Ley de Gauss

Ley De Gauss

Ecuación que relaciona el campo eléctrico sobre una superficie cerrada con la carga neta incluida dentro de la superficie. Permite calcular campos eléctricos que resultan de distribuciones simétricas de carga. El número de líneas de campo que salen de un recinto cerrado es igual al de líneas que salen del mismo. El número neto de líneas que salen de un recinto cerrado es proporcional a la cantidad de cargas que este contiene.

Flujo según ley de Gauss

Magnitud matemática relacionada con el número de líneas de fuerza de un campo E que atraviesa perpendicularmente una superficie A. φ  =  E ×  A La unidad de flujo es newton por metro cuadrado sobre coulombio.  N  × m 2 Cb

Cuando las líneas no van de manera perpendicular a la superficie, se calcula su componente en x o en y según corresponda. El flujo neto en un área cerrada está dado por la integral: k × Q φ n = ∫  E × dA = 2  A  s

r 

En el caso de una esfera cerrada , esto sería igual a: k  × Q Q φ n = 2 × 4π  × r 2 = 4π  × k  × Q = r 

ε 0

Campo eléctrico según ley de Gauss

En una carga lineal finita  E  x =

k  × Q  x0 ( x 0 − L)

En el eje de una carga Anular   E  x =

k  × Q ×  x ( x 2 + a 2 ) 3

En el centro de un disco uniformemente cargado

 E  x = 2 × π  × k × σ  × (1 −

En las proximidades de un campo infinito de carga  E  x = 2 × π  × k × σ 

 x  x +  R 2

2

)

En las proximidades de una carga lineal infinita

Siendo el flujo neto en un cilindro λ × L Q = cerrado igual a: φ n = ∈0 ∈0 Y a su vez igual a: φ n =  E n × ∫ dA =  E n ×  A =  E n × 2 × π  × r × L De modo que obtenemos por igualación:  E  x = 2 × k ×

λ  r 

Fórmula que también sirve para calcular el campo en el exterior de una corteza cilíndrica de carga y el campo en el exterior de un cilindro sólido de carga infinitamente largo.

Campo eléctrico en el interior de un cilindro sólido de carga Siendo el flujo neto en un cilindro cerrado igual a: φ n = Q ∈0 y siendo la carga interna de un cilindro sólido igual a: Q =  ρ × V  =  ρ × π  × r 2 × L El flujo neto de un cilindro sólido de carga será:  ρ  × π  × r 2 × L φ n = ∈0 Y a su vez igual a: φ n =  E n × ∫ dA =  E n ×  A =  E n × 2 × π  × r × L De modo que obtenemos por igualación:  E n =

 ρ  2 ∈0

r  =

λ  2π × ∈0 ×r 2

r 

Campo eléctrico en el exterior de una corteza esférica de carga

Siendo el flujo neto en una esfera cerrada igual a: φ n = 2 Y a su vez igual a: φ n =  E n × ∫ dA =  E n ×  A =  E n × 4 × π  × r  Obtenemos por igualación:

 E n

=

Q 4 × π × ∈0

r 2

×

Fórmula que también sirve para el exterior de una esfera sólida de carga.

Q

∈0

Campo eléctrico en el interior de una esfera sólida de carga Siendo el flujo neto en una esfera cerrada igual a: φ n = Q ∈0 y siendo la carga interna de una esfera sólida igual a: Q = ρ × V  =

Q V 

× V  = Q ×

r 3  R 3

El flujo neto de una esfera sólida de carga será: Q × r 3 φ n = ∈0 × R 3 2 Y a su vez igual a: φ n =  E n × ∫ dA =  E n ×  A =  E n × 4 × π  × r  De modo que obtenemos por igualación: Q × r   E n = 4π × ∈0 × R 3

Cargas En Conductores -

Toda car carga ga eléct eléctric ricaa en un cond conduct uctor or resid residee en su super superfic ficie ie - El campo eléctrico justamente fuera de la superficie de un conductor es  perpendicular a la superficie y su magnitud es σ  ∈0 en donde σ es la densidad de carga superficial en el punto considerado del conductor.