Leyes de Conservacion

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE CIENCIAS Y SISTEMAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA

FÍSICA I

FASCÍCULO: LEYES DE CONSERVACIÓN

Teoría, ejemplos, algunas aplicaciones y problemas propuestos de: (1) trabajo y energía, (2) conservación   de   la   energía   mecánica,   (3)   conservación   del   momentum   lineal   y (4) conservación del momentum angular. Problemas propuestos de fluidos en movimiento. III. LEYES DE CONSERVACIÓN

José Argüello Sobalvarro

III.1

TRABAJO Y ENERGÍA

10  Energía: La energía es la magnitud física escalar que sirve de medida general de las distintas formas de movimiento de la materia que se estudian en física.  La energía de un sistema caracteriza cuantitativamente a éste con las posibles transformaciones del movimiento que pueden ocurrir en él. [Yavorski. Detlaf. Prontuario de Física. MIR] Trabajo: En la mecánica, el trabajo está asociado a las fuerzas, i. e. se define para las fuerzas que actúan sobre un sistema físico y cuantifica la transferencia de energía por su acción. La cantidad de trabajo realizado por una fuerza es una magnitud física escalar. Definición de trabajo mecánico: El trabajo mecánico de una fuerza  ⃗ F que actúa sobre una  partícula que experimenta un desplazamiento, se define para un desplazamiento infinitesimal d ⃗s F⋅d ⃗s   como  dW F = ⃗

F

θ

F

θ ds

ds

Bajo las condiciones en que tanto, la magnitud de la fuerza y el ángulo  θ entre  ⃗ F  y    d ⃗s permanezcan constantes o prácticamente constantes, el trabajo de   ⃗ F   para  el desplazamiento θ es   el   ángulo   entre   la   dirección   de   la   fuerza   y   el finito   Δ ⃗s   será W =F Δ s cos θ

⃗ desplazamiento.  En general, el trabajo de la fuerza  ⃗ F debe calcularse:  W F=∫ F⋅d ⃗s Δs

Trabajo en la rotación: Para la rotación el trabajo mecánico, de la definición anterior, para el giro  infinitesimal  d θ  es: dW =τ d θ La unidad de media del trabajo es el joule:  [W ]=Nm ; 1Nm=1 J En el sistema británico la  unidad es la “libra pie”   1lb⋅pie=1,356 J El   trabajo   realizado   sobre   un   cuerpo,   por   una   fuerza   que   actúa   sobre   él, mientras se desplaza de la posición r⃗1  a   r⃗2  es el área bajo la curva, que representa la fuerza variable, calculada entre las verticales del desplazamiento final e inicial.

F

r2

⃗⋅d ⃗r W =∫ F

r1

r1

r2

r

Ejemplo. Trabajo realizado por una fuerza variable: La fuerza aplicada a un resorte que obedece  la ley de Hooke. F[N] F[N]

1 W = k x² 2 1 W = k ( x 2 ²−x 1 ²) 2

1⁰ Desde  x 0=0 m  a  x 2⁰ Desde  x 1  a  x 2

kx2

kx

kx1

Ejemplo. Trabajo calculado a partir de la gráfica F vs x. Una partícula sometida a la fuerza F(x) se desplaza desde 0 m

José Argüello Sobalvarro

0

x[m]

x1 x2 x[m]

F[N] 3,0

0

5,0

10,0

15,0 x[m]

hasta 15,0 m.  Determine el trabajo realizado por F para los desplazamientos: (a) 0 m a 5,0 m; (b) 5,0 m hasta 15,0 m y (c) desde 0 m hasta 15,0 m.

1 W 0−5= 5,0 m 3,0 N =7,5 J   2 1 W 5−15=5,0 m×3,0 N + 5,0 m×3,0 N =22,5 J   2 W 0−15=W 0−5+ W 5 −15 =30,0 J

2⁰ Trabajo neto y energía en la traslación. Energía Cinética. Teorema del trabajo neto y la  variación de la energía cinética. Examinemos la relación fuerza neta y trabajo neto: Si consideramos un bloque sobre el cual la  fuerza neta tiene la misma dirección de la velocidad.

Y N

fK ds

Y

v F X

W FNETA F

v

N

fK

X

W

ds fK

FNETA = fK

En este caso el trabajo de la fuerza neta es positivo, incrementando la energía del cuerpo. Si es que la fuerza neta es opuesta a la velocidad, porque lo está frenando el trabajo de la fuerza neta es negativo, “disminuyendo la energía” del cuerpo. Supóngase que el bloque de masa m, por acción de la F NETA constante, cambia su velocidad de v 0 a V mientras cubre la distancia entre los puntos A y B, del modo que sea, acelerando o frenando.

v² – v 0 ² Su aceleración es: a x = 2Δ x

FNETA

vO Δx

El trabajo neto es  W NETO =F NETA Δ x y la fuerza neta  F NETA =m a x =m

1 2

v x

v² – v 0 ² de donde: 2Δ x

  W NETO = m(v² – v 0 ²)

Energía Cinética: La energía cinética, kinesis(κίνησις) es el modelo mecánico para la energía de movimiento, decimos que es la energía que poseen los cuerpos físicos o sistemas físicos en virtud de su estado de movimiento; y que tiene dos aspectos, la energía cinética traslacional y la energía

José Argüello Sobalvarro

cinética rotacional denotadas por  K T  y  K R  definidas,

[K ]=

ML2 T2

1 K t = m v² 2

1 Kr= I ω ² 2 kg m2 La unidad S.I., de la energía es el joule,  1 J =1 2 s

Aviones/Bombas/Meteoritos/Galletas.

Energía Cinética de un boeing 707: Estos aviones fueron puestos en servicio en 1958. El orden de magnitud   de   su   masa   es 105 kg y   su   velocidad   de   crucero   entre 971 km/h y 1009 km/h 3 2 9 entonces, v C ~ 10 km/h ~10 m/ s y K t ~ 10 J Al parecer el primer intento de “volar” aviones en el aire, surgió en la mente del novelista Arthur Hailey, en su best seller Airport, que productores estadounidenses llevaron al cine(1970), donde el Sr Guerrero intenta hacer estallar una bomba dentro de un Boeing 707. Equivalente   en   TNT:   Para   cuantificar   la   energía   liberada   por   una   explosión   o   desastres   como terremotos, erupciones volcánicas, impactos de meteoritos, … se utiliza la equivalencia en TNT, el ton,   correspondiente   a   la   energía   liberada   por   la   explosión   de   una   tonelada   métrica   de   TNT.

1 kt=4,184×1012 J =4,184 TJ Meteoroides.  La   NASA  anunció   que  el 15  de  febrero  de  2013  el  asteroide,   apófis,    2012  DA14 pasaría muy cerca de la Tierra, a unos 27700 km por sobre indonesia; ese mismo día y sin ser advertido, un meteorito de unos 17 m de diámetro ingresó a la atmósfera, a unos 40000 km/h, partiéndose a 12 ­ 15 km sobre la superficie de la Tierra en Chelyabinsk, Rusia. “La energía de la explosión   resultante   supera   470   kilotones   de   TNT”   (Profesor   de   física   Peter   Brown,   Western Ontario, Canadá) Bombardeo atómico EUA sobre  Japón: Es inevitable que nos preguntemos sobre el poder del bombardeo atómico ordenado por Truman sobre Hiroshima y Nagasaki.  La energía liberada fue 13 y 22 kilotones respectivamente.  En el National Air and Space Museum están en exhibición los B­29 Enola Gay y Bocks Car que soltaron, el primero a little boy y el otro a  fat man, sobre las cuidades japonesas en agosto de 1945. Caloría(cal).  Cuando estudiemos termodinámica ahondaremos sobre esta unidad de medida de la energía, ahora sólo señalemos que  1 cal = 4,186 J  y que es la unidad de medida utilizada en la tabla   de   información   nutricional   de   los   alimentos   empacados.     Las   galletas   de   chocolate proporcionan   unas  5   kcal/g,   nueve   veces   menos   que   el   TNT.   ¿Cómo   libera   nuestro   cuerpo,   la energía obtenida de los alimentos digeridos?

Teorema del trabajo neto y la energía cinética traslacional: “El trabajo neto ejercido sobre una partícula es igual al cambio en su energía cinética de traslación”

José Argüello Sobalvarro

W NETO =Δ K T

W 1+ W 2+ …=W NETO

Ejemplo. Se tira de un bloque de masa 5,0 kg con una fuerza de 30,0 N que forma 37,0⁰ con la horizontal.  El  coeficiente de  roce  cinético  entre  el bloque  y  la   superficie  es  0,60.  Determine  el trabajo de el roce cinético y el trabajo de F para un desplazamiento de 8,0 m. Si el bloque parte del reposo halle su velocidad en x = 8,0 m. N

F

Primera Ley de Newton: 

N+ Fsen θ – mg=0

∑ F y =0

μKN

θ

N=mg−Fsenθ

⇒

Definición de roce cinético:

F

mg

f K =μ K N =μ K (mg−Fsenθ) Definción de trabajo mecánico:

W f =f K Δ x cos 180⁰=μ K (mg−Fsen θ) Δ x=−148,5 J W F=F Δ x cos θ=11,7 J Por otro lado  W G =0 J  y  W N =0 J  Aplicando el teorema del trabajo neto y la variación de la  energía cinética tenemos que si el bloque parte del reposo, su energía cinética aumenta en

√

Δ K t=W NETO =43,1 J Que corresponde a una rapidez  v = 2 Δ K t =4,2 m/s  en x = 8,0 m m 30

Potencia:  Rapidez con que una fuerza realiza cierta cantidad de trabajo.

P= Potencia media  ̄

W t

Potencia instantánea  P=

dW ⃗ F⋅d ⃗s = dt dt

⇒

⃗⋅⃗v P= F

Para un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo y con inercia rotacional constante, la  potencia mecánica es igual a la variación temporal de su energía cinética rotacional.

P=⃗τ⋅⃗ ω

La aseveración de arriba es equivalente al teorema del trabajo neto y la variación de la energía  cinética para la rotación pura. P=

d KR =τ ω dt

La unidad de medida de la potencia es el watt  1W=1 J /s en el sistema británico es el “caballo de potencia”,  1 hp=550

lb⋅pie =746 W s

[P]=J / s ; 1 J /s=1 W

kilo watt hora: Media usual para el consumo y generación de la energía eléctrica,

1 kWh=103×J / s×3600 s=3,6 MJ Ejemplo:  Un   automóvil   de  prueba   de  700   kg  de   masa   se  mueve   a   una   rapidez   de  15,0 mi/h cuando impacta con una pared. Si el automóvil se detiene en 0,30 s, ¿Cuánta potencia se invierte

José Argüello Sobalvarro

en el proceso?

W =Δ K T El trabajo de la reacción de la pared sobre el automóvil es negativo, ya que el c.m del auto se mueve hacia la derecha y  ⃗ R  actúa en dirección opuesta.

W La potencia consumida es: ̄ P= = t

4

0

Δ KT =−50,8 kW t

 Teorema del impulso y la cantidad de movimiento

El  impulso  de  una   fuerza   es la   magnitud  vectorial  que sirve  para   caracterizar  el efecto  de  una fuerza,   y   que   es   usual   en   los   casos   de   fuerzas   variables   (impulsivas)   que   en   un   corto   tiempo alcanzan grandes valores, comparativamente. El impulso de una fuerza  ⃗ F que actúa sobre un cuerpo, durante un tiempo  Δ t  es:

⃗ J =∫ ⃗ F dt Δt

Que corresponte, en el diagrama  F – t al área, bajo la curva fuerza, calculada para un intervalo de tiempo dado. Se llama fuerza media, aquella fuerza constante que tiene mismo   impulso   que   la   fuerza   variable,   para   el   mismo intervalo de tiempo.

F

F

el

̄ Δ t=∫ F dt F Δt

t1

t2

t

t1

t2

t

Juego de Béisbol: La pelota de béisbol tiene una masa de 145 g, si es golpeada a 90 mph y sale en dirección opuesta a 110 mph, con un tiempo de contacto con el bat estimado en 0,70 ms entonces el impulso   recibido   por   la   pelota   es I =m Δ v=1,29 Ns que   correspnde   a   una   fuerza   media ̄ F =I Δ t=1,84 kN El campista, del juego de béisbol “acompaña” la pelota durante la atrapada, siguiendo su movimiento para incrementar el tiempo de contacto y así reducir la fuerza media, llevando al reposo la pelota en mayor tiempo.

Teorema del impulso y la cantidad de movimiento: El impulso que ejerce una fuerza sobre un  cuerpo es igual al cambio en la cantidad de movimiento del cuerpo.

⃗ ⃗ Δ t=Δ ⃗p J =F Aplicación: Este teorema, junto con la teoria de la elasticidad nos permite determinar la velocidad del sonido en los gases.

José Argüello Sobalvarro

Ejemplo: A partir de la gráfica F – t, aplicada a un móvil de 10,00 kg calcule la velocidad del móvil en 5,0 s; 10,0 s y 20,0 si  v 0 =0 m/s El teorema J­P  J =mΔ v y v =

s

J +v m 0

v 1=5,0 m/ s   v 2=5,0 m/ s+10 m/ s=15 m/ s v 3=15 m/ s+15 m/ s=30 m/s III.2

F[N] 20

0

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

5

10

15

20

y

B

10

Fuerza conservativa: Una  fuerza  es conservativa  si  el trabajo realizado al trasladar una partícula entre dos puntos   no depende de la trayectoria seguida entre tales puntos.   Las fuerzas conservativas tienen asociado un tipo de energía potencial, ya que el trabajo realizado contra ellas   se   almacena   en   esa   forma   de   energía   potencial.           El   trabajo realizado   por   la   fuerza   conservativa   F⃗C   siguiendo   las   trayectorias A1B y  A2B  es el mismo.

t[s]

1 A

2 x

O

B

W A1B =W A2B =∫ F⃗C⋅d ⃗r A

B

De otro modo,

∫ ⃗F C (r )⋅d ⃗r =−Δ U AB

que es la relación fuerza consevativa­energía potencial.

A

Las fuerzas conservativas (a) en general dependen de la posición, (b) el trabajo realizado en contra de ellas, al llevar una partícula desde el punto A al punto B, depende sólo de los puntos inicial y final y no de la forma de la trayectoria seguida para alcanzar el punto final por lo que el trabajo calculado en una trayectoria cerrada es cero.

∮ ⃗F C (r)⋅d ⃗r =0 Ejemplos. Fuerzas Conservativas: Fuerza Gravitacional, Fuerza Elástica, Fuerza Electroestática:

Mm ⃗ FC =−G r̂ r²

⃗ F e=−k x ̂i

⃗ F coul=k e

q 1 q2 r̂ r²

Ejemplo: Trabajo realizado por la fuerza de gravedad al trasladar una masa puntual  m   desde r a hasta  r b rB

W AB=−∫ rA

GMm r̂ 1 1 ⋅d ⃗r =−GMm (− + ) 2 rB r A r

El   origen   de   la   energia   potencial   se   toma   normalmente   en   un   punto

rA

José Argüello Sobalvarro

C

rB

infinitamene alejado de la distrisbución de masa fuente del campo gravitatorio; digamos la Tierra,

U G (r →∞)=0 U A – U ∞=U A =−

GMm rA

Podemos integrar desde la superficie de la Tierra  r A =r T  hasta  r=r A +h y obtenemos: r

Δ U G =GMm ∫ rA

r – r A =h≪r T

r – rA dr =GMm  con  r A =r T y la consideración de pequeñas alturas r² rAr GMm h=mgh    tenemos Δ U G= rT ²

Ejemplo:  Energía potencial Elástica.  Tiremos del extremo de un resorte ideal dispuesto vertical y suspendido   del   techo,   de   manera   que   lo   extendamos   desde   su   longitud   natural   L0=0 m   a L=L0+ y  El trabajo de la fuerza  F EXT  en contra de la fuerza elástica es igual al incremento de la energía potencial elástica acumulada en el volumen del resorte:

∫ F EXT ( y) dy=Δ U e

En todo instante  F EXT =−F e =k y

1 1 k y²=U e ( y ) – U e (0) donde  U e ( y )= k y² 2 2

Velocidad   de   escape:  Es   la   velocidad   mínima   que   debe   tener   un   objeto   para   “escapar   de   la atracción   gravitacional”   de   un   cuerpo   astronómico,   sin   tomar   en   cuenta   el   rozamiento aerodinámico. En el cálculo que haremos se considera que el objeto se aleje infinitamente y quede en reposo, U (r →∞)=0 considerando sólo la atracción gravitacional del cuerpo astronómico. 

1 2

Las energía cinética y la energía potencial gravitacional son K t = m v

2

y U g =−G

Mm r

1 Mm 2 Δ E=0 ⇒ ( 0− m v E)+[ 0−(−G )]=0 2 RT Evaluando la masa y radio de la Tierra v E=

√

2GM =11,2 km /s RT

Spútnik(спутник): La era espacial inició con la puesta en órbita del satélite artificial Sputnik 1 el  día 4 de octubre de 1957.

20

Fuerzas   no   conservativas:   Las   fuerzas   no   conservativas   son   las   de   tipo   motriz   o   las disipativas   que   pueden   incrementar   la   energía   del   sistema   las   primeras,   desde   el   exterior   o disminuir su energía total las segundas. También son no conservativas las fuerzas que dependen de la velocidad del punto material, sobre el que actúan. Las fuerzas no conservativas son tales que el trabajo realizado por ellas a lo largo de un camino  cerrado no es nulo:

José Argüello Sobalvarro

∮ ⃗F NC ( r)⋅d ⃗r ≠0 Ejemplos: Fuerzas no conservativas en la naturaleza: Fuerzas de origen metabólico, fuerzas de rozamiento por contacto, fuerzas de rozamiento viscoso y fuerza magnética.

30

Principio de conservación de la energía mecánica:

“La variación de la energía mecánica total de un sistema físico es igual al trabajo de las fuerzas no  conservativas”

Δ K SIS+ Δ U SIS=W MOTRICES + W DISIPATIVAS

En ausencia de fuerzas no conservativas la energía mecánica total permanece constante  permitiéndose cambios entre las distintas formas de energía mecánica.

Y

Δ K SIS+ Δ U SIS=0

A

y0

v0

Ejemplo: Un paracaidista de 75,0 kg de masa salta desde un avión a una altura de 1000 m y llega al suelo con una rapidez de 5,00 m/s. ¿Cuánta energía perdió por la fricción del aire durante el salto?

A⇒B El principio:  Δ EM =W NC En el contexto:  Δ U G+ Δ K T =W f 1 [0 – mg y 0]+ [ m v² – 0]=W f 2 v² Solución analítica:  W f =m[ −gy 0 ] 2

v W f =−734 J

Ejemplo:  Un   objeto   de   masa m inicia   desde   el   reposo   y   se desliza   una   distancia d por   un   plano   inclinado   sin   fricción   de ángulo θ . Mientras se desliza, hace contacto con un resorte no estirado   de   masa   depreciable,   como   se   muestra   en   la   figura.   El objeto   se   desliza   una   distancia x cuando   es   llevado momentáneamente   al   reposo   por   compresión   del   resorte,   de constante de fuerza k Encuentre la separación inicial d entre el objeto y resorte.

José Argüello Sobalvarro

X

B

d

θ

A

 

m=200 g ; k=1,4 kN ; Δ l=10,0 cm; θ=60,0⁰; μ K =0,400

En   el   movimiento   del   bloque   existen   intercambios   en   las   energías   potenciales   gravitatoria   y   elástica   e intercambios  con   la   energía   cinética,   pero  en   las  posiciones mencionadas  la  variación  neta   de  la  energía cinética es cero. Resolviendo para el caso con fricción

Δ EM =W NC ; A ⇒ B Δ U g + Δ U e=W f

El desplazamiento vertical del bloque es:

A B

θ

Δ y=( d+ Δ l) sen θ Δ U g =mg Δ y=mgsenθ( d+ Δ l) 1 Δ U e= k Δ l ² 2 Para   el   cálculo   del   trabajo   de   la   fuerza   de   roce,   necesitamos elaborar   el   DCL   y   aplicar   la   leyes   de   Newton   para   determinar

fK

d+Δl

θ

∑ F n=0 ⇒ N – mgcos θ=0 ⇒ f K=μ K mgcos θ El trabajo de la fuerza de roce es: 0

W f =μ K mgcos θ cos 180 (d+ Δ l)=−μ K mg cos θ (d+ Δ l) 1 [mgsenθ (d+ Δ l)−0]+ [0− k Δ l ²]=−μ K mg cos θ (d+ Δ l) 2 Despejando:

d+ Δ l=

d+Δl (d+Δl)senθ

θ

k Δ l² =3,35 m 2mg (sen θ+ μ K cos θ)

Y' N

El caso de roce despreciable:

d+ Δ l=

kΔ l² =4,12 m 2mgsen θ

X'

fK mg

θ

3,00 kg y   la   superficie   de   la   figura   es 0,400. El sistema inicia desde el reposo. ¿Cuál es la rapidez del bloque de 5,00 kg cuando ha caído 1,50 m ? Ejemplo.  El   coeficiente   de   fricción   entre   el   bloque   de

José Argüello Sobalvarro

m1=3,00 kg ; m2=5,00 kg ; μ K =0,400 ; Δ x AB=1,50 m Debe evaluarse el principio de conservación de la energía mecánica para el sistema.

A

B

Δ EM =W NC ; A ⇒ B ; A ' ⇒ B ' Δ K SIST + Δ U g2=W f1 Δ K 1+ Δ K 2+ Δ U g2=W f1

A'

Reiteramos   que   la   valoración   del   trabajo   de   la   fuerza   de   roce requiere de un DCL y la aplicación de la primera y tercera ley de Newton para determinar la reacción normal.

B'

W f =μ K N Δ x cos 180⁰=−μ K m1 g Δ x AB 1 1 [ m 1 v² – 0]+ [ m 2 v² – 0]+ [0−m 2 g y i2 ]=−μ K m1 g Δ x AB 2 2 Numéricamente Δ x AB =hi2 con  h f2 =0 m 2(m2−μ K m 1 )g Δ x AB v= =3,74 m/ s m 1+ m 2

Y N A

fK

Evaluaremos el principio de conservación de la energía mecánica para el desplazamiento del bloque de A a B.

Δ EM =W NC ; A ⇒ B Δ K t+ Δ U g=0 1 [ m v B ²−0 ]+ [0−mg y A ]=0 2 v B=√ 2g y A

José Argüello Sobalvarro

X

A 3,00 m B

C

el

A YA

YA

Para el tramo rugoso

Δ EM =W NC ; B ⇒C W f =μ K N Δ x cos 180⁰ W f =−μ K mg Δ x BC

B

m1g

√

Ejemplo: Un   bloque   de   10,0 kg   se   suelta desde el punto    A    en la figura. La vía es sin fricción,   excepto   en   la   porción   entre   los   puntos B y  C que tiene una longitud de  6,00 m.  El bloque   baja   por   la   vía,   golpea   un   resorte   de constante   de   fuerza   2250 N /m , y   comprime   al resorte   0,300 m desde su posición de equilibrio, antes  de  detenerse  momentáneamente.   Determine coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie rugosa entre  B  y  C.

T

YA

D B

VB

C

C

VC

1 1 Δ K BC =[ m v C ² – m v B ²] 2 2 Δ K BC =−μ K mg Δ x BC Sustituyendo 

v B obtenemos

y A− μK =

vC ² 2g

Δ x BC

La tercera etapa en la cual el bloque pasa del punto C a D donde instantáneamente pasa por el reposo cuando el resorte tiene la máxima compresión,  x .

Δ EM =W NC ; C ⇒ D Δ K t+ Δ U e =0 1 1 [0 – m v C ² ]+ [ k x² −0]=0 2 2

C D x

YA

VD=0 m/s

kx² y A− kx² 2mg De donde v C ²= y  μK = =0,33 m Δ x BC

R  y masa  M  está libre de rotar sobre un pivote sin  fricción  que pasa   por un  punto  sobre  su   borde.  Si   el  disco se  suelta   desde  el reposo  en  la posición mostrada, ¿cuál es la rapidez de su centro de masa cuando el disco alcanza la posición mostrada por el círculo de trazos? ¿Cuál es la rapidez del punto más bajo del disco en la posción de la línea de trazos? Ejemplo: Un disco sólido uniforme de radio 

M ; R ; ω0 =0 rad /s

A partir del momento de inercia respecto del eje que pasa por el CM, calculamos el momento respecto del eje de rotación A, utilizando el teorema de los ejes paralelos:

1 3 I CM = MR² ; I A = MR² 2 2

Evaluamos el principio de conservación de la energía mecánica entre la posición incial y la final, en la que el CM pasa instantáneamente por el punto más bajo.

Δ EM =W NC

No   hay   rozamiento   y   sólo   se   presentan   variaciones   en   la   energía cinética rotacional y la energía potencial gravitatoria del CM.

Δ K R + Δ U g=0

Evaluando:

1 1 [ I A ω ²− I A ω0 ² ]+ [Mg y – Mg y 0 ]=0 2 2

La rapidez inicial es nula y la posición final del CM es 

1 I ω ²=Mg R 2 A

⇒

José Argüello Sobalvarro

ω=2

√

g 3R

Y =0 m

A

CM y0=R

CM

y=0 m

III.3

CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL

10

Principio de conservación: “Si la fuerza externa resultante que actúa sobre un sistema físico   es   nula,   entonces   la   cantidad   de   movimiento   lineal   del   sistema   se   conserva,   es   decir, permanece constante”

Si

∑ F⃗EXT = ⃗0 → Δ ⃗pSISTEMA = ⃗0

Ejemplo: Un niño de 30,0 kg comienza a correr desde un extremo de una plataforma móvil a 1,0 m/s, respecto de la plataforma. La plataforma es de 2,0 m y tiene una masa de 90,0 kg. Determine la velocidad de la plataforma y tanto el desplazamiento de la plataforma como el del niño, respecto del suelo.

V 1=1,0 m/s m1=30,0 kg m2 =90,0 kg L=2,0 m

Para   el   sistema   aislado,   niño   ­   plataforma,   se   conserva   la   cantidad   de   movimiento   lineal   que inicialmente es nulo y seguirá así.

Δ P x =0

m(v 1 + v 2)+ M v 2 – 0=0 ⇒ v 2=−0,25 m/ s Por   la   misma   condición   de   ∑ Σ EXT =0 de   la   segunda   ley   para   el   sistema   de   partículas,   la

⇒

velocidad del centro de masas es cero.

20

Colisiones:   Interacción   dos   o   mas   cuerpos   materiales,   que   tiene   un   corto   tiempo   de duración y que mientras transcurre surgen fuerzas impulsivas comparativamente mas intensas que las otras fuerzas presentes de modo que puede aplicarse la conservación del momento lineal del sistema. En los procesos de colisiones se considera que se cumple el principio de conservación de la cantidad de movimiento lineal del sistema. En cualquier colisión siempre hay un acercamiento relativo, ya sea con velocidades opuestas o con velocidades de igual dirección o con una velocidad nula. Para el sistema aislado, en la colisión se conserva la cantidad de movimiento lineal del sistema de partículas:

Δ⃗ P SISTEMA= ⃗0 Coeficiente de restitución, e :  es la magnitud adimensional que sirve para valorar el grado de conservación de la energía cinética durante una colisión; la colisión donde  e ∈(0 ; 1)  es inelástica

José Argüello Sobalvarro

y   es   completamente   elástica   aquella   con   e=1   en   la   que  se   conserva   la   energía   cinética   del sistema, reiteramos, durante la colisión; es decir e=1 es equivalente a  Δ K SIST =0

e=

v2 – v1 Donde u1−u2

Δv

y −Δ u son las velocidades relativas de alejamiento y acercamiento. 

Además debe tratarse de colisiones frontales, sin perforamiento. Ejemplo: Definición alterna del coeficiente de restitución. Considere una bola de acero que se deja caer desde una altura   hi   sobre una gruesa placa de acero   y   se  observa   una   altura   de  rebote   h ;   la   colisión   será   tanto   más  elástica   siempre   que

h ⇒h i

Ejemplo: Las colisiones entre las bolas del juego de billar son en buena aproximación elásticas. En esta   colisión   lateral,   las   velocidades   en   general,   tienen   componentes   x   e   y.     El   principio   de conservación del momentum lineal se escribe para cada componente.

y

y v2

θ2

u1

θ1

x

 

Δ P X ;SIST =0 Δ P Y ; SIST =0

⇒ ⇒

v1

x

m1 u1X =m1 v 1X+ m2 v 2X 0=m1 v 1Y + m2 v 2Y

20 .1 Colisiones frontales completamente inelásticas: los cuerpos quedan se mueven con la misma velocidad, justo después de la colisión por lo que el coeficiente de restitución es cero. Sólo se conserva la cantidad de movimiento lineal del sistema. Conservación del momento lineal:

⃗ SISTEMA =⃗ ΔP 0 (m1+ m2) v⃗SIS=m1 u⃗1+ m2 u⃗2

m1 m2

M

vSIS

u1 u2 Colisión frontal Completamente inelástica: justo antes (a) y justo después (b) del choque. Las instantáneas el centro de masas está en el mismo lugar

20 .2 Colisiones   frontales   completamente   elásticas:   Además   de   conservarse   la   cantidad   de movimiento lineal del sistema, también se conserva la energía cinética del sistema.

m1 m2 José ArgüellouSobalvarro 1 u2

m1 m2 v1

v2

(a)

(b)

Colisión frontal Completamente Elástica: justo antes (a) y justo después (b) del choque. La magnitud y signo de las velocidades finales dependen de las iniciales y las relaciones entre las masas.

Conservación del momento lineal del sistema: 

⃗ =⃗ Δ P SISTEMA 0 m1 v⃗1+ m2 v⃗2=m1 u⃗1 + m2 u⃗2 Conservación de la energía cinética del sistema:

Δ K t , SISTEMA=0

Como hemos expresado arriba, este principio tiene una ecuacion equivalente que corresponde al  valor unitario del coeficiente de restitución.  e=1 ; v 2 – v 1 =u1−u2         III.4

CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR

El momentum angular es una magnitud física vectorial relevante en la mecánica clásica, la  mecánica relativista y la mecánica cuántica. Momentum angular de una partícula:

⃗L=⃗r x ⃗p Momentum angular de un cuerpo rígido: 

⃗L=I ω ⃗ Recordemos la ley fundamental de la dinámica de rotación: 

∑ ⃗τ =I AA ' ⃗α AA '

Momentum angular y torque resultante:

⃗

∑ ⃗τ = dd Lt AA '

Principio de conservación del momentum angular: “Si el torque externo resultante que actúa  sobre un sistema físico es nulo, entonces la cantidad de movimiento angular del sistema se  conserva, es decir, permanece constante”

Si ∑ ⃗τ EXT =⃗ 0 →Δ ⃗ L SISTEMA=⃗0 AA '

Ejemplos: fenómenos y situaciones en los cuales el principio de conservación del momento  angular tiene gran importancia: • En todos las artes y los deportes en los cuales se hacen vueltas, piruetas: actos circenses, patinaje, etc.  También importante   en   el   ciclismo   y   motociclismo,   ya   que   la

Fx, N

es

6 4 2

José Argüello Sobalvarro

2 -2 -4

4

6

8

10

12

x, m

conservación   del   momento   angular   es   la   responsable   de   la   sencillez   con   que   es   posible mantener el equilibrio. La superficie interior del cañón se estria para darle un movimiento de rotación a la bala y así garantizar la estabilidad de su trayectoria. • Para   controlar   la   orientación   angular   de   un   satélite   o   sonda   espacial.   Como   se   puede considerar que los momentos externos son cero, el momento angular y luego, la orientación del satélite no cambian. Para cambiar esta orientación, un motor eléctrico hace girar un volante de inercia. Para conservar el momento angular, el satélite se pone a girar en el sentido opuesto. Una vez en la buena orientación, basta parar el volante de inercia, lo cual para el satélite. También se utiliza el volante de inercia para parar las pequeñas rotaciones provocadas por los pequeños momentos inevitables, como el producido por el viento solar.  • Algunas estrellas se contraen convirtiéndose en púlsar. Su diámetro disminuye hasta unos kilómetros. Se han detectado pulsares con periodos rotación de tan sólo unos milisegundos.  • Debido a las mareas,, la luna ejerce un momento sobre la tierra. Este disminuye el momento angular de la tierra y, debido a la conservación del momento angular, el de la luna aumenta. En   consecuencia,   la   luna   aumenta   su   energía   alejándose   de  la   tierra   y  disminuyendo   su velocidad de rotación (pero aumentando su momento angular). La luna se aleja y los días y los meses lunares se alargan.  PROBLEMAS PROPUESTOS:  LEYES DE CONSERVACIÓN I.

TRABAJO. CONSERVACION DE LA ENERGIA MECÁNICA.

1. La fuerza que actúa sobre una partícula varía como en la figura. Encuentre el trabajo realizado  por la fuerza sobre la partícula cuando se mueve (a) de  x=0  a  x=8,00 m ,  (b) de x=8,00 m  a  x=10,0 m ,  y (c) de x=0 a  x=10,0 m.

2. Un   arquero   tira   de   la   cuerda   de   su   arco 0,400 m al   ejercer   una   fuerza   que   aumenta uniformemente de cero a 230 N. (a) ¿Cuál es la constante del resorte equivalente del arco? (b) ¿Cuánto trabajo realiza el arquero al tirar de la cuerda? 3. Se utiliza un martinete de 2100 kg para introducir en el suelo de una viga I de acero. El martinete cae 5,00 m antes de entrar en contacto con la parte superior de la viga, y mete la viga 12,0 cm más en el suelo antes de llegar al reposo. Utilizando consideraciones de energía, calcule la fuerza promedio que la viga ejerce sobre el martinete cuando éste llega al reposo.

878 kN

4. Una caja  de masa   10,0 kg   es arrastrada  por un plano inclinado rugoso con una rapidez inicial de  1,50 m/ s.  La fuerza de tiro es de  100 N  paralela al plano, que forma un ángulo de 20,0 º   con   la   horizontal.   El   coeficiente   de   fricción   cinética   es   0,400,   y   la   caja   se   jalada 5,00 m.  (a) ¿Cuánto trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre la caja? (b) Determine el

José Argüello Sobalvarro

aumento   en  energía   interna   del  sistema   caja­plano  debido   a   la   fricción.   (c)   ¿Cuánto   trabajo   es realizado por la fuerza de  100 N  sobre la caja? (d) ¿Cuál es el cambio de energía cinética de la caja. (e) ¿Cuál es la rapidez de la caja después de ser jalada 5,00 m ?

−168 J ; 184 J ; 500 J ; 148 J ;5,65 m/s 5. Un bloque de  15,0 kg es arrastrado sobre una superficie horizontal rugosa por una fuerza de 70,0   N   que   actúa   a   20,0 º   arriba   de   la   horizontal.   El   bloque   es   desplazado   5,00 m   y   el coeficiente de fricción cinética es  0,300.  Encuentre el trabajo realizado sobre el bloque por (a) la fuerza de   70 N ,   (b) la fuerza normal, (c) la fuerza gravitacional, (d) ¿Cuál es el aumento en energía interna del sistema bloque­superficie debido a la fricción? (e) Encuentre el cambio total en la energía cinética del bloque. 6. Un esquiador de masa  70,0 kg  es jalado en una pendiente por un cable accionado por motor. (a) ¿Cuánto trabajo se requiere para tirar del esquiador una distancia de  60,0 m  para que suba por una pendiente de  30,0 º (que se supone sin fricción) a una rapidez constante de  2,00 m/ s ? (b) ¿Un motor qué potencia requiere para realizar este trabajo?

20,6 kJ ; 686 W

7. Un   elevador   de   650 kg   inicia   desde   el   reposo.   Sube   durante   3,00 s   con   aceleración constante hasta que alcanza su rapidez de crucero de  1,75 m/s (a)¿Cuál es la potencia promedio del motor del elevador durante este periodo? (b) ¿Cómo se compara esta potencia con la del motor cuando el elevador se mueve a su rapidez de crucero? 8. Una partícula está unida entre dos resortes idénticos sobre una mesa horizontal sin fricción. Ambos resortes tienen constante de resorte k  y están inicialmente sin deformar.  (a) Si la partícula es jalada una L distancia x a   lo   largo   de   una   dirección   perpendicular   a   la X O A configuración inicial de los resortes, como se ve en la figura muestre que L la   fuerza   ejercida   por   los   resortes   sobre   la   partícula   es:

L  i (b)   determine   la   cantidad   de   trabajo 2  x  L2 realizado por esta fuerza al mover la partícula desde  x= A  a x=0.

Vista superior

F =−2kx 1− 2

9. Un  bloque  de 200 g se presiona   contra   un resorte  de constante   de   fuerza 1,40 kN /m   hasta   que   el   bloque comprime   el   resorte 10,0 cm. El   resorte   descansa   en   el fondo   de   una   rampa   inclinada   a 60,0 º con   la   horizontal. el uso de consideraciones de energía, determine cuanto sube bloque por la rampa antes de detenerse (a) si no hay fricción entre el bloque y la rampa y (b) si el coeficiente de fricción cinética es  0,400.

José Argüello Sobalvarro

10,0 cm

9 θ

Con el

4,12 m; 3,35 m

10. Una cuenta se desliza sin fricción alrededor de un rizo. La cuenta se suelta desde una altura h=3,50 R  (a) ¿Cuál es la rapidez en el punto A ? (b) ¿De que magnitud es la fuerza normal sobre ella si su masa es de  5,00 g ?

v =2 3gR ; 0,098 N 11

A

h

θ

R

10

11. Los objetos de la figura están unidos por una cuerda ligera que pasa por una polea sin roce y   una   clavija   lisa.   Desde   que   ángulo   debe   soltarse m 1 para   que m 2 se   levante   de   la   mesa. m2=6,00 kg  y  m1=3,00 kg  y  R=1,20 m

3 m cos θ= − 2 2 2m 1

12. Una varilla rígida ligera mide  77,0 cm de largo. Su extremo superior hace pivote en un eje horizontal de baja fricción. La varilla cuelga en línea vertical en reposo con una pequeña bola unida a su extremo inferior. Una persona golpea la bola, dándole de pronto una velocidad horizontal de modo que oscila alrededor en un círculo completo. ¿Qué rapidez mínima   v 0   en el fondo se requiere para hacer que la pelota llegue a la parte superior del círculo?

5,49 m/ s

13. La   longitud   libre   del   resorte   es 60,0 cm y   está   comprimido   de   modo   que   su   longitud   es 20,0 cm con el cuerpo de 800 g apoyado contra su extremo; el cuerpo se libera y recorre el camino ABCD   Si   k =200,0 N /m y   se   desprecia   el   roce,   calcule:   (a)   La   velocidad   en  B,   la energía cinética en B, (b)La altura que alcanza el cuerpo sobre la rampa CD respecto de B (c)Si se deja retornar por el mismo camino, ¿Cuánto comprimirá al resorte? (d) Repita (c) si la rampa CD ejerce una fuerza de roce constante  f r=2,50 N

D

A 1,5 m

B K( B)=mgy A +

C 1 k x ²=27,8 J 2 1

√

θ=530 B

v B = √ 2K /m=8,33m /s

fr 2mg x 3= [(1− ) y − y ]=0,04 m k mgsenθ D, A

José Argüello Sobalvarro

y D= K B /mg=3,54 m x 2=0,40 m 2

y A + kx1 / 2mg =2,53 m , 1+ f r /2mgsen θ D

y =

14. Una bola de cañón, de   20,0 kg ,   es disparada desde un cañón con rapidez de salida de la boca de  1000 m/ s a un ángulo de  37,0 º  con la horizontal. Una segunda bola es disparada a un   ángulo   de 90,0 º. Use   el   principio   de   conservación   de   la   energía   para   hallar   (a)   la   altura máxima alcanzada por cada bola  y (b) la energía mecánica total a la altura máxima para cada bola. Sea  y=0  en el cañón.

18,5 km ; 51,0 km ;10,0 MJ

15. El   sistema   mostrado   en  la   figura   esta   formado  por  una   cuerda   ligera   no   extensible,   poleas ligeras sin fricción y bloques de igual masa. Está inicialmente sostenido en reposo, de modo que los bloques   están   a   la   misma   altura   sobre   el   suelo.   Los   bloques   se   sueltan   entonces.   Encuentre   la rapidez del bloque  A  en el momento en que la separación vertical de los bloques es  h. y

16

15 A

B

B

O

C

A

x

16. Una   partícula   de 4,00 kg se   mueve   del   origen   a   la   posición   C ,   con   coordenadas x C = y C =5,00 m   Una   fuerza   sobre   la   partícula   es   la   fuerza   gravitacional   que   actúan   en   la dirección y negativa. Calcule el trabajo realizado por la fuerza gravitacional al pasar de   O   a C  a lo largo de (a)  OAC , (b)  OBC y (c)  OC.  Sus resultados deben ser todos idénticos. ¿Por qué? 17. Pruebe   que   las   siguientes   fuerzas   son   conservativas   y   encuentre   el   cambio   de   la   energía potencial correspondiente a cada una, considerando  x 0=0  y  x f =x  (a)  F x =ax+ bx² ,  (b) F x = Aeα x  (a, b, A y  α  son constantes) 18. Una     sola       fuerza     conservativa     que     actúa       sobre     una     partícula     varía     como  =−AxBx 2 i N , donde A y B son   constantes   y x está   en   metros.   (a)   Calcule   la F función  de     energía     potencial U  x  asociada   con   esta   fuerza   tomando U  x=0 m=0 J. (b) Encuentre el cambio en energía potencial y el cambio en energía cinética cuando la partícula se mueve de x=2,00 m a x=3,00 m. 19. Una   función   de   energía   potencial   par   una   fuerza   bidimensional   es   de   la   forma U =3x 3 y – 7x.  Encuentre la fuerza que actúa en el punto  x ; y . 20. Una partícula de 4,0 kg se desplaza a lo largo del eje X. Su posición varia con el tiempo según

José Argüello Sobalvarro

x=t + 2t 3 en   donde x se   mide   en   metros   y t en   segundos.   Determinar   (a)   en   función   del tiempo su energía cinética, la fuerza que actúa sobre ella, su aceleración y la potencia de la fuerza. (b) Determinar el trabajo realizado sobre la partícula en el intervalo de 0 a  2,0 s. 21. El bloque de masa m está conectado, por de un juego de poleas de masa despreciable y sin fricción, al bloque de masa M Calcule la velocidad de  m en función de y.  El coeficiente de fricción entre M y la mesa es μ K

M

m 21

22

y 24

37,00

22. Una bola que tiene una masa  m  se conecta mediante una cuerda de longitud L a un punto pivote y se mantiene fija en una posición vertical.  El viento sopla de izquierda a derecha y ejerce sobre   la   bola   una   fuerza   constante   de   magnitud F   (a)   Si   la   bola   se   suelta   desde   el   reposo, demuestre que la altura máxima H que alcanza, respecto su altura inicial, es  H=

2L 1+ mg /F

23. Un cañón de juguete usa un resorte para proyectar una bola de goma suave de   5,30 g.   El resorte está originalmente comprimido  5,00 cm y tiene una constante de fuerza de 8,00 N / m. Cuando el cañón se dispara, la bola se mueve  15,0 cm  por el barril horizontal del cañón y hay una fuerza constante de fricción de 0,0320 N  entre el barril y la bola. (a) ¿Con qué rapidez sale el proyectil del barril del cañón? (b) ¿En qué punto tiene la bola su máxima rapidez? (c) ¿Cuál es la rapidez máxima?

1.40 m/ s ; 4,60 cm ; 1,79 m/ s

24. Un bloque de 2,00 kg situado sobre un plano inclinado rugoso, se conecta a un resorte de masa despreciable que tiene una constante de resorte de 100 N /m. La polea es sin fricción. El bloque se suelta desde el reposo cuando el resorte no está estirado. El bloque se mueve 20,0 cm hacia abajo por el plano antes de detenerse. Encuentre la fricción cinética entre el bloque y el plano inclinado. 25. Un bloque de masa 0,500 kg es empujado contra un resorte horizontal de masa despreciable, hasta   que   el   resorte   es   comprimido   una   distancia   x.   La   constante   de   fuerza   del   resorte   es 450 N /m. Cuando se suelta, el bloque se desplaza a lo largo de una superficie horizontal sin fricción   al   punto B , la   parte   más   baja   de   una   vía   circular   vertical   de   radio   R=1,00 m   y continua subiendo por la vía. La rapidez del bloque en la parte más baja de la vía es v B=12 m/s y el bloque experimenta una fuerza promedio de fricción de 7,00 N mientras se desliza hacia arriba por la vía. (a) ¿Cuál es x ? (b) ¿Qué rapidez pronostica el estudiante para el bloque en la parte más alta de la vía? (c) ¿Llega el bloque en realidad a la parte más alta de la vía, o cae antes de

José Argüello Sobalvarro

llegar ahí? 3,00 kg  10,0 cm

vT

15,0 kg

25 R

vB

x

26

10,0 kg

26. Un cuerpo de 15,0 kg y uno de 10,0 kg están suspendidos, unidos por un cordón que pasa sobre una polea con radio 10,0 cm y masa 3,00 kg. El cordón tiene una masa despreciable y no desliza sobre la polea. La polea rota sobre su eje sin fricción. Los cuerpos inician desde el reposo a 3,00 m de separación.  Trate la  polea como disco uniforme y determine la  rapidez de los dos cuerpos cuando se pasan el uno al otro.

27. Una esfera maciza uniforme de radio r se coloca en la superficie interior de un tazón hemi esférico con radio R≫r. La esfera se suelta desde el reposo a un ángulo  con la vertical y rueda sin resbalar. Determine la rapidez angular de esfera cuando llega al fondo del tazón.

θ 27

h

R

R 28

28. Una   esfera   sólida   de  masa m y  radio r rueda   sin  resbalar  a   lo  largo  de  una   vía   que  se ilustra. La esfera inicia desde el reposo a un altura h sobre el fondo del rizo de radio R ,  mucho mayor que r. ¿Cuál es el valor mínimo de h tal que la esfera complete el rizo?

2,70 R

 II         CONSERVACION DEL MOMEMTUM LINEAL.CONSERVACION DE LA ENERGÍA MECÁNICA 1.

Una   esfera   de   acero   de   3,00 kg   golpea   una   pared   vertical   con   una

Y 60,00

José Argüello Sobalvarro

X 60,0

0

rapidez de   10,0 m/ s a un ángulo de   60,00   con la superficie. Rebota con la misma rapidez y ángulo. Si la esfera está en contacto con la pared durante  200 ms ,  ¿Cuál es la fuerza promedio ejercida por la pared sobre la esfera?

260 N normal a la pared

2.

Las fotografías estroboscópicas de alta velocidad muestran que la cabeza de un palo de golf, de

200 g  de masa, se mueve a  55,0 m/ s  justo antes de golpear una pelota de golf de  46,0 g

en   reposo   sobre   una   “te”.   Después   de   la   colisión,   la   cabeza   del   palo   se   mueve   (en   la   misma dirección) a   40,0 m/s.   Encuentre la rapidez de la pelota de golf inmediatamente después del impacto.

65,2 m/ s

3. Una bala de   10,0 g   es disparada a un bloque estacionario de madera   m=5,00 kg .   El movimiento relativo de la bala se detiene dentro del bloque. La rapidez de la combinación formada por   la   bala   y   la   madera   inmediatamente   después   de   la   colisión   es   0,600 m/ s.   ¿Cuál   fue   la rapidez original de la bala?

301 m/ s

4. Un furgón de ferrocarril de  2,50 x 104 kg  de masa se mueve con una rapidez de  4,00 m/s. Choca y se acopla con otros tres furgones acoplados, cada uno de la misma masa que el furgón solo y que se mueven en la misma dirección con una rapidez inicial de   2,00 m/ s.   (a) ¿Cuál es la rapidez de los  cuatro furgones  después  de la  colisión? (b)  ¿Cuánta  energía  mecánica  se pierde durante la colisión? 5. Una bala de masa   m1   y rapidez   u 1  impacta al disco de un péndulo de masa   m 2 . La bala emerge del disco con una rapidez   v 1=u1 /2. El disco del péndulo está suspendido por una varilla rígida de longitud  l  y masa  m ' .  ¿Cuál es el valor mínimo de  u 1 tal que el disco del péndulo apenas oscile todo un círculo vertical completo? Una bola de arcilla pegajosa de  12,0 g  se lanza horizontalmente a un bloque de madera de 100 g   inicialmente   en   reposo   sobre   una   superficie   horizontal.   La   arcilla   se   pega   al   bloque. Después del impacto, el bloque se desliza  7,50 m  antes de detenerse. Si el coeficiente de fricción entre el bloque y la superficie es  0,650,  ¿cuál era la rapidez de la arcilla inmediatamente antes 6.

del impacto? 7. Dos bloques están libres de deslizarse a lo largo de una vía de   madera   sin   fricción,   ABC.   El   bloque   de   masa m1=5,00 kg   se   suelta   desde   A.   sobresaliendo   de   su extremo delantero está el polo norte de un potente imán, que repele   el   polo   norte   de   un   imán   idéntico   incrustado   en   el extremo   trasero   del   bloque   de   masa m 2 =10,0 kg , inicialmente   en   reposo.   Los   dos   bloques   nunca   se   tocan.

José Argüello Sobalvarro

91,2 m/ s

A 5,0 m

m1 m2

Calcule la máxima altura que  m1 sube después de la colisión. 8. Una muchacha de  45,0 kg  está de pie sobre un madero que tiene una masa de  150 kg.  El madero,   originalmente   en   reposo,   está   libre   de   deslizarse   sobre   un   lago   helado,   que   es   una superficie de apoyo plana y sin fricción. La muchacha empieza a caminar a lo largo del madero a una rapidez constante de  1,50 m/ s con respecto al madero. (a) ¿Cuál es su rapidez con respecto a la superficie del hielo? (b) ¿Cuál es la rapidez del madero con respecto a la superficie del hielo?

1,15 m/s ; −0,346 m/ s

9. La masa del disco  1  es 20% mayor que la masa del disco  2.  Antes de chocar los discos se aproximan entre sí con cantidades de movimiento de iguales magnitudes y direcciones opuestas, y el disco  2  tiene una rapidez inicial de  10,0 m/ s.  Encuentre la rapidez de los discos después de la colisión si la mitad de la energía se pierde durante la colisión.

5,89 m/ s ; 7,07 m/ s

2

m1

0

30,0  1

2 30,0 0 1

h m2

v2

4,00 m/s

10. Un pequeño bloque de masa  m1=0,500 kg  se suelta desde el reposo en la parte superior de una cuña curva sin fricción de masa  m2 =3,00 kg ,  que apoya sobre una superficie horizontal sin fricción. Cuando el bloque se separa de la cuña, su velocidad se mide y es   4,00 m/s   a la derecha. (a) ¿Cual es la velocidad de la cuña después que el bloque llega a la superficie horizontal? (b) ¿Cuál es la altura  h  de la cuña? 11. Una   bombera   de   75,0 kg   baja   por   un   poste   resbaladizo   mientras   una   fuerza   de  fricción constante   de   300 N   retarda   su   movimiento.   Una   plataforma   horizontal   de   20,0 kg   es sostenida por un resorte en e l fondo del poste para amortiguar la caída. La bombera inicia desde el reposo  4,00 m  arriba de la plataforma, y la constante del resorte es de  4000 N /m.  Encuentre (a) la rapidez de la bombera antes de que ella choque con la plataforma y (b) la distancia máxima que el resorte se comprime. Suponga un roce constante en todo el movimiento. 12. Un   cañon   está   rígidamente   unido   a   un   carro,   que   puede   moverse   a   lo   largo   de   rieles horizontales pero conectado a un poste por medio de un resorte grande, inicialmente sin estirar y constante   de   fuerza   2,00 x 104 N / m.   El   cañón   dispara   un   proyectil   de 200 kilos   a   una velocidad de  125 m/s  dirigido  45,0 0  sobre la horizontal. (a) si la masa del cañón y su carro es de  5000  kilos, encuentre la rapidez de retroceso del cañón, (b) determine la máxima extensión del resorte, (c) encuentre la máxima fuerza que el  ejerce sobre el carro, (d) considere el sistema formado por el cañón, carro y proyectil. ¿Se conserva la cantidad de movimiento de este sistema durante el disparo? ¿por qué si o por qué no?

12 José Argüello Sobalvarro

13. Una bala de  5,00 g  que se mueve con una rapidez inicial de 400 m/s  es disparada contra un bloque de 1,00 kg al que atraviesa. El bloque inicialmente esta en reposo en una superficie horizontal sin fricción, esta conectado a un resorte con constante de fuerza de  900 kg / s2 .  Si el bloque se mueve  5,00 cm  a la derecha después del impacto, encuentre (a) la rapidez a la que la bala emerge del bloque y (b) la energía mecánica convertida en energía interna en la colisión.

100 m/ s ; 374 J

13

A r=0,600m

5,00 cm

θ 14

0,900m

B

14. Se deja en libertad un bloque (1,25 kg) desde A cuando θ=900 y desliza, sin rozamiento hasta con chocar con la bola (2,00 kg) en B.  Sabiendo que el coeficiente de restitución en el choque es e=0,90 Calcular   (a)   las   velocidades   justo   después   del   choque,   (b)   la   máxima   tensión   que soporta el hilo, (c) el desplazamiento vertical máximo de la bola y (d) la energía perdida en el choque.

−0,58 m/ s ; 2,51 m/ s ; 33,56 N ; 0,32 m ; 0,86 J

15. Una partícula de masa m a=100 g recorre el semieje positivo x con una velocidad de 20 cm/s. Choca con otra partícula de masa m b=20 g que se mueve con velocidad de 50 cm/s en dirección que forma un ángulo de 53o con el semieje positivo x. Después del choque ambas partículas se desplazan   juntas.   Calcular  el  módulo,   dirección   y   sentido   de  la   velocidad   de   las   dos   partículas unidas, después del choque.   ,  22,67 cm/ s ; 17o 16. Una piedra A de masa m a=1,0 kg desliza sobre una superficie lisa de hielo a una velocidad constante de 16 m/s hacia el este. Choca con otra piedra B de masa  m b=4 , 0 kg inicialmente en reposo. Después del choque, A se mueve perpendicularmente a su dirección inicial hacia el norte con una velocidad de 12 m/s Calcular el módulo y la dirección de la velocidad de la piedra B después del choque. 

5 m/ s ,−37o

José Argüello Sobalvarro

III. CONSERVACIÓN DEL MOMENTUM ANGULAR. 1.

Un   estudiante   sentado   en   un   banco   que   gira   libremente   sostiene   dos   pesas,   ambas   de 3,00 kg. Cuando sus brazos están extendidos horizontalmente y as pesas están a   1,00 m   del eje de rotacion el sistema gira a 0,750 rad / s. El momento de inercia del estudiante mas el banco es 3,00 kg m 2 y   se   supone   que   es   constante.   El   estudiante   mueve   las   pesas   hacia   dentro, horizontalmente, a una posición a 0,300 m del eje de rotación. (a) Encuentre la nueva rapidez angular del estudiante. (b) Encuentre  la energía cinética del sistema giratorio antes y después que él ponga las pesas más cerca de su cuerpo.  2. Una   barra   uniforme   de   masa 100 g y   longitud 0,50 cm gira   en   un   plano   horizontal alrededor de un perno sin fricción, fijo y vertical, que pasa por su centro. Dos pequeñas esferillas, cada una de masa 30,0 g , están montadas en la barra de modo que puedan deslizarse sin fricción a lo largo de ella. Inicialmente las esferillas están sostenidas por hebillas en posiciones a  10,0 cm de cada lado del centro, en cuyo momento el sistema gira a una rapidez angular de  20,0 rad / s. De pronto las hebillas se sueltan y las esferillas se deslizan hacia fuera a lo largo de la barra. (a) Encuentre la rapidez angular del sistema en el instante en que las esferillas llegan a  los extremos de la barra. (b) ¿Qué pasaría si las esferillas se salen de los extremos? ¿Cuál es la rapidez angular de la barra despues que  esto ocurra?

9,20 rad / s 3. El cometa Halley se desplaza alrededor del Sol en una órbita elíptica, con su aproximación mas cercana al Sol a unas 0,590 UA y su mayor distancia a 35,0 UA. Si la rapidez del cometa en su aproximación mas cercanaes 54,0 km/s, ¿Cuál es la rapidez cuando esta mas alejado del Sol? La cantidad de movimiento angular del cometa alrededor del Sol se conserva, porque no hay par de torsión que actúe sobre el cometa. La fuerza gravitacional ejercida por el Sol tiene cero brazo de momento. 

0,910 km/ s 4. El  calentamiento  global  es  motivo  de preocupacion  porque  incluso  pequeños cambios en  la temperatura de la Tierra pueden tener consecuencias importantes. Por ejemplo, si los casquetes de hielo polar de la Tierra se derritieran por completo, el agua adicional resultante en los océanos inundaría   muchas   ciudades   costeras.   ¿Cambiaría   de   manera   apreciable   la   duración   de   un   día? Calcule el cambio resultante en la duración de un día. Modele el hielo polar como que tiene una

José Argüello Sobalvarro

masa   de 2,30 x 1019 kg y   que   forma   dos   discos   planos   de   radio 6,00 x 105 m. Suponga   que   el agua se extiende en una delgada capa esférica contínua después de que se derrite.

0,550 s

5. En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, el electrón se mueve en una órbita circular de radio 0,529 x 10−10 m alrededor del protón. Si se supone que la cantidad de movimiento angular orbital del electrón es h /2  , calcule (a) la rapidez orbital del electrón,   (b) la energía cinética del electrón y (c) la frecuencia angular del movimiento del electrón.

IV. FLUIDOS   EN   MOVIMIENTO:   ECUACIÓN   DE   LA   CONTINUIDAD.   ECUACIÓN   DE BERNOULLI. 1. Un avión  tiene una de masa 1,60 x 10 4 kg y cada ala tiene un área de 40,0 m 2 . Durante un vuelo a nivel, la presión en la superficie inferior del ala es 7,00 x 104 Pa. Determine la presion en la superficie superior del ala. 

En   un   tubo   horizontal   de 10,0 cm de   diámetro   tiene   una   reducción   suave   a   un   tubo   de 5,00 cm de diámetro. Si la presión del agua en el tubo grande es 8,00 x 10 4 Pa y la presión en el tubo menor es  6,00 x 104 Pa , ¿Con qué rapidez circula el agua por éstos tubos? 2.

h

3 υ

2 3. En un torrente de agua se sumergió un tubo doblado.   La velocidad de la corriente con respecto al tubo es v =2,50 m/ s. La parte superior del tubo se encuentra a h 0=12,0 cm sobre el nivel del agua del torrente y tiene un pequeño agujero.  ¿A que altura h subirá el chorro de agua que sale por el agujero?

h=

v2 – h0=20 cm 2g

4. A un gran tanque de almacenamiento sin tapa y lleno de agua se le hace un agujero en su costado en un punto a 16,0 m bajo el nivel del agua. Si el caudal que sale de la fuga es igual a 2,50 x 10−3 m3 /min. Determine  (a)  la   rapidez   con   la   que  sale  el  agua   por  el  agujero  y  (b)   el diámetro del agujero.

17,7 m/s ; 1,73 mm José Argüello Sobalvarro

5. Se hace salir agua de un extintor por medio de aire, ¿cuanta presión manométrica de aire del tanque se necesita para que el chorro de agua tenga una rapidez de 30,0 m/ s , cuando el nivel de agua del tanque esté a 0,500 m abajo de la boquilla?

0,500 m

6. El abastecimiento de agua de un edificio se alimenta por un tubo principal de 6,00 cm de diámetro. Una llave de 2,00 cm de diámetro, es colocada a 2,00 m sobre el tubo principal, se observa que llena un recipiente de 25,0 L en 30,0 s. (a) ¿Cuál es la rapidez a la que sale agua de la llave? (b) ¿Cuál es la presión manométrica en el tubo principal? Suponga que la llave es la única “fuga” en el edificio. 7. El tubo horizontal tiene un  área transversal de 40,0 cm 2 en las porciones mas anchas y de 10,0 cm2 en   la   constricción.     Fluye   agua   por   el   tubo,   y   la   descarga   de   éste   es   de 5,00 x 10 – 3 m3 / s. Calcule a) la rapidez de flujo en las porciones ancha y estrecha, b) la diferencia de presión entre estas porciones, c) la diferencia de altura entre las columnas de mercurio en el tubo en forma de U.

8

Δh

Δh

7

9

8. En los lugares donde las secciones de un tubo de sección variable son iguales a A1 y  A2 se instalan dos tubos manométricos.   Por el tubo fluye agua.  Calcular el volumen de agua que pasa por segundo a través de la sección del tubo, si la diferencia de niveles en los tubos manométricos es

 h.

2

Q=A1 A2  2g  h / A22 – A21  9. En el eje de un gaseoducto con área de la sección transversal interna S se instala un tubo de Pitot.     Despreciando la viscosidad, hallar el volumen de gas que pasa por segundo a través de la sección del tubo, si la diferencia de niveles en el manómetro de líquido es  h y las densidades del líquido y del gas son 0 y  respectivamente.

Q=S 2 2g  h  0 / José Argüello Sobalvarro

10. Un   recipiente   cilíndrico   tiene   en   su   fondo   un   orificio   circular   de  diámetro d =1,0 cm. El diámetro del recipiente es D=0,5 m. Hallar la velocidad v con que baja el nivel del agua en este recipiente en función de la altura h de dicho nivel.   Hallar el valor numérico de esta velocidad para h=0,2 m.  v 

d2 2gh 4

D  d

4



d2 D2

Física Universitaria 12 a de. Sears ­ Zemansky ­ Young  ­ Freedman.Vol I Física para ingeniería y ciencias. 2A Ed  en español.  Bauer ­ Westfall Física para ciencias e ingeniería. 7A Ed en castellano.  Serway ­ Jewett. Vol I Curso interactivo de física, Física con ordenador. Dr Ángel Franco García.

José Argüello Sobalvarro

2gh 8 10  4 m/s