Libro 1 Anual Uni Aritmética

CONJUNTOS El proposito de este capitulo es el estudio de la teoría intuitiva de conjuntos. Para ello, es necesario aclarar primero qué se entiende por conjunto.

E = { } = Ö  n(E) = 0 : E es un conjunto vacío o nulo

Idea de conjunto

La representación gráfica de los conjuntos se realiza a través de regiones planas limitadas por curvas cerradas.

DIAGRAMAS DE VENN - EULER

El mundo en que vive el ser humano está rodeado de conjuntos: conjunto de utensilios de cocina, conjunto de muebles de una habitación, conjunto de libros de una biblioteca, conjunto de árboles. En todos ellos se usa la palabra conjunto con un significado de colección de varios objetos bien definidos, llamados elementos y pueden ser de posibilidades reales, abstractas o imaginarias. Notación

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

Los objetos que conforman un conjunto son llamados elementos, los cuales se encuentran encerrados entre llaves y separados por comas. A los conjuntos por lo general se les denota por alguna letra mayúscula.. Por ejemplo el conjunto A formado por los números primos menores que 20:

1. Por extensión o en forma tabular Un conjunto queda determinado por extensión, cuando se nombre explícitamente a cada uno de los elementos que conforman el conjunto, permitiendo de esta manera saber cuantos elementos tiene. A = { 2; 3; 5; 7; 11; 11; 13; 17}

A = { 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19}

2. Por comprensión o en forma constructiva Son aquellos conjuntos en la cual se mencionan las característica o propiedades de los elementos

Relación de pertenencia () un objeto parte al deconjunto. un conjunto, se dice queSidicho objetoforma pertenece Si un objeto no forma parte de un conjunto, decimos que dicho objeto no pertenece () al conjunto.

que la conforman.

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Ejemplo:

Subconjunto o Inclusión Un conjunto A es subconjunto o parte de un conjunto B, si cada elemento de A es también elemento de B Simbólicamente: A  B   x  A  x  B

A = { 2; 4; 7; 8; 9; 10} 2A 5  A 9A 1  A 7A 12 A

De acuerdo a la definición dada:

NOTA: Todo conjunto es subconjunto de sí mismo. A  A

Se llama Número Cardinal de un conjunto A a la clase de los conjuntos coordinables con A. (Es decir el número cardinal es una clase de equivalencia). Vulgarmente se acostumbra a señalar que el número cardinal, es el entero no negativo que nos indica la cantidad de elementos diferentes que tiene un conjunto y se denota como n(A).

En particular, se conviene que: El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.

Ejemplos:

Subconjunto propio: Si el conjunto A es subconjunto del conjunto B, y por lo menos un elemento de B no pertenece a A, entonces se dice que A es subconjunto propio de B.

A = { 3 }  n(A) = 1 : A es un conjunto unitario B = {4; {2}}  n(B) = 2 : B es un conjunto binario C = {a; c; e}  n(C) = 3 : C es un conjunto ternario D = { 2; 4; 6; 2; 8; 4}  n(D) = 4 : D es un conjunto cuaternario

1

Ahora cuando dos conjuntos son coordinables se dice que tienen el mismo número de elementos OBSERVACIÓN: En lugar de utilizar el número para verificar la coordinabilidad, se utiliza la coordinabilidad de conjuntos para definir el número. De este modo el concepto de número, resulta de la consideración de conjuntos coordinables cuando se hace abstracción de sus propiedades.

OBSERVACIONES : 1.- El número de subcon juntos que tiene el conjunto A esta dado por:

CLASES DE CONJUNTOS

# de subconjuntos de A =

1.- Conjunto finito Un conjunto es finito si tiene un determinado número de elementos diferentes y el proceso de contar los elementos de este conjunto tiene límite.

Ejemplo: Sea A = {1; 2; 3} Los subconjuntos de A son: Ö; {1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}; {1; 2; 3}

2.- Conjunto infinito Un conjunto es infinito cuando tiene una cantidad inmensurable de elementos, es decir que el proceso de contar sus elementos no tiene límite en el espacio y tiempo.

2.- Para determinar la cantida d de subconjuntos karios de un conjunto A esta dada por la expresión: # de subconjuntos de k elementos =

3.- Familia de Conjuntos o Conjunto de Conjuntos Son todos aquellos conjuntos en la cual todos sus elementos también son conjuntos. A = { {1}; {2; 3}; {1; 5; 7; 8}}

Conjuntos Iguales Dos conjuntos A y B son iguales cuanto cumplen la doble inclusión, es decir: A=BABBA

B = { {b; c}; {f}; {c; d}; {h}} 4.- Conjunto de Partes o Conjunto Potencia Se llama conjunto potencia de A, al conjunto formado por todos los subconjuntos de A y se le denota como P(A).

Conjuntos Comparables Dos conjuntos A y B son comparables cuando por lo menos uno de ellos está incluido en el otro.

P(A) = 2A = {B / B  A } B  P(A)  B  A

A y B son comparables  A  B  B  A

5.- Par Ordenado Es un conjunto de dos elementos para los cuales se considera el orden en que están indicados. Notación: (a ; b), el cual se lee “ Par ordenado a , b”, donde “a” es la primera componente y “b” la segunda componente.

Conjuntos Disjuntos Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes. Conjuntos Coordinables Dos conjuntos A y B son coordinables cuando entre sus elementos puede establecerse una correspondencia biunívoca. (La coordinabilidad de

(a ; b) = (c ; d)  a = c  b = d

conjuntos es una relación de equivalencia)

CONJUNTOS NUMÉRICOS 1.- Números naturales.  = {1; 2; 3; 4; ..........; n; ..........; 2n-1; 2n; .........} Presenta dos subconjuntos importantes: Números pares: {2; 4; 6; 8; ...................... } Números impares: {1; 3; 5; 7; ................. } 2.- Números enteros.

2

Z = {.............; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ................} 3.- Números racionales.

DIFERENCIA SIMÉTRICA

A  B = (A - B)  (B - A)

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS REUNIÓN

A  B = {x / x  A  x  B}

INTERSECCIÓN A  B = {x / x  A  x  B}

DIFERENCIA A - B = {x / x  A  x  B} COMPLEMENTO A’ = AC = {x / x  U  x  A}

3

PRODUCTO CARTESIANO Sean dos conjuntos cualesquiera A y B diferentes del vacío, el producto cartesiano A x B es el conjuntos por los pares ordenados, tal que la primera componente es un elemento del conjunto A y la segunda componente un elemento del conjunto B A x B = {(a; b ) / a  A  b  B} Ejemplo: A = { 1; 3 } B = { 2; 4; 6; 8 } A x B = {(1; 2),(1; 4),(1; 6),(1; 8),(3; 2),(3; 4),(3; 6),(3; 8) } B x A = {(2; 1),(2; 3),(4; 1),(4; 3),(6; 1),(6; 3),(8; 1),(8; 3) } Representación de A x B

OBSERVACIONES: 1. A x B  B x A 2. Si A = B  A x B = B x A 3. n(A x B) = n(B x A) = n(A) . n(B)

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Dadas las propo siciones: ( ) Si A tiene dos elementos, entonces P(A) tiene tres subconjuntos propios ( ) P( Ö) es vacío, Ö = “Conjunto vacío” ( ) n(P(A)) siempre es un número par A) FFV D)FFF

B) VFF E)VVF

( ) {0}  P(A) ( ) {1}  P(A) ( ) Ö  P(A) ( ) {{1}}  P(A) A) VVVVV D)VFFVV

B) 16 E) 31

C) FVFVF

C) FVF 04. Si: A = { Ö; 1; {Ö; {1}}} determinar cuántas de las siguientes proposiciones son falsas: I. 0  A II. Ö  A III. {1}  A IV. {Ö; {1}}  A V. {1}  A A) 2 B) 1 3D) 5E)

02. Si: A = {0} cuánto s subconjuntos propios tiene el conjunto potencia P(A) A) 7 D) 8

B) VFVFV E)VFFVF

C) 3

03. Dado el conjunto: A = {0; {1}} determinar la validez lógica de las siguientes proposiciones: ( ) Ö  P(A)

05. Dados los co njuntos:

4

C) 4

A = {x2+x+1/x  Z, x2 +1 = 0} B = {x2-x+1/x  , x3 +1 = 0} determinar cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas: I. ÖA Ö II. B III. A B  IV. BÖ A) 0 B) 3 C) 1 4D) 2E)

12. En un salón de clase de 45 personas, si 15 no practican ajedrez, 25 no practican damas, y 5 no practican ni damas ni ajedrez; determinar cuántos practican damas y ajedrez A) 20 B) 10 C) 5 D) 25 E) 15 13. Una persona usa polo y/o camisa cada día durante el mes de diciembre. Si usa polo durante 23 días y durante 27 días camisa, ¿cuántos días usa polo y camisa?

06. Determinar el número cardinal del conjunto:

A) 8 D) 12

B) 5 E) 7

C) 6

A) D) 2114

B) 18 E) 16

A) 8 D) 5

C) 25

A = {a+4; 4b-2; 2a-10} B= C=

A) 8 D) 16

C) 105

10. Determinar la suma de los elementos del conjunto: A = {x2 -4 / x  Z - 3  x < 6} A) 24 B) 37 C) 31 D)42 E)28

A) 15 D) 5

11. Dados los conjuntos B y disjuntos C donde Ay y B son comparables, A y CA,son coordinables; (B - A) y C son comparables y (B A) es no vacío A Ä C = {b; c; d; e} B - C = {a; b; c} determinar : (A Ä B)  (B Ä C) B) {d; e} E) {b; c}

B) 12 E) 14

C) 5

16. En un aeropuerto hay 105 personas entre hombres, mujeres y niños, se observa que hay : 20 mujeres 55 niños 40 peruanos 65 extranjeros 25 niños peruanos 45 extranjeros entre mujeres y niños 15 peruanos entre hombres y mujeres Determinar en cuánto excede la cantidad de hombres extranjeros a la de los peruanos

09. Determinar la suma de los elementos del conjunto A: A = {5 - (2 - x)2 /x  B}; B = {(x - 1)2 - 1/x  Z, -1  x < 4} A) 4 B) 5 C) 3 1D) 2E)

A) 0 D) Ö

C) 20

n(U) = 50 n[(A  C)  B’] es: Entonces

determinar: a + b + c + d B) 107 E)106

B) 10 E) 15

15. Se sabe que “U” es un conjunto universal n(B) = 28 n(C) = 19 n(A  B) = 14 n(A’  B  C) = 5 n(A  C’) = 12 n(A  B’ C) = 1 n(A  B  C) = 6

08. Se sabe que los siguientes conjuntos son unitarios:

A) 104 D)108

C) 19

14. En un congreso donde asistieron 100 personas se observó que 70 son mujeres, 30 son mujeres matemáticas, 60 personas no son matemáticos. Determinar cuántos hombres son matemáticos

07. Determinar la suma de los elementos del conjunto:

A) 3 D) 17

B) 15 E) 20

B) 25 E) 10

C) 20

17. En un salón de 140 alumnos donde todos hablan por lo menos un idioma entre español, inglés y francés, se observa que: 135 hablan a lo más 2 idiomas 50 hablan por lo menos 2 idiomas 15 hablan español y francés pero no inglés 35 sólo hablan inglés 40 hablan francés pero no inglés 45 hablan francés pero no español

C) {a}

5

45 hablan español pero no inglés Determinar cuántos alumnos hablan los 3 idiomas A) 5 D) 25

B) 20 E) 15

20. En un corral donde se encuentra 90 pollos se observa que: Los que comen maíz son el doble de los que comen sólo trigo, los que comen maíz y trigo son la tercera parte de los que comen sólo maíz. ¿Cuántos pollos comen uno solo de estos alimentos?

C) 10

18. De un grupo de 310 personas se realizó una encuesta donde se observó que: 110 leen “Caretas” 130 leen “Gente” 170 leen “Oiga” o

A) 30 D) 45

B) 75 E) 20

C) 60

50 sólo leen leen la la revista revista “Gente” “Caretas” 60 sólo 90 sólo leen la revista “Oiga” 100 leen por lo menos 2 revistas 10 leen las tres revistas Determinar cuántas personas no leen ninguna de las revistas mencionadas A) 20 D) 5

B) 10 E) 20

C) 15

19. En un colegio 95 alumnos han rendido 3 exámenes, de ellos 30 aprobaron el primero, 45 el segundo y 40 el tercero; 5 aprobaron los 3 exámenes, 20 no aprobaron ningún examen, 10 aprobaron y el ni segundo peronino tercero; 15 elnoprimero aprobaron el primero el el tercero pero si el segundo; 15 no aprobaron el primero ni el segundo pero sí el tercero. Determinar cuántos alumnos aprobaron por lo menos dos cursos A) 20 B) 35 C) 25 D) 40 E) 30

TAREA 01. Si: A’ Ä B’ = Ö, determinar la validez lógica de las siguientes proposiciones : ( ) [A  (A  B’)] - [B’ (A  B’)] = Ö ( ) (A  B) - B = Ö ( ) (A - C)  (B - C)’ = A - B A) VVF B) FVV C) VFV

03. Si: A  B y (A  B)  C = Ö simplificar: [{(A - B’)  (C - B’)} - B’]  C A) A B) Ö C) B D) A’ E) C

D)VVV E)FFV 02. Si: A Ä B = Ö, A  Ö, B  Ö, determinar la validez lógica de las siguientes proposiciones: ( ) A-B= Ö ( ) (A  B) - B = Ö ( ) [B - (A’  B’)] - [A - (A’  B’)] = Ö A) VVF B) VVV C) FVV D)VFF E)VFV

04. Dado U = {2;el4;conjunto: 5; 6; 9} A = {2; 5; 9} B = {4; 5; 6} C = {5; 6; 9} determinar: [(B Ä C)’ - (A Ä B)’] A) {4; 5; 6} B) {2; 6} 9} D) {4; 6; 9} E) {2; 4; 6} 05. Dado el conjunto:

6

C) {4; 5;

U = {1; 2; 4; 6; 7; 9} A = {4; 6; 9} B = {2; 4; 6} C = {1; 4; 7} determinar: [A’ (B - C)] Ä [A - (B’ C)] A) {1; 2; 6; 7; 9} B) {6}

07. Determinar la relación e quivalente a: {[(A Ä B)  (A - B)]  A} - (A’  B’) A) Ö B) AB D)B-A E)A-B 08. Simplificar: [(A’ B)’  (A  B’)’]’Ä A A) Ö B) U D) B E) A’

C) {4; 6;

9} D) {1; 2; 7}

E) {1; 2; 4; 7; 9}

06. Sean dos conjuntos A y B, tales que: n[P(A Ä B)] = 1 024  B)] = 8 n[P(A determinar n[P(A  B)] A) 2 048 B) 4 096 D)9464 E)8192

C) AB

C) A

09. El conjunto sombreado, mostrado en el diagrama de Venn - Euler representa una operación entre los conjuntos A, B y C C) 6472

A) (A  B  C) - (A - B)  C B) (A  B  C) - (A - B) C) ((A - B) - C)  (A  B  C) D) (A Ä B) Ä (B Ä C) E) (A Ä B) - (A  C) 10. En un salón de clase, 25 aprobaron aritmética, 2 3 álgebra, 25 razonamiento matemático; 9 aprobaron aritmética y álgebra solamente, álgebra y razonamiento matemático; 12 6 aritmética y razonamiento matemático. Determinar el mínimo número de personas que aprobaron sólo razonamiento matemático A) 7 B) 5 C) 3 D) 6 E) 13

7

NUMERACIÓN NÚMERO

 

Es un ente matemático sin definición, el cual nos permite cuantificar los elementos de la naturaleza. El número es solamente una idea.

6 unidades de 3° orden < > 1 unidad de 4° orden 6 unidades de 4° orden < > 1 unidad de 5° orden

¿Cómo se forman los números? Base 10

NUMERAL Es la representación gráfica, mediante signos o símbolos, un número. Estomediante significa que un número sede puede representar diferentes numerales. Ejemplo : 4 = cuatro = four = tawa = IIII Base 7

ORDEN DE UNA CIFRA Es la posición de ésta ocupa dentro de un numeral. Dicha posición se considera, de derecha a izquierda Ejemplo :

Base 4

BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN Es aquel entero mayor que la unidad, el cual nos indica cuántas unidades de un cierto orden se necesitan para formar una unidad del orden inmediato superior. El sistema de numeración que usamos actualmente se llama decimal, y utiliza como base a 10.

En conclusión : 23 = 32(7) = 113(4) PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN BAS E

NOM BRE

10 unidades de 1° orden < > 1 unidad de 2° orden (decena) 10 unidades de 2° orden < > 1 unidad de 3° orden (centena) 10 unidades de 3° orden < > 1 unidad de 4°

2 3 4 5 6 7

Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario

0; 1 0; 1; 2 0; 1; 2; 3 0; 1; 2; 3; 4 0; 1; 2; 3; 4; 5 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

orden (u. de millar) 10 unidades de 4° orden < > 1 unidad de 5° orden (d. de millar)

89 10 11 12

Octanario Nonario Decimal Undecimal Duodecimal

7 8 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10) 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10); (11)

En base 10 :   



REPRESENTACIONES LITERALES

En base 6 :  

CIFRAS

Se utilizan cuando una o más cifras de un numeral son desconocidas.

6 unidades de 1° orden < > 1 unidad de 2° orden 6 unidades de 2° orden < > 1 unidad de 3° orden

8

Ejemplos : Numeral de 2 cifras :  = 10; 11; 12; ...........; 99 



Caso 3 : De base n a base m Ejemplo : 575(8) a base 6 - 575(8) a base 10 575(8) = 5 . 8 2 + 7 . 8 + 5 = 381 - 381 a base 6

Numeral de 3 cifras del sistema quinario : = 100(5); 101(5); 102(5); ...........; 444(5)

Numeral de 4 cifras iguales del sistema nonario : = 1111(9); 2222(9); 3333(9); ...........; 8888(9) 

NUMERAL CAPICÚA  575(8) = 381 = 1 433 (6)

Es aquel cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales.

NOTA : La descomposición polinómica también se puede realizar por bloques

Ejemplos :     

-

= 11; 22; 33; ...........; 99 = 101; 111; 121; ............; 999 = 1001; 1111; 1221; ............; 9999 = 101 (6); 111(6); 121(6); ............; 555(6) = 10001 (8); 10101(8); 10201(8); ........;

77777(8)

CAMBIOS DE BASE 

Caso 1 : De base n a base 10 (n  10) Ejemplo : 5683 (9) a base 10 Descomposición polinómica 5683(9) = 5 . 9 3 + 6 . 9 2 + 8 . 9 + 3 = 4 206  5683(9) = 4 206



Caso 2 : De base 10 a base m (m  10) Ejemplo : 666 a base 5 Divisiones sucesivas

 666 = 10131 (5)

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Señale la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: ( ) En el sistema de base “n” existen “n-1” cifras significativas

( ) Dado , el valor relativo de “a” tiene “n” cifras () =a.n 3+b.n2+c.n+d

9

A) VVV D)FVF

B) VFF E)VFV

C) FFV 11. Si : Calcular: a + m + n A) 8 B) 9 D) 11 E) 16

02. Señale la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: ( ) 0,abcd n =

C) 10

12. Cuál es la base del mayor numeral de 10 cifras

( ) ( ) Si = 3 . (b+a) entonces soluciones A) VVV B) VFF D)VVF E)FVV

que es equivalente a :

tiene 3

03. Hallar el menor valor posible de m+n 1331(m)=1000(n) A) 6 B) 5 D) 7 E) 8

A) 32

C) FFF

D) 35

B) 33

C) 34

E) 36

13. Si: N=100110011101111 (2), ¿cómo se escribe N en base 8? A) 46357 B) 45367 C) 54467 D)34567 E)76543

C) 9

04. Al escribir “S” en base 8, dar la suma de sus cifras. S = 416 + 219 + 643 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 11

14. Cuando el numeral 45678 (9) se escribe en base 3, resulta otro numeral cuya suma de cifras es : A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

05. ¿Cuántas cifras tie ne 3 37-1 en el sistema de base 27? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

15. Si el numeral se convierte al sistema de base 7, viene expresado por tres cifras iguales, hallar a+b+c A) 3 B) 4 C) 5 6D) 7E)

06. Calcular “a+b”, si se sabe que: 8A) 9D)

6B) 5E)

16. Escribir el número 4896 (n) en la base n+1 A)

7C)

B) C)

07. Calcular a+b, sabiendo que:

D) A) 8 D) 11

B) 9 E) 12

C) 10

E)

08. Hallar el valor de “n”, si se cumple:

A) 2 6D)

B) 4

C) 5

8E)

09. Expresar el valor de “E ” en el sistema de base “n” (n>3), sabiendo que: E=2n 8+n6+3n5+2n3-n+1 Dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 2n+6 B) 3n+1 C) 2n-1 D)3n-1 E)4n-1 10. Si: A=17.11 9+5.116-13.11 5+9.113-4.112+15 expresar A en el sistema undecimal. Dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 37 B) 38 C) 39 D) 40 E) 41

10

17. Si , expresar sistema decimal: A) 149 B) 159 D)205 E)309

en el C) 169

18. Indicar verdadero (V) o falso (F) en: ( ) Existen a, b y n enteros positivos, tales que : ( ) Todo numeral escrito en una base impar y de cifras impares representa a un número impar ( ) Existe al menos un numeral escrito en una base par y de un número parcifras impares que representa a A) VFF B) VFV C) FFF D)FVF E)FFV 19. ¿Cuántas cifras tiene el menor numeral de la base 9 cuyas cifras suman 1 012? A) 122 B) 123 C) 125 D)126 E)127 20. Si : hallar: a + b + c A) 4 B) 6 D) 9 E) 10

C) 7

TAREA 01. Expresar: R=14 641 (n)+1331(n)+121(n+1)+1 en el sistema de base “n+1” y dar como respuesta la suma de las cifras del numeral R. A) 2 B) 3 C) 4 5D) 6E) 02. Si: hallar: a+n A) 15 D) 14

B) 16 E) 13

forma A) 1 4D)

C) 17

03. Determinar la suma de las cifras de “n”, si : 1332(n)= , además a, b, c y d son diferentes de cero. A) 11 B) 9 C) 8 D) 10 E) 12 04. Si: ; hallar: a+b+m+n A) 16 B) 15 D) 18 E) 14 05. Hallar a+b, si: A) 5 8D)

B) 6

C) 20

C) 7

9E)

06. Un número escrito en las bases 6 y 3 tiene la

11

y 2354. Hallar a+b B) 2 5E)

C) 3

07. Si: hallar a+b+c+d A) 21 D) 24

B) 22 E) 25

C) 23

08. En una fiesta a la que asistieron chicos y chicas; en un momento dado el número de chicos que no bailan es “2m-n” y el número de mujeres que no bailan es “m+n”. Calcular el número de asistentes A) 341 B) 143 C) 132 D)165

E)176

09. Calcular: a+b+p, si: A) 5 8D)

B) 6

C) 7

9E)

10. Un automóvil sale a las 08:00 horas de una ciudad “A” rumbo a “B” con una velocidad de km/h, a las 09:00 horas sale otro automóvil de la ciudad “B” hacía “A” a una velocidad de km/h. Encontrándose ambos automóviles al medio día en un punto equidistante de las 2 ciudades. Calcular la distancia entre “A” y “B” (en km) A) 192 B) 284 C) 342 D)384 E)374

12

CONTEO DE NÚMEROS a) El número de ordenamientos de n elementos de un conjunto, todos distintos, tomados de r en r está dado por:

DEFINICIÓN Es la parte de la matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos hacer con elementos de un conjunto dado. I. PRINCIPIOS FUNDAME NTALES a) Prin cipio de Multipl icación Si un evento “A” puede realizarse de m maneras y después de efectuado dicho evento un segundo evento “B” puede realizarse de n maneras diferentes, entonces el evento “A” seguido del evento “B” puede efectuarse de (m . n) maneras.

0rn Ejemplo N° 1: ¿Cuántos números de cinco cifras significativas diferentes existen ? Resolución: El sistema decimal tiene nueve cifras distintas de las cuales necesitamos sólo cinco. El número de arreglos :

Ejemplo : ¿Cuántos números de 4 cifras existen en el sistema de base 7? Resolución:  La cifra de cuarto orden puede tomar 6 valores, ya que un número no comienza su escritura con cifra cero.  La cifra de tercer orden así como la de segundo y primer orden pueden tomar 7 valores  existen: 6 . 7. 7. 7 = 2 058 números que cumplen la condición.

Por lo tanto existen 15120 números que cumplen tal condición Ejemplo N° 2: ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con los dígitos 3; 5; 7; 8 y 9? Resolución: El número de arreglos :

b) Pri ncipi o de Adi ción Si un evento “A” puede hacerse de “m” maneras y otro evento “B” puede hacerse de “n” maneras, además, no es posible de que ambos eventos se hagan juntos, entonces el evento A o el evento B se harán de (m+n) maneras.

Por lo tanto existen 24 números con tal condición b) El número de permutaciones de n elementos de un conjunto, todos distintos, dispuestos en forma circular está dada por:

Ejemplo : ¿Cuántos números de dos cifras tienen como suma de cifras un número par? Resolución:  Para que la suma de las dos cifras sea par, las dos tienen que ser pares o las dos impares. 

Ejemplo N° 1: ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar 8 personas alrededor de una mesa circular?

Si las dos cifras son pares:

Resolución: El número de formas es: Pc = (8 - 1)! = 5 040 

c) El número de permutaciones de n elementos

Si las dos cifras son impares:

tomados en n; NO TODOS DISTINTOS, donde hayder1nelementos iguales entre sí; r2 elementos iguales entre sí y así sucesivamente hasta rk elementos iguales entre sí está dado por:

 existen: 20 + 25 = 45 números que cumplen tal

condición II. PERMU TACIÓN Son los arreglos que se hacen con los elementos de un conjunto donde debe considerarse el orden.

13

donde: r1 + r2 + r3 + .............. + r k = n

calcula mediante la sustracción de dos términos consecutivos.

Ejemplo N° 1: ¿Cuántos números de nueve cifras existen tal que el producto de sus cifras sea 21? Resolución: Para que el producto de sus dígitos sea 35 se necesitan las siguientes cifras: 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 3 y 7. El número de arreglos que se pueden realizar:

donde : Ejemplo N° 1

Por lo tanto existen 72 números que cumplen tal condición

 an = 6n + 6

Ejemplo N° 2: ¿Cuántos números de nueve cifras tienen como producto de cifras al número 196?

Ejemplo N° 2

Resolución: Para que el producto de sus dígitos sea 196 se necesitan las siguientes cifras: 7; 7; 2; 2; 1; 1; 1; 1; 1 ó 7; 7; 4; 1; 1;1; 1; 1;1 El número de arreglos:

 an = 13n - 9

2. De segundo orden . Es toda sucesión cuyo término n-ésimo está expresado mediante una expresión cuadrática de la forma:

Por lo tanto hay 1008 números con tal condición. III. COMBINACIÓN Son los arreglos que se hacen con los elementos de un conjunto en los que no se toma en cuenta el orden. El número de combinaciones de n elementos de un conjunto tomados de r en r donde 0  r  n está dado:

Ejemplo N° 1

SUCESIONES Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos. Los números en el rango de la sucesión, los cuales se llaman los elementos de la sucesión, están restringidos a números enteros positivos en este libro.



Ejemplo N° 2

{a } : a ; a ; a ; a ; ........, a ; .......................... n

1

2

3

4

n

SUCESIONE S POLINOMIALES Son aquellas sucesiones cuyo término n-ésimo a n está expresado mediante un polinomio en “n”. 

1. Progresión a rit méti ca . Son aquellas sucesiones en la que cada término es igual al anterior más una cantidad constante llamada razón, la cual se

3. De t ercer or den . Es toda sucesión cuyo término n-ésimo está expresado mediante una

14

expresión cubica de la forma:

Sabemos :

= {100; 101; 102; .........; 999} 100   1 000

Luego :

102 

< 103

donde :

10 = base y 3 = # cifras

Entonces :

83 

< 84

En general : Ejemplo :

n = # cifras



CANTIDAD DE CIFRAS O CANTIDAD DE CARACTERES (Cc) Si: 1; 2; 3; 4; .................; N(n) Entonces:

donde: k = número de cifras de N (n) Ejemplo N° 1 En base 10:

1; 2; 3; 4; .........; 87 

Cc = 2(87 + 1) - 11 = 165

Ejemplo N ° 2 En base 4:

1; 2; 3; 10; 11; 12; 13; 20; 21; 23; 30; 31; 32; 33; 100; 101; 102; 103 

Cc = 3[103 (4) + 1] - 111 (4) = 39

EXISTENCIA DE UN NUMERAL Todo número está comprendido en un intervalo de valores determinados por la base y el número de cifras

15

y

m = base del numeral

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. ¿En cuántos sistemas de numeración el numeral 428 se escribe con cuatro cifras? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

mismo numeral? A) 280 B) 300 D)330 E)360

C) 320

02. ¿Cuántos números naturales se escriben con tres cifras tanto en base 9 como en base 11? A) 608 B) 600 C) 650 D)654 E)618

11. Determinar cuántos n úmeros de tres cifras existen, en los cuales una cifra se repite dos veces. A) 234 B) 243 C) 252 D)260 E)261

03. Calcular el número de términos de la siguiente secuencia : 147n; 160n; 175n; ..............; 305n sabiendo que forman una progresión aritmética. A) 17 B) 16 C) 15 D)14 E)13

12. Se tiene un libro que tiene 4 520 páginas numeradas, si se arrancan todas las páginas que terminan en cifra 5. ¿Cuántas páginas numeradas quedan? A) 3 014 B) 3 016 C) 3 616 D) 3 617 E) Más de 3 617

04. Calcular el término de lugar progresión aritmética : A) 302 B) 303 D)402 E)403

13. ¿Cuántos números de 3 cifras que no tienen ninguna cifra siete en su escritura, tienen por lo menos una cifra cinco en su escritura? A) 200 B) 240 C) 300 D)250 E)120

de la siguiente C) 352

05. Al escribir la siguiente secuencia : 11; 22; 33; .........; se han empleado 522 tipos de imprenta. Calcular: a + b + c A) 2 B) 3 C) 4 D) 5

14. ¿Cuántos números de cu atro cifras dife rentes en base 8 tienen una cifra 5 por lo menos? A) 625 B) 750 C) 810 D)1250 E)1500

E) 6

15. ¿Cuántos de 5 cifras formarse en base 8 números de tal manera, que elpueden producto de las 2 primeras cifras sea 18, y la suma de las últimas sea impar?

06. ¿Cuántos números de 3 cifras tienen exactamente una cifra 8 en su escritura? A) 243 B) 216 C) 225 D)200 E)270

A) 594 D)256

B) 786 E)520

C) 512

07. ¿Cuántos números de la forma : 16. ¿Cuántos números de la forma :

existen? A) 15 D)25

B) 12 E)30

C) 20

existen? A) 5 D) 8

08. En qué sistema de numeración hay 30 números de cuatro cifras de la forma : . Dar como respuesta la base. A) 7 B) 8 C) 9 D)12 E)14

B) 6

C) 7

E) 9

17. De la siguiente progresión aritmética : 8; 21; 34; 47; ........ ¿cuántos términos están comprendidos entre 300 y 500? A) 16 B) 15 C) 14 D)13 E)12

09. ¿Cuántos números de t res cifras se escriben con un 6 y con un 7 y alguna otra cifra diferente de los anteriores? A) 64 B) 46 C) 32 D)44 E)30

18. Si : 23 (n); 30(n); 34(n); ......; 636(n); es una progresión aritmética. Indicar cuántos términos tiene dicha progresión. A) 76 B) 79 C) 78 D)77 E)81

10. ¿Cuántos numerales de 4 cifras se pu eden formar con los dígitos 0; 2; 3; 5; 6 y 8 de tal manera que cada dígito no debe repetirse en el

16

19. ¿Cuántos números de 3 c ifras pertenecen a la siguiente progresión aritmética? 15; 19; 23; 27; .... A) 450 B) 225 C) 224 D)226 E)220 20. Calcular el valor de : a + b + c, si : es una progresión aritmética que tiene 73 términos. A) 18 B) 15 C) 12 D) 10 E) 8

TAREA 01. Al escribir la secuencia que tiene 113 términos. ¿Cuántas cifras en total se han utilizado? 6667; 6970; 7273; 7576; .... A) 604 B) 665 C) 650 D)653 E)655

07. Considere un folleto formato medio oficio elaborado con papel tamaño oficio. Al numerarlo se observa que una de las hojas tamaño oficio está numerado 35; 36; 799 y 800. ¿Cuántas cifras se escribieron al numerar el folleto? A) 2 390 B) 2 392 C) 2 394 D)2396 E)2398

02. Del número 4 316 al 5 936, ¿cuántas veces se escribe la cifra 7? A) 522 B) 1 000 C) 432 D)612 E)512

08. En la numeración de las páginas de un libro desde la página hasta la página se han usado 1026 tipos de imprenta. ¿Cuántas páginas tiene el libro? A) 400 B) 401 C) 402 D)403 E)404

03. ¿Cuántos números de 30 cifras tienen como producto de cifras 30? A) 25 230 B) 24 320 C) 25 320 D)24 230 E) 25310 04. ¿En qué sistema de numeración existen 66 números de la forma : ?. Dar como respuesta la base. A) 10 B) 11 C) 12 D)13 E)14

09 En sistema numeración, cuya base es par,qué existen 100 de numerales de tres cifras pares diferentes. A) Octonario B) DuodecimalC) Decuplo D)10 E)12 10. ¿En qué sistema de numeración e xisten 55 numerales de tres cifras, cuya cifra central es la suma de sus cifras extremas? A) Nonario B) Decuplo C) Undecimal D) Duodecimal E) Hexadecimal

05. ¿Cuántos números capicúas existen entre 3 475 y 8 714? A) 51 B) 52 C) 53 D)54 E)55 06. Al escribir la siguiente sucesión 1, 2, 3, 4, ....., se usaron 1 463 cifras. Calcular "n". A) 7 D)10

B) 8 E)11

C) 9

ADICIÓN Se denomina adición a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales denominados sumandos por uno solo llamado suma.

(a; b)  S

Donde :

17

a y b : Sumandos

S : Suma a+b=S FÓRMULAS DE ADICIÓN 1. PARA SUCESION ES P OLI NOMIAL ES i. Progresión Aritmética

Ejemplo :

Ejemplo : Sn = 5 + 8 + 11 + 14 + .......  Sn = 5

ii. Para una sucesión de segundo orden

 Sn = 8

Ejemplo :

 Sn=

4

=(3n-1)(n+1)

iii. Para una sucesión de tercer orden Ejemplos :

2. PARA U NA PROG RESIÓ N GEO MÉT RICA

S30 = 4 + 12 + 36 + 108 + 324 + ....... =

18

S = 7 + 72 + 73 + 74 + ........... + 7 50 =

SUMATORIAS NOTABLES 1.

2.

3. 4.

5.

19

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Asignar V o F según corresponda: ( ) La suma de todos los números enteros hasta el 16 es 136. ( ) 1 + 3 + 5 + 7 + ... + n = n 2, siendo “n” impar. ( ) La siguiente suma : 342 7 + 5438 + 7269; debe efectuarse llevando todos los números a una misma base. ( ) La adición tiene 3 elementos los cuales se llaman aditivo, adicionante y suma. A) VVVV B) FVFV C) VFVF D)FFVV E)FFFF

plantado a partir del pozo y cada 5 m y en una misma dirección un total de 27 árboles y puede sacar agua del pozo cada vez para el riego de un sólo árbol. ¿Cuánto tiene que recorrer para regar los 27 árboles?, asumiendo que partió y terminó en el pozo. A) 3 600 m B) 3 700 m C) 3 780 m D) 3 800 m E) 4 000 m 10. Un móvil recorre 1 090 m, de tal modo que en el enésimo segundo recorre “n” veces lo que recorrió en el primer segundo aumentado en 10 m. Obtener el valor de “n”. A) 9 B) 10 C) 11 D)12 E)13

02. Se tiene: Calcular la suma en base “b” y dar la mayor de sus cifras. A) 2 B) 3 C) 4 D)5 E) 6

11. Calcular la suma de todos los números capicúas de 3 cifras significativas, con la condición que el producto de las cifras de dichos números capicúas es un número cuadrado perfecto. A) 13 895 B) 14 895 C) 15 695 D)15 895 E)18 795

03. Calcular el valor de (x + y), si se cumple: A) 10 D)13

B) 11 E)14

04. Si se cumple que: calcular el valor de: a + b + c A) 13 B) 14 D)16 E)17

C) 12

12. Obtener la suma de todos los números pares de 3 cifras que pueden formarse usando sólo los dígitos : 0; 3; 4; 7; 8 y 9. Dar como respuesta la suma de las 2 cifras de mayor orden de dicho resultado. A) 5 B) 6 C) 7

C) 15

05. La suma de 13 números impares consecutivos está comprendida entre 430 y 480. Si el término central es ; calcular el valor de: 1 + 2 + 3 + ... + A) 520 B) 580 C) 630 D)650 E)720

13. Calcular la suma de todos los números no capicúas de 3 cifras que se pueden formar con las cifras : 0; 1; 3; 6; 7 y 9 A) 16 056 B) 36 492 C) 57 650 D) 8 6 124 E) 102 180

06. Sabiendo que: 992 calcular el valor de “a+b” A) 12 B) 14 D)16 E)17

14. Efectuar: S = 9 + 99 + 999 + 9 999 + .... si hay 40 sumandos. Dar como respuesta la suma de las cifras de S. A) 38 B) 40 C) 45 D)47 E)50

+ ... +

D) 8

=5

C) 15

15. Sabiendo que :

07. La suma de los “3a” primeros enteros positivos excede en 150 a la suma de los “a” primeros enteros positivos. Obtener la suma de los primeros pares positivos y dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 4 B) 5 C) 10 D)12 E)18

E) 12

=2.

+ 12; además:

calcular : a . b + c . d A) 36 B) 38 D)44 E)48

C) 40

16. Dada la siguiente adición:

08. Si la suma de los números consecutivos (enteros) desde hasta 50 es 1 122; hallar el valor de “a + b” A) 7 B) 8 C) 9 D)10 E)11

siendo : a  b  c  d. Calcular a + d A) 10 B) 11 C) 12 D)13 E)14 17. Si: (x - 1) es la mayor cifra de la base (z + 3) y además se cumple que: + =

09. El guardián de un pozo de una hacienda ha

20

obtener : x + y + z A) 13 B) 14 D)16 E)17

C) 15

18. Obtener el valor , sabiendo que m; n; p y q son números impares mayores que 1. Además: A) 108 D)144

B) 116 E)150

C) 120

19. Calcular la suma de todos los números de 20 cifras cuyalasuma 179. Dar como respuesta sumadedecifras cifrasesdel resultado. A) 160 B) 165 C) 169 D)176 E)182 20. Se tiene las cifras significativas a; b y c, tales que : a > b > c. Con estas cifras se forman todos los números de 3 cifras, las 3 diferentes entre sí y se toman el mayor y el menor. Se observa que si al menor se le suma 1 031, resulta lo que le falta al mayor para ser igual a 2 000. Calcular la suma de todos los números formados. A) 2 438 B) 2 542 C) 2 664 D)3126 E)3248

TAREA 01. Calcular la suma de todos los números contenidos en el triángulo aritmético adjunto,

Expresar el resultado en base 12.

sabiendo que éste posee 10 filas.

A) 2 584 D) 3080

B) 2 826 E)3120

A) 335 D)

C) 3 040

02. Calcular “a + b”, sabiendo que la suma de todos los números enteros consecutivos desde hasta es igual a 2 035. A) 10 B) 11 C) 12 D)13 E)14 03. Calcular x + y + z, si se cumple que: 15+18+21+20+24+28+25+30+35 + ..+ 210

A) 5 D) 9

B) 6 E) 11

C) 8

04. Se tiene: S = 105 + 100 5 + 1 0005 + ... (40 sumandos) calcular las 3 últimas cifras de S expresado en la base 10. A) 705 B) 805 C) 905 D)090 E)790 05. En el sistema senario se cumple que:

21

B) 533 E)

C)

06. Calcular la suma de los números de tres cifras que tengan alguna cifra ocho. Dar como respuesta la suma de cifras del resultado. A) 45 B) 42 C) 35 D) 3 E) 27 07. Determinar la suma de to dos los números de tres cifras de la forma:

A) 21180

B) 21 190

C) 21 200

D)21 210 E) 21220 08. Calcular la suma de todos los números de cuatro cifras que se pueden escribir con los siete primeros dígitos. A) 12 487 098 B) 10 670 044C) 13 546 780 D) 9 123 987 E) 15 020 400 09. Calcular la suma de todos los números de cuatro cifras que empiezan y terminan en cuatro. A) 449 900 B) 449 910 C) 449 920 D) 449 930 E) 449 940 10. Cuál es la suma en base 8 de todos los números de la forma . Dar la suma de cifras del resultado. A) 10 B) 11 C) 12 D)13 E)14

SUSTRACCIÓN DEFINICIÓN Se denomina sustracción a la operación binaria que hace corresponder a un par ordenado de números naturales denominados minuendo y sustraendo a un tercer número natural llamado diferencia (m; s) Donde:



Teorema N° 2 Si : entonces : Caso 1 : b < c x + z =n-1 y + w=n-1

d

m : minuendo s : sustraendo  d : diferencia m.s=d Propiedad : m + s + d = 2m

Caso 2 : b > c x + z = n y + w=n-2

 

Caso 3 : b = c x + z =n-1 y = w=n-1

Teorema N° 1 Si : entonces : 1. x + z = y = n - 1

COMPLEMENTO ARITMÉTICO

2.

El complemento aritmético de un número natural es lo que le falta a dicho número para ser una unidad del

22

orden inmediato superior al mayor orden de dicho natural. Sea N(n) un número de k cifras :

Regla práctica para calcular el complemento aritmético A la primera cifra significativa de la derecha se le resta de la base y a las demás cifras de la izquierda se le resta de la máxima cifra de la base Ejemplos :

CA(N(n)) = n k - N(n) 1  CA(N(n))  (n - 1) . n k-1 Ejemplos : CA(24) = 102 - 24 = 76 CA(1329) = 9 3 - 1329 = 7579 CA(5004n) = 8 4 - 5004 8 = 2774 8 CA(43006) = 6 5 - 43000 6 = 130006

PROBLEMAS PROPUESTOS cifras. Calcular: a2 + b2 + c3 A) 222 B) 150

01. En una sustracción, si al minuendo se le disminuye unidades y al sustraendo se le disminuye unidades siendo a - b = 4, entonces, ¿cómo varía la diferencia? A) Disminuye en 36 B) Aumenta en 24 C) Disminuye en 18 D) Aumenta en 36 E) Disminuye en 27

C) 184

D)146 E)212 06. Si : , calcular A + B + C. Dar la respuesta en base 10 A) 7 B) 10 C) 12 D)14 E)16 07. En un cierto sistema de numeración existe un número de tres cifras que duplicado da lugar a un número de las mismas tres cifras pero dispuestas en orden inverso. ¿Cuál es la menor base, mayor que 11 en que esto sucede? A) 12 B) 13 C) 14 D)15 E)16

02. La suma de los términos de una sustracción tomados de 2 en 2 son 592; 860 y 484. Calcular el mayor de los tres términos. A) 368 B) 376 C) 484 D)476 E)429 03. La suma de las cifras de la diferencia: es 30; siendo c < b y a > d . ¿Cuál es el valor de “n”? A) 14 B) 15 C) 16 D)17 E)18

08.S i:CA

= 2

calcular: a + b2 + c2 A) 14 B) 49 D)94 E)13

04. Si : , además: a + c =12 calcular: a + 2c A) 15 B) 18 C) 13 D)17 E)14

C) 72

09. Si el complemento aritmético de es 8a +6b + 3c, hallar la suma de cifras del mayor número que cumple la condición anterior. A) 11 B) 14 C) 12 D)15 E)13

05. Un número de tres cifras es tal que . Si se sabe que la cifra de las decenas es igual a la suma de las otras dos

10. Si sabemos que: CA [ CA

23

] = 25

calcular: a+b+c A) 21 B) 17 D)15 E)14

18. ¿Cuántos números de tres cifras existen, tales que al restarle su complemento aritmético dan como diferencia un número de dos cifras que termina en cero? A) 9 B) 10 C) 90 D)50 E)99

C) 16

11. Dado un número de 5 cifras significativas en base “n”, se cumple que: * La suma de sus 5 cifras es 19 * La suma de cifras de su C.A. es 12 calcular el valor de “n” A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

19. Hallar cuántos números enteros de 4 cifras distintas y diferentes de cero existen, tal que si se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, se obtenga como diferencia un número capicúa

12. Se tiene que:

A) D) 1016

y además a + b + c + d = 22. Calcular “n” A) 11 B) 12 C) 13 D)14 E)15

Calcular el valor de “a” A) 6 B) 8 D) 7 E) 9

C) 12

20. Hallar “D” en base 8, si: D= y A) 1 166 B) 1 616 C) 630 D)603 E)Másde1666

13. Hallar un número de 3 cifras, tal que si se le suma el número que resulta de invertir el orden de sus cifras resulta un número capicúa de 3 cifras, además la diferencia de los mismos resulta otro número capicúa pero de dos cifras. Dar como respuesta la suma de sus cifras, sabiendo que es máximo. Cabe mencionar que la cifra de unidades de ambos números capicúas son iguales. A) 14 B) 12 C) 11 D)18 E)13 14. Si se cumple: además:

E) 8B) 14

;

C) 5

15. Calcular el producto de las cifras de un número de 3 cifras escrito en base 7, tal que la suma de dichas cifras es 13 y su complemento aritmético es un número capicúa de 2 cifras (en base 7) A) 60 B) 42 C) 72 D)36 E)48 16. Determinar la suma de las cifras del mayor número entero, de tal manera que la diferencia de dicho número con su complemento aritmético es un número capicúa de 3 cifras A) 20 B) 18 C) 23 D)24 E)22 17. ¿Cuántos números de cuatro cifras son tale s que: el C.A de su C.A tiene dos cifras? A) 80 B) 81 C) 89 D)90 E)171

TAREA

24

01. Se tienen 5 cifras consecutivas y significativa s en base “n” con las cuales se forma el mayor y el menor número posible de 5 cifras, los cuales se restan obteniéndose . Hallar a + b + c + d en base 10 A) 22 B) 23 C) 24 D)25 E)26

06. A partir de : Calcular (x + y) A) 12 B) 15 D) 5 E) 10

07. A las c + b = 7 a.m. de ayer se subastó un mueble de S/. , ofreciéndose S/. , así gano S/.180. Si se hubiera vendido por S/. , se ganaría S/.81. ¿A cuánto se vendió el cuadro?

02. La media aritmética de los tres términos de una sustracción es 20. Hallar su media geométrica, sabiendo que el 20% del sustraendo es igual al 30% de la diferencia. A) 6 B) C) 6 D) 6

C) 7

A) S/.432 243 D) S/.

S/. 324 E)B)S/. 234

08. Calcular: a + b si : CA + CA A) 8 B) 9 D)11 E)12

E)

03. Se tiene un número de “K” cifras significativas cuya suma de cifras es 56 y la suma de las cifras de su complemento aritmético es 44. Calcular el valor de “K” A) 10 B) 11 C) 12 D)13 E)14

C) S/. 423 = 3 674 C) 10

09. Determinar el mayor valo r para "n" menor que 14 tal que un numeral de tres cifras en base "n" sea igual al doble del numeral de tres cifras de base "n", escritas con las mismas tres cifras del numeral anterior pero escritas en orden inverso. A) 13 B) 12 C) 5 D) 8 E)11

04. ¿Cuántos números capicúas de 5 cifras e xisten tales que la suma de las cifras de su complemento aritmético sea 31? A) 22 B) 21 C) 25 D)13 E)17

10. Un alumno al restar dos números de tres cifras cada uno, invirtió el orden de las cifras del minuendo obteniendo 112 de resultado. Se dio cuenta de su error, corrigió y obtuvo 805.

05. Hallar la suma de los complementos aritmético s de todos los números de 3 cifras que usen cifras impares en su escritura A) 565 625 B) 625 000 D) 69 375 D) 55 625 E) 129 000

Sabiendo que la suma lasacifras del minuendo más del sustraendo es de igual 24. Determinar la suma de las cifras del C.A del sustraendo. A) 16 B) 22 C) 25 E) 8 E) 18

25

MULTIPLICACIÓN Es una operación binaria que relaciona un par ordenado de números naturales denominados multiplicando y multiplicador a un tercer número natural único denominado producto a×b=P

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. La suma de los dos factores de una multiplicación es 69; además, si el multiplicando aumenta en 15 y el multiplicador disminuye en 6, el producto no se altera. Calcular el producto A) 1 080 B) 1060 C) 1 200 D)900 E)960

A) 15 D)18

07. Si se sabe que: M.N tiene 8 cifras N.P tiene 15 cifras ¿cuántas cifras tiene M.N2.P? A) 19 ó 20 B) 20 ó 21 D) 23 ó 24 E) 24 ó 25

02. Calcular el valor de verdad de las siguientes proposiciones: ( ) En toda multiplicación de números naturales, el producto siempre es mayor que cada factor. ( ) Si: A = {2 n / n  Z+} entonces la multiplicación es cerrada en A ( ) Existen a, b, c  Z; tales que si a.b = c, entonces c < a  c < b A) VVV B) FVV C) VFF D)FVF E)FFF

C) 17

C) 22 ó 23

08. Calcular la cantidad de cifras que puede tener: M = A1 . A2 . A3 . ............. An como mínimo, si se sabe que A1; A2; A3 ........ son numerales de 2; 4; 6; .......; y 98 cifras respectivamente A) 2 102 B) 2 202 C) 2 302 D)2402 E)2502 09. Calcular (p+q), si:

03. Si: calcular la suma de las 3 últimas cifras del producto A) 16 B) 19 C) 20 D)21 E)22

siendo a; b y c diferentes entre sí y diferentes de 9 A) 12 B) 7 C) 3 D) 9 E) 5

04. En la multiplicación de , si el multiplicando fuera , el producto sería 18 476, calcular (a + b + c) A) 18 B) 21 C) 20 D)26 E)23

10. Calcular a + b + c + d + e s i: A) 23 D)28

05. Calcular la suma de todas las cifras del producto

31 cifras A) 252 D)279

B) 14 E)12

B) 261 E)288

B) 24 E)29

C) 27

11. Calcular el número tal que multiplicado sucesivamente por 11; 38; 12; 34 y 28, dé como resultado los siguientes productos: ; ; ; y , respectivamente, sabiendo además que : a+b+c+d+e=27. A) 2 439 B) 3 439 C) 3 000 D)4342 E)2342

30 cifras C) 270

06. Sabiendo que:

12. Si : . 97 = ...909 calcular (a + b + c) A) 17 B) 18

Calcular: a+b+c

26

C) 19

D)20

E)21

20. En un viejo cuaderno de primaria se encontró el siguiente problema: “Si *313 obreros construyeron **345 sillas en un mes, ¿cuántas sillas construyen *201 obreros en ese mismo tiempo?” Como se observa hay dígitos que no se pudieron entender por la mala letra del alumno, pero en una hoja posterior el niño lograba resolverlo y obtenía como resultado un número entero de 5 cifras. Hallar la suma de cifras de dicho resultado, si además se observó que cada obrero producía mensualmente un número entero de

13. Calcular la suma de los números que cumplen con: “Tiene 2 cifras y multiplicados por su C.A. terminan en 36” A) 100 B) 134 C) 200 D)192 E)82 14. Dado :

.

calcular : x+y+n A) 16 B) 20 D)24

C) 22

E)26

sillas A) 24 D)27

15. Si : = ....... 71; donde cada punto representa una cifra, ¿cuál es el valor de las primeras cifras de la izquierda del producto, si a; b y c son diferentes? A) 6; 4 y 3 D) 6; 5 y 2

B) 7; 4 y 2 E) 6; 7 y 4

B) 25 E)28

C) 26

C) 7; 5 y 3

16. Calcular la suma de cifras de N si:

A) 8 D)11

B) 9 E)12

C) 10

17. Si :

calcular a . b. S A) 9700 B) 9701 D)9703 E)9704 18. Calcular (a + b) si: A) 7 B) 5 D) 8 E) 9

C) 9702

C) 6

19. Sabiendo que: = 198 727 = 198 061 hallar: a+b+c+d+x+y A) 24 B) 25 D)27 E)28

C) 26

TAREA 01. Calcular la suma de las cifras del producto.

A) 1551 D)1511

B) 1515 E)1510

02. El producto de un numeral capicúa de cuatro cifras por 23, termina en 11. Calcular la suma de cifras del producto A) 19 B) 20 C) 21 D)22 E)23

C) 1555

03. Determinar : (a + b + c + d) si:

27

A) 12 D)15

B) 18 E)16

A) 8 D)11

C) 14

04. Si:

determinar la suma de las cifras de A) 21 B) 22 C) 23 D)24 E)25 05 Un granjero amarró su vaca en la esquina de su casa. Él observa que si la cuerda fuera alargada en 10 metros, ella podría abarcar 4 veces el área srcinal. Entonces la longitud srcinal de la cuerda es: A) 10 m B) 20 m C) 30 m D)5m E)8m 06. Se tiene el producto de tres números. El prime ro se aumenta en su triple, al segundo en su cuádruple y al tercero en su quíntuple; de esta manera: a) ¿Por cuánto se ha multiplicado el producto? b) ¿En cuántas veces su valor ha aumentado el producto? A) 118 y 117 B) 119 y 118 C) 120 y 119 D) 121 y 122 E) 122 y 123 07. Halle en qué cifra termina el producto de: (22+1)(2 4+1)(2 6+1)(28+1) .... (2 50+1) A) 0 D) 5

B) 2

C) 6

E) 3

08. Al multiplicar 79 3 por un número de 3 cifras se ha obtenido el resultado erróneo 67 405 debido a que el tercer producto parcial fue colocado debajo, exactamente del segundo. Si la diferencia entre la cifra de las centenas y de las decenas del multiplicador es 4, hallar la suma de cifras del multiplicador A) 13 D)15

B) 12 E)16

C) 14

09. Multiplicar por 9 a un número de dos cifras, es equivalente a intercalar la cifra cero entre las cifras de dicho número. ¿Cuál es el C.A. del número que resulta de invertir el orden de sus cifras? A) 32 B) 29 C) 34 D)46 E)48 10. Si se sabe que: hallar el valor de “a + b”

28

B) 9 E)12

C) 10

DIVISIÓN Es una operación binaria que relaciona a un par ordenado de números denominados dividendo y divisor a un tercero único llamado cociente

Exacta (Residuo = 0) D=d×q



Inexacta ( Residuo  0) Defecto



Exceso



Propiedades de la división inexacta DIVISIÓN ENTERA Es un caso particular de la división en la que el dividendo, divisor y cociente son números enteros. En este caso particular hay un cuarto término no negativo llamado residuo. Si el residuo toma como valor a cero, la división entera es exacta, y si toma valores mayores que cero la división entera es inexacta, la cual se puede efectuar de dos formas, por defecto o por exceso. El cociente por defecto es un entero que multiplicado por el divisor, el producto es el mayor posible, pero menor al dividendo y el cociente por exceso es un entero que multiplicado por el divisor el producto es el menor posible, pero mayor que el

1. rd + re = |d| 2. r < |d| 3. rmax = |d| - 1 NOTA: Para los problemas no teóricos considerar al divisor como un número entero positivo. En este sentido q * = q+1

dividendo.

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. En una división in exacta el resto por exceso excede en 2 unidades al resto por defecto y le falta 4 unidades para ser igual al cociente por defecto. Si el divisor es 12, determinar el dividendo A) 128 B) 135 C) 126 D)143 E)137

Calcular el máximo valor que puede tomar y dar como respuesta: a+b+c+d A) 19 B) 20 C) 21 D)22 E)23 05. En una división inexacta de divisor 42, al efectuarla por defecto la suma de sus términos es 916, pero si se efectúa por exceso sus términos suman 945. Determinar el cociente que se obtendría, si se aumenta 100 unidades al dividendo A) 22 B) 25 C) 20 D) 7 E) 35

02. La diferencia de 2 números es 107 y su cocie nte es 12 dejando un residuo que es el mayor posible. Calcular el mayor de dichos números A) 110 B) 116 C) 123 D)130 E)135 03. Se dividen los números 1 435 y 216. Calcular

06. Al dividir por 47 se obtuvieron 5 residuos máximos. Calcular: a+b+c+d+e+f A) 48 B) 41 C) 33 D)34 E)50

entreque quérestar límites encuentran losque números que hay a 1se435 de manera el cociente disminuya en dos unidades A) 355 < n < 571 B) 355  n < 571 C) 350 n