivalente al conjunto de las 2 resistencias en paralelo de 1k y 2k es k , por 3 tanto: − 12 IN = = -18mA 2 3

12V

y la resistencia Thévenin:

RTH =

VTH −6 1 = = = 0.33kΩ IN − 18 3

Se sustituye el equivalente Thévenin en el circuito original y se halla V0 fácilmente mediante un divisor de tensión: 0.33k

2k

V0

V0 = −6 + -

-6V

5k

5 − 45 -4.09V = = 1 11 5+ +2 3

THEVENIN

150 Problemas de Teoría de Circuitos

39

TEMA 2: ANÁLISIS TRANSITORIO

150 Problemas de Teoría de Circuitos

41

Febrero 1999 PROBLEMA 14:

En el circuito de la figura se desconocen los valores de C y R. Se pide obtener razonadamente los mencionados valores a partir de la curva de comportamiento descrita en la figura. 7

12mA

1kΩ

6 C R

1kΩ

+ Vc

-

Vc (voltios)

3kΩ

5 4 3 2 1 0 8

16 24 32 40 tiem po (segundos)

48

SOLUCIÓN 14: En primer lugar obtenemos el equivalente Norton del circuito sin el condensador ni la resistencia: 3kΩ

12mA

1kΩ

6mA

1kΩ

2kΩ

Añadimos ahora, sobre el equivalente, resistencia y condensador: + 6mA

C 2kΩ

R

6mA

2kΩ

R

V (t=∞) -

Para t = ∞ el condensador se comporta como un circuito abierto; por tanto: V(t=∞) = 6mA*(2kΩ*R)/( 2kΩ+R) = 6V (valor en régimen permanente)

150 Problemas de Teoría de Circuitos

43

...de donde se puede despejar el valor de R: R = 2kΩ Para obtener el valor de C calculamos primero el equivalente paralelo de las dos resistencias:

6mA

C 1kΩ

... y utilizamos la pendiente en el origen dibujada en el gráfico: En un circuito RC la constante de tiempo τ es igual al producto RC y se muestra en el gráfico como el instante en que la pendiente en el origen corta a la asíntota del valor final de la tensión. Por tanto:

τ = RC = 1kΩ*C = 8s;

150 Problemas de Teoría de Circuitos

C = 8mF

44

Junio 1999 PROBLEMA 15:

En el circuito de la figura el interruptor ha estado en la posición izquierda desde t = -∞ hasta t = 0, y en t = 0 pasa bruscamente a la posición de la derecha. 3k

2k A 50μF

+ -

12V

6k

50k B

Se pide: • •

Obtener el valor de la tensión VAB para t>0 ¿Cuál es la constante de tiempo del sistema para t>0? ¿Cuál sería el valor de la resistencia extra a colocar entre A y B para que esa constante de tiempo se reduzca a la mitad?

SOLUCIÓN 15: •

Obtener el valor de la tensión VAB para t>0 3k

2k + Vc(0)

+ -

12V

6k

_

Condiciones iniciales: tensión del condensador en t=0. Consideramos que el circuito se encuentra en régimen permanente y sustituimos el condensador por un circuito abierto: Aplicando divisor de tensión: Vc(0) = 12V*6k(3k+6k) = 8V

50μF 50k

Circuito para t>0: el interruptor pasa a la posición derecha. Las ecuaciones del circuito serán: Resistencia: I = -V/R Condensador: I = C*dV/dt

150 Problemas de Teoría de Circuitos

45

50*10-6*dV/dt + V/50*103 = 0

Dando valores e igualando queda: O, lo que es lo mismo:

dV(t)/dt + 0.4V(t) = 0

Resolución de la ecuación: Planteamos una solución estándar: V = K1 + K2*e-t/τ

dV/dt = -K2/τ*e-t/τ

Y sustituimos en la ecuación de nuestro circuito: -K2/τ*e-t/τ + 0,4* K1 + 0,4*K2*e-t/τ = 0 Igualando términos libres se obtiene: K1 = 0 Igualando términos en e-t/τ se obtiene: -K2/τ + 0,4*K2 = 0; K2/τ = 0,4*K2;

τ = 2.5

Sólo resta obtener el valor de K2 haciendo cumplir las condiciones iniciales que conocemos: V(0) = K1 + K2*e0 = K1 + K2 = 8V;

K2 = 8

Por tanto, la tensión pedida es

VAB (t) = 8*e-0.4t V

UAB (V)

Lo cual representa un típico proceso de descarga de un condensador: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 t (s)

•

¿Cuál es la constante de tiempo del sistema para t>0? ¿Cuál sería el valor de la resistencia extra a colocar entre A y B para que esa constante de tiempo se reduzca a la mitad?

La constante de tiempo de un circuito RC es:

τ = R*C = 50kΩ*50μF = 2.5s

Si deseamos reducir a la mitad la constante de tiempo, deberemos reducir a la mitad el valor de la resistencia: Rnueva = R/2 Como vamos a colocar una resistencia en paralelo: Rnueva = R//Rañadida = R*Rañadida/(R+Rañadida) Igualando ambas expresiones se llega a la conclusión:

150 Problemas de Teoría de Circuitos

Rañadida = R = 50kΩ

46

Septiembre 1999 PROBLEMA 16: En el circuito de la figura la corriente que circula por la bobina en t = 0 es de iL = 10A. • Determinar la expresión de la corriente iL y de la tensión vL, ambas para t>0. • Representar gráficamente de forma aproximada estas funciones 15Ω

+ 10A

16mH

5Ω

iL

vL _

SOLUCIÓN 16: Se plantean las ecuaciones del circuito por mallas: 15Ω

Malla 1: I1 = 10A Malla 2: (I2-I1)*5 + I2*15 + 16*10-3*dI2/dt=0

+ 10A

5Ω I1

16mH I2

iL

vL _

-16*10-3*dIL/dt+20*IL=50

Se propone la solución estándar para la ecuación diferencial: IL = K1 + K2*e-t/τ Sustituyendo: -16*10-3*K2/τ*e-t/τ+20*K1+20*K2*e-t/τ=0 Igualando términos: 20K1 = 50 -16*10-3*K2/τ+20*K2=0

K1 = 2.5 τ = 1/1250

Aplicando las condiciones iniciales: K2 = 7.5 IL(0) = 10 = 2.5 + K2

IL = 2.5+7.5*e-1250tA La tensión se obtiene a través de la ecuación de comportamiento de la bobina: VL = L*dIL/dt VL =-150*e-1250tV VL = 16*10-3*(-9375)*e-1250t

150 Problemas de Teoría de Circuitos

47

10 9

intensidad (A)

8 7

IL = 2.5+7.5*e-1250tA

6 5 4 3 2

0

0.5

1

1.5

2 2.5 tiem po (sg)

3

3.5

4

4.5 -3

x 10

0

VL =-150*e-1250tV

tension (V)

-50

-100

-150 0

0.5

1

1.5

2 2.5 tiempo (sg)

150 Problemas de Teoría de Circuitos

3

3.5

4

4.5 x 10

-3

48

Septiembre 1999 PROBLEMA 17: Los circuitos 1, 2 y 3 parten de las mismas condiciones iniciales. Indique a qué circuito corresponde cada una de las curvas de comportamiento representadas para VC y justifíquense las respuestas Step Response

Step Response

2

2

1.5

1.5

1.5

1

1

0.5

1

Amplitude

Amplitude

Amplitude

Step Response 2

0.5

0.5

0

0

0

-0.5

-0.5

-0.5

-1 0

5

10

15

20

-1 0

5

10

respuesta 1

2R

L

15

20

-1 0

5

10

Time (sec.)

Time (sec.)

C

respuesta 2 + vC

L

R

C

_

circuito A

15

20

Time (sec.)

respuesta 3 + vC

4R

L

C

_

circuito B

+ vC _

circuito C

SOLUCIÓN 17:

Planteamos la ecuación de VC para unos valores genéricos de R, L y C: VC 1 dV + ⋅ ∫ VC ⋅ dt + C ⋅ C = 0 R L dt d 2 VC 1 dVC 1 ⋅ + ⋅ VC + C ⋅ =0 R dt L dt 2 d 2 VC 1 dVC 1 + ⋅ + ⋅ VC = 0 2 RC dt LC dt

Si expresamos la ecuación en el formato estándar: d 2 VC dV + 2ξω n ⋅ C + ω 2n ⋅ VC = 0 2 dt dt

150 Problemas de Teoría de Circuitos

49

Podemos obtener el valor del coeficiente de amortiguamiento ξ en función de R,L,C: ω 2n =

1 LC 1 RC L

2ξωn = ξ=

2R C

Luego cuanto mayor sea R menor será el coeficiente de amortiguamiento. A la vista de las gráficas, puede verse como: ξrespuesta1 < ξrespuesta2 < ξrespuesta3 Por tanto:

el circuito B corresponde a la respuesta 3 el circuito A corresponde a la respuesta 2 el circuito C corresponde a la respuesta 1

150 Problemas de Teoría de Circuitos

50

Diciembre 1999 PROBLEMA 18: En el circuito de la figura, el interruptor lleva mucho tiempo abierto y se cierra en el instante t = 0. Se pide calcular el tiempo que tardará la tensión VAB en alcanzar 0V. 10Ω A 10Ω + -

25V 0,5H 5V

B

10Ω

+ -

SOLUCIÓN 18: Se calculará en primer lugar la expresión para la corriente que circula por la bobina iL(t): 10Ω

Condiciones iniciales: iL(t=0−) El interruptor está abierto y la bobina es un cortocircuito (régimen permanente)

A 10Ω + -

25V

iL(t=0−) 5V + -

iL(t=0−) = 30V/30Ω = 1A

B

10Ω

Circuito para t≥0: El interruptor está cerrado

10Ω A

+ -

25V

10Ω

20 ⋅ i L ( t ) + 0,5 ⋅

iL(t)

i L (0) = 1A

0,5H 5V + -

10Ω

150 Problemas de Teoría de Circuitos

di L ( t ) = 5V dt

Resolviendo para iL(t) se obtiene: B

i L ( t ) = 0,25 + 0,75 ⋅ e −40 t

51

El dato pedido es VAB: v AB ( t ) = 10 ⋅ i L ( t ) + 0,5 ⋅

(

)

di L ( t ) = 2,5 + 7,5 ⋅ e − 40 t + 0,5 ⋅ − 30 ⋅ e − 40 t = 2,5 − 7,5 ⋅ e − 40 t dt

Buscamos el instante en que VAB se iguala a cero: v AB ( t ) = 2,5 − 7,5 ⋅ e −40 t = 0 →

t = 27.5ms

150 Problemas de Teoría de Circuitos

52

Febrero 2000 PROBLEMA 19:

En el circuito de la figura, el interruptor lleva mucho tiempo cerrado y se abre en el instante t = 0. Se pide obtener la expresión de la intensidad i(t) para t > 0. 2,5kΩ

+ -

2kΩ

8V

2mF

2,5kΩ

0,5kΩ

i(t)

SOLUCIÓN 19: Resolvemos en primer lugar para la tensión en el condensador. a) Valor inicial: valor estabilizado antes de abrir el interruptor: 2,5kΩ

2kΩ

+

−

Vc(0) + -

8V

2,5kΩ

Por divisor de tensión: 2.5 VC (0) = 8 ⋅ = 4V 2.5 + 2.5

0,5kΩ

i(t)

b) Valor en t = ∞: valor estabilizado una vez abierto el interruptor: 2,5KΩ

2kΩ

+

−

Vc(∞) + -

8V

2,5kΩ

0,5kΩ

VC (∞) = 0

i(t)

c) Constante de tiempo: representamos el circuito para t>0 (interruptor abierto) y agrupamos resistencias: 2kΩ

+ 2,5kΩ

2mF

2mF

Vc(t)

− 0,5kΩ

i(t)

150 Problemas de Teoría de Circuitos

τ = RC = 5 ⋅ 10 3 ⋅ 2 ⋅ 10 −3 = 10s

5kΩ

i(t)

53

Con lo que la expresión para la tensión en el condensador queda: VC ( t ) = VC (∞) + (VC (0) − VC (∞) ) ⋅ e

−

t τ

= 4 ⋅ e −0,1t

La intensidad pedida se obtiene a partir de la tensión en el condensador: i(t)= -VC / (5·103 ) = -0.8·e-0.1t mA

150 Problemas de Teoría de Circuitos

54

Junio 2000 PROBLEMA 20:

En el circuito de la figura, la tensión VC del condensador vale –4V en t = 0: R

6Ω

+ + -

7.5V

10A

8Ω

3Ω

5mF

VC −

7.5V −+

Se pide: • •

Si R = 2Ω, calcular el tiempo que tardará la tensión VC en el condensador en alcanzar +4V ¿Qué valor debería haber tenido R para que ese tiempo hubiera sido la mitad? SOLUCIÓN 20:

Para facilitar los cálculos, se obtiene el equivalente Thévenin para todo el circuito salvo el condensador y la resistencia R (entre los terminales A y B): 6Ω

+ -

7.5V

A 10A

8Ω

3Ω 7.5V

B

−+

Dado que no existen fuentes dependientes, puede obtenerse el Thévenin a partir de la resistencia equivalente y de la tensión de circuito abierto: tensión de circuito abierto

resistencia equivalente 6Ω

6Ω

A

3Ω

+ -

8Ω

7.5V

A

8Ω

3Ω

10A

7.5V B

REQ = 6Ω // 3Ω // 8Ω = 1.6Ω

150 Problemas de Teoría de Circuitos

−+

B

Por nodos, VAB = 12V

55

El equivalente y el circuito completo serán, por tanto: R

1.6Ω

1.6Ω A + -

+

12V

+ -

5mF

12V

VC −

B

Sobre el circuito de la derecha podemos obtener la expresión de VC(t): • • •

Valor inicial: VC(0) = -4V Valor final: VC(∞) = 12V Constante de tiempo: τ = REQ⋅C = (1.6+R)⋅5⋅10-3

VC ( t ) = VC (∞) − (VC (∞) − VC (0) ) ⋅ e

−

t τ

= 12 − 16 ⋅ e

−

t (1.6 + R )⋅5⋅10 − 3

Si R = 2Ω, el tiempo en alcanzar 4V se puede despejar de la expresión anterior: 4 = 12 − 16 ⋅ e

−

t 3.6 ⋅5⋅10 −3

→ t = 12.5ms

t = 12.5ms

Para que ese tiempo se reduzca a la mitad, debe reducirse a la mitad la constante de tiempo: τ nueva =

τ 2

→ (1.6 + R nueva ) ⋅ 5 ⋅ 10 −3 =

3.6 ⋅ 5 ⋅ 10 −3 2

→ R nueva = 0.2Ω

Rnueva = 0.2Ω

150 Problemas de Teoría de Circuitos

56

Septiembre 2000 PROBLEMA 21:

En el circuito de la figura, el interruptor lleva mucho tiempo abierto y se cierra en el instante t = 0. iL

48mH +

vL

− 2,4kΩ

6kΩ

+ -

25V

4kΩ

+ -

4V

Se pide: • expresión de la intensidad en la bobina iL(t) para t>0. • Expresión de la tensión en la bobina vL(t) para t>0 • Representar aproximadamente ambas funciones SOLUCIÓN 21:

a) Obtención de las condiciones iniciales: se busca la intensidad en la bobina en t = 0 La intensidad en la bobina en t = 0+ será igual a la intensidad en t=0-; en ese instante nos encontramos en régimen permanente y por tanto la bobina equivale a un cortocircuito: i L (0) =

−4 = −0.625mA 4000 + 2400

iL(0)

2,4kΩ

4kΩ

+ -

4V

b) Comportamiento para t > 0: se busca el equivalente Thévenin del circuito entre los extremos de la bobina, a los que llamamos A y B: A

B 2,4kΩ

6kΩ

+ -

25V

4kΩ

+ -

4V

150 Problemas de Teoría de Circuitos

Tensión de circuito abierto: VA = 10V (divisor de tensión) VB = 4V VAB = 10-4 = 6V Resistencia equivalente: REQ = 4//6 + 2.4 = 4.8kΩ

57

Por tanto, el equivalente Thevenin y el circuito equivalente una vez colocada la bobina quedan: 4.8kΩ

4.8kΩ

iL + vL

+ -

6V

+ -

48mH −

6V

Sobre el circuito equivalente es fácil calcular iL y vL: i L ( t ) = i L (∞) + [i L (0) − i L (∞)]e

−

t τ

Donde los datos que nos hacen falta son: L 6 = 1.25mA; τ = = 10 −5 i L (0) = −0.625mA; i L (∞) = R 4800 Con lo que la expresión de la intensidad queda: 5

i L (t) = 1.25 − 1.875e −10 t mA

Se nos pide también la expresión de la tensión en la bobina, que será: 5 5 di ( t ) v L (t) = L ⋅ L = 48 ⋅ 10 −3 ⋅ 1.875 ⋅ 10 −3 ⋅ 10 5 ⋅ e −10 t = 9e −10 t V dt 5

v L (t) = 9e −10 t V

Una representación aproximada de ambas funciones sería la siguiente: iL(t)

vL(t)

t

t

Donde se aprecia que iL(t) no presenta saltos bruscos pero vL(t) si presenta una discontinuidad en t = 0.

150 Problemas de Teoría de Circuitos

58

Diciembre 2000 PROBLEMA 22:

En el circuito de la figura, el interruptor ha permanecido cerrado durante mucho tiempo, y se abre en el instante t = 0. Se pide dimensionar el condensador C de modo que la tensión vC(t) en el mismo tome valor cero en el instante t = 12ms. 2 kΩ

t=0

4 kΩ +

C

18mA

4 kΩ

vC(t)

3 kΩ

+

_

6V

SOLUCIÓN 22:

En primer lugar se obtiene la tensión en el condensador en el instante cero, suponiendo que éste se comporta en régimen permanente (antes de mover el interruptor) como un circuito abierto: 4 kΩ

2 kΩ + 18mA

4 kΩ

vC(0)

3 kΩ

+

_

6V

Del análisis del circuito anterior se obtiene vC(0) = 14V. A continuación planteamos la ecuación diferencial del circuito para t>0 (una vez abierto el interruptor): 4 kΩ C

+ vC(t) _

+

6V

Al tratarse de un circuito sencillo es inmediato obtener la ecuación diferencial: dv c ( t ) 1 6 v c (t) = − + 3 dt 4 ⋅ 10 ⋅ C 4 ⋅ 10 3 ⋅ C La solución de esta ecuación con la condición inicial vC(0) = 14V queda: v c ( t ) =− 6 + 20 ⋅ e

150 Problemas de Teoría de Circuitos

−

t 4⋅10 3 ⋅C

59

Se debe cumplir que vC(12⋅10-3) = 0V: −3

v c (12 ⋅ 10 ) =− 6 + 20 ⋅ e

−

12 ⋅10 −3 4 ⋅10 3 ⋅ C

=0 →

150 Problemas de Teoría de Circuitos

C = 2.5μF

60

Febrero 2001 PROBLEMA 23:

En el circuito representado, el interruptor ha permanecido abierto durante mucho tiempo. En el instante t = 0 el interruptor se cierra y se observa la evolución de i(t). Se miden los siguientes valores: • En el instante t = 12ms se toma una primera medida, en la que i(t) vale 7mA. • Una vez se ha estabilizado i(t) se toma otra medida, en la que i(t) vale 10mA. 100Ω

200Ω i(t)

V

+ -

100Ω

L

Se pide determinar el valor de la fuente de tensión V y de la bobina L. SOLUCIÓN 23:

Cálculo de condiciones iniciales para t = 0 Si el interruptor ha estado abierto durante mucho tiempo, la intensidad en la bobina será cero. i(0) = 0 Planteamiento de la ecuación diferencial para t>0 Se debe simplificar el circuito hasta la forma estándar de un circuito RL. Para ello se puede hacer el equivalente Thevenin de todo el circuito salvo la bobina (calculando VCA y REQ) o bien se pueden hacer transformaciones sucesivas de fuentes. En cualquier caso, el resultado al que se llega es el siguiente: 100Ω

+ -

V

200Ω

250Ω

100Ω

+ -

V/2

El circuito RL sobre el que hay que trabajar es, pues: 250Ω i(t) + -

V/2

L

150 Problemas de Teoría de Circuitos

61

La expresión para i(t) en este circuito estándar es conocida: R 250 −t⋅ − t⋅ V V L i( t ) = + K ⋅ e = + K ⋅e L R 500 El valor de K se obtiene a partir de las condiciones iniciales: V V i(0) = 0 = +K → K =− 500 500 Con lo que la expresión para la intensidad queda: 250 − t⋅ ⎞ V ⎛ ⎜1 − e L ⎟ i( t ) = ⎜ ⎟ 500 ⎝ ⎠ A partir de esta expresión obtenemos los valores de V y de L: V V = 5V (1 + 0) → 500 250 − 0.012 ⎞ 5 ⎛ L ⎟ ⎜1 − e i(0.012) = 7mA = ⎟ → L = 2.5H 500 ⎜⎝ ⎠

i(∞) = 10mA =

150 Problemas de Teoría de Circuitos

62

Junio 2001 PROBLEMA 24:

En el circuito de la figura, el interruptor ha permanecido abierto durante mucho tiempo, y se cierra en el instante t = 0. Se pide obtener la expresión de vAB(t) para t > 0. A

t=0

2.6Ω

4Ω 6Ω

20mF + -

20V

+ -

12V B

SOLUCIÓN 24: Se solucionará para la tensión en el condensador y a partir de ella se obtendrá el dato pedido. Buscamos la tensión en el condensador en t = 0- y en t = ∞; en ambos casos consideramos el condensador como un circuito abierto dado que estamos en régimen permanente: A

4Ω

A

2.6Ω

2.6Ω

4Ω 6Ω

+ -

20V

+ Vc (t=0) _ B

+ -

20V

+ -

12V

+ Vc (t=∞) _ B

Se obtiene: VC(0) = 20V VC(∞) = 16.8V (mediante divisor de tensión, por ejemplo)

150 Problemas de Teoría de Circuitos

63

Falta por conocer la constante de tiempo, para ello se simplifica el circuito para t>0 hasta la forma estándar de un circuito RC. Mediante transformaciones de fuentes se llega a: 5Ω 20mF + -

16.8V

Con lo que la constante de tiempo será: τ = RC = 0.1 seg La expresión de la tensión en el condensador quedará: VC (t) = 16.8 + (20 - 16.8)e-10t V = 16.8 + 3.2e-10t V Para hallar la tensión pedida primero obtenemos la intensidad en el condensador: dV ( t ) I C (t) = C = - 0.64e-10t A dt

La tensión pedida será la tensión en la resistencia más la tensión en el condensador:

VAB (t) = R ·IC ( t ) + VC ( t ) = 16.8 + 1.54e −10t V

150 Problemas de Teoría de Circuitos

64

Septiembre 2001 PROBLEMA 25:

Obtener la expresión de la tensión v(t) del condensador en el circuito de la figura: Dato v(0) = 0V. 10V

4Ω

+ -

20V

2Ω

+ -

6Ω

2A

2Ω

+ v(t) 10mF

SOLUCIÓN 25:

Mediante sucesivas transformaciones de fuentes se obtiene el siguiente circuito equivalente: 6,4Ω _ +

2V v(t)

10mF

+

Obtendremos la expresión de v(t) a partir del valor inicial, el valor final y la constante de tiempo: • Valor inicial: v(0) = 0V • Valor final: v(∞) = 2V τ = RC = 0,064seg • Cte. de tiempo:

v(t ) = v(∞ ) − [v(∞ ) − v(0)] ⋅ e

150 Problemas de Teoría de Circuitos

−

t τ

(

)

= 2 ⋅ 1 − e −15,625⋅t V

65

Diciembre 2001 PROBLEMA 26:

En el circuito de la figura, el interruptor ha permanecido abierto durante mucho tiempo, y se cierra en el instante t = 0. Con ayuda de un osciloscopio se registra la tensión VAB y se obtiene la gráfica que se muestra en la figura. Se pide obtener los valores de R y de C en el circuito. t=0

2 kΩ

VAB (V)

A

10mA

R

R

3kΩ

+

C

20

VAB(t) _

C

0

B

0 6

t

SOLUCIÓN 26: Simplificaremos el circuito paso a paso comenzando por una transformación de fuentes y los equivalentes serie y paralelo de los condensadores y las resistencias t=0 respectivamente: 2 kΩ 3 kΩ A

+ + -

30V

R/2

VAB(t)

C/2

_ B

A continuación se calcula el equivalente serie de las resistencias y se hace una nueva t=0 transformación de fuentes: A

C/2

6mA 5 kΩ

R/2

+ VAB(t) _ B

Sobre este circuito ya es posible calcular los valores de R y C. En primer lugar vemos a partir de la curva del enunciado cómo el valor final de la tensión (régimen permanente) es de 20V; en régimen permanente el condensador será un circuito abierto:

150 Problemas de Teoría de Circuitos

66

A +

6mA 5kΩ

R/2

20V _ B

Sobre este circuito se calcula el valor de R: 5 ⋅ 103 ⋅ R 2 5000R = 3 5 ⋅ 10 + R 2 10000 + R 5000R I ⋅ R eq = 20V ⇒ 6 ⋅ 10 − 3 ⋅ = 20 ⇒ 10000 + R

R eq =

R = 20kΩ

Una vez calculado R, se obtiene el valor de C teniendo en cuenta que, según la respuesta mostrada en el gráfico, la constante de tiempo es de 6ms: τ = 6 ⋅ 10− 3 = R eq ⋅

C 5000R C = ⋅ ⇒ 2 10000 + R 2

150 Problemas de Teoría de Circuitos

C = 3.6mF

67

Febrero 2002 PROBLEMA 27:

En el circuito de la figura, el interruptor ha estado en la posición 1 desde t = -∞ hasta t = 0 y en t = 0 pasa bruscamente a la posición 2. • obtened el valor de la tensión VAB(t) para t > 0. • calculad el tiempo que tardará el condensador en alcanzar la tensión de 12V. ¿cuál sería el valor de la resistencia extra a colocar entre A y B para que alcanzara esos 12V en la mitad de tiempo? 1k

2k

1 2 A 50μF

+ -

24V

2k

50k B

SOLUCIÓN 27: •

¿Valor de la tensión VAB(t) para t>0.?

El circuito anterior es un circuito de primer orden. La tensión VAB(t) es la tensión en el condensador VC(t). Transitorio en t = 0: VC ( t ) = VCfinal + (VCinicial − VCfinal ) ⋅ e − t / τ ; τ = R eq ·C

Vamos a hallar los parámetros: VCfinal, VCinicial y Req Circuito para t0:

Req= 50kΩ

50μF 50k

VCfinal = 0V

Sustituyendo en la ecuación del transitorio: VC ( t ) = 0 + (16 − 0) ⋅ e − t / τ ; τ = 50·103 ·50·10−6 = 2.5s VAB(t) = VC(t) = 16e-0.4t V •

¿Tiempo que tardará el condensador en alcanzar la tensión de 12V?

Utilizando la expresión de la tensión en el condensador para t>0: VC ( t ) = 16·e −0.4 t V 12 = 16·e −0.4 t

M

t = 0.719s

•

¿Cuál sería el valor de la resistencia extra a colocar a colocar entre A y B para que alcanzara esos 12V en la mitad de tiempo? t ' = t / 2 = 0.719 / 2 = 0.395s 50μF 50K

R

150 Problemas de Teoría de Circuitos

69

Vamos a hallar la nueva constante de tiempo: 12 = 16 ⋅ e − τ'⋅0.359 τ' = 0.8 1 τ' = = 0.8 → R eq = 25000Ω = 25kΩ R eq ⋅ C

Si Re q = R // 50kΩ =

R ⋅ 50 = 25kΩ , entonces R + 50

150 Problemas de Teoría de Circuitos

R=50 kΩ

70

Junio 2002 PROBLEMA 28: En el circuito de la figura, el interruptor ha estado abierto desde t = -∞ hasta t = 0 y en t = 0 se cierra. • obtened el valor de la tensión en el condensador C1 para t>0. • calculad el tiempo que tardará el condensador en alcanzar la tensión de -1V. • si duplicamos el valor de la resistencia R2 , ¿cuál será ahora el valor final de tensión alcanzado por el condensador? ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar la tensión de –1V? 3kΩ

10 V

+ -

V1

R1

I1

+ _

2⋅VC(t)

C1

0.5⋅I1

1kΩ

R2 1F

SOLUCIÓN 28: •

valor de la tensión en el condensador C1 para t>0?

El circuito anterior es un circuito de primer orden. Transitorio en t = 0: VC ( t ) = VCfinal + (VCinicial − VCfinal ) ⋅ e − t / τ ; τ = R eq ·C

Vamos a hallar los parámetros: VCfinal, VCinicial y Req: Circuito para t0: 3kΩ

10 V

+ -

VR2

R1

V1

I1

2⋅VC(t)

+ _

0.5⋅I1

C es un circuito abierto en DC

R2

1kΩ

0V

VCfinal = VC (∞) =VR2 En la malla de la izquierda: I1 =

V1 − 2VC 3

=

V1 − 2VR 2 3

Y en la derecha: 0 − VR 2 = 1 ⋅ 0.5 ⋅ I1 VR 2 = −0.5 ⋅ I1 VR 2 = −0.5 ⋅

V1 − 2V R 2 3

M

VR 2 = −

5 = −2.5V 2

VCfinal = VC (∞) =VR2= -2.5V Para calcular la Req utilizamos el método test: anulamos la fuente independiente V1 del circuito anterior (la sustituimos por un cortocircuito), añadimos una fuente de tensión de 1V (fuente test) y hallamos el valor de la corriente test (Itest) R eq =

Vtest 1 = I test I test

3kΩ

10 V

+ -

V1

VR2

R1

I1

+ _

2⋅VC(t)

0.5⋅I1

1kΩ

R2

+ Vtest=1V -

Itest

Ix 0V

Ahora VR2 = Vtest =1V, I1 =

0 − 2VC 2 = − mA . 3 3

150 Problemas de Teoría de Circuitos

72

Aplicamos la ley de nodos en el subcircuito de la izquierda:

0.5I1 + I X = I test =

Vtest R eq

⎛ 2 ⎞ V − 0 Vtest = 0.5⎜ − ⎟ + test 1 R eq ⎝ 3⎠ 1 ⎛ 2⎞ 1 ⎜− ⎟ +1 = 2⎝ 3⎠ R eq R eq =

3 kΩ = 1500Ω 2

Sustituimos los valores de VCfinal, VCinicial y Req en la expresión de la tensión en el condensador: VC ( t ) = −2.5 + (0 − (− 2.5)) ⋅ e − t / 1500 ; τ = R eq ·C = 1500·1 = 1500

VC (t) = −2.5 ⋅ (1 − e − t/1500 ) V •

tiempo que tardará el condensador en alcanzar la tensión de -1V? VC ( t ) = −2.5 ⋅ (1 − e − t / 1500 ) − 1 = −2.5 ⋅ (1 − e − t / 1500 ) M t = 766s

•

si duplicamos el valor de la resistencia R2 , ¿cuál será ahora el valor final de tensión alcanzado por el condensador? ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar la tensión de –1V?

Si R2 = 2kΩ, la tensión final en el condensador cambiará: 3kΩ

10 V

+ -

V1

VR2

R1

I1

+ _

2⋅VC(t)

0.5⋅I1

2kΩ

R2

C es un circuito abierto en DC

0V

150 Problemas de Teoría de Circuitos

73

En la malla de la izquierda: V1 − 2VC

I1 =

3

=

V1 − 2VR 2 3

Y en la derecha: 0 − VR 2 = 2 ⋅ 0.5 ⋅ I1 VR 2 = − I1 VR 2 =

2VR1 − 10 3

M

VR 2 = 10V

VCfinal = VC (∞) =VR2= 10V La Req también tendrá otro valor: R eq =

3kΩ

Vtest 1 = I test I test 10 V

+ -

V1

VR2

R1

I1

+ _

2⋅VC(t)

0.5⋅I1

2kΩ

R2

+ Vtest=1V -

Itest

Ix 0V

Como antes, I1 =

0 − 2VC 2 = − mA . 3 3

Aplicamos la ley de nodos en el subcircuito de la izquierda:

0.5I1 + I X = I test =

Vtest R eq

⎛ 2 ⎞ V − 0 Vtest = 0.5⎜ − ⎟ + test 2 R eq ⎝ 3⎠ 1 ⎛ 2⎞ 1 1 ⎜− ⎟ + = 2 ⎝ 3 ⎠ 2 R eq R eq = 6kΩ = 6000Ω

150 Problemas de Teoría de Circuitos

74

Sustituimos los valores de VCfinal, VCinicial y Req en la expresión de la tensión en el condensador: VC ( t ) = −10 + (0 − (− 10)) ⋅ e − t / 6000 ; τ = R eq ·C = 6000·1 = 6000 VC ( t ) = −10 ⋅ (1 − e − t / 6000 ) V Con R2 = 2kΩ, el condensador tardará en alcanzar la tensión de -1V un tiempo algo menor: VC ( t ) = −10 ⋅ (1 − e − t / 1500 ) − 1 = −10 ⋅ (1 − e − t / 1500 ) M t = 632s

150 Problemas de Teoría de Circuitos

75

Septiembre 2002 PROBLEMA 29: En el circuito siguiente, • Calculad el valor de la tensión en los extremos de la resistencia R4 y la potencia que consume. • Si se sustituye la resistencia R4 por una capacidad, hallad la tensión final que alcanzará este elemento. ¿Cuál ha de ser el valor de la capacidad para que alcance en sus extremos una tensión de 1V en 2 segundos? (Suponed que la capacidad se halla inicialmente descargada, VC(0) = 0) V1 - +

2mA

10 V

R3

I1

5kΩ 5kΩ

R1

5kΩ

R2

+

10kΩ

R4 VO -

SOLUCIÓN 29:

•

Calculad el valor de la tensión en los extremos de la resistencia R4 y la potencia que consume.

SOLUCION A: Un posible solución consiste en resolver el circuito mediante el análisis de nodos: V1 - +

10 V

i2 VX

2mA

I1

Nodo Vx:

VY

i1 = i 2 + 2 →

i3

VZ

R3 5kΩ

5kΩ

R1

5kΩ

i1

i4

R2

i5

10kΩ

+

0 − VX = i2 + 2 5

Nodo VY: 2 = i 4 + i3

→ 2=

R4 VO -

Nodo VZ: i2 + i3 = i5

→ i2 +

Además se cumple:

150 Problemas de Teoría de Circuitos

VY − 0 VY − VZ + 5 5

VY − VZ VZ − 0 = 5 10

VZ – VX = 10

76

La tensión que se nos pide es Vo, denominada VZ en el sistema de ecuaciones anterior, que si resolvemos correctamente da como resultado VZ = 2.5V. Por tanto:

Vo = 2.5V y la corriente por la resistencia valdrá 0.25 mA, por lo que la potencia consumida será:

P = V*I = 2.5 * 0.25 = 0.625 mW.

SOLUCIÓN B: También es posible hallar la tensión Vo utilizando el teorema de Thevenin. Vamos a calcular el equivalente Thevenin del circuito visto desde los terminales de la resistencia R4: V1 - +

2mA

10 V

R3

I1

5kΩ 5kΩ

R1

5kΩ

A

R2

B Cálculo de Rth: Anulamos las fuentes independientes (sustituyendo la fuente de corriente por un circuito abierto y la fuente de tensión por un cortocircuito) y el circuito resistivo que queda es el siguiente: Rth= R1 // (R3 + R2) = 5 // 10 = =3.3kΩ

R3 5kΩ 5kΩ

R1

5kΩ

5·10 10 = 5 + 10 3

A

R2

B

150 Problemas de Teoría de Circuitos

77

Cálculo de Vth:

Nodo Vx:

V1 - +

i2 VX

2mA

VY

I1

i3

R3 5kΩ

R1

5kΩ

5kΩ

0 − VX = i2 + 2 5

Nodo VY:

VZ A

2 = i 4 + i3

→ 2=

VY − 0 VY − VZ + 5 5

R2

i4

i1

i1 = i 2 + 2 →

10 V

B

Nodo VZ: i 2 + i 3 = 0 → i 2 + Además se cumple:

VY − VZ =0 5

VZ – VX = 10

Si resolvemos correctamente el sistema de ecuaciones anterior, se obtiene VZ = 3.3V. Por tanto Vth = 3.3V. Conocido el equivalente completo se puede obtener el dato pedido: Con la resistencia de 10kΩ:

3.3kΩ

+ -

I = 3.3V/13.3kΩ = 0.25mA 3.3V

10kΩ

Vo = I · 10kΩ = 2.5V P = V*I = 2.5 * 0.25 = 0.625 mW

•

Si se sustituye la resistencia R4 por una capacidad, hallad la tensión final que alcanzará este elemento. ¿Cuál ha de ser el valor de la capacidad para que alcance en sus extremos una tensión de 1V en 2 segundos? (Suponed que la capacidad se halla inicialmente descargada, VC(0) = 0)

Utilizando el equivalente Thevenin calculado en el apartado anterior, vemos que la tensión final alcanzada por el condensador será la tensión de Thevenin de 3.3V. La expresión del transitorio de la tensión en el condensador será :

VC ( t ) = VCfinal + (VCinicial − VCfinal ) ⋅ e − t / τ ; τ = R eq ·C = 3333C VC ( t ) = 3.3 + (0 − 3.3) ⋅ e − t / 3333C = 3.3·(1 − ⋅e − t / 3333C ) Si queremos que el condensador alcance una tensión de 1V en 2 segundos, sustituimos estos valores en la expresión de la tensión en el condensador: VC ( t ) = 3.3·(1 − ⋅e −2 / 3333C ) = 1 →

C=0.0017F=1.7mF

150 Problemas de Teoría de Circuitos

78

Diciembre 2002 PROBLEMA 30: En el circuito siguiente, •

t = 3s 200μF C V2 R2 R1 R4 C1 a - + l 3kΩ 3kΩ 2kΩ + 24V K2 V3 + c - V1 R3 V (t) _ t=0 2000 iA 0 iA u + 6V 6kΩ K1 l a d el valor de la tensión V0(t), sabiendo que el interruptor K1 se cierra en t = 0 y el interruptor K2 se abre en t = 3s. • Dibujad la gráfica de la tensión V0(t).

SOLUCIÓN 30: Se trata de un circuito RC de primer orden. Intervalos de tiempo a estudiar: t < 0 → K1 abierto y K2 cerrado

1er Transitorio

0 ≤ t < 3 → K1 cerrado y K2 cerrado 3 ≤ t < ∞ → K1 cerrado y K2 abierto

2º Transitorio

1er Transitorio: Cambio en t = 0, interruptor K1 se cierra. Hallaremos primero la tensión VC en extremos del C, y luego obtendremos la tensión V0(t). VC (t) = VCfinal + (VCinicial - VCfinal )e-t/τ τ ; τ =Req·C

150 Problemas de Teoría de Circuitos

79

Circuito para t=0, a partir del circuito para t > 0 y el dato de la tensión en el condensador : V0(t) es la tensión del divisor de tensión: V0 ( t ) = VC ( t )· y obviamente: I0 ( t ) =

48 = ... = 60e − 25 t V 32 + 48

V0 ( t ) = ... = e − 25 t mA 60

Por tanto, los valores de V0(t) e I0(t) para todo el intervalo temporal son: ⎧0 t < 0 V0 = ⎨ − 25t ⎩60e V t ≥ 0

150 Problemas de Teoría de Circuitos

⎧0 t < 0 I 0 = ⎨ − 25t ⎩e mA t ≥ 0

91

Para realizar la representación gráfica, se detalla el resultado anterior: ⎧0 t < 0 ⎪ + ⎪60V t = 0 V0 = ⎨ − 25 t ⎪60e V t > 0 ⎪0 t → ∞ ⎩

⎧0 t < 0 ⎪ + ⎪1mA t = 0 I0 = ⎨ − 25 t ⎪e mA t > 0 ⎪0 t → ∞ ⎩

En los gráficos siguientes es posible apreciar el cambio brusco de corriente y tensión que se produce en t=0.

I0(mA)

1

t (s)

V0(V)

60

t (s)

150 Problemas de Teoría de Circuitos

92

Septiembre 2003 PROBLEMA 33: En el circuito de la figura se desconocen los valores de R1, R2, Vg y C. Inicialmente los interruptores S1 y S2 se encuentran abiertos. En t = 0 se cierra S1. Al cabo de 40 segundos se cierra el interruptor S2 y se abre de nuevo S1. Se pide obtener razonadamente los mencionados valores a partir de la curva de comportamiento de la tensión en extremos del condensador descrita en la figura. S1 3kΩ

S2

1kΩ

R2

+ 12mA

C 1kΩ

R1

Vc

+ -

Vg

-

150 Problemas de Teoría de Circuitos

93

SOLUCIÓN 33:

En el gráfico se aprecian los dos transitorios que ocurren en el circuito durante el intervalo de tiempo considerado: durante el primer transitorio el condensador se carga pasando a valer su tensión de 0 a 6V, y en el segundo transitorio se descarga hasta 2V. 1º transitorio: carga del C de 0 a 6V (S1 se cierra en t = 0, t∈[0 ,40s]) Del gráfico se deduce que VCinicial = 0 y VCfinal = 6V, y con el dato del valor de VCfinal se calcula el valor de R1.

3kΩ

S1

1kΩ

+ C

12mA

1kΩ

R1

Vc -

Se simplifica el circuito anterior hallando el circuito equivalente Thévenin entre los terminales de R1. La RTH es igual al equivalente serie de las dos resistencias de 1kΩ, es decir, RTH = 2 kΩ. Y VTH se obtiene fácilmente utilizando la ley de Ohm sobre una de las resistencias de 1kΩ, siendo VTH = 12V. De forma que el circuito anterior se reduce a: 2kΩ

VCfinal S1 + C

+ -

12V

Vc

R1

Sabiendo queVCfinal = 6V, se obtiene R1 R1 VCfinal = 12 → R1 = 2kΩ 2 + R1

-

El valor de la capacidad del condensador se obtiene a partir del dato de la constante de tiempo del transitorio ( τ =RC) que se deduce a su vez del gráfico: el valor de τ es el instante en que la pendiente en el origen corta a la asíntota del valor final de la tensión, luego τ = 8s. S1

2kΩ

1kΩ + C

+ -

12V

2kΩ

R1

+

2k paralelo 2k = 1k

Vc -

150 Problemas de Teoría de Circuitos

S1

C + -

12V

Vc -

94

τ = RC = 8s τ = 1·103 ·C = 8

→

C = 8mF

2º transitorio: descarga del C de 6 a 2V (S1 se abre y S2 se cierra en t = 40, t∈[40 ,∞]) S2

Del gráfico se deduce que VCfinal = 2V, por tanto R2

Vg = VCfinal = 2V

+ C Vc

+ -

Vg

-

El valor de τ para este transitorio es también el instante en que la pendiente en el origen corta a la asíntota del valor final de la tensión, luego para este 2º transitorio τ = 8s. (en el gráfico 48s, pero como el intervalo considerado comienza en 40s, 48-40 = 8s) y con el dato de τ = 8s se halla el valor de R2: τ = R 2 C = 8s τ = R 2 ·8·10

−3

=8

150 Problemas de Teoría de Circuitos

→

R2 = 1kΩ

95

Diciembre 2003 PROBLEMA 34: En el circuito de la figura, las corrientes iniciales en las inductancias L1y L2 han sido establecidas por fuentes que no aparecen en la figura y tienen un valor de 8Ay 4A respectivamente. El interruptor se abre en el instante t = 0, anteriormente a ese instante lleva cerrado mucho tiempo. • Encontrad i1(t), i2(t) e i3(t) para t≥0. R2 i1

L1 i1(0 ) = 8A

L2

i2

t=0 R1

R3

i3

R4

-

i2(0-) = 4A

Datos: L1=5H L2=20H

R1=40Ω R2=4Ω

R3=15Ω R4=10Ω

SOLUCIÓN 34:

La clave para encontrar las corrientes i1(t), i2(t) e i3(t) es conocer el voltaje v(t). R2

L1 i1(0 ) = 8A

i1

L2

i2

+

t=0

v(t)

-

R1

R3

i3

R4

-

i2(0-) = 4A

Este voltaje se puede determinar fácilmente si se reduce el circuito anterior al equivalente siguiente: + 4H

i

v(t)

12A

8Ω

-

donde las inductancias en paralelo se han simplificado a una inductancia equivalente de 4H con una corriente inicial de 12A, y el conjunto de resistencias se reduce a una sola

150 Problemas de Teoría de Circuitos

96

resistencia de 8Ω. Así el valor inicial de i(t) es de 12A, y la constante de tiempo es L 4 τ= = = 0.5s . R eq 8 Por lo tanto:

i( t ) = i final + (i inicial − i final ) ⋅ e − t / τ ; i( t ) = 0 + (12 − 0) ⋅ e − t / 0.5 = 12·e −2 t A; t ≥ 0

Ahora v(t) no es más que el producto 8·i(t): v( t ) = 8·i( t ) = 8·12·e −2 t = 96·e −2 t V; t ≥ 0 + En el circuito se aprecia que v(t) = 0 en t = 0- (debido al cortocircuito que forma el interruptor al estar cerrado), de manera que la expresión para v(t) es válida para t ≥ 0+. Con el dato de v(t) ya se pueden obtener las corrientes i1(t), i2(t) e i3(t): t

1 i1 = ∫ 96e − 2 x dx − 8 = 1.6 − 9.6e − 2 t A t ≥ 0; 50 t

i2 =

1 96e − 2 x dx − 4 = −1.6 − 2.4e − 2 t A t ≥ 0; 20 ∫0

i3 =

v( t ) 6 = 5.76e − 2 t A t ≥ 0 + ; 10 10

Las expresiones para las corrientes i1(t) e i2(t) son válidas para t ≥ 0, mientras que la expresión para la corriente i3(t) es sólo válida para t ≥ 0+.

i1(t) = 1.6-9.6e-2tA i2(t) = -1.6-2.4e-2tA i3(t) = 5.76e-2tA

150 Problemas de Teoría de Circuitos

97

Febrero 2004 PROBLEMA 35: En el circuito de la figura, el interruptor ha estado en la posición 1 durante mucho tiempo y, en el instante t = 0, se cambia a la posición 2, calculad: • la tensión inicial en el condensador • la tensión final en el condensador • la constante de tiempo para t>0 • el tiempo que debe transcurrir para que el voltaje del condensador caiga a cero después de cambiar el interruptor a la posición 2.

3.5kΩ

1.25kΩ 2

1 + -

60V

0.05μF 6.75kΩ

11.5kΩ

8mA

SOLUCIÓN 35:

El circuito anterior es un circuito de primer orden, VC ( t ) = VCfinal + (VCinicial − VCfinal ) ⋅ e − t / τ ; τ = R eq ·C

Circuito para t < 0: Puesto que C en DC es un abierto , utilizando la expresión del divisor de tensión se obtiene VCinicial. 3.5kΩ

VCinicial = 60

VCinicial

11.5 = 46V 11.5 + 3.5

1 + -

60V

0.05μF 11.5kΩ

150 Problemas de Teoría de Circuitos

98

Circuito para t > 0: VCfinal se obtiene utilizando la ley de Ohm sobre la resistencia de 6.75k,

VCfinal

1.25kΩ

0 - VCfinal = 8 · 6.75 0.05μF 6.75kΩ

Y la Re :

8mA

VCfinal = -54V

Req = 1.25 + 6.75 = 8kΩ

Por tanto, la constante de tiempo:

τ = Req·C = 400 μs

Con todos los datos calculados ya es posible obtener la expresión de VC(t): VC ( t ) = VCfinal + (VCinicial − VCfinal ) ⋅ e − t / τ ; τ = R eq ·C VC ( t ) = −54 + 100 ⋅ e − 2500 t V Para hallar el tiempo pedido, se despeja t de la siguiente expresión:

0 = −54 + 100 ⋅ e −2500 t V t = 246μs

150 Problemas de Teoría de Circuitos

99

TEMA 3: ANÁLISIS EN REGIMEN ESTACIONARIO SENOIDAL

150 Problemas de Teoría de Circuitos

101

150 Problemas de Teoría de Circuitos

102

Febrero 1999 PROBLEMA 36:

En el circuito de la figura se representa una fuente de tensión senoidal conectada a tres cargas. Los datos que conocemos son: • Frecuencia de la fuente de tensión: f = 50Hz • Intensidad suministrada por la fuente: I = 5A eficaces P1 = 80W • Potencia en la resistencia R1: • Potencia en la impedancia Z2: S2 = 75VA, factor de potencia = 0,8 inductivo • Impedancia Z3: Z3 = 4 + j10 Ω I R1

Z2

+ -

Se pide: • Valor del condensador que, conectado en paralelo con las tres cargas, haga que el factor de potencia total aumente hasta ser igual a 0,9 inductivo. • Valor de la intensidad que suministra la fuente en esas condiciones.

SOLUCIÓN 36: SOLUCIÓN A: Calculamos las potencias activa y reactiva consumidas por el conjunto de las tres cargas: R1: P = 80W Q=0 Z1: P = S*cosϕ = 75VA*0,8 = 60W S2 = P2+Q2; Q = √(752-602) = 45VAR Z2: P = I2*R = 52*4 = 100W Q = I2*Z = 52*10 = 250VAR Las potencias activa y reactiva totales serán: Ptotal = 80 + 60 + 100 = 240W Qtotal = 45 + 250 = 295VAR

Q = 295VAR

P = 240W

150 Problemas de Teoría de Circuitos

103

La potencia aparente será, por tanto, S = √(P2+Q2) = √(2402+2952) = 380,3VA Y la tensión de la red se puede obtener de S = U*I; U = S/I = 380,3/5 = 76V (eficaces) Nos interesa reducir la potencia reactiva absorbida hasta hacer que el factor de potencia tenga un valor de 0,9 inductivo:

Qc

ϕ = arccos(0.9) = 25,8º (295VAR-Qc) = 240W*tg(25,8) = 116VAR

295VAR - Qc

ϕ

Qc = 295VAR – 116VAR = 179VAR

P = 240W Una vez conocido Qc podemos determinar el valor del condensador: Qc = V2*ωC = V2*2πfC; 179VAR = 762*2π*50Hz*C; C = 99μF Y el valor de la nueva intensidad se obtiene de S = U*I donde S = √(2402+1162) = 266,6VA I = S/U = 266,6/76; I = 3,5A (eficaces) SOLUCIÓN B: El problema también se puede solucionar obteniendo la impedancia equivalente REQ = R1+Z2+Z3: Las fórmulas que emplearemos serán:

P = I2*R

R1:

R1 = P1/I2 = 80/52 =3,2Ω X1 = 0

Z2:

R2 = P2/I2 = 75*0,8/52 = 60/52 = 2,4Ω X2 = Q2/I2 = √(S22-P22)/I2 = √(752-602)/52 = 1,8Ω

Z3:

R3 = 4Ω X3 = 10Ω

Por tanto

Q = I2*X

REQ = 3,2 + 2,4 + 4 = 9,6Ω XEQ = 1,8 + 10 = 11,8Ω ZEQ = 9,6 + 11,8j Ω

Ahora podemos hallar la tensión de la red como ⏐V ⏐= ⏐I⏐*⏐Z⏐: V = 5*√(9,62+11,82) = 5*15,2 = 76V (eficaces)

150 Problemas de Teoría de Circuitos

104

Nos interesa que el paralelo entre la impedancia equivalente obtenida antes y el condensador produzca un factor de potencia de 0,9 inductivo. Esto es, el ángulo de la impedancia debe ser arccos(0,9). Llamaremos XC a la reactancia del condensador:

ZC = -jXC

ZTOT = (ZEQ*ZC)/(ZEQ+ZC) = (9,6 + 11,8j)(-XCj) / (9,6 + (11,8-XC)j) ZTOT = (-9,6XCj + 11,8XC) / (9,6 + (11,8-XC)j) Se multiplican numerador y denominador por el conjugado del denominador: ZTOT = (-9,6XCj + 11,8XC)*(9,6 - (11,8-XC)j) / (9,62 + (11,8-XC)2) ... operando y agrupando términos queda ZTOT = (9,6XC2 + (11,8XC2-231XC)j) / (9,62 + (11,8-XC)2) Debemos hacer que el ángulo de la impedancia sea arccos(0,9) = 25,8º

Z

X

25.8º R

Im(ZTOT) / Re(ZTOT) = tg(25,8º) = 0,48 (11,8XC2-231XC) / 9,6XC2 = 0,48; (11,8XC –231) /9,6XC = 0,48; 11,8XC – 231 = 4,6XC;

XC = 32,1Ω Una vez conocido XC, se obtiene C a partir de: C = 1/XC*2π*50 = 1/32,1*100π

XC = 1/ϖC = 1/2πfC

C = 99μF

Sólo resta obtener la intensidad que recorre la red en esta situación Usaremos la misma fórmula vista anteriormente: ⏐V ⏐= ⏐I⏐*⏐Z⏐; ⏐I ⏐= ⏐V⏐/⏐Z⏐ Sustituyendo el valor obtenido para XC en la ecuación de ZTOT: ZTOT = (9,6XC2 + (11,8XC2-231XC)j) / (9,62 + (11,8-XC)2) = 19,6 + 9,4j I = 76 / √(19,62+9,42) = 76 /21,7

150 Problemas de Teoría de Circuitos

I = 3,5A (eficaces)

105

Junio 1999 PROBLEMA 37: Una instalación conectada a la red eléctrica puede representarse mediante la impedancia Z, de la que conocemos los siguientes datos: P = 820 KW • Potencia consumida: fp = 0.8 (inductivo) • Factor de potencia:

I

INSTALACIÓN

RED ELÉCTRICA

Z

Suponiendo que la red eléctrica suministra una tensión de 380V eficaces a 50Hz, se pide: • • •

Calcular el valor eficaz de la intensidad I solicitada a la red eléctrica por la instalación. Para aumentar el factor de potencia de la instalación, se conecta un condensador en paralelo con Z. Calcular el valor que debería tener dicho condensador para elevar el factor de potencia a 0.95 inductivo. Una vez añadido el condensador, calcular de nuevo el valor eficaz de la intensidad solicitada a la red eléctrica por la instalación y determinar el porcentaje de ahorro en intensidad logrado.

SOLUCIÓN 37: Cálculo de la intensidad: P = S*fp;

S = 820KW/.8 = 1025 KVA

S = Vef*Ief; Ief = S/Vef = 1025/380 = 2697A = 2,697KA

Ajuste del factor de potencia:

150 Problemas de Teoría de Circuitos

106

Se añade un condensador en paralelo para reducir la potencia reactiva manteniendo invariable la potencia real. Los triángulos de potencias antes y después de añadir el condensador ayudan a ver cuál es la potencia reactiva que debe aportar el condensador (Qc) S = √(P2+Q2);

Q = √(S2-P2) = √(10252-8202) = 615KVAR QC 615KVAR

cos(φ) =0.8 820KW

cos(φ) =0.95

615KVAR - QC

820KW

Gráficamente: φ = arccos(0.95) = 18.195º; tg(18.195) =0.329 = (615K-Qc)/820K

Qc = 615K - 0.329*820K = 345.5KVAR El valor del condensador se obtiene a partir de la fórmula: Qc = Vef2/Xc = Vef2*ωC ω = 2πf = 100π rad/s

C = Qc/( Vef2*ω) = 345.5K/(3802*100π) = 7.61mF Nuevo valor para la intensidad: S = √(P2+Q2) = √(820K2+(615K-345.5K)2) = 863 KVA S = Vef*Ief; Ief = S/Vef = 863/380 = 2271A = 2,271KA El porcentaje de ahorro es, por tanto:

(2697-2271)/2697*100 = 15.8%

NOTA: el problema también puede ser resuelto planteando triángulos de impedancias en lugar de triángulos de potencias.

150 Problemas de Teoría de Circuitos

107

Septiembre 1999 PROBLEMA 38: El esquema muestra una fábrica conectada a la red eléctrica. El consumo eléctrico total de la fábrica se representa como una resistencia de calefacción en paralelo con un motor eléctrico. Los datos que conocemos son: • Tensión de la red: 380V eficaces • Potencia consumida por la resistencia: 300KW • Potencia consumida por el motor: 200KW (factor de potencia = 0.8 inductivo) I 380Vef + -

RED ELÉCTRICA

Rcalefacción

Zmotor

FÁBRICA

Se pide: • Calcular las potencias real, reactiva y aparente tanto en la resistencia como en el motor. Indicar unidades. • Calcular el factor de carga de la fábrica en conjunto (resistencia + motor). • Determinar el valor de R y el valor complejo de Z, especificando las unidades. • Calcular la intensidad I que consume la fábrica. • Si eliminamos la resistencia de calefacción, ¿qué efecto se producirá sobre las potencias activa y reactiva consumidas por el motor? Justificar

SOLUCIÓN 38:

Resistencia: sólo consume potencia real:

P = 300KW Q = 0VAR ⏐S⏐ = 300KVA

Motor: consume potencia real y reactiva:

P = 200KW ⏐S⏐ = P/cosϕ = 250KVA Q = √(S2-P2) = 150KVAR

Para obtener el factor de carga del conjunto, sumamos potencias reales y reactivas:

150 Problemas de Teoría de Circuitos

108

Ptot = 200+300 = 500KW Qtot = 0+120 = 150KVAR tgϕ = Q/P ⇒ ϕ = 16.7º cosϕ = 0.96 Valor de R: a partir de la tensión y la potencia consumida: P = Vef2/R

⇒

R = 0.48Ω

Valor de Z: a partir de la tensión y las potencias: ⏐S⏐=Vef2/⏐Z⏐ ∠Z = ∠S ⇒

⇒ ⏐Z⏐ = 0.58Ω ∠Z = arccos(0.8) = 36.87º

Z = 0.58∠36.87ºΩ = 0.46+j0.35Ω Intensidad consumida por la fábrica: a partir de la potencia aparente total: ⏐Stot⏐=√(Ptot2+Qtot2) = 522KVA Ief = 1.37KA ⏐Stot⏐=VefIef ⇒ Si se elimina la resistencia de calefacción, no se producirá ningún efecto sobre las potencias real y reactiva consumidas por el motor, dado que seguirá conectado a la misma tensión (380Vef)

150 Problemas de Teoría de Circuitos

109

Diciembre 1999 PROBLEMA 39: La figura representa un motor eléctrico conectado a una fuente de tensión alterna. RLÍNEA

+ -

IEF

220VEF (50Hz)

ZMOTOR

MOTOR

FUENTE

En estas condiciones, la potencia disipada en la línea de transmisión es de 250W, y la potencia real absorbida por el motor es de 5KW con factor de potencia = 0.8 inductivo. Se pide: ƒ Intensidad eficaz IEF por la línea ƒ Valor de la impedancia del motor ZMOTOR = RMOTOR + jXMOTOR Se coloca un condensador de 250μF en paralelo con el motor. En estas nuevas condiciones, se pide: ƒ Factor de potencia del conjunto motor + condensador ƒ Intensidad eficaz IEF por la línea

SOLUCIÓN 39: P = 5KW En el motor:

| S |=

P 5 ⋅ 10 3 = = 6,25KVA cos ϕ 0.8

Q =| S | ⋅senϕ = 6,25 ⋅ 10 3 ⋅ sen (arccos(0.8)) = 3,75KVAR

En el conjunto motor + resistencia de línea:

| S |= P 2 + Q 2 = (5 ⋅ 10 3 + 250) 2 + 3,75 2 = 6,45KVA Por tanto, la intensidad pedida será:

I EF

| S | 6,45 ⋅ 10 3 = = = 29,32A VEF 220

150 Problemas de Teoría de Circuitos

110

y la impedancia del motor:

R=

P 5 ⋅ 10 3 = = 5,82Ω I 2EF 29,32 2

Q 3,75 ⋅ 10 3 X= 2 = = 4,36Ω I EF 29,32 2 Z = 5,82 + j4,36Ω

Si se añade un condensador de 250μF en paralelo, la impedancia equivalente será: 1 1 Z COND = = = −12,73 j jωC j ⋅ 100π ⋅ 250 ⋅ 10 −6 Z ⋅Z (5,82 + j4,36) ⋅ (− 12,73 j) = 9,07 + 0.32 j = 9,08 ⋅ e 0,035 j Z EQ = MOTOR COND = Z MOTOR + Z COND 5,82 − 8,37 j Por tanto, el factor de potencia pedido es: fp = cos(0,035) = 0,99

Para calcular la impedancia total necesitamos conocer la resistencia de la línea: P 250 R LINEA = LINEA = = 0,29Ω 2 I EF 29,32 2 Z TOTAL = R LINEA + Z MOTOR + COND = 0,29 + 9,07 + 0.32 j = 9,36 + 0,32 j = 9,37 ⋅ e −0,034 j

La intensidad en esta nueva situación se puede calcular como: I EF =

VEF 220 = = 23.48A | Z | 9,37

150 Problemas de Teoría de Circuitos

111

Febrero 2000 PROBLEMA 40: El esquema representa un motor eléctrico y una carga resistiva conectados a una red de 220V eficaces a 50 Hz. Se conocen los siguientes datos: iT +

iM

220Vef (50Hz) _

M

iR R

Motor: potencia aparente: S = 4KVA factor de potencia: cos(ϕ) = 0.6 R: potencia media: P = 2KW

Se pide: • Calcular la intensidad en el motor (iM), en la resistencia (iR) y total (iT); todas ellas en módulo. • Calcular el valor del condensador que sería necesario conectar en paralelo con las cargas para lograr subir el factor de potencia del conjunto hasta 0.98 inductivo. • Con el condensador conectado, volver a calcular las intensidades del primer apartado. • Justificar el cambio en la intensidad total.

SOLUCIÓN 40: En primer lugar calculamos potencias real, reactiva y aparente para cada elemento y para el conjunto: Resistencia: PR = 2KW QR = 0 SR = 2KVA

Motor PM = SM⋅cos(ϕ) = 2.4KW QM = √(SM2-PM2) = 3.2KVAR SM = 4KVA

Total PT = PR+PM = 4.4KW QT = QR+QM = 3.2KVAR ST = √(PT2+QT2) = 5,44KVA

Con estos datos hallamos las intensidades: iR =

SR = 9.1A V

iM =

SM = 18.2A V

150 Problemas de Teoría de Circuitos

iT =

ST = 24.7A V

112

Para el cálculo del condensador necesario se plantean los triángulos de potencias sin y con condensador:

ϕFIN

QINI = 3.2KVAR

QFIN

PFIN = 4.4KW

ϕINI PINI = 4.4KW

ϕFIN = acos(.98) = 0.2rad QFIN = 4400⋅tg(ϕFIN) = 893VAR

Por tanto el condensador debe aportar:

QC = 893 - 3200 = - 2307VAR

QC = -V2⋅ω⋅C ⇒

Y su valor debe ser:

C = 152μF

La única intensidad que varía es la total: S iT = T = V

PT2 + Q T2 V

=

4490 = 20.4A 220

La reducción de la intensidad total se debe a la reducción de potencia reactiva consumida por el circuito.

150 Problemas de Teoría de Circuitos

113

Junio 2000 PROBLEMA 41: El siguiente circuito representa un conjunto de cargas conectadas a una red de 220V eficaces a 50Hz:

i

A Z2

+ -

220Vef 50Hz

• •

Z1

R

Los datos que se conocen para cada una de las cargas son los siguientes:

• •

L

Z1 = 30 + 40j Z2: consume 2 KW con f.p.= 0.8 inductivo R: consume 1 KW L: consume 0.5 KVAR

B

Se pide: • • • • •

Potencias activa, reactiva y aparente consumidas por cada una de las cargas Factor de potencia del conjunto de cargas Intensidad i solicitada a la red (valor eficaz) Valor del condensador a colocar entre los terminales A y B para reducir esa intensidad un 10% Nuevo factor de potencia para el conjunto de las cargas (incluyendo el condensador)

150 Problemas de Teoría de Circuitos

114

SOLUCIÓN 41: Potencias en cada una de las cargas:

Impedancia

Impedancia

Z1 = R 2 + X 2 = 30 2 + 40 2 = 50Ω I Z1

PZ 2 = 2000 W

220 = = = 4.4 Aef Z 50 V

S Z2 =

S Z 1 = I 2 Z = 4.4 2 ⋅ 50 = 968VA

Q Z 2 = S 2 − P 2 = 1500VAR

PZ 1 = I R = 4.4 ⋅ 30 = 581W 2

P 2000 = = 2500VA f .p. 0.8

2

QZ 1 = I 2 X = 4.4 2 ⋅ 40 = 774VAR

Resistencia R

Bobina L

PR = 1000W

PL = 0

QR = 0

QL = 500VAR

S R = 1000VA

S L = 500VA

Factor de potencia del conjunto: a partir de la suma de potencias

PTOT = 581 + 2000 + 1000 = 3581W Q TOT = 774 + 1500 + 500 = 2774VAR S TOT = P 2 + Q 2 = 4530VA

f.p. =

P = 0.79 inductivo S

Intensidad solicitada a la red: I =

150 Problemas de Teoría de Circuitos

S V

=

4530 = 20.6A ef 220

115

Condensador para reducir la intensidad un 10%: se calcula la Q que debe aportar el condensador I nueva = 18.54A ef =

S nueva V

→

S nueva = 4079VA

Q nueva = S 2nueva − P 2 = 1953VAR Q cond = Q nueva − Q = −821VAR Q cond =

V2 = − V 2 ωC → X

C = 54μF

Nuevo factor de potencia del conjunto: a partir del total de potencias

f.p. =

P Snueva

150 Problemas de Teoría de Circuitos

=

3581 = 0.88 inductivo 4079

116

Septiembre 2000 PROBLEMA 42: A una red de 250V eficaces a 50 Hz se conectan en paralelo las siguientes cargas: • • •

Una resistencia de calefacción RC que consume una potencia de 1KW Un motor eléctrico ZM que consume una potencia aparente de 3KVA con un factor de potencia inductivo cos(ϕ)=0.8 Un equipo electrónico que representa una carga ZE = 40 + j30 Ω

+ 250Vef (50Hz)

ZM

RC

ZE

Se pide: • Calcular las potencias real, reactiva y aparente en cada una de las tres cargas y en total • Calcular el factor de potencia del conjunto de las tres cargas • Valor del condensador que debería colocarse en paralelo para conseguir un factor de potencia total de 0.95 inductivo

SOLUCIÓN 42: Potencias en cada una de las cargas: R C : P = 1KW Z M : S = 3KVA ZE :

I =

V Z

=

Q =0

S = 1KVA

P = S ⋅ cos ϕ = 3 ⋅ 0.8 = 2.4KW 250 40 2 + 30 2

Q = S 2 − P 2 = 1.8KVAR

= 5A EF

S = I 2 ⋅ Z = 1.25KVA

150 Problemas de Teoría de Circuitos

P = I 2 ⋅ R = 1KW

Q = I 2 ⋅ X = 750VAR

117

La suma total de potencias será: PTOT = 1KW + 2.4KW + 1KW = 4.4KW Q TOT = 0 + 1.8KVAR + 750VAR = 2.55KVAR 2 2 S TOT = PTOT + Q TOT = 5.08KVA

QCOND S

S

Q

cosϕ=0.86

cosϕ=0.95

QNUEVA

P

P

El factor de potencia del conjunto será: P f.p. = TOT = 0.86 inductivo (porque Q > 0) S TOT Para llevar el factor de potencia a 0.95 inductivo será necesario aportar Q: Q NUEVA = P ⋅ tg (a cos(0.95)) = 1.45KVAR Q NUEVA = Q + Q COND

→ Q COND = Q NUEVA − Q = 1.45 − 2.55 = −1.1KVAR

El condensador capaz de aportar esa potencia será:

Q COND =

V2 V2 = −1 X ωC

→ C=−

Q COND 1100 = 2 V ω 250 2 ⋅ 100π

C = 56μF

150 Problemas de Teoría de Circuitos

118

Diciembre 2000 PROBLEMA 43:

Sea una instalación conectada a una red de 220V eficaces a 50Hz, que consume 15A 15A ef 220V ef (50 Hz)

+ -

R

Z

INSTALACIÓN

eficaces: Se pide: • • •

Potencias real, reactiva y aparente en las cargas R y Z (especificar unidades). Condensador que sería necesario conectar en paralelo con las cargas para llevar el factor de potencia de la instalación a 0.97 inductivo. Intensidad consumida por la instalación una vez conectado el condensador.

Dato: la carga Z consume una potencia de 2KW con factor de potencia 0.8 inductivo.

SOLUCIÓN 43: Potencias en la carga Z: PZ =2KW SZ =

PZ P = Z = 2.5KVA cos ϕ 0.8

Q Z = S 2Z − PZ2 = 1.5KVAR Potencia aparente ofrecida por la fuente: S F = VEF ⋅ I EF = 220 ⋅ 15 = 3.3KVA

Potencias en la carga R: Q = 0 y P se obtiene del balance de potencias:

150 Problemas de Teoría de Circuitos

119

S F = S CARGA = (PR + PZ ) 2 + (Q R + Q Z ) 2 3300 = (PR + 2000) 2 + (0 + 1500) 2

→ PR = 939W

QR = 0 S R = 939VA Para dimensionar el condensador calculamos la potencia reactiva que debe aportar: P S NUEVA = = 3030VA 0.97 Q NUEVA = 3030 2 − 2939 2 = 737 VAR Q COND = Q NUEVA − Q = −763VAR 2 Q COND = −VEF ⋅ ω ⋅ C = −220 2 ⋅ 100 ⋅ π ⋅ C →

C = 50.2μF

La nueva intensidad se obtiene a partir de la potencia aparente total

I EF =

S 3030 = = 13.8A EF VEF 220

150 Problemas de Teoría de Circuitos

120

Febrero 2001 PROBLEMA 44:

La figura representa dos motores eléctricos conectados en paralelo a una red de 220V eficaces a 50Hz. Se conocen los siguientes datos: i1 i2 + i Motor 1: 220Vef • intensidad consumida: |i1| = 40A M2 M1 (50Hz) eficaces • factor de potencia: cosϕ1= 0.9 _ inductivo Motor 2: • intensidad consumida: |i2| = 30A eficaces • factor de potencia: cosϕ2= 0.8 inductivo Se pide: • Potencias real, reactiva y aparente en cada uno de los dos motores y en total. • Módulo de la intensidad i solicitada a la red. • Factor de potencia total para el conjunto de los dos motores • Condensador a colocar en paralelo con los dos motores para elevar el factor de potencia del conjunto hasta 0.97 inductivo. • Módulo de las intensidades i, i1 e i2 en esta nueva situación.

SOLUCIÓN 44:

Potencias motor 1:

S1 = V ef ⋅ i1

ef

= 220 ⋅ 40 = 8800VA

P1 = S1 ⋅ cos ϕ1 = 8800 ⋅ 0.9 = 7920 W Q1 = S12 − P12 = 3836VAR Potencias motor 2: S 2 = V ef ⋅ i 2

ef

= 220 ⋅ 30 = 6600VA

P2 = S 2 ⋅ cos ϕ 2 = 6600 ⋅ 0.8 = 5280 W Q 2 = S 22 − P22 = 3960VAR

150 Problemas de Teoría de Circuitos

121

Potencias totales: PT = P1 + P2 = 13200 W Q T = Q1 + Q 2 = 7796VAR S T = PT2 + Q T2 = 15330VA

Intensidad solicitada a la red: S T = V ef ⋅ i ef = 220 ⋅ i ef = 15330VA →

i ef = 69.7 A

Factor de potencia total: fp = cos ϕ =

PT 13200 = = 0.86 (inductivo porque QT>0) S T 15330

Condensador necesario: Conectando un condensador en paralelo el funcionamiento de los motores no se verá afectado por seguir conectados a 220V. Por tanto, para los motores consideraremos las potencias real y reactiva calculadas anteriormente y añadiremos la potencia reactiva cedida por el condensador: sin condensador

con condensador Q=7796VAR

ϕ’

Q’=7796VAR+QC

P’=13200W

P=13200W

Q′ = P ′ ⋅ tgϕ' = 13200 ⋅ tg (a cos(0.97)) = 3308VAR Q C = Q′ − 7796 = −4488VAR Q C = −V 2 ⋅ ω ⋅ C = −220 2 ⋅ 100π ⋅ C → C = 295μF Intensidades en la nueva situación: i1 e i2 no varían ya que los motores se encuentran en la misma situación anterior (conectados a 220V). Lo que sí varía es la intensidad total, que disminuye debido a la reducción de la potencia aparente: S′T = PT′ 2 + Q ′T2 = 13608VA S′T = V ef ⋅ i ′ ef = 220 ⋅ i

′

ef

= 13608VA →

150 Problemas de Teoría de Circuitos

i ′ ef = 61.8A

122

Junio 2001 PROBLEMA 45: Del circuito de la figura se conocen los siguientes datos: • V = 220V eficaces a 50Hz • |i1| = 2A eficaces, i1 retrasada 10º respecto de V • |i2| = 4A eficaces, i2 retrasada 40º respecto de V i

+ V

R2

R1

i2

i1 L1

L2

_

Se pide: • Determinar R1, L1, R2, L2 • Calcular el condensador que sería necesario conectar en paralelo para llevar el factor de potencia del conjunto a 0.95 inductivo. • Calcular el ahorro porcentual en la intensidad i que se produce al conectar el mencionado condensador.

SOLUCIÓN 45: Expresando mediante fasores los datos ofrecidos: V = 220∠0 I1 = 2∠-10 I2 = 4∠-40 Se debe cumplir: V = I1*(R1+jwL1) V = I2*(R2+jwL2) Igualando partes reales e imaginarias se obtienen los siguientes valores: R1 = 108.3Ω R2 = 42.1Ω L1 = 0.061H L2 = 0.11H

150 Problemas de Teoría de Circuitos

123

Buscamos las potencias consumidas en cada elemento: P1 = I12*R1 = 433.2W Q1 = I12*X1 = I12*jwL1 = 76.4 VAR P2 = I22*R2 = 673.6W Q2 = I22*X2 = I22*jwL2 = 564.8 VAR Las potencias totales serán: PTOT = P1+P2 = 1106.8W QTOT = Q1 + Q2 = 641.2 VAR La potencia aparente total: STOT = √(PTOT2+QTOT2) = 1279 VA Para llevar el factor de potencia del conjunto a 0.95 inductivo deberá ser: SNUEVA = PTOT/0.95 = 1165 VA QNUEVA = √(SNUEVA2-PTOT2) = 363.8 VAR Con lo que la potencia reactiva en el condensador debe ser –277.4 VAR La potencia reactiva en un condensador vale: QC = -C*Vef2*w Por lo que se obtiene un valor para el condensador de 18.24μF La intensidad consumida inicialmente será: Iini = STOT/Vef = 5.81 A La intensidad tras añadir el condensador será: Inueva = SNUEVA/Vef = 5.29 A Lo que supone un ahorro porcentual del 8.9%.

150 Problemas de Teoría de Circuitos

124

Septiembre 2001 PROBLEMA 46:

Del circuito de la figura se conocen los siguientes datos: • Carga Z1: consume 500W con factor de potencia 0.8 inductivo. • Carga Z2: consume 600VA con f. de potencia 0.85 inductivo.

i

iA

iB

20Ω

220Vef + (50Hz) -

Se pide: • Factor de potencia del conjunto de las cargas. • Condensador a conectar en paralelo para llevar el factor de potencia a 0.95 inductivo. • Módulo de las intensidades i, iA e iB antes y después de conectar el condensador (expresar en valor eficaz).

Z1 32mH Z2

cargas

SOLUCIÓN 46: Para obtener el factor de potencia del conjunto de las cargas, se calcularán las potencias reales y reactivas en cada carga: Z1, Z2, y el conjunto R+L (de ahora en adelante lo llamaremos Z3): P1 = 625VA; Q1 = S12 − P12 = 375VAR Z1 : P1 = 500 W; S1 = cos ϕ1 Z 2 : S 2 = 600VA; P2 = S 2 ⋅ cos ϕ 2 = 510W; Q 2 = S 22 − P22 = 316VAR Z 3 = R + jωL = 20 + 10 jΩ = 22,36∠0,46Ω Vef2 = 2164VA; P3 = S 3 ⋅ cos ϕ 3 = 1935W; Q 3 = S 32 − P32 = 968VAR S3 = Z3 A partir de los datos anteriores, calculamos las potencias totales y el factor de potencia Ptot = P1 + P2 + P3 = 2945W; Q tot = Q1 + Q 2 + Q 3 = 1659VAR; S tot = Ptot2 + Q 2tot = 3380VA Ptot = 0,87 S tot del conjunto: cos ϕ tot =

Buscamos ahora el condensador a conectar en paralelo para elevar el factor de potencia a 0,95 inductivo. Teniendo en cuenta que el condensador sólo aporta potencia reactiva, calculamos la potencia reactiva total en la nueva situación: Ptot 2945 2 = = 3100VA; Q nueva = S 2nueva − Pnueva = 968VAR S nueva = cos ϕ nuevo 0,95

150 Problemas de Teoría de Circuitos

125

Ahora calculamos cuál es el aporte de reactiva que debe hacer el condensador y, por tanto, cuál debe ser el valor de ese condensador: Q nueva = Q tot + Q cond

⇒ Q cond = Q nueva − Q tot = −691VAR

Q cond = −Vef2 ⋅ ω ⋅ C ⇒ C = 45,4μF

Cálculo de las intensidades antes de conectar el condensador: i ef =

S tot = 15,36A Vef

iA

=

S3 = 9,83A Vef

=

S1+ 2 = Vef

iB

ef

ef

(P1 + P2 )2 + (Q1 + Q 2 )2 Vef

= 5,56A

La única intensidad que varía al conectar el condensador es la intensidad total: i nueva

ef

=

S nueva = 14,09A Vef

150 Problemas de Teoría de Circuitos

126

Diciembre 2001 PROBLEMA 47: La figura representa un conjunto de cargas conectadas a una red de 220V eficaces a 50Hz. Los datos que se conocen para cada una de las cargas se indican a continuación: • • •

Carga Z1: consume 6 KW con factor de potencia 0.8 inductivo. Carga Z2: consume 1.4 KVA con factor de potencia 0.9 capacitivo. Carga Z3: Z3 = 4 + 3j KΩ i +

a

220V ef (50 Hz)

Z1

Z2

Z3

b

_

1:10 CONJUNTO DE CARGAS

Se pide: • Factor de potencia del conjunto de cargas. • Condensador a colocar entre a y b para elevar el factor de potencia del conjunto a 0.95 inductivo. • Intensidad i pedida a la red antes y después de conectar el condensador.

SOLUCIÓN 47:

Como primer paso se refleja la carga Z3 en el primario: i + 220V ef (50 Hz) _

a Z1

Z2

Z’3

b

CONJUNTO DE CARGAS

Z′3 = a 2 ⋅ Z 3 = 0.12 ⋅ Z 3 = 40 + 30 jΩ

150 Problemas de Teoría de Circuitos

127

A continuación se calculan las potencias real y reactiva en cada carga: Carga Z1: P1 = 6KW S1 =

P1 = 7.5KVA cos ϕ1

Q1 = S12 − P12 = 4.5KVAR Carga Z2: S 2 = 1.4KVA P2 = S 2 ⋅ cos ϕ 2 = 1.26KW Q 2 = − S 22 − P22 = −0.61KVAR (c arg a capacitiva)

Carga Z3: Z′3 = 40 2 + 30 2 = 50Ω ⎛ 30 ⎞ ϕ Z3 = a tan⎜ ⎟ = 36.87 º ⇒ cos ϕ 3 = 0.8 ⎝ 40 ⎠ V 220 i3 = = = 4.4A ef (int ensidad en Z′3 ) Z′3 50 S3 = V ⋅ i 3 = 968VA P3 = S3 ⋅ cos ϕ 3 = 774.4 Q 3 = S32 − P32 = 580.8VAR

Para obtener el factor de potencia del conjunto se calculan las potencias totales real y reactiva: Ptot = P1 + P2 + P3 = 8034.4W Q tot = Q1 + Q 2 + Q 3 = 4470.8VAR S tot = Ptot2 + Q 2tot = 9194.5VA cos ϕ tot =

Ptot = 0.874 inductivo S tot

A continuación se calcula el condensador que permite obtener un factor de potencia de 0.95 teniendo en cuenta que debe aportar la potencia reactiva necesaria: S deseada =

Ptot 8034 = = 8457.3VA cos ϕ deseado 0.95

2 Q deseada = S deseada − Ptot2 = 2641VAR

Q C = Q deseada − Q tot = −1829.8VAR Q C = −Vef2 ⋅ ω ⋅ C ⇒ C = 120μF

150 Problemas de Teoría de Circuitos

128

Las intensidades antes y después de colocar el condensador serán: i antes = i despues

S antes 9194.5 = = 41.79A ef V 220 S despues 8457.3 = = = 38.44A ef V 220

Se puede comprobar como la intensidad consumida disminuye.

150 Problemas de Teoría de Circuitos

129

Septiembre 2002 PROBLEMA 48: En el circuito de la figura: C1 = 1F, L1 = 1H, R1 = R2 = R3 = 1Ω, ω =1 rad/s, I1 (t) = 4 · cos (ω · t) Aeff, V1 (t) = 12 · cos (ω · t) Veff, I2(t) = 2·Ix(t). • •

obtened el valor de la tensión VO. calculad las potencias medias y reactivas de cada elemento y completad la tabla propuesta.

P

Q

C1 L1 C1

∼

I1(t)

V1(t) R2

R1

R2 +

Ix

I2(t)

R1

L1

R3

Vo

R3 V1 I1 I2

SOLUCIÓN 48: Para obtener el valor de la tensión Vo vamos a resolver el circuito mediante el análisis por mallas:

C1

i4

∼

L1

i1

i3

I1(t)

R2

R1 I2(t)

V1(t)

+

Ix R3

i2

ZC = − j ZL = j ZR = 1 Malla 1: ˆi1 = 2 ⋅ ˆI X = 2 ⋅ (ˆi 2 + ˆi3 ) Malla 2: (ˆi 2 − ˆi1 )· j + (ˆi 2 + ˆi 3 )·1 + ˆi 2 ·1 = 0 Malla 3: ˆi = 4 3

Malla 4: ˆi 4 ·(− j) + (ˆi 4 + ˆi1 )·1 = 12

Vo

150 Problemas de Teoría de Circuitos

130

Si resolvemos el sistema anterior, se obtiene: ˆi = 1.6 + 4.8 j 1 ˆi = −3.2 + 2.4 j 2

ˆi = 4 3 ˆi = 7.6 + 2.8 j 4 El dato pedido es: ˆ = R ·ˆi = 1·(−3.2 + 2.4 j) = −3.2 + 2.4 j V o 3 2 Vo = 4Veff

φ Vo = 143.13º

Vamos a calcular las potencias medias y reactivas de cada elemento:

C P=0 2

2 Q = - I eff ·X = - ˆi 4 ·1 = −65.61VA

L P=0 2

2 Q = I eff ·X = ˆi1 − ˆi 2 ·1 = 28.8VA

R1 2

2 P = I eff ·R = ˆi 4 + ˆi1 ·1 = 142.4 W

Q=0

R2 2

2 P = I eff ·R = ˆi 3 + ˆi 2 ·1 = 6.4 W

Q=0

R3 2

2 P = I eff ·R = ˆi 2 ·1 = 16 W

Q=0

V1 VV1 = 12 I = ˆi − ˆi V1

4

3

S = P + jQ = V·I* = 12·(ˆi3 − ˆi4 )* = −43.2 + j33.6

150 Problemas de Teoría de Circuitos

131

I1 VI1 = -12.8 - 2.4j I I1 = 4 S = P + jQ = V·I* = (-12.8 - 2.4j)·4 = −51.2 − j9.6

Ig VI 2 = −(6.8 + 12.4j) I I 2 = 2 ⋅ ˆI X = 2 ⋅ (ˆi2 + ˆi3 ) = 1.6 + 4.8 j S = P + jQ = V·I* = −(6.8 + 12.4j)·(1.6 + 4.8 j)* = −70.4 + j12.8

C1 L1 R1 R2 R3 V1 I1 I2

P 0 0 142.4 6.4 16 -43.2 -51.2 -70.4

Q -65.1 28.8 0 0 0 33.6 -9.6 12.8

150 Problemas de Teoría de Circuitos

132

Febrero 2003 PROBLEMA 49:

Sobre un circuito desconocido, que sólo contiene elementos pasivos (resistencias, condensadores y bobinas) y fuentes de tensión de alterna de frecuencia ω =100 rad/s se realizaron las siguientes medidas: • Conectando un osciloscopio entre dos de los terminales del circuito, se observó una tensión como la mostrada en la siguiente gráfica: 3

2.828

2

V (Veff)

1

0

-1

-2

-2.828 -3

•

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1 tiempo (s)

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

Conectando una carga (compuesta por una resistencia de 1Ω en serie con una bobina de 10mH) entre esos dos mismos terminales, se midió con el osciloscopio la corriente a través de la carga, tal como se muestra en la siguiente gráfica: 1

0.8

0.6

0.4

I (Aeff)

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1 tiempo (s)

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

¿Qué potencia media consumirá una carga (compuesta por una resistencia de 2Ω en serie con una bobina de 20mH) conectada entre los mencionados terminales? Razónese la respuesta.

150 Problemas de Teoría de Circuitos

133

SOLUCIÓN 49: Cualquier circuito puede ser representado por su equivalente Thevenin entre 2 de sus terminales: ZTH

ZTH

A + -

VTH

+ -

VTH

Z I

La tensión del primer gráfico se corresponde directamente con la VTH y la segunda gráfica se refiere a la corriente que circula por el circuito al colocar una carga entre los terminales A-B. Cálculo de VTH: En el primer gráfico se observa que la amplitud de la señal es 2.828 Veff, por tanto: VTH ( t ) = 2.828 cos(100 t + φ)

también se obtiene del gráfico que para t = 0, VTH = 2 Veff , lo que permite deducir el valor de la fase: 2 = 2.828 cos φ → cos φ = 0.7072 → φ = 45º =

π rad 2

Por lo tanto, la tensión de Thevenin en el dominio temporal es: π VTH ( t ) = 2.828 cos(100t + ) Veff 4 y como fasor: ˆ = 2.828(cos π + j sin π ) = 2 + j2 V TH 4 4 Cálculo de I: En el primer gráfico se observa que la amplitud de la señal es 1 Aeff, por tanto:

I( t ) = cos(100t + φ) también se obtiene del gráfico que para t = 0, I = 1 Aeff , lo que permite deducir el valor de la fase:

150 Problemas de Teoría de Circuitos

134

1 = cos φ → φ = 0º = 0rad Por lo tanto, la corriente por el circuito con la carga en el dominio temporal es: I( t ) = cos(100t ) A eff y como fasor: ˆI = 1(cos 0 + jsin 0) = 1

A partir del dato de la corriente que circula por el circuito al colocar una carga compuesta por una resistencia de 1Ω en serie con una bobina de 10mH ( ˆI = 1 ), se deduce el valor de la impedancia de Thevenin ZTH del circuito: ZTH

Z1 = resistencia de 1Ω en serie con bobina de 10mH + -

VTH

Z1

Z1 = R + jωL = 1 + j·100·10·10−3 = 1 + j

I

Ecuación de malla: ˆ = ˆI·Z + ˆI·Z V TH TH 1 ˆ − ˆI·Z 2 + 2 j − 1·(1 + j) V 1 ZTH = TH = =1+ j ˆI 1 Ahora ya conocemos el circuito equivalente Thevenin del circuito “desconocido”, por lo que se puede calcular el dato que pedía el enunciado, esto es, la potencia media consumida por una carga compuesta por una resistencia de 2Ω en serie con una bobina de 20mH (Z2): ZTH

+ -

VTH

Z2 I2

Z2 = R + jωL = 2 + j·100·20·10−3 = 2 + j2 ˆ = ˆI ·Z + ˆI ·Z V TH 2 TH 2 1 ˆ 2 + 2j 2(1 + j) 2 ˆI = VTH = = = A eff 2 ZTH + Z1 1 + j + 2 + 2 j 3(i + j) 3 2

2 8 ⎡2⎤ La potencia media consumida por la carga Z2: P = ˆI 2 ·Re al{Z2 } = ⎢ ⎥ ·2 = W 9 ⎣3⎦

150 Problemas de Teoría de Circuitos

135

Febrero 2003 PROBLEMA 50:

En el circuito de la figura: • Obtened el valor de la impedancia de carga ZL para obtener una transferencia de potencia máxima. En estas condiciones, calculad el valor de la potencia media y la potencia reactiva de la carga ZL. • Con el circuito cargado con la impedancia ZL, hallad la potencia media y reactiva de las fuentes de circuito, razonad si actúan como componentes activos o pasivos.

V1=24 cos(100t) Veff V1

2VA

5mF

+ -

- +

VA

20mH

2Ω

ZL

+

SOLUCIÓN 50:

•

Obtened el valor de la impedancia de carga ZL para obtener una transferencia de potencia máxima. En estas condiciones, calculad el valor de la potencia media y la potencia reactiva de la carga ZL. *

Por el teorema de máxima transferencia de potencia, Z L = Z TH . Vamos a calcular el valor de ZTH: Z TH =

VTH IN

150 Problemas de Teoría de Circuitos

136

Cálculo de VTH: V1

-2j

+ -

VX

- + A’

VA

ZR = 2

2VA

2j

2

i1

+

B’

ZC =

1 1 = = −2 j jωC j·100·5·10− 3

ZL = jωL = j·100·20·10 − 3 = 2 j ) V1 = 24

Si colocamos la referencia a masa en el nodo B’, la tensión de Thevenin será: ) ) ) ) ) ˆ + 2V VTH = (VA ' − VB' )abierto = VA ' − 0 = V X A

donde

) VX = ˆi1·2 j ˆ = ˆi ·2 V A 1

El valor de la corriente ˆi1 lo obtenemos a partir de la ecuación de malla:

− Vˆ1 = ˆi1 ·( 2 + 2 j − 2 j) − 24 = ˆi · 2 1

ˆi = − 12 1 por tanto: ) VX = ˆi1·2 j = −12·2 j = −24 j ˆ = ˆi ·2 = −12·2 = −24 V A 1 ˆ =V ˆ + 2V ˆ = −24 j + 2·(−24) = −24(2 + j)V V TH X A eff

150 Problemas de Teoría de Circuitos

137

Cálculo de IN: V1

-2j

+ -

VX

2VA

-+

VA

IN

2j

i2

2

IN

I N = (I A ' − I B' )cortocircuito

+

Aplicando análisis de mallas: − 24 = (2 − 2 j)·ˆi2 + 2 j·(ˆi2 − ˆI N ) ˆ = 2 j·(ˆI − ˆi ) 2V A

N

2

y utilizando la ecuación de control de la fuente de tensión dependiente de tensión: ˆ = ˆi ·2 , tenemos el sistema de ecuaciones que nos permitirá hallar el valor de la V A 2 corriente de Norton: − 24 = (2 − 2 j)·ˆi2 + 2 j·(ˆi2 − ˆI N )⎫⎪ ⎬..... → ˆI N = −6(1 + 3 j)A eff ˆ ˆ ˆ ⎪⎭ 4i2 = 2 j·(I N − i2 )

La impedancia de Thevenin será: ZTH = y el valor de la impedancia de carga:

VTH − 24(2 + j) (2 + j) = =4 = 2 − 2j IN − 6(1 + 3 j) (1 + 3 j)

Z L= ZTH * = 2+2j

El valor de la potencia media y la potencia reactiva de la carga ZL los calculamos utilizando el circuito equivalente de Thevenin: ) V − 24(2 + j) TH ˆI = = = −6(2 + j)A eff Z TH + Z L 2 − 2 j + 2 + 2 j

ZTH

VTH

+ -

I1

ZL

PZL = ˆI ·Re{Z L } = 180·2 = 360 W 2

Q ZL = ˆI ·Im{Z L } = 180·2 = 360VAR 2

PZL = 360W QZL = 360VAR

150 Problemas de Teoría de Circuitos

138

•

Con el circuito cargado con la impedancia ZL, hallad la potencia media y reactiva de las fuentes de circuito, razonad si actúan como componentes activos o pasivos. V1

-2j

+ -

VX

2VA

-+

VA

2

ZL = 2+2j

2j i1

i2

+

Vamos a calcular las corrientes por las fuentes del circuito mediante el análisis de mallas para así hallar la potencia media y reactiva de cada fuente. Ecuaciones de malla: − 24 = (2 − 2 j)·ˆi1 + 2 j·(ˆi1 − ˆi 2 ) ˆ = 2 j·(ˆi − ˆi ) + ˆi ·(2 + 2 j) 2V A

2

1

2

y utilizando la ecuación de control de la fuente de tensión dependiente de tensión: ˆ = ˆi ·2 , obtenemos: V A 1 ˆi = −(6 + 12 j) 1 ˆi = −(12 + 6 j) 2 Potencias en las fuentes (utilizando el criterio de signos pasivo):

r ˆ ·ˆI * = 24·(−6 − 12 j) * = 24·(−6 + 12 j) = −144 + 288 j S=V P = −144W → fuente ACTIVA

24 + -

Q = 288VAR

i1

2VA

+ i2

r ˆ ·ˆI * = 2·V ˆ ·(−ˆi ) * = 2·2·ˆi ·(12 − 6 j) = −4·(−6 − 12 j)·(12 − 6 j) = −576 − 432 j S=V A 2 1 P = −576 W → fuente ACTIVA Q = −432VAR

-i2

150 Problemas de Teoría de Circuitos

139

Junio 2003 PROBLEMA 51:

En el siguiente circuito: R2

Ig

+

C1

L1

R1

R3

Vo(t)

a) Calculad la tensión Vo(t). b) Calculad las potencias medias consumidas o generadas por cada componente. Datos: Ig = 3 · cos (200·t) mA R1 = 22Ω R2 = 6Ω C1 = 12.5mF L1 = 2mH

R3 = 5Ω

SOLUCIÓN 51: a)Cálculo de la tensión Vo(t): Se utilizara el sistema de unidades ( V, A, Ω), antes de analizar el circuito, pasamos todas las variables a fasores: I g = 3 · cos (200·t) mA → ˆI g = 3·10 −3 e j0 = 3·10 −3 ω = 200rad / s Z1 = 22 Z2 = 6 Z3 = 5 Z L = jωL = j·200·2·10 −3 = 0.4 j ZC =

1 1 = = −0.4 j jωC j·12.5·10 −3 ·200

150 Problemas de Teoría de Circuitos

140

Agrupamos las impedancias en paralelo para simplificar el análisis: Z eq = Z C // Z L // Z 3 = Z 3 = 5 Z C // Z L =

Z C ·Z L = ∞ → circuito abierto ZC + ZL

Circuito resultante: R1

R2

+

+ Ig

+ -

R3 Vo

R1

R2

Vg

R3 Vo

transformación de fuentes

-

-

ˆ = ˆI ·Z = 3·10−3 ·22 = 66·10−3 V V g g 1 Vo es la tensión en el divisor de tensión: ˆ = V o

ˆ V g Z1 + Z 2 + Z 3

Z3 =

66·10 −3 5 = 10·10 −3 = 0.01V = 10mV 22 + 6 + 5

ˆ = 0.01 → V (t) = 0.01cos(200t)V V o o b) Cálculo de las potencias medias consumidas o generadas por cada componente: A

Nodos en A:

R2 +

Ig I1

R1

I2

R3 Vo -

ˆI + ˆI + ˆI = 0 g 1 2 ˆ ˆ −V −V A A + =0 22 6+5 ˆ = 22·10 − 3 V V A ˆI = −10− 3 A

3·10 − 3 +

1

ˆI = −2·10− 3 A 2

150 Problemas de Teoría de Circuitos

141

Potencias medias en cada componente: P ( C) = 0 P ( L) = 0 1ˆ 2 1 I1 ·R 1 = ·(10 −3 ) 2 ·22 = 11·10 −6 W = 11μW 2 2 1ˆ 2 1 P(R 2 ) = I 2 ·R 2 = ·(2·10 −3 ) 2 ·6 = 12·10 −6 W = 12μW 2 2 1ˆ 2 1 P(R 3 ) = I 3 ·R 3 = ·(2·10 −3 ) 2 ·5 = 10·10 −6 W = 10μW 2 2 1 ˆ ·ˆI * = 1 Re − 22·10 −3 ·3·10 −3 = −33·10 −6 W P(I g ) = Re − V A g 2 2

P(R 1 ) =

{

}

150 Problemas de Teoría de Circuitos

{

}

142

Septiembre 2003 PROBLEMA 52: Las tres cargas en el circuito de la figura se pueden describir de la siguiente manera: la carga Z1 absorbe una potencia media de 8kW con un factor de potencia inductivo de 0.8. La carga Z2 absorbe 20kVA con un factor de potencia capacitivo de 0.6. La carga Z3 es un impedancia de 2.5+5j Ω. Obtener la expresión para vs(t) en estado estacionario si la frecuencia de la fuente es de 60 Hz.

0.05Ω

+ vs (60 Hz) _

j0.50Ω

+ 250∠0° Veff _

Z1

Z2

Z3

SOLUCIÓN 52:

A partir de los datos del enunciado es posible calcular el valor de cada una de las impedancias, conocidas éstas, ya se obtiene fácilmente expresión para vs(t). Carga Z1: P = 8kW fp = 0.8 P 8000 S= = = 10000VA fp 0.8 Q=

2

S − P 2 = 10000 2 − 8000 2 = 6000VAR S

Z1 = 5 + 3.75j Ω

10000 = 40Aeff Veff 250 P 8000 P = Ieff 2 ·R → R = = =5 2 Ieff 40 2 Q 6000 Q = Ieff 2 ·X → X = = = 3.75 2 Ieff 40 2 Ieff =

=

150 Problemas de Teoría de Circuitos

143

Carga Z2: S = 20kVA fp = 0.6 capacitivo P = S ·fp = 20000·0.6 = 12000W Q=

2

S − P 2 = 20000 2 − 12000 2 = −16000VAR S

20000 = 80Aeff Veff 250 P 12000 P = Ieff 2 ·R → R = = = 1.875 2 Ieff 80 2 Q − 16000 Q = Ieff 2 ·X → X = = = −2.5 2 Ieff 80 2 Ieff =

=

Z2 = 1.875 -2.5j Ω

Z2 = 2.5 + 5j Ω

Y Z3 es conocida,

La impedancia equivalente al conjunto de Z1, Z2 y Z3 en paralelo: 1 1 1 1 1 1 1 = + + = + + → Z eq = 2.5Ω Z eq Z1 Z 2 Z 3 5 + 3.75 j 1.875 − 2.5 j 2.5 + 5 j

0.05Ω

+ vs (60 Hz) _

is

j0.50Ω

+ 250∠0° Veff _

Zeq

250Veff = 100Aeff 2 .5 v s = 250Veff + (0.05 + 0.5 j)·100Aeff = 255 + j50 = 259.86∠11.09º Veff

is =

vs(t)=√2·259.86·cos(120πt+11.09º)

150 Problemas de Teoría de Circuitos

144

Diciembre 2003 PROBLEMA 53: En el circuito siguiente,

0.1VX

I1

5Ω

5Ω

C1 +

100∠0º Veff

+ -

Vg

-j5Ω j5Ω

VX

R

-

• • • •

Calculad el valor de la resistencia R para que consuma máxima potencia Calculad la potencia media suministrada a R Si R se sustituye por una impedancia Z, ¿cuál es la máxima potencia media que se puede suministrar a Z? ¿Qué porcentaje de la potencia generada en el circuito se suministra a la carga Z en caso de máxima potencia?

SOLUCIÓN 53:

•

Calculad el valor de la resistencia R para que consuma máxima potencia.

Según el teorema de máxima transferencia de potencia, el valor de la resistencia R que consume máxima potencia es igual al módulo de la impedancia de Thévenin vista desde los terminales de R: RMáxima Potencia = // ZTH // Por lo tanto, se ha de obtener el valor de la ZTH vista desde los terminales de R. Como el circuito dispone de una fuente dependiente, ZTH debe obtenerse aplicando el método test o bien hallando VTH e IN.

150 Problemas de Teoría de Circuitos

145

Cálculo de VTH: 0.1VX

Analizando por nodos:

I1

5Ω

VTH = (VAB) circuito abierto Vx

5Ω

C1

100 + 100∠0º Veff

+ -

Vg

VTH = 80 +60j

A

-j5Ω j5Ω

VTH

VX B

-

Cálculo de IN: 0.1VX

I1

5Ω I2

5Ω

+ -

Vg I1

IN = (IAB) cortocircuito

C1 +

100∠0º Veff

Analizando por mallas:

-j5Ω j5Ω

VX

IN

IN

IN = 10 +20j

-

Z TH =

VTH 80 + 60 j = = 4 − 2j IN 10 + 20 j

RMáxima Potencia = // ZTH // = 4.47 Ω

150 Problemas de Teoría de Circuitos

146

•

Calculad la potencia media suministrada a R ZTH

I= VTH

+ -

•

I

R

VTH 80 + 60 j = = 7.36 + 8.82 j Z TH + R 4 − 2 j + 4.47 2

PR = I ·R = ... = 590.17W

Si R se sustituye por una impedancia Z, ¿cuál es la máxima potencia media que se puede suministrar a Z? ZTH

Z = Z TH * = 4 + 2 j VTH

+ -

I=

Z

I

VTH 80 + 60 j 80 + 60 j = = = 10 − 7.5 j Z TH + Z 4 − 2 j + 4 + 2 j 8 2

PR = I ·R = ... = 625W

•

¿Qué porcentaje de la potencia generada en el circuito se suministra a la carga Z en caso de máxima potencia?

Para responder a esta pregunta hay que realizar un balance de potencias en el circuito cargado con Z = 4+2j, es decir, calcular las potencias de todos los elementos, para así conocer el total de potencia generada y el consumido por Z.

0.1VX

100

R2 5Ω VX I2

100∠0º Veff

+ -

Vg

Resolviendo por nodos:

R1 5Ω

+ VX

Ig C1

I1

VX = 50 +25j VA = 25+50j

VA

-j5Ω j5Ω

Z = 4+2j

I3

-

150 Problemas de Teoría de Circuitos

I4

Ig = 5+2.5j I1 = 10-5j I2 = -5-5j I3 = 5-10j I4 = 10+7.5j

147

Potencias: Fuente de 100 V: S = -1500-250j VA Fuente dependiente: S= 93.75-437.5j VA R1: P = 156.25 W R2: P = 625 W Z: S = 625 +312.5j VA L: Q = 625j VAR C: Q = -250j VAR La potencia generada total son 1500W, y la consumida por Z, 625W, por lo tanto el porcentaje de la potencia generada en el circuito que se suministra a la carga Z en caso de máxima potencia es PZ Pgenerada

=

625 = 41.67% 1500

Además, el balance de potencias es correcto, pues se cumple que

150 Problemas de Teoría de Circuitos

∑P = 0 y ∑Q = 0.

148

Febrero 2004 PROBLEMA 54: El dueño de una fábrica quiere disminuir el consumo eléctrico y para ello contrata a una empresa de ingeniería eléctrica para que estudie su caso. Su fábrica tiene una carga eléctrica de 1200 kW con un factor de potencia inductivo de 0.8., así que los ingenieros le colocan en la fábrica una carga adicional con un factor de potencia variable que añadirá 240kW a la carga de potencia real de la fábrica. El factor de potencia de la nueva carga se ajustará hasta que el factor de potencia global de la fábrica sea de 0.96 inductivo. • • • •

¿Cuál es el factor de potencia de la carga adicional? Si el voltaje eficaz en la entrada de la fábrica es de 2500V, ¿cuál es el valor eficaz de la corriente que entra a la fábrica antes de añadir la carga con un factor de potencia variable? ¿Cuál es el valor eficaz de la corriente que entra a la fábrica después de añadir la carga con un factor de potencia variable? ¿Qué ha ocurrido con el consumo eléctrico?

SOLUCIÓN 54:

•

¿Cuál es el factor de potencia de la carga adicional?

Los datos del enunciado referentes a las potencias de las cargas son: Carga inicial, Z: PZ = 1200kW fpZ = 0.8 inductivo Carga adicional, Z’: PZ’ = 240kW fpZ’ = ? Conjunto de las dos cargas: fpglobal = 0.96 inductivo

A partir de los datos anteriores, se pueden calcular los valores de las potencias reactivas (Q) y aparentes (/S/) de cada carga y con estos valores se hallará el valor del factor de potencia de la carga adicional.

150 Problemas de Teoría de Circuitos

149

Carga inicial, Z: /S/Z =

PZ = 1200kW fpZ = 0.8 inductivo

PZ 1200k = = 1500kVA fp Z 0.8 2

2

Q Z = / S / Z − PZ = 1500k 2 − 1200k 2 = 900kVAR

Conjunto de las dos cargas: Pglobal = PZ + PZ’ = 1200kW + 240kW = 1440kW Qglobal = QZ + QZ’ = 900kVAR + QZ’ fpglobal = 0.96 inductivo / S / global =

Pglobal fp global

=

1440k = 1500kVA 0.96

2

2

Q global = / S / global − Pglobal = 1500k 2 − 1440k 2 = 420kVAR

Qglobal = QZ + QZ’ = 900kVAR + QZ’ = 420kVAR → QZ’ = -480 kVAR

Carga adicional, Z’: QZ’ = -480 kVAR 2

/ S / Z ' = PZ + Q 2Z = 240k 2 + (−480k ) 2 = 535.65kVA

fp Z' =

•

PZ ' 240 = = 0.4472 capacitivo / S Z' / 536.65

Si el voltaje eficaz en la entrada de la fábrica es de 2500V, ¿cuál es el valor eficaz de la corriente que entra a la fábrica antes de añadir la carga con un factor de potencia variable? / S / = Veff ·I eff / S / antes = / S / Z = 1500kVA (I eff ) antes =

(Ieff )antes = 600A

/ S / antes 1500kVA = = 0.6kA = 600A Veff 2500V

150 Problemas de Teoría de Circuitos

150

•

¿Cuál es el valor eficaz de la corriente que entra a la fábrica después de añadir la carga con un factor de potencia variable? / S / = Veff ·I eff / S / despues = / S / global = 1500kVA (I eff ) despues =

•

/ S / despues Veff

=

(Ieff )despues = 600A

1500kVA = 0.6kA = 600A 2500V

¿Qué ha ocurrido con el consumo eléctrico? No se ha conseguido el ahorro de corriente deseado.

150 Problemas de Teoría de Circuitos

151

TEMA 4: RESONANCIA

150 Problemas de Teoría de Circuitos

153

Febrero 1999 PROBLEMA 55: En el circuito de la figura se desconocen los valores de C y Eg, donde Eg representa una fuente de tensión senoidal de frecuencia variable. A una determinada frecuencia se miden los siguientes valores: • I1 = 2mA eficaces • I2 = 2mA eficaces • V = 4V eficaces I1

100kΩ

I2

10mH

C

+ + -

V

Eg

100kΩ

50kΩ

_

En esas condiciones se pide: • Calcular el valor eficaz de Eg y el valor del condensador C. • ¿Cómo variará I1 al aumentar la frecuencia? ¿Cómo lo hará I2?. Razonar la respuesta. SOLUCIÓN 55: Se presenta un circuito resonante paralelo (L y C en paralelo). Cuando las intensidades que circulan por ambos elementos son iguales nos encontramos en situación de resonancia. En estas condiciones, pueden sustituirse L y C por un circuito abierto, con lo que tenemos: Sobre este circuito se obtiene Eg de forma sencilla, por ejemplo aplicando la fórmula del divisor de tensión:

100kΩ + + -

Eg

V = Eg*100k/(100k+100k) = Eg/2

V 100kΩ _

50kΩ

150 Problemas de Teoría de Circuitos

Eg = 2*V = 8V (eficaces)

155

Falta determinar el valor de C: si nos fijamos en el circuito en el que se han eliminado L y C, vemos que por la resistencia de 50k no circula corriente y por tanto no cae tensión en ella. De este modo, la tensión en la bobina y el condensador será igual a la V indicada en el circuito = 4V. En la bobina:

V = I·ω0·L;

ω0 = V/(I·L) = 4V/2mA*10mH = 2*105 rad/s

Y en el condensador: V = I/(ω0·C); C = I/(V·ω0) = 2mA/4V*2*105rad/s = 2,5nF En resonancia, las corrientes en la bobina y el condensador son máximas (y desfasadas 180º). Cualquier variación de la frecuencia (aumento o disminución) hace que las intensidades se reduzcan

150 Problemas de Teoría de Circuitos

156

Junio 1999 PROBLEMA 56: En el circuito de la figura la fuente de tensión es senoidal y de frecuencia variable: 1k

110V ef

4k 5μF

+ -

8k

0,2H

4k

Se pide: • • •

Utilizando el equivalente Norton adecuado, reducir el circuito a un circuito resonante paralelo Obtener frecuencia de resonancia, ancho de banda y factor de calidad del circuito Se ajusta la frecuencia de la fuente hasta hacerla coincidir con la frecuencia de resonancia. En estas condiciones, calcular la intensidad que circula por la resistencia de 8k.

SOLUCIÓN 56:

El equivalente Norton que se pide es el que permite representar a todos los componentes del circuito salvo el condensador y la bobina respecto de los terminales de éstos (A y B): 1k

4k A

110V ef

+ -

8k

4k B

150 Problemas de Teoría de Circuitos

157

Cálculo de la tensión a circuito abierto: I = 110V / (1k+(8k//(4k+4k)) I = 110V / (1k+ 4k) = 22mA I1 = I/2 = 11mA

I 110V ef

I1

1k

+ -

4k + VCA _

8k

4k

(divisor de intensidad)

VCA = I1*4K = 44V

Cálculo de la intensidad de cortocircuito: La resistencia de 4k se puede eliminar por encontrarse en paralelo con un cortocircuito

I 110V ef

+ -

I1

1k

4k

ICC

8k

4k

I = 110V/(1k+(8k//4k) = 110V/(11/3)k I1 = ICC = I*8k/(4k+8k) (div. intensidad) ICC = 20mA INORTON = Icc = 20mA

RNORTON = VCA/ICC = 2,2kΩ

Con lo que el equivalente queda:

20mA

Y el circuito completo:

20mA

2,2k

5μF 2,2k

0,2H

Sobre el RLC paralelo, basta aplicar las fórmulas para obtener los valores pedidos: ω0 = 1/√LC = 1/√(0.2*5*10-6) = 1000 rad/s

•

Frecuencia de resonancia:

•

Ancho de banda:

AB = 1/RC = 1/(2.2*103*5*10-6) = 90.9 rad/s

•

Factor de calidad:

Q = ω0/AB = 1000/90.9 = 11

150 Problemas de Teoría de Circuitos

158

A la frecuencia de resonancia, una bobina y un condensador en paralelo pueden sustituirse por un circuito abierto. Por tanto, la intensidad que circula por la resistencia de 8K puede ser obtenida directamente: I

I = 110V / (1k+(8k//(4k+4k)) I = 110V / (1k+ 4k) = 22mA I1 = I/2 = 11mA

110V ef

(divisor de intensidad)

150 Problemas de Teoría de Circuitos

+ -

1k

4k

8k

4k

I1

159

Diciembre 1999 PROBLEMA 57:

En el circuito de la figura la fuente de tensión es senoidal y de frecuencia variable. La gráfica representa los valores que toma la tensión VAB en función de la frecuencia. +

VAB

−

VAB

10mH 100kΩ

+ -

VMAX

2.5nF

8VEF

100kΩ

25kΩ

ω0

ω

Se pide: ƒ Determinar el valor de VMAX ƒ Determinar el ancho de banda del circuito

SOLUCIÓN 57:

VMAX es la tensión a la frecuencia de resonancia. En resonancia se puede sustituir el conjunto bobina + condensador en paralelo por un circuito abierto.

+

100kΩ = 4V 200kΩ

150 Problemas de Teoría de Circuitos

−

100kΩ

Aplicando un divisor de tensión: VMAX = 8V ⋅

VAB

+ -

8VEF

100kΩ

25kΩ

160

El equivalente Norton para todos los elementos salvo la bobina y el condensador nos da: IN=0.053mA RN=75kΩ Añadiendo bobina y condensador obtenemos un circuito resonante serie estándar. La expresión para el ancho de banda es: AB=

+

VAB

−

10mH 2.5nF

75KΩ

0.053mA

rad 1 1 = = 5333 3 −9 s RC 75 ⋅ 10 ⋅ 2,5 ⋅ 10

150 Problemas de Teoría de Circuitos

161

Febrero 2000 PROBLEMA 58: En el circuito de la figura, la fuente de tensión es senoidal y de frecuencia variable. Se pide: • calcular frecuencia de resonancia, ancho de banda y factor de calidad del circuito. • representar aproximadamente el comportamiento de la tensión V en función de la frecuencia, especificando cuál es el valor máximo que alcanza y a qué frecuencia se produce. 10k

1k +

220V ef

4μF + -

10mH

10k

4k

V _

SOLUCIÓN 58: Se busca el equivalente Norton de todo el circuito salvo la bobina y el condensador: 10k

220V ef

•

1k

IN

+ -

10k

RN

4k

10k

IN: se obtiene como la intensidad de cortocircuito: Por cualquier método de análisis, se llega a:

220V ef

+ -

1k

10k

ICC

4k

IN = ICC = 18.33mA •

RN se obtiene como la resistencia equivalente: 10k

1k

10k

1k

4k

5k

150 Problemas de Teoría de Circuitos

4k

6k

4k

RN = REQ = 2.4k

162

Por tanto, trabajaremos sobre el siguiente circuito: 18.33

4μF 2.4k

+ 10mH

ω0 =

V

1 LC

= 5000rad/s Q=

AB =

1 = 104.2rad/s RC

ω0 = 48 AB

Para la gráfica de V nos fijaremos en estos puntos: •

VMAX: para ω=ω0 L y C se anulan: VMAX = I⋅R = 44V

•

VMAX/√2: para los límites del ancho de banda ω1=ω0-AB/2=4948rad/s ω2=ω0+AB/2=5052rad/s V = 44/√2 = 31V

V 44 31

4948 5000 5052

150 Problemas de Teoría de Circuitos

ω

163

Junio 2000 PROBLEMA 59: En el circuito de la figura, la fuente de tensión es senoidal y de frecuencia variable.

3Ω A 20V ef + -

5mH 6Ω 0.5μF 1Ω

iL

B

iR

Se pide: • • •

calcular frecuencia de resonancia, ancho de banda y factor de calidad del circuito calcular el valor de las intensidades iR e iL a la frecuencia de resonancia determinar el valor de la resistencia extra que debería colocarse entre A y B para duplicar el factor de calidad del circuito SOLUCIÓN 59:

Como primer paso se aíslan bobina y condensador y se obtiene el equivalente Thévenin 3Ω para el resto del circuito A

20V ef + 6Ω 1Ω B

Dado que no existen fuentes dependientes, puede obtenerse el Thévenin a partir de la resistencia equivalente y de la tensión de circuito abierto: Resistencia equivalente: se obtiene sustituyendo al fuente de tensión por un cortocircuito: R EQ = (3Ω + 1Ω ) // 6Ω = 2.4Ω

150 Problemas de Teoría de Circuitos

164

Tensión de circuito abierto: se obtiene mediante un divisor de tensión: 6 VAB = 20 ⋅ = 12V 6 + 3 +1 El Thévenin y el circuito completo quedan: 2.4Ω A 2.4Ω

5mH A

+ -

12V ef + -

12V

0.5μF

B B

Se obtiene un circuito resonante serie, basta aplicar las fórmulas: 1 = 20000rad/s Frecuencia de resonancia: ω 0 = LC AB =

Ancho de banda:

Q=

Factor de calidad:

R = 480rad/s L

ω0 = 41.67 AB

Para el cálculo de las intensidades se tiene en cuenta que la bobina y el condensador, en resonancia, se comportan como un cortocircuito: 3Ω A 20V ef + 6Ω 1Ω

iL

iR

B

Por tanto por la resistencia no circulará intensidad (está en paralelo con un cortocircuito): iR = 0 iL =

20V = 5A 4Ω

150 Problemas de Teoría de Circuitos

165

Buscamos ahora la resistencia que duplica el ancho de banda del circuito: 3Ω A 20V ef + -

5mH 6Ω

R

0.5μF 1Ω B

Necesitamos volver a calcular la resistencia equivalente: R EQ ( nueva ) = (3Ω + 1Ω ) // 6Ω // R = 2.4Ω // R De acuerdo con las fórmulas utilizadas anteriormente: ω0 → AB nuevo = 240rad / s Q nuevo = 41.7 ⋅ 2 = 83.4 = AB nuevo R nueva → R nueva = 1.2Ω L = 1.2Ω = 2.4 // R → R = 2.4Ω

AB nuevo = 240rad / s = R nueva

Por tanto se debe colocar una resistencia de

150 Problemas de Teoría de Circuitos

2.4 Ω

166

Septiembre 2000 PROBLEMA 60:

En el circuito de la figura, la fuente de tensión es senoidal y de frecuencia variable: 100kΩ

2Ω + -

50Vef

0.2μF 25kΩ

8mH

iR Se pide: • • • •

Frecuencia de resonancia Equivalente paralelo para la bobina real Ancho de banda y factor de calidad del circuito Intensidad iR que circula por la resistencia de 25kΩ a la frecuencia de resonancia

SOLUCIÓN 60:

Frecuencia de resonancia: 1 1 ω0 = = = 25000rad/s LC 8 ⋅ 10 −3 ⋅ 0.2 ⋅ 10 −6

Equivalente paralelo para la bobina real: utilizamos el factor de calidad de la bobina QL: ω0 L 25 ⋅ 10 3 ⋅ 8 ⋅ 10 −3 = = 100 R 2 L 2 = L1 = 8mH

R1

R 2 = Q ⋅ R 1 = 20kΩ

L1

QL =

2 L

150 Problemas de Teoría de Circuitos

R2

L2

167

Una vez hecho el equivalente paralelo de la bobina el aspecto del circuito es el siguiente: 100kΩ

+ -

50Vef

8mH

20kΩ

25kΩ 0.2μF

iR

Basta con hacer una transformación de fuentes para obtener un circuito resonante paralelo estándar: 0.5mAef 100kΩ

20kΩ

8mH

0.2μF

0.2μF

0.5mAef 25kΩ

10kΩ

8mH

iR

Sobre el circuito resonante estándar podemos aplicar directamente las fórmulas: 1 1 = 4 = 500rad/s RC 10 ⋅ 0.2 ⋅ 10 −6 ω 25000 Q= 0 = = 50 AB 500 AB =

Para obtener la intensidad por la resistencia de 25kΩ se debe tener en cuenta que, a la frecuencia de resonancia, el conjunto de bobina y condensador en paralelo se comportan como un circuito abierto:

0.5mAef 100kΩ

20kΩ

25kΩ

iR

Por tanto, iR se obtiene mediante un divisor de intensidad: i R = 0.5 ⋅

100 // 20 16.67 = 0.5 ⋅ = 0.2mA EF 100 // 20 + 25 41.67

150 Problemas de Teoría de Circuitos

168

Diciembre 2000 PROBLEMA 61:

En el circuito de la figura la fuente de tensión es senoidal y de frecuencia variable. Se pide calcular los valores que han de tomar R, L y C para que el circuito cumpla: • Frecuencia de resonancia: ω0 = 104 rad/s • Ancho de banda: AB = 102 rad/s • Tensión en el condensador a la frecuencia de resonancia: VC = 4V ef 6 kΩ

12V ef

+ -

L

R

C

+ VC _

8 kΩ

SOLUCIÓN 61:

Se trata de un circuito resonante paralelo. A la frecuencia de resonancia, el conjunto LC se comporta como un circuito abierto: kΩ + + -

12V ef

VC _

R 8 kΩ

Aplicando un divisor de tensión: R VC = 12 ⋅ = 4VEF 6 ⋅ 10 3 + R

→ R = 3 ⋅ 10 3 Ω = 3KΩ

Para determinar los valores de L y C se trabaja sobre el circuito resonante paralelo estándar, que se obtiene calculando el equivalente Norton del circuito desde los terminales de L y C: 6 KΩ

+ -

12V ef

0.4mA

3KΩ

10KΩ

0.4mA

C 10KΩ

L

8 KΩ

150 Problemas de Teoría de Circuitos

169

Una vez sobre el circuito estándar, basta aplicar las fórmulas: 1 1 = RC 10 ⋅ 103 ⋅ C 1 1 ω0 = 104 = = LC L ⋅ 10− 6 AB = 102 =

→ C = 10− 6 F → L = 10− 2 H = 10mH

150 Problemas de Teoría de Circuitos

170

Febrero 2001 PROBLEMA 62:

Considérese el circuito resonante de la figura: 600Ω

10Ω + -

30Vef

+ 2μF

400Ω

VC _

20mH

Se pide: • Frecuencia de resonancia del circuito. • Ancho de banda. • Factor de calidad de la bobina y del circuito. • Tensión vC en el condensador a la frecuencia de resonancia. SOLUCIÓN 62:

Se trata de un circuito resonante paralelo real. En primer lugar, se llevará el circuito al formato estándar mediante transformación de fuentes (también podría hacerse un equivalente Norton): 600Ω

+ -

30Vef

400Ω

50mA

240Ω

Por tanto, el circuito estándar que se obtiene es el siguiente:

150 Problemas de Teoría de Circuitos

171

10Ω 50mA

+ 2μF

240Ω

VC _

20mH

Frecuencia de resonancia: 1

ω0 =

LC

=

1 20 ⋅ 10 −3 ⋅ 2 ⋅ 10 −6

= 5000rad/s

Factor de calidad de la bobina: QL =

ω 0 L 5000 ⋅ 20 ⋅ 10 −3 = = 10 R 10

A continuación se debe hacer el equivalente paralelo de la bobina real: L′ = L = 20mH R ′ = Q 2L ⋅ R = 1kΩ

50mA 240Ω

1KΩ

20mH

2μF

+ vC _

50mA

193.5Ω

20mH

2μF

+ vC _

El circuito resultante se muestra a continuación: Ancho de banda: β=

1 1 = = 2584rad/s RC 193.5 ⋅ 2 ⋅ 10 −6

Factor de calidad del circuito: Q=

ω 0 5000 = = 1.94 β 2584

150 Problemas de Teoría de Circuitos

172

Tensión en el condensador a frecuencia de resonancia: A frecuencia de resonancia, la bobina y el condensador se anulan y en un circuito resonante paralelo, el conjunto equivale a un circuito abierto: + 50mA 193.5Ω

VC _

VC = i ⋅ R = 50 ⋅ 10 −3 ⋅ 193.5 = 9.7V Junio 2001 PROBLEMA 63:

150 Problemas de Teoría de Circuitos

173

Considérese el circuito resonante de la figura: 1kΩ

+ -

10mH

16μF

100Vef

1,5kΩ

20Ω

2,4kΩ

20Ω

10Ω

10 : 1

Se pide: • Frecuencia de resonancia, ancho de banda y factor de calidad del circuito • Potencia entregada por la fuente de tensión a la frecuencia de resonancia • Valor que debería tener la relación de transformación para reducir el ancho de banda a la mitad SOLUCIÓN 63:

En primer lugar se simplifican en la medida de lo posible tanto la parte derecha como la parte izquierda del circuito, llegándose a: 0.6kΩ

16μF

10mH

60Vef

+ -

2,4kΩ

12Ω 10 : 1

A continuación se refleja el secundario en el primario multiplicando la impedancia por la relación de transformación al cuadrado: 0.6kΩ

+ -

16μF

10mH

60Vef

2,4kΩ

1.2kΩ

Este circuito es fácilmente simplificable a un RLC serie mediante agrupación de resistencias: 1.4kΩ

+ -

16μF

10mH

60Vef

Sobre este circuito basta aplicar las fórmulas: w0 = 1/√(LC) = 2500 rad/s β = R/L = 140krad/s Q = w0/β = 0.0178

150 Problemas de Teoría de Circuitos

174

Para obtener la potencia de la fuente de tensión debemos simplificar el circuito en el mismo modo que antes pero sin hacer desaparecer la fuente de 100V. 1kΩ

+ -

100Vef

16μF

10mH

1,5kΩ

0.8kΩ

Sobre ese circuito sustituimos L y C en resonancia por un cortocircuito. El resultado queda: 1kΩ

+ -

100Vef

1,5kΩ

0.8kΩ

Es fácil calcular la intensidad que circula por la fuente, obteniéndose: I = 65.8 mA ef La potencia será, por tanto: P =Ief*Vef = 6.58W

Para que el ancho de banda se redujera a la mitad, la resistencia equivalente debería ser también la mitad, esto es REQ = 0.7kΩ De acuerdo con las agrupaciones de resistencias hechas anteriormente: REQ = 0.6KΩ + 2.4KΩ//RREFLEJADA De donde se deduce RREFLEJADA = 0.104KΩ La impedancia reflejada será la del secundario multiplicada por la relación de transformación al cuadrado: 104Ω = 12Ω*a2 Se deduce que la relación de transformación pedida es:

150 Problemas de Teoría de Circuitos

a = 2.94

175

Septiembre 2001 PROBLEMA 64:

En el circuito de la figura, la fuente de tensión es senoidal y de frecuencia variable.

2mH

3Ω

+ -

Se pide: • Frecuencia de resonancia, ancho de banda y factor de calidad del circuito. • Potencia consumida por la resistencia de 5Ω a la frecuencia de resonancia. • Valor que debería tener la resistencia de 5Ω para duplicar el factor de calidad.

12Vef

20μF

10Ω

6Ω

5Ω

6Ω

SOLUCIÓN 64:

Mediante agrupación de resistencias y transformaciones de fuentes se llega al circuito RLC serie que se muestra a continuación (se indica el último paso efectuado): 2mH

+ -

2mH

20μF

7,5Vef

+ -

5Ω

20μF

7,5Vef

8,75Ω

3,75Ω

A partir de este circuito, por aplicación directa de las fórmulas: ω0 =

1 LC

= 5000rad/s ; β =

ω R = 4375rad/s ; Q = 0 = 1,14 L β

Para duplicar el factor de calidad será necesario reducir el ancho de banda a la mitad (ω0 no varía): ω0 Q′ = 2Q ⇒ β′ = β 2 β′ Y para ello habrá que reducir la resistencia equivalente a la mitad (L no varía): Q′ =

β′ =

R ′eq L

β′ = β 2 ⇒ R ′eq = R eq 2

150 Problemas de Teoría de Circuitos

176

A continuación se muestra el circuito antes de hacer la última agrupación de resistencias y con la resistencia de 5Ω sustituida por la resistencia R buscada: 2mH

+ -

20μF

7,5Vef

R 3,75Ω

Es inmediato obtener la resistencia buscada a partir de la resistencia equivalente: R ′eq = 3,75 + R =

8,75 ⇒ R = 0,625Ω 2

Para el cálculo de la potencia consumida por la resistencia de 5Ω a frecuencia de resonancia, sustituimos la bobina y el condensador por un cortocircuito:

+ -

7,5Vef

5Ω 3,75Ω

La intensidad que circula por la resistencia de 5Ω será: i=

7,5 = 0,857A 3,75 + 5

Y por tanto, la potencia consumida en la misma: P = i 2 ⋅ R = 3,67W

150 Problemas de Teoría de Circuitos

177

Diciembre 2001 PROBLEMA 65:

En el circuito resonante de la figura, se pide: • Frecuencia de resonancia. • Ancho de banda. • Factor de calidad de la bobina • Factor de calidad del circuito. • Potencias real y reactiva entregadas por la fuente de tensión a la frecuencia de resonancia.

+ -

12V ef

150mH

6Ω

25 kΩ 8μF 100kΩ

SOLUCIÓN 65:

La frecuencia de resonancia y el factor de calidad de la bobina se pueden obtener directamente: 1 = 912.9 rad/s ω0 = LC ωL Q L = 0 = 22.8 R Para obtener el resto de los datos se debe calcular el equivalente paralelo de la bobina real: R ′ = Q 2L ⋅ R = 3125Ω Sobre el circuito resultante se puede hacer una transformación de fuentes: 25 kΩ 8μF + -

12V ef

100kΩ

3125Ω

150mH

150 Problemas de Teoría de Circuitos

0.48mA

8μF 25kΩ

100kΩ

3125Ω

150mH

178

Calculando el equivalente paralelo de las tres resistencias se obtiene el circuito estándar:

0.48mA

8μF 2703Ω

150mH

Sobre el circuito estándar se obtienen el resto de datos pedidos: 1 = 46.29 rad/s RC ω Q = 0 = 19.7 β β=

Para calcular las potencias a frecuencia de resonancia el conjunto LC se sustituye por un circuito abierto y se calcula el equivalente de las resistencias: 25 kΩ

+ -

12V ef

100kΩ

3125Ω

+ -

12V ef

28.03kΩ

Dado que la carga es resistiva, la fuente sólo entregará potencia real: P = Vef ⋅ I ef = 12 ⋅

− 12 = −5.1mW (potencia cedida) 28.03 ⋅ 10 3

Q=0

150 Problemas de Teoría de Circuitos

179

Febrero 2002 PROBLEMA 66:

Considérese el circuito de la figura:

50mA 200Ω

C

L

Z 6+8j Ω a:1

Sabiendo que en el primario del transformador hay conectado un circuito resonante con frecuencia de resonancia de 5000 rad/s y factor de calidad 2, se pide: • los valores de L y C en el circuito resonante • la tensión VC en el condensador a la frecuencia de resonancia • el valor que debería tener la relación de transformación a para que la carga Z en secundario consuma máxima potencia SOLUCIÓN 66:

•

Valores de L y C en el circuito resonante?

ωO ω 5000 →β= O = = 2500rad / s β Q 2 1 1 1 β= →C= = = 2·10 −6 = 2μF RC Rβ 200 ⋅ 2500 1 1 1 1 ωO = →L= = = = 0.02H = 20mH 2 2 −6 50 ω O C 5000 ⋅ 2·10 LC Q=

C = 2·10-6 F L = 20mH •

la tensión VC en el condensador a la frecuencia de resonancia?

En resonancia, el conjunto de L y C se comportan como un circuito abierto, por lo tanto: +

50mA 200Ω

VC = I· R = 50 mA· 200 Ω = 10V

VC

150 Problemas de Teoría de Circuitos

180

•

Valor que debería tener la relación de transformación a para que la carga Z en secundario consuma máxima potencia?

Reflejamos Z en primario: 50mA 200Ω

Z’=a2·Z

Por el teorema de máxima transferencia de potencia, la carga que consumirá máxima potencia será igual a la ZTH vista desde los extremos de la carga. Para el caso del transformador: Z TH = Z' 200 = a 2 6 + 8 j = a 2 100 a = 20 = 4.47

150 Problemas de Teoría de Circuitos

181

Junio 2004 PROBLEMA 67:

En el circuito de la figura se desconocen los valores de L y Vg, donde Vg representa una fuente de tensión senoidal de frecuencia variable. A una determinada frecuencia se miden los siguientes valores: • I1 = 2.5mA eficaces L I1 • I2 = 2.5mA eficaces • V = 5V eficaces 50kΩ + + -

Vg

I2

5nF

V 25kΩ _

50kΩ

En esas condiciones se pide: • Calcular el valor eficaz de Vg y el valor de la inductancia L. • ¿Cómo variará I1 al aumentar la frecuencia? ¿Cómo lo hará I2?. Razonar la respuesta. SOLUCIÓN 67:

Se presenta un circuito resonante paralelo (L y C en paralelo). Cuando las intensidades que circulan por ambos elementos son iguales nos encontramos en situación de resonancia. En estas condiciones, pueden sustituirse L y C por un circuito abierto, con lo que tenemos: Sobre este circuito se obtiene Vg de forma sencilla, por ejemplo aplicando la fórmula del divisor de tensión:

50kΩ + + -

Vg

V = Vg*25k/(25k+50k) = Vg/3

V 25kΩ _

50kΩ

150 Problemas de Teoría de Circuitos

Vg = 3*V = 15V (eficaces)

182

Falta determinar el valor de L: si nos fijamos en el circuito en el que se han eliminado L y C, vemos que por la resistencia de 50k no circula corriente y por tanto no cae tensión en ella. De este modo, la tensión en la bobina y el condensador será igual a la V indicada en el circuito = 5V. En el condensador: 1*105 rad/s Y en la bobina:

V = I/(ω0·C); ω0= I/(V·C) = 2.5mA/5V*5*10-9rad/s =

V = I·ω0·L;

L= V/(I·ω0) = 5V/2.5mA*1*105 = 20mH

En resonancia, las corrientes en la bobina y el condensador son máximas (y desfasadas 180º). Cualquier variación de la frecuencia (aumento o disminución) hace que las intensidades se reduzcan

150 Problemas de Teoría de Circuitos

183

TEMA 5: ACOPLAMIENTO MAGNÉTICO

150 Problemas de Teoría de Circuitos

185

Febrero 2001 PROBLEMA 68:

En el circuito de la figura, la frecuencia de la fuente de tensión es de 100 rad/s. Z

20Ω

+ -

0.1H 2.5mF

50Vef

6Ω

2:1

Se pide: • Encontrar la impedancia Z que absorbe máxima potencia. • Calcular el valor de esa potencia. SOLUCIÓN 68:

En primer lugar se calculan las impedancias de los distintos elementos: Z

20

+ -

10j -4j

50Vef

6

2:1

A continuación se calcula la impedancia equivalente para los elementos del secundario: Z EQ = (10 j − 4 j) // 6 = 3 + 3 j 20

+ -

Z

50Vef

ZEQ=3+3j 2:1

150 Problemas de Teoría de Circuitos

187

A continuación se representa el circuito reducido al primario, reflejando la impedancia ZEQ: Z′EQ = a 2 ⋅ Z EQ = 2 2 ⋅ Z EQ = 12 + 12 j Z

20

+ -

50Vef

Z’EQ=12+12j

Y ya sólo resta hacer el equivalente serie de la resistencia de 20Ω y de Z’EQ: Z + -

50Vef

32+12j

El circuito que queda entre los terminales de Z es ya un equivalente Thevenin, por lo que no hay que dar más pasos. La impedancia Z que consume máxima potencia es el conjugado de la impedancia Thevenin: Z MAX = 32 − 12j

La potencia absorbida por la impedancia se calcula fácilmente: 32-12j i + -

50Vef

32+12j

i=

v 50 50 = = = 0.78A Z 32 − 12 j + 32 + 12 j 64

P = i 2 ⋅ R = 0.78 2 ⋅ 32 = 19.5W

150 Problemas de Teoría de Circuitos

188

Junio 2001 PROBLEMA 69:

Sobre el circuito de la figura, se pide: • Equivalente Thevenin entre los puntos A y B • Potencia que consumiría una resistencia de 5Ω conectada entre A y B • Impedancia que, colocada entre A y B, consumiría la máxima potencia posible y valor de esa potencia. 30mH

4Ω

2mF 10cos(100t) V

20mH

2,5Ω

10mH

+ -

A

B

50mH

+ -

5cos(100t) V

SOLUCIÓN 69:

El circuito en términos de impedancias queda: 3j

4

1j

-5j 10

2j

2,5

A

B

5j

+ -

+ -

5

Y la parte izquierda se puede simplificar mediante una transformación de fuentes: 2j

2,5

4

-5j

1.6-1.2j

1j

A

5j

B

+ -

5

3j

150 Problemas de Teoría de Circuitos

189

A continuación se hace el equivalente paralelo de las impedancias: 2j

2,5

1.6-1.2j

5-2.5j

A

B

1j 5j

+ -

5

+ -

5

+ -

5

Se hace una nueva transformación de fuentes: 2j

2,5

A

B

5-2.5j + -

5-10j

1j 5j

Y por último el equivalente serie de las dos impedancias: 2j

A

B

7.5-2.5j + -

5-10j

1j 5j

Ahora se puede hacer el eq. Thevenin, obteniendo VCA e ICC y trabajando por mallas dado que existe acoplamiento magnético: 1. Cálculo de VCA:

2j

A

B

7.5-2.5j + -

5-10j

I1

I2=0

1j 5j

+ -

5

Las ecuaciones que quedan son: 5-10j+I1(7.5-2.5j)+I1(2j)+(I1-I2)(-j)+(I1-I2)(5j)+I1(-j) = 0 I2 = 0 Se obtiene I1 = -0.2+1.4j A VCA = VAB = VA - VB = I1(5j)+I1(-j) - 5 = -10.6 - 0.8j V

150 Problemas de Teoría de Circuitos

190

2. Cálculo de ICC: 2j

A

B

7.5-2.5j + -

5-10j

I2

1j

I1

+ -

5j

5

En este caso, las ecuaciones que quedan son: 5-10j+I1(7.5-2.5j)+I1(2j)+(I1-I2)(-j)+(I1-I2)(5j)+I1(-j) = 0 5+(I2-I1)(5j)+I1(j) = 0 Y se obtiene: I1 = -1.31 + 1.21j I2 = -1.05 + 1.97j ICC = I2 = -1.05 + 1.97j

Con estos datos se puede construir el equivalente Thevenin: ZEQ = VCA/ICC = 1.92 + 4.36j 1.92 + 4.36j -10.6 - 0.8j

+ -

Si conectamos una resistencia de 5Ω:

1.92 + 4.36j -10.6 - 0.8j

+ -

5

La intensidad que circulará por ella será: I = (-10.6-0.8j)/(6.92+4.36j) = -1.15 + 0.6j Y la potencia que consuma:

P = |I|2R = 8.45W

150 Problemas de Teoría de Circuitos

191

La impedancia de máxima potencia será el conjugado de la impedancia Thevenin:

1.92 + 4.36j -10.6 - 0.8j

1.92 - 4.36j

+ -

La intensidad que circule por ella será: I = (-10.6-0.8j)/(3.84) = -2.76 – 0.221j Y la potencia consumida será:

P = |I|2R = 14.71W

150 Problemas de Teoría de Circuitos

192

Septiembre 2001 PROBLEMA 70:

Dado el circuito de la figura, se pide: • Calcular i(t) expresado como una función del tiempo. • Calcular las potencias real, reactiva y aparente en la fuente de tensión de 20V. • Decir si esa fuente cede o absorbe potencia real y si cede o absorbe potencia reactiva. 2mF

6Ω

4Ω

30mH 10mH 2Ω

+ -

i(t)

20mH

+ -

20cos(100t)

1mF

10cos(100t)

SOLUCIÓN 70:

En primer lugar, se expresan las capacidades e inductancias como impedancias (teniendo en cuenta que la frecuencia angular son 100 rad/s) y las tensiones como fasores: -5jΩ 3jΩ

6Ω

4Ω

i1

2jΩ

i(t) i2

jΩ + -

2Ω

+ -

20∠0

-10jΩ

10∠0

A continuación se plantean las ecuaciones de análisis por mallas: 2 ⋅ i1 − 10 + 3 j ⋅ i1 − j ⋅ (i1 − i 2 ) − 5 j ⋅ i1 + 4 ⋅ i1 + 2 j ⋅ (i1 − i 2 ) − j ⋅ i1 = 0

− 10 j ⋅ i 2 + 2 j ⋅ (i 2 − i1 ) + j ⋅ i1 + 6 ⋅ i 2 + 20 = 0 Resolviendo: i1 = 1,79 + 0,37 j

i 2 = −1,37 − 1,52 j

El dato pedido será: i = −i 2 = 1,37 + 1,52j = 2,04∠0.84rad

i(t) = 2,04 ⋅ cos(100t + 0,84) V

Para el cálculo de la potencia los sentidos de tensión e intensidad deben ser concordantes, por lo tanto se usará –i(t) en lugar de i(t):

150 Problemas de Teoría de Circuitos

193

20 ⋅ 2,04 ⋅ cos(2,3) = −13,59W (cede potencia real) 2 20 ⋅ 2,04 Q= ⋅ sen(2,3) = 15,21VAR (absorbe potencia reactiva) 2 20 ⋅ 2,04 S= = 20,4VA 2 P=

-i = 2,04∠-2,3rad + -

v = 20∠0

NOTA: para el cálculo de la potencia se considera el ángulo que la tensión está desfasada respecto de la intensidad, y no al revés. Por tanto, el desfase es de +2,3 rad.

150 Problemas de Teoría de Circuitos

194

Febrero 2002 PROBLEMA 71:

Considérese el circuito de la figura,: C

50mA 200Ω

L

Z 6+8j Ω

a:1

Sabiendo que en el primario del transformador hay conectado un circuito resonante con frecuencia de resonancia de 5000 rad/s y factor de calidad 2, se pide: • los valores de L y C en el circuito resonante • la tensión VC en el condensador a la frecuencia de resonancia • el valor que debería tener la relación de transformación a para que la carga Z en secundario consuma máxima potencia SOLUCIÓN 71: •

Valores de L y C en el circuito resonante? ωO ω 5000 →β= O = = 2500rad / s β Q 2 1 1 1 β= →C= = = 2·10 −6 = 2μF RC Rβ 200 ⋅ 2500 1 1 1 1 ωO = →L= = = = 0.02H = 20mH 2 2 −6 50 ωO C 5000 ⋅ 2·10 LC

Q=

C = 2μF L = 20mH

•

la tensión VC en el condensador a la frecuencia de resonancia?

En resonancia, el conjunto de L y C se comportan como un circuito abierto, por lo tanto: +

50mA 200Ω

VC = I· R = 50 mA· 200 Ω = 10V

VC

150 Problemas de Teoría de Circuitos

195

•

Valor que debería tener la relación de transformación a para que la carga Z en secundario consuma máxima potencia?

Reflejamos Z en primario: 50mA 200Ω

Z’=a2·Z

Por el teorema de máxima transferencia de potencia, la carga que consumirá máxima potencia será igual a la ZTH vista desde los extremos de la carga. Para el caso del transformador: ZTH = Z' 200 = a 2 6 + 8 j = a 2 100 → a = 20 = 4.47

150 Problemas de Teoría de Circuitos

196

Junio 2002 PROBLEMA 72:

En el circuito siguiente, los valores de tensión en las fuentes son V1 = 24V⎣0° y V2 = 4V⎣−90° , • determinad el voltaje de salida Vo,

V2

R1 4Ω

~

V1

~ C1

R2

R3

2Ω

2Ω

L1 j3 Ω

+ 2Ω

-j4 Ω

R4

Vo -

1: 2

SOLUCIÓN 72:

Convertimos a su valor fasorial las fuentes de tensión: ) V1 = 24 ) V2 = − j4 Para simplificar los cálculos para la obtención de Vo, vamos a hallar el equivalente Thevenin del circuito conectado al primario del transformador: V2

R1 4Ω

~

V1

R2

~

A

2Ω

C1 -j4 Ω

B

Vth : R1 4Ω

~

V1

Vx

V2

~

C1 -j4 Ω

R2 2Ω

A

i=0 B

ˆ = (V ˆ ) ˆ ˆ V th AB abierto = Vx − V2

150 Problemas de Teoría de Circuitos

197

ˆ V − j4 1 = 24 = 12 − 12 j R 1 + Z C1 4 − j4 ˆ =V ˆ −V ˆ = 12 − 12 j − (− j4) = 12 − 8 j V th x 2 ˆ =Z V x C1

Zth :

Anulamos fuentes independientes: R1 4Ω

R2 2Ω

C1

Zth

-j4 Ω

Z th = R 1 // Z C1 + R 2 = 4 // − j4 + 2 = .... = 4 − 2 j Utilizando el equivalente Thevenin, el circuito inicial queda reducido al siguiente:

Zth

4-2j

L1

R3

j3 Ω

2Ω

12-8j ~ Vth

i1

+ v1 -

1: 2

+ v2 -

i2

+ 2Ω

R4

Vo

En un transformador ideal la relación entre corrientes y tensiones en primario y secundario es la siguiente: v1 N 1 = v2 N2 i1 N 2 = i 2 N1 En nuestro caso

N1 1 = N2 2

v1 =

1 v2 2

i1 = 2i 2

Del circuito anterior: ˆ = 2ˆi = 2 1 ˆi = ˆi V o 2 1 1 2

150 Problemas de Teoría de Circuitos

198

ˆ = ˆi reflejando el circuito de secundario en primario: Vamos a hallar el valor de V o 1

ˆ = ˆi = V 1 o

a=

Vth = Zth + a 2 Zc

12 − 8 j 4(12 − 8 j) = 2.63 − 0.94j =K= 1 20 − 5 j 4 − 2 j + (4 + 3 j) 4

N1 1 = N2 2

Zc = 4 + 3 j

150 Problemas de Teoría de Circuitos

199

Septiembre 2002 PROBLEMA 73:

La figura muestra un circuito de suministro de potencia. Un generador hidroeléctrico produce el voltaje equivalente de Thevenin VS a través de una impedancia equivalente de Thevenin de valor 0.1Ω. Su salida se incrementa utilizando un transformador de aumento de proporción 10:1 para una más eficiente transmisión por cable. Las líneas de transmisión tienen una impedancia equivalente de 1Ω. La potencia debe suministrarse a una carga de 4 Ω a través de un segundo transformador ideal. • Determinad la proporción de espiras n en el segundo transformador ideal para maximizar la potencia suministrada por la fuente. 0.1

+ -

1

VS

4 1 : 10

1:n

SOLUCIÓN 73:

Para maximizar la potencia suministrada por la fuente, la impedancia Z2 debe consumir la máxima potencia posible, para ello, según el teorema de máxima tranferencia de potencia, Z2 debe ser igual a la impedancia de Thevenin vista desde sus terminales, que es la resistencia 0.1Ω. Por tanto, calcularemos el valor de Z2 y lo igualaremos a 0.1Ω. : Relación de transformación en el transformador 1: N 10 a1 = 2 = = 10 N1 1 Relación de transformación en el transformador 2: N n a2 = 2 = = n N1 1

150 Problemas de Teoría de Circuitos

200

Reflejamos la carga situada en el secundario del transformador 2 en primario: 1 1 4 Z' = 2 ·Z = ·4 = 2 = Z1 2 n (n ) a2 Reflejamos la carga situada en el secundario del transformador 1 en primario: 1 1 4 Z' ' = 2 ·( Z'+1) = ·( 2 + 1) = Z 2 2 (10) n a1

0.1

+ -

1

VS

4 1 : 10

1:n

Z2

Z1

Hacemos Z2 = 0.1Ω y resolvemos: Z2 =

1

(10)

2

·(

4 + 1) = 0.1 n2

4 + 1 = 10 n2 4 =9 n2 4 n2 = 9 n=

150 Problemas de Teoría de Circuitos

2 3

201

Diciembre 2002 PROBLEMA 74:

En el circuito siguiente, • Calculad el valor de la capacidad C para que la corriente que circula por la fuente V1 no se desfase respecto de la tensión. 0.04H M

R1

C

12Ω 24∠0rad

+ -

V1

L2 0.2H

L1

0.2H

L3 0.06H R2

ω=50 rad/s

R3 14142 : 10000

4Ω

5Ω

SOLUCIÓN 74: Para que la corriente que circula por la fuente V1 no se desfase respecto de la tensión, la impedancia vista por la fuente ha de ser resistiva. Vamos a calcular el valor de las impedancias de los elementos en el circuito: ZR1 = 12 ZR 2 = 4 ZR 3 = 5 ZL1 = L1 jω = 0.2·50· j = 10 j ZL 2 = L 2 jω = 0.2·50· j = 10 j ZL 3 = L3 jω = 0.06·50· j = 3 j 1 1 = Cjω 50Cj Mjω = 0.04·50· j = 2 j ZC =

A continuación, simplificaremos el circuito anterior reflejando en primario el subcircuito a la derecha del transformador: 2j M

12

24∠0rad ω=50 rad/s

+ -

V1

10j

L1

C

L2 10j

i1

150 Problemas de Teoría de Circuitos

Z=10+6j

i2

4

202

N1 14142 = = 1.4142 = 2 N 2 10000 a2 = 2

a=

( ZL3 + ZR 3 )' = a 2 ( ZL3 + ZR 3 ) = 2(3 j + 5) = 10 + 6 j Y ahora resolveremos el circuito mediante mallas, y aplicaremos la condición que la impedancia vista por la fuente ha de ser resistiva. Ecuaciones de malla: 24 = ˆi1·12 + ˆi1·10 j + ˆi2 ·2 j

⎫ ⎪ ˆ ⎛ 1 ⎞ˆ ˆ ⎬ → i 2 = ⎟i2 + i1·2 j⎪ 0 = ⎜⎜ 4 + 10 + 6 j + 10 j + 14 + 50Cj ⎟⎠ ⎝ ⎭

− 2j 1 ⎞ ⎛ j⎜16 − ⎟ 50C ⎠ ⎝

ˆi 1

sustituyendo en la primera ecuación: 24 = (12 + 10 j)ˆi1 + 2 j

− 2j

ˆi ; 1 ⎞ 1 ⎛ 14 + j⎜16 − ⎟ 50C ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞⎞ ⎛ 14 − j⎜16 − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ 4 4 50C ⎠ ⎟ˆ ⎝ ⎜ ⎟ ⎜ ˆ 24 = 12 + 10 j + i = (12 + 10 j) + i = ⎜ 1 ⎞⎟ 1 ⎜ 1 ⎞ 1 ⎞⎟ 1 ⎛ ⎛ ⎛ 14 + j⎜16 − 14 + j⎜16 − ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ 14 − j⎜16 − ⎜ ⎜ 50C ⎠ ⎠ 50C ⎠ 50C ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ ⎞ ⎛ ⎜ 4⎜⎜14 − j⎜16 − ⎟⎟ ⎟ 50C ⎠ ⎠⎟ ⎟ˆ ⎜ ⎝ ⎝ i 2 ⎟ 1 ⎜ (12 + 10 j) + 1 ⎞ ⎛ 2 ⎜⎜ 14 − ⎜16 − ⎟ ⎟ 50C ⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝

La condición de impedancia resistiva implica que la parte imaginaria de la ecuación anterior ha de ser 0, puesto que la fuente de tensión tiene fase 0, la corriente de malla i1 también ha de tener fase 0. 1 ⎞ 4 ⎞ 4 ⎛ ⎛ Im{ } = 10 − 4⎜16 − ⎟ = 0 → 10 = ⎜ 64 − ⎟ → 54 = 50C ⎠ 50C ⎠ 50C ⎝ ⎝ 4 4 1 C= = = = 1.48mF 54·50 2700 675

150 Problemas de Teoría de Circuitos

C = 1.48mF

203

Febrero 2003 PROBLEMA 75:

En el siguiente circuito resonante: • hallad el valor de la relación de transformación a, para obtener un factor de calidad Q de 50. • calculad el valor de la corriente y la tension en el condensador y en la bobina a la frecuencia de resonancia. C

50mA

L 25mH

10Ω

10μF

a:1

SOLUCIÓN 75: •

Cálculo de la relación de transformación a:

Si se refleja la resistencia de secundario en primario, el circuito anterior queda reducido al siguiente: C 50mA

L

a2·10

25mH

ωo =

1 = LC

1 25·10− 3 ·10·10− 6

10μF

= .. = 2000rad / s

1 RC ω 2000 Q= o →Q= = 2000·RC = 2000·a 2 ·10·10·10− 6 β 1 / RC

β=

Si el factor de calidad Q ha de valer 50: Q = 2000·a 2 ·10·10·10 −6 = 50 M

a ≅ 16

a = 250 = 15.81

150 Problemas de Teoría de Circuitos

204

•

Cálculo del valor de la corriente y la tension en el condensador y en la bobina a la frecuencia de resonancia:

Si el circuito anterior es resonante, la bobina y el condensador son equivalentes a un circuito abierto, y reflejando la resistencia de secundario en primario (con a2 = 250), el circuito anterior queda reducido a una sola malla: I L = Q·I = 50mA·50 = 2500mA I C = Q·I = 50mA·50 = 2500mA VC = VL = I·R = I·a 2 ·10 = 50·10 −3 ·250·10 = 125V

150 Problemas de Teoría de Circuitos

205

Diciembre 2003 PROBLEMA 76:

En el circuito siguiente, • Encontrad el equivalente Thevenin visto desde los terminales de la fuente de corriente sinusoidal. • Encontrad la potencia media suministrada por la fuente de corriente sinusoidal. • Encontrad la potencia media suministrada a la resistencia de 20Ω 4:1

60Ω

Ig

R1 5∠0º Aeff

ideal

20Ω

40Ω

R3

R2

SOLUCIÓN 76: •

Encontrad el equivalente Thevenin visto desde los terminales de la fuente de corriente sinusoidal

Se cumple que VTH = 0 y IN = 0, puesto que en el circuito visto desde los terminales de la fuente de corriente sinusoidal no hay fuentes. Para averiguar el valor de la RTH se debe utilizar el método test, puesto que VTH = 0 y IN = 0: VTH 0 = = indeterminación IN 0 Por tanto, se coloca una fuente de corriente test de valor 1Aeff entre los terminales A-B, para averiguar así el valor de la RTH: V R TH = test I tes R TH =

150 Problemas de Teoría de Circuitos

206

4:1 A

60Ω

Itest

ideal

R1 1∠0º Aeff

20Ω

40Ω

R3

R2

B

Se realiza una transformación de fuentes para simplificar el análisis: 60Ω

+ -

4:1

60Veff

+

v2

v1

+

-

ideal

40Ω

i1 20Ω

R2

R3

i2

y se resuelve el circuito mediante el análisis de mallas haciendo uso de las relaciones de tensión y corriente en el transformador ideal: 60 = 60·i1 + v1 + 20·(i1 − i 2 ) 0 = 40·i 2 + 20·(i 2 − i1 ) + v 2 v1 N 1 = =4 v2 N2 i1 N 1 =− 2 =− i2 N1 4

i1 = 0.05A i2 = -0.2A v1 = 52V v2 = 13V

La tensión en la fuente test: Vtest = v1 + 20·(i1 − i 2 ) = 52 + 20·(0.05 + 0.2) = 57V y el valor de la RTH:

150 Problemas de Teoría de Circuitos

207

R TH =

Vtest 57 = = 57Ω I tes 1

Por tanto el equivalente Thevenin visto desde los terminales de la fuente de corriente sinusoidal es simplemente una resistencia se 57 Ω.

RTH = 57Ω

RTH

•

Encontrad la potencia media suministrada por la fuente de corriente sinusoidal. Es posible realizar el cálculo de la potencia generada por la fuente utilizando el equivalente Thevenin calculado en el apartado anterior: Vg

Ig

+

5∠0º

+ VR

RTH = 57Ω

VR = I· RTH = 5 · 57 = 285 V Vg = - VR = -285V r * S = Vg ·Ig = (−285)·5 = −1425VA Potencia generada por la fuente:

-

Pg = -1425 W

•

Encontrad la potencia media suministrada a la resistencia de 20Ω

Para averiguar la potencia consumida por la resistencia de 20Ω es necesario averiguar la corriente que pasa por ella resolviendo el circuito inicial: 60Ω

4:1

+ Ig

60Ω

ideal

R1 5∠0º Aeff

20Ω

R2

40Ω

300∠0º Veff

+

v2

v1

+

R3

Transformación de fuentes

150 Problemas de Teoría de Circuitos

4:1

ideal

40Ω

i1 20Ω

R2

R3

i2

208

300 = 60·i1 + v1 + 20·(i1 − i 2 ) 0 = 40·i 2 + 20·(i 2 − i1 ) + v 2 v1 N 1 = =4 v2 N2 i1 N 1 =− 2 =− i2 N1 4

i1 = 0.25A i2 = -1A v1 = 260V v2 = 65V

P20Ω=(i1-i2)2·20 = 31.25W

150 Problemas de Teoría de Circuitos

209

Febrero 2004 PROBLEMA 77:

Sobre el siguiente circuito, si f = 100Hz , hallad: • •

el equivalente Thevenin entre los terminales A y B la potencia que absorbería una resistencia de 100 Ω conectada entre A y B. 100Ω

1/(2π) H

A 80Veff

~

1/(2π) H

1/π

25/π μF

SOLUCIÓN 77:

Cálculo del equivalente Thévenin: VTH = (VAB)circuito abierto = VA -VB = VA ZR1

ZM A

80Veff

~

i1

ZL1

ZL2

VTH

i2 B

ZC

ω = 2πf =200π rad/s ZR1 = R1 = 100 ZL1 = jωL1 = 200j ZL2 = jωL2 = 100j ZM = jωM =100j 1 ZC = = −200 j jωC

i2 = 0 → VA = VZL2 = i2 · ZL2 + i1 · ZM = i1·100j ecuación de malla → 80 = i1· ZR1 + i1· ZL1 + i2· ZM + i1· ZC 80 = i1· 100 i1 = 0.8 A

VTH = 80j V

IN= (IAB)cortocircuito

150 Problemas de Teoría de Circuitos

210

ZR1

ZM

Por mallas:

A 80Veff

ZL1

i1

~

ZL2

IN

i2

80 = i1· ZR1 + i1· ZL1 + i2· ZM + i1· ZC 0 = i2· ZL2 + i1· ZM

B

IN = -i2 = 0.4(1+j)

ZC

Z TH =

VTH 80 j = = 100 + 100j IN 0.4(1 + j)

Equivalente Thevenin: L1

R1 100Ω + -

VTH = 80j → VTH (t) = 80 cos(100πt + π/2) V

1/2π H

ZTH = 100 + 100j → R = 100 Ω, L=1/2π H

VTH

Potencia que absorbería una resistencia de 100 Ω conectada entre A y B: R1 100Ω + -

VTH

L1

I=

1/2π H IN

100

VTH = 0.16 + 0.32 j ZTH + 100

P100Ω = /I/2 · R = 12.8W

150 Problemas de Teoría de Circuitos

211

Junio 2004 PROBLEMA 78:

Encuentra la potencia media consumida por la resistencia R2 en el circuito de la figura:

·

R1

+ -

Vg

L1

Datos:

·

M

L2

R2

Vg (t) = 100 cos 2000t V R1 = 4Ω, R2 = 16Ω L1 = 4mH, L2 = 5mH, M =2mH

SOLUCIÓN 78: Para averiguar la potencia media consumida por la resistencia R2 se calcula la corriente que pasa por ella analizando el circuito anterior por mallas:

R1

+ -

Vg

i1

·

M

L1

·

L2

R2 i2

ω = 2000 rad/s Vg = 100 ZL1 = jωL1 = 8j ZL2 = jωL2 = 10j ZM = jωM = 4j

Malla1: Vg = R 1·i1 + ZL1·i1 − ZM ·(i1 + i 2 ) + ZL 2 ·(i1 + i 2 ) − ZM ·i1 Malla2: 0 = ZL 2 ·(i1 + i 2 ) − ZM ·i1 + R 2 ·i 2 se sustituyen los valores de los componentes y se despeja la corriente i2: Malla1: 100 = 4·i1 + 8 j·i1 − 4 j·(i1 + i 2 ) + 10 j·(i1 + i 2 ) − 4 j·i1 Malla2: 0 = 10 j·(i1 + i 2 ) − 4 j·i1 + 16·i 2

i2 = -3A

La potencia media consumida por la resistencia R2:

PR2 =

1 2 1 2 i 2 ·R 2 = − 3 ·16 = 72W 2 2

150 Problemas de Teoría de Circuitos

212

PROBLEMAS PROPUESTOS

150 Problemas de Teoría de Circuitos

213

150 Problemas de Teoría de Circuitos

214

TEMA 1: ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN DC

150 Problemas de Teoría de Circuitos

215

150 Problemas de Teoría de Circuitos

216

79. Determina las corrientes en las resistencias: R3

R1 1kΩ 10 V

+ -

R5

1kΩ

V1

1kΩ

I1

R4

R2 1kΩ

10 mA

1kΩ

80. Calcula el voltaje en los nodos V1 y V2 mediante el análisis por nodos:

R4

V1

V2

2Ω 12Ω

Ig

R1

R2

6Ω

4A

3Ω

R3

81. Calcula el voltaje en los nodos V1 y V2 mediante el análisis por nodos (Ejemplo con fuente de tensión a tierra): V1

R2

V2

2Ω 4Ω

+ -

R1

Ig

Vg 1A

6V

R3

2Ω

82. Calcula el voltaje en los nodos V1 y V2 mediante el análisis por nodos (Ejemplo con fuente de tensión no a tierra): V1

Vg

V2

+ 4V

8A

3Ω

R1

Ig

150 Problemas de Teoría de Circuitos

1Ω

R2

Ih 4A

217

83. Calcula el voltaje en los nodos V1 y V2 mediante el análisis por nodos (Ejemplo con fuente de tensión + resistencia): V1

R1 1Ω

12 V

+ -

Vg

V2

R3 1Ω R2

8Ω

Ig

R4

1Ω

2A

84. Calcula el voltaje en los nodos V1 y V2 mediante el análisis por nodos (Ejemplo con fuentes dependientes): V1

4Ω

R1

+ _

2i1

V2

R2 Vg

2Ω Ig

1Ω

1A

R3

I1

85. Obtener la tensión VX: + 5A

16Ω

VX

R4

2Ω

R3

R2

-

20Ω

R1 80Ω

12A

86. Sobre el ejemplo con la fuente de tensión a tierra (prob.81), obtener: a. la intensidad cedida por la fuente Vg. b. la intensidad que circula por R3. c. la intensidad que circula por R1. 87. Sobre el ejemplo con la fuente de tensión no a tierra (prob.82), obtener la intensidad cedida por la fuente Vg. 88. Sobre el ejemplo con fuentes dependientes (prob.84), obtener la intensidad cedida por la fuente dependiente.

150 Problemas de Teoría de Circuitos

218

89. Calcula la corriente que circula por la resistencia R2 mediante el análisis por mallas:

6V

+ -

R1

R3

4Ω

4Ω

V1

R2

1Ω

12 V

6Ω

R4

V2

+ -

90. Calcula las corrientes de malla del siguiente circuito (Ejemplo con fuente de corriente): Vg + Ig

R1

3Ω

5A

6V 6Ω

R2

91. Calcula las corrientes de malla del siguiente circuito (Ejemplo con fuente de corriente común a 2 mallas): R2 2Ω Ig R1

3Ω

12 V

+ -

2A

V1

10Ω

3V

+ -

V2

R3

150 Problemas de Teoría de Circuitos

219

92. Obtener Vo mediante: a. Análisis por nodos. b. Análisis por mallas. V x

12kΩ

3000

R3

8kΩ

R4

R1 +

3kΩ

R2VX

4kΩ

6mA

-

93. Encuentra el valor de la corriente a través de la resistencia R3:

R2 10kΩ I1

R1 6mA

12kΩ

3kΩ

R3

R4

6kΩ

94. Halla Vo y el valor de la corriente a través de la resistencia R1: +

Vo

-

R3 6kΩ I2

I1

R1

3kΩ

1mA

12kΩ

R2

4mA

95. Halla Vo, V1 y V2 en el circuito siguiente: I1 2mA R1

V1

V2

6kΩ I2 4mA

3kΩ

R2

150 Problemas de Teoría de Circuitos

12kΩ

R5

Vo

2kΩ R3

2kΩ

R4

220

96. Halla el valor de la corriente que pasa por la resistencia R2: R2

12kΩ

4kΩ

V1

+ -

12V

R1

6kΩ

R3

+

6V

V2

97. Encuentra el valor de Vo:

6V

+

R1

R2

6kΩ

2kΩ

V1

2kΩ

R3

3V

+

V1

+

1kΩ

Vo

R4

-

98. Halla la resistencia equivalente desde los terminales indicados para cada una de las siguientes redes:

A 1kΩ

R2

R4

R6

2kΩ

2kΩ

2kΩ

1kΩ

R1

1kΩ

R3

R5

B

A

R1

R4

3kΩ

1kΩ

1kΩ

R2

3kΩ

R3

2kΩ

R5

1kΩ

R6

2kΩ

R7

B

150 Problemas de Teoría de Circuitos

221

99. Halla la resistencia equivalente desde los terminales indicados para cada una de las siguientes redes: a)

R1

R2

6Ω

3Ω

18Ω

R3

6Ω

10Ω

R4

R5

b) R1

R2

12kΩ

12kΩ

18kΩ

R3

6kΩ

5kΩ

100.

R4

R5

6kΩ

R6

¿Qué tensión marcará un voltímetro conectado entre los nodos A y B?

120 V

20kΩ

-240V

R1

40kΩ

R3

R2

A

B

30kΩ 60kΩ

R7

30kΩ

R4

-240V

150 Problemas de Teoría de Circuitos

60kΩ

R5

60kΩ

R6

480V

222

101.

Calcular Vo utilizando transformación de fuentes: V1

R1

- +

2kΩ 1kΩ

+

3V

I1

R2

6kΩ

2mA

R3

Vo -

Determina las potencias consumidas y generadas por cada componente 102. del siguiente circuito:

10 V

R1

R3

1kΩ

1kΩ

V1

+ -

1kΩ

R2 30 V

V2

+ -

Determina las potencias consumidas y generadas por cada componente 103. del siguiente circuito: R1

R3

R7

1kΩ

1kΩ

1kΩ

I1

1kΩ

10mA

1kΩ

R2

R4 20 V

10 V

+ -

V1

1kΩ

+ -

V2

R5 R6 1kΩ

Utilizad el teorema de superposición para encontrar Vo en el siguiente 104. circuito: +

12 V

+ -

V1

Vo

R1

R3

3kΩ

8kΩ

6kΩ

150 Problemas de Teoría de Circuitos

R2

2mA

-

I1

2kΩ

R4

223

Determinad los circuitos equivalentes de Thevenin y Norton desde los 105. terminales AB del circuito siguiente:

10 V

R1

R3

6kΩ

2kΩ

V1

+ -

6kΩ

A

CARGA

R2

B

Hallad Vo, para ello encontrad el equivalente de Thevenin visto desde los 106. terminales AB: A

R1

R3

3kΩ

2kΩ

R4 +

12 V

V1

+ -

6kΩ

4kΩ I1

R2

8kΩ

R5 Vo

2mA B

Usad el teorema de Thevenin para encontrar el valor de Vo en el 107. siguiente circuito: +

12 V

108. a. b. c. d. e.

+ -

Vo

-

R1

R3

3kΩ

8kΩ

V1

6kΩ

I1

R2

2kΩ

R4

2mA

Calculad el valor de la corriente que circula por la resistencia R2: aplicando el teorema de Thevenin aplicando el teorema de Norton aplicando el teorema de superposición aplicando el análisis por mallas aplicando el análisis por nodos 1Ω

R1

10 V

1Ω + -

R3 R2

V1

I1 1Ω 10A

- +

V2

150 Problemas de Teoría de Circuitos

10 V

224

109. Calculad los equivalentes de Thevenin y Norton del siguiente circuito con respecto a los terminales AB: R1 A

4Ω

30V

+ -

V1

2Ω

I1

R2

3A B

Calculad el valor de R en el siguiente circuito para que la intensidad a su 110. través tome los siguientes valores: a. 1A b. 0.5A

4Ω

28V

+ -

12Ω I1

V1

I

1A

R

3Ω 36V

+ -

V2

Calculad el valor de R para que la resistencia R1 del circuito absorba 111. máxima potencia. ¿Cuál es el valor de esa potencia? 2Ω

20A

1Ω

150 Problemas de Teoría de Circuitos

R

1Ω

R1

225

112. Calculad la potencia generada o consumida por la fuente real de tensión conectada entre los terminales A y B del siguiente circuito: 3Ω

3A

A

6V + -

3Ω

1A 5Ω

2Ω 2Ω

R1

4Ω

+ -

9V

+ -

6V

2A

B

Cuando el valor de la resistencia R1 del circuito siguiente varía de 10Ω a 113. 16Ω, la intensidad que la recorre varía de 4A a 3A. Calculad el valor de la resistencia R. R

+ -

Vg

Ig

12Ω

R1

Una batería de automóvil presenta entre sus terminales, a circuito abierto, 114. una tensión de 12.2V. Si se pone unos instantes en cortocircuito, suministra 122A. a. Calculad la tensión en bornes cuando suministra una intensidad de 10A. b. Calculad la intensidad que suministra si la tensión en bornes es de 13.2V. Se dispone de N fuentes reales de tensión de 10V, las cuales poseen 1Ω 115. de resistencia interna cada una. Conectadas en paralelo y aplicadas a una carga resistiva de 6 Ω, hacen que esta carga consuma una potencia de P W. Conectadas en serie y aplicadas a la misma carga de 6 Ω, hacen que ahora consuma una potencia P1 = 6.25 · P W. Calcula : a. El número de fuentes. b. La potencia disipada en cada caso con el conjunto de fuentes. 116.

Encontrad la corriente que circula por R2: R2 3kΩ 2kΩ

R1 3V

150 Problemas de Teoría de Circuitos

+ -

V1

6kΩ

2IX R3

IX

226

117.

Calculad las corrientes que circulan por las resistencias R3 y R4: R1 12Ω

18 V

V1

+ -

+

6Ω

R2

VX

0.5VX

10Ω

R3

5Ω

R4

-

118.

Encontrad Vo en el circuito siguiente con el teorema de Thevenin: 4kΩ +

+ VX -

12 V

+ -

V1

4kΩ

6kΩ Vo

+

Vx/2

-

Encontrad el valor de RL para la máxima transferencia de potencia. ¿Cuál 119. es el valor de la potencia consumida por RL? 2IX - +

1kΩ 3kΩ

4kΩ IX

2kΩ

4mA

RL

Encontrad V1 y Vg en el circuito siguiente, donde Vo = 5V. (Sugerencia: 120. comenzar en el extremo derecho del circuito y trabajad hacia Vg).

I1 60Ω + -

Vg

260Ω

+

+

25I1

20Ω

V1 -

150 Problemas de Teoría de Circuitos

I2

80Ω

40I2

40Ω

Vo

10Ω

-

227

TEMA 2: ANÁLISIS TRANSITORIO

150 Problemas de Teoría de Circuitos

229

121. Obtener la tensión VC(t) en el condensador si se aplica una intensidad como la mostrada en la gráfica siguiente: I(t) (A) I(t) + VC(t) -

2F

3

3

0 -1

4

5

t (s)

1

Obtener la tensión VC(t) en el condensador si por él circula una 122. intensidad como la mostrada en la gráfica siguiente: I(t)

I(t) (A)

+ VC(t) -

2F

1 t (s) 0

123.

1

2

3

En el siguiente circuito, calculad i(t) para t>0: K1

100 V

+ -

V1

50Ω R1 10Ω

• • • •

i(t)

R2

K2

L1 1H

K1 lleva mucho tiempo abierto K2 lleva mucho tiempo cerrado K1 se cierra en t = 0s K2 se abre en t = 0.2s

150 Problemas de Teoría de Circuitos

231

124.

En el siguiente circuito, calculad i(t) para t>0:

25 V

R1

R2

10Ω

10Ω

V1

+ -

K V2 + -

• • •

L1 0.5H

i(t) R3 5V

10Ω

K lleva mucho tiempo abierto K se cierra en t = 0s K se vuelve a abrir en t = 0.02s

125.

En el siguiente circuito, calculad V(t) para t>0: R4

K 2 1Ω

+

0.25Ω

R1

R3

0.75Ω

1 3Ω

R2 V(t)

20 V

+ -

C1

V1 10 V

V2

+ -

0.5F -

• • •

K lleva mucho tiempo en la posición 1 K pasa a la posición 2 en t = 0s K vuelve a la posición 1 en t = 2s

126.

En el siguiente circuito: 1 K 2

R1 1MΩ

30 V

• • • • •

+ -

V1

+ v(t) -

C1 1μF

R2 2MΩ

10 V

+ -

V2

K lleva mucho tiempo en la posición intermedia En t = 0s K pasa a la posición 1 Cuando v(t) llega a 20V, K pasa a la posición 2 Cuando v(t) llega a 15V, K vuelve a la posición inicial Calculad el tiempo total transcurrido

150 Problemas de Teoría de Circuitos

232

127. Para el circuito de la figura, obtener VR(t) para t>0 si la tensión de la fuente Vg(t) se comporta de la forma siguiente:

2F

R1

Vg(t)

C1 +

1Ω

1V t

+ -

L1

Vg

1Ω

2H

R2

VR -

Datos: iL(0)=0.5 A y VC(0)=1.5V El interruptor K del circuito lleva un tiempo infinito cerrado. En t = 0s se 128. abre dicho interruptor. Calculad i(t). ¿De qué tipo de respuesta se trata?

I1

• • •

0.25H

0.5Ω

10A

129.

i(t)

0.25F K

En el siguiente circuito, calculad i(t) para t>0:

K lleva mucho tiempo cerrado K se abre en el instante t = 0 Datos: a. C = 1F b. El circuito es críticamente amortiguado. K

L 3Ω

20 V

+ -

V1

2Ω

C

i(t)

El interruptor está abierto inicialmente, pero en t=0 se cierra. Calcular la 130. tensión en el condensador para t>0: 3kΩ

10 V

+ -

V1

R1

I1

150 Problemas de Teoría de Circuitos

+ _

2⋅VC(t)

0.5⋅I1

C1 1Ω

R2 1F

233

TEMA 3: ANÁLISIS EN REGIMEN ESTACIONARIO SENOIDAL

150 Problemas de Teoría de Circuitos

235

Determina la corriente I(t) proporcionada por el generador de valor Vg = 131. cos(2·t) (V). 1H

Vg

~

2Ω

+

0.25F 2Ω

I(t)

132.

Determina el potencial VA(t):

Datos: ω = 1 rad/s V1 = cos(ω·t) (V). V2 = cos(ω·t + π/2) (V). 1H

V1

~

+

1H

A

1Ω

1Ω V2

1Ω

~

+

1F

133.

Calcular la potencia real y reactiva absorbidas por la impedancia Z.

Datos: Z = 4 + 3j Ω ω = 1000 rad/s V1 = 60·cos(ω·t) (V). V2 = 10·cos(ω·t – 90º) (V). V3 = 20·cos(ω·t + 90º) (V).

50μF

30mH

Z 40Ω

V1

150 Problemas de Teoría de Circuitos

10mH

50mH

10Ω

50Ω

~

+

V2

~

+

V3

~

+

237

134.

Calcular I(t):

-jΩ 2Ω

Datos: V1 = 14,1 · cos(50·t - π/3) (V). V2 = 28,2 · cos(50·t - π/2) (V).

4Ω

6Ω 3Ω

I(t) V1

2jΩ

~

3jΩ

+

135. B:

V2

~ +

Calcular el equivalente de Thevenin del circuito entre los terminales A y

4Ω

3Ω

2+jΩ

-4jΩ

2jΩ

2jΩ

A

B

+ 50V

~

3kΩ

R1

Determinar el valor de la fuente de tensión E sabiendo que la intensidad 136. entre los puntos A y B vale cero. V1 = 10·cos(ω·t + 30º) (V). -2jΩ

3Ω

5Ω

V1

~

+

150 Problemas de Teoría de Circuitos

A

5jΩ

5Ω

B

2Ω

E

~

+

-2jΩ

238

137. La fuente E1 no cede ni absorbe potencia real ni potencia reactiva. Calcular el valor de la fuente. Datos: E = 20 ⎣0 V Z1 = 4j Ω Z2 = 4j Ω R = 4Ω Z3 = -4j Ω

Z1

Z2

I1 +

∼

I2 IR

E

R1 Z3

I

R

∼

+

E1

Calcular la tensión en el condensador, la tensión en la bobina, la 138. intensidad I. Dibujar el diagrama fasorial de tensiones e intensidades. Datos: I1 = 25A I2 = 15A VR1 = 175 V VR2 = 375 V f = 50 Hz E = 442 ⎣0 V

I1 R1

C L

R2

I2

I

+

139. B:

∼ E

Calcular el equivalente de Thevenin del circuito entre los terminales A y

Datos:

0.2H

Vg = 9·cos(10·t ) (V). Ig = 9·cos(10·t -π/3) (A).

Vg

+

1Ω

0.1F

~

A

Ig

B

140. • • •

A una red de 220 Veff y 50 Hz se conectan en paralelo:

un motor de 2 kW y factor de potencia 0.8 inductivo una resistencia de calefacción de 1kW un banco de condensadores que eleva el factor de potencia del conjunto a 0.999 inductivo

iRED

+ 220Vef (50Hz) _

iM M

iR R

C

Calcular: • intensidad cedida por la red • intensidad en cada carga • capacidad del banco de condensadores

150 Problemas de Teoría de Circuitos

iC

239

Una industria conecta a una red de 3800 Veff a 50 Hz las siguientes 141. cargas: • •

40 kW en resistencias de calefacción 180 kVA con factor de potencia 0.7 inductivo en motores eléctricos.

Calcular: • • •

corriente que solicita la industria a la red factor de potencia de la instalación capacidad de la batería de condensadores que sería necesario conectar en paralelo para subir el factor de potencia a 0.9 inductivo y valor de la intensidad solicitada a la red en esta situación. iRED

+ 3800V

+

Calefacción

Motores

_

150 Problemas de Teoría de Circuitos

240

TEMA 4: RESONANCIA

150 Problemas de Teoría de Circuitos

241

142.

Del circuito de la figura se conocen los siguientes datos:

ωo = 10 krad/s VC = 1kV en resonancia 1Ω

L

Se pide: • valor de L y de C • factor de calidad del circuito

C

20V + -

143. • •

Sobre el circuito de la figura se pide:

ancho de banda β R a conectar en paralelo con el condensador para duplicar β

i

100kΩ

1mH

100kΩ

1nF i + -

144.

100kΩ

0,1V

En el circuito de la figura, calcular RL, L y C sabiendo:

•

ωo = 106 rad/s

•

a la frecuencia de resonancia , la bobina tiene un factor de calidad 50 y unas pérdidas de 62,5 mW

10kΩ

+ -

50V

RL

C

L

150 Problemas de Teoría de Circuitos

243

145.

En el circuito de la figura, se conoce:

fo = 1 MHz ω = 15 kHz QL=50 (factor de calidad de la bobina) se pide: • •

obtener R, L y RL calcular el desfase de VC con respecto a I para f1=fo+β/2 y f2=fo-β/2

I

R

RL

+ VC -

100pF L

150 Problemas de Teoría de Circuitos

244

TEMA 5: ACOPLAMIENTO MAGNÉTICO

150 Problemas de Teoría de Circuitos

245

146. • •

Sobre el siguiente circuito, se pide:

Calcular la impedancia Z que, colocada entre A y B, absorbe la máxima potencia. Calcular el valor de dicha potencia.

Datos:

V1 = 5 2 cos(1000 ⋅ t ) V V 2 = 10 2sen (1000 ⋅ t ) V 1Ω

2mH

A

B

3mH V1

147. • •

+ -

+ -

V2

Sobre el siguiente circuito, si f = 50Hz , hallad:

el equivalente Thevenin entre los terminales A y B la potencia que absorbería una resistencia de 25 Ω conectada entre A y B. 100Ω

1/(2π) H

A 80Veff

~

1/(2π) H

B 100/π μF

148.

Analizad el siguiente circuito y realizad un balance de potencias. I g = 2sen (1000 ⋅ t ) A

Datos:

L1

R2

Vg = 2 cos(1000 ⋅ t ) V R 1 = R 2 = 1Ω

M

L1 = 2mH; L 2 = M = 1mH Ig

150 Problemas de Teoría de Circuitos

L2

+ -

Vg

R1

247

Sobre el siguiente circuito, se pide:

149. • •

Calcular la impedancia Z que, colocada entre A y B, absorbe la máxima potencia. Calcular el valor de dicha potencia.

3mH

2Ω

2Ω

250μF

A 100 Veff ω = 1000 rad/s

2mH + -

3mH

B 500μF

150. • •

Sobre el siguiente circuito, se pide: Calcular el valor de R para que la impedancia conectada entre A y B, consuma máxima potencia. Calcular el valor de esa potencia. 1Ω

20mH A

30mH V1

Datos:

+ -

R+j Ω

50mH

B

+ -

V2

V1 = 5 2 cos(100 ⋅ t ) V π V2 = 10 2 cos(100 ⋅ t + ) V 2

150 Problemas de Teoría de Circuitos

248

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

150 Problemas de Teoría de Circuitos

249

SOLUCIONES 79. IR1 = 4 mA; IR2 = 6 mA; IR3 = -2 mA; IR4 = 8 mA; IR5 = 10 mA. 80. V1 = 12V; V2 = 6V. 81. V1 = 6V; V2 = 4V. 82. V1 = 6V; V2 = 2V. 83. V1 = 8V; V2 = 5V. 84. V1 = 4V; V2 = 2V. 85. VX = 48V. 86. a. I = 2.5A. b. IR3 = 2A. c. IR1 = 1.5A. 87. I = 6A. 88. I = 2A. 89. IR2 = 2A. I2 = -1A. 90. I1 = 5A I2 I1 91. I1 = 1A

I1

I2 = -3A.

I2

92. Vo = 24V. 93. IR3 = 1mA. 94. Vo = 102/7 V = 14.57V; IR1 = 10/7 mA = 1.428 mA. 95. Vo = 0V; V1 = -12V; V2 = 0V. 96. IR2 = 1.25 mA. 97. Vo = -5/6 V = -0.8333V. 98. a. Req = 30/41 kΩ. b. Req = 11/3 kΩ. b)22kΩ. 99. a) 22Ω. VAB = -28.5V. 100. Vo = 6V. 101. Pconsumidas: PR1 = 100/9 mW; PR2 = 1600/9mW; PR3 = 2500/9mW; 102. PV1 = 100/3mW (V1 es pasivo). Pgeneradas: PV2 = -1500/3mW. Pconsumidas: PR1 = 100 mW; PR2 = 400/9mW; PR3 = 100/9mW; 103. PR4 = 400/9mW; PR5 = 400/9mW; PR6 = 100/9mW; PR7 = 100/9mW; PV1 = 200/3mW (V1 es pasivo). Pgeneradas: PV2 = -200/3mW; PI1 = -800/3mW; 104. 105. 106. 107. 108. 109.

Vo = 8V. VTH = 5V, RTH = 5kΩ; IN = 1mA, RN = 5kΩ. Vo = 8V. Vo = 8V. I = 10A. VTH = 42/3 V, RTH = 4/3 Ω; IN = 21/2 A, RN = 4/3 Ω.

150 Problemas de Teoría de Circuitos

251

110. a) 30Ω b) 63Ω. R = 1.5Ω. 111. Presistencia(2Ω) = 72W; Pgenerador(9V)=54W (pasivo). 112. R = 24Ω. 113. a) V = 11.2V. b) I = -10 A. 114. a) Hay 4 fuentes b) En paralelo disipan 15.36W en total y en serie 115. disipan 96W en total. I = 1mA. 116. IR3 = 1A; IR4= 2A. 117. Vo = 36/13 V. 118. RL = 6kΩ; PRL= 8/3 mW 119. V1 = -1.25V; Vg = 1V. 120. Tensión en el condensador: 121. intervalo de t tensión tensión al final del intervalo 0 0V -∞