Daniele Sette Adriano Alippi Andrea Bettucci
Lezioni Lezioni di Fisica 1 Meccanica • Termodinamica Seconda edizione
FISICA
Daniele Sette Adriano Alippi Andrea Bettucci
Lezioni di Fisica 1 Meccanica • Termodinamica Seconda edizione
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Realizzazione editoriale editoriale: CompoMat, Configni (RI) Copertina: – Progetto grafico: Falcinelli & Co., Roma copertina: © privetik/iStockphoto – Immagine di copertina
Prima edizione (Masson): ottobre 1998 Seconda edizione: luglio 2021
Ristampa: prima tiratura 5
4
3
2
1
2021
2022
2023
2024
2025
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Indice generale
Prefazione
ix 2 Dinamica del punto materiale
0 Grandezze e unit` a di misura
1
0.1 La fisica e il metod odo o scientifico 0.2 Grandezze fisiche, fis iche, unit` a e sistemi di unit`a di misura 0.3 Lunghezza 0.4 Intervallo di tempo 00.6 .5 M sastem Il asSist Si ema a Inte Interna rnazi zion onale ale di unit` a di misura 0.7 Dimensioni Dimensioni ed equazion equazionii dimendimensionali 0.8 Misure ed errori 1 Cinematica del punto materiale
1.1 Introduzione 1.2 S Siistemi di riferimento 1.3 Equ Equazio zioni del del mot moto. Moti componenti 1.4 Trai aiet etttoria ria. Eq Equa uazi zioone ora rari riaa 1.5 Spostamenti
1 2 3 5 7 8 10 11 15
15 16 16 17 17
1.6 1.6 Gr Grad adii di li liber bert` t` a 18 1. 1.7 7 Veloc elocit it` a e accelerazione ` 18 1.8 Moto rettilineo uniforme 21 1.9 1.9 Mo Moto to un unif ifor orme meme ment ntee ac acce cele lera rato to 22 1.10 Moto circolare e circolare uniforme uniforme 24 1.11 Moto armonico 27 1.12 Moto circolare circolare uniforme uniforme e moti armonici componenti 28 1.13 Moto di un punto punto con traiettoria traiettoria giacente su un piano 30 1.14 Moto di un punto punto con traiettoria traiettoria qualsiasi 33 1.15 Moti cent centrali rali.. Velocit elocit``a areolare 34 1.16 Definizion Definizionee del moto dalla conoscenza dell’accelerazione o della
velocit` a
Moto di un punto punto in sistemi sistemi di 1.17 Moto riferimento diversi Esercizi di riepilogo
2.1 2.1
Le Legg ggee d dii ine inerz rzia ia.. Ter erne ne di riferimento inerziali Forza Concetto di massa inerziale Sec Secon ondo do prin princi cipi pio o de dell lla a dina dinami mica ca Qu Quan anti tit` t` a di moto e impulso
2.2 2.3 2.4 2.4 2.5 2.5 principio della della dinamica. dinamica. 2.6 Terzo principio Azione e reazione 2.7 2.8 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16
Critica Crit lim della meccanic meccanica a newtica onieanlimiti a iti della
Forze orze e inte intera razi zion onii fond fondam amen enta tali li Forza peso Forze elastiche Reazioni vincolari Attrito Resistenze passive Processi oscillatori Pendolo semplice Massa inerzi inerziale ale e massa gravitazionale
2.17 Momento Momento di una forza rispetto a un un p pun unto to e rris ispet petto to a u un n aass ssee 2.18 Momen Momento to del della la qua quanti ntit` t` a di moto 2.19 Teo Teorem rema a de dell momen momento to de dell lla a quantit`a di moto. Cons Co nserv ervazi azion onee
de dell
45 48 49 52 53 55 55 57 58 61 61 63 67 70 74 76 78 79
mome moment nto o
della quantit` a di moto 2.20 Descri Descrizione zione d del el mo moto to in sistemi non inerziali 2.21 Forze aappare pparenti nti:: la fo forza rza centrifuga 2.22 Forze aappare pparenti nti:: la fo forza rza di Coriolis 2.23 Conclusioni sulla dinamica del punto Esercizi di riepilogo
Lavo voro ro ed ener energi gia a per il punt punto o 35 3 La
37 42
45
80 83 84 87 88 89
materiale
91
3.1 3.2
91 93
D Deefinizione di lavoro Potenza
vi
Indice generale
3.3
Ener Energia gia cin cineti etica. ca. T Teor eorema ema del lav lavoro e de delll’ l’en ener erg gia ci cine nettic icaa Campi di forza conservativi Energia potenziale
3.4 3.5 3.6 Conserv Conservazione azione dell’energia dell’energia mecmec-
94 97 99
canica nel caso di forze conser-
c
978.8808.42020.6
5.6 Momento d’inerzia Ener ergia gia cineti cinetica ca di un corpo 5.7 En rigido libero 5.8 Statica 5.9 Leve. Bilancia Esercizi di riepilogo
159 163 165 167 169
vative 102 3.7 Ener Energia gia nel nell’o l’osci scilla llato tore re aarmo rmonic nicoo 10 1055 6 Mec Meccan canica ica dei dei corpi corpi deforma deformabil bili. i. Energia ia potenziale potenziale di di gravitaz gravitazione ione108 Elasticit` a 173 3.8 Energ 3.9 Energ Energia ia meccanica meccanica di un punto punto 6.1 Introduzione 173 materiale mater iale in campo cons conserv ervativ ativoo 111 Deformazioni zioni elastic elastiche he e plastic plastiche he 174 6.2 Deforma 3.10 Varia ariazione zione dell dell’energ ’energia ia 6.3 De Defo forma rmazi zion onii di volum olumee e di meccanica in presenza di forze scorrimento 175 non conservative 113 6.4 Forze applicate e sforzi 176 3. 3.111 Co Cons nser erv vazi azion onee de dell ll’e ’ene nerrgia 114 114 6.5 6.5 Le Legg ggee di Hoo Hook ke. Leg Legge ge di 3.12 Teoria de della lla rel relativ ativit` it` a ri rist stre rett tta a 11 1155 sovrapposizione 179 Esercizi di riepilogo 118 6.6 Compressione di volume 181 6.7 Def Deforma ormazio zione ne di trazione trazione e di Meccan canica ica dei dei siste sistemi mi di pun punti ti 4 Mec scorrimento 182 materiali 121 6.8 Origine delle propriet` a elastiche 4.1 Introduzione 121 nei solidi 187 Cen ntro tro di mass massa a e moto moto de dell 4.2 Ce Sollecitazionii e deformazioni deformazioni nei nei 6.9 Sollecitazion centro di massa 122 fluidi. La viscosit`a dei liquidi 188 4.3 Quantit`a di moto di un sistema Esercizi di riepilogo 191 e prima equazione cardinale del della dina nam mica dei sistem emii 125 7 Meccanica dei fluidi 193 Principio io di conserv conservazione azione della 4.4 Princip quantit`a di moto 127 7.1 Introduzione 193 4.5 Teo eorem rema a del del mome moment nto o dell della a 7.2 7.2 Pr Press essio ione ne in un pu punt ntoo d dii quantit`a di moto 129 un fluido 194 4.6 Princip Principio io di conservazione conservazione del 7.3 Equa Equazio zioni ni del della la sta static tica a dei flui fluidi di 19 196 6 momento della quantit`a d dii m mot oto o 13 1311 7.4 Statica dei fluidi pesanti 197 4.7 Teor eorema ema del la lavo voro ro 7.5 Principio di Pascal 201 e dell’energia cinetica nei sistemi 7.6 Misura delle pressioni 202 di punti 133 7.7 Principio di Archimede 204 4.8 4.9 4.10 4.11
133 134 135
7.8 Dinamica dei fluidi 206 7.9 Linee di flusso e di corrent ente 208 7.10 Equazi Equazione one di ccont ontinu inuit` it` a 210 lavoro e dell’enerdell’ener7.11 Teorema del lavoro gia gia ci cine neti tica ca per fluid fluidii id idea eali li..
5.1
Introduzione
Equazione di Bernoulli 137 Esercizi di riepilogo 138 139 8 Onde in mezzi elastici 141 8.1 Introduzione 146 8.2 Vari tipi di onde elastiche 149 pianee longitudinali longitudinali sinusinu8.3 Onde pian soidali 149
5.2 5.3 5.4 5.5
Cinematica dei corpi rigidi Dinamica del corpo rigido Si Sisstem emii equivalenti di forze
150 152 153
4.12 4.13 4.14 5
Ener ci moto del del cEn energi trgia o adi cine mneti astica saca e moto Energia potenziale Conser Conserv vazion azionee dell’en dell’energia ergia meccanica Probl Problemi emi di m meccani eccanica ca dei sistemi Le leggi di Keplero Processi d’urto Urto normale centrale Esercizi di riepilogo
Me eccanica dei corpi rigidi M
Corpo girev girevole ole intorno intorno a un asse asse
fisso
155
elocit` a di propagazione propagazione ed 8.4 V equazione delle onde longitudinali 8.5 Trasporto d dii energia e intensit` intensit` a di un’onda
210 215 217
217 219 222 226 229
c
978.8808.42020.6
8.6
Ond Ondee llong ongitu itudin dinali ali sfe sferic riche he e onde trasversali
8.7 Sovrapposizio Sovrapposizione ne e interfere interferenza: nza: onde stazionarie 8.8 Ond Ondee com comple plesse sse.. V Veloc elocit` it` a di fase e velocit`a di gruppo 8.9 Principio di Huygens 8.10 Propagazione delle onde 8.11 Riflessione 8.12 Rifrazione 8.13 Fenomeni di diffrazione 8.14 Sorgen Sorgente te o ricevi ricevitore tore in moto. moto. Effetto Doppler 8.15 Suoni e ultrasuoni 8.16 Sorgent enti unidimensi nsionali 8.17 Sorgenti bidimensionali 8.18 Caratteri dei suoni 8.19 La voc ocee umana e l’orecc cchi hioo Esercizi di riepilogo 9 Ce Cenni di struttura atomica
99.2 .1 ITneoria troia dudi zioBohr ne eor per l’atomo l’atomo di idrogeno 9.3 Liv Livell ellii di ene energi rgiaa de degli gli ele elettr ttroni oni in un atomo Struttura dell’atomo. dell’atomo. Sistema 9.4 Struttura per periodico degli elementi 9.5 Forze fra atomi 9.6 Molecole e cristalli 10 Termologia
10.1 Introduzione 10.2 Temperat emperatura. ura. Pri Principio ncipio ze zero ro della termodinamica
230 232 234 236 237 237 239 241
11.5 Trasformazioni 11.6 La Lavor voroo in trasf trasforma ormazioni zioni reversibili 11.7 Calore ed energia. energia. Equivalen Equivalente te meccanico della caloria 11.8 Primo princi principio pio d della ella termodinamica. Principio di cons conser erv vazi zio one de dell ll’e ’ene nerrgia gia 11.9 11. 9 Cap Capaci acit` t` a termiche e calori specifici 11.10 Quantit` a di calore fornite a
vii
309 310 312 315 315 318
volume o a pressione costante.
Entalpia 319 242 11.11 Processi isotermi 321 247 11.12 Processi adiabatici 321 249 Esercizi di riepilogo 322 254 257 258 12 Stato gassoso, stato liquido e stato solido 323 261 12.1 Introduzione 323 263 12.2 Equaz Equazio ione ne di stat stato o per i ga gass 263 264
p erfettai in 12.3 Energi Energia interna terna di ga gass perfetti 12.4 Espress Espressione ione del primo principio principio
267
della termodinamica per i gas
271 273 277 281
281 282
1100..34 S le otm erem 228885 Tcearm troimetriche Espansione termica dei solidi solidi e 10.5 Espansione dei liquidi 290 10.6 Quan Quantit` tit` a di calore e calorimetria 293 10.7 Trasm rasmissio issione ne del calor calore. e. Convezione 296 10.8 Conduzione 296 10.9 Irraggiamento 299 Esercizi di riepilogo 302 11 Primo pr princ incipi ipio o del della la ter termodi modinam namica ica.. Conservazione dell’energia 303
11.1 Introduzione
Indice generale
303
11.2 Sistemi termodinamici 303 11.3 Equilibrio ter erm modi odina nam mico 304 11.4 Grandezze o variabili di stato. Equazioni di stato 306
perfetti 12.5 12.5 Trasf rasfor orma mazi zion onii di gas gas per perfet fetti ti 12.6 Teoria cinetica e modello dei dei gas perfetti 12.7 12.7 Pr Pres essi sion onee ne nell lla a te teor oria ia ci cine neti tica ca 12.8 Int Interpret erpretazio azione ne cine cinetica tica della temperatura 12.9 Distr Distribuzio ibuzione ne delle v velocit` elocit` a moleco mol ecola lari ri in sta stati ti di equ equili ilibri brio o 12.100 d 12.1 Legg Legge diziBolt Boltzmann dirgie istriebu buz one zmann delle ener ne 12.11 Limiti della statistica di Maxwell-Boltzmann 12.12 Calori specifici dei gas perfetti ed eq equi uipa part rtiz izio ione ne dell dell’e ’ener nergi gia a 12.13 Oscillatore armonico e rotatore libero nella meccanica quantistica 12.14 Teo eoria ria quan quanti tist stic ica a dei dei calor calorii specifici 12.15 Isoterme per i gas reali nel piano pressione-volume 12.16 Equazione di stato di Van der
323 327 329 330 330 333 334 334 335 33 337 7 340 341 341 341 344 346 348
Waals 350 12.17 St Stato ato liqu liquid ido o ed eq equa uazi zion onee di Van der Waals 355 12.18 12.1 8 Tensio ensione ne superfi superficiale ciale nei li liquidi quidi 357
viii Indice generale
12.19 Contatto di due fluidi con un terzo mezzo 12.20 Capillarit` a 12 12.2 .21 1 Ev Evap apor oraz azio ione ne ed ebo eboll lliz izio ione ne 12.22 Sublimazione 12.23 Umidit` a 12.24 12. 24 Sol Solidi idi cri crista stalli llini ni e co corpi rpi amo amorfi rfi 12.25 Equazioni di stato 12.26 Calori spec pecifici dei solidi 12.27 Fusione e solidifica cazzione 12.28 Liquidi a struttura quasi cristallina 12. 12.29 Ca Callori sp spec ecifi ifici ci ne neii liq iqui uidi di Esercizi di riepilogo 13 Secondo principio della termodinamica
13.1 13.2 13.3 13.4
Introduzione Macchine termiche Ciclo di Carnot Il ssecondo econdo princi principio pio
deelolaretmeramdoi dCinaarn moitca 13.5 T 13 13.6 .6 Tem Temper perat atur uraa te term rmod odin inam amic ica a 13.7 Zero assoluto assoluto e sua irraggiungi irraggiungi-bilit` a 13.8 Entropia 13. 13.9 Di Dissug ugua uag glia lianz nzaa di Cla Claus usiius 13.10 Entropia nei sistemi isolati. Processi irreversibili 13.11 Temperatura ed entropia come co copp ppia ia di varia iabi billi di sta stato
360 361 36 3622 366 366 36 3677 368 371 372
c
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13.12 Entropia e disordine 13.13 Entropia ed espressioni del primo e del secondo princi pri ncipio pio del della la ter termodi modinam namica ica 13.1 13.14 4 En Entr trop opia ia di un gas gas per perfe fett tto o 13.15 Entropia nei cambiamenti
403 40 405 5 407 407
di stato ed entropia di mescola-
mento 13.16 Il terzo principio della termodinamica Esercizi di riepilogo
408
409 414
374 376 14 Funzioni termodinamiche caratteristiche 417 377 14.1 Introduzione 417 14.2 Energia interna 417 379 14.3 Entalpia 419 14.4 Funzione di Helmholtz o energia energia 379 li liber bera a a tempe tempera ratu tura ra cost costan ante te 420 420 379 unzione di Gibbs Gibbs o ental entalpia pia 14.5 Funzione 380 libera 423 338864 15 Radiazione e materia 15.1 Introduzione 38 3899 15.2 Emissi Emissione, one, as assorbi sorbimen mento to e rifless rifl ession ionee di ener energia gia rag raggia giant ntee 391 15.3 Ra Rad diazione del cor corpo nero 392 399
425
401 Per il ripasso
467
402 Indice analitico
485
Solu luzi zion onii de degl glii es eser erci cizi zi di ri riep epil ilog ogo o So
425 42 425 5 430 434 43 4
APPROFONDIMENTI
Rilevazione dei dati cinematici Oscillator Oscilla toree non lineare. lineare. Frequenze Frequenze armoniche armoniche Fionda gravitazionale Relativ Rel ativit` it`a ris ristre tretta tta Conservazione del momento della quantit` a di moto Effetto giroscopico giroscopico Dinamica non lineare e caos deterministico Le strutture tensintegre Moti turbolenti Effetto Magnus Equazione delle onde di Schr¨ odinger odinger Risonanze Audiogramma normale Cristallografia temperatura temperat ura dell’univers dell’uterrestre niverso o ILa venti nell’atmosfera Cristalli liquidi Motore termoacustico Pressione Pressi one della radiazione radiazione Il quanto di radiazione
36 75 104 117 131 158 180 185 209 214 228 256 260 278 301 354 377 385 429 433
Prefazione
Argomenti di questo volume sono la meccanica e la termodinamica, come vengono ormai da lungo tempo insegnate nel primo dei due anni universitari in cui si suddivide la fisica classica, nei corsi di laurea ` fisica classica, in Scienze e in Ingegneria. E classica, quale si `e sviluppata sviluppata e consolidata ormai da pi` u di cent’anni, quando nuove conoscenze ne vennero ad ampliare i confini, modificandone nel profondo i contenuti. Sono, dunque, superati questi contenuti? Qual `e il senso di proporne
` opportuno continuare a insegnarli? l’apprendimento? E Per un certo verso la risposta r isposta `e immediata immedi ata e l’analogia l ’analogia che si propone prop one ne aiuta la compren comprensio sione: ne: come si potrebbe potrebbe suonare suonare un capricc capriccio io di Paganini al violino, se non si fosse in grado di fare una scala maggiore, diversificata diversifi cata magari da una minore? L’apprendimento L’apprendimento dev’essere necessariamente graduato per livelli di difficolt` a e di estensione estensione.. Sono quindi quindi di certo passaggi necessari quelli per acquisire le prime conoscenze, e in molti casi saranno anche i soli passaggi per gran parte delle persone che studieranno studieranno su questo questo testo. Si pu`o quindi ben presupporre presupporre di
programmare un corso ipotizzando di fermarsi a un livello intermedio di conoscenza della disciplina. Ci` o non risponde, tuttavia, alle domande che ci si `e p posti osti poc’anzi p oc’anzi e che si sintetizzano – una per tutte – nella prima: sono superati i confini della fisica classica? S`ı, ` e la risposta corretta: la fisica classica ` e stata superata da quella quantistica. Ma anche in questo caso un’analogia pu` o aiutare a individuare individuar e il senso di questo superamento s uperamento e, restando in ambito ambito musicale, musicale, si potrebbe pensare che ` e come se, al semplice semplice ascolto asco lto di un brano musicale, musicale, si aggiunge aggiungesse sse la vista dell’orch dell’orchestra estra:: si
scoprirebbe, allora, la presenza didegli un direttore chemagari governa modi, della distribuzione spaziale strumenti, di tempi un coroe muto mu to ecc. ecc. La music musica a che che genera genera la sensaz sensazion ionee `e la medesi medesima, ma, ma la conoscenza conoscenza della sorgente sorgente `e ben diversa. diversa. In un certo senso, senso, ` e la modalit` modal it` a del conosc conoscere ere che che muta muta per effetto effetto di una miglio migliore re e pi` u accurata accura ta capacit` capacit` a di indagine, indagine, la quale propone una diversa diversa ipotesi
della realt` aa.. La fisica quantisti quantistica ca propone una nuov nuova visione visione della realt` a a:: ` e l’ultima possibile, ci si pu` o chiedere? Non si pu` o dire, d ire, naturalme natur almente, nte, ed `e anche inutile chiederselo. Ognuna delle visioni possibili, infatti, descrive correttamente correttamen te la ‘realt` a’ a’ – che qui occorre opportunamente virgolettare – giacch´ e di essa non si pu` o dir nulla, in un certo senso nemmeno che esista esi sta:: noi la osserviam osserviamo o e la descrivi descriviamo amo per come ci appare appare e per p er ci` o che ci pu` o interessare. interessare. In questo senso, possiamo estendere questo questo concetto e dire che tutti abbiamo acquisito e possediamo una visione della realt`a e che tutti conosciamo una fisica, preclassica si potrebbe p otrebbe definire, quando afferriamo una palla al volo, quando modelliamo le labbra per emettere un fischio, quando soffiamo sulla minestra calda ` una modalit` per raffreddarla. raffreddarla. E a di conoscenza conoscenza quella che usiamo
x Prefazione
c
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per fare queste azioni, che possono apparire elementari e che peraltro richiederebbero un buon lavoro di calcolatore per trovare una soluzione all’inte all’i nterno rno della fisica classica. classica. Ci affidiamo affidiamo a una conoscenza conoscenza storica, prodotta da un allenamento continuo all’interazione col mondo esterno, per affrontarlo con una corretta consapevolezza del suo funzionamento,
con una intuitiva visione della realt`a. a. La scienza, scienza, quale la intendiamo intendiamo usualmente usualmente e come si `e costruita costruita nell’arco di pi` u secoli, precisa questo modello intuitivo e lo quantifica per poterlo p oterlo codificar c odificaree e trasmettere trasme ttere in modo obiettivo, obi ettivo, cio` ci o` e indip indipendente endente dall’individuo che lo usa. Questo processo `e costante costante e la scienza evolve estenden este ndendo do l’oggett l’oggetto o del suo studio studio a temi sempre nuovi nuovi.. Talvolta alvolta,, in questo processo appaiono iati di grande spessore che chiedono nuove interpretazioni interpret azioni di quanto fino ad allora a llora costruito: costru ito: ci` o `e avvenuto con l’introduzione l’int roduzione dei quanti quanti nella fisica quasi un secolo fa, cos` cos`ı che venne naturale chiamare quanto fin allora costruito con l’espressione di “fisica
classica”, quale viene riproposta in questo testo. Quanto sopra premesso motiva implicitamente sia il contenuto, sia la modalit` a di presentazione degli argomenti riportati: il contenuto, per ci` o che riguarda i limiti nella descrizione dei fenomeni, e la modalit`a, a, nel presentare presentare i sistemi sistemi fisici nella loro realt` a come compiutamen compiutamente te osservabili. Ci` o` e largamente sufficiente su fficiente per una descrizione descrizi one dei fenomeni feno meni pi` u di chedescrizione aderente adel quanto `e correntemente ed ` e stata l’unica via mondo reale fino alla osservabile, rivoluzione rivoluzione quantistica. quantis tica. Cos` Cos`ı si codific` o una serie di argomenti o capitoli della fisica, che ancora oggi sono universalme universalmente nte accettati: accettati: la meccanica – con la sua estensione estensione ai fluidi – e la termodinamica, quali sono presentate in questo libro; l’elettromagnetismo, con la sua estensione all’ottica, quali seguiranno in un secondo secondo volume. volume. Questa Questa seconda edizione senza discostarsi discostarsi per impostazione dalla precedente, ne modifica talune parti, selezionandone i conten contenut utii ed es este tend nden endo doli li su due due speci specific ficii fr fron onti: ti: gli gli es eser erci cizi zi e i
temi di avanguardia. Nel caso degli esercizi, si ` e posta particolare attenzione a proporre all’interno dei capitoli, inframmezzati ai paragrafi di riferimento, alcuni esercizi canonici, quasi capostipiti di una tipologia estesa, opportunamente descritti e risolti, nella loro formulazione analogica, priva di
dati numeri dati numerici. ci. Si suggerisc suggeriscee a ch chii studia studia di seguir seguirne ne il percorso percorso con attenzione e, ove fossero presenti nei corsi seguiti le esercitazioni scritte, di provare a vederne possibili variazioni, invertendo eventualmente i dati noti con quelli da ritrovare, cambiando il sistema fisico oggetto del problema nelle sue forme o dimensioni, moltiplicando o riducendo il numero numero degli oggetti oggetti o dei paramet parametri ri ecc. Si impara a risolv risolvere ere i problemi provando a costruirne di nuovi, quasi si dovessero preparare per una prova prova da assegnare assegnare ad altri. altri. Pe Perr aiut aiutare are chi studia a procedere procedere in questa direzione, `e riportata alla fine di quasi ogni capitolo capitolo una serie di problemi sugli argomenti di riferimento, le cui soluzioni sono
raggruppate insieme in fondo al libro. Nel caso dei temi d’avanguardia, questi sono variamente distribuiti tra i capitoli e separati graficamente; vertono su argomenti che si connettono a quelli del testo allargandone il contenuto, vuoi per applicazioni innovativ plicazioni innovative, e, vuoi per estensione estensione dei fenomeni fenomeni descritti. descritti. Essi sono pensati per collegare questa porzione di fisica classica, come pi` u sopra si ` e largamente descritto, a formulazioni o visioni nuove, delle
quali appare opportuno non ignorare oggi la conoscenza.
Me Mecc ccan anic ica a de deii flu fluid idii
7
7.1 INTR INTRODU ODUZION ZIONE E
Nel capitolo sulla meccanica dei corpi deformabili abbiamo accennato
alla notevole variet` a di caratteristiche che possono presentare quei sistemi che vanno sotto il nome di fluidi e come per la descrizione di molti aspetti del loro comportamento sia necessario tenere conto delle particolarit` a strutturali di ciascuno ciascuno di essi. Vi sono, peraltro, numerose numerose considerazioni, di validit` a generale, che si possono svolgere senza dover tenere conto delle accennate particolarit` a. Si tratteranno ora appunto a. questi aspetti del comportamento dei fluidi e si considereranno alcune
propriet` a che sono essenzialmente legate alla capacit`a di scorrimento che questi sistemi posseggono. In questo studio le grandezze di maggiore interesse che descrivono le propriet` a del fluido sono: la densit` a ρ e il coe coefficiente fficiente di viscosit viscosit` `a η . Si ` e gi`a visto come il coeffi coefficiente ciente di viscos viscosit` it`a venga introdot introdotto to per caratterizzare il comportamento dei fluidi sottoposti a sollecitazioni di scorrimento: scorrimento: la presenza della viscosit` a in un fluido introduce forze tangenziali fra strati in moto relativo e produce dissipazione di energia.
Essa `e quind quindii analog analoga, a, sotto alcuni aspetti aspetti,, all’at all’attrito trito fra solid solidii a contatto con tatto in moto relativo. relativo. In alcuni casi dinamici dinamici la prese presenza nza della viscosit` `e determina determinante nte perpu` l’andamento l’andame dei processi nonstatici, si pu` o, non tenerneaconto; in altri essa o esserento trascur trascurata. ata. Neiecasi statici poi,
essa non giuoca alcun ruolo. Per quanto riguarda la densit` a, si ricorda che i liquidi sono a, s ono molto poco compressibili, sicch´e di solito non si commette un grav gravee errore nel ritenerli incompressibil incompressibili, i, cio` e a densit` a costante, indipendente dalla
sollecitazione. Nel caso dei gas invec invecee la compressibilit` a `e elev elevata ata e, di solito, a variazioni di pressione non solo corrispondono notevoli variazioni del volume di una massa gassosa (grandi variazioni della densit` a), ma sono anche associati considerevoli effetti termici. In tal a), caso i problemi vengono trattati con considerazioni di tipo diverso da quelle che qui si intendono fare e che invece saranno svolte in termodinamica.. Vi sono tuttavia circostanze termodinamica circostanze nelle quali anch anchee le masse
gassose non subiscono sensibili variazioni di densit`a: a : ne nell caso, caso, per esempio, del volo in aria di un velivolo a velocit` a inferiore a quella del suono, il moto dell’aria rispetto alle ali del velivolo avviene in condizioni
che sono bene approssimate dall’ipotesi di densit` a costante, cio` e di incompressibilit` a del fluido. Questi casi possono essere inclusi nella trattazione che sar`a qui svolta.
I fluidi comprendono sia i liquidi sia i gas
210
Capitolo Capitolo 7. Meccanic Meccanica a dei fluidi fluidi
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` 7.10 0 EQU EQUAZI AZIONE ONE DI CONTINU CONTINUIT ITA 7.1
In condizioni di moto stazionario, la quantit`a di fluido contenuta entro una regione qualsiasi non varia. Se si considera una porzione di tubo di flusso, contenuta per esempio fra le sezioni 1 e 2 ( Fig. 7.22), e si suppone che le sezioni trasversali del tubo (S (S ) siano sufficientemente piccole s`ı da potere ritenere uniformi su ciascuna di esse esse ρ ρ e e v v,, la massa di fluido che entra nel volume in un secondo `e ρ1 v1 S 1 eguale a quella che lascia il volume nello stesso tempo ρ tempo ρ 2 v2 S 2 : (24)
ρ1 v1 S 1 = = ρ ρ 2 v2 S 2
` questa la equ E la equazi azione one di conti continuit` nuit`a per un tratto di tubo di flusso in condizioni stazionarie ed esprime il fatto che la massa del fluido deve essere conse conservata, rvata, non `e cio`e creata o distrutta distrutta.. Se il fluido `e incompressibile, come si pu`o ammettere siano i liquidi, ρ1 = ρ2 e quindi la (24) diviene:
Nel moto stazionario di un fluido non compressibile la portata ` e co cost stan ante te lungo un tubo di flusso
(25)
S 1 v1 = = S S 2 v2
Il prodotto Sv d`a il volu volume me di fluido che passa per p er una sezione del tubo di flusso in un secondo: esso prende il nome di portata portata (m3 /s). La (25) esprime che nel moto stazionario di un fluido la portata in un tubo di flus flusso so ` e costante. Da essa si deduce inoltre che le velocit` e a nelle varie sezioni di un tubo di flusso sono inversamente proporzionali alle sezioni. Nella raffigurazione quindi del moto stazionario di un fluido incompressibile mediante le linee di flusso (o di corrente), l`a dove le linee si infittiscono le velocit`a aumentano, mentre dove sono pi` u rade le vel velocit` ocit` a sono minori. 7.11 TEOREMA TEOREMA DEL LAVORO LAVORO E DELL’ENERGIA DELL’ENERGIA CINETICA PER FLUIDI IDEALI. EQUAZIONE DI BERNOULLI
L’applicazione del teorema del lavoro e dell’energia cinetica al caso
v1dt
p1 1
1
del moto diflusso un fluido (incompressibile privo di viscosit` a) stazionario a) in un tubo di o in ideale un condotto, fornisce la ecos` cos `ı detta equazione equaz ione di Berno Bernoulli ulli,, che ha un notevole interesse nella dinamica dei fluidi e dei liquidi in specie. Si consideri il fluido che a un certo istante istante t si trova a occupare lo spazio fra la sezione 1 (area S 1 ) e la sezione 2 (area S (area S 2 ) di un condotto o di un tubo di flusso (Fig. 7.22). Si suppone che le sezioni siano sufficientemente piccole in modo che si possa ammettere che in tutti i punti di una v dt sezione la velocit`a v , la pressione p e la quota z rispetto a un piano di riferimento abbiano gli stessi valori e si usino p gli indici indici 1 e 2 per le grandezz grandezzee nelle due sezion sezioni. i. In un 2 intervallo di tempo dt tempo dt il il fluido contenuto inizialmente fra le sezioni 1 e 2 si `e spostato s postato e all’istante (t (t + + dt dt)) esso si trova 2
z1
2
z2
Figura Fig ura 7.2 7.22 2
2
compreso fra le sezioni 1 e 2 che distano dalle originarie rispettivamente di di ds1 = = v v 1 dt dt e ds2 = = v v 2 dt dt.. Per il teorema del lavoro e dell’energia cinetica, il lavoro fatto nel tempo dt dalle dt dalle forze esterne che sollecitano la massa fluida deve essere uguale alla variazione di energia cinetica del sistema. Le forze che sollecitano
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7.11 Teorema Teorema del lavoro e dell’energia cinetica per fluidi ideali. Equazione di Bernoulli
211
lavoro dLg il sistema sono la forza di gravit`a e le forze di superficie. Il lavoro compiuto dalle forze di gravit` a, poich´e la massa fra le sezioni 1 e 2 a, resta invariata, `e pari a quello che si ha nel passaggio p assaggio della d ella massa dm = dm = ρS ρS 1 v1 dt dt = = ρS ρS 2 v2 dt dalla quota quota z1 alla alla z2 . Esso `e dato da: dLg = (z1 − z2 )g dm Il lavoro delle forze di superficie sar`a unicamente quello corrispondente alle sezioni terminali che, essendo le forze di pressione dirette verso l’interno del fluido, nelle due sezioni `e di segno contrario. Si ha quindi dL p = = S S 1 p1 v1 dt − S 2 p2 v2 dt dm = ( p1 − p2 ) ρ Analogamente, la va Analogamente, variazione riazione di energia cinetica `e quella che compete al passaggio di una massa massa dm dalla regione compresa fra le sezioni 1 e 1 dm dalla alla regione compresa fra le sezioni 2 e 2 , essendo quella relativa alla
massa tra le sezioni 1 e 2 rimasta invariata: 1 dT = dm dT dm((v22 − v12 ) 2 Il teorema del lavoro e dell’energia cinetica si scrive: dLg + + dL dL p = = dT dT dm 1 g(z1 − z2 )dm dm + + ( p1 − p2 ) = dm dm((v22 − v12 ) ρ 2
Il teorema di Bernoulli ` e un’applicazione del teorema del lavoro e dell’energia cinetica
da cui si ottiene: (26)
p1 v12 p2 v22 z1 + + = z2 + + ρg 2g ρg 2g
L’equazione di Bernoulli esprime il fatto che in ogni sezione del tubo di flu fluss ssoo `e p v2 (27) z + + = cost ρg 2g Si osservi osservi ch chee i tre termini termini hanno le dim dimensi ensioni oni di una lunghezz lunghezza. a. Il primo di essi d`a la quota del cent centro ro di massa della sezione rispetto a un piano di riferimento e prende il nome di altezza geometrica. geometrica. Il secondo d` a l’altezza di una colonna di liquido di densit`a ρ che determina ρ che una pressione pari alla pressione nella sezione, `e cio` e il dislivello che si determinerebbe per esempio in un manometro ad aria libera formato da un semplice tubo a U, collegato alla sezione in esame: esso prende il nome di altezza di altezza piezom piezometrica etrica.. Il terzo termine ha l’espressione della altezza alla quale giunge un grave lanciato verso l’alto con la velocit` a iniziale v , pari alla velocit`a delle particelle fluide nella sezione: esso `e iniziale chiamato altezza chiamato altezza di arresto. arresto. Il teorema di Bernoulli si pu`o esprimere dicendo che nel moto stazionario di un fluido ideale in un condotto, o lungo una qualsivoglia linea di corrente, si mantiene costante la somma delle altezze geometrica, piezometrica e d’arresto.
In un tubo di flusso ` e costante la somma delle tre altezze: geometrica, piezometrica e di arresto
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Capitolo Capitolo 7. Meccanic Meccanica a dei fluidi fluidi
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Consideriamo ora alcune applicazioni pratiche del teorema di Bernoulli. 1. Si consideri un grande serbatoio di liquido e un piccolo orifizio in prossimit` pross imit`a del fondo (Fig. 7.23). Le linee di flusso o di corrente del 1
h
liquido che fluisce si originano nel serbatoio presso la superficie libera: in altri termini si pu`o considerare un tubo di flusso che ha come sezione 1 la superficie libera e come sezione 2 una sezione nel liquido che ha superato l’orifizio. Si pu`o inoltre osservare che le linee di flusso escono dall’orifizio convergendo verso l’asse di questo: ci` o ha come conseguenza che la sezione della vena liquida z raggiunge ragg iunge dopo l’orifi l’orifizio zio una sezio sezione ne (con (contrat tratta) ta) pi` pi u` piccola della sezione sez ione dell’orifi dell’orifizio zio stesso. Il rap rapporto porto fra l’a l’area rea della sez sezione ione contratta e quella dell’orifizio dipende dalla forma dell’orifizio (si otteng ottengono ono facilme facilmente nte valori dell’o dell’ordine rdine di 0,6) e pu` o essere cambiato mediante l’aggiunta di tubi o flange. Essendo inoltre l’orifizio molto piccolo, l’abbassamento del livell liv ello o dell dell’ac ’acqua qua nel serb serbato atoio io `e mol molto to len lento to e quin quindi di in un intervallo di tempo non eccessivamente lungo il moto pu`o ritenersi stazionario. Applichiamo allora il teorema di Bernoulli 1
2
z2
Figura Fig ura 7.2 7.23 3
1. Alla sezione che coincide con la superficie libera nel serbatoio. 2. Alla sezione del tubo di flusso uscente dal serbatoio.
Dato che la prima sezione `e molto maggiore della seconda, la velocit` a v1 `e tanto piccola da potere p otere essere trascurata. La pressione inoltre nelle due sezioni `e uguale alla pressione atmosferica atmosferica p0 . Si ha allora p0 p0 1 v 2 z1 + = z 2 + + ρg ρg 2 g cio`e pe perr la l a velo velocit` cit`a di efflusso, ponendo h ponendo h = = z z 1 − z2
(28)
v =
2gh
Tale risultato, noto come teorema di Torricelli, stabilisce che la velocit`a di efflusso `e la stessa di quella che avrebbe avrebb e il liquido se cadesse liberamente dalla sezione 1 a quella 2, dalla quota z quota z 1 alla quota z quota z 2 . 2. Si consideri un liquido in moto stazionario lungo un tubo orizzontale (Fi Fig. g. 7. 7.24 24) la cui sezione viene gradualmente ridotta da un valore iniziale S 1 a un valore iniziale valore S 2 . Se si app applic lica a l’e l’equaz quazione ione di Ber Bernoul noulli li alle due sezioni che si trovano alla stessa quota (z ( z1 = z2 ):
p1
S 1
z1
p2
S 2
z2 v
v
1
2
1 1 p1 + ρv1 = = p p 2 + ρv2 2 2 Dall’eq Dal l’equazi uazione one di continu c ontinuit` it`a (24), `e v 2 > v1 e quindi p1 > p2 : la pressione di una corrente fluida aumenta con il diminuire della velocit`a. a. Questo effetto va sotto il nome di effetto Venturi: Venturi: esso viene viene utilizza utilizzato to in numerosi dispositivi per la misura della portata di correnti fluide in pressione entro tubi chiusi.
3. La Figura Figura 7.25a mostra l’andamento delle linee di flusso nelle Figura Fig ura 7.2 7.24 4
vicinanze di un’ala di aeroplano, o meglio di un suo modello, quale si pu`o ricav ricavare are da un’esperienza in un tunnel aerodinamico. Poich Poich´ ´e la forma dell’ala ha la superficie superiore con una curvatura maggiore
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7.11 Teorema Teorema del lavoro e dell’energia cinetica per fluidi ideali. Equazione di Bernoulli
di quella inferiore e un orlo posteriore acuto (Fig. 7.25a), la velocit`a dell’aria dell’a ria che lambisce la superficie superiore `e, e, rispetto all’ala all’ala,, per una notevole estensione dell’ala stessa, maggiore di quella dell’aria che passa al di sotto dell’al dell’ala a stessa, per cui la pression pressionee al di sotto `e maggiore e al di sopra minore di quella che si avrebbe nel fluido in assenza dell’ostacolo. La differenza fra queste due pressioni genera una forza verticale, detta detta portanza, portanza, che costituisce il sostegno alare. portanza
F resistenza
α
resistenza condizioni di stallo
a)
α
b)
Figura Fig ura 7.2 7.25 5
L’addensamento delle linee di flusso al di sopra dell’ala e la loro rarefazione al di sotto pu`o essere aumentata inclinando la parte posteriore dell’ala, variando cio`e l’angolo (di attacco) attacco) α fra la direzione del moto e quel quella la di una retta scelta scelta sul profilo profilo ala alare. re. Se tuttavia tuttavia l’angolo l’angolo di attacco diviene troppo grande, i filetti fluidi al di sopra dell’ala si rompono e si formano dei vort vortici. ici. Il moto non `e allora pi`u stazionario e il teorema di Bernoulli non pu`o pi` u essere applicato neanche per indicazioni qualitative. Quando si verificano queste condizioni la portanza diminuisce mentre aumenta la resistenza al moto: si dice che l’aereo entra in condizioni di stallo (Fig. 7.25b).
La differenza di pressione tra la superficie inferiore e quella superiore di un’ala ne determina la portanza
Esercizio 7.6 Un serbatoio cilindrico di grande diametro ` e fermo, po poggiato ggiato con una base su una superficie orizzontale. Al suo interno `e contenuta acqua la cui superficie liber l ibera a si trova ad altezza H rispetto al fondo del conte contenitore. nitore. Un piccolo piccolo foro circolare circolare,, con asse orizzontale, deve essere praticato sulla parete laterale del contenitore, ad altezza h dal fondo, affinch´e il getto d’ac d’acqua qua uscente dal foro tocchi tocchi la superfici superficie e orizzontale h e D D max trascurando alla massima distanza, Dmax , dal contenitor contenitore. e. Si deter determini mini h la viscosit` a dell’aria sull’acqua in caduta.
Poich´ Poich´ e il diametro del foro `e piccolo rispetto a quello del serbatoio, l’abbassamento del livello dell’acqua nel serbatoio `e molto lento; di conseguenza, in un intervallo temporale non eccessivamente, lungo la velocit`a di uscita dell’acqua dal foro, v foro, v,, pu` o considerarsi costante. Se si applica il teorema di Bernoulli alla sezione coincidente con la superficie libera dell’acqua e alla sezione del tubo di flusso uscente dal foro, si scriver` a (Fig. 7.26): v2 H = = h + 2g La velocit` a di uscita dell’acqua dal foro, diretta orizzontalmen orizzo ntalmente, te, `e allora a llora
v
H H hh
v =
2g (H − h)
Poich´ e il tempo di volo dell’a dell’acqua cqua `e t = 2h/g h/g,, l’acqua toccher` a la superficie orizzontale a una distanza dal contenitore pari
D (h) = vt = 2
(hH − h2 )
D
Figura Fig ura 7.2 7.26 6
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Capitolo Capitolo 7. Meccanic Meccanica a dei fluidi fluidi
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di D si ottiene imponendo Il valore massimo di D dD (h) =0 dh da cui si ricava h ricava h = = H/ H/2 2 e D max = H H .. Esercizio 7.7
F
v
V
D
Figura Fig ura 7.2 7.27 7
Una siringa di forma cilindrica dotata di stantuffo che pu` o scorrere senza se nza attr attrito, ito, ` e e disposta orizzontalmente e contiene un volume di acqua V . La siringa siringa possiede possiede un piccolo picc olo foro circolare circolare coassiale con lo stantuffo: l’are l’area a del la superficie del foro, A, ` e molto minore dell’are del l’area a della sup superficie erficie dello del lo stantuffo in con contatto tatto con l’acq l’acqua. ua. Si determini il lavoro che si deve compiere premendo lo stantuffo in direzione assiale con una forza costante, se si desidera espellere il volume V di acqua dal foro in un tempo t . (Si consideri trascurabile la viscosit` a dell’acqua.)
Indicando con Indicando con F F la la forza con cui viene premuto lo stantuffo e con h con h la lunghezza della colonna d’acqua presente nella siringa ( Fig.7.27), il lavoro per espellere il volume V volume V di acqua dal foro `e: e: L = = F F h Il teorema di Bernoulli applicato tra due punti posti alla stessa quota in prossimit`a del foro, uno all’interno della siringa e l’altro fuori, fornisce la relazione 2
F 1 = v S ρg 2 dove S e v rappresentano la superficie dello stantuffo a contatto con l’acqua e la dove velocit` velocit` a di uscita dell’acqua dal foro, rispetti rispettiva vament mente. e. La preced precedente ente relazione, tenendo presente che S che S h = = V V ,, pu` o essere scritta nella forma Fh 1 v2 = V ρg 2g da cui
ρV v 2 L = = F F h = 2 La velocit` a v si ricava dalla conservazione della massa d’acqua durante il processo di espul espulsione sione dalla sirin siringa: ga: ⇒
Avt = Avt = V V =
V v = At
e quindi 1 ρV 3 L = 2 t2 A2
EFFETTO MAGNUS Come si `e indicato nel testo, l’applicazione del teorema di
determina negli sport in cui si usi la palla, qual `e la palla determina Bernoulli a casi di correnti fluide di quotidiana esperienza ‘tagliata’ nel tennis e negli sport che usino racchette, o d` a luogo a effetti vistosi di forze nascenti sugli oggetti nei tiri da calci di punizione o d’angolo nel calcio, o nei pallavolo o pallanuoto. Il fenomeno va sotto il immersi, dovuti alle variazioni di pressione che si suscitano colpi della pallavolo in regioni in cui `e diversa la velocit` a del fluido. Per i casi nome di effetto Magnus e pu` o aver luogo solo se il fluido indicati `e inessenzia inessenziale le indicar indicaree se il fluido scorre rispetto al interessat interessato o ha caratterist caratteristiche iche di d i vischiosit` vi schiosit`a. a. corpo o se questo ` e in moto traslatorio rispetto al fluido. Per una migliore comprensione del fenomeno, si consideri Un fenomeno nuovo, invece invece,, anch’es anch’esso so interpretabile interpretabile in il caso schematico di un corpo cilindrico sufficientemente base alle variazioni di pressione derivanti da variazioni di lungo da potere cos cos` `ı ridurre il fenomeno a un caso ca so bidimenvelocit` a del fluido, si ha quando oltre al moto traslato traslatorio rio sionale, qual ` e rappresentato nella Figura 7.28a. Il cilindro relativo tra fluido e i corpi immessi, questi siano anche in ruoti attorno al proprio asse e sia immerso in un fluido in `
rotazione su se stessi. E questo il caso ben noto che si
moto con componenti della velocit velocita a normali all asse.
Esercizi di riepilogo
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La presenza del cilindro, come c ome si `e visto nel testo per il caso dell’ala, produce un campo di linee di flusso che avvolgono il cilindro, in modo totalmente simmetrico rispetto al piano y =0 nel caso in cui il cilindro non stia ruotando, e in modo
Sul cilindro si esercita, quindi, una forza netta in direzione
asimmetrico asimmetr ico se ruota. In questo secondo caso, infatti, la
valore di detta forza `e propor proporzionale zionale al prodotto della velocit`a indisturbata del flusso e della velocit`a di rotazione del
vischiosit`a del fluido fa s`ı che sulla superficie del cilindro si formi uno strato – cos cos` `ı detto ‘strato limite’ – che aderisce completamente alla superficie, assumendo la stessa velocit`a
normale sia all’asse del cilindro, sia alla direzione della ve-
locit` a del flusso indisturbato e diretta dalla parte del flusso con velocit` a discorde verso quella a velocit` a concorde. Il
cilindro. Nei casi sopra citati di una palla che si muova nell’aria e
di questa. Strati di fluido via via pi`u distanti dalla superficie tendono ad annullare questo effetto di trascinamento, per
che sia stata nel contempo messa in rotazione da un colpo iniziale, della racchetta o altro, si perde la schematizzazio-
ridursi a distanza teoricamente infinita alla stessa velocit` v elocit`a
ne del cilindro di lunghezza infinita sopra descritto, ma ` e
che avrebbero per il caso del cilindro non rotante.
ancora presente l’effetto di generazione di una forza trasversa al moto moto.. Un ulterior ulteriore e caso in cui si evi evidenz denzia ia l’effetto l’effetto in question questione e ` e quello della stabiliz stabilizzazione zazione di una pallina posta su un getto d’acqua o di aria emesso verticalmente
y
verso l’alto: l’alto: si nota che quando una picco piccola la perturbazione perturbazione prodotta dall’esterno sulla pallina provochi lo spostamento
v
di questa dalla sua posizione centrata sull’asse del flusso, la pallina ritorna alla posizione centrale sospinta da una
x
forza, che appare come forza di richiamo verso la posizione di equilibrio. In tale caso, a quanto finora indicato nel caso
→
F (a)
della palla tagliata, si aggiunge anche la presenza di una
(b)
forza di resistenza del mezzo (sempre dovuta alla vischios vischiosit` it` a del fluido) che, come tale, ha direzione e verso della velocit`a
Figura 7.28
d’insieme del fluido, ovvero contraria alla velocit` a relativa In tal modo, dalla parte dove la velocit` a della superficie in rotazione ` e concorde con quella del fluido, la velocit` a di scor scorrimento rimento ` e maggio maggiore re di quella che si ha dalla parte opposta e minore sar`a, a, pertanto, la pressione ( Fig. 7.28b).
del corpo rispetto al fluido: tale forza, verticale verso l’alto, equilibra la forza peso annullando le componenti verticale
della risultante. La componente orizzontale `e responsabile del richiamo della pallina alla posizione di equilibrio.
ESERCIZI DI RIEPILOGO 7.1 Un conten contenito itore re di massa massa M M con all’in all’interno terno un
superficie dell’acqua galleggia un corpo parzialmente litro d’acqua `e posto sopra il piano orizzo orizzontal ntalee di una immerso, essendo V I I il volume volume immerso immerso.. Una massa massa bilancia. bilanci a. Nell’ac Nell’acqua qua `e immer immerso, so, trami tramite te un filo ine- M = 0 0,,5 kg kg viene viene successivamente posata sopra il corpo stensibile e privo di massa attaccato a una molla idea- parzialmente immerso: il sistema dei due corpi continua le di cos costan tante te ela elasti stica ca k, un bl bloc occche hett tto o di fe ferr rro o di a galleggiare e il volume immerso `e V I = 1,015 015V V I I . Si massa m. Si determin determinii l’a l’allun llungam gamen ento to della molla molla e determini determini V V I I . il peso peso,, espr espress esso o in kilo kilogra grammi mmi,, indi indicat cato o dall dalla a bil bilanancia. (M = 2 kg kg,, m = 0,5 kg kg,, k = 100 Nm 1 , recipientee cilindrico cilindrico di sezione sezione A A = 800 cm2 , rapporto tra la densit` a dell’acqua e quella del ferro: 7.3 Un recipient poggiato su un piano orizzontale, contiene dell’acqua ρA /ρF = 0,126.) sino a un’al un’altezza tezza h h = = 3 3 cm cm.. Se vi s’immerge un cubo di densit` a ρ corpo = = 85 850 0 kg m 3 e di lato L lato L eguale al raggio /////////////////// R della sezione del recipiente cilindrico, si chiede quale sia la pressione p pressione p che questo corpo esercita sul fondo del recipiente. (Si noti che R che R < h.) h .)
−
−
m
7.4 Una sfera di raggio raggio R R = = 5 5 cm cm fatta fatta di legno (den-
si t`a le sit` legn gno o ρ = 0 0,,5 g cm 3 ) contiene al suo interno una cavit` a completamente riempita di un materiale aven avente te dens de nsit it` ` a ρc = ρ /5. Se la sfera sfera viene viene immer immersa sa in un contenito cont enitore re di forma cilindrica, cilindrica, di sezion sezionee A = = 100 100 cm2 , contenente acqua e appoggiato su di un piano orizzontale, si nota che l’acqua nel contenitore si innalza di a ∆h = 2 cm cm.. Si chie chiede de il volum volumee della della 7.2 Un contenitore cilindrico contenente acqua ` e po- una quantit` −
sato su una superficie orizzontale. orizzontale. Inizia Inizialmen lmente te sulla
cavita. cavit a.
216
Capitolo Capitolo 7. Meccanic Meccanica a dei fluidi fluidi
7.5 Un corpo a forma forma di cilindro cilindro retto retto fatto fatto di ra-
me avente massa m massa m `e tenuto immerso, tramite un filo inestensibile e privo di massa diretto lungo la direzione dell’asse del cilindro, in un contenitore pieno di acqua. Si determini la tensione del filo per le seguenti due condizioni: a) cilindro completamen completamente te imme immerso rso con la superficie di base superiore coincidente con il pelo libero dell’acqua; b) cilindr cilindro o immer immerso so per met` a nell’ac nell’acqua. qua. (m = 1 kg kg,,
c 978.8808.42020.6
po cilindrico, trascurando i possibili effetti dell’attrito vischioso. 7.9 Un serbatoio serbatoio cilindric cilindrico o di sezione sezione A = 4,5 m2 e
altezza h = 1 altezza 1,,5 m con uno sfiato sulla superficie superiore, colmo d’acqua, d’acqu a, `e p oggiato sul su l piano pian o orizzontale di un trattore. Sulla parete, in corrispondenza del fon-
3
−
densit` a del rame rame ρ ρ Cu = 8,9 g cm
.)
7.6 Un sottile sottile tubo a forma forma di cilindro cilindro retto retto lungo lungo
= 2 ag li estremi es tremi con delle membrane che l = 2,,0 m `e chiuso agli si rompono se sottoposte a una pressione superiore a pmax = 4 × 104 Pa Pa.. Il tubo, completament completamentee riempito riempito d’acqua, viene posto in rotazione con velocit`a angolare costante ω attorno a un asse verticale passante per il centro di una delle due basi e giacente su questa. Si determini la velocit` a angolare massima con cui il tubo pu`o ruotare senza che si rompano le membrane di chiusura.
do delpraticato serbatoioun e nella al trattore, viene foro posizione di sezioneposteriore assai pi` u piccola dell’area A. Si chied chiedee quale quale sia la ve veloc locit it` a V ` V di uscita dell’acqua dal foro quando il trattore sia fermo o sia in moto con accelerazione a = 2,5 m s 2 nel verso di marcia avanti. −
7.10 Un tubo di lunghezza lunghezza L L = = 1 1,,5 m posto in posizio-
D = 2 cm cm posto mare vi `e un foro circolare di diametro diametro D = 2 posto
ne verticale `e chiuso all’estremit`a inferiore da un pistone, da considerarsi privo di massa, a tenuta scorrevole senza attrito e all’estremo superiore da una membrana recante un piccolo foro al centro, di area sensibilmente pi`u piccola di quella della sezione del tubo. Dopo aver riempito completamente con acqua il tubo tra le due basi estreme, si esercita dall’esterno sul pistone una pressione, senza so-
a profondit` a h = = 1 1 m pelo libero dell’acqua. Siuna determini la forza con la sotto quale,ildall’interno dello scafo, occorre premere il palmo di una mano contro il foro per impedire che l’acqua entri nell’imbarcazione. (Densit` a dell’acqua dell’ acqua di mare mare ρ ρ = 1,03 gcm 3 .)
stanzialmente muovere il pistone, tale fare uscire l’acqua dal foro all’estremit` a superiore conda uno zampillo che si eleva di un tratto h tratto h = = 2 2,,5 m al di sopra della membrana. Si chiede quale sia la pressione con cui viene forzato il pistone.
7.8 Un cilindro cilindro omoge omogeneo neo di legno legno di densit` densit` a ρ =
7.11 Un recipien recipiente te di forma cubica cubica di lato L pri-
7.7 Sullo scafo di un’imbarcazione un’imbarcazione in navigazione navigazione sul
−
3
−
350 kgm , di altezza h = 60 cm `e tenuto sosp sospeso eso con la base inferiore a contatto con la superficie libera dell’acqua contenuta contenuta in un recipie recipiente nte.. Rilasci Rilasciando ando libero il corpo, questo scende parzialmente nell’acqua e inizia a oscillare attorno alla posizione di equilibrio; si chiede quale profondit` a massima d al di sotto della supe superfic rficie ie liber libera a rag raggiun giunga ga la base libera del cor cor--
vo della copertura superiore `e montato sul piano orizzontal zon talee di un aut autov oveic eicolo olo ch chee si mu muov ovee con acc accele elerarazione costan costante te a su su un una a st stra rada da in pi pian anur ura. a. A vei ei-colo col o fer fermo mo la super superfici ficiee libe libera ra `e ori orizzo zzont ntale ale a 3/4L di alt altez ezza za.. Si chie hiede de il val alor oree ma mass ssim imo o de dell ll’a ’acc ccel eleerazionee consen razion consentito tito affinc affinch´ h´ e l’acqua non debordi dal recipiente.
Soluzioni degli esercizi di riepilogo
CAPITOL CAP ITOLO O 1 1.1
Rispetto a un un sistema di riferimento riferimento con origine nel punto di lancio con l’asse x diretto orizzontalmente, le coordinate del punto P di caduta della massa puntiforme
d2 dt
= 0 ⇒ 2v12 t¯ − 2v1 d1 + 2v 2 v22 t¯ − 2v2 d2 = 0 ¯ t=t
v1 d1 + + v v2 d2 ⇒ t¯ = 2 v1 + + v v22
sono: xp = d cos α e y p = −d sin α. 1.3
y
Se Se ω ω `e la velo velocit cit` ` angolare del punto, allora a dω 1 = γ ⇒ ω (t) = ct2 dt 2
v
0 α
O
x P
α
d
Le leggi orarie del moto della massa lungo l’asse x e y si
Indicando Indicand o con at e an l’accelerazi l’accelerazione one tangen tangenziale ziale e
normale del punto, rispettivamente, si ha: dv 1 at (t) = = γ r = = ctr ctr e an (t) = ω 2 r = c2 t4 r dt 4
scrivono come:
θ
a
x(t) = v 0 cos α t y(t) = v 0 sin α t −
1 2 gt 2
v a t
a n
Indicando con t con t il tempo di volo della massa si ha:
1.2
d x(t) = x p ⇒ v0 cos α t = = d d cos α ⇒ t = v0 1 2 y (t) = yp ⇒ v0 sin α t − gt = −d sin α 2 2 4v0 sin α ⇒ d = g Con riferimento riferimento alla figura figura seguente, seguente, le leggi orarie orarie
del moto dei due punti sono: x1 (t) = d 1 − v1 t e y2 (t) = −d2 + + v v2 t
dove r e ` il raggio della traiettoria circolare. Se t¯ ` e l’istante nel quale il vettore accelerazione forma un angolo
ϑ = 30 con il vettore velocit` a, allora: a, ◦
1 2 ¯4 c t r an (t¯) tan30 = at (t¯) = 4 ctr t¯r
4tan30 4 tan30 c 6s ◦
3
◦
⇒ t¯ =
1.4
Detta v0 la velocit` a di lancio della massa puntiforme B , indicando con t l’istante nel quale le due masse si trovano alla stessa quota d e riferendo il moto delle due masse a un asse y avente direzione e verso di v0 , la condizione sui moduli delle velocit` a dei due punti
Se Se `e la distanza tra i due punti, allora:
implica
2 (t) = x 21 + y22 = d 21 + v12 t2 − 2v1 d1 t + d22 + v22 t2 − 2v2 d2 t
|vB (t)| = 3|vA(t)|
Nell’istante t¯ in cui ` e minima , ` e minima anche 2 ;
D’altra parte deve essere y essere y A (t) = y B (t), e quindi
⇒ v0 − gt gt = = 3gt ⇒ v0 = 4gt
quindi: y
1 2 1 2 1 2 h− gt = v 0 t− gt ⇒ h = = v v 0 t = 4gt ⇒ t = 2 2 2
d1 P 1
O d2 v
2
P
v
1
x
h g
Poiich Po ch´ ´e y B (t) = d d si si ha 1 2 1 2 7 2 2 v0 t − gt = d ⇒ 4gt − gt = d ⇒ d = gt 2 2 2
2
e sostituendo l’espressione di t di t si ottiene d ottiene d = = 7/8h.
452
Soluzioni degli esercizi di riepilogo
l’allung amento dell’as l’allungamento dell’asta ta `e ∆L =
δ (dz ) =
0
978.8808.42020.6
in cui cui T T `e lo sforzo di taglio, pari a
L
c
1 2 1 ρL g + ω2 L 2 3
T = T
τ τ cos α = 2 2 a a
L +L(h(h 2
−
d)2
e γ = l/h la deformazione di scorrimento. scorrimento. Si ha pertanto:
Indica Indicando ndo con con L ed L la lunghezza della fune senza e con la massa m massa m,, rispettivamente, allora 6.3
G =
T τ = 2 γ a
LF = 2L = L cos α
Dalla definizione del modulo di Young `e: e: E =
=
2T L mg = S LF − L S sin S sin α
Le variazi variazioni oni di lunghezza lunghezza della sezione sezione di rame della sbarra (∆L (∆LCu ) e di quella di alluminio (∆L (∆LAl ), separatamente, sono 6.7
L − L cos α
=
∆LAl =
F ∆L = ∆LCu + ∆L ∆ LAl = L A
L F E Al Al A
1
E Cu Cu
1 + E Al Al
si ricava
−2
E Al Al = α
L F e E Cu Cu A
∆LCu =
Dalla variazione totale della lunghezza
L
mg cot α = 1,3 × 109 N m S 1 − cos α
−2
Inoltre, se se T T ` `e la tensione della fune, l’equilibrio della massa m richiede che per le forze su di essa agenti nella direzione verticale sia mg mg − 2T sin sin α = 0 ⇒ 2T T = sin α
L h = 5,27 × 106 N m 2 l L + (h (h − d) 2
LF E Cu Cu ∆LAE Cu
α
= 68 × 109 N m − LF
−2
T g
T
m
CAPITOLO 7
Il coefficiente co efficiente di compressibilit`a volumica K K di un corpo omogeneo `e legato alle vari variazioni azioni relative di volume da ∆V p =− V K essendo p la pressione esterna; poi anche al modulo di essendo Young E e Young e al coefficiente di Poisson µ dalla 6.4
K =
7.1
La seconda seconda legge legge della dinam dinamica ica applicata applicata al blocchetto di ferro e proiettata lungo un asse y diretto verso il basso, tenuto conto che il filo `e inestensibile e privo di
massa, si scrive: mg − k ∆x − S = 0
E 3(1 − 2µ)
dove ∆x ∆x e S S rappresentano rappresentano l’allungamento della molla e la spinta di Archimede, rispettivamente. Se si indica Poich´ e nel caso in oggetto si pu` o porre ∆V /V = 3∆L/L, con con V V il il volume del blocchetto di ferro, allora si ha ha K = pL/ pL/3∆ 3∆L L e, quindi, S = ρ A V g = mg ρA (1 − 2µ)L ρF E = = 3(1 − 2µ)K = ρgh ρgh = = 9,41 × 109 N m 2 ∆L In conclusione: −
mg ∆x = k
6.5
∆V ∆L 1 F =3 =3 V L E L2 Quindi
1−
ρA ρF
4,3 cm
Se si indica con m A = 1 kg la massa dell’acqua, conside-
L =
3F V
E ∆V
= 16 cm
rando la reazione per il terzo principio della dinamica alla spinta di Archimede, la forza con cui il fondo del contenitore preme sul piatto della bilancia `e: e:
La deformazio deformazione ne di un parallelep parallelepipedo ipedo per una sollecitazione di scorrimento `e regolata dalla legge 6.6
γ = =
T G
F = (M + F + mA )g + S 30 N = 3,06 kg 7.2
Indicand Indicando o con con m la massa del corpo inizialmente
galleggiante sulla superficie dell’acqua e con ρ con ρ A la denτ
h
sit` a di quest’ultima, le condizioni di equilibrio richiedono
α α
L
che: d
mg mg = = ρ V g A
I I
senza massa massa M M
(M + + m)g ρ A V I g con la massa M massa M
O MECCANICA DEI FLUIDI S S Fluidi: permettono lo scorrimento continuo e reciproco tra parti: liquidi e gas. A Liquidi perfetti: viscosita` nulla e incomprimibilita.` Gas perfetti: seguono l’equazione di stato pV stato pV = nRT . P I R L I R E P
Nei fluidi perfetti nonione ci possono essere quiete, questa condizione condiz `e soddisf so ddisfatta). atta).sforzi di taglio, ma solamente forze di compressione (in La pr pres essi sion one e p = dF/dS in un pun untto di un flu fluid idoo no non n di dipe pen nde da dallla gia iaccit itur uraa dell llaa sup uper erfic ficiie
considerata. Tipi di forza Forze di volume: in ogni punto sono proporzionali al volumetto (masserella) (masserella) su cui agiscono agis cono
(gravitazionali, peso, inerziali ecc.). Forze di superficie: in ogni punto sono proporzionali all’area su cui agiscono (dF ). (dF = pdS ). Condizioni di equilibrio a . In assenza di forze di volume: p volume: p ` ` e la stes s tessa, sa, ovunq ovunque ue nel ne l fluido; flui do; b . In presenza di f orze d i volume, con densita ` dF/dV :
grad p grad p = = d dF/dV (equazione della statica dei fluidi . ) una var una aria iazi zion onee ∆ p prodotta in un punto si risente inalterata in ogni altro punto di un fluido in quiete.
Teorema di Pascal:
Pression Pres sione e idro idrostati statica ca: per f orze di volume dovute alla gravita `, `e d F/dV =ρ =ρg e si ha
p = p = p p0 + ρgz (legge di Stevino) Le superfici equipotenziali sono anche isobariche. Pression Pres sione e atmo atmosfer sferica ica, dovuta alla alla forza peso dell’atmos dell’atmosfera fera sulla sulla superficie superficie terrestre: terrestre: ` e pari
alla pressione idrostatica di 760 mm di Hg (esperienza e barometro di Torricelli). Teorema di Archimede :
la ri risu sult ltan ante te de dell llee for orze ze di pr pres essi sioone su sull llaa sup uper erfic ficie ie di un co corp rpoo im im--
merso in un fluido pesante p esante e` verticale, diretta verso l’alto e pari al peso p eso del fluido spostato. sp ostato. Dina Di nami mica ca de deii flu fluid idii Linea di flusso: linea avente tangenti in ogni punto le velo cita ` delle particelle. Linea di corrente: traiett traiettoria oria di una particell particella. a. Fluido stazionario:
campo delle velocita` costante nel tempo (le linee di flusso coincidono con
le linee di corrente). Tubo di flusso: l’insieme delle linee di flusso passanti per una linea chiusa. Teorema di Bernoulli (pe (perr flu fluid idii in inco comp mpri rimi mibi bili li,, no non n vi visc schi hios osi) i):: ne nell mo moto to st staz azio iona nari rio, o, in og ogni ni
punto di una un a linea li nea di d i flusso flus so `e: e: v2 p + + + z = cost 2g ρg (laa som (l omm ma dell dellee al alte tezz zzee di arresto, piezometrica e geometrica `e cos costan tante) te).. Applicazioni: tubo di Venturi, tubo di Pitot, ala ecc. Tipi di moto : laminare e turbolento.
O S S A P I R L I
ONDE IN MEZZI ELASTICI
La propagazione del moto oscilla o scillatorio torio della del la materia materi a `e dovuta al legame leg ame (interazione) (intera zione) tra tr a le particelle costituenti. Le onde si propagano con velocita` finita.
Tipi di onda per polarizzazione longitudinali , con A k ; trasversali , con A ⊥ k (due diverse polarizzazioni); per geometria del fronte d’onda: piane , sferiche , cilindriche ecc.; ecc.; per composizione spettrale: monocromatiche (sinusoidali), (sinusoidali), complesse (con (con spettro s pettro continuo). ∂ 2 ξ ∂ 2 ξ 2 Eq Equa uazi zion one e dell delle e on onde de: = c ∂t 2 ∂x 2
con c = con c = cost. elastica/ elastica/den s ita` , velocit`a di propagazione: dall’equaz dall’equazione ione del moto per una masserella masser ella (F = ma), piu ` l’equazione costitutiva del m ezzo (eq. di stato, elasti cit`a ecc.). Soluzione generale: ξ (x, t) = f = f (x ± ct ct)) con con f f generica. generica.
Grandezze della propagazione
Spostamento: ξ (x, t). di ξ ). ). Ampiezza: A (valore massimo di ξ Lunghezza d’onda: λ (periodicit a` spaziale). Periodo: T (periodicita` temporale). Numero
d’onde: k = 2π/λ π/λ..
Pulsazione: ω = 2π/T π/T .. Frequenza: ν = ω/ = ω/22π = 1/T . = ρc ρc((ωA ωA)) (flusso di energia p er unita` di tempo e p er unita` di area). Intensita`: J = Velocita` di fase: c = = ω/k ω/k.. 1
2
2
Velocita` di gruppo: v = = dω/dk dω/dk.. Fronte d’onda: ogni superfici superficiee luogo di punt puntii equifa equifase. se.
Raggio: una linea che sia ortogonale in ogni punto a fronti d’onda. Principio di Huygens-Fresnel: un fronte d’onda si costruisce per inviluppo di fronti d’on-
da elementari emessi da tutti i punti di un fronte d’onda precedente, con dipendenza ango lare dell’ampiezza, e raggi pari al tempo di ritardo per la ve velo loci cit` t`a locale di fase.
Fenomeni propri della propagazione per onda
Riflessione : all’interfaccia tra due mezzi diversi: i diversi: i = = r r.. Rifrazione : all’interfaccia tra due mezzi diversi: sin i/ sin r = = v v /v . Diffrazione: oltre ostacoli di dimensione D dimensione D λ . 1
2
Effetto Doppler: variazione della frequenza udita da un osservatore rispetto a quella emessa
dalla sorgente se vi `e moto relat relativo: ivo: ∆f /f = v/c = v/c..
Ond Onda a
stazio sta ziona naria ria: somma di onde progressive propagantisi in verso opposto, con nodi e ventri
di pressione e di spostamento.
Risonanza: eccitazione di onde stazionarie condizionata da vincoli geometrici o fisici della della strut struttura. tura.
Suoni: udibili dall’orecchio 10 < 10 < f f ; ultrasuoni f ultrasuoni f > 20 > 20 Hz.
.
R E P
Or Orecc ecchi hio o
umano uma no: audiogramma normale, con cam po di f requenze e intensita ` udibili.
Daniele Sette, Adriano Alippi, Andrea Bettucci
Lezioni di Fisica 1 Meccanica • Termodinamica
Seconda edizione
Del corso di Fisica noto da decenni come Il Sette, Sette, Lezioni di Fisica 1 è 1 è la prima parte, dedicata alla Meccanica e alla Termodinamica, a essere rinnovata. La revisione dei programmi ha comportato la scelta di contenuti più essenziali rispetto all’edizione di partenza, ma è stata anche l’occasione per introdurre cambiamenti significativi su due fronti: gli esercizi e i temi di avanguardia. avanguardia. All’interno dei capitoli, in corrispondenza dei paragrafi di riferimento, sono stati proposti esercizi canonici, svolti passo passo nella loro formulazione analogica, cioè priva di dati numerici. In questo modo, chi studia può provare a vederne possibili variazioni, sostituendo i dati noti con quelli da trovare, variando il sistema fisico
nelle sue forme o dimensioni, moltiplicando o riducendo il numero degli oggetti o dei parametri. Quasi ogni capitolo, inoltre, presenta una sezione finale di Esercizi di riepilogo,, con problemi sugli argoment riepilogo argomentii di riferimento, riferimento, le cui soluzioni sono raggruppate in fondo al libro. I temi di avanguardia sono distribuiti lungo i capitoli e si connettono agli argomenti esposti allargandone il contenuto nella direzione delle applicazioni innovative o dell’estensione dell’est ensione dei fenomeni descritti. Sono pensati per collegare questa porzione di Fisica classica, la cui evoluzione è in un certo senso terminata quasi un secolo fa con l’introduzione dei quanti, a formulazioni e visioni nuove.
Sette (1918-2013) è stato professore ordinario Daniele Sette (1918-2013) di Fisica alla Sapienza Università di Roma. Adriano Alippi è Alippi è stato professore ordinario di Fisica alla Sapienza Università di Roma fino al 2011. Andrea Bettucci Bettucci è professore associato di Fisica alla Sapienza Università di Roma.
Le risorse multimediali online.universita.zanichelli.it/sette-fisica1 A questo indirizzo indirizzo sono disponibili le risorse multimediali di complemento al libro. Per accedere alle risorse protette è necessario registrarsi su my.zanichelli.it inserendo my.zanichelli.it inserendo il codice di attivazione personale contenuto nel libro.
Libro con ebook Chi acquista il libro può scaricare gratuitamente l’l’ebook ebook,, seguendo le istruzioni presenti nel sito. L’ebook si legge con l’applicazione Booktab Z, Z, che si scarica gratis da App Store (sistemi operativi Apple) o da Google Play (sistemi operativi Android).
SETTE*LEZIONI FISICA 1 2ED
LUM
ISBN 978-88-08-42020-6
9 788808 420206
