Ley de Hooke y Cambios de Energía Potencial

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL PERÚ FACULTAD DE INGENIERIAS

Curso

:

Laboratorio de Mecánica

Profesor

:

PEREZ TERREL, Walter Lauro

Informe N°

:

2

Tema

:

Ley de Hooke y Cambios de Energía Potencial

Sección

:

30309

Integrantes

:

Cruz Cueva, Miguel Alonso - 1330456 Ducos Vilca, Pool Jefferson – 1020728 Pajares Carbajal, Humberto Martin – 1122044 Rojas Galarza, Marco Antonio - 1331105

Fecha del Experimento

:

miércoles 01 de octubre de 2014

Hora

:

de 20:15 a 21:45

Fecha de entrega Del informe

:

lunes 06 de octubre de 2014

Hora

:

de 20:15 a 21:45

2014 – II

Laboratorio de Mecánica INTRODUCCION La Ley de Hooke describe fenómenos elásticos como los que presentan los resortes. Esta ley afirma que la deformación elástica que sufre un cuerpo es proporcional a la fuerza que produce tal deformación, siempre y cuando no se sobrepase el límite de elasticidad. Robert Hooke (1635-1703), estudió, entre otras cosas, el resorte. Su ley permite asociar una constante a cada resorte. En 1678 publica la ley conocida como Ley de Hooke: “La Fuerza que devuelve un resorte a su posición de equilibrio es proporcional al valor de la distancia que se desplaza de esa posición”.

Robert Hooke

Nació en Freshwater, en la Isla de Wight, hijo de un reverendo. Fue un niño débil y enfermizo que destacó rápidamente por su habilidad para el dibujo y las actividades manuales. Estudió en el colegio de Westminster. En 1653 ganó un premio en Oxford donde conoció a Robert Boyle, de quien fue asistente desde 1658. Fue uno de los científicos experimentales más importantes de la historia de la ciencia, polemista incansable como un genio creativo de primer orden. Sus intereses abarcaron campos tan dispares como la biología, la medicina, la cronometría, la física planetaria, la microscopia, la náutica y la arquitectura. Participó en la creación de la primera sociedad científica de la historia, la Royal Society de Londres. Sus polémicas con Newton acerca de la paternidad de la ley de la gravitación universal han pasado a formar parte de la historia de la ciencia.

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Laboratorio de Mecánica OBJETIVOS 1. Calcular experimentalmente el valor de la constante de elasticidad de un resorte empleando la ley de Hooke. 2. Analizar los cambios de energía potencial presentes en un sistema masa-resorte.

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Laboratorio de Mecánica INDICE Introducción .................................................................................................................... 1 Objetivos .......................................................................................................................... 2 Índice ................................................................................................................................ 3 Fundamento teórico ........................................................................................................ 4 Parte experimental .......................................................................................................... 7 Resultados obtenidos .................................................................................................... 10 Observaciones y Recomendaciones ............................................................................ 11 Conclusiones y Referencias bibliográficas ................................................................. 12

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Laboratorio de Mecánica FUNDAMENTO TEORICO Si un cuerpo sólido al ser sometido a una fuerza externa se deforma, y luego de detener esta acción vuelve a su estado original, entonces se dice que dicho cuerpo tiene propiedades elásticas. Los sólidos elásticos son aquellos que de manera casi inmediata recuperan su forma inicial, anterior a aplicar la fuerza externa al cese de la misma; además esto sucederá siempre y cuando no se exceda cierto límite. Algunos de estos cuerpos satisfacen una relación denominada: Ley de Hooke. La ley de Hooke establece que entre la fuerza externa que actúa sobre un cuerpo y la deformación del mismo existe una la relación del tipo lineal. Dicha relación se emplea hasta cierto rango de deformación, el cual dependerá de la forma y las propiedades elásticas del cuerpo, puesto que más allá del punto de ruptura de la elasticidad, el cuerpo se vuelve inelástico y tiende a mantener un estado deformado, es decir adopta una nueva forma. Para el caso concreto de un resorte, se observa que la fuerza aplicada es proporcional al desplazamiento x (estiramiento o compresión) del resorte. Luego la ley de Hooke para la fuerza restauradora o fuerza elástica 𝑭𝒆 viene dada por la siguiente relación: 𝑭𝒆 = −𝒌. 𝒙

(𝟏)

Donde k es la constante elástica del resorte y el signo negativo indica que la fuerza restauradora siempre es opuesta al desplazamiento. El hecho de que un resorte tienda a retomar su estado original cuando deja de actuar sobre él la causa que lo deforma, indica que el resorte almacena cierta energía, a dicha energía se la conoce como energía potencial elástica 𝑼𝒆 . Esta energía es equivalente al trabajo realizado por la fuerza aplicada al cuerpo, al estirarlo o comprimirlo. El trabajo realizado al estirar un resorte viene dado por: 𝒙

𝒘 = 𝑼𝒆 = ∫(𝒌𝒙)𝒅𝒙 = 𝟎

𝟏 𝟐 𝒌𝒙 𝟐

(𝟐)

Donde x es el estiramiento producido en el resorte al aplicar una fuerza externa. Consideremos un sistema masa-resorte suspendido desde una altura h arbitraria, en la cual el resorte se deforma (se estira) y se mueve por acción de la fuerza gravitacional, además se tiene que las energías potencial gravitacional 𝑼𝒈 y cinética 𝑬𝒌 son respectivamente: 𝑼𝒈 = 𝒎𝒈𝒉 𝑬𝒌 =

𝟏 𝒎𝒗𝟐 𝟐

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(𝟑) (𝟒)

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Laboratorio de Mecánica Si el sistema masa-resorte está aislado (es decir, no interacciona con fuerzas disipadoras), la energía mecánica 𝑬𝑴 se conserva (lo que significa, que es equivalente entre dos puntos cualesquiera de la trayectoria) y se cumple lo siguiente: 𝟏 𝟏 𝑬𝑴 = 𝑼𝒈 + 𝑼𝒆 + 𝑬𝒌 = 𝒎𝒈𝒉 + 𝒌𝒙𝟐 + 𝒎𝒗𝟐 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝟐 𝟐

(𝟓)

Para la presente práctica de laboratorio, se considerará tres condiciones fundamentales: 1. El sistema masa-resorte parte del reposo (𝑣𝑖 = 0). 2. El nivel de referencia es considerado el extremo inferior del resorte suspendido y sin deformar [1]. 3. La velocidad final del sistema es cero (𝑣𝑓 = 0).

Figura N° 1: sistema experimental masa-resorte. [1] posición del resorte sin deformar. [2] posición del resorte deformado e igual a x.

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Laboratorio de Mecánica Tomando en cuenta estas condiciones y empleando los parámetros de la Figura N° 1, la ecuación (4) es reescrita de la siguiente manera: ∆𝑼𝒈 = −∆𝑼𝒆

(𝟔)

Donde ∆𝑼𝒈 y ∆𝑼𝒆 son las variaciones de la energía potencial gravitacional y de la energía potencial elástica respectivamente. Se obtienen del siguiente modo: ∆𝑼𝒈 = 𝒎𝒈(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )

(𝟕)

𝟏 𝒌(𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝟐𝟏 ) 𝟐

(𝟖)

∆𝑼𝒆 =

Las energías calculadas se expresan en joules.

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Laboratorio de Mecánica PARTE EXPERIMENTAL 1. EQUIPOS Y MATERIALES 1.1. Un (01) resorte helicoidal.

Figura N° 2: resorte helicoidal sin deformar

1.2. Un (01) juego de masas (3 de 100 g y 3 de 50g)

Figura N° 3: juego de masas de 50g y 100g

1.3. Una (01) porta masa de 50 g.

Figura N° 4: portamasa de 50 g.

1.4. Un (01) soporte universal. 1.5. Una (01) varilla de sujeción de 20 cm. 1.6. Una (01) nuez simple. 1.7. Una (01) regla (alcance máx.: 100 cm / lect. mín.: 0.1 cm). 1.8. Un (01) papel milimetrado.

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Laboratorio de Mecánica 2. PROCEDIMIENTO 2.1. Cálculo de la constante de elasticidad k. 2.1.1. Se armó el montaje experimental tal como se muestra en la Figura N°5. Se tomó como punto de referencia inicial el extremo inferior del resorte suspendido (𝑥0 = 0). A partir de este punto se registrarán los estiramientos y compresiones del resorte. [a] [b]

Figura N° 5: montaje experimental del sistema masa-resorte. [a] resorte sin deformar. [b] resorte deformado.

2.1.2. Suspenda la porta masas y mida el estiramiento. Luego agregue sucesivamente masas, tal que las masas suspendidas sean las que se indican en la Tabla N°1 y mida los estiramientos correspondientes a cada uno de ellos, registrando estos datos en la Tabla N°1. Tenga cuidado de no exceder el límite elástico del resorte (suspenda un máximo de 550 g).

Figura N° 6: deformaciones del resorte usando distintas masas.

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Laboratorio de Mecánica 2.2. Actividad. 2.2.1. Calcule el valor experimental de la constante elástica del resorte k para cada masa suspendida en el resorte y regístrelo en la tabla 1. Sabiendo ⃗ = 𝒎𝒈 ⃗⃗ = 𝒌𝒙 ⃗ que la fuerza aplicada es la fuerza gravitacional: 𝑭 entonces el valor k es dado por: 𝒌=

𝒎𝒈 𝒙

(𝟗)

2.2.2. Calcule las distintas variables dinámicas que aparecen en la tabla 2 empleando las ecuaciones (5), (6), (7) y (8). 2.2.3. Grafique F vs x, según los datos de la Tabla N°1, e interprete dicha gráfica.

Figura N° 7: obtención de los cálculos y la gráfica usando Microsoft Excel

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Laboratorio de Mecánica RESULTADOS OBTENIDOS 1. Los datos obtenidos, regístrelos en la Tabla N° 1. Tabla N° 1: Cálculo de la constante de elasticidad k y la energía potencial elástica 𝑈𝑒 .

Masa suspendida m(kg) 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

Desplaza miento x(m) 0.0095 0.0210 0.0335 0.0495 0.0640 0.0800 0.0960 0.1120 0.1280 0.1420

Módulo de la fuerza aplicada F(N) 0.4905 0.9810 1.4715 1.9620 2.4525 2.9430 3.4335 3.9240 4.4145 4.9050

Constante de elasticidad k (N/m) 51.6315789 46.7142857 43.9253731 39.6363636 38.3203125 36.7875000 35.7656250 35.0357143 34.4882813 34.5422535

Energía potencial elástica 𝑈𝑒 (J) 0.002329875 0.010300500 0.024647625 0.048559500 0.078480000 0.117720000 0.164808000 0.219744000 0.282528000 0.348255000

2. La gráfica F vs x obtenida usando el software Microsoft Excel. Grafica N° 1: Fuerza aplicada F vs desplazamiento x. 6

Fuerza aplicada F(N)

5

Y = 33.456x + 0.3106

4 3

Series2

2

Lineal (Series2)

1 0 0

0.05

0.1

0.15

Desplazamiento x(m)

3. Análisis de la Grafica N° 1: 3.1. De la gráfica, se deduce que la constante elástica k es igual a la magnitud pendiente de la recta. 3.2. Se observa la variación lineal de la fuerza aplicada F respecto del desplazamiento x.

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Laboratorio de Mecánica OBSERVACIONES 1. Al soltar las masas unidas al resorte, el sistema realiza un movimiento armónico simple. 2. Si suspendemos un exceso de masa del extremo inferior del resorte, este podría quedar deformado definitivamente. 3. La cantidad de masa que pueda soportar un resorte dependerá de la forma y las propiedades elásticas del mismo.

RECOMENDACIONES 1. Compruebe que el resorte a usar en el experimento esté en buen estado. 2. Verifique en la balanza que las masas tengan su medida correcta. 3. Realizar una lectura correcta de las medidas del desplazamiento x, usando la regla graduada.

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Laboratorio de Mecánica CONCLUSIONES 1. La deformación que se produce en el resorte, es proporcional al peso (depende de la masa sujeta al resorte). 2. Según la Grafica N° 1, se verifica que la fuerza aplicada (peso) y el desplazamiento (elongación del resorte), se relacionan de forma lineal. 3. La energía potencial elástica almacenada en el resorte, depende de la longitud x que este es estirado.

BIBLIOGRAFIA 1. VIVANCO, Oscar y SANTA CRUZ, José (2014) Ley de Hooke y Cambios de Energía Potencial, pp 1-5. Lima: UTP 2. SANTA CRUZ, José y SONCO, Rodolfo. Laboratorio de Física I, pp 37-41. Lima: UTP 3. N. Cardiello “Elementos de Física y de Química”. Editorial Kapeluz.

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