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Ley de Stefan-Boltzmann Julio Cesar Sánchez Rodríguez 5FV2 Laboratorio I ESFM, IPN, Ciudad de México, México E-mail: [email protected]

Resumen –Este trabajo consistió en una serie de 4 experimentos con los cuales se comprobó la relación que existe entre la radiación térmica que emite un objeto conocido como cuerpo negro y su temperatura. El primero de ellos consistió en utilizar un foco en donde su filamento hecho de Tungsteno se tomó como si fuera un cuerpo negro para después suministrarle un voltaje con una fuente y con multímetros tomar lectura del voltaje y de la corriente con estos datos se tendría la potencia , al inicio se calculó la resistencia a temperatura ambiente, para obtener la radiación que emite utilizamos una termopila conectada a un multímetro el cual nos daba un voltaje que es proporcional a la radiación emitida por el foco, se utilizó un escudo térmico entre el foco y la termopila para filtrar infrarrojo, por ultimo utilizando la relación que existe entre la temperatura y la resistencia se obtuvo la temperatura en cada punto en donde variaba la resistencia por el efecto de ir aumentando el voltaje, para así observar que la radiación del cuerpo es proporcional a la temperatura a la cuarta potencia. Para el segundo experimento en lugar del foco se utilizó un hornito el cual se calentó hasta una temperatura de 330 Celsius, este hornito se consideró al igual que el foco como un cuerpo negro, se tomó la lectura de la temperatura con ayuda de un sensor conectado a un termómetro electrónico digital con este experimento también se observó que la radiación del cuerpo es proporcional a la temperatura a la 4 cuarta potencia. Para la tercera parte utilizamos un cubo de Leslie, que consiste en un cubo en donde sus cuatro caras laterales asemejan a un tipo de cuerpo diferente (cuerpo negro, gris, blanco y reflejante), se calentó agua hasta una temperatura de 90 Celsius y se vacío dentro del cubo para poder medir la radiación emitida por cada cara y así poder comprobar que la emisividad dada la ley de StefanBoltzmann es constante. Por último, se utilizó alambres de cobre de diferentes medidas para poder colocarlos en una cámara de vacío conectada a una bomba mecánica de vacío para poder suministrarle un voltaje y se observó el momento en el cual el cobre se fundió,

teniendo los valores de la potencia suministrada al cobre, la temperatura de fusión del cobre y el área de cada alambre se calculó la constante de la ley de Stefan-Boltzmann la cual nos dio un valor de 𝑾 𝝈 = 𝟓. 𝟓𝟓𝒙𝟏𝟎−𝟖 𝟐 𝟒 𝒎 𝑻 𝑾 Se obtuvo una desviación de 𝟎. 𝟏𝟔𝒙𝟏𝟎−𝟖 𝒎𝟐 𝑻𝟒 , el error porcentual fue del 2.86 % Palabras Clave. - Radiación, Cuerpo Negro, Temperatura, Longitud de onda, Emisión, Absorción, Ley de Stefan-Boltzmann, Potencia.

1.- Introducción Los herreros en particular y los espabilados en general saben, desde que el tiempo es tiempo, que conforme se calienta un hierro, va mudando de color. Si se deja al fuego, uno puede observar cómo se pone rojo, luego anaranjado y amarillo y finalmente azulado. Si se deja enfriar, se dará el proceso inverso. Gracias a los experimentos controlados de la ciencia moderna, esta relación entre color de una fuente luminosa y el calor fue demostrada con precisión en 1800 por William Herschel, quien logró medir con suficiente rigor las distintas bandas del espectro de luz. Herschel, para su mayor gloria, descubrió algo más, algo que ni el mismo buscaba: pensando en otros menesteres, soltó el termómetro con la feliz casualidad de que el aparato quedo justo en el límite de la banda de luz roja; cuando lo recogió, observó incrédulo que la temperatura había cambiado en relación a ese calor. Acababa de descubrir la primera expresión de radiación no visible al ojo humano: la luz infrarroja. En 1859, el alemán Gustav Kirchhoff desarrollo un experimento mental basado en un cuerpo negro perfecto, es decir, un objeto que absorbe toda la radiación que llega visible y no visible, de ahí que sea perfectamente negro pues no emite luz alguna. Pero el cuerpo negro de Kirchhoff, además, debía ser también un perfecto emisor de radiación, o sea que todo lo que absorbiera sería devuelto al medio permaneciendo en equilibrio térmico con el medio.

El cuerpo negro de Kirchhoff es un recipiente hueco al que se le hace un pequeño agujero en la superficie. La radiación entra por esa abertura y rebota contra las paredes interiores, de manera que poco a poco va siendo absorbida con cada choque. Esta superficie interna está aislada de la externa, de modo que, cuando se calienta, comienza a emitir radiación que llena el hueco con todas las frecuencias del espectro según aumenta su temperatura. Lo que Kirchhoff quería demostrar es que el rango e intensidad de la radiación emitida no dependía ni de la forma ni de la sustancia de que estuviera hecho el cuerpo negro, sino del grado de temperatura. Su reto era dar con esa fórmula que expresara la distribución de energía dentro del cuerpo negro dada una cierta temperatura. Al no importar el material ni el tamaño ni la forma, solo había que atender a dos variables: la temperatura del objeto y la longitud de onda de la radiación, que es la determina el color que se percibe. Los trabajos de Kirchhoff dieron lugar a 3 leyes 





Un objeto sólido incandescente o un gas denso y caliente, sometido a muy alta presión, emite un espectro continuo de luz. Es decir, dentro de un rango espectral dado, emiten radiación en todas las longitudes de onda. Un gas tenue y caliente emite un espectro de líneas brillantes (líneas de emisión). Es decir, emite luz tan solo a unas longitudes de onda determinadas. El espectro de líneas de emisión depende de la composición química del gas. El espectro de una fuente de continúo observado a través de un gas más frío muestra líneas oscuras superpuestas (de absorción). El espectro de absorción es el inverso del espectro de emisión del gas (este emite y absorbe a las mismas longitudes de onda).

La experiencia muestra que dos cuerpos, cuyas temperaturas son distintas, llegan a equilibrarse, aunque se encuentren en el vacío. Esto se explica debido al intercambio de energía que se produce por medio de las ondas electromagnéticas. Cuando dos cuerpos se encuentran en equilibrio térmico, es decir cuando cada uno de ellos tiene la misma temperatura, no significa que la radiación electromagnética se interrumpa. Cada cuerpo absorberá en cada instante la misma cantidad de energía que él emite.

Ley de Kirchhoff: Cuando un conjunto de cuerpos se encuentra en equilibrio térmico los cuerpos que absorben intensamente ciertos rayos también los emitirán intensamente, y viceversa.

Fig. 1 Cavidad que se asemeja a un cuerpo negro

Un segundo paso en esta historia lo constituye el descubrimiento por Joseph Stefan de la ley que lleva su nombre. Stefan había tenido conocimiento a través del libro de A. Wullner de los experimentos de John Tyndall de 10 años antes, según los cuales la emisión de un alambre de platino calentado a 1473 K era 11.7 veces la correspondiente a 798 K como (1473⁄798)4 es aproximadamente 11.7, Stefan concluyo en 1879 que la radiación total E es proporcional a 𝑇 4 , o sea 𝐸 ∝ 𝑇 4 . Una deducción de esta ley, basada en consideraciones termodinámicas y electromagnéticas, fue dada por Ludwig Boltzmann en 1884. El camino seguido fue el siguiente: Supongamos un gas de radiación electromagnética encerrado en un recipiente de volumen V y provisto de un pistón con el que el gas puede ser comprimido o expandido. Si suministramos un incremento dU de su energía interna total y un incremento dV de su volumen. El primer principio de la termodinámica.

𝑇 ∙ 𝑑𝑆 = 𝑑𝑈 + 𝑝 ∙ 𝑑𝑉 … (1) Nos permite afirmar que

𝜕𝑆 𝜕𝑈 ) 𝑇 = ( ) 𝑇 + 𝑝 … (2) 𝜕𝑉 𝜕𝑉

𝑇(

Sustituyendo en esta expresión termodinámica de Maxwell se tiene

la

relación

(

𝜕𝑝 𝜕𝑆 ) = ( ) … (3) 𝜕𝑇 𝑉 𝜕𝑉 𝑇

Resulta

𝜕𝑝 𝜕𝑈 )𝑉 = ( ) 𝑇 + 𝑝 … (4) 𝜕𝑇 𝜕𝑉

𝑇(

1

La presión de radiación de un gas es 𝑝 = 𝐸 donde 3 E es la densidad total de energía de radiación y por otra parte 𝑈 = 𝐸𝑉; luego sustituyendo en la formula anterior y operando, obtenemos la ecuación diferencial

𝑑𝐸 𝑑𝑇 =4 … (5) 𝐸 𝑇 Que integrando, nos da como resultado final que 4

𝐸 ∝ 𝑇 … (6) La ley de Stefan-Boltzmann fue confirmada experimentalmente a fines del siglo XIX entre otros por Otto Lummer y Ernst Pringsheim

Demostró que, en fase de expansión o contracción lenta, la energía de la luz que reflejaban las paredes cambia exactamente en la misma forma que la frecuencia. Un principio general de la termodinámica es que un estado de equilibrio térmico, cuando se expande muy lentamente mantiene su equilibrio térmico. El principio adiabático permitió a Wien concluir que, para cada modo, la invariante adiabática energía/frecuencia es sólo función de la otra invariante adiabática, la frecuencia/temperatura. Wien llego al siguiente resultado: La longitud de onda de la densidad de energía máxima (pico de emisión) es inversamente proporcional a su temperatura absoluta

𝜆𝑚𝑎𝑥 =

𝑏 … (7) 𝑇

Donde T es la temperatura del cuerpo negro en Kelvin y 𝜆𝑚𝑎𝑥 es la longitud de onda del pico de emisión en metros, la constante b tiene un valor de 0.0028976 m Esta ley revela una verdad fundamental de la radiación del cuerpo negro. Esto es, cuando más caliente llega a estar un cuerpo negro su longitud de onda pico es más pequeña. La longitud de onda pico es la longitud de onda en que el cuerpo emite la mayor parte de su radiación. Este decremento en la longitud de onda cuando la temperatura aumenta explica por qué los objetos que se calientan, primero se tornan de color rojo, luego rojo-naranja, luego amarillo y luego azul. Estos colores están disminuyendo sucesivamente en longitudes de onda.

Fig.2 Grafica de la radiación emitida por un cuerpo negro proporcional a su temperatura a la 4 potencia

El siguiente en avanzar en el tema de la radiación de cuerpo negro fue Wilhelm Wien al formular su ley de desplazamiento, esta ley la derivo en 1893 apoyándose en un argumento termodinámico. Wien consideró adiabática, o lenta, la expansión de una cavidad que contiene ondas de luz en equilibrio térmico.

Fig. 3 Grafica de la ley de desplazamiento de Wien Wien también obtuvo termodinámicamente que la densidad de energía del cuerpo negro verifica la ley

𝜈 𝐸(𝜈, 𝑇) = 𝜈 3 𝑓 ( ) … (8) 𝑇 𝜈

En donde la función 𝑓( ) es desconocida. Pero 𝑇 como el propio Wien refiere, se le asignó a la estadística la tarea de subsanar esta deficiencia. Se obtuvo así una ley de la radiación térmica que al comienzo se ajustaba bien a las observaciones. El camino seguido por Wien para la deducción matemática de esta función dio fruto dando su valor como 𝛽𝜐 𝜈 𝑓 ( ) = 𝛼𝑒 − 𝑇 … (9) 𝑇

Donde 𝛼 y 𝛽 son constantes. Así que la ley de radiación de Wien adoptaba la forma 𝛽𝜐

𝐸(𝜈, 𝑇) = 𝛼𝜈 3 𝑒 − 𝑇 … (10) Pero el propio Wien acabo reconociendo que experimentos más precisos pusieron de manifiesto desviaciones que eran tanto mayores cuanto más largas eran las longitudes de onda de las radiaciones térmicas que se observaban. Por su parte, Lord Rayleigh en 1900 y James Jeans, unos años más tarde, llegaron a otra expresión por medio de un procedimiento distinto. Aunaron la física de Newton, Maxwell y Boltzman para dividir la energía de la radiación del cuerpo negro entre las diferentes longitudes de onda presentes dentro de la cavidad. El uso del teorema de equipartición no satisfacía demasiado a Rayleigh que creía que sólo era válido en ciertas condiciones, sin embargo, reconocía que “aunque la doctrina falla, en general, por alguna razón aún sin explicar, parece posible que pueda aplicarse a los modos más graves” donde por “modos más graves” ser refería a las vibraciones de longitud de onda largas, las únicas a las que en su opinión podía aplicarse la ecuación. Según el teorema de equipartición, la energía de un gas debe hallarse equitativamente distribuida entre sus moléculas y repartida de igual modo entre las diferentes formas en las que estas pueden moverse. Los átomos sólo son libres para moverse en tres direcciones diferentes y cada una de ellas, denominadas “grado de libertad”, es una forma independiente en la que puede recibir y almacenar energía. En el caso de una molécula compuesta de dos o más átomos, a parte de estos tres movimientos de “traslación” existen tres tipos de “rotación” en torno a los ejes imaginarios que unen

los átomos. Así pues, se obtienen un total de 6 grados de libertad. La ley de Rayleigh-Jeans, que obtuvieron basándose en la física clásica, dio un ajuste excelente entre teoría y observación en la zona de baja frecuencia. Desafortunadamente, para las altas frecuencias, la predicción fue un desastre. Se preveía un aumento infinito de la energía en la región del ultravioleta que sería conocido, años más tarde, como “catástrofe ultravioleta”. Hay que señalar que tanto Rayleigh como Jeans se dieron cuenta en seguida que aquello no tenía ningún sentido. Entre otras cosas porque la vida humana no hubiese sido posible en un universo sumido en un océano de radiación ultravioleta. La denominación que le puso Paul Ehrenfest de “catástrofe ultravioleta” puede parecer un tanto exagerada pero no dejaba de ser bastante catastrófico que el empleo del modelo teórico establecido hasta entonces diese una predicción totalmente errónea que nada tenía que ver con la realidad.

Fig. 4 Ejemplos de las curvas con resultados experimentales y obedeciéndose la Ley de RayleighJeans A continuación, se dará una deducción de la ley de Rayleigh-Jeans. Las ondas electromagnéticas estacionarias en una cavidad que está en equilibrio con su entorno, no pueden tomar un camino cualquiera. Deben satisfacer la ecuación de ondas en tres dimensiones:

𝜕2𝐸 𝜕2𝐸 𝜕2𝐸 1 𝜕2𝐸 + + = … (11) 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 𝑐 2 𝜕𝑡 2

La solución de la ecuación de onda, debe dar una amplitud cero en las paredes, ya que un valor distinto de cero sería disipar energía, y violaría la suposición de equilibrio. Para formar una onda estacionaria, la trayectoria de la reflexión alrededor de la cavidad, deben ser una trayectoria cerrada. Las condiciones de contorno pueden ser satisfechas con una solución de la forma:

𝐸 = 𝐸0 sin

𝑛1 𝜋𝑥 𝑛2 𝜋𝑦 𝑛3 𝜋𝑧 2𝜋𝑐𝑡 sin sin sin 𝐿 𝐿 𝐿 𝜆

Sustituyendo esta solución a la ecuación de onda anterior da

𝑛1 𝜋 2 𝑛2 𝜋 2 𝑛3 𝜋 2 2𝜋 ] +[ ] +[ ] = [ ]2 … (13) 𝐿 𝐿 𝐿 𝜆

[

Que se simplifica a

𝑛12 + 𝑛22 + 𝑛32 =

Fig. 5 Esquema de Rayleigh para el conteo de modos

4𝐿2 … (14) 𝜆2

A partir de la solución de onda estacionaria de la ecuación de onda se obtuvo la anterior condición. Es necesario evaluar el número de modos que pueden cumplir esta condición, lo que equivale a contar todas las posibles combinaciones de los valores enteros n. Se puede hacer una aproximación tratando el número de combinaciones como el volumen de una cuadrícula tridimensional de los valores de n, un "espacio-n". Utilizando la fórmula del volumen de una esfera, con los valores n especificando las coordenadas a lo largo de tres ejes "n", da 𝑣𝑜𝑙 𝑑𝑒 𝑛´𝑠 =

3⁄2 4𝜋 2 (𝑛1 + 𝑛22 + 𝑛23 ) 3

Sin embargo, esto conlleva un par de problemas. Al utilizar la esfera, se han usado valores de n tanto positivos como negativos, mientras que la solución de la ecuación de onda, utiliza solamente definidos valores positivos. Por lo tanto, hay que tomar 1/8 del volumen anterior. Otro problema técnico es que se pueden tener ondas polarizadas en dos planos perpendiculares, por lo que debemos multiplicar por dos para dar cuenta de ello. Luego, se puede tomar el volumen como una medida del número de modos, convirtiéndose en una muy buena aproximación, cuando el tamaño de la cavidad es mucho mayor que la longitud de onda, como en el caso de ondas electromagnéticas en una cavidad finita. Utilizando la relación obtenida para los valores de n, esto se convierte en

𝑛𝑢𝑚. 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜𝑠 = 𝑁 Fig.6 Grafica en donde se muestran las curvas experimentales de las 3 leyes (Wien, Planck y Rayleigh)

=

𝜋 2 (𝑛1 + 𝑛22 + 𝑛32 )3⁄2 3

=

8𝜋𝐿3 … (16) 3𝜆3

Después de haber desarrollado una expresión para el número de modos de ondas estacionarias en una cavidad, se podría conocer la distribución con la longitud de onda. Esto puede obtenerse tomando la derivada de la cantidad de modos con respecto a la longitud de onda.

𝑑𝑁 𝑑 8𝜋𝐿3 8𝜋𝐿3 = [ ] = − 4 … (17) 𝑑𝜆 𝑑𝜆 3𝜆3 𝜆 El signo negativo aquí, revela que el número de modos disminuye con la longitud de onda creciente. Ahora, para obtener el número de modos por unidad de volumen por unidad de longitud de onda, simplemente se puede dividir por el volumen de la cavidad cúbica.

−

1 𝑑𝑁 8𝜋 = 4 … (18) 𝐿3 𝑑𝜆 𝜆

La asignación de energías a las ondas estacionarias electromagnéticos en una cavidad, se basa en el principio de equipartición de energía. Cada modo de onda estacionaria, tendrá una energía media kT, donde k es la constante de Boltzmann y T es la temperatura en grados Kelvin. Representando u como la densidad de energía:

𝑑𝑢 1 𝑑𝐸 1 𝑑𝑁 8𝜋𝑘𝑇 = 3 = −𝑘𝑇 3 = 4 𝑑𝜆 𝐿 𝑑𝜆 𝐿 𝑑𝜆 𝜆 Esta es una relación importante en la teoría clásica de la cavidad electromagnética. También se puede expresar en términos de la frecuencia ν, haciendo uso de la regla de la cadena y la relación de onda, se llega a lo siguiente.

𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝜆 8𝜋𝑘𝑇 𝑐 8𝜋𝜐 2 = = 4 2 = 𝑘𝑇 3 𝑑𝜐 𝑑𝜆 𝑑𝜐 𝜆 𝜐 𝑐

Teniendo en cuenta la relación que existe entre densidad de energía y radiancia se llega al resultado

𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑟𝑎𝑙 =

2𝜋𝜐 2 𝑘𝑇 … (19) 𝑐2

La fórmula que satisface los resultados experimentales en todo el espectro fue encontrada por Planck primero de forma empírica, y más tarde la demostró teóricamente. Expuso su teoría el 14 de diciembre de 1900, en la reunión de final de año de la Sociedad Alemana de Física, día que se considera como el del nacimiento de la Física Cuántica. Para arribar a sus resultados Planck lanzó la siguiente hipótesis, que no tiene sentido alguno en los marcos de la física clásica: La emisión y absorción de la luz por la sustancia no ocurre de forma continua, sino por porciones finitas denominadas cuantos de energía o cuantos de luz. Concretamente, supongamos se tiene un oscilador armónico unidimensional. Tomando en consideración la hipótesis de Planck este oscilador solo puede tomar valores seleccionados de energías que forman la serie discreta: 0, 𝜀0 , 2𝜀0 , 3𝜀0 ,…, donde 𝜀0 determina la porción más pequeña de energía que puede adquirir el oscilador, y depende solamente de las características de este, es decir, de la frecuencia propia del oscilador. A partir de que la radiación en equilibrio no depende de la sustancia que conforma la pared de la cavidad, Planck considero toda la cavidad como un conjunto de osciladores. Posteriormente, supuso que no solo la cavidad, sino también las ondas estacionarias que en ella se establecen con determinada frecuencia, se comportan como los osciladores armónicos. En la cavidad se establece el equilibrio, y son excitados todos los estados con diferentes probabilidades. La distribución de probabilidades que Planck considero obedecía a la ley de Boltzmann. Esto implica que el número de osciladores con energía E a la temperatura dada T en la cavidad, va a ser 𝐸

proporcional a 𝑒 −𝑘𝑇 .

Con estas consideraciones podemos determinar la densidad espectral de energía. Calculemos primeramente el valor medio de la energía: 𝑛𝐸

𝜀̅ =

− ∑∞ 𝑛=1 𝑛𝜀0 𝑒 𝑘𝑇

∑∞ 𝑛=0

Donde 𝑥 =

𝜀0 𝑘𝑇

𝑛𝐸 𝑒 −𝑘𝑇

= 𝜀0

−𝑛𝑥 ∑∞ 𝑛=1 𝑛𝑒 . . (20) −𝑛𝑥 ∑∞ 𝑛=0 𝑛𝑒

solamente de las frecuencias propias de estos, por lo cual 𝜀0 = ℎ𝜐, al final tenemos que

𝐸(𝜐, 𝑇) =

2ℎ𝜐 3 𝑐2

ℎ𝜐 ℎ𝜐 𝑒 𝑘𝑇

… (24)

−1

. Efectuando la suma tenemos que

Resistencia en función de Temperatura

1 = … (21) 1 − 𝑒 −𝑥

En un intervalo limitado de temperatura, la resistividad de un conductor varía prácticamente de manera lineal con la temperatura, de acuerdo con la expresión

∞

∑𝑒

−𝑛𝑥

𝑛=0

Derivando esta igualdad se tiene que

𝜌 = 𝜌0 [1+∝ (𝑇 − 𝑇0 )] … (25) ∝= 4.50𝑥10−3 𝐾 −1

∞

∑ 𝑛𝑒 −𝑛𝑥 𝑛=0

𝑒 −𝑥 = . . (22) (1 − 𝑒 −𝑥 )2

Sustituyendo los dos últimos resultados en la ecuación para 𝜀̅, se tiene que

donde 𝜌 es la resistividad a cierta temperatura T (en grados Celsius), 𝜌0 la resistividad en alguna temperatura de referencia 𝑇0 (por lo general 20°C), y ∝ el coeficiente de temperatura de resistividad. Ya que la resistencia es proporcional a la resistividad, la variación en la resistencia de una muestra es

𝑅 = 𝑅0 [1+∝ (𝑇 − 𝑇0 )] … (26) 𝜀̅ =

𝜀0 𝜀0 𝑒 𝑘𝑇

… (23)

−1

Finalmente, sustituyendo esta última ecuación en la ecuación de Rayleigh-Jeans, sustituyendo por kT, obtenemos la fórmula de Planck

𝐸(𝜐, 𝑇) =

2ℎ𝜐 3 𝜀0 … (24) 𝜀0 𝑐 2 𝑒 𝑘𝑇 −1

𝜀0 es una característica de los osciladores, por lo tanto, no depende de la temperatura (característica macroscópica) y depende

II.- Desarrollo El experimento se dividió en 4 partes cada una explicando las diferentes partes en que consiste la ley de Stefan-Boltzmann, la primera de ellas era observar experimentalmente que la radiancia era proporcional a la temperatura a la cuarta potencia, para esto se utilizó un foco con una cierta potencia, una termopila, 3 multímetros, una fuente de 120 v, cables banana-caimán, una base para el foco, un escudo para filtrar infrarrojo, un termómetro de mercurio por ultimo soportes para sostener la termopila y el escudo. Se montó el equipo como se indica en la fig. 7 el escudo se puso a una distancia del foco que era aproximadamente la misma a la que había a la termopila, procedimos a tomar la temperatura antes de iniciar ya que este dato es importante para poder obtener la temperatura en función de la resistencia como indica la ec. (26), con la fuente de voltaje se empezó a suministrar voltaje al foco y con dos multímetros se tomaba la lectura del voltaje y la intensidad de corriente que circulaba sobre esto

Conforme pasaba el tiempo y se le aumentaba el voltaje al foco, empezaba a calentarse el filamento de Tungsteno que era el que fungió como cuerpo negro y empezaba a emitir radiación, esta radiación llegaba a la termopila la cual conectada a un multímetro pudimos tomar lectura del voltaje que nos, finalmente se utilizó la ec. (26) para poder obtener la temperatura en cada punto.

Boltzmann es constante. Para esto se utilizó un cubo de Leslie que consiste en un cubo con cuatro caras diferentes cada una de ellas simulando un tipo de cuerpo (negro, gris, blanco y reflejante), el arreglo fue similar a los anteriores, fig. 9 solo que ahora se utilizó un multímetro para monitorear el voltaje de la termopila, se calentó agua a una temperatura cercana a los 85 Celsius y se vacío dentro del cubo de Leslie con ayuda del termómetro digital monitoreamos la temperatura desde una máxima a otra temperatura cercana al ambiente, se midió la radiancia en cada una de las caras con ayuda de la termopila.

Fig. 7 Esquema del primer experimento

Fig. 9 Experimento con el cubo de Leslie La última parte del experimento consistió en obtener la constante de Stefan-Boltzmann, para esto utilizamos una bomba mecánica de vacío, un multímetro, una fuente, cables banana-caimán y alambre de cobre, el arreglo se muestra en la fig. 10.

Fig. 8 Diagrama del arreglo para el foco.

Para la segunda parte del experimento se utilizaron los mismo materiales que la primera parte solo que se sustituyó el foco por un hornito y pudimos monitorear la temperatura del hornito con ayuda de un termómetro digital electrónico, esta vez solo se utilizaron dos multímetros y con ayuda del variac en VAC se le fue suministrando voltaje al hornito hasta que alcanzara una temperatura cercana a los 400 Celsius, al igual que la anterior parte como la radiancia es proporcional al voltaje de la termopila obtuvimos los datos necesarios para observar la dependencia de la radiación con la temperatura. La tercera parte del experimento consistió en observar que la emisividad dada en la ley de Stefan-

Fig. 10 Esquema del ultimo experimento Se cortaron alambres de cobre de diferentes longitudes, la cámara de vacío de la bomba mecánica tenía dos caimanes de tal manera que se podía colocar el alambre de cobre entre ellos y utilizando los cables banana caimán suministrarle voltaje al alambre de cobre, Primero se colocó el alambre de cobre entre los caimanes y se procedió a cerrar la cámara de vacío, se utilizó un protector

cuadrado sobre la cámara para mayor seguridad, procedimos a activar la bomba de vacío hasta una presión de 58 cmHg, después de esto se le suministro voltaje hacia el alambre de cobre, se fue subiendo poco a poco hasta que el alambre empezara a brillar, como se muestra en la fig. 11, lo que daba el efecto de un cuerpo negro, el cable iba aumentando su temperatura hasta el punto de fusión del cobre y finalmente se rompía, en este momento era necesario la toma de video para que observáramos la lectura de la intensidad de corriente que circulaba en el alambre ya que cuando el alambre se rompía, el lector marcaba cero ya que ya no circulaba corriente, esto ocurrió en una fracción de segundo por lo cual se requería el uso de video, la conexión que se hizo fue de tal manera que se obtuvieron los datos del voltaje y la intensidad de corriente que se le suministraba al alambre de cobre.

Fig. 11 El alambre alcanzando su punto de fusión

Finalmente, con el voltaje y la intensidad de corriente sobre el alambre de cobre se obtenía la potencia, se tenía la longitud y el diámetro de los alambres ya que este dato se midió al inicio para obtener su área y por último la temperatura de fusión del cobre que es un dato conocido, con esto utilizando métodos estadísticos se calculó la constante de Stefan-Boltzmann.

III.- Resultados Para el primer experimento se obtuvo al inicio la resistencia del Tungsteno del foco a temperatura ambiente, el cual fue de 4 ohms, esto para poder obtener la temperatura del Tungsteno conforme se iba aumentando el voltaje, utilizando la ec. (26), también haciendo uso de un termómetro de mercurio tomamos la temperatura ambiente. La tabla I muestra los datos obtenidos del voltaje de la termopila y la potencia irradiada por el foco, se muestra una tendencia lineal con lo cual se tiene una relación de proporcionalidad entre el voltaje de termopila y la potencia irradiada, la fig. 13 nos muestra su gráfica. Posteriormente en la tabla II mostramos los datos de Potencia y temperatura en Kelvin, en la fig. 14 mostramos la gráfica de la tabla II, la cual se asemeja a la grafica mostrada en la fig.2, recordemos que solamente cuando la temperatura del alambre de Tungsteno es demasiado alta comparada con la temperatura del ambiente, se pueden despreciar la temperatura del medio ambiente, procedimos a obtener el log de cada valor de Potencia y Temperatura, en la fig. 15 se muestra la gráfica log vs log y se observa una línea recta dadas las proporcionalidades entre potencia y temperatura según la ley de StefanBoltzmann en donde la pendiente nos da el valor de la potencia a la que esta elevada la temperatura, la ecuación de la recta es la siguiente 𝑦 = 3.6𝑥 − 23,04 16 14

Potencia (w)

12 10 8 6 4 2 0 0

100

200

300

Voltaje (mV) Fig.12 Esquema del arreglo del ultimo experimento.

Fig. 13 Proporcionalidad entre voltaje y Potencia

Tabla I Datos voltaje Termopila y Potencia

Voltaje termopila (mV) 0,046 0,053 0,092 0,203 0,376 0,65 1,073 1,42 1,92 2,56 3,09 3,76 4,36 5,03 5,73 6,47 7,26 7,90 8,41 8,95 9,43 10,15 10,81 11,37 11,85 12,55 13,19 14,02

Potencia (W) 0,000002 3,77 8,00 13,68 19,97 27,12 35,89 45,87 56,22 67,33 77,60 90,01 102,15 114,72 128,69 142,60 158,04 168,45 178,63 188,49 198,45 211,00 222,85 233,04 242,89 256,41 267,47 282,71

Tabla II Datos obtenidos para Potencia, los datos de Temperatura se obtuvieron con la ec. 26

Potencia (W) 3,77 8,00 13,68 19,97 27,12 35,89 45,87 56,22 67,33 77,60 90,01 102,15 114,72 128,69 142,60 158,04 168,45 178,63 188,49 198,45 211,00 222,85 233,04 242,89 256,41 267,47 282,71

Temperatura (K) 540,99 789,60 1010,15 1169,57 1318,17 1453,66 1572,40 1676,35 1774,35 1856,46 1944,16 2023,36 2096,30 2169,04 2240,32 2308,15 2350,64 2393,44 2436,24 2471,32 2516,87 2557,82 2596,40 2625,65 2669,71 2702,42 2747,69

300 6,00 5,00

200

Log Potencia

Potencia (w)

250

150 100 50 0 1000,00 1500,00 2000,00 2500,00 3000,00

Temperatura (k)

4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 7,20

7,40

7,60

7,80

8,00

Log Temperatura Fig. 14 Grafica de Potencia y Temperatura Fig. 15 Grafica log-log Potencia y Temperatura

Para el segundo experimento como se comentó en el desarrollo se utilizó un termómetro digital para obtener la temperatura para cada voltaje que proporcionaba la termopila, como se tiene que el voltaje de la termopila es proporcional a la potencia irradiada por el hornito, la tabla III muestra los datos voltaje termopila y la temperatura en Celsius, su gráfica se muestra en la fig. 16, posteriormente como se hizo en el anterior experimento se graficó log-log voltaje y temperatura en donde en la fig. 17 se muestra su gráfica, al igual que antes la pendiente nos indica la potencia a la que esta elevada la temperatura, la ecuación que se obtuvo es la sig.

𝑦 = 3.4𝑥 − 18,30

6

Voltaje (mV)

5 4 3 2 1 0 0

100

200

300

400

Temperatura (K) Fig. 16 Voltaje termopila y Temperatura del Hornito

Tabla III Voltaje de la termopila y Temp. del hornito

Voltaje termopila (mv) 0 0,001 0,002 0,002 0,003 0,005 0,006 0,007 0,007 0,009 0,01 0,012 0,014 0,016 0,019 0,021 0,025 0,028 0,036 0,039 0,044 0,051 0,06 0,07 0,082 0,097 0,11 0,13 0,15 0,17 0,20

Temperatura ( C ) 18 19 21 22 24 26 27 29 31 34 37 40 43 45 49 51 56 60 67 70 73 78 84 89 95 102 106 113 118 125 132

2 2 1

Log Voltaje

Temperatura ( C ) 138 146 152 159 167 174 181 189 201 208 222 231 243 246 260 264 270 277 282 288 294 298 303 307 311 318 320 323 327 329 333 337

1 0

-1

4,50

5,00

5,50

6,00

-1 -2

Log Temperatura

-2

Fig. 17 Grafica log-log voltaje y temperatura

El tercer experimento consistía en comprobar que la Emisividad es una constante, las tablas IV, V, VI, y VII muestran los datos para cada cara del cubo de Leslie, como se procedió en las primeras partes del experimento se graficó log-log para el voltaje de la termopila y la temperatura para cada cara mientras que las fig. 18, 19, 20 y 21 nos indican sus gráficas, por último, la fig. 22 nos muestra una gráfica en donde se indican los datos de todas las caras.

-3,1 5,8

5,82

5,84

5,86

5,88

-3,15 -3,2

Log Voltaje (mV)

Voltaje termopila (mv) 0,23 0,28 0,32 0,37 0,43 0,52 0,57 0,67 0,83 0,95 1,17 1,34 1,60 1,75 2,09 2,23 2,39 2,56 2,74 2,93 3,11 3,24 3,40 3,52 3,64 3,98 4,06 4,14 4,23 4,29 4,61 4,77

-3,25 -3,3

-3,35 -3,4 -3,45 -3,5

Log Temp (K) Fig. 18 Grafica para la cara Reflejante

5,9

Tabla IV Datos para la cara Reflejante

-2,25

5,82

5,84

5,86

5,88

5,9

-2,3 -2,35

Log Voltaje (mV)

Temperatura ( K ) 357,5 357 356,5 356 355,5 355 354,5 354 353 352,5 352 351,5 351 350,5 350 349,5 349 348,3 347,5 347 346,3 345,5 344,8 343,9 343 341 340,3 339,5 338,5 337 336 335 334 333 331,1 328,6 325,3 323,8 321,8 320,2 319,4 318,2 317 315,5 314,5

-2,4

-2,45 -2,5

-2,55 -2,6 -2,65 -2,7

log Temp (K) Fig. 19 Grafica para la cara gris

-0,8 5,7

5,75

5,8

5,85

-1

-1,2

Log Voltaje (mV)

Voltaje termopila (mV) 0,041 0,042 0,039 0,034 0,033 0,032 0,032 0,031 0,033 0,034 0,033 0,037 0,04 0,037 0,035 0,033 0,032 0,031 0,032 0,032 0,032 0,034 0,033 0,034 0,036 0,036 0,039 0,038 0,039 0,041 0,04 0,042 0,044 0,04 0,47 0,06 0,081 0,082 0,076 0,074 0,072 0,073 0,073 0,072 0,068

-2,2

-1,4

-1,6

-1,8

-2

Log Temp (k) Fig. 20 Grafica para la cara Blanca

5,9

Tabla V Datos para la cara Gris

Voltaje termopila (mV) 0,412 0,425 0,419 0,416 0,412 0,402 0,398 0,392 0,383 0,373 0,365 0,36 0,353 0,347 0,344 0,332 0,329 0,323 0,315 0,305 0,3 0,296 0,29 0,287 0,28 0,273 0,271 0,265 0,252 0,24 0,23 0,227 0,218 0,21 0,206 0,2 0,195 0,19 0,184 0,18 0,174 0,171 0,165 0,161 0,154

Temperatura (K) 358,3 357,8 357,3 356,7 356,2 355,4 354,7 354,2 352,7 351,4 350,6 349,5 348,8 348 347,5 346 345,5 344 342,7 341,8 340,8 340,2 339,2 338,7 337,7 337 336 335,5 332,5 331,2 329,3 328,7 326,8 326 325,2 324,2 323 322,1 321 319,9 319 318,2 317,4 316,9 315,7

Tabla VI Datos para la cara Blanca

Voltaje termopila (mV) 0,098 0,102 0,103 0,105 0,105 0,103 0,103 0,103 0,102 0,101 0,103 0,102 0,1 0,097 0,98 0,097 0,096 0,096 0,095 0,093 0,093 0,093 0,091 0,09 0,09 0,085 0,086 0,083 0,084 0,082 0,085 0,085 0,081 0,089 0,092 0,09 0,089 0,087 0,092 0,088 0,088 0,093 0,077 0,084 0,079

Temperatura (K) 357,7 356,8 356 355,5 355 354,3 353,8 353,3 352,8 352,3 351,6 351 350,4 349,8 349,3 348,8 348,2 347,6 347,2 346,5 346 345,4 344,8 342,8 342 341 339,2 338,5 337,2 336,6 335,5 334,5 333,6 331,9 331 330 329 327,2 326,3 324,8 323,8 322,2 320,4 318,7 316

Tabla VII Datos para la cara Negra

-0,9 5,75

5,8

5,85

5,9

-1,1 -1,3

Log Voltaje (mV)

Temperatura (K) 357,4 356,9 356,4 356 355,5 355 354,5 354 353,5 353 352,5 352 351,5 350,7 349,5 348,7 346,7 345,5 345 343,3 342,6 341,8 340,1 339 338 337,3 335,6 334,3 333,5 332,1 331,6 331,1 330,3 329,7 328,3 327,1 325,9 324,6 323,4 321,5 321,2 320,2 319,1 318,2 317,3

-1,5 -1,7 -1,9 -2,1 -2,3

Log Temp (K)

Fig. 21 Grafica para la cara Negra

-1 5,7

5,75

5,8

5,85

-1,5

Log Voltaje (mV)

Voltaje termopila (mV) 0,328 0,321 0,311 0,306 0,303 0,3 0,307 0,324 0,334 0,332 0,333 0,327 0,32 0,301 0,295 0,294 0,282 0,278 0,272 0,262 0,27 0,259 0,242 0,238 0,236 0,234 0,233 0,219 0,208 0,205 0,211 0,216 0,187 0,196 0,184 0,176 0,174 0,161 0,154 0,15 0,149 0,145 0,138 0,135 0,129

-2

-2,5

-3

Reflejante Cara gris

-3,5

Cara blanca cara negra

Log Temperatura (K)

Fig. 22 Se muestran las gráficas de cada una de las caras

5,9

Para la última parte del experimento que consistía en obtener la constante de la ley de StefanBoltzmann se procedió a utilizar métodos estadísticos, para cada longitud de alambre que utilizamos se realizó un Histograma, en la fig. 23 se muestra un Histograma que contiene todas las longitudes que se utilizaron, en ella se muestra que cada histograma que se realizó tiene una envolvente en forma de campana, se obtuvieron los valores representativos de cada campana, los datos que se obtuvieron se muestran a continuación junto a sus respectiva desviación

Longitud 10 cm 𝜎 = 5.61𝑥10−8 Desviación de 0.13𝑥10−8

𝑊 𝑚2 𝑇 4

Longitud 13 cm 𝜎 = 5.29𝑥10−8 Desviación de 0.23𝑥10−8

𝑊

𝑊

𝑊

𝑊 𝑚2 𝑇 4

𝑊 𝑚2 𝑇 4

Tomando el promedio de cada valor representativo, así como también el promedio de cada desviación, obtenemos el valor de la constante el cual es de

𝜎 = 5.55𝑥10−8

𝑊 𝑚2 𝑇 4

Con una desviación de 0.16𝑥10−8 porcentual fue de 2.86 %

𝑊 𝑚2 𝑇 4

En el primer experimento que consistía en determinar la potencia a la que esta elevada la temperatura en la ley de Stefan-Boltzmann utilizando el foco se obtuvo que la pendiente tuvo un valor cercano a la cuarta potencia, el hecho de no poder alcanzar el valor de 4 exacto pudo deberse a la lectura que se tomó del voltaje y la corriente de los multímetros en ocasiones estos valores mostrados por el multímetro tienden a oscilar lo cual deja a criterio nuestro el valor que se debe tomar y no el que pueda ser realmente, para el segundo experimento el cual se utilizó el hornito en lugar del foco se obtuvo una pendiente de 3.4, en esta ocasión no fue un valor cercano al 4, en este experimento se tuvo el detalle de que el hornito no alcanzo una temperatura cercana a los 400 Celsius, desafortunadamente esto afecta un poco al experimento ya que se necesitan temperaturas altas para poder despreciar los efectos de la temperatura del medio ambiente, al final los dos experimentos nos mostraron que las pendientes tienden al valor de 4 por lo cual podemos afirmar que la existe una proporcionalidad entre la potencia irradiada y la temperatura a la cuarta potencia. El tercer experimento consistía en observar la irradiancia emanada por las 4 caras del cubo de Leslie, en este caso como se observa en la fig. 22 las tres caras (blanca, gris y negra) muestran graficas que son rectas las cuales se observa que son paralelas entre sí, la cara reflejante es todo un caos ya que refleja todo, como se tiene que las rectas son paralelas podemos afirmar que es una constante la que multiplica a la temperatura en la ley de Stefan-Boltzmann (emisividad).

𝑚2 𝑇 4

𝑚2 𝑇 4

Longitud 19 cm 𝜎 = 5.59𝑥10−8 Desviación de 0.10𝑥10−8

𝑊 𝑚2 𝑇 4

𝑚2 𝑇 4

Longitud 16 cm 𝜎 = 5.70𝑥10−8 Desviación de 0.17𝑥10−8

𝑊 𝑚2 𝑇 4

IV.- Análisis

, el error

En el último experimento se obtuvo un error menor al 3 por ciento lo cual es bastante bueno, considerando que se tenía que tomar video para poder observar los valores del voltaje y la corriente en el momento justo en que se rompía el alambre de cobre, se podría disminuir este error si se tuviera un software con el cual se pudiera observar el video en cuadros por segundo parta tener una lectura más precisa.

10

13 cm 10 cm

9 8

Frecuencia

7

16 cm

6

19 cm

5 4 3 2 1 0

6,09E-08 5,65E-08 4,56E-08 5,32E-08 4,37E-08 6,93E-08 6,37E-08 6,39E-08 5,25E-08 6,96E-08 6,29E-08 5,32E-08 4,68E-08 5,82E-08 5,01E-08 5,85E-08 3,79E-08 6,85E-08

Clase Fig. 23 Histograma con todas las longitudes, se observa que para cada longitud se forma una envolvente en forma de campana

Longitud 10 cm 9 8

Frecuencia

7 6 5 4 3 2 1 0 4,68259E-08

5,25072E-08

5,81886E-08

6,387E-08

Clase Fig. 24 Histograma para la longitud del alambre de 10 cm

6,95513E-08

Longitud 13 cm 10 9 8

Frecuencia

7 6 5 4 3 2 1 0 4,36569E-08

5,00583E-08

5,64597E-08

6,28611E-08

6,92624E-08

Clase Fig. 25 Histograma para la longitud del alambre de 13 cm

Longitud 16 cm 6 5

Frecuencia

4 3 2 1 0 3,78945E-08

4,55553E-08

5,32161E-08

6,08769E-08

Clase Fig. 26 Histograma para la longitud del alambre de 16 cm

6,85377E-08

Longitud 19 cm 6

Frecuencia

5 4 3 2 1 0 5,32131E-08

5,84571E-08 Clase

Fig. 27 Histograma para la longitud del alambre de 19 cm

Bibliografía [1] https://www.ucm.es/data/cont/docs/481-201310-14-revolucionPlanck.pdf [2] http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu/hbasees/quan tum/rayj.html [3] https://losmundosdebrana.wordpress.com/2014/0 3/10/radiacion-de-cuerpo-negro-y-catastrofeultravioleta/ [4] http://www.ehu.eus/chemistry/theory/mario.piris/ files/fisica_cuantica.pdf [5] http://elfisicoloco.blogspot.mx/2013/03/ley-dekirchhoff.html [6] Stephen T. Thornton. (2002). Modern Physics For Scientists and Engineers. USA: Brooks/Cole. [7] Raymon Serway, Clement Moses, Curt Moyer. (2005). Modern Physics. USA: Brooks/Cole.

6,3701E-08