Ley de Faraday

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LEY DE FARADAY 1.- OBJETIVOS 1.1.- Objetivo general: ✔ Comprobar la Ley de Faraday en una situación particular para una bobina

situada dentro de un campo magnético variable periodicamente. 1.2.- Objetivo específico: ✔ Verificar la relación de la Fem inducida con la amplitud.

✔ Verificar la relación de la Fem inducida con frecuencia de la inducción magnética. ✔ Verificar la relación de la Fem inducida con el número de vueltas. ✔ Verificar la relación de la Fem inducida con el área de la bobina. 2.- INTRODUCCIÓN En 1820, el descubrimiento, de Oester, de los efectos magnéticos causados por la corriente eléctrica creo un gran interés en la búsqueda de los efectos eléctricos producidos por campos magnéticos, que es la inducción electromagnética, descubierta en 1830 por Michel Faraday y Joseph Henry, casi simultáneamente y de manera independiente. Ampère había malinterpretado algunos experimentos, porque buscaba fenómenos eléctricos causados por campos magnéticos estáticos. Los experimentos de Faraday y Henry, mostraron que una corriente eléctrica podría inducirse en un circuito mediante un campo magnético variable. Los resultados de estos experimentos llevaron a la ley conocida como Ley de Inducción de Faraday. Esta ley señala que la magnitud de la fuerza electromotriz (fem) inducida en un circuito es igual a la razón de cambio en el tiempo del flujo magnético a través del circuito. También, los campos eléctricos cambiantes producen campos magnéticos. Esto no se descubrió experimentalmente, porque el efecto hubiera sido mínimo en los experimentos de laboratorio realizados a principios del siglo XIX. Maxwell predijo teóricamente este hecho entre los años 1857 y 1865, en estudios cuyo objeto era desarrollar una base matemática y conceptual firme para la teoría electromagnética. Sugirió que un campo eléctrico cambiante actúa como una corriente de desplazamiento (estudiada en el capitulo anterior) adicional en la ley de Ampère. En este tema se estudian las relaciones dinámicas existentes entre los campos eléctricos y magnéticos.

3.- MARCO TEÓRICO 3.1.- Ley de Faraday En una demostración clave de la inducción electromagnética figura10.1, se conecta un galvanómetro con una espira y se hace mover un imán de un lado a otro por el eje de la espira. Mientras el imán se mantiene fijo nada sucede, pero cuando está en movimiento, la aguja del galvanómetro se desvía de un lugar a otro, indicando la existencia de corriente eléctrica y por ende de una fuerza electromotriz en el circuito espira-galvanómetro. Si el imán se mantiene estacionario y la espira se mueve ya sea hacia o alejándose del imán, la aguja también se desviara. A partir de estas observaciones, puede

1

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concluirse que se establece una corriente en un circuito siempre que haya un movimiento relativo entre el imán y la espira. La corriente que aparece en este experimento se llama corriente inducida, la cual se produce mediante una fem inducida. Nótese que no existen baterías en ninguna parte del circuito. En otro experimento como la figura 10.2. Las espiras se colocan una cerca de la otra pero en reposo la una con respecto de la otra. Cuando se cierra el interruptor S, creando así una corriente estacionaria en la bobina de la derecha, el galvanómetro marca momentáneamente; cuando se abre el interruptor, interrumpiendo de este modo la corriente, el galvanómetro marca nuevamente, pero en dirección contraria.

Figura 10.1 El experimento muestra que existe una fem inducida en la espira izquierda de la figura 10.2 siempre que la corriente de la derecha este cambiando. Lo que es significativo aquí es la velocidad a la que cambia la corriente y no a la intensidad de la corriente.

2

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figura 10.2 La característica común de estos dos experimentos es el movimiento o cambio. La causa de las fem inducidas es el imán en movimiento o la corriente cambiante. En otras pruebas diferentes se muestran las propiedades importantes de la inducción. Si se repite el experimento con el mismo imán de la figura 10.1 pero con una espira de área transversal mayor se produce una fem mayor; por lo tanto la fem inducida en la espira es proporcional a su área. En todos estos experimentos no es el cambio del campo magnético lo importante, sino el cambio en su flujo a través del área de la espira. Por último, los experimentos demuestran que la indicación o lectura del galvanómetro es también proporcional a la cantidad de espiras que forman una bobina y a la rapidez con que se producen los cambios. Para hacer los resultados experimentales cuantitativos, se introduce el flujo magnético magnético a través de cualquier superficie se define como

. El flujo

10.1

La unidad del flujo magnético en el SI es el tesla metro2, al cual se le da el nombre de weber ( abreviado Wb) en honor de Wilhelm Weber (1804 -1891). Esto es, 1weber = 1T.m2. En términos del flujo magnético, la fem inducida en un circuito está dada por la ley de la inducción de Faraday : “La fem inducida en un circuito es igual a la rapidez con signo negativo con la que cambia con el tiempo el flujo magnético a través del circuito”. 3

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En términos matemáticos, la ley de Faraday es 10.2

El flujo magnético total a través de una bobina con N espiras es la suma de los flujos que pasa por cada una de sus espiras 10.3

Entonces la fem inducida total es 10.4

Ejemplo 1. Una espira rectangular de alambre con longitud a y ancho b y resistencia R está situada cerca de un alambre infinitamente largo que conduce una corriente i, como se muestra en la figura 10.3. La distancia desde el alambre largo a la espira es r(t). Hallar: a) La magnitud del flujo magnético a través de la espira. b) La fem en la espira al moverse alejándose del alambre largo con una rapidez constante V. c)

La corriente en la espira.

Figura 10.3

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Por la ley de Ampère la intensidad del campo magnético creado por un alambre largo que conduce una corriente i a una distancia z del alambre es

Es decir, el campo varía sobre la espira y esta dirigido entrando a la pagina, como en la figura. a) Puesto que

es paralelo a

, se puede expresar el flujo magnético a través de dA como

, entonces para este caso

. por lo tanto 5

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b)Como el flujo magnético a medida que la espira se mueve con velocidad constante cambia, entonces de acuerdo con la ley de Faraday la fem es

c) Por lo tanto la corriente inducida en la espira es

3.2.- Ley de Lenz Hasta aquí ha habido despreocupación por el problema de los signos. Por ejemplo, al determinar el

flujo de ( ) no se ha especificado el sentido que se escogió para . En realidad es necesario hacerlo porque no hay convención de signos para la fem. La fem puede pasar de ser negativa o positiva y no dice nada acerca del sentido que debe tener. El sentido correcto de la fem. se puede obtener de la ley de Lenz propuesta en 1834 por Heinrich Friedrich Lenz (1804-1865) y una de sus muchas formas para enunciarla es: “En un circuito conductor cerrado, la corriente inducida aparece en un sentido tal que ésta se opone al cambio que la produce”. El signo menos en la ley de Faraday indica esta oposición. La ley de Lenz se refiere de acuerdo al enunciado a corrientes inducidas, lo cual significa que solo se aplica a circuitos conductores cerrados. Para ilustrar la ley de Lenz , se considera el ejemplo mostrado en la figura 10.4 .

6

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Al acercar un imán hacia un anillo se genera una corriente inducida en el anillo. Una espira de corriente crea un campo en puntos distantes como el de un dipolo magnético, siendo una cara del anillo un polo norte (salen las líneas de fuerza) y la otra un polo sur (entran las líneas de fuerza). En este experimento y como lo predice la ley de Lenz, el anillo de la figura va a oponerse al movimiento del imán hacia él, el lado del anillo hacia el imán debe resultar un polo norte, por lo tanto, el resultado es que el anillo y el imán se repelan. De acuerdo con la regla de la mano derecha para que se presente el campo magnético en el anillo como en la figura, la corriente inducida va en el sentido contrario a las manecillas del reloj cuando se mira a lo largo del imán hacia la espira. Aquí no es significativo el hecho de que el campo inducido se oponga al campo del imán sino más bien al hecho de que se opone al cambio, que en este caso es el aumento en Si se retira el imán figura 10.5, se reduce

a través del anillo.

.

El campo inducido debe oponerse ahora a esta disminución en reforzando ahora el campo magnético. En cada caso el campo inducido se opone al cambio que le da origen. La ley de Lenz es necesaria para la conservación de energía. Si la corriente, en los experimentos anteriores, tuviera dirección opuesta, el imán sería atraído hacia la espira, ¡ganando energía cinética!. Se podría usar la mayor energía cinética del imán para efectuar trabajo y al mismo tiempo usar la fem inducida para hacer trabajar maquinas eléctricas. La repetición del proceso produciría una energía libre infinita, cosa que es, imposible.

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Figura10.5

Puesto de otra manera, se debe efectuar un trabajo sobre el sistema para producir energía. Si la espira tiene una resistencia R, en ella se produce energía térmica a una razón de I2R (efecto Joule). En consecuencia, se tiene que empujar el imán hacia la espira venciendo la fuerza que se opone, y se efectúa trabajo a una razón

.

4.- PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 4.1.-

ε

en función del tiempo.

○

Montar el arreglo, utilizando una bobina de elevado número de vueltas y diámetro grande. El generador debe establecerse para que entregue una señal senoidal sin nivel DC y son una frecuecia de 6.00 KHz. La amplitud de la señal debe ajustarse de manera que

sea igual a 0.60 V. La V Rpp

bobina usada debe estar ubicada en el centro del solenoide. ○ Llenar la primera parte de la hoja de datos y dibujar las seáles obtenidas para

y

VR 4.2.- Relación entre

○

ε

.

ε exp y la amplitud de B.

Llenar la Tabla1 de la hoja de datos variando la amplitud de la señal del generador de funciones, de manera que

varíe entre 0.20 V y 1.0 V. V Rpp

4.3.- Relación entre

○

8

ε

y la frecuencia de B.

Llenar la Tabla2 variando la frecuencia de la señal del generador de funciones entre 2.00 KHz y 10.0 KHz. Por las características del generados de funciones, la amplitud de la señal de salida puede variar

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con la frecuencia, produciéndose cambios en

; esto debe corregirse VRpp

ajustando esa amplitud de manera que

se mantenga constante (0.60 V Rpp

V para todas las frecuencias). 4.4.- Relación entre

○

ε

y N.

Llenar la Tabla3 para bobinas de diferente número de vueltas, pero del mismo diámetro (con

=0.60 V y f=6.00KHz ) VRpp

4.5.- Relación entre

○

ε

y A.

Llenar la Tabla4 para bobinas de diferente diámetro, pero del mismo número de vueltas (con

=0.60 V y f=6.00KHz). V Rpp

○ Tomar los datos necesarios del solenoide. 5.- EQUIPOS Y MATERIALES •

Fuente de corriente alterna.

•

Bobina.

•

Solenide.

•

Osciloscópio.

•

Multímetro

•

Cables de conexión

•

Resistor.

6.- TOMA DE DATOS 6.1.-

9

ε

en función del tiempo.

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=0.60 V

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f= 6.00 KHz

N=300

VRpp

d=(25.25±0.05)mm

=1.6V

R=10 Ω

ε pp −exp VOLTS/DIV (CH1)=0.1

6.2.- Relación entre

ε

VOLTS/DIV (CH2)=1.0

y la amplitud de B.

f= 6.00 KHz N=300 d=(25.25±0.05)mm [v]

[V]

V Rpp

ε pp −exp

0.2

0.6

0.4

1.0

0.5

1.4

0.8

2.0

1.0

2.6 Tabla1

6.3.- Relación entre

ε

y la frecuencia de B.

=0.60V VRpp

N=300 d=(25.25±0.05)mm f [KHz]

10

[V]

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2.008

0.52

4.000

1.0

6.004

1.6

8.035

2.2

10.000 2.6 Tabla2 6.4.- Relación entre

ε

y N.

=0.60V VRpp

F = 6.00 KHz d=(25.25±0.05)mm N

[V]

ε pp −exp 75

0.4

150 0.8 300 1.6 Tabla3 6.5.- Relación entre

ε

y A.

=0.60V VRpp

F = 6.00 KHz N=300 d [mm]

[V]

ε pp −exp 11

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16.75±0.05 0.64 25.25±0.05 1.64 Tabla4 Para el solenoide: Ns=540 Dint=36.35mm

L=149.30mm

Dext=55.90mm

7.- Anaálisis y tratamiento de datos Determinamos numéricamente N

Nφ B = f ( t )

φB = f (t)

y

ε exp = f ( t )

Remplazando datos:

2 T ⋅ m 4π ×10 −7  ⋅ 75⋅ 540⋅ 0.60 [ V⋅]π (0.01615 )   A  N φB = ⋅ sen π( 2⋅ 2 2 8 ⋅10 [ Ω ] ( 0.1485 [ m ] ) + (0.055 [ m ] )

NφB = 1.97 × 10 −6 ⋅ sen (12× 103π [Hz ⋅] t

6000Hz [ ⋅ ]t

)

)

ε exp = f ( t )

ε m −teo =

ε exp

µ 0 NN SVRppπd 2 2πf

ε m −teo =

8 R L2 + D 2

µ 0 NN SVRppπd 2ω 8R L2 + D 2

2 T ⋅ m  2π ( 6000 [ Hz ] ) ⋅ 4π ×10 −7  ⋅ 75 ⋅ 540 ⋅ 0.6 [ V ] ⋅π ⋅ ( 0.01615 [ m ] )   A  =− ⋅ cos ( 2π ⋅ 6000 [ Hz ]⋅ t ) 2 2 8 ⋅10 [ Ω ] ( 0.1485 [ m ] ) + ( 0.055 [ m ] )

ε exp = 0.0626 ⋅ cos ( 12 3π [ Hz ]⋅ t ) [ V ]

ε m−teo =

ε pp −exp 2

ε m − teo = 0.065[ V ] 12

ε m −teo =

0.13 = 0.065 [ V ] 2

Comparando datos:

ε m − teo = 0.065[ V ]

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ε m −exp = 0.074[ V ] D% = D% =

ε m−teo −ε m− exp ε m−exp 0.065 [ V ] −0.0626 [V

0.0626 D % = 3.83% [V ]

]*100

1.2. Relación entre ε y la amplitud de B Para esta parte de la práctica hicimos variar el voltaje de la resistencia VRpp entre 0,20[V]y 1,0 [V], los datos se muestran en la siguiente tabla: Tabla – 1 Relación entre ε y la amplitud de B εpp-exp [V] 1,25 2,60 3,85 4,20 5,40

VRpp [V] 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 Donde N(bobina)= 180 (vueltas) d = 1.615[cm]= 1.615 x10-2[m] f = 6,00 [KHz]=6,00x103 [Hz] Ns (solenoide)= 540 (vueltas) L (solenoide)= 14.855 [cm] = 14,855 x10-2[m] D(int)= 3,715 x10-2[m] y D(ext)= 5,55 x10-2[m] D= 4,63 x10-2[m] R = 10 μo = 4π x 10-7 TmA

De la ecuación: Bm=μoNsVRpp2RL2 + D2 εm-exp:

y εm-exp=εpp-exp2 , realizamos una tabla Bm ,

Tabla – 2 Relación entre ε y la amplitud de B

13

MANZANO PERALTA LUIS FELIPE FIS200Lab Bm [T] 43.60 x10-610-2 87.20 x10-6 130.8 x10-6 174.4 x10-6 218.0 x10-6

GRUPO G εm-exp[V] 0.025 0.05 0.08 0.105 0.14

Mediante un análisis de regresión determinamos el valor de K de la relación experimental εm-exp = KBm K = xy x2

; Donde x = Bm

(1)

; y = εm-exp

Los valores son: xy 64.746x10-6

x2 1.0455x10-7

Reemplazando en la ecuación (1), el valor de K es: Kexp = 619.266 Entonces la relación experimental es: εm-exp

(con εm-exp en [V] y Bm en [T])

ε m −exp = 619.266 • Bm Ahora graficamos la relación experimental Gráfica – 1 εm-exp = (NA ω) Bm Donde k = NA ω = Nπd2ω4 (2) Y ω= 2πf = 2π( 6,00x103 [Hz]) = 3,77 x104 [Hz] Reemplazando

k=

(75)π (16.15 •10 −3 [ m ] )(3.77 • 104 ) 4

Kteo =35864.51 Comparando Kexp y Kteo tenemos: Dif (%)= Kexp-KteoKteo∙100% (%) = 4,35∙104- 5,98∙1035,98∙103∙100% Dif (%)= 8.27 % 14

Dif

619.266 − 35864.51 • 100 35864.51

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1.3. Relación entre ε y la frecuencia de B Para esta parte variamos la frecuencia de la señal del generador de funciones entre 2.00 y 10,0[KHZ] manteniendo constante el voltaje de la resistencia VRpp = 0.60 [V]. Tabla – 4 Relación entre ε y la frecuencia de B f [Hz] εpp-exp [V] 0.052 2,00 x103 0.104 4,00 x103 0.16 6,00 x103 0.21 8,00 x103 0.265 10,0 x103 De la ecuación: ω=2πf

y εm-exp=εpp-exp2 , realizamos una tabla ω, εm-exp: Tabla – 5 Relación entre ε y la amplitud de B ω[Hz]

εm-exp[V]

1,26 x104 2,51 x104 3,77 x104 5,03 x104 6,28 x104

0.026 0.052 0.08 0.105 0.132

Mediante un análisis de regresión determinamos el valor de K de la relación experimental εm-exp = K ω K = xy x2

(1)

; Donde x = ω

; y = εm-exp

Los valores son: xy 18346

x2 8683990000

Reemplazando en la ecuación (1), el valor de K es: Kexp = 2.1126x 10-6 Entonces la relación experimental es:

15

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(con εm-exp en [V] ω en [Hz])

ε m −exp = 2.1126 •10−6 • ω Ahora graficamos la relación experimental Gráfica – 2

Si εm-exp = (NA Bm) ω Donde k = NA Bm = Nπd24μoNs VRpp 2RL2 + D2 (2) 180π(3,350∙10-2m)2(4π∙10-7TmA)(540)

Reemplazando k=

(75)π (16.15 • 10 [ m ] )(4π •10 )(540)(0.60) V  8 • 10   (0.1485)2 + (0.0463)2  A −3

−7

(0,60[V])8∙10,8VA(15,540∙10-2m)2 + (4,630∙10-2m)2 Kteo = 39.80*10-6 Comparando Kexp y Kteo tenemos: Dif (%)= Kexp-KteoKteo∙100% 4,43∙10-5- 1,84∙10-51,84∙10-5∙100%

Dif (%) =

2.1126 • 10−6 − 39.80 • 10−6 • 100 39.80 • 10−6 Dif (%)= 4.69 % 1.4.Relación entre ε y N Realizamos este experimento con bobinas de diferente número de vueltas, pero del mismo diámetro (con VRpp = 0,60[V] y f = 6,00[Hz]). Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla: Tabla – 4 Relación entre ε y la frecuencia de B N εpp-exp [V] εm-exp[V] 75 0.16 0.08 300 0.6 0.3 75 0.14 0.7 Con d = 1.615 [cm]= 1.1615 x10-2 [m] Mediante un análisis de regresión determinamos el valor de K de la relación experimental εm-exp = K N K = xy x2 16

(1)

; Donde x = N

; y = εm-exp

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Los valores son: xy 101.25

x2 101250

Reemplazando en la ecuación (1), el valor de K es: Kexp = 0,001 Entonces la relación experimental es: (con εm-exp en [V] N en vueltas)

ε m −exp = 0.001• N Ahora graficamos la relación experimental Gráfica – 3

Si εm-exp = (ω A Bm)N

Donde k = ω A Bm = ωπd24μoNs VRpp 2RL2 + D2 (2) Y ω= 2πf = 2π( 6,00x103 [Hz]) = 3,77 x104 [Hz] Reemplazando k = (3.77 •10 4 [ Hz ] )π (16.15 • 10 −3 [ m ])(4π • 10 −7 )(540)(0.60) k= V  8 • 10   (0.1485) 2 + (0.0463) 2  A

3,77∙104[Hz]π(3,350∙10-2m)2(4π∙10-7TmA)(540)(0,60[V])8∙10,8VA(15,540∙10-2m)2 + (4,630∙10-2m)2 Kteo = 0.06255 Comparando Kexp y Kteo tenemos: Dif (%)= Kexp-KteoKteo∙100% |9,66∙10-4- 0,010|0,010∙100%

Dif (%) =

0.001 − 0.06255 • 100 0.06255 Dif (%)= 8.40 %

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1.5.Relación entre ε y A Realizamos este experimento con bobinas de diferente diámetro, pero con el mismo número de vueltas (con VRpp = 0,60[V] y f = 6,00[Hz]). Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

Tabla – 5 Relación entre ε y A d [m] εpp-exp [V] 1,615 x 10-2 0.16 1,615 x 10-2 0.14 Con d = 1.615[cm]= 1.615 x10-2 [m] De la ecuación: A=πd24 y εm-exp=εpp-exp2 , realizamos una tabla A, εm-exp: Tabla – 5 Relación entre ε y A A [m2] εm-exp[V] 2.048 x10-4 0.08 2,048 x10-4 0.07 Mediante un análisis de regresión determinamos el valor de K de la relación experimental εm-exp = K A K = xy x2

(1)

; Donde x = A

; y = εm-exp

Los valores son: xy 0.0001679

x2 83.9266x10-9

Reemplazando en la ecuación (1), el valor de K es: Kexp = 2001.46

Entonces la relación experimental es:

(con εm-exp en [V] y A en [m2])

ε m −exp = 2.001• A

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Ahora graficamos la relación experimental Gráfica - 4

Si εm-exp = (ω N Bm)A

Donde k = ω N Bm= ωμoNs VRpp 2RL2 + D2 (2) Y ω= 2πf = 2π( 6,00x103 [Hz]) = 3,77 x104 [Hz] 3,77∙104[Hz](4π∙10-7TmA)(540)

Reemplazando

k=

(3.77 •10−4 [ Hz ] )(4π •10−7 )(540)(0.60) V  8 • 10   (0.1485) 2 + (0.0463)2  A

(0,60[V])2∙10,8VA(15,540∙10-2m)2 + (4,630∙10-2m)2 Kteo = 1.232 Comparando Kexp y Kteo tenemos: Dif (%)= Kexp-KteoKteo∙100% |2187,4- 4,38|4,38∙100%

Dif (%) =

2.001 − 1.232 • 100 1.232 Dif (%)=6.41 %

8.-GRÁFICAS

Gráfica1

Gráfica2

19

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GRUPO G

Gráfica3

Gráfica4

9.- Conclusiones: Se pudo comprobar los valores con errores menores, tales como comprobar la Ley de Faraday para una bobina situada dentro de un campo magnético variable. Se logró calcular el error relativo porcentual de la fem inducida con un valor de

, también logramos

ε %ε = 3.17% determinar las relaciones que existen entre la fem inducida con la amplitud, la frecuencia de la inducción magnética, con el número de vueltas y el área de la bobina todas ellas se relacionan linealmente y se lo verificó al graficarlas.

10.- Cuestionario 1.

Si en la figura -1 la espira fuera de plástico (no conductor) y B fuera variable, ¿se induciría una Fem? explicar.

Al cambiar la espira a una de plástico, es decir, un aislante, se aumenta la resistencia de la espira, pero en la ley de Faraday no interviene la resistencia del circuito, por lo que la fem inducida no cambia, pero la corriente sería más pequeña, de acuerdo con la ecuación i = V/R. Si la espira está fabricada de un aislante perfecto con resistencia infinita, la corriente inducida es cero aunque esté presente una Fem. 2.

Si en el arreglo del experimento se hace circular una corriente constante por el solenoide y en cierto instante se la interrumpe bruscamente, ¿Cuál será la magnitud de la fem inducida en la bobina en ese instante? Comentar.

Cuando se desconecta el sistema, hay una corriente momentánea en el sentido opuesto al de la corriente al momento de desconectarlo. Como se redujo bruscamente la corriente, el flujo magnético también disminuye; entonces la corriente inducida trata de compensar este descenso aumentando su magnitud. 20

MANZANO PERALTA LUIS FELIPE FIS200Lab 3.

GRUPO G

Si se dispusiera de un campo magnético constante y uniforme, ¿Existiría alguna manera de obtener fem inducida en una espira? ¿Cómo?

Cuando el campo magnético se estabiliza en un valor constante y uniforme, la corriente decae a cero, entonces se produce un flujo constante que atraviesa a la espira, por lo que no se obtiene una fem inducida, ya que ésta es el resultado de la rapidez de cambio de flujo magnético. Pero se produciría la fem si es que la espira se moviera o cambiara de orientación dentro del campo magnético constante, entonces se induciría una fem de movimiento. 4.

Si no se dispusiera de generadores ni fuentes de tensión, ¿Podría inducirse una fem en una bobina?¿Cómo?

Si no existiera fuentes de tensión para que se pueda producir un campo magnético

11.- BIBLIOGRAFÍA-WEBGRAFÍA

21

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Sears-Zemansky-Young-Freedman “Física universitaria Vol.2”

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Manuel R. Soria R. “Guía de laboratorio de física básica III” La Paz – Bolivia