Lezioni Di Elettrotecnica

January 15, 2018 | Author: Angelo Giuseppe Spinosa | Category: Magnetic Field, Magnetization, Electric Field, Electric Current, Electromagnetic Field
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Appunti per il corso di Elettrotecnica...

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LEZIONI DI ELETTROTECNICA Giovanni Miano Università di Napoli FEDERICO II

ii

LEZIONI DI ELETTROTECNICA Giovanni Miano Università di Napoli FEDERICO II

Nate dalle dispense del Corso di Elettrotecnica, in uso da alcuni anni presso la Facoltà di Ingegneria dell’Università di Napoli Federico II, queste Lezioni partono dai princìpi di base dell’Elettromagnetismo e portano l’allievo a scoprire prima il modello circuitale e poi le tecniche impiegate nell’analisi e nella progettazione dei circuiti. La teoria dei circuiti costituisce, oltre che un occasione per conoscere metodologie e tecniche tipicamente ingegneristiche per lo studio di problemi complessi, anche il momento per l’apprendimento di alcuni strumenti matematici indispensabili per comprendere e progettare, nei vari campi applicativi dell’elettronica e delle telecomunicazioni, dispositivi e circuiti elettronici per la comunicazione e l’elaborazione del segnale, sistemi di controllo e di potenza e circuiti a microonde.

Giovanni Miano è professore ordinario di Elettrotecnica presso la Facoltà di Ingegneria dell'Università di Napoli Federico II.

Napoli 10 aprile 2001

iii

Indice Prefazione

ix

CAPITOLO 0: LE LEGGI DELL'ELETTROMAGNETISMO 0.1

Le sorgenti del campo elettromagnetico

1

0.2

Le leggi dell'elettromagnetismo nel vuoto

4

0.2.1 Le Leggi di Maxwell in forma integrale

5

0.2.2 Le Leggi di Maxwell in forma locale

6

0.3

Le leggi dell'elettromagnetismo nei mezzi materiali

8

0.4

Equazioni di Maxwell in regime stazionario

13

0.4.1 Proprietà del modello stazionario

13

0.4.2 Modello della conduzione stazionaria

15

0.4.3 Modello dell'elettrostatica

15

0.4.4 Modello del campo magnetico stazionario

16

0.4.5 Modello del campo magnetostatico

16

Approssimazioni quasi-stazionarie delle Equazioni di Maxwell

17

0.5.1 Modello quasi-stazionario elettrico

19

0.5.2 Modello quasi-stazionario magnetico

20

0.5

CAPITOLO 1: IL MODELLO CIRCUITALE 1.1

Introduzione

23

1.2

Interazione tra i componenti: un modello di campo approssimato

25

1.3

Corrente elettrica nel terminale e tensione elettrica tra due terminali

29

1.4

Circuiti di bipoli

31

1.5

Le leggi di Kirchhoff

34

1.6

Le relazioni costitutive

38

1.7

Il resistore

39

1.7.1 Limite stazionario: un problema di campo stazionario di corrente

41

1.7.2 Cosa accade quando le grandezze variano nel tempo?

46

1.8

Il generatore di tensione costante

49

1.9

Il condensatore

51

1.9.1 Limite lentamente variabile 1.9.2 Cosa accade quando f > f C ?

52 56

1.10 L'induttore 1.10.1 Limite lentamente variabile 1.10.2 Cosa accade quando f > fI ?

57 59 63

iv 1.11 Considerazioni finali

67

CAPITOLO 2: BIPOLI ELEMENTARI 2.1

Introduzione

69

2.2

Bipoli statici

71

2.3

Bipoli dinamici

77

CAPITOLO 3: LE EQUAZIONI CIRCUITALI 3.1

Introduzione

81

3.2

Elementi di teoria dei grafi

83

3.3

Equazioni di Kirchhoff per gli insiemi di taglio

88

3.4

Matrice di incidenza e matrice di maglia

90

3.5

Equazioni di Kirchhoff indipendenti

94

3.6

Equazioni circuitali

97

3.6.1 Esempio: circuito di resistori lineari e generatori indipendenti

98

3.6.2 Esempio: circuito composto da resistori lineari, generatori indipendenti e un resistore non lineare

103

3.6.3 Esempio: circuito composto da resistori lineari, generatori indipendenti e un induttore lineare

107

3.6.4 Esempio: circuito composto da un resistore lineare, un generatore indipendente, un resistore non lineare e un condensatore lineare

110

3.7

Potenziali di nodo

113

3.8

Correnti di maglia

119

3.9

Conservazione delle potenze virtuali (teorema di Tellegen)

124

CAPITOLO 4: PROPRIETÀ ENERGETICHE DEI BIPOLI 4.1

Potenza elettrica. Conservazione delle potenze elettriche

127

4.2

Significato fisico della potenza elettrica

129

4.2.1 Bipoli statici

131

4.2.2 Bipoli dinamici

132

4.3

Energia elettrica. Bipoli passivi e bipoli attivi.

135

4.4

Proprietà energetiche dei bipoli statici

136

4.5

Proprietà energetiche dei bipoli dinamici lineari tempo-invarianti

139

4.6

Bipoli dinamici non lineari tempo-invarianti

142

v

CAPITOLO 5: PROPRIETÀ DEI CIRCUITI DI RESISTORI 5.1

Bipolo equivalente. Connessione in serie e connessione in parallelo

145

5.1.1 Collegamento di due bipoli statici in serie

147

5.1.2 Collegamento di due bipoli statici in parallelo

149

Proprietà dei circuiti resistivi lineari

154

5.2.1 Circuito resistivo lineare con un solo generatore

154

5.2.2 Sovrapposizione degli effetti

156

5.2.3 Teorema di Thévenin-Norton

159

5.3

Teoremi di reciprocità

166

5.4

Teoremi di non amplificazione

168

5.4.1 Teorema di non amplificazione delle tensioni

168

5.4.2 Teorema di non amplificazione delle correnti

170

5.2

CAPITOLO 6: ELEMENTI CIRCUITALI A PIÙ TERMINALI 6.1

Elementi circuitali con più di due terminali. Circuiti di N-poli

173

6.2

Potenza elettrica assorbita dal N-polo

178

6.3

Caratterizzazione di un M-porte

179

6.4

Il transistore bipolare e l'amplificatore operazionale

181

6.5

Generatori controllati lineari

186

6.6

Il giratore

189

6.7

Il trasformatore ideale

191

6.8

N-poli di resistori lineari

193

6.8.1 Caratterizzazione di un N-polo di resistori lineari

194

6.8.2 Proprietà della matrice delle conduttanze

196

6.8.3 Sintesi di un N-polo resistivo lineare

200

6.8.4 La trasformazione stella-triangolo

201

M-porte di resistori lineari

203

6.9.1 Caratterizzazione di un M-porte di resistori lineari

204

6.9.2 Proprietà delle matrici delle conduttanze, resistenze e ibride

209

6.9.3 Sintesi di un doppio bipolo resistivo lineare

213

6.9

6.10 Induttori accoppiati (trasformatore)

214

6.10.1 Equazioni costitutive di due induttori accoppiati

215

6.10.2 Circuiti perfettamente accoppiati e circuiti equivalenti

219

CAPITOLO 7: CIRCUITI DINAMICI LINEARI 7.1

Circuito resistivo associato e sistema fondamentale

223

7.2

Equazioni di stato e variabili di stato

225

7.3

Continuità delle variabili di stato di un circuito

232

vi 7.4

7.5

7.6

7.7

Circuiti del primo ordine

239

7.4.1 Circuito RC del primo ordine: equazione di stato

239

7.4.2 Circuito RL del primo ordine: equazione di stato

242

7.4.3 Circuiti del primo ordine tempo-invarianti

243

7.4.4 Evoluzione libera ed evoluzione forzata

245

7.4.5 Circuito dissipativo; termine transitorio e regime permanente.

245

7.4.6 Regime stazionario e regime sinusoidale

248

Circuiti del secondo ordine: equazioni di stato

255

7.5.1 Circuiti RC del secondo ordine

255

7.5.2 Circuito RL del secondo ordine

257

7.5.3 Circuito RLC del secondo ordine

258

Circuiti del secondo ordine tempo-invarianti

259

7.6.1 Proprietà delle frequenze naturali

263

7.6.2 Soluzione di regime e termine transitorio

269

7.6.3 Regime stazionario e regime sinusoidale

270

7.6.4 Applicazione: Circuito RLC serie e circuito RLC parallelo e altri esempi

271

7.6.5 Applicazione: Circuito RC con amplificatore operazionale

278

Circuiti dinamici lineari tempo-invarianti di ordine qualsiasi

281

CAPITOLO 8: CIRCUITI IN REGIME STAZIONARIO E SINUSOIDALE 8.1

Circuiti in regime stazionario

285

8.2

Circuiti in regime sinusoidale: i fasori

287

8.3

Analisi dei circuiti in regime sinusoidale tramite il metodo dei fasori

289

8.3.1 Circuito di impedenze

292

Proprietà delle reti di impedenze

295

8.4.1 Metodo dei potenziali di nodo e delle correnti di maglia

296

8.4

8.4.2 Potenza virtuale complessa, Teorema di Tellegen, conservazione delle potenze elettriche complesse

296

8.4.3 Sovrapposizione degli effetti, equivalenze serie e parallelo, partitore di tensione, partitore di corrente

297

8.4.4 Bipolo di impedenze

299

8.4.5 Generatore equivalente di Thévenin-Norton

300

8.4.6 Proprietà della reciprocità e caratterizzazione di un doppio bipolo di impedenze

302

8.4.7 Diagrammi fasoriali

303

Potenza ed energia in regime sinusoidale

304

8.5.1 Proprietà energetiche dei bipoli elementari in regime sinusoidale e rifasamento

306

8.5.2 Caratterizzazione di un bipolo di sole impedenze

310

8.6

Reti in regime periodico e quasi-periodico

311

8.7

Circuiti risonanti

315

8.8

Cenni sui sistemi elettrici di potenza e sulle reti elettriche trifase

321

8.5

vii 8.9

Voltmetro, amperometro e wattmetro

329

CAPITOLO 9: CIRCUITI LINEARI TEMPO-INVARIANTI 9.1

Introduzione

333

9.2

Integrale di convoluzione

335

9.3

Risposta all'impulso: metodi di calcolo e proprietà

341

9.3.1 Soluzione di un circuito con generatori impulsivi attraverso la determinazione

9.4

9.5

9.6

delle condizioni iniziali a t = 0 +

341

9.3.2 Proprietà della risposta all'impulso di Dirac

346

9.3.3 Risposta al gradino unitario

347

Trasformata di Laplace

349

9.4.1 Trasformata di Laplace bilatera

350

9.4.2 Trasformata di Laplace monolatera

360

Analisi dei circuiti in evoluzione forzata tramite la trasformata bilatera di Laplace

363

9.5.1 Circuito di impedenze operatoriali

365

9.5.2 Funzione di rete e sue proprietà

367

Analisi dei circuiti in evoluzione generica tramite la trasformata di Laplace

376

9.6.1 Analisi di un circuito lineare tempo-invariante attraverso la trasformata di Laplace monolatera

376

9.6.2 Analisi di un circuito lineare tempo-invariante tramite generatori impulsivi

379

CAPITOLO 10: RISPOSTA IN FREQUENZA DI UN CIRCUITO 10.1 Funzione risposta in frequenza

383

10.2 Proprietà della funzione risposta in frequenza

388

10.3 Analisi dei circuiti attraverso la risposta in frequenza

391

10.3.1 Risposta in frequenza di circuiti del primo ordine: filtro passa-basso e filtro passa-alto

394

10.3.2 Risposta in frequenza di un circuito RLC del secondo ordine: filtro passabanda e filtro taglia-banda 10.4 Circuiti con amplificatori operazionali e generatori controllati

399 405

CAPITOLO 11: INTRODUZIONE AI FILTRI ANALOGICI 11.1 Generalità sui filtri analogici

411

11.1.1 Filtri ideali

411

11.1.2 Condizioni di fisica realizzabilità e filtri reali

414

11.2 Filtri di Butterworth

416

11.3 Circuiti passa tutto e circuiti a fase minima

419

11.3.1 Circuito passa tutto

419

viii 11.3.2 Circuiti a fase minima 11.4 Fattorizzazione spettrale

422 424

11.4.1 Fattorizzazione spettrale per i filtri di Butterworth

425

11.4.2 Sintesi di funzioni di trasferimento a tutti poli tramite elementi passivi

427

11.5 Leggi di trasformazione

429

11.5.1 Variazione in scala della frequenza di taglio

429

11.5.2 Variazione in scala dell'impedenza

430

11.5.3 Trasformazioni di frequenza

431

11.6 Sintesi di funzioni di trasferimento tramite elementi attivi

436

APPENDICI

Appendice A A.1 Unicità del problema di Dirichlet interno

441

A.2 Unicità del problema di Neumann interno

442

A.3 Unicità di un problema misto interno

443

B.1 Teorema di Poynting

445

Appendice B B.2 Teorema di Poynting per i modelli approssimati delle equazioni di Maxwell

446

B.3 Potenza assorbita da un bipolo nel limite lentamente variabile

447

Proprietà della reciprocità per i circuiti accoppiati

449

D.1 Forma standard xÝ = B x

452

D.2 Comportamento qualitativo delle soluzioni di DxÝ = − A x

454

E.1 Definizione e rappresentazione di un numero complesso

456

E.2 Operazioni con i numeri complessi

458

Appendice C

Appendice D

Appendice E

ix

PREFAZIONE

Chi è che non ha mai sentito parlare di elettricità? che non si è mai avvalso delle sue applicazioni? che non ha mai avuto a che fare coi watt e coi volt? Chi non ha mai usato un circuito elettrico? Se non ci fosse stato l’immenso progresso scientifico delle conoscenze intorno a questo settore della fisica, e, di conseguenza, il meraviglioso sviluppo delle applicazioni tecniche, la nostra vita quotidiana sarebbe oggi molto diversa. Soltanto, forse, la medicina e la biologia, fra le scienze applicate, possono competere con l’ per il numero e l’importanza dei loro risultati. Queste Lezioni di Elettrotecnica partono dai princì pi di base dell’Elettromagnetismo e portano l'allievo alla padronanza delle metodologie e delle tecniche che, sulla base di questi princì pi, producono applicazioni circuitali, fino alle soglie dello studio delle stesse applicazioni. In questo senso questo corso fa da ponte tra le materie formative del primo biennio e quelle, altrettanto formative, ma in maniera più specifica e applicativa, del successivo triennio del corso di studi in Ingegneria. La prospettiva assunta, dunque, vede il Corso di Fisica II partire dai fenomeni per giungere alle leggi, fino al loro più alto grado di formalizzazione espresso dalle Leggi di Maxwell, e il Corso di Elettrotecnica prendere le mosse da queste ultime per giungere fino alle applicazioni concrete di tipo circuitale, con l’obiettivo di completare il bagaglio metodologico degli allievi. Giovanni Miano è professore ordinario di Elettrotecnica presso la Facoltà di Ingegneria dell'Università di Napoli Federico II. Napoli 18 aprile 2001

G. M.

x

AVVERTENZA In questo testo adopereremo il Sistema Internazionale di misura (SI). Pertanto una corrente I 0 di 10 ampère verrà semplicemente indicata come I 0 = 10 , senza riportarne esplicitamente l’unità di misura. Qualora si tratti di multipli o sotto-multipli, il valore della grandezza verrà riportato insieme all'unità di misura. In tal modo, indicheremo con C = 100 nF una capacità di 10 −7 F .

CAPITOLO 0

LE LEGGI DELL’ELETTROMAGNETISMO

0.1 Le sorgenti del campo elettromagnetico Assumiamo nota dal corso di Fisica la nozione di carica elettrica (dei due segni), nonché la relativa unità di misura nel Sistema Internazionale (SI) (il coulomb, (C)). Le forze con le quali due cariche puntiformi interagiscono nel vuoto, in un riferimento inerziale, dipendono, oltre che dalla loro posizione reciproca, anche dalle rispettive velocità 1. La Teoria dell’Elettromagnetismo nel vuoto prende in considerazione un arbitrario sistema di cariche (comunque distribuite), delle quali siano note a priori le leggi del moto (quali che siano) e consente di valutare la forza che si esercita su ciascuna carica, in ogni punto-istante (P;t) dello spazio-tempo “occupato” da essa, per effetto dell'azione di tutte le altre cariche presenti. La teoria consente, inoltre, di valutare anche la forza e il momento (rispetto a un polo arbitrario) risultanti su una qualsiasi parte del sistema di cariche, in ogni istante. Cosa vuole dire assegnare le leggi del moto delle cariche? Nell'ambito di una descrizione macroscopica dell'elettromagnetismo, le cariche possono presentarsi sotto forma di cariche puntiformi concentrate, oppure aggregate in distribuzioni continue: lineari, superficiali o volumetriche. Una descrizione adeguata di questi aggregati continui di cariche è ottenibile assegnando in ciascun punto della distribuzione una corrispondente “densità” scalare: rispettivamente, lineare λ=λ(P;t), superficiale σ=σ(P;t), volumetrica ρ=ρ(P;t). Il significato di tali grandezze è chiaro: nel caso di distribuzioni volumetriche, dire che in un generico punto P della distribuzione, la densità volumetrica ha il valore ρ(P;t) al generico istante t, vuole dire che in un volume elementare dΩ centrato in P è presente una carica elementare dQ = ρ P t dΩ ;

(1)

analogamente, per le distribuzioni superficiali e lineari risulta, rispettivamente, dQ σ = σ P t dS

(2)

1 A questo proposito vedi S. Bobbio e E. Gatti, Elementi di Elettromagnetismo, (Boringhieri, Torino 1984).

2

Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica

dQ λ = λ P  t d O ,

(3)

avendo indicato con dS e d O , rispettivamente, l’area dell’elemento superficiale e la lunghezza dell’elemento lineare centrati nel generico punto P della distribuzione. Per ogni fissato istante di tempo il dominio di definizione di λ è una linea, quello di σ è una superficie e quello di ρ è un volume dello spazio. È pure ovvio che le unità di misura derivate per le tre densità, nel SI, sono rispettivamente [λ] = C  m  [σ ] = C  m 2  [ρ] = C  m 3  Assegnare, dunque, una distribuzione di cariche, in un dato istante, vuole dire assegnare le posizioni, in quell'istante, di tutte le cariche puntiformi che ne fanno parte, nonché le funzioni λ P t  σ(P;t) e ρ( P;t) , che descrivono, nello stesso istante, le distribuzioni degli aggregati continui

di cariche appartenenti al sistema. È inutile dire che non sempre nel sistema sono presenti contemporaneamente tutti i diversi tipi di distribuzioni. Osserviamo

esplicitamente

che,

nell'ambito

di

una

descrizione

macroscopica

dell'elettromagnetismo, è possibile concepire la presenza contemporanea, in una stessa regione spaziale, di due distribuzioni di cariche di segno opposto. Così, ad esempio, un volume elementare dΩ, centrato attorno a un punto P, può essere considerato sede, nel medesimo istante, di due distribuzioni volumetriche: una, positiva descritta da una densità ρ+ P;t , l'altra, negativa di densità ρ− P;t . In tale caso, è ovvio che la densità di carica totale (o “netta”) risulta pari a ρ P; t = ρ+ P;t + ρ− P;t .

(4)

Quando accade che ρ − P; t = ρ + P;t , risulta ρ P t = 0 . Considerazioni analoghe valgono anche per gli altri tipi di distribuzioni. È importante sottolineare che, quando le cariche sono ferme nel nostro riferimento inerziale, di solito, viene fornita la sola densità netta, e non le eventuali densità di segno opposto che la compongono, poiché gli effetti elettromagnetici risultanti dalla

presenza contemporanea delle

cariche dei due segni (considerate ferme) sono, in questo caso, pari a quelli prodotti dalla carica netta (o totale). Diversamente stanno le cose quando passiamo a descrivere il moto delle cariche. In questo, caso, infatti, occorre partire dalla osservazione fondamentale che due cariche di segno opposto, che si muovono in versi opposti (con pari velocità) producono lo stesso effetto. Ciò implica che se sono presenti due portatori di carica, con densità pari rispettivamente a ρ+ P;t e ρ− P;t , occorrerà specificare tanto la velocità media

Y+

P;t , quanto la

Y−

P;t , con cui i due portatori si muovono

nel riferimento inerziale. Ciò avviene introducendo due grandezze vettoriali, dette densità di corrente, date rispettivamente da:

P t = ρ + P t Y + P t ,

(5)

-−

P t = ρ− P t Y − P t .

(6)

-

La densità di corrente totale è data ovviamente da: -

P;t = - + P;t + - − P;t .

Anche in questo caso, ciò che interessa, alla fine, è

(7) -

P;t .

3

Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica

È bene, però, osservare esplicitamente che la densità di corrente totale

-

P;t non può essere

introdotta, in generale, a partire dalla sola conoscenza della densità di carica totale ρ P; t . Il caso più evidente è dato da quello, diffusissimo, che si verifica nei normali conduttori (di rame, ad esempio), nei quali la corrente elettrica è dovuta al moto orientato dei soli elettroni, mentre gli ioni positivi del metallo restano fermi. In questo caso, pure essendo ρ − P; t = ρ + P;t e quindi ρ P; t = 0 , risulta:

-

-−

P t

,



(8)

P t = ρ− P t ⋅ Y − P t 

quindi -

P t = ρ− P t Y − P  t .

(9)

Il conduttore, in altre parole, può essere neutro elettricamente in ogni suo punto, e ciò non pertanto essere percorso da corrente. Come per le densità scalari di carica, anche per le densità vettoriali di corrente è opportuno introdurre grandezze diverse a seconda che a muoversi siano cariche distribuite con continuità in un volume, oppure su una superficie o ancora su una linea. Così, oltre alla densità di corrente volumetrica J appena introdotta, è possibile definire una densità di corrente superficiale - s , pari a: -s

e una lineare,



- 

Il campo

-s

P  t = σ + P t Y + P t + σ − P  t Y − P t

(10)

data da P t = λ + P  t Y + P t + λ − P t Y − P t .

(11)

è definito su di una superficie e la sua direzione è sempre tangente a essa, e il campo



è definito lungo una linea e la sua direzione è sempre tangente a essa. Nelle leggi del campo elettromagnetico in forma integrale le sorgenti compaiono attraverso grandezze globali: la carica elettrica e l'intensità di corrente elettrica. Per distribuzioni volumetriche, la carica elettrica totale Q Ω = QΩ t che all’istante t si trova nella regione Ω vale Q Ω t = ∫∫∫ ρ P t dΩ P

(12)



(Attenzione: Q Ω = 0 non implica ρ = 0 in Ω.), e l'intensità di corrente elettrica i S = iS t che all'istante t circola attraverso la superficie orientata S (aperta o chiusa) vale:

i S t = ∫∫

S

-

P t ⋅ QdS P .

(13)

L'integrale nella (13) è il flusso del campo di densità corrente attraverso la superficie orientata S. (Attenzione: i S = 0 non implica J=0 su S). La corrente i S rappresenta la carica netta che nell'unità di tempo scorre attraverso S. Il segno di i S , per una assegnata J, dipende da come viene orientata la normale n alla superficie S. La corrente elettrica nel SI si misura in ampere (A): 1A=1C/1s e le unità di misura per i campi di densità di corrente sono, rispettivamente:

[J ] =

C m C m Cm = A  m 2  [J s ]= 2 = A  m [J ]= = A m3 s m s m s 

4

Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica

In conclusione, nell’ambito di una descrizione macroscopica dell’elettromagnetismo, assegnare le leggi del moto delle cariche vuole dire fornire, per ogni tipo di distribuzione, rispettivamente, la corrispondente densità totale (scalare) di carica e la corrispondente densità totale (vettoriale) di corrente, come funzioni del punto e del tempo. Occorre, quindi, fornire, ad esempio, per le distribuzioni volumetriche, le funzioni ρ = ρ P t e

-

-

P t per ogni punto P e ogni istante t della

regione di “spazio-tempo” che interessa.

0.2 Le leggi dell’elettromagnetismo nel vuoto Veniamo ora alle leggi che consentono di determinare la forza agente su una carica per effetto di tutte le altre, quando siano note le funzioni ρ P t e - P t . Sono possibili due approcci concettualmente distinti; entrambi fanno uso, comunque, di un fatto fisico fondamentale: il cosiddetto “Principio di sovrapposizione delle interazioni elettromagnetiche”. Ciò vuole dire che la forza cui è soggetta una data carica (“di prova”) per effetto di un sistema di altre cariche (“sorgente”) è pari alla somma (vettoriale) delle forze che sarebbero esercitate sulla carica di prova da ciascuna delle cariche-sorgente, considerata agente da sola (e cioè senza le altre carichesorgente). I due approcci di cui si parlava prima possono essere così sintetizzati. In uno si considera la forza che viene ad agire su una data carica di prova per effetto di tutte le altre cariche-sorgente, considerate insieme. Nell'altro si considera la forza esercitata sulla carica di prova da una singola carica-sorgente, e si “sovrappongono gli effetti”. Il primo approccio è largamente preferito in Letteratura, perché di uso più semplice. Noi seguiremo questo approccio. In generale, la forza risultante F che agisce su una carica puntiforme q che passi, con velocità v, per un generico punto P all'istante t, è data dalla forza di Lorentz: )

= q ( P t + qY × % P  t 

(14)

nella quale, tutte le grandezze (e cioè coordinate del punto P, istante di tempo t, forza F, velocità v, carica elettrica q, etc) sono da intendersi misurate in uno stesso sistema di riferimento inerziale (quello del laboratorio, ad esempio). Il vettore E rappresenta, per definizione, il campo elettrico agente nel punto-istante (P;t) e B il campo magnetico (induzione magnetica) nello stesso puntoistante. La (14) consente di misurare, e quindi definire, separatamente E(P;t) e B(P;t). Per misurare E basta mantenere la carica q ferma nel punto P e misurare la forza queste condizioni, su q. Il rapporto (

)0

q

)0 

)0

che agisce, in

q fornisce E:

.

(15)

Per misurare B, una volta misurato E, si attribuisca a q una velocità

Y1

, e si misuri la forza

)1

che, in

queste condizioni, si esercita su q; si ha allora: )1

= )0 + q Y1 × %

ripetiamo la misura attribuendo una nuova velocità,

(16) Y2

(non parallela a

Y1

) a q:

5

Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica

= ) 0 + qY2 × % .

)2

(17)

Le (16) e (17) consentono di individuare univocamente B. In quanto precede, si è assunto, ovviamente, che sia E che B non cambino significativamente nell'intervallo di tempo che intercorre fra le misure di

) 0  )1

e

)2

. Ricordiamo che la forza nel Sistema Internazionale si misura in newton

(N) e la velocità in metro/secondo ([v]=m/s). Il campo elettromagnetico è, per definizione, la coppia ordinata di funzioni vettoriali

{( P t  % (P;t)} , definite in una assegnata regione dello spazio-tempo. Nel SI il modulo del campo elettrico è misurato in volt/metro (V/m) e quello del campo di induzione magnetica in tesla (T). Il volt è l'unità di misura della tensione elettrica. La tensione elettrica v γ , per definizione, è 

l'integrale di linea del campo elettrico lungo una curva γ i cui estremi sono A e B, orientata da verso

%

$

: v

γ 



t =∫





La tensione elettrica v 

P  t ⋅ Wd O .

(

γ

(18)

γ



rappresenta il lavoro che compirebbe il campo elettrico su una carica 

puntiforme unitaria se si muovesse lungo γ da

$

verso

%

. L'integrale di linea di E lungo una

qualsiasi curva chiusa orientata Γ è detta circuitazione del campo elettrico (nella letteratura viene anche denominata forza elettro motrice (f.e.m.)). 0.2.1 Le Leggi di Maxwell in forma integrale Le leggi che governano il campo elettromagnetico nel vuoto, nella loro forma più generale, possono essere così espresse (assumendo, per semplicità che siano presenti soltanto distribuzioni volumetriche di cariche e di correnti):

∫∫

⋅ dS = ε1

( Q

Σ t 



∫∫ ∫ ∫γ t

∫∫∫

ρdΩ =

ΩΣ

0



t

QΣ t , ε0 

(19)



⋅ dS = 0 ,

(20)

% Q

Σ t



(

γ t 





∫∫

% 

-

Σ t 

⋅ Wdl = − ∫∫





t

∂% ⋅ Q dS , ∂t

⋅ Wdl = µ 0 ∫∫



⋅ QdS = − ∫∫∫

ΩΣ 

t

t 





+ ε 0 ∂ ( ⋅ Q dS = µ 0 I S ∂t

(21) γ t 

t + µ 0 ε0 ∫∫



Sγ 

t 

∂( ⋅ QdS , ∂t

∂ρ dΩ , ∂t

(22) (23)

dove Σ(t) è una qualsiasi superficie chiusa contenuta nel campo, libera di muoversi e/o deformarsi (senza “lacerazioni”); Ω Σ t è la regione di spazio delimitata da Σ(t); γ(t) è una qualsiasi linea chiusa 



contenuta nel campo, libera di muoversi e/o deformarsi (senza “strappi”); Sγ 

t 

è una qualsiasi

superficie (aperta) che abbia γ(t) come orlo; i versori (cioè, i vettori unitari) t e n sono legati attraverso la “regola del cavatappi”. Osserviamo che, nel caso in cui le linee e le superfici non si deformino nel tempo, è possibile invertire l'operatore di derivata temporale con quello di integrale (e cioè “derivare sotto segno di integrale”). ε 0 e µ 0 sono, rispettivamente, la costante dielettrica e la permeabilità magnetica del vuoto e valgono nel SI

6

Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica

ε 0 ≅ 8.8542⋅ 10-12 F / m, µ 0 = 4π ⋅10-7 H / m ,

dove il farad (F) e l’henry (H) sono, rispettivamente, le unità di misura della capacità e dell’induttanza nel SI: 1F=1C/1V, 1H=1Wb/1A. Il weber è l'unità di misura del flusso del campo magnetico attraverso una superficie. Il flusso del campo magnetico attraverso una qualsiasi superficie (chiusa o aperta) orientata S per definizione è l'integrale di superficie della componente normale di B: Φ S t = ∫∫

S

%

P t ⋅ QdS .

(24)

Dalla (24) si ottiene che 1Wb=1T·1m2 e dall'equazione (21) si ottiene anche che 1Wb=1V·1s. Le leggi dell'elettromagnetismo appena scritte prendono il nome di Equazioni di Maxwell in forma “globale” o integrale, in quanto esse legano le circuitazioni ed i flussi dei campi E e B tra di loro e alle cariche e correnti. Le (19) e (20) sono le “Leggi di Gauss” per il campo elettrico e per il campo magnetico; la (21) è la legge di Faraday-Neumann, la (22) è la legge di Ampère-Maxwell, la (23) è la legge di conservazione della carica elettrica. Come si vede, le sorgenti del campo elettromagnetico (e cioè i termini noti nelle (19)÷(23)) sono la distribuzione delle cariche ρ P t e delle correnti - (P;t) . Esse compaiono attraverso la carica elettrica Q Σ e l'intensità di corrente elettrica i S . γ

Dall'equazione (20) si ha che il flusso del campo magnetico attraverso qualsiasi superficie chiusa è sempre uguale a zero; per tale motivo si dice che il campo magnetico è conservativo rispetto al flusso. Da questa notevole proprietà discende che il flusso del campo magnetico attraverso una qualsiasi superficie aperta dipende unicamente dalla curva chiusa che orla la superficie (cioè dall'orlo) e non da altri particolari. Siano S1 e S2 due superficie aperte che hanno lo stesso orlo Γ orientate concordemente. Applicando la (20) alla superficie chiusa ottenuta dall'unione delle superfici S1 e S2 si ottiene immediatamente Φ Γ t = ∫∫

s1

%

P t ⋅ Q1 dS1 = ∫∫

s2

%

P t ⋅ Q2 dS 2

(25)

Per questo motivo quando si considera il flusso del campo B attraverso una qualsiasi superficie aperta si parla di flusso concatenato con la linea chiusa che orla la superficie e lo si indica ricordando a pedice la linea chiusa che orla la superficie. 0.2.2 Le Leggi di Maxwell in forma locale Le leggi fondamentali dell'elettromagnetismo possono essere espresse anche nella forma “locale” o differenziale equivalente. Si assuma che, oltre alla distribuzione volumetrica di cariche e correnti, vi sia una distribuzione superficiale di cariche σ e di corrente - s sulla superficie Σ. In questo caso bisogna distinguere le regioni in cui il campo è continuo dalle regioni in cui non lo è: certamente in corrispondenza della superficie Σ il campo elettromagnetico presenta delle discontinuità. Per ottenere le equazioni di Maxwell in forma locale nelle regioni in cui il campo è regolare basta applicare il teorema della divergenza alle equazioni (19), (20) e (23) ed il teorema del rotore alle

7

Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica

equazioni (21) e (22). Per ottenere le equazioni in corrispondenza della superficie di discontinuità bisogna applicare le equazioni (19), (20) e (23) a una superficie elementare cilindrica posta a cavallo di Σ e far tendere poi l'altezza del cilindro a zero e le equazioni (21) e (22) a una linea chiusa elementare a forma di rettangolo posta sempre a cavallo di Σ e far tendere poi la “larghezza” del rettangolo a zero. Così facendo si ottengono le Equazioni di Maxwell in forma locale: punti regolari

div ( =

punti di discontinuità

ρ , ε0

div % = 0, ∂% rot ( = − , ∂t

rot % = µ 0 ( - + ε 0 div - = −

∂( ), ∂t

∂ρ , ∂t

Q

⋅(( 2 − (1 ) = σ / ε 0 ,

(26)

Q

⋅(%2 − %1 ) = 0 ,

(27)

Q

× (( 2 − (1 ) =  ,

(28)

Q

× (%2 − %1 ) = µ0 - s ,

(29)

Q

⋅ (- 2 − - 1 ) + GLY- = −

∂σ . ∂W

(30)

Per le distribuzioni lineari (di cariche e di correnti) e puntiformi (di cariche) possono essere date espressioni analoghe “locali”, ma sono di scarso uso. Le equazioni (26) e (28) per i punti regolari (e le equivalenti per i punti di discontinuità) sono le due condizioni richieste dal teorema di Helmholtz

2

per determinare il campo elettrico E;

analogamente, le (27) e (29) per i punti regolari (e le equivalenti per i punti di discontinuità) consentono di determinare B. Infine, le equazioni (30) costituiscono il vincolo imposto sulle sorgenti del campo elettromagnetico dalla legge della conservazione della carica elettrica. Osservazioni

2 Il teorema di Helmholtz assicura che, se di un campo vettoriale sono noti il rotore e la divergenza in tutti i punti dello spazio, il campo è univocamente determinato, purché esso sia “regolare all'infinito”. La divergenza di un campo vettoriale A (divA) è un campo scalare così definito: si consideri una regione Ω in cui A è definito, un dominio spaziale τ contenuto in Ω e limitato da una superficie chiusa regolare Σ orientata con la normale rivolta verso l'esterno e sia V il volume di τ. Si faccia contrarre la regione τ attorno a un punto fisso P . Il limite per V → 0 (se esiste ed è finito indipendentemente dalla forma di Σ) del rapporto ∫∫ $ ⋅ QdS  V è la divergenza di A in P . In coordinate cartesiane rettangolari si ha

(



)

div$ = ∂A x  ∂x + ∂Ay  ∂y + ∂A z  ∂z dove A x  A y  A z sono le componenti del campo A nel sistema di coordinate considerato. In modo analogo si definisce la divergenza superficiale divsAs di un campo vettoriale superficiale. Il rotore di un campo vettoriale A (rotA) è un altro campo vettoriale così definito: si consideri una regione Ω, in cui A è definito e sia P un punto di tale regione. Data una qualsiasi superficie aperta S passante per P , sia γ la linea chiusa orientata (l'orientazione di γ e la normale n devono essere concordi secondo la regola del cavatappi), che ne costituisce l'orlo. Si faccia contrarre la superficie S attorno a P mantenendo fissa la normale n a S in P . È possibile dimostrare che, al variare di n il limite per S → 0 (se esiste ed è finito indipendentemente dalla

(

)

forma di S e γ ) del rapporto ∫γ $ ⋅ Wdl  S corrisponde alla componente, secondo le direzione n, di un vettore univocamente individuato. Esso è il rotore di A in P . In coordinate cartesiane rettangolari si ha  ∂ ∂ ∂ rot $ =  [ +\ + ]  × (A x[ + A y \ + A z ] effettuando formalmente i prodotti vettoriali considerati. ∂y ∂x   ∂x

8

Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica

Le equazioni (26)÷(30) per i punti regolari (o le corrispondenti (19)÷(23) in forma integrale) non sono tutte “indipendenti”. È facile mostrare che, se le equazioni (26) e (27) per i punti regolari sono verificate in un istante qualsiasi, allora dall'equazione (28) per i punti regolari si ottiene la (27), e dalle equazioni (29) e (30) si ottiene la (26). In particolare l'equazione della conservazione della carica (30) per i punti regolari è già scritta nelle corrispondenti equazioni (26) e (29). Le equazioni (26)÷(30) (o le equivalenti in forma integrale (19)÷(23)), unite alle definizioni fisiche delle grandezze che vi figurano, costituiscono l'intero quadro della “teoria dell'elettromagnetismo nel vuoto”: tale teoria consente di affrontare qualsiasi problema fisico e ingegneristico che si riferisca a situazioni nelle quali non siano presenti mezzi materiali (conduttori, dielettrici, materiali ferromagnetici), oppure, come si vedrà, siano presenti soltanto mezzi “trasparenti” al campo elettromagnetico. I problemi che più frequentemente si incontrano nella tecnica, per ciò che riguarda le situazioni finora considerate, possono essere classificati in due grandi categorie: quelli in cui si può assumere che la distribuzione delle sorgenti sia nota nell'intero spazio (in questo caso bisogna imporre le condizioni iniziali e le condizioni di “regolarità” all'infinito); quelli in cui la distribuzione delle sorgenti sia nota soltanto in una regione limitata dello spazio (o, addirittura, non sia affatto nota), ma si conoscano, in aggiunta, opportune “condizioni al contorno” sulla frontiera della regione nella quale si considera il campo, nonché le“condizioni iniziali”.

0.3 Le leggi dell’elettromagnetismo nei mezzi materiali Quando il campo elettromagnetico interessa mezzi

materiali

(conduttori, isolanti, materiali

“magnetici”, etc), le equazioni che esprimono le leggi generali dell'elettromagnetismo assumono una forma più complessa, poiché le sorgenti del campo non si limitano più soltanto a quelle presenti nello spazio vuoto (delle quali sono note a priori le distribuzioni), ma comprendono anche quelle che si generano nei mezzi materiali per effetto dell'interazione del campo elettromagnetico ivi presente. Ne deriva che queste nuove distribuzioni svolgono allo stesso tempo il ruolo di sorgenti (e quindi - se si vuole - “cause”) del campo e quello di “effetto” (in quanto determinate dal campo stesso). Di qui, la maggiore complessità richiesta dalla descrizione dei fenomeni elettromagnetici in presenza di mezzi materiali. I fenomeni che si manifestano nei mezzi materiali, quando immersi in un campo elettromagnetico, sono così classificabili: conduzione elettrica, polarizzazione elettrica e polarizzazione magnetica. Può riscontrarsi la presenza significativa di più d'uno di tali fenomeni, oppure la prevalenza di uno solo (ad esempio, in un pezzo di ferro sono significativi sia il fenomeno della conduzione che quello della polarizzazione magnetica, mentre in uno di rame è significativo soltanto quello della conduzione e in uno di plastica quello della polarizzazione elettrica). Il fenomeno della conduzione elettrica è caratterizzato dalle distribuzioni di cariche e correnti (superficiali e volumetriche), risultante dall'azione del campo elettromagnetico sui portatori di carica liberi di muoversi nel conduttore su dimensioni macroscopiche.

9

Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica

Il fenomeno della polarizzazione elettrica è caratterizzato dal campo di intensità di polarizzazione elettrica P, che descrive la distribuzione macroscopica del momento di dipolo elettrico per unità di volume risultante dall'azione del campo elettromagnetico complessivo sul materiale.

Infine,

il

fenomeno della polarizzazione magnetica è caratterizzato attraverso il campo di intensità di magnetizzazione M, che descrive la distribuzione macroscopica del momento di dipolo magnetico per unità di volume “indotto” dal campo elettromagnetico. Alla distribuzione di dipoli elettrici descritta da P è possibile sostituire una distribuzione equivalente di cariche (di volume e superficiali) che producono gli stessi effetti ai fini del campo risultante. A queste cariche, che in un dielettrico polarizzato sono localizzate, in generale, sia sulla superficie esterna, con densità superficiale σ p = 3 ⋅ Q (n è il versore normale alla superficie, diretto verso l'esterno), sia nel volume con densità volumetrica ρp = −div3 , si dà il nome di cariche di polarizzazione (o anche legate), per distinguerle da quelle libere presenti nei conduttori (che, ad esempio, possiamo togliere o aggiungere alle armature di un condensatore). Analogamente alla distribuzione di dipoli magnetici descritta da M è possibile sostituire una distribuzione equivalente di correnti (di volume e superficiali) che producono gli stessi effetti ai fini del campo risultante. A queste correnti, che in un materiale magnetico sono localizzate in generale sia sulla superficie esterna, con densità superficiale

- sm

= 0 × Q , (anche in questo caso n è il versore normale alla

superficie diretto verso l'esterno), sia nel volume con densità volumetrica

-m

= rot0 , si dà il nome di

correnti di magnetizzazione (o vincolate), per distinguerle dalle ordinarie correnti di conduzione, che seguono percorsi macroscopici definiti dai conduttori presenti, correnti che possono essere inserite o interrotte mediante un interruttore, e misurate con un amperometro. Queste ultime vengono chiamate correnti libere. Va detto con chiarezza che, ove mai fosse possibile conoscere a-priori la distribuzione delle sorgenti legate ai mezzi materiali presenti, oltre che di quelle libere, le leggi del campo elettromagnetico potrebbero ancora essere utilizzate nella forma relativa allo spazio vuoto (come se i mezzi materiali non esistessero), a patto, naturalmente, di fare figurare fra le sorgenti anche quelle legate (oltre che quelle libere). Analoga situazione si ha quando i mezzi materiali presenti siano completamente trasparenti al campo elettromagnetico: ciò si verifica quando nel mezzo materiale non vengono indotte sorgenti significative per effetto della presenza in esso del campo elettromagnetico (è il caso, ad esempio, dell'aria in condizioni usuali, nonché di altri gas). Nelle situazioni più frequenti che si presentano nella tecnica, le cose stanno però, come si è detto, in modo più complicato, perché anche quando si ammetta di potere conoscere a priori la distribuzione di tutte le sorgenti libere (come poi vedremo, quasi sempre anche esse sono incognite del problema), non è nota a priori quella delle sorgenti legate perché non è noto il campo complessivo: occorre, quindi, trovare il modo di riuscire a determinare insieme sia queste, sia il campo elettromagnetico che esse contribuiscono a produrre. A questo scopo, le equazioni del campo elettromagnetico in presenza di mezzi materiali assumono la forma seguente (per non appesantire le equazioni omettiamo di nuovo di scrivere i contributi dovuti alle distribuzioni superficiali e lineari di cariche e correnti libere):

∫∫Σ t ⋅

dS = ∫∫∫

' Q 

ΩΣ

ρ lib dΩ 

t 

(31)

10

Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica

∫∫Σ t ⋅ dS = 0 ∫γ t ⋅ dl = − ∫∫S

(32)



% Q 

∂ % ⋅ QdS , ∂t ∫γ t + ⋅ Wdl = ∫∫S -lib + ∂∂t' ⋅ QdS , ∂ρ ∫∫Σ t -lib ⋅ QdS = − ∫∫∫Ω ∂tlib dΩ . (



W





γ t 

(33)



(34)

γ t









Σt





(35)

Come si vede, nella legge di Gauss “elettrica” figura a primo membro un nuovo campo vettoriale, il vettore “spostamento” elettrico D (detto anche “induzione elettrica”) e, a secondo membro sono presenti le sole sorgenti libere, ρ lib . Il campo D è legato al campo E e al campo P tramite la relazione '

= ε0 ( + 3 .

(36)

Analogamente, nella legge di Ampère-Maxwell, figura a primo membro un nuovo campo vettoriale H, (l'intensità di campo magnetico), mentre, a secondo membro, sono presenti la densità di corrente libera

- lib

e la densità di corrente di spostamento ∂ '  ∂t . Il campo H è legato al campo B e al campo

M tramite la relazione %

= µ 0 + + 0 .

(37)

La circuitazione di H lungo una qualsiasi curva chiusa orientata γ è detta forza magneto-motrice (f.m.m.); essa ha le stesse dimensioni della corrente elettrica. Nella legge di conservazione della carica, infine, figurano le sole sorgenti libere. Nel Sistema Internazionale l'unità di misura del modulo 2

di D e di P è C / m e l'unità di misura del modulo di H e di M è A/m. Anche nei mezzi materiali il campo magnetico B è conservativo rispetto al flusso. Le leggi generali del campo elettromagnetico (31)÷(35) sono indipendenti dalla costituzione fisica dei mezzi materiali presenti. Esse non sono, di per sé, sufficienti a descrivere il campo elettromagnetico: occorrono altre relazioni, dette “costitutive”, che dipendono univocamente dalla costituzione fisica dei mezzi materiali, capaci di definire le caratteristiche fisiche di tipo elettromagnetico dei mezzi materiali presenti. Nelle normali applicazioni tecniche che più interessano queste lezioni, queste relazioni sono del tipo ' = ε 0 ( + 3 ( = ' (  % = µ 0 > + + 0 + @ = % +  - lib

=

- ( % Y

× % (∗  Stiamo considerando materiali dielettrici in cui il campo P in un qualsiasi

punto-istante dipende unicamente dal valore del campo elettrico nello stesso punto-istante e materiali magnetici in cui il campo M in un qualsiasi punto-istante dipende unicamente dal valore del campo H nello stesso punto-istante (materiali senza “memoria” e senza dispersione spaziale). Il campo di corrente J in un mezzo conduttore, in un qualsiasi punto-istante, può dipendere, oltre che dal valore campo elettrico nello stesso punto-istante, anche dal campo magnetico B (effetto Hall), dalla velocità del conduttore attraverso la grandezza

Y

× % (nelle dinamo e negli alternatori) e da campi di forze di

natura non elettrica, che abbiamo indicato con E* (ad esempio, il campo elettromotore di natura chimica di una pila o il campo elettromotore di natura fotoelettrica nelle celle solari). Nei diodi e nei transistori, se i campi variano lentamente,

- lib

dipende non linearmente da E.

Le relazioni costitutive si particolarizzano, per materiali in quiete lineari e isotropi nelle:

= ε(, % = µ+ , '

(38) (39)

11

Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica -

= γ ( + ( ∗ 

(40)

nelle quali ε µ e γ sono grandezze scalari indipendenti dai campi. Esse sono, rispettivamente, la costante dielettrica del materiale, la permeabilità magnetica e la conducibilità elettrica e sono da intendersi misurate nello stesso sistema di riferimento inerziale in cui vanno misurate tutte le altre grandezze. Esse possono essere non uniformi (e cioè variabili da punto a punto del materiale) e tempo varianti (e cioè variabili nel tempo). In un conduttore ohmico in quiete la (40) si riduce a -

= γ( .

(41)

Il limite γ → 0 descrive il comportamento di un materiale isolante, come il dielettrico ideale: in questi materiali non circola corrente pur in presenza di un campo elettrico. Invece il limite γ → ∞ descrive il comportamento di materiali con elevatissima conducibilità, cioè il comportamento dei conduttori ideali: in questo caso pur in presenza di correnti che circolano nel conduttore il campo elettrico è nullo. La conducibilità elettrica, nel SI, si misura in siemens (S) e la resistività elettrica η, definita come η=1/γ, si misura in ohm·metro (Ω·m), quindi 1S=1/1Ω. L'ohm (Ω) è l'unità di misura della resistenza elettrica e 1Ω=1V/1A. Le equazioni di Maxwell per i mezzi materiali (31)÷(35) possono essere espresse in forma locale, così come è stato fatto per il caso del vuoto. In presenza di corpi materiali occorre, però, distinguere i punti in cui le proprietà dei mezzi materiali sono continue da quelli in cui sono discontinue (ciò accade in genere in corrispondenza di superfici di discontinuità dei parametri fisici caratteristici dei materiali, come, ad esempio, la costante dielettrica, la conducibilità, etc). Operando questa distinzione abbiamo: punti regolari

punti di discontinuità

div ' = ρ lib ,

Q

⋅ '2 − '1 = σ lib ,

(42)

Q

⋅(%2 − %1 ) = 0 ,

(43)

Q

× (( 2 − (1 ) =  ,

(44)

Q

× +2 − +1 = -slib ,

(46)

Q

⋅ -2 − -1 + div s -slib = −

div % = 0, ∂% rot ( = − , ∂t rot + = - lib +

div -lib = −

∂'  ∂t

∂ρlib . ∂t

∂σlib . ∂t

(47)

Nelle (42), (46) e (47) σ lib e -slib sono, rispettivamente, distribuzioni superficiali di cariche e di correnti libere; come poi vedremo esse possono nascere sulle superfici dei conduttori. Il quadro completo della teoria dell’elettromagnetismo in presenza di mezzi materiali lineari, isotropi e senza “memoria” è dunque costituito dalle equazioni di Maxwell in forma locale (42)÷(47) (o equivalentemente da quelle in forma integrale (31)÷(35)), dalle equazioni costitutive dei mezzi materiali (38)÷(40), unite alle condizioni iniziali e alle condizioni di “regolarità” all'infinito. Così come accade per le equazioni del campo elettromagnetico nel vuoto, le equazioni (42)÷(47) nei punti regolari (o le equivalenti (31)÷(35)) non sono tutte “indipendenti”.

12

Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica

L’equazione (33) (o l’equivalente (44) per i punti regolari) descrive il fenomeno dell’induzione elettromagnetica secondo il quale, in presenza di campi magnetici variabili nel tempo, la circuitazione del campo elettrico è, in generale, diversa da zero. È, questo, uno dei fenomeni più importanti dell'elettromagnetismo: conseguenza immediata è che l'integrale di linea di E, esteso a una linea γ AB , (la tensione elettrica lungo γ AB ), in presenza di un campo magnetico variabile nel tempo, dipende, oltre che dagli estremi A e B, anche dal cammino di integrazione. Quando in una regione dello spazio esiste un campo magnetico variabile nel tempo, ad esso è associato sempre un campo elettrico rotazionale. Il termine della densità di corrente di spostamento ∂ '  ∂t nell'equazione di Ampère-Maxwell (34) (o l'equivalente (46) per i punti regolari) descrive il fenomeno dell'induzione magnetoelettrica, secondo il quale la circuitazione del campo magnetico lungo una linea chiusa γ non dipende soltanto dal flusso di J, ma anche dal flusso della derivata di D rispetto al tempo. L'accoppiamento tra E e H, prodotto dai fenomeni di induzione elettromagnetica e magnetoelettrica, è all'origine del fenomeno della propagazione del campo elettromagnetico 3. In presenza di mezzi conduttori c'è un altro meccanismo che accoppia il campo elettrico al campo magnetico: un campo elettrico variabile nel tempo produce nei conduttori correnti che generano un campo magnetico, il quale a sua volta, essendo variabile nel tempo, contribuisce al campo elettrico. Questo accoppiamento è all'origine del fenomeno della diffusione del campo elettromagnetico nei conduttori (correnti di Foucault). Osservazione In tutti i sistemi elettromagnetici “artificiali”, cioè quelli che l'uomo costruisce, le sorgenti “reali” (cioè quelle che è possibile fissare a piacere attraverso “manopole”), non sono né le cariche libere, né le correnti libere, ma i campi elettromotori, oppure le tensioni del campo elettrico tra determinate coppie di punti e lungo certi cammini (si pensi, ad esempio, alle prese di corrente nelle nostre abitazioni, nei laboratori, etc; in questo ultimo caso le sorgenti entrano in gioco tramite le condizioni al contorno). Le cariche e le correnti libere che nascono nei corpi conduttori e sulle loro superfici sono incognite del problema, assieme al campo elettromagnetico. La progettazione di un sistema elettromagnetico si riduce, in ultima analisi, proprio alla determinazione della struttura fisica del sistema e delle “sorgenti reali” che realizzino determinate configurazioni di cariche, correnti e campo elettromagnetico.

0.4 Equazioni di Maxwell in regime stazionario Quando il campo elettromagnetico è stazionario (ciò si verifica se le sorgenti sono costanti nel tempo e i transitori si sono estinti) il modello matematico si semplifica notevolmente. Le equazioni del campo elettrico e del campo di corrente si disaccoppiano da quelle del campo magnetico perché tutti i termini che compaiono sotto derivata temporale nelle equazioni di Maxwell si annullano:

3 A questo proposito vedi G. Franceschetti, Campi Elettromagnetici (Boringhieri, Torino 1983).

13

Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica

punti regolari

punti di discontinuità

 div' = ρlib    rot( =    div- lib = 0 

 Q ⋅ '2 − '1 = σ lib    Q × ( 2 − (1 =    Q ⋅ - 2 − -1 = 0

(48)

 div% = 0    rot+ = - lib 

 Q ⋅ % 2 − %1 = 0    Q × + 2 − + 1 = - slib 

(49)

Osserviamo subito che il vettore

- lib

figura come incognita nelle (48), laddove, invece, appare

come sorgente del campo magnetico nelle (49). Come poi vedremo, le equazioni (48) consentono di determinare il campo elettrico e il campo di corrente una volta assegnate le “sorgenti”, mentre le equazioni (49) consentono di determinare il campo magnetico prodotto da quel campo di corrente. 0.4.1 Proprietà del modello stazionario Nel regime stazionario, il campo elettrico è irrotazionale nelle regioni dello spazio in cui è regolare rot ( =  ,

(50)

ed è conservativo rispetto alla circuitazione, cioè:

∫γ

(

⋅ Wdl = 0

(51)

per ogni curva chiusa orientata γ. Pertanto il campo elettrico in regime stazionario può essere sempre espresso attraverso il gradiente

4

di un potenziale scalare ϕ=ϕ(P), il cosiddetto potenziale elettrico

scalare, (

= −∇ϕ .

Pertanto per la tensione elettrica v v 

γ 

(52) γ 

abbiamo

= ∫ ( ⋅ Wd O = ϕ $ − ϕ % , 

γ

(53)



ed è indipendente dalla linea γ che connette i punti

$

e

%

.

Il campo di densità di corrente stazionario è solenoidale nelle regioni dello spazio in cui è regolare ed è conservativo rispetto al flusso, cioè:

∫∫Σ - lib ⋅ QdS =0

(54)

per ogni superficie chiusa orientata Σ. Esso, quindi, può essere sempre espresso attraverso il rotore di un campo vettoriale T=T(P) (potenziale vettore elettrico)

4 Il gradiente di un campo scalare U (gradU) è un campo vettoriale così definito: si consideri una regione Ω in

cui il campo scalare U è definito, un punto P 0 di Ω, e una generica retta orientata s passante per P 0 e un altro punto P di essa. Si faccia tendere a zero la distanza d( P, P 0 ) tra P e P 0 . Il limite per d( P, P 0 ) → 0 del rapporto incrementale

>

U P − U P 0 @  d P P 0 (se esiste ed è finito), al variare di s, corrisponde alla componente,

secondo le direzione s, di un vettore univocamente individuato. Esso è il gradiente di U in P 0 .

14

Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica -

lib

= rot 7 .

(55)

Il campo magnetico H è irrotazionale soltanto nelle regioni prive di correnti libere, mentre non è conservativo rispetto alla circuitazione. Si ha infatti:

∫γ

+

⋅ Wdl = i γ

(56)

dove γ è una qualsiasi curva chiusa orientata e i γ è la corrente libera che circola attraverso una qualsiasi superficie Sγ aperta che ha come orlo γ (la superficie è orientata concordemente con il verso scelto per γ secondo la regola del cavatappi)

i γ = ∫∫S γ - lib ⋅ QdS .

(57)

Sono infinite le superfici Sγ che hanno γ come orlo. Quale scegliere? Una qualsiasi, poiché il flusso di - lib è indipendente dalla particolare superficie scelta, essendo il campo di corrente stazionario conservativo rispetto al flusso: i γ dipende unicamente dalla curva γ. Questo è il motivo per cui si usa l'espressione “corrente (o flusso) concatenato con γ”. Infine il campo magnetico B, come già abbiamo messo in evidenza, è sempre conservativo rispetto al flusso, anche quando i campi sono variabili nel tempo. Pertanto esso può essere sempre, e non solo nel caso stazionario, espresso attraverso il rotore di un campo vettoriale A=A(P) (potenziale vettore magnetico) %

= rot$ .

(58)

Per ottenere modelli matematici “chiusi”, alle leggi dei campi stazionari bisogna aggiungere le relazioni costitutive dei mezzi materiali, nonché opportune condizioni al contorno. In letteratura, vengono trattati separatamente i sistemi stazionari in cui circolano correnti e quelli in cui, pure essendovi conduttori in presenza di campi elettrici, le correnti sono assenti. Il primo caso è descritto dal modello del campo stazionario di corrente. Esso è costituito dall'insieme di equazioni che descrivono

- lib

ed E in un sistema fisico fatto di conduttori in cui

circolino correnti e isolanti . Il secondo caso è descritto dal modello del campo elettrostatico. Esso è costituito dall'insieme di equazioni che descrivono il campo elettrico in un sistema fisico fatto ancora di materiali conduttori e isolanti, in cui, questa volta, non vi siano correnti (le cariche sono, cioè, ferme). 0.4.2 Modello della conduzione stazionaria Il modello del campo stazionario di corrente è costituito dalle equazioni:

punti regolari

punti di discontinuità

rot ( = ,

Q

div - = 0,

× (( 2 − (1 ) =  , Q ⋅( - − - ) = 0 , 2 1

(59) (60)

15

Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica -

= γ ( + ( ∗ ,

(61)

dove E* è un campo elettromotore stazionario assegnato; sia γ che E* sono in generale non uniformi e discontinui. Il rotore di J (e, con esso, la relazione tra le componenti tangenti di J sulle superfici di discontinuità) si ottiene dalla (59) facendo uso della relazione costitutiva (61); la divergenza di E (e, con essa, la relazione tra le componenti normali di E sulle superfici di discontinuità) si ottiene dalla (60) ancora facendo uso della relazione costitutiva (61). Il campo J non è conservativo rispetto alla circuitazione e il campo E non è conservativo rispetto al flusso. Una volta determinato E, le cariche libere si ottengono utilizzando la legge di Gauss per il campo elettrico. Come vedremo in seguito, queste equazioni, insieme alle condizioni al contorno, sono sufficienti per determinare la distribuzione dei campi E e J (stiamo omettendo di scrivere il pedice “lib”). 0.4.3 Modello dell’elettrostatica Il modello dell'elettrostatica è dato da: punti regolari

punti di discontinuità

div ' = ρ lib ,

Q

⋅ '2 − '1 = σ lib ,

(62)

rot ( = ,

Q

× (( 2 − (1 ) =  ,

(63)

'

= ε(.

(64)

In questo modello le uniche sorgenti sono le cariche ferme. La costante dielettrica ε è, in generale, non uniforme e discontinua. Il rotore di D (e, quindi anche, la relazione tra le componenti tangenti di D sulle superfici di discontinuità) si ottiene dalla (63) facendo uso della la relazione costitutiva (64); la divergenza di E (e, quindi anche, la relazione tra le componenti normali di E sulle superfici di discontinuità) si ottiene dalla (62) facendo uso, ancora, della relazione costitutiva (64). Il campo D non è conservativo rispetto alla circuitazione e il campo E non è conservativo rispetto al flusso. Come vedremo in seguito, queste equazioni, insieme alle condizioni al contorno, sono sufficienti per determinare la distribuzione dei campi E e D. Si noti che, una volta assegnato il sistema di conduttori e isolanti, nonché le sorgenti, per stabilire se siamo in elettrostatica è sufficiente verificare che il campo di corrente sia identicamente nullo. 0.4.4 Modello del campo magnetico stazionario Il modello del campo magnetico stazionario è costituito dall'insieme di equazioni che descrivono il campo magnetico prodotto da

correnti libere assegnate in presenza di materiali con proprietà

magnetiche (si pensi, ad esempio, a un elettromagnete o a un induttore su ferrite). Le leggi di questo modello sono:

16

Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica

punti regolari

punti di discontinuità

⋅(%2 − %1 ) = 0 , Q × + − + = 2 1 slib ,

div % = 0, rot + = -lib 

Q

%

= µ+ .

(65) (66) (67)

In questo modello le correnti libere sono le sorgenti del campo magnetico. La permeabilità magnetica µ è, in generale, non uniforme e discontinua. Il rotore di B (e, con esso, la relazione tra le componenti tangenti di B sulle superfici di discontinuità) si ottiene dalla (66) facendo uso della relazione costitutiva (67); la divergenza di H (e, con esso, la relazione tra le componenti normali di H sulle superfici di discontinuità) si ottiene dalla (65) facendo uso, ancora, della relazione costitutiva (67). Il campo B non è, in generale, conservativo rispetto alla circuitazione e il campo H non è conservativo rispetto al flusso. Come vedremo in seguito, queste equazioni, insieme alle condizioni al contorno, sono sufficienti per determinare la distribuzione dei campi B e H. La relazione costitutiva lineare (67) non è, in generale, sufficiente a descrivere il comportamento dei materiali ferromagnetici: soltanto in condizioni di funzionamento molto particolari (di cui parleremo più avanti) è possibile ignorare gli effetti dovuti ai fenomeni di isteresi magnetica e di saturazione. In generale, la relazione costitutiva B-H è isteretica e non lineare. 0.4.5 Modello del campo magnetostatico Il modello del campo magnetostatico è costituito dall'insieme di equazioni che descrivono il campo magnetico prodotto da un sistema con magnetizzazione assegnata e in assenza di correnti libere (ad esempio, una calamita). Le leggi di questo modello sono: punti regolari

punti di discontinuità

⋅(%2 − %1 ) = 0 , Q × (+ − + ) =  , 2 1

div % = 0,

Q

rot + =  %

La magnetizzazione

00

= µ 0 + + 0 0 .

(68) (69) (70)

non è uniforme ed è discontinua. In questo modello il campo H è

conservativo rispetto alla circuitazione e quindi può essere espresso tramite il gradiente di un campo scalare (il potenziale scalare magnetico). Come per il modello del campo magnetico stazionario, il rotore di B (e, con esso, la relazione tra le componenti tangenti di B sulle superfici di discontinuità) si ottiene dalla (69) facendo uso della relazione costitutiva (70); la divergenza di H (e, con essa, la relazione tra le componenti normali di H sulle superfici di discontinuità) si ottiene dalla (68) facendo uso, ancora, della relazione costitutiva (70). A causa della non uniformità di

00

, il campo B non è conservativo rispetto alla circuitazione e

il campo H non è conservativo rispetto al flusso.

Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica

17

La relazione costitutiva (70) descrive approssimativamente il comportamento del materiale con cui è realizzato un magnete permanente. Molto spesso non è possibile ignorare gli effetti dovuti alla non linearità e ai fenomeni di isteresi.

0.5 Approssimazioni quasi-stazionarie delle Equazioni di Maxwell Le equazioni di Maxwell, con le opportune relazioni costitutive, le condizioni iniziali e le condizioni al contorno, descrivono tutti i fenomeni dell’ elettromagnetismo macroscopico, da quelli caratteristici del regime stazionario ai fenomeni di propagazione più complicati. Naturalmente la soluzione esatta di questi problemi è spesso difficile e molte volte anche non necessaria. Quando i campi sono stazionari la soluzione delle equazioni di Maxwell è molto più semplice perché i campi si disaccoppiano. I fenomeni descritti dalla teoria dei circuiti sono di tipo elettromagnetico e quindi i concetti e le leggi di questa teoria devono potersi derivare dalle equazioni di Maxwell. D'altra parte esistono fenomeni di tipo elettromagnetico previsti dalla teoria di Maxwell e che la teoria dei circuiti non riesce a descrivere come, ad esempio, quello della propagazione del campo elettromagnetico. Di conseguenza la teoria dei circuiti descrive una classe ristretta di soluzioni delle equazioni di Maxwell. I concetti e le leggi della teoria dei circuiti sono molto più vecchi delle equazioni di Maxwell. Essi sono nati con lo studio dei campi elettrici e magnetici lentamente variabili nel tempo, quindi le soluzioni delle equazioni di Maxwell descrivibili attraverso la teoria dei circuiti sono quelle caratterizzate da campi elettrici e magnetici con variazioni temporali sufficientemente lente. Sufficientemente lente rispetto a cosa? Certamente rispetto ai tempi caratteristici della propagazione elettromagnetica, cioè proprio rispetto ai tempi che caratterizzano il fenomeno che la teoria dei circuiti non riesce a descrivere. Molti importanti problemi di campo lentamente variabile possono essere risolti efficacemente attraverso approssimazioni successive a partire da un modello stazionario. Il modello stazionario da cui partire dipende dal sistema fisico in esame: esso deve coincidere con il modello stazionario che descrive il sistema quando il campo è costante nel tempo. In principio possiamo avere tre situazioni distinte nel limite stazionario: (a) il campo magnetico tende a zero e il campo elettrico resta diverso da zero; (b) il campo elettrico tende a zero e il campo magnetico resta diverso da zero; (c) sia il campo magnetico che il campo elettrico restano diversi da zero. Nel caso (a) anche il campo di corrente tende a zero e quindi il modello di campo è quello dell'elettrostatica. In questo caso non potendo esserci un campo di corrente, pur essendoci un campo elettrico, tra i conduttori deve essere frapposto un materiale isolante, cioè del materiale con conducibilità nulla. Un esempio di sistema di questo tipo è il condensatore con dielettrico ideale. Nel caso (b) il modello di campo è quello del campo magnetico stazionario. In questo caso dovendo esserci, per ovvie ragioni, un campo di corrente ed essendo per ipotesi il campo elettrico

18

Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica

nullo, la corrente deve circolare necessariamente in conduttori con conducibilità infinita. Un esempio di sistema di questo tipo è l'induttore realizzato con un conduttore ideale. Infine, nel caso (c), è evidente che il modello deve essere quello del campo stazionario di corrente perché c'è un campo elettrico in presenza di un campo di corrente. In questo caso la corrente circola in conduttori con conducibilità finita. Ciò è quanto si osserva, ad esempio, in un resistore. Cosa accade quando le grandezze variano nel tempo? Per semplicità, si supponga che tutte le grandezze del sistema elettromagnetico di interesse varino nel tempo con legge sinusoidale, (cioè la dinamica temporale di ogni grandezza scalare e di ciascuna componente dei campi vettoriali è del tipo a 0 VLQ 2π I t + ϕ0 ). Si supponga, inoltre, in un esperimento di “pensiero” di disporre di un sistema con cui potere stabilire, a piacere, il valore da assegnare alla frequenza

I

. Non ci

preoccupiamo per il momento, di come ciò possa essere fatto. Senza affrontare il problema del calcolo dei campi elettrici, magnetici e di corrente per l'esempio considerato, limitiamoci qui a riportare i risultati. L'avere supposto una dinamica di questo tipo non costituisce affatto una limitazione, in quanto, come ben sappiamo, dinamiche temporali ben più complesse possono essere sempre rappresentate attraverso una opportuna “somma” discreta o continua di funzioni sinusoidali. Nel caso (a), pur considerando grandezze lentamente variabili, si dimostra che gli effetti dovuti al fenomeno dell'induzione magnetoelettrica nell'equazione di Ampère-Maxwell non possono essere trascurati; invece è possibile trascurare gli effetti dovuti al termine di induzione elettromagnetica nell'equazione di Faraday-Neumann se la frequenza I

em

= c  Lc ,

I

non supera un valore caratteristico (71)

dove c è la velocità della luce nel mezzo, c =1  εµ (stiamo considerando un mezzo omogeneo e tempo invariante) e L c è la dimensione caratteristica più grande del sistema. Questo modello approssimato del campo elettromagnetico prende il nome di modello quasi-stazionario elettrico. Prendiamo ad esempio il condensatore con dielettrico ideale. Se si ignorasse l'effetto della corrente di spostamento, la corrente che circolerebbe in esso sarebbe sempre nulla e ciò sarebbe chiaramente in disaccordo con quanto si osserva e quanto prevedono le equazioni di Maxwell. Invece, non si commette un grave errore considerando irrotazionale il campo elettrico se le grandezze variano lentamente nel tempo. Nel caso (b), pur considerando grandezze lentamente variabili, si dimostra che gli effetti dovuti al fenomeno dell'induzione elettromagnetica nell'equazione di Faraday-Neumann non possono essere trascurati; invece è possibile trascurare gli effetti dovuti al termine di induzione magnetoelettrica nell'equazione di Ampère-Maxwell se la frequenza I non supera il valore caratteristico I em . Il modello approssimato di campo che ne deriva prende il nome di modello quasi-stazionario magnetico. Prendiamo, ad esempio, l'induttore realizzato con un conduttore ideale. Se si ignorasse l'effetto dell'induzione elettromagnetica la tensione tra i suoi terminali sarebbe sempre nulla il che è chiaramente in disaccordo con la teoria e quanto si osserva. Invece, non si commette un grave errore considerando come unica sorgente del campo magnetico la corrente di conduzione se le grandezze variano lentamente nel tempo.

19

Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica

Nel caso (c), a causa dell’accoppiamento tra il campo elettrico e il campo di corrente dovuto alla conduzione, si dimostra che esiste una frequenza caratteristica al di sotto della quale sono trascurabili sia gli effetti dovuti all’induzione elettromagnetica che quelli dovuti all’induzione magnetoelettrica. Il modello approssimato di campo che ne deriva è quello del campo stazionario di corrente, che abbiamo già descritto. 0.5.1 Modello quasi-stazionario elettrico Il modello quasi-stazionario elettrico è il modello approssimato delle equazioni di Maxwell ottenuto trascurando il termine ∂%  ∂t nell'equazione di Faraday-Neumann (33) (o nell'equivalente (44)). Pertanto le equazioni di questo modello sono nella formulazione locale: punti regolari

punti di discontinuità

div' = ρlib 

Q

rot ( =  div- lib = −

⋅ '2 − '1 = σ lib ,

(72)

× ( 2 − ( 1 =  , ∂σ lib Q ⋅ - 2 − - 1 = − , ∂t

(73)

Q

∂ρ lib ∂t



(74)

A queste equazioni bisogna aggiungere le relazioni costitutive (38) e (40). In questo modello l'unica legge approssimata è quella della circuitazione di E: essa coincide con quella del limite stazionario e vale, quindi, con approssimazione tanto migliore quanto più lente sono le variazioni dei campi. Inoltre, in questo modello le dinamiche del campo elettrico e del campo di corrente sono indipendenti da quella del campo magnetico. Questo accoppiamento potrebbe essere realizzato soltanto attraverso opportune relazioni costitutive. Il campo magnetico, invece, dipende da - lib , - s e D, tramite le equazioni punti regolari

punti di discontinuità

div % = 0,

Q

⋅(%2 − %1 ) = 0 ,

(75)

Q

× +2 − +1 = -s lib .

(76)

∂'  rot + = - lib + ∂t

Pertanto, una volta noto il campo di corrente e il campo elettrico, attraverso le equazioni (75) e (76) e le relazioni costitutive (38) e (39), è possibile determinare il campo magnetico. 0.5.2 Modello quasi-stazionario magnetico Il modello quasi-stazionario magnetico è ottenuto, invece, trascurando la densità di corrente di spostamento nell'equazione di Ampère-Maxwell (34) (o nell'equivalente (46)). Pertanto le equazioni in forma locale di questo modello sono: punti regolari ∂%  ∂t div- lib = 0 , div% = 0 rot + = - lib  rot ( = −

punti di discontinuità × ( 2 − ( 1 =  ,

(77)

⋅ - 2 − - 1 = 0 , Q ⋅ %2 − %1 = 0 , Q × + 2 − + 1 = - slib .

(78) (79) (80)

Q Q

20

Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica

A queste equazioni bisogna aggiungere le relazioni costitutive (39) e (40). Nel modello quasi stazionario magnetico la legge di circuitazione per E è esatta, mentre le equazioni del campo di corrente e del campo magnetico H sono quelle del limite stazionario e, quindi, valgono su approssimazione tanto maggiore quanto più lente sono le variazioni dei campi. La dinamica del campo magnetico dipende da quella del campo elettrico se sono presenti corpi conduttori: in essi il campo di densità di corrente dipende dal campo elettrico attraverso la relazione costitutiva (40). A sua volta il campo elettrico dipende dalla dinamica del campo magnetico attraverso il termine ∂ %  ∂t . La carica libera può essere determinata, una volta noto E, per mezzo della relazione costitutiva (38) e delle equazioni punti regolari

punti di discontinuità

ρlib = div'

σ lib = Q ⋅ ' 2 − '1 .

(81)

Per un approfondimento dei modelli quasi-stazionari il lettore può consultare: Hermann A. Haus e James R. Melcher, Electromagnetic Fields and Energy (Prentice Hall, 1989); L. De Menna, G. Miano, “Linear Circuit Elements”, in Encyclopedia of Electrical and Electronic Engineering, John Wiley & Sons Inc., febbraio 1999. Osservazioni Diciamo subito che il funzionamento di moltissimi sistemi elettromagnetici, che sono alla base dello sviluppo tecnologico, è descritto adeguatamente, anche se in modo approssimato, da uno dei modelli quasi-stazionari. Per individuare quale sia il modello quasi-stazionario che approssimi il funzionamento di un dato sistema nel limite lentamente variabile basta utilizzare il criterio che abbiamo innanzi introdotto. Si faccia funzionare il sistema nel limite

I

→ 0 , cioè in regime

stazionario. Se accade che il campo magnetico tende a zero e il campo elettrico resta diverso da zero, allora il modello quasi-stazionario che ne approssima il funzionamento nel limite lentamente variabile deve essere necessariamente quello quasi-stazionario elettrico. Se invece è il campo elettrico che tende a zero, mentre quello magnetico resta diverso da zero, allora il modello quasistazionario che ne approssima il funzionamento è necessariamente quello quasi-stazionario magnetico. Esistono casi in cui, pure essendo il campo elettromagnetico variabile nel tempo, sono trascurabili entrambi i fenomeni di induzione e l'unico fenomeno importante è quello della conduzione. In questi casi nel limite stazionario sia il campo elettrico che il campo magnetico sono diversi da zero. Quando ciò accade, la dinamica del campo è descrivibile per mezzo del modello del campo stazionario di corrente. Ad esempio, il funzionamento di resistori, diodi, transistori può essere descritto in maniera molto accurata dal modello della conduzione stazionaria se le grandezze elettromagnetiche variano lentamente. Non tutte le parti di un sistema elettromagnetico possono essere descritte attraverso lo stesso modello approssimato. Spesso si incontrano sistemi in cui alcune parti possono essere descritte tramite il modello quasi-stazionario elettrico, altre tramite il modello quasi-stazionario magnetico, altre tramite il modello del campo di corrente stazionario e altre possono richiedere il modello

21

Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica

completo di Maxwell perché gli effetti dovuti alla propagazione non sono trascurabili. Prima di concludere questo capitolo, riportiamo un esempio di tali sistemi, (vedi figura 1) 5 . Sulla collina, c'è una antenna A, che trasmette segnali televisivi nella banda UHF (300MHz-3GHz; a 300 MHz la lunghezza d'onda è 1m). La distanza tra l'antenna trasmittente A e quella ricevente C è molto più grande della lunghezza d'onda e gli effetti dovuti ai fenomeni di propagazione non possono essere trascurati. Di conseguenza, per descrivere il campo nella regione B, bisogna ricorrere al modello esatto delle equazioni del campo. Il campo elettromagnetico irradiato dall'antenna A induce delle correnti sulla antenna ricevente C, che vengono convogliate verso il televisore attraverso una linea di trasmissione costituita da un cavo coassiale. La lunghezza del cavo può essere uguale a molte lunghezze d'onda, e quindi anche in questo caso gli effetti dovuti alla propagazione non possono essere ignorati. Nel televisore il funzionamento dei transistori, E, e del tubo catodico, D, sono descritti accuratamente dal modello del campo di corrente stazionario e dal modello quasi-stazionario elettrico, rispettivamente. Il funzionamento dell'altoparlante, che trasforma il segnale elettrico in segnale acustico, è, invece, descritto dal modello quasi-stazionario magnetico. Il sistema di generazione, trasmissione e distribuzione dell'energia elettrica fornisce altri esempi di campi quasi-stazionari. Il funzionamento del trasformatore F, che in prossimità delle abitazioni abbassa la tensione, ad esempio, da 9kV a 220V, è descrivibile con il modello quasi stazionario magnetico; e così pure il funzionamento dell'alternatore H, che nella centrale termoelettrica trasforma calore in energia elettrica. Analogamente, la maggior parte dell'elettronica

I (schede per

l'acquisizione dei dati, calcolatori, etc), utilizzata per controllare il funzionamento dell'intera centrale, è descritta dal modello quasi-stazionario elettrico e dal modello del campo di corrente stazionario, come pure il precipitatore elettrostatico L, che serve per rimuovere le particelle solide dai gas di combustione prima di essere immessi nell'atmosfera. Il sistema di trasmissione di energia elettrica funziona ad alta tensione (centinaia di chilovolt); pertanto esso può essere descritto tramite il modello quasi-stazionario elettrico e così, anche, gli isolatori G. La frequenza di rete è 50Hz e quindi la lunghezza d'onda è 6000 km. La trasmissione di energia elettrica avviene su tratti la cui lunghezza può essere anche migliaia di chilometri. Su queste distanze, confrontabili con la lunghezza d'onda, alcuni effetti dovuti alla velocità finita di propagazione del campo possono essere non trascurabili.

5 Questo esempio è stato preso da Hermann A. Haus e James R. Melcher, Electromagnetic Fields and Energy

(Prentice Hall, 1989).

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Figura 1 Esempi di sistemi elettromagnetici.

Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica

CAPITOLO 1

IL MODELLO CIRCUITALE

1.1 Introduzione I circuiti elettrici sono sistemi fisici del tipo esemplificato schematicamente in figura 1. Essi sono costituiti da un insieme di “oggetti”, detti componenti (numerati in figura da 1 a 7). Ogni componente è delimitato da una superficie chiusa, detta superficie limite, dalla quale fuoriescono due o più conduttori, detti terminali. I terminali sono realizzati con conduttori di elevata conducibilità elettrica e possono essere quasi sempre considerati filiformi (la loro lunghezza è molto maggiore del diametro). I componenti sono connessi tra loro tramite i terminali per mezzo di opportune “giunzioni” detti nodi 1 .

Figura 1 Esempio di circuito elettrico. Nell'esempio proposto in figura 1, esistono tre tipi di componenti. Quelli numerati 1, 3, 4, 5, 7 hanno due soli terminali e sono, per questo motivo, detti componenti a due terminali (gli esempi più comuni sono una lampadina, una stufa elettrica, una batteria, una dinamo, un resistore, un condensatore, un induttore, un diodo a giunzione pn, un generatore di segnale, un amperometro, un voltmetro, un oscilloscopio). Il componente 2 ha, invece, tre terminali ed è quindi detto componente a tre terminali (l'esempio più comune è il transistore; ve ne sono di diversi tipi). Il componente 6 ha 1 Nella realizzazione di un circuito, spesso, è necessario utilizzare ulteriori conduttori filiformi (conduttori di

collegamento) per potere connettere i componenti così come il progetto richiede.

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Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

quattro terminali, raggruppati a due a due (l'esempio più comune è il trasformatore). Più in generale, in un circuito possono esistere componenti con un numero arbitrario di terminali (si pensi, a esempio, a un circuito integrato oppure a una “scheda elettronica”). A essi si dà il nome di componenti a n terminali. Il singolo componente realizza “funzioni elementari” che dipendono dalla sua struttura fisica, mentre il circuito è progettato per realizzare funzioni più complesse. Esempi tipici di circuiti sono: una rete per il trasporto e la distribuzione di energia elettrica, un circuito alimentatore, un circuito amplificatore, un modulatore, un circuito oscillante, un demodulatore, un filtro, una memoria, un microprocessore. In un circuito elettrico il funzionamento di ogni singolo componente (e quindi dell'intero circuito) è, in ogni istante, determinato dalla interazione tra il componente stesso e il resto della rete. In altre parole, si può dire che esso è il frutto della interazione tra due diverse esigenze: che il componente si comporti in modo compatibile con la sua specifica natura e che tale comportamento sia a sua volta compatibile con quello di tutti gli altri componenti presenti nella rete. I circuiti sono progettati e realizzati in modo tale da essere verificata con eccellente approssimazione (in situazione di funzionamento “nominale”) le seguenti condizioni:

(α)

Il funzionamento del singolo componente è descritto adeguatamente e univocamente dalle correnti elettriche che circolano nei suoi terminali e dalle tensioni elettriche tra i suoi terminali: le relazioni tra le tensioni e le correnti del componente dipendono unicamente dalla sua costituzione fisica e non dal circuito in cui il componente è inserito.

(β)

Le interazioni tra i componenti del circuito avvengono esclusivamente attraverso i terminali, cioè attraverso le correnti e le tensioni, e le leggi che le regolano dipendono esclusivamente dal modo in cui i componenti sono collegati e non dalla loro specifica natura.

Le relazioni costitutive descrivono il funzionamento dei singoli componenti, e le leggi di Kirchhoff ne regolano l'interazione. Le equazioni che ne derivano sono le equazioni circuitali . Esse sono l’oggetto di studio di questo libro. Osservazioni Il termine circuito elettrico, quindi, non sta ad indicare soltanto l'oggetto fisico cui si riferisce, ma qualcosa di più: con esso si indica un sistema elettromagnetico che funziona in modo da verificare le condizioni (α) e (β ). In seguito mostreremo, tramite alcuni esempi, come uno stesso sistema possa verificare tali proprietà oppure no, a seconda della velocità di variazione temporale delle sorgenti del campo elettromagnetico, e cioè dei generatori. Le limitazioni (α) e (β ) sono di fondamentale importanza dal punto di vista tecnologico. La condizione (α) assicura che le “caratteristiche” di un componente, in condizione di corretto funzionamento, dipendono esclusivamente dalla sua costituzione fisica e non dal circuito in cui è inserito. Ciò ne consente la costruzione indipendentemente dall'uso che poi se ne farà. Si provi a immaginare come sarebbe complicato costruire un circuito, se le leggi che governano il funzionamento dei componenti dipendessero sensibilmente dal circuito in cui sono inseriti. La condizione (β ) assicura che il funzionamento del circuito dipende solo dal modo in cui i componenti sono collegati, e non dalle loro posizioni (spaziali) relative. Questo è un prerequisito

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Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

fondamentale per la robustezza di un circuito (provate a immaginare cosa accadrebbe se il funzionamento di un circuito della memoria di un calcolatore elettronico dipendesse sensibilmente dalla distanza tra i singoli componenti. Durante il funzionamento di un circuito, lo spazio (sia interno che esterno a ciascun componente e a ciascun terminale), è sede di campi elettrici e magnetici, di correnti elettriche, nonché di distribuzioni di cariche. La dinamica di queste grandezze è descritta dal modello costituito dalle leggi di Maxwell e dalle relazioni costitutive dei mezzi materiali. Sebbene, una descrizione “esatta” del funzionamento di un circuito richieda, almeno in principio, la soluzione delle equazioni del campo elettromagnetico, un modello approssimato, notevolmente semplificato e al contempo sufficientemente adeguato, è disponibile. Esso è il modello circuitale, ed è costituito dall'insieme delle leggi che regolano la dinamica delle correnti e delle tensioni, e cioè le leggi di Kirchhoff e le relazioni costitutive dei componenti. Queste equazioni possono essere dedotte dalle leggi di Maxwell e dalle relazioni costitutive dei materiali, assumendo alcune limitazioni sul funzionamento del sistema elettromagnetico, limitazioni che, come vedremo, sono caratteristiche peculiari dei circuiti. Per descrivere in modo non ambiguo queste limitazioni, cominciamo col distinguere le diverse regioni in cui lo spazio fisico può essere suddiviso per effetto della presenza del circuito. Siano:

Σ c1 , Σc2 ,...,Σ cN

le superfici chiuse -superfici limite - che delimitano i diversi componenti;

Σ t1, Σ t2 ,...,Σ tr Ω1c ,Ωc2 ,...,Ω cN Ω1t ,Ωt2 ,...,Ωtr

le regioni interne alle superfici limite Σ 1 , Σ2 ,...,Σ N ; t t t le regioni interne alle superfici tubolari Σ 1, Σ 2 ,...,Σ r ;

Ω0

una parte limitata del restante spazio, che avvolga tutto il circuito (per definizione

le superfici chiuse e “tubolari” che delimitano i conduttori terminali; c

c

c

esterno a esso), costituita da materiale isolante. Indichiamo con Ω ext l'unione delle regioni Ω1t , Ω2t , ..., Ω tr e Ω 0 e con Ω int l'unione delle regioni c c c c Ω1 ,Ω 2 ,. .., Ω N −1 e Ω N : Ω ext rappresenta la regione dello spazio esterna alle superfici limite, quindi la regione esterna ai componenti. Il campo di densità di corrente di conduzione è nullo nella regione Ω 0 , perché il mezzo materiale che riempie Ω 0 è un isolante (γ=0). Il campo elettrico è nullo nelle t

t

t

regioni Ω1 ,Ω2 ,...,Ωr , perché, per ipotesi, i terminali sono conduttori ideali (γ= ). Ricordiamo che il campo elettrico in un conduttore ideale deve essere necessariamente nullo, altrimenti si avrebbe un campo di densità di corrente illimitato.

1.2 Interazione tra i componenti: un modello di campo approssimato Le limitazioni da imporre, affinché la condizione (β) sia verificata, e quindi l'interazione tra i componenti sia descrivibile attraverso il modello circuitale, riguardano essenzialmente il campo elettrico e il campo di corrente nella regione Ω ext e sono le seguenti:

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Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

(I)

Il flusso del campo di densità di corrente di conduzione attraverso qualsiasi superficie chiusa c c c che non tagli alcuna delle superfici limite Σ 1 , Σ2 ,...,Σ N , deve essere “trascurabile” in ogni istante.

(II)

La circuitazione del campo elettrico lungo qualsiasi linea chiusa Γ che non fori le superfici c c c limite Σ 1 , Σ2 ,...,Σ N , deve essere “trascurabile” in ogni istante.

Diciamo subito che la prima condizione è la generalizzazione della legge di Kirchhoff per le correnti e la seconda è la generalizzazione della legge di Kirchhoff per le tensioni. Naturalmente, per attribuire un significato non ambiguo ad entrambe le condizioni, occorre specificare il significato del termine “trascurabile” che in esse figura. Per quel che riguarda la prima condizione cominciamo col notare che se la superficie chiusa Σ non taglia nessun conduttore terminale, allora essa è verificata esattamente, perché il campo J (stiamo omettendo il pedice “lib”), è identicamente nullo in Ω 0 (ricordiamo che Σ non può tagliare nessuna superficie limite). Pertanto gli unici casi significativi sono quelli in cui viene tagliato almeno un conduttore terminale. È facile convincersi, inoltre che, se Σ taglia un conduttore terminale, allora necessariamente deve tagliare almeno un altro terminale, oppure due volte lo stesso terminale in due sezioni diverse ( Σ non può tagliare alcuna superficie limite e stiamo escludendo che vi siano

terminali scollegati). Si consideri, ad esempio, una superficie chiusa orientata Σ che tagli due conduttori terminali, Ω2t in figura 2a. Si indichino con S1 e S2 le parti della superficie Σ passanti per Ω1t e Ω2t ,

Ω1t e

rispettivamente. Quando si dice che il flusso di J attraverso la superficie chiusa Σ deve essere trascurabile, si vuole dire che esso deve essere trascurabile rispetto al flusso di J attraverso ciascuna delle superfici S1 e S2 , cioè deve essere

∫∫ΣJ ⋅ ndS = ∫∫S J ⋅ ndS + ∫∫SJ ⋅ ndS 1; si assumerà γ t → ∞ . Questo è il modo più semplice per realizzare un resistore. Per caratterizzare il funzionamento elettrico di un resistore, cioè per determinare il legame tra la tensione tra i due terminali, v=v(t), e la corrente che in esso fluisce, i=i(t), bisogna pensarlo inserito in un circuito. A tale scopo si faccia riferimento alla schematizzazione illustrata in figura 13.

4 La resistività di un materiale conduttore dipende dalla temperatura dello stesso, la quale a sua volta dipende dalla potenza dissipata, che, come vedremo, è uguale al prodotto tra la tensione e la corrente (se si usa la convenzione dell'utilizzatore). Pertanto η non è costante, ma dipende dalla tensione e dalla corrente. Comunque è possibile realizzare il componente in maniera tale che, sia garantita una resistività quasi costante se la tensione di lavoro non supera certi valori.

40

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Figura 12 La schematizzazione più semplice di un resistore La tensione v del resistore (il riferimento per il verso è mostrato in figura 13a) è l'integrale di linea di E lungo la curva orientata γ ab che unisce i punti P a e P b appartenenti, rispettivamente, ai terminali “a” e “b”; la corrente i ( il riferimento per il verso è mostrato in figura 13b secondo la convenzione dell'utilizzatore) è il flusso di J attraverso la superficie St che taglia il terminale “a”, orientata concordemente con il riferimento scelto per i.

Figura 13 Applicando la legge di Faraday-Neumann alla linea chiusa orientata Γ , ottenuta unendo il tratto γ ab con il tratto γ i (il verso di percorrenza di Γ è quello concorde con il verso di γ ab , figura 13a), si ottiene dΦ v = ∫ E ⋅ tdl − dtΓ , γ i

dove Φ Γ è il flusso del campo magnetico B concatenato con Γ ,

(19)

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Φ Γ = ∫∫ B⋅ ndSP , ΣΓ

41 (20)

e Σ Γ è una qualsiasi superficie aperta che ha come orlo Γ (il verso della normale n deve essere scelto in modo tale che, esso sia concorde con il verso di Γ secondo la “regola del cavatappi”). Applicando, ora, la legge della conservazione della carica alla superficie chiusa orientata Σ, ottenuta unendo le superfici Sa , St e S i ( Sa è la superficie di contatto tra la barretta conduttrice e il terminale “a” orientata con la normale che punta verso l'esterno di Σ e Si è una superficie passante nel mezzo isolante e nel vuoto, figura 13b), si ha

dQ d i = ∫∫S J⋅ ndS + dt D ⋅ ndS = ∫∫S J ⋅ ndS + dtΣ , ∫∫ Σ a a

(21)

dove Q Σ è la carica racchiusa dalla superficie Σ. Per determinare la relazione tra la corrente i e la tensione v, bisogna conoscere il campo elettromagnetico all'interno della superficie limite del componente. Pertanto è fondamentale la seguente questione: il campo elettromagnetico all'interno della regione delimitata dalla superficie limite, è univocamente determinato dalla conoscenza della tensione e/o della corrente del bipolo? La possibilità di caratterizzare il funzionamento del bipolo tramite una relazione tra la corrente i e la tensione v, che sia praticamente indipendente dal circuito e dal posto in cui il resistore è inserito (la proprietà fondamentale (α)), dipende dalla risposta a questa questione. Per rispondere alla domanda è richiesto uno studio accurato del modello di campo. Purtroppo questa strada, al livello introduttivo a cui siamo, risulta essere del tutto impraticabile. Tra l'altro l'obiettivo di queste lezioni non è quello di esaurire l'argomento della modellistica circuitale, bensì quello di introdurre i modelli di alcuni componenti circuitali fondamentali e discutere allo stesso tempo le condizioni che assicurino la proprietà α. Tutto ciò non può che avvenire attraverso un percorso che sia corretto e al tempo stesso quanto più semplice possibile, proprio per facilitarne la comprensione. A tale scopo il funzionamento del resistore verrà studiato partendo dal limite stazionario e considerando, poi, quello che accade quando le grandezze variano nel tempo. 1.7.1 Limite stazionario: un problema di campo stazionario di corrente Dapprima si consideri il limite stazionario, cioè tutte le grandezze elettromagnetiche siano costanti nel tempo. In questo limite la tensione v nella (19) dipende solo dal campo E lungo γ i e la corrente i nella (21) dipende solo dal campo J su Sa , v = ∫ E ⋅ tdl ,

(22)

i = ∫∫ J ⋅ ndS .

(23)

γi

Sa

La conoscenza della tensione v e/o della corrente i è sufficiente a determinare univocamente i campi J ed E ?

42

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Il campo di corrente nella regione Ω ( Ω è la regione del conduttore con resistività η) è descritto R

R

dal modello del campo stazionario di corrente:

rotE = 0 , divJ = 0 , E = ηJ .

(24) (25) (26)

Sulla superficie (di separazione) ∂Ω

R

che delimita la regione Ω

R

le leggi del campo di corrente

sono:

n × (E 2 − E1 ) = 0 , n ⋅(J2 − J1 ) = 0 ,

(27) (28)

dove n è il versore normale a ∂Ω R (con verso arbitrario). La superficie ∂Ω R è l'unione di tre parti (figura 14): Sa base superiore (regione di contatto con il terminale “a”), Sb base inferiore (regione di contatto con il terminale “b”) e Sl superficie laterale (regione di contatto con l'isolante). Il campo elettrico è irrotazionale, quindi può essere espresso attraverso il gradiente della funzione potenziale scalare ϕ=ϕ(P), cioè E = −gradϕ ,

(29)

e la componente tangente è continua ovunque; invece il campo di corrente J è solenoidale e la componente normale è continua ovunque. Siccome la resistività è uniforme, dalle equazioni (25) e (26) si ottiene che anche il campo elettrico ha divergenza nulla in Ω , R

divE = 0

in

R Ω .

(30)

In questo caso non esistono cariche libere all'interno del conduttore (se la resistività fosse non uniforme, potrebbero esserci cariche libere in Ω ): le cariche sono solo superficiali. Esse sono R

dislocate sulle superfici in corrispondenza delle quali la resistività è discontinua, e cioè sulle superfici di contatto con i terminali e la superficie di contatto con l'isolante. Combinando le equazioni (31) e (32) si ottiene per il potenziale scalare (l'unica incognita del problema) 5 ∇2 ϕ = 0

in

Ω . R

(31)

L'equazione (31) è l'equazione di Laplace. Essa ha infinite soluzioni e tra tutte le possibili bisogna cercare quella o quelle che verificano ulteriori condizioni: le condizioni al contorno sulla superficie ∂Ω . R

I terminali sono realizzati con conduttori ideali, quindi in essi il campo elettrico è nullo. Dalla continuità della componente tangente del campo elettrico attraverso qualsiasi superficie, si ottiene che essa è nulla sia su Sa che su Sb . Quindi su ognuna di queste superfici la funzione potenziale deve essere necessariamente uniforme (se non lo fosse avremmo certamente una componente tangente di E diversa da zero). Si ha pertanto, 5 Il laplaciano ∇ 2 è, per definizione, l'operatore che si ottiene applicando l'operatore divergenza al gradiente 2 di una funzione scalare, ∇ (⋅) ≡ div [grad(⋅)] .

43

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

ϕ = Va,

su

Sa

ϕ = Vb ,

su

Sb

(32)

dove V a e V b sono, rispettivamente, i valori costanti che il potenziale elettrico assume nei terminali “a” e “b”, (i potenziali dei rispettivi terminali). I potenziali V a e V b sono legati alla tensione v del resistore (si sostituisca al campo elettrico l'espressione −∇ϕ nell'integrale di linea lungo (22)), tramite la relazione v = Va − Vb ,

(33)

(il riferimento per il verso di v è indicato in figura 13a). Siccome nell'isolante il campo di densità di corrente è nullo (pure essendovi un campo elettrico diverso da zero, la conducibilità dell'isolante è uguale a zero), dalla continuità della componente normale di J, si ottiene che J n è nulla sulla superficie laterale S l . Pertanto, combinando le (26), (28) e (29) si ottiene che la derivata normale della funzione potenziale (la derivata normale della funzione potenziale su S l è la componente del gradiente normale a S l ) deve essere nulla su S l , cioè ∂ϕ = n⋅ gradϕ = 0 ∂n

su

Ωl .

(34)

È possibile dimostrare (vedi Appendice A) che l'equazione di Laplace (31) ha una sola soluzione che verifica le condizioni al contorno (32) e (34). Si noti che fino a questo momento l'impostazione del problema è stata del tutto generale, non è stato mai fatto riferimento alla particolare geometria considerata.

Figura 14 La soluzione dell'equazione (31) con le condizioni al contorno (32) e (34) in generale non può essere calcolata per via analitica, è possibile determinarla solo per via numerica attraverso tecniche approssimate. Nel caso particolare in esame è possibile risolvere analiticamente il problema. La geometria della struttura e le condizioni al contorno suggeriscono di cercare una soluzione uniforme su ogni sezione circolare della barretta cilindrica, cioè una soluzione dipendente solo dalla coordinata

44

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z (si faccia riferimento a un sistema di coordinate cilindriche con l'asse z coincidente con l'asse di simmetria della barretta conduttrice e con l'origine sulla base inferiore, figura 14) ϕ = ϕ (z )

in

Ω . R

(35)

Una funzione potenziale di questo tipo può verificare la condizione al contorno (32) imponendo che ϕ(z = 0) = V b , ϕ(z = l) = Va .

(36)

La condizione al contorno (34) è verificata perché il potenziale non dipende dalla coordinata radiale (sulla superficie cilindrica la derivata normale della funzione potenziale è uguale alla derivata parziale rispetto a r); la condizione di simmetria di rotazione è verificata perché ϕ non dipende dalla coordinata azimutale. Sostituendo la (35) nell'equazione di Laplace, si ottiene 6 2

d ϕ 2 = 0. dz

(37)

L'integrale generale della (37) è ϕ(z ) = Az + B ,

(38)

dove A e B sono due costanti arbitrarie. Esse devono essere determinate imponendo le condizioni al contorno (38). Immediatamente si ottiene v ϕ(z) = z + Vb per 0 ≤ z ≤ l , l

(39)

dove, ricordiamo, v è la tensione del resistore e l è la lunghezza della barretta. Per come è stata costruita la (39), essa è certamente una soluzione dell'equazione di Laplace che verifica le condizioni al contorno (32) e (34). Per la proprietà di unicità, non possono essercene altre e quindi la funzione potenziale (39) è la soluzione del nostro problema. La funzione potenziale è nota univocamente se si conoscono i valori dei due potenziali V a e V b . Se è nota solo la loro differenza, cioè la tensione v, allora la funzione potenziale è nota a meno di una costante arbitraria. Invece il campo elettrico essendo, a meno del segno, il gradiente della funzione potenziale, è univocamente determinato quando è assegnata la sola differenza di potenziale. In questo caso il campo elettrico vale v E = −ˆz , l

(40)

e il campo di densità di corrente è J = − ˆz

v . ηl

(41)

2 2 2 6 In coordinate cartesiane rettangolari (x,y,z) l'espressione del laplaciano è ∇ 2 ϕ= ∂ ϕ + ∂ ϕ + ∂ ϕ , mentre in 2 2 ∂x ∂y ∂z2 2 2 1 ∂  ∂ϕ  1 ∂ϕ ∂ ϕ 2 coordinate cilindriche (r,ϑ,z) è ∇ ϕ = + + 2 . r ∂z r ∂r  ∂r  r 2 ∂ϑ 2

45

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Dunque, nel limite stazionario il campo elettrico e il campo di corrente all'interno del resistore dipendono solo dalla tensione applicata al resistore. Essi sono indipendenti dal modo e dal circuito in cui il resistore è inserito. Questa proprietà è indipendente dalla particolare geometria scelta. Essa è una proprietà generale ed è diretta conseguenza dell'unicità della soluzione. Sostituendo la (41) nella (23), si ottiene: i = ∫∫ J ⋅ n a dS = − ∫∫ J z dS = Sa

Sa

S v, lη

(42)

dove S è l'area della sezione trasversale della barretta; il verso della normale n a a Sa è in accordo con la convenzione dell'utilizzatore (figura 13b). La (42) è la relazione costitutiva del resistore e può essere così riscritta

v = Ri

o

i = Gv,

(43)

l 1 e G= . S R

(44)

dove

R=η

Le due relazioni (43) esprimono in due modi diversi la legge di Ohm. Il parametro fisico R prende il nome di resistenza del resistore e G prende il nome di conduttanza. Le relazioni (43) sono relazioni lineari tra la corrente e la tensione perché la resistenza R è indipendente sia dalla corrente che dalla tensione. Questa è una diretta conseguenza della linearità delle leggi di Maxwell e della linearità della relazione costitutiva (26) del materiale conduttore con cui è realizzato il resistore. Osservazione A seconda dell'applicazione, variano sia le geometrie (resistori a “filo”, resistori a “film”, etc), che i materiali (leghe metalliche, semiconduttori, polimeri, etc), con cui si realizzano i resistori. La resistenza elettrica di un resistore è un parametro che può essere definito per qualsiasi geometria, purché il materiale conduttore, di cui esso è costituito, sia lineare. In generale, indipendentemente dalla geometria, possiamo definire la resistenza elettrica di un resistore nel modo seguente Definizione: resistenza elettrica La resistenza elettrica di un resistore è il rapporto tra la tensione del resistore e la corrente (i versi di riferimento sono scelti in accordo alla convenzione dell'utilizzatore):

(

)

R ≡ v / i = (Va − Vb ) / ∫∫Sa J ⋅ n a dS .

(45)

Questo rapporto è indipendente dalla tensione e dalla corrente se la relazione costitutiva del conduttore è lineare e dipende unicamente dalla geometria e dalla resistività. Esso è positivo se la resistività è positiva. La resistenza elettrica descrive completamente il funzionamento del resistore in regime stazionario, indipendentemente dal modo e dal circuito in cui è inserito.

46

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La resistenza elettrica si misura nel SI in ohm (Ω): 1Ω=1V/1A (sottomultipli e multipli di uso comune: 1mΩ=10-3 Ω (milli ohm), 1kΩ=103 Ω (chilo ohm), 1MΩ=106Ω (mega ohm)). L'unità di misura della conduttanza elettrica G nel SI è il siemens (S): 1S=1/1Ω. Sulla superficie ∂Ω R che delimita la barretta c'è una carica libera superficiale. Essa nasce a causa della brusca variazione nella resistività del materiale. Ad esempio, in corrispondenza della superficie di base Sa la componente normale del campo elettrico è nulla dalla parte del terminale ed è, invece, diversa da zero dalla parte della barretta se nel terminale circola una corrente. Di conseguenza ci deve essere una carica libera di tipo superficiale. Queste cariche sono le “uniche sorgenti” del campo elettrico in regime stazionario.7 1.7.2 Cosa accade quando le grandezze variano nel tempo? Per semplicità, si supponga che tutte le grandezze varino nel tempo con legge sinusoidale, (cioè la dinamica temporale di ogni grandezza scalare e di ciascuna componente dei campi vettoriali è del tipo a 0 sin(2π f t + ϕ 0 ) ). Si supponga, inoltre, di disporre di un sistema con cui potere stabilire, a piacere, il valore da assegnare alla frequenza f . Non ci preoccupiamo per il momento, di come ciò possa essere fatto. Senza affrontare il problema del calcolo dei campi elettrici, magnetici e di corrente per l'esempio considerato, limitiamoci qui a riportare i risultati. È innanzi tutto di per sé evidente che, la rapidità di variazione nel tempo dei fenomeni elettromagnetici che si verificano nel circuito è fissata dal valore che noi decidiamo volta per volta di assegnare alla frequenza f . I risultati della soluzione del problema possono essere così sommariamente riassunti: -

Fino a che la frequenza f è abbastanza bassa (diciamo 0 ≤ f < f R ), il campo della densità di corrente è ancora distribuito in modo abbastanza uniforme ed è diretto lungo z: gli effetti dovuti ai fenomeni di induzione elettromagnetica e magnetoelettrica prodotti dalla corrente e dalle cariche del resistore sono trascurabili (modello del campo stazionario di corrente). Nelle relazioni (19) e (21) continuano a essere trascurabili, rispettivamente, i termini dΦ Γ / dt e dQ Σ / dt . In queste condizioni, se sono trascurabili anche gli effetti dovuti ai fenomeni di induzione prodotti dalle correnti e dalle cariche degli altri componenti, (questa condizione è quasi sempre verificata) il funzionamento del resistore dipende solo dalla tensione tra i suoi morsetti (continua a essere indipendente dal modo e dal circuito in cui è inserito) e la corrente i = i(t) e la tensione v = v(t) obbediscono ancora alla legge di Ohm (43). Al di sopra della frequenza caratteristica f R il funzionamento del componente può dipende ancora dalla sola tensione e corrente, se gli effetti dovuti agli accoppiamenti induttivi e propagativi con gli altri componenti sono trascurabili, ma il legame tra la corrente e la tensione è

7 In regime stazionario, in corrispondenza di una superficie S di discontinuità della resistività (ad esempio,

sull'interfaccia tra due conduttori con diverse conducibilità), la continuità della componente normale di J impone che sia η1 E n1 = η2 E n 2 . Pertanto la componente normale di E è certamente discontinua, quindi deve esserci su S una densità di carica libera di tipo superficiale.

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47

dipendente dalla frequenza e quindi non è più di tipo statico, cioè del tipo definito dalla relazione (43). Quanto vale la frequenza caratteristica f R ? Per determinarla bisogna considerare gli effetti dovuti ai fenomeni di induzione e di propagazione. È possibile stimare questa frequenza ragionando nel modo seguente. Quando si aumenta di poco il valore della frequenza potrebbe accadere che: (a) il fenomeno di induzione elettromagnetica non è più trascurabile, mentre quello di induzione magnetoelettrica lo è ancora; (b) prevale il fenomeno dell'induzione magnetoelettrica; (c) entrambi i fenomeni di -

induzione non sono più trascurabili. Nel caso (a) il campo elettrico non è più irrotazionale e nella relazione (19) il termine dΦ Γ / dt non è più trascurabile, mentre il campo di corrente continua a essere con buona approssimazione ancora solenoidale. La frequenza caratteristica f ind , al di sopra della quale, nella (19), l'effetto dell'induzione elettromagnetica è confrontabile con quello della conduzione, è data da f ind ≈ R / L0 ; L 0 è un coefficiente (detto coefficiente di autoinduzione), che lega il flusso Φ Γ alla corrente i(t) (sul significato di questo coefficiente ritorneremo più avanti, quando illustreremo il bipolo induttore). A causa dell'induzione elettromagnetica accade, anche, che il campo di corrente si distribuisce in modo non uniforme, addensandosi nella regione esterna del conduttore e indebolendosi in quella centrale (si presenta, cioè, un nuovo fenomeno, noto come effetto pelle; esso è un caso particolare del fenomeno della diffusione del campo magnetico). La frequenza caratteristica f d , in corrispondenza della quale l'effetto pelle si manifesta in maniera molto pronunciata, cresce quasi linearmente al crescere della resistività η e pressoché come 1 / r 20 al decrescere del raggio r 0 della barretta. Una stima di f d è data dalla relazione f d ≈ η (µ 0 r 20 ) (si assuma che la barretta conduttrice abbia permeabilità magnetica µ 0 ). Utilizzando l'espressione della resistenza elettrica (44), si ottiene f d ≈ R (µ 0 l) ≈ 106 ( R / l) . Nella maggior parte dei casi è (R / l) ≥1 Ω / cm e quindi f d ≥ 100 MHz , ed essendo L 0 ≥ µ 0 l si ha f ind ≤ f d .

-

Nel caso (b) il campo elettrico continua a essere con buona approssimazione ancora irrotazionale, ma il campo di corrente non è più conservativo nel flusso e nella relazione (21) il termine dQ Σ / dt non è più trascurabile. In questo caso la corrente di spostamento nel resistore è confrontabile con quella di conduzione. La frequenza caratteristica f r (in corrispondenza della quale questo fenomeno si manifesta in maniera molto pronunciata), è data da f r ≈ 1 ( ηε 0 ) (1 / f r è il tempo caratteristico di rilassamento delle cariche nei corpi conduttori). Anche in questo caso il legame tra la tensione e la corrente è dipendente dalla frequenza e il funzionamento del componente dipende dalla sola tensione, se gli effetti dovuti agli accoppiamenti induttivi (induzione elettrica) con gli altri componenti sono trascurabili.

-

Nel caso (c) gli effetti di entrambi i fenomeni di induzione non sono trascurabili e nelle relazioni (13) e (14) non sono più trascurabili i termini d Φ Γ / dt e dQ Σ / dt : non possono essere più trascurati gli effetti dovuti alla propagazione del campo elettromagnetico. Il componente può irradiare in misura significativa energia (confrontabile con quella dissipata per effetto Joule) nello spazio circostante sotto forma di onde elettromagnetiche coerenti. Esso è diventato, in sostanza, una vera e propria antenna. La frequenza caratteristica di propagazione f p (in corrispondenza

48

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della quale questo fenomeno si manifesta in maniera molto pronunciata), è inversamente proporzionale alla lunghezza caratteristica del componente e vale f p ≈ c / l = 1/ (l ε0 µ 0 ); per

l =1cm, f p vale circa 30 GHz. Abbiamo, quindi, quattro frequenze caratteristiche. Osserviamo subito che f d , f r e f p non sono tra loro indipendenti, ma sono legate dalla relazione notevole (l / r0 )f p = fd f r , cioè la frequenza caratteristica di propagazione è la media geometrica tra quella di diffusione e quella di rilassamento. Dalle espressioni di f r e f d si vede subito che f d > (l / r0 )fp > fr

se

R > R0

f r > (l / r0 )fp > f d

se

R < R0

dove R 0 = µ 0 / ε 0 ≅ 377 Ω . Pertanto la frequenza caratteristica di propagazione non può essere mai la più piccola, e quindi f R è la più piccola tra f r e f ind ≤ f d . Cosa accade se la tensione v(t) e la corrente i(t) non sono sinusoidali? Se sono verificate alcune condizioni, che non sono affatto restrittive dal punto di vista applicativo, è sempre possibile rappresentare qualsiasi funzione tramite una somma discreta o continua di opportune funzioni sinusoidali con diverse frequenze. Pertanto, se le frequenze delle sinusoidi significative, che compongono le funzioni del tempo rappresentative della tensione e della corrente, verificano la condizione 0 ≤ f < f R , il funzionamento del resistore obbedisce ancora alla relazione costitutiva (43). Possiamo così riassumere. Se 0 ≤ f < f R , il funzionamento del resistore è descritto abbastanza accuratamente dal modello del campo stazionario di corrente e quindi la (43) è la relazione tra la corrente i = i(t) e la tensione v = v(t) provvedendo che gli accoppiamenti induttivi con gli altri componenti siano trascurabili. Un resistore viene progettato e realizzato in maniera tale che l'intervallo di frequenze (0, f R ) sia quanto più ampio possibile. Usando particolari geometrie è possibile realizzare resistori con f R ≈ 100MHz . A questo punto possiamo introdurre il modello del resistore ideale, cioè il bipolo resistore. La relazione caratteristica del bipolo resistore è v(t) = Ri(t) .

(46)

La relazione (46) è lineare 8 e di tipo istantaneo, cioè la tensione di un resistore in un generico istante t dipende solo dal valore della corrente in quell'istante (e viceversa) e non dalla storia precedente, tramite una relazione di diretta proporzionalità. Il simbolo del bipolo resistore è illustrato in figura 15.

8 La relazione f(x) si dice lineare se, comunque si scelgano x e x e le costanti α e α si ha 1 2 1 2

f (α 1x1 + α 2 x 2 ) = α 1f (x1 ) + α 2 f (x 2 ) ; la funzione Kx è lineare (K è una costante), mentre Kx+h, x2, ... non sono lineari.

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49

Figura 15 Simbolo del bipolo resistore ideale.

1.8 Il generatore di tensione costante Il componente fisico, a cui si dà il nome di generatore di tensione costante (ad esempio, una pila), può essere schematizzato tramite una barretta a forma cilindrica (come nel caso del resistore), figura 16. La relazione costitutiva del materiale conduttore con cui è realizzata la barretta è

E + E* = ηJ ,

(47)

dove η è la resistività del materiale ed E* è un campo elettromotore noto, indipendente sia da E che da J (ad esempio, in una pila è di natura chimica). La barretta è annegata in un materiale isolante. Per semplicità si assuma E* uniforme nella barretta e diretto lungo l'asse di simmetria del cilindro. Come nel resistore, ai due estremi della barretta sono connessi elettricamente due conduttori con elevata conducibilità.

Figura 16 Rappresentazione schematica di una pila. L'analisi di questo componente è, in sostanza, identica a quella svolta per il resistore e le leggi del campo sono le stesse. In particolare il potenziale elettrico deve verificare ancora l'equazione di Laplace nella barretta, perché sia η che E* sono uniformi e quindi la divergenza di E è nulla. Inoltre deve verificare le stesse condizioni al contorno sulle interfaccia tra la barretta e i terminali e sulla superficie laterale di contatto con l'isolante (quest'ultima deriva dal fatto che, avendo assunto il campo elettromotore E* diretto come l'asse del cilindro, la componente normale di E* sulla superficie laterale è nulla). Pertanto sia la funzione potenziale che il campo elettrico hanno la stessa espressione ottenuta per il resistore (vedi la (39) e la (40)). L'espressione del campo J sarà diversa

50

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perché è diversa la relazione costitutiva. Sostituendo la (47) nella (40), si ottiene (l è la lunghezza della barretta) J=

1 v *  − + E  ˆz ,  η l

(48)

quindi, la corrente i vale i=

S * v −E l . ηl

(

)

(49)

La (49) può essere riscritta nella forma v = R g i + V0 ,

(50)

dove

Rg =

ηl , S

(51)

*

V 0 = E l. Alla grandezza R g si dà il nome di resistenza interna del generatore (la resistenza che si avrebbe se fosse E*=0) e a V 0 il nome di tensione a vuoto (la tensione che si ha quando la corrente è nulla). La relazione (50) è la relazione caratteristica del generatore reale di tensione. Come nel caso del resistore, essa descrive adeguatamente il funzionamento di un generatore di tensione costante se le frequenze delle armoniche più significative, che compongono le funzioni del tempo rappresentative della tensione e della corrente, verificano la condizione 0 ≤ f < f G ; f G è una frequenza caratteristica che ha una struttura simile a quella introdotta nel caso del resistore.

Figura 17

(a) Il simbolo del generatore ideale di tensione; (b) circuito equivalente del generatore di tensione “reale”.

Ogni generatore è realizzato ed è fatto funzionare in modo tale che gli effetti della resistenza interna siano trascurabili. Una generatore di tensione è caratterizzato da una resistività molto piccola, al limite tendente a zero. La caratteristica del generatore ideale di tensione (R g = 0 ) è

v = V0 .

(52)

La tensione di un generatore ideale di tensione, quindi, non dipende dalla corrente che in esso circola. In figura 17a viene mostrato il simbolo del generatore di tensione ideale. Il contrassegno “+” sta a

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51

indicare il riferimento per il verso della tensione a vuoto. Un generatore di tensione reale può essere rappresentato attraverso un bipolo generatore ideale di tensione V 0 in serie con un resistore di resistenza R g , figura 17b. La tensione di un generatore di tensione può anche variare nel tempo, come ad esempio negli alternatori o nei generatori di segnale.

1.9 Il condensatore Il componente, a cui si dà il nome di condensatore, può essere schematizzato tramite due armature (due corpi conduttori), tra le quali è interposto un dielettrico (figura 18) con costante dielettrica relativa abbastanza più grande di uno. Sia le armature che i terminali hanno elevatissima conducibilità elettrica. Si assuma che il dielettrico sia perfettamente isolante, lineare, omogeneo ed isotropo e che i conduttori abbiano conducibilità infinita.

Figura 18 Schematizzazione di un condensatore.

Figura 19

52

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Per caratterizzare il funzionamento del condensatore bisogna determinare la relazione tra la tensione v(t) e la corrente i(t), così come abbiamo fatto per il resistore e il generatore (si suppone sempre che il componente in esame sia inserito in un circuito). La regione occupata dal dielettrico è indicata con Ω (figura 19); si noti che in qualsiasi condizione di funzionamento J=0 in Ω . C

C

La tensione v del condensatore (il riferimento per il verso è mostrato in figura 19a) è l'integrale di linea di E lungo la curva orientata γ ab che unisce i punti P a e Pb appartenenti, rispettivamente, ai terminali “a” e “b”; la corrente i (con il riferimento per il verso mostrato in figura 19b) è il flusso di J attraverso la superficie S t , che taglia il terminale “a”, orientata concordemente con il riferimento scelto per i, secondo la convenzione dell'utilizzatore. Applicando, come nel resistore, la legge di Faraday-Neumann alla linea chiusa orientata Γ , ottenuta unendo il tratto γ ab con il tratto γ i (il verso di percorrenza di Γ è quello concorde con il verso di γ ab , figura 19a), si ottiene dΦ v = ∫ E ⋅ tdl − dtΓ , γ

(53)

i

dove Φ Γ è il flusso del campo magnetico B concatenato con Γ . Applicando, ora, la legge della conservazione della carica alla superficie chiusa orientata Σ, ottenuta unendo le superfici Sd , St e Si ( Sd è una superficie aperta che taglia il dielettrico e Si è una superficie passante per il vuoto, figura 19b), si ha d D ⋅ ndS = dQ Σ , i = dt ∫∫Σ dt

(54)

dove Q Σ è la carica libera all'interno di Σ; il flusso di corrente attraverso Sd è nullo perché nel dielettrico è J=0. In un dielettrico ideale non ci sono cariche libere, perché inizialmente abbiamo ρlib = 0 e in ogni istante successivo è ∂ρ /∂t = −divJ = 0 . Pertanto Q Σ è uguale alla sola carica libera di tipo superficiale, che si trova sull'armatura “a” del condensatore, e quindi: dQ i(t) = dt a .

(55)

Qual è il legame tra la carica Q a = Q a (t) e la tensione v=v(t)? 1.9.1 Limite lentamente variabile Per descrivere il funzionamento del condensatore non è possibile trascurare gli effetti dovuti alla corrente di spostamento, altrimenti dalla (54) avremmo sempre i=0. In condizione di funzionamento lentamente variabile ( 0 ≤ f < f C , dove f C è una frequenza caratteristica del condensatore; in seguito vedremo quanto vale), invece, possono essere trascurabili i fenomeni di induzione elettromagnetica, v ≅ ∫ E ⋅ tdl P .

(56)

γi

Pertanto, il funzionamento del condensatore nel limite lentamente variabile è descritto abbastanza accuratamente dal modello quasi-stazionario elettrico. Il campo elettrico nella regione Ω ( Ω è la C

C

53

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regione riempita di dielettrico con costante dielettrica ε) è descritto dalle equazioni (abbiamo già visto che nel dielettrico è assente la carica libera): ∇ ×E = 0,

(57)

∇⋅D = 0,

(58)

D = εE .

(59)

Come per il resistore, il campo elettrico è irrotazionale, quindi

E = −∇ϕ dove ϕ=ϕ(r) è il

potenziale scalare. Siccome la costante dielettrica è uniforme, dalle equazioni (58) e (59) si ottiene che anche il campo elettrico ha divergenza nulla in Ω . Da queste considerazioni si ha C

immediatamente 2

∇ ϕ=0

Ω .

in

(60)

C

Allo scopo di determinare le condizioni al contorno, si decomponga il contorno ∂Ω di Ω in tre parti: Sa base superiore (regione di contatto armatura“a” - dielettrico); Sb base inferiore (regione di C

C

contatto armatura“b” - dielettrico); Sl superficie laterale (interfaccia dielettrico-vuoto). Le armature sono realizzate con conduttori ideali, quindi in essi il campo elettrico è nullo. Utilizzando la continuità della componente tangente del campo elettrico attraverso qualsiasi superficie, si ottiene che essa è nulla sia su Sa che su Sb e quindi su ognuna di queste superfici la funzione potenziale deve essere necessariamente uniforme. Possiamo porre, pertanto, ϕ = Va

su

Sa ,

ϕ = Vb

su

Sb ;

(61)

V a e V b sono, rispettivamente, i potenziali elettrici dei terminali “a” e “b”, e sono legati alla tensione

del condensatore dalla relazione: v = Va − Vb ,

(62)

(il riferimento per il verso di v è segnato in figura 19a). Siccome su Sl non c'è carica superficiale libera (essa è inizialmente assente e in ogni istante d v successivo è ∂σ / ∂t = −n l ⋅ (J − J ) = 0 perché J=0), sull'interfaccia dielettrico-vuoto bisogna

imporre la continuità della componente normale di D. Pertanto la derivata normale della funzione potenziale è data da ∂ϕ ε0 v = ε En ∂n

su

Sl ,

(63)

dove ε 0 è la costante dielettrica del vuoto. Si assuma ε0/ε f ), il fenomeno dell'induzione C

elettromagnetica diventa non più trascurabile, il campo elettrico non può essere più ritenuto irrotazionale e nella (53) non è più trascurabile il termine dΦ Γ / dt . La relazione tra la carica e la tensione comincia a dipendere dalla frequenza. La frequenza caratteristica f , al di sopra della i

quale ciò avviene, è inversamente proporzionale al raggio r 0 dell'armatura e la costante di proporzionalità è la velocità di propagazione della luce nel dielettrico, f ≈ cd / r0 dove i

c d = 1 / εµ 0 . Poi, man mano che la frequenza cresce ancora, comincia a non essere più

trascurabile il fenomeno della propagazione del campo elettromagnetico. Il componente può irraggiare in misura significativa energia nello spazio circostante sotto forma di energia elettromagnetica. Esso diventa, in sostanza, una vera e propria antenna. Un'altra limitazione in frequenza è dovuta al dielettrico: esistono frequenze caratteristiche nell'intorno delle quali la costante dielettrica varia al variare della frequenza e quindi la relazione costitutiva (59) non è più valida. La frequenza caratteristica f è la più piccola tra queste C

frequenze. Al di sopra della frequenza f il funzionamento del componente dipende ancora dalla C

sola tensione e corrente, se gli effetti dovuti agli accoppiamenti induttivi e propagativi con gli altri componenti sono trascurabili, ma il legame tra tensione e carica elettrica è dipendente dalla frequenza e quindi non è più di tipo statico come quello definito dalla relazione costitutiva (70). In conclusione possiamo dire che, se le tensioni e le correnti variano lentamente (cioè le frequenze delle sinusoidi significative che compongono v(t) e i(t) verificano la condizione 0 ≤ f < f C ), il

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57

funzionamento del condensatore è descritto abbastanza accuratamente dal modello quasi-stazionario elettrico e la (70) insieme alla (54) descrivono la relazione tra la corrente e la tensione, provvedendo che siano trascurabili gli effetti dovuti al fenomeno di induzione elettrostatica. Un condensatore viene progettato e realizzato in maniera tale che l'intervallo di frequenze (0, f C ) sia quanto più ampio possibile. Usando particolari geometrie e dielettrici è possibile realizzare condensatori con f C ≈100MHz . Per distinguere il modello del condensatore dal componente reale, si usa il simbolo mostrato in figura 20. Il funzionamento del bipolo condensatore ideale è descritto da  dQ i=  dt  Q = Cv

(73)

se si adotta la convenzione dell'utilizzatore. Se la capacità è costante nel tempo si ottiene i =C

dv . dt

(74)

La (74) è la relazione costitutiva di un condensatore lineare e tempo invariante. Questa relazione è di tipo dinamico, a differenza di quanto accade per il resistore: in un condensatore la corrente in un generico istante dipende dal valore della derivata della tensione in quell'istante, e quindi dalla storia della tensione in un intorno di quell'istante. Dall'equazione (74) si ottiene la relazione costitutiva in forma integrale, cioè 1 t i( τ)dτ . v(t) = v(t 0 ) + C ∫0

(75)

Dalla (75) è ancora più evidente il fatto che il legame tra la tensione e la corrente di un condensatore è di tipo dinamico: la tensione all'istante t dipende dalla tensione all'istante t 0 e dalla storia della corrente nell'intervallo (t 0 , t) .

Figura 20 Simbolo del bipolo condensatore ideale lineare e tempo-invariante.

1.10 L'induttore Un induttore è costituito da un avvolgimento di molte spire (figura 21), realizzato con conduttore “filiforme” (la superficie del conduttore è smaltata con vernice isolante) di elevata conducibilità elettrica. Il supporto materiale, sul quale è avvolto il filo conduttore, può avere diverse forme (ad esempio, cilindrica, toroidale) e può essere fatto di materiale con permeabilità magnetica confrontabile con quella del vuoto (come, ad esempio, la plastica) oppure di materiale ferromagnetico (come, ad esempio, il ferro dolce, la ferrite, etc).

58

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Si assuma che le proprietà magnetiche del supporto siano descrivibili tramite una relazione costitutiva B-H lineare, omogenea e isotropa (i fenomeni di saturazione, di isteresi e di anisotropia vengono ignorati qualora il supporto fosse fatto di materiale ferromagnetico). Inoltre si assuma infinita la conducibilità del conduttore.

Figura 21 Rappresentazione schematica di un induttore. Per caratterizzare il funzionamento dell'induttore bisogna determinare la relazione tra la tensione v=v(t) e la corrente i=i(t); come al solito, si supponga che l'induttore sia inserito in un circuito (figura 22). Si noti che in qualsiasi condizione di funzionamento E=0 all'interno del conduttore. La tensione v dell'induttore (con il riferimento per il verso mostrato in figura 22a) è l'integrale di linea di E lungo la curva orientata γ ab che unisce i punti P a e P b appartenenti, rispettivamente, ai terminali “a” e “b” (in generale i terminali sono realizzati con lo stesso filo conduttore con cui è realizzato l'avvolgimento). La corrente i (con il riferimento per il verso mostrato in figura 22b) è il flusso di J attraverso la superficie St , che taglia il terminale “a”, orientata concordemente con il riferimento scelto per il verso di i. Applicando la legge di Faraday-Neumann alla linea chiusa orientata Γ , ottenuta unendo il tratto γ ab con il tratto γ c interno al conduttore (il verso di percorrenza di Γ coincide con quello di γ ab , figura 22a), si ottiene dΦ v = − dt Γ ,

(76)

dove Φ Γ è il flusso del campo magnetico B concatenato con Γ (il contributo del tratto γ c alla circuitazione di E è nullo). Applicando la legge della conservazione della carica alla superficie chiusa orientata Σ ottenuta unendo le superfici Sc , St e S v ( Sc è una generica sezione orientata dell'avvolgimento con la normale che punta verso l'esterno di Σ e Sv è una superficie passante per il vuoto, figura 22b), si ha d D ⋅ ndS . i = ∫∫S J ⋅ ndS + dt ∫∫ c

Σ

Qual è il legame tra il flusso Φ Γ = Φ Γ ( t) e la corrente i=i(t)?

(77)

59

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Figura 22

1.10.1 Limite lentamente variabile Per descrivere il funzionamento dell'induttore non è possibile trascurare gli effetti dovuti all'induzione elettromagnetica, altrimenti dalla (76) avremmo sempre v=0. In condizione di funzionamento lentamente variabile (ovvero per 0 ≤ f < f I , dove f I è una frequenza caratteristica dell'induttore; in seguito vedremo quanto vale), invece, sono trascurabili i fenomeni di induzione magnetoelettrica e quindi gli effetti della corrente di spostamento,

i(t ) ≅ ∫∫ Sc J(P;t)⋅ ndSP .

(78)

Il funzionamento dell'induttore nel limite lentamente variabile è descritto in modo abbastanza accurato dal modello quasi-stazionario magnetico. Nel modello quasi-stazionario magnetico il campo magnetico nella regione Ω ( Ω è la regione I

I

racchiusa dalla superficie limite dell'induttore) è descritto dalle equazioni (in questo caso risulta conveniente utilizzare la formulazione integrale delle leggi del campo magnetico):

∫∫ΣB⋅ ndS = 0 , ∫γH ⋅ tdl = ∫∫SJ ⋅ndS ,

(79)

B = µH .

(81)

(80)

γ

Sulla superficie limite ∂Ω bisogna imporre la continuità della componente normale di B e della I

componente tangente di H.

60

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Nel funzionamento stazionario il campo di corrente è solenoidale, quindi il flusso di J attraverso qualsiasi sezione Sc dell'avvolgimento è uguale alla corrente i; di conseguenza la corrente è uniforme lungo l'avvolgimento. I campi B e H sono indipendenti dalla coordinata azimutale θ perché la struttura è assi- simmetrica (le spire di conduttore filiforme sono serrate). Le equazioni (79)-(81) consentono di calcolare in maniera molto semplice il campo H e quindi B all'interno del solenoide cilindrico (figura 23) se si assume che il campo è anche uniforme lungo l'asse. Questa ipotesi sarebbe esattamente verificata se il solenoide avesse lunghezza infinita. Comunque il campo di un solenoide di lunghezza illimitata approssima abbastanza bene il campo all'interno di un solenoide lungo, cioè un solenoide la cui lunghezza è molto più grande del raggio. Si cerchi la soluzione delle equazioni (79)-(81) nella forma H = ˆrH r (r) + ˆθHθ ( r) + zˆ Hz (r ) , B = ˆrB r (r ) + θˆ Bθ ( r) + ˆzBz (r) .

(82) (83)

Prima di tutto si dimostrerà che le componenti radiali sono identicamente nulle. A tale scopo si applichi la legge della conservazione del flusso (79) alla superficie chiusa orientata Σ (Σ è costituita dall'unione delle due superfici di base S1 e S2 e dalla superficie laterale S3 ) a forma di cilindro mostrata in figura 23; si ha

∫∫S B⋅ n1dS + ∫∫S 1

B⋅ n 2 dS + 2

∫∫S B ⋅ n3dS

=0.

(84)

3

È immediato verificare che, essendo il campo B indipendente da z, il flusso di B attraverso S1 è uguale all'opposto del flusso attraverso S2 (l'orientazione di S1 è discorde con quella di S2 ). Pertanto dalla (84) si ha che il flusso attraverso la superficie cilindrica S3 deve essere identicamente nullo per ogni possibile S3 , cioè

∫∫S B ⋅ n3dS

=0.

(85)

3

Figura 23

indica che il riferimento per la corrente è uscente dal foglio, mentre entrante.

indica che è

Siccome la normale a S3 è diretta radialmente e il campo è indipendente dalla coordinata azimutale, la componente radiale di B deve essere identicamente nulla; la (81) implica che anche la componente radiale di H deve essere nulla ovunque.

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61

Anche la componente azimutale del campo H è identicamente nulla. Per dimostrarlo basta applicare la legge di Ampere (80) alla curva γ 1 mostrata in figura 23a. Essa è una circonferenza di raggio r con l'asse coincidente con quello del solenoide; quindi il versore t a essa tangente coincide con il versore fondamentale ˆθ e la circuitazione vale

∫ H ⋅ tdl = 2πrH γ1

θ

(r ) .

(86)

Siccome γ 1 non concatena nessuna corrente, dalla (86) si ha che H θ (r ) = 0 e quindi dalla (81) B θ (r ) = 0 .

Infine bisogna determinare la componente H z . Per determinarla basta applicare la legge di Ampere alla curva orientata γ 2 ; si ottiene

∫abH ⋅ tdl + ∫bcH ⋅ tdl + ∫cdH ⋅ tdl + ∫daH ⋅ tdl = n i ,

(87)

dove n è il numero di spire concatenate dalla curva γ 2 . I termini relativi ai tratti b-c e d-a sono nulli perché il campo non ha componente radiale. Quindi si ha

∫abH ⋅ tdl = n i − ∫cdH ⋅ tdl .

(88)

Il termine relativo al tratto c-d dipende dal campo all'esterno del solenoide. Questo campo, nel limite di solenoide lungo, non dipende dalle correnti che circolano nel solenoide: esso dipende solo da eventuali altre correnti presenti nello spazio circostante. Pertanto, il campo magnetico in Ω

I

dipende sia dalla corrente che circola nell'induttore, sia dalle correnti che circolano nelle altre parti del circuito (anche se queste correnti non compaiono nell'equazione (80), il loro effetto entra tramite le condizioni al contorno su ∂Ω I ). È possibile progettare e realizzare il circuito e il componente in modo tale che questa influenza non abbia effetti importanti (nei casi più difficili si possono utilizzare degli schermi magnetici). Si assuma che gli effetti delle altre correnti siano trascurabili, quindi l'unica sorgente del campo magnetico B presente nel solenoide sia la corrente circolante nell'avvolgimento. Allora abbiamo

∫cdH ⋅ tdl ≅ 0,

n H z (r) ≅ −   i, h

(89) (90)

dove h è la lunghezza del tratto a-b. È ragionevole assumere che il filo conduttore sia avvolto in maniera (N/ l ) uniforme. In questo caso (n/ h) è il numero di spire per unità di lunghezza ed è uguale a dove N è il numero di spire dell'avvolgimento e l è la lunghezza del solenoide. Si noti che H z è indipendente da r, quindi il campo è uniforme. Utilizzando la relazione costitutiva (81) si ha  N B = −ˆzµ   i .  l

(91)

Il campo magnetico all'interno del supporto materiale dell'avvolgimento dipende solo dalla corrente dell'induttore, nel resistore e nel condensatore il campo elettrico dipende solo dalla tensione applicata. Ricordiamo, però, che questa proprietà è una conseguenza dell'approssimazione (89); in questo modo vengono ignorati gli effetti dovuti alle correnti circolanti nella parte restante del

62

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circuito. Anche nel condensatore la corrispondente proprietà era il risultato di una approssimazione, l'approssimazione (64); in quel caso venivano ignorati gli effetti dovuti alle cariche presenti sugli altri corpi conduttori del circuito. Cosa accadrebbe qualora questa approssimazione non fosse valida? In questo caso il campo magnetico B all'interno del solenoide dipenderebbe sensibilmente dalle correnti che circolano negli altri componenti. Ora bisogna determinare il flusso concatenato con la curva chiusa Γ. Esso è la somma di due contributi. Il primo, che è anche quello più rilevante, è il flusso concatenato con le N spire dell'avvolgimento; il secondo è il flusso attraverso la striscia ST mostrata in figura 22a. Questo secondo termine è trascurabile, sia perché il campo all'esterno del solenoide è trascurabile e sia perché la sua area è molto più piccola dell'area equivalente a quella delle N spire. Siccome il campo B è uniforme ed è diretto normalmente al piano della spira, il flusso φ concatenato con una spira vale (si ricordi che la singola spira deve essere orientata concordemente con il verso di Γ) S φ = −µ N i . l

(92)

Pertanto − Φ Γ è dato da −Φ Γ = µ

S 2 N i. l

(93)

Nella letteratura si definisce il flusso Φ concatenato con un circuito (il flusso dell'induttore) orientando la normale concordemente al riferimento scelto per il verso della corrente i; invece Φ Γ è definito orientando la normale concordemente al riferimento scelto per la tensione. Quando si usa la convenzione dell'utilizzatore le due orientazioni sono discordi, invece quando si usa la convenzione del generatore sono concordi. In queste lezioni si userà sempre la convenzione dell'utilizzatore, e quindi vale la relazione Φ = −Φ Γ ,

(94)

e il flusso Φ dell'induttore vale  S 2 Φ = µ N  i ,  l 

(95)

e la (76) diventa

Φ. v = ddt

(96)

La (95) è la relazione caratteristica dell'induttore lineare, che riscriviamo nel modo seguente

Φ = Li ,

(97)

 S 2 L =  N µ . l 

(98)

dove

Il parametro fisico L prende il nome di induttanza dell'induttore o coefficiente di autoinduzione. Osservazione

63

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A seconda dell'applicazione, variano sia le geometrie (solenoide cilindrico corto, solenoidi toroidali, etc), che i materiali (ferro dolce, ferriti, materiali non magnetici, etc), con cui si realizzano gli induttori. L'induttanza di un induttore è un parametro che può essere definito per qualsiasi geometria, purché il comportamento del materiale sia lineare e gli effetti degli accoppiamenti, dovuti all'induzione elettromagnetica, con le altre parti del circuito siano trascurabili. Per geometrie complesse bisogna ricorrere ai metodi numerici per il calcolo dei campi. Definizione: Induttanza L'induttanza L di un induttore è il rapporto tra il flusso Φ del campo B concatenato con l'avvolgimento Γ prodotto dalla corrente che in esso circola e la corrente stessa ( SΓ è una qualsiasi superficie orientata che ha come orlo l'avvolgimento, con la normale orientata concordemente al riferimento scelto per il verso della corrente),   L ≡ Φ / i =  ∫∫ B ⋅ ndS / i .  S 

(99)

Γ

L'induttanza è un parametro indipendente dalla corrente e dal flusso perché: (a) la relazione costitutiva del materiale magnetico è lineare; (b) l'induttore non è accoppiato ad altri parti del circuito. Inoltre L è positiva perché la permeabilità magnetica è positiva. La relazione (97), tramite questo parametro, descrive completamente il funzionamento dell'induttore, indipendentemente dal modo e dal

circuito in cui è inserito; essa dipende solo dalla geometria e dalla permeabilità

magnetica del materiale. Nel caso in cui l'approssimazione (89) non valesse, bisognerebbe considerare il contributo al flusso dovuto alle altre correnti presenti nel circuito. Ciò può essere fatto tramite i coefficienti di mutua induzione. L'induttanza nel SI si misura in henry(H): 1H=1Wb/1A; è molto frequente l'uso dei sottomultipli 1mH=10-3 H (milli henry), 1µH=10-6 H (micro henry), 1nH=10-9 H (nano henry). Nel caso stazionario la tensione dell'induttore è nulla come si vede dall'equazione (96): l'induttore si comporta come un resistore con resistenza nulla, cioè per ogni valore di corrente la tensione è identicamente nulla. In realtà se portassimo in conto gli effetti dovuti alla piccola resistività del conduttore con cui è realizzato l'avvolgimento, la tensione sarebbe diversa da zero. 1.10.2 Cosa accade quando f > f I ? Al crescere della frequenza (diciamo, per

f I < f ), si osserva che il fenomeno dell'induzione

magnetoelettrica non è più trascurabile, nella relazione (77) non è più trascurabile il termine di corrente di spostamento e il campo di corrente non può essere più ritenuto solenoidale. La relazione tra il flusso e la corrente comincia a dipendere dalla frequenza. La frequenza caratteristica f I è inversamente proporzionale al raggio delle spire; la costante di proporzionalità è la velocità di propagazione della luce nel supporto materiale dell'avvolgimento. Poi, man mano che la frequenza cresce, comincia a non essere più trascurabile il fenomeno della propagazione di onde elettromagnetiche. Il componente può irraggiare in misura significativa energia nello spazio

64

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circostante sotto forma di energia elettromagnetica. Esso diventa, in sostanza, una vera e propria antenna. In conclusione possiamo dire che, se le tensioni e le correnti variano lentamente (cioè le frequenze delle sinusoidi significative, che compongono v(t) e i(t), verificano la condizione 0 ≤ f < f I ), il funzionamento dell'induttore è descritto abbastanza accuratamente dal modello quasi-stazionario magnetico e la (96) insieme alla (97) descrivono la relazione tra la corrente e la tensione, provvedendo che siano trascurabili gli effetti dovuti ai fenomeni di accoppiamento mutuo con gli altri conduttori del circuito. Un induttore viene progettato e realizzato in maniera tale che l'intervallo di frequenze (0, f I ) sia quanto più ampio possibile (anche per gli induttori in aria e in ferrite è possibile arrivare fino a frequenze dell'ordine di 100 MHz). Per distinguere il modello dell'induttore dal componente reale, si usa il simbolo mostrato in figura 24. La relazione caratteristica del bipolo induttore ideale è dΦ  v=  dt  Φ = Li

(100)

con la convenzione dell'utilizzatore. Se il coefficiente di autoinduzione è costante nel tempo si ha v=L

di . dt

(101)

La (101) è la relazione costitutiva dell'induttore lineare e tempo-invariante. Essa è una relazione lineare di tipo dinamico come quella dell’induttore: per un induttore la tensione in un generico istante dipende linearmente dal valore della derivata della corrente in quell'istante, e quindi dalla storia della corrente in un intorno di quell'istante. Dall'equazione (101) si ottiene la relazione costitutiva in forma integrale, cioè 1 i(t) = i(t 0 ) + L

t

∫0 v(τ)dτ .

(102)

Dalla (102) è ancora più evidente il fatto che il legame tra la tensione e la corrente di un induttore è di tipo dinamico: la corrente all'istante t dipende dalla corrente all'istante t 0 e dalla storia della tensione nell'intervallo (t 0 , t) .

Figura 24 Simbolo del bipolo induttore lineare tempo-invariante. Esempio Un circuito semplice di tipo “statico” Un circuito costituito da un generatore reale di tensione e un resistore è detto circuito semplice statico. Un arbitrario circuito siffatto può essere rappresentato come illustrato in figura 25a, dove con

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G si è indicato il generatore di tensione ( E 0 è la tensione a vuoto e R 0 è la resistenza interna del generatore di tensione) e con R il resistore (di resistenza R).

Figura 25 (a) un circuito semplice di tipo statico; (b) un circuito semplice di tipo dinamico. Applicando la prima legge di Kirchhoff a uno dei due nodi che connettono il generatore G al resistore R, si ottiene iG + iR = 0 ,

(103)

e applicando la seconda legge di Kirchhoff all'unica maglia del circuito si ottiene: vG − vR = 0 .

(104)

Applicando le leggi di Kirchhoff sono state ottenute due equazioni indipendenti in quattro incognite. Abbiamo bisogno di altre due equazioni indipendenti: esse sono le relazioni costitutive dei due bipoli. Usando la convenzione dell'utilizzatore si ha per il generatore per il resistore

vG = E 0 + R 0i G , v R = Ri R .

(105)

Combinando le equazioni (103)-(105) si ottiene la soluzione del circuito: −i G = i R =

E0 , R0 + R

vG = vR = E 0

R . R0 + R

(106)

Se la resistenza interna del generatore reale di tensione tende a zero, la soluzione del circuito è E0 , R vG = vR = E 0. −i G = i R =

(107)

Esempio Un circuito semplice di tipo “dinamico” Un circuito costituito da un generatore reale di tensione e un induttore è detto circuito semplice dinamico. Un arbitrario circuito siffatto può essere rappresentato come illustrato in figura 25b, dove con I si è indicato l'induttore (di induttanza L). Applicando le leggi di Kirchhoff e le equazioni costitutive, si ottiene il sistema di equazioni algebriche-differenziali

66

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LKC

i G + iL = 0,

LKT

v G − v L = 0,

generatore

v G − R 0 iG = E0 ,

induttore

vL − L

(109)

di L = 0. dt

Combinando queste equazioni si ottiene per la corrente nell'induttore i=i(t) L

di + R 0 i = E0 . dt

(110)

La soluzione più generale possibile dell'equazione differenziale (110) (quella che le contiene tutte) è i(t) = Ke−

t/τ

+

E0 , R0

(111)

dove K è una costante arbitraria e τ = L / R . Per determinare la costante K (e quindi l'andamento temporale della corrente che circola nel circuito), c'è bisogno di un'ulteriore informazione, non contenuta né nelle leggi di Kirchhoff e né nelle relazioni costitutive: il valore della corrente nell'induttore in un istante di tempo. Si assuma di conoscere il valore della corrente all'istante t=0 e lo si indichi con I 0 . Allora si ottiene: K = I0 −

E0 , R0

(112)

quindi i(t) = I 0 e −

t/τ

+ (1 − e −

t/τ

)

E0 . R0

(113)

É facile verificare che nel limite R 0 → 0 si ha

i(t ) = I 0 +

E0 t. L

(114)

Esempio Circuito illustrato in figura 5 Si scrivano le equazioni del circuito illustrato in figura 5. Le equazioni che è possibile ottenere applicando le leggi di Kirchhoff, sono già state determinate (vedi l'esempio svolto a pagina 37). Le equazioni che descrivono il funzionamento dei singoli bipoli sono bipolo 1 v1 = e(t),

bipolo 4 Cdv 4 / dt − i4 = 0,

bipolo 2 v2 = E0 ,

bipolo 5

g( v5 ) − i 5 = 0,

(115)

bipolo 3 v 3 − Ri 3 = 0, bipolo 6 v6 − Ldi 6 / dt = 0. Il componente 1, cioè il generatore di segnale, può essere modellato attraverso un generatore di tensione ideale con tensione variabile nel tempo e il componente 2, cioè il diodo, attraverso un legame non lineare tra i valori istantanei della corrente e della tensione. In seguito descriveremo in dettaglio anche le relazioni caratteristiche di questi componenti. L'insieme di equazioni (115) è costituito da equazioni tutte indipendenti tra loro, cioè non è possibile in alcuna maniera ottenere una di esse a partire dalle altre cinque. Ciò è conseguenza del

67

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fatto che una generica grandezza, sia essa una tensione, sia essa una corrente, compare solo e soltanto in una sola equazione. L'insieme di equazioni ottenuto applicando le leggi di Kirchhoff è costituito da 8 equazioni (il sistema di equazione (17) più il sistema di equazione (18)). Queste equazioni non sono tutte indipendenti tra loro, come una semplice analisi per ispezione mostra, cioè alcune di esse possono essere ottenute tramite opportune combinazioni lineari delle restanti. Da questo insieme è possibile estrarre solo sei equazioni indipendenti; ad esempio quelle che si ottengono applicando la prima legge di Kirchhoff ai nodi 1, 2, 3 e 4 e la seconda legge di Kirchhoff alle maglie M1 e M2. Unendo a queste l'insieme (115) si ottiene un sistema di 12 equazioni nelle 12 incognite i1 ,...,i 6 , v1 ,...,v6 (in questo caso l'insieme, così ottenuto, è costituito da equazioni che sono tutte indipendenti tra loro):  i1 + i 6 = 0,   −i1 + i 2 = 0,   −i2 + i 3 = 0,   −i3 − i 4 + i5 = 0,   v1 + v 2 + v 3 − v 4 − v 6 = 0,   v 4 + v 5 = 0,

 v1 = e(t),   v2 = E0 ,   v3 − Ri 3 = 0,  Cdv 4 / dt − i 4 = 0,   g(v 5 ) − i 5 = 0,   v6 − Ldi6 / dt = 0.

(116)

Questo è il sistema di equazioni che bisogna risolvere; in seguito mostreremo che bisogna conoscere i valori della tensione del condensatore e della corrente dell'induttore in un istante, per potere determinare la soluzione del circuito da quell'istante in poi. Il sistema di equazioni (116) è abbastanza complicato: ci sono equazioni differenziali, equazioni algebriche lineari e equazioni non lineari. Lo scopo fondamentale della teoria dei circuiti è: (a) studiare le proprietà del sistema di equazioni del circuito; (b) formulare metodi di soluzione semplici e robusti che sfruttino al meglio tutte le proprietà delle equazioni circuitali.

1.11 Considerazioni finali Il funzionamento dei componenti che abbiamo appena descritto è stato studiato utilizzando modelli approssimati delle equazioni di Maxwell. Alla base del funzionamento del resistore e del generatore di tensione costante c'è il modello del campo stazionario di corrente, alla base del condensatore c'è il modello quasi-stazionario elettrico e alla base dell'induttore c'è il modello quasi-stazionario magnetico9 . Utilizzando questi modelli è possibile descrivere anche il funzionamento di tanti altri componenti. Il funzionamento di un diodo, di un transistore, di un amplificatore operazionale è descrivibile nell'ambito del modello del campo stazionario di corrente se siamo in bassa frequenza, ovvero del modello quasi-stazionario elettrico se gli effetti dinamici sono importanti. Invece, il funzionamento di un trasformatore, di un motore elettrico, di un alternatore o di un altoparlante è descrivibile

9 Per un approfondimento dei modelli quasi-stazionari il lettore può consultare: Hermann A. Haus e James R.

Melcher, Electromagnetic Fields and Energy (Prentice Hall, 1989); L. De Menna, G. Miano, “Linear Circuit Elements”, in Encyclopedia of Electrical and Electronic Engineering, John Wiley & Sons Inc., febbraio 1999.

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nell'ambito di un modello quasi-stazionario magnetico (in questi ultimi tre casi c'è bisogno delle equazioni della meccanica). Il modello quasi-stazionario magnetico riveste un ruolo fondamentale nei sistemi di potenza e il modello quasi-stazionario elettrico lo riveste nei sistemi in cui vengono elaborati i segnali. Osservazione La relazione funzionale che caratterizza il funzionamento dell'induttore può essere anche realizzata tramite un sistema fisico completamente diverso da un filo conduttore avvolto su di un cilindro. Come poi vedremo, connettendo in modo opportuno amplificatori operazionali, resistori e un condensatore è possibile realizzare un induttore. Così anche le relazioni costitutive del resistore, del generatore di tensione costante e del condensatore possono descrivere il funzionamento di altri sistemi fisici completamente diversi dai resistori, generatori di tensione costanti e condensatori. Le relazioni costitutive che abbiamo trovato analizzando i componenti fondamentali dei circuiti lineari sono anche i mattoni elementari con cui rappresentare il funzionamento di tanti altri sistemi elettrici, ben più complessi dei componenti da cui siamo partiti. Prima di terminare questo argomento, è utile fare un breve cenno al modo in cui potremmo valutare, seppure in modo approssimato, l'errore commesso utilizzando il modello circuitale. Si supponga di avere determinato la soluzione del circuito, attraverso il modello circuitale. Una volta note tutte le tensioni e le correnti, è possibile valutare i campi elettrici e magnetici utilizzando le equazioni di Maxwell. Siccome tutte le correnti e le cariche sono note, seppure in maniera approssimata, questo calcolo è estremamente più semplice (anche nel caso in cui volessimo risolvere le equazioni di Maxwell complete) di quello che sarebbe necessario se volessimo risolvere il circuito utilizzando direttamente le equazioni di Maxwell. Si ricordi che nel modello di campo di partenza le correnti e le cariche sono anche esse incognite del problema: sono noti solo i campi elettromotori. Note le distribuzioni dei campi è possibile verificare in dettaglio la correttezza delle approssimazioni alla base del modello circuitale. Ad esempio, se l'effetto dell'accoppiamento magnetico tra due induttori influenza il corretto funzionamento del circuito, è possibile proporre degli aggiustamenti che eliminino questo problema (ad esempio, allontanando i due induttori, oppure, se ciò non è possibile, utilizzando opportuni schermi). Queste problematiche sono oggetto di studio del corso di Compatibilità Elettromagnetica.

CAPITOLO 2

BIPOLI ELEMENTARI

2.1 Introduzione Spesso nel linguaggio tecnico si fa uso dello stesso termine per indicare sia il componente che concretamente realizza una certa relazione costitutiva, sia il componente “ideale” che ritroviamo negli schemi circuitali. Naturalmente, mentre nel primo caso, la relazione costitutiva è da intendersi come approssimazione che descrive in maniera soddisfacente il comportamento del componente in un certo insieme dei parametri, nel secondo caso essa è una legge esatta che descrive completamente il comportamento di un componente ideale opportunamente estrapolato da quello reale. Anche se questa ambiguità di linguaggio non può comportare confusione, in quanto sono sempre ben chiari i limiti del modello entro cui si intende operare, è importante mentre si sta costruendo una teoria operare la distinzione tra il componente fisico e il componente ideale che lo rappresenta nel modello che si sta costruendo. Per questa ragione chiameremo elemento circuitale il componente ideale. L'elemento circuitale è solo un modello e ogni modello costituisce una approssimazione. A seconda dell'applicazione, lo stesso componente può essere rappresentato da diversi elementi circuitali. Il modello di un componente può essere, in generale, anche un oggetto complesso costituito da più elementi circuitali. D'altronde, uno stesso elemento circuitale può rappresentare il funzionamento di componenti diversi tra loro.

Il rapporto tra componente e elemento circuitale può essere interpretato da due opposti punti di vista. Si può pensare di partire dal componente, individuarne la relazione costitutiva magari sperimentalmente oppure risolvendo un modello di campo così come abbiamo fatto nel Capitolo precedente - e quindi costruire per estrapolazione il corrispondente elemento circuitale che lo rappresenta. Viceversa è anche possibile immaginare una determinata relazione costitutiva - di cui magari si sente una esigenza per una particolare applicazione - in base alla quale definire un nuovo elemento circuitale e successivamente, se possibile, costruire un componente che ne approssima adeguatamente il comportamento. Dal punto di vista “storico” si può dire, evidentemente, che entrambe le strade sono state percorse: la prima per i componenti cosiddetti “elementari” e la seconda per quelli più complessi. Anche noi ci

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riserveremo per opportunità didattica, la possibilità di introdurre i diversi elementi circuitali secondo i due distinti punti di vista cominciando, naturalmente, dagli elementi circuitali elementari con due terminali. Gli elementi circuitali a due terminali, cioè i bipoli, rivestono un ruolo fondamentale nella teoria dei circuiti. Nel precedente Capitolo abbiamo illustrato come sia possibile modellare alcuni componenti a partire dalla loro costituzione fisica, utilizzando le equazioni di Maxwell. Così facendo siamo giunti al concetto di bipolo resistore, generatore costante di tensione, condensatore e induttore. In questo Capitolo oltre a completare la descrizione dei bipoli elementari, ci soffermeremo su quelle che sono le loro proprietà fondamentali. Una prima classificazione fondamentale dei bipoli li distingue in lineari e non lineari. Evidentemente è lineare un bipolo la cui relazione costitutiva sia di tipo lineare. Una seconda classificazione dei bipoli, che è conveniente introdurre, è quella che li distingue in bipoli statici e bipoli dinamici. I primi sono bipoli caratterizzati da un legame tra la tensione e corrente di tipo algebrico. I bipoli dinamici sono invece caratterizzati da un legame tra tensione e corrente più complesso nel quale è presente, ad esempio, la derivata di una delle due grandezze elettriche. Questi bipoli, quando presenti, introducono equazioni differenziali ordinarie nelle equazioni circuitali, ampliando notevolmente la complessità del comportamento della rete elettrica. Cominciamo con il distinguere i bipoli in due grandi classi, i bipoli statici (detti, anche, bipoli senza memoria) e i bipoli dinamici (detti, anche, bipoli con memoria). Definizione: bipolo statico e bipolo dinamico • Un bipolo si dice statico se il valore della corrente nel generico istante dipende solo dal valore della tensione in quell'istante (e viceversa), cioè la corrente e la tensione verificano la relazione I

dove

I

v i = 0 ,

(1)

v i è una funzione delle due variabili v e i; in generale la funzione f può dipendere

esplicitamente dal tempo, che in questo caso svolge solo il ruolo di un parametro. • Un bipolo si dice dinamico se il valore della corrente (della tensione) nel generico istante t dipende dalla storia della tensione (della corrente), cioè da tutti i valori (o almeno da una parte di essi) che la tensione v(t) (la corrente i(t)) assume per t ≤ t . In un bipolo dinamico la corrente e la 

tensione verificano una relazione del tipo F[v(⊇), i(⊇)]=0,

(2)

dove F è un funzionale non lineare; con v(⊇) e i(⊇) stiamo indicando, rispettivamente, le funzioni che descrivono la tensione e la corrente nell'intervallo di tempo in cui sono definite (le “storie” temporali) e con v(t) e i(t) i valori che esse assumono al generico istante t. Più in generale, il funzionamento di un elemento circuitale statico è descritto da una relazione tra i valori istantanei delle tensioni e delle correnti, mentre il funzionamento di un elemento circuitale dinamico è descritto da una relazione che coinvolge la storia delle tensioni e delle correnti.

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2.2 Bipoli statici Il simbolo che useremo per indicare un generico bipolo statico non lineare è mostrato in figura 1a.

In generale non è sempre possibile esprimere la relazione costitutiva di un bipolo non lineare attraverso combinazioni di funzioni elementari. Questa difficoltà può essere superata osservando che la relazione costitutiva (1) può essere rappresentata graficamente nel piano Y − L (oppure nel piano L − Y ). La curva che così si ottiene è la curva caratteristica o caratteristica del bipolo. I punti di tale curva rappresentano le possibili condizioni di funzionamento del bipolo, figura 1b.

Figura 1 Simbolo per il generico bipolo statico (a); una possibile curva caratteristica (b). La curva caratteristica di un bipolo è in generale non simmetrica, figura 1b. Ciò implica che la funzione che descrive la relazione tra i αβ e v αβ è diversa da quella che descrive la relazione tra

i βα e v βα ( dove i βα = −iβα e vβα = −vαβ ). Questo è il motivo per cui nel simbolo che rappresenta il bipolo c'è quel tratto in nero in basso: esso serve a distinguere i due terminali.

Figura 2 Bipolo statico simmetrico (a); bipolo statico tempo-variante (b). Definizione: bipolo statico simmetrico • Un bipolo statico si dice simmetrico se, per ogni punto (i,v) appartenente alla curva caratteristica si ha che anche il punto (−i,−v) appartiene alla curva caratteristica.

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Un bipolo simmetrico ha una curva caratteristica simmetrica rispetto all’origine del piano i-v, figura 2a. In generale la curva caratteristica di un bipolo statico può variare nel tempo, figura 2b. Definizione: bipolo statico tempo invariante • Un bipolo statico si dice tempo invariante se la curva caratteristica non dipende dal tempo. L'equazione (1) definisce un legame implicito tra la tensione e la corrente. Non sempre è possibile esplicitare questo legame nelle forme i=g(v) e/o v=r(i) dove g(·) e r(·) sono funzioni a un solo valore. Definizione: bipolo statico controllato in tensione e bipolo statico controllato in corrente • Un bipolo statico si dice controllato in tensione se per ogni valore ammissibile di tensione esiste uno ed un solo valore di corrente che verifica la (1), figura 3a. • Un bipolo statico si dice controllato in corrente se per ogni valore ammissibile di corrente esiste uno ed un solo valore di tensione che verifica la (1), figura 3b. Per un bipolo statico controllato in tensione la (1) può essere esplicitata nella forma i=g(v),

(3)

dove g(·) è una funzione a un solo valore; in generale la funzione g(·) può essere non invertibile. Invece per un bipolo statico controllato in corrente la (1) può essere esplicitata nella forma v=r(i),

(4)

dove r(·) è una funzione a un solo valore; in generale la funzione r(·) può essere non invertibile. Se il bipolo statico è controllato sia in tensione che in corrente, allora la funzione g(·) è l'inversa della funzione r(·) e viceversa, figura 3c.

Figura 3 Bipolo statico controllato in tensione (a), in corrente (b), in tensione e in corrente (c). Ora descriveremo le caratteristiche dei bipoli statici più significativi. • Generatori indipendenti Il generatore indipendente di tensione è il bipolo che ha la seguente relazione costitutiva v=e(t), dove e(t) è una funzione del tempo assegnata, indipendente dalla corrente che in esso circola.

(5)

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Il generatore indipendente di corrente è il bipolo che ha la seguente relazione costitutiva i=j(t),

(6)

dove j(t) è una funzione del tempo assegnata, indipendente dalla tensione.

Figura 4 Simbolo del generatore indipendente di tensione (a), del generatore indipendente di corrente (b), del resistore tempo invariante (c) e del resistore tempo-variante (d). Il simbolo del generatore indipendente di tensione è illustrato in figura 4a e quello del generatore indipendente di corrente è illustrato in figura 4b. Le rispettive curve caratteristiche sono illustrate in figura 5a e 5b per il caso stazionario. I generatori di tensioni sono controllati soltanto in corrente, mentre quelli di corrente sono controllati soltanto in tensione. Inoltre per il generatore di tensione l'unico valore ammissibile di tensione è e(t) e per il generatore indipendente di corrente l'unico valore ammissibile di corrente è j(t). I generatori indipendenti sono bipoli non simmetrici. La relazione costitutiva dei generatori indipendenti non verifica la proprietà di linearità.

Figura 5 Caratteristica del generatore indipendente di tensione (a), del generatore indipendente di corrente (b), del resistore lineare (c), del corto circuito (d) e del circuito aperto (e). • Resistore lineare Il resistore lineare è definito dalla relazione costitutiva lineare 1 v=Ri, dove la resistenza R (R 0 e R

(7) ), che in generale può essere variabile nel tempo, è una grandezza

indipendente sia da i che da v. Il resistore lineare è un bipolo simmetrico ed è controllato sia in tensione che in corrente. Se R è indipendente dal tempo il resistore è tempo invariante. La resistenza 1

La relazione f{x}, che può essere anche di tipo funzionale, si dice lineare se, comunqe si scelgano x 1 e x 2 e le costanti α 1 e α 2 si ha f ^α 1x1 + α 2 x 2 ` = α 1f ^ x1 ` + α 2 f ^ x2 ` ; la funzione Kx è lineare (K è una costante), mentre Kx+h, x2, ... non sono lineari.

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R può essere anche negativa (poi faremo vedere come è possibile realizzare bipoli resistori con resistenza negativa). In figura 4c è illustrato il simbolo del resistore lineare tempo-invariante e in figura 4d il simbolo del resistore lineare tempo variante. In figura 5c è rappresentata la curva caratteristica di un resistore tempo-invariante . • Corto circuito e circuito aperto Il corto circuito è definito dalla relazione costitutiva v=0 per qualsiasi valore di i ,

(8)

cioè per qualsiasi valore della corrente i la tensione è nulla. Il simbolo di questo bipolo è illustrato

in figura 6a e la sua curva caratteristica in figura 5d. Esso può essere il modello di un tratto di conduttore con elevata conducibilità (al limite infinita). Di tale natura, per esempio, immaginiamo i collegamenti tra i diversi bipoli in un circuito. Naturalmente un buon conduttore reale può al più approssimare tale comportamento, e l'approssimazione sarà tanto migliore quanto più “corto” sarà il tratto di conduttore; ciò giustifica anche il nome “corto circuito” dato al bipolo. La caratteristica di un generatore indipendente di tensione coincide con quella del corto circuito quando e(t)=0 (cioè quando il generatore è spento) e così anche quella del resistore nel limite R∅0. Il circuito aperto è definito dalla relazione caratteristica i=0 per qualsiasi valore di v,

(9)

cioè per qualsiasi valore della tensione v la corrente che in esso circola è nulla. Un tale bipolo si

potrebbe realizzare frapponendo tra i morsetti un materiale perfettamente “non conduttore”, cioè un isolante ideale. Per questo motivo il bipolo prende il nome di “circuito aperto”. Il simbolo del bipolo circuito aperto è illustrato in figura 6b e la sua curva caratteristica in figura 5e. Si osservi che la caratteristica di un generatore ideale di corrente coincide con quella del circuito aperto quando la corrente j(t)=0 (cioè quando è spento e così anche quella del resistore nel limite R∅•).

Figura 6 Simbolo del bipolo corto circuito (a), del bipolo circuito aperto (b); simbolo dell'interruttore: si chiude a t = t1 (c) e si apre a t = t 2 (d). Il corto circuito è controllato soltanto in corrente e l'unico valore ammissibile di tensione è v=0, mentre il circuito aperto è controllato soltanto in tensione e l'unico valore ammissibile di corrente è i=0; entrambi questi bipoli verificano la proprietà di linearità.

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• Interruttore L'interruttore è un bipolo statico tempo-variante, il simbolo è illustrato in figura 6c e 6d. Quando l'interruttore è aperto, la corrente è zero indipendentemente dal valore della tensione, mentre quando è chiuso, la tensione è zero indipendentemente dal valore della corrente. Negli istanti di tempo in cui l'interruttore è aperto la sua curva caratteristica coincide con quella del circuito aperto; negli istanti in cui è chiuso la sua curva caratteristica coincide con quella del corto circuito. Il bipolo interruttore è lineare. • Interruttore periodico L'interruttore periodico è un bipolo statico, tempo-variante e lineare. Il simbolo è illustrato in figura 7. Per 0•t v 2 . • Nullatore e noratore Completiamo la panoramica dei bipoli statici introducendo altri due bipoli ideali le cui caratteristiche sono invero molto singolari. La loro utilità, che può non essere chiara a prima vista, risiede nel fatto che essi consentono di costruire modelli di componenti complessi. In seguito verrà illustrato un esempio. Il primo è il nullatore e cioè un bipolo ideale, il cui simbolo è illustrato in figura 11a, definito dalla relazione costitutiva v = 0, i = 0.

(10)

Esso, a differenza di un bipolo corto circuito, impone tensione nulla con una corrente nulla. Con un simile bipolo è possibile imporre che due nodi di un circuito abbiano lo stesso

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potenziale senza alterare la distribuzione delle correnti. Nel piano

L  Y

la caratteristica del

nullatore si riduce a un punto, l’origine degli assi. L’altro bipolo è il noratore e cioè un bipolo ideale, il cui simbolo è illustrato in figura 11b, che al contrario non impone alcun vincolo tra la tensione e la corrente: la tensione e la corrente possono assumere valori qualsiasi. Il noratore, a differenza di un bipolo circuito aperto, consente il passaggio di una qualsiasi corrente per una qualsiasi tensione. Con un simile bipolo è possibile connettere diverse parti di un circuito senza alterare la distribuzione delle tensioni.

Figura 11 Simbolo del nullatore (a) e del noratore (b).

2.3 Bipoli dinamici I bipoli dinamici fondamentali sono il condensatore e l’induttore. Il condensatore è il bipolo dinamico definito dalle equazioni  dq i=   dt  q = Q(v; t),

(11)

dove q è la “carica” del condensatore e Q(v; t) è una funzione non lineare di v. In figura 12a è illustrato il simbolo del condensatore non lineare e in figura 12b quello del condensatore lineare. Nel condensatore il valore della corrente in un generico istante t dipende dalla storia della carica q in un intorno di quell'istante e quindi dalla storia della tensione. L'insieme dei punti (v,q) nel piano vq prende il nome di curva caratteristica del condensatore. I concetti di condensatore simmetrico e tempo invariante sono simili a quelli introdotti per i bipoli statici.

Figura 12 Simbolo del condensatore non lineare (a) e del condensatore lineare (b). • Condensatore lineare

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Il condensatore lineare è definito dalla relazione costitutiva q=Cv,

(12)

dove la capacità C è indipendente sia da q che da v e potrebbe dipendere dal tempo. Il condensatore lineare è simmetrico. Se la capacità è costante nel tempo il condensatore è tempo invariante. • Varactor Il varactor è un condensatore non lineare definito dalla relazione caratteristica  −1.5C V 1 − v / V 2 /3 0 0( 0) q =  0

v ≤ V0 v ≥ V0

(13)

dove C 0 e V 0 sono due parametri caratteristici. Il varactor descrive un componente (il diodo varactor) che per v>V0 si comporta prevalentemente come un diodo (prevale la corrente di conduzione rispetto a quella di spostamento). Pertanto un modello realistico del diodo varactor può essere ottenuto collegando un diodo in parallelo a un varactor. L'induttore è il bipolo dinamico il cui funzionamento è descritto dalle equazioni  dφ v=   dt  φ = Φ i t 

(14)

dove φ è il “flusso” e Φ(i; t) è una funzione non lineare di i. In questo bipolo il valore della tensione in un generico istante t dipende dalla storia del flusso in un intorno di t e quindi dalla storia della corrente. In figura 13a è illustrato il simbolo dell’induttore non lineare e in figura 13b quello dell’induttore lineare. L'insieme dei punti (i,φ) nel piano i-φ prende il nome di curva caratteristica dell'induttore. I concetti di induttore simmetrico e tempo invariante sono gli stessi che abbiamo illustrato per gli altri bipoli.

Figura 13 Simbolo dell'induttore non lineare (a) e simbolo dell'induttore lineare (b). • Induttore lineare L'induttore lineare è definito dalla relazione caratteristica φ=L i,

(15)

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dove il coefficiente di autoinduzione (o induttanza) L è indipendente dal flusso e dalla corrente; esso potrebbe dipendere dal tempo. L'induttore lineare è simmetrico. Quando l'induttanza è costante, l'induttore è tempo invariante.

• Induttore saturabile L'induttore saturabile è l'induttore non lineare descritto dalla caratteristica grafica illustrata in figura 14. Esso può rappresentare il modello di un avvolgimento realizzato su di un nucleo di materiale ferromagnetico (in questo modello viene ignorato il fenomeno dell'isteresi magnetica).

Figura 14 Curva caratteristica dell'induttore saturabile • Giunzione Josephson La giunzione Josephson è l'induttore non lineare descritto dalla relazione i = I0

VLQ

k 0 φ ,

(18)

dove I0 e k0 sono due parametri caratteristici. Esso è controllato solo in flusso e ammette solo i valori di corrente appartenenti all'intervallo [−I0, I0].

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CAPITOLO 3

LE EQUAZIONI CIRCUITALI

3.1 Introduzione Il quadro della intera Teoria dei Circuiti è, a questo punto, completo. Essa è così costituita (per il momento, ci riferiremo a circuiti di soli bipoli): •

Concetti fondamentali (“primitivi”, in una impostazione assiomatica): - corrente nel bipolo, - tensione ai morsetti del bipolo;



Leggi fondamentali (“assiomi”, in una impostazione assiomatica): - equazioni di Kirchhoff per le correnti, - equazioni di Kirchhoff per le tensioni;



Relazioni costitutive (“caratteristiche”, in una impostazione assiomatica; b è il numero di bipoli del circuito, )k è una funzione per i bipoli statici e un “funzionale” per i bipoli dinamici): )

k

{v k (⋅),i k (⋅)}= 0

k =1,2,...,b.

Tutto ciò che d'ora in avanti si dirà sarà stretta conseguenza di questo “quadro”. Quindi in una rete elettrica, o circuito elettrico, il funzionamento di ogni singolo elemento è, in ogni istante, determinato dalla interazione tra l'elemento stesso e il resto della rete. In altre parole, si può dire che esso è il frutto della interazione tra due diverse esigenze: che l'elemento si comporti in modo compatibile con la sua specifica natura e che tale comportamento sia a sua volta compatibile con quello di tutti gli altri elementi presenti nella rete. Le relazioni costitutive descrivono il funzionamento dei singoli elementi, e le leggi di Kirchhoff ne regolano l'interazione. Le equazioni che ne derivano sono le equazioni circuitali . Esse sono l’oggetto del nostro studio. Dal modo stesso in cui sono state enunciate le leggi fondamentali della Teoria dei Circuiti, discende che esse non fanno alcun riferimento alla struttura “interna” dei diversi componenti (basta pensare che le linee e le superfici cui le leggi si riferiscono non debbono “forare” o “tagliare” gli

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“involucri” (le superfici limite) dei componenti: ne segue che le leggi di Kirchhoff non contengono, di per sé, informazioni sulla natura degli elementi circuitali). Le equazioni che si ottengono imponendo le leggi di Kirchhoff dipendono solo da come sono connessi gli elementi circuitali. Da questa semplice constatazione deriva che, per scrivere le equazioni di Kirchhoff non occorre fare riferimento specificamente al sistema fisico che costituisce il circuito, ma è sufficiente riferirsi a una struttura astratta di tipo “geometrico” (vedremo poi, che non occorre neppure questa caratteristica) che contenga soltanto i nodi (tutti) del circuito e i loro collegamenti realizzati dai bipoli. Con riferimento, ad esempio, alla figura 1, si consideri la rete di bipoli disegnata in figura 1a e il corrispondente schema “geometrico” di figura 1b. Questo schema rappresenta un grafo1. Come si vede, nel grafo i bipoli sono “scomparsi”, mentre tutti i nodi sono presenti: al posto dei bipoli compaiono delle linee detti lati del grafo che collegano tra loro i nodi allo stesso modo che nel circuito di partenza. Ora, è immediato constatare che, se i bipoli di figura 1a vengono orientati per ciò che riguarda le correnti in un modo qualsiasi (come, ad esempio, in figura 1c), e, allo stesso tempo, lo schema corrispondente è orientato, lato per lato, allo stesso modo, (figura 1d), per scrivere le equazioni di Kirchhoff per le correnti per ciascuno dei nodi del circuito è sufficiente riferirsi al grafo orientato, piuttosto che al circuito di partenza. È inoltre evidente che anche la scrittura delle equazioni esprimenti le leggi di Kirchhoff per le tensioni può essere effettuata basandosi esclusivamente sul grafo orientato (senza bisogno di ricorrere alla rete di partenza). La cosa è di per sé ovvia quando si stabilisca, una volta per tutte, di fare per ogni bipolo del circuito, ad esempio, la convenzione dell'utilizzatore. Quando si faccia questa scelta, non occorre orientare ulteriormente il grafo (per le tensioni): è sufficiente averlo orientato per le correnti.

Figura 1 Circuito (a), grafo corrispondente (b); circuito orientato (c) e grafo orientato corrispondente (d). Si noti che se, in luogo del grafo di figura 1b, se ne sceglie un altro che differisca dal primo per il fatto che ciascuno dei lati sia stato deformato ad arbitrio (purché senza “lacerazione”), le equazioni di Kirchhoff per le correnti e per le tensioni conservano ancora la stessa forma. Per questo motivo, si è 1 Eulero scrisse il primo lavoro sulla teoria dei grafi nel 1736; in questo lavoro Eulero trattò il problema del ponte di Königsberg. Nel 1847 Kirchhoff ha fondato la teoria dei grafi, così come è nota oggi, nei suoi studi sui circuiti elettrici. La maggior parte delle proprietà topologiche dei circuiti elettrici sono state trovate da Kirchhoff e da Maxwell (1892). L'applicazione sistematica dei grafi allo studio dei circuiti elettrici è più recente (1957).

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soliti dire che il grafo di una rete non ha significato geometrico (il che implicherebbe la conservazione di distanze e angoli rispetto al circuito di partenza), bensì soltanto significato “topologico” (il che implica soltanto la conservazione dei collegamenti fra i diversi nodi).

3.2 Elementi di teoria dei grafi Come abbiamo appena visto le connessioni di un circuito possono essere rappresentate tramite un oggetto astratto, il grafo del circuito. In questo paragrafo daremo quegli elementi della Teoria dei Grafi che possono essere di aiuto nello studio delle proprietà delle equazioni che si ottengono applicando le leggi di Kirchhoff. Definizioni: grafo, grafo orientato, sottografo →

Un grafo G(N,L) è l'insieme di nodi N={“1”,“2”,...,“n”}, di lati L={1,2,...,b} e la relazione (relazione di incidenza) che a ogni lato fa corrispondere la coppia di nodi a cui il lato è connesso.

→ →

Se ogni lato del grafo è orientato (ad esempio, tramite una freccia), il grafo si dice orientato. Si consideri un grafo G(N,L). Il grafo G1(N1,L1) si dice sottografo di G, se N1 è un sottoinsieme di N, L1 è sottoinsieme di L e la relazione di incidenza tra i nodi di N1 e i lati di L1 è la stessa del grafo G. In figura 2a è illustrato un grafo non orientato, e in figura 2b è illustrato lo stesso grafo ma

orientato. L'orientazione del grafo di un circuito può essere fatta, ad esempio, concordemente ai versi di riferimento per le correnti. La relazione di incidenza è assegnata graficamente attraverso elementi geometrici (punti e archi di linee).

Figura 2 Grafo G={N,L} (a); una possibile orientazione di G (b). In figura 3 è illustrato un grafo orientato, insieme con tre suoi sottografi. Un sottografo è una parte di un grafo, e quindi corrisponde a una parte del circuito.

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Figura 3 Grafo e sottografi (orientati). Un concetto fondamentale nella teoria dei grafi è quello di grafo connesso. Definizione: grafo connesso →Un grafo si dice connesso se ogni nodo è collegato a qualsiasi altro nodo attraverso uno o più lati. In figura 4a è illustrato un grafo connesso e in figura 4b è illustrato un esempio di grafo non connesso: non esiste nessun collegamento tra i due sottografi.

Figura 4 I circuiti di bipoli di interesse nelle applicazioni sono tutti “connessi”, e quindi considereremo solo grafi connessi. Un grafo connesso può contenere sottografi non connessi (si consideri, ad esempio, il grafo G illustrato in figura 3 e il sottografo G3). Il concetto di maglia che è stato introdotto nel Capitolo 1, è un concetto fondamentale della teoria dei grafi. Riprendiamo di nuovo questo concetto utilizzando i concetti propri dei grafi. Definizione: maglia →

Sia dato un grafo connesso G. Una maglia di G è un sottografo connesso in cui in ciascun nodo incidono due e solo due lati. Osserviamo che ogni maglia forma un cammino chiuso, proprio perché essa deve essere un

sottografo connesso in cui a ogni nodo sono collegati due e due soli lati. Questa è la proprietà fondamentale di ogni maglia. In generale in un grafo ci sono più maglie. In figura 5 è illustrato un grafo G insieme a due possibili maglie, G1 e G2; i sottografi G3 e G4 non sono maglie perché nel nodo “1” di G3 incidono quattro lati e nei nodi “1” e “4” di G4 incidono tre lati e un lato, rispettivamente.

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Figura 5 Grafo G e due possibili maglie di G; (G1 e G2); G3 e G4 non sono maglie. Oltre alle maglie, ci sono altri sottografi che hanno proprietà interessanti e che vengono utilizzati nella teoria dei circuiti: essi sono gli alberi e i coalberi di un grafo. Definizione: albero e coalbero →

Sia dato un grafo connesso G. Un albero A di G è un suo sottografo connesso costituito da tutti i nodi del grafo e che non contiene maglie.



Il coalbero CA di G, corrispondente all'albero A, è l'insieme dei lati complementare all'albero: l'unione dei lati dell'albero e del coalbero coincide con l'insieme di tutti i lati di G. In generale un grafo possiede più di un albero. Due possibili alberi A1 e A2, e i relativi coalberi

CA1 e CA2 del grafo illustrato in figura 5, sono illustrati in figura 6; il sottografo G1 non è un albero perché contiene una maglia, e il sottografo G2 non è un albero perché non è connesso. Proprietà fondamentali dell'albero e del coalbero La proprietà fondamentale dell'albero è che esso è costituito da n-1 lati, se n è il numero di nodi del grafo, indipendentemente dal numero di lati e dalla relazione di incidenza. La dimostrazione di questa proprietà è semplice. Si parta da un qualsiasi nodo dell'albero. È possibile raggiungere, camminando lungo l'albero, qualsiasi altro nodo. Ogni volta che si raggiunge un altro nodo si percorre un nuovo lato; pertanto il numero totale di lati distinti che bisogna percorrere per raggiungere tutti i nodi è n-1, cioè è uguale al numero di nodi meno uno (quello di partenza).

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La proprietà fondamentale del coalbero è che esso è costituito sempre da b-(n-1) lati se b sono i lati del grafo. Essa deriva direttamente dal fatto che il coalbero è il complemento all'albero, cioè la somma dei lati dell'albero e del coalbero deve essere uguale al numero dei lati del grafo.

Figura 6 Esempi di alberi A1 e A2 e coalberi CA1 e CA2 del grafo G illustrato in figura 5; G1 e G2 non sono alberi. Un altro concetto importante nello studio delle proprietà delle equazioni ottenute applicando le leggi di Kirchhoff per le tensioni è quello di maglia fondamentale. Definizione: maglia fondamentale Si consideri il sottografo che si ottiene aggiungendo all'albero di un grafo un qualsiasi lato di coalbero: esso contiene una e una sola maglia (essa si ottiene eliminando tutti i lati “appesi”, cioè tutti quei lati che non appartengono al cammino chiuso). Una maglia ottenuta in questo modo prende il nome di maglia fondamentale. È evidente, allora, che aggiungendo volta per volta tutti i lati di coalbero è possibile costruire b-(n1) maglie fondamentali distinte. Questo insieme prende il nome di insieme delle maglie fondamentali del grafo. La proprietà di questo insieme è che ogni lato di coalbero appartiene a una e una sola maglia fondamentale, e quindi ogni maglia dell'insieme delle maglie fondamentali ha almeno un lato in esclusiva. A seconda dell'albero che si sceglie si avrà un diverso insieme di maglie fondamentali.

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Figura 7 Grafo G e un albero A ; un insieme di maglie fondamentali {MF1, MF2} del grafo G; la maglia M (“unione” delle maglie MF1, MF2) non è fondamentale. Si consideri ora un insieme di maglie fondamentali. Si può verificare che una qualsiasi altra maglia del grafo può essere rappresentata tramite l'“unione” di maglie fondamentali, se la regola dell'unione prevede che i lati comuni siano eliminati. Si osservi che dall'unione di due maglie fondamentali è possibile costruire un'altra maglia del grafo se e solo se le due maglie hanno almeno un lato in comune. In figura 7 è illustrato un grafo e un possibile insieme di maglie fondamentali: MF3 è la maglia fondamentale ottenuta aggiungendo all'albero A il lato 3 e MF4 è quella ottenuta aggiungendo il lato 4; la maglia M è ottenuta “unendo” MF3 a MF4. I circuiti che vengono considerati in queste lezioni per esemplificare proprietà, metodi e applicazioni hanno grafi che possono essere rappresentati sul piano senza che nessuna coppia di lati si intersechi. In generale ciò non è sempre verificato. Definizione: grafo planare →

Un grafo si dice planare se può essere tracciato su di un piano senza che nessuna coppia di lati si intersechi in un punto che non sia un nodo.

Tra tutte le possibili maglie di un grafo planare, rivestono particolare interesse quelle che nel grafo non contengono nessun lato al loro interno (solo per i grafi planari ogni maglia partiziona il piano in due parti, quella interna al cammino chiuso e quella esterna). Definizione: anello →

Un anello è una maglia di un grafo planare che non contiene nessun lato al suo interno.

88

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È possibile dimostrare che un grafo planare connesso con b lati e n nodi ha b-(n-1) anelli distinti, cioè anelli che hanno almeno un lato diverso. L'insieme di tutti gli anelli di un grafo planare ha la stessa proprietà dell'insieme di maglie fondamentali, cioè qualsiasi altra maglia del grafo planare può essere ottenuta dall'unione di due o più anelli, dove l'unione è realizzata con la stessa regola (cioè i lati in comune devono essere eliminati). Si noti che, in generale, l'insieme degli anelli di un circuito non coincide con nessun insieme di maglie fondamentali. In figura 8a è illustrato un grafo planare e i suoi tre anelli, mentre in figura 8b è illustrato un esempio di grafo non planare. Se si prova a distenderlo su di un piano, il lato α che congiunge il nodo “3” al nodo “8” necessariamente interseca almeno un altro lato in un punto diverso dai nodi.

Figura 8 Grafo planare e anelli corrispondenti (a); un esempio di grafo non planare (b).

3.3 Equazioni di Kirchhoff per gli insiemi di taglio Un altro importante concetto della teoria dei circuiti è l'insieme di taglio. La legge di Kirchhoff per le correnti, per come è stata formulata, impone un legame alle correnti dei lati incidenti in uno stesso nodo. È possibile formularla anche per le correnti dei lati di un insieme diverso da quelli che incidono nei nodi. Definizione: insieme di taglio →

Si consideri un grafo connesso G(N,L). Un sottoinsieme T dei lati L del grafo, si dice insieme di taglio se: (a) la rimozione dal grafo di tutti i lati dell'insieme di taglio conduce a un grafo non connesso; (b) la rimozione di tutti i lati dell'insieme di taglio, eccetto uno arbitrario, lascia connesso il grafo G. Se il grafo è orientato, l'insieme di taglio si dice orientato.

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89

In figura 9 si considera un grafo e vengono illustrati i possibili insiemi di taglio (T1, T2, T3 e T4). I lati di T2 sono tutti quelli che incidono nel nodo “2” e i lati di T3 sono tutti quelli che incidono nel nodo “3”; invece i lati degli insiemi T1 e T4 non incidono in uno stesso nodo. L'insieme di taglio crea una partizione dell'insieme dei nodi del grafo G in due sottoinsiemi, il sottoinsieme N+ e il sottoinsieme N−. Ciascun insieme di taglio può essere orientato scegliendo arbitrariamente un verso, ad esempio quello che va dal sottoinsieme di nodi N+ al sottoinsieme N−.

Figura 9 Grafo G e possibili insiemi di taglio. A questo punto possiamo formulare la legge per le correnti di un insieme di taglio. Legge di Kirchhoff per gli insiemi di taglio La somma algebrica delle correnti di un qualsiasi insieme di taglio è uguale a zero in ogni istante. Nella legge di Kirchhoff per l'insieme di taglio intervengono con lo stesso segno le correnti il cui riferimento per il verso è concorde con l'orientazione dell'insieme di taglio (scelta in modo del tutto arbitraria), e con il segno contrario le correnti con riferimento opposto. Ad esempio, la corrente i k deve essere sommata con il segno + se il suo riferimento per il verso va dal sottoinsieme di nodi N+ al sottoinsieme N− e con il segno − se va al contrario. La dimostrazione di questa nuova formulazione della legge di Kirchhoff per le correnti è semplice. Ogni insieme di taglio partiziona l'insieme di nodi nei due sottoinsiemi N+ e N−. Scrivendo le equazioni di Kirchhoff per le correnti per ciascun nodo del sottoinsieme N+ e sommandole membro a membro si ottiene l'equazione dell'insieme di taglio. Nella somma si eliminano tutte le correnti relative ai lati che collegano i nodi del sottoinsieme N+ e restano solo le correnti relative ai lati che collegano i nodi di N+ ai nodi di N−. Tutte le correnti i cui riferimenti per i versi vanno dal sottoinsieme N+ al sottoinsieme N− intervengono nella somma con lo stesso segno e con il segno

90

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

contrario le correnti con riferimento opposto. (Si noti che quando N+ contiene un solo nodo, e ciò accade quando i lati dell'insieme di taglio incidono tutti in un solo nodo, l'equazione per l'insieme di taglio si riduce a quella per il nodo). Si determinino le equazioni degli insiemi di taglio illustrati in figura 9. insieme di taglio T 1

i2 + i4 − i5 = 0, insieme di taglio T 2

i 2 − i3 = 0;

insieme di taglio T 3

i3 + i 4 − i 5 = 0, insieme di taglio T 4

i1 − i 3 + i 5 = 0.

3.4 Matrice di incidenza e matrice di maglia Fino a questo momento la relazione di incidenza di un grafo orientato (la relazione che associa i lati ai nodi) è stata rappresentata graficamente attraverso elementi geometrici. È possibile assegnare la relazione di incidenza, e quindi definire un grafo, utilizzando una tabella ordinata costituita da n righe (quanto sono i nodi) e b colonne (quanti sono i lati). Questa tabella può essere rappresentata da una matrice rettangolare n∞b (in un circuito è sempre b•n); a essa si dà il nome di matrice di incidenza del grafo ed è indicata con Aa. Si ordinino i nodi e i lati del grafo orientato associando a ciascuno di essi un numero naturale. La iesima riga della matrice di incidenza corrisponda al i-esimo nodo del grafo e lo j-esimo elemento di questa riga corrisponda al j-esimo lato del grafo. Sia a ij l'elemento di Aa appartenente alla riga “i” e alla colonna “j”. La matrice di incidenza Aa è così definita:  +1  a ij =  −1  0

se il lato j esce dal nodo “i”,

i =1, 2, ... , n se il lato j entra nel nodo “ i”, j = 1, 2, .. ., b se il lato non tocca il nodo “i”,

(1)

La i-esima riga di Aa indica quali sono i lati che incidono nell’ i-esimo nodo del grafo e la j-esima colonna indica quali sono i due nodi (sono solo due) ai quali il lato “j” è collegato. Si consideri il grafo orientato illustrato in figura 10 e si costruisca la matrice di incidenza. In questo caso Aa ha 4 righe (i nodi sono quattro) e 5 colonne (i lati sono cinque),

Aa =

1 −1

1 0

0 0

0 −1 1 0

0 0 −1 −1 0 −1 1 0

1 0

( ⇐ nodo “1”) (⇐ nodo “2”) (⇐ nodo “3”) (⇐ nodo “ 4”)

.

(2)

C'è una corrispondenza biunivoca tra il “disegno” illustrato in figura 10 e la matrice di incidenza (2): essi sono solo una diversa rappresentazione di uno stesso oggetto. Siccome ogni lato incide in soli due nodi, solo due elementi di ciascuna colonna sono diversi da zero: uno di essi vale +1 (corrispondente al nodo da cui il lato esce) e l'altro vale −1 (corrispondente al nodo in cui il lato entra). Dunque in ogni colonna della matrice di incidenza abbiamo un solo +1, un solo −1 e gli altri elementi sono tutti nulli. Ne consegue che la somma di tutte le righe della matrice di incidenza è sempre una riga identicamente nulla (cioè una riga con tutti zeri) e quindi le

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91

righe di Aa sono linearmente dipendenti 2 : quindi il rango di Aa è minore di n. Ad esempio, l'ultima riga della matrice (2) può essere ottenuta (senza ispezionare il grafo) a partire dalle altre tre righe, imponendo che la somma di tutte e quattro le righe dia una riga nulla.

Figura 10 Circuito di bipoli orientato (a) e grafo orientato corrispondente (b). La matrice di incidenza è un modo molto efficace per rappresentare in maniera sintetica la relazione di incidenza di un grafo e quindi il modo in cui i bipoli di un circuito sono collegati tra loro. La metà degli elementi della matrice (2) sono nulli. In generale il numero di elementi diversi da zero è uguale a 2b, mentre il totale degli elementi è n∞b, quindi il numero degli elementi uguali a zero è (n-2)∞b. Se n>>1, la maggior parte degli elementi della matrice sono nulli, e quindi sono in un certo senso “ridondanti”. In questi casi si dice che la matrice è sparsa. Operare con matrici sparse è vantaggioso dal punto di vista computazionale: memorizzando solo gli elementi diversi da zero si possono ottenere notevoli risparmi di memoria e di operazioni. La matrice di incidenza ha una proprietà molto interessante che enunceremo ma non dimostreremo. I lati corrispondenti a n−1 colonne di Aa linearmente indipendenti formano un albero. Questa proprietà è utilizzata per realizzare procedure automatiche per la costruzione degli alberi di un grafo. La matrice di maglia Ba è una tabella ordinata che ha tante righe quante sono le maglie distinte del grafo e tante colonne quanti sono i lati; si indichi con m il numero di maglie distinte (sarà sempre m0. -

La grandezza U m t = ∫∫∫

Ωc

(

%

2



)

2µ dΩ

(15)

è la parte di energia immagazzinata nello spazio Ω c associata al campo magnetico; U m è positiva perché µ>0. Allora la (12) può essere riscritta moltiplicando tutti i termini per dt, nella forma seguente: pdt = δ : + dU em ,

(16)

U em = Ue + U m

(17)

dove

è l'energia immagazzinata nello spazio Ω c associata al campo elettromagnetico. Riassumendo abbiamo:

131

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La legge della conservazione delle potenze (5) descrive il legame tra le potenze elettriche assorbite dai diversi bipoli del circuito; infatti essa è diretta conseguenza delle sole leggi di Kirchhoff.



L'equazione (12) esprime la potenza elettrica assorbita dal singolo bipolo come somma di tre contributi: (a) il lavoro, per unità di tempo, compiuto dal campo elettrico sulle cariche in moto all'interno del componente di cui il bipolo è il modello; (b) la variazione, per unità di tempo, dell'energia immagazzinata associata al campo elettrico all'interno del componente; (c) la variazione, per unità di tempo, dell'energia immagazzinata associata al campo magnetico all'interno del componente. Quale termine sia prevalente nella (12) dipende unicamente dalla costituzione fisica del componente e quindi dalla relazione costitutiva del bipolo.

4.2.1 Bipoli statici Nei componenti statici, cioè resistori, generatori, diodi, ..., la potenza istantanea assorbita nel dU em regime stazionario è uguale a ∫∫∫ ( ⋅ -dΩ . Nel limite lentamente variabile anche se ≠ 0, Ω dt questo termine continua ad essere trascurabile rispetto a ∫∫∫ ( ⋅ -dΩ perché gli effetti prodotti c

Ωc

dall'induzione magnetoelettrica ed elettromagnetica sono trascurabili rispetto a quelli prodotti dalla conduzione (vedi Appendice B). Di conseguenza la potenza assorbita dai bipoli statici nel limite lentamente variabile è data da t ≅ ∫∫∫

S

Ωc

(

⋅ - dΩ ,

(18)

(la (18) è esatta solo nel limite stazionario): la potenza elettrica assorbita è uguale al lavoro, per unità di tempo, compiuto dal campo elettrico sulle cariche “libere” in moto all'interno del componente di cui il bipolo è il modello. - Resistore La potenza elettrica assorbita dal resistore lineare può essere espressa in funzione della sola corrente i(t) o della sola tensione v(t) attraverso la relazione costitutiva. Si ottiene t = Ri 2 t =

S

v2 t , R

(19)

dove R è la resistenza del resistore; la potenza elettrica assorbita da un resistore lineare è positiva se R>0. Consideriamo ora un resistore lineare realizzato con un conduttore di tipo ohmico. Il lavoro compiuto dal campo elettrico per unità di tempo in questo componente è dato da

∫∫∫Ω

c

(

2

⋅ -dΩ = ∫∫∫ η - dΩ , Ωc

(20)

dove η è la resistività elettrica del conduttore; esso è positivo perché η>0. Sostituendo la (20) nella (18) e utilizzando la (19) si ha: 2

t = Ri 2 t = ∫∫∫ η - dΩ .

S

Ωc

(21)

132

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D’altra parte sappiamo dal primo principio della termodinamica che il lavoro compiuto dal campo elettrico in un mezzo conduttore si trasforma completamente in energia termica (effetto Joule): parte di questa energia uscirà dalla superficie limite sotto forma di calore e la restante parte darà luogo a un incremento dell'energia interna del conduttore e quindi a un innalzamento della sua temperatura. In conclusione Ri 2 t (o v 2 t  R ) rappresenta l'energia termica, per unità di tempo, prodotta per effetto Joule all'interno del resistore. Questo risultato è del tutto generale e vale anche per bipoli resistori che modellano sistemi più complessi del componente resistore. Anche in un diodo, in un diodo tunnel, in un tiristore la potenza elettrica assorbita è uguale all'energia termica prodotta per unità di tempo. Per ognuno di questi bipoli, come poi vedremo, S t = ∫∫∫ ( ⋅ -dΩ è sempre maggiore di zero. Ωc

- Generatore ideale di tensione Utilizzando l'equazione caratteristica, la potenza elettrica assorbita dal generatore ideale di tensione (e(t) è la tensione “impressa” dal generatore e i(t) è la corrente), può essere espressa attraverso la relazione t = e t i t .

(22)

S

Il lavoro, per unità di tempo, compiuto dal campo elettrico all'interno del componente è dato da

∫∫∫Ω

c

(

⋅ -dΩ = −∫∫∫

Ωc

(m

⋅ - dΩ ,

(ricordiamo che in un generatore ideale di tensione è

(23) (

+ ( m =  ), cioè esso è uguale all'opposto del

lavoro, per unità di tempo, compiuto sulle cariche “libere” dal campo elettromotore Em. Pertanto abbiamo: t = e t i t = −∫∫∫

S

In una pila

Ωc

∫∫∫Ω

c

(m

(m

⋅ - dΩ .

(24)

⋅ - dv è uguale a una frazione dell'energia di legame, che per unità di tempo, si

libera nelle reazioni chimiche che sono alla base del suo funzionamento (il rendimento di questi sistemi è minore di uno a causa di fenomeni dissipativi di diversa natura fisica). In una dinamo o in un alternatore ∫∫∫ ( m ⋅ - dv è uguale al lavoro compiuto, nell'unità di tempo, dal sistema meccanico Ωc

che muove il rotore. La potenza assorbita da un generatore ideale di tensione può essere sia positiva che negativa: il segno dipende dal circuito in cui il componente è inserito. Ad esempio, in un accumulatore sotto carica è positiva, mentre è negativa quando lo stesso accumulatore, una volta caricato, fa funzionare un calcolatore portatile (almeno fino a quando non si scarica); è negativa in una pila che alimenta una radio. In un alternatore è positiva in alcuni istanti e negativa in altri; comunque il valore medio (su un intervallo di tempo opportuno) è negativo. Considerazioni analoghe possono essere sviluppate per il generatore ideale di corrente. 4.2.2 Bipoli dinamici

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

133

Nei bipoli che modellano i componenti dinamici (condensatore e induttore) il lavoro, per unità di tempo, compiuto dal campo elettrico sulle cariche libere in moto è identicamente nullo (il dielettrico di un condensatore ideale ha conducibilità nulla e il filo conduttore di un induttore ideale ha conducibilità infinita). Pertanto per essi abbiamo p t =

dU em . dt

(25)

- Condensatore lineare tempo-invariante Utilizzando l'equazione costitutiva del bipolo condensatore (si assuma che il condensatore sia lineare e tempo-invariante), si ottiene per la potenza assorbita S

d  1 Cv2  ; = dt   2 

(26)

essa è positiva negli istanti in cui la tensione del condensatore cresce in valore assoluto ed è negativa negli istanti in cui decresce se C>0. Nel condensatore ideale il campo di corrente, e quindi il campo magnetico, sono identicamente nulli nel limite stazionario. Di conseguenza, l'energia immagazzinata nello spazio Ω c è associata solo al campo elettrico, mentre quella associata al campo magnetico è nulla. Nel limite lentamente variabile, pur essendo il campo magnetico e U m diversi da zero, U m è trascurabile rispetto a U e , perché predominano gli effetti dovuti all'induzione magnetoelettrica su quelli dovuti all'induzione elettromagnetica (vedi Appendice B). Pertanto si ha t ≅

S

d dU e ε( 2  2 dΩ = . ∫∫∫ dt Ω dt c

(

)

(27)

Dalle equazioni (26) e (27) si ha: d U e t − 12 Cv 2 t = 0 . dt

[

Dovendo essere

]

(

(28)

=  per v = 0 (siamo nel modello quasi-stazionario elettrico), dalla (28) segue

necessariamente U e = 12 Cv2 ,

e quindi

1 2

(29)

Cv2 rappresenta proprio l'energia immagazzinata nel condensatore associata al campo

elettrico quando la tensione tra le armature è v . - Induttore lineare tempo-invariante Utilizzando l'equazione costitutiva del bipolo induttore (si assuma che l'induttore sia lineare e tempo-invariante), si ottiene per la potenza assorbita 

S

2    

d  Li = dt   2

;

(30)

essa è positiva negli istanti in cui la corrente nell'induttore cresce in valore assoluto ed è negativa negli istanti in cui decresce se L>0.

134

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

In un induttore ideale il campo elettrico è identicamente nullo nel limite stazionario, e quindi l'energia immagazzinata è associata solo al campo magnetico. Nel limite lentamente variabile, pur essendo il campo elettrico e la parte di energia immagazzinata ad esso associata diversi da zero, la parte di energia immagazzinata associata al campo elettrico è trascurabile rispetto a quella associata al campo magnetico, U m >> Ue , perché sono predominanti gli effetti dovuti all'induzione elettromagnetica rispetto a quelli dovuti all'induzione magnetoelettrica (vedi Appendice B). Pertanto si ha p t ≅

d dt

∫∫∫Ω ( c

2

%



)

2µ dΩ =

dU m . dt

(31)

Dalle equazioni (30) e (31) si ha:

[

]

d U m (t) − 12 Li 2 (t) = 0 . dt Dovendo essere

%

(32)

=  per i = 0 (siamo nel modello quasi-stazionario magnetico), dalla (32) segue

necessariamente U m = 12 Li2 ,

quindi

1 2

(33)

Li2 rappresenta proprio l'energia immagazzinata nell'induttore associata al campo

magnetico, quando la corrente che circola nell'avvolgimento è i . Osservazione Come poi vedremo, le relazioni costitutive dei bipoli induttore e condensatore possono anche descrivere il funzionamento di componenti la cui costituzione fisica è completamente diversa da quelle dei componenti induttore e condensatore che abbiamo introdotto nel Capitolo 2. Ad esempio, è possibile realizzare un induttore utilizzando un condensatore e un elemento statico particolare, il giratore, come faremo vedere nel Capitolo 7. In questo caso l'energia U immagazzinata nel bipolo non è più associata al campo magnetico, ma al campo elettrico ed è immagazzinata nel condensatore (il giratore è un elemento statico e quindi non è in grado di immagazzinare energia). Esempio Si consideri il circuito di figura 2a. Dalla conservazione delle potenze (6), utilizzando le relazioni costitutive, si ottiene e t i5 = Ri12 + v 3 g v 3 +

d 1 2 1 2  Li 4 + Cv2  ;  dt  2 2

(34)

e(t) è la tensione del generatore (il riferimento per il verso è indicato in figura 2), R, L e C sono, rispettivamente, la resistenza, l'induttanza e la capacità del resistore, induttore e condensatore e i 3 = g(v 3 ) è la caratteristica del diodo. In questo circuito, dunque, la potenza elettrica erogata dal generatore ideale di tensione è uguale alla somma della potenza assorbita dal resistore, dal diodo, dall'induttore e dal condensatore.

135

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Utilizzando i risultati appena illustrati, il bilancio delle potenze elettriche espresso attraverso la (34) può essere formulato nel seguente modo. Il lavoro compiuto, durante l'intervallo di tempo dt, dal campo elettromotore agente sui portatori di carica presenti nel generatore è uguale alla somma: 1) della quantità di calore uscente, durante l'intervallo di tempo dt, dal resistore e dal diodo (nei conduttori di collegamento, nel condensatore e nell'induttore non ci sono fenomeni dissipativi; nella realtà ci sono, ma sono trascurabili); 2) della variazione dell'energia interna totale. La variazione dell'energia interna totale è somma della variazione dell'energia interna della materia e della variazione dell'“energia interna” del campo elettromagnetico. La variazione dell’energia interna della materia è, a sua volta, uguale alla somma della variazione dell'energia interna, di tipo termico, del pezzo di conduttore con cui è realizzato il resistore e dei pezzi di semiconduttore con cui è realizzato il diodo, che si manifesta in un innalzamento della temperatura, e della variazione dell'energia interna di polarizzazione del dielettrico con cui è realizzato il condensatore e dell'energia interna di magnetizzazione del materiale magnetico con cui è realizzato l'induttore (è stato implicitamente assunto che le temperature del dielettrico e del materiale magnetico fossero costanti). Nel modello circuitale viene ignorata l'energia elettromagnetica che, durante l'intervallo di tempo dt, è scambiata per irradiazione tra i componenti e l'energia elettromagnetica irradiata verso l'infinito. In conclusione la potenza elettrica assorbita (erogata) dal bipolo, e quindi il flusso del vettore di Poynting attraverso la superficie limite del componente, corrisponde a un vero e proprio termine di energia, che nell'unità di tempo, attraversa la superficie limite: se è positiva, il flusso di energia è dal circuito (in cui il bipolo è inserito), verso il bipolo; se, invece, è negativa il flusso di energia è dal bipolo verso la parte restante del circuito. Quindi l'integrale definito tra t1 e t2 della potenza elettrica assorbita rappresenta l'energia assorbita dal bipolo nell'intervallo di tempo (t1,t2).

4.3 Energia elettrica. Bipoli passivi e bipoli attivi. L'energia elettrica assorbita

t t da un bipolo (inserito in un circuito) nell'intervallo di tempo

: 

t t ( t è un istante di tempo assegnato), è



t

t t = ∫ p τ dτ ,

: 

(35)

t

dove p(t) è la potenza elettrica assorbita dal bipolo. Nel Sistema Internazionale l'unità di misura dell'energia è il joule1 (J): 1J=1W·1s. Pertanto la potenza assorbita dal bipolo è uguale alla derivata (rispetto al tempo t) dell'energia assorbita, t =

S

d : t  t . dt

(36)

1 Nella produzione e distribuzione dell'energia elettrica si usa come unità di misura dell'energia il kilowattora (kWh): essa è l'energia assorbita da un bipolo in un'ora quando la potenza assorbita è costante ed è uguale a 1kW; 1kWh=3.6 MJ.

136

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

L’energia elettrica erogata

Ö : 

t t , in un assegnato intervallo di tempo, è l'integrale definito della

potenza elettrica erogata p = p t . Ö

Ö

Prima di proseguire, c'è bisogno di stabilire un'altra convenzione. Con l'espressione “potenza assorbita” (energia assorbita) si intende il prodotto tra la tensione e la corrente del bipolo scelte con la convenzione dell'utilizzatore, mentre con l'espressione “potenza erogata” (energia erogata) si intende il prodotto tra la tensione e la corrente scelte con la convenzione del generatore: queste grandezze, a seconda del bipolo e della dinamica circuitale, possono essere, in generale, positive in alcuni istanti e negative in altri. Invece con l'espressione “il bipolo assorbe energia elettrica” (potenza elettrica) si deve intendere che si sta considerando una condizione di funzionamento, in cui l'energia assorbita (la potenza assorbita) è positiva e con l'espressione “il bipolo eroga energia elettrica” (potenza elettrica) si deve intendere che si sta considerando una condizione di funzionamento, in cui l'energia erogata (la potenza erogata) è positiva. Un bipolo può erogare energia elettrica in alcuni intervalli di tempo e assorbirla in altri. Ci sono bipoli che non possono mai erogare più energia elettrica di quella assorbita in precedenza e bipoli che, invece, possono. I bipoli (così come tutti gli altri elementi circuitali) vengono classificati in due tipi, i bipoli attivi e i bipoli passivi, a seconda se possono erogare più energia elettrica di quella assorbita in precedenza o possono erogare una quantità di energia elettrica al più uguale a quella assorbita prima. Definizione: bipolo passivo e bipolo attivo Un bipolo si dice passivo se, per ogni condizione di funzionamento, non può erogare più energia elettrica di quanto ne abbia assorbita in precedenza. Se esiste almeno una condizione di funzionamento in cui il bipolo eroga più energia elettrica di quanto ne abbia assorbita in precedenza 2 , allora esso si dice attivo.

4.4 Proprietà energetiche dei bipoli statici I bipoli statici sono caratterizzati da un legame “istantaneo” tra tensione e corrente: il valore della tensione in un generico istante dipende solo dal valore della corrente in quell'istante e viceversa. Per questi bipoli il segno della potenza assorbita dipende solo dai quadranti del piano v − i per i quali la curva caratteristica passa. Si considerino i bipoli statici che hanno la curva caratteristica passante solo per il primo e il terzo quadrante del piano v − i (figura 4a; i bipoli sono caratterizzati usando la convenzione dell'utilizzatore). La potenza assorbita da questi bipoli è sempre positiva o al più uguale a zero; essa non può essere mai negativa. È evidente, allora, che per questi bipoli l'energia assorbita in un qualsiasi intervallo di tempo è sempre positiva, cioè 2 In questo caso l’energia elettrica erogata dal componente fisico, di cui il bipolo rappresenta un modello, è ottenuta trasformando un'energia di natura diversa da quella elettrica (ad esempio, energia chimica o meccanica), in energia elettrica.

137

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica t

t  t = ∫ S τ dτ ≥ 0 ∀t > t

:





(37)

t

e per ogni t*. Pertanto essi non possono mai erogare energia e quindi sono passivi. Questi bipoli non possono mai restituire, nemmeno in parte, l’energia elettrica assorbita. Un resistore con resistenza positiva, un diodo a giunzione pn sono esempi di bipoli passivi; l’energia elettrica che essi assorbono viene trasformata interamente in energia termica.

Figura 4 Bipolo passivo (a) e bipolo attivo (b).

Figura 5

Un circuito semplice costituito da un bipolo attivo e da uno passivo (a) e caratteristica del generatore di tensione (b).

Quando la curva caratteristica passa anche per il secondo e/o quarto quadrante del piano v-i (figura 4b), la potenza assorbita può essere negativa (anche in intervalli di tempo illimitati). Ad esempio, si consideri il circuito illustrato in figura 5. Esso consiste di un generatore ideale di tensione collegato a un resistore lineare con resistenza R positiva. Si assuma, come ipotesi di lavoro, che la tensione E del generatore sia positiva; quindi abbiamo ig = −

E E 2 , la potenza assorbita dal generatore “1” è negativa, mentre quella assorbita dall'altro generatore “2” è positiva; dunque un generatore eroga energia (il generatore “1”), mentre l'altro l'assorbe (il generatore “2”). Proprietà energetiche dei bipoli statici Un bipolo statico con la caratteristica passante, solo per il primo e il terzo quadrante del piano v-i è passivo. Un bipolo statico con la caratteristica passante anche per il secondo e/o quarto quadrante è attivo. Il resistore lineare con resistenza maggiore di zero, il cortocircuito, il circuito aperto, il nullatore, l'interruttore, il diodo a giunzione pn, il diodo zener, il diodo tunnel e il tiristore (con il terminale di “porta” scollegato) sono tutti bipoli passivi. Il generatore ideale e il generatore reale di tensione, e il generatore ideale e il generatore reale di corrente e il noratore sono bipoli attivi. Definizione: bipolo strettamente passivo Un bipolo statico passivo si dice strettamente passivo se -

la potenza assorbita è sempre maggiore di zero quando la tensione e la corrente sono diverse da zero;

-

la potenza assorbita è uguale a zero se e solo se la tensione e la corrente sono contemporaneamente uguali a zero.

139

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Il bipolo corto circuito e il bipolo circuito aperto sono passivi ma non sono strettamente passivi. Il resistore passivo, il diodo a giunzione pn, il diodo zener, il diodo tunnel e il tiristore sono bipoli strettamente passivi. La stretta passività implica che se la potenza assorbita è nulla allora la tensione e la corrente sono entrambe nulle. Esercizio Il lettore dimostri che: (a) in un circuito costituito da soli bipoli strettamente passivi tutte le correnti e tutte le tensioni sono nulle; (b) la massima potenza che è in grado di erogare un generatore reale di tensione o di corrente è limitata.

4.5 Proprietà energetiche dei bipoli dinamici lineari tempo-invarianti Allo scopo di illustrare le caratteristiche energetiche fondamentali dei bipoli dinamici lineari tempo-invarianti si consideri, ad esempio, un condensatore lineare e tempo-invariante. L’energia W(t0,t) assorbita nell’intervallo (t0,t) dal condensatore vale (C è la capacità del condensatore) :

t

t

t0

t0

t 0  t = ∫ p τ dτ = ∫

d 1 1 Cv2 τ  2 dτ = Cv2 t − Cv2 t 0 . dτ 2 2

[

]

(40)

Essa non dipende dalla storia della tensione nell'intervallo (t0,t), ma solo dai valori che v(t) assume negli estremi dell'intervallo: dal valore della tensione v(t0) nell'istante iniziale e dal valore della tensione v(t) nell'istante finale. Quando la tensione nell'istante finale v(t) è uguale a quella nell'istante iniziale v(t0), allora l'energia assorbita dal condensatore è identicamente nulla, indipendentemente dalla sua forma d'onda. Un bipolo con questa proprietà si dice conservativo.

Figura 7 Si consideri, ad esempio, un condensatore con una capacità di 1 µF e si assuma che la forma d'onda della tensione del condensatore sia quella illustrata in figura 7. L'energia assorbita dal condensatore nell'intervallo (0, 2) è uguale a zero: nell'intervallo (0, 1) assorbe 0.5 µJ, e nell'intervallo (1, 2) la restituisce interamente al circuito a cui è collegato (l'energia erogata nell'intervallo (1, 2) è uguale a 0.5 µJ).

140

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Analogamente per l’induttore lineare e tempo invariante si ha che, l’energia W(t0,t) assorbita nell’intervallo (t0,t) vale (L è l'induttanza dell'induttore) :

t

t

t0

t0

t 0  t = ∫ p τ dτ = ∫

d 1 1 Li 2 τ  2 dτ = Li 2 t − Li 2 t 0 . dτ 2 2

[

]

(41)

Essa non dipende dalla storia della corrente nell'intervallo (t0,t), ma solo dai valori che essa assume negli estremi dell'intervallo: dal valore della corrente i(t) nell'istante iniziale e dal valore della corrente i(t0) nell'istante finale. Quando la corrente nell'istante finale i(t) è uguale a quella nell'istante iniziale i(t0), allora l'energia assorbita dall'induttore è identicamente nulla, indipendentemente dalla sua forma d'onda. In conclusione i condensatori e gli induttori lineari tempo-invarianti sono bipoli conservativi: l'energia che assorbono viene immagazzinata. L'energia immagazzinata può essere restituita in parte o tutta al circuito in cui sono inseriti. Il condensatore e l'induttore sono bipoli passivi o sono bipoli attivi? Si consideri dapprima il condensatore con capacità positiva, C>0. L'energia W(t0,t1) assorbita dal condensatore nell'intervallo di tempo (t0,t1) dipende sia dalla tensione iniziale v(t0) che dalla tensione finale v(t1). Fissata la tensione finale v(t1)=V (siccome è C>0), il valore massimo dell'energia assorbita W(t0,t1) si ottiene quando la tensione iniziale è nulla. Questo massimo è uguale a CV 2  2 ed esso rappresenta la massima energia che il condensatore è in grado di assorbire quando la tensione finale è V. Se, invece della tensione finale si fissa la tensione iniziale v(t0)=V (siccome è C>0) il valore minimo di W(t0,t1) si ottiene quando la tensione finale è nulla. Questo minimo è uguale a − CV 2  2 , e rappresenta, in valore assoluto, la massima energia che il condensatore può erogare

quando la tensione iniziale è V. Pertanto se l'energia immagazzinata nel condensatore al generico istante T è CV 2  2 , l'energia che il condensatore può erogare per t > T non può essere più grande di CV 2  2 , e quindi non può essere più grande dell'energia che è stata assorbita per t0 è un bipolo passivo. Se la capacità fosse minore di zero (sempre con la convenzione dell'utilizzatore), allora il bipolo sarebbe attivo. Per l'energia elettrica assorbita dal condensatore passivo vale la proprietà t 1 t t ∗ = ∫ p τ dτ = Cv 2 t ≥ 0 t 2

: 



∀t > t ,

(42)

dove t* è un istante in cui la tensione del condensatore è uguale a zero. Risultati analoghi valgono per l'induttore: se L>0 l'induttore è passivo (il lettore lo dimostri). Per l'energia elettrica assorbita dall'induttore passivo vale la proprietà t

t t ∗ = ∫ p τ dτ =

: 



t

1 2 Li t ≥ 0 2

∀t > t , 

(43)

dove t* è un istante in cui la corrente nell'induttore è uguale a zero. Le (40) e (41) non valgono se il condensatore e l'induttore sono tempo-varianti (cioè quando la capacità e l'induttanza variano nel tempo). In questi casi si ha

141

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

  d [C t v] ≠ d  1 C t v 2  ,  dt dt  2  d 1 d i [L t i] ≠  L t i 2  .  dt  2 dt

(44)

v

(45)

In generale i condensatori e gli induttori tempo-varianti non sono passivi.

Figura 8 Osservazione I bipoli statici non sono conservativi. In essi l’energia assorbita in un dato intervallo di tempo (t0,t) dipende dalla intera storia della corrente (o della tensione) in quell’intervallo di tempo. Si consideri, ad esempio, l’energia assorbita da un resistore lineare con resistenza R=1, nell’intervallo di tempo (0, 2), e la si valuti per le due forme d’onda della corrente illustrate in figura 8. Pur avendo le due forme d’onda gli stessi valori iniziali e finali, si ha

2

∫0 i12



2

τ dτ ≠ ∫ i 22 τ dτ . 0

L’energia che assorbe un bipolo statico passivo, a differenza di quanto accade in un bipolo conservativo, è trasformata interamente in energia termica, e quindi, non può mai essere restituita (nemmeno in parte) sotto forma di energia elettrica in “modo spontaneo” (violerebbe il secondo principio della termodinamica). Per questo motivo i bipoli statici passivi vengono detti bipoli dissipativi. Esempio Si consideri il circuito illustrato in figura 9. Il generatore di corrente fornisce una corrente costante diversa da zero nell'intervallo di tempo (0, 1); la forma d'onda della corrente imposta è illustrata in figura 9a. La tensione sul condensatore nell'istante t = 0 è nulla e l'interruttore resta aperto fino a t=1; nell'istante t=1 l'interruttore si chiude. Nell'intervallo di tempo (0, 1), siccome l'interruttore è aperto, si ha i(t)=j(t), e quindi v t =

1 t j τ dτ ; C ∫0

(46)

pertanto la tensione sul condensatore vale v t = t

per

0 ≤ t ≤1 .

(47)

In questo intervallo di tempo il generatore di corrente eroga potenza e l'energia assorbita dal condensatore è uguale 0.5 mJ: all'istante t=1 questa energia è tutta immagazzinata nel condensatore

142

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

(sotto forma di energia interna del campo elettrico e di energia interna di polarizzazione del dielettrico). Per t >1 il generatore di corrente è spento, l'interruttore è chiuso, e quindi i=−v/R=−v. Pertanto si ha per la tensione v dv +10 3 v = 0 , dt

(48)

v t = 1 = 1 .

(49)

Figura 9 Carica e scarica di un condensatore. La soluzione dell'equazione (48) con la condizione iniziale (49) è v(t) = H−( t−1) /10

−3

( t ≥ 1) .

(50)

Per t >1 nel circuito, pur non essendovi generatori accesi, fluisce una corrente, a causa dell'energia che è stata immagazzinata nel condensatore per t q t @ ≥ 0

Z 

t



∀t > t 

(55)

dove t* è l'istante in cui q=Q*. Il caso dell'induttore non lineare e tempo-invariante (in assenza di fenomeni isteretici) è completamente duale. Alla luce dei risultati fin qui descritti, il concetto di passività potrebbe essere riformulato, in questo modo: un bipolo è passivo se per qualsiasi condizione di funzionamento esiste almeno un istante di tempo t* 3 (finito) tale che t

∫t



p τ dτ ≥ 0

∀t > t . 

(56)

Se esiste almeno una condizione di funzionamento per la quale la relazione (56) non è verificata (cioè non esiste nessun istante di tempo t* per cui la (56) è verificata), allora il bipolo è attivo. La relazione (56) non implica che non vi possano essere degli intervalli di tempo (nell'intervallo (t*,t)) in cui l'energia elettrica assorbita dal bipolo non possa essere negativa. Possono esistere degli intervalli di tempo in cui il bipolo eroga energia elettrica, solo che essa non può mai essere di più di quella assorbita in precedenza. Ad esempio, l'energia assorbita nell'intervallo (t1,t) può essere negativa, però in valore assoluto non può essere più grande dell'energia assorbita nell'intervallo (t*,t1). È facile convincersi che questa nuova formulazione del concetto di passività è del tutto equivalente a quella precedente, fatta eccezione che per un caso. Infatti secondo la (56) sarebbe passivo anche un bipolo che in un intervallo

Ö 





t t , precedente a



t  t , ha sempre erogato energia elettrica.

Comunque questo caso non si verifica mai per i bipoli fondamentali che vengono presi in considerazione in queste lezioni.

3 Per il componente circuitale, di cui il bipolo rappresenta un modello, t* potrebbe rappresentare “l'istante” in cui esso è stato costruito, o un istante successivo opportuno (potrebbe anche accadere che t ∗ →− ∞ ). In letteratura t

la passività è, spesso, espressa attraverso la condizione ∫ p τ dτ≥ 0 ∀t . −∞

CAPITOLO 5

PROPRIETÀ DEI CIRCUITI DI RESISTORI

Nel presente Capitolo, verrà introdotto il concetto di equivalenza tra bipoli statici e verranno enunciati e dimostrati alcuni teoremi (proprietà) generali sui circuiti di resistori. L'uso del concetto di equivalenza e delle proprietà, che verranno descritte, spesso portano a una drastica semplificazione di problemi altrimenti molto difficili da risolvere. Essi rappresentano anche inestimabili strumenti mediante i quali, in seguito, si ricaveranno un gran numero di risultati. In particolare saranno proposti metodi che consentono di determinare la soluzione di un circuito senza dovere scrivere esplicitamente le equazioni circuitali.

5.1 Bipolo equivalente. Connessione in serie e connessione in parallelo Un concetto fondamentale nella teoria dei circuiti elettrici è quello di equivalenza. In generale può accadere che, due bipoli, che rappresentano componenti di diversa costituzione fisica, hanno la stessa relazione caratteristica. Definizione: bipoli statici equivalenti Due bipoli statici si dicono equivalenti se e solo se le loro relazioni costitutive coincidono. Tramite l'equivalenza tra bipoli è possibile ridurre un circuito di resistori e generatori ideali a un “circuito semplice”, costituito da due soli bipoli fondamentali: un generatore ideale e un resistore. Dopo avere risolto il circuito semplice, tutte le grandezze del circuito in esame possono essere ricostruite tramite delle semplici regole. La prima fase della procedura (la riduzione al circuito semplice) corrisponde esattamente alla riduzione del sistema di equazioni circuitali a una sola equazione in una sola incognita tramite la procedura dell'eliminazione in avanti per sostituzione nel metodo di Gauss e la seconda parte corrisponde alla procedura dell'eliminazione all'indietro. In questo paragrafo saranno esaminate le caratteristiche di bipoli “composti” costituiti da bipoli statici “elementari” (resistori lineari e generatori ideali) collegati in serie, in parallelo e in serie-parallelo.

146

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Definizione: bipoli collegati in serie I bipoli B1 e B2 sono collegati in serie se: (i)

sono connessi a uno stesso nodo (figura 1);

(ii)

le correnti nei due bipoli sono uguali (se si scelgono dei riferimenti opportuni, come, ad esempio, quelli mostrati in figura 1).

Figura 1 B1 e B2 sono collegati in serie (a) e B3 e B4 non sono collegati in serie (b). Definizione: bipoli collegati in parallelo I bipoli B1 e B2 sono collegati in parallelo nei nodi “1” e “2”, se i loro terminali sono connessi ai nodi “1” e “2” (così come è illustrato in figura 2).

Figura 2 I bipoli B1 e B2 sono collegati in parallelo.

Figura 3 Due resistori connessi in serie insieme col resto del circuito N.

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

147

5.1.1 Collegamento di due bipoli statici in serie Si consideri il circuito illustrato in figura 3, in cui i bipoli statici R1 e R2 sono collegati in serie. Ai nodi “1” e “3” è connesso il resto del circuito, denotato con N (esso potrebbe essere costituito anche da bipoli non lineari e dinamici). Si vuole ottenere la relazione caratteristica del bipolo costituito dalla serie dei due bipoli R1 e R2. Applicando la prima legge di Kirchhoff ai nodi “1” e “2”, si ottiene: i = i1 = i 2 ;

(1)

applicando la seconda legge di Kirchhoff, si ottiene v = v1 + v2 .

(2)

Si assuma, ora, che i due bipoli statici siano controllati in corrente, cioè: v 1 = r 1 (i1 ) = r 1 (i), v 2 = r2 (i 2 ) = r 2 (i) .

(3)

Sostituendo le (3) nella (2), si ottiene la relazione caratteristica del bipolo equivalente serie: v = r1 (i) + r 2 (i) = r eq (i) .

(4)

Sebbene qualsiasi connessione costituita da due resistori non lineari (controllati in corrente), in serie possa essere rappresenta tramite un opportuno bipolo equivalente, ora analizzeremo solo le connessioni serie fondamentali che si incontrano nei circuiti costituiti da resistori lineari e generatori ideali; a questa classe di circuiti si dà il nome di circuiti resistivi lineari. - Due resistori lineari in serie Si considerino due resistori lineari, con resistenze R1 e R2, collegati in serie. In questo caso si ha v 1 = r 1 (i) = R1 i, v 2 = r2 (i) = R 2 i ,

(5)

e la (4) diventa v = (R 1 + R 2 )i ,

(6)

cioè il bipolo resistore con resistenza R eq = (R 1 + R 2 ) ,

(7)

è equivalente al bipolo costituito dal resistore con resistenza R1 in serie con il resistore di resistenza R2, figura 4.

148

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Figura 4 Due resistori collegati in serie. Esiste una semplice relazione tra la tensione su ogni resistore della serie (v1 e v2) e la tensione v della serie. È facile dimostrare che (formule del partitore di tensione) v1 = v

R1 R2 , v2 = v ; R1 + R2 R1 + R2

(8)

i riferimenti per i versi delle tensioni sono quelli illustrati in figura 3. La sostituzione di due resistori collegati in serie con il resistore equivalente, corrisponde alla riduzione del sistema di equazioni circuitali attraverso l'eliminazione per sostituzione; la ricostruzione delle tensioni su ogni resistore, una volta nota la tensione sulla serie, attraverso le formule del partitore, corrisponde all'eliminazione all'indietro nell'algoritmo di Gauss. È immediato verificare che nel caso di m resistori in serie R 1 , R 2 , .. ., R m , la resistenza del bipolo serie equivalente vale m

R eq = R 1 + R 2 + . .. + R m = ∑ R i .

(9)

i =1

La tensione vi del i-esimo resistore è legata alla tensione v della serie tramite la relazione v i = (±)v

Ri

∑ j =1 R j m

;

(10)

nella (10) deve essere considerato il segno positivo se le frecce che indicano i riferimenti delle due tensioni sono equi verse o, in caso contrario, il segno negativo. - Due generatori di tensione ideali in serie Si considerino due generatori di tensione ideali, con tensioni E1 e E2, collegati in serie (figura 5a). In questo caso si ha v 1 = E 1 , v 2 = E2 ,

(11)

quindi la (4) diventa v = E1 + E2 ;

inoltre la corrente i è indipendente dalla tensione v.

(12)

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

149

Figura 5 Generatori collegati in serie Pertanto il bipolo generatore di tensione ideale con tensione E eq = ( E1 + E2 )

(13)

è equivalente al bipolo costituito dal generatore di tensione con tensione E1 in serie con il generatore di tensione E2. - Un generatore ideale di tensione in serie con un generatore ideale di corrente Si consideri un generatore di tensione ideale, con tensione E1, connesso in serie con un generatore ideale di corrente con corrente J2, (figura 5b). In questo caso la tensione della serie non è nota, e la corrente è uguale a J2 per qualsiasi valore della tensione. Pertanto la serie tra un generatore di corrente ideale e un generatore di tensione ideale è equivalente a un generatore ideale di corrente. Non è significativo il caso di due generatori ideali di corrente in serie, perché da luogo a un modello incompatibile (a meno che le due correnti non siano eguali e in tal caso il bipolo equivalente è ancora un generatore di corrente con la stessa corrente dei due generatori) - Un resistore in serie con un generatore di tensione ideale Si consideri un generatore di tensione ideale, con tensione E connesso in serie con un resistore lineare di resistenza R, (figura 6). La caratteristica del bipolo è equivalente è

v = E + Ri .

(14)

Essa è la caratteristica del generatore “reale” di tensione; i riferimenti sono quelli illustrati in figura 6. Il generatore reale di tensione è un bipolo attivo

Figura 6 Bipolo equivalente al generatore reale di tensione (a) e curva caratteristica (b). Infine un generatore di corrente ideale con corrente J collegato in serie a un resistore è equivalente a un generatore di corrente ideale. 5.1.2 Collegamento di due bipoli statici in parallelo

150

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Si consideri il circuito di figura 7, in cui due bipoli statici R1 e R2 sono collegati in parallelo tra loro ai nodi “1” e “2”. Anche in questo caso la natura del circuito N è irrilevante se si vuole ottenere solo la caratteristica del bipolo equivalente al parallelo di R1 con R2.

Figura 7 Due resistori connessi in parallelo insieme col resto del circuito N. Applicando la seconda legge di Kirchhoff, si ha che le tensioni v1 e v2 sono eguali, cioè

v = v1 = v2 ;

(15)

applicando la prima legge di Kirchhoff, si ottiene

i = i1 + i2 .

(16)

Si assuma, ora, che i due bipoli siano controllati in tensione, cioè:

i1 = g1 (v1 ) = g1 (v), i 2 = g2 (v 2 ) = g2 (v) .

(17)

Sostituendo le (17) nella (16), si ottiene la relazione caratteristica del bipolo equivalente al parallelo:

i = g1 (v) + g2 (v) = g eq (v) .

(18)

Sebbene il bipolo equivalente parallelo possa essere costruito da due resistori non lineari (controllati in corrente), qui noi considereremo solo le connessioni in parallelo fondamentali, che si incontrano nei circuiti resistivi lineari. - Due resistori lineari in parallelo Si considerino due resistori lineari, con resistenze R1 e R2, collegati in parallelo. Si ha

 1 1  i = v, +  R1 R 2 

(19)

cioè il bipolo resistore con conduttanza

Geq = (G1 + G2 )

(20)

è equivalente al bipolo costituito dal resistore con conduttanza G1=1/R1 in parallelo al resistore di conduttanza G2=1/R2, figura 8. Se invece della conduttanza equivalente si considera la resistenza equivalente, si ha

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

R eq =

R1R 2 . R1 + R 2

151 (21)

Figura 8 Due resistori collegati in parallelo. Esiste una semplice relazione tra la corrente in ogni resistore del parallelo (i1 e i2) e la corrente i del parallelo. È facile dimostrare che (formule del partitore di corrente)

i1 = i

G1 G2 , i2 = i ; G1 + G2 G1 + G2

(22)

i riferimenti per i versi delle correnti sono quelli illustrati in figura 8. Se si usano le resistenze, esse diventano:

i1 = i

R2 R1 , i2 = i . R1 + R2 R1 + R2

(23)

La sostituzione di due resistori in parallelo con il resistore equivalente, corrisponde di nuovo alla riduzione del sistema di equazioni circuitali attraverso l'eliminazione per sostituzione; la ricostruzione delle correnti in ogni resistore, una volta nota la corrente del parallelo, attraverso le formule del partitore, corrisponde all'eliminazione all'indietro nell'algoritmo di Gauss. È immediato verificare che nel caso di m resistori in parallelo R1 , R 2 , ..., Rm la conduttanza del bipolo parallelo equivalente vale

Geq =

m 1 1 1 1 + + ... + = ∑ . R1 R2 R m i=1 Ri

(24)

La corrente ij del j-esimo resistore è legata alla corrente totale del parallelo dalla relazione

i j = (±)i

Gj m ∑ h =1 Gh

;

(25)

nella (25) deve essere considerato il segno positivo se le frecce che indicano i riferimenti delle due correnti sono equi verse o, in caso contrario, il segno negativo. - Due generatori di corrente ideali in parallelo Si consideri il caso in cui due generatori di correnti ideali, con correnti J1 e J2 sono collegati in parallelo. Il bipolo generatore di corrente ideale con corrente

J eq = (J 1 + J2 )

(26)

è equivalente al bipolo costituito dalla serie del generatore ideale di tensione con tensione J1 con il generatore di tensione J2, figura 9a.

152

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Figura 9 Generatori collegati in parallelo. - Un generatore ideale di tensione in parallelo con un generatore ideale di corrente Si considerino un generatore di tensione ideale, con tensione E1, connesso in parallelo con un generatore ideale di corrente con corrente J2, (figura 9b). La corrente del parallelo non è nota e la tensione è uguale a E2 per qualsiasi valore della corrente. Pertanto questo bipolo è equivalente a un generatore di tensione ideale. Non è significativo il caso di due generatori ideali di tensione in parallelo, perché da luogo a un modello incompatibile (a meno che le due tensioni non siano eguali e in tal caso il bipolo equivalente è ancora un generatore di tensione con la stessa tensione dei due generatori).

Figura 10 Circuito equivalente al generatore reale di corrente (a) e curva caratteristica (b). - Un resistore in parallelo con un generatore di corrente ideale Si consideri un generatore di corrente ideale, con corrente J, connesso in parallelo con un resistore lineare di resistenza R e quindi conduttanza G=1/R. La caratteristica del bipolo equivalente è

i = J + Gv .

(27)

Essa è la caratteristica del generatore “reale” di corrente; i riferimenti sono quelli illustrati in figura 10. Il generatore reale di corrente è un bipolo attivo. Infine il parallelo tra un generatore di tensione ideale con tensione E e un resistore è equivalente a un generatore di tensione ideale.

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

153

Esempio Si consideri il circuito rappresentato in figura 11. Esso può essere ridotto utilizzando le equivalenze serie e parallelo a un circuito “semplice” costituito dal generatore ideale di tensione e da un resistore lineare. Le regole del partitore di tensione e di corrente consentono, poi, di ricostruire tutte le tensioni e le correnti del circuito.

Figura 11 Il generatore di tensione è in serie con il resistore di resistenza R1 e il resistore di resistenza R3 è in serie con il resistore di resistenza R4. Se fosse nota la corrente i1, attraverso le regole del partitore di corrente si potrebbero determinare le altre due correnti e quindi, anche, le tensioni su ogni resistore.

Figura 12 La corrente i1 può essere determinata riducendo il circuito a un circuito “semplice” costituito dal generatore e da un solo resistore. La procedura di riduzione è descritta in figura 12. La corrente i1 vale i1 =

E (3) = 2 . R eq

Utilizzando la formula del partitore di corrente è possibile calcolare le correnti i2 e i3 (i resistori (1) con resistenze R2 e R eq sono in parallelo nel circuito N1). Si ottiene

154

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

i2 =

Req(1) R2 + R

(1) eq

= i1 e i3 =

R2 = i1 . R2 + Req(1)

Infine le tensioni dei resistori valgono

v1 = R1i1 = 5, v 2 = R2 i2 = 5, v 3 = R3i3 = 3, v 4 = R4 i4 = 2. Questo esempio mostra come si può risolvere un circuito con un solo generatore senza utilizzare esplicitamente le equazioni circuitali (le equazioni di Kirchhoff e le equazioni costitutive). La procedura descritta è equivalente alla soluzione del sistema di equazioni circuitali con il metodo di Gauss: la riduzione del circuito avviene per ispezione ed è guidata dalle proprietà del grafo. Tutti i circuiti resistivi con un solo generatore possono essere risolti in questo modo? Purtroppo la risposta è no. Si consideri, ad esempio, il circuito illustrato in figura 13. In questo caso non è possibile individuare né collegamenti in parallelo né collegamenti in serie. È ancora possibile determinare un resistore equivalente al bipolo di resistori N. La resistenza del resistore equivalente può essere determinata attraverso degli strumenti di analisi che saranno introdotti in seguito. Per ora il lettore calcoli la corrente i che circola nel resistore con resistenza R usando il metodo dei potenziali di nodo.

Figura 13

5.2 Proprietà dei circuiti resistivi lineari In questo paragrafo, saranno enunciate e dimostrate alcune proprietà generali dei circuiti resistivi lineari, ovvero il teorema della sovrapposizione degli effetti, il teorema di Thévenin-Norton. Essi costituiscono utili strumenti di analisi per i circuiti resistivi lineari. 5.2.1 Circuito resistivo lineare con un solo generatore Si consideri un circuito costituito da resistori lineari e un solo generatore ideale, ad esempio un T T generatore ideale di tensione (figura 14). Siano i = (i1 ,i 2 ,..., i b ) e v = (v1 ,v2 ,...,vb ) le correnti e le tensioni del circuito. I lati sono stati ordinati in modo tale che il generatore di tensione ideale corrisponda al lato “b”. Gli altri (b−1) lati sono resistori lineari; la resistenza del k-esimo resistore è indicata con R k (1•k•b−1).

155

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Figura 14 Circuito resistivo lineare con un solo generatore. Le equazioni circuitali sono

Ai = 0, Bv = 0, v R − Ri R = 0, v b = E;

(28)

A e B sono, rispettivamente, una matrice di incidenza ridotta e una matrice di maglia fondamentale T T del circuito, i R = (i1 ,i 2 ,...,i b−1 ) e v R = (v1, v2 ,..., vb−1 ) sono le correnti e le tensioni dei (b −1) resistori e R è la matrice diagonale

R = diag(R1 ,R2 ,...,R b−1 ) . L'equazione matriciale

v R − Ri R = 0 rappresenta l'insieme delle equazioni costitutive v k − R k i k = 0 dei (b−1) resistori (1•k•(b−1)). Siano

˜i = H , j j

˜v j = K j

1≤ j ≤ b ,

(29)

le correnti e le tensioni del circuito per E=1. Siccome il sistema di equazioni (28) è lineare (perché le equazioni caratteristiche dei resistori sono lineari), la sua soluzione è data da

i j = H jE, v j = K j E

1 ≤ j ≤ b.

(30)

A causa della linearità ogni corrente e ogni tensione è direttamente proporzionale alla tensione del generatore di tensione (oppure alla corrente del generatore di corrente nel caso in cui nel circuito vi fosse un solo generatore di corrente indipendente). I fattori H j , omogenei con una conduttanza, e i fattori adimensionali K j sono costanti dipendenti unicamente dai parametri circuitali (e non dalla tensione E del generatore). La corrente i nel terminale “1” del bipolo N vale

i = E / R eq ,

(31)

dove R eq = −1 / H b . Dunque un qualsiasi bipolo N costituito da soli resistori lineari (senza generatori) può essere sempre rappresentato da un bipolo resistore equivalente con resistenza R eq . Se i resistori che costituiscono il bipolo N sono passivi, allora per R eq vale la relazione

R eq ≥ 0. (la dimostrazione è semplice, si usi la conservazione delle potenze elettriche).

(32)

156

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5.2.2 Sovrapposizione degli effetti Si consideri, ora, un circuito costituito da resistori lineari e da più generatori ideali, ad esempio, un circuito con un generatore ideale di tensione e uno di corrente (figura 15). La proprietà che verrà dimostrata è indipendente dal numero e dal tipo di generatori ideali presenti; soltanto per semplificare la notazione ne sono stati considerati solo due.

Figura 15 Circuito resistivo lineare con due generatori indipendenti. T

Siano i = (i1 ,i 2 ,..., i b ) e v = (v1 ,v2 ,...,vb )

T

le correnti e le tensioni del circuito. I lati sono

stati ordinati in modo tale che: al generatore di tensione ideale corrisponda il lato “b” e al generatore di corrente ideale il lato “b−1”. Gli altri (b−2) lati sono resistori lineari e la resistenza del k-esimo resistore è indicata con R k (1•k•b−2). Le equazioni circuitali sono

Ai = 0, Bv = 0, v R − Ri R = 0, i b-1 = J,

(33)

v b = E; T

in questo caso i R = (i1 ,i 2 ,...,i b− 2 ) e v R = (v1 ,v 2 ,...,v b−2 )

T

sono le correnti e le tensioni dei

(b−2) resistori e R è la matrice diagonale R = diag(R1 ,R2 ,...,R b−2 ) . L'equazione matriciale

v R − R i R = 0 rappresenta l'insieme delle equazioni caratteristiche v k − R k i k = 0 dei (b−2) resistori (1•k•(b−2)). Si considerino ora i due problemi ausiliari, così definiti:

problema N'

problema N"

157

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A i ′ = 0, B v ′ = 0,

A i ′′ = 0, B v ′′ = 0,

v ′R − R i ′R = 0,

v ′R′ − R i ′R′ = 0,

i ′b-1 = J,

i ′b-1 ′ = 0,

v ′b = 0;

v ′b′ = E.

Siccome il sistema (33) è lineare, la sua soluzione può essere espressa come

i = i ′ + i′′, v = v ′ + v ′′.

(34)

(Si è implicitamente assunto che il sistema (33) e i due problemi ausiliari ammettano una e una sola soluzione).

Figura 16 Le equazioni del problema N' sono le equazioni circuitali del circuito N quando si “spegne” il generatore di tensione (spegnere un generatore di tensione equivale a sostituirlo con un bipolo corto circuito), e quindi sono le equazioni del circuito ausiliario di figura 16a, mentre le equazioni del problema N" sono le equazioni circuitali del circuito N quando si “spegne” il generatore di corrente (spegnere un generatore di corrente equivale a sostituirlo con un bipolo circuito aperto) e quindi sono le equazioni del circuito ausiliario di figura 16b. Le (34), ovvia conseguenza della linearità delle equazioni del circuito, si prestano a questa interpretazione circuitale. Proprietà della sovrapposizione degli effetti La generica corrente (tensione) in un circuito di resistori lineari e di generatori ideali, è la somma delle correnti (tensioni) che ciascuno dei generatori ideali produrrebbe se agisse da solo, essendo gli altri “spenti”.

158

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Una immediata conseguenza della proprietà della sovrapposizione e delle (29), (30) e (34) è che qualsiasi corrente i j (1 ≤ j ≤ b ) del circuito N di figura 15 è data da una espressione del tipo (cioè è una combinazione lineare delle sorgenti),

i j = H jE + Qj J ,

(35)

e qualsiasi tensione v j (1 ≤ j ≤ b ) è data da una espressione del tipo

v j = K j E + P jJ ,

(36)

dove i fattori H j , K j , P j , Q j sono costanti dipendenti unicamente dai parametri circuitali e non dai generatori ideali. Esempio Si consideri il circuito rappresentato in figura 17 e si determini la potenza assorbita dal resistore R1. Essa vale 2 2 p1 = R1i1 = i1 .

Per determinare la corrente i1 si può usare la sovrapposizione degli effetti, le equivalenze serie e parallelo e le regole del partitore di tensione e di corrente.

Figura 17 Circuito resistivo lineare con due generatori indipendenti. Applicando la sovrapposizione degli effetti, la corrente i può essere espressa come

i1 = i1′ + i1′′ dove i1′ è la corrente nel resistore R1 quando è spento il generatore di corrente ed è acceso quello di tensione e i1′′ è la corrente nel resistore R1 quando è spento il generatore di tensione ed è acceso quello di corrente. - Calcolo di i1′ . Il generatore di tensione è in serie con il resistore di resistenza R1 e il resistore di resistenza R3 è in serie con il resistore di resistenza R4 (figura 18); inoltre la serie R3_R4 è in parallelo con R2. La corrente i1′ può essere determinata riducendo il circuito N' a un circuito “semplice” costituito dal generatore di tensione e da un solo resistore. La procedura di riduzione è descritta in figura 18. Allora la corrente i1′ vale

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i1′ =

159

E 3 = 10 . R (eq )

Figura 18

Figura 19 - Calcolo di i 2′ . La corrente i ′3′ nel circuito N" (figura 19) può essere calcolata usando la formula del partitore di ( 2) corrente ( R 4 e R eq sono in parallelo); applicandola si ottiene

i3′′ = J

R4 = 16.67 . R4 + Req2

A questo punto, essendo nota la corrente i 3′′ , la corrente i1′′ nel circuito N (figura 19) può essere calcolata usando, ancora, la formula del partitore di corrente ( R1 e R 2 sono in parallelo); applicandola si ottiene

i1′′ = i3′′

R2 = 8.33 . R1 + R2

Allora corrente la corrente i1 vale i1 = i′1 + i ′1′ = 16.25 e quindi la potenza assorbita dal resistore di resistenza R1 vale p1 ≅ 264.1 . 5.2.3 Teorema di Thévenin-Norton

160

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Nella prima parte di questo capitolo è stato dimostrato che ogni bipolo resistivo lineare senza generatori può essere rappresentato da un resistore equivalente lineare. Si consideri, ora, un circuito costituito da un bipolo NL, composto da resistori lineari e generatori indipendenti e da un bipolo N non necessariamente lineare o resistivo (esso può essere anche di tipo dinamico), figura 20. Il bipolo resistivo NL può essere rappresentato tramite un bipolo equivalente che ha la stessa caratteristica i-v. Infatti, per quanto riguarda N, la soluzione dipende esclusivamente dalla caratteristica del bipolo NL (è del tutto insignificante conoscere quali elementi all'interno di NL realizzino tale caratteristica).

Figura 20

Circuito costituito da un bipolo resistivo lineare con generatori indipendenti e un bipolo non necessariamente lineare o resistivo.

Figura 21 Caratterizzazione su base corrente (a) e su base tensione (b) del bipolo NL. Per costruire la caratteristica i-v di NL e quindi il bipolo equivalente, bisogna determinare la relazione tra la corrente i e la tensione v per tutti i valori di corrente e di tensione ammissibili. Ciò può essere fatto attraverso un esperimento concettuale (figura 21), in cui si impone la corrente i attraverso un generatore di corrente indipendente e si determina la tensione v (caratterizzazione su base corrente del bipolo), oppure si impone la tensione v attraverso un generatore indipendente di tensione e si determina la corrente i (caratterizzazione su base tensione del bipolo). Le due caratterizzazioni sono equivalenti, fatta eccezione di due casi molto particolari. Si consideri la caratterizzazione su base corrente. Bisogna determinare la relazione che lega la tensione v alla corrente imposta i. Si assuma che il circuito di figura 21a abbia una e una sola soluzione per ogni valore di i. Siccome il circuito è lineare, la relazione cercata può essere determinata attraverso la sovrapposizione degli effetti. A tale scopo si considerino i due circuiti ausiliari rappresentati in figura 22. Il primo è stato ottenuto spegnendo nel circuito di figura 21a tutti i generatori di NL mentre il secondo è stato ottenuto spegnendo solo il generatore di corrente “ausiliario” di valore i.

161

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Figura 22 Il bipolo N' è costituito da soli resistori lineari, circuiti aperti (corrispondenti ai generatori di correnti spenti) e corto circuiti (corrispondenti ai generatori di tensione spenti). Esso può essere rappresentato tramite il resistore equivalente. Sia R eq la resistenza equivalente di N'; allora la tensione v' vale

v ′ = Req i .

(37)

Nel circuito illustrato in figura 22b le sorgenti sono solo quelle interne al circuito NL (i"=0). Si indichi con E* la tensione di NL quando la corrente i è uguale a zero (la cosiddetta tensione a circuito aperto o a vuoto). La tensione a vuoto è indipendente dalla corrente i, dipende solo dalla struttura interna del bipolo resistivo NL. Utilizzando la sovrapposizione degli effetti si ha

v = v ′ + v ′′ , cioè

v = R eq i + E * .

(38)

La (38) è la caratteristica del bipolo NL. Essa coincide con la caratteristica del generatore reale di tensione. Si consideri ora la caratterizzazione su base tensione e si assuma che il circuito di figura 21b ammetta una e una sola soluzione per ogni valore di v. Il lettore dimostri, applicando la sovrapposizione degli effetti, che la relazione tra la corrente i e la tensione v vale

i = G eq v + J * ,

(39) *

dove G eq è la conduttanza equivalente del bipolo NL quando tutti i generatori sono spenti e J è la corrente nel terminale “1” quando il bipolo NL è collegato a un corto circuito. Quando R eq ≠ 0 e G eq ≠ 0 le relazione (38) e (39) sono invertibili e quindi il bipolo può essere caratterizzato sia in tensione che in corrente e valgono le relazioni

R eq =

1 E* , J* = − . G eq R eq

(40)

Utilizzando la seconda delle (40) è possibile determinare la resistenza equivalente di Thévenin dalla *

tensione a vuoto E * e dalla corrente di corto circuito J . Questo è un risultato assai interessante dal

162

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punto di vista pratico, perché consente di determinare il circuito equivalente di un sistema elettrico assimilabile a un bipolo attraverso due misure (la misura della tensione vuoto e la misura della corrente di corto circuito). Il lettore provi a individuare dei casi in cui R eq = 0 o G eq = 0 ; può anche accadere che * * E = 0 e / o J = 0 , pur essendovi dei generatori.

Teorema di Thévenin-Norton Si assuma che il circuito ottenuto collegando il bipolo resistivo “lineare” NL a un generatore ideale di corrente ammetta una e una sola soluzione. Allora NL può essere rappresentato attraverso il generatore (reale) equivalente di tensione

dove:

R eq , detta resistenza equivalente di Thévenin, è la resistenza equivalente del bipolo NL, dopo avere spento tutti i generatori ideali all'interno di NL; E*, detta tensione di circuito aperto, (o tensione a vuoto), è la tensione fra i terminali “1” e “2” di NL quando esso è collegato a un circuito aperto. Si assuma che il circuito ottenuto collegando il bipolo resistivo “lineare” NL a un generatore ideale di tensione ammetta una e una sola soluzione. Allora NL può essere rappresentato attraverso il generatore (reale) equivalente di corrente

dove:

Geq , detta conduttanza equivalente di Norton, è la conduttanza equivalente del bipolo NL, dopo avere spento tutti i generatori all'interno di NL; J*, detta corrente di corto circuito, è la corrente nel terminali “1” di NL quando esso è collegato a un corto circuito.

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163

In conclusione possiamo sostituire qualsiasi parte di un circuito, assimilabile a un bipolo resistivo lineare con generatori indipendenti, con due soli elementi circuitali, o un generatore reale di tensione oppure un generatore reale di corrente, senza influenzare la soluzione della restante parte del circuito. Esempio 2

Si determini nel circuito illustrato in figura 23a la potenza assorbita dal resistore R4, p4 = R 4 i 4 . In questo caso la corrente i4 non può essere determinata solo attraverso le equivalenze serie e parallelo e le formule dei partitori, perché vi sono delle connessioni tipo “triangolo” o tipo “stella”.

Figura 23 Circuito in esame (a) e circuito equivalente ottenuto applicando Thévenin (b).

Figura 24

Bipolo resistivo “lineare” NL (a) e bipolo resistivo “lineare” NL con il generatore spento (b).

Il calcolo di i4 può essere semplificato notevolmente se si usa il generatore equivalente di tensione per rappresentare la parte del circuito racchiusa dalla linea tratteggiata in figura 23a. In figura 23b è rappresentato il circuito equivalente ottenuto applicando Thévenin. Bisogna determinare i parametri E* e Req. - Calcolo di E* Per calcolare E* bisogna risolvere il circuito di figura 24a. Questo circuito può essere risolto con l'equivalenza serie e parallelo e le formule dei partitori. Il resistore R3 è in serie con R5; la serie R3_R5 è a sua volta in parallelo con R1; questo parallelo è, infine, in serie con R2. Quindi la resistenza equivalente R, che vede il generatore E, vale

164

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R=

R1 (R 3 + R 5 ) + R 2 = 6. 4 . R1 + R3 + R5 )

La corrente i è data da i = E / R = 1. 5625 . Per determinare E* basta conoscere la corrente i5. Infatti * applicando la seconda legge di Kirchhoff si ottiene E = E − R 5 i5 . La corrente i5 può essere determinata utilizzando il partitore di corrente. Si ottiene i5 = i

R1 = 0.625 . R1 + R3 + R 5

Quindi abbiamo E * = E − R 5 i5 = 7. 5 . - Calcolo di Req. Per calcolare Req si possono applicare le equivalenze serie e parallelo al bipolo illustrato in figura 24b. Il resistore R1 è in parallelo con R2; il parallelo R1_R2 è a sua volta in serie con R3; questa serie è, infine, in parallelo con R5. Quindi la resistenza equivalente Req vale

R eq

 RR  R 5  1 2 + R 3   R1 + R 2  = = 2. R1 R 2 R5 + + R3 R1 + R 2

Ora è possibile calcolare la corrente i4. Si ha *

i4 =

E 1. 875. R eq + R 4

La potenza assorbita dal resistore R4 vale p 4 = R 4 i 24 ≅ 7. 0 . Il lettore determini la potenza erogata dal generatore di tensione del circuito effettivo, rappresentato in figura 23a. Essa non coincide con quella erogata dal generatore di tensione del circuito equivalente rappresentato in figura 23b. Perché? Esempio Si determini nel circuito illustrato in figura 25 la tensione del diodo.

Figura 25

165

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Il calcolo di v può essere semplificato notevolmente se si usa di nuovo il generatore equivalente di tensione per rappresentare la parte del circuito racchiusa dalla linea tratteggiata in figura 25a. In figura 25b è rappresentato il circuito equivalente ottenuto applicando Thévenin.

Figura 26 La tensione a vuoto e la resistenza equivalente valgono E * = 3 , R eq = 20 . Pertanto la tensione v deve verificare l'equazione non lineare

v + 20g(v) = 3 ; 9

si assuma per il diodo la caratteristica g(v) = 10− [exp(v / 0.05) -1] , (diodo esponenziale). L'equazione non lineare può essere risolta per via grafica (figura 27): y = (3 − v ) / 20 è la caratteristica del bipolo resistivo lineare (la retta di carico), e y = g(v) è l'equazione costitutiva del diodo. La soluzione è v ≅ 0.9 e i ≅ 0.1. Il lettore risolva l'equazione non lineare utilizzando, anche, il metodo di Newton-Raphson.

0,20

0,15

(A) 0,10

0,05

0 0 Figura 27

0,2

0,4 v (V) 0,6

0,8

1

166

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5.3 Teoremi di reciprocità Esistono tre forme diverse della proprietà di reciprocità. • Prima forma della proprietà di reciprocità Si consideri un circuito resistivo lineare e due lati “a” e “b”. Di questo circuito si considerino due versioni distinte, il circuito N', in cui il lato “a” è un generatore di tensione con tensione E ′a e il lato “b” è un corto circuito e l'altro N", in cui il lato “b” è un generatore di tensione E ′b′ e il lato “a” è un corto circuito (figura 28; su ogni bipolo è stata fatta la convenzione dell'utilizzatore). Nel “rettangolo” è rappresentata la parte del circuito costituita da soli resistori lineari: essa è la stessa per entrambi i circuiti, cioè i resistori sono gli stessi resistori e sono collegati allo stesso modo; si indichi con NR il numero di resistori.

Figura 28 Allora vale la relazione

i ′b i′′ = a . E ′a E ′b′

(41)

Dimostrazione I circuiti N' e N" hanno lo stesso grafo, quindi è possibile applicare la conservazione delle potenze virtuali. Si considerino le potenze virtuali ottenute prendendo le tensioni del circuito N' e le correnti del circuito N". Per esse si ottiene NR

E ′a i ′a′ + ∑ v′j i ′j′ = 0 ,

(42)

j=1

perché la potenza virtuale v ′b i ′b′ assorbita dal lato “b” è uguale a zero. Si considerino, ora, le potenze virtuali ottenute prendendo le correnti del circuito N' e le tensioni del circuito N". Per esse si ottiene NR

E ′b′i ′b + ∑ v′j′i ′j = 0 ; j=1

(43)

167

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la potenza virtuale v ′a′i ′a assorbita dal lato “a” è uguale a zero. NR

NR

j=1

j=1

I termini ∑ v′ji ′j′ e ∑ v′j′i ′j rappresentano le potenze virtuali assorbite dai resistori. Essi sono eguali perché i resistori sono lineari. Infatti, utilizzando le equazioni costitutive dei resistori lineari, si ha

v ′j = R j i′j e v ′j′ = R ji ′j′ ,

(44)

e quindi si ha l'identità NR

NR

NR

NR

j=1

j=1

j=1

j=1

∑ v′ji ′j′ = ∑ R j i ′j i ′j′ = ∑ R j i′j′i ′j = ∑ v′j′i ′j .

(45)

Dalle (42), (43) utilizzando la (45) si ottiene immediatamente la (41). Alla proprietà (41) è possibile dare questa interpretazione. Nel circuito N' è possibile considerare la tensione E ′a del generatore di tensione collegato ai nodi “1” e “1'” come causa e come effetto la corrente i b′ nel corto circuito collegato ai nodi “2” e “2'”; invece nel circuito N" si ha una situazione completamente duale. Allora il rapporto tra effetto e causa nel circuito N' è uguale al rapporto tra effetto e causa nel circuito N". Osservazione La relazione (45) non vale quando i resistori sono non lineari; ad esempio, per resistori non lineari controllati in tensione si ha, in generale, g( v′i ) v′i′ ≠ g( v′i ′) v′i . La (45) non vale nemmeno se i bipoli sono lineari e dinamici. Ad esempio se nel lato k-esimo c'è un condensatore si ha

Ci

dv′i dv ′′ v ′i′ ≠ Ci i v′i . dt dt

• Seconda forma della proprietà di reciprocità

Figura 29

Si consideri, ora, il caso in cui il lato “a” del circuito N' è un generatore di corrente con corrente J ′a e il lato “b” è un circuito aperto; invece nel circuito N" il lato “b” è un generatore di corrente J ′b′

168

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e il lato “a” è un circuito aperto (figura 29; su ogni bipolo è stata fatta sempre la convenzione dell'utilizzatore). Allora vale la relazione

v ′b v ′a′ . = J ′a J ′b′

(46)

I lettore dimostri la (46) utilizzando, ancora, la conservazione delle potenze virtuali. • Terza forma della proprietà di reciprocità Si consideri, ora, il caso in cui il lato “a” del circuito N' è un generatore di tensione con tensione E ′a e il lato “b” è un circuito aperto; invece il lato “b” del circuito N" è un generatore di corrente con corrente J ′b′ e il lato “a” è un corto circuito (figura 30; su ogni bipolo è stata fatta sempre la convenzione dell'utilizzatore).

Figura 30 Allora vale la relazione

v′b i′′ =− a . E ′a J′b′

(47)

I lettore dimostri la (47) utilizzando sempre la conservazione delle potenze virtuali.

5.4 Teoremi di non amplificazione 5.4.1 Teorema di non amplificazione delle tensioni Si consideri un circuito costituito da un solo bipolo attivo e da resistori strettamente passivi (i resistori possono essere non lineari). Allora, la tensione dell'unico bipolo attivo è, in valore assoluto, la più grande tra tutte le tensioni del circuito.

Dimostrazione

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169

Innanzi tutto si scelga il riferimento per la tensione va dell'unico bipolo attivo in modo tale che essa sia positiva e si indichino i nodi ai quali esso è collegato così come è indicato in figura 31a (questa è solo un'ipotesi di lavoro). Si consideri un generico nodo del circuito (diverso dai nodi “1” e “n”) e lo si indichi con “s”. Si scelgano i riferimenti per i versi delle correnti dei bipoli collegati con il nodo “s” come quelli illustrati in figura 31b: il riferimento per il verso di i js è quello che va dal nodo “j” al nodo “s”. La scelta di questi riferimenti per i versi delle correnti è anche essa un'ipotesi di lavoro (la tesi del teorema non dipende dai riferimenti scelti; se si scelgono i riferimenti in questo modo è più semplice dimostrarla).

Figura 31 Applicando la prima legge di Kirchhoff al nodo “s” si ha

∑ i js = 0 ,

(48)

j

dove la sommatoria è estesa a tutti i lati connessi al nodo “s”. Dalla (48) segue necessariamente che: (i) o tutte le correnti sono nulle; (ii) oppure alcune sono positive, altre sono negative e altre nulle. Escludiamo per ora la prima possibilità. Allora si ha almeno una corrente positiva e un'altra negativa con i riferimenti scelti per i versi delle correnti; si assuma

i ls > 0, i ms < 0 .

(49) (50)

Siccome tutti i bipoli collegati al nodo “s” sono statici e strettamente passivi, si ha

pls = i ls vls > 0, pms = v ms i ms > 0 .

(51) (52)

Dalle (49)-(52) si ottiene

v ls = e l − e s > 0, v ms = e m − e s < 0 ,

(53) (54)

dove e m ,e s ed el sono i potenziali dei nodi “m”, “s” e “l”. Dalle relazioni (53) e (54) si ottiene che il potenziale del nodo “s” non è né il più grande e né il più piccolo dell'insieme dei potenziali nodali e1 ,e 2 ,...,e n del circuito. Se invece tutte le correnti che interessano il nodo “s” fossero nulle, essendo

170

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i bipoli strettamente passivi, avremmo che tutte le tensioni sarebbero nulle. Anche in questo caso il potenziale del nodo “s” non è né il più grande e né il più piccolo dell'insieme dei potenziali nodali e1 ,e 2 ,...,e n del circuito. Ciò vale per ogni nodo interno al circuito di resistori strettamente passivi. L'insieme dei potenziali e1 ,e 2 ,...,e n è un insieme finito e limitato. Pertanto esso deve ammettere necessariamente un massimo e un minimo. Siccome il potenziale di qualsiasi nodo diverso da “1” e “n” non può essere né il massimo e né il minimo, allora e1 è il potenziale massimo ed e n è il potenziale minimo (perché si è assunto

e1 − e n = v a ≥ 0 ). Quindi è possibile ordinare i nodi in

modo tale da avere per i potenziali la relazione d'ordine

e1 ≥ e2 ≥... ≥ e n-1 ≥ e n .

(55)

Dunque la tensione sull'unico bipolo attivo è la più grande, in valore assoluto, tra tutte quelle del circuito. Osservazione La relazione (55) potrebbe non valere se ad uno stesso nodo fossero collegati solo bipoli passivi (e non strettamente passivi), come, ad esempio, “circuiti aperti”. Qualora ciò accadesse si potrebbero avere tensioni sui bipoli “circuito aperto”, in valore assoluto, più grandi di quella dell'unico bipolo attivo. L'esempio più semplice è costituito da due condensatori in serie in funzionamento stazionario (ricordiamo che il condensatore in funzionamento stazionario si comporta come un “circuito aperto”). La relazione (55) non vale neanche per i bipoli dinamici passivi. Ad esempio per un condensatore con capacità positiva, pur essendo passivo, il segno della potenza assorbita può essere in alcuni istanti positivo e in altri negativo, a seconda se sta aumentando o diminuendo l'energia in esso immagazzinata. 5.4.2 Teorema di non amplificazione delle correnti Si consideri un circuito costituito da un solo bipolo attivo e da resistori strettamente passivi (i resistori possono essere non lineari). Allora, la corrente dell'unico bipolo attivo è, in valore assoluto, la più grande tra le correnti del circuito. Dimostrazione Innanzi tutto si assuma, come ipotesi di lavoro, positiva la corrente nell'unico bipolo attivo (con il riferimento e il verso indicato in figura 32a, cioè

ia > 0.

(56)

Poi si scelgano i versi di riferimento delle correnti nei resistori passivi in modo tale che siano orientati dal nodo a potenziale più alto a quello a potenziale più basso. Si consideri, ad esempio, un circuito con il grafo orientato illustrato in figura 32. Si consideri la corrente ik che circola nel k-esimo resistore strettamente passivo. È facile verificare che esiste sempre un insieme di taglio così costituito: il lato attivo, il k-esimo lato strettamente passivo e lati corrispondenti ad altri bipoli strettamente passivi. Si indichi con ih la corrente che

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171

circola nel generico resistore di questo secondo insieme di bipoli. L'insieme di taglio, così definito, partiziona i nodi i due sottoinsiemi: l'insieme dei nodi in “alto” e l'insieme dei nodi in “basso”. Applicando a esso la prima legge di Kirchhoff, si ottiene

ia = ik + ∑ ih .

(57)

h

Figura 32 Ad esempio applicando la (57) al grafo illustrato in figura 32, si ha: - per l'insieme di taglio costituito dal lato attivo e dai lati 1, 2 e 3

i a = i1 + i 2 + i 3 ;

(58)

- per l'insieme di taglio costituito dal lato attivo e dai lati 4, 5 e 6

ia = i4 + i5 + i6 ;

(59)

- per l'insieme di taglio costituito dal lato attivo e dai lati 4, 7 e 8

ia = i4 + i7 + i8 .

(60)

Per costruzione, i potenziali dei nodi in “alto” sono più grandi dei potenziali dei nodi in “basso”, quindi per le tensioni sui resistori passivi si ha vk ≥ 0

k =1, 2, ... .

(61)

Siccome tutti i resistori sono strettamente passivi, deve essere pk = vk i k > 0

k =1, 2,.. . ;

(62)

la potenza assorbita è nulla solo quando sia la tensione v k che la corrente i k sono nulle. Dalla (61) e (62) segue immediatamente che, la corrente in ogni lato strettamente passivo non può mai essere negativa, cioè deve essere ik ≥ 0

k = 1,2,. .. .

(63)

172

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Siccome nella (57), (e nelle (58), (59) e (60)), tutti i termini a destra sono non negativi, deve valere la relazione ia ≥ ik ≥ 0

k = 1, 2, ... .

(64)

Osservazione La relazione (64) è stata ottenuta assumendo che i resistori siano strettamente passivi. Cosa accade, se, ad esempio, nel circuito vi sono anche corto circuiti? La potenza assorbita da un corto circuito è sempre uguale a zero, pur essendo la corrente diversa da zero e quindi non è strettamente passivo. Si assuma, ad esempio, che il lato 5 del circuito rappresentato in figura 32 sia un corto circuito. Se il lato 6 è strettamente passivo, allora la corrente i6 è uguale a zero. Inoltre dalla (60) segue che la corrente i4 è minore, al più uguale a ia. Quindi dalla (59) si ha che anche la corrente che circola nel corto circuito i5 è minore, al più uguale a ia. Si assuma, ora, che vi siano due corto circuiti in parallelo, ad esempio il lato 5 e il lato 6. In questo caso i5 e i6 potrebbero essere più grandi, in valore assoluto, di ia; nella maglia costituita dai bipoli 5 e 6 potrebbe circolare una corrente arbitraria (l'esempio più semplice è costituito da due induttori in parallelo in funzionamento stazionario).

CAPITOLO 6

ELEMENTI CIRCUITALI A PIÙ TERMINALI

6.1 Elementi circuitali con più di due terminali. Circuiti di N-poli Sebbene i bipoli siano gli elementi circuitali più comuni, esistono numerosi elementi circuitali con N terminali (ad esempio, quelli che rappresentano i transistori, l'amplificatore operazionale, il trasformatore, figure 1a, 1b e 1c). Un elemento a N terminali può essere anche un circuito costituito da soli bipoli, ad esempio da resistori (figura 1d). Il funzionamento di questi elementi verrà descritto in questo capitolo.

Figura 1

Transistore npn (a), amplificatore operazionale (polarizzato) (b), induttori accoppiati (trasformatore) (c) e quadripolo di resistori (d).

In questo paragrafo vengono affrontati questi due problemi: (a) come si estendono le leggi di Kirchhoff a un circuito costituito anche da elementi con più di due terminali? (b) come si caratterizza un elemento con N terminali? A un elemento con N terminali si dà il nome di N-polo. Il funzionamento di un N-polo è descritto, come nel caso del bipolo, attraverso le relazioni tra le storie temporali delle tensioni tra i terminali e delle correnti nei terminali. Merita tuttavia una breve discussione il modo in cui possono essere scelte tali correnti e tali tensioni. Per non appesantire l'esposizione si faccia riferimento all'esempio descritto in figura 2: esso rappresenta un circuito elettrico costituito da due bipoli e da un componente con tre terminali (a un elemento con tre terminali si dà il nome di tripolo).

174

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Un componente con tre terminali è caratterizzato dalle tre correnti i1  i2 e i 3 e dalle tre tensioni v13  v21 e v23 , e il funzionamento è descritto dalle relazioni tra le storie temporali delle

v13  v21 e v23 e delle i1  i2 e i 3 . Queste relazioni dipendono tutte dalla costituzione fisica del componente? La risposta è no. Ora verrà mostrato che le tre correnti i1  i2 e i 3 non sono tra loro indipendenti, e così anche le tre tensioni v13  v21 e v23 . Come per i circuiti costituiti da soli componenti a due terminali, valgono (in forma approssimata) nella regione esterna alle superfici limite di ogni componente le leggi

∫∫Σ - ⋅ QdS = 0 , ∫γ ( ⋅ Wdl = 0 ,

(1) (2)

dove Σ e γ siano, rispettivamente, una superficie e una linea chiuse, che non taglino nessuna superficie limite. Si applichi la (1) a una superficie chiusa che racchiuda il componente a tre terminali. Si ottiene ( i h è la corrente nel terminale “h” e il riferimento per il verso è la freccia che punta verso la superficie limite):

i1 + i 2 + i 3 = 0 .

(3)

Come nel caso dei componenti a due terminali, le tre correnti i1  i2 e i 3 non sono tra loro indipendenti: solo due lo sono (nel caso di un componente a due terminali solo una corrente è indipendente).

Figura 2 Un circuito costituito da due bipoli e un tripolo. Si applichi, ora, la (2) a una linea chiusa che passi per i morsetti del tripolo. Si ottiene ( v ij è la tensione tra il terminale “i” e il terminale “j” e il riferimento per il verso è la freccia che punta verso il terminale “i”)

v13 + v21 − v 23 = 0 .

(4)

Quindi anche le tre tensioni v13  v21 e v23 non sono indipendenti: solo due lo sono (il componente a due terminali è caratterizzato da una sola tensione). Allo scopo di individuare un insieme di correnti e tensioni indipendenti, tra tutti i terminali del componente se ne scelga uno di riferimento; nell'esempio considerato viene scelto il terminale “3” come terminale di riferimento. A esso si attribuisca il nome di terminale comune. Si considerino le correnti i1  i2 negli altri 2 terminali. Esse sono indipendenti, cioè nessuna di esse è deducibile dalle altre mediante la legge per le correnti (1). Esse inoltre soddisfano la condizione di completezza.

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175

Considerata infatti la corrente nel terminale comune, essa può essere espressa in funzione delle altre due attraverso la relazione

i 3 = −i1 − i 2 .

(5)

Si considerino, poi, le tensioni tra ciascuno dei terminali diversi da quello comune e quest'ultimo, orientate secondo le frecce che procedono da quello comune agli altri terminali. Esse sono indipendenti, cioè nessuna di esse è deducibile dalle altre mediante la legge per le tensioni (2). Esse inoltre soddisfano la condizione di completezza. La tensione tra due terminali diversi da quello comune può essere espressa in funzione delle altre due attraverso la relazione

v 21 = v23 − v13 .

(6)

Tenendo conto dei vincoli imposti dalle (5) e (6), il tripolo è completamente descritto dalle due correnti i1  i2 e dalle due tensioni v13 , v23 . Le correnti i1  i2 sono le correnti descrittive del componente e le tensioni v13 , v23 sono le tensioni descrittive (l'insieme delle correnti e delle tensioni descrittive dipende dalla scelta del terminale comune). L'unione di questi due insiemi di grandezze è in grado di caratterizzare univocamente il componente e consente, inoltre, la determinazione di tutte le altre: esso costituisce un insieme minimo fondamentale. (Un bipolo ha una sola corrente e una sola tensione descrittiva). Il funzionamento di un tripolo è descritto attraverso due relazioni indipendenti tra le correnti e le tensioni descrittive: solo esse dipendono dalla costituzione fisica dell'oggetto e costituiscono le relazioni costitutive del componente. Nei paragrafi successivi verranno descritte le relazioni costitutive di alcuni N-poli. Si consideri, ora, un componente con N terminali (figura 3). Per la legge delle correnti (1) solo (N−1) correnti del N-polo sono indipendenti: la restante corrente è legata alle altre attraverso la (1). Le tensioni di un N-polo sono N N −1 . Per la legge delle tensioni (2) solo (N−1) tensioni sono indipendenti, le altre sono legate a quelle indipendenti attraverso la (2). Si ordinino (ad arbitrio) i terminali attraverso i numeri naturali che vanno da 1 a N e, si scelga il terminale “N” come terminale comune. Allora le correnti e le tensioni descrittive sono, rispettivamente,

i1 , i2  ..., i N-1 , v1N , v2N  ..., vN-1N ;

i h è la corrente nel h-esimo terminale e v hN è la tensione tra il terminale “h” e il terminale comune “N”. La corrente i N nel terminale comune vale N−1

iN = − ∑ ih ,

(7)

h=1

e la tensione v hk tra il terminale “h” e il terminale “k” (con h e k diversi da N) vale

v hk = v hN − vkN .

(8)

176

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Il funzionamento di un N-polo è descritto da (N−1) relazioni tra le correnti e le tensioni descrittive, che dipendono solo dalla costituzione fisica del componente che l'elemento rappresenta. L'insieme di queste relazioni costituiscono le relazioni costitutive dell'N-polo.

Figura 3

Caratterizzazione dell'N-polo attraverso le correnti e le tensioni descrittive; “N” è il terminale comune.

Una volta scelto il terminale comune e quindi l'insieme delle correnti e delle tensioni descrittive, è possibile associare a questo insieme un grafo orientato. Si consideri dapprima il tripolo illustrato in figura 2 e si scelga il terminale “3” come terminale comune (figura 4a). Si costruisca il grafo a stella ottenuto collegando i morsetti “1” e “2” a quello comune “3”; i due lati sono orientati in modo tale che le frecce confluiscano nel morsetto comune e quindi siano concordi con i riferimenti per i versi delle correnti descrittive. A ogni lato si associno la corrente e la tensione descrittive, corrispondenti. La freccia dell'arco è riferita alla corrente e gli estremi dell'arco alla tensione. Si può dare una immagine concreta a queste correnti e tensioni, pensandole come le correnti e le tensioni di bipoli fittizi collegati ai morsetti secondo gli archi del grafo (su ogni lato viene fatta la convenzione dell'utilizzatore). In questa rappresentazione non compaiono la corrente nel terminale comune e la tensione tra i terminali “1” e “2”. Ricordiamoci che esse possono essere determinate dalle correnti e tensioni descrittive attraverso le (3) e (4).

Figura 4 grafo del tripolo (a), dell'N-polo (b) e del circuito di figura 2a.

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177

Ogni volta che in un circuito figurino uno o più componenti con N terminali, il grafo del circuito può essere costruito operando al solito modo per ciò che riguarda i bipoli, e sostituendo al componente con N terminali uno schema del tipo riportato in figura 4b; il terminale “N” è stato scelto come terminale comune (eliminando con ciò la corrente nel terminale comune e le tensioni tra le coppie di terminali diversi da quello comune). In figura 5c è riportato il grafo del circuito rappresentato in figura 2. A questo punto possiamo estendere le leggi di Kirchhoff a un circuito costituito da bipoli e Npolo. Equazioni di Kirchhoff per un circuito costituito da N-poli Si consideri un circuito elettrico costituito da N-poli e si costruisca il grafo orientato corrispondente. Le correnti descrittive del circuito devono verificare la legge di Kirchhoff per le correnti per ogni nodo del grafo e le tensioni descrittive devono verificare la legge di Kirchhoff per le tensioni per ogni maglia del grafo. La legge di Kirchhoff per le correnti discende dalla (1) e quella per le tensione discende dalla (2). Per un circuito costituito da N-poli valgono tutte le proprietà delle equazioni di Kirchhoff che sono state illustrate fino ad ora. Le equazioni di Kirchhoff possono essere espresse attraverso la matrice di incidenza e la matrice di maglia fondamentale. Per un circuito costituito da N-poli è possibile introdurre i potenziali di nodo e le correnti di maglia così come è stato fatto per i circuiti di soli bipoli e in particolare vale la conservazione delle potenze virtuali (a ciascun lato del grafo dell'Npolo è associata una potenza virtuale assorbita). Esempio Si scrivano le equazioni di Kirchhoff del circuito illustrato in figura 2. Un'insieme massimale di equazioni indipendenti per le correnti si ottiene applicando la prima legge di Kirchhoff ai nodi “1” e “2”. Invece un insieme massimale di equazioni indipendenti per le tensioni si ottiene applicando la seconda legge di Kirchhoff ai due anelli del grafo del circuito (figura 2). Allora si ha L

+ L4 = 0,

L

− L5 = 0,

2

1

Y

13

Y

23

+ Y5 = 0, − Y4 = 0.

A queste equazioni bisogna aggiungere le equazioni costitutive dei due bipoli e le due equazioni caratteristiche che descrivono il funzionamento del tripolo. In questo modo si ottengono otto equazioni indipendenti nelle otto incognite i1  i2 , i 4  i 5  v13  v 23 v4 e v 5  Osserviamo ancora una volta che la corrente i3 e la tensione v12 non appaiono direttamente; esse possono essere determinate attraverso le relazioni (5) e (6) da quelle descrittive.

178

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6.2 Potenza elettrica assorbita dall’N-polo Per l'N-polo è possibile definire la potenza elettrica assorbita così come è stato fatto per il bipolo (su ogni lato del grafo associato all'N-polo viene fatta la convenzione dell'utilizzatore). Si scelga il terminale comune, ad esempio il terminale “N”. La potenza elettrica assorbita dall'N-polo è definita (attraverso le correnti e le tensioni descrittive), come: N −1

p = ∑ i h v hN .

(9)

h =1

Questa espressione si riduce alla potenza assorbita dal bipolo per N=2. È particolarmente interessante mostrare che la potenza assorbita dall'N-polo è indipendente dalla scelta del terminale comune. Si consideri l'espressione della potenza assorbita che si ottiene scegliendo un altro terminale come terminale comune, ad esempio il terminale “1”. In questo caso si ha N ( p = ∑ i h v h1 .

(10)

h =2

Le tensioni descrittive v 21 v 31   vN1 possono essere rappresentate attraverso le tensione descrittive v1N  v2N    v N-1N . Si ha, allora,

v h1 = v hN − v1N

h = 2, 3, ..., N ,

(11)

dove v NN ≡ 0 . Sostituendo la (11) nella (10), si ottiene N N N ( p = ∑ i h v hN − v1N = ∑ i h vhN − v1N ∑ i h . h =2

h= 2

(12)

h= 2

N

Utilizzando la corrispondente della (7) per il terminale comune “1” ( i1 = − ∑ i h ) e ricordando che h =2

v NN ≡ 0 , si ottiene N N−1 ( p = ∑ i h v hN + i1v1N = ∑ i h vhN = p . h =2

(13)

h=1

Una immediata conseguenza del teorema della conservazione delle potenze virtuali è la conservazione delle potenze elettriche nei circuiti di N-poli. Conservazione delle potenze elettriche Per un circuito costituito da N-poli la somma delle potenze elettriche assorbite è uguale a zero. Cosa rappresenta la potenza elettrica assorbita da un N-polo? Nel limite quasi-stazionario la potenza elettrica assorbita dal N-polo è, con buona approssimazione, uguale al flusso del vettore di Poynting attraverso la superficie limite Σ del componente che l'N-polo rappresenta. Applicando il teorema di Poynting (vedi Appendice B), si ha (la normale n a Σ punta verso l'interno):

∂' dv + ∫∫∫ + ⋅ ∂% dv . p = ∑ N−1 h=1 i h vhN ≅ ∫∫ Σ ( × + ⋅ QdS = ∫∫∫Ω ( ⋅ -dv + ∫∫∫Ω ( ⋅ Ω ∂t ∂t

(14)

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179

A seconda della costituzione fisica del componente prevale un termine piuttosto che un altro nella (14), come nel caso dei bipoli. Per ogni N-polo, che verrà introdotto, saranno descritte le proprietà energetiche.

6.3 Caratterizzazione di un M-porte Collegando un N-polo ad altri elementi circuitali, le correnti negli N terminali di esso e le tensioni tra le coppie dei suoi morsetti assumeranno particolari “valori”. Può accadere, nel caso in cui N sia pari, che le correnti indipendenti siano N/2 se l'N-polo è collegato soltanto a bipoli o a circuiti che, ai morsetti, equivalgano a bipoli. In figura 6 vengono illustrati due circuiti in ciascuno dei quali c'è il quadripolo di soli resistori descritto in figura 1d. Nel circuito descritto in figura 6a le tre correnti i1  i2  e i 3 del quadripolo di resistori sono indipendenti, mentre nel circuito in figura 6b solo le due correnti i1 e i 2 (o i 3 e i 4 ) sono indipendenti. Viene allora spontaneo affermare che il quadripolo di resistori nel circuito di figura 6b “è un elemento con due porte” o “doppio bipolo”, nel senso che a esso sono collegati due distinti bipoli (il bipolo è un elemento circuitale a una “porta”). Le grandezze necessarie a descrivere il funzionamento del doppio bipolo sono le due correnti di porta i1 e i 2 e le due tensioni di porta v13 e v24 (convenzione dell'utilizzatore per il doppio bipolo). Il funzionamento del quadripolo di resistori nel circuito di figura 6a può essere descritto attraverso tre relazioni indipendenti tra le tre correnti e le tre tensioni descrittive (una volta scelto un terminale comune). Quando il quadripolo funziona, invece, da doppio bipolo si ha (vedi figura 6b)

i1 = −i 3 e i 2 = −i 4 . In questo caso le relazioni costitutive basate sulle correnti e tensioni descrittive (si scelga il terminale “4” come terminale comune), utilizzando la condizione i1 = −i 3 , danno due relazioni indipendenti tra le due correnti i1 e i2 e le due tensioni v1 e v2 di porta.

Figura 6 Definizione: doppio bipolo

180

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Un doppio bipolo è un elemento circuitale con quattro terminali, associati a due a due, in modo tale da costituire due porte (figura 7a). Ogni porta è caratterizzata dalla corrente e dalla tensione di porta. Un doppio bipolo ha due correnti e due tensioni di porta. Il funzionamento di un doppio bipolo è descritto attraverso due relazioni indipendenti tra le due correnti e le due tensioni di porta. Definizione: M-porte Un M-porte è un elemento con 2M terminali messi in evidenza, associati a due a due, in modo tale da costituire M porte (figura 7b). Le grandezze che caratterizzano l'M-porte sono le M correnti e le M tensioni di porta. Il funzionamento di un M-porte è descritto attraverso M relazioni indipendenti tra le correnti e le tensioni di porta.

Figura 7

M-porte con M=2 (doppio bipolo) (a) e con M=4 (b) e relativi grafi.

Ci sono componenti che funzionano intrinsecamente come un doppio bipolo, cioè per essi è possibile raggruppare i 4 terminali in 2 coppie, per ciascuna delle quali la somma delle correnti è zero, indipendentemente dal modo in cui è inserito in un circuito; un esempio molto importante è il trasformatore. Il grafo di un doppio bipolo può essere rappresentato da due lati e quattro nodi come illustrato in figura 7a; in figura 7b è riportato il grafo di un M-porte con M=4: esso ha 4 lati e otto nodi. Il grafo di un doppio bipolo, e più in generale di un M-porte, consta di lati non connessi; ciò implica che le tensioni e le correnti di porta non sono correlate tra loro attraverso le equazioni di interconnessione, ma tramite le equazioni costitutive. Pertanto i circuiti con M-porte hanno grafi non connessi.

181

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La potenza elettrica assorbita da un M-porte è data da M

p = ∑ ihv h ,

(15)

h =1

cioè è uguale alla somma delle potenze assorbite da ciascuna porta (su ogni porta viene fatta la convenzione dell'utilizzatore). La (15) discende direttamente dall'espressione della potenza elettrica assorbita dall'elemento a 2M terminali, definita dalla (9), e dalle relazioni tra le correnti descrittive imposte dalla condizione di funzionamento che caratterizza l'M-porte. Si ordinino i terminali in modo tale da avere

i h = −i h+ M h = 1, 2, ..., M ,

(16)

e si scelga il terminale “2M” come terminale comune. Allora la potenza elettrica assorbita dall'2Mpolo vale (si ponga v 2M2 M ≡ 0 ): 2M −1

M

h=1 M −1

h =1

p = ∑ i h vh2M = ∑ i h vh2M +

2M −1

∑ i h vh2M h =M +1

= M

(17)

∑ i h v h2M − v h+ M2M + iM v M2M = ∑ i h vh2M − v h+ M 2M 

h=1

h =1

Ricordando che le tensioni di porta vh sono legate alle tensioni descrittive attraverso la relazione

v h = vh2M − v h+ M2M ,

(18)

si ottiene la (15).

6.4 Il transistore bipolare e l’amplificatore operazionale Esistono numerosi elementi circuitali con più di due terminali che sono di estrema importanza nella creazione di modelli e nella rappresentazione di proprietà particolari dei dispositivi fisici. Gli elementi circuitali di tipo statico sono quegli elementi il cui funzionamento è descritto attraverso relazioni di tipo “istantaneo” tra le correnti e le tensioni descrittive o tra le correnti e le tensioni di porta. In questo paragrafo illustreremo brevemente le relazioni costitutive del transistore bipolare e dell'amplificatore operazionale. Nei prossimi paragrafi verranno descritti i generatori controllati, il trasformatore ideale e il giratore e infine verranno caratterizzati gli N-poli e gli M-porte costituiti da soli resistori lineari e generatori ideali (i cosiddetti N-poli e M-porte resistivi). Negli N-poli statici sono trascurabili gli effetti dovuti ai fenomeni di induzione magnetoelettrica e elettromagnetica rispetto a quelli dovuti alla conduzione elettrica. Quindi vale la relazione (approssimata): N−1

p t = ∑ i h v h = ∫∫∫Ωc ( ⋅ -d Y ,

(19)

h=1

cioè la potenza elettrica assorbita è uguale al lavoro per unità di tempo compiuto dal campo elettrico E sulle cariche in moto, che danno luogo al campo di corrente J. Negli N-polo passivi statici questo

182

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lavoro si trasforma in energia termica (parte uscirà dalla superficie limite sotto forma di calore e la restante parte dà luogo a un incremento dell'energia interna del componente e quindi a un innalzamento della temperatura) e la potenza assorbita è sempre positiva. Negli N-polo attivi statici il lavoro del campo elettrico è, almeno in parte, uguale all'opposto del lavoro del campo elettromotore e quindi la potenza assorbita può essere negativa. - Il transistore bipolare Il transistore bipolare “ideale” è un tripolo (cioè un elemento a tre terminali), statico non lineare e tempo invariante. In figura 8 viene illustrato il simbolo del transistore bipolare npn e del transistore bipolare pnp. In questa breve descrizione del transistore bipolare si farà esplicito riferimento a quello di tipo npn. Al momento opportuno verranno messe in evidenza le differenze sostanziali tra i due tipi. Ogni terminale del transistore ha un nome, che ricorda la parte del dispositivo fisico (del quale il tripolo in esame è il modello) a cui il conduttore terminale è collegato.

Figura 8 Simbolo del transistore bipolare npn (a) e pnp (b).

Figura 9 Per caratterizzare il funzionamento del transistore bisogna scegliere un terminale comune. Sono possibili tre scelte: caratterizzazione a base comune (il terminale comune è il terminale di base), caratterizzazione a emettitore comune (il terminale comune è il terminale di emettitore) e caratterizzazione a collettore comune (il terminale comune è il terminale di collettore). Qui il transistore verrà caratterizzato attraverso la caratterizzazione a emettitore comune (figura 9). Questo tripolo può essere caratterizzato su base tensione (cioè considerando le due tensioni descrittive v be  vce come variabili indipendenti e le due correnti descrittive i b  i c come variabili

183

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dipendenti), o su base corrente (cioè considerando le due correnti descrittive i b  i c come variabili indipendenti e le due tensioni descrittive v be  vce come variabili dipendenti), oppure su base ibrida (cioè considerando, una corrente e una tensione descrittiva, ad esempio, i b  vce , come variabili indipendenti e l'altra tensione e corrente descrittiva v be  i c come variabili dipendenti). In pratica i dati misurati sui dispositivi che, l'elemento circuitale in esame rappresenta, sono solitamente espressi in termini della rappresentazione ibrida

v be = vÖbe i b  vce 

(20)

i c = Öi c i b  v ce  Inoltre, per tradizione, di solito si traccia la caratteristica nel piano parametro, e nel piano



vce  i c con



vbe  i b con v ce come

i b come parametro, (in figura 10 è mostrata una

approssimazione lineare a tratti delle curve caratteristiche).

Figura 10 Approssimazione lineare a tratti delle caratteristiche a emettitore comune di un transistore npn. Per ottenere le caratteristiche di un transistore pnp bisogna cambiare il segno delle grandezze descrittive. La potenza elettrica assorbita dal transistore bipolare vale

p = i b v be + i c vce .

(21)

Le caratteristiche sia nel piano vbe  i b che nel piano vce  i c passano solo attraverso il primo e terzo quadrante, quindi le “potenze” assorbite da ciascuna porta” i b v be e ic vce sono positive o uguali a zero, quindi ciascuna porta si comporta, dal punto di vista energetico, come se fosse un bipolo passivo. Di conseguenza l'energia elettrica assorbita dal transistore bipolare è sempre positiva e viene trasformata in calore attraverso un effetto simile all'effetto Joule che si osserva nei resistori. Pertanto il transistore è un bipolo passivo e dissipativo. In un circuito che contiene un solo generatore, bipoli statici passivi e transistori vale ancora la non amplificazione delle tensioni e delle correnti. Quando in un circuito sono presenti transistori non vale né la proprietà della sovrapposizione degli effetti, né la proprietà della reciprocità. - L’amplificatore operazionale

184

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L’amplificatore operazionale è un dispositivo a semiconduttore estremamente complesso. Per le applicazioni a basse frequenze si comporta come un elemento statico non lineare con quattro terminali, il cui funzionamento può essere descritto dalle relazioni approssimate (figura 11)

i− = I −  i+ = I +  v u = f vi ,

(22) (23)

dove

 E sat  E f vi =  sat vi − Eε sat

v i ≥ ε − ε ≤ v i ≤ ε

(24)

v i ≤ −ε

e I − e I + sono due costanti.

Figura 11

Simbolo dell’amplificatore operazionale polarizzato (a) e caratteristica (b).

Commento Il dispositivo fisico che prende il nome di “amplificatore operazionale” non coincide con l'elemento circuitale amplificatore operazionale definito prima. Innanzi tutto il dispositivo fisico ha più di quattro terminali. Inoltre, affinché esso funzioni da amplificatore operazionale, così come descritto dalla relazione caratteristica (23), deve essere correttamente “alimentato” (“polarizzato”) tramite generatori di tensione costanti; a tale scopo sono previsti due appositi terminali (figura 12). Oltre ai cinque terminali indicati nella rappresentazione di figura 12, ci possono essere nel dispositivo fisico terminali aggiuntivi, per consentirne il controllo. Dopo il collegamento alle alimentazioni e al circuito di controllo, solo tre terminali restano disponibili, più un quarto terminale connesso al circuito di alimentazione, così come è illustrato in figura 12. Il dispositivo fisico, così polarizzato, è rappresentato tramite il simbolo illustrato in figura 11a) e il suo funzionamento è descritto dalle relazioni (22)-(24).

185

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Figura 12

Il dispositivo fisico “amplificatore operazionale” con i generatori di polarizzazione.

Le correnti I − e I + sono tipicamente inferiori a 0.1 mA; ad esempio per il µA740 I − e I + sono uguali a 0.1 mA, mentre per il µA741 sono uguali a 0.1 nA. In considerazione dei valori tipici di I − e I + , la precisione si riduce di poco assumendo

I − = I + = 0

(25)

L'amplificatore operazionale, con l'assunzione (25), è un elemento che funziona intrinsecamente come un doppio bipolo: la corrente della porta di ingresso è nulla e quella della porta di uscita è indipendente dalle tensioni di ingresso v i e di uscita v u . La porta di uscita si comporta come se fosse un generatore di tensione “controllato” dalla tensione della porta di ingresso. La potenza elettrica assorbita dall'amplificatore operazionale vale (è possibile trascurare la potenza assorbita dalla porta di ingresso) p = i u v u . Essa può essere positiva o negativa, a seconda del circuito in cui l'amplificatore è inserito. Pertanto l'amplificatore operazionale “polarizzato” è un doppio bipolo attivo. Si ricorda che l'amplificatore operazionale non polarizzato è un componente passivo; questa è la ragione per cui la tensione di uscita dell'amplificatore operazionale polarizzato non può essere, in valore assoluto, più grande della tensione di alimentazione. Per un amplificatore operazionale il parametro A = Esat  ε , detto guadagno di tensione in anello aperto, vale tipicamente almeno 100000 (200000 per il µA741), quindi la tensione sulla porta d'uscita è molto più grande della tensione sulla porta di ingresso. La tensione di saturazione E sat vale tipicamente 2V in meno della tensione di polarizzazione dell'amplificatore operazionale.

In considerazione dei valori tipici di I −  I+ e $ la precisione si riduce di poco se si assume I − = I + = 0 e $ = ∞ . Tale assunzione semplificativa è alla base del modello di amplificatore operazionale ideale definito dalle equazioni caratteristiche i− = 0 i+ = 0 v u = Esat sgn v i vi = 0

vi ≠ 0

(regioni di saturazione)

- Esat < v u < +Esat ( regione lineare)

(26)

186

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Se l'amplificatore operazionale nel circuito in cui è inserito funziona nella regione lineare, cioè la tensione di uscita soddisfa la relazione −Esat < v u < +Esat , le relazioni caratteristiche diventano: L

=0

L

=0 = 0

− +

Y

(27)

Di conseguenza, si può pensare al modello lineare dell'amplificatore ideale come a un doppio bipolo costituito da un nullatore e da un noratore: la porta in ingresso di un amplificatore operazionale lineare si comporta come se fosse un nullatore, cioè è nulla sia la corrente che la tensione, mentre la porta di uscita si comporta come se fosse un noratore perché la corrente e la tensione possono essere qualsiasi. Il modello lineare dell'amplificatore operazionale è un doppio bipolo non reciproco e attivo.

6.5 Generatori controllati lineari Finora si sono incontrati generatori di tensione e di corrente indipendenti (per i quali le tensioni e le correnti sono, rispettivamente, assegnate). Ora saranno introdotti altri tipi di generatori, detti generatori pilotati (o controllati): i generatori pilotati lineari. Si tratta di doppi bipoli ideali, statici e lineari, nei quali una delle grandezze - tensione o corrente - ad una delle due porte è funzione

- nel caso lineare è direttamente proporzionale - di una delle grandezze all'altra porta. Considerando tutte le possibili combinazioni si hanno i seguenti elementi. • Generatore di tensione controllato in tensione Il generatore di tensione controllato in tensione è un doppio bipolo lineare definito dalle relazioni costitutive (figura 13a) i1=0,

(28)

v2=αv1,

(29)

dove α è una costante detta rapporto di trasferimento di tensione. La porta “1” è equivalente a un circuito aperto e la porta “2” è equivalente a un generatore di tensione che impone una tensione

dipendente linearmente dalla tensione sulla porta “1”. • Generatore di tensione controllato in corrente Il generatore di tensione controllato in corrente è un doppio bipolo lineare definito dalle relazioni costitutive (figura 13b) v1=0,

(30)

v2=ri1,

(31)

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

187

dove r è una costante, che prende il nome di transresistenza. La porta “1” è equivalente a un corto circuito e la porta “2” è equivalente a un generatore di tensione che impone una tensione

dipendente linearmente dalla corrente che circola nella porta “1”.

Figura 13

Simboli dei quattro tipi di generatori pilotati lineari.

• Generatore di corrente controllato in tensione Il generatore di corrente controllato in tensione è un doppio bipolo lineare definito dalle relazioni costitutive i1=0,

(32)

i2=gv1,

(33)

dove g è una costante, che prende il nome di transconduttanza. La porta “1” è equivalente a un circuito aperto e la porta “2” è equivalente a un generatore di corrente che impone una corrente

dipendente linearmente dalla tensione della porta “1”. • Generatore di corrente controllato in corrente Il generatore di corrente controllato in corrente è un doppio bipolo lineare definito dalle relazioni costitutive v1=0,

(34)

i2=βi1,

(35)

dove β è una costante, che prende il nome di rapporto di trasferimento di corrente. La porta “1” è equivalente a un corto circuito e la porta “2” è equivalente a un generatore di corrente che impone

una corrente dipendente linearmente dalla corrente che circola nella porta “1”. La potenza elettrica assorbita dai generatori controllati può essere negativa, quindi sono doppi bipoli attivi. Quando in un circuito ci sono generatori controllati lineari, continua a valere la proprietà della sovrapposizione degli effetti, ma non vale più la proprietà della reciprocità. Il lettore verifichi questa affermazione.

188

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Anche se i generatori pilotati sono da ritenersi componenti ideali immaginati per semplificare la rappresentazione circuitale di componenti più complessi come il transistore o l'amplificatore operazionale, è pur vero che proprio utilizzando lo stesso amplificatore operazionale è possibile realizzare componenti le cui relazioni costitutive approssimano in maniera soddisfacente i diversi generatori pilotati. Di conseguenza tali dispositivi vengono spesso utilizzati nei circuiti reali per ottenere effetti particolari. Ad esempio, attraverso un generatore di tensione controllato in tensione è possibile collegare due doppi bipoli in cascata in modo tale che il funzionamento del primo non risenta della presenza del secondo. Tale tecnica di separazione è un importante strumento nella progettazione dei circuiti elettronici. Esempio Consideriamo il doppio bipolo illustrato in figura 14; Ra e Rb sono le resistenze dei due resistori lineari. Il terminale di “uscita” dell'amplificatore operazionale è collegato a quello “invertente” attraverso il resistore di resistenza Ra (questa è la cosiddetta configurazione a retroazione negativa). Si assuma che la tensione di uscita dell'amplificatore operazionale sia, in valore assoluto, inferiore alla tensione di saturazione. In questa condizione di funzionamento l'amplificatore operazionale si comporta come se fosse lineare e la relazione tra la tensione di uscita e quella di ingresso è (per il momento assumeremo un guadagno ad anello aperto elevato ma finito)

v u = Avi .

(36)

Siccome la corrente della porta di ingresso dell'amplificatore è nulla, nel resistore di resistenza R a fluisce la corrente i1 e nel resistore di resistenza R b fluisce la corrente i 2 (i riferimenti per i versi sono illustrati in figura 14). Allora applicando la seconda legge di Kirchhoff si ottengono le seguenti equazioni maglia “ porta 1 ”_ “ resistore R b ” _ “ porta ingresso AO ” v1 + R b i2 + vi = 0 ,

(37)

v1 − Ra i1 − vu = 0 , v i + v 2 + R ai 1 = 0 .

(38)

maglia “ porta 1 ”_ “ resistore R a _“ porta uscita AO ”” maglia “ porta ingresso AO ”_“ porta 2”_“resistore R a ”

Figura 14 Sostituendo la (36) nelle (37)-(39) ed eliminando v i , si ottengono le relazioni

(39)

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

1 v − R i  1 a 1 A 1 R b i 2 = − v1 + v1 − Ra i1  A Ga v 2 = −i1 +

189 (40) (41)

(dove G a = 1  Ra ). Nel limite di A∅ , le (40) e (41) danno 1

Ga v 2 = −i1  R b i 2 = − v1 

(42) (43)

Se il resistore di resistenza R b è un corto circuito ( R b = 0 ), dalle (42) e (43) si ottiene

v1 = 0 v2 = −i1  Ga .

(44)

Le (44) sono le equazioni costitutive del generatore di tensione controllato in corrente; in questo caso r = −1  Ga . Il segno del coefficiente r può essere cambiato invertendo i terminali di una porta. Se il resistore di conduttanza G a è un circuito aperto, dalle (42) e (43) si ottiene

i1 = 0 i 2 = −v1  R b .

(45)

Le (45) sono le equazioni costitutive del generatore di corrente controllato in tensione; in questo caso g = −1  R b . Il segno del coefficiente g può essere cambiato invertendo i terminali di una porta del doppio bipolo. Il lettore dimostri che, connettendo in maniera opportuna un generatore di corrente controllato in tensione e un generatore di tensione controllato in corrente, è possibile realizzare gli altri due tipi di generatori controllati.

6.6 Il giratore Il giratore è un doppio bipolo statico lineare, definito dalle seguenti relazioni

i1 = Gv2  i 2 = −Gv1 

(46)

dove la costante G è detta conduttanza di girazione; il simbolo del giratore è illustrato in figura 15. La potenza elettrica assorbita dal giratore è uguale a zero in qualsiasi condizione di funzionamento, quindi è un doppio bipolo globalmente passivo che non dissipa e né immagazzina energia. Per questo doppio bipolo non vale la non amplificazione delle tensioni e delle correnti pur essendo globalmente passivo. Pertanto deve essere costituito necessariamente da elementi attivi. Se in un circuito è 1 Le (42) e (43) si ottengono anche quando il terminale di “uscita” dell'amplificatore operazionale è collegato

al terminale di ingresso “non invertente” (questa è la cosiddetta configurazione con retroazione positiva); basta sostituire nelle (40) e (41) A con -A e poi considerare il limite A∅ . È possibile dimostrare che nel caso di retroazione positiva le (41) e (43) sono una soluzione instabile, quindi fisicamente irrealizzabili, a differenza di quando accade nella configurazione con retroazione negativa. Nella configurazione con retroazione positiva le soluzioni stabili possono essere ottenute solo se si utilizza la caratteristica non lineare dell'amplificatore operazionale.

190

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

presente un giratore, continua a valere la sovrapposizione degli effetti; invece la proprietà della reciprocità non è più valida. Il lettore dimostri queste proprietà.

Figura 15 Simbolo del giratore.

Figura 16 Un giratore terminato alla porta “2” con un condensatore è equivalente a un induttore. La proprietà più importante del giratore può essere illustrata considerando il circuito illustrato in figura 16 (sulla porta “2” del giratore è connesso un condensatore lineare tempo-invariante con capacità C). In questo caso si ha

v1 = −

i 2 C dv 2 C di = = 2 1. G G dt G dt

(47)

Ovvero, quando alla porta di uscita di un giratore è collegato un condensatore lineare e tempo invariante di capacità C, la porta di ingresso si comporta come se fosse un induttore lineare e tempo 2

invariante di induttanza C  G . Pertanto il giratore consente di realizzare bipoli induttori a partire da un condensatore. Vale anche la proprietà duale: tramite un giratore è possibile realizzare un condensatore a partire da un induttore. Abbiamo già accennato al fatto che uno stesso bipolo può descrivere il funzionamento di componenti e sistemi elettrici completamente diversi. Ad esempio, il bipolo induttore descrive sia il funzionamento del componente induttore studiato nel Capitolo 2, sia il funzionamento del circuito di figura 16.

Figura 17

Realizzazione di un giratore attraverso generatori di corrente controllati in tensione.

191

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Il lettore dimostri che se in uscita al giratore è connesso un resistore lineare di resistenza R allora la porta di ingresso si comporta come un resistore lineare di resistenza 1/(RG2); inoltre, il lettore dimostri che se in uscita al giratore è collegato un bipolo controllato in tensione (corrente), allora la porta di ingresso si comporta come se fosse un resistore controllato in corrente (tensione). Sono disponibili commercialmente, sotto forma di circuiti integrati, dispositivi che approssimano il funzionamento di un giratore. Un giratore può essere realizzato attraverso due generatori di corrente controllati in tensione (così come illustrato in figura 17) e quindi attraverso amplificatori operazionali.

6.7 Il trasformatore ideale

Il trasformatore ideale è un doppio bipolo statico lineare definito dalle seguenti relazioni

v1 = nv2  i 2 = −ni1 

(48)

dove la costante n è detta rapporto di trasformazione; il simbolo del trasformatore è illustrato in figura 18.

Figura 18 Simbolo del trasformatore ideale. La potenza elettrica assorbita dal trasformatore ideale è uguale a zero in qualsiasi condizione di funzionamento, quindi è un doppio bipolo globalmente passivo che non dissipa e né immagazzina energia. Per questo doppio bipolo non vale la non amplificazione delle tensioni e delle correnti pur essendo globalmente passivo, perché può essere n>1 o n1.

6.8

N-poli di resistori lineari

Si consideri un circuito arbitrario costituito da un n-polo NL, a sua volta costituito da resistori lineari passivi e generatori ideali (e indipendenti) e da un n-polo N non necessariamente lineare o 2 Anche se l'altoparlante è completamente diverso dal componente resistore, in prima approssimazione il suo funzionamento può essere schematizzato attraverso un bipolo resistore. Allora come si definisce la resistenza 2 equivalente R i ? Essa potrebbe essere definita in modo tale che R i i ∆t rappresenti l'energia elettrica che nello intervallo ∆t è trasformata in energia “acustica” (energia cinetica del mezzo materiale che supporta le onde acustiche). In realtà il circuito equivalente di un altoparlante è molto più complicato e dovrebbe contenere anche induttori.

194

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

resistivo (figura 22). Per studiare questo circuito con il metodo dei potenziali di nodo, conviene avere una caratterizzazione in termini di potenziali di nodo, piuttosto che in termini di tensioni descrittive. Si osservi che, sottraendo a ogni potenziale di nodo dell’n-polo il potenziale del terminale comune, si ottengono le tensioni descrittive.

Figura 22

Circuito costituito da un N-polo di resistori lineari e generatori indipendenti collegato a un altro N-polo.

6.8.1 Caratterizzazione di un n-polo di resistori lineari Si scelga un nodo di riferimento (ad esempio il nodo “0”) e si ponga uguale a zero il potenziale di esso. Per formulare le equazioni del circuito in termini di potenziali di nodo bisogna esprimere le correnti degli elementi controllati in tensione in funzione dei potenziali nodali.

Figura 23 In questo paragrafo viene caratterizzato un n-polo resistivo NL, utilizzando come variabili indipendenti i potenziali di nodo e1  e2  ..., e n dei morsetti dell'n-polo e come variabili dipendenti le correnti nei terminali i1  i2  ..., i n . Dapprima si consideri il caso in cui l'n-polo sia costituito da soli resistori lineari (all'interno dell'n-polo non vi sono generatori indipendenti). La caratterizzazione può essere fatto attraverso un esperimento concettuale (figura 23a), in cui si impongono i potenziali di nodo e1  e2  ..., e n e si determinano le correnti i1  i2  ..., i n (caratterizzazione su base potenziale dell'n-polo). Si osservi che la caratterizzazione su base corrente non può essere realizzata assegnando ad arbitrio le correnti: solo n-1 sono indipendenti. Si assuma che il circuito di figura 23a abbia una e una sola soluzione per ogni valore di e1  e2  ..., e n . Siccome il circuito è lineare, la relazione cercata può essere determinata attraverso la sovrapposizione degli effetti. A tale scopo si

195

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

consideri il circuito che si avrebbe se il generatore e h agisse da solo, essendo gli altri “spenti”, figura 23b. Sia i kh la corrente nel terminale “k” quando è acceso solo il generatore e h . Per la linearità del circuito e per la presenza di un solo generatore, si ottiene

i kh = G khe h k = 1, 2, ..., n ,

(54)

dove G kh sono costanti che hanno dimensioni di una conduttanza. Esse dipendono unicamente dai parametri circuitali e non dalla tensione e h del generatore: G kh è la corrente nel terminale “k” quando e h =1 e tutti gli altri generatori sono spenti. La definizione del coefficiente G kh può essere rappresentata, anche, in questo modo

G kh =

ik . e h e = 0 ∀i ≠ h i

(55)

Utilizzando la sovrapposizione degli effetti si ottiene

i1 = G11e1 + G12 e 2 +  +G1n e n  i 2 = G 21e1 + G22 e2 +  +G2n e n 

(56)

        

i n = Gn1e1 + G n2 e 2 +  +Gnn e n  La (56) può essere espressa in forma sintetica attraverso la matrice n∞n delle conduttanze L

dove

L

= *H,

= i 1 i2   i n T e

*

= Gij (57)

H

= (e1 ,e 2 ,..., e n )T sono, rispettivamente, i vettori rappresentativi delle

correnti e dei potenziali dell'n-polo. La matrice G prende il nome di matrice delle conduttanze dell'npolo. Gli elementi appartenenti alla diagonale principale prendono il nome di conduttanze proprie, mentre gli altri elementi prendono il nome di conduttanze mutue. È possibile esprimere la potenza elettrica assorbita dall'n-polo attraverso i potenziali di nodo. Si scelga come terminale comune il terminale “n”; v hn è la tensione tra il terminale “h” e il terminale “n”. Allora la potenza assorbita vale n −1

n−1

n−1

n −1

n

h =1

h=1

h=1

h =1

h =1

p = ∑ i h v hn = ∑ i h e h − e n = ∑ i h e h − e n ∑ i h = ∑ i h e h .

(58)

La (58) è stata ottenuta esprimendo le tensioni descrittive attraverso i potenziali di nodo e utilizzando la relazione (5) per la corrente nel terminale comune scelto. La potenza assorbita può essere espressa attraverso la matrice delle conduttanze G. Utilizzando i vettori dei potenziali e delle correnti, si ottiene n

p = ∑ ehih =

H

T

L

.

h =1

Utilizzando la (57), si ha per la potenza assorbita dall'n-polo

(59)

196

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

p=H

T

n

*H

n

= ∑ ∑ Gkh e k e h .

(60)

h =1 k=1

(L'espressione (60) è simile a quella della potenza assorbita da un resistore con conduttanza G sottoposto a una tensione v). L'espressione

H

T

*H

prende il nome di forma quadratica associata alla

matrice G; questa denominazione deriva dal fatto che essa è costituita da termini quadratici, del tipo

G khe k e h . Osservazione Se nella (56) poniamo e n = 0 e1  e 2  ..., e n-1 rappresentano le tensioni descrittive dell'n-polo rispetto al terminale comune “n”. La matrice, che lega le correnti e le tensioni descrittive è ottenuta eliminando dalla matrice G l'ultima colonna e l'ultima riga. Questa matrice è in generale invertibile. 6.8.2 Proprietà della matrice delle conduttanze La matrice delle conduttanze ha delle proprietà generali indipendenti dal modo in cui i resistori sono connessi all'interno dell'n-polo: esse dipendono solo dalla linearità e passività dei resistori. (a)

Le conduttanze proprie sono positive o uguali a zero, G hh ≥ 0 . L'elemento G hh è definito attraverso la relazione

G hh =

ih i = hh . e h e =0 ∀ i≠h e h i

(61)

Esso rappresenta, quindi, la conduttanza equivalente “vista” dal generatore e h quando tutti gli altri sono spenti. Siccome i resistori sono tutti passivi, essa non può essere mai minore di zero (si sta utilizzando la convenzione dell'utilizzatore). Qualora alcuni resistori fossero attivi, le conduttanze proprie potrebbero essere minori di zero. (b)

Le conduttanze mutue G kh sono negative o uguali a zero, G kh ≤ 0 k ≠ h .

Figura 24 Si assuma come ipotesi di lavoro e h > 0 . Per la non amplificazione della tensione e per la passività dei resistori che costituiscono l'n-polo, la corrente i kh non può essere positiva (vedi la figura 24). Il terminale “k”, che è a potenziale zero, è connesso attraverso dei resistori

197

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

passivi ad altri nodi, interni all’n-polo. I potenziali di questi nodi (nell’esempio di figura e p e e q ) sono maggiori di zero per la non amplificazione della tensione (il potenziale più grande e quello più piccolo si trovano ai morsetti dell'unico bipolo attivo). Quindi per la passività dei resistori segue che i kh ≤ 0 . Siccome è

G kh =

i ik = kh , e h e = 0 ∀i ≠ h e h i

(62)

si ha G kh ≤ 0 per ogni k ≠ h . (c)

Le conduttanze mutue

G kh sono, in valore assoluto, minori o uguali di G hh ,

Gkh ≤ G hh ∀ k e h. Questa proprietà è diretta conseguenza della non amplificazione della corrente in un circuito costituito da resistori passivi e un solo generatore. Infatti si ha (vedi figura 24)

G hh =

i hh i e Gkh = kh eh eh



(63)

e per la non amplificazione della corrente è i hh ≥ i kh . (d)

La matrice delle conduttanze è simmetrica, G kh = Ghk .

Figura 25 Questa è una immediata conseguenza della proprietà di reciprocità, che vale per i resistori lineari. Infatti si ha

G kh =

i kh i  G hk = hk  eh ek

(64)

Poi applicando la prima forma della proprietà di reciprocità (vedi figura 25; nel circuito N' la causa è e h e l'effetto è i kh , mentre nel circuito N" la causa è e k e l'effetto è i hk ), si ottiene

i kh i hk . = eh ek Infine combinando le (64) e (65) si ha G kh = Ghk .

(65)

198 (e)

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

La somma degli elementi di ciascuna colonna di G (e quindi anche la somma degli elementi di n

ciascuna riga ) è uguale a zero, ∑ G kh = 0

h = 1, 2, ...., n .

k=1

La somma delle correnti i1  i2  ..., i n deve essere uguale a zero per la legge delle correnti (1). Allora si ha n

n

n

n

n

h=1

k=1

0 = ∑ i k = ∑ ∑ G khe h = ∑ e h ∑ G kh . k =1

k=1 h=1

(66)

La (63) deve essere verificata indipendentemente dai valori che i potenziali di nodo assumono. Ciò è possibile se e solo se n

∑ G kh = 0

h = 1, 2, ...., n .

(67)

k=1

A causa di questa proprietà il determinante della matrice G è uguale a zero e quindi G non è invertibile. Il rango della matrice G è in generale uguale a n−1. Questo significa che non è possibile una rappresentazione in cui le correnti i1  i2  ..., i n siano le variabili indipendenti e i potenziali le variabili dipendenti. Invece è possibile una rappresentazione in cui vengono imposte n−1 correnti (la restante deve essere compatibile con la prima legge di Kirchhoff). In questo caso non è possibile determinare univocamente i potenziali: essi sono determinati a meno di una costante additiva arbitraria. (f)

La matrice delle conduttanze è semi definita positiva,

H

T

*H

≥ 0.

Siccome i resistori sono passivi, per la conservazione della potenza elettrica, la potenza T assorbita dall’n-polo p = H * H deve essere maggiore o uguale a zero indipendentemente dai valori che i potenziali di nodo assumono; quindi deve essere H

T

*H

≥ 0 ∀ H.

Pertanto la forma quadratica

(68) H

T

*H

è semi definita positiva 3. Questa proprietà potrebbe essere

dimostrata a partire da quelle illustrate in precedenza. Per i circuiti contenenti n-poli di resistori lineari continuano a valere sia la proprietà della sovrapposizione degli effetti che quella di reciprocità. La caratterizzazione dell'n-polo dipende dalla scelta del nodo di riferimento per i potenziali di nodo? La risposta è no. Se si sceglie un altro nodo di riferimento per i potenziali, il legame tra le correnti i1  i2  ..., i n (che sono indipendenti dal nodo di riferimento scelto per i potenziali) e i nuovi potenziali e1′  e′2  ..., e ′n ( e ′h = e h − e ) è espresso attraverso la stessa matrice G, cioè la matrice G non dipende dal particolare nodo di riferimento scelto (per i potenziali). Questa proprietà è diretta conseguenza della simmetria della matrice delle conduttanze e della proprietà (e).

3 Una forma quadratica DT

/ D si dice definita positiva se e solo se è maggiore di zero ∀ D ≠  ed è uguale a zero solo se D =  ; in questo caso la matrice L si dice definita positiva. Una forma quadratica si dice semi definita positiva se può essere uguale a zero anche per D ≠  , comunque non deve mai assumere valori negativi; in questo caso la matrice L si dice semi definita positiva.

199

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

2

Gli elementi indipendenti della matrice delle conduttanze sono n − n  2 a causa della proprietà (d) di simmetria e della proprietà (e) relativa alla somma degli elementi di una colonna di G. Gli elementi della parte triangolare alta (TA in figura 26) sono uguali a quelli della parte triangolare bassa (TB in figura 26) a causa della simmetria della matrice; gli elementi della parte triangolare alta sono tra loro indipendenti. Invece gli elementi della diagonale principale (DP in figura 26) dipendono da quelli della parte triangolare alta a causa della proprietà (e) (relazione (67)).

Figura 26 Esempio Si consideri il quadripolo illustrato in figura 27a e si determini la matrice delle conduttanze. Per quanto appena detto basta determinare la parte triangolare alta della matrice, cioè G12  G13 G14  G 23 G24 e G34 .

Figura 27 L'elemento G 12 è così definito G 12 = i1  e 2 e =e =e =0 . Per calcolarlo basta riferirsi al circuito 1 3 4 illustrato in figura 27a. Le correnti nei resistori R13 e R14 sono nulle, perché le tensioni tra i due terminali “1” e “3” e tra i due terminali “1” e “4” sono uguali a zero. Pertanto la corrente i12 è uguale (a meno del segno) a quella che circola nel resistore con resistenza R12 ; per essa si ha i12 = −e 2  R12 e quindi G12 = −1  R12 . È evidente, allora, che in generale per G ij con i j si ottiene G ij = −1  R ij . Si consideri, ora, il caso di un n-polo NL di resistori lineari e generatori indipendenti (figura 28). Applicando la sovrapposizione degli effetti si ha

200

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica L

= *H + L ,

(69)

dove: * è la matrice delle conduttanze dell'n-polo, quando tutti i generatori all'interno di NL sono spenti; i* (le correnti di corto circuito) è il vettore delle correnti nei terminali di NL, quando essi sono collegati al nodo “0” attraverso corto circuiti. La (69) è l'estensione del teorema di Norton a un npolo resistivo lineare.

Figura 28 6.8.3 Sintesi di un n-polo resistivo lineare Il circuito equivalente di un n-polo di soli resistori lineari può essere costruito considerando un polilatero completo di resistori lineari con n vertici: comunque si scelgano due nodi esiste un resistore che li connette direttamente (in figura (29) è mostrato un quadrilatero completo).

Figura 29

Quadrilatero completo.

Si indichi con R ij la resistenza del resistore che connette il nodo “i” al nodo “j”. È immediato 2

verificare che il numero di resistori in un polilatero completo è n − n  2 , (per ogni coppia di nodi c'è un solo resistore). Allora si ha la relazione

R ij = −

1 . Gij

(70)

La formula (70) può essere usata per costruire l'n-polo di resistori corrispondete a una assegnata matrice delle conduttanze (purché la matrice verifichi le proprietà innanzi descritte). Osservazione La matrice di un n -polo con n > 3 non può essere, in generale, sintetizzata attraverso una configurazione a stella con n resistori. La matrice di un tripolo può essere sintetizzata sia attraverso

201

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

una configurazione a triangolo (polilatero completo con n=3) e sia con una configurazione a stella con tre resistori. 6.8.4 La trasformazione stella-triangolo Un circuito costituito da tre resistori connessi a stella può essere sempre “rappresentato” con uno in cui i resistori sono connessi a triangolo e viceversa. Si sta estendendo il concetto di equivalenza al caso di elementi circuitali con più di due terminali. Per determinare la relazione di equivalenza, cioè la relazione tra le resistenze della configurazione a stella (R1 ,R 2 , R3 ) e le resistenze della configurazione a triangolo (R12 , R23 ,R 31) , bisogna imporre che, comunque si scelgano le tre correnti i1 ,i 2 ,i 3 (purché sia verificata la condizione T i1 + i 2 + i 3 = 0 ), le tensioni della configurazione a triangolo (v12 ,v T23, vT31 ) coincidano con quelle S

S

S

della configurazione a stella (v12 ,v 23, v31 ) , figura 30. Le regole di trasformazione possono essere determinate imponendo che la matrice delle conduttanze della configurazione a stella sia uguale a quella della configurazione a triangolo. Noi qui troveremo le regole di trasformazione usando la sovrapposizione degli effetti. Si considerino i due circuiti illustrati in figura 30. Ognuno di essi ha tre terminali ed è costituito da tre resistori. In figura 30a i resistori sono connessi in modo tale da ricordare una “stella” (connessione a stella), mentre in figura 30b sono connessi in modo tale da ricordare un “triangolo” (connessione a triangolo) . Per determinare il legame tra (R1 ,R 2 , R3 ) e (R12 , R23 ,R 31) conviene, allo scopo di ridurre la complessità di calcolo, imporre l'equivalenza per delle terne particolari di correnti. Si imponga l'equivalenza per la terna

i1 = I 1  i 2 = −I

Figura 30



1





i3 = 0 .

(71)

Tre resistori connessi a stella (a) e connessi a triangolo (b). S

T

Le tensioni v 31 e v31 valgono (vedi figura 30)

v S31 = −R1I(1) , v T31 = −

R12R 31 I(1) . R12 + R 23 + R 31

(72)

202

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica S

T

Imponendo v 31 = v31 , si ottiene la relazione

R1 =

R12

R12 R31 . + R23 + R31

(73)

Imponendo, ora, l’equivalenza per le due terne indipendenti

i 3 = −I

2

i 2 = 0 i 3 = −I

3

i1 = 0 i 2 = I i1 = I

3 



2 









(74)



si ottengono le altre due relazioni

R2 =

R12 R23  R12 + R 23 + R31

(75)

R 23 R31 R3 =  R12 + R23 + R 31

Figura 31 T

S

T

S

Il lettore verifichi che, dalle (73) e (75), si ottiene anche v12 = v12 e v23 = v23 . Le relazioni (73) e (75) sono state ottenute imponendo l'equivalenza per tre particolari terne di correnti. Per la proprietà della sovrapposizione degli effetti l'equivalenza è assicurata per qualsiasi altra terna di correnti (il lettore dimostri che è sempre possibile scomporre una terna arbitraria di correnti nella sovrapposizione di tre terne del tipo (71) e (74)). Formule per la trasformazione triangolo∅stella

R1 =

R12

R12 R31  + R23 + R31

R12 R 23  R12 + R 23 + R 31 R 23R31 R3 =  R12 + R23 + R31 R2 =

(76)

La trasformazione inversa è descritta dalle relazioni (formule della trasformazione stella∅triangolo)

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

R12 = R1 + R2 +

203

R1R 2  R3

R 2 R3  R1 R R R 31 = R1 + R3 + 1 3  R2 R 23 = R2 + R3 +

(77)

Il lettore determini le relazioni (76) e (77) imponendo che la matrice delle conduttanze della configurazione a triangolo e della configurazione a stella siano uguali. Esempio La soluzione del circuito illustrato nella figura 13 del Capitolo 5 può essere semplificata notevolmente se si sostituisce il triangolo costituito dai resistori di resistenze R1 R3  R 5 con la stella equivalente (R a ,R b ,R c ) :

Ra =

R1 R5 = 1 R1 + R 3 + R 5

R3 R5 = 1 R1 + R3 + R 5 R1 R3 Rc = = 1 R1 + R 3 + R 5 Rb =

Così facendo si ottiene il circuito equivalente Neq illustrato in figura 32. Esso può essere risolto attraverso l'equivalenza serie e parallelo e le formule dei partitori. Il lettore determini la corrente i che circola nel resistore R in questo modo e la confronti con quella ottenuta applicando il metodo dei potenziali di nodo.

Figura 32

6.9 M-porte di resistori lineari Nel precedente Capitolo un generico bipolo costituito da resistori lineari e generatori ideali è stato caratterizzato attraverso il generatore equivalente di Thévenin-Norton. Nel precedente paragrafo un generico n-polo di resistori lineari e generatori indipendenti è stato caratterizzato attraverso l'uso dei potenziali di nodo attraverso la matrice delle conduttanze e il vettore delle correnti di corto circuito.

204

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Un generico doppio bipolo, e più in generale un M-porte, costituito da resistori lineari e generatori ideali può essere caratterizzato allo stesso modo, utilizzando la proprietà della sovrapposizione degli effetti.

Figura 33

Circuito costituito da un doppio bipolo di resistori lineari e generatori indipendenti collegato a due bipoli.

Si consideri, ora, un circuito arbitrario costituito da un doppio bipolo lineare resistivo NL e da due bipoli N1 e N2 non necessariamente lineari o statici (figura 33). Il funzionamento del circuito alle due porte (ovvero le tensioni v1 e v 2 e le correnti i1 e i2 ), dipende solo dalle equazioni costitutive dei due bipoli e dalla caratteristica del doppio bipolo NL. 6.9.1 Caratterizzazione di un m-porte di resistori lineari Il doppio bipolo resistivo lineare NL può essere caratterizzato in diversi modi: (a)

caratterizzazione su base tensione: le tensioni v1 e v 2 sono le variabili indipendenti e le correnti i1 e i2 sono le variabili dipendenti;

(b)

caratterizzazione su base corrente: le corrente i1 e i2 sono le variabili indipendenti e le tensioni v1 e v 2 sono le variabili dipendenti;

(c)

caratterizzazione ibrida: ad esempio, la tensione v1 e la corrente i2 sono le variabili indipendenti e la corrente i1 e la tensione v2 sono le variabili dipendenti.

- Caratterizzazione su base tensione

Figura 34 Caratterizzazione su base tensione di un doppio bipolo. Per costruire la caratteristica del doppio bipolo NL su base tensione (e quindi il doppio bipolo equivalente), c'è bisogno di determinare la relazione tra le tensioni v1 e v 2 e le correnti i1 e i2 per tutti i valori di tensione ammissibili. Ciò può essere fatto attraverso un esperimento concettuale (figura 34), in cui si impongono le tensioni v1 e v 2 attraverso due generatori di tensione ideali e si

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

205

determinano le correnti i1 e i2 . Si assuma che il circuito di figura 34 abbia una e una sola soluzione per ogni coppia v1 e v 2 . Siccome il circuito è lineare, la relazione cercata può essere determinata attraverso la sovrapposizione degli effetti. A tale scopo si considerino i due circuiti ausiliari rappresentati in figura 35. Il primo, N, è stato ottenuto spegnendo nel circuito di figura 34 tutti i generatori di NL mentre il secondo, N*, è stato ottenuto spegnendo i due generatori di tensione “ausiliari” di valore

v1 e v 2 .

Figura 35 Caratterizzazione del doppio bipolo N Il doppio bipolo N costituito da soli resistori lineari può essere caratterizzato usando, di nuovo, la sovrapposizione degli effetti. Si considerino i due circuiti rappresentati in figura 36; nel circuito N1 , è v2=0 (figura 36a), mentre nel circuito N2 è v1=0 (figura 36b). Siccome nel circuito N1 c'è un solo generatore e i resistori sono tutti lineari, le correnti i11 e i 21 sono direttamente proporzionali alla tensione v1; allora i11 e i 21 possono essere espresse tramite le relazioni

i11 = G11v1  i 21 = G21v1 ,

(78)

dove G11 e G21 sono due costanti che hanno la dimensione di una conduttanza. Il fattore G 11 (conduttanza propria) rappresenta la conduttanza del resistore equivalente visto dal generatore di tensione v1 quando v2=0.

Figura 36

206

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Anche il circuito N2 ha un solo generatore e i resistori sono tutti lineari; quindi le correnti i12 e i 22 sono direttamente proporzionali alla tensione v2; allora i12 e i 22 possono essere espresse tramite le relazioni

i12 = G12 v2  i 22 = G22 v2 ,

(79)

dove G12 e G22 sono due costanti che hanno sempre la dimensione di una conduttanza. Il fattore G22 (conduttanza propria) rappresenta la conduttanza del resistore equivalente visto dal generatore di tensione v2 quando v1=0. Utilizzando la sovrapposizione degli effetti si ottiene Ö

i1 = G11v1 + G12 v2 

(80)

Ö

i2 = G 21v1 + G22 v2

La (80) è la relazione caratteristica del doppio bipolo N di resistori lineari quando i generatori sono

i1 Ö i2 spenti. Essa può essere rappresentata in forma matriciale. Posto ÖL= Ö

T

e Y = (v1 ,v 2 )T , la (80)

diventa Ö L

= *Y ,

(81)

dove la matrice quadrata G 2∞2 è data da *

=

G11

G12

G21

G22

.

(82)

Alla matrice G si da il nome di matrice delle conduttanze del doppio bipolo. Gli elementi appartenenti alla diagonale principale sono le conduttanze proprie; gli altri elementi prendono il nome di conduttanze mutue. La potenza assorbita dal doppio bipolo vale

p = Öi1 v1 + Öi 2 v2 = YTÖL.

(83)

Utilizzando la (81), si ha

p = YT * Y .

(84)

Le stessa matrice può essere introdotta per caratterizzare un M-porte di resistori lineari. La matrice delle conduttanze di un M-porte è una matrice quadrata M∞M e il generico elemento G kh (k,h = 1,2,...,M) è così definito

G kh =

ik . vh v = 0 ∀j ≠ h j

(85)

Così come accade per l'n-polo, la matrice delle conduttanze di un doppio bipolo lineare e passivo e più in generale di un M-porte, ha delle proprietà generali indipendenti dalla particolare struttura.

207

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Caratterizzazione del doppio bipolo N* Nel circuito illustrato in figura 35b le sorgenti sono solo quelle interne al circuito NL ( Y = indichi con

L





T

= i1  i 2 il vettore delle correnti di NL quando le tensioni

Y

Y

). Si

= v1  v 2 sono uguali

a zero (le cosiddette correnti di corto circuito). Le correnti di corto circuito indipendenti dalle tensioni



T

L

= i1  i 2 T sono



= v1  v 2 T , dipendono solo dalla struttura interna del bipolo resistivo

NL. Utilizzando, ora, la sovrapposizione degli effetti, si ha per il doppio bipolo NL L

Il vettore

L

= *Y + L .

(86)

= i 1 i2 T rappresenta le correnti del doppio bipolo NL. La (86) è la caratteristica del

doppio bipolo NL. Essa rappresenta la generalizzazione del teorema di Norton ai doppi bipoli resistivi lineari. È evidente che la relazione (86) vale anche quando l'elemento circuitale ha un numero di porte maggiore a due e quindi per un qualsiasi M-porte: l'unica ipotesi che bisogna fare è che l'M-porte sia costituito da resistori lineari e generatori ideali. - Caratterizzazione su base corrente Si consideri ora la caratterizzazione su base corrente e si assuma che il circuito ammetta una e una

= i 1 i2 T , figura 37. Il lettore dimostri, applicando la T T sovrapposizione degli effetti, che la relazione tra la tensione Y = v1  v 2 e la corrente L = i 1 i2

sola soluzione per ogni valore di

L

vale Y

=

5L

+Y ,

(87)

dove R è la matrice delle resistenze “vista” dalla coppia di generatori di corrente

L

= i 1 i2 T (una

matrice quadrata M∞M per un M-porte) quando i generatori interni al doppio bipolo sono spenti e

= v1  v 2 T sono le tensioni sulle due porte quando esse sono collegate a due circuiti aperti (le cosiddette tensioni a vuoto). Il generico elemento R ij della matrice delle resistenze è dato da

Y



R ij =

Figura 37

vi ij

. *

i h = 0 ∀h ≠ j e Y = 

Caratterizzazione su base corrente.

(88)

208

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

La (87) è l'estensione ai doppi bipoli e agli M-porte del teorema di Thévenin. - Caratterizzazione ibrida

= v1  i 2 T sono le variabili indipendenti T (rispettivamente, la tensione sulla porta “1” e la corrente della porta “2”), e \ = i1  v2 Si consideri ora la caratterizzazione ibrida, dove

[

(rispettivamente, la corrente della porta “1” e la tensione sulla porta “2”), sono le variabili dipendenti, figura 38. Il lettore dimostri, applicando la sovrapposizione degli effetti, che la relazione tra [

= v1  i 2 T e \

=

\

= i1  v2 T è

+[

+\ ,

(89)

dove H è la matrice ibrida “vista” dalla coppia di generatori

[

= v1  i 2 T (una matrice quadrata

M∞M per un M-porte) quando i generatori interni al doppio bipolo sono spenti e

\

= i1  v2 T rappresenta la corrente nella porta “1” quando è collegata a un corto circuito e la



tensione sulla porta “2” quando è collegata a un circuito aperto. Gli elementi della matrice ibrida sono

h11 =

i1 v1

v h 21 = 2 v1



i2 = 0 

i2 = 0

h12 = h22

i1 i2

v1 = 0

v = 2 i2

(90)

v1 = 0

Figura 38 Caratterizzazione ibrida. L'elemento h11 rappresenta la conduttanza vista dal generatore v1 quando la porta “2” è collegata a un circuito aperto e l'elemento h 22 rappresenta la resistenza vista dal generatore i 2 quando la porta “1” è collegata a un corto circuito. Gli elementi fuori diagonale h12 e h 21 sono numeri puri: h 21 rappresenta il rapporto tra la tensione della porta “2” e la tensione della porta “1”, quando la porta “2” è collegata a un circuito aperto; h12 rappresenta il rapporto tra la corrente della porta “1” e la corrente della porta “2”, quando la porta “1” è collegata a un corto circuito. La potenza elettrica assorbita dal doppio bipolo può essere espressa attraverso la matrice ibrida; si ha

p = v1i1 + v 2 i2 = [T + [ .

(91)

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

209

6.9.2 Proprietà delle matrici delle conduttanze, resistenze e ibride Ora studieremo le proprietà delle matrici delle conduttanze, resistenze e ibride di un doppio bipolo e più in generale di un M-porte. - Proprietà della matrice delle conduttanze (a)

Le conduttanze proprie sono maggiori o uguali a zero, Gii ≥ 0 . Questa è una immediata conseguenza della passività (su ogni porta del doppio bipolo si sta utilizzando la convenzione dell'utilizzatore). Qualora alcuni resistori fossero attivi, le conduttanze proprie potrebbero essere minori di zero.

(b)

Le conduttanze mutue possono essere positive o negative, a seconda dei versi di riferimento per le tensioni. Si assuma, ad esempio, che nel circuito N1 (figura 36a), la conduttanza mutua G21 sia positiva. Si consideri, ora, lo stesso circuito ma con i terminali “2” e “2'” scambiati. Per la nuova ( conduttanza mutua G 21 si ha

( ( i i G21 = 21 = − 21 = −G21 < 0 . v1 v1 (c)

(92)

Se tutti i resistori che costituiscono il doppio bipolo sono passivi, allora vale la proprietà

Gkh ≤ G hh ∀ h, k. Questa proprietà è diretta conseguenza della non amplificazione della corrente in un circuito costituito da resistori passivi e un solo generatore. Sia i kh la corrente nella porta “k” quando il generatore di tensione v h sulla porta “h” è acceso e tutti gli altri sono spenti (un generatore di tensione spento si comporta come se fosse un corto circuito). Allora si ha

G hh =

i hh i e Gkh = kh , vh vh

(93)

e per la non amplificazione della corrente è

i hh ≥ i kh . (d)

(94)

La matrice delle conduttanze è simmetrica, G kh = Ghk  Questa è una immediata conseguenza della proprietà di reciprocità, che vale per circuiti costituiti da resistori lineari. Infatti si ha

G hk =

i hk i kh ,  G kh = vk vh

e per la reciprocità (la prima forma)

(95)

210

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

i hk i kh . = vk vh

(96)

(Nel circuito di figura 36a la causa è v1 e l'effetto è i 21 , mentre nel circuito di figura 36b la causa è v 2 e l'effetto è i12 ). (e)

La matrice delle conduttanze è semi definita positiva,

Y

T

*Y

≥0.

Siccome i resistori sono passivi, per la conservazione della potenza elettrica, la potenza assorbita dal doppio bipolo

Y

T

*Y

deve essere maggiore o uguale a zero indipendentemente

dai valori che le tensioni di porta assumono; quindi deve essere Y

T

*Y

≥ 0 ∀ Y.

Pertanto la forma quadratica

(97) Y

T

*Y

deve essere semi definita positiva. A differenza di quanto

accade nell'n-polo, la matrice delle conduttanze può essere definita positiva. Essa è certamente definita positiva se nel doppio bipolo non ci sono corto circuiti e/o circuiti aperti, ma solo resistori con resistenze diverse da zero e limitate. Quando G è definita positiva, il suo determinante è diverso da zero e quindi è invertibile. Questa proprietà può essere dimostrata a partire da quelle discusse in precedenza. - Proprietà della matrice delle resistenze La matrice delle resistenze ha le stesse proprietà della matrice delle conduttanze; si ha (il lettore le dimostri):

R ii ≥ 0 R ij ≤ 0 o Rij ≥ 0 R ii ≥ R ji 

(98)

R ij = R ji  L

T

5L

≥ 0

Per dimostrare la simmetria della matrice R bisogna utilizzare la seconda forma della proprietà di reciprocità. Se il doppio bipolo può essere caratterizzato sia in corrente che in tensione, allora si ha 5 L

= *−1  = − 5 −1 Y

(99) 

- Proprietà della matrice ibrida Consideriamo ora la matrice ibrida. (a)

Gli elementi h11 e h 22 sono maggiori o uguali a zero. Questa è una immediata conseguenza della passività (su ogni porta del doppio bipolo si sta utilizzando la convenzione dell'utilizzatore).

211

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

(b)

Gli elementi h12 e h 21 possono essere positivi o negativi. La dimostrazione è simile a quella svolta per la matrice G.

(c)

Gli elementi h12 e h 21 verificano la condizione h kh ≤ 1. Questa proprietà è diretta conseguenza della non amplificazione della tensione e della corrente in un circuito costituito da resistori passivi e un solo generatore.

(d)

La matrice ibrida è anti-simmetrica, cioè h12 = − h21 Questa è una immediata conseguenza della terza forma della reciprocità, che vale per circuiti costituiti da resistori lineari. Infatti dalla terza forma della reciprocità si ha

h 21 =

v 21 i = − 12 = −h12 , v1 i2

(100)

dove v 21 è la tensione sulla porta “2” quando i 2 = 0 e i12 è la corrente nella porta “1” quando

v1 = 0 . (e)

La matrice ibrida è semi definita positiva,

[

T

+[

≥ 0.

Siccome i resistori sono passivi, per la conservazione della potenza elettrica, la potenza T assorbita dal doppio bipolo [ + [ deve essere maggiore o uguale a zero: [

T

+[

≥ 0 ∀[.

(101)

La (101) può essere ottenuta direttamente dalle proprietà (a) e (d).

Infatti a causa

dell'antisimmetria della matrice H, si ha

p = [ T + [ = h11v12 + h 22i 22 ;

(102)

per la proprietà (a) , h11 e h 22 sono positivi o nulli e quindi p•0. A differenza delle matrici delle resistenze e delle conduttanze, non può esserci nessuna relazione tra gli elementi della diagonale principale della matrice ibrida H e quelli fuori della diagonale. Prima di passare al problema della sintesi di un doppio bipolo vogliamo soffermarci sulla caratterizzazione ibrida di un M-porte con M>2 e sulle proprietà della matrice. Si consideri un M-porte di resistori lineari e passivi con M>2 e lo si caratterizzi alimentando le prime m e porte con generatori di tensioni e le restanti m j con generatori ideali di corrente ( m e + m j = M ), figura 39. Siano

Y

e

= v1  v2   v m e

T

e

L

e

T

= i1  i 2   i m e , rispettivamente, le tensioni e correnti

relative alle porte caratterizzate in tensione, e

Y

j

= vm e +1    vM

T

e

L

j

T

= i m e +1   i M ,

rispettivamente, le tensioni e correnti relative alle porte caratterizzate in corrente. Per la linearità, la relazione caratteristica dell'M-porte è

212

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica L

e

Y

j

=

*

6

e

6

ej

5

je

j

Y

e

L

j

;

(103)

nella relazione (103) compare una matrice a blocchi. Il blocco *e rappresenta la matrice delle conduttanze (una matrice quadrata m e × m e ) “vista” dai generatori di tensione (rappresentati da

Y

e ),

quando i generatori di corrente (rappresentati da L j ),

sono spenti; essa, quindi, ha le proprietà della matrice delle conduttanze descritte in precedenza. Il blocco 5j rappresenta la matrice delle resistenze (una matrice quadrata m j × m j ) vista dai generatori di corrente quando i generatori di tensione sono spenti; essa, quindi, ha le proprietà della matrice delle resistenze descritte in precedenza. Il blocco 6ej (una matrice rettangolare m e × m j di elementi adimensionali) descrive il contributo dei generatori di corrente alle correnti nei generatori di tensione (quando i generatori di tensione sono spenti) e il blocco 6 je (una matrice rettangolare m j × m e di elementi adimensionali) descrive il contributo dei generatori di tensione alle tensioni nei generatori di corrente (quando i generatori di corrente sono spenti). Tra gli elementi della matrice 6ej non c'è nessuna relazione, e così anche tra gli elementi di

6 je

. Invece c'è una semplice e interessante relazione tra 6ej e

6 je

. Applicando la terza

forma della proprietà di reciprocità, si ottiene 6

ej

T

= − 6 je .

(104)

Inoltre per la non amplificazione delle tensioni e delle correnti gli elementi di

6

ej

sono, in valore

assoluto, minori di uno. Nel caso M=2, la (104) dà la proprietà illustrata precedentemente. A causa della (104), la potenza elettrica assorbita dall'M-porte vale T

p = Ye

*

e

Y

e

T

+ Lj

j j.

5 L

(105)

In un circuito costituito da M-porte resistivi lineari continua a valere sia la proprietà della sovrapposizione degli effetti, che quella di reciprocità.

Figura 39 Caratterizzazione ibrida di un M-porte (con M>2).

213

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

6.9.3 Sintesi di un doppio bipolo resistivo lineare Ogni rappresentazione (R, G e H) di un doppio bipolo di soli resistori è caratterizzata da tre parametri indipendenti, quindi sono necessari (e anche sufficienti) tre resistori per costruire un doppio bipolo equivalente o per realizzare un doppio bipolo di resistori corrispondente a una assegnata matrice (R, G e H). Il circuito equivalente di un doppio bipolo di soli resistori lineari può essere costruito considerando un doppio bipolo del tipo illustrato in figura 40: alla configurazione rappresentata in figura 40a si dà il nome di configurazione a “T”, invece a quella rappresentata in figura 40b si dà il nome di configurazione a “Π”. Conviene rappresentare la matrice delle resistenze tramite la configurazione a “T” e la matrice delle conduttanze tramite la configurazione a “Π”.

Figura 40 Configurazione a “T” (a) e configurazione a “Π” (b). - Matrice delle resistenze della configurazione a “T”. Per il doppio bipolo di figura 40a si ottiene la matrice delle resistenze

R11 =

v1 i1

R 22 =

v2 i2

= Ra + Rc 

i2 = 0

= R b + Rc 

i1 = 0

R 21 = R12 =

v1 i2

i1 = 0

(106)

= R c

Allora per i resistori della configurazione a “T” si ha

R a = R11 − R12  R b = R22 − R12  R c = R12 

(107)

Se R12 è negativo, bisogna invertire la coppia di terminali di una delle due porte per ottenere una resistenza R c positiva. I parametri ibridi della configurazione a “T” sono:

214

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

h11 =

i1 = R a + R c −1  v1 i =0 2

h 22 =

v2 R a Rc  = Rb + i 2 v =0 Ra + Rc 1

− h12 = h21 =

(108)

v2 Rc  = v1 i =0 R a + R c 2

- Matrice delle conduttanze della configurazione a “Π”. Per il doppio bipolo di figura 40b si ottiene la matrice delle conduttanze

G11 =

i1 v1

G22 =

i2 v2

v2 = 0 v1 = 0

G21 = G12 =

i1 v2

= Gx + G y = G y + Gz 

v1 = 0

(109)

= −Gy 

Allora per i resistori della configurazione a “Π” si ha

G x = G11 + G12  G y = −G12 

(110)

Gz = G22 + G12 Se G 12 fosse positivo, allora bisognerebbe invertire la coppia di terminali di una delle due porte per ottenere una conduttanza G y positiva.

6.10 Induttori accoppiati (trasformatore) Se un induttore viene posto nelle immediate vicinanze di un altro elemento analogo, accade che il flusso concatenato con le spire di ognuno dei due dipende sia dalla corrente che circola nel primo avvolgimento che da quella che circola nel secondo. Siamo in presenza, quindi, di un doppio bipolo che chiameremo “accoppiamento” mutuo. Gli induttori mutuamente accoppiati sono diffusamente impiegati nei circuiti di comunicazione, nelle apparecchiature di misura e nei sistemi di potenza. I trasformatori che si utilizzano nelle reti di potenza che trasmettono e distribuiscono l'energia elettrica sono induttori accoppiati. Anche i motori e i generatori elettrici possono essere rappresentati tramite induttori accoppiati tempo-varianti. Ci limiteremo a descrivere il caso più semplice, ma non per questo meno significativo, in cui ci sono due avvolgimenti e l'accoppiamento mutuo è tempo-invariante.

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

215

6.10.1 Equazioni costitutive di due induttori accoppiati Si consideri un toro costituito da materiale ferromagnetico: tipicamente ferrite o lamine sottili di acciaio speciale. Si avvolgano su tale toro due bobine (avvolgimenti di “filo” conduttore smaltato con vernice isolante), come illustrato in figura 41; si ottiene un doppio bipolo. A esso si dà il nome induttori accoppiati o circuiti mutuamente accoppiati.

Figura 41

Due circuiti, avvolti attorno a un nucleo toroidale, accoppiati magneticamente.

La caratteristica di funzionamento di questo doppio bipolo può essere ricavata applicando il modello quasi stazionario magnetico (in questo componente gli effetti dovuti alla corrente di spostamento elettrico sono trascurabili nel limite lentamente variabile). Dalla legge di FaradayNeumann si ottengono le due equazioni (sono le stesse equazioni che sono state scritte per l'induttore nel Capitolo 2)

dφ1  dt dφ v2 = 2  dt v1 =

(111)

dove φ1 e φ 2 sono, rispettivamente, i flussi concatenati con la bobina “1” e la bobina “2” del campo magnetico prodotto dalle correnti i1 e i 2 che circolano nelle due bobine. Il flusso del campo magnetico concatenato con la bobina “j” (j=1, 2) vale

φ j = ∫∫Sγ j % ⋅Q jds ,

(112)

dove S γ j è una qualsiasi superficie che ha come orlo la linea chiusa γ j costituita dal conduttore filiforme della j-esima bobina e dal segmento che unisce i due terminali della bobina stessa, e il verso della normale Q j deve essere concorde, secondo la regola del cavatappi, con il riferimento scelto per il verso della corrente i j . Abbiamo supposto che la conducibilità del conduttore con cui sono realizzati i due avvolgimenti sia infinita. Si assuma che l'anello toroidale sia costituito da un materiale magnetico ideale (isotropo), in cui siano trascurabili gli effetti dovuti ai fenomeni non lineari (come la saturazione e l'isteresi magnetica

216

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

) e con permeabilità magnetica molto grande rispetto a quella del vuoto; allora la relazione costitutiva del materiale magnetico è lineare ( µ 0 è la permeabilità magnetica del vuoto), %

= µ+ 

µ >> µ0 .

(113)

Inoltre, si assuma che siano trascurabili anche gli effetti delle correnti indotte nell'anello toroidale a causa della variazione nel tempo del campo magnetico (un materiale magnetico può essere un buon conduttore di corrente elettrica). Sotto queste ipotesi: (a) vale la sovrapposizione degli effetti; (b) solo le correnti di conduzione nelle due bobine producono campo magnetico; (c) la relazione tra i flussi e le correnti è di tipo statico. La relazione è di tipo statico perché si suppone che siano trascurabili i fenomeni di isteresi magnetica e gli effetti delle correnti indotte nel nucleo e perché nel modello quasi-stazionario magnetico il legame tra le correnti e il campo H è di tipo statico (legge di Ampere). Allora per i flussi φ1 e φ 2 si ha

φ1 = φ11 + φ12 = L 1i1 + M12 i 2  φ 2 = φ 21 + φ22 = M21i1 + L 2 i 2 

(114)

L 1 L 2 , M12 e M21 sono quattro parametri costanti nel tempo e indipendenti dalle due correnti i1 e i 2 . Il flusso φ11 = L 1i1 è il flusso concatenato con la prima bobina quando la corrente i2 nella seconda bobina è uguale a zero, e φ 22 = L 2 i 2 è il flusso concatenato con la seconda bobina quando la corrente i1 nella prima bobina è uguale a zero. Quindi L 1 e L 2 sono, rispettivamente, i

dove

coefficienti di autoinduzione della bobina “1” e della bobina “2”. Se le due bobine sono realizzate in modo tale da poter essere schematizzate come dei solenoidi lunghi, per i due coefficienti L 1 e L 2 si hanno le espressioni approssimate

N12 S  L1 = µ h

(115)

N2 S L2 = µ 2  h

Si è assunto che i due solenoidi cilindrici hanno la stessa lunghezza h e la stessa sezione S; N1 e N2 sono, rispettivamente, i numeri di spire degli avvolgimenti “1” e “2”.

I coefficienti

0

12

e

0

21

sono detti coefficienti di mutua induzione:

0

12

rappresenta il

flusso del campo magnetico concatenato con la bobina “1” prodotto da una corrente unitaria che circola nella bobina “2” quando L1 = 0 , mentre 0 21 rappresenta il flusso del campo magnetico concatenato con la bobina “2” prodotto da una corrente unitaria che circola nella bobina “1” quando L2 = 0 . Se si definiscono i flussi medi di auto e mutua induzione φ11m =

L1i1 M12 i 2 M i L i  φ12 m =  φ 21m = 21 1  φ 22 m = 2 2 , N1 N1 N2 N2

(116)

si può affermare che φ1d = φ11 m − φ21 m , φ2 d = φ 22 m − φ12 m

(117)

217

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

sono i flussi medi di dispersione al primario e secondario, rispettivamente. In pratica se l'accoppiamento è “perfetto” c'è da aspettarsi che φ1d e φ 2 d siano nulli. In altri termini c'è da aspettarsi che una corrente circolante nel primo avvolgimento produca, mediamente, lo stesso flusso concatenato per spira sia nel primo che nel secondo avvolgimento. Si dimostra facilmente che tale condizione comporta che

L 1L 2 = M12 M21 .

(118)

I coefficienti di autoinduzione sono intrinsecamente positivi (con la convenzione dell’utilizzatore), mentre quelli di mutua induzione possono essere positivi o negativi. Consideriamo il flusso φ12 . Esso è dato da φ12 = ∫∫

Sγ 1

%2

⋅ Q1 dS dove S γ è una qualsiasi superficie aperta che ha come orlo il primo 1

avvolgimento e Q1 è il verso della normale orientata concordemente, secondo la regola del cavatappi, con il verso di riferimento della corrente i1 . Nei due circuiti accoppiati illustrati in figura 41 il verso è orario se i 2 è positiva e il verso di Q1 è orario, e quindi φ12 e il coefficiente di mutua induzione sono positivi. Se si sceglie, ad esempio, il riferimento opposto per il del campo magnetico

%

2

verso di i 2 (deve essere cambiato anche il riferimento per il verso della tensione v 2 perché si è scelta la convenzione dell'utilizzatore su ciascuna porta), allora il segno del coefficiente di mutua induzione è negativo. Considerazioni simili valgono per φ 21 . Per i flussi del campo magnetico e le correnti esiste una proprietà di reciprocità analoga a quella che esiste in un circuito resistivo per le tensioni e le correnti. Si considerino i due induttori accoppiati con i1 ≠ 0 e i2 = 0 : la corrente i1 nella bobina “1” può essere considerata come “causa” e il flusso

φ12 = M12 i 2 , concatenato con la bobina “2”, come effetto. Dualmente si considerino i due induttori accoppiati con i 2 ≠ 0 e i1 = 0 . In questo caso la corrente i 2 nella bobina “2” può essere considerata come causa e il flusso M 12i 2 , concatenato con la bobina “1”, come effetto. È possibile dimostrare, utilizzando le equazioni del modello quasi stazionario magnetico (Appendice C), che il rapporto tra la causa e l'effetto nei due circuiti accoppiati con i 2 = 0 è uguale al rapporto tra causa ed effetto nei due circuiti accoppiati con i1 = 0 , quindi

M12 = M21 = M .

(119)

Il coefficiente di mutua induzione è stato indicato con M e si misura in henry [H], come i coefficienti di autoinduzione.

Figura 42

Simbolo degli induttori accoppiati con nodi contrassegnati: se i due riferimenti per i versi delle correnti sono entrambi concordi o discordi con il contrassegno, allora M è positivo.

Allora le equazioni costitutive dei due circuiti accoppiati sono (in questo corso sono presi in considerazione solo induttori accoppiati tempo-invarianti)

218

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

di1 di +M 2  dt dt di di v 2 = M 1 + L2 2  dt dt v1 = L1

(120)

(Queste equazioni non valgono nel caso in cui M fosse variabile nel tempo). Due induttori accoppiati costituiscono un doppio bipolo dinamico: il valore delle due tensioni v1 e v2 nel generico istante t non dipende solo dal valore delle due correnti in quell’istante, ma anche dai valori che esse assumono in un intorno di t. Osservazione I motori e i generatori elettrici (dinamo e alternatori) possono essere rappresentati da induttori accoppiati tempo-varianti (cioè con coefficienti di mutua induzione variabili nel tempo). Applicando la relazione (14) e ricordando che è possibile trascurare i fenomeni di induzione magnetoelettrica, si ottiene per la potenza elettrica assorbita dai due induttori accoppiati

p t = i1v1 + i 2 v2 =

dW m , dt

(121)

dove

W m i 1 i 2 =

1 1 L1 i12 + Mi1i 2 + L 2 i22 = ∫∫∫ %2  µ d Y ≥ 0 2 2

(122)

è l'energia immagazzinata nel componente associata al campo magnetico; essa è positiva. Pertanto l'energia W t 0  t che il doppio bipolo assorbe nell'intervallo di tempo t 0  t vale

W t 0  t = W m[i1 t  i 2 t ] − W m [i1 t 0  i 2 t 0 ] . La potenza assorbita da due induttori accoppiati è una forma differenziale

(123) (cioè è espressa

attraverso derivate), perché il doppio bipolo è di tipo dinamico. Inoltre la potenza elettrica assorbita è un differenziale esatto (cioè è una forma differenziale esprimibile attraverso la derivata di una funzione delle correnti, W m i 1 i 2 ) perché i due coefficienti di mutua induzione M 12 e M21 sono uguali. Pertanto l'energia assorbita in un intervallo di tempo t 0  t dipende solo dai valori che la funzione W m i 1 i 2 assume negli istanti iniziale t 0 e finale t , e quindi solo dai valori iniziali e finali delle due correnti i1 e i 2 e non dalla loro storia. Quando i valori delle correnti nell'istante finale i1 t  i 2 t sono uguali ai valori che esse assumono negli istanti iniziali i1 t 0  i 2 t 0 , allora l'energia assorbita dai due induttori accoppiati è uguale a zero, comunque sia la forma d'onda delle correnti nell'intervallo t 0  t . (Questa proprietà non è valida quando M varia nel tempo). Osservazione Se fosse possibile avere M 12 ≠ M 21 , non sarebbe possibile esprimere la potenza assorbita come la derivata di una funzione delle correnti e quindi l'energia assorbita dipenderebbe dalla storia temporale delle correnti.

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

219

L’energia W(t0,t1) assorbita dai due induttori accoppiati nell’intervallo di tempo (t0,t1) dipende dai valori delle correnti nell’istante iniziale i1 t 0  i 2 t 0 , e nell’istante finale i1 t1  i 2 t1 . Fissati i valori delle correnti nell’istante iniziale, i1 t 0 = I1 e i 2 t 0 = I 2 , siccome W m i 1 i 2 >0, il valore minimo di W(t0,t1) si ottiene quando i1 t1 = 0 i2 t1 = 0 . In questo caso il massimo del valore assoluto di W(t0,t1) è uguale a W m I1  I 2 e rappresenta la massima energia che i due induttori sono in grado di erogare quando le correnti iniziali sono i1 t 0 = I1 e i 2 t 0 = I 2 . Se, invece delle correnti iniziali si fissano quelle finali, i1 t1 = I1 e i 2 t 1 = I2 , siccome W m i 1 i 2 >0, il valore massimo di W(t0,t1) si ottiene quando le correnti iniziali sono nulle. Il massimo di W(t0,t1) è uguale ancora a W m I1  I 2 , e rappresenta la massima energia che i due induttori accoppiati possono assorbire per raggiungere la condizione finale i1 t1 = I1 e i 2 t 1 = I2 . Pertanto due induttori accoppiati tempo invarianti non possono erogare più energia elettrica di quanta ne abbiano assorbita in precedenza, e quindi sono un doppio bipolo passivo. Gli induttori accoppiati

immagazzinano l'energia elettrica che assorbono; essa può essere

restituita, completamente, sotto forma di energia elettrica al circuito in cui sono inseriti: due induttori accoppiati sono un doppio bipolo passivo e conservativo. Alla grandezza definita positiva W m i 1 i 2 si dà il nome di energia immagazzinata negli induttori accoppiati. Il coefficiente di mutua induzione è spesso espresso in funzione del coefficiente d’accoppiamento k definito da

k≡

M . L1L 2

(124)

Il coefficiente di accoppiamento non può assumere un qualsiasi valore, esso deve verificare la relazione

k ≤ 1,

(125)

ovvero è impossibile ottenere un coefficiente di accoppiamento maggiore di uno. Quando k=0, si ha M=0, cioè non esiste interazione tra i due induttori (questa è la condizione che è stata invocata tra gli induttori di un circuito quando sono stati introdotti i bipoli induttori). La relazione (125) è una diretta conseguenza del fatto che l'energia immagazzinata è semi definita positiva. L'energia immagazzinata può essere riscritta nel modo seguente 2 1  M  1 M 2  2 W m i 1 i 2 = L1 i1 + i ≥ 0. i2 +  L2 − 2  L1  2 L1  2

(126)

Siccome L 1 e L 2 sono maggiori di zero, se fosse ammissibile k > 1 , sarebbe possibile avere una energia immagazzinata minore di zero con la coppia di correnti i1 = − M  L1 i2  i 2 . 6.10.2 Circuiti perfettamente accoppiati e circuiti equivalenti Si consideri il caso limite k = ±1 ; in questo caso si ha l'accoppiamento più forte e si dice che l'accoppiamento è perfetto. Un trasformatore è progettato e realizzato in modo tale da essere quanto

220

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

più possibile vicino alla condizione di accoppiamento perfetto. Quando l'accoppiamento è perfetto, dalla (126) si ha 2 M  1  i ≥0. W m i 1 i 2 = L1 i1 + L 1 2 2 

(127)

In questo caso se

i1 = − M  L1 i2 ,

(128)

l'energia immagazzinata è uguale a zero pur essendo i1 ≠ 0 i 2 ≠ 0 . Perché ciò accada, il campo magnetico prodotto dalle due correnti deve essere uguale a zero in ogni punto dello spazio, cioè il campo prodotto dalla corrente i1 deve cancellare il campo dovuto alla corrente i 2 in ogni punto dello spazio. Ciò è chiaramente impossibile da realizzare in pratica, però è possibile avvicinarsi a questa condizione usando un toro di materiale ferromagnetico a elevata permeabilità magnetica, µ >> µ 0 . Quando è verificata questa condizione le linee di campo di B sono praticamente confinate nel toro di materiale magnetico: il toro si comporta come se fosse un tubo di flusso per il campo B, cioè si può ritenere che, la componente normale di B alla superficie limite del toro è nulla. (È immediata l'analogia con il campo di corrente che si instaura in un toro conduttore con conducibilità elettrica molto più grande dello spazio materiale in cui è immerso). Si assuma che il toro di materiale magnetico sia un tubo di flusso per B; in questo caso il flusso del campo magnetico attraverso qualsiasi sezione del toro è costante. Con questa ipotesi è semplice calcolare il coefficiente di mutua induzione. Si consideri il flusso φ 21 = M21i1 concatenato con la bobina “2” del campo magnetico prodotto dalla corrente i1 che circola nella bobina “1”, quando

i 2 = 0 . Il flusso φ 21 è uguale a N 2 volte il flusso φ21 concatenato con una singola spira della bobina “2”. D'altronde il flusso φ21 coincide con il flusso di B1 (B1 è il campo prodotto dalla corrente i1), attraverso una qualsiasi sezione trasversale del toro, e quindi con il flusso φ11 concatenato con una singola spira della bobina “1”. Il flusso φ11 = L1 i1 è uguale a N1 volte il flusso

φ11 . Da queste considerazioni segue che

φ12 = N2 φ12 = N 2 φ11 =

N2 N φ11 = 2 L1 i1 . N1 N1

(129)

Allora, utilizzando la (129) e la prima delle (115) si ottiene per M

M=µ

N1N2 S . h

(130)

I due coefficienti di autoinduzione dati dalla (115) e il coefficiente di mutua induzione (130) verificano la condizione di accoppiamento perfetto. In realtà il toro di materiale magnetico non è un tubo di flusso perfetto e quindi k, in valore assoluto, è minore di uno, anche se il suo valore resta prossimo a tale numero. Due induttori perfettamente accoppiati hanno una notevole proprietà. Le equazioni costitutive (120) possono essere così riscritte

221

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

 di M di 2  v1 = L1  1 +   dt L1 dt 

(131)

L di  di v2 = M 1 + 2 2   dt M dt  Nel caso limite di accoppiamento perfetto è L 1  M = M  L 2 , quindi dalla (131) si ottiene

v1 L1 . = v2 M

(132)

Questa relazione ricorda quella del trasformatore ideale con costante di trasformazione

n=

L1 . M

(133)

- Circuito equivalente di due induttori accoppiati perfettamente. Il doppio bipolo costituito da due induttori accoppiati perfettamente è equivalente a un doppio bipolo costituito da un trasformatore ideale e da un induttore, così come illustrato in figura 43. Si consideri il circuito di figura 43a. Applicando la relazione caratteristica del trasformatore ideale, si ottiene proprio la relazione costitutiva di due induttori accoppiati, di 1 d(i1 − i1 ) = L1 ( 1 + dt n dt M di M v v2 = 1 = v1 = M( 1 + n L1 dt L1 v 1 = L1

Figura 43

di M di 2 ) = L 1( 1 + dt L1 dt di L di 2 ) = M( 1 + 2 dt M dt

di 2 ), dt di 2 ). dt

(134)

Doppi bipoli equivalenti a due induttori accoppiati perfettamente: n = L 1  M .

- Circuito equivalente di due induttori accoppiati: accoppiamento non perfetto ( k < 1 ). Il doppio bipolo costituito da due induttori accoppiati non perfettamente è equivalente a un doppio bipolo costituito da un trasformatore ideale e da due induttori, così come illustrato in figura 44.

Figura 44

Doppio bipolo equivalente a due induttori accoppiati con k < 1 .

222

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

2

Si considerino due induttori accoppiati non perfettamente, cioè M < L1L 2 . Assegnata una qualsiasi terna L 1 L 2 e M , è sempre possibile rappresentare L 1 come

L 1 = L1 + ∆L1 ,

(135)

M2 , L2

(136)

dove

L1 =

∆L1 = L1 −

M2 . L2

(137)

Queste considerazioni giustificano il circuito equivalente di un accoppiamento non perfetto illustrato in figura 44. L’induttanza ∆L1 è legata ai flussi dispersi: essa descrive il contributo al flusso concatenato con la prima bobina dovuto alle “linee di campo di % ” che non concatenano l'altro avvolgimento; per k 2 → 1 ∆L1 → 0 . L∗1 è detta induttanza magnetizzante: essa tiene conto del flusso comune a entrambe le bobine. Se in un circuito ci sono due induttori accoppiati continua a valere la proprietà della sovrapposizione degli effetti; non valgono la proprietà di non amplificazione e la proprietà della reciprocità, perché il doppio bipolo è di tipo dinamico.

È interessante osservare che un trasformatore progettato e costruito per ottenere le migliori prestazioni possibili tende ad essere un “trasformatore ideale”. Infatti perché l'accoppiamento sia perfetto occorre che le due bobine siano strettamente avvolte su di un nucleo di materiale ferromagnetico ad elevata permeabilità relativa, µ r = µ  µ 0 >>1 . In tali condizioni, infatti, ∆L1 → 0 e k 2 → 1 . Inoltre nel limite µ r → ∞ si ha L 1 → ∞ e quindi la corrente magnetizzante che circola nell'induttore di induttanza L1 deve tendere a zero e di conseguenza il circuito 



equivalente di figura 44 si riduce al solo trasformatore ideale.

CAPITOLO 7

CIRCUITI DINAMICI LINEARI

7.1 Circuito resistivo associato e sistema fondamentale I Capitoli 6 e 7 sono stati dedicati esclusivamente (ad eccezione del paragrafo sugli induttori accoppiati) ai circuiti costituiti da resistori e generatori. (Si noti che in quel caso “resistore” va inteso in senso ampio, comprendendo generatori pilotati lineari, giratori, trasformatori ideali, amplificatori operazionali). In questo Capitolo, invece, studieremo i circuiti dinamici lineari, cioè quei circuiti costituiti da elementi statici e dinamici lineari e da generatori indipendenti, con particolare riferimento a quelli costituiti da condensatori, induttori e resistori lineari tempoinvarianti. Si consideri un circuito N costituito da n C condensatori e n L induttori lineari e tempo-invarianti, da n R resistori, in generale, lineari e tempo-varianti, e da n e generatori ideali di tensione e n j generatori ideali di corrente (figura 1a). Le equazioni, che ne governano la dinamica, sono

Ï Ai = 0, Ì Ó Bv = 0, dv Ck k - ik = 0 k =1, 2, ..., n C , dt di L k k - vk = 0 k = n C +1, ..., n C + n L , dt v k - R k (t)i k = 0 k = n C + n L +1, ..., n C + n L + n R , k = n C + n L + n R + 1,..., n C + n L + n R + n e , Ï v k = e k (t) Ì i = j (t) k = n C + n L + n R + n e + 1,..., n C + n L + n R + n e + n j , k Ó k

(1) (2) (3) (4) (5)

dove i = (i1 ,i 2 ,...,i b )T e v = (v1 , v 2 ,..., v b )T sono i vettori rappresentativi delle correnti e delle tensioni del circuito, b = (n C + n L + n R + n e + n j ) , A e B sono, rispettivamente, una matrice di incidenza ridotta e una matrice di maglia fondamentale, C k , L k e R k = R k (t) ( C k e L k sono costanti nel tempo) sono, rispettivamente, le capacità, le induttanze e le resistenze del circuito,

e k = e k (t) e jk = jk (t) sono, rispettivamente, le tensioni dei generatori di tensione e le correnti dei generatori di corrente indipendenti.

224 Il sistema di equazioni (1)-(5) è un sistema di equazioni algebriche-differenziali costituito da [2b - (n C + n L )] equazioni algebriche e (n C + n L ) equazioni differenziali del primo ordine. Un'equazione differenziale del primo ordine esprime un legame tra la derivata di almeno una delle funzioni incognite e le incognite stesse. Nel nostro caso l'operazione di derivazione è applicata alle funzioni incognite che rappresentano le tensioni dei condensatori v1 , ..., v n C e le correnti negli induttori i n C +1 , ..., i n C +n L . Il sistema di equazioni (1)-(5) è lineare, tempo-variante e non omogeneo (perché tutte le equazioni che vi compaiono sono lineari, R k è variabile nel tempo e vi sono tensioni e correnti assegnate tramite i generatori indipendenti).

Figura 1

Circuito dinamico costituito da bipoli lineari e generatori indipendenti (a) e circuito resistivo associato (b).

Il sistema algebrico-differenziale (1)-(5) di dimensione 2b può essere ridotto alla forma canonica in cui compaiono soltanto le tensioni dei condensatori e le correnti degli induttori come incognite. Il sistema così ridotto consiste di sole equazioni differenziali del primo ordine . È evidente che il numero di equazioni differenziali è uguale a m = (n C + n L ) . È anche evidente che conviene ridurre il sistema originario a un sistema in cui le incognite siano le tensioni dei condensatori v1 , ..., v n C e le correnti negli induttori i n C +1 , ..., i n C +n L .

Che ciò sia possibile è evidente dalle seguenti considerazioni: se supponiamo di assegnare le tensioni dei condensatori e le correnti degli induttori in un determinato istante - e cioè m variabili - il sistema complessivo di equazioni (1)-(5) può essere interpretato come un sistema di 2b equazioni in altrettante incognite nel quale, però, hanno assunto il ruolo di incognite le derivate delle tensioni dei condensatori al posto delle tensioni stesse dei condensatori e le derivate delle correnti degli induttori al posto delle correnti stesse degli induttori. Un tale sistema può essere risolto fornendo così i valori delle derivate delle tensioni dei condensatori e delle correnti degli induttori in quel determinato istante, in altri termini è possibile esprimere le derivate delle tensioni dei condensatori e delle correnti degli induttori in funzione delle tensioni dei condensatori e delle correnti degli induttori stesse, nonché dei generatori, il che costituisce il

225

sistema in forma canonica cui si faceva riferimento (sistema fondamentaledel circuito dinamico). Operativamente la riduzione del sistema (1)-(5) alla forma canonica appena descritta può essere ottenuta nella maniera seguente. Attraverso le [2b - (n C + n L )] equazioni algebriche (1), (4) e (5) si esprimano le correnti nei condensatori i1 , ..., i n C e le tensioni degli induttori v n C +1 , ..., v n C +n L in funzione delle n C tensioni v1 , ..., v n C dei condensatori e delle n L correnti i n C +1 , ..., i n C +n L negli induttori. Ciò equivale a risolvere un circuito resistivo ottenuto dal circuito dinamico in esame sostituendo a ciascun condensatore un generatore di tensione con tensione pari a quella del condensatore e a ciascun induttore un generatore di corrente con corrente pari a quella dell'induttore (figura 1b) . A questo circuito ausiliario si dà il nome di circuito resistivo (poiché costituito da soli resistori e generatori) associato al circuito dinamico. La soluzione del circuito resistivo associato (che supponiamo esistere ed essere unica), dà quella del circuito dinamico in esame, una volta note le tensioni sui condensatori e le correnti negli induttori. Il sistema di equazioni (algebriche-lineari) che descrive il circuito resistivo associato è

Ï Ai = 0, Ì Ó Bv = 0,

(6)

v k = v k (t)

k =1, ..., n C ,

(7)

i k = i k (t)

k = n C +1, ..., n C +n L ,

(8)

vk - R kik = 0 Ï v k = e k (t) Ì i = j (t) k Ó k

k = n C +n L +1, ..., n C +n L +n R , k = n C +n L + n R + 1,..., n C +n L + n R + n e , k = n C +n L + n R + n e + 1,..., n C +n L + n R + n e + n j .

(9) (10)

Le equazioni (6)-(10) si ottengono dal sistema (1)-(5) sostituendo all'equazione costitutiva di ogni condensatore quella di un generatore di tensione ideale con tensione uguale a quella del condensatore e all'equazione costitutiva di ogni induttore un generatore ideale di corrente con corrente uguale a quella dell'induttore.

7.2 Equazioni di stato e variabili di stato La soluzione del circuito resistivo associato dà le espressioni delle correnti nei condensatori e delle tensioni degli induttori in funzione delle tensioni dei condensatori e delle correnti negli induttori. Il sistema fondamentale in forma canonica di m equazioni differenziali nelle m incognite v1 , ..., v n C , i n C +1 , ..., i n C +n L si ottiene sostituendo le espressioni delle correnti nei condensatori e delle tensioni degli induttori così ottenute, rispettivamente, nelle equazioni (2) e (3) del sistema di equazioni circuitali. Per la linearità del circuito resistivo associato, ogni tensione e ogni corrente è esprimibile attraverso una combinazione algebrica lineare delle tensioni dei generatori di tensione di “sostituzione” (le tensioni dei condensatori) e dei generatori di tensione “effettivi” e delle correnti nei generatori di corrente di “sostituzione” (le correnti negli induttori) e dei generatori

226 di corrente “effettivi”. Pertanto, i valori delle correnti in condensatori, resistori e generatori di tensione e delle tensioni su induttori, resistori e generatori di corrente all'istante generico t dipendono solo dai valori delle tensioni dei condensatori e dei generatori di tensione e dai valori delle correnti negli induttori e nei generatori di corrente in quell'istante, attraverso relazioni algebriche lineari. In particolare per le correnti dei condensatori e per le tensioni degli induttori si ottiene: nC

n C +n L

i=1

k =n C +1

- i1 = Â h1i v i +

* Â h1k i k + j1 (t),

(11)

........ nC

n C +n L

i=1

k =n C +1

- i n C = Â h n C i vi + - v n C +1 = Â

nC i=1

Â

h n C +1i v i +

h n C k i k + j*n C (t),

nC +nL

Â

h n C +1k i k + e*n C +1 (t),

k =n C +1

........ - vn C + n L = Â

(12) nC i=1

h n C + n L i vi +

nC +nL

Â

h n C + n L k i k + e*n C + n L (t),

k =n C +1

dove i coefficienti h ij sono indipendenti dalle tensioni e dalle correnti (essi dipendono solo dai resistori del circuito) e le funzioni j*h (t) e e*k (t) descrivono l'effetto dei generatori indipendenti del circuito; i coefficienti h ij dipendono dal tempo se i resistori sono tempo-varianti. È evidente che i coefficienti h ij sono proprio gli elementi della matrice ibrida H del (n C + n L ) -porte resistivo lineare (con la convenzione dell'utilizzatore su ogni porta) di figura 1b, quando i generatori del circuito dinamico sono spenti, e j*h (t) e e*k (t) sono, rispettivamente, la corrente di corto circuito nella porta “h” e la tensione a vuoto nella porta “k” (sempre con la convenzione dell'utilizzatore per ogni porta), quando i generatori di “sostituzione” sono spenti e i generatori indipendenti effettivi sono in funzione. Pertanto le (11) e (12) possono essere riscritte nella forma matriciale

y = - H(t)x - g(t) ,

(13)

dove x = (v1 ,..., v n C , i n C +1 ,..., i n C + n L )T , y = (i1 ,..., i n C , v n C +1 ,..., v n C + n L )T , H(t) è la matrice ibrida del

(n C + n L ) - p o r t e

corrispondente

g(t) = ( j1* (t),..., j* n C (t), e* n C +1 (t),..., e* n C + n L (t))T .

al

circuito

resistivo

associato

e

(In generale, un circuito dinamico può essere

considerato come un (n C + n L ) -porte resistivo lineare, a cui sono collegati n C condensatori e n L induttori (figura 1a)). Sostituendo le (11) nelle (2) e le (12) nelle (3) si ottiene il sistema fondamentale

227 dv C1 1 = dt

Â

nC

nC +nL

Â

h1i v i -

h1i i k - j1* (t),

k =n C +1

i=1

........ CnC

dv n C dt

L n C +1

=-

di n C +1 dt

Â

nC i=1

=-

h n C i vi -

Â

nC i=1

nC +nL

Â

h n C k i k - j*n C (t),

(14)

k =n C +1

h n C +1i v i -

nC +nL

Â

h n C +1k i k - e*n C +1 (t),

k =n C +1

........ LnC +nL

di n C + n L dt

Â

=-

nC i=1

h n C + n L i vi -

nC +nL

Â

h n C + n L k i k - e*n C + n L (t).

k =n C +1

Se le correnti e le tensioni del circuito verificano le equazioni circuitali (1)-(5), allora le tensioni dei condensatori v 1 = v1 (t), ..., v n C = v n C (t) e le correnti negli induttori

in

C

+1

= in

C

+1 (t),

..., i n

C

+ nL

= in

C

+ n L (t)

verificano il sistema (14). Per converso, se le tensioni nei

condensatori e le correnti negli induttori verificano il sistema (14), allora esiste una e una sola soluzione del circuito in esame con queste tensioni e queste correnti. Le altre grandezze elettriche del circuito si ottengono, una volta note le tensioni dei condensatori e le correnti negli induttori, risolvendo il circuito resistivo associato. Il sistema (14) prende il nome di sistema di equazioni di statoe le tensioni dei condensatori

v1 , ..., v n C e le correnti negli induttori i n C +1 , ..., i n C +n L sono le variabili di stato del circuito. L'ordine del sistema di equazioni di stato (l' ordine del circuito) è uguale al numero di equazioni di stato e quindi al numero di elementi dinamici presenti nel circuiti m = (n c + n L ) . In qualsiasi istante √ t , lo stato in √t e i valori delle tensioni dei generatori indipendenti di tensione e delle correnti dei generatori indipendenti di corrente in quell'istante, determinano univocamente i valori delle tensioni di induttori, resistori e generatori indipendenti di corrente e i valori delle correnti in condensatori, resistori e generatori indipendenti di tensione allo stesso istante, attraverso le equazioni del circuito resistivo associato. Il risultato ottenuto è molto significativo: le grandezze

“non di stato” sono esprimibili in ogni istante in funzione delle sole grandezze di stato e dei generatori indipendenti attraverso relazioni puramente algebriche, quindi di tipo istantaneo . Il risultato giustifica il nome di grandezze di stato dato a queste variabili; la loro conoscenza in un determinato istante infatti implica la conoscenza di tutte le altre grandezze nello stesso istante e quindi determina univocamente lo “stato” del circuito. Il sistema (14) può essere riscritto nella forma matriciale

D x« = - H(t)x - g(t) ,

(15)

dove x = (v1 ,..., v nC ,i nC +1 ,...,i nC + n L )T è il vettore rappresentativo delle grandezze di stato, vettore di stato, e D = diag(C1 ,...,C n C ,L n C +1 ,...,L n C +n L ) è una matrice diagonale m¥ m . Il sistema (14) è un sistema di m equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine. I sistemi di equazioni differenziali, in generale, ammettono infinite soluzioni (questa proprietà è stata già evidenziata quando abbiamo studiato la dinamica di circuiti semplici costituiti da un solo

228 induttore o da un solo condensatore), a differenza dei sistemi lineari puramente algebrici (come quelli che descrivono il funzionamento dei circuiti resistivi lineari). Per individuare tra tutte le soluzioni ammissibili, quella che governa il circuito in esame, bisogna assegnare ulteriori condizioni, che non sono contenute né nel sistema fondamentale, né nelle equazioni circuitali. È possibile prevedere l'andamento temporale delle tensioni e delle correnti di un circuito per t > t 0 , ( t 0 è detto istante iniziale, e può essere tipicamente l'istante iniziale dell'intervallo di osservazione oppure l'istante in cui il circuito inizia a funzionare), se si conoscono all'istante t = t 0 le tensioni dei condensatori (condizioni iniziali per le tensioni sui condensatori):

v1 (t 0 ) = V1 , ... v n C (t 0 ) = V n C ,

(16)

e le correnti negli induttori (condizioni iniziali per le correnti negli induttori):

i n C +1 (t 0 ) = I1 , ... i n C +n L (t 0 ) = I n L .

(17)

Le condizioni iniziali (16) e (17) non sono contenute nel sistema (1)-(5); esse dipendono solo dalla storia del circuito precedente all'istante t = t 0 . La soluzione del sistema di equazioni differenziali (14) con le condizioni iniziali (16) e (17) prende il nome di Problema di Cauchy. Dalla teoria delle equazioni differenziali ordinarie 1 si ha la seguente proprietà: Proprietà 1: esistenza e unicità della soluzione Esiste una e una sola soluzione del sistema di equazioni(14) che verifica le condizione iniziali(16) e (17). (Questa proprietà così forte è dovuta alla linearità del sistema di equazioni.) Di conseguenza una volta assegnato il valore dello stato del circuito all'istante iniziale t = t 0 , lo stato per t > t 0 è univocamente determinato dalle equazioni di stato. Esempio

Per rendere più chiaro il discorso è utile far riferimento ad un circuito concreto del tipo mostrato in figura 2a. Tutte le tensioni e le correnti sono state ordinate secondo la convenzione che abbiamo precedentemente adottato. Le equazioni che descrivono la dinamica del circuito sono

1 Vedi, ad esempio, in C.Miranda, Lezioni di Analisi Matematica, Liguori Editore, Napoli 1976.

229

Ï C dv1 = i , 1 Ô Ì didt Ô L 2 = v2 , dt Ó Ï 0 = i1 + i 2 + i 3 , Ô 0=i - i , 3 4 Ô Ô 0 = v1 - v 2 , Ì Ô 0 = v 2 - v3 - v 4 , Ô 0 = v 3 - R 3i 3 , Ô Ó 0 = v 4 - e(t).

(18)

(19)

Il sistema di equazioni circuitali (18), (19) è costituito da 8 equazioni in 8 incognite: le prime due equazioni, cioè le (18), sono equazioni differenziali lineari del primo ordine e le restanti, cioè le (19), sono equazioni algebriche lineari. Le equazioni (18) esprimono, rispettivamente, le relazioni costitutive del condensatore e dell'induttore, le prime quattro del sistema (19) costituiscono l'insieme massimale di equazioni di Kirchhoff linearmente indipendenti e le restanti due equazioni sono le equazioni costitutive dei bipoli statici presenti nel circuito: resistore e generatore ideale di tensione.

Figura 2

Circuito dinamico in esame (a) e circuito resistivo associato (b).

Per ridurre il sistema algebrico differenziale (18), (19) alla forma canonica basta ricavare dalle (19) l'espressione della corrente i 1 del condensatore e della tensione v 2 dell'induttore in funzione delle sole grandezze di stato e del generatore, cioè in funzione di v1, i 2 ed e(t). Allo scopo è sufficiente considerare la tensione v 1 e la corrente i 2 come assegnate e interpretare le equazioni (19) come un sistema di 6 equazioni nelle 6 incognite i1 , v 2 ,i 3 , v3 ,i 4 , v 4 , ovvero come la soluzione del circuito resistivo associato ottenuto sostituendo al condensatore un generatore di tensione e all'induttore un generatore di corrente (figura 2b). La soluzione del circuito resistivo associato è: e(t) - v1 (t) - i 2 (t), R v 2 (t) = v1 (t), v (t) - e(t) i 3 (t) = i 4 (t) = 1 , R v3 (t) = v1 (t) - e(t). i1 (t) =

(20)

(21)

230

Sostituendo le espressioni (20) nel sistema di equazioni differenziali (18) si ottiene il sistema di equazioni di stato Ï dv1 = - v1 - i 2 + e(t) , Ô dt RC C RC Ì di v2 2 = . Ô L Ó dt

(22)

Esempio Si consideri, ora, il circuito dinamico illustrato in figura 3a. I due resistori sono tempo-varianti. In figura 3b è illustrato il circuito resistivo associato, ottenuto sostituendo al posto dei due condensatori, due generatori di tensione ideali con tensione v1 (t) e v 2 (t) (le tensioni dei condensatori), e al posto dell'induttore un generatore di corrente ideale con corrente i 3 (t) , (la corrente nell'induttore). Il circuito resistivo associato ha una ed una sola soluzione. Risolvendolo si ottiene:

i1 = i2 =

v1 v + 2 + i 3 (t), R 4 (t) R 4 (t) v2 v1 , R 4 (t) R 4 (t)

v3 = - v1 (t) - R 5 (t)i 3 (t) + e(t),

(23)

v 4 = v1 - v2 , v5 = R 5 (t)i 3 (t). Le relazioni algebriche (23) esprimono le grandezze circuitali in funzione delle tensioni v1 (t) e v2 (t) dei due condensatori, della corrente i 3 (t) nell'induttore e della tensione e(t) del generatore di tensione “effettivo”. Per ridurre le equazioni circuitali al sistema fondamentale possiamo ragionare anche in un altro modo. La parte statica del circuito dinamico in esame è rappresentata attraverso il 3-porte resistivo lineare N 3 : alle porte “1” e “2” sono collegati i due condensatori e alle porta “3” è collegato l'induttore. Il 3-porte N 3 è caratterizzato assegnando le tensioni v1 (t) e v2 (t) sulle porte “1” e “2” e la corrente i 3 (t) nella porta “3” (caratterizzazione ibrida); su ogni porta è stata fatta la convenzione del generatore. La relazione che lega le correnti i1 (t) e i 2 (t) nei due condensatori e la tensione v3 (t) dell'induttore alle tensioni dei due condensatori e alla corrente nell'induttore, può essere espressa tramite la matrice ibrida H del 3-porte. Si ottiene, così,

i1 v1 0 i 2 = - H(t) v2 + 0 . v3 i3 e H = H(t) è la matrice ibrida del 3-porte quando e(t)=0 e vale

(24)

231

H=

G - ST

S . R

(25)

Figura 3 Circuito dinamico in esame (a) e circuito resistivo associato (b). La (25) è una matrice a blocchi. Il blocco G (2¥ 2) è la matrice delle conduttanze “vista” dai due condensatori quando al posto dell'induttore c'è un circuito aperto ed e(t)=0,

G=

1 / R 4 (t) - 1 / R 4 (t) . - 1 / R 4 (t) 1 / R 4 (t)

(26)

Il blocco R (1¥ 1) è la matrice delle resistenze vista dall'induttore (la resistenza equivalente) quando al posto dei condensatori ci sono corto circuiti ed e(t)=0,

R = R 5 (t) .

(27)

Infine il blocco S (2¥ 1) descrive il contributo alle correnti nei condensatori dovuto alla corrente nell'induttore,

S=

- 1 , 0

(28)

e il blocco - S T (1¥ 2) descrive il contributo alla tensione sull'induttore dovuto alle tensioni sui condensatori. Le (24)-(28) si ottengono direttamente dalle prime tre equazioni dell'insieme (23). Le equazioni di stato del circuito sono

Ï C dv1 = Ô 1 dt ÔÔ dv 2 = Ì C2 dt Ô Ô L di 3 = ÔÓ 3 dt

v1 v + 2 + i3 , R 4 (t) R 4 (t) v1 v2 , R 4 (t) R 4 (t) v1 (t) - R 5 (t)i 3 (t) + e(t).

Il sistema di equazioni (29) può essere posto nella forma matriciale (15).

Osservazione: rappresentazione geometrica dell'evoluzione di un circuito dinamico

(29)

232

La struttura delle equazioni circuitali (1)-(5) mette chiaramente in luce che i bipoli dinamici e quelli statici giocano due ruoli diversi nel meccanismo che determina l'evoluzione temporale del circuito: in particolare le equazioni costitutive dei bipoli statici giocano un ruolo simile a quello svolto dalle equazioni di Kirchhoff. Infatti, in analogia con la meccanica, la parte algebrica delle equazioni circuitali può essere considerata come un insieme di vincoli olonomi, in generale variabili nel tempo, sulle tensioni e le correnti del circuito in esame, mentre le equazioni differenziali che esprimono le equazioni costitutive degli elementi dinamici ricordano le equazioni del moto. Per meglio approfondire questo parallelo utilizzeremo una rappresentazione geometrica.

7.3 Continuità delle variabili di stato di un circuito Le funzioni h ij (t) , e*h (t) e j*k (t) possono essere generalmente continue, cioè, possono avere delle discontinuità di prima specie 2, (figura 4). Ad esempio nel circuito illustrato in figura 3a le forme d'onda delle resistenze R 4 = R 4 (t) e R 5 = R 5 (t) dei resistori tempo-varianti e della tensione del generatore di tensione e=e(t) possono avere delle discontinuità di prima specie. Utilizzando, ancora, la teoria delle equazioni differenziali ordinarie si ha: Proprietà 2: continuità delle variabili di stato Le soluzioni del sistema di equazioni(21) sono continue e limitate se h ij (t) ,

e*h (t) e j*k (t) , pur essendo generalmente continue, sono funzioni limitate 3. Questa proprietà, detta proprietà di continuità delle variabili di stato , è molto importante e per questo merita di essere approfondita. Essa può essere dimostrata attraverso un ragionamento che è allo stesso tempo semplice e “rigoroso”. Per fare questo abbiamo bisogno di alcuni risultati intermedi. Prima di tutto si considerino le seguenti proprietà. Proprietà 3 (a)

(b)

Se la forma d'onda della correntei c = i c (t) in un condensatore lineare tempoinvariante si mantiene limitata, allora la forma d'onda della tensione v c = v c (t) del condensatore è continua: per qualsiasi istante√ t si ha v c (√t - ) = v c (√t + ). Dualmente, se la forma d'onda della tensionev L = v L (t) di un induttore tempoinvariante si mantiene limitata, allora la correntei L = i L (t) nell'induttore è una funzione continua: per qualsiasi istante√ t si ha i L (√t - ) = i L (√t + ).

2 Una discontinuità di prima specie di una funzione reale f(t) è un punto t = √ t tale che f (√t + ) e f (√t - ) esistono

(finiti) e f(√t + ) π f (√t - ); la differenza f (√t + ) - f (√t - ) è il salto di discontinuità di f a t = √t . f(t) si dice generalmente continua in un intervallo I se e solo se f(t) è continua in I eccetto che in un numero finito di punti in cui ha discontinuità di prima specie. 3 Una funzione f=f(t) è limitata se esiste una costante positiva M finita tale che f(t) £ M " t.

233 Si dimostrerà soltanto (a) poiché (b) segue per dualità. Si consideri la relazione caratteristica del condensatore tempo-invariante,

ic = C

dv c . dt

(30)

e si integrino ambo i membri della (30) sull'intervallo (√ t-e

,√t + e ) , dove e è una parametro

positivo e piccolo a piacere. Si ha

v c (√t + e ) =

1 √t +e i c (t )dt + v c (√t - e ) . Ú C √t - e

Se la corrente i c = i c (t) è limitata, l'integrale tende a zero per e Æ 0 ,

√-

(31) e quindi per ogni

√+

√t si ha v c ( t ) = v c ( t ).

Figura 4

Esempi di funzioni generalmente continue.

Se la tensione del condensatore e la corrente nell'induttore sono continue, allora sia l'energia elettrica immagazzinata nel condensatore

W C (t) = Cv2C (t) / 2 , che l'energia magnetica

immagazzinata nell'induttore W L (t) = Li 2L (t) / 2 sono funzioni continue e la potenza elettrica assorbita da questi bipoli è limitata. Osservazione Le Proprietà 3 non valgono se il condensatore (l'induttore) è tempo-variante e la funzione che descrive la forma d'onda della capacità (dell'induttanza) è una funzione generalmente continua. In generale è la carica (il flusso dell'induttore) nel condensatore che è continua se la corrente (la tensione dell'induttore) è limitata. In corrispondenza di un punto di discontinuità di prima specie della capacità (del coefficiente di autoinduzione), la tensione del condensatore (la corrente nell'induttore) è discontinua. Può mai essere discontinua la tensione del condensatore, pur essendo la capacità costante nel tempo? Si assuma che la tensione v c = v c (t) abbia all'istante t = √ t una discontinuità di prima specie come mostrato in figura 5a. È sempre possibile riscrivere la funzione v c = v c (t) come

v C (t) = vƒC (t) + Vu(t - √t) ,

(32)

ƒC (t) è una funzione ovunque continua e derivabile (figura 5b) e u=u(t) è la funzione dove v gradino unitario (funzione di Heaviside) definita come (figura 6a)

234

Ï 0 t < 0, Ô u(t) = Ì non è definita in t = 0, ÔÓ 1 t > 0.

(33)

Figura 5

Figura 6

Funzione gradino unitario (funzione di Heaviside) (a); un approssimante della funzione gradino unitario (b); impulso rettangolare (un approssimante dell'impulso di Dirac) (c).

Il limite sinistro di u(t) in t=0 è uguale a 0, mentre il limite destro è uguale a 1. In effetti la funzione gradino unitario non è una funzione derivabile nel senso “classico”, e pertanto, a stretto rigore, non ha significato sostituire la (33) nell'equazione (30). Tuttavia, è possibile pensare al gradino unitario come limite della successione ottenuta facendo tendere il parametro D a zero nella funzione SD (t) , così definita (figura 6b)

t £ -D / 2, Ï 0 Ô (2t + D ) SD (t) = Ì - D / 2 £ t £ D / 2, 2D Ô 1 D / 2 £ t. Ó

(34)

SD (t) è una funzione “approssimante” il gradino unitario per D Æ 0

. Utilizzando la (34) è

possibile costruire un approssimante della (32) del tipo:

v c D (t) = vƒc (t) + XSD (t - √t)

per D Æ

0.

(35)

Sostituendo la (35) nell'equazione (30), si ottiene

VP D

1 dvƒC (t - √t) = i c (t) , C dt

(36)

235 dove la funzione P D (t) (impulso rettangolare) è definita come (figura 6c)

P

Ï 1 Ô (t) = Ì D Ô 0 Ó D

D

-

2 D t 0 , ed è maggiore di zero quando G eq < 0 ; la frequenza naturale è nulla quando G eq = 0 . Allora, quando G eq > 0 la tensione del condensatore decresce nel tempo, quando G eq = 0 la tensione resta costante, invece quando G eq < 0 la tensione del condensatore cresce nel tempo. Queste proprietà possono essere dedotte anche a partire dal bilancio energetico per il circuito in evoluzione libera t

1 2 1 Cv (t) = - G eq Ú v 2 (t )dt + Cv 2 (t 0 ) , 2 2 t

(75)

0

che, nel caso del circuito RL diventa t

1 2 1 Li (t) = - R eq Ú i 2 (t )dt + Li 2 (t 0 ) . 2 2 t

(76)

0

In entrambe le equazioni il termine integrale rappresenta la potenza assorbita dalla parte statica del circuito. Quando il circuito RC è costituito da soli elementi strettamente passivi, la potenza assorbita dalla parte statica del circuito è

strettamente maggiore di zero e quindi anche la

conduttanza equivalente “vista” dal condensatore (nei circuiti RL la resistenza equivalente vista dall'induttore) è strettamente maggiore di zero. In un circuito siffatto l'energia immagazzinata inizialmente nel condensatore (nell'induttore) viene completamente dissipata dagli elementi statici durante l'evoluzione libera. La potenza assorbita dalla parte statica e quindi la conduttanza equivalente vista dal condensatore nel circuito RC (dall'induttore nel circuito RL) può essere nulla quando gli elementi statici non sono tutti strettamente passivi. Ciò accade, ad esempio, quando il condensatore è collegato in serie a un circuito aperto (l'induttore è collegato in parallelo a un corto circuito). Il circuito aperto e il corto circuito sono elementi passivi ma non strettamente passivi. In questo caso

247 l'energia immagazzinata negli elementi dinamici si conserva. Il circuito aperto in serie al condensatore e il corto circuito in parallelo all'induttore possono essere, rispettivamente, un generatore di corrente indipendente spento e un generatore di tensione indipendente spento (ricordiamoci che stiamo analizzando l'evoluzione libera del circuito, quindi i generatori indipendenti sono tutti spenti). Infine, la potenza assorbita dalla parte statica e quindi la conduttanza equivalente (la resistenza equivalente nel circuito RL) può essere minore di zero se il circuito in evoluzione libera contiene elementi attivi (come, ad esempio, amplificatori operazionali, generatori controllati, resistori con resistenza negativa). Quando ciò accade l'energia immagazzinata nel condensatore (nell'induttore) cresce indefinitamente nel tempo. Dunque l'evoluzione libera di un circuito del primo ordine passivo o tende a zero o al più si mantiene costante per t Æ+•, e quindi tutte le grandezze circuitali si mantengono limitate nel tempo. A questo punto possiamo introdurre il concetto di circuito dissipativo. Un circuito si dice dissipativo se nell'evoluzione libera l'energia immagazzinata nell'elemento dinamico tende asintoticamente a zero per t Æ • . È evidente che un circuito del primo ordine è dissipativo se e solo se la frequenza naturale è strettamente minore di zero (cioè la costante di tempo è strettamente maggiore di zero). In un circuito dissipativo in evoluzione libera l'energia immagazzinata all'istante iniziale viene completamente assorbita dai resistori, e quindi dissipata in energia termica. Si osservi che un circuito di soli elementi passivi potrebbe non essere dissipativo. Ciò è quanto si verifica quando in serie al condensatore c'è un circuito aperto e in parallelo all'induttore un corto circuito (il generatore indipendente di corrente si comporta da circuito aperto e il generatore indipendente di tensione si comporta da corto circuito quando vengono spenti). In questi casi la tensione del condensatore e la corrente nell'induttore si mantengono costanti nell'evoluzione libera. Circuiti di questo tipo vengono detti conservativi. Si consideri ora un circuito in evoluzione generica, si supponga che esso sia dissipativo e si faccia tendere l'istante iniziale t 0 a -• (è come se il circuito iniziasse a funzionare all'istante “remoto” t= -•) . La grandezza di stato in un generico istante vale lim x(t) = lim {[X 0 - x p (t 0 )]exp[ - (t - t 0 ) / t ]} + x p (t) = x p (t).

t0 Æ-•

t0 Æ-•

(77)

La dinamica dello stato per t finito non dipende dalla particolare condizione iniziale (si è persa ogni traccia di essa), ma dipende unicamente dalla soluzione particolare e quindi dalla forma d'onda delle tensioni imposte dai generatori di tensione e delle correnti imposte dai generatori di corrente. In questi casi si dice che il funzionamento del circuito è in regime permanentee alla soluzione particolare si dà il nome di soluzione di regime permanenteo semplicemente regime. Si consideri ora il caso in cui l'istante iniziale t 0 sia al finito. Il termine esponenziale tende asintoticamente a zero per t Æ + •

, indipendentemente dal valore che lo stato e l'integrale

. particolare assumono all'istante iniziale t 0 . A questo termine si dà il nome di termine transitorio

248 l = -t <

0

terminetransitorio:

x tran ∫ [X 0 - x p (t 0 )]exp[ - (t - t 0 ) / t

terminedi regime:

x reg (t) ∫

]

lim x(t) = x p (t)

t0 Æ-•

Il termine transitorio può essere tracciato graficamente (figura 13) sfruttando le seguenti osservazioni: -

la tangente in t= t 0 alla curva, che rappresenta x tran (t) , passa per i punti [t 0 , X 0 - x p (t 0 )] e

[t 0 + t ,0]; -

dopo un intervallo di tempo pari alla costante di tempo t , l'ampiezza (in valore assoluto) del termine transitorio è circa il 37% del valore iniziale X

-

0

- x p (t 0 ) ;

dopo un intervallo pari a cinque costanti di tempo, x tran (t) è praticamente uguale a zero ( e-

5

@ 0,007 ). In pratica si può assumere che il funzionamento di regime si instaura dopo

un intervallo di tempo pari all'incirca a cinque costanti di tempo. 1,2 1,0

x tran (t)

0,8 0,6 0,4 0,2 t 0,0 0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

Figura 13 (L'istante iniziale è t 0 =0 e t =0.5) Quando la frequenza naturale del circuito è uguale a zero, il “termine transitorio” non si estingue ma si mantiene costante nel tempo. In questo caso il comportamento asintotico del circuito (a ogni t finito per t 0 Æ - • o per t Æ +• a partire da un istante iniziale finito) dipende anche dalla condizione iniziale e quindi non c'è più un funzionamento di regime. Un circuito di questo tipo è detto conservativo. Quando la frequenza naturale del circuito è maggiore di zero, il “termine transitorio” addirittura diverge con legge esponenziale per

t Æ +•

ed è, quindi, quello

predominante (come poi vedremo in quasi tutti i casi la soluzione particolare è limitata se le correnti imposte dai generatori di corrente indipendenti e le tensioni imposte dai generatori di tensione indipendenti sono limitate). In conclusione il funzionamento di regime può essere realizzato se e solo se il circuito è dissipativo (non basta la sola passività; in realtà, la condizione di passività oltre a essere non sufficiente, non è nemmeno necessaria). Proprietà 5

249 L'evoluzione di un circuito RC (o RL) del primo ordine dissipativo tende asintoticamente alla soluzione di regime indipendentemente dal valore iniziale della grandezza di stato. 7.4.6 Regime stazionario e regime sinusoidale Il termine di regime dipende, oltre che dai parametri caratteristici del circuito, anche dalla forma d'onda dei generatori. Per ora verranno discussi due casi di notevole interesse: circuiti con generatori costanti (o stazionari) e circuiti con generatori sinusoidali. - Regime stazionario Si consideri un circuito RL o RC del primo ordine con soli generatori stazionari (cioè costanti nel tempo)

e k (t) = E k , jk (t) = J k .

(78)

In questo caso anche la tensione a vuoto e* (t) e la corrente di corto circuito j* (t) sono funzioni costanti,

e* (t) = E* , j* (t) = J* ,

(79)

e quindi anche il termine noto dell'equazione (63) è una funzione costante, b(t)=B. Allora un integrale particolare dell'equazione (63) è la funzione costante

x p (t) = X .

(80)

Imponendo che la (80) verifichi la (63), si ottiene

x p (t) = X = B / a .

(81)

Proprietà 6: regime stazionario Quando i generatori sono stazionari, il regime di funzionamento che si instaura nel circuito è anche esso stazionario, se il circuito è dissipativo. In figura 13 viene riportato l'andamento dello stato per due condizioni iniziali diverse quando i generatori sono costanti. Per t>15 la soluzione in entrambi i casi ha raggiunto, praticamente, il regime stazionario.

250 6,0 5,0

x(t)

4,0 3,0 2,0 1,0

t 0,0 0

5

10

15

20

Figura 13 Per t>15 entrambe le soluzioni, relative a due condizioni iniziali diverse, raggiungono il valore di regime. Osservazione La soluzione di un circuito RC (o RL) in regime stazionario può essere ottenuta anche per ispezione diretta. Quando il circuito funziona in regime stazionario, la tensione dell'induttore e la corrente nel condensatore sono costanti, quindi il condensatore si comporta come se fosse un circuito aperto e l'induttore come se fosse un corto circuito. Pertanto per calcolare la soluzione stazionaria di un circuito dinamico, si può risolvere il circuito resistivo ottenuto considerando al posto del condensatore un circuito aperto e al posto dell'induttore un corto circuito. - Regime sinusoidale Si consideri un circuito RL o RC del primo ordine con soli generatori sinusoidali isofrequenziali (le frequenze, e quindi le pulsazioni, dei generatori sinusoidali sono uguali):

e k (t) = E k cos(w t + j jk (t) = J k cos(w t + f

k ), k ).

(82)

Una funzione sinusoidale è definita attraverso tre parametri: la frequenzao pulsazione, l'ampiezza massimae la fase. La pulsazione w è legata alla frequenza f attraverso la relazione

w = 2p f .

(83)

Nel Sistema Internazionale l'unità di misura della frequenza è l' hertz (Hz): 1Hz=1s -1 ; la pulsazione si misura in rad/s: 1rad/s=(2 p )Hz. La funzione sinusoidale è una funzione periodica con periodo T ( e k (t) = e k (t + T), jk (t) = jk (t + T) per ogni t), dato da

T=

1 2p = . w f

(84)

E k e J k sono le ampiezze massime delle funzioni sinusoidali (82) e sono grandezze definite positive; j k e f h sono le cosiddette fasi (i valori che assumono gli argomenti delle funzioni coseno all'istante t=0). I valori degli argomenti delle funzioni sen(◊) e cos(◊) sono numeri “puri”;

251

E k e J k , invece, sono omogenei dimensionalmente con una tensione e una corrente, rispettivamente. Nel caso in esame, anche la tensione a vuoto e* (t) e la corrente di corto circuito j* (t) sono funzioni sinusoidali con pulsazione w (esse sono combinazioni lineari delle tensioni dei generatori di tensione e delle correnti dei generatori di corrente indipendenti),

e* (t) = E* cos(w t + j

*

),

(85)

j* (t) = J * cos(w t + f * ), e quindi il termine noto b(t) dell'equazione (63) è anche esso una funzione sinusoidale,

b(t) = Bcos(w t + g ) .

(86)

In questo caso un integrale particolare della (63) è una funzione sinusoidale con la stessa pulsazione del termine noto,

x p (t) = X cos(w t + y ) . L'ampiezza X e la fase iniziale y

(87)

devono essere determinate imponendo che la (87) verifichi la

(63). Sostituendo la (87) nella (63) si ottiene l'equazione trigonometrica:

-w

X sin(w t + y ) + a X cos(w t + y ) = Bcos(w t + g ) .

(88)

Per determinare X e a basta imporre che l'equazione trigonometrica sia verificata in due istanti di tempo che non differiscano di un multiplo intero del periodo T. Conviene imporre la (88) per

w t + y = 0,

(89)

e per

w t+y =p

/ 2.

(90)

Così facendo si ottiene il sistema di equazioni

a X = Bcos(y - g -w

),

X = Bcos(g - y + p

(91) / 2) = Bsin(g - y

).

(92)

Dalle (91) e (92) si ha immediatamente (a =1/ t )

X= a=g-

w

B

, +1/ t 2 arctg(wt ). 2

(93)

Proprietà 7: regime sinusoidale Quando i generatori sono sinusoidali e isofrequenziali, il regime di funzionamento che si instaura nel circuito è anche esso sinusoidale con la stessa pulsazione dei generatori, se il circuito è dissipativo.

252 In figura 14 viene riportato l'andamento dello stato per due condizioni iniziali diverse quando i generatori sono sinusoidali e isofrequenziali. Per t>5 entrambe le soluzioni raggiungono, praticamente, il regime sinusoidale che si instaura nel circuito. 1,0 0,5

x(t)

0,0 -0,5 -1,0 -1,5 t

-2,0 0

Figura 14

5

10

15

20

Per t>10 entrambe le soluzioni, relative a due condizioni iniziali diverse, hanno praticamente raggiunto il funzionamento di regime.

Osservazione Se nel circuito vi fossero generatori costanti e generatori sinusoidali con diverse pulsazioni, l'integrale particolare potrebbe essere determinato utilizzando la sovrapposizione degli effetti (l'equazione differenziale (63) è lineare): la soluzione particolare è la somma delle soluzioni particolari che si avrebbero se ciascun generatore agisse da solo, essendo tutti gli altri “ spenti”. Esempio Si consideri il circuito rappresentato in figura 10. Si determini la tensione sul condensatore quando v(0)= - 1V, E=3V, I=0.1A e w =10 5 rad/s. Il circuito è descritto dall'equazione di stato

dv 3 ◊10 6 + v = 10 6 ◊ 3 / 8 + 0.1sin(10 5 t) . dt 16

[

]

(94)

L'integrale generale dell'equazione (94) è:

v(t) = A exp( - t / t ) + v p (t) , dove t @ 5 .33m

(95)

s (1m s=10 -6 s) e vp (t) è un integrale particolare; la costante A deve essere

determinata imponendo la condizione iniziale v(0)= - 1. L'integrale particolare della (94) può essere ottenuto applicando la sovrapposizione degli effetti. Così facendo si ottiene v p (t) @ 2.0 + 0.9 cos(10 5 t - 2.1).

(96)

Il primo termine è l'integrale particolare quando agisce solo il generatore di tensione stazionario e il secondo termine è l'integrale particolare quando agisce solo il generatore di corrente sinusoidale.

253 Sostituendo la (96) nella (95) e imponendo la condizione iniziale, si ottiene A=- 2.5 e quindi la soluzione del problema è

v(t) @ -

2.5exp( - t / t ) + [2.0 + 0.9cos(10 5 t - 2.1)] .

(97)

In questo caso si ha un regime periodico, costituito dalla sovrapposizione di un termine costante e di uno sinusoidale con periodo [email protected] 62.8m s (figura 15). 3,0 2,5

v(t) [V]

2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 -0,5

t [m s]

-1,0 0

5

10

15

20

Figura 15

Esempio Si consideri il circuito descritto in figura 12. Esso, pur essendo tempo variante, può essere analizzato usando le tecniche appena descritte. Ciò è possibile perché nell'intervallo ( -•,0) (prima dell'apertura dell'interruttore) e nell'intervallo ( 0,+•) (dopo l'apertura dell'interruttore), il circuito è tempo-invariante. La conduttanza equivalente del bipolo statico vale

Ï Ô

G eq (t) = Ì Ô Ó

3 t < 0, 8R 1 t > 0, 3R

(98)

e la corrente di corto circuito è data da

Ï E t < 0, ÔÔ 4R j* (t) = Ì Ô E t > 0. ÔÓ 3R

(99)

L'equazione di stato è per t Œ (- • ,• )

dv G eq (t) j* (t) + v=. dt C C

(100)

254 Per t0 il circuito è ancora tempo-invariante e alimentato con un generatore stazionario. L'equazione di stato vale

dv 1 E + v= dt 3RC 3RC

(t > 0) .

(103)

La soluzione dell'equazione (103) deve verificare la condizione iniziale

v(0 + ) = v(0 - ) ;

(104)

v(0 - ) è il valore che assume la tensione sul condensatore nell'istante immediatamente precedente all'apertura dell'interruttore e v(0 + ) è il valore che assume nell'istante immediatamente successivo La (104) è una conseguenza della proprietà di continuità della tensione sul condensatore (nel caso in esame la corrente di corto circuito e la conduttanza equivalente hanno un punto di discontinuità di prima specie in t=0, ma sono sempre limitate). Pertanto deve essere

v(0 + ) =

2E . 3

(105)

255 L'equazione (103) deve essere risolta con la condizione iniziale (105). L'integrale generale è

v(t) = Ae -

t /(3RC)

+ E.

(106)

Per t>0 la soluzione stazionaria può essere ottenuta per ispezione diretta del circuito illustrato in figura 16b. La costante A deve essere determinata imponendo la condizione iniziale (105). Così facendo si ottiene

v(t) = -

E e 3

t /(3RC)

+ E t ≥ 0.

(107)

1,5

v(t) [V]

1,0

0,5

t[m s]

0,0 -5

0

5

10

15

20

Figura 17 Evoluzione della tensione del condensatore con E=1 e RC=1. Riassumendo, la soluzione del circuito tempo-variante illustrato in figura 12 vale

Ï 2E Ô v(t) = Ì 3 1 Ô - Ee Ó 3

t £ 0, t /(3RC)

+E

t ≥ 0.

(108)

In figura 17 viene illustrato il grafico della tensione del condensatore per E = 1 e RC = 1. Osservazione La tensione del condensatore del circuito illustrato in figura 18a e la corrente nell'induttore del circuito illustrato in figura 18b valgono, rispettivamente:

v(t) = v(t 0 ) + i(t) = i(t 0 ) +

1 t Ú j(t )dt , C t0

1 t Ú e(t )dt . L t0

(109) (110)

Entrambi i circuiti hanno costante di tempo uguale a infinito, t = • , cioè frequenza naturale uguale a zero. Pertanto il termine dipendente dal valore iniziale dello stato non svanisce, ma permane indefinitamente in entrambi i circuiti. A causa dell'assenza di bipoli dissipativi i termini

256 di evoluzione libera non tendono asintoticamente a zero per t Æ +•

, ma restano costanti nel

tempo (ricordiamo che nell'evoluzione libera il generatore di corrente indipendente si comporta come un circuito aperto e il generatore di tensione indipendente si comporta come un corto circuito). In questi casi il comportamento asintotico dei due circuiti dipende anche dal valore iniziale dello stato e quindi non ha più senso parlare di regime.

Figura 18

7.5 Circuiti del secondo ordine: equazioni di stato Qualsiasi circuito lineare contenente due bipoli dinamici può essere schematizzato con una delle tre configurazioni illustrate in figura 19; N denota un doppio bipolo costituito da elementi statici lineari e generatori indipendenti. I condensatori e gli induttori sono lineari. Per risolvere questi circuiti bisogna prima determinare le equazioni di stato. Noi ora le determineremo, distinguendo i tre casi possibili. 7.5.1 Circuiti RC del secondo ordine Si consideri il circuito di figura 19a. Le equazioni caratteristiche dei due condensatori impongono la relazione di tipo differenziale tra le due correnti i1 e i 2 e le due tensioni v1 e v2 (i condensatori sono tempo-invarianti, mentre gli elementi statici possono essere tempo-varianti; è stata fatta la convenzione del generatore sui condensatori e quindi quella dell'utilizzatore sulle due porte del doppio bipolo):

dv1 = - i1 , dt dv C2 2 = - i 2 . dt C1

(111)

Per ottenere le equazioni di stato, bisogna esprimere le correnti i1 e i 2 in funzione delle grandezze di stato v1 e v2 (in questo caso esse sono le variabili di stato).

Figura 19 Le tre possibili configurazioni per i circuiti del secondo ordine.

257 La parte statica del circuito, che può essere schematizzato come un doppio bipolo lineare, impone un altro vincolo, di tipo algebrico, tra le correnti

i1 e i 2 e le grandezze di stato v1 e v2 .

Poiché il doppio bipolo contiene solo resistori lineari e generatori indipendenti, esso può essere caratterizzato su base tensione, così come è stato illustrato nel precedente Capitolo,

i1 = G11 (t)v1 + G12 (t)v2 + j1* (t), i 2 = G 21 (t)v1 + G 22 (t)v2 + j*2 (t),

(112)

dove Gij sono gli elementi della matrice delle conduttanze del doppio bipolo statico lineare (una volta che sono stati spenti tutti i generatori al suo interno) e j1* (t) e j*2 (t) sono, rispettivamente, le correnti nella porta “1” e “2” quando sono entrambe collegate a due corto circuiti e sono in funzione i generatori indipendenti.

Figura 20 Circuiti resistivi associati per ricavare le equazioni di stato. Combinando le (111) e (112) si ottiene il sistema di equazioni di stato

Ï C dv1 = - G (t)v - G (t)v - j* (t), 11 1 12 2 1 Ô 1 dt Ì dv Ô C 2 2 = - G 21 (t)v1 - G 22 (t)v 2 - j*2 (t), dt Ó

(113)

che può essere riscritto nella forma

C

dv = - G(t)v - j* (t) , dt

(114)

dove C = diag(C1 ,C 2 ), v = (v 1, v 2 )T , j* = ( j1* , j*2 )T e G è la matrice delle conduttanze del doppio bipolo resistivo. Anche le equazioni di stato di un generico circuito lineare costituito da N C condensatori ed elementi statici sono del tipo (114): l'ordine del sistema di equazioni e la dimensione delle matrici e dei vettori sono uguali a N C. Le grandezze di stato v1 (t) e v2 (t) sono continue se: (a) i generatori del circuito dinamico in esame sono limitati; (b) in parallelo ai due condensatori non vi sono interruttori che si chiudono. Quando quest'ultima condizione è verificata, allora sono certamente limitati gli elementi della diagonale principale della matrice delle conduttanze G; se il doppio bipolo è passivo (i generatori indipendenti sono spenti) sono limitati anche gli altri elementi, a causa delle proprietà di G. Di conseguenza le correnti nei condensatori sono limitate (si potrebbe ripetere lo stesso ragionamento fatto per il circuito RC del primo ordine, per dimostrare la continuità dello stato). Il sistema del secondo ordine (113) deve essere risolto con le condizioni iniziali

258

v1 (t 0 ) = V1 , v 2 (t 0 ) = V2 .

(115)

7.5.2 Circuito RL del secondo ordine Si consideri il circuito di figura 19b. Anche le equazioni caratteristiche dei due induttori impongono un legame di tipo dinamico tra le correnti i1 e i 2 e le tensioni v1 e v2 (gli induttori sono tempo-invarianti, mentre gli elementi statici possono essere tempo-varianti; è stata usata di nuovo la convenzione del generatore)

di1 = - v1 , dt di L 2 2 = - v2 . dt

L1

Per ottenere le equazioni di stato, bisogna esprimere le tensioni

(116)

v1 e v2 in funzione delle

grandezze di stato i1 e i 2 . Ciò può essere fatto utilizzando il vincolo imposto dalla parte statica del circuito. Impiegando un procedimento duale a quello descritto precedentemente, si sostituiscano i due induttori di figura 19b con due generatori di corrente con correnti uguali a quelle che circolano nei due induttori. Così facendo si ottiene il circuito di figura 20b. Poiché il doppio bipolo contiene solo elementi lineari e generatori indipendenti, esso può essere caratterizzato su base corrente, così come è stato illustrato nel precedente Capitolo,

v1 = R11 (t)i1 + R12 (t)i 2 + e1* (t), v2 = R 21 (t)i1 + R 22 (t)i 2 + e*2 (t),

(117)

dove Rij sono gli elementi della matrice delle resistenze R del doppio bipolo resistivo lineare (una volta che sono stati spenti tutti i generatori al suo interno) e e1* (t) e e*2 (t) sono, rispettivamente, le tensioni della porta “1” e “2” quando sono entrambe collegate a due circuiti aperti e sono in funzione i generatori indipendenti. Combinando le (116) e (117) si ottiene Ï L di1 = - R (t)i - R (t)i - e* (t), 11 1 12 2 1 Ô 1 dt Ì di Ô L 2 2 = - R 21 (t)i1 - R 22 (t)i 2 - e*2 (t), dt Ó

(118)

che può essere riscritto nella forma

L

di = - Ri - e* (t) , dt

(119)

dove L = diag(L1 ,L 2 ), i = (i 1,i 2 )T , e* = (e1* ,e*2 )T e R è la matrice delle resistenze del doppio bipolo resistivo. Anche le equazioni di stato di un generico circuito costituito da N L induttori ed elementi statici ha la forma (119); l'ordine del sistema di equazioni e la dimensione delle matrici e dei vettori sono uguali a N L.

259 Le grandezze di stato i1 (t) e i 2 (t) sono continue se: (a) i generatori del circuito dinamico in esame sono limitati; (b) in serie agli induttori non vi sono interruttori che si aprono. Quando questa condizione è verificata, allora sono certamente limitati gli elementi della diagonale principale della matrice delle resistenze R; se il doppio bipolo è passivo (i generatori indipendenti sono spenti) sono limitati anche gli altri elementi, a causa delle proprietà di R. Di conseguenza le tensioni dei due induttori sono limitate. Il sistema del secondo ordine (118) deve essere risolto con le condizioni iniziali

i1 (t 0 ) = I1 , i 2 (t 0 ) = I 2 .

(120)

7.5.3 Circuito RLC del secondo ordine Si consideri il circuito di figura 19c. Le equazioni caratteristiche del condensatore e dell'induttore impongono un legame di tipo dinamico tra le correnti i1 e i 2 e le tensioni v1 e v2 (l'induttore e il condensatore sono tempo-invarianti, mentre la parte statica può essere tempovariante; è stata usata di nuovo la convenzione del generatore su entrambi i bipoli dinamici)

dv1 = - i1 , dt di L 2 2 = - v2 . dt

C1

Per costruire le equazioni di stato, bisogna esprimere, ora, la corrente nel condensatore

(121)

i1 e la

tensione dell'induttore v 2 in funzione delle grandezze di stato (cioè della tensione del condensatore v1 e della corrente nell'induttore i 2 ) utilizzando il vincolo imposto dalla parte statica del circuito. Si sostituisca il condensatore con un generatore di tensione v1 e l'induttore con un generatore di corrente i 2 . Così facendo si ottiene il circuito di figura 20c. Poiché il doppio bipolo contiene solo elementi lineari e generatori indipendenti, esso può essere caratterizzato su base ibrida, così come è stato illustrato nel precedente Capitolo,

i1 = H11 (t)v1 + H12 (t)i 2 + j1* (t), v2 = H 21 (t)v1 + H 22 (t)i 2 + e*2 (t),

(122)

dove Hij sono gli elementi della matrice ibrida del doppio bipolo resistivo lineare (una volta che sono stati spenti tutti i generatori al suo interno) e j1* (t) e e*2 (t) sono, rispettivamente, la corrente nella porta “1” e la tensione della porta “2” quando, la porta “1” è collegata a un corto circuito e la porta “2” a un circuito aperto e sono in funzione i generatori indipendenti. Combinando le (121) e (122) si ottiene Ï C dv1 = - H (t)v - H (t)i - j* (t), 11 1 12 2 1 Ô 1 dt Ì di Ô L 2 2 = - H 21 (t)v1 - H 22 (t)i 2 - e1* (t), dt Ó che può essere riscritta nella forma

(123)

260

D

dx = - H x - g(t) , dt

(124)

dove D = diag(C1 ,L 2 ), x = (v 1 ,i 2 )T , g = ( j1* ,e*2 )T e H è una matrice ibrida del doppio bipolo. Anche le equazioni di stato di un generico circuito costituito da N C condensatori, da N L induttori ed elementi statici hanno la forma della (124); l'ordine del sistema di equazioni e la dimensione delle matrici e dei vettori sono uguali a (N C+N L). La struttura della matrice ibrida H , nel caso più generale, è descritta nel Capitolo 6. Le grandezze di stato v1 (t) e i 2 (t) sono continue se: (a) i generatori del circuito dinamico in esame sono limitati; (b) in parallelo al condensatore non c'è un interruttore che si chiude e in serie all'induttore non c'è un interruttore che si apre. Quando questa condizione è verificata, allora sono certamente limitati gli elementi della diagonale della matrice ibrida H; se il doppio bipolo è passivo (i generatori indipendenti sono spenti) gli altri elementi della matrice H sono in modulo minori di uno. In questo caso la corrente nel condensatore e la tensione dell'induttore sono limitate. Il sistema del secondo ordine (123) deve essere risolto con le condizioni iniziali

v1 (t 0 ) = V1 , i 2 (t 0 ) = I 2 .

(125)

7.6 Circuiti del secondo ordine tempo-invarianti Si considerino, ora, circuiti tempo-invarianti del secondo ordine, costituiti da generatori indipendenti ed elementi lineari passivi, cioè induttori, condensatori, resistori e trasformatori ideali. La passività degli elementi lineari implica che: (a) le capacità e le induttanze sono positive; (b) gli elementi della diagonale principale delle matrici R, G e H sono non negativi; (c) gli elementi fuori diagonale delle matrici G e R sono, in modulo, minori o al più uguali a quelli della diagonale principale e gli elementi fuori diagonale della matrice H sono in modulo minori di uno (ricordiamo che H12 e H 21 sono grandezze adimensionali). Inoltre vale la reciprocità: questa proprietà implica che R e G sono simmetriche e H è anti-simmetrica ( H12 = - H 21 ). Infine L e C e le matrici R, G e H sono costanti nel tempo perché abbiamo supposto che tutti gli elementi siano tempo-invarianti. Le equazioni di stato per questi circuiti sono del tipo

Ï D dx1 = - a x - a x - g (t) 11 1 12 2 1 Ô 1 dt Ì dx Ô D 2 2 = - a 21x1 - a 22 x 2 - g 2 (t) dt Ó dove

(126)

261

RC

RL

x = (v1 , v 2 )T

x = (i1 ,i 2 )T

x = (v1 ,i 2 )T

D = diag(C1 ,C 2 )

D = diag(L1 ,L 2 )

D = diag(C1 ,L 2 )

A=G

A= R

A=H

g=

( j1* , j*2 )T ,

g=

(e1* ,e*2 )T ,

RLC

g = ( j1* ,e*2 )T .

Il sistema (126) può essere riscritto nella forma vettoriale

D

dx = - A x - g(t) . dt

(127)

Le equazioni (126) devono essere risolte con la condizione iniziale

x(t 0 ) = x 0 = (x10 ,x 20 )T .

(128)

Il sistema lineare, a coefficienti costanti, del secondo ordine (126) può essere risolto in diversi modi. Ora ne descriveremo soltanto due. Il primo consiste nel ridurre il sistema (126) a una equazione scalare del secondo ordine e poi risolverla utilizzando la tecnica che già abbiamo utilizzato per l'equazione del primo ordine. L'altro metodo consiste nel risolvere direttamente il sistema di equazioni di stato, calcolando gli autovalori e gli autovettori della matrice dinamica del sistema. Noi qui useremo il primo metodo; il secondo sarà illustrato brevemente in Appendice D. Si scelga di ridurre il sistema (126) a una equazione scalare nell'incognita

x1 = x1 (t) . Dalle

equazioni (126) si ottiene per x1 = x1 (t) l'equazione differenziale scalare lineare del secondo ordine:

d 2 x1 dx1 +w 2 + 2a dt dt

2 0 x1

= f(t) ,

(129)

dove

1 Ê a11 a 22 ˆ + ˜ , Á 2 Ë d1 d 2 ¯

a∫ w

2 0



f(t) ∫

1 (a11a 22 - a12a 21 ), d1d 2

(130)

a 22 a12 a dg g1 (t) g 2 (t) - 11 1 . d1d 2 d1d 2 d1 dt

Si osservi che a causa della passività, i parametri a e w 20 non possono mai assumere valori negativi, a ≥ 0, w

2 0

≥ 0 ; (nel caso di un circuito con un induttore e un condensatore bisogna

usare, anche, la proprietà a12 = - a 21) . L'equazione scalare del secondo ordine (129) deve essere risolta con le condizioni iniziali

x1 (t 0 ) = x10 , dx1 © = x10 , dt t =t 0

dove

(131)

262

1 [a 11x10 + a12 x 20 - g1 (t = t 0 )]. d1

© x10 =-

(132)

La condizione iniziale per la derivata prima di x1 (t) è stata ottenuta utilizzando la seconda equazione del sistema di equazioni di stato (126) e le condizioni iniziali per lo stato. Una volta determinata la soluzione del problema di Cauchy definito dalle (129) e (131), usando la prima equazione del sistema (126) è possibile ottenere la grandezza di stato x 2 (t) attraverso delle semplici operazioni algebriche e di derivazione. L'integrale generale dell'equazione scalare (129) è dato da x1 (t) = x o (t) + x p (t),

(133)

dove x p (t) è una soluzione particolare dell'equazione (129) e x o (t) è l'integrale generale dell'equazione omogenea associata alla (129), d2x o dx o +w 2 + 2a dt dt

2 0x o

= 0.

(134)

L'equazione (134) è un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine, lineare, a coefficienti costanti e omogenea. Si consideri il polinomio caratteristico dell'equazione differenziale (134),

p(l ) = l

2

2 0.

+ 2al + w

(135)

Il polinomio caratteristico di un circuito del secondo ordine è di grado due, ed è costituito dalla somma di tre monomi in l : al termine della (134) in cui compare la derivata seconda corrisponde il monomio in l di grado due con lo stesso coefficiente della derivata seconda, cioè l 2; al termine in cui compare la derivata prima corrisponde il monomio in l di grado uno con lo stesso coefficiente della derivata prima, cioè 2 a l

;

infine al termine non derivato corrisponde il

monomio di grado zero, con lo stesso coefficiente che moltiplica la funzione incognita, cioè w 20 . Le radici del polinomio sono le frequenze naturalidel circuito e, in questo caso, sono due e valgono:

l l

+¸ -

˝ = -a ± a ˛

2

-w

2 0

.

(136)

Ovviamente esse non dipendono dai generatori. Dalla teoria delle equazioni differenziali ordinarie lineari si è appreso che l'integrale generale dell'equazione omogenea associata (135) ha la forma (bisogna distinguere i casi in cui le radici del polinomio caratteristico sono distinte dal caso in cui sono coincidenti) ÔÏ K + e l + (t - t 0 ) + K - e l ÔÓ [A + B(t - t 0 )]e l (t -

x o (t) = Ì

-

(t - t 0 )

t0 )

se l se l

+ +

πl =l -

-

=l

(radici distinte) (radici coincidenti)

dove K + e K - (rispettivamente, A e B), sono due costanti arbitrarie.

(137)

263 (t - t )

l

l

(t - t )

0 0 Quando le radici sono distinte, K + e + e K- e sono due soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione omogenea e facendo variare nella (137) sia K + che K - (in generale,

nell'insieme dei numeri complessi), si ottengono tutte le possibili soluzioni della (134). Invece quando le radici sono coincidenti, Ae

-a

(t - t 0 )

e B(t - t 0 )e

-a

(t - t 0 )

sono due soluzioni

linearmente indipendenti dell'equazione (134). L'integrale generale dell'equazione (129) è l (t - t ) + K - el ÔÏ K + e la ÔÓ [A + B(t - t 0 )]e

x1 (t) = Ì

+

0

(t - t 0 ) -

(t - t 0 )

+x p (t) +x p (t)

se l se l

+ +

πl =l

, -

(138)

=l .

L'integrale generale (138) dipende: (a) dall'integrale particolare x p(t) dell'equazione completa (122); (b) dalle costanti di integrazione K + e K - (rispettivamente, A e B); (c) dalle frequenze naturali l + e l - . L'integrale particolare dipende dal termine noto f=f(t) dell'equazione (129), il quale a sua volta dipende dalle forme d'onda dei generatori indipendenti di tensione e di corrente presenti nel circuito. Le due costanti di integrazione K + e K - (rispettivamente, A e B) devono essere determinate imponendo che la (138) verifichi le condizioni iniziali (131), quindi K + e K (rispettivamente, A e B) dipendono dallo stato iniziale del circuito. Le frequenze naturali l + e l sono, invece, grandezze caratteristiche del circuito, che non dipendono dai generatori indipendenti e dallo stato iniziale. Anche per i circuiti del secondo ordine è possibile, a causa della linearità, decomporre il funzionamento in condizioni generiche in due contributi: l'evoluzione libera x lib = x lib (t) e l'evoluzione forzata x for = x for (t) . Nel circuito in evoluzione libera i generatori sono spenti e quindi il termine noto dell'equazione differenziale (129) è uguale a zero: l'evoluzione libera è la soluzione dell'equazione omogenea associata che verifica le condizioni iniziali (131). Invece l'evoluzione forzata è la soluzione dell'equazione completa (129) che verifica condizioni iniziali nulle.

x1 (t) = x lib (t) + x for (t) Ï d 2 x lib dx lib +w Ô 2 + 2a dt Ô dt Ì x lib (t 0 ) = x10 Ô x© (t ) = x© 10 lib 0

2 0 x lib

=0 Ô

Ï d 2 x for

Ô Ó

2

+ 2a

Ô dt Ì x lib (t 0 ) = 0 Ô x© (t ) = 0 lib 0

dx for dt

+w

2 0 x for

= f(t)

Ô Ó

7.6.1 Proprietà delle frequenze naturali Abbiamo già visto (nei circuiti del primo ordine) che il comportamento qualitativo di un circuito dipende dalle sue frequenze naturali, e quindi è importante studiarne le proprietà. Le proprietà delle frequenze naturali di un circuito del secondo ordine dipendono dalle proprietà delle matrici D e A e quindi da proprietà strutturali del circuito.

264 Innanzi tutto bisogna mettere in evidenza che essendo le matrici A e D reali (i parametri fisici del circuito sono espressi tramite grandezze reali), i coefficienti del polinomio caratteristico p=p( l ) sono anch'essi reali. Pertanto le due radici l + e l - sono reali se a ≥ w 0 (in questo caso il discriminante dell'equazione di secondo grado p( l )=0 è non negativo),

l

±

= -a ± a

d

∫ a

d,

(per a ≥ w

(139)

0)

dove

a

2

-w

2 0,

(140)

oppure sono complesse e coniugate se a < w

0

(il discriminante dell'equazione di secondo grado

p(l )=0 in questo caso è negativo),

l

±

= -a ±

d

∫ w

iw

d,

-a

2

(per a < w

0)

(141)

dove

w

2 0

;

(142)

nella (142) i rappresenta l'unità immaginaria, i = - 1 . Le due radici sono reali e coincidenti quando a = w 0 (il discriminante dell'equazione di secondo grado p( l )=0 in questo caso è uguale a zero)

l

±

= -a

(per a = w

0 ).

(143)

Come al solito facciamo riferimento al circuito in evoluzione libera, perché le frequenze naturali non dipendono dai generatori indipendenti presenti nel circuito. Siccome gli elementi del circuito in evoluzione libera sono passivi, i parametri a e w 20 non possono mai assumere valori negativi (nel caso di un circuito con un induttore e un condensatore bisogna usare anche la proprietà della reciprocità). Infatti, il parametro a è non minore di zero perché gli elementi della diagonale principale delle matrici G, R e H sono sempre non minori di zero per doppi bipoli passivi. Il parametro w 20 è non minore di zero, perché per la matrice delle conduttanze, resistenze e ibrida valgono, rispettivamente, le relazioni

G11G 22 ≥ G12 G 21 , R11R 22 ≥ R12 R 21 ,

(144)

H12 = - H 21. Le prime due sono una conseguenza della passività, l'ultima si ottiene dalla proprietà di reciprocità. Di conseguenza quando le due radici sono reali esse non sono mai positive o quando sono complesse coniugate la parte reale non è mai positiva. Proprietà 8:

265 Si assuma che il circuito in evoluzione libera sia passivo. Allora la parte reale delle frequenze naturali non può essere positiva, e quindi l'evoluzione libera è una funzione limitata per ogni t > t 0 (se i valori delle condizioni iniziali sono limitati).

passività fi

Re{l ± } £ 0

Infatti, in un circuito in evoluzione libera passivo del secondo ordine si ha

dW = - P R (t) £ 0 , dt

(145)

dove P R è la potenza assorbita da tutti gli elementi statici e W è l'energia totale immagazzinata negli elementi dinamici; ad esempio, se il circuito è costituito da un condensatore e un induttore essa vale

W(t) = Cv12 (t) / 2 + Li12 (t) / 2 .

(146)

Pertanto l'energia immagazzinata al generico istante

t > t 0 non può mai essere più grande di

quella immagazzinata all'istante iniziale t = t 0 e quindi le grandezze di stato si mantengono limitate nel tempo. Come poi mostreremo, questa proprietà è generale e non dipende dall'ordine del circuito. Quando la potenza assorbita dalla parte statica è positiva per ogni condizione di funzionamento ed è uguale a zero solo quando il circuito è a riposo (cioè quando le grandezze di stato, e quindi tutte le grandezze del circuito, sono uguali a zero), dalla (145) si ha che l'energia immagazzinata diminuisce continuamente fino a quando non diventa nulla (W è definita positiva) e quindi il circuito è dissipativo. In questo caso la parte reale delle frequenze naturali è minore di zero e l'evoluzione libera tende asintoticamente a zero per t Æ + •, indipendentemente dal valore delle condizioni iniziali. Se le frequenze naturali sono reali, l'evoluzione libera è costituita da due termini che tendono asintoticamente a zero con legge esponenziale. Anche quando le frequenze naturali sono complesse coniugate l'evoluzione libera tende asintoticamente a zero, perché l'espressione

K +el

+ (t -

t0 )

+ K - el -

(t - t 0 )

= e-a

tende a zero con legge esponenziale per t Æ+•

(t - t 0 )

[K + ei w

d (t -

t0 )

+ K- e-

iw

d (t -

t0 )

].

(147)

(la costante di tempo è 1/a) .

L'evoluzione libera non tende asintoticamente a zero ma resta limitata, quando la parte reale delle frequenze naturali o almeno una di esse è uguale a zero. Ciò può verificarsi quando: (a) il circuito è privo di elementi dissipativi; (b) ci sono due condensatori in serie o due induttori in parallelo; (c) quando in serie al condensatore c'è un circuito aperto e/o in parallelo all'induttore un corto circuito, come nei circuiti del primo ordine. In questi casi la potenza assorbita dalla parte statica del circuito può essere uguale a zero anche quando le grandezze di stato sono diverse da zero. Ritorneremo in seguito su questa questione. Osservazione

266 Se nel circuito vi fossero anche elementi attivi, come, ad esempio, amplificatori operazionali, giratori, generatori controllati, la soluzione sarebbe ancora del tipo (138), ma le frequenze naturali potrebbero essere a parte reale maggiore di zero e la soluzione divergerebbe con legge esponenziale per t Æ +•

(nei circuiti reali di questo tipo, a causa di fenomeni di natura non

lineare, nascono meccanismi di saturazione che non consentono alle grandezze di crescere illimitatamente). Dopo avere discusso il segno della parte reale delle frequenze naturali, bisogna capire quando esse sono reali e quando, invece, possono essere complesse. Il discriminante D dell'equazione di secondo grado (135) vale:

D=a

2

-w

2 0

1Ê a a ˆ = Á 11 - 22 ˜ 4 Ë d1 d 2 ¯

2

+

a12a 21 . d1d 2

(148)

(i) Circuito con due condensatori (rispettivamente, due induttori) Si consideri il circuito con due condensatori (due induttori). In questo caso la matrice A è uguale alla matrice delle conduttanze G (alla matrice delle resistenze R) del doppio bipolo resistivo lineare. La matrice delle conduttanze G (la matrice delle resistenze R) è simmetrica, perché il circuito resistivo è costituito da resistori lineari e trasformatori ideali, e quindi

a12 = a 21 .

Di conseguenza il discriminante (148) non può essere mai negativo e le frequenze naturali sono sempre reali. x1 Im{l }

K-1/t -

-1/t

Re{l } +

K+

t

0

t -

+

t

Figura 21 Proprietà 9: evoluzione libera di circuiti RC (o RL) L'evoluzione libera di un circuito costituito da soli condensatori (rispettivamente, soli induttori), resistori lineari e trasformatori ideali è descritta dalla somma di due funzioni esponenziali decrescenti, con costanti di tempo

t

+

= - 1/ l

+,

t -

= - 1/ l -

.

(149)

Quando l'evoluzione libera è descritta dalla somma di due esponenziali smorzati, (figura 21; le frequenze naturali sono state rappresentate sul piano complesso), si dice che è aperiodica o sovra-

267 smorzata. Al crescere di a , lo smorzamento diventa più forte e il circuito in evoluzione libera raggiunge prima lo stato di riposo. Osservazione In questi circuiti può accadere che w 20 = 0 e quindi l + = 0 . Ciò si verifica quando i due condensatori sono in serie o i due induttori sono in parallelo (figura 22). In questi casi l'evoluzione libera è costituita da un esponenziale smorzato con costante di tempo uguale a 1/(2 a ) e da un termine costante. Essa non tende a zero per t Æ + •

, ma tende asintoticamente a una

costante dipendente dallo stato iniziale. In quest’ultimo caso, l'energia immagazzinata all'istante iniziale nei due condensatori (rispettivamente, nei due induttori) non viene completamente assorbita dai resistori (e quindi trasformata in energia termica). Ad esempio, nel circuito di figura 22a la tensione sulla serie costituita dai due condensatori tende a zero (rispettivamente, la corrente totale del parallelo costituito dai due induttori di figura 22b), ma le tensioni sui due condensatori tendono a valori costanti, diversi da zero e opposti, di modo che la loro somma sia uguale a zero (rispettivamente, le correnti nei due induttori tendono a due valori costanti, diversi da zero e opposti). È evidente allora che la potenza assorbita dal resistore, in entrambi i casi, può essere zero pur continuando a esserci energia immagazzinata nei bipoli conservativi. Proprietà 10 Un circuito costituito da soli condensatori (rispettivamente, soli induttori), resistori lineari e trasformatori ideali è dissipativo se i due condensatori non sono in serie (rispettivamente, i due induttori non sono in parallelo).

Figura 22 Esempi di circuiti passivi non dissipativi. Le frequenze naturali l + e l - coincidono se a12 = a 21 = 0 . Ciò si verifica solo se i due condensatori (i due induttori) non sono tra loro collegati in nessuna maniera: ad esempio, due circuiti RC (RL) del primo ordine non interagenti tra loro (figura 23) con R 1 C 1 =R 2 C 2 (con L1 /R1 =L 2 /R2 ). È, allora, evidente che in questi casi non sarà mai possibile “eccitare” forme d'onda del tipo B(t - t 0 )e

-a

(t - t 0 )

.

268 Figura 23 Due circuiti RC del primo ordine. Osservazione Se il circuito con due condensatori (con due induttori) contenesse un amplificatore operazionale o un giratore la matrice delle conduttanze (la matrice delle resistenze), potrebbe non essere più simmetrica. In questo caso si potrebbero avere frequenze naturali complesse e coniugate (più avanti faremo un esempio di questo caso). (ii) Circuito con un condensatore e un induttore Quando il circuito dinamico è costituito da un condensatore e da un induttore (questi circuiti sono denominati circuiti RLC), la matrice A è la matrice ibrida del doppio bipolo, e quindi a12 = - a 21. Innanzi tutto, in questo caso, non può mai essere w 0 = 0 , e quindi non è mai possibile avere una radice reale e uguale a zero, così come accade nei circuiti con soli condensatori (rispettivamente, solo induttori). Come poi si vedrà, invece, può accadere che a =0. Inoltre il discriminate (148) può essere sia positivo che negativo e al limite nullo. In particolare si ha H11R 20 - H 22 > 2 H12 R 0 fi a > w

0

fi D >

0,

H11R 20 - H 22 = 2 H12 R 0 fi a = w

0

fi D =

0,

H11R 20 - H 22 < 2 H12 R 0 fi a < w

0

fi D <

0,

dove la grandezza caratteristica R

0

(150)

è una grandezza omogenea con una resistenza, data da

R 0 = L 2 / C1 .

(151)

È utile ricordare che H 11 rappresenta la conduttanza equivalente “vista” dal condensatore quando al posto dell'induttore c'è un circuito aperto e H 22 la resistenza equivalente “vista” dall'induttore quando al posto del condensatore c'è un corto circuito. Quando D >0 ( a > w 0 > 0 ), le frequenze naturali l + e l - sono reali, e quindi le due costanti di integrazione A + e A - sono reali. L'evoluzione libera è la somma di due funzioni esponenziali smorzati ed è, quindi, caratterizzata da una dinamica aperiodica, (figura 24). Quando il discriminante è uguale a zero (caso critico a = w 0 ), la forma d'onda dell'evoluzione libera è descritta da

x1 (t) = [A + B(t - t 0 )]e - a

(t - t 0 )

.

(152)

Questo tipo di evoluzione prende il nome di evoluzione criticao criticamente smorzata , (figura 24).

(a > w Evoluzione libera smorzata x1 (t) = K + e

l

+t

+ K- e

l -

0 t

> 0)

Evoluzione libera critica(a = w

x1 (t) = (A + Bt)e

-a

0 t

> 0)

269 x1

x1

Im{l }

K- 1 /t

- 1 /t

t

t -

t

+

Aexp(-a t )

t

dt

cos(w

t

1/ a

0

Evoluzione libera oscillante smorzata(w 0 > a > 0)

x1 (t) = Ke - a

Re{l }

-a

Re{l }

+

K+

0

Im{l }

Btexp(-a t )

C

-

A

Evoluzione libera oscillante(w 0 > 0,a = 0)

+J )

x1 (t) = K cos(w

0t

+J ) Im{l }

x1

x1

Im{l } 2p / w

Kcos(J )

iw d

-a

Kexp(-a t)

d

Kcos(J )

Re{l } -iw

iw 2p /w

-iw

0

Re{l }

0

0

d

0

t

0

t

-Kexp(-a t)

Figura 24 Possibili risposte in evoluzione libera per un circuito RLC. Quando D a > 0 ), le frequenze naturali l + e l -

sono complesse coniugate.

Imponendo le condizioni iniziali, si ottiene (stiamo considerando solo l'evoluzione libera)

K + + K - = x10 , l

+K+ + l -

(153)

© k - = x10 .

È evidente che le due costanti di integrazione K + e K - sono, in questo caso, complesse coniugate, © perché x10 e x10 sono grandezze reali. Pertanto è possibile riscrivere la soluzione nella seguente forma

x1 (t) = Ae - a

(t - t 0 )

cos[w

d (t

- t0 ) + J ],

(154)

dove

A = 2 A+ , J = arg(A + );

(155)

A è il modulo e arg(A + ) è la fase (valore principale) del numero complesso K + . L'andamento dell'evoluzione libera è dato da una oscillazione sinusoidale di pulsazione w d , con ampiezza che si smorza con legge esponenziale con costante di tempo 1/a ; al parametro w d si dà il nome di pulsazione propria del circuito. Una evoluzione libera di questo tipo prende il nome di evoluzione oscillatoria smorzata, (figura 24).

270 Un circuito RLC è sempre dissipativo se contiene resistori (stiamo escludendo che vi sia un generatore indipendente di corrente in serie al condensatore e/o un generatore indipendente di tensione in parallelo all'induttore). Mantenendo costante w 0 e riducendo a al di sotto del valore critico a = w 0 , si ottiene una forma d'onda sinusoidale con ampiezza che decade esponenzialmente nel tempo. Nel caso limite a =0, la forma d'onda diventa una sinusoide pura, con pulsazione uguale a w 0 e l'evoluzione libera non tende più a zero per t Æ•, (

figura 24). Ciò si verifica se e

solo se gli elementi della diagonale della matrice ibrida sono entrambi uguali a zero, cioè il circuito non contiene resistori. In questo caso la potenza elettrica P R (t) assorbita dal doppio bipolo resistivo è uguale a zero in qualsiasi condizione di funzionamento, e quindi l'energia totale W(t) immagazzinata nell'induttore e nel condensatore si mantiene costante nel tempo: l'energia viene scambiata continuamente tra il condensatore e l'induttore, senza mai essere dissipata. Questo è un circuito conservativo e deve essere necessariamente come quello illustrato in figura 25; esso prende il nome di circuito LC.

Figura 25 Circuito LC. 7.6.2 Soluzione di regime e termine transitorio Si consideri ora un circuito del secondo ordine dissipativo (quindi Re{l ± } < 0 ) in condizione di funzionamento generico e si faccia tendere l'istante iniziale t 0 a -• (il funzionamento del circuito ha inizio all'istante “remoto” t 0 = - • ).

La generica grandezza di stato in un generico

istante finito è data da

lim [K + e l

Ï Ô

lim x1 (t) = Ì

t 0 Æ-•

Ó

t 0 Æ-•

t 0 Æ-•

Ô

+ (t -

t0 )

+K - e l

lim [A +B(t - t 0 )e

-a

-

(t - t 0 )

(t - t 0 )

] + x p (t)¸

] + x p (t)

Ô

˝ = x p (t) .

(156)

Ô ˛

Pertanto, la dinamica dello stato, e quindi dell'intero circuito, per t finito non dipende dalla condizione iniziale (si è persa ogni traccia dello stato iniziale), ma dipende unicamente dalla soluzione particolare e quindi dalla forma d'onda delle tensioni dei generatori di tensione e delle correnti dei generatori di corrente: il circuito funziona in regime. La soluzione di regime è uguale alla soluzione particolare ed è indipendente dallo stato. Ritroviamo quanto abbiamo già visto nei circuiti del primo ordine. Si consideri ora il caso in cui l'istante iniziale t 0 sia al finito. Il termine dipendente dalle costanti di integrazione K + e K - tende asintoticamente a zero per t Æ+• ( indipendentemente dai valori delle costanti di integrazione ); esso è il termine transitoriodella risposta. Le costanti di integrazione K + e K - sono combinazioni lineari dei valori dello stato e dell'integrale particolare all'istante iniziale t 0 .

271

termine di regime: x reg (t) ∫ lim x1 (t) = x p (t) t0 Æ - •

Ï K + e l (t - t ) +K - e l (t - t ) a > w 0 > 0 ( l Ô termine transitorio: x tran (t) ∫ Ì [A +B(t - t0 )]e - a (t - t ) a =w 0 >0 Ô Ke - a (t - t ) cos(w t + J ) w 0 > a >0 d Ó +

0

-

0

+

el -

reali)

0

Se il circuito in evoluzione libera è passivo ma non dissipativo, le frequenze naturali sono a parte reale uguale a zero o almeno una di esse è nulla. In questo caso il “termine transitorio” non tende a zero per t Æ + • , ma rimane limitato. Se il circuito contiene elementi lineari attivi (un circuito che, ad esempio contiene amplificatori operazionali, generatori controllati, giratori e resistori con resistenza negativa), le frequenze naturali potrebbero avere parte reale maggiore di zero e il termine “transitorio” divergerebbe per t Æ + • . Proprietà 11 L'evoluzione di un circuito del secondo ordine dissipativo tende asintoticamente alla soluzione di regime per Æ +t • , indipendentemente dal valore iniziale dello stato . L'evoluzione libera tende asintoticamente a zero con legge esponenziale e l'evoluzione forzata tende asintoticamente alla soluzione di regime.

7.6.3 Regime stazionario e regime sinusoidale Il termine di regime dipende, oltre che dai parametri caratteristici del circuito, anche dalla forma d'onda dei generatori. Verranno discussi i soliti due casi: circuiti con generatori costanti (o stazionari) e circuiti con generatori sinusoidali. - Generatori costanti (stazionari) Si consideri un circuito con soli generatori stazionari. Il termine noto dell'equazione differenziale, che descrive l'evoluzione del circuito, è una funzione costante, e quindi una funzione costante è soluzione dell'equazione differenziale. Essa può essere ottenuta sostituendo nell'equazione differenziale (129) la funzione

x p (t) = X ,

(157)

e determinando poi la costante X che la verifica. Proprietà 12 Quando i generatori sono stazionari, il regime di funzionamento che si instaura nel circuito è anche esso stazionario, se il circuito è dissipativo. La soluzione stazionaria può essere ottenuta risolvendo direttamente il circuito resistivo ottenuto sostituendo ai condensatori circuiti aperti e agli induttori corto circuiti.

272 Per provare quanto affermato è sufficiente ricordare che in regime stazionario la corrente nei condensatori e le tensioni sugli induttori sono uguali a zero. - Generatori sinusoidali isofrequenziali Si consideri, ora, un circuito con soli generatori sinusoidali (isofrequenziali) con pulsazione w . Il termine noto dell'equazione differenziale (129) è una funzione sinusoidale con pulsazione w . Anche in questo caso una funzione sinusoidale con pulsazione w

è soluzione dell'equazione

differenziale. Essa può essere determinata sostituendo nell'equazione differenziale una funzione del tipo

x p (t) = X cos(w t + y ) ,

(158)

e determinando l'ampiezza X e la fase y , in modo tale che la (129) sia verificata (così come abbiamo operato con i circuiti del primo ordine). La soluzione particolare (158) non esiste se il circuito non è dissipativo e la pulsazione dei generatori è uguale alla frequenza naturale del circuito. In questo caso si dice che il circuito è in risonanza. Ad esempio, nel circuito RLC del secondo ordine ciò accade se, a =0 e w = w d = w 0. In questo caso, è facile verificare che una soluzione particolare è una funzione sinusoidale con pulsazione w e ampiezza crescente linearmente nel tempo 4. Il fenomeno della risonanza non può mai verificarsi in un circuito RL o RC, se esso è costituito da soli elementi statici reciproci. Proprietà 13 Quando i generatori sono sinusoidali e isofrequenziali, il regime di funzionamento che si instaura nel circuito è anche esso di tipo sinusoidale con la stessa pulsazione dei generatori, se il circuito è dissipativo. In questi casi la soluzione di regime può essere ottenuta direttamente utilizzando il metodo fasoriale. Questo metodo sarà illustrato nel prossimo Capitolo. Se nel circuito ci sono generatori costanti e generatori sinusoidali con diverse pulsazioni, allora l'integrale particolare può essere determinato utilizzando la sovrapposizione degli effetti (l'equazione differenziale è lineare perché il circuito del quale essa descrive la dinamica è lineare). La soluzione particolare è la somma delle soluzioni particolari che ciascuno dei generatori produrrebbe se agisse da solo, essendo gli altri “ spenti”.

7.6.4 Applicazione: Circuito RLC serie e circuito RLC parallelo e altri esempi

4 Si consideri l'equazione «x« + w

2 0x

= cos(w 0 t) . Questa è l'equazione che descrive l'evoluzione di un circuito LC con forzamento sinusoidale alla stessa frequenza della frequenza naturale del circuito. In questo caso non esiste un integrale particolare sinusoidale con pulsazione w 0 . È facile verificare che, un integrale particolare è x(t) = [ t sin(w 0 t)] / 2w 0 .

273 Si consideri il circuito RLC serie rappresentato in figura 26a. Il circuito è in evoluzione libera; lo stato all'istante iniziale t=0 vale

v c (t = 0) = V 0 , i L (t = 0) = I 0 .

(159)

Figura 26 Circuito RLC serie (a) e circuito RLC parallelo (b). Le equazioni caratteristiche dei bipoli a memoria sono

dv c = ic , dt di L L = vL . dt

C

(160)

Per determinare le equazioni di stato bisogna esprimere la corrente nel condensatore e la tensione dell'induttore in funzione delle grandezze di stato v c e i L . In questo caso tutto ciò può essere fatto per ispezione diretta del circuito. Immediatamente si ha

dv c = iL , dt di L L = - v c - Ri L . dt

C

(161)

Sostituendo la prima equazione di stato nella seconda, si ottiene l'equazione scalare per la tensione del condensatore

d 2 v c R dv c 1 + vc = 0 . 2 + L dt LC dt

(162)

L'integrale generale della (162) assume, come è noto, tre forme diverse a seconda che

w

0t

> 1, w

0t

< 1ow

t∫

2L ,w R

0t

= 1 , dove sono state fatte le posizioni 0



1 . LC

(163)

Quando w 0 t < 1 l'evoluzione libera è aperiodica, quando w 0 t > 1 l'evoluzione libera è oscillante e smorzata; invece quando w 0 t = 1 si ha il caso critico. Il parametro adimensionale Q∫(w 0t / 2) prende il nome di fattore di qualità o fattore di merito del circuito. Si assuma che nel circuito in esame l'evoluzione sia di tipo oscillante smorzato. Allora si ha

v c (t) = Ae -

t /t

cos(w t + q ) ,

dove la pulsazione w è data da

(164)

274

w=w

0

1 - 1 / (w

0t

)2 ,

(165)

e t è la costante di tempo dell'esponenziale smorzato che descrive l'ampiezza dell'oscillazione; quando RÆ0

la costante di tempo tende all'infinito e la pulsazione w

tende a quella caratteristica

1 / LC . In questo limite il funzionamento del circuito tende a quello di un oscillatore LC ideale. Le due costanti A e q devono essere determinate imponendo le condizioni iniziali a t=0, cioè

v c (0) e dv c / dt t =0 . La derivata della tensione del condensatore si ottiene imponendo le condizioni iniziali per lo stato (159) utilizzando la prima equazione del sistema (161). Così facendo si ottiene

dv c / dt t =0 = I 0 / C .

(166)

Si consideri, ora, il circuito RLC parallelo rappresentato in figura 26b. Il circuito è in evoluzione libera; lo stato all'istante iniziale t=0 è dato dalle (159). Le equazioni caratteristiche dei bipoli a memoria sono ancora le (160). Per determinare le equazioni di stato bisogna esprimere, come al solito, la corrente nel condensatore e la tensione dell'induttore in funzione delle grandezze di stato v c e i L . Anche ciò può essere fatto ancora per ispezione diretta del circuito rappresentato in figura 26b. Si ha

dv c v = - c - iL , dt R di L L = vc . dt

C

(167)

Sostituendo la seconda equazione di stato nella prima, si ottiene l'equazione scalare per la corrente nell'induttore

d2i L 1 di L 1 + iL = 0 . 2 + RC dt LC dt

(168)

Anche l'integrale generale della (168) assume tre forme diverse a seconda che w 0 t > 1, w 0 t < 1 , o w 0 t = 1 dove questa volta la costante di tempo caratteristica t vale

t=

2 . RC

(169)

Le costanti di integrazione devono essere determinate imponendo le condizioni iniziali in t=0, cioè i L (0) e di L / dt t =0 . La derivata della corrente nell'induttore si ottiene imponendo le condizioni iniziali per lo stato (159) e la seconda equazione del sistema (167). Così facendo si ottiene

di L / dt t =0 = V 0 / L .

(170)

Esempio Si consideri il circuito rappresentato in figura 27. Il circuito è alimentato con un generatore a gradino. Determinare l'andamento della corrente nel condensatore.

275 Conviene sempre formulare il problema in termini di variabili di stato. In questo caso particolare viene prima determinata la tensione del condensatore e poi, usando la sua caratteristica, si determina la corrente. Le equazioni caratteristiche dei bipoli a memoria sono

dv c = ic , dt di L L = vL . dt

C

(171)

Per determinare le equazioni di stato bisogna esprimere la corrente nel condensatore e la tensione dell'induttore in funzione delle grandezze di stato v c e i L . Anche in questo caso ciò può essere fatto per ispezione diretta del circuito, applicando la legge di Kirchhoff per le correnti al nodo “1”, e la seconda legge di Kirchhoff alla maglia costituita dal condensatore, dall'induttore e dal resistore di resistenza R 2. Così facendo si ottiene

C

v E dv c = - c - i + 0 u(t), R1 R1 dt L

(172)

di = vc - R 2 i , L dt L

L

dove E 0 = 600.

Figura 27

Circuito in evoluzione forzata.

Il sistema (172) è definito per - • <

t < +• . Per t0. Come caso limite intermedio, al valore l i =0 corrisponde una costante. Se invece l i è complesso, cioè esprimibile come

l

i

=s

i

+ iw

i,

(210)

con s i e w i reali, la combinazione dei due termini K i e termine del tipo

A ies

i (t -

t0 )

cos[w

i (t

- t0 ) + J

l i (t - t 0 )

e K*i e l

* i (t -

t0 )

dà luogo a un

i ].

(211)

La (211) è una funzione oscillante sinusoidale con ampiezza crescente o decrescente a seconda del segno di s i ; per s i =0 la (211) si riduce a una funzione sinusoidale con pulsazione w

i.

Proprietà 14 I circuiti costituiti da soli condensatori (rispettivamente, induttori), resistori lineari e trasformatori ideali hanno solo frequenze naturali reali, qualunque sia l'ordine. Questa proprietà è strettamente connessa alla simmetria della matrice delle conduttanze che caratterizza i circuiti RC e della matrice delle resistenze che caratterizza i circuiti RL (vedi Appendice D) con resistori lineari e trasformatori ideali. Invece circuiti con induttori e condensatori possono avere anche frequenze naturali complesse, essendo la matrice ibrida non simmetrica . In generale i circuiti dinamici possono essere classificati in “asintoticamente stabili”, “stabili” e “instabili”. Un circuito si dice stabile se l'evoluzione libera si mantiene limitata uniformemente rispetto al tempo, comunque siano i valori iniziali dello stato. Le frequenze naturali si trovano nel semipiano sinistro del piano complesso (piano di Gauss) e tutto al più sull'asse immaginario; non possono trovarsi nel semipiano destro. Un circuito si dice instabile se l'evoluzione libera diverge per tÆ • ; almeno una frequenza naturale ha parte reale maggiore di zero e quindi si trova nel semipiano destro del piano di Gauss. Un circuito si dirà asintoticamente stabilese è stabile e se l'evoluzione libera tende asintoticamente a zero per t Æ • , indipendentemente dai valori iniziali dello stato; le frequenze naturali devono avere tutte parte reale minore di zero: non ci sono frequenze naturali sull'asse immaginario e si trovano tutte nel semipiano sinistro del piano di Gauss. Proprietà 15 Un circuito in evoluzione libera passivo è stabile e quindi le frequenze naturali non possono mai trovarsi nel semipiano destro del piano di Gauss. Questa proprietà può essere dimostrata in questo modo. Si consideri il circuito in evoluzione libera e si applichi a esso la conservazione delle potenze elettriche. Si ottiene

284

dW = - P R (t) , dt

(212)

dove W=W(t) è l'energia globalmente immagazzinata nel circuito al generico istante t, e vale NC 1

W(t) = Â

i=12

C i v2i (t) +

N C +N L

1 L k i 2k (t), 2 k =N C +1 Â

(213)

e P R (t) è la potenza assorbita globalmente dalla parte statica del circuito (la potenza assorbita dai trasformatori ideali è uguale a zero),

P R (t) = Â R h i 2h (t) .

(214)

h

Avendo supposto che tutti i resistori sono passivi, la potenza P R (t) non può essere mai negativa, e quindi la derivata dell'energia immagazzinata non può mai essere positiva. Di conseguenza si ha

0 £ W(t) £ W(t 0 ) per ogni t ≥ t 0 ,

(215)

dove W(t 0 ) è l'energia immagazzinata nel circuito all'istante iniziale t 0 . Pertanto l'energia immagazzinata e quindi tutte le grandezze di stato rimangono limitate (perché le capacità e le induttanze sono positive) e le frequenze naturali non possono trovarsi nel semipiano destro del piano di Gauss. Se nel circuito non ci sono elementi dissipativi (la parte statica è costituita da soli corto circuiti, circuiti aperti e trasformatori ideali), in qualsiasi condizione di funzionamento si ha P R (t) =0. In questi casi l'energia immagazzinata si mantiene costante: i circuiti di questo tipo sono detti conservativi. Se il circuito contenesse, invece, amplificatori operazionali e/o generatori controllati, la potenza

P R (t) potrebbe essere minore di zero, e quindi il circuito potrebbe avere evoluzioni libere divergenti. Pertanto un circuito con elementi attivi può essere instabile. I circuiti instabili sono usati negli oscillatori. Si supponga, ora, che il circuito sia dissipativo. In questo caso l'energia che è in esso immagazzinata nell'istante iniziale, viene completamente assorbita dai resistori durante l'evoluzione libera. Pertanto tutte le frequenze naturali devono avere necessariamente parte reale minore di zero. Proprietà 16 Se il circuito è dissipativo, tutte le frequenze naturali hanno parte reale minore di zero, e quindi il circuito è asintoticamente stabile. Più di una volta abbiamo osservato che la passività dei componenti dinamici e la presenza di resistori passivi è condizione necessaria ma non sufficiente affinché il circuito sia dissipativo. Proprietà 17

285

Un circuito costituito da generatori indipendenti e resistori, induttori e condensatori passivi è dissipativo, se nel circuito in evoluzione libera non esistené un insieme di taglio e né una maglia senza almeno unresistore (con resistenza limitata e maggiore di zero); questa è una condizione riguardante il grafo del circuito ed è sufficiente, ma non necessaria. Non dimostreremo questa proprietà. Comunque è utile commentarla considerando dei casi in cui non è verificata. A tale scopo si considerino i tre circuiti illustrati in figura 35 (i primi due circuiti sono stati già considerati precedentemente). Nel circuito illustrato in figura 35a esiste un insieme di taglio di soli condensatori, nel circuito illustrato in figura 35b esiste una maglia di soli induttori e nel circuito illustrato in figura 35c esistono insieme di taglio e maglie costituite da soli induttori e condensatori. Nel circuito illustrato in figura 35a, siccome i due condensatori sono in serie, può verificarsi che v = v1 + v 2 = 0 , v1 = V π 0 e v 2 = - V . In questo caso la potenza P R (t) = v 2 / R è uguale a zero pur essendo diversa da zero l'energia immagazzinata nel circuito. Pertanto si ha

W(t) = (C1 + C 2 )V 2 / 2 = costante , quindi pur essendo il circuito passivo esso non è dissipativo. Nel circuito illustrato in figura 25b siccome i due induttori sono in parallelo, può verificarsi che

i = i1 + i 2 = 0 , i1 = I π 0 e i 2 = - I dove I=c o s t a n t e. Anche in questo caso la potenza P R (t) = Ri 2 è uguale a zero pur essendo diversa da zero l'energia immagazzinata nel circuito. Pertanto si ha W(t) = (L1 + L 2 )I 2 / 2 = costante come nel caso precedente. Infine nel circuito illustrato in figura 35c, se L1C1 = L 2 C 2 = 1 / w 20 , è facile verificare che è possibile una evoluzione libera con

v = v1 - v2 = 0, v1 (t) = v2 (t) = V cos(w

0t

+ J ).

(216)

(è come se vi fossero due circuiti LC non interagenti). In questo caso la potenza P R (t) = v 2 / R è uguale a zero pur essendo diversa da zero l'energia immagazzinata nel circuito.

Figura 35 Esempi di circuiti passivi ma non dissipativi. Osservazione

286 È evidente che, n condensatori in parallelo di capacità C 1 , C 2 ,..., C n , equivalgono a un solo condensatore di capacità equivalente C

eq



n C i=1 i

e, dualmente, m induttori in serie di

induttanza L 1 , L 2 ,..., L m equivalgono a un solo induttore di induttanza L eq = Â entrambi i casi, pur avendo più elementi dinamici, abbiamo una sola grandezza di stato.

m L i=1 i

. In

CAPITOLO 8

CIRCUITI IN REGIME STAZIONARIO E SINUSOIDALE

Nel presente Capitolo si considerano esclusivamente circuiti lineari in regime stazionario e in regime sinusoidale (la maggior parte del Capitolo è dedicata ai circuiti in regime sinusoidale). In un circuito lineare, tempo-invariante e dissipativo, dopo l'esaurimento del transitorio, le tensioni e le correnti sono costanti nel tempo se tutti i generatori sono costanti nel tempo (circuiti in regime stazionario). In un circuito lineare, tempo-invariante e dissipativo alimentato da uno o più generatori sinusoidali tutti con la stessa pulsazione ω, dopo l'esaurimento del transitorio, tutte le tensioni e le correnti sono sinusoidali alla stessa pulsazione (circuiti in regime sinusoidale). Molti circuiti operano in regime stazionario o in regime sinusoidale. Come si vedrà in seguito, se è nota la risposta di un circuito lineare, tempo-invariante e dissipativo ad un ingresso costante e ad un ingresso sinusoidale di frequenza arbitraria, allora è possibile calcolare la risposta ad un segnale arbitrario.

8.1 Circuiti in regime stazionario Si consideri un circuito lineare, tempo-invariante e dissipativo N (figura 1), alimentato da soli generatori costanti e si supponga che esso sia in regime stazionario (il transitorio si è estinto), quindi tutte le tensioni e tutte le correnti sono costanti nel tempo. In questo caso le equazioni del circuito diventano

 $a , =    %a 9 =  dV k I k = Ck =0 dt dI Vk = Lk k = 0 dt V k − R k Ik = 0

(1)

k = 1, 2, ..., n C ,

(2)

k = nC +1,..., n C + nL ,

(3)

k = n C + n L +1,..., n C + n L + n R ,

(4)

286

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

V k = E k = FRVW   I k = J k = FRVW dove

,

T = I1  I2   I b e

9

k = nC + n L + n R + 1  n C + nL + n R + n e  k = n C + n L + nR + ne + 1   n C + nL + n R + n e + n j

(5)

= V1  V 2   Vb T sono i vettori rappresentativi delle correnti e delle

tensioni del circuito (useremo le lettere maiuscole per indicare correnti e tensioni che sono costanti nel tempo), b = nC + n L + n R + n e + n j , $a e %a sono, rispettivamente, la matrice di incidenza e una matrice di maglia, C k  L k e R k sono, rispettivamente, le capacità, le induttanze e le resistenze del circuito, E k e J k sono, rispettivamente, le tensioni dei generatori di tensione e le correnti dei generatori di corrente indipendenti ( E k e J k sono costanti nel tempo).

Figura 1

Circuito lineare, tempo invariante e dissipativo in regime stazionario (a) e circuito resistivo equivalente (b).

Le correnti che circolano nei condensatori sono uguali a zero, perché le tensioni su di essi sono costanti, e anche le tensioni degli induttori sono uguali a zero perché le correnti che in essi circolano sono costanti. Pertanto, ogni volta che bisogna analizzare il funzionamento in regime stazionario di un circuito dinamico, è possibile considerare il circuito resistivo equivalente Neq ottenuto sostituendo nel circuito N a ogni condensatore un circuito aperto e a ogni induttore un corto circuito. Il circuito resistivo equivalente può essere analizzato utilizzando i metodi illustrati nel Capitolo 5. Per semplicità abbiamo considerato circuiti di soli condensatori, induttori, resistori e generatori indipendenti; queste considerazioni valgono anche quando i circuiti contengono trasformatori ideali, amplificatori operazionali, generatori controllati, giratori e più in generale elementi statici non lineari. In quest'ultimo caso il circuito resistivo equivalente Neq è non lineare. Procedura per la soluzione di un circuito in regime stazionario (a)

Si sostituisca a ogni condensatore un circuito aperto e a ogni induttore un corto circuito.

(b)

Si risolva la rete di resistori, circuiti aperti, corto circuiti e generatori così ottenuta.

Esempio Si consideri il circuito lineare, tempo-invariante e dissipativo descritto in figura 2a. Esso è in regime stazionario. Determinare le correnti I L e I che circolano, rispettivamente, nell'induttore L 1 e nel resistore R 2 e la tensione V c del condensatore. I dati del problema sono

287

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

E = 10 R = 2  R1 = 4  R2 = 6 L = 1 µH L 1 = 10 µH C = 50 µF. Il circuito resistivo equivalente è rappresentato in figura 2b. Questo circuito è stato ottenuto sostituendo al posto dei due induttori un corto circuito e al posto del condensatore un circuito aperto. La soluzione del circuito resistivo equivalente può essere ottenuta utilizzando le regole dei partitori e delle equivalenze. Operando in questo modo si ottiene I = 25  27 I = 100  91 e V c = 4 4 . La L

soluzione stazionaria è indipendente dai valori delle induttanze e delle capacità!

Figura 2 Circuito in regime stazionario (a) e circuito resistivo equivalente (b).

8.2

Circuiti in regime sinusoidale: i fasori

Si consideri, ora, un circuito lineare, tempo-invariante e dissipativo N, pilotato da soli generatori sinusoidali, tutti con pulsazione ω (ossia con frequenza f = ω / 2π ), e si supponga che esso sia in regime sinusoidale, quindi tutte le tensioni e tutte le correnti sono funzioni sinusoidali del tempo con la stessa pulsazione dei generatori (il transitorio si è estinto). Il resto di questo Capitolo è dedicato allo studio dei circuiti in regime sinusoidale. In un circuito in regime sinusoidale ogni corrente e ogni tensione è una funzione sinusoidale del tempo, cioè del tipo

a(t) = Am cos(ωt + φ) ,

(6)

dove l'ampiezza Am , la fase φ e la pulsazione ω sono costanti reali (la fase dipende dal riferimento scelto per la “coordinata” temporale). L'ampiezza Am è assunta positiva. É possibile cambiare il segno della a(t) attraverso la fase φ; è immediato verificare che

Am cos(ωt + φ + π) = − a(t) .

(7)

Per φ = − π / 2 la (6) diventa la funzione Am sin(ωt) ; in generale si ha:

Am sin(ωt + ϕ) = Am cos(ωt + ϕ − π / 2) .

(8)

La pulsazione ω è misurata nel Sistema Internazionale in rad/s e la frequenza f in Hz (hertz): 1Hz=1/(1s). La funzione (6) è una funzione periodica con periodo

T = 2π / ω (è immediato verificare che a(t + T) = Am cos[ ω(t + T) + φ] = Am cos(ωt + φ) = a(t) ).

(9)

288

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Una volta che è stata fissata la pulsazione ω (che è imposta dai generatori), ogni tensione e ogni corrente sinusoidale è caratterizzata da due e solo due grandezze, l'ampiezza Am e la fase φ . Per questo motivo alla funzione sinusoidale (6) è possibile associare il numero complesso A (per un breve richiamo sui numeri complessi vedi Appendice E), detto fasore rappresentativo della funzione sinusoidale a = a(t) , secondo la regola:

A ≡ Am e i φ .

(10)

Il punto cruciale è che questa regola produce una corrispondenza biunivoca tra l'insieme delle funzioni sinusoidali di pulsazione ω {a(t) = Am cos(ωt + φ) }1 definite dalla (6) e l'insieme dei iφ

fasori rappresentativi {A = Am e

} definiti dalla (10). La sinusoide specificata dalla a(t) definisce

univocamente il fasore rappresentativo A ; d'altra parte il fasore A identifica univocamente la funzione sinusoidale a(t) tramite la formula:

a(t) = Re{ A ei ωt } = Re{Amei (ωt +φ) } = Am cos(ωt + φ) .

(11)

Questa corrispondenza biunivoca può essere illustrata attraverso l'espressione

{a(t) = Am cos(ωt + φ)}



{ A = Am e i φ }.

(12)

Tutte le correnti e tensioni di un circuito in regime sinusoidale possono essere rappresentate tramite i fasori. Si dimostrerà che l'analisi del circuito si può, allora, ricondurre alla risoluzione di sole equazioni algebriche lineari (e non più equazioni algebriche e differenziali lineari), a coefficienti complessi in cui le incognite sono i fasori rappresentativi (quindi numeri complessi e non funzioni del tempo). Una volta determinati i fasori rappresentativi, attraverso la (12) si ricostruiscono le funzioni sinusoidali nel dominio del tempo che descrivono l'andamento delle correnti e delle tensioni. Questo è il metodo dei fasori detto, anche, metodo simbolico. Il metodo dei fasori si basa sulle seguenti proprietà. 1. Proprietà di unicità Due funzioni sinusoidali a(t ) = Am cos(ωt + φ), b(t) = Bm cos(ωt + ϕ) sono uguali se e solo se sono uguali i relativi fasori rappresentativi A = Am e

a(t) = b(t)





, B = Bm ei ϕ ,

A =B.

(13)

Questa proprietà è una immediata conseguenza del fatto che la regola che associa alla funzione sinusoidale il fasore rappresentativo dà luogo a una corrispondenza biunivoca tra l'insieme delle funzioni sinusoidali a pulsazione ω e l'insieme dei numeri complessi. 2. Proprietà di linearità Il fasore C che rappresenta la combinazione lineare

c(t) = α a(t) + β b(t) 1 Qui il simbolo {·} indica un insieme.

(14)

289

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

delle funzioni sinusoidali a(t) = Am cos(ωt + φ) e b(t) = Bm cos(ωt + ϕ) , dove α e β sono coefficienti costanti reali, è uguale alla stessa combinazione lineare

C = α A+ βB dei fasori A = Am e Questa



(15)

e B = Bm e i ϕ che rappresentano le rispettive funzioni sinusoidali.

proprietà

è

una

immediata conseguenza del fatto che Re{α1 A1 + α 2 A2 } = α1 Re{ A1 }+ α 2 Re{ A2 } se α 1 e α 2 sono numeri reali. Una corrispondenza biunivoca, per la quale vale la proprietà di linearità, prende il nome di isomorfismo lineare. 3. Regola di derivazione

A = Am e i φ è il fasore rappresentativo della funzione sinusoidale a(t) = Am cos(ωt + φ) se e solo se

B = iω A = ω Am e i(φ+ π/2 )

(16)

è il fasore rappresentativo della derivata prima di a(t) ,

b(t) =

da d = [ Am cos(ωt + φ)] . dt dt

(17)

Questa proprietà è una immediata conseguenza del fatto che

d [ Am cos(ωt + φ)] = −ω Am sin(ωt + φ) = ω Am cos(ωt + φ + π / 2) . dt

8.3

(18)

Analisi dei circuiti in regime sinusoidale tramite il metodo dei fasori

Si consideri un circuito lineare, tempo-invariante e dissipativo in regime sinusoidale, con n nodi e b lati. Volendo studiare il suo funzionamento si considerino, in primo luogo, le equazioni che esprimono le leggi di Kirchhoff. Esse sono:

∑ h (±)i h (t) = 0 per ogni nodo, ∑ k (±)v k (t) = 0 per ogni maglia,

oppure oppure

Aa i(t) = 0 , Ba v(t) = 0 ;

(19) (20)

Aa è la matrice di incidenza, Ba è una matrice di maglia, i = (i 1,...,i b )T è il vettore rappresentativo T delle correnti del circuito e v = (v1 ,..., vb ) è il vettore rappresentativo delle tensioni. Le correnti e le tensioni sono funzioni sinusoidali del tempo

i h (t) = Imh cos(ωt + φ h ) h = 1, 2, ..., b , v h (t ) = V mh cos(ωt + ϕ h ) h = 1, 2, ..., b .

(21) (22)

Siano ( h = 1,2,...,b )

Ih = Imh e iφ , V h = Vmh ei ϕ , h

h

(23) (24)

290

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

i fasori rappresentativi delle correnti e delle tensioni, rispettivamente (essi sono le correnti e le tensioni del circuito nel dominio simbolico). Utilizzando la proprietà di linearità, dalle (19) e (20) si ottengono le equazioni:

∑ h (± ) Ih = 0 per ogni nodo,

oppure

A I = 0,

(25)

∑ k (± )V k = 0 per ogni maglia,

oppure

B V = 0;

(26)

I = (I1,...,I b )T è un vettore con b componenti complesse rappresentativo dei fasori delle correnti e V = (V1 ,...,V b )T è un vettore con b componenti complesse rappresentativo dei fasori delle tensioni. Pertanto i fasori rappresentativi delle correnti e delle tensioni verificano le leggi di Kirchhoff. Il modulo e così anche la parte reale e la parte immaginaria del fasore rappresentativo della corrente sono omogenei dimensionalmente a una corrente e quindi si misurano in ampere; il modulo e così anche la parte reale e la parte immaginaria del fasore rappresentativo della tensione sono omogenei dimensionalmente a una tensione e quindi si misurano in volt. È evidente che, l'insieme dei fasori delle correnti I1 ,..., Ib (delle tensioni V1 ,...,V b ), verifica le equazioni di Kirchhoff per le correnti (25) (le equazioni di Kirchhoff per le tensioni (26)), perché l'insieme delle correnti i1 (t),...,i b (t) , (delle tensioni v1 (t),...,v b (t) ), verificano la prima legge di Kirchhoff (20), (la seconda legge di Kirchhoff (21)). Per la proprietà di unicità si ha che, le correnti i1 (t),...,i b (t) , (le tensioni v1 (t),...,v b (t) ), verificano la prima legge di Kirchhoff (20), (la seconda legge di Kirchhoff (21)), se l'insieme dei fasori delle correnti I1 ,..., Ib , (delle tensioni V1,...,V b ), verifica l'equazione di Kirchhoff per le correnti (25), (l'equazione di Kirchhoff per le tensioni (26)). Si considerino ora le equazioni costitutive degli elementi costituenti il circuito. Per semplicità si assuma che il circuito sia costituito solo da bipoli; ovviamente il metodo fasoriale vale anche se nel circuito ci sono elementi lineari a più terminali, come i trasformatori ideali, i generatori controllati, gli amplificatori operazionali (modello lineare), i giratori e gli induttori accoppiati. Le equazioni costitutive dei bipoli lineari e tempo-invarianti sono:

v k (t) − Ri k (t) = 0 dv k − i k (t) = 0 dt di v k (t) − L k = 0 dt C

resistori, condensatori,

(27)

induttori,

e quelle dei generatori indipendenti sono:

v k (t) = Emk cos(ωt + α k )

generatore ideale di tensione sinusoidale,

i h (t) = J mh cos(ωt + β h )

generatore ideale di corrente sinusoidale.

(28)

Applicando le proprietà dei fasori, dalle (27) e (28) si ottengono ulteriori equazioni (tante quanti sono i bipoli) per i fasori rappresentativi delle correnti e delle tensioni. Per i bipoli lineari e tempoinvarianti esse sono

291

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

V k − R Ik = 0

resistori,

i ωCV k − Ik = 0

condensatori,

V k − i ωL I k = 0

induttori,

(29)

e per i generatori indipendenti esse sono

V k = E = Emk ei α k Ih = J = Jmh e

i βh

generatore ideale di tensione simbolico,

(30)

generatore ideale di corrente simbolico.

Per converso, le (29) e (30) implicano, grazie alla proprietà di unicità e alla regola di derivazione, rispettivamente, le (27) e (28). A questo punto possiamo riassumere attraverso il quadro descritto in Tabella I. In questa tabella sono riportate le equazioni circuitali nel dominio del tempo e nel dominio simbolico. Il simbolo ⇔ sta a indicare che le equazioni nel dominio del tempo implicano quelle nel dominio simbolico e viceversa. Tabella I Formulazione delle equazioni di un circuito lineare, tempo-invariante e dissipativo in regime sinusoidale tramite i fasori.

dominio del tempo

dominio simbolico

i(t) = (i1 (t),...,i b (t))T

I = (I1,...,I b )T

v(t) = (v1 (t ),...,vb (t))T

V = (V1 ,...,V b )T

 A i(t) = 0   Bv(t) = 0  vk − R k i k = 0 C k dvk / dt − i k = 0  v − L di / dt = 0  k k k

equazioni di Kirchhoff



AI = 0   BV = 0

equazioni caratteristiche V − R k Ik = 0 bipoli lineari tempo-invarianti  k ⇔ (i ωC k )V k − Ik = 0 V − (i ωL )I = 0 k k k

equazioni caratteristiche generatori ideali  vk = e k (t) = Emk cos(ωt + α k ) ⇔  i h = j h (t) = Jmh cos(ωt + β h )

V k = Ek = Emk e i α k  iβ I h = J h = J mh e h

Le equazioni circuitali corrispondenti nel dominio dei fasori sono lineari e algebriche. È evidente, allora, che conviene trasformare le equazioni circuitali del dominio del tempo nelle corrispondenti del dominio simbolico, risolvere le equazioni algebriche del dominio simbolico e ricostruire, quindi, la soluzione nel dominio del tempo attraverso la (12). La proprietà di unicità assicura che la procedura fornisce la soluzione del problema originale.

292

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

8.3.1 Circuito di impedenze Le equazioni circuitali nel dominio simbolico di un circuito in regime sinusoidale sono analoghe a quelle di un circuito resistivo lineare. Si osservi che, le equazioni caratteristiche dei bipoli lineari nel dominio simbolico sono tutte dello stesso tipo, cioè sono tutte riconducibili alla forma

V = ZÝI ,

(30)

dove la grandezza ZÝ è indipendente dal fasore della corrente e dal fasore della tensione, e vale

per il resistore di resistenza R, R 1 ZÝ =  per il condensatore di capacità C, iωC iωL per l' induttore di induttanza L;

(31)

ZÝ prende il nome di operatore di impedenza o semplicemente impedenza del bipolo corrispondente, (Tabella II). L’inverso dell’impedenza YÝ = 1 / ZÝ prende il nome di ammettenza del bipolo. Si noti che il valore dell’impedenza, e quindi anche dell’ammettenza, dipende, in generale, dal valore della pulsazione ω. Tabella II Impedenze dei bipoli lineari tempo invarianti elementari.

In generale l’impedenza ZÝ di un bipolo lineare e tempo-invariante funzionante in regime sinusoidale è il rapporto tra il fasore rappresentativo della tensione e il fasore rappresentativo della corrente (con la convenzione dell'utilizzatore),

V ZÝ = . I

(32)

Per la linearità l'impedenza ZÝ è indipendente sia dal fasore della tensione che da quello della corrente. L'impedenza è, in generale, un numero complesso: la parte reale e la parte immaginaria, e

293

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

quindi anche il modulo, sono omogenei dimensionalmente con una resistenza e quindi si misurano in ohm. Osservazione I fasori sono numeri complessi che rappresentano correnti e tensioni sinusoidali con una pulsazione assegnata. Le impedenze, invece, sono numeri complessi che rappresentano le relazioni tra le correnti e le tensioni dei bipoli quando esse variano nel tempo con legge sinusoidale alla pulsazione ω. Per questa ragione all'impedenza si dà anche il nome di operatore di impedenza. Le equazioni circuitali nel dominio simbolico possono essere interpretate come le equazioni di un circuito ausiliario di natura “simbolica” così definito: •

il grafo del circuito simbolico coincide con il grafo del circuito in regime sinusoidale in esame;



a ogni bipolo lineare corrisponde un “bipolo simbolico” con impedenza corrispondente definita in base alle (31);



a ogni generatore di tensione indipendente sinusoidale con tensione e k (t) corrisponde un “generatore di tensione simbolico” indipendente, con fasore Ek , e a ogni generatore di corrente indipendente sinusoidale con corrente j k (t) corrisponde un “generatore di corrente simbolico” indipendente, con fasore J h .

Il circuito “simbolico”

così definito prende il nome di rete di impedenze, (Tabella III). Esso

può essere inteso come il corrispondente nel dominio simbolico del circuito in regime sinusoidale in esame nel dominio del tempo. Il modello matematico delle reti di impedenze è analogo a quello delle reti di soli elementi statici lineari e generatori indipendenti, quindi possono essere risolte utilizzando le metodologie descritte nel Capitolo 5. Tabella III Rete di impedenze.

AI = 0   BV = 0 V k − ZÝk Ik = 0 V k = Ek   Ih = J h

equazioni di Kirchhoff resistore  R equazioni caratteristiche ZÝk (iω) = 1 / (i ωC) condensatore impedenze operatoriali i ωL induttore  equazioni caratteristiche generatori indipendenti

294

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Procedura per la soluzione di un circuito Nω in regime sinusoidale (a)

si costruisca la rete di impedenze

corrispondente;

(b)

si risolva la rete di impedenze

(c)

delle tensioni; la soluzione della rete Nω in regime sinusoidale è data nel dominio del tempo da

: siano Ik , V k

k = 1, 2, ..., b i fasori delle correnti e

i k (t) = Re{Ik e i ωt }, v k (t ) = Re{Vk ei ωt } k = 1, 2, ..., b . Se nel circuito in regime sinusoidale ci sono anche elementi lineari a più terminali, come i trasformatori ideali, i generatori controllati, gli amplificatori operazionali (modello lineare), i giratori e gli induttori accoppiati, il metodo, che è stato appena illustrato, resta ancora valido. Le equazioni caratteristiche nel dominio simbolico degli elementi statici sono le stesse del dominio del tempo. Le equazioni caratteristiche degli elementi dinamici bisogna ricavarle applicando la regola della derivazione. Ad esempio, le equazioni caratteristiche nel dominio simbolico del doppio bipolo che descrive due circuiti accoppiati (trasformatore) sono:

V1 = i ωL1 I1 + iωM I2

(33)

V1 = i ωM I1 + i ωL 2 I2

dove L 1, L 2 e M sono, rispettivamente, i coefficienti di autoinduzione del circuito “1”, del circuito “2” e il coefficiente di mutua induzione. Ora illustreremo questa procedura attraverso un esempio. Esempio Si consideri il circuito in regime sinusoidale rappresentato in figura 3a. Applicheremo il metodo simbolico per determinare la corrente i L (t) che circola nell'induttore. I dati del problema sono

j(t) = 2 sin(1000 t), R = 2, L = 2 mH, C = 0.25 mF . La pulsazione ω della corrente j(t) del generatore di corrente è 1000 , l'ampiezza massima della corrente è 2, e la fase è uguale a − π / 2 (perché j(t) = 2 sin(1000 t) = 2 cos(1000 t − π / 2) ).

Figura 3

Rete in regime sinusoidale (a) e rete di impedenze corrispondente (b).

Si costruisca la rete di impedenze (i) (ii)

corrispondente (figura 3b), operando nel seguente modo:

ha lo stesso grafo orientato della rete in esame; ad ogni bipolo lineare della rete in regime sinusoidale corrisponde una impedenza secondo la tabella II;

295

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

(iii) al generatore indipendente di corrente corrisponde il generatore simbolico di corrente caratterizzato dal fasore rappresentativo della corrente. − i π/2

Il fasore J rappresentativo della j(t) è J = 2 e

= − 2i . Le impedenze ZÝR , ZÝL , ZÝC ,

rappresentative, rispettivamente, del resistore, dell'induttore e del condensatore sono date da ZÝR = 2, ZÝL = 2 i, ZÝC = −4i . Dopo avere costruito la rete di impedenze, bisogna risolverla. Siccome interessa calcolare la corrente i L (t) nell'induttore, basta determinare la corrente simbolica IL che “circola” nell'impedenza

ZÝL . La rete di impedenze è descritta da un modello matematico identico a quello delle reti di soli elementi statici lineari e generatori indipendenti. Quindi può essere risolta utilizzando le stesse metodologie. Siccome le tre impedenze ZÝR , ZÝL , ZÝC sono in parallelo con il generatore di corrente simbolico J , la corrente IL può essere determinata applicando la regola del partitore di corrente al circuito simbolico

. Operando in questo modo si ottiene

ZÝeq IL = J Ý , Z eq + ZÝL

(34)

dove ZÝeq è l'impedenza equivalente del parallelo costituito da ZÝR e ZÝC e vale

ZÝ ZÝC 8i 8 − 4i 4 − i arctan(0.5) . ZÝeq = Ý R Ý =− = = e ZR + Z C 2 − 4i 5 5

(35)

Pertanto si ha (tutte i calcoli sono stati svolti troncando dopo le prime due cifre significative)

ZÝeq 1.79e − i 0.46 3.58e − i 2.03 − i 2.67 IL = J Ý = −2i = = 1.79e . i 0.64 Ý 8 − 4i Z eq + ZL 2e + 2i 5

(36)

Dopo avere risolto il circuito di impedenze (in questo caso è stato calcolato il fasore rappresentativo della corrente i L (t) ) bisogna costruire la funzione reale corrispondente nel dominio del tempo attraverso la (12). La proprietà di unicità assicura che la procedura fornisce la soluzione del problema originale. Applicando la (12) si ottiene la corrente i L (t) nel dominio del tempo

IL = 1.79e− i 2.67 ⇒ i L (t) = 1.79cos(1000t − 2.67) .

(37)

Operando in questo modo è possibile determinare tutte le altre grandezze. Il lettore determini la corrente nel resistore e la tensione sul condensatore.

8.4 Proprietà delle reti di impedenze Il modello matematico di un circuito di impedenze , corrispondente a un circuito in regime sinusoidale Nω, è lo stesso modello che descrive un circuito resistivo lineare (in esso non vi sono operazioni di derivazione). Pertanto per le reti di impedenze valgono molte proprietà illustrate per le reti resistive lineari (teorema di Tellegen, sovrapposizione degli effetti, teorema di Thevénin-Norton,

296

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

teorema della reciprocità). Inoltre sono estensibili i concetti di equivalenza, e le regole del partitore di corrente e di tensione e il concetto di N-polo e M-porte con le relative matrici di rappresentazione e alcune proprietà. 8.4.1 Metodo dei potenziali di nodo e delle correnti di maglia L'insieme dei fasori rappresentativi delle tensioni verifica le equazioni di Kirchhoff per le tensioni, e quindi è possibile rappresentare il fasore corrispondente alla tensione del generico lato (bipolo o porta) come differenza dei fasori rappresentativi dei potenziali dei due nodi a cui il lato è connesso, V q = Er − Es . Pertanto si ha

BV = 0

V = AT E ,



(38) T

dove E è il vettore colonna complesso (E1 , E2 , ..., E n−1 ) ed Ek è il fasore rappresentativo del potenziale del k-esimo nodo (n sono i nodi del circuito e si è posto En = 0 ). L'insieme dei fasori rappresentativi delle correnti verifica le equazioni di Kirchhoff per le correnti, e quindi è possibile rappresentare il fasore della corrente del generico lato (bipolo o porta) come somma algebrica dei fasori rappresentativi delle correnti di maglia che circolano in quel lato, Ik = ∑ (±) Jh . Pertanto si ha h

AI = 0

I = BT J ,



(39) T

dove J è il vettore colonna complesso (J1 , J 2 , ..., J b−( n−1) ) ed J k è il fasore rappresentativo della corrente di maglia della k-esima maglia fondamentale (le maglie fondamentali sono b-(n-1)). 8.4.2 Potenza virtuale complessa, Teorema di Tellegen, conservazione delle potenze elettriche complesse Si considerino due reti di impedenze l'insieme dei fasori delle correnti della rete rete

che hanno lo stesso grafo orientato. Sia I1′,..., Ib′

e

e V1′,..., ′ V b′′ l'insieme dei fasori delle tensioni della

. Si definisce la potenza virtuale complessa Sk assorbita dal k-esimo lato come

Sk ≡

1 V k′′I k′∗ ; 2

(40)

è possibile definire anche altre potenze virtuali complesse, come, ad esempio, V k′′Ik′ , come poi ∗ vedremo, ma quella definita attraverso la (40) è quella che ha un “significato” fisico. Il simbolo I indica che si considera il numero complesso coniugato del numero complesso iφ



I = a + i b = Im e , allora I = a − i b = Im e

−iφ

(vedi Appendice E).

Teorema di Tellegen La somma delle potenze virtuali complesse assorbite da un circuito è uguale a zero,

I : se

297

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

1 ’’ ’∗ V k I k = 0. k=1 2

b

b

∑S k = ∑

k=1

(41) ’∗

Per dimostrare la (41) basta osservare che anche i fasori Ik (k=1, 2, ..., b), complessi coniugati dei ’

fasori Ik delle correnti, verificano le equazioni di Kirchhoff per le correnti, cioè ’ ’∗ ∑ (± )I’k = 0 ⇔ ∑ (± ) I’∗ k = 0 oppure A I = 0 ⇔ A I = 0 . k

(42)

k

Se le due reti di impedenze

e

sono identiche, cioè esse hanno le stesse impedenze e gli

stessi generatori e gli elementi sono collegati allo stesso modo, gli insiemi dei fasori delle correnti I1′,..., Ib′ e delle tensioni V1′,..., ′ V b′′ appartengono allo stesso circuito Nω. In questo caso al prodotto definito dalla (40) si dà il nome di potenza elettrica complessa assorbita dall'elemento e si indica con

Pk ≡

1 V k Ik∗ . 2

(43)

(Abbiamo eliminato ′ e ′′ perché non c'è più bisogno di distinguere tra i due circuiti). In seguito discuteremo il significato della potenza elettrica complessa (43). La potenza complessa in una rete di impedenze si conserva. Teorema della conservazione delle potenze elettriche complesse La somma delle potenze elettriche complesse assorbite dagli elementi di una rete di impedenze è uguale a zero, b

b

1 Vk Ik∗ = 0 . k=1 2

∑ Pk = ∑

k=1

8.4.3

(44)

Sovrapposizione degli effetti, equivalenze serie e parallelo, partitore di tensione, partitore di corrente.

La proprietà della sovrapposizione degli effetti vale per le reti di impedenze, perché il modello matematico che le descrive è costituito da sole equazioni lineari. Se una rete di impedenze con più generatori indipendenti ammette una e una sola soluzione, i fasori delle correnti e delle tensioni sono uguali alla somma dei fasori dovuti a ciascun generatore indipendente agente da solo. Il concetto di equivalenza introdotto per le reti resistive può essere esteso alle reti di impedenze senza nessuna limitazione. - Equivalenza serie Le due impedenze ZÝ1 e ZÝ2 siano collegate in serie, (figura 4). Il bipolo simbolico di impedenza

ZÝeq = ZÝ1 + ZÝ2 , è equivalente alla serie delle impedenze ZÝ1 e ZÝ2 .

(45)

298

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Figura 4 Serie di impedenze. - Partitore di tensione Sia V il fasore della tensione sulla serie delle due impedenze ZÝ1 e ZÝ2 (figura 4). Il fasore delle tensione V1 del bipolo di impedenza ZÝ1 e il fasore della tensione V 2 del bipolo di impedenza ZÝ2 sono (i riferimenti per i versi delle tensioni sono quelli di figura 4)

ZÝ ZÝ V1 = V Ý 1 Ý , V2 = V Ý 2 Ý . Z1 + Z 2 Z1 + Z2

(46)

- Equivalenza parallelo Le due impedenze ZÝ1 e ZÝ2 siano collegate in parallelo, (figura 5). Il bipolo simbolico di impedenza

ZÝ ZÝ ZÝeq = Ý 1 2 Ý , Z1 + Z2

(47)

ovvero di ammettenza

YÝeq = YÝ1 + YÝ2 ,

(48)

è equivalente al parallelo delle impedenze ZÝ1 e ZÝ2 , dove YÝ1 = 1/ ZÝ1 , YÝ2 = 1 / ZÝ2 .

Figura 5

Parallelo tra due impedenze.

- Partitore di corrente Sia I il fasore della corrente che circola nel parallelo delle due impedenze ZÝ1 e ZÝ2 (figura 5). Il fasore della corrente I1 del bipolo di impedenza ZÝ1 e il fasore della corrente I2 del bipolo di impedenza ZÝ2 sono (i riferimenti per i versi delle correnti sono quelli di figura 5)

299

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

ZÝ ZÝ I1 = I Ý 2 Ý , I2 = I Ý 1 Ý . Z1 + Z2 Z1 + Z2

(49)

I casi in cui ci sono serie e paralleli che contengono anche generatori indipendenti si trattano allo stesso modo di quelli considerati nel Capitolo 6. Inoltre è possibile trasformare qualsiasi triangolo di sole impedenze in una stella equivalente e viceversa, utilizzando le formule introdotte per i resistori nel Capitolo 5. 8.4.4 Bipolo di impedenze Si consideri un bipolo

composto da sole impedenze (non ci sono generatori indipendenti),

(figura 6). La relazione tra il fasore della tensione V e il fasore della corrente I è lineare,

V = ZÝeq I ovvero

I = YÝeq V ,

(50)

dove YÝeq = 1/ ZÝeq . Per la linearità l'impedenza equivalente ZÝeq è un numero complesso indipendente sia da V che da I : ZÝeq dipende solo dalle impedenze che costituiscono

e da

costituito da sole impedenze può come sono connesse tra loro. Pertanto un qualsiasi bipolo Ý essere rappresentato da un solo bipolo equivalente di impedenza Zeq .

Figura 6

Bipolo di impedenze

Per ottenere le impedenze di bipoli costituiti da elementi circuitali elementari, spesso è sufficiente applicare le regole del parallelo, della serie e le trasformazioni stella-triangolo. Esempio Si consideri il bipolo in regime sinusoidale costituito da un resistore di resistenza R, un induttore di induttanza L e un condensatore di capacità C collegati in serie (bipolo RLC serie), (figura 7a).

Figura 7

Circuito RLC serie (a) e circuito RLC parallelo (b).

L'impedenza ZÝs del bipolo è

ZÝs = R + i[ωL − 1/ (ωC)] .

(51)

300

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

La parte reale di ZÝs è maggiore di zero se R>0, mentre la parte immaginaria cambia segno al variare della pulsazione ω. L'ammettenza YÝp di un bipolo in regime sinusoidale costituito da un resistore di resistenza R, un induttore di induttanza L e un condensatore di capacità C collegati in parallelo (bipolo RLC parallelo, figura 7b), è

YÝ p = 1/ R + i[ωC − 1 / (ωL)] ,

(52)

e l'impedenza è ZÝp = 1 / YÝp . La parte reale di YÝp è maggiore di zero se R>0, mentre la parte immaginaria cambia segno al variare della pulsazione ω. Il lettore verifichi che anche la parte reale di ZÝp è maggiore di zero se R>0. In generale l'operatore di impedenza ZÝ corrispondente a un bipolo lineare in regime sinusoidale è rappresentato da un numero complesso con parte reale e parte immaginaria diverse da zero,

ZÝ = R + iX .

(53)

Alla parte reale R si dà il nome di “resistenza” e alla parte immaginaria X il nome di reattanza. L'impedenza del resistore ha solo parte reale diversa da zero ed è uguale alla resistenza del resistore, mentre quelle del condensatore e dell'induttore hanno solo parte immaginaria diversa da zero. La reattanza del condensatore è data da

Xc = −

1 , ωC

(54)

ed è negativa se la capacità è positiva (con la convenzione dell'utilizzatore), e la reattanza dell'induttore è data da

X L = ωL ,

(55)

ed è positiva se l'induttanza è positiva (sempre con la convenzione dell'utilizzatore). La reattanza di un generico bipolo si dice di tipo induttivo se X è maggiore di zero, e di tipo capacitivo se X è minore di zero. Poi verificheremo che la parte reale dell'impedenza di un bipolo costituito da resistori, induttori e condensatori passivi è sempre positiva, se si adotta la convenzione dell'utilizzatore. 8.4.5 Generatore equivalente di Thévenin-Norton Si consideri, ora, un bipolo

composto da impedenze e generatori indipendenti, (figura 8). Si

assuma che la rete di impedenze ottenuta collegando il bipolo

a un generatore ideale di corrente

(è sempre un generatore simbolico) ammetta una e una sola soluzione. Allora

può essere

rappresentato attraverso il generatore equivalente di tensione (generatore equivalente di Thévenin, figura 8)

301

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Figura 8

V = ZÝeq I + E0 ,

(56)

dove:

ZÝeq , detta impedenza equivalente di Thévenin, è l'impedenza equivalente del bipolo

dopo

avere spento tutti i generatori ideali all'interno di esso;

E0 , detto fasore della tensione a vuoto, è la tensione fra i terminali “1” e “2” di

quando

esso è collegato a un circuito aperto. Si assuma, ora, che la rete di impedenze ottenuta collegando il bipolo di tensione ammetta una e una sola soluzione. Allora

a un generatore ideale

può essere rappresentato attraverso il

generatore equivalente di corrente (generatore equivalente di Norton, figura 9)

Figura 9

Ý V+ J , I=Y eq 0

(57)

dove:

YÝ eq , detta ammettenza equivalente di Norton, è l'ammettenza equivalente del bipolo

,

dopo avere spento tutti i generatori ideali all'interno di esso;

J0 , detto fasore della corrente di corto circuito, è il fasore della corrente del bipolo quando esso è collegato a un corto circuito. Ý ≠ 0 si ha ZÝ = 1 / Y Ý e J = − E / ZÝ , e quindi la caratterizzazione Quando ZÝeq ≠ 0 e Y eq eq eq 0 0 eq

secondo Thévenin è completamente equivalente a quella secondo Norton. Esempio Si consideri il circuito in regime sinusoidale illustrato in figura 10a. I parametri del circuito sono e(t ) = 10cos(100t + π / 4), L = 10mH, C = 10mF, R = 1. Determinare la corrente i(t) nel resistore utilizzando il teorema di Thévenin. In figura 10b è rappresentato il circuito di impedenze corrispondente e in figura 11 è rappresentato il circuito equivalente di Thévenin. Bisogna determinare la tensione a vuoto, cioè la tensione tra i

302

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

nodi “1” e “2” dopo che è stato sconnesso il resistore e l'impedenza equivalente dopo avere spento il generatore di tensione. La tensione a vuoto E (vedi circuito figura 10c) è

E = 10(1− i) = 10 2 e − i π /4 ,

(58)

e l'impedenza equivalente è (vedi circuito figura 10d)

−i   i − i+  2 −i 1− i  Ý =− = 1+ 2i . Z= −i i − i+ +i 1− i

(59)

Pertanto la corrente I vale

I=

E 10 2 e − i π/4 = = 5 2 e − i π/2 , Ý R+Z 1 + 1 + 2i

quindi i(t ) = 5 2 sin(100t) .

Figura 10

Circuito in esame e circuito nel dominio simbolico.

Figura 11

Circuito equivalente di Thévenin.

8.4.6 Proprietà della reciprocità e caratterizzazione di un doppio bipolo di impedenze

(60)

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

303

Per una rete di impedenze corrispondente ad un circuito in regime sinusoidale costituito da resistori, induttori, condensatori e trasformatori valgono le tre forme della proprietà di reciprocità illustrate nel Capitolo 5 per i circuiti resistivi lineari. Le relazioni (42), (46) e (47) del Capitolo 5 valgono per i fasori rappresentativi delle corrispondenti grandezze sinusoidali. Questa proprietà continua a non valere se la rete contiene elementi non reciproci come il giratore, l'amplificatore operazionale, i generatori controllati. Si consideri, ora, un doppio bipolo di impedenze, cioè una rete di sole impedenze con quattro terminali, associati a due a due, in modo tale da costituire due porte. Si assuma che il doppio bipolo possa essere caratterizzato su base corrente. La relazione tra la coppia dei fasori delle tensioni di porta V1, V 2 e la coppia dei fasori delle correnti di porta I1 , I 2 è

V1 = ZÝ11I1 + ZÝ12 I 2 , Ý21I1 + ZÝ22 I 2 , V2 = Z

(61)

dove ZÝ hk , h=1, 2 e k=1, 2, sono operatori di impedenza, in generale complessi, indipendenti dai fasori delle tensioni e delle correnti. Essi sono gli elementi della matrice delle impedenze del doppio bipolo. Se il doppio bipolo è caratterizzato su base tensione, il legame tra i fasori delle Ý , correnti e delle tensioni di porta è descritto dalla matrice delle ammettenze Y ij

Ý V +Y Ý V , I1 = Y 11 1 12 2 Ý21V1 + Y Ý22 V2 . I2 = Y

(62)

In generale è possibile caratterizzare un M-porte e un N-polo di impedenze così come si caratterizzano un M-porte e un N-polo di resistori lineari. Proprietà della matrice delle impedenze e delle ammettenze (i) La matrice delle impedenze (ammettenze), se è invertibile, è l'inversa della matrice delle ammettenze (impedenze). Se si escludono casi molto particolari, privi di importanza, le matrici delle impedenze e delle ammettenze sono sempre invertibili. (ii) Le matrici delle impedenze e delle ammettenze sono simmetriche se il circuito di impedenze contiene elementi simbolici reciproci. Questa proprietà è diretta conseguenza della proprietà della reciprocità. (iii) Non c'è nessuna relazione tra gli elementi appartenenti alla diagonale principale e gli elementi fuori diagonale perché per le reti di impedenze, in generale, non vale nessuna proprietà di non amplificazione. 8.4.7 Diagrammi fasoriali Alla funzione sinusoidale a(t) = Am cos(ωt + ϕ) è associato il fasore rappresentativo

A = Ame i ϕ = a+ ib . È possibile rappresentare il numero complesso A nel piano complesso (piano di Gauss) come un vettore congiungente l'origine con il punto di coordinate rettangolari (a,b) o coordinate polari (Am ,ϕ) , (figura 12).

304

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Le equazioni di Kirchhoff per i fasori delle correnti e delle tensioni e le equazioni di lato possono essere rappresentate graficamente tracciando i vettori corrispondenti ai fasori rappresentativi delle correnti e delle tensioni. In figura 13 sono rappresentati i diagrammi fasoriali per la tensione e la corrente di un resistore, un induttore e un condensatore.

Figura 12

Rappresentazione grafica del fasore A rappresentativo della funzione sinusoidale a(t) .

Figura 13

Rappresentazione delle caratteristiche del resistore, induttore e condensatore tramite i diagrammi fasoriali.

8.5 Potenza ed energia in regime sinusoidale Si consideri una rete Nω in regime sinusoidale. La potenza elettrica istantanea assorbita dal generico bipolo della rete è

p(t) = i(t)v(t) = I m V m cos(ωt + α)cos(ωt + β) ;

(63)

la corrente e la tensione del bipolo sono i(t ) = Im cos(ωt + α), v(t) = V m cos(ωt + β) , rispettivamente, e i loro riferimenti per i versi sono scelti in accordo alla convenzione dell'utilizzatore. Applicando l'identità 2cos xcos y = cos(x + y) + cos(x − y) si ottiene:

p(t) =

1 1 Im V m cos(α − β) + Im V m cos(2ωt + α + β) . 2 2

(64)

La potenza elettrica istantanea assorbita da un generico bipolo di una rete in regime sinusoidale è la somma di un termine sinusoidale a pulsazione 2ω e un termine costante, quindi è una funzione periodica di periodo T/2 (oscilla due volte nel periodo T=2π/ω). La potenza media in un periodo T (il valore medio della p(t) su un periodo T), è data da

Pm =

1T 1 ∫ p(τ)dτ = ImV m cos(α − β) . T0 2

(65)

305

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Essa è uguale al termine costante dell'espressione (64). Il valore medio del termine fluttuante della potenza istantanea è uguale a zero perché esso è una funzione sinusoidale di periodo T/2. L'energia assorbita dal bipolo in regime sinusoidale nell'intervallo di tempo (0,ˆt ) può essere espressa attraverso la relazione ˆt

ˆt

0

nT

w(0,ˆt ) = ∫ p(τ)dτ = (n T) Pm + ∫ p(τ)dτ ,

(66)

dove il numero intero n è tale che ˆt = nT + ∆t , con ∆t < T (esso rappresenta il numero di periodi T contenuti nell'intervallo di tempo (0,ˆt ) ). Se n >> 1 il contributo all'energia assorbita nell'intervallo di tempo (0,ˆt ) dovuto al termine fluttuante della potenza istantanea può essere trascurabile rispetto a quello dovuto al termine costante. In questi casi si ha

w(0,ˆt ) ≅ (n T)Pm ≅ ˆt Pm .

(67)

Osservazione La potenza media dipende non solo dalle ampiezze massime delle sinusoidi v(·) e i(·), ma anche dalle relative differenze di fase (α − β) : poi verificheremo che questa differenza è indipendente sia da α che da β, dipende solo dalla costituzione fisica del bipolo e cioè dall'argomento del impedenza ad esso corrispondente. Il fattore cos(α − β) , detto fattore di potenza, è di estrema importanza nell'ingegneria dei sistemi di potenza che funzionano in regime sinusoidale. Ora siamo in grado di illustrare il significato fisico della potenza elettrica complessa, assorbita dal bipolo,

P=

1 ∗ VI 2

(68)

introdotta nel paragrafo precedente. I fasori rappresentativi della corrente e della tensione del bipolo sono, rispettivamente,

I = I m ei α , V = Vm eiβ ,

(69)

quindi la potenza elettrica complessa assorbita è il numero complesso

P=

1 1 1 Im V m ei(β −α ) = I m V m cos(β − α ) + i Im V m sin(β − α) = Pm + iQ , (70) 2 2 2

Q≡

1 Im Vm sin(β − α) . 2

dove

(71)

La parte reale della potenza complessa P è uguale alla potenza elettrica media assorbita dal bipolo,

Re{ P } =

1 Im Vm cos(β − α) = Pm . 2

(72)

306

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

La parte immaginaria di P prende il nome di potenza reattiva assorbita e si denota con la lettera Q. La potenza reattiva, a differenza della potenza media, non ha nessun significato fisico.

Al

modulo della potenza complessa si dà il nome di potenza apparente, A ≡ P . Per la potenza apparente si ha

A=

1 V m Im = 2

Pm2 + Q2 .

(73)

La potenza media e la potenza reattiva assorbite da un bipolo possono essere espresse come

Pm = A cos(α − β) , Q = A sin(β − α) .

(74) (75)

L'unità di misura nel SI della potenza elettrica media è la stessa unità di misura della potenza istantanea, cioè il watt. Invece l'unità di misura della potenza reattiva è il “ VAr ” (volt-ampere reattivo) e l'unità di misura della potenza apparente è il “ VA ” (volt-ampere). Pur non avendo la potenza reattiva assorbita da un bipolo in regime sinusoidale nessun significato fisico, essa ha una proprietà molto importante. Conservazione delle potenze medie e delle potenze reattive Si consideri una rete in regime sinusoidale. • La somma delle potenze elettriche medie assorbite dagli elementi della rete è uguale a zero, b

∑ Pm h = 0 .

(76)

h =1

• La somma delle potenze reattive assorbite dagli elementi della rete è uguale a zero, b

∑ Qh = 0 .

(77)

h =1

Queste due proprietà sono una immediata conseguenza della conservazione della potenza elettrica complessa in una rete di impedenze. Pertanto la conservazione della potenza elettrica complessa non solo dà la conservazione della potenza media, ma anche quella della potenza reattiva. Quindi se un certo elemento di una rete assorbe potenza reattiva, allora ci devono essere altri elementi del circuito che devono produrla (generatori indipendenti o altri elementi). Questo risultato è d'importanza fondamentale nell'ingegneria delle reti elettriche di potenza. La potenza apparente, essendo una grandezza definita positiva, non può verificare nessuna proprietà di conservazione. 8.5.1 Proprietà energetiche dei bipoli elementari in regime sinusoidale e rifasamento - Resistore Si consideri un resistore di resistenza R percorso dalla corrente i(t ) = Im cos(ωt + α) ; il fasore iα rappresentativo è I = I m e . Dalla relazione caratteristica del resistore V = R I (convenzione dell'utilizzatore), si ha che il fasore V = Vm e



rappresentativo della tensione è in fase con quello

307

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

della corrente I , cioè α = β , e quindi il fattore di potenza cos(β − α ) è uguale a 1, (figura 13). Di conseguenza la potenza complessa assorbita dal resistore ha parte immaginaria uguale a zero, e quindi la potenza reattiva è nulla. La potenza media assorbita è data da

Pm =

Vm Im R Im2 V m2 = = ; 2 2 2R

(78)

essa è positiva se il bipolo è passivo. La potenza istantanea assorbita dal resistore è data da

p(t) =

2 R Im [1 + cos(2ωt + α)] ; 2

(79) 2

essa è una funzione periodica di periodo T/2 che oscilla tra 0 e R Im , ed ha quindi valore medio diverso da zero sul periodo T. - Condensatore Si consideri un condensatore di capacità C percorso dalla corrente i(t ) = Im cos(ωt + α) ; il iα fasore rappresentativo è I = I m e . Dalla relazione caratteristica del condensatore V = i Xc I (convenzione dell'utilizzatore), dove

XC = −1 / (ωC) , si ha che il fasore V = Vm e iβ

rappresentativo della tensione è sfasato di 90° in ritardo rispetto al fasore della corrente I (la capacità C è maggiore di zero), cioè β = α − π / 2 , e quindi il fattore di potenza cos(β − α ) è uguale a 0. Di conseguenza la potenza complessa assorbita dal condensatore ha parte reale uguale a zero e quindi la potenza media assorbita dal condensatore è uguale a zero; la potenza reattiva assorbita è negativa (la reattanza del condensatore passivo è minore di zero) e vale

V m Im Xc Im2 V m2 . QC = − = = 2 2 Xc 2

(80)

La potenza istantanea assorbita dal condensatore è data da (la tensione del condensatore è

v(t) = V m cos(ωt + β) ) p(t) =

2 ωCV m cos[2(ωt + β + π / 4)] ; 2

(81)

2 2 2 essa è una funzione periodica di periodo T/2, che oscilla tra − 12 ωCVm e 12 ωCV m ; 12 CV m è il

valore massimo dell'energia immagazzinata nel condensatore. Il valore medio su un periodo della potenza istantanea assorbita dal condensatore è nullo, come previsto, perché non c'è dissipazione di energia: il condensatore è un bipolo conservativo. - Induttore Si consideri un induttore di induttanza L percorso dalla corrente i(t ) = Im cos(ωt + α) ; il fasore iα rappresentativo è I = I m e . Dalla relazione caratteristica dell'induttore V = iXL I (convenzione iβ

dell'utilizzatore), dove X L = ωL , si ha che il fasore V = Vm e rappresentativo della tensione è sfasato di 90° in anticipo rispetto al fasore della corrente I (l'induttanza L è maggiore di zero), cioè

308

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

β = α + π / 2 , e quindi il fattore di potenza cos(β − α ) è di nuovo uguale a 0. Di conseguenza la potenza complessa assorbita dall'induttore ha parte reale uguale a zero, come nel caso del condensatore, e quindi la potenza media assorbita dall'induttore è uguale a zero. La potenza reattiva è positiva (la reattanza dell'induttore passivo è maggiore di zero) e vale

V m I m X L Im2 Vm2 . QL = = = 2 2 XL 2

(82)

La potenza istantanea assorbita dall'induttore è data da

p(t) =

ωL Im2 cos[ 2(ωt + α + π / 4)] ; 2

(83)

2 2 2 anch'essa è una funzione periodica di periodo T/2, che oscilla tra − 12 ωL Im e 12 ωL I m ; 12 L Im è il

massimo dell'energia immagazzinata nell'induttore. La potenza media assorbita dall'induttore calcolata su un periodo è nulla, come previsto, non essendoci dissipazione di energia: l'induttore, come il condensatore, è un bipolo conservativo. - generatori indipendenti Si consideri un generatore indipendente di tensione e(t ) = E m cos(ωt + ϕ) ; il fasore iϕ rappresentativo è E = E m e ed è indipendente da quello della corrente. La corrente che in esso circola dipende dal circuito a cui il generatore è connesso. Di conseguenza non è possibile dire niente circa la potenza complessa assorbita (e quindi la potenza media e la potenza reattiva), dal generatore di tensione senza specificare il circuito a cui esso è collegato. Le stesse considerazioni valgono per il generatore indipendente di corrente sinusoidale. Se i generatori erogano energia, allora la potenza media erogata è positiva. - Applicazione: rifasamento Si consideri il circuito rappresentato in figura 14a. Esso è in regime sinusoidale. Determinare la potenza media e la potenza reattiva erogate dal generatore di tensione sinusoidale e(t ) = E m cos(ωt + ϕ) .

Figura 14 Circuito da rifasare (a) e circuito rifasato (b). Il fasore rappresentativo della tensione è

E = E m e iϕ , mentre quello della corrente

i(t ) = Im cos(ωt + α) è I = I m e iα . Siccome l'impedenza equivalente della serie costituita dal resistore e dall'induttore è ZÝeq = R + iωL , il fasore I è dato da

309

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

E E − ig I= Ý = e γ, Zeq Z eq

(84)

ZÝeq = Z eq e iγ = R + iωL, Z eq = R 2 + (ωL) 2 , γ = arctg(ωL / R) .

(85)

dove

Il fasore della corrente I è in ritardo di un angolo γ rispetto a quello della tensione E del generatore. La potenza complessa erogata dal generatore di tensione è ∗ ˆ = E I = Em Im (cos γ + i sinγ ) , P 2 2

(86)

pertanto la potenza media erogata dal generatore è 2 ˆ = Re{ Pˆ } = Em Im cos γ = Em cosγ , P m 2Z eq 2

(87)

e la potenza reattiva erogata è

E I E2 Qˆ = Im{ Pˆ } = m m sin γ = m sin γ . 2 2Z eq

(88)

Essendo 0 < γ < π / 2 , la potenza media e la potenza reattiva erogate dal generatore sono entrambe positive, cioè il generatore in questo circuito eroga potenza elettrica media e potenza reattiva. Questo risultato è in accordo con quanto si potrebbe prevedere applicando la conservazione delle potenze medie e delle potenze reattive. Siccome la potenza media assorbita dall'induttore è uguale a zero, la potenza media che assorbe il resistore deve essere erogata necessariamente dal generatore. Inoltre, siccome la potenza reattiva assorbita dal resistore è uguale a zero, la potenza reattiva che assorbe l'induttore deve essere erogata necessariamente dal generatore. Si consideri ora il circuito di figura 14b. Esso è stato ottenuto dal circuito illustrato in figura 14a, aggiungendo un condensatore in parallelo alla serie costituita dal resistore e dall'induttore. È evidente che la corrente nella serie RL è la stessa che si ha nel circuito di figura 14a, mentre la corrente del generatore è diversa. Essa è data da

 1  Ig = I + IC =  Ý + i ωC E .  Z eq 

(89)

Per determinare la potenza media e la potenza reattiva erogate dal generatore per questa nuova configurazione non è necessario determinare la corrente Ig del generatore. È possibile applicare direttamente la conservazione della potenza media e della potenza reattiva. Immediatamente si ha 2 ˆ = E m cos γ , P m 2Z eq  1  E2 Qˆ =  sin γ − ωC m .  Z eq  2

(90) (91)

310

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Ovviamente la potenza media erogata è uguale a quella erogata nel circuito di figura 14a, mentre la potenza reattiva è diversa a causa della potenza reattiva assorbita dal condensatore. Siccome il condensatore eroga potenza reattiva, c'è un valore di capacità, per fissata pulsazione, in corrispondenza della quale la potenza reattiva che eroga il condensatore è uguale a quella che assorbe l'induttore, e quindi la potenza reattiva erogata dal generatore è uguale a zero, pur restando inalterata la potenza media da esso erogata. Questo è il principio su cui si basa il rifasamento di un bipolo costituito da resistori e induttori. Rifasare un bipolo di tale genere significa introdurre una capacità in parallelo a esso in modo tale da ridurre la potenza reattiva erogata dal generatore e lasciare inalterata la potenza media. Il condensatore è inserito in parallelo e non in serie perché in questo modo la tensione sul bipolo da rifasare resta inalterata. La potenza apparente messa in gioco dal generatore nel circuito di figura 14b è più piccola di quella messa in gioco dallo stesso generatore nel circuito di figura 14a. Pertanto, a parità di potenza media erogata, il valore massimo della corrente del generatore è più grande nel circuito di figura 14a. Il bipolo equivalente al condensatore in parallelo alla serie RL ha un fattore di potenza più grande di quello della sola serie RL. 8.5.2 Caratterizzazione di un bipolo di sole impedenze Si consideri un bipolo lineare tempo-invariante in regime sinusoidale costituito da resistori, induttori, condensatori, trasformatori, etc ; il bipolo è, ad esempio, alimentato da un generatore indipendente di corrente sinusoidale. Siano I e V i fasori rappresentativi della corrente e della tensione, rispettivamente. L'impedenza del bipolo è

V ZÝ = . I

(92)

Siano:

Pm = somma delle potenze medie assorbite dagli elementi statici Q = somma delle potenze reattive assorbite dagli induttori e dai trasformatori Q = somma delle potenze reattive erogate dai condensatori L

C

Si ha allora che:

ˆ ) P P + i(Q − Q ZÝ = R + iX = 2 2 = 2 m , Im I 2m L

C

(93)

ovvero

R =2

Pm 2 , Im

X=2

ˆ ) (Q − Q . I2m L

(94) C

(95)

La (93) si ottiene applicando la conservazione della potenza complessa al circuito costituito dal bipolo di sole impedenze e dal generatore di tensione. La dimostrazione la si lascia al lettore. Come 2 previsto ZÝ = 2P / I m , dove P è la potenza complessa totale assorbita dal bipolo: maggiore è la

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

311

potenza media assorbita dal bipolo (maggiore è la dissipazione se il bipolo è passivo), più grande è la parte reale dell'impedenza; maggiore è il valore assoluto della potenza reattiva assorbita dal bipolo, più grande è la parte immaginaria dell'impedenza. Se il bipolo è costituito da sole induttanze, capacità, circuiti accoppiati e giratori, allora l'impedenza ha solo parte immaginaria. La parte immaginaria è maggiore di zero se la potenza reattiva assorbita dagli induttori è maggiore di quella erogata dai condensatori (comportamento prevalentemente induttivo) ed è minore di zero nel caso contrario (comportamento prevalentemente capacitivo). Se il bipolo è costituito da soli elementi statici l'impedenza ha solo parte reale. La parte immaginaria dell'impedenza può essere nulla anche quando nel bipolo ci sono induttori, condensatori e circuiti accoppiati: ciò accade se la potenza reattiva assorbita dagli induttori è uguale a quella erogata dai condensatori (circuiti risonanti). Si assuma, ora, che gli elementi del bipolo siano tutti passivi. La potenza media assorbita dai resistori è positiva, quindi

R≥0.

(96)

iγ Pertanto l'argomento γ dell'impedenza, ZÝ = Ze , deve verificare la condizione

−π / 2 ≤ γ ≤ π / 2 .

(97)

Se il bipolo è costituito da soli resistori e/o induttori (circuito RL) la parte immaginaria dell'impedenza è sempre maggiore di zero,

X ≥0

0 ≤ γ ≤ π / 2.

(98)

In questo caso il fasore V della tensione è in anticipo rispetto a quello della corrente I . Se il bipolo è costituito da soli resistori e/o condensatori (circuito RC) la parte immaginaria dell'impedenza è sempre minore di zero,

X ≤0

−π / 2 ≤γ ≤ 0.

(99)

In questo caso il fasore V della tensione è in ritardo rispetto a quello della corrente I . Se il bipolo è costituito da resistori, condensatori, induttori, giratori, trasformatori, ed elementi attivi, come, ad esempio, amplificatori operazionali e generatori controllati, allora il punto rappresentativo dell'impedenza nel piano complesso può trovarsi in qualsiasi quadrante, e quindi non c'è alcun vincolo per γ.

8.6 Reti in regime periodico e quasi-periodico - Sovrapposizione di un regime stazionario e di un regime sinusoidale Si consideri un circuito N lineare, tempo-variante e dissipativo pilotato, ad esempio, da due generatori indipendenti, uno sinusoidale a pulsazione ω e l'altro stazionario, (figura 15). I due generatori impongono un regime dato dalla sovrapposizione dei regimi che ciascun generatore

312

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

imporrebbe se agisse da solo: il regime stazionario imposto dal generatore stazionario e il regime sinusoidale a pulsazione ω imposto dal generatore sinusoidale. Si considerino i due circuiti ausiliari ottenuti spegnendo un generatore per volta. Il circuito ausiliario N' è in regime stazionario e il circuito ausiliario N" è in regime sinusoidale a pulsazione ω. La soluzione di regime del circuito N è data da (k=1, 2, ..., b)

i k t = i ′k t + i ′k′ t  v k t = v′k t + vk′′ t 

(100)

dove

i ′k t = Ik  v′k t = V k ,

(101)

sono le soluzioni del circuito N' in regime stazionario, e

i ′k′ t = ,mk FRV ωt + α k  v ′k′ t = 9mk

FRV

ωt + β k 

(102)

sono le soluzioni del circuito N" in regime sinusoidale. Pertanto la soluzione di regime del circuito N è (k=1, 2, ..., b)

i k t = I k + ,mk FRV ωt + αk  v k t = Vk + 9 mk FRV ωt + β k 

(103)

Questo regime non è più sinusoidale, ma è periodico: il periodo è quello imposto dal generatore sinusoidale, T = 2π / ω . Il circuito N' in regime stazionario può essere risolto con la tecnica illustrata nel §1, mentre il circuito in regime sinusoidale N" può essere risolto con il metodo fasoriale.

Figura 15 La potenza istantanea pk (t) assorbita dal k-esimo bipolo vale

pk (t) = vk (t)i k (t) = [ Vk + Vmk cos(ωt + βk )][ Ik + I mk cos(ωt + αk )] .

(104)

Per la potenza istantanea non vale la proprietà della sovrapposizione degli effetti: l'espressione (104) non è la somma delle potenze istantanee assorbite dal k-esimo bipolo nel circuito N' e nel circuito N".

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

313

La potenza istantanea pk (t) data dalla (104) è una funzione periodica con periodo T = 2π / ω . Si consideri il suo valore medio Pmk sul periodo T. Si ottiene:

Pmk ≡

1 1T ∫ p k (τ)dτ = Vk I k + V mk I mk cos(α k − β k ) . 2 T0

(105)

La potenza media Pmk è uguale alla somma delle potenze medie assorbite dal k-esimo bipolo nel regime stazionario del circuito N' e nel regime sinusoidale del circuito N". Come si vedrà, tale risultato è di validità generale. - Sovrapposizione di regimi sinusoidali Si consideri un circuito N lineare, tempo-invariante e dissipativo, pilotato, ad esempio, da due generatori indipendenti sinusoidali che funzionano, rispettivamente, alle pulsazioni ω1 e ω 2 con ω1 ≠ ω 2 , (figura 16). I due generatori impongono un regime dato dalla sovrapposizione dei regimi che ciascun generatore imporrebbe se agisse da solo: il regime sinusoidale a pulsazione ω1 imposto dal generatore sinusoidale a pulsazione ω1 e il regime sinusoidale a pulsazione ω 2 imposto dall'altro generatore sinusoidale.

Figura 16 Si considerino i due circuiti ausiliari ottenuti spegnendo un generatore per volta. Il circuito ausiliario N' è in regime sinusoidale a pulsazione ω1 e il circuito ausiliario N" è in regime sinusoidale a pulsazione ω 2 . La soluzione di regime del circuito N è data da (k=1, 2, ..., b)

i k (t) = i′k (t) + i ′k′ (t) v k (t) = v k′ (t) + v ′k′ (t) dove

i ′k (t) = Imk ′ cos(ω1t + α ′k ) v ′k (t) = V mk ′ cos(ω 1t + β k′ )

sono le soluzioni del circuito N' in regime sinusoidale, e

(106)

(107)

314

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

i ′k′ (t) = Imk ′′ cos(ω 2 t + α ′k′ )

(108)

v ′k′ (t) = V mk ′′ cos(ω 2 t + β ′k′ )

sono le soluzioni del circuito N" in regime sinusoidale. Pertanto la soluzione di regime del circuito N è (k=1, 2, ..., b)

i k (t) = Imk ′ cos(ω1t + αk′ ) + I mk ′′ cos(ω 2 t + α k′′ )

(109)

v k (t) = V mk ′ cos(ω 1t + β k′ ) + Vmk ′′ cos(ω 2 t + β k′′ )

Il regime che si instaura nel circuito N non è sinusoidale, perché ω1 ≠ ω 2 . Il circuito N' in regime sinusoidale a pulsazione ω1 e il circuito N" in regime sinusoidale a pulsazione ω 2 possono essere risolti con il metodo fasoriale. Attenzione: le impedenze corrispondenti al circuito N' sono diverse da quelle corrispondenti al circuito N", perché le pulsazioni di funzionamento sono diverse! È sempre possibile porre

ω1 = r ω 2 , dove

U

è un numero reale positivo. Se

(110) U

è un numero razionale, cioè

U

può essere espresso come

rapporto tra due numeri interi, U

Q

1

=

Q

,

(111)

2

allora le due sinusoidi hanno un periodo comune

T c = Q1

2π 2π . = Q2 ω1 ω2

(112)

In questo caso le correnti e le tensioni descritte dalle (109) sono funzioni periodiche di periodo T c , e quindi il regime è periodico di periodo T c . Il caso più semplice è quando ω 2 = P ω1 con P intero (positivo). Se

2  π,

H  OQ

U

è un numero irrazionale, cioè non esprimibile come rapporto tra interi, (per esempio

2, ... ), allora le espressioni date dalle (109) non sono periodiche e il regime non è

periodico: in questo caso il regime si dice quasi-periodico. La potenza istantanea pk t assorbita dal k-esimo bipolo vale

pk t = vk t i k t = >9′mk FRV ω1 t + β k′ + 9mk ′′ FRV ω 2 t + β k′′ @> ,mk ′ FRV ω 1t + α ′k + ,mk ′′ FRV ω 2 t + α k′′ @

(113)

Per la potenza istantanea, come nel caso analizzato in precedenza, non vale la proprietà della sovrapposizione degli effetti. L'espressione (113) non è la somma delle potenze istantanee assorbite dal k-esimo bipolo nel circuito N' e nel circuito N". Si assuma che

U

sia un numero razionale. La potenza istantanea pk t è una funzione periodica

con periodo T c . Allora, il suo valore medio sul periodo T c , 3

k

3

P

k,

vale:

1 Tc 1 1 ≡ ′′ ,mk ′′ FRV α k′′ − β k′′ . ∫ p k τ dτ = Vk′ I k′ FRV α k′ − β k′ + 9mk Tc 0 2 2

(114)

315

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica 3

La potenza media

P

k

è uguale alla somma delle potenze medie assorbite dal k-esimo bipolo nel

circuito N' e nel circuito N" se r è un numero razionale, cioè alla somma delle potenze medie assorbite se i generatori agissero uno alla volta. Attenzione !!!: la (114) non vale se ω1 = ω 2 , cioè se r=1. La (114) è stata ottenuta utilizzando l'integrale definito notevole 2π

∫0

FRV

1  2 se m = n mx FRV nx dx =  se m ≠ n 0

(115)

dove m e n sono due numeri interi. Se U non è un numero razionale, non esiste un periodo comune, e la potenza media non può essere definita come nella (114). Per un regime quasi-periodico si definisce la potenza media 3 k come P

3

P

k



 1 T  ∫ pk τ dτ  . T→∞  T 0  OLP

(116)

Sostituendo le (109) nella (115) si ottiene ancora (i calcoli sono un pò lunghi, ma semplici)

Pmk =

1 1 V′k I′k cos(α ′k − β k′ ) + V mk ′′ I mk ′′ cos(α ′k′ − β k′′ ) . 2 2

(117)

Proprietà: sovrapposizione delle potenze medie Si consideri una rete lineare, tempo-invariante in regime permanente con due generatori sinusoidali indipendenti che funzionino con due pulsazioni diverse. La potenza media assorbita dal generico bipolo è uguale alla somma delle potenze medie assorbite dal bipolo se i generatori agissero uno alla volta. Questa proprietà si estende immediatamente al caso di M generatori sinusoidali indipendenti con M pulsazioni diverse.

8.7 Circuiti risonanti I circuiti risonanti sono di grande importanza: (a) essi sono impiegati nelle apparecchiature di misura, nei circuiti di comunicazione (filtri passa-banda, oscillatori, sincronizzatori, ...), nei circuiti convertitori da continua a continua, e così via; (b) esso costituisce un esempio del fenomeno fisico generale della risonanza.

316

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Figura 17

Circuito RLC serie pilotato con un generatore sinusoidale.

Noi studieremo in dettaglio il circuito risonante RLC serie, figura 17a, costituito dalla serie di un resistore di resistenza R, di un condensatore di capacità C e di un induttore di induttanza L, alimentato da un generatore di tensione sinusoidale e t = ( m FRV ωt . Considerazioni analoghe possono essere svolte per quello RLC parallelo. Si assuma che il resistore, il condensatore e l'induttore siano passivi. Si consideri il funzionamento in regime sinusoidale del circuito in esame (esso è dissipativo solo α se R ≠ 0 ); in figura 17b è illustrato il circuito di impedenze corrispondente. Il fasore , = , m e L

rappresentativo della corrente i t = ,m FRV ωt + α è dato da ,

dove

(

=

(

é =

,

(118)

= ( m è il fasore rappresentativo della tensione del generatore e & = R + i Z eq 

/



1  , &

(119)

è l'impedenza equivalente della serie. Il valore massimo della corrente è ,

m

=

(

m

1 2  R + ωL −  ωC 

,

(120)

2

e la fase iniziale è

1    R . α = − DUFWJ  ωL −    ωC

(121)

Si consideri, ora, l'andamento dell'ampiezza della corrente i(t) e della fase iniziale al variare di ω (è possibile concepire un esperimento in cui l'ampiezza del generatore sinusoidale è fissata e la pulsazione, invece, viene cambiata). È immediato verificare che la funzione ,m = , m ω definita dalla (120) tende a zero per ω → 0 e ω → ∞ e assume il massimo in corrispondenza della pulsazione caratteristica del circuito ω 0 data da (figura 18),

ω0 =

1 . LC

(122)

La pulsazione ω 0 prende il nome di pulsazione di risonanza del circuito. Per ω → 0 il modulo dell'impedenza

é =

tende all'infinito perché tende all'infinito il modulo della

reattanza del condensatore e per ω → ∞ il modulo di

é =

tende di nuovo all'infinito perché ora è la

reattanza dell'induttore che tende all'infinito. Alla pulsazione di risonanza la parte immaginaria dell'impedenza ZÝ è uguale a zero, perché la reattanza del condensatore è l'opposta di quella dell'induttore, e quindi il modulo di ZÝ assume il valore minimo. Quando la pulsazione del generatore è uguale alla pulsazione di risonanza si dice che il generatore è in risonanza con il

317

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

circuito. Si osservi che la pulsazione di risonanza coincide con la frequenza naturale del circuito quando R=0. Alla risonanza l’ampiezza della corrente vale

Em . R

Im (ω 0 ) =

(123)

Il valore della corrente alla risonanza è uguale alla corrente che si avrebbe se nel circuito vi fosse solo il resistore. Alla risonanza la tensione del condensatore V C è l'opposto di quella dell'induttore

VL , V C (ω 0 ) + VL ( ω 0 ) = 0 ,

(124)

e quindi la tensione sul resistore è uguale a quella del generatore. La (124) è conseguenza del fatto che la reattanza dell'induttore è positiva e quella del condensatore è negativa (l'induttore assorbe potenza reattiva e il condensatore la eroga).

Im(ω) Em/R

ω

0 Figura 18

0

ω

Diagramma dell'ampiezza Im (ω) .

π/2

α(ω)

0

−π/2 0 Figura 19

Diagramma della fase α(ω) .

ω0

ω

318

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

L’andamento della fase α(ω) al variare della pulsazione del generatore è illustrato nel diagramma di figura 19. Per ω ≤ ω 0 la fase iniziale è positiva, cioè il fasore della corrente è in anticipo rispetto a quello della tensione applicata (prevale il comportamento capacitivo): per ω → 0, α → π / 2 . Per ω 0 ≥ ω la fase iniziale è negativa, cioè il fasore della corrente è in ritardo rispetto a quello della

tensione applicata (prevale il comportamento induttivo): per ω → ∞, α → −π / 2 . Per ω 0 = ω la corrente è in fase con la tensione applicata, perché l'impedenza equivalente ZÝ ha solo parte reale. Si consideri la tensione sull'induttore alla risonanza. Essa è data da

V L = iE

ω 0L . R

(125)

Pertanto il valore massimo V mL della tensione dell'induttore alla risonanza è

V mL = QEm , dove

Q=

(126)

ω 0L . R

(127)

Il parametro adimensionale Q prende il nome di fattore di qualità del circuito risonante serie. Esso può essere maggiore o minore di uno, a seconda dei parametri del circuito. Dalla (126) si ha che in un circuito risonante RLC serie il valore massimo della tensione sull'induttore è più grande del valore massimo della tensione del generatore se il fattore di qualità del circuito è maggiore di uno: in questo circuito c'è “l'amplificazione” del valore massimo della tensione. Per evidenziare la dipendenza del fasore della corrente dal fattore di qualità e da ω, si consideri la grandezza

H(i ω) ≡

I , I0

(128)

dove I0 = Em / R è il valore massimo dell'ampiezza della corrente. La funzione complessa H(i ω) della variabile reale ω è adimensionale e il valore massimo del modulo è uguale a uno. È immediato verificare che

H(i ω) =

1 . 1 + i Q[(ω / ω 0 ) − (ω 0 / ω)]

(129)

Posto

A(ω / ω 0 ) = H(i ω)

(130)

φ(ω / ω 0 ) = arg[ H(iω)] si ha

A(ω) =

1 2

1 + Q [ (ω / ω 0 ) − (ω 0 / ω)] 2

,

φ(ω) = −arctg{Q[ (ω / ω 0 ) − (ω 0 / ω)] }.

(131)

319

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Nelle figure 20 e 21 sono illustrate i grafici dell’ampiezza A(ω/ω0) e della fase φ(ω/ω0) al crescere del fattore di qualità. Quanto più alto è il fattore di qualità tanto più stretta è la regione nell'intorno di ω/ω0=1 in cui l'ampiezza A(ω/ω0) è vicina al valore massimo e tanto più brusco è il cambiamento di pendenza della curva della fase iniziale nell'intorno della risonanza.

1 A(ω/ω0) 0,8

Q=5

0,6

Q=20

0,4 0,2 Q=40 0 0,8 Figura 20

0,9

1

1,1

ω/ω 0 1,2

Diagramma di A(ω/ω0).

2 π/2

φ(ω/ω ) 0

Q=20

1

Q=40

Q=5

0,5 0 -0,5 -1 −π/2

ω/ω

-2

0

0,8 Figura 21

0,9

1

1,1

1,2

Diagramma di φ(ω/ω0).

Osservazione Il fenomeno della risonanza, appena descritto, è dovuto alla presenza nel circuito dell'induttore e del condensatore, cioè di un elemento che assorbe potenza reattiva e di un altro che la eroga. Questo fenomeno non si osserva se nel circuito ci sono soli induttori, ad esempio, in un circuito RL serie. In questo caso il fasore rappresentativo della corrente è

I=

E , R + iωL

(132)

320

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

quindi l’ampiezza della corrente vale

Im ( ω ) =

Em 2

R + ω 2 L2

.

(133)

L'ampiezza della corrente è una funzione decrescente della pulsazione: essa ha il valore massimo in

ω = 0 , Im (ω = 0) = Em / R , e tende asintoticamente a zero per ω → ∞ . A differenza del circuito serie RLC, il modulo dell'impedenza equivalente è una funzione strettamente crescente della pulsazione. Inoltre l'ampiezza della tensione del resistore e l'ampiezza della tensione dell'induttore sono minori dell'ampiezza della tensione del generatore, a differenza di quanto può accadere nel circuito risonante RLC serie. Il lettore provi a dimostrare che in un circuito costituito da soli induttori (o soli condensatori), resistori e un solo generatore vale la proprietà di non amplificazione per i valori massimi delle correnti e delle tensioni. Si noti che la proprietà di non amplificazione non vale, invece, per i valori istantanei. Infatti, a causa degli sfasamenti, negli istanti di tempo in cui la tensione (o la corrente) dell'unico generatore è zero, le tensioni sugli altri bipoli sono diverse da zero. In questi istanti alcuni elementi conservativi erogano potenza elettrica. Cosa accade nel circuito RLC serie quando R → 0 ? Quando la resistenza diminuisce l'ampiezza della corrente cresce: alla risonanza essa cresce come 1 / R e quindi diverge per R → 0 . Per R=0 (circuito LC serie), il circuito è ancora passivo ma non è più dissipativo. Pertanto il circuito LC serie, pilotato con un generatore sinusoidale di tensione, non ha un regime. È facile verificare che l'equazione differenziale per la corrente i(t) del circuito è

d2 i i 1 de ω Em = =− sin(ωt) . 2 + dt LC L dt L

(134)

L'integrale generale della (134) è

i(t ) = K cos( ω 0 t + β ) + i p (t) ,

(135)

dove K e β sono due costanti arbitrarie, che bisogna determinare assegnando le condizioni iniziali e i p (t) è una soluzione particolare della (134). L'integrale particolare della (134) è una funzione sinusoidale con la stessa pulsazione del forzamento se e solo se ω ≠ ω 0 . È facile verificare che i p ( t) =

Em 2L

 2ω  2 sin(ωt)  ω − ω 20  tcos(ω t)  0

per ω ≠ ω 0

(136)

per ω = ω 0

Per ω ≠ ω 0 la funzione i(t), descritta dalla (135), è la somma di due funzioni sinusoidali con pulsazioni diverse, e quindi, in generale, è una funzione quasi-periodica che dipende dallo stato iniziale dell'induttore e del condensatore (anche per t → +∞ ). Questa funzione è limitata per ogni istante di tempo. Invece per ω = ω 0 la (135) è la somma di una funzione sinusoidale ad ampiezza

321

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

costante e di una funzione sinusoidale con un’ampiezza che cresce linearmente nel tempo; per

t → +∞ l’ampiezza della corrente diverge. In figura 22 è illustrata la forma d'onda della corrente quando lo stato iniziale dell'induttore è quello di riposo e la tensione iniziale del condensatore è uguale a E m / 2 , i(t) =

Em t cos(ω 0t) 2L

(137)

Quando non ci sono perdite e il generatore di tensione è in risonanza con il circuito, l'azione del generatore è sincrona con l'oscillazione naturale del circuito. Ciò rende possibile un continuo trasferimento di energia dal generatore al circuito. Nel caso illustrato in figura (22) la potenza istantanea erogata dal generatore di tensione è

ˆpe (t) =

2 Em t[cos(ω 0 t)]2 ≥ 0 . L

(138)

Essa è sempre positiva e la sua ampiezza cresce linearmente nel tempo: l'energia fornita dal generatore è immagazzinata nell'induttore e nel condensatore.

i(t)

0

Figura 22

t

Andamento temporale della corrente i(t) nel circuito risonante LC serie per condizioni iniziali nulle.

Per esercizio, il lettore descriva il fenomeno della risonanza nel circuito RLC parallelo illustrato in figura 23.

Figura 23

Circuito risonante parallelo: j(t) = J m cos(ωt + ϕ) .

8.8 Cenni sui sistemi elettrici di potenza e sulle reti elettriche trifase Nell'ingegneria dei sistemi elettrici di potenza funzionanti in regime sinusoidale (come quelli che producono energia elettrica e poi la distribuiscono per essere utilizzata nelle abitazioni, negli uffici,

322

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

nei laboratori, nelle industrie, ...) si usa definire il fasore rappresentativo di una generica grandezza sinusoidale usando come modulo il valore efficace della grandezza sinusoidale al posto del valore massimo. Il valore efficace X eff (valore quadratico medio) di una grandezza periodica x(t) di periodo T è così definito

X eff ≡

1T 2 ∫ x (t)dt ; T0

(139)

quindi il valore efficace della grandezza sinusoidale a(t) = Am cos(ωt + α) è dato da

A eff ≡

A 1T 2 ∫ [A m cos(ωt + α )] dt = m . 2 T0

(140)

Il fasore rappresentativo della grandezza sinusoidale a(t) = Am cos(ωt + α) può essere, allora, definito usando il valore efficace della grandezza sinusoidale come modulo, cioè

a(t) = Am cos(ωt + α) ⇔ A = Aeff e i α .

(141)

È immediato verificare che la potenza media assorbita da un generico bipolo in regime sinusoidale è (non c'è più il fattore 1/2)

Pm =

1T ∫ p(τ)dτ = I eff V eff cos(β − α) = I eff Veff cos(φ) , T0

(142)

dove abbiamo posto φ = (β − α) (la corrente è i(t ) = Im cos(ωt + α) e la tensione è v(t) = V m cos(ωt + β) ). La potenza media assorbita dal resistore è (essa ricorda l'espressione del caso stazionario)

2 Veff 2 Pm = R Ieff = .

R

(143)

La potenza complessa è definita come (non c'è più il fattore 1/2 perché il modulo del fasore rappresentativo della tensione è il valore efficace della tensione e il modulo del fasore rappresentativo della corrente è il valore efficace della corrente)

P = V I∗.

(144)

L'espressione della potenza reattiva assorbita da un bipolo diventa

Q = Ieff V eff sin(β − α) = Pm tan φ .

(145)

Ad esempio, nelle abitazioni, la società per l'energia elettrica fornisce l'alimentazione a 220 volt in regime sinusoidale, dove 220 è il valore efficace della tensione sinusoidale; la frequenza della tensione sinusoidale è 50 Hz. Pertanto la tensione istantanea è 220 2 cos(2π 50t + γ ) ( V m = 220 2 ≅ 311 volt, ω = 2π 50 ≅ 314 rad / s , la fase iniziale γ dipende dalla scelta dell'origine per la coordinata temporale).

323

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Nei sistemi di potenza i valori nominali di tensione e di corrente che assicurano il corretto funzionamento del bipolo utilizzatore

(ad esempio, una lampada elettrica, un televisore, un

computer, un motore elettrico monofase, ...) sono espressi tramite i valori efficaci. In generale la caratteristica di un bipolo utilizzatore può essere specificata attraverso: (a) il valore efficace V eff della tensione di funzionamento; (b) la potenza media nominale Pm assorbita dal bipolo (oppure la potenza apparente); (c) il fattore di potenza cos φ ; (d) e il segno della potenza reattiva assorbita. Da queste grandezze è possibile ricavare tutte le altre, ad esempio, il valore efficace nominale della corrente e l'impedenza del bipolo, utilizzando le relazioni (essendo R ≥ 0 per i bipoli passivi)

Pm , φ = sgn(Q)arccos(cos φ) , V eff cosφ 2 V eff 2 Ý cos φ, X = Im{ZÝ} = R tanφ . R = Re{Z} = Pm I eff =

(146) (147)

- Applicazione: trasmissione dell’energia elettrica Si consideri il circuito rappresentato in figura 24. Esso è in regime sinusoidale. Determinare la potenza media e la potenza reattiva assorbita dal bipolo di impedenza ZÝL . Il bipolo utilizzatore “U” è caratterizzato dal valore efficace nominale V u della tensione, dalla potenza media assorbita Pu e dal fattore di potenza cos φu (si assuma che la potenza reattiva da esso assorbita sia positiva). Pertanto è fissato il valore efficace nominale della corrente Ieff u dell'utilizzatore e il ritardo del fasore della corrente rispetto a quello della tensione. Il circuito è alimentato con un generatore di tensione ( E è il fasore rappresentativo della tensione). Nel circuito sono presenti due trasformatori ideali con rapporto di trasformazione n ( n > 1). Il primo trasformatore eleva il valore efficace della tensione di un fattore n , il secondo lo abbassa dello stesso fattore. Questo circuito è il più semplice modello del sistema di trasmissione dell'energia elettrica: l'impedenza ZÝL porta in conto gli effetti dovuti ai conduttori delle linee elettriche con i quali viene trasmessa l'energia elettrica dalle centrali di produzione ai luoghi dove deve essere utilizzata (queste linee possono essere lunghe parecchie centinaia di chilometri, anche migliaia di chilometri).

Figura 24

Modello semplificato di un sistema per la trasmissione dell'energia elettrica.

Posto ZÝL = R L + i X L , (la parte reale è legata alle perdite per effetto joule nei conduttori che trasportano l'energia elettrica e la parte immaginaria è legata al valore medio dell'energia del campo magnetico immagazzinata nella regione di spazio attorno ai conduttori), la potenza media e la potenza reattiva assorbite dal bipolo di impedenza ZÝL sono, rispettivamente,

324

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

2 PL = R L Ieff L

(148)

2 QL = XL Ieff L.

Usando le equazioni caratteristiche del trasformatore ideale, si ottiene

V Vu = 2 n I IL = u n

V1 = n E (149)

Ig = n I L.

Pertanto la potenza attiva e la potenza reattiva assorbite da ZÝL sono

(

)

1 2 PL = 2 R L Ieff u , n

(

)

1 2 QL = 2 XL Ieff u . n

(150)

Allora tra la tensione del generatore di tensione e la tensione del bipolo utilizzatore c'è la relazione ( ZÝu è l'impedenza dell'utilizzatore):

Ý 1  1 Z V u − E = 2 ZÝL Iu = 2  ÝL V u  . n n  Zu 

(

)

(151)

2

Un filo di rame con la sezione di 1 cm e lungo 1 km ha una resistenza elettrica di circa 0.2 Ω (alla temperatura ambiente); pertanto un collegamento (realizzato con due fili) di 100 km è caratterizzato da una resistenza elettrica di circa 40 Ω. La resistenza equivalente di un'utenza domestica non supera il valore di 10 Ω, quella di un condominio è molto più piccola perché è l'equivalente di tanti “resistori” equivalenti in parallelo, e così via. Allora è chiaro che la resistenza del collegamento e così anche la reattanza possono essere molto più grandi di quelle dell'utilizzatore. Se n fosse uguale a uno, il che è equivalente ad un sistema senza trasformatori, avremmo che, la maggior parte della potenza prodotta dal generatore sarebbe assorbita dal conduttore di collegamento e la tensione sull'utilizzatore sarebbe molto diversa da quella del generatore. La cosa più grave sarebbe che la tensione dell'utilizzatore dipenderebbe sensibilmente dalla sua impedenza (ad esempio, se il vicino di casa accendesse in questo istante la lavatrice o il forno elettrico la tensione potrebbe ridursi in modo tale da non potere far funzionare il computer con cui sto scrivendo). È, allora, evidente che se si utilizzano due trasformatori, così come descritto in figura 24, con un rapporto di trasformazione n molto elevato (n può essere anche dell'ordine di 1000), si riduce drasticamente la potenza assorbita dai conduttori di collegamento (essa deve essere molto più piccola di quella realmente utilizzata) e la tensione sull'utilizzatore si discosta di poco dalla tensione del generatore, perché viene ridotto drasticamente il valore efficace della corrente nei conduttori di collegamento rispetto alla corrente dell'utilizzatore. In questo modo, dovendo restare inalterata la potenza elettrica assorbita dal bipolo utilizzatore, viene aumentato notevolmente il valore efficace della tensione tra i conduttori di collegamento (si raggiungono valori dell'ordine delle centinaia di kV). Siccome non è possibile realizzare generatori di tensione sinusoidale di potenza con valori efficaci così elevati, c'è bisogno del trasformatore T1 che eleva la tensione. Tipicamente in una stazione di potenza la tensione prodotta da un generatore in alternata varia tra 10 e 30 kV. Viene,

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

325

poi, aumentata fino a centinaia di kV per trasmissioni a lunga distanza e infine diminuita per le fabbriche, per i laboratori, gli uffici, le case ... . Le perdite lungo la linea si riducono, anche, mantenendo il fattore di potenza dell’utilizzatore quanto più possibile prossimo a uno (vedi esempio sul rifasamento). Per ridurre il fattore di potenza, a parità di potenza media assorbita, basta collegare un condensatore in parallelo all'utilizzatore se l'utilizzatore assorbe potenza reattiva (vedi l'esempio del rifasamento). Un sistema di potenza con tensioni sinusoidali, quindi, è più conveniente di un sistema con tensioni costanti poiché con esso è più facile aumentare e diminuire la tensione con trasformatori (questi trasformatori devono essere necessariamente realizzati con induttori accoppiati perché le grandezze elettriche in gioco sono molto elevate). Inoltre i generatori di tensioni sinusoidali (alternatori) sono più facili da costruire rispetto alla apparecchiature che producono tensioni costanti (generatori in continua o dinamo), perché gli avvolgimenti ad alta tensione e quindi ad elevate correnti sono sulla parte fissa dell'apparecchiatura (statore), invece che sulla parte rotante (rotore) come in una dinamo. - Reti elettriche trifase Alla fine di questo Capitolo spiegheremo il motivo per cui i generatori e più in generale i circuiti trifase sono impiegati nei sistemi di potenza. Un bipolo generatore di tensione sinusoidale di un sistema di potenza prende il nome di generatore monofase. Oltre ai generatori monofase, nei sistemi di potenza in regime sinusoidale sono molto diffusi i generatori trifase.

Figura 25 Si consideri un tripolo G e lo si caratterizzi attraverso i potenziali di nodo, figura 25 (il nodo di riferimento per il potenziale è all'interno del tripolo G). Si assuma che i tre potenziali e1 = e1 (t), e 2 = e 2 (t), e3 = e3 (t) siano indipendenti dalle tre correnti i1 = i1 (t), i2 = i 2 (t),

i 3 = i3 (t) . Questo è un tripolo generatore indipendente di tensione. In figura 25b è illustrato un circuito equivalente a stella costituito da tre bipoli generatori indipendenti di tensione (è possibile anche considerare un circuito equivalente a triangolo). Ai potenziali di nodo e1 (t), e 2 (t), e 3 (t) si dà il nome di tensioni stellate del generatore (esse sono proprio le tensioni su ciascun bipolo generatore del circuito equivalente a stella di figura 25b). Alle tre tensioni v12 (t), v23 (t), v31 (t) si dà il nome di tensioni concatenate. Per esse si ha

326

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

v12 = e1 − e2 v 23 = e 2 − e3 v 31 = e3 − e1.

(152)

Le tre tensioni stellate sono tra loro indipendenti, invece le tre tensioni concatenate non sono indipendenti tra di loro: per la legge di Kirchhoff per le tensioni la loro somma deve essere uguale a zero

v12 + v23 + v31 = 0 .

(153)

Il tripolo G prende il nome di generatore sinusoidale trifase simmetrico di tensione se

e1 (t) = E m cos(ωt + ϕ) e 2 (t) = E m cos(ωt + ϕ − 2π / 3) e 2 (t) = E m cos(ωt + ϕ − 4π / 3).

(154)

I fasori rappresentativi delle tensioni stellate sono

E1 = Eeff e i ϕ E2 = Eeff ei (ϕ−2 π/3)

(155)

E3 = Eeff e i(ϕ− 4π /3) , dove

Eeff =

Em . 2

(156)

Si Noti che per l’insieme delle tensioni stellate vale la relazione

E1 + E2 + E3 = 0 ,

(157)

e1 (t) + e 2 (t) + e 3 (t) = 0 .

(158)

e quindi

I fasori rappresentativi delle tensioni concatenate sono

V12 = E1 − E2 = 3 E1e − i π/6 = 3 Eeff ei (ϕ−π /6) V 23 = E2 − E3 = 3 E2e − i π/6 = 3 Eeff ei (ϕ−5π /6)

(159)

V31 = E3 − E1 = 3 E3e− i π/6 = 3 Eeff e i(ϕ−3 π/2 ) . Il diagramma fasoriale delle tensioni stellate e delle tensioni concatenate è illustrato in figura 26. Sia per le tensioni stellate che per quelle concatenate i fasori rappresentativi formano una terna simmetrica diretta (l'aggettivo “diretta” sta a indicare che il fasore E1 (V12 ) è in ritardo rispetto al fasore E2 (V 23 ) e così il fasore E2 (V 23 ) è in ritardo rispetto al fasore E3 (V 31 ) ).

327

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Figura 26 Diagramma fasoriale delle tensioni stellate e concatenate di un sistema trifase simmetrico diretto. Si supponga di avere un generatore che produca tensioni sinusoidali trifase, come specificato dall’equazione (154). Si connetta al tripolo G un tripolo utilizzatore U rappresentabile, ad esempio, attraverso una configurazione a stella di tre bipoli con le tre impedenze ZÝ1, ZÝ2 , ZÝ3 (in figura 27 è rappresentato il circuito di impedenze corrispondente); è possibile considerare anche una é é é rappresentazione equivalente a triangolo attraverso le impedenze = 12  =23 =31 (queste impedenze sono legate a quelle della rappresentazione a stella attraverso le relazioni di trasformazione stellatriangolo che valgono per i resistori).

Figura 27 Applicando il metodo dei potenziali di nodo si ottiene 1=

,

dove

( Q

1−

(

( Q

é =



2 =

,

1

2−

(

é =

2

( Q



3=

,

3−

(

( Q

é =

,

(160)

3

è il potenziale del centro stella dell'utilizzatore. Dovendo essere 1 + ,2 + ,3 = 0 ,

,

(161)

utilizzando le (160) si ottiene l'espressione per il potenziale (

1

( Q

é =

= 11

é =

1

( Q

( ( + 2 + 3 é =

é =

2

+

1

é =

2

+

3 1 .

(162)

é =

3

Se le tre impedenze ZÝ1, ZÝ2 , ZÝ3 sono diverse tra di loro, non c'è nessuna relazione particolare tra i fasori rappresentativi delle tre correnti (in questo caso si dice che le tre correnti sono squilibrate e l'utilizzatore è squilibrato). Si consideri ora il caso in cui le tre impedenze siano uguali,

ZÝ1 = ZÝ2 = ZÝ3 = ZÝ.

(163)

328

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

In questo caso, essendo E1 + E2 + E3 = 0 , si ottiene dalla (162)

EQ = 0 ,

(164)

E E E I1 = Ý1 , I2 = Ý2 , I3 = Ý3 . Z Z Z

(165)

ZÝ = Zei φ u ,

(166)

e quindi

Posto

dalle (165) si ha

I1 =

Eeff i(ϕ− φu ) Eeff i (ϕ −φ u −2 π/3) Eeff i(ϕ− φu −4 π/3) e , I2 = e , I3 = e , Z Z Z

(167)

e quindi le correnti nel dominio del tempo sono

E i1 (t) = m cos(ωt + ϕ − φu ) Z E i 2 (t) = m cos(ωt + ϕ − φ u − 2π / 3) Z E i 3 (t) = m cos(ωt + ϕ − φu − 4π / 3). Z

(168)

Quando le tre impedenze sono uguali, le tre correnti costituiscono anche esse una terna simmetrica diretta. In questo caso si dice che il sistema trifase è equilibrato nelle correnti e si dice che l'utilizzatore è un carico equilibrato. Si osservi che le tre correnti (168) (o (167)) sono le stesse che si avrebbero se i due centri stella fossero collegati con un corto circuito (cioè con un conduttore ideale). Si calcoli ora la potenza istantanea fornita dal generatore trifase G all'utilizzatore U quando esso è equilibrato. Si ottiene

p(t) = i1(t)e1 (t) + i 2 (t)e 2 (t) + i 3 (t)e3 (t) =

E 2eff [cosφ u + cos(2ωt + 2ϕ − φ u )]+ Z 2

E eff [cosφ u + cos(2ωt + 2ϕ − φ u − 4π / 3)]+ Z

(169)

E 2eff [cosφ u + cos(2ωt + 2ϕ − φ u − 8π / 3)]. Z È facile verificare, tramite il calcolo diretto, che la somma dei tre termini sinusoidali a pulsazione 2ω è identicamente nulla (anche ad essi corrisponde una terna simmetrica di fasori rappresentativi), e quindi la potenza istantanea erogata dal generatore trifase è costante nel tempo ed è

p(t) = 3

2 Eeff

Z

cosφ u .

(170)

Pertanto la potenza erogata da un generatore trifase, quando il sistema delle correnti è equilibrato (carico equilibrato), è costante in regime sinusoidale. Di conseguenza la coppia meccanica richiesta

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

329

dall'alternatore trifase è anche essa costante nel tempo (di conseguenza non si hanno vibrazioni nell'intero sistema meccanico che fornisce l'energia che l'alternatore trasforma in energia elettrica). In questi casi la potenza istantanea è uguale a quella media e quindi è uguale alla parte reale della potenza complessa assorbita dal tripolo utilizzatore. Invece, negli alternatori monofase la coppia è variabile nel tempo perchè la potenza istantanea varia periodicamente. Nelle industrie, nei laboratori, ... la società per l'energia elettrica fornisce un'alimentazione trifase con una tensione concatenata a 380 volt e quindi una tensione stellata a circa 220 volt (380 e 220 sono i valori efficaci e la frequenza è sempre 50 Hz). Per i carichi equilibrati i valori nominali di tensione e di corrente che assicurano il corretto funzionamento (ad esempio, un motore trifase, l'alimentatore di un sistema di calcolo o di un impianto di telecomunicazione, ...) sono espressi tramite i valori efficaci. In generale la caratteristica può essere specificata, allo stesso modo del caso monofase, cioè attraverso il valore efficace della tensione concatenata V eff (o della tensione stellata), la potenza media nominale Pm assorbita dal carico (oppure la potenza apparente), il fattore di potenza cos φ e il segno della potenza reattiva assorbita. Da queste grandezze è possibile ricavare tutte le altre, come nel caso dell'utilizzatore monofase. Per il valore efficace nominale delle correnti, per lo sfasamento del fasore della corrente rispetto a quello della tensione stellata corrispondente e per l'impedenza del bipolo equivalente nella rappresentazione a stella si hanno le seguenti formule (essendo R ≥ 0 per gli elementi passivi) I eff =

Pm , φ = sgn(Q) arccos (cos φ) , 3 Veff cos φ

R = Re{ZÝ} =

2 3 V eff 2 cos φ, X = Im{ZÝ} = R tanφ . Pm

(171) (172)

8.9 Voltmetro, amperometro e wattmetro La misura delle grandezze elettriche di un circuito è fondamentale nella fase di realizzazione di un circuito, nello studio sperimentale del suo comportamento e nel controllo del suo funzionamento. Noi qui faremo solo dei brevi cenni agli elementi circuitali ideali che modellano gli strumenti di misura fondamentali: il voltmetro, l'amperometro e il wattmetro. Il voltmetro, in generale, misura la tensione tra due nodi di un circuito, l'amperometro misura la corrente che circola nel terminale di un dato elemento e il wattmetro misura la potenza assorbita da un elemento.

330

Figura 28

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Simbolo del voltmetro (a), inserzione del voltmetro (b), simbolo dell’amperometro (c) e inserzione dell’amperometro (d).

- Voltmetro Il voltmetro ideale è un bipolo (il simbolo è illustrato in figura 28a), che inserito in un circuito, come illustrato in figura 28b, misura la tensione tra i due nodi a cui è collegato. Per misurare la tensione di un bipolo bisogna collegare il voltmetro in parallelo ad esso: in figura 28b il voltmetro misura la tensione del bipolo B. Il voltmetro ideale si comporta da circuito aperto, cioè la corrente che circola in esso è sempre uguale a zero, qualunque sia il valore della tensione ad esso applicato. Di conseguenza la sua inserzione non altera il funzionamento del circuito. In regime stazionario il voltmetro misura il valore della tensione; il contrassegno “+” sta a indicare il riferimento per il verso della tensione indicata dallo strumento. Lo strumento indica la tensione che ha come verso di riferimento quello che punta verso il morsetto contrassegnato con “+”. Ad esempio, in figura 28b il voltmetro indica la tensione v. In regime sinusoidale il voltmetro indica il valore efficace della tensione sinusoidale che si sta misurando. In questo caso, essendo il valore efficace una grandezza definita positiva, non c'è nessun morsetto di riferimento. Nel simbolo, ovviamente, viene omesso il contrassegno “+”. Ovviamente la costituzione fisica dello strumento per la misura della tensione costante è diversa, almeno in parte, dalla costituzione fisica dello strumento per la misura del valore efficace della tensione sinusoidale. È possibile misurare una tensione variabile nel tempo con una forma d'onda arbitraria: in questo caso il voltmetro dà l'evoluzione temporale della tensione in esame. Uno strumento che fa questo è l'oscilloscopio. Attraverso opportuni sistemi è anche possibile convertire le tensioni rivelate in una sequenza di bit e poi memorizzarli ed eventualmente elaborarli tramite un calcolatore (transient recorder). - Amperometro L'amperometro ideale è un bipolo (il simbolo è illustrato in figura 28c), che misura la corrente che circola nel terminale a cui è collegato, (figura 28d). Per misurare la corrente che circola in un bipolo bisogna collegare l'amperometro in serie ad esso: in figura 28d l'amperometro misura la corrente che circola nel bipolo B.

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

331

L’amperometro ideale si comporta da corto circuito, cioè la tensione tra i suoi terminali è sempre uguale a zero, qualunque sia il valore della corrente che in esso circola. Di conseguenza la sua inserzione, come nel caso del voltmetro ideale, non altera il funzionamento del circuito. In regime stazionario l'amperometro misura il valore della corrente. Il contrassegno “+” sta a indicare il riferimento per il verso della corrente indicata dallo strumento: lo strumento indica la corrente che ha come verso di riferimento quello che punta verso il morsetto contrassegnato con “+”. Ad esempio, in figura 28d l'amperometro indica la corrente i. In regime sinusoidale l'amperometro indica il valore efficace della corrente sinusoidale che si sta misurando. Anche in questo caso non c'è nessun morsetto di riferimento, e quindi nel simbolo viene omesso il contrassegno “+”. La costituzione fisica dello strumento per la misura della corrente costante è diversa, almeno in parte, dalla costituzione fisica dello strumento per la misura del valore efficace della corrente sinusoidale. Si osservi che, inserendo in serie a un bipolo la porta di controllo di un generatore di tensione controllato in corrente, è possibile misurare la corrente che in esso circola attraverso un voltmetro collegato alla porta di uscita, senza alterare il funzionamento di un circuito. In questo modo possiamo misurare, ad esempio, una generica corrente variabile nel tempo utilizzando un oscilloscopio o un transient recorder. - Wattmetro Il wattmetro ideale è un doppio bipolo (il simbolo è illustrato in figura 29a), che misura la potenza assorbita da un bipolo se inserito come mostrato in figura 29b. Per misurare la potenza assorbita dal bipolo bisogna collegare la porta voltmetrica in parallelo al bipolo e la porta amperomaterica in serie. La porta voltmetrica “rileva” la tensione e la porta amperometrica la corrente. Se l'inserimento del wattmetro è fatto in modo tale che i due contrassegni per i versi di riferimento della porta voltmetrica e della porta amperometrica sono in accordo con la convenzione dell'utilizzatore, allora il wattmetro indica la potenza assorbita, altrimenti indica la potenza erogata. In figura 29b il wattmetro misura la potenza assorbita dal bipolo B. La porta voltmetrica di un wattmetro ideale si comporta da circuito aperto e quella amperometrica da corto circuito. Di conseguenza la sua inserzione, come nel caso del voltmetro e dell'amperometro ideale, non altera il funzionamento del circuito. In regime stazionario il wattmetro misura la potenza assorbita dal bipolo, invece in regime sinusoidale il wattmetro misura la potenza media assorbita dal bipolo. Anche in questo caso la costituzione fisica dello strumento per la misura della potenza nel regime costante è diversa dalla costituzione fisica dello strumento per la misura della potenza media del regime sinusoidale.

332

Figura 29

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica





Simbolo del wattmetro: 1A − 1A morsetti porta amperometrica, 2 V − 2 V morsetti porta voltmetrica (a), inserzione del wattmetro per la misura della potenza assorbita.

Cosa indica il wattmetro quando la porta amperometrica è connessa in serie a un bipolo diverso da quello a cui è collegata la porta voltmetrica? In questo caso il wattmetro indica il prodotto tra la tensione rivelata dalla porta voltmetrica e la corrente rivelata dalla porta amperometrica se le grandezze sono costanti nel tempo, cioè

W = VI .

(173)

Se le grandezze variano sinusoidalmente, allora il wattmetro indica *

W = Re{ VI },

(174)

dove V e I sono, rispettivamente, i fasori della tensione e della corrente sinusoidali “rivelate” dalla porta voltmetrica e dalla porta amperometrica (definiti in base ai valori efficaci). In entrambi i casi i versi di riferimento per la tensione e la corrente sono concordi con i due contrassegni “+”.

CAPITOLO 9

CIRCUITI LINEARI TEMPO-INVARIANTI

9.1 Introduzione Nel capitolo precedente sono stati studiati i circuiti lineari e tempo-invarianti in regime stazionario, sinusoidale, periodico e quasi-periodico. Nel presente capitolo si studiano ancora i circuiti lineari e tempo-invarianti, ma in condizioni di eccitazione generali. Ritornando al problema generale della soluzione di un circuito dinamico tempo-invariante, va detto che i metodi illustrati nel Capitolo 7 non sono gli unici possibili. Esistono altre tecniche che consentono di risolvere circuiti con forzamenti generici in maniera rapida e diretta: esse sono l’integrale di convoluzione, la trasformata di Laplace e l’analisi in frequenza. Le prime due saranno illustrate in questo Capitolo, l’analisi in frequenza nel successivo. La dinamica di un generico circuito lineare, a partire da un istante t 0 in cui le grandezze di stato sono note, può essere decomposta, per la proprietà della sovrapposizione degli effetti, in due termini: l'evoluzione libera e l'evoluzione forzata. Il termine di evoluzione libera è la soluzione del circuito che si avrebbe se, tutti i generatori indipendenti fossero spenti e il valore iniziale dello stato fosse quello assegnato. Il termine di evoluzione forzata è la soluzione del circuito che si avrebbe se il valore dello stato iniziale fosse identicamente nullo e i generatori indipendenti fossero tutti accesi. Per determinare l'evoluzione libera bisogna calcolare l'integrale generale di un'equazione differenziale ordinaria di ordine N omogenea (oppure di un sistema di N equazioni differenziali ordinarie del primo ordine omogenee) e poi imporre i valori iniziali delle grandezze di stato. Per determinare l'integrale generale bisogna calcolare le radici del polinomio caratteristico associato all'equazione differenziale omogenea. Per calcolare l'evoluzione forzata bisogna determinare, oltre all'integrale generale dell'equazione omogenea associata, anche un integrale particolare dell'equazione completa, e poi imporre, attraverso le equazioni di stato, che lo stato iniziale sia zero. Questo modo di procedere può essere impraticabile se la forma d'onda del termine noto non è riconducibile, in maniera semplice, a forme d'onda stazionarie e/o sinusoidali.

334

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Gran parte di questo capitolo è dedicata ai metodi generali di calcolo per l'evoluzione forzata di un generico circuito lineare tempo-invariante: l'integrale di convoluzione e la trasformata di Laplace. In particolare sono considerati circuiti in evoluzione forzata con un solo generatore indipendente. Il caso più generale di circuiti in evoluzione forzata con più generatori indipendenti può essere risolto usando la sovrapposizione degli effetti. Infine, verrà illustrato come determinare la soluzione di un circuito in evoluzione generica (ed, in particolare, in evoluzione libera), usando ancora la trasformata di Laplace. Si consideri un circuito in evoluzione forzata (ad esempio, il circuito di figura 1), sia t 0 l'istante iniziale e si assuma che i generatori siano in funzione dall'istante t 0 → −∞ . Qualora nel circuito in esame l'istante iniziale fosse al finito, dovendo essere le grandezze di stato in t = t 0 nulle, è possibile prolungare le grandezze circuitali e quindi anche le tensioni e le correnti dei generatori indipendenti, in modo tale che siano identicamente nulle per t < t 0 , figura 2.

Figura 1

Figura 2

L'istante iniziale è al finito (a) e un possibile prolungamento per t < t 0 (b).

335

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

9.2 Integrale di convoluzione Si consideri un circuito lineare tempo-invariante N in evoluzione forzata, costituito da elementi lineari e tempo-invarianti e con un solo generatore indipendente. Lo si consideri, per descriverne il funzionamento, come un sistema ingresso-uscita, vale a dire che, si sceglie una coppia di morsetti da cui alimentare il circuito con, ad esempio, un generatore di tensione indipendente, e sia , ad esempio, la tensione di un determinato lato, la grandezza di uscita di interesse, figura 3. La tensione e=e(t) imposta dal generatore svolge il ruolo di ingresso, mentre la v=v(t) quello di uscita: la tensione v è la risposta forzata (risposta con stato zero) del circuito al segnale e(t) applicato in ingresso. Il circuito di figura 3 può essere considerato come un doppio bipolo. Il generatore indipendente rappresenta una tensione applicata alla porta di ingresso e prodotta da un altro circuito. Il più delle volte esso è un “segnale” che deve essere “elaborato”. A sua volta, la tensione della porta di uscita va a sollecitare un altro circuito.

Figura 3

Il circuito N è sollecitato dal generatore di tensione e(t) e v(t) è l'uscita di interesse (a); relativo schema a blocchi (b).



Si consideri la funzione e ∆ = e ∆ t data dalla seguente espressione ∞

e ∆ t = ∑ e t k Π ∆ t − t k ∆ ,

(1)

k= −∞

dove Π ∆ t è la funzione impulso rettangolare

1  Π ∆ t =  ∆ 0

∆ ∆  0 la risposta all'impulso è soluzione dell'equazione omogenea, e quindi può essere espressa attraverso gli n modi naturali di evoluzione del circuito. Supponendo, per semplicità (e anche perché è il caso più significativo), che tutte le frequenze naturali del circuito siano distinte, si ha n

λht

h(t ) = ∑ Kh e h =1

t > 0.

(45) +

Le costanti K h dipendono dal valore delle grandezze di stato all'istante t = 0 . Poiché, per t0; in questi casi la risposta all'impulso divergerebbe con legge esponenziale per t → ∞ . Invece la risposta impulsiva di un circuito dissipativo è limitata per ogni t e tende asintoticamente a zero per t → ∞ , perché tutte le frequenze naturali sono a parte reale minore di zero (e quindi deve essere αt* (figura 13b), allora β = −∞ e la regione di convergenza è il semipiano a sinistra della retta parallela all'asse immaginario e passante per Re{s } = α ;

-

se f(t) è uguale a zero all'esterno di un intervallo di tempo finito (figura 13c) e l'integrale (69) converge per almeno un valore di s, allora la regione di convergenza coincide con l'intero piano complesso;

-

nella regione di convergenza la funzione di variabile complessa F=F(s) è analitica 8, cioè non contiene singolarità al suo interno 9, ma solo sulla frontiera.

Osservazione La trasformata bilatera di Laplace di una funzione f(t) deve essere intesa come la funzione di variabile complessa F(s) unitamente alla regione di convergenza dell'integrale (69), che per brevità denoteremo con la sigla ROC (ROC sta per “region of convergence”). 7 L’insieme S può essere indicato usando la notazione S = {s :Re{s} >β e Re{s} 0 Re{ s } < 0 Re{ s } > 0 Re{ s } < 0 Re{ s } > Re{ a} Re{ s } < Re{ a } Re{ s } > Re{ a} Re{ s } < Re{ a} ∀s Re{ s } > 0 Re{ s } < 0 Re{ s } > 0 Re{ s } < 0 Re{ s } > α Re{ s } > α

Tabella II. Trasformate di Laplace nell’ambito della teoria delle distribuzioni.

355

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

f(t)

Trasformata L{f(t)}

1

2πδ(is)

0

πδ(is− ω 0 )

0

πδ(is− ω 0 ) + πδ(is+ ω 0 )

0

e

iω 0 t

cos(ω 0 t)

ROC

-Legame con la trasformata di Fourier Se la regione di convergenza include al suo interno l'asse immaginario, cioè β0, allora

F(s = i ω) esiste ed è uguale alla trasformata di Fourier della funzione f(t), +∞

F(s = i ω) = F(ω) = ∫ −∞ f(t)e

− iωt

dt .

(85)

Questa corrispondenza potrebbe non essere vera, qualora l'asse immaginario fosse sulla frontiera della regione di convergenza. Infatti, la trasformata di Laplace di u(t) è uguale a 1/s con ROC Re{s}>0; la trasformata di Fourier di u(t) è uguale a πδ(ω) + 1 / i ω 11 . Nell'ambito della teoria delle distribuzioni esistono, anche, le trasformate di Laplace bilatere delle iω t funzioni f(t) = 1, f(t) = e 0 e f (t) = cos(ω 0 t) , definite sull'intervallo (−∞, +∞) , se Re{s } = 0 , Tabella II.

In questi casi la regione di convergenza si riduce al solo asse immaginario e la

trasformata bilatera di Laplace coincide con la trasformata di Fourier. - Antitrasformata di Laplace È possibile dimostrare che la trasformata inversa di Fourier

12,

opportunamente modificata, dà un

integrale nel piano complesso con un cammino di integrazione lungo una retta r parallela all'asse immaginario (cammino di

Bromwich), che esprime f(t) in funzione di F(s); la retta

r

deve

appartenere alla regione di convergenza di F(s). In particolare si ha che, se F(s) è la trasformata di Laplace di una funzione regolare a tratti f(t), con regione di convergenza β < Re{s }< α , allora

f(t) =

1 σ 0 +i ∞ st ∫ F(s)e ds 2π i σ 0 −i ∞

β < σ0 < α .

(86)

L'integrale (86) prende il nome di integrale di Bromwich e il suo valore è indipendente dal valore scelto per σ 0 , purché sia nella regione di convergenza della trasformata. (L'integrale (86) converge alla funzione f(t) solo nei punti di continuità di questa funzione.) Pertanto, per potere antitrasformare bisogna assegnare non solo la funzione F(s), ma anche la sua regione di convergenza, altrimenti la f(t) non è univocamente determinata 13.

11

La trasformata di Fourier di u(t) esiste solo nel senso della teoria delle distribuzioni.

12

La trasformata inversa di Fourier della funzione F(ω) è f ( t) =

1 +∞ i ωt ∫ F(ω) e dω . Questa problematica è 2π i −∞

trattata nel corso di Metodi Matematici per l'Ingegneria. 13 Se la funzione F ( s)→0 per s → ∞ indipendentemente dalla direzione, ed è analitica ovunque eccetto che in un numero finito di punti singolari isolati s 1, s2 , ..., sm d a destra della regione di convergenza di F(s) e s md +1 , sm d +2 , ..., smd + m s a sinistra della regione di convergenza, allora l'integrale (86) può essere calcolato

356

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Nelle applicazioni circuitali di interesse non è necessario ricorrere all'integrale (86) per determinare l'antitrasformata, ma è sufficiente l'uso della Tabella I. -Proprietà della trasformata bilatera di Laplace 1. Proprietà di unicità della trasformata bilatera La trasformata di Laplace definita dalla (69) stabilisce una corrispondenza biunivoca tra le funzioni del tempo f(t), definite nell’intervallo (−∞, +∞) , e le funzioni di variabile complessa F(s) con le loro regioni di convergenza. Infatti, se fosse LII {f 1 (t) } = F(s) ∀ s ∈ D1 , LII {f 2 (t)} = F(s) ∀ s ∈ D2 e le due regioni di convergenza avessero una parte in comune D ( D1 ∩ D2 = D ≠ ∅ ), si avrebbe LII {f 1 (t) − f 2 (t)} = 0 in D. Allora usando l’integrale di Bromwich con un cammino r ∈ D , si avrebbe f 1 (t) = f 2 (t) dappertutto, eccetto che in un numero finito di punti. È possibile avere f 1 (t) ≠ f 2 (t) , pur essendo

LII {f 1 (t) } = F(s) e LII {f 2 (t) } = F(s) , se le regioni di convergenza delle due trasformate hanno intersezione vuota ( D1 ∩ D2 = ∅ ). Nella tabella I sono riportati molti esempi di questo tipo; ad esempio, 1/(s-a) può essere la trasformata di Laplace bilatera di due funzioni del tempo distinte, a seconda della regione di convergenza. Questa proprietà è fondamentale ed è di estrema utilità: essa consente di trasformare un problema nel dominio del tempo in un problema nel dominio s, di risolverlo nel dominio s e di riportare quindi la soluzione nel dominio del tempo. L'unicità assicura che la procedura fornisce la soluzione del problema originale: la funzione f(t) che ha la trasformata bilatera di Laplace F(s) con

ROC = {s: β < Re{s} < α }, ottenuta risolvendo il problema nel dominio s, è unica, ed è la soluzione del problema nel dominio del tempo. 2. Proprietà di linearità Siano

L II { f 1 (t )} = F1 (s)

∀ s ∈D1 ,

(87)

L II { f 2 (t)} = F2 (s) ∀ s ∈ D2 , allora per qualsiasi coppia di costanti (reali o complesse) c1 e c2 si ha

LII {c1f 1 (t ) + c 2 f 2 (t )} = c1 F1 (s) + c2 F 2 (s) ∀s ∈ D ⊇ D1 ∩ D2 .

(88)

La dimostrazione è semplice ed è basata sulla proprietà di linearità dell'integrale (69). 3. Regola di derivazione

st

attraverso i residui Res[ F( s) es t ,s k ] della funzione analitica F ( s)e nei punti singolari isolati s k di F(s). Si ha md m +m s Res [F (s) e s t ,s h ] + u(t )∑ h=dm d +1 Res [F ( s)e s t ,sh ] . f ( t) = u( − t)∑ h =1 I punti singolari isolati a destra della ROC determinano l’andamento della f(t) per t 0 , quindi le possibili regioni di convergenza per F 0 (s) sono tre e sono quelle indicate in figura 15 (la regione di convergenza non può mai contenere la retta Re{s}=0 e/o la retta Re{s}=−3). A seconda della scelta della ROC si hanno altrettante possibili antitrasformate. Per trovare tutte le possibili antitrasformate sviluppiamo F 0 (s) in fratti semplici

F 0 (s) = −

1/3 4/ 3 + , s (s + 3)

(96)

e poi antitrasformiamo termine a termine con il vincolo che la ROC di ciascun termine abbia intersezione non vuota con la ROC della F 0 (s) . Il fratto semplice 1/s ha due possibili regioni di convergenza: Re{s }> 0 o Re{s } < 0 , (in s=0 c'è un polo). Il fratto semplice 1/(s+3) ha, anch'esso, due possibili regioni di convergenza:

Re{s }> −3 o Re{s } < −3 , (in s=−3 c'è un polo). Si assuma come regione di convergenza della F 0 (s) la regione ROC1; utilizzando la proprietà di linearità e la Tabella I si ha

1 4 f 1 (t) = − u(t) + e −3t u(t) ; 3 3

(97)

assumendo come regione di convergenza la regione ROC2 si ha

1 4 f 2 (t) = u(−t) + e −3t u(t) , 3 3

(98)

e assumendo come regione di convergenza la regione ROC3 si ha

f 3 (t) =

1 4 u(− t) − e −3 t u(−t) . 3 3

(99)

Allora l'antitrasformata è univocamente determinata solo se è assegnata la regione di convergenza della funzione F 0 (s) : la regione di convergenza di una data funzione o è un dato o è essa stessa soluzione del problema in esame.

360

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Figura 14

Diagramma poli (indicati con il simbolo “ ” ) e zeri (indicati con il simbolo “ ” ) di F 0 (s) .

Figura 15

Possibili ROC per F 0 (s) .

Nel precedente esempio si è fatto uso dello sviluppo in fratti semplici, della proprietà di linearità e della Tabella I per antitrasformare F 0 (s) . Tale tecnica è certamente più conveniente della procedura di antitrasformazione diretta basata sull'integrale di Bromwich. La procedura di antitrasformazione di una funzione F 0 (s) del tipo (94) è, nel caso generale, la seguente: Si esprime F 0 (s) come somma di un polinomio e di una funzione razionale propria (cioè il

1.

grado del denominatore è maggiore del grado del numeratore):

F 0 (s) =

N0 (s ) R (s) , = Q0 (s) + 0 D0 (s) D0 (s)

Q0 (s) è il polinomio ( grado{R0 (s)} < grado{D 0 (s)} ). dove

(100) quoziente

e

R 0 (s ) è

il

polinomio

resto

La parte propria R 0 (s ) / D 0 (s) si sviluppa in fratti semplici, (si sta assumendo, per semplicità, che tutti i poli di F 0 (s) siano distinti 15), cioè

2.

n R0 (s) R (s) Ai =k n 0 =∑ , D0 (s) ∏ i=1 (s − p i ) i =1(s − pi )

(101)

dove i coefficienti dello sviluppo sono 15

Se, ad esempio, il polo p1 avesse molteplicità m 1 , si avrebbe la seguente decomposizione

n R 0 (s) m1 A 1j Ai +∑ = ∑ F˜ 0 (s) = j D 0 (s) j=1 (s− p 1 ) i= 2 (s− p i ) 1 d m1 − j m A 1j = [ (s− p1 ) 1 F˜ 0 ( s) ] s= p . 1 ( m1 − j) ! ds m1− j

dove

i

coefficienti

dello

sviluppo

sono

361

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Ah = k 3.

R0 (ph ) . n ∏ i=1 (p h − pi ) i≠ h

(102)

Si antitrasformano Q 0 (s) e i singoli fratti semplici. L’antitrasformata di Q 0 (s) è unica, perché il polinomio Q 0 (s) è analitico in tutto il piano complesso: la regione di convergenza di Q 0 (s) coincide con tutto il piano complesso (ed è, quindi, l'unica possibile). Il generico termine di Q0 (s) è del tipo b h s h e si trasforma in un impulso di Dirac di ordine h di ampiezza b h ; in particolare il termine costante si trasforma in un impulso di Dirac. Quando si antitrasforma il generico fratto semplice 1/(s−pi) bisogna scegliere, fra le due possibili regioni di convergenza,

Re{s }> Re{pi } o Re{s } < Re{pi } , quella che non ha intersezione vuota con la ROC di F 0 (s) . 9.4.2 Trasformata di Laplace monolatera La trasformata di Laplace monolatera viene introdotta per studiare l'evoluzione di circuiti con valori iniziali delle grandezze di stato diverse da zero. Per convenzione si assuma come istante −

iniziale l'istante t = 0 (i circuiti che stiamo considerando sono tempo-invarianti). - Definizione −

Sia assegnata una funzione del tempo f(t) definita per 0 < t < +∞ , si formi il prodotto f(t)e e si integri da 0



−s t

a + ∞, +∞

F(s) = ∫ f(t)e − s t dt .

(103)

0−

La funzione F(s) definita dalla (103) è detta trasformata di Laplace monolatera della funzione del tempo f(t). L'operazione di trasformata di Laplace monolatera è denotata con il simbolo LI , per cui si scrive: LI

F(s) = LI {f(t)} , ovvero con il simbolo f(t)→ F(s) .

(104)

L'operazione inversa , che consente di tornare alla funzione f(t) nel dominio del tempo a partire dalla corrispondente trasformata di Laplace monolatera, è indicata con: L−I 1

−1

f(t) = LI {F(s)} , ovvero con il simbolo F(s)→ f(t) .

(105)

- Proprietà di convergenza Anche l'integrale (103) è un integrale improprio. Come nel caso della trasformata bilatera, non −

tutte le funzioni definite per 0 < t < +∞ ammettono una trasformata di Laplace monolatera. La regione di convergenza della trasformata monolatera di Laplace delle funzioni f(t), per le quali esistono delle costanti reali M>0 e β, tali che

f(t) ≤ M exp(β t) t ≥ 0 ,

(106)

362

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

è data da

Re{s } > β .

(107)

La regione di convergenza della trasformata di Laplace monolatera è sempre un semipiano a destra di una retta parallela all'asse immaginario. Le trasformate di Laplace monolatere delle funzioni elementari sono riportate nella Tabella IV. Si osservi che, esse coincidono con quelle che si hanno applicando la trasformata bilatera alle funzioni ottenute prolungando la funzione f(t) in modo tale che sia identicamente nulla per t 5H^ λ k `. Si ordinino le frequenze naturali in modo tale che 5H^ λ ` ≥ 5H^ λ ` ≥ ≥ 5H^ λ ` , allora la regione di convergenza della funzione di rete H(s) è il 1 2 n

è il semipiano

5H^

semipiano del piano complesso definito da 5H^

s`>

PD[ 5H^

k =1 n

λ k ` = 5H^λ 1 ` .

(137)



Pertanto, la regione di convergenza della funzione di rete di un generico circuito è il semipiano a destra della retta parallela all'asse immaginario e passante per il polo a parte reale più grande. 52&

{H V } = ^s

5H^ V `

> PD[ 5H^ λ h ` = 5H^λ 1 ` ` h =1 n 

Dalla (135) segue che: (a)

La generica funzione di rete di un circuito è una funzione razionale (quindi meromorfa in tutto il piano complesso)

H(s) =

N(s) , D(s)

(138)

dove N(s) e D(s) sono polinomi a coefficienti reali (si faccia l'ipotesi che N(s) e D(s) non abbiano fattori in comune). Il polinomio D(s), a meno di un fattore moltiplicativo, coincide con il polinomio caratteristico del circuito. (b)

A meno di un fattore moltiplicativo, ogni funzione di rete può essere assegnata attraverso i suoi zeri e i suoi poli: i poli di una generica funzione di rete di un circuito sono uguali alle pulsazioni naturali del circuito. In generale è possibile esprimere H(s) come

H(s) =

N(s) (s − z1 )(s − z 2 )⋅...⋅(s − z m ) , =k D(s) (s − p1 )(s − p2 )⋅...⋅(s − p n )

(139)

dove

pi = λ i per i = 1,2,... n

(140)

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

(c)

371

e k è una costante reale. È facile verificare che grado{N(s) }≤ grado{D(s)} se k0 0. Nei casi in cui k0=0, si ha

grado{N(s) }< grado{D(s)}, e quindi le funzioni di rete sono funzioni razionali proprie ogni volta che l'uscita coincide con una grandezza di stato del circuito. Nel caso in cui l'ingresso coincida con una grandezza di stato, si ha grado{N(s) }≤ [grado{D(s)} + 1] . Osservazione Ogni polo di H(s) è una frequenza naturale, ma può accadere che non tutte le frequenze naturali siano poli della H(s), a causa delle cancellazioni zeri-poli. L'interpretazione fisica della cancellazione è la seguente. Per il circuito in esame può accadere che: (a) il modo di evoluzione con pulsazione naturale è eccitabile dall'ingresso prescelto, ma non è osservabile all'uscita prescelta; (b) il modo non è eccitabile dall'ingresso prescelto ma è osservabile all'uscita prescelta; (c) il modo non è eccitabile dall'ingresso prescelto e non è osservabile all'uscita prescelta. - Regione di convergenza di un circuito di impedenze La regione di convergenza di una funzione di rete non dipende dalla particolare uscita prescelta se si escludono le cancellazioni zeri-poli. Pertanto, in un circuito di impedenze operatoriali con un solo generatore, tutte le grandezze circuitali hanno la stessa regione di convergenza. Essa è delimitata a sinistra dalla retta parallela all'asse immaginario e passante per il polo di H(s) a parte reale più grande, e a destra dalla frontiera di destra della regione di convergenza di E(s), figura 17 (ovviamente stiamo supponendo che l'intersezione non è l'insieme vuoto). Se il circuito in esame è dissipativo esso è asintoticamente stabile, e quindi le pulsazioni naturali e i poli di H(s) sono a parte reale negativa. In questo caso la regione di convergenza di H(s) contiene l'asse immaginario. Invece nei casi in cui il circuito è passivo ma non è dissipativo, esso è stabile (ma non necessariamente asintoticamente stabile), e quindi alcuni poli di H(s), (al limite tutti), potrebbero trovarsi sull'asse immaginario. In questo caso la regione di convergenza di H(s) è il semipiano a destra dell'asse immaginario e l'asse immaginario ne costituisce la frontiera. Nel caso in cui il circuito fosse conservativo, tutti poli di H(s) si troverebbero sull'asse immaginario. Infine, se il circuito contenesse elementi attivi, esso potrebbe essere instabile. In questo caso H(s) avrebbe poli a destra dell'asse immaginario e la regione di convergenza è un semipiano che non contiene l'asse immaginario ed è alla sua destra. In figura 18 sono illustrati degli esempi di diagrammi di poli di un circuito asintoticamente stabile, figura 18a, di un circuito stabile, figura 18b, di un circuito conservativo, figura 18c e di un circuito instabile, figura 18d.

372

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Figura 17

Regione di convergenza della funzione di trasferimento(a), regione di convergenza dell’ingresso (b) e regione di convergenza della risposta del circuito (c).

Figura 18

Esempi di diagramma di poli: circuito asintoticamente stabile (a), circuito stabile (b), circuito conservativo (c) e circuito instabile (d).

Esempio Si consideri il circuito in evoluzione forzata descritto in figura 19; il generatore di tensione impone una tensione costante per t Re{p + } . Pertanto l'antitrasformata del termine A + / (s − p+ ) è

Il

fratto

p+t u(t ) . L−1 II {A + / (s − p+ )} = A + e

(151)

Analogamente per il fratto A − / (s − p− ) , l'antitrasformata vale p−t L−1 II {A − / (s − p− )} = A − e u(t) .

(152)

La tensione del condensatore nel dominio del tempo si ottiene combinando le (150), (151) e (152); essa vale

v(t) = −u(−t) + 2u(t )e

−106 t

6

cos(10 t − π / 4) .

(153)

v(t) è continua ovunque, perché è una grandezza di stato e il generatore è limitato. Esempio È interessante considerare, ora, il caso in cui nel circuito di figura 19 la tensione e(t) vale

e(t ) = u(t) ; per t −103 ,

(159)

e quindi le regioni di convergenza dei termini V1 (s) = E 1 (s)H(s) e V2 (s) = E 2 (s)H(s) sono:

V1(s) ROC1 = {s:−10 3 < Re{s } < 0 }, V2 (s) ROC2 = {s: 0 < Re{s }}.

(160)

376

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Per antitrasformare bisogna decomporre V1 (s) e V2 (s) in fratti semplici,

V1(s) = −

1 1 103 = − + , s (s + 103 ) s(s+ 10 3 )

 1  103 − s 1 106 . = − V2 (s) = (s+ 103 )(s 2 + 10 6 ) 2  (s 2 + 106 ) (s+ 103 ) 

(161)

Antitrasformando le (161) con le regioni di convergenza (160), si ottiene la tensione v(t)

v(t) = u(−t) +

1 u(t)[3e −1000t − cos(1000t) + sin(1000t)] . 2

(162)

La tensione del condensatore è costante per t0 c'è un transitorio dovuto alla modifica della sorgente avvenuta all'istante t=0. Per t∅+ il circuito è in regime sinusoidale. I precedenti esempi e le considerazioni fin qui svolte suggeriscono un algoritmo per la soluzione di un circuito arbitrario in evoluzione forzata. Procedura per la soluzione di un circuito in evoluzione forzata tramite la LIItrasformata Passo 1.

Si costruisce la rete di impedenze operatoriali corrispondente al circuito N.

Passo 2.

Si risolve la rete di impedenze operatoriali applicando la sovrapposizione degli effetti e le altre tecniche tipiche delle reti resistive lineari (equivalenze serie e parallelo, regole dei partitori, ...). Allora qualsiasi corrente di lato I k = I k (s) , o qualsiasi tensione di lato

V k = Vk (s) è data da un'espressione del tipo e

e

J

J

H1 (s)E1 (s)+...+Hα (s)Eα (s) + H1 (s)J1 (s)+...+Hβ (s)J β (s) , e

e

J

J

dove H1 (s), ..., Hα (s), H1 (s), ..., Hβ (s)

(163)

sono funzioni di rete del circuito,

corrispondenti alla stessa uscita e agli ingressi definiti, rispettivamente, dai generatori di tensione indipendenti E 1 (s), ..., E α (s) , e dai generatori di corrente indipendenti J 1 (s), ..., J β (s) . Passo 3.

Bisogna determinare la regione di convergenza di ciascun termine della (163), e e e J J decomporli in fratti semplici. H1 (s), ..., Hα (s), H1 (s), ..., Hβ (s) hanno la stessa regione di convergenza (stiamo assumendo che non ci sono cancellazioni zeri-poli); invece le regioni di convergenza di E 1 (s), ..., E α (s) , J 1 (s), ..., J β (s) sono, in generale, distinte (potrebbero anche avere intersezione vuota).

Passo 4.

Infine, per determinare le grandezze nel dominio del tempo bisogna antitrasformare i singoli termini (utilizzando le Tabelle), prestando la massima attenzione alle regioni di convergenza di ciascuno di essi.

9.6 Analisi dei circuiti in evoluzione generica tramite la trasformata di Laplace

377

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

In questo paragrafo vengono illustrati due metodi di analisi per circuiti in evoluzione generica basati sulla trasformata di Laplace. Si consideri un circuito lineare e tempo-invariante e si supponga che esso sia in evoluzione generica a partire dall’istante iniziale t 0 : le grandezze di stato all’istante iniziale sono diverse da zero e nel circuito, in generale, ci sono generatori indipendenti. È sempre − possibile scegliere un riferimento per la “coordinata temporale” in modo tale che sia t 0 = 0 (la −

scelta di 0 come istante iniziale è solo una convenzione; in questo modo gli eventuali generatori impulsivi applicati all'istante iniziale sono centrati in t=0). È immediato che, un problema di questo tipo non può essere studiato applicando la trasformata bilatera di Laplace, perché le grandezze circuitali non sono definite per t ω 0 > 0 , la funzione di trasferimento ha due poli reali e negativi, p1 = −α1 e p 2 = −α 2 , dove α 1 e α 2 sono numeri reali positivi, come nel circuito RC del secondo ordine descritto in precedenza. In questo caso il circuito RLC di figura (14) si comporta da filtro passa-basso; la regione di transizione tra la “banda passante” e la “banda oscura” è più netta rispetto a quella che si ha in un circuito RC del primo ordine. 2 2 2 Per ω 0 > α > 0 i poli sono complessi coniugati. Posto ω 0 = α + β , la funzione di trasferimento può essere così riscritta:

400

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

1 1 , = 2 2 (s + α) + β (s + α + iβ)(s + α − iβ)

H(s) =

(70)

e la risposta in ampiezza vale:

A(ω) =

1 2 2 2 2 2 (ω − ω 0 ) + 4α ω

=

1 . (N1 L )(N2 L )

(71)

La risposta in ampiezza è rappresentata in figura 15 per diversi valori di

β ω 20 = − 1. α α2

(72)

Il comportamento di A(ω) dipende da come varia (N1 L )(N2 L ) quando il punto L si sposta lungo l'asse immaginario. Se β ≤ α, (N1 L )(N2 L ) cresce con legge monotona e quindi A(ω) decresce con legge -

monotona per ω → ±∞ , figure 15a e 15b. Se β > α, allora (N1 L )(N2 L ) prima decresce, raggiunge un minimo in corrispondenza di

ω m = β 2 − α 2 = ω 20 − 2α2 ,

(73)

e poi cresce con andamento monotono per ω → ±∞ , figure 15c e 15d. In questo caso A(ω) ha un minimo per ω=0, il massimo per ω = ±ω m e poi tende asintoticamente a zero per

ω → ±∞ . L'ampiezza massima vale A(ω m ) = ω

1 , 2αβ

A(ω m ) 1 β α = ( + ). A(0) 2 α β

(74)

β=0.5α

ω

β=α

N1

N1

1

β

−α

β 1

−α 0 ω )/A(0)

N2

ω

N2

(a)

(b) β=2α

ω

N1

β≅ω

N1 ω

m

m

1

−α 0

N2

(c)

(d)

Risposta in ampiezza (71) per diversi valori di β.

10

A( ω )/A(0)

1.25

A( ω )/A(0)

0

N2

Figura 15

β=20α

β 1

−α

A( ω )/A(0)

0

401

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Gli andamenti illustrati in figura 15 possono essere dedotti, almeno per quanto concerne l'aspetto qualitativo, nel modo di seguito riportato. L'ampiezza A(ω) può essere rappresentata come A (ω ) = A1 ( ω ) ⋅ A 2 ( ω ) ,

dove

(75)

1 1 , = i ω − λ+ (ω − β)2 + α 2 1 1 A 2 (ω) = . = iω − λ − (ω +β)2 + α2 A1 (ω) =

(76) (77)

La funzione A 1 (ω) assume il valore massimo in corrispondenza di ω = β , e la funzione A 2 (ω) assume il valore massimo in corrispondenza di ω = −β , (se i due poli fossero reali, il massimo si troverebbe nell'origine per entrambe le funzioni), figura 16.

A

(ω)

A

2

1

(ω) A (ω)

0

−β −ωm

β

ω

ωm

Figura 16 Per β − α ≤ ω ≤ β + α , si ha

1 A ( ω) ≤ 1 ≤ 1. 2 A1 (β)

(78)

Pertanto, si può assumere che, 2α rappresenti, in qualche modo, l'ampiezza dell'intervallo delle pulsazioni, centrato in ω = β , in cui A 1 (ω) assume valori “significativamente ” diversi da zero: questo intervallo potrebbe essere definito come la “banda passante” di A 1 (ω) ; analogamente per A 2 (ω) , solo che, ora, la banda passante è −β − α ≤ ω ≤ −β + α ed è centrata in ω = −β . Quando

β ≤ α , gli

intervalli

(−β,−β + α) e (β − α,β)

contengono

l'origine,

si

sovrappongono

completamente e il grafico di A(ω) ha le forme descritta in figura 15a e 15b. In questi casi A(ω) ha il massimo nell'origine. Invece per β > α gli intervalli (−β,−β + α) e (β − α,β) non contengono l'origine, non si sovrappongono e il massimo di A(ω) si trova a ω = ω m ( ω m = 0 quando β = α ). - Filtro passa-banda

402

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Il circuito del secondo ordine in esame si comporta come un filtro anche quando le frequenze naturali sono complesse. Se β ≈ α il circuito si comporta ancora da filtro passa basso, vedi le figure 15a, 15b e 15c. Invece se è (β / α) >> 1 il circuito si comporta come un filtro passa-banda. Si ha:

ω m = β 2 − α 2 ≅ β = ω 20 − α2 ≅ ω 0 ,

(79)

ω m ≅ β ≅ ω 0.

(80)

cioè

Nell'intorno di ω m , i ω − p2 = i(ω + β ) + α è circa uguale a 2 i β , e quindi la risposta in frequenza può essere approssimata nel modo seguente:

H(iω) =

1 1 . ≅ (i ω − p1 )(iω − p2 ) 2iβ[α + i(ω − β)]

(81)

Pertanto, la risposta in frequenza, nell'intorno della pulsazione ω m ≅ ω 0 , coincide, a meno di un fattore di scala, con quella di un circuito con un solo polo, traslata in frequenza della pulsazione ω 0 . La risposta in ampiezza nell'intorno di ω m ≅ ω 0 vale, quindi,

A( ω) ≅ e

le

frequenze

1 1 , 2β (ω − β)2 + α 2

(82)

di

taglio inferiore e superiore a 3dB sono, rispettivamente, ω − = ω 0 − α e ω + = ω 0 + α (per β > α le pulsazioni di taglio a 3dB del circuito sono due, perché il massimo di A(ω) si trova in corrispondenza di ω m ≠ 0 ); nel limite (β / α) >> 1 si ha

ω ± ≅ ω 0 ± α . La riposta in ampiezza normalizzata al valore massimo A(ω) / A(ω m ) è circa uguale a 1 nell'intorno di ω 0 di ampiezza 2α, ed è uguale all'incirca a 2α / β all'esterno di questo intorno. Un filtro passa-banda ha la funzione di sopprimere tutte le componenti armoniche di un segnale con pulsazioni all'esterno di una banda baricentrata nell'intorno di una frequenza diversa da zero, lasciando praticamente inalterate le ampiezze delle armoniche con pulsazioni all'interno di quella banda. Nel caso in esame le ampiezze delle armoniche con pulsazioni esterne alla banda (ω 0 − Ω, ω 0 + Ω) centrata in ω 0 (banda oscura del filtro passa-banda), vengono notevolmente attenuate, rispetto alle ampiezze delle armoniche con pulsazioni appartenenti a (ω 0 − Ω, ω 0 + Ω) , (banda passante del filtro passa-banda); 2Ω è la larghezza della banda passante del filtro. Generalmente si sceglie Ω uguale a due o tre volte α; 2α prende il nome di larghezza di banda a 3dB del filtro passa banda. La larghezza di banda a 3dB tende a zero per (β / α ) → ∞ . Un circuito con una risposta in ampiezza di questo tipo è un circuito risonante alla pulsazione ω 0 ; la pulsazione ω 0 è la pulsazione di risonanza del circuito ( ω 0 / 2π è la frequenza di risonanza del circuito). In corrispondenza della pulsazione di risonanza l'impedenza equivalente della serie costituita dall'induttore e dal condensatore è nulla e quindi il modulo dell'impedenza equivalente vista dal generatore è minima (il fenomeno della risonanza in un circuito RLC serie è stato descritto nel Capitolo 8). Il fattore di merito del circuito risonante è dato da

Q=

ω0 ω0 L, = 2α R

(83)

403

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

e quindi per β / α >>1 si ha

Q≅

λ+ β . ≅ 2α 2 Re{ λ + }

(84)

Il circuito risonante serie funziona da filtro passa-banda se il fattore di merito è molto più grande di uno, cioè se i due poli complessi coniugati sono molto vicini all'asse immaginario e molto distanti dall'asse reale. Al crescere del fattore di merito diventa sempre più stretta la regione in cui la risposta, (normalizzata in ampiezza) è all'incirca uguale a 1 e quindi diminuisce la banda passante. In figura 17 sono riportati due esempi di risposta in fase. π/2

φ(ω) α=20

α=1

−π/2

ω −ω

Figura 17

0

0

ω

0

Risposta in fase per ω 0 = 10 (in unità arbitrarie) del circuito RLC di figura 13 per due diversi valori di α.

Si consideri, ora, la corrente I(s) come grandezza di uscita del circuito RLC descritto in figura 13. In questo caso la funzione di trasferimento vale:

H I (s) =

I(s) 1 1 s , = = R 2 E(s) Z eq (s) L s + s + 1 L LC

(85)

1/√2

0

ω)/A( ω )

1

Q=1 Q=5 Q=10 −ω

0

Figura 18

0

ω

0

ω

404

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

La funzione di trasferimento (85) ha, ovviamente, gli stessi poli di quella ottenuta considerando come uscita la tensione del condensatore e in più ha uno zero nell'origine. La risposta in ampiezza vale:

A I (ω) =

1  ω2  R 2 + ω 2 L2  1− 02   ω 

2

,

(86)

dove ω 0 = 1 / LC . In questo caso la risposta in ampiezza assume il valore massimo per ω = ω 0 , ed è uguale a zero per ω=0 (a causa dello zero nell'origine) e tende asintoticamente a zero per

ω → ±∞ , figura 18, e quindi il circuito si comporta, per qualsiasi valore di ω, da filtro passa-banda. La frequenze di taglio a 3dB valgono ω ± ≅ (1 ± 1 / 2Q)ω 0 nel limite Q>>1 (la larghezza della banda passante a 3dB è inversamente proporzionale al fattore di merito del circuito). Se si assume come uscita la tensione dell'induttore, la funzione di trasferimento è data da

V L (s) s2 H L (s) = . = E(s) s2 + R s + 1 L LC

(87)

In questo caso la funzione di trasferimento ha uno zero doppio nell'origine e la risposta in ampiezza tende asintoticamente a 1 per ω → ±∞ : il circuito può funzionare da filtro passa-alto se β < α e da filtro passa banda se β >> α Infine si consideri il circuito del secondo ordine descritto in figura 19. Si assuma come uscita la tensione del resistore. In questo caso la funzione di trasferimento è

H(s) =

s 2 + ω 20 V(s) , =R 2 s + 2αs + ω 20 E(s)

(88)

e la risposta in ampiezza vale:

A( ω ) = R

ω 2 − ω 20 2 2 2 2 2 (ω − ω 0 ) + 4α ω

,

(89)

2

dove ω 0 = 1 / LC e 2α = 1/ RC . La funzione di trasferimento possiede due zeri sull'asse immaginario, z ± = ± i ω 0 , e quindi la risposta in ampiezza è uguale a zero per ω = ±ω 0 ; inoltre A(0)=R e A(ω) → R per ω → ±∞ . - Filtro taglia-banda Questo circuito si comporta come un filtro taglia-banda. Un filtro taglia-banda ha la funzione di sopprimere tutte le componenti armoniche di un segnale con pulsazioni all'interno di una certa banda e lasciare inalterate le ampiezze di tutte le armoniche con pulsazioni all'esterno di quella banda. Nel caso in esame le ampiezze delle armoniche con pulsazioni interne a un intorno (ω 0 − Ω ,ω 0 + Ω) di

ω 0 (banda oscura del filtro taglia-banda), vengono notevolmente ridotte, rispetto alle ampiezze delle armoniche con pulsazioni esterne a (ω 0 − Ω ,ω 0 + Ω) , (banda passante del filtro taglia-banda); 2Ω è la larghezza della banda oscura del filtro. La larghezza della banda oscura a 3dB vale all'incirca 2α

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

405

per ω 0 >> α . La risposta in ampiezza normalizzata al valore massimo A(ω) / A(0) è circa uguale a 0 nell'intorno di ω 0 di ampiezza 2α, ed è uguale all'incirca a 1 all'esterno di questo intorno. Un circuito con una risposta in ampiezza di questo tipo è un circuito anch'esso risonante alla pulsazione ω 0 . Questo circuito ha un comportamento duale a quello del circuito risonante RLC serie con pulsazione ω 0 . Nel circuito risonante illustrato in figura 19 alla pulsazione di risonanza l'ammettenza equivalente al parallelo tra l'induttore e il condensatore è uguale a zero e quindi è uguale a zero la tensione sul resistore. Invece per ω → 0 e ω → ∞ l'impedenza del parallelo LC tende a zero e quindi la tensione sul resistore è uguale a quella in ingresso.

Figura 19

Circuito RLC anti-risonante.

10.4 Circuiti con amplificatori operazionali e generatori controllati Ora analizzeremo, attraverso esempi, la risposta in frequenza di circuiti (del primo e del secondo ordine) che utilizzano amplificatori operazionali e generatori controllati. In particolare vogliamo mettere in evidenza due proprietà dell'amplificatore operazionale, che sono fondamentali nelle applicazioni circuitali. Ricordiamo che l'amplificatore operazionale è un doppio bipolo attivo, non reciproco, che alla porta di uscita si comporta come un generatore di tensione controllato in tensione. Si assuma che, il circuito funzioni in modo tale che l'amplificatore operazionale non vada mai a funzionare in saturazione (la tensione in uscita all'amplificatore operazionale deve essere inferiore a quella di saturazione). - Un circuito del primo ordine Si consideri il circuito rappresentato in Figura 20; esso può essere considerato come un doppio bipolo. L'ingresso è la tensione della porta “1” e l'uscita è la tensione della porta “2”. Bisogna determinare la funzione di trasferimento

H(s) =

V(s) . E(s)

(89)

Nel dominio s il funzionamento dell'amplificatore operazionale è caratterizzato dalla relazione caratteristica (per il momento consideriamo un guadagno a ciclo aperto finito) I + (s) = I− (s) = 0, V(s) = AV0 (s),

(90)

406

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

dove A è il guadagno dell'amplificatore. La corrente I 0 (s) è data da:

I0 =

E + V0 , R0

(91)

ed è uguale alla corrente totale che circola nel parallelo costituito dal resistore di resistenza R e dal

ˆ del parallelo vale condensatore. Pertanto la tensione V ˆ =I V 0

R . RCs + 1

(92)

Applicando la legge di Kirchhoff per le tensioni alla maglia costituita dalla porta di uscita “2”, dal parallelo R//(1/sC) e dalla porta di ingresso dell'amplificatore operazionale, si ottiene:

ˆ + V = 0. V +V 0

(93)

Figura 20 Usando la (92) e la (93) e la seconda delle (90), si ha il sistema:

R / R0   R / R0 V+ E, + 1 V0 = −  RCs + 1   RCs + 1 V − AV 0 = 0.

(94)

Risolvendo il sistema (94), si ottiene

1 R / R0    R / R0 V (s ) =  − E. − 1 + RCs + 1   RCs + 1 A

(95)

Nel limite A → ∞ , la (95) diventa:

H(s) = dove

k=−

1 V(s) , =k s+α E(s) 1

R 0C

, α=

1 . RC

(96)

(97)

407

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Pur avendo il circuito in esame un elemento attivo, il polo della funzione di trasferimento è negativo. Gli effetti dei resistori passivi compensano quelli dell'elemento attivo e globalmente il circuito è dissipativo. Pertanto, il circuito ha una risposta armonica del tipo descritta in §3. Si osservi, innanzi tutto, che è possibile, scegliendo opportunamente R 0 , R e C , realizzare, almeno in principio, una risposta in frequenza con una ampiezza massima e una pulsazione a 3dB arbitrarie. Il circuito considerato, nel caso limite A → ∞ può essere rappresentato attraverso il doppio bipolo equivalente illustrato in figura 21: esso si comporta alla porta “1” come se fosse un resistore di resistenza R 0 , (nel limite A → ∞ , V 0 → 0 e quindi I 0 = E / R 0 ), e alla porta “2” come se fosse un generatore di tensione controllato in tensione (la tensione della porta “2” è indipendente dalla corrente di uscita). La tensione di controllo è quella applicata in ingresso e la “costante di proporzionalità” è la funzione di trasferimento.

Figura 21 Si considerino, ora, due circuiti del primo ordine, connessi così come è descritto in figura 22 (questo tipo di connessione prende il nome di connessione in cascata).

Figura 22

Connessione in cascata di due blocchi del tipo illustrato in figura 20.

Siccome il circuito N1 si comporta alla porta “2” come un generatore di tensione controllato dalla tensione V 1 , il suo funzionamento è indipendente da ciò che è connesso alla porta “2” (cioè a destra), e quindi

V2 (s) = H1 (s)V1 (s) , dove

H1 (s) = k1

1 1 , k1 = − 1 , α1 = 1/ R1C1 . s + α1 R 0 C1

(98) (99)

La relazione tra V 2 e V3 è data da:

V3 (s) = H2 (s)V 2 (s) ,

(100)

408

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

dove

H2 (s) = k 2

1 1 , k2 = − 2 , α2 = 1 / R2 C 2 . R 0 C2 s + α2

(101)

Combinando le (98) e (100) si ha la funzione di trasferimento dei due blocchi in cascata:

H(s) =

V3 = H1 (s) ⋅ H2 (s) . V1

(102)

Allora la funzione di trasferimento dei due blocchi in cascata è uguale al prodotto delle funzioni di trasferimento dei singoli blocchi della cascata. Connettendo m circuiti del primo ordine, del tipo appena descritto, in cascata, è possibile realizzare funzioni di trasferimento con m poli reali e negativi “qualsiasi”. Osservazione Si considerino i due circuiti RC illustrati in figura 23a e 23b. Le loro funzione di trasferimento sono

H1(s) = α1

k1 k2 , H2 (s) = α 2 , s + α1 s + α2

(103)

dove α 1 = 1 / R1C1 e α 2 = 1 / R2 C2 . Si consideri ora il circuito rappresentato in figura 23c ottenuto collegando la porta 2-2' del circuito N1 alla porta 1-1' del circuito N2. Quanto vale la sua funzione di trasferimento H (s) = V 3 (s ) / V 1(s ) ? Questa volta il funzionamento del circuito N1 dipende da cosa è collegato alla porta “2”, e quindi è evidente che H(s) ≠ H1 (s)H 2 (s) .

Figura 23 Interponendo tra il circuito N1 e il circuito N2 un generatore di tensione controllato in tensione, come illustrato in figura 24, si ottiene

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

409

H(s) = βH1 (s)H2 (s) ,

(104)

dove:

H i (s) =

αi , α i = 1 / R i Ci i =1,2 . s + αi

(105)

Figura 24 La presenza del generatore di tensione controllato in tensione fa si che: (a) la porta 2-2' del circuito N1 non è “caricata” dalla porta 1-1' del circuito N2; (b) la tensione sulla porta 1-1' del circuito N2 è direttamente proporzionale alla tensione sulla porta 2-2' del circuito N1. In questo caso il generatore controllato oltre alla funzione di cambiare il guadagno, ha anche la funzione di disaccoppiare i due circuiti di modo che la funzione di trasferimento globale è il prodotto delle funzioni di trasferimento dei singoli blocchi. - Un circuito del secondo ordine Si consideri, ora, il circuito del secondo ordine rappresentato in Figura 25: i bipoli dinamici sono due condensatori. Anche questo circuito può essere considerato come un doppio bipolo: l'ingresso è la tensione della porta “1” e l'uscita è la tensione della porta “2”. Bisogna determinare la funzione di trasferimento

H (s ) =

V(s ) . E (s )

(106)

Figura 25 Si assuma fin da ora che il guadagno dell'amplificatore operazionale sia infinito (A∅ ); in questo limite si ha (amplificatore operazionale ideale): V0 (s) = 0 .

(107)

Applicando la seconda legge di Kirchhoff si ha che, la tensione V(s) è uguale alla tensione V 2 del condensatore di capacità C 2 e la tensione V R del resistore di resistenza R 2 è uguale a V 1 (in

410

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

entrambi i casi è stata usata la (107)). Inoltre, applicando la prima legge di Kirchhoff si ottiene I = I1 + IR e I 2 = I R . Pertanto si ha:

V1 =

R 2 / sC1 1 1 V1 1 R2 / sC1 I, V = I2 = I. = sC2 sC2 R2 sR2 C2 R 2 + 1/ sC1 R 2 + 1 / sC1

(108)

Applicando di nuovo la seconda legge di Kirchhoff si ha:

R 2 / sC1 R2 / sC1 1 I+ R 2 + 1 / sC1 R2 + 1/ sC1 sR 2 C2 . = [ R1R 2 C1C 2s 2 + (R1 + R2 )C 2s + 1]V(s)

E = R1I + VR + V2 = R1I +

(109)

Allora la funzione di trasferimento del circuito in esame è

H(s) =

1 , 1 s  s + +1 Ω  Q  Ω 2

(110)

dove:

Ω 2 = 1 / (R1 R2 C1C 2 ), Q = R1R 2C1C2 / [( R1 + R 2 )C2 ].

(111)

Il parametro adimensionale Q può essere sia maggiore che minore di uno, ma è sempre positivo. Essendo il circuito del secondo ordine, la funzione di trasferimento ha due poli. I due poli sono certamente a parte reale minore di zero, perché il parametro Q è maggiore di zero. I poli della funzione di trasferimento (110) sono complessi coniugati se Q>1, invece sono reali se Q f b > f a . Essendo la risposta in ampiezza del filtro passa-basso ideale

1 0 < f < f t , A(2πf) =  0 f t < f,

(4)

il “segnale non voluto” può essere eliminato usando un filtro passa-basso ideale con frequenza di taglio f t tale che:

f a < f b < ft < f0 .

(5)

(Quando f a ≈ f b e f a >> (f b − f a ) è conveniente usare un filtro passa-banda piuttosto che uno passa-basso). La (5) garantisce che il “segnale non voluto” non è presente in uscita. Essa garantisce, anche, che il “segnale voluto” sia restituito senza alterazioni? Le uniche alterazioni ammissibili sono: (a) modifica dell'ampiezza del “segnale voluto” nel suo complesso, senza alterarne la forma; (b) un ritardo dell'intero segnale, possibilmente riducendolo al minimo necessario. Pertanto, l'uscita u(t) del filtro deve valere:

u(t) = kx˜ (t − τ r ) ,

(6)

dove k e τ r sono due costanti (deve essere τ r > 0 perché i circuiti sono sistemi causali): k descrive l'attenuazione ( k ≤ 1 ) o l'amplificazione ( k > 1 ) del segnale voluto (nel suo complesso) e τ r il ritardo. Usando la risposta in frequenza del filtro passa-basso ideale, si ha per u(t)

u(t) = Xa cos[ 2πf a t + φ(2πf a )] + X b cos[2πf b t + φ(2πf b )] .

(7)

La (7) verifica la condizione (6) solo se:

φ(2πf a ) = −2πτ r f a , φ(2πf b ) = −2πτr f b ,

(8)

cioè se la risposta in fase φ(2πf ) è del tipo

φ(2πf ) = −2πτ r f .

(9)

In questo caso si ha

u(t) = Xa cos[ 2π f a (t − τ r )] + X b cos[2 π f b (t − τ r )] = ˜x(t − τ r ) . Se fosse:

(10)

414

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

τa = −

φ(2πf a ) φ(2πf b ) , ≠ τb = − 2πf a 2πf b

(11)

si avrebbe:

u(t) = Xa cos[ 2πf a (t − τa )] + Xb cos[2πf b (t − τ b )] ,

(12)

e il segnale in uscita avrebbe una forma diversa da quello in ingresso perché ogni armonica avrebbe un ritardo temporale diverso dal ritardo delle altre. Solo se la risposta in fase è lineare, la forma d'onda del “segnale voluto” non è distorta, ma è semplicemente ritardata. 11.1.2 Condizioni di fisica realizzabilità e filtri reali È immediato constatare che i filtri ideali non sono realizzabili con i circuiti dissipativi a parametri concentrati fin qui analizzati. Ricordiamo che la funzione di trasferimento H(s) (o di rete) di un circuito dissipativo a parametri concentrati ha le seguenti caratteristiche: (a)

H(s) è una funzione razionale di s a coefficienti reali, cioè esprimibile tramite il rapporto di due polinomi a coefficienti reali;

(b)

i poli di H(s) sono tutti a parte reale minore di zero.

Da queste proprietà si ha che H(s) è analitica sull'asse immaginario, e quindi la risposta in ampiezza deve essere una funzione continua di ω, ovvero di 2πf. Pertanto non ci può essere una transizione brusca tra la banda passante e la banda oscura. Inoltre la risposta in ampiezza non può essere uguale a zero in un intervallo di frequenze di ampiezza non nulla, altrimenti non sarebbe verificata la condizione di Paley-Wiener. Con le reti elettriche è possibile realizzare filtri che possono solo approssimare quelli ideali (filtri reali, figura 1c). Essi sono caratterizzati dall'avere: (i)

una risposta in ampiezza e derivata della fase (rispetto alla frequenza) in banda passante compresi entro margini prefissati;

(ii)

una risposta in ampiezza inferiore ad un prefissato minimo in banda oscura;

(iii)

una transizione tra banda passante e banda oscura che impegna uno o più intervalli di frequenza di ampiezza non nulla (bande di transizione).

Osservazione In generale le specifiche sulla risposta in ampiezza e in fase non possono essere assegnate indipendentemente, dato che per potere essere realizzati tramite un circuito a parametri concentrati devono essere, rispettivamente, il modulo e la fase di una funzione espressa attraverso un rapporto di polinomi a coefficienti reali. Nel seguito vengono considerate solo le specifiche sulla risposta in ampiezza, che è il caso di maggior interesse. Qualora il profilo della fase del circuito progettato in base alle sole specifiche sull'ampiezza non sia soddisfacente, sarà necessario correggerlo ricorrendo a opportuni circuiti (su questa problematica si ritornerà in seguito).

415

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

L'assegnazione delle specifiche, che costituisce il primo passo della sintesi, può essere fatta graficamente dando la cosiddetta “maschera” che fissa i margini entro cui approssimare il filtro ideale. In figura 2 è illustrata la “maschera” di riferimento per un filtro passa-basso: precisamente in figura 2a è illustrata l'andamento della risposta in ampiezza A(ω) (la risposta in ampiezza è normalizzata in modo tale che il suo valore massimo sia uguale a 1), e in figura 2b viene illustrata l'andamento della funzione attenuazione così definita:

 1  2 = −20log A(2πf ) = −10log[A (2πf )] . α(f) = 20log   A(2πf) 

(13)

Le specifiche sono date assegnando le frequenze estreme della banda passante e della banda oscura, nonché i margini entro cui deve essere compresa l'attenuazione in ogni banda. Per il filtro passa-basso occorre assegnare i seguenti parametri: -

fp

frequenza di taglio della bande passante;

-

fs αp

frequenza di taglio della banda oscura; massima attenuazione (in dB) nella banda passante;

-

αs

minima attenuazione (in dB) nella banda oscura.

Figura 2

Maschera” di un filtro passa basso reale: risposta in ampiezza (a) e funzione di attenuazione (b).

Il parametro κ LPF ≡ f s / f p prende il nome di rapporto di transizione del filtro passa-basso reale ed è sempre maggiore di uno. Alla massima attenuazione nella banda passante corrisponde il parametro ε

2

nella maschera per A(ω): ε

2

è la misura del massimo scostamento ammissibile, in

banda passante, dalla risposta in ampiezza del filtro ideale. Invece, alla minima attenuazione nella banda oscura corrisponde il parametro 1 / As : 1 / As è il massimo valore ammissibile della risposta in ampiezza nella banda oscura. Nel filtro passa-basso ideale è f s = f p = f f , α p = 0, α s = ∞ . La maschera per la funzione attenuazione di un filtro passa-alto è caratterizzata da grandezze simili: in questo caso il rapporto di transizione è definito come κ HPF ≡ f p / f s ed è maggiore di uno. Invece per la maschera di un filtro passa-banda (o taglia-banda) oltre alla massima attenuazione in banda passante e a quella minima in banda oscura, bisogna assegnare le due frequenze estreme f 1p e f 2 p (f1p < f 2p ) della banda passante e le due frequenze estreme f 1s e f 2s (f1s < f 2s ) della

416 banda

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

oscura.

In

κ BPF = (f 2 s − f1s ) / (f 2p

questo

caso il rapporto di transizione è definito come − f 1p ) ed è maggiore di uno. Per il filtro taglia-banda il rapporto di

transizione è definito come κ RBF = (f 2 p − f 1p ) / (f 2 s − f 1s ) ed è ancora maggiore di uno. Nel filtro passa-banda (o taglia-banda) ideale è f 1s = f 1p = f1 , f 2s = f 2p = f 2 , α p = 0 e α s = ∞ . Il rapporto di transizione in tutti i filtri ideali è sempre uguale a 1. Il secondo passo nella procedura di sintesi consiste nel determinare l'espressione analitica della risposta in ampiezza che soddisfa le specifiche di progetto: occorre, in altri termini, approssimare l'andamento costante a tratti del filtro ideale come una funzione A(ω) scelta in una certa classe e secondo un opportuno criterio, in modo tale che verifichi le specifiche imposte dalla maschera. Per la 2

2

proprietà (a) la funzione A (ω) deve essere una funzione razionale di ω a coefficienti reali (questa è un'altra condizione di fisica realizzabilità).

Figura 3

Confronto tra criterio massima piattezza (a) e minima piattezza (b).

Per quanto riguarda il criterio di approssimazione può essere usato un criterio che richieda che l'errore

ˆ (2πf ) e(f ) = A(2πf) − A

(14)

ˆ (2πf) è la risposta in ampiezza sia nullo ad una particolare frequenza f 0 , con alcune sue derivate; A ideale da approssimare e A(2πf) è la risposta in ampiezza approssimante. In questo modo l'errore risulta essere “piccolo” in un intorno di f 0 , la cui ampiezza dipende dall'ordine della prima derivata non nulla in f 0 . Questo è il criterio della cosiddetta massima piattezza. Può essere usato anche un criterio che imponga che il massimo errore assoluto sia minimo in uno o più intervalli, figura 3b. Ciò in genere dà luogo ad un andamento oscillante dell'errore, e quindi della risposta in ampiezza, nell'intervallo di frequenze considerate. Questo è il criterio della minima piattezza. Nel seguito delineeremo la procedura di sintesi per i filtri a massima piattezza sia in banda passante che in banda oscura (filtri di Butterworth). La procedura riguarderà i soli filtri passa-basso, dal momento che la sintesi degli altri tipi può essere condotta in termini di un filtro passa-basso prototipo, che mediante opportune trasformazioni della variabile indipendente f, (ω oppure s) genera il filtro desiderato.

11.2 Filtri di Butterworth

417

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

I filtri di Butterworth sono caratterizzati dall’avere risposta in ampiezza massimamente piatta in banda passante e in banda oscura. Per essi la funzione densità spettrale di energia è 2

A (ω) =

k2 2n , ω 1+ Ω 

(15)

2

dove k e Ω sono due costanti e n è un numero intero, (la (15) è una funzione razionale di ω per ogni n intero). Il massimo di A(ω) è in ω=0 ed è uguale a k; l'intero n è detto “ordine” del filtro di Butterworth e Ω è la pulsazione di taglio a 3 dB del filtro. La risposta in ampiezza inizia da 20log(k) (in corrispondenza di ω=0) e decade monotonamente di 3dB (per ogni n) alla pulsazione Ω. Sviluppando la (15) in serie di Taylor nell'intorno di ω=0, si ha:

A 2 (ω) = 1 −

 ω  Ω

2n

+

ω  Ω

4n

− ... ;

(16)

la prima derivata non nulla nell'intorno di ω=0 è quella di ordine 2n, il che prova la massima piattezza della funzione densità spettrale di energia nell'intorno di ω=0; in modo analogo si può verificare che è a massima piattezza anche in banda oscura per ω → ∞ . L'andamento di A(ω) è monotono ed è illustrato in figura 4 per alcuni valori di n; si osservi che per

n → ∞ , l'approssimazione di Butterworth tende alla caratteristica del filtro passa-basso ideale. A(ω)/A(0) 1 1/√2 0.5

n=1

n=10 0

Figura 4

n=3

n=2 ω



Risposta in ampiezza del filtro di Butterworth al variare dell'ordine. 100,0 α(f) 80,0

n=10

60,0

n=3

40,0

n=2

20,0

n=1

0,0

Figura 5

n=∞

log(f/f ) t

0,1

1

10

Diagramma di Bode della funzione di attenuazione del filtro di Butterworth al variare dell'ordine.

418

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

In figura 5 è riportato il diagramma di Bode per la funzione attenuazione corrispondente

α(f) = −20log[1 / A(2πf )] = 10log[1 + (2πf / Ω)2n ] f > (Ω / 2π)

(17)

ottenuto approssimando α(f) con i suoi asintoti per f → 0 e f → ∞ . Si osservi che per f>>Ω/2π, l'attenuazione cresce di 20 dB/ decade. La costante k deve essere determinata in base al valore dell'ampiezza massima richiesta, mentre l'ordine del filtro n e la frequenza di taglio a 3dB

f t = Ω / 2π ,

(18)

devono essere determinate sulla base delle specifiche assegnate in termini di f p , f s , α p e α s . Imponendo queste specifiche si hanno le due disequazioni:

10log[1 + (f p / f t )2n ] ≤ α p ,

(19)

10log[1 + (f s / f t ) 2n ] ≥ α s ,

nelle due incognite f t e n . Con qualche semplice manipolazione delle (19) si ottiene per l'ordine del filtro n

n ≥ int [ln(η) / ln(κ )] + 1 ,

(20)

dove κ è il rapporto di transizione del filtro, κ = f s / f p , e

η=

10α s /10 − 1 = α /10 10 p − 1

A2s − 1 . ε

(21)

Per la frequenza di taglio a 3dB f t si ha la disuguaglianza:

fp

1 2n

α p /10

10

−1

≤ f t ≤ f s 2n

1 10αs /10 − 1

.

(22)

Si osservi che è sempre f p ≤ f s . In genere per n si prende il numero intero più piccolo che verifica la (20); una volta determinato l'ordine, attraverso la (22) viene determinata la frequenza di taglio f t e quindi la pulsazione di taglio Ω. Esempio Determinare il filtro di Butterworth che verifica le seguenti specifiche

α(f ) ≤ α p = 0.1 dB

∀ f ≤ fp = 3MHz,

α(f ) ≥ α s = 60 dB

∀ f ≥ fs = 12MHz.

Sostituendo i valori assegnati nelle (21) si ha κ = 4, η = 6553 , e sostituendo i valori così ottenuti nella (20) si ottiene che l'ordine deve verificare la condizione n ≥ 7 . Assumendo n ≥ 7 , per la frequenza di taglio a 3dB si ha 3.92MHz ≤ f t ≤ 4.47MHz .

419

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

I filtri di Butterworth, avendo una funzione di attenuazione monotona sia in banda passante che in banda oscura, soddisfano le specifiche con un margine crescente man mano che la frequenza aumenta in banda passante e diminuisce in banda oscura. Un approccio più efficiente è quello di distribuire l'approssimazione in modo uniforme in banda passante (Chebischev del primo tipo) o in banda oscura (Chebischev del secondo tipo) imponendo che la risposta in ampiezza oscilli con ampiezza costante in banda passante o in banda oscura. I filtri di Chebischew (filtri ellittici) sono caratterizzati da una risposta in ampiezza oscillante sia in banda passante che in banda oscura.

11.3 Circuiti passa tutto e circuiti a fase minima 11.3.1 Circuito passa tutto Si definisce circuito passa tutto un circuito asintoticamente stabile che ha risposta in ampiezza costante:

H(i ω ) = k ∀ω .

(23)

Il diagramma poli-zeri di un circuito passatutto ha la seguenti proprietà: -

a ogni polo pi corrisponde uno zero z i che è la sua immagine rispetto all'asse immaginario,

z i = −p*i .

(24) ∗

Dall'esame della figura 6 risulta che, il contributo della coppia pi e z i = − pi (e quindi anche della ∗

coppia pi e z i = − pi ) al modulo di H(i ω) vale 1 per ∀ω , e quindi:

∏ i (iω + p i ) *

A(ω) = H(iω) = k

∏i (iω − pi )

=k

∏i [σ i + i(ω − ω i )] = k. ∏i [ −σi + i(ω − ω i )]

(25)

Figura 6 Una conseguenza della proprietà di simmetria appena descritta è che, la fase φ(ω) della risposta in frequenza decresce monotonamente.



*

Si consideri dapprima il contributo della coppia di zeri z i e z i . La fase θ i (ω) del fattore i ω − z i decresce monotonamente dal valore − π / 2 , che assume per ω = − ∞ , al valore − π che assume per ω = −ω −i (vedi figura 6). Per ω = −ω +i la fase di i ω − z*i è + π e poi decresce, di nuovo monotonamente, al valore + π / 2 che assume per ω = + ∞ .

420

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

La fase ˆθ i (ω) del fattore i ω − z i decresce monotonamente dal valore − π / 2 , che assume per

ω = − ∞ , al valore − π che assume per ω = ω −i (vedi figura 6). Per ω = ω +i la fase di i ω − z i è + π e poi decresce, di nuovo monotonamente, al valore + π / 2 che assume per ω = + ∞ . Osservazione Le funzioni θ i (ω) e ˆθ i (ω) sono discontinue, rispettivamente, in ω = −ω i e in ω = ω i dove iθ

i ˆθi

hanno un salto pari a 2π. Queste discontinuità sono “eliminabili”, poiché le funzioni e i e e sono periodiche di periodo 2π. È immediato verificare che gli andamenti descritti per θ i (ω) e ˆθ i (ω) sono equivalenti a: le fasi θ i (ω) e ˆθ i (ω) decrescono con legge monotona e con continuità dal valore

3π / 2 , che assumono per ω = − ∞ , al valore + π / 2 , che assumono per ω = + ∞ . ∗



Si consideri ora il contributo dei due poli pi e p i . Sia la fase ϕ i (ω) del fattore iω − pi , che la ˆ i (ω) del fattore iω − pi , crescono con legge monotona e con continuità dal valore − π / 2 , fase ϕ che assumono per ω = − ∞ , al valore + π / 2 , che assumono per ω = + ∞ . Si consideri la determinazione delle fasi θ i (ω) e ˆθ i (ω) che dà funzioni continue. Il contributo * ∗ alla fase globale Φ(ω) della coppia z i = −pi e pi e della coppia z i = −p i e pi

ˆ i (ω)], Φ i (ω) = θ i (ω) + ˆθi (ω) − [ϕ i (ω) + ϕ

(26)

decresce con continuità da 4π a 0 per ω crescente da − ∞ a + ∞ ; in ω=0 vale 2π , figura 7. La funzione Φ i (ω) è continua ma non è dispari. In figura 8 è illustrata un'altra possibile determinazione della fase,

Φ i (ω) − 4π ω < 0, φ i (ω) =  ω > 0. Φ i (ω)

(27)

La funzione φ i (ω) è dispari, ma non è continua in ω=0.

Figura 7

∑i Φ i (ω) è ovunque continua e decresce da 2Nπ a 0 quando ω va da − ∞ a + ∞ , essendo N il numero di poli. Invece φ(ω) = ∑i φ i (ω) decresce da 0 a −Νπ per ω Allora la fase (globale) Φ(ω) = −

crescente da − ∞ a 0 ; in ω=0 ha un salto pari a 2Nπ e poi decresce da +Νπ a 0 per ω crescente da

0+ a + ∞.

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

421

Figura 8 Osservazione I circuiti passa-tutto sono usati per modificare la fase della risposta in frequenza di un dato circuito, ad esempio un circuito che realizza un filtro passa-basso. Essi prendono il nome di circuiti equalizzatori. Tali sistemi sono di estrema importanza nella sintesi dei filtri, poiché consentono, in fase di progettazione, di separare il problema della sintesi della risposta in ampiezza da quello della sintesi della risposta in fase.

Figura 9

Circuito passa-tutto.

Un circuito che realizza un filtro passa-tutto è illustrato in figura 9; i due bipoli rappresentati con le due “scatole” sono costituiti da soli induttori e condensatori. La funzione di trasferimento di questo circuito è:

H(s) =

V(s) V r − V1 I (R − Z1 ) . = = (R − Z1 ) = E E(s) E (R + Z1 )

(28)

Siccome ogni blocco rappresentato da una scatola corrisponde a un bipolo costituito da soli bipoli dinamici (induttori e condensatori), si ha Z 1 (i ω) = i X(ω) (l'impedenza operatoriale per s = i ω coincide con l'impedenza introdotta nell'analisi di un circuito in regime sinusoidale con il metodo fasoriale), e quindi

422

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

H(i ω) =

R − i X(ω) . R + i X(ω)

(29)

Dalla (29) si ha immediatamente:

A( ω ) = H(i ω ) =

R − i X(ω ) = 1 ∀ω . R + i X(ω )

(30)

Osservazione Nella realtà non esistono condensatori e induttori ideali, cioè sia l'impedenza del condensatore che quella dell'induttore hanno una parte reale diversa da zero per s = i ω , a causa delle perdite nel dielettrico, nei conduttori e nei materiali magnetici. Essa, sebbene sia molto piccola, non può mai essere uguale a zero. Pertanto non è possibile realizzare un filtro passa-tutto ideale, così come è stato definito. Comunque, scegliendo in maniera opportuna i componenti è possibile realizzare dei circuiti che approssimano molto bene un circuito passa-tutto. 11.3.2 Circuiti a fase minima Definizione Un circuito (e più in generale un sistema lineare) con tutti poli a parte reale negativa si dice a fase minima se tutti gli zeri hanno parte reale negativa. Se un sistema (o circuito) è a fase minima e H(s) è la sua funzione di trasferimento, allora la funzione analitica U(s), ottenuta invertendo H(s),

1 , H(s)

U(s) =

(31)

ha tutti poli a parte reale minore di zero. La derivata della fase φ = φ(ω) rispetto a ω, cambiata di segno, prende il nome di ritardo di gruppo del circuito ( φ = φ(ω) è la determinazione della fase che da luogo a una funzione continua e derivabile ovunque),

τg ≡ −

dφ , dω

(32)

φ(ω) ω

(33)

mentre la grandezza

τp ≡ −

prende il nome di ritardo di fase del circuito.

423

Giovanni Miano – Lezioni di Elettrotecnica

Che significato hanno i ritardi di gruppo e di fase? Se il segnale in ingresso x(t) è lentamente variabile nel tempo se confrontato con la risposta impulsiva del sistema, allora la risposta del circuito è, con buona approssimazione, data da1

u(t) ≅ A(0)f[ t − τ g (0)] .

(34)

In questo caso il ritardo di gruppo rappresenta il ritardo con il quale viene trasferito il segnale dall'ingresso all'uscita. Si consideri, ora, in ingresso al circuito un segnale di questo tipo:

x(t) = a(t)cos(ω 0 t) ;

(35)

se l'inviluppo a(t) varia lentamente nel tempo rispetto alla portante cos(ω 0 t) , l'uscita è approssimativamente data

u(t) ≅ A(ω 0 )a[ t − τ g (ω 0 )] cos[ω 0 (t − τ p (ω 0 )] .

(36)

In questo caso il ritardo di gruppo rappresenta il ritardo con il quale viene trasferito dall'ingresso all'uscita l'inviluppo e il ritardo di fase il ritardo con il quale viene trasferita la fase della portante. Un circuito a fase minima ha la seguente proprietà: sia H(s) la funzione di trasferimento di un circuito arbitrario con poli tutti a parte reale minore di zero e zeri tutti a parte reale maggiore di zero. Se la risposta in ampiezza H(i ω ) è uguale a quella di un circuito a fase minima con funzione di trasferimento H m (s) ,

H(i ω) = Hm (i ω) ,

(37)

allora il ritardo di gruppo − dφ / dω di H(i ω) è più grande del ritardo di gruppo − dφm / dω di

H m (i ω) . La dimostrazione di questa proprietà è semplice. Si consideri la funzione

H 0 (s) =

H(s) . Hm (s)

(38)

Dalle (37) e (38) segue che, il modulo di H 0 (iω) è uguale a uno per ogni valore della pulsazione. Inoltre i poli di H 0 (s) sono tutti a parte reale minore di zero, perché essi sono i poli di H(s) e gli zeri di H m (s) . Pertanto H 0 (s) è la funzione di trasferimento di un circuito passa-tutto e la fase φ 0 (ω) di H 0 (iω) decresce con legge monotona al crescere della pulsazione. Di conseguenza deve essere

dφ 0
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