Lezione 16a (Piastra equivalente di Guyon).pdf

Lezione PONTI E GRANDI STRUTTURE Prof. Pier Paolo Rossi Ing. Eugenio Ferrara Università degli Studi di Catania

Superfici di influenza

Superfici di influenza Tutte le superfici di influenza si possono ottenere con opportune derivazioni  dalla funzione di influenza della freccia w, calcolata nel punto (x0,y0) in cui si  vogliono eseguire le verifiche. Per esempio :

 2w 2w  mx D 2  2  y   x

Es3 dove : D  12 1 2 

  2w 2w  qx D  2  2  x  x y 

( rigidezza flessionale della piastra )

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Superfici di influenza Il problema quindi si riconduce al calcolo della deformata w(x,y,)  per un carico unitario posto in (x0,y0). La deformata si ottiene risolvendo l’equazione differenziale del 4° ordine :

4w 4w 4w q 2 2 2  4  4 x x y y D I vari metodi di calcolo delle  superfici di influenza si differenziano nel modo  di risolvere questa equazione.

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Superfici di influenza Tra tutti i metodi si ricorda quello di Pucher che ha fornito le superfici di  influenza per piastre rettangolari con diversi rapporti dei lati e diversamente  vincolate. L’utilizzazione pratica delle superfici di influenza è legata al fatto che esse sono le  stesse per piastre di dimensioni diverse purché aventi lo stesso rapporto tra i lati. Una volta in possesso di tabelle o grafici che forniscano le superfici di influenza per  ly ly0  lx lx0 una piastra di riferimento di lati     e       tale che sia  lx0 ly0 si dovrà calcolare il rapporto di similitudine :

k  ly ly0  lx lx0 e ridurre in scala il carico. Il carico lineare avrà nella piastra di riferimento la  lunghezza s/k mentre il carico ripartito graverà su una superficie ridotta pari a A/k².

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Superfici di influenza

mx

mxy

qx Proiezione isometrica di una superficie di influenza del momento

mx my ad un estremo ad un estremo vincolato libero

qx ad un estremo vincolato

tratto da: Pucher (1964), Influence surfaces of elastic Plates, Springer Verlag, Wien, New York.

qy ad un estremo libero

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Superfici di influenza y

y

x

Superficie di influenza del momento flettente my all’appoggio di una piastra quadrata appoggiata sui lati opposti

x

Superficie di influenza del momento flettente mx al centro di una piastra quadrata appoggiata sui lati opposti

tratto da: Pucher (1964), Influence surfaces of elastic Plates, Springer Verlag, Wien, New York.

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Superfici di influenza Successivamente a Pucher,  Homberg e Ropes hanno fornito superfici di influenza per piastre di  lunghezza infinita continue su più appoggi e a spessore variabile.

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Superfici di influenza x 1.0

1.0

y

x tratto da: Homberg, H. (1965), Fahrbahnplatten mit Veränderlicher Dicke, Springer Verlag

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Superfici di influenza x 1.0

1.0

y

x tratto da: Homberg, H. (1965), Fahrbahnplatten mit Veränderlicher Dicke, Springer Verlag

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La piastra equivalente di Guyon

Ripartizione trasversale La piastra equivalente di Guyon

Si consideri un impalcato composto da soletta e da nervature  uguali ed ugualmente spaziate. B = (n+1) λ

λ /2

0

λ

λ

1

λ

2

λ

i

λ

i+1

λ

n‐1

λ/2

n

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Ripartizione trasversale La piastra equivalente di Guyon

Tale impalcato  si può identificare come un insieme di travi  longitudinali caratterizzate da EIl (rigidità flessionale della trave) Se la luce delle travi λ è piccola rispetto alla larghezza totale B,  ha senso definire una rigidità di fascia unitaria di piastra equivalente : EIl Dz  l La posizione effettuata non risulta rigorosa in merito alla contrazione trasversale.  A  tal proposito, si ricorda che la rigidità di una piastra isotropa vale :

Es3 Dz  12  1  2  Tuttavia, si fa notare che l`influenza del coefficiente di Poisson sul parametro di rigidezza Dz e` alquanto trascurabile nelle opere in conglomerato cementizio armato. 13

Ripartizione trasversale La piastra equivalente di Guyon

Se i traversi sono spaziati regolarmente  e sono caratterizzati da una stessa rigidità flessionale EIt può definirsi una rigidità flessionale equivalente anche nella direzione trasversale :

EIt Dx  t dove :  λt

interasse dei traversi

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Ripartizione trasversale La piastra equivalente di Guyon

Se si trascura la rigidità torsionale (metodo di Guyon),  l’equazione della piastra equivalente è :

 4v  4v Dz 4  Dx 4  0 z x

La mancanza del termine nella derivata mista  implica proprio la supposta nullità della rigidezza torsionale. La mancanza di un carico per unità di superficie al secondo membro deriva dal fatto  che sono considerate solo distese di carico lungo linee parallele all’asse longitudinale z. 15

Ripartizione trasversale La piastra equivalente di Guyon

La soluzione del problema matematico è trovata mediante  l’introduzione di un coefficiente di amplificazione dello spostamento  medio. Se si suppone di riportare il carico a sull’asse z (e=0), e di consolidare  la sezione trasversale, si ricade nel problema della trave:  n

EIvmIV   EIlvmIV   n  1  EIlvmIV  a 0

dove: vm spostamento medio verticale

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Ripartizione trasversale La piastra equivalente di Guyon

Per il calcolo di vm si considera lo sviluppo del carico in serie di Fourier :

a  z    ak cos

k z   ak cos k  l

4 a k

Per a(z)=cost risulta :

ak 

Per k=1, lo spostamento medio è :

z a1l 4 vm  4 cos l  EI

k  1,3,5.......2n  1

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Ripartizione trasversale La piastra equivalente di Guyon

Passando alla risoluzione dell’equazione della piastra,  si pone : v  z , x   vm  z     x  dove : δ(x)  coefficiente di amplificazione dello spostamento medio  (concettualmente  simile al coefficiente α(xi) del metodo di Engesser). 

L’equazione della piastra diventa : 4 IV D   D  0 z x 4 l 18

Ripartizione trasversale La piastra equivalente di Guyon

Ponendo :

4Dz 4   l 4 Dx

l’equazione della piastra equivalente verrà scritta nella forma : IV  4   0

Essa coincide con quella della trave su suolo elastico, potendo riguardare le fasce  trasversali di piastra come travi poggianti su un letto elastico.

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Ripartizione trasversale La piastra equivalente di Guyon

La soluzione dell’equazione viene fornita da Guyon  in funzione del parametro  (parametro di Guyon) :



B Dz 4 2l Dx

che fornisce la misura del comportamento della sezione  nei riguardi della deformazione trasversale. 

Al crescere di l e di Dx la σ tende a zero  e si può operare a sezione indeformabile.

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Ripartizione trasversale La piastra equivalente di Guyon

Nota la soluzione della piastra,  si ottengono le caratteristiche della sollecitazione nelle travi  longitudinali e nei traversi in base ai legami della linea elastica. Nella trave longitudinale all’ascissa x=xi :  2v Mi  EIl 2  EIl vmII   xi   Mm  xi  z

 3v Vi  EIl 3  EIl vmIII   xi   Vm  xi  z dove :  Mm e Vm

caratteristiche della sollecitazione  corrispondenti alla deformazione media

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Ripartizione trasversale La piastra equivalente di Guyon

Nel generico traverso all’ascissa z=zj :  2v Mj  EIl 2  EIl II vm  z j  x  3v Vj  EIl 3  EIl III vm  z j  x

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Ripartizione trasversale Coefficiente di amplificazione e coefficiente di ripartizione

Se M e V sono le caratteristiche flesso taglianti dell’impalcato,  per ciascuna nervatura si avranno le seguenti caratteristiche della  sollecitazione (da pura flessione dell`impalcato) : 1 Mm  M n1

1 Vm  V n1

Queste caratteristiche corrispondono all’aliquota di carico: am 

1 a n1

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Ripartizione trasversale Coefficiente di amplificazione e coefficiente di ripartizione

Per ciascuna trave longitudinale si avranno, inoltre,  le seguenti caratteristiche della sollecitazione  (da flessione e torsione dell`impalcato): M   xi  Mi  n1

V   xi  Vi  n1

corrispondenti all’assorbimento dell’aliquota di carico : a ai    xi  n1 ed all’abbassamento :

vi  vm  xi  24

Ripartizione trasversale Coefficiente di amplificazione e coefficiente di ripartizione

Il legame tra coefficiente di amplificazione e  coefficiente di ripartizione è :   xi  i   i n1 n1

Essendo per definizione Στi = 1, dovrà risultare:

 x    i

i

 n1

Ad eccezione del caso solo nel caso limite di n→∞, questa uguaglianza non è mai  rispettata perché si è operato un iniziale frazionamento della struttura in una  infinità di strisce e si è poi ritornati agli elementi discreti. Questa condizione  rappresenta, tuttavia, un’ottima possibilità di controllo dei risultati.  25

Ripartizione trasversale Il metodo di Massonnet‐Bareš

Si ha un miglioramento al metodo di Guyon  se si considera la rigidità torsionale  degli elementi longitudinali e trasversali :

GJl  rigidità torsionale di una trave GJt  rigidità torsionale di una traverso Corrispondentemente,  si possono definire le rigidità torsionali unitarie : GJl Dzx  

GJt Dxz  t

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Ripartizione trasversale Il metodo di Massonnet‐Bareš

L’equazione della piastra si scrive :

 4v  4v  4v Dz 4   Dzx  Dxz  2 2  Dx 4  0 z z x x Per ricondursi all’equazione della piastra isotropa  si utilizza la posizione: Dzx  Dxz  2 DzDx

che definisce il parametro di Massonnet:

Dzx  Dxz  2 DzDx

Questo parametro ha il significato di indice  dell’influenza torsionale e varia tra 0 e 1.  Se si annulla restituisce  il metodo di Guyon. 27

Ripartizione trasversale Il metodo di Massonnet‐Bareš

L’equazione della piastra può quindi scriversi:

 4v  4v  4v Dz 4  2 DzDx 2 2  Dx 4  0 z z x x Se si effettua la sostituzione  v  z , x   vm  z     x  proposta nel metodo di Guyon, si ha : 4 l4

Dz  

2 l2

2 DzDx II  Dx IV  0

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Ripartizione trasversale Il metodo di Massonnet‐Bareš

Tutte le quantità di interesse per la valutazione delle caratteristiche  della sollecitazione sono tabellate da Massonnet‐Bareš in funzione  del coefficiente di Guyon (o parametro di rigidezza flessionale) : B Dz  4 2l Dx

Tali quantità sono disponibili per  per i casi di estremo (0 e 1) del parametro .  Al fine di pervenire al valore della grandezza G corrispondente al desiderato valore di  viene inoltre suggerita  un’interpolazione tra i valori di G relativi ai valori di estremo di .

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Ripartizione trasversale Il metodo di Massonnet‐Bareš θ = 0.45

K0 K1

e/b y/b

‐1

‐0.75

‐0.5

‐0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

0 0.25 0.5 0.75 1

0.7355 0.073 ‐0.5152 ‐1.064 ‐1.6003

0.8811 0.3495 ‐0.1402 ‐0.606 ‐1.064

1.0194 0.6243 0.238 ‐0.1402 ‐0.5152

1.1305 0.8902 0.6243 0.3495 0.073

1.1783 1.1305 1.1094 0.8811 0.7355

1.1305 1.3144 1.4148 1.4672 1.5059

1.0194 1.4148 1.7857 2.1063 2.4061

0.811 1.4672 2.1063 2.7741 3.434

0.735 1.506 2.4061 3.434 4.5496

0 0.25 0.5 0.75 1

0.8933 0.7355 0.6142 0.5202 0.4418

0.9458 0.8029 0.6881 0.5969 0.5202

1.0032 0.8804 0.7748 0.6881 0.6142

1.0577 0.9688 0.8804 0.8029 0.7355

1.085 1.0577 1.0032 0.9458 0.8933

1.0577 1.1214 1.1318 1.1152 1.0938

1.0032 1.1318 1.2405 1.3013 1.34

0.9458 1.1152 1.3013 1.4809 1.6291

0.8933 1.0938 1.34 1.6291 1.9476

0.25

0.5

0.75

θ = 0.5 e/b

K0 K1

y/b

‐1

‐0.75

‐0.5

‐0.25

0

1

0 0.25 0.5 0.75 1

0.6203 ‐0.0021 ‐0.5198 ‐0.9828 ‐1.4286

0.8288 0.3111 ‐0.1466 ‐0.5703 ‐0.9828

1.0273 0.6223 0.2317 ‐0.1466 ‐0.5198

1.1877 0.9226 0.6223 0.3111 ‐0.0021

1.2575 1.1877 1.0273 0.8288 0.6203

1.1877 1.3721 1.4336 1.425 1.3968

1.0273 1.4336 1.8038 2.0981 2.3613

0.8288 1.425 2.0981 2.8125 3.514

0.6203 1.3968 2.3613 3.514 4.7981

0 0.25 0.5 0.75 1

0.8609 0.6834 0.5516 0.4358 0.3751

0.9276 0.7617 0.6326 0.534 0.4538

1.0028 0.8547 0.7308 0.6326 0.5516

1.0767 0.9642 0.8547 0.7617 0.6834

1.1146 1.0767 1.0028 0.9276 0.8609

1.0767 1.1557 1.1603 1.1293 1.0937

1.0028 1.1603 1.2911 1.3544 1.3876

0.9276 1.1293 1.3544 1.5704 1.7409

0.8609 1.0937 1.3876 1.7409 2.1362

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Ripartizione trasversale Limiti del modello a piastra equivalente

La modellazione a piastra secondo Guyon‐Massonnet‐Bareš  presenta delle limitazioni : Ⱶ

Non è applicabile nei casi in cui la soletta  è di forma diversa nei campi esaminati

Ⱶ

Non è applicabile nei casi in cui la luce tra i traversi  è variabile lungo l’asse longitudinale del ponte

Ⱶ

Non è applicabile a travi a più luci  perché viene meno il presupposto in base a cui è calcolato lo spostamento medio 

Ⱶ

La somma dei coefficienti di ripartizione  non dà luogo all’unità

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Principali riferimenti 

Aldo Raithel. Ponti a travata. Liguori editore. 1978. ISBN 88-207-0563-X



Richard Bareš, Charles Massonet . Le calcul des grillages de poutres et dalles orthotropes selon la méthode Guyon Massonet Bareš. Maison d’Edition Technique, Prague 1966



Hellmut Homberg. Fahrbahnplatten mit veränderlicher Dicke. Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH, 1968. ISBN 978-3-662-11726-2



Adolf Pucher. Einflufßfelder elastischer Platten: Influence Surfaces of Elastic Plates. Springer-Verlag Wien · New York, 1977 ISBN-13: 978-3-7091-7071-7

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FINE

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