LIBRO 1° ALGEBRA

 ÁLGEBRA

PRIMERO DE SECUNDARIA 

parte literal, esto es- las mismas letras con los mismos exponentes. i)ieren, entre s/ en los coe)icientes.

TEMA: EXPRESIONES A LGEBRAICAS

Ejemplos:

CONCEPTO Son aquellas expresiones en las que las operaciones que se usan son sólo las de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación entre sus variables en un número limitado de veces. Ejemplos:    ( x ) = x  + #x  − y   #x  − y   + !y  − # Q ( x , y ) = π   lo" !  R ( x , y , z ) = ! + #x  + x .y .z   expresiones al"ebraicas

a) %xyz!- 0 %xzy !- 12xyz! Son semejantes b) !a!b- 1%a!b- 3a!b- 1a!b Son semejantes c) np%- np%, 1np% semejantes d) 1%a%b- 2ab% trminos semejantes

trminos trminos Son trminos 4o

Son

!

  x  x   (  ( x ) = x  − $  lo" x   R &( x , y , z ) = % + !x  + x .y .z    '( x ) = $ + x  + x ! + ...... 

Son

R ( x ) = Sen !x  − $

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS 5as expresiones al"ebraicas se clasi)ican en 6onomios y olinomios. I) Monomio: Es la expresión al"ebraica que consta de un solo trmino. Ejemplos: .  %x- 3x ! y- xy%- 7,3 ab- x ! yz% .

Son

II)

Po!inomio: Es la expresión al"ebraica de dos o m8s trminos. Ejemplos:

expresiones al"ebraicas . #x 1 %y - 9x ! 1 %y  xy- %xy  9y 1 %x  2 .

TÉRMINO ALGEBRAICO Es aquella expresión al"ebraica en la que no se enlaza a las variables mediante la adición y la sustracción, presenta dos partes que con el coe)iciente y la parte literal *parte variable+ Ejemplo:

•

Binomio: Es la expresión al"ebraica que consta de dos trminos. 7 8 Son binomios: . %x! 1 y- ;x ! y  y- !x  %- 9x !  2 .

•

TÉRMINOS SEMEJANTES Se llaman trminos semejantes de una expresión al"ebraica a aquellos que tienen la misma C O L E G I O

T"inomio: Es la expresión al"ebraica que consta de tres trminos Son trinomios:

. %x! 1 3x  z- !a !  %ab  b!- 3x% 1 !x!  2 .

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GRADO DE #NA $ARIABLE El "rado de una variable es el exponente de dic es de "rado !, o se"undo "rado. 5a variable =y> es de "rado %, o tercer "rado.

El "rado de un monomio puede ser relativo o absoluto. El G"ado R%!a&i'o o con respecto a una letra o variable est8 dado por el exponente de dic es % y G"ado R%!a&i'o con respecto a =y> es !. •

El "rado absoluto del monomio %x ! y% es: !  % @ 9 El "rado absoluto del monomio 9x % y# es: %  # @ 3 El "rado absoluto del monomio 3x 9 y% es: 9  % @ ;

GRADO DE #N MONOMIO

•

ado el polinomio: %x! y% 1 9x% y#  3x9 y%

! %

•

E! G"ado Abo!(&o  de un polinomio es i"ual al "rado de su trmino de mayor "rado absoluto. 's/:

G"ado Abo!(&o de un trmino al"ebraico est8 dado por la suma de los exponentes de la parte literal. 's/: El "rado absoluto de:?x % y! es  es: ; 9 12

El "rado absoluto de:9x  y z  es  es:

%!@9 ;912@3

5ue"o- el "rado absoluto del polinomio: %x! y% 1 9x% y#  3x9 y% es de octavo "rado o de "rado ;.

O&"o %%m*!o: ado el polinomio: 2xy!z 1 9x! y  $7xy#z! 1 3xy9 A.'. del monomio 2xy !z @ $  !  $ @ # A.'. del monomio 9x ! y @ !  $ @ % A.'. del monomio $7xy #z! @ $  #  ! @ 3 A.'. del monomio 3xy 9 @ $  9 @ 2

GRADO DE #N POLINOMIO El "rado de un olinomio puede ser relativo y absoluto. •

E! G"ado R%!a&i'o  o con respecto a una letra es i"ual al mayor exponente de dic en la expresión dada  y obtenemos:

C O L E G I O

todas las letras de los monomios dados poniendo a cada una11un exponente i"ual a la suma de los exponentes que ten"a en los )actores.

E%m*!o +: Ballar el producto de: %x % por !x! R%o!(ci,n: %x! . !x! @ *% . !+ *x % . x!+ *% . !+ → 6ultiplicamos los coe)icientes

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*x% . x!+

→

6ultiplicamos las partes literales

DI$ISIÓN DE MONOMIOS %x% . !x! @ *2+*x%  !+ @ 2x9

 %x% . !x! @ 2x9

→

ara Es ordenado y creciente respecto a =a>

.- Po!inomio Com*!%&o Si existen todos los "rados incluyendo el trmino independiente, e =y>  y AR*y+ @ #,

AR*x+ @ #

P"o*i%dad: En todo polinomio completo

(

( %*x,y+ @

! +$

) x y

3 #

4- Po!inomio Id?n&ico os o m8s polinomios son idnticos cuando tienen los mismos valores numricos para cualquier valor de la variable Ejemplo: *x-y+ @ *x  y+ ! 1 #xy Q*x-y+ @ *x 1 y+ !

a) Po!inomio Id?n&icam%n&% N(!o Hn polinomio es idnticamente nulo, si para cualquier valor de su variable el polinomio se anula. b) Po!inomio M,nico Hn polinomio es un monomio cuando el coe)iciente principal es $. Ejemplo: '*x+ @ $  x !  x%

4úmero de trminos @ A.'.  $

N*x+ @ ?x #  x%  x9

/- Po!inomio >omo3?n%o Es M M M M M 

4- CDu8l es el coe)iciente principal de: Q*x+ @ 9x!  %x# 1 !x  %

m  n 

EERDGDGFS (F6'FS E4 5FS DF4DHRSFS E 6'(E6U(GD'

C) $;

35

p 

' m  . N   = ' n  . N  n 

34

En el:

V*x-y+ @ a 



C O L E G I O

a −!

x  a  y  %

- obtenemos:

%

V*x-y+ @ x  a −! y  a −!

+- Dalcular: *a 1 b+ si el monomio: 6*x,y+ @ 9x !a  b ya  !b- tiene A.'. @ $9 y A.R.*x+ @ ;

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or dato:

D) $?

a  % + =! a  − ! a  − !

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a  + % a  − !

!+

=!

a  % @ !*a 1

⇒

a  % @ !a 1 # . 3@a . 

5ue"o, reemplazamos el valor de a @ 3 en el monomio: Q*x-y+ @ xa . ya  9 Q*x-y+ @ x 3. y3  9 @ x3 . y$!- siendo el "rado de este monomio: 3  $! @ $?

∴

4.

Siendo V*x+ @ ( x  − !) ! + ;x  eterminar: V*?;+ A.'. @ $7- A.R.*W+ @ 2

A) $7;



/- Dalcular: =m  n>, si se sabe que el monomio: n m  !n *x-y+ @ #nxm   y  es de: A.'. @ $7- A.R.*W+ @ 2 B) #

C) 9

D) 2



E) $777

. *' 0 N+! @ '! 1 !'N 

'plicando: N! . Fbtenemos:

F=) 

x  ! − !x  . ! + !! + ;x 

F=) 

x ! + #x  + # = ( x  + ! ) !

V*?;+ @ ?;  ! @ $77

E) ;

∴

. V*?;+ @ $77 . Rpta. 

5- Si )*x+ es un polinomio de primer "rado tal que veri)ique: i+ )*7+ @ 9 ii+ )*1$+ @ %

or dato: • A.R.*y+ @ 2 m  n! @ 2 ⇒ m @ 2 1 !n *G+ •

D) $77

V*x+ @ x  ! de esta expresión, calculamos:

Resolución 

C) ?;

Resolución

. El "rado de: Q*x-y+, es: $? . Rpta. 

A) %

B) $7!

....

Se"ún ello determine )*$+

A) %

A.'. @ $7 *m  n+  *m  !n+ @ $7 *GG+

B) #

C) 9

D) 2

E) 3

.... Resolución

Reemplazando *G+ en *GG+- obtenemos: !*2 1 !n+  %n @ $7

Domo )*x+ es un polinomio de primer "rado Ser8 de la )orma:

)*x+ @ ax  b

$! 1 #n @ %n @ $7 ∴

. !@n .

5ue"o: •



∴

Reemplazamos el valor de n @ !- en *G+ m @ 2 1 !*!+ ⇒ m @ ! . m  n@ ! ! @ # . Rpta. N

C O L E G I O

•

)*7+ @ a*7+  b . 9@b .

)*1$+ @ a*1$+  b % @ 1a  b % @ 1a  9

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⇒

. a@! .

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 Arado de *N %+ @ % x # @ $!

⇒



e la expresión:

)*x+ @ ax  b )*x+ @ !x  9

Dalculamos: ∴



)*$+ @ !*$+  9

∴

. )*$+ @ 3 .



Rpta. E

B)

%$C) ?

D) $2

E) $#

Resolución •

•



Duando la expresión est8 a)ectada por un radical el "rado se divide por el /ndice radical !; ! % =# Arado 3 ' N = 3

A.R.*x+ @ 3 m$@3

⇒

. m@2 .

A.R.*y+ @ ? n!@?

⇒

. n@3 .

∴

A) B) $ % Resolución 

el polinomio: *x-y+ @ !yx m  $ 1 %xm yn  9 . yn  ! . x

B) %

C) #

D) 9

Resolución • Arado de ='> @ ; ! ⇒ Arado de *' + @ ! x ; @ $2 •

E) 3

*n 1 $+! @ 7

. m  n @ 2  3 @ $% . Rpta. N

Si el "rado de ='> es ; y el "rado de =N> es #. Dalcular el "rado de: 3 '! . N %

A) !

D) 9

n!  # @ !n  % n! 1 !n  $ @ 7

∴

7.

C) #

Domo el polinomio es a ?, A.R.*y+ @ 9 1 m @ 9 1 7 @ 9

Arado de =N> @ # C O L E G I O

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 ÁLGEBRA ∴

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. A.R.*y+ @ 9 .



ara que este polinomio: *x-y+ @ %x m  $ . yn  %  !xa . yb  x!m . yn  !

Rpta. 

Sea idnticamente nulo, debe cumplirse que:

9- eterminar =m> si el si"uiente polinomio es