Lezioni di TEORIA DEI SEGNALI.pdf

DIPARTIMENTO DI ENERGIA INGEGNERIA DELL’INFORMAZIONE E MODELLI MATEMATICI (DEIM)

Lezioni Di Teoria Dei Segnali Giovanni Garbo, Giovanni Mamola, Stefano Mangione

29/12/2014

SOMMARIO Introduzione CAPITOLO - 1 Richiami di Matematica 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 -

1 7 7

Premessa. ........................................................................... 7 L’integrazione alla Lebesgue. .......................................... 7 Misura associata a una classe di insiemi....................... 10 𝝈-Algebra di Borel........................................................... 11 La misura di Lebesgue su ℝ .......................................... 11 La misura di Lebesgue su ℝ𝑵 ....................................... 12 Funzioni integrabili alla Lebesgue e relative proprietà.13 Funzioni a quadrato sommabile .................................... 16

II Teorema di Lebesgue: ............................................................... 18

1.9 - Spazi metrici. ................................................................... 18 1.10 - Spazi vettoriali. .............................................................. 20 1.11 - Spazi normati. ................................................................ 21 1.12 - Forme bilineari, quadratiche, hermitiane. ................... 21 1.13 - Riduzione di una forma hermitiana a forma canonica.23 1.14 - Forme hermitiane semidefinite positive. ..................... 26 1.15 - Prodotto scalare. ............................................................ 27 1.16 - Vettori linearmente indipendenti. ................................ 30

CAPITOLO - 2 Rappresentazione Vettoriale dei Segnali

33 33

2.1 - Premessa. ......................................................................... 33 2.2 - Lo spazio dei segnali a energia finita. ........................... 34 Prodotto scalare ....................................................................... 35 Distanza.................................................................................... 35 Norma....................................................................................... 36 2.3 - Segnali linearmente indipendenti.................................. 37 Teorema 2.1 (di Gram) ................................................................. 37

2.4 - Rappresentazione geometrica di un segnale. ............... 40 2.5 - Angolo tra due segnali. ................................................... 44

2

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

2.6 - Approssimazione dei segnali nel sottospazio S𝒏. Teorema della proiezione. ....................................................................... 46 2.7 - Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. ................................................................................................... 50 2.8 - Sviluppo di un segnale in serie di funzioni ortogonali. 52

CAPITOLO - 3 Segnali Periodici 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 -

55 55

Generalità. ....................................................................... 55 Serie di Fourier in forma esponenziale. ........................ 56 Forma trigonometrica della serie di Fourier. ................ 59 Segnali reali. .................................................................... 60 Proprietà della serie di Fourier. ..................................... 65

Linearità ....................................................................................... 65 Inversione nel dominio del tempo ................................................ 66 Segnale coniugato ......................................................................... 66 Coefficienti coniugati .................................................................... 66 Traslazione nel dominio del tempo ............................................... 67 Traslazione nel dominio della frequenza ....................................... 67 Convoluzione nel dominio del tempo ........................................... 67 Convoluzione nel dominio della frequenza ................................... 68

3.6 - Segnali bidimensionali. .................................................. 70

CAPITOLO - 4 Segnali a Energia Finita

73 73

4.1 - Deduzione elementare della trasformata di Fourier. .... 73 4.2 - La trasformata di Fourier di segnali ad energia finita. 74 La trasformata in 𝕷(ℝ). ........................................................... 75 La trasformata in 𝕷(ℝ) ∩ 𝕷𝟐(ℝ). ........................................... 75 La trasformata in 𝕷𝟐(ℝ). ........................................................ 78 Conclusioni .............................................................................. 81 4.3 - Principali proprietà della trasformata di Fourier di un segnale ...................................................................................... 82 Trasformata di Fourier di segnali reali.................................. 83 4.4 - Proprietà della trasformata di Fourier. .......................... 86 Linearità ................................................................................... 86 Simmetria ................................................................................. 87 Segnale coniugato .................................................................... 87 Trasformata coniugata ............................................................ 88

3

Introduzione

Traslazione nel dominio del tempo ........................................ 88 Traslazione nel dominio della frequenza ............................... 88 Cambiamento di scala ............................................................. 89 Derivazione nel dominio del tempo ....................................... 90 Derivazione nel dominio della frequenza .............................. 90 Convoluzione nel dominio del tempo .................................... 91 Convoluzione nel dominio della frequenza ........................... 94 4.5 - Limitazioni dello spettro di ampiezza di un segnale. .. 98 4.6 - Segnali bidimensionali. ................................................ 100 Linearità ................................................................................. 101 Traslazione nel dominio dello spazio e della frequenza ..... 101 Cambiamento di scala. .......................................................... 101 Convoluzione nel dominio dello spazio e della frequenza.. 102 Trasformazioni di variabili .................................................... 103

CAPITOLO - 5 Segnali a Potenza Finita

107 107

5.1 - Cenni di teoria delle distribuzioni. .............................. 107 5.2 - Esempi di distribuzioni. ............................................... 109 Distribuzioni regolari ............................................................ 109 Gradino unitario ..................................................................... 109 Delta di Dirac ......................................................................... 109 Pseudo funzione t-1 ................................................................ 110 5.3 - Calcolo delle distribuzioni. .......................................... 111 Uguaglianza ........................................................................... 111 Somma .................................................................................... 111 Traslazione ............................................................................. 111 Derivata di una distribuzione ............................................... 112 Prodotto di una funzione per una distribuzione.................. 115 Distribuzioni a supporto limitato ......................................... 115 5.4 - Convoluzione tra distribuzioni. ................................... 116 5.5 - Formula di Poisson....................................................... 120 5.6 - Trasformata di Fourier di una distribuzione. ............. 122 Teorema 5.1 ............................................................................... 123

5.7 - Trasformata di Fourier di distribuzioni a supporto limitato.................................................................................... 124 5.8 - Trasformate di Fourier di distribuzioni notevoli. ....... 125 Trasformata di una costante ................................................. 125 Trasformata della delta di Dirac ........................................... 125

4

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Trasformata della delta di Dirac traslata .............................. 125 Antitrasformata della delta di Dirac traslata ........................ 125 Trasformate delle funzioni seno e coseno............................ 125 Trasformata di un segnale periodico.................................... 125 Trasformata della funzione segno ........................................ 126 Trasformata del gradino unitario.......................................... 127 5.9 - Proprietà delle trasformate delle distribuzioni. .......... 127 Linearità ................................................................................. 127 Trasformata della convoluzione ........................................... 127 Derivazione nel dominio del tempo e della frequenza ........ 128 Traslazione nel dominio del tempo e della frequenza ........ 129

CAPITOLO - 6 Trasformazioni Lineari dei Segnali

133 133

6.1 - Definizioni. Proprietà generali. .................................... 133 6.2 - Studio nel dominio del tempo...................................... 135 6.3 - Stabilità di un sistema lineare ...................................... 137 6.4 - Risposta impulsiva di trasformazioni lineari prive di memoria.................................................................................. 138 6.5 - Studio nel dominio della frequenza. ............................ 138 6.6 - Determinazione della risposta in frequenza di una trasformazione LTI................................................................ 139 6.7 - Trasmissione senza distorsione. Filtri ideali. ............. 143

CAPITOLO - 7 Caratterizzazione Energetica dei Segnali

145 145

Segnali a energia finita................................................................. 145

7.1 7.2 7.3 7.4 -

Densità spettrale di energia.......................................... 145 Funzione di autocorrelazione. ..................................... 149 Teorema di Wiener-Khinchine. ................................... 152 Funzioni di mutua correlazione. ................................. 153

Segnali a potenza finita ............................................................... 155

7.5 - Densità spettrale di potenza. ....................................... 155 7.6 - Funzioni di correlazione. ............................................. 158

CAPITOLO - 8 Caratteristiche e Proprietà dei Segnali

163 163

8.1 - Segnale analitico. Trasformata di Hilbert. .................. 163

5

Introduzione

8.2 - Componenti del segnale a frequenze positive e negative. ................................................................................................. 167 8.3 - Segnali a banda e durata rigorosamente limitata. ...... 168 8.4 - Proprietà dei segnali a banda rigorosamente limitata.169 Segnali passabasso................................................................. 169 Segnali passabanda................................................................ 170 8.5 - Banda e durata convenzionali...................................... 173 Banda e durata quadratica o efficace ........................................... 173 Banda e durata sulla base dell’energia .......................................... 174

CAPITOLO - 9 Il Campionamento dei Segnali 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 -

177 177

Il teorema del campionamento. ................................... 177 Il sottospazio dei segnali passabasso. ......................... 179 Campionamento naturale............................................. 182 Campionamento istantaneo. ........................................ 185 Errori di ricoprimento spettrale (aliasing). ................. 187 Campionamento ideale dei segnali passabanda. ....... 189 Ricostruzione del segnale passabanda........................ 195 Campionamento del secondo ordine. ......................... 196

Segnali passabasso. ..................................................................... 196 Segnali passabanda. ..................................................................... 198

CAPITOLO - 10 Segnali a tempo discreto

201 201

10.1 - Segnali a tempo discreto. Energia e potenza specifica. ................................................................................................. 201 10.2 - Segnali periodici. ......................................................... 202 10.3 - La trasformata discreta di Fourier ............................. 204 10.4 - Segnali a potenza finita............................................... 209 10.5 - Proprietà della trasformata di Fourier di un segnale a tempo discreto. ...................................................................... 211 10.6 - Funzioni di correlazione e densità spettrali. ............. 213 - Segnali periodici. ................................................................. 213 - Segnali ad energia finita...................................................... 215 - Segnali a potenza finita. ...................................................... 217

CAPITOLO - 11 Trasformazioni lineari discrete

219 219

6

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

11.1 - Studio nel dominio del tempo..................................... 219 11.2 - Studio nel dominio della frequenza ........................... 223

CAPITOLO - 12 Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier

227 227

12.1 - Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier di un Segnale a tempo continuo ..................................................... 227 12.2 - Troncamento del segnale. Finestre temporali. ......... 232 12.3 - La trasformata discreta di Fourier. ............................ 235

CAPITOLO - 13 Richiami di Teoria della Probabilità

241 241

13.1 - Lo spazio dei risultati. Gli eventi................................ 241 13.2 - Lo spazio di probabilità. ............................................. 244 13.3 - Probabilità condizionate - Formula di Bayes - Teorema delle probabilità composte. ................................................... 247

CAPITOLO - 14 Variabili Aleatorie

253 253

14.1 - Variabili aleatorie monodimensionali. ....................... 253 14.2 - Funzione di distribuzione di probabilità. .................. 254 - intervallo semiaperto a sinistra ........................................... 254 - semiretta d’origine destra aperta ........................................ 255 - intervallo chiuso................................................................... 255 - punto isolato ........................................................................ 255 - intervallo aperto ................................................................... 256 - intervallo semiaperto a destra ............................................. 256 14.3 - Proprietà della distribuzione di probabilità. ............. 256 - valori limite .......................................................................... 256 - monotonia e limitatezza ...................................................... 257 - continuità a destra ............................................................... 257 - limiti da sinistra ................................................................... 258 - numero di discontinuità ...................................................... 258 14.4 - Densità di probabilità di una variabile aleatoria continua. ................................................................................................. 260 14.5 - Densità di probabilità di una variabile aleatoria discreta. ................................................................................................. 261 14.6 - Variabili aleatorie bidimensionali. Funzioni di probabilità congiunte. ........................................................... 262

Introduzione

7

14.7 - Funzioni di probabilità condizionate. ....................... 266 14.8 - Funzioni di probabilità d’ordine superiore. .............. 267

CAPITOLO - 15 Funzioni di variabili aleatorie

269 269

15.1 - Funzioni di una variabile aleatoria............................. 269

CAPITOLO - 16 Medie Statistiche 16.1 16.2 16.3 16.4 -

Valore medio di funzioni di variabili aleatorie. ......... 275 Momenti. ..................................................................... 276 Teorema della media. ................................................. 282 Funzione caratteristica. .............................................. 283

CAPITOLO - 17 Variabili Aleatorie Notevoli 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 -

275 275

288 288

Premessa. ..................................................................... 288 Distribuzione uniforme. ............................................. 288 Distribuzione esponenziale. ....................................... 289 Distribuzione di Laplace. ........................................... 290 Distribuzione normale o gaussiana. .......................... 290 Distribuzione di Rayleigh........................................... 295 Distribuzione di Bernoulli. ......................................... 296 Distribuzione binomiale. ............................................ 296 Distribuzione di Poisson. ........................................... 298

CAPITOLO - 18 Caratterizzazione Statistica dei Segnali

302 302

18.1 - Segnale aleatorio. Funzioni di probabilità del primo ordine. ..................................................................................... 302 18.2 - Funzioni di probabilità del secondo ordine e funzioni di probabilità condizionate........................................................ 306 18.3 - Funzioni di probabilità d’ordine superiore. .............. 310 18.4 - Segnali aleatori deterministici. ................................... 312 18.5 - Segnali dipendenti da una variabile aleatoria monodimensionale ................................................................ 312 funzioni di probabilità del primo ordine. ............................. 312 funzioni di probabilità d’ordine superiore al primo. ........... 316 18.6 - Segnali dipendenti da un vettore aleatorio. ............... 318

8

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

18.7 - Segnali distinti. Funzioni di probabilità congiunte. . 321

CAPITOLO - 19 Valori Medi, Stazionarietà ed Ergodicità

325 325

19.1 - Medie statistiche. ........................................................ 325 19.2 - Stazionarietà. ............................................................... 329 19.3 - Medie temporali ed ergodicità. .................................. 332 19.4 - Ergodicità delle funzioni di probabilità del primo ordine. ................................................................................................. 336

CAPITOLO - 20 Segnali Gaussiani

341 341

20.1 - Variabili aleatorie congiuntamente gaussiane. ......... 341 20.2 - Funzione caratteristica di variabili aleatorie congiuntamente gaussiane. .................................................. 341 20.3 - Densità di probabilità di ordine inferiore.................. 344 20.4 - Caratterizzazione degli elementi del vettore 𝒎 e della matrice 𝜮. ............................................................................... 345 20.5 - Segnali gaussiani. ....................................................... 346 20.6 - Distribuzioni singolari................................................ 347 20.7 - Densità di probabilità del secondo ordine e condizionali. ................................................................................................. 351 20.8 - Trasformazioni lineari di segnali gaussiani. ............. 353 20.9 - Statistica della somma di variabili aleatorie indipendenti. ................................................................................................. 356

CAPITOLO - 21 359 Caratterizzazione Energetica di Segnali a Tempo Continuo .................... 21.1 - Funzione di autocorrelazione. .................................... 359 la funzione di autocorrelazione normalizzata ...................... 362 la funzione di autocovarianza ............................................... 362 la funzione di autocovarianza normalizzata, o coefficiente di autocorrelazione..................................................................... 362 21.2 - Densità spettrale di potenza. ...................................... 363 21.3 - Caratterizzazione dei segnali nel dominio della frequenza. ............................................................................... 366 21.4 - Segnali ciclostazionari. ............................................... 371 21.5 - Segnali distinti. Funzioni di correlazione e densità spettrale incrociate................................................................. 376

Introduzione

9

CAPITOLO - 22 381 Caratterizzazione Energetica di Segnali Aleatori a Tempo Discreto 381 22.1 - Funzione di autocorrelazione..................................... 381 22.2 - Densità spettrale di potenza....................................... 383 22.3 - Caratterizzazione nel dominio della frequenza ........ 385

CAPITOLO - 23 Segnali Passabanda

389 389

23.1 - Il rumore bianco. ......................................................... 389 23.2 - -Rumore bianco passabasso. ..................................... 389 23.3 - -Rumore bianco passabanda...................................... 390 23.4 - Segnali aleatori passabasso. ....................................... 391 23.5 - Segnali aleatori passabanda. ...................................... 393 23.6 - Segnali gaussiani. ....................................................... 402 23.7 - Segnale gaussiano a banda stretta sovrapposto a un segnale deterministico di tipo sinusoidale........................... 404

INTRODUZIONE Una grandezza fisica, alla cui variazione in funzione di determinate variabili, quali, ad esempio, il tempo, le coordinate di un punto nel piano o entrambe, è associata una certa quantità di informazione, costituisce un segnale. La tensione o la corrente all'ingresso di un biporta, la pressione acustica incidente sulla membrana di un microfono, l'intensità di un'immagine in un punto di uno schermo o la successione temporale di immagini quali quelle che si ottengono in una ripresa televisiva, sono esempi di segnali. A seconda degli aspetti che interessa mettere in evidenza è possibile classificare i segnali secondo criteri diversi. Una prima classificazione è di natura fenomenologica. Essa è basata sul tipo d'evoluzione subita dal segnale in funzione delle variabili indipendenti. Su questa base i segnali si distinguono in segnali determinati e segnali aleatori. Limitandosi per il momento a considerare segnali che dipendono esclusivamente dal tempo, un segnale si dice determinato quando i valori che esso assume in corrispondenza ad un qualsiasi istante sono conosciuti esattamente. Per contro i segnali aleatori sono quelli il cui andamento temporale è imprevedibile, anche se è possibile determinarne alcune caratteristiche medie. Di conseguenza, mentre un segnale determinato è perfettamente ripetibile, altrettanto non si può dire per un segnale aleatorio giacché, per la sua natura casuale, esso può assumere forme diverse anche se viene osservato in esperimenti effettuati nelle medesime condizioni. Da quanto detto discende che, mentre è possibile rappresentare un segnale determinato mediante una funzione (reale o complessa) di un certo numero di variabili indipendenti, ciò non può essere fatto nel caso di segnali aleatori, a meno che, una tale funzione, non venga costruita sulla base di una manifestazione del segnale ottenuta “a posteriori”. Di conseguenza mentre è possibile affrontare lo studio dei segnali determinati utilizzando algoritmi matematici che presuppongono una rappresentazione analitica del segnale, nel caso di segnali aleatori si deve ricor-

2

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

rere a metodologie di analisi di tipo statistico quali quelle basate sulla Teoria della Probabilità. Una seconda classificazione dei segnali è di natura morfologica. Essa si basa sul carattere continuo o discreto dell'ampiezza del segnale o dalle variabili da cui dipende la sua evoluzione.

Figura 1 - a) Segnale a tempo-continuo b) segnale a tempo discreto, c) segnale quantizzato, d) segnale numerico.

Facendo riferimento a segnali dipendenti soltanto dal tempo, si possono distinguere i segnali continui nel tempo (segnali a tempo continuo) e i segnali discreti nel tempo (segnali a tempo discreto). Nel primo caso la variabile 𝑡 può assumere un qualsiasi valore appartenente ad un assegnato intervallo di ampiezza finita o infinita (vedi Figura 1,a). Nel secondo caso la variabile indipendente è definita in un insieme al più numerabile di valori {𝑡𝑛 } con 𝑡𝑛−1 < 𝑡𝑛 < 𝑡𝑛+1 (vedi Figura 1,b). Di norma gli istanti 𝑡𝑛 si succedono con regolarità cioè si ha: 𝑡𝑛 = 𝑛𝑇 (i.1) cosicché l'insieme {𝑡𝑛 } è completamente specificato individuando il periodo 𝑇 ed il campo di variabilità dell'indice 𝑛. Se infine l'ampiezza del segnale può assumere un insieme finito o al più numerabile di valori {𝑞𝑛 } con 𝑞𝑛−1 ≤ 𝑞𝑛 ≤ 𝑞𝑛+1 , il segnale si dice

Introduzione

3

discreto in ampiezza. Un segnale discreto in ampiezza può essere ulteriormente classificato in segnale quantizzato (vedi Figura 1,c) e in segnale numerico (vedi Figura 1,d) se esso è a tempo continuo o discreto. Una terza classificazione è di natura energetica. A tale scopo si definisce energia specifica associata ad un segnale rappresentato da una funzione definita su tutto l'asse dei tempi a valori generalmente complessi, la quantità: ∞

(i.2)

𝐸 = ∫ |𝑠(𝑡)|2 𝑑𝑡 −∞

La precedente è detta energia specifica in quanto essa rappresenterebbe l'energia effettivamente dissipata su una resistenza di valore unitario che venisse attraversata da una corrente 𝑠(𝑡). La potenza (media) specifica, in armonia con la (i.2), è definita dal limite: 𝑇

(i.3)

1 2 𝑃 = lim ∫ |𝑠(𝑡)|2 𝑑𝑡 𝑇→∞ 𝑇 −𝑇 2

Le definizioni di energia specifica e di potenza specifica appena fornite per i segnali a tempo continuo possono essere facilmente estese ai segnali a tempo discreto. In tal caso l'energia e la potenza specifica del segnale sono rispettivamente definite dalle: ∞

(i.4)

𝐸 = 𝑇 ∑ |𝑠(𝑛𝑇)|2 𝑛=−∞ 𝑁

(i.5)

1 ∑ |𝑠(𝑛𝑇)|2 𝑁→∞ 2𝑁 + 1

𝑃 = lim

𝑛=−𝑁

Si noti che un segnale ad energia finita presenta una potenza specifica nulla; inoltre se la potenza specifica definita dalla (i.3) o dalla (i.5) è maggiore di zero, le quantità a secondo membro delle (i.2) e (i.4) non sono finite. Ciò premesso, si definiscono segnali ad energia finita quei segnali per cui l’energia specifica è finita. Si dicono a potenza finita i segnali per i quali è finita e non nulla la potenza specifica. Un'ulteriore classificazione è di natura dimensionale. Essa è basata sul numero di variabili indipendenti da cui il segnale dipende. Ad

4

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

esempio i segnali che dipendendo soltanto dal tempo sono monodimensionali, mentre una immagine fissa e una sequenza di immagini in bianco e nero sono esempi di un segnale rispettivamente bi e tridimensionale. Esempio 1 Si consideri il segnale 𝑠(𝑡) = 𝑒 𝑗2𝜋𝑓0 𝑡

la sua energia specifica vale: ∞

𝐸 = ∫ 𝑑𝑡 = ∞ −∞

Viceversa la sua potenza specifica vale: 1 𝑇 𝑗2𝜋𝑓 𝑡 2 1 𝑇 0 | 𝑑𝑡 = lim ∫ |𝑒 ∫ 𝑑𝑡 = 1 𝑇→∞ 2𝑇 −𝑇 𝑇→∞ 2𝑇 −𝑇

𝑃 = lim

𝑠(𝑡) è pertanto un segnale a potenza finita. Esempio 2 Si consideri il segnale 𝑠(𝑡) = 𝑒 −𝛼|𝑡|

con 𝛼 costante. A secondo del valore di 𝛼, 𝑠(𝑡) può essere classificato come segnale a energia o a potenza finita. a) s(t) è un segnale a energia finita se l'integrale: ∞

𝐸 = ∫ 𝑒 −2𝛼|𝑡| 𝑑𝑡 −∞

è finito. Poiché si ha: 𝑇

0

𝑇

𝐸 = lim ∫ 𝑒 −2𝛼|𝑡| 𝑑𝑡 = lim {∫ 𝑒 −2𝛼|𝑡| 𝑑𝑡 + ∫ 𝑒 −2𝛼|𝑡| 𝑑𝑡 } 𝑇→∞ −𝑇

𝑇→∞

𝑇

𝑇

−𝑇

0

1 − 𝑒 −2𝛼𝑇 = lim {∫ 𝑒 −2𝛼𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 𝑒 −2𝛼𝑡 𝑑𝑡 } = lim 𝑇→∞ 𝑇→∞ 𝛼 0 0

il segnale è a energia finita se è 𝛼 > 0. In tal caso 𝐸 vale: 𝐸=

1 (𝛼 > 0) 𝛼

b) 𝑠(𝑡) è un segnale a potenza finita se la quantità 𝑇

1 2 1 − 𝑒 −𝛼𝑇 𝑃 = lim ∫ 𝑒 −2𝛼|𝑡| 𝑑𝑡 = lim = lim 𝑒 −𝛼𝑇 𝑇→∞ 𝑇 −𝑇 𝑇→∞ 𝑇→∞ 𝛼𝑇 2

converge a un valore non nullo.

Introduzione

Il segnale è a potenza finita se è 𝛼 = 0. In tal caso è 𝑃 = 1;

(𝛼 = 0)

b) Per 𝛼 < 0 il segnale non è nè a potenza nè a energia finita.

5

CAPITOLO - 1 RICHIAMI DI MATEMATICA 1.1 - Premessa. In questo capitolo si accenna brevemente, senza alcuna pretesa di rigore, ai fondamenti dell’integrazione alla Lebesgue, alla teoria della misura degli insiemi, agli spazi vettoriali e alle forme quadratiche, con il solo scopo di porre l’accento su alcuni aspetti che si ritengono importanti per la comprensione di quanto esposto in questo testo, sia con riferimento alla parte concernente all’analisi dei segnali determinati, sia a quella riguardante i segnali aleatori. 1.2 - L’integrazione alla Lebesgue. In quel che segue, è richiamata l’integrazione alla Lebesgue. Essa verrà applicata inizialmente a delle funzioni elementari, per poi estenderla alla più ampia classe delle cosiddette funzioni misurabili. Si prenda in considerazione l’insieme delle funzioni limitate definite su un intervallo chiuso e limitato A = [𝑎, 𝑏]. Per una qualsiasi funzione appartenente a detto insieme si ha in pratica: 𝑓(𝐴) ⊆ [𝑚, 𝑀]

(1.2.1)

essendo rispettivamente 𝑚 ed 𝑀 l’estremo inferiore e l’estremo superiore della funzione considerata. Si consideri inoltre, nell’insieme anzidetto, il sottoinsieme costituito dalle funzioni a valori non negativi, tali che, comunque scelto I = [𝛼, 𝛽] ⊆ [𝑚, 𝑀], l’immagine inversa di detto insieme secondo la funzione 𝑓, cioè l’insieme 𝑓 −1 (I) dei punti 𝑥 ∈ A per cui risulta 𝛼 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝛽 , è costituito dall’unione di un numero finito di intervalli chiusi a due a due disgiunti. È noto che per calcolare l’integrale di una funzione alla Riemann sul suo dominio, si procede alla scomposizione di quest’ultimo in un certo numero d’intervalli chiusi in esso contenuti, privi a due a due di punti interni in comune e tali che la loro unione coincida con [𝑎, 𝑏]. Si costruisce così una partizione puntuale dell’intervallo [𝑎, 𝑏]. A partire da

8

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

detta partizione, si generano le seguenti somme inferiori e superiori di Darboux: 𝑁

𝑠𝑅 = ∑ 𝑚𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) ; 𝑖=1 𝑁

{

(𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 0, 𝑝 > 𝑞 > ⌈ ⌉ risulta: ∞

∞

∞

𝜀

𝑑(𝑓𝑝 , 𝑓𝑞 ) = ∫ |𝑓𝑝 (𝑥) − 𝑓𝑞 (𝑥)|𝑑𝑥 = ∫ 𝑓𝑝 (𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑓𝑞 (𝑥)𝑑𝑥 = −∞

−∞

−∞

1 1 − 2 |𝑥| ≤

1

Infatti per ∀𝜀 > 0, 𝑛 > ⌈ ⌉ implica: 𝜀

∞ ∞ 𝑥 𝑥 1 𝑑 (𝑓𝑛 (𝑥),⊓ ( )) = ∫ ⊓ ( ) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑓𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 = < 𝜀 2 2 𝑛 −∞ −∞

La funzione

𝑥

⊓ (2) non è continua quindi non appartiene all'insieme A

che quindi non è completo rispetto alla metrica considerata.

1.10 - Spazi vettoriali. Sia dato un insieme X, i cui elementi vengono denominati vettori. Si dice che X ha la struttura di spazio vettoriale se: è un gruppo commutativo rispetto a una legge di composizione interna, che verrà indicata con il simbolo +; esiste un campo 𝔽, i cui elementi sono detti scalari, e una legge di composizione detta prodotto per scalari che soddisfa le proprietà: 𝑎) ∀𝜆 ∈ 𝔽  , 𝒙 ∈ X ⇒ 𝜆𝒙 ∈ X; 𝑏) ∀𝜆1   ,  𝜆2 ∈ 𝔽  , 𝒙 ∈ X ⇒ 𝜆1 (𝜆2 𝒙) = (𝜆1 𝜆2 )𝒙; 𝑐) ∀𝜆1   ,  𝜆2 ∈ 𝔽  , 𝒙 ∈ X ⇒ (𝜆1 + 𝜆2 ) 𝒙 = 𝜆1 𝒙 + 𝜆2 𝒙; 𝑑) ∀𝒙1   ,  𝒙2 ∈ X  , 𝜆 ∈ 𝔽 ⇒ 𝜆  (𝒙1 + 𝒙2 ) = 𝜆𝒙1 + 𝜆𝒙2 ; {𝑒)  ∀𝒙 ∈ X ⇒ 1 𝒙 = 𝒙     ;   0 𝒙 = 𝐨;

(1.10.1)

Dove 𝐨, detto vettore nullo o origine, indica l'elemento neutro rispetto alla legge di composizione interna definita su X; 1 e 0 indicano rispettivamente l'elemento neutro rispetto al prodotto e rispetto alla somma nel campo 𝔽. Si ricorda che un insieme X ha la struttura di gruppo commutativo rispetto a una data legge di composizione interna se, comunque scelti due suoi elementi, si ha: 𝑎) 𝒙1 + 𝒙2 = 𝒙2 + 𝒙1 ∈ X; 𝑏) 𝒙1 + (𝒙2 + 𝒙3 ) = (𝒙1 + 𝒙2 ) + 𝒙3 ; { 𝑐) ∃   𝒐 ∈ X | ∀𝒙 ∈ X ⇒ 𝒙 + 𝐨 = 𝒙; 𝑑) ∀ 𝒙 ∃   (−𝒙)|𝒙 + (−𝒙) = 𝐨;

(1.10.2)

In quel che segue il campo 𝔽 si identificherà, salvo avviso contrario, con il campo ℂ dei numeri complessi.

CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica -

21

1.11 - Spazi normati. Sia dato uno spazio vettoriale X si dice che esso è normato, se si è individuata una applicazione, denotata con ‖𝒙‖, definita su X a valori nell'insieme ℝ+ dei reali non negativi che ∀ 𝒙, 𝒚 ∈ X soddisfa le proprietà: 𝑎) ‖𝒙‖ ≥ 0, ‖𝒙‖ = 0 ⇔ 𝒙 = 𝐨; { 𝑏) ‖𝜆𝒙‖ = |𝜆|‖𝒙‖; 𝑐) ‖𝒙 + 𝒚‖ ≤ ‖𝒙‖ + ‖𝒚‖;

(1.11.1)

Si osservi che uno spazio normato è implicitamente anche uno spazio metrico in quanto si può assumere come distanza tra due elementi di esso la norma dell'elemento differenza cioè: 𝑑(𝒙, 𝒚) = ‖𝒙 − 𝒚‖;

(1.11.2)

Uno spazio normato si dice completo, o anche spazio di Banach, se comunque scelta una successione di Cauchy di suoi elementi, essa converge a un elemento dello spazio, o, che è lo stesso, se in detto spazio la condizione di Cauchy è necessaria e sufficiente alla convergenza di una successione di suoi elementi. 1.12 - Forme bilineari, quadratiche, hermitiane. Una polinomio a valori complessi nelle 2𝑛 variabili generalmente complesse 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 del tipo: 𝑛

𝑛

𝑄(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ) = ∑ ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑦𝑗

(1.12.1)

𝑖=1 𝑗=1

viene chiamata forma bilineare. Introducendo i vettori: 𝑦1 𝒚=[⋮] 𝑦𝑛

𝑥1 𝒙 = [ ⋮ ]; 𝑥𝑛

(1.12.2)

e la matrice a coefficienti generalmente complessi 𝑎11 𝑎21 𝐴=[… 𝑎𝑛1

𝑎12 𝑎22 … 𝑎𝑛2

… … … …

𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 …] 𝑎𝑛𝑛

la (1.12.1) si può riscrivere nella seguente forma matriciale:

(1.12.3)

22

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

𝑄(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝑇 𝐴𝒚

(1.12.4)

Per forma quadratica nelle 𝑛 variabili complesse 𝑥1 , 𝑥2 … 𝑥𝑛 si intende un polinomio omogeneo del tipo: 𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

1 𝑄(𝒙) = 𝒙 𝐴𝒙 = ∑ ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 = ∑ ∑ (𝑎𝑖𝑗 + 𝑎𝑗𝑖 )𝑥𝑖 𝑥𝑗 2 𝑇

𝑖=1 𝑗=1

(1.12.5)

𝑖=1 𝑗=1

Dall'ultimo membro della precedente si evince che ad una forma quadratica si può sempre associare una e una sola matrice simmetrica. Se detta matrice è reale e se 𝒙 ∈ ℝ𝑛 la 𝑄(𝒙) è una forma quadratica reale. Data una matrice 𝐴 hermitiana, cioè tale che risulti: 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖∗ 𝑖, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛

(1.12.6)

e definito 𝒙 secondo la (1.12.2) il polinomio: 𝑛

𝑛

𝑄(𝒙) = ∑ ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖∗ 𝑥𝑗

(1.12.7)

𝑖=1 𝑗=1

nelle 𝑛 variabili complesse 𝑥1 , 𝑥2 … 𝑥𝑛 è una forma hermitiana. Indicato con 𝒙† il trasposto coniugato del vettore 𝒙, la 𝑄(𝒙) si può porre nella forma matriciale: 𝑄(𝒙) = 𝒙† A𝒙. Per una forma hermitiana 𝑄(𝒙) si ha: 𝑛 ∗

𝑄 (𝒙) =

𝑛

𝑛

∗ ∑ ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗∗

𝑛

= ∑ ∑ 𝑎𝑗𝑖 𝑥𝑖 𝑥𝑗∗ = 𝑄(𝒙)

𝑖=1 𝑗=1

(1.12.8)

𝑖=1 𝑗=1

essa assume quindi valori reali per ogni 𝒙 appartenente a ℂ𝑛 . ponendo: 𝐴 = 𝐴𝑅 + 𝑗𝐴𝐼

(1.12.9)

con 𝐴𝑅 e 𝐴𝐼 matrici reali e analogamente: 𝑥𝑖 = 𝑢𝑖 + 𝑗𝑣𝑖 ,   𝑖 = 1,2 … 𝑛

(1.12.10)

la forma hermitiana 𝑄(𝑥) diventa: 𝑄(𝒙) = (𝒖𝑇 − 𝑗𝒗𝑇 )(𝐴𝑅 + 𝑗𝐴𝐼 )(𝒖 + 𝑗𝒗) = (𝒖𝑇 𝐴𝑅 𝒖 − 𝒖𝑇 𝐴𝐼 𝒗 + 𝑣 𝑇 𝐴𝑅 𝒗 + 𝒗𝑇 𝐴𝐼 𝒖) + 𝑗(𝒖𝑇 𝐴𝑅 𝒗 + 𝒖𝑇 𝐴𝐼 𝒖 − 𝒗𝑇 𝐴𝑅 𝒖 + 𝒗𝑇 𝐴𝐼 𝒗)

(1.12.11)

CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica -

23

Poiché, tenendo conto della (1.12.8), e valendo la condizione (1.12.6) sussistono le uguaglianze: 𝐴𝑇𝑅 = 𝐴𝑅 ; 𝐴𝑇𝐼 = −𝐴𝐼

(1.12.12)

da cui discendono le ulteriori identità: −𝒖𝑇 𝐴𝐼 𝒗 + 𝒗𝑇 𝐴𝐼 𝒖 = −(𝒗𝑇 𝐴𝑇𝐼 𝒖)𝑇 + 𝒗𝑇 𝐴𝐼 𝒖 = (𝒗𝑇 𝐴𝐼 𝒖)𝑇 + 𝒗𝑇 𝐴𝐼 𝒖 = 𝒗𝑇 𝐴𝐼 𝒖𝒗 + 𝒗𝑇 𝐴𝐼 𝒖 = 2𝒗𝑇 𝐴𝐼 𝒖; 𝒖𝑇 𝐴𝑅 𝒗 − 𝒗𝑇 𝐴𝑅 𝒖 = (𝒗𝑇 𝐴𝑇𝑅 𝒖)𝑇 − 𝒗𝑇 𝐴𝑅 𝒖 =

(𝒗𝑇

𝑇

𝑇

𝑇

(1.12.13)

𝑇

𝐴𝑅 𝒖) − 𝒗 𝐴𝑅 𝒖 = 𝒗 𝐴𝑅 𝒖 − 𝒗 𝐴𝑅 𝒖 = 0;

{ 𝒖𝑇 𝐴𝐼 𝒖 = (𝒖𝑇 𝐴𝑇𝐼 𝒖)𝑇 = −𝒖𝑇 𝐴𝐼 𝒖 ⇒ 𝒖𝑇 𝐴𝐼 𝒖 = 0;

la 𝑄(𝒙) si può anche riscrivere: 𝑄(𝒙) = 𝒖𝑇 𝐴𝑅 𝒖 + 𝒗𝑇 𝐴𝑅 𝒗 + 2𝑣 𝑇 𝐴𝐼 𝒖 𝐴 𝐴𝑇𝐼 𝒖 = [𝒖𝑇  𝒗𝑇 ] [ 𝑅 ][ ] 𝐴 𝐼 𝐴𝑅 𝒗

(1.12.14)

Una forma hermitiana può quindi essere rappresentata anche da una forma quadratica nelle 2𝑛 variabili reali 𝑢1 , 𝑢2 … 𝑢𝑛 ; 𝑣1 , 𝑣2 … 𝑣𝑛 . 1.13 - Riduzione di una forma hermitiana a forma canonica. Si consideri una forma hermitiana 𝑄(𝒙) nelle 𝑛 variabili 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 . Data una matrice 𝑇 di ordine 𝑛 non singolare, esiste una unica 𝑛upla 𝑧1 , 𝑧2 , … , 𝑧𝑛 che soddisfa il sistema: 𝑇𝒛 = 𝒙

(1.13.1)

La forma 𝑄(𝒙) riferita a 𝒛 si muta nella: 𝑄(𝑇𝒛) = (𝑇𝒛)† 𝐴(𝑇𝒛) = 𝒛† 𝑇 † 𝐴𝑇𝒛 = 𝒛† 𝐴′ 𝒛 = 𝑄′ (𝒛)

(1.13.2)

in cui si è posto: 𝐴′ = 𝑇 † 𝐴𝑇

(1.13.3)

′

𝑄 (𝒛)è una forma hermitiana in 𝒛 poiché risulta: †

𝐴′ = (𝑇 † 𝐴𝑇)† = 𝑇 † 𝐴† 𝑇 = 𝑇 † 𝐴𝑇 = 𝐴′

(1.13.4)

𝐴′ è hermitiana.

Per autovettore associato ad una matrice quadrata di ordine 𝑛 si intende una soluzione non banale del sistema di equazioni dipendente dal parametro 𝜆:

24

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

(𝐴 − 𝜆𝐼)𝒗 = 0

(1.13.5)

Poiché il sistema è omogeneo, esso ammette soluzioni non banali solo se è nullo il determinante della matrice dei coefficienti. L'imposizione di tale condizione conduce a una equazione polinomiale di grado 𝑛 nell'incognita 𝜆. Detta equazione ammette al più 𝑛 soluzioni distinte, dette autovalori della matrice. Ogni vettore non banale 𝒗𝑖 che soddisfa l'equazione: 𝐴𝒗𝑖 = 𝜆𝑖 𝒗𝑖

(1.13.6)

cioè alla (1.13.5) scritta per l'autovalore 𝜆𝑖 , è chiamato autovettore associato all'autovalore considerato. Ci si convince facilmente del fatto che se 𝒗𝑖 é un autovettore di 𝐴, tale è anche un qualunque vettore 𝒖𝑖 = 𝛼𝒗𝑖 dove 𝛼 è un complesso −1

qualsiasi. In particolare ponendo 𝛼 =

(√𝒗†𝑖 𝒗𝑖 )

si ottiene un autovet-

tore 𝒖𝑖 che soddisfa la condizione di normalizzazione 𝒖†𝑖 𝒖𝑖 = 1

(1.13.7)

e viene quindi chiamato autoversore della matrice. Si osservi che gli autovalori di una matrice hermitiana 𝐴 sono reali. Infatti premoltimplicando ambo i membri della (1.13.6) per 𝒗†𝑖 si ha: 𝒗†𝑖 𝐴𝒗𝑖 = 𝒗𝑖† 𝜆𝑖 𝒗𝑖 = 𝜆𝑖 𝒗†𝑖 𝒗𝑖 .

(1.13.8)

Ricordando che in virtù della (1.12.8) una forma hermitiana assume solo valori reali e poiché 𝒗†𝑖 𝒗𝑖 è, come si verifica facilmente, reale, 𝜆𝑖 deve essere necessariamente reale. Si può anche mostrare che autovettori 𝒗𝑖 , 𝒗𝑗 , associati a una matrice hermitiana 𝐴, relativi a due autovalori distinti 𝜆𝑖 , 𝜆𝑗 , sono mutuamente ortogonali, cioè soddisfano l’uguaglianza: 𝒗†𝑖 𝒗𝑗 = 0

(1.13.9)

Infatti, in virtù della (1.13.6) e della appartenenza ad ℝ degli autovalori, si può scrivere: 𝜆𝑗 𝒗†𝑖 𝒗𝑗 = 𝒗†𝑖 𝜆𝑗 𝒗𝑗 = 𝒗†𝑖 𝐴𝒗𝑗 = (𝒗𝑗† 𝐴† 𝒗𝑖 )† = = (𝒗𝑗† 𝐴𝒗𝑖 )† = (𝒗𝑗† 𝜆𝑖 𝒗𝑖 )† = 𝜆∗𝑖 𝒗†𝑖 𝒗𝑗 = 𝜆𝑖 𝒗†𝑖 𝒗𝑗

(1.13.10)

CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica -

25

Essendo per ipotesi 𝜆𝑖 ≠ 𝜆𝑗 dalla precedente discende la (1.13.9). In quel che segue si ipotizza per semplicità che tutti gli autovalori della matrice hermitiana 𝐴 abbiano molteplicità 1, o che è lo stesso, che il suo polinomio caratteristico ammette 𝑛 radici distinte. Si vuole provare che, mediante una trasformazione del tipo (1.13.3), è possibile individuare un riferimento rispetto al quale la forma hermitiana si presenta in forma diagonale3. A tal fine si consideri la matrice 𝑇 degli autovettori normalizzati di 𝐴: 𝑇 = [𝒖1

𝒖2

⋯

𝒖𝑛 ]

𝒖1† 𝑇 † 𝑇 = [ ⋮ ] [𝒖1 𝒖†𝑛

⋯

𝒖𝑛 ] = 𝐼

(1.13.11)

Risulta: (1.13.12)

da cui immediatamente si evince che 𝑇 † = 𝑇 −1 e che 𝑇 ha determinante unitario. Sostituendo la matrice 𝑇 appena introdotta nella (1.13.3) si ottiene: 𝒖1†

† 𝐴′ = 𝒖2 𝐴[𝒖1 , 𝒖2 , … , 𝒖𝑛 ] ⋮ [𝒖†𝑛 ]

𝒖1† 𝐴𝒖1

† = 𝒖2 𝐴𝒖1 … [𝒖†𝑛 𝐴𝒖1

𝒖1† 𝐴𝒖2

𝒖†2 𝐴𝒖2 … 𝒖†𝑛 𝐴𝒖2

… … … …

𝒖1† 𝐴𝒖𝑛

(1.13.13)

𝒖†2 𝐴𝒖𝑛 … 𝒖†𝑛 𝐴𝒖𝑛 ]

che, ricordando le (1.13.6), (1.13.7) e la (1.13.9) diventa: 𝜆1 𝒖1† 𝒖1 𝐴′ = [

0 … 0

0

…

0

𝜆2 𝒖†2 𝒖2

… … …

0 … 𝜆𝑛 𝒖†𝑛 𝒖𝑛 ]

… 0

(1.13.14)

= diag(𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 ) 3

Si noti che la diagonalizzazione di una forma hermitiana è possibile anche nel caso in cui gli autovalori non abbiano tutti molteplicità 1

26

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Per effetto di tale trasformazione quindi la forma hermitiana si riscrive: 𝑛

𝑄 (𝒛) = ∑ 𝜆𝑖 𝑧𝑖 𝑧𝑖∗ ′

(1.13.15)

𝑖=1

Si osservi che, il determinante di 𝐴 è uguale al determinante di 𝐴′ , che a sua volta è dato da ∏𝑛𝑖=1 𝜆𝑖 . Se ne conclude che una matrice hermitiana ha determinante reale.

1.14 - Forme hermitiane semidefinite positive. Una forma hermitiana si dice semidefinita positiva se per ogni 𝒙 risulta: 𝑄(𝒙) ≥ 0

(1.14.1)

Se risulta 𝑄(𝒙) = 0 solo per 𝒙 = 𝐨 la forma si dice definita positiva. Se una forma hermitiana è semidefinita positiva ovviamente tale è anche la sua forma equivalente 𝑄′ (𝒛). In particolare ciò comporta: 𝜆1 ≥ 0,  𝜆2 ≥ 0,  … , 𝜆𝑛 ≥ 0

(1.14.2)

quindi deve anche essere: det(𝐴) ≥ 0

(1.14.3)

Ci si convince facilmente che attribuendo valore zero a 𝑛 − 𝑟 variabili di una forma hermitiana semidefinita positiva si ottiene ancora una forma hermitiana semidefinita positiva nelle 𝑟 variabili non nulle. Assumendo, senza per questo ledere la generalità, che le variabili non necessariamente nulle siano le prime 𝑟, si deduce che la condizione di semidefinitezza positiva comporta anche: 𝑎11

𝑎11 ≥ 0;     |𝑎 21

𝑎11 𝑎21 𝑎12 𝑎22 | ≥ 0;        | … 𝑎𝑛1

𝑎12 𝑎22 … 𝑎𝑛2

… … … …

𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 … | ≥ 0; 𝑎𝑛𝑛

(1.14.4)

Cioè i determinanti dei minori principali della matrice di una forma hermitiana semidefinita positiva non possono essere negativi. Si può dimostrare che tale condizione è anche sufficiente affinché la forma sia semidefinita positiva. Esempio 1.3 La forma

CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica -

27

𝑄(𝒙) = (4𝜉 + 5)𝑥1 𝑥1∗ + 𝑥1∗ 𝑥2 + 𝑥1 𝑥2∗ + (𝜉 + 2)𝑥2 𝑥2∗

è una forma hermitiana nelle variabili 𝒙 = [𝑥1 𝑥2 ]𝑇 dipendente dal parametro 𝜉, in quanto la matrice ad essa associata, essendo reale è simmetrica soddisfa la (1.12.6). Per studiarne la natura, occorre prendere in considerazione la matrice ad essa associata 4𝜉 + 5 1 𝐴=[ ] 1 𝜉+2

il cui determinate vale: 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = (4𝜉 + 5)(𝜉 + 2) − 1 = 4𝜉 2 + 13𝜉 + 9

Esso si annulla in corrispondenza dei valori di 𝜉 dati dalle: −13 − √132 − 16 ⋅ 9 −13 − 5 = = −1 8 8 2 −13 + √13 − 16 ⋅ 9 −13 + 5 9 𝜉2 = = =− 8 8 4 { 𝜉1 =

Poiché risulta: det(𝐴) ≥ 0 per 𝜉 ≤ −

9 ⋁ 𝜉 ≥ −1 4

e anche 4𝜉 + 5 ≥ 0 per 𝜉 ≥ −

5 4

la forma hermitiana è semidefinita positiva solo se: 𝜉 ≥ −1

1.15 - Prodotto scalare. Lo spazio vettoriale X sul campo ℂ dei numeri complessi si può dotare di prodotto scalare, se è possibile definire una applicazione, qui indicata con la notazione 〈𝒙, 𝒚〉, di X × X su ℂ che soddisfa le seguenti proprietà: 𝑎) 〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝒚, 𝒙〉∗ ; 𝑏) 〈𝒙, 𝒙〉 ≥ 0; 〈𝒙, 𝒙〉 = 0 ⇔ 𝒙 = 𝒐; 𝑐) 〈𝜆𝒙, 𝒚〉 = 𝜆〈𝒙, 𝒚〉 = 〈𝒙, 𝜆∗ 𝒚〉; {𝑑) 〈(𝒙 + 𝒚), 𝒛〉 = 〈𝒙, 𝒛〉 + 〈𝒚, 𝒛〉;

(1.15.1)

Si noti che la proprietà (1.15.1)a, implica che la quantità a primo membro della (1.15.1)b deve essere reale. Tale osservazione consente di dedurre dai primi due l'ultimo membro della (1.15.1)c.

28

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

La proprietà (1.15.1)c si riassume dicendo che il prodotto scalare è lineare a sinistra ed antilineare a destra. Detti 𝒙1 , 𝒙2 due elementi di X e 𝑘1 , 𝑘2 due complessi, si ha: 0 ≤ 〈𝑘1 𝒙1 + 𝑘2 𝒙2 , 𝑘1 𝒙1 + 𝑘2 𝒙2 〉 = 𝑘1 〈𝒙1 , 𝑘1 𝒙1 + 𝑘2 𝒙2 〉 + 𝑘2 〈𝒙2 , 𝑘1 𝒙1 + 𝑘2 𝒙2 〉

(1.15.2)

e per la proprietà (1.15.1)a: 0 ≤ 𝑘1 〈𝑘1 𝒙1 + 𝑘2 𝒙2 , 𝒙1 〉∗ + 𝑘2 〈𝑘1 𝒙1 + 𝑘2 𝒙2 , 𝒙2 〉∗ = 〈𝒙1 , 𝒙1 〉∗ 𝑘1 𝑘1∗ + 〈𝒙2 , 𝒙1 〉∗ 𝑘1 𝑘2∗ + 〈𝒙1 , 𝒙2 〉∗ 𝑘1∗ 𝑘2 + 〈𝒙2 , 𝒙2 〉∗ 𝑘2 𝑘2∗ =

〈𝒙1 , 𝒙1 〉𝑘1 𝑘1∗

+

(1.15.3)

〈𝒙1 , 𝒙2 〉𝑘1 𝑘2∗

+ 〈𝒙1 , 𝒙2 〉 ∗

𝑘1∗ 𝑘2

+ 〈𝒙2 , 𝒙2 〉𝑘2 𝑘2∗

Ciò significa che la forma hermitiana ℎ(𝑘1 , 𝑘2 ) = 𝑎11 𝑘1 𝑘1∗ + 𝑎12 𝑘1 𝑘2∗ + 𝑎21 𝑘1∗ 𝑘2 + 𝑎22 𝑘2 𝑘2∗

(1.15.4)

dove: 𝑎11 = 〈𝒙1 , 𝒙1 〉 𝑎21 = 〈𝒙1 , 𝒙2 〉∗

𝑎12 = 〈𝒙1 , 𝒙2 〉 𝑎22 = 〈𝒙2 , 𝒙2 〉

(1.15.5)

è semidefinita positiva. Pertanto deve essere 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21 ≥ 0. Tenendo conto delle (1.15.5), si deduce che vale la disuguaglianza di Schwarz: 1

1

|〈𝒙1 , 𝒙2 〉| ≤ 〈𝒙1 , 𝒙1 〉2 ⋅ 〈𝒙2 , 𝒙2 〉2

(1.15.6)

Che è verificata come uguaglianza quando, in accordo con la proprietà (1.15.1)b, si ha 𝒙1 = 𝒐 e/o 𝒙2 = 𝒐, ovvero se risulta: 𝒙1 = 𝑘𝒙2

(1.15.7)

dove 𝑘 ∈ ℂ. Se uno spazio è dotato di prodotto scalare esso è implicitamente anche uno spazio normato nel senso che la quantità √〈𝒙, 𝒙〉 è una possibile norma per X. Essa infatti è una quantità reale e non negativa; inoltre risulta: 〈𝑘𝒙, 𝑘𝒙〉 = 𝑘〈𝒙, 𝑘𝒙〉 = 𝑘〈𝑘𝒙, 𝒙〉∗ = |𝑘|2 〈𝒙, 𝒙〉

e quindi

(1.15.8)

CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica 1 2

〈𝑘𝒙, 𝑘𝒙〉 = |𝑘|〈𝒙, 𝒙〉

29

1 2

(1.15.9)

il che significa che la proprietà (1.11.1)b della norma è verificata. In base alla proprietà (1.15.1)c si ottiene facilmente: 〈(𝒙1 + 𝒙2 ), (𝒙1 + 𝒙2 )〉 = 〈𝒙1 , 𝒙1 〉 + 2Re[〈𝒙1 , 𝒙2 〉] + 〈𝒙2 , 𝒙2 〉

(1.15.10)

dalla quale applicando la disuguaglianza di Schwarz si deduce: 1

1

〈𝒙1 + 𝒙2 , 𝒙1 + 𝒙2 〉2 ≤ (〈𝒙1 , 𝒙1 〉 + 2|〈𝒙1 , 𝒙2 〉| + 〈𝒙2 , 𝒙2 〉)2 1

1

≤ (〈𝒙1 , 𝒙1 〉 + 2〈𝒙1 , 𝒙1 〉2 〈𝒙2 , 𝒙2 〉2 + 〈𝒙2 , 𝒙2 〉) 1

1 2

(1.15.11)

1

= 〈𝒙1 , 𝒙1 〉2 + 〈𝒙2 , 𝒙2 〉2

che corrisponde alla proprietà (1.11.1)c della norma. In definitiva se X è dotato di prodotto scalare a esso si può anche associare la norma così definita: 1

‖𝒙‖ = 〈𝒙, 𝒙〉2

(1.15.12)

Se due vettori 𝒙1 e 𝒙2 sono tali che il loro prodotto scalare si annulla si dicono ortogonali. Se essi hanno anche norma unitaria cioè se: 〈𝒙1 , 𝒙2 〉 = 0   ∧   ‖𝒙1 ‖ = ‖𝒙2 ‖  = 1

(1.15.13)

si dicono ortonormali. Uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare, è anche uno spazio metrico. Infatti è possibile assumere come distanza tra due elementi qualsiasi dello spazio la quantità: 𝑑(𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 ) = ‖𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 ‖ = √〈𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 , 𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 〉

(1.15.14)

Con ciò non si intende dire che non è possibile definire su uno spazio dotato di prodotto scalare altre metriche o altre norme, ma semplicemente che, se si definisce su uno spazio un prodotto scalare, a esso naturalmente si associano la metrica e la norma da esso indotte e con esso coerenti. Uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare che sia anche completo è detto spazio di Hilbert.

30

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

1.16 - Vettori linearmente indipendenti. Sia dato uno spazio vettoriale X sul campo ℂ, si considerino 𝑛 suoi vettori (𝒙1 , 𝒙2 , … , 𝒙𝑛 ) e una 𝑛-upla di complessi (𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 ) e sia 𝒙 il vettore di X ottenuto combinando linearmente i vettori anzidetti a mezzo della 𝑛-upla di costanti. In simboli: 𝑛

𝒙 = ∑ 𝛼 𝑖 𝒙𝑖

(1.16.1)

𝑖=1

se risulta: 𝑛

𝑛

𝒙 = ∑ 𝛼𝑖 𝒙𝑖 = 𝒐 ⇔ ∑|𝛼𝑖 | = 0 𝑖=1

(1.16.2)

𝑖=1

cioè se l'unica 𝑛-upla di scalari (𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 ) che porta nell'origine dello spazio è quella i cui elementi sono tutti nulli, si dice che i vettori (𝒙1 , 𝒙2 , … , 𝒙𝑛 ) sono linearmente indipendenti. Si verifica facilmente che il sottoinsieme di X generato da tutte le possibili combinazioni lineari di 𝑛 vettori è a sua volta uno spazio vettoriale, generalmente un sottospazio, non necessariamente proprio, di X. Se gli 𝑛 vettori sono linearmente indipendenti, e se lo spazio da essi generato coincide con X, si dice che gli 𝑛 vettori sono una base per X. È Inoltre facile convincersi del fatto che se 𝑛 vettori sono una base per lo spazio vettoriale X e ad essi si aggiunge un ulteriore vettore gli 𝑛 + 1 vettori così ottenuti sono linearmente dipendenti. Inoltre se 𝑛 vettori linearmente indipendenti generano X comunque presa un'altra 𝑛upla di vettori linearmente indipendenti di X anche essa generà X. Ciò significa che il parametro 𝑛 è caratteristico dello spazio vettoriale considerato e ne individua la dimensione. È opportuno osservare che uno spazio vettoriale non deve necessariamente avere dimensione finita; in questo caso si dice che lo spazio ha dimensione infinita. Dato uno spazio vettoriale X di dimensione 𝑛, finita o infinita, 𝑘 < 𝑛 vettori linearmente indipendenti di detto spazio generano uno spazio vettoriale di dimensione 𝑘 contenuto propriamente in X. Si osservi che scegliere una base per uno spazio vettoriale X di dimensione 𝑁 equivale a definire una corrispondenza biunivoca tra i vet-

CAPITOLO - 1 - Richiami di Matematica -

31

tori dello spazio e tutte le possibili 𝑁-uple ordinate (𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑁 ) di numeri complessi cioè tra il generico vettore di X e il generico punto di ℂ𝑁 che è a sua volta uno spazio vettoriale. Il generico elemento 𝛼𝑖 di tale 𝑁-upla è la componente 𝑖 -esima del vettore rispetto alla base prescelta. Il vettore 𝛼𝑖 𝒙𝑖 è il componente 𝑖-esimo rispetto alla predetta base.

CAPITOLO - 2 RAPPRESENTAZIONE VETTORIALE DEI SEGNALI 2.1 - Premessa. Un segnale a tempo continuo può essere identificato mediante una funzione generalmente complessa di 𝑁 variabili reali definita in D ⊆ ℝ𝑁 . In quel che segue, si considerano prevalentemente segnali dipendenti da una sola variabile che generalmente è il tempo. Essi sono quindi rappresentati da funzioni del tipo: 𝑠: 𝑡 ∈ T ⊆ ℝ → ℂ

(2.1.1)

Il primo passo nell'analisi di un segnale consiste nella sua classificazione, che si effettua sulla base delle proprietà di cui gode. Ciò equivale a considerare il segnale come appartenente a una data classe o insieme. Se S denota un tale insieme e 𝑠(𝑡) è un suo elemento, si scrive: 𝑠(𝑡) ∈ S

-

(2.1.2)

Esempi di tali insiemi sono: l'insieme S𝑆 dei segnali sinusoidali, definito dalla seguente regola di appartenenza: 𝑠(𝑡) ∈ S𝑆 ⇔ 𝑠(𝑡) = 𝑉0 Re[𝑒 𝑗(2𝜋𝑓𝑡+𝜑) ];

-

(𝑉0 ≥ ,0, 𝑓, 𝜑 ∈ ℝ)

l'insieme S𝑃 dei segnali periodici che obbedisce alla: 𝑠(𝑡) ∈ S𝑃 ⇒ ∃ 𝑇 > 0 | ∀ 𝑡 ⇒ 𝑠(𝑡) = 𝑠(𝑡 + 𝑇)

-

(2.1.4)

l'insieme 𝑆𝐷 dei segnali a durata limitata cosi definiti: 𝑠(𝑡) ∈ S𝐷 ⇒ ∃𝑡1 ∧ 𝑡2 ∈ ℝ | 𝑠(𝑡) = 0 ∀ 𝑡 ∉ [𝑡1 , 𝑡2 ]

-

(2.1.3)

(2.1.5)

L'insieme 𝑆𝐵 dei segnali a banda limitata cioè quelli per cui si ha: ∞

𝑠(𝑡) ∈ S𝐵 ⇒ ∃ 𝑓1 ∧ 𝑓2 ∈ ℝ | ∫ 𝑠(𝑡)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 = 0, −∞

∀ 𝑓 | |𝑓| ∉ [𝑓1 , 𝑓2 ]

(2.1.6)

34

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

È evidente che se si riesce ad associare a un dato insieme di segnali una struttura algebrica, si possono meglio evidenziare particolari caratteristiche degli elementi che lo compongono. Ad esempio se su un dato insieme si definisce una metrica diventa possibile associare una distanza a ogni coppia di suoi elementi. L'individuazione di una struttura algebrica più complessa, su un dato insieme di segnali, come ad esempio quella di spazio vettoriale, permette di utilizzare gli strumenti propri dell'Algebra lineare. Ad esempio, lo sviluppo di un segnale in termini di un’opportuna base dello spazio, permetterebbe di rappresentare il segnale mediante una sequenza al più numerabile di coefficienti. Tale tipo di rappresentazione ha come immediata conseguenza una notevole semplificazione nell'applicazione di tecniche numeriche all'analisi dei segnali. Inoltre, la struttura di spazio vettoriale rende alcune proprietà evidenti e intuitivamente accettabili, in quanto si presta a semplici analogie di tipo geometrico. Dette analogie risultano inoltre particolarmente efficaci nell'approccio a molti problemi, la cui soluzione, affrontata per via puramente analitica, risulterebbe oltremodo complessa. Una classe di segnali di particolare interesse è costituita dai segnali ad energia finita. Se si vuole associare a tale classe la desiderata struttura di spazio vettoriale, è necessario tuttavia raffinare la definizione di segnale come verrà chiarito nel prossimo paragrafo. 2.2 - Lo spazio dei segnali a energia finita. Si consideri l'insieme delle funzioni reali o complesse appartenenti a 𝔏2 (ℝ). In detto insieme s’introduce la relazione di equivalenza: due funzioni sono equivalenti se assumono valori diversi solo in un sottoinsieme di ℝ di misura nulla cioè se le funzioni sono uguali quasi ovunque. La relazione di equivalenza appena introdotta definisce una partizione S di 𝔏2 (ℝ). S è cioè una famiglia di sottoinsiemi disgiunti di 𝔏2 (ℝ), detti classi di equivalenza, la cui unione ricopre 𝔏2 (ℝ). Ciascun elemento 𝑠 di S è un segnale. In altri termini due funzioni in 𝔏2 (ℝ) uguali quasi ovunque rappresentano lo stesso segnale in quanto appartengono alla medesima classe di equivalenza. Siano 𝑠1 (𝑡), 𝑠2 (𝑡) due funzioni scelte arbitrariamente nelle rispettive classi di equivalenza 𝒔1 , 𝒔2 . La funzione 𝑠(𝑡) = 𝑠1 (𝑡) + 𝑠2 (𝑡), appartenendo, in virtù della (1.8.3), a 𝔏2 (ℝ), individua un solo segnale 𝒔 ∈ S

CAPITOLO - 2 – Rappresentazione Vettoriale dei Segnali

-35-

che costituisce la somma dei segnali 𝒔1 , 𝒔2 . In modo analogo si può definire in S l'elemento 𝛼𝒔 con 𝛼 costante complessa. È facile verificare che S è un gruppo commutativo rispetto all'operazione di somma sopra definita. L'elemento neutro di detto gruppo è la classe delle funzioni quasi ovunque nulle. Dalle ultime considerazioni svolte, discende che S ha la struttura di spazio vettoriale. Esso è denominato spazio dei segnali a energia finita. Tale nome è giustificato dal fatto che a ogni elemento 𝒔 ∈ S si può associare la quantità: ∞

𝐸 = ∫ |𝑠(𝑡)|2 𝑑𝑡 < ∞

(2.2.1)

−∞

che, essendo invariante rispetto alla scelta di 𝑠(𝑡) nella classe 𝒔, esprime l'energia specifica associata al segnale 𝒔. In quel che segue, per brevità, spesso un segnale 𝑠 verrà denotato mediante una qualunque funzione 𝑠(𝑡) appartenente alla classe di equivalenza associata al segnale in esame. Prodotto scalare

Dati due generici elementi 𝒔1 ed 𝒔2 dello spazio S ad essi si può associare la quantità generalmente complessa definita dalla: ∞

〈𝒔1 , 𝒔2 〉 = ∫ 𝑠1 (𝑡)𝑠2∗ (𝑡)𝑑𝑡

(2.2.2)

−∞

Detta quantità esiste ed è limitata in modulo. Infatti tenendo conto della (1.8.4), risulta: ∞

∞

|∫ 𝑠1 (𝑡)𝑠2∗ (𝑡)𝑑𝑡| ≤ ∫ |𝑠1 (𝑡)𝑠2∗ (𝑡)|𝑑𝑡 −∞

∞

2

1 2

−∞

∞

2

1 2

(2.2.3)

         ≤ (∫ |𝑠1 (𝑡)| 𝑑𝑡) (∫ |𝑠2 (𝑡)| 𝑑𝑡) < ∞ −∞

−∞

La (2.2.2) definisce un prodotto scalare in quanto è facile verificare che essa soddisfa le proprietà (1.15.1) che lo caratterizzano. Distanza

Da quanto esposto nel Capitolo precedente, discende che lo spazio S, essendo dotato di prodotto scalare, è uno spazio metrico. La di-

36

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

stanza 𝑑(𝒔1 , 𝒔2 ) tra due qualsiasi suoi elementi, coerente con la (2.2.2), è definita dalla: ∞

1 2

𝑑(𝒔1 , 𝒔2 ) = 〈𝒔1 − 𝒔2 , 𝒔1 − 𝒔2 〉 = (∫ |𝑠1 (𝑡) − 𝑠2 (𝑡)|2 𝑑𝑡 )

1 2

(2.2.4)

−∞

Norma

Lo spazio S è normato. Infatti ad esso può associarsi la seguente norma: ∞

2

‖𝒔‖ = √〈𝒔, 𝒔〉 = (∫ |𝑠(𝑡)| 𝑑𝑡)

1 2

(2.2.5)

−∞

È opportuno sottolineare che è possibile definire in S diversi prodotti scalari, tuttavia quello definito dalla (2.2.2), come si nota facilmente, induce una norma che è legata all'energia specifica del segnale. Le (2.2.4), (2.2.5) si chiamano rispettivamente distanza e norma euclidea per la loro evidente analogia alle corrispondenti grandezze definite nello spazio euclideo. Ad ogni segnale non nullo corrisponde un segnale normalizzato: 𝒔 ‖𝒔‖

𝒖=

(2.2.6)

che ha evidentemente norma unitaria. Esempio 2.1 Si valuti la distanza fra i segnali rappresentati dalle seguenti funzioni: 2𝜋𝑡 𝑡 2𝜋(𝑡 + 𝜏) 𝑡 𝑠1 (𝑡) = cos ( ) ⊓ ( ) , 𝑠2 (𝑡) = cos ( )⊓( ) 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇

Essendo: |𝑠1 (𝑡) − 𝑠2 (𝑡)| = 2 |sin (

𝜋𝜏 𝜋(2𝑡 + 𝜏) 𝑡 ) sin ( )| ⊓ ( ) 𝑇 𝑇 𝑇

risulta: 𝑇

𝑑2 (𝒔

𝟏 , 𝒔𝟐 )

=

4sin2 (

𝜋𝜏 2 𝜋(2𝑡 + 𝜏) 𝜋𝜏 ) ∫ sin2 ( ) 𝑑𝑡 = 2𝑇sin2 ( ) 𝑇 −𝑇 𝑇 𝑇 2

da cui: 𝑑(𝒔𝟏 , 𝒔𝟐 ) = √2𝑇 |sin (

𝜋𝜏 )| 𝑇

CAPITOLO - 2 – Rappresentazione Vettoriale dei Segnali

-37-

2.3 - Segnali linearmente indipendenti. Un insieme di 𝑛 segnali appartenenti allo spazio dei segnali genera un sottospazio di dimensione finita. A priori, non è detto che la dimensione di detto sottospazio sia uguale al numero dei segnali presi in considerazione, in quanto si può verificare il caso in cui almeno uno dei segnali considerati è esprimibile mediante una opportuna combinazione lineare dei restanti. È quindi evidente l'opportunità di individuare dei metodi per stabilire se 𝑛 segnali sono linearmente indipendenti al fine di determinare l’effettiva dimensione del sottospazio da essi generato. Un metodo generale per stabilire la lineare indipendenza di 𝑛 segnali si ottiene osservando il determinante della seguente matrice di Gram: 〈𝒔1 , 𝒔1 〉 〈𝒔2 , 𝒔1 〉 [ … 〈𝒔𝑛 , 𝒔1 〉

〈𝒔1 , 𝒔2 〉 〈𝒔2 , 𝒔2 〉 … 〈𝒔𝑛 , 𝒔2 〉

… … … …

〈𝒔1 , 𝒔𝑛 〉 〈𝒔2 , 𝒔𝑛 〉 ] … 〈𝒔𝑛 , 𝒔𝑛 〉

(2.3.1)

Vale il seguente teorema: Teorema 2.1 (di Gram) 𝑛 segnali sono linearmente dipendenti se e solo se il determinante di Gram 𝐺(𝒔1 , 𝒔2 , … , 𝒔𝑛 ) ad essi relativo è nullo. Necessarietà: se con {𝑠𝑖 }𝑛𝑖=1 si denota un insieme di 𝑛 segnali linearmente dipendenti, devono esistere 𝑛 costanti {𝑐𝑖 }, non tutte nulle, tali che: 𝑛

∑ 𝑐𝑖 𝒔𝑖 = 𝒐

(2.3.2)

𝑖=1

Effettuando il prodotto scalare tra il primo membro della precedente e il generico segnale 𝑠𝑗 si ottengono le 𝑛 equazioni: 𝑛

∑ 𝑐𝑖 〈𝑠𝑖 , 𝑠𝑗 〉 = 0;

j=1,2,…,n

(2.3.3)

𝑖=1

che, riguardate come un sistema lineare omogeneo di 𝑛 equazioni nelle 𝑛 incognite {𝑐𝑖 }, devono ammettere una soluzione non banale. Pertanto la matrice dei coefficienti di detto sistema deve essere singolare. Sufficienza:

38

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

se è 𝐺(𝒔1 , 𝒔2 , … , 𝒔𝑛 ) = 0 il sistema omogeneo (2.3.3) ammette anche soluzioni diverse dall'identica. Detta {𝜆𝑖 } una tale soluzione, si consideri il segnale: 𝑛

𝒔 = ∑ 𝜆𝑖 𝒔 𝑖

(2.3.4)

𝑖=1

Si ha: 𝑛

𝑛

𝑛

‖𝒔‖2 = 〈∑ 𝜆𝑖 𝒔𝑖 , ∑ 𝜆𝑗 𝒔𝑗 〉 = ∑ 𝜆𝑖 𝜆𝑗∗ 〈𝒔𝑖 , 𝑠𝑗 〉 𝑖=1 𝑛

=

𝑗=1

𝑖,𝑗=1

(2.3.5)

𝑛

∑ 𝜆𝑗∗ (∑ 𝜆𝑖 〈𝒔𝑖 , 𝒔𝑗 〉) 𝑗=1

=0

𝑖=1

essendo per ipotesi le {𝜆𝑖 } una soluzione del sistema (2.3.3). Il segnale definito dalla (2.3.4), avendo norma nulla, è il segnale nullo. Pertanto i segnali {𝒔𝑖 }𝑛𝑖=1 sono linearmente dipendenti. *********** Si osservi che, se il determinante di Gram è nullo, la matrice di Gram ha rango 𝑟 < 𝑛. Data la simmetria hermitiana della matrice si può dimostrare che essa ammette almeno un minore non nullo contenente 𝑟 elementi della sua diagonale principale. Detto minore si può interpretare quindi come la matrice di Gram associata agli 𝑟 segnali con cui è costituito. Ciò significa che il rango della matrice di Gram è uguale al numero massimo di segnali indipendenti contenuti nella 𝑛-upla. È interessante osservare che la matrice di Gram è semidefinita positiva. Infatti la norma del generico segnale 𝒔 appartenente al sottospazio generato da un insieme di segnali {𝒔𝑖 }𝑛𝑖=1 è non negativa. Si può quindi scrivere: 𝑛

𝑛

𝑛

0 ≤ ‖𝒔‖2 = 〈∑ 𝑐𝑖 𝒔𝑖 , ∑ 𝑐𝑗 𝒔𝑗 〉 = ∑ 𝑐𝑖 𝑐𝑗∗ 〈𝒔𝑖 , 𝒔𝑗 〉 𝑖=1

𝑗=1

(2.3.6)

𝑖,𝑗=1

Si noti che l'ultimo membro della disuguaglianza precedente è la forma hermitiana nelle variabili 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 associata alla matrice di Gram che è quindi semidefinita positiva. Esempio 2.2 Verificare che i segnali rappresentati dalle seguenti funzioni:

CAPITOLO - 2 – Rappresentazione Vettoriale dei Segnali

-39-

𝑠𝑛 (𝑡) = 𝑡 𝑛 1

n∈{1,2,3}

⊓ (𝑡 − 2) ; sono linearmente indipendenti. Il generico prodotto scalare vale: 1

〈𝒔𝑖 , 𝒔𝑗 〉 = ∫ 𝑡 𝑖+𝑗 𝑑𝑡 = 0

1 1+𝑖+𝑗

da cui si ottiene il determinante di Gram associato ai segnali considerati: 𝐺(𝒔1 , 𝒔2 , 𝒔3 ) =

1 3 ||1 4 1 5

1 4 1 5 1 6

1 5 1 | 6| 1 7

=

1 378.000

Poiché 𝐺(𝒔1 , 𝒔2 , 𝒔3 ) ≠ 0 i tre segnali sono linearmente indipendenti. Esempio 2.3 Dati i segnali rappresentati in Fig.E 2.1: determinare la dimensione del sottospazio da essi generato. Si ha: 〈𝒔1 , 𝒔1 〉 = 5 〈𝒔2 , 𝒔1 〉 = −6 〈𝒔3 , 𝒔1 〉 = −1

 〈𝒔1 , 𝒔2 〉 = −6 〈𝒔2 , 𝒔2 〉 = 8 〈𝒔3 , 𝒔2 〉 = 2

〈𝒔1 , 𝒔3 〉 = −1 〈𝒔2 , 𝒔3 〉 = 2 〈𝒔3 , 𝒔3 〉 = 1

pertanto il determinante di Gram vale: 5 𝐺 = |−6 −1

−6 8 2

−1 2 |=0 1

quindi i segnali sono linearmente dipendenti. Poiché, come è facile verificare, il rango della matrice di Gram vale 2, solo due segnali risultano linearmente indipendenti; conseguentemente Fig.E 2.1 il sottospazio da essi generato ha dimensione 2. La lineare dipendenza dei segnali poteva essere verificata semplicemente osservando che: −𝒔1 (𝒕) − 𝒔2 (𝒕) + 𝒔3 (𝒕) = 𝟎

40

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

2.4 - Rappresentazione geometrica di un segnale. Siano {𝒖𝑖 }𝑛𝑖=1 𝑛 segnali linearmente indipendenti. L'insieme S𝑛 dei segnali esprimibili nella forma 𝑛

𝒔 = ∑ 𝛼𝑖 𝒖𝑖

(2.4.1)

𝑖=1

al variare dei coefficienti {𝛼𝑖 } in ℂ𝑛 , è, come è noto, un sottospazio vettoriale di dimensione 𝑛 generato dai segnali {𝒖𝑖 }. Ogni segnale ivi contenuto individua univocamente, in virtù della lineare indipendenza degli {𝑢𝑖 }𝑛𝑖=1 , una 𝑛-upla di coefficienti. Reciprocamente, comunque scelto un punto in ℂ𝑛 , ad esso, tramite la (2.4.1), corrisponde un unico segnale in S𝑛 . I coefficienti {𝛼𝑖 }𝑛𝑖=1 si possono interpretare come le “coordinate” del segnale 𝑠 nel sistema di riferimento individuato dai vettori {𝒖𝑖 }𝑛𝑖=1 . Queste considerazioni, nel caso in cui i segnali {𝒖𝑖 }𝑛𝑖=1 siano rappresentabili mediante funzioni reali e i coefficienti {𝛼𝑖 }𝑛𝑖=1 siano anch’essi reali, suggeriscono la Fig. 2.1 - Rappresentazione vettorappresentazione geometrica mostrata riale del segnale 𝒔. in Fig. 2.1 per il caso tridimensionale. L'insieme dei vettori {𝒖𝑖 }𝑛𝑖=1 costituisce quindi una base del sottospazio vettoriale S𝑛 di S. È opportuno ricordare che un qualsiasi altro insieme {𝑣𝑖 }𝑛𝑖=1 di vettori linearmente indipendenti appartenenti a S𝑛 costituisce a sua volta una base per il sottospazio; la base pertanto non è unica. I coefficienti {𝛼𝑖 }𝑛𝑖=1 , di un dato segnale appartenente a S𝑛 , possono essere calcolati effettuando in ambo i membri della (2.4.1) il prodotto scalare per il generico vettore di base 𝒖𝑗 . Si ottengono così le 𝑛 equazioni: 𝑛

〈𝒔, 𝒖𝑗 〉 = ∑ 𝛼𝑖 〈𝒖i ,𝒖𝑗 〉 ; 𝑖=1

j=1,2,…,n

(2.4.2)

CAPITOLO - 2 – Rappresentazione Vettoriale dei Segnali

-41-

che costituiscono un sistema lineare nelle incognite {𝛼𝑖 }. In forma matriciale il sistema (2.4.2) si scrive: 〈𝒖1 , 𝒖1 〉 〈𝒖1 , 𝒖2 〉 [ … 〈𝒖1 , 𝒖𝑛 〉

〈𝒖2 , 𝒖1 〉 〈𝒖2 , 𝒖2 〉 … 〈𝒖𝟐 , 𝒖𝑛 〉

… … … …

〈𝒖𝑛 , 𝒖1 〉 𝛼1 〈𝒔,𝒖1 〉 〈𝒖𝑛 , 𝒖2 〉 𝛼2 〈𝒔,𝒖2 〉 ][…] = [ ] … … 〈𝒖𝑛 , 𝒖𝑛 〉 𝛼𝑛 〈𝒔,𝒖𝑛 〉

(2.4.3)

Detto sistema ammette un'unica soluzione, poiché la matrice dei coefficienti ad esso associata è la trasposta della matrice di Gram associata a un insieme di segnali linearmente indipendenti. Un altro metodo per calcolare i coefficienti {𝛼𝑖 }𝑛𝑖=1 consiste nel determinare 𝑛 vettori {𝑣𝑖 }𝑛𝑖=1 che godano della proprietà: 〈𝒔, 𝒗𝑗 〉 = 𝛼𝑗 ;

𝑗 = 1,2, … , 𝑛

(2.4.4)

Tenendo conto della (2.4.1) si ottiene: 𝑛

𝛼𝑗 = 〈𝒔, 𝒗𝑗 〉 = 〈∑ 𝛼𝑖 𝒖𝑖 , 𝒗𝑗 〉 𝑖=1

𝑛

         = ∑ 𝛼𝑖 〈𝒖𝑖 , 𝒗𝑗 〉;

(2.4.5) 𝑗 = 1,2, … , 𝑛

𝑖=1

che ammette la soluzione: 1; 〈𝑢𝑖 , 𝑣𝑗 〉 = { 0;

𝑖=𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 𝑖≠𝑗

(2.4.6)

Il generico 𝒗𝑗 risulta pertanto ortogonale a ciascun vettore della base {𝒖𝑖 }𝑛𝑖=1 fatta eccezione per il 𝑗-esimo. L'insieme di vettori {𝒗𝑖 }𝑛𝑖=1 costituisce a sua volta una base del sottospazio che è detta base reciproca associata alla base {𝒖𝑖 }𝑛𝑖=1. Si osservi che dalla (2.4.6) discende che la reciproca di una base reciproca è la base di partenza. Esempio 2.4 Dati i segnali individuati dalle seguenti funzioni: 𝑢1 (𝑡) = ⊓ (𝑡 − 2) 1

𝑢2 (𝑡) = ⊓(𝑡 − 1)

{𝑢3 (𝑡) = ⊓ (𝑡 − 2) 3

42

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

verificare che essi costituiscono una base per il sottospazio da essi generato e quindi determinare la base reciproca associata. I tre segnali sono linearmente indipendenti, in quanto comunque scelti due di essi, da una loro combinazione lineare non si può ottenere il terzo. Infatti esiste un insieme di misura non nulla in cui il terzo segnale è diverso da zero mentre gli altri due segnali sono entrambi identicamente nulli. Il generico elemento della base reciproca si può esprimere nella forma: 3

𝒗𝒊 = ∑ 𝛼𝑖,𝑗 𝒖𝒋 𝑗=1

Imponendo per ciascun vettore 𝒗𝑖 la condizione (2.4.6), si ottengono i tre sistemi lineari: 3

〈𝒗𝟏 , 𝒖𝒊 〉 = ∑ 𝛼1,𝑗 〈𝒖𝒋 , 𝒖𝒊 〉 = 𝛿𝑖,1 𝑗=1 3

〈𝒗𝟐 , 𝒖𝒊 〉 = ∑ 𝛼2,𝑗 〈𝒖𝒋 , 𝒖𝒊 〉 = 𝛿𝑖,2 ;

𝑖 = 1,2,3

𝑗=1 3

{

〈𝒗𝟑 , 𝒖𝒊 〉 = ∑ 𝛼3,𝑗 〈𝒖𝒋 , 𝒖𝒊 〉 = 𝛿𝑖,3 𝑗=1

le cui soluzioni forniscono: 𝟑

𝟏

𝟏

𝟑

𝒗𝟏 = 𝟐𝒖𝟏 − 𝒖𝟐 + 𝟐𝒖𝟑 𝒗𝟐 = −𝒖𝟏 + 𝟐𝒖𝟐 − 𝒖𝟑 𝒗𝟑 = 𝟐𝒖𝟏 − 𝒖𝟐 + 𝟐𝒖𝟑

Si perviene a una notevole semplificazione scegliendo una base {𝑢𝑖 }𝑛𝑖=1 composta da vettori di norma unitaria a due a due ortogonali

detta base ortonormale. In simboli: 〈𝒖𝑖 , 𝒖𝑗 〉 = 𝛿𝑖,𝑗

(2.4.7)

In questo caso la matrice di Gram diventa unitaria e la (2.4.2) si riduce alla: 𝛼𝑖 = 〈𝒔, 𝒖𝑖 〉;      𝑖 = 1,2, … , 𝑛

(2.4.8)

Un segnale appartenente al sottospazio riferito a una base ortonormale si esprime pertanto nella forma: 𝑛

𝒔 = ∑〈𝒔, 𝒖𝑖 〉𝒖𝑖 𝑖=1

(2.4.9)

CAPITOLO - 2 – Rappresentazione Vettoriale dei Segnali

-43-

Dal confronto tra la (2.4.6) e la (2.4.7) discende che la base reciproca associata ad una base ortonormale è la base stessa. Le basi ortonormali sono quindi anche basi autoreciproche. Se si fa riferimento a una base ortonormale si ottiene la seguente espressione per il prodotto scalare tra segnali appartenenti al sottospazio S𝑛 : 𝑛

𝑛

𝑛

∗ ∗ 〈𝒔1 , 𝒔2 〉 = ∑ ∑ 𝛼1𝑖 𝛼2𝑗 〈𝒖𝑖 , 𝒖𝑗 〉 = ∑ 𝛼1𝑖 𝛼2𝑖 𝑖=1 𝑗=1

(2.4.10)

𝑖=1

analogamente per la norma e per la distanza euclidea si ha: 1⁄2

𝑛

‖𝒔‖ = 〈𝒔, 𝒔〉

1⁄2

2

= (∑ |𝛼𝑖 | )

(2.4.11)

𝑖=1 1⁄2

𝑛 2

𝑑(𝒔1 , 𝒔2 ) = ‖𝒔1 − 𝒔2 ‖ = (∑ |𝛼1𝑖 − 𝛼2𝑖 | )

(2.4.12)

𝑖=1

Queste ultime evidenziano un ulteriore motivo per cercare, quando è possibile, di adottare una base ortonormale. Infatti se si riguardano le componenti {𝛼1𝑖 }𝑛𝑖=1 , {𝛼2𝑖 }𝑛𝑖=1 dei due segnali, riferiti ad una stessa base ortonormale, come vettori riga dello spazio ℂ𝑛 , le (2.4.10), (2.4.11) e la (2.4.12) possono essere riscritte sotto forma matriciale: 〈𝒔1 , 𝒔2 〉 = 𝜶1 𝜶†2

(2.4.13)

1 † 2

‖𝒔‖ = (𝜶𝜶 )

(2.4.14) 1 † 2

𝑑(𝒔1 , 𝒔2 ) = [(𝜶1 − 𝜶2 )(𝜶1 − 𝜶2 ) ]

(2.4.15)

In altri termini, se in un sottospazio si individua una base ortonormale, il prodotto scalare, la norma e la distanza euclidee possono essere calcolati in modo semplice effettuando le medesime operazioni sui vettori delle componenti dei segnali in ℂ𝑛 . Esempio 2.5 Sia 𝑄(𝒙) = 𝒙† 𝐴𝒙 una forma hermitiana. Se gli autovalori della matrice ad essa associata hanno tutti molteplicità 1, gli autoversori associati a ciascun autovalore di 𝐴, sono mutuamente ortogonali e quindi costituiscono una base ortonormale per lo spazio ℂ𝑛 a cui 𝒙 appartiene.

44

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Nel caso in cui tutti gli autovalori di 𝐴 hanno molteplicità 1 ad eccezione di uno che ha molteplicità 2 tra gli autovettori associati a quest'ultimo, se ne possono certamente scegliere 2 linearmente indipendenti. Essi individuano un sottospazio di dimensione due (autospazio) che contiene tutti e soli gli autovettori relativi all'autovalore in questione. Ciascun vettore di questo autospazio è ortogonale ad ogni autovettore relativo ad un altro autovalore. Inoltre è sempre possibile riferire l'autospazio ad una base ortonormale, gli autoversori che la costituiscono, uniti ai restanti autoversori, generano una base (autobase) per lo spazio ℂ𝑛 associata alla 𝑄(𝒙) . La generalizzazione di quanto esposto al caso di matrici hermitiane con autovalori di molteplicità qualsiasi è immediata. Per quanto riguarda la riduzione a forma canonica di una forma hermitiana, si osservi che, individuata una autobase {𝒖𝑖 }𝑛𝑖=1 , il generico vettore 𝒙 di ℂ𝑛 si può scrivere: 𝑛

𝒙 = ∑ 𝛼𝑖 𝒖𝑖 𝑖=1

Pertanto: 𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

𝑄(𝑥) = 𝒙† 𝑨𝒙 = ∑ 𝛼𝑖∗ 𝒖†𝑖 𝑨 ∑ 𝛼𝑗 𝒖𝑗 = ∑ ∑ 𝛼𝑖∗ 𝛼𝑗 𝒖†𝑖 𝑨𝒖𝑗 = ∑ ∑ 𝛼𝑖∗ 𝛼𝑗 𝒖𝑖† 𝜆𝑗 𝒖𝑗 𝑖=1 𝑛

𝑛

𝑗=1

𝑖=1 𝑗=1

𝑖=1 𝑗=1

𝑛

= ∑ ∑ 𝛼𝑖∗ 𝛼𝑗 𝝀𝒋 𝒖𝑖† 𝒖𝑗 = ∑ 𝜆𝑖 |𝛼𝑖 |2 = 𝜶† ⋅ diag(𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 ) ⋅ 𝜶 𝑖=1 𝑗=1

𝑖=1

nell'ultimo membro della precedente, ogni autovalore viene ripetuto un numero di volte pari alla sua molteplicità.

2.5 - Angolo tra due segnali. Siano dati due segnali reali ad energia finita 𝒔1 , 𝒔2 . Per essi vale la disuguaglianza di Schwarz (1.15.6) che, in virtù della natura reale dei due segnali, può essere riscritta nella forma: ∞

−1 ≤

∫−∞ 𝑠1 (𝑡) 𝑠2 (𝑡)𝑑𝑡 ∞ √∫−∞ |𝑠1 (𝑡)|2

∞ 𝑑𝑡 ∫−∞ |𝑠2 (𝑡)|2

≤1 𝑑𝑡

(2.5.1)

dalla quale si deduce che è sempre possibile individuare un unico angolo 𝜗 appartenente all'intervallo [0, 𝜋] che verifica l'uguaglianza: 〈𝒔1 , 𝒔2 〉 = ‖𝒔1 ‖ ⋅ ‖𝒔2 ‖cos𝜗

(2.5.2)

CAPITOLO - 2 – Rappresentazione Vettoriale dei Segnali

-45-

I due segnali in questione sono certamente contenuti in un sottospazio di dimensione due che è unico se i segnali sono linearmente indipendenti. Fissata che sia una base ortonormale {𝒖𝑖 }2𝑖=1 in detto sottospazio, è possibile esprimere i due segnali nella forma: Fig. 2.2 - Angolo tra due segnali

𝒔1 = 𝛼11 𝒖1 + 𝛼12 𝒖2 ; 𝒔2 = 𝛼21 𝒖1 + 𝛼22 𝒖2 ;

(2.5.3)

D'altro canto, tenendo conto delle (2.4.10) e (2.4.11) la (2.5.2) può essere anche scritta come segue: < 𝒔1 , 𝒔2 >= 𝛼11 𝛼21 + 𝛼12 𝛼22 2 2 2 2 = √𝛼11 + 𝛼12 ⋅ √𝛼21 + 𝛼22 cos𝜗

(2.5.4)

il cui ultimo membro si può immediatamente interpretare come il prodotto scalare in ℝ2 tra due vettori aventi rispettivamente modulo 2 2 2 2 √𝛼11 + 𝛼12 e √𝛼21 + 𝛼22 , formanti un angolo 𝜗. Si verifica facilmente

che detto angolo è indipendente dalla base ortonormale scelta nel sottospazio in cui i segnali sono contenuti. È quindi possibile fornire una rappresentazione grafica dei due segnali reali come mostrato in Fig. 2.2, È questo il motivo per cui in generale due segnali si dicono ortogonali se il loro prodotto scalare è nullo. Esempio 2.6 Dati i segnali mostrati in Fig.E 2.2,a). se ne costruisca una rappresentazione vettoriale. Come si riconosce facilmente i due segnali hanno entrambi norma unitaria. Se si associa al primo segnale un vettore 𝒔 di modulo unitario, il secondo segnale sarà rappresentato da un vettore 𝒔𝜏 anch'esso di modulo unitario la cui componente ortogonale su 𝒔 si ottiene effettuando il seguente prodotto scalare: 1 − 𝜏; 0 ≤ 𝜏 ≤ 1 ∞ 𝜏 〈𝒔, 𝒔𝝉 〉 = ∫ 𝑠(𝑡)𝑠𝜏 (𝑡)𝑑𝑡 = { 1 + 𝜏; −1 ≤ 𝜏 < 0    =   (1 − |𝜏|)⊓ ( ) 2 −∞ |𝜏| > 1 0;

46

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

La rappresentazione geometrica dei due segnali si presenta come in Fig.E

Fig.E 2.2

2.2,b). Si noti che se |𝜏| ≥ 1 i due segnali risultano ortonormali.

2.6 - Approssimazione dei segnali nel sottospazio S𝒏 . Teorema della proiezione. Sia S𝑛 un sottospazio vettoriale ad 𝑛 dimensioni e 𝒔 un segnale non necessariamente appartenente ad S𝑛 . In alcune applicazioni può essere utile costruire un segnale 𝒔˜𝑛 ∈ S𝑛 che, in base a un assegnato criterio, ne costituisca la migliore approssimazione. Il criterio più naturale per determinare la migliore approssimazione di 𝒔 in S𝑛 consiste nello scegliere quell'elemento di S𝑛 che si trova alla minima distanza euclidea dal segnale considerato 𝒔. Poiché un generico segnale 𝒔𝑛 ∈ S𝑛 si può sempre riferire ad una base ortonormale {𝒖𝑖 }𝑛𝑖=1 di detto sottospazio: 𝑛

𝒔 𝑛 = ∑ 𝛼𝑖 𝒖 𝑖

(2.6.1)

𝑖=1

l'approssimazione 𝒔˜𝑛 cercata è individuata dalla 𝑛-upla di coefficienti {𝛼𝑖 } che minimizzano la quantità: 𝑛 2

‖𝒆‖ = ‖𝒔 − ∑ 𝛼𝑖 𝒖𝑖 ‖2

(2.6.2)

𝑖=1

Esplicitando la precedente si ha: 𝑛 2

2

𝑛 ∗

‖𝒆‖ = ‖𝒔‖ − ∑ 𝛼𝑖 〈𝒔, 𝒖𝑖 〉 − 𝑖=1

∑ 𝛼𝑖∗ 〈𝒔, 𝒖𝑖 〉 𝑖=1

𝑛

+ ∑ |𝛼𝑖 |2

(2.6.3)

𝑖=1 𝑛

Se nella (2.6.3) si somma e si sottrae la quantità ∑𝑖=1 |〈𝒔, 𝒖𝑖 〉|2 si ottiene:

CAPITOLO - 2 – Rappresentazione Vettoriale dei Segnali 𝑛

-47-

𝑛

‖𝒆‖2 = ‖𝒔‖2 − ∑ |〈𝒔, 𝒖𝑖 〉|2 + ∑ |𝛼𝑖 − 〈𝒔, 𝒖𝑖 〉|2 𝑖=1

(2.6.4)

𝑖=1

Poiché l'ultimo addendo a secondo membro della precedente è certamente non negativo il minimo cercato si ottiene quando esso si annulla cioè quando risulta: 𝛼𝑖 = 〈𝑠, 𝑢𝑖 〉;

𝑖 = 1,2, … 𝑛

(2.6.5)

Pertanto si ha: 𝑛

𝒔˜𝑛 = ∑〈𝒔, 𝒖𝑖 〉𝒖𝑖

(2.6.6)

𝑖=1

I coefficienti {𝛼𝑖 }𝑛𝑖=1 definiti dalle (2.6.5) sono chiamati coefficienti di Fourier generalizzati del segnale 𝒔 rispetto alla base ortonormale . {𝒖𝑖 }𝑛𝑖=1 Un interessante conseguenza del risultato appena ottenuto è il cosiddetto Teorema della proiezione Fig. 2.3 Proiezione ortogonale che stabilisce che, detta 𝒔˜𝑛 la migliore approssimazione di 𝒔 in S𝑛 , secondo il criterio della minima distanza euclidea, il vettore 𝒔 − 𝒔˜𝑛 è ortogonale a ogni vettore appartenente ad S𝑛 e quindi al sottospazio S𝑛 (vedi Fig. 2.3 ). Per dimostrarlo è sufficiente verificare che il vettore 𝒔 − 𝒔˜𝑛 è ortogonale a ciascun vettore di una qualsiasi base {𝒖𝑖 }𝑛𝑖=1 ortonormale di S𝑛 . Tenendo conto delle (2.6.5) e (2.6.6) risulta: 〈𝒔 − 𝒔˜𝑛 , 𝒖𝑖 〉 = 〈𝒔, 𝒖𝑖 〉 − 〈𝒔˜𝑛 , 𝒖𝑖 〉 = 0

(2.6.7)

Per questo motivo 𝒔˜𝑛 si dice proiezione ortogonale di 𝒔 nel sottospazio S𝑛 . Nel caso in cui si scelga in S𝑛 una base {𝒗𝑖 }𝑛𝑖=1 non ortonormale, tenendo presente che, in base alla (2.6.7), risulta per ogni 𝒗 ∈ S𝑛 : 〈𝒔, 𝒗〉 = 〈𝒔˜𝑛 , 𝒗〉 {𝛽𝑖 }𝑛𝑖=1

(2.6.8)

si deduce che le componenti del segnale 𝒔˜𝑛 rispetto alla base 𝑛 {𝒗𝑖 }𝑖=1 si ottengono risolvendo il sistema:

48

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati 𝑛

〈𝒔˜𝑛 , 𝒗𝑖 〉 = ∑ 𝛽𝑗 〈𝒗𝑗 , 𝒗𝑖 〉 = 〈𝒔, 𝒗𝑖 〉;

𝑖 = 1, … , 𝑛

(2.6.9)

𝑗=1

È interessante osservare che un sottospazio lineare a 𝑛 dimensioni determina nello spazio dei segnali S una partizione in classi di equivalenza: due segnali appartengono alla stessa classe di equivalenza se ammettono la stessa approssimazione in S𝑛 o, che è lo stesso, se la loro differenza è ortogonale a S𝑛 . La quantità 𝒆 = 𝒔 − 𝒔˜𝑛

(2.6.10)

è l'errore di approssimazione; la sua norma ‖𝑒‖ ne misura l'entità. Si ha: ‖𝒆‖2 = ‖𝒔 − 𝒔˜𝑛 ‖2 = 〈𝒔 − 𝒔˜𝑛 , 𝒔 − 𝒔˜𝑛 〉 = 〈𝒔, 𝒔 − 𝒔˜𝑛 〉 − 〈𝒔˜𝑛 , 𝒔 − 𝒔˜𝑛 〉  = 〈𝒔 − 𝒔˜𝑛 , 𝒔〉∗ = 〈𝒔, 𝒔〉 − 〈𝒔˜𝑛 , 𝒔〉∗ 2

∗

2

= ‖𝒔‖ − 〈𝒔˜𝑛 , 𝒔〉 = ‖𝒔‖ − ‖𝒔˜𝑛 ‖

(2.6.11)

2

poiché, essendo 𝒆 ortogonale a 𝑠˜𝑛 , risulta 〈𝒔˜𝑛 , 𝒔〉 = ‖𝒔˜𝑛 ‖2 . La (2.6.11) costituisce l'estensione della relazione pitagorica agli spazi normati. Se il vettore 𝒔˜𝑛 si riferisce ad una base ortonormale {𝒖𝑖 }𝑛𝑖=1 si ha: 𝑛 2

‖𝒔˜𝑛 ‖ = ∑ |〈𝒔, 𝒖𝑖 〉|2

(2.6.12)

𝑖=1

in questo caso la (2.6.11) assume la forma: 𝑛

‖𝒆‖2 = ‖𝒔‖2 − ∑ |〈𝒔, 𝒖𝑖 〉|2

(2.6.13)

𝑖=1

Essendo, d'altra parte, ‖𝒆‖ ≥ 0 si deduce: 𝑛

∑ |〈𝒔, 𝒖𝑖 〉|2 ≤ ‖𝒔‖2

(2.6.14)

𝑖=1

nota come disuguaglianza di Bessel. Esempio 2.7 Determinare la proiezione dell'impulso ⊓ (𝑡 −

1 2

) nel sottospazio lineare

S3 individuato dai segnali rappresentabili me diante le funzioni:

CAPITOLO - 2 – Rappresentazione Vettoriale dei Segnali

-49-

−𝑛𝑡 𝑣𝑛 (𝑡) = {𝑒    𝑡 ≥ 0 ;    n=1,2,3 0       𝑡 < 0

Indicando con 𝒓 l’impulso rettangolare, risulta: 1

〈𝒓, 𝒗𝑛 〉 = ∫ 𝑒 −𝑛𝑡 𝑑𝑡   = 0

Fig.E 2.3

1 − 𝑒 −𝑛 𝑛

il sistema (2.6.9) diventa 1 2 1 3 1 [4

1 3 1 4 1 5

1 4 1 5 1 6]

1 − 𝑒 −1 1 − 𝑒 −2 𝛽1 ⋅ [𝛽2 ] = 2 𝛽3 1 − 𝑒 −3 [ 3 ]

da cui: 𝛽1 12 − 72𝑒 −1 + 120𝑒 −2 − 60𝑒 −3 [𝛽2 ] = [−30 + 240𝑒 −1 − 450𝑒 −2 + 240𝑒 −3 ] 𝛽3 20 − 180𝑒 −1 + 360𝑒 −2 − 200𝑒 −3

per cui l'approssimazione dell'impulso rettangolare nel sottospazio in questione vale: 3

𝑠3 (𝑡) = ∑ 𝛽𝑖 𝑣𝑖 (𝑡) 𝑖=1

= (12 − 72𝑒 −1 + 120𝑒 −2 − 60𝑒 −3 )𝑒 −𝑡 + (−30 + 240𝑒 −1 − 450𝑒 −2 + 240𝑒 −3 )𝑒 −2𝑡 + (20 − 180𝑒 −1 + 360𝑒 −2 − 200𝑒 −3 )𝑒 −3𝑡

In Fig.E 2.3 è rappresentata la migliore approssimazione dell'impulso rettangolare nel sottospazio S3 . Esempio 2.8 Le funzioni rappresentate in Fig.E 2.4 sono i primi quattro elementi dell'insieme (ortonormale) delle funzioni di Walsh. Esse definiscono un sottospazio S4 a quattro dimensioni. I coefficienti, rispetto alla citata base, della proiezione ortogonale su S4 del segnale 𝒔 individuato dalla: 1 𝑠(𝑡) = 𝑡 ⊓ (𝑡 − ) 2

valgono:

Fig.E 2.4

50

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati 1 1 1 𝛼1 = ∫ 𝑡𝑤0 (𝑡)𝑑𝑡 = [𝑡 2 ]10 = ; 2 2 0 1 1 1 1 𝛼2 = ∫ 𝑡𝑤1 (𝑡)𝑑𝑡 = ([𝑡 2 ]20 − [𝑡 2 ]11 ) − ; 2 4 2 0 1 3 1 1 𝛼3 = ∫ 𝑡𝑤2 (𝑡)𝑑𝑡 = ([𝑡 2 ]40 − [𝑡 2 ]41 + [𝑡 2 ]13 ) = 0; 2 4 0 4 1 3 1 1 1 1 𝛼4 = ∫ 𝑡𝑤3 (𝑡)𝑑𝑡 = ([𝑡 2 ]80 − [𝑡 2 ]41 + [𝑡 2 ]81 − [𝑡 2 ]13 ) = − ; 2 8 { 8 0 8 4

In Fig.E 2.5 sono mostrate le funzioni rappresentative dei segnali 𝒔̃1 , 𝒔̃2 , 𝒔̃3 , 𝒔̃4   che costituiscono le approssimazioni di 𝒔, rispettivamente nei sottospazi generati da 𝒘0 , da 𝒘0 , 𝒘1 , da 𝒘0 , 𝒘1 , 𝒘2 , e da 𝒘0 , 𝒘1 , 𝒘2 , 𝒘3 . In particolare 𝑠˜4 (𝑡), cioè la funzione rappresentativa del segnale 𝒔˜4 apparte-

Fig.E 2.5 Proiezioni di un segnale in sottospazi annidati di dimensione crescente.

nente al sottospazio S4 a minima distanza Euclidea da 𝒔, è data da: 1 1 1 𝒔˜𝟒 (𝑡) = 𝒘𝟎 (𝑡) − 𝒘𝟏 (𝑡) − 𝒘𝟑 (𝑡) 2 4 8

2.7 - Procedimento di ortonormalizzazione di GramSchmidt. Da quanto detto risulta evidente l'opportunità di disporre di un algoritmo che permetta di costruire una base ortonormale per il sottospazio generato da un assegnato insieme {𝒔𝑖 }𝑛𝑖=1 di segnali. Un tale algoritmo, noto come procedimento di ortonormalizzazione di GramSchmidt, è basato sul teorema della proiezione. Esso consiste nel generare ricorsivamente sottospazi di dimensione crescente annidati l'uno dentro l'altro. Si procede come segue: Si considera il segnale 𝒔1 . Il primo elemento della base è: 𝒖1 =

𝒔1 ‖𝒔1 ‖

che genera un sottospazio S1 di dimensione 1. Si considera quindi 𝒔2 e si costruisce il segnale:

(2.7.1)

CAPITOLO - 2 – Rappresentazione Vettoriale dei Segnali

𝒆2 = 𝒔2 − 〈𝒔2 , 𝒖1 〉𝒖1

-51-

(2.7.2)

Se 𝒆2 è il segnale nullo, 𝒔2 appartiene ad S1 e si salta al passo successivo. In caso contrario, in virtù del teorema della proiezione, 𝒆2 è ortogonale al sottospazio S1 . Pertanto si può assumere come secondo elemento della base il segnale: 𝒖2 =

𝒆2 ‖𝒆2 ‖

(2.7.3)

I due segnali 𝒖1 e 𝒖2 generano quindi un sottospazio S2 in cui è annidato S1 . Si ripete il passo precedente fino ad esaurire i segnali dell'insieme {𝒔𝑖 }. Al passo 𝑖-esimo supposto che tutti i segnali precedentemente considerati siano tra loro linearmente indipendenti l'𝑖-esimo vettore di base è dato da: 𝒖𝑖 =

𝒆𝑖 ‖𝒆𝑖 ‖

(2.7.4)

dove: 𝑖−1

𝒆𝑖 = 𝒔𝑖 − ∑〈𝒔𝑖 , 𝒖𝑗 〉𝒖𝑗

(2.7.5)

𝑗=1

L'algoritmo appena descritto consente, in genere, per un dato insieme {𝒔𝑖 }𝑛𝑖=1, di costruire più basi ortonormali, dipendentemente dall'ordinamento scelto all'interno dell'insieme {𝒔𝑖 }𝑛𝑖=1 . Evidentemente una qualunque base ottenuta con il procedimento descritto genera lo stesso sottospazio di S. Detto sottospazio ha la minima dimensione necessaria per contenere i segnali dell'insieme {𝒔𝑖 }𝑛𝑖=1 . Tale dimensione ovviamente non può superare la cardinalità di {𝒔𝑖 }𝑛𝑖=1 . Si osservi inoltre che la procedura descritta in virtù della sua natura ricorsiva si può applicare anche al caso in cui l'insieme dei segnali sia di cardinalità infinita, purché numerabile. Esempio 2.9 Determinare una base ortonormale per il sottospazio lineare individuato dai segnali rappresentati dalle funzioni: 𝑒 −𝑛𝑡 ; 𝑠𝑛 (𝑡) = { 0;

𝑡≥0 ; n=1,2,3 𝑡 0. Potremo pertanto scrivere: ∞

∫ Φ(𝛿𝑓)𝑒 𝑗2𝜋𝑓(𝑡2−𝑡1) 𝑑𝑓 = −∞

=

𝑡2 −𝑡1 1 ∞ ∫ Φ(𝛿𝑓)𝑒 𝑗2𝜋𝛿𝑓 𝛿 𝑑(𝛿𝑓) 𝛿 −∞

1 𝑡2 − 𝑡1 𝜙( ) 𝛿 𝛿

(4.2.9)

che sostituita nella (4.2.8) fornisce: 𝐼(𝛿) =

1 ∞ ∞ 𝑡2 − 𝑡1 ∫ ∫ 𝑠(𝑡1 )𝑠 ∗ (𝑡2 )𝜙 ( ) 𝑑𝑡1 𝑑𝑡2 𝛿 −∞ −∞ 𝛿

(4.2.10)

Operando la trasformazione di variabili: {

2

𝑡 = 𝑡1 ; 𝑡2 − 𝑡1 𝜏= ; 𝛿

6 Tale è ad esempio 𝜙(𝑡) = 𝑒 −𝑡 la cui trasformata vale Φ(𝑓) = √𝜋𝑒 −𝜋

(4.2.11)

2 𝑓2

(vedi Esempio 4.6).

CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita -

77

il cui Jacobiano vale 𝜕𝑡1 𝐽 = | 𝜕𝑡 𝜕𝑡2 𝜕𝑡

𝜕𝑡1 𝜕𝜏 | = |1 𝜕𝑡2 1 𝜕𝜏

0 |=𝛿 𝛿

(4.2.12)

la (4.2.10) diventa: ∞

∞

𝐼(𝛿) = ∫ ∫ 𝑠(𝑡)𝑠 ∗ (𝑡 + 𝛿𝜏)𝜙(𝜏)𝑑𝑡𝑑𝜏 −∞ −∞ ∞

∞

−∞

−∞

(4.2.13)

= ∫ 𝜙(𝜏) (∫ 𝑠(𝑡)𝑠 ∗ (𝑡 + 𝛿𝜏)𝑑𝑡 ) 𝑑𝜏

applicando all'integrale più interno che compare all’ultimo membro della precedente la disuguaglianza di Schwarz si ottiene: ∞

|∫ 𝑠(𝑡)𝑠 ∗ (𝑡 + 𝛿𝜏)𝑑𝑡| −∞ 1 2

∞

∞

−∞

−∞

∞

(4.2.14)

≤ (∫ |𝑠(𝑡)|2 𝑑𝑡 ⋅ ∫ |𝑠(𝑡 + 𝛿𝜏)|2 𝑑𝑡) = ∫ |𝑠(𝑡)|2 𝑑𝑡 −∞

da cui discende: ∞

∞

|𝐼(𝛿)| ≤ ∫ |𝜙(𝜏) (∫ 𝑠(𝑡)𝑠 ∗ (𝑡 + 𝛿𝜏)𝑑𝑡 )| 𝑑𝜏 −∞ ∞

−∞ ∞

(4.2.15) 2

≤ ∫ |𝜙(𝜏)|𝑑𝜏 ∫ |𝑠(𝑡)| 𝑑𝑡 −∞

−∞

ne segue che l'integrale (4.2.6) esiste. Eguagliando i secondi membri delle (4.2.6) e (4.2.13) si ottiene: ∞

∞

∞

−∞

−∞

−∞

∫ Φ(𝛿𝑓)|𝑆(𝑓)|2 𝑑𝑓 = ∫ 𝜙(𝜏) (∫ 𝑠(𝑡)𝑠 ∗ (𝑡 + 𝛿𝜏)𝑑𝑡) 𝑑𝜏

(4.2.16)

poiché si ha: ∞

|Φ(𝛿𝑓)||𝑆(𝑓)|2 ≤ |𝑆(𝑓)|2 ∫ |𝜙(𝜏)𝑒 −𝑗2𝜋𝛿𝑓𝜏 |𝑑𝜏 −∞ ∞

= |𝑆(𝑓)|2 ∫ |𝜙(𝜏)|𝑑𝜏 −∞

e, ricordando la (4.2.14):

(4.2.17)

78

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati ∞

∞

−∞

−∞

|𝜙(𝜏) (∫ 𝑠(𝑡)𝑠 ∗ (𝑡 + 𝛿𝜏)𝑑𝑡)| ≤ |𝜙(𝜏)| ∫ |𝑠(𝑡)|2 𝑑𝑡

(4.2.18)

può applicarsi ad entrambi i membri della (4.2.16) il II Teorema di Lebesgue, il quale ci assicura che si può scrivere: ∞

∞

lim ∫ Φ(𝛿𝑓)|𝑆(𝑓)|2 𝑑𝑓 = Φ(0) ∫ |𝑆(𝑓)|2 𝑑𝑓  

𝛿→0 −∞

−∞ ∞

∞

𝛿→0 −∞

−∞

= lim ∫ 𝜙(𝜏) (∫ 𝑠(𝑡)𝑠 ∗ (𝑡 + 𝛿𝜏)𝑑𝑡) 𝑑𝜏   ∞

∞

−∞

−∞

(4.2.19)

= ∫ 𝜙(𝜏)𝑑𝜏 ∫ |𝑠(𝑡)|2 𝑑𝑡 ∞

Osservando che Φ(0) = ∫−∞ 𝜙(𝜏)𝑑𝜏 , dalla precedente si ottiene: ∞

∞

−∞

−∞

∫ |𝑠(𝑡)|2 𝑑𝑡 = ∫ |𝑆(𝑓)|2 𝑑𝑓

(4.2.20)

Concludendo si è pervenuti al fatto che, se 𝑠(𝑡) ∈ 𝔏(ℝ) ∩ 𝔏2 (ℝ), la sua trasformata 𝑆(𝑓) è una funzione a quadrato sommabile in ℝ. Con procedimento analogo si può mostrare che se 𝑠1 (𝑡) e 𝑠2 (𝑡) appartengono entrambe ad 𝔏(ℝ) ∩ 𝔏2 (ℝ), dette rispettivamente 𝑆1 (𝑓) e 𝑆2 (𝑓) le loro trasformate, si ha: ∞

∞

−∞

−∞

∫ 𝑠1 (𝑡)𝑠2∗ (𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑆1 (𝑓)𝑆2∗ (𝑓)𝑑𝑓

(4.2.21)

La trasformata in 𝕷𝟐 (ℝ).

Per definire la trasformata di Fourier di una funzione a quadrato sommabile è opportuno riferirsi nuovamente alla funzione troncata 𝑠𝑇 (𝑡). La funzione 𝑠𝑇 (𝑡), nella metrica di 𝔏2 (ℝ), tende a 𝑠(𝑡). Ciò significa che la distanza euclidea tra 𝑠𝑇 (𝑡) e 𝑠(𝑡) tende a zero quando 𝑇 → ∞: ∞

lim ∫ |𝑠(𝑡) − 𝑠𝑇 (𝑡)|2 𝑑𝑡 = 0

𝑇→∞ −∞

(4.2.22)

È bene osservare che la funzione 𝑠𝑇 (𝑡) essendo identicamente nulla all'esterno di un intervallo limitato, oltre ad essere a quadrato sommabile, è anche sommabile in ℝ. Di conseguenza essa ammette trasformata di Fourier 𝑆𝑇 (𝑓):

CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita -

79

∞

𝑆𝑇 (𝑓) = ∫ 𝑠𝑇 (𝑡)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 −∞

(4.2.23)

che soddisfa la condizione (4.2.20), cioè: ‖𝑆𝑇 (𝑓)‖ = ‖𝑠𝑇 (𝑡)‖

(4.2.24)

‖𝑆 𝑇 ′ (𝑓) − 𝑆𝑇 (𝑓)‖ = ‖𝑠 𝑇 ′ (𝑡) − 𝑠𝑇 (𝑡)‖

(4.2.25)

inoltre è evidente che: 2

D'altro canto, poiché 𝑠𝑇 (𝑡) ∈ 𝔏 (ℝ), comunque scelta una successione 𝑇𝑛 → ∞, esiste un 𝑛𝜀 tale che, 𝑝, 𝑞 > 𝑛𝜀 implicano ‖𝑠𝑇𝑝 (𝑡) − 𝑠𝑇𝑞 (𝑡)‖ < 𝜀 . Per la (4.2.25) si ha anche: ‖𝑆𝑇𝑝 (𝑓) − 𝑆𝑇𝑞 (𝑓)‖ < 𝜀

(4.2.26)

{𝑆𝑇𝑛 (𝑓)}∞ 𝑛=1 è pertanto una successione di Cauchy, quindi, in virtù della completezza di 𝔏2 (ℝ), {𝑆𝑇𝑛 (𝑓)}∞ 𝑛=1 è convergente,. Inoltre l'arbitrarietà

nella scelta della {𝑇𝑛 }∞ 𝑛=1 assicura che la famiglia di funzioni 𝑆𝑇 (𝑓), al divergere di 𝑇, tende, secondo la metrica di 𝔏2 (ℝ), ad una 𝑆(𝑓) ∈ 𝔏2 (ℝ), che si assume come trasformata di Fourier della funzione 𝑠(𝑡) ∈ 𝔏2 (ℝ). Esplicitando la funzione 𝑆𝑇 (𝑓), quanto detto, equivale a scrivere 2

𝑇 2

∞

lim ∫ |𝑆(𝑓) − ∫ 𝑠(𝑡)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 | 𝑑𝑓 = 0

𝑇→∞ −∞

𝑇 2

−

(4.2.27)

Per definire la trasformata inversa di una funzione 𝑆(𝑓) ∈ 𝔏2 (ℝ) si può procedere analogamente. In particolare, la trasformata troncata 𝑓 𝑆𝐵 (𝑓) = 𝑆(𝑓)⊓ ( ) 𝐵

(4.2.28)

è anche sommabile, essendo identicamente nulla al di fuori di un intervallo finito. Essa quindi è antitrasformabile, e la sua antitrasformata è: ∞

𝑠˜𝐹 (𝑡) = ∫ 𝑆𝐵 (𝑓)𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓 −∞

(4.2.29)

che, evidentemente gode della proprietà: ∞

∞

−∞

−∞

∫ |𝑆𝐵 (𝑓)|2 𝑑𝑓 = ∫ |𝑠˜𝐵 (𝑡)|2 𝑑𝑡

(4.2.30)

80

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Al crescere di 𝐹 la funzione 𝑠˜𝐹 (𝑡) ammette, nella metrica di 𝔏2 (ℝ), il limite 𝑠˜(𝑡), cioè: 2

𝐵 2

∞

lim ∫ |𝑠˜(𝑡) − ∫ 𝑆(𝑓)𝑒

𝐵→∞ −∞

𝑗2𝜋𝑓𝑡

𝐵 2

𝑑𝑓 | 𝑑𝑡 = 0

−

(4.2.31)

Tale valore limite appartiene a 𝔏2 (ℝ) e soddisfa la relazione: ∞

∞

−∞

−∞

∫ |𝑠˜(𝑡)|2 𝑑𝑡 = ∫ |𝑆(𝑓)|2 𝑑𝑓

(4.2.32)

Resta quindi soltanto da dimostrare che, detta 𝑆(𝑓) la trasformata di 𝑠(𝑡), la sua antitrasformata 𝑠˜(𝑡) è uguale, almeno quasi ovunque, a 𝑠(𝑡). A tal proposito, essendo 𝑠˜(𝑡), 𝑠(𝑡) ∈ 𝔏2 (ℝ), si può scrivere: ∞

‖𝑠˜(𝑡) − 𝑠(𝑡)‖2 = ∫ |𝑠˜(𝑡) − 𝑠(𝑡)|2 𝑑𝑡 −∞ ∞

∞

∞

−∞

−∞

−∞

= ∫ |𝑠(𝑡)|2 𝑑𝑡 − ∫ 𝑠(𝑡)𝑠˜ ∗ (𝑡)𝑑𝑡 − ∫ 𝑠 ∗ (𝑡)𝑠˜(𝑡)𝑑𝑡

(4.2.33)

∞

+ ∫ |𝑠˜(𝑡)|2 𝑑𝑡 −∞

Per le (4.2.20) e (4.2.32) risulta: ∞

∞

∞

−∞

−∞

−∞

∫ |𝑠(𝑡)|2 𝑑𝑡 = ∫ |𝑠˜(𝑡)|2 𝑑𝑡 = ∫ |𝑆(𝑓)|2 𝑑𝑓

(4.2.34)

Inoltre in virtù delle (4.2.23) e (4.2.29) si ha: ∞

∫ 𝑠(𝑡)𝑠˜ ∗ (𝑡)𝑑𝑡 −∞ ∞

=∫

∞

lim 𝑠𝑇 (𝑡) [ lim ∫ 𝑆𝐵

−∞ 𝑇→∞ ∞

𝐵→∞ −∞

∗

(𝑓)𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡

∞

= lim ∫ 𝑠𝑇 (𝑡) [∫ 𝑆∗𝐵 (𝑓)𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓] 𝑑𝑡 𝑇→∞ 𝐵→∞ −∞

−∞

𝑑𝑓 ] 𝑑𝑡

(4.2.35)

CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita ∞

∞

𝑇→∞ 𝐵→∞ −∞

−∞

81

= lim ∫ 𝑆𝐵∗ (𝑓) [∫ 𝑠𝑇 (𝑡)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡] 𝑑𝑓 ∞

∞

𝑇→∞ 𝐵→∞ −∞

−∞

= lim ∫ 𝑆𝐵∗ (𝑓)𝑆𝑇 (𝑓)𝑑𝑓 = ∫ |𝑆(𝑓)|2 𝑑𝑓

Con procedimento analogo si mostra anche che: ∞

∞

−∞

−∞

∫ 𝑠(𝑡)∗ 𝑠˜(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ |𝑆(𝑓)|2 𝑑𝑓

(4.2.36)

Finalmente, sostituendo le (4.2.35) e, (4.2.36) nella (4.2.33) si ottiene ‖𝑠˜(𝑡) − 𝑠(𝑡)‖2 = 0

(4.2.37)

che necessariamente comporta: 𝑞.𝑜.

𝑠(𝑡) = ⏞ 𝑠˜(𝑡)

(4.2.38)

Conclusioni

La trasformata di Fourier di una generica rappresentazione di un segnale s ad energia finita è impicitamente definita dalla (4.2.27) che qui ripetiamo per comodità: ∞

2

𝑇 2

lim ∫ |𝑆(𝑓) − ∫ 𝑠(𝑡)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 | 𝑑𝑓 = 0

𝑇→∞ −∞

𝑇 2

−

(4.2.39)

Ciò equivale a dire che per trasformata di 𝑠(𝑡) si deve intendere quella 𝑆(𝑓) che soddisfa la (4.2.27) cioè la cui distanza euclidea da 𝑇

∫2𝑇 𝑠(𝑡)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 tende a zero al divergere di 𝑇. −

2

Si osservi che se una 𝑆(𝑓) soddisfa la precedente per una rappresentazione 𝑠(𝑡) di un segnale 𝒔, essa la soddisferà anche per tutte le altre rappresentazioni dello stesso segnale, cioè per tutte le funzioni del tempo che differiscono da 𝑠(𝑡) solo su un insieme di misura nulla di punti. Reciprocamente, l'antitrasformata di Fourier di una generica rappresentazione 𝑆 è definita dalla: ∞

𝐵 2

lim ∫ |𝑠(𝑡) − ∫ 𝑆(𝑓)𝑒

𝐵→∞ −∞

𝐵 2

−

2 𝑗2𝜋𝑓𝑡

𝑑𝑓 | 𝑑𝑡 = 0

(4.2.40)

82

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Ciò equivale a dire che per antitrasformata di 𝑆(𝑓) si deve intendere quella 𝑠(𝑡) che soddisfa la (4.2.31) cioè la cui distanza euclidea da 𝐵

∫ 2𝐵 𝑆(𝑓)𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓 tende a zero al divergere di 𝐵 . D’altro canto se funzio−

2

ne 𝑠(𝑡) soddisfa la (4.2.40) per una data 𝑆(𝑓) essa la soddisfa anche per tutte le funzioni che ad 𝑆(𝑓) sono uguali quasi ovunque. 𝑠(𝑡) pertanto può essere intesa come antitrasformata di ciascuna di esse. In definitiva un segnale ad energia finita 𝒔 può essere quindi rappresentato indifferentemente sia mediante funzioni nel dominio del tempo sia attraverso funzioni nel dominio della frequenza É opportuno ricordare che se 𝒔 è rappresentabile mediante una funzione che è anche sommabile, il limite (4.2.39) può essere calcolato anche secondo la metrica di 𝔏(ℝ), cioè: 𝑇 2

lim |𝑆(𝑓) − ∫ 𝑠(𝑡)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡| = 0

𝑇→∞

−

𝑇 2

(4.2.41)

𝑇

La convergenza dell'integrale ∫2𝑇 𝑠(𝑡)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 è quindi uniforme. −

2

Conclusioni analoghe valgono per l'antitrasformata. 4.3 - Principali proprietà della trasformata di Fourier di un segnale In quel che segue per semplicità di esposizione la trasformata e l'antitrasformata di Fourie verranno rispettivamente denotate in una delle forme equivalenti: ∞

a)

𝑆(𝑓) = 𝔉[𝑠(𝑡)] = ∫ 𝑠(𝑡)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 ; −∞ ∞

b)

(4.3.1)

  𝑠(𝑡) = 𝔉−1 [𝑆(𝑓)] = ∫ 𝑆(𝑓)𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓; −∞

Negli ultimi membri delle quali si sottintendono cioè gli eventuali passaggi al limite nel senso di 𝔏2 (ℝ). La trasformata di una funzione risulta in generale complessa, essa si può quindi scrivere in una delle forme: 𝑆(𝑓) = 𝑆𝑅 (𝑓) + 𝑗𝑆𝐼 (𝑓) = |𝑆(𝑓)|𝑒 𝑗𝜗(𝑓)

(4.3.2)

CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita -

83

dove 𝑆𝑅 (𝑓) e 𝑆𝐼 (𝑓) sono funzioni reali. Dalla precedente si deduce che per rappresentare un segnale nel dominio della frequenza sono necessari due diagrammi che mostrano gli andamenti della parte reale 𝑆𝑅 (𝑓) e del coefficiente della parte immaginaria 𝑆𝐼 (𝑓), o equivalentemente, quelli del modulo |𝑆(𝑓)| e dell'argomento 𝜗(𝑓) di 𝑆(𝑓) al variare di 𝑓. Questi ultimi due diagrammi prendono rispettivamente il nome di spettro di ampiezza e spettro di fase del segnale. Trasformata di Fourier reali.

Fig. 4.2 - Rappresentazione della trasformata di Fourier di un segnale reale.

di segnali

La trasformata di un segnale reale adottando la notazione (4.3.1) si può

anche porre nella forma: ∞

∞

𝑆(𝑓) = ∫ 𝑠(𝑡)cos(2𝜋𝑓𝑡)𝑑𝑡 − 𝑗 ∫ 𝑠(𝑡)sin(2𝜋𝑓𝑡)𝑑𝑡 −∞

−∞

(4.3.3)

Pertanto, se 𝑠(𝑡) è reale, le quantità 𝑆𝑅 (𝑓) e 𝑆𝐼 (𝑓) assumono la forma: ∞

a)

𝑆𝑅 (𝑓) = ∫ 𝑠(𝑡)cos(2𝜋𝑓𝑡)𝑑𝑡 ; −∞

∞

b)

(4.3.4)

 𝑆𝐼 (𝑓) = − ∫ 𝑠(𝑡)sin(2𝜋𝑓𝑡)𝑑𝑡; −∞

Dalle (4.3.4) si deduce che la parte reale (coefficiente della parte immaginaria) di 𝑆(𝑓) è una funzione pari (dispari) di 𝑓; di conseguenza il modulo |𝑆(𝑓)| è ancora una funzione pari e l'argomento 𝜗(𝑓) è una funzione dispari di 𝑓; quindi: 𝑆(−𝑓) = 𝑆 ∗ (𝑓)

(4.3.5)

che equivale a dire che la trasformata di Fourier di un segnale reale deve presentare una simmetria di tipo hermitiano. In Fig. 4.2 sono mostrati gli andamenti tipici di 𝑆𝑅 (𝑓) e 𝑆𝐼 (𝑓) e quelli di |𝑆(𝑓)| e 𝜗(𝑓) per un segnale reale. Casi particolari:

84

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

𝑠(𝑡)è a simmetria pari cioè: 𝑠(𝑡)=𝑠(−𝑡)

(4.3.6)

Si osservi che gli integrandi nelle (4.3.4) risultano essere rispettivamente funzioni pari e dispari del tempo. Quindi: ∞

𝑎)    𝑆𝑅 (𝑓) = 2 ∫ 𝑠(𝑡)cos(2𝜋𝑓𝑡)𝑑𝑡 ; 0

𝑏)    𝑆𝐼 (𝑓) = 0;

(4.3.7)

Pertanto: ∞

𝑆(𝑓) = 2 ∫ 𝑠(𝑡)cos(2𝜋𝑓𝑡)𝑑𝑡 0

(4.3.8)

𝑠(𝑡) è a simmetria dispari cioè: 𝑠(𝑡) = −𝑠(−𝑡)

(4.3.9)

Risulta: 𝑎)          𝑆𝑅 (𝑓) = 0;

∞

𝑏)         𝑆𝐼 (𝑓) = −2 ∫ 𝑠(𝑡)sin(2𝜋𝑓𝑡)𝑑𝑡;

(4.3.10)

0

quindi: ∞

𝑆(𝑓) = −2𝑗 ∫ 𝑠(𝑡)sin(2𝜋𝑓𝑡)𝑑𝑡 0

(4.3.11)

In altri termini, la trasformata di Fourier di una funzione pari è pari, mentre la trasformata di una funzione dispari è una funzione immaginaria dispari. Dalla (4.3.1),b si deduce: 0

∞

𝑠(𝑡) = (∫ + ∫ 𝑆( 𝑓)𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓 ) −∞

0

(4.3.12)

che, cambiando 𝑓 in −𝑓 nel primo integrale, diventa: ∞

𝑠(𝑡) = ∫ [𝑆(−𝑓)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 + 𝑆(𝑓)𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 ]𝑑𝑓 0

(4.3.13)

Tenendo presente la condizione (4.3.5), si riconosce facilmente che le due quantità 𝑆(𝑓)𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 e 𝑆(−𝑓)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 rappresentano due grandezze complesse coniugate la cui somma è uguale al doppio della loro

CAPITOLO - 4 - Segnali a Energia Finita -

85

parte reale. Ciò permette, interpretando l'integrale come limite di una somma di contributi elementari, di scrivere la (4.3.13) nella forma: ∞

𝑠(𝑡) = 2 ∫ Re[𝑆(𝑓)𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 ]𝑑𝑓 0 ∞

= 2 ∫ |𝑆(𝑓)|cos[2𝜋𝑓𝑡 + 𝜗(𝑓)]𝑑𝑓

(4.3.14)

0 ∞

= lim ∑ 2|𝑆(𝑛𝛥𝑓)|𝛥𝑓cos[2𝜋𝑛𝛥𝑓𝑡 + 𝜗(𝑛𝛥𝑓)] 𝛥𝑓→0

𝑛=0

Osservandone l'ultimo membro, si deduce che al modulo della trasformata di Fourier si può attribuire il significato di densità spettrale di ampiezza, in quanto esso è proporzionale al limite del rapporto tra l'ampiezza dell'armonica di frequenza 𝑛𝛥𝑓 e 𝛥𝑓 al tendere a zero di quest'ultimo. Esempio 4.1 La trasformata di Fourier dell'impulso rettangolare di durata T : 𝑡 𝑠(𝑡)= ⊓ ( ) 𝑇

è reale e vale: 𝑇

𝑡 2 𝔉 [⊓ ( )] = ∫ 𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 𝑇 𝑇 − 2

={

sin(𝜋𝑓𝑇) ; 𝑓≠0   = 𝑇sinc(𝑓𝑇) 𝜋𝑓𝑇 𝑇; 𝑓=0 𝑇

Fig.E 4.1

Esempio 4.2 Sia 𝑢(𝑡) la funzione gradino unitario definita come segue: u(𝑡) = {

1; 0;

𝑡≥0 𝑡 0 𝑎 𝑎

Dove 𝔉[𝑠(𝑡)] = 𝑆(𝑓). In maniera analoga, si dimostra che, per 𝑎 < 0, si ha: 1 𝑓 𝔉[𝑠(𝑎𝑡)] = − 𝑆 ( ) ; 𝑎 𝑎

𝑎 1) o l’attenuazione (0 < ℎ0 < 1) del sistema. Trasformando secondo Fourier ambo i membri della (6.7.1) si ottiene: 𝑌(𝑓) = ℎ0 𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑇 𝑋(𝑓)

(6.7.2)

dalla quale si deduce: 𝐻(𝑓) = ℎ0 𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑇

(6.7.3)

Fig. 6.3 - Risposta in frequenza di un sistema senza distorsione

In un sistema di trasmissione senza distorsione l’ampiezza della 𝐻(𝑓) è costante mentre il suo argomento risulta proporzionale alla frequenza come è mostrato in Fig. 6.3. Un sistema di trasmissione che non introduce distorsioni entro una certa banda (finita) di frequenza ma non permette, al di fuori di essa, la trasmissione del segnale, costituisce un filtro ideale. A seconda della dislocazione della banda i filtri ideali si distinguono in filtri passa-basso e filtri passa-banda. La risposta in frequenza per un filtro passa-basso ideale di banda 𝑓𝑚 , che introduce un ritardo 𝑇 ed un’attenuazione ℎ0 è: 𝑓 𝐻(𝑓) = ℎ0 ⊓ ( ) 𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑇 2𝑓𝑚

(6.7.4)

144

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

vedi Fig. 6.4 a), la risposta in frequenza di un filtro passabanda ideale centrato alla frequenza 𝑓0 con banda 𝐵 ritardo 𝑇 ed attenuazione ℎ0 vale 𝑓 − 𝑓0 𝑓 + 𝑓0 𝐻(𝑓) = ℎ0 (⊓ ( ) +⊓ ( )) 𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑇 𝐵 𝐵

(6.7.5)

vedi Fig. 6.4 b) Le corrispondenti risposte impulsive valgono: a) filtro passa-basso: ℎ(𝑡) = 2ℎ0 𝑓𝑚 sinc[2𝑓𝑚 (𝑡 − 𝑇)]

(6.7.6)

b) filtro passa-banda: ℎ(𝑡) = 2ℎ0 𝐵 cos[2𝜋𝑓0 (𝑡 − 𝑇)] sinc[𝐵(𝑡 − 𝑇)]

(6.7.7)

rappresentano l’ampiezza di banda e la frequenza centrale del filtro. Come si deduce dalle (6.7.6) e (6.7.7), risulta ℎ(𝑡) ≠ 0 per 𝑡 < 0 quindi il principio di causalità è violato, pertanto tali filtri non sono fisicamente realizzabili, la loro risposta impulsiva può comunque essere approssiamata introducendo un ritardo temporale, ovvero se si accetta di avere una risposta in frequenza che rientri in una prefissata maschera di tolleranza ad esempio rispetto alle piattezza in banda o alla ripidità dei fronti di Fig. 6.4 - Risposte in frequenza di un filtro ideale: a) passa-basso, discesa al di fuori di essa. b) passa-banda

CAPITOLO - 7 CARATTERIZZAZIONE ENERGETICA DEI SEGNALI Segnali a energia finita

7.1 - Densità spettrale di energia. L’energia specifica 𝐸 associata al segnale 𝒔 vale: ∞

∞

−∞

−∞

𝐸 = ∫ |𝑠(𝑡)|2 𝑑𝑡 = ∫ 𝑠(𝑡)𝑠 ∗ (𝑡)𝑑𝑡

(7.1.1)

dove 𝑠(𝑡) è una qualsiasi rappresentazione del segnale 𝒔. Esprimendo 𝑠(𝑡) in termini della sua trasformata di Fourier, si ha: ∞

∞

𝐸 = ∫ 𝑠 ∗ (𝑡) (∫ 𝑆(𝑓)𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓) 𝑑𝑡    −∞

−∞

∞

∞

−∞

−∞

∗

∞

= ∫ 𝑆(𝑓) (∫ 𝑠(𝑡)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡) 𝑑𝑓   = ∫ 𝑆(𝑓) 𝑆 ∗ (𝑓)𝑑𝑓 −∞

(7.1.2)

∞

= ∫ |𝑆(𝑓)|2 𝑑𝑓 −∞

L’energia specifica di un segnale si può quindi calcolare integrando il quadrato del modulo della sua trasformata di Fourier (Teorema di Parseval 9). Se il segnale è reale il modulo della sua trasformata di Fourier è pari per cui la (7.1.2) si può scrivere: ∞

𝐸 = 2 ∫ |𝑆(𝑓)|2 𝑑𝑓 0

(7.1.3)

Da quest'ultima si evince che la porzione 𝑑𝐸 di energia specifica associata al pacchetto di componenti armoniche del segnale le cui frequenze cadono nell’intervallo (𝑓, 𝑓 + 𝑑𝑓) è data da 2|𝑆(𝑓)|2 𝑑𝑓 ; ciò si-

9

Il Teorema di Parseval è stato già provato in modo formalmente più corretto nel CAPITOLO 4. In tutto questo capitolo si è preferito sacrificare il rigore formale a vantaggio di una più immediata interpretazione dei risultati.

146

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati 𝑑𝐸

gnifica che la funzione |𝑆(𝑓)|2 è proporzionale al rapporto 𝑑𝑓 , e pertanto assume il significato di densità di energia. Più in generale, si definisce densità spettrale di energia di un segnale la quantità: 𝑊(𝑓) = |𝑆(𝑓)|2

(7.1.4)

Essa è una funzione reale e non negativa di 𝑓: 𝑊(𝑓) ≥ 0

(7.1.5)

e tale che il suo integrale risulta pari a 𝐸 : ∞

𝐸 = ∫ 𝑊(𝑓)𝑑𝑓 −∞

(7.1.6)

Nel caso di segnali reali, dalla condizione di simmetria hermitiana 𝑆(−𝑓) = 𝑆 ∗ (𝑓), discende: 𝑊(−𝑓) = 𝑊(𝑓)

(7.1.7)

La densità spettrale di energia di un segnale reale è quindi una funzione reale e pari di 𝑓. Le considerazioni svolte possono essere estese al caso di due segnali distinti 𝒔1 e 𝒔2 . In tal caso, si introducono le energie specifiche incrociate, o mutue, 𝐸12 e 𝐸21 definite dalle: ∞

𝐸12 = ∫ 𝑠1 (𝑡)𝑠2∗ (𝑡)𝑑𝑡; −∞ ∞

𝐸21 = ∫ 𝑠2 (𝑡)𝑠1∗ (𝑡)(𝑡)𝑑𝑡;

(7.1.8)

−∞

Si osservi che le precedenti esprimono anche i prodotti scalari 〈𝒔1 , 𝒔2 〉 e 〈𝒔2 , 𝒔1 〉 tra i segnali; cosicché la condizione di ortogonalità di

detti segnali si traduce nella: 𝐸12 = 𝐸21 = 0

(7.1.9)

Le energie incrociate sono quantità, in generale, complesse e risulta: ∗ 𝐸12 = 𝐸21

(7.1.10)

Facendo uso della disuguaglianza di Schwarz, si ottiene: |𝐸12 | ≤ √𝐸1 ⋅ √𝐸2 ,

|𝐸21 | ≤ √𝐸1 ⋅ √𝐸2

(7.1.11)

CAPITOLO - 7 - Caratterizzazione Energetica dei Segnali -

147

o anche: 𝐸12 𝐸21 ≤ 𝐸1 𝐸2

(7.1.12)

essendo 𝐸1 ed 𝐸2 le energie specifiche associate a 𝒔1 e 𝒔2 rispettivamente. Se i segnali sono reali le quantità 𝐸12 e 𝐸21 sono anch'esse reali; in tal caso si ha: ∞

𝐸12 = 𝐸21 = ∫ 𝑠1 (𝑡)𝑠2 (𝑡)𝑑𝑡 −∞

(7.1.13)

Denotando con 𝑆1 (𝑓) e 𝑆2 (𝑓) le trasformate di Fourier di 𝑠1 (𝑡) e 𝑠2 (𝑡) rispettivamente, dalle (7.1.8) discende: ∞

∞

𝐸12 = ∫ 𝑠1 (𝑡) (∫ 𝑆2∗ (−𝑓)𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓 ) 𝑑𝑡 −∞

−∞

∞

∞

−∞

−∞

= ∫ 𝑆2∗ (−𝑓) (∫ 𝑠1 (𝑡)𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡) 𝑑𝑓

(7.1.14)

∞

= ∫ 𝑆1 (−𝑓)𝑆2∗ (−𝑓)𝑑𝑓 −∞

che con un cambiamento di variabile può ancora scriversi: ∞

𝐸12 = ∫ 𝑆1 (𝑓)𝑆2∗ (𝑓)𝑑𝑓 = 〈𝑠1 , 𝑠2 〉 −∞

(7.1.15)

Analogamente si ha: ∞

𝐸21 = ∫ 𝑆2 (𝑓)𝑆1∗ (𝑓)𝑑𝑓 = 〈𝑠2 , 𝑠1 〉 −∞

(7.1.16)

Queste ultime costituiscono la forma più generale del Teorema di Parseval. Introducendo le densità spettrali di energia incrociate, o mutue: 𝑊12 (𝑓) = 𝑆1 (𝑓) ⋅ 𝑆2∗ (𝑓);

𝑊21 (𝑓) = 𝑆2 (𝑓) ⋅ 𝑆1∗ (𝑓);

(7.1.17)

le (7.1.15) e (7.1.16) divengono rispettivamente: ∞

𝐸12 = ∫ 𝑊12 (𝑓)𝑑𝑓 ; −∞

∞

𝐸21 = ∫ 𝑊21 (𝑓)𝑑𝑓 ; −∞

(7.1.18)

Le densità spettrali incrociate sono, in generale, complesse e risulta:

148

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati ∗ 𝑊12 (𝑓) = 𝑊21 (𝑓);

(7.1.19)

Tuttavia, se i segnali sono reali, la precedente, in virtù della simmetria hermitiana, si semplifica nella: 𝑊12 (𝑓) = 𝑊21 (−𝑓)

(7.1.20)

Esempio 7.1 Si considerino i due segnali: 𝑡 𝑠1 (𝑡) = ⊓ ( ) 𝑇

𝑠2 (𝑡) = u(𝑡)𝑒

−

𝑡 𝑇0

Essi sono segnali a energia finita poiché risulta: 𝐸1 = 𝑇; 𝐸2 =

Fig.E 7.1

𝑇0 ; 2

La loro energia incrociata vale: 𝑇 2

𝐸12 = 𝐸21 = ∫ 𝑒 −𝑡/𝑇0 𝑑𝑡 = 𝑇0 (1 − 𝑒

𝑇 2𝑇0

−

)

0

L’energia normalizzata vale: 𝜌=

𝐸12 √𝐸1 𝐸2

=√

𝑇 2𝑇0 − (1 − 𝑒 2𝑇0 ) 𝑇

e risulta manifestamente |𝜌| ≤ 1 in accordo con la condizione (7.1.12). In Fig.E 7.1 è riportato l’andamento di 𝜌 al variare di 𝑇⁄2𝑇0 . Il suo valore massimo si ottiene quando è verificata la condizione: 𝑒

−

𝑇 2𝑇0

=

1 1+

𝑇 𝑇0

Il massimo di 𝜌 si raggiunge per 𝑇⁄2𝑇0 ≈ 1,256 e vale 0,638. Esempio 7.2 Per il segnale: 𝑠(𝑡) = u(𝑡)𝑒 −𝑎𝑡 ;

𝑎>0

si calcoli il contributo all'energia specifica dovuto alla parte del suo spettro compresa nell'intervallo di frequenze [−

𝑎

,

𝑎

2𝜋 2𝜋

].

Tenendo conto dei risultati dell’Esempio 7.1, la densità spettrale di 𝑠(𝑡) vale:

CAPITOLO - 7 - Caratterizzazione Energetica dei Segnali -

𝑊(𝑓) =

149

1 𝑎2 + (2𝜋𝑓)2

Pertanto si ha: 𝐸𝑎 = ∫

𝑎 2𝜋 𝑎 2𝜋

−

𝑎2

1 𝑑𝑓 1 𝑑𝑥 1 = ∫ = 2 + (2𝜋𝑓) 2𝜋𝑎 −1 1 + 𝑥 2 4𝑎

Esempio 7.3 Sia 𝒔 un segnale ottenuto sommando sue segnali 𝒔1 e 𝒔2 a energia finita: 𝒔 = 𝒔1 + 𝒔2

Dette 𝑆1 (𝑓) e 𝑆1 (𝑓) le trasformate di Fourier di 𝒔1 e 𝒔2 rispettivamente, la densità spettrale di potenza di 𝒔 vale: 𝑊(𝑓) = 𝑆(𝑓) ⋅ 𝑆 ∗ (𝑓) = [𝑆1 (𝑓) + 𝑆2 (𝑓)] ⋅ [𝑆1∗ (𝑓) + 𝑆2∗ (𝑓)] = 𝑆1 (𝑓) ⋅ 𝑆1∗ (𝑓) + 𝑆1 (𝑓) ⋅ 𝑆2∗ (𝑓) + 𝑆2 (𝑓) ⋅ 𝑆1∗ (𝑓) + 𝑆2 (𝑓) ⋅ 𝑆2∗ (𝑓)

la quale, denotando con 𝑊1 (𝑓) e 𝑊2 (𝑓) le densità spettrali di energia associate a 𝒔1 e 𝒔2 e con 𝑊12 (𝑓) e 𝑊21 (𝑓) le corrispondenti densità spettrali di energia incrociate, si può riscrivere: 𝑊(𝑓) = 𝑊1 (𝑓) + 𝑊12 (𝑓) + 𝑊21 (𝑓) + 𝑊2 (𝑓)

Per caratterizzare completamente dal punto di vista energetico la somma di due segnali occorre definire pertanto quattro densità spettrali che possono essere disposte nella seguente matrice: 𝑊 (𝑓) 𝑊12 (𝑓) 𝑾(𝑓) = [ 1 ] 𝑊21 (𝑓) 𝑊2 (𝑓)

che costituisce la matrice delle densità spettrali. Essa è una matrice hermitiana giacché gli elementi della diagonale secondaria risultano complessi coniugati.

7.2 - Funzione di autocorrelazione. Dato un segnale 𝒔 a energia finita, la funzione a valori generalmente complessi ∞

𝛾(𝜏) = ∫ 𝑠(𝑡 + 𝜏)𝑠 ∗ (𝑡)𝑑𝑡 −∞

(7.2.1)

costituisce la funzione di autocorrelazione ad esso associata. Se il segnale è reale la sua autocorrelazione è anch'essa reale. Ponendo nella (7.2.1) 𝜏 = 0 si ottiene:

150

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati ∞

𝛾(0) = ∫ |𝑠(𝑡)|2 𝑑𝑡

(7.2.2)

−∞

Pertanto la funzione di autocorrelazione valutata nell’origine eguaglia l’energia specifica del segnale. Effettuando la trasformazione 𝜏 → −𝜏, nella (7.2.1) si ottiene: ∞

𝛾(−𝜏) = ∫ 𝑠(𝑡 − 𝜏)𝑠 ∗ (𝑡)𝑑𝑡

(7.2.3)

−∞

che, con la ulteriore sostituzione 𝑡 − 𝜏 = 𝜗, diviene: ∞

∞

−∞

−∞

∗

𝛾(−𝜏) = ∫ 𝑠(𝜗)𝑠 ∗ (𝜗 + 𝜏)𝑑𝜗 = [∫ 𝑠(𝜗 + 𝜏)𝑠 ∗ (𝜗)𝑑𝜗]

(7.2.4)

Dal confronto con la (7.2.1), discende: 𝛾 ∗ (𝜏) = 𝛾(−𝜏)

(7.2.5)

Quindi l’autocorrelazione di un segnale è una funzione a simmetria hermitiana. Applicando la disuguaglianza di Schwarz alla (7.2.1) si ottiene: ∞

2

∞

∞

−∞

−∞

|∫ 𝑠(𝑡 + 𝜏)𝑠 ∗ (𝑡)𝑑𝑡| ≤ ∫ |𝑠(𝑡 + 𝜏)|2 𝑑𝑡 ∫ |𝑠(𝑡)|2 𝑑𝑡 −∞

(7.2.6)

2

= 𝛾 (0)

da cui si evince: |𝛾(𝜏)| ≤ 𝛾(0)

(7.2.7)

Se il segnale è reale, la (7.2.5) diventa: 𝛾(−𝜏) = 𝛾(𝜏)

(7.2.8)

cioè, la funzione di autocorrelazione di un segnale reale ha simmetria pari. La (7.2.7) inoltre assicura che la 𝛾(𝜏) raggiunge il suo valore massimo 𝛾(0) nell'origine. La conoscenza della funzione di autocorrelazione fornisce interessanti informazioni riguardo l'andamento del segnale nel dominio del tempo. A tal fine si consideri, per semplicità, un segnale reale e si prenda in esame il seguente integrale:

CAPITOLO - 7 - Caratterizzazione Energetica dei Segnali -

151

∞

𝑑 2 (𝜏) = ∫ [𝑠(𝑡) − 𝑠(𝑡 + 𝜏)]2 𝑑𝑡 −∞

(7.2.9)

che rappresenta il quadrato della distanza euclidea fra il segnale 𝑠(𝑡) e la sua versione anticipata di 𝜏. È ovvio che, se 𝑠(𝑡) varia molto lentamente nel tempo, l'integrando si manterrà piccolo, almeno per valori di 𝜏 non troppo elevati. Viceversa, Fig. 7.1 – autocorrelazioni dei segnali: ci si dovrebbero attendere valo𝑎) cos(2πt)⊓(2t3); 𝑏) cos(10𝜋𝑡)⊓(2𝑡3). ri elevati di [𝑠(𝑡) − 𝑠(𝑡 + 𝜏)]2 , quando il segnale varia rapidamente nel tempo. Sviluppando la (7.2.9) si ha: 𝑑 2 (𝜏) ∞

∞

∞

−∞

−∞

−∞

= ∫ 𝑠 2 (𝑡)𝑑𝑡 − 2 ∫ 𝑠(𝑡)𝑠(𝑡 + 𝜏)𝑑𝑡 + ∫ 𝑠 2 (𝑡 + 𝜏)𝑑𝑡

(7.2.10)

che, utilizzando la funzione di autocorrelazione si può riscrivere: 𝑑 2 (𝜏) = 2[𝛾(0) − 𝛾(𝜏)]

(7.2.11)

Si può quindi concludere che, tanto più rapide sono le variazioni del segnale nel tempo, tanto più rapidamente decresce la funzione di autocorrelazione e viceversa. Osservando la Fig. 7.1, ad esempio, si nota che la curva a) rappresenta l'autocorrelazione di un segnale che varia nel tempo più lentamente del segnale cui è associata l'autocorrelazione rappresentata dalla curva b). Esempio 7.4 La funzione di autocorrelazione della derivata di un segnale è data dalla: ∞

∗

𝛾𝑠′𝑠′ (𝜏) = ∫ 𝑠 ′ (𝑡 + 𝜏)𝑠 ′ (𝑡)𝑑𝑡 −∞

Essa può essere messa in relazione con la funzione di autocorrelazione di 𝑠(𝑡): ∞

𝛾𝑠𝑠 (𝜏) = ∫ 𝑠(𝑡 + 𝜏)𝑠 ∗ (𝑡)𝑑𝑡 −∞

152

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Derivando una prima volta 𝛾𝑠𝑠 (𝜏) rispetto a 𝜏 si ottiene: ∞ 𝑑𝛾𝑠𝑠 (𝜏) = ∫ 𝑠 ′ (𝑡 + 𝜏)𝑠 ∗ (𝑡)𝑑𝑡 𝑑𝜏 −∞

che, con un opportuno cambiamento di variabili, può essere scritta nella forma: ∞ 𝑑𝛾𝑠𝑠 (𝜏) = ∫ 𝑠 ′ (𝑥)𝑠 ∗ (𝑥 − 𝜏)𝑑𝑥 𝑑𝜏 −∞

Derivando una seconda volta rispetto a 𝜏 si ha: ∞ ∞ 𝑑2 𝛾𝑠𝑠 (𝜏) ∗ ∗ = − ∫ 𝑠 ′ (𝑥 − 𝜏)𝑠 ′ (𝑥)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑠 ′ (𝑡)𝑠 ′ (𝑡 + 𝜏)𝑑𝜏 2 𝑑𝜏 −∞ −∞

che fornisce: 𝛾𝑠′𝑠′ (𝜏) = −

𝑑2 𝛾𝑠𝑠 (𝜏) 𝑑𝜏 2

7.3 - Teorema di Wiener-Khinchine. Si consideri la trasformata della funzione di autocorrelazione: ∞

𝔉[𝛾(𝜏)] = ∫ 𝛾(𝜏)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝜏 𝑑𝜏 −∞

(7.3.1)

che, tenendo conto della (7.2.1), diventa: ∞

∞

−∞

−∞

𝔉[𝛾(𝜏)] = ∫ 𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝜏 (∫ 𝑠 ∗ (𝑡)𝑠(𝑡 + 𝜏)𝑑𝑡) 𝑑𝜏

(7.3.2)

Invertendo l’ordine d’integrazione si ottiene: ∞

∞

−∞

−∞

𝔉[𝛾(𝜏)] = ∫ 𝑠 ∗ (𝑡) (∫ 𝑠(𝑡 + 𝜏)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝜏 𝑑𝜏) 𝑑𝑡

(7.3.3)

la quale, denotando con 𝑆(𝑓) la trasformata di Fourier del segnale può essere scritta nella forma: ∞

𝔉[𝛾(𝜏)] = 𝑆(𝑓) ∫ 𝑠 ∗ (𝑡)𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 = 𝑆(𝑓) ⋅ 𝑆 ∗ (𝑓) −∞

(7.3.4)

Tenendo infine conto della (7.1.4), si ha: 𝔉[𝛾(𝜏)] = 𝑊(𝑓)

che è l’espressione formale del Teorema di Wiener-Khinchine.

(7.3.5)

CAPITOLO - 7 - Caratterizzazione Energetica dei Segnali -

153

7.4 - Funzioni di mutua correlazione. Siano 𝒔1 e 𝒔2 due segnali ad energia finita. A essi si possono associare le seguenti funzioni generalmente complesse: ∞

𝛾12 (𝜏) = ∫ 𝑠1 (𝑡 + 𝜏)𝑠2∗ (𝑡)𝑑𝑡 ; −∞

(7.4.1)

∞

𝛾21 (𝜏) = ∫ 𝑠2 (𝑡 + 𝜏)𝑠1∗ (𝑡)𝑑𝑡 ; −∞

che sono dette correlazioni mutue o incrociate. Si noti che 𝛾12 (𝜏) e 𝛾21 (𝜏) soddisfano la seguente relazione: ∗ 𝛾12 (𝜏) = 𝛾21 (−𝜏)

(7.4.2)

come si dimostra facilmente effettuando nella (7.4.1) la trasformazione 𝑡 + 𝜏 = 𝑥 . Si ha infatti: ∞

∞

−∞

−∞

𝛾12 (𝜏) = ∫ 𝑠1 (𝑥)𝑠2∗ (𝑥 − 𝜏)𝑑𝑥 = (∫ 𝑠2 (𝑥 − 𝜏)𝑠1∗ (𝑥)𝑑𝑥 )

∗

(7.4.3)

che dà luogo alla (7.4.2) ove si tenga presente la definizione (7.4.1). Se i segnali sono reali le funzioni 𝛾12 (𝜏) e 𝛾21 (𝜏) sono anch'esse reali e la condizione (7.4.2) si semplifica nella: 𝛾12 (𝜏) = 𝛾21 (−𝜏)

(7.4.4)

Ponendo nella (7.4.1) 𝜏 = 0 si ottiene: ∞

𝛾12 (0) = ∫ 𝑠1 (𝑡)𝑠2∗ (𝑡)𝑑𝑡 = 𝐸12 ; −∞ ∞

𝛾21 (0) = ∫ 𝑠2 (𝑡)𝑠1∗ (𝑡)𝑑𝑡 = 𝐸21 ;

(7.4.5)

−∞

cioè i valori assunti nel punto 𝜏 = 0 dalle due funzioni di mutua correlazione coincidono con le corrispondenti energie incrociate. Applicando la disuguaglianza di Schwarz alle (7.4.1) si deduce: |𝛾12 (𝜏)|2 ≤ 𝛾1 (0) ⋅ 𝛾2 (0) = 𝐸1 ⋅ 𝐸2 ; |𝛾21 (𝜏)|2 ≤ 𝛾1 (0) ⋅ 𝛾2 (0) = 𝐸1 ⋅ 𝐸2 ;

(7.4.6)

dove 𝐸1 e 𝐸2 denotano le energie specifiche associate rispettivamente ai segnali 𝒔1 e 𝒔2 . Se risulta:

154

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

𝛾12 (𝜏) = 𝛾21 (𝜏) = 0

(7.4.7)

i due segnali si dicono incorrelati. Ponendo nella (7.4.3), 𝜏 = 0 si ottiene: ∞

∫ 𝑠1 (𝑡)𝑠2∗ (𝑡)𝑑𝑡 = 0

(7.4.8)

−∞

che corrisponde alla condizione di ortogonalità tra i due segnali. Ciò significa che se due segnali sono incorrelati sono anche ortogonali; il viceversa in genere non vale. La condizione d’incorrelazione pertanto è più forte di quella di ortogonalità. È facile infine riconoscere che con procedimento analogo a quello seguito per dedurre la (7.3.5) si ottengono le: 𝔉[𝛾12 (𝜏)] = 𝑊12 (𝑓);       𝔉[𝛾21 (𝜏)] = 𝑊21 (𝑓);

(7.4.9)

che costituiscono una naturale estensione del teorema di WienerKhinchine al caso delle funzioni di mutua correlazione. Esempio 7.5 La funzione di correlazione incrociata 𝛾12 (𝜏) per i segnali −

𝑡

𝑠1 (𝑡) = u(𝑡)𝑒 𝑇0 𝑡 𝑠2 (𝑡) = ⊓ ( ) ; 𝑇0

Fig.E 7.2

vale: 𝛾12 (𝜏) = ∫

∞

−∞

𝑡

𝑡+𝜏

𝑇0 2

𝑡+𝜏

⊓ (𝑇 ) u(𝑡 + 𝜏)𝑒 − 𝑇0 𝑑𝑡 = ∫ 𝑇0 u(𝑡 + 𝜏)𝑒 − 𝑇0 𝑑𝑡 0

𝑇0 2

−

2

𝑇0

𝑡 𝜏 −𝜏 𝑇0 − 𝜏 2 − 𝑡 − = ⊓ ( ) 𝑒 𝑇0 ∫ 𝑒 𝑇0 𝑑𝑡 + u (𝜏 − ) 𝑒 𝑇0 ∫ 𝑒 𝑇0 𝑑𝑡 𝑇 𝑇0 2 −𝜏 − 0 2

= 𝑇0 𝑒

𝜏 − 𝑇0

[(𝑒

𝜏 𝑇0

1 1 𝜏 𝜏 1 − 𝑒 ) ⊓ ( ) + (𝑒 2 − 𝑒 −2 ) u ( − )] 𝑇0 𝑇0 2 1 − 2

il cui andamento in funzione di 𝜏⁄𝑇0 è riportato in Fig.E 7.2 In maniera analoga si ha (vedi Fig.E 7.2): 𝜏 −𝜏 1 1 1 𝜏 −𝜏 1 𝛾21 (𝜏) = 𝛾12 (−𝜏) = 𝑇0 𝑒 𝑇0 [(𝑒 𝑇0 − 𝑒 −2 ) ⊓ ( ) + (𝑒 2 − 𝑒 −2 ) u ( + )] 𝑇0 𝑇0 2

CAPITOLO - 7 - Caratterizzazione Energetica dei Segnali -

155

Segnali a potenza finita 7.5 - Densità spettrale di potenza. È noto che se un segnale è a potenza finita, la quantità: 𝑇

1 2 𝑃 = lim ∫ |𝑠(𝑡)|2 𝑑𝑡 𝑇→∞ 𝑇 −𝑇

(7.5.1)

2

è positiva e limitata. Introducendo il segnale troncato 𝑠𝑇 (𝑡) la (7.5.1) diventa: 1 ∞ ∫ |𝑠𝑇 (𝑡)|2 𝑑𝑡 𝑇→∞ 𝑇 −∞

𝑃 = lim

(7.5.2)

Per un fissato valore di 𝑇 il segnale 𝑠𝑇 (𝑡) è ad energia finita; pertanto, detta 𝑆𝑇 (𝑓) la sua trasformata di Fourier, utilizzando il teorema di Parseval, si può scrivere: 𝑇

∞

∞

−𝑇

−∞

−∞

∫ |𝑠(𝑡)|2 𝑑𝑡 = ∫ |𝑠𝑇 (𝑡)|2 𝑑𝑡 = ∫ |𝑆𝑇 (𝑓)|2 𝑑𝑓

(7.5.3)

Di conseguenza la potenza specifica 𝑃 può essere posta nella forma: ∞ 1 ∞ |𝑆𝑇 (𝑓)|2 ∫ |𝑆𝑇 (𝑓)|2 𝑑𝑓 = ∫ lim 𝑑𝑓 𝑇→∞ 𝑇 −∞ 𝑇 −∞ 𝑇→∞

𝑃 = lim

(7.5.4)

Risulta quindi immediato associare al segnale 𝑠(𝑡) la seguente espressione per la densità spettrale di potenza10 |𝑆𝑇 (𝑓)|2 𝑇→∞ 𝑇

𝑊(𝑓) = lim

(7.5.5)

La potenza specifica del segnale così diventa: ∞

𝑃 = ∫ 𝑊(𝑓)𝑑𝑓 −∞

10

(7.5.6)

Si osservi che il simbolo adottato per la densità spettrale di potenza è lo stesso di quello adoperato per la densità spettrale di energia. Al fine di non incorrere in spiacevoli equivoci è necessario pertanto precisare la classe di segnali (ad energia finita o a potenza finita) che via via si prendono in considerazione. Le stesse precauzioni si dovranno prendere a proposito delle funzioni di correlazione più avanti definite.

156

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Analogamente alla densità spettrale di energia introdotta nel § 7.1 - , la densità spettrale di potenza è una funzione reale e non negativa della variabile 𝑓. Nel caso in cui 𝑠(𝑡) sia reale è manifestamente: 𝑊(−𝑓) = 𝑊(𝑓)

(7.5.7)

La densità spettrale di potenza associata ad un segnale reale è quindi una funzione reale, non negativa e pari della frequenza. Se 𝑠1 (𝑡) e 𝑠2 (𝑡) denotano due segnali a potenza finita le loro potenze specifiche mutue o potenze specifiche incrociate sono: 𝑇

𝑃12 𝑃21

1 2 = lim ∫ 𝑠1 (𝑡)𝑠2∗ (𝑡)𝑑𝑡 ; 𝑇→∞ 𝑇 −𝑇 2 𝑇 2

(7.5.8)

1 = lim ∫ 𝑠2 (𝑡)𝑠1∗ (𝑡)𝑑𝑡. 𝑇→∞ 𝑇 −𝑇 2

Le quantità 𝑃12 e 𝑃21 sono, in generale, complesse. Esse inoltre obbediscono alla condizione: ∗ 𝑃12 = 𝑃21

(7.5.9)

Applicando la disuguaglianza di Schwarz si ottiene: 𝑇 2

2

𝑇 2

𝑇 2

|∫ 𝑠1 (𝑡)𝑠2∗ 𝑑𝑡| ≤ ∫ |𝑠1 (𝑡)|2 𝑑𝑡 ∫ |𝑠2 (𝑡)|2 𝑑𝑡 ; 𝑇 2

−

𝑇 2

−

2

|∫ 𝑠1∗ (𝑡)𝑠2 𝑑𝑡| 𝑇 − 2

𝑇 2

𝑇 2

−

2

𝑇 2

𝑇 2

(7.5.10) 2

≤ ∫ |𝑠1 (𝑡)| 𝑑𝑡 ∫ |𝑠2 (𝑡)| 𝑑𝑡 ; −

𝑇 2

−

𝑇 2

dalla quale, tenendo conto delle (7.5.8), discende: |𝑃12 | ≤ √𝑃1 √𝑃2 ;         |𝑃21 | ≤ √𝑃1 √𝑃2

(7.5.11)

dove 𝑃1 e 𝑃2 sono le potenze specifiche associate a 𝑠1 (𝑡) e 𝑠2 (𝑡). Due segnali a potenza finita si dicono ortogonali se risulta: 𝑃12 = 𝑃21 = 0

(7.5.12)

Indicando con 𝑠1𝑇 (𝑡) e 𝑠2𝑇 (𝑡) i segnali troncati associati a 𝑠1 (𝑡) e 𝑠2 (𝑡) rispettivamente è facile riconoscere che le potenze mutue si possono porre nella forma seguente:

CAPITOLO - 7 - Caratterizzazione Energetica dei Segnali -

157

∗ (𝑓)𝑆 (𝑓) 𝑆1𝑇 2𝑇 𝑑𝑓 ; 𝑇→∞ 𝑇 −∞ ∞

𝑃12 = ∫

lim

∗ 𝑆1𝑇 (𝑓)𝑆2𝑇 (𝑓) 𝑑𝑓 ; 𝑇 −∞ 𝑇→∞ ∞

𝑃21 = ∫

(7.5.13)

lim

avendo denotato con 𝑆1𝑇 (𝑓) e 𝑆2𝑇 (𝑓) le trasformate di Fourier di 𝑠1𝑇 (𝑡) e 𝑠2𝑇 (𝑡) rispettivamente. Dalle espressioni di 𝑃12 e 𝑃21 si deducono le seguenti definizioni per le densità spettrali di potenza mutue (o incrociate): ∗ (𝑓) 𝑆1𝑇 (𝑓)𝑆2𝑇 ; 𝑇→∞ 𝑇 ∗ 𝑆2𝑇 (𝑓)𝑆1𝑇 (𝑓) 𝑊21 (𝑓) = lim ; 𝑇→∞ 𝑇

𝑊12 (𝑓) = lim

(7.5.14)

Si ha: ∞

𝑃12 = ∫ 𝑊12 (𝑓)𝑑𝑓; −∞ ∞

𝑃21 = ∫ 𝑊21 (𝑓)𝑑𝑓 ;

(7.5.15)

−∞

Per 𝑊12 (𝑓) e 𝑊21 (𝑓), si ha: ∗ 𝑊12 (𝑓) = 𝑊21 (𝑓)

(7.5.16)

Esempio 7.6 Il segnale: 𝑛

𝑠(𝑡) = ∑ 𝑉𝑖 cos(2𝜋𝑓𝑖 𝑡) 𝑖=1

è un segnale a potenza finita. Infatti essendo: 𝑠 2 (𝑡) 𝑛

= ∑ 𝑉𝑖 𝑉𝑗 cos(2𝜋𝑓𝑖 𝑡) cos(2𝜋𝑓𝑗 𝑡) 𝑖,𝑗=1 𝑛

= ∑ 𝑉𝑖2 cos2 (2𝜋𝑓𝑖 𝑡) + 𝑖=1

risulta:

𝑛

1 ∑ 𝑉𝑖 𝑉𝑗 [cos(2𝜋(𝑓𝑖 − 𝑓𝑗 )𝑡) + cos(2𝜋(𝑓𝑖 + 𝑓𝑗 )𝑡)] 2 𝑖,𝑗=1 𝑖≠𝑗

158

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

𝑃 𝑛

𝑇 1 ∑ 𝑉𝑖 𝑉𝑗 ∫ [cos(2𝜋(𝑓𝑖 − 𝑓𝑗 )𝑡) + cos(2𝜋(𝑓𝑖 + 𝑓𝑗 )𝑡)]𝑑𝑡 𝑇→∞ 2𝑇 −𝑇 𝑖,𝑗=1 [  𝑖≠𝑗

= lim

𝑛

𝑇

+ ∑ 𝑉𝑖2 ∫ (cos(4𝜋𝑓𝑖 𝑡) + 1)𝑑𝑡 −𝑇

𝑖=1

]

𝑛

=

𝑛

𝑛

sin(𝜋(𝑓𝑖 − 𝑓𝑗 )𝑇) sin(𝜋(𝑓𝑖 + 𝑓𝑗 )𝑇) 1 sin(2𝜋𝑓𝑖 𝑇) lim ∑ 𝑉𝑖 𝑉𝑗 [ + + ∑ 𝑉𝑖2 ] + ∑ 𝑉𝑖2 2 𝑇→∞ 2𝜋𝑓𝑖 𝑇 𝜋(𝑓 − 𝑓 𝜋(𝑓 + 𝑓 )𝑇 )𝑇 𝑖 𝑗 𝑖 𝑗 𝑖,𝑗=1 𝑖=1 𝑖=1 {  𝑖≠𝑗 } 𝑛

= ∑ 𝑉𝑖2 𝑖=1

7.6 - Funzioni di correlazione. La funzione di autocorrelazione di un segnale 𝑠(𝑡) a potenza finita è definita dalla: 𝑇

1 2 ∫ 𝑠(𝑡 + 𝜏)𝑠 ∗ (𝑡)𝑑𝑡 𝑇→∞ 𝑇 −𝑇

𝛾(𝜏) = lim

(7.6.1)

2

Essa è una funzione, in generale complessa, della quantità 𝜏; è reale nel caso di segnali reali. Nel punto 𝜏 = 0 la 𝛾(𝜏) vale: 𝑇

1 2 𝛾(0) = lim ∫ 𝑠(𝑡)𝑠 ∗ (𝑡)𝑑𝑡 𝑇→∞ 𝑇 −𝑇

(7.6.2)

2

ed è quindi uguale alla potenza specifica del segnale. Ponendo nella (7.6.1) 𝜏 → −𝜏 e successivamente 𝑡 − 𝜏 = 𝜗 si ottiene: 𝑇

𝛾(−𝜏) =

1 2 lim ∫ 𝑠(𝑡 𝑇→∞ 𝑇 −𝑇

𝑇

− 𝜏)𝑠 ∗ (𝑡)𝑑𝑡

2

=

−𝜏 1 2 lim 𝑇 ∫ 𝑠(𝜗)𝑠 ∗ (𝜗 𝑇 𝑇→∞ − −𝜏

+ 𝜏)𝑑𝜗

2

𝑇

=

1 2 lim ∫ 𝑠(𝜗)𝑠∗ (𝜗 + 𝜏)𝑑𝜗 𝑇→∞ 𝑇 −𝑇 2 1

𝑇 −2

(7.6.3) 𝑇 −𝜏 2

+ lim 𝑇 (∫ 𝑇 𝑠(𝜗)𝑠∗ (𝜗 + 𝜏)𝑑𝜗 + ∫𝑇 𝑇→∞

=

𝛾∗ (𝜏)

−2−𝜏

2

𝑠(𝜗)𝑠∗ (𝜗 + 𝜏)𝑑𝜗)

CAPITOLO - 7 - Caratterizzazione Energetica dei Segnali -

159

dove si è tenuto conto del fatto che, per ogni valore di 𝜏, gli integrali che compaiono nel secondo limite al penultimo membro sono certamente finiti. In conclusione si può affermare che la funzione di autocorrelazione di un segnale a potenza finita è a simmetria hermitiana. Per segnali reali la (7.6.3) si riduce alla: 𝛾(𝜏) = 𝛾(−𝜏)

(7.6.4)

In virtù della disuguaglianza di Schwarz, si può infine scrivere: |𝛾(𝜏)| ≤ 𝛾(0) = 𝑃

(7.6.5)

Per segnali reali, quindi, la funzione 𝛾(𝜏)raggiunge in 𝜏 = 0 un massimo assoluto. Detta 𝛾𝑇 (𝜏) la funzione di autocorrelazione del segnale troncato, si ha (vedi Fig. 7.2): ∞

𝛾𝑇 (𝜏) = ∫ 𝑠𝑇∗ (𝑡)𝑠𝑇 (𝑡 + 𝜏)𝑑𝑡 −∞

= u(−𝜏) ∫

𝑇 2 𝑇 2

𝑠 ∗ (𝑡)𝑠(𝑡

+ 𝜏)𝑑𝑡 + u(𝜏) ∫

− −𝜏

𝑇 −𝜏 2 𝑇 2

(7.6.6) 𝑠 ∗ (𝑡)𝑠(𝑡 + 𝜏)𝑑𝑡

−

Considerazioni analoghe a quelle che hanno condotto alla (7.6.3) consentono di scrivere: 𝛾(𝜏) = lim

𝑇→∞

𝛾𝑇 (𝜏) 𝑇

(7.6.7)

Si osservi adesso che poiché 𝑠𝑇 (𝑡) è ad energia fiFig. 7.2 - Segnale troncato e sue traslazioni. nita, per esso vale il teorema di WienerKhinchine per cui, detta 𝑆𝑇 (𝑓) la sua trasformata di Fourier, si ha: 𝔉[𝛾𝑇 (𝜏)] = |𝑆𝑇 (𝑓)|2

(7.6.8)

Trasformando ambo i membri della (7.6.7) risulta: |𝑆𝑇 (𝑓)|2 𝑇→∞ 𝑇

𝔉[𝛾(𝜏)] = lim

(7.6.9)

Dal confronto con la (7.5.5), si deduce quindi: 𝔉[𝛾(𝜏)] = 𝑊(𝑓)

(7.6.10)

160

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

che estende il teorema di Wiener-Khinchine anche al caso dei segnali a potenza finita. Nel caso di due segnali 𝑠1 (𝑡) e 𝑠2 (𝑡) a potenza finita si possono definire le correlazioni incrociate, o mutue mediante le: 𝑇

1 2 ∫ 𝑠1 (𝑡 + 𝜏)𝑠2∗ (𝑡)𝑑𝑡 𝑇→∞ 2𝑇 −𝑇

𝛾12 (𝜏) = lim

2 𝑇

1 2 𝛾21 (𝜏) = lim ∫ 𝑠2 (𝑡 + 𝜏)𝑠1∗ (𝑡)𝑑𝑡 𝑇→∞ 2𝑇 −𝑇

(7.6.11)

2

Si verifica facilmente che: ∗ 𝛾12 (𝜏) = 𝛾21 (−𝜏)

(7.6.12)

e che, dette 𝛾1 (𝜏) e 𝛾2 (𝜏), 𝑃1 e 𝑃2 le autocorrelazioni e le potenze specifiche associate a 𝑠1 (𝑡) e a 𝑠2 (𝑡) rispettivamente, si ha: |𝛾21 (−𝜏)|2 = |𝛾12 (𝜏)|2 ≤ 𝛾1 (0) ⋅ 𝛾2 (0) = 𝑃1 ⋅ 𝑃2

(7.6.13)

Quando risulta 𝛾12 (𝜏) = 𝛾21 (𝜏) = 0 i segnali si dicono incorrelati. Si noti che ponendo 𝜏 = 0 nella condizione di incorrelazione si ottiene 𝑃12 = 𝑃21 = 0; ciò significa che, l'ortogonalità è soltanto una condizione necessaria per la incorrelazione. Procedendo come per il caso della funzione di autocorrelazione, si può mostrare che valgono le relazioni: 𝔉[𝛾12 (𝜏)] = 𝑊12 (𝑓) 𝔉[𝛾21 (𝜏)] = 𝑊21 (𝑓)

(7.6.14)

cioè le funzioni di mutua correlazione e le rispettive densità spettrali costituiscono coppie di trasformate di Fourier. Esempio 7.7 La funzione di autocorrelazione del segnale di cui all’Esempio 7.6 vale: 𝑛

𝑇

1 2 ∫ cos(2𝜋𝑓𝑖 𝑡) cos (2𝜋𝑓𝑗 (𝑡 + 𝜏)) 𝑑𝑡 𝑇→∞ 𝑇 −𝑇

𝛾(𝜏) = ∑ 𝑉𝑖 𝑉𝑗 lim 𝑖,𝑗=1 𝑛

= ∑ 𝑖,𝑗=1 𝑖≠𝑗

2

𝑇 2

𝑉𝑖 𝑉𝑗 1 lim ∫ {cos [2𝜋 ((𝑓𝑖 + 𝑓𝑗 )𝑡 + 𝑓𝑗 𝜏)] + cos[2𝜋(𝑓𝑖 − 𝑓𝑗 )𝑡 − 𝑓𝑗 𝜏]} 𝑑𝑡 2 𝑇→∞ 𝑇 −𝑇 2

𝑛

𝑇

𝑖=1

2

𝑉𝑖2 1 2 +∑ lim ∫ {cos(2𝜋𝑓𝑖 (2𝑡 + 𝜏)) + cos(2𝜋𝑓𝑖 𝜏)}𝑑𝑡 2 𝑇→∞ 𝑇 −𝑇

CAPITOLO - 7 - Caratterizzazione Energetica dei Segnali -

161

𝑇 − 2

𝑛

sin [2𝜋 ((𝑓𝑖 + 𝑓𝑗 )𝑡 + 𝑓𝑗 𝜏)] 𝑉𝑖 𝑉𝑗 lim [ ] 2 𝑇→∞ 2𝜋(𝑓𝑖 + 𝑓𝑗 )𝑇 𝑖,𝑗=1 𝑇 − { 2 𝑖≠𝑗

= ∑

sin [2𝜋 ((𝑓𝑖 − 𝑓𝑗 )𝑡 − 𝑓𝑗 𝜏)] +[ ] 2𝜋(𝑓𝑖 − 𝑓𝑗 )𝑇

𝑇 2

−

𝑇 2

−

} 𝑇

𝑛

𝑛

−

sin(2𝜋𝑓𝑖 (2𝑡 + 𝜏)) 2 𝑉𝑖2 1 +∑ lim {[ ] + cos(2𝜋𝑓𝑖 𝜏)} = ∑ 𝑉𝑖2 cos(2𝜋𝑓𝑖 𝜏) 2 𝑇→∞ 4𝜋𝑓𝑖 𝑇 2 𝑇 − 𝑖=1

𝑖=1

2

La corrispondente densità spettrale vale quindi: 𝑛

𝑊(𝑓) = 𝔉[𝛾(𝜏)] = ∑ 𝑖=1

𝑉𝑖2 [𝛿(𝑓 − 𝑓𝑖 ) + 𝛿(𝑓 + 𝑓𝑖 )] 4

Esempio 7.8 Sia 𝑠(𝑡) un segnale, periodico di periodo 𝑇0 , che può essere quindi sviluppato in serie di Fourier: ∞

𝑠(𝑡) = ∑ 𝑆𝑛 𝑒

𝑗

2𝜋𝑛𝑡 𝑇0

𝑛=−∞

Esso è un segnale a potenza finita e la sua funzione di autocorrelazione può essere scritta nella forma: 𝑇

∞

∞

𝑛=−∞

𝑚=−∞

2𝜋𝑛𝑡 2𝜋𝑚(𝑡+𝜏) 1 2 −𝑗 𝑗 ∫ ( ∑ 𝑆𝑛∗ 𝑒 𝑇0 ∑ 𝑆𝑚 𝑒 𝑇0 ) 𝑑𝑡 𝑇→∞ 𝑇 −𝑇

𝛾(𝜏) = lim

2

∞

=

𝑆𝑛∗ 𝑆𝑚 𝑒 𝑗

∑

2𝜋𝑚𝜏 𝑇

𝑛,𝑚=−∞

𝑆𝑛∗ 𝑆𝑛 𝑒 𝑗

2𝜋𝑛𝜏 𝑇

∞ 𝑗

𝑇

∞

+

∑ 𝑛,𝑚=−∞ 𝑛≠𝑚

𝑛=−∞

= ∑ |𝑆𝑛 |2 𝑒

2𝜋(𝑚−𝑛)𝑡 1 𝑗 ∫ 𝑒 𝑇0 𝑑𝑡 𝑇→∞ 𝑇 −𝑇

lim

2

∞

= ∑

𝑇 2

𝑆𝑛∗ 𝑆𝑚 𝑒 𝑗

2𝜋𝑚𝜏 𝑇

lim

sin [𝜋(𝑚 − 𝑛) ]

𝑇→∞

𝜋(𝑚 − 𝑛)

𝑇

𝑇0

𝑇0

2𝜋𝑛𝜏 𝑇0

𝑛=−∞

La funzione di autocorrelazione è dunque una funzione periodica di periodo 𝑇0 ed il generico coefficiente del suo sviluppo in serie di Fourier vale: 𝛤𝑛 = |𝑆𝑛 |2

162

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Si osservi che l'integrale che compare nel calcolo dell'autocorrelazione, può essere espresso anche utilizzando la funzione sinc(⋅). Si può infatti scrivere: 𝑇

1 2 𝑗2𝜋(𝑚−𝑛)𝑡 𝑇 ∫ 𝑒 𝑇0 𝑑𝑡 = sinc ((𝑚 − 𝑛) ) 𝑇 −𝑇 𝑇0 2

È evidente che la precedente è valida anche se l'argomento dell'esponenziale è identicamente nullo, non si rende quindi necessaria la distinzione tra i casi 𝑛 = 𝑚, 𝑛 ≠ 𝑚.

CAPITOLO - 8 CARATTERISTICHE E PROPRIETÀ DEI SEGNALI 8.1 - Segnale analitico. Trasformata di Hilbert. In alcune applicazioni della teoria della modulazione, come pure nello studio della risposta dei filtri passabanda, è opportuno caratterizzare i segnali reali fornendo una rappresentazione che generalizza quella che usualmente si adotta per lo studio dei circuiti in regime sinusoidale. Tale generalizzazione si basa sul concetto di segnale analitico. Si consideri un segnale reale Fig. 8.1 - a) Modulo della trasformata di 𝑠(𝑡); b) modulo dellatrasformata del se𝑠(𝑡) la cui trasformata di Fourier gnale analitico 𝑧(𝑡) ad esso associato. 𝑆(𝑓) è rappresentata in Fig. 8.1. Alla 𝑆(𝑓) si può associare una funzione 𝑍(𝑓): 𝑍(𝑓) = 𝑆(𝑓)[1 + sgm(𝑓)]

(8.1.1)

come è mostrato nella stessa Fig. 8.1. Tale funzione è manifestamente unilatera giacché essa è identicamente nulla per 𝑓 < 0; pertanto la sua antitrasformata 𝑧(𝑡) è una funzione complessa poiché la 𝑍(𝑓) non è a simmetria hermitiana. L'antitrasformata di 𝑍(𝑓) si può effettuare facilmente applicando il teorema della convoluzione nel dominio del tempo e osservando che l’espressione dell’antitrasformata della funzione sgm(𝑓) risulta, per la proprietà di simmetria: 𝔉-1 [sgm(𝑓)] = −Pf (

1 1 ) = 𝑗Pf ( ) 𝑗𝜋𝑡 𝜋𝑡

(8.1.2)

Si ottiene così: 1 𝑧(𝑡) = 𝑠(𝑡) ∗ (𝛿(𝑡) + 𝑗Pf ( )) 𝜋𝑡

che, ponendo:

(8.1.3)

164

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

ŝ(𝑡) =

∞ 1 𝑠(𝜏) VP ∫ 𝑑𝜏 𝜋 −∞ 𝑡 − 𝜏

(8.1.4)

si può riscrivere: 𝑧(𝑡) = 𝑠(𝑡) + 𝑗𝑠̂ (𝑡)

(8.1.5)

Dalla (8.1.4) si deduce che ŝ(𝑡) è ottenuta dalla convoluzione tra 1

𝑠(𝑡) e la pseudofunzione Pf (𝜋𝑡) cioè: 1 𝑠̂ (𝑡) = 𝑠(𝑡) ∗ Pf ( ) 𝜋𝑡

(8.1.6)

che trasformata secondo Fourier dà luogo alla: 𝑆̂(𝑓) = 𝔉[𝑠̂ (𝑡)] = −𝑗𝑆(𝑓)sgm(𝑓)

(8.1.7)

quindi: 𝑆(𝑓) =

𝑆̂(𝑓) = 𝑗𝑆̂(𝑓)sgm(𝑓) −𝑗sgm(𝑓)

(8.1.8)

da cui antitrasformando: ∞ 1 𝑠̂ (𝜏) 𝑠(𝑡) = − VP ∫ 𝑑𝜏 𝜋 𝑡 −∞ − 𝜏

(8.1.9)

Le trasformazioni (8.1.4) (8.1.9) vengono dette rispettivamente trasformata e antitrasformata di Hilbert. Esse si denotano con i simboli: ℋ[∙],

ℋ −1 [∙]

(8.1.10)

Il segnale complesso 𝑧(𝑡), definito dalla (8.1.5), prende il nome di segnale analitico associato a 𝑠(𝑡); la ragione di questa denominazione sta nel fatto che se una funzione complessa 𝑓(𝑤), di variabile complessa 𝑤 = 𝑢 + 𝑗𝑣, è analitica su tutto il semipiano superiore (𝑢 > 0), la parte reale ed il coefficiente della parte immaginaria di 𝑓(𝑤) costituiscono una coppia di trasformate di Hilbert e viceversa. Osserviamo inoltre che se 𝑠(𝑡) rappresenta un segnale 𝒔 ad energia finita, tale è anche la sua trasformata di Hilbert e risulta: ∞ 〈𝒔, 𝒔̂〉=〈𝑺, ̂ 𝑺〉 = ∫−∞ 𝑆(𝑓)𝑆̂ ∗ (𝑓) 𝑑𝑓 = ∞

𝑗 ∫−∞ 𝑆(𝑓) 𝑆 ∗ (𝑓)sgm(𝑓)𝑑𝑓 = 0

(8.1.11)

CAPITOLO - 8 - Caratteristiche e Proprietà dei Segnali -

165

Il risultato è zero in quanto essendo il segnale reale la funzione integranda è dispari. Possiamo quindi affermare che un segnale 𝒔 e quello associato alla trasformata di Hilbert di una funzione che lo rappresenta sono ortogonali.

Fig.E 8.1

Esempio 8.1 Applicando la definizione (8.1.4) al rettangolo unitario di durata ∞

⊓ (𝑇𝜏 )

T 2

−𝜀

2

2

T si ha: 𝑇

𝑡 1 1 𝑑𝜏 1 𝑑𝜏 2 𝑑𝜏 ℋ [⊓ ( )] = VP ∫ 𝑑𝜏 = VP ∫ = lim (∫ +∫ ) T 𝑡 −𝜏 𝑇 𝑡 − 𝜏 𝜀→0 𝑇 𝜋 𝑡 − 𝜏 𝜋 𝜋 −∞ − 𝜀 𝑡−𝜏 𝑇

=

𝑡+ 1 𝑇 𝑇 1 2 lim (log |𝑡 + | − log|𝑡 + 𝜀| + log |𝑡 − 𝜀| − log |𝑡 − |) = log | 𝑇| 𝜀→0 𝜋 2 2 𝜋 𝑡− 2

𝑡

Il segnale ⊓ ( ) e la sua trasformata di Hil𝑇

bert sono mostrati in Fig.E 8.1. 𝑡

Il segnale analitico associato a ⊓ ( ) vale 𝑇

quindi: 𝑇

𝑡+ 𝑡 1 2 𝑧(𝑡) = ⊓ ( ) + 𝑗 log | 𝑇| 𝑇 𝜋 𝑡− 2

la cui rappresentazione nel piano complesso è riportata in Fig.E 8.2. Esempio 8.2 Determinare la trasformata di Hilbert del segnale 𝑒 ±𝑗2𝜋𝑓0𝑡 . Poiché si ha: 𝔉[𝑒 ±𝑗2𝜋𝑓0𝑡 ] = 𝛿(𝑓 ∓ 𝑓0 )

è per la (8.1.7) 𝔉[ℋ[𝑒 ±𝑗2𝜋𝑓0 𝑡 ]] = −𝑗𝛿(𝑓 ∓ 𝑓0 )sgm(𝑓)

Fig.E 8.2

166

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

da cui antitrasformando: ∞

ℋ[𝑒 ±𝑗2𝜋𝑓0𝑡 ] = −𝑗 ∫ 𝛿(𝑓 ∓ 𝑓0 )sgm(𝑓)𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓 = −𝑗sgm(±𝑓0 )𝑒 ±𝑗2𝜋𝑓0 𝑡 −∞

cioè: ℋ[𝑒 ±𝑗2𝜋𝑓0 𝑡 ] = ∓𝑗𝑒 ±𝑗2𝜋𝑓0 𝑡

In particolare si deduce, eguagliando le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie: ℋ[cos(2𝜋𝑓0 𝑡)] = sin(2𝜋𝑓0 𝑡) ℋ[sin(2𝜋𝑓0 𝑡)] = − cos(2𝜋𝑓0 𝑡)

Esempio 8.3 Determinare il segnale analitico associato al segnale 𝒔 rappresentabile mediante la funzione: 𝑠(𝑡) =

1 𝑡2 + 𝜏2

Potendosi scrivere: 1 𝑗 1 1 = [ − ] 𝑡 2 + 𝜏 2 2𝜏 𝑡 + 𝑗𝜏 𝑡 − 𝑗𝜏

la trasformata di Fourier del segnale 𝒔 vale: 𝑆(𝑓) =

𝑗 1 1 {𝔉 [ ] −𝔉[ ]} 2𝜏 𝑡 + 𝑗𝜏 𝑡 − 𝑗𝜏

Ricordando l' Esempio 4.2, applicando la proprietà di simmetria si ottiene: 𝔉[

1 ] = u(−𝑓)𝑒 𝛼𝑓 𝛼 + 𝑗2𝜋𝑡

quindi: 1 1 𝔉[ ] = 𝑗2𝜋𝔉 [ ] 𝑡 − 𝑗𝜏 2𝜋𝜏 + 𝑗2𝜋𝑡 = 𝑗2𝜋u(−𝑓)𝑒 2𝜋𝜏𝑓

Applicando ora la proprietà della coniugazione nel dominio del tempo si ha poi:

Fig.E 8.3

1 𝔉[ ] = −𝑗2𝜋 u(𝑓)𝑒 −2𝜋𝜏𝑓 𝑡 + 𝑗𝜏

Di conseguenza 𝑆(𝑓) diviene: 𝑆(𝑓) =

𝑗 𝜋 (−𝑗2𝜋u(𝑓)𝑒 −2𝜋𝜏𝑓 − 𝑗2𝜋u(−𝑓)𝑒 2𝜋𝜏𝑓 ) = 𝑒 −2𝜋𝜏|𝑓| 2𝜏 𝜏

CAPITOLO - 8 - Caratteristiche e Proprietà dei Segnali -

167

Il segnale analitico 𝑧(𝑡) associato a 𝑠(𝑡) vale dunque: ∞

𝑧(𝑡) = 2 ∫ 0

∞

𝜋 −2𝜋𝜏|𝑓| 𝑗2𝜋𝑓𝑡 2𝜋 𝑒 −2𝜋𝑓(𝜏−𝑗𝑡) 1 𝑒 𝑒 𝑑𝑓 = [ ] = 𝜏 𝜏 −2𝜋(𝑗𝜏𝑡) 0 𝜏(𝜏 − 𝑗𝑡)

o anche: 𝑧(𝑡) =

1 𝑡 +𝑗 𝑡2 + 𝜏2 𝜏(𝑡 2 + 𝜏 2 )

Il suo modulo vale: 𝑟(𝑡) =

ed il suo argomento:

1 1 𝜏 √𝑡 2 + 𝜏 2

𝑡 𝜗(𝑡) = arctg ( ) 𝜏

Nel piano complesso (Re[𝑧], Im[𝑧]) l’estremo del vettore 𝑧(𝑡) descrive il luogo individuato dall’equazione: 𝜏 2 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) = 𝑥

che è una circonferenza di centro 𝐶 ≡ (

1 2𝜏2

, 0) e raggio 𝑅 =

1 𝜏2

come è indi-

cato nella Fig. E.VII.3.

8.2 - Componenti del segnale a frequenze positive e negative. Nell’analisi dei segnali reali risulta talvolta utile introdurre le quantità 𝑆+ (𝑓) e 𝑆− (𝑓) definite dalle: 𝑆+ (𝑓) = 𝑆(𝑓)u(𝑓)

(8.2.1)

𝑆− (𝑓) = 𝑆(𝑓)u(−𝑓)

(8.2.2)

e che individuano il contenuto di frequenze positive e negative di un segnale 𝑠(𝑡) il cui spettro è stato denotato con 𝑆(𝑓). Alle quantità 𝑆+ (𝑓) e 𝑆− (𝑓), sopra definite, si possono associare due segnali complessi 𝑠+ (𝑡) e 𝑠− (𝑡) ottenuti per mezzo delle seguenti antitrasformate: 𝑠+ (𝑡) = 𝔉−1 [𝑆+ (𝑓)];

𝑠− (𝑡) = 𝔉[𝑆− (𝑓)]

(8.2.3)

denominati componenti a frequenze positive e negative del segnale. Poiché risulta manifestamente:

168

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

𝑆(𝑓) = 𝑆+ (𝑓) + 𝑆− (𝑓)

(8.2.4)

𝑠(𝑡) = 𝑠+ (𝑡) + 𝑠− (𝑡)

(8.2.5)

si ha: Tenendo conto della (8.2.4), la trasformata di Fourier di 𝑠̂ (𝑡) vale: 𝑆̂(𝑓) = −𝑗sgm(𝑓) ⋅ [𝑆+ (𝑓) + 𝑆− (𝑓)] = −𝑗𝑆+ (𝑓) + 𝑗𝑆− (𝑓)

(8.2.6)

da cui antitrasformando: 𝑠̂ (𝑡) = −𝑗[𝑠+ (𝑡) − 𝑠− (𝑡)]

(8.2.7)

che permette di esprimere la trasformata di Hilbert di un segnale in termini delle sue componenti a frequenze positive e negative. Invertendo le (8.2.5) e (8.2.7) si ottiene infine: 𝑠+ (𝑡) =

1 [𝑠(𝑡) + 𝑗𝑠̂ (𝑡)], 2

1 𝑠− (𝑡) = [𝑠(𝑡) − 𝑗𝑠̂ (𝑡)] 2

(8.2.8)

8.3 - Segnali a banda e durata rigorosamente limitata. Un segnale 𝑠(𝑡) si dice a banda rigorosamente limitata quando la sua trasformata di Fourier soddisfa la condizione: ∃ 𝑓 ′ , 𝑓 ″ (0 ≤ 𝑓 ′ < 𝑓 ″ < ∞) | 𝑆(𝑓) = 0 ∀ 𝑓| |𝑓| ∉ [𝑓 ′ , 𝑓 ″ ]

(8.3.1)

Detti 𝑓1 l'estremo superiore dell'insieme {𝑓 ′ } ed 𝑓2 l'estremo inferiore dell'insieme {𝑓 ″ }, la quantità: 𝐵 = 𝑓2 − 𝑓1

(8.3.2)

esprime l’ampiezza di banda del segnale e le frequenze 𝑓1 e 𝑓2 vengono rispettivamente dette frequenza di taglio inferiore e superiore (vedi Fig. 8.2). Se per un segnale 𝑠(𝑡) a banda rigorosamente limitata risulta 𝑓1 = 0 il Fig. 8.2 – Segnale a banda rigorosegnale si dice passabasso, altrimenti si samente limitata parla di segnale passabanda. Un segnale 𝑠(𝑡) si dice a durata rigorosamente limitata quando è soddisfatta la condizione: ∃ 𝑡 ′ ⋀ 𝑡 ″ | 𝑠(𝑡) = 0 ∀ 𝑡 ∉ [𝑡 ′ , 𝑡 ″ ]

(8.3.3)

CAPITOLO - 8 - Caratteristiche e Proprietà dei Segnali -

169

La misura dell'intersezione tra tutti gli intervalli [𝑡 ′ , 𝑡 ″ ] che verificano la (8.3.3) definisce la durata 𝑇 del segnale. Con riferimento alla Fig. 8.2 si può osservare che, se 𝑆(𝑓) denota la trasformata di Fourier di un segnale a banda rigorosamente limitata, si può scrivere: 𝑓 − 𝑓0 𝑓 + 𝑓0 𝑆(𝑓) = 𝑆(𝑓)⊓ ( ) + 𝑆(𝑓)⊓ ( ) 𝐵 𝐵

(8.3.4)

avendo denotato con 𝑓0 il valore della frequenza di centro banda: 𝑓0 =

𝑓1 + 𝑓2 2

(8.3.5)

Antitrasformando la (8.3.4), essendo: 𝑓 ± 𝑓0 𝔉−1 [⊓ ( )] = 𝐵sinc(𝐵𝑡)𝑒 ∓𝑗2𝜋𝑓0 𝑡 𝐵

(8.3.6)

si ottiene facilmente l'identità: 𝑠(𝑡) = 𝑠(𝑡) ∗ 𝐵(sinc(𝐵𝑡)𝑒 𝑗2𝜋𝑓0 𝑡 + sinc(𝐵𝑡)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓0 𝑡 )

(8.3.7)

dalla quale si deduce che il segnale 𝑠(𝑡) non può avere durata limitata giacché esso si può esprimere mediante una convoluzione in cui uno dei due operandi ha supporto non limitato. Di converso, se 𝑠(𝑡) è a durata rigorosamente limitata, la sua trasformata si estenderà su tutto l’asse delle frequenze. In altre parole non esistono segnali che siano simultaneamente a banda e a durata rigorosamente limitate. 8.4 - Proprietà dei segnali a banda rigorosamente limitata. Segnali passabasso Se 𝑠(𝑡) è un segnale passabasso, è anche rappresentabile mediante

una funzione continua e derivabile infinite volte (vedi §. 5.7 - ). Si ha: 𝑠(𝑡) = ∫

𝑓𝑚

𝑆(𝑓)𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓

−𝑓𝑚

(8.4.1)

dove 𝑓𝑚 denota la frequenza di taglio. Dalla precedente discende: |𝑠(𝑡)| ≤ ∫

𝑓𝑚

−𝑓𝑚

|𝑆(𝑓)|𝑑𝑓 < ∞

(8.4.2)

170

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Derivando la (8.4.1)rispetto a t si ottiene: 𝑓𝑚 𝑑𝑠(𝑡) = ∫ 𝑗2𝜋𝑓 ⋅ 𝑆(𝑓)𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓 𝑑𝑡 −𝑓𝑚

(8.4.3)

da cui: |

𝑓𝑚 𝑓𝑚 𝑑𝑠(𝑡) | ≤ ∫ |2𝜋𝑓| ⋅ |𝑆(𝑓)|𝑑𝑓 ≤ 2𝜋𝑓𝑚 ∫ |𝑆(𝑓)|𝑑𝑓 𝑑𝑡 −𝑓𝑚 −𝑓𝑚

(8.4.4)

Procedendo analogamente per la derivata 𝑛-esima si ottiene la seguente limitazione: |

𝑓𝑚 𝑑 𝑛 𝑠(𝑡) 𝑛 | ≤ (2𝜋𝑓 ) ∫ |𝑆(𝑓)|𝑑𝑓 𝑚 𝑑𝑡 𝑛 −𝑓𝑚

(8.4.5)

cioè: il modulo di un segnale passabasso è limitato, come pure i moduli di tutte le sue derivate. Tali limiti dipendono dall’ampiezza 𝑓𝑚 della banda del segnale. Un segnale passabasso, pertanto, ha un andamento regolare nel tempo con variazioni tanto più lente quanto più piccola è la sua frequenza di taglio. Segnali passabanda

Con riferimento alla Fig. 8.2 se 𝑠(𝑡) è reale, si può scrivere: 𝑠(𝑡) = ∫

−𝑓1

𝑓2

𝑆(𝑓)𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓 + ∫ 𝑆(𝑓)𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓

−𝑓2

𝑓1

𝑓2

(8.4.6)

= 2Re [∫ 𝑆(𝑓)𝑒

𝑗2𝜋𝑓𝑡

𝑑𝑓 ]

𝑓1

che con la posizione 𝑓 = 𝑓0 + 𝜑 diventa: 𝑠(𝑡) = 2Re [𝑒

𝑗2𝜋𝑓0 𝑡

𝐵 2

∫ 𝑆(𝑓0 + 𝜑)𝑒 𝑗2𝜋𝜑𝑡 𝑑𝜑 ] −

𝐵 2

(8.4.7)

Definendo il segnale: 𝐵 2

𝑤(𝑡) = 2 ∫ 𝑆(𝑓0 + 𝜑)𝑒 𝑗2𝜋𝜑𝑡 𝑑𝜑 −

𝐵 2

(8.4.8)

la (8.4.7) si può riscrivere nella forma: 𝑠(𝑡) = Re[𝑤(𝑡)𝑒 𝑗2𝜋𝑓0 𝑡 ]

(8.4.9)

CAPITOLO - 8 - Caratteristiche e Proprietà dei Segnali -

171

Il segnale 𝑤(𝑡), definito dalla (8.4.8), è in generale complesso a meno che la 𝑆(𝑓) non soddisfi la condizione di simmetria: 𝑆(𝑓0 − 𝜑) = 𝑆 ∗ (𝑓0 + 𝜑)

(8.4.10)

Indicando con 𝑟(𝑡) e con 𝜗(𝑡) il modulo e l’argomento di 𝑤(𝑡): 𝑤(𝑡) = 𝑟(𝑡)𝑒 𝑗𝜗(𝑡)

(8.4.11)

dalla (8.4.9) discende: 𝑠(𝑡) = 𝑟(𝑡) cos(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜗(𝑡)) = 𝑠𝑓 (𝑡) cos(2𝜋𝑓0 𝑡) − 𝑠𝑞 (𝑡) sin(2𝜋𝑓0 𝑡)

(8.4.12)

laddove le quantità 𝑠𝑓 (𝑡) e 𝑠𝑞 (𝑡) definite dalle: 𝐵 2

𝑎) 𝑠𝑓 (𝑡) = 𝑟(𝑡) cos 𝜗(𝑡) = 2Re [∫ 𝑆(𝑓0 + 𝜑)𝑒 𝑗2𝜋𝜑𝑡 𝑑𝜑 ] −

𝐵 2

𝐵 2

(8.4.13)

𝑏) 𝑠𝑞 (𝑡) = 𝑟(𝑡) sin 𝜗(𝑡) = 2Im [∫ 𝑆(𝑓0 + 𝜑)𝑒 𝑗2𝜋𝜑𝑡 𝑑𝜑 ] −

𝐵 2

prendono il nome rispettivamente di componenti in fase e in quadratura del segnale. Le (8.4.9) e (8.4.13) suggeriscono una particolare rappresentazione grafica di 𝑠(𝑡). In̅̅̅̅ fatti se il vettore 𝑂𝑃 individua nel piano complesso di Fig. 8.3 la quantità 𝑤(𝑡) a Fig. 8.3 - Rappresentazione vettoriale di un segnale passa- un istante generico banda 𝑡, il valore 𝑠(𝑡) del segnale si potrà ottenere dalla proiezione sull’asse reale del vettore ̅̅̅̅ 𝑂𝑃′ ̅̅̅̅ ottenuto ruotando 𝑂𝑃 di un angolo pari a 2𝜋𝑓0 𝑡. Il segnale 𝑠(𝑡) è noto se ̅̅̅̅ al variare di 𝑡. Ciò significa che si conosce la posizione del vettore 𝑂𝑃 𝑠(𝑡) può essere rappresentato dal luogo 𝛾 dell'estremo di tale vettore. Si perviene così alla naturale estensione dell’usuale rappresentazione di una grandezza sinusoidale mediante un vettore rotante. In quest’ultimo caso,

172

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

il vettore rappresentativo del segnale non varia nel tempo cosicché la curva 𝛾 si riduce a un punto. Le quantità 𝑟(𝑡) e 𝜗(𝑡) prendono rispettivamente il nome di inviluppo e fase istantanei del segnale; si definisce frequenza istantanea la quantità 𝑓(𝑡): 𝑓(𝑡) = 𝑓0 +

1 𝑑𝜗(𝑡) 2𝜋 𝑑𝑡

(8.4.14)

Dalla (8.4.12) si deduce che un segnale passabanda assume la forma di un’oscillazione modulata in ampiezza e fase; le quantità 𝑠𝑓 (𝑡) e 𝑠𝑞 (𝑡) rappresentano due segnali i cui spettri, in virtù delle (8.4.13), sono 𝐵 𝐵

contenuti nell’intervallo (− 2 , 2 ). Tali funzioni pertanto corrispondono a segnali di tipo passabasso, e le loro variazioni nel tempo risultano tanto più lente quanto più stretta è la banda 𝐵 del segnale. Prendendo le trasformate di Fourier della (8.4.9), si ottiene: ∞

𝑆(𝑓) = ∫ Re[𝑤(𝑡)𝑒 𝑗2𝜋𝑓0𝑡 ]𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 −∞

1 ∞ = ∫ [𝑤(𝑡)𝑒 𝑗2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝑤 ∗ (𝑡)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓0 𝑡 ]𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 2 −∞ ∞ 1 ∞ 1 = ∫ 𝑤(𝑡)𝑒 −𝑗2𝜋(𝑓−𝑓0 )𝑡 𝑑𝑡 + (∫ 𝑤(𝑡)𝑒 𝑗2𝜋(𝑓+𝑓0 )𝑡 𝑑𝑡) 2 −∞ 2 −∞

(8.4.15) ∗

che, detta 𝑊(𝑓) la trasformata di 𝑤(𝑡), si può scrivere nella forma: 1 1 𝑆(𝑓) = 𝑊(𝑓 − 𝑓0 ) + 𝑊 ∗ (−𝑓 − 𝑓0 ) 2 2

(8.4.16)

Esempio 8.4

Fig.E 8.4 𝐵 𝐵

Detto 𝑓0 il valore della frequenza di centro banda, il segnale 𝑠(𝑡), il cui spettro 𝑆(𝑓) è rappresentato in Fig. E.VII.4, può ottenersi sulla base della (8.4.13) determinando le quantità 𝑠𝑓 (𝑡) e 𝑠𝑞 (𝑡). A tal fine si osservi che lo spettro 𝑆(𝑓0 + 𝜑)

limitatamente all'intervallo (− , ) si presenta come è mostrato in Fig. 2 2

E.VII.5, la cui antitrasformata risulta:

CAPITOLO - 8 - Caratteristiche e Proprietà dei Segnali -

173

1 − cos(𝜋𝐵𝑡) sin(𝜋𝐵𝑡) sin(𝜋𝐵𝑡) cos(𝜋𝐵𝑡) 𝔉−1 [𝑆(𝑓0 + 𝜑)] = ( + )+𝑗( − ) 2𝐵𝜋 2 𝑡 2 2𝜋𝑡 2𝐵𝜋 2 𝑡 2 2𝜋𝑡

Le componenti in fase e in quadratura allora sono: 1 − cos(𝜋𝐵𝑡) sin(𝜋𝐵𝑡) + ; 2𝐵𝜋 2 𝑡 2 2𝜋𝑡 { sin(𝜋𝐵𝑡) cos(𝜋𝐵𝑡) 𝑠𝑞 (𝑡) = − ; 2𝐵𝜋 2 𝑡 2 2𝜋𝑡 𝑠𝑓 (𝑡) =

Il segnale 𝑠(𝑡) vale allora: 𝑠(𝑡) 1 − cos(𝜋𝐵𝑡) sin(𝜋𝐵𝑡) =( + ) cos(2𝜋𝑓0 𝑡) 2𝐵𝜋 2 𝑡 2 2𝜋𝑡 sin(𝜋𝐵𝑡) cos(𝜋𝐵𝑡) −( − ) sin(2𝜋𝑓0 𝑡) 2𝐵𝜋 2 𝑡 2 2𝜋𝑡

Fig.E 8.5

8.5 - Banda e durata convenzionali. Se 𝑠(𝑡) non è a banda o durata rigorosamente limitata, pur essendo a energia finita, può essere in certi casi conveniente attribuire al segnale una banda o durata convenzionali. In quel che segue 𝑠(𝑡) si suppone reale passabasso; tuttavia le considerazioni svolte si possono facilmente estendere ai segnali reali passabanda. Banda e durata quadratica o efficace Si definisce banda quadratica 𝐵𝑞 la quantità: 1

2 1 ∞ 𝐵𝑞 = ( ∫ 𝑓 2 |𝑆(𝑓)|2 𝑑𝑓) 𝐸 −∞

(8.5.1)

dove 𝐸 è l'energia specifica del segnale. Si noti che la banda quadratica 𝐵𝑞 di un segnale dà una misura della dispersione dei valori di |𝑆(𝑓)|2 attorno all'asse delle frequenze. In maniera simile si può definire una durata quadratica 𝑇𝑞 . Detta 𝑡¯ l’ascissa baricentrica di |𝑠(𝑡)|: 𝑡¯ =

la quantità 𝑇𝑞 vale:

1 ∞ ∫ 𝑡|𝑠(𝑡)|2 𝑑𝑡 𝐸 −∞

(8.5.2)

174

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati 1

2 1 ∞ 𝑇𝑞 = ( ∫ (𝑡 − 𝑡¯)2 |𝑠(𝑡)|2 𝑑𝑡) 𝐸 −∞

(8.5.3)

che, riferendo l'origine dei tempi a 𝑡¯, assumerebbe la forma più semplice: 1

2 1 ∞ 𝑇𝑞 = ( ∫ 𝑡 2 |𝑠(𝑡)|2 𝑑𝑡) 𝐸 −∞

(8.5.4)

analoga alla (8.5.1). Banda e durata sulla base dell’energia La durata convenzionale di un segnale è definita dall'ampiezza dell'intervallo centrato sull'ascissa baricentrica nel quale è contenuta una prefissata aliquota 𝜀𝑇2 ≤ 1 dell'energia totale del segnale. Detta durata può essere calcolata risolvendo l'equazione nell'incognita 𝜏: 𝜏

𝜀𝑇2

1 2 = ∫ |𝑠(𝑡 − 𝑡¯)|2 𝑑𝑡 𝐸 −𝜏

(8.5.5)

2

È’ ovvio che la quantità 𝜏 è una funzione non decrescente di 𝜀𝑇2 . Analogamente si introduce una banda equivalente che si ottiene risolvendo l'equazione nell'incognita 𝜎: 𝜀𝐵2 =

1 𝜎 ∫ |𝑆(𝑓)|2 𝑑𝑓 𝐸 −𝜎

(8.5.6)

dove 𝜀𝐵2 è una prefissata quantità non superiore a 1. Esempio 8.5 Si determino la durata e banda convenzionali del segnale: 𝑠(𝑡) = u(𝑡)𝑒 −𝑎𝑡 (𝑎 > 0)

L’energia specifica del segnale vale: ∞

𝐸 = ∫ 𝑒 −2𝑎𝑡 𝑑𝑡 = 0

1 2𝑎

a) Durata quadratica: L’ascissa baricentrica vale: ∞

𝑡¯ = 2𝑎 ∫ 𝑡𝑒 −2𝑎𝑡 𝑑𝑡 = 0

quindi la durata quadratica è ottenuta dalla:

2 𝑎

CAPITOLO - 8 - Caratteristiche e Proprietà dei Segnali -

175

∞

2 2 5 𝑇𝑞2 = 2𝑎 ∫ (𝑡 − ) 𝑒 −2𝑎𝑡 𝑑𝑡 = 2 𝑎 2𝑎 0

Risulta quindi: 𝑇𝑞 =

1 5 √ 𝑎 2

b) Durata sulla base dell’energia: Riferendo il segnale alla sua ascissa baricentrica 𝑡¯ si ottiene: 2 2 𝑥(𝑡) = 𝑠(𝑡 − 𝑡¯ ) = u(𝑡 − )𝑒 −𝑎(𝑡−𝑎) 𝑎

e quindi la durata  si deduce dall’equazione: 𝜏

2 𝜀𝑇2 2 2 1 − 𝑒 4−𝑎𝜏 = ∫ u (𝑡 − ) 𝑒 −2𝑎(𝑡−𝑎) 𝑑𝑡 = 𝜏 2𝑎 𝑎 2𝑎 − 2

da cui: 𝜏=

1 [4 − log(1 − 𝜀𝑇2 )] 𝑎 1

Poiché la trasformata del segnale vale: S(f )  a  j2f  risulta: a) Banda quadratica: Si ha: ∞

𝐵𝑞2

1 𝑓 2 𝑑𝑓 ∫ 2 = =∞ 2𝑎 𝑎 + (2𝜋𝑓)2 −∞

b) Banda sulla base dell’energia: La banda  si determina dalla condizione: 𝜎 𝜀𝐵2 𝑑𝑓 arctg(𝜎) =∫ 2 = 2 2𝑎 𝜋𝑎 −𝜎 𝑎 + (2𝜋𝑓)

dalla quale si deduce:

𝜋 𝜎 = tan ( 𝜀𝐵2 ) 2

CAPITOLO - 9 IL CAMPIONAMENTO DEI SEGNALI 9.1 - Il teorema del campionamento. Un'importante caratteristica di un segnale a banda limitata è quella di potere essere ricostruito a partire dalla conoscenza dei valori, campioni, assunti da esso in corrispondenza di un'opportuna sequenza di istanti. Quanto detto, in altri termini, significa che è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra funzioni del tempo rappresentative di segnali a banda limitata e sequenze numeriche. In linea di principio per poter ricostruire il segnale non è necessario che i campioni vengano prelevati con cadenza regolare. Tuttavia, poiché in genere si adottano campionatori uniformi, in quel che segue si considererà soltanto il campionamento uniforme; cioè si assumerà che l'intervallo di tempo 𝑇 = Fig. 9.1 - a) Spettro di un segnale passabasso; b) sua ripetizione periodica. 𝑡𝑖+1 − 𝑡𝑖 che intercorre tra due campioni consecutivi, detto periodo di campionamento, sia costante. Dato un segnale 𝑠(𝑡) reale rigorosamente passa basso, cioè tale che detta 𝑆(𝑓) la sua trasformata di Fourier (vedi Fig. 9.1a)), risulti: 𝑓 𝑆(𝑓) = 𝑆(𝑓)⊓ ( ), 2𝑓𝑚

∀𝑓 ∈ ℝ

(9.1.1)

si consideri la funzione 𝑆𝑐 (𝑓), ottenuta ripetendo periodicamente lo spettro 𝑆(𝑓) con periodicità 𝑓𝑐 (v. Fig. 9.1,b):

178

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati ∞

𝑆𝑐 (𝑓) = ∑ 𝑆(𝑓 − 𝑛𝑓𝑐 )

(9.1.2)

𝑛=−∞

È evidente che se si sceglie 𝑓𝑐 ≥ 2𝑓𝑚

(9.1.3)

𝑓 𝑆(𝑓) = 𝑆𝑐 (𝑓)⊓ ( ) 𝑓𝑐

(9.1.4)

si ha:

In questo caso cioè la trasformata di Fourier del segnale e la funzione 𝑓

𝑓

2

2

𝑆𝑐 (𝑓) coincidono nell'intervallo (− 𝑐 , 𝑐 ).

Poiché 𝑆𝑐 (𝑓) è periodica, può essere sviluppata in serie di Fourier: ∞

𝑆𝑐 (𝑓) = ∑ 𝐶𝑛 𝑒

𝑗2𝜋𝑛

𝑓 𝑓𝑐

(9.1.5)

𝑛=−∞

dove: 𝑓𝑐

𝑓 1 2 1 𝑛 −𝑗2𝜋𝑛 𝑓𝑐 𝑑𝑓 = 𝐶𝑛 = ∫ 𝑆(𝑓)𝑒 𝑠 (− ) 𝑓𝑐 −𝑓𝑐 𝑓𝑐 𝑓𝑐

(9.1.6)

2

Sostituendo la (9.1.5) e la (9.1.6) nella (9.1.4) si ottiene la seguente espressione per 𝑆(𝑓): ∞

1 𝑓 𝑛 𝑗2𝜋𝑛 𝑓 𝑓𝑐 𝑆(𝑓) = ⊓ ( ) ∑ 𝑠 (− ) 𝑒 𝑓𝑐 𝑓𝑐 𝑓𝑐 𝑛=−∞

(9.1.7)

∞

1 𝑓 𝑛 −𝑗2𝜋𝑛 𝑓 𝑓𝑐 = ⊓( ) ∑ 𝑠( )𝑒 𝑓𝑐 𝑓𝑐 𝑓𝑐 𝑛=−∞

dove nell'ultima sommatoria si è mutato 𝑛 in −𝑛. 𝑓

Tenendo infine presente che 𝔉−1 [⊓ (𝑓 )] = 𝑓𝑐 sinc(𝑓𝑐 𝑡) si ha: 𝑐

∞

𝑛 𝑛 𝑠(𝑡) = ∑ 𝑠 ( ) sinc [𝑓𝑐 (𝑡 − )] 𝑓𝑐 𝑓𝑐

(9.1.8)

𝑛=−∞

La precedente costituisce l'espressione formale del teorema del campionamento. Da essa risulta infatti evidente che è possibile ricostrui-

CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali -

179 𝑛

∞

re un segnale passabasso a partire dalla sequenza {𝑠 (𝑓 )} 𝑐

𝑛=−∞

dei suoi

campioni. Si osservi che, in base alla (9.1.8), la ricostruzione del segnale viene effettuata sommando una serie di funzioni del tipo sinc(𝑓𝑐 𝑡) opportunamente ritardate e pesate per mezzo dei campioni di 𝑠(𝑡) come indicato in Fig. 9.2. Si sottolinea che la (9.1.8) vale soltanto se la (9.1.3) è verificata. La

Fig. 9.2 - Ricostruzione di un segnale a partire dai suoi campioni

minima frequenza di campionamento che soddisfa tale limitazione è detta frequenza di Nyquist, e il corrispondente massimo periodo di campionamento periodo di Nyquist. Essi valgono rispettivamente: 𝑓𝑐 = 2𝑓𝑚 ;

𝑇𝑐 =

1 2𝑓𝑚

;

(9.1.9)

9.2 - Il sottospazio dei segnali passabasso. Dalla (9.1.8) si deduce che l'insieme di funzioni normalizzate: 𝑛 𝑢𝑛 (𝑡) = √𝑓𝑐 sinc [𝑓𝑐 (𝑡 − )] 𝑓𝑐

(9.2.1)

è completo rispetto all'insieme dei segnali passabasso ad energia finita 𝑓

con frequenza di taglio non superiore ad 2𝑐 . Inoltre le (9.2.1) sono ortogonali. Infatti detta 𝑈𝑛 (𝑓) la trasformata di Fourier di 𝑢𝑛 (𝑡) si ha:

180

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

𝑈𝑛 (𝑓) = √𝑓𝑐 𝑒

−𝑗2𝜋𝑛

𝑓 𝑓𝑐

𝔉[sinc(𝑓𝑐 𝑡)] =

1 √𝑓𝑐

𝑓 𝑓𝑐

⊓( )𝑒

−𝑗2𝜋𝑛

𝑓 𝑓𝑐

(9.2.2)

Applicando il teorema di Parseval si ottiene: ∞

∞

∗ ∫ 𝑢𝑛 (𝑡)𝑢𝑚 (𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑈𝑛 (𝑓)𝑈𝑚 (𝑓)𝑑𝑓 −∞

=

−∞

𝑓𝑐 2

(9.2.3)

2𝜋(𝑛−𝑚)𝑓 1 −𝑗 𝑓𝑐 ∫ 𝑒 𝑑𝑓 = sinc(𝑚-𝑛) 𝑓𝑐 −𝑓𝑐 2

In termini delle funzioni 𝑢𝑛 (𝑡), la (9.1.8) si traduce nella: ∞

𝑠(𝑡) = ∑ 𝛼𝑛 𝑢𝑛 (𝑡)

(9.2.4)

𝑛=−∞

dove: 𝛼𝑛 =

1

𝑛 𝑠( ) 𝑓 𝑐 √𝑓𝑐

(9.2.5)

Si noti che l'ortogonalità delle 𝑢𝑛 (𝑡) implica che la famiglia di dette funzioni costituisce un set completo per lo spazio dei segnali passabasso di banda non superiore 𝑓

Fig. 9.3 – Campionamento con 𝑓𝑐 < 2𝑓𝑚

a 2𝑐 , e conseguentemente implica anche che la sequenza di coefficienti definiti dalla (9.2.5) è l'unica che consente la ricostruzione del generico elemento di detto spazio per mezzo della base in questio-

ne. È evidente che se 𝑓𝑐 < 2𝑓𝑚 , 𝑆𝑐 (𝑓) non coincide con 𝑆(𝑓) nell'intervallo (−𝑓𝑚 , 𝑓𝑚 ) del segnale 𝑠(𝑡) (vedi Fig. 9.3). La sua ricostruzione non è effettuabile mediante la (9.1.8).

CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali -

181

D'altra parte, se la frequenza di campionamento è superiore a quella di Nyquist, cioè se risulta 𝑓𝑐 > 2𝑓𝑚 , ci si convince che, in alternativa alla (9.1.7), 𝑆(𝑓) può anche essere ricostruito a partire dalla: ∞

𝑓 1 𝑓 𝑛 −𝑗2𝜋𝑛 𝑓 𝑓𝑐 𝑆(𝑓) = ⊓ ( ) 𝑆𝑐 (𝑓) = ⊓ ( ) ∑ 𝑠( )𝑒 2𝑓𝑚 𝑓𝑐 2𝑓𝑚 𝑓𝑐

(9.2.6)

𝑛=−∞

dalla quale si perviene alla seguente formula di ricostruzione: ∞

𝑠(𝑡) =

2𝑓𝑚 𝑛 𝑛 ∑ 𝑠 ( ) sinc [2𝑓𝑚 (𝑡 − )] 𝑓𝑐 𝑓𝑐 𝑓𝑐

(9.2.7)

𝑛=−∞

che analogamente alla (9.2.4) può essere scritta nella forma: con 𝑛 𝑣𝑛 (𝑡) = √2𝑓𝑚 sinc [2𝑓𝑚 (𝑡 − )] 𝑓𝑐

(9.2.8)

e 𝛽𝑛 =

√2𝑓𝑚 𝑛 𝑠( ) 𝑓𝑐 𝑓𝑐

(9.2.9)

Tuttavia in questo caso, la (9.2.8) individua una famiglia di funzioni normalizzate che non sono mutuamente ortogonali. Si ha infatti: ∞

∫ 𝑢𝑛 (𝑡)𝑢𝑚 (𝑡)𝑑𝑡 = −∞

𝑓𝑚 𝑓 1 −𝑗2𝜋(𝑛−𝑚) 𝑓𝑐 𝑑𝑓 ∫ 𝑒 2𝑓𝑚 −𝑓𝑚

(9.2.10)

2𝑓𝑚 = sinc [ (𝑛 − 𝑚)] 𝑓𝑐

Si consideri una generica combinazione lineare delle {𝑣𝑛 (𝑡)}: ∞

𝜑(𝑡) = ∑ 𝛾𝑛 𝑣𝑛 (𝑡)

(9.2.11)

𝑛=−∞

la cui trasformata vale: ∞

1

∞

𝑓 𝑓 𝛷(𝑓) = ∑ 𝛾𝑛 𝑉𝑛 (𝑓) = ⊓ ( ) ∑ 𝛾𝑛 𝑒 −𝑗2𝜋𝑛𝑓𝑐 2𝑓𝑚 √2𝑓𝑚 𝑛=−∞ 𝑛=−∞

−𝑗2𝜋𝑛

𝑓

(9.2.12)

𝑓𝑐 individua una funzione Si osservi che la sommatoria ∑∞ 𝑛=−∞ 𝛾𝑛 𝑒 periodica di periodo 𝑓𝑐 . Scegliendo opportunamente la sequenza di coef-

182

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

ficienti 𝛾𝑛 è possibile generare una funzione nulla nell'intervallo (−𝑓𝑚 , 𝑓𝑚 ) e diversa da zero nel suo complementare rispetto all'intervallo 𝑓

𝑓

2

2

(− 𝑐 , 𝑐 ). Sostituendo una tale sequenza nella (9.2.12) si ottiene, in virtù 𝑓

della presenza della funzione ⊓ (2𝑓 ), una 𝛷(𝑓) e quindi una 𝜑(𝑡) nulla 𝑚

in corrispondenza di una sequenza di coefficienti non identicamente nulla. Pertanto le funzioni 𝑣𝑛 (𝑡), pur generando lo spazio dei segnali passabasso di banda 𝑓𝑚 , non sono tra loro linearmente indipendenti, quindi non ne costituiscono una base. 9.3 - Campionamento naturale. La ripetizione periodica del segnale 𝑆(𝑓) con periodicità 𝑓𝑐 , definita dalla (9.1.2) corrisponde nel dominio del tempo al segnale: ∞

∞ −1

𝑠𝑐 (𝑡) = ∑ 𝔉 [𝑆(𝑓 − 𝑛𝑓𝑐 )] = 𝑠(𝑡) ∑ 𝑒 𝑗2𝜋𝑛𝑓𝑐 𝑡 𝑛=−∞

(9.3.1)

𝑛=−∞

Il segnale campionato può quindi essere ottenuto com’è schematizzato in Fig. 9.4, cioè dal prodotto di 𝑠(𝑡) per la funzione: ∞

𝑣0 (𝑡) = ∑ 𝑒 𝑗2𝜋𝑛𝑓𝑐𝑡

(9.3.2)

𝑛=−∞

detta funzione campionatrice. La (9.3.2), utilizzando la formula di Pois- Fig. 9.4 - Campionatore son (5.5.8), può essere espressa nella ∞

𝑣0 (𝑡) = 𝑇𝑐 ∑ 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇𝑐 )

(9.3.3)

𝑛=−∞

Il campionatore del tipo mostrato in Fig. 9.4 non è quindi fisicamente realizzabile a causa della presenza della delta di Dirac. Si può pensare di approssimare la funzione campionatrice (9.3.3) con un treno d’impulsi che sia la ripetizione periodica con passo 𝑇𝑐 di un impulso 𝑝(𝑡) di durata 𝑇 < 𝑇𝑐 e trasformata di Fourier 𝑃(𝑓). cioè assumendo che 𝑣0 (𝑡) valga: ∞

𝑡 − 𝑛𝑇𝑐 𝑣0 (𝑡) = ∑ 𝑝 ( ) 𝑇 𝑛=−∞

(9.3.4)

CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali -

183

con 𝑇 < 𝑇𝑐 . Il segnale campionato, in questo caso, si presenta (vedi Fig. 9.5) nella forma: ∞

𝑡 − 𝑛𝑇𝑐 𝑠𝑐 (𝑡) = 𝑠(𝑡) ⋅ 𝑣0 (𝑡) = 𝑠(𝑡) ∑ 𝑝 ( ) 𝑇

(9.3.5)

𝑛=−∞

e si parla di campionamento naturale.

Fig. 9.5 - Campionamento naturale.

La trasformata di 𝑠𝑐 (𝑡) si può calcolare tramite il teorema della convoluzione nel dominio della frequenza ottenendo: 𝑆𝑐 (𝑓) = 𝑆(𝑓) ∗ 𝑉0 (𝑓)

(9.3.6)

dove: ∞

𝑉0 (𝑓) = 𝔉[𝑣0 (𝑡)] = 𝔉 [ ∑ 𝑉0 𝑛 𝑒

𝑗2𝜋𝑛

𝑡 𝑇𝑐

]

𝑛=−∞

(9.3.7)

∞

= ∑ 𝑉0 𝑛 𝛿(𝑓 − 𝑛𝑓𝑐 ) 𝑛=−∞

in cui 𝑇

𝑉0 𝑛

1 2 𝑃(𝑛𝑓𝑐 𝑇) = ∫ 𝑝(𝑡)𝑒 −𝑗2𝜋𝑛𝑓𝑐𝑡 𝑑𝑡 = 𝑇 𝑇𝑐 − 𝑇𝑐 2

(9.3.8)

184

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Si ha quindi: ∞

∞

𝑆𝑐 (𝑓) = ∑ 𝑉0 𝑛 ∫ 𝑆(𝜑)𝛿(𝑓 − 𝜑 − 𝑛𝑓𝑐 )𝑑𝜑 𝑛=−∞

−∞

∞

∞

𝑛=−∞

𝑛=−∞

1 = ∑ 𝑉0 𝑛 𝑆(𝑓 − 𝑛𝑓𝑐 ) = ∑ 𝑃(𝑛𝑓𝑐 𝑇)𝑆(𝑓 − 𝑛𝑓𝑐 ) 𝑇𝑐

(9.3.9)

La (9.3.9) mostra che nel campionamento naturale l’ennesima ripetizione dello spettro risulta moltiplicata per il fattore 𝑃(𝑛𝑓𝑐 𝑇) 𝑇𝑐

.

Pertanto nell'intervallo

𝑓𝑐 𝑓𝑐

(− , ), la forma 2

Fig. 9.6 - Spettro del segnale campionato: campionamento ideale, campionamento naturale.

2

dello spettro rimane immutata, è quindi evidente che il segnale può essere ancora ricostruito. Nel caso

𝑡

in cui 𝑝(𝑡) =⊓ (𝑇) si ha 𝑃(𝑓) = 𝑇sinc(𝑓𝑇) da cui sostituendo nella (9.3.9) si ottiene: ∞

𝑇 𝑆𝑐 (𝑓) = ∑ sinc(𝑛𝑓𝑐 𝑇)𝑆(𝑓 − 𝑛𝑓𝑐 ) 𝑇𝑐

(9.3.10)

𝑛=−∞

In questo caso lo spettro di ampiezza |𝑆𝑐 (𝑓)| del segnale 𝑠𝑐 (𝑡) si presenta come è mostrato in Fig. 9.6. Tornando alla Fig. 9.5 possiamo osservare che nel campionamento naturale il generico impulso 𝑝(𝑡 − 𝑛𝑇𝑐 ) viene in realtà distorto dal segnale quindi non possiamo parlare di vero e proprio campionamento nel senso che non potremmo ricostruire il segnale a partire dalla sola conoscenza dei valori che esso assume in una sequenza di istanti, tale campionamento potrebbe al più essere utilizzato per una multiplazione di più segnali su uno stesso mezzo fisico (multiplazione a divisione di tempo), in quanto sarebbe possibile inserire tra gli impulsi associati ad un segnale quelli relativi ad altri.

CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali -

185

9.4 - Campionamento istantaneo. Un'altra modalità di campionamento consiste nel cosiddetto campionamento istantaneo (vedi Fig. 9.7). In questo caso il segnale campionato vale: ∞

𝑡 − 𝑛𝑇𝑐 𝑠𝑐 (𝑡) = ∑ 𝑠(𝑛𝑇𝑐 )𝑝 ( ) 𝑇

(9.4.1)

𝑛=−∞

Nel campionamento istantaneo gli impulsi che costituiscono 𝑠𝑐 (𝑡) mantengono cioè la loro forma mentre le loro ampiezze sono proporzionali ai campioni 𝑠(𝑛𝑇𝑐 ) del segnale. Per valutare lo spettro del segnale espresso dalla (9.4.1) è

Fig. 9.7 Campionamento Istantaneo

conveniente scrivere 𝑝 (

𝑡−𝑛𝑇𝑐 𝑇

) mediante la seguente convoluzione:

𝑡 − 𝑛𝑇𝑐 𝑡 𝑝( ) = 𝑝 ( ) ∗ 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇𝑐 ) 𝑇 𝑇

(9.4.2)

Di conseguenza: ∞

𝑡 𝑠𝑐 (𝑡) = 𝑝 ( ) ∗ ( ∑ 𝑠(𝑛𝑇𝑐 )𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇𝑐 )) 𝑇 𝑛=−∞ ∞

𝑡 = 𝑝 ( ) ∗ (𝑠(𝑡) ∑ 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇𝑐 )) 𝑇

(9.4.3)

𝑛=−∞

Nella precedente abbiamo ricordato che: 𝑠(𝑛𝑇𝑐 )𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇𝑐 ) = 𝑠(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇𝑐 )

e utilizzando la (5.8.5) per la trasformata di 𝑠𝑐 (𝑡), si ottiene:

(9.4.4)

186

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati ∞

𝑆𝑐 (𝑓) = 𝑃(𝑓)𝔉 [𝑠(𝑡) ∑ 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇𝑐 )] 𝑛=−∞ ∞

= 𝑃(𝑓) (𝑆(𝑓) ∗

1 ∑ 𝛿(𝑓 − 𝑛𝑓𝑐 )) 𝑇𝑐

(9.4.5)

𝑛=−∞

∞

=

𝑃(𝑓) ∑ 𝑆(𝑓 − 𝑛𝑓𝑐 ) 𝑇𝑐 𝑛=−∞

𝑡 𝑇

Nel caso in cui 𝑝(𝑡) =⊓ ( ) avremmo: ∞

𝑆𝑐 (𝑓) = 𝑇sinc(𝑓𝑇)𝔉 [𝑠(𝑡) ∑ 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇𝑐 )] 𝑛=−∞ ∞

= 𝑇sinc(𝑓𝑇) (𝑆(𝑓) ∗

1 ∑ 𝛿(𝑓 − 𝑛𝑓𝑐 )) 𝑇𝑐

(9.4.6)

𝑛=−∞

∞

𝑇 = sinc(𝑓𝑇) ∑ 𝑆(𝑓 − 𝑛𝑓𝑐 ) 𝑇𝑐 𝑛=−∞

In questo caso lo spettro del segnale campionato è mostrato in blu in 𝑇 Fig. 9.8, da cui si rileva che, a causa del fattore 𝑇 sinc(𝑓𝑇) tale spettro ha 𝑐

una forma diversa da quello del segnale nella porzione contenuta nell'in-

Fig. 9.8 - Campionamento naturale, campionamento istantaneo.

CAPITOLO - 9 - Il Campionamento dei Segnali 𝑓

187

𝑓

tervallo (− 2𝑐 , 2𝑐 ). Di conseguenza un filtro passabasso non è in grado di ricostruire il segnale. Tuttavia, poiché il legame tra lo spettro del segnale campionato e quello di 𝑠(𝑡) è noto, è possibile eliminare la distorsione introdotta dal campionatore. Si osservi inoltre che, se 𝑇 𝑁

(10.6.21)

Seguendo una procedura analoga a quella adottata per i segnali a tempo continuo si ottiene anche: ∗ 𝛾21 (−𝑛𝑇) = 𝛾12 (𝑛𝑇)

(10.6.22)

Le trasformate di Fourier delle funzioni di mutua correlazione rispettivamente valgono: ∞

𝛤12 (𝑓) = 𝑇 ∑ 𝛾12 (𝑛𝑇)𝑒 −𝑗2𝜋𝑛𝑓𝑇 a)

𝑛=−∞ ∞

=𝑇 ∑ 𝑒 𝑛=−∞

−𝑗2𝜋𝑛𝑓𝑇

𝛾𝑁12 (𝑛𝑇) lim = 𝑁→∞ 2𝑁 + 1

(10.6.23)

218

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati ∞

∞

1 = 𝑇 lim ∑ ∑ 𝑠1𝑁 ((𝑛 𝑁→∞ 2𝑁 + 1 2

𝑛=−∞ 𝑘=−∞

∗ (𝑘𝑇) −𝑗2𝜋𝑛𝑓𝑇 + 𝑘)𝑇)𝑠2𝑁 𝑒 ∞

∞

𝑘=−∞

𝑛=−∞

1 ∗ (𝑘𝑇)𝑒 𝑗2𝜋𝑘𝑓𝑇 = 𝑇 lim ∑ 𝑠2𝑁 ∑ 𝑠1𝑁 ((𝑛 𝑁→∞ 2𝑁 + 1 2

b)

∗ (𝑓) 𝑆1𝑁 (𝑓)𝑆2𝑁 + 𝑘)𝑇) 𝑒 −𝑗2𝜋(𝑛+𝑘)𝑓𝑇 = lim ; 𝑁→∞ 2𝑁 + 1 ∗ (𝑓) 𝑆2𝑁 (𝑓)𝑆1𝑁 𝛤21 (𝑓) = lim 𝑁→∞ 2𝑁 + 1

Per l'autocorrelazione a tempo discreto si ha ovviamente: 𝛾𝑁 (𝑛𝑇) 𝑁→∞ 2𝑁 + 1

𝛾(𝑛𝑇) = lim

(10.6.24)

e la sua trasformata di Fourier vale: |𝑆𝑁 (𝑓)|2 𝑆𝑁 (𝑓)𝑆𝑁∗ (𝑓) = lim 𝑁→∞ 𝑁→∞ 2𝑁 + 1 2𝑁 + 1

𝛤(𝑓) = lim

(10.6.25)

Ponendo 𝑛 = 0 nella (10.6.24)si ha: ∞

𝛾𝑁 (0) 1 𝛾(0) = lim = 𝑇 lim ∑ |𝑠𝑁 (𝑘𝑇)|2 𝑁→∞ 2𝑁 + 1 𝑁→∞ 2𝑁 + 1

(10.6.26)

𝑘=−∞

di conseguenza: ∞

1

𝑘=−∞

2𝑇

1 2𝑇 𝑇 lim ∑ |𝑠𝑁 (𝑘𝑇)|2 = ∫ 𝛤(𝑓)𝑑𝑓 1 𝑁→∞ 2𝑁 + 1 − =∫

1 2𝑇 1 2𝑇

−

|𝑆𝑁 (𝑓)|2 lim 𝑑𝑓 𝑁→∞ 2𝑁 + 1

(10.6.27)

che è la formulazione del teorema di Parseval per i segnali a tempo discreto a potenza finita.

CAPITOLO - 11 TRASFORMAZIONI LINEARI DISCRETE 11.1 - Studio nel dominio del tempo Nei sistemi numerici i segnali che intervengono in ingresso e in uscita sono dei segnali tempo discreti denotati con 𝑥(𝑛𝑇) e 𝑦(𝑛𝑇) rispettivamente. In quel che segue è conveniente normalizzare il quanto temporale 𝑇 ponendo 𝑇 = 1. Questo comporta che ci si riferisce a sequenze numeriche 𝑥𝑛 e 𝑦𝑛 in uscita. e il sistema numerico è caratterizzato dalla seguente trasformazione lineare: 𝑦𝑛 = 𝑆{𝑥𝑛 }

(11.1.1)

Come nel caso dei sistemi lineari analogici, per caratterizzare la trasformazione 𝑆 basta esprimere il segnale in ingresso nella forma: ∞

𝑥𝑛 = ∑ 𝑥𝑘 𝛿𝑛−𝑘

(11.1.2)

𝑘=∞

essendo 𝛿𝑛 la sequenza impulsiva definita dalla: 𝛿𝑛 = {

1; 0;

𝑛=0 𝑛≠0

(11.1.3)

Se la trasformazione 𝑆 è lineare, risulta: ∞

𝑦𝑛 = ∑ 𝑥𝑘 𝑆{𝛿𝑛−𝑘 }

(11.1.4)

𝑘=∞

la quale, ponendo: ℎ𝑛,𝑘 = 𝑆{𝛿𝑛−𝑘 }

(11.1.5)

assume la forma: ∞

𝑦𝑛 = ∑ 𝑥𝑘 ℎ𝑛,𝑘

(11.1.6)

𝑘=∞

La sequenza ℎ𝑛,𝑘 , definita dalla (11.1.5), corrisponde alla risposta del sistema quando al suo ingresso è applicata la sequenza impulsiva (11.1.3) ritardata di 𝑘 passi e pertanto costituisce la cosiddetta risposta im-

220

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

pulsiva del sistema. Se la trasformazione 𝑆 oltre che lineare è anche tempo invariante, la (11.1.6) diviene: ∞

∞

𝑦𝑛 = ∑ 𝑥𝑘 ℎ𝑛−𝑘 = ∑ 𝑥𝑛−𝑘 ℎ𝑘 𝑘=∞

(11.1.7)

𝑘=∞

essendo: ℎ𝑛 = 𝑆{𝛿𝑛 }

(11.1.8)

In sostanza, come per i sistemi a tempo continuo, il segnale in uscita da un sistema discreto lineare e tempo invariante si ottiene dalla convoluzione della sequenza d’ingresso con la risposta impulsiva ℎ𝑛 . Nel caso di sistemi discreti la condizione di causalità comporta: ℎ𝑛,𝑘 = 0 𝑝𝑒𝑟 𝑛 < 𝑘

(11.1.9)

che, nel caso di trasformazioni tempo invarianti, si semplifica nella: ℎ𝑛 = 0 𝑝𝑒𝑟 𝑛 < 0

(11.1.10)

Per sistemi causali tempo varianti la (11.1.6) diventa: 𝑛

𝑦𝑛 = ∑ 𝑥𝑘 ℎ𝑛,𝑘

(11.1.11)

𝑘=∞

e per sistemi tempo invarianti la (I.43) si semplifica nella: 𝑛

∞

𝑦𝑛 = ∑ 𝑥𝑘 ℎ𝑛−𝑘 = ∑ 𝑥𝑛−𝑘 ℎ𝑘 𝑘=∞

(11.1.12)

𝑘=0

Nell'ambito dei sistemi discreti la risposta impulsiva ℎ𝑛,𝑘 può presentare una durata finita o infinita. Si ottengono così i cosiddetti sistemi a risposta impulsiva a durata finita (sistemi FIR Finite Impulse Response) o i sistemi a risposta impulsiva a durata infinita (sistemi IIR Infinite Impulsive Response). Nel caso di sistemi lineari FIR causali, tempo invarianti si può porre, senza ledere le generalità: ℎ𝑛 = 0 𝑝𝑒𝑟 𝑛 < 0 𝑒 𝑛 > 𝑁

e questo comporta:

(11.1.13)

CAPITOLO - 11 - Trasformazioni Lineari Discrete. 𝑛

𝑦𝑛 =

221

𝑁−1

∑

𝑥𝑘 ℎ𝑛−𝑘 = ∑ 𝑥𝑛−𝑘 ℎ𝑘

𝑘=𝑛−𝑁+1

(11.1.14)

𝑘=0

Si osservi che il sistema presenta una memoria finita giacchè solo 𝑁 valori del segnale in ingresso contribuiscono alla determinazione dell’uscita 𝑦𝑛 . Per contro i sistemi IIR sono caratterizzati da una memoria infinita. Un sistema discreto lineare e tempo invariante può essere caratterizzato da un’equazione alle differenze del tipo: 𝑀

𝑁

𝑦𝑛 + ∑ 𝑎𝑘 𝑦𝑛−𝑘 = ∑ 𝑏𝑘 𝑥𝑛−𝑘 𝑘=1

(11.1.15)

𝑘=0

Il valore 𝑦𝑛 dell’uscita dipende così dagli 𝑀 valori 𝑦𝑛−1 , 𝑦𝑛−2 , … 𝑦𝑛−𝑀 precedenti. Un sistema di questo tipo viene denominato sistema ricorsivo. Se è: 𝑁

𝑦𝑛 = ∑ 𝑏𝑘 𝑥𝑛−𝑘

(11.1.16)

𝑘=0

il sistema è detto non ricorsivo;. E’ interessante osservare che la risposta impulsiva di un sistema non ricorsivo vale: 𝑁

ℎ𝑛 = ∑ 𝑏𝑘 𝛿𝑛−𝑘 = { 𝑘=0

𝑏𝑛 ; 0;

0≤𝑛≤𝑁 𝑎𝑙𝑡𝑟𝑜𝑣𝑒

(11.1.17)

il che significa che un sistema non ricorsivo è un sistema FIR. Un caso interessante è costituito dal sistema retto dalla seguente equazione alle differenze: 𝑀

𝑦𝑛 + ∑ 𝑎𝑘 𝑦𝑛−𝑘 = 𝑥𝑛

(11.1.18)

𝑘=1

La sua risposta impulsiva è definita dalla: 𝑀

ℎ𝑛 + ∑ 𝑎𝑘 ℎ𝑛−𝑘 = 𝛿𝑛 𝑘=1

Per ottenere la soluzione basta porre:

(11.1.19)

222

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

ℎ𝑛 = 𝐴𝜆𝑛

(11.1.20)

dove 𝐴 e 𝜆 sono due costanti. Sostituendo l’espressione della ℎ𝑛 nella (11.1.19)si ottiene: 𝑀

𝑀

𝐴𝜆𝑛 + ∑ 𝑎𝑘 𝐴𝜆𝑛−𝑘 = 𝐴𝜆𝑛−𝑀 (𝜆𝑀 + ∑ 𝑎𝑘 𝜆𝑀−𝑘 ) = 0; 𝑘=1

(11.1.21)

𝑘=1

𝑛>0

che, dovendo essere verificata per tutti i valori di 𝑛, comporta l’annullamento del polinomio: 𝜆𝑀 + 𝑎1 𝜆𝑀−1 + 𝑎2 𝜆𝑀−2 + ⋯ 𝑎𝑀

(11.1.22)

detto polinomio caratteristico del sistema. Un parametro 𝜆, che individua una soluzione della(11.1.21), deve pertanto essere uno zero del polinomio caratteristico. Esistono 𝑀 zeri di detto polinomio, non necessariamente distinti, che possono essere reali o complessi. Nel secondo caso, se i coefficienti 𝑎𝑘 ∈ ℝ, gli zeri complessi si presentano in coppie coniugate. Se gli zeri sono distinti la risposta impulsiva assume la forma: 𝑀

ℎ𝑛 = ∑ 𝐴𝑝 𝑧𝑝𝑛

(11.1.23)

𝑝=1

dove z𝑝 denota il generico zero del polinomio caratteristico. Se il polinomio caratteristico contiene zeri multipli, la forma della (11.1.23) deve essere modificata. Ad esempio se z1 è uno zero di molteplicità 𝑚 e gli altri 𝑀 − 𝑚 sono semplici, si ha: 𝑚

𝑀

ℎ𝑛 = ∑ 𝐴𝑝 𝑛𝑝−1 𝑧1𝑛 ∑ 𝐴𝑝 𝑧𝑝𝑛 𝑝=1

(11.1.24)

𝑝=1

Le costanti 𝐴𝑝 che compaiono nella (11.1.23) o (11.1.24) si determinano imponendo che siano nulle le condizioni iniziali e cioè: ℎ−1 = ℎ−2 = ⋯ = ℎ−𝑀 = 0

(11.1.25)

Esempio 11.1 Per determinare la risposta impulsiva del sistema del secondo ordine seguente: 𝑦𝑛 = 3𝑦𝑛−1 + 4𝑦𝑛−2 + 𝑥𝑛

CAPITOLO - 11 - Trasformazioni Lineari Discrete.

223

basta porre 𝑥𝑛 = 𝛿𝑛 . Si ha: (*) ℎ𝑛 = 3ℎ𝑛−1 + 4ℎ𝑛−2 + 𝛿𝑛 le radici del polinomio caratteristico: 𝜆𝑛 − 3𝜆 − 4 = 0

valgono 𝑧1 = 1 e 𝑧2 = 4 , la risposta impulsiva è della forma: ℎ𝑛 = 𝐴1 (−1)𝑛 + 𝐴2 4𝑛 ; 𝑛 ≥ 0

Per determinare le costanti 𝐴1 e 𝐴2 basta porre nella (*) 𝑛 = 0 e 𝑛 = 1. Tenendo presente che deve essere ℎ−1 = ℎ−2 = 0, si deduce: ℎ0 = 3ℎ−1 + 4ℎ−2 + 𝛿0 = 1 ℎ1 = 3ℎ0 + 4ℎ−1 + 𝛿1 = 3

che, tenendo conto dell’espressione della ℎ𝑛 , forniscono il seguente sistema di equazioni: 𝐴 + 𝐴2 = 1; { 1 −𝐴1 + 4𝐴2 = 3;

la cui soluzione è: 𝐴1 =

1 4 ;𝐴 = 5 2 5

Si ha di conseguenza: 1 4 ℎ𝑛 = (−1)𝑛 + 4𝑛 ; 𝑛 ≥ 0 5 5

11.2 - Studio nel dominio della frequenza Prendendo la trasformata di Fourier della sequenza 𝑦𝑛 definita dalla (11.1.6) si ottiene: ∞

∞

𝑌(𝑓) = ∑ 𝑦𝑛 𝑒

−𝑗2𝜋𝑛𝑓

∞

= ∑ 𝑒

𝑛=−∞

−𝑗2𝜋𝑛𝑓

𝑛=−∞

∑ 𝑥𝑘 ℎ𝑛,𝑘

(11.2.1)

𝑘=∞

che, esprimendo la sequenza d’ingresso 𝑥𝑘 mediante la sua trasformata di Fourier 𝑋(𝑓) diventa: ∞

∞

𝑌(𝑓) = ∑ 𝑒

−𝑗2𝜋𝑛𝑓

𝑛=−∞ 1 2

∑ ℎ𝑛,𝑘 ∫ 𝑋(𝜑)𝑒 𝑗2𝜋𝑘𝜑 𝑑𝜑 𝑘=∞

∞

1 2

−

1 2

∞

= ∫ 𝑋(𝜑) ∑ ∑ ℎ𝑛,𝑘 𝑒 −𝑗2𝜋(𝑛𝑓−𝑘𝜑) 𝑑𝜑 1 2

−

Denotando con:

𝑛=−∞ 𝑘=∞

(11.2.2)

224

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati ∞

∞

̃(𝑓, −𝜑) = ∑ ∑ ℎ𝑛,𝑘 𝑒 −𝑗2𝜋(𝑛𝑓−𝑘𝜑) 𝐻

(11.2.3)

𝑛=−∞ 𝑘=∞

la trasformata bidimensionale di Fourier della risposta impulsiva ℎ(𝑛, 𝑘), valutata in 𝑓 ed in −𝜑, si ha: 1 2

̃(𝑓, −𝜑)𝑋(𝜑) 𝑑𝜑 𝑌(𝑓) = ∫ 𝐻 −

1 2

(11.2.4)

Nel caso di trasformazioni tempo invarianti, la (11.2.3) diventa: ∞

∞

̃(𝑓, −𝜑) = ∑ ∑ ℎ𝑛−𝑘 𝑒 −𝑗2𝜋(𝑛𝑓−𝑘𝜑) 𝐻 𝑛=−∞ 𝑘=∞ ∞

∞

= ∑ ∑ ℎ𝜈 𝑒 −𝑗2𝜋(𝜈𝑓−𝑘(𝜑−𝑓))

(11.2.5)

𝜈=−∞ 𝑘=∞ ∞

∞

= ∑ ℎ𝜈 𝑒

−𝑗2𝜋𝜈𝑓

𝜈=−∞

∑ 𝑒 −𝑗2𝜋𝑘(𝑓−𝜑) 𝑘=∞

Si osservi adesso che:

∞

∑ ℎ𝜈 𝑒 −𝑗2𝜋𝜈𝑓 = 𝐻(𝑓)

(11.2.6)

𝜈=−∞

è la trasformata di Fourier della risposta impulsiva del sistema, inoltre, l’uguaglianza di Poisson (5.5.8) ci permette di scrivere: ∞

∞

∑𝑒

−𝑗2𝜋𝑘(𝑓−𝜑)

𝑘=∞

= ∑ 𝛿(𝑓 − 𝜑 − 𝑚)

(11.2.7)

𝑚=∞

Quindi, se il sistema è tempo invariante possiamo ulteriormente scrivere: ∞

∞

̃(𝑓, −𝜑) = ∑ ℎ𝜈 𝑒 −𝑗2𝜋𝜈𝑓 ∑ 𝑒 −𝑗2𝜋𝑘(𝑓−𝜑) 𝐻 𝜈=−∞ ∞

= 𝐻(𝑓) ∑ 𝛿(𝑓 − 𝜑 − 𝑚) 𝑚=∞

Che, sostituita nella (11.2.4) fornisce:

𝑘=∞

(11.2.8)

CAPITOLO - 11 - Trasformazioni Lineari Discrete.

225

∞

1 2

𝑌(𝑓) = 𝐻(𝑓) ∫ ∑ 𝛿(𝑓 − 𝜑 − 𝑚) 𝑋(𝜑) 𝑑𝜑 1

− 𝑚=∞ 2 ∞

1 2

= 𝐻(𝑓) ∑ 𝑋(𝑓 − 𝑚) ∫ 𝛿(𝜑 − (𝑓 − 𝑚)) 𝑑𝜑 1 2

−

𝑚=∞

(11.2.9)

∞

= 𝐻(𝑓) ∑ 𝑋(𝑓 − 𝑚)⊓(𝑓 − 𝑚) = 𝐻(𝑓)𝑋(𝑓) 𝑚=∞

̃ (𝑓, −𝜑) e 𝐻 (𝑓) denotano la risposta in frequenza Le funzioni 𝐻 di un sistema lineare tempo variante e tempo invariante rispettivamente. Nel caso di sistemi tempo invarianti la risposta in frequenza può essere facilmente calcolata sulla base della risposta del sistema ad un ingresso cisoidale del tipo: 𝑥𝑛 = 𝑒 𝑗2𝜋𝑛𝑓

Si ha infatti, per la (11.1.7): ∞

𝑦𝑛 = ∑ 𝑒

𝑗2𝜋(𝑛−𝑘)𝑓

𝑘=−∞

=𝑒

𝑗2𝜋𝑛𝑓

(11.2.10) ∞

ℎ𝑘 = 𝑒

𝑗2𝜋𝑛𝑓

∑ ℎ𝑘 𝑒 −𝑗2𝜋𝑘𝑓 𝑘=−∞

(11.2.11)

𝐻(𝑓)

La risposta del sistema presenta la stessa forma della sollecitazione in ingresso, l'ampiezza però dipende dalla risposta in frequenza del sistema

CAPITOLO - 12 VALUTAZIONE NUMERICA DELLA TRASFORMATA DI FOURIER 12.1 - Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier di un Segnale a tempo continuo Uno dei fondamentali problemi della Teoria dei segnali consiste nella valutazione numerica della trasformata di Fourier 𝑆(𝑓) di un segnale 𝑠(𝑡) a tempo continuo e a energia finita. A tal fine si consideri un segnale che, seppur non rigorosamente passabasso, permetta comunque di definire un opportuno intervallo di 1

1

frequenze [− 2𝑇 , 2𝑇] al di fuori del quale resta una frazione trascurabile della sua energia specifica. Sotto questa ipotesi la trasformata di Fourier del segnale si può approssimare, trascurando cioè gli effetti del ricoprimento spettrale, in base alla (9.1.7) utilizzando la sequenza dei suoi campioni: ∞

𝑆(𝑓) ≅ 𝑇⊓(𝑓𝑇) ∑ 𝑠(𝑛𝑇)𝑒 −𝑗2𝜋𝑛𝑓𝑇

(12.1.1)

𝑛=−∞

Osseviamo che, per l’ipotesi fatta nel paragrafo precedente, se si campionasse 𝑆(𝑓) nel dominio della frequenza, si otterebbe solo un numero finito, diciamo 𝑁, di campioni significativamente diversi da ze1

1

ro, precisamente quelli ricadenti all'interno dell'intervallo [− 2𝑇 , 2𝑇]. Il generico campione della trasformata si può esprimere mediante la (12.1.1) nella forma: ∞

𝑆(

2𝜋𝑚𝑛 𝑚 𝑚 ) ≅ 𝑇⊓ ( ) ∑ 𝑠(𝑛𝑇)𝑒 −𝑗 𝑁 𝑁𝑇 𝑁

(12.1.2)

𝑛=−∞

1

dove si è implicitamente scelto un passo di campionamento pari a 𝑁𝑇. Supponendo, per semplicità, di scegliere un valore dispari per 𝑁, la precedente può essere riscritta come segue:

228

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati ∞

𝑚 𝑚 𝑆 ( ) ≅ 𝑇⊓ ( ) ∑   𝑁𝑇 𝑁

𝑁−1 2

𝑙𝑁+

𝑠(𝑛𝑇)𝑒 −𝑗

∑

2𝜋𝑚𝑛 𝑁

(12.1.3)

𝑙=−∞ 𝑛=𝑙𝑁−𝑁−1 2

la quale, effettuando la sostituzione di indice 𝑛′ = 𝑛 − 𝑙𝑁, scambiando l'ordine delle sommatorie, e tenendo conto della periodicità del fattore esponenziale, diventa: 𝑚 𝑚 𝑆 ( ) ≅ 𝑇⊓ ( ) 𝑁𝑇 𝑁

𝑁−1 2

∑ 𝑛′ =−

∞

[ ∑ 𝑠((𝑛′ + 𝑙𝑁)𝑇)] 𝑒 −𝑗

2𝜋𝑚𝑛′ 𝑁

(12.1.4)

𝑁−1 𝑙=−∞ 2

Si nota che la sommatoria interna è la ripetizione periodica della sequenza 𝑠(𝑛𝑇) dei campioni del segnale effettuata con periodicità 𝑁𝑇. È ovvio che detta ripetizione periodica è in genere, diversa da 𝑠(𝑛𝑇), anche nell'intervallo [−

𝑁−1 2

𝑇,

𝑁−1 2

𝑇], a causa del ricoprimento temporale

che insorge in quanto il segnale può non essere a durata rigorosamente limitata. Se tuttavia il segnale in esame consente di determinare un valore della quantità 𝑁𝑇 che renda trascurabile l'effetto del ricoprimento temporale, si può scrivere: ∞

𝑛 𝑛 ⊓ ( ) ∑ 𝑠((𝑛 + 𝑙𝑁)𝑇) ≅ ⊓ ( ) 𝑠(𝑛𝑇) 𝑁 𝑁

(12.1.5)

𝑙=−∞

quindi la (12.1.4) diviene: 𝑁−1 2

2𝜋𝑚𝑛 𝑚 𝑚 𝑆 ( ) ≅ 𝑇⊓ ( ) ∑ 𝑠(𝑛𝑇)𝑒 −𝑗 𝑁 𝑁𝑇 𝑁 𝑁−1

𝑛=−

(12.1.6)

2

𝑚

la quale, sfruttando l'ortogonalità delle sequenze ⊓ ( 𝑁 ) 𝑒 −𝑗2𝜋𝑚𝑛⁄𝑁 , può essere facilmente invertita: 𝑠(𝑛𝑇) ≅

1 𝑛 ⊓ (𝑁 ) 𝑁𝑇

𝑁−1 2

∑ 𝑚=−

𝑁−1 2

𝑆(

2𝜋𝑚𝑛 𝑚 ) 𝑒𝑗 𝑁 𝑁𝑇

(12.1.7)

CAPITOLO - 12 - Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier -

229

La (12.1.6) e la (12.1.7) definiscono una coppia di trasformate discrete di Fourier di ordine 𝑁. Esse costituiscono il punto di partenza per valutare numericamente la trasformata e l'antitrasformata di Fourier di un segnale a tempo continuo. Esempio 12.1 Si consideri il segnale a tempo continuo dato dalla: 𝑡 1 𝑠(𝑡) = ⊓ ( − ) 𝑇0 2

È noto che la sua trasformata di Fourier vale: 𝑆(𝑓) = 𝑇0 sinc(𝑓𝑇0 )𝑒 −𝑗𝜋𝑓𝑇0

Tenendo presente la (12.1.5), si scelgono un passo di campionamento T ed un valore di N tali che risulti NT  T0 , Quindi la (12.1.5) vale, in questo caso, come uguaglianza. Si avrà: 1; 𝑠(𝑛𝑇) = { 0;

0≤𝑛≤𝑀 𝑎𝑙𝑡𝑟𝑜𝑣𝑒 𝑇0 𝑀=⌊ ⌋ 𝑇

D'altra parte la scelta del passo di campionamento 𝑇 incide sull'entità dell'errore dovuto al ricoprimento spettrale. Volendo limitare tale errore, occorre rendere sufficientemente elevata la quantità 1⁄𝑇 , in accordo con la (12.1.6). Scegliere un valore 𝑇 equivale ad ipotizzare che il segnale abbia una banda 𝐵 = 1⁄2𝑇 . Nel caso specifico, si può procedere assumendo che il segnale abbia una banda equivalente 𝐵𝑒 = k⁄𝑇 (𝑘 > 1) e quindi assumere: 0 𝑇≤

𝑇0 2𝑘

il che comporta: 𝑇

𝑁 ≥ ⌈ 0 ⌉ ≥ 2𝑘 𝑇

In tali condizioni si ottiene: 𝑆(

𝑁−1

𝑀−1

𝑛=0

𝑛=0

2𝜋𝑚𝑛 2𝜋𝑚𝑛 𝑚 ) = 𝑇 ∑ 𝑠(𝑛𝑇)𝑒 −𝑗 𝑁 = 𝑇 ∑ 𝑒 −𝑗 𝑁 𝑁𝑇

={ 𝑇

𝑒

−𝑗

2𝜋𝑚𝑀 𝑁

2𝜋𝑚 −𝑗 𝑁

𝑒 𝑇𝑀;

−1

−1

;

𝑚=−

𝑁 𝑁 , … , −1,1, … , − 1 2 2 𝑚=0

230

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

il cui modulo vale: 𝑚𝑀

𝑠𝑖𝑛 (𝜋 ) 𝑁 𝑚 𝑇⋅| |; 𝑚 |𝑆 ( )| = 𝑠𝑖𝑛 (𝜋 ) 𝑁𝑇 𝑁 { 𝑇𝑀;

𝑚=−

𝑁 𝑁 , … , −1,1, … , − 1 2 2 𝑚=0 𝑚

In Fig.E 12.1sono riportati gli andamenti di |𝑆 ( )| per diversi valori di 𝑁𝑇

𝑁 e di 𝑇 unitamente al modulo di 𝑆(𝑓). Si noti che al crescere del parametro 𝑇 le righe dello spettro si infittiscono e l'errore tra il valore vero dello spettro e quello stimato si riduce, in quanto la banda aumenta e si riduce di conseguenza l’aliasing. Esempio 12.2 Si consideri il seguente segnale tempo continuo: 𝑠(𝑡) = 𝑢(𝑡)𝑒 −𝑡

Fig.E 12.1

CAPITOLO - 12 - Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier -

231

la cui trasformata di Fourier vale: 𝑆(𝑓) =

1 1 + 𝑗2𝜋𝑓

Il segnale considerato non presenta né durata né banda rigorosamente limitata per cui è necessaria un'adeguata scelta di 𝑁 e 𝑇 per limitare sia l'errore di ricoprimento temporale sia quello di ricoprimento spettrale. In tal caso si può scrivere: ∞

𝑆(

𝑚 𝑚 𝑘 ) ≅ ∑ 𝑆( + ); 𝑁𝑇 𝑁𝑇 𝑇

0≤𝑚 ≤𝑁−1

𝑘=−∞

e quindi in base alla (12.1.6)si ha:

Fig.E 12.2 𝑁−1

𝑆(

2𝜋𝑚𝑛 𝑚 1 − 𝑒 −𝑁𝑇 ) ≅ 𝑇 ∑ 𝑠(𝑛𝑇)𝑒 −𝑗 𝑁 = 𝑇 ; 2𝜋𝑚 𝑁𝑇 1 − 𝑒 −𝑗 𝑁 −𝑇

𝑛=0

𝑚 = 0,1, … , 𝑁 − 1

232

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

il cui modulo è dato dalla: |𝑆 (

𝑚 )| = 𝑇 𝑁𝑇

1 − 𝑒 −𝑁𝑇 √1

+ 𝑒 −2𝑇

−

2𝜋𝑚 2𝑒 −𝑇 𝑐𝑜𝑠 ( ) 𝑁

;

𝑚 = 0,1, … , 𝑁 − 1

𝑚

In Fig. E.IX.8 sono paragonati i valori delle quantità |𝑆 ( )| al variare 𝑁𝑇

dei parametri 𝑁 e 𝑇 con il modulo dello spettro del segnale 𝑠(𝑡): |𝑆(𝑓)| =

1 √1 + (2𝜋𝑓)2

allo scopo di illustrare l'influenza del numero dei punti e della periodicità nella valutazione numerica dello spettro di un segnale che non presenta né durata né banda rigorosamente limitata.

12.2 - Troncamento del segnale. Finestre temporali. Un modo per eliminare gli errori di ricoprimento temporale è quello di considerare una versione troncata del segnale 𝑠(𝑡) 𝑠𝑤 (𝑡) = 𝑠(𝑡) ⋅ 𝑤(𝑡)

(12.2.1)

ottenuta moltiplicando 𝑠(𝑡) per una funzione finestra temporale 𝑤(𝑡) tale che risulti: {

𝑤(𝑡) = 0; 𝑤(0) = 1;

|𝑡| >

𝑇0 ; 2

(12.2.2)

La (12.2.1) comporta un errore nella valutazione della 𝑆(𝑓); tuttavia se 𝑇0 si sceglie in modo tale che i valori del segnale 𝑠(𝑡) al di fuori dell'intervallo [−𝑇0 /2, 𝑇0 /2] siano piccoli rispetto a quelli assunti dal segnale al suo interno, tale errore può ritenersi trascurabile. Per rendersi Fig. 12.1 Spettro della finestra di Hanning conto dell'entità di tale

CAPITOLO - 12 - Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier -

233

errore basta trasformare la (12.2.1). Indicando con 𝑆𝑤 (𝑓), 𝑆(𝑓) e 𝑊(𝑓) le trasformate di 𝑠𝑤 (𝑡), 𝑠(𝑡) e 𝑤(𝑡) rispettivamente si ha: ∞

𝑆𝑤 (𝑓) = 𝑆(𝑓) ∗ 𝑊(𝑓) = ∫ 𝑆(𝜗)𝑊(𝑓 − 𝜗)𝑑𝜗 −∞

(12.2.3)

Si osservi che la forma tipica dello spettro di ampiezza |𝑊(𝑓)| di una funzione finestra si presenta come indicato in Fig. 12.1, cioè ha un lobo fondamentale simmetrico rispetto all'asse delle ordinate che inFig. 12.2 Effetto della funzione finestra sullo spet- siste su un intervallo di amtro di un segnale piezza Δ𝑓 e un insieme di lobi laterali con ampiezze massime via via decrescenti . Se lo spettro 𝑆(𝑓) del segnale 𝑠(𝑡) non è continuo nel punto 𝑓0, lo spettro del segnale troncato si presenta qualitativamente come indicato in Fig. 12.2. Esso è cioè continuo e ha andamento oscillatorio in prossimità di 𝑓0 . Si può verificare che l’ampiezza 𝑊(𝑓 )

delle oscillazioni dipende dal rapporto | 𝑊(0)𝑠 |, cioè dal livello di picco relativo dei lobi secondari dello spettro di 𝑤(𝑡), mentre la transizione da 𝑆(𝑓0− ) a 𝑆(𝑓0+ ) si verifica in una banda la cui ampiezza è proporzionale a 𝛥𝑓. Le quantità |

𝑊(𝑓𝑠 ) 𝑊(0)

| e 𝛥𝑓 pertanto caratterizzano una funzione finestra

dato che i loro valori influenzano la precisione con cui viene approssimato lo spettro. Le caratteristiche di alcune funzioni finestra comunemente usate sono riportate nella Tabella 12.1

234

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Tabella 12.1 Caratteristiche di alcune funzioni finestra

Hamming

Hanning

Bartlett

Rettangolare

𝛥𝑓 𝑡

𝑤(𝑡)

⊓( )

𝑊(𝑓)

𝑇0 sinc(𝑓𝑇0 )

𝑇0

(1 −

𝑤(𝑡)

2 𝑇0

|2𝑡| 𝑡 )⊓( ) 𝑇0 𝑇0

4 𝑇0

𝑊(𝑓)

𝑇0 𝑓𝑇0 2 sinc [ ] 2 2

𝑤(𝑡)

𝜋𝑡 𝑡 cos2 ( ) ⊓ ( ) 𝑇0 𝑇0

𝑊(𝑓)

𝑇0 sinc[𝑓𝑇0 ] 2(1 − 𝑓 2 𝑇02 )

𝑤(𝑡)

2𝜋𝑡 𝑡 (0,54 + 0,46cos ( )) ⊓ ( ) 𝑇0 𝑇0

𝑊(𝑓)

𝑇0

Tukey

𝑤(𝑡)

𝑊(𝑓𝑠 ) | | 𝑊(0)

4 𝑇0

4 𝑇0

(−0.54 + 0.08𝑓 2 𝑇02 ) sinc[𝑓𝑇0 ] (−1 + 𝑓 2 𝑇02 ) 𝜋(2|𝑡|−𝛼𝑇𝑜 )

4|𝑡|−𝑇𝑜 (1+𝛼)

(1−𝛼)𝑇𝑜

2𝑇𝑜 (1−𝛼)

(1 + cos [ 𝑡 ⊓( )+ 𝛼𝑇0

]) ⊓ (

2

sinc[𝑓𝑇0 ] + 𝛼sinc[𝑓𝛼𝑇0 ] 2[1 − (𝑓𝑇0 (𝛼 − 1))2 ]

𝑊(𝑓)

𝑇0

𝑤(𝑡)

𝐼0 (𝜋𝛽√1 − ( ) ) 𝑇

0.22 -13.2 dB

0.047 -26.5 dB

0.027 -31.5db

0.0062 -44 dB

) 4 (1 + 𝛼)𝑇0

Taylor-Kaiser

2𝑡 2 0

𝐼0 (𝜋𝛽)

𝑊(𝑓)

𝑇0

𝑡 ⊓( ) 𝑇0

sinh[𝜋√𝛽 2 − 𝑓 2 𝑇02 ]

2𝛽 𝑇0

0,22𝜋𝛽 sinh(𝜋𝛽)

𝐼0 (𝜋𝛽)𝜋√𝛽 2 − 𝑓 2 𝑇02

N. B. 𝐼0 (𝑥) è la funzione di Bessel modificata di prima specie di ordine zero.

CAPITOLO - 12 - Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier -

235

12.3 - La trasformata discreta di Fourier. Come visto al - §. 12.1 - , le trasformate di Fourier diretta e inversa di un segnale a tempo continuo, possono effettuarsi mediante le (12.1.6) e (12.1.7), purché la scelta del quanto temporale 𝑇 e del numero dei campioni 𝑁 sia tale che gli errori di ricoprimento temporale e spettrale risultino trascurabili. Usualmente le (10.3.9), vengono presentate nella forma: 𝑁−1

a)

𝑆𝑚 = ∑ 𝑠𝑛 𝑒 𝑗

2𝜋𝑛𝑚 𝑁

;

𝑚 = 0,1, … , 𝑁 − 1

𝑛=0

(12.3.1)

𝑁−1

b)

2𝜋𝑛𝑚 1 𝑠𝑛 = ∑ 𝑆𝑚 𝑒 𝑗 𝑁 ; 𝑁

𝑛 = 0,1, … , 𝑁 − 1

𝑚=0

Queste ultime si ottengono normalizzando il quanto temporale (𝑇 = 1). In esse si sono denotati con 𝑠𝑛 e 𝑆𝑚 i campioni del segnale e della sua trasformata di Fourier rispettivamente. Le (12.3.1) sono delle sequenze periodiche di periodo 𝑁, cosicché esse possono essere prolungate al di fuori degli intervalli (0 ≤ 𝑛, 𝑚 ≤ 𝑁 − 1). Ciò significa che 𝑠𝑛 e 𝑆𝑚 sono uguali ai campioni di 𝑠(𝑡) e 𝑆(𝑓) nell'insieme {0, 𝑁 − 1} ma non al di fuori di esso. Per sottolineare tale differenza è allora opportuno denotare con 𝑠̃𝑛 e 𝑆̃𝑚 le sequenze periodicizzate, di conseguenza le (12.3.1) possono essere riscritte nella forma: 𝑁−1

a)

𝑆̃𝑚 = ∑ 𝑠̃𝑛 𝑒 𝑗

2𝜋𝑛𝑚 𝑁

𝑛=0 𝑁−1

b)

2𝜋𝑛𝑚 1 𝑠̃𝑛 = ∑ 𝑆̃𝑚 𝑒 𝑗 𝑁 𝑁

(12.3.2)

𝑚=0

essendo: a)

𝑠̃𝑛 = 𝑠𝑛 ;

0≤𝑛 ≤𝑁−1

b)

𝑆̃𝑚 = 𝑆𝑚 ;

0≤𝑚 ≤𝑁−1

(12.3.3)

Le (12.3.2), costituiscono una coppia di trasformazioni denominate trasformate (diretta e inversa) discrete di Fourier (DFT). Denotando con 𝑠̃𝑁 e 𝑆̃𝑁 i vettori:

236

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

𝑠̃1 … 𝑠̃𝑁−1 ]𝑇 𝑆̃1 … 𝑆̃𝑁−1 ]𝑇

𝒔̃𝑁 = [𝑠̃0 𝑺̃𝑁 = [𝑆̃0

(12.3.4)

e con 𝑾𝑁 la matrice: 𝑾𝑁 =

1

1

1 …

−𝑗

[1

=

𝑒

…

2𝜋 𝑁

… 𝑒

2𝜋(𝑁−1) −𝑗 𝑁

1

… …

𝑒

…

𝑒

−𝑗

2𝜋(𝑁−1) 𝑁

…

2𝜋(𝑁−1)2 −𝑗 𝑁

𝑊𝑁0

𝑊𝑁0

…

𝑊𝑁0

𝑊𝑁0 … [𝑊𝑁0

𝑊𝑁1 … (𝑁−1) 𝑊𝑁

… … …

𝑊𝑁 … (𝑁−1)2 𝑊𝑁 ]

] (12.3.5)

(𝑁−1)

2𝜋

in cui 𝑊𝑁 = 𝑒 −𝑗 𝑁 denota la radice 𝑁-esima dell'unità, le (12.3.2) si possono riscrivere come segue: 𝑺̃𝑁 = 𝑾𝑁 𝒔̃𝑁

a)

𝒔̃𝑁 =

b)

1 ∗ 𝑾 𝑺̃ 𝑁 𝑁 𝑁

(12.3.6)

Confrontando le (12.3.6)si ottiene facilmente: 1 ∗ 𝑾 𝑁 𝑁

(12.3.7)

𝑾𝑁 𝑾∗𝑁 = 𝑁𝑰𝑁

(12.3.8)

𝑾−1 𝑁 =

che equivale a scrivere: dove 𝑰𝑁 è la matrice unitaria di ordine 𝑁. La matrice 𝑾𝑁 è pertanto una matrice ortogonale. Come nel caso delle altre trasformate di Fourier, la DFT gode di proprietà che vengono riassunte nella Tabella 12.2. Esempio 12.3 Siano: −1; 2; 𝒔̃1 = { 4; −2;

𝑛=0 𝑛=1 ; 𝑛=2 𝑛=3

1; −1; 𝒔̃2 = { 2; −3;

𝑛=0 𝑛=1 𝑛=2 𝑛=3

due distinte sequenze periodiche di periodo 𝑁 = 4. La loro convoluzione

CAPITOLO - 12 - Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier -

237

3

𝑠̃𝑛 = ∑ 𝑠̃1,𝑘 𝑠̃2,(𝑛−𝑘) 𝑘=0

si valuta facilmente tenendo conto delle proprietà di periodicità delle sequenze. Si ha infatti, per 𝑛 = 0: 3

𝑠̃0 = ∑ 𝑠̃1,𝑘 𝑠̃2,(−𝑘) 𝑘=0

dove è: 𝑠̃2,0 = 1; 𝑠̃2,(−1) = 𝑠̃2,(4−1) = 𝑠̃2,3 = −3; 𝑠̃2,(−2) = 𝑠̃2,(4−2) = 𝑠̃2,2 = 2; 𝑠̃ { 2,(−3) = 𝑠̃2,(4−3) = 𝑠̃2,1 = −1;

per cui risulta: 𝑠̃1 = −1 − 6 + 8 + 2 = 3

In modo analogo, per 𝑛 = 1, è: 4

𝑠̃1 = ∑ 𝑠̃1,𝑘 𝑠̃2,(1−𝑘) 𝑘=0

con: 𝑠̃2,(1−0) = 𝑠̃2,(1) = −1; 𝑠̃ 2,(1−1) = 𝑠̃ 2,(0) = 1; 𝑠̃2,(1−2) = 𝑠̃2,(−1) = 𝑠̃ 2,(4−1)= 𝑠̃2,(3) = −3; { 𝑠̃2,(1−3) = 𝑠̃2,(−2) = 𝑠̃ 2,(4−2)= 𝑠̃2,(2) = 2;

Si ha: 𝑠̃1 = 1 + 2 − 12 − 4 = −13

Per 𝑛 = 2 è: 3

𝑠̃2 = ∑ 𝑠̃1,𝑘 𝑠̃2,(2−𝑘) 𝑘=0

con 𝑠̃2,(2−0) = 𝑠̃2,2 = 2; 𝑠̃2,(2−1) = 𝑠̃2,1 = −1; 𝑠̃2,(2−2) = 𝑠̃2,0 = 1; 𝑠̃ { 2,(2−3) = 𝑠̃2(−1) = 𝑠̃2(4−1) = 𝑠̃2,3 = −3;

È quindi: 𝑠̃2 = −2 − 2 + 4 + 6 = 6

238

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Determinati -

Si ha infine, per 𝑛 = 3: 4

𝑠̃3 = ∑ 𝑠̃1𝑘 𝑠̃2,(3−𝑘) 𝑘=0

Si ha: 𝑠̃2,(3−0) = 𝑠̃2,3 = −3; 𝑠̃2,(3−0) = 𝑠̃2,2 = 2; 𝑠̃2,(3−2) = 𝑠̃2,1 = −1; { 𝑠̃2,(3−3) = 𝑠̃2,0 = 1;

e quindi: 𝑠̃3 = 3 + 4 − 4 − 2 = 1

In definitiva risulta: 3; −13; 𝒔̃ = { 6; 1;

𝑛=0 𝑛=1 𝑛=2 𝑛=3

CAPITOLO - 12 - Valutazione Numerica della Trasformata di Fourier -

239

Tabella 12.2 Proprietà della DFT Proprietà

Coefficiente

Segnale 𝑘

Linearità

∑ 𝑎𝑖 𝑠̃𝑖𝑛

∑ 𝑎𝑖 𝑆̃𝑖𝑚

𝑖=1

𝑖=1

𝑠̃𝑛∗

∗ 𝑆̃−𝑚

𝑠𝑑∗ (−𝑛)

𝑆𝑑∗ (𝑚)

Segnale coniugato Trasformata coniugata

𝑘

𝑠̃𝑛−𝑛0

Traslazione in 𝑛

2𝜋𝑛𝑚0 𝑁

𝑒 −𝑗

2𝜋𝑛0 𝑚 𝑁

𝑆̃𝑚−𝑚0

Traslazione in 𝑚

𝑒𝑗

Differenza in avanti in 𝑛

𝑠̃𝑛+1 − 𝑠̃𝑛

[𝑒 𝑗

Differenza all'indietro in 𝑛

𝑠̃𝑛 − 𝑠̃𝑛−1

[1 − 𝑒 −𝑗

Differenza in avanti in 𝑚

(𝑒 −𝑗

Differenza all'indietro in 𝑚

(1 − 𝑒 𝑗

2𝜋𝑛 𝑀

𝑆̃𝑚

𝑠̃𝑛

2𝜋𝑚 𝑁

− 1]𝑆̃𝑚 2𝜋𝑚 𝑁

]𝑆̃𝑚

− 1) 𝑠̃𝑛

𝑆̃𝑚+1 − 𝑆̃𝑚

2𝜋𝑛 𝑁

𝑆̃𝑚 − 𝑆̃𝑚−1

) 𝑠̃𝑛

𝑁−1

∑ 𝑠̃1𝑘 𝑠̃2(𝑛−𝑘)

Convoluzione in 𝑛

𝑘=0

𝑆̃1𝑚 𝑆̃2𝑚

𝑁−1

= ∑ 𝑠̃1(𝑛−𝑘) 𝑠̃2𝑘 𝑘=0 𝑁−1

1 ∑ 𝑆̃1𝑘 𝑆̃2(𝑚−𝑘) 𝑁

Convoluzione in 𝑚

𝑘=0

𝑠̃1𝑛 𝑠̃2𝑛

𝑁−1

=

1 ∑ 𝑆̃1(𝑚−𝑘) 𝑆̃2𝑘 𝑁 𝑘=0

CAPITOLO - 13 RICHIAMI DI TEORIA DELLA PROBABILITÀ 13.1 - Lo spazio dei risultati. Gli eventi. Spesso nella realtà ci s’imbatte in fenomeni i cui esiti non possono essere esattamente previsti, basti pensare all'estrazione del biglietto vincente di una lotteria, o al numero di chiamate in arrivo in una centrale telefonica nel corso di un'ora della giornata. Tuttavia se, osservando ripetutamente il fenomeno, si prende nota dei risultati, ci si accorge che, nella quasi totalità dei casi, essi obbediscono ad una certa “regolarità statistica ”, nel senso che il rapporto tra le volte in cui si verifica un determinato risultato e il numero totale d’osservazioni tende a stabilizzarsi attorno ad un dato valore al crescere di queste ultime. Così, ad esempio, se da un'urna contenente palline nere e bianche si è estratta nel 90% dei casi una pallina bianca, e nel restante 10%, una nera, si è indotti a ritenere che l'evento: “estrazione di una pallina bianca ” abbia una maggiore probabilità di verificarsi dell'evento: “estrazione di una pallina nera ”, o che è lo stesso che nell’urna vi siano molte più palline bianche che nere. Si è così portati ad associare ad ogni evento casuale una certa probabilità che esso si manifesti. Tuttavia, per definire correttamente il concetto di probabilità associato ad un evento casuale, occorre richiamare alcune nozioni fondamentali concernenti il cosiddetto spazio di probabilità. Per schematizzare il comportamento di un fenomeno aleatorio è opportuno introdurre il concetto di esperimento casuale che consiste in un procedimento di osservazione di risultati, ottenuti ripetendo la medesima prova tutte le volte che si voglia. Ad esempio nell'esperimento casuale lancio di una moneta, i possibili risultati osservabili sono testa ( T ) e croce ( C ). Qualcuno potrebbe osservare che la casualità del risultato nel lancio della moneta è in realtà dovuto all’imperizia del lanciatore. Si consideri un esperimento casuale e sia 𝜁 un suo possibile risultato. L'insieme Ω costituito da tutti i risultati che si possono manifestare prende il nome di spazio dei risultati. Nell'esempio precedente del lancio di una moneta si ha:

242

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

Ω = {𝑇, 𝐶}

(13.1.1)

Nel lancio di un dado, lo spazio dei risultati è costituito dall'insieme delle sei facce e si ha: Ω = {𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , 𝑓4 , 𝑓5 , 𝑓6 }

(13.1.2)

Per studiare un esperimento casuale è opportuno identificare una classe di sottoinsiemi dello spazio dei risultati, (cioè un insieme di sottoinsiemi dello spazio dei risultati) il generico elemento di tale classe viene chiamato evento. Un evento 𝐸 si dice verificato tutte le volte che l'esperimento casuale da luogo ad un risultato 𝜁 che appartiene ad 𝐸 . La scelta della classe, seppure nel rispetto di alcune proprietà che vedremo più avanti, non é obbligata e dipende da quali aspetti dell’esperimento si intendono evidenziare. Ad esempio, nel caso del lancio del dado, se si ha interesse al punteggio della faccia superiore, si devono necessariamente assumere come eventi gli insiemi contenenti i singoli risultati; mentre se si è interessati solo al fatto che il risultato sia pari o dispari ci si può limitare a prendere in considerazione gli eventi: E𝑝 = {𝑓2 , 𝑓4 , 𝑓6 };

E𝑑 = {𝑓1 , 𝑓3 , 𝑓5 };

(13.1.3)

L'intero spazio dei risultati 𝛺 è un evento, come pure lo è l'insieme vuoto ∅. Nel primo caso si parla di evento certo, poiché l'evento E = 𝛺 si manifesta ogniqualvolta si compie l'esperimento; nel secondo si

Fig. 13.1 – Da sinistra: unione, intersezione complementazione.

parla di evento impossibile, dato che l'evento E = ∅ non si può manifestare. Agli eventi si può applicare l'algebra degli insiemi ed in particolare le note operazioni di unione, intersezione, e complementazione (Fig. 13.1)

CAPITOLO - 13 - Richiami di Teoria della Probabilità -

243

Due eventi si dicono disgiunti o incompatibili quando il manifestarsi dell'uno implica il non manifestarsi dell'altro e viceversa, in altre parole se la loro intersezione è l'evento impossibile: 𝐸1 ∩ 𝐸2 = ∅

(13.1.4)

Si supponga adesso di ripetere 𝑁 volte un certo esperimento casuale e sia 𝛥𝑁 il numero di volte in cui un dato evento E si è verificato. 𝛥𝑁 La quantità lim 𝑁 è detta probabilità associata all'evento E: 𝑁→∞

Pr{𝐸} = lim

𝑁→∞

𝛥𝑁 𝑁

(13.1.5)

In altre parole per probabilità di un evento s’intende il limite della “fre𝛥𝑁 quenza relativa” 𝑁 al tendere all'infinito del numero di ripetizioni dell’esperimento. Essendo necessariamente 0 ≤ 𝛥𝑁 ≤ 𝑁 risulta: 0 ≤ Pr{E} ≤ 1

(13.1.6)

Nel caso dell'evento certo, essendo 𝛥𝑁 = 𝑁, si ha Pr{Ω} = 1

(13.1.7)

Infine, se gli eventi E1 ed E2 sono disgiunti, dall’ovvia condizione: 𝛥𝑁E1 ∪E2 = 𝛥𝑁E1 + 𝛥𝑁E2

(13.1.8)

Pr{E1 ∪ E2 } = Pr{E1 } + Pr{E2 }

(13.1.9)

segue: Si osservi che, purtroppo, poiché in ogni esperimento fisico il numero delle prove, per quanto grande, non può mai essere infinito, il limite Pr{E} non può pertanto essere calcolato, né si può affermare che esso esista. Per questo motivo tale definizione, per quanto intuitiva, non può essere presa in considerazione come base per lo sviluppo di una teoria matematica della probabilità. È quindi necessario definire il concetto di probabilità per via assiomatica, prescindendo da quello di frequenza relativa. L’approccio in termini di frequenza relativa, va tuttavia tenuto in considerazione, in quanto, in molti casi, esso si rivela utile nella giu-

244

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

stificazione intuitiva, di alcuni sviluppi teorici la cui dimostrazione sarebbe inutilmente onerosa. 13.2 - Lo spazio di probabilità. Si consideri lo spazio dei risultati Ω di un esperimento casuale, ad esso si associ una classe 𝓔 di suoi sottoinsiemi i cui elementi vengono chiamati eventi. Al generico evento E si associ un numero Pr{E}, detto probabilità dell'evento, che soddisfi le seguenti proprietà: a)

0 ≤ Pr{E} ≤ 1

b)

Pr{Ω} = 1

c)

E1 ∩ E2 = ∅ ⇒ Pr{E1 ∪ E2 } = Pr{E1 } + Pr{E2 }

c’)

∞

(13.2.1)

∞

E𝑙 ∩ E𝑘 = ∅ ∀ 𝑙 ≠ 𝑘 ⇒ Pr{ ∪ E𝑖 } = ∑ Pr{E𝑖 } 𝑖=1

𝑖=1

In altre parole la probabilità associata all'evento 𝐸 deve assumere valore non negativo e non maggiore di 1; inoltre essa deve godere della proprietà additiva rispetto all'unione di eventi disgiunti. La probabilità dell'evento certo si pone uguale ad 1. La (13.2.1)c’ deve valere in alternativa alla (13.2.1)c, nel caso in cui la classe 𝓔 contenga un numero infinito di elementi. Quanto sopra esposto, equivale ad affermare che la probabilità Pr

Pr{⋅} è un'applicazione 𝓔 → [0,1].

Va precisato che la classe 𝓔 degli eventi non può essere scelta in modo totalmente arbitrario; essa deve, infatti, soddisfare le seguenti proprietà: a)

E ∈ 𝓔 ⇒ E𝑐 ∈ 𝓔

b)

𝐸1 , 𝐸2 ∈ 𝓔 ⇒ 𝐸1 ∪ 𝐸2 ∈ 𝓔

b’)

∞

(13.2.2)

𝐸𝑖 ∈ 𝓔 ⇒ ∪ 𝐸𝑖 ∈ 𝓔 𝑖=1

Dove la proprietà (13.2.2)b’ vale in alternativa la (13.2.2)b se la classe 𝓔 contiene infiniti elementi. Dalle (13.2.2) discende facilmente: ∅ ∈ 𝓔;

Ω ∈ 𝓔;

(13.2.3)

CAPITOLO - 13 - Richiami di Teoria della Probabilità -

245

La proprietà (13.2.2)a è intuitivamente giustificata dal fatto che se ad un certo evento è associata una probabilità, resta implicitamente definita la probabilità che l'evento non si sia verificato, cioè che l'esperimento casuale dia luogo ad un qualche risultato che non appartiene all'evento considerato. Pertanto l'insieme di detti risultati deve a sua volta costituire un evento. In conclusione si dice che si è definito uno spazio di probabilità 𝕊 se si è assegnato: - un insieme di risultati Ω (spazio dei risultati): - una classe 𝓔 di sottoinsiemi di Ω (eventi) che soddisfi le (13.2.2)); Pr

- un'applicazione 𝓔 → [0,1] definita su 𝓔 (probabilità) che soddisfi le (13.2.1). Ciò viene di norma sintetizzato dalla notazione: 𝕊=(Ω,𝓔,𝑃𝑟)

(13.2.4)

Si osservi che definire uno spazio di probabilità significa semplicemente associare una particolare misura ad una classe di sottoinsiemi dell'insieme di risultati. Le proprietà (13.2.2) cui deve soddisfare la classe 𝓔 sono infatti le stesse già viste nel CAPITOLO - 1 con riferimento alla misura degli insiemi. Inoltre l'applicazione Pr{⋅} soddisfa tutte le proprietà richieste ad una misura su una classe di insiemi. È opportuno ribadire che non tutti i sottoinsiemi di Ω sono necessariamente eventi. Gli eventi sono soltanto i sottoinsiemi di Ω appartenenti alla classe 𝓔, quindi misurabili secondo la misura Pr{⋅}. Dagli assiomi (13.2.1) discendono facilmente le seguenti proprietà: - Gli eventi ∅ e Ω sono manifestamente disgiunti, pertanto in base alla (13.2.1)c si può scrivere: Pr{∅ ∪ 𝛺} = Pr{∅} + Pr{𝛺}

(13.2.5)

dalla quale, notando che è: ∅∪Ω=Ω

(13.2.6)

Pr{∅} = 0

(13.2.7)

consegue: Ciò significa che la probabilità associata all'evento impossibile è nulla.

246

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

- Più in generale essendo E𝑐 ed E, disgiunti e poiché E𝑐 ∪ E = 𝛺 risulta: Pr{E 𝑐 ∪ E} = Pr{E 𝑐 } + Pr{E} = Pr{Ω} = 1

(13.2.8)

Pr{E 𝑐 } = 1 − Pr{E}

(13.2.9)

Discende: Pertanto la probabilità associata al complementare di un evento E è il complemento ad 1 della probabilità associata ad E. - Dati E1 e E2 , l'evento E1 può essere scomposto nei due eventi disgiunti (v. Fig.13.2) E1 ∩ E2 e E1 ∩ E𝑐2 . Risulta quindi: a)

Pr{E1 } = Pr{E1 ∩ E2 } + Pr{E1 ∩ E𝑐2 }

b)

Pr{E2 } = Pr{E1 ∩ E2 } + Pr{E1𝑐 ∩ E2 }

(13.2.10)

sommate termine a termine le (13.2.10)forniscono: Pr{E1 } + Pr{E2 } = 2Pr{E1 ∩ E2 } + Pr{E1 ∩ E2𝑐 } + Pr{E1𝑐 ∩ E2 }

(13.2.11)

Poiché gli eventi E1 ∩ E2 , E1 ∩ E𝑐2 e E1𝑐 ∩ E2 sono disgiunti e la loro unione vale E1 ∪ E2 , si ha: Pr{E1 ∪ E2 } = Pr{E1 ∩ E2 } + Pr{E1 ∩ E2𝑐 } + Fig.13.2 – Partizione dell’unione in eventi disgiunti.

Pr{E1𝑐

(13.2.12)

∩ E2 }

cosicché dalle precedenti si deduce facilmente:

Pr{E1 ∪ E2 } = Pr{E1 } + Pr{E2 } − Pr{E1 ∩ E2 }

(13.2.13)

che costituisce una generalizzazione della proprietà (13.2.1)c al caso di eventi non disgiunti (vedi Fig.13.2). Esempio 13.1 Un calcolatore cercherà di collegarsi per dieci minuti, a partire da un istante a caso di una data ora, ad un server. Il quale, in un istante a caso di quella stessa ora, verrà spento per subire un intervento di manutenzione. Quanto dovrà durare al più l’intervento di manutenzione affinché vi sia una probabilità maggiore o uguale al 50% che il collegamento vada a buon fine?

CAPITOLO - 13 - Richiami di Teoria della Probabilità -

247

***** Come risultato dell’esperimento casuale, si può assumere la coppia degli istanti t1 in cui inizia la trasmissione e t2 d’inizio dell’intervento di manutenzione. L’insieme dei risultati si può quindi rappresentare mediante un quadrato di lato 60 minuti (vedi Fig.E 13.1). Gli eventi sono rappresentabili mediante sottoinsiemi di punti del quadrato. La probabilità di un generico Fig.E 13.1 evento, data la pura casualità di t1 e t2, è data dal rapporto tra l’area del sottoinsieme e l’area del quadrato. Osserviamo che il collegamento andrà a buon fine se la manutenzione si è già conclusa quando il calcolatore si connette al server ovvero se la manutenzione inizia dopo che il calcolatore ha finito di trasmettere. Detta T la durata dell’intervento di manutenzione le eventualità appena descritte si traducono nelle disuguaglianze: 𝑡2 + 𝑇 ≤ 𝑡1 𝑡1 + 10 ≤ 𝑡2 le quali individuano i due eventi incompatibili E1 e E2 evidenziati in figura Fig.E 13.1. L’evento d’interesse è quindi costituito dall’unione dei due eventi in questione e, per quanto detto sopra, la sua probabilità vale: 𝑃𝑟{E1 ∪ E2 } =

(60−𝑇)2 2

1250+

3600

Il valore di 𝑇 si ottiene quindi risolvendo la disequazione PrE1E2 ≥  . Si ha: 𝑇 2 − 120𝑇 + 2500 ≥ 0

Che

è

soddisfatta

all’esterno

dell’intervallo

(10(6 − √11), 10(6 +

√11)) considerato che l’estremo superiore di detto intervallo è maggiore di 60 la soluzione è: 𝑇 ≤ 10(6 − √11) ≅ 26,83𝑚𝑖𝑛 ≡ 26′ 50″

13.3 - Probabilità condizionate - Formula di Bayes - Teorema delle probabilità composte. Siano E1 ed E2 due eventi associati ad un esperimento casuale, e si denotino rispettivamente con 𝛥𝑁E1 e 𝛥𝑁E1 ∩E2 il numero di volte che,

248

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

su un totale di 𝑁 ripetizioni dell'esperimento casuale, si manifestano gli eventi E1 e E1 ∩ E2 . Dall’uguaglianza: 𝛥𝑁E1 ∩E2 𝛥𝑁E1 ∩E2 𝛥𝑁E1 = ⋅ 𝑁 𝛥𝑁E1 𝑁

(13.3.1)

si ottiene, passando al limite per 𝑁 → ∞ Pr{E1 ∩ E2 } = Pr{E2 |E1 }Pr{E1 }

(13.3.2)

dove: Pr{E2 |E1 } = lim

𝑁→∞

Osservando che

𝛥𝑁E1 ∩E2 𝛥𝑁E1

𝛥𝑁E1 ∩E2 𝛥𝑁E1

(13.3.3)

rappresenta il rapporto fra il numero di

volte in cui, in un totale di 𝑁 ripetizioni dell'esperimento casuale, si verifica l'evento E1 ∩ E2 e il numero di volte con cui si verifica l'evento E1 , la Pr{E2 |E1 } può essere interpretata come la probabilità che si verifichi l'evento E2 sotto l'ipotesi che E1 sia soddisfatto. Per questo motivo Pr{E2 |E1 } è detta probabilità dell'evento E2 condizionata all’evento E1 . In modo analogo può scriversi: Pr{E1 ∩ E2 } = Pr{E1 |E2 }𝑃𝑟{E2 }

(13.3.4)

dove Pr{E1 |E2 } denota la probabilità che si manifesti E1 atteso che E2 sia verificato. Eguagliando i secondi membri delle (13.3.2) e (13.3.4) si ottiene: Pr{E1 |E2 } = Pr{E2 |E1 }

Pr{E1 } Pr{E2 }

(13.3.5)

nota come formula di Bayes. Essa stabilisce la relazione tra le probabilità condizionate e quelle non condizionate degli eventi E1 e E2 . Se risulta: Pr{E1 |E2 } = Pr{E1 }, o Pr{E2 |E1 } = Pr{E2 }

(13.3.6)

cioè se la probabilità con cui si manifesta E1 (E2 ) è indipendente dalla circostanza che E2 (E1 ) sia verificato, i due eventi si dicono statisticamente indipendenti. Pertanto, in base alle (13.3.2) e (13.3.4) si ha: Pr{E1 ∩ E2 } = Pr{E1 }Pr{E2 }

(13.3.7)

CAPITOLO - 13 - Richiami di Teoria della Probabilità -

249

La probabilità dell'intersezione di due eventi indipendenti si riduce cioè semplicemente al prodotto delle probabilità associate ai singoli eventi. Ci si convince facilmente che due eventi disgiunti aventi entrambi probabilità non nulla di verificarsi non possono essere statisticamente indipendenti. Esempio 13.2

Fig. 13.3 - Teorema delle probabilità composte.

Nell’esperimento consistente nel lancio di due dadi si consideri l’evento E1 :“il risultato del lancio del primo dado è la faccia tre” e l’evento E2 : “il risultato del lancio del secondo dado è la faccia quattro”. Si verifichi che i due eventi sono statisticamente indipendenti. Lo spazio dei risultati dell’esperimento considerato é costituito da 36 elementi (tutte le possibili coppie ordinate di risultati). L’evento E1 è dato da:

E1 = {(𝑓3 , 𝑓1 ), (𝑓3 , 𝑓2 ), (𝑓3 , 𝑓3 ), (𝑓3 , 𝑓4 ), (𝑓3 , 𝑓5 ), (𝑓3 , 𝑓6 )}

la sua probabilità vale 1/6. L’evento E2 è dato da: E2 = {(𝑓1 , 𝑓4 ), (𝑓2 , 𝑓4 ), (𝑓3 , 𝑓4 ), (𝑓4 , 𝑓4 ), (𝑓5 , 𝑓4 ), (𝑓6 , 𝑓4 )}

anche la sua probabilità vale 1/6. L’evento E1 ∩ E2  {(𝑓1 , 𝑓2 )}  ha probabilità 1/36 di verificarsi. Poiché risulta anche Pr(E1)Pr(E2)36 i due eventi in questione sono statisticamente indipendenti.

Si consideri una famiglia al più numerabile {E𝑖 } di sottoinsiemi di Ω a due a due disgiunti, tale che ⋃ E𝑖 = Ω. Un qualunque evento si può

scrivere (v. Fig. 13.3): ∞

E = ∪ (𝐸 ∩ 𝐸𝑖 )

(13.3.8)

(E ∩ E𝑖 ) ∩ (E ∩ E𝑗 ) = ∅ ∀𝑖 ≠ 𝑗

(13.3.9)

𝑖=1

Essendo: si ha: ∞

𝑃𝑟{E} = ∑ Pr{E ∩ E𝑖 } 𝑖=1

(13.3.10)

250

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

che, utilizzando la (13.3.2), fornisce: ∞

Pr{E} = ∑ Pr{E|E𝑖 }Pr{E𝑖 }

(13.3.11)

𝑖=1

nota come teorema delle probabilità composte. Esempio 13.3 Un ricevitore si connette casualmente con una di tre sorgenti di segnali 𝑆1 , 𝑆2 e 𝑆3 che emettono due messaggi 𝐴 e 𝐵 secondo lo schema sotto riportato: 𝑆1 ⇒ {

𝐴; 𝑃𝑟{𝐴} = 𝐵; 𝑃𝑟{𝐵} =

7 10 3 ;

𝑆2 ⇒ {

10

𝐴; 𝑃𝑟{𝐴} = 𝐵; 𝑃𝑟{𝐵} =

1 2 1

𝑆3 ⇒ {

2

𝐴; 𝑃𝑟{𝐴} = 𝐵; 𝑃𝑟{𝐵} =

3 5 2; 5

Supposto che il ricevitore riceva il messaggio 𝐴 qual è la probabilità che esso provenga dalla sorgente 𝑆3 ? - Se al ricevitore perviene il messaggio B qual è la probabilità che esso provenga dalla sorgente S3? ***** Lo spazio dei risultati è costituito dal prodotto cartesiano tra l’insieme delle sorgenti e l’insieme dei messaggi ricevuti: -

Z = {(𝑆1 , 𝐴), (𝑆1 , 𝐵), (𝑆2 , 𝐴), (𝑆2 , 𝐵), (𝑆3 , 𝐴), (𝑆3 , 𝐵)}

L’evento “È stato ricevuto il messaggio 𝐴” è il sottoinsieme: E𝐴 = {(𝑆1 , 𝐴), (𝑆2 , 𝐴), (𝑆3 , 𝐴)}

L’evento “È connessa 𝑆3 ” è il sottoinsieme: E𝑆3 = {(𝑆3 , 𝐴), (𝑆3 , 𝐵)}

La prima probabilità richiesta è data dalla probabilità condizionata Pr{𝐸𝑆3 | 𝐸𝐴 } la quale, in base alla formula di Bayes, vale: Pr{E𝑆3 |E𝐴 } =

Pr{E𝐴 |E𝑆3 }Pr{E𝑆3 } Pr{E𝐴 }

Supponendo che le connessioni del ricevitore con le tre sorgenti avvengano con eguale probabilità, è facile riconoscere che si ha: Pr{E𝐴 |E𝑆3 } =

3 ; 5

Pr{E𝑆3 } =

1 3

D'altra parte la probabilità che al ricevitore si presenti il messaggio 𝐴, dato che gli eventi 𝐸𝑆1 , 𝐸𝑆2 ed 𝐸𝑆3 sono disgiunti, vale:

CAPITOLO - 13 - Richiami di Teoria della Probabilità -

251

Pr{E𝐴 } = Pr{E𝐴 |E𝑆1 }Pr{E𝑆1 } + Pr{E𝐴 |E𝑆2 }Pr{E𝑆2 } + Pr{E𝐴 |E𝑆3 }Pr{E𝑆3 } =

7 1 11 31 3 + + = 10 3 2 3 5 3 5

Risulta allora: 21

 Pr{E𝑆3 |E𝐵 } =

53 2

=

5

1 3

Procedendo in modo analogo si ha per il secondo quesito posto: Pr{E𝑆3 |E𝐵 } =

Pr{E𝐵 |E𝑆3 }Pr{E𝑆3 } Pr{E𝐵 }

Essendo Pr{E𝐵 |E𝑆3 } =

2 5

e   Pr{E𝐵 } = Pr{E𝐵 |E𝑆1 }Pr{E𝑆1 } + Pr{E𝐵 |E𝑆2 }𝑃𝑟{E𝑆2 } + Pr{E𝐵 |E𝑆3 }𝑃𝑟{E𝑆3 } =

2 5

= 1 − Pr{E𝐴 }

risulta: Pr{E𝑆3 |E𝐵 } =

1 3

Inoltre essendo Pr{𝐸𝑆3 | 𝐸𝐵 } = Pr{𝐸𝑆3 | 𝐸𝐴 }, si conclude che la decisione a favore della terza sorgente non dipende dal messaggio ricevuto.

CAPITOLO - 14 VARIABILI ALEATORIE 14.1 - Variabili aleatorie monodimensionali. Si consideri un esperimento casuale caratterizzato da uno spazio di probabilità: 𝕊=(Ω,ℰ,𝑃𝑟)

(14.1.1)

e sia 𝑋(⋅) un'applicazione che fa corrispondere ad ogni risultato 𝜁 ∈ Ω un numero reale. Il dominio di tale applicazione è quindi l'intero spazio dei risultati, il suo codominio è il campo reale ℝ. Se ∀𝑥 ∈ ℝ il sottoinsieme E𝑥 = 𝑋 −1 (]−∞, 𝑥]), composto cioè da tutti i risultati a cui, tramite l'applicazione 𝑋(⋅), corrisponde un valore non superiore a 𝑥 , costituisce un evento, cioè se: E𝑥 = {𝜁 / 𝑋(𝜁) ≤ 𝑥} ∈ ℰ

(14.1.2)

si dice che 𝑋11 è una variabile aleatoria associata all'esperimento casuale. Ad esempio se nell'esperimento casuale “lancio di una moneta”, assumendo ℰ={∅, {testa}, {croce}, Ω}, si definisce l'applicazione 𝑋(⋅) che associa al risultato “testa” il valore 0 e al risultato “croce” il valore 1, si è definita una variabile aleatoria. Infatti: - ogni semiretta ]−∞, 𝑥]con 𝑥 < 0 ha come controimmagine nell'insieme dei risultati l'insieme vuoto che è un evento; - ogni semiretta ]−∞, 𝑥] con 0 ≤ 𝑥 < 1 ha come controimmagine l'insieme E𝑥 = {testa} ∈ ℰ ; - ogni semiretta ]−∞, 𝑥] con 𝑥 ≥ 1 ha come controimmagine l'insieme Ω che è anch'esso un evento. In sostanza definire una variabile aleatoria equivale a costruire un nuovo esperimento casuale che ha come spazio dei risultati l'insieme ℝ, e come classe di eventi ℬ la classe minima che contiene tutte le semirette del tipo ]−∞, 𝑥] e che soddisfa le (13.2.2). Detta classe coincide con 11

Il fatto che la variabile aleatoria venga abitualmente indicata con una lettera maiuscola ad es. 𝑋 e non con 𝑋(𝜁) è un’ulteriore motivo di confusione per lo studente che dimentica facilmente che malgrado venga chiamata variabile, si tratta di un’applicazione.

254

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

quella costituita da tutti i possibili sottoinsiemi di ℝ che siano misurabili secondo Lebesgue (la classe di Borel). Gli insiemi in essa contenuti sono detti insiemi di Borel. Detto B il generico elemento di tale classe, la probabilità ad esso associata è uguale a quella della sua controimmagine 𝑋 −1 (B), che, in virtù della definizione di variabile aleatoria, è certamente un evento nello spazio di probabilità 𝕊. In altri termini, la probabilità dell'evento B ⊆ ℝ vale Pr{𝑋 −1 (B)}. In conclusione definire una variabile aleatoria su un esperimento casuale equivale a definire una misura sulla classe di Borel di ℝ. Detta misura dipende sia dall'esperimento casuale considerato, sia dalla particolare variabile aleatoria che in esso si è definita. Quindi variabili aleatorie distinte definiscono misure distinte in ℝ. 14.2 - Funzione di distribuzione di probabilità. Si consideri un esperimento casuale caratterizzato da uno spazio di probabilità 𝕊=(Ω,ℰ,Prℰ ). Come già detto, definire una variabile aleatoria 𝑋 equivale a costruire un nuovo esperimento casuale 𝕏 = (Ω,ℬ, Prℬ ). Ci si rende facilmente conto che è possibile calcolare la probabilità Prℬ {B} da attribuire al generico evento B ∈ ℬ se si definisce la seguente applicazione avente ℝ come dominio: 𝑃𝑋 (𝑥) = Pr(𝐸𝑥 )

(14.2.1)

Essa è detta funzione di distribuzione di probabilità, (Probability Distribution Function), associata alla variabile aleatoria 𝑋. Poiché, in base alla sua stessa definizione la 𝑃𝑋 (⋅) associa ad ogni 𝑥 ∈ ℝ la probabilità dell'evento E𝑥 = 𝑋 −1 (]−∞, 𝑥]), essa può assumere soltanto valori appartenenti all'intervallo [0,1]. Nel seguito sarà dedotta la probabilità da associare ad alcuni sottoinsiemi di ℝ, nota che sia la funzione di distribuzione di probabilità della variabile aleatoria 𝑋: - intervallo semiaperto a sinistra

Sia: B = ]𝑎, 𝑏]

(14.2.2)

]−∞, 𝑏] = ]−∞, 𝑎] ∪ B

(14.2.3)

poiché: e

CAPITOLO - 14 - Variabili Aleatorie -

255

]−∞, 𝑎] ∩ B = ∅

(14.2.4)

Pr(B) = 𝑃𝑋 (𝑏) − 𝑃𝑋 (𝑎)

(14.2.5)

si può scrivere: - semiretta d’origine destra aperta

Sia B = (−∞, 𝑎)

(14.2.6)

Sia {𝑥𝑛 } una qualunque successione convergente ad 𝑎, non decrescente, e tale che ∀𝑛 ∈ ℕ risulti 𝑥𝑛 ≠ 𝑎, detto B𝑛 = (−∞, 𝑥𝑛 ] si può scrivere: ∞

B = ∪ B𝑛 𝑛=1

(14.2.7)

∪∞ 𝑖=1 B𝑖 è un evento in quanto unione numerabile di eventi; inoltre, poiché 𝑛 > 𝑚 ⇒ B𝑛 ⊇ B𝑚 risulta Pr{∪𝑛𝑖=1 B𝑖 } = Pr{B𝑛 } = 𝑃𝑋 (𝑥𝑛 ).

Si ha quindi: Pr(B) = 𝑃𝑋 (𝑎− ) −

(14.2.8)

Pr{∪∞ 𝑛=1 B𝑛 }.

dove 𝑃𝑋 (𝑎 ) = Ci si convince facilmente che la quantità − 𝑃𝑋 (𝑎 ) è indipendente dalla successione {𝑥𝑛 } considerata, e coincide con il limite della funzione di distribuzione 𝑃𝑋 (𝑥) per 𝑥 che tende ad 𝑎 dalla sinistra. - intervallo chiuso

Sia B = [𝑎, 𝑏]

(14.2.9)

Poiché risulta: ]−∞, 𝑏] = (– ∞, 𝑎) ∪ B

(14.2.10)

essendo (– ∞, 𝑎) ∩ B = ∅, utilizzando la (14.2.8) si ottiene: Pr(B) = 𝑃𝑋 (𝑏) − 𝑃𝑋 (𝑎− )

(14.2.11)

B = {𝑥0 }

(14.2.12)

- punto isolato

Sia: Ponendo nella (14.2.9) 𝑏 = 𝑎 = 𝑥0 la (14.2.11) fornisce: Pr(B) = 𝑃𝑋 (𝑥0 ) − 𝑃𝑋 (𝑥0− )

(14.2.13)

256

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

- intervallo aperto

Posto: B = (𝑎, 𝑏)

(14.2.14)

(−∞, 𝑏) = ]−∞, 𝑎] ∪ B

(14.2.15)

Pr(B) = 𝑃𝑋 (𝑏− ) − 𝑃𝑋 (𝑎)

(14.2.16)

dato che: si ottiene: - intervallo semiaperto a destra

Sia B = [𝑎, 𝑏)

(14.2.17)

Pr{B} = 𝑃𝑋 (𝑏 − ) − 𝑃𝑋 (𝑎− )

(14.2.18)

Risulta facilmente: Quanto sopra esposto, evidenzia chiaramente che la distribuzione di probabilità fornisce una descrizione statistica completa della variabile aleatoria X . Cosicché, normalmente, si fa riferimento allo spazio di probabilità indotto in ℝ dalla variabile aleatoria, piuttosto che allo spazio di probabilità originario 𝕊. Ad esempio nel caso della variabile aleatoria 𝑋, che nel lancio di una moneta associa 0 al risultato testa e 1 al risultato croce, si ottiene, assumendo gli eventi {testa} e {croce} equiprobabili: 0; 1 𝑃𝑋 (𝑥) = { ; 2 1;

𝑥 2

0; {

Fig.E 14.1

1 2

;

e 1 2

∞

𝑝𝑌 (𝑦) = ∫ 𝑝𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = −∞

1 2; 1 |𝑦| > 2

|𝑦| ≤

∫ 2𝑑𝑥 = 1 − 2𝑦; 𝑦

0; {

Si può facilmente verificare la corretteza dei risultati mostrando che è soddisfatta la proprità di normalizzazione per entrambe le densità di probabilità marginali: ∞

1 2

−∞

1 − 2

1

∫ 𝑝𝑋 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ (2𝑥 + 1)𝑑𝑥 = [𝑥 2 + 𝑥]2 1 = 1; −

2

266

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori 1 2

∞

1

∫ 𝑝𝑌 (𝑦)𝑑𝑦 = ∫ (1 − 2𝑦)𝑑𝑦 = [𝑦 − 𝑦 2 ]2 1 = 1; −

1 2

−∞

−

2

14.7 - Funzioni di probabilità condizionate. Date due varaibili aleatorie 𝑋 ed 𝑌 definite sullo stesso esperimento casuale aventi densità di probabilità congiunta 𝑝𝑋𝑌 (𝑥𝑦), si prendano in considerazione i due eventi: 𝐸1 = {𝑋 ≤ 𝑥},

𝐸2 = {𝑦 −

|∆𝑦| |∆𝑦| 0. La corrispondente densità di probabilità è data dalla seguente sequenza di delta di Dirac: ∞

𝑝𝑋 (𝑥) = 𝑒

−𝛬

∑ 𝑛=0

𝛬𝑛 𝛿(𝑥 − 𝑛) 𝑛!

(17.9.2)

La sua funzione di distribuzione vale: ∞

𝑃𝑋 (𝑥) = 𝑒

−𝛬

∑ 𝑛=0

Ricordando che 𝑒 𝑥 = ∑∞ 𝑛=0

𝑥𝑛 , 𝑛!

𝛬𝑛 𝑢(𝑥 − 𝑛) 𝑛!

(17.9.3)

si deduce facilmente che il valor me-

dio di una variabile di Poisson vale: ∞

∞

𝑋̅ = 𝑒 −𝛬 ∑ 𝑛 𝑛=0

𝛬𝑛 𝛬𝑛−1 = 𝛬𝑒 −𝛬 ∑ =𝛬 𝑛! (𝑛 − 1)!

(17.9.4)

𝑛=1

il suo valore quadratico medio: ∞

̅̅ 𝑋̅̅2 = 𝑒 −𝛬 ∑ 𝑛2 𝑛=0 ∞

= 𝛬𝑒

−𝛬

∞

𝛬𝑛 𝛬𝑛−1 = 𝛬𝑒 −𝛬 ∑ 𝑛 𝑛! (𝑛 − 1)! 𝑛=1

∞

𝑛−1

𝛬 𝛬𝑛−1 ∑(𝑛 − 1) + 𝛬𝑒 −𝛬 ∑ (𝑛 − 1)! (𝑛 − 1)!

𝑛=1 2 −𝛬

=𝛬 𝑒

(17.9.5)

𝑛=1

∞

∞

𝑛=2

𝑛=1

𝛬𝑛−2 𝛬𝑛−1 ∑ + 𝛬𝑒 −𝛬 ∑ = 𝛬2 + 𝛬 (𝑛 − 2)! (𝑛 − 1)!

infine la sua varianza risulta: 𝜎2 = 𝛬

(17.9.6)

CAPITOLO - 18 - Caratterizzazione Statistica dei Segnali -

299

Esempio 17.3 Si vuole caratterizzare il traffico telefonico in arrivo ad una centrale. A tal fine si denoti con n il numero di telefonate in arrivo nell'intervallo di tempo (0, 𝑡). Per determinare la statistica di questo processo è opportuno introdurre le seguenti ipotesi: a) il numero di telefonate in arrivo in intervalli di tempo disgiunti sono statisticamente indipendenti; b) il numero di telefonate in arrivo nell'intervallo (𝑡, 𝑡 + Δ𝑡) dipende solo dalla durata Δ𝑡 e non dall'istante iniziale 𝑡. c) Se Δ𝑡 è sufficientemente piccolo, la probabilità che in (0, Δ𝑡) arrivi una sola telefonata è pari a 𝜆Δ𝑡; mentre la probabilità che nello stesso intervallo di tempo pervenga più di una chiamata è un infinitesimo di ordine superiore a Δ𝑡 ciò significa anche che la probabilità che in un intervallo di durata . Δ𝑡 non giunga nessuna chiamata vale, a meno di infinitesimi di ordine superiore, 1 − 𝜆𝛥𝑡 Detta 𝑃𝑛(𝑡) la probabilità che, nell'intervallo (0, 𝑡), arrivino 𝑛 chiamate si consideri l'evento: “Nell’intervallo (0, 𝑡 + Δ𝑡) pervengono 𝑛 chiamate. Tale evento, per le ipotesi fatte, si può verificare solo in uno dei seguenti modi: 1) in (0, 𝑡) sono pervenute n chiamate e in (𝑡, 𝑡 + Δ𝑡) non ne è pervenuta alcuna; 2) in (0, 𝑡) vi sono state 𝑛 − 1 chiamate e in (𝑡, 𝑡 + Δ𝑡) una sola. Poiché gli eventi 1) e 2) si escludono a vicenda, per la legge delle probabilità composte, e per le ipotesi a), b) e c) si può scrivere: 𝑎)

𝑃𝑛 (𝑡 + 𝛥𝑡) = 𝑃𝑛 (𝑡)[1 − 𝜆𝛥𝑡] + 𝑃𝑛−1 (𝑡)[𝜆𝛥𝑡];

𝑛>0

Nel caso di 𝑛 = 0 la precedente deve essere modificata come segue: 𝑏)

𝑃0 (𝑡 + 𝛥𝑡) = 𝑃0 (𝑡)[1 − 𝜆𝛥𝑡];

𝑛=0

Dalle (a) e (b) discende: 𝑃𝑛 (𝑡 + 𝛥𝑡) − 𝑃𝑛 (𝑡) = −𝜆𝑃𝑛 (𝑡) + 𝜆𝑃𝑛−1 (𝑡); 𝛥𝑡 { 𝑃0 (𝑡 + 𝛥𝑡) − 𝑃0 (𝑡) = −𝜆𝑃0 (𝑡); 𝛥𝑡

𝑛≥1 𝑛=0

dalle quali, passando al limite per Δ𝑡 → 0, si ottiene il seguente sistema di equazioni differenziali alle differenze: 𝑐)

𝑑𝑃𝑛 (𝑡) = −𝜆𝑃𝑛 (𝑡) + 𝜆𝑃𝑛−1 (𝑡); { 𝑑𝑡 𝑑𝑃0 (𝑡) = −𝜆𝑃0 (𝑡); 𝑑𝑡

𝑛≥1 𝑛=0

300

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

cui si associa la seguente condizione iniziale: 𝑑)

𝑃𝑛 (0) = {

1; 0;

𝑛=0 𝑛≥1

che corrisponde alla condizione che all'istante iniziale (𝑡 = 0) non vi siano chiamate in arrivo. Per risolvere il sistema in oggetto basta trasformare secondo Laplace la prima delle (c). Denotando con 𝑃̃𝑛 (𝑠) = 𝔏{𝑃𝑛 (𝑡)}

la trasformata di Laplace di 𝑃𝑛 (𝑡) si ha:

𝑠𝑃̃𝑛 (𝑠) − 𝑃𝑛 (0) = −𝜆𝑃̃𝑛 (𝑠) + 𝜆𝑃̃𝑛−1 (𝑠);

𝑛>0

che, tenendo conto della condizione iniziale, può essere riscritta nella forma: 𝑠𝑃̃𝑛 (𝑠) + 𝜆𝑃̃𝑛 (𝑠) = 𝜆𝑃̃𝑛−1 (𝑠);

𝑛>0

Fig.E 17.2

Si ottiene allora successivamente: 𝑃̃𝑛 (𝑠) =

𝜆𝑃̃𝑛−1 (𝑠) 𝜆2 𝑃̃𝑛−2 (𝑠) 𝜆𝑛 𝑃̃0 (𝑠) = =⋯= 2 𝑠+𝜆 (𝑠 + 𝜆) (𝑠 + 𝜆)𝑛

D'altra parte, trasformando la seconda delle (c), si ha: 𝑠𝑃̃0 (𝑠) − 𝑃0 (0) = −𝜆𝑃̃0 (𝑠)

che, in virtù della (d), fornisce: 𝑃̃0 (𝑠) =

È pertanto:

𝑃0 (0) 1 = 𝑠+𝜆 𝑠+𝜆

CAPITOLO - 18 - Caratterizzazione Statistica dei Segnali -

𝑃̃𝑛 (𝑠) =

301

𝑛

𝜆 (𝑠 + 𝜆)𝑛+1

da cui, antitrasformando, si deduce: 𝑃𝑛 (𝑡) = 𝑒 −𝜆𝑡

(𝜆𝑡)𝑛 u(𝑡); 𝑛!

𝑛≥0

Si ottiene così una distribuzione di Poisson con parametro t. Gli andamenti di P n ( t ) per alcuni valori di n sono riportati in Fig.E 17.2

CAPITOLO - 18 CARATTERIZZAZIONE STATISTICA DEI SEGNALI 18.1 - Segnale aleatorio. Funzioni di probabilità del primo ordine. Sia dato un esperimento casuale individuato da uno spazio di probabilità S = (Ω, 𝓔, Pr). Per segnale aleatorio reale s’intende un'applicazione che fa corrispondere a ciascun possibile risultato 𝜁 ∈ Ω dell'esperimento casuale una funzione reale del tempo: ∀𝜁 ∈ Ω ∃ 𝑠(𝑡, 𝜁) | T ⊆ ℝ → ℝ

(18.1.1)

tale da identificare una variabile aleatoria 𝑠(𝑡, 𝜁) per ogni fissato 𝑡 ∈ T. Il sottoinsieme T può coincidere con l’asse reale, o essere in esso contenuto. Da quanto detto discende che se Fig. 18.1 - Generazione di un segnale aleatorio. si fissa un valore di 𝑡 il segnale aleatorio individua una variabile aleatoria su Ω; mentre se si fissa un risultato 𝜁 si ottiene una funzione della sola variabile 𝑡, 𝑠(𝑡, 𝜁), che costituisce una manifestazione del segnale come è schematicamente indicato nella Fig. 18.1. In quel che segue un segnale aleatorio verrà denotato talvolta con 𝑠(𝑡), sottintendendo la dipendenza dal risultato dell’esperimento casuale 𝜁 . Dal contesto sarà chiaro quando ci si sta riferendo ad una variabile casuale, 𝑡 assegnato, o a ad una particolare manifestazione, 𝜁 fissato. Ad esempio si consideri il segnale aleatorio la cui generica manifestazione è data dalla: 𝑠(𝑡, 𝜑) = cos(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜑)

(18.1.2)

CAPITOLO - 19 – Valori Medi, Stazionarietà ed Ergodicità -

303

dove 𝜑 è una variabile aleatoria che assume valori nell'intervallo [0,2𝜋]. In questo caso le manifestazioni del segnale sono costituite da tutte le possibili cosinusoidi di frequenza 𝑓0 ottenute in corrispondenza ai possibili valori di 𝜑. In Fig. 18.2, a titolo esemplificativo, si sono riportate tre possibili manifestazioni di un segnale 𝑠(𝑡, 𝜁). Con riferimento alla figura, si consideri l'evento E𝑥 = {𝑠(𝑡, 𝜁)|𝑠(𝑡, 𝜁) ≤ 𝑥} costituito Fig. 18.2 - Manifestazioni di un segnale da tutte le manifestazioni del aleatorio segnale che all’istante 𝑡 assumono un valore non maggiore di 𝑥. Per il segnale di Fig. 18.2, la manifestazione 𝑠(𝑡, 𝜁2 ) e la 𝑠(𝑡, 𝜁3 ) appartengono a E𝑥 mentre la 𝑠(𝑡, 𝜁1 ) non vi appartiene. La probabilità che si verifichi l’evento E𝑥 dipende dal valore 𝑥 e dall’istante 𝑡, essa si può quindi esprimere nella forma: Pr{E𝑥 } = 𝑃𝑠(𝑡) (𝑥)

(18.1.3)

La funzione 𝑃𝑠(𝑡) (𝑥), definita nella (18.1.3), costituisce la distribuzione di probabilità del primo ordine associata al segnale 𝑠(𝑡). Ci si rende facilmente conto che la 𝑃𝑠(𝑡) (𝑥) coincide con la funzione di distribuzione di probabilità della variabile aleatoria individuata dal segnale in corrispondenza all’istante 𝑡. Alla 𝑃𝑠(𝑡) (𝑥) si può associare una densità di probabilità del primo ordine 𝑝𝑠(𝑡) (𝑥) così definita: 𝑝𝑠(𝑡) (𝑥) =

𝜕𝑃𝑠(𝑡) (𝑥) 𝜕𝑥

(18.1.4)

in quanto sia 𝑝𝑠(𝑡) (𝑥) sia 𝑃𝑠(𝑡) (𝑥) sono in genere funzioni anche dell'istante 𝑡 in cui si osserva il segnale. È opportuno inoltre sottolineare che la derivazione nella (18.1.4) va intesa in senso generalizzato, la presenza d’eventuali discontinuità non eliminabili nella 𝑃𝑠(𝑡) (𝑥) si traduce infatti nella presenza di delta di Dirac di peso e posizione opportuni nella corrispondente densità 𝑝𝑠(𝑡) (𝑥).

304

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

Si osservi che la 𝑃𝑠(𝑡) (𝑥) è una funzione non decrescente di 𝑥 , pertanto, qualunque sia l'istante 𝑡, per tutti i valori di 𝑥 in cui la 𝑃𝑠(𝑡) (𝑥) è derivabile in senso ordinario, risulta: 𝑝𝑠(𝑡) (𝑥) ≥ 0

(18.1.5)

Inoltre i pesi delle eventuali delta di Dirac presenti nella 𝑝𝑠(𝑡) (𝑥) non possono essere negativi. Vale la condizione: 𝑃𝑠(𝑡) (+∞) = 1

(18.1.6)

che dà conto del fatto che i valori assunti da una qualsiasi manifestazione del segnale appartengono certamente ad ℝ per ogni 𝑡 ∈ T. Deve inoltre necessariamente essere: 𝑃𝑠(𝑡) (−∞) = 0

(18.1.7)

in quanto la probabilità che in un qualunque istante 𝑡 risulti 𝑠(𝑡) = −∞ è nulla (evento impossibile). La (18.1.4) e la (18.1.7) consentono di scrivere: 𝑥

𝑃𝑠(𝑡) (𝑥) = ∫ 𝑝𝑠(𝑡) (𝑦)𝑑𝑦

(18.1.8)

−∞

Inoltre, indipendentemente dal valore di 𝑡 la (18.1.6) si traduce per la ps(t ) (x) nella condizione di normalizzazione: ∞

∫ 𝑝𝑠(𝑡) (𝑥)𝑑𝑥 = 1

(18.1.9)

−∞

La probabilità che il segnale, in un assegnato istante 𝑡, assuma un valore appartenente all’intervallo (𝑎, 𝑏] vale: 𝑏

Pr{𝑠(𝑡) ∈ (𝑎, 𝑏]} = 𝑃𝑠(𝑡) (𝑏) − 𝑃𝑠(𝑡) (𝑎) = ∫ 𝑝𝑠(𝑡) (𝑥)𝑑𝑥 𝑎

(18.1.10)

Esempio 18.1 Si consideri il segnale:

𝑡−𝜏 𝑠(𝑡, 𝜏) = ⊓ ( ) 𝑇

dove 𝜏 rappresenta una variabile aleatoria caratterizzata da una densità di probabilità del primo ordine data da 𝑝𝜏 (𝜂).

CAPITOLO - 19 – Valori Medi, Stazionarietà ed Ergodicità -

305

La generica manifestazione del segnale è riportata in Fig.E 18.1. Da tale figura si deduce che, in corrispondenza ad un certo istante 𝑡, 𝑠(𝑡, 𝜏) può assumere solo due

Fig.E 18.1

valori e precisamente: 𝑠(𝑡, 𝜏) = 1; { 𝑠(𝑡, 𝜏) = 0;

𝑡−

𝑇 𝑇 ≤𝜏≤𝑡+ 2 2 altrove

Ciò significa che la probabilità che 𝑠(𝑡, 𝜏) assuma in un certo istante il valore 1 è data dalla: 𝑃1 (𝑡) ≡ 𝑃𝑟{𝑠(𝑡, 𝜏) = 1} = Pr {𝑡 −

𝑇 𝑇 ≤𝜏≤𝑡+ } 2 2

mentre la probabilità che 𝑠(𝑡, 𝜏) assuma il valore 0 vale: 𝑃0 (𝑡) ≡ Pr{𝑠(𝑡, 𝜏) = 0} = 1 − Pr{𝑠(𝑡, 𝜏) = 1}

dal momento che gli eventi 𝑠(𝑡, 𝜏)=0 e 𝑠(𝑡, 𝜏)=1 sono mutuamente esclusivi. Si ha: 𝑇 2 𝑇 𝑡− 2

𝑃1 (𝑡) = ∫

𝑡+

𝑝𝜏 (𝜂)𝑑𝜂

Ciò premesso si consideri la funzione di distribuzione 𝑃𝑠(𝑡) (𝑥) associata al segnale 𝑠(𝑡, 𝜏). Per ogni 𝑥 < 0 la 𝑃𝑠(𝑡) (𝑥) è nulla poiché il segnale non può assumere valori negativi, mentre per valori di 𝑥 ≥ 1 la 𝑃𝑠(𝑡) (𝑥) vale 1 poiché i valori che il segnale può assumere non possono essere superiori ad 1. Per 0 ≤ 𝑥 < 1 si ha: 𝑃𝑠(𝑡) (𝑥) = 𝑃0 (𝑡)u(𝑥) Fig.E 18.2

In definitiva quindi risulta: 𝑃𝑠(𝑡) (𝑥) = 𝑃0 (𝑡)u(𝑥) + 𝑃1 (𝑡)u(𝑥 − 1)

Pertanto la corrispondente densità di probabilità vale: 𝑝𝑠(𝑡) (𝑥) =

𝜕𝑃𝑠(𝑡) (𝑥) = 𝑃0 (𝑡)𝛿(𝑥) + 𝑃1 (𝑡)𝛿(𝑥 − 1) 𝜕𝑥

306

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

Le funzioni 𝑝𝑠(𝑡) (𝑥) e 𝑃𝑠(𝑡) (𝑥) sono rappresentate nella Fig.E 18.2. Se in particolare la variabile 𝜏 è uniformemente distribuita in (- 𝑇/2, 𝑇/2), cioè è caratterizzata da una densità di probabilità del primo ordine data dalla: 𝑝𝜏 (𝜂) =

1 𝜂 ⊓( ) 𝑇 𝑇

si ha: 𝑡+

𝑃1 (𝑡) = ∫

𝑇 2

𝑇 𝑡− 2

|𝑡| 1 𝜂 ⊓ ( ) 𝑑𝜂 = { 1 − 𝑇 ; 𝑇 𝑇 0;

|𝑡| ≤ 𝑇 = (1 − |𝑡|) ⊓ ( 𝑡 ) 𝑇 2𝑇 |𝑡| > 𝑇

di conseguenza: 𝑃0 (𝑡) = 1 − (1 −

|𝑡| 𝑡 )⊓( ) 𝑇 2𝑇

18.2 - Funzioni di probabilità del secondo ordine e funzioni di probabilità condizionate. Dati due reali qualsiasi 𝑥1 , 𝑥2 si prenda in considerazione l’evento: E𝑥1𝑥2 = {𝑠(𝑡)|𝑠1 ≤ 𝑥1 ⋀ 𝑠2 ≤ 𝑥2 }

(18.2.1)

Dove, per comodità di notazione, 𝑠1 ed 𝑠2 indicano i valori assunti dalla generica manifestazione del segnale agli istanti 𝑡1 e 𝑡2 rispettivamente. E𝑥1 𝑥2 rappresenta cioè l’evento costituito da tutte le manifeFig. 18.3 - Manifestazioni di un segnale aleatostazioni del segnale 𝑠(𝑡) rio. che assumono all'istante 𝑡1 un valore non maggiore di 𝑥1 , e all'istante 𝑡2 un valore non maggiore di 𝑥2 . Nell’esempio di Fig. 18.3soltanto la manifestazione 𝑠(𝑡, 𝜁1 ) è contenuta in E𝑥1𝑥2 . La probabilità che si verifichi l’evento 𝐸𝑥1 𝑥2 dipende evidentemente sia dagli istanti di tempo considerati sia dalla coppia 𝑥1 , 𝑥2 ; essa si può pertanto esprimere nella forma: Pr{E𝑥1 𝑥2 } = 𝑃𝑠1𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 )

(18.2.2)

CAPITOLO - 19 – Valori Medi, Stazionarietà ed Ergodicità -

307

La funzione 𝑃𝑠1 𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 ), appena introdotta, costituisce la distribuzione di probabilità del secondo ordine associata al segnale aleatorio 𝑠(𝑡) relativa ai due istanti 𝑡1 , 𝑡2 in cui il segnale aleatorio viene osservato. Anche in questo caso è possibile individuare una densità di probabilità del secondo ordine associata al segnale: 𝑝𝑠1𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 ) =

𝜕 2 𝑃𝑠1𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 ) 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2

(18.2.3)

nella quale la derivazione è da intendersi in senso generalizzato. La 𝑃𝑠1 𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 ) deve necessariamente soddisfare le uguaglianze: 𝑃𝑠1𝑠2 (∞, ∞) = 1; 𝑃𝑠1 𝑠2 (−∞, −∞) = 0; 𝑃𝑠1𝑠2 (0, −∞) = 0; {𝑃𝑠1𝑠2 (−∞, 0) = 0;

(18.2.4)

la prima delle quali esprime la probabilità associata all’evento certo; le restanti quelle d’eventi impossibili, indipendentemente dagli istanti d’osservazione considerati. Dalla (18.2.3)si deduce inoltre che la probabilità che all'istante 𝑡1 il valore 𝑠(𝑡1 ) = 𝑠1 , assunto dalla generica manifestazione del segnale, sia compreso nell'intervallo (𝑎1 , 𝑏1 ] e che a 𝑡2 il valore 𝑠(𝑡2 ) = 𝑠2 , assunto dalla stessa manifestazione, appartenga all'intervallo (𝑎2 , 𝑏2 ] si può calcolare in uno dei seguenti modi: Pr{{𝑠(𝑡)|(𝑠1 , 𝑠2 ) ∈ (𝑎1 , 𝑏1 ] × (𝑎2 , 𝑏2 ]}} = 𝑃𝑠1𝑠2 (𝑎2 , 𝑏2 ) − 𝑃𝑠1 𝑠2 (𝑎1 , 𝑏2 ) − 𝑃𝑠1 𝑠2 (𝑎2 , 𝑏1 ) 𝑏1

𝑏2

+ 𝑃𝑠1 𝑠2 (𝑎1 , 𝑏1 ) = ∫ ∫ 𝑝𝑠1𝑠2 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑎1

(18.2.5)

𝑎2

È inoltre evidente che si ha: 𝑥1

𝑥2

𝑃𝑠1 𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 ) = ∫ ∫ 𝑝𝑠1𝑠2 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 −∞ −∞

Dato

(18.2.6)

che

l'evento E𝑥1 𝑥2 è contenuto nell'evento E𝑥1+|𝛥𝑥1|,𝑥2+|𝛥𝑥2| deve necessariamente essere 𝑃𝑠1𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 ) ≤ 𝑃𝑠1 𝑠2 (𝑥1 + |𝛥𝑥1 |, 𝑥2 + |𝛥𝑥2 |), il che comporta: 𝑝𝑠1𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 ) ≥ 0

(18.2.7)

308

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

in tutti i punti in cui la derivazione (18.2.3) si può effettuare in senso ordinario, inoltre, i pesi delle delta di Dirac, eventualmente presenti nella 𝑝𝑠1 𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 ), non possono essere negativi. Si osservi che tutti I risultati ottenuti si potevano dedurre osservando che 𝑠(𝑡1 ) ed 𝑠(𝑡2 ) sono due variabili aleatorie definite su di uno stesso esperimento casuale, di cui la 𝑝𝑠1𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 ) e la 𝑃𝑠1 𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 ) costituiscono le funzioni di probabilità congiunte. Si considerino gli eventi: E2 = {𝑠(𝑡)|𝑠2 ≤ 𝑥2 }; E1 = {𝑠(𝑡)|𝑥1 − ≤ 𝑥1 +

|𝛥𝑥1 | } 2

|𝛥𝑥1 | < 𝑠1 2

(18.2.8)

La probabilità dell'evento E2 condizionata dal manifestarsi dell'evento E1 , nell’ipotesi che quest'ultimo abbia probabilità diversa da zero, per la formula di Bayes vale: |𝛥𝑥 |

Pr{E2 |E1 } =

Pr{E2 ∩ E1 } = Pr{E1 }

∫

𝑥1 + 2 1

𝑥2 𝑝 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 −∞ 𝑠1 𝑠2

∫

|𝛥𝑥 | 𝑥1 − 1 2

|𝛥𝑥1 | 2 |𝛥𝑥1 | 𝑥1 − 2

∫

𝑥1 +

(18.2.9)

𝑝𝑠1 (𝑥)𝑑𝑥

Se si fa tendere 𝛥𝑥1 a zero, ammesso che la 𝑝𝑠1 (𝑥1 ), sia continua in 𝑥1 , E1 si riduce all'evento singolare E1 = {𝑠(𝑡)|𝑠1 = 𝑥1 } e si ha: |𝛥𝑥 |

∫ lim Pr{E2 |E1 } = lim

𝛥𝑥1 →0

=

𝛥𝑥1 →0

𝑥2 𝑝 (𝑥 , 𝑦)𝑑𝑦 −∞ 𝑠1 𝑠2 1

𝑥1 + 2 1

|𝛥𝑥 | 𝑥1 − 1 2

𝑥2 𝑝 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 −∞ 𝑠1 𝑠2

∫

|𝛥𝑥1 | 2 |𝛥𝑥1 | 𝑥1 − 2

𝑥1 +

∫

𝑝𝑠1 (𝑥)𝑑𝑥

(18.2.10)

∫

𝑝𝑠1 (𝑥1 )

Si noti il limite (18.2.10) esiste finito se risulta 𝑝𝑠1 (𝑥1 ) ≠ 0 e definisce una funzione della variabile 𝑥1 che soddisfa tutte le proprietà di una distribuzione di probabilità. Tale funzione, che si denota con 𝑃𝑠2 |𝑠1 (𝑥2 , 𝑥1 ) e prende il nome di distribuzione di probabilità condizionata. Alla 𝑃𝑠2|𝑠1 (𝑥2 , 𝑥1 ) corrisponde la densità di probabilità condizionata data dalla:

CAPITOLO - 19 – Valori Medi, Stazionarietà ed Ergodicità -

𝑝𝑠2 |𝑠1 (𝑥2 , 𝑥1 ) =

𝜕𝑃𝑠2 |𝑠1 (𝑥2 , 𝑥1 ) 𝜕𝑥2

309

(18.2.11)

È facile rendersi conto che tale densità di probabilità può esprimersi in termini delle densità del primo e del secondo ordine associate al segnale 𝑠(𝑡) come segue: 𝑝𝑠1𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑝𝑠1 (𝑥1 ) ⋅ 𝑝𝑠2|𝑠1 (𝑥2 , 𝑥1 )

(18.2.12)

In modo analogo, introducendo la densità di probabilità condizionata 𝑝𝑠1 |𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 ) si deduce: 𝑝𝑠1 𝑠2 (𝑥1 𝑥2 ) = 𝑝𝑠2 (𝑥2 ) ⋅ 𝑝𝑠1 |𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 )

(18.2.13)

Si noti infine che risulta: lim 𝑝𝑠2 |𝑠1 (𝑥2 , 𝑥1 ) = lim 𝑝𝑠1|𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝛿(𝑥1 − 𝑥2 )

𝑡2 →𝑡1

𝑡1 →𝑡2

(18.2.14)

che discende immediatamente dal fatto che una stessa manifestazione del segnale non può assumere due valori distinti nello stesso istante . Inoltre tenuto conto delle condizioni di normalizzazione: ∞

∞

∫ 𝑝𝑠1|𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 )𝑑𝑥1 = ∫ 𝑝𝑠2 |𝑠1 (𝑥2 , 𝑥1 )𝑑𝑥2 = 1 −∞

−∞

(18.2.15)

dalle (18.2.12) e (18.2.13) si deduce che le densità del primo ordine del segnale valgono rispettivamente: ∞

a)

𝑝𝑠1 (𝑥1 ) = ∫ 𝑝𝑠1𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 )𝑑𝑥2 −∞ ∞

b)

(18.2.16)

𝑝𝑠2 (𝑥2 ) = ∫ 𝑝𝑠1𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 )𝑑𝑥1 −∞

dalle quali si evince che la densità di probabilità del primo ordine di un segnale aleatorio è direttamente deducibile da quella del secondo ordine per marginalizzazione. È inoltre evidente che: a)

𝑃𝑠1 (𝑥1 ) = lim 𝑃𝑠1𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 )

b)

𝑃𝑠2 (𝑥2 ) = lim 𝑃𝑠1𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 )

𝑥2 →∞

𝑥1 →∞

(18.2.17)

310

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

18.3 - Funzioni di probabilità d’ordine superiore. In maniera analoga a quanto fatto nei paragrafi precedenti, si può denotare con 𝑃𝑠1𝑠2 …𝑠𝑛 (𝑥1 , 𝑥2 , … 𝑥𝑛 )

(18.3.1)

la probabilità dell’evento E𝑥1𝑥2 …𝑥𝑛 = {𝑠(𝑡)|𝑠1 ≤ 𝑥1 , 𝑠2 ≤ 𝑥2 , … , 𝑠𝑛 ≤ 𝑥𝑛 }

(18.3.2)

costituito cioè da tutte le manifestazioni del segnale 𝑠(𝑡) che, in corrispondenza agli istanti di tempo 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑛 , assumono valori rispettivamente non superiori a 𝑥1 , 𝑥2 , … 𝑥𝑛 . La 𝑃𝑠1 𝑠2…𝑠𝑛 (𝑥1 , 𝑥2 , … 𝑥𝑛 ) costituisce la distribuzione di probabilità di ordine 𝑛 associata al segnale. Ad essa corrisponde la relativa densità di probabilità di ordine 𝑛: 𝑝𝑠1 𝑠2…𝑠𝑛 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ): 𝑝𝑠1 𝑠2…𝑠𝑛 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) =

𝜕 𝑛 𝑃𝑠1𝑠2 …𝑠𝑛 (𝑥1 , 𝑥2 , … 𝑥𝑛 ) 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 … 𝜕𝑥𝑛

(18.3.3)

in cui la derivata, anche in questo caso, è intesa in senso generalizzato. Dalla 𝑝𝑠1𝑠2…𝑠𝑛 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) si possono dedurre tutte le densità d’ordine inferiore per successiva marginalizzazione. Si ha infatti, generalizzando le (18.2.16): ∞

𝑝𝑠1 𝑠2…𝑠𝑛−1 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛−1 ) = ∫ 𝑝𝑠1𝑠2 …𝑠𝑛 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 )𝑑𝑥𝑛 ∞

−∞ ∞

𝑝𝑠1𝑠2…𝑠𝑛−2 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛−2 ) = ∫ ∫ 𝑝𝑠1𝑠2…𝑠𝑛 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 )𝑑𝑥𝑛 𝑑𝑥𝑛−1 . . . . −∞ . . . . .−∞ ......... ∞

(18.3.4)

∞

𝑝𝑠1 (𝑥1 ) = ∫ … ∫ 𝑝𝑠1𝑠2 …𝑠𝑛 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 )𝑑𝑥𝑛 𝑑𝑥𝑛−1 … 𝑑𝑥2 −∞

−∞

La densità di probabilità d’ordine 𝑛 deve inoltre soddisfare la seguente condizione di normalizzazione: ∞

∞

∫ … ∫ 𝑝𝑠1𝑠2 …𝑠𝑛 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 )𝑑𝑥𝑛 𝑑𝑥𝑛−1 … 𝑑𝑥2 𝑑𝑥1 = 1 −∞

−∞

(18.3.5)

che esprime la circostanza che i valori assunti dal segnale negli istanti 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑛 sono certamente limitati. Si ha:

CAPITOLO - 19 – Valori Medi, Stazionarietà ed Ergodicità -

311

𝑃𝑠1𝑠2 …𝑠𝑛 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) 𝑥1

𝑥𝑛

−∞

−∞

= ∫ … ∫ 𝑝𝑠1𝑠2 …𝑠𝑛 (𝑦1 , … , 𝑦𝑛 )𝑑𝑦1 … 𝑑𝑦𝑛

(18.3.6)

e sono soddisfatte le uguaglianze: 𝑃𝑠1𝑠2 …𝑠𝑛 (−∞, … , −∞) = 0, 𝑃𝑠1𝑠2 …𝑠𝑛 (∞, … , ∞) = 1

(18.3.7)

Da considerazioni analoghe a quelle fatte per dedurre la (18.2.7) discende: 𝑝𝑠1𝑠2 …𝑠𝑛 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ≥ 0

(18.3.8)

in tutti i punti in cui 𝑃𝑠1𝑠2…𝑠𝑛 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) è derivabile in senso ordinario; inoltre i pesi delle eventuali delta di Dirac nella 𝑝𝑠1 𝑠2…𝑠𝑛 (𝑥1 , 𝑥2 … , 𝑥𝑛 ) non possono essere negativi. Quando sono note le funzioni di probabilità fino a all’ordine 𝑛 di un segnale aleatorio, si dice che esso è statisticamente noto fino all'ordine 𝑛. È evidente che quanto più 𝑛 è elevato tanto maggiori sono le informazioni che si hanno sulla natura del segnale. Se i valori assunti dalla generica manifestazione del segnale negli istanti 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑛 sono statisticamente indipendenti cioè se risulta, qualunque sia l'ordine 𝑛 e comunque scelti gli istanti 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑛 : 𝑝𝑠1𝑠2…𝑠𝑛 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑝𝑠1 (𝑥1 )𝑝𝑠2 (𝑥2 ) … 𝑝𝑠𝑛 (𝑥𝑛 )

(18.3.9)

il segnale si dice puramente casuale. In tal caso la densità di probabilità del primo ordine contiene già tutte le informazioni necessarie alla descrizione statistica del segnale. La funzione di distribuzione di probabilità d’ordine 𝑛 per un tale segnale risulta: 𝑃𝑠1…𝑠𝑛 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) 𝑥1

𝑥2

𝑥𝑛

−∞ 𝑛

−∞

−∞

= ∫ 𝑝𝑠1 (𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑝𝑠2 (𝑥)𝑑𝑥 … ∫ 𝑝𝑠𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 (18.3.10)

= ∏ 𝑃𝑠𝑖 (𝑥𝑖 ) 𝑖=1

essa, cioè, come la corrispondente densità di probabilità, si può esprimere come prodotto di 𝑛 distribuzioni di probabilità del primo ordine rispettivamente valutate in corrispondenza degli 𝑛 istanti di osservazione.

312

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

18.4 - Segnali aleatori deterministici. Una classe particolare di segnali aleatori è costituita dai cosiddetti segnali deterministici. Per essi l'evoluzione della generica manifestazione per valori di 𝑡 ≥ 𝜏 può essere dedotta dalla conoscenza del segnale per 𝑡 < 𝜏 . Il segnale 𝑠(𝑡, 𝜑) = cos(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜑) ne è un esempio, dal momento che nota la frequenza 𝑓0 l'osservazione del segnale in almeno due istanti distinti consente di determinare il valore della fase 𝜑 e quindi la manifestazione. In generale un segnale aleatorio deterministico è rappresentabile mediante una funzione 𝑠(𝑡, 𝒁) in cui 𝒁 = [𝑍1 , 𝑍2 , … , 𝑍𝑛 ] è un 𝑛vettore di variabili aleatorie definite su uno stesso esperimento casuale caratterizzato da una distribuzione di probabilità congiunta 𝑃𝒁 (𝑧1 , 𝑧2 , … , 𝑧𝑛 ). 18.5 - Segnali dipendenti da una variabile aleatoria monodimensionale funzioni di probabilità del primo ordine. Sia 𝑠 = 𝑠(𝑡, 𝑍) un segnale dipendente da una variabile aleatoria monodimensionale 𝑍. Si vuole determinare la distribuzione di pro-

babilità del primo ordine ad esso associata, nota che sia la densità di probabilità di 𝑍. A tal fine si ricorda che la 𝑃𝑠(𝑡̂) (𝑥) eguaglia la probabilità che il segnale all’istante 𝑡̂ assuma un valore non superiore ad 𝑥 . Tale eventualità si verifica tutte e sole le volte che la variabile aleatoria 𝑍 assume valori appartenenti all’insieme I𝑡̂,𝑥 = 𝑠 −1 (𝑡̂, (−∞, 𝑥]) ⊆ ℝ In altri termini 𝑃𝑠(𝑡̂) (𝑥) = Pr{I𝑡̂,𝑥 }, nell’ipotesi in cui I𝑡̂,𝑥 costituisca un evento per 𝑍. Quest’ultima ipotesi è certamente soddisfatta, in quanto il segnale, in virtù della sua definizione, individua in ogni istante una variabile aleatoria sullo spazio dei risultati dell’esperimento casuale. Nel caso in esame l’insieme dei risultati è ℝ, quindi 𝑠(𝑡̂, 𝑍) è una funzione misurabile di 𝑍. Ciò significa che l’insieme I𝑡̂,𝑥 è di Borel, (misurabile nel senso di Lebesgue) ad esso è quindi possibile attribuire una probabilità nota che sia la densità di probabilità 𝑝𝑍 (𝑧) della variabile aleatoria 𝑍. In definitiva si può quindi scrivere:

CAPITOLO - 19 – Valori Medi, Stazionarietà ed Ergodicità -

313

𝑃𝑠(𝑡̂ ) (𝑥) = Pr{𝑠 −1 (𝑡̂, (−∞, 𝑥])} = ∫ 𝑝𝑍 (𝑧)𝑑𝑧

(18.5.1)

𝐼𝑡̂,𝑥

È opportuno sottolineare che l’integrale che compare nella precedente va inteso come una distribuzione qualora la 𝑝𝑍 (𝑧) contenga delle delta di Dirac. Si consideri adesso il caso particolare in cui la variabile aleatoria 𝑠 = 𝑠(𝑡, 𝑍) sia di tipo continuo, la variabile aleatoria 𝑍 sia anche essa di tipo continuo caratterizzata da una distribuzione di probabilità 𝑃𝑍 (𝑧) derivabile dappertutto. Si supponga inoltre che il segnale in ogni istante sia rappresentabile mediante una funzione derivabile di 𝑍 che sia priva di tratti costanti. Si osservi che l’equazione 𝑠 = 𝑠(𝑡, 𝑍) nel piano (𝑂, 𝑍, 𝑠) è rappresentabile mediante una famiglia di curve parametrizzate dal tempo. Assegnato un istante 𝑡̂ si consideri la funzione di 𝑍, 𝑠 = 𝑠(𝑡̂, 𝑍), (v. Fig. 18.4. Si consideri quindi sull’asse 𝑠 l’intervallo I𝑥 = (𝑥 −

𝛥𝑥 2

,𝑥 +

𝛥𝑥 2

];

ad esso corrisponde un'immagine inversa 𝑠 −1 (𝑡̂, I𝑥 ), che si supFig. 18.4 - rappresentazione sul piano (O, Z, s) . pone costituita da un’unione finita o al più numerabile di intervalli a due a due disgiunti I𝑍𝑗 , cui appartengono rispettivamente le soluzioni 𝑍𝑗 dell’equazione 𝑥 = 𝑠(𝑡̂, 𝑍) (v. Fig. 18.4 sia cioè: ∞

𝑠 −1 (𝑡̂, I𝑥 ) = ∪ I𝑍𝑗 𝑗=1

(18.5.2)

La probabilità che nell'istante 𝑡̂ il segnale assuma un valore appartenente all'intervallo I𝑥 , è uguale alla probabilità che la variabile aleatoria Z assuma un valore appartenente all'evento E = ∪∞ 𝑗=1 I𝑍𝑗 . Si può quindi scrivere: ∞

Pr{𝐼𝑥 } = Pr{E} = ∑ Pr{I𝑍𝑗 } 𝑗=1

(18.5.3)

314

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

dal momento che gli eventi che costituiscono E sono a due a due disgiunti. Si osservi inoltre che per le ipotesi fatte sul segnale, al tendere a zero della misura |𝛥𝑥| di 𝐼𝑥 anche la misura |𝛥𝑍𝑗 | del generico 𝐼𝑍𝑗 tende a zero; la (18.5.3) quindi, a meno d’infinitesimi di ordine superiore al primo, si può riscrivere nella forma: ∞

𝑝𝑠(𝑡̂) (𝑥)|𝛥𝑥| = ∑

𝑗=1

𝑝𝑍 (𝑍𝑗 )|𝛥𝑍𝑗 |

(18.5.4)

dalla quale si può concludere che: 𝑝𝑠(𝑡̂) (𝑥) = 0 se: ∀𝑧̂ |𝑥 = 𝑠(𝑡̂, 𝑧̂ ) ⇒ 𝑝𝑍 (𝑧̂ ) = 0

(18.5.5)

Inoltre, per tutti i valori di 𝑥 in corrispondenza ai quali risulta |

𝜕𝑠(𝑡,𝑍) 𝜕𝑍

|𝑡̂,𝑍𝑗 ≠ 0∀𝑍𝑗 , dividendo ambo i membri della (18.5.4) per |𝛥𝑥|

e passando al limite per 𝛥𝑥 → 0, si ottiene: ∞

𝑝𝑠(𝑡̂) (𝑥) = lim ∑ 𝛥𝑥→0

𝑗=1

𝑝𝑍 (𝑍𝑗 ) |𝛥𝑥| |𝛥𝑍𝑗|

∞

=∑

𝑗=1 |

𝑝𝑍 (𝑍𝑗 ) 𝜕𝑠(𝑡,𝑍) 𝜕𝑍

|

𝑡̂ ,𝑍𝑗

(18.5.6)

In corrispondenza agli eventuali valori di 𝑥 per i quali risulta che |

𝜕𝑠(𝑡,𝑍) 𝜕𝑍

|

𝑡̂ ,𝑍𝑗

= 0 la 𝑝𝑠(𝑡̂) (𝑥) non è definita; tuttavia la 𝑝𝑠(𝑡̂) (𝑥) risulta de-

finita quasi ovunque dalle (18.5.5) e (18.5.6), in quanto tali punti costituiscono, per le ipotesi fatte, un insieme al più numerabile. Si faccia ora riferimento al caso in cui il segnale 𝑠 = 𝑠(𝑡, 𝑍) sia rappresentato da una funzione costante a tratti della variabile aleatoria continua 𝑍; cioè il segnale, fatta eccezione al più per un insieme di manifestazioni che si presentano con probabilità nulla, può assumere soltanto valori appartenenti ad Fig. 18.5 - rappresentazione sul piano un sottoinsieme di A ⊂ ℝ al più (O, Z, s) , costante a tratti. numerabile, com’è indicato in Fig. 18.5. Ci si convince facilmente che la 𝑝𝑠(𝑡) (𝑥) in questo caso è di tipo discreto. Infatti, facendo riferimento alla Fig. 18.5, la probabilità che il segnale assuma il valore 𝑥𝑖 è data da:

CAPITOLO - 19 – Valori Medi, Stazionarietà ed Ergodicità -

𝑃𝑖 = Pr{𝑠(𝑡, 𝑍) = 𝑥𝑖 } = ∫ 𝑝𝑍 (𝑧)𝑑𝑧 𝐼𝑖

315

(18.5.7)

dove l’integrale è esteso a I𝑖 = 𝑠 −1 (𝑡̂, {𝑥𝑖 }), cioè alla controimmagine dell’insieme {𝑥𝑖 }, che il segnale individua nel generico istante di tempo nell’insieme dei valori assunti dalla variabile aleatoria 𝑍 cui esso è associato. La funzione distribuzione di probabilità del primo ordine 𝑃𝑠(𝑡) (𝑥) associata al segnale presenta, in corrispondenza al generico 𝑥𝑖 , un salto di valore 𝑃𝑖 (𝑡). Il valore da essa assunto è dato da 𝑖

∑𝑗=−∞ 𝑃𝑗 (𝑡) e 𝑃𝑠(𝑡) (𝑥) mantiene tale valore fino ad 𝑥𝑖+1 . La 𝑃𝑠(𝑡) (𝑥)

si presenta quindi in ogni istante fissato come una funzione a scala. La densità di probabilità 𝑝𝑠(𝑡) (𝑥) è conseguentemente espressa dalla: ∞

𝑝𝑠(𝑡) (𝑥) = ∑ 𝑃𝑖 (𝑡)𝛿(𝑥 − 𝑥𝑖 ) 𝑖=−∞

(18.5.8)

Esempio 18.2 Si consideri il segnale 𝑠(𝑡, 𝜑) = cos(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜑)

Fig.E 18.3

dove 𝜑 denota una variabile casuale caratterizzata da una densità di probabilità del primo ordine data da 𝑝𝜑 (𝜃). Se |𝑥| < 1 l'equazione 𝑥 = cos(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜑)

presenta soluzioni generate dalle (v. Fig.E 18.3) Fig. E.IV.3

2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜑𝑘 = arccos𝑥 + 2𝑘𝜋 2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜑 ′ 𝑘 = −arccos𝑥 + 2𝑘𝜋

Poiché è: 𝜕𝑠 = −sin(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜑) 𝜕𝜑

risulta: |

𝜕𝑠 | = |sin(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜑𝑘 )| = √1 − cos2 (2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜑𝑘 ) 𝜕𝜑 𝜑 𝑘

𝜕𝑠 | | = |sin(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜑 ′ 𝑘 )| = √1 − cos2 (2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜑 ′ 𝑘 ) 𝜕𝜑 𝜑′ } 𝑘

= √1 − 𝑥 2

316

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

Quindi: 𝑝𝑠(𝑡) (𝑥) =

1 √1 − 𝑥 2

∑[𝑝𝜑 (𝜑𝑘 ) + 𝑝𝜑 (𝜑 ′ 𝑘 )] 𝑘

Se 𝜑 è uniformemente distribuita in [0, 2𝜋], qualunque sia l'istante 𝑡, la sommatoria che compare nella precedente, contiene due soli termini non nulli ottenuti in corrispondenza ai valori di 𝑘 dati dalla: 𝑘 = ⌈𝑓0 𝑡 ±

arccos𝑥 ⌉ 2𝜋

In definitiva risulta: 𝑝𝑠(𝑡) (𝑥) =

1 𝜋√1 −

𝑥

𝑥2

⊓ (2 )

il cui andamento in funzione di 𝑥 è riportato in Fig.E 18.4a). La distribuzione di probabilità si ottiene per integrazione della precedente. Si ha: 𝑃𝑠(𝑡) (𝑥) 1 arcsin𝑥 𝑥 =( + )⊓( ) 2 𝜋 2 Fig.E 18.4

+ u(𝑥 − 1)

ed è rappresentata nella Fig.E 18.4 b). funzioni di probabilità d’ordine superiore al primo. Sia 𝑠(𝑡, 𝑍) un segnale aleatorio rappresentato da una funzione che, rispetto alla variabile aleatoria continua 𝑍, sia derivabile e non

presenti tratti costanti. 𝛥𝑠 𝛥𝑠 𝛥𝑠 𝛥𝑠 Posto I1 = (𝑥1 − 21 , 𝑥1 + 21), I2 = (𝑥2 − 22 , 𝑥2 + 22) la probabilità che si verifichi l'evento: E = {𝑠(𝑡, 𝑍)|𝑠2 = 𝑠(𝑡2 , 𝑍) ∈ I2 ∧ 𝑠1 = 𝑠(𝑡1 , 𝑍) ∈ I1 }

(18.5.9)

a meno di infinitesimi d’ordine superiore , vale: Pr{E} = 𝑝𝑠2 𝑠1 (𝑥2 , 𝑥1 )𝛥𝑠2 𝛥𝑠1

(18.5.10)

Quest’ultima può essere espressa in termini della variabile aleatoria 𝑍 osservando che all'istante 𝑡1 esiste un numero finito, o al più un’infinità numerabile, di intervalli elementari a due a due disgiunti tali che risulti:

CAPITOLO - 19 – Valori Medi, Stazionarietà ed Ergodicità −1 ∪∞ 𝑗=1 J1𝑗 = 𝑠 (𝑡1 , I1 )

317

(18.5.11)

Ciascuno di questi intervalli, a meno d’infinitesimi d’ordine superiore, se risulta |

𝜕𝑠(𝑡1 ,𝑍)

|

𝜕𝑍

J1𝑗 = (𝑍𝑗 −

𝑍=𝑍𝑗

2|

≠ 0 è dato da:

𝛥𝑠1 𝜕𝑠(𝑡1 ,𝑍)

|

𝜕𝑍

, 𝑍𝑗 +

2|

𝑍=𝑍𝑗

𝛥𝑠1 𝜕𝑠(𝑡1 ,𝑍) 𝜕𝑍

|

)

(18.5.12)

𝑍=𝑍𝑗

dove 𝑍𝑗 rappresenta la generica soluzione dell’equazione 𝑥1 = 𝑠(𝑡1 , 𝑍). La probabilità che la variabile aleatoria 𝑍 appartenga ad uno di questi intervalli vale a sua volta: Pr{{𝑍 ∈ J1𝑗 }} = 𝑝𝑍 (𝑍𝑗 )

|

𝛥𝑠1 𝜕𝑠(𝑡1 ,𝑍)

|

𝜕𝑍

𝑍=𝑍𝑗

(18.5.13)

dove la 𝑝𝑍 (⋅) indica la densità di probabilità di 𝑍. Si constata che: Pr{E} = 𝑝𝑠1 𝑠2 (𝑥2 , 𝑥1 )𝛥𝑠1 𝛥𝑠2 ∞

= ∑ 𝑝𝑍𝑠2 (𝑍𝑗 , 𝑥2 ) 𝑗=1

|

𝛥𝑠1 𝜕𝑠(𝑡1 ,𝑍) 𝜕𝑍

|

𝛥𝑠2

(18.5.14)

𝑍=𝑍𝑗

Ma se 𝑍 = 𝑍𝑗 il segnale all’istante 𝑡2 assumerà con certezza il valore 𝑠(𝑡2 , 𝑍𝑗 ). Pertanto si può scrivere: 𝑝𝑍𝑠2 (𝑍𝑗 , 𝑥2 ) = 𝛿(𝑥2 − 𝑠(𝑡2 , 𝑍𝑗 ))𝑝𝑍 (𝑍𝑗 )

(18.5.15)

che, sostituita nella (18.5.14), consente di scrivere la densità di probabilità del secondo ordine di un segnale deterministico associato ad una variabile aleatoria monodimensionale: ∞

𝑝𝑠1 𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 ) = ∑ 𝑗=1

𝛿(𝑥2 − 𝑠(𝑡2 , 𝑍𝑗 ))𝑝𝑍 (𝑍𝑗 ) |

𝜕𝑠(𝑡1 ,𝑍) 𝜕𝑍

|

𝑍=𝑍𝑗

(18.5.16)

Le densità di probabilità di ordine più elevato possono ricavarsi con procedimento analogo.

318

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

Esempio 18.3 La densità di probabilità del secondo ordine per il segnale dell’esempio precedente per |x 1 |< 1 ed |x 2 |< 1 può essere scritta nella forma: 𝑝𝑠1𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 ) ∞

= ∑ [ 𝑘=−∞

𝑝𝜑 (𝜑𝑘 ) 𝜕𝑠(𝑡1 ,𝜑)

|

𝜕𝜑

|

𝛿(𝑥2 − 𝑠(𝑡2 , 𝜑𝑘 )) +

𝜑=𝜑𝑘

𝑝𝜑 (𝜑̅𝑘 ) 𝜕𝑠(𝑡1 ,𝜑)

|

𝜕𝜑

|

𝛿(𝑥2 − 𝑠(𝑡2 , 𝜑̅𝑘 ))]

̅𝑘 𝜑=𝜑

dove è 𝑠(𝑡2 , 𝜑𝑘 ) = cos(2𝜋𝑓0 𝑡2 + 𝜑𝑘 ) = cos(2𝜋𝑓0 (𝑡2 − 𝑡1 ) + arccos(𝑥1 )) 𝑠(𝑡2 , 𝜑̅𝑘 ) = cos(2𝜋𝑓0 𝑡2 + 𝜑̅𝑘 ) = cos(2𝜋𝑓0 (𝑡2 − 𝑡1 ) − arccos(𝑥1 ))

e 𝜑𝑘 = arccos(𝑥1 ) − 2𝜋𝑓0 𝑡1 + 2𝑘𝜋 𝜑̅𝑘 = −arccos(𝑥1 ) − 2𝜋𝑓0 𝑡1 + 2𝑘𝜋

i valori della fase  che soddisfano la condizione: 𝑥1 = cos(2𝜋𝑓0 𝑡1 + 𝜑)

conseguentemente, per |𝑥1 | ≤ 1 ed |𝑥2 | ≤ 1, si ha: 1

{𝛿[𝑥2 − cos(2𝜋𝑓0 (𝑡2 − 𝑡1 ) − arccos(𝑥1 ))] + 2𝜋√1 − 𝑥12 +𝛿[𝑥2 − cos(2𝜋𝑓0 (𝑡2 − 𝑡1 ) + arccos(𝑥1 ))]}

𝑝𝑠1,𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 ) =

mentre evidentemente per |𝑥1 | > 1 o per |𝑥2 | > 1 risulta: 𝑝𝑠1,𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 ) = 0

18.6 - Segnali dipendenti da un vettore aleatorio. Si consideri per semplicità il caso di un segnale deterministico 𝑠(𝑡, 𝒁) in cui 𝒁 è un vettore aleatorio continuo bidimensionale; inoltre il segnale sia una funzione continua e priva di tratti costanti delle componenti di 𝒁, parzialmente derivabile ovunque. Posto 𝐼1 = (𝑥1 −

𝛥𝑠1 2

, 𝑥1 +

𝛥𝑠1 2

), 𝐼2 = (𝑥2 −

𝛥𝑠2 2

, 𝑥2 +

𝛥𝑠2 2

), la

probabilità che si verifichi l'evento: 𝐸 = {𝑠(𝑡, 𝒁)|𝑠2 ∈ 𝐼2 ∧ 𝑠1 ∈ 𝐼1 }

(18.6.1)

è a meno di infinitesimi di ordine superiore è data da: Pr{E} = 𝑝𝑠1𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 )𝛥𝑠1 𝛥𝑠2 = Pr{𝒁 ∈ A=𝑠 −1 (𝑡1 , I1 ) ∩ 𝑠 −1 (𝑡2 , I2 )}

(18.6.2)

CAPITOLO - 19 – Valori Medi, Stazionarietà ed Ergodicità -

319

L'insieme A è evidentemente costituito, per le ipotesi fatte sul segnale, da una unione al piu numerabile di sottoinsiemi A𝑖 in ℝ2 a due a due disgiunti. La (18.6.2) si può quindi scrivere: ∞

𝑝𝑠1 𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 )𝛥𝑠1 𝛥𝑠2 = ∑ 𝑝𝑍 (𝑧1𝑖 , 𝑧2𝑖 ) 𝑖=1

𝛥𝑠1 𝛥𝑠2 |𝐽|𝑧=𝑧𝑖

(18.6.3)

dove la coppia𝑧1𝑖 , 𝑧2𝑖 rappresenta l’𝑖-esima soluzione del sistema: 𝑥 = 𝑠(𝑡1 , 𝑧1 , 𝑧2 ); { 1 𝑥2 = 𝑠(𝑡2 , 𝑧1 , 𝑧2 );

(18.6.4)

e |𝐽| il modulo del determinante Jacobiano 𝜕𝑠(𝑡1 , 𝑧1 , 𝑧2 ) 𝜕(𝑠1 , 𝑠2 ) 𝜕𝑧1 𝐽= = || 𝜕𝑠(𝑡2 , 𝑧1 , 𝑧2 ) 𝜕(𝑧1 , 𝑧2 ) 𝜕𝑧1

𝜕𝑠(𝑡1 , 𝑧1 , 𝑧2 ) 𝜕𝑧2 | 𝜕𝑠(𝑡2 , 𝑧1 , 𝑧2 )| 𝜕𝑧2

(18.6.5)

Si osservi che per valutare le densità di probabilità del primo ordine basta marginalizzare le (18.6.3)rispetto ad una delle due variabili 𝑥1 , 𝑥2 . In modo analogo si determinano le densità di probabilità nel caso in cui il segnale dipenda da un vettore aleatorio 𝑛-dimensionale. In tal caso si procede alla determinazione della densità di probabilità d’ordine 𝑛 e per successive marginalizzazioni si possono via via ottenere le densità di probabilità d’ordine inferiore. Esempio 18.4 Sia 𝑠(𝑡, 𝑉, 𝜑) = 𝑉cos(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜑)

un segnale aleatorio dipendente da due variabili aleatorie V,  che si suppongono statisticamente indipendenti e caratterizzate da densità di probabilità del primo ordine che valgono: 𝑝𝑉 (𝑣) =

𝑣 − 𝑉22 1 𝜗−𝜋 𝑒 2𝜎 u(𝑣); 𝑝𝜑 (𝜗) = ⊓ ( ) 2 𝜎 2𝜋 2𝜋

Il sistema (IV.2.20) in tal caso diventa: 𝑥 = 𝑣cos(2𝜋𝑓0 𝑡1 + 𝜗); { 1 𝑥2 = 𝑣cos(2𝜋𝑓0 𝑡2 + 𝜗);

La prima delle (a) fornisce 𝜗1 = arccos

𝑥1 𝑥1 − 2𝜋𝑓0 𝑡1 𝜗1̅ = −arccos − 2𝜋𝑓0 𝑡1 𝑣 𝑣

320

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

pertanto risulta: cos𝜗1 = cos (arccos = cos (arccos =

𝑥1 − 2𝜋𝑓0 𝑡1 ) 𝑣

𝑥1 𝑥1 ) cos2𝜋𝑓0 𝑡1 + sin (arccos ) sin2πf0 t1 𝑣 𝑣

𝑥1 𝑥12 cos2𝜋𝑓0 𝑡1 + √1 − 2 sin2πf0 t1 𝑣 𝑣

sin𝜗1 = sin (arccos = sin (arccos = √1 −

𝑥1 − 2𝜋𝑓0 𝑡1 ) 𝑣

𝑥1 𝑥1 ) cos2𝜋𝑓0 𝑡1 − cos (arccos ) sin(2𝜋𝑓0 𝑡1 ) 𝑣 𝑣

𝑥12 𝑥1 cos2𝜋𝑓0 𝑡1 − sin2𝜋𝑓0 𝑡1 𝑣2 𝑣

ed analogamente: 𝑐𝑜𝑠𝜗1̅ =

𝑥1 𝑥12 cos(2𝜋𝑓0 𝑡1 ) − √1 − 2 sin(2πf0 t1 ); 𝑣 𝑣

𝑥1 𝑥12 sin𝜗1̅ = − cos(2𝜋𝑓0 𝑡1 ) − √1 − 2 sin(2πf0 t1 ); 𝑣 𝑣 {

D'altra parte la seconda delle (a) può anche scriversi: 𝑥2 = 𝑣(cos(2𝜋𝑓0 𝑡2 )cos𝜗 − sin(2𝜋𝑓0 𝑡2 )sin𝜗)

sostituendo si ottiene: 𝑥2 = 𝑣(

𝑥1 𝑥12 cos(2𝜋𝑓0 𝑡1 )cos(2𝜋𝑓0 𝑡2 ) + √1 − 2 cos(2𝜋𝑓0 𝑡1 )sin(2𝜋𝑓0 𝑡2 ) 𝑣 𝑣

− √1 −

𝑥12 𝑥1 sin(2πf0 t1 )cos(2𝜋𝑓0 𝑡2 ) + sin(2πf0 t1 )sin(2𝜋𝑓0 𝑡2 )) 𝑣2 𝑣

= 𝑥1 cos2𝜋𝑓0 (𝑡2 − 𝑡1 ) − √𝑣 2 − 𝑥12 sin(2𝜋𝑓0 (𝑡2 − 𝑡1 ))

che risolta rispetto a  fornisce 𝑣=

√𝑥12 + 𝑥22 − 2𝑥1 𝑥2 cos(2𝜋𝑓0 (𝑡2 − 𝑡1 )) |sin(2𝜋𝑓0 (𝑡2 − 𝑡1 ))|

supposto 2𝜋𝑓 (𝑡2 − 𝑡1 ) ≠ 𝑘. 0 Per la soluzione 1 analogamente si ottiene

CAPITOLO - 19 – Valori Medi, Stazionarietà ed Ergodicità -

321

𝑥̅ 2 = 𝑥1 cos(2𝜋𝑓0 (𝑡2 − 𝑡1 )) + √𝑣 2 − 𝑥12 sin(2𝜋𝑓0 (𝑡2 − 𝑡1 ))

che risolta rispetto a  fornisce 𝑣̅ =

√𝑥12 + 𝑥̅22 − 2𝑥1 𝑥̅2 cos(2𝜋𝑓0 (𝑡2 − 𝑡1 )) =𝑣 |sin(2𝜋𝑓0 (𝑡2 − 𝑡1 ))|

Lo Jacobiano della trasformazione vale cos(2𝜋𝑓0 𝑡1 + 𝜗) −𝑣sin(2𝜋𝑓0 𝑡1 + 𝜗) 𝐽=| | = −𝑣sin(2𝜋𝑓0 (𝑡2 − 𝑡1 )) cos(2𝜋𝑓0 𝑡2 + 𝜗) −𝑣sin(2𝜋𝑓0 𝑡2 + 𝜗)

quindi la densità di probabilità del secondo ordine cercata è data da: 𝑝𝑠1𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 ) = =

𝑝𝑉 (𝑣) 𝑝𝑉 (𝑣̅ ) + 2𝜋𝑣|sin(2𝜋𝑓0 (𝑡2 − 𝑡1 ))| 2𝜋𝑣̅ |sin(2𝜋𝑓0 (𝑡2 − 𝑡1 ))|

𝑝𝑉 (𝑣) 𝜋|sin(2𝜋𝑓0 (𝑡2 − 𝑡1 ))|

che sostituendo alla variabile  la sua espressione in termini di x1 ed x2 diventa: 2

𝑝𝑠1𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 ) =

2

1𝑥2cos(2𝜋𝑓0(𝑡2 −𝑡1 )) √𝑥12 + 𝑥22 − 2𝑥1 𝑥2 cos(2𝜋𝑓0 (𝑡2 − 𝑡1 )) −𝑥1+𝑥2−2𝑥 2𝜎2 sin2 (2𝜋𝑓0 (𝑡2−𝑡1 )) 𝑒 2 2 𝜎 𝜋sin (2𝜋𝑓0 (𝑡2 − 𝑡1 ))

18.7 - Segnali distinti. Funzioni di probabilità congiunte. Siano 𝜉(𝑡) e 𝜂(𝑡) due segnali aleatori a tempo continuo, definiti sullo stesso spazio di probabilità. Si prenda in considerazione l'evento 𝐼𝑥𝑦 il cui generico elemento è una coppia di manifestazioni (𝜉(𝑡), 𝜂(𝑡)) tale che 𝜉(𝑡) all'istante 𝑡1 , assuma un valore appartenente alla semiretta 𝐼𝑥 = (−∞, 𝑥] e che, all'istante 𝑡2 , 𝜂(𝑡) assuma un valore appartente a 𝐼𝑦 = (−∞, 𝑦]. Si osservi che la probabilità dell’evento 𝐼𝑥𝑦 , oltre che da 𝑥 e da 𝑦, dipende evidentemente anche dagli istanti 𝑡1 e 𝑡2 d’osservazione, risulta: Pr{𝐼𝑥𝑦 } = 𝑃𝜉1 𝜂2 (𝑥, 𝑦)

(18.7.1)

dove la funzione 𝑃𝜉1 𝜂2 (𝑥, 𝑦) rappresenta la distribuzione di probabilità congiunta associata ai due segnali. Naturalmente tale distribuzione di probabilità, indipendentemente dagli istanti di tempo considerati, soddisfa le condizioni: a)

𝑃𝜉1 𝜂2 (∞, ∞) = 1

b)

𝑃𝜉1 𝜂2 (−∞, −∞) = 0

(18.7.2)

322

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

La corrispondente funzione di densità di probabilità congiunta 𝑝𝜉1 𝜂2 (𝑥, 𝑦) è la derivata mista, eventualmente intesa in senso generalizzato, della 𝑃𝜉1 𝜂2 (𝑥, 𝑦) e soddisfa le condizioni: ∬ 𝑝𝜉1 𝜂2 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1 ℝ2

𝑥

(18.7.3)

𝑦

𝑃𝜉1 𝜂2 (𝑥, 𝑦) = ∫ ∫ 𝑝𝜉1 𝜂2 (𝜆, 𝜇)𝑑𝜆𝑑𝜇 −∞ −∞

(18.7.4)

Introducendo le densità di probabilità condizionate la funzione 𝑝𝜉1 𝜂2 (𝑥, 𝑦) può essere scritta come segue: a)

𝑝𝜉1 𝜂2 (𝑥, 𝑦) = 𝑝𝜉1 (𝑥) ⋅ 𝑝𝜂2|𝜉1 (𝑦, 𝑥)

b)

𝑝𝜉1 𝜂2 (𝑥, 𝑦) = 𝑝𝜂2 (𝑦) ⋅ 𝑝𝜉1 |𝜂2 (𝑥, 𝑦)

(18.7.5)

dove 𝑝𝜉1 (𝑥) e 𝑝𝜂2 (𝑦) denotano le densità di probabilità del primo ordine associate ai segnali 𝜉(𝑡) e 𝜂(𝑡), valutate negli istanti 𝑡1 e 𝑡2 rispettivamente. Essendo peraltro: ∞

∞

∫ 𝑝𝜉1 |𝜂2 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = ∫ 𝑝𝜂2|𝜉1 (𝑦, 𝑥)𝑑𝑦 = 1 −∞

−∞

(18.7.6)

si ottiene per integrazione delle (18.7.5) ∞

a)

𝑝𝜉1 (𝑥) = ∫ 𝑝𝜉1 𝜂2 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦

b)

𝑝𝜂2 (𝑦) = ∫ 𝑝𝜉1 𝜂2 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥

−∞ ∞

(18.7.7)

−∞

che consentono di determinare le densità di probabilità del primo ordine associate ai segnali 𝜉(𝑡) e 𝜂(𝑡) nota che sia la loro densità di probabilità congiunta. Se risulta: 𝑝𝜉1 𝜂2 (𝑥, 𝑦) = 𝑝𝜉1 (𝑥) ⋅ 𝑝𝜂2 (𝑦)

(18.7.8)

i segnali si dicono congiuntamente statisticamente indipendenti. Dal confronto tra le (18.7.5) e la 0(18.7.8) discende che in questo caso: a)

𝑝𝜉1 |𝜂2 (𝑥, 𝑦) = 𝑝𝜉1 (𝑥)

b)

𝑝𝜂2|𝜉1 (𝑦, 𝑥) = 𝑝𝜂2 (𝑦)

(18.7.9)

CAPITOLO - 19 – Valori Medi, Stazionarietà ed Ergodicità -

323

cioè: la probabilità che una manifestazione del segnale 𝜉(𝑡) (𝜂(𝑡)) as𝛥𝑥 suma all'istante 𝑡1 (𝑡2 ) un valore compreso nell'intervallo ]𝑥 − 2 , 𝑥 + 𝛥𝑥 2

] (]𝑦 −

𝛥𝑦 2

,𝑦 +

𝛥𝑦 2

]) è indipendente dal valore assunto dal sgnale

𝜂(𝑡) (𝜉(𝑡)) all'istante 𝑡2 (𝑡1 ). Esempio 18.5 Sia z(t) un segnale aleatorio dato da: 𝑧(𝑡) = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))

funzione cioè di due segnali 𝑥(𝑡) e 𝑦(𝑡) dei quali sia assegnata la densità di probabilità congiunta. Per determinare la densità di Fig.E 18.5 probabilità del primo ordine di 𝑧(𝑡) basta osservare che la corrispondente funzione di distribuzione di probabilità si ottiene dalla: 𝑃𝑧(𝑡) (𝜈) = Pr{𝑧(𝑡) ≤ 𝜈}

Detta allora Ω𝜐 la regione del piano (𝑂, 𝑥, 𝑦) (v. Fig.E 18.5) costituita da tutte le coppie (𝑥, 𝑦) per le quali risulti 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 𝜐. È evidente che il valore assunto dalla 𝑃𝑧(𝑡) (⋅) quando il suo argomento è 𝜐 è dato da: 𝑃𝑧(𝑡) (𝜈) = Pr{(𝑥, 𝑦) ∈ Ω𝜈 } = ∬ 𝑝𝑥(𝑡)𝑦(𝑡) (𝜉, 𝜁)𝑑𝜉𝑑𝜁 𝛺𝜈

E' da notare che la regione Ω𝜐 potrebbe non essere semplicemente connessa come mostra la Fig. E.IV.5 Dalla 𝑃𝑧(𝑡) (𝜐) si deduce immediatamente: 𝑝𝑧(𝑡) (𝜈) = Fig.E 18.6

𝜕𝑃𝑧(𝑡) (𝜈) 𝜕𝜈

Nel caso in cui il segnale 𝑧(𝑡) è la somma dei segnali 𝑥(𝑡) e 𝑦(𝑡), la regione Ω𝜐 costituita da tutte le coppie (𝑥, 𝑦) che soddisfano la disugualianza: 𝑥+𝑦 ≤ 𝜈

tale regione è il semipiano evidenziato in Fig. E.IV.6. Si ha pertanto:

324

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori ∞

𝑧−𝑥

𝑃𝑧(𝑡) (𝜈) = ∫ ∫

−∞ −∞

𝑝𝑥(𝑡)𝑦(𝑡) (𝜉, 𝜁)𝑑𝜉𝑑𝜁

quindi: ∞

𝑝𝑧(𝑡) (𝜈) = ∫ 𝑝𝑥(𝑡)𝑦(𝑡) (𝜉, 𝜈 − 𝜉)𝑑𝜉 −∞

Nell’ulteriore eventualità in cui i segnali 𝑥(𝑡) e 𝑦(𝑡), siano statisticamente indipendenti la precedente assume la forma: ∞

𝑝𝑧(𝑡) (𝜈) = ∫ 𝑝𝑥(𝑡) (𝜉)𝑝𝑦(𝑡) (𝜈 − 𝜉)𝑑𝜉 −∞

la densità di probabilità cercata è quindi in questo caso data dalla convoluzione tra le densità di probabilità dei due segnali.

CAPITOLO - 19 VALORI MEDI, STAZIONARIETÀ ED ERGODICITÀ 19.1 - Medie statistiche. Sia 𝑠(𝑡, 𝜁) un segnale aleatorio associato ad un esperimento casuale di cui 𝜁 rappresenta il generico risultato, al quale corrisponde una densità di probabilità del primo ordine data da 𝑝𝑠(𝑡) (𝑥). Per un assegnato valore di 𝑡 è individuata una variabile aleatoria 𝑠 = 𝑠(𝑡, 𝜁) della quale si può calcolare il valore medio, il valore quadratico medio, la varianza, o più in generale, la media di una qualunque funzione misurabile 𝑦 = 𝑓(𝑠): ∞

̅̅̅̅̅̅ = ∫ 𝑓(𝑥)𝑝𝑠(𝑡) (𝑥)𝑑𝑥 𝐸{𝑓(𝑠)} = 𝑓(𝑠) −∞

(19.1.1)

È opportuno qui sottolineare che la media espressa dalla (19.1.1) dipende in genere dall'istante di osservazione 𝑡. Se 𝑓(𝑠) = 𝑠 𝑛 (con 𝑛 intero) dalla (19.1.1) si ottiene il valore medio statistico della potenza 𝑛-esima del segnale: ∞

𝑚𝑛 (𝑡) = ∫ 𝑥 𝑛 𝑝𝑠(𝑡) (𝑥)𝑑𝑥 −∞

(19.1.2)

che costituisce il momento 𝑛 -esimo del primo ordine del segnale 𝑠(𝑡). In particolare risulta: ∞

𝑚0 (𝑡) = ∫ 𝑝𝑠(𝑡) (𝑥)𝑑𝑥 = 1 −∞

(19.1.3)

Per 𝑛 = 1 si ha: ∞

𝑚(𝑡) = 𝐸{𝑠(𝑡, 𝜁)} = 𝑠̅ = ∫ 𝑥𝑝𝑠(𝑡) (𝑥)𝑑𝑥 −∞

(19.1.4)

che prende il nome di valore medio statistico del segnale. Per 𝑛 = 2 si deduce: ∞

𝑚2 (𝑡) = 𝐸{𝑠 2 (𝑡, 𝜁)} = ̅̅̅ 𝑠 2 = ∫ 𝑥 2 𝑝𝑠(𝑡) (𝑥)𝑑𝑥 −∞

(19.1.5)

326

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

che rappresenta il valore quadratico medio statistico del segnale. La varianza del segnale vale evidentemente: 𝜇2 (𝑡) = 𝐸{(𝑠(𝑡, 𝜁) − 𝑚(𝑡))2 } = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑠 − 𝑚(𝑡))2 ∞

= ∫ (𝑥 − 𝑚(𝑡))2 𝑝𝑠(𝑡) (𝑥)𝑑𝑥

(19.1.6)

−∞

Più in generale il suo momento centrale 𝑛 -esimo del primo ordine vale: ∞

𝜎 𝑛 (𝑡) ≡ 𝜇𝑛 (𝑡) = ∫ (𝑥 − 𝑚(𝑡))𝑛 𝑝𝑠(𝑡) (𝑥)𝑑𝑥

(19.1.7)

𝜎 2 (𝑡) = 𝑚2 (𝑡) − 𝑚2 (𝑡)

(19.1.8)

−∞

risulta: Nel caso in cui la generica manifestazione del segnale 𝑠(𝑡, 𝒁) dipenda dal valore assunto da un vettore aleatorio 𝒁 a 𝑛 dimensioni, il valore medio di una qualunque funzione 𝑓(𝑠(𝑡, 𝒁)) misurabile può essere calcolato anche utilizzando il teorema della: ∞

̅̅̅̅̅̅ = ∫ 𝑓(𝑥)𝑝𝑠(𝑡) (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑠(𝑡, 𝑧)𝑝𝒁 (𝒛)𝑑𝒛 𝑓(𝑠) ℝ𝑛

−∞

(19.1.9)

dove 𝑝𝒁 (𝒛) denota la densità di probabilità congiunta associata al vettore aleatorio 𝒁 da cui dipende il segnale. In generale dato un segnale 𝑠 = 𝑠(𝑡, 𝜁) fissata 𝑛 upla 𝑡1 , … , 𝑡𝑛 viene individuato un vettore 𝒔 di variabili aleatorie definite su di uno stesso esperimento casuale le cui componenti sono rispettivamente: 𝑠1 = 𝑠(𝑡1 , 𝜁), … , 𝑠𝑛 = 𝑠(𝑡𝑛 , 𝜁). Data una generica funzione misurabile 𝑓(𝒔) definita in uno spazio 𝑛-dimensionale è possibile definire la media statitistica di tale funzione ponendo: ̅̅̅̅̅̅ = 𝐸{𝑓(𝑠)} = ∫ 𝑓(𝑥)𝑝𝑠 𝑠 …𝑠 (𝑥)𝑑𝑥 𝑓(𝑠) 1 2 𝑛 ℝ𝑛

(19.1.10)

dove 𝑝𝑠1𝑠2 …𝑠𝑛 (𝒙) indica la densità di probabilità di ordine 𝑛 del segnale. In particolare, considerando solo due istanti di tempo 𝑡1 , 𝑡2 la precedente si riduce alla: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑓(𝑠1 , 𝑠2 ) = ∬ 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 )𝑝𝑠1 𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 )𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 ℝ2

(19.1.11)

CAPITOLO - 19 – Valori Medi, Stazionarietà ed Ergodicità -

327

Se in particolare 𝑓(𝑠1 , 𝑠2 ) = 𝑠1𝑝 𝑠2𝑞 dalla (19.1.11) si ottiene il momento (𝑝 + 𝑞)-esimo del secondo ordine del segnale: 𝑝 𝑞 𝑝 𝑞 𝑚𝑝𝑞 (𝑡1 , 𝑡2 ) = ̅̅̅̅̅̅ 𝑠1 𝑠2 = 𝐸{𝑠1 𝑠2 } 𝑝 𝑞

= ∬ 𝑥1 𝑥2 𝑝𝑠1 𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 )𝑑𝑥1 𝑑𝑥2

(19.1.12)

ℝ2

che in particolare per 𝑝 = 𝑞 = 0 si riduce alla: 𝑚00 (𝑡1 , 𝑡2 ) = ∬ 𝑝𝑠1 𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 )𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 = 1 ℝ2

(19.1.13)

e per 𝑝 = 𝑞 = 1 fornisce la cosiddetta funzione di autocorrelazione 𝑅𝑠 (𝑡1 , 𝑡2 ) del segnale: 𝑅𝑠 (𝑡1 , 𝑡2 ) ≡ 𝑚11 (𝑡1 , 𝑡2 ) = ∬ 𝑥1 𝑥2 𝑝𝑠1 𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 )𝑑𝑥1 𝑑𝑥2 ℝ2

(19.1.14)

Si possono anche definire dei momenti centrali (𝑝 + 𝑞)-esimi del secondo ordine: 𝜇𝑝𝑞 (𝑡1 , 𝑡2 ) = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑠1 − 𝑚(𝑡1 ))𝑝 (𝑠2 − 𝑚(𝑡2 ))𝑞 ∞

= ∬ ∫ (𝑥1 − 𝑚(𝑡1 ))𝑝 (𝑥2 −

R2 −∞ 𝑚(𝑡2 ))𝑞 𝑝𝑠1𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 )𝑑𝑥1 𝑑𝑥2

(19.1.15)

in particolare il momento centrale 11 prende il nome di autocovarianza e risulta: 𝜎𝑠 (𝑡1 , 𝑡2 ) ≡ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑠1 − 𝑚(𝑡1 ))(𝑠2 − 𝑚(𝑡2 )) = ̅̅̅̅̅ 𝑠1 𝑠2 − 𝑠̅1 ⋅ 𝑚(𝑡2 ) − 𝑚(𝑡1 ) ⋅ 𝑠̅2 + 𝑚(𝑡1 )𝑚(𝑡2 ) = ̅̅̅̅̅ 𝑠1 𝑠2 − 𝑚(𝑡1 )𝑚(𝑡2 ) = 𝑅𝑠 (𝑡1 , 𝑡2 ) − 𝑠̅1 ⋅ 𝑠̅2

(19.1.16)

I momenti centrali 𝜇20 e 𝜇02 individuano la varianza del segnale valutata negli istanti 𝑡1 e 𝑡2 rispettivamente: a)

𝜇20 (𝑡1 ) = 𝜎 2 (𝑡1 ) = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑠1 − 𝑚(𝑡1 ))2

b)

𝜇02 (𝑡2 ) = 𝜎 2 (𝑡2 ) = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑠2 − 𝑚(𝑡2 ))2

(19.1.17)

Anche nel caso di due segnali aleatori distinti 𝑥(𝑡) e 𝑦(𝑡), si può definire il valore medio statistico della funzione 𝑓(𝑥1 , 𝑦2 ) mediante la: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑓(𝑥1 , 𝑦2 ) = 𝐸{𝑓(𝑥1 , 𝑦2 )} = ∬ 𝑓(𝜉, 𝜂)𝑝𝑥1 𝑦2 (𝜉, 𝜂)𝑑𝜉𝑑𝜂 ℝ2

(19.1.18)

328

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

essendo rispettivamente 𝑥1 e 𝑦1 le variabili aleatorie 𝑥(𝑡1 ) e 𝑦(𝑡2 ) e dove 𝑝𝑥1 𝑦2 (𝜉, 𝜂) denota la densità di probabilità congiunta dei due segnali. Il momento incrociato (𝑝 + 𝑞)-esimo è allora definito dalla: 𝑝 𝑞 𝑝 𝑞 ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑥1 𝑦2 = 𝐸{𝑥1 𝑦2 } = ∬ 𝜉 𝑝 𝜂 𝑞 𝑝𝑥1 𝑦2 (𝜉, 𝜂)𝑑𝜉𝑑𝜂 ℝ2

(19.1.19)

Qualora i segnali siano statisticamente indipendenti risulta evidentemente: 𝑝 𝑞 𝑝 𝑞 ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑥1 𝑦2 = ̅̅̅ 𝑥1 ⋅ ̅̅̅ 𝑦2

(19.1.20)

cioè il valore medio del binomio 𝑥1𝑝 𝑦2𝑞 si ottiene dal prodotto dei va𝑝 𝑞 lori medi delle quantità 𝑥1 e 𝑦2 Se si pone nella (19.1.19) 𝑝 = 𝑞 = 1 si ha: 𝑅𝑥𝑦 (𝑡1 , 𝑡2 ) = ̅̅̅̅̅̅ 𝑥1 𝑦2 = 𝐸{𝑥1 𝑦2 } = ∬ 𝜉𝜂𝑝𝑥1 𝑦2 (𝜉, 𝜂)𝑑𝜉𝑑𝜂 ℝ2

(19.1.21)

che costituisce la funzione di correlazione incrociata o di mutua correlazione associata ai due segnali. I momenti centrali (𝑝 + 𝑞)-esimi incrociati, sono definiti come segue: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑥1 − 𝑥̅1 )𝑝 (𝑦2 − 𝑦̅2 )𝑞 = 𝐸{(𝑥1 − 𝑥̅1 )𝑝 (𝑦2 − 𝑦̅2 )𝑞 } = ∬ (𝑥 − 𝑥̅1 )𝑝 (𝑦 − 𝑦̅2 )𝑞 𝑝𝑥1 𝑦2 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

(19.1.22)

ℝ2

Ponendo 𝑝 = 𝑞 = 1 si ha: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝜎𝑥𝑦 (𝑡1 , 𝑡2 ) ≡ (𝑥 ̅2 ) 1 − 𝑥̅1 )(𝑦2 − 𝑦 = 𝐸{(𝑥1 − 𝑥̅1 )(𝑦2 − 𝑦̅2 )} = ∬ (𝑥 − 𝑥̅1 )(𝑦 − 𝑦̅2 )𝑝𝑥1𝑦2 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

(19.1.23)

ℝ2

che è la covarianza mutua. Si ottiene facilmente: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝜎𝑥𝑦 (𝑡1 , 𝑡2 ) = (𝑥 ̅2 ) 1 − 𝑥̅1 )(𝑦2 − 𝑦 ̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑥1 ⋅ 𝑦2 − 𝑥1 ⋅ 𝑦̅2 − 𝑥̅1 ⋅ 𝑦2 + ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑥̅1 ⋅ 𝑦̅2 = 𝑅𝑥𝑦 (𝑡1 , 𝑡2 ) − 𝑥̅1 ⋅ 𝑦̅2

(19.1.24)

Nel caso in cui i segnali siano statisticamente indipendenti risulta 𝑅𝑥𝑦 (𝑡1 , 𝑡2 ) = 𝑥̅1 ⋅ 𝑦̅2 , quindi: 𝜎𝑥𝑦 (𝑡1 , 𝑡2 ) = 0

(19.1.25)

CAPITOLO - 19 – Valori Medi, Stazionarietà ed Ergodicità -

329

Esempio 19.1 Si prenda in considerazione il segnale 𝑠(𝑡, 𝜑) = 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜑) analizzato nell'Esempio 18.2. Il suo valore medio risulta: ∞

𝑠̅ = ∫ 𝑥𝑝𝑠(𝑡) (𝑥)𝑑𝑥 = −∞

1 1 𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝜋 −1 √1 − 𝑥 2

che ponendo 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 si scrive 𝑠̅ =

1 𝜋 ∫ cos𝜃𝑑𝜃 = 0 𝜋 0

Il suo valore quadratico medio vale: 1

∞ 1 𝑥 2 𝑑𝑥 ̅̅̅2 1 𝜋 2 1 ̅̅̅ 𝑠 2 = ∫ 𝑥 2 𝑝𝑠(𝑡) (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑠 = ∫ cos 𝜃𝑑𝜃 = 2 𝜋 𝜋 2 √1 − 𝑥 −∞ 0 −1

Agli stessi risultati è possibile pervenire utilizzando la (19.1.9). Si ha infatti: ∞

𝑠̅ = ∫ 𝑠(𝑡, 𝜃)𝑝𝜑 (𝜃)𝑑𝜃 = −∞

1 2𝜋 ∫ cos(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜃)𝑑𝜃 = 0 2𝜋 0

e ∞ 1 2𝜋 2 1 ̅̅̅ 𝑠 2 = ∫ 𝑠 2 (𝑡, 𝜃)𝑝𝜑 (𝜃)𝑑𝜃 = ∫ cos (2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜃)𝑑𝜃 = 2𝜋 0 2 −∞

19.2 - Stazionarietà. Un segnale aleatorio 𝑠(𝑡) si dice stazionario in senso stretto se le sue funzioni di probabilità, di qualsiasi ordine dipendono esclusivamente dalla posizione relativa degli istanti in cui il segnale viene osservato. Cioè se risulta: 𝑝𝑠(𝑡1)…𝑠(𝑡𝑛) (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑝𝑠(𝑡1+𝑇)…𝑠(𝑡𝑛 +𝑇) (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 );

(19.2.1)

∀𝑛 ∈ ℕ ⋀ ∀ T ∈ ℝ

Se la precedente vale solo 𝑛 ≤ 𝑘, il segnale si dice stazionario all'ordine 𝑘. La condizione (19.2.1)comporta che la densità di probabilità di ordine 𝑛 dipenda dalle differenze 𝜏𝑖𝑗 = 𝑡𝑖 − 𝑡𝑗 fra gli istanti di osservazione. In particolare per 𝑛 = 2 si ha: 𝑝𝑠(𝑡1)𝑠(𝑡2) (𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑝𝑠(𝑡′1)𝑠(𝑡′2) (𝑥1 , 𝑥2 )

(19.2.2)

330

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

ogniqualvolta risulti 𝑡2 − 𝑡1 = 𝑡′2 − 𝑡′1 , mentre la densità di probabilità del primo ordine deve risultare indipendente dal tempo: 𝑝𝑠 (𝑥) = 𝑝𝑠(𝑡1) (𝑥) = 𝑝𝑠(𝑡2) (𝑥);

∀𝑡1 , 𝑡2 ∈ ℝ

(19.2.3)

Si noti che dal momento che la densità di probabilità di ordine 𝑛 − 1 può essere dedotta da quella di ordine 𝑛 la stazionarietà all'ordine 𝑘 comporta quella agli ordini inferiori, ma non il viceversa. Una classe importante di segnali è costituita dai segnali stazionari in senso lato. Un segnale si dice stazionario in senso lato se risulta: a)

̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑠(𝑡, 𝜁) = cost

b)

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑠(𝑡1 , 𝜁)𝑠(𝑡2 , 𝜁) = 𝑅𝑠 (𝑡2 − 𝑡1 )

(19.2.4)

cioè se il suo valore medio è indipendente dal tempo e se la sua l'autocorrelazione dipende solo dalla differenza fra gli istanti 𝑡2 e 𝑡1 . E' evidente che, essendo 𝑅𝑠 (0) = ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑠 2 (𝑡) la stazionarietà in senso lato implica che anche il valore quadratico medio non dipende da 𝑡. E' opportuno osservare che un segnale stazionario in senso stretto lo è anche in senso lato, ma non viceversa giacché, ad esempio, l'invarianza temporale del momento del secondo ordine non implica necessariamente quella della corrispondente densità di probabilità. Esempio 19.2 Si prenda in esame il segnale 𝑠(𝑡) definito dalla: 𝑠(𝑡) = 𝐴cos𝜔𝑡 + 𝐵sin𝜔𝑡

essendo 𝐴 e 𝐵 due quantità aleatorie tali che risulti: ̅𝐴̅̅2̅ = 𝐵 ̅̅̅2̅ = 𝜎 2 ̅̅̅̅ = 0 𝐴𝐵

Il valor medio di 𝑠(𝑡) vale: ̅̅̅̅̅ = 𝐴̅cos𝜔𝑡 + 𝐵̅𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 𝑠(𝑡)

Per quanto riguarda la funzione di autocorrelazione, si ha: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑠(𝑡1 )𝑠(𝑡2 ) ̅̅̅̅ [cos𝜔𝑡1 sin𝜔𝑡2 + sin𝜔𝑡1 cos𝜔𝑡2 ] = ̅𝐴̅̅2̅cos𝜔𝑡1 cos𝜔𝑡2 + ̅̅̅ 𝐵2̅sin𝜔𝑡1 sin𝜔𝑡2 + 𝐴𝐵

che per le ipotesi fatte, diventa: 2 2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑠(𝑡 1 )𝑠(𝑡2 ) = 𝜎 [cos𝜔𝑡1 cos𝜔𝑡2 + sin𝜔𝑡1 sin𝜔𝑡2 ] = 𝜎 cos(𝜔(𝑡2 − 𝑡1 ))

Un tale segnale è quindi stazionario in senso lato solo se risulta

CAPITOLO - 19 – Valori Medi, Stazionarietà ed Ergodicità -

331

𝐴̅ = 𝐵̅ = 0

Esempio 19.3 Si consideri il segnale 𝑠(𝑡) = cos(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜑)

in cui 𝜑 è una variabile aleatoria definita in (0,2𝜋) e caratterizzata dalla densità di probabilità del primo ordine 𝑝𝜑 (𝜃). Per determinare le condizioni sotto le quali 𝑠(𝑡) è un segnale stazionario in senso stretto, si prenda in considerazione la sua funzione caratteristica di ordine 𝑛, che individua univocamente la sua densità di probabilità di ordine 𝑛 Detto 𝒕 = {𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑛 } un insieme di 𝑛 istanti di tempo, si ha: 𝑛 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝐹𝑛 (𝑢, 𝑡) = exp[𝑗 ∑ 𝑢𝑖 cos(2𝜋𝑓0 𝑡𝑖 + 𝜑)] 𝑖=1 2𝜋

=∫

𝑛

exp[𝑗 ∑ 𝑢𝑖 cos(2𝜋𝑓0 𝑡𝑖 + 𝜃)]𝑝𝜑 (𝜃)𝑑𝜃 𝑖=1

0

per 𝒕´ = {𝑡1 + 𝑇, 𝑡2 + 𝑇, … , 𝑡𝑛 + 𝑇} la funzione caratteristica vale: 𝐹 ′ 𝑛 (𝑢, 𝑡) = ∫

2𝜋

0

=∫

2𝜋(1+𝑓0 𝑇)

e

𝑛

e 𝑗 ∑𝑖=1 𝑢𝑖 cos(2𝜋𝑓0 𝑡𝑖+𝜃+2𝜋𝑓0 𝑇) 𝑝𝜑 (𝜃)𝑑𝜃

𝑛 𝑗 ∑𝑖=1 𝑢𝑖 cos(2𝜋𝑓0 𝑡𝑖 +𝜃′)

2𝜋𝑓0 𝑇

𝑝𝜑 (𝜃′ + 2𝜋𝑓0 𝑇)𝑑𝜃

Affinché il segnale risulti stazionario in senso stretto 𝐹𝑛 (𝒖, 𝒕) = 𝐹′𝑛 (𝒖, 𝒕′) in corrispondenza ad ogni indice 𝑛, per ogni possibile scelta di 𝒕 e per ogni valore di 𝑇. dato che la quantità 𝑛

e 𝑗 ∑𝑖=1 𝑢𝑖 cos(2𝜋𝑓0 𝑡𝑖 +𝜃)

indipendentemente da 𝑛 è periodica di periodo 2𝜋 in 𝜃 si intuisce facilmente che l’unica densità di probabilità 𝑝𝜑 (𝜃). che rende il segnale in questione stazionario in senso stretto è quella uniforme deve cioè essere: 𝑝𝜑 (𝜃) =

1 𝜃−𝜋 ⊓ ( 2𝜋 ) 2𝜋

Esempio 19.4 Si consideri il seguente segnale aleatorio

332

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

cos2𝜋𝑓0 𝑡 + sin2𝜋𝑓0 𝑡Pr = 𝑠(𝑡) =

1 3 1 {−cos2𝜋𝑓0 𝑡Pr = 3

1 3

−sin2𝜋𝑓0 𝑡Pr =

Ciò significa lo spazio dei risultati è partizionato in tre eventi E1 , E2 , E3 , equiprobabili, ai quali sono associate le tre possibili manifestazioni. Il segnale qui considerato è stazionario in senso lato. Infatti, il suo valor medio: 1 1 1 ̅̅̅̅̅ = (cos2𝜋𝑓0 𝑡 + sin2𝜋𝑓0 𝑡) − sin2𝜋𝑓0 𝑡 − cos2𝜋𝑓0 𝑡 = 0 𝑠(𝑡) 3 3 3

è nullo (quindi indipendente da 𝑡) e la sua funzione di autocorrelazione: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑠(𝑡1 )𝑠(𝑡2 ) 1 1 = (cos2𝜋𝑓0 𝑡1 + sin2𝜋𝑓0 𝑡1 )(cos2𝜋𝑓0 𝑡2 + sin2𝜋𝑓0 𝑡2 ) − sin2𝜋𝑓0 𝑡1 sin2𝜋𝑓0 𝑡2 3 3 1 1 − cos2𝜋𝑓0 𝑡1 cos2𝜋𝑓0 𝑡2 = (cos2𝜋𝑓0 𝑡1 sin2𝜋𝑓0 𝑡2 + sin2𝜋𝑓0 𝑡1 cos2𝜋𝑓0 𝑡2 ) 3 3 1 = cos(2𝜋𝑓0 (𝑡1 − 𝑡2 )) 3

dipende soltanto dalla differenza 𝑡2 − 𝑡1 . Il segnale però non è stazionario in senso stretto. Per rendersene conto, basta osservare che la densità di probabilità del primo ordine all'istante 𝑡 = 0 vale: 1 1 1 𝑝𝑠(0) (𝑥) = 𝛿(𝑥 − 1) + 𝛿(𝑥) + 𝛿(𝑥 + 1) 3 3 3

e 𝑝𝑠(

1 ) 8𝑓0

2 1 √2 (𝑥) = 𝛿(𝑥 + ) + 𝛿(𝑥 − √2) 3 2 3

quindi: 𝑝𝑠(0) (𝑥) ≠ 𝑝𝑠(

1 ) 8𝑓0

(𝑥)

19.3 - Medie temporali ed ergodicità. Le considerazioni sin qui svolte mostrano come è possibile ottenere delle informazioni su un segnale aleatorio a partire dall'insieme delle sue manifestazioni note che siano le sue funzioni di probabilità. In molti casi si hanno a disposizione alcune manifestazioni del segnale (se non una sola) dalle quale possono dedursi solo quelle in-

CAPITOLO - 19 – Valori Medi, Stazionarietà ed Ergodicità -

333

formazioni che si ottengono utilizzando le cosiddette medie temporali. Se 𝑠(𝑡) denota la generica manifestazione di un segnale aleatorio, la quantità 1 𝑇 ∫ 𝑓[𝑠(𝑡)]𝑑𝑡 𝑇→∞ 2𝑇 −𝑇

< 𝑓[𝑠(𝑡)] >= lim

(19.3.1)

se esiste, costituisce la media temporale della funzione f (s) associata alla manifestazione 𝑠(𝑡) del segnale. Dalla (19.3.1) si possono in particolare dedurre il valore medio temporale: 1 𝑇 ∫ 𝑠(𝑡)𝑑𝑡 𝑇→∞ 2𝑇 −𝑇

< 𝑠(𝑡) >= lim

(19.3.2)

e il valore quadratico medio temporale: 1 𝑇 2 ∫ 𝑠 (𝑡)𝑑𝑡 𝑇→∞ 2𝑇 −𝑇

< 𝑠 2 (𝑡) >= lim

(19.3.3)

che esprime la potenza media specifica associata alla manifestazione 𝑠(𝑡). Più in generale si può definire una media temporale associata alla funzione 𝑓[𝑠(𝑡1 + 𝑡), 𝑠(𝑡2 + 𝑡), … , 𝑠(𝑡𝑛 + 𝑡)] < 𝑓[𝑠(𝑡1 + 𝑡), 𝑠(𝑡2 + 𝑡), … , 𝑠(𝑡𝑛 + 𝑡)] > 1 𝑇 = lim ∫ 𝑓[𝑠(𝑡1 + 𝑡), 𝑠(𝑡2 + 𝑡), … , 𝑠(𝑡𝑛 + 𝑡)]𝑑𝑡 𝑇→∞ 2𝑇 −𝑇

(19.3.4)

Dalla precedente in particolare discende l'espressione della funzione di autocorrelazione in media temporale (7.6.1), per segnali reali. È infatti: 1 𝑇 ∫ 𝑠(𝑡)𝑠(𝑡 + 𝜏)𝑑𝑡 𝑇→∞ 2𝑇 −𝑇

𝛾𝑠 (𝜏) =< 𝑠(𝑡)𝑠(𝑡 + 𝜏) >= lim

(19.3.5)

E' da notare che, in ogni caso, le medie temporali, fornite dalla (19.3.2)o dalla (19.3.4), definiscono altrettante variabili aleatorie, dato che esse dipendono dalla manifestazione del segnale che si prende in considerazione. È quindi possibile definire un loro valore medio statistico a mezzo della:

334

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 1 𝑇 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ < 𝑓[𝑠(𝑡)] >= lim ∫ 𝑓[𝑠(𝑡)]𝑑𝑡 𝑇→∞ 2𝑇 −𝑇 1 𝑇 = lim ∫ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑓[𝑠(𝑡)]𝑑𝑡 =< ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑓[𝑠(𝑡)] > 𝑇→∞ 2𝑇 −𝑇

(19.3.6)

In maniera analoga, partendo dalla (19.3.4) si perviene alla: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ < 𝑓[𝑠(𝑡1 + 𝑡), 𝑠(𝑡2 + 𝑡), … , 𝑠(𝑡𝑛 + 𝑡)] >= < ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑓[𝑠(𝑡1 + 𝑡), 𝑠(𝑡2 + 𝑡), … , 𝑠(𝑡𝑛 + 𝑡)] >

(19.3.7)

Le (19.3.6) e (19.3.7) stanno a significare che le operazioni di media temporale e media statistica possono essere tra loro permutate. Le medie temporali, di per sè, non permettono dunque di ottenere delle informazioni di natura statistica del segnale. Tuttavia esiste una particolare classe di segnali per i quali ogni proprietà statistica può essere determinata a partire da una qualsiasi manifestazione. In altri termini, qualsiasi operazione di media effettuata nel tempo su una generica manifestazione conduce agli stessi risultati se si effettua l'operazione analoga sulla base dell'insieme delle manifestazioni. Un segnale di tale tipo si dice ergodico. In genere si è interessati ad un particolare caratteristica del segnale (valore medio, potenza specifica o autocorrelazione). Di conseguenza l'ergodicità viene formulata limitatamente alla caratteristica d’interesse in quanto se un segnale aleatorio è ergodico rispetto a certi parametri può non esserlo per altri. In particolare un segnale si dice ergodico in media quando risulta: ∞ 1 𝑇 ∫ 𝑠(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑥𝑝𝑠(𝑡) (𝑥)𝑑𝑥 𝑇→∞ 2𝑇 −𝑇 −∞

lim

(19.3.8)

si dice ergodico in media quadratica se: ∞ 1 𝑇 2 ∫ 𝑠 (𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑥 2 𝑝𝑠(𝑡) (𝑥)𝑑𝑥 𝑇→∞ 2𝑇 −𝑇 −∞

lim

(19.3.9)

La condizione di ergodicità limitata alla funzione di autocorrelazione conduce alla: 𝛾𝑠 (𝜏) = 𝑅𝑠 (𝜏)

cioè:

(19.3.10)

CAPITOLO - 19 – Valori Medi, Stazionarietà ed Ergodicità -

335

1 𝑇 ∫ 𝑠(𝑡)𝑠(𝑡 + 𝜏)𝑑𝑡 = ∬ 𝑥𝑦𝑝𝑠1 𝑠2 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑇→∞ 2𝑇 −𝑇 R2

(19.3.11)

lim

In questo caso si può affermare che un segnale ergodico in autocorrelazione deve presentare una media temporale 𝛾𝑠 (𝜏) indipendente dalla manifestazione e una media statistica 𝑅𝑠 (𝜏) dipendente solo dalla differenza 𝜏 tra gli istanti di osservazione 𝑡2 e 𝑡1 . Più in generale, affinché la condizione di ergodicità sia soddisfatta, e necessario che le medie temporali non dipendano dalla particolare manifestazione sulla quale vengono calcolate, e che le medie statistiche non dipendano dall’origine dei tempi, ma soltanto dalla posizione relativa tra gli istanti in cui la media statistica è valutata. Ciò significa che una condizione necessaria per l’ergodicità è la stazionarietà in senso stretto. Per meglio comprendere il significato della condizione di ergodicità si prenda in considerazione la (19.3.1), l'integrale che vi compare, può essere valutato dividendo l'intervallo [−𝑇, 𝑇] in 𝑛 subintervalli contigui di uguale ampiezza e quindi passando al limite per 𝑛 → ∞: 𝑛

1 2𝑇 𝑖 < 𝑓(𝑠(𝑡)) >= lim ∑ 𝑓 (𝑠 (−𝑇 + 2𝑇)) 𝑛→∞ 2𝑇 𝑛 𝑛 𝑖=1

𝑛

1 𝑖 = lim ∑ 𝑓 (𝑠 (−𝑇 + 2𝑇)) 𝑛→∞ 𝑛 𝑛

(19.3.12)

𝑖=1

D'altra parte la media statistica può essere espressa in una forma analoga alla (19.3.12) mediante la: 𝑛

1 ∑ 𝑓(𝑠(𝑡, 𝜍𝑖 )) 𝑛→∞ 𝑛

̅̅̅̅̅ = lim 𝑓[𝑠]

(19.3.13)

𝑖=1

cioè come limite della somma dei valori assunti all'istante 𝑡 da un insieme di 𝑛 manifestazioni del segnale divisa per 𝑛 al tendere di 𝑛 all'infinito. La condizione di ergodicità in media comporta l'uguaglianza dei limiti (19.3.12) e (19.3.13) quindi il poter assumere per 𝑛 sufficientemente elevato

336

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori 𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

1 2𝑇 1 ∑ 𝑓 (𝑠 (−𝑇 + 𝑖 )) ≅ ∑ 𝑓(𝑠(𝑡, 𝜍𝑖 )) 𝑛 𝑛 𝑛

(19.3.14)

Ciò significa che la somma dei valori assunti dalla funzione 𝑓(⋅) in corrispondenza all'insieme dei valori assunti all'istante 𝑡 dalle possibili manifestazioni del segnale, eguaglia la somma dei valori assunti dalla funzione valutata in corrispondenza di una qualsiasi manifestazione al variare del tempo. In altri termini i valori che assume al variare del tempo una manifestazione, si ritrovano in una qualsiasi altra, con la stessa frequenza, seppur disposti in un diverso ordine temporale. Ogni manifestazione può quindi pensarsi ottenuta “rimescolando” i valori che tutte le manifestazioni assumono in un istante qualsiasi. 19.4 - Ergodicità delle funzioni di probabilità del primo ordine. L'ipotesi di ergodicità, discussa nel precedente paragrafo, può consentire di valutare le funzioni di probabilità del primo ordine di un segnale aleatorio pur disponendo soltanto di una manifestazione di Fig. 19.1 - Ergodicità delle funzioni di esso. probabilità A tale scopo si consideri un segnale aleatorio 𝑠(𝑡, 𝜁) e sia 𝑥 un reale qualsiasi. A 𝑠(𝑡, 𝜁) si associ un nuovo segnale 𝑤𝑥 (𝑠(𝑡, 𝜁)) così definito: 𝑤𝑥 (𝑠(𝑡, 𝜁)) = u(𝑥 − 𝑠(𝑡, 𝜁))

(19.4.1)

Il segnale 𝑤𝑥 (𝑠(𝑡, 𝜁)) in ogni istante individua una variabile aleatoria di tipo discreto, che può assumere solo valori appartenenti all'insieme {0,1} com’è indicato nella Fig. 19.1. Risulta: Pr{𝑤𝑥 (𝑠(𝑡, 𝜁)) = 0} = Pr{𝑠(𝑡, 𝜁) > 𝑥} Pr{𝑤𝑥 (𝑠(𝑡, 𝜁)) = 1} = Pr{𝑠(𝑡, 𝜁) ≤ 𝑥}

Il valore medio statistico di 𝑤𝑥 (𝑠(𝑡, 𝜁)) vale:

(19.4.2)

CAPITOLO - 19 – Valori Medi, Stazionarietà ed Ergodicità -

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑤𝑥 (𝑠(𝑡, 𝜁)) = 1 ⋅ Pr{𝑠(𝑡, 𝜁) ≤ 𝑥} + 0 ⋅ Pr{𝑠(𝑡, 𝜁) > 𝑥} = Pr{𝑠(𝑡, 𝜁) ≤ 𝑥} = 𝑃𝑠(𝑡) (𝑥)

337

(19.4.3)

dove 𝑃𝑠(𝑡) (𝑥) denota la funzione distribuzione di probabilità del primo ordine associata al segnale 𝑠(𝑡). D'altra parte la media temporale di una data manifestazione 𝑤𝑥 (𝑠(𝑡, 𝜁̂)) del segnale vale: 𝑇

1 2 ∫ 𝑤𝑥 (𝑠(𝑡, 𝜁̂))𝑑𝑡   𝑇→∞ 𝑇 −𝑇

< 𝑤𝑥 (𝑠(𝑡, 𝜁̂)) >= lim

2

= lim

𝑇 𝑇 𝜇[𝑠 −1 ((−∞, 𝑥], 𝜁̂) ∩ [− , ]]

(19.4.4)

2 2

𝑇

𝑇→∞

𝑇 𝑇

Dove 𝜇 (𝑠 −1 ((−∞, 𝑥], 𝜁̂) ∩ [− 2 , 2]) è la misura dell'insieme degli 𝑇 𝑇

istanti di tempo appartenenti a [− 2 , 2] in corrispondenza ai quali la manifestazione del segnale 𝒔 non supera 𝑥 (v. Fig. 19.1). Se la condizione di ergodicità è soddisfatta deve aversi indipendentemente dalla manifestazione considerata: 𝑇 𝑇

𝑃𝑠(𝑡) (𝑥) = lim

𝜇 (𝑠−1 ((−∞, 𝑥], 𝜁̂ ) ∩ [− 2 , 2])

𝑇→∞

𝑇

(19.4.5)

Esempio 19.5 Si consideri ancora il segnale 𝑠(𝑡, 𝜑) = cos(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜑)

dove la fase 𝜑 è una variabile uniformemente distribuita in [0,2𝜋]. Sulla base della Fig.E 19.1 è facile riconoscere che un generico istante di tempo per il quale 𝑠(𝑡, )𝑥 deve soddisfare la disuguaglianza: 2𝑘𝜋 + arccos𝑥 ≤ 2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜑 ≤ (2𝑘 + 1)𝜋 − arccos𝑥

la quale, al variare dell’intero 𝑘 e per 𝑥[1,1], identifica la famiglia di intervalli: 𝐼𝑘 = [

2𝑘𝜋 + arccos𝑥 − 𝜑 (2𝑘 + 1)𝜋 − arccos𝑥 − 𝜑 , ] 2𝜋𝑓0 2𝜋𝑓0

338

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

nei quali la 𝑤𝑋 (𝑠(𝑡, )) assume il valore 1. La misura 𝑡𝑋 di ogni intervallo non dipende né dalla manifestazione né dall’indice 𝑘 e vale 𝜋−2arccos𝑥 2𝜋𝑓0

La 𝑤𝑋 (𝑠(𝑡, )) è periodica pertanto la sua media temporale coincide con quella in un periodo si ha quindi: 0;

1 arccos𝑥 < 𝑤𝑥 (𝑠(𝑡, 𝜑)) >= {𝑓0 𝛥𝑡𝑥 = − ; 2 𝜋 1;

𝑥 ≤ −1 −1 < 𝑥 < 1 𝑥 ≥ −1

Si può constatare che la media appena ottenuta coincide con la distribuzione di probabilità del segnale (vedi Esempio 18.2). In effetti il segnale in questione risulta ergodico seppur limitatamente alle medie del primo ordine. Infatti, data una funzione 𝜓(⋅) Fig.E 19.1 integrabile alla Lebesgue in [1,1], risulta: 1 ∞ ∫ 𝜓(cos(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜑))𝑑𝑡 𝑇→∞ 2𝑇 −∞

< 𝜓(cos(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜑)) >= lim 1 𝑓0

1 𝑓0

= 𝑓0 ∫ 𝜓(cos(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜑))𝑑𝑡 = 𝑓0 ∫ 𝜓(cos(2𝜋𝑓0 𝑡))𝑑𝑡 0

0

2𝜋

=

1 ∫ 𝜓(cos(𝜗))𝑑𝜗 2𝜋 0

La corrispondente media statistica vale: ∞

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝜓(cos(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜑)) = ∫ 𝜓(cos(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜗))𝑝𝜑 (𝜗)𝑑𝜗 −∞

2𝜋

=

1 1 2𝜋 ∫ 𝜓(cos(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜗))𝑑𝜗 = ∫ 𝜓(cos(𝜗))𝑑𝜗 2𝜋 0 2𝜋 0

Pertanto per le medie del primo ordine la condizione di ergodicità è soddisfatta poiché risulta: < 𝜓(cos(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜑)) >= ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝜓(cos(2𝜋𝑓0 𝑡 + 𝜑)) =

1 2𝜋 ∫ 𝜓(cos(𝜗))𝑑𝜗 2𝜋 0

CAPITOLO - 19 – Valori Medi, Stazionarietà ed Ergodicità -

339

Il segnale in questione non è tuttavia ergodico come si può verificare calcolando medie di ordine superiore al primo.

CAPITOLO - 20 SEGNALI GAUSSIANI 20.1 - Variabili aleatorie congiuntamente gaussiane. Sia dato un vettore 𝑿 = [𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 ]𝑇 di 𝑛 variabili aleatorie definite su di uno stesso esperimento casuale. Le variabili 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 si dicono congiuntamente gaussiane se la loro densità di probabilità congiunta è del tipo: 1

𝑝𝑋 (𝑥1 , 𝑥2 , … 𝑥𝑛 ) = 𝐾𝑒 −2𝑄(𝑥1 −𝑚1 ,𝑥2 −𝑚2 ,…,𝑥𝑛 −𝑚𝑛 )

(20.1.1)

dove 𝑄 è una forma quadratica definita positiva: 𝑛

𝑛

𝑄 = ∑ ∑ 𝑎𝑖𝑗 (𝑥𝑖 − 𝑚𝑖 )(𝑥𝑗 − 𝑚𝑗 );

𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖

(20.1.2)

𝑖=1 𝑗=1

𝐾 un’opportuna costante di normalizzazione ed 𝑚1 , 𝑚2 , … 𝑚𝑛 𝑛 co-

stanti reali. Ponendo: 𝒙 = [𝑥1

𝑥2

…

𝑥𝑛 ]𝑇 ; 𝒎 = [𝑚1

𝑚2

…

𝑚𝑛 ]𝑇

(20.1.3)

e introducendo la matrice12: 𝛴

−1

𝑎11 𝑎21 =[ … 𝑎𝑛1

𝑎12 𝑎22 … 𝑎𝑛2

… … … …

𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 …] 𝑎𝑛𝑛

(20.1.4)

la densità di probabilità (20.1.1) può ulteriormente scriversi: 1

𝑇 𝛴 −1 (𝒙−𝒎)

𝑝𝑿 (𝒙) = 𝐾𝑒 −2(𝒙−𝒎)

(20.1.5)

20.2 - Funzione caratteristica di variabili aleatorie congiuntamente gaussiane. La funzione caratteristica associata al vettore aleatorio 𝒀 = 𝑿 − 𝒎. Detta funzione per definizione vale: 𝑇 𝑻 𝐹𝒀 (𝒖) = ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑒 𝑗𝒖 𝒀 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑒 𝑗𝒖 (𝑿−𝒎)

12

(20.2.1)

Si noti che la forma quadratica è definita positiva quindi la matrice dei coefficienti ad essa associata è certamente non singolare.

342

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

dove: 𝑢1 𝑢2 𝒖 = […]; 𝑢𝑛

𝑥1 − 𝑚1 𝑥2 − 𝑚2 𝒚=[ … ] 𝑥𝑛 − 𝑚𝑛

(20.2.2)

Tenuto conto dell'espressione della densità di probabilità (20.1.5), la (20.2.1) si può ancora scrivere: 𝐹𝒀 (𝒖)

𝑇 (𝒙−𝒎)−1(𝒙−𝒎)𝑇 𝛴 −1 (𝒙−𝒎) 2

= 𝐾 ∫ 𝑒 𝑗𝒖 𝑅𝑛

=𝐾∫ 𝑒

1 2

𝑗𝒖𝑇 𝒚− 𝒚𝑇 𝛴 −1 𝒚

𝑅𝑛

𝑑𝒙 (20.2.3)

𝑑𝒚

Sia 𝑇 una matrice ortonormale che diagonalizza la matrice 𝛴, cioè tale che si abbia: 𝑇 𝑇 𝛴𝑇 = diag[𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 ]

(20.2.4)

essendo: 𝜆1 0 diag[𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 ] = [ … 0

0 𝜆2 … 0

… … … …

0 0 ] … 𝜆𝑛

(20.2.5)

i cui elementi, come è noto, sono gli autovalori della matrice 𝛴. Dalla (20.2.4) discende facilmente: 𝑇 𝑇 𝛴 −1 𝑇 = diag [

1 1 1 , ,…, ] 𝜆1 𝜆2 𝜆𝑛

(20.2.6)

Se nell'integrale all'ultimo membro della (20.2.3) si effettua la seguente trasformazione di variabili: 𝒛 = 𝑇 −1 𝒚 = 𝑇 𝑇 𝒚

(20.2.7)

cui, in virtù della ortonormalità della matrice 𝑇, corrisponde un determinante Jacobiano di modulo unitario. Si ottiene: 𝑇 𝑇𝒛−1𝒛𝑇 𝑇 𝑇 𝛴 −1 𝑇𝒛 2

𝐹𝒀 (𝒖) = 𝐾 ∫ 𝑒 𝑗𝒖 𝑅𝑛

𝑑𝒛

(20.2.8)

Ponendo inoltre: 𝒖 = 𝑻𝒗

Tramite la (20.2.4), si ottiene ancora:

(20.2.9)

CAPITOLO - 20 – Segnali Gaussiani -

𝐹𝒀 (𝑇𝒗) = 𝐾 ∫ 𝑒

1 2

𝑗𝒗𝑇 𝒛− 𝒛𝑇 diag(

𝑅𝑛

= 𝐾∫ 𝑒

∑𝑛 𝑖=1(𝑗𝑣𝑖 𝑧𝑖 −

𝑧2 𝑖 ) 2𝜆𝑖

343

1 1 1 , ,…, )𝒛 𝜆1 𝜆2 𝜆𝑛 𝑑𝒛

𝑛

∞

𝑑𝒛 = 𝐾 ∏ ∫ 𝑒 𝑖=1

𝑅𝑛

𝑗𝑣𝑖 𝑧𝑖 −

𝑧2 𝑖 2𝜆𝑖

−∞

(20.2.10) 𝑑𝑧𝑖

L’integrale ad argomento della produttoria è riconducibile all’integrale noto: ∞ 𝜋 𝛽2 2 ∫ 𝑒 𝑗β𝑥−α𝑥 𝑑𝑥 = √ 𝑒 −4𝛼 𝛼 −∞

(20.2.11)

Con 𝛼 anche complesso purché con parte reale strettamente positiva. 1 ponendo 𝑣𝑖 = β e 2𝜆 = α in ogni fattore della produttoria nella (20.2.10), 𝑖

otteniamo: 𝑛

∞

𝐹𝒀 (𝑇𝒗) = 𝐾 ∏ ∫ 𝑒 𝑖=1

𝑗𝑣𝑖 𝑧𝑖 −

1 2 𝑧 2𝜆𝑖 𝑖

−∞

𝑛

𝜆𝑖 𝑣2 𝑖 2

𝑑𝑧𝑖 = 𝐾 ∏ √2𝜋𝜆𝑖 𝑒 −

(20.2.12)

𝑖=1

Calcolando la produttoria all'ultimo membro della precedente si ottiene per la funzione caratteristica associata alle 𝑛 variabili aleatorie 𝒀 = 𝑿 − 𝒎 l'espressione: 𝑛

1 2

𝜆𝑖 𝑣2 𝑖 2

𝐹𝒀 (𝒖) = 𝐹𝒀 (𝑇𝒗) = 𝐾((2𝜋) |𝛴|) ∏ 𝑒 − 𝑛

=

1

𝑛

2

𝑖=1

𝐾√(2𝜋)𝑛 |𝛴|𝑒 −2 ∑𝑖=1 𝜆𝑖𝑣𝑖

1 𝑇 [ ]𝒗 = 𝐾√(2𝜋)𝑛 |𝛴|𝑒 −2𝒗 diag 𝜆1,𝜆2,…,𝜆𝑛

(20.2.13)

1 𝑇 [ ]𝑇 𝑇 = 𝐾√(2𝜋)𝑛 |𝛴|𝑒 −2𝒖 𝑇diag 𝜆1,𝜆2,…,𝜆𝑛 𝒖 1 𝑇 𝛴𝒖

= 𝐾√(2𝜋)𝑛 |𝛴|𝑒 −2𝒖

dalla quale imponendo la condizione di normalizzazione 𝐹(𝒐) = 1, si ottiene per la costante 𝐾 il valore 𝐾=

1 √(2𝜋)𝑛 |𝛴|

(20.2.14)

che sostituito nella (20.2.13) consente finalmente di scrivere: 1 𝑇 𝛴𝒖

𝐹𝒀 (𝒖) = 𝑒 −2𝒖

(20.2.15)

Sostituendo il valore appena ottenuto per la costante 𝐾 nell’espressione della densità di probabilità (20.1.5) di un vettore di variabili aleatorie congiuntamente gaussiane si ottiene:

344

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

𝑝𝑿 (𝒙) =

1 √(2𝜋)𝑛 |𝛴|

1

𝑇 𝛴 −1 (𝒙−𝒎)

𝑒 −2(𝒙−𝒎)

(20.2.16)

che è univocamente determinata noti che siano la matrice 𝛴 e il vettore 𝒎. 20.3 - Densità di probabilità di ordine inferiore. Nota la funzione caratteristica associata ad 𝑛 variabili aleatorie è in generale possibile dedurre le funzioni caratteristiche relative ad un qualunque sottoinsieme di esse. A tal fine si consideri un vettore ̂ 𝑖 = [𝑢1 , … 𝑢𝑖−1 , 0, 𝑢𝑖+1 , … , 𝑢𝑛 ], cioé caratterizzato in ℝ𝑛 del tipo 𝒖 dall'avere la 𝑖-esima componente pari a zero. Un vettore del tipo anzidetto può essere ottenuto da un generico vettore 𝒘 appartenente a ℝ𝑛−1 premoltiplicando quest'ultimo per una matrice 𝑯𝑖 d’ordine 𝑛 × (𝑛 − 1) ottenuta inserendo nella matrice unitaria di ordine 𝑛 − 1 una riga nulla nella 𝑖-esima posizione. Se si valuta la funzione carattê 𝑖 si ottiene: ristica in corrispondenza di 𝒖 𝑇 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑇 𝑇 ̂ 𝑖 ) = 𝐹𝑿 (𝐻𝑖 𝒘) = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝐹𝑿 (𝒖 𝑒 𝑗(𝐻𝑖𝒘) 𝒙 = 𝑒 𝑗𝑤 𝐻𝑖 𝒙

(20.3.1)

Si osservi che in virtù della definizione data per la matrice 𝑯𝑖 , 𝒛 = 𝐻𝑖𝑇 𝒙 = [𝑧1 = 𝑥1 , … , 𝑧𝑖−1 = 𝑥𝑖−1 , 𝑧𝑖 = 𝑥𝑖+1 , … 𝑧𝑛−1 = 𝑥𝑛 ]𝑇 è un vettore a 𝑛 − 1 dimensioni, ottenuto eliminando la componente 𝑖-esima di 𝒙. In modo analogo s’individua il vettore di variabili aleatorie 𝒁 = 𝐻𝑖𝑇 𝑿. In termini dei vettori appena definiti si ottiene: 𝑇 𝑇 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑇 𝑇 𝑇 ̂ 𝑖 ) = 𝑒 𝑗𝒘 𝐻𝑖 𝒙 = ̅̅̅̅̅̅̅ 𝐹𝑿 (𝒖 𝑒 𝑗𝒘 𝒛 = ∫ 𝑒 𝑗𝒘 𝐻𝑖 𝒙 𝑝𝑿 (𝒙)𝑑𝒙

= ∫ 𝑒 ℝ𝑛−1

𝑗𝒘𝑇 𝒛

= 𝐹𝒁 (𝒘)

∞

ℝ𝑛 𝑇

(∫ 𝑝𝑿 (𝒙)𝑑𝑥𝑖 ) 𝑑𝒛 = ∫ 𝑒 𝑗𝒘 𝒛 𝑝𝒁 (𝒛)𝑑𝒛 −∞

(20.3.2)

ℝ𝑛−1

che rappresenta la funzione caratteristica delle 𝑛 − 1 variabili aleatorie 𝑋1 , … , 𝑋𝑖−1 , 𝑋𝑖+1 , … , 𝑋𝑛 . La (20.3.2) consente di affermare che, nota la funzione caratteristica associata a 𝑛 variabili aleatorie definite su di uno stesso esperimento casuale, è possibile ottenere quella associata ad un qualunque sottoinsieme di esse. Essa si ottiene ponendo, nella funzione originaria, uguali a zero le componenti del vettore 𝒖 corrispondenti alle variabili che non appartengono al sottoinsieme di interesse.

CAPITOLO - 20 – Segnali Gaussiani -

345

Ponendo 𝒁 = 𝐻𝑖𝑇 𝒀 nella (20.2.15), tenuto conto della (20.3.2)si ottiene: 1 𝑇

1 𝑇 𝑇 𝐻𝑖 𝛴𝐻𝑖 𝒘

̂ 𝑖 ) = 𝑒 −2𝒖̂𝑖 𝛴𝒖̂𝑖 = 𝑒 −2𝒘 𝐹𝒁 (𝒘) = 𝐹𝒀 (𝒖

1 𝑇 ̂𝑖 𝒘 𝛴

= 𝑒 − 2𝑤

(20.3.3)

dove 𝛴̂𝑖 ≜ 𝐻𝑖𝑇 𝛴𝐻𝑖 è la matrice che si ottiene da 𝛴 cancellando la riga e la colonna 𝑖-esima. 𝛴̂𝑖 è pertanto una matrice definita positiva. Ponendo nella (20.3.3) 𝑽 = 𝐻𝑖𝑇 𝑿, 𝒗 = 𝐻𝑖𝑇 𝒙 e 𝒎𝑣 = 𝐻𝑖𝑇 𝒎, si ottiene la densità di probabilità: 𝑝𝐻 𝑇 𝑿 (𝐻𝑖𝑇 𝒙) = 𝑖

=

1

1

1

√(2𝜋)𝑛−1 |𝛴̂𝑖 |

√(2𝜋)𝑛−1 |𝛴̂𝑖 |

1

𝑇 −1 𝑇 ̂ 𝑖 𝐻𝑖 (𝒙−𝒎) 𝛴

𝑇

𝑒 −2(𝐻𝑖 (𝒙−𝒎))

𝑇𝛴 ̂ 𝑖−1 𝒗−𝒎𝒗

𝑒 −2(𝒗−𝒎𝒗)

= 𝑝𝑽 (𝒗)

(20.3.4)

che assicura che se la densità di probabilità congiunta di 𝑛 varaibili aleatorie è di tipo gaussiano, tale è anche la densità di probabilità di un qualunque sottoinsieme proprio di dette variabili. Inoltre la matrice 𝛴 e il vettore 𝒎 che caratterizzano la densità di probabilità congiunta associata a detto sottoinsieme si ottengono da quelli originari rispettivamente cancellando dalla prima le righe e le colonne, e dal secondo le componenti, d’indice corrispondente alle variabili che non sono contenute nel sottoinsieme di interesse. 20.4 - Caratterizzazione degli elementi del vettore 𝒎 e della matrice 𝜮. La conoscenza della funzione caratteristica del vettore 𝒀 definito nel - § 20.2 - consente di calcolare i momenti di qualsiasi ordine (vedi CAPITOLO - 19) ed in particolare anche il valore medio di una qualunque componente di detto vettore. Risulta infatti: 𝑇

𝑗𝒖 𝒙 𝑑𝒙 𝜕𝐹𝑋 (𝒖) 𝜕 ∫ℝ𝑛 𝑝𝑿 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 )𝑒 = 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢𝑖 𝑇

= ∫ 𝑗𝑥𝑖 𝑝𝑋 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 )𝑒 𝑗𝒖 𝒙 𝑑𝒙

(20.4.1)

ℝ𝑛

che valutata in 𝒖 = 𝒐 fornisce: 𝜕𝐹𝑋 (𝒖) | = ∫ 𝑗𝑥𝑖 𝑝𝑿 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 )𝑑𝒙 = 𝑗𝑋̅𝑖 𝜕𝑢𝑖 𝒖=𝒐 ℝ𝑛

(20.4.2)

Nel caso di variabili aleatorie congiuntamente gaussiane si ottiene:

346

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori 𝑛

1 𝑇 𝜕𝐹(𝒖) ̅𝑖 = −𝑗 𝑌 | = 𝑗 (𝑒 −2𝒖 𝛴𝒖 ∑ 𝜎𝑖𝑘 𝑢𝑘 )| 𝜕𝑢𝑖 𝒖=𝒐

𝑘=1

=0

(20.4.3)

𝒖=𝒐

dove 𝜎𝑖𝑘 indica il generico elemento della matrice 𝛴. Ricordando che 𝒀 = 𝑿 − 𝒎 dalla precedente si deduce facilmente che le componenti del vettore 𝒎 sono i valori medi delle corrispondenti componenti di 𝑿. Al fine di caratterizzare gli elementi della matrice 𝛴 si osservi che in generale risulta: −

𝜕 2 𝐹𝑿 (𝒖) | = ̅̅̅̅̅̅ 𝑋𝑖 𝑋𝑗 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢𝑗 𝒖=𝒐

(20.4.4)

quindi: ̅̅̅̅̅ 𝑌𝑖 𝑌𝑗 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑋𝑖 − 𝑚𝑖 )(𝑋𝑗 − 𝑚𝑗 ) = − = −𝑒

1 2

− 𝑢𝑇 𝛴𝑢

𝑛

𝑛

𝜕 2 𝐹𝑌 (𝑢) | 𝜕𝑢𝑖 𝜕𝑢𝑗 𝒖=𝒐 1 𝑇 𝛴𝑢

∑ 𝜎𝑗𝑘 𝑢𝑘 ∑ 𝜎𝑖𝑘 𝑢𝑘 − 𝑒 −2𝑢 𝑘=1

𝑘=1

𝜎𝑖𝑗 |

= 𝜎𝑖𝑗

(20.4.5)

𝒖=𝒐

La precedente mostra che il generico elemento 𝜎𝑖𝑗 della matrice 𝛴 è la covarianza delle variabili aleatorie 𝑋𝑖 ed 𝑋𝑗 . La matrice 𝛴 viene pertanto detta matrice di covarianza. Gli elementi che giacciono sulla diagonale della matrice di covarianza rappresentano le varianze delle variabili aleatorie cui 𝛴 è associata. 20.5 - Segnali gaussiani. Un segnale aleatorio 𝑠(𝑡, 𝜁) si dice normale o gaussiano se la sua densità di probabilità di qualunque ordine 𝑛, indipendentemente dalla scelta della 𝑛 -upla d’istanti 𝒕 = [𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑛 ], è di tipo gaussiano, cioé se risulta: 𝑝𝑠(𝑡1),…,𝑠(𝑡𝑛 ) (𝑥) =

1 √(2𝜋)𝑛 |𝛴|

1

𝑇

)) 𝛴 −1 (𝒙−𝒎(𝒕))

𝑒 −2(𝒙−𝒎(𝒕

;

∀𝑛 ∈ ℕ⋀ ∀ 𝒕 ∈ ℝ𝑛

(20.5.1)

̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑇 è un vettore la cui 𝑖 -esima dove 𝒎(𝒕) = [𝑠(𝑡 1 ), 𝑠(𝑡2 ), … , 𝑠(𝑡𝑛 )] componente è il valore medio del segnale valutato nell'istante 𝑡𝑖 , e il generico elemento della matrice 𝛴 𝜎𝑖𝑗 = 𝜎(𝑡𝑖 , 𝑡𝑗 ) = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑠(𝑡𝑖 ) − ̅̅̅̅̅̅ 𝑠(𝑡𝑖 ))(𝑠(𝑡𝑗 ) − ̅̅̅̅̅̅ 𝑠(𝑡𝑗 ))

(20.5.2)

CAPITOLO - 20 – Segnali Gaussiani -

347

esprime la covarianza delle variabili aleatorie individuate dal segnale agli istanti 𝑡𝑖 e 𝑡𝑗 . Ci si rende facilmente conto del fatto che un segnale gaussiano stazionario in senso lato lo è anche in senso stretto. Infatti, se il segnale è stazionario in senso lato, gli elementi della sua matrice di covarianza, a qualunque ordine, dipendono soltanto dalle differenze tra gli istanti di tempo 𝑡𝑖 e 𝑡𝑗 . Inoltre il valore medio del segnale é indipendente dal tempo, quindi tale è anche il vettore 𝒎 che compare nella sua densità di probabilità. Esempio 20.1 Si determini la densità di probabilità del terzo ordine di un segnale gaussiano a media nulla valutata negli istanti 𝑡1 = 0, 𝑡2 = 𝑇 e 𝑡3 = 2𝑇. sapendo la sua funzione di autocovarianza vale: 𝜎(𝜏) = exp (−

|𝜏| ) 𝑇

L’elemento generico della matrice di autocovarianza vale: 𝜎𝑖𝑗 = exp(−

|𝑡𝑖 − 𝑡𝑗 | ) 𝑇

pertanto la matrice di covarianza valutata negli istanti di interesse risulta: 1 𝛴 = [𝑒 −1 𝑒 −2

𝑒 −1 1 𝑒 −1

𝑒 −2 𝑒 −1 ] 1

la cui inversa vale: 𝛴 −1 =

1 1 [−𝑒 −1 −2 1−𝑒 0

−𝑒 −1 1 + 𝑒 −2 −𝑒 −1

0 −𝑒 −1 ] 1

La forma quadratica che definisce la 𝑝𝑠(0)𝑠(𝑇)𝑠(2𝑇) (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) è: 𝑄(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) =

1 [𝑥 2 + (1 + 𝑒 −2 )𝑥22 + 𝑥32 − 2𝑒 −1 𝑥1 𝑥2 − 2𝑒 −1 𝑥2 𝑥3 ] 1 − 𝑒 −2 1

Essendo inoltre: |𝛴| = (1 − 𝑒 −2 )2

la densità di probabilità cercata si scrive quindi: 𝑝𝑠(0)𝑠(𝑇)𝑠(2𝑇) (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) =

1 3

(2𝜋)2 (1 − 𝑒 −2 )

𝑒

−

20.6 - Distribuzioni singolari. Sia data la funzione definita in ℝ𝑛 :

−2 2 2 −1 −1 𝑥2 1 +(1+𝑒 )𝑥2 +𝑥3 −2𝑒 𝑥1𝑥2−2𝑒 𝑥2 𝑥3 2(1−𝑒−2 )

348

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori 1 𝑇 𝛴𝒖

𝐹(𝒖) = 𝑒 −2𝒖

(20.6.1)

dove 𝛴 è una matrice semidefinita positiva. La (20.6.1), se la matrice 𝛴 è definita positiva, si può interpretare come la funzione caratteristica associata ad un opportuno vettore costituito da 𝑛 variabili aleatorie congiuntamente gaussiane a media nulla. Si vuole indagare su come interpretare la (20.6.1) qualora la matrice 𝛴 sia semidefinita positiva senza essere definita positiva. Cioè quando si verifichi il caso che la suddetta matrice presenti degli autovalori nulli. In particolare si vuole stabilire se alla (20.6.1) possa ancora attribuirsi il significato di funzione caratteristica associata ad un opportuno vettore 𝑋 di variabili aleatorie e, in caso affermativo, quale sia la densità di probabilità congiunta di dette variabili. A tal fine si proceda ad antitrasformare la (20.6.1) sulla base della (16.4.12): 𝑓(𝒙) =

1 𝑇 1 𝑇 ∫ 𝑒 −2𝒖 𝛴𝒖 𝑒 −𝑗𝒖 𝒙 𝑑𝒖 𝑛 (2𝜋) ℝ𝑛

(20.6.2)

Sia 𝑇 una opportuna matrice ortonormale (certamente esistente) che diagonalizza la matrice 𝛴 e che, inoltre, faccia si che gli autovalori non nulli della 𝛴 cadano nelle prime 𝑟 righe della matrice diagonalizzata, cioè 𝑇 sia tale che risulti 𝜆1 0 … … … … … … … 0 0 𝜆2 … … … … … … … 0 ………………………… 𝑇 𝑇 𝛴𝑇 = 𝛬 = 0 … … … … 𝜆𝑟 0 … … 0 0 … … … … . . .0. . . . .0 … ……………………… [0 … … . … . . . . . . . . . . . . . .0]

(20.6.3)

dove 𝜆𝑖 è il generico autovalore non nullo della 𝛴. Operando al secondo membro della (20.6.2) la trasformazione di variabili 𝒗 = 𝑇 𝑇 𝒖 si ottiene: 𝑓(𝑥) =

1 1 − 𝒗𝑇 𝛬𝒗 −𝑗𝒗𝑇 𝑇 𝑇 𝒙 2 ∫ 𝑒 𝑒 𝑑𝒗 (2𝜋)𝑛 ℝ𝑛

(20.6.4)

Si osservi che 𝒗𝑇 𝛬𝒗, in virtù della particolare composizione della matrice 𝛬, dipende solo dalle prime 𝑟 componenti del vettore 𝒗. Mediante le posizioni:

CAPITOLO - 20 – Segnali Gaussiani -

𝑣1 [⋮] 𝒗𝑟 𝑣 𝛬 𝒗 = [𝒗 ] = 𝑣 𝑟 ; 𝛬 = [ 𝑟 𝑟+1 𝑛−𝑟 0 [ ⋮ ] [ 𝑣𝑛 ]

0 ] ; 𝑇 = [𝑇𝑟 0

349

𝑇𝑛−𝑟 ]

(20.6.5)

l'integrale (20.6.4) può essere espresso come prodotto di due integrali. Più precisamente si può scrivere: 1 1 − 𝑣 𝑇 𝛬𝒗 −𝑗𝒗𝑇 𝑇 𝑇 𝒙 2 ∫ 𝑒 𝑒 𝑑𝒗 (2𝜋)𝑛 ℝ𝑛 1 𝑇 1 𝑇 𝑇 =( ∫ 𝑒 −2𝒗𝑟 𝛬𝑟 𝒗 𝑒 −𝑗𝒗𝑟 𝑇𝑟 𝒙 𝑑𝒗𝑟 ) 𝑟 (2𝜋) ℝ𝑟 1 𝑇 𝑇 ⋅( ∫ 𝑒 −𝑗𝑣𝑛−𝑟 𝑇𝑛−𝑟 𝒙 𝑑𝒗𝑛−𝑟 ) 𝑛−𝑟 (2𝜋) ℝ𝑛−𝑟

(20.6.6)

da cui facilmente si ottiene: 𝑓(𝒙) =

1 √(2𝜋)𝑟 |𝛬𝑟 |

𝑒

1 2

𝑇 − 𝑥 𝑇 𝑇𝑟 𝛬−1 𝑟 𝑇𝑟 𝒙

𝑛−𝑟 𝑇 ∏ 𝛿((𝑇𝑛−𝑟 𝒙)𝑘 )

(20.6.7)

𝑘=1

𝑇 𝑇 dove (𝑇𝑛−𝑟 𝒙)𝑘 indica la 𝑘-esima componente del vettore 𝑇𝑛−𝑟 𝒙. 𝑓(𝒙) è non negativa e rispetta la condizione di normalizzazione, in quanto la (20.6.1) vale uno per 𝒖 = 𝒐, quindi la precedente implica che è leggitimo porre:

𝑓(𝒙) = 𝑝𝑿 (𝒙)

(20.6.8)

cioè che è possibile interpretare 𝑓(𝒙) come la funzione di densità di probabilità congiunta 𝑝𝑿 (𝒙) associata a un opportuno 𝑛-vettore 𝑿 di variabili aleatorie. E’ interessante rilevare che la presenza delle delta nella (20.6.7) porta a concludere che la 𝑝𝑿 (𝒙) è nulla ovunque, fatta eccezione che in corrispondenza alle soluzioni del sistema lineare di equazioni: 𝑇 𝑇𝑛−𝑟 𝒙=𝒐

(20.6.9)

In altri termini, quanto detto significa che il vettore 𝑿 appartiene con probabilità 1 al sottospazio di ℝ𝑛 implicitamente definito dalle (20.6.9). Detto sottospazio, in virtù dell'ortogonalità della matrice 𝑇, ha certamente dimensione 𝑟. Inoltre ci si rende facilmente conto del fatto che se il vettore 𝑿 viene riferito a una qualsiasi base di detto

350

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

sottospazio le variabili aleatorie componenti di 𝑿 rispetto a detta base sarebbero congiuntamente gaussiane. Esempio 20.2 Si determini la densità di probabilità del terzo ordine di un segnale gaussiano a media nulla e la cui funzione di autocovarianza è: 𝜏 𝜎(𝜏) = cos (2𝜋 ) 𝑇

valutata negli istanti 𝑡1 = 0, 𝑡2 = 𝑇/4 e 𝑡3 = 𝑇/2. La matrice di covarianza vale: 1 0 𝛴=[ 0 1 −1 0

−1 0] 1

Essa è singolare ed ha rango 2. Per determinare la varietà lineare sulla quale la ps

1s2s3

( x 1 , x 2 ,x 3 ) ri-

sulta diversa da zero occorre individuare una matrice 𝑇 che diagonalizza la . Detta matrice ha per righe gli autoversori di . L’equazione che fornisce gli autovalori come è noto è: |𝛴 − 𝜆𝐼| ≡ 𝜆(𝜆 − 1)(𝜆 − 2) = 0

le cui soluzioni sono: 𝜆1 = 0,

𝜆2 = 1,

𝜆3 = 2;

I corrispondenti autovettori normalizzati sono: 𝒆1 =

1 1 [0 ] , √2 1

0 𝒆2 = [1] , 0

𝒆3 =

1 [0] √2 −1 1

scegliendo come matrice T: − 𝑇=

1

0

√2 0 1

1

√2 1 0 1 0 √2]

[ √2

Risulta: 2 𝑇 𝑇 𝛴𝑇 = [0 0

La varietà lineare su cui la ps allora definita dalla:

1s2s3

0 0 1 0] 0 0

( x 1 , x 2 ,x 3 ) risulta diversa da zero è

CAPITOLO - 20 – Segnali Gaussiani -

1 𝑇 𝑇𝑛−𝑟 𝒙 = 𝒐;

351

𝑇

√2 0 𝒙 = 𝒐; 𝒙1 + 𝒙3 = 𝒐 1 [√2]

nel caso in esame la matrice Tr è data dalle prime due colonne di T, 1 𝛬−1 𝑟 = [2 0

0] 1

si ha: 1 0 4 𝑇 𝒙 = 𝒙𝑇 𝑥 𝑇 𝑇𝑟 𝛬−1 𝑇 0 1 𝑟 𝑟 1 [− 4 0 =

la ps

1s2s3

1 4 𝑥12 𝑥1 𝑥3 𝑥32 + 𝑥22 − + 0 𝒙= 4 2 4 1 ] 4

−

(𝑥1 + 𝑥3 )2 + 𝑥22 4

quindi in base alla (20.6.7) è data da:

𝑝𝑠1𝑠2𝑠3 (𝑥) =

1 [(𝑥1−𝑥3)2+𝑥22] 1 (𝑥2 +𝑥2 ) 𝑒 4 𝛿(𝑥1 + 𝑥3 ) = 𝑒 1 2 𝛿(𝑥1 + 𝑥3 ) 4𝜋 4𝜋

20.7 - Densità di probabilità del secondo ordine e condizionali. Nel caso di un vettore aleatorio 𝑿 gaussiano bidimensionale denotando con

𝜎12

𝜎11 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑋1 − 𝑚1 )2 = 𝜎12 ; 𝜎22 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑋2 − 𝑚2 )2 = 𝜎22 ; = 𝜎21 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑋1 − 𝑚1 )(𝑋2 − 𝑚2 )

(20.7.1)

gli elementi della matrice di covarianza, si puo scrivere: 𝛴 −1 =

𝜎12 𝜎22

1 𝜎2 [ 2 − 𝜎12 𝜎21 −𝜎21

−𝜎12 ] 𝜎12

(20.7.2)

Di conseguenza la densità di probabilità vale: 𝑝𝑿 (𝒙) =

𝑒

2 𝜎2 (𝑥 −𝑚1 )2 −(𝜎12+𝜎21 )(𝑥1−𝑚1 )(𝑥2 −𝑚2 )+𝜎2 1 (𝑥2 −𝑚2 ) − 2 1 2 2 2(𝜎1 𝜎2 −𝜎12 𝜎21 )

2𝜋√𝜎12 𝜎22 − 𝜎12 𝜎21

(20.7.3)

Di norma la precedente si esprime in termini del coefficiente di correlazione:

352

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

𝜌=

𝜎12 𝜎21 = 𝜎1 𝜎2 𝜎1 𝜎2

(20.7.4)

che, in virtù della definitezza positiva della 𝛴, soddisfa la limitazione |𝜌| ≤ 1. Risulta allora: 𝑝𝑠1 𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 ) =

𝑒

1 (𝑥 −𝑚 )2 2𝜌 (𝑥 −𝑚 )2 [ 1 21 − (𝑥 −𝑚1 )(𝑥2 −𝑚2 )+ 2 2 2 ] 𝜎1 𝜎2 1 2(1−𝜌2 ) 𝜎1 𝜎2

−

2𝜋𝜎1 𝜎2 √1 −

(20.7.5)

𝜌2

Nel piano (𝑥1 , 𝑥2 ) i luoghi a 𝑝𝑠1𝑠2 = cost sono rappresentati da una famiglia d’ellissi (|𝜌| ≤ 1) concentriche di centro (𝑚1 , 𝑚2 ) di equazioni: (𝑥1 − 𝑚1 )2 2𝜌 (𝑥2 − 𝑚2 )2 − (𝑥1 − 𝑚1 )(𝑥2 − 𝑚2 ) + 2 𝜎1 𝜎2 𝜎1 𝜎22 = cost

(20.7.6)

Le densità di probabilità marginali 𝑝𝑠1 (𝑥1 ) e 𝑝𝑠2 (𝑥2 ) valgono rispettivamente: 𝑝𝑠1 (𝑥1 ) = 𝑝𝑠2 (𝑥2 ) =

1 √2𝜋𝜎12 1 √2𝜋𝜎22

𝑒

(𝑥 −𝑚 )2 − 1 21

𝑒

2𝜎1

(𝑠 −𝑚 ) − 2 22 2𝜎2

;

2

(20.7.7)

;

come si deduce facilmente applicando le regole di marginalizzazione dedotte precedentemente in questo Capitolo È interessante notare che se 𝜌 = 0, la matrice di covarianza è diagonale, in questo caso evidentemente risulta: 𝑝𝑠1𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑝𝑠1 (𝑥1 )𝑝𝑠2 (𝑥2 )

(20.7.8)

Ciò significa che se risulta 𝜌(𝑡1 , 𝑡2 ) = 0, le variabili aleatorie 𝑠1 = 𝑠(𝑡1 ) e 𝑠2 = 𝑠(𝑡2 ), estratte da un segnale gaussiano, sono statisticamente indipendenti. Dalle relazioni: 𝑝𝑠1 𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑝𝑠1 (𝑥1 )𝑝𝑠2|𝑠2 (𝑥2 , 𝑥1 ) = 𝑝𝑠2 (𝑥2 )𝑝𝑠1 |𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 )

si possono dedurre le densità di probabilità condizionate:

(20.7.9)

CAPITOLO - 20 – Segnali Gaussiani -

353

1

𝑝𝑠1 |𝑠2 (𝑥1 , 𝑥2 ) =

𝑒

𝜌𝜎 − 2 [𝑥1 −𝑚1 − 1 (𝑥2 −𝑚2 )]2 𝜎2 2𝜎1 (1−𝜌2 )

𝜎1 √2𝜋(1 − 𝜌2 )

(20.7.10)

e 𝑝𝑠2 |𝑠1 (𝑥2 , 𝑥1 ) =

𝑒

−

1 𝜌𝜎2 2 2 [𝑥2 −𝑚2 − 𝜎1 (𝑥1 −𝑚1 )] 2𝜎2 2 (1−𝜌 )

𝜎2 √2𝜋(1 − 𝜌2 )

(20.7.11)

che come si riconosce facilmente, sono due gaussiane rispettivamen𝜌𝜎 𝜌𝜎 te caratterizzate dai valori medi 𝑚1 + 𝜎 1 (𝑠2 − 𝑚2 ), 𝑚2 + 𝜎 2 (𝑠1 − 2

𝑚1 ) e dalle varianze 𝜎12 (1 − 𝜌2 ), 𝜎22 (1 − 𝜌2 ).

1

20.8 - Trasformazioni lineari di segnali gaussiani. Sia 𝑿 = [𝑋1

𝑋2

…

𝑋𝑛 ]𝑇

(20.8.1)

un vettore le cui componenti siano variabili aleatorie gaussiane, tali cioè che la loro densità di probabilità congiunta sia espressa da una relazione del tipo della (20.2.16). Se si applica al vettore 𝑿 una trasformazione lineare del tipo: 𝒀 = 𝑇𝑿

(20.8.2)

essendo 𝑇 una matrice 𝑚 × 𝑛 è facile riconoscere che anche il vettore aleatorio 𝒀 così ottenuto ha componenti congiuntamente gaussiane. Infatti detta 𝐹𝒀 (𝒖) la funzione caratteristica del vettore 𝒀 è 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝐹𝒀 (𝒖) = ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑒 𝑗𝒖 𝒚 = ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑒 𝑗𝒖 𝑇𝒙 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑒 𝑗(𝑇 𝒖) 𝒙 = 𝐹𝑿 (𝑇 𝑇 𝒖)

(20.8.3)

Ricordando la (20.2.15) si verifica facilmente che la funzione caratteristica associata ad un vettore di variabili gaussiane vale: 1 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝐹𝑿 (𝒖) = ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑒 𝑗𝒖 𝑿 = 𝑒 𝑗𝒖 𝒎𝑿 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑒 𝑗𝒖 (𝑿−𝒎𝑿) = 𝑒 𝑗𝒖 𝒎𝑿 −2𝒖 𝛴𝑿𝒖

(20.8.4)

avendo denotato con 𝒎𝑿 il vettore dei valori medi: ̅̅̅1 𝒎𝑿 = [𝑋

̅̅̅ 𝑋2

…

̅𝑋̅̅𝑛̅]𝑇

(20.8.5)

e con 𝛴𝑿 la matrice di covarianza. Tenendo conto delle (20.8.2) e (20.8.4) la (20.8.3) diviene: 𝑇 𝑇𝒎 −1𝒖𝑇 (𝑻𝛴 𝑇 𝑇 )𝒖 𝑿 2 𝑿

𝐹𝒀 (𝒖) = 𝐹𝑿 (𝑇 𝑇 𝒖) = 𝑒 𝑗𝒖

(20.8.6)

354

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

che confrontata con la (20.8.4) consente di concludere che il vettore 𝒀 ha componenti congiuntamente gaussiane caratterizzate da un vettore di valori medi 𝒎𝒀 e da una matrice di autocovarianza 𝛴𝒀 dati rispettivamente dalle: a)

𝒎𝒀 = 𝑇𝒎𝑿

b)

𝛴𝒀 = 𝑇𝛴𝑿 𝑇 𝑇

(20.8.7)

Le considerazioni sin qui svolte possono essere estese al caso di segnali aleatori legati da trasformazioni lineari del tipo: ∞

𝑦(𝑡, 𝜁) = ∫ ℎ(𝑡, 𝜏)𝑥(𝜏, 𝜁)𝑑𝜏 −∞

(20.8.8)

dove ℎ(𝑡, 𝜏) denota la risposta della trasformazione ad una delta di Dirac centrata all’istante 𝜏. La (20.8.8) si potrebbe anche interpretare come una distribuzione definita su un opportuno spazio di funzioni di prova cui devono appartenere le manifestazioni del segnale 𝑥(𝜏, 𝜁). Anche in questo caso si può dimostrare che, se 𝑥(𝜏, 𝜁) è un processo gaussiano, tale è anche 𝑦(𝑡, 𝜁). Limitandosi a fornirne una giustificazione intuitiva , si consideri il caso in cui ℎ(𝑡, 𝜏) rappresenta una funzione regolare. Suddividendo il dominio d’integrazione nella (20.8.8) in intervalli disgiunti di ampiezza 𝛥, l'integrale può essere calcolato mediante la: 𝑁

𝑦(𝑡, 𝜁) = lim 𝛥 ∑ ℎ(𝑡, 𝑖𝛥)𝑥(𝑖𝛥, 𝜁) 𝑁→∞ 𝛥→0

(20.8.9)

𝑖=−𝑁

Valutando la precedente in 𝑡 = 𝑗𝛥 si ottiene: 𝑁

𝑦(𝑗𝛥, 𝜁) = lim 𝛥 ∑ ℎ(𝑗𝛥, 𝑖𝛥)𝑥(𝑖𝛥, 𝜁) 𝑁→∞ 𝛥→0

(20.8.10)

𝑖=−𝑁

L'argomento del limite può essere interpretato, per fissati 𝑁 e 𝑁

𝛥, come la componente 𝑗-esima 𝑦̂𝑗 = ∑𝑖=−𝑁 ℎ(𝑗𝛥, 𝑖𝛥)𝑥(𝑖𝛥, 𝜁) di un

vettore aleatorio ottenuto dal prodotto tra una matrice 𝑇 il cui generico elemento è ℎ(𝑗𝛥, 𝑖𝛥) e un 2𝑁 + 1 vettore aleatorio gaussiano la cui 𝑖-esima componente vale 𝑥(𝑖𝛥, 𝜁). 𝑦̂𝑗 è pertanto, indipendente-

CAPITOLO - 20 – Segnali Gaussiani -

355

mente dai valori di 𝑁 e 𝛥, una variabile aleatoria gaussiana e tale resta passando al limite per 𝑁 → ∞ e 𝛥 → 0. Essendo 𝑦(𝑡, 𝜁) gaussiano, la sua densità di probabilità a qualunque ordine dipende soltanto dal valor medio e dalla funzione di autocovarianza. Dalla (20.8.8), prendendo il valore medio statistico di ambo i membri, si ha: ∞

∞

−∞

−∞

̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑚𝑦 (𝑡) = 𝑦(𝑡, 𝜁) = ∫ ℎ(𝑡, 𝜏)𝑥(𝜏, 𝜁)𝑑𝜏 = ∫ ℎ(𝑡, 𝜏)𝑚𝑥 (𝜏)𝑑𝜏

(20.8.11)

dove con 𝑚𝑥 (𝑡) si è indicato il valore medio del segnale 𝑥(𝑡, 𝜁). La funzione di covarianza vale: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝜎𝑦 (𝑡1 , 𝑡2 ) = (𝑦(𝑡 1 , 𝜁) − 𝑚𝑦 (𝑡1 ))(𝑦(𝑡2 , 𝜁) − 𝑚𝑦 (𝑡2 )) ∞

∞

= 𝐸 {∫ 𝜑(𝑡1 , 𝜏1 )(𝑥(𝜏1 , 𝜁) − 𝑚𝑥 (𝜏1 ))𝑑𝜏1 ∫ ℎ(𝑡2 , 𝜏2 )(𝑥(𝜏2 , 𝜁) −∞

−∞

− 𝑚𝑥 (𝜏2 ))𝑑𝜏2 } ∞

∞

= ∫ ∫ 𝐸{[𝑥(𝜏1 , 𝜁) − 𝑚𝑥 (𝜏1 )][𝑥(𝜏2 , 𝜁)

(20.8.12)

−∞ −∞

− 𝑚𝑥 (𝜏2 )]}ℎ(𝑡1 , 𝜏1 )𝜑(𝑡2 , 𝜏2 )𝑑𝜏1 𝑑𝜏2 ∞

∞

= ∫ ∫ 𝜎𝑥 (𝜏1 , 𝜏2 )ℎ(𝑡1 , 𝜏1 )ℎ(𝑡2 , 𝜏2 )𝑑𝜏1 𝑑𝜏2 −∞ −∞

avendo denotato con 𝜎𝑥 (𝑡1 , 𝑡2 ) la funzione di autocovarianza di 𝑥(𝑡, 𝜁). Esempio 20.3 Si determini la densità di probabilità del secondo ordine del segnale 𝑦(𝑡, 𝜁) =

1 𝑡+𝑇 ∫ 𝑥(𝜏, 𝜁)𝑑𝜏 𝑇 𝑡

valutata negli istanti t 1 =0 e t 2 = T essendo x( t , ) un segnale gaussiano, stazionario, a valor medio nullo e funzione d’autocorrelazione t 1 =0 R X ( ) =( ) Se la media di x( t, ) è nulla lo è anche quella di y( t, ) . La funzione d’autocorrelazione di y( t, ) vale 1 𝑅𝑦 (𝑡1 , 𝑡2 ) = 2 ∫ 𝑇

𝑡1 +𝑇

𝑡1

∫

𝑡2 +𝑇

𝑡2

𝛿(𝜏2 − 𝜏1 )𝑑𝜏1 𝑑𝜏2

1 𝑡1+𝑇 𝜏1 − 𝑡2 1 = 2∫ ⊓ ( − ) 𝑑𝜏1 𝑇 𝑡1 𝑇 2

356

Lezioni di Teoria dei Segnali - Analisi dei Segnali Aleatori -

essendo, come è facile verificare: 𝛽 𝑥 1 1; 𝑥 ∈ [𝛼, 𝛽] ∫ 𝛿(𝑥 − 𝑥0 )𝑑𝑥 = { = ⊓𝛽−𝛼 ( − ) 0; 𝑥 ∉ [𝛼, 𝛽] 𝛽 − 𝛼 2 𝛼

Si ha pertanto, ponendo  t 2  t 1 : 𝑇

1 2 +𝜏 𝜗 1 |𝜏| 𝜏 𝜎𝑦 (𝜏) = 𝑅𝑦 (𝜏) = 2 ∫ ⊓ ( ) 𝑑𝜗 = (1 − ) ⊓ ( ) 𝑇 𝑇−𝜏 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 2

La matrice di covarianza negli istanti d’interesse vale: 1 𝑇 𝛴=[ 0

0 1 𝑇

]

la densità di probabilità richiesta vale quindi: 𝑝𝑦(0),𝑦(𝑇) (𝜆, 𝜈) =

𝑇 −𝑇(𝜆2+𝜈2) 2 𝑒 2𝜋

20.9 - Statistica della somma di variabili aleatorie indipendenti. Sia {𝑋𝑛 } una sequenza di variabili aleatorie statisticamente indipendenti. Si assuma per semplicità che la generica variabile 𝑋𝑖 della sequenza abbia valor medio nullo e si indichi la sua varianza con 𝜎𝑖2 . Ci si propone di determinare la densità di probabilità della variabile aleatoria 𝑊 definita come segue: 𝑛 𝑋 ∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 𝑖 = lim ∑ = lim 𝑊𝑛 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝛤𝑛 𝑖=1 𝛤𝑛

𝑊 = lim

(20.9.1)

dove: 𝑛

𝛤𝑛 = √∑

𝑖=1

𝜎𝑖2

(20.9.2)

sotto l'ipotesi che risulti: 𝛹𝑛 =0 𝑛→∞ 𝛤𝑛 lim

(20.9.3)

dove 3

𝑛

𝛹𝑛 = √∑ ̅̅̅̅̅̅ |𝑋𝑖3 | 𝑖=1

(20.9.4)

CAPITOLO - 20 – Segnali Gaussiani -

357

Sia 𝐹𝑖 (𝑢) la funzione caratteristica della variabile aleatoria 𝑋𝑖 la funzione caratteristica 𝐹𝑊𝑛 (𝑢) della variabile aleatoria 𝑊𝑛 , definita dalla (20.9.1), in virtù della supposta statistica indipendenza delle 𝑋𝑖 , vale: 𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

𝑢 𝑢 𝐹𝑊𝑛 (𝑢) = ∏ 𝐹𝑖 ( ) ⇒ log[𝐹𝑊𝑛 (𝑢)] = ∑ log (𝐹𝑖 ( )) 𝛤𝑛 𝛤𝑛

(20.9.5)

D’altra parte può scriversi: 𝑢 ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑢 𝑗 𝑋 𝐹𝑖 ( ) = 𝑒 𝛤𝑛 𝑖 𝛤𝑛 3 𝑢 3 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝜉 𝑢 𝑋𝑖2 𝑢 2 𝑗 𝑋 𝑋𝑖 = 1 + 𝑗𝑋𝑖 − ( ) − 𝑗𝑒 𝛤𝑛 𝑖 ( ) 𝛤𝑛 2 𝛤𝑛 6 𝛤𝑛 𝜉 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑗 𝑋 𝜎𝑖2 𝑢2 −𝑗𝑒 𝛤𝑛 𝑖 𝑋𝑖3 𝑢3 =1− + 2𝛤𝑛2 6𝛤𝑛3

(20.9.6)

dove 𝜉 è un opportuno reale che dipende da 𝑢 e da 𝑋𝑖 . 𝑢

Si consideri adesso il logaritmo naturale della 𝐹𝑖 (𝛤 ): 𝑛

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑢 𝜎𝑖2 𝑢2 −𝑗𝑒 𝑋𝑖3 𝑢3 log (𝐹𝑖 ( )) = log (1 − + ) 𝛤𝑛 2𝛤𝑛2 6𝛤𝑛3 𝜉 𝑗 𝑋𝑖 𝛤𝑛

(20.9.7)

= log[1 + 𝑧]

avendo posto: 𝜉 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑗 𝑋 𝜎𝑖2 𝑢2 −𝑗𝑒 𝛤𝑛 𝑖 𝑋𝑖3 𝑢3 𝑧=− + 2𝛤𝑛2 6𝛤𝑛3

(20.9.8)

In virtù della (20.9.3) si può affermare che esiste 𝜈 tale che: 𝑛>𝜈⇒

𝛹𝑛