Ley del seno y ley del coseno

Ley de senos senα senβ senγ = = A B C

La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. La ley de los Senos dice así: A

γ

B

β

α C

Donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y α, β y γ (minúsculas) son los ángulos del triángulo: Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letra mayúscula. O sea, la α está en el ángulo opuesto de A. La β está en el ángulo opuesto de B. Y la γ está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá mal. Resolución de triángulos por la ley de los Senos Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir de los datos que te dan (que generalmente son tres datos). *Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley de los senos. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los cosenos lo puede resolver. En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un lado, usa ley de los senos. Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo que hacen esos dos lados, usa la ley del coseno. Supongamos que te ponen el siguiente problema: Resolver el triángulo siguiente: Llamemos β al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B; α al ángulo de 43° y A al lado de 5. Lo que tenemos entonces es lo siguiente: A=5 B=? C=? α = 43° β = 27°

γ=? El ángulo γ es muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre suma 180°. O sea que cuando te den dos ángulos de un triángulo, el tercero siempre sale así: γ = 180° - α – β Esta fórmula es válida para cualquier triángulo. Así que apréndetela bien o apúntala por ahí porque la usarás muchísimo en matemáticas. Sustituimos en ésta expresión los ángulos que nos dan y queda así: γ = 180° -43°- 27° = 180° - 70° = 110° γ= 110° Ya tenemos entonces los tres ángulos α, β y γ. Para encontrar los lados faltantes usamos la ley de los senos: Sustituyendo queda: Nos fijamos ahora sólo en los dos primeros términos: Haremos de cuenta como que el tercer término, (la que tiene la C) no existe ahorita, de la igualdad que está en el recuadro se puede despejar la B, (como el sen (27°) está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba): y calculamos ésta expresión: 3.32838 = B y esto es lo que vale B. Ya nada más falta calcular C. Para ello, volvemos a usar la ley de los Senos, pero ahora si nos vamos a fijar en una igualdad que tenga a la C: (Observa que ya sustituimos el valor de la B en la igualdad.) Despejemos la C, (como sen (110°) está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba): hacemos las operaciones y queda: 6.88925 = C y con este resultado ya queda resuelto todo el triángulo. Nota que si en lugar de haber usado la igualdad de la derecha hubiéramos usado la de los extremos, el resultado habría sido exactamente el mismo: o escrito ya sin el término de en medio: igual despejamos la C, (como sen (110°) está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba): y si haces las operaciones verás que te dá C = 6.88925 igual que antes.

Ley de cosenos C2 = A2 + B2 – 2ABcos γ La ley de los Coseno es una expresión que te permite conocer un lado de un triángulo cualquiera, si conoces los otros dos y el ángulo opuesto al lado que quieres conocer. Esta relación es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. La ley del Coseno dice así: A

γ

B

β

α C

y si lo que te dan son los lados, y te piden el ángulo que hacen los lados B y C, entonces dice así: donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y α, β y γ (minúsculas) son los ángulos del triángulo: Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letra mayúscula. O sea, la a está en el ángulo opuesto de A. La b está en el ángulo opuesto de B. Y la c está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá mal. Observa que la ley del coseno es útil sólo si te dan los dos lados que te faltan y el ángulo opuesto al lado que buscas, o sea estos: Dicho en otras palabras: te tienen que dar los lados y el ángulo que hacen los lados. Si no te dan el ángulo que hacen los lados, entonces tienes que usar la ley de los senos. Resolución de triángulos por la ley del Coseno Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir de los datos que te dan (que generalmente son tres datos). *Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley del coseno. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los senos lo puede resolver.

En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un lado, usa ley de los senos. Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo que forman esos lados, usa ley de los cosenos. Supongamos que te ponen el siguiente problema: Resolver el triángulo siguiente: Llamemos a al ángulo de 25° porque está opuesto al lado A; C al lado que mide 12 porque está opuesto al ángulo γ. y B al lado de 9 porque está opuesto al lado β. Lo que tenemos entónces es lo siguiente: A=? B=9 C = 12 α = 25° β=? γ=? Usando la ley del coseno tenemos sustituyendo: Realizando las operaciones queda: A = 5.4071 Para encontrar los ángulos faltantes usaremos la ley de los senos, : Sustituyendo los datos del problema y el valor de A que acabamos de encontrar queda: Para encontrar el ángulo b, vamos a fijarnos en la primera igualdad: de ésta igualdad despeja el ángulo β (una forma rápida de despejar cuando lo que queremos despejar está abajo, es como sigue: Invierte primero los quebrados - lo de arriba pásalo abajo y lo de abajo pásalo arriba-: luego, lo que está dividiendo al sen(β) abajo, pásalo multiplicando arriba del otro lado. y así es más rápido.) haciendo las operaciones nos queda: inviértelo para que quede bien escrito: sen (β) = 0.7034297712 y saca la función inversa del seno (el arcoseno): β = sen-1 (0.7034297712) β = 44. 703 = 44° 42'

El ángulo γ es ahora muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre suma 180°. O sea que cuando tengas dos ángulos de un triángulo, el tercero siempre sale así: γ = 180° -α –β Esta fórmula es válida para cualquier triángulo. Así que apréndetela bien o apúntala por ahí porque la usarás muchísimo en matemáticas. Sustituimos en ésta expresión los ángulos que nos dan y queda así: γ = 180° -25°- 44°42' = 180° - 69°42' = 110°17' γ = 110°17' y con este resultado ya queda resuelto todo el triángulo.