Leyes y Equivalencias de Conectivos

EXPRESIONES EQUIVALENTES DE LOS CONECTIVOS LÓGICOS

Bicondicional

Disyunción Exclusiva O bien “p” o bien “q”

Disyunción

Conjunción

Condicional

O

Y

Entonces











~

A a menos que B A a no ser que B A excepto que B AoB A o en todo caso B A o incluso B A o también B A salvo que B A salvo que también B A y bien, o también B A ya bien, o incluso B A y/o B A o bien B

A a la vez B A al igual que B A al mismo tiempo B A a pesar B A además B A así como B A así también B A aun cuando B A aunque B A de la misma forma B A de la misma manera B A del mismo modo B A empero B A es compatible con B A junto con B A incluso B A igualmente B A mas bien B A no obstante B A pero B A simultáneamente B A sin embargo B A tal como B A también B A tanto como B A vemos que también B Conjuntamente A con B No solo A también B

A condición de que A, B A de ahí que B A de manera que B A de modo que B A en consecuencia B A es suficiente para B A es una condición suficiente para B A implica B A luego B A por consiguiente B A por lo tanto B A solo si B Cada vez que A, B Cada vez que A consiguientemente B Como quiera que A por lo cual B Con la condición de A esto trae consigo B Con tal que A es obvio que B Cuando A, B Cuando A así pues B Dado A por eso B Dado que A entonces B De A concluimos en B De A deducimos en B De A derivamos B De A deviene B Es suficiente A para B Para A es necesario B Porque A, B

A cada día que y solo si B A cuando y solo cuando B A entonces y solo entonces B A equivale a B A equivale lógicamente B A es necesaria y suficiente para B A suficiente y necesario para B A es equipolente a B A es equivalente a B A implica y está implicado en B A por lo cual y según lo cual B A se define como B A se define lógicamente como B A según lo cual y por lo cual B A así de la forma B A siempre y cuando B A siempre que y solo cuando B A si y solo si B

A o B (pero no ambos) A salvo que solo B A salvo que únicamente B A o solamente B A o solo B A o tan solo B A y bien, o también únicamente B OAoB O bien A o bien B O solo A o solo B

Es negable que A No es cierto que A Es objetable que A Es refutable que A Es totalmente falso que A Imposible que sea A Jamás de cumple que A Jamás se da que A Jamás se verifica que A No acaece que A No es cierto que A No es concebible que A No es el caso que A No es verdad que A Carece de todo sentido que A Definitivamente no se da que A De ninguna forma se da que A De ninguna manera se da que A Es absurdo que A Es erróneo que A Es falso que A Es imposible que A Es inaceptable que A Es inadmisible que A Es incierto que A Es inconcebible que A Es incorrecto que A Es insostenible decir que

SI Y SOLO SI

Negación No

Siempre ambos A con B Tanto A como B

Si A, B Si A entonces B Ya que A entonces B Toda vez que A en consecuencia B

A Es inverosímil que A Es mentira que A No ocurre que A Se rechaza que A Nunca se da que A

TABLA DE VALORES DE LOS CONECTIVOS LÓGICOS

NOMBRE

Disyunció n

Conjunció n

Condicion al

SIGNIFIC ADO

O

Y

Entonces

Bicondicio nal Si y solo si

Disyunción Exclusiva O bien “p” o bien “q”

p

q











V V F F

V F V F

V V V F

V F F F

V F V V

V F F V

F V V F

NOMBRE

Negación

SIGNIFIC ADO p

No

V F

F V

~

LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL REPRESENTACIÓN ~ (~ p)  p - De la disyunción: (p ∨ q)  (q ∨ p) Conmutatividad - De la conjunción: (p ∧ q)  (q ∧ p) - De la disyunción: (p ∨ q) ∨ r  [p ∨ (q ∨ r)] Asociatividad - De la conjunción: (p ∧ q) ∧ r  [p ∧ (q ∧ r)] - De la disyunción: p ∨ (q ∧ r)  [( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r] Distributividad - De la conjunción: p ∧ (q ∨ r )  [( p ∧ q) ∨ ( p ∧r] - De la disyunción: (p  p)  p Idempotencia - De la conjunción: (p  p)  p - De la disyunción: ~ (p ∨ q)  (~ p ∧ ~ q) Leyes de De Morgan - De la conjunción: ~ ( p ∧ q )  (~ p ∨ ~q) - De la disyunción: p  (p  q)  p - De la conjunción: p  (p  q)  p Absorción - De la disyunción: p  (~p  q)  pq - De la conjunción: p  (~p  q)  pq pq  (p)  q Condicional  (p  q)  p  (q) pq  (q)  (p) pq  (p  q)  (q  p) pq  (p  q)  [(p)  (q)] Bicondicional pq  [(p)  q)]  [(q)  p] pq  (p  q) pq  (q)  (p) pq  (p  q) pq  (p  q)  (p  q) Disyunción Exclusiva pq  (p  q)  (q  p) pq  (p  q)  (q  p) Del Complemento ( p ∨ ¬p)  V (tautología) (tercio excluido) NOMBRE Doble Negación

( p ∧ ¬p)  F (contradicción) pq  V (tautología) pq  F (contradicción) Pv V  V P F  F Identidad Pv F  P P F  P P V  P PV  P INFERENCIAS LÓGICAS Es una estructura de proposiciones llamadas premisas, en base a las cuales inferimos otra proposición llamada conclusión. También podemos sostener que es el proceso de pasar de un conjunto de premisas a una conclusión. Esquema Lineal:

Esquema Vertical: P1 (P1  P2  …  Pn) → C P2 . . Donde: P = Premisas . C = Conclusión Pn C Si la conclusión se deduce correctamente del conjunto de premisas, la inferencia es válida. Si la conclusión no se deduce correctamente del conjunto de premisas, la inferencia no es válida. PREMISAS: Son proposiciones simples o compuestas, por ejemplo:  p  pq  (p  q) → (r  s) LEYES DE INFERENCIA: Son argumentos válidos, tautológicos, implicaciones notables. Es decir, ya no se necesita la demostración de su validez. 1. MODUS PONENDO PONENS (MPP) ESQUEMA LINEAL [ (p → q)  p ] → q [ (p ↔ q)  p ] → q [ (p ↔ q)  q ] → p 2. MODUS TOLLENDO TOLLENS (MTT) ESQUEMA LINEAL [ (p → q)  q ] → p

[ (p ↔ q)  p ] → q

[ (p ↔ q)  q ] → p

ESQUEMA VERTICAL p→q p . q p↔q p . q p↔q q . p ESQUEMA VERTICAL p→q q . p p↔q p . q p↔q q . p

3. MODUS PONENDO TOLLENS (MPT) ESQUEMA LINEAL [ (p  q)  p ] → q

[ (p  q)  q ] → p 4. MODUS TOLLENDO PONENS (MTP) ESQUEMA LINEAL [ (p  q)  p ] → q

[ (p  q)  q ] → p

[ (p  q)  p ] → q

[ (p  q)  q ] → p 5. SILOGISMOS: A. SILOGISMO HIPOTÉTICO PURO (SHP) ESQUEMA LINEAL [ (p → q)  (r → s) ] → (p → s) [ (p → q)  (r → p) ] → (r → q) B. TRANSITIVIDAD SIMÉTRICA (TS) ESQUEMA LINEAL [ (p ↔ q)  (r ↔ s) ] → (p ↔ s) 6. DILEMAS: A. DILEMA CONSTRUCTIVO COMPUESTO (DCC) ESQUEMA LINEAL { [ (p → q)  (r → s) ]  (p  r) } → (q  s) B. DILEMA DESTRUCTIVO COMPUESTO (DDC) ESQUEMA LINEAL { [ (p → q)  (r → s) ]  (q  s) } → (p  r) 7. LEY CONJUNTIVA ESQUEMA LINEAL (p  q) → (p  q) 8. LEY DE SIMPLIFICACIÓN ESQUEMA LINEAL (p  q) → p (p  q) → q 9. LEY DE LA ADICIÓN

ESQUEMA VERTICAL pq p . q pq q . p ESQUEMA VERTICAL pq p . q pq q . P pq p . q pq q . p ESQUEMA VERTICAL p→q p → q r→s . r → p p→s r→q ESQUEMA VERTICAL p↔q r↔s . p↔s ESQUEMA VERTICAL p→q r→s p  r . qs ESQUEMA VERTICAL p→q r→s q  s . p  r ESQUEMA VERTICAL p q . pq ESQUEMA VERTICAL p  q p

p  q q

ESQUEMA LINEAL p → [ p  q ] r → [ r  (t  s) ] 10.LEY DE LA BICONDICIONAL ESQUEMA LINEAL (p ↔ q) → ( p → q ) (p ↔ q) → ( q → p )

ESQUEMA VERTICAL p . p  q  s) ESQUEMA VERTICAL p↔q p→q

r r  (t

p↔q . q→p