Libro 1 Anual Uni Geometría

TRIÁNGULOS : TEOREMAS FUNDAMENTALES Y CLASIFICACIÓN Sean A, B y C tres puntos cualesquiera no alineados, entonces la reunión de los segmentos , y se llama triángulo ABC, y se indica con ÄABC. Los puntos A, B y C se llaman vértices, y los segmentos , y se llaman lados. Todo triángulo ABC determina tres ángulos: ËBAC, ËABC y ËACB. a éstos los llamamos los ángulos del ÄABC. Si está claro a qué triángulo nos referimos, frecuentemente podemos designarlos por ËA, ËB y ËC.

03.

Para todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos externos, uno en cada vértice, es igual a 360.

x + y + z = 360 04.

En todo triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.

Notación: Triángulo ABC: ÄABC ÄABC = a > b ] á >â

Elementos: Vértices: A, B y C Lados: , y Ángulos: ËA; ËB y ËC Ángulos externos: ËKAB, ËTBC y ËNCA

05.

En todo triángulo se cumple que un lado es mayor que la diferencia pero menor que la suma de los otros dos.

TEOREMAS FUNDAMENTALES: 01.

En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos es igual a 180. Sea a > b > c b-c 90, calcular el mínimo valor entero de AC A) 4 D) 7

10.

B) 5 E) 8

C) 6

Calcular “x” si a + b = 6

14.

A) 1 D) 6 11.

B) 4 E) 3

C) 5

En la figura. ¿Qué punto notable es “K” del ÄABC, si los triángulo AKD y BKE son equiláteros?

En la figura, calcular “x”

A) 40 D) 30

B) 25 E) 80

C) 50

15.

Dado un triángulo ABC, recto en B. Sea “I” el incentro y “E” el excentro relativo a , tal que AC = IE. Calcular la mËA A) 30 B) 45 C) 37 D) 60 E) 53

16.

En la figura “I” es incentro del triángulo ABC

A) Incentro B) Circuncentro C) Baricentro D) Ortocentro E) Excentro 12.

Del gráfico mostrado, calcular “è”

Calcular “x” A) 20 D) 30 17. A) 15 D) 18 13.

B) 16 E) 22

B)60 E) 40

C) 45

Del gráfico adjunto, calcular “x”

C) 20

En la figura BC = CD. Calcular “x” :

A) 30 D) 37

18. A) 10 D) 30

B) 20 C) 15 E) 22,5

B) 45 E) 53

C) 60

En un triángulo ABC, se trazan las bisectrices interiores (P en en

;Q

); por “P” se traza una paralela a

intersecando a la prolongación de

; en

20.

“T” y a en “V”. Calcular BV, si TV = 4 y AP + PV = 24 A) 14 B) 13 C) 10 D) 8 E) 6 19.

En la figura, calcular : á + â + è

Calcular “è”

A) 140 B) 110 D) 120 E) 70

A) 135 B) 120 D) 180 E) 220

C) 150

A) 4 D) 12

C) 8

C) 125

TAREA 01.

Si : “I” es incentro del ÄABC, calcular “x”

04.

B) 6 E) 16

Dado un triángulo ABC, en el cual, AB = 11 y BC = 16. Por el incentro de dicho triángulo se traza la paralela a que interseca a en P y a en Q. Calcular el perímetro del triángulo PBQ A) 18 B) 21 C) 25 D) 27 E) 33

A) 100 B) 105 D) 115 E) 120 02.

C) 110

05.

Calcular “x”

En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) mËBAC = 70, se ubica el punto interior “P” de modo que mËBAP = 40 y mËPCB = 20. Calcular mËPBC A) 15 D) 20

06.

A) 40 D) 30 03.

B) 25 E) 80

C) 50

del ËHBC(“E” 0

C) 10

Se tiene un triángulo ABC, AB = BC, sobre se toma un punto “D” tal que AB = DC y en la prolongación de se toma el punto “E” tal que BC = BE. Si la mËDAE = 40, calcular la mËC

En un triángulo rectángulo ABC, recto en “B”, mËC = 26. Se traza la altura y la bisectriz

B) 18 E) 25

), sobre la

prolongación de se toma el punto “D” tal que : mËBDH = 29. Calcular “DE”, si AB AH = 12

A) 10 D) 40 07.

B) 20 E) 50

C) 30

De la figura, calcular “x + y”

10.

A) 60 B) 120 D) 135 E) 100 08.

C) 90 A) 30 D) 25

B) 36 E) 40

C) 45

Sean ceviana de un triángulo isósceles ABC (AB = BC). Calcular la mËAEF, si mËEAC = 60, mËFCA = 50, mËECF = 30 y mËEAB = 20 A) 10 D) 40

09.

Del gráfico adjunto, calcular “x” si : mËDOR = 2(mËRON)

B) 20 E) 15

C) 30

Calcular “è”

A) 36 D) 35

B) 37 E) 25

C) 20

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS CONGRUENCIA DE SEGMENTOS Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud. Así, por ejemplo: Si AB = CD, entonces se denota:

es congruente con

y

En cada una de las seis líneas anteriores, la congruencia de la izquierda significa lo mismo que la igualdad de la derecha. Podemos por tanto, utilizar una u otra notación según nos convenga. En dos triángulos congruentes, a lados congruentes se le oponen ángulos congruentes y recíprocamente, a ángulos congruentes se le oponen lados congruentes.

CONGRUENCIA DE ÁNGULOS Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida. Así, por ejemplo: Si mËAOB = mËMNL, entonces el ËAOB es congruente con el ËMNL y se denota: ËAOB –ËMNL

CASOS O CRITERIOS DE CONGRUENCIA Para reconocer si dos triángulos son congruentes, no necesariamente los seis pares de elementos correspondientes deben de ser congruentes, sino simplemente tres pares de ellos, entre los que por lo menos debe figurar un par de lados correspondientes, esto implica la congruencia de los restantes. De acuerdo con la naturaleza de los elementos congruentes, resultan los siguientes casos de congruencia de triángulos : PRIMER CASO : Dos triángulos son congruentes si tienen un lado y los ángulos adyacentes respectivamente congruentes (postulado ALA)

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Definición : Dos triángulos ABC y DEF son congruentes si sus lados y ángulos son respectivamente congruentes.

Para indicar que el “triángulo ABC es congruente al triángulo DEF”; se escribe : ÄABC – ÄDEF

SEGUNDO CASO : Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente congruentes (postulado LAL)

TERCER CASO : Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes (postulado LLL)

Esta sola expresión nos dice a la vez seis cosas, a saber: ,

o

AB = DE

,

o

BC = EF

,

o

AC = DF

ËA – ËD ,

o

mËA = mËD

ËB – ËE ,

o

mËB = mËE

ËC – ËF ,

o

mËC = mËF

CUARTO CASO : Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de dichos lados respectivamente congruentes.

En la figura sólo si b > a, se podrá afirmar que los triángulos son congruentes. OBSERVACIÓN: Si dos triángulos rectángulos tienen congruentes un cateto y la hipotenusa entonces serán congruentes to (4 caso) Si

es la bisectriz del ángulo AOB, P0

,

Y LA DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PUNTO La distancia entre una recta y un punto fuera de ella es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto a la recta. La distancia entre una recta y un punto de la misma se define como cero. Así en la figura P es un punto exterior a la recta L y

Y TEOREMA DE LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos de dicho segmento

, luego PQ es la distancia entre la recta L y el punto “P”

La distancia entre dos puntos es la longitud del segmento de recta que los une. CONSECUENCIAS DE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS TEOREMA DE LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO Todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo

Si

es mediatriz de

yP0

Y RECOMENDACIÓN : Cada vez que en un problema se observe una perpendicular a la bisectriz de un ángulo, se debe completar un triángulo isósceles.

TEOREMA DE LA MENOR MEDIANA EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

En la figura se prolonga isósceles PQR, luego :

para formar el triángulo

En todo triángulo rectángulo la mediana relativa a la hipotenusa mide igual que la mitad de dicha hipotenusa

PQ = PR y QH = HR

TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS Si por el punto medio de uno de los lados de un triángulo, se traza una paralela a cualquiera de los otros dos lados, entonces dicha paralela intersecará al tercer lado en su punto medio. Si

es mediana :

Y

NOTA : Observe que los triángulos AMB y BMC son isósceles. 1.

Si “M” es punto medio de

Ángulo formado por la altura y la mediana relativas a la hipotenusa, en un triángulo rectángulo

y

Y NOTA : A

se le denomina la base media

OBSERVACIÓN :

x=á-â 2.

Propiedad en el triángulo rectángulo de 15 y 75

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. El ÄABC es equilátero y AM=NB. Calcular “è”

A) 10 D) 20

B) 15 E) 12

C) 18 A) 2 D) 1

02. En la figura: calcular “á”

B) 4 E) 5

C) 3

05. De la figura, calcular AB si : AC - PQ = 8

A) 10 D) 20

B) 15 E) 25

C) 18

03. En un triángulo ABC; mËA=20; mËC=10. Calcular la medida de la distancia del vértice “C” a la bisectriz interior del ángulo A. (AB=2) A) 2

B) 3

D) 1

E) 2

C) 3

04. En la figura : AD = 1; BD = 4. Calcular : CD

A) 4 D) 8

B) 6 E) 12

C) 10

06. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) la mediatriz de y la bisectriz del ángulo interior A se intersecan en un punto de . Calcular mËB A) 18 B) 22,5 C) 30 D) 36 E) 45 07. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B la mediatriz de interseca a en D tal que DC = 2(BD). Calcular la mËC A) 25 B) 26,5 C) 30 D) 45 E) 37

08. En un triangulo escaleno ABC, se traza la mediana , luego en el triángulo BMC se traza la mediana de , tal que A) 6 D) 10

, tal que BN = 9. Sea F y un punto B) 4 E) 9

. Calcular MF. C) 8

09. En un triángulo ABC se traza la mediana tal que mËMBC = x, mË ABM = 2x. Si BC = 2BM, calcular el valor de “x” A) 18 B) 22,5 C) 25 D) 30 E) 36

A) 10 D) 25

B) 15 E) 30

C) 20

15. En el gráfico, calcular BD, si CD = 12

10. Dado el triángulo isósceles ABC(AB =BC). Sea P un punto que pertenece a tal que mËPBC = 90 y PC = 2(AP). Calcular la mËC A) 30 B) 26,5 C) 45 D) 10 E) 7 11. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se construye exteriormente el triángulo rectángulo isósceles DAC recto en A luego se traza . Calcular DE si BC = 15 y EC = 4 A) 19 B) 26 C) 20 D) 24 E) 18 12. Calcular mËBCD, si AC = 2BD

A) 4 D) 8

B) 6 E) 12

C) 6

16. En un triángulo ABC recto en “B” la bisectriz exterior del ËA y la prolongación de la altura se intersectan en “F” tal que : AB + AH = 4; HF = 3. Calcular BH A) 2 B) 2,5 C) 1,5 D) 0,5 E) 1 17. Si “O” es circuncentro del ÄABC, calcular “á”

A) 30 D) 37

B) 45 E) 53

C) 60

13. En la figura AD = 2DB. Calcular mËFDE

A) 30 D) 60

B) 45 E) 75

C) 15

14. En el triángulo ABC; AP = PQ, MC = RM y AB = QC. Calcular “x” A) 20 D) 50

B) 30 E) 25

C) 40

18. En la figura, calcular “è”, si CE = 2HC

A) 10 D) 8

B) 12 E) 18

C) 15

19. En un triángulo ABC: mËB = 2mËA; se traza perpendicular a la bisectriz interior del ËB. Si BH = 3, calcular AC A) 6 B) 3 C) 4 D) 5 E) 4,5 20. Se tiene un triángulo ABC, tal que AB = 4; BC = 8 y AC = 10, desde el vértice C se trazan perpendiculares a la bisectriz interior de A y exterior de B. Calcular la medida del segmento que une los pies de estas perpendiculares A) 3 B) 2 C) 1 D) 1,5 E) 0,5

TAREA 01. En la figura : AB = AC; AD = DC. Calcular “x”, si : mËBAC = 2mËDBC

04. En un triángulo ABC, AB = 2 y BC = 9. Calcular el mayor valor entero de la mediana A) 4 D) 3

B) 5 E) 7

05. En la figura BD = 6

A) 20 D) 37

B) 25 E) 45

. Calcular EF

C) 30

02. En un triángulo ABC (mËB = 90) se sabe mËC = 24. Sobre se ubica el punto “P”, tal que AB = PC, la mediatriz de y de en “E”. Calcular mËACE. A) 24 B) 36 D) 33 E) 23

C) 6

se intersectan C) 34

A) 6 D) 6

B) 4 E) 4

C) 3

06. Si : BM = MC; AB = 2DM, calcular “è”

03. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la bisectriz exterior trazada del vértice A intersectan a la perpendicular a la hipotenusa trazada por el vértice “B” en el punto “E”. Si dicho punto dista 3 de y 4 de , calcular BE A) 3 D) 6

B) 4 E) 7

C) 5

A) 10

B) 12

C) 15

D) 18

E) 20

08. Calcular “á”, si : 2AB = DC

07. Calcular x”, si AC = BD y BC = CD

A) 20 D) 18 A) 45 D) 37

B) 22,5 E) 53

C) 60

B) 15 E) 17,5

C) 22,5

09. Calcular “x”, si : AP = 4; PB = 3 y PC = 5

A) 135 D) 150

B) 120 E) 165

C) 105

10. Un triángulo ABC recto en B; I es el incentro “O” es el circuncentro; mËAIO = 90. Calcular mËBAC A) 37 B) 60 C) 30 D) 45 E) 53

PROPIEDADES ADICIONALES DE CONGRUENCIA 1.

PARA TODO TRIÁNGULO ISÓSCELES ABC (AB = BC)

AH = PM + PN

Si : AB = BC = AC “P” es un punto exterior al triángulo ABC

0

BH = PQ + PS - PR

AH = PM - PN Ejemplo : 2.

PROPIEDAD EN EL TRIANGULO EQUILÁTERO

c

Si : AB = BC = AC; PQ = 2; PR = 3; PS = 4 2h=3+4-2 ˆh=5

3.

SEGMENTO QUE UNE LOS PIES DE LAS PERPENDICULARES TRAZADAS DE UN VÉRTICE A LAS BISECTRICES EXTERIORES

1er. Caso Si : AB = BC = AC “P” es un punto interior al triángulo ABC

0

BH = PM + PN + PQ

Ejemplo : c

Si : AB = BC = AC; PQ = 1; PR = 3; PS = 2 0h=1+2+3 ˆh=6

2

Ejemplo : 2do. Caso

c

Si : AB = 13; BC = 15; AC = 14

2 PQ = ˆ PQ = 21

4.

PROPIEDAD EN EL CUADRILÁTERO NO CONVEXO 1er. Caso Si : AB = BC = CD y mË BCD = 2(mËBAD)

2

x = 120 - 2è

Ejemplo : c Si : AB = BC = CD y mËBCD = 2mËBAD = 20 2 x = 120 - 20 ˆ x = 100

2do. Caso Si : BC = CD = AD y mËBCD = 2(mËBAC)

2

x = 120 - è

Ejemplo : c Si : BC = CD = AD y mËBCD = 2mËBAD = 20

Y x = 120 - 10 ˆ x = 110

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Calcular el segmento que une los puntos medios de , si : AM = CN = 6 y á + è = 30

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

05. De la figura : AB = BC. Si : PQ = 8 y QC = 3, calcular AP

C) 3

02. En un triángulo ÄABC, la bisectriz exterior del ËB y la mediatriz de se intersecan en “O” por el cual se traza (H en si BH = 3 y BC = 8 A) 4 B) 5 D) 7 E) 4,5

). Calcular AB, C) 6

A) 11 D) 5

B) 7 E) 6

C) 4

03. En el gráfico adjunto: AC = BD. Calcular “á” 06. De la figura, calcular el máximo valor entero de PN, si HQ = 2 y MN = 12

A) 12 D) 18

B) 10 E) 9

C) 15

04. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior tal que AP = BC y mËABC = mËBAP + 2(mËPAC). Si BP = 3 y PC = 5, calcular AB A) 6 D) 8

B) 10 E) 12

C) 16

A) 14 D) 18

B) 10 E) 19

C) 16

07. De la figura, calcular DC, si BE = EC, AB = 6; AC =8

A) 4 D) 10 A) 2 D) 1/2

B) 3 E) 1

B) 6 E) 5

C) 8

C) 4

08. En la figura: AB = BC y AC = AD. Calcular “è”

13. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, en se ubica el punto T y en el punto medio M. Si TC = 2(AB) + BT. Calcular mËMTC A) 30 B) 53/2 C) 60 D) 53 E) 15 14. Interiormente a un triángulo equilátero ABC se ubica el punto P tal que mËAPC = 90, luego se trazan exteriormente al triángulo APC los triángulos equiláteros APQ y PCE. Calcular la mËQBE A) 120 B) 100 C) 140 D) 150 E) 90

A) 15 D) 45

B) 22,5 E) 18,5

C) 30

15. En la figura : AB = BC; AH = HC y HM = ML. Calcular “x”

09. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, se ubica en los puntos “E” y “F”, tal que la mËBAE = mËEAF = mËFAC. Se traza , tal que EC = 2PC. Calcular la mËBCA A) 18 B) 24 C) 30 D) 36 E) 45 10. En un triángulo ABC, se traza la altura mediana

y la

. Calcular la mËBPC, si BH = CM y = {P}

A) 140 D) 100

B) 160 E) 120

C) 80

11. En la figura, AP = QC; QM = 1; CH = 6 y AB = BC. Calcular PB

A) 90 D) 53

12. Si :

B) 4 E) 2,5

C) 5

; BC = 16; DE = EC, calcular AE

C) 75

16. Del gráfico, si AE = 7 y DC = 2, calcular AB

A) 9 D) 12 A) 3 D) 6

B) 60 E) 120

B) 10 E) 13

C) 11

17. En la figura : AC = BD. Para los valores dados, calcular “x”

20. En un triángulo ABC se traza la perpendicular la bisectriz interior . Si : AP = 12, calcular “PQ” si además : AC = 2(AB) A) 3 B) 2 C) 4 D) 2

A) 10 D) 25

B) 15 E) 30

E) 5

C) 20

18. En un triángulo ABC, sea “P” un punto interior tal que: mËPAC = 20, mËPBC = 10 y mËPCB = 40. Calcular la mËPCA, si BP = AP + AC A) 25 B) 30 C) 36 D) 15 E) 18,5 19. Se tiene un triángulo ABC, se ubica los puntos : M, D y N en respectivamente, tal que ; ; mËMDC = mËNDB = x ; AB = 2(DM + DN). Calcular el valor de “x” A) 30 B) 45/2 C) 37/2 D) 15 E) 14

TAREA 01. En un triángulo rectángulo ABC recto en “B”, se traza la ceviana interior tal que AB = MC; en

se ubica el punto N, siendo mËNMC = 90;

en la prolongación de se ubica el punto H tal que: mËBHC = 90; BH = 6 y mËBAC = mËAMB. Calcular HC A) 4 B) 3 C) 5 D) 6

E) 2

02. Se tiene un triángulo ABC tal que mËA = 40 y mËC = 30, se traza la ceviana tal que : AB = CD. Calcular la mËABD A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90

intersecan en un punto Q interior al triángulo. Si la mËABC = 45, calcular la razón entre AC y BQ A) 1 B) 2 C) 0,5 D) 1,5 E) 2,5 05. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), la altura mide 8; por el punto P de se levanta una perpendicular que intersecta a Q y a la prolongación de calcular PR A) 11 B) 12 D) 14 E) 15

en

en R. Si PQ = 5, C) 13

05. Del gráfico, calcular el valor de “x”, si AB = QC y 5AH = 4PQ

03. De la figura, calcular “x”, si HM = 3; AH = 8

A) 120 D) 135 A) 37 D) 30

B) 35 E) 53

04. En un triángulo ABC, las alturas

B) 137 E) 150

C) 127

07. En la figura adjunta el triángulo ABC es equilátero y AM = MC = 2. Calcular “MP”

C) 60

se

A) 2 D) 4

B) 2 E) 6

C) 2

08. En la figura CD = 3BH. Calcular el valor de “á”

A) 15 D) 37

B) 22,5 E) 30

C) 26,5

09. En el triángulo acutángulo ABC las mediatrices de intersecan a en los puntos M y N, tal que la mËABC = 2mËMBN. Calcular la mËMBN A) 30 B) 45 C) 36 D) 60 E) 40 10. En el lado

de un triángulo ABC se ubica el

punto P y en el punto Q tal que AB = BP = PQ = QC. Calcular mËABP, si BQ = 5 y AC = 4 A) 30 D) 21

B) 45 E) 37

C) 53

POLÍGONOS Sean P1; P2; P3; .... Pn una sucesión de “n” puntos distintos de un plano (coplanares) con n $ 3. Supongamos que los “n” segmentos ; ; ..... ; 1. 2.

tienen las siguientes propiedades:

Ningún par de segmentos se intersecan, salvo en sus extremos. Ningún par de segmentos con un extremo común

son colineales. Entonces la unión de los “n” segmentos se denomina “polígono”, los puntos P1; P2; .... ; Pn son los vértices del polígono y los segmentos ; .... ;

son los lados y los ángulos del polígono

son el Ë PnP1P2; ËP1P2P3; y así sucesivamente. Para abreviar a menudo denotaremos, los ángulos Ë

P1; Ë P2; .... etc.

POLÍGONO NO CONVEXO Se denomina polígono no convexo si la recta que contiene un lado puede determinar al polígono en dos semiplanos.

ÁNGULOS DETERMINADOS EN UN POLÍGONO * *

Medida de los ángulos interiores : á1; á2; á3; á4; .... Medida de los ángulos exteriores : è1; è2; è3; è4; ....

t

Se denomina diagonal al segmento de recta que une dos vértices no consecutivos.

t

Se denomina diagonal media al segmento de recta que une los puntos medios de dos lados.

Ejemplo:

OBSERVACIÓN.:Según el número de lados, un polígono se le nombra: Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono Nonágono Decágono Dodecágono Pentadecágono Icoságono

3 lados 4 lados 5 lados 6 lados 7 lados 8 lados 9 lados 10 lados 12 lados 15 lados 20 lados

Los demás polígonos se le nombra según el número de lados. t

: Diagonal

tSi : M y N son puntos medios de

Y

y

: Diagonal media

POLÍGONO CONVEXO Se denomina polígono convexo si la recta que contiene un lado determina el polígono en un semiplano.

PROPIEDADES GENERALES PARA TODO POLÍGONO CONVEXO DE “n” LADOS. 01. Número de diagonales trazadas desde un solo vértice

Y

N° d1 = n - 3

02. Número de triángulos determinados al trazar diagonales desde un solo vértice

Y

N° Äs = n - 2

03. Suma de las medidas de los ángulos internos.

Y

Si = 180(n - 2)

04. Número total de diagonales

Y

N° d =

05. Número de diagonales trazadas desde los primeros “k”vértices consecutivos.

Y

Y

N° d(k) = n.k -

06. Número de diagonales medias que se traza a partir del primer punto medio del lado de un polígono.

Y

Perímetro = na

b. Polígono Equiángulo: Es aquel polígono convexo cuyos ángulos internos son congruentes, en consecuencia sus ángulos externos también son congruentes. Ejemplo:

N° dm (1) = n - 1

07. Número total de diagonales medias.

Y

N° dm =

08. Número de diagonales medias que se traza desde los primeros “l” puntos medios consecutivos de los lados de un polígono.

Hexágono equiángulo Propiedades:

Y

Y 09. Suma de las medidas de los ángulos externos. (Considerando uno por vértice)

Y CLASIFICACIÓN a.

Y

Se = 360

c.

Polígono Regular:

Polígono Equilátero: Es aquel polígono cuyos lados son congruentes.

Es aquel polígono equilátero y equiángulo a la vez.

Ejemplo:

Ejemplo:

Hexágono regular Propiedades:

Y Y Y

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Las medidas de cinco ángulos internos de un polígono regular es 700. Calcular la suma de las medidas de sus ángulos internos A) 700 B) 1 700 C) 1 820 D) 1 260 E) 1 900 02. En un polígono convexo ABCDEF equiángulo AB = 7; CD = 6; DE = 8. Calcular BF A) 7 B) 14 C) 7 D) 7

/2

E) 5

03. Si el número de lados de un polígono disminuye en 2, el número de diagonales disminuye en 15. ¿Cuántos lados tiene el polígono? A) 10 B) 12 C) 14 D) 8 E) 11 04. Los ángulos interiores de dos polígonos convexos regulares se diferencian en 20 y los ángulos exteriores suman 100. ¿Qué polígonos son? A) Exágono y monágono B) Pentágono y octágono C) Octágono y decágono D) Nonágono y decágono E) Exágono y octágono 05. En un polígono equilátero se sabe que desde 5 vértices consecutivos se pueden trazar 29 diagonales. Calcular el perímetro si uno de sus lados mide 3 A) 34 B) 30 C) 27 D) 40 E) 10 06. En un polígono convexo equilátero; el número total de diagonales equivale a la tercera parte de la diferencia entre el número que expresa su perímetro y el número de ángulos rectos a que equivale la suma de sus ángulos internos. Hallar el perímetro del polígono, sabiendo que la longitud de su lado es una cantidad entera A) 48 B) 64 C) 144 D) 84 E) 72 07. En un polígono de “n” lados desde (n - 4) lados consecutivos se trazan (2n + 1) diagonales medias. Calcular “n” A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 12 08. Calcular la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo cuyo número de diagonales excede en 8 al número de diagonales de otro polígono que tiene un lado menos A) 1 440 B) 1 800 C) 1 080 D) 3 600 E) 1 700

09. Si el número de lados de un polígono aumenta; la suma de las medidas de sus ángulos internos aumenta en 360 y su número total de diagonales aumenta en 11. Calcular su número total de diagonales medias A) 54 B) 15 C) 66 D) 78 E) 35 10. El número de triángulos en que se descompone un polígono convexo al trazar las diagonales de un solo vértice y el número de diagonales que se pueden trazar del quinto vértice consecutivo están en la relación de 7 a 5. Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos de dicho polígono A) 2 340 B) 2 700 C) 2 880 D) 3 600 E) 2 520 11. En un polígono se trazan las diagonales medias desde 15 lados consecutivos y se observa que estas aumentan en 285 cuando aumenta el número de lados del polígono. ¿Cuántos lados se han aumentado? A) 17 B) 18 C) 19 D) 15 E) 20 12. Interiormente a un pentágono regular ABCDE, se construye un triángulo equilátero APB. Calcular la mËDPE A) 42 B) 54 C) 66 D) 72 E) 84 13. En un polígono regular, si su número de diagonales aumenta en “b” este resultado es igual al número de diagonales medias disminuido en “a”. ¿Cuánto mide el ángulo central de dicho polígono? A)

B)

D)

E)

C)

14. Si el ángulo interior y el ángulo exterior de un polígono regular miden â y kâ, ¿cuáles son los valores enteros que puede tomar “k”para que el polígono exista? A) 800/7 B) 800/3 C) 900/5 D) 800/9 E) 900/7 15. Se tiene dos polígonos regulares. Si la suma total de las medidas de sus ángulos interiores es 2 340°, la diferencia del número de diagonales de ambos polígonos es 31, calcular la medida del ángulo interior del polígono de menor número de lados A) 800/7 B) 800/3 C) 900/5 D) 800/9 E) 900/7

16. ¿En qué polígono regular se verifica que el cociente entre la medida del ángulo interior y la medida del ángulo central es igual al máximo número de diagonales del polígono de 7 lados menos? A) Pentágono B) Exágono C) Octógono D) Nonágono E) Dodecágono

20. Se tiene un pentágono regular ABCDE. Se toma un punto interior “P” tal que PD = DE y mËPAB = 42. Calcular la mËPDE A) 42 D) 48

B) 45 E) 54

C) 60

A) 12 D) 30

B) 20 E) 32

C) 22

17. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde tres vértices consecutivos en un polígono convexo, donde su máximo número de diagonales medias excede en 8 al número de diagonales A) 15 D) 21

B) 14 E) 10

C) 13

18. En qué polígono convexo se cumple que el cuadrado de su número de vértices es igual a la suma entre su número de diagonales, número de diagonales medias y seis veces el máximo número de ángulos interiores agudos que puede tener A) Exágono D) Decágono

B) Pentágono C) Nonágono E) Octágono

19. Dado el pentágono regular ABCDE, se toma el punto exterior “S” relativo , tal que : BS = AD. Calcular la mËESD A) 9 D) 30

B) 15 E) 36

C) 18

TAREA

01. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde tres vértices consecutivos en un polígono convexo, donde su máximo número de diagonales medias excede en 8 al máximo número de diagonales A) 15 D) 21

B) 14 E) 10

C) 13

02. En un pentágono convexo ABCDE, irregular, interseca a en “P y N” . Si : BP = PE = CN; mËBNC = 2mËDBC = 2mËPEC, calcular mËPCE A) 36 D) 30

B) 72 E) 60

C) 18

03. ¿Cuántos lados tiene un polígono cuya suma de las medidas de sus ángulos internos y externos es 3 960?

04. Al aumentar en 3 el número de lados de un polígono, el número de diagonales se duplica. Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos A) 1 240 D) 1 280

B) 1 250 E) 1 270

C) 1 260

05. Si el número de lados de un polígono convexo aumenta en 3, entonces su número de diagonales aumenta en 33. Calcular el número de lados del polígono inicial A) 9 D) 12

B) 13 E) 8

C) 11

06. De dos polígonos regulares uno de ellos tiene tres lados menos que el otro; y el ángulo central de uno de ellos mide 27 menos que la medida del ángulo central del otro. Calcular la suma de las medidas de los ángulos interiores de dichos polígono

A) 1 610 D) 1 630

B) 1 620 E) 1 640

C) 1 650

07. Se tiene dos polígonos regulares cuyos números de diagonales se diferencian en 27 y cuyos ángulos centrales están en la relación de 3/4. Calcular la diferencia de las medidas de sus ángulos centrales A) 10 D) 40

B) 20 E) 50

C) 30

08. La suma de las medidas de los ángulos internos de dos polígonos se diferencian en 360 y las medidas de sus ángulos centrales se diferencian en 6. Calcular la suma de su número de lados A) 12 D) 40

B) 22 E) 52

C) 32

09. En un polígono regular al disminuir en 10° cada ángulo interior, resulta otro polígono regular cuyo número de lados es los 2/3 del número de lados del polígono inicial. Calcular el número de lados del polígono inicial A) 12 D) 20

B) 16 E) 22

C) 18

10. El menor ángulo de un polígono convexo mide 120 los otros forman con el una progresión aritmética de razón 5. Calcular el número de diagonales A) 9 D) 28

B) 27 E) 30

C) 32

CUADRILÁTEROS DEFINICIÓN : Es el polígono que tiene cuatro lados

CARACTERÍSTICAS *

; AB = CD = a y

; BC = AD

=b *

mËA = mËC y mËB = mËD

*

AO = OC y BO = OD

*

á + â = 180

CLASIFICACIÓN DE PARALELOGRAMOS

Y

á + â + è + ù = 360

A. ROMBOIDE : Es el paralelogramo que no es equilátero ni equiángulo Ejemplo :

a…b á

Y

…â

x=á+â+è B. RECTÁNGULO: Denominado también “cuadrilongo”, es el paralelogramo equiángulo

CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS SEGÚN EL PARALELISMO DE SUS LADOS 1.

PARALELOGRAMO Es el cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. En todo paralelogramo se cumple que los lados opuestos son congruentes, los ángulos opuestos son congruentes y las diagonales se bisecan

* Las diagonales son congruentes

C. ROMBO : Es el paralelogramo equilátero

D. CUADRADO : Es el paralelogramo que es equiángulo y equilátero a la vez.

B. TRAPECIO ISÓSCELES: Es el trapecio cuyos lados no paralelos son congruentes

*Sus diagonales son congruentes y se bisecan perpendicularmente 2.

TRAPECIO Es aquel cuadrilátero que tiene sólo dos lados paralelos C. TRAPECIO RECTÁNGULO : Es aquel trapecio que tiene uno de sus lados no paralelos perpendicular a sus bases

CARACTERÍSTICAS: * Bases : (

)

* Lados no paralelos : * Altura : (BH = h) * Mediana : ( //

* En la figura * CD > AB )

CLASIFICACIÓN DE TRAPECIOS A. TRAPECIO ESCALENO : Es el trapecio cuyos lados no paralelos son diferentes

y

TEOREMA 1 En todo trapecio, la mediana es paralela a sus bases y su medida es igual a la semisuma de las medidas de sus bases .

y Se denomina “trapezoide simétrico” si una de sus diagonales biseca perpendicularmente a la otra

* En la figura : es mediana del trapecio

Y

//

Y TEOREMA 2 En todo trapecio el segmento que une los puntos medios de sus diagonales es paralelo a sus bases y su medida es igual a la semidiferencia de las medidas de sus bases.

* En la figura : * P y Q son puntos medios de

Y Y 3.

TRAPEZOIDE Es el cuadrilátero que no tiene lados opuestos paralelos ni características especiales

*

y BM = MD

* : Diagonal de simetría *El trapezoide simétrico se denomina también cuadrilátero bisósceles TEOREMA En todo cuadrilátero al unir en forma consecutiva, los puntos medios de sus lados se detemina un paralelogramo

Si : M, N, L y S son puntos medios

Y

~ MNLS : Paralelogramo

OBSERVACIÓN : El perímetro del paralelogramo es igual a la suma de las medidas de las diagonales del cuadrilátero ABCD. 2P(MNLS) = AC+BD

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. De las siguientes proposiciones indicar (V) verdadero o (F) falso: ( ) Si un cuadrilátero tiene sólo 2 lados paralelos entonces es un trapecio ( ) Un cuadrilátero de diagonales perpendiculares y congruentes es un cuadrado ( ) Un trapecio rectángulo es un trapecio escaleno A) VFV D) FVF

B) FFV E) FFF

se ubican los puntos M y N respectivamente tal que CN=ND y mËNBC = mËNMD. Si la distancia de B a es 10, calcular la distancia del punto medio de

A) 6 D) 4

B) 8 E) 5

C) 3

C) VFF 05. Del gráfico:

. Calcular PQ

02. Se tiene un cuadrilátero convexo ABCD. Si mËBCD-mËBAD=20, calcular el mayor valor del ángulo que forman las bisectrices interiores de los ËB y ËD A) 160 D) 170

B) 135 E) 100

C) 150

03. Se tiene un trapezoide ABCD, tal que : AB=CD=12; mËABD=75, mËBDC=15. Calcular la medida del segmento que une los puntos medios de las diagonales. A) 6 D) 4,5

B) 8 E) 9

04. En un trapecio ABCD (

C) 4

) en

A) 1 D) 2

B) 1,5 E) 1,75

06. En un trapecio ABCD ( y en

C) 0,5

):

mËBAD=2(mËADC) la mediatriz de interseca en “P” a la bisectriz exterior del ËA.

Calcular PB, si PC=13 A) 12 B) 5 D) 14 E) 13

C) 15

07. Una diagonal de un trapecio isósceles mide igual que la suma de las medidas de las bases. Calcular la medida del menor ángulo que forman las diagonales A) 30 B) 60 C) 45 D) 90 E) 75 08. Desde los vértices de un romboide se trazan perpendiculares hacia una recta exterior cuya suma de longitudes es 80. Calcular la distancia del punto de intersección de las diagonales del paralelogramo a dicha recta exterior. A) 10 B) 40 C) 35 D) 20 E) 60 09. Del gráfico adjunto : CM=MD, ABCM: Trapezoide simétrico, ABPM : Romboide. Si AB=4 , calcular PD

12. Se tiene un rectángulo ABCD, sobre la prolongación de se toma el punto “P” tal que BP = 16 m. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de y . A) 2 m D) 12 m

B) 4

D) 6

E) 9

C) 8

10. En un trapecio isósceles ABCD, en se ubica el punto E, tal que ABCE es un rombo. Si BD=AD y ={F}, calcular la mËBFA A) 30 B) 24 C) 36 D) 54 E) 60

C) 8 m

13. En un trapecio ABCD ( ), si: mËC = 2mËA y CD = 14, calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales de dicho trapecio. A) 7 B) 3,5 C) 6,5 D) 6 E) 10,5 14. De la figura adjunta : ABCD y PQLD : Cuadrados. Calcular “x”

A) 45 D) 90

A) 4

B) 4 m E) 16 m

B) 75 E) 60

C) 120

15. En un cuadrilátero ABCD: mËABC=90, AB=BC; AD=AC y las diagonales se intersectan en el punto “M” (BM=MD). Calcular mËBAD A) 75 B) 60 C) 15 D) 30 E) 45 16. Del gráfico adjunto: ABCD : Cuadrado, LAUP: Trapecio isósceles. Calcular “x”

11. De la figura adjunta: AP = 17; DQ=12. Calcular BD, si ABCD es un cuadrado

A) 98 D) 82

B) 75 E) 85

C) 60

17. Del gráfico adjunto : ABCD es un trapecio, BN=6; MN = 2. Calcular “x”, si CM = MD

A) 17

B) 12

D) 13

E) 11

C) 13

20. Se tiene un trapecio rectángulo ABDE recto en D y E, en la prolongación de se ubica el punto “C”, tal que AB = BD, CD = 8 , mËCDB = 82 y mËBCD = 45. Calcular AE A) 12 B) 16 C) 18

A) 53 D) 53/2

B) 37 E) 37/2

D) 8

E) 20

A) 37/2 D) 45

B) 53/2 E) 30

C) 45

18. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) en y en la región exterior relativo a , se ubican los puntos M y Q respectivamente de modo que BMCQ es un rombo. Calcular AQ, si AB=8 y mËBAQ=2(mËBCQ) A) 12 B) 16 C) 10 D) 32 E) 15

19. Si ABCD es un cuadrado, EF = AB y AG = GD, calcular “x”

A) 30 D) 37

B) 15 E) 53

C) 45

TAREA 01. De la figura adjunta:

A) 6 D) 7

B) 8 E) 10

. Calcular BC

C) 12

02. Las diagonales de un trapecio miden 8 y 10. El valor máximo entero de la mediana es: A) 8 B) 9 C) 5 D) 7 E) 6 03. Del gráfico adjunto calcular “x”, ABCD : Romboide

C) 15

04. En un rombo ABCD, las diagonales y miden 16 y 12 respectivamente. Calcular la altura relativa a A) 6,2 B) 8,3 C) 9,6 D) 6,9

E) 3

05. ABCD: Cuadrado, FM = MD. Calcular è

D)

A) 20 B) 35 D) 30 E) 36 06. En un trapezoide ABCD,

C) 22,5 biseca en “Q” a

, las mediatrices de las diagonales se intersecan en un punto “P” que pertenece a . Calcular la mËBPC, si mËPQD = 40. A) 80 B) 40 C) 50 D) 60 E) 45 07. En un rectángulo ABCD se ubican los puntos medios P y Q de y respectivamente (R es punto medio de ). Calcular la mËQPR, si mËRAB = 48. A) 36 B) 42 C) 48 D) 32 E) 45 08. En un trapecio ABCD ( menor tal que:

);

es la base

; BC=6. Calcular DM,

siendo “M” punto medio de A) 4 B) 2 D) 4,5 E) 1,5

C) 3

09. En un triángulo escaleno ABC (AB AC ! BI > ID

TEOREMAS DE MENELAO Y CEVA

¡OJO! Respecto al teorema del incentro (I) de un triángulo

Teorema de Menelao : “Una recta secante a un triángulo determina sobre sus lados seis segmentos, cumpliéndose que el producto de tres de ellos considerados en forma no consecutiva es igual al producto de los tres restantes”.

En la figura, la línea L es una recta secante al ÄABC; donde P, Q y R son los puntos de intersección de L con AB, BC y la prolongación de AC respectivamente; luego según el teorema se cumplirá que :

AP. BQ . CL = PB . QC . AL INTERESANTE El teorema recíproco al de Menelao es válido, es decir : “Si sobre los lados , de un triángulo ABC (ver figura), se consideran los puntos P, Q y L tal que : AP.BQ.CL = PB.QC. AL; entonces P, Q y L estarán en línea recta”

Teorema de Ceva : “Tres cevianas concurrentes trazadas desde los vértices de un triángulo, determinan sobre sus lados seis segmentos, cumpliéndose que el producto de tres de ellos considerados en forma no consecutiva es igual al producto de los tres restantes” Sean

las

cevianas concurrentes trazadas en el ÄABC. Entonces se verificará la siguiente relación : AM . BN. CL = BM . NC . AL

DEBES SABER QUE v Si en un problema dado se mencionan tres cevianas concurrentes entonces, es probable que su solución sea a partir del teorema de Ceva. v El teorema recíproco al de Ceva es igualmente válido, es decir: “Si sobre los lados de una ÄABC (ver figura) se consideran los puntos M, N, y L respectivamente, de modo que: AM.BN.CL = MB. NC.AL, entonces las cevianas serán concurrentes”

HAZ ARMÓNICO Es el conjunto de cuatro rectas concurrentes que pasan por cuatro puntos colineales y consecutivos formando una cuaterna armónica En la figura si los puntos A, B, C y D forman una cuaterna armónica, entonces las rectas forman un haz armónico. En el punto O se llama Centro del haz y las rectas se dice que son conjugados armónicos respecto a las rectas

y viceversa

Corolario: “En todo triángulo, las bisectrices interior y exterior que parten desde un mismo vértice determinan un haz armónico”. Sean bisectrices interior y exterior respectivamente del Ä ABC. Luego los lados y las bisectrices forman un haz armónico. Para demostrarlo, bastará demostrar que los puntos A, D, C y E forman una cuaterna armónica y esto ocurrirá si y sólo si:

De los teoremas de la bisectriz:

luego de (1) y (2)

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. En la figura L1 // L2 // L3 AC=8; DF=12; EF-AB=1. Calcular DE

A) 2 D) 4,5 A) 9 D) 4

B) 2 E) 3

02. En la figura calcular EC si: AD=4; DE=1

C) 6

B) 3 E) 1,25

C) 3,5

03. En la figura “G” es baricentro del triángulo ABC. Calcular “x”

09. En un triángulo ABC;

, si :

mËACB = mËABC+90, calcular mËABC A) 53 B) 30 C) 60 D) 45 E) 37 10. En la figura

A) 14 D) 8

B) 10 E) 15

. Calcular “x”

C) 9

04. En la figura, calcular “x”

A) 4 D) 6

A) 5 D) 6

B) 4 E) 3

11. Del gráfico mostrado ID =

C) 2

05. En un triángulo ABC, AB = 20, BC = 10 y AC = 21, se trazan la bisectriz interior y exterior . Calcular DE A) 21 B) 25 D) 27 E) 28

que mËABD=90, mËDBC=45°; Calcular mËACB A) 26,5 B) 37 D) 8 E) 15

.

C) 30

, sea “I” incentro del

triángulo ABC. Si ID= A) 24

B) 18

D) 35

E) 35

y el perímetro del

triángulo ABC es 20 m (I es incentro). Calcular BD.

tal

07. En un triángulo ABC, recto en “B”, la bisectriz mide

C) 5

C) 26

06. En un triángulo ABC, se traza la ceviana

interior

B) 3 E) 7

. calcular AC C) 36

A) 3 m B) 5 m C) 7 m D) 6 m E) 4 m 12. En un ÄABC : AB=8, BC = 6 y AC = 7. Las bisectrices interior y exterior del ángulo B intersecan a y a su prolongación en los puntos E y F, respectivamente. Calcular “EF” A) 20 B) 24 C) 18 D) 22 E) 26 13. En un triángulo ABC, la mediatriz de “D” a AP=16;

08. En la figura, calcular “x”

A) 3 D) 8

corta en

y en “P” a la prolongación de . Calcular BP B) 4 E) 1

C) 2

14. Si : NB = 2, AM = 3 y MP = 9. Calcular NP (P y T puntos de tangencia)

A) 2 D) 1

B) 3 E) 5

C) 4

;

A) 4 D) 7

B) 5 E) 8

A) ab/(a+b)

C) 6

D)

B) 2a+b

C)

2

E) (a-b) / (a+b)

15. En un triángulo ABC de incentro “I”; mËA=73; mËC=39. Calcular IB si AB=C, BC=a, AC=b A)

B)

D)

E)

C)

16. En la figura, calcular mËPQL

A) 90 D) 4á

B) 80 E) 90 - á

C) 60

17. En la figura AB = 10, BC = 4 y MP = 6. Calcular PN (M y N son centros)

A) 3 D) 2,8

B) 3,1 E) 2,4

C) 3,4

18. En un trapezoide ABCD, la recta que pasa por los puntos medios de las diagonales interseca a y en los puntos “P y Q” respectivamente. Calcular AP, si PB=9, CQ=3, QD=6 A) 3 B) 4 C) 4,5 D) 5,4 E) 6,2

19. En la figura “O” es centro DE=EF; m

=m

;

BC=a; CD=b. Calcular AB

20. En un triángulo ABC se trazan la mediana

y

la bisectriz

que se intersecan en P. Si

AB=

y AM=6AP, calcular BC

A) 10

B)

D) 20

E)

C) 15

TAREA 01.

, AB = 1; MN = BC = 2, CD = 3 y RS = 2(AP). Calcular PQ

A) 4 D) 6

A) 18 D) 12

B) 15 E) 20

C) 16

B) 3 E) 5

C) 2

05. De la figura (AB)(BE) = 144, 3AB = 4AC. Calcular BC

02. De la figura calcular AD, si FC = 3, CR = 10 y AR=4

A) 1,5 D) 1,4

B) 1,3 E) 1,6

C) 1,2

03. Si : , AB = 11, BC = 7, AE = EF y BP = 14, calcular PF

A) 8 D) 10 04. Si AB

B) 6 E) 16

C) 5

, BC = 2 y CD = 6, calcular

A) 15 D) 18 06. Si : 3

A) 2,4 D) 4,8

B) 16 E) 14

C) 21

, calcular CD, AB = 5 y BC =

B) 2 E) 3,2

07. Calcular “x”, si 3AB = 4AC

C) 3,4

09. Si: AB = BC, AP=3PQ, BQ=5, calcular QC

A) 30 D) 45

B) 60 E) 37

08. Si:

y CQ //

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 53

A) 5 D) 15

, halle “x”

B) 6 E) 8

C) 10

10. ABCD es trapecio isósceles. Calcular “x”

C) 3

A) 6 D) 10

B) 8 E) 12

C) 9

SEMEJANZA TRIÁNGULOS SEMEJANTES Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma, es decir, los ángulos de uno son congruentes con los ángulos del otro respectivamente y sus segmentos homólogos son proporcionales. Son lados homólogos aquellos que se oponen en uno y otro triángulo a los ángulos que son respectivamente congruentes, así como también las líneas notables que parten de los vértices de estos ángulos. Son homólogos también los radios de las circunferencias inscritas, circunscritas, ex - inscritas, etc.

Y

Donde k : razón de semejanza

CASOS DE SEMEJANZA PRIMER CASO Dos triángulos son semejantes si dos ángulos del primero son congruentes a dos ángulos del segundo.

~

: Se lee “Semejante a” Y

Si ÄABC ~ ÄDEF

1. SEGUNDO CASO Dos triángulos son semejantes si dos lados del primero son proporcionales a dos lados del segundo y los ángulos formados por dichos lados son congruentes

Si :

Y

TERCER CASO Dos triángulos son semejantes si los tres lados del primero son proporcionales a los lados del segundo.

Corolario :

2. OBSERVACIÓN : 1.

Si : Y ÄABC ~ ÄPBQ

En el trapecio : 2. Y

Si :

son alturas

Y ÄNBM ~ ÄABC

PROPIEDADES

3.

Cálculo de una medida del lado de un cuadrado inscrito en un triángulo, si uno de los lados del cuadrado descansa en la base del triángulo

Si A y B son puntos de tangencia y P 0 Y Y

6.

En todo triángulo el producto de las medidas de dos lados es igual al producto de las medidas del diámetro de la circunferencia circunscrita y la altura relativa al tercer lado.

OBSERVACIÓN :

Y

R : Circunradio Y

4.

Si :

: ceviana y mËBAC = mËDBC Y

5.

OBSERVACIÓN :

Y

ac = 2R.h

7.

Si “T” es punto de tangencia,

es secante

Y OBSERVACIÓN : Si “T” es punto de tangencia Y

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Si los lados de un triángulo miden 15; 18 y 24 y el lado menor de un triángulo semejante al primero mide 6, calcular la medida del lado mayor del último triángulo A) 9,8 D) 8,8

B) 9,6 E) 9,5

C) 8,5

02. En el gráfico, calcular la longitud del lado del menor cuadrado A) 2 D) 4

B) 2,5 E) 5

03. En la figura calcular “x”

C) 3

D) 4

E) 2

08. En un triángulo ABC, AB = 16, se traza la mediana . Calcular BM, si mËMBC = mËA + mËC

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

A) 8

B) 12

D) 8

E) 4

C) 8

09. Si PQRS es un romboide, PQ = 2 , QB = 3, SH = 1, calcular “AP”

04. En la figura calcular “x”

A) 8 D) 11

B) 9 E) 12

C) 10 A) 1 D) 1,5

05. Calcular “x”, si ABCD : romboide

B) 2 E) 4

C) 2,5

10. Se tiene un rombo ABCD cuyo perímetro es 84, se toma M punto medio de tal que se intersecta en P, Calcular PQ A) 12 D) 5 A) 2 D) 1

B) 4 E)

C) 3

B) 6 E) 7

se intersectan en Q.

C) 10

11. Si : AB = 9 y CD = 16, calcular PQ

06. En un trapezoide ABCD, la recta que pasa por los puntos medios de sus diagonales interseca a y en los puntos P y Q respectivamente. Calcular AP si PB = 9, CQ= 3 y QD = 6. A) 3 D) 5,4

B) 4 E) 6,2

C) 4,5

07. En la figura O1 y O2 son centros de los cuadrados ABCD y BPMN; PC = 6. Calcular O1O2

A) 8 D) 9 12. Del gráfico: m

B) 10 E) 12 =2m

9AB=4AD. Calcular HE

A) 6

B) 3

C) 3

C) 6

; BH=2 además:

18. En un triángulo acutángulo ABC, se une el vértice “B” con el circuncentro “O”, prolongado interseca a

en “M”. Luego se trazan

z y z calcular BN A) 3 D) 9

A) 5 D) 44/9

B) 6,3 E) 24/7

C) 22/3

13. Si: AB=6, BC=8 y AC=7, calcular AP

. Si BH = 6, AH = 2 y BC = 12, B) 6 E) 8

C) 7,5

19. En un ÄABC; mËB = 90 y AC = 7. Se traza la ceviana , tal que : 2DC = 3BD y mËBAC = 2 (mËADB). Calcular AB A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 3,5 20. Un cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia de diámetro , sea P un punto de

A) 3 D) 3

B) 4 E) 3

C) 5

14. En el gráfico: 2AF=3AB; EF=9. Calcular BC

A) 4 D) 3

B) 5 E) 1,5

C) 6

15. La bisectriz interior del ángulo B de un triángulo ABC intersecta a la circunferencia circunscrita en “E” y al lado en “D”. Calcular AE, si DE=4; BE=9 A) 6 B) 8 C) 7,5 D) 5 E) 4,5 16. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior . Si “I” es el incentro del triángulo ABC y BI = 4, calcular el máximo valor entero de A) 1 B) 2 C) 3 D)

E)

17. En un triángulo ABC : AB = 8, BC = 12 y AC = 10. Sobre y se consideran los puntos M y N respectivamente tal que // . Si el perímetro del triángulo MBN es igual al perímetro del trapecio AMNC, calcular BM A) 4 B) 5 C) 6 D) 6,5 E) 32/5

.

y

, intersectan a

en M y N

respectivamente. Si AB=AD; BM=2 m y MN = 1 m, calcular NC. A) 2 m B) 3 m C) 4 m D) 5 m E) 1,5 m

TAREA 01. Si:

A) 14 D) 24

. AM=3/5(AB), halle “x”

B) 7 E) 18

C) 21

02. En la figura P y Q son puntos de tangencia, PT=2TA y BL=6. Calcular LQ

A) 6 D) 9

B) 7 E) 10

C) 8

06. En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y B se tiene que AB = BC, se ubica “P” en . Si P dista 5 de de A) 6 D) 5

y mËADC = 53, ¿cuánto dista “P”

? B) 8 E) 4

C) 9

07. En un triángulo ABC de incentro “I”; mËA=73; mËC=39. Calcular IB, si AB=C, BC=a, AC=b

A) 2 D) 6

B) 3 E) 8

C) 4,5

03. En un ÄABC, recto en B. AB = 6, BC = 8 y AC = 10. Por el incentro se traza la perpendicular a la bisectriz interior que corta a la prolongación de A) 6 D) 10

en P. Calcular AP B) 8 E) 3

C) 4

04. Se tiene un cuadrilongo ABCD y AD=CD , se construye una semicircunferencia exteriormente de diámetro , desde un punto del arco se une con “A y D” cortando a NC=9. Calcular MN

A) 6

B) 3

D) 6

E) 6

A)

B)

D)

E)

C)

08. Se tiene un trapecio rectángulo ABCD mËA=mËB=90, sobre se toma “M” punto medio. Calcular AB, si BC=4 y AD=9. Además mËCMD=90 A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 09. En un triángulo ABC de baricentro “G” se traza una recta por G que intersecta a y en K y L y a la prolongación de

en P. Si:

y AC = BA ; calcular GK

en “M y N”; BM=4, A) 1 D) 4 C) 3

05. De la figura, PB = 12 y 3(BC) = 4(AQ). Calcular AP

B) 2 E) 0,5

C) 3

10. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior (“R” en ) luego se traza la ceviana que interseca a en su punto medio. Si BM = 2 y CM = 5, calcular AB. A) 20/7 B) 10/7 C) 4 D) 3 E) 14/3

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Y EN LA CIRCUNFERENCIA PROYECCIONES Proyección ortogonal de un punto sobre una recta es el pie de la perpendicular trazada del punto a la recta. Así la progresión ortogonal del punto “P” sobre la recta

es el punto P’.

La perpendicular

se llama proyectante. Si el

punto pertenece a la recta su proyección sobre ella es el mismo punto. Así la proyección de “Q” sobre

es Q’ (Q=Q’) RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

La proyección de un segmento sobre una recta es el conjunto de todos los puntos de la recta que son proyecciones de los puntos del segmento sobre la recta. TEOREMAS FUNDAMENTALES 01.

y

02. Si el segmento dado es oblicuo a la recta L la proyección es menor que el segmento, si el segmento es paralelo a la recta su proyección es congruente a él y si el segmento es perpendicular a la recta, su proyección se reduce a un punto.

SEMEJANZAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

03.

04.

(TEOREMA DE PITÁGORAS)

TEOREMA En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa divide al triángulo en dos triángulos semejantes entre sí y también semejantes al triángulo dado.

05.

PROPIEDADES 01.

3

2

x = a.m

02.

3

2

2

2

a -b =m -n

2

RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 1.

3

TEOREMA DE LAS CUERDAS

2 x =m.n

03

AP . PB = CP . PD

2.

TEOREMA DE LAS SECANTES

Si: P, Q y T son puntos de tangencia. 3

x=2

04.

PA . PB = PC . PD 3.

Si: P y Q son puntos de tangencia 3

05.

PQ = MN

TEOREMA DE LA TANGENTE

2

(PT) = PA . PB

CONSECUENCIAS DE LAS RECTAS ISOGONALES 1RA.

4.

TEOREMAS DE PTOLOMEO

i.

CONSECUENCIA En todo triángulo el producto de las longitudes de dos lados es igual al producto de las longitudes de las isogonales, que contienen a un vértice estando una limitada por el lado opuesto y la otra por la circunferencia circunscrita.

ac + bd = ef

ii.

RECTAS ISOGONALES Son aquellas rectas que pasando por el vértice de un ángulo dado forman con la bisectriz de éste ángulos congruentes; pueden ser:

En la figura si y son isogonales respecto al ángulo ABC se verifica que: (AB)(BC) = (BP)(BQ)

A) ISOGONALES INTERIORES 2DA.

B) ISOGONALES EXTERIORES

CONSECUENCIA En todo triángulo se cumple que el producto de las longitudes de dos lados es igual al producto de las longitudes de la altura relativa al tercer lado y el diámetro de la circunferencia circunscrita.

En la figura si luego:

y

(BF = 2R) son isogonales,

AB . BC = BH . BF ˆ (AB)(BC) = (BH)(2R)

3RA.

CONSECUENCIA En todo triángulo se cumple que la longitud de la bisectriz interior, elevada al cuadrado es igual al producto de las longitudes de los lados que concurren con dicha bisectriz menos el producto de las longitudes de los segmentos que determina la bisectriz sobre el lado opuesto.

En la figura, las rectas y son isogonales (la bisectriz es isogonal con sí misma), luego por primera consecuencia: AB.BC = BD.BE(BE = BD + DE) 2 AB.BC = BD(BD + DE) = BD + BD.DE Por cuerdas: BD.DE = AD.DC luego: AB.BC = BD2 + AD.DC ˆ

4TA.

CONSECUENCIA En todo triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de la bisectriz exterior es igual al producto de las longitudes de los segmentos determinados por la bisectriz sobre el lado opuesto menos el producto de las longitudes de los lados que concurren con dicha bisectriz.

Las rectas y son isogonales exteriores respecto a el ËABC, luego: AB.BC = BP.BE pero: BP = EP - BE Y AB.BC = (EP - BE)BE 2 AB.BC = BE.EP - BE Por secantes: BE.EP = AE.CE 2 luego: AB.BC = AE.CE - BE

BD2 = AB.BC - AD.DC

ˆ

BE2 = AE.CE - AB.BC

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Dado un triángulo rectángulo ABC( recto en B) sobre su lado se considera un punto “O”; por el vértice “C” se traza una perpendicular prolongación de

de manera que

a la

03. En la figura representa una escalera apoyada en una pared. Si “A” cae hasta la mitad de su altura y “B” se aleja 2 m cuanto mide la escalera

sea

bisectriz del ËBCD. Calcular AB, si AO.AC = 32 A) 4

B) 4

D)

E) 4

C) 8

02. Las diagonales perpendiculares de un trapecio miden 8 y 15; la base menor mide 6. Calcular la medida de la base mayor A) 14 D) 11

B) 12 E) 15

C) 13

A) 5

B) 10

D)

E)

C) 2

/3

04. En un triángulo ABC, recto en “C” se traza la altura . Calcular BF, si: AB=c; BC=a A)

B)

C)

D)

E)

05. En el gráfico calcular “x”, si “O”; “C” y “D” son centros además AO = OB = 6

A) 10 D) 8

B) 7 E) 5

C) 6

10. Se tiene un cuadrado ABCD, en el arco

A) 1,5 D) 2,4

B) 2 E) 1,8

C) 2,5

06. En la figura son diámetros, si CE = 2; AF = 5 y DG = 4, calcular EG

A) 8 D) 14

B) 10 E) 16

A) 3 D) 2

A) 2 D) 6

B) 4 E) 8

.

C) 2

11. En el gráfico: “O” centro; EF=3; FD=2. Calcular DH

C) 12 A) 3 D) 5

07. El diámetro de una semicircunferencia se prolonga hasta “C” y se traza la secante CDE, BC=2, DE=1,

considera el punto “E” tal que : AE+EC=4 Calcular BE

se

B) 2,5 E) 3,5

C) 4

12. En el gráfico adjunto calcular OT, si : AP=4

=3(mËC). Calcular DC B) 1 E) 3,5

C) 4

08. En el gráfico AC=AB, “O” es centro A y F son A) 4 D) 2

puntos de tangencia. Calcular

B) 3 E) 2

C) 5

13. En un trapecio rectángulo ABCD, la altura , mide 13. Con diámetro se traza la semicircunferencia que corta en “Q” a , la tangente corta a Calcular PQ

A) 2 D) 3

B) 1 E) 4

C)

09. Calcular “FA”, si AB=6, BC=ED=8. ID=5; GF=4 y FH=3. (“A” es punto de tangencia)

A) 2,5 D) 3

B) 3,5 E) 5

en “P”, AP = 12, PC=3.

C) 4

14. En la figura ABCD es un rectángulo BQ=QA, PQ=3; QM=8; MN=1. Calcular CM

A) 6 B) 8 C) 9 D) 7 E) 5 19. En la figura calcular CD si AB=1, BC=2, CE= “C” punto de tangencia

A) 1 D) 2,5

B) 2 E) 0,5

C) 1,5

15. Calcular AB, sabiendo que las circunferencias son concéntricas, los radios son 1 y 2, y MP = 1 (“O” ÷ centro)

A) 2 D) 8

B) 6 E) 7

C) 10

20. Calcular FG, si AB=BC=CD y CF=9 (D es punto de tangencia)

A)

B)

C)

D)

A) 6 D) 10

E) 16. Una hoja rectangular ABCD, de papel se dobla de modo que “A” coincida con “C”; AB= ; AD=3. Calcular la longitud del doblez A) 1 D) 2,5

B) 1,5 E)

C) 2

17. En la figura marcar la relación métrica entre h, a, byc

A) h=ab/c D)

B)

C) h=a+b-c 3

E) h =abc

18. Del gráfico “O” es centro AB=15; LD=CD=10. Calcular ML

B) 8 E) 12

C) 9

TAREA 01. Calcular : R, si AD = 18 y FG = 24

A) 6 D) 13

B) 10 E) 15

C) 12

A) a

/2

B) a

/2

D) a

/4

E) a

/2

C) a

/4

05. Si es diámetro, “M” es centro y PQ = 4, calcular QM 02. En la figura mostrada ABCD es un paralelogramo, BM = 4; MC = 6 y “O” es centro de la semicircunferencia. Calcular AB

A) 1 D) 4 A) 2

B) 3

D) 4

E) 4

B) 2 E) 5

C) 3

C) 2 06. Del gráfico calcular AC, si CP2 + AT2 = 338 2 m (O1 v O2 : centros)

03. Del gráfico calcular el lado del cuadrado ABCD si CE = CF, EH = 6, FQ = 4 y “A” es centro del arco

A) 13 D) 13 m

A) 10

B) 8

D) 2

E) 9

C) 2

04. Si ABCD es un cuadrado de lado “a”, calcular BF

m

B) 2

m

E) 5

m

C) 2

07. En la figura adjunta, el triángulo ABC es equilátero, M es punto medio del lado punto medio del arco

m

y D es

. Si x e y representan las

longitudes de los segmentos respectivamente, hallar x/y

A) 5/3 D) 8/3

B) 2 E) 7/3

C) 4

08. En la figura A, B y C son puntos de tangencia, PA=8, PC=6. Calcular PB

A) 10

B) 2

D) 5

E) 4

C) 5

09. En un rectángulo ABCD, se ubica el punto “P” en , tal que: mËAPD = 90, BP = 4 y PC=9. Calcular la distancia entre las proyecciones de B y C sobre respectivamente A) 7

B) 8

D) 6,5

E)

C)

10. En un cuadrante AOB de centro “O” por un punto M del arco

se traza la paralela a la cuerda

que interseca a la prolongación de y a la prolongación de MA’ = a y MB’ = b A) 2

B)

D)

E) 2

en A’

en B. Calcular AB, si

C)

RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS I.

TEOREMA DE EUCLIDES TEOREMA 1 En todo triángulo se cumple que la medida del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos lados, menos el doble producto entre las medidas de uno de estos lados y la proyección del otro sobre él.

En la figura : á > 90 y sobre

es la proyección de

(AH = m), luego : 2

2

2

a = b + c + 2am

.... (2)

OBSERVACIÓN : De acuerdo a la figura siendo á < 90 y “m” la longitud de la proyección se cumple :

En el

: m = cCosá 2

2

2

En (2) : a = b + c - 2bcCosá 2

2

2

a = b + c - 2bm

“Ley de Cosenos”

.... (1) II.

RECONOCIMIENTO DE LA NATURALEZA DE UN TRIÁNGULO

OBSERVACIÓN : En el En (1) :

: m = cCosá 2

2

2

a = b + c - 2bcCosá

“Ley de

Cosenos”

Dado el triángulo ABC, donde AB = c, BC=a y AC = b, siendo a > b > c, entonces se verifica que : 2 2 2 a < b + c ] el ÄABC es acutángulo 2 2 2 a = b + c ] el ÄABC es rectángulo 2 2 2 a > b + c ] el ÄABC es obtusángulo III. TEOREMA DE STEWART

TEOREMA 2 En todo triángulo obtusángulo se cumple que el cuadrado de la medida del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos lados mas el doble producto entre las medidas de uno de estos lados y la proyección del otro sobre él

Si es una ceviana entonces se verifica la siguiente relación : 2

2

2

c n + a m = x b + bmn

(3)

OBSERVACIÓN : Si el triángulo es isósceles con a = c la expresión (3) se reduce a :

Si

es altura (BH = hb) además : se verifica la siguiente relación :

2 2 a = x + mn

IV. TEOREMA DE LA MEDIANA

VI. TEOREMA DE EULER

Si es mediana (BM = m b) se cumple lo siguiente:

2

2

2

c + a = 2(m b) +

OBSERVACIÓN : Siendo las medidas de las otras medianas m a y m c se cumple que :

V. TEOREMA DE HERÓN

En todo cuadrilátero convexo o no convexo se verifica a la siguiente relación :

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. En un paralelogramo ABCD: AB=3, BC=5 y AC=7. Calcular la mËA. A) 30 B) 53 C) 45 D) 60 E) 75

D) 13

E) 14

08. En la figura, ¿cuánto mide el radio de la circunferencia si el radio R = 9?

02. En la figura el radio R=12. Calcular “x”

A) 1 D) 6 A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

B) 5 E) 4,5

09. En la figura: AB=BC=AC=2 DM=MC=3. Calcular OM.

C) 4

, “O” es centro y

03. Si en un triángulo ABC, se cumple que: ; uno de los ángulos del triángulo medirá: A) 45 B) 60 C) 120 D) 135 E) 105 04. En un triángulo ABC se trazan la bisectriz interior (D en ) y la mediana tal que BD=DM. Calcular AC; si (AB)(BC)=144 A) 12 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24 05. Las longitudes de los lados de un triángulo están representados por tres números enteros consecutivos. Si la medida del ángulo mayor es el doble de la medida del menor, calcular la longitud del mayor lado del triángulo A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10 06. En la figura se muestra dos circunferencias concéntricas. Si AQ2 + QD2 =100, calcular PB2+PC2

A) 1 D) 4/5

B) 2 E) 3/2

C) 3

10. En la figura O, A y P son centros. Si: OB= calcular “x”

A) 0,5

B) 1

D)

E)

C) 1,5

11. En el gráfico calcular MN, si: “O” y “O1” son centros; AN = 3; NB = 5

A) 10 D) 81

B) 120 E) 64

C) 100

07. En un trapecio las bases miden 12 y 26 y los lados no paralelos miden 13 y 15. Calcular la longitud de la altura de dicho trapecio. A) 10 B) 11 C) 12

A) 5,5 D) 6

B) 6,5 E) 7

12. Si AQ=9 y QC=4, calcular BQ

C) 7,5

,

14. Se tiene un cuadrilátero ABCD, donde AB=CD, BC=9, BD=10, AC=13, además mËBDC=mËBAD+mËADB. Calcular : AB A) 4 B) 5 C) 6 D) 10 E) 8

A) 2

B) 18

D)

E) 10

C) 3

13. En un triángulo acutángulo ABC, se cumple que : BC= a, AC = b y AB = c además : a2=c2+bc; mËABC=63. Calcular : mËACB A) 30 B) 45 C) 37 D) 39 E) 38

15. La circunferencia inscrita en un triángulo ABC, es tangente a en D. Calcular BD, si AB = 5; BC = 7; AC = 6 A) 5,5 B) 4,5 C) 6 D) 5 E) 4 16. Sea ACB un triángulo rectángulo en “C’, cuya hipotenusa mide “d”. Se divide la hipotenusa en tres segmentos de igual longitud por medio de los puntos “M” y “N”. Entonces la suma de los cuadrados de las medidas de los lados del triángulo CMN es igual a : A)

B)

D)

E)

C) d

2

17. Se tiene el trapecio ABCD: tal que: AB=9; BC=6; CD=13 y AD=16. Calcular la medida del segmento que une los puntos medios de las bases. A) 10 B) 11 C) 12 D) 9 E) 11,5 18. En un triángulo ABC se tiene que AB=10, BC=4 y AC=9. Calcular la medida de la bisectriz exterior BQ (Q en la prolongación de ) A) 2

B) 5

D) 4

E) 2

C) 5

19. Se tienen dos circunferencias concéntricas de radios “r” y “2r”. En la circunferencia mayor se ubican los puntos A; B y C tal que AB = BC = AC. En la circunferencia menor se ubica el punto “P” 2 2 2 próximo a “B”. Si (AP) +(BP) + (CP) = 15. Calcular “r” A) 1

B)

D) 2

E)

C)

20. En la figura adjunta el lado del triángulo 2 2 equilátero ABC mide 4. Calcular : PA - PB 3 PC

A) 4 D) 32

B) 8 E) 9

C) 16

TAREA 01. Los lados de un triángulo ABC miden AB=13, BC=20 y AC=21. Calcular la distancia del baricentro al lado . A) 2

B) 3

D) 5

E)

C) 4

02. Los radios de dos circunferencias miden 7 y 5, y la distancia entre sus centros es 14. Si un punto exterior dista de las dos circunferencias 8, calcular la distancia de dicho punto a la línea que une los centros. A) 10

B)

D)

E) 13,2

C) 12

03. En el triángulo ABC, calcular la medida del ángulo A, si se cumple que: 2 2 2 2 2a = b + c + (b+c) A) 105 D) 120 04. De la figura Calcular PH

B) 60 E) 135

C) 90

es diámetro FB=2AH=4.

A) 2

B)

D) 8

E) 2

C) 4

05. En el romboide ABCD, donde AB=13; BC=20 y AC=21. Calcular PD

A) 10,5 D) 13,75

B) 10 E) 15

C) 12

06. Se tiene un triángulo ABC tal que: AB=BC=2AC.

Si la distancia de “B” a la bisectriz interior del ËA mide , calcular AC A) 1 D) 3

B) E) 4

C) 2

07. De la figura calcular BP; si: (AB).(BC)=32 y BP=PQ

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

08. Siendo ABCD un romboide, MB=MD, MN=1 y AD=DE=3, calcular : 2 2 K = 4(AM) + (BD)

A) 85 D) 90

B) 95 E) 92

C) 80

09. Del gráfico, calcular AC, si: AB = 2AC, BH =

A) 1 D) 3

B) 2 E) 4

C) 2

10. ABCD es cuadrado de lado igual a “4”. Calcular : PR

A) 2

B) 2

D) 3

E)

C) 2

PROBLEMAS DIVERSOS DE RELACIONES MÉTRICAS 01. La bisectriz del ángulo recto de un triángulo rectángulo, cuyo perímetro es 60, divide a la hipotenusa en dos segmentos tales que la medida de uno de ellos es 2,4 veces la medida del otro. ¿Cuánto mide la hipotenusa? A) 24 B) 15 C) 30 D) 25 E) 26 02. En la figura “O” es centro, DE=3 y BC=4. Calcular AO

diámetros, A) 2

B) 6

D) 6

E) 4

C) 3

07. En la figura AB = 3BC = 6. Calcular DT (“T”, punto de tangencia) A) 3,5 D) 7

B) 4,5 E) 12

03. En el gráfico “O” es centro y AB.AC=72, calcular “r”

A) 3

B) 3

D) 6

E) 4,5

C) 5 es diámetro. Si

B) 3 E) 4

B) 2

D) 2

E)

C) 2

C) 6 08. Si : B y C son puntos de tangencia, EC = 4 y AE = 16, calcular CD

04. Del gráfico adjunto calcular : PC, si: BC= AB=AC, O: Centro

A) 2 D) 1

A) 3

;

C) 1,5

05. En la figura adjunta “T” punto de tangencia. OP=9; PL=6. Calcular PT, si: O: Centro

A) 4/7 D) 7/4

B) 8/5 E) 6/5

C) 5/6

09. En un triángulo acutángulo ABC: “H” es ortocentro. Si AC2+BH2=100, calcular la medida del circunradio A) 2,5 B) 4 C) 5 D) 5 A) 6 D) 12

B) 6 E) 15

C) 5

E) 10

10. En un rectángulo ABCD (AB>BC) si: AB=a, BC=b, calcular la longitud de la proyección de la diagonal sobre

06. Si : r.(DC) = 6 y EM = MC, calcular DF (“F” punto de tangencia) A)

B)

C)

D)

E)

11. En el gráfico adjunto calcular : OT, si AP=4

A) 4

B) 3

D) 2

E) 2

C) 5

12. De la figura adjunta A, B : Puntos de tangencia. Calcular AB, si : BL = 3

A)

B)

C)

D)

E) N. A

15. De la figura: P, T, L : Puntos de tangencia. Calcular BP, si OT=

A) 2

B) 5

D) 3

E) 5

C) 6

13. Calcular QT del gráfico adjunto, si : AP = 4 y BQ =9

A) 5

B) 6

D) 8

E) 2

14. En la figura calcular “x”

C) 7

A) D) 4/3

B) 2 E) 2

16. De la figura adjunta: Calcular EF.

A)

B) 2

D) 3

E)

C)

/2

: diámetro GF=4, EH=2.

C) 4

17. En la figura : PQ = a y QL = b. Calcular : PT

A)

B)

D) 2

E)

C)

18. En la figura, hallar NF, si : ME = 12 y EN = 4 “O” : Centro

A) 6

B) 4

D) 9

E) 4

C) 5

19. De la figura adjunta: O: Centro, AN=5; NC=4. Calcular BC

A) 5

B) 6

D) 3

E) 4

C) 8

20. Los lados de un cuadrilátero inscrito, considerados en forma consecutiva, miden 1; 2; 3 y 4. Calcular la longitud de la diagonal menor del cuadrilátero. A)

B)

D)

E)

C)

TAREA 01. En una circunferencia de centro “O” y radio 15, se ubica una cuerda y en ella se toma el punto “P”, tal que: AP.PB = 200. Calcular OP

D) 5 02.

son diámetros. Calcular “x”, si: AB= 2ED

A) 2

B) 3

C) 4

E) 6

D) 4

E) 8

07. Calcular TB, si AT = 4, BC = 2 y “T” es punto de tangencia.

A) 90 D) 106

B) 120 E) 60

C) 105

03. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 2 calcular MC

,

A) 1 D) 2,5

B) 1,5 E) 3

C) 2

08. En la figura calcular “x”, si ABCD es un cuadrado

A) 2 D) 8

B) 4 E) 10

C) 6

04. En el gráfico, calcular PQ/QF, “O” es centro

A) R/2 D) R/5

B) R/3 E) 2R/3

C) R/4

09. Calcular á, si :

AE=EC; BE=3, EF = 2

A) 1/2 D) 3/5

B) 2/3 E) 1/3

C) 1/4

05. Calcular AF, si : BF = 3 m y FC = 12 m A) 53 D) 45

B) 37 E) 30

C) 36

10. Del gráfico adjunto A, B y C : puntos de tangencia. Calcular el valor del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC. A) D) 6

m

B) 2 m

m

C) 8 m

E) 6 m

06. Hallar : DE, si AC = 12 y BD = 4

A) A) 6

B) 3

C) 5

B)

C)

D)

E) 2(

)

POLÍGONOS REGULARES Se llama polígono regular al polígono equiángulo y equilátero a la vez. Todo polígono regular se puede inscribir y circunscribir a circunferencias concéntricas, siendo el centro de éstas el centro del polígono regular. Se llama apotema de un polígono regular al segmento perpendicular trazado desde su centro a cualquiera de los lados. Se llama triángulo elemental de un polígono regular al triángulo isósceles cuyo vértice coincide con el centro del polígono regular, sus lados congruentes son circunradios, su base es el lado del polígono regular y el ángulo en el vértice es el ángulo central del polígono regular.

b) Si AB = ln 3 m

c)

=

Cálculo del apotema de un polígono regular:

ESTUDIO DE LOS PRINCIPALES POLÍGONOS REGULARES 01. TRIÁNGULO EQUILÁTERO ELEMENTOS 1) Centro: “O” 2) Lado:

(AB=ln)

3) Apotema:

(OH=an)

4) Ángulo central: ËAOB (mËAOB=án) 5) Inradio: 6) Circunradio:

(ON=R)

7) Triángulo elemental:

AOB

OBSERVACIONES : a) Para todo polígono regular el cálculo de la medida del ángulo central es: mËCentral =

02. CUADRADO

06. DECÁGONO REGULAR

03. PENTÁGONO REGULAR

04. HEXÁGONO REGULAR

05. OCTÁGONO REGULAR

07. DODECÁGONO REGULAR

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. El perímetro de un hexágono equiángulo convexo es 12. Calcular la medida del radio de una circunferencia inscrita en dicho polígono. A) D) 1,5

B) 2 E) 3

, AB = 2 y CD =

- 1. Calcular “è”

C) 0,5

02. En la figura ABCD es un cuadrado cuyo lado mide , A y D son centros de los cuadrantes. Calcular EC

A) 75 D) 135

B) 105 E) 126

C) 120

05. Calcular el circunradio de un triángulo ABC, si AC = 2 y mËB = 54 A) 1 D) 4 03. Si:

B) 2 E) 5 ; r=

+1, m

C) 3

=60 y m

A) 2( =120,

D)

- 1)

B)

-1

C)

E)

calcular “x” 06. En un triángulo ABC recto en “B” se traza la altura . Calcular BH, si AC=4; mËC=11,25

A) 1

B) 1,5

D) 2,5

E)

C) 2

04. Del gráfico, el radio de la circunferencia mide

A)

B)

D)

E)

C)

07. Se tiene un cuadrado ABCD inscrito en una

circunferencia cuyo radio mide : . Calcular la distancia del vértice “A” al punto medio del arco A) 2

B)

D)

E) 1

C)

08. En un heptágono regular ABCDEFG se cumple que:

. Calcular el perímetro del

heptágono regular A) 49 m B) 70 m D) 25 m E) 63 m

C) 35 m

09. En un trapecio ABCD de bases

E) (

-1)/2

10. En la figura calcular EF, si m

B) 30 E) 37

C) 36

13. Se tiene un pentágono regular ABCDE, en el triángulo ACE la circunferencia inscrita es tangente en “M” y “N” a los lados y respectivamente. Calcular MN, si : AE = a A)

B)

D)

E)

C)

, se

sabe que : mËA=72, mËD=36 y CD = +1. Calcular AB A) 1 B) 2 C) -1 D) 4

A) 26 D) 45

= 55

14. Al trazar los segmentos que unen los puntos medios de los lados no consecutivos de un pentágono regular, se determina otro pentágono regular cuyo lado mide 1. Calcular la longitud del lado del polígono original A) (

+2)

B) (

D) (

+1)

E) 2

-1)

C) (

-2)

15. En un triángulo acutángulo ABC, donde AC= +1, se trazan las alturas . Calcular MF sabiendo que : mËABC=72

A) r

B)

D)

E)

C)

A)

B)

D) 1

E)

-1

C)

16. En la figura AB = BC = AC. Calcular “á” si EC = L4; BD = L5 y AF = L10

11. Sabiendo que el lado del dodecágono regular inscrito en una circunferencia mide , calcular la longitud del lado del polígono regular de 24 lados inscrito en la misma circunferencia A)

B)

D)

E)

12. Si AB es diámetro y m 2PQ y mËABQ = 4, calcular “á”

C)

= 112, AB =

A) 127 D) 124

B) 126 E) 123

C) 125

17. En un nonágono regular ABCDEFGHI se tiene que AB + BD = 8 . Calcular BG A) 8

B) 8

D) 16

E) 4

C) 16

18. En un triángulo ABC, se ubica el incentro I, luego la prolongación de interseca a la circunferencia circunscrita al triángulo ABC en

“F”. Si : mËBIC = 126 y AF = 2, calcular IC A)

B)

D)

E) 2

C) (

-1)

19. Si en un decágono regular ABCDE..., la suma de las medidas del lado y el circunradio es 10, calcular “AD” A) 3 B) 7 C) 10 D) 8 E) 6 20. En la figura, las dos circunferencias son congruentes; AB=AD y AC=2. Calcular: PC, si: es la sección áurea de

A) 1

B)

D)

E)

C)

-1

TAREA 01. Responder con (V) si es verdadero y con (F) si es falso: ( ) Respecto a una misma circunferencia: 2 2 2 (L5) = (L6) + (L10) ( ) En un cuadrado se cumple que: L4 = 2(ap4) ( ) Si “r” representa la longitud del radio de la circunferencia inscrita en un decágono regular y “R” de la circunferencia circunscrita, entonces:

A) FVV D) VVV

B) VFF E) VVF

en N. Calcular: QN

A)

B)

D)

E)

C)

03. En un triángulo acutángulo ABC; mËB=72 se trazan las alturas

. Si: AC =

B) 2,5

D) 4

E)

04. El

lado

de

C) 1

un pentágono regular mide (3 +

); calcular la longitud del lado de otro pentágono regular determinado al trazar todas las diagonales del primero A) 1

B)

D) 3 -

E)

C) 2

05. En un triángulo ABC, obtuso en “A”, se sabe que

C) VFV

02. En una circunferencia de centro “Q” y radio 2, se trazan los diámetros ortogonales entre sí. La recta que une el punto A con el punto medio “O” de , lado del exágono regular inscrito corta a

calcular: MN A) 2

,

AB = 2, BC = A) 18 D) 12

+ 1 y mËC=18. Calcular la mËB B) 16 C) 24 E) 30

06. En un exágono regular cuyo lado mide (2+ ) cm se inscribe un dodecágono regular de manera que sobre cada lado del exágono, se encuentre un lado del dodecágono. Calcular la longitud del lado del dodecágono

A)

cm

B)

D)

cm

E) 2

cm

C)

cm

cm

07. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se tiene que : AC = 8 m y mËC=9. Calcular la altura BH A)

-1

D)

B) 2(

-1)

C)

E)

08. En un decágono regular ABCDE..., la diagonal AD interseca a los radios en “P” y “Q”, respectivamente. Calcular AP, si AQ = 4 A) ( D) 3(

- 1)/2

B) (

+1)/2

-1)

E) 2(

-1)

C) (

-1)/4

09. Calcular la base mayor de un trapecio sabiendo que los otros tres lados miden (3- ) cm y que uno de sus ángulos mide 36 A) 2 cm B) 4 cm C) 6 cm D) 2( 10.

+1) cm

E) 4(

+1) cm

: diámetro, mËPQB = 75; QB = a. Calcular : PQ.

A) a

B)

D)

E)

C) a

ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES REGIONES POLIGONALES Una región triangular es un conjunto de puntos, reunión de un triángulo y su interior. Una región poligonal es la reunión de un número finito de regiones triangulares que se encuentran en un plano dado, tales que si dos cualesquiera de ellas se intersecan, su intersección es o bien un punto o un segmento. Las líneas punteadas en las figuras anteriores indican cómo se podría representar cada una de las dos

regiones poligonales mediante tal reunión. Las regiones triangulares de cualquier descomposición así se llaman regiones triangulares componentes de la región poligonal.

Donde “p” es el semiperímetro.

POSTULADOS

OBSERVACIONES:

01. Dada una unidad de área, a cada región le corresponde un número único, llamado área de la región.

a)

Para todo triángulo obtusángulo:

b)

Para un triángulo rectángulo.

c)

Para un triángulo equilátero

02. El área de una región poligonal es la suma de las áreas de cualquier conjunto de regiones componentes en el cual puede dividirse. 03. Si dos polígonos son congruentes, entonces las regiones polígonales correspondientes tienen la misma área. A continuación se presentan una serie de fórmulas para calcular el área de diversas regiones triangulares. FÓRMULA FUNDAMENTAL

FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA

FÓRMULAS ADICIONALES FÓRMULA DE HERÓN

01. En función del inradio

Donde “p” es el semiperímetro. 02. En función del circunradio

03. Para todo triángulo rectángulo.

03. En función del ex-radio

04. En todo triángulo:

RELACIÓN ENTRE LAS ÁREAS DE DOS REGIONES TRIANGULARES Donde “p” es el semiperímetro.

04. En función del inradio y los ex-radios.

01. Si dos triángulos tienen alturas congruentes, entonces la relación entre sus áreas será igual a la relación entre las medidas de sus respectivas bases.

Sea “r” la medida del inradio de un triángulo ABC y “ra”, “rb” y “rc” las medidas de sus tres exradios , entonces:

Si : BH=EM 3 CONSECUENCIAS OBSERVACIONES: 01. Dos figuras son equivalentes si tienen forma distinta pero igual tamaño. La siguiente figura muestra un círculo y una región triangular de igual área, es decir son equivalentes.

a)

Si en el triángulo ABC se traza la ceviana , entonces la relación entre las áreas de los triángulos ABD y DBC será igual a la relación entre “AD” y “DC”.

b)

Si en el triángulo ABC se traza la mediana

02. Para todo triángulo rectángulo

,

entonces los triángulos ABM y BMC serán equivalentes, es decir, tendrán áreas iguales.

3

c)

Si “G” es el baricentro del triángulo ABC, entonces:

03. Si dos triángulos tienen ángulos congruentes o suplementarios, entonces la relación entre sus áreas será igual a la relación entre los productos de las medidas de los lados que forman dichos ángulos.

Si á=â 0

02. Si dos triángulos son semejantes entonces la relación entre sus áreas será igual a la relación entre los cuadrados de sus elementos homólogos.

Si

ABC~

MNL, entonces:

Siendo “k” la razón de semejanza

CONSECUENCIA Si:

//

y

//

Si è+ù=180 0

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Se tiene una circunferencia de radio igual a 10, en ella se inscribe un triángulo isósceles, cuya base mide 16. Calcular el área de la región triangular correspondiente A) 16 B) 18 C) 32 D) 24 E) 28

punto de tangencia

02. Dos lados de un triángulo miden a y b. Calcular el área de la región correspondiente tomándose su máximo valor A) ab D)

B) (ab)

E)

C)

(ab)

(ab)

03. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, se construye exteriormente el cuadrado ACDE. H es la proyección del punto “D” sobre . Si AB= 4 y BC = 6, calcular S(DEH) A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30

A) 1/2 D) 2/5

B) 2/3 E) 1/8

C) 1/4

07. La circunferencia inscrita a un ÄABC es tangente a en M y a en N; las prolongaciones de se intersecan en “P”. Calcular la relación de las áreas de los triángulos MPA y PBC, si : AB = 5; BC= 7 y AC = 6 A) 2/3 B) 3/4 C) 1/5 D) 2/5 E) 3/5 2

04. Se tienen tres circunferencias tangentes exteriores dos a dos, cuyos radios miden r1; r2 y r3. Si : r1 + r2 + r3 = r1 . r2 . r3 = 6 calcular el área de la región triangular cuyos vértices son los centros de las circunferencias A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

2

08. En la figura : S1 = 35 m ; S2 = 30 m ; S3=40 2 m . Calcular “Sx”

05. En un exágono equiángulo ABCDEF se sabe que BC = 3; DE = 2, EF = 4 y AF = 1. Hallar el área de la región exagonal A) 14

B) 7

D) 35

E)

C)

06. Según la figura, calcular la razón de las áreas de las regiones sombreadas, si CD=2(AB) y A es

A) 48 m 2 2 D) 66 m

B) 52 m 2 2 E) 70 m

C) 56 m 2

09. En un ÄABC, recto en B, se trazan las bisectrices interiores , siendo “I” el incentro de dicho triángulo. Calcular:

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

10. De la figura calcular “Sx”, si S1 = 9 y S2 = 4 y AM = MC 2

2

A) 256 u 2 D) 244 u

B) 224 u 2 E) 212 u

C) 236 u

2

15. Según la figura mostrada calcular el área de la región sombreada. Si ED = 10 m y AP=6 m (O : centro del cuadrado ABCD)

A) 15 B) 20 C) 18 D) 36 E) 24,5 11. En un triángulo ABC la circunferencia ex-inscrita es tangente a y a la prolongación de en M y N respectivamente. Calcular el área de la región triangular BNM, si: AB=7 u; BC = 8 u y AC =9u 2

B) 2,5

u

2

E) 3,5

u

A) 2

u

D) 4

u

2

C) 3

u

2

A)

u

2

B)

u

C)

u2

D)

u2

E)

u

2

13. Según el gráfico “T” es punto de tangencia y OT=LE+TB=8 cm. Calcular el área de la región sombreada

2

2

2

16. El área de un triángulo ABC es 72 m , por el baricentro “G” se trazan paralelas a ,

D) 9 u2

B) 54 cm 2 E) 64 cm

C) 66 m

que intersectan a en los puntos E y F respectivamente. Calcular el área de la región triangular EGF 2 2 2 A) 6 u B) 7 u C) 8 u

2

2

2

B) 55 m E) 65 m 2

2

12. En un triángulo ABC la circunferencia inscrita es tangente a en M y N respectivamente. Calcular el área de la región triangular MCN si: AB = 8 u; BC=15 u y AC = 17 u

A) 36 cm 2 D) 48 cm

2

A) 45 m D) 75 m 2

C) 24 cm

2

14. Calcular el área de la región triangular sombreada, si AB = 32 y BC = 18 (P; Q y T son puntos de tangencia)

E) 10

u2

17. La circunferencia inscrita a un ÄABC es tangente a en M y a en N. Las prolongaciones de se intersecan en P. Calcular la relación de las áreas de los triángulos MPA y PBC, si AB = 5, BC = 7 y AC = 6 A) 2/3 B) 3/4 C) 1/5 D) 2/5 E) 3/5 18. Si G es el baricentro del triángulo ABC recto en B, la distancia del baricentro de dicho triángulo a los puntos medios M y N de los lados miden 5 u y 3 u respectivamente. Calcular el área de la región triangular AGN 2

B) 3

u

2

E) 5

u

A) 4

u

D) 4

u

2

C) 3

u

2

2

19. Los lados de un triángulo ABC son 13; 14 y 15 m. Determinar el área de la región triangular donde

sus lados son las medianas del triángulo ABC 2 2 2 A) 84/3 m B) 63 m C) 42 m 2 2 E) 66 m D) 58 m 20. En la figura AP.PQ = 16. Calcular Sx

A) 8 D) 16

B) 4 E) 20

C) 12

TAREA 01. Los lados de un triángulo miden . Calcular el área de la región correspondiente A)

B)

D) 2

E)

C)

02. Dado un triángulo cuyo inradio mide 4; se sabe que la circunferencia inscrita determina en uno de los lados, segmentos que miden 6 y 8. Calcular el área de la región correspondiente A) 80 B) 82 C) 84 D) 86 E) 88 03. Hallar el área del triángulo TOK, si el área del 2 triángulo AOB es 6 m

A) 4,5 m 2 2 D) 3 m

B) 5,5 m 2 2 E) 1,5 m

C) 6 m 2

04. En un cuadrado ABCD se ubica un punto “M” interior tal que mËAMD=90 y el producto de las áreas de las regiones triangulares AMB y CMD es 4 48 cm . Calcular el área de la región triangular AMD A) 2

cm 2

D) 3

2

cm

B) 2

cm 2

E) 4

2

cm

C) 6

cm 2

05. El exradio relativo al lado de un ÄABC mide 4. Calcular el área del ÄABC, si los segmentos determinados por la circunferencia exinscrita sobre el lado mide 1 y 2 A) 12/5 B) 12/7 C) 15/4 D) 18/5 E) 21/8 06. En un rectángulo ABCD se traza una semicircunferencia inscrita de diámetro

y

también otra semicircunferencia de diámetro las cuales se intersectan en el punto T. En el arco AT de la mayor se ubica el punto P tal que intersecta a la menor en R. Si RP = a, calcular S1 - 4S2, siendo S1 y S2 área de las regiones BRA y APD A)

B)

D)

E) 2a

C) a 2

2

07. Según el gráfico AM = MB, CN = 3BN = 9 y . Calcular el área de la región sombreada

A) 9

B) 12

D) 99

E) 18

08. De la figura adjunta, calcular :

C) 9

, si

=106;

B y C puntos de tangencia

A) 9/7 D) 9/16

B) 25/9 E) 14/9

C) 25/16

09. En la figura AB = 2 y BC = 7. Calcular S(MBO)

A) 1,5 D) 3

B) 2 E) 3,5

C) 2,5

10. En un triángulo ABC recto en “B” se traza la ceviana tal que la mËBPA = 45. Si el área de la región triangular PIC es 20, “I” es incentro del triángulo ABC, calcular el área de la región triangular, determinada al unir el ortocentro, el incentro y el circuncentro del triángulo ABC A) 5

B) 5

D) 20

E) 10

C) 10

ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES REGIÓN CUADRANGULAR Es una región plana, que está limitada por un cuadrilátero, esta región puede ser convexa o no convexa. Cálculo del Área:

Rombo

ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES (FÓRMULAS)

ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL

ÁREA DE UNA REGIÓN PARALELOGRÁMICA

Cuadrado

Rectángulo

PROPIEDADES SOBRE ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES

t

t

MNPQ: ROMBOIDE

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Sobre los lados de un triángulo ABC se construyen los cuadrados ABFL y BCQR, exteriores al triángulo. Hallar el área de la región cuadrangular AFRC, siendo AR = 8 u

A) 16 u2 D) 24 u2

B) 18 u2 E) 32 u2

C) 20 u2

02. Calcular el área del romboide ABCD, si AC=15

EO = 2

A) 36 D) 72

B) 54 E) 108

C) 48

03. En el gráfico: ( ); AM = MB; CN= ND; S1 = 4; S2 = 9. Calcular Sx

A) 6 D) 12

B) 8 E) 15

07. En un romboide ABCD siendo “O” punto de intersección de las diagonales, si las distancias de “O” a los lados son 2 u y 3 u respectivamente y mËABC=135. Calcular el área de la región ABCD 2

A) 12

u

2

D) 20

A) 13

B) 12

D) 15

E)

C) 16

u

B) 16 E) 24

u

2

u

C) 18

u

2

2

08. En una semicircunferencia de diámetro y centro se ubican los puntos P; Q y R. Calcular el área de la región limitada por el rombo PQRS tal que QS = 2(SO)=2a, (S 0 ) A) a

04. Calcular el área de la región rectangular ABCD, si BP = 2 y PD = 1

C) 10

2

D) 2a

2

B) a

2

E) a

2

C) 2a

2

09. En un rombo ABCD en se ubica el punto medio M. Las diagonales del rombo intersectan a en N y Q respectivamente. si : NQ=5 u y mËBAD=74. Calcular el área de la región limitada por el rombo A) 284 u2 B) 216 u2 C) 324 u2 2 2 D) 356 u E) 420 u 10. En los lados de un cuadrado ABCD, se ubican los puntos E y F respectivamente de modo A)

B) 2

D) 4

E) 2

C)

05. En un triángulo ABC de incentro “I”, AB=2 u, BC=4 u y AC=3 u. Calcular el área de la región trapecial AMNC, sabiendo que M 0 ; I 0 MN y N0 A)

B)

D)

E)

C)

que EB=FD=2 y EF= . Calcular el área de la región cuadrada ABCD A) 25 B) 24 C) 18 D) 36 E) 15 11. En un trapecio ABCD AD=4BC, se inscribe un rectángulo PQRS, tal que : Q 0 ,R0 y “P” con “S” están ubicados en . Calcular la razón de áreas de las regiones limitadas por dichos cuadriláteros, si AQ=2QB A) 8/19 B) 7/16 C) 9/1 D) 2/3 E) 8/15 12. Calcular Q/P, AE=EM=MD

06. Calcular el área del rectángulo ABCO, si EM= 3 y

, ABCD: romboide y

17. En un romboide ABCD la semicircunferencia de diámetro pasa por “B” e interseca a en “P”. Si BP = 8 y PC = 2, calcular el área del romboide ABCD A) 16 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40

A) 2 D) 4/1

B) 3 E) 7/3

18. Se tiene un cuadrilátero bicéntrico ABCD tal que AB = 6; BC = 5 y CD = 9. Calcular la medida del radio de la circunferencia inscrita

C) 5/3

13. En un trapecio isósceles ABCD

se

traza (H 0 ). Calcular el área de la región trapecial ABCD, si AC = 6 u y BH = 2 u 2

B) 6

u

2

E) 12 u

2

A) 8

u

D) 8

u

2

C) 5

u

B) 2

D) 2

E) 3

C) 3

19. Una circunferencia es tangente a los lados de un rectángulo ABCD y además contiene a C, dicha circunferencia intersecta a en “M”. Calcular el área de la región cuadrangular ABMD, si AB = 9 u, AD = 8 u 2 2 2 A) 8 u B) 32 u C) 16 u 2 2 D) 40 u E) 24 u

2

14. En un cuadrilátero convexo, ABCD, M; N; Q y R son puntos medios de respectivamente, en la prolongación de se ubica el punto F y la suma de las áreas de las 2 regiones triangulares RMF y QNF es 10 m . Calcular el área de la región cuadrangular ABCD 2 2 2 A) 40 m B) 36 m C) 20 m 2 2 D) 25 m E) 50 m 15. En un cuadrante AOB de radio 2 en

A) 1

20. Se tiene un rectángulo ABCD, desde “D” se traza , luego se traza perpendicular a la prolongación de . Si BF=6 y DE=4, calcular el área de la región cuadrangular ABCD A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 80

se ubica

el punto “C” de modo que la longitud del segmento que une los puntos medios de es igual a . Calcular el área de la región cuadrangular ACBO A) 3

B) 2

D)

E) 2

C) 2

16. En la figura , r = 6, BC = 7 y CD=13. Calcular el área de la región cuadrangular ABCD

A) 140 D) 145

B) 168 E) 196

C) 136

TAREA 01. Sobre los lados de un cuadrado se construyen

exteriormente triángulos equiláteros. Calcular el

área del cuadrilátero que se forma al unir los vértices libres de los triángulos equiláteros, si el lado del cuadrado mide “b” A) b2( 2

D) b (2+

+1) )

B) b2(2 2

E) b (4+3

-1) C) 3b2 )

02. Se tiene dos circunferencias concéntricas de centro “O”. Se traza la cuerda que es tangente a la circunferencia menor, si los radios intersectan en N y M respectivamente OA = R y mËAOB=120. Calcular el área de la región cuadrangular ANMB A)

B)

D)

E)

(H 0 ), siendo APHM un rombo. Calcular la relación entre las áreas de las regiones ABQM y QMC B) 2:1 E) 5:2

C) 3:1

04. Calcular el área del rombo ABCD, si AP = 9 y DP = 13

A)

B) 24

D) 12

E) 8

D) 4(4 +

) )

B) 3(3+

)

E) 2(2+

)

C) 3

06. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 8 u, la 2 región cuadrangular ECGF es de área 4 u . EFGH es un cuadrado donde . según se muestra la figura. Si BN=NA, AM=MD, determinar EF.

C)

03. La circunferencia inscrita en un ÄABC, recto en B, es tangente en P; Q y M a los lados , respectivamente. Luego se traza

A) 1:1 D) 4:3

A) 2(3+

C) 3

05. Calcule el área de la región paralelográmica BCDK, si SK = KE = 2 y (T: punto de tangencia).

A)

B) 2

D) 4

E) 2

C) 3

07. En un cuadrante AOB de radio 2 en

se ubica

el punto “C” de modo que la longitud del segmento que une los puntos medios de es igual a . Calcular el área de la región cuadrangular ACBO A) 3

B) 2

D)

E) 2

C) 2

08. El área de la región correspondiente a un cuadrado es 100. En el cuadrado se inscribe un rectángulo, cuya diagonal mide 12. Calcular el área de la región rectangular A) 10 B) 24 C) 28 D) 30 E) 36 09. Calcular el área de la región correspondiente al cuadrado ABCD, si AD = DQ

A) 4S D) 8S(2+

B) 5S )

C) 6

S

E) 12S

10. En la figura: “H” es ortocentro del ÄABC, y AB = 8. Calcular el área de la región sombreada

A) 64 D) 32

B) 50 E) 24

C) 48

ÁREA DE REGIONES CIRCULARES 01. CÍRCULO

El círculo es una porción de plano limitado por una circunferencia

02. CORONA CIRCULAR

Es aquella parte del círculo mayor, limitada por 2 circunferencias concéntricas. 2 2 Área = ð(R - r ) T: Punto de tangencia

03. SECTOR CIRCULAR: Es aquella porción de círculo limitada por un ángulo central y su arco correspondiente.

De la figura adjunta La región sombreada se denomina faja circular S ÷ Área de la faja á y â ÷ Medida de los ángulos centrales R: Radio de la À

LÚNULA Es una región plana no convexa limitada por dos arcos de circunferencia secante. 04. SEGMENTO CIRCULAR: Es aquella porción de círculo determinada por una cuerda de dicho círculo.

De la figura adjunta la región sombreada es una lúnula, limitada por los arcos AMB, ANB LÚNULAS DE HIPÓCRATES

05. FAJA CIRCULAR:

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Calcular el área de la región no sombreada si la sombreada es “S”

A) S D) S/3

B) S/2 E) 4S/5

C) (3/4)S

02. Según el gráfico, calcular la razón entre el área del círculo y el área de la región triangular ADB

A) ð D) ð/2

B) 2ð E) 3ð/4

04. Si PQ=6, calcular el área de la región sombreada (O; O’ y O’’ son centros)

A) 4ð D) 36ð

B) 9ð E) 12ð

C) 18ð

05. En la figura “T” y “O” son centros; S1=6; S2=11. Calcular Sx

C) 3ð

03. Calcular el área de la hoja circular, si el lado del cuadrado mide

A) 4 D) 4

B) E) 3,5

C) 5

06. El área de una corona circular de 2 m de espesor es 32ð. Calcular el radio mayor A) 4 D) 8

B) 5 E) 9

C) 6

07. Calcular el área de una faja circular limitada por el lado de un hexágono regular y el lado de un triángulo equilátero inscritos en la misma circunferencia de radio A) ð D) ð - 2

B) ð + 3 E) 2ð - 1

C) ð +

A) ð

B) 2ð

D) 3ð

E)

C) ð/2 ð

08. En una circunferencia de radio “R” y centro “O”, se divide en 3 partes iguales por los puntos A, B y C sobre tomados como diámetro se construyen 3 circunferencias. Calcular el área del rosetón de tres lóbulos que se forma.

A)

B)

C) (ð 2 E) ða

2

)R

D)

ð

09. En la figura ABCD es un cuadrado de área “S”, “A” es centro, AC=AE. Calcular el área de la parte sombreada

A) S D) S/4

B) S/2 E) 2S/3

+11ð

D) S1 - S2

E) 2S1 - S2

C)

13. En la figura la suma de las áreas de las regiones 2 sombreada es igual a 40 m . Calcular el área del exágono regular ABCDEF

2

de radios y 3 . Calcular el área de la región limitada por un triángulo mixtilíneo al trazar la tangente exterior común. D)

B)

C) S/3

10. Se tiene dos circunferencias tangentes exteriores

A)

A)

B) 13

+ð

E) 24

-11ð

A) 40 m 2 D) 70 m

2

B) 50 m 2 E) 80 m

C) 60 m

2

14. Si : S1=S2, calcular la relación entre a, b, y c

C) 12

11. Calcular el área de la región sombreada; en el cuadrado de lado a. A, B, O y O’ son centros.

A) a.b = c B) a + c = 2b C) a2 = bc 2 2 2 D) 2c = a + b E) a2 + b2 = c2 15. Calcular el área de la región sombreada si CDEF es una región cuadrada cuya área es 4

A) D) ða

B) 2

C) 2

E) a /4

12. Siendo diámetros, calcular el área de la región triangular ABC

A)

ð

B)

D)

ð

E)

C)

ð

16. Según el gráfico, calcular el área del segmento circular sombreado si mËPDB=82,5 y AB=12

A) 3(4ð-5 D) 2(ð-

) )

B) 2(ð-3) E) 3(3ð-2

C) 3(ð-3) )

17. Según la figura N y B son puntos de tangencia, AOCD es un trapecio isósceles donde AD=22 y R=8. Calcular el área de la región sombreada

A) 1016ð/45 D) 1616ð/45

B) 1106ð/25 E) 1621ð/15

18. Según el gráfico AB=4 y

C) 1108ð/45

=37 (P y Q son

puntos de tangencia). Calcule el área de la región sombreada

A) 3ð D) 2ð

B) ð E) 4ð

C) 3ð/2

19. En la figura mostrada, hallar el área sombreada si : AOB es un cuadrante de radio “R”, OM=MA y ð=3

2

A) 11R /20 2 D) 4R

2

B) 9R /20 2 E) 4R /13

2

C) 7R /15

20. Según el gráfico mËBAC=60 y AM= el área de la región sombreada

. Calcular

A)

B) 2ð-

D) 3ð-

E) ð

C)

TAREA 01. En la figura, calcular el área de la región sombreada, si AO1=O1O2=O2C=BC=R

A)

B)

D)

E)

C)

05. Calcular el área de la región comprendida entre la circunferencia inscrita y circunscrita a un triángulo de 30 y 60 cuya hipotenusa mide 2R A)

B)

D)

E)

C)

06. Del gráfico mostrado ABCD es un cuadrado. Si: S1 + S2 + S3 = 8, calcular: S

02. Según el gráfico Q dista de . Calcular el área de la región sombreada (P y O son puntos de tangencia)

A) 16 D) 8

A) 36ð D) 18ð

B) 20ð E) 16ð

C) 24ð

B) 12 E) 4

C) 15

07. En la figura mostrada, se muestran las circunferencias inscrita y circunscrita al triángulo equilátero ABC. Si BC = 12, calcular el área de la región sombreada.

03. En la figura, calcular el área de la región sombreada, si R=

A) (2+ð) D) (14+ð)

B) (5+2ð) E) (9-2ð)

C) (9+2ð)

04. Según el gráfico, calcule el área de la región sombreada si CP= tangencia)

A) ð D) 5ð/2

A) 10ð D) 16ð

B) 12ð E) 18ð

C) 14ð

08. Calcular el área de la región sombreada si TQ=8; P y Q puntos de tangencia OQ=QP

(T, P y Q son puntos de

B) 3/2ð E) ð/3

C) ð/2 A) 12(ð-2)

B) 15(ð-3)

C) 9(ð-30)

D) 4(ð-2) 09. Del gráfico m

E) 10(ð-2) =36; m

=72 y OD=

,

calcular el área de la región sombreada

A) ð/2 D) 4ð

B) E) 2ð

C) 3ð

10. En la figura calcular el área “S” si se conoce el área “A” (O1 y O son centros de las semicircunferencias respectivamente)

A) 3A

B) 3/2 A

D) 4/3 A

R) A

C) 2A

GEOMETRÍA DEL ESPACIO : RECTAS - PLANOS ÁNGULOS ENTRE RECTAS ALABEADAS DETERMINACIÓN DE UN PLANO Un plano se determina por : v v v v

C. Alabeadas .- No son coplanares ni se intersectan

3 puntos no colineales 2 rectas paralelas 2 rectas secantes Una recta y un punto exterior

POSICIONES RELATIVAS Consideremos las posiciones relativas entre :

I.

DOS RECTAS : A. Paralelas .- Son coplanares y no se intersectan :

B. Secantes .- Son coplanares y se intersectan

= {P}

II.

DOS PLANOS : Pueden ser :

A. Paralelos .- Si los planos no se intersectan

B. Secantes .- Si se intersectan determinando una recta .................... TEOREMA : Si una recta es paralela a un plano, todo plano que pase por la recta y que corte al primero, le intersectará según una recta paralela a la dada

III

ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO Sea :

// P y

dQ YP1Q={

}

A. Paralelos .- Si no se intersectan Luego :

//

B. Secantes .- Se intersectan determinando un punto

COROLARIOS

1 P = { N}

1.

Dos planos paralelos determinan sobre dos rectas paralelas segmentos congruentes

2.

Toda recta paralela a dos planos que se cortan es paralela a su intersección

C. Recta contenida en el plano .- Si dos puntos de la recta pertenecen al plano

dP

RECTA PARALELA A UN PLANO Una recta es paralela a un plano cuando la recta y el plano no tienen ningún punto común. Para que una recta sea paralela a un plano es condición necesaria y suficiente que dicha recta, siendo exterior al plano, sea paralela a una recta contenida en el plano. Si :

dP Y

Y

// P,

TEOREMA DE TALES “Tres o más planos paralelos determinan sobre dos o más rectas secantes o alabeadas segmentos proporcionales”

era

L:1

perpendicular

: 2da perpendicular :3

era

zPy

Sean los planos : P // Q // R

perpendicular z

Y

z

ÁNGULO FORMADO POR UNA RECTA Y UN PLANO El ángulo que forman una recta y un plano se define como el ángulo formado por dicha recta y su proyección sobre el plano.

RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO Para que una recta sea perpendicular a un plano es condición necesaria y suficiente que dicha recta sea perpendicular a dos rectas secantes del plano : Es la proyección de L sobre P ËBAH es el ángulo formado por la recta L y el plano P

son secantes contenidas en el plano P y

Y

TEOREMA DE LAS 3 PERPENDICULARES “Si por el pie de una recta perpendicular a un plano se traza una segunda perpendicular a una recta contenida en el plano, entonces, al unir el pie de esta segunda perpendicular con un punto cualquiera de la primera, el segmento resultante será perpendicular a la recta contenida en dicho plano”

ÁNGULO Y DISTANCIA ENTRE 2 RECTAS ALABEADAS “El ángulo formado por dos rectas alabeadas se considera como el ángulo formado por una de las rectas alabeadas, con una paralela a la otra” Del gráfico :

Si :

Luego : d : distancia entre

“è” !

Es la medida del ángulo formado por las B. Dos rectas paralelas

rectas alabeadas “La distancia entre dos rectas alabeadas viene a ser la longitud del segmento de recta perpendicular a dichas rectas alabeadas y limitado por ellas”

H : Plano de proyección y Del gráfico : y MN : Es la mínima distancia entre las rectas alabeadas MÉTODO PARA CALCULAR LA DISTANCIA ENTRE 2 RECTAS ALABEADAS v

v

Es recomendable fijar un plano perpendicular a una de las rectas, el cual es denominado plano de proyección Luego, las proyecciones de dichas rectas sobre dicho plano pueden ser : A. Un punto y una recta, donde dicho punto no pertenece a la recta

H : Plano de proyección : Alabeadas P: Es proyección ortogonal de : Es proyección ortogonal de

sobre el plano “H” sobre el plano “H”

: Rectas alabeadas

y

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Se tiene 8 rectas paralelas en el espacio y 6 puntos cada cuatro no coplanares. Calcular el máximo número de planos que se pueden determinar A) 96 B) 68 C) 108 D) 136 E) 54 02. Se tiene en el espacio 6 puntos; 8 rectas paralelas y 10 rectas secantes. Calcular el máximo número de planos que se pueden determinar A) 206 B) 180 C) 201 D) 270 E) 281 03. Si una recta es paralela a un plano, entonces es cierto que: I. La recta no está contenida en el plano II. La recta es paralela a todas las rectas del plano III. Por dicha recta pasan infinitos planos paralelos al plano dado A) I B) I y II C) I; II y III D) I y III E) II y III 04. ¿Cuál de las siguientes proposiciones no es verdadera? A) Todos los planos paralelos a un plano dado son paralelos entre sí. B) Todos los planos paralelos a una recta son paralelos entre sí. C) Si un plano interseca a una de tres rectas paralelas, también interseca a las otras dos D) Si una recta es paralela a un plano la paralela trazada a dicha recta por un punto del plano, está contenida en el plano. E) Por cualquier punto exterior de un plano sólo puede trazarse un plano paralelo al primero. 05. La figura que a continuación se presenta es un cubo. ¿Cuál es la medida del ángulo que forman y ?

paralela a todas las rectas del plano ( ) Si una recta es paralela a uno de dos planos secantes, entonces, lo será necesariamente al otro ( ) Si una recta es perpendicular a un plano, entonces toda perpendicular a dicha recta (no contenida en el plano) será paralela a dicho plano ( ) Dos rectas son paralelas entre sí y paralelas a un plano Q, entonces el plano que las contiene será paralelo siempre a Q A) VFFFV B) VFFVF C) VFFVV D) VVFVV E) VFFFF 07. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es falsa? A) Dos rectas perpendiculares a una misma recta son paralelas entre sí B) Una recta y un plano exterior, perpendiculares a una misma recta son paralelas entre sí C) Por un punto de un plano solo puede pasar un plano que le sea perpendicular D) Todos los planos paralelos a una recta son paralelos entre sí E) Si una recta es perpendicular a una recta contenida en un plano todo plano que pase por la primera recta será perpendicular al plano 08. Responder verdadero (V) o falso (F) ( ) Si una recta forma un ángulo recto con una de tres rectas paralelas también lo formará con las otras dos ( ) Por un punto exterior a dos rectas alabeadas siempre se puede trazar una perpendicular a dichas rectas ( ) Si los planos en que se encuentran dos rectas alabeadas no son secantes, entonces la distancia entre ellas es perpendicular a ambos planos A) VFV D) FFF

A) 90 D) 60

B) 45 E) 53

C) 30

06. Indicar verdadero o falso de las siguientes proposiciones : ( ) Pueden dos rectas alabeadas pertenecer a dos planos paralelos ( ) Si una recta es paralela a un plano. será

B) FFV E) VVV

C) FVF

09. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es falsa? A) Por un punto exterior a un plano pasa un solo plano no perpendicular a él B) Dos rectas que forman ángulos iguales con un plano, son paralelos entre sí C) Dos rectas paralelas a un plano son paralelas entre sí D) En el espacio, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí E) Ninguna anterior 10. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en “B” por “A” se levanta la perpendicular

al plano

del triángulo ABC y luego se trazan perpendiculares a (“P” y “Q” en MQ=6 y PC=8, calcular : AC/MB A) 10

B) 4/3

D)

E)

). Si :

C)

11. Dos puntos A y B, situados a uno y otro lado de un plano X distan de dicho plano 6 y 9. Si la proyección de sobre el plano mide 30°, calcular la distancia entre los puntos “A” y “B” A) 15

B) 15

D) 12

E) 12

C) 12

12. Se tiene un plano “P” en el cual se halla un círculo de radio 5,5 y en el espacio el punto “A” cuya distancia al plano es 12. Si la mínima distancia de “A” a la circunferencia es 13, calcular la máxima distancia de “A” a la circunferencia A) 15 B) 16 C) 18 D) 20 E) 25 13. La diferencia entre las proyecciones de un segmento de recta sobre un plano “P” y sobre una recta perpendicular al plano es igual a 7 cm. Si el segmento mide un centímetro más que su proyección sobre “P”, calcular la medida del segmento A) 13 B) 5 C) 10 D) 10

E) 12

14. En la figura el plano R es paralelo al plano S; AM = MB y “G” es baricentro del triángulo ABC. Calcular : PG/GQ

A) 1/2 D) 1

B) 1/3 E) 1/6

C) 1/4

15. Uno de los catetos de un triángulo isósceles está contenido en un plano “P” y el otro forma con dicho plano un ángulo de 45°. Calcular el ángulo que forma su hipotenusa con el plano “P” A) 45° B) 30° C) 60° D) ArcSen

E) ArcCos

16. Por el extremo “A” del diámetro de una circunferencia se levanta una perpendicular al plano del círculo, sobre esta pependicular se toma un punto “M” y se une “B” con un punto “C” de la circunferencia. Calcular MC, si MB = 26 y BC = 14 A) 2 D) 18

B) 4 E) 20

C) 4

17. Los puntos A y B se encuentran a 8 y 4 cm encima de un plano horizontal, además la proyección de sobre el plano mide 9 cm. Calcular la longitud del menor camino de “A” a “B” pasando por un punto del plano. A) 13 B) 15 C) 17 D) 21 E) 14 18. Dado un triángulo ABC, equilátero, se traza , perpendicular al plano del triángulo. Si AE=BC, calcular la medida del ángulo con que se cruzan A) 75

B) 90

D) 150

E) ArcCos

C) 120

19. Se tiene un plano P y un punto exterior “S”, desde el cual se trazan las oblicuas , que forman con “P” ángulos que miden 30; 45 y 53 respectivamente. Si A, B y C se encuentran en el plano, y SB=8, calcular SA+SC A) 8

B) 12

D) 10

E) 13

C) 11

20. Dado un cuadrado ABCD, por “M” punto medio de se levanta perpendicular al plano del cuadrado tal que AB=PM=3. Se une “P” con “D” de modo que interseca en “E” al plano que pasa por y es perpendicular al plano del cuadrado. Calcular el área de la región triangular CED A) B) 2 C) 3 D)

/2

E) 2

TAREA 01. Se tienen los segmentos alabeados y perpendiculares tal que AB=12 y CD=16. Calcular la medida del segmento que une los puntos medios de A) 5 D) 10

B) 12 E) 13

C) 15

02. La hipotenusa de un triángulo rectángulo BVC, mide BC = 13. Por “V” se traza , perpendicular al plano BVC, de modo que AB=9 y AC=10. Si “M” es punto medio de , calcular la mËVMB A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 53 03. De las siguientes afirmaciones cuántas son incorrectas : ( ) Dos rectas en el espacio determinan un plano siempre ( ) Dos planos al intersecarse pueden determinar

un solo punto ( ) La intersección de tres planos es necesariamente una recta ( ) La proyección de un triángulo sobre un plano es siempre un triángulo ( ) Las rectas alabeadas pertenecen a un mismo plano A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 1 2

2

04. En un triángulo ABC, BC=6 y AC +AB =68. Por “A” pasa un plano tal que la perpendicular trazada del punto medio de al plano mide 3. Calcular la distancia del vértice “A” al pie de la perpendicular A) 3 B) 4 C) 5 D) 6

E) 3

05. Por el vértice A de un triángulo ABC, se levanta la

perpendicular

al plano del triángulo. Se

trazan . Si MQ = 5; PB = 6; MP=4 y mËBMC=30, calcular SBMC A) 15 D) 40

B) 20 E) 18

C) 30

06. De las siguientes afirmaciones cuántas son incorrectas: ( ) Dos rectas en el espacio determinan un plano siempre. ( ) Dos planos al intersecarse pueden determinar un solo punto. ( ) La intersección de tres planos es necesariamente una recta. ( ) La proyección de un triángulo sobre un plano es siempre un triángulo. ( ) Las rectas alabeadas pertenecen a un mismo plano. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E)1

09. Determinar el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde un punto del espacio a las rectas que se encuentran en un plano dado y que concurren en un punto A) Triángulo equilátero B) Un círculo C) Una circunferencia D) Una cuadrado E) Una elipse 10. Se tiene dos rectas alabaeadas

,

la mínima distancia entre ambas (“M” en “N” en

) . Sobre

B) E) 3

sobre un punto “Q”. ¿Qué ángulo forman las dos rectas si mËMPN=45, y mËNPQ=45 y mËMPQ=60? A) 30 B) 37 C) 45 D) 60 E) 90

C) 4,8

08. El radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero ABC mide

. Por B se

levanta perpendicular al plano del triángulo. Si BE = 1, calcular el área de la región triangular AEC A)

/4

D) 4

B) /3

/2

C)

E) 4

DIEDROS - DISTANCIA ENTRE RECTAS ALABEADAS ÁNGULO DIEDRO DEFINICIÓN: Un ángulo diedro es aquella figura geométrica formada por dos semiplanos que tienen una recta en común. A dicha recta se le denomina arista y a los semiplanos se les denomina caras ÁNGULO PLANO O RECTILÍNEO DE UN ÁNGULO DIEDRO: Es aquel ángulo cuyo vértice es un punto cualquiera de la arista y sus lados son perpendiculares a dicha arista y se encuentran en las caras del ángulo diedro. Un ángulo diedro será agudo, recto u obtuso según como sea su ángulo plano.

y

se toma un punto “P” y

07. Por el centro “O” de un cuadrado ABCD se levanta la perpendicular a su plano. Calcular la distancia desde “A” al plano SCD; OS = 4 y AB =6 A) D) 2,4

es

ELEMENTOS: Caras: P y Q

Aristas: AB Ángulo plano: è

forman cuatro ángulos diedros iguales.

NOTACIÓN Diedro PABQ ó diedro AB TEOREMA: Si desde un punto interior a un ángulo diedro se trazan dos rayos perpendiculares a las caras, se cumplirá que el ángulo formado y el ángulo diedro son suplementarios. Si :

En la figura, los planos P y Q son perpendiculares.

z plano P

TEOREMA Si una recta es perpendicular a un plano, entonces todo plano que la contiene será perpendicular al primer plano

z planto Q Entonces : x + y = 180

DEMOSTRACIÓN Por el teorema de las tres perpendiculares. y Y y

Y

En el cuadrilátero ANBO x + y =180°

PLANOS PERPENDICULARES Dos planos son perpendiculares si son secantes y

En la figura si la recta L es perpendicular al plano P entonces se podrá afirmar que el plano Q es perpendicular al plano P. PLANO BISECTOR DE UN ÁNGULO DIEDRO Es aquel plano que contiene a la arista del ángulo diedro y determina dos ángulos diedros de igual medida.

En la figura el plano R es el plano bisector del ángulo diedro PABQ

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Indicar con (V) lo verdadero y con (F) lo falso, en las siguientes proposiciones : ( ) Si dos planos son perpendiculares toda recta incluida en uno de ellos será perpendicular al otro ( ) Si una región es perpendicular a un plano, dicha región no tiene proyección sobre el plano dado ( ) Si dos rectas son alabeadas, todo plano que contiene a una de dichas rectas será paralela al otro A) VVV B) FFF C) FVF D) VFV E) FFV 02. De las siguientes proposiciones indicar verdadero (V) o falso (F): ( ) Las proyecciones de dos rectas alabeadas sobre un plano pueden ser paralelas ( ) Todo plano perpendicular a la arista de un

diedro es perpendicular a las caras del diedro ( ) Si una recta es perpendicular a una de las caras de un diedro y paralela a la otra cara entonces la medida del diedro es 90 A) FVV B) VFV C) FFF D) VVF E) VVV 03. Se tiene un diedro MN que mide 60 y un punto F situado en su plano bisector. Si F dista de 10 u, calcular la distancia de F a las caras del diedro A) 3

B) 4

D) 10

E) 5

C) 5

04. Los cuadrados ABCD y CDEF están ubicados en planos perpendiculares. Calcular la medida del ángulo que determinan los segmentos y A) 30 B) 45 C) 60

D) 75

E) 90

D) L

E) L

05. Dos regiones rectangulares congruentes ABCD y ABC´D´ forman un ángulo diedro que mide 60. Si AD=2AB, calcule la medida del ángulo que determinan las diagonales y A) ArcCos(-1/5) B) ArcCos(-2/5) C) ArcCos(3/5) D) 30 E) 45

10. Se tiene una región cuadrada ABCD y una región triangular equilátera ABE, cuyos planos que los contienen son perpendiculares. Si AB = a, entonces la distancia entre y es:

06. Una placa cuadrada ABCD está doblada por la diagonal de forma que el plano ABC es

11. Los cuadrados ABCD y ADEF están contenidos en dos planos perpendiculares, tal que AB=2. Calcular la menor distancia entre y

perpendicular al plano ACD, P 0

. Si 3CP =

PA. entonces el ángulo formado por mide: A) ArcCos

B) ArcCos

D) ArcCos

E) ArcCos

y

C) ArcCos

0 L1,

. Si PA2 +

0 L2, y M es punto medio de 2 2 AB + BQ = 32; calcular : AM A) 4

B) 2

D) 2

E) 8

C) 6

08. En la figura P y Q son 2 planos perpendiculares, es un segmento tal que M 0 P y N 0 Q, si MN=L, la medida del ángulo entre

B) a

D) a

E) a

A) 2

B)

D)

E) 1

y P es

Igual a 30 y la medida del ángulo entre

yQ

es Igual a 45. Calcular la distancia entre

y

C)

A) 20/

B) 30/

D) 18/

E) 10/

C) 16/

13. Se tienen los cuadrados ABCD y ABEF ubicados en planos perpendiculares y cuyos centros son los puntos P y Q respectivamente, calcular la distancia entre si AB = 4 m. A)

m

B) 2

D)

/2 m

E)

m

C) 3

m

/4 m

14. En la figura mostrada la arista del cubo mide “k”. Calcular la mínima distancia entre

.

A)

B)

D)

E)

C)

A) 09. Un segmento

es secante a un plano P (A 0

P), se ubican los puntos C y D en P. Si z y

es L, entonces la distancia entre es: B) L

C) L

D)

B) 3 /3 k

E)

k

C) 5

k

/4 k

zP;

, mËBAD=mËDAC=45 y la medida del

segmento A) L

C) a

12. Sobre las caras P y Q de un ángulo diedro recto, se ubican los puntos A y B, tal que AB=10 . El segmento AB forma con las caras P y Q ángulos que miden 37 y 30 respectivamente. Calcular la menor distancia entre la recta AB y la arista del ángulo diedro.

07. Las rectas L1 y L2 se cruzan ortogonalmente es perpendicular común entre ambas,

A) a

15. La circunferencia de centro O y el cuadrado ABCD, están contenidos en planos perpendiculares, siendo una cuerda de dicha circunferencia. Se ubica el punto M en , tal que 3DM = 5MC, AB = 40 y OA = 25. Calcular la

distancia de M a A) 40 D) 43

B) 41 E) 44

C) 42

16. Se tiene un triángulo rectángulo ABC (recto en B), por el circuncentro “O” de dicho triángulo se traza perpendicular al plano del triángulo (OP = 4 u). Calcular la mínima distancia entre

y

, si BC = 4 u A)

B)

D)

E)

C)

17. Se tiene un cuadrado ABCD y un triángulo equilátero ABP ubicados en planos perpendiculares. Calcular la medida del ángulo diedro que forman los planos de los triángulos AMD y MBC, siendo “M” el punto medio de A) 45 D) 90

B) 60 E) 110

C) 75

18. Se tiene un cuadrante AOB (AO=OB=2 ) y un triangulo equilátero OBC ubicados en planos perpendiculares, calcular la distancia entre y la proyectante de C sobre el plano del cuadrante (P 0 AB) sabiendo que m A) 3 D) 4

B) 6 E) 2

= 37

C) 9

19. Dado un cuadrante AOB de radio r se ubica un punto P exterior, de modo que los triángulos OPA y OPB son equiláteros, calcular la mínima distancia entre A) r

B) r

/2

D) r

E) r

/2

C) r/2

20. Según la figura, calcular el área de la región sombreada si el semicírculo y el rectángulo ABCD se encuentran en planos perpendiculares, AB=2BC y MN=MO A)

B) E)

C)

D)

TAREA 01. Sea perpendicular a un plano que contiene al ÄABC. Si AB=15, AC=14, BC=13 y BD=12, entonces la medida del ángulo diedro que determinan los planos ADC y ABC es: A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75 02. En un ÄABC equilátero la medida de su lado es L, considerando el lado como eje de giro se rota el triángulo ABC hasta que el vértice B alcance la posición B1, tal que él ángulo diedro que forman los planos que contienen a los es la triángulos ABC y AB1C es recto. Si altura, entonces la distancia entre los baricentros de las regiones triangulares BHC y CHB1 es: A) L

B) L

D) L

E) L

C) L

03. Una placa de forma rectangular ABCD, tal que: 2AB=AD=2a, se dobla según la diagonal , determinando un ángulo diedro recto. Calcular la distancia entre las rectas AC y BD. A) a B) a C) a D) a

E) a

04. ABCDEF y ABGHIJ son 2 regiones hexagonales regulares que determinan un ángulo diedro recto. Si AB=a, entonces mide: A)

B)

D)

E)

C)

06. Por el centro I de un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza perpendicular al plano del triángulo tal que el área de la región MBC es 2 30 cm , dicha región forma con el plano del triángulo un diedro de 53° y la mËBCA=37, calcular AM. A)

B)

D) 7,5

E) 2

C) 6,5

07. Se tiene un trapecio isósceles ABCD ( ); donde AB=BC=2m con centro en A se traza el cuadrante BAN de tal manera que el plano que lo contiene sea perpendicular al plano que contiene al trapecio. Calcular la distancia entre A) 2

/7

B)

/7

D) 2

/6

E)

/5

C) 2

08. Un cuadrado ABCD y un triángulo equilátero AEB están contenidos en planos perpendiculares. Se ubican los puntos medios M y N de respectivamente. Calcular la distancia del punto C al punto medio del segmento si AB=6. A) 2 B) 3 C) 6 D) 8 E) 9 09. Se tiene un cuadrado ABCD cuyo lado mide 4 u, con diámetro se traza una semicircunferencia perpendicular al plano del cuadrado y se traza la cuerda de longitud igual a 2 u ( // ) Calcular la menor distancia entre

05. Dos regiones limitadas por los triángulos equiláteros ABC y ABE determinan un ángulo diedro. Si AB=2 y CE= ; entonces la medida del ángulo diedro AB es: A) 60 B)18 C) 45 D) 30 E) 36

/5

A)

B)

D)

E)

y

C)

10. Dado un triángulo ABC se traza la altura (AB=BC=5) y perpendicular al plano que contiene a dicho triángulo se traza el cuadrado BHPQ. Si AC=6 m, calcular el área de la región triangular APQ 2 2 2 A) 2 m B) 6 m C) 10 m 2 2 D) 12 m E) 16 m

ÁNGULOS POLIEDROS - ÁNGULOS TRIEDROS POLIEDROS ÁNGULOS POLIEDROS Un ángulo poliedro es una figura geométrica formada por infinitos rayos que tienen el origen común y

contienen a los puntos de un polígono que está en un plano que no contiene a dicho origen. Vértice : Es el origen común “O”

Aristas : Son los rayos que pasan por los vértices del polígono : OA, OB, OC, ........ Caras : Son las regiones angulares formadas por dos aristas consecutivas : a, b, c, d, ............. Diedros : Son los ángulos diedros formados por dos caras consecutivas : x, y, z, w, ..........

las otras dos. b-c