Leyes Fundamentales de Conjuntos

Leyes fundamentales Dadas las operaciones binarias sobre conjuntos unión e intersección y la operación monaria complemento, se cumplen algunas leyes o propiedades que se agrupan del siguiente modo: Proposición 1: para cualquier conjunto A, B y C se cumplen las siguientes proposiciones: Ley conmutativa:

Ley asociativa:

Ley distributiva

Proposición 2: existe un conjunto universal U, para el que se cumple que dado un conjunto A, A es un subconjunto de U, existe un conjunto Ø que llamaremos conjunto vacío Ley de identidad:

Ley de complemento:

Proposición 3: dados los conjuntos A, B subconjuntos de U, se cumple: Ley de idempotencia:

Ley de dominación:

Ley de absorción:

Ley de De Morgan

[editar]Ejemplo con dos conjuntos Dados dos conjuntos A y B que pertenecen a U, y siendo Ø el conjunto vacío, podemos ver los distintos casos que se pueden dar, a modo de ejemplo del álgebra de conjuntos. En la representación gráfica utilizaremos un rectángulo para repre sentar el conjunto universal y un ovalo o un circulo para representar el resto de los conjuntos, la zona coloreada en verde es la que corresponde a la expresión representada. Caso 1

Este caso corresponde al conjunto universal y engloba a todos los conjuntos que lo forman.

Caso 2

Corresponde a la unión de los conjuntos A y B, y engloba a los elementos que pertenecen al conjunto A o al B o a ambos simultaneamente.

Caso 3

El resultado es, dentro del conjunto universal U, la unión de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

Caso 4

Corresponde al conjunto A.

Caso 5

Como se puede ver en la gráfica, es la unión de los elementos que no pertenecen a A y los que pertenecen a B.

Caso 6

Son los elementos que pertenecen a B.

Caso 7

Este caso, algo más complejo que los anteriores, esta formado por: la unión de los elemento de la intersección de A y B con la intersección de los complementos de A y B, o lo que es lo mismo es: la intersección de la unión de A y el complemento B con la unión del complemento de A y B.

Caso 8

Corresponde a la intersección de A y B.

Caso 9

Corresponde a la unión de los complementos de A y de B, o lo que es lo mismo: al complemento de la intersección de A y B.

Caso 10

El resultado es la unión de, la intersección de A y el complemento de B, con la intersección del complemento de A y B.

Caso 11

El resultado es el complemento de B.

Caso 12

El resultado es la intersecció de A y el complemento de B.

Caso 13

Es el complemento de A.

Caso 14

El resultado es la intersecció del complemento A y de B.

Caso 15

El resultado es la intersecció del complemento A y el complemento B, o lo que es lo mismo: el complemento de la unión de A y B.

Caso 16

En este caso representamos el conjunto vacío.

Estos dieciséis casos son todas las combinaciones que se pueden realizar con dos conjuntos, las expresiones pueden tomar distintas formas pero serán equivalentes a las expresadas.