Ley de Hooke Generalizada

BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE INGENIERÍA COLEGIO DE INGENIERÍA CIVIL MECÁNICA DE SÓLIDOS II

ING. SILVIA CONTRERAS BONILLA

LEY DE HOOKE GENERALIZADA CANDIA MARTÍNEZ JAVIER JIMÉNEZ JESÚS IVAN LÓPEZ RIVERA JUAN LUIS MEXQUITITLA LUNA MARIO MOSQUEDA SÁNCHEZ JUAN MANUEL PÉREZ PORRAS JOSÉ JESÚS SOPERANES JUAN CARLOS

28 de marzo de 2014

LEY DE HOOKE GENERALIZADA Las ecuaciones de transformación de esfuerzo obtenidas hasta el momento no requirieron de las propiedades de los materiales. Ahora nos ocuparemos de obtener las deformaciones unitarias en el material, lo que significa que se deben considerar sus propiedades. Sin embargo, llevaremos a cabo nuestro análisis en materiales que cumplan dos condiciones importantes: El material es uniforme en todo el cuerpo y tiene las mismas propiedades en todas las direcciones (material homogéneo e isotrópico) El material sigue la ley de Hooke (material linealmente elástico). ECUACIONES CONSTITUTIVAS Consideraremos las deformaciones unitarias normales en esfuerzo plano. Los efectos de dichas deformaciones que muestran los cambios de dimensiones de un elemento infinitesimalmente pequeño con bordes de longitud a, b, y c. Las 3 deformaciones unitarias ilustradas son positivas (alargamientos). Las deformaciones unitarias pueden expresarse en términos de los esfuerzos individuales; por ejemplo la deformación unitaria en la dirección x debido a los esfuerzos

es igual a

⁄ , donde E es el módulo de elasticidad.

Además, la deformación unitaria

debida al esfuerzo

es igual a

⁄ ,

donde es la razón de Poisson. Por supuesto, el esfuerzo cortante no produce deformaciones unitarias normales en las direcciones x, y o z. Entonces, la deformación unitaria resultante en la dirección x es: ----- (1)

Obtenemos las deformaciones unitarias en las direcciones y y z de manera similar: (

) ----- (2)

(

) ----- (3)

Estas ecuaciones pueden usarse para encontrar las deformaciones unitarias

normales (en esfuerzo plano) cuando se conocen los esfuerzos. El esfuerzo cortante ocasiona una distorsión del elemento tal que cada cara z se convierta en un rombo. La deformación unitaria cortante es la disminución del ángulo entre las caras x y y del elemento y se relaciona con el esfuerzo cortante mediante la ley de Hooke en cortante como sigue: ----- (4) Donde G es el módulo de elasticidad del cortante. Obsérvese que los esfuerzos normales y no afectan la deformación unitaria cortante .En consecuencia las ecuaciones anteriores dan deformaciones unitarias (en esfuerzos planos) cuando todos los esfuerzos , actúan al mismo tiempo. Las primeras 2 ecuaciones (1 y 2) dan deformaciones unitarias en términos de los esfuerzos. Estas ecuaciones pueden resolverse simultáneamente para los esfuerzos en términos de las deformaciones unitarias: (

)

(

)

Además, tenemos la siguiente ecuación para el esfuerzo cortante en términos de la deformación unitaria cortante:

Estas ecuaciones son útiles para encontrar los esfuerzos (en esfuerzo plano) cuando se conocen las deformaciones unitarias. Por supuesto, el esfuerzo normal en la dirección z es igual a 0. Todas las ecuaciones anteriores se conocen colectivamente como ley de Hooke para esfuerzo plano. Contienen tres constantes de material (E,G y v) pero solo dos son independientes debido a la relación

TEORÍAS DE FALLA (CRITERIOS DE FLUENCIA Y FRACTURA) Las teorías de fractura, o más generalmente teorías de falla, tratan de predecir el

momento en que un elemento puede fallar. Dicha falla se puede describir como una deformación plástica excesiva o en el peor de los casos fractura del elemento. La suposición básica que constituyen el marco de referencia para todas las teorías de fractura es que está se dará cuando el valor máximo del parámetro en el estado multiaxial de esfuerzos (esfuerzos principales σ1 y σ2 ) alcance ó supere el valor del mismo parámetro en la prueba de tensión simple. A continuación se mencionan las más importantes, así como el tipo de material para él que son válidas. 1. 2. 3. 4.

Teoría del esfuerzo normal máximo (materiales frágiles) Teoría del esfuerzo cortante máximo (materiales dúctiles) Teoría de la energía máxima de distorsión (materiales dúctiles) Teoría de Mohr modificada (materiales frágiles)

TEORÍA DEL ESFUERZO NORMAL MÁXIMO Esta teoría establece lo siguiente: "La falla de un elemento sometido a un estado multiaxial de esfuerzos se presentará cuando cualquiera de los dos esfuerzos principales (σ1 y σ2) alcancé o supere la resistencia máxima del material obtenida en un prueba de tensión simple". Esto es, un elemento será seguro siempre que se cumplan las dos condiciones siguientes: σ1 ≤ σmax , σ2 ≤ σmax Donde: σ1, σ2 = Esfuerzos principales σmax = Resistencia máxima del material a tensión Esta teoría tiene como principal inconveniente que se asume que la resistencia máxima del material a tensión es la misma que a compresión y en los materiales frágiles casi nunca se cumple con tal situación. TEORÍA DEL ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO Esta teoría que se aplica a materiales dúctiles y establece lo siguiente: "La falla en un elemento sometido a un estado multiaxial de esfuerzos se producirá cuando el esfuerzo cortante producido en el mismo alcance ó supere el esfuerzo

cortante que se tiene en el punto de fluencia en un elemento sometido a una prueba de tensión simple", esto es, un elemento será seguro siempre que : |σ1-σ2| ≤ σ f Donde: σf = resistencia a la fluencia del material Debiéndose cumplir con la condición de que σ1 y σ2 sean de signos opuestos, esto es, uno debe actuar a compresión y el otro a tensión. En dado caso, que ambos sean a tensión ó ambos a compresión debe satisfacerse lo siguiente: | σ1| ≤ σf y | |σ2|≤σf TEORÍA DE LA ENERGÍA MÁXIMA DE DISTORSIÓN. Esta teoría fue propuesta por Huber y mejorada posteriormente por Von Mises y Hencky por lo que también se le conoce como criterio de Mises-Hencky. Esta teoría puede expresarse de la manera siguiente: “La falla en un elemento sometido a un estado multiaxial de esfuerzos ocurrirá cuando la energía por distorsión por unidad de volumen alcance o supere la energía de distorsión por unidad de volumen que se tiene al momento de la falla en una prueba de tensión simple" Tal teoría surgió como una explicación al hecho de que los materiales sometidos a cargas hidrostáticas presentaban un límite de fluencia por encima de los obtenidos en una prueba de tensión simple. Así, se puede establecer que la energía de distorsión por unidad de volumen (Ud) en un material isotrópico sometido a esfuerzos biaxiales se puede calcular mediante la expresión siguiente: Ud = (1/6G) ( σ1^2 - σ1 * σ2 + σ2^2)

Donde: G = Es el módulo de elasticidad al corte Por tanto, la energía de distorsión por unidad de volumen en una prueba de tensión simple se puede evaluar haciendo: σ2 = 0 y σ1 = σf Así la energía de distorsión por unidad de volumen en el punto de fluencia es igual a:

Udf = ( σf^2) (1/6*G ) Igualando ambas expresiones se puede establecer que un elemento será seguro siempre y cuando se cumpla lo siguiente: ( σ1^2 - σ1* σ2 + σ2^2) ≤ σf^2 TEORÍA DE MOHR MODIFICADA Esta teoría fue sugerida por el ingeniero alemán Otto Mohr y puede utilizarse para predecir el efecto de un estado biaxial de esfuerzos en un material frágil cuando se encuentran disponibles los resultados de varios tipos de ensayos. Supóngase que a un material frágil se le somete a una prueba de tensión y a una prueba de compresión y a partir de ellos se obtienen la resistencia máxima a tensión (σmax) y la resistencia máxima a compresión (σmaxc). Para poder analizar el caso cuando σ1 y σ2 tienen signos opuestos, se realiza una prueba de torsión y a partir de dicho ensayo se determina la resistencia máxima al corte del material (τmax). Dibujando al círculo con centro en el origen del sistema de coordenadas nos representa al estado de esfuerzos correspondiente a la falla en una prueba de torsión . El criterio de Mohr es lógica extensión de este hecho y de acuerdo con él, un estado de esfuerzos dado es seguro si su representación mediante un círculo éste queda dentro completamente del área limitada por la envolvente de los círculos correspondientes a los datos obtenidos en las distintas pruebas realizadas. A la teoría de Mohr todavía se le puede hacer un pequeño cambio para ponerla de acuerdo con los resultados experimentales, consiste en extender las líneas del primer y tercer cuadrante dentro del segundo y cuarto. Esta teoría se aplica mejor al diseño en forma gráfica.

EJEMPLOS DE APLICACIONES 1. Una placa de magnesio en esfuerzo biaxial está sometida a esfuerzos de tensión x = 24 MPa y y = 12 MPa (consulte la figura). Las deformaciones unitarias correspondientes en la placa son x = 440 × 10–6 y y = 80 × 10–6.

Determine la relación de Poisson

y el módulo de elasticidad E para el material.

Datos: x = 24 MPa y = 12 MPa x = 440 × 10–6 y = 80 × 10–6. Ecuaciones constitutivas:

Resolución: {

2. Una placa rectangular de acero está sometida a esfuerzos normales uniformes sx y sy, como se muestra en la figura. En la placa se colocan deformímetros A y B, orientados en las direcciones x y y, respectivamente. Las lecturas de los deformímetros dan deformaciones unitarias normales x= 0.0010 (alargamiento) y y = – 0.007

(acortamiento). Sabiendo que E = 30 × 106 psi y

= 0.3, determine los esfuerzos x y y.

Datos: x = 0.0010 y = -0.007 E = 30 × 106 = 0.3

Resolución: { x = -36263.73626 psi y = -220879.1209 psi

3. Un cubo de acero está sometido a una presión uniforme de 20 MPa actuando sobre los ejes x & y. Determine la deformación en x. Sea E= 200 MPa y =0.25. Datos: E= 200 MPa =0.25 Ecuación constitutiva:

(Alargamiento)

Bibliografía M. Gere, J (2010). Mecánica de materiales. México: Cenage Learning Díaz, F (2008). Fundamentos de la mecánica de sólidos. Cuautitlán: Izcalli Popov, P. (2000). Mecánica de sólidos. México: Pearson Educación