Leyes de Semejanzas

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    I     Ó     5    C     1    A    a    I     C    m     L    e    P     T    A

TEMA 15

APLIC APL ICACIÓN ACIÓN DE LAS LEYES DE SEMEJA SEMEJANZA NZA EN LASS M LA MÁQUIN ÁQUINAS AS HIDRAULICAS INGENIERIA FLUIDOMECÁNICA Código 910 2º Curso, INGENIERÍA INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL INDUSTRIAL (MECÁNICA) Curso 2005/06

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    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    I     Ó     5    C     1    A    a    I     C    m     L    e    P     T    A

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15.1 15.1.-.- Introducción Introducci ón 15.2 15.2.-.- Las leyes de semejanza semejanza en las máquinas hidráulicas hidráulic as 15.2 15.2.-.- Las leyes de seme s emejanza janza absolu absoluta ta 15.3 15.3.1 .1-- Bomba Centrífuga Centrífuga a distin tas velocidades de giro 15.3 15.3.2 .2-- Bombas Centrífugas Centrífugas semejantes girando a igual v elocidad de giro gi ro 15.3.2 15. 3.2.1. .1.-- El recorte del rodete 15.3.2 15. 3.2.2. .2.-Fundamentos -Fundamentos de la fabricación fabric ación en serie 15.3 15.3.-.- Velocid Velocidad ad específica 15.4 15.4.-.- Curvas Universales

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    I     Ó     5    C     1    A    a    I     C    m     L    e    P     T    A

15.1 15.1.-.- Introducción Introducció n La apli aplicación cación de las leyes de la sem semejanza ejanza en las máquinas máquinas hidráulicas hidráulicas nos permitirá permitirá obtener los parámetros parámetros de funcionamiento de una turbomáquina a partir de otra, con sólo imponer imponer una seri serie e de condici condiciones ones geom geométri étricas cas y de funcionamiento a ambas máquinas. Las aplicaciones que se derivan son de capital importancia en la industria. Por ejemplo: • El constructor constructor de una bomba bomba no puede puede dar el comportamiento comportamiento de una bomba bomba para cualquier régimen de velocidad, sino que puede hacer un número limitado de ensayos para unos determinados r.p.m , los más comunes, y el resto sería útil poder deducirlos sin tener que hacer el ensayo en sí. • Si queremos queremos construir una bomba o una turbina de grandes dimensiones, dimensiones, no podemos podemos arriesgarnos arriesgarnos a cometer errores y que esta no proporciones las prestaciones adecuadas. Por tanto resulta de utilidad construir un modelo adecuado a escala y hacer las pruebas en él, con la confianza que después al ser  trasladadas al modelo a escala real las características funcionales se conservarán. • La base para la fabricaci fabricación ón en serie es poder construir construir una bomba bomba más más o menos menos estándar y después con pocas modificaciones poder abarcar una gran gama de puntos de funcionamiento. Estos se puede realizar con pequeñas modificaciones es las dimensiones del rodete, manteniendo el resto de parámetros constantes. Por tanto , resulta de utilidad disponer de curvas que abarquen todos estos cambios.

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    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    I     Ó     5    C     1    A    a    I     C    m     L    e    P     T    A

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Podemos resumir la aplicación a de la semejanza en tres objetivos fundamentales:

A.- DETERMIN DETERMINAR AR LAS LA S CURVAS CURVAS DE RESPUE RESPUESTA STA DE UNA BOMBA CUANDO CAMBIA SU VELOCIDAD VELOCIDAD DE ROTACIÓN Result Resulta a muy muy útil estim estimar cual será la curva de funcionam funcionamient iento o de una una bomba bomba cuando cuando cambia cambia su régimen de giro, por ejemplo para aplicar una bomba a un motor de arrastre diferente, si queremos controlar la bomba mediante un variador variador de frecuencia frecuencia ( variación del régime régimen n de giro ).

B.- OBTENER LAS LA S CARACTERÍSTI CARACTERÍSTICAS CAS DE UNA MÁQUINA MÁQUINA SEMEJA SEMEJANTE NTE A OTRA PERO PERO DE DIFERENTE TAMAÑO Por ejemplo, obtener las curvas de funcionamiento de una bomba cuando se cambia el tamaño del rodete, o por ejemplo hacer un ensayo con un modelo a escala de la máquina a utilizar. Por ejemplo cuando se desea fabricar una turbina para una central hidroeléctrica no podemos arriesgarnos a fabricarla a tamaño real y que después no nos proporcione las prestaciones necesarias.

C.- PARAMETRI PARAMETRIZAR ZAR EL EL COMPORT COMPORTAMIE AMIENTO NTO DE LAS MÁQUINAS MÁQUINAS ENSAYADAS ENSAYADAS A TRAVÉ TRAVÉSS DE DE ÁBACOS ÁBA COS ADIMENSIONALES ADIMENSIONALES Y DIAGRAMAS UNIVERSALES UNIVERSALES Se trata de obtener características funcionales en función de distintos parámetros con el objetivo de poseer  datos para futuros prototipos o caracterizar familias de bombas.

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    I     Ó     5    C     1    A    a    I     C    m     L    e    P     T    A

15.2.- Las leyes de semejanza en las máquinas hidráulicas En principio, para que los resultados del modelo puedan proyectarse sobre el prototipo se han de cumplir tres condiciones: • SEMEJANZA GEOMÉTRICA El modelo y el prototipo han de ser geométricamente semejantes tanto en los elementos interiores como en los exteriores y auxiliares. Es una condición estricta que ha de cumplirse de forma preceptiva. Se trata de una condición fácilmente realizable salvo en modelos a escalas muy reducidas, en las que se pueden encontrar  dificultades insuperables, como el escalado de las holguras, o las rugosidades superficiales.

= Relación geométrica entre modelo y prototipo

λ  =

D1 D2 b1 b2 = = = D1' D2' b1' b2'

•SEMEJANZA CINEMÁTICA El modelo y el prototipo mantienen una proporcionalidad directa en los triángulos de velocidades en puntos de funcionamiento semejantes, y los ángulos iguales.

= Relación de velocidades de giro

α  =

N = N'

 β 1 =  β 1' α 1 = α 1'

'

 β 2 =  β 2' α 2 = α 2'

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    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    Ó     5    I     1    C     A    a    C     I    m     L    e    P     T    A

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Si fijamos α y λ , entonces u’ = ω’.r’, queda completamente fijado en el modelo, como β y α han de mantenerse, constantes en ambos casos, la definición de vm será quien determine si el triangulo de velocidades sea o no proporcional al del prototipo. v m = Q.Σ = Q.2π .r .b  Así, si fijamos λ, r y b están fijados, por tanto, sólo habrá un valor de Q que haga que ambos triángulos sean proporcionales. O si fijamos el caudal, sólo habrá un régimen de giro que haga que los triángulos sean proporcionales. Es decir, cumpliendo la semejanza geométrica, y fijando las velocidades de giro, para un punto de funcionamiento del prototipo, solo habrá un punto de funcionamiento del modelo que cumpla con la semejanza cinemática ( proporcionalidad entre los triángulos de velocidades ). A esos puntos se les llama PUNTOS

HOMÓLOGOS

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    I     Ó     5    C     1    A    a    I     C    m     L    e    P     T    A

•SEMEJANZA DINÁMICA Para que se cumpla la semejanza dinámica, cuatro de los cinco parámetros adimensionales fundamentales de la mecánica de fluidos han de ser iguales en el modelo y en el prototipo. ( el quinto será igual a la fuerza si lo son los cuatro restantes ). Los parámetros adimensionales serán: Número de Strouhal

St

=

L V .t

∆p Número de Euler 

Eu =

Número de Reynolds

Re =

Número de Froude

Número de Mach

Fr  =

Solo estos dos números son significativos en las máquinas hidráulicas más corrientes. Y de estos sólo el número de Reynolds

ρ 

tiene una verdadera trascendencia

V V .L. ρ  µ  2

V g .L

Ma =

SEMEJANZA GEOMÉTRICA + SEMEJANZA CINEMÁTICA + IGUALDAD NÚMERO DE REYNOLDS SEMEJANZA ABSOLUTA

V K  ρ 

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    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    Ó     5    I     1    C     A    a    C     I    m     L    e    P     T    A

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En resumen, un ensayo que cumpla con las condiciones de semejanza geométrica y cinemáticas y que además se conserve en número de Reynolds, se puede considerar como un ensayo en el que se cumplen las condiciones de SEMEJANZA ABSOLUTA El problema que es muy difícil cumplir las condiciones de igualdad en el número de Reynolds

Re =

V .L. ρ  → Re = µ  Re' =

N . ρ .D22 µ 

N '. ρ .D '22 µ 

Si se hace a escala D’ es muy pequeña, lo que obliga a que N’ sea muy grande, algo que no siempre puede realizarse. A demás que introduciría efectos por la alta velocidad que no se reflejarían en el prototipo. Otra forma de corregir esto sería modificando el fluido para alterar las propiedades.

Cuando no se pueda cumplir la condición de igualdad de Re, entre modelo y prototipo, tendremos que hablar  de SEMEJANZA RESTRINGIDA

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    I     Ó     5    C     1    A    a    I     C    m     L    e    P     T    A

En general, podemos considerar que para puntos de funcionamiento homólogos, la diferencia en el número de Reynolds no tendrá una gran influencia en los rendimientos, y podremos considerar que ambos Re son iguales, dando pie a hacer uso de la Teoría de la Semejanza Absoluta. Si queremos ser más estrictos, o bien la diferencia en el número de Reynolds es muy grande, por ejemplo en turbinas, deberíamos acudir la laTeoría de

la Semejanza Restringida. 15.3.- Las leyes de Semejanza Absoluta Se considera que entre dos puntos de funcionamiento homólogos en semejanza absoluta se conserva el rendimiento, al darse por válida la semejanza dinámica Se suele tomar como variable independientes: • N : velocidad de rotación • D : Longitud Característica Y como variables dependientes: • Q, H, P y M

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    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    Ó     5    I     1    C     A    a    C     I    m     L    e    P     T    A

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Llamamos con subíndice 0 a los valores correspondientes al modelo en un punto de trabajo determinado, y sin subíndice a los correspondientes al prototipo funcionando en su punto homólogo. Si se cumple la semejanza geométrica y cinemática: D λ  = D0

b = b0

N α  = N0

=

 β 1 =  β 1' α 1 = α 1' ω 0

 β 2 =  β 2' α 2 = α 2 '

u2 u 20

=

r 2. r 20.ω 0

= λ .α 

• Razón de Caudales Q Q0

=

Qr  Qr 0

=

v 2m .2.π .r 2.b2 v 2m 0.2.π .r 20.b20

• Razón de Alturas Hu Hu 0

=

µ .H t ,∞ .η h µ 0.H t ,∞0.η h 0

=

H t ,∞ H t ,∞0

Q Q0

= (α .λ ).1.λ .λ  = α .λ 3

=

u 2.v 2u g u 20.v 2u 0 g

=

u 2.v 2u u 20.v 2u 0

= (α .λ )(. α .λ ) = α 2.λ 2

= α .λ 3

Hu Hu 0

= α 2.λ 2

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    I     Ó     5    C     1    A    a    I     C    m     L    e    P     T    A

• Razón de Potencias Absorbidas γ .Q.Hu

Pa Pa 0

=

η g γ .Q0.H u 0

=

γ .Q.Hu γ .Q0.Hu 0

=

Q.Hu Q0.Hu 0

= α .λ 3.α 2.λ 2 = α 3.λ 5

Pa Pa 0

= α 3.λ 5

Me Me0

= α 2.λ 5

η g 0

• Razón de Par en el Eje Me Me0

Pa

=

ω  Pa 0

=

ω 0 Pa . ω  Pa 0

1 α 

= .α 3.λ 5 = α 2.λ 5

ω 0

En resumen tenemos que: Q Q0

Hu Hu 0

= α .λ 3

Pa Pa 0

= α 2.λ 2

Me Me 0

= α 3.λ 5

= α 2.λ 5

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    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    Ó     5    I     1    C     A    a    C     I    m     L    e    P     T    A

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15.3.1- Bomba Centrífuga a distintas velocidades de giro Se trata de comparar la bomba con si mismo, a distintos regímenes de giro. Por tanto, como se trata de la misma bomba, = 1. Q Q0

N = α  = N0

⎛  N  ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ N 0 ⎠

2

Hu Hu 0

= α 

Hu Hu 0

⎛  N  ⎞ ⎛  Q  ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ → Hu ⎝ N 0 ⎠ ⎝ Q0 ⎠

2

2

Pa Pa 0

2

3

= α 

⎛  N  ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ N 0 ⎠

3

Me Me 0

2

= α 

⎛ H  ⎞ = ⎜⎜ u 20 ⎟⎟.Q 2 → Hu = k .Q 2 ⎝ Q0

⎛  N  ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ N 0 ⎠

2

Hu

= k .Q 2

Todos los puntos( H,Q) de funcionamiento homólogos a uno dado de referencia ( H0,Q0) estarán sobre una misma curva ( parábola ) que pasará por el origen de coordenadas ( Q=0, H=0 ). Hay que recordar que todos los puntos homólogos tienen el mismo rendimiento. Así, todos los puntos que pertenecen a la parábola tendrán el mismo rendimiento que el dado como referencia ( H0,Q0)

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    I     Ó     5    C     1    A    a    I     C    m     L    e    P     T    A

Curva originaria de la bomba girando a N0

Hu

Hu Hu 0

= k '.Q 2 Hu

H’0,Q’0

= k .Q 2

H0,Q0

2

2

⎛  N  ⎞ ⎛  Q  ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ → H u ⎝ N 0 ⎠ ⎝ Q0 ⎠

⎛ H  ⎞ = ⎜⎜ u 20 ⎟⎟.Q 2 → H u = k .Q 2 ⎝ Q0

Curva de puntos homólogos a H’0,Q’0 ( es decir de igual rendimiento que el que tienen la bomba en el punto a H’0,Q’0 girando a N0) girando a distintas velocidades. Curva de puntos homólogos a H0,Q0 ( es decir de igual rendimiento que el que tienen la bomba en el punto a H0,Q0 girando a N0) girando a distintas velocidades. Dicho de otro modo, cuando al bomba gira a velocidad N1, la bomba debería proporcionar una altura H1 para un caudal Q1 para que el rendimiento fuese el mismo.

 A estas parábolas se las llamas parábolas de isorendimiento

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    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    Ó     5    I     1    C     A    a    C     I    m     L    e    P     T    A

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H

= 52.58 + 28.34Q − 2500.Q 2 ( 1450 rpm)

Partimos de Punto (Q0,H0): Q01450= 0.1 m3/s H01450=30.414 m

H =  A.α 2 + B.α .Q + C.Q 2 α  =

Punto homólogo ( de igual rendimiento )a este con la bomba girando a 950 rpm

N N0

Q Q0

N = α  = N0

2

⎛  950 ⎞ + 28.34.⎛  950 ⎞.Q − 2500.Q 2 H = 52.58.⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1450 ⎠ ⎝ 1450 ⎠ H

= 22.57 + 18.57.Q − 2500.Q 2

Hu Hu 0

2

= α 

⎛  N  ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ N 0 ⎠

2

⎛  N  ⎞ 1450 ⎛  950 ⎞ ⎟⎟.Q0 = ⎜ ⎟.0.1= 0.0655 m 3 s ⎝ 1450 ⎠ ⎝ N 0 ⎠

Q 950 = ⎜⎜

2

( 950 rpm) H

950

⎛  N  ⎞ 1450 ⎛  950 ⎞ 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ .H 0 = ⎜ ⎟ .30.414 = 13.05 m ⎝ 1450 ⎠ ⎝ N 0 ⎠

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    I     Ó     5    C     1    A    a    I     C    m     L    e    P     T    A

Utilizando estas parábolas podemos construir curvas de H,Q para un régimen de giro distinto al de referencia con puntos de igual rendimiento a la curva de referencia.

También, utilizando la semejanza podemos determinar la curva H,Q para una bomba que gire a cualquier  régimen de giro: H b 0 =  A + B.Q0 +

η 0 = D.Q0 +

C .Q02

Hb Hb0

2

⎛  N  ⎞ Q ⎛  N  ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ = α 2 = ⎜⎜ ⎟⎟= α  → H =  A.α 2 + B.α .Q0 + C .Q02 Q0 ⎝ N 0 ⎠ ⎝ N 0 ⎠ η 0 = η  → η  =

E .Q02

D E .Q0 + 2 .Q02 α  α 

15

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    Ó     5    I     1    C     A    a    C     I    m     L    e    P     T    A

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Ensayamos una bomba para un régimen de velocidades, N, y obtenemos las curvas Hb=Hb(Q0), y la curva del rendimiento η0= η0 (Q0), H b 0 =  A + B.Q0 + C.Q02

η 0 = D.Q0 + E .Q02

Para una nueva nueva N α  = velocidad de giro, N, N

0

H =  A.α 2 + B.α .Q + C .Q 2

η  =

D α 

.Q +

E 2

α 

.Q 2

Curvas teóricas obtenidas para la bomba funcionando a la nueva velocidad de rotación N

Evidentemente es necesario ensayar la bomba a distintas revoluciones para obtener curvas fiables. Pero estas curvas en primera aproximación resultan del todo válidas. Potencia absorbida en función del caudal para la velocidad de giro N5

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    I     Ó     5    C     1    A    a    I     C    m     L    e    P     T    A

Colinas de Isorendimiento En general se proporcionan curvas para 1450 y 2900 rpm, pero no es extraño encontrar familias de curvas más numerosas. Utilizando las leyes de la semejanza se pueden encontrar  los puntos de isorendimiento a distintos regímenes de giro, los cuales se sitúan sobre parábolas que pasan por el origen de coordenadas. En la prácticas, las parábolas son más bien elipses que se cierran a medida que nos acercamos a puntos de bajo caudal, debido sobre todo a las perdidas hidráulicas que no dependen de Re y que no cumplirán la ley de la semejanza.

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    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    Ó     5    I     1    C     A    a    C     I    m     L    e    P     T    A

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15.3.2- Bombas Centrífugas semejantes girando a igual velocidad de giro Se trata de comparar bombas de distinto tamaño con el mismo régimen de giro. Por tanto, como se trata del mismo régimen de giro, = 1. Q Q0

3

3

= λ 

⎛  D  ⎞ H u ⎛  D  ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ = λ 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ D0 ⎠ Hu 0 ⎝ D0 ⎠

1 ⎞ ⎛  H u ⎜ ⎛  Q  ⎞ 3 ⎟ = ⎜⎜ ⎟ ⎟ H u 0 ⎜ ⎜⎝ Q0 ⎠⎟ ⎟ ⎝   ⎠

2

Pa Pa 0

5

= λ 

⎛  D  ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ D0 ⎠

5

Me Me0

= λ 

⎛  D  ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ D0 ⎠

Hu

= K .Q 2 3

5

5

2

Hu

=

Hu 0

23 .Q 23

Q0

Todos los puntos ( H,Q) de funcionamiento homólogos a uno dado de referencia ( H0,Q0) estarán sobre una misma curva ( parábola ) que pasará por el origen de coordenadas ( Q=0, H=0 ). Hay que recordar que todos los puntos homólogos tienen el mismo rendimiento. Así, todos los puntos que pertenecen a la parábola tendrán el mismo rendimiento que el dado como referencia ( H0,Q0)

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    I     Ó     5    C     1    A    a    I     C    m     L    e    P     T    A

Hu

= K .Q 2 3

Curva de puntos homólogos a H0,Q0 ( es decir de igual rendimiento que el que tienen la bomba en el punto a H0,Q0 con D0) con distintos diámetros D. Dicho de otro modo, cuando cuando la bomba tenga un diámetro D, la bomba debería proporcionar una altura H para un caudal Q para que el rendimiento fuese el mismo.

19

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    Ó     5    I     1    C     A    a    C     I    m     L    e    P     T    A

20

15.3.2.1.- El recorte del rodete Se trata de un procedimiento muy útil y ampliamente utilizado por los fabricante para adaptar la bomba a un punto de funcionamiento determinado. Se trata de limar la parte exterior del rodete para rebajarlo, y así conferir a la bomba las características buscadas. Todos los parámetros de la bomba se mantiene inalterados, lo único que varía es el diámetro exterior D2. Tanto los ángulos como los discos que del rodete se mantienen inalterados.

= π .D20.b2.v 2m 0 Q0 D2.v 2m D .u → = = 2 2 = λ 2 Q = π .D2.b2.v 2m Q D20.v 2m 0 D20.u 20

Q0

H0 H

= =

u 20.v 2u 0 g u 2.v 2u g

H .η h .µ 

.η h .µ 

→

H H0

=

u 20.v 2u 0 u 2.v 2u

2

⎛ u  ⎞ = ⎜⎜ 20 ⎟⎟ = λ 2 ⎝  u 2  ⎠

H0

=

Q Q0

→H =

H0 Q0

.Q

→ H = K .D

La curva de puntos homólogos en una bomba a la que se le recorta el rodete es una línea recta que para por el origen de coordenadas

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    I     Ó     5    C     1    A    a    I     C    m     L    e    P     T    A

H H0

=

Q Q0

→H =

H0 Q0

.Q

→ H = K .D

Curva de puntos homólogos a H0,Q0 ( es decir de igual rendimiento que el que tienen la bomba en el punto a H0,Q0 con D20) con distintos diámetros D2. .

Dicho de otro modo, cuando cuando la bomba tenga un diámetro D2, la bomba debería proporcionar una altura H para un caudal Q para que el rendimiento fuese el mismo.

Curva de puntos homólogos a una bomba con rodete D20 para un rodete recortado D2 La diferencia con las bombas semejantes en tamaño es que ahora lo único que cambia es el diámetro exterior, ningún otro parámetro variará. La variación el el tamaño del rodete no va mas allá del 10 al 15 % del tamaño original, sino el rendimiento cae en picado.

21

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    Ó     5    I     1    C     A    a    C     I    m     L    e    P     T    A

22

Tenemos un rodete r 2 y queremos adaptarlo para que nos proporcione una altura H0 para un caudal Q0. Es decir, queremos recortar el rodete para que la curva característica pase por dicho punto. ¿ Como se hace ? Sabemos que: H0 H1

Q = 0 Q1

2

2

⎛ D  ⎞ ⎛ r   ⎞ Q = ⎜⎜ 0 ⎟⎟ = ⎜⎜ 20 ⎟⎟ → r 20 = r 21. 0 Q1 ⎝ D1 ⎠ ⎝ r 21 ⎠

Utilizando las relaciones de semejanza podemos construir las curvas características de forma completamente analíticas:

H =  A.λ 2 + B.Q +

C

.Q 2 2 λ 

η  =

D E .Q + 4 .Q 2 λ  λ 

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    I     Ó     5    C     1    A    a    I     C    m     L    e    P     T    A

H

= 52.58 + 28.34Q − 2500.Q 2 ( Dext = 350 mm )

H

H =  A.λ 2 + B.Q + D λ  = ext Dext 0

C 2

λ 

= K .Q

Partimos de Punto (Q0,H0): Q01450= 0.1 m3/s H01450=30.414 m Punto homólogo ( de igual rendimiento )a este con la bomba recortada a 315 mm )

.Q 2

Q Q0

2

315 ⎞ 2500 2 .Q = 52.58.⎛  ⎜ ⎟ + 28.34.Q − 2 ⎝ 350 ⎠ 315 ⎛   ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 350 ⎠ 2 H = 42.34 + 28.34.Q − 3086.41.Q ( Dext = 315 mm ) H

⎛  D  ⎞ = λ  = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ D0 ⎠

2

Hu Hu 0

2

= λ 

⎛  D  ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ D0 ⎠

2

2

Q

D 315

H

D 315

⎛  D  ⎞ D 350 ⎛ 315 ⎞ 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ .Q0 = ⎜ ⎟ .0.1= 0.081 m 3 s ⎝ 350 ⎠ ⎝ D0 ⎠ 2

⎛  D  ⎞ D 350 ⎛ 315 ⎞2 = ⎜⎜ ⎟⎟ .H 0 = ⎜ ⎟ .30.414 = 24.41 m ⎝ 350 ⎠ ⎝ D0 ⎠

23

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    Ó     5    I     1    C     A    a    C     I    m     L    e    P     T    A

24

15.3.2.2.-Fundamentos de la fabricación en serie 1.- Elegimos una zona de la curva por encima de un rendimiento umbral que consideramos como el mínimo admisible

Curva característica de una bomba

2.- Sabemos que los puntos homólogos a A y B estarán situados sobre una recta que pasa por ellos. 3.- Para delimitar la zona tenemos que encontrar el límite inferior. Que como henos quedado será para un rodete recortado como mucho un 12 % ( por  poner un valor, el cual ronda del 10 al 15 % ) 2

2

 ⎞ ⎛ r   ⎞ ⎛  r 20 ⎟⎟ = 1.2913 = ⎜⎜ 20 ⎟⎟ = ⎜⎜ r  r  0 . 12 . r  − ⎝  21 ⎠ ⎝  20 20 ⎠ H1 = 0.7744.H 0 Q1 = 0.7744.Q0 H0 H1

Q = 0 Q1

= 0.7744.H A H B ' = 0.7744.H B H A'

= 0.7744.Q A QB ' = 0.7744.QB Q A'

Será la zona que la bomba original, con un rodete de radio exterior r 2 puede barrer. Es decir, al zona que de puntos H,Q que una bomba puede proporcionar en función del recorte que sufre su rodete con rendimientos superiores a un mínimo establecido

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    I     Ó     5    C     1    A    a    I     C    m     L    e    P     T    A

Los fabricantes es imposible que fabriquen bombas de funcionamiento óptimo para todos los puntos de funcionamiento H,Q. Lo que hacen es con un número relativamente reducido de tipos y tamaños pueden barrer  un gran abanico de posibilidades recortando el rodete, garantizando como se ha visto que el rendimiento sea óptimo. Lo usual es mantener fijo el diámetro interior, y escalar de forma adecuada el diámetro exterior.  Así, en estos mapas que nos proporcionan los fabricantes, buscamos el punto que queremos de H y Q, el cual caerá dentro de una zona, por ejemplo la de la bomba 50160. Lo que haremos es comprar dicha bomba y recortar el rodete de modo que dicha bomba nos proporcione el punto de funcionamiento, H,Q que deseamos

Zona abarcada por una bomba de diámetro interior 32 mm ( que coincide con la brida de aspiración ) y diámetro exterior 125 mm en función del recorte que se haga de su rodete, y en la que el rendimiento de la bomba se mantendrá dentro de unos límites óptimos

25

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    Ó     5    I     1    C     A    a    C     I    m     L    e    P     T    A

26

Para un mismo radio exterior, es decir  para una misma altura, se escala la brida de aspiración en función de los caudales creciente, y en general siguen una progresión geométrica de caudales igual a 2 Q Qi = 2.Qi +1 → i = λ 3 → 2 = λ 3 Q i +1 λ  = 1.2559

32 1.25 40 1.25 50 1.30 65 1.23 80 1.56 125 1.20 150

Para una misma brida de aspiración, un mismo caudal, las altura que proporcionan las distintas bombas se escalan de forma adecuada, de tal manera que los diámetros exteriores sigan una progresión geométrica de razón 1.25 ≈ 10 10 λ  = 10 10 = 1.2589 → D = λ .D = 10 10.D i +1

i

i

H i +1 = λ 2.H i

= 5 10.H i

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    I     Ó     5    C     1    A    a    I     C    m     L    e    P     T    A

En general se suele normalizar siguiendo la normalización dictada por ISO siguiendo las razones de proporcionalidad: 5

Se les suele llamar:

10,

10

10,

20

10,

40

10,

80

10

R5 , R10, R20, R40, R80

Dentro de cada zona podemos recortar el rodete para obtener los puntos que se deseen

27

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    Ó     5    I     1    C     A    a    C     I    m     L    e    P     T    A

28

15.3.- Velocidad específica Supongamos que tenemos una bomba de referencia que gira a N0 rpm, ofreciendo un punto de funcionamiento P0 ( Q0, H0 ) . Podemos siempre conseguir que cualquier otro punto del plano sea homólogo de este, es decir, que nos proporcione el H,Q que deseemos manteniendo el mismo rendimiento que el punto de referencia. Esto lo podemos conseguir variando adecuadamente el tamaño y número de revoluciones de la bomba. Variando el número de revoluciones N

Curva B de puntos homólogos ( igual rendimiento ) a los de la curva A de referencia pero con una velocidad de giro de N rpm Curva A de Referencia N0, D0 Curva C de puntos homólogos ( igual rendimiento ) a los de la curva B pero con una tamaño D. Por tanto, también serán puntos homólogos a los de la cur va A de referencia.

H

B

= k .Q 2

C A

Variando el Tamaño D

H

Itinerario para pasar de A a C siendo A y C puntos homólogos 1.- A - B Cambio de número de revoluciones N0, a N ( se mantiene D0 ) 2.- B – C Cambio en las dimensiones de D0 a D ( se mantiene N )

= K .Q

2 3

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    I     Ó     5    C     1    A    a    I     C    m     L    e    P     T    A

29

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    Ó     5    I     1    C     A    a    C     I    m     L    e    P     T    A

30

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    I     Ó     5    C     1    A    a    I     C    m     L    e    P     T    A

Consideremos el punto óptimo de funcionamiento de una bomba, P0(Q0,H0), en el cual el rendimiento es máximo. Definiremos, velocidad característica, ns, de esta bomba como la velocidad como la

velocidad que tendría otra bomba semejante a ésta, denominada patrón, que desarrolla una potencia útil de 1 CV, elevando agua a 1 m de altura, y que funcion a en un punto homólogo al P0. Bomba de referencia Bomba patrón H0

Qo

Pa

H=1m

Q

Velocidad de Giro N0 Rendimiento η0

Pa= 1 CV

Velocidad de Giro N = ns

Puntos homólogos de funcionamiento

Rendimiento η0

Velocidad característica de la bomba de referencia: ns

31

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    Ó     5    I     1    C     A    a    C     I    m     L    e    P     T    A

32

Por semejanza tendremos que: H H0

⎛  N  ⎞ = α 2.λ 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ N 0 ⎠

P P0

⎛  N  ⎞ = α 3.λ 5 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ N 0 ⎠

2

⎛  D  ⎞ .⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ D0 ⎠

3

⎛  D  ⎞ .⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ D0 ⎠

2

5

Si la bomba patrón tiene por parámetros: P = 1 CV, H = 1 m, y N = ns 12

Eliminando entre ambas expresiones λ

⎛  P  ⎞ N 0 = N .⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ P0 ⎠

⎛  H  ⎞ .⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ H 0 ⎠

12

⎛ Q  ⎞ N 0 = N .⎜ 0 ⎟ ⎝  Q  ⎠

54

⎛  H  ⎞ .⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ H 0 ⎠

Q=

ns

= N 0.

P0 H 05 4

34

ns

=

3.65 η 0

N 0.

Q0 H 03 4

P .η  745.7.η  = = 0.075.η  9800.1 γ .H

Velocidad Específica o número de revoluciones específicas: nq De forma similar a la definición anterior, pero ahora tomando la bomba patrón cuando trasiega 1 m3/s de fluido ( en vez de la potencia de 1 CV para ns ) a 1 m de altura, se puede deducir de forma análoga la expresión de nq: Si la bomba patrón tiene por parámetros: Q = 1 m3/s, H = 1 m, y N = ns

nq

= N 0.

Q0 H 03 4

n q resultará mucho más útil que ns

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    I     Ó     5    C     1    A    a    I     C    m     L    e    P     T    A

33

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    Ó     5    I     1    C     A    a    C     I    m     L    e    P     T    A

34

Es evidente que existe una relación entre ambos:

ns

=

3.65 nq η 0

Si suponemos que dos turbomáquinas semejantes tienen el mismo rendimi ento, también tendrán el mismo número de revoluciones específico El nq nos dará una información muy completa sobre el rodete Podemos clasificar los rodetes atendiendo a su número específico de revoluciones:

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    I     Ó     5    C     1    A    a    I     C    m     L    e    P     T    A

Normalmente N0 está fijo, y depende del motor. Así, podemos decir que: • Si queremos dar una gran altura, y el caudal que hemos de proporcionar es moderado, nq será pequeño, por lo que nos encontraremos dentro del campo de aplicación de las bombas centrífugas nq

= N 0.

Q0 H 03 4

• Si el caudal caudal es grande y la altura moderada o pequeña, nos situamos dentro del campo de las axiales. • Así, en una instalación fija, tendremos el caudal y la altura determinadas, por lo quepodemos rápidamente determinar nq, y con ello tener una primera impresión del tipo de bombas que nos conviene utilizar.

35

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    Ó     5    I     1    C     A    a    C     I    m     L    e    P     T    A

36

15.4.- Curvas Universales Se puede estudiar los rendimientos de la bomba en función del nq:

ηh: Curva bastante plana • nq bajos decrece por aumentar la superficie de rozamiento, mayores perdidas • nq altos decrece al disminuir H

ηv: Curva decreciente • nq bajos decrece por aumentar la presión

ηm: Curva decreciente • nq bajos decrece por aumentar las perdidas en los discos al aumentar el tamaño

ηg: Curva bastante plana. Rendimiento máximo ( 83–87% )

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    I     Ó     5    C     1    A    a    I     C    m     L    e    P     T    A

37

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    Ó     5    I     1    C     A    a    C     I    m     L    e    P     T    A

38

Las curvas características de la bomba también se pueden estudiar según su nq.

    S     A     C     I     L     U     A     R     D     I     H     S     A     N     I     U     Q     Á     M     S     A     L     N     E     A     Z     N     A     J     E     M     E     S     E     D     S     E     Y     E     L     S     A     L     E     D     N    :    I     Ó     5    C     1    A    a    I     C    m     L    e    P     T    A

39

Par bombas con nq ( axiales sobre todo ) elevados, a bajo régimen la potencia se dispara, y podemos quemar el motor. Par bombas con nq ( axiales sobre todo ) elevados, por la zona media entre 0 y el caudal nominar, nos encontramos con una zona irregular que se ha de tener en cuenta sobre todo en las tareas de control y regulación.

Par bombas con nq ( axiales sobre todo ) elevados, el rendimiento decae rápidamente al apartarnos del punto óptimo, en el resto también pero de forma mucho más moderada