Ley de Enfriamiento de Newton

LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON (ECUACIONES DIFERENCIALES)

Presentado por: ANGIE VIVIANA TRUJILLO MOLANO GUISSELA ALEXANDRA LOPEZ FABIAN CANCHON WENDY DANIELA PERDOMO

Presentado a: GERMAN ALBERTO LOSADA TIRONE

UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA FAULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA AGRÍCOLA NEIVA HUILA 2013

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Un cuerpo tiene una temperatura de 70 °F es depositado (en el tiempo t D 0) en un lugar donde la temperatura se mantiene a 40°F. Después de 3 min, la temperatura del cuerpo ha disminuido a 60°f . 1. ¿Cúal es la temperatura del cuerpo después de 5 min? 2. ¿Cuánto tiempo pasará para que el cuerpo tenga 50 ıF? Si T .t / es la temperatura del cuerpo en ıF después de t minutos, entonces la ecuación diferencial que modela a T .t / es T¨(t)= k[T .t / Ta]•; donde Ta 40°F es la temperatura fija del medio circundante. Las condiciones adicionales son T .0/ D 70 y T .3/ D 60.Luego, la temperatura T .t / está dada por la solución del PVI: T¨(t ) = k[T (t)- 40]•; con T(0)= 70 y además T (3) = 60: Resolvamos este problema: (

)

∫

(

∫

)

( ) Ahora T(0)=70

T(0)=C

por lo que, T (t) = 30 T(3)=60

+40=70

C+ 40=70

+ 40, entonces: 30

( ) Luego

T(0)= 30

1. ¿Cuál es la temperatura del cuerpo después de 5 min? T(5)= 30

( )

( )

C=30

¿Cuánto tiempo pasará para que el cuerpo tenga 50°F?

T(t)=5030

+40= 50

Entonces el cuerpo tendrá una temperatura de 50 °F después de t 8 minutos, 8 segundos

2. Un objeto que tiene una temperatura 50 °F se coloca a las 10:00 horas en un horno que se mantiene a 375 °F. A las 11:15 horas su temperatura era 125 °F. ¿A qué hora estará el objeto a 150 °F? La ecuación diferencial es : T´(t )=k[T(t)-Ta•] donde Ta=375 °F es la temperatura constante del medio. Como de 10:00 a 11:15 transcurren 75 minutos, las condiciones son: T(0)= 50 °F y T(75)= 125 °F Integrando la ecuación anterior se obtiene:

Usando la condición T(0) se obtiene el valor de c:

Reemplazando el valor de c obtenemos:

Usando la condición T(75) se obtiene el valor de k:

Se obtiene la ecuación:

Usando la temperatura T=150 °F

Obtenemos que la temperatura de 150 °F se obtendrá luego de 105 minutos.

3. Una taza de café cuya temperatura es 190 °F se coloca en un cuarto cuya temperatura es 65 °F. Dos minutos más tarde la temperatura del café es 175 °F. ¿Después de cuánto tiempo la temperatura del café será 150 °F? La ecuación diferencial es : T´(t )=k[T(t)-Ta•] donde Ta=65 °F es la temperatura constante del medio. Con condiciones T(0)=190 y T(2)=175 Integrando la ecuación anterior

Usando el valor T(0) obtenemos el valor c:

Usando la segunda condición obtenemos el valor de k:

Calculamos la solución:

4. Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 300°F.Despues de 3 minutos,200°F ¿ En cuánto tiempo se enfriara hasta la temperatura ambiente de 70°F? Solución:

Tm= 70 por consiguiente debemos resolver el problema de valor inicial

(

)

T(0)=300

Y determinar el valor de k de tal modo que T(3)= 200

Se separan variables = kdt ) Cuyo resultado es ( modo que 300=70+C2 define a C2 =230. Entonces T=70 +230

.

Por último la determinación T(3)=200 conduce a T(t)=70+230

.Cuando t=0, T=300 de

osea K=

Y determinar el valor de K de tal modo que T(3)=200 Al separar variables = kdt Cuyo resultado es ln(T-70)=kt +C1 y asi T=70 Cuando t=0 ,T=70 de modo que 300=70 +C2

C2=230

Entonces T=70+230 Por último T(3)=200 conduce a T(t)=70 +230 .observamos que esta ecuación no tiene solución finita por lo uqe debe transcurrir un tiempo razonablemente largo

5. Justo antes del mediodía se encuentra el cuerpo de una víctima de un presunto homicidio dentro de un cuarto que se conserva a una temperatura constante de 70 °F. A las 12 del día la temperatura del cuerpo es de 80 °F y a la 1 P.M. de 75 °F. Considere que la temperatura del cuerpo al morir era de 98.6 °F y que éste se ha enfriado de acuerdo con la ley de Newton. ¿A qué hora murió la víctima? (

)

A=70,T(0)=98.6;T(t1)=80,T(t2)=75ademas t2-t1=1 (

(

)

) (

) ( ( ) ( )

( ) ( )

)

( ) (

)

(

)

Y despejamos t1=1.51 A las 12:00 le restamos 1.51=1:30:06 para obtener la hora de la muerte t1.t2 y la del cuerpo Hora de la muerte 12:00-1:30:06=10:29:54 murió cerca de las 10:30

Ejercicios propuestos 1. La temperatura de un motor en el momento en que se apaga es de 200°C y la temperatura del aire que lo rodea es de 30 °C. Después de 10 min la temperatura del motor ha bajado a 180°C. ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que la temperatura del motor disminuya hasta 40 °C?

2. Un termómetro que marca 15º F se lleva al interior de una habitación donde la Temperatura es 81º F. Un minuto más tarde la lectura del termómetro es 30ºF. a) Determine la lectura del termómetro como una función del tiempo b) Encuentre cuánto marcará el termómetro 5 min después de haber sido llevado a la habitación c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que le termómetro marque 45º F?

3. Agua a una temperatura de 10º C demora cinco minutos en calentarse a 20º C en un cuarto cuya temperatura es de 40º C. a) Encuentre la temperatura después de 20 minutos y después de 30 min b) ¿Cuándo la temperatura será de 25º C? 4. La temperatura máxima que puede leerse en cierto termómetro es de 110ºf. Cuando el termómetro marca 36º F se coloca en un horno. Después de 1 y 2 minutos, la temperatura que marca el termómetro es de 60º F y 82º F respectivamente. ¿Cuál es la temperatura del horno?

5. A las nueve de la mañana un pastel a 70º F es sacado del horno y llevado a una habitación donde la temperatura es de 15º F. Cinco minutos después la temperatura del pastel es de 45º F. A la 9:10 am se regresa al interior del horno, donde la temperatura es fija e igual a 70º F. ¿Cuál es la temperatura del pastel a las 9:20 am?