Les Poutres Continues Cours

Chapitre 6   LES POUTRES CONTINUES Application de la méthode des forces

A- POUTRES CONTINUES A ÂME PLEINE 6.1 INTRODUCTION Les poutres continues sont des structures qu'on rencontre très fréquemment dans les constructions courantes. On appelle poutre continue une poutre reposant sur plusieurs appuis. Il s’agit généralement d’appuis simples, à l’exception d’un seul qui est un appui double et dont le rôle consiste à assurer la stabilité géométrique de la poutre, comme empêcher la translation horizontale dans le cas de la figure 6.1. L’appui double peut être placé à une extrémité ou, plus généralement, être un appui intermédiaire.

0

l1

1

lk 

k 

ln

n

Figure 6.1 : Poutre continue avec le mode de numérotation des travées Les extrémités d’une poutre continue peuvent très bien comporter des porteà-faux ou être encastrées. Le traitement de ces cas particuliers est abordé plus loin. Les poutres continues sont des systèmes hyperstatiques puisqu’elles présentent des liaisons surabondantes (toutes les liaisons en plus de ce que doit comporter une poutre isostatique). Dans le cas d’une poutre sans encastrements, le nombre de liaisons surabondantes, donc le degré d’hyperstaticité, est égal au nombre d’appuis intermédiaires. Comparativement à une série de poutres bi-articulées dont le nombre est égal à celui des travée tr avéess d’une d’un e poutre continue, cette dernière est plus économique car

96

CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES 

les moments fléchissants qui la sollicitent sont plus faibles. La comparaison est encore plus nettement à l’avantage de la poutre continue par rapport à une poutre isostatique unique de même longueur. Dans une poutre continue, les appuis intermédiaires contribuent à réduire et à mieux répartir sur toute la poutre le moment fléchissant (qui est la sollicitation prépondérante). Cette observation reste valable pour les déplacements qui sont nettement moins importants dans le cas des poutres continues. Ces dernières présentent par ailleurs une plus grande rigidité et résistent de ce fait mieux à l’action dynamique. Les charges considérées ici sont supposées être appliquées statiquement. Elles sont constituées de charges transversales (voire inclinées), concentrées ou réparties, et de couples. Contrairement aux poutres isostatiques, les poutres continues, comme tous les systèmes hyperstatiques, sont très sensibles aux déplacements des appuis. Ce phénomène a déjà été mis en exergue dans un exemple d’application des formules de Bresse traitant une poutre continue soumise au seul effet de l’affaissement d’un de ses appuis. Lorsque des tassements d’appuis sont à craindre, les poutres isostatiques sont mieux indiquées. Si pour quelque raison que ce soit des appuis intermédiaires sont nécessaires, on ajoute à la poutre continue des articulations judicieusement placées de manière à la rendre isostatique et annuler ainsi sa sensibilité aux affaissements des appuis susceptibles susceptibles de se produire. Ce type de poutre - poutre reposant sur plusieurs appuis et rendue isostatique par l’ajout de rotules - est désigné par   poutre Gerber . Elles sont obtenues en ajoutant autant d’articulations qu’il y a d’appuis intermédiaires. Pour s’assurer que la structure obtenue est bien isostatique et qu’il n’y a ni tronçon déformable (tronçon libre constituant un mécanisme) ni tronçon hyperstatique, il suffit de respecter la règle suivante : pas plus de deux articulations entre deux appuis, ni plus de deux appuis entre deux articulations. A titre d’exemple, la figure 6.2 montre les deux façons possibles d’obtenir une poutre type Gerber dans le cas de deux appuis interméd int ermédiaires. iaires. (a)

(b)

Figure 6.2 : Exemples de poutres Gerber L’influence du moment fléchissant sur les déformations étant prépondérante dans les poutres continues, c’est la seule sollicitation dont il sera tenu compte lors du calcul des déplacements que nous serons amenés à effectuer.

A - P o u t r es e s c o n ti t i n u e s à âm â m e p l e i ne ne  

97

6.2 APPLICATION DIRECTE DE LA METHODE DES FORCES Considérons une poutre continue horizontale sans encastrements (Figure 6.3a). L'application directe et intuitive de la méthode des forces conduit à considérer comme inconnues hyperstatiques les réactions (verticales) des appuis intermédiaires. intermédiaires. Le système de base obtenu par suppression des liaisons verticales des appuis intermédiaires est une poutre simplement appuyée (Figure 6.3b). Dans ce cas, le calcul des moments unitaires msk  (Figure 6.3c et 6.3d) et du moment provoqué par les charges extérieures  M sF  sF , nécessaires au calcul des coefficients

δ iju

(a) 0

l1

1

l2

2

l3

3

(b)  X 1

 X 2

(c)  X 1=1

(d)  X 2=1

Figure 6.3

et δ  jF  , ne

présente aucune difficulté. difficulté. Cependant, ce choix n’est pas intéressant car il implique des calculs fastidieux à cause notamment du fait que les moments msk  et M  et  M sF  sont généralement généralement différents de zéro sur toute la longueur de la poutre. De la sorte, les éléments de la matrice de souplesse [ δu] et du vecteur déplacement [ δF ] sont tous non nuls. Ceci n’est pas la seule raison ; il en existe une autre plus déterminante. Chaque colonne de la matrice [δu] représente les déplacements (flèches s’il s’agit d’une poutre horizontale) des points d’application des inconnues hyperstatiques provoqués par une sollicitation unitaire. Pour une poutre comportant plusieurs appuis intermédiaires, deux colonnes successives de [ δu] auront des valeurs très proches et seront comparables. De ce fait, la matrice [ δu] devient pratiquement singulière et conduit à des solutions très imprécises lors de la résolution du système d’équations canoniques. Aussi, on opte pour un autre choix des inconnues hyperstatiques de manière à contourner cette difficulté et à réduire les calculs.

98

CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES 

6.3 FORMULE DES TROIS MOMENTS 6.3.1 Etablissement de la formule Considérons une poutre continue sans encastrements à n travées travées (Figure (Figur e 6.4). Son degré d'hyperstaticité est égal à n-1. n-1.

0

1

k- 1

l1

k lk 

n

k+1 ln

lk+1

Figure 6.4 Prenons pour inconnues hyperstatiques les moments fléchissants agissant au droit de chaque appui intermédiaire. Pour ce faire, on procède à des coupures de manière à supprimer la liaison de moment au niveau de chaque appui. S’agissant d’inconnues hyperstatiques internes, chaque coupure libère deux inconnues (des moments) égales est opposées. En pratique, cela revient à introduire une articulation au-dessus de chaque appui intermédiaire (Figure 6.5a). Pour remplacer les liaisons supprimer, on applique aux lèvres de chacune des coupures deux couples égaux et opposés ( M   M 1 , M 2 , …, M n-1) (Figure 6.5b). (a)

 X 1=M l

 X k-1 k-1 =M k-1 k-1  X k  k =M  k  k   X k+1 k+1 =M k+1 k+1

 X n-1 n-1 =M n-1 n-1

(b) 0

1

k

k- 1

k+1

n- 1

n

Figure 6.5 : Système statique de base Le système statique de base ainsi obtenu présente une propriété remarquable. En effet, on r emarque que si on charge une travée, les autres autr es ne subissent aucune influence. Ce résultat signifie que le système principal se comporte comme une succession de poutres simplement appuyées obtenues par séparation des n travées (Figure 6.6).  M 1

 M 1

 M k-1 k-1

 M k-1 k-1

 M k k 

 M k k 

 M k+1 k+1

Figure 6.6

 M k+1 k+1

 M n-1 n-1

 M n-1 n-1

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99

Pour calculer les moments inconnus aux appuis, on applique le théorème de Menabrea pour chacun d’eux :

∂W  ∂W  = c1 , = c  , ∂ M 1 ∂ M 2 2

...

∂W  =c , ∂ M k  k 

∂W 

.. .

∂ M n − 1

= cn − 1

où les ci représentent les manques de concordance des appuis. Ils sont nuls dans le cas des systèmes concordants. Les équations du système ci-dessus peuvent se mettre sous la forme connue de Müller-Breslau. L’équation courante relative à l’inconnue M  l’inconnue M k k  s’écrit :

∂W  =c ⇔ ∂ M k  k

n -1

∑

δ uki Mi + δ kF = ck

 

i=1

En développant l’expression précédente, le système des "n-1 " n-1"" équations de continuité prend la forme :

δ 1u1 M 1 + δ u12 M 2 +. . .+δ 1un −1 M n− 1 + δ 1F  = c 1

........................................ ....................................................... .................... ..... u u u δ k 1 M 1 + δ k 2 M 2 + . . .+δ kn−1 M n −1 + δ kF = c k   ...................................... ......................................................... ........................ ..... u u δ n−11 M 1 + δ n −12 M 2 + . . .+δ n −1n −1 M n −1 + δ n −1F = c n −1 Chacune des équations exprime la condition de continuité de la poutre déformée au-dessus d'un appui. L’équation k par k  par exemple, exprime que la rotation relative entre les lèvres de la coupure audessus de l'appui k  est égale au manque de Tangente d  concordance correspondant. Dans le cas d’un ( θ k  ) système concordant cette rotation relative est nulle ; ou encore que la rotation à gauche ( θ est égale à la rotation à droite ( θ

d  k  )

g k  )

Les coefficients

δ iju

et

δ iju

et

k 

; ce qui

signifie aussi qu'en chaque point (appui par exemple) il n'y a qu'une tangente car la ligne élastique (la déformée) est continue (Figure 6.7). Signification des coefficients

g ( θ k  )

Figure 6.7

δ iF 

δ iF  représentent les rotations relatives des lèvres de

la section coupée i du système de base. Les premières sont des rotations par unité de couple. •

δ iju

est la rotation relative des lèvres de la section i du système de base,

sous l’effet d’un couple unitaire appliqué aux lèvres de la coupure j coupure  j (les sections i et j et j se trouvant dans le cas présent au dessus des appuis intermédiaires i et j et j). ). •

δ iF 

est la rotation relative des lèvres de la section i du système de base,

sous l’effet des charges extérieures (notées F ). ).

100

CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES 

Considérons par exemple l'équation de continuité k (relative k  (relative à la coupure k ). ). Elle s’écrit :

δ uk 1 M1 + δ uk 2 M2 +...+δ ukk −1 Mk −1 + δ ukk Mk + δukk +1Mk +1+...+δ ukn−1Mn −1 + δ kF = ck On voit apparaître dans l’équation les coefficients

δ ukj

  (6.1)

avec j avec  j = 1, 2, … , n-1

et δkF . Si nous ne tenons compte que du moment fléchissant, qui est la sollicitation prépondérante, ces coefficients s’obtiennent par les intégrales suivantes :

δ kju =

 L

∫  0

msk msj  EI 

δ kF  =

dx (a)

 L  M

sF m sk  

0

 EI 

∫ 

(6.2)

dx (b)

n

L = long longue ueur ur tota totale le =

∑l

i

i=1

où msk  (mk ) et msj (m j) sont les moments fléchissants produits dans la section courante s du système fondamental par les couples unitaires M  unitaires M k =1 et M  et M  j=1 agissant en k  et en  j,  j, respectivement (Figure 6.8).  M sF  étant le moment fléchissant dans la section courante du système système de base sous l’action des charges extérieures (F ). ).  M k k =1 (a)

k-1

k+1

k 

lk 

1

lk+1  M  j=1  j-1

(b)

 j

l j

 j+1

1

l j+1

Figure 6.8 : Diagrammes  m sk et m sj On constate que chaque couple unitaire produit un moment fléchissant uniquement sur les deux travées situées de part et d'autre de l'appui où il est appliqué. Pour que les moments dans la section courante courante s produits par M  par  M k =1 et M  et M  j=1 soient simultanément différents simultanément différents de zéro, il faut que les indices k et k  et j  j ne diffèrent

δ ukj sont nuls dès que k 

pas de plus d'une unité. On en déduit que les coefficients

diffère de j de j de plus d'une unité. Ainsi, dans l'équation (6.1) seuls les coefficients

δ k u −1 k  , δ ukk  et δ uk k +1 sont différents de zéro. Compte tenu de ce résultat, l'équation générale de continuité (6.1) se simplifie et devient :

δ uk k -1 M k −1 + δ uk k M k + δ ukk +1 M   k +1 + δ kF = c k

 

(6.3)

A - P o u t r es e s c o n ti t i n u e s à âm â m e p l e i ne ne  

101

ou encore :

δ uk k -1 M k −1 + δ uk k M k + δ ukk +1 M   k +1 = ck − δ kF

(6.4)

 

On remarque que trois moments fléchissants interviennent dans cette équation, d'où son nom de " formule des trois moments". moments ". 6.3.2 Calcul des coefficients de la formule des trois moments Il reste à calculer les coefficients intervenant dans l'équation (6.4). Considérons une poutre continue sans encastrement comportant n travées. Les diagramet + 1 δ ukk − 1  δ ukk , δ ukk 

mes unitaires permettant le calcul des coefficients

sont

représentés à la figure 6.9.

 M k-1 k-1 =1 k-2

(a)

k 

k-1

1 lk-1

lk   M k k =1 k-1

(b)

k+1

k 

1 lk 

lk+1

 M k+1 k+1 =1 k  k+1

(c)

k+2

1 lk+1

lk+2

Figure 6.9 : Diagrammes unitaires m sk-1, m sk et m sk+1 • Calcul de

δ

u kk − 1

=

 L

∫

δ ukk −1 : msk msk −1  EI 

0

n

dx =

i=1

avec : msk −1

=1−

 x l k 

et msk  =

∑ ∫ 

 x l k 

li

m sk m sk −1

o

( EI )i

 

dx =

lk 

∫  0

msk msk − 1 ( EI )k 

(6.5)

CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES 

102

d'où :

δ

u kk −1

lk

 x

0

lk

∫

=

   x   dx 1 = 2  1 −     lk   ( EI )k  l k 

lk 

∫ 

x( l k  − x ) ( EI )k 

0

dx

(6.5)’

Si ( EI)  EI)k  est constante sur lk , on obtient : lk 

u δ kk  −1 =

6( EI )k 

Ce dernier résultat - cas avec (EI)k  constante sur la travée lk  - s'obtient plus rapidement avec la méthode graphique ; il vient :

 1 .1. l   1   = lk   k       3   6 ( EI )k  ( EI )k   2 1

u δ kk  −1 =

Si la rigidité flexionnelle varie sur chaque travée, on calcule les coefficients analytiquement comme on l'a fait pour

δ ukk −1 .

Pour le reste des calculs nous supposons que EI  que  EI est est constante sur chaque travée. • Calcul de u δ kk  =

δ ukk  (méthode graphique)

 1 .1. l   2  + 1  1 .1. l   2   = lk  + lk + 1   k     k + 1       3   ( EI )k +1     3   3( EI )k  3( EI )k +1 2 ( EI )k   2 1

• Calcul de

δ ukk +1

δ ku k +1 = • Calcul de

(6.6)

(méthode graphique)

 1 .1. l   1   = l k +1  k + 1       3   6 ( EI )k +1 ( EI )k +1  2 1

(6.7)

δ kF 

Par définition, voir relation 6.2 (a) : n

δ kF  =

li

msk M sF

0

( EI )i

∑ ∫  i =1

 

dx =

∫

lk

0

msk M sF ( EI )k 

dx +  

lk + 1

msk M sF

0

( EI )k +1

∫ 

  dx

(6.8)

Seules les deux intégrales sur lk  et lk+1 subsistent puisque msk  est nul en dehors de ces travées. Soit :

δ kF =  Rk g ( F ) + Rk d ( F )

(6.9)

-  Rk g ( F ) = rrotation otation de la section k (au-dessus k (au-dessus de l'appui k ) du système statique de base sous l'effet des charges extérieures agissant sur la travée lk . -  Rk d ( F ) = rotation de la section k du système statique de base sous l'effet des charges appliquées sur la travée lk+1.

A - P o u t r es e s c o n ti t i n u e s à âm â m e p l e i ne ne  

• Calcul pratique de

103

δ kF 

1ère méthode Considérons les travées lk  et lk+1 (du système isostatique de base) adjacentes à l'appui considéré k . Les deux travées constituent deux poutres simplement appuyées comme on l’a vu. Le diagramme des moments fléchissants de chaque poutre sous les charges extérieures peut être aisément obtenu. Selon la méthode de la poutre conjuguée, utilisée pour le calcul des déplacements des systèmes isostatiques (voir chapitre 2), si on charge (fictivement) les poutres par leurs diagrammes des moments g ( F )

respectifs divisés par la rigidité flexionnelle (q ( q f =M sF   /EI ), ), alors  Rk 

et

r éaction tion en k de k de la poutre de gauche et la réaction en k de k de la  R k d ( F ) constituent la réac poutre de droite, respectivement respectivement (Figure 6.10).  M sF   /EI  sF  k-1

k 

k+1

lk 

lk+1

 R

g ( F ) k 

 R

d ( F ) k 

b) Poutres conjuguées

a) Diagramme M sF  sF 

Figure 6.10 2ème méthode Sachant que le moment msk  vaut vaut “ x/lk  ” sur la travée lk  et “ 1-x/lk+1 ” sur la travée lk+1, l’équation (6.8) devient :  M sF x

lk

δ kF  =

∫

=

1

0

l k 

l k ( EI )k 

∫

lk

0

dx +

 xM sF  ( EI )k 

lk + 1

∫ 

dx +

0

1 l k +1

 M sF  ( EI )k +1 lk + 1

∫  0

(1−

( l k +1

 x l k +1

)dx

− x ) M sF 

( EI )k +1

dx

La première intégrale représente le moment statique du diagramme “ M sF   /(EI)k  ” sur la travée lk  par rapport à l’appui “ k-1 ” alors que la deuxième donne le moment statique du diagramme “ M  “ M sF   /(EI)k+1 ” sur la travée lk+1 par rapport à l’appui k+1. k+1. L’équation précédente peut s’écrire :

δ kF  =

S k  l k 

+

S k +1 l k +1

(6.10)

où S k  et S k +1 sont les moments statiques définis plus haut. Dans le cas où la rigidité flexionnelle est constante sur chaque travée, l’expression précédente prend la forme :

CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES 

104

δ kF  =

1 l k ( EI )k 

Ω k z k  +

1 l k +1 ( EI )k +1

Ω k +1 z k +1

(6.11)

- Ωk  est l’aire du diagramme M  diagramme M sF  sur la travée lk . - Ωk+1 est l’aire du diagramme M  diagramme M sF  sur la travée lk+1. - zk  distance de l’appui “ k-1 ” au centre de gravité de

Ωk .

-  z k +1 distance de l’appui “ k+1 ” au centre de gravité de Ωk+1. • Calcul de ck  Le manque de concordance d’un appui est représenté par le déplacement linéaire ou angulaire qu’il subit depuis sa position concordante jusqu’à sa position réelle. Dans le cas présent, les manques de concordance à introduire sont des déplacements angulaires et la position concordante correspond correspond à la position horizontale. Les manques de concordance proviennent des dénivellations ∆ que peuvent subir les appuis (Figure 6.11). Comme nous travaillons dans le cadre des petits déplacements, les dénivellations sont suffisamment petites et de ce fait les angles de discontinuité (Figure 6.11c) peuvent être confondus avec leurs tangentes.

(a)

k 

k-1

∆k-1

k+1

β

α

∆k+1 ∆k 

(c)

(b) (a) Position concordante. (b) Position réelle. lk 

lk+1

Figure 6.11 Le manque de concordance est donné par : ck  = α + β = tgα + tgβ = (∆k - ∆k-1)/lk  + (∆k - ∆k+1)/lk+1 = (∆k - ∆k-1)/lk  - (∆k+1- ∆k )/lk+1

(6.12)

Les dénivellations sont comptées positivement vers le bas. En introduisant dans l'équation des trois moments (6.4) les valeurs trouvées des différents coefficients on obtient :

A - P o u t r es e s c o n ti t i n u e s à âm â m e p l e i ne ne  

 M k −1

∫

msk msk − 1

lk

( EI )k 

0

+  M k +1 =

lk + 1

∫ 

 dx + M k   

msk msk + 1 ( EI )k +1

0

∆ k − ∆ k −1 l k 

−

∫

2 msk 

lk

( EI )k 

0

dx +

 dx  + ( EI )k +1  2 msk 

lk + 1

∫  0

dx =

∆ k +1 − ∆ k  l k +1

105

(6.13)

∫

−

lk

msk M sF

dx −  

( EI )k 

0

lk + 1

msk M sF

0

( EI )k +1

∫ 

  dx

ou encore :  M k −1 lk 2

∫

1 x( lk  − x ) dx + M k  2 ( EI )k   lk 

lk

0

+

 M k +1

−

1

lk +1

∫ 

lk 2+1 lk 

0

 xM sF 

0

( EI )k 

dx −

1 lk +1

dx +

( EI )k 

0

x( lk +1 − x ) dx = ( EI )k +1

lk

∫

∫

 x2

lk

lk + 1

∫  0

lk + 1

1 lk 2+1

∫ 

( lk +1 − x )2 ( EI )k +1

0

 

dx  +

∆ k − ∆ k −1 ∆ k +1 − ∆ k  − lk 

(6.13)’

lk +1

( lk +1 − x ) M sF  dx ( EI )k +1

Ces expressions sont valables dans le cas général. Cas particuliers 1) Chaque travée a sa rigidité flexionnelle constante.  M k −1

 l  l l + 2 M k   k  + k +1  +  M k +1 k +1 = ( EI )k  ( EI )k +1  ( EI )k  ( EI )k +1  l  ∆ k − ∆ k −1 ∆ k +1 − ∆ k   6  = 6  −  − l ( EI ) 0   M sF xdx l l k  k +1 k    k l k 

∫ 

(6.14)

sF  xdx

(6.15)

k 

−

6  l k +1 ( EI )k +1

lk + 1

∫  0

M sF ( l k +1

− x )dx

2) Rigidité flexionnelle constante sur toute la poutre. M k −1l k

+ 2 M k ( l k + l k + 1 ) + M k +1 l k + 1 =    ∆ − ∆ k −1 ∆ k +1 − ∆ k   6  = 6  EI  k − − l l l k  k +1   k  −

6  l k +1

lk + 1

∫  0

M sF ( l k +1

lk 

∫  M 0

− x )dx

3) Le système est concordant et EI  et  EI est est constante sur toute la poutre. M k −1l k

+ 2 M k ( l k + l k + 1 ) + M k + 1 l k +1 =   =−

6 l k 

∫

lk

0

M sF xdx −

6  l k +1

lk + 1

∫  0

M sF ( l k +1

− x )dx

(6.16)

CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES 

106

On peut remplacer le second membre par la réaction fictive agissant en k  : Rk F  = Rk g ( F ) + Rk d ( F ) . Cette réaction est positive si elle est dirigée de bas en haut. On écrit l'équation des trois moments pour chaque appui intermédiaire. 6.3.3 Points particuliers 1) Présence d'un encastrement : on remplace l'encastrement par une poutre adjacente dont on fera tendre la longueur vers zéro en appliquant la formule des trois moments. 2) Présence d'un porte-à-faux (console) : la console sera remplacée rempla cée par ses effets, pour l'application de la formule des trois moments. 3) Couple concentré en un appui intermédiaire : on peut soit le diviser entre les deux travées adjacentes, soit le reporter sur l'une des deux. 6.3.4 Calcul des éléments de réduction 1) Réaction de l’appui k  - Action des moments aux appuis seuls (Figure 6.12). g

 R k ( M )  R kd( M )

= =

 M k −1

− M k 

l k   M k +1

 M k+1 k+1

k 

− M k 

k-1

g  R k ( M )

l k +1

lk 

- Action des forces extérieures : R k ( F )

 M k k 

 M k-1 k-1

;

= R kg( F ) + R kd ( F )

d   R k ( M )

k+1

lk+1

Figure 6.12

d'où :  R k

= R k ( F ) +

 M k −1

− M k 

l k 

+

 M k +1

− M k 

(6.17)

l k +1

2) Moment fléchissant Le diagramme final est obtenu par superposition des diagrammes (des travées isostatiques) des charges extérieures et des moments appliqués aux appuis. Cherchons l’expression du moment fléchissant dans la section courante de la travée lk  (d’abscisse x (d’abscisse x par rapport à l’appui k-1). k-1). Chaque travée lk  du système de base se comporte comme une poutre biarticulée sollicitée, en plus des charges extérieures, par deux couples  M k-1 et M  et M k  appliqués à ses appuis. Si on désigne par  M s( F ) le moment produit dans la section courante de lk  par les charges extérieures qui lui sont appliquées, alors l’expression générale du moment fléchissant s’écrit : Ms

= M s( F ) + M k −1 + ( M k − M k −1

 x   l k 

)

(6.18)

A - P o u t r es e s c o n ti t i n u e s à âm â m e p l e i ne ne  

107

3) Effort tranchant L’expression de l'effort tranchant dans la section courante d’abscisse  x s’obtient en dérivant par rapport à  x l'expression du moment. Désignons par T s( F ) l’effort tranchant dû aux charges extérieures ; il vient : Ts

= T s( F ) +

 M k

− M k −1

(6.19)

l k 

6.3.5 Exemple d'application d'application

q

Considérons une poutre à trois travées égales et à inertie constante soumise à une charge uniforme q (Figure 6.13a). La poutre est deux fois hyperstatique mais compte tenu de la symétrie, il n’y a qu’une seule inconnue. On écrit une fois l’équation des trois moments, pour k=1. k=1.

(a) 0

1

l1=l

 M 1

 M 2

 M 1=1 (c) ms1

1

 M 2=1

 M 1 = M 2 = M 

Equation des trois moments (appui 1) : M 0 l0

+ 2 M 1 ( l1 + l 2 ) + M 2 l 2 =

( 5 Ml = −6 EI ( 2 R

g ( F )

= −6 EI R1

5Ml g ( F )  R1

=  R1d ( F ) = −12EI R 1g( F ) 1  2 ql 2      = l  = = 2 EI   3 8  

⇒  M  = −

ql

1 (e) M s(F) s(F)

)

ql2 /8

)

;

ql2 /10 (f) M s(M) s(M)

g ( F )

R1

(d) ms2

+ R1d ( F )

g ( F ) 1

2

(b)

 M 0 = M 3 = 0 et

l2=l

ql 3 24 EI 

ql2 /10 (g) M s

,  M  est dirigé 10 dans le sens opposé du sens choisi arbitrairement. arbitrairement. Les figures 6.13g et 6.13h montrent les diagrammes de  M  et de T .

ql2 /40

2

2ql  /25

2

0.4ql

0.5ql

(h) T s 0.6ql

Figure 6.13

l3=l

3

108

CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES 

B- POUTRES EN TREILLIS ARTICULES 6.5 SYSTEMES ISOSTATIQUES PLANS EN TREILLIS ARTICULES 6.5.1 Définitions Définitions a) Système en treillis articulé On appelle système en treillis articulé (système réticulé ou plus brièvement treillis) un ensemble de pièces droites ou courbes, appelées barres, liées les unes aux autres (en leurs extrémités) par des articulations. Les points d'assemblage des barres sont appelés n uds.  Membrure supérieure  Montant 

 Diagonale  Membrure inférieure

Figure 6.14 : Poutre isostatique b) Système plan en treillis articulé Lorsque les axes des barres et les charges appliquées sont situés dans un même plan, on parle alors de système plan. c) Système chargé indirectement On dit qu'un système en treillis est chargé indirectement, si toutes les forces extérieures sont appliquées exclusivement exclusivement aux n uds. Si les charges sont appliquées en en des points poin ts quelconques et notamment en des endroits des barres autres que les n uds, on parle alors de système chargé directement. d) Système isostatique Si les équations de la statique suffisent à elles seules à la détermination complète du système, c'est-à-dire qu'elles permettent de calculer les réactions et les efforts en tout point du système, le système considéré est dit isostatique. Dans le cas contraire, le système et dit hype h yperstatique. rstatique. 6.5.2 Treillis chargés indirectement Seuls les treillis isostatiques plans, chargés indirectement, seront envisagés dans ce chapitre. a) Théorème :   Lorsqu'un système plan en treillis articulé, constitué de barres droites, est  chargé indirectement, chaque barre du système n'est soumise qu'à un effort normal constant .

A - P o u t r es e s c o n ti t i n u e s à âm â m e p l e i ne ne  

109

Considérons une barre du treillis. Le système étant en équilibre, chaque barre le constituant l'est aussi. La barre étant articulée, ses extrémités ne sont le siège d'aucun moment. Les seules sollicitations qu'elle supporte sont les systèmes de forces concentrées aux extrémités. extrémités.  R1

Chaque système de forces admet une résultante. Les résultantes ( R1 et  R2) doivent obligatoirement être égales et opposées pour que l'équilibre puisse se réaliser. En définitive, la barre n'est soumise qu'à un effort normal constant pouvant être une traction ou une compression. b) Condition d'isostaticité Les barres n'étant soumises qu'à des efforts normaux, en chaque n ud du treillis il y a un système de forces en équilibre. L'équilibre d'un système agissant sur une particule, un n ud par exemple, est vérifié si la résultante est nulle ou si les projections suivant 2 directions perpendiculaires ( x  x et y et  y par exemple), sont nulles (ΣF  x = 0, Σ F  y = 0). 0).

 R2

Figure 6.15 : Barre d'un treillis chargé indirectement  y F 1  x F 1

F n F i

Si n désigne le nombre de n uds Figure 6.16 : Nud d'un treillis (les appuis sont aussi des n uds, n = chargé indirectement 10 pour le système de la figure 6.14), le nombre d'équations d’équilibre de la statique qu'on peut écrire est égal à 2n. 2n. Soient b le nombre de barres et l le nombre de liaisons dans les appuis. La condition d'isostaticité s'écrit : 2n = b+l

(6.20)

Il faut cependant préciser que la condition (6.20) peut s'avérer insuffisante à prouver l'isostaticité d'un treillis ; le système doit en outre être géométriquement invariable. Une règle simple dite règle de la maille triangulaire permet de vérifier si le système est isostatique et stable. Cette règle s'énonce comme suit : si, partant d'une maille triangulaire, Figure 6.17 : Système vérifiant on arrive à reconstituer le sysla condition 6.20 mais instable tème en ajoutant 2 barres à la fois, alors le système est isostatique stable.

CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES 

110

6.5.3 Méthodes de calcul  On peut diviser les méthodes de calcul des systèmes en treillis articulés isostatiques en deux catégories : les méthodes analytiques et les méthodes graphiques. La méthode graphique la plus répandue est celle de Cremona (tracé de Cremona). Elle consiste à construire le polygone des forces en chaque n ud. Les méthodes analytiques les plus usuelles sont la méthode des nuds et la méthode des sections. sections. Les trois méthodes citées seront présentées. Il faut souligner que, indépendamment de la méthode utilisée, on doit tou jours commencer par le calcul des réactions. a) Méthode des n uds

Principe :  La méthode consiste à isoler le nud considéré par des coupures libérant les efforts dans les barres et à projeter toutes les forces, efforts normaux et forces extérieures, agissant sur le n ud suivant deux axes perpendiculaires. perpendiculaires. On doit obligatoirement entamer les calculs par un n ud auquel n'aboutissent que deux barres (2 inconnues, 2 équations). Puis on passe à un n ud qui ne présente pas plus de deux inconnues.  Exemple d'application d'application P/2 C  h

 E 

4

α

1  A

3

 y

F 

8 7 

5

2

P/2

P

 x

9

6  l

 B G

 D l

l

l

Figure 6.18 : Poutre isostatique

•

ud

A Le choix du sens des efforts dans les barres est arbitraire. Le sens choisi correspond à la traction ; le calcul montrera pour chaque barre la nature exacte de l'effort qu'elle porte.

 N 1

 A

 R A=P

 N 2

ΣF  x = 0 ⇒ N 2 = 0 ΣF  y = 0 ⇒ N 1 = -P

(le signe "-" indique que la barre 1 est soumise à une compression).

A - P o u t r es e s c o n ti t i n u e s à âm â m e p l e i ne ne  

•

ud

C

ΣF  x = 0 ⇒ N 3 cosα + N 4 = 0 ΣF  y = 0 ⇒ P - N 3 sinα = 0

 N 4

α

d'où :

 N 3

 N 3

 N 1=P

=

et  N 4

•

ud

P sin α

=−

(traction) traction) P

tgα

(compression) compression)

D

ΣF x = 0 ⇒ N 6 = N 3 cos α =

 N 5

 N 3=P/sin α

P

=

 N 2=0

α

ΣF y = 0 ⇒

 N 6  6 

ud

(traction)

tgα N 5 = − N 3 sin α

 D

•

111

=

= − P (compression)

E

ΣF  x = 0 ⇔

P/2  N 4=P/tg α

 E 

 N 8

α

P tgα

+ N8 + N 7  cos α = 0

ΣF y = 0 ⇒ N 7  =

P 2 sin α

⇒  N 8 = −

3 P

ΣF x = 0 ⇒ N 8' = −

3 P

 N 7  7 

2 tgα

(traction) (compression)

 N 5=P

•

ud

F

P  N 8=(3/2)P/tgα

 N 8'  F 

 N 9

2 tgα

(compression)

ΣF y = 0 ⇒ N9 = − P (compression)

112

CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES 

La figure 6.19 ci-après montre la nature de l'effort dans les barres étudiées. P

P/2

P/2

P

P

Figure 6.19 : Représentation de la nature des efforts Convention : - Flèches vers les n uds = compression - Flèches vers le centre = traction - 0 = effort nul b) Méthode des sections (ou de Ritter)

Principe : La méthode consiste à pratiquer dans le système une coupe ne rencontrant pas plus de 3 barres barres (sauf dans des cas précis) non concourantes, de   façon à séparer le treillis en deux parties. Pour trouver l'effort dans une des barres, on écrit l'équation d'équilibre de rotation de l'une des deux parties par  rapport au point d'intersection des autres barres (Figure 6.20).

Σ M/A = 0 ⇒ N 5 = … Σ M/B = 0 ⇒ N 4 = … Σ  M/C = 0 ⇒ N 6 6  = … (partie de droite)

6   B

5 4

 A

C 

Figure 6.20

NB : Le point d'intersection des barres par rapport auquel on calcule les moments n'est pas nécessairement un n ud du système (d'où l'intérêt à travailler travailler graphiquement). graphiquement). Cas particuliers 1)

Deux barres barres coupées coupées sont parallè parallèles les (point (point d'interse d'intersect ction ion rejeté rejeté à l'infini) l'infini) (Figure 6.21)

K

H 

 L

 J 

 A

Figure 6.21 : Poutre en N L'effort N  L'effort  N KH  l'effort  N  LJ  dans la KH  est obtenu à partir de l'équation Σ M/J = 0 et l'effort N  barre LJ  barre LJ s'obtient s'obtient à partir de : Σ M/K = 0. 0. Pour calculer N  calculer  N KJ  KJ , on utilise une équation d'équilibre de translation, ΣF  y = 0 par exemple ; ou bien une équation d'équilibre de rotation par rapport à un appui, Σ M/A = 0 par exemple.

A - P o u t r es e s c o n ti t i n u e s à âm â m e p l e i ne ne  

2)

113

Plus de de trois trois barres barres coup coupées ées : la méthode méthode de Ritter Ritter peur peur être être appliquée appliquée à condition que les barres coupées soient toutes convergentes sauf une. (a)

 I 

6 

3 2

9

5

8

1 4

(a)

7   I 

Figure 6.22 : Poutre en K La coupe a-a (Figure 6.22) présente trois barres concourantes 4-5, 5-6 et 6-9 en 6 et l'équation Σ M/6=0 donne l'effort N  l'effort  N 47  L'effort  N 47  47 . L'effort N  47  connu, on fait la coupe I-I et il n'y a plus que trois efforts inconnus. Intérêt de la méthode des sections : elle permet de calculer directement l'effort de n'importe quelle barre et constitue de ce fait un excellent moyen de vérification des résultats obtenus par les autres méthodes.  Exemple d'application d'application 2t 

6 

3t 

3t   Z' 

i

 Z 

7 

5

2

α

 A

1m

3 4

1

1m

α

 B  j

c 2m

2m

2m

2m  R B

 R A

Figure 6.23 Réactions : R A

= RB =

8 2

t

= 4  t 

t (traction) Σ M/i = 0 ⇔ 2R A – N 4 = 0 ⇒ N 4 = 8 t (traction) Σ  M/A = 0 ⇔ 2x3t + ZN 5 = 0, 4 avec : Z : Z = m 5

3t  i  N5

⇒  N 5 = − 3 2

5 t 

ΣM/j = 0 ⇔ Z'N6 – 2x3t + 4RB = 0 ⇒ Z'N6 = -10 tm

 N4  R A=4t  2m

114

CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES 

sin α

=

et :N :N

6 

1 5

=

 Z '  4

= −5.59 t

, d'où :  Z' = 4 5 m

 

Pour calculer les efforts dans les barres 1, 2 et 3 on écrit les équations d'équilibre de translation en A en A et C . On peut également appliquer la méthode de Ritter.

 Nature des efforts

Remarque : Dans la pratique, les bras de leviers peuvent être mesurés graphiquement ce qui présente l'avantage de faciliter le travail.

c) Méthode de Cremona (tracé de Cremona)

Principe :   La méthode consiste à tracer le polygone d'équilibre des forces appliquées à chaque nud. Tous les n uds étant en équilibre, les polygones sont  nécessairement nécessairement fermés. fermés. Pour pouvoir appliquer la méthode, il est nécessaire que le système possède au moins un n ud auquel n'aboutissent que deux barres. Les étapes de la méthode : 1) On représente le système dans une échelle des longueurs. 2) On calcule les les réactions puis on numérote : a) Les intervalles intervalles entre les forces forces extérie extérieures ures en tournant tournant dans dans un sens, sens, le le sens horlogique par exemple. b) Les intervalle intervalless du réseau réseau (domain (domaines es intérie intérieurs urs délimit délimités és par par les les barres). barres). Ainsi, chaque barre se trouve caractérisée par deux chiffres désignant les intervalles (domaines) adjacents. 3) On construit le polygone des forces extérieures, dans une échelle des forces choisie ; ce polygone est fermé puisque les forces extérieures sont équilibrées par les réactions (équilibre global). On précise le sens des forces par des flèches. 4) On trace ensuite le polygone des forces agissant sur chaque n ud (forces extérieures et efforts dans les barres) en commençant par un n ud auquel aboutissent seulement deux barres puis on passe à un n ud n'ayant que deux efforts inconnus. N.B. : Les directions des efforts sont connues (orientations des barres) et leurs sens et intensité sont obtenus en fermant chaque polygone.

A - P o u t r es e s c o n ti t i n u e s à âm â m e p l e i ne ne  

115

 Exemple d'application d'application Soit à calculer les efforts dans les barres de la poutre représentée à la figure 6.24 déjà calculée par la méthode de Ritter. 2t   E 

C

3t  G

9

8

1

l 4

6

 A

3

2

3t 

10

7   D

11

 B

F 

l

l

l

l  R B=4t 

5

 R A=4t 

Figure 6.24 La résolution du problème se fait selon les étapes ci-après. 0-

On représe représente nte la structure structure dans une éche échelle lle des des longueur longueurss (Figure (Figure 6.24). 6.24).

1-

Numérotati Numérotation on des domaine domainess extérie extérieurs urs (délim (délimités ités par par les les forces forces appliquées et les réactions) : 1, 2, 3, 4 et 5 (sens horlogique, Figure 6.24).

2-

Numérotatio Numérotation n des domaine domainess intérie intérieurs urs (maill (mailles) es) : 6, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11 11 (de (de gauche à droite). On pouvait choisir des lettres à la place des chiffres (Figure 6.24).

On peut maintenant numéroter chaque effort (extérieur ou interne), avant de passer à l'étape suivante. Chaque effort est caractérisé par les deux chiffres des domaines qui sont adjacents à sa direction. Les efforts internes agissant sur les uds sont numérotés en tournant dans le sens horlogique (Figure 6.25). F 23 23=2t 

F 12 12 =3t  28 C   N 28  N 61  N 87  61 87 

 A

 N 16  16   N 65 65

F 51 51 =4t 

3-

 E   N  39 39  N 82 82  N 98 98

F 34 34=3t 

 N 76  76   N 67  67   N 56  56  D  N 75 75

F 

Figure 6.25

F 45 45=4t 

On trace trace le le polygon polygonee des des forces forces exté extérieures rieures (forces (forces appliqu appliquées ées et et réacréactions). Ce polygone est représenté par le segment vertical : 1-2-3-4-5-1 (Figure 6.26).

116

CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES 

4-

Constructio Construction n des polygone polygoness des forces forces agissa agissant nt sur sur chaque chaque nud.

a)

ud

A : Les efforts intervenant sont :  N 16  16 ,  N 65 65 et F 51 51. Cette dernière force étant connue et représentée sur le polygone des forces extérieures. Notons que seul le point 6 est indéterminé. (3)

1 (6) 2 6 

(2) (4)

5 3

7  8

(4)

(5)

4

Figure 6.26 A partir du point 1 on trace une parallèle à la barre  AC (  AC  ( N   N 16  16 ) et à partir de 5 on mène une parallèle à AD à AD ( N   N 65 L'intersection des deux parallèles détermine détermine le 65 ). L'intersection point 6 cherché. Pour connaître le sens des efforts  N 16  et  N 65 16  et N  65, on ferme le polygone en partant de l'effort connu, F 51 51 (schémas ci-dessous). 1  N 16  16   A

 N 65 65

(compresion) (traction)

F 51 51 6 

5

Les flèches obtenues en fermant le polygone (des efforts agissant sur le n ud A) indiquent la nature de chaque effort. b)

On pas passe ensui nsuite te au nud  D où seuls les efforts dans les barres  DF et  DF  et  DC sont  DC sont inconnus.

Efforts intervenant :  N 56  puisque  N 65 et  N 75 56  (connu puisque N  65 est connu),  N 67  67  et N  75. Dans ce cas également, seul le point 7 est indéterminé. A partir de 6 on mène une parallèle à  DC (  DC  ( N   N 67  67 ) et à partir de 5 on trace une parallèle à  DF  (horizontale) ( N   N 75 75). L'intersection des deux parallèles se fait au point 6, donc le point 7 est confondu avec 6. Le polygone des forces en  D ( N   N 56  56 ,  N 67  67  et  N 75 75) se limite au segment 5-7 ; donc l'effort  N 67  67  = 0 (voir schémas cidessous).

A - P o u t r es e s c o n ti t i n u e s à âm â m e p l e i ne ne  

5

56  6   N 56 

7 

c)

117

 N 56  56  (traction)

 N 76  76 

 D

 N 75 75 (traction)

Point Point C : Eff Efforts orts int inteervena rvenant nt :  N 61 et  N 76   N 67  61, F 12 12,  N 28 28,  N 87  87  et N  76  ( N  67  = N 76  76  = 0). Seul le point 8 reste à trouver.

A partir du point 2 on trace une parallèle à CE ( CE  ( N   N 28 28 ) ; puis à partir de 7 on mène une parallèle à CF  ( N   N 87  87 ). L'intersection des deux parallèles détermine la position du point 8. On ferme ensuite le polygone pour déterminer le sens des efforts inconnus ( N  et N 28 (schémass ci-ap ci-après rès). ).  N 87   N 61 87  et N  28) ( N  61 →F 12 12→ N 28 28→ N 87  87  et N 76  76 ) (schéma F 12 12

1

 N 61 61

C 

 N 87  87 

2

6 

 N 28 28

 N 76  76 

7  8

 Remarques : 1) Utilisation combinée du tracé de Cremona et de la méthode de Ritter Lors d'un tracé de Cremona, on ne peut pas franchir les n uds auxquels aboutissent plus de deux barres dont les efforts sont inconnus. La méthode de Ritter permet de franchir ces n uds. Il suffit d'effectuer une ou plusieurs coupes donnant les valeurs des efforts dans les barres "surabondantes". Ce cas se présente fréquemment dans les fermes dites "Polonceau" (Figure 6.27).

118

CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES 

a

8

7  5 6  2

1

4 3

4'  a

Figure 6.27 : Ferme type Polonceau Ayant amorcé le Cremona en 1, en arrivant en 4 on se trouve en présence de 3 efforts inconnus ( N  et N 44'   N 45 a-a' permet de calculer directement 45, N 46  46  et N  44' ). La coupe a-a' permet l'effort N44'  (ΣM/8=0) ; après quoi on poursuit normalement le tracé de Cremona. 2) Barres ne travaillant pas ( N=0)  N=0) Dans l'exemple ci-contre, cinq barres ne travaillent pas (N=0) ; néanmoins, elles sont nécessaires car elle contribuent à : - assurer l'indéformabilité et l'isostaticité du système ; - réduire les longueurs de flambement ; faciliter faciliter les dispositions dispositions constructives.

P

Figure 6.28 : Poutre avec plusieurs barres non sollicitées