Ley de Townsend

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Ley de Townsend 1.- TEORÍA DE TOWNSEND Considérese un campo homogéneo en el cual la velocidad de los electrones sea  proporcional a la intensidad del mismo, libre, además, además, de los efectos de concentraciones concentraciones de cargas especiales. En dicho campo ocurrirán choques entre los electrones y las partículas neutrales, las cuales se verán excitadas o ionizadas según la magnitud de la energía. La ionización no necesariamente tiene que ocurrir después del primer choque, pues perfectamente podría ser el resultado de varios choques elásticos, los cuales sirven como excitación  progresiva del fenómeno. Debe recalcarse, r ecalcarse, una vez más, que el trayecto tr ayecto descrito por el electrón no obedece a un criterio u ordenamiento definido, sino más bien a un fenómeno  probabilístico, sujeto tan sólo a la casualidad; de allí la importancia del recorrido libre medio, si.

1.1.- El proceso alfa Supóngase que s i  sea el trayecto medio que recorre el electrón entre dos choques consecutivos (fig. 1.1), mientras que “d” repres enta

al trayecto total recorrido en

dirección hacia el ánodo. El número medio de impactos que conduce a ionizaciones está dado entonces por la siguiente relación:  z  d / si  

1.1

El inverso de s i se denomina coeficiente de ionización α o primer coeficiente de Townsend, a saber:    1/  si  

1.2

Este coeficiente α indica el número de impactos o colisiones que conducen a una

ionización, en función del trayecto de desplazamiento (driftway), entendiéndose este último como el cambio de posición que sufre el electrón, provocado por el campo eléctrico E en sentido paralelo a las líneas de fuerza del mismo. Este concepto permite ignorar el movimiento tortuoso en forma de zig-zag que describe el electrón en su trayecto, tomando en cuenta, sin embargo, las condiciones reinantes, en especial el gradiente eléctrico y la presión (E y p, respectivamente).

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TECNICAS DE ALTA TENSION El coeficiente α se determina experimentalmente para cada gas o mezcla de gases,

midiendo la intensidad de corriente que circula en el espacio interelectródico, la cual se incrementa por las ionizaciones sucesivas.

Supóngase ahora que en el cátodo se encuentra solamente un electrón, al cual se denominará electrón inicial. De acuerdo con los razonamientos anteriores, este electrón se habrá duplicado, una vez recorrido el trayecto de desplazamiento s i  (fig. 1.2). Al llegar al ánodo, el electrón habrá tenido un número de impactos o colisiones igual a  z     d  . Es decir, el número total de electrones se habrá incrementado de acuerdo con

la siguiente relación:  z

2

 2 d   

1.3

Pero si el número de electrones iniciales no era 1, sino n 0, el incremento lo dará una expresión análoga y la cantidad de electrones que llega al ánodo será: n  n0  2 d   

1.4

Este proceso, por sus característic as, se denomina comúnmente “avalancha de electrones”. De existir una radiación permanente, que libere electrones del cátodo (n 0),

se tendría la siguiente corriente de emisión por unidad de tiempo:  I 0  Sc  A  

1.5

Donde Sc es la densidad de corriente en el cátodo y A el área del mismo. Considerando ahora que Q  I  t  , es decir:  I  Q / t  , se obtiene  I 0  n0  e / t   

1.6

En esta última expresión, I 0  es la intensidad de corriente inicial, n 0  el número de electrones iniciales, e la carga elemental del electrón y t el intervalo de tiempo para el cual se define la intensidad de corriente.

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TECNICAS DE ALTA TENSION En el ánodo se tendrá que la intensidad de corriente engendrada por medio de la ionización por choque (proce so α) será:  I a  n  e / t  n0  e  2 

d

/t

 I 0  2 d   

1.7

En régimen estacionario las intensidades de corriente son iguales entre sí en todos los intervalos de descarga. Esto se demuestra fácilmente al contemplar la cantidad de iones  positivos que se forman a raíz de la ionización por choque. El número de electrones que se forma en el espacio interelectródico, como consecuencia de la citada ionización por choque, quedaría representado por: n  n  n0  n0  2 d   1  

1.8

Es decir,  n  pares de carga y, por tanto,  n  iones positivos. Mientras la intensidad de corriente en la superficie del ánodo es netamente electrónica, en la superficie del cátodo se compone de la intensidad de corriente electrónica inicial I 0, y de la intensidad de corriente iónica Ii. En el cátodo se obtiene entonces la siguiente corriente:



  ic  I 0  I i  n0   2 d   1 n0

 et   

1.9

Lo que equivaldría a  I c  I 0  2 d   I a  

1.10

Conclusión La intensidad de corriente anódica es exactamente igual a la intensidad de corriente catódica. Se hace hincapié, una vez más, en que el trayecto supuesto s i representa un caso ideal, ya que el trayecto en la práctica se ve sometido a fuertes variaciones (movimiento Browniano). A continuación se hace de una aproximación que toma más en cuenta los fenómenos reales. En vista de que el coeficiente de ionización α es un índice cualitativo de

la cantidad de

electrones que se engendran o forman por cada trayecto de desplazamiento s i recorrido, tienen que existir también un incremento diferencial de electrones, dn, recorrido el igualmente trayecto diferencial ds. Es decir, cada electrón dará origen a   ds electrones una vez recorrido el trayecto ds en dirección al ánodo. En forma análoga se tiene que “n” electrones originarán dn  n     ds  recorrido el mismo trayecto (fig. 1.2)

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de dn  n     ds  se obtiene dn / n     ds , e integrando  dn / n     ds (1.11) La integración conduce a ln

 n      ds  k    

1.12

O simplemente n  e

 k  e

 ds  k

 ds

 

1.13

Donde k es la constante de integración, la cual se determina tomando en cuenta las condiciones iniciales del fenómeno: el trayecto de ionización y, por consiguiente, el de integración también, comienzan en la superficie del cátodo, para el cual se tiene

   ds  0 , pero con n0 electrones, es decir

k  n0  

1.14

La relación 1.13 adquiere entonces la siguiente forma, para el trayecto es:  s

  ds

n  n0  e c

 

1.15

Si el límite superior de la integral dada en la expresión 1.13 no es ahora el trayecto s, sino el propio ánodo, el número de electrones que llega al electrodo opuesto es  s

 ds

na  n0  e c

 

1.16

Esta última expresión no tiene validez para configuraciones electródicas arbitrarias, debido a los diferentes trayectos, pero sí es válida para configuraciones como la dada en

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TECNICAS DE ALTA TENSION la fig. 1.3, donde todos los trayectos son iguales entre sí. Prescindiendo de los efectos de  borde, el condensador de placas en paralelo se presta igualmente para este enfoque. La intensidad de corriente en régimen permanente se obtiene multiplicando la expresión 1.16 por la relación e / t : a

  ds

 I  I 0  e c

 

1.17

Sólo para configuraciones electródicas como la representada en la fig. 1.3, al igual que  para el condensador de placas en paralelo, según se mencionó anteriormente, todo los trayectos del desplazamiento del cátodo al ánodo son iguales entre sí, de allí que se  pueda suprimir o prescindir de la integral en las relaciones 1.15, 1.16 y 1.17. Las nuevas expresiones quedan entonces así: n  n0  e ds ; na  n0  e ds ;  I  I 0  e d   

1.18

Donde s: El trayecto de desplazamiento del electrón respectivo, contado a partir de la superficie del cátodo.

n : El número de electrones en la superficie de referencia, situada a la distancia s del cátodo. d : La distancia interelectródica que separa al cátodo del ánodo. En el último razonamiento se puede apreciar que sustituyendo al número 2 por la base del logaritmo se ha obtenido un método que se acerca más a la realidad, pues considera Ley de Townsend

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TECNICAS DE ALTA TENSION el incremento diferencial de electrones al recorrer igualmente trayectos diferenciales. En los incisos siguientes veremos que el producto 5

 

 d  se mantiene siempre por debajo de

  d   5 , con lo cual también se cumple  

 d

e

 d 

/2

 5 

1.19

Este método de base 2 se puede utilizar, según se desprende de la última relación, cuando ofrezca la mayor sencillez, ya que la discrepancia respecto al método de base e no es considerable.

1.2.- El proceso beta En el inciso anterior se vio que al ocurrir una ionización por choque (impacto de un electrón con una partícula neutral o molécula) se formaba o engendraba un ion positivo. Pues bien, puede que este ion positivo, en su trayecto hacia el cátodo, choque contra  partículas neutrales, ionizándolas, o, en caso de choques elásticos, excitándolas consecutivamente hasta lograr una ionización. La posibilidad de que suceda esto y de que la ionización ocurra se denomina proceso beta. Si bien la posibilidad existe fundamentalmente, más en presencia de un elevado gradiente eléctrico, cabe resaltar, no obstante, que dicha probabilidad es ligeramente remota, debido a las siguientes causas: 1. El diámetro y la propia masa del ion son mucho más grandes que la del electrón, lo que en sí aumenta la probabilidad de choque pero reduce al mismo tiempo el recorrido libre medio. 2. En cada choque elástico el ion pierde más energía cinética que el electrón, reduciéndose así la probabilidad de ionización. En caso de un choque elástico central, el ion pierde totalmente su energía cinética. En consecuencia, se puede afirmar que la probabilidad de ionización por choque de iones positivos con partículas neutrale s (proceso β) es apreciablemente interior a la  probabilidad de choque entre electrones con partículas neutrales (proceso α). De allí que

se pueda deducir    k     con k   1  

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1.20

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TECNICAS DE ALTA TENSION 1.3.- El proceso épsilon Es probable que los átomos excitados que se encuentran en el espacio interelectródico transmitan su energía de excitación en forma de radiación. Si bien ésta no es suficiente  para ionizar a una partícula neutral, es posible que sí lo sea para ionizar a una partícula, átomo o molécula previamente excitada. Este fenómeno quedara esclarecido más adelante, cuando debido a la presencia de avalanchas y nubes de cargas eléctricas. Se ha  podido demostrar que precisamente los diferentes procesos y fenómenos que ocurren en el frente de la avalancha irradian fotones de onda corta, los que, en la forma descrita anteriormente, pueden ionizar partículas previamente excitadas o liberar electrones del cátodo. Esta posibilidad se denomina efecto épsilon. La elevada velocidad de propagación de los fotones y la absorción energética del medio limitan espacialmente este proceso.

1.4.- El proceso gamma Este proceso permite un fácil entendimiento de los fenómenos que ocurren en el espacio interelectródico. Supóngase que para un tiempo t   0   se encuentra en el cátodo un número determinado de electrones, a los que se llamará electrones iniciales n 0. Estos electrones han podido ser consecuencia de cualquiera de los procesos anteriormente descritos. Si predomina en el espacio interelectródico una intensidad de campo apreciable   /  p  0  , estos electrones iniciales formarán una avalancha (proceso α) en su trayecto hacia el ánodo, la cual está dada por la conocida relación 1.18 n  n  e ds . 0

En otras palabras, se puede afirmar que en el trayecto interelectródico se incrementan los electrones como consecuencia de los procesos anteriores. La cantidad de nuevos electrones, o el incremento de los mismos, se obtiene sustrayéndole a la cantidad total n el número que poseía inicialmente, n . 0

Así se obtiene nincremento  n  n0   e

 d 

 1 n0  M  n0  

1.21

Al factor  M  e d   1   se le denomina incremento de electrones, de acuerdo con la magnitud que representa. Pero al número de electrones que se ha formado en el trayecto hacia el ánodo le corresponde un número igual de iones positivos. Estos, debido a su polaridad, serán

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TECNICAS DE ALTA TENSION atraídos por el cátodo, y al chocar con éste liberarán un número determinado de nuevos electrones, a los que se llamará no  no    nincremento    M  n0     n0  

1.22

Al factor      e d  1     M   se le denomina incremento de ionización, debido a que  pone de manifiesto el aumento de la ionización en el espacio interelectródico. Pero los nuevos electrones

 n     sufrirán las mismas consecuencias, formando una 0

nueva avalancha y multiplicándose en el trayecto interelectródico, para denotar, a su llegada al ánodo, el siguiente incremento: n  n0  e d      n  

1.23

Suponiendo de nuevo que el número de iones positivos sea igual al número de electrones, se tendría  nincremento  n  n0  M  n0  M    n0     nincremento  

1.24

Estos iones, al chocar contra el cátodo, liberarán una nueva cantidad de electrones dada  por  n0    nincremento    M  n0    n0   2  n0   

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1.25

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2.-

COEFICIENTE

DE

LA

PRIMERA

IONIZACIÓN

DE

TOWNSEND Las descargas eléctricas, tanto las disruptivas como las parciales, tienen lugar debido a la ionización de los átomos del aislante o dieléctrico que separa dos superficies con diferente potencial. Townsend descubrió que existe una relación entre la corriente que atraviesa el espacio entre dos conductores planos y la diferencia de potencial aplicada en los mismos. Esta relación se muestra en la Figura 1, mostrada a continuación.

Figura 1. Relación entre la corriente y la tensión entre dos conductores planos de la descarga. Ley de Townsend

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Tal y como muestra en la figura anterior, Townsend descubrió que el aumento de la corriente con la tensión tiene tres tramos diferenciados, hasta que se produce la descarga eléctrica o ruptura del aislante. En el primer tramo (0-V 1), la corriente aumenta casi directamente proporcional a la tensión aplicada. Este transporte de la corriente es debido a la formación natural de los iones libres en el aire. Cuando se alcanza el valor de corriente de saturación, representado en la figura por i0, comienza el segundo tramo (V1-V2) en el cual la corriente permanece casi constante. Si se aplican tensiones mayores a V2 de forma mantenida, se alcanzan valores de corriente superiores a i0. En este tercer tramo, a partir de V 2, la corriente aumenta de forma exponencial al aumentar la tensión aplicada. Townsend atribuyó el aumento de la corriente a partir de V 2 (Figura 1) a la ionización del gas (aislante que separa los conductores) por la colisión de los electrones. Supuso que al aumentar la tensión y aumentar por lo tanto el campo eléctrico, los electrones adquirían más velocidad y alcanzaban suficiente energía en los choques para poder ionizar a las partículas del gas por colisión. Para explicar este comportamiento Townsend definió el valor

, conocido como

α

“coeficiente de la primera ionización de Townsend”. Este coeficiente representa el

número de electrones libres que es capaz de producir un electrón por unidad de longitud de camino libre, en la dirección del campo eléctrico aplicado. La Ecuación   (1) representa su aplicación y significado a la hora de comprender el comportamiento de la multiplicación electrónica en las descargas eléctricas. En dicha ecuación n es el número de electrones a una distancia  x del cátodo en la dirección del campo eléctrico aplicado; dn representa el incremento de electrones en la longitud dx, ver Figura 2(a):

(1) Si integramos esta expresión en función de la distancia obtenemos la Ecuación (2).

(2) O en términos de corriente:

(3)

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TECNICAS DE ALTA TENSION Donde n0 es el número de electrones que abandonan inicialmente el cátodo y e α*d es conocido como “avalancha” y representa el número de electrones libres producidos por

un electrón en el viaje desde el cátodo hasta el ánodo. La Figura 2 muestra un esquema de este proceso de avalancha.

Figura 2. Creación de electrones libres en el proceso de avalancha.

3.- SEGUNDO COEFICIENTE DE IONIZACIÓN DE TOWNSEND Cuando Townsend representó el log I  frente a la distancia de separación de los electrodos d, para una presión dada ρ  y manteniendo el campo eléctrico E constante, se  percató de que a partir de cierto valor de d el crecimiento de la corriente era mayor al esperado por la Ecuación (4). La representación se puede apreciar en la Figura 3.

Figura 3. Variación de la corriente en función de la separación entre los electrodos con campo y presión uniformes. Ley de Townsend

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Para explicar el alejamiento de la linealidad, Townsend postuló que un segundo mecanismo debía estar afectando a la corriente de la descarga eléctrica. La conclusión a la que llegó fue que nuevos electrones estaban participando en el proceso de descarga aparte de los producidos por la ionización del gas aislante. Otros procesos causantes del aumento de la corriente en la Figura 3 es el debido a la fotoionización del gas, la emisión secundaria de electrones del cátodo por el impacto de fotones, e incluso el efecto de los metaestables. El mecanismo secundario predominante depende de las condiciones del entorno, tales como la presión, el campo eléctrico aplicado, la forma y composición de los electrodos... Además puede haber más de un mecanismo que participe en la ionización secundaria dentro del gas que separa los electrodos. El coeficiente de la segunda ionización descrito por Townsend ( γ) incluye a todos los mecanismos que están participando en la ionización secundaria. La corriente  puede expresarse mediante la Ecuación (4)

(4)

Donde I es la corriente que atraviesa el aislante, I 0  es la corriente que inicialmente abandona el cátodo (sin tener en cuenta el efecto de la ionización secundaria), α es el coeficiente de la primera ionización de Townsend, d es la distancia de separación entre electrodos y γ es el coeficiente de la segunda ionización de Townsend. Éste coeficiente está muy influenciado por la naturaleza de la superficie del cátodo. Cuanto menor es la función de trabajo (energía necesaria para liberar un electrón de la superficie del cátodo), mayor será la emisión de electrones producida, ante las mismas condiciones. El valor de γ es pequeño para valores pequeños de E/P y aumenta al aumentar E/P. Esto es debido a que cuanto mayor sea E/P habrá mayor número de iones positivos y fotones con la energía suficiente para liberar los electrones de la superficie del cátodo. En la Tabla 1 se ve la influencia de la superficie del cátodo en el valor de γ.

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Tabla 1. Influencia de la superficie del cátodo en el valor de γ

4.- CRITERIO DE FORMACIÓN DE DESCARGA DE TOWNSEND Al aumentar la tensión entre dos electrodos separados por aire, la corriente responde a la Ecuación (4). A partir de dicha ecuación y mediante un desarrollo matemático se obtiene que el criterio de descarga de Townsend es:

(6) Donde ᾱ representa el coeficiente de la primera ionización de Townsend efectivo y γ es el coeficiente de la segunda ionización. Si γ(e

ᾱ *d

 - 1) = 1 el número de pares de iones

 producidos en el aire por el paso de la avalancha electrónica es suficientemente grande como para que los iones positivos resultantes puedan, por el bombardeo del cátodo, Ley de Townsend

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TECNICAS DE ALTA TENSION liberar un electrón secundario de la superficie del mismo que cause un nuevo proceso de avalancha. Éste electrón secundario puede provenir también de la fotoionización. Si esto sucede la descarga puede auto sustentarse, es decir, puede mantenerse sin el aporte de la fuente que la originó (produjo I 0). Por lo que la Ecuación (6) representa el umbral para la descarga. Si γ(e

ᾱ *d

 - 1) es mayor que uno, la descarga crece muy rápidamente, es

decir, el número de avalanchas sucesivas producidas es cada vez mayor. Si por el contrario tenemos que γ(e

ᾱ *d

 - 1) < 1 la descarga no se auto sustenta, es decir, que si

eliminas la fuente de energía que crea I 0 la descarga termina por extinguirse.

5.- CONCLUSIONES: 

Townsend definió el valor

, conocido como “coeficiente de la primera

α

ionización de Townsend”. Este coeficiente representa el número de electrones

libres que es capaz de producir un electrón por unidad de longitud de camino libre, en la dirección del campo eléctrico aplicado. 

El primer coeficiente de ionización de Townsend ( α), depende tanto de la densidad del gas aislante o presión  p como de la energía que es capaz de ganar el electrón en las colisiones con los átomos del gas.



Se concluye que las descargas Townsend se producen cuando la resistividad de la superficie está entre 10 8  –  109 Ω/cm2 (este dato ayuda a diferenciar mejor los dos tipos de avalanchas), y la constante de tiempo que distribuye las cargas entre descargas debe ser: ρs = resistividad superficie , τ = ρs · C

C = capacitancia por unidad de área.

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6.- BIBLIOGRAFÍA: 

ALTA TENSIÓN Y SISTEMAS DE TRANSMISIÓN Prof Luis A. Siegert C.



Temas de Ingeniería Eléctrica - Dr. Juan Almirall Mesa  - Conducción en los

gases. 

TECNICA DE LA ALTA TENSION - Por los Ings. Jorge N. L. Sacchi  –  Alfredo Rifaldi



Técnicas de la Alta Tensión  –  Ing. Justo Yanque.



Técnicas de Alta Tensión  –   Conducción en Aislantes Gaseosos.  –   Ing. Ramiro Herrera Vargas.

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