levantamientos topográficos

7. LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS – PLANIMETRÍA 7.0 Introducción ¿Qué es un levantamiento topográfico? 1. El levantamiento topográfico del sitio destinado a una granja acuícola puede ser útil, por una parte, para trazar un plano que ayude a organizar el trabajo y por otra para colocar sobre el terreno marcas que guien su ejecución.

Emplazamiento

2. Un levantamiento topográfico permite trazar mapas o planos de un área, en los cuales aparecen:

Mapa

las principales características físicas del terreno, tales como rios, lagos, reservorios, caminos, bosques o formaciones rocosas; o también los diferentes elementos que componen la granja, estanques, represas, diques, fosas de drenaje o canales de alimentación de agua; las diferencias de altura de los distintos relieves, tales como valles, llanuras, colinas o pendientes; o la diferencia de altura entre los elementos de la granja. Estas diferencias constituyen el perfil vertical.

Perfil vertical

¿Qué operaciones comprende un levantamiento topográfico? 3. El objetivo del primer tipo de levantamiento topográfico es determinar la posición relativa de uno o más puntos sobre un plano horizontal. A tal efecto, se miden las distancias horizontales y los ángulos horizontales o direcciones. Se usa el método llamado de planimetría , que se explica en este capítulo.

Emplazamiento

4. El objetivo del segundo tipo de levantamiento topográfico es determinar la altura (vertical) de uno o más puntos en relación a un plano horizontal definido. A tal efecto, se miden las distancias horizontales y las diferencias de altura ; y también se trazan curvas de nivel. Se usa un método llamado de nivelación directa , que se ilustra en el Capítulo 8.

Mapa

5. En el Capítulo 9 se enseña a trazar planos y mapas a partir de los resultados del levantamiento topográfico y de la nivelación directa.

Curvas de nivel

Preparación de un levantamiento topográfico 6. Cuando se prepara un levantamiento topográfico, la regla fundamental es proceder de lo general a lo particular. Se debe tener presente el trabajo en su conjunto cuando se dan los primeros pasos. Los diferentes tipos de levantamientos topográficos requieren precisiones diversas, pero es importante determinar con la mayor precisión posible los primeros puntos de cada levantamiento. Los trabajos sucesivos se ajustan en relación a dichos primeros puntos.

Puntos primarios

Puntos secundarios Ejemplo Tiene que preparar el levantamiento planimétrico del emplazamiento de una granja acuícola.

(a) Primero se procede al levantamiento del perímetro ABCDEA. Además de los ángulos y los límites, se marcan algunos puntos y las líneas principales, tales como AJ y EO. Tales líneas van de un lado a otro y se cruzan determinando ángulos rectos, lo que facilita los cálculos. Este primer levantamiento determina los puntos topográficos primarios, que es importante que queden señalados con gran precisión. (b) A continuación se determinan las líneas secundarias como FP y TN, que se trazan entre las primarias dividiendo el área en parcelas. Este paso determina puntos topográficos secundarios, que se pueden señalar con menos precisión. (c) Por último se procede al levantamiento de los detalles topográficos de cada parcela, determinando puntos terciarios, para los cuales tampoco se requiere gran precisión

7. La preparación de un levantamiento topográfico también depende de cuál es el objetivo. Es aconsejable adoptar un plan de trabajo similar al descrito para el levantamiento de suelos (ver Volumen 6, Suelo, Sección 24). En primer lugar se procede a un estudio de reconocimiento preliminar. Se pueden usar métodos rápidos sin preocuparse mucho por lograr una gran precisión. A partir de los resultados del primer levantamiento, se prepara y se llevan a cabo levantamientos más detallados y precisos como aquellos que tienen como objetivo la localización de la granja y , como paso final, el levantamiento de las instalaciones y construcciones.

8. La preparación de un levantamiento topográfico depende del objeto mismo que se debe estudiar, por ejemplo:

Eje de un dique

una línea recta definida por al menos dos puntos, tal como el eje de un canal de alimentación, los diques de un estanque y los diques de un embalse; una serie de líneas definidas unas en relación a las otras por ángulos horizontales y distancias horizontales, tales como los ejes de los diques de estanques en una granja acuícola; un terreno tal como el sitio elegido para la construcción de una granja acuícola.

Diques adyacentes de un estanque

Área del estanque

9. El uso de los métodos descritos en las secciones siguientes no presenta problemas si se trabaja en pleno campo; cualquiera de ellos se puede aplicar correctamente. En las zonas con bosques densos, sin embargo, no se pueden usar métodos que requieran la visualización de varios puntos simultáneamente. En tales áreas, es más fácil tomar como referencia las rutas y los senderos existentes, y puede ser necesario quitar la vegetación que obstaculiza las líneas visuales.

Limpieza del terreno para llevar a cabo el levantamiento

¿Cuáles son los principales métodos utilizados en planimetría? 10. En planimetría se usan cuatro métodos principales. Es posible determinar la posición de un punto sobre un plano horizontal: a partir de un solo punto conocido, por levantamiento de poligonales, un método que consiste en medir distancias horizontales y azimut a lo largo de una línea quebrada (ver Sección 71); a partir de un solo punto conocido, por proyección radial, un método que consiste en medir distancias horizontales y azimut, o ángulos horizontales (ver Sección 72); a partir de una línea conocida, por offset, un método que consiste en medir distancias horizontales y trazar perpendiculares (ver Sección 73); a partir de dos puntos conocidos por triangulación

Poligonal abierta

y/o intersección, métodos que consisten en medir distancias horizontales y azimut, o ángulos horizontales (ver Sección 74).

Las secciones siguientes describen cada uno de estos métodos. Pero para elegir uno u otro, se debe considerar cuál es el más adecuado a los dispositivos de medición de que se dispone. El Cuadro 9 ayuda a elegir el método de planimetría más adecuado, considerando el equipo y la habilidad para manejarlo, el tipo de información que se espera obtener y el tipo de terreno en el cual se trabaja.

Levantamiento radial

CUADRO 9 Métodos de planimetría Sección

Método

Elementos básicos

Aplicabilidad

Comentarios

7.1

Poligonal, abierta, cerrada

Secciones transversales y estaciones

Terreno plano o boscosoPerfiles longitudinales o cortes transversalesPoligonal con brújula, prospección rápida y detalles

Las secciones transversales pueden tener la misma longitud, más de 25 m e idealmente de 40 a 100 m Es necesario hacer comprobaciones por si se han cometido errores

7.2

Estaciones radiales, centrales y laterales

Estación de observación

Pequeñas parcelas de Todos los puntos deben ser terrenoSolo para la visibles y a ángulos de mas de ubicación de los 15° puntos

7.3

Offset

Línea de Levantamiento de encadenamiento detalles en puntos cercanos a la línea de encadenamiento

7.4

Triangulación Línea de base

Grandes parcelas de terrenoTerrenos ondulados y abiertosLugares inaccesibles

7.5

Plancheta, poligonales, radial, triangulación

Levantamiento de Los mapas se hacen en el mismo detalles y campoMétodo muy util cuando se prospecciónTerreno adquiere práctica abierto y buen climaLíneas y parcelas irregulares

La línea de encadenamiento no debería estar a más de 35 m de estos puntos A menudo en combinación con levantamiento por poligonales. Requiere una prospección previa detallada.Mejor con ángulos de unos 60°

7.1 Cómo realizar un levantamiento topográfico por el método de poligonales ¿Qué es una poligonal? 1. Una poligonal es una serie de líneas rectas que conectan estaciones poligonales, que son puntos establecidos en el itinerario de un levantamiento. Una poligonal sigue un recorrido en zigzag, lo cual quiere decir que cambia de dirección en cada estación de la poligonal. 2. El levantamiento de poligonales es muy frecuente en topografía, en el líneas rectas para llevar a cabo planimétrico. Es especialmente terrenos planos o boscosos.

Poligonal cerrada

un procedimiento cual se recorren el levantamiento adecuado para

3. Existen dos tipos de poligonales:

Poligonal abierta

si la poligonal forma una figura cerrada, tal como el perímetro que delimita el emplazamiento de una granja acuícola, se trata de una poligonal cerrada; si la poligonal forma una línea con un principio y un final, tal como el eje central de un canal de alimentación de agua, se llama poligonal abierta.

¿Qué método se debe usar para el levantamiento de una poligonal? 4. Cuando se lleva a cabo el levantamiento de una poligonal, se realizan mediciones para conocer: la distancia entre las estaciones poligonales; la orientación de cada segmento de la poligonal.

5. Si se dispone de un teodolito se puede llevar a cabo el levantamiento de una poligonal con teodolito. Se miden las distancias horizontales usando el método estadimétrico (ver Sección 2.8), y se miden los ángulos horizontales utilizando el método descrito en la

Sección 3.5 que supone el uso de un teodolito. En modo análogo, pero con mucha menos precisión, también se puede usar un clisímetro (ver Sección 2.7) y un grafómetro (ver Sección 3.1).

6. Si se dispone de una brújula se puede llevar a cabo el levantamiento de una poligonal con brújula. Se miden las distancias horizontales contando pasos (ver Sección 2.2) o por encadenamiento (ver Sección 2.6) y se miden los azimut con la brújula (ver Sección 3.2). Los levantamientos de poligonales con brújula son muy útiles para adquirir una visión de conjunto del terreno. También ayudan a completar los detalles de levantamientos realizados previamente.

Poligonal con brújula

7. Si se dispone de una plancheta (ver Sección 75) se puede llevar a cabo el levantamiento de una poligonal con plancheta. Se miden las distancias contando pasos o por encadenamiento y se miden los ángulos horizontales usando un método gráfico (ver Sección 3.3).

8. Si se debe realizar un reconocimiento rápido, se puede efectuar el levantamiento de una poligonal con una brújula simple (ver Sección 33, puntos 1-9) y contando pasos (ver Sección 2.2).

9. En esta sección se enseña cómo llevar a cabo un levantamiento de poligonal con brújula. Se puede proceder en modo análogo en el caso de un levantamiento con teodolito. La Sección 9.2 ofrece detalles adicionales sobre el levantamiento de poligonales con plancheta.

Poligonal con plancheta

Elección del recorrido de una poligonal 10. Cuando se trata de elegir el recorrido de la poligonal, es necesario: alargar todo lo posible cada porción rectilínea de la poligonal (40-100 m); elegir segmentos cuya longitud sean lo más semejantes posible; evitar secciones de poligonal muy cortas – inferiores a 25 m de longitud; elegir líneas que se puedan medir fácilmente; elegir líneas que no se vean interrumpidas por obstáculos tales como vegetación densa, rocas, parvas y propiedades privadas.

Levantamiento de una poligonal abierta con brújula 11. Queremos llevar a cabo el levantamiento poligonal de la línea AF, un futuro canal de alimentación de agua. En primer lugar se recorre la poligonal y se marca el recorrido colocando estacas largas cada 50 m, aproximadamente. Si es necesario, se colocan estacas adicionales en algunas estaciones importantes de la poligonal, por ejemplo cuando la línea cambia de dirección, o donde una colina u otras modificaciones del relieve reducen la visibilidad entre las estaciones, o también donde se presentan características particulares del terreno, como un camino, un río o rocas.

Marcar los puntos principales

12. Si es necesario se corta la vegetación alta que crece en el recorrido de la poligonal, de manera que cada punto marcado, sea visible desde el punto precedente.

Limpie el trayecto y marque los detalles

13. Comience el levantamiento de la poligonal en el punto inicial A. Quite el jalón y colóquese de pie en el punto A. Mida con la brújula el azimut* de la línea que une el punto A con B, el punto siguiente visible. El punto A se llama estación 1. La dirección en la cual se mide a partir de aquí hacia el punto B, o estación B, se llama visual hacia adelante* (VAd) porque se mide precisamente hacia adelante . Anote el valor medido en un cuadro (ver punto 17).

14. Vuelva a colocar el jalón en la estación 1 (punto A) y camine hasta la estación 2, midiendo la distancia horizontal AB mediante la cuenta de los pasos o por encadenamiento. Anote esta distancia en el cuadro (ver punto 17).

15. En la estación 2 (punto B) quite el jalón y colóquese de pie en el punto, sosteniendo la brújula. Mire hacia atrás, a la estación 1 y mida el azimut de la línea BA. Esta dirección se llama visual hacia atrás (VAt). Luego mire hacia el punto siguiente C, o estación 3, y mida el azimut de la línea BC, mediante una visual hacia adelante (VAd). Mida la distancia BC mientras camina a lo largo de la poligonal. Anote estos valores en el cuadro (ver punto 17).

FS=AB

Distancia AB

BS = BA

Nota: la diferencia entre la visual hacia adelante y la

FS = BC

visual hacia atrás debe ser de 180°. Una diferencia de 1 ó 2 grados entre VAd y VAt es aceptable y se puede corregir más tarde (ver punto 19). Si el error es mayor, se debe repetir la medición antes de continuar hacia la próxima estación.

Distance BC

16. Repita el procedimiento, mida la distancia horizontal de cada estación a la siguiente y mida dos azimut (uno VAd y otro VAt) para cada punto. De todos modos, en la última estación, al final de una poligonal abierta, tendré sólo una medición VAt, así como tendrá una sola VAd de la estación 1. Nota: si el terreno tiene pendiente y se requiere un

método más preciso, se puede usar un método especial para medir o calcular las distancias horizontales (ver Secciones 2.6 y 4.0).

17. Todas las mediciones realizadas se deben anotar cuidadosamente en un cuaderno de campo. Es posible usar un cuadro como el que se ilustra en el ejemplo o se puede trazar un esquema sencillo de la poligonal abierta en papel milimetrado, anotando las mediciones junto a las estaciones correspondientes. Ejemplo Mediciones efectuadas al inicio del levantamiento con brújula de la poligonal AX, que consta de 12 estaciones: Estaciones

Distancia (m)

Azimuth (grados)

Desde

A

Individual

Acumulada

FS

BS

Diferencia calcuada VAd/VAt (degrees)

1

2

53.6

53.6

82

261

179

2

3

47.3

100.9

120

301

181

3

4

65.2

166.1

66

248

182

4

5

56.8

222.9

51

229

178

5

6

61.1

284.0

91

270

179

...

...

...

...

...

...

...

18.

Siempre

se

debe

verificar este tipo de levantamiento de poligonal con brújula , especialmente

Poligonal AX efectuada

si no se conoce previamente, a partir de estudios o mapas anteriores, la posición exacta de las estaciones de partida y de llegada. Para verificar el levantamiento de la poligonal con brújula, proceda de la siguiente manera:

si no se conoce la ubicación de las estaciones de partida y de llegada, A y X, verifique el primer segmento de la poligonal realizando una segunda medición con la brújula en sentido inverso, desde el punto X al punto A;

si se conocen ambas estaciones A y X, haga el croquis de la poligonal efectuada.Para ello, use el transportador para los ángulos (ver Sección 3.3) ) y una escala adecuada para las distancias (ver Sección 9.1). A partir de la estación conocida A, compare la ubicación de la última estación X con la ubicación conocida X’. Si la comparación evidencia un error importante (el error de cierre XX’) es necesario corregir la poligonal efectuada AX. A tal efecto, vea los puntos siguientes.

Poligonal XA efectuada

Poligonal XA efectuada

Corrección de una poligonal abierta 19. La manera más sencilla de corregir la poligonal efectuada AX, considerando el error de cierre XX’, consiste en utilizar el método gráfico de la siguiente manera: dibuje en una hoja de papel, con una escala apropiada, la línea horizontal AX cuya longitud total es igual a la poligonal efectuada;

en el punto X, trace XX’ perpendicular a AX, de una longitud que corresponda al error de cierre, utilizando siempre la misma escala;

una A y X’ mediante una línea recta;

sobre AX, usando la misma escala, defina los segmentos AB, BC, CD, DE y EX de longitud proporcional a las secciones medidas en el campo;

a partir de los puntos B, C, D y E, trace las perpendiculares a AX, BB’, CC’, DD’ y EE’;

mida las longitudes de las líneas BB’, CC’, DD’ y EE’, que indican el valor de la corrección necesaria en cada estación poligonal;

corrija el croquis de la poligonal del siguiente modo: una la ubicación observada X de la última estación poligonal con su ubicación conocida X’;

Halle los puntos intermedios BCD y E

Dibuje las perpendiculares BB', CC', DD' y EE'

Mida las perpendiculares

Dibuje XX'

trace líneas paralelas cortas a XX’ desde las estaciones B, C, D y E;

marque sobre estas líneas las correciones calculadas BB’, CC’, DD’ y EE’, usando siempre la misma escala;

una los puntos A, B’, C’, D’ E’ y X’ para determinar la poligonal corregida.

Dibuje los otros segmentos paralelos a XX'

Mida las distancias BB', CC', DD' y EE'

Una los puntos de la poligonal ajustada

Levantamiento de una poligonal cerrada mediante una brújula 20. Es posible trazar la poligonal cerrada ABCDEA procediendo de la misma manera que con una poligonal abierta, excepto que se debe unir el punto final con el punto inicial A. 21. Para realizar el levantamiento poligonal con brújula de una parcela cerrada de terreno irregular ABCDEA (tal como el emplazamiento de una granja acuícola), se procede de la siguiente manera:

recorra a pie el área y ubique las estaciones de la poligonal A, B, C, D y E;

márquelas con jalones o estacas; si es necesario, limpie el área de vegetación para que las estaciones A y B, B y C, C y D, etc., sean visibles la una desde la otra;

· quite el jalón del punto A (estación 1) y colóquese en ese punto. Determine el azimut AB –mediante una visual hacia adelante– desde el centro de la estación, con la brújula. Coloque nuevamente el jalón exactamente en la estación 1;

mida la distancia AB con una cuerda de agrimensor;

en el punto B (estación 2), mida el azimut BA – mediante una visual hacia atrás– y el azimut BC – con una visual hacia adelante

mida la distancia BC mientras se desplaza hacia el punto C (estación 3);

proceda de la misma manera en las estaciones 3, 4 y 5; de regreso en el punto A (estación 1), mida el azimut AE – mediante una visual hacia atrás.

Nota: durante el levantamiento de la poligonal, es posible que se puedan visualizar una o más estaciones adicionales a partir de la estación en que uno se

encuentra. Si ese es el caso, mida los azimut de las líneas trazadas en esas direcciones. Un ejemplo es la línea BD a partir de la estación B. Tales observaciones adicionales constituyen medios útiles de verificación del trabajo que se lleva a cabo.

22. En el cuaderno de campo, anote cuidadosamente todas las mediciones efectuadas. Se puede usar un cuadro semejante al propuesto para las poligonales abiertas (ver punto 17). También se puede realizar un croquis de la poligonal en una hoja suelta cuadriculada y anotar allí las medidas. Simultáneamente, verifique que las visuales hacia adelante y las visuales hacia atrás difieran 180°.

Ejemplo Se ha llevado a cabo el levantamiento del sitio ABCDEA por poligonal cerrada y las anotaciones de campo son las siguientes: Estaciones Desde

A

Distancia (m)

1

2

2

Azimut (grados) FS

BS

Diferencia calculada VAd/VAt (grados)

90.8

136

315

179

3

53.5

78

259

179

3

4

68.7

347

168

179

4

5

44.6

292

110

182

5

1

63.7

241

63

178

23. Ya se ha visto precedentemente que en todo polígono* de N lados, la suma de todos los ángulos

interiores es igual a (N - 2) x 180° (ver Sección 30). Esta regla puede ayudar a verificar la medición de los azimut, después de calcular el ángulo interior de cada estación (ver Sección 32, punto 10 y 11). Ejemplo A partir de las observaciones indicadas para el ejemplo anterior, calcule la suma de los ángulos interiores del polígono ABCDEA de la siguiente manera: Estación

Diferencias de azimut (grados)

Ángulo interior (grados)

1

AB -AE = 136- 63

73

2

(BA - BC = 315 - 78 = 237)

1231

3

CD - CB = 347 - 259

88

4

DE - DC = 292 - 168

124

5

EA - ED = 241 - 110

131

Suma de los ángulos interiores

539

1

Dado que el norte magnético queda dentro del ángulo, se debe calcular como 360º – (la diferencia de azimut) ó 360º – 237º = 123º, De acuerdo con la regla general enunciada, la suma de los cinco ángulos interiores es igual a (5 – 2) x 180° = 540°, lo cual coincide aproximadamente con el resultado alcanzado.

Corrección de una poligonal cerrada 24. A partir de la estación 1 (A), anote en una hoja de papel cuadriculado, las observaciones realizadas en el levantamiento poligonal con brújula. Use un transportador para medir los azimut (ver Sección 3.3), y elija una escala adecuada para las distancias medidas (ver Sección 9.1). Si existe un error de cierre, corrija el croquis usando el método gráfico descrito para la poligonal abierta (ver punto 19, arriba).

Comprobar: la suma de los ángulos = (5-2) x 180° = 540°

Ejemplo En el ejemplo de la página anterior, el error de cierre es igual a FA. Corrija de la siguiente manera:

utilizando la escala apropiada, trace la línea horizontal AF cuya longitud es igual a la longitud total medida de la poligonal efectuada;

en F, trace FA', perpendicular a AF, usando siempre la misma escala. La longitud de FA' es proporcional al error de cierre;

una A con A' mediante una línea recta;

sobre AF, determine los segmentos AB, BC, CD, DE y EF proporcionales a las mediciones realizadas en el campo, utilizando siempre la misma escala;

en los punto B, C, D y E, trace las líneas BB', CC', DD' y EE', que indican el valor de la corrección necesaria en cada sección de la poligonal;

Dibuje AF a escala

Dibuje FA' perpendicular a AF

Dibuje AA'

Halle los puntos BCD y E

Dibuje y mida las perpendiculares

corrija el croquis de la poligonal de la siguiente manera: Dibuje FA

una el emplazamiento observado F de la última estación a su posición conocida A,

trace líneas cortas paralelas a FA desde las otras estaciones B, C, D y E;

marque siempre a escala, sobre estos segmentos de recta, las correcciones calculadas BB', CC', DD' y EE';

una los puntos A, B', C', D', E' y A para obtener la poligonal corregida.

Dibuje los otros segmentos paralelos a FA

Mida las respectivas longitudes

Una los puntos de la poligonal ajustada

7.2 Cómo realizar un levantamiento topográfico por el método radial ¿Qué es un levantamiento por radiación?

1. Cuando se prepara un levantamiento por radiación, se debe elegir cuidadosamente una estación de observación desde la cual se puedan ver todos los puntos que se deben marcar. Este método es muy conveniente cuando se trata del levantamiento de superficies pequeñas, en las cuales sólo se deben localizar puntos para luego dibujar un plano.

2. Para llevar a cabo el levantamiento por radiación de un terreno poligonal*, se une la estación de observación con todos los vértices de la parcela mediante una serie de líneas visuales radiales. De tal manera, se determina un cierto número de triángulos y se procede a medir un ángulo horizontal y la longitud de los lados de cada triángulo.

Elección de la estación de observación 3. La estación de observación debe ser fácilmente accesible; además, debe estar situada de manera tal que: se puedan ver todos los vértices del área objeto del levantamiento; se pueda medir la longitud de las líneas rectas que llegan hasta esos vértices; se puedan medir los ángulos determinados por tales rectas.

4. Cuando se elige el emplazamiento de la estación de observación, se debe tener cuidado y no seleccionar puntos que obliguen a definir ángulos de radiación muy pequeños (menos de 15 grados). .

5. La estación de observación O puede estar situada en una posición central, dentro del polígono objeto del levantamiento. En este caso se deben medir tantos triángulos como lados tenga el polígono.

Número de triángulos = número de lados del polígono N=5

6. La estación de observación O puede estar situada en una posición lateral (sobre uno de los lados). En este caso, O es uno de los vértices del polígono*. El número de triángulos que se debe medir es igual al número de lados del polígono, menos 2.

Elección de un método de levantamiento por radiación 7. Si se dispone de un teodolito, se pueden medir los ángulos horizontales con mayor precisión que con otros instrumentos (ver Sección 35). Un teodolito equipado con hilos estadimétricos permite además, medir rápidamente las distancias (ver Sección 2.8).

8. Si se dispone de una plancheta, se puede usar para trazar directamente un mapa del área a partir de la estación de observación (ver Sección 3.2). En general se miden las distancias horizontales por encadenamiento (ver Sección 2.6). Los puntos 10-14, más adelante, ofrecen información más detallada sobre este método sencillo.

9. Si se dispone de una plancheta, se puede usar para trazar directamente un mapa del área a partir de la estación de observación (ver Sección 9.2). Generalmente, las distancias horizontales se miden por encadenamiento.

Número de triángulos = número de lados menos 2 N=5-2=3

Realización de un levantamiento planimétrico por radiación, con brújula 10. Recorra el área objeto del levantamiento y elija el punto más conveniente para ubicar la estación de observación O. Marque claramente todos los vértices del polígono y corte la vegetación alta que crece a lo largo de las futuras líneas visuales radiales.

11. Colóquese en la estación de observación central, con la brújula . Mida los azimut de las seis líneas radiales OA, OB, OC, OD, OE y OF. 12. Mida la distancia horizontal correspondiente a cada una de esas líneas.

13. Anote cuidadosamente todas estas mediciones en el cuaderno de campo. Puede usar las tres primeras columnas del cuadro que aparece en el ejemplo. A continuación, en una hoja de papel cuadriculado, haga un croquis del área con las líneas, los ángulos y las

respectivas medidas. 14. Calcule el valor de los ángulos entre los puntos sucesivos (ver columna 4 del Cuadro y la Sección 3.2). Verifique lo realizado sumando todos los valores de los ángulos; si el resultado es 360° o un número cercano, el cálculo es correcto. Ejemplo Cuadro para observaciones de campo, realizadas en un levantamiento por radiación. Línea

Distancias Azimut Ángulos (m) (grados) (grados) Desde A O

A

65.4

265

1371

O

B

58.7

42

88

O

C

51.5

130

70

O

D

89.8

200

23

O

E

41.3

223

11

O

F

43.8

234

31

A

-

265

-

Suma de los ángulos interiores:

360

1Dado que el norte magnético queda dentro del ángulo

AOB, se calcula como 360º menos la diferencia entre los azimut.

7.3 Cómo realizar un levantamiento topográfico por el método de perpendiculares a la línea base (offset) ¿Qué es un offset ? 1. En planimetría, un offset es una línea recta trazada 2. Los offsets se usan sobre todo para realizar en forma perpendicular a otra línea, que se está levantamientos de detalles del terreno (tal como pozos, midiendo por encadenamiento. formaciones rocosas o árboles), cercanos a una línea de encadenamiento. En general, los offsets son inferiores a 35 m de largo.

Levantamiento topográfico por offset 3. Mientras se mide por encadenamiento la línea AB, se identifican dos puntos de interés a cada lado, X y Y, y se quiere determinar su posición exacta.

4. A partir de esos dos puntos, se trazan las rectas XC y YD, perpendiculares a la línea AB (ver Sección 3.6).

Trace perpendiculares desde los puntos de interés

Las líneas XC y YD son offsets.

5. Se miden las distancias horizontales AC y CD sobre la línea AB. Se miden las distancias horizontales CX y DY sobre las offsets.

Mida las distancias para ubicar los puntos

6. A partir de estas medidas, se puede determinar sobre el papel la posición exacta de los puntos X y Y, si se conoce la recta AB (ver Capítulo 9).

7.4 Cómo realizar un levantamiento topográfico por el método de triangulación ¿Qué es la triangulación?

1. La aplicación del método de triangulación, consiste en determinar triángulos consecutivos, a partir de dos puntos conocidos que sean visibles el uno desde el otro. La línea recta que une estos dos puntos, se llama línea de base . Ejemplo A y B son dos puntos cuya posición se conoce. Por lo tanto, es fácil efectuar el levantamiento de la línea de base AB, para medir la distancia horizontal y el azimut magnético. AB mide 123 m de largo y su azimut AB = 150°.

2. Para determinar la posición de un punto nuevo C por triángulación, ese punto nuevo se une a la línea de base conocida mediante dos nuevas líneas, formando un triángulo. A continuación es posible hallar la posición del punto nuevo:

Mida las distancias AC y BC o...

midiendo las distancias horizontales sobre las líneas que van desde la línea base a ese punto nuevo; o midiendo los azimut de las dos rectas nuevas que van de los puntos A y B, al punto C.

... mida los azimut de las líneas AC y BC Ejemplo Para determinar la posición de C, trace las líneas AC y BC desde la línea de base AB. Luego se puede: medir las distancias horizontales AC = 166 m y BC = 156 m para encontrar el punto de intersección C;

o medir Az AC = 87°y Az BC = 43° para hallar C en el punto de intersección de las dos rectas trazadas en la dirección definida por estos azimut..

3. Para determinar la posición de otros puntos nuevos, se usa el mismo procedimiento. A medida que se determina la posición de esos nuevos puntos, se elige como nueva línea base la más conveniente y se trazan nuevos triángulos.

Ejemplo

Use BC como la línea de base del nuevo triángulo BCD

Continue haciendo triángulos hasta que haya levantado todo el lugar

Para determinar la posición de D, trace el triángulo BCD y use BC como línea base. De manera análoga, para determinar los puntos E, F y G, use sucesivamente las líneas base CD, DE y EF.

Utilización del método de triangulación 4. En terrenos con muchos obstáculos, tales como colinas, ciénagas o vegetación alta, en los cuales sería difícil realizar un levantamiento por poligonal, se puede usar eficazmente el método de triangulación.

Lugar adecuado para un levantamiento por triangulación

5. Cuando se realiza un levantamiento por poligonal, pero no se logra medir directamente una recta, se puede usar en cambio el método de triangulación. 6. La triangulación permite localizar puntos fácilmente, en los lados opuestos de cursos de agua o lagos.

Utilización del método de triangulación sobre el terreno La plancheta es util para la triangulacion

7. El modo más simple de trabajar con el método de triangulación sobre el terreno, consiste en usar una plancheta (ver Sección 7.5). La Sección 9.2 enseña cómo realizar levantamientos por triangulación usando una plancheta 8. Si utiliza el método de triangulación, evite los ángulos muy grandes (superiores a 165°) y los muy pequeños (inferiores a 15°). El método es más eficaz si se trabaja con ángulos de alrededor de 60°.

7.5 Cómo utilizar la plancheta ¿Qué es una plancheta? 1. Una plancheta es un tablero de dibujo horizontal, colocado sobre un soporte vertical. Se usa con un visor, un nivel de burbuja y una brújula.

Fabricación de una plancheta muy sencilla 2. Es posible construir una plancheta muy sencilla para levantamientos de reconocimiento con un tablero de madera y un poste grueso.

3. Tome un tablero de madera blanda de 2 cm de espesor, de 50 x 60 cm. Lije con un papel de lija una de las caras del tablero hasta que esté bien lisa. Dibuje suavemente las dos diagonales para determinar el centro del tablero.

Plancheta simple

4. Tome un poste de madera rectilíneo de unos 5 cm de diámetro, alto 1 m. Corte en punta uno de los extremos. Esta parte va enterrada firmemente en el suelo, en el punto de observación, cuando se usa la plancheta. 5. Fije el tablero al extremo superior del soporte, con la parte lisa hacia arriba y mediante un tornillo en el centro. De ser posible use un tornillo de bronce.

6. Es posible construir un visor simple con una regla común de unos 50 cm de largo, clavando verticalmente dos clavos delgados en el eje de la regla. Los dos clavitos forman una línea visual.

Haga un instrumento de mira

7. Para utilizar la plancheta, también es necesaria una brújula simple Si se dispone de un nivel de burbuja, se puede usar para instalar la plancheta en una posición perfectamente horizontal. O también se puede, simplemente, colocar sobre ella un objeto redondo, tal como una pelota pequeña, una bolita de vidrio o un lápiz: la plancheta está horizontal cuando el objeto no rueda.

Asegúrese de que la tabla esté horizontal

Fabricación de una plancheta perfeccionada 8. Para realizar levantamientos más precisos, hace falta una plancheta más compleja que la apenas descrita. Esta plancheta se monta sobre un trípode (un soporte de tres patas) de manera que: se puede modificar la altura de las patas del trípode para adecuarlas a un terreno irregular; se puede colocar el tablero de dibujo en posición horizontal con precisión; · se puede orientar y rotar el tablero de dibujo con facilidad.

9. Es posible construir un trípode cuyas patas sean simples trozos de madera, o también con patas regulables. Un trípode con patas ajustables es más difícil de hacer, pero es mejor porque permite ubicar fácilmente la plancheta en terrenos con pendiente, ajustando el largo de las patas.

10. Una plancheta con un trípode normal es adecuada para realizar levantamientos en áreas horizontales o con pendiente suave, que son las que habitualmente se realizan en acuicultura. Para fabricar este tipo de plancheta, se necesita el material que se detalla a continuación 1: un tablero de madera blanda, de alrededor de 40 x 55 cm y de 2 cm de espesor; tres trozos de madera, aproximadamente de 2,50 x 4,50 cm y de 1,40 m de largo; tres bloques de madera, de unos 2,50 x 4,50 cm y de 7 cm de largo; dos piezas redondas de madera, de 15 cm de diámetro

Plancheta mejorada

y 2,50 cm de espesor; varios clavos o tornillos de madera de dos medidas: 3,50 a 4 cm y 6 a 6,50 cm de largo; cuatro tornillos de 6 mm de diámetro y de unos 6 cm de largo; cuatro arandelas y cuatro tuercas mariposa para los tornillos. 1Adaptación

de Using Water Resources, Maryland, USA, VITA Publications, 1977, pag.137-140.

11. Tome un trozo de contra enchapado de 40 x 55 y de 2 cm de espesor, para hacer el tablero de dibujo. Si la pieza es más delgada, coloque dos refuerzos de madera hechos con listones de 30 x 8 cm, de 2 cm de espesor. Fije estos refuerzos paralelamente a los lados que miden 40 cm, a unos pocos centímetros de los bordes. La madera del tablero debe ser blanda para que se puedan clavar fácilmente alfileres y chinchetas de dibujante. Si la superficie es irregular, se la debe alisar con papel de lija.

Si la tabla es demasiado delgada refuércela con listones

Pase una lija fina por la superficie

12. Construya las tres patas usando las piezas de madera de 1,40 m de largo. Talle en punta uno de los extremos de cada pieza. En el otro extremo, trace un eje paralelo al lado que mide 2,50 cm. Prolongue esta línea 5 cm hacia abajo por ambos lados de cada pata. En esos dos puntos, trace una línea perpendicular de 2,50 cm de largo; conecte los puntos finales de esta recta de 2,50 cm subiendo por el lado de la pata y pasando por arriba. Corte el bloque así marcado, que mide 2,50 x 2,50 x 5 cm, y deséchelo. Redondee con un cuchillo o con papel de lija, los bordes de las dos lengüetas de madera que quedan, dirigidas hacia el costado de la pata que mide 2,50 cm. 13. En ambas lengüetas, perfore un hueco de 6 mm a 1,3 cm de la parte superior de la pata. Redondee los extremos con la entalladura

Sáquele punta a los listones

Perfore dos agujeros

14. Construya la pieza giratoria de conexión entre el tablero de dibujo y las patas del trípode, usando los dos trozos redondos y los tres pequeños bloques de madera. Perfore un hueco de 6 mm en el centro de uno de los discos de madera de 15 cm. Pase un tornillo de 6 mm por el agujero, cuidando que la cabeza del tornillo sobresalga del disco.

Pase el tornillo por el centro del disco

15. Determine el centro de la superficie inferior del tablero trazando las dos diagonales que unen los ángulos opuestos. Ponga el disco de madera sobre este lado del tablero, haciendo coincidir el tornillo y la

Clave el disco a la tabla haciendo que sobresalga el tornillo

marca del centro. Clave o atornille el disco de madera en ese lugar.

16. Tome el segundo disco de 15 cm y marque los puntos de fijación de las –patas. Para hacer esto, primero dibuje dos rectas perpendiculares a través del círculo, de diámetros a y b. Usando la recta b como la línea 0 – 180°, dibuje otras dos líneas desde el centro del círculo hasta el borde a 45° y 135°, que son los radios c y d. Las líneas dividen la mitad del círculo en cuatro secciones iguales. Haga un agujero de 6 mm en el centro del círculo.

17. Perfore un hueco de 6 mm sobre el eje de la cara de 4,50 x 7 cm, de cada bloque de madera, a 1,30 cm del borde. Clave o atornille estos tres bloques de 7 cm en la superficie del segundo disco, de tal manera que dibujen una Y alrededor del agujero central. Para lograr ésto, alinee los ejes de las caras de 2,50 x 7 cm con las rectas a, c y d trazadas como se ha explicado en el punto 16. Los extremos ahuecados de cada bloque deben dirigirse hacia el borde del disco. Perfore un agujero en cada taco de madera

Clave o atornille los tacos al disco en las marcas que se han dibujado

18. Coloque este disco de madera, con los tres bloques mirando hacia usted, contra el disco ya fijado a la parte inferior del tablero. Pase el tornillo que sobresale del primer disco por el agujero central del segundo, coloque una arandela y una tuerca mariposa y ajuste bien.

19. Alinee los agujeros realizados en las tres patas con aquellos perforados en los tres bloques de madera, en la parte inferior del tablero. Fije las patas con tornillos, arandelas y tuercas mariposa a los tres bloques. La plancheta está lista para ser usada. 20. También se necesita un pequeño nivel de burbuja, una brújula y un dispositivo visual llamado alidada. Ya se ha hablado anteriormente de un tipo de alidada (ver Sección 31), pero ésta es algo diferente.

Monte el disco en la tabla

Fabricación artesanal de una alidada 21. Con la plancheta descrita en los puntos anteriores, conviene utilizar una alidada de unos 40 cm de largo. Tome un listón rectilíneo de madera de 40 cm de largo, 5 cm de ancho y 0,5 a 1 cm de espesor. Determine el eje, mida 5 cm desde cada extremo y trace una perpendicular desde el borde de la alidada al eje. Recorte la sección que acaba de dibujar.

22. Tome una lata de conserva, vacía y limpia, quítele el fondo y la parte superior. Corte este tubo en sentido vertical y aplástelo para obtener una hoja de metal. 23. Corte dos piezas de 5 cm x 12 cm cada una, de esta hoja de metal. Marque el eje longitudinal de cada pieza, trazando con la punta de un clavo una raya superficial.

24. En una de estas piezas, corte una ranura de 8 cm 25. En la segunda pieza, recorte una ventana de 3 cm x a lo largo del eje, comenzando a 1 cm del borde de 5 8 cm, como se muestra en la ilustración. cm.

26 . En la pieza c on la ventana, perfore un pequeño agujero en la línea del eje, a cada lado del marco de la ventana. Pase un hilo fino (por ejemplo, un alambre o un hilo de pesca de nylon) por los huecos y anude cada extremo detrás de la pieza metálica. El hilo debería coincidir exactamente, con la línea media de la ventana.

27. En cada pieza metálica, con la ayuda de un clavo, marque profundamente una línea perpendicular al eje, a 2 cm del borde no recortado. Haga tres pequeños agujeros paralelos a la línea, entre ella y el borde, usando un martillo y un clavo. Pliegue en ángulo recto, con un doblez neto, este extremo de la pieza a lo largo de la la línea marcada.

28. Fije las piezas metálicas a ambos extremos de la plancha de madera preparada en el punto 21. Utilice para ello tornillos pequeños, colocados en cada agujero practicado en el metal. Verifique que: los lados verticales de las piezas metálicas forman ángulos rectos con la parte horizontal; y el eje de cada pieza metálica (marcado por la ranura y el hilo) está alineado con el eje de la tabla de madera.

La alidada se usa apoyada plana sobre la plancheta. Se mira a través de la ranura y el hilo. Se traza la línea correspondiente al eje de la tabla de madera.

Utilización de la plancheta 29. Se puede usar la plancheta de dos maneras diferentes, dependiendo del tipo de levantamiento que se quiera hacer: en prospecciones, para hacer rápidamente en el campo, mapas y planos; en levantamientos topográficos posteriores, para completar los detalles luego que se han determinado los puntos primarios.

La plancheta también se puede usar para medir ángulos horizontales. 30. Antes de llevar a cabo un levantamiento planimétrico con plancheta, es necesario:

fijar una hoja de papel de dibujo sobre el tablero; colocar la plancheta sobre el punto elegido como estación; nivelar la plancheta, o colocarla horizontalmente; orientar el tablero en la dirección de la línea sobre la que se efectúa el levantamiento.

Otras indicaciones sobre estos procedimientos aparecen en puntos sucesivos (ver 34 - 47).

31. Para iniciar un levantamiento con la plancheta, se procede de la siguiente manera: mire con la alidada un punto elegido previamente (una visual hacia adelante);

trace esa línea visual sobre el tablero de dibujo con un lápiz afilado de mina dura; mida la distancia horizontal desde la estación hasta el punto; transporte esa distancia a la línea que ha dibujado, usando una escala adecuada; si es necesario, desplácese a otra estación y mire hacia atrás (una visual hacia atrás) a lo largo de la línea que ha dibujado; repita el procedimiento descrito para todas las líneas objeto del levantamiento.

Otras indicaciones sobre estas operaciones aparecen más adelante (ver Capítulo 9).

¿Cuáles son las ventajas del levantamiento con plancheta? 32. Comparado con otros métodos de planimetría, el

uso de la plancheta es preferible en algunos sentidos, por las siguientes razones: es el único método que permite realizar un plano o mapa en el terreno; sólo es necesario determinar algunos pocos puntos, ya que se dibuja el plano a medida que se procede al levantamiento; es posible representar fácilmente y con precisión líneas y superficies irregulares; se puede trabajar rápidamente una vez que se aprende el método; no es necesario medir ángulos, con lo cual se evita una posible fuente de error; se representan todos los objetos observados sobre el terreno y de esa manera se evita olvidar alguna característica que se debía medir; se puede verificar fácilmente la posición de los puntos medidos.

¿Cuáles son las desventajas del levantamiento con plancheta? 33. La utilización de la plancheta supone algunos inconvenientes: la plancheta y el equipo adicional son elementos pesados e incómodos de transportar; se requiere un cierto tiempo para aprender a usar la plancheta correctamente; es un método que sólo se puede aplicar en terrenos relativamente abiertos, donde es posible ver la mayoría de los puntos de levantamiento; no se puede usar el método con mal tiempo, por ejemplo en caso de lluvias o vientos fuertes.

Instalación de papel sobre el tablero de dibujo 34. El papel de dibujo que se coloca sobre la plancheta debe ser de la mejor calidad posible. Como se usa al aire libre, es importante prepararlo para que resista los cambios de humedad del aire. Con un paño húmedo, se humedece ligeramente el papel y se seca varias veces antes de usarlo. Esta operación se llama envejecimiento del papel. Nota: cuando proceda a envejecer el papel tenga

cuidado y no lo moje demasiado. 35. Corte la hoja de papel de dibujo unos 20 cm más

grande que el tablero. 36. Recorte diagonalmente los cuatro ángulos del papel. Para hacer esto, mida 20 cm en los dos lados de cada ángulo y marque los puntos. Una estos puntos con una línea y corte a lo largo de la diagonal así definida.

37. Humedezca ligeramente por última vez la parte de atrás del papel de dibujo y colóquelo sobre el tablero. Estírelo bien (cuidando que no se rompa) y asegure los bordes debajo del tablero con chinchetas. Esto evita que el papel se mueva y que se pueda volar con el viento.

38. Si debe trabajar en el campo durante varios días con la misma hoja de papel, la debe proteger cubriéndola con una hoja de papel suave y pesado. A medida que se avanza con el trabajo, se arrancan trozos de la hoja protectora y se dejan al descubierto sucesivas partes de la hoja de dibujo. 39. Conviene transportar la plancheta en una bolsa de tela impermeable cuando se la lleva al campo.

Instalación de la plancheta 40. Si se inicia el levantamiento en una estación determinada, la primera cosa que se hace es instalar la plancheta sobre ese sitio. Nota: la plancheta se debe instalar de manera tal que

un punto dibujado en la hoja coincida exactamente con el correspondiente punto en el suelo. Se puede usar para ello un brazo metálico en forma de V y una plomada, que son elementos fáciles de fabricar. En su lugar se puede usar un compás junto con la plomada. El extremo del brazo metálico o una punta del compás se colocan tocando el punto sobre la plancheta y el otro extremo debajo del tablero. Se cuelga la plomada en el punto indicado en la parte inferior del tablero y se

mueve la plancheta hasta que el hilo de la plomada esté directamente sobre el punto A en el suelo.

41. Abra todo lo posible las patas del trípode y clávelas firmemente en el suelo. La plancheta se debe encontrar a la altura de su cintura, se manera que se puede inclinar sobre ella, pero sin apoyarse.

42. Haga girar la parte superior de la plancheta hasta que el papel esté en una posición tal que le permita dibujar toda el área que se debe levantar.

43. Elija la escala que va a usar (ver Sección 9.1) , y asegúrese de que con ella podrá representar en el papel incluso los puntos más distantes. Lo mejor es recorrer rápidamente a pie el terreno, midiendo las distancias con los pasos santes de decidir cuál es la escala adecuada (ver Sección 2.2). Nivele la tabla en ambas direcciones

44. Nivele la plancheta lo más horizontal posible, con la ayuda de un nivel de burbuja. Para hacer esto, coloque primero el nivel en un costado del tablero, paralelo a dos patas del trípode y desplace la plancheta hasta que esté horizontal. Luego coloque el nivel en un costado

perpendicular al anterior, apuntando hacia la tercera pata

del trípode y ajuste nuevamente. Repita procedimiento hasta que el tablero esté horizontal.

el

Orientación de la plancheta 45. Es posible orientar la plancheta con la ayuda de una brújula y también mediante una visual hacia atrás . Generalmente, el tablero se orienta primero, aproximadamente, con la brújula y luego en forma más precisa con la visual hacia atrás.

46. Si usa una brújula (ver Sección 3.2) gire la brújula hasta que la dirección de la aguja se alinee con la dirección sur-norte, o la dirección 180° – 360°. Dibuje sobre la plancheta una línea indicando esta dirección. Dibuje otra línea en la misma dirección, en otra parte del papel. Marque la dirección del norte sobre estas líneas con una flecha y la letra N. Nota:

recuerde que debe alejar todos aquellos elementos que pueden afectar la posición de la aguja magnética de la brújula (ver Sección 3.2, punto 1.7). 47. Si en una estación de levantamiento planimétrico, se conoce la dirección de una línea ya representada en el tablero, se puede usar dicha línea para orientar la plancheta mediante una visual hacia atrás. Es el modo más preciso de orientar una plancheta y conviene utilizarlo siempre que es posible. Estación B Ejemplo Desde la estación A, ya ha dibujado la línea recta ab. Instale la plancheta en la estación B. Coloque el eje de la alidada en la dirección de la recta ba sobre la plancheta. Gire el tablero hasta que la línea de mira de la alidada se alinee con la línea BA sobre el terreno. La plancheta ahora está orientada. Se puede llevar a cabo el levantamiento planimétrico y marcar nuevos puntos.

Utilización de la plancheta para prospecciones 48.Cuando se llevan a cabo prospecciones, el uso de la plancheta permite representar rápidamente áreas y poligonales abiertas. El levantamiento planimétrico utiliza algunos de los métodos explicados más arriba, en este capítulo o una combinación de ellos. Los métodos pueden ser: poligonal (ver Sección 7.1);

radiación (ver Sección 7.2); or

triangulación (ver Sección 7.4).

El Capítulo 9 brinda indicaciones adicionales sobre cómo dibujar planos con la ayuda de una plancheta , utilizando alguno de esos métodos.

Utilización de la plancheta para el levantamiento de detalles topográficos 49. Una vez concluida la prospección y representadas con precisión las principales estaciones, también se puede utilizar la plancheta para señalar la posición de detalles tales como formaciones rocosas, edificios, un pozo o un grupo de árboles.

50. A tal efecto, coloque la plancheta sucesivamente

Estaciones principales ABCD

en cada una de las estaciones principales y determine líneas visuales hacia cada uno de estos detalles topográficos. 51. Es posible localizar sobre la plancheta la posición de cada detalle determinando el punto de intersección de al menos tres líneas visuales. No es necesario realizar mediciones adicionales.

Ejemplo Durante una prospección, se ha representado con precisión el emplazamiento de una granja acuícola ABCDA, usando una plancheta. Se quiere conocer la posición exacta de una roca que sobresale X y de un grupo de edificios Y. Se procede de la siguiente manera: coloque la plancheta sobre el punto A, orientándola mediante una visual hacia atrás hacia las líneas conocidas AB y AD; trace las líneas AX y AY; mueva la plancheta hacia el punto B, orientándola con referencia a las líneas AB y BC y trace la línea BX; vaya al punto C y trace las líneas CX y CY; vaya al punto D y trace la línea DY; determine la posición de X en la intersección de AX, BX y CX; determine la posición de Y en la intersección de CY, DY y AY. Parcela ABCDA

Líneas de mira desde el punto A

Línea de mira desde el punto B

Línea de mira desde el punto C

Línea de mira desde el punto D

Las intersecciones determinan los puntos X e Y

Medición de ángulos horizontales con la plancheta 52. Se pueden medir ángulos horizontales con bastante precisión, dibujando la trayectoria de líneas visuales en la plancheta y midiendo esos ángulos con un transportador (ver Sección 3.3).

Dibuje ab

Dibuje ac Ejemplo es necesario medir el ángulo BAC formado por las rectas AB y AC, que han sido correctamente señaladas en el terreno. El primer paso es colocar la plancheta en la estación A; coloque la alidada de manera tal que pase por el punto a y mire hacia el punto B. Trace la línea ab;

con el eje de la alidada pasando por el punto a, mire hacia el punto C y trace la línea ac; mida el ángulo bac con el transportador.

Mida bac