Levi Civita

 

M´ eetodo to do ”epsil ”epsilon-delta on-delta” ” para operadores ope radores diferenciales e identidades b´a asicas sicas Ra´u ull Gormaz October 16, 2011

1

El ten tenso sorr (o e ell de delt lta) a) d de e Kr Kron onek eker er::   δ ij ij

No nos extendamos nuevamente sobre lo ya visto en clase, y solo recordemos que  δ ij ij  = 1 solo si  i  =  j  y es nulo en todo otro caso. Corresponde al elemento (i, j ) de la matriz identidad. Como trabajaremos en   R3 , los indices van solo de 1 a 3. Importante, el   δ  se   se relaciona con el producto interno (o punto) por: a ·   b  =  a i b j δ iijj   =  a i bi

 

(1)

N´ootese tese que se utiliza la convenci´oon n de Einstein para la suma sobre ´ıındices ndices repetidos.

2

El tens tensor or de Le Levi vi-C -Civ ivit ita: a:   εijk

Este tensor estrechamente conde otro producto, el productoelcruz. Tambi ambi´ ´een n ccon onseelrelaciona determinante. Una forma definirlo es recordando producto cruz entre vectores de la base can´oonica. nica. Los coeficientes de este tensor permiten escribir la combinaci´oon n lineal de cada producto cruz de vectores can´oonicos. nicos. Los val valores ores   εij 1 ,   εij 2   y   εij 3  son los coeficientes de la combinaci´oon n lineal que genera eˆi × ˆ  ×  ˆe j .  Esto es: eˆi  × ˆ  ×  ˆe j   =  ε ij 1 eˆ1 +  εij 2 eˆ2 +  εij 3eˆ3   =  ε ijk eˆk   (se suma sobre   k)

1

(2)

 

Por ejemplo eˆ1  × ˆ  ×  ˆe2  = eˆ3   = 0 eˆ1 + 0 eˆ2 + 1 eˆ3  =  ε 12k eˆk ε123

ε122

ε121

        

O ta tamb mbi´ i´en

eˆ2  × ˆ  ×  ˆe2   =   0 = 0 eˆ1 + 0 eˆ2 + 0 eˆ3   =  ε 22k eˆk

         ε223

ε222

ε221

El producto cruz general resulta del siguiente c´aalculo. lculo. a ×   b  = (ai eˆi ) × (  × (b j eˆ j ) =  a i b j eˆi ×  × ˆ  ˆe j   =  ε ijk ai b j eˆk

 

(3)

El tensor de Levi-Civita tiene las siguientes propiedades evidentes. Es ant antisim isim´´eetrico, trico, esto es, cam cambia bia de signo si permut permutamos amos de orden 2 de sus indices. Por ejemplo,   εijk   =  − ε jik   =  − εikj   =  − εkji deducepermutar que es obligatoriamente nulo sis al menos dos indices son iguaDe iguales. les.esto Enseefecto, esos indices repetido repetidos deja los indices igual iguales, es, pero cambia el signo. Este tensor te nsor tambi´een n se relacion relacionaa con eell dete determinante rminante (d (dee 3 × 3). Recordemos para esto la f´oormula, rmula, que es una alternativa para (3):

eˆ   eˆ   eˆ    b × c  = det b   b   b   =  ε 1

2

3

1

2

3

ˆ

ijk ei b j ck

 (notar que   εijk   =  ε jki )

c1   c2   c3

de donde, reconociendo t´eerminos, rminos, se obtiene que

a det b c

1

1 1

  =  ε   c 

  a2   a3   b2   b3   c2

ijk ai b j ck

3

Aplicaciones de esta relaci´oon n del tensor de Levi-Civita con el determinante, nan te, pueden entr entregarn egarnos os identid identidades ades obvia obvias, s, y otra otrass no tanto tanto.. Una lista de algunas de estas propiedades que pueden verificarse directamente (en el fondo, los   εijk  son solamente 27 valores tomados en   {1, −1, 0}, es decir, solo un n´ u umero mero finito de casos a verificar).

2

 

ε123   = 1 εijk δ 1i δ 2 j δ 3k   =  ε 123 εijk δ ii δ m mjj δ nk nk   =  ε mn

   

εijk εmk   =  δ ii δ  jm  −  δ im im δ   j εijk εjk   = 2δ i i εijk εijk   = 6

   

(4) (5) (6) (7) (8) (9)

De estas, la (4) ya la vimos, las (5) y (6) son evidentes (eliminando todos los valores nulos del tensor   δ iijj ). La Lass propi propieda edades des (8) y (9 (9)) se desp despren renden den rapida rap idamen mente te de (7). En resu resumen, men, la ´u unica nica que realmente requiere trabajo probar es la (7), y esta relaci´oon n es muy u util. ´ til. Para los interesados, al final se incluye un esquema de demostraci´oon n que no requiere verificar todos los casos posibles (Notese que como se suma sobre   k, los casos son 3 para   i, 3 para   j , 3 para     y 3 para   m, lo que da un total de solo 81 casos a verificar).

3

Una u ultim ´ltima a ast astuci ucia a pr´ a actica ct ica

Si   aij   es una expresi´oon n sim´eetrica trica de sus indices (i.e.   aij   =   a ji ) y   bij   es una expresi´oon n antis antisim´ im´eetrica tr ica (i.e (i.e..   bij   =   −b ji ) entonces   aij bij  = 0 (notar la doble sumatoria). Se prueba que   aij bij   =  − aij bij  y ya! Por ejemplo   εijk δ iijj  = 0, o mas interesante, para un campo   ϕ  de clase   C 2 , ∂ 2 ϕ = 0. εijk ∂x i ∂x j

Con esto, quedamos equipado equipadoss para calcular cualquier expresi´ oon n del tipo de las que aparecen en las p´aaginas ginas 7–8 del apun apunte te (1.2.2 (1.2.2.. Ident Identidades idades vectoriales) tori ales).. Prob Probar ar´´e tres de ellas para entrar en confia confianza. nza. Usted Ustedes es ataq ataquen uen el resto. Es importan importante te que ent entiendan iendan que propieda propiedad d se apro aprovec vecha ha en cada paso, para que luego puedan probar las otras identidades por su cuenta. Ejemplo 3   de la list listaa del apun apunte. te. Fij Fijar arse se que se indica qu quee todos los

3

 

campos utilizados son ”suficientemente diferenciable”.  ) = div (∇  ) div( rot  F  (∇ ×  F  ∂F   jj k = div( ∂x i eˆ ) ∂ 2 F  j =  ε ijk ∂x k ∂x i εijk

=0 Ejemplo 7 de 7  de la lista del apunte.    ×  G  ) = div (εijk F i G j eˆk ) div (F  ∂  (F i G j ) ∂x k ∂G j ∂F i F i G j  +  εijk =  ε ijk ∂x k ∂x k

=  ε ijk

=  ε kij ∂F i G j  −  εkji ∂G j F i

∂x k ∂x k  ) ·  G   −  ) ·  F    = rot (F   − rot  rot (G

Ejemplo 12   de la lista de dell apunt apunte. e. Este cor corresponde responde a la m´ aaxima xima dificultad. Aprovechen de hacer el intento de desarrollarlo con sus conocimientos as´´ı la cantidad de trabajo (y de tinta) previos (es decir, sin   εijk ). Comparen as de cada m´eetodo, todo, y esto sin considerar que la probabilidad de error crece con el tama˜ n noo de la lass expr expresi esione oness obt obteni enidas das.. En este ejempl ejemploo se utili utilizar zaraa la u util ´til relaci´oon n (7) de mas arriba.

4

 

   ×  G  ) =  ∇ × ( rot (F  ×  (εijk F i G j eˆk ) ∂  ijk i  j em = ∂x  (ε F  G )ˆ ∂  (εijk F i G j )ˆem =  − εmk ∂x    ∂  = (−δ ii δ m (F i G j )ˆem mjj  +  δ j j δ m mii ) ∂x  ∂  ∂  (F i G j )ˆem (F i G j )ˆem  +  δ j =  − δ ii δ m j δ m mii mjj ∂x  ∂x    ∂    ∂  (F i G j )ˆei (F i G j )ˆe j  + =  − ∂x j ∂x i ∂F i   ∂G j   ∂F i   ∂G j =  − G j eˆ j  − F i eˆ j  + G j eˆi  + F i eˆi ∂x i ∂x i ∂x j ∂x j   ∂G j   ∂F i  )G   + div  )F     − ∂x i F i eˆ j  + ∂x j G j eˆi =  −div  − div (F  div (G        )G   + div  )F     −   ∂ G F i  +   ∂ F  G j =  −div  − div (F  div (G ∂x i ∂x j  ε km

Con esto, podemos considerar que el c´aalculo lculo ya esta hecho pero la notaci´oon n del apunte apunte es dif diferen erente. te. Ana Analic licemo emoss en det detall allee y com compar paremo emoss lo obt obteni enido do para el pen´ u ultim l timoo t´ermi er mino. no. ∂    G   ∂    G   ∂    G   ∂    G F i   = F 1  + F 2  + F 3 ∂x i ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ∂G 1   ∂G 1   ∂G 1  ∂  ∂G G2   ∂G 2   ∂G 2  ∂G  ∂ G3   ∂G 3   ∂G 3 =( F 1  + F 2  + F 3 , F 1  + F 2  + F 3 , , F 1  + F 2  + F 3 ) ∂x 1

∂x 2

∂x 3

   · ∇G1 ,       · ∇G3 ) = (F  F   · ∇G2 ,  F 

∂x 1

∂x 2

∂x 3

∂x 1

   · (∇    · (∇    · ( =  F   (∇G1 )ˆe1 +  F   (∇G2 )ˆe2 +  F   (∇ ∇G3 )ˆe3

Que corresponde a la f´ormula ormula del apunte para ese t´eermino. rmino. Para el u ultimo ´ltimo t´eermino rmino es ”la misma cosa”.

5

∂x 2

∂x 3

 

4

La demostracion on (sin comentarios) para la ´ s´ eptima f´ o ormula rmula

Para una demostraci´oon n que evite los 81 casos, se utilizan astutamente las propiedades del determinante. En especial, 2 propiedades son requeridas. Si no) sabemos que A   y   B  son matrices de 3 por 3 (no requerimos mayor tama˜no) T  (1) det(AB ) = det(A)  · det(  ·  det(B ) y (2) det(A) = det(A ). Tambi ambi´´een n que el elemento (ij ) del producto de matrices se calcula calcula como mul multipli tiplicando cando la fila   i con la columna  j , lo que en notaci´oon n de suma de Einstein se dice   cij   =  a ik bkj . Aqu´ı va el c´aalculo lculo final:

δ   = det δ  δ δ  = det δ  δ δ  = det δ  δ δ  = det δ  δ δ  = det δ 

1i

εijk εmk

2i

3i 1i

1 j

1k

i1

 j 1 k1 ii

 j k k

 δ    δ   · det  · det δ    δ  δ    δ      δ  δ    δ    δ   · det  ·  det δ    δ    δ  δ    δ      δ  δ    δ    δ   · det  ·  det δ    δ    δ  δ    δ     δ    δ     δ     δ    δ  

  δ 1 j   δ 1k   δ 2 j   δ 2k   δ 3 j   δ 3k   δ 2i   δ 2 j   δ 2k   δ i2   δ  j 2   δ k2   δ iim m   δ  jm   δ km km

1

1m

2

2m

3

3m

3i

1

1m

3 j

2

2m

3k

3

3m

i3

1

1m

 j 3

2

2m

k3

3

3m

     δ    δ     δ     δ    δ  

  δ 1k   δ 2k   δ 3k

1k

2k

3k

1k

2k

  δ 3k

iik k

 jk

kk kk

  δ iim m ik ik  j   δ   jm  jk δ k k   δ km km   3 ii

=  δ ik ik (δ   j δ km km  −  δ  jm δ k k ) −  δ  jk (δ ii δ km km  −  δ im im δ k k ) + 3(δ i i δ   jm  −  δ im im δ   j ) = (δ  j δ im  − (δ ii δ  jm  −  δ im im  −  δ  jm δ ii ) − ( im δ   j ) + 3(δ i i δ   jm  −  δ im im δ   j ) =  δ ii δ  jm  −  δ im im δ   j

6