Ley de hooke y los Resortes

UTEC Javier Fajardo Zelaya 02-2009

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Ley de hooke Energía potencial elástica Ley de hooke para los resortes Trabajo efectuado por un resorte Aplicación de los resortes en la ingeniería Definición de trabajo

Definición del Trabajo En mecánica clásica, el trabajo que realiza una fuerza se define como el producto de ésta por el camino que recorre su punto de aplicación y por el coseno del ángulo que forman la una con el otro.[1] El trabajo es una magnitud física escalar que se representa con la letra (del inglés Work ) y se expresa en unidades de energía, esto es en julios (J) en el Sistema Internacional de Unidades. Matemáticamente lo expresamos en la forma:

Unidades de trabajo Sistema Internacional de Unidades •

Julio, unidad de trabajo en el SI

•

Kilojulio: 1 kJ = 103 J

Sistema Técnico de Unidades •

kilográmetro o kilopondímetro:

•

1 kilográmetro (kgm) = 1 kilogramo-fuerza x 1 metro

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1 kgm = 9,80665 J

Sistema cegesimal •

Ergio: Ergio: 1 erg = 10-7 J

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Sistema inglés •

Termia inglesa (th (th), ), 105 BTU

•

BTU, unidad básica de trabajo de este sistema

Sistema técnico inglés •

pie-libra (ft·lb (ft·lb))

Otras unidades •

kilovatio-hora

•

Caloría termoquímica (cal (calTQ)

•

Termia EEC.

•

Atmósfera-litro (atm·L (atm·L))

Energía potencial Elástica Es la energía asociada con las materiales elásticos. Se demostrará a continuación que el trabajo para comprimir o estirar un resorte una distancia x es ½kx2, donde k es la constante del resorte. Sabemos, por ley de Hooke, que la relación entre la fuerza y el desplazamiento en un resorte es F = -kx. El signo menos se debe a que la fuerza siempre se dirige hacia la posición de equilibrio (x = 0). La fuerza F ahora es variable y ya no pode podemo mos s usa usarr W = Fdco Fdcos s . Encontremos primero una relación general para calcular el trabajo realizado por una fuerza variable, que luego aplicaremos a nuestro resorte

Como Fx es aproximadamente aproximadamente constante en cada x, W Fx puede aproximarse por 

, y el trabajo total

x

Si hacemos los intervalos x cada vez más pequeños, esto es hacemos que x W tiende a un límite, que se expresa como

0,

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Que representa la integral de la fuerza Fx como función de x:

Y que es el área bajo la curva Fx(x). Por supuesto, esta relación incluye el caso en que Fx = F cos cos es cons consta tant nte. e. Aplicando dicha relación a nuestro resorte, el que supondremos horizontal conectado con una masa que desliza sobre una superficie lisa también horizontal y comprimido una distancia xmax y que luego soltamos, el trabajo W hecho por la fuerza del resorte entre xi = -xmax y xf  = 0 es:

Ley de Hooke Hooke , originalmente formulada En física, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, para casos de estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario ε de un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada F :

siendo δ el alargamiento longitudinal, L la longitud original, E : módulo de Young, A la sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado límite elástico. Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, físico británico contemporáneo de Isaac Newton. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de un famoso anagrama, ceiiinosssttuv , revelando su contenido un par de años más tarde. El anagrama significa Ut tensio sic vis ("como la extensión, así la fuerza"). Aplicando la ley de Hooke La fuerza electromagnética básica a nivel molecular se pone de manifiesto en el momento de establecerse contacto entre dos cuerpos. Aparecen fuerzas moleculares que las moléculas de un cuerpo hacen sobre las moléculas del otro, y viceversa. Llamamos normalmente normalmente fuerzas de contacto a estas fuerzas, y la vida

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diaria está llena de ellas: cuerdas, muelles, objetos apoyados en superficies, estructuras, etc. Cuando a un cuerpo (p. ej., una cuerda) se le l e aplica una fuerza, normalmente reacciona contra esa fuerza deformadora, dado que tiende a tener una forma estable debido a su estructura molecular. Estas fuerzas de reacción suelen llamarse elásticas, y podemos clasificar los cuerpos según el comportamiento frente a la deformación. Muchos cuerpos pueden recuperar su forma al desaparecer la acción deformadora, y los denominamos cuerpos elásticos. Otros cuerpos no pueden recuperar su forma después de una deformación, y los llamamos inelásticos o plásticos. Evidentemente, un material elástico lo es hasta cierto punto: más allá de un cierto valor de la fuerza deformadora, la estructura interna del material queda tan deteriorada que le es imposible recuperarse. Hablaremos por tanto, de un límite elástico, más allá del cual el cuerpo no recupera la forma, y aún más, de un límite de ruptura, más allá del cual se deteriora completamente la estructura del material, rompiéndose. Robert Hooke (1635-1703) estableció la ley fundamental que relaciona la fuerza aplicada y la deformación producida. Para deformaciones que no sean muy grandes, es decir, que no superen el límite elástico, se cumple que: (1) En donde F es la fuerza deformadora aplicada y  x la deformación relativa. Es muy frecuente escribir la ley l ey de Hooke teniendo en cuenta que la l a fuerza elástica Fe es igual a la aplicada F pero cambiada de signo: (2)

Ley de Hooke para los resortes La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza  F ejercida sobre el resorte con la elongación o alargamiento δ producido:

, siendo Donde k se llama constante del resorte (también constante de rigidez) y Δ x es la separación de su extremo respecto a su longitud natural, A la sección del cilindro imaginario que envuelve al muelle y E el módulo de elasticidad del muelle (no confundir con el módulo de elasticidad del material). La energía de deformación o energía potencial elástica U k k  asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:

Es importante notar que la k antes definida depende de la longitud del muelle y de su constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando k por la longitud total, y llamando al producto k i o k intrínseca, se tiene:

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donde Llamaremos F ( x  x) a la fuerza que soporta una sección del muelle a una distancia x del origen de coordenadas, k Δ x a la constante de un pequeño trozo de muelle de longitud Δ x a la misma distancia y δΔ x al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza  F ( x  x). Por la ley del muelle completo:

Tomando el límite:

que por el principio de superposición resulta:

Que es la ecuación diferencial del muelle. Si se integra para todo x, de obtiene como [ecuación de onda]] unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios La velocidad de  propagación de las vibraciones en un resorte se calcula como:

Trabajo Efectuado por un Resorte Un sistema físico común en el que la fuerza varía con la posición, es el de un cuerpo conectado a un resorte. Si el resorte, orientado en dirección del eje  x, se deforma desde su configuración inicial, es decir se estira o se comprime,  por efecto de alguna fuerza externa sobre el resorte, instantáneamente actúa una fuerza F  producida  producida por el resorte contra el objeto que ejerce la fuerza externa, Cuya magnitud es:  F = - k x Donde x es la magnitud del desplazamiento del resorte desde su posición no Deformada en x = 0 y k una constante positiva, llamada constante de fuerza  De resorte, que es una medida de la rigidez (dureza) del resorte. Esta ecuación Se llama Ley de Hooke, y es válida para pequeños desplazamientos, ya que si El resorte se estira demasiado, puede deformarse y no recuperar su forma original. El signo negativo indica que la dirección de esta fuerza es siempre

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Opuesta al desplazamiento, como se ilustra en la figura 5.4, donde F representa La fuerza producida por el resorte.

Figura 5.4

Si el cuerpo se desplaza desde una posición inicial a la final, el trabajo realizado  por el resorte es:

Por ejemplo, para un resorte de k = 100 N/m, que se estira 10 cm (=  x f ), ), el trabajo que realiza la fuerza del resorte para recuperar su posición inicial no deformada ( x  xi = 0) es 0.5 J.

Aplicación de los resortes en la ingeniería La aplicación de los resortes en la ingeniería está más concentrada en la ingeniería mecánica para los ingenieros mecánicos es muy importe el uso de los resortes para sus distintos proyectos Funciones a tener en cuenta para los resortes en la ingeniería mecánica Para almacenar y retornar energía, como el mecanismo de retroceso de las armas de fuego

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Para mantener una fuerza determinada como en losactuadoresy en las válvulas Como aislador de vibraciones en vehículos Para retornar o desplazar piezas como los resortes de puertas o de pedales o deactuadoresmecánicos deactuadoresmecánicos o de embragues Comoactuadoresde Comoactuadoresde cierre o de empuje, tal como los resortes neumáticos

Tipos de resortes usados en la ingeniería mecánica •Resortes de accióntorsional •Resortes de acción flexional •Resortes de acción Axial

Bibliografía http://www.jfinternational.com/mf/energia-potencial.html Apuntes: Trabajo y Energía Resortes en la ingeniería mecánica