Ley Del Enfriamiento de Newton

 

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA INGENIERÍA

MARÍA LAURA MORALES TORRES ELMER JACOBO FONSECA ROJAS JAIME HERNAN MORON ROBLES

Profesora: LILIANA CAROLINA MOLINA BLANCO

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA DEL ÁREA ANDINA FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA 2019

1

 

TABLA DE CONTENIDO

Introducción…………………………………………………………………………….. 3  Aplicación  Aplicac ión de las las ecuaciones ecuaciones diferenciale diferenciales s en la ingenierí ingeniería……………………… a……………………… 4 Ley del enfriamiento de newton……………………………………………………… newton……………………………… ……………………… 5 Ejercicio demostrativo………………………………………………… demostrativo……………… …………………………………………………. ………………. 6 Conclusión………………………………………………………………………………..7 Bibliografía………………………………………………………………………………. 8

2

 

INTRODUCCIÓN

El estudio de Newton y Leibniz en el siglo diecisiete sobre las ideas básicas del cálculo fue crucial para el avance que sufrieron las matemáticas, y más importante fue, si cabe, la relación que encontraron entre el cálculo integral y el diferencial, ya que qu e cons consig igui uier eron on fund fundir irlo los s en uno uno solo olo y así así enco encont ntra rarr las las ecu ecuacio acione nes s diferenciales. Hay una gran variedad de problemas en los cuales se desea conocer un elemento variable a partir de su coeficiente de variación o dicho de otra forma, queremos conocer cómo varía dicho elemento en función de una o varias variables. En definitiva, lo que se pretende es determinar una función desconocida mediante datos relacionados por una ecuación que contiene, por lo menos, una de las derivadas de la función desconocida.

3

 

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA INGENIERÍA

Las ecua Las ecuaci cion ones es dife difere renc ncia iale les s so son n una una part parte e muy muy im impo port rtan ante te del del anál anális isis is matemát mate mático ico y modelan modelan innumer innumerable ables s proceso procesos s de la vida vida real. real. Una ecuación ecuación diferencial es una relación, válida en cierto intervalo, entre una variable y sus derivad deri vadas as sucesiva sucesivas. s. Su resoluc resolución ión permite permite estudia estudiarr las caracte característ rísticas icas de los sist sistem emas as que que mode modela lan n y una una mi mism sma a ecua ecuaci ción ón pued puede e desc descri ribi birr proc proces esos os correspondientes a diversas disciplinas. Las ecuacione ecuaciones s diferenc diferenciabl iables es en la Ing Civil se puede puede encontra encontrarr en muchas muchas cosas, como en el análisis estructural, en las cimentaciones profundas, en el cálculo del golpe de ariete, en las ecuaciones de la hidráulica, en el cálculo de asentamientos, en la mecánica del medio continuo, en fin, en varias cosas, solo es cuestión de entenderlas. Una ecuación diferencial diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria, por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial. Una ecuación diferencial debe entenderse como un modelo de un fenómeno de la realidad. Es decir, como una expresión matemática que reproduce lo que sucede en un fenómeno, si sustituimos cantidades y parámetros adecuados. ¡Por lo tanto, las ecuaciones diferenciales se usan en TODO! Las ec Las ecua uacio ciones nes difer diferen encia ciales les tiene tienen n su aplic aplicac ación ión en los los circu circuito itos s eléct eléctric ricos os aplicándolas en las leyes de ohm y kirchhoff, además de permitir resolver circuitos de CA, sin importar que tan complicados sean estos, también ayudan a determinar  el valor de un fasor, una fuente, potencia de un elemento, etc. Se involucran ecua ecuaci cion ones es dife difere renc ncia iale les s que que depe depend nden en del del tiem tiempo po (par (para a capa capaci cito tore res s e inductores). La Ing financiera es una rama de la matemática aplicada, que gracias a las ecuaciones diferenciales estudia las variaciones cuantitativas, que se producen en los capitales financieros en el transcurso del tiempo. El tema naturalmente tiene una cercana relación con la disciplina de la economía financiera, pero su objeto de estudio es más angosto y su enfoque más abstracto|

4

 

LEY DEL ENFRIAMIENTO DE NEWTON

La le ley y de enfr enfria iami mien ento to de Newt Newton on enun enunci cia a que, que, cu cuan ando do la dife difere renc ncia ia de temperaturas temperatu ras entre entre un cuerpo cuerpo y su medio ambiente ambiente no es demasiado demasiado grande, grande, el calorr transfer calo transferido ido por unidad unidad de tiempo tiempo hacia hacia el cuerpo cuerpo o desde desde el cuerpo cuerpo por  condu conducc cción ión,, conv convec ecció ción n y radiac radiación ión,, es aprox aproxima imadam dament ente e prop proporc orcion ional al a la diferenc dife rencia ia de temperat temperaturas uras entre entre el cue cuerpo rpo y dicho dicho medio medio externo, externo, siempre siempre y cuando este último mantenga constante su temperatura durante el proceso de enfriamiento.

 La genialidad de Newton se pone de manifiesto nuevamente cuando utilizando un horno de carbón de una pequeña pequeña cocina, realizó realizó un sencillo exper experimento: imento: calentó al rojo vivo un bloque de hierro, al retirarlo lo colocó en un lugar frío y observó cómo se enfriaba el bloque de metal en el tiempo. Sus conjeturas sobre el ritmo al cual seenfriamiento enfriaba el bloque dieron lugar a lo que hoy conocemos con el nombre de ley de de Newton.

5

 

EJERCICIO DEMOSTRATIVO dT    x T −Ta dt  dT 

 = K  (T −Ta)

dt 

Un cuerpo se calienta a 110°C y se expone al aire libre a una temperatura ambiente de 10°C, si al cabo de una hora su temperatura es de 60°C cuanto tiempo debe pasar para que T sea= 30°C dT 

20

dt 

100

 = K  (T −Ta)

= e (−0.69 )

=  Kdt  ∫ T   dT  −Ta ∫

1

Ln(T-Ta) = tK + C

Ln (1) – Ln (5) = e (−0.69 ) t 

ln (T  − Ta)

5

=e (−0.69 ) t 

= e tK +C 

T = 350 °C

T-Ta = e tK ∗ eC 

Ta= 23 °C

T =e tK *C +Ta

En 10 Minutos

e

100 =

e

tK 

*C +10

100 = Ce0 

C =100

60 = 100e 100( 1) + 10 50 100

 K 

=e

 

1 2

 K 

=e

1

Ln ( ¿= ¿ K 2

Ln (1) – Ln (2) = K -Ln (2) = K K= -0.69 30 = 100e (−0.69 ) + 10 6

 

CONCLUSIÓN

En esta investigación pudimos ver en que nos ayudan las ecuaciones diferenciales en problemas cotidianos en el área de producción para los ingenieros, esta nos facilita los cálculos para la implementación de un buen diseño de producción; también se pudo ver en lo planteado que nos enfocamos en el área de producción en el cual se usan muchos las ecuaciones diferenciales ordinaria de primer orden, usando el método de separación. Por lo tanto, pudimos ver que la materia de ecuacio ecu aciones nes diferenc diferenciale iales s no solo son métodos métodos matemáti matemáticos cos para resolve resolverr los problemas matemáticos, sino que se emplean en la vida cotidiana, en el trabajo y teniendo estos conocimientos nos ayudan como ingeniero civil o a conocer más de nuestras áreas y los problemas que se nos puedan presentar .

7

 

BIBLIOGRAFÍA



Gomez, E. I. (2005). Ecuaciones diferenciales. Santgo de Chile: E-Book.



Jose Venura Becerril Espinosa, D. E. (2004). Ecuaciones diferenciales: tecnicas de solucion y aplicaciones. Mexico, D.F: Azcapozalco.



Morales, M. A. (8 de septembre de 2014). Google sites. 

8